Bài Tập Toán Kinh Tế | Học Viện Ngân Hàng

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 −2 1.
Cho hàm sản xuất Q=
L3+10 L2 , trong đó Q là sản lượng, L là số đơn vị lao động được sử 3
dụng. Tìm tập xác định trên thực tế của hàm này. 2.
Một công ti bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 000 000 đồng một
tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100 000 đồng một tháng thì
có thêm 2 căn hộ bị bỏ trống. Thiết lập hàm số để tính số tiền công ti thu được mỗi tháng khi tăng giá cho thuê
mỗi căn hộ x (đồng/tháng). 3.
Một nhà sản xuất thiết bị thấy rằng phải chi phí $9 000 để sản xuất 1000 lò nướng bánh mỳ một tuần và $12 000
để sản xuất 1500 lò nướng bánh mỳ một tuần.
a) Hãy biểu diễn chi phí như là một hàm của số lò nướng bánh được sản xuất, giả sử rằng đó là hàm bậc nhất;
b) Hệ số góc của hàm số trên cho biết điều gì?
c) Hệ số chặn của hàm số trên cho biết điều gì?
4. Cho hàm cung, hàm cầu của thị trường 1 hàng hóa: Q = = s
4 p−1; Qd 4− p2 .
a) Tìm điều kiện của p để lượng cung và cầu đều dương;
b) Tìm giới hạn cao nhất của giá mua và giới hạn thấp nhất của giá bán;
c) Tìm giá và lượng cân bằng ( p ;Q ) ; d) Tìm hàm cầu đảo. 5.
Cho hàm lợi nhuận π =−Q3+3 Q2+1320 Q−10(Q ≥ 0) . Tính π (0) và giải thích ý nghĩa kinh tế. 6.
Hàm cầu về hàng hóa A là Q = d
200 p−0,5 . Thị trường hàng hóa A có 2 hàm cung là: Q = 0,5 , Q = 0,75
. Lập mô hình cân bằng thị trường hàng hóa A. s 5 p s 4 p 1 2 7.
Cho các số liệu sau về cung và cầu gạo 203 ở Hà Nội: Giá (nghìn đồng/kg) 7 8 9 10 11 12 Lượng cung (tấn/ngày) 11 13 15 17 19 21 Lượng cầu (tấn/ngày) 20 19 18 17 16 15
a) Viết phương trình hàm cung, hàm cầu. Xác định giá và sản lượng cân bằng. 8.
Tìm tổng giá trị thu được khi đầu tư 1 000USD trong 5 năm với lãi gộp là 8 % /¿ năm tính theo quý. 9.
Giả sử gửi tiết kiệm 500 USD sau 3 năm thu được 588,38USD với lãi gộp định kì nửa năm r . Tính r .
10. Hai ngân hàng cạnh tranh nhau huy động vốn. Ngân hàng A quy định lãi suất 5% tính theo kì 1 năm. Ngân hàng
B cũng cho lãi suất 5%/năm nhưng tính theo kì nửa năm. A lại cho phép tính theo kì là quý. Để đối phó lại, B
cho phép tính theo kì là tháng, rồi tuần. Hãy tính cho từng trường hợp xem tổng giá trị đạt được của 1 USD sau một năm.
11. Một dự án đòi hỏi vốn đầu tư ban đầu $6000 và sẽ đem lại
$ 10 000 sau 5 năm. Trong điều kiện lãi suất tiền gửi ngân
hàng là 9% một năm có nên đầu tư dự án đó hay không? Tính NPV của dự án đó.
12. Một nhà đầu tư có thể bỏ tiền để thực hiện một trong 3 dự án:
Dự án 1: Chi phí hiện tại $2000 và đem lại $3000 sau 4 năm.
Dự án 2: Chi phí hiện tại $2000 và đem lại $4000 sau 6 năm.
Dự án 3: Chi phí hiện tại $3000 và đem lại $4800 sau 5 năm.
Với lãi suất thịnh hành là 10% một năm thì nên chọn dự án nào?
13. Vào ngày 1/7/2012, Ngân hàng Nông nghiệp thông báo nhận gửi tiền USD với lãi suất 3,5%/năm tính gộp liên
tục. Một ngân hàng cạnh tranh khác cũng đưa ra kiểu tiếp thị để thu hút khách hàng như sau: tặng ngay $20 cho
một khách hàng mới với điều kiện gửi ít nhất $1000 với lãi suất 3,5%, được tính gộp theo nửa năm. Ông A
quyết định chọn một trong 3 phương án sau để gửi $1000 vào ngày 1/7/2012:
14. Cho mô hình thị trường có hàm cung Q =
= 50 . Chứng tỏ rằng s
0,1 p2+5 p+10 và hàm cầu Qd p−2
mô hình trên có giá cân bằng thuộc khoảng (3 ; 5) . 15.
Hàm cầu về hàng hóa A là Q = =5 p0,5 và d
200 p−0,5 . Thị trường hàng hóa A có hai hàm cung là Qs1 Q = s 4 p0,75 . 2 a)
Hãy lập mô hình cân bằng thị trường hàng hóa A; b)
Thị trường có tồn tại trạng thái cân bằng không? BÀI TẬP CHƯƠNG 2 1. Chứng minh r ng hàm s ằ ố 1
f ( x)={ x2 sin sin
khi x ≠ 0 0 khi x=0 2 x có đ o ạ hàm t i m ạ ọi đi m ể
x và tính f ' (x ) . 2. Cho hàm s ố
f ( x )=( x−a) φ(x ) , trong đó φ là hàm số liên t c ụ t i ạ x=a nh ng ư ∄φ'(a) . Hãy
tính f ' ( a) . 3. Cho hàm s ố
f ( x )=| x −a|φ (x) , trong đó φ là hàm số liên t c ụ t i
ạ x=a và φ(a)≠ 0 . Ch ng ứ minh r ng hàm s ằ
ố f (x) không có đ o hàm t ạ i ạ x=a . 4. Chứng minh r ng n ằ u ế f có đ o ạ hàm t i ạ x=a , thì
xf ( a)−af (x)=f( a)−af'( a) . x−a 5. Gi s ả ử f có đ o ạ hàm t i ạ x ứ ằ 0 , ch ng minh r ng
f ( x +h )−f ( x −h ) 0 0 2 h 6. Xét t i ạ
x=0 tính liên tục và tính kh vi c ả a ủ 1
f ( x )={ xarctan khi x ≠ 0 0 khi x=0 x 7.
Cho hàm doanh thu trung bình AR =240−0,5Q
, hàm chi phí là TC =40+12 Q−2 Q2+0,25 Q3 .
a) Tìm hàm doanh thu cận biên MR;
b) Xác định lợi nhuận cận biên Mπ tại Q=10 .
c) Có tồn tại điểm hòa vốn thuộc khoảng (10 ;20) ? 8.
Cho hàm chi phí trung bình để sản xuất ra 1 sản phẩm: AC=Q2−12 Q+60(Q> 0) . Xác định biểu thức
khảo sát sự thay đổi tuyệt đối và tương đối của AC theo Q. 9. Cho hàm c u c ầ a m ủ t lo ộ i s ạ n ph ả m là ẩ P=100− √❑ .
a) Tìm tốc độ thay đổi của P theo Q ;
b) Tìm độ thay đổi tương đối của P theo Q ;
c) Tìm giá trị cận biên của doanh thu. 10. Cho hàm c u có ầ ph ng trình là ươ
Q= 60 + ln ln(65−P3 ) . P
a) Xác định hệ số co dãn của Q theo P tại P=4 ;
b) Nếu giá giảm 2 % (từ 4 USD giảm còn 3,92 USD) thì lượng bán sẽ thay đổi bao nhiêu phần trăm?
c) Sự thay đổi giá ở b) làm tăng hay giảm doanh thu. Hãy giải thích?
11. Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm chi phí trung bình AC (Q ) và hàm chi phí cận biên MC (Q ) , −
biết rằng TC=Q2+8Q+18 (Q>0) . Hướng dẫn: Đạo hàm (AC ) '= MC AC . Q
12. Cho hàm tổng chi phí TC =Q3−5 Q2+ 14 Q +144(Q > 0) . Kh o ả sát sự thay đ i ổ tuy t ệ đối của TC
theo Q, từ đó nh n xét v ậ ề s m ự ở rộng s n xu ả t. ấ 2
13. Cho hàm cung Q ầ Q ề ộ ạ = + − = 50 s và hàm c u d v m t lo i hàng hóa: Q 0,2 p 5 p 10 ; Q . s d p−2 Xác định hàm dư c u ầ và kh o ả sát tính đơn đi u ệ c a ủ hàm này. Ch ng ứ tỏ r ng ằ t n ồ t i ạ duy nh t ấ giá tr ịcân b ng ằ trong kho ng ả (3 ;5) . 14. Doanh thu c a ủ m t ộ lo i ạ s n ả ph m ẩ cho b i
ở R=240 Q+57 Q2−Q3 . Tìm Q để doanh thu đ tạ t i ố đa. Tìm doanh thu khi đó. 15. Cho hàm c u c ầ a m ủ t lo ộ i s ạ n ph ả m là ẩ
P=−5 Q+30 . Mức giá là bao nhiêu đ có doanh thu t ể i đa. ố 16. Cho bi t hàm ế
doanh thu và hàm chi phí c a nhà s ủ ản xu t t ấ ng ươ ng là: ứ
TR=1400 Q−7,5 Q2 ; TC =750+ 140 Q−6 Q2+Q3 (Q > 0).
Với mức sản lượng nào thì lợi nhuận là tối đa?
17. Chi phí trung bình (tính b ng ằ USD/1 đ n v ơ s ị n ả ph m) đ ẩ c ượ cho b i hàm ở
AC =2 Q2−36 Q+210−200 v i ớ 2≤ Q ≤ 10 . Q Mức s n xu ả t ấ
Q nào trong [ 2; 10 ] s làm t ẽ ối thi u chi phí. Tìm m ể ức chi phí t i thi ố u đó. ể
18. Cho hàm chi phí trung bình AC = 12 −0,5 Q+ 0,25 Q2+10 . Q
a) Tìm hàm chi phí cận biên;
b) Khi giá p=106 , tìm mức sản xuất Q để lợi nhuận là lớn nhất. 19. M t ộ doanh nghi p ệ đ c ộ quy n ề có hàm c u
ầ p=40−0,03 Q và hàm chi phí là TC =10Q+120 . Hãy xác đ nh l ị ợi nhu n và ậ mức giá p đ t ể ối đa hóa l i nhu ợ n. ậ 20. Cho bi t ế hàm sản xu t ấ ng n ắ h n
ạ Q=100√ ❑ và giá s n ả ph m
ẩ p=4 USD , giá thuê lao đ ng ộ b ng ằ
p =20 USD . Hãy tìm mức s d ử ụng lao đ ng đ ộ cho l ể i nhu ợ n t ậ i đa. ố L 21. Hàm c u ầ về ngô có d ng ạ Q =200−50 p ơ ở ố ạ ỗ ơ ở d
. Có 50 c s gi ng nhau có hàm chi phí t i m i c s là TC=Q2 v i ớ Q là s n ả l ng ượ ngô ở m i ỗ c ơ s . ở Hãy xác định m c ứ s n ả l ng ượ Q để đ ng ồ th i ờ t i ố đa hóa l i ợ nhu n và cân b ậ ng ằ th tr ị ng. ườ BÀI TẬP CHƯƠNG 3 1.
Một công ti sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất Q=5 3√K √❑ , với Q, K, L được tính hàng ngày.
Hãy biểu diễn tổng doanh thu, tổng chi phí và tổng lợi nhuận hàng ngày của công ti theo K và L, biết rằng giá
sản phẩm là $4, giá tư bản là $15, giá lao động là $8 và mỗi ngày công ti phải trả $50 cho chi phí khác. 1 5 2.
Một nhà sản xuất độc quyền có hàm sản xuất Q=40K 3 L6 và tiêu thụ sản phẩm trên thị trường có hàm
cầu D ( p )=350−3 p . Lập hàm số biểu thị tổng doanh thu theo K và L. 3.
Cho hàm cung, hàm cầu của thị trường 2 hàng hóa:
{Q =−2+ p Q =18−3 p + p ;{Q =−2+3 p Q =12+ p −2 p . s 1 d 1 2 s 2 d 1 2 1 1 2 2
a) Để các nhà sản xuất cung ứng hàng hóa cho thị trường thì mức giá p và p phải thỏa các điều 1 2 kiện nào?
b) Xác định giá và lượng cân bằng cho các hàng hóa. 2 2 4.
Một công ti độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp là TC=3Q −2Q Q +4 Q , 1 1 2 2 trong đó Q
là lượng sản phẩm thứ i. Cho biết hàm cầu đối với sản phẩm 1 và 2 tương ứng là: i Q =320−5 p , Q =150−2 p
. Lập hàm số biểu diễn tổng lợi nhuận của công ti theo d 1 d 2 1 2 Q , Q . 1 2 2 1
5. Cho hàm sản xuất Cobb-Douglas Q=30 K3 L3 (K >0,L>0) . ∂ Q ∂Q a) Tính và
tại điểm (K ,L )=(27 ;64) và giải thích ý nghĩa. ∂ K ∂ L
b) Chứng minh rằng MP P giảm khi K
K tăng và L không đổi.
c) Tính các hệ số co dãn riêng của Q theo K và L tại điểm (K , L )=(27 ;64) rồi giải thích ý nghĩa.
d) Tại điểm (K ,L )=(27 ;64) cho ∆ K =0,1 , ∆ L=0,3 là các mức biến động
của vốn và lao động. Tính d Q (27 ;64) ,d Q( 27 ;64), K L
dQ (27 ; 64 ) và giải
thích ý nghĩa kinh tế của chúng. 6.
Một công ti sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất Q=80 √❑ , với Q, K, L được tính hàng ngày.
a) Cho biết sản lượng khi đầu vào là: K=25 , L=1000 ;
b) Nếu giá một đơn vị tư bản là $12, giá một đơn vị lao động là $2,5 và công ti sử dụng các yếu tố đầu vào ở
mức nêu trong ý a) thì công ti nên sử dụng thêm 1 đơn vị tư bản hay thêm một đơn vị lao động mỗi ngày? 2 2 7.
Hàm cầu của hàng hóa trên thị trường hai hàng hóa là Q=6300−2 p −5 p , trong đó p , p tương 1 3 2 1 2
ứng là giá của hàng hóa 1 và 2. Tính hệ số co dãn của Q theo p và của tại 1 Q theo p2
( p ; p )=(20;30) và nêu ý nghĩa. 1 2 8. Mức cầu Q
của một loại hàng hóa là d Q = d
1,5 M 0,3 p−0,2 , trong đó p là giá hàng hóa đó, M
là thu nhập của người tiêu dùng. Mức cung của hàng hóa đó là Q = s 1,4 p0,3 .
a) Xác định hệ số co dãn của Q
theo giá và theo thu nhập; d
b) Xét tác động của thu nhập M tới mức giá cân bằng. 9.
Hàm lợi ích của một hộ gia đình là U ( x , y )=10 xy−3 x2−2 y2 , trong đó x, y tương ứng là số đơn vị
hàng hóa 1 và 2 ( x> 0 , y >0 ¿ .
a) Viết phương trình đường bàng quan tại (x , y)= (2,2) ;
b) Tìm độ dốc của đường này tại điểm (x , y)= (2,2) và giải thích ý nghĩa.
10. Một công ti độc quyền sản xuất một loại sản phẩm ở hai cơ sở với hàm chi phí tương ứng là
C =128+0,2Q2; 1 1
C =156+0,1 Q2 . Hàm cầu đảo của công ti là p=600−0,1(Q +
) . Xác định lượng sản phẩm 1 Q 2 2 2
cần sản xuất ở mỗi cơ sở để tối đa hóa lợi nhuận.
11. Một công ti độc quyền sản xuất một loại sản phẩm nhưng tiêu thụ ở hai thị trường với các hàm cầu tương ứng là
Q =24−0,2 p ; Q =10−0,05 p
và hàm chi phí kết hợp là C=35+40 (Q + ) . Xác định 1 Q 1 1 2 2 2
lượng sản phẩm cần sản xuất ở mỗi cơ sở và giá bán để thu được lợi nhuận tối đa.
12.Hãng kinh doanh độc quyền có các hàm cầu trên hai thị trường là:
Q =40−2 p − p ; Q =35− p − p và hàm tổng chi phí là 2+ 2 + 1 1 2 2 1 2 TC =Q 2Q 10 . Tìm 1 2
mức sản lượng cho mỗi thị trường để lợi nhuận tối đa. Tính mức giá khi lợi nhuận tối đa.
13. Một công ti độc quyền sản xuất một loại sản phẩm tại hai nhà máy 1 và 2 với hàm chi phí cận biên tương ứng là
M C =2+0,2 Q , M C =6+ 0,04 Q
( Qcả là lượng sản phẩm ở nhà máy thứ i). Công ti đó bán 1 1 2 2 i
sản phẩm trên thị trường với hàm cầu ngược là p=66−0,1 Q . Xác định lượng sản phẩm cần sản xuất ở
mỗi nhà máy và giá bán để thu được lợi nhuận tối đa.
14. Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng là U ( x , y)=5 x0,4 y0,4 , trong đó x, y tương
ứng là số đơn vị hàng hóa 1 và 2 ( x>0 , y>0 ¿ . Ngân sách tiêu dùng là $300, giá
đơn vị hàng hóa 1 và 2 lần lượt là $3, $5. Tìm gói hàng hóa để lợi ích tiêu dùng lớn nhất; 15.
Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=K0,3 L0,5 . Giả sử giá thuê tư bản
là $6, giá thuê lao động là $2 và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân
sách cố định $384. Doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơn vị tư bản và
bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa?
16. Một công ti sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất là
Q=K ( L+5) , trong đó Q, K, L tương ứng là
sản lượng, vốn, lao động ( Q , K , L>0 ¿ . Công ti này nhận hợp đồng cung cấp 5600 sản phẩm. Cho biết
phương án sử dụng các yếu tố K và L sao cho việc sản xuất tốn ít chi phí nhất, trong điều kiện giá thuê tư bản là
w =70 và giá thuê lao động là w =20 . K L Ta tìm cực tr có đi ị u ki ề n ệ c a hàm chi phí ủ
C=70 K+ 20 L v i đi ớ ều ki n ệ
5600−K ( L+5)=0 . Đáp s : ố
(K , L )=(40 ;135)
17. Một hộ nông dân trồng đậu và cà trên diện tích 8 .
a Nếu trồng đậu thì cần 20 công và thu 3 000 000 đồng trên mỗi ,
a nếu trồng cà thì cần 30 công và thu 4 000 000 đồng trên mỗi .
a Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích
là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công không quá 180.
18. Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng là U ( x , y )=5 x0,4 y0,4 , trong đó x, y tương ứng là số đơn vị
hàng hóa 1 và 2 ( x> 0 , y> 0 ¿ . Ngân sách tiêu dùng là $300, giá đơn vị hàng hóa 1 và 2 lần lượt là $3, $5.
Tìm gói hàng hóa để lợi ích tiêu dùng lớn nhất; Giải: Tìm x,y để U(x,y) � max
Thỏa mãn: 3x + 5y = 300. Đặt g(x,y) = 3x + 5y
+ Hàm Lagrang: L = 5 x0,4 y 0,4 + t (300 - 3x - 5y) + Điều kiện cần: Giải hệ pt: L’ -0.6 x = 2x y0.4 -3t = 0 (1) L’ 0.4 y = 2x y-0.6 -5t = 0 (2)
L’t = 300 – 3x – 5y = 0 (3)
Từ (1) và (2), ta đc: y = (3/5)x. Thay vào pt (3), ta đc x = 50, vậy y = 30. Thay vào (1) ta đc: t = 0.25
Vậy nghiệm là M0 = (50,30,0.25)
+ Điều kiện đủ: Tại M0, ta có: g’x = 3, g’y = 5. L’’ -1.6 -0.6 -0.6 -1.6 x = -1.2x
y0.4, L’’xy = 0.8x y-0.6, L’’yx = 0.8x y-0.6, L’’y = -1.2x0.4y H = = 0.7456 Ta thay H >0.
Tìm cực trị có đk của hàm 2 biến:
Z = f(x,y) -� min (max) Mod 6 1 1 Nha ma tran – AC – Shift 4 -7 Shift 4-3 = g(x,y) = b
C1: Từ g(x,y) = b, nếu ta rút đc x theo y hoặc y theo x một cách tường minh thì tat hay vào z, khi đó z là hàm 1
biến. Lúc này ta tìm cực trị của hàm 1 biến C2: Sử dụng pp Lagrang:
B1: Lập hàm Lagrang: L= f(x,y) + t [b-g(x,y)] B2: Tìm đk cần:
Giải pt đạo hàm riêng cấp 1: L’x = 0 L’y = 0 L’t = 0
Giả sử hệ này có nghiệm là M0 = (x0, y0, t0) B3: Kiểm tra đk đủ:
Tại M0, xét định thức: H =
+. Nếu H>0 thì M0 là điểm cực đại
+. Nếu H<0 thì M0 là điểm cực tiểu +. Nếu H = 0 thì chưa kl