Bài tập số 4: tích phân suy rộng
Bài tập số 4: tích phân suy rộng
Trường: Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng 410 tài liệu
Tác giả:
Preview text:
1 Tóm tắt lý thuyết
Tích phân 
được gọi là suy rộng nếu ít nhất một trong các điều sau xảy ra:
- a = −∞ hoặc b = +∞ hoặc cả hai.
- hàm f(x) không bị chặn tại một hoặc nhiều điểm (cô lập) thuộc đoạn [a,b].
1.1 Tích phân suy rộng cận vô hạn
Định nghĩa 1 (Tích phân suy rộng loại I). Hiểu một cách đơn giản như sau (bỏ qua một số giả thiết):
- Z +∞ f(x)dx = lim+ Z b f(x)dx
- b→ ∞ a
- b
- f(x)dx = lim Z f(x)dx
Z
a→−∞ a −∞
- Z +∞ f(x)dx = Z c f(x)dx + Z +∞ f(x)dx
−∞ −∞ c
Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ. Ngược lại, ta nói tích phân phân kỳ (Tức là nếu giới hạn trên không tồn tại hoặc bằng ±∞ thì ta nói tích phân phân kỳ).
Ví dụ 1. Hãy chỉ ra
phân kỳ.
Định lý 1 (Dấu hiệu so sánh I- So sánh trực tiếp). Cho hàm số f(x),g(x) liên tục trên [a,+∞) và 0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a,+∞). Khi đó:
i. Nếu 
hội tụ thì 
hội tụ. ii. Nếu 
phân kỳ thì 
phân kỳ.
Định lý 2 (Dấu hiệu so sánh II- So sánh qua giới hạn). Cho hàm số f(x),g(x) liên tục trên [a,+∞) và 0 ≤ f(x),g(x), ∀x ∈ [a,+∞). Giả sử
Khi đó:
- Nếu
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. - Nếu
hội tụ thì 
hội tụ. - Nếu
phân kỳ thì 
phân kỳ.
1.2 Tích phân suy rộng của hàm không bị chặn
Định nghĩa 2 (Tích phân suy rộng loại II). Cho a và b là các số thực hữu hạn.
b
- Giả sử tích phânf(x)dx tồn tại hữu hạn với mọi t ∈ (a,b] và f không bị chặn tại a
Z
t
(nghĩa là |f(x)| → ∞ khi x → a+). Khi đó ta định nghĩa
nếu giới hạn trên tồn tại. Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn ta nói tích phân suy rộng loại II hội tụ, ngược lại ta nói nó phân kỳ.
b
- Giả sử tích phânf(x)dx tồn tại hữu hạn với mọi t ∈ [a,b) và f không bị chặn tại b
Z
t
(nghĩa là |f(x)| → ∞ khi x → b−). Khi đó ta định nghĩa
nếu giới hạn trên tồn tại. Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn ta nói hữu hạn ta nói tích phân suy rộng loại II hội tụ, ngược lại ta nói nó phân kỳ.
- Giả sử f không bị chặn tại điểm c với a < c < b và các tích phân
tồn tại với mọi 0 < ε < c − a và 0 < η < b − c. Khi đó ta định nghĩa:
nếu các giới hạn trên tồn tại. Nếu cả hai giới hạn ở vế phải tồn tại hữu hạn thì ta nói 
hội tụ, ngược lại ta nói tích phân phân kỳ.
Định lý 3 (Dấu hiệu so sánh I- So sánh trực tiếp). Giả sử f(x),g(x) là hai hàm khả tích trên 
bé tùy ý, có giới hạn bằng vô cùng tại x = b và giả sử 0 ≤ f(x) ≤ g(x) với mọi x ∈ [a,b). Khi đó
- Nếu
hội tụ thì
hội tụ. - Nếu
phân kỳ thì
phân kỳ.
- Nếu
Định lý 4 (Dấu hiệu so sánh II- So sánh qua giới hạn). Giả sử f(x),g(x) là hai hàm khả tích trên 
bé tùy ý, có giới hạn bằng vô cùng tại x = b, không âm với mọi x ∈ [a,b) và giả sử
. Khi đó
- Nếu
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. - Nếu
hội tụ thì
hội tụ. - Nếu
phân kỳ thì
phân kỳ.
- Nếu
Ví dụ 2. Xét sự hội tụ của tích phân
Ta thấy đây là tích phân suy rộng loại II.
Cách 1
Xét
. Ta có f,g ≥ 0 và
√2 √2
Z
nên hai tích phânf(x)dx và Z g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Mà
1 1
phân kỳ nên tích phân
phân kỳ.
Cách 2. Cách 1 không cho chúng ta biết tại sao lại chọn hàm g như vậy. Cách sau sẽ phân tích bản chất của hàm f trong lân cận điểm 1 từ đó sẽ nhìn thấy cách chọn hàm g ở trên. Khi x → 1+ ta có:
.
Mà tích phân
phân kỳ nên tích phân ban đầu phân kỳ.
(Giải thích thêm việc phân tích trên tương đương với việc chọn hàm 
Ví dụ 3. Xét sự hội tụ của tích phân
Làm tương tự như ví dụ trên ta được tích phân hội tụ (hàm g trong trường hợp này là
Ví dụ 4. Xét sự hội tụ của tích phân
Cách 1. Dùng dấu hiệu so sánh qua giới hạn với hàm(làm tương tự như ví dụ trên).
Cách 2. Ta sẽ phân tích dáng điệu hàm
khi x → 1+. Ta có:
Mà tích phân
hội tụ nên tích phân suy rộng ban đầu hội tụ.
Chú ý 1. Nhiều bạn mắc sai lầm khi khai triển Taylor hàm 
tại điểm x0 = 1.
Ví dụ 5. Xét sự hội tụ của tích phân sau
.
ĐS: Hội tụ (tuyệt đối).
2 Bài tập tích phân suy rộng
2.1 Tính tích phân sau
Ví dụ 6. Tính tích phân suy rộng sau
Theo đn ta có
.
Xét
Cách 1. Đặt u = √x3 + 1 ta có
Chú ý 2. Ta có thể làm theo nhiều cách khác nhau, chẳng hạn đặt
u = x3 + 1.
Ví dụ 7. Tính tích phân suy rộng sau
.
Giải:
Ví dụ 8. Tính tích phân suy rộng sau
.
Theo đn ta có
.
Xét
Đặt u = √x + 3, suy ra u2 = x + 3,2udu = dx. Ta có
Ta phân tích
.
Suy ra đồng nhất thức
2u ≡ A(u + 1)2 + B(u − 1)(u + 1) + C(u − 1) . (*)
Để tính các hệ số A,B,C ta có thể dùng phương pháp hệ số bất định hoặc chọn các giá trị đặt biệt của u. Ta sẽ làm theo cách thứ hai. Từ đồng nhất thức (∗) lần lượt cho u = 1,−1,0 ta được:
u = 1 : 2 = 4A + 0 + 0 ⇒ .
A
=
1
2
⇒
C
=1
.
−
1
2
−2 = 0 + 0 − 2C
1
= 0 : 0 = A − B − C ⇒ B = A − C = 2 − 1 = .
Chú ý 3. Đây chỉ là một cách làm. Ta cũng có thể đổi biến theo cách khác miễn là kết quả vẫn đúng.
Ví dụ 9. Tính tích phân suy rộng sau
.
Theo đn ta có
.
Xét
Đặt u = √x + 5, suy ra u2 = x + 5,2udu = dx. Ta có
Ta phân tích
.
Suy ra đồng nhất thức
2u ≡ A(u + 2)2 + B(u − 2)(u + 2) + C(u − 2) . (*)
Từ đồng nhất thức (∗) lần lượt cho u = 2,−2,0 ta được:
u = 2 : 4 = 16A + 0 + 0.
⇒
A
=
1
4
⇒
C
=1
.
4
A
−
2
C
4
=
1
−
2
4
=
−
1
4
−4 = 0 + 0 − 4C
= 0 : 0 = 4A − 4B − 2C ⇒ B =.
Ví dụ 10. Tính tích phân suy rộng sau
.
Theo đn ta có
.
Xét
x | 5 | b |
u | 3 | √b2 + 4 |
Đặt u = √x2 + 4, suy ra u2 = x2 + 4,udu = xdx. √
Ta có
Ta phân tích
.
Suy ra đồng nhất thức
u ≡ A(u + 2)2 + B(u − 2)(u + 2) + C(u − 2) . (*)
Từ đồng nhất thức (∗) lần lượt cho u = 2,−2,0 ta được:
u = 2 : 2 = 16A + 0 + 0
⇒
A
=
1
8
.
⇒
C
=
1
2
.
⇒
B
=
4
A
−
2
C
4
=
1
/
2
−
1
4
=
−
1
8
.
−2 = 0 + 0 − 4C
= 0 : 0 = 4A − 4B − 2C
Ví dụ 11. Tính tích phân suy rộng sau
.
Cách làm tương tự mấy câu trước.
ĐS: 
+ 
Ví dụ 12. Tính các tích phân sau
1.
2..
3.
4.
Ví dụ 13. Tính các tích phân sau
1..
2.
ĐS: (Sử dụng tích phân từng phần)
1..
2.
Giải
1. Xét tích phân bất định I = Z e−ax cosbxdx, (a > 0,b 6= 0). Sử dụng tích phân từng phần
đặt u = cosbx,dv = e−axdx, suy ra
, ta có
Tiếp tục sử dụng công thức tích phân từng phần một lần nữa. Đặt u = bsinbx,dv =
, suy ra
ta được
) dx
Suy ra
The định nghĩa ta có
.
Chú ý: Để tính giới hạn trên ta có sử dụng định lý kẹp (tự làm).
Ví dụ 14. Tính các tích phân sau
1.
2.
3.
Ví dụ 15. Tính tích phân sau
.
Ví dụ 16 (?). Tính tích phân sau
Giải
Do đó
Ví dụ 17 (?). Tính tích phân sau:
Giải 
. Trước hết ta chứng minh hai tích phân
Xét
. Khi đó, ta có
.
Mà tích phân
hội tụ nên tích phân I2 hội tụ.
Tương tự ta có
.
Mà tích phân
hội tụ nên tích phân I1 hội tụ.
Đổi biến
ta có
.
Vậy
Tổng quát hơn ta có:
Z
∞
0
ln(
x
)
dx
x
2
+
a
2
=
π
ln(
a
)
2
a
,
(
a>
0)
.
Thật vậy
.
Ví dụ 18 (?). Tính tích phân sau
(Sử dụng tc:
Suy ra
π
Z
Z
I =ln(sinx)dx (1)
0
π/2 π
=ln(sinx)dx + Z ln(sinx)dx (2)
0 π/2
Từ (1) bằng cách đổi biến x = 2t ta có
Từ (2) bằng cách đổi biến t = π − x ở tích phân thứ 2 ta có
(4)
Từ đó suy ra
π/2
Z
0 lnsin(2x)dx = −(π/2)ln2 ⇒ I = −π ln2
Ví dụ 19. Tính tích phân sau
.
Giải:
Đặt
,
x | 1 | b |
t | 1 | 1/b |
ta có
Cách 2. Ta cũng có thể làm trực tiếp như sau: Đặt 
,
x | 1 | +∞ |
t | 1 | 0 |
ta có
Ví dụ 20. Tính tích phân sau
. Ta có
Suy ra
Vậy 
.
Ví dụ 21. Tính tích phân
.
Giải:
Chú ý rằng tích phân suy rộng là tích phân suy rộng cả hai loại (cận vô hạn và hàm không bị chặn tại 0). Ta tách ra như sau
.
Xét nguyên hàm
Đặt
. Khi đó
Ta có
Vậy
x
1
2
3
y
1
2
3
f
(
x
)=
1
√
x
(
x
+1)
Ví dụ 22. Tính tích phân suy rộng sau:
.
Giải:
Xét nguyên hàm
− Đặt u = √x2 − 4 ⇒ u2 = x2 − 4 ⇒ udu = xdx. Khi đó
Chú ý rằng tích phân suy rộng là tích phân suy rộng cả hai loại (cận vô hạn và hàm không bị chặn tại 2). Ta tách ra như sau
.
Ta có
.
2
Vậy
Z
+
∞
2
dx
x
√
x
2
−
4
=
1
2
arctan
√
5
2
+
π
4
−
1
2
arctan
√
5
2
=
π
4
.
x
1
2
3
4
5
y
1
3
f
(
x
)=
1
x
√
x
2
−
4
Chú ý 4. Nếu ta tách
.
thì kết quả tính toán sẽ nhanh gọn hơn (Hãy thử xem!!!) Ví dụ 23. Tính tích phân suy rộng sau:
ĐS:
Ví dụ 24. Tính tích phân suy rộng sau:
Giải: Ta có
.
Dễ thấy rằng
Suy ra
1 e−√x 1 e−√x √x 1
Z
I1 =0 √x dx = ε→lim0+ Zε √x dx = ε→lim0+ −2e− ε
= lim0+ −2e−√1 + 2e−√ε = −2e + 2. ε→
I2 = 1+∞ e√−√xx dx = b→lim+∞1 Z1b e√−√xx dx = b→lim+∞−2e−√xb1
Z
= lim+ −2e−√b + 2e−√ = 0 + 2e = 2e. b→ ∞
Suy ra
Z
+
∞
0
e
−
√
x
√
x
dx
=
−
2
e
+2+
2
e
=2
.
O
x
y
f
(
x
)=
e
−
√
x
√
x
Ví dụ 25. Tính tích phân suy rộng sau:
Giải:
(Gợi ý: Đổi biến sau đó tích phân từng phần.) Ta có
.
Trước hết ta tính tích phân bất định sau:
dx
Z
e
−
3
√
x
3
√
x
Đặt t = √3 x suy ra t3 = x, suy ra 3t2dt = dx. Tích phân trên trở thành
du = dt
Đặtsuy ra. Theo công thức tích phân từng phần ta có:
v = −e−t
Z te−t dt = −te−t + Z e−tdt = −te−t − e−t + C.
Do đó
Từ đó
e
và
Vậy
.
O
x
y
f
(
x
)=
e
−
3
√
x
3
√
x
Ví dụ 26. Tính tích phân suy rộng sau
Giải: Ta có 
Xét tính phân thứ nhất ta có
(tích phân từng phần)
.
Chú ý rằng
.
Xét tích phân thứ hai
.
Vậy tích phân 
phân kỳ nên tích phân 
phân kỳ.
Ví dụ 27. Tính tích phân:
Giải: Hàm
liên tục trên [0,4) và gián đoạn tại 4. Ta có
2.2 Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân sau Ví dụ 28. Xét sự hội tụ của tích phân:
.
Gợi ý: Khai triển Taylor ta được trong lân cận điểm 0
Mà tích phân
hội tụ nên tp ban đầu hội tụ.
Ví dụ 29. Xét sự hội tụ của tích phân:
Giải: Dễ thấy
. Ta có
.
Mà tích phân
phân kỳ nên tích phân đã cho phân kỳ.
Ví dụ 30. Xét sự hội tụ của tích phân:
Giải
Đặt
. Xét
Mà tích phân
phân kỳ nên tích phân
phân kỳ.
Ví dụ 31. Xét sự hội tụ của tích phân:
Giải
Đặt
. Xét
Mà tích phân
HT nên tích phân ban đầu hội tụ.
Ví dụ 32. Xét sự hội tụ của tích phân:
ĐS: HT
Gợi ý:
Ta có
Mà tích phân
hội tụ nên tích phân
hội tụ. Suy ra tích phân ban đầu
hội tụ.
Ví dụ 33. Xét sự hội tụ của tích phân sau
Giải:
Với x ≥ 1 ta có
.
Mà
hội tụ nên tích phân
hội tụ tuyệt đối. Suy ra tích phân ban đầu hội tụ. Ví dụ 34. Xét sự hội tụ của tích phân sau
ĐS: Hội tụ, so sánh với 
.
ĐS: phân kỳ, so sánh trực tiếp với
.
. ĐS: Hội tụ.
Gợi ý:
.
- Hội tụ, ss với
Gợi ý:
Ví dụ 35. Xét sự hội tụ của tích phân sau
Giải: Bằng cách sử dụng quy tắc L’Hospital p+1 lần ta có
.
Mà tích phân
hội tụ nên tích phân ban đầu hội tụ.
Ví dụ 36. Xét sự hội tụ của tích phân sau
Giải
Ta có
. Ta lại có
.
Mà tích phân
hội tụ nên tích phân
hội tụ. Suy ra tích phân
hội tụ vì 
trong đó tích phân thứ nhất là tích phân xác định, còn tích phân thứ hai hội tụ. Ví dụ 37. Xét sự hội tụ của tích phân sau
Sử dụng vô cùng bé tương đương ta có
.
Do đó x = 0 không phải điểm kỳ dị của hàm
nên tích phân đang xét chỉ là tích phân suy rộng cận vô hạn. Ta lại có
.
Mà tích phân
phân kỳ nên tích phân
phân kỳ nên 
phân kỳ.
Ví dụ 38. Xét sự hội tụ của tích phân sau
Gợi ý: Phân kỳ, so sánh với hàm
.
Ví dụ 39. Xét sự hội tụ của tích phân sau
ĐS:
- α > 1 hội tụ
- α ≤ 1 phân kỳ
Ví dụ 40. Xét sự hội tụ của tích phân sau
.
ĐS:
- α = 1:
- p > 1 hội tụ
- p ≤ 1 phân kỳ
- α > [1] tích phân hội tụ với mọi p.
- α < 1 tích phân phân kỳ với mọi p. Ví dụ 41. Xét sự hội tụ của tích phân sau
1. 
HT, so sánh trực tiếp với hàm
.
2. 
HT, so sánh trực tiếp với hàm 
. 3. 
HT, so sánh trực tiếp 
.
phân kỳ.
Gợi ý: Tại x = 0 hàm
không bị chặn. Tuy nhiên tại x = 1, ta có
.
Nên tích phân đã cho chỉ suy rộng tại đầu mút x = 0. Ta có
trong đó tích phân thứ nhất là tích phân xác định thông thường còn tích phân thứ 2 là
tích phân suy rộng tại cận dưới x = 0 và hàm
trên khoảng [0,1/e]. Đặt
ta có
.
Mà tích phân
phân kỳ nên tích phân . Vậy tích phân ban đầu phân kỳ.
2 phân kỳ.
− x
Gợi ý:Tại x = 0 hàm
không bị chặn. Tuy nhiên tại x = 1, ta có
.
Nhận xét rằng f(x) < 0 trên khoảng (0,1]. Nên ta có ước lượng sau
khi x → 0+ với mọi α > 0. Vì vậy, để cho đơn giản và dễ làm ta chọn α = 1/2. Đặt 
. Do tích phân
hội tụ nên tích phân
hội tụ nên tích phân
x
1
2
3
y
−
2
−
1
1
f
(
x
)=
ln
x
1
−
x
2
Ví dụ 42. Sử dụng tiêu chuẩn so sánh qua giới hạn, xét sự hội tụ của các tích phân sau
HT, so sánh với hàm
.- HT, so sánh với hàm
. 3. phân kỳ, so sánh với hàm 
.
4. phân kỳ, so sánh với hàm 
. 5. HT, so sánh với hàm
.
- HT, so sánh với hàm
.
Ví dụ 43. Xét sự hội tụ của tích phân sau
Giải
.
Ta có
nên tích phân thứ nhất chỉ là tích phân xác định thông thường. Xét tích phân thứ hai ta có:
khi x → 1 + .
Mà tích phân
phân kỳ nên tích phân ban đầu phân kỳ.
Ví dụ 44. Xét sự hội tụ của tích phân sau
Giải
Xét tại hai đầu mút, ta có
- Tại
- α > −1 tích phân
hội tụ. - α ≤ −1 tích phân
phân kỳ.
- α > −1 tích phân
- Tại
hội tụ.
Kết luận
- α > −1 tích phân
hội tụ. - α ≤ −1 tích phân
phân kỳ.
Ví dụ 45. Xét sự hội tụ của tích phân sau
Ví dụ 46. Xét sự hội tụ của tích phân sau
Giải
Ta có
.
- Với I1, đặt
. Ta có
.
Mà tích phân
hội tụ (α = 1/3 < 1) nên I1 hội tụ.
- Với I2, đặt
. Ta có
.
Mà tích phân
hội tụ (α = 5/3 > 1) nên I2 hội tụ.
Vậy
hội tụ.
Ví dụ 47. Xét sự hội tụ của tích phân sau
Gợi ý: Làm tương tự câu trên
Ví dụ 48. Xét sự hội tụ của tích phân sau
.
Nhận xét: Hàm dưới dấu tích phân không bị chặn khi x → 0+ và theo công thức khai triển Maclaurin ta có:
ex − e−x = 1 + x + o(x) − (1 − x + o(x)) = 2x + o(x).
Điều này gợi ý ta chọn hàm
. Vì vậy ta có thể giải bài toán trên như sau:
Giải:
Đặt
. Ta có
Mà tích phân
hội tụ nên tích phân
hội tụ.
Các em sửa lại các lỗi sai nếu phát hiện. Một số ví dụ liên quan đến tham số và các ví dụ 16,17 có thể bỏ qua khi ôn tập (nếu không hiểu).
Bản thảo còn nhiều lỗi, các em sử dụng cá nhân không post lên mạng nhé!
3 Bài tập tích phân suy rộng
Câu 1. Tính các tích phân suy rộng sau nếu nó hội tụ.
Z 1 xα lnxdx; 8. 
; ;
0
; 9. 
; 
;
3.;; 17. Z 1 xlnxdx;
0
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
;
−
; 
; 
;
; 
; ;
50.
Z
5
1
1
2
x
+
√
x
−
1+2
dx
;;
53.
Z
+
∞
√
e
arctan(2ln
x
)
x
(1+4
ln
2
x
)
dx
Z
55.
Z
+
∞
1
1
x
√
1+
x
dx
43.
Z
1
0
ln
2
x
√
x
dx
;
; 39. Z√422 1√x2 − 2dx;
(x − 1)
; 
;
;
; ;
;
; 42. +∞ 2 1 dx;
3 x − x − 2 ;
; ;
;
;; 
; 
; 
;
; 46. Z01(3x2 + 8x − 3)lnxdx; 
;
; 
; 
;
Câu 2. Xét sự hội tụ phân kỳ của các tích phân suy rộng sau:
1. 
; 7. 
; 
;
;
;
2.
Z
π/
4
0
ln(1+
x
)
3
√
π
2
−
16
x
2
√
sin
x
dx
;
3.
Z
1
0
√
x
√
1
−
x
2
dx
;
4.
Z
1
0
cos
2
x
3
√
1
−
x
2
dx
;
8.
Z
√
2
/π
0
1
x
3
cos
1
x
2
dx
;
9.
Z
1
0
x
2
3
√
1
−
x
2
dx
;
10.
Z
1
0
ln(1
−
x
)
dx
;
;
0
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
;
19.
Z
1
0
1
3
p
x
(
e
x
−
e
−
x
)
dx
20.
Z
3
0
ln(1+
5
√
x
2
)
e
tan
x
−
1
dx
;
21.
Z
1
/
2
0
arcsin(
x
2
+
x
3
)
x
ln
2
(1+
x
)
dx
;
22.
Z
π
0
sinh
x
e
x
2
−
cos
x
dx
23.
Z
1
0
1
5
√
1
−
x
10
dx
24.
Z
2
0
s
16+
x
4
16
−
x
4
dx
;
27.
Z
1
0
e
2
x
−
cos
x
sin
x
−
x
dx
;
28.
Z
1
/
3
0
arcsin(2
x
+
x
2
)
x
2
ln
2
(1+
x
2
)
dx
;
29.
Z
1
0
x
+
sinh
x
e
x
2
−
cos
x
dx
30.
Z
2
0
sin(1
−
x
2
)
(1
−
x
2
)
2
+
3
√
1
−
x
2
dx
;
;
34.
Z
π/
4
0
e
−
2
x
−
cos2
x
x
3
/
2
sin2
x
dx
;
;
; ;
; ;
Câu 3. Xét sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng cận vô hạn sau.
; 14. 
;
; 15. 
;
; 16. 
;
; 17. 
;
; 18. 
;
; 19. 
;- Z1+∞ √x +1cos2 xdx; 20.
; 
; 21. 
; 9. 
; 22. 
;
; 23. 
;
; 24. 
;
; 25. 
;
; 26. 
;
; 39. 
;
; 40. 
;
; 41. 
;
; 42. ; 
; 43. 
;
Z
+
∞
2
√
x
sin
2
(
x
2
+2)
3
√
x
5
+
x
3
+15
dx
32. Z2+∞ √3 x2 +1cos2 2xdx; 44. 
;
45. 
;
33.
Z
+
∞
1
x
arccos(1
/x
2
)
6
√
x
13
+2
x
7
+4
x
+1
dx
;
34.
Z
+
∞
0
3
√
x
2
+3
x
+7
4
√
x
3
+8
x
+17
dx
;
;
46.;
47. 
;
; 48. 
;
;
49.
Z
+
∞
0
1
2
√
x
+3
cos
x
dx
;
50.
Z
+
∞
4
2
x
3
+
p
(
x
3
+1)
3
3
x
5
3
p
(
x
2
+1)
dx
;
;
Yêu cầu:
- Học thuộc bảng nguyên hàm cơ bản .
- Đọc lý thuyết trong slide bài giảng hoặc giáo trình.
- Một số ví dụ khó, ví dụ có tham số sẽ không thi (có thể bỏ qua nếu không hiểu)
- Mỗi bài làm ÍT NHẤT 25 câu vào vở.
Z0 −f(x)dx hội tụ. Vậy tích phân ban đầu hội tụ. ↑