Bài tập trắc nghiệm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có đáp ántoanời giải

Tài liệu gồm 67 trang được biên soạn bởi thầy Nguyễn Bảo Vương, tuyển chọn 111 câu hỏi và bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết về chủ đề đường thẳng vuông góc 

86 43 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

67 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng
hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
TOÁN 11
1H3-3
Con
tents
A. C
ÂU HỎI .................................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 1
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG
VÀ ĐƯỜNG THẲNG...................................................................................................................................................... 3
Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ........................................................................................................ 3
Dạng 2.2 Đường thẳng vuông góc với đường thẳng .................................................................................................... 4
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ..................................................................... 4
Dạng 3.1 Góc của cạnh bên với mặt phẳng đáy ........................................................................................................... 4
Dạng 3.2 Góc giữa cạnh bên với mặt phẳng bên ........................................................................................................ 10
Dạng 3.3 Góc giữa đường thẳng khác với mặt phẳng ........................................................................................... 14
DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC .................................................................................................. 17
B. LỜI GIẢI ................................................................................................................................................................... 19
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT ................................................................................................................................ 19
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG
VÀ ĐƯỜNG THẲNG.................................................................................................................................................... 19
Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ...................................................................................................... 19
Dạng 2.2 Đường thẳng vuông góc với đường thẳng .................................................................................................. 24
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ................................................................... 26
Dạng 3.1 Góc của cạnh bên với mặt phẳng đáy ......................................................................................................... 26
Dạng 3.2 Góc giữa cạnh bên với mặt phẳng bên ........................................................................................................ 40
Dạng 3.3 Góc giữa đường thẳng khác với mặt phẳng ........................................................................................... 52
DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC .................................................................................................. 60
A. CÂU HỎI
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho hai đường thẳng phân biệt
,a b
và mặt phẳng
P
, trong đó
a P
. Chọn mệnh đề sai.
A. Nếu
//b a
thì
//
b
P
. B. Nếu
//b a
thì
b
P
.
C. Nếu
b
P
thì
//b a
. D. Nếu
//
b
P
thì
b
a
.
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
Câu 2. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Qua điểm
O
cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng
vuông góc với đường thẳng
cho trước?
A. Vô số. B.
. C.
3
. D.
1
.
Câu 3. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu đường thẳng
d
vuông góc với mặt phẳng
thì
d
vuông góc với hai đường thẳng trong
mặt phẳng
.
B. Nếu đường thẳng
d
vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng
thì
d
vuông góc
với mặt phẳng
.
C. Nếu đường thẳng
d
vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng
thì
d
vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng
.
D. Nếu
d
và đường thẳng
//a
thì
d a
.
Câu 4. (SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN - 2018) Trong không gian, khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc
đôi một song song với nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song
song với đường thẳng kia.
Câu 5. (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau đây?
A. Góc giữa đường thẳng
a
và mặt phẳng
P
bằng góc giữa đường thẳng
a
và mặt phẳng
Q
thì mặt phẳng
P
song song hoặc trùng với mặt phẳng
Q
.
B. Góc giữa đường thẳng
a
và mặt phẳng
P
bằng góc giữa đường thẳng
b
và mặt phẳng
P
thì đường thẳng
a
song song với đường thẳng
b
.
C. Góc giữa đường thẳng
a
và mặt phẳng
P
bằng góc giữa đường thẳng
b
và mặt phẳng
P
thì đường thẳng
a
song song hoặc trùng với đường thẳng
b
.
D. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên
mặt phẳng đã cho.
Câu 6. (THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN 1 - 2018) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
đây:
A. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
B. Cho hai đường thẳng chéo nhau
a
và
b
đồng thời
a b
. Luôn có mặt phẳng
chứa
a
và
b
.
C. Cho hai đường thẳng
a
và
b
vuông góc với nhau. Nếu mặt phẳng
chứa
a
và mặt phẳng
chứa
b
thì
.
D. Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng khác.
Câu 7. (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Cho hai đường thẳng phân biệt
,a b
và mặt phẳng
P
. Chọn khẳng định đúng?
A. Nếu
a P
và
b a
thì
b P
. B. Nếu
a P
và
b P
thì
b a
.
C. Nếu
a P
và
b a
thì
b P
. D. Nếu
a P
và
b P
thì
b a
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG,
ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Câu 8. (SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho tứ diện
MNPQ
có hai tam giác
MNP
và
QNP
là hai tam giác cân lần lượt tại
M
và
Q
. Góc giữa hai đường thẳng
MQ
và
NP
bằng
A.
45
. B.
30
. C.
60
. D.
90
.
Câu 9. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình bình
hành tâm
O
,
,
SA SC SB SD
. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
A.
SA ABCD
. B.
SO ABCD
. C.
SC ABCD
. D.
SB ABCD
.
Câu 10. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông,
cạnh bên
SA
vuông góc với đáy
( )ABCD
.
Khẳng định nào sau đây sai?
A.
( )CD SBC
. B.
( )SA ABC
. C.
( )BC SAB
. D.
( )BD SAC
.
Câu 11. (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Cho tứ diện
ABCD
có hai mặt
ABC
và
ABD
là hai tam giác đều. Gọi
M
là trung điểm của
AB
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
CM ABD
. B.
AB MCD
.
C.
AB BCD
. D.
DM ABC
.
Câu 12. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông và
SA
vuông
góc đáy. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
BC SAB
. B.
AC SBD
. C.
BD SAC
. D.
CD SAD
.
Câu 13. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ
nhật tâm
I
, cạnh bên
SA
vuông góc với đáy. Gọi
H
,
K
lần lượt là hình chiếu của
A
lên
SC
,
SD
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
AH SCD
. B.
BD SAC
. C.
AK SCD
. D.
BC SAC
.
Câu 14. (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có
đáy
ABCD
là hình vuông,
SA ABCD
. Gọi
M
là hình chiếu của
A
trên
SB
. Khẳng định nào
sau đây là đúng?
A.
AM SD
. B.
AM SCD
. C.
AM CD
. D.
AM SBC
.
Câu 15. (ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có
đáy là hình vuông,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
BA SAD
. B.
BA SAC
. C.
BA SBC
. D.
BA SCD
.
Câu 16. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình
vuông tâm
O
cạnh bằng
2
, cạnh bên
SA
bằng
3
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
M
là trung
điểm của cạnh bên
SB
và
N
là hình chiếu vuông góc của
A
trên
SO
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
AC SDO
. B.
AM SDO
. C.
SA SDO
. D.
AN SDO
.
Câu 17. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
SABC
có
.SA ABC
Gọi
H
,
K
lần lượt là trực tâm các tam giác
SBC
và
ABC
. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?
A.
BC SAH
. B.
HK SBC
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
C.
BC SAB
. D.
SH
,
AK
và
BC
đồng quy.
Dạng 2.2 Đường thẳng vuông góc với đường thẳng
Câu 18. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện
ABCD
có
2,
AB AC
3
DB DC
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
BC AD
. B.
AC BD
. C.
AB BCD
. D.
DC ABC
.
Câu 19. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABC
đáy
ABC
là tam giác
đều, cạnh bên
SA
vuông góc với đáy. Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
AB
và
SB
. Trong các
mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A.
CM SB
. B.
CM AN
. C.
MN MC
. D.
AN BC
.
Câu 20. (CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA ABC
và
H
là hình
chiếu vuông góc của
S
lên
BC
. Hãy chọn khẳng định đúng.
A.
BC SC
. B.
BC AH
. C.
BC AB
. D.
BC AC
.
Câu 21. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho tứ diện
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông
tại
B
và
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABC
. Gọi
M
,
N
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A
trên cạnh
SB
và
SC
. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
AM SC
. B.
AM MN
. C.
AN SB
. D.
SA BC
.
Câu 22. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho tứ diện đều
ABCD
có
M
,
N
lần lượt là trung điểm của các
cạnh
AB
và
CD
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
MN AB
. B.
MN BD
. C.
MN CD
. D.
AB CD
.
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Dạng 3.1 Góc của cạnh bên với mặt phẳng đáy
Câu 23. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA ABC
; tam
giác ABC đều cạnh
a
và
SA a
(tham khảo hình vẽ bên). Tìm góc giữa đường thẳng
SC
và mặt
phẳng
ABC
.
A.
o
60
. B.
o
45
. C.
o
135
. D.
o
90
.
Câu 24. (Trường THPT Thăng Long Lần 1 năm 2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABC
có cạnh
SA
vuông
góc với đáy. Góc giữa đường thẳng
SB
và mặt phẳng đáy là góc giữa hai đường thẳng nào dưới
đây?
A.
SB
và
AB
. B.
SB
và
SC
. C.
SA
và
SB
. D.
SB
và
BC
.
Câu 25. (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có
đáy
ABCD
cạnh
, SA vuông góc với đáy và
3SA a
. Góc giữa đường thẳng
SD
và mặt phẳng
( )ABCD
bằng:
S
A
B
C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
A.
3
arcsin
5
. B.
0
45
. C.
0
60
. D.
0
30
.
Câu 26. (THPT YÊN KHÁNH A - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp
.S ABCD
đáy là hình vuông cạnh
, , 2.a SA ABCD SA a Tính góc giữa
SC
và mặt phẳng
.ABCD
A.
0
30
. B.
0
45
. C.
0
60
. D.
0
90
.
Câu 27. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 4 - 2018) Cho hình lăng trụ đều
.ABC A B C
có 3AB và
1AA
. Góc tạo bởi giữa đường thẳng
AC
và
ABC
bằng
A.
o
45
. B.
o
60
. C.
o
30
. D.
o
75
.
Câu 28. (SGD - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện đều
ABCD
. Gọi
là góc giữa đường thẳng
AB
và mặt phẳng
BCD
. Tính
cos
.
A.
cos 0
. B.
1
cos
2
. C.
3
cos
3
. D.
2
cos
3
.
Câu 29. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương thi thử lần 1 (2018-2019)) Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, cạnh bên bằng
2a
. Độ lớn của góc giữa đường thẳng
SA
và mặt
phẳng đáy bằng
A.
45
. B.
75
. C.
30
. D.
60
.
Câu 30. (101 - THPT 2019) Cho hình chóp
.S ABC
có
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABC
,
2SA a
,
tam giác
ABC
vuông tại
B
, 3AB a và
BC a
(minh họa hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
ABC
bằng
A.
90
. B.
45
. C.
30
. D.
60
.
B
D
C
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
Câu 31. (102 - THPT 2019) Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABC
,
2SA a
,
tam giác
ABC
vuông tại
B
,
AB a
và
3BC a
(minh họa như hình vẽ bên).
.
Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
ABC
bằng
A.
90
. B.
30
. C.
60
. D.
45
.
Câu 32. (103 - THPT 2019) Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABC
.
2SA a
.
Tam giác
ABC
vuông cân tại B và
AB a
( minh họa như hình vẽ bên).
Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
ABC
bằng
A.
0
45
. B.
0
60
. C.
0
30
. D.
0
90
.
Câu 33. (104 - THPT 2019) Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABC
,
2SA a
,
tam giác
ABC
vuông cân tại
B
và
2
AB a
(minh họa như hình vẽ bên).
Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
ABC
bằng
A.
60
o
. B.
45
o
. C.
30
o
. D.
90
o
.
Câu 34. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
2SB a
. Góc giữa đường thẳng
SB
và mặt phẳng đáy bằng
A.
60
. B.
90
. C.
30
. D.
45
.
2a
2a
S
C
B
A
a 2
a 2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
Câu 35. (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác vuông tại
C
,
AC a
,
2BC a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA a
. Góc giữa đường thẳng
SB
và
mặt phẳng đáy bằng
A.
60
. B.
90
. C.
30
. D.
45
.
Câu 36. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy,
AB a
và
2SB a
. Góc giữa đường thẳng
SB
và mặt phẳng đáy bằng.
A.
0
60
. B.
0
45
. C.
0
30
. D.
0
90
.
Câu 37. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
2SA a
. Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng đáy bằng
A.
45
. B.
60
. C.
30
. D.
90
.
Câu 38. (THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABC
tam giác
ABC
vuông tại
B
cạnh
bên
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy
( ).ABC
Gọi
H
là hình chiếu của
A
trên
SB
. Mệnh đề nào
sau đây SAI?
A. Các mặt bên của hình chóp các tam giác vuông
B.
SBC
vuông.
C.
AH SC
D. Góc giữa đường thẳng
SC
với mặt phẳng
ABC
là góc
SCB
Câu 39. (Thi thử lần 4-chuyên Bắc Giang_18-19) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ
nhật có
, 2AB a AD a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
,
3SA a
. Gọi
là góc giữa
SC
và
ABCD
( tham khảo hình vẽ bên). Khi đó
tan
bằng
A.
5
5
. B.
3
5
. C.
5
3
. D.
3 5
5
.
Câu 40. (Nho Quan A - Ninh Bình - lần 2 - 2019) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều
cạnh
. Hình chiếu vuông góc của điểm
S
lên mặt phẳng
ABC
trùng với trung điểm
H
của
cạnh
BC
. Biết tam giác
SBC
là tam giác đều. Gọi
là số đo của góc giữa đường thẳng
SA
và
mặt phẳng
ABC
. Tính
tan
.
A. 1. B.
3
. C. 0. D.
1
3
.
A
C
B
S
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
Câu 41. (Thi thử hội 8 trường chuyên lần 3 - 23 - 5 - 2019) Cho lăng trụ đều
.
ABC A B C
có tất cả các
cạnh bằng
a
. Góc giữa đường thẳng
AB
và mặt phẳng
A B C
bằng
A.
60 .
B.
45 .
C.
30 .
D.
90 .
Câu 42. (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
2a
,
cạnh bên
SA
vuông góc mặt đáy và
SA a
. Gọi
là góc tạo bởi
SB
và mặt phẳng
ABCD
. Xác
định
cot
?
A.
cot 2
. B.
1
cot
2
. C.
cot 2 2
. D.
2
cot
4
.
Câu 43. (Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABC
có
SB
vuông góc
ABC
. Góc
giữa
SC
với
ABC
là góc giữa
A.
SC
và
AC
. B.
SC
và
AB
. C.
SC
và
BC
. D.
SC
và
SB
.
Câu 44. (Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Cho hình thoi
ABCD
tâm
O
có
4 , 2BD a AC a
. Lấy điểm
S
không thuộc
ABCD
sao cho
SO ABCD
. Biết
1
tan
2
SBO
. Tính số đo góc giữa
SC
và
ABCD
.
A.
0
60
. B.
0
75
. C.
0
30
. D.
0
45
.
Câu 45. (SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho hình chóp
.
S MNP
có đáy là tam giác đều,
MN a
,
SM
vuông góc với mặt phẳng đáy,
2SP a
, với
0 a
. Tính góc giữa đường thẳng
SN
và mặt phẳng đáy.
A.
45
. B.
90
. C.
60
. D.
30
.
Câu 46. (ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có
đáy là hình vuông cạnh
3a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy,
5SB a
. Tính
sin
của góc giữa
SC
và mặt phẳng
ABCD
.
A.
2 2
3
. B.
3 2
4
. C.
3 17
17
. D.
2 34
17
.
Câu 47. (THPT LỤC NGẠN - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
2AB a
,
AD a
.
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy.
3SA a
. Cosin của góc giữa
SC
và mặt
đáy bằng:
A.
5
4
. B.
7
4
. C.
6
4
. D.
10
4
.
Câu 48. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
SABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
2a
,
60
ADC
. Gọi
O
là giao điểm của
AC
và
BD
,
SO ABCD
và
SO a
. Góc giữa đường
thẳng
SD
và mặt phẳng
ABCD
bằng
A.
60
. B.
75
. C.
30
. D.
45
.
Câu 49. (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
, đáy
ABCD
là hình
vuông cạnh
a
và
SA ABCD
. Biết
6
3
a
SA
. Góc giữa
SC
và
ABCD
là:
A.
45
. B.
30
. C.
75
. D.
60
.
Câu 50. (THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho khối chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình
vuông cạnh
a
, Tam giác
SAB
cân tại
S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
Biết thể tích của khối chóp
.
S ABCD
là
3
15
6
a
. Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng đáy
ABCD
là
A.
120
o
. B.
30
o
. C.
45
o
. D.
60
o
.
Câu 51. (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Cho hình lăng trụ đều
.
ABC A B C
có tất cả
các cạnh bằng
a
. Gọi
M
là trung điểm của
AB
và
là góc tạo bởi đường thẳng
MC
và mặt
phẳng
ABC
. Khi đó
tan
bằng
A.
7
72
. B.
2
3
. C.
7
3
. D.
3
32
.
Câu 52. (THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
. Hình chiếu vuông góc của
S
lên
ABC
trùng với trung điểm
H
của cạnh
BC
. Biết tam giác
SBC
là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa
SA
và
ABC
.
A.
30
. B.
75
. C.
60
. D.
45
.
Câu 53. (THPT NGÔ QUYỀN - HẢI PHÒNG - 2018) Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA ABC
,
SA a
,
tam giác
ABC
đều cạnh
. Góc giữa
SC
và mặt phẳng
ABC
là:
A.
arctan 2
B.
0
60
. C.
0
30
. D.
0
45
.
Câu 54. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKI I - 2018) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh
bằng
a
,
SA ABC
,
3SA a
. Tính góc giữa đường thẳng
SB
và mặt phẳng
ABC
.
A.
75
. B.
45
. C.
60
. D.
30
.
Câu 55. (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
.
Đường thẳng
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
2SA a
Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt
phẳng
ABCD
là
α
. Khi đó
tanα
bằng
A.
2
. B.
2
3
. C.
2
. D.
2 2
.
Câu 56. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Cho hình chóp
SABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
2a
,
H
là hình chiếu của
S
lên
AB
, tam giác
SAB
vuông cân tại
S
,
SH
vuông góc với
ABC
. Góc giữa
cạnh
SC
và mặt đáy bằng:
A.
0
60
. B.
0
30
. C.
0
90
. D.
0
45
.
Câu 57. (THI THỬ L4-CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ-HÒA BÌNH-2018-2019)Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
. Tam giác
SBC
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy. Số đo góc giữa đường thẳng
SA
và
ABC
bằng:
A.
45
. B.
30
. C.
75
. D.
60
.
Câu 58. (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA
,
SB
,
SC
đôi một
vuông góc với nhau và
SA SB SC a
.
sin
của góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
ABC
bằng
A.
6
3
. B.
2
2
. C.
1
3
. D.
2
6
.
Câu 59. (THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH TRIỂU - ĐỒNG THÁP - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Gọi
,E F
lần lượt là trung điểm của
SB
và
SD
,
O
là
giao điểm của
AC
và
BD
. Khẳng định nào sau đây sai?
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
A.
SO ABCD
. B.
SAC SBD
.
C.
//
EF ABCD
. D.
, 60
SA ABCD
.
Câu 60. (THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh
.a
Hình chiếu vuông góc của
S
lên
ABC
là trung điểm của cạnh
.BC
Biết
Δ
SBC
đều, tính góc
giữa
SA
và
ABC
A.
45
B.
90
C.
30
D.
60
Câu 61. (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019) Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
, đáy
ABC
là tam
giác vuông tại
B
,
AB a
,
0
30
ACB .
M
là trung điểm
AC
. Hình chiếu vuông góc của đỉnh
A
lên mặt phẳng
ABC
là trung điểm
H
của
BM
. Khoảng cách từ
C
đến mặt phẳng
BMB
bằng
3
4
a
. Tính số đo góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy của hình lăng trụ.
A.
0
60
. B.
0
30
. C.
0
90
. D.
0
45
.
Dạng 3.2 Góc giữa cạnh bên với mặt phẳng bên
Câu 62. (THPT Minh Khai - lần 1) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thoi tâm
O
,
SO ABCD
.
Góc giữa
SA
và mặt phẳng
SBD
là góc
A.
ASO
. B.
SAO
. C.
SAC
. D.
ASB
.
Câu 63. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình
vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông góc với mặt đáy và
2SA a
. Tìm số đo của góc giữa đường
thẳng
SC
và mặt phẳng
SAB
.
A.
o
45
. B.
o
30
. C.
o
90
. D.
o
60
.
Câu 64. (THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
,
SA ABCD
và
3SA a
Gọi
là góc tạo bởi giữa đường thẳng
SB
và mặt phẳng
SAC
, khi đó
thỏa mãn hệ thức nào sau đây:
A.
2
cos
8
. B.
2
sin
8
. C.
2
sin
4
. D.
2
cos
4
.
Câu 65. (THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình
vuông cạnh
a
.
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
và
6SA a
(hình vẽ). Gọi
là góc giữa
đường thẳng
SB
và mặt phẳng
SAC
. Tính
sin
ta được kết quả là:
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
A.
1
14
. B.
2
2
. C.
3
2
. D.
1
5
.
Câu 66. (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình
chữ nhật, cạnh
AB a
, 3AD a . Cạnh bên
2SA a
và vuông góc mặt phẳng đáy. Góc giữa
đường thẳng
SB
và mặt phẳng
SAC
bằng:
A.
75
. B.
60
. C.
45
. D.
30
.
Câu 67. (THPT KIẾN AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
,
AB BC a
, ' 3BB a . Tính góc giữa đường thẳng
A B
và mặt
phẳng
BCC B
.
A.
45
. B.
30
. C.
60
. D.
90
.
Câu 68. (Cụm liên trường Hải Phòng-L1-2019) Cho khối chóp
.S ABC
có
SA ABC
, tam giác
ABC
vuông tại
B
,
2AC a
,
BC a
,
2 3SB a
. Tính góc giữa
SA
và mặt phẳng
SBC
.
A.
45
. B.
30
. C.
60
. D.
90
.
Câu 69. (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018) Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác
vuông cân tại
,A
AB AA a
(tham khảo hình vẽ bên). Tính tang của góc giữa đường thẳng
BC
và mặt phẳng
ABB A
.
A.
2
2
. B.
6
3
. C.
2
. D.
3
3
.
Câu 70. (Chuyên ĐH Vinh-lần 2-2019) Cho hình lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác
vuông tại
,B 2,AC 1,BC
1
AA
. Tính góc giữa
AB
và
( )
BCC B
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
A.
45 .
B.
90 .
C.
30 .
D.
60 .
Câu 71. (Thi thử chuyên Hà Tĩnh lần 1 (13/4/2019)) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thoi cạnh
2a
,
0
60
ABC
,
3SA a
và
SA ABCD
. Tính góc giữa
SA
và mặt phẳng
SBD
.
A.
60
. B.
90
. C.
30
. D.
45
.
Câu 72. (Kinh Môn - Hải Dương L2 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật.
AB a
,
3AD a
. Cạnh bên
SA ABCD
và
2SA a
. Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt
phẳng
SAB
là
A.
30
. B.
90
. C.
45
. D.
60
.
Câu 73. (HKI-Chuyên Vinh 18-19) Cho hình chóp tứ giác
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
,
SA ABCD
và
SA a
. Góc giữa đường thẳng
SB
và
SAC
là
A.
30
. B.
75
. C.
60
. D.
45
.
Câu 74. (QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là
hình vuông cạnh
a
. Hai mặt phẳng
SAB
và
SAC
cùng vuông góc với đáy
ABCD
và
2SA a
. Tính cosin của góc giữa đường thẳng
SB
và mặt phẳng
SAD
.
A.
5
5
. B.
2 5
5
. C.
1
2
. D.
1
.
Câu 75. (THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
2AB a
,
AD a
,
SA
vuông góc với đáy và
SA a
. Tính góc giữa
SC
và
SAB
.
A.
90
. B.
60
. C.
45
. D.
30
.
Câu 76. (THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
(hình bên).
Tính góc giữa đường thẳng
AB
và mặt phẳng
BDD B
.
A.
60
. B.
90
. C.
45
. D.
30
.
Câu 77. (THPT CHUYÊN NGUYỄN THỊ MINH KHAI - SÓC TRĂNG - 2018) Cho hình chóp tứ giác
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
SA
vuông góc với
ABCD
,
3 4 1
AB ,BC ,SA
(tham khảo hình vẽ dưới đây). Sin của góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
SBD
bằng
A.
11 26
328
. B.
12 26
338
. C.
13 26
338
. D.
12
65
.
3
4
1
C
A
B
D
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
Câu 78. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là
hình chữ nhật có
2 2 AB AD a
cạnh bên
SA
vuông góc với đáy và
15
SA a . Tính
tang
của
góc giữa
SC
và mặt phẳng
SAD
.
A.
3
. B.
. C.
1
2
. D.
3
3
.
Câu 79. (Chuyên Phan Bội Châu-lần 1-2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi
tâm
, cạnh
, góc
60
o
BAD
.
3
2
a
SA SB SD
. Gọi
là góc giữa đường thẳng
SD
và
mặt phẳng
SBC
. Giá trị
sin
bằng
A.
1
3
. B.
2
3
. C.
5
3
. D.
2 2
3
.
Câu 80. (Thi thử chuyên Hùng Vương Gia Lai lần -2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là
hình vuông cạnh
a
,
SA
vuông góc với đáy và
3SA a
. Gọi
là góc giữa
SD
và
SAC
. Giá
trị
sin
bằng
A.
2
4
. B.
2
2
. C.
3
2
. D.
2
3
.
Câu 81. (Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thoi cạnh
a
,
góc
0
60
ABC
,
SA ABCD
,
3SA a
. Gọi
là góc giữa
SA
và mặt phẳng
SCD
. Tính
tan
.
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
1
4
. D.
1
5
.
Câu 82. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác vuông tại
B
, cạnh bên
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy,
2AB a
,
0
60
BAC và
2SA a
. Góc giữa đường thẳng
SB
và mặt phẳng
SAC
bằng
A.
0
30
. B.
0
45
. C.
0
60
. D.
0
90
.
Câu 83. (CHUYÊN VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành,
2AB a
,
BC a
,
120
ABC
. Cạnh bên
3SD a
và
SD
vuông góc với mặt phẳng đáy (tham
khảo hình vẽ bên). Tính
sin
của góc tạo bởi
SB
và mặt phẳng
SAC
A.
3
4
. B.
3
4
. C.
1
4
. D.
3
7
.
Câu 84. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
có cạnh
S
D
C
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
bằng
a
, gọi
là góc giữa đường thẳng
A B
và mặt phẳng
BB D D
. Tính
sin
.
A.
3
4
. B.
3
2
. C.
3
5
. D.
1
2
.
Câu 85. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác vuông tại
B
, cạnh bên
SA
vuông góc với mặt đáy,
2a
AB
,
0
60
BAC và
2SA a
. Góc giữa đường thẳng
SB
và mặt
phẳng
( )SAC
bằng
A.
0
45
. B.
0
60
. C.
0
30
. D.
0
90
.
Dạng 3.3 Góc giữa đường thẳng khác với mặt phẳng
Câu 86. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có tất cả các cạnh bằng nhau.
Gọi
E
,
M
lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC
và
SA
,
là góc tạo bởi đường thẳng
EM
và
mặt phẳng
SBD
. Giá trị của
tan
bằng
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
2
.
Câu 87. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
có
M
,
N
,
P
lần lượt
là trung điểm của các cạnh
A B
,
A D
,
C D
. Góc giữa đường thẳng
CP
và mặt phẳng
DMN
bằng?
A.
0
. B.
45
. C.
30
. D.
60
.
Câu 88. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện
ABCD
có tam giác
BCD
đều cạnh
a
,
AB
vuông góc với
mp BCD
,
2AB a
.
M
là trung điểm đoạn
AD
,gọi
là góc giữa
CM
với
mp BCD
,khi đó:
A.
3
tan
2
. B.
2 3
tan
3
. C.
3 2
tan
2
. D.
6
tan
3
.
Câu 89. (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông
cạnh
2a
. Tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
M
,
N
lần lượt là
trung điểm của
SC
và
AD
(tham khảo hình vẽ).
A
B
C
D
A
B
C
D
M
N
P
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
Góc giữa
MN
và mặt đáy
ABCD
bằng
A.
90
. B.
30
. C.
45
. D.
60
.
Câu 90. (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Cho tứ diện đều
ABCD
có cạnh bằng
a
. Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm của
BC
và
AD
(tham khảo hình vẽ). Gọi
là góc giữa đường thẳng
MN
và mặt phẳng
BCD
. Tính
tan
.
A.
tan 2
. B.
2
tan
2
. C.
tan 3
. D.
3
tan
3
.
Câu 91. (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh lần 1 năm 18-19) Cho hình chóp
.
S ABC
có
, 2 3, 2SA ABC SA a AB a
, tam giác
ABC
vuông cân tại
B
. Gọi
M
là trung điểm của
SB
. Góc giữa đường thẳng
CM
và mặt phẳng
SAB
bằng:
A.
0
90
. B.
0
60
. C.
0
45
. D.
0
30
.
Câu 92. (Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Tam giác
SAB
đều và nàm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
H
,
K
lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB
và
AD
. Tính sin của góc tạo bởi giữa hai đường
thẳng
SA
và mặt phẳng
SHK
.
A.
2
2
. B.
2
4
. C.
14
4
. D.
7
4
.
M
N
D
A
B
C
S
H
N
M
D
C
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
Câu 93. (Tham khảo 2018) Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có tất cả các cạnh bằng
. Gọi
M
là
trung điểm của
SD
(tham khảo hình vẽ bên). Tang của góc giữa đường thẳng
BM
và mặt phẳng
ABCD
bằng
A.
2
2
. B.
3
3
. C.
2
3
. D.
.
Câu 94. [THPT THĂNG LONG-HÀ NỘI-LẦN 2-2018-2019] Cho hình chóp đều
.S ABCD
có
5SA a
,
AB a
. Gọi
, , ,M N P Q
lần lượt là trung điểm của
, , ,SA SB SC SD
. Tính cosin của
góc giữa đường thẳng
DN
và mặt phẳng
MQP
.
A.
2
2
. B.
1
2
. C.
3
2
. D.
15
6
.
Câu 95. (Thi thử SGD Cần Thơ mã 121 – 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ
nhật,
AB a
,
3BC a
,
SA a
và
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
. Đặt
là góc giữa
đường thẳng
BD
và
SBC
. Giá trị của
sin
bằng
A.
2
4
. B.
5
5
. C.
1
2
. D.
3
2
.
Câu 96. (HKI CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có tất cả
các cạnh bằng nhau. Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của các cạnh
,BC SA
và
là góc tạo bởi
đường thẳng
MN
với
SBD
. Tính
tan
.
A.
3
. B. 1. C. 2. D.
2
.
Câu 97. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng
, tâm
O
. Gọi
M
và
N
lần lượt là trung điểm của
SA
và
BC
. Biết rằng góc giữa
MN
và
ABCD
bằng
0
60
, cosin góc giữa
MN
và mặt phẳng
SBD
bằng:
A.
41
41
. B.
5
5
. C.
2 5
5
. D.
2 41
41
.
Câu 98. (THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) Cho lăng trụ
.
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
.
Hình chiếu vuông góc của
B
lên mặt phẳng
ABC
trùng với trọng tâm
G
của tam giác
ABC
.
Cạnh bên hợp với
ABC
góc
60
. Sin của góc giữa
AB
và mặt phẳng
BCC B
.
A.
3
13
. B.
3
2 13
. C.
1
13
. D.
2
13
.
Câu 99. (TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông
cân tại
B
,
AB a
,
SA AB
,
SC BC
,
2SB a
. Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm
SA
,
BC
.
Gọi
là góc giữa
MN
với
ABC
. Tính
cos
.
A
B
C
D
S
M
V
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
A.
2 11
cos
11
. B.
6
cos
3
. C.
2 6
cos
5
. D.
10
cos
5
.
Câu 100. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có tất cả
các cạnh bằng
.a
Gọi
M
là điểm trên đoạn
SD
sao cho
2
SM MD
.
Tan góc giữa đường thẳng
BM
và mặt phẳng
ABCD
là
A.
1
3
. B.
5
5
. C.
3
3
. D.
1
5
.
DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC
Câu 101. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA SB SC
và tam giác
ABC
vuông tại
C
. Gọi
H
là hình chiếu vuông góc
S
lên mặt phẳng
ABC
. Khẳng định nào sau
đây là khẳng định đúng?
A.
H
là trung điểm của cạnh
AB
. B.
H
là trọng tâm tam giác
ABC
.
C.
H
là trực tâm tam giác
ABC
. D.
H
là trung điểm của cạnh
AC
.
Câu 102. (Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có
SA ABCD
và đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
; Gọi
là trung điểm của
SC
; Xét các khẳng định sau:
1.
OI ABCD
.
2.
BD SC
.
3.
SAC
là mặt phẳng trung trực của đoạn
BD
.
4.
SB SC SD
.
Trong bốn khẳng định trên, số khẳng định sai là
A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.
Câu 103. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là nửa lục giác đều với
cạnh
. Cạnh
SA
vuông góc với đáy và
3SA a
.
M
là một điểm khác
B
và ở trên
SB
sao cho
AM
vuông góc với
MD
. Khi đó, tỉ số
SM
SB
bằng
A.
3
4
. B.
2
3
. C.
3
8
. D.
1
3
.
Câu 104. (THPT THĂNG LONG - HÀ NỘI - 2018) Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có độ dài cạnh
đáy bằng
. Độ dài cạnh bên của hình chóp bằng bao nhiêu để góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
60
.
D
S
C
B
A
M
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
A.
2
3
a
. B.
6
a
. C.
3
6
a
. D.
2
3
a
.
Câu 105. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
,a
cạnh bên
SA
vuông góc với đáy, cạnh bên
SB
tạo với đáy góc
0
45
. Một mặt phẳng
đi qua
A
và vuông góc với
SC
cắt hình chóp
.
S ABCD
theo thiết diện là tứ giác
AB C D
có diện tích
bằng:
A.
2
3
4
a
. B.
2
3
2
a
. C.
2
3
6
a
. D.
2
3
3
a
.
Câu 106. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
, đáy
ABCD
là hình thang
vuông tại
,A B
.
SA
vuông góc với đáy,
M
là một điểm trên cạnh
AB
. Gọi
P
là mặt phẳng qua
M
và song song với
,
SA AD
. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
P
là
A. Hình bình hành. B. Hình vuông. C. Hình thang vuông. D. Hình chữ nhật.
Câu 107. (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Cho hình hộp đứng
.
ABCD A B C D
có
đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
,
3AA a
. Mặt phẳng qua
A
vuông góc với
A C
cắt các cạnh
, ,
BB CC DD
lần lượt tại
, ,I J K
. Tính diện tích thiết diện
AIJK
A.
2
2 11
3
a
. B.
2
11
2
a
. C.
2
11
3
a
. D.
2
3 11
2
a
.
Câu 108. Cho hình chóp đều
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh bằng
2a
, các mặt bên là các tam giác
vuông cân tại
S
. Gọi
G
là trọng tâm của
ABC
,
là mặt phẳng qua
G
vuông góc với
SC
.
Diện tích thiết diện của hình chóp
.
S ABC
khi cắt bởi mặt phẳng
bằng
A.
2
4
9
a
. B.
2
2
3
a
. C.
2
4
3
a
. D.
2
2
9
a
.
Câu 109. Cho lăng trụ đều
. ' ' 'ABC A B C
có cạnh đáy bằng
, cạnh bên bằng
2a
. Gọi
M
là trung điểm
của
AB
. Diện tích thiết diện cắt lăng trụ đã cho bởi mặt phẳng
' 'A C M
là
A.
2
7 2
16
a
. B.
2
3 35
16
a
. C.
2
3 2
4
a
. D.
2
9
8
a
.
Câu 110. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
với đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
, đáy lớn
8
AD
, đáy nhỏ
6
BC
.
SA
vuông góc với đáy,
6
SA
. Gọi
M
là trung điểm của
AB
.
P
là mặt phẳng qua
M
và vuông góc với
AB
. Thiết
diện của hình chóp
.
S ABCD
cắt bởi mặt phẳng
P
có diện tích bằng:
A.
20
. B.
15
. C.
30
. D.
16
.
Câu 111. (THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Xét tứ diện
OABC
có
OA
,
OB
,
OC
đôi
một vuông góc. Gọi
,
,
lần lượt là góc giữa các đường thẳng
OA
,
OB
,
OC
với mặt phẳng
ABC
(hình vẽ).
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
3 cot . 3 cot . 3 cot
M
là
A. Số khác. B.
48 3
. C.
48
. D.
125
.
B. LỜI GIẢI
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1. Nếu
a P
và
//b a
thì
b P
.
Câu 2. Theo tính chất
1
SGK Hình học
11
trang
100
.
Câu 3. Khẳng định
B
sai vì: đường thẳng
d
vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng
mà hai đường thẳng đó song song thì
d
không vuông góc với mặt phẳng
.
Câu 4. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Câu 5. Phát biểu D đúng theo định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
Câu 6. Hiển nhiên B đúng.
Có vô số mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Do đó, A sai.
Nếu hai đường thẳng
a
và
b
vuông góc với nhau và cắt nhau thì mặt phẳng chứa cả
a
và
b
không thể vuông góc với
b
. Do đó, C sai.
Qua một đường thẳng có vô số mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng khác. Do đó, D sai.
Câu 7. Chọn B
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG,
ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Câu 8. Chọn D
O
C
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
Gọi
I
là trung điểm cảu
NP
, ta có:
NP MI
NP QI
NP QIM
NP QM
.
Câu 9. Chọn B
Ta có
O
là trung điểm của
,AC BD
Mà , ,
SA SC SB SD SO AC SO BD
SO ABCD
.
Câu 10. Chọn A
Từ giả thiết, ta có :
( )
SA ABC
B đúng.
Ta có :
( )
BC AB
BC SAB
BC SA
C đúng.
Ta có:
( )
BD AC
BD SAC
BD SA
D đúng.
Do đó: A sai. Chọn A.
Nhận xét: Ta có cũng có thể giải như sau:
( )
CD AD
CD SAD
CD SA
Mà
( )SCD
và
( )SAD
không song song hay
Trùng nhau nên
( )CD SCD
là sai. Chọn A.
I
M
P
N
Q
O
D
C
B
A
S
O
A
B
D
C
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
Câu 11.
CM AB
AB CDM
DM AB
.
Câu 12.
Ta có:
+
BC AB
BC SAB
BC SA
.
+
CD AD
CD SAD
CD SA
.
+
BD AC
BD SAC
BD SA
.
Suy ra: đáp án B sai.
Câu 13.
M
A
C
B
D
H
I
C
A
B
D
S
K
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
Có
CD SA
CD SAD CD AK
CD AD
.
Có
AK SD
AK SCD
AK CD
.
Câu 14. Chọn D
Do
SA ABCD
và
ABCD
là hình vuông nên
SA BC
AB BC
BC SAB
.
BC SAB
AM BC
AM SAB
;
AM SB
AM SBC
AM BC
Câu 15. Chọn A
Ta có:
BA SA
(do
SA ABCD
)
BA AD
(do
ABCD
là hình vuông)
BA SAD
.
A
B
D
C
S
M
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
Câu 16.
Ta có:
BC AC
BC SAC AN AN BC
BC SA
.
Theo giả thiết:
AN SO
.
Vậy
AD SDO
.
Câu 17.
Cách 1:
Ta có
BC SA
BC SAH
BC SH
nên A đúng suy ra C sai vì mặt phẳng
SAH
và mặt phẳng
SAB
là hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với
BC
suy ra
//
SAH SAB
. Điều này không
thể vì hai mặt phẳng này có
SA
chung.
Cách 2:
Ta có
BC SA
B
B
BC A
nên tam giác
ABC
vuông tại
B
, điều này giả thiết không cho suy
ra C sai.
N
O
D
C
A
B
M
S
K
H
A
C
B
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
Dạng 2.2 Đường thẳng vuông góc với đường thẳng
Câu 18.
Theo đề bài ta có:
,ABC
DBC
lần lượt cân tại
,A
D
. Gọi
H
là trung điểm của
BC
.
AH BC
DH BC
AD ADH
BC ADH
BC AD
.
Câu 19.
Ta có
,
CM AB
CM SA CM SAB CM SB
SA AB SAB
Mà
AN SAB CM AN
Mặt khác
MN SA
MN ABC
SA ABC
Vì
MN
MN CM
CM ABC
SAB
.
H
D
C
B
A
S
A
B
M
C
N
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
Câu 20.
Ta có:
BC SH
BC AH
BC SA
.
Câu 21.
Ta có:
SA ABC SA BC
mà
BC AB
BC SAB
,
AM SAB
BC AM
.
Vậy
AM SB
AM SBC
AM BC
AM SC
Đáp án
AM SC
đúng.
Vì
AM SBC
AM MN
MN SBC
Đáp án
AM MN
đúng.
SA ABC SA BC
Đáp án
SA BC
đúng.
Vậy
AN SB
sai.
Câu 22.
•
NAB
cân tại
N
nên
MN AB
.
•
MCD
cân tại
M
nên
MN CD
.
•
CD ABN
CD AB
.
• Giả sử
MN BD
N
M
C
B
A
S
N
M
B
C
D
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
mà
MN AB
. Suy ra
MN ABD
(Vô lí vì
ABCD
là tứ diện đều)
Vậy phương án B sai.
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Dạng 3.1 Góc của cạnh bên với mặt phẳng đáy
Câu 23. Góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
ABC
là góc
SCA
.
Tam giác
SAC
vuông cân tại
A
nên góc
45
SCA
.
Câu 24. Chọn A
Ta có: Hình chiếu của
SB
trên mặt phẳng
( )ABC
là
AB
nên góc giữa đường thẳng
SB
và mặt
phẳng đáy là góc giữa hai đường thẳng
SB
và
AB
.
Câu 25. Chọn C
Vì
SA ABCD
nên góc giữa đường thẳng
SD
và mặt phẳng
( )ABCD
là góc
SDA
.
Trong tam giác vuông
SDA
ta có:
0
tan 3 60
SA
SDA SDA
AD
.
Câu 26.
, , .SC ABCD SC AC SCA
Trong tam giác vuông
SAC
có
0
2 45 .
SA AC a SCA
A
C
B
S
B
C
D
A
S
a 2
a
a
C
B
A
D
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
Câu 27.
Ta có
,AC ABC
,AC AC
CAC
,
tan
CC
C AC
AC
1
3
o
30C AC
.
Câu 28.
Gọi
M
là trung điểm của
CD
. Ta có
3
2
AB
BM
.
Gọi
H
là chân đường cao hạ từ
A
xuống mặt phẳng
BCD
thì
H BM
và
2
3
BH BM
3
3
AB
.
Góc giữa đường thẳng
AB
và mặt phẳng
BCD
là
ABM
.
Ta có
cos cos ABM
BH
AB
3
3
AB
AB
3
3
.
Câu 29. Chọn D
H
M
B
D
C
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
Gọi
O
là tâm của hình vuông
ABCD
, ta có
SO ABCD
.
, ,SA ABCD SA AO SAO
.
Ta có
2 2
1 1 2
2 2 2
a
OA AC AB BC
.
SAO
vuông tại
O
có
2
1
2
cos
2
2
a
OA
SA
a
suy ra
60
.
Vậy góc giữa
SA
và
ABCD
bằng
60
.
Câu 30. Chọn B
Ta thấy hình chiếu vuông góc của
SC
lên
ABC
là
AC
nên
,SC ABC SCA
.
Mà
2 2
2AC AB BC a
nên
tan 1
SA
SCA
AC
.
Vậy góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
ABC
bằng
45
.
Câu 31. Chọn D
Vì
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABC
, suy ra góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
ABC
bằng
SCA.
Mà
2 2
2
tan 1
3
SA a
SCA
AC
a a
.
Vậy
45SCA .
Câu 32. Chọn A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
Ta có
AC
là hình chiếu vuông góc của
SC
trên mặt phẳng
ABC
.
Suy ra góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
ABC
bằng
SCA
.
Ta có
2, 2AC a SA a
nên tam giác
SAC
vuông cân tại
A
0
45
.
Câu 33. Chọn B
Ta có
SA ABC
nên đường thẳng
AC
là hình chiếu vuông góc của đường thẳng
SC
lên mặt
phẳng
ABC
.
Do đó,
, ,
SC ABC SC AC SCA
(tam giác
SAC
vuông tại
A
).
Tam giác
ABC
vuông cân tại
B
nên
2 2
AC AB a
.
Suy ra
tan 1
SA
SCA
AC
nên
45
o
.
Câu 34. Chọn A
Do
SA ABCD
nên góc giữa đường thẳng
SB
và mặt phẳng đáy bằng góc
SBA
.
Ta có
cos
AB
SBA
SB
1
2
60
SBA
.
Vậy góc giữa đường thẳng
SB
và và mặt phẳng đáy bằng bằng
60
.
Câu 35. Chọn C
2a
2a
S
C
B
A
a 2
a 2
D
A
B
C
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
Có
SA ABC
nên
AB
là hình chiếu của
SA
trên mặt phẳng
ABC
.
, ,
SB ABC SB AB SBA
.
Mặt khác có
ABC
vuông tại
C
nên
2 2
3AB AC BC a
.
Khi đó
1
tan
3
SA
SBA
AB
nên
, 30
SB ABC
.
Câu 36. Chọn A
Ta có
SA ABC
tại
A
nên
AB
là hình chiếu của
SB
lên mặt phẳng đáy.
Suy ra góc giữa đường thẳng
SB
và mặt phẳng đáy là
SBA
.
Tam giác
SAB
vuông tại A nên
0
1
cos 60
2
AB
SBA SBA
SB
.
Câu 37. Chọn A
Do
SA ABCD
nên góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng đáy bằng góc
SCA
.
Ta có
2SA a
,
2AC a
tan
SA
SCA
AC
1
45
SCA
.
a
2a
S
C
A
B
D
A
B
C
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
Vậy góc giữa đường thẳng
SC
và và mặt phẳng đáy bằng bằng
45
.
Câu 38. Chọn D
Ta có cạnh bên
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy
( ).ABC
Nên hình chiếu của
SC
trên mặt phẳng đáy
( )ABC
là
AC
Vậy góc giữa đường thẳng
SC
với mặt phẳng
ABC
là góc
SCA
Câu 39. Chọn D
+)
AC
là hình chiếu của
SC
trên
ABCD
nên
, ,SC ABCD SC AC SCA
Ta có:
2 2 2 2
4 5AC AD DC a a a
.
Tam giác
SAC
vuông tại
A
nên
3 3 3 5
tan
5
5 5
SA a
AC
a
.
Câu 40. Chọn A
AH
là hình chiếu của
SA
trên
ABC
, ,SA ABC SA AH SAH
.
SBC ABC
SH AH
SAH
vuông cân tại
H
SAH
45
.
Vậy
tan
1
.
Câu 41. Chọn B
Từ giả thiết của bài toán suy ra:
A B
là hình chiếu vuông góc của
'AB
trên
' 'A B C
.
Do đó,
, ,
AB A B C AB A B AB A
.
Tam giác
AB A
vuông tại
A
có
AA A B a AA B
vuông cân tại
A
.
Suy ra
, , 45 .
AB A B C AB A B AB A
Câu 42. Chọn A
A
B
C
A'
B'
C'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32
Ta có
SA ABCD
, ,
SB ABCD SB BA SBA
2
cot 2.
AB a
SA a
Câu 43. Chọn C
* Hình chiếu vuông góc của
SC
lên
ABC
là
BC
nên góc giữa
SC
với
ABC
là góc giữa
SC
và
BC
.
Câu 44. Chọn D
Góc giữa
SC
và
ABCD
là góc
SCO
.
4 2BD a BO a
D
A
B
C
S
B
A
C
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33
1
.tan 2 .
2
SO BO SBO a a
2
AC a OC a
Vậy
0
45
SCO .
Câu 45. Chọn C
Ta có:
2SN SP a
Vì
SM MNP
,
SN MNP SNM
1
cos
2 2
MN a
SNM
SN a
60
SNM
Câu 46. Chọn D
ABCD
là hình vuông cạnh
3a
nên
3 2AC a
Xét tam giác
SAB
vuông tại
A
:
2 2
4SA SB AB a
,
SA ABCD SC ABCD SCA
Xét tam giác
SAC
vuông tại
A
:
2 2
34
SC SA AC a
2 34
sin
17
SA
SCA
SC
.
M
P
N
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 34
Câu 47.
Hình chiếu của
SC
lên
ABCD
là
AC
Do đó
,
SC ABCD SCA
2 2 2 2
4 5
AB ADA a aC
a
2 2SC a
Trong tam giác vuông
SAC
:
5 10
cos
4
2 2
AC a
SCA
SC
a
.
Câu 48.
Ta có
ABCD
là hình thoi cạnh
2a
, và
60
ADC
nên
ACD
đều và
2 . 3
3
2
a
OD a
.
Góc giữa đường thẳng
SD
và mặt phẳng
ABCD
là
SDO
và
1
tan
3
SO
SDO
DO
suy ra
30
SDO
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35
Câu 49.
Ta có:
SA ABCD
.
Do đó
AC
là hình chiếu của
SC
lên
ABCD
.
,SC ABCD
,SC AC
SCA .
Xét tam giác
SAC
vuông tại
A
có
6
3
3
tan
3
2
a
SA
SCA
AC
a
.
30SCA .
Vậy góc giữa
SC
và
ABCD
là
30
.
Câu 50.
Gọi
H
là trung điểm
AB
. Ta có
( )SH ABCD
.
2
ABCD
S a
.
a 6
3
a
a
A
D
B
C
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36
1
.
3
ABCD
V S SH
3 15
2
ABCD
V a
SH
S
.
2 2
5
2
a
CH AC AH
.
, ,
SC ABCD SC CH
.
tan 3
SH
SCH
CH
.
Vậy
, 60
o
SC ABCD
Câu 51. Ta có
MC
là hình chiếu của
MC
lên
ABC
. Suy ra
C CM
.
Xét tam giác
MCC
vuông tại
C
có:
2 3
tan
3
3
2
CC a
CM
a
.
Câu 52.
Dễ thấy
AH
là hình chiếu vuông góc của
SA
lên mặt phẳng đáy.
Do đó góc tạo bởi
SA
và
ABC
là
SAH
.
Mặt khác,
ABC SBC
3
2
a
SH AH
. Vậy tam giác
SAH
là tam giác vuông cân đỉnh
H
hay
45
SAH
.
a
a
a
a
a
H
A
B
C
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 37
Câu 53.
- Nhận thấy
AC
là hình chiếu vuông góc của
SC
trên mặt phẳng
ABC
nên góc giữa
SC
và
ABC
là góc
SCA
.
- Do
SAC
vuông cân tại
A
nên
0
45
SCA .
Câu 54.
Vì
SA ABC
nên
,
SB ABC SBA
Suy ra
tan 3
SA
SBA
AB
60
SBA
.
Câu 55.
2
tan 2
2
SA a
AC
a
.
S
A
C
B
a
2a
C
A
B
D
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 38
Câu 56.
Do tam giác
SAB
vuông cân tại
S
nên
H
là trung điểm của
AB
và ta có
1
2
SH AB a
.
Góc giữa cạnh
SC
và mặt đáy là góc
SCH
.
Xét tam giác vuông
HSC
có
2 3
3
2
a
HC a
,
SH a
nên
1
tan
3
HS
SCH
HC
0
30
SCH .
Câu 57. Chọn D
Gọi
H
là trung điểm cạnh
BC
SH BC
;
3
2
BC
SH
(
SBC
đều)
;
SBC ABC
SBC ABC BC SH ABC
SH AB SH SBC
; ;
SA ABC SA AH SAH
ABC
vuông tại
;A H
là trung điểm
2
BC
BC AH
SAH
vuông tại
. 3
2
tan 3 60
2
BC
SH
H SAH SAH
BC
AH
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39
Câu 58.
Trong tam giác
ABC
kẻ đường cao
AK
và
CF
và
AK CF E
nên
E
là trực tâm tam giác
ABC
.
SC SA
SC SB
SC SAB
hay
SC AB
Mà
CF AB
nên
AB SCF
AB SE
. Chứng minh tương tự ta được
BC SAK
BC SE
. Vậy
SE ABC
.
Ta có
CE
là hình chiếu của
SC
lên mặt phẳng
ABC
.
,
SC ABC
,
SC CE
SCE
Ta có tam giác
SCF
vuông tại
S
nên
2 2 2
1 1 1
SE SC SF
. Mặt khác tam giác
SAB
vuông tại
S
nên
2 2 2
1 1 1
SF SA SB
. Suy ra
2 2 2 2
1 1 1 1
SE SC SA SB
2 2
1 3
SE a
3
a
SE .
sin
SE
SCE
SC
:
3
a
a
1
3
.
Câu 59.
Ta có:
+
.
S ABCD
là hình chóp đều
SO ABCD
.
+
BD AC
BD SAC SBD SAC
BD SO
.
S
A
B
C
F
E
K
F
E
O
A
D
C
B
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 40
+
// //
EF BD EF ABCD
.
+
, , 45
SA ABCD SA AO SAO
.
Câu 60.
Gọi
H
là trung điểm của
BC
suy ra
SH ABC
Do đó hình chiếu của
SA
lên mặt phẳng
ABC
là
AH
Do
Δ
ABC
và
Δ
SBC
đều cạnh
a
nên
Δ
SH AH SAH
vuông cân tại
H
, 45
SA ABC SAH
.
Câu 61. Chọn A
Ta có:
3
, , ,
4
a
d C BMB d C BMB d A BMB
,
Trong tam giác
ABC
có:
2 , ,
AC a BM a AM a
suy ra tam giác
ABM
là tam giác đều cạnh
a
. Dựng hình bình hành
AA H H
suy ra
H BMB
,
K
là hình chiếu của
A
lên
H H
.
BM AH
BM AA H H BM AK
BM A H
.
3
,
4
AK BM
a
AK BMB d A BMB AK
AK HH
.
Trong hình bình hành
AA H H
ta có
3 2 3
. . .
4 2
3
A H AK a
AK HH A H AH
HH AH
a
.
Mặt khác:
, , 'AA ABC AA AH A AH
.
Trong tam giác vuông
'AA H
có
0
' ' 3
sin 60
2
A H A H
AA H AA H
AA HH
.
Dạng 3.2 Góc giữa cạnh bên với mặt phẳng bên
Câu 62. Chọn A
H
B
A
C
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41
Vì
ABCD
là hình thoi
AO BD
.
Mà
AO SO
do
SO ABCD
. Suy ra
AO SBD
hay
O
là hình chiếu của
A
lên
SBD
.
Suy ra góc giữa
SA
và mặt phẳng
SBD
là góc
ASO
(
90
ASO
do
SAO
vuông ở
O
).
Câu 63.
Dễ thấy
CB SAB
SB
là hình chiếu vuông góc của
SC
lên
SAB
.
Vậy góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
SAB
là
CSB
.
Tam giác
CSB
có
1
90 ; ; 3 tan
3 3
CB a
B CB a SB a CSB
SB
a
.
Vậy
CSB
30
.
Câu 64. Gọi
O
là tâm của đáy
ABCD
.
Ta có
BO AC
và
BO SA
nên
SO
là hình chiếu của
SB
trên
SAC
.
Suy ra
BSO
.
Lại có
2
2
a
BO
,
2 2
2SB SA AB a
. Suy ra
2
sin
4
BO
SB
.
O
D
A
B
C
S
A
B
C
D
S
a
a
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42
Câu 65.
Gọi
O
là tâm hình vuông
ABCD
thì
BO SAC
,SB SAC
BSO .
Ta có 7SB a ,
sin
BO
SB
2
2
7
a
a
1
14
.
Câu 66.
Kẻ
BH AC
và
H AC
BH SAC
.
SH
là hình chiếu của
BH
trên mặt phẳng
SAC
.
Góc giữa
SB
và mặt phẳng
SAC
là
BSH .
Ta có
2 2
. 3
2
AB BC a
BH
AB BC
,
2 2
3SB SA AB a
.
Trong tam giác vuông
SBH
ta có
1
sin
2
BH
BSH
SB
30BSH .
D
B
A
C
S
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43
Câu 67.
Hình lăng trụ đứng
.
ABC A B C
nên
BB A B C
BB A B
A B BB
1
Bài ra có
AB BC
A B B C
.
Kết hợp với
1
A B BCC B
;
A B BCC B A BB
tan ; tan
A B BCC B A BB
A B
BB
3
a
a
1
3
; 30
A B BCC B
.
Câu 68. Chọn B
Trong
SAB
kẻ
AH SB
H SB
.
Vì
SA BC
BC SAB BC AH
AB BC
.
Mà
SB AH
do cách dựng nên
AH SBC
, hay
H
là hình chiếu của
A
lên
SBC
suy ra
góc giữa
SA
và
SBC
là góc
ASH
hay góc
ASB
.
Tam giác
ABC
vuông ở
B
2 2
3AB AC BC a
Tam giác
SAB
vuông ở
A
1
sin 30
2
AB
ASB ASB
SB
Câu 69.
ABC
vuông cân tại
A
AB AC a
.
ABA
vuông tại
A
2A B a
.
Ta có
C A A B
C A AA
C A ABB A
.
C
B
A
C'
B'
A'
A
B
C
S
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44
BA
là hình chiếu của
BC
lên mặt phẳng
ABB A
.
; ;
BC ABB A BC BA
.
A BC
vuông tại
A
tan A
A C
BC
A B
2
a
a
2
2
.
Câu 70. Chọn D
Ta có:
(BCC B )
AB BC
AB
AB BB
, suy ra
BB
là hình chiếu vuông góc của
AB
trên mặt phẳng
( )
BCC B
.
Vậy góc giữa đường
AB
và
( )
BCC B
chính là góc góc
AB B
.
Xét tam giác
ABB
vuông tại
B
có
1
BB AA
,
2 2
3
AB AC BC
Suy ra
tan 3 60
AB
AB B AB B
BB
.
Câu 71. Chọn C
Gọi
O
là tâm của hình thoi
ABCD
, gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
A
lên
SO
, ta có:
BD AC
BD SAC BD AH
BD SA
.
Từ
,
AH SO AH BD
suy ra
AH SBD
, hay
SH
là hình chiếu vuông góc của
SA
lên
SBD
,
C'
B'
A
B
C
A'
O
B
S
C
D
A
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 45
Suy ra
, ,
SA SBD SA SO ASO
.
Ta có
ABC
đều cạnh
2a
nên
OA a
.
SAO
vuông tại
A
nên
1
tan 30
3
OA
ASO AOS
SA
.
Câu 72. Chọn C
Ta có
BC AB
,
BC SA
BC SAB
.
Hình chiếu vuông góc của
SC
lên mặt phẳng
SAB
là
SB
.
Suy ra góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
SAB
là góc
BSC
.
Xét tam giác
SBC
vuông tại
B
có
2 2 2 2
2 3SB SA AB a a a
.
3BC AD a
.
Suy ra tam giác
SBC
vuông cân tại
B
.
Suy ra
45
BSC
.
Vậy góc giữa đường thẳng
SC
và mặt phẳng
SAB
bằng
45
.
Câu 73. Chọn A
Gọi
là tâm của hình vuông
ABCD
.
Vì
ABCD
là hình vuông nên
BD AC
; Vì
SA ABCD
nên
SA BD
Suy ra
BD SAC
, do đó góc giữa đường thẳng
SB
và
SAC
là góc
BSI
Ta có:
2SB a
;
2
2
a
BI
1
sin 30
2
BI
BSI BSI
SB
.
D
A
C
B
S
I
D
C
B
A
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 46
Câu 74.
Ta có:
SAB ABCD
SAC ABCD
SAB SAC SA
SA ABCD
.
Mà
AB AD
AB SA
AD SA A
AB SAD
.
cos ,
SB SAD
cos
BSA
2 2
SA
SA AB
2
5
.
Câu 75.
Ta có:
BC AB
SA SAB
BC SA
SB
là hình chiếu vuông góc của
SC
lên
SAB
,
SC SAB CSB
.
Tam giác
SAB
vuông tại
A
có:
2 2
3SB SA AB a
.
Tam giác
SBC
vuông tại
B
có:
1
tan 30
3
BC
CSB CSB
SB
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 47
Câu 76.
Gọi
O
là tâm của hình vuông
ABCD
khi đó ta có
AO BD
(1).
Mặt khác ta lại có
.
ABCD A B C D
là hình lập phương nên
BB ABCD
BB AO
(2).
Từ (1) và (2) ta có
AO BDD B
, ,
AB ABCD AB B O AB O
.
Xét tam giác vuông
AB O
có
1
sin
2
AO
AB O
AB
30
AB O
.
Vậy
, 30
AB ABCD
.
Câu 77. Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
, gốc tọa độ trùng với điểm
A
, trục
Ox
nằm trên đường thẳng
AD
,
chiều dương từ
A D
,
Tương tự trục
Oy
nằm trên đường thẳng
AB
, chiều dương từ
A B
, trục
Oz
nằm trên đường
thẳng
AS
, chiều dương từ
A S
.
Vậy
0 0 0 4 0 0 0 3 0 4 3 0 0 0 1A , , ,D , , ,B , , ,C , , ,S , ,
.
Ta có mặt phẳng
1
4 3 1
x y z
SBD :
3 4 12 12 0
x y z
,
4 3 1SC , ,
.
Gọi
là góc tạo bởi
SC
và
SBD
.
12 26
sin
338
.
Câu 78.
Ta có
CD AD
CD SAD
CD SA
. Do đó góc giữa
SC
và mặt phẳng
SAD
là góc
CSD
.
2 2 2 2
2 1
tan
2
15
CD CD a
CSD
SD
SA AD a a
.
Câu 79. Chọn C
O
D'
B'
A'
C'
C
B
A
D
D
C
B
A
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 48
Theo giả thiết,
ABD
là tam giác đều.
Gọi
H
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABD
. Do
SA SB SD
nên
S
nằm trên trục của
đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABD
suy ra
SH ABD
hay
SH ABCD
.
Do
SBC SBH
nên từ
H
kẻ
HK SB
tại
K
thì
,
HK d H SBC
và
2 2 2
1 1 1 15
9
a
HK
HK HB HS
.
Mặt khác,
2 2 15
, , , ,
3 3 6
a
d H SBC d A SBC d D SBC d D SBC
.
Gọi
O
là hình chiếu vuông góc của điểm
D
trên
SBC
. Khi đó:
,
SD SO DSO
và
15
,
6
a
DO d D SBC
.
Xét tam giác
SDO
vuông tại
O
có:
15
5
6
sin
3
3
2
a
DO
SD
a
.
Câu 80. Chọn A
Gọi
O AC BD
. Ta có:
DO AC
DO ABCD
DO SA SA ABCD
.
SO
là hình chiếu của
SD
lên mặt phẳng
SAC
; ;SD SAC SD SO DSO
.
Xét
SAD
vuông tại
A
:
2 2
3 2SD a a a
.
H
I
D
B
C
A
S
K
O
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 49
Xét
SOD
vuông tại
O
: có
2SD a
,
2 2
sin sin
2 4
a DO
OD DSO
SD
.
Câu 81. Chọn A
Trong mặt phẳng
ABCD
kẻ
AH CD
tại
H
.
Trong mặt phẳng
SAH
kẻ
AK SH
tại
K
. Khi đó
AK SCD
nên góc giữa
SA
mặt phẳng
SCD
là
ASH
.
Tam giác
ADC
đều nên
3
2
a
AH
.
Trong tam giác vuông
ASH
có
1
tan
2
AH
ASH
AS
.
Câu 82.
Trong mặt phẳng
ABC
kẻ
BH AC
Mà
BH SA
BH SAC
Góc giữa đường thẳng
SB
và mặt phẳng
SAC
bằng
BSH
.
Xét tam giác
ABH
vuông tại
H
,
0
.sin 60
BH AB
3
2 .
2
a
3a
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 50
0
.cos60
AH AB
1
2 .
2
a
a
.
Xét tam giác
SAH
vuông tại
S
,
2 2
SH SA AH
2
2
2
a a
3a
.
Xét tam giác
SBH
vuông tại
H
có
3SH HB a
suy ra tam giác
SBH
vuông tại
H
.
Vậy
0
45
BSH .
Câu 83.
Ta có
;
sin ;
d B SAC
SB SAC
SB
;
d D SAC
SB
.
Xét tam giác
ABC
ta có
2 2
2 . .cos
AC BA BC BA BC BAC
7a
.
2 2 2
2 4
BA BC AC
BO
2 2 2
4 7 3
2 4 2
a a a a
3BD a
và
2 2
SB SD BD
2 2
3 3a a
6a
.
Xét tam giác
ADC
ta có
sin
sin
AD AC
C
D
.sin
sin
AD D
C
AC
.sin120
7
a
a
21
14
.
Gọi
K
là hình chiếu của
D
lên
AC
, và
I
là hình chiếu của
D
lên
SK
. Ta có
AC DK
AC DI
AC SD
. Do đó
DI SK
DI AC
;
d D SAC DI
.
Mặt khác
sin
DK
C
DC
.sinDK DC C
21
2 .
14
a
21
7
a
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 51
Xét tam giác
SDK
ta có
2 2
.SD DK
DI
SD DK
2 2
21
3.
7
21
3
49
a
a
a a
6
4
a
.
Vậy
;
sin ;
d D SAC
SB SAC
SB
DI
SB
6
4
6
a
a
1
4
.
Trong mặt phẳng
SDK
kẻ
DI SK
suy ra
;d D SAC DI
.
Câu 84.
Gọi
H
là tâm hình vuông
A B C D
.
Ta có
A H B D
,
A H BB
A H BB D D
.
BH
là hình chiếu của
A B
trên
BB D D
,A H BB D D
A BH
.
sin
A H
A B
2
2
2
a
a
1
2
.
Câu 85.
Kẻ
( )BH AC H AC
và theo giả thiết
BH SA
nên
( )BH SAC
Do đó,
SH
là hình chiếu vuông góc của
SB
lên mặt phẳng
( )SAC
Suy ra,
( ,( )) ( , ) SSB SAC SB SH B H
.
Mà ta có: 6SB a ,
0
sin 60 3HB AB a
1
sin( S )
2
B H
0
S 45B H .
60
0
A
B
C
S
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 52
Dạng 3.3 Góc giữa đường thẳng khác với mặt phẳng
Câu 86.
Dựng hình bình hành
ABFC
.
Ta có
//EM SF
nên góc giữa
EM
và
SBD
bằng góc giữa
SF
và
SBD
.
//
FB AC
FB SBD
do đó góc giữa
SF
và
SBD
bằng góc
FSB
.
Ta có
tan 2
BF AC
FSB
SB SB
. Vậy chọn D.
Câu 87.
Ta có
//
//
//
MN B D
MN BD
BD B D
bốn điểm
M
,
N
,
B
,
D
đồng phẳng.
Lại có tứ giác
BCPM
là hình bình hành
//CP BM
BM DMN
//
CP DMN
, 0
CP DMN
.
F
E
M
O
C
A
B
D
S
A
B
C
D
A
B
C
D
M
N
P
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 53
Câu 88.
Gọi
N
là trung điểm
BC
. Ta có góc giữa
CM
với
mp BCD
bằng góc
MCN
.
+
2
AB
MN a
.
+
3
2
a
CN
.
Vậy
2 2 3
tan .
3
3
MN
a
CN
a
.
Câu 89.
Gọi
H
là trung điểm
AB
SH ABCD
và
3
.
2
a
SH
Gọi
P
là trung điểm
CH
//MP SH
MP ABCD
, suy ra góc giữa
MN
với mặt đáy
ABCD
là góc
MNP
(do
90
MPN
)
Có
1 3
2 4
a
MP SH
,
2
AH CD
PN
3
2
2 4
a
a
a
tan
MP
MNP
PN
3
1
4
3
3
4
a
a
30
MNP
.
Câu 90. Trong
AMD
, kẻ
NH MD
, suy ra
NH BCD
.
Nên
MD
là hình chiếu vuông góc của
MN
lên mặt phẳng
BCD
.
H
M
N
D
A
B
C
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 54
Khi đó
, ,
MN BCD MN MD NMD
.
Ta có
NMD
vuông tại
N
do đó
2
tan 2
2
2
a
ND
MN
a
.
Câu 91. Chọn C
Có
BC AB
BC SAB
BC SA
Có
BM
là hình chiếu của
CM
lên mặt phẳng
SAB
. Suy ra
;
CM SAB CMB
Ta có
2 2 2
2
2 2 2.2
tan 1
2 3 2
BC AB AB a
CMB
MB SB
SA AB
a a
45
CMB
Vậy
; 45
CM SAB
Câu 92. Chọn B
Gọi
E
là trung điểm của đoạn
KH
, ta có
AHK
vuông cân tại
A
vì
1
2
AH AK a
nên
AE KH
do đó
AE SH
AE SHK
AE HK
, suy ra
, ,SA SHK SA SE ASE
.
Mà
2 2
1 1 2
2 2 4
a
AE KH AH AK
.
M
A
B
C
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 55
SEA
vuông tại
E
có
2
sin
4
AE
SA
.
Vậy
2
sin
4
.
Câu 93. Chọn D
Gọi
O
là tâm của hình vuông. Ta có
SO ABCD
và
2
2
2
2 2
a a
SO a
Gọi
M
là trung điểm của
OD
ta có
/ /MH SO
nên
H
là hình chiếu của
M
lên mặt phẳng
ABCD
và
1 2
2 4
a
MH SO
.
Do đó góc giữa đường thẳng
BM
và mặt phẳng
( )ABCD
là
MBH
.
Khi đó ta có
2
1
4
tan
3
3 2
4
a
MH
MBH
BH
a
.
Vậy tang của góc giữa đường thẳng
BM
và mặt phẳng
ABCD
bằng
.
Câu 94. Chọn A
Do
, , ,M N P Q
lần lượt là trung điểm của
, , ,SA SB SC SD
nên mặt phẳng
( )ABCD
song song
mặt phẳng
( )MPQ
suy ra góc giữa đường thẳng
DN
và mặt phẳng
MQP
cũng là góc giữa
đường thẳng
DN
và mặt phẳng
ABCD
.
O
A
B
C
D
S
M
H
K
Q
P
N
M
O
D
S
A
B
C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 56
Có
K SO DN
. Do
.S ABCD
hình chóp đều nên
( )SO ABCD
suy ra hình chiếu vuông góc
của đường thẳng
DN
trên mặt phẳng
ABCD
là đường thẳng
DO
nên
( ,( )) ( , )DN ABCD DN DO
.
Xét tam giác vuông
SOA
có
2 3 2
5
2 2
;
OA a SA a SO a
. Mà
K
là trọng tâm tam giác
1 2
3 2
a
SBD OK SO OD OKD
vuông cân tại
O
hay
0
45
KDO
.
Hay
0
2
45
2
,( ) cos ,( )DN MPQ DN MPQ .
Câu 95. Chọn A
Ta có
, ,
sin
d D SBC d A SBC
BD BD
.
SAB SBC
SAB SBC SB
. Kẻ
AH SB
thì
AH SBC
,
AH d A SBC
.
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2
AH AB AS a a a
2
2
a
AH
và
2 2
2BD BA AD a
.
Vậy
,
2 2
sin
2.2 4
d A SBC
AH a
BD BD a
.
Câu 96. Chọn D
Gọi
O AC BD
,
,I J
lần lượt là trung điểm của
,OS OB
.
O
A
C
S
B
D
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 57
Ta có
/ / / /
NI SBD
OA SBD
MJ SBD
NI AC MJ
.
Suy ra
, ,MN SBD MN IJ
Có:
/ / / /
1
4
NI AC MJ
NI AC MJ
MJNI
là hình bình hành. Gọi
K MN IJ
suy ra
K
là trung điểm
của
IJ
và
MN
đồng thời
NI IK
Ta có
2
2
tan tan 2
2
a
NI OA
NKI
a
IK SB
trong đó
a
là cạnh của hình vuông
ABCD
.
Câu 97.
Gọi
E
,
F
lần lượt là trung điểm
SO
,
OB
thì
EF
là hình chiếu của
MN
trên
SBD
.
Gọi
P
là trung điểm
OA
thì
PN
là hình chiếu của
MN
trên
ABCD
.
Theo bài ra:
60MNP
.
Áp dụng định lý cos trong tam giác
CNP
ta được:
2 2 2
2 . .cos 45NP CP CN CP CN
2
2 2
3 2 3 2 2 5
2. . .
4 4 4 2 2 8
a a a a a
.
Suy ra:
10
4
a
NP
,
30
.tan 60
4
a
MP NP
;
30
2
2
a
SO MP
.
2 2
2 2SB SO OB a
2EF a
.
Ta lại có:
MENF
là hình bình hành ( vì
ME
và
NF
song song và cùng bằng
1
2
OA
).
Gọi
I
là giao điểm của
MN
và
EF
, khi đó góc giữa
MN
và mặt phẳng
SBD
là
NIF .
2 4 2 5
cos .
2 5
10
IK a
NIF
IN
a
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 58
Câu 98.
Ta có
B G ABC
nên
BG
là hình chiếu của
BB
lên mặt phẳng
ABC
.
, ,
BB ABC BB BG
60
B BG
.
Gọi
M
là trung điểm
BC
và
H
là hình chiếu của
A
lên
B M
, ta có
BC AM
BC B G
BC AB M
BC AH
.
Mà
AH B M
nên
AH BCC B
.
Do đó
HB
là hình chiếu của
AB
lên mặt phẳng
BCC B
.
,
AB BCC B
,
AB HB
ABH
.
Xét tam giác
ABH
vuông tại
H
có
sin
AH
ABH
AB
.
B G
.tan 60
BG
3 2
. . 3
2 3
a
a
.
2 2
B M B G GM
2
2
3 1
.
2 3
a
a
39
6
a
.
Ta có
AHM B GM
.
AM B G
AH
B M
3
.
3
2
39 13
6
a
a
a
a
.
Vậy
3
13
sin
a
ABH
a
3
13
.
G
M
B
B'
C
C'
A
A'
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 59
Câu 99.
Gọi
D
là hình chiếu của
S
lên
ABC
, ta có:
BC SC
BC SD
BC CD
và
AB SA
AB SD
AB AD
.
Mà
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
nên
ABCD
là hình vuông.
Gọi
H
là trung điểm của
AD
, ta có
//MH SD
mà
MH ABCD
.
Do đó
HN
là hình chiếu của
MN
lên
ABC
.
,
MN ABC
,
MN NH
MNH
.
2 2
SC SB BC
2 2
4
a a
3a
.
2 2
SD SC DC
2 2
3
a a
2a
.
tan
MH
NH
1
.
2
SD
AB
2
2
a
a
2
2
.
2
1
cos
1 tan
1
1
1
2
6
3
.
Câu 100.
Ta có
2
BD a
2
2
a
OD
.
Xét tam giác
SOD
vuông tại
O
có:
2
2 2 2
2 2
2 2
a a
SO SD OD a
.
Kẻ
MH BD
tại
H
nên
;
BM ABCD MBH
a
a
2
a
H
N
M
A
B
D
C
S
H
O
D
S
C
B
A
M
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 60
Do
MH BD
// MH SO
. Ta có
1
3
MH MD HD
SO SD OD
.
2
3 6
SO a
MH
và
1 2
3 6
a
HD OD
2 5 2
2
6 6
a a
BH BD HD a
.
Xét tam giác
BHM
vuông tại
H
có:
tan ;
MH
BM ABCD MBH
BH
1
tan ;
5
BM ABCD
.
DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC
Câu 101.
Do
SA SB SC
nên hình chiếu vuông góc của điểm
S
trên
ABC
trùng với tâm
H
của
đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
Mặt khác tam giác
ABC
vuông tại
C
nên
H
là trung điểm của
AB
.
Câu 102. Chọn A
Xét khẳng định 1, Ta có:
OI
là đường trung bình trong tam giác
SAC
nên
/ /OI SA
, mà
SA ABCD
suy ra
OI ABCD
. Khẳng định 1 đúng.
Xét khẳng định 2, Ta có:
BD AC
BD SC
BD SA
. Khẳng định 2 đúng.
Xét khẳng định 3, Ta có:
BD SAC O
BD SAC
,
O
là trung điểm của
BD
. Khẳng định 3 đúng.
H
C
A
B
S
I
O
C
A
D
B
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 61
Xét khẳng định 4, Ta có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
SB SA AB
SC SA AC
SB SD SC
SD SA AD
AB AC
. Khẳng định 4 sai.
Vậy trong các khẳng định trên số khẳng định sai là 1.
Câu 103. Chọn A
Áp dụng tính chất nửa lục giác đều, ta có
BD AB
.
Mặt khác,
BD SA
. Suy ra
BD SAB
, ta được
BD AM
.
Kết hợp
AM MD
, ta được
AM SBD
. Suy ra
AM SB
.
Khi đó
2 2
2 2 2
. 3 3
4 4
SM SM SB SA a
SB SB SB a
.
O
trên mặt phẳng
ABC
.
AH BC
nên
H
là trực tâm của tam giác
ABC
.
Câu 104.
Đặt
SA x
.
Gọi
O
là tâm của tam giác đều
ABC
SO ABC
.
Hình chiếu của
SA
trên mặt phẳng
BCD
là
AO
góc giữa cạnh bên
SA
và mặt đáy là góc
60SAO
.
Xét tam giác vuông
SAO
:
cos60
AO
SA
3
2
3
1
cos60
3
2
a
AO a
SA
.
A
D
B
C
S
M
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 62
Câu 105.
Dễ thấy
45
SBA
. Ta có
B D SC
và
BD SC
và
SC
không vuông góc với mặt phẳng
SBD
, suy ra
/ /
BD B D
. Nên từ
I SO AC
nên từ
I
kẻ
/ /B D BD
cắt
SB
,
SD
lần lượt
tại
B
,
D
.
Từ trên suy ra
B D AC
và
AB SC
AB SB
AB BC
.
Suy ra
1
.
2
AB C D
S AC B D
. Mà
6
3
a
AC
và
2 1
2
2. 2
B D SB a
BD SB
a
2
2
a
B D
.
Vậy
2
1 3
.
2 6
AB C D
S AC B D a
.
Câu 106.
Do
//P SA
và
M SAB P
nên
P SAB MN
(với
; //N SB MN SA
).
Do
//
P AD
và
M ABCD P
nên
P ABCD MQ
(với
; //
Q BC MQ AD
).
Do
//
P AD
và
N SBC P
nên
P SBC NP
(với
; // //
P SC NP AD BC
).
Vậy thiết diện là hình thang vuông
MNPQ
.
D'
B'
I
O
B
C
D
A
S
C'
A
D
B
C
S
M
Q
N
P
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 63
Câu 107.
Dựng
AM A D
ta có
AM A DC AM A C
,
Tương tự, dựng
AN A B
ta có
AN A BC AN A C
.
Vậy mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là mặt phẳng
AMN
.
Kéo dài
, ,AM DD K AN BB I
và
AS CC J
với
S MN A C
.
Thiết diện
AIJK
là thiết diện cần tìm.
Dễ thấy
ABCD
là hình chiếu vuông góc của
AIJK
lên mặt phẳng
ABCD
.
Ta có
.cos ,
ABCD AIJK
S S ABCD AIJK
.
Dễ thấy góc giữa hai mặt
AIJK
và
ABCD
là góc giữa hai đường
&
A A A C
và là góc
AA C
.
Xét tam giác vuông
1A AC A v
có
3 3
cos
11 11
A A a
AA C
A C
a
.
Vậy
cos ,
ABCD
AIJK
S
S
ABCD AIJK
2
11
3
AIJK
a
S
.
Câu 108. Chọn A
O'
I
J
T
S
O
B
C
K
A
C'
A'
B'
D'
D
M
N
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 64
Xét
SBC
vuông cân tại
, 2S BC a
ta có:
2 2 2 2 2 2 2
2 4 2 2
SB SC BC SB a SB a SB a SA SC
.
Gọi
J
là trung điểm của
BC
, trong
SJA
kẻ
/ /GK SA
cắt
SJ
tại
K
.
Trong
SBC
kẻ đường thẳng qua
K
song song với
SB
cắt
SC
và
CB
lần lượt tại
H
và
.
Trong
SAC
kẻ
/ /HM SA
cắt
SC
tại
M
.
Do các mặt bên của hình chóp
.
S ABC
là các tam giác vuông tại
S
nên ta có:
SA SC
SA SBC
SA SB
mà
/ /
GK SA GK SBC GK SC
(1).
Do
/ /
SB SC
IH SC
IH SB
(2).
Từ (1) và (2)
SC HMI
. Vậy thiết diện là
HMI
.
Ta có:
/ / ; / /KG SA KJ SB
và do
G
là trọng tâm
ABC
nên
1 2
3 3
JG JK JI CI
JA JS JB CB
.
Mặt khác:
/ / ; / /HI SB HM SA
nên ta có:
2 2 2 2
3 3 3
CI HI a
HI SB
CB SB
2 2 2 2
3 3 3
CI CH HM a
HM SA
CB CS SA
.
Do
( ; / /
SB SAC HI SB HI SAC HI MH HMI
vuông tại
H
.
Diện tích
HIM
là:
2
2
1 1 2 2 4
. .
2 2 3 9
HIM
a a
S HM HI
.
Câu 109. Chọn B
Hình vẽ minh họa
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 65
Gọi
N
là trung điểm
BC
. Kẻ
/ / / / ' 'MN AC MN A C
Mặt phẳng
' 'A C M
cắt lăng trụ theo thiết diện là hình thang
' '
A C NM
.
Gọi
, 'E E
lần lượt là trung điểm
AC
và
' 'A C
. Gọi
H
là giao điểm của
MN
và
BE
Ta dễ dàng chứng minh
'
MN E HE
.
Ta có
' '
'
A C NM ABC MN
EH MN
E H MN
.
' ' , , ' 'A C NM ACNM HE HE E HE
Ta có
3 3
2 4
a a
BE HE
.
2
2 2 2
3 35
' ' 2
16 4
a a
E H E E EH a
Từ đó
3 4 3
cos .
' 4
35 35
HE a
HE
a
Diện tích hình thang cân
2
3
.
3 3
2 4
2 2 16
ACNM
a a
a
MN AC HE
a
S
Ta có
' '
.cos
ACNM A C NM
S S
,
2 2
' '
3 3 35 3 35
.
cos 16 16
3
ACNM
A C NM
S
a a
S
.
Câu 110.
Ta có
AB SA
AB AD
AB SAD
. Mà
P
qua
M
và vuông góc với
AB
nên
//
P SAD
//P SA
,
//P AD
và
//P SD
.
Trong mặt phẳng
SAB
kẻ
//MQ SA
với
Q SB
.
H
E'
E
M
B'
C'
N
B
C
A'
A
P
N
Q
M
A
D
B
C
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 66
Trong mặt phẳng
ABCD
kẻ
//MN AD
với
N CD
.
Trong mặt phẳng
SCD
kẻ
//NP SD
với
P SC
.
Vì
M
là trung điểm của
AB
nên
N
,
P
,
Q
lần lượt là trung điểm của các cạnh
CD
,
SC
,
SB
.
Do đó thiết diện là hình thang
MNPQ
vuông tại
Q
và
M
.
Ta có
1
2
MN AD BC
1
8 6 7
2
,
1
3
2
MQ SA
và
1
3
2
PQ BC
.
Vậy diện tích của thiết diện là :
.
2
MNPQ
MN PQ QM
S
7 3 .3
15
2
.
Câu 111. Gọi
H
là trực tâm tam giác
ABC
, vì tứ diện
OABC
có
OA
,
OB
,
OC
đôi một vuông góc nên ta
có
OH ABC
và
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
.
Ta có
;
OA ABC OAH
,
;
OB ABC OBH
,
;
OC ABC OCH
.
Nên
sin
OH
OA
,
sin
OH
OB
,
sin
OH
OC
.
Đặt
a OA
,
b OB
,
c OC
,
h OH
thì
2 2 2 2
1 1 1 1
h a b c
và
2 2 2
3 cot . 3 cot . 3 cot
M
2 2 2
1 1 1
2 . 2 . 2
sin sin sin
2 2 2
2 2 2
2 . 2 . 2
a b c
h h h
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 4 6
1 1 1
8 4 . 2 . .
a b c a b b c c a a b c
h h h
.
Ta có:
2 2 2
2
1
.
a b c
h
2 2 2
2 2 2
1 1 1
.a b c
a b c
3 2 2 2
3
2 2 2
1 1 1
3 . . .3 . . 9
a b c
a b c
.
2 2 2 2 2 2
4
1
.
a b b c c a
h
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1
.a b b c c a
a b c
2
3 2 2 2 2 2 2
3
2 2 2
1 1 1
3 . . . 3 . .a b b c c a
a b c
3 4 4 4
3
4 4 4
1
3 .9 27
a b c
a b c
.
2 2 2
6
1
.
a b c
h
3
3
2 2 2 2 2 2
3
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
. . 3 . . 27
a b c a b c
a b c a b c
.
Do đó:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 4 6
1 1 1
8 4 . 2 . .
M a b c a b b c c a a b c
h h h
8 4.9 2.27 27 125
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b c
, hay
OA OB OC
.
Vậy
min 125
M
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 67
h
c
b
a
α
A
O
B
C
H
| 1/67
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 TOÁN 11 1H3-3
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Contents
A. CÂU HỎI .................................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 1
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG
VÀ ĐƯỜNG THẲNG...................................................................................................................................................... 3
Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ........................................................................................................ 3
Dạng 2.2 Đường thẳng vuông góc với đường thẳng .................................................................................................... 4
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ..................................................................... 4
Dạng 3.1 Góc của cạnh bên với mặt phẳng đáy ........................................................................................................... 4
Dạng 3.2 Góc giữa cạnh bên với mặt phẳng bên ........................................................................................................ 10
Dạng 3.3 Góc giữa đường thẳng khác với mặt phẳng ........................................................................................... 14
DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC .................................................................................................. 17
B. LỜI GIẢI ................................................................................................................................................................... 19
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT ................................................................................................................................ 19
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG
VÀ ĐƯỜNG THẲNG.................................................................................................................................................... 19
Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ...................................................................................................... 19
Dạng 2.2 Đường thẳng vuông góc với đường thẳng .................................................................................................. 24
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ................................................................... 26
Dạng 3.1 Góc của cạnh bên với mặt phẳng đáy ......................................................................................................... 26
Dạng 3.2 Góc giữa cạnh bên với mặt phẳng bên ........................................................................................................ 40
Dạng 3.3 Góc giữa đường thẳng khác với mặt phẳng ........................................................................................... 52
DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC .................................................................................................. 60 A. CÂU HỎI
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1.
(CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng  P
, trong đó a   P . Chọn mệnh đề sai.
A. Nếu b // a thì b //  P .
B. Nếu b // a thì b   P .
C. Nếu b   P thì b // a .
D. Nếu b //  P thì b a .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 2.
(THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng
vuông góc với đường thẳng  cho trước? A. Vô số. B. 2 . C. 3 . D. 1. Câu 3.
(THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng   thì d vuông góc với hai đường thẳng trong mặt phẳng   .
B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng   thì d vuông góc
với mặt phẳng   .
C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng   thì d
vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng   .
D. Nếu d    và đường thẳng a //   thì d a . Câu 4.
(SỞ GD&ĐT BÌNH THUẬN - 2018) Trong không gian, khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc
đôi một song song với nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song
song với đường thẳng kia. Câu 5.
(SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau đây?
A. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng Q
thì mặt phẳng  P song song hoặc trùng với mặt phẳng Q  .
B. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng  P
thì đường thẳng a song song với đường thẳng b .
C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng  P
thì đường thẳng a song song hoặc trùng với đường thẳng b .
D. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho. Câu 6.
(THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN 1 - 2018) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:
A. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
B. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b đồng thời a b . Luôn có mặt phẳng   chứa a và    b .
C. Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Nếu mặt phẳng   chứa a và mặt phẳng
  chứa b thì      .
D. Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng khác. Câu 7.
(THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018) Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng
P . Chọn khẳng định đúng?
A. Nếu a   P và b a thì b   P .
B. Nếu a   P và b   P thì b a .
C. Nếu a   P và b a thì b   P .
D. Nếu a   P và b   P thì b a .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG,
ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Câu 8.
(SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho tứ diện MNPQ có hai tam giác MNP và
QNP là hai tam giác cân lần lượt tại M và Q . Góc giữa hai đường thẳng MQ và NP bằng A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 . Câu 9.
(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình
hành tâm O , SA SC, SB SD . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
A. SA   ABCD .
B. SO   ABCD .
C. SC   ABCD .
D. SB   ABCD .
Câu 10. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông,
cạnh bên SA vuông góc với đáy ( ABCD) .
Khẳng định nào sau đây sai?
A. CD  (SBC) .
B. SA  ( ABC) .
C. BC  (SAB) .
D. BD  (SAC ) .
Câu 11. (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và
ABD là hai tam giác đều. Gọi M là trung điểm của AB . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. CM   ABD .
B. AB  MCD .
C. AB   BCD .
D. DM   ABC  .
Câu 12. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông
góc đáy. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. BC  SAB .
B. AC  SBD .
C. BD  SAC  .
D. CD  SAD .
Câu 13. (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ
nhật tâm I , cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SC ,
SD . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AH  SCD .
B. BD  SAC  .
C. AK  SCD .
D. BC  SAC  .
Câu 14. (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình vuông, SA   ABCD . Gọi M là hình chiếu của A trên SB . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AM SD .
B. AM   SCD .
C. AM CD .
D. AM  SBC .
Câu 15. (ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Cho hình chóp S.ABCD có
đáy là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. BA   SAD .
B. BA  SAC  .
C. BA  SBC  .
D. BA   SCD .
Câu 16. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông tâm O cạnh bằng 2 , cạnh bên SA bằng 3 và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung
điểm của cạnh bên SB và N là hình chiếu vuông góc của A trên SO . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. AC  SDO.
B. AM  SDO .
C. SA  SDO .
D. AN  SDO .
Câu 17. (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp SABC có SA   ABC . Gọi
H , K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và ABC . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?
A. BC  SAH  .
B. HK  SBC  .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
C. BC  SAB .
D. SH , AK và BC đồng quy.
Dạng 2.2 Đường thẳng vuông góc với đường thẳng
Câu 18. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD có AB AC  2,
DB DC  3 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. BC AD .
B. AC BD .
C. AB   BCD .
D. DC   ABC  .
Câu 19. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác
đều, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và SB . Trong các
mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A. CM SB .
B. CM AN .
C. MN MC .
D. AN BC .
Câu 20. (CHUYÊN LONG AN - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  và H là hình
chiếu vuông góc của S lên BC . Hãy chọn khẳng định đúng.
A. BC SC .
B. BC AH .
C. BC AB .
D. BC AC .
Câu 21. (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông
tại B và SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
trên cạnh SB và SC . Khẳng định nào sau đây sai?
A. AM SC .
B. AM MN .
C. AN SB .
D. SA BC .
Câu 22. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho tứ diện đều ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB và CD . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. MN AB .
B. MN BD .
C. MN CD .
D. AB CD .
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Dạng 3.1 Góc của cạnh bên với mặt phẳng đáy
Câu 23. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  ; tam
giác ABC đều cạnh a và SA a (tham khảo hình vẽ bên). Tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC  . S A C B A. o 60 . B. o 45 . C. o 135 . D. o 90 .
Câu 24. (Trường THPT Thăng Long Lần 1 năm 2018-2019) Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông
góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là góc giữa hai đường thẳng nào dưới đây?
A. SB và AB .
B. SB và SC .
C. SA và SB .
D. SB và BC .
Câu 25. (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA a 3 . Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ( ABCD) bằng:
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 3 A. arcsin . B. 0 45 . C. 0 60 . D. 0 30 . 5
Câu 26. (THPT YÊN KHÁNH A - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh
a, SA   ABCD, SA a 2. Tính góc giữa SC và mặt phẳng  ABCD. A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 60 . D. 0 90 .
Câu 27. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 4 - 2018) Cho hình lăng trụ đều ABC.A BC
  có AB  3 và AA  1. Góc tạo bởi giữa đường thẳng AC và  ABC bằng A. o 45 . B. o 60 . C. o 30 . D. o 75 .
Câu 28. (SGD - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện đều ABCD . Gọi  là góc giữa đường thẳng
AB và mặt phẳng  BCD . Tính cos . A B D C 1 3 2 A. cos  0 . B. cos  . C. cos  . D. cos  . 2 3 3
Câu 29. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương thi thử lần 1 (2018-2019)) Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Độ lớn của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng A. 45 . B. 75 . C. 30 . D. 60 .
Câu 30. (101 - THPT 2019) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC , SA  2a ,
tam giác ABC vuông tại B , AB a 3 và BC a (minh họa hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng
SC và mặt phẳng  ABC bằng A. 90 . B. 45 . C. 30 . D. 60 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 31. (102 - THPT 2019) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC, SA  2a ,
tam giác ABC vuông tại B , AB a và BC  3a (minh họa như hình vẽ bên). .
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC bằng A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 .
Câu 32. (103 - THPT 2019) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC . SA  2a .
Tam giác ABC vuông cân tại B và AB a ( minh họa như hình vẽ bên).
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC bằng A. 0 45 . B. 0 60 . C. 0 30 . D. 0 90 .
Câu 33. (104 - THPT 2019) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC , SA  2a ,
tam giác ABC vuông cân tại B và AB a 2 (minh họa như hình vẽ bên). S 2a 2a A C a 2 a 2 B
Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC bằng A. 60o . B. 45o . C. 30o . D. 90o .
Câu 34. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SB  2a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng A. 60 . B. 90 . C. 30 . D. 45 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 35. (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C ,
AC a , BC  2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng A. 60 . B. 90 . C. 30 . D. 45 .
Câu 36. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
AB a và SB  2a . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng. A. 0 60 . B. 0 45 . C. 0 30 . D. 0 90 .
Câu 37. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,
SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA
2a . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 .
Câu 38. (THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019) Cho hình chóp S.ABC tam giác ABC vuông tại B cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Gọi H là hình chiếu của A trên SB . Mệnh đề nào sau đây SAI? S H C A B
A. Các mặt bên của hình chóp các tam giác vuông
B. SBC vuông.
C. AH SC
D. Góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng  ABC  là góc  SCB
Câu 39. (Thi thử lần 4-chuyên Bắc Giang_18-19) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ
nhật có AB a, AD  2a , SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD , SA  3a . Gọi  là góc giữa
SC và  ABCD ( tham khảo hình vẽ bên). Khi đó tan  bằng 5 3 5 3 5 A. . B. . C. . D. . 5 5 3 5
Câu 40. (Nho Quan A - Ninh Bình - lần 2 - 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều
cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng  ABC trùng với trung điểm H của
cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Gọi  là số đo của góc giữa đường thẳng SA và
mặt phẳng  ABC . Tính tan  . 1 A. 1. B. 3 . C. 0. D. . 3
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 41. (Thi thử hội 8 trường chuyên lần 3 - 23 - 5 - 2019) Cho lăng trụ đều ABC.A BC   có tất cả các
cạnh bằng a . Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng  A BC   bằng A. 60 .  B. 45 .  C. 30 .  D. 90 . 
Câu 42. (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a ,
cạnh bên SA vuông góc mặt đáy và SA a . Gọi  là góc tạo bởi SB và mặt phẳng  ABCD . Xác định cot  ? 1 2 A. cot   2 . B. cot   . C. cot  2 2 . D. cot   . 2 4
Câu 43. (Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc  ABC . Góc
giữa SC với  ABC là góc giữa
A. SC và AC .
B. SC và AB .
C. SC và BC .
D. SC và SB .
Câu 44. (Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Cho hình thoi ABCD tâm O có BD  4a, AC  2a . Lấy điểm
S không thuộc  ABCD sao cho SO   ABCD . Biết  1 tan SBO
. Tính số đo góc giữa SC và 2  ABCD . A. 0 60 . B. 0 75 . C. 0 30 . D. 0 45 .
Câu 45. (SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho hình chóp S.MNP có đáy là tam giác đều,
MN a , SM vuông góc với mặt phẳng đáy, SP  2a , với 0  a   . Tính góc giữa đường thẳng
SN và mặt phẳng đáy. A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 30 .
Câu 46. (ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Cho hình chóp S.ABCD có
đáy là hình vuông cạnh 3a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SB  5a . Tính sin của góc giữa
SC và mặt phẳng  ABCD . 2 2 3 2 3 17 2 34 A. . B. . C. . D. . 3 4 17 17
Câu 47. (THPT LỤC NGẠN - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
AB  2a , AD a . SA vuông góc với mặt phẳng đáy. SA a 3 . Cosin của góc giữa SC và mặt đáy bằng: 5 7 6 10 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4
Câu 48. (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a , 
ADC  60 . Gọi O là giao điểm của AC và BD , SO   ABCD và SO a . Góc giữa đường
thẳng SD và mặt phẳng  ABCD bằng A. 60 . B. 75 . C. 30 . D. 45 .
Câu 49. (THPT NGHEN - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình a 6
vuông cạnh a và SA   ABCD . Biết SA
. Góc giữa SC và  ABCD là: 3 A. 45 . B. 30 . C. 75 . D. 60 .
Câu 50. (THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a , Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 3 a 15
Biết thể tích của khối chóp S.ABCD là
. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy 6  ABCD là A. 120o . B. 30o . C. 45o . D. 60o .
Câu 51. (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM - 2018) Cho hình lăng trụ đều ABC.AB C   có tất cả
các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của AB và  là góc tạo bởi đường thẳng MC và mặt
phẳng  ABC  . Khi đó tan  bằng 2 7 3 3 2 3 A. . B. . C. . D. . 7 2 7 3
Câu 52. (THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy
ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên  ABC  trùng với trung điểm H
của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và  ABC  . A. 30 . B. 75 . C. 60 . D. 45 .
Câu 53. (THPT NGÔ QUYỀN - HẢI PHÒNG - 2018) Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  , SA a ,
tam giác ABC đều cạnh a . Góc giữa SC và mặt phẳng  ABC là: A. arctan 2 B. 0 60 . C. 0 30 . D. 0 45 .
Câu 54. (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKI I - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh
bằng a , SA   ABC  , SA a 3 . Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  ABC  . A. 75 . B. 45 . C. 60 . D. 30 .
Câu 55. (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .
Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  2a Góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng ABCD là α . Khi đó tan α bằng 2 A. 2 . B. . C. 2 . D. 2 2 . 3
Câu 56. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , H
là hình chiếu của S lên AB , tam giác SAB vuông cân tại S , SH vuông góc với  ABC  . Góc giữa
cạnh SC và mặt đáy bằng: A. 0 60 . B. 0 30 . C. 0 90 . D. 0 45 .
Câu 57. (THI THỬ L4-CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ-HÒA BÌNH-2018-2019)Cho hình chóp S.ABC
có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Tam giác SBC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với đáy. Số đo góc giữa đường thẳng SA và  ABC  bằng: A. 45 . B. 30 . C. 75 . D. 60 .
Câu 58. (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có SA , SB , SC đôi một
vuông góc với nhau và SA SB SC a . sin của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC  bằng 6 2 1 2 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 6
Câu 59. (THPT CHUYÊN NGUYỄN ĐÌNH TRIỂU - ĐỒNG THÁP - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SB và SD , O là
giao điểm của AC và BD . Khẳng định nào sau đây sai?
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
A. SO   ABCD .
B. SAC    SBD .
C. EF //  ABCD . D. S , A ABCD     60.
Câu 60. (THPT HOÀNG MAI - NGHỆ AN - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh .
a Hình chiếu vuông góc của S lên  ABC là trung điểm của cạnh BC. Biết ΔSBC đều, tính góc
giữa SA và  ABCA. 45 B. 90 C. 30 D. 60
Câu 61. (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019) Cho hình lăng trụ ABC.A BC
  , đáy ABC là tam
giác vuông tại B , AB a ,  0
ACB  30 . M là trung điểm AC . Hình chiếu vuông góc của đỉnh A
lên mặt phẳng  ABC là trung điểm H của BM . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng  BMB 3a bằng
. Tính số đo góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy của hình lăng trụ. 4 A. 0 60 . B. 0 30 . C. 0 90 . D. 0 45 .
Dạng 3.2 Góc giữa cạnh bên với mặt phẳng bên
Câu 62. (THPT Minh Khai - lần 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O , SO   ABCD .
Góc giữa SA và mặt phẳng  SBD là góc     A. ASO . B. SAO . C. SAC . D. ASB .
Câu 63. (THPT CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA a 2 . Tìm số đo của góc giữa đường
thẳng SC và mặt phẳng SAB . A. o 45 . B. o 30 . C. o 90 . D. o 60 .
Câu 64. (THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
a , SA   ABCD và SA a 3 Gọi  là góc tạo bởi giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  SAC
, khi đó  thỏa mãn hệ thức nào sau đây: 2 2 2 2 A. cos  . B. sin  . C. sin  . D. cos  . 8 8 4 4
Câu 65. (THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vuông cạnh a . SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD và SA a 6 (hình vẽ). Gọi  là góc giữa
đường thẳng SB và mặt phẳng SAC  . Tính sin  ta được kết quả là:
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 1 2 3 1 A. . B. . C. . D. . 14 2 2 5
Câu 66. (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
chữ nhật, cạnh AB a , AD  3a . Cạnh bên SA a 2 và vuông góc mặt phẳng đáy. Góc giữa
đường thẳng SB và mặt phẳng SAC  bằng: A. 75 . B. 60 . C. 45 . D. 30 .
Câu 67. (THPT KIẾN AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC.AB C   có đáy
ABC là tam giác vuông tại B , AB BC a , BB '  a 3 . Tính góc giữa đường thẳng A B  và mặt phẳng  BCC B   . A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 .
Câu 68. (Cụm liên trường Hải Phòng-L1-2019) Cho khối chóp S.ABC có SA   ABC, tam giác ABC
vuông tại B , AC  2a , BC a , SB  2a 3 . Tính góc giữa SA và mặt phẳng SBC . A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 .
Câu 69. (CHUYÊN VINH - LẦN 1 - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC.AB C
  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại ,
A AB AA  a (tham khảo hình vẽ bên). Tính tang của góc giữa đường thẳng BC
và mặt phẳng  ABB A   . 2 6 3 A. . B. . C. 2 . D. . 2 3 3
Câu 70. (Chuyên ĐH Vinh-lần 2-2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC  có đáy ABC là tam giác
vuông tại B, AC  2, BC  1, A
A  1. Tính góc giữa AB và (BCCB )  .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A. 45. B. 90 .  C. 30 .  D. 60 . 
Câu 71. (Thi thử chuyên Hà Tĩnh lần 1 (13/4/2019)) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a ,  0
ABC  60 , SA a 3 và SA   ABCD . Tính góc giữa SA và mặt phẳng SBD. A. 60 . B. 90 . C. 30 . D. 45 .
Câu 72. (Kinh Môn - Hải Dương L2 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật.
AB a , AD a 3 . Cạnh bên SA   ABCD và SA a 2 . Góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng  SAB là A. 30 . B. 90 . C. 45 . D. 60 .
Câu 73. (HKI-Chuyên Vinh 18-19) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,
SA   ABCD và SA a . Góc giữa đường thẳng SB và SAC là A. 30 . B. 75 . C. 60 . D. 45 .
Câu 74. (QUẢNG XƯƠNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh a . Hai mặt phẳng SAB và SAC  cùng vuông góc với đáy  ABCD và
SA  2a . Tính cosin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  SAD . 5 2 5 1 A. . B. . C. . D. 1. 5 5 2
Câu 75. (THPT YÊN LẠC - LẦN 3 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
AB a 2 , AD a , SA vuông góc với đáy và SA a . Tính góc giữa SC và SAB . A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 30 .
Câu 76. (THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Cho hình lập phương ABC . D AB CD   (hình bên).
Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng  BDD B   . A. 60 . B. 90 . C. 45 . D. 30 .
Câu 77. (THPT CHUYÊN NGUYỄN THỊ MINH KHAI - SÓC TRĂNG - 2018) Cho hình chóp tứ giác
S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với  ABCD , AB  3,BC  4,SA  1
(tham khảo hình vẽ dưới đây). Sin của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  SBD bằng S 1 A 3 B 4 D C 11 26 12 26 13 26 12 A. . B. . C. . D. . 328 338 338 65
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 78. (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình chữ nhật có AB  2AD  2a cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 15 . Tính tang của
góc giữa SC và mặt phẳng SAD . 1 3 A. 3 . B. 2 . C. . D. . 2 3
Câu 79. (Chuyên Phan Bội Châu-lần 1-2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi a 3
tâm I , cạnh a , góc  60o BAD
. SA SB SD
. Gọi  là góc giữa đường thẳng SD và 2
mặt phẳng SBC . Giá trị sin bằng 1 2 5 2 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 80. (Thi thử chuyên Hùng Vương Gia Lai lần -2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA a 3 . Gọi  là góc giữa SD và  SAC  . Giá trị sin bằng 2 2 3 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 3
Câu 81. (Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a ,  góc 0
ABC  60 , SA   ABCD , SA a 3 . Gọi  là góc giữa SA và mặt phẳng  SCD . Tính tan  . 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 5
Câu 82. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB  2a ,  0
BAC  60 và SA a 2 . Góc giữa đường thẳng SB
và mặt phẳng SAC  bằng A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 60 . D. 0 90 .
Câu 83. (CHUYÊN VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành,
AB  2a , BC a , 
ABC  120 . Cạnh bên SD a 3 và SD vuông góc với mặt phẳng đáy (tham
khảo hình vẽ bên). Tính sin của góc tạo bởi SB và mặt phẳng  SAC S D C A B 3 3 1 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 7
Câu 84. (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương ABC . D AB CD   có cạnh
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
bằng a , gọi  là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng  BB DD
  . Tính sin . 3 3 3 1 A. . B. . C. . D. . 4 2 5 2
Câu 85. (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , cạnh bên
SA vuông góc với mặt đáy, AB  2a ,  0
BAC  60 và SA a 2 . Góc giữa đường thẳng SB và mặt
phẳng (SAC) bằng A. 0 45 . B. 0 60 . C. 0 30 . D. 0 90 .
Dạng 3.3 Góc giữa đường thẳng khác với mặt phẳng
Câu 86. (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau.
Gọi E , M lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và SA ,  là góc tạo bởi đường thẳng EM và
mặt phẳng SBD . Giá trị của tan bằng A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 2 .
Câu 87. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Cho hình hộp ABC . D AB CD
  có M , N , P lần lượt
là trung điểm của các cạnh AB , A D   , C D
  . Góc giữa đường thẳng CP và mặt phẳng  DMN  bằng? AN DM P BCA D B C A. 0 . B. 45 . C. 30 . D. 60 .
Câu 88. (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD đều cạnh a
, AB vuông góc với mp BCD , AB  2a . M là trung điểm đoạn AD ,gọi  là góc giữa CM với
mp BCD ,khi đó: 3 2 3 3 2 6 A. tan  . B. tan  . C. tan  . D. tan  . 2 3 2 3
Câu 89. (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông
cạnh 2a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của SC và AD (tham khảo hình vẽ).
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S M A D N B C
Góc giữa MN và mặt đáy  ABCD bằng A. 90 . B. 30 . C. 45 . D. 60 .
Câu 90. (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M , N
lần lượt là trung điểm của BC và AD (tham khảo hình vẽ). Gọi  là góc giữa đường thẳng MN
và mặt phẳng  BCD . Tính tan . A N B H D M C 2 3 A. tan  2 . B. tan  . C. tan  3 . D. tan  . 2 3
Câu 91. (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh lần 1 năm 18-19) Cho hình chóp S.ABC có
SA   ABC, SA  2a 3, AB  2a , tam giác ABC vuông cân tại B . Gọi M là trung điểm của SB
. Góc giữa đường thẳng CM và mặt phẳng SAB bằng: A. 0 90 . B. 0 60 . C. 0 45 . D. 0 30 .
Câu 92. (Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB đều và nàm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
H , K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD . Tính sin của góc tạo bởi giữa hai đường
thẳng SA và mặt phẳng SHK  . 2 2 14 7 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 4
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 93. (Tham khảo 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là
trung điểm của SD (tham khảo hình vẽ bên). Tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng  ABCD bằng S M A D B C 2 3 2 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 3
Câu 94. [THPT THĂNG LONG-HÀ NỘI-LẦN 2-2018-2019] Cho hình chóp đều S.ABCD có SA
5a , AB a . Gọi M, N, ,
P Q lần lượt là trung điểm của , SA S , B S ,
C SD . Tính cosin của
góc giữa đường thẳng DN và mặt phẳng MQP . 2 1 3 15 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 6
Câu 95. (Thi thử SGD Cần Thơ mã 121 – 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ
nhật, AB a , BC a 3 , SA a và SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD . Đặt  là góc giữa
đường thẳng BD và  SBC  . Giá trị của sin bằng 2 5 1 3 A. . B. . C. . D. . 4 5 2 2
Câu 96. (HKI CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả
các cạnh bằng nhau. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SA và  là góc tạo bởi
đường thẳng MN với  SBD . Tính tan  . A. 3 . B. 1. C. 2. D. 2 .
Câu 97. (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018)Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng
a , tâm O . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC . Biết rằng góc giữa MN và  ABCD bằng 0
60 , cosin góc giữa MN và mặt phẳng  SBD bằng: 41 5 2 5 2 41 A. . B. . C. . D. . 41 5 5 41
Câu 98. (THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) Cho lăng trụ ABC.AB C
  có đáy là tam giác đều cạnh a .
Hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm G của tam giác ABC .
Cạnh bên hợp với  ABC  góc 60 . Sin của góc giữa AB và mặt phẳng  BCC B   . 3 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 13 2 13 13 13
Câu 99. (TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông V
cân tại B , AB a , SA AB , SC BC , SB  2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm SA , BC .
Gọi  là góc giữa MN với  ABC  . Tính cos .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2 11 6 2 6 10 A. cos  . B. cos  . C. cos  . D. cos  . 11 3 5 5
Câu 100. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng .
a Gọi M là điểm trên đoạn SD sao cho SM  2MD . S M A D B C
Tan góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng  ABCD là 1 5 3 1 A. . B. . C. . D. . 3 5 3 5
DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC
Câu 101. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC và tam giác
ABC vuông tại C . Gọi H là hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng  ABC  . Khẳng định nào sau
đây là khẳng định đúng?
A. H là trung điểm của cạnh AB .
B. H là trọng tâm tam giác ABC .
C. H là trực tâm tam giác ABC .
D. H là trung điểm của cạnh AC .
Câu 102. (Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD và đáy ABCD
là hình vuông tâm O ; Gọi I là trung điểm của SC ; Xét các khẳng định sau:
1. OI   ABCD . 2. BD SC .
3.  SAC  là mặt phẳng trung trực của đoạn BD .
4. SB SC SD .
Trong bốn khẳng định trên, số khẳng định sai là A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.
Câu 103. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều với
cạnh a . Cạnh SA vuông góc với đáy và SA a 3 . M là một điểm khác B và ở trên SB sao cho SM
AM vuông góc với MD . Khi đó, tỉ số bằng SB 3 2 3 1 A. . B. . C. . D. . 4 3 8 3
Câu 104. (THPT THĂNG LONG - HÀ NỘI - 2018) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh
đáy bằng a . Độ dài cạnh bên của hình chóp bằng bao nhiêu để góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2a a a 3 2a A. . B. . C. . D. . 3 6 6 3
Câu 105. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB tạo với đáy góc 0
45 . Một mặt phẳng   đi qua
A và vuông góc với SC cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác AB CD   có diện tích bằng: 2 a 3 2 a 3 2 a 3 2 a 3 A. . B. . C. . D. . 4 2 6 3
Câu 106. (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình thang vuông tại ,
A B . SA vuông góc với đáy, M là một điểm trên cạnh AB . Gọi  P là mặt phẳng qua
M và song song với S ,
A AD . Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng  P là A. Hình bình hành. B. Hình vuông.
C. Hình thang vuông. D. Hình chữ nhật.
Câu 107. (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Cho hình hộp đứng ABC . D A BCD   có
đáy ABCD là hình vuông cạnh a , AA  3a . Mặt phẳng qua A vuông góc với A C  cắt các cạnh BB ,
CC , DD lần lượt tại I , J , K . Tính diện tích thiết diện AIJK 2 2a 11 2 a 11 2 a 11 2 3a 11 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 2
Câu 108. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a , các mặt bên là các tam giác
vuông cân tại S . Gọi G là trọng tâm của ABC ,   là mặt phẳng qua G vuông góc với SC .
Diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mặt phẳng   bằng 4 2 4 2 A. 2 a . B. 2 a . C. 2 a . D. 2 a . 9 3 3 9
Câu 109. Cho lăng trụ đều AB .
C A' B 'C ' có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 2 . Gọi M là trung điểm
của AB . Diện tích thiết diện cắt lăng trụ đã cho bởi mặt phẳng  A'C ' M  là 7 2 3 35 3 2 9 A. 2 a . B. 2 a . C. 2 a . D. 2 a . 16 16 4 8
Câu 110. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD với đáy
ABCD là hình thang vuông tại A , đáy lớn AD  8, đáy nhỏ BC  6 . SA vuông góc với đáy, SA  6  P
. Gọi M là trung điểm của AB .
là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB . Thiết  P
diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng có diện tích bằng: A. 20 . B. 15 . C. 30 . D. 16 .
Câu 111. (THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Xét tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi
một vuông góc. Gọi  ,  ,  lần lượt là góc giữa các đường thẳng OA , OB , OC với mặt phẳng
ABC  (hình vẽ).
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A O C B
Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức M   2     2     2 3 cot . 3 cot
. 3  cot   là A. Số khác. B. 48 3 . C. 48 . D. 125 . B. LỜI GIẢI
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1.
Nếu a   P và b // a thì b   P . Câu 2.
Theo tính chất 1 SGK Hình học 11 trang 100 . Câu 3.
Khẳng định B sai vì: đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng  
mà hai đường thẳng đó song song thì d không vuông góc với mặt phẳng   . Câu 4.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. Câu 5.
Phát biểu D đúng theo định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Câu 6.
Hiển nhiên B đúng.
Có vô số mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Do đó, A sai.
Nếu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau và cắt nhau thì mặt phẳng chứa cả a và b
không thể vuông góc với b . Do đó, C sai.
Qua một đường thẳng có vô số mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng khác. Do đó, D sai. Câu 7. Chọn B
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG,
ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Câu 8. Chọn D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Q M P I N NP MI
Gọi I là trung điểm cảu NP , ta có: 
NP  QIM     NP QM . NP QI  Câu 9. Chọn B S A B O D C
Ta có O là trung điểm của A , C BD Mà SA S ,
C SB SD SO A , C SO BD
SO   ABCD .
Câu 10. Chọn A S D A O B C
Từ giả thiết, ta có : SA  ( ABC)  B đúng. BC AB Ta có : 
BC  (SAB)  C đúng. BC SA  BD AC Ta có: 
BD  (SAC)  D đúng. BD SA  Do đó: A sai. Chọn A.
Nhận xét: Ta có cũng có thể giải như sau: CD   AD
CD  (SAD) CD SA
Mà (SCD) và (SAD) không song song hay
Trùng nhau nên CD  (SCD) là sai. Chọn A.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 D A C M Câu 11. B CM AB
  AB  CDM  . DM ABCâu 12. Ta có: BC AB + 
BC  SAB . BC SACD   AD + 
CD  SAD . CD SA  BD AC + 
BD  SAC  . BD SA  Suy ra: đáp án B sai. S H K A B I D C Câu 13.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 CD SA  Có
  CD   SAD  CD AK . CD ADAK SD  Có
  AK   SCD . AK CD
Câu 14. Chọn D S M D A B CSA BC
Do SA   ABCD và ABCD là hình vuông nên 
BC  SAB . AB BC  BC   SAB  AM SB
AM BC ; 
AM  SBC AM   SAB  AM BC
Câu 15. Chọn A Ta có:
BA SA (do SA  ABCD )
BA AD (do ABCD là hình vuông)
BA   SAD .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S N M A D O B Câu 16. CBC AC Ta có: 
BC  SAC   AN AN BC . BC SA
Theo giả thiết: AN SO .
Vậy AD   SDO . S A C H K B Câu 17. Cách 1: BC SA Ta có 
BC  SAH  nên A đúng suy ra C sai vì mặt phẳng SAH  và mặt phẳng BC SH
SAB là hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với BC suy ra SAH  // SAB . Điều này không
thể vì hai mặt phẳng này có SA chung. Cách 2:
Ta có BC  SAB  BC BA nên tam giác ABC vuông tại B , điều này giả thiết không cho suy ra C sai.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Dạng 2.2 Đường thẳng vuông góc với đường thẳng A B D H C Câu 18.
Theo đề bài ta có: AB
C, DBC lần lượt cân tại ,
A D . Gọi H là trung điểm của BC .  AH BCAD    ADH       BC AD . DH BCBC    ADH   S N A C M Câu 19. B CM   AB  Ta có CM   SA
CM  SAB  CM SB  ,
SA AB  SAB 
Mà AN  SAB  CM AN MN SA  Mặt khác 
MN   ABC SA    ABC   MN   SAB Vì   MN CM . CM    ABC  
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 20. BC SH Ta có:   BC AH . BC SAS N M A B Câu 21. C
Ta có: SA   ABC   SA BC mà BC AB BC  SAB , AM  SAB  BC AM .  AM SB Vậy 
AM  SBC   AM SC  Đáp án AM SC đúng. AM BC   AM   SBC  Vì 
AM MN  Đáp án AM MN đúng. MN   SBC 
SA   ABC   SA BC  Đáp án SA BC đúng.
Vậy AN SB sai. A M B C N D Câu 22.
• NAB cân tại N nên MN AB .
• MCD cân tại M nên MN CD .
• CD   ABN   CD AB .
• Giả sử MN BD
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
mà MN AB . Suy ra MN   ABD (Vô lí vì ABCD là tứ diện đều) Vậy phương án B sai.
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Dạng 3.1 Góc của cạnh bên với mặt phẳng đáy
Câu 23. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC  là góc  SCA .
Tam giác SAC vuông cân tại A nên góc  SCA  45 .
Câu 24. Chọn A S A C B
Ta có: Hình chiếu của SB trên mặt phẳng ( ABC) là AB nên góc giữa đường thẳng SB và mặt
phẳng đáy là góc giữa hai đường thẳng SB và AB .
Câu 25. Chọn C S A D B C
Vì SA ABCD nên góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ( ABCD) là góc  SDA . SA
Trong tam giác vuông SDA ta có:   0 tan SDA
 3  SDA  60 . AD S a 2 A D a B a C Câu 26.
SC ABCD  SC AC  , ,  SC . A
Trong tam giác vuông SAC có  0
SA AC a 2  SCA  45 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 27. CC 1
Ta có  AC  ABC   ,
  ACAC   ,   CAC ,  tan C AC    o  C AC   30 . AC 3 A B D H M C Câu 28. AB 3
Gọi M là trung điểm của CD . Ta có BM  . 2 2
Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống mặt phẳng  BCD thì H BM và BH BM 3 AB 3  . 3
Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng  BCD là  ABM . AB 3 BH 3 Ta có  cos  cos ABM  3   . AB AB 3
Câu 29. Chọn D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD , ta có SO   ABCD .
SA ABCD   SA AO   , ,  SAO   . 1 1 a 2 Ta có 2 2 OA AC AB BC  . 2 2 2 a 2 OA 1 S
AO vuông tại O có 2 cos   
suy ra   60 . SA a 2 2
Vậy góc giữa SA và  ABCD bằng 60 .
Câu 30. Chọn B
Ta thấy hình chiếu vuông góc của SC lên  ABC là AC nên SC ABC      ,  SCA . SA Mà 2 2 AC
AB BC  2a nên  tan SCA   1 . AC
Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC bằng 45 .
Câu 31. Chọn D
Vì SA vuông góc với mặt phẳng  ABC, suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC bằng  SCA .  SA 2a Mà tan SCA   1. 2 2 AC a  3a Vậy  SCA  45 .
Câu 32. Chọn A
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Ta có AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng  ABC . 
Suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC bằng SCA  .
Ta có AC a 2 , SA a 2 nên tam giác SAC vuông cân tại A 0    45 .
Câu 33. Chọn B S 2a 2a A C a 2 a 2 B
Ta có SA   ABC  nên đường thẳng AC là hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC lên mặt phẳng  ABC .
Do đó,   SC ABC      SC AC  , ,
SCA (tam giác SAC vuông tại A ).
Tam giác ABC vuông cân tại B nên AC AB 2  2a . SA Suy ra  tan SCA
 1 nên   45o . AC
Câu 34. Chọn A S D A B C
Do SA   ABCD nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng góc  SBA .  AB 1 Ta có cos SBA     SBA  60 . SB 2
Vậy góc giữa đường thẳng SB và và mặt phẳng đáy bằng bằng 60 .
Câu 35. Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Có SA   ABC nên AB là hình chiếu của SA trên mặt phẳng  ABC .
SB ABC      SB AB  , ,  SBA .
Mặt khác có ABC vuông tại C nên 2 2
AB AC BC a 3 .  SA 1 Khi đó tan SBA   nên S , B ABC    30. AB 3
Câu 36. Chọn A S 2a a B A C
Ta có SA   ABC  tại A nên AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng đáy.
Suy ra góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy là  SBA .  AB 1 
Tam giác SAB vuông tại A nên 0 cos SBA    SBA  60 . SB 2
Câu 37. Chọn A S D A B C
Do SA   ABCD nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng góc  SCA .  SA Ta có SA
2a , AC  2a  tan SCA   1   SCA  45 . AC
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Vậy góc giữa đường thẳng SC và và mặt phẳng đáy bằng bằng 45 .
Câu 38. Chọn D
Ta có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC).
Nên hình chiếu của SC trên mặt phẳng đáy (ABC) là AC
Vậy góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng  ABC  là góc  SCA
Câu 39. Chọn D
+) AC là hình chiếu của SC trên  ABCD nên SC, ABCD  SC, AC  SCA   Ta có: 2 2 2 2 AC
AD DC  4a a  5a . SA 3a 3 3 5
Tam giác SAC vuông tại A nên tan     . AC 5a 5 5
Câu 40. Chọn A
AH là hình chiếu của SA trên  ABC  SA ABC   SA AH   , ,
SAH   . SBC A
BC SH AH S
AH vuông cân tại H     SAH   45 . Vậy tan  1 .
Câu 41. Chọn B B A C B' A' C'
Từ giả thiết của bài toán suy ra: A B
  là hình chiếu vuông góc của AB' trên  A B  'C ' .
Do đó,  AB  A BC  
  ABA B   , ,  AB A   . Tam giác AB A
  vuông tại A có AA  AB  a  AAB vuông cân tại A.
Suy ra  AB  A BC  
  ABA B   , ,  AB A    45 . 
Câu 42. Chọn A
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S A D B C
Ta có SA   ABCD  SB ABCD      SB BA  , ,  SBA AB 2a  cot     2. SA a
Câu 43. Chọn C S C B A
* Hình chiếu vuông góc của SC lên  ABC là BC nên góc giữa SC với  ABC là góc giữa SC và BC .
Câu 44. Chọn D
Góc giữa SC và  ABCD là góc  SCO .
BD  4a BO  2a
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  1 SO B .
O tan SBO  2 . aa 2
AC  2a OC a Vậy  0 SCO  45 .
Câu 45. Chọn C S M P N
Ta có: SN SP  2a
Vì SM  MNP  SN MNP     ,  SNM MN a 1 cosSNM      SNM  60 SN 2a 2
Câu 46. Chọn D
ABCD là hình vuông cạnh 3a nên AC  3a 2
Xét tam giác SAB vuông tại A : 2 2 SA
SB AB  4a
SA   ABCD  SC ABCD     ,  SCA
Xét tam giác SAC vuông tại A : 2 2 SC
SA AC a 34  SA 2 34 sin SCA   . SC 17
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 47.
Hình chiếu của SC lên  ABCD là AC
Do đó SC ABCD   ,  SCA   2 2 2 2 AC
AB AD  4a a a 5  SC  2a 2 AC a
Trong tam giác vuông SAC :  5 10 cos SCA    . SC 2a 2 4 Câu 48. 2 . a 3
Ta có ABCD là hình thoi cạnh 2a , và 
ADC  60 nên ACD đều và OD   a 3 . 2 SO
Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng  ABCD là  SDO và  1 tan SDO   suy ra DO 3  SDO  30 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 34
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S a 6 3 A D a B a C Câu 49.
Ta có: SA   ABCD .
Do đó AC là hình chiếu của SC lên  ABCD . 
 SC, ABCD  SC, AC   SCA. a 6 SA 3
Xét tam giác SAC vuông tại A có  3 tan SCA    . AC a 2 3   SCA  30 .
Vậy góc giữa SC và  ABCD là 30 . Câu 50.
Gọi H là trung điểm AB . Ta có SH  ( ABCD) . 2 Sa . ABCD
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 1 3V a 15 V S .SH SH   . 3 ABCD S 2 ABCD a 5 2 2 CH AC AH  . 2
SC ABCD   SC CH   , , .  SH tan SCH   3 . CH Vậy     , 60o SC ABCD  
Câu 51. Ta có MC là hình chiếu của MC lên  ABC  . Suy ra   C CM  . CCa 2 3
Xét tam giác MCC vuông tại C có: tan    . CM a 3 3 2 S a a a A B a a H C Câu 52.
Dễ thấy AH là hình chiếu vuông góc của SA lên mặt phẳng đáy.
Do đó góc tạo bởi SA và  ABC  là  SAH . a 3
Mặt khác, ABC  SBC SH AH
. Vậy tam giác SAH là tam giác vuông cân đỉnh H 2 hay  SAH  45 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S A C B Câu 53.
- Nhận thấy AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng  ABC nên góc giữa SC và  ABC là góc  SCA .
- Do SAC vuông cân tại A nên  0 SCA  45 . Câu 54.
Vì SA   ABC  nên SB ABC     ,  SBA SA Suy ra tan SBA   3   SBA  60 . AB S 2a A a B Câu 55. D C SA 2a tan     2 . AC a 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 37
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 56. 1
Do tam giác SAB vuông cân tại S nên H là trung điểm của AB và ta có SH AB a . 2
Góc giữa cạnh SC và mặt đáy là góc  SCH . 2a 3 HS
Xét tam giác vuông HSC có HC
a 3 , SH a nên  1 tan SCH   2 HC 3  0  SCH  30 .
Câu 57. Chọn D BC 3
Gọi H là trung điểm cạnh BC SH BC ; SH  ( SBC đều) 2 
SBC    ABC
SBCABC  BC SH  ABC
SH AB;SH SBC 
SA ABC       SA AH   ; ;  SAH BCABC vuông tại ;
A H là trung điểm BC AH  2 BC. 3 SHSAH vuông tại  2  H tan SAH 3 SAH 60       . AH BC 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 38
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 C K E S A F B Câu 58.
Trong tam giác ABC kẻ đường cao AK và CF và AK CF  E nên E là trực tâm tam giác ABC . SC SA
SC  SAB hay SC AB SC SB
Mà CF AB nên AB   SCF   AB SE . Chứng minh tương tự ta được BC  SAK
BC SE . Vậy SE   ABC  .
Ta có CE là hình chiếu của SC lên mặt phẳng  ABC  .  
SC,  ABC   SC,CE   SCE 1 1 1
Ta có tam giác SCF vuông tại S nên  
. Mặt khác tam giác SAB vuông tại S 2 2 2 SE SC SF 1 1 1 1 1 1 1 1 3 a nên   . Suy ra       SE  . 2 2 2 SF SA SB 2 2 2 2 SE SC SA SB 2 2 SE a 3  SE a 1 sin SCE   : a  . SC 3 3 S F E A D O B C Câu 59. Ta có:
+ S.ABCD là hình chóp đều  SO   ABCD . BD AC + 
BD  SAC   SBD  SAC  . BD SO
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
+ EF //BD EF //  ABCD . + SA ABCD      SA AO  , ,  SAO  45 . S B A H C Câu 60.
Gọi H là trung điểm của BC suy ra SH   ABC
Do đó hình chiếu của SA lên mặt phẳng  ABC là AH
Do ΔABC và ΔSBC đều cạnh a nên SH AH  ΔSAH vuông cân tại H
 SA ABC   ,  SAH  45 .
Câu 61. Chọn A a
Ta có: d C  BMB  d C BMB  d A BMB 3 , , ,  , 4
Trong tam giác ABC có: AC  2a , BM a , AM a suy ra tam giác ABM là tam giác đều cạnh
a . Dựng hình bình hành AA HH
 suy ra H  BMB , K là hình chiếu của A lên H H  . BM AH
BM   AAH H
   BM AK .
BM AH   AK BM a
AK   BMB  d A BMB 3 ,  AK  . AK HH  4  AH AK 3a 2 3
Trong hình bình hành AA HH
 ta có AK.HH   AH .AH    .  . HH AH 4 a 3 2
Mặt khác:  AA  ABC 
  AAAH    , ,  A ' AH . A ' H A ' H 3
Trong tam giác vuông AA' H có   0 sin AAH   
AAH  60 . AAHH  2
Dạng 3.2 Góc giữa cạnh bên với mặt phẳng bên
Câu 62. Chọn A
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 40
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S A D O B C
Vì ABCD là hình thoi  AO BD .
Mà AO SO do SO   ABCD . Suy ra AO  SBD hay O là hình chiếu của A lên  SBD .  
Suy ra góc giữa SA và mặt phẳng  SBD là góc ASO ( ASO  90 do SA
O vuông ở O ). S A a D a Câu 63. B C
Dễ thấy CB   SAB  SB là hình chiếu vuông góc của SC lên SAB .
Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB là  CSB .   CB a 1
Tam giác CSB có B  90 ;  CB  ;
a SB a 3  tan CSB    . SB a 3 3 Vậy  CSB  30 .
Câu 64. Gọi O là tâm của đáy ABCD .
Ta có BO AC và BO SA nên SO là hình chiếu của SB trên SAC  . Suy ra    BSO . a 2 BO 2 Lại có BO  , 2 2 SB
SA AB  2a . Suy ra sin    . 2 SB 4
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 65. Gọi 
O là tâm hình vuông ABCD thì BO  SAC     SB SAC   ,  BSO . a 2 BO 1
Ta có SB a 7 , sin  2   . SB a 7 14 S A D H B C Câu 66.
Kẻ BH AC và H AC BH  SAC  .
SH là hình chiếu của BH trên mặt phẳng SAC  .
Góc giữa SB và mặt phẳng SAC  là  BSH . A . B BC a 3 Ta có BH   , 2 2 SB
SA AB a 3 . 2 2 2 AB BCBH 1
Trong tam giác vuông SBH ta có sin BSH     BSH  30 . SB 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 C' A' B' A C B Câu 67.
Hình lăng trụ đứng ABC.AB C
  nên BB   AB C
   BB  AB  AB  BB   1
Bài ra có AB BC AB  B C   . Kết hợp với  
1  AB   BCC B
    AB BCC B     ;  ABBABa 1 
AB BCC B     tan ;
 tan ABB   
  AB BCC B    ;  30 . BBa 3 3
Câu 68. Chọn B S H A C B
Trong SAB kẻ AH SB H SB. SA BC  Vì 
BC  SAB BC AH  . AB BC 
Mà SB AH do cách dựng nên AH  SBC , hay H là hình chiếu của A lên SBC suy ra  
góc giữa SA và SBC là góc ASH hay góc ASB .
Tam giác ABC vuông ở B 2 2
AB AC BC a 3 AB 1
Tam giác SAB vuông ở A    sin ASB
  ASB  30 SB 2
Câu 69. ABC vuông cân tại A AB AC a . A
BA vuông tại A AB a 2 . CA
   AB Ta có   C A     ABB A   . C A    AA 
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
BA là hình chiếu của BC lên mặt phẳng  ABB A   .
  BC ; ABB A
   BC ; BA . ACa 2
ABC vuông tại A   tan A BC      . AB a 2 2
Câu 70. Chọn D A C B A' C' B' AB BC  Ta có:   AB  (BCC B  )
 , suy ra BB là hình chiếu vuông góc của AB trên mặt phẳng AB B B  (BCCB )  . 
Vậy góc giữa đường AB và (BCCB )
 chính là góc góc ABB .
Xét tam giác ABB vuông tại B có BB  A A  1, 2 2 AB AC BC  3 AB Suy ra   tan ABB  
3  ABB  60 . BB
Câu 71. Chọn C S H A B O D C
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD , gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SO , ta có: BD AC 
BD  SAC BD AH  . BD SA  Từ AH S ,
O AH BD suy ra AH  SBD , hay SH là hình chiếu vuông góc của SA lên SBD,
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Suy ra SA SBD  SA SO   , ,  ASO . Ta có A
BC đều cạnh 2a nên OA a . OA 1 S
AO vuông tại A nên   tan ASO  
AOS  30 . SA 3
Câu 72. Chọn C S D C A B
Ta có BC AB , BC SA BC  SAB .
Hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng SAB  là SB .
Suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB là góc  BSC . Xét tam giác S
BC vuông tại B có 2 2 2 2 SB SA AB
2a a a 3 .
BC AD a 3 . Suy ra tam giác S
BC vuông cân tại B . Suy ra  BSC  45 .
Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB bằng 45.
Câu 73. Chọn A S A D I C B
Gọi I là tâm của hình vuông ABCD .
Vì ABCD là hình vuông nên BD AC ; Vì SA   ABCD nên SA BD
Suy ra BD  SAC , do đó góc giữa đường thẳng SB và SAC là góc  BSI a 2 BI 1
Ta có: SB a 2 ; BI     sin BSI
  BSI  30 . 2 SB 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 45
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 74.
SAB   ABCD  Ta có: 
SAC    ABCD
SA   ABCD . 
SABSAC  SA   AB AD  Mà AB SA
AB   SAD .
AD SA A   SA 2 SB SAD  cos ,   cos BSA   . 2 2 SA AB 5 Câu 75. BC AB Ta có: 
SA  SAB  SB là hình chiếu vuông góc của SC lên SABBC SA
 SC SAB   ,  CSB .
Tam giác SAB vuông tại A có: 2 2 SB
SA AB a 3 . BC 1
Tam giác SBC vuông tại B có:   tan CSB    CSB  30 . SB 3
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 46
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 B' C' D' A' C B O Câu 76. A D
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD khi đó ta có AO BD (1).
Mặt khác ta lại có ABC . D AB CD
  là hình lập phương nên BB   ABCD  BB  AO (2).
Từ (1) và (2) ta có AO   BDD B
    AB  ABCD   ABB O    , ,  AB O  . AO 1 Xét tam giác vuông  AB O  có sin AB O     AB O   30 . AB 2
Vậy  AB , ABCD  30 .
Câu 77. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , gốc tọa độ trùng với điểm A , trục Ox nằm trên đường thẳng AD ,
chiều dương từ A D ,
Tương tự trục Oy nằm trên đường thẳng AB , chiều dương từ A B , trục Oz nằm trên đường
thẳng AS , chiều dương từ A S .
Vậy A0,0,0 ,D 4,0,0 ,B 0,3,0 ,C 4,3,0 ,S 0,0,  1 . x y z 
Ta có mặt phẳng SBD:  
 1  3x  4 y 12z 12  0 , SC  4,3,  1 . 4 3 1
Gọi  là góc tạo bởi SC và  SBD . 12 26 sin   . 338 S A D Câu 78. C B CD AD Ta có
  CD   SAD  . Do đó góc giữa SC và mặt phẳng  SAD  là góc  CSD . CD SA   CD CD 2a 1 tan CSD     . 2 2 2 2 SD 2 SA AD 15a a
Câu 79. Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 47
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S K O B C I H A D
Theo giả thiết, ABD là tam giác đều.
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD . Do SA SB SD nên S nằm trên trục của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD suy ra SH   ABD hay SH   ABCD .
Do SBC  SBH  nên từ H kẻ HK SB tại K thì HK d H ,SBC và 1 1 1 a 15    HK  . 2 2 2 HK HB HS 9 2 2 a 15
Mặt khác, d H ,SBC  d  ,
A SBC  d D,SBC  d D,SBC  . 3 3 6
Gọi O là hình chiếu vuông góc của điểm D trên SBC . Khi đó:   SD SO  ,  DSO và
DO d D SBC a 15 ,  . 6 a 15 DO 5
Xét tam giác SDO vuông tại O có: 6 sin     . SD a 3 3 2
Câu 80. Chọn A DO AC
Gọi O AC BD . Ta có: 
DO   ABCD .
DO SASA    ABCD 
SO là hình chiếu của SD lên mặt phẳng SAC   SD SAC   SD SO   ; ;  DSO   . Xét S
AD vuông tại A : 2 2 SD
3a a  2a .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 48
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 a 2  DO 2 Xét S
OD vuông tại O : có SD  2a , OD
 sin   sin DSO   . 2 SD 4
Câu 81. Chọn A
Trong mặt phẳng  ABCD kẻ AH CD tại H .
Trong mặt phẳng SAH  kẻ AK SH tại K . Khi đó AK  SCD nên góc giữa SA mặt phẳng SCD là  ASH   . a 3
Tam giác ADC đều nên AH  . 2  AH 1
Trong tam giác vuông ASH có tan ASH   . AS 2 Câu 82.
Trong mặt phẳng  ABC  kẻ BH AC
Mà BH SA BH  SAC
Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC  bằng  BSH . 3
Xét tam giác ABH vuông tại H , 0 BH  . AB sin 60  2 . aa 3 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 49
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 1 0 AH  . AB cos 60  2 . aa . 2
Xét tam giác SAH vuông tại S , 2 2
SH SA AH  a 2 2 2  a a 3 .
Xét tam giác SBH vuông tại H có SH HB a 3 suy ra tam giác SBH vuông tại H . Vậy  0 BSH  45 . Câu 83.
d B; SAC d  ; D SAC
Ta có sin SB;SAC       . SB SB 2 2 
Xét tam giác ABC ta có AC BA BC  2 .
BA BC.cos BAC a 7 . 2 2 2 BA BC AC 2 2 2 4a a 7a a 3 BO      2 4 2 4 2
BD a 3 và 2 2 SB SD BD 2 2
 3a  3a a 6 .  AD AC  . AD sin D . a sin120 21
Xét tam giác ADC ta có     sin C    . sin C sin D AC a 7 14
Gọi K là hình chiếu của D lên AC , và I là hình chiếu của D lên SK . Ta có  AC DKDI SK
AC DI . Do đó 
d D;SAC   DI . AC SDDI AC   DK 21 a 21 Mặt khác sin C  
DK DC.sin C  2 . a  . DC 14 7
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 50
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 a 21 a 3. . SD DK 6
Xét tam giác SDK ta có DI  7   a . 2 2 SD DK 21 4 2 2 3a a 49 6 d ; D SAC a DI 1 Vậy sin  ; SB SAC       4   . SB SB a 6 4
Trong mặt phẳng SDK  kẻ DI SK suy ra d D;SAC   DI . Câu 84.
Gọi H là tâm hình vuông AB CD   . Ta có A H   B D   , A H
BB  AH   BB DD
  . BH là hình chiếu của A B  trên  BB DD   a 2 AH 1
AH , BB DD      
ABH   . sin    2  . AB a 2 2 S H C 600 A B Câu 85.
Kẻ BH AC (H AC) và theo giả thiết BH SA nên BH  (SAC)
Do đó, SH là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (SAC) Suy ra,   
(SB, (SAC))  (SB, SH )  BSH .
Mà ta có: SB a 6 , 0
HB AB sin 60  a 3  1  sin( S B H )   0
BSH  45 . 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 51
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Dạng 3.3 Góc giữa đường thẳng khác với mặt phẳng S M A B E O D F C Câu 86.
Dựng hình bình hành ABFC .
Ta có EM // SF nên góc giữa EM và SBD bằng góc giữa SF và SBD .
FB // AC FB  SBD do đó góc giữa SF và SBD bằng góc  FSB .  BF AC Ta có tan FSB    2 . Vậy chọn D. SB SB AN DM P BCA D B Câu 87. CMN // B D   Ta có 
MN // BD  bốn điểm M , N , B , D đồng phẳng. BD// B D    CP // BM
Lại có tứ giác BCPM là hình bình hành  
CP //  DMN BM   DMN  
CP, DMN      0.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 52
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 88.
Gọi N là trung điểm BC . Ta có góc giữa CM với mp BCD bằng góc MCN . AB + MN   a . 2 a 3 + CN  . 2 MN 2 2 3 Vậy tan   . a  . CN a 3 3 S M A D N H P Câu 89. B C a 3
Gọi H là trung điểm AB SH   ABCD và SH  . 2
Gọi P là trung điểm CH MP//SH MP   ABCD , suy ra góc giữa MN với mặt đáy
ABCD là góc  MNP (do  MPN  90 ) a a 1 a 3 AH CD 3a Có MP SH  , PN  2   2 4 2 2 4 a 3  MP 1  tan MNP  4     MNP  30 . PN 3a 3 4
Câu 90. Trong A
MD , kẻ NH MD , suy ra NH   BCD .
Nên MD là hình chiếu vuông góc của MN lên mặt phẳng BCD .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 53
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Khi đó MN BCD      MN MD  , ,  NMD . a ND Ta có N
MD vuông tại N do đó 2 tan    2 . MN 2 a 2
Câu 91. Chọn C S M A C B BC AB  Có 
BC  SAB  BC SA 
Có BM là hình chiếu của CM lên mặt phẳng SAB . Suy ra CM SAB  ;  CMB BC 2AB 2AB 2.2a Ta có  tan CMB     1 2 2 MB SB SA AB
2a 32 2a2   CMB  45
Vậy CM ;SAB  45
Câu 92. Chọn B 1
Gọi E là trung điểm của đoạn KH , ta có A
HK vuông cân tại A vì AH AK a nên 2
AE KH do đó  AE SH
AE  SHK  , suy ra AE HK
SA SHK    SA SE   , ,  ASE   . 1 1 a 2 Mà 2 2 AE KH AH AK  . 2 2 4
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 54
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 AE 2
SEA vuông tại E có sin    . SA 4 2 Vậy sin  . 4
Câu 93. Chọn D S M A D H O B C 2 a a 2
Gọi O là tâm của hình vuông. Ta có SO   ABCD và 2 SO a   2 2
Gọi M là trung điểm của OD ta có MH / /SO nên H là hình chiếu của M lên mặt phẳng  ABCD 1 a 2 và MH SO  . 2 4 
Do đó góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ( ABCD) là MBH . a 2 MH 1 Khi đó ta có  4 tan MBH    . BH 3a 2 3 4 1
Vậy tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng  ABCD bằng . 3
Câu 94. Chọn A S P N Q M K B C O A D Do M, N, ,
P Q lần lượt là trung điểm của , SA S , B S ,
C SD nên mặt phẳng ( ABCD) song song
mặt phẳng (MPQ) suy ra góc giữa đường thẳng DN và mặt phẳng MQP cũng là góc giữa
đường thẳng DN và mặt phẳng  ABCD .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 55
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Có K SO DN . Do S.ABCD hình chóp đều nên SO  (ABCD) suy ra hình chiếu vuông góc
của đường thẳng DN trên mặt phẳng  ABCD là đường thẳng DO nên  
(DN,(ABCD))  (DN, DO) . 2 3 2
Xét tam giác vuông SOA có OA  ; a SA  5a SO
a . Mà K là trọng tâm tam giác 2 2 1 2aSBD OK SO   OD OKD
vuông cân tại O hay 0 KDO  45 . 3 2 2 Hay DN,( ) MPQ   0  45  cos DN,( ) MPQ    . 2
Câu 95. Chọn A S H A D O B C d  , D SBC d  , A SBC Ta có sin   . BD BD   SAB    SBC  
. Kẻ AH SB thì AH   SBC   AH d  ,
A SBC  . SAB
  SBC   SB  1 1 1 1 1 2 a 2       AH  và 2 2 BD
BA AD  2a . 2 2 2 2 2 2 AH AB AS a a a 2 d  , A SBC AH a 2 2 Vậy sin     . BD BD 2.2a 4
Câu 96. Chọn D
Gọi O AC BD , I , J lần lượt là trung điểm của OS, OB .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 56
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 OA  SBD  NI    SBD Ta có    .
NI / / AC / /MJ MJ    SBD 
Suy ra MN,SBD  MN, IJ
NI / / AC / /MJ   Có: 1
  MJNI là hình bình hành. Gọi K MN IJ suy ra K là trung điểm NI AC MJ  4 
của IJ và MN đồng thời NI IK a 2  NI OA Ta có 2 tan  tan NKI   
 2 trong đó a là cạnh của hình vuông ABCD . IK SB a 2 Câu 97.
Gọi E , F lần lượt là trung điểm SO , OB thì EF là hình chiếu của MN trên  SBD .
Gọi P là trung điểm OA thì PN là hình chiếu của MN trên  ABCD . Theo bài ra:  MNP 60  .
Áp dụng định lý cos trong tam giác CNP ta được: 2 2 2  3a 2  a 3a 2 a 2 5a 2 2 2 NP CP CN 2C . P CN.cos 45         2. . .  .  4  4 4 2 2 8   a 10 a 30  a 30 Suy ra: NP  , MP N . P tan 60  ; SO  2MP  . 4 4 2 2 2
SB SO OB  2a 2  EF a 2 . 1
Ta lại có: MENF là hình bình hành ( vì ME và NF song song và cùng bằng OA). 2
Gọi I là giao điểm của MN và EF , khi đó góc giữa MN và mặt phẳng  SBD là  NIF .  IK a 2 4 2 5 cos NIF   .  . IN 2 a 10 5
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 57
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 C' A' B' H A G C M Câu 98. B Ta có B G
  ABC  nên BG là hình chiếu của BB lên mặt phẳng  ABC  . 
  BB , ABC    BB , BG  B BG  60 .
Gọi M là trung điểm BC và H là hình chiếu của A lên B M  , ta có BC AM
BC   AB M
  BC AH . BC B G   Mà AH B M
nên AH   BCC B   .
Do đó HB là hình chiếu của AB lên mặt phẳng  BCC B   .
  AB, BCC B
    AB, HB   ABH .  AH
Xét tam giác ABH vuông tại H có sin ABH  . AB 3 2 B G
BG. tan 60  a . . 3  a . 2 3 2  a 3 1  a 39 2 2 B M   B G   GM 2  a   .   .  2 3    6 a 3 . a AM B G  3a Ta có AHM  . BGM AH  2   . B Ma 39 13 6 3a 13 3 Vậy  sin ABH   . a 13
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 58
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S 2 a M D C H N a A a B Câu 99.
Gọi D là hình chiếu của S lên  ABC  , ta có: BC SCAB SA
BC CD và 
AB AD . BC SDAB SD
Mà ABC là tam giác vuông cân tại B nên ABCD là hình vuông.
Gọi H là trung điểm của AD , ta có MH // SD mà  MH   ABCD .
Do đó HN là hình chiếu của MN lên  ABC  . 
   MN, ABC   MN, NH   MNH . 2 2 SC SB BC 2 2 
4a a a 3 . 2 2 SD SC DC 2 2
 3a a a 2 . 1 a 2 .SD MH 2 tan  2  2   . NH AB a 2 1 1 6  cos    . 2 1 tan  1 3 1 2 S M A D H O B C Câu 100. a 2
Ta có BD a 2  OD  . 2 2  a 2  a 2
Xét tam giác SOD vuông tại O có: 2 2 2 SO
SD OD a     .  2  2  
Kẻ MH BD tại H nên  BM ABCD  ;  MBH
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 59
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 MH MD HD 1
Do MH BD MH // SO . Ta có    . SO SD OD 3 SO a 2 1 a 2 a 2 5a 2  MH  
và HD OD
BH BD HD a 2   . 3 6 3 6 6 6
Xét tam giác BHM vuông tại H có:  MH
BM ABCD  tan ;  MBH  
BM ABCD 1 tan ;  . BH 5
DẠNG 4. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHÁC S C B H A Câu 101.
Do SA SB SC nên hình chiếu vuông góc của điểm S trên  ABC  trùng với tâm H của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Mặt khác tam giác ABC vuông tại C nên H là trung điểm của AB .
Câu 102. Chọn A S I A D O B C
Xét khẳng định 1, Ta có: OI là đường trung bình trong tam giác SAC nên OI / /SA , mà
SA   ABCD suy ra OI   ABCD . Khẳng định 1 đúng. BD AC
Xét khẳng định 2, Ta có: 
BD SC . Khẳng định 2 đúng. BD SA  BD   SAC  O
Xét khẳng định 3, Ta có: 
, O là trung điểm của BD . Khẳng định 3 đúng. BD   SAC 
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 60
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2 2 2
SB SA AB  2 2 2
SC SA AC
Xét khẳng định 4, Ta có: 
SB SD SC . Khẳng định 4 sai. 2 2 2
SD SA AD  AB AC
Vậy trong các khẳng định trên số khẳng định sai là 1.
Câu 103. Chọn A S M A D B C
Áp dụng tính chất nửa lục giác đều, ta có BD AB .
Mặt khác, BD SA . Suy ra BD   SAB , ta được BD AM .
Kết hợp AM MD , ta được AM  SBD . Suy ra AM SB . 2 2 SM SM .SB SA 3a 3 Khi đó     . 2 2 2 SB SB SB 4a 4
O trên mặt phẳng  ABC  .
AH BC nên H là trực tâm của tam giác ABC . Câu 104.
Đặt SA x .
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC SO   ABC .
Hình chiếu của SA trên mặt phẳng  BCD là AO  góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là góc SAO  60 . a 3 AO AO 2a
Xét tam giác vuông SAO : cos 60  3  SA    . SA cos 60 1 3 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 61
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S C' D' B' I A D O B C Câu 105. Dễ thấy 
SBA  45 . Ta có B D
   SC và BD SC và SC không vuông góc với mặt phẳng
SBD , suy ra BD / /B D
  . Nên từ I SO AC nên từ I kẻ B D
  / / BD cắt SB , SD lần lượt
tại B , D .  AB  SC Từ trên suy ra B D
   AC và 
AB  SB . AB  BC  1 a 6 B D   SBa 2 1 a 2 Suy ra SAC .B D   . Mà AC  và     B D    . AB CD   2 3 BD SB 2.a 2 2 2 1 3 Vậy 2 SAC .B D    a . AB CD   2 6 S N P D A M Q B C Câu 106.
Do  P // SA và M SAB   P nên  P  SAB  MN (với N S ; B MN // SA ).
Do  P // AD và M  ABCD   P nên  P   ABCD  MQ (với Q BC; MQ // AD ).
Do  P // AD và N SBC    P nên  P  SBC   NP (với P SC; NP // AD // BC ).
Vậy thiết diện là hình thang vuông MNPQ .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 62
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 J I O' A' B' K D' C' T N M S B A D C Câu 107. O
Dựng AM A D
 ta có AM   A D
C   AM A C  ,
Tương tự, dựng AN A B
 ta có AN   A B
C   AN A C  .
Vậy mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là mặt phẳng  AMN  .
Kéo dài AM DD  K, AN BB  I, và AS CC  J với S  MN A C  .
Thiết diện AIJK là thiết diện cần tìm.
Dễ thấy ABCD là hình chiếu vuông góc của AIJK lên mặt phẳng  ABCD . Ta có SS
.cos  ABCD, AIJK . ABCD AIJK  
Dễ thấy góc giữa hai mặt  AIJK  và  ABCD là góc giữa hai đường AA & AC và là góc  AAC . AA a Xét tam giác vuông  A AC
A 1v có  3 3 cos AAC    . AC a 11 11 S 2 a 11 Vậy ABCD S   S  . AIJK
cos  ABCD, AIJK  AIJK 3
Câu 108. Chọn A
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 63
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Xét SBC vuông cân tại S , BC  2a ta có: 2 2 2 2 2 2 2
SB SC BC  2SB  4a SB  2a SB a 2  SA SC .
Gọi J là trung điểm của BC , trong SJA kẻ GK / /SA cắt SJ tại K .
Trong  SBC  kẻ đường thẳng qua K song song với SB cắt SC và CB lần lượt tại H và I .
Trong  SAC  kẻ HM / /SA cắt SC tại M .
Do các mặt bên của hình chóp S.ABC là các tam giác vuông tại S nên ta có: SA SC
SA   SBC  mà GK / /SA GK  SBC  GK SC (1). SA SB  SB SC Do 
IH SC (2). IH / /SB
Từ (1) và (2)  SC   HMI  . Vậy thiết diện là HMI . JG JK JI 1 CI 2
Ta có: KG / /S ;
A KJ / /SB và do G là trọng tâm ABC nên      . JA JS JB 3 CB 3
Mặt khác: HI / /SB; HM / /SA nên ta có: 2 CI HI 2 2a 2    HI SB  3 CB SB 3 3 2 CI CH HM 2 2a 2     HM SA  . 3 CB CS SA 3 3
Do SB  (SAC ; HI / /SB HI  SAC   HI MH H
MI vuông tại H . 2 2 1 1  2 2a  4a Diện tích HIM là: SHM .HI  .   . HIM 2 2  3  9  
Câu 109. Chọn B Hình vẽ minh họa
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 64
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 E' C' A' B' A E C M H N B
Gọi N là trung điểm BC . Kẻ MN / / AC MN / / A'C '
Mặt phẳng  A'C ' M  cắt lăng trụ theo thiết diện là hình thang A'C ' NM .
Gọi E, E ' lần lượt là trung điểm AC và A'C ' . Gọi H là giao điểm của MN và BE
Ta dễ dàng chứng minh MN   E ' HE . 
A'C ' NM    ABC   MN
Ta có EH MN
.   A C NM   ACNM    HE HE    ' ' , ,
'  E ' HE  
E ' H MNa 3 a 3 2 3a a 35 Ta có BE   HE  . 2 2 2 E ' H
E ' E EH  2a   2 4 16 4 HE a 3 4 3 Từ đó cos   .  HE ' 4 a 35 35  aa 3  aMN AC   2 .HE  2  4 3a 3
Diện tích hình thang cân S    ACNM 2 2 16 2 2 S 3a 3 35 3a 35 Ta có SS .cos , ACNMS   .  . ACNM A'C ' NM A'C ' NM cos 16 3 16 S Q P A D M N B C Câu 110. AB SA   P
P // SAD Ta có
  AB   SAD . Mà
qua M và vuông góc với AB nên AB AD
  P //SA P //ADP //SD , và . SAB Trong mặt phẳng
kẻ MQ//SA với Q SB .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 65
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 ABCD Trong mặt phẳng
kẻ MN //AD với N CD . SCD Trong mặt phẳng
kẻ NP//SD với P SC .
Vì M là trung điểm của AB nên N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh CD , SC , SB .
Do đó thiết diện là hình thang MNPQ vuông tại Q và M . 1 1 1 1 MN
AD BC   8  6  7 MQ SA  3 PQ BC  3 Ta có 2 2 , 2 và 2 .
MN PQ.QM 7  3.3 S    15 MNPQ
Vậy diện tích của thiết diện là : 2 2 .
Câu 111. Gọi H là trực tâm tam giác ABC , vì tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc nên ta 1 1 1 1
có OH   ABC  và    . 2 2 2 2 OH OA OB OC Ta có        ; OA ABCOAH ,        ; OB ABC
OBH ,   OC ABC    ;  OCH . OH OH OH Nên sin   , sin   , sin   . OA OB OC 1 1 1 1
Đặt a OA , b OB , c OC , h OH thì    và 2 2 2 2 h a b c  1   1   1  M   2     2     2 3 cot . 3 cot . 3  cot    2  . 2  . 2   2   2   2   sin   sin  sin      2 2 2  a   b   c  1 1 1  2  . 2  . 2  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 
 8  4a b c .
 2 a b b c c a .  a b c . . 2   2   2   2  h h h 4 6       h h h 1  1 1 1  1 1 1 Ta có:  2 2 2
a b c .   2 2 2
a b c .   3 2 2 2 3
 3 a .b .c .3 . .  9 . 2   h 2 2 2 2 2 2  a b c a b c 2  1  1 1 1 2 2 2 2 2 2 
a b b c c a .   2 2 2 2 2 2
a b b c c a .   4   h 2 2 2  a b c  2   1 1 1  1 3 2 2 2 2 2 2  3 4 4 4 3
 3 a b .b c .c a . 3 . .   3  3 a b c .9  27 . 2 2 2   a b c  4 4 4     a b c 3 3 1   2 2 2  1 1 1   1 1 1  a b c . 2 2 2 2 2 2 3  a b c .    a b c . 3 . .   27 . 6     h 2 2 2 2 2 2 a b ca b c        Do đó: M  8  4 1 1 1 2 2 2
a b c .  2  2 2 2 2 2 2
a b b c c a  2 2 2 .  a b c . 2 4 6 h h h
 8  4.9  2.27  27  125 .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c , hay OA OB OC . Vậy min M  125 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 66
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A α a H h c O C b B
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 67