Chủ đề 7. Tốc độ thay đổi trung bình 1.
Cho hàm doanh thu khi sản xuất và bán ra x (đvsp) là R x  2
 x  200x (đvtt). Xác định
công thức tính tốc độ thay đổi trung bình của doanh thu khi lượng sản phẩm tăng từ 30 đvsp đến 40 đvsp. 2.
Cho hàm chi phí sản xuất x (đvsp) là C x 2
 x  10x  100 (đvtt). Tính tốc độ thay đổi trung
bình của chi phí khi lượng sản phẩm tăng từ 15 đvsp đến 20 đvsp. 3. 100
Nhu cầu sản phẩm D (đvsp) phụ thuộc vào giá bán p (đvtt) theo công thức D  p  . p
Tính tốc độ thay đổi trung bình của nhu cầu khi giá bán tăng từ 5 đvtt đến 10 đvtt.
Chủ đề 8. Tốc độ tức thời (Đạo hàm) 1.
Giá trị của sản phẩm sau t (năm) tính từ thời điểm hiện tại được cho bởi p t   30t  10000
(đvtt). Tính tốc độ thay đổi của giá trị sản phẩm sau t (năm). 2.
Doanh thu khi sản xuất và bán ra x (đvsp) là R x   x x  20 (đvtt). Tính tốc độ thay đổi
của doanh thu khi sản xuất và bán ra 100 đvsp. 3.
Lợi nhuận khi sản xuất và bán ra x (đvsp) là P x  2
  x  100 x  250 (đvtt). Tính tốc độ
thay đổi của lợi nhuận khi sản xuất và bán ra 30 đvsp. 4.
Số lượng vi khuẩn sinh ra sau t (giờ) tính từ hiện tại được cho bởi   10 t P t e  5 (ngàn đơn
vị). Tính tốc độ thay đổi lượng vi khuẩn sau 5 giờ. 5. 1000
Giả sử khi sản xuất và bán ra x (đvsp) thì giá bán của một đvsp là p  x  (đvtt). Tính x
tốc độ thay đổi của giá bán khi sản xuất và bán ra 5 đvsp. 6. 1/6
Dân số sau t (năm) tính từ năm 2020 được xác định bởi công thức P t  2  t  2t  100 (ngàn
người). Tính tốc độ thay đổi của dân số vào năm 2023. 7.
Cho hàm chi phí khi sản xuất x (đvsp) là C  x (đvtt) và C 100  2000;C '100  15
(đvtt/đvsp). Giải thích ý nghĩa. 8.
Cho dân số sau t (năm) tính từ hiện tại là P t  (ngàn người) và P10  120; P'10  0  .4 . Giải thích ý nghĩa.
Chủ đề 9. Đạo hàm hàm hợp 1.
Doanh số bán hàng sau t (tháng) tính từ hiện tại là st   t 10 . Tính tốc độ thay đổi của
doanh số bán hàng sau 6 tháng. 2.
Dân số sau t (năm) tính từ bây giờ được cho bởi   0.1  10 t P t e
(ngàn người). Tính tốc độ thay
đổi của dân số sau 5 năm. 3. 1000
Nhu cầu về máy tính phụ thuộc vào giá bán p (đvtt) theo công thức D  p  (đvsp). p  5
Tính tốc độ thay đổi của nhu cầu máy tính khi giá bán đạt 15 đvtt.
Chủ đề 10. Hàm cận biên, hàm trung bình 1.
Cho hàm chi phí khi sản xuất x (đvsp) là C x 2
 x  5x  300 (đvtt). Xác định hàm chi phí cận biên. 2.
Doanh thu khi sản xuất và bán ra x (đvsp) là R x  2
 x  1000x (đvtt). Dùng doanh thu cận
biên để tính doanh thu của đvsp thứ 200. 3.
Doanh thu khi sản xuất và bán ra x (đvsp) là R x  2
 x 1000x (đvtt). Tính doanh thu cận biên ở mức 150 đvsp. 4. 2/6
Lợi nhuận khi sản xuất và bán ra x (đvsp) là P x 2
  x  100x  250 (đvtt). Dùng lợi nhuận
cận biên để tính lợi nhuận của đvsp thứ 36. 5.
Lợi nhuận khi sản xuất và bán ra x (đvsp) là P x  2
  x  100x  250 (đvtt). Tính lợi nhuận
cận biên tại mức 20 đvsp. 6.
Cho hàm chi phí khi sản xuất x (đvsp) là C x 2
 x  5x  300 (đvtt). Xác định hàm chi phí trung bình. 7.
Doanh thu khi sản xuất và bán ra x (đvsp) là R x 2
  x  1000x (đvtt). Tính doanh thu trung
bình khi sản xuất và bán ra 100 đvsp.
Chủ đề 11. Công thức gần đúng 1.
Cho hàm chi phí khi sản xuất x (đvsp) là C x  2
 x  5x  300 (đvtt). Tính sự thay đổi của
chi phí nếu lượng sản phẩm tăng từ 20 đến 20.6 đvsp. 2.
Cho hàm chi phí khi sản xuất x (đvsp) là C x 2
 x  5x  300 (đvtt). Lượng sản phẩm hiện
tại là 10 đvsp. Ước tính sự thay đổi của chi phí nếu lượng sản phẩm giảm đi 0.4 đvsp. 3.
Số lượng sản phẩm được sản xuất khi sử dụng L (giờ) lao động là Q L  100 L (đvsp). Số
giờ lao động hiện tại là 100 giờ. Ước tính sự thay đổi của số lượng sản phẩm nếu số giờ lao động tăng thêm 2 giờ. 4.
Số lượng sản phẩm được sản xuất khi sử dụng L (giờ) lao động là Q L  200 L (đvsp). Số
giờ lao động hiện tại là 100 giờ. Ước tính sự thay đổi của số giờ lao động nếu lượng sản phẩm tăng thêm 10 đvsp. 5.
Số lượng sản phẩm được sản xuất khi sử dụng L (giờ) lao động là Q L  500 L (đvsp). Số
giờ lao động hiện tại là 100 giờ. Ước tính sự thay đổi của số giờ lao động nếu lượng sản phẩm giảm đi 5 đvsp. 6. 3/6
Lượng khí thải trong không khí sau t (năm) tính từ năm 2020 được xác định bởi công thức Q t 2
 0.01t  2t  10 (ppm). Ước tính sự thay đổi của lượng khí thải trong năm 2021. 7.
Lượng khí thải trong không khí sau t (năm) tính từ năm 2020 được xác định bởi công thức Q t 2
 0.01t  2t  10 (ppm). Ước tính sự thay đổi của lượng khí thải trong nửa đầu năm 2022. 8.
Lượng khí thải trong không khí sau t (năm) tính từ năm 2020 được xác định bởi công thức Q t  2
 0.01t  2t  10 (ppm). Ước tính sự thay đổi của lượng khí thải trong quý 2 năm 2021. Chủ đề 12. Hàm ẩn 1. 2 x
Tại một công ty, hàm chi phí, doanh thu lần lượt là C  80000  40x , R  200x  , trong 4
đó x là số đvsp được sản xuất và bán ra hằng tháng. Hiện tại, số đvsp được sản xuất và bán ra
là 3000 đvsp và đang tăng với tốc độ 150 đvsp/tháng. Tính tốc độ thay đổi của chi phí, doanh
thu, lợi nhuận theo thời gian. 2. 2 x
Tại một công ty, hàm chi phí, doanh thu lần lượt là C  5000  10x , R  100 x  , trong đó 2
x là số đvsp được sản xuất và bán ra hằng tháng. Hiện tại, số đvsp được sản xuất và bán ra là
800 và đang tăng với tốc độ 90 đvsp/tháng. Tính tốc độ thay đổi của chi phí, doanh thu, lợi nhuận theo thời gian. 3.
Giá bán p (đvtt) và nhu cầu sản phẩm x (đvsp) liên hệ với nhau bởi phương trình 2 2
75x  17 p  1133. Nhu cầu hiện tại là 2 đvsp và đang tăng với độ là 0.357 đvsp/tháng, tính
tốc độ thay đổi của giá bán theo thời gian. 4.
Giá bán p (đvtt) và nhu cầu sản phẩm x (đvsp) liên hệ với nhau bởi phương trình 2 2
 x  3 p  12 . Giá bán hiện tại là 4 đvtt và đang giảm với độ là 0.87 đvtt/tháng, tính tốc độ
thay đổi của nhu cầu theo thời gian.
Chủ đề 13. Bài toán tối ưu 1. 4/6
Doanh thu được khi sản xuất và bán ra x (đvsp) là R x 2
 0.1x  500x (đvtt). Xác định số
đvsp để doanh thu đạt giá trị lớn nhất. 2.
Lợi nhuận thu được khi sản xuất và bán ra x (đvsp) là P x  2
 0.2x  100x  10000 (đvtt).
Xác định số đvsp để lợi nhuận thu được lớn nhất. 3.
Chi phí sản xuất x (đvsp) là C x 2
 0.1x  5x  3000 (đvtt). Xác định số đvsp cần sản xuất
để chi phí đạt giá trị nhỏ nhất. 4.
Khi sản xuất và bán ra x (đvsp) thì giá bán của một đvsp là p x  300  2x (đvtt). Xác định
số đvsp cần sản xuất để doanh thu đạt giá trị lớn nhất. 5.
Khi sản xuất và bán ra x (đvsp) thì giá bán của một đvsp là p x   200  4x (đvtt). Xác định
giá bán của một đvsp để doanh thu đạt giá trị lớn nhất. 6.
Một cửa hàng bán sản phẩm với giá 30 đvtt, với giá bán này cửa hàng bán được 300 đvsp. Cửa
hàng dự định giảm giá, ước tính rằng cứ giảm đi 2 đvtt trong giá bán thì sẽ bán thêm được 5
đvsp. Xác định giá bán của sản phẩm để doanh thu đạt giá trị lớn nhất. 7.
Một cửa hàng bán sản phẩm với giá 30 đvtt, với giá bán này cửa hàng bán được 300 đvsp. Cửa
hàng dự định giảm giá, ước tính rằng cứ giảm đi 2 đvtt trong giá bán thì sẽ bán thêm được 5
đvsp. Xác định số đvsp cần bán để doanh thu đạt giá trị lớn nhất. 8.
Một cửa hàng bán sản phẩm với giá 30 đvtt, với giá bán này cửa hàng bán được 300 đvsp. Cửa
hàng dự định giảm giá, ước tính rằng cứ giảm đi 2 đvtt trong giá bán thì sẽ bán thêm được 5
đvsp. Tính doanh thu lớn nhất mà cửa hàng có thể đạt được. 9.
Một cửa hàng bán sản phẩm với giá 50 đvtt, với giá bán này cửa hàng bán được 100 đvsp. Cửa
hàng dự định tăng giá, ước tính rằng cứ tăng thêm 1 đvtt trong giá bán thì số sản phẩm bán được
sẽ giảm đi 4 đvsp. Xác định số đvsp cần bán để doanh thu đạt giá trị lớn nhất. 10. 5/6
Một cửa hàng bán sản phẩm với giá 50 đvtt, với giá bán này cửa hàng bán được 100 đvsp. Cửa
hàng dự định tăng giá, ước tính rằng cứ tăng thêm 1 đvtt trong giá bán thì số sản phẩm bán được
sẽ giảm đi 4 đvsp. Tính doanh thu lớn nhất mà cửa hàng có thể đạt được. 11.
Khách sạn Thăng Long có 120 phòng hoạt động hết công suất mỗi đêm khi giá cho thuê mỗi
phòng 5 (triệu đồng). Khách sạn ước tính rằng cứ tăng thêm 0.1 (triệu đồng) trong giá cho thuê
thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hãy xác giá cho thuê của mỗi phòng để doanh thu mỗi đêm của khách sạn lớn nhất? 12.
Ban điều hành khách sạn Hương Giang nhận định rằng, khi cho thuê mỗi phòng với giá 6 triệu
đồng thì mỗi ngày khách sạn sẽ có 80 phòng được thuê. Khách sạn tiến hành giảm giá và ước
tính rằng cứ giảm đi 0.2 triệu đồng trong giá thuê thì mỗi ngày sẽ có thêm 4 phòng được thuê.
Hãy xác giá cho thuê của mỗi phòng để doanh thu mỗi ngày của khách sạn lớn nhất.
13. Khách sạn A có 150 phòng hoạt động hết công suất mỗi đêm khi giá cho thuê mỗi phòng
40$. Khách sạn ước tính rằng cứ tăng thêm một 1$ trong giá cho thuê thì sẽ có 2 phòng bị bỏ
trống. Biết rằng chi phí dịch vụ cho mỗi phòng là 7$. Hãy xác giá định giá cho thuê của mỗi
phòng để lợi nhuận mỗi đêm của khách sạn lớn nhất. 6/6