Trang 1
1. M ĐẦU V PHƯƠNG TRÌNH
I. KIN THỨC CƠ BẢN
1. Khái niệm phương trình một n
Phương trình một n
x
là phương trình có dạng
( ) ( )
A x B x=
trong đó
( )
Ax
( )
Bx
các biu thc ca biến
.x
2. Các khái nim khác liên quan
Giá tr
0
x
đưc gi là nghim của phương trình
( ) ( )
A x B x=
nếu đẳng thc
( ) ( )
00
A x B x=
đúng.
Giải phương trình là đi tìm tất c các nghim của phương trình đó.
Tp hp tt c các nghim ca một phươn g trình được gi là tp nghim của phương trình
đó.
Hai phương trình được gi là tương đương nếu chúng có cùng tp nghim.
Chú ý: Hai phương trình cùng vô nghiệm tương đương nhau.
II. BÀI TP
Bài 1: Th xem mi s trong du ngoc có phi là nghim ca phương trình tương ng
hay không?
a)
( )
7; 2xx==
b)
( )
4 1 5 2xx- = -
( )
2; 1xx= - = -
c)
2
2
25
0
10 25
x
xx
-
=
-+
( )
5;x 5x = - =
Bài 2: Chng t các phương trình sau đây vô nghiệm
a)
( ) ( )
( )
( )
32
2
2 2 2 4 6 1x x x x x- = - + + - -
b)
2
4 12 10 0xx- + =
c)
( ) ( )
2000 4
4 2000 3xx- = - - -
Bài 3: Chng t rằng các phương trình sau đây có vô số nghim. Hãy cho biết tp nghim
của phương trình đó.
a)
( )
( )
( ) ( )
3
2
1 1 1 3 1x x x x x x+ + = + +
b)
( )
( )( )
2
2
2
5 5 5x x x

= +

Trang 2
c)
2 1 1 2xx =
Bài 4: Cho phương trình:
( )
( )
( )
3 3 2 1 0x x x+ =
Hãy viết tp nghim S của phương trình trên trong các trường hp sau
a) n
x
ch ly giá tr trên tp hp
¥
.
b) n
x
ch ly giá tr trên tp hp
¢
c) n
x
ch ly giá tr trên tp hp
¤
d) n
x
ch ly giá tr trên tp hp
¡
Bài 5: Trong các cặp phương trình sau, hãy chỉ ra các phương trình tương đương , không
tương đương? Vì sao?
a)
79x +=
22
79x x x+ + = +
b)
( ) ( )
3
3 9 3xx+ = +
( ) ( )
3
3 9 3 0xx+ + =
c)
2
1
7.5 28 0
2
xx + =
2
15 56 0xx + =
d)
2 1 3x −=
( )
2 1 3x x x−=
Bài 6: . Tìm m sao cho phương trình
a)
2 3 9x m x=+
nhn
5x =-
là nghim
b)
2
4 22xm+=
nhn
5x =
là nghim
Bài 7: Giải phương trình
a)
12 6 0x =
b)
2 120 0xx+ + =
c)
5 3xx=-
d)
7 3 9xx=-
e)
52
1 10
93
xx
-
+ = -
f)
( )
2 1 3 2xx+ = +
Bài 8: Xét xem hai phương trình sau có tương đương không?
a)
23
2 3 1x x x x- = + -
1x =-
b)
2
( 3)( 1) 2 5x x x- + = -
2x =
T luyn:
Bài 9: Cho hai phương trình:
2
4 3 0xx + =
( )
1
,
2
3 5 2 0xx + =
( )
2
.
a) Chng minh rằng hai phương trình có nghiệm chung
1x =
.
b) Chng minh rng
3x =
là nghim ca
( )
1
nhưng không là nghiệm ca
( )
2
.
Trang 3
c) Chng minh rng
2
3
x =
là nghim ca
( )
2
nhưng không là nghiệm ca
( )
1
.
d) Hai phương trình đã cho có tương đương với nhau hay không? Vì sao?
Bài 10: Các cặp phương trình sau có tương đương không ? Vì sao ?
a)
22x −=
2 1 7x −=
. b)
10x +=
2
10x −=
.
c)
2 3 0x +=
2
4 12 9 0xx+ + =
. d)
2x =
2
4x =
.
e)
2
2 1 0x +=
2
10x +=
. f)
3
80x −=
24x +=
.
Bài 11: Chng minh rng
3x =
là nghim của phương trình
2 5 6 2mx x m= - +
vi
mi
m
Bài 12: Cho hai phương trình
2
5 6 0x x +=
(1)
( )( )
2 2 1 2x x x+ - + =
(2)
a) Chng minh rằng hai phương trình có nghiệm chung là
2x =
b) Chng minh rng
3x =
là nghim của (1) nhưng không là nghiệm ca (2)
c) Hai phương trình (1) và (2) có tương đương vi nhau không ? Vì sao ?
Bài 13: Chng t các phương trình sau vô nghiệm:
a)
( )
2 3 2 3xx =
; b)
2
10x +=
; c)
21x =
.
Bài 14: Chng t các phương trình sau có vô số nghim:
a)
( )
4 2 3 8x x x =
; b)
( )
2
2
2 1 1x x x =
; c)
( )
2
2
2 4 4x x x+ = + +
.
Bài 15: Giải các phương trình của bài tp 5 và bài tp 10.
III. BÀI TP TRC NGHIM
Câu 1 : Nghim của phương trình
2
1x =
A. 1 B.
1-
C. 1 và
1-
D. Phương trình vô nghiệm
Câu 2 : Trong các s sau s nào là nghim của phương trình
34
10
2
x -
+=
A.
1-
B. 2 C.
2-
D.
3
2
Câu 3 : Tp nghim của phương trình
1 1xx+ = +
A. 1 nghim B. Vô s nghim C. Vô nghim
Trang 4
Câu 4 : Giá tr
1x =-
là nghim của phương trình nào trong các phương trình sau
A.
4 1 3 2xx- = -
B.
( )
1 2 3 xx+ = -
C.
( )
2 1 3 2xx+ + = +
Câu 5: Ni mi ý ct A vi mt ý cột B để đưc kết qu đúng ?
A
B
1)
1x =-
là mt nghim ca PT
1)
( )
3 1 2 1xx- = -
2)
2x =
là mt nghim ca PT
2)
1
1
14
x
x
=-
+
3)
3x =
là mt nghim ca PT
3)
2
0xx+=
1- …; 2 ……; 3 ……
4)
2
0xx-=
Câu 6 : Hãy điền vào ch trống để đưc các khẳng định đúng
a)
34xx+=-
(1) .. 4 3 (2)xÛ ¼ ¼ = - Û = ¼ ¼ ¼ ¼
b)
2
2 3 0xx- - =
( 1)( (1) .) 0 (2)xxÛ + ¼ ¼ = Û = ¼ ¼ ¼
3x =
Câu 7 : Tp nghim của phương trình
26x =
{ }
6S =
A .Đúng B. Sai
Câu 8 :
1x =
2
1x =
là hai phương trình tương đương. A .Đúng B. Sai
KT QU - ĐÁP SỐ
II. BÀI TP T LUN
Bài 1: a)
7; 2xx==
đều là nghim của phương trình đã cho.
b)
2 ; 1xx= - = -
đều không là nghim của phương trình.
c)
5x =
không là nghim của phương trình ,
5x =-
là nghim ca ptrinh.
Bài 2: HD: a) Dùng hằng đẳng thc triển khai ta được
06=-
(vô lý)
Trang 5
b)
( )
2
2
4 12 10 0 2 3 1 0x x x- + = Û - + =
do
( ) ( )
22
2 3 0 2 3 1 0x x x- ³ " Þ - + >
. PTVN
c)
( )
4
2000 3 0x- - - <
;
( )
2000
40x
. T đó suy ra phương trình vô nghiệm.
Bài 3:
a)
3 3 2 2
1 3 3 1 3 3 0 0x x x x x x+ = + + + =
(đúng với mi x) . Tp nghim là
¡
.
b)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
5 5 5 5x x x x = =
(đúng với mi x) .Tp nghim là
¡
.
c) ĐK:
1
1 2 0
2
xx- ³ Û £
. Vi
1
2
x £
thì
2 1 (2 1) 1 2x x x = =
Phương trình trở thành
1 2 1 2xx =
( luôn đúng với mi
1
2
x £
).
Tp nghim:
1
|
2
x R x
ìü
ïï
ïï
Σ
íý
ïï
ïï
îþ
Bài 4: KQ: a)
S =
;
b)
{ }
3S =-
; c)
1
3;
2
S

=−


; d)
1
3; ; 3
2
S

=−


Bài 5: a) Cặp phương trình tương đương là a, b, c
b) Cặp phương trình không tương đương là d.
Bài 6: a)
5x =-
là nghiệm phương trình
2 3 9x m x=+
nên ta có
( ) ( )
2. 5 3 5 9m- = - +
14
10 3 4 3 4 10
3
m m mÛ - - = Û - = + Û =
-
. Kết lun…
b)
5x =
là nghiệm phương trình
2
4 22xm+=
nên ta có
2
4.5 22m+=
2 2 2
20 22 22 20 2 2m m m mÛ + = Û = - Û = Û = ±
. Kết lun.
Bài 7: KQ: a)
2S =
; b)
40S =−
; c)
4S =
; d)
1S =−
; e)
9S =
; f)
S =
Bài 8: KQ: a, b : Hai phương trình không tương đương
T luyn:
Bài 9:
Bài 10:
KQ: a, c, d, e, f là hai phương trình tương đương. b không phải là hai phương trình tương
đương.
Trang 6
Bài 11:
Bài 12:
Bài 13: Giải các phương trình của bài tp 5 và bài tp 10.
III. BÀI TP TRC NGHIM

Preview text:

1. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Khái niệm phương trình một ẩn
Phương trình một ẩn x là phương trình có dạng A( x) = B( x) trong đó A( x) và B( x) là
các biểu thức của biến . x
2. Các khái niệm khác liên quan  Giá trị x A x = B x
0 được gọi là nghiệm của phương trình ( ) ( ) nếu đẳng thức
A( x = B x 0 ) ( 0 ) đúng.
Giải phương trình là đi tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
 Tập hợp tất cả các nghiệm của một phươn g trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó.
 Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Chú ý: Hai phương trình cùng vô nghiệm tương đương nhau. II. BÀI TẬP
Bài 1: Thử xem mỗi số trong dấu ngoặc có phải là nghiệm của phương trình tương ứng hay không? 2
a) (x - 2) = 5(x - 2) (x = 7;x = 2)
b) 4x - 1 = 5(x - 2) (x = - 2;x = - ) 1 2 x - 25 c) = 0 (x = - 5;x = 5) 2 x - 10x + 25
Bài 2: Chứng tỏ các phương trình sau đây vô nghiệm 3 2
a) (x - ) = (x - )( 2 2 2 x + 2x + ) 4 - 6(x - ) 1 b) 2
4x - 12x + 10 = 0 2000 4 c) (x - 4) = - (x - 200 ) 0 - 3
Bài 3: Chứng tỏ rằng các phương trình sau đây có vô số nghiệm. Hãy cho biết tập nghiệm của phương trình đó. 3 a) ( x + )( 2 1 x x + ) 1 = ( x + ) 1 − 3x (x + ) 1
b) ( x − ) = ( − x)( + x) 2 2 2 5 5 5   Trang 1
c) 2x −1 = 1− 2x
Bài 4: Cho phương trình: ( x + 3)(x − 3)(2x − ) 1 = 0
Hãy viết tập nghiệm S của phương trình trên trong các trường hợp sau
a) Ẩn x chỉ lấy giá trị trên tập hợp ¥ .
b) Ẩn x chỉ lấy giá trị trên tập hợp ¢
c) Ẩn x chỉ lấy giá trị trên tập hợp ¤
d) Ẩn x chỉ lấy giá trị trên tập hợp ¡
Bài 5: Trong các cặp phương trình sau, hãy chỉ ra các phương trình tương đương , không tương đương? Vì sao? a) x + 7 = 9 và 2 2
x + x + 7 = 9 + x 3 3
b) ( x + 3) = 9( x + 3) và ( x + 3) − 9( x + 3) = 0 1 c) 2
x − 7.5x + 28 = 0 và 2
x −15x + 56 = 0 2
d) 2x −1 = 3 và x (2x − ) 1 = 3x
Bài 6: . Tìm m sao cho phương trình
a) 2x – 3m = x + 9 nhận x = - 5 là nghiệm b) 2
4x + m = 22 nhận x = 5 là nghiệm
Bài 7: Giải phương trình a) 12 – 6x = 0
b) 2x + x + 120 = 0
c) x – 5 = 3 - x - 5 2
d) 7 – 3x = 9 - x e) x + 1 = x - 10 f) 2(x + ) 1 = 3 + 2x 9 3
Bài 8: Xét xem hai phương trình sau có tương đương không? a) 2 3
x - 2x = x + 3x - 1 và x = - 1 b) 2
(x - 3)(x + 1) = 2x - 5 và x = 2 Tự luyện:
Bài 9: Cho hai phương trình: 2
x − 4x + 3 = 0 ( ) 1 , 2
3x − 5x + 2 = 0 (2) .
a) Chứng minh rằng hai phương trình có nghiệm chung x = 1 .
b) Chứng minh rằng x = 3 là nghiệm của ( )
1 nhưng không là nghiệm của (2) . Trang 2 2
c) Chứng minh rằng x =
là nghiệm của (2) nhưng không là nghiệm của ( ) 1 . 3
d) Hai phương trình đã cho có tương đương với nhau hay không? Vì sao?
Bài 10: Các cặp phương trình sau có tương đương không ? Vì sao ?
a) x − 2 = 2 và 2x −1 = 7 . b) x +1 = 0 và 2 x −1 = 0 . c) 2x + 3 = 0 và 2
4x +12x + 9 = 0 . d) x = 2 và 2 x = 4 . e) 2 2x +1 = 0 và 2 x +1 = 0 . f) 3
x − 8 = 0 và x + 2 = 4 .
Bài 11: Chứng minh rằng x = 3 là nghiệm của phương trình 2mx – 5 = - x + 6m – 2 với mọi m
Bài 12: Cho hai phương trình 2
x – 5x + 6 = 0 (1)
x + (x - 2)(2x + ) 1 = 2 (2)
a) Chứng minh rằng hai phương trình có nghiệm chung là x = 2
b) Chứng minh rằng x = 3 là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2)
c) Hai phương trình (1) và (2) có tương đương với nhau không ? Vì sao ?
Bài 13: Chứng tỏ các phương trình sau vô nghiệm:
a) 2x − 3 = 2( x − 3) ; b) 2 x +1 = 0 ; c) x − 2 = 1 − .
Bài 14: Chứng tỏ các phương trình sau có vô số nghiệm:
a) 4( x − 2) − 3x = x − 8 ;
b) x x = ( x − )2 2 2 1 −1; c) ( x + )2 2
2 = x + 4x + 4 .
Bài 15: Giải các phương trình của bài tập 5 và bài tập 10.
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1 : Nghiệm của phương trình 2 x = 1 là A. 1 B. - 1 C. 1 và - 1
D. Phương trình vô nghiệm 3x - 4
Câu 2 : Trong các số sau số nào là nghiệm của phương trình + 1 = 0 2 2 A. - 1 B. 2 C.- 2 D. 3
Câu 3 : Tập nghiệm của phương trình x + 1 = 1 + x có A. 1 nghiệm B. Vô số nghiệm C. Vô nghiệm Trang 3
Câu 4 : Giá trị x = - 1 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau
A. 4x - 1 = 3x - 2
B. x + 1 = 2(x - 3 ) C. 2(x + ) 1 + 3 = 2 + x
Câu 5: Nối mỗi ý ở cột A với một ý ở cột B để được kết quả đúng ? A B
1) x = - 1 là một nghiệm của PT 1) 3(x - ) 1 = 2x - 1
2) x = 2 là một nghiệm của PT 1 x 2) = 1 - x + 1 4
3) x = 3 là một nghiệm của PT 3) 2 x + x = 0 1- …; 2 ……; 3 …… 4) 2 x - x = 0
Câu 6 : Hãy điền vào chỗ trống để được các khẳng định đúng
a) x + 3 = 4 - x Û ¼ (1)¼ .. = 4 - 3 Û x = ¼ ¼ (2)¼ ¼ b) 2
x - 2x - 3 = 0 Û (x + 1)(¼ (1)¼ .) = 0 Û x = ¼ ¼ (2)¼ và x = 3
Câu 7 : Tập nghiệm của phương trình 2x = 6 là S = { } 6 A .Đúng B. Sai
Câu 8 : x = 1 và 2
x = 1 là hai phương trình tương đương. A .Đúng B. Sai
KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ
II. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1: a) x = 7; x = 2 đều là nghiệm của phương trình đã cho.
b) x = - 2 ;x = - 1 đều không là nghiệm của phương trình.
c) x = 5 không là nghiệm của phương trình , x = - 5 là nghiệm của ptrinh.
Bài 2: HD: a) Dùng hằng đẳng thức triển khai ta được 0 = - 6 (vô lý) Trang 4 2 2 b) x - x + = Û ( x - )2 2 4 12 10 0 2 3 + 1 = 0 do (2x - )
3 ³ 0" x Þ (2x - 3) + 1 > 0 . PTVN c) - (x - )4
2000 - 3 < 0 ; (x - )2000 4
³ 0 . Từ đó suy ra phương trình vô nghiệm. Bài 3: a) 3 3 2 2
x +1 = x + 3x + 3x +1− 3x − 3x  0 = 0 (đúng với mọi x) . Tập nghiệm là ¡ . 2 2 2 2 b) ( 2 x − ) = ( 2 − x )  ( 2 x − ) = ( 2 5 5 5
x − 5) (đúng với mọi x) .Tập nghiệm là ¡ . 1 1
c) ĐK: 1 - 2x ³ 0 Û x £ . Với x £
thì 2x −1 = −(2x −1) = 1− 2x 2 2 1
Phương trình trở thành 1− 2x = 1− 2x ( luôn đúng với mọi x £ ). 2 ìï 1üï Tập nghiệm: ïí x R | x ï Î £ ý ï 2ï ïî ïþ  1   1 
Bài 4: KQ: a) S =  ; S = - S =  3; − S =  3 − ; ; 3 b) { } 3 ; c)  ; d)   2  2 
Bài 5: a) Cặp phương trình tương đương là a, b, c
b) Cặp phương trình không tương đương là d.
Bài 6: a) x = - 5 là nghiệm phương trình 2x – 3m = x + 9 nên ta có
2.(- 5)– 3m = (- 5)+ 9 14
Û - 10 - 3m = 4 Û - 3m = 4 + 10 Û m = . Kết luận… - 3
b) x = 5 là nghiệm phương trình 2
4x + m = 22 nên ta có 2 4.5 + m = 22 2 2 2
Û 20 + m = 22 Û m = 22 - 20 Û m = 2 Û m = ± 2 . Kết luận.
Bài 7: KQ: a) S =   2 ; b) S = −  40 ; c) S =   4 ; d) S = −  1 ; e) S =   9 ; f) S = 
Bài 8: KQ: a, b : Hai phương trình không tương đương Tự luyện: Bài 9: Bài 10:
KQ: a, c, d, e, f là hai phương trình tương đương. b không phải là hai phương trình tương đương. Trang 5 Bài 11: Bài 12:
Bài 13: Giải các phương trình của bài tập 5 và bài tập 10.
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Trang 6