TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP
(DÙNG CHO SINH VIÊN HỌC CÁC HỆ KINH TẾ) Chương 1 Ma trận và định thức BÀI TẬP
Bài 1.1 Thực hiện các phép tính trên ma trận  2 4 −2 1 −6 −1 a) −4 7   5 4 7 10 0 1 1 an 4 7 4 5 b) 0 1 d) 8 2 5 6     9 −3 1 4  2 1 1 1 1  1 1 −1 −1 c)   1 −1 1 −1 cos α − sin αn   e) 1 −1 −1 1 sin α cos α  1 2 3 1 −1 f) Cho A = −1 0 1 B = 5 3 .     2 −1 1 1 0 1. Tính (2A + A2)B.
2. B(2A + A2) có thực hiện được không, tại sao?
Bài 1.2 Tính x1, x2, x3, x4 từ phương trình x 1 x2 3 −2 −1 2 = x3 x4 5 −4 −5 6
Bài 1.3 Tính các định thức sau: i 3 −1 3 2 x a a a 5 −3 2 3 a x a a 1. , 4. . 7 −5 1 4 a a x a 1 −3 −5 0 a a a x 9 2 7 11 1001 1002 1003 1004 7 4 5 9 1002 1003 1001 1002 2. , 5. . 5 1 4 7 1001 1001 1001 999 4 2 3 3 1001 1000 998 999 1 a a2 3. 1 b b2 , 1 c c2
Bài 1.4 Tính các định thức sau: 1 2 3 · · · n 3 2 2 · · · 2 − 1 0 3 · · · n 2 3 2 · · · 2 1. −1 −2 0 · · · n . 2. 2 2 3 · · · 2 . · · · · · · −1 −2 −3 · · · 0 2 2 2 · · · 3 Bài 1.5 Chứng minh rằng: x + y xy x2 + y2 1. y + z yz
y2 + z2 = (x − y)(y − z)(z − x)(xy + yz + zx), z + x zx z2 + x2 b1 + c1 c1 + a1 a1 + b1 a1 b1 c1 2. b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 = 2 a2 b2 c2, b3 + c3 c3 + a3 a3 + b3 a3 b3 c3 a1 + b1x a1x + b1 c1 a1 b1 c1 3. a2 + b2x
a2x + b2 c2 = (1 − x2) a2 b2 c2, a3 + b3x a3x + b3 c3 a3 b3 c3 1 cos α sin α α − β β − γ γ − α 4. 1 cos β sin β = 4 sin sin sin , 2 2 2 1 cos γ sin γ
5. Nếu các số có ba chữ số a1a2a3, b1b2b3, c1c2c3 cùng chia hết cho 13 thì định thức a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 cũng chia hết cho 13.
Bài 1.6 Tính hạng của các ma trận:  1 2 1 −1 0  25 31 17 43   2 −1 1 3 4  75 94 53 132 2.  . 1.      2 −1 2 1 −2, 75 94 54 134      2 −3 1 2 −2 25 32 20 48 −4 1 −3 1 8
Bài 1.7 Tính hạng của ma trận tuỳ theo giá trị của λ: 5 −4 3 1 1 λ −1 2 1. A = 9 λ 6 3 2 −1 λ 5  , 2. A =  . 4 1 3 2 1 10 −6 1
Bài 1.8 Tìm giá trị của m để các ma trận sau có hạng nhỏ nhất, lớn nhất: 3 4 2   1 2 1 1  1. A = 6 8 4 2 3 2 6  , 2. A =  . 9 12 m 1 − m2 −1 0 m + 3   1 1 1 5
Bài 1.9 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau: 1 2 1 3 −5 7  1. A = , 3 5 0 1 2 −3 4. A =    , 0 0 1 2     0 1 6 0 0 0 1 2. A = 2 −3 1  , 3 −5 1 1 1 1 1  2 1 1 1 1 −1 −1 5. A =  . 3. A = 0 −1 1 1 −1 1 −1  ,   0 0 1 1 −1 −1 1
Bài 1.10 Xác định giá trị của α để ma trận A khả nghịch, tìm ma trận
nghịch đảo của A, với: 1 sin α  1 cos α 0 1. A = , sin α 1 2. A = 4 cos α 1 0  . 0 0 1
Bài 1.11 Giải các phương trình ma trận sau: 3 −2 −1 2 1. X = , 5 −4 −5 6 3 1 1 6 2 −1 2. 2 1 2 6 1 1   X =  , 1 2 3 8 −1 4  2 −3 5  6 14 −2 3. X −1 4 −2   = , 10 −19 17 3 −1 1 4. A.X.B = C trong đó 1 2 1 2 3 6 A = ; B = ; C = . 0 1 1 1 −8 3 ĐÁP SỐ Bài 1.1 16 18 16 38 1 na a) 43 24 73 74 d)   0 1 5 4 7 10 4 0 0 0 0 4 0 0 cos nα − sin nα b)   e) 0 0 4 0 sin nα cos nα   0 0 0 4 78  36 2  c) 72 −16 −8   f)   31 22 −6 x 3 −2 Bài 1.2 1 x3 = x2 x4 5 −4 Bài 1.3 1. 0, 4. (x + 3a)(x − a)3, 2. −6,
3. (a − b)(b − c)(c − a), 5. −18016. Bài 1.4 1. n! 2. 2n + 1. Bài 1.6 1. r = 4. 2. r = 3. Bài 1.7 (2 khi λ = −3 1. r(A) = 3 khi λ 6= −3, (2 khi λ = 3 2. r(A) = 3 khi λ 6= 3. Bài 1.8 ( ( 1 khi m = 6 2 khi m = ±1 1. r(A) = 2. r(A) = 2 khi m 6= 6. 3 khi m 6= ±1. Bài 1.9 −5 2 1 −3 11 −38 1. A−1 = , 3 −1 0 1 −2 7 4. A−1 =    , 0 0 1 −2     2 −31 19  1 0 0 0 1 2. A−1 = − 1 −18 12  , 5 −1 3 −2    1 1  1 1 1 1 −1 2 2 1 1 1 −1 −1 3. A−1 =  , 5. A−1 =  .  0 −1 1  4 1 −1 1 −1   0 0 1 1 −1 −1 1 Bài 1.10 π 1. α 6= + kπ, k ∈ Z, 2 1 1 − sin α A−1 = cos2 α − sin α 1 π 2. α 6= ± + kπ, k ∈ Z, 3  1 − cos α 0  1 A−1 = −4 cos α 1 0   1 − 4 cos2 α 0 0 1 − 4 cos2 α Bài 1.11 3 −2 1 5 3 1. X = , 3. X = , 5 −4 2 −3 1 1 1 −1 2. X = 2 −1 1 −19 38  , 4. X = . 1 0 1 11 −19 Chương 2 Vectơ và không gian vectơ BÀI TẬP
Bài 2.1 Tìm x1, x2 thoả mãn hệ thức
(x1, 40) − (2x1, −x2) = −2(4, x2).
Bài 2.2 Tìm vectơ X từ phương trình:
3(A1 − X) + 2(A2 + X) = 5(A3 + X),
với A1 = (2, 5, 1, 3); A2 = (10, 1, 3, 10); A3 = (4, 1, −1, 1).
Bài 2.3 Xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ.
1) X1 = (0, 2, 0); X2 = (1, −1, 0); X3 = (0, 4, 0),
2) X1 = (1, 0, 1); X2 = (5, 6, 1); X3 = (−5, −6, −1),
3) X1 = (1, 2, 5); X2 = (2, 0, 1),
4) X1 = (1, −1, 1); X2 = (3, 2, 0); X3 = (5, 1, 0),
5) X1 = (1, 0, 0); X2 = (2, 3, −2); X3 = (3, −3, 2).
Bài 2.4 Cho X1 = (1, −1, 2, 0, 3); X2 = (2, −3, 5, 1, −4); X3 = (4, −5, 9, 1, m);
X4 = (2, −2, 4, m + 1, 6). Tìm hạng và xét tính độc lập, phụ thuộc tuyến tính
của hệ 4 vectơ trên theo m.
Bài 2.5 Cho X1 = (1, 0, −1, 2, −2); X2 = (2, 1, 0, 3, −5);
X3 = (5, 2, −1, 8, m − m2); X4 = (−3, −1, 1, −5, m + 3). Tìm hạng và xét tính
độc lập, phụ thuộc tuyến tính của hệ 4 vectơ trên theo m. vii
Bài 2.6 Với giá trị nào của λ thì vectơ X là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ X1, X2, biết rằng
X = (3, 0, λ − 6); X1 = (1, 0, 0); X2 = (5, 1, 2).
Bài 2.7 Tìm hạng và một cơ sở của hệ vectơ
1) X1 = (1, 0, 0); X2 = (−1, 2, 6); X3 = (1, 2, 10),
2) X1 = (3, −5, −5); X2 = (1, 0, 0); X3 = (5, 8, 8). Bài 2.8 Ba vectơ a 3
1, a2, a3 là một cơ sở trong không gian R . Cho b1 = a1 + a2 + a3 b2 = a2 + a3 b3 = a2 − a3
1) Hệ {b1, b2, b3} độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
2) Tính hạng của hệ {a2, a3, b2, b3}
Bài 2.9 Ba vectơ A1, A2, A3 độc lập tuyến tính và X1 = A1 + 4A2 + 6A3 X2 = 3A1 − 4A2 − 6A3. X3 = A1
Hệ {X1, X2, X3} độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
Bài 2.10 Biết hệ {A1, A2, A3, A4, A5} là độc lập tuyến tính và
X1 = 2A1 + 3A2 − 4A3 − A4  
X2 = A1 − 2A2 + A3 + 3A4 + 4A5
X3 = 5A1 − 3A2 − A3 + 9A4 + 4A5  
X4 = 3A1 + 8A2 − 9A3 − 5A4 − 6A5
Xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ {X1, X2, X3, X4}. ĐÁP SỐ 40 Bài 2.1 x1 = 8, x2 = − . 3 7 Bài 2.2 X = (1, 2, , 4). 3 Bài 2.3
1) Phụ thuộc tuyến tính,
2) Phụ thuộc tuyến tính, 3) Độc lập tuyến tính, 4) Độc lập tuyến tính,
5) Phụ thuộc tuyến tính. (3 khi m = −1 hoặc m = 2, Bài 2.4 r{X1, X2, X3, X4} = 4 khi − 1 6= m 6= 2. (2 khi m = 4, Bài 2.5 r{X1, X2, X3, X4} = 3 khi m 6= 4. Bài 2.6 λ = 6. Bài 2.7
1) r = 3, {X1, X2, X3} là một cơ sở.
2) r = 2, {X1, X2} là một cơ sở. Bài 2.8 1) Độc lập tuyến tính. 2) r(a2, a3, b2, b3) = 2.
Bài 2.9 Phụ thuộc tuyến tính.
Bài 2.10 Hệ phụ thuộc tuyến tính. Chương 3
Hệ phương trình tuyến tính BÀI TẬP
Bài 3.1 Giải các hệ phương trình  x + 2y − z = 6   −x + y + 3z = 2 1. 2x + 3y − 6z = 6    2y − 2z = 2
x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 4    x 2. 2 − x3 + x4 = −3 x1 + 3x2 − 3x4 = 1    − 7x2 + 3x3 + x4 = −3 3x1 + 4x2 + x3 − x4 = 3    x 3. 1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 2 2x1 + 7x2 − x3 = 1   4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1  x1 + 3x2 + 5x3 − 7x4 = 12   3x 4. 1 + 5x2 + 7x3 − x4 = 0 5x1 + 7x2 + x3 − 3x4 = 4   7x1 + x2 + 3x3 − 5x4 = 16  x1 + 2x2 + x3 + x4 + x5 = 0     x1 + x2 + 3x3 + x4 + x5 = 3  5. x1 + x2 + x3 + 4x4 + x5 = −2   x1 + x2 + x3 + x4 + 5x5 = 5   2x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 2 x 8x + 5y + 2z = 8   9x + 3y + 4z = 9 6. 5x + 3y + 2z = 7   7x + 8y + z = 12
Bài 3.2 Tìm nghiệm tổng quát và hai nghiệm riêng khác nhau của các hệ phương trình. −10x1 + 3x2 + 3x4 = 13    4x 1. 1 + 2x2 + 3x3 + 6x4 = 5 6x1 + 3x2 + 5x3 + 9x4 = 4    14x1 − x2 + 3x3 + 3x4 = −8  x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 23   
2x1 + 3x2 + 4x3 + 4x4 + 8x5 = 37  2.
3x1 + 2x2 + x3 + x4 − 3x5 = −2  5x1 + 3x2 + x3 + x4 − 7x5 = −11  
4x1 + 3x2 + 2x3 + 2x4 − 2x5 = 5
Bài 3.3 Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất 3x + 4y + z = 0  1. 3x + 2y + 2z = 5 2x + 5y + az = 1  −x − 2y + 4z = 4   −2x + y + az = 8 2. −x + 8y + 6z = 2    5y + (10 − a)z = −2  ax2 + ax3 + ax4 = 1   −ax 3. 1 + ax3 + ax4 = −1 −ax1 − ax2 + ax4 = 2   −ax1 − ax2 − ax3 = −2
Bài 3.4 Tìm k để hệ vô nghiệm (k + 1)x + y + z = 1  1. x + (k + 1)y + z = k  x + y + (k + 1)z = k2  2x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = 4    3x 2. 2 + x3 + 4x4 = 2 −4x1 − 2x2 + 4x3 − 6x4 = −2   
2x1 + 4x2 + 9x3 − (k − 1)x4 = 3
Bài 3.5 Giải các hệ phương trình thuần nhất 2x1 + 3x2 − 4x3 + x4 = 0   3x 1. 1 + 2x2 + 5x3 − x4 = 0 5x1 − 4x2 + x3 − 3x4 = 0  
2x1 − 4x2 + x3 − 5x4 = 0 2x1 + x3 + 3x4 − x5 = 0     x1 + x2 − x4 + x5 = 0  2. − 2x2 + x3 + 5x4 − 3x5 = 0  
x1 − 3x2 + 2x3 + 9x4 − 5x5 = 0  
2x1 − 4x2 + 3x3 + 13x4 − 7x5 = 0
Bài 3.6 Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm không tầm thường x + y + z = 0  1. x − 2y − 2z = 0 x + 4y + 2mz = 0 2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = 0   4x 2. 1 + 5x2 + 3x3 + 4x4 = 0 6x1 + 7x2 + 5x3 + 7x4 = 0   8x1 + 9x2 + 9x3 + mx4 = 0
Bài 3.7 Với giá trị nào của a thì hệ phương trình có vô số nghiệm 3x + y − 2z = a  1. 2x + 4y − z = −2 4x − 2y − 3z = 1  x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = −2  2. 3x1 + x2 + x3 − 2x4 = 4
2x1 − 4x2 + (a2 − 6)x3 − 6x4 = 8 + a
Bài 3.8 Tìm a và b để hệ phương trình sau có vô số nghiệm  x + 2y + az = 3  1. 3x − y − az = 2 2x + y + 3z = b  x + y + az = 2   2x + 3y + (6 + 2a)z = 6 2. 3x − y + 3z = b  
2x − 3y − (3 + a)z = b − 4
Bài 3.9 Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm
2x1 − 6x2 + 4x3 − 6x4 = 3 − m   2x1 − x2 + x3 + x4 = 1 x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 2    x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = m
Bài 3.10 Biện luận về nghiệm số của hệ phương trình sau theo tham số k 4x + y + z = 3   3x − y + z = 2 1. 5x − 4y + 2z = 3    x + (k2 − 2)y = k − 1 kx1 + x2 + x3 + x4 = 1    x 2. 1 + kx2 + x3 + x4 = 1 x1 + x2 + kx3 + x4 = 1    x1 + x2 + x3 + kx4 = 1 (2k + 1)x − ky + (k + 1)z = k − 1  3.
(k − 2)x + (k − 1)y + (k − 2)z = k
(2k − 1)x + (k − 1)y + (2k − 1)z = k
Bài 3.11 Biện luận về nghiệm số và giải các hệ phương trình sau ax + y + z = 1  1. x + ay + z = 1  x + y + az = 1 3x + 4y + z = 0   3x + 2y + 2z = 0 2. 2x + 5y + az = −1   4x + y + (3 − a)z = 1  kx + ky + (k + 1)z = k  3. kx + ky + (k − 1)z = k
(k + 1)x + ky + (2k + 3)z = 1
Bài 3.12 Tính x1, x2, x3. Biết rằng:  1 3 5  3  x  − 1 −  1 −2 1  2  x = 2 5 4  2  5    x   0 1 5 3 4 Bài 3.13 Cho X1 = (2, 3, 5, −4, 1) X2 = (1, −1, 2, 3, 5) X3 = (1, −1, 1, −2, 3) X4 = (3, 7, 8, −11, −3)
1. Chứng minh rằng {X1, X2, X3} là một cơ sở của hệ bốn vectơ trên.
2. Biểu diễn tuyến tính vectơ X4 qua ba vectơ còn lại. Bài 3.14 Cho X1 = (1, 2, 4) , X2 = (−1, 0, 2) X3 = (1, 4, 10) , X4 = (2, 2, 1)
1. Tính hạng của hệ bốn vectơ trên.
2. Biết rằng: A1 = X1, A2 = X1 + X3, A3 = X1 + X2 − X4. Hãy biểu diễn
tuyến tính X3 qua các vectơ A1, A2, A3. Bài 3.15 Cho X1 = (2, 3, 3, 4) X2 = (1, 0, −1, 1) X3 = (−4, −1, 3, −2) X4 = (−3, −1, 0, −3) X5 = (−4, −3, 1, 2)
1. Tìm một cơ sở của không gian 4 R trong 5 vectơ trên
2. Biểu diễn tuyến tính X5 qua bốn vectơ còn lại.
Bài 3.16 Với giá trị nào của λ thì vectơ X = (3, 5, 1) là tổ hợp tuyến tính của ba vectơ
X1 = (2, 5, 3), X2 = (4, 7, 2), X3 = (6, λ, 5)
Bài 3.17 Biện luận theo tham số λ về khả năng biểu diễn vectơ X qua các
vectơ A1, A2, A3. Biết rằng
1. X = (1, 2, λ − 1); A1 = (3, 2, 5), A2 = (2, 4, −4), A3 = (5, 6, λ2)
2. X = (λ, 2, 5); A1 = (3, 2, 6), A2 = (7, 3, 9), A3 = (5, 1, 5) ĐÁP SỐ Bài 3.1 1. X0 = (3, 2, 1) x1 = −8   x 2. 2 − tùy ý x3 = 2x2   x4 = −3 + x2 3. Hệ vô nghiệm 5. X0 = (1, −1, 1, −1, 1)
4. X0 = (1, −1, 0, −2) 6. X0 = (−1, 2, 3) Bài 3.2 x2 = 6x1   1. x3 = −7 , x 13 8 1 tuỳ ý  x4 = − x1 3 3 13 5
Hai nghiệm riêng X0 = (0, −7, ); X1 = (1, 6, −7, ) 3 3 x1 = −16 + α + β + 5γ    x2 = 23 − 2α − 2β − 6γ  2. x3 = α (α, β, γ tuỳ ý)  x4 = β   x5 = γ Hai nghiệm riêng
X0 = (−16, 23, 0, 0, 0); X1 = (−15, 21, 1, 0, 0) Bài 3.3 1 1. a 6= − 2. a 6= 9 3. a 6= 0 2 Bài 3.4 1. k = 0 hoặc k = −3 2. k = −8 Bài 3.5
1. Nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường  1 3 1 x α − β + γ  1 = −   2 2 2   1 5 3  x2 = α + β − γ 2. 2 2 2 α, β, γ tuỳ ý x  3 = α   x  4 = β   x5 = γ Bài 3.6 1. m = 2
2. Không có giá trị nào của m để hệ có nghiệm không tầm thường Bài 3.7 1 1. a = − 2. a = 4 2  21 (a = 9 a = Bài 3.8 1. 2 2. b = −2 b = 3 Bài 3.9 m = 5 Bài 3.10 1.
(a) k 6= ±2 hệ có nghiệm duy nhất,
(b) k = 2 hệ có vô số nghiệm,
(c) k = −2 hệ vô nghiệm. (k 6= 1 2. (a) hệ có nghiệm duy nhất, k 6= −3
(b) k = 1 hệ có vô số nghiệm,
(c) k = −3 hệ vô nghiệm. (k 6= 0 3. (a) hệ có nghiệm duy nhất, k 6= ±1
(b) k = −1 hệ có vô số nghiệm,
(c) k = 1 hệ vô nghiệm, k = 0 hệ vô nghiệm. Bài 3.11 (a 6= 1 1. (a)
hệ có nghiệm duy nhất là a 6= −2 1 x = y = z = , a + 2
(b) a = −2 hệ vô nghiệm,
(c) a = 1 hệ có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát là
x = 1 − y − z ( với y, z tuỳ ý) 1 2. (a) a 6= − hệ có nghiệm duy nhất 2 2 1 2 X0 = ( , − , − ) 2a + 1 2a + 1 2a + 1 1 (b) a = − hệ vô nghiệm. 2 3.
(a) k 6= 0 hệ có nghiệm duy nhất X0 = (1 − k, k, 0)
(b) k = 0 hệ có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát là x = 1   y = α α lấy tuỳ ý.  z = 0
Bài 3.12 x1 = −39, x2 = 19, x3 = −3
Bài 3.13 X4 = 2X1 − X2 + 0X3 Bài 3.14 1. r(X1, X2, X3, X4) = 3 1 2. X3 = A1 + A2 + 0A3 2 Bài 3.15
1. {X1, X2, X3, X4} là một cơ sở. 2. X5 = 0X1 + 8X2 + 3X3 + 0X4. Bài 3.16 λ 6= 12 Bài 3.17 1.
(a) λ 6= ±1 biểu diễn được một cách duy nhất.
(b) λ = 1 không biểu diễn được.
(c) λ = −1 biểu diễn được nhưng không duy nhất.
2. Biểu diễn được một cách duy nhất với mọi λ. Chương 4 Dạng toàn phương BÀI TẬP
Bài 4.1 Xét tính xác định dấu, đổi dấu của dạng toàn phương:
1. F (x1, x2, x3) = x2 + 3x2 + 10x2 1 2 3
2. F (x1, x2, x3) = −2x2 − 7x2 1 2
3. F (x1, x2, x3) = −6x2 + 5x2 + 4x2 1 2 3
4. F (x1, x2, x3) = 3(x1 + x2)2 + 10x23 5. F (x1, x2, x3) = 6x2x3
Bài 4.2 Xét tính xác định dấu, đổi dấu của dạng toàn phương:
1. F (x1, x2, x3) = x2 + 3x2 + 5x2 + 4x 1 2 3 1x2 − 8x2x3 − 4x1x3
2. F (x1, x2, x3) = x2 + 5x2 + 7x2 + 2x 1 2 3 1x2 − 4x2x3 − 2x1x3
3. F (x1, x2, x3, x4) = x2 + 2x2 + 3x2 + 4x2 + 2x 1 2 3 4 1x3 − 2x2x4
4. F (x1, x2, x3, x4) = −2x2 − 6x2 − 10x2 − 4x2 + 2x 1 2 3 4 1x3 − 6x2x4 − 8x2x3
Bài 4.3 Xác định giá trị của tham số m để dạng toàn phương a) xác định
dương; b) nửa xác định dương:
1. F (x1, x2, x3, x4) = 5x2 + x2 + 2x2 + 4x2 + 2mx 1 2 3 4 1x3 − 4x1x4
2. F (x1, x2, x3, x4) = 2x2 + 3x2 + 10x2 + 5mx2 + 2x 1 2 3 4 2x3 − 6x1x3
3. F (x1, x2, x3, x4) = mx2 + 7x2 + x2 + 7x2 + 2mx 1 2 3 4 1x3 − 4x2x3 xix