Bài tập ôn thi kết thúc học phần - Toán cao cấp c2 | Trường Đại Học Duy Tân

Bài tập ôn tập thi KTHP Toán C – MTH 100
GV: ThS. Nguyễn Thị Ngoc Bích
BÀI TẬP ÔN TẬP THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
TOÁN CAO CẤP C K20 MTH – 100 F
1. Bà Lan giử vào ngân hàng với số t ề
i n là 500 triệu đồng, với lãi s ấ u t ằ h ng năm không
đổi là 9 %. Tính số dư bà nhận được sau 2 năm ế
n u lãi được thanh toán theo: a) Hai tháng một nhận. b) Liên tục.
Một nghiên cứu về năng suất làm v ệ
i c buổi sáng tại 1 nhà máy nào đó đã nhận định n ư h
sau; trung bình một công nhân đến làm việc vào lúc 8 giờ sáng thì sẽ làm được 3 2
f (x) = −x + 6x + 15x thiết bị Tivi sau x giờ.
(a) Người công nhân đó làm được bao nhiêu thiết bị vào lúc 10 giờ sáng ?
(b) Người công nhân đó làm được bao nhiêu thiết bị giữa 10 giờ và 12 giờ sáng ?
2. Tại một nhà máy nào đó, tổng chi phí sản xuất q đơn vị sản phẩm trong 1 ngày sản
xuất là C(q) = q2 + q + 900 đô la.Vào một ngày làm việc nào đó có q t
( ) = 25t đơn vị sản
phẩm được sản xuất trong t giờ sản xuất.
(a) Biểu diễn tổng chi phí sản xuất bằng một hàm theo t.
(b) Tính chi phí sản xuất sau 3 giờ sản xuất ?
(c) Khi nào tổng chi phí sản xuất đạt 11 ngàn đô ?
3. Một nghiên cứu về năng s ấ u t làm v ệ
i c buổi sáng tại 1 nhà máy nào đó đã nhận định
như sau; trung bình một công nhân đến làm việc vào lúc 8 giờ sáng thì sẽ làm được 3 2
f (x) = −x + 6x + 15x thiết bị Tivi sau x giờ.
(a) Người công nhân đó làm được bao nhiêu thiết bị vào lúc 10 giờ sáng ?
(b) Người công nhân đó làm được bao nhiêu thiết bị giữa 10 giờ và 12 giờ sáng ?
4. Hùng muốn mua một ngôi nhà trị giá 200 triệu đông sau 3 năm nữa. Vậy ngây từ bây
giờ Hùng phải gửi tiết kiệm là bao nhiêu tiền để có đủ tiền mua nhà, biết rằng lãi suất
hằng năm vẫn không đổi là 13 % và lãi được tính theo (a) Hằng quý.
(b) Liên tục.
5. Ban giám đốc của ngân hàng B đưa ra chiến lượt kinh doanh để thu hút khách hàng
như sau: Cứ sau 4 năm thì tiền của khách hàng gửi vào ngân hàng sẽ tăng lên gấp đôi.
Nếu bạn là nhân viên của ngân hàng đó thì bạn hãy đề xuất lãi xuất hằng năm cho ngân
hàng. Biết rằng ngân hàng tính lãi theo a) Liên tục. b) Hằng tuần
6. Ban quản lý tại một ngân hàng nào đó được ra chiến lượt kinh doanh nhằm thu hút
khách hàng như sau: Tiền của khách hàng gửi vào ngân hàng tăng 40 % so với vốn sau 2
năm. Giả sử bạn là nhân viên của ngân hàng đó thì bạn phải đề xuất mức lãi xuất mà ngân
hàng phải đưa ra là bao nhiêu ? Biết rằng lãi suất hằng năm không đổi và kỳ hạn tính lãi theo hằng quý.
7. GDP của một thành phố nào đó sau t năm tính từ năm 2010 là 2 p(t ) = t + 5t + 20 (nghìn $). 1
Bài tập ôn tập thi KTHP Toán C – MTH 100
GV: ThS. Nguyễn Thị Ngoc Bích
a) Tính GDP của quốc gia đó tăng bao nhiêu trong suốt ă n m 2013 ?
b) Hãy ước tính GDP của quốc gia đó sẽ tăng lên bao nhiêu trong quý IV của năm 2013 ?
c) Hãy ước tính phần trăm tăng lên trong GDP của quốc gia đó trong quý IV của năm 2013 ?
8. Giả sử đầu ra hằng tuần tại một nhà máy nào đó là Q(x) = 50x2 + 9000x đơn vị, trong
đó x là số công nhân làm việc tại nhà máy. Hiện tại nhà máy có 20 công nhân làm việc tại nhà máy.
(a) Hãy ước tính thay đổi trong đầu ra hằng tuần khi có thêm 1 công nhân nữa làm việc tại nhà máy ?
(b) Tính thay đổi thực tế trong đầu ra hằng tuần khi có thêm 1 công nhân nữa làm việc tại nhà máy ?
9. Giả sử GDP của một quốc gia nào đó sau t năm ể
k từ năm 2008 được cho bởi hàm 2
N(t) = 2t +3t +10 (triệu đô).
a) Tính tốc độ thay đổi GDP của quốc gia đó theo thời gian trong năm 2018 ?
b) Tính tốc độ thay đổi phần trăm GDP của quốc gia gia đó theo thời gian trong năm 2018 ?
10. Giả sử tổng chi phí sản xuất ra q đơn vị sản phẩm của ộ m t ặ m t hàng nào đó là C(q) 3 = q −10 2
q + 100q + 200 (USD).
(a). Dùng hàm chi phí cận biên tính chi phí sản xuất đơn vị thứ 20.
(b). Tính chi phí thực tế sản xuất đơn vị sản phẩm thứ 20. 2
11. Đầu ra hằng ngày tại nhà máy A là: 3
Q(L) = 600 L (đơn vị), trong đó L là số giờ lao
việc của lao động. Hiện tại nhà máy có 1000 giờ lao động mỗi ngày. ỏ H i nhà máy phải
giảm bao nhiêu giờ lao động để đầu ra hằng ngày của nhà máy giảm 200 đơn vị.
12. Tại một nhà máy nào đó, sau t giờ hoạt động thì nhà máy ả s n xuất được 2 q(t) = t +10t đơ 1
n vị, và tổng chi phí ả
s n xuất cho q đơn vị là 2 ( c )
q = q +10 (đô). Tính tốc độ thay đổi 2
chi phí của nhà sản xuất theo thời gian sau 3 giờ hoạt động ? 1
13. Tại một nhà máy nào đó, đầu ra hằng ngày là 2 Q( )
L =10000L đơn vị, trong đó L là
lượng lao động của nhà máy. Dùng các phép tính hãy ước tính thay đổi phần trăm trong
lao động để đầu ra giảm 10% ?
14. Theo kết quả điều tra đã nhận định rằng tốc độ tăng GDP của một quốc gia nào đó là
0,2 t2 + t1/2 tỷ/ năm. B ế i t ằ r ng GDP của q ố
u c này vào năm 2000 là 5 tỷ đô la. Hãy dự đoán GDP của q ố u c gia đ ó vào năm 2010 ?
15. Trong một huyện nào đó, người ta dự đoán rằng vào thời điểm x tuần giá thịt gà sẽ
tăng với tốc độ là 3(x + 1)1/2 cent/tuần. Giá thịt gà sẽ tăng bao nhiêu sau 8 tuần ?
16. Tại một nhà máy nào đó, giả sử chi phí cận biên khi q đơn ị v được sản xuất là 3 ( 4 q − )
5 đô la/ đơn vị. Hỏi tổng chi phí sản xuất sẽ tăng lên bao nhiêu nếu lượng sản
phẩm sản xuất ra tăng từ 7 đơn vị đến 10 đơn vị.
17. Hiện tại thị trường ngân hàng đang bão hòa, người ta ước tính rằng sau t năm tính từ
bây giờ số thí sinh đăng ký thi vào các ngành tài chính ngân hàng sẽ giảm với tốc độ 2
Bài tập ôn tập thi KTHP Toán C – MTH 100
GV: ThS. Nguyễn Thị Ngoc Bích
90(t −10) t +1 thí sinh/năm. Hỏi trong 3 năm đầu số thí sinh đăng ký vào ngành tài
chính ngân hàng sẽ giảm bao nhiêu?
18. Một nghiên cứu về dân số tại một huyện nào đó đã c ỉ h ra ằ r ng, sau x tháng dân số
của một huyện đó sẽ tăng với tốc độ 10 + 2 x người/tháng. Hỏi dân số của huyện đó sẽ
tăng lên bao nhiêu sau 9 tháng ?
19. Sau t giờ làm việc một người công nhân nào đó có thể sản xuất ớ v i tốc độ là 0,5 100 t e− +
đơn vị/ giờ. Giả sử người đó bắt đầu làm việc từ lúc 8 giờ sáng. Hỏi người đó
sẽ sản xuất được bao nhiêu đơn vị giữa 9 giờ sáng và 11giờ trưa ?
20. Qua điều tra các nhà phân tích kinh tế đã nhận định rằng tốc độ tăng trưởng kinh tế 1
(GDP) của một quốc gia nào đó sau t năm tính từ năm 2004 ẽ s là: 30 + 5 + t tỷ 2
USD/năm. Biết rằng GDP của quốc gia đó vào 2007 là 100 tỷ USD.
a) Hãy dự đoán GDP của quốc gia đ ó vào năm 2015.
b) Ước tính thay đổi phần trăm GDP của quốc gia đó vào 6 tháng cuối năm năm 2015 ?
21. Qua khảo sát các nhà kinh tế đã nhận định rằng sau t tháng tốc độ tăng giá ầ d u trên 1 thế giới là: 5 +
t USD/ thùng. Giá dầu hiện tại là 130 USD/ thùng. Tính giá dầu trên 2 thế giới sau 10 tháng.
22. Khảo sát số người biết thông tin ủ
c a kỳ thi RoBoCon được ổ t chức ở Thành p ố h Đà
Nẵng, người ta nhận thấy rằng tốc độ truyền thông tin kỳ thi là 2 2 x x +1 + 3x
(người/ngày), trong đó x là số ngày tính từ lúc kỳ thi bắt đầu diễn ra. Sau 1 ngày, số
người biết thông tin kỳ thi là 120 người. Hãy xác định số người biết thông tin kỳ thi sau 6
ngày diễn ra kỳ thi (kết quả làm tròn thành số nguyên).
23. Sau 5 ngày bệnh dịch xuất hiện ở một huyện miền núi, một đoàn khảo sát đã đến
huyện để khảo sát và ước lượng rằng số người mắc ệ b nh sẽ thay đổi ớ v i tốc độ là: 3x
(người/ngày), trong đó x là số ngày tính từ thời điểm k ả
h o sát. Hãy xác định số 2 x + 9
người đã mắc bệnh từ ngày thứ 10 đến ngày thứ 15 tính từ thời điểm dịch bệnh xuất hiện
ở thành phố (kết quả làm tròn thành số nguyên). 24. Tại ộ
m t nhà máy nào đó, người ta ước tính rằng khi sản xuất và bán q sản phẩm thì
doanh thu cận biên là −6q + 5000 (USD/đvsp) và chi phí cận biên là 2q −1400
(USD/đvsp). Biết rằng, khi sản xuất và bán ra 10 sản phẩm thì lợi nhuận thu được là
70000 (USD). Hãy biểu diễn hàm lợi nhuận và nhà sản xuất nên sản xuất bao nhiêu sản
phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất ?
25. Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân dy a) 6 − y = e
2x + 1 thõa mãn điều kiện y = 1 khi x = 0. dx b) dx xt = ; x(0) = 3 2 dt 1− t 3
Bài tập ôn tập thi KTHP Toán C – MTH 100
GV: ThS. Nguyễn Thị Ngoc Bích y − 2 c) ' y =
thõa mãn điều kiện y = 3 khi t = 2. 5 (3x − 1)
26. Giải các phương trình vi phân sau: 3 y dy a) + 5 ' y = b) 4 7 =t (5 − y ) 4 2 x y dt
27. Một nhà sản xuất ước tính rằng nếu x máy được cung cấp trên thị trường nội địa và y x y
máy được cung cấp trên thị trường quốc tế, biết rằng máy được bán với giá là 60 − + 5 20 y x
nghìn đô la/ máy ở thị trường nội địa và 50 − +
nghìn đô la/ máy ở thị trường quốc 10 20
tế. Giả sử chi phí sản xuất là 10.000 đô la/ máy. Hỏi nhà sản xuất nên cung cấp bao nhiêu
máy trên mỗi thị trường để lợi nhuận thu được là lớn nhất ?
28. Một công ty điện thoại dự định giới thiệu hai hệ thống đường tru ề y n tín hiệu mới và
hy vọng rằng nó sẽ được bán ra thị trường với số lượng lớn. Họ ước tính rằng nếu hệ
thống thứ nhất được bán với giá x trăm đô la/đơn vị và hệ thống thứ hai được bán với giá
y trăm đô la/đơn vị, thì khách hàng sẽ mua xấp xỉ 40 8
− x + 5 y đơn vị hệ thống thứ nhất và
50 + 9x − 7 y đơn vị hệ t ố h ng thứ hai. ế N u chi phí sản x ấ u t ệ h t ố
h ng thứ nhất là 1.000 đô
la/đơn vi và chi phí sản xuất hệ thống thứ hai là 3.000 đô la/đơn vị, thì công ty điện thoại
nên bán các hệ thống trên với giá nào để lợi nhuận thu được là lớn nhất ?
29. Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và họ ước tính rằng x sản phẩm
được cung cấp trên thị trường nội địa và y sản phẩm được cung cấp trên thị trường quốc x
tế và được bán với giá tương ứng là 300 − nghìn đô/sản phẩm trên thị trường nội địa và 6 y 200−
nghìn đô/sản phẩm trên thị trường quốc tế. Hỏi công ty nên cung cấp lần lượt 20
bao nhiêu máy tại mỗi thị trường để lợi nhuận thu được là lớn nhất biết ằ r ng chi phí ả s n
xuất là 10.000 đô/sản phẩm ?
30. Một khách hàng dùng 560 đô để mua hai loại mặt hàng, biết rằng mặt hàng thứ nhất
có gía là 4 đô/ đơn vị và mặt hàng thứ hai có giá là 10 đô/ đơn vị. Giả sử rằng khi người
đó mua x đơn vị mặt hàng thứ n ấ h t và y đơn ị
v mặt hàng thứ hai thì hàm ữ h u dụng sẽ là 1 3 4 4 f (x, y) = 1600x y năm. ậ
V y khách hàng đó nên mua lần lượt mua bao nhiêu đơn vị mặt
hàng thứ nhất và mặt hàng thứ hai để hàm hữu dụng đạt giá trị lớn nhất ?
31. Một cửa hàng bán hai loại áo cạnh tranh nhau, một có hiệu là Jordan và loại kia có
hiệu Neal. Chủ cửa hàng có thể thu mua cả hai loại áo với giá 2 đôla/áo và ước tính rằng
nếu áo Jordan được bán với giá x đôla mỗi cái và áo Neal bán với giá y đôla mỗi cái, thì
khách hàng sẽ mua xấp xỉ 40 - 50x + 40y áo Jordan và 20 + 60x - 70y áo Neal mỗi ngày.
Hỏi chủ cửa hàng nên bán các áo trên với giá bao nhiêu để tổng lợi nhuận hàng ngày lớn nhất?
32. Một nhà sản xuất dùng 8 triệu đồng vào mở rộng và quảng cáo một ả s n phẩm mới.
Người ta ước tính nếu x triệu đồng được sử dụng vào mở rộng và y triệu được sử dụng 4
Bài tập ôn tập thi KTHP Toán C – MTH 100
GV: ThS. Nguyễn Thị Ngoc Bích 1 3
vào quảng cáo, thì bán được xấp xỉ 2 2 f ( , x )
y =50 x y đơn vị. Nhà sản xuất nên phân
chia tiền vào mở rộng và quảng cáo như thế nào để bán được hàng lớn nhất? 33. Nếu x tr ệ i u đồng được ử
s dụng vào lao động và y triệu đồng được sử dụng vào trang 1 2
thiết bị, thì đầu ra tại một nhà máy nào đó là 3 3
Q(x, y) = 60x y đơn vị. Nếu có 12 triệu
đồng thì nên phân chia tiền giữa lao động và trang thiết ị b như t ế h nào đ ể đầu ra lớn nhất? 34. Một c ủ
h khách sạn dùng 44 (triệu đồng) để mua Tivi và máy giặt, biết rằng giá của
mỗi chiệc Tivi là 2 (triệu đồng) và giá của mỗi cái máy giặt là 3 (triệu đồng). Nếu chủ
khách sạn mua x (chiếc tivi) và y cái máy giặt thì tổng thời gian sử dụng lượng hàng trên
được xác định bởi U (x, y) = xy + x + 2y (tháng). Hãy xác định số lượng của từng loại mà
người đó mua để sao cho tổng thời gian sử dụng của toàn bộ số hàng được mua đạt giá trị
cao nhất ? Nếu tính từ thời điểm bây giờ (tháng 5/2013) thì khi nào chủ khách sạn sẽ thay đổi sản phẩm mới ?
35. Khảo sát tại một công ty chuyên sản xuất độc quyền một loại sản phẩm, người ta
nhận thấy rằng: Khi x sản phẩm được sản xuất thì tổng chi phí sẽ được xác định bởi 2
C(x) = x + 800x + 50 (triệu đồng). Ngoài ra, hàm cầu của loại sản phẩm này được xác định bởi Q p D = 1200 − , ớ
v i p là giá bán của một đơn vị sản phẩm được ả s n xuất ra (đơn
vị: triệu đồng). Hãy xác định số lượng sản phẩm mà công ty cần sản xuất để lợi nhuận thu
được của công ty là cao nhất ?
36. Bạn An đã gửi 150 tr ệ
i u đồng vào ngân hàng ACB với phương thức tính lãi là theo
Quý, sau thời hạn 2 năm bạn An đã nhận được số tiền là 167 triệu đồng (nhận một lần).
Hãy xác định hệ số lãi suất hằng năm của ngân hàng ACB ? 5