Bài tập toán chuyên ngành biến đổi Laplace | Trường đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng

Bài tập toán chuyên ngành
Chương 5: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
Tìm ảnh Laplace của các hàm gốc sau (5.1 đến 5.4)
5.1. a. f (t) = sin 2t
b. f (t) = cos5t
c. f (t) = cosht
d. f (t) = sinhat e. 2
f (t) = sin mt f. 2
f (t) = cos mt 5.2. a. 4 ( ) t
f t = e cos t b. 2 ( ) t
f t = e sin 3t c. 3 ( ) − t f t = e cosh 2t
d. f (t) = 3cos4t
e. f (t) = cosh3t + t sinh3t
f. f (t) = sin 2t − 2t cos2t 5.3. a. 2 ( ) = 4 t f t e cosh t b. ( ) at f t te− = c. 2 ( ) at f t = t e d. 2 3 ( ) 1( 3).( 3) . t f t t t e − = − − e. 2(t 1 − )
f (t) =1(t −1).e .cos3(t −1) f. a( t−2)
f (t ) = e
.sin 2(t − 2).1(t − 2) t t
5.4. a. f (t) = sin u du 
b. f (t) = cos 2u du  0 0 t t c. 2
f (t) = sin mu du  d. 2
f (t ) = cos mu du  0 0
5.5. Tìm ảnh Laplace của các hàm gốc sau 2 sin 1− cos a. t ( ) t f t = b. f (t) = t t te −at −bt c. sin7 .sin3 e −e ( ) t t f t = d. f (t) = .sin kt t t
5.6. Dựa vào bảng gốc - ảnh và các tính chất của phép biến đổi Laplace tìm gốc của các ảnh sau 2 − p + a. p 1 ( ) e F p = b. F( p) = 2 p −9 2 p + 2 p − c. 1 p 2 F( ) p = d. F( p) = 2 p −2 p +5 2 p − 4 p − 5 p +1 p +8 e. F( ) p = f. F( p) = 2 p −4 p 2 p + 4 p + 5
5.7. Áp dụng tích chập của hai hàm hoặc định lý tích phân gốc để tìm gốc của các ảnh sau 1 a. ( ) m F p = b. F( ) p = 2 p ( 2 2 p + m ) p ( p −1) 2 c. 1 ( ) p F p = ( d. F( p) = 2 p + 4 )( 2 p +9 ) (p + m )2 2 2 1 e. ( ) p F p = f. F( ) = ( p 2 p + m )2 2 2 p ( p −9)
5.8. Áp dụng công thức Duamel để tìm gốc của ảnh ( ) p F p =
( p −3)2 ( p +5 )
5.9. Áp dụng phương pháp thặng dư, tìm gốc của các ảnh sau 3 a. ( ) p p F p = b. ( 2 p 1
− )( p −3)( p −4 )
( p −3) ( p +5) − 3 2 c. 6 p 14
2p + 9p +15p + 8 F( ) p = d. F( ) p = 2 p −4 p +3
p ( p + 2)( p + )2 1 1 3 e. ( p F ) p = f. F( p) = 3 p ( p 1 − ) ( p +1)2 2
5.10. Tìm nghiệm riêng thỏa các điều kiện đầu đã cho a. '− 3 '+ 2 t y y
y = te với y(0) = 1, y '(0) = 2 − .
b. y''+ 4y' =1 với y(0) = y'(0) = y'(0) = 0.
c. y'− 4y'+3y = 0 với y(0) = 0, y'(0) =10.
d. y'+ 2y'+ 2y = 2+ 2t với y(0) = 0, y'(0) =1. e. (4) y
+ 2y ' + y = 0 với y(0) = 0 , y'(0) =1, y'(0) = 2, y''(0) = 3 − . f. 2 '' 2 ' ' 2 t y y y e− + + = −
với y(0) = 2, y'(0) =1, y'(0) =1.
5.11. Bằng công thức Duamel, tìm nghiệm riêng thỏa các điều kiện đầu đã cho a. 2 '− 3 '+ 2 t y y
y = e với y(0) = y '(0) = 0.
b. y' − 2y'+ y = sinht với y(0) = y '(0) = 0.
5.12. Tìm nghiệm riêng của các hệ phương trình sau thỏa các điều kiện đầu đã cho
x' = y + z
a. y' = x + z với x(0) = 1
− , y(0) = 1, z(0) = 0.
z' = x + y  2
x'+3x − 4y = 9 t e b.  với (
x 0) = 2 , y(0) = 0. 2 2
 x + y'−3y = 3 t e
x'+ 4x + 4 y = 0 c. 
với x(0) = 3, y(0) = 15.
y ' +2 x +6 y =  0
x'− 2x − 4 y = cos t d.  với (
x 0) = y(0) = 0.
y ' + x +2 y =  sin t
5.1. Tìm biến đổi Laplace của các hàm gốc sau a. 2
f (t) = cos at b. f t = (t + )2 ( ) 1 0 t  0 c.  ( ) ( 1) at f t t e− = + d. f (t) t = e 0  t  2 0 t  2  0  t  0 e.  f (t) = s  in t 0  t   0  t   
5.2. Tìm biến đổi Laplace của các hàm gốc sau
a. f (t) = 2sint − cos2t − t + cos3 b. 5 ( ) = − 2 − t f t t
+ e −sin 5t + cos 2
5.3. Tìm gốc của các ảnh sau 1 1 a. F( ) p = b. F( p) = p +3 4 p + c. 1 2p 3 F( ) p = d. F( p) = 2 p +9 2 p + 9 + e. 2 15 2 6 3 15 p 5 6 ( ) p F p = − + − f. F( p) = + + − 2 3 2 p + 1 p p + 1 p + 4 3 2 p p p +1 p − 2