Bài tập số 4: tích phân suy rộng

1 Tóm tắt lý thuyết

Tích phân được gọi là suy rộng nếu ít nhất một trong các điều sau xảy ra:

• a = −∞ hoặc b = +∞ hoặc cả hai.
• hàm f(x) không bị chặn tại một hoặc nhiều điểm (cô lập) thuộc đoạn [a,b].

1.1 Tích phân suy rộng cận vô hạn

Định nghĩa 1 (Tích phân suy rộng loại I). Hiểu một cách đơn giản như sau (bỏ qua một số giả thiết):

1. Z ^+∞ f(x)dx = lim+ Z ^b f(x)dx
   1. b→ ∞ a
   2. b
2. f(x)dx = lim Z f(x)dx

Z

a→−∞ a −∞

1. Z ^+∞ f(x)dx = Z ^c f(x)dx + Z ^+∞ f(x)dx

−∞ −∞ ^c

Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ. Ngược lại, ta nói tích phân phân kỳ (Tức là nếu giới hạn trên không tồn tại hoặc bằng ±∞ thì ta nói tích phân phân kỳ).

Ví dụ 1. Hãy chỉ ra phân kỳ.

Định lý 1 (Dấu hiệu so sánh I- So sánh trực tiếp). Cho hàm số f(x),g(x) liên tục trên [a,+∞) và 0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a,+∞). Khi đó:

i. Nếu hội tụ thì hội tụ. ii. Nếu phân kỳ thì phân kỳ.

Định lý 2 (Dấu hiệu so sánh II- So sánh qua giới hạn). Cho hàm số f(x),g(x) liên tục trên [a,+∞) và 0 ≤ f(x),g(x), ∀x ∈ [a,+∞). Giả sử Khi đó:

1. Nếu cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
2. Nếuhội tụ thì hội tụ.
3. Nếu phân kỳ thì phân kỳ.

1.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn

Định nghĩa 2 (Tích phân suy rộng loại II). Cho a và b là các số thực hữu hạn.

b

1. Giả sử tích phânf(x)dx tồn tại hữu hạn với mọi t ∈ (a,b] và f không bị chặn tại a

Z

t

(nghĩa là |f(x)| → ∞ khi x → a+). Khi đó ta định nghĩa

nếu giới hạn trên tồn tại. Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn ta nói tích phân suy rộng loại II hội tụ, ngược lại ta nói nó phân kỳ.

b

1. Giả sử tích phânf(x)dx tồn tại hữu hạn với mọi t ∈ [a,b) và f không bị chặn tại b

Z

t

(nghĩa là |f(x)| → ∞ khi x → b−). Khi đó ta định nghĩa

nếu giới hạn trên tồn tại. Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn ta nói hữu hạn ta nói tích phân suy rộng loại II hội tụ, ngược lại ta nói nó phân kỳ.

1. Giả sử f không bị chặn tại điểm c với a < c < b và các tích phân tồn tại với mọi 0 < ε < c − a và 0 < η < b − c. Khi đó ta định nghĩa:

nếu các giới hạn trên tồn tại. Nếu cả hai giới hạn ở vế phải tồn tại hữu hạn thì ta nói hội tụ, ngược lại ta nói tích phân phân kỳ.

Định lý 3 (Dấu hiệu so sánh I- So sánh trực tiếp). Giả sử f(x),g(x) là hai hàm khả tích trên bé tùy ý, có giới hạn bằng vô cùng tại x = b và giả sử 0 ≤ f(x) ≤ g(x) với mọi x ∈ [a,b). Khi đó

• 1. Nếu hội tụ thì hội tụ.
  2. Nếu phân kỳ thì phân kỳ.

Định lý 4 (Dấu hiệu so sánh II- So sánh qua giới hạn). Giả sử f(x),g(x) là hai hàm khả tích trên bé tùy ý, có giới hạn bằng vô cùng tại x = b, không âm với mọi x ∈ [a,b) và giả sử. Khi đó

• 1. Nếu cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
  2. Nếu hội tụ thì hội tụ.
  3. Nếu phân kỳ thì phân kỳ.

Ví dụ 2. Xét sự hội tụ của tích phân

Ta thấy đây là tích phân suy rộng loại II.

Cách 1

Xét. Ta có f,g ≥ 0 và

√2 √2

Z

nên hai tích phânf(x)dx và Z g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Mà

1 1

phân kỳ nên tích phân phân kỳ.

Cách 2. Cách 1 không cho chúng ta biết tại sao lại chọn hàm g như vậy. Cách sau sẽ phân tích bản chất của hàm f trong lân cận điểm 1 từ đó sẽ nhìn thấy cách chọn hàm g ở trên. Khi x → 1⁺ ta có:

.

Mà tích phân phân kỳ nên tích phân ban đầu phân kỳ.

(Giải thích thêm việc phân tích trên tương đương với việc chọn hàm

Ví dụ 3. Xét sự hội tụ của tích phân

Làm tương tự như ví dụ trên ta được tích phân hội tụ (hàm g trong trường hợp này là

Ví dụ 4. Xét sự hội tụ của tích phân

Cách 1. Dùng dấu hiệu so sánh qua giới hạn với hàm(làm tương tự như ví dụ trên).

Cách 2. Ta sẽ phân tích dáng điệu hàm khi x → 1⁺. Ta có:

Mà tích phân hội tụ nên tích phân suy rộng ban đầu hội tụ.

Chú ý 1. Nhiều bạn mắc sai lầm khi khai triển Taylor hàm tại điểm x₀ = 1.

Ví dụ 5. Xét sự hội tụ của tích phân sau

.

ĐS: Hội tụ (tuyệt đối).

2 Bài tập tích phân suy rộng

2.1 Tính tích phân sau

Ví dụ 6. Tính tích phân suy rộng sau

Theo đn ta có

.

Xét

Cách 1. Đặt u = √x³ + 1 ta có

Chú ý 2. Ta có thể làm theo nhiều cách khác nhau, chẳng hạn đặt

u = x³ + 1.

Ví dụ 7. Tính tích phân suy rộng sau

.

Giải:

Ví dụ 8. Tính tích phân suy rộng sau

.

Theo đn ta có

.

Xét

Đặt u = √x + 3, suy ra u² = x + 3,2udu = dx. Ta có

Ta phân tích

.

Suy ra đồng nhất thức

2u ≡ A(u + 1)² + B(u − 1)(u + 1) + C(u − 1) . (*)

Để tính các hệ số A,B,C ta có thể dùng phương pháp hệ số bất định hoặc chọn các giá trị đặt biệt của u. Ta sẽ làm theo cách thứ hai. Từ đồng nhất thức (∗) lần lượt cho u = 1,−1,0 ta được:

u = 1 : 2 = 4A + 0 + 0 ⇒ .

A

=

1

2

⇒

C

=1

.

−

1

2

−2 = 0 + 0 − 2C

1

= 0 : 0 = A − B − C ⇒ B = A − C = ₂ − 1 = .

Chú ý 3. Đây chỉ là một cách làm. Ta cũng có thể đổi biến theo cách khác miễn là kết quả vẫn đúng.

Ví dụ 9. Tính tích phân suy rộng sau

.

Theo đn ta có

.

Xét

Đặt u = √x + 5, suy ra u² = x + 5,2udu = dx. Ta có

Ta phân tích

.

Suy ra đồng nhất thức

2u ≡ A(u + 2)² + B(u − 2)(u + 2) + C(u − 2) . (*)

Từ đồng nhất thức (∗) lần lượt cho u = 2,−2,0 ta được:

u = 2 : 4 = 16A + 0 + 0.

⇒

A

=

1

4

⇒

C

=1

.

4

A

−

2

C

4

=

1

−

2

4

=

−

1

4

−4 = 0 + 0 − 4C

= 0 : 0 = 4A − 4B − 2C ⇒ B =.

Ví dụ 10. Tính tích phân suy rộng sau

.

Theo đn ta có

.

Xét

Đặt u = √x² + 4, suy ra u² = x² + 4,udu = xdx. √

Ta có

Ta phân tích

.

Suy ra đồng nhất thức

u ≡ A(u + 2)² + B(u − 2)(u + 2) + C(u − 2) . (*)

Từ đồng nhất thức (∗) lần lượt cho u = 2,−2,0 ta được:

u = 2 : 2 = 16A + 0 + 0

⇒

A

=

1

8

.

⇒

C

=

1

2

.

⇒

B

=

4

A

−

2

C

4

=

1

/

2

−

1

4

=

−

1

8

.

−2 = 0 + 0 − 4C

= 0 : 0 = 4A − 4B − 2C

Ví dụ 11. Tính tích phân suy rộng sau

.

Cách làm tương tự mấy câu trước.

ĐS: +

Ví dụ 12. Tính các tích phân sau

1.

2..

3.

4.

Ví dụ 13. Tính các tích phân sau

1..

2.

ĐS: (Sử dụng tích phân từng phần)

1..

2.

Giải

1. Xét tích phân bất định I = Z e−^ax cosbxdx, (a > 0,b 6= 0). Sử dụng tích phân từng phần

đặt u = cosbx,dv = e−^axdx, suy ra, ta có

Tiếp tục sử dụng công thức tích phân từng phần một lần nữa. Đặt u = bsinbx,dv =

, suy ra ta được

) dx

Suy ra

The định nghĩa ta có

.

Chú ý: Để tính giới hạn trên ta có sử dụng định lý kẹp (tự làm).

Ví dụ 14. Tính các tích phân sau

1.

2.

3.

Ví dụ 15. Tính tích phân sau.

Ví dụ 16 (?). Tính tích phân sau

Giải

Do đó

Ví dụ 17 (?). Tính tích phân sau:

Giải . Trước hết ta chứng minh hai tích phân

Xét. Khi đó, ta có

.

Mà tích phân hội tụ nên tích phân I₂ hội tụ.

Tương tự ta có

.

Mà tích phân hội tụ nên tích phân I₁ hội tụ.

Đổi biến ta có

.

Vậy

Tổng quát hơn ta có:

Z

∞

0

ln(

x

)

dx

x

2

+

a

2

=

π

ln(

a

)

2

a

,

(

a>

0)

.

Thật vậy

.

Ví dụ 18 (?). Tính tích phân sau

(Sử dụng tc:

Suy ra

π

Z

Z

I =ln(sinx)dx (1)

0

π/2 π

=ln(sinx)dx + Z ln(sinx)dx (2)

0 π/2

Từ (1) bằng cách đổi biến x = 2t ta có

Từ (2) bằng cách đổi biến t = π − x ở tích phân thứ 2 ta có

(4)

Từ đó suy ra

π/2

Z

0 lnsin(2x)dx = −(π/2)ln2 ⇒ I = −π ln2

Ví dụ 19. Tính tích phân sau

.

Giải:

Đặt,

ta có

Cách 2. Ta cũng có thể làm trực tiếp như sau: Đặt ,

ta có

Ví dụ 20. Tính tích phân sau

. Ta có

Suy ra

Vậy .

Ví dụ 21. Tính tích phân

.

Giải:

Chú ý rằng tích phân suy rộng là tích phân suy rộng cả hai loại (cận vô hạn và hàm không bị chặn tại 0). Ta tách ra như sau

.

Xét nguyên hàm

Đặt. Khi đó

Ta có

Vậy

x

1

2

3

y

1

2

3

f

(

x

)=

1

√

x

(

x

+1)

Ví dụ 22. Tính tích phân suy rộng sau:

.

Giải:

Xét nguyên hàm

− Đặt u = √x² − 4 ⇒ u² = x² − 4 ⇒ udu = xdx. Khi đó

Chú ý rằng tích phân suy rộng là tích phân suy rộng cả hai loại (cận vô hạn và hàm không bị chặn tại 2). Ta tách ra như sau

.

Ta có

.

2

Vậy

Z

+

∞

2

dx

x

√

x

2

−

4

=

1

2

arctan

√

5

2

+

π

4

−

1

2

arctan

√

5

2

=

π

4

.

x

1

2

3

4

5

y

1

3

f

(

x

)=

1

x

√

x

2

−

4

Chú ý 4. Nếu ta tách

.

thì kết quả tính toán sẽ nhanh gọn hơn (Hãy thử xem!!!) Ví dụ 23. Tính tích phân suy rộng sau:

ĐS:

Ví dụ 24. Tính tích phân suy rộng sau:

Giải: Ta có

.

Dễ thấy rằng

Suy ra

¹ e−√x ¹ e−√x ^{√x 1}

Z

I1 =0 √_x dx = ε_→lim0+ Zε √_x dx = ε_→lim0+ −2e− ε

= lim0+ −2e−√1 + 2e^−√ε = −²_e + 2. _ε→

I2 = 1+∞ e√−√xx dx = b_→lim+_∞1 Z1b e√−√xx dx = b_→lim+_∞−2e−√_xb1

Z

= lim+ −2e−√b + 2e−√ = 0 + 2e = 2e. b→ ∞

Suy ra

Z

+

∞

0

e

−

√

x

√

x

dx

=

−

2

e

+2+

2

e

=2

.

O

x

y

f

(

x

)=

e

−

√

x

√

x

Ví dụ 25. Tính tích phân suy rộng sau:

Giải:

(Gợi ý: Đổi biến sau đó tích phân từng phần.) Ta có

.

Trước hết ta tính tích phân bất định sau:

dx

Z

e

−

3

√

x

3

√

x

Đặt t = √³ x suy ra t³ = x, suy ra 3t²dt = dx. Tích phân trên trở thành



du = dt



Đặtsuy ra. Theo công thức tích phân từng phần ta có:

v = −e−t

Z te−^t dt = −te−^t + Z e−^tdt = −te−^t − e−^t + C.

Do đó

Từ đó

e

và

Vậy

.

O

x

y

f

(

x

)=

e

−

3

√

x

3

√

x

Ví dụ 26. Tính tích phân suy rộng sau

Giải: Ta có

Xét tính phân thứ nhất ta có

(tích phân từng phần)

.

Chú ý rằng

.

Xét tích phân thứ hai

.

Vậy tích phân phân kỳ nên tích phân phân kỳ.

Ví dụ 27. Tính tích phân:

Giải: Hàm liên tục trên [0,4) và gián đoạn tại 4. Ta có

2.2 Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân sau Ví dụ 28. Xét sự hội tụ của tích phân:

.

Gợi ý: Khai triển Taylor ta được trong lân cận điểm 0

Mà tích phân hội tụ nên tp ban đầu hội tụ.

Ví dụ 29. Xét sự hội tụ của tích phân:

Giải: Dễ thấy. Ta có

.

Mà tích phân phân kỳ nên tích phân đã cho phân kỳ.

Ví dụ 30. Xét sự hội tụ của tích phân:

Giải

Đặt. Xét

Mà tích phân phân kỳ nên tích phân phân kỳ.

Ví dụ 31. Xét sự hội tụ của tích phân:

Giải

Đặt. Xét

Mà tích phân HT nên tích phân ban đầu hội tụ.

Ví dụ 32. Xét sự hội tụ của tích phân:

ĐS: HT

Gợi ý:

Ta có

Mà tích phân hội tụ nên tích phân

hội tụ. Suy ra tích phân ban đầu

hội tụ.

Ví dụ 33. Xét sự hội tụ của tích phân sau

Giải:

Với x ≥ 1 ta có

.

Mà

hội tụ nên tích phânhội tụ tuyệt đối. Suy ra tích phân ban đầu hội tụ. Ví dụ 34. Xét sự hội tụ của tích phân sau

1. ĐS: Hội tụ, so sánh với .
2. ĐS: phân kỳ, so sánh trực tiếp với.
3. . ĐS: Hội tụ.

Gợi ý:

.

1. Hội tụ, ss với

Gợi ý:

Ví dụ 35. Xét sự hội tụ của tích phân sau

Giải: Bằng cách sử dụng quy tắc L’Hospital p+1 lần ta có.

Mà tích phân hội tụ nên tích phân ban đầu hội tụ.

Ví dụ 36. Xét sự hội tụ của tích phân sau

Giải

Ta có. Ta lại có

.

Mà tích phân hội tụ nên tích phân hội tụ. Suy ra tích phân

hội tụ vì trong đó tích phân thứ nhất là tích phân xác định, còn tích phân thứ hai hội tụ. Ví dụ 37. Xét sự hội tụ của tích phân sau

Sử dụng vô cùng bé tương đương ta có

.

Do đó x = 0 không phải điểm kỳ dị của hàm nên tích phân đang xét chỉ là tích phân suy rộng cận vô hạn. Ta lại có

.

Mà tích phân phân kỳ nên tích phân phân kỳ nên phân kỳ.

Ví dụ 38. Xét sự hội tụ của tích phân sau

Gợi ý: Phân kỳ, so sánh với hàm.

Ví dụ 39. Xét sự hội tụ của tích phân sau

ĐS:

• α > 1 hội tụ
• α ≤ 1 phân kỳ

Ví dụ 40. Xét sự hội tụ của tích phân sau

.

ĐS:

1. α = 1:
   • p > 1 hội tụ
   • p ≤ 1 phân kỳ
2. α > ^[1] tích phân hội tụ với mọi p.
3. α < 1 tích phân phân kỳ với mọi p. Ví dụ 41. Xét sự hội tụ của tích phân sau

1.

HT, so sánh trực tiếp với hàm.

2. HT, so sánh trực tiếp với hàm . 3. HT, so sánh trực tiếp .

1. phân kỳ.

Gợi ý: Tại x = 0 hàm không bị chặn. Tuy nhiên tại x = 1, ta có

.

Nên tích phân đã cho chỉ suy rộng tại đầu mút x = 0. Ta có

trong đó tích phân thứ nhất là tích phân xác định thông thường còn tích phân thứ 2 là

tích phân suy rộng tại cận dưới x = 0 và hàm trên khoảng [0,1/e]. Đặt

ta có

.

Mà tích phân phân kỳ nên tích phân . Vậy tích phân ban đầu phân kỳ.

1. ₂ phân kỳ.

− x

Gợi ý:Tại x = 0 hàm không bị chặn. Tuy nhiên tại x = 1, ta có

.

Nhận xét rằng f(x) < 0 trên khoảng (0,1]. Nên ta có ước lượng sau

khi x → 0+ với mọi α > 0. Vì vậy, để cho đơn giản và dễ làm ta chọn α = 1/2. Đặt . Do tích phân hội tụ nên tích phân hội tụ nên tích phân

x

1

2

3

y

−

2

−

1

1

f

(

x

)=

ln

x

1

−

x

2

Ví dụ 42. Sử dụng tiêu chuẩn so sánh qua giới hạn, xét sự hội tụ của các tích phân sau

• 1. HT, so sánh với hàm.
  2. HT, so sánh với hàm. 3. phân kỳ, so sánh với hàm .

4. phân kỳ, so sánh với hàm . 5. HT, so sánh với hàm.

1. HT, so sánh với hàm .

Ví dụ 43. Xét sự hội tụ của tích phân sau

Giải

.

Ta có nên tích phân thứ nhất chỉ là tích phân xác định thông thường. Xét tích phân thứ hai ta có:

khi x → 1 + .

Mà tích phân phân kỳ nên tích phân ban đầu phân kỳ.

Ví dụ 44. Xét sự hội tụ của tích phân sau

Giải

Xét tại hai đầu mút, ta có

1. Tại
   • α > −1 tích phân hội tụ.
   • α ≤ −1 tích phân phân kỳ.
2. Tại hội tụ.

Kết luận

• α > −1 tích phân hội tụ.
• α ≤ −1 tích phân phân kỳ.

Ví dụ 45. Xét sự hội tụ của tích phân sau

Ví dụ 46. Xét sự hội tụ của tích phân sau

Giải

Ta có

.

• Với I₁, đặt. Ta có

.

Mà tích phân hội tụ (α = 1/3 < 1) nên I₁ hội tụ.

• Với I₂, đặt. Ta có

.

Mà tích phân hội tụ (α = 5/3 > 1) nên I₂ hội tụ.

Vậy hội tụ.

Ví dụ 47. Xét sự hội tụ của tích phân sau

Gợi ý: Làm tương tự câu trên

Ví dụ 48. Xét sự hội tụ của tích phân sau

.

Nhận xét: Hàm dưới dấu tích phân không bị chặn khi x → 0+ và theo công thức khai triển Maclaurin ta có:

e^x − e−^x = 1 + x + o(x) − (1 − x + o(x)) = 2x + o(x).

Điều này gợi ý ta chọn hàm. Vì vậy ta có thể giải bài toán trên như sau:

Giải:

Đặt . Ta có

Mà tích phân hội tụ nên tích phân hội tụ.

Các em sửa lại các lỗi sai nếu phát hiện. Một số ví dụ liên quan đến tham số và các ví dụ 16,17 có thể bỏ qua khi ôn tập (nếu không hiểu).

Bản thảo còn nhiều lỗi, các em sử dụng cá nhân không post lên mạng nhé!

3 Bài tập tích phân suy rộng

Câu 1. Tính các tích phân suy rộng sau nếu nó hội tụ.

1. Z ¹ x^α lnxdx; 8. ; ;

0

1. ; 9. ; ;

3.;; 17. Z ¹ xlnxdx;

0

1. ; ; ;
2. ; ; ;
3. ; ; ;
4. ; ; ;

; ; ;

−

; ; ;

; ; ;

50.

Z

5

1

1

2

x

+

√

x

−

1+2

dx

;;

53.

Z

+

∞

√

e

arctan(2ln

x

)

x

(1+4

ln

2

x

)

dx

Z

55.

Z

+

∞

1

1

x

√

1+

x

dx

43.

Z

1

0

ln

2

x

√

x

dx

;

; 39. Z√422 1√x2 − 2dx;

(x − 1)

; ;

;

; ;

;

; 42. +∞ 2 1 dx;

3 x − x − 2 ;

; ;

;

;; ; ; ;

; 46. Z0¹(3x² + 8x − 3)lnxdx; ;

; ; ;

Câu 2. Xét sự hội tụ phân kỳ của các tích phân suy rộng sau:

1. ; 7. ; ;

;

;

2.

Z

π/

4

0

ln(1+

x

)

3

√

π

2

−

16

x

2

√

sin

x

dx

;

3.

Z

1

0

√

x

√

1

−

x

2

dx

;

4.

Z

1

0

cos

2

x

3

√

1

−

x

2

dx

;

8.

Z

√

2

/π

0

1

x

3

cos

1

x

2

dx

;

9.

Z

1

0

x

2

3

√

1

−

x

2

dx

;

10.

Z

1

0

ln(1

−

x

)

dx

;

;

0

1. ; ; ;
2. ; ; ;

; ; ;

19.

Z

1

0

1

3

p

x

(

e

x

−

e

−

x

)

dx

20.

Z

3

0

ln(1+

5

√

x

2

)

e

tan

x

−

1

dx

;

21.

Z

1

/

2

0

arcsin(

x

2

+

x

3

)

x

ln

2

(1+

x

)

dx

;

22.

Z

π

0

sinh

x

e

x

2

−

cos

x

dx

23.

Z

1

0

1

5

√

1

−

x

10

dx

24.

Z

2

0

s

16+

x

4

16

−

x

4

dx

;

27.

Z

1

0

e

2

x

−

cos

x

sin

x

−

x

dx

;

28.

Z

1

/

3

0

arcsin(2

x

+

x

2

)

x

2

ln

2

(1+

x

2

)

dx

;

29.

Z

1

0

x

+

sinh

x

e

x

2

−

cos

x

dx

30.

Z

2

0

sin(1

−

x

2

)

(1

−

x

2

)

2

+

3

√

1

−

x

2

dx

;

;

34.

Z

π/

4

0

e

−

2

x

−

cos2

x

x

3

/

2

sin2

x

dx

;

;

; ;

; ;

Câu 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng cận vô hạn sau.

1. ; 14. ;
2. ; 15. ;
3. ; 16. ;
4. ; 17. ;
5. ; 18. ;
6. ; 19. ;
7. Z1+∞ √x +1cos2 xdx; 20. ;
8. ; 21. ; 9. ; 22. ;

; 23. ;

; 24. ;

; 25. ;

; 26. ;

; 39. ;

; 40. ;

; 41. ;

; 42. ; ; 43. ;

Z

+

∞

2

√

x

sin

2

(

x

2

+2)

3

√

x

5

+

x

3

+15

dx

32. Z2+∞ √3 x2 +1cos2 2xdx; 44. ;

45. ;

33.

Z

+

∞

1

x

arccos(1

/x

2

)

6

√

x

13

+2

x

7

+4

x

+1

dx

;

34.

Z

+

∞

0

3

√

x

2

+3

x

+7

4

√

x

3

+8

x

+17

dx

;

;

46.;

47. ;

; 48. ;

;

49.

Z

+

∞

0

1

2

√

x

+3

cos

x

dx

;

50.

Z

+

∞

4

2

x

3

+

p

(

x

3

+1)

3

3

x

5

3

p

(

x

2

+1)

dx

;

;

Yêu cầu:

• Học thuộc bảng nguyên hàm cơ bản .
• Đọc lý thuyết trong slide bài giảng hoặc giáo trình.
• Một số ví dụ khó, ví dụ có tham số sẽ không thi (có thể bỏ qua nếu không hiểu)
• Mỗi bài làm ÍT NHẤT 25 câu vào vở.

1. Z0 −f(x)dx hội tụ. Vậy tích phân ban đầu hội tụ. ↑