Bài tập toán cao cấp - Toán cao cấp c2 | Trường Đại Học Duy Tân
Từ khoá: Bài tập toán cao cấp, Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số, Tính liên tục của hàm số, Hàm liên tục, Phép tính vi phân hàm một biến, Đạo hàm, Vi phân, Công thức Taylor, Đạo hàm riêng, Vi phân của hàm nhiều biến, Cực trị của hàm nhiều biến. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!
Preview text:
Bài tập toán cao cấp Tập 2
Nguyễn Thủy Thanh
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 158 Tr.
Từ khoá: Bài tập toán cao cấp, Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số, Tính liên tục
của hàm số, Hàm liên tục, Phép tính vi phân hàm một biến,
Đạo hàm, Vi phân, Công thức Taylor, Đ
ạo hàm riêng, Vi phân của hàm nhiều
biến, Cực trị của hàm nhiều biến.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất ả b n và tác giả. ˜ NGUY ˆ EN THUY ’ THANH B ` AI T ˆ A . P ´ TO ´ AN CAO C ˆ AP Tˆ a.p 2 Ph´ ep t´ınh vi phˆ an c´ ac h` am NH ` A XU ˆ A
´T BA’N DA.I HO.C QU ˆO´C GIA H`A NˆO.I Mu. c lu. c 7
Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu . c cu’a h`am sˆo´ 3 7.1
Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7.1.1
C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o.i d i.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n . 5 7.1.2
Ch´u.ng minh su.. hˆo.i tu. cu’a d˜ay sˆo´du..a trˆen c´ac
di.nh l´y vˆe`gi´o.i ha.n . . . . . . . . . . . . . . . . 11 7.1.3
Ch´u.ng minh su.. hˆo.i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du..a trˆen d iˆe`u
kiˆe.n d u’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu. (nguyˆen l´y
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . . . . . . . . 17 7.1.4
Ch´u.ng minh su.. hˆo.i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du..a trˆen d iˆe`u
kiˆe.n cˆa` n v`a d u’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu. (nguyˆen l´y hˆo.i tu.
Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7.2
Gi´o.i ha.n h`am mˆo.t biˆe´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.2.1
C´ac kh´ai niˆe .m v`a d i.nh l´y co. ba’n vˆe` gi´o.i ha.n . . 27
7.3 H`am liˆen tu.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7.4
Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am nhiˆe`u biˆe´n . . . . . . . . 51 8 Ph´ ep t´ınh vi phˆ an h` am mˆ o .t biˆe ´n 60 8.1 D
- a.o h`am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.1.1 D
- a.o h`am cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.1.2 D
- a.o h`am cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.2 Vi phˆan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8.2.1
Vi phˆan cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2 MU.C LU. C 8.2.2
Vi phˆan cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.3 C´ac di.nh l´y co. ba’n vˆe` h`am kha’ vi. Quy t˘a´c l’Hospital.
Cˆong th´u.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 8.3.1 C´ac di.nh l´y co. ba
’n vˆe` h`am kha’ vi . . . . . . . . 84 8.3.2 Khu. ’ c´ac da.ng vˆo d.inh. Quy t˘a´c Lˆopitan
(L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.3.3
Cˆong th´u.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 9 Ph´ ep t´ınh vi phˆ an h` am nhiˆ e `u biˆe ´n 109 9.1 D
- a.o h`am riˆeng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 9.1.1 D
- a.o h`am riˆeng cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . 110 9.1.2 D
- a.o h`am cu’a h`am ho..p . . . . . . . . . . . . . . 111 9.1.3
H`am kha’ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.1.4 D
- a.o h`am theo hu.´o.ng . . . . . . . . . . . . . . . 112 9.1.5 D
- a.o h`am riˆeng cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . 113
9.2 Vi phˆan cu’ a h`am nhiˆe`u biˆe´n . . . . . . . . . . . . . . . 125 9.2.1
Vi phˆan cˆa´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 9.2.2 ´
Ap du.ng vi phˆan dˆe ’ t´ınh gˆa`n d´ung . . . . . . . 126 9.2.3
C´ac t´ınh chˆa´t cu’ a vi phˆan . . . . . . . . . . . . 127 9.2.4
Vi phˆan cˆa´p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 9.2.5
Cˆong th´u.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.2.6
Vi phˆan cu’ a h`am ˆa’n . . . . . . . . . . . . . . . 130 9.3 Cu
..c tri. cu’ a h`am nhiˆe`u biˆe´n . . . . . . . . . . . . . . . 145 9.3.1
Cu..c tri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 9.3.2
Cu..c tri. c´o diˆe`u kiˆe .n . . . . . . . . . . . . . . . . 146 9.3.3
Gi´a tri. l´o.n nhˆa´t v`a b´e nhˆa ´t cu’a h`am . . . . . . 147 Chu .o.ng 7 Gi´
o .i ha.n v`a liˆen tu . c cu’a h` am sˆ o ´ 7.1 Gi´
o .i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ . . . . . . . . . . . . . . 4
7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o .i di.nh ngh˜ıa gi´o .i
ha.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7.1.2 Ch´u.ng minh su
.. hˆo.i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du..a trˆen
c´ac di.nh l´y vˆe`gi´o .i ha.n . . . . . . . . . . . . 11 7.1.3
Ch´u.ng minh su.. hˆo.i tu. cu’a d˜ay sˆo´ du..a
trˆen diˆe`u kiˆe .n du’ dˆe ’ d˜ay hˆo.i tu. (nguyˆen l´y
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . 17 7.1.4 Ch´u.ng minh su
.. hˆo.i tu. cu’a d˜ay sˆo´du..a trˆen
diˆe`u kiˆe.n cˆa`n v`a du ’ dˆe ’ d˜ay hˆo.i tu. (nguyˆen l ´y h ˆo.i tu
. Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 25 7.2 Gi´
o .i ha. n h`am mˆo .t biˆe ´n . . . . . . . . . . . . 27
7.2.1 C´ac kh´ai niˆe .m v`a d i.nh l´y co. ba’n vˆe` gi´o .i ha.n 27 7.3 H` am liˆ
en tu . c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7.4 Gi´
o .i ha.n v`a liˆen tu . c cu’a h`am nhiˆe `u biˆe ´n . 51 4
Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu. c cu’a h`am sˆo´ 7.1 Gi´ o .i ha.n cu’a d˜ay sˆo ´
H`am sˆo´ x´ac di.nh trˆen tˆa.p ho..p N du.o..c go.i l`a d˜ay sˆo´vˆo ha.n. D˜ay sˆo´
thu.`o.ng du.o..c viˆe´t du.´o.i da.ng: a1, a2, . . . , a n, . . . (7.1)
ho˘a.c {an}, trong d´o an = f(n), n ∈ N du.o ..c go.i l`a sˆo´ ha.ng tˆo’ng qu´at
cu’ a d˜ay, n l`a sˆo´hiˆe.u cu’a sˆo´ ha.ng trong d˜ay.
Ta cˆa`n lu .u ´y c´ac kh´ai niˆe.m sau dˆay:
i) D˜ay (7.1) du.o..c go.i l`a bi. ch˘a.n nˆe´u ∃ M ∈ R+ : ∀ n ∈ N ⇒ |an| 6
M; v`a go.i l`a khˆong bi. ch˘a.n nˆe´u: ∀ M ∈ R+ : ∃ n ∈ N ⇒ |an| > M.
ii) Sˆo´ a du.o..c go.i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (7.1) nˆe´u:
∀ ε > 0, ∃ N (ε) : ∀ n > N ⇒ |an − a| < ε. (7.2)
iii) Sˆo´ a khˆong pha’i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (7.1) nˆe´u:
∃ ε > 0, ∀ N : ∃ n > N ⇒ |an − a| > ε. (7.3)
iv) D˜ay c´o gi´o.i ha.n du.o..c go.i l`a d˜ay hˆo.i tu., trong tru.`o .ng h.o.p ngu.o..c
la.i d˜ay (7.1) g.oi l`a d˜ay phˆan k`y. v) D˜ay (7.1) go
.i l`a d˜ay vˆo c`ung b´e nˆe´u liman = 0 v`a go . i l`a d˜ay n→∞
vˆo c`ung l´o.n nˆe ´u ∀ A > 0, ∃ N sao cho ∀ n > N ⇒ |an| > A v`a viˆe ´t lim an = ∞.
vi) Diˆe`u kiˆe.n cˆa` n dˆe ’ d˜ay hˆo.i tu. l`a d˜ay d´o pha’i bi. ch˘a.n.
Ch´u ´y: i) Hˆe. th´u.c (7.2) tu.o.ng du.o.ng v´o.i:
−ε < a n − a < ε ⇔ a − ε < a n < a + ε. (7.4)
7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 5
Hˆe. th´u.c (7.4) ch´u.ng to’ r˘a`ng mo.i sˆo´ ha.ng v´o.i chı’ sˆo´ n > N cu’a d˜ay
hˆo.i tu. dˆe`u n˘a`m trong khoa’ng (a − ε,a + ε), khoa ’ng n`ay go .i l`a ε-lˆan cˆa.n cu’a diˆe’m a.
Nhu. vˆa.y, nˆe´u d˜ay (7.1) hˆo.i tu. dˆe´ n sˆo´ a th`ı mo.i sˆo´ ha.ng cu’a n´o tr`u.
ra mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha .n sˆo´ ha.ng dˆe`u n˘a`m trong ε-lˆan cˆa.n bˆa´t k`y b´e bao
nhiˆeu t`uy ´y cu ’ a diˆe’m a.
ii) Ta lu.u ´y r˘a`ng d˜ay sˆo´ vˆo c`ung l´o.n khˆong hˆo .i tu. v`a k´y hiˆe.u
lim an = ∞ (−∞) chı ’ c´o ngh˜ıa l`a d˜ay an l`a vˆo c`ung l´o.n v`a k´y hiˆe .u d´o
ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa l`a d˜ay c´o gi´o.i ha.n. 7.1.1 C´ac b` ai to´an liˆen quan t´ o .i di.nh ngh˜ıa gi´o .i ha.n
Dˆe ’ ch´u.ng minh lim an = a b˘a`ng c´ach su.’ du.ng di.nh ngh˜ıa, ta cˆa ` n tiˆe ´n
h`anh theo c´ac bu.´o.c sau d ˆay:
i) Lˆa.p biˆe’u th´u.c |an − a| ii) Cho
.n d˜ay bn (nˆe´u diˆe`u d´o c ´o l o..i) sao cho |an − a| 6 bn ∀ n v`a
v´o.i ε du’ b´e bˆa´t k`y bˆa ´t phu .o.ng tr`ınh dˆo´i v´o .i n: bn < ε (7.5)
c´o thˆe’ gia’i mˆo.t c´ach dˆe˜ d`ang. Gia’ su.’ (7.5) c´o nghiˆe.m l`a n > f(ε),
f(ε) > 0. Khi d´o ta c´o thˆe ’ lˆa´y n l`a [f(ε)], trong d´o [f(ε)] l`a phˆa` n nguyˆen cu’a f(ε). C ´AC V´I DU. V´ı du. 1. Gia’ su.’ a − n n = n( 1) . Ch´ u.ng minh r˘a `ng:
i) D˜ay an khˆong bi. ch˘a.n.
ii) D˜ay an khˆong pha’i l`a vˆo c`ung l´o.n.
Gia’i. i) Ta ch´u.ng minh r˘a
`ng an tho’a m˜an di.nh ngh˜ıa d˜ay khˆong
bi. ch˘a.n. Thˆa.t vˆa.y, ∀M > 0 sˆo´ ha.ng v´o.i sˆo´ hiˆe.u n = 2([M] + 1) b˘a`ng
n v`a l´o.n ho .n M. Diˆe`u d´o c´o ngh˜ıa l`a d˜ay an khˆong bi . ch˘a.n. 6
Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu. c cu’a h`am sˆo´
ii) Ta ch´u.ng minh r˘a`ng an khˆong pha’i l`a vˆo c`ung l´o.n. Thˆa.t vˆa.y,
ta x´et khoa’ng (−2, 2). Hiˆe’n nhiˆen mo.i sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay v´o.i sˆo´ hiˆe.u le’
dˆe`u thuˆo.c khoa’ng (−2, 2) v`ı khi n le’ th`ı ta c´o:
n(−1)n = n−1 = 1/n∈ (−2, 2).
Nhu. vˆa.y trong kho’ng (−2, 2) c´o vˆo sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay. T`u. d´o,
theo di.nh ngh˜ıa suy ra an khˆong pha’i l`a vˆo c`ung l´o.n. N
V´ı du. 2. D`ung di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n d˜ay sˆo´dˆe ’ ch´u.ng minh r˘a`ng: n 1) lim (−1)n−1 = 0. 2) lim = 1. n→∞ n n→∞ n + 1
Gia’i. Dˆe ’ ch´u.ng minh d˜ay an c´o gi´o.i ha.n l`a a, ta cˆa` n ch´u.ng minh
r˘a`ng dˆo´i v´o .i mˆo˜i sˆo´ ε > 0 cho tru.´o.c c´o thˆe ’ t`ım du.o..c sˆo´ N (N phu.
thuˆo.c ε) sao cho khi n > N th`ı suy ra |an − a| < ε. Thˆong thu.`o.ng ta
c´o thˆe’ chı’ ra cˆong th´u.c tu.`o.ng minh biˆe’u diˆe˜n N qua ε. 1) Ta c´o: (−1)n−1 · n 1 |an − 0| = = n
Gia’ su.’ ε l`a sˆo´ du.o.ng cho tru.´o.c t`uy ´y. Khi d´o: 1 1 < ε ⇔ n > n · ε
V`ı thˆe ´ ta c´o thˆe’ lˆa´y N l`a sˆo´ tu.. nhiˆen n`ao d´o tho’a m˜an diˆe`u kiˆe.n: 1 1 N > ⇒ < ε. ε N
(Ch˘a’ng ha.n, ta c´o thˆe’ lˆa´y N = [1/ε], trong d´o [1/ε] l`a phˆa ` n nguyˆen cu’ a 1/ε). Khi d´o ∀ n > N th`ı: 1 1 |an − 0| = 6 < ε. n N
7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 7
Diˆe`u d´o c´o ngh˜ıa l`a lim (−1)n = 0. n→∞ n 2) Ta lˆa
´y sˆo´ ε > 0 bˆa´t k`y v`a t`ım sˆo ´ tu.. nhiˆen N(ε) sao cho ∀ n > N(ε) th`ı: n − 1 < ε. Bˆa´ n + 1 t d ˘a’ng th´u.c 1 1 |an − 1| < ε ⇔ < ε ⇔ n + 1 − 1. ε 1
Do d´o ta c´o thˆe’ lˆa´y sˆo´ N(ε) l`a phˆa`n nguyˆen cu’ a − 1, t´u.c l`a: ε N(ε) = E((1/ε) − 1).
Khi d´o v´o.i mo.i n > N ta c´o: n 1 n 6 = 1. N n + < ε ⇒ lim 1 1 N + 1 n→∞ n + 1 − 1 = V´ı du n + 1
. 3. Ch´u.ng minh r˘a`ng c´ac d˜ay sau dˆay phˆan k`y: 1) an = n, n∈ N (7.6) 2) an = (−1)n, n ∈ N (7.7) 1 3) an = (−1)n + · (7.8) n
Gia’i. 1) Gi’asu.’ d˜ay (7.6) hˆo.i tu. v`a c´o gi´o.i ha.n l`a a. Ta lˆa ´y ε = 1.
Khi d´o theo d.inh ngh˜ıa gi´o.i ha.n tˆo`n ta.i sˆo´ hiˆe.u N sao cho ∀ n > N th`ı
ta c´o |an − a| < 1 ngh˜ıa l`a |n − a| < 1 ∀ n > N. T`u. d´o −1 < n − a < 1
∀ n > N ⇔ a − 1 < n < a + 1 ∀ n > N.
Nhu.ng bˆa´t d ˘a’ng th´u.c n < a + 1, ∀ n > N l`a vˆo l´y v`ı tˆa .p ho..p c´ac
sˆo´ tu.. nhiˆen khˆong bi. ch˘a.n. 2) C´ach 1. Gia
’ su.’ d˜ay an hˆo.i tu. v`a c´o gi´o.i ha.n l`a a. Ta lˆa ´y lˆan 1 cˆa , a +
’ a diˆe’m a. Ta viˆe´t d˜ay d˜a cho du.´o.i da.ng: 12 .n a − cu 2
{an} = −1, 1, −1, 1, . . . . (7.9) 8
Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu. c cu’a h`am sˆo´ 1 V`ı dˆo . d`ai cu’a khoa , a + `ng 1 nˆen hai diˆe’m −1 1 2 ’ng a − l`a b˘a 1
v`a +1 khˆong thˆe ’ dˆo`ng th`o.i thuˆo.c lˆan 2cˆa , a + ’ a diˆe’m a, 12
v`ı khoa’ng c´ach gi˜u.a −1 v`a +1 b˘a `ng . 2 nDia ˆe`u−d´o c´o ngh˜ıa clu `a o.’ ngo`ai 2 1 lˆan cˆa , a +
´ sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay v`a v`ı thˆe ´ (xem ch´u 12 ´y o.’ .t n rˆen) as − ˆo´ a khˆong thˆe c ’ ´ol`a vˆo gi´os .iˆoha 2 .n cu’ a d˜ay. 1 C´ach 2. Gia’ su.’ a ) ta c´o n → a. Khi d´
o ∀ ε > 0 (lˆa´y ε = 2 1 |an − a| < ∀ n > N. 2 V`ı an = ±1 nˆen 1 1 |1 − a| < , | − 1 − a| < 2 2 1 1
⇒2 = |(1 − a) + (1 + a)| 6 |1 − a| + |a + 1| 6 + = 1 2 2 ⇒2 < 1, vˆo l´y. 1
3) Lu.u ´y r˘a`ng v´o.i n = 2m ⇒ a2m = 1 + . Sˆo´ ha 2m .ng kˆe ` v´o.i n´o
c´o sˆo´ hiˆe.u le’ 2m + 1 (hay 2m − 1) v`a 1 1 a2m+1 = −1 + < 0 (hay a 6 0). 2m + 1 2m−1 = −1 + 2m − 1 T`u. d´o suy r˘a`ng |an − an−1| > 1.
Nˆe´u sˆo´ a n`ao d´o l`a gi´o.i ha .n cu’a d˜ay (an) th`ı b˘a´t d ˆa`u t`u. sˆo ´ hiˆe.u n`ao 1
d´o ( an) tho’a m˜an bˆa´t d˘a’ng th´u.c |an − a| < . Khi d´o 2 1 1
|an − an+1| 6 |an − a| + |an+1 − a| < + = 1. 2 2
Nhu.ng hiˆe.u gi˜u.a hai sˆo´ ha.ng kˆe`nhau bˆa´t k`y cu ’a d˜ay d ˜a cho luˆon luˆon
l´o.n ho .n 1. Diˆe`u mˆau thuˆa˜n n`ay ch´u.ng to’ r˘a`ng khˆong mˆo.t sˆo´ thu..c
n`ao c´o thˆe’ l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay d˜a cho. N
7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 9 B `AI T ˆA.P
H˜ay su.’ du.ng di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n dˆe ’ ch´u.ng minh r˘a`ng 1. lim a 2n − 1 n = 1 nˆ e ´ n→∞ u an = 2n + 2 3 3n2 + 1 2. lim an = nˆe´u an = n→∞ 5 5n2 − 1
B˘a´t d ˆa`u t`u. sˆo ´ hiˆe.u N n`ao th`ı: |an − 3/5| < 0, 01 (DS. N = 5) 3n + 1 3. lim an = 1 nˆe ´u an = . n→∞ 3n cos n 4. lim = 0. n→∞ n n n 5. lim 2 + 5 · 6 = 5. n→∞ 3n + 6 n 3 √ 6. lim n2 sin n2 = 0. n→∞ n + 1
7. Ch´u.ng minh r˘a`ng sˆo´ a = 0 khˆong pha’i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay an = n2 − 2 . 2n2 − 9 8. Ch´u.ng minh r˘a`ng n2 + 2n + 1 + sin n lim = 1. n→∞ n2 + n + 1
9. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay: an = (−1)n + 1/nphˆan k`y.
10. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay; an = sin n0 phˆan k`y.
11. T`ım gi´o.i ha.n cu’a d˜ay: 0, 2; 0, 22; 0, 222; . . . , 0, 22 . . . 2 , . . . n | {z}
Chı’ dˆa˜n. Biˆe’u diˆe˜n an du.´o.i da .ng 2 2 2 2 an = 0, 22 . . . 2 = + + · · · + (DS. lim a 10 10 10n n = 2/9) 10
Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu. c cu’a h`am sˆo´ 12. T`ım gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´:
0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; . . . , 0, 2 33 . . .,3.. . n | {z}
Chı’ dˆa˜n. Biˆe’u diˆe˜n an du.´o.i da .ng 2 3 3 an = + + · · · + 1 3 02 103 + (DS. 7/30) 10 10n
13. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u d˜ay an hˆo.i tu. dˆe´n a, c`on d˜ay bn dˆa`n dˆe´ n
∞ th`ı d˜ay an/bn dˆa ` n d ˆe´n 0. 14. Ch´u.ng minh r˘a`ng n i) lim = 0. n→∞ 2n n ii) lim = 0 (a > 1). n→∞ an Chı’ dˆa˜n. i) Su. ’ du.ng hˆe. th´u.c: n(n − 1) n(n − 1) n2 2n = (1 + 1)n = 1 + n + + · · · + 1 > n + > · 2 2 2
v`a u.´o.c lu.o..ng |an − 0|.
ii) Tu.o.ng tu.. nhu. i). Su.’ du.ng hˆe. th´u.c: n(n − 1) an = [1 + (a − 1)]n > (a − 1). 2 15. Ch´u.ng minh r˘a`ng 1 1 lim an = 2 nˆe´u an = 1 + + · · · + 2 2n
Chı’ dˆa˜n. ´Ap du.ng cˆong th´u.c t´ınh tˆo’ng cˆa´p sˆo´ nhˆan dˆe ’ t´ınh an rˆo`i u.´o.c lu .o..ng |an − 2|.
16. Biˆe´t r˘a`ng d˜ay an c´o gi´o.i ha.n, c`on d˜ay bn khˆong c´o gi´o.i ha.n. C´o
thˆe’ n´oi g`ı vˆe` gi´o.i ha.n cu’a d˜ay: i) {an + bn}. ii) {anbn}.
(DS. i) lim{an + bn} khˆong tˆo`n ta.i. H˜ay ch´u.ng minh.
7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 11
ii) C´o thˆe’ g˘a.p ca’ hai tru.`o.ng ho..p c´o gi´o.i ha.n v`a khˆong c´o gi´o.i ha.n, v´ı du.: n − 1 1 a , b , b n = n n = (−1)n; an = n n = (−1)n. 7.1.2 Ch´ u .ng minh su . . . hˆ
o. i tu. cu’a d˜ay sˆo ´ du. a trˆen c´
ac di.nh l´y vˆe` gi´o .i ha.n
Dˆe ’ t´ınh gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´, ngu.`o.i ta thu.`o.ng su.’ du.ng c´ac d.inh l´y v`a kh´ai niˆe.m sau dˆay:
Gia’ su.’ lim an = a, lim bn = b.
i) lim(an ± bn) = lim an ± lim bn = a ± b.
ii) lim anbn = lim an · lim bn = a · b. iii) Nˆe´u b 6= 0 th`ı b
´t ˘ad ˆa`u t`u. mˆo .t sˆo´ hiˆe.u n`ao d´o d˜ay an/bn x´ac
di.nh (ngh˜ıa l`a ∃N : ∀n > N ⇒ bn 6= 0) v`a: a lim a a lim n = n = b · n lim bn b
iv) Nˆe´u lim an = a, lim bn = a v`a b˘a ´t d ˆa`u t`u. mˆo .t sˆo´ hiˆe.u n`ao d´o
an 6 zn 6 bn th`ı lim zn = a (Nguyˆen l´y bi . ch˘a.n hai phi´a).
v) T´ıch cu’a d˜ay vˆo c`ung b´e v´o.i d˜ay bi. ch˘a.n l`a d˜ay vˆo c`ung b´e. vi) Nˆe´ 1
u (an) l`a d˜ay vˆo c`ung l´o.n v`a an 6= 0 th`ı d˜ay l`a d˜ay vˆo
c`ung b´e; ngu.o..c la.i, nˆe´ an 1 l`a vˆo c`ung l´o.n.
u αn l`a d˜ay vˆo c`ung b´e v`a αn 6= 0 th`ı d˜ay αn
Nhˆa.n x´et. Dˆe ’ ´ap du.ng d´ung d˘a´n c´ac di .nh l´y trˆen ta cˆa`n lu.u ´y mˆo.t
sˆo´ nhˆa.n x´et sau dˆay: i) D.inh l´y (iii) vˆe
` gi´o.i ha.n cu’a thu.o.ng s˜e khˆong ´ap du.ng du.o..c nˆe´u
tu.’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ khˆong c´o gi´o.i ha.n h˜u.u ha.n ho˘a.c mˆa˜u sˆo´ c´o gi´o.i ha.n
b˘a`ng 0. Trong nh˜u.ng tru.`o .ng ho..p d ´o nˆen biˆe´n dˆo ’i so. bˆo. d˜ay thu.o.ng, ch˘a’ng ha . n b˘a`ng c´ach chia ho˘a
. c nhˆan tu.’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ v´o.i c`ung mˆo.t biˆe’u th´u.c. 12
Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu. c cu’a h`am sˆo´
ii) Dˆo´i v´o.i di.nh l´y (i) v`a (ii) c˜ung cˆa`n pha’i thˆa.n tro.ng khi ´ap du.ng.
Trong tru.`o.ng ho..p n`ay ta cˆa`n pha’i biˆe´n dˆo’i c´ac biˆe’u th´u.c an ± bn v`a
an · bn tru.´o.c khi t´ınh gi´o.i ha.n (xem v´ı du. 1, iii). iii) Nˆe´u a an = a. n = a ≡ const ∀ n th` ı lim n→∞ C ´AC V´I DU.
V´ı du. 1. T`ım lim an nˆe´u: 1) an = (1 + 7 n+2)/(3 − 7n)
2) an = (2 + 4 + 6 + · · · + 2n)/[1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1)]
3) an = n3/(12 + 2 2 + · · · + n2)
Gia’i. Dˆe ’ gi’ai c´ac b`ai to´an n`ay ta d`ung l´y thuyˆe ´t cˆa´p sˆo´
1) Nhˆan tu.’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ phˆan th´u.c v´o .i 7 −n ta c´o: 1 + 7 n+2 a 7−n + 7 2 n = = 3 − 7n 3 · 7−n − 1 Do d´o 7−n + 7 2 lim an = lim
= −49 v`ı lim 7−n = 0, n → ∞. 3 · 7−n − 1
2) Tu.’ sˆo´v`a mˆa˜u sˆo´ dˆe`u l`a cˆa´p sˆo´ cˆo.ng nˆen ta c´o: 2 + 2n 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = · n; 2 1 + (2n + 2)
1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1) = (n + 1). 2 Do d´o n an = ⇒ lim a n + 1 n = 1. 3) Nhu. ta biˆe´t: n(n + 1)(2n + 1) 12 + 2 2 + · · · + n2 = 6
7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 13 v`a do d´o: 6n3 lim an = limn(n + 1)(2n + 1) 6 = lim = 3. N (1 + 1/n)(2 + 1/n)
V´ı du. 2. T`ım gi´o.i ha.n 1 1 1 1 + + + · · · + lim 2 4 2n 1 1 1 1 + + + · · · + 3 9 3n
Gia’i. Tu.’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ dˆe`u l`a cˆa ´p sˆo´ nhˆan nˆen 1 1 1 + + · · · + 2(2n − 1) , 2 = 2n 2n 1 1 1 + + · · · + 3(3n − 1) 3 = 3n 2 · 3n v`a do d´o: 2(2n − 1) 2 · 3n 2n − 1 2 3n lim a · lim n = lim · = 2 lim 2n 3(3n − 1) 2n 3 3n − 1 2 1 2 4 = 2 lim[1 − (1/2)n] · lim = 2 · 1 · · 1 = 3 1 − (1/3)n 3 · N 3 V´ı du. 3. √ 1) an = n2 + n − n 2) a √ n = 3√n + 2 − 3 n 3) an = 3√n2 − n3 + n Gia’i.
1) Ta biˆe´n dˆo’i an b˘a`ng c´ach nhˆan v`a chia cho da .i lu.o..ng liˆen ho..p √ √ ( n2 + n − n)( n2 + n + n) n 1 a √ = √ = n = n2 + n + n n2 + n + n p Do d´o 1 + 1/n+ 1 1 lim a 1 n = lim p = · ( 1 + 1/n+ 1) 2 n→∞ 14
Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu. c cu’a h`am sˆo´
2) Biˆe´n dˆo ’i an tu.o.ng tu.. nhu. 1) ta c´o: √n + 2 √ 3 √ 3 √ − 3n 3 a n + 2 n + 2 · 3√ √ n = 3 2 + 3 2 n + 3 n 2 an = √ √ n + 2 n + 2 · 3√ √ 3 2 + 3 n + 3 n 2
Biˆe’u th´u.c mˆa˜u sˆo´ b˘a`ng: p p n2/3 3 1 + 2/n 2 + 3 1 + 2/n+ 1 → ∞
khi n → ∞ v`a do d´o lim an = 0.
3) Ta c´o thˆe’viˆe´t n = 3√n3 v`a ´ap du .ng cˆong th´u.c:
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab+ b2) suy ra √ √ √ 3 n2 − n3 + n 3n2 − n3 2 √ − n 3 n2 − n3 + n2 a √ n2 − n3 + n2 n = 3 n2 − n3 2 − n 3 n2 = √ √ n2 − n3 + n2 3n2 − n3 2 − n 3 1
= [1/n− 1]2/3 − [1/n− 1]1/3 + 1 1 suy ra lim an = · N 3
V´ı du. 4. T`ım gi´o.i ha.n cu’a c´ac d˜ay sau n n an = √ , b n = √ , n2 + n n2 + 1 1 1 1 cn = √ + √ + · · · + n + 1 n2 + 2 √ · n2 + n Gia’i. Dˆa
` u tiˆen ta ch´u.ng minh lim an = 1. Thˆa .t vˆa.y: n lim an = lim 1 p = lim n 1 + 1/n p = 1. 1 + 1/n
7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 15 Tu.o.ng tu.. lim bn = 1.
Dˆe ’ t`ım gi´o.i ha.n cu’a cn ta s˜e ´ap du.ng Nguyˆen l´y bi. ch˘a.n hai ph´ıa. Mˆo.t m˘a.t ta c´o: 1 1 1 n cn < √ + √ + · · · + √ = n2 + 1 n2 + 1 √ n2 + 1 = b n2 + 1 n nhu.ng m˘a.t kh´ac: 1 1 1 cn > √ + √ + · · · + n2 + n n2 + n √ = a n2 + n n.
Nhu. vˆa.y an < c n < b n v`a lim an = lim bn = 1. T`u. d´o suy ra n→∞ n→∞ lim cn = 1. N n→∞
V´ı du. 5. Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay (qn) l`a: 1) d˜ay vˆo c`ung l´o.n nˆe ´u
|q| > 1; 2) d˜ay vˆo c`ung b´e khi |q| < 1. Gia’i. 1) Gia
’ su.’ |q| > 1. Ta lˆa´y sˆo´ A > 0 bˆa´t k`y. T`u. d˘a’ng th´u.c
|q|n > A ta thu du.o ..c n > log|q|A. Nˆe ´u ta lˆa´y N = [log|q|A] th`ı∀ n > N
ta c´o |q|n > A. Do d ´o d˜ay (qn) l`a d˜ay vˆo c`ung l´o.n. 1 2) Gia ’ su. h 1 ni−1
’ |q| < 1, q 6= 0. Khi d´o qn = . V`ı > 1 nˆen q q 1 h 1 i−1 d˜a b y n
´e, t´u.c l`a d˜ay l`a(qdn˜a)yl`avˆod c ˜a `u y ng vˆol´o.n c`un v g `abd´ e o d k ´o hi d|˜a qy n | < 1. l`a vˆo c`ung q q 3) Nˆe
´u q = 0 th`ı qn = 0, |q|n < ε ∀ n v`a do d´o (qn) l`a vˆo c`ung b´e. N B `AI T ˆA . P
T`ım gi´o.i ha.n liman nˆe ´u n→∞ n2 − n 1. an = √ . (D S. ∞) n − n√ 2. an = n2(n − n2 + 1). (DS. −∞) 16
Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu. c cu’a h`am sˆo´ 1 + 2 + 3 + · · · + n 3. a / n = √ . (D S. 1 6) 9n4 + 1 √ncos n 4. a . (D S. 0) n = n + 1 5n sin n 5. an = + . (D S. 5) n + 1 n n3 3n2 6. an = − . (D S. 1/3) n2 + 1 3n + 1 n cos n 7. an = − . (D S. 1) n + 11 10n n3 + 1 8. an = (DS. ∞) n2 − 1 cos n3 3n 1 9. an = − . (D S. − ) n 6n + 1 2 (−1)n 10. an = √ . (DS. 0) 5 n + 1 √ √ n2 + 1 + n 11. an = 3√ √ . (DS. +∞) n3 + n − n 12. an = 3√1 − n3 + n. (DS. 0) √n2 + 4n 13. an = 3√ . (D S. 1) n3 − 3n2 (n + 3)! 14. an = . (D 2(n + 1)! − (n + 2)! S. −∞) 2 + 4 + · · · + 2n 15. an = − 2. (DS. −1) n + 2 √ 1 16. a ) n = n − 3 n3 − n2. (DS. 3
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − · · · − 2n 1 17. a ) n = √ √ . (D S. − n2 + 1 + 4n2 + 1 3 1 1 1 18. an = + + · · · + . 1 · 2 2 · 3 n(n + 1) 1 1 1 Chı’ dˆa˜n. ´Ap du.ng = − (DS. 1) n(n + 1) n n + 1
7.1. Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 17 1 1 1 3 19. a (−1)n−1 n = 1 − + − . (D S. ) 3 9 + · · · + 27 3n−1 4 2n+1 + 3 n+1 20. an = . (D S. 3) 2n + 3 n n + (−1)n 21. a . (D S. 1) n = n − (−1)n 1 1 √ √ + √ √ + · · · + √ √ 1 1 1+ 3 3 + 5 22. a 2n − 1 + 2n + 1 n = √
Chı’ dˆa˜n. nTru.c c˘an th´u.c o.’ mˆa˜u sˆo´ c´ac biˆe’u th´u.c trong dˆa´u ngo˘a.c. 1 (DS. √ ) 2 1 1 1 23. an = + + · · · + 1 · 2 · 3 2 · 3 · 4 n(n + 1)(n + 2)
Chı’ dˆa˜n. Tru.´o.c hˆe ´t ta ch´u.ng minh r˘a`ng 1 1 1 = − ) n(n + 1)(n + 2) hn(n 1+ 1) i 14 (DS. 1 1 2 1 (n + 1)(n + 2)1 24. an = + + · · · + . (DS. ) a1a2 a2a3 anan+1 a1d
trong d´o {an} l`a cˆa´p sˆo´ cˆo.ng v´o.i cˆong sai d 6= 0, an 6= 0.1 2 25. a ). (DS. )
n = (1 − 1/4)(1 − 1/9) · · · (1 − 1/(n + 1) 2 n + 2
Chı’ dˆa˜n. B˘a`ng quy na
. p to´an ho.c ch´u.ng to’ r˘a`ng an = . 2n + 2 7.1.3 Ch´ u .ng minh su . . . hˆ
o.i tu. cu’a d˜ay sˆo ´ du. a trˆen
diˆe`u kiˆe .n du’ dˆe ’ d˜ay hˆo. i tu. (nguyˆen l´y Bolzano-Weierstrass)
D˜ay sˆo´ an du.o..c go.i l`a:
i) D˜ay t˘ang nˆe´u an+1 > a n ∀ n
ii) D˜ay gia’m nˆe´u an+1 < a n ∀ n
C´ac d˜ay t˘ang ho˘a.c gia’m c`on d u.o..c go.i l`a d˜ay do.n diˆe.u. Ta lu.u ´y
r˘a`ng d˜ay do.n diˆe.u bao gi`o. c˜ung bi.ch˘a.n ´ıt nhˆa´t l`a mˆo.t ph´ıa. Nˆe´u d˜ay 18
Chu.o.ng 7. Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu. c cu’a h`am sˆo´
do.n d iˆe.u t˘ang th`ı n´o bi. ch˘a.n du.´o.i bo.’i sˆo´ ha.ng dˆa`u tiˆen cu’a n´o, d˜ay
do.n d iˆe.u gia’m th`ı bi. ch˘a.n trˆen bo.’ i sˆo´ha.ng dˆa
` u. Ta c´o di.nh l´y sau dˆay
thu.`o.ng du.o..c su.’ du.ng dˆe ’ t´ınh gi´o.i ha.n cu’a d˜ay do.n diˆe.u. D
- i.nh l´y Bolzano-Weierstrass. D˜ay do.n d
iˆe.u v`a bi. ch˘a. n th`ı hˆo.i tu..
Di.nh l´y n`ay kh˘a’ng di.nh vˆe`su.. tˆo`n ta.i cu’a gi´o.i ha.n m`a khˆong chı’
ra du.o..c phu.o.ng ph´ap t`ım gi´o.i ha.n d´o. Tuy vˆa.y, trong nhiˆe`u tru.`o.ng
ho..p khi biˆe´t gi´o.i ha.n cu’a d˜ay tˆo
`n ta.i, c´o thˆe’ chı’ ra phu.o.ng ph´ap t´ınh
n´o. Viˆe.c t´ınh to´an thu.`o.ng du..a trˆen d˘a’ng th´u.c d´ung v´o.i mo.i d˜ay hˆo.i tu.: lim an+1 = lim an. n→∞ n→∞
Khi t´ınh gi´o.i ha.n du..a trˆen d ˘a’ng th´u.c v`u.a n ˆeu t i ˆe.n lo..i ho.n ca’ l`a su.’ du. ng c´ach cho d˜ay b˘a
`ng cˆong th´u.c truy hˆo`i. C ´AC V´I DU.
V´ı du. 1. Ch´u.nh minh r˘a`ng d˜ay: 1 1 1 an = + + · · · + hˆo 5 + 1 52 + 1 5n + 1 .i tu. .
Gia’i. D˜ay d˜a cho do.n diˆe.u t˘ang. Thˆa .t vˆa.y v`ı: 1 an+1 = an + nˆen a 5n+1 + 1 n+1 > a n.
D˜ay d˜a cho bi.ch˘a.n trˆen. Thˆa .t vˆa.y: 1 1 1 1 1 1 1 an = + + + · · · + < + + · · · + 5 + 1 52 + 1 53 + 1 5n + 1 5 52 5n 1 1 − 1 = 5 5n+1 = 1 · 1 − 1 14 5 1 − < 4 5n
Nhu. vˆa.y d˜ay an d˜a cho do.n d iˆe.u t˘ang v`a bi. ch˘a.n trˆen nˆen n´o hˆo.i tu.. N