Bài tập trắc nghiệm hai đường thẳng vuông góc có đáp án và lời giải

Tài liệu gồm 51 trang được biên soạn bởi thầy Nguyễn Bảo Vương, tuyển chọn 92 câu hỏi và bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết về chủ đề hai đường thẳng vuông góc trong chương trình Hình học 11 chương 3.

82 41 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

51 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng
hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
TOÁN 11
1H3-2
Co
ntents
A
.CÂUHỎI .................................................................................................................................................................... 1
DẠNG1.GÓCCỦAHAIVÉCTƠ ................................................................................................................................. 1
DẠNG2.GÓCCỦAHAIĐƯỜNGTHẲNG ................................................................................................................. 3
DẠNG3.HAIĐƯỜNGTHẲNGVUÔNGGÓC ......................................................................................................... 11
B.LỜIGIẢI ................................................................................................................................................................... 13
DẠNG1.GÓCCỦAHAIVÉCTƠ ............................................................................................................................... 13
DẠNG2.GÓCCỦAHAIĐƯỜNGTHẲNG ............................................................................................................... 18
DẠNG3.HAIĐƯỜNGTHẲNGVUÔNGGÓC ......................................................................................................... 49
A. CÂUHỎI
DẠNG1.GÓCCỦAHAIVÉCTƠ
Câu 1. (SỞGD&ĐTPHÚTHỌ-2018)Chohìnhchóp
.S
ABC
có
2BC
a=
,cáccạnhcònlạiđều
bằng
a
.Gócgiữahaivectơ
SB
và
AC
bằng
A.
60
. B.
120
. C.
30
. D.
90
.
Câu 2. Chotứdiện
ABC
D
có
60CAB DAB= =
O
,
AB
AD AC= =
(thamkhảonhưhìnhvẽbên).
Gọi
làgócgiữa
AB
và
CD
.Chọmmệnhđềđúng?
A. 60
O
= . B.
1
cos
4
=
. C. 90
O
= . D.
3
cos
4
=
.
Câu 3. Chohìnhlậpphương
.A
BCD A B C D
.Tính
os ,c BD A C
A.
os , 0c BD A C
=
. B.
os , 1c BD A C
=
.
C.
1
os
,
2
c BD A C
=
. D.
2
os ,
2
c BD A C
=

.
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
Câu 4. Chohìnhchóp
.
O ABC
cóbacạnh
OA
,
OB
,
OC
đôimộtvuônggócvà
OA OB OC a= = =
.Gọi
M
làtrungđiểmcạnh
AB
.Góctạobởihaivectơ
BC
và
bằng
A.
135
. B.
150
. C.
120
. D.
60
.
Câu 5. (TrườngTHPTHoàngHoaThám-HưngYên,năm2019)Chohìnhhộpchữnhật
. ' ' ' ',ABCD A B C D
biếtđáy
ABCD
làhìnhvuông.Tínhgócgiữa
'A C
và
.BD
A.
0
90 .
B.
0
30 .
C.
0
60 .
D.
0
45 .
Câu 6. (Chuyên-VĩnhPhúc-lần3-2019)Chotứdiện
ABCD
cóhaimặt
ABC
và
ABD
làcáctam
giácđều.Tínhgócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
CD
.
A.
90
. B.
30
. C.
120
. D.
60
.
Câu 7. (THPTTrầnPhú-Lần1-2018-2019)Chotứdiệnđều
ABCD
cócạnhbằng
a
.Giátrịtíchvô
hướng
AB AB CA

bằng
A.
2
2
a
. B.
2
2
2
a
. C.
2
3
2
a
. D.
2
3
2
a
.
Câu 8. Chohìnhlăngtrụtamgiácđều
.
ABC A B C
cótấtcảcáccạnhđềubằng
a
,cosingócgiữahai
đườngthẳng
AB
và
BC
bằng
A.
1
4
. B.
2
4
. C.
1
2
. D.
3
4
.
Câu 9. Chohìnhchóp
.
O ABC
cóbacạnh
, ,OA OB OC
đôimộtvuônggócvà
OA OB OC a
.Gọi
M
làtrungđiểmcạnh
AB
.Góchợpbởihaivéctơ
BC
và
bằng
A.
120º
. B.
150º
. C.
135º
. D.
60º
.
Câu 10. Chohìnhlăngtrụ
.
ABC A B C
cóđáy
ABC
làtamgiácđềucạnh
a
,tamgiác
A BC
đềunằm
trongmặtphẳngvuônggócvới
ABC
.
M
làtrungđiểmcạnh
CC
.Tínhcosingóc
giữahai
đườngthẳng
AA
và
BM
.
A.
2 22
os
11
c
=
. B.
33
os
11
c
=
. C.
11
os
11
c
=
. D.
22
os
11
c
=
.
Câu 11. ChotưdiênABCD. Goi
M
,
N
lânlươtlatrungđiêmcua
BC
,
AD
.Biêt
2AB a=
,
2 2CD a
=
va
5.
MN a= Sôđogocgiưahaiđươngthăng
AB
va
CD
la
A.
60
. B.
30
. C.
90
. D.
45
.
Câu 12. (THPTTHUẬNTHÀNH1)Chohìnhchóp
.
S ABC
có
SA SB SC AB AC a= = = = =
vàgóc
30 .
CAB
=
Côsingóctạobởihaiđườngthẳng
AB
và
SC
gầnnhấtvớigiátrịnàosauđây?
A.
0,83.
B.
0,37.
C.
0,45.
D.
0,71.
A
D
C
B
A'
D'
C'
B'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
Câu 13. (THPTXuânHòa-VĩnhPhúc-năm2017-2018)Chohìnhchóp
.
S ABCD
cótấtcảcáccạnhbên
vàcạnhđáyđềubằng
a
và
ABCD
làhìnhvuông.Gọi
M
làtrungđiểmcủa
.CD
Giátrị
.MS CB
bằng
A.
2
2
a
. B.
2
2
a
-
. C.
2
3
a
. D.
2
2
2
a
.
Câu 14. (THPTSơnTây-HàNội-lần1-năm2017-2018)Chohìnhchóp
.
S ABC
có
AB AC=
,
SAC SAB
= .Tínhsốđocủagócgiữahaiđườngthẳng
SA
và
.BC
A.
45
. B.
60
. C.
30
. D.
90
.
DẠNG2.GÓCCỦAHAIĐƯỜNGTHẲNG
Câu 15. (ChuyênTháiBìnhlần2-2018-2019)Chohìnhlậpphương
. ' ' ' '.ABCD A B C D
Tínhgócgiữa
haiđườngthẳng
AC
và
' .A B
A.
60
B.
45
C.
75
D.
90
Câu 16. (THPTCHUYÊNHÙNGVƯƠNG-PHÚTHỌ-LẦN1-2018)Chohìnhlậpphương
.
ABCD A B C D
.Gócgiữahaiđườngthẳng
BA
và
CD
bằng:
A.
45
. B.
60
. C.
30
. D.
90
.
Câu 17. (THPTChuyênĐHVinh-GK1-năm2017-2018)Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáy
ABCD
là
hìnhchữnhậtvới
2AB a=
,
BC a=
.Cáccạnhbêncủahìnhchópcùngbằng
2a
.Tínhgócgiữa
haiđườngthẳng
AB
và
SC
.
A.
45
. B.
30
. C.
60
. D.
arctan 2
.
Câu 18. (THPTCHUYÊNNGỮ-HÀNỘI-2018)Chohìnhlậpphương
.
ABCD A B C D
.Gócgiữa
haiđườngthẳng
A C
và
BD
bằng.
A.
60
. B.
30
. C.
45
. D.
90
.
Câu 19. (THPTTHANHMIỆNI-HẢIDƯƠNG-LẦN1-2018)Chohìnhlậpphương
.
ABCD A B C D
,gócgiữahaiđườngthẳng
A B
và
B C
là
A.
90
. B.
60
. C.
30
. D.
45
.
Câu 20. (THTPLÊQUÝĐÔN-HÀNỘI-LẦN1-2018)Chohìnhlăngtrụđều
.
ABC A B C
cócạnh
đáybằng
1
,cạnhbênbằng
2
.Gọi
1
C
làtrungđiểmcủa
CC
.Tínhcôsincủagócgiữahaiđường
thẳng
1
BC
và
A B
.
A.
2
6
. B.
2
4
. C.
2
3
. D.
2
8
.
Câu 21. (THPTHÀHUYTẬP-LẦN2-2018)Chotứdiệnđều
ABCD
.Sốđogócgiữahaiđường
thẳng
AB
và
CD
là
A.
45
. B.
90
. C.
60
. D.
30
.
Câu 22. (THPTQUỲNHLƯU-NGHỆAN-2018)Chohìnhchóp
.
S ABCD
cótấtcảcáccạnhđều
bằng
a
.Gọi
I
và
J
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
SC
và
BC
.Sốđocủagóc
,
IJ CD
bằng:
A.
30
. B.
60
. C.
45
. D.
90
.
Câu 23. (CHUYÊNVINH-LẦN2-2018)Chohìnhlậpphương
.
ABCD A B C D
(hìnhvẽbêndưới).
Gócgiữahaiđườngthẳng
AC
và
bằng
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
A.
45
. B.
30
. C.
60
. D.
90
.
Câu 24. (SGDNamĐịnh)Chohìnhlậpphương
.
ABCD A B C D
cạnh
a
.Gọi
M
làtrungđiểmcủa
CD
và
N
làtrungđiểmcủa
A D
.Gócgiữahaiđườngthẳng
B M
và
C N
bằng
A.
30
. B.
45
. C.
60
. D.
90
.
Câu 25. Chotứdiện
OABC
có
;OA OB OC a
, ,OA OB OC
vuônggócvớinhautừngđôimột.Gọi
I
làtrungđiểm
BC
.Tínhgócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
OI
.
A.
45
. B.
30
. C.
90
. D.
60
.
Câu 26. Chohìnhhìnhlăngtrụ .
ABCD A B C D
cóđáylàhìnhchữnhậtvà
0
40
CAD
.Sốđogócgiữa
haiđườngthẳng
AC
và
B D
là
A.
0
40
. B.
0
20
. C.
0
50
. D.
0
80
.
Câu 27. (ChuyênĐạihọcVinh-Lần1-Nămhọc2018-2019)Chohìnhlậpphương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có
,I J
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
BC
và
'BB
.Gócgiữahaiđườngthẳng
AC
và
IJ
bằng
A.
0
45
. B.
0
60
. C.
0
30
. D.
0
120
.
Câu 28. (ThithửcụmVũngTàu-2019)Chohìnhlậpphương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
.Gócgiữahaiđường
thẳng
AC
và
DA
bằng
A.
60
. B.
45
. C.
90
. D.
120
.
Câu 29. Chohìnhlậpphương
.
ABCD A B C D
.Tínhgócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
A C
.
A.
60
. B.
45
. C.
30
. D.
90
.
Câu 30. Chohìnhlậpphương
.
ABCD A B C D
.Gócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
bằng
A.
60
. B.
45
. C.
30
. D.
90
.
Câu 31. Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáylàhìnhthoicạnh
a
,
3SA a
= và
SA BC
.Gócgiữahai
đườngthẳng
SD
và
BC
bằng
A.
90
. B.
60
. C.
45
. D.
30
.
Câu 32. Chohìnhlậpphương
.
ABCD A B C D
(hìnhvẽbêndưới).Gócgiữahaiđườngthẳng
AC
và
bằng
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
A.
30
. B.
60
. C.
90
. D.
45
.
Câu 33. Chohìnhlăngtrụđều
. ' ' ' 'ABCD A B C D
cótấtcảcáccạnhbằng
a
.Gócgiữahaiđườngthẳng
'BC
và
' 'B D
bằng
A.
0
30
. B.
0
45
. C.
0
60
. D.
0
90
.
Câu 34. Chotứdiện
ABCD
có
2AB CD a
.Gọi
,M N
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
AD
và
BC
.Biết
3MN a
,gócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
CD
bằng
A.
45
. B.
90
. C.
60
. D.
30
.
Câu 35. (ThigiữakìII-1819ChuyênLêHồngPhongNamĐịnh)Chohìnhchóptứgiác
.
S ABCD
có
cóđáylàhìnhvuôngcạnh
2a
;cạnh
SA a=
vàvuônggócvớiđáy.Gọi
M
làtrungđiểm
CD
.
Tính
cos
với
làgóctạobởi
SB
và
.
A.
2
5
-
. B.
1
2
. C.
2
5
. D.
4
5
.
Câu 36. (THPTNgôQuyền-BaVì-HảiPhòng,lần1)Chohìnhlăngtrụtamgiácđều
.
ABC A B C
có
AB a=
và
2AA a
=
.Gócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
BC
bằng
A.
90
. B.
30
. C.
60
. D.
45
.
Câu 37. (Thamkhảo2018)Chotứdiện
OABC
có
, ,OA OB OC
đôimộtvuônggócvớinhauvà
OA OB OC= =
.Gọi
M
làtrungđiểmcủa
BC
(thamkhảohìnhvẽbêndưới).Gócgiữahai
đườngthẳng
OM
và
AB
bằng
A.
0
90
. B.
0
30
. C.
0
60
. D.
0
45
Câu 38. Chohìnhlậpphương
.ABCD A B C D
;gọi
M
làtrungđiểmcủa
B C
.Gócgiữahaiđường
thẳng
AM
và
bằng
A.
45
. B.
90
. C.
30
. D.
60
.
Câu 39. [THPTNINHBÌNH-BẠCLIÊU-2019]Chohìnhlậpphương
.
ABCD A B C D
.Gọi
M
là
trungđiểmcủa
DD
(Thamkhảohìnhvẽ).Tínhcô-sincủagócgiữahaiđườngthẳng
B C
và
C M
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
A.
1
10
. B.
1
3
. C.
1
3
. D.
2 2
9
.
Câu 40. Chotứdiện
ABCD
.Gọi
P
,
Q
lầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnh
BC
,
AD
.Giảsử
AB CD a= =
và
3
2
a
PQ =
.Sốđogócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
CD
là
A.
0
90 .
B.
0
45 .
C.
30.
D.
0
60 .
Câu 41. (THPTCHUYÊNQUANGTRUNG-BP-LẦN1-2018)Chohìnhchóp
.
S ABC
có
SA SB SC AB AC a= = = = =
,
2BC a
=
.Tínhsốđocủagócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
SC
tađượckếtquả:
A.
90
. B.
30
. C.
60
. D.
45
.
Câu 42. (THPTHOÀNGHOATHÁM-HƯNGYÊN-2018)Chotứdiện
ABCD
có
2AB CD a= =
.
Gọi
M
,
N
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
BC
và
AD
.Biết
3MN a
= .Tínhgócgiữa
AB
và
CD
.
A.
45
. B.
30
. C.
90
. D.
60
.
Câu 43. (THPTNGUYỄNHUỆ-NINHBÌNH-2018)Chohìnhlậpphương
.
ABCD A B C D
.Gọi
M
trungđiểmcáccạnh
CD
.
cosin
củagócgiữa
AC
và
C M
là
A.
0
. B.
2
2
. C.
1
2
. D.
10
10
.
Câu 44. (CHUYÊNĐHSPHN-2018)Chohìnhchóp
.
S ABC
cóđáylàtamgiácđềucạnh
4 2cm
a =
,
cạnhbên
SC
vuônggócvớiđáyvà
2cm
SC
=
.Gọi
M
,
N
làtrungđiểmcủa
AB
và
BC
.Góc
giữahaiđườngthẳng
SN
và
CM
là
A.
30
. B.
60
. C.
45
. D.
90
.
Câu 45. (SGD-HÀTĨNH-HK2-2018)Cholăngtrụtamgiácđều
.
ABC MNP
cótấtcảcáccạnhbằng
nhau.Gọi
I
làtrungđiểmcạnh
AC
.Cosincủagócgiữahaiđườngthẳng
NC
và
IB
bằng
A.
6
2
. B.
10
4
. C.
6
4
. D.
15
5
.
Câu 46. (ĐẶNGTHÚCHỨA-NGHỆAN-LẦN1-2018)Chotứdiện
ABCD
có
AB CD a= =
.Gọi
M
và
N
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
AD
và
BC
.Xácđịnhđộdàiđoạnthẳng
MN
đểgócgiữa
haiđườngthẳng
AB
và
MN
bằng
30
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
A.
2
a
MN
=
. B.
3
2
a
MN =
. C.
3
3
a
MN =
. D.
4
a
MN
=
.
Câu 47. (THPTCHUYÊNNGUYỄNTHỊMINHKHAI-SÓCTRĂNG-2018)Chohìnhlậpphương
trình
.ABCD A B C D
.Gọi
M
làtrungđiểmcủa
DD
(thamkhảohìnhvẽdướiđây).Tính
côsincủagócgiữahaiđườngthẳng
và
C M
.
A.
2 2
9
. B.
1
10
. C.
1
3
. D.
1
3
.
Câu 48. (THPTNGUYỄNHUỆ-TTHUẾ-2018)Cholăngtrụđều
.
ABC A B C
có
1, 2
AB AA
= =
.
Tínhgócgiữa
AB
và
BC
A.
0
30
. B.
0
45
. C.
. D.
0
60
.
Câu 49. (SỞGD&ĐTBẠCLIÊU-2018)Chohìnhchóp
.
S ABC
có
SA
,
SB
,
SC
vuônggócvớinhau
đôimộtvà
SA SB SC= =
.Gọi
M
làtrungđiểmcủa
AC
.Gócgiữa
SM
và
AB
bằng:
A.
0
60
. B.
0
30
. C.
0
90
. D.
0
45
.
Câu 50. (THPTCHUYÊNHẠLONG-LẦN2-2018)Chohìnhchóp
.
S ABC
cóđộdàicáccạnh
SA SB SC AB AC a= = = = =
và
2BC a
=
.Gócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
SC
là?
A.
45
. B.
90
. C.
60
. D.
30
.
Câu 51. (TOÁNHỌCTUỔITRẺSỐ5)Chohìnhchóp
.
S ABC
có
1
SA SB SC AB AC
= = = = =
,
2
BC =
.Tínhgócgiữahaiđườngthẳng
AB
,
SC
.
A.
45
. B.
120
. C.
30
. D.
60
.
Câu 52. (XUÂNTRƯỜNG-NAMĐỊNH-LẦN1-2018)Chotứdiệnđều
ABCD
cạnh
a
.Tínhcosin
gócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
CI
,với
I
làtrungđiểmcủa
AD
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
A.
3
6
. B.
1
2
. C.
3
4
. D.
3
2
.
Câu 53. (HỒNGQUANG-HẢIDƯƠNG-LẦN1-2018)Chohìnhchóp
.
S ABCD
có
SA a=
,
2SB a=
,
3SC a=
,
60
ASB BSC
= =
,
90
CSA
=
.Gọi
làgócgiữahaiđườngthẳng
SA
và
BC
.Tính
cos
.
A.
7
cos
7
=
. B.
7
cos
7
= -
. C.
cos 0
=
. D.
2
cos
3
=
.
Câu 54. (THPTCHUYÊNĐHVINH-LẦN3-2018)Chohìnhlăngtrụtamgiácđều
.
ABC A B C
có
AB a=
và
2AA a
=
.Gócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
BC
bằng
A.
60
. B.
45
. C.
90
. D.
30
.
Câu 55. (KIMLIÊN-HÀNỘI-LẦN1-2018)Chotứdiện
ABCD
có
DA DB DC AC AB a= = = = =
,
45
ABC
=
.Tínhgócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
DC
.
A.
60
. B.
120
. C.
90
. D.
30
.
Câu 56. (CHUYÊNTRẦNPHÚ-HẢIPHÒNG-LẦN1-2018)Chohìnhlậpphương
.
ABCD A B C D
.Gọi
M
,
N
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
AD
,
Cosincủagóchợpbởi
MN
và
bằng
A.
3
3
. B.
2
3
. C.
5
3
. D.
2
4
.
Câu 57. (CỤM5TRƯỜNGCHUYÊN-ĐBSH-LẦN1-2018)Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáylà
hìnhchữnhật,
2AB a=
,
BC a=
.Hìnhchiếuvuônggóc
H
củađỉnh
S
trênmặtphẳngđáylà
trungđiểmcủacạnh
AB
,gócgiữađườngthẳng
SC
vàmặtphẳngđáybằng
0
60
.Tínhcosingóc
giữahaiđườngthẳng
SB
và
AC
A.
2
7
. B.
2
35
. C.
2
5
. D.
2
7
.
Câu 58. (THTPLÊQUÝĐÔN-HÀNỘI-LẦN1-2018)Chotứdiện
ABCD
có
1
AB AC AD
= = =
;
60
BAC
=
;
90
BAD
=
;
120
DAC
=
.Tínhcôsincủagóctạobởihaiđườngthẳng
AG
và
CD
,
trongđó
G
làtrọngtâmtamgiác
BCD
.
A.
1
6
. B.
1
3
. C.
1
6
. D.
1
3
.
Câu 59. (THPTNGUYỄNTRÃI-ĐÀNẴNG-2018)Chohìnhvuông
ABCD
cạnh
4a
,lấy
, H K
lần
lượttrêncáccạnh
,AB AD
saocho
3 , 3
BH HA AK KD= =
.Trênđườngthẳngvuônggócvới
C'
B'
A
C
B
A'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
mặtphẳng
ABCD
tại
H
lấyđiểm
S
saocho
30
SBH
=
.Gọi
E
làgiaođiểmcủa
CH
và
BK
.Tính
cosin
củagócgiữahaiđườngthẳng
SE
và
BC
.
A.
28
5 39
. B.
18
5 39
. C.
36
5 39
. D.
9
5 39
.
Câu 60. (THPTCHUYÊNTHÁIBÌNH-LẦN3-2018)Chohìnhchópđều
.
S ABCD
cótấtcảcác
cạnhđềubằng
a
.Gọi
M
,
N
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
AD
và
SD
.Sốđocủagócgiữahai
đườngthẳng
MN
và
SC
là
A.
45
. B.
60
. C.
30
. D.
90
.
Câu 61. (THPTPHANCHUTRINH-ĐẮCLẮC-2018)Chohìnhlậpphương
.
ABCD A B C D
.Gọi
M
,
N
,
P
lầnlượtlàtrungđiểmcáccạnh
AB
,
BC
,
C D
.Xácđịnhgócgiữahaiđườngthẳng
MN
và
AP
.
A.
60
. B.
90
C.
30
. D.
45
.
Câu 62. (THPTCHUVĂNAN-HÀNỘI-2018)Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáylàhìnhvuôngcạnh
a
,cạnhbên
SA
vuônggócvớiđáy,
SA a=
.Gọi
M
làtrungđiểm
SB
.Gócgiữa
và
BD
là
A.
60
. B.
30
. C.
90
. D.
45
.
Câu 63. (SỞGD&ĐTYÊNBÁI-2018)Chotứdiệnđều
ABCD
,
M
làtrungđiểmcủacạnh
BC
.Tính
giátrịcủa
cos ,
AB DM
.
A.
3
2
. B.
3
6
. C.
1
2
. D.
2
2
.
Câu 64. Chohìnhlậpphương
.
ABCD A B C D
.Gọi
, ,M N P
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
, ,
AB BC C D
.
Xácđịnhgócgiữa
MN
và
AP
.
A.
60
. B.
30
. C.
90
. D.
45
Câu 65. Chokhốichóp
.
S ABCD
có
ABCD
làhìnhvuôngcạnh
a
,
3
=
SA a
và
SA
vuônggócvớimặt
phẳngđáy.Cosincủagócgiữahaiđườngthẳng
SB
và
AC
là
A.
3
4
. B.
2
4
. C.
5
4
. D.
5
5
.
Câu 66. (ChuyênĐBSHlần1-2018-2019)Chotứdiện
ABCD
có
3 , 4AC a BD a= =
.Gọi
,M N
lần
lượtlàtrungđiểm
AD
và
BC
.Biết
AC
vuônggóc
BD
.Tính
MN
.
A.
5
2
a
MN =
. B.
7
2
a
MN =
. C.
7
2
a
MN =
. D.
5
2
a
MN =
.
Câu 67. Chohìnhlăngtrụ
.
ABCD A B C D
cóđáylàhìnhchữnhậtvà
40
CAD
=
.Sốđogócgiữahai
đườngthẳng
,
AC B D
là
A.
40
B.
20
. C.
50
. D.
80
.
Câu 68. Chohìnhlậpphương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
cócạnhbằng
.a
Gócgiữahaiđườngthẳng
và
' 'A C
bằng.
A.
0
30 .
B.
0
90 .
C.
0
60 .
D.
0
45 .
Câu 69. Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáy
ABCD
làhìnhchữnhậtvới
AB a=
; 2AD a
=
; 2SA a=
;
SA ABCD
.Tínhcôsingócgiữahaiđườngthẳng
SB
và
AC
.
A.
3
4
. B.
2
5
. C.
1
15
. D.
1
5
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
Câu 70. Chohìnhlậpphương
.ABCD A B C D
.Tínhgócgiữahaiđườngthẳng
A B
và
AD
.
A.
0
90
. B.
0
60
. C.
0
45
. D.
0
30
Câu 71. Chohìnhchópđều
.
S ABC
có
9SA a=
,
6AB a=
.Gọi
M
làđiểmthuộccạnh
SC
saocho
1
2
SM MC
=
.Côsincủagócgiữahaiđườngthẳng
SB
và
bằng
A.
7
2 48
. B.
1
2
. C.
19
7
. D.
14
3 48
.
Câu 72. Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáy
ABCD
làhìnhchữnhật,
( )SA ABCD
,
,SA a=
AB a=
,
3BC a
= .Tính
cosin
củagóctạobởihaiđườngthẳng
SC
và
BD
.
A.
3
.
10
B.
5
.
5
C.
3
.
5
D.
3
.
10
Câu 73. (ChuyênTựNhiênLần1-2018-2019)Chotứdiện
ABCD
có
2AB CD a= =
.Gọi
M
,
N
lần
lượtlàtrungđiểm
AD
và
BC
.Biết
3MN a
= ,gócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
CD
bằng.
A.
0
45
. B.
0
90
. C.
0
60
. D.
0
30
.
Câu 74. Chohìnhchóp
.
S ABC
có
SA ABC
vàtamgiác
ABC
vuôngtại
B
,
, , 2SA a AB a BC a
.Gọi
I
làtrungđiểm
BC
.Côsincủagócgiữađườngthẳng
AI
và
SC
là?
A.
2
3
B.
2
3
C.
2
3
D.
2
8
Câu 75. (BìnhMinh-NinhBình-Lần4-2018)Chotứdiện
ABCD
gọi
M
,
N
lầnlượtlàtrungđiểm
của
BC
và
AD
.Biết
AB CD a= =
,
3
2
a
MN =
.Tínhgócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
CD
.
A.
0
30
. B.
0
90
. C.
0
60
. D.
.
Câu 76. Chotứdiện
ABCD
.Gọi
M
,
N
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
BC
,
AD
.Biết
AB CD a= =
và
3
2
a
MN =
.Gócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
CD
bằng
A.
30
. B.
90
. C.
120
. D.
60
.
Câu 77. ChotứdiệnABCDvới
3
, 60 ; .
2
AC AD CAB DAB CD AD
= = = =
Gọi
làgócgiữahaiđường
thẳng
AB
và
CD
.Chọnkhẳngđịnhđúngvềgóc
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
A.
3
cos
4
=
. B.
30
=
. C.
60
=
. D.
1
cos
4
=
.
Câu 78. Chotứdiện
.
S ABC
có
; 2SA SB SC AB AC a BC a
= = = = = =
.Gócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
SC
bằng
A.
0
. B.
120
. C.
60
. D.
90
.
Câu 79. Cholăngtrụđều
.
ABC DEF
cócạnhđáybằng
a
,chiềucaobằng
2a
.Tính
cosin
củagóctạobởi
haiđườngthẳng
AC
và
BF
.
A.
5
10
B.
3
5
C.
5
5
D.
3
10
Câu 80. Chotứdiệnđều
ABCD
cạnh
a
.Gọi
M
làtrungđiểmcủa
BC
.Tínhcô-sincủagócgiữahai
đườngthẳng
AB
và
DM
?
A.
3
2
. B.
3
6
. C.
3
3
. D.
1
2
.
Câu 81. (THPTXuânHòa-VĩnhPhúc-năm2017-2018)Chotứdiện
ABCD
có
AB
,
AC
,
AD
đôimột
vuônggócvớinhau,biết
1
AB AC AD
= = =
.Sốđogócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
CD
bằng
A.
45
. B.
60
. C.
30
. D.
90
.
Câu 82. (THPTYênLạc-VĩnhPhúc-lần1-năm2017-2018)Chotứdiệnđều
ABCD
,
M
làtrungđiểm
củacạnh
BC
.Khiđó
cos ,
AB DM
bằng:
A.
3
6
. B.
2
2
. C.
3
2
. D.
1
2
.
DẠNG3.HAIĐƯỜNGTHẲNGVUÔNGGÓC
Câu 83. (THPTĐoànThượng-HảiDương-HKI18-19)Trongkhônggian,chođườngthẳng
d
vàđiểm
O
.Qua
O
cóbaonhiêuđườngthẳngvuônggócvớiđườngthẳng
d
?
A. 3. B. vôsố. C. 1. D. 2.
Câu 84. Trongkhônggianchotrướcđiểm
M
vàđườngthẳng
.Cácđườngthẳngđiqua
M
vàvuông
gócvới
thì:
A. vuônggócvớinhau. B. songsongvớinhau.
C. cùngvuônggócvớimộtmặtphẳng. D. cùngthuộcmộtmặtphẳng.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
Câu 85. (CHUYÊNBẮCNINH-LẦN1-2018)Trongkhônggian,chocácmệnhđềsau,mệnhđềnào
làmệnhđềđúng?
A. Mộtđườngthẳngvuônggócvớimộttronghaiđườngthẳngvuônggócthìvuônggócvớiđường
thẳngcònlại.
B. Haiđườngthẳngcùngsongsongvớiđườngthẳngthứbathìsongsongvớinhau
C. Mộtđườngthẳngvuônggócvớimộttronghaiđườngthẳngsongsongthìvuônggócvớiđường
thẳngcònlại.
D. Haiđườngthẳngcùngvuônggócvớiđườngthẳngthứbathìvuônggócvớinhau.
Câu 86. Trongkhônggian,cho
3
đườngthẳng
, ,a b c
phânbiệtvàmặtphẳng
P
.Mệnhđềnàosauđây
đúng?
A. Nếu
a c
và
P c
thì
//
a P
.
B. Nếu
a c
và
b c
thì
//a b
.
C. Nếu
a b
và
b c
thì
a c
.
D. Nếu
a b
thì
a
và
b
cắtnhauhoặcchéonhau.
Câu 87. Chỉramệnhđềsaitrongcácmệnhđềsau:
A. Quamộtđiểm
O
chotrướccómộtvàchỉmộtđườngthẳngvuônggócvớimộtmặtphẳngcho
trước.
B. Quamộtđiểm
O
chotrướccómộtmặtphẳngduynhấtvuônggócvớimộtđườngthẳng
cho
trước.
C. Haiđườngthẳngchéonhauvàvuônggócvớinhau.Khiđócómộtvàchỉmộtmặtphẳngchứa
đườngthẳngnàyvàvuônggócvớiđườngthẳngkia.
D. Quamộtđiểm
O
chotrướccómộtvàchỉmộtđườngthẳngvuônggócvớimộtđườngthẳngcho
trước.
Câu 88. (THPTTứKỳ-HảiDươngnăm2017-2018)Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàosai
A. Haiđườngthẳngcùngvuônggócvớimộtmặtphẳngthìsongsong.
B. Haimặtphẳngphânbiệtcùngvuônggócvớimộtđườngthẳngthìsongsong.
C. Haiđườngthẳngphânbiệtcùngvuônggócvớimộtđườngthẳngthìsongsong.
D. Haimặtphẳngphânbiệtcùngvuônggócvớimộtmặtphẳngthìsongsong.
Câu 89. (THPTHậuLộc2-ThanhHóanăm2017-2018)Chọnkhẳngđịnhđúngtrongcáckhẳngđịnh
sau:
A. Trongkhônggianhaiđườngthẳngphânbiệtcùngvuônggócvớimộtđườngthẳngthìsongsong
vớinhau.
B. Trongkhônggianhaiđườngthẳngvuônggócvớinhaucóthểcắtnhauhoặcchéonhau.
C. Trongkhônggianhaimặtphẳngcùngvuônggócvớimộtđườngthẳngthìsongsongvớinhau.
D. Trongkhônggianhaiđườngthẳngkhôngcóđiểmchungthìsongsongvớinhau.
Câu 90. (THPTChuyênVĩnhPhúc-lần3năm2017-2018)Tronghìnhhộp
.
ABCD A B C D
cótấtcả
cáccạnhđềubằngnhau.Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàosai?
A.
BB BD
. B.
A C BD
. C.
A B DC
. D.
BC A D
.
Câu 91. Chohìnhlậpphương
.
ABCD A B C D
.Đườngthẳngnàosauđâyvuônggócvớiđườngthẳng
BC
?
A.
A D
. B.
AC
. C.
BB
. D.
AD
.
Câu 92. Chohìnhchóp
.
S ABCD
cóđáylàhìnhthoitâm
O
và
SA SC=
,
SB SD=
.Trongcácmệnhđề
saumệnhđềnàosai?
A.
AC SD
. B.
BD AC
. C.
BD SA
. D.
AC SA
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
B.LỜIGIẢI
DẠNG1.GÓCCỦAHAIVÉCTƠ
Câu 1.
Tacó
.
cos ,
.
SB AC
SB AC
SB AC
=
2
.SA AB AC
a
+
=
2
. .SA AC AB AC
a
+
=
2
2
0
1
2
2
a
a
- +
= = -
.
Vậygócgiữahaivectơ
SB
và
AC
bằng
120
.
Câu 2. ChọnC
.
AB CD AB AD AC
= -
.AB AD AB AC
= -

. cos . .cos 0
AB AD DAB AB AC CAB
= - =
.
90
Þ =
O
.
Câu 3. ChọnA
||
BD AC A C
BD A C
Þ
os , 0
c BD A C
Þ =
.
Câu 4. ChọnC
A
C
B
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
Tacó
2
2
1
1
2
.
2 2
= +
Þ = - = -
= -

OM OA OB
a
OM BC OB
BC OC OB
.
2 2
2= + =BC OB OC a
và
2 2
1 1 2
2 2 2
= = + =
a
OM AB OA OB
.
Dođó:
2
. 1
2
cos , . 120
. 2
2
. 2
2
-
= = = - Þ =
a
OM BC
OM BC OM BC
OM BC
a
a
.
Câu 5. ChọnA
Đặt
' ' , ' ' , ' , .A B a A D b A A c AB x= = = =
' ' ' ' ' 'A C A B A D A A a b c= + + = + +
.
BD AD AB b a= - = -
.
2 2
' . ( ).( ) . ( ) ( ) . . .A C BD a b c b a a b a b b a c b c a= + + - = - + - + -
.
2 2
0 0 0 0 0x x= - + - + - =
.(Vì
ABCD
làhìnhvuôngnên
a b x= =
).
Vậy
'CA BD
haygócgiữa
'A C
và
BD
bằng
0
90 .
Câu 6. ChọnA
Gọi
M
làtrungđiểmcủa
AB
.
Vìhaimặt
ABC
và
ABD
làcáctamgiácđềunên
,CM AB DM AB
.
Khiđó
. .(CM MD) AB.CM AB.MD 0AB CD AB= + = + =
  
.
Vậygócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
CD
là
90
.
Câu 7. ChọnD
Tacó:
2
. . . .cos ,
AB AB CA AB AB AB AC AB AB AC AB AC
2 2
2 2 0 2
3
. .cos . .cos60
2 2
a a
AB AB AC BAC a a a a
.
Câu 8. ChọnA
M
C
B
O
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
Đặt
, ,
AA a AB b AC c
= = =

theogiảthiếttacó:
2
1
, 0,
2
a b c a ab ac bc a
= = = = = =
.
Có
ABB A
và
BCC B
làcáchìnhvuôngnên
2AB BC a
= =
.
Mà
AB a b
= +
và
BC AC AB a c b
= - = + -
suyra
2 2 2
1
.
1
2
cos , cos ,
4
2. 2
a a a
AB BC
AB BC AB BC
a a
AB BC
+ -
= = = =
.
Câu 9. ChọnA
GọiIlàtrungđiểmcủaACtacógóchợpbởihaivéctơ
BC
và
bằng
180
trừđigóctạobởi
haivéctơ
MI
và
MO
Tacó:
2
2
2 2
BC a
BC a MI
TamgiácOABvuôngcântạiOnên:
2
2
a
OM
.
TamgiácOACvuôngcântạiOnên:
2
2
a
OI
.
Suyragóctạobởihaivéctơ
MI
và
MO
bằng
60
Suyragóchợpbởihaivéctơ
BC
và
bằng
120
Câu 10. Chọn B.
B
C
A'
C'
B'
A
O
B
C
A
M
I
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
Tacó:
3
2
a
AH A H
= =
và
,
AH BC A H BC
BC AA H
Þ
BC AA
Þ
hay
BC BB
.Dođó:
BCC B
làhìnhchữnhật.
Khiđó:
3 6
. 2
2 2
a a
CC AA
= = =
2
2
.6 22
16 4
a
BM a aÞ = + = .
Xét:
. .
AA BM AA BC CM
= +
0 .AA CM
= +
2
3
4
a
=
.
Suyra
2
3
4
cos ,
6 22
.
2 4
a
AA BM
a a
=
33
11
=
.
Câu 11. ChọnD
Taco:
MN MB BA AN
= + +
va
MN MC CD DN
= + +
.Suyra
2
MN MB MC BA CD AN DN BA CD
= + + + + + = +

(Vi
M
latrungđiêm
BC
va
N
la
trungđiêm
AD
).
Khiđo:
2 2 2
4 2 .MN BA CD BA CD
= + +
2 2 2
2
1
. 4 4
2
BACD MN BA CD a
= - - =
.
Dovâytaco:
.
2
cos ,
2
.
BACD
AB CD
BA CD
= =
.
Vây,sôđogocgiưahaiđươngthăng
AB
va
CD
la
45 .
Câu 12. ChọnB
M
H
A
C
B
B'
C'
A'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
+)Tacó:
2 2
3
. . . . .cos120 . .cos30
2 2
a a
AB SC AB SA AC AB SA AB AC a a a a= + = + = + = - +
+)Dođó:
2 2
2
3
.
1 3
2 2
cos , 0.37.
. 2
a a
AB SC
AB SC
AB SC a
- +
- +
= = =
Chọn B.
Câu 13. ChọnA
Dotấtcảcáccạnhcủahìnhchópbằngnhaunênhìnhchóp
.
S ABCD
làhìnhchópđều
( )SO ABCD
AC BD
Þ
.
DoMlàtrungđiểmcủaCDnêntacó:
1 1
O O
2 2
MS S OM OC OD S
= - = - - +
,
CB OB OC OD OC
= - = - -

.
Do
;OS
OD
đôimộtvuônggócvớinhaunêntacó:
2
2 2 2
1 1
.
2 2 2
a
MS CB OC OD OC= + = =
Câu 14. ChọnD
a
a
a
a
a
C
A
B
S
M
O
A
B
C
D
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
Cách1:
Tacó
. . . . . .cos . .cos 0.AS BC AS AC AB AS AC AS AB AS AC SAC AS AB SAB= - = - = - =
Dođósốđocủagócgiữahaiđườngthẳng
SA
và
BC
bằng
90 .
DẠNG2.GÓCCỦAHAIĐƯỜNGTHẲNG
Câu 15. ChọnA
Do
A BCD
làhìnhbìnhhànhnên
//A B D C
.Suyragócgiữahaiđườngthẳng
AC
và
A B
bằnggócgiữahaiđườngthẳng
AC
và
D C
vàđóchínhlàgóc
60ACD
= (do
'ACD
đều).
Câu 16.
Có
// , , 45CD AB BA CD BA BA ABA
Þ = = =
(do
ABB A
làhìnhvuông).
Câu 17. ChọnA
A
D
B
C
S
M
A
B
C
D
B
D
A
C
S
A
B
C
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
Tacó
//AB CD
nên
; ;
AB SC CD SC SCD
= =
.
Gọi
M
làtrungđiểmcủa
CD
.Tamgiác
SCM
vuôngtại
M
vàcó
2SC a
=
,
CM a=
nênlà
tamgiácvuôngcântại
M
nên
45
SCD
=
.Vậy
; 45
AB SC
=
.
Câu 18.
Tacó:
; ; 90
A C BD AC BD
= =
Câu 19.
Tacó
//
B C A D
; ;
A B B C A B A D
Þ =
DA B
=
.
Xét
DA B
có
A D A B
=
BD=
nên
DA B
làtamgiácđều.
Vậy
DA B
60=
.
D
D'
A
A'
C
C'
B
B'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
Câu 20.
Tacó
//A B AB
1 1 1
, ,
BC A B BC AB ABC
Þ = =
.
Tamgiác
1
ABC có
1AB =
;
1 1
2AC BC= =
và
2 2 2
1 1
1
cos
2 .
AB BC AC
B
AB BC
+ -
=
2
cos
4
B =
.
Câu 21.
Đặt
AB a=
,
.AB CD AB CB BD= +
. .BA BC BA BD= -
2 2
0
2 2
a a
= - =
AB CDÞ
.
Câu 22.
S
A
B
C
D
I
J
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
Tacó
IJ //
//
SB
CD AB
, , 60
IJ CD SB AB SBA
Þ = = =
(vìtamgiác
SAB
làtamgiácđềucạnh
a
).
Câu 23.
Tacó:
, , 60
AC A D A C A D DA C
= = =
.
Vì
A D A C C D
= =
.
Câu 24. ChọnD
Gọi
I
làtrungđiểmcủa
C D
khiđó
IB
làhìnhchiếuvuônggóccủa
B M
trên
A B C D
.Mặtkháctacó
90
IB C NC B NC D NC B B C D
+ = + = =
C N IB
Þ
Do đó
C N B M
. Vậy góc giữa
B M
và
C N
bằng
90
.
Câu 25. ChọnD
Vìtứdiện
OABC
có
;OA OB OC a
, ,OA OB OC
vuônggócvớinhautừngđôimộtnênta
cóthểdựnghìnhlậpphương
.
AMNP OBDC
nhưhìnhvẽvới
I
làtrungđiểm
BC
nên
I OD BC
.
Cạnhcủahìnhlậpphươngtrênbằng
a
nên
2AB AN NB a
vậytamgiác
ABN
đều.
Dễthấy
/ /OI AN
nêngócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
OI
bằnggócgiữa
AB
và
AN
bằng
60
.
I
N
M
P
D
O
C
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
Câu 26. ChọnD
Tacó
/ / ; ;BD B D AC B D AC BD
.
Gọi
O AC BD
.Vì
0 0
40 50CAD OAB OBA
0
80AOB
Vậy
0
; 80AC B D
.
Câu 27. ChọnB
Vì
// 'IJ B C
nên
, ' ,IJ AC B C AC=
.
Mà
, ', 'AC AB CB
làđườngchéocủacáchìnhvuôngbằngnhaunên
' 'AC AB CB= =
.
'ACBÞ
đều.Vậy
0
, ' , ' 60IJ AC B C AC ACB= = =
.
Câu 28. ChọnA
Tacó
// ' 'AC A C
nêngócgiữahaiđườngthẳng
AC
và
'DA
bằnggócgiữahaiđườngthẳng
' 'A C
và
'DA
.
Mà
' ' ' '= =A C DA DC
(cácđườngchéocủahìnhvuông).
Suyra
' 'A C D
làtamgiácđều
' ' 60A C DÞ =
.
O
D
'
C
'
B
'
A
'
D
C
B
A
J
I
C'
D'
B'
C
A
D
B
A'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
Vậygócgiữahaiđườngthẳng
AC
và
'DA
bằng
60
.
Câu 29. ChọnA
Giảsửhìnhlậpphương
.
ABCD A B C D
cócạnhlà
a
.
Do
AC A C
nên
, ,
AB A C AB AC
=
.
Tacó:
2AB AC CB a
= = =
Þ
Tamgiác
AB C
đềunên
60
CAB
=
.
Þ
, , 60
AB A C AB AC CAB
= = =
.
Câu 30. ChọnD
Tacó:
//
C D AB
.
, , 90
AB CD C D CD
Þ = =
(vì
CDD C
làhìnhvuôngnênhaiđườngchéovuônggóc).
Câu 31. ChọnB
/ / ,
AD BC SA BC SA AD Þ
hay
SAD
vuôngtại
A
.
/ / , , ,
AD BC SD AD D SD BC SD AD SDA
= Þ = =
.
SAD
vuôngtại
A
Þ
tan 3 60
SA
SDA SDA
AD
= = Þ =
.
Câu 32. ChọnA
Gọicạnhhìnhlậpphươnglà
a
.
B'
B
C'
A'
D'
A
D
C
C
B
D
A
A'
B'
C'
D'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
Tacó
, ,
AC A D A C A D C A D
= =
.
Vì
2A C A D DC a
= = =
nêntamgiác
A C D
làtamgiácđều.
Suyra
60
C A D
=
.
Câu 33. ChọnC
Tacó
', ' ' ', 'BC B D BC BD DBC
= =
,xét
'BDC
có
, ',DC'
BD BC
đềulàcácđườngchéocủa
hình vuông cạnh bằng
a
nên
'BDC
là tam giác đều. Do đó
0
', ' ' ', ' 60
BC B D BC BD DBC= = =
.
Câu 34. ChọnC
Gọi
,P Q
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
AC
và
BD
.Khiđótacó
/ / / /
2
PM NQ CD
PMQN
CD
PM NQ
làhìnhbìnhhành.
Tacũngcó
/ / / / ,
2
AB
MQ NP AB MQ NP
.
Do
2
AB CD a PM MQ QN NP a
.
Gọi
, cos cos
AB CD MPN
.ÁpdụngđịnhlíCôsintacó
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 . .cos
3 2. . .cos
3 1
cos
2. . 2
MN PM PN PM PN MPN
a a a a a MPN
a a a
MPN
a a
nên
1
cos cos , 60
2
MPN AB CD
Câu 35. ChọnC
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
Tacó
2 2
5,
AM AD DM a= + =
2 2
5SB SA AB a
= + =
.
. .
AM SB AD DM SA AB
= + +
. . . .AD SA AD AB DM SA DM AB
= + + +
2
. 2DM AB a
= =
.
Mặtkhác
2
. . .cos , 5 .cos ,
AM SB AM SB AM SB a AM SB
= =

2 2
2
2 5 .cos , cos ,
5
a a AM SB AM SB
Þ = =
.Suyra
2
cos
5
=
.
Câu 36.
ChọnC
Gọi
, , ,M N P E
lầnlượtlàtrungđiểmcácđoạnthẳng
, ', ' ',AB BB B C BC
.
Suyra
/ / 'MN AB
và
/ / 'NP BC
.Khiđógócgiữađườngthẳng
'AB
và
'BC
làgócgiữahai
đườngthẳng
MN
và
NP
.
Tacó:
3
2
a
MN NP= =
.
Xéttamgiác
PEM
vuôngtại
E
,
2 2
2 2 2 2
9
2
4 4
a a
MP PE ME a= + = + = .
Ápdụngđịnhlícosintrongtamgiác
MNP
,tacó
2 2 2
2 2 2
2
3 3 9
1
4 4 4
cos
3
2. . 2
2.
4
a a a
MN NP MP
MNP
a
MN NP
+ -
+ -
= = = -
.
Dođógóc
MNP
bằng
nêngócgiữađườngthẳng
'AB
và
'BC
bằng
0
60
.
Câu 37.
ChọnC
A
M
'A
C
E
'C
P
'B
N
B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
Đặt
OA a=
suyra
OB OC a= =
và
2AB BC AC a
= = =
Gọi
N
làtrungđiểm
AC
tacó
/ /MN AB
và
2
2
a
MN =
Suyragóc
, ,=
OM AB OM MN
.Xét
OMN
Trongtamgiác
OMN
có
2
2
a
ON OM MN= = =
nên
OMN
làtamgiácđều
Suyra
0
60
OMN = .Vậy
0
, , 60
= =OM AB OM MN
.
Câu 38. ChọnA
Giảsửcạnhcủahìnhlậpphươnglà
0a
.
Gọi
N
làtrungđiểmđoạnthẳng
BB
.Khiđó,
//MN BC
nên
, ,
AM BC AM MN
=
.
Xéttamgiác
A B M
vuôngtại
B
tacó:
A M
2 2
A B B M
= +
2
2
4
a
a= +
5
2
a
=
.
Xéttamgiác
AA M
vuôngtại
A
tacó:
2 2
AM AA A M
= +
2
2
5
4
a
a= +
3
2
a
=
.
Có
5
2
a
AN A M
= =
;
2
2 2
BC a
MN
= =
.
Trongtamgiác
AMN
tacó:
cos AMN
2 2 2
2. .
MA MN AN
MA MN
+ -
=
2 2 2
9 2 5
4 4 4
3 2
2. .
2 2
a a a
a a
+ -
=
2
2
6 4
.
4
6 2
a
a
=
1
2
=
.
Suyra
45AMN =
.
N
M
C
D
A
D'
B'
C'
A'
B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
Vậy
, ,
AM BC AM MN
=
=
45AMN =
.
Câu 39. ChọnA
Gọi
N
làtrungđiểmcủa
AA
// , ,
B N C M B C C M B C B N
Þ Þ =
Xéttamgiác
B NC
có
2 2
2 2
5 3
; 2; 2
4 2 4 2
a a a a
B N a B C a NC a
= + = = = + =
Vậy
2 2 2
2
1
cos , cos
2 .
5 10
2. . 2
2
B N B C NC
a
B C C M NB C
B N B C
a
a
+ -
= = = =
Câu 40. ChọnD
Gọi
I
làtrungđiểmcủa
AC
,khiđó
/ /
/ /
IP AB
IQ CD
do
,IP IQ
lầnlượtlàcácđườngtrungbìnhcủatamgiác
CAB
và
ACD
.
Suyragócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
CD
làgócgiữahaiđườngthẳng
IP
và
IQ
.
Xéttamgiác
,tacó
2
2 2
2 2 2
2
3
2 2 2
1
cos
2 . 2
2.
2
a a a
IP IQ PQ
PIQ
IP IQ
a
+ -
+ -
= = = -
suyra
0
120
PIQ =
.
a
a
I
Q
P
B
D
A
C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
Vậygócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
CD
cósốđolà
0 0 0
180 120 60 .
- =
Câu 41. *Gọi
H
làhìnhchiếuvuônggóccủa
S
lênmặtphẳng
ABC
,theođầubài
SA SB SC= =
và
tamgiác
ABC
vuôngcântại
A
tacó
H
làtrungđiểmcủa
BC
.Gọi
M
,
N
lầnlượtlàtrung
điểmcủa
SA
,
SB
tacó:
//
//
MN AB
HN SC
Þ
Gócgiữa
AB
và
SC
làgócgiữa
MN
và
HN
.
Xéttamgiác
MNH
tacó:
;
2 2
AB a
MN
= =
;
2 2
SC a
HN = =
2 2
SA a
MH
= =
(Do
SHA
vuôngtại
H
)
Þ
tamgiác
MNH
làtamgiácđều
Þ
60
MNH
=
.Vậygóccầntìmlà
60
.
Câu 42.
Kẻ
//MP AB
,
//NP CD
nêngócgiữa
AB
và
CD
làgócgiữa
MP
và
NP
.
2 2 2
cos
2. .
MP NP MN
MPN
MP NP
+ -
=
2 2 2
2
3
2
a a a
a
+ -
=
1
2
= -
120
MPN
= .
Vậygócgiữa
AB
và
CD
bằng
60
.
Câu 43.
A
B
C
D
A
B
C
D
M
N
M
H
A
B
C
S
N
M
B
D
C
A
P
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
Tacó
//AC A C
nêngócgiữa
AC
và
C M
cũngbằnggócgiữa
A C
và
C M
là
A C M
.
Gọicạnhcủahìnhlậpphươngcóđộdàilà
a
.Khiđó
2A C a
=
,
5
2
a
C M
=
(trongtamgics
vuông
CC M
có
2
a
CM =
),
3
2
a
A M
=
(trongtamgiácvuông
A MD
,
2
a
MD =
,
2A D a
=
).
Xéttamgiác
A MC
tacó
2
2 2
1
cos
2 . 2
A C C M A M
A C M
A M C M
+ -
= =
.
Câu 44.
Gọi
I
làtrungđiểmcủa
BM
,tacó
//NI CM
nêngócgiữa
SN
và
CM
làgócgiữa
SN
và
NI
.
Xéttamgiác
SNI
có
2 2
SN SC CN= +
4 8 2 3= + = ;
1 1 3
4 2. 6
2 2 2
NI CM= = =
;
2 2
CI CM MI= +
24 2 26= + =
2 2
SI SC CIÞ = +
4 26 30= + = .
Vậy
2 2 2
cos
2 .
SN NI SI
SNI
SN NI
+ -
=
12 6 30 12 2
2
2.2 3. 6 3 2.4
+ - -
= = = -
135SNIÞ = .
Vậygócgiữa
SN
và
CM
bằng
45
.
Câu 45.
Gọi
J
làtrungđiểmcủa
MP
.Gócgiữahaiđườngthẳng
NC
và
IB
bằnggócgiữahaiđường
thẳng
NC
và
NJ
.
J
I
P
N
A
B
C
M
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
Tacó
3
2
a
JN =
,
2 2 2
NC NP PC= +
2
2a=
,
2 2 2
JC JP PC= +
2
5
4
a
= .
Xéttamgiác
NJC
có:
2 2 2
cos
2 .
JN NC JC
JNC
NJ NC
+ -
=
2 2
2
3 5
2
2 2
3
2 . 2
2
a a
a
a
a
+ -
=
=
6
4
Câu 46.
Gọi
P
làtrungđiểmcủa
AC
.Suyra
1
2
PM CD=
1
2
AB PN= =
.Dođótamgiác
PMN
cântại
P
.Lạicógócgiữa
AB
và
MN
bằng
30
nêngócgiữa
MN
và
PN
bằng
30
.Vậytamgiác
PMN
làtamgiáccâncógócởđỉnhbằng
120
.
Tacó . 3PN MN= nên
3
2
a
MN =
.
Câu 47.
Kẻ
B N
songsongvới
C M
.Tađược
; ;B C C M B C B N
=
NB C
=
Tacó
2 2
2B C BB BC a
= + =
,
2 2
5
2
a
B N AB A N
= + =
,
2 2
3
2
CN AN AC a= + =
Ápdụngđịnhlýhàmsốcôsintrong
B NC
,tađược
2 2 2
1
2. .
10
B N B C NC
cosNB C
B N B C
+ -
= =
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
Câu 48.
Gọi
I
làtâmcủahìnhchữnhật
ABB A
và
M
làtrungđiểmcủa
A C
.
Có
3
2
IM IB B M
= = =
suyra
0
, , 60
AB BC AB IM MIB
= = =
.
Câu 49.
C1.
2
1 1
.
2 2
SM AB SA SC SB SA SA
= + - = -
; 2
2
SA
SM AB SA= =
0
. 1
, , 120
. 2
SM AB
cos SM AB SM AB
SM AB
= = - Þ =
Vậygócgiữa
SM
và
AB
bằng
60
.
C2.
N
làtrungđiểmcủa
BC
.Tamgiác
SMN
đều(cạnhbằng
1
2
SA
).Nêngócgiữa
SM
và
AB
bằnggóc
SMN
bằng
60
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 32
Câu 50.
Tacó
2BC a
=
nêntamgiác
ABC
vuôngtại
A
.Vì
SA SB SC a= = =
nênhìnhchiếuvuônggóc
của
S
lên
ABC
trùngvớitâm
I
củađườngtrònngoạitiếptamgiác
ABC
.
Tamgiác
ABC
vuôngtại
A
nên
I
làtrungđiểmcủa
BC
.
Tacó
cos ,
AB SC
cos ,
AB SC
=

.
.
AB SC
AB SC
=
.
.
AB SC =
AB SI IC
+
.AB SI
=

1
.
2
BA BC
= -
1
. .cos45
2
BA BC
= -
2
2
a
= -
.
cos ,AB SC
=
2
2
2
a
a
1
2
=
,
AB SC
Þ
60=
.
Cách2:
cos ,
AB SC
cos ,
AB SC
=

.
.
AB SC
AB SC
=
Tacó
.AB SC
SB SA SC
= -
. .SB SC SA SC
= -

. .cos90 . .cos 60
SB SC SA SC
= -
2
2
a
= -
.
Khiđó
2
2
2
1
cos ,
2
a
AB SC
a
-
= =
Câu 51.
Tamgiác
ABC
vuôngtại
A
vàtamgiác
SBC
vuôngtại
S
vì
1
AB AC
= =
,
2
BC =
và
1
SB SC
= =
,
2
BC =
.
Tacó
.
SC AB SC SB SA
= -
. .SC SB SC SA
= -
1
0 . .cos60
2
SC SB
= - = -
.
I
S
A
C
B
H
B
C
A
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 33
Suyra
cos ; cos ;SC AB SC AB=
.
1
. 2
SC AB
SC AB
= =
.Vậygócgiữahaiđườngthẳng
AB
,
SC
bằng
60
.
Câu 52.
Gọi
M
làtrungđiểmcủa
BD
.
Tacó:
//IM AB
.
,AB ICÞ
,IM IC=
.
cos ,AB ICÞ
cos ,IM IC=
cos ,IM IC=
cos MIC=
.
Mà:
cosMIC
2 2 2
2. .
MI IC MC
MI IC
+ -
=
2 2
2
3 3
2 2 2
3
2. .
2 2
a a a
a a
+ -
=
3
6
=
.
cos ,AB ICÞ
cos MIC=
3
6
=
.
Câu 53.
cos cos( , )SA BC
=
.
.
SA BC
SA BC
=
.( )
.
SA SC SB
SA BC
-
=
. .
.
SA SC SA SB
SA BC
-
=
2 2
.S .cos90 . .cos60
. 4 9 2.2 .3 .cos60
SA C SA SB
a a a a a
-
=
+ -
7
7
=
.
M
I
B
C
D
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 34
Câu 54.
Tacó
.
AB BC AB BB BC CC
= + +

. . . .
AB BC AB CC BB BC BB CC
= + + +
   
. . . .
AB BC AB CC BB BC BB CC
= + + +
   
2 2
2
3
0 0 2
2 2
a a
a= - + + + = .
Suyra
.
cos ,
.
AB BC
AB BC
AB BC
=
2
3
1
2
, 60
2
3. 3
a
AB BC
a a
= = Þ =
.
Câu 55. Tacótamgiác
ABC
vuôngcântại
A
,tamgiác
BDC
vuôngcântại
D
.
Tacó
. . .AB CD DB DA CD DB CD DA CD
= - = -

2
1
cos , cos ,
2
DB CD DB CD DA CD DA CD a
= - = -
.
Mặtkháctalạicó
. 1
. cos . cos ,
2
AB CD
AB CD AB CD AB CD AB CD
AB CD
= = = -

, 120 , 60
AB DC AB CD
Þ = Þ =
.
Câu 56.
*Xéthìnhlậpphương
.
ABCD A B C D
cạnh
a
.
*Đặt
, , , . . . 0
a AB b AD c AA a b c a a b b c a c
= = = Þ = = = = = =
.
*Tacó:
2 2 2
1 1 1 1 3
2 2 4 4
2
a
MN AN AM AB BN AM a b c MN a a a= - = + - = - + Þ = + + =
2 2 2
3AC AB AD AA a b c AC a a a a
= + + = + + Þ = + + =
 
C'
B'
A
C
B
A'
N
M
B
A
D
C
A'
D'
C'
B'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 35
2 2 2 2
1 1
.
2 2
AC MN a a a a
= - + =
.
2
cos ; cos ;
3
.
MN AC
MN AC MN AC
MN AC
= = =

.
Câu 57.
,SC ABCD
=
,SC CH
=
0
60
SCH = .
.
cos ,
.
SB AC
SB AC
SB AC
=
.
SB AC SH HB AB BC
= + +
. . . .SH AB SH BC HB AB HB BC
= + + +
 
. .HB AB HB BC
= +

2 2
1
2
2
AB a
= =
5AC a
= ,
2 2
2CH a a a
= + =
,
.tan 6SH CH SCH a
= =
.
2 2
SB SH HB
= +
2
2
6 7a a a
= + = .
.
cos ,
.
SB AC
SB AC
SB AC
=
2
2
7. 5
a
a a
=
2
35
= .
Câu 58.
*
ABC
đều
1
BC
Þ =
.
*
ACD
cântại
A
có
2 2
2 . .cos120 3
CD AC AD AC AD= + - =
.
*
ABD
vuôngcântại
A
có
2
BD =
.
*
BCD
có
2 2 2
CD BC BD
= +
BCDÞ
vuôngtại
B
.
Dựngđườngthẳng
d
qua
G
vàsongsong
CD
,cắt
BC
tại
M
.
Tacó
//
MG CD
, ,
AG CD AG MG
Þ =
.
A
D
B
C
S
H
M
G
I
B
D
C
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 36
Gọi
I
làtrungđiểmcủa
BC
,xét
BDI
vuôngtại
B
có
2 2
DI BD BI
= +
2
1 3
2
2 2
= + =
.
Tacó
1
3
IM MG IG
IC CD ID
= = =
1
.
3
IM IC
Þ =
1
.
3 2
BC
=
1
6
=
;
1 3
.
3 3
MG CD= =
;
1 1
.
3 2
IG ID
= =
.
Xét
AIM
vuôngtại
I
có
2 2
AM AI IM
= +
2
2
3 1 7
2 6 3
= + =
.
2 2 2
cos
2 .
AI ID AD
AID
AI ID
+ -
=
2
2
2
3 3
1
2 2
4 3
9
3 3
2. .
2 2
+ -
= =
2 2
2 . .cos
AG AI IG AI IG AID
= + -
2
2
3 1 3 1 4 3 3
2. . .
2 2 2 2 9 3
= + - =
.
Xét
AMG
có
cos , cos
AG MG AGM
=
2 2 2
2. .
AG GM AM
AG GM
+ -
=
2 2 2
3 3 7
3 3 3
1
6
3 3
2. .
3 3
+ -
= =
.
Câu 59. Gọi
I
làhìnhchiếuvuônggóccủa
E
lên
AB
tacó
ABD BCH =
.
90
ABD BCH HEB
Þ = Þ =
.
E
A
B
D
C
H
K
I
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 37
Tacó:
cos ; cos ; cos
SE BC SE EI SEI
= =
,
.tan 30 3SH BH a
= = .
2
9
5
HB HE HB a
HE
HC HB HC
= Þ = = ,
2
2 2 2
81 2 39
3
25 5
a a
SE SH HE a= + = + = .
2
27
25
HE HI HE a
HI
HB HE HB
= Þ = = ,
2
2 2 2
27 2 651
3
25 25
a a
SI SH HI a
= + = + =
.
9 36
25 25
EI HI a
EI
BC HB
= = Þ =
Ápdụngđịnhlýcosinchotamgiác
SEI
tađược:
2 2
2
2 2 2
2 39 36 2 651
5 25 25
18
cos
2. .
2 39 36 5 39
2. .
5 25
a a a
SE EI SI a
SEI
SE EI
a a
+ -
+ -
= = =
.
Câu 60.
Gọi
P
làtrungđiểmcủa
CD
.
Tacó:
//NP SC
, ,
MN SC MN NP
Þ =
.
E
A
D
C
B
S
H
K
I
a
a
P
M
N
D
A
B
C
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 38
Xéttamgiác
MNP
tacó:
2
a
MN
=
,
2
a
NP
=
,
2
2
a
MP =
2 2
2 2
4 4
a a
MN NPÞ + = +
2
2
a
=
2
MP=
MNPÞ
vuôngtại
N
90
MNP
Þ =
, ,
MN SC MN NP
Þ =
90=
.
Câu 61.
Tacótứgiác
AMC P
làhìnhbìnhhànhnên
//
AP MC
, ,
Þ = =
MN AP MN MC NMC
.
Gọicạnhhìnhvuôngcóđộdàibằng
a
.
Xéttamgiác
C CM
vuôngtại
C
có
2 2 2 2 2
3
2
= + = + + =
a
C M C C MC C C BC MB
.
Xéttamgiác
C CN
vuôngtại
C
có
2 2
5
2
= + =
a
C N C C CN
.
Mà
2
2 2
= =
AC a
MN
.
Xéttamgiác
C CM
có
2 2 2
2
cos
2 . 2
+ -
= =
MC MN C N
NMC
MC MN
45
Þ =
NMC
, 45Þ =
MN AP
.
Câu 62.
Gọi
N
làtrungđiểm
SD
khiđó
MN BD
,suyra
; ;
BD AM MN AM AMN
= =
P
N
M
A
B
C
D
B'
C'
D'
A'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 39
2
2
a
AN AM MN= = =
,suyra
Δ
AMN
làtamgiácđều,nên
60
AMN =
Câu 63.
Giảsửcạnhcủatứdiệnđềubằng
.a
Gọi
N
làtrungđiểmcủa
.AC
Khiđó:
, ,
AB DM MN DM
Tacó:
3
2 2
, .
a a
MN DM DN
2
2 2 2
3
4
2 6
3
2
2 2
D D
cos D .
. . D
. .
a
MN M N
NM
MN M
a a
Vậy
3
6
cos , .
AB DM
Câu 64. ChọnD
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 40
Tacó
MN
songsong
AC
(Đườngtrungbình)
, ,MN AP AC AP=
Giảsửhìnhlậpphương
.ABCD A B C D
cóđộdàicáccạnhbằng
1
Xéttamgiác
APC
có:
2
2
1 5
1
2 2
PC
= + =
;
2 2
1 1 2AC = + =
;
2
2 2
1 3
1 1
2 2
AP
= + + =
.
Theođịnhýhàm
cos
trongtamgiác
APC
tacó:
9 5
2
1
4 4
cos 45
3
2
2 2.
2
PAC PAC
+ -
= = Þ = .
Câu 65. ChọnB
Gọi
làgócgiữahaiđươngthẳng
AC
và
SB
.
Có
2=AC a
,
2=SB a
.
Có
2 2
. . .= + - = =
 
AC SB AB AD AB AS AB a
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 41
Vậy
2
.
2
cos
. 4
2.2
= = =

AC SB
a
AC SB
a a
.
Câu 66. ChọnA
Gọi
P
làtrungđiểm
AB
Tacó
//
//
AC PN
PN PM
BD PM
Þ
và
3
; 2
2 2 2
AC a BD
PN PM a= = = =
2 2
5
2
a
MN PM PN= + =
Câu 67. ChọnD
Vì
//
BD B D
nên
; ; 80
AC B D AC BD AOB
= = =
vớiOlàtâmhìnhchữnhật
ABCD
.
Câu 68. ChọnC
Tathấy
' '/ / ', ' ' ',
Þ = =
A C AC CD A C CD AC
Docácmặtcủahìnhlậpphươngbằngnhaunêncácđướngchéo
' ' 2
= = =
AC CD AD a
Suyra
'ACD
đềunên
0
', ' ' ', 60 .
= = =
CD A C CD AC
P
N
M
A
C
B
D
a 2
a 2
a 2
a
D'
C'
B'
D
B
C
A
A'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 42
Câu 69. ChọnC
Gọi
H
làtrungđiểmcủa
SD OH SB

Þ
.Dođó
, ,
SB AC OH AC
=
.
Tínhđược
5 ;SB a
=
6;
SD a=
3AC a
= ,suyra
1
2
OH SB
=
5
;
2
a
=
1 6
;
2 2
a
AH SD= =
3
2
a
AO =
.Dođó
2 2 2
3 5 3
4 4 2
cos
3 5
2. .
2 2
a a a
AOH
a a
+ -
=
15
15
=
nên
1
cos ,
15
SB AC = .
VậygócgiữahaiđườngthẳngBA’vàB’D’bằng
0
60
.
Câu 70. ChọnB
Vìlàhìnhlậpphương
Þ
6mặtđềulàhìnhvuôngbằngnhaunêncácđườngchéocủachúngđèu
bằngnhau
Þ
A C A B BC
= =
A C B
Þ
đều
Tacó:
0
/ / ; ; 60
AD BC A B AD A B BC A BC
Þ = = =
Câu 71. ChọnD
Cách 1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 43
Tacó
cos ASB
=
SA
2
+ SB
2
- AB
2
2SA.SB
=
7
9
= cosCSB
= cos ASC
AM
2
=
SA
2
+
SM
2
-
2SA.SM.cos ASC
=
48
Þ
AM
=
4 3
1
3
AM SM SA SC SA
= - = -
Dođó
2
1 1
. . . .cos . .cos 42
3 3
AM SB SC SA SB SC SB BSC SA SB ASB a
= - = - = -
nên
.
42 14
cos( ; )
.
4 3.9 3 48
AM SB
AM SB
AM SB
= = =
.
Cách 2.
Gọi
E
làtrungđiểm
AC
.
Tacó
2 1
2 0
3 3
MS MC AM AS AC
+ = = +
.
Dễchứngminhđược
AC SBE
nên
AC SB
.
cos ASB
=
SA
2
+ SB
2
- AB
2
2SA.SB
=
7
9
Dođó
2
2 1 2 2 2 7
. . . . . .cos , .9 .9 . 42 .
3 3 3 3 3 9
AM SB AS AC SB AS SB AS SB AS SB a a a
-
= + = = = = -
Vậy
.
42 14
cos( ; )
.
4 3.9 3 48
AM SB
AM SB
AM SB
= = =
.
Câu 72. Chọn. B.
Kẻ
( , ) ( , )OM SC SC BD OM BD
Þ =
Tacó
ABCD
làhìnhchữnhậtcó
AB a=
,
3BC a
=
2AC BD aÞ = =
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 44
2
BD
BO a= =
,
2 2
5
2 2 2
SC SA AC a
OM
+
= = =
,
2 2
5
.
2
a
BM SA AB= + =
2 2 2
5
cos( )
2 . 5
OM BO BM
MOB
OM BO
+ -
= =
Þ
5
cos( , )
5
SC BD
=
.
Câu 73. ChọnC
Gọi
P
làtrungđiểm
AC
,tacó
//PM CD
và
//PN AB
,suyra
, ,
AB CD PM PN
=
.
Dễthấy
PM PN a= =
.
Xét
PMN
tacó
2 2 2 2 2 2
3 1
cos
2 . 2. . 2
PM PN MN a a a
MPN
PM PN a a
+ - + -
= = = -
0 0 0 0
120 , 180 120 60
MPN AB CDÞ = Þ = - =
.
Câu 74.
Gọi
H
làtrungđiểm
SB
tacó
/ /SC HI
Gócgiữađườngthẳng
AI
và
SC
bằnggócgiữađườngthẳng
AI
và
HI
2 2
1 2
2 2 2
AB SA a
AH SB
2
2 2 2
3
2 2
a
AI AB BI a a
2 2 2 2
3a
2 2 2
SC SA AC a
HI a
2 2 2
AI AH HI
suyratamgiác
AHI
vuôngtại
H
H
I
C
B
A
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 45
2
cos
3
HI
AIH
AI
Côsincủagócgiữađườngthẳng
AI
và
SC
là
2
cos
3
AIH
Câu 75. ChọnC
Gọi
P
làtrungđiểmcủa
AC
,tacó:
//MP AB
,
//PN CD
và
2
a
MP PN
= =
.
Do
//MP AB
và
//PN CD
nêngócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
CD
bằnggócgiữahaiđườngthẳng
MP
và
PN
.
Xéttamgiác
MPN
,có
2 2 2
cos
2. .
MP PN MN
MPN
MP PN
+ -
=
1
2
= -
120
MPN
Þ =
.
Vậygócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
CD
bằng
60
.
Câu 76. ChọnD
Gọi
E
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
BD
.Vì
||
||
AB NE
CD ME
nêngócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
CD
bằnggócgiữahaiđườngthẳng
NE
và
ME
.
Trongtamgiác
MNE
tacó:
2 2 2
2 2 2
2
3
1
4 4 4
cos
2 . 2
2.
4
a a a
ME NE MN
MEN
a
ME NE
+ -
+ -
= = = -
Suyra
120
MEN
=
.Vậygócgiữahaiđườngthẳng
AB
và
CD
là
60
.
P
M
N
A
C
B
D
E
N
M
C
B
D
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 46
Câu 77. ChọnD
Đặt
3
2
CD AD a AC a
= = Þ =
.
Tacó:
.
cos ,
| | .| |
AB DC
AB DC
AB DC
=

. .
AB DC AB AC AD
= -

. .AB AC AB AD
= -
. .cos . .cos
AB AC BAC AB AD BAD
= -
3
. .cos60 . .cos 60 .
2 4
a a
AB AB a AB
= - =
Nên
.
. 1
4
cos ,
. 4
| | .| |
a
AB
AB DC
AB DC
AB a
AB DC
= = =

Vì
cos( , ) cos ,
AB CD AB DC
=
Vậy
1
cos( , )
4
AB CD
=
.
Câu 78. ChọnC
Gọi
, ,M N P
lầnlượtlàtrungđiểmcủa
, ,BC SB SA
.
Gócgiữa
AB
và
SC
làgócgiữa
PN
và
MN
.
2
a
MN NP
= =
2 2
3
2
a
PC BP PM PC CM
= = Þ = -
2 2
3 2
2 2 2
a a a
= - =
Suyratamgiác
MNP
làtamgiácđều
60
MNP
Þ =
.
Vậygócgiữa
AB
và
SC
bằng
60
.
Câu 79. ChọnA
E
N
M
F
E
D
C
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 47
Gọi
, ,M N E
lầnlượtlàtrungđiểmcácđoạnthẳng
, ,BC CF AB
.
Khiđó:
/ /
; ;
/ /
MN BF
AC BF MN ME
ME AC
Þ =
.
Tínhgóc
EMN
.
Xéttamgiác
MNE
,tacó:
2 2 2 2
1 1 1 5
4
2 2 2 2
a
MN BF BC CF a a= = + = + =
1
2 2
a
ME AC
= =
,
3
2
a
EC =
2
2 2 2
3 7
4 2
a a
NE EC NC a= + = + =
Suyra:
2 2 2
2 2 2
5 7
1
4 4 4
cos
2 .
5 2 5
2. .
2 2
a a a
ME MN EN
EMN
ME MN
a a
+ -
+ -
= = = -
Vậy
5
cos ; cos
10
AC BF EMN= =
Câu 80. ChọnB
Gọi
N
làtrungđiểmcủa
AC
.Khiđó,
AB MN
nên
, ,
DM AB DM MN
=
.
Dễdàngtínhđược
3
2
a
DM DN= =
và
2
a
MN
=
.
Trongtamgiác
DMN
,tacó
2
2 2 2
3
4
cos
2 . 6
3
2
2 2
a
DM MN DN
DMN
DM MN
a a
+ -
= = =
.
a
a
a
N
M
A
B
C
D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 48
Vì
3
cos 0
6
DMN
=
nên
3
cos ,
6
DM MN =
.
Vậy
3
cos ,
6
DM AB =
.
Câu 81. ChọnD
Gọi
, ,M N P
lầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnh
, ,
BC AC AD
.
Trong
ABC
,có
//
1 1
2 2
MN AB
MN AB
= =
(Tínhchấtđườngtrungbình)
Trong
ACD
,có
//
1 2
2 2
NP CD
NP CD
= =
(Tínhchấtđườngtrungbình)
Trong
AMP
,có
2
2
2 2
1 2 3
2 2 2
MP AP AM
= + = + =
.
Tacó
//
; ;
//
MN AB
AB CD MN NP MNP
NP CD
Þ = =
ÁpdụngđịnhlýCosincho
MNP
,có
2 2
2
2 2 2
2 1 3
2 2 2
cos 0
2 .
2 1
2. .
2 2
NP NM MP
MNP
NP NM
+ -
+ -
= = =
90
MNP
Þ =
Hay
; 90
AB CD
=
.
Câu 82. ChọnA
P
N
M
1
1
1
D
C
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 49
Giảsửtứdiệnđều
ABCD
cócạnhbằng
a
tacó:
3
2
a
DM =
.
Talạicó:
.
cos ,
.
AB DM
AB DM
AB DM
=
. .
3
.
2
AB DB AB BM
a
a
+
=
. .cos60 . .cos120
3
.
2
a a a a
a
a
+
=
3
6
=
.
Vậy
3
cos ,
6
AB DM =
.
DẠNG3.HAIĐƯỜNGTHẲNGVUÔNGGÓC
Câu 83. ChọnB
Trongkhônggian,cóvôsốđườngthẳngquamộtđiểmchotrướcvàvuônggócvớimộtđường
thẳngchotrước.VìvậychọnđápánB
Câu 84. ChọnD
Suyratừtínhchất
1
theoSGKhìnhhọc
11
trang
100
.
Câu 85. Sửdụngđịnhlí
.
//
a b
a c
b c
Þ
Câu 86. ChọnD
TheokiếnthứcSGKcóbốnvịtrítươngđốicủahaiđườngthẳngmànếuhaiđườngthẳngtrùng
nhauhoặcsongsongthìchúngkhôngvuônggócvớinhaudođónếu
a b
thì
a
và
b
cắtnhau
hoặcchéonhau.
Câu 87. ChọnD
Quamộtđiểm
O
chotrướccóvôsốđườngthẳngvuônggócvớimộtđườngthẳngchotrước.Các
đườngthẳngnàycùngnằmtrênmặtphẳngqua
O
vàvuônggócvớiđườngthẳngấy.
VậyDsai.
Câu 88.
Hướngdẫngiải
ChọnC
Trongkhônggian,haiđườngthẳngphânbiệtcùngvuônggócvớimộtđườngthẳngthìcóthể
songsonghoặcchéonhau.
ĐápánCchỉđúngtrongmặtphẳng.
Câu 89. ChọnB
ĐápánAsaidohaiđườngthẳngphânbiệtcùngvuônggócvớimộtđườngthẳngcóthểcắtnhau
hoặcchéonhau.
D
C
B
A
M
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 50
Vídụ:Cholậpphương
.ABCD A B C D
tacó
AA AB
AD AB
.Dễthấy
AA
và
AD
cắtnhau.
ĐápánCsaidohaimặtphẳngcùngvuônggócvớimộtđườngthẳngcóthểtrùngnhau.
ĐápánDsaidotrongkhônggianhaiđườngthẳngkhôngcóđiểmchungthìcóthểchéonhau.
Câu 90. ChọnA
Vìhìnhhộp
.
ABCD A B C D
cótấtcảcáccạnhđềubằngnhaunêncáctứgiác
ABCD
,
A B BA
,
B C CB
đềulàhìnhthoinêntacó
AC BD
mà
//AC A C
Þ A C BD
(Bđúng).
A B AB
mà
//AB DC
Þ A B DC
(Cđúng).
BC B C
mà
//B C A D
Þ BC A D
(Dđúng).
Câu 91. ChọnA
Tacó:
/ /A D B C
,
B C BC
A D BC
Þ
Câu 92. ChọnD
B'
B
D'
C'
A'
C
A
D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương:https://www.facebook.com/phong.baovuong 51
Tacótamgiác
SAC
cântại
S
và
SO
làđườngtrungtuyếncũngđồngthờilàđườngcao.
Dođó
SO AC
.
Trongtamgiácvuông
SOA
thì
AC
và
SA
khôngthểvuôngtại
A
.
| 1/51
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 TOÁN 11 1H3-2
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Contents
A. CÂU HỎI .................................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. GÓC CỦA HAI VÉCTƠ ................................................................................................................................. 1
DẠNG 2. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG ................................................................................................................. 3
DẠNG 3. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC ......................................................................................................... 11
B. LỜI GIẢI ................................................................................................................................................................... 13
DẠNG 1. GÓC CỦA HAI VÉCTƠ ............................................................................................................................... 13
DẠNG 2. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG ............................................................................................................... 18
DẠNG 3. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC ......................................................................................................... 49 A. CÂU HỎI
DẠNG 1. GÓC CỦA HAI VÉCTƠ Câu 1.
(SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Cho hình chóp S.ABC có BC = a 2 , các cạnh còn lại đều  
bằng a . Góc giữa hai vectơ SB và AC bằng A. 60 . B. 120 . C. 30 . D. 90 . Câu 2.
Cho tứ diện ABCD có  
CAB = DAB = 60O , AB = AD = AC (tham khảo như hình vẽ bên).
Gọi  là góc giữa AB và CD . Chọm mệnh đề đúng? 1 3 A. 60O  = . B. cos = . C. 90O  = . D. cos = . 4 4   Câu 3.
Cho hình lập phương ABC . D A BCD   . Tính os c
BD, AC     A. os c
BD, AC = 0. B. os c
BD, AC =1.     C. c
BD AC 1 os , = . D. c
BD AC 2 os , = . 2 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 4. Cho hình chóp .
O ABC có ba cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a . Gọi  
M là trung điểm cạnh AB . Góc tạo bởi hai vectơ BC và OM bằng A. 135 . B. 150 . C. 120 . D. 60 . Câu 5.
(Trường THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên, năm 2019) Cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A ' B 'C ' D ', biết đáy ABCD là hình vuông. Tính góc giữa A'C và B . D B' C' A' D' C B A D A. 0 90 . B. 0 30 . C. 0 60 . D. 0 45 . Câu 6.
(Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam
giác đều. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD . A. 90 . B. 30 . C. 120 . D. 60 . Câu 7.
(THPT Trần Phú - Lần 1 - 2018-2019) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Giá trị tích vô   
hướng AB AB CA bằng 2 a 2 a 2 2 a 3 2 3a A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Câu 8.
Cho hình lăng trụ tam giác đều AB . C A BC
  có tất cả các cạnh đều bằng a , cosin góc giữa hai
đường thẳng AB và BC bằng 1 2 1 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 2 4 Câu 9. Cho hình chóp .
O ABC có ba cạnh O ,
A OB, OC đôi một vuông góc và OA OB OC a . Gọi  
M là trung điểm cạnh AB . Góc hợp bởi hai véc tơ BC và OM bằng A. 120º . B. 150º . C. 135º . D. 60º .
Câu 10. Cho hình lăng trụ AB . C A BC
  có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác A BC đều nằm
trong mặt phẳng vuông góc với  ABC . M là trung điểm cạnh CC . Tính cosin góc  giữa hai
đường thẳng AA và BM . 2 22 33 11 22 A. os c  = . B. o c s = . C. os c  = . D. os c  = . 11 11 11 11
Câu 11. Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , AD . Biết AB = 2a , CD = 2a 2
và MN = a 5. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là A. 60 . B. 30 . C. 90 . D. 45 .
Câu 12. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và góc  CAB = 30 .
 Côsin góc tạo bởi hai đường thẳng AB và SC gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 0,83. B. 0, 37. C. 0, 45. D. 0, 71.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 13. (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên  
và cạnh đáy đều bằng a và ABCD là hình vuông. Gọi M là trung điểm của C .
D Giá trị MS.CB bằng 2 a 2 a 2 a 2 2a A. . B. - . C. . D. . 2 2 3 2
Câu 14. (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC ,  
SAC = SAB . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và BC. A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 .
DẠNG 2. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 15. (Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Cho hình lập phương ABC .
D A' B 'C ' D '. Tính góc giữa
hai đường thẳng AC và A ' . B A. 60 B. 45 C. 75 D. 90
Câu 16. (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương ABC . D AB CD
  . Góc giữa hai đường thẳng BA và CD bằng: A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 .
Câu 17. (THPT Chuyên ĐH Vinh-GK1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình chữ nhật với AB = 2a , BC = a . Các cạnh bên của hình chóp cùng bằng a 2 . Tính góc giữa
hai đường thẳng AB và SC . A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. arctan 2 .
Câu 18. (THPT CHUYÊN NGỮ - HÀ NỘI - 2018) Cho hình lập phương ABC . D AB CD   . Góc giữa
hai đường thẳng AC và BD bằng. A. 60 . B. 30 . C. 45 . D. 90 .
Câu 19. (THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương ABC . D AB CD
  , góc giữa hai đường thẳng A B  và B C  là A. 90 . B. 60 . C. 30 . D. 45 .
Câu 20. (THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho hình lăng trụ đều ABC.AB C   có cạnh
đáy bằng 1, cạnh bên bằng 2 . Gọi C là trung điểm của CC . Tính côsin của góc giữa hai đường 1
thẳng BC và AB . 1 2 2 2 2 A. . B. . C. . D. . 6 4 3 8
Câu 21. (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) Cho tứ diện đều ABCD . Số đo góc giữa hai đường
thẳng AB và CD là A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 30 .
Câu 22. (THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều
bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc  IJ , CD bằng: A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 .
Câu 23. (CHUYÊN VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình lập phương ABC . D AB CD
  (hình vẽ bên dưới).
Góc giữa hai đường thẳng AC và AD bằng
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 .
Câu 24. (SGD Nam Định) Cho hình lập phương ABC . D AB CD
  cạnh a . Gọi M là trung điểm của
CD và N là trung điểm của A D
  . Góc giữa hai đường thẳng B M  và C N  bằng A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .
Câu 25. Cho tứ diện OABC có OA OB OC  ; a O , A O ,
B OC vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi
I là trung điểm BC . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và OI . A. 45 . B. 30 . C. 90 . D. 60 .
Câu 26. Cho hình hình lăng trụ AB . CD AB CD
  có đáy là hình chữ nhật và  0
CAD  40 . Số đo góc giữa
hai đường thẳng AC và B D   là A. 0 40 . B. 0 20 . C. 0 50 . D. 0 80 .
Câu 27. (Chuyên Đại học Vinh - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho hình lập phương ABC .
D A ' B 'C ' D ' có I , J lần lượt là trung điểm của BC và BB ' . Góc giữa hai đường thẳng
AC và IJ bằng A. 0 45 . B. 0 60 . C. 0 30 . D. 0 120 .
Câu 28. (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho hình lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' . Góc giữa hai đường
thẳng AC và D A bằng A. 60 . B. 45 . C. 90 . D. 120 .
Câu 29. Cho hình lập phương ABC . D AB CD
  . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và A C   . A. 60 . B. 45 . C. 30 . D. 90 .
Câu 30. Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  . Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 60 . B. 45 . C. 30 . D. 90 .
Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , SA = a 3 và SA BC . Góc giữa hai
đường thẳng SD và BC bằng A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 30 .
Câu 32. Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  (hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng AC và AD bằng
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A. 30 . B. 60 . C. 90 . D. 45 .
Câu 33. Cho hình lăng trụ đều AB .
CD A' B 'C ' D ' có tất cả các cạnh bằng a . Góc giữa hai đường thẳng
BC ' và B ' D ' bằng A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 60 . D. 0 90 .
Câu 34. Cho tứ diện ABCD có AB CD  2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Biết
MN  3a , góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 30 .
Câu 35. (Thi giữa kì II - 1819 Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có
có đáy là hình vuông cạnh 2a ; cạnh SA = a và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm CD .
Tính cos với  là góc tạo bởi SB và AM . 2 1 2 4 A. - . B. . C. . D. . 5 2 5 5
Câu 36. (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng, lần 1) Cho hình lăng trụ tam giác đều AB . C A BC   có
AB = a và AA = a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và BC bằng A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 .
Câu 37. (Tham khảo 2018) Cho tứ diện OABC có O , A O ,
B OC đôi một vuông góc với nhau và
OA = OB = OC . Gọi M là trung điểm của BC ( tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai
đường thẳng OM và AB bằng A. 0 90 . B. 0 30 . C. 0 60 . D. 0 45
Câu 38. Cho hình lập phương . ABCD AB CD
  ; gọi M là trung điểm của B C
  . Góc giữa hai đường
thẳng AM và BC bằng A. 45 . B. 90 . C. 30 . D. 60 .
Câu 39. [THPT NINH BÌNH-BẠC LIÊU-2019] Cho hình lập phương ABC . D AB CD   . Gọi M là
trung điểm của DD (Tham khảo hình vẽ). Tính cô-sin của góc giữa hai đường thẳng B C  và C M
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 1 1 1 2 2 A. . B. . C. . D. . 10 3 3 9
Câu 40. Cho tứ diện ABCD . Gọi P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , AD . Giả sử a 3
AB = CD = a và PQ =
. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 2 A. 0 90 . B. 0 45 . C. 30. D. 0 60 .
Câu 41. (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có
SA = SB = SC = AB = AC = a , BC = a 2 . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AB và SC ta được kết quả: A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 .
Câu 42. (THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a .
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AD . Biết MN = a 3 . Tính góc giữa AB và CD . A. 45 . B. 30 . C. 90 . D. 60 .
Câu 43. (THPT NGUYỄN HUỆ - NINH BÌNH - 2018) Cho hình lập phương ABC . D AB CD   . Gọi M
trung điểm các cạnh CD . cosin của góc giữa AC và C M  là 2 1 10 A. 0 . B. . C. . D. . 2 2 10
Câu 44. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a = 4 2cm ,
cạnh bên SC vuông góc với đáy và SC = 2cm . Gọi M , N là trung điểm của AB và BC . Góc
giữa hai đường thẳng SN và CM là A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 .
Câu 45. (SGD - HÀ TĨNH - HK 2 - 2018) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.MNP có tất cả các cạnh bằng
nhau. Gọi I là trung điểm cạnh AC . Cosin của góc giữa hai đường thẳng NC và IB bằng 6 10 6 15 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 5
Câu 46. (ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a . Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Xác định độ dài đoạn thẳng MN để góc giữa
hai đường thẳng AB và MN bằng 30 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 a a 3 a 3 a A. MN = . B. MN = . C. MN = . D. MN = . 2 2 3 4
Câu 47. (THPT CHUYÊN NGUYỄN THỊ MINH KHAI - SÓC TRĂNG - 2018) Cho hình lập phương
trình ABCD.AB CD
  . Gọi M là trung điểm của DD (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính
côsin của góc giữa hai đường thẳng B C  và C M  . 2 2 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 9 10 3 3
Câu 48. (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Cho lăng trụ đều ABC.AB C
  có AB = 1, AA = 2 .
Tính góc giữa AB và BCA. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 120 . D. 0 60 .
Câu 49. (SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU - 2018) Cho hình chóp S.ABC có SA , SB , SC vuông góc với nhau
đôi một và SA = SB = SC . Gọi M là trung điểm của AC . Góc giữa SM và AB bằng: A. 0 60 . B. 0 30 . C. 0 90 . D. 0 45 .
Câu 50. (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh
SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC là? A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 30 .
Câu 51. (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ SỐ 5) Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = 1 , BC =
2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB , SC . A. 45 . B. 120 . C. 30 . D. 60 .
Câu 52. (XUÂN TRƯỜNG - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Tính cosin
góc giữa hai đường thẳng AB và CI , với I là trung điểm của AD .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 3 1 3 3 A. . B. . C. . D. . 6 2 4 2
Câu 53. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có SA = a ,   
SB = 2a , SC = 3a , ASB = BSC = 60 , CSA = 90 . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng SA và BC . Tính cos . 7 7 2 A. cos = . B. cos = - . C. cos = 0 . D. cos = . 7 7 3
Câu 54. (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 3 - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.AB C   có
AB = a và AA =
2 a . Góc giữa hai đường thẳng AB và BC bằng A C B A' C' B' A. 60 . B. 45 . C. 90 . D. 30 .
Câu 55. (KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD có DA = DB = DC = AC = AB = a , 
ABC = 45 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và DC . A. 60 . B. 120 . C. 90 . D. 30 .
Câu 56. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD , BB . Cosin của góc hợp bởi MN và AC ' bằng 3 2 5 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 4
Câu 57. (CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình chữ nhật, AB = 2a , BC = a . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là
trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 0 60 . Tính cosin góc
giữa hai đường thẳng SB và AC 2 2 2 2 A. . B. . C. . D. . 7 35 5 7
Câu 58. (THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = 1 ;  BAC = 60 ;  BAD = 90 ; 
DAC = 120 . Tính côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng AG và CD ,
trong đó G là trọng tâm tam giác BCD . 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 3 6 3
Câu 59. (THPT NGUYỄN TRÃI - ĐÀ NẴNG - 2018) Cho hình vuông ABCD cạnh 4a , lấy H , K lần
lượt trên các cạnh AB, AD sao cho BH = 3H ,
A AK = 3KD . Trên đường thẳng vuông góc với
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
mặt phẳng  ABCD tại H lấy điểm S sao cho 
SBH = 30 . Gọi E là giao điểm của CH và BK
. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SE và BC . 28 18 36 9 A. . B. . C. . D. . 5 39 5 39 5 39 5 39
Câu 60. (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN 3 - 2018) Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các
cạnh đều bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc giữa hai
đường thẳng MN và SC là A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 .
Câu 61. (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Cho hình lập phương ABC . D
A BCD . Gọi
M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CD . Xác định góc giữa hai đường thẳng
MN và AP . A. 60 . B. 90 C. 30 . D. 45 .
Câu 62. (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = a . Gọi M là trung điểm SB . Góc giữa AM và BD là A. 60 . B. 30 . C. 90 . D. 45 .
Câu 63. (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018) Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh BC . Tính
giá trị của cos  AB, DM  . 3 3 1 2 A. . B. . C. . D. . 2 6 2 2
Câu 64. Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, BC,C D   .
Xác định góc giữa MN và AP . A. 60 . B. 30 . C. 90 . D. 45
Câu 65. Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , SA = a 3 và SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Cosin của góc giữa hai đường thẳng SB và AC là 3 2 5 5 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 5
Câu 66. (Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Cho tứ diện ABCD có AC = 3a, BD = 4a . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm AD và BC . Biết AC vuông góc BD . Tính MN . 5a 7a a 7 a 5 A. MN = . B. MN = . C. MN = . D. MN = . 2 2 2 2
Câu 67. Cho hình lăng trụ ABC . D AB CD
  có đáy là hình chữ nhật và 
CAD = 40 . Số đo góc giữa hai
đường thẳng AC, B D   là A. 40 B. 20 . C. 50 . D. 80 .
Câu 68. Cho hình lập phương ABC .
D A ' B 'C ' D ' có cạnh bằng .
a Góc giữa hai đường thẳng CD ' và A 'C ' bằng. A. 0 30 . B. 0 90 . C. 0 60 . D. 0 45 .
Câu 69. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a ; AD = a 2 ; SA = 2a
; SA   ABCD . Tính côsin góc giữa hai đường thẳng SB và AC . 3 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 5 15 5
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 70. Cho hình lập phương ABC . D AB CD
  . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và AD . 0 0 0 0 A. 90 . B. 60 . C. 45 . D. 30
Câu 71. Cho hình chóp đều S.ABC có SA = 9a , AB = 6a . Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho 1 SM =
MC . Côsin của góc giữa hai đường thẳng SB và AM bằng 2 7 1 19 14 A. . B. . C. . D. . 2 48 2 7 3 48
Câu 72. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA  ( ABCD) , SA = a, AB = a ,
BC = a 3 . Tính cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng SC và BD . 3 5 3 3 A. . B. . C. . D. . 10 5 5 10
Câu 73. (Chuyên Tự Nhiên Lần 1 - 2018-2019) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm AD và BC . Biết MN = a 3 , góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng. A. 0 45 . B. 0 90 . C. 0 60 . D. 0 30 .
Câu 74. Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và tam giác ABC vuông tại B , SA , a AB ,
a BC a 2 .Gọi I là trung điểm BC . Côsin của góc giữa đường thẳng AI và SC là? 2 2 2 2 A. B. C. D. 3 3 3 8
Câu 75. (Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho tứ diện ABCD gọi M , N lần lượt là trung điểm a 3
của BC và AD . Biết AB = CD = a , MN =
. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD . 2 A. 0 30 . B. 0 90 . C. 0 60 . D. 0 120 .
Câu 76. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , AD . Biết AB = CD = a và a 3 MN =
. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 2 A. 30 . B. 90 . C. 120 . D. 60 . 3
Câu 77. Cho tứ diện ABCD với   AC =
AD, CAB = DAB = 60 ;  CD = A .
D Gọi  là góc giữa hai đường 2
thẳng AB và CD . Chọn khẳng định đúng về góc  .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 3 1 A. cos = .
B.  = 30 . C.  = 60 . D. cos = . 4 4
Câu 78. Cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a; BC = a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng A. 0 . B. 120 . C. 60 . D. 90 .
Câu 79. Cho lăng trụ đều ABC.DEF có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2a . Tính cosin của góc tạo bởi
hai đường thẳng AC và BF . 5 3 5 3 A. B. C. D. 10 5 5 10
Câu 80. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi M là trung điểm của BC . Tính cô-sin của góc giữa hai
đường thẳng AB và DM ? 3 3 3 1 A. . B. . C. . D. . 2 6 3 2
Câu 81. (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD có AB , AC , AD đôi một
vuông góc với nhau, biết AB = AC = AD = 1 . Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 .
Câu 82. (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm
của cạnh BC . Khi đó cos  AB, DM  bằng: 3 2 3 1 A. . B. . C. . D. . 6 2 2 2
DẠNG 3. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Câu 83. (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Trong không gian, cho đường thẳng d và điểm
O . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với đường thẳng d ? A. 3. B. vô số. C. 1. D. 2.
Câu 84. Trong không gian cho trước điểm M và đường thẳng  . Các đường thẳng đi qua M và vuông góc với  thì:
A. vuông góc với nhau. B. song song với nhau.
C. cùng vuông góc với một mặt phẳng.
D. cùng thuộc một mặt phẳng.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 85. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 1 - 2018) Trong không gian, cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
B. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau
C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
D. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Câu 86. Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, ,
b c phân biệt và mặt phẳng  P . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu a c và  P  c thì a //  P .
B. Nếu a c và b c thì a // b .
C. Nếu a b và b c thì a c .
D. Nếu a b thì a và b cắt nhau hoặc chéo nhau.
Câu 87. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
B. Qua một điểm O cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng  cho trước.
C. Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mặt phẳng chứa
đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
D. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Câu 88. (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai
A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
Câu 89. (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
B. Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
C. Trong không gian hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D. Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Câu 90. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Trong hình hộp ABC . D
A BCD có tất cả
các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. BB BD . B. A C  BD . C. A B DC . D. BC   A D .
Câu 91. Cho hình lập phương ABC . D AB CD
  . Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng BC ? A. A D  . B. AC . C. BB . D. AD .
Câu 92. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O và SA = SC , SB = SD . Trong các mệnh đề
sau mệnh đề nào sai?
A. AC SD .
B. BD AC .
C. BD SA .
D. AC SA.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 B. LỜI GIẢI
DẠNG 1. GÓC CỦA HAI VÉCTƠ S A C B Câu 1.  
  
    2 a   - + 0 SB AC
SA+ AB.AC . SA AC + . AB AC 1 Ta có SB AC . cos , =   = = 2 = = - . 2 2 2 SB . AC a a a 2  
Vậy góc giữa hai vectơ SB và AC bằng 120 . Câu 2. Chọn C
   
   .
AB CD = AB AD - AC = AB AD - . AB AC   = . AB AD cos DAB - .
AB AC.cos CAB = 0 . Þ  = 90O . Câu 3. Chọn A  
BD AC || AC Þ BD A C   Þ os c
BD, AC = 0 . Câu 4. Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A M C O B  1   OM = OA+  OB 2   1 a Ta có 2  2
Þ OM .BC = - OB = -
   . 2 2 BC = OC -  OB 2 2 1 1 a 2
BC = OB + OC = a 2 và 2 2 OM = AB = OA + OB = . 2 2 2 2   a -   OM .BC 1   Do đó: OM BC 2 cos , = = = -
Þ OM.BC =120 . OM .BC a 2 2 .a 2 2 Câu 5. Chọn A
     
Đặt A' B ' = a, A ' D ' = b, A' A = c, AB = . x
      
A 'C = A' B ' + A ' D ' + A ' A = a + b + c .
    
BD = AD - AB = b - a .                  2 2
A'C.BD = (a + b + c).(b - a) = .
a b - (a) + (b) - . b a + . c b - . c a .   2 2
= 0 - x + x - 0 + 0 - 0 = 0 . (Vì ABCD là hình vuông nên a = b = x ).  
Vậy A'C  BD hay góc giữa A'C và BD bằng 0 90 . Câu 6. Chọn A
Gọi M là trung điểm của AB .
Vì hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều nên CM A , B DM AB .
    
    Khi đó A . B CD = A .(
B CM + MD) = AB.CM + AB.MD = 0 .
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 90 . Câu 7. Chọn D
  
         2
Ta có: ABABC A A . B AB A .
B AC AB AB . AC .cosAB, AC  a aAB A .
B AC.cosBAC 2 2 3 2 2 0 2  a  . a .
a cos 60  a   . 2 2 Câu 8. Chọn A
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A C B A' C' B' 
            1
Đặt AA = a, AB = b, AC = c theo giả thiết ta có: 2
a = b = c = a, ab = ac = 0, bc = a . 2   Có ABB A   và BCC B
  là các hình vuông nên AB = BC = a 2 .   
     
Mà AB = a + b và BC = AC - AB = a + c - b suy ra   1 2 2 2   . a + a - a ABBC 2 1
cos  AB , BC = cos  AB , BC =   = = . ABBCa 2.a 2 4 Câu 9. Chọn A A M I O B C  
Gọi I là trung điểm của AC ta có góc hợp bởi hai véc tơ BC và OM bằng 180 trừ đi góc tạo bởi  
hai véc tơ MI và MO BC a 2
Ta có: BC a 2 MI   2 2 a 2
Tam giác OAB vuông cân tại O nên: OM  . 2 a 2
Tam giác OAC vuông cân tại O nên: OI  . 2  
Suy ra góc tạo bởi hai véc tơ MI và MO bằng 60  
Suy ra góc hợp bởi hai véc tơ BC và OM bằng 120
Câu 10. Chọn B.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A' C' B' M A C H B a 3
Ta có: AH = AH =
và AH BC, AH BC Þ BC   AA H
  Þ BC AA hay 2
BC BB . Do đó: BCC B
  là hình chữ nhật. a 3 a 6 2 a .6 22
Khi đó: CC = AA = . 2 = 2 Þ BM = a + = a . 2 2 16 4
     2 3a
Xét: AA .BM = AA .BC + CM  = 0 + AA .CM = . 4 2 3a 4 33
Suy ra cos  AA , BM  = = . a 6 a 22 11 . 2 4
Câu 11. Chọn D
   
   
Ta có: MN = MB + BA + AN và MN = MC + CD + DN . Suy ra         
2MN = MB + MC + BA + CD +  AN + DN  = BA + CD (Vì M là trung điểm BC và N là trung điểm AD ).           2 2 2 2 2 2 1
Khi đó: 4MN = BA + CD + 2B . A CD B . A CD =
4MN -BA -CD  2 = 4a . 2   B . A CD 2
Do vậy ta có: cos  AB,CD =   = . BA . CD 2
Vậy, số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 45 . 
Câu 12. Chọn B
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S a a a a A C a B 2 2
    
    a a 3 +) Ta có: A .
B SC = AB SA + AC  = A . B SA + A . B AC = . a . a cos120 + . a . a cos 30 = - + 2 2 2 2   a a 3   A . B SC - + 1 - + 3 +) Do đó: AB SC 2 2 cos , = = =  0.37. Chọn B. 2 A . B SC a 2
Câu 13. Chọn A
Do tất cả các cạnh của hình chóp bằng nhau nên hình chóp S.ABCD là hình chóp đều
SO  ( ABCD) Þ  . AC BD
Do M là trung điểm của CD nên ta có:
   1  1 
     
MS = OS - OM = - OC - OD + OS , CB = OB - OC = O - D - OC . 2 2
  
Do OC; OS; OD đôi một vuông góc với nhau nên ta có: 2   1 1 a 2 2 2 MS.CB = OC + OD = OC = 2 2 2 S A D M O B C
Câu 14. Chọn D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S A C H B Cách 1:
    
   
Ta có AS BC = AS AC - AB   . .
= AS.AC - AS.AB = AS.AC.cos SAC - AS. . AB cos SAB = 0.
Do đó số đo của góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 90 . 
DẠNG 2. GÓC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 15. Chọn A Do A B
CD là hình bình hành nên AB//D C
 . Suy ra góc giữa hai đường thẳng AC và AB
bằng góc giữa hai đường thẳng AC và D C
 và đó chính là góc 
ACD = 60 (do  ACD ' đều). ADBCA D Câu 16. B C
Có CD AB Þ  BACD =  BABA  // , ,
= ABA = 45 (do ABB A   là hình vuông).
Câu 17. Chọn A S A D M B C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Ta có AB//CD nên  AB SC  = CD SC  ; ; = SCD .
Gọi M là trung điểm của CD . Tam giác SCM vuông tại M và có SC = a 2 , CM = a nên là
tam giác vuông cân tại M nên  SCD = 45 . Vậy   ; AB SC  = 45 . Câu 18. Ta có: 
AC ;BD 
=  AC; BD = 90 C B D A C' B' D' A' Câu 19.  Ta có B C  // A D  Þ  AB B C  
 = AB AD  ; ; = DA B  . Xét DA B  có A D  = A B  = BD nên DA B  là tam giác đều.  Vậy DA B  = 60 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 20. Ta có A B   // AB
Þ BC , AB 
= BC , AB  = ABC . 1 1 1 2 2 2
AB + BC - AC 2
Tam giác ABC có AB = 1; AC = BC = 2 và 1 1 cos B =  cos B = . 1 1 1 2 . AB BC 4 1 Câu 21.
    
    2 2 a a Đặt AB = a , .
AB CD = AB CB + BD = . BA BC - . BA BD = -
= 0 Þ AB CD . 2 2 S I A D B C Câu 22. J
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 IJ // SB  Ta có  Þ  IJ CD  = SB AB   , , = SBA = 60 CD // AB
(vì tam giác SAB là tam giác đều cạnh a ). Câu 23.
Ta có:  AC AD
 = ACAD   , ,
= DAC = 60 .
Vì AD = AC = C D  .
Câu 24. Chọn D
Gọi I là trung điểm của C D
  khi đó IB là hình chiếu vuông góc của B M
trên  AB CD
  . Mặt khác ta có      IB C   + NC B   = NC D   + NC B   = B CD   = 90 Þ C N
IB Do đó C N   B M  . Vậy góc giữa B M  và C N  bằng 90 .
Câu 25. Chọn D A P M N O C I B D
Vì tứ diện OABC có OA OB OC  ; a O ,
A OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một nên ta
có thể dựng hình lập phương AMN .
P OBDC như hình vẽ với I là trung điểm BC nên
I OD BC .
Cạnh của hình lập phương trên bằng a nên AB AN NB a 2 vậy tam giác ABN đều.
Dễ thấy OI / / AN nên góc giữa hai đường thẳng AB và OI bằng góc giữa AB và AN bằng 60 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 26. Chọn D B' A' D' C' A B O D C  Ta có BD / /B D
  AC;B D   
 AC;BD.
Gọi O AC BD . Vì  0   0
CAD  40  OAB OBA  50  0  AOB  80  Vậy AC B D   0 ;  80 .
Câu 27. Chọn B B I C A D J C' B' A' D'
Vì IJ // B 'C nên  IJ, AC =  B'C, AC .
Mà AC, AB ',CB ' là đường chéo của các hình vuông bằng nhau nên AC = AB ' = CB ' . Þ A
CB ' đều. Vậy  IJ AC =  B C AC  0 , ' , = ACB ' = 60 .
Câu 28. Chọn A
Ta có AC // A'C ' nên góc giữa hai đường thẳng AC và DA' bằng góc giữa hai đường thẳng A'C ' và DA' .
Mà A'C ' = DA' = DC ' (các đường chéo của hình vuông). Suy ra A
 'C ' D là tam giác đều 
Þ A 'C ' D = 60 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Vậy góc giữa hai đường thẳng AC và DA' bằng 60 .
Câu 29. Chọn A A B D C A' B' D' C'
Giả sử hình lập phương ABC . D A BCD
  có cạnh là a .
Do AC AC nên  AB , A C
  =  AB , AC .
Ta có: AB = AC = CB = a 2 Þ Tam giác AB C  đều nên  CAB = 60 .
Þ  ABAC =  ABAC   , , = CAB = 60 .
Câu 30. Chọn D A' D' C' B' A D B C Ta có: C D  // AB . 
Þ  AB ,CD  = C D
 , CD = 90 (vì CDD C
  là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc).
Câu 31. Chọn B
AD / / BC , SA BC Þ SA AD hay S
AD vuông tại A . AD
BC SD AD = D Þ SD BC   = SD AD   / / , , , = SDA . SA S
AD vuông tại A Þ   tan SDA = = 3 Þ SDA = 60 . AD
Câu 32. Chọn A
Gọi cạnh hình lập phương là a .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Ta có  AC AD =  ACAD  , , = C A  D . Vì A C   = A D
= DC = a 2 nên tam giác A CD  là tam giác đều.  Suy ra C AD  = 60 .
Câu 33. Chọn C
Ta có  BC B D  =  BC BD  ', ' ' ', = DBC ' , xét BDC ' có B ,
D BC ', DC' đều là các đường chéo của hình vuông cạnh bằng a nên BDC ' là tam giác đều. Do đó
BC B D  = BC BD  0 ', ' ' ', = DBC ' = 60 .
Câu 34. Chọn C
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD . Khi đó ta có
PM / /NQ / /CD  CD PMQN  là hình bình hành. PM NQ   2 AB
Ta cũng có MQ / / NP / / AB, MQ NP  . 2
Do AB CD  2a PM MQ QN NP a . Gọi  A , B CD  
  cos  cosMPN . Áp dụng định lí Côsin ta có 2 2 2 
MN PM PN  2PM .PN.cosMPN 2 2 2 
 3a a a 2. . a a.cosMPN       MPN  2 2 2 a a 3a 1 cos   2. . a a 2 1 nên 
cos  cosMPN    AB,CD   60 2
Câu 35. Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Ta có 2 2 AM =
AD + DM = a 5, 2 2
SB = SA + AB = a 5 .      
       
AM .SB =  AD + DM .SA + AB = A . D SA + A .
D AB + DM .SA + DM .AB 2
= DM .AB = 2a .      
Mặt khác AM SB = AM SBAM SB 2 . . .cos ,
= 5a .cos  AM , SB     2 2 2 2
Þ 2a = 5a .cos  AM , SB  cos AM , SB = . Suy ra cos = . 5 5 A' C ' P B ' N A C M E Câu 36. B Chọn C Gọi M , N, ,
P E lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng A ,
B BB ', B 'C ', BC .
Suy ra MN / / AB ' và NP / /BC ' . Khi đó góc giữa đường thẳng AB ' và BC ' là góc giữa hai
đường thẳng MN và NP . a 3
Ta có: MN = NP = . 2 2 2 a 9a
Xét tam giác PEM vuông tại E , 2 2 2 2
MP = PE + ME = 2a + = . 4 4
Áp dụng định lí cosin trong tam giác MNP , ta có 2 2 2 3a 3a 9a 2 2 2 + -
MN + NP - MP 1 4 4 4 cos MNP = = = - . 2 2.MN.NP 3a 2 2. 4
Do đó góc MNP bằng 0
120 nên góc giữa đường thẳng AB ' và BC ' bằng 0 60 .
Câu 37. Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Đặt OA = a suy ra OB = OC = a và AB = BC = AC = a 2 a 2
Gọi N là trung điểm AC ta có MN / / AB và MN = 2 Suy ra góc OM AB  = OM MN  , , . Xét  OMN a 2
Trong tam giác OMN có ON = OM = MN =
nên OMN là tam giác đều 2 Suy ra  0
OMN = 60 . Vậy OM AB  = OM MN  0 , , = 60 .
Câu 38. Chọn A B C N A D B' M C' A' D'
Giả sử cạnh của hình lập phương là a  0 .
Gọi N là trung điểm đoạn thẳng BB . Khi đó, MN //BC nên  AM , BC =  AM , MN  . 2 a a 5
Xét tam giác AB M
vuông tại B ta có: AM 2 2 =
AB + B M  2 = a + = . 4 2 2 5a 3a
Xét tam giác AAM vuông tại A ta có: 2 2 AM =
AA + AM 2 = a + = . 4 2 a 5 BCa 2
Có AN = AM = ; MN = = . 2 2 2
Trong tam giác AMN ta có: 2 2 2 9a 2a 5a + -  2 2 2
MA + MN - AN 2 6a 4 1 cos AMN = 4 4 4 = = . = . 2. . MA MN 3a a 2 2 4 6a 2 2 2. . 2 2  Suy ra AMN = 45 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Vậy  AM , BC =  AM , MN  = AMN = 45.
Câu 39. Chọn A
Gọi N là trung điểm của AA Þ B NC M  Þ  B CC M    = B CB N    // , , 2 2 a a 5 a 3a Xét tam giác B NC có 2 2 B N  = a + = ; B C  = a 2; NC = 2a + = 4 2 4 2 2 2 2 2 B N  + B C  - NC a 1 Vậy cos  B C  ,C M     = cos NB C  = = = 2B N  .B Ca 5 10 2. .a 2 2
Câu 40. Chọn D A Q a I B D P a CIP / / AB
Gọi I là trung điểm của AC , khi đó 
do IP, IQ lần lượt là các đường trung bình của tam giác IQ / / CDCAB và ACD .
Suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD là góc giữa hai đường thẳng IP và IQ .
Xét tam giác IPQ , ta có 2 2 2 a aa 3      + -        2 2 2
IP + IQ - PQ  2   2  2   1 cos PIQ = = = -  suy ra 0 PIQ = 120 . 2 2I . P IQa 2  2.   2 
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD có số đo là 0 0 0 180 -120 = 60 .
Câu 41. * Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC  , theo đầu bài SA = SB = SC và
tam giác ABC vuông cân tại A ta có H là trung điểm của BC . Gọi M , N lần lượt là trung MN // AB
điểm của SA , SB ta có: 
Þ Góc giữa AB và SC là góc giữa MN và HN . HN // SCAB a SC a SA a
Xét tam giác MNH ta có: MN = = ; HN = = ; MH = =
( Do SHA vuông tại 2 2 2 2 2 2 H )
Þ tam giác MNH là tam giác đều Þ 
MNH = 60 . Vậy góc cần tìm là 60 . S M N C A H B A N P B D M C Câu 42. Kẻ M
P // AB , N
P // CD nên góc giữa AB và CD là góc giữa MP và NP .  2 2 2
MP + NP - MN 2 2 2
a + a - 3a 1 cos MPN = = = -  MPN 120  = . 2.M . P NP 2 2a 2
Vậy góc giữa AB và CD bằng 60 . A D M B C ADBCCâu 43.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Ta có AC //AC nên góc giữa AC và C M
cũng bằng góc giữa AC và C M  là  AC M  . a 5
Gọi cạnh của hình lập phương có độ dài là a . Khi đó AC = a 2 , C M  = ( trong tam gics 2 a 3a a vuông CC M  có CM = ), AM =
( trong tam giác vuông A MD , MD =
, AD = a 2 ). 2 2 2 AC + C M  - AM
Xét tam giác AMC ta có   2 2 2 1 cos AC M  = = .
2 AM .C M  2 Câu 44.
Gọi I là trung điểm của BM , ta có NI //CM nên góc giữa SN và CM là góc giữa SN và NI . 1 1 3
Xét tam giác SNI có 2 2 SN = SC + CN = 4 + 8 = 2 3 ; NI = CM = 4 2. = 6 ; 2 2 2 2 2
CI = CM + MI = 24 + 2 = 26 2 2 Þ SI = SC + CI = 4 + 26 = 30 .
SN + NI - SI 12 + 6 - 30 -12 2 Vậy  2 2 2 cos SNI = = = = -  Þ SNI = 135 . 2SN.NI 2.2 3. 6 3 2.4 2
Vậy góc giữa SN và CM bằng 45 . N M J P A B I C Câu 45.
Gọi J là trung điểm của MP . Góc giữa hai đường thẳng NC và IB bằng góc giữa hai đường
thẳng NC và NJ .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 a 3 2 5a Ta có JN = , 2 2 2
NC = NP + PC 2 = 2a , 2 2 2
JC = JP + PC = . 2 4 2 2  a       + a 2 3 a 5 2 -  
JN + NC - JC 2 2     6
Xét tam giác NJC có:  2 2 2 cos JNC = = = 2NJ.NC a 3 4 2 .a 2 2 Câu 46. 1 1
Gọi P là trung điểm của AC . Suy ra PM = CD =
AB = PN . Do đó tam giác PMN cân tại 2 2
P . Lại có góc giữa AB và MN bằng 30 nên góc giữa MN và PN bằng 30 . Vậy tam giác
PMN là tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 120 . a 3
Ta có PN. 3 = MN nên MN = . 2 Câu 47.  Kẻ B N  song song với C M  . Ta được  B C  ;C M   = B C  ; B N   = NB Ca 5 3 Ta có 2 2 B C  =
BB + BC = a 2 , 2 2 B N  = AB + A N  = , 2 2 CN = AN + AC = a 2 2  2 2 2 B N  + B C  - NC 1
Áp dụng định lý hàm số côsin trong BN
C , ta được cosNB C  = = . 2.B N  .B C  10
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 48.
Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABB A
  và M là trung điểm của AC . 3
Có IM = IB = B M  =
suy ra  ABBC =  ABIM   0 , , = MIB = 60 . 2 Câu 49.   1 
   1 C1. SM .AB =
SA+ SCSB - SA 2 = - SA 2 2 SA SM = ; AB = SA 2 2      
cos SM ABSM.AB 1 , = = - Þ SM , AB 0 = 120 SM .AB 2
Vậy góc giữa SM và AB bằng 60 . 1
C2. N là trung điểm của BC . Tam giác SMN đều (cạnh bằng
SA ). Nên góc giữa SM và AB 2
bằng góc SMN bằng 60 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S A B I Câu 50. C
Ta có BC = a 2 nên tam giác ABC vuông tại A . Vì SA = SB = SC = a nên hình chiếu vuông góc
của S lên  ABC  trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Tam giác ABC vuông tại A nên I là trung điểm của BC .     . AB SC
Ta có cos  AB, SC  = cos  AB, SC  = . . AB SC  
     1   1 2 a A .
B SC = AB SI + IC  = A . B SI = - . BA BC = - . BA BC.cos 45 = - . 2 2 2 2 a 1
cos  AB, SC  = 2 = Þ  AB SC   , = 60 . 2 a 2     . AB SC
Cách 2: cos  AB, SC  = cos  AB, SC  = . AB SC  
  
    2 a Ta có A .
B SC = SB - SASC = S . B SC - S . A SC = S .
B SC.cos 90 - S . A SC.cos 60 = - . 2 2 -a 2 1
Khi đó cos  AB, SC  = = 2 a 2 S B C H A Câu 51.
Tam giác ABC vuông tại A và tam giác SBC vuông tại S vì AB = AC = 1, BC = 2 và
SB = SC = 1, BC = 2 .
    
    1
Ta có SC.AB = SC SB - SA = SC.SB - SC.SA = 0 - SC. . SB cos 60 = - . 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489     SC.AB 1
Suy ra cos SC; AB = cos SC; AB = =
. Vậy góc giữa hai đường thẳng AB , SC SC.AB 2 bằng 60 . A I M D B C Câu 52.
Gọi M là trung điểm của BD .
Ta có: IM // AB .
Þ  AB, IC  =  IM , IC  .   
Þ cos  AB, IC  = cos  IM , IC  = cos IM , IC  = cos MIC . 2 2 2 aa 3   a 3    +     -   2 2 2
MI + IC - MC  2  2 2     3 Mà:  cos MIC = = = . 2.MI.IC a a 3 6 2. . 2 2  3
Þ cos  AB, IC  = cos MIC = . 6 Câu 53.  
  
      . SA BC .( SA SC - SB) S . A SC - . SA SB cos = cos( , SA BC) = = = . SA BC S . A BC S . A BC .
SA SC.cos 90 - . SA . SB cos 60 7 = = . 2 2 .
a 4a + 9a - 2.2 .3 a . a cos 60 7
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A C B A' C' B' Câu 54.  
   
       
Ta có AB .BC =  AB + BBBC + CC = A . B BC + A .
B CC + BB .BC + BB .CC
        2 2 a 3a = A . B BC + A .
B CC + BB .BC + BB .CC 2 = - + 0 + 0 + 2a = . 2 2   2 3a   ABBC 1 Suy ra
ABBC . cos , =   2 = =
Þ  AB , BC  = 60. AB . BCa 3.a 3 2
Câu 55. Ta có tam giác ABC vuông cân tại A , tam giác BDC vuông cân tại D .  
       Ta có .
AB CD = DB - DACD = . DB CD - . DA CD        
= DB CD cos DB,CD - DA CD cosD , A CD 1 2 = - a . 2           AB CD
Mặt khác ta lại có AB CD = AB CDAB CD   AB CD . 1 . cos . cos ,
=   = - AB CD 2  
Þ  AB, DC =120 Þ  AB,CD = 60 . B C M A D N B' C' A' D' Câu 56.
* Xét hình lập phương ABC . D A BCD   cạnh a .
              
* Đặt a = AB, b = AD, c = AA Þ a = b = c = a, . a b = . b c = . a c = 0 . * Ta có:
       1  1   1 1 a 3 2 2 2
MN = AN - AM = AB + BN - AM = a - b + c Þ MN = a + a + a = 2 2 4 4 2
        2 2 2
AC = AB + AD + AA = a + b + c Þ AC =
a + a + a = a 3
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 34
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
  1 1 2 2 2 2
AC .MN = a - a + a = a 2
2  
  MN.AC 2
cos MN; AC = cos MN; AC =   = . MN . AC 3 S D A H B C Câu 57.  
SC,  ABCD = SC,CH  = 0 SCH = 60 .   . SB AC
cos SB, AC  = . SB AC  
   
        .
SB AC = SH + HB AB + BC = SH.AB + SH.BC + H . B AB + H . B BC
    1 = H . B AB + H . B BC 2 2 = AB = 2a 2  AC = a 5 , 2 2 CH =
a + a = a 2 , SH = CH. tan SCH = a 6 . 2 2 SB =
SH + HB = a 2 2 6 + a = a 7 .   . SB AC 2 2a 2
cos SB, AC  = = = . . SB AC a 7.a 5 35 A B D G I M Câu 58. C
* ABC đều Þ BC = 1.
* ACD cân tại A có 2 2 CD =
AC + AD - 2 AC.A . D cos120 = 3 . * A
BD vuông cân tại A có BD = 2 . * BCD có 2 2 2
CD = BC + BD Þ BCD vuông tại B .
Dựng đường thẳng d qua G và song song CD , cắt BC tại M .
Ta có MG // CD Þ  AG,CD =  AG, MG .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2  1  3
Gọi I là trung điểm của BC , xét B
DI vuông tại B có 2 2 DI = BD + BI = 2 + =   .  2  2 IM MG IG 1 1 1 BC 1 1 3 1 1 Ta có = = = Þ IM = .IC = . = ; MG = .CD = ; IG = .ID = . IC CD ID 3 3 3 2 6 3 3 3 2 2 2  3   1  7 Xét A
IM vuông tại I có 2 2 AM = AI + IM =   + =   .  2   6  3   2 2  3   3  2   + -1    2 2 2
AI + ID - AD 2  2    4 3 cos AID = = = 2AI.ID 3 3 9 2. . 2 2 2 2  3   1  3 1 4 3 3 2 2  AG =
AI + IG - 2 AI. . IG cos AID =   + - 2. . . =   .  2   2  2 2 9 3   Xét AMG có 2 2 2  3   3   7    +   -   2 2 2
AG + GM - AM 3 3 3       1  AG MG  cos , = cos AGM = = = . 2. . AG GM 3 3 6 2. . 3 3
Câu 59. Gọi I là hình chiếu vuông góc của E lên AB ta có ABD = BCH .   
Þ ABD = BCH Þ HEB = 90 . A H I B E K D C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S A I B H K E D C Ta có: SE BC  = SE EI   cos ; cos ;
= cos SEI , SH = BH.tan 30 = a 3 . 2 HB HE HB 9a 2 81a 2a 39 = Þ HE = = , 2 2 2 SE =
SH + HE = 3a + = . HC HB HC 5 25 5 2 2 HE HI HE 27a  27a  2a 651 = Þ HI = = , 2 2 2 SI =
SH + HI = 3a + =   . HB HE HB 25  25  25 EI HI 9 36a = = Þ EI = BC HB 25 25
Áp dụng định lý cosin cho tam giác SEI ta được: 2 2 2  2a 39  36a  2a 651      + -      2 2 2
SE + EI - SI 5  25  25     18a cos SEI = = = . 2.SE.EI 2a 39 36a 5 39 2. . 5 25 S N M A D a P B a C Câu 60.
Gọi P là trung điểm của CD .
Ta có: NP // SC Þ MN , SC  = MN, NP .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 37
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 a a a 2
Xét tam giác MNP ta có: MN = , NP = , MP = 2 2 2 2 2 a a 2 a 2 2 Þ MN + NP = + = 2
= MP Þ MNP vuông tại N 4 4 2 
Þ MNP = 90 Þ MN , SC  = MN, NP = 90 . A' B' P C' D' B A M N D C Câu 61.
Ta có tứ giác AMCP là hình bình hành nên AP // MC  Þ MN AP  = MN MC   , ,  = NMC .
Gọi cạnh hình vuông có độ dài bằng a . 3a
Xét tam giác CCM vuông tại C có 2 2 2 2 2
CM = CC + MC = CC + BC + MB = . 2 5a
Xét tam giác CCN vuông tại C có 2 2
CN = CC + CN = . 2 AC a 2 Mà MN = = . 2 2  2 2 2
MC + MN - CN 2
Xét tam giác CCM có cosNMC = = 2MC .MN 2  Þ NMC = 45 
Þ MN, AP = 45 . Câu 62.
Gọi N là trung điểm SD khi đó MN BD , suy ra  BD AM    = MN AM   ; ; = AMN
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 38
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 a 2
AN = AM = MN =
, suy ra ΔAMN là tam giác đều, nên  AMN = 60 2 Câu 63.
Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng . a
Gọi N là trung điểm của AC . 
Khi đó: AB,DM    MN,DMa a 3 Ta có: MN  , DM DN  . 2 2 2 a  2 2 2 MN  D MND 3 4 cos N D M    . 2.MN . D M a a 6 3 2. . 2 2 Vậy cos , AB DM  3  . 6
Câu 64. Chọn D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Ta có MN song song AC (Đường trung bình)
MN, AP =  AC, AP
Giả sử hình lập phương ABC . D A BCD
  có độ dài các cạnh bằng 1
Xét tam giác APC có: 2 2  1  5  1    3 2 PC = 1 + = 2 2   ; 2 2 AC = 1 +1 =
2 ; AP = 1 + 1 +    = .  2  2  2    2   9 5 2 + - 1
Theo định ý hàm cos trong tam giác APC ta có:  4 4  cosPAC = = Þ PAC = 45 . 3 2 2 2. 2
Câu 65. Chọn B
Gọi  là góc giữa hai đương thẳng AC và SB .
Có AC = a 2 , SB = 2a .      
Có AC SB =  AB + AD  AB - AS  2 2 . . = AB = a .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 40
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489   2 AC.SB a 2 Vậy cos = = = . AC.SB a 2.2a 4
Câu 66. Chọn A D M A C P N B
Gọi P là trung điểm AB AC // PN AC 3a BD Ta có 
Þ PN PM và PN = = ; PM = = 2a BD // PM  2 2 2 5a 2 2 MN = PM + PN = 2
Câu 67. Chọn D Vì BD // B D   nên  AC B D    = AC BD   ; ;
= AOB = 80 với O là tâm hình chữ nhật ABCD .
Câu 68. Chọn C A' D' B' C' a 2 a 2 A D a a 2 B C Ta thấy A C
AC Þ CD A C   = CD AC  ' '/ / ', ' ' ', = 
Do các mặt của hình lập phương bằng nhau nên các đướng chéo AC = CD ' = AD ' = a 2
Suy ra ACD ' đều nên CD A C   = CD AC  0 ', ' ' ', =  = 60 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 69. Chọn C
Gọi H là trung điểm của SD Þ OH  SB . Do đó S ,
B AC  = OH, AC  . 1 a 5 1 a 6
Tính được SB = 5a; SD = a 6; AC = a 3 , suy ra OH = SB = ; AH = SD = ; 2 2 2 2 3 5 3 2 2 2 a + a - a a 3  15 1 AO = . Do đó 4 4 2 cos AOH = =
nên cos SB, AC  = . 2 3 5 15 15 2. . a a 2 2
Vậy góc giữa hai đường thẳng BA’ và B’D’ bằng 0 60 .
Câu 70. Chọn B
Vì là hình lập phương Þ 6 mặt đều là hình vuông bằng nhau nên các đường chéo của chúng đèu bằng nhau
Þ AC = AB = BC Þ AC B  đều Ta có: AD
BC Þ  AB AD =  AB BC 0 / / ; ;
= ABC = 60
Câu 71. Chọn D Cách 1
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
SA2 + SB2 - AB2 7 Ta có cos ASB = =
= cosCSB = cos ASC 2SA.SB 9
AM 2 = SA2 + SM 2 - 2SA.SM .cos ASC = 48 Þ AM = 4 3
   1  
AM = SM - SA = SC - SA 3
   1   1 Do đó   2 AM .SB =
SC - SA SB = .S . C S .
B cos BSC - S . A S . B cos ASB = 4 - 2a   nên  3  3   AM .SB 42 14 cos( AM ; SB) = = = . AM .SB 4 3.9 3 48 Cách 2.
Gọi E là trung điểm AC .
  
 2  1 
Ta có 2MS + MC = 0  AM = AS + AC . 3 3
Dễ chứng minh được AC  SBE nên AC SB .
SA2 + SB2 - AB2 7 cos ASB = = 2SA.SB 9
   2  1   2   2   2  7 -  Do đó AM .SB = AS +
AC .SB = .AS.SB = AS.S . B cos   AS,SB 2 = .9 . a 9 . a = 4 - 2a .    3 3  3 3 3  9    AM .SB 42 14
Vậy cos( AM ; SB) = = = . AM .SB 4 3.9 3 48
Câu 72. Chọn. B.  
Kẻ OM SC Þ (SC, BD) = (OM , BD)
Ta có ABCD là hình chữ nhật có AB = a , BC = a 3 Þ AC = BD = 2a .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 BD 2 2 SC SA + AC a 5 a 5 BO = = a , OM = = = , 2 2 BM = SA + AB = . 2 2 2 2 2 2 2 2 
OM + BO - BM 5  5 cos(MOB) = =
Þ cos (SC, BD) = . 2OM .BO 5 5
Câu 73. Chọn C
Gọi P là trung điểm AC , ta có PM //CD và PN //AB , suy ra  A , B CD 
= PM , PN  .
Dễ thấy PM = PN = a .
PM + PN - MN a + a - a Xét PMN ta có  2 2 2 2 2 2 3 1 cosMPN = = = - 2PM .PN 2. . a a 2  0  Þ MPN = Þ  AB CD 0 0 0 120 , = 180 -120 = 60 . S H A C I B Câu 74.
Gọi H là trung điểm SB ta có SC / /HI
Góc giữa đường thẳng AI và SC bằng góc giữa đường thẳng AI và HI 2 2 1 AB SA a 2 AH SB   2 2 2 2 a 3 2 2 2 AI
AB BI a   a 2 2 2 2 2 2 SC SA AC a 3a HI     a 2 2 2 2 2 2
AI AH H I suy ra tam giác AHI vuông tại H
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 HI 2 cosAIH   AI 3  2
Côsin của góc giữa đường thẳng AI và SC là cosAIH 3
Câu 75. Chọn C D N A B P M C a
Gọi P là trung điểm của AC , ta có: MP//AB , PN //CD và MP = PN = . 2
Do MP//AB và PN //CD nên góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng MP và PN .
MP + PN - MN 1
Xét tam giác MPN , có  2 2 2 cos MPN = = -  Þ MPN = 120 . 2.M . P PN 2
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 60 .
Câu 76. Chọn D A N B D E M CAB || NE
Gọi E lần lượt là trung điểm của BD . Vì 
nên góc giữa hai đường thẳng AB và CD CD || ME
bằng góc giữa hai đường thẳng NE và ME . 2 2 2 a a 3a + -  2 2 2
ME + NE - MN 1
Trong tam giác MNE ta có: 4 4 4 cos MEN = = = - 2 2ME.NE a 2 2. 4 Suy ra 
MEN = 120 . Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 60 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 45
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 77. Chọn D 3
Đặt CD = AD = a Þ AC = a . 2     AB DC Ta có:  AB DC . cos , =   | AB | . | DC |
    
    . AB DC = .
AB AC - AD = A . B AC - A . B AD   = . AB AC.cos BAC - . AB . AD cos BAD 3a a = A . B .cos 60 - A . B .
a cos 60 = A . B 2 4   a . AB   . AB DC 1 Nên  AB DC 4 cos , =   = = | AB | . | DC | . AB a 4  
Vì cos( AB,CD) = cos  AB, DC 1
Vậy cos( AB, CD) = . 4
Câu 78. Chọn C
Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của BC, S , B SA .
Góc giữa AB và SC là góc giữa PN và MN . a MN = = NP 2 2 2 a 3  a 3   a 2  a 2 2 PC = BP = Þ PM = PC - CM =   -   = 2  2   2  2    
Suy ra tam giác MNP là tam giác đều  Þ MNP = 60 .
Vậy góc giữa AB và SC bằng 60 .
Câu 79. Chọn A F D E N A C E M B
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 46
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Gọi M , N , E lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, CF , AB . MN / / BF Khi đó: 
Þ  AC; BF  = MN; ME  . ME / / AC  Tính góc  EMN .
Xét tam giác MNE , ta có: 1 1 1 a 5 2 2 2 2 MN = BF = BC + CF = a + 4a = 2 2 2 2 1 a a 3 ME = AC = , EC = 2 2 2 2 3a a 7 2 2 2 NE = EC + NC = + a = 4 2 2 2 2 a 5a 7a 2 2 2 + -
ME + MN - EN 1 Suy ra:  4 4 4 cos EMN = = = - 2ME.MN a a 5 2 5 2. . 2 2 Vậy  AC BF   5 cos ; = cos EMN = 10
Câu 80. Chọn B D a a N C A M a B
Gọi N là trung điểm của AC . Khi đó, ABMN nên  DM , AB =  DM , MN  . a 3 a
Dễ dàng tính được DM = DN = và MN = . 2 2 2 a 2 2 2
DM + MN - DN 3
Trong tam giác DMN , ta có  4 cos DMN = = = . 2DM .MN a 3 a 6 2   2 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 47
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  3 3 Vì cos DMN =
 0 nên cos  DM , MN  = . 6 6 3
Vậy cos  DM , AB = . 6
Câu 81. Chọn D D 1 P A N 1 C 1 M B
Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AD . MN // AB  Trong ABC , có  1
1 (Tính chất đường trung bình) MN = AB =   2 2 NP // CD  Trong ACD , có  1
2 (Tính chất đường trung bình) NP = CD =   2 2 2 2 1  2    3 Trong AMP , có 2 2 MP = AP + AM = +     = . 2  2    2   MN // AB Ta có  Þ  ;
AB CD = MN; NP  = MNP NP // CD
Áp dụng định lý Cosin cho MNP , có 2 2 2  2  1  3      + -      2 2 2
NP + NM - MP 2  2  2     cos MNP = = = 0  Þ MNP = 90 2 . NP NM 2 1 2. . 2 2
Hay  AB;CD = 90 .
Câu 82. Chọn A
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 48
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A B D M C a 3
Giả sử tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a ta có: DM = . 2  
      AB DM A . B DB + . AB BM . a . a cos 60 + . a . a cos120 3 Ta lại có:  AB DM  . cos ,
=   = = = . AB . DM a 3 a 3 6 . a . a 2 2 3
Vậy cos  AB, DM  = . 6
DẠNG 3. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Câu 83. Chọn B
Trong không gian, có vô số đường thẳng qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường
thẳng cho trước. Vì vậy chọn đáp án B
Câu 84. Chọn D
Suy ra từ tính chất 1 theo SGK hình học 11 trang 100 . a b
Câu 85. Sử dụng định lí  Þ a  . c b//c
Câu 86. Chọn D
Theo kiến thức SGK có bốn vị trí tương đối của hai đường thẳng mà nếu hai đường thẳng trùng
nhau hoặc song song thì chúng không vuông góc với nhau do đó nếu a b thì a và b cắt nhau hoặc chéo nhau.
Câu 87. Chọn D
Qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Các
đường thẳng này cùng nằm trên mặt phẳng qua O và vuông góc với đường thẳng ấy. Vậy D sai. Câu 88.
Hướng dẫn giải Chọn C
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì có thể song song hoặc chéo nhau.
Đáp án C chỉ đúng trong mặt phẳng.
Câu 89. Chọn B
Đáp án A sai do hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 49
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 AA  AB
Ví dụ: Cho lập phương ABC . D AB CD   ta có 
. Dễ thấy AA và AD cắt nhau. AD AB
Đáp án C sai do hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng có thể trùng nhau.
Đáp án D sai do trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể chéo nhau.
Câu 90. Chọn A A' D' B' C' A D B C Vì hình hộp ABC . D
A BCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên các tứ giác ABCD ,
A BBA,
BCCB đều là hình thoi nên ta có
AC BD mà AC // A C   Þ 
A C  BD (B đúng).  A B A
B mà AB // DC Þ 
A B DC (C đúng).
BC  BC mà B C  // A D  Þ BC   A D (D đúng).
Câu 91. Chọn A
Ta có: AD / /B C  , B C   BC Þ A D   BC
Câu 92. Chọn D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 50
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Ta có tam giác SAC cân tại S và SO là đường trung tuyến cũng đồng thời là đường cao.
Do đó SO AC .
Trong tam giác vuông SOA thì AC và SA không thể vuông tại A .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 51