Bài tập toán cao cấp | Trường Đại học Điện lực

BỘ CÔNG THƯƠNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC Bài tập TOÁN CAO CẤP 1
Sư tầm từ đề thi Toán 1 các năm
Biên tập lại theo trình tự bài giảng lý thuyết
Tài liệu lưu hành nội bộ HÀ NỘI – 9/2023 Chương 1:
SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA SỐ PHỨC
Bài tập 1: Chuyển các số phức sau về dạng lượng giác: √ √ 3 − i (1 + 3i)6(1 − i) a. z = . d. I = √ . 1 − i ( 3 − i)3 √ 1 + 3i √ b. z = . (2 − 2i)8(− 3 + i)2 1 − i e. I = . √ (1 + i)4 (−1 + 3i)6(1 + i) c. I = √ . (− 3 − i)3
Bài tập 2: Tìm mô đun và argument của các số phức: 1 7i a. z = √ . c. z = √ . 3 − i 3 − i 2 b. z = √ . −1 − i 3 Bài tập 3: √ √ −1 − i 3 2 − 2i 3 a. Cho z = √ , tính z1000. c. Cho z = , tính z50. 3 − i −1 − i √ 1 − i 3 b. Cho z = √ , tính z100. 3 + i
Bài tập 4: Tìm căn bậc ba của các số phức: √ √ a. z = −4 − 4i 3. 1 + 3i √ c. z = . 1 + i b. z = 2 − 2i 3.
Bài tập 5: Tìm căn bậc tám của số phức: √ −1 + 3i z = . −2 + 2i
Bài tập 6: Giải các phương trình: √ √ a. z3 + 3 + i = 0. c. z3(1 + i) = (−1 + 3i)3(1 − i)5. √ √ b. z5 − (1 − 3i)2 = 0. d. z3(1 − i) = (1 + 3i)3(1 + i)5. Chương 2: MA TRẬN, ĐỊNH THỨC
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài tập 1: Cho ma trận  1 1 2   1 −1 1  A = 1 −1 3 −1 −1 −2  . B =  . −3 −1 −5 2 1 −1
Chứng minh rằng A; B khả nghịch. Tìm ma trận nghịch đảo A−1; B−1?
Bài tập 2: Giải phương trình ma trận XA = B với  1 2 3   1 2 5  A = 2 5 3 3 −3 −1   ; B =   . 1 0 8 −2 −1 2
Bài tập 3: Giải phương trình ma trận AX = B với  1 2 3   2 2 6  A = 2 5 3 3 −3 −1   ; B =   . 1 0 8 0 −1 2
Bài tập 4: Xác định a để hệ sau có nghiệm duy nhất:  (a − 1)x  1 +x2 +x3 = 1 x1 +2x2 +ax3 = 5   a. 3x1 −x2 +2x3 = 1 . c. 3x1 −x2 −ax3 = −7 .  2x  1 +x2 +3ax3 = a 2x1 +x2 +3x3 = 1  x1 +2x2 +ax3 = 1  b. 2x1 +ax2 +3x3 = −1 .  x1 +2x2 −2x3 = 1
Bài tập 5: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer:  2x +4y +3z = 1  2x −2y −z = 2   a. 3x +y −2z = −2 . c. y +z = 3 .  4x +11y +7z = 4  −x +y +z = −1  x +y +2z = −1  b. 2x −y +2z = −2 .  4x +y +4z = −5
Bài tập 6: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử Gauss:  2x +4y +3z = 2  x +2y +z = 2   a. 3x +y −2z = −2 . c. x −y −2z = −5 .  4x +11y +7z = 5  2x +y −z = 3  x +y +2z = −3  b. 2x −y +2z = 1 .  4x +y +4z = −2
Bài tập 7: Tìm hạng của các ma trận:  1 2 3 4 5 
 −1 −2 −4 −5 −2  −2 −3 −4 −5 0 2 3 1 1 3 A =      . B = . 3 4 5 6 −5   0 1 7 9 1      4 5 6 7 −10 1 3 11 14 3
Bài tập 8: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số a:  x  1 +x2 +ax3 = 2022 x +y +z = 1   a. x1 +ax2 +x3 = 2022 . c. x +(a − 1)y +z = 3 .  ax  1 +x2 +x3 = 2022 x +y +az = 1  x +ay +z = 1  ax +y +z = 3   b. x +y +az = 0 . d. x +ay +z = −2 .  ax +y +z = 3  x +y +az = 1 Chương 3: KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Bài tập 1: Trong không gian véctơ 3
R cho họ véctơ S = {u1, u2, u3}. Trong dó
u1 = (3; 0; 4), u2 = (−1; 4; −2), u3 = (7; −4; 10).
a. Hỏi rằng họ véctơ S là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
b. Tìm biểu diễn tuyến tính của véctơ u3 đối với họ {u1, u2}.
Bài tập 2: Trong không gian véctơ 3
R cho họ véctơ S = {u1, u2, u3}. Trong đó
u1 = (1; 7; −4), u2 = (−3; 1; 0), u3 = (10; 4; −4).
a. Hỏi rằng họ véctơ S là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
b. Tìm biểu diễn tuyến tính của véctơ u3 đối với họ {u1, u2}.
Bài tập 3: Trong không gian véctơ 3
R cho họ véctơ S = {u1, u2, u3}. Trong đó
u1 = (−1; 2; −1), u2 = (−2; 0; −1), u3 = (3; −10; 4)
a. Hỏi rằng họ véctơ S có là cơ sở của R3 không? Tai sao?
b. Hãy biểu diễn véctơ u3 thành một tổ hợp tuyến tính của {u1, u2}.
Bài tập 4: Trong không gian 3 R , cho họ véctơ:
B = {u1 = (1, 1, 1); u2 = (−1, −2, −3); u3 = (2, 1, 3)} và u = (6, 5, 10).
a. Chứng minh B là một cơ sở của 3 R .
b. Hãy tìm tọa độ của u đối với cơ sở B.
Bài tập 5: Trong không gian 3 R , cho họ véctơ:
B = {u1 = (1, 0, −1); u2 = (1, 1, 1); u3 = (−3, −2, 1)} và u = (1, 1, 3).
a. Chứng minh B là một cơ sở của 3 R .
b. Hãy tìm tọa độ của u đối với cơ sở B.
Bài tập 6: Trong không gian 3 R , cho họ véctơ:
B = {u1 = (0, 1, −1); u2 = (−2, −1, 0); u3 = (−2, 3, 1)} và u = (3, 3, 1).
a. Chứng minh B là một cơ sở của 3 R .
b. Hãy tìm tọa độ của u đối với cơ sở B.
Bài tập 7: Trong không gian véctơ 3
R cho họ véctơ B = {u1, u2, u3}. Trong đó
u1 = (1; 2; 3), u2 = (4; −5; −6), u3 = (7; −8; 9).
a. Hỏi B có là một cơ sở của 3 R hay không? Tại sao?
b. Nếu B là một cơ sở của 3 3
R , hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang cơ sở chính tắc của R .
Bài tập 8: Trong không gian véctơ 3
R cho họ véctơ B = {u1, u2, u3}. Trong đó
u1 = (2; 2; −1), u2 = (−2; 0; −1), u3 = (3; −9; 4).
a. Hỏi B có là một cơ sở của 3 R hay không? Tại sao?
b. Nếu B là một cơ sở của 3 3
R , hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang cơ sở chính tắc của R .
Bài tập 9: Trong không gian véctơ 3
R cho họ véctơ B = {u1, u2, u3}. Trong đó
u1 = (−1; 0; 1), u2 = (1; 2; 1), u3 = (−3; 5; −7).
a. Hỏi B có là một cơ sở của 3 R hay không? Tại sao?
b. Nếu B là một cơ sở của 3 3
R , hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang cơ sở chính tắc của R .
Bài tập 10: Trong không gian 3 R cho 2 cơ sở
B = {v1 = (6, 6, 0); v2 = (−2, −6, 4); v3 = (−2, −3, 7)} ; và
B0 = {e1 = (−3, 0, −3); e2 = (−3, 2, 1); e3 = (1, 6, −1)} .
a. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B0.
b. Tìm (v)B nếu biết (v)B0 = (1, 3, 0).
Bài tập 11: Trong không gian 3 R cho 2 cơ sở
B = {v1 = (−1, 0, 0); v2 = (2, 2, 0); v3 = (3, 3, 3)} và
B0 = {e1 = (1, 0, 0); e2 = (0, 1, 0); e3 = (0, 0, 1)} .
a. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B0.
b. Tìm (v)B nếu biết (v)B0 = (2, −1, 0).
Bài tập 12: Trong không gian 3 R cho 2 cơ sở
B = {v1 = (0, 1, −1); v2 = (2, 1, 0); v3 = (2, −3, −1)} ; và
B0 = {e1 = (1, 0, 0); e2 = (0, 1, 0); e3 = (0, 0, 1)}.
a. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B0.
b. Tìm (v)B nếu biết (v)B0 = (3, 0, 7). Chương 4: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Bài tập 1: Cho ánh xạ: T : 3 3 R → R với
T (x; y; z) = (2x − y − z; −x + 2y − z; x + y − 2z).
a. Chứng minh T là ánh xạ tuyến tính; b. Tìm Im(T ).
Bài tập 2: Cho ánh xạ: T : 3 3 R → R với
T (x; y; z) = (2x − y + 3z; x + 2y − 2z; 8x + y + 5z).
a. Chứng minh T là ánh xạ tuyến; b. Tìm Im(T ).
Bài tập 3: Cho ánh xạ f : 3 3
R → R được xác định bởi
f (x; y; z) = (x + y − z; 2x + 3y − z; 3x + 5y − z).
a. Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính; b. Tìm Ker(f ).
Bài tập 4: Cho ánh xạ f : 3 3
R → R được xác định bởi
f (x; y; z) = (x − y + z; x + 2y − z; 2x + y).
a. Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính; b. Tìm Ker(f ).
Bài tập 5: Cho ánh xạ f : 3 3 R → R xác định bởi:
f (x, y, z) = (x − y − z, 2x + y − z, 4x − y − 3z).
a. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính;
b. Tìm ma trận A của f đối với cơ sở chính tắc trong 3 R .
Bài tập 6: Cho ánh xạ f : 3 3 R → R xác định bởi:
f (x, y, z) = (x + y − z, 2x − y + z, x + 2y − z).
a. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính.
b. Tìm ma trận A của f đối với cơ sở chính tắc trong 3 R .
Bài tập 7: Cho ánh xạ f : 3 3 R → R , xác định bởi
f (x, y, z) = (x − 2y + z, x + y, x + y − 2z).
a. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính;
b. Tìm ma trận A của f đối với cơ sở B = {e 3
1 = (−1, 0, 0); e2 = (2, 2, 0); e3 = (3, 3, 3)} trong R .
Bài tập 8: Cho ánh xạ f : 3 3 R → R , xác định bởi
f (x, y, z) = (x − y − z, 2x + y − z, 4x − y − 3z).
a. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính;
b. Tìm ma trận A của f đối với cơ sở B = {e 3
1 = (1, 1, 1); e2 = (−2, −2, 0); e3 = (3, 0, 0)} trong R .
Bài tập 9: Cho ánh xạ f : 3 3 R → R , xác định bởi
f (x, y, z) = (x + y + z, x − y + z, 2x + y + 3z).
a. Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính.
b. Tìm ma trận A của f đối với cơ sở B = {v 3
1 = (1, 0, 1); v2 = (1, 3, 0); v3 = (0, −2, 1)} trong R . Bài tập 10: Cho f : 3 3 R → R xác định bởi
f (x, y, z) = (x + 2y; −x; z).
a. Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = {v1 = (−1, −1, −1); v2 = (2, 2, 0); v3 = (3, 0, 0)} ;
b. Dùng ma trận thu được ở câu a) tính f (1, 3, 0). Bài tập 11: Cho f : 3 3 R → R xác định bởi
f (x1, x2, x3) = (x1 − x2, x2 − x1, x1 − x3) .
a. Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = {v1 = (1, 0, 1); v2 = (0, 1, 1); v3 = (1, 1, 0)};
b. Dùng ma trận thu được ở câu a) tính f (3, 0, 2).
Bài tập 12: Cho ánh xạ f : 3 3 R → R xác định bởi
f (x, y, z) = (x + 2y − z; −x + y + z; x + z).
a. Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = {v1 = (−1, 1, 2); v2 = (−2, 2, 0); v3 = (1, 0, 4)};
b. Dùng ma trận thu được ở câu a) tính f (0, 3, 4).
Bài tập 13: Tìm giá trị riêng và không gian riêng ứng với giá trị riêng tìm được của ma trận A, biết 1 4  2 −2 2  a. A = . 2 3 d. A = −2 5 1   . 2 1 5  1 0 1  b. A = 0 0 0    . 5 −3 1 1 0 1 e. A = −3 5 1   . 0 0 8  1 2 1  c. A = 2 4 2   . 1 2 1
Bài tập 14: Tìm ma trận P làm chéo hóa ma trận  2 0 −2   −2 0 −36  a. A = 0 3 0 0 −3 0  . b. A =  . 0 0 3 −36 0 −23 Chương 5: DẠNG TOÀN PHƯƠNG
Bài tập 1: Trong không gian 3
R cho các dạng toàn phương: a. Q = x2 + x2 + x2 + 4x 1 2 3 1x2 + 4x2x3 + 4x1x3. b. Q = x2 + 3x2 − x2 + 4x 1 2 3 1x2 + 2x1x3 + 2x2x3. c. Q = x2 + x2 + 2x2 + 2x 1 2 3 1x2 + 2x2x3. d. Q = x2 + 2x + x2 + 2x 1 1x2 + 4x1x3 − 2x2 2 3 2x3. e. Q = 4x2 + 2x2 + 2x2 + 4x 1 2 3 1x2 − x2x3 − 4x1x3. f. Q = x2 − x2 + x2 + 2x 1 2 3 1x2 − 3x2x3 − x1x3. g. Q = 2x2 + 2x2 + 2x2 − 2x 1 2 3 1x2 + x2x3.
h. Q = 2x2 − 10x2 − 8x2 − 4x 1 2 3 1x2 + 8x1x3 + 16x2x3. i. Q = 3x2 + 2x2 + x2 − 3x 1 2 3 1x2 + x2x3.
Hãy đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra phép biến đồi tọa độ.
Bài tập 2: Trong không gian 3 R cho dạng toàn phương: ϕ = 2x2 + 3x2 + x2 + 2λx 1 2 3 1x2 + 4x1x3 + 2x2x3.
a. Với λ = 1, hãy đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra phép biến đổi tọa độ;
b. Tìm λ để dạng toàn phương trên là xác định dương.
Bài tập 3: Trong không gian 3 R cho dạng toàn phương: ϕ = 5x2 + x2 + λx2 + 4x 1 2 3 1x2 − 2x1x3 − 2x2x3.
a. Với λ = 3, hãy đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra phép biến đổi tọa độ;
b. Tìm λ dể dạng toàn phương trên là xác định dương.
Bài tập 4: Trong không gian 3 R cho dạng toàn phương: Q = 5x2 + x2 + λx2 + 4x 1 2 3 1x2 − 2x1x3 − 2x2x3.
a. Với λ = 1, hãy đưa dạng toàn phương trên về dạng chính tắc và chỉ ra phép biến đổi tọa độ.
b. Tìm λ để dạng toàn phương trên là xác định dương. BÀI TẬP ỨNG DỤNG Bài tập 1:
Mạch điện gồm điện trở 5Ω mắc nối tiếp điện trở 7Ω nối tiếp với cuộn cảm với độ tự cảm L = 50mH nối
tiếp tụ điện có điện dung C = 100µF với tần số f = 100 Hz. Xác định tổng trở phức của mạch? 1
Gợi ý: Tổng trở phức của mạch: Z = R1 + R2 + iZL − iZC; ZL = 2πf L; ZC = . 2πf C Bài tập 2:
Một mạch điện gồm hai nhánh mắc song song. Nhánh 1 gồm có điện trở 15Ω mắc nối
tiếp với cuộn cảm với độ tự cảm L = 150mH. Nhánh 2 có điện trở 10Ω mắc nối tiếp
với tụ điện có điện dung C = 100µF . Với tần số làm việc của mạch là f = 50 Hz.
Xác định tổng trở phức tương đương của mạch? Bài tập 3:
Một hãng sử dụng 4 loại vật liệu khác nhau để sản xuất 3 loại sản phẩm. Cho biết, định mức về số đơn
vị vật liệu cho một đơn vị sản phẩm mỗi loại tương ứng và giá của một đơn vị vật liệu (tính bằng nghìn
đồng) mỗi loại ở bảng sau Vật liệu 1 2 3 4 Sản phẩm I 2 4 0 1 II 3 0 1 2 III 1 2 3 4 Giá vật liệu 15 8 12 9
a. Viết ma trận A là ma trận định mức số đơn vị vật liệu trên mỗi đơn vị sản phẩm và ma trận B là
ma trận giá của đơn vị vật liệu mỗi loại.
b. Từ đó hãy tính chi phí vật liệu cho một đơn vị sản phẩm mỗi loại. Bài tập 4:
Một hãng sử dụng 4 loại vật liệu khác nhau để sản xuất 3 loại sản phẩm. Cho biết, định mức về số đơn vị
vật liệu cho một đơn vị sản phẩm mỗi loại tương ứng và giá của một đơn vị vật liệu mỗi loại ở bảng sau Vật liệu 1 2 3 4 Sản phẩm I 2 4 0 1 II 3 0 1 2 III 1 2 3 4
Biết chi phí sản xuất của các sản phẩm I, II, III tương ứng là 68, 66, 104 nghìn đồng và giá của mỗi
đơn vị vật liệu 1 là 11 nghìn.
a. Viết ma trận A là ma trận định mức số đơn vị vật liệu trên mỗi đơn vị sản phẩm và ma trận P là
ma trận chi phí về vật liệu của một đơn vị sản phẩm mỗi loại.
b. Từ đó hãy tính giá của mỗi đơn vị vật liệu mỗi loại 2, 3, 4 (đơn vị: nghìn đồng). Bài tập 5:
Mô hình cân bằng cung cầu 3 thị trường của 3 loại hàng hóa 1, 2, 3 có các phương trình quan hệ giữa
lượng cung và lượng cầu của mỗi loại hàng hóa theo giá của chúng được cho bởi các phương trình sau: qs = −10 + p = 2p = −5 + 3p 1 1, qs 2 2, qs 3 3, qd = 20 − p = 40 − 2p = 10 − p 1 1 − p3, qd 2 2 − p3, qd 3 1 + p2 − p3,
trong đó qs và qd lần lượt là lượng cung và lượng cầu của loại hàng hóa i, i = 1, 2, 3; p i i i là giá của loại hàng
hóa i, i = 1, 2, 3. Hãy xác định các mức giá cân bằng thị trường của 3 loại hàng hóa trên. Bài tập 6:  1 2 1  Cho ma trận A = 2 2 −1 
 và một sự tương ứng giữa các kí tự và các số như sau: 1 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 H N E D A O I M T K
Một người muốn gửi một dòng mật khẩu cho đồng nghiệp. Để đảm bảo bí mật anh ta dùng bảng
tương ứng trên chuyển dòng mật khẩu này thành một dãy số và viết dãy số này thành ma trận B theo
nguyên tắc: lần lượt từ trái sang phải mỗi số là một vị trí trên dòng của B. Sau khi tính C = BA và
chuyển ma trận C về dãy số thì được dãy: 16 20 13 6 6 3 15 20 6.
Hãy giải mã dòng thông tin trên? Bài tập 7:
Nhà máy sử dụng 3 loại vật liệu thô để sản xuất 4 loại sản phẩm. Lượng vật liệu thô cần thiết để sản
xuất mỗi loại sản phẩm được cho bởi  1   1   0   5  u1 = 2 0 5 31   , u2 =   , u3 =   , u4 =   , 1 2 2 17
a. Biểu diễn tuyến tính u4 qua các véctơ còn lại, nêu ý nghĩa kinh tế của nó;
b. Xác định số lượng các loại vật liệu thô cần thiết để sản xuất 4 sản phẩm loại 1, 3 sản phẩm loại 2 và 1 sản phẩm loại 3. Bài tập 8:
Nhà máy sử dụng 3 loại vật liệu thô để sản xuất 4 loại sản phẩm. Lượng vật liệu thô cần thiết để sản
xuất mỗi loại sản phẩm được cho bởi  18   2   0   5  u1 = 15 1 1 2   , u2 =   , u3 =   , u4 =   , 20 3 1 1
a. Biểu diễn tuyến tính u1 qua các véctơ còn lại, nêu ý nghĩa kinh tế của nó.
b. Xác định số lượng các loại vật liệu thô cần thiết để sản xuất 1 sản phẩm loại 2, 3 sản phẩm loại 3, 1 sản phầm loại 4. Bài tập 9:
Kết quả bỏ phiếu của cuộc bầu cử thứ k tại nước M được đại diện bởi một véctơ Xk = (x1(k), x2(k), x3(k)) trong không gian 3
R , trong đó x1(k), x2(k) và x3(k) lần lượt là tỷ lệ người dân bầu cho đảng dân chủ (D),
đảng tự do (R) và đảng cầm quyền (L) ở cuộc bầu cử thứ k. Giả sử rằng kết quả của cuộc bầu cử lần sau
chỉ phụ thuộc vào kết quả của cuộc bầu cử trước đó thông qua mô hình sau:  0.7 0.1 0.3  Xk+1 = P Xk, P = 0.2 0.8 0.3   . 0.1 0.1 0.4
Biết kết quả bầu cử lần thứ nhất là X1 = (0.55, 0.4, 0.05)t và có 10 triệu người đi bầu ở cuộc bầu cử thứ
3 . Hãy xác định số người bầu cho đảng dân chủ, đảng tự do và đảng cầm quyền trong cuộc bầu cử thứ 3. Bài tập 10:
Một nhà máy cùng sản xuất 2 loại thiết bị với số lượng lần lượt là Q1, Q2 và giá thị trường là p1 =
110, p2 = 200. Chi phí sản suất của nhà máy đạt được khi sản xuất 2 loại thiết bị này là C = 2Q2 + Q + 64 1 1Q2 + 3Q2 2
Hãy xác định cơ cấu sản xuất (Q1, Q2) để nhà máy đạt lợi nhuận lớn nhất.