Bài tập trắc nghiệm hai mặt phẳng vuông góc có đáp án và lời giải

Tài liệu gồm 70 trang được biên soạn bởi thầy Nguyễn Bảo Vương, tuyển chọn 108 câu hỏi và bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết về chủ đề hai mặt phẳng vuông góc 

76 38 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

70 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
TOÁN 11
1H3-4
Contents
A. CÂU HỎI .................................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 1
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, MẶT PHẲNG VỚI ĐƯỜNG
THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG .................................................................................................. 4
Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với đường thẳng .................................... 4
Dạng 2.2 Hai mặt phẳng vuông góc ............................................................................................................................. 4
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG ................................................................................................. 6
Dạng 3.1 Góc của mặt phẳng bên với mặt phẳng đáy .................................................................................................. 6
Dạng 3.2 Góc của hai mặt phẳng bên ..................................................................................................................... 10
Dạng 3.3 Góc của hai mặt phẳng khác ....................................................................................................................... 13
DẠNG 4. MỘT SỐ CÂU HỎI LIÊN QUAN ................................................................................................................ 15
B. LỜI GIẢI ................................................................................................................................................................... 18
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT ................................................................................................................................ 18
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, MẶT PHẲNG VỚI ĐƯỜNG
THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG ................................................................................................ 19
Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với đường thẳng .................................. 19
Dạng 2.2 Hai mặt phẳng vuông góc ........................................................................................................................... 21
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG ............................................................................................... 26
Dạng 3.1 Góc của mặt phẳng bên với mặt phẳng đáy ................................................................................................ 26
Dạng 3.2 Góc của hai mặt phẳng bên ..................................................................................................................... 42
Dạng 3.3 Góc của hai mặt phẳng khác ....................................................................................................................... 53
DẠNG 4. MỘT SỐ CÂU HỎI LIÊN QUAN ................................................................................................................ 62
A. CÂU HỎI
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C. Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 0
0
.
D. Hai đường thẳng trong không gian cắt nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng lớn hơn 0
0
và nhỏ hơn
90
0
.
Câu 2. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
A. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng tùy ý nằm trong mỗi mặt phẳng.
B. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng
đó.
C. Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.
D. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt vuông
góc với hai mặt phẳng đó.
Câu 3. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
A. Hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau.
B. Hình chóp tứ giác đều có các cạnh bên bằng nhau.
C. Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông.
D. Hình chóp tứ giác đều có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên đáy trùng với tâm của đáy.
Câu 4. Cho các đường thẳng
,a b
và các mặt phẳng
,
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề
sau
A.
a
a
. B.
//
a b
b
a
.
C.
a b
a
b
. D.
a a b
b
.
Câu 5. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
A. Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và
vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng kia.
B. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước
C. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song
với nhau.
D. Đường thẳng
d
là đường vuông góc chung của hai đườngthẳng chéo nhau
,a b
khi và chỉ khi
d
vuông góc với cả
a
và
.b
Câu 6. Cho đường thẳng
không vuông góc với mặt phẳng
. có bao nhiêu mặt phẳng chứa
và
vuông góc với
.
A.
2
. B.
0
. C. Vô số. D.
1
.
Câu 7. Mảnh bìa phẳng nào sau đây có thể xếp thành lăng trụ tứ giác đều?
A. B.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
C. D.
Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt
phẳng vuông góc nhau.
B. Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
C. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông
góc với mặt phẳng kia.
D. Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng vuông góc với nhau.
Câu 9. Cho đường thẳng
không vuông góc với mặt phẳng
. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa
và
vuông góc với
?
A.
2
. B.
. C. Vô số. D.
1
.
Câu 10. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
i) Hình hộp đứng có đáy là hình vuông là hình lập phương
ii) Hình hộp chữ nhật có tất cả các mặt là hình chữ nhật
iii) Hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với đáy
iv) Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau là hình lập phương
A.
1
. B.
. C.
3
. D.
.
Câu 11. (Nông Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Trong không gian cho hai đường thẳng
,a b
và mặt
phẳng
( )P
, xét các phát biểu sau:
(I). Nếu
/ /a b
mà
( )a P
thì luôn có
( )b P
.
(II). Nếu
( )a P
và
a b
thì luôn có
/ / ( )b P
.
(III). Qua đường thẳng
a
chỉ có duy nhất một mặt phẳng
( )Q
vuông góc với mặt phẳng
( )P
.
(IV). Qua đường thẳng
a
luôn có vô số mặt phẳng
( )Q
vuông góc với mặt phẳng
( )P
.
Số khẳng định đúng trong các phát biểu trên là
A.
1
.
B.
4
.
C.
2
.
D.
3
.
Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai?
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B. Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc
với đường thẳng còn lại.
C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một
đường thẳng thì song song với nhau.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
Câu 13. Cho hai mặt phẳng
P
và
Q
song song với nhau và một điểm
M
không thuộc
P
và
Q
.
Qua
M
có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với
P
và
Q
.
A.
3
. B. Vô số. C.
1
. D.
.
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, MẶT PHẲNG
VỚI ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với đường thẳng
Câu 14. Cho hình chóp
.
S ABCD
đều. Gọi
H
là trung điểm của cạnh
AC
. Tìm mệnh đề sai?
A.
SAC SBD
. B.
SH ABCD
. C.
SBD ABCD
. D.
CD SAD
.
Câu 15. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành tâm
O
và
,SA SC
SB SD
. Mệnh
đề nào sau đây sai?
A.
SC SBD
. B.
SO ABCD
.
C.
SBD ABCD
. D.
SAC ABCD
.
Câu 16. Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác
ABC
vuông tại
B
và cạnh bên
SA
vuông góc với mặt
phẳng
ABC
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
SA BC
. B.
AB BC
. C.
AB SC
. D.
SB BC
.
Câu 17. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
, tam giác
SAB
đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sin của góc tạo bởi đường
MD
và mặt phẳng
SBC
.
A.
13
5
. B.
13
3
. C.
15
5
. D.
15
3
.
Câu 18. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình
vuông, hai mặt bên
SAB
và
SAD
vuông góc với mặt đáy.
AH
,
AK
lần lượt là đường cao của
tam giác
SAB
,
SAD
. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A.
BC AH
. B.
SA AC
. C.
HK SC
. D.
AK BD
.
Dạng 2.2 Hai mặt phẳng vuông góc
Câu 19. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi và
SB
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
.
Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng
SBD
?
A.
SBC
. B.
SAD
. C.
SCD
. D.
SAC
.
Câu 20. Cho lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có đáy là tam giác
ABC
vuông cân tại
A
. Gọi
M
là trung điểm
của
BC
, mệnh đề nào sau đây sai ?
A.
ABB ACC
. B.
AC M ABC
.
C.
AMC BCC
. D.
ABC ABA
.
Câu 21. (THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018).Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác
cân tại
B
, cạnh bên
SA
vuông góc với đáy,
là trung điểm
AC
,
H
là hình chiếu của
lên
SC
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
BIH SBC
. B.
SAC SAB
. C.
SBC ABC
. D.
SAC SBC
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
Câu 22. Cho hình chóp
S.ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
,
SA ABC
, gọi
M
là trung
điểm của
AC
. Mệnh đề nào sai ?
A.
SAB SAC
. B.
BM AC
. C.
SBM SAC
. D.
SAB SBC
.
Câu 23. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, tâm
O
,
SA ABCD
, 6SA a
(như hình vẽ). Mệnh đề nào sau đây là đúng?.
A.
SBC ABCD
. B.
SBC SCD
. C.
SBC SAD
D.
SBC SAB
.
Câu 24. Cho hình lăng trụ tứ giác đều
. ' ' ' 'ABCD A B C D
. Mặt phẳng
'AB C
vuông góc với mặt phẳng
nào sau đây?
A.
'D BC
. B.
'B BD
. C.
'D AB
. D.
' 'BA C
.
Câu 25. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
, cạnh bên
SA
vuông góc với
ABC
. Gọi I là trung điểm cạnh
AC
, H là hình chiếu của I trên
SC
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
SBC IHB
. B.
SAC SAB
. C.
SAC SBC
. D.
SBC SAB
.
Câu 26. Cho hình chóp
.S ABCD
có
SA ABCD
, đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
D
. Biết
SA AD DC a
,
2AB a
. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
SBD SAC
. B.
SAB SAD
. C.
SAC SBC
. D.
SAD SCD
.
Câu 27. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông. Mặt bên
SAB
là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.Trong số các mặt phẳng chứa mặt đáy và các mặt
bên của hình chóp, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
( )?SAB
A.
4
. B.
3
. C.
1
. D.
2
.
Câu 28. (THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình hộp
.ABCD A B C D
, khẳng
định nào đúng về hai mặt phẳng
A BD
và
CB D
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
A.
A BD CB D
. B.
//
A BD CB D
.
C.
A BD CB D
. D.
A BD CB D BD
.
Câu 29. (SGD&ĐT BRVT - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi,
SA SC
. Khẳng
định nào sau đây đúng?
A. Mặt phẳng
SBD
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
.
B. Mặt phẳng
SBC
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
.
C. Mặt phẳng
SAD
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
.
D. Mặt phẳng
SAB
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
.
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Dạng 3.1 Góc của mặt phẳng bên với mặt phẳng đáy
Câu 30. [KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Cho hình lập phương
.
ABCD A BC D
. Tính góc giữa mặt
phẳng
ABCD
và
ACC A
.
A.
45
. B.
60
. C.
30
. D.
90
.
Câu 31. (Thi thử SGD Hưng Yên) Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
. Góc giữa
ABCD
và
A B C D
bằng
A.
45
. B.
60
. C.
0
. D.
90
.
Câu 32. (THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng
2a
và
chiều cao bằng
2
2
a
. Tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng:
A.
1
. B.
1
3
. C.
3
. D.
3
4
.
Câu 33. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông,
SA
vuông góc với mặt đáy (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai mặt phẳng
SCD
và
ABCD
bằng
A. Góc
SDA
. B. Góc
SCA
. C. Góc
SCB
. D. Góc
ASD
.
Câu 34. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Cho hình chóp tứ giác
.
S ABCD
có đáy là hình
chữ nhật cạnh
4AB a
,
3AD a
. Các cạnh bên đều có độ dài
5a
. Tính góc
giữa
SBC
và
ABCD
.
A.
75 46
. B.
71 21
. C.
68 31
. D.
65 21
.
C
D
B
A
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
Câu 35. (SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
với đáy
ABCD
là hình vuông có
cạnh
2a
,
6SA a
và vuông góc với đáy. Góc giữa
SBD
và
ABCD
bằng?
A.
0
90
. B.
0
30
. C.
0
45
. D.
0
60
.
Câu 36. (THPT PHÚ LƯƠNG - THÁI NGUYÊN - 2018) Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
có đáy là tam
giác đều cạnh bằng
, cạnh bên
2AA a
. Hình chiếu vuông góc của
A
lên mặt phẳng
ABC
trùng với trung điểm của đoạn
BG
(với
G
là trọng tâm tam giác
ABC
). Tính cosin của góc
giữa hai mặt phẳng
ABC
và
ABB A
.
A.
1
cos
95
. B.
1
cos
165
. C.
1
cos
134
. D.
1
cos
126
.
Câu 37. (THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện
.
S ABC
có các cạnh
SA
,
SB
;
SC
đôi một vuông góc và
1
SA SB SC
. Tính
cos
, trong đó
là góc giữa hai mặt phẳng
SBC
và
ABC
?
A.
1
cos
2
. B.
1
cos
2 3
. C.
1
cos
3 2
. D.
1
cos
3
.
Câu 38. (CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân
tại
A
và
2AB a
. Biết
SA ABC
và
SA a
. Góc giữa hai mặt phẳng
SBC
và
ABC
bằng
A.
30
. B.
45
. C.
60
. D.
90
.
Câu 39. (THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABC
có tam giác
ABC
vuông cân tại
B
,
AB BC a
,
3SA a
,
SA ABC
. Góc giữa hai mặt phẳng
SBC
và
ABC
là
A.
o
45
. B.
o
60
. C.
o
90
. D.
o
30
.
Câu 40. (THPT HOA LƯ A - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện
OABC
có
OA
,
OB
,
OC
đôi một vuông góc
và
6OB OC a
,
OA a
. Tính góc giữa hai mặt phẳng
ABC
và
OBC
.
A.
60
. B.
30
. C.
45
. D.
90
.
Câu 41. (TT DIỆU HIỀN - CẦN THƠ - 2018) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác vuông tại
B
,
SA ABC
,
3 cm
SA ,
1 cm
AB
,
2 cm
BC
. Mặt bên
SBC
hợp với đáy một góc bằng:
A.
30
. B.
90
. C.
60
. D.
45
.
Câu 42. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng
3a
,
đường cao bằng
3
2
a
. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng:
A.
30
. B.
45
. C.
60
. D.
75
.
Câu 43. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho tứ diện
OABC
có
, ,OA OB OC
đôi một
vuông góc và
6
OB OC a
,
OA a
. Khi đó góc giữa hai mặt phẳng
( )ABC
và
( )OBC
bằng
A.
0
90
B.
0
60
C.
0
45
D.
0
30
Câu 44. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho lăng trụ tam giác đều
.
ABC A B C
có diện
tích đáy bằng
2
3a
(đvdt), diện tích tam giác
A BC
bằng
2
2a
(đvdt). Tính góc giữa hai mặt phẳng
A BC
và
ABC
?
A.
120
. B.
60
. C.
30
. D.
45
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
Câu 45. (Nông Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng
3a
, đường cao bằng
3
2
a
. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
A.
45
.
B.
30
.
C.
60
.
D.
75
.
Câu 46. (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Cho hình chóp tứ giác đều
có tất cả các cạnh bằng
a
. Côsin của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
A.
1
3
. B.
1
3
. C.
1
2
. D.
1
2
.
Câu 47. (Thi thử Bạc Liêu – Ninh Bình lần 1) Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
.
Giá trị
sin
của góc giữa hai mặt phẳng
BDA
và
ABCD
bằng
A.
3
4
. B.
6
4
. C.
6
3
. D.
3
3
.
Câu 48. (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật cạnh AB
=
a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
2SB a
.
Góc giữa mặt phẳng
SBC
mặt phẳng đáy
bằng
A.
o
90
. B.
o
60
. C.
o
45
. D.
o
30
.
Câu 49. (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
,
đường cao
SA x
. Góc giữa
SBC
và mặt đáy bằng
0
60
. Khi đó
x
bằng
A.
6
2
a
. B.
3a
. C.
3
2
a
. D.
3
a
.
Câu 50. (TRƯỜNG CHUYÊN QUANG TRUNG- BÌNH PHƯỚC 2018-2019) Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có
, ' 3BC a BB a
. Góc giữa hai mặt phẳng
' 'A B C
và
' 'ABC D
bằng
A.
o
60
. B.
o
45
. C.
o
30
. D.
o
90
.
Câu 51. (THI THỬ L4-CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ-HÒA BÌNH-2018-2019)Cho hình chóp tứ giác
đều có tất cả các cạnh đều bằng
. Tính cosin của góc giữa một mặt bên và mặt đáy.
A.
3
3
. B.
2
2
. C.
1
2
. D.
1
3
.
Câu 52. (Kim Liên - Hà Nội lần 2 năm 2019) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng
2a
, cạnh bên
bằng
3a
. Gọi
là góc giữa mặt bên và mặt đáy, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
cos
4
. B.
10
cos
10
. C.
2
cos
2
. D.
14
cos
14
.
Câu 53. (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019) Cho lăng trụ tam giác đều
. ' ' 'ABC A B C
có tất cả
các cạnh đều bằng
a
. Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng
' 'AB C
và
' ' 'A B C
. Tính giá trị của
tan
?
A.
2 3
3
. B.
3
3
. C.
3 2
2
. D.
3
2
.
Câu 54. (SP Đồng Nai - 2019) Cho hình lăng trụ đều
. ' ' 'ABC A B C
có cạnh đáy bằng
2a
, cạnh bên bằng
a
. Tính góc giữa hai mặt phẳng
' 'AB C
và
' ' 'A B C
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
A.
30
. B.
60
. C.
45
. D.
90
.
Câu 55. (Kim Liên - Hà Nội - L1 - 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
với
O
là tâm của
đáy và chiều cao
3
2
SO AB
. Tính góc giữa mặt phẳng
SAB
và mặt phẳng đáy.
A.
90
. B.
60
. C.
30
. D.
45
.
Câu 56. (THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho hình chop
.
S ABC
có
( )SA ABC
, tam giác
ABC
đều cạnh
2a
,
SB
tạo với mặt phẳng đáy một góc
30
. Khi đó
mp
SBC
tạo với đáy một
góc
x
. Tính
tan x
.
A.
tan 2
x
. B.
1
tan
3
x . C.
3
tan
2
x
. D.
2
tan
3
x
.
Câu 57. (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Lăng trụ tam giác đều
.
ABC A B C
có cạnh đáy
bằng
a
. Gọi
M
là điểm trên cạnh
AA
sao cho
3
4
a
AM
. Tang của góc hợp bởi hai mặt phẳng
MBC
và
ABC
là:
A.
2
. B.
1
2
. C.
3
2
. D.
2
2
.
Câu 58. (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - Lần 1 - Năm học 2018_2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có
đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
,a SA
vuông góc với đáy và
6
6
a
SA
. Khi đó góc giữa mặt phẳng
SBD
và mặt đáy
ABCD
là.
A.
60
B.
45
C.
30
D.
75
Câu 59. (HKII-CHUYÊN NGUYỄN HUỆ-HN-2018-2019) Cho hai tam giác
ACD
và
BCD
nằm trên
hai mặt phẳng vuông góc với nhau và
,AC AD BC BD a
2CD x
. Tìm giá trị của
x
để
hai mặt phẳng
ABC
và
ABD
vuông góc với nhau.
A.
3
a
x
. B.
3
3
a
x
. C.
2
3
a
x
. D.
2
a
x
.
Câu 60. (Thi thử Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa – 07-05 - 2019) Cho tứ diện
ABCD
có
BCD
là tam
giác vuông tại đỉnh
B
, cạnh
CD a
,
6
3
a
BD
,
3
2
a
AB AC AD
. Tính góc tạo bởi các
mặt phẳng
ABC
và mặt phẳng
BCD
.
A.
4
. B.
3
. C.
6
. D.
arctan3
.
Câu 61. (Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác
ABC
vuông tại
B
, cạnh bên
SA
vuông góc với đáy
ABC
,
AB a
,
2SA a
. Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm
của
,SB SC
. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng
AMN
và
ABC
bằng
A.
1
2
. B.
2 5
5
. C.
5
5
. D.
1
4
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
Câu 62. (Thi thử Nguyễn Huệ- Ninh Bình- Lần 3- 2019)Cho lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có cạnh bên
2AA a
,
AB AC a
, góc
0
120
BAC . Gọi
M
là trung điểm
BB
thì côsin của góc tạo bởi hai
mặt phẳng
( )ABC
và
( )AC M
là
A.
3
31
. B.
5
5
. C.
3
15
. D.
93
31
.
Dạng 3.2 Góc của hai mặt phẳng bên
Câu 63. (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác vuông tại
B
có
AB a
,
2AC a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy,
2 .SA a
Gọi
là góc tạo bởi hai mặt
phẳng
,
SAC SBC
. Tính
cos ?
A.
3
.
2
B.
1
.
2
C.
15
.
5
D.
3
.
5
Câu 64. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
2AB a
,
AD a
và
SA ABCD
. Gọi
M
là trung điểm của đoạn thẳng
AB
(tham khảo hình vẽ).
Góc giữa hai mặt phẳng
SAC
và
SDM
bằng
A.
45
. B.
60
. C.
30
. D.
90
.
Câu 65. (THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có
đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
D
,
AD DC a
. Biết
SAB
là tam giác đều cạnh
2a
và mặt phẳng
SAB
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng
SAB
và
SBC
.
A.
2
7
. B.
2
6
. C.
3
7
. D.
5
7
.
Câu 66. (THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có
đáy là hình vuông cạnh
, tam giác đều
SAB
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
H
,
K
lần lượt là trung điểm của
AB
,
CD
. Ta có
tan
của góc tạo bởi hai mặt phẳng
SAB
và
SCD
bằng
A.
2
3
. B.
2 3
3
. C.
3
3
. D.
3
2
.
Câu 67. (THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Trong không gian cho tam giác đều
SAB
và hình vuông
ABCD
cạnh
a
nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Góc
là góc giữa hai mặt phẳng
SAB
và
SCD
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A
D
C
B
M
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
A.
2 3
tan
3
. B.
3
tan
3
. C.
3
tan
2
. D.
2
tan
3
.
Câu 68. (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có
đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Cạnh
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy,
3SA a
. Góc tạo
bởi
SAB
và
SCD
bằng
A.
30
. B.
60
. C.
90
. D.
45
.
Câu 69. (THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
AB a
;
3
2
a
AD
. Mặt bên
SAB
là tam giác cân đỉnh
S
và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
ABCD
. Biết
120
ASB
. Góc giữa hai mặt phẳng
SAD
và
SBC
bằng:
A.
60
. B.
30
. C.
45
. D.
90
.
Câu 70. (THPT KIẾN AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABC
có cạnh
SA
vuông
góc với mặt phẳng
ABC
, biết
AB AC a
,
3BC a
. Tính góc giữa hai mặt phẳng
SAB
và
SAC
.
A.
30
. B.
150
. C.
60
. D.
120
.
Câu 71. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông
cạnh
,
SA
vuông góc với đáy và
SA a
(tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai mặt phẳng
SAB
và
SCD
bằng?
A.
60
. B.
45
. C.
30
. D.
90
.
Câu 72. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác vuông cân tại
B
, cạnh
bên
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy,
AB BC a
và
SA a
. Góc giữa hai mặt phẳng
SAC
và
SBC
bằng
A.
60
. B.
90
. C.
30
. D.
45
.
Câu 73. (THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
AB a
, cạnh bên
SA
vuông góc với đáy và
SA a
(hình vẽ). Góc giữa hai
mặt phẳng
SAD
và
SBC
bằng:
A.
45
. B.
30
. C.
60
. D.
90
.
Câu 74. (Trường THPT Chuyên Lam Sơn_2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy là hình thoi tâm
O
và
( )SO ABCD
,
6
3
a
SO
,
BC SB a
.Số đo góc giữa hai mặt phẳng
( )SBC
và
( )SCD
là:
A.
0
90
. B.
0
60
. C.
0
30
. D.
0
45
.
S
A
B
C
D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
Câu 75. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương thi thử lần 1 (2018-2019)) Cho hình chóp đều
.
S ABCD
có
cạnh đáy bằng
2
và cạnh bên bằng
2 2
. Gọi
là góc của mặt phẳng
( )SAC
và mặt phẳng
( )SAB
. Khi đó
cos
bằng
A.
5
7
. B.
2 5
5
. C.
21
7
. D.
5
5
.
Câu 76. (TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam
giác đều cạnh bằng
a
,
SA ABC
,
3SA a
. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng
SAB
và
SBC
là
A.
2
5
. B.
1
5
. C.
2
5
. D.
1
5
.
Câu 77. (THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019) Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có cạnh bên bằng
2a
, cạnh đáy bằng
a
. Gọi
là góc giữa hai mặt bên của hình chóp đó. Hãy tính
cos
.
A.
8
cos
15
. B.
3
cos
2
. C.
7
cos
15
. D.
1
cos
2
.
Câu 78. [THPT NINH BÌNH-BẠC LIÊU-2019] Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ
nhật,
AB a
, cạnh bên
SA
vuông góc với đáy và
SA a
. Góc giữa hai mặt phẳng
SBC
và
SAD
bằng
A.
60
. B.
30
. C.
90
. D.
45
.
Câu 79. (SGD Điện Biên - 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
3
AB
,
4
BC
. Tam giác
SAC
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm
C
đến
đường thẳng
SA
bằng
4
.
Côsin của góc giữa hai mặt phẳng
SAB
và
SAC
bằng
A.
3 17
17
. B.
3 34
34
. C.
2 34
17
. D.
5 34
17
.
a
a
A
B
D
C
S
C
A
D
B
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
Câu 80. (Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2018-2019) Cho hinh chop
.S ABCD
co đay
ABCD
la hinh
vuông canh
a
,
SAB
la tam giac đêu va
SAB
vuông goc vơi
ABCD
. Tinh
cos
vơi
la goc
tao bơi
SAC
va
SCD
.
A.
3
7
. B.
6
7
. C.
5
7
. D.
2
7
.
Dạng 3.3 Góc của hai mặt phẳng khác
Câu 81. (THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Cho hình lăng trụ đều
.ABC A B C
có tất cả các cạnh
bằng nhau. Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng
AB C
và
A BC
, tính
cos
A.
1
7
. B.
21
7
. C.
7
7
. D.
4
7
.
Câu 82. (Tham khảo THPTQG 2019) Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
. Góc giữa hai mặt phẳng
A B CD
và
ABC D
bằng
A.
30
. B.
60
. C.
45
. D.
90
.
Câu 83. (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho hình lập phương .ABCD A B C D
. Tính góc giữa hai
mặt phẳng
A BC
và
A CD
.
A.
90
. B.
120
. C.
60
. D.
45
.
Câu 84. (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-L1-2019) Cho hình lăng trụ đứng
D. DABC A B C
có đáy
DABC
là
hình thoi, 2 2 3AC AA a
. Góc giữa hai mặt phẳng
'A BD
và
C BD
bằng
A.
0
90
. B.
0
60
. C.
0
45
. D.
0
30
.
Câu 85. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương thi thử lần 1 (2018-2019)) Cho lăng trụ đều
. ' ' 'ABC A B C
có
2 3, ' 2.AB BB
Gọi
, ,M N P
tương ứng là trung điểm của
' ', ' ', .A B A C BC
Nếu gọi
là độ
lớn của góc giữa hai mặt phẳng
MNP
và
'ACC
thì
cos
bằng
A.
4
5
. B.
2
5
. C.
3
5
. D.
2 3
5
.
Câu 86. (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An - L2 - 2019) Cho hình hộp chữ nhật
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có mặt
ABCD
là hình vuông,
6
'
2
AB
AA
. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
'A BD
và
'C BD
.
A.
0
30
. B.
0
45
. C.
0
60
. D.
0
90
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
Câu 87. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
có tâm
O
. Gọi
I
là
tâm của hình vuông
A B C D
và
M
là điểm thuộc đoạn thẳng
OI
sao cho
1
2
MO MI
(tham khảo
hình vẽ).
Khi đó
sin
của góc tạo bởi hai mặt phẳng
MC D
và
MAB
bằng.
A.
17 13
65
. B.
6 85
85
. C.
7 85
85
. D.
6 13
65
.
Câu 88. (Tham khảo 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều
.ABC A B C
có 2 3AB và
2.AA
Gọi
, ,M N P
lần lượt là trung điểm các cạnh
,A B A C
và
BC
(tham khảo hình vẽ bên). Côsin của
góc tạo bởi hai mặt phẳng
AB C
và
MNP
bằng
A.
6 13
65
. B.
13
65
. C.
17 13
65
. D.
18 13
65
.
Câu 89. (Thi thử lần 4-chuyên Bắc Giang_18-19) Cho hình hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
có các cạnh
2AB
;
3AD
;
4AA
. Góc giữa hai mặt phẳng
BC D
và
A C D
là
, (tham khảo hình vẽ
bên dưới). Tính giá trị gần đúng của
?
P
N
M
C'
B'
A'
C
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
A.
38,1
. B.
45,2
. C.
53,4
. D.
61,6
.
Câu 90. (KSCL Sở Hà Nam - 2019) Cho hình lăng trụ đứng
.
ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình thoi.
Biết
2, 3
AC AA
. Tính góc giữa hai mặt phẳng
AB D
và
CB D
.
A.
0
60
. B.
0
90
. C.
0
45
. D.
0
30
.
Câu 91. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
có tâm
O
. Gọi
I
là
tâm của hình vuông
A B C D
và
M
là điểm thuộc đoạn thẳng
OI
sao cho
2
MO MI
(tham khảo
hình vẽ).
Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
( )MC D
và
( )MAB
bằng
A.
6 85
85
. B.
7 85
85
. C.
17 13
65
. D.
6 13
65
.
Câu 92. (Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho hình hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
có các cạnh
2AB
,
3
AD
,
4AA
. Góc giữa hai mặt phẳng
( ' ')AB D
và
( ' ' )A C D
là
. Tính giá trị gần
đúng của góc
.
A.
45,2
. B.
38,1
. C.
53,4
. D.
61,6
.
DẠNG 4. MỘT SỐ CÂU HỎI LIÊN QUAN
Câu 93. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Trong hình lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có
AB AA a
,
2BC a
,
5AC a
. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng
ABC
và
A BC
có số đo bằng
45
.
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
B'
A'
N
J
O
K
H
M
I
L
C'
D'
D
C
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
B. Hai mặt phẳng
'AA B B
và
BB C
vuông góc với nhau.
C.
2 2AC a
.
D. Đáy
ABC
là tam giác vuông.
Câu 94. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Cho tam giác đều
ABC
cạnh
a
. Gọi
B
d
,
C
d
lần
lượt là các đường thẳng đi qua
B
,
C
và vuông góc với
ABC
.
P
là mặt phẳng đi qua
A
và
hợp với
ABC
một góc bằng
60
.
P
cắt
B
d
,
C
d
tại
D
và
E
. Biết
6
2
a
AD
,
3AE a
.
Đặt
DAE
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
30
. B.
2
sin
6
. C.
6
sin
2
. D.
60
.
Câu 95. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Cho tứ diện
ABCD
có
ACD BCD
,
AC AD BC BD a
và
2CD x
. Gọi
,
J
lần lượt là trung điểm của
AB
và
CD
. Với giá trị nào của
x
thì
ABC ABD
?
A.
3
3
a
x
. B.
x a
. C.
3x a
. D.
3
a
x
.
Câu 96. (ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018)Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là
hình vuông cạnh
a
và
SA ABCD
,
SA x
. Xác định
x
để hai mặt phẳng
SBC
và
SDC
tạo với nhau một góc
60
.
A.
3x a
. B.
x a
. C.
3
2
a
x
. D.
2
a
x
.
Câu 97. (THPT THÁI PHIÊN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương
/ / / /
.
ABCD A B C D
có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng
( )P
đi qua dường chéo
/
BD
, khi diện
tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất, côsin góc tạo bởi
( )P
và mặt phẳng
( )ABCD
bằng
A.
6
3
. B.
6
4
. C.
6
6
. D.
2 2
3
.
Câu 98. (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 3 - 2018) Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
đỉnh S, có độ dài
cạnh đáy bằng
a
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh
SB
và
SC
. Biết mặt phẳng
AMN
vuông góc với mặt phẳng
.SBC
Tính diện tích tam giác
AMN
theo
a
.
A.
2
10
.
24
a
B.
2
10
.
16
a
C.
2
5
.
8
a
D.
2
5
.
4
a
Câu 99.
(THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018)Cho tứ diện
ABCD
có
AC AD BC BD a
và hai mặt phẳng
ACD
,
BCD
vuông góc với nhau. Tính độ dài
cạnh
CD
sao cho hai mặt phẳng
ABC
,
ABD
vuông góc.
A.
2
3
a
. B.
3
a
.
C.
2
a
. D.
3a
.
Câu 100. (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - HKI - 2018) Bạn Nam làm một cái máng thoát nước mưa,
mặt cắt là hình thang cân có độ dài hai cạnh bên và cạnh đáy đều bằng
20 cm
, thành máng nghiêng
với mặt đất một góc
0 90
. Bạn Nam phải nghiêng thành máng một góc trong khoảng
nào sau đây để lượng nước mưa thoát được là nhiều nhất?
V
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
A.
50 ;70
. B.
10 ;30
. C.
30 ;50
. D.
70 ;90
.
Câu 101. (Trường THPT Thăng Long Lần 1 năm 2018-2019) Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
có
cạnh bằng
3
. Mặt phẳng
cắt tất cả các cạnh bên của hình lập phương. Tính diện tích thiết
diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng
biết
tạo với mặt phẳng
ABB A
một góc
60
.
A.
2 3
. B.
3
2
. C.
6
. D.
3 3
2
.
Câu 102. Cho hình lập phương
ABCD.A' B' C' D'
có cạnh bằng 3. Gọi
M ,N ,P
là ba điểm lần lượt thuộc
ba cạnh
BB',C ' D', AD
sao cho
1
BM C' N DP
. Tính diện tích
S
của thiết diện cắt bởi mặt
phẳng
( M N P )
với hình lập phương đã cho.
A.
13 3
3
S
. B.
17 3
3
S
. C.
15 3
2
S
. D.
13 3
2
S
.
Câu 103. Cho hình hình lập phương
.
ABCD A B C D
có cạnh bằng
3
. Mặt phẳng
cắt tất cả các cạnh
bên của hình lập phương. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi
biết
tạo
với
ABB A
một góc
60
.
A.
2 3
. B.
3
2
. C.
6
. D.
3 3
2
.
Câu 104. Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA
vuông góc với đáy, góc giữa mặt phẳng
ABC
và mặt phẳng
SBC
bằng
0
60 .
Tính diện tích
ABC
, biết diện tích
SBC
bằng 2.
A. 1. B.
3
. C. 4. D. 2.
Câu 105. (Bình Giang-Hải Dương lần 2-2019) Bác Bình muốn làm một ngôi nhà mái lá cọ như trong hình
với diện tích mặt nền nhà (tính theo viền tường bên ngoài ngôi nhà) là
2
100 m
, mỗi mặt phẳng mái
nhà nghiêng so với mặt đất
0
30
, để lợp một
2
m
mái nhà cần mua
100
nghìn đồng lá cọ. Hỏi số tiền
bác Bình sử dụng mua lá cọ để lợp tất cả mái nhà gần nhất với số nào sau đây? (coi như các mép
của mái lá cọ chỉ chớm đến viền tường bên ngoài ngôi nhà, chỗ thò ra khỏi tường không đáng kể).
A.
11,547
triệu đồng. B.
12,547
triệu đồng. C.
18,547
triệu đồng. D.
19,547
triệu đồng.
Câu 106. Cho tứ diện ABCD
AC AD BC BD a
,
ACD BCD
và
ABC ABD
. Tính độ
dài cạnh CD.
A.
2 3
3
a
. B.
3
3
a
. C.
2a
. D.
2 2a
.
20cm
20cm
20cm
φ
φ
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
Câu 107. Cho hình hộp chữ nhật
.
ABCB A B C D
có
, 3,
AB a AD a AA a
. Gọi
,M N
lần lượt là
trung điểm của
,
AD AA
. Góc giữa hai đường thẳng
MN
và
BB
bằng
A.
45
. B.
90
. C.
60
. D.
30
.
Câu 108. (Bình Giang-Hải Dương lần 2-2019) Cho hình lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có
, 2 ; 5AB AA a BC a AC a
. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
2 2AC a
.
B. Góc giữa hai mặt phẳng
ABC
và
A BC
có số đo bằng
45
.
C. Đáy
ABC
là tam giác vuông.
D. Hai mặt phẳng
AA B B
và
BB C
vuông góc với nhau.
B. LỜI GIẢI
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1. Chọn B
A sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau.
C Sai vì hai đường thẳng đó có thể trùng nhau.
D Sai vì hai đường thẳng đó có thể cheo nhau.
Câu 2. Chọn B
Câu 3. Chọn A
Lý thuyết.
Câu 4. Chọn A
Câu 5. Chọn A
Câu 6. Chọn D
Câu 7. Chọn A
Câu 8. Chọn A
Câu 9. Chọn D
Câu 10. Chọn B
Có hai mệnh đề đúng là ii) và iii)
Câu 11. Chọn A
Khẳng định (I) đúng (Hình vẽ trên)
Khẳng định (II) sai vì nếu
a P
và
a b
thì
/ /
b P
hoặc
b P
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
Khẳng định (III) sai trong trường hợp đường thẳng
a
vuông góc với mặt phẳng
P
. Khi đó có
vô sô mặt phẳng chứa đường thẳng
a
và vuông góc với mặt phẳng
P
. Ví dụ hình hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
thì qua đường thẳng
AA
ta chỉ ra được ít nhất ba mặt phẳng cùng vuông góc với
mặt phẳng
ABCD
.
Khẳng định (IV) sai trong trường hợp đường thẳng
a
không vuông góc với mặt phẳng
P
. Khi
đường thẳng
a
không vuông góc với mặt phẳng
P
thì qua đường thẳng
a
có duy nhất một mặt
phẳng
Q
vuông góc với mặt phẳng
P
.
Câu 12. Chọn A
Hình ảnh minh họa hai mặt phẳng
P
và
Q
cùng vuông góc với mặt phẳng
R
nhưng không
song song với nhau.
Câu 13. Chọn B
+ Qua
M
có duy nhất một đường thẳng
d
vuông góc với
P
và
Q
.
+ Mọi mặt phẳng chứa
d
đều vuông góc với
P
và
Q
nên có vô số mặt phẳng qua
M
vuông
góc với
P
và
Q
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, MẶT PHẲNG
VỚI ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với đường thẳng
Câu 14.
Lời giai
Chon D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
Câu 15. Chọn A
Từ giả thiết suy ra
;
SO AC SO BD
SO ABCD
mà
,SO SBD
SO SAC
;SBD ABCD
SAC ABCD
. Vậy
SC SBD
là mệnh đề sai.
Câu 16. Chọn C
SA BC
đúng vì
SA ABC
.
AB BC
đúng vì
ABC
vuông tại
B
.
SB BC
đúng vì
AB BC
BC SAB
SA BC
.
Câu 17. Chọn C
H
C
B
A
D
S
A
C
B
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
Gọi
1
D
là hình chiếu vuông góc của
D
trên
SBC
.
Gọi
là góc tạo bởi đường
MD
và mặt phẳng
SBC
. Khi đó:
1
sin
DD
MD
.
Ta có
2
2 2 2
5
4 2
a a
MD CD CM a .
Gọi
H
là chân đường cao kẻ từ
S
của
SAB
. Khi đó do tam giác
SAB
đều và
SAB ABCD SH ABCD
và
3
2
a
SH
.
Kẻ
1 1 1
,
HH SB HH SBC d H SBC HH
và ta có
1
2 2
2 2 2
1
1 1 1 1 1 3
4
3
2
2
a
HH
HH SH BH
a
a
.
Ta có
1 1
3
, , 2 , 2
2
a
DD d D SBC d A SBC d H SBC HH
.
Do đó
1
15
sin
5
DD
MD
.
Câu 18.
Ta có
SAB ABCD
SAD ABCD
nên
SA ABCD
Suy ra
SA AC
(B đúng);
SA BC
;
SA BD
.
Mặt khác
BC AB
nên
BC SAB
suy ra
BC AH
(A đúng).
và
BD AC
nên
BD SAC
suy ra
BD SC
;
Đồng thời
//
HK BD
nên
HK SC
(C đúng).
Vậy mệnh đề sai là
AK BD
(vì không đủ điều kiện chứng minh).
Dạng 2.2 Hai mặt phẳng vuông góc
Câu 19. Chọn D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
Ta có
AC BD
AC SBD SAC SBD
AC SB
.
Câu 20. Chọn B
Ta có
BC AM
và
BC AA
nên
BC AA M
ABC AA B B
.
Nếu
AC M ABC
thì suy ra
AC M AA B B
: Vô lý.
Do đó B sai.
M
C'
B'
A
C
B
A'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
Câu 21.
Ta có:
gtBI AC
BI SAC SC SC BI
BI SA SA ABC
1
.
Theo giả thiết:
SC IH
2
.
Từ
1
và
2
suy ra:
SC BIH
. Mà
SC SBC
nên
BIH SBC
.
Câu 22. Chọn A
+ Có tam giác
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
,
M
là trung điểm của
AC
BM AC
+ Có
BM AC
BM SAC SBM SAC
BM SA
.
+ Có
BC SA
BC SAB SBC SAB
BC AB
Vậy A sai.
Câu 23.
Chọn D
H
I
S
C
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
do
gt
BC SA SA ABCD
BC AB BC SAB
SA AB A
mà
BC SBC
. Vậy
SBC SAB
.
Câu 24. Chọn B
Ta có:
'
'
AC BD
AC BB D
AC BB
mà
'AC AB C
' 'AB C BB D
.
Câu 25. Chọn B.
Vì
AB SAC
nên
SAC SAB
.
Câu 26. Chọn A
Ta có
AB AD
AB SAD SAB SAD
AB SA
, suy ra phương án B đúng.
Lại có
2 2 2 2 2 2
2 2AC AD DC a a a AC a
.
Gọi
M
là trung điểm của
AB
. Khi đó
2 2 2 2 2 2
2 2BC MB MC a a a BC a
. Ta thấy
2 2 2
AB AC CB
BC AC
.
Như vậy
BC AC
BC SAC SBC SAC
BC SA
, suy ra phương án C đúng.
M
B
C
D
A
S
H
I
S
A
B
C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
Ta có
DC AD
DC SAD SCD SAD
DC SA
, suy ra phương án D đúng.
Câu 27. Chọn B
( ) ( )
( ) ( ) AB ( )
BC AB
( ) (SAB)
SAB ABCD
SAB ABCD BC SAB
SBC
Tương tự suy ra
( ) ( ).SAD SAB
0
; 90SCD SAB ISJ
Vậy có 3 mặt phẳng
( );( );( )ABCD SAD SBC
vuông
góc với
(SAB).
Câu 28.
Ta có
//CD A B
mà
A B A BD
nên
//CD A BD
.
//CB A D
mà
A D A BD
nên
//CB A BD
.
Vậy
CB D
chứa hai đường thẳng
CD
,
CB
cắt nhau và cùng song song với
A BD
từ đó ta
có
//A BD CB D
.
Câu 29.
Gọi
O AC BD
.
Tứ giác
ABCD
là hình thoi nên
AC BD
(1).
Mặt khác tam giác
SAC
cân tại
S
nên
SO AC
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
AC SBD
nên
SBD ABCD
.
O
C
A
B
D
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Dạng 3.1 Góc của mặt phẳng bên với mặt phẳng đáy
Câu 30.
Do
AA ABCD ACC A ABCD
.
Câu 31. Chọn C
Ta thấy hai mặt phẳng
ABCD
và
A B C D
là hai mặt đáy của hình lập phương nên chúng
song song với nhau.
Vậy góc giữa
ABCD
và
A B C D
bằng
, 0
ABCD
A B C D
.
Câu 32.
Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
SEO ;
2
2
a
EO
Xét
SEO
vuông tại
O
, ta có
tan 1
SO
SEO
EO
.
Câu 33. Ta có
,
CD SAD
ABCD SCD SDA
ABCD SCD CD
.
C '
B'
D'
D
A
B
C
A '
O
B
C
A
D
S
E
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
Câu 34.
Gọi
O
,
H
lần lượt là trung điểm của
AC
và
BC
.
Xét tam giác
SHC
vuông tại
H
ta có:
2 2
SH SC HC
2
2
3
5
2
a a
91
2
a
.
Vì
5SA SB SC SD a
nên
SO ABCD
.
Ta có:
SBC ABCD BC
,
SH BC
,
OH BC
, suy ra góc giữa
SBC
và
ABCD
bằng
SHO
.
Xét tam giác
SOH
vuông tại
O
, ta có:
cos
OH
SH
2
91
2
a
a
4 91
91
65 21
.
Câu 35.
Từ
A
ta kẻ đường vuông góc tới
BD
, thì chân đường vuông góc là tâm
O
của hình vuông, từ đây
dễ thấy
SO BD
, nên góc giữa hai mặt phẳng là góc
SOA
.
Xét tam giác
SOA
có
6
tan 3
2
SA a
SOA
OA
a
. Vậy góc cần tìm bằng
0
60
.
A
O
H
B
S
C
D
B
S
A
D
C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
Câu 36.
- Gọi
H
là trung điểm
BG
, theo giả thiết
A H ABC
.
- Gọi
M
,
K
lần lượt là trung điểm của
AB
và
BM
/ /
CM AB
HK CM
HK AB
A HK AB
A KH
là góc giữa hai mặt phẳng
ABC
và
ABB A
- Ta có:
AB a
,
3
3
a
AG BG
2 2 2 2
2
7
2 4 12
AB AG BG a
AH
2
2 2 2
41
12
a
A H A A AH
;
1 3
2 12
a
HK GM
2
2 2 2
165
48
a
A K A H HK
1
cos
165
HK
A K
.
Câu 37. Cách 1:
Gọi
D
là trung điểm cạnh
BC
.
K
B'
C'
H
G
M
A
C
B
A'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
Ta có
SA SB
SA SBC
SA SC
SA BC
.
Mà
SD BC
nên
BC SAD
.
,SBC ABC SDA
.
Khi đó tam giác
SAD
vuông tại
S
có
1
2
SD ;
3
2
AD và
cos
SD
AD
1
cos
3
.
Cách 2:
Chọn hệ trục
Oxyz
như hình vẽ
Ta có
0;0;0
S
,
0;0;1
A
,
0;1;0
B
,
1;0;0
C
phương trình mặt phẳng
: 1 0
ABC x y z
có VTPT
1;1;1
n
.
Mặt phẳng
: 0
SBC Oxy z
có VTPT là
0;0;1
k
.
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng
SBC
và
ABC
là
.
cos
.
n k
n k
1
cos
3
.
Câu 38.
M
A
C
B
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
Kẻ
AM BC
tại
M
. Ta có
, ,
SBC ABC BC
SAM BC
SBC ABC SM AM
SAM SBC SM
SAM ABC AM
.
Suy ra góc giữa
SBC
và
ABC
bằng góc
SMA .
Ta có
tan 1 45
SA a
SMA SMA
AM a
.
Câu 39.
Ta có
BC SAB
BC SA
. Góc giữa hai mặt phẳng
SBC
và
ABC
là góc
SBA.
tan
SA
SBA
AB
3a
a
3
o
60SBA .
Câu 40.
Gọi
I
là trung điểm của
BC AI BC
. Mà
OA BC
nên
AI BC
.
Ta có:
, ,
OBC ABC BC
BC AI OBC ABC OI AI OIA
BC OI
.
Ta có:
2 2
1 1
3
2 2
OI BC OB OC a
.
Xét tam giác
OAI
vuông tại
A
có
3
tan 30
3
OA
OIA OIA
OI
.
Vậy
, 30OBC ABC .
A
O
B
C
I
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
Câu 41.
S
A
B
C
Theo giả thiết vì
SA ABC
nên
SA AB
,
SA BC
. Mặt khác
BC AB
nên
BC SB
. Vậy
góc giữa
SBC
và đáy là góc
SBA
.
Trong tam giác vuông
SAB
ta có:
tan 3 60
SA
AB
.
Câu 42.
Gọi
O
là tâm của hình vuông
ABCD
;
M
là trung điểm của
CD
.
Góc giữa mặt bên và mặt đáy là
SMO
.
Ta có
1 3
2 2
a
OM AD
.
Xét tam giác
SOM
vuông tại
O
, ta có
tan
SO
SMO
OM
3
2
3
3
2
a
a
60
SMO
.
Câu 43.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32
Lời giải
Chọn D
Gọi
M
là trung điểm của
BC
. Suy ra
OM BC
. Nên góc giữa hai mặt phẳng
( )ABC
và
( )OBC
chính là góc
OMA
.
Ta có: Tam giác
OBC
vuông cân tạ O nên
2 2
1 1
3
2 2
OM BC OB OC a
Xét tam giác
OAM
vuông tại O có
1
tan
3
OA
OMA
OM
. Suy ra
0
30
OMA
Vây, góc giữa hai mặt phẳng
( )ABC
và
( )OBC
bằng
0
30
Câu 44. Chọn C
+) Ta có
ABC
là hình chiếu vuông góc của
A BC
trên mặt phẳng
ABC
+) Gọi
là góc giữa
A BC
và
ABC
.
Ta có:
2
2
3 3
cos
2 2
ABC
A BC
S
a
S a
30
.
Câu 45. Chọn C
Gọi
O AC BD
thì
SO ABCD
.
Gọi
M
là trung điểm của
BC
thì
SMO
là góc cần tìm.
Xét
SMO
vuông tại
O
có:
C'
B'
A'
A
B
C
O
M
S
D
C
B
A
a 6
a 6
a
M
A
B
C
O
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33
3
2
tan 3 60 .
3
2
a
SO
SMO SMO
OM
a
Câu 46. Chọn D
Hình chóp tứ giác đều
ABCD
có
H
là trọng tâm của tam giác đáy
BCD
và
DH
cắt
BC
tại
I
Ta có
AH BCD
Tam giác
BCD
đều và
H
là trọng tâm của tam giác
BCD
nên
DI BC
.
AH BC
AI BC
DI BC
góc giữa mặt bên
ABC
và mặt đáy
BCD
là
AID
Tam giác
ABC
đều có
AI
là đường trung tuyến nên
3
2
a
AI
Tam giác
BCD
đều có
H
là trọng tâm nên
1 3
3 6
a
IH DI
.
AH BCD
nên tam giác
AIH
vuông tại
H
. Khi đó
1
cos
3
IH
AIH
AH
Câu 47. Chọn C
Gọi
I AC BD
. Ta có:
; .
BD AI
BD AIA BD BDA ABCD
BD AA
Do đó góc giữa hai mặt phẳng
BDA
và
ABCD
là
AIA
.
Ta có:
AA I
vuông tại
A
, có:
2 2
2 6 6
; sin
2 2 3
a a AA
AA a AI A I AA AI AIA
A I
.
Câu 48. Chọn B
I
H
D
C
B
A
I
D
C
B
A
D'
C'
B'
A'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 34
Ta có
BC AB
BC SA
vì
SA ABCD
.
BC SAB BC SB
.
SBC ABCD BC
SB SBC
,
SB BC
AB ABCD
,
AB BC
góc giữa mặt phẳng
SBC
mặt phẳng
ABCD
bằng góc giữa
,SB AB
bằng góc
SBA
.
0
1
: cos 60
2 2
v
AB a
SAB SBA SBA
SB a
.
Vậy góc giữa mặt phẳng
SBC
mặt phẳng đáy bằng
o
60
.
Câu 49.
Lời giai
Chon B
BC SA
BC SAB
BC AB
. Ta có
SBC ABCD BC
SAB BC
SAB SBC SB
SAB ABCD AB
2a
a
A
D
C
B
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35
Suy ra góc giữa
SBC
và mặt đáy bằng góc
0
ˆ
60
SBA
. Do đó
0
tan 60 3
x
x a
a
.
Câu 50. Chọn A
Ta có:
' 'C ; ' ' '; 'A B ABC D BC B C
Gọi
I
là giao điểm của hai đường chéo
'BC
và
'B C
.
+)
o
1
tan ' ' 30
'
3
CB
CB B CB B
BB
.
Tam giác
'IBB
cân tại
I
, suy ra:
o o
' 120 60
BIB CIB
.
Vậy
o
' 'C ; ' ' 60
A B ABC D
.
Câu 51. Chọn A
Giả sử
.
S ABCD
là hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng
.
Gọi
O AC BD
và
M
là trung điểm của cạnh
CD
2
a
OM
và
3
2
a
SM
.
Theo giả thiết ta có
CD SO
CD SOM
CD OM
CD SM
.
Vậy
, ,
SCD ABCD OM SM SMO
.
Xét tam giác vuông
SOM
ta có
3
2
cos
3
3
2
a
OM
SOM
SM
a
.
Câu 52. Chọn A
I
a
a 3
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
M
O
C
B
A
D
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36
Gọi
O
là giao điểm của
AC
và
BD
,
N
là trung điểm của
BC
.
, D ,
SBC ABC SN ON SNO
1
2
2
OB BD a
Xét
SOB
vuông tại O:
2 2
7SO SB OB a
Xét
SON
vuông tại O:
2 2
2 2SN SO ON a
Xét
SON
vuông tại O:
1 2
cos
4
2 2
ON
SN
Câu 53. Chọn A
Gọi
H
là trung điểm của
' 'B C
' 'AH B C
(do
' 'AB C
cân tại
A
) và
' ' 'A H B C
(do
' ' 'A B C
đều).
Suy ra
' ' , ' ' ' , ' 'AB C A B C AH A H AHA
.
Vậy
' 2 3
tan '
' 3
3
2
AA a
AHA
A H
a
.
Câu 54. Chọn A
A
B
C
A'
B'
C'
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 37
Gọi
M
là trung điểm
' 'B C
. Do lăng trụ đều nên ta có:
' ' 'A M B C
,
' 'AM B C
.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng
' 'AB C
và
' ' 'A B C
là góc
'AMA
.
Lại có tam giác đều
' ' 'A B C
nên
3
' 2 3
2
A M a a
.
Từ đó:
'
t n
1
'
'
3 3
a
AA a
AMA
A M
a
Vậy góc giữa hai mặt phẳng
' 'AB C
và
' ' 'A B C
bằng
30
.
Câu 55. Chọn B
Đặt
AB a
, gọi
I
là trung điểm của
AB
. Ta có:
, ,
SAB ABCD AB
SI AB SAB ABCD SI OI SIO
OI AB
Mặt khác, ta lại có:
3
3 3 1
2
, , tan 3 60
1
2 2 2
2
o
a
SO
AB a SO AB a OI a SIO SIO
OI
a
Câu 56. Chọn D
I
O
B
D
A
C
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 38
Ta có
( )
SA ABC AB
là hình chiếu của
AB
lên
( )ABC
.
Do đó
( ;( )) 30
SBA SB ABC
,
2 3
tan 30
3
a
SA AB
.
Gọi
M
là trung điểm của
BC
, ta có
ABC
đều cạnh
2 3
2
2
a
a AM
Và
( ) ( )
( ; )
SBC ABC BC
AM BC SMA SBC ABC x
SM BC
.
Vậy
2 3 2 2
tan .
3 3
2 3
SA a
x
AM
a
.
Câu 57. Chọn C
Gọi
D
là trung điểm của
BC
.
Ta có
MBC ABC BC
.
Và
BC AD
BC AMD
BC AM
.
Do đó
, ,
MBC ABC DM AD MDA
, (vì tam giác
MAD
vuông tại
A
).
Vậy
3 2 3
tan .
4 2
3
AM a
AD
a
.
Câu 58. Chọn C
x
30°
2a
M
A
C
B
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39
Gọi
O AC BD
ta có
,
SO BD AO BD
Góc giữa mặt phẳng
SBD
và mặt phẳng
ABCD
là góc
SOA
Xét tam giác vuông
SOA
có
6 2
;
6 2
a a
SA OA
Nên
6
3
6
tan
3
2
2
a
SA
SOA
OA
a
, suy ra góc
30
SOA
Vậy góc giữa hai mặt phẳng
SBD
và
ABCD
bằng
30
Câu 59. Chọn B
Gọi
,H K
lần lượt là trung điểm của
CD
và
AB
.
Do tam giác
ACD
cân tại
A
nên
AH CD
mà
ACD BCD
AH BCD AH HB
2 2 2 2
2
AB HA HB a x
và
2 2
2
2 2
a x
AB
HK
.
Do các tam giác
,
ABC ABD
cân tại
C
và
D
nên
,
CK AB DK AB
góc giữa hai mặt phẳng
ABC
và
ABD
là góc
,
KC KD
. Khi đó:
2 2
2
3
90
2 2 3
a x
CD a
ABC ABD CKD KH x x
.
Vậy
3
3
a
x
.
O
S
A
D
B
C
D
C
B
A
H
K
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 40
Câu 60. Chọn B
Gọi
M
và
H
lần lượt là trung điểm
BC
và
CD
. Do
3
2
a
AB AC AD
và
H
là chân
đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy
BCD
nên
AH BCD
.
Ta có
,
BC MH
BC AH BC AMH
MH AH AMH
.
Suy ra
,
BC MH
ABC BCD AMH
BC AM
.
2
2
2 2
3
2 2
tan 3
1
1 6
.
2
2 3
a a
AH AB BH
AMH
MH
a
BD
.
Suy ra
3
AMH
.
Câu 61. Chọn C
Ta có:
//MN BC
(tính chất đường trung bình)
//
MN ABC AMN ABC Ax
.
M
H
B
D
C
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41
Dễ thấy,
Ax AB
BC SAB Ax SAB
Ax AM
. Vậy góc giữa hai mặt phẳng
AMN
và
ABC
là
MAB
. Vì tam giác
SAB
vuông, nên
MAB SBA
. Ta có:
2 2
5
cos cos
5
5
AB a a
MAB SBA
SB
a
SA AB
.
Câu 62. Chọn D
Kéo dài
BC
cắt
C M
tại
D
, khi đó giao tuyến của
( )ABC
và
( )AC M
là
AD
.
Do
M
là trung điểm của
BB
suy ra
2 2 2
2 cos120 3DB BC a a a a
Trong mặt phẳng
( )ABC
kẻ
,
BK AD K AD
.
Gọi
là góc tạo bởi hai mặt phẳng
( )ABC
và
( )AC M
. Ta có
cos
BK
MK
.
Do tam giác
ABC
cân tại
A
và góc
0
120
BAC nên
0
30
ABC ACB suy ra
0
150
ABD .
Ta có
2 2 2 0 2 2 2 2
3
2 . .cos150 3 2 3. 7
2
AD BD AB BD AB a a a a
.
Suy ra
7AD a
0
sin150 . 3 3
sin
7 2 7
a
DAB
a
3 3
.sin
2 7 2 7
a
BK AB DAB a .
a
a
2a
K
D
M
C
B
A'
C'
B'
a
a
a 3
a 3
D
A
C
B
K
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42
2
2 2 2
3 31
28
2 7
a a
MK BM BK a
. Vậy
3
93
2 7
cos
31
31
2 7
a
BK
MK
a
.
Dạng 3.2 Góc của hai mặt phẳng bên
Câu 63.
Ta có
SA ABC SA BC
Mặt khác
BC AB
BC SAB
BC AH
(1).
Gọi
H
,
K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A
trên các cạnh
SB
,
SC
khi đó ta có.
AH SC
(2).
Từ (1) và (2) ta có
AH SBC
AH SC
(3).
Mặt khác ta lại có
AK SC
(4).
Từ (3) và (4) ta có
SC AHK
SC HK
.
Vậy
, ,
SAC SBC AK HK AKH
.
Do
AH SBC AH HK
hay tam giác
AHK
vuông tại
H
.
Ta có
2 2
. 2 5
5
AB SA a
AH
AB SA
;
2 2
.
2
AC SA
AK a
AC SA
30
5
a
HK
.
Vậy
15
cos
5
HK
AKH
AK
.
A
C
B
S
K
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43
Câu 64.
Gọi
N AC DM
. Ta có
2
2
AM AD
BC AB
, do đó hai tam giác
ABC
và
DAM
đồng dạng, suy
ra
90
AMN MAN
. Vậy
AC DM
DM SAC
mà
DM SDM
nên góc giữa hai
mặt phẳng
SAC
và
SDM
là
90
.
Câu 65.
Theo giả thuyết
H
là hình chiếu của
C
lên
AB
nên hình chiếu của mặt phẳng
SBC
lên mặt
phẳng
SAB
là
SBH
. Đặt
,
SBC SAB
ta có:
cos
SBH
SBC
S
S
.
Mặt khác ta có:
2
1 3
. 3
2 2
SHB
a
S a a
.
2 ; 2SB SC a BC a
.
2
4 2 4 2
2 2 7
. . .
2 2 2 2 2
SBC
a a
a a a
S
.
Vậy
3
cos
7
SBH
SBC
S
S
.
N
H
A
D
C
B
M
S
H
B
A
C
S
D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44
Câu 66.
Ta có:
H
là trung điểm
AB
thì
SH AB
(vì tam giác
SAB
đều)
Mà
SAB ABCD
SH ABCD
SAB ABCD AB
Mặt khác
// //
AB CD
SAB SCD Sx AB CD
S SAB SCD
Mà
Sx SH
Sx SHK
Sx SK
, với
K
là trung điểm
CD
.
,
SAB SCD HSK
.
Khi đó
2 3
tan
3
HK
HSK
SH
.
Câu 67.
x
S
A
B
C
D
H
I
Gọi
H
là trung điểm của
AB
SH
là trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác
SAB
Ta có:
,
SAB ABCD
AB SAB ABCD
SH SAB SH AB
SH ABCD
Gọi
I
là trung điểm của
CD
HI
là đường trung bình của hình vuông
ABCD
,
HI a HI CD
Do
CD SH
CD HI
CD SHI
CD SI
S
A
B
C
D
H
K
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 45
Lại có
;
/ /
S SAB SCD
AB SAB CD SCD
AB CD
Sx SAB SCD
với
/ / / /Sx AB CD
Ta có:
/ /
Sx AB
AB SH
SH Sx
. Chứng minh tương tự:
Sx SI
.
Khi đó:
,
,
Sx SCD SAB
SH SAB SH AB
SI SCD SI CD
, ,SAB SCD SH SI HSI
Xét
SHI
có:
2 3
tan
3
HI
SH
.
Câu 68. Giao tuyến của hai mặt phẳng
SAB
và
SCD
là đường thẳng
d
đi qua
S
và
,
// //d AB d CD
.
Do đó
,
d SA d SD
, góc giữa hai mặt phẳng
SAB
và
SCD
là góc giữa
SA
và
SD
Tam giác
SAD
vuông tại
A
,
1
tan
3
AD
ASD
AS
, do đó góc cần tìm bằng
30
.
Câu 69.
Gọi
H
là trung điểm của
AB
, theo đề ra ta được
SH ABCD
.
Dựng
T
,
K
lần lượt là hình chiếu của
H
lên
SA
,
SB
HT SAD
và
HK SBC
.
Vậy
; ;
SAD SBC HT HK
.
Xét tứ giác
SKHT
có hai góc vuông đối diện nhau nên
SKHT
là tứ giác nội tiếp
60
KHT
do
120
ASB
.
Vậy
; ; 60
SAD SBC HT HK KHT
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 46
Câu 70.
Vì
SA ABC
nên
SA AB
và
SA AC
.
ta có:
SAB SAC SA
SA AB
SA AC
, ,
SAB SAC AB AC BAC
.
Xét
ABC
có
2 2 2
cos
2. .
AB AC BC
BAC
AB AC
2
2 2
3
1
2. . 2
a a a
a a
120
BAC
.
Vậy
, 120
SAB SAC
.
Câu 71.
Ta có
//
CD SAD
Sx SAD
CD Sx
Sx SA
Sx SD
và
// //SAB SCD Sx AB CD
,SAB SCD ASD
.
Tam giác
SAD
vuông tại
A
có
SA AD a
SAD
vuông cân tại
A
45
Vậy
, 45
SAB SCD
.
S
A
B
C
D
x
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 47
Câu 72.
Gọi
H
là trung điểm cạnh
AC
Ta có
SAC ABC
(vì
SA ABC
) và
BH AC
BH SAC
.
Trong mặt phẳng
SAC
, kẻ
HK SC
thì
SC BHK
SC BK
.
,SAC SBC SKH
.
Mặt khác
Tam giác
ABC
vuông cân tại
B
có
AB BC a
nên
2AC a
và
2
2
a
BH
.
Hai tam giác
CKH
và
CAS
đồng dạng nên
.HC SA
HK
SC
2 2
. 2
3
HC SA a
HK
SA AC
.
Tam giác
BHK
vuông tại
H
có
tan 3
BH
BK
60
.
Vậy
, 60
SAC SBC
.
Câu 73.
Ta có:
SBC SAD
// // Sx BC AD
.
Ta chứng minh được
BC SAB
BC SB Sx SB
.
S
A
C
B
K
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 48
Lại có:
SA ABCD
SA AD SA Sx
.
Vậy góc giữa mặt phẳng
SBC
và
SAD
là góc
45BSA .
Câu 74. Chọn A
Theo bài ra ta có
2
2 2 2
6 3
9 3
a a
OB SB SO a
và
2
2 2 2
3 6
9 3
a a
OA AB OB a
.
Chọn hệ trục
Oxyz
, với
0;0;0O
,
6
;0;0 ,
3
a
A
3
0; ;0
3
a
B
,
6
0;0;
3
a
S
,
6
;0;0
3
a
C
,
3
0; ;0
3
a
D
.
Phương trình mặt phẳng
( )SBC
có vectơ pháp tuyến là
1; 2;1n
và vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng
( )SCD
là
' 1; 2;1n
.
Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng
( )SBC
và
( )SCD
ta có:
2 2
2 1 2 1
1 2 1
, ' 0
( 1) 2 1 . ( 1) 2 1
cos cos n n
Suy ra góc
0
90
Vậy góc giữa hai mặt phẳng
( )SBC
và
( )SCD
là
0
90
Câu 75. Chọn C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 49
2 2
AC SAC
là tam giác đều
2 3 3
SAC SAO
S S
2 2
7 7
SAB
SH SA AH S
.
Hình chiếu vuông góc của
SAB
lên mặt phẳng
( )SAC
là
SAO
.
Suy ra:
3 21
cos
7
7
SAO
SAB
S
S
.
Câu 76. Chọn B
Gọi
M
là trung điểm của
BC
. Do tam giác
ABC
đều nên
AM BC
và
3
sin60
2
a
AM AB
Gọi
H
,
K
lần lượt là hình chiếu của
A
trên
,SM SB
.
Vì
,
SA ABC SA AB SA AM
. Trong các tam giác vuông
,
SAB SAM
, ta có:
2 2 2
1 1 1 3
2
a
AK
AK SA AB
;
2 2 2
1 1 1 15
5
a
AH
AH SA AM
BC SA do SA ABC
BC SAM BC AH
AM BC
.
AH SM AH KH
AH SBC
AH BC AH SB
SB AH
SB AHK SB HK
SB AK
.
Từ
2 2
3
20
a
AH KH KH AK AH
Từ
1
, cos ,
5
SB AK
HK
SAB SBC AKH SAB SBC
SB HK
AK
Câu 77. Chọn C
O
D
A
B
C
S
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 50
Gọi
,M N
là chân đường cao hạ từ các đỉnh
,B S
của tam giác
SBC
.
H
là hình chiếu của
S
trên
mặt phẳng
ABC
.
Ta có:
AB SHC AB SC
Mặt khác
SC BM SC ABM SC AM
Vậy
; ;
,
SAC SBC SC
AM SAC
SAC SBC AM BM
BM SBC
SC AM SC BM
.
Ta tính góc
AMB
. Xét tam giác
AMB
.
Tam giác
SBC
cân tại
S
nên
N
là trung điểm của
BC
.
+)
2
2 2 2
15
4
4 2
a a
SN SC NC a .
+)
. 15. 15
2.2 4
SN BC a a a
BM
SC a
.
+)
2 2 2 2
AM AC MC BC MC BM
.
Ta có
2 2
2
2 2 2
2
15 15
7
16 16
cos 0
15
2. . 15
2.
16
a a
a
AM BM AB
AMB
a
MA MB
, suy ra góc
AMB
nhọn.
Vậy
7
; ; cos
15
SAC SBC AM BM AMB
.
Câu 78. Chọn D
Ta có:
// , //
//
S SAD SBC
SAD SBC Sx BC Sx AD
BC AD
.
N
M
H
C
B
A
S
a
a
x
A
B
D
C
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 51
Ta có:
BC AB
BC SAB BC SB
BC SA
.
Mà
//
Sx BC Sx SB
tại
S
. (1)
Ta lại có:
//
SA AD
SA Sx
Sx AD
tại
S
. (2)
Từ (1) và (2)
, ,
SBC SAD SB SA ASB
.
Xét tam giác
SAB
vuông tại
A
có:
SA AB SAB
vuông cân tại
45
A ASB
, 45
SBC SAD
.
Câu 79. Chọn B
Xét tam giác
ABC
vuông tại
B
ta có:
2 2 2 2 2
3 4 5
AC AB BC
.
Gọi
K
là chân đường vuông góc kẻ từ
C
xuống
SA
. Xét tam giác
CAK
vuông tại
K
ta có:
2 2 2 2
5 4 3
AK CA CK
.
Kẻ
SH AC
,
H AC
và
//KP SH
,
P AC
thì
KP ABCD
.
Xét tam giác
BAC
vuông tại
B
và tam giác
KAC
vuông tại
K
ta thấy các cạnh tương ứng bằng
nhau và
KP
là đường cao của tam giác
KAC
nên
BP
là đường cao của tam giác
BAC
.
Kẻ
PM KA
,
M KA
. Vì
KA PB
và
KA PM
nên
KA PMB
. Suy ra
KA MB
.
Như vậy, góc giữa mặt phẳng
SAC
và
SAB
bằng góc
PMB
.
Xét tam giác
KAC
vuông tại
K
ta có:
. .KP AC KA KC
. 3.4 12
5 5
KA KC
KP
AC
.
Suy ra
12
5
BP KP
.
Xét tam giác
KPA
vuông tại
P
ta có
2
2 2 2
12 9
3
5 5
PA KA KP
.
Lại có
.
. .
PA PK
PM AK PA PK PM
AK
36
25
.
Xét tam giác
PMB
vuông tại
P
ta có
2 2
2 2
12 36 12 34
5 25 25
MB PB PM
.
M
P
C
A
D
B
H
S
K
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 52
Ta có:
36 25 3 34
cos .
25 34
12 34
MP
PMB
MB
.
Câu 80. Chọn C
Goi
, ,H O J
lân lươt la trung điêm cua
, ,AB AC CD
.
I
la hinh chiêu vuông goc cua
O
lên
SJ
,
K
la hinh chiêu vuông goc cua
I
lên
SC
.
SAB ABCD
SAB ABCD AB SH ABCD
SH AB
.
SH CD
.
Măt khac,
CD HJ CD SHJ CD OI
.
OI SJ
OI SCD OI SC
OI CD
, Có
.
SC OI
SC OK
SC IK
Suy ra
, ,
SAC SCD KO KI OKI
(do
OKI
vuông tại
I
nên
OKI
nhọn)
3
2
a
SH
,
2 2
2SC SD SB BC a
,
2
2 2 2
3 7
2 2
a a
SJ SH HJ a
.
SHJ OIJ ∽
. 3
2 7
OI OJ IJ OJ SH a
OI
SH SJ H J SJ
.
.
7
OJ HJ a
IJ
SJ
.
Có
5 7
14
a
SI SJ IJ
.
SKI SJC
5 7
.
. 5 14
14 2
56
2
a a
SI KI SI JC a
KI
SC JC SC
a
.
OKI
vuông tại
I
3 56 24
tan .
25
2 7 5 14
OI a
KI
a
Có
2
2
1 25 5
cos cos
1 tan 49 7
(do
cos 0
)
O
J
H
D
A
B
C
S
O
K
I
I
K
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 53
Vậy
5
cos
7
.
Dạng 3.3 Góc của hai mặt phẳng khác
Câu 81.
Giả sử cạnh của hình lăng trụ đều
.ABC A B C
có độ dài bằng
a
.
Gọi
M A B AB
và
N A C AC
.
Khi đó
AB C A BC MN
.
Kẻ
A I MN
I MN
mà
AA BC
,
//BC MN AA MN
. Vậy
AI MN
.
Khi đó
, ,AB C A BC AI A I
.
Gọi
J
là trung điểm
BC
.
3
2
a
AJ
,
2 2
7
2
A J AA AJ a
1 7
2 4
a
A I A J
.
Xét tam giác
A IA
có:
2 2 2
1
cos
2. . 7
AI A I AA
A IA
AI A I
1
cos cos , cos 180
7
AI A I A IA
.
Câu 82. Chọn D
Ta có:
CD ADD A CD A D
A D AD
AD A B CD
CD AD
Mà
AD ABC D
ABC D A B CD
Do đó: góc giữa hai mặt phẳng
A B CD
và
ABC D
bằng
90
.
Câu 83. Chọn C
A
D
C
B
D
A
C
B
O
I
J
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 54
Ta có:
A BC
A CD
A C
. Do
BD AC
BD AA
BD A C
.
Kẻ
BE A C E
, thì
BDE A C
.
BDE A BC EB
;
BDE A CD ED
.
Vậy
; ;A BC A CD EB ED
.
Có
BC BA
BC BB
BC AA B B
BC A B
.
Giả sử hình lập phương .ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
. Tam giác A BC
vuông tại
B
với
đường cao là
BE
, ta có:
2 2 2
1 1 1
BE BC BA
2 2
1 1
2a a
2
3
2a
2
3
a
BE
. Tương tự ta có
2
3
a
DE
.
Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác
BDE
:
2 2 2
cos
2. .
BE DE BD
BED
BE DE
2 2
2
2
2 2
2
3 3
2
2.
3
a a
a
a
1
2
120BED .
Vậy
; ;A BC A CD EB ED
180 60BED .
Câu 84. Chọn A
Ta có:
,
BD AC
BD ACC A BD OA BD OC
BD A A
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng
A BD
và
C BD
là góc giữa hai đường thẳng
OA
và
OC
.
Theo giả thiết: 2 2 3 3 6AC A A a AO A A a OA OC a
O
C'
D'
B'
D
B
C
A
A'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 55
Trong tam giác
OA C
:
2 2 2 2 2 2
2
6 6 12
cos 0
2. . 2.6
OA OC A C a a a
O
OA OC a
Suy ra
0
90
A OC
.
Chú ý: có thể suy ra góc
A OC
vuông bằng cách nhận xét 2 tam giác
,
AOA COC
vuông cân.
Câu 85. Chọn B
Do
. ' ' 'ABC A B C
là lăng trụ đều nên nó là lăng trụ đứng và có đáy là tam giác đều. Ta lấy thêm
các trung điểm của
,AB AC
lần lượt là các điểm
, .E L
Gọi
,H K
lần lượt là trung điểm của
' , .A N CL
Khi đó thực hiện phép chiếu vuông góc tam giác
MNP
lên mặt phẳng
' 'ACC A
ta
được tam giác
KNH
.
Tam giác
MNP
có
3,
MN MP NP
với
2 2
3 4 7
MP PE ME
.
Tam giác
MNP
cân tại
P
nên độ dài đường cao kẻ từ
P
tính được là
3 5
7
4 2
.
Nên diện tích là:
1 5 5 3
. 3
2 2 4
MNP
S
.
Tam giác
KHN
có diện tích được tính là
' ' ' '
3 3 3 3
.2 3 .2
2 2 2
3
4 3
2 2 2
KHN ACC A AKHA KCC N
S S S S
.
Áp dụng công thức hình chiếu ta có
.cos
KHN MNP
S S
.
Vậy
3
2
2
cos
5
5 3
4
KHN
MNP
S
S
.
Câu 86. Chọn C
E
H
K
L
P
N
M
C'
B'
A
B
C
A'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 56
+ Gọi
O
là giao điểm của hai đường chéo hình vuông
ABCD
.
Đặt
6
; '
2
x
AB x BC x AA
.
2
2
6 10
' ' '
2 2
x x
A B A D x A BD
cân
'
A O BD
.
2
2
6 10
' ' '
2 2
x x
C B C D x C BD
cân
'
C O BD
.
+
' '
A BD C BD BD
' , ' '
A O BD A O A BD
' , ' '
C O BD C O C BD
góc giữa hai mặt phẳng
'
A BD
và
'
C BD
bằng góc giữa
'A O
và
'C O
.
+ Tính
' 'A OC
.
2 2
2 2
10 2
' ' ' 2
2 2
x x
A O C O A B BO x
.
' ' 2
A C x
.
' ' A OC
đều
0
' ' 60
A OC .
Vậy góc giữa hai mặt phẳng
'
A BD
và
'
C BD
bằng
0
60
.
Cách khác: Gắn hệ trục tọa độ
Oxyz
vào hình hộp chữ nhật
. ' ' ' 'ABCD A B C D
để tìm góc giữa hai
mặt phẳng
'
A BD
và
'
C BD
.
Câu 87. Chọn D
O
D'
C'
A'
B'
D
C
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 57
Ta chọn hình lập phương có cạnh bằng
6
.
Gọi
,P Q
lần lượt là trung điểm các cạnh
C D
và
AB
. Khi đó ta có
2 2
13MP MI IP
,
5, 6 2MQ PQ
Áp dụng định lý hàm
cos
ta được:
2 2 2
17 13
cos
2 . 65
MP MQ PQ
PMQ
MP MQ
.
Gọi
là góc giữa
MC D
và
MAB
:
6 13
sin
65
.
Câu 88. Chọn B
Gọi
,P Q
lần lượt là trung điểm của
BC
và
;B C
, , .I BM AB J CN AC E MN A Q
Suy ra,
MNP AB C MNCB AB C IJ
và gọi
K IJ PE K AQ
với
E
là
trung điểm
MN
(hình vẽ).
, , ,AA QP IJ AQ IJ PE IJ MNP AB C AQ PE
Ta có
13
3, 2 13 ;
3
AP PQ AQ QK
5 5
.
2 3
PE PK
2 2 2
13
cos cos .
2 . 65
KQ KP PQ
QKP
KQ KP
Cách 2
K
E
Q
J
I
P
N
M
C'
B'
A'
C
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 58
Gắn hệ trục tọa độ
Oxyz
như hình vẽ
0;0;0 , 3;0;0 , 0; 3;0 , 0; 3;0 , 3;0;2 , 0; 3;2 , 0; 3;2P A B C A B C
nên
3 3 3 3
; ;2 , ; ;2
2 2 2 2
M N
Ta có vtpt của mp
AB C
là
1
1
, 2;0;3
2 3
n AB AC
và vtpt của mp
MNP
là
2
4;0; 3n
Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng
AB C
và mp
MNP
1 2
8 9
13
os os ,
65
13 25
c c n n
Cách 3
Gọi
Q
là trung điểm của
'AA
, khi đó mặt phẳng
' 'AB C
song song với mặt phẳng
MNQ
nên
góc giữa hai mặt phẳng
' 'AB C
và
MNP
cũng bằng góc giữa hai mặt phẳng
MNQ
và
MNP
.
Ta có:
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 59
; ;
;
MNP MNQ MN
PE MNP PE MN MNP MNQ PEQ
QE MNQ QE MN
hoặc
0
; 180
MNP MNQ PEQ
Tam giác
ABC
đều có cạnh
2 3 3
AP
.
Tam giác
APQ
vuông tại
A
nên ta có:
2 2 2 2
3 1 10
PQ AP AQ
Tam giác
'A QE
vuông tại
'A
nên ta có:
2
2 2 2
3 13
' ' 1
2 2
QE A E A Q
Tam giác
PEF
vuông tại
F
nên ta có:
2
2 2 2
3 5
2
2 2
PE FP FE
Áp dụng định lý hàm số côsin vào tam giác
PQE
ta có:
2 2 2
25 13
10
13
4 4
cos
2. . 65
5 13
2. .
2 2
EP EQ PQ
PEQ
EP EQ
Do đó:
0
13
cos ; ' ' cos 180 cos
65
MNP AB C PEQ PEQ
.
Câu 89. Chọn D
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau.
Theo cách chọn hệ trục tọa độ và theo bài ra ta có:
0;0;0
A
;
2;0;0
B
;
0;3;0
D
;
2;3;0
C
;
2;3;4
C
;
0;0;4
A
.
Ta có:
0;3;4
BC
;
2;3;0
BD
; 12; 8;6
BC D
n BC BD
1
6;4; 3
n
là
một vectơ pháp tuyến của
BC D
.
Tương tự ta có:
2
6; 4; 3
n
là một vectơ pháp tuyến của
A C D
.
Ta có:
1 2
2 2 2
2 2 2
1 2
. 6.6 16 9
29
cos
61
6 4 3 . 6 4 3
n n
n n
.
61,6
.
Câu 90.
Lời giai
Chon A
x
y
z
D'
C'
B'
A'
C
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 60
Gọi
O A C B D
.
AB D CB D B D
Mà
B D ACC A
Mặt khác:
A C CA AB D AO
A C CA CB D CO
suy ra góc giữa hai mặt phẳng
AB D
và
CB D
là góc giữa
AO
và
CO
.
2 2
2
CO AO AA A O AC AOC
là tam giác đều.
Vậy góc cần tìm bằng
0
60
.
Câu 91. Chọn B
Giao tuyến của
( )MAB
và
( )MC D
là đường thẳng
KH
như hình vẽ.
Gọi
J
là tâm hình vuông
ABCD
.
,L N
lần lượt là trung điểm của
C D
và
AB
.
Ta có:
( )
C D LIM C D LM LM KH
.
Tương tự
( )
AB NJM AB MN MN KH
.
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng
( )MAB
và
( )MC D
chính là góc giữa 2 đường thẳng
( , )MN ML
.
B'
A'
N
J
O
K
H
M
I
L
C'
D'
D
C
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 61
Gọi cạnh hình lập phương là
1
. Ta có
10
6
LM
,
34
6
MN
,
2
NL
.
Ta có:
2 2 2
7 85
cos
2 . 85
MN ML NL
LMN
MN ML
.
Suy ra cosin của góc giữa hai mặt phẳng
( )MAB
và
( )MC D
là
7 85
85
.
Câu 92. Chọn D
Gọi
M
và
N
là tâm của các hình chữ nhật
' 'AA D D
và
' ' ' 'A B C D
.
Dễ thấy
' '
A MN D MN
.
Gọi
H
là chân đường cao từ đỉnh
'A
của tam giác
'
A MN
. Thế thì
'
D H MN
.
Suy ra
cos cos ' 'A HD
.
Ta có:
' 5
A D
;
5
'
2
A M
;
13
'
2
A N
;
5
MN .
Xét tam giác
'
A MN
.
Ta có
2 2 2
' ' 9
cos '
2. ' . '
5 13
A M A N MN
A
A M A N
2
2 61
sin ' 1 cos '
5 13
A A .
'
1 61 1
' . ' .sin ' . '
2 4 2
A MN
S A M A N A MN A H
61
' '
2 5
A H D H
.
Trong tam giác
' 'A HD
có
2 2 2
' ' ' ' 29
cos
2. ' . ' 61
A H D H A D
H
A H D H
Vậy
29
cos
61
61,6
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 62
DẠNG 4. MỘT SỐ CÂU HỎI LIÊN QUAN
Câu 93.
Xét tam giác
ABC
có
2
2 2 2
2AB BC a a
2
5a
2
AC
tam giác
ABC
vuông tại
B
.
Đáp án D đúng.
Do
.
ABC A B C
là lăng trụ đứng và tam giác
ABC
vuông tại
B
nên
AB BB C
'
AA B B BB C
Đáp án B đúng.
Do
.
ABC A B C
là lăng trụ đứng và tam giác
ABC
vuông tại
B
nên
, ,
ABC A BC AB A B
45
ABA
Đáp án A đúng.
Xét tam giác vuông
A AC
ta có
2 2
A C AA AC
2 2
5a a
6a
Đáp án C sai.
Câu 94.
Ta có:
ABC
là hình chiếu của
ADE
trên mặt phẳng
ABC
.
Do đó
.cos 60
ABC ADE
S S
2
3 1
.
4 2
ADE
a
S
2
3
2
ADE
a
S
.
Mặt khác
1
. .sin
2
ADE
S AD AE DAE
2
3 1 6
. . 3 sin
2 2 2
a a
a
2
sin
6
.
B'
C'
A'
A
C
B
A
C
B
E
D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 63
Câu 95.
Theo giả thiết ta có:
ACD BCD
ACD BCD CD AJ BCD AJ BJ
AJ CD
.
ACD BCD
(c.c.c)
2 2 2 2
2 2 2AJ BJ AB AJ AC CJ a x
2 2
1 1
2
2 2
AI AB a x
Dễ thấy
CAB
và
DAB
bằng nhau và cân tại các đỉnh
C
và
D
.
2 2
2 2
2 2 2
2 2
a x
a x
DI CI AC AI a
.
Có
CI AB
DI AB
, nên để
ABC ABD
thì
CI DI
hay
ICD
vuông tại
I
.
2 2
3
2 2
3
a
CD CI x a x x
.
Câu 96.
Ta có
SCD SAD
, vẽ
AN SD
tại
N
AN SCD
.
x
a
a
a
a
I
J
D
C
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 64
SAB SBC
, vẽ
AM SB
tại
M
AM SBC
.
,SBC SCD
AM AN
MAN .
Ta có
SB SD
2 2
x a
,
AM AN
2 2
ax
x a
,
SM MN
SB BD
.SM BD
MN
SB
2
2 2
x
SM
x a
2
2 2
2 2
. 2
x
a
x a
MN
x a
2
2 2
2x a
MN
x a
.
AMN
đều cho ta
MN AM
2
2 2
2 2
2xa x a
x a
x a
2 2
2x a x
x a
.
Câu 97. Gọi
là góc tạo bởi
( )P
và mặt phẳng
( )ABCD
Diện tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất
/ /
,( )BD ABCD D BD
/
/
2 6
cos
3
3
BD
D BD
BD
Câu 98. Ta thấy do hình chóp
.S ABC
đỉnh S là chóp tam giác đều nên
. AB BC AC a
. . . SAB SAC c c c AM AN
Do đó tam giác
AMN
cân tại A. Gọi H
là trung điểm của MN thì
AH MN
và I là trung điểm của
BC.
;
:
AMN SBC
AMN SBC MN AH SBC AH SH AH SI
Trong AMN AH MN
Xét tam giác
SAI
có đường AH vừa là trung tuyến vừa là đường cao
nên tam giác
SAI
cân tại A.
Tam giác ABC đều cạnh
.
3
2
a
a AI SA SB
Xét tam giác
SBI
vuông tại I nên
.
2 2
2 2
3
4 4
2
a a a
SI SB BI
Ta có: .
1
2
2 2
a
SH SI
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 65
Xét tam giác
ASH
vuông tại H nên
.
2 2
2 2
3 5
4 8
2 2
a a a
AH SA SH
Vậy . . . . .
2
1 1 5 10
2 2 2 16
2 2
AMN
a a a
S AH MN
Câu 99.
Gọi
H
là trung điểm của
CD
nên
AH CD
AH BCD
(do
ACD BCD
) và
ACD BCD CD
Gọi
M
là trung điểm của
AB
nên
CM AB
Vì
ABC ABD
và
ABC ABD AB
.CM MD
ABC ABD MC MD MCD
vuông cân tại
M
.
Đặt
CD x
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
4 2
x x
AH BH a AB AH BH a
Ta có
2 2
2 2
1 1 2 1 2
2 2 .
2 2 2 2 2 2 2
x x
MH AB a MH CD a x
2
2 2 2 2
2
2 2 4 3
2
3
x a
a x a x x
.
Câu 100. Chọn A
Để lượng mưa thoát được nhiều nhất khi diện tích hình thang cân
ABCD
lớn nhất.
20cm
20cm
20cm
φ
φ
A
B
D
C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 66
Khi đó ta có:
20cmHK AB
,
cos .20DH CK
,
sin .20AH BK
.
Do đó:
1
.
2
ABCD
S AB CD AH
1
20 20 2.20.cos .20.sin
2
400. 1 cos .sin
Đặt
cost
, vì
0 ;180
cos 0
2
400 1 1S t t
.
Xét
2
1 1f t t t
với
0;1t
. Khi đó:
2
2
1 1 .
1
t
f t t t
t
2
2
2 1
1
t t
t
Do đó:
1
0
1
2
t
f t
t
.Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có
f t
đạt giá trị lớn nhất tại
1
2
t
1
cos 60
2
.
Câu 101. Chọn A
Gọi
, , ,M N P Q
lần lượt là giao điểm của
với các cạnh bên
, , ,AA BB CC DD
.
Thiết diện của
với hình lập phương là hình bình hành
MNPQ
. Kẻ
QH
vuông góc với
MN
,
QK
vuông góc với
AA
. Suy ra
HK MN
.
Vì
, , 60
MNPQ ABB A MN
QH MN MNPQ ABB A QH HK QHK
HK MN
.
φ
φ
K
H
D
C
A
B
K
P
D'
A'
B'
A
C
B
D
C'
M
Q
N
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 67
QKH
vuông tại
K
nên
sin 60 2
sin 60
QK QK
QH
QH
;
1
tan 60
QK
KH
.
Do đó ta tìm được
3
MN
.
Vậy diện tích của thiết diện
2 3
MNPQ
S
.
Câu 102. Đáp án. D.
Dựng
3
NK MB,MN KB I
PI AB J
,
2
NQ MJ
2
MR PQ

Thiết diện là lục giác
MRNQPJ
.
Cách 1:
MRNQPJ MJPQ MQNR
S S S
2
2
3 2 3 6 6
3 6
2 2 2
FE FG ,GE
2 6
3 2 3 2
5 3
3 2
2 2 2
MJPQ
( )
( MQ JP )FG
S
1
3 2 3 2 6
3
4 3
2 2
MJPQ
( )
( MQ NR )EG
S
13 3
2
MRNQPJ MJPQ MQNR
S S S
.
Cách 2: Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng
( MRNQPJ );( PJBTKD )
PJBTKD
MRNQPJ
S
S
cos
1 13
9 2
2 2
PJBTKD ABCD KCT APJ
S S S S
3 2
3
2
3
3 6
2
FU
cos cosEFU=
FE
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 68
13 3
2
PJBTKD
MRNQPJ
S
S
cos
.
Câu 103. Chọn A
Giả sử
cắt tất cả các cạnh bên như hình vẽ.
Do góc giữa
và
ABB A
bằng
60
nên suy ra góc giữa
và mặt đáy
ABCD
bằng
90 60 30
.
Gọi
S
là diện tích tứ giác
IJKL
và
S
là diện tích của hình vuông
ABCD
.
Ta có
2
3
.cos30 2 3
cos30
3
2
S
S S S
.
Câu 104.
Chọn A
Áp dụng công thức diện tích hình chiếu:
1
.cos60 2. 1
2
ABC SBC
S S
Câu 105. Chọn A
Ngôi nhà có hai mái đối xứng nhau và có diện tích bằng nhau, diện tích một nửa mặt nền nhà
bằng
2
50S m
. Gọi
'S
là diện tích một mái, khi đó một mái nhà có hình chiếu vuông góc là một
nửa mặt nền nhà. Ta có
0
cos30
'
S
S
2
0
100
'
cos30
3
S
S m
. Vậy tổng diện tích mái nhà là
2
200
3
m
.
Số tiền bác Bình cần là
200
.100 11547
3
nghìn đồng
11,547
triệu đồng.
Câu 106. Chọn A
60
A
C
B
S
M
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 69
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
ABC ABD CM DM
.
o
90
ABC ABD CMD
.
MCD
vuông cân tại M.
MN CD
.
Tương tự, ta cũng có
ABN
vuông cân tại N
MN AB
Đặt
2 , 0
CD x x a
ta có:
CN DN MN x
.
2 2
AN BN a x
.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABN ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 3
3
x a
AN BN MN a x x
.
2 3
2
3
CD x a
.
Câu 107. Chọn C
Vì
/ /
AA BB
nên góc giữa hai đường thẳng
MN
và
BB
bằng góc giữa
MN
và
AA
và bằng góc
ANM
.
Xét tam giác
ANM
vuông tại
A
, ta có:
3 2
tan . 3 60
2
AM a
ANM ANM
AN a
.
Câu 108. Chọn A
a
a
a
a
M
N
A
B
D
C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 70
Ta có: Tam giác
ACC
vuông tại
C
.
Mà
2 2
; 5 6CC AA a AC a AC AC CC a
do đó khẳng định
2 2AC a
là
sai.
+) Ta có
2 2 2 2 2 2
4 5
AB BC a a a AC
chứng tỏ tam giác
ABC
vuông tại
B
+) Ta có
;
AB BC AB BB AB BB C
mà
AB AA B B AA B B BB C
+) Ta có
AB AA ABB A
là hình vuông do đó
45
A BA
.
Mặt khác:
ABC A BC BC
BC AB
và
BC BB BC ABB A
;ABB A ABC AB ABB A A BC A B
góc giữa hai mặt phẳng
ABC
và
A BC
bằng
góc giữa
AB
và
A B
và bằng
A BA
. Vậy góc giữa hai mặt phẳng
ABC
và
A BC
có số đo bằng
45
.
C'
B'
A'
C
B
A
| 1/70
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 TOÁN 11
HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 1H3-4 Contents
A. CÂU HỎI .................................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 1
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, MẶT PHẲNG VỚI ĐƯỜNG
THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG .................................................................................................. 4
Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với đường thẳng .................................... 4
Dạng 2.2 Hai mặt phẳng vuông góc ............................................................................................................................. 4
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG ................................................................................................. 6
Dạng 3.1 Góc của mặt phẳng bên với mặt phẳng đáy .................................................................................................. 6
Dạng 3.2 Góc của hai mặt phẳng bên ..................................................................................................................... 10
Dạng 3.3 Góc của hai mặt phẳng khác ....................................................................................................................... 13
DẠNG 4. MỘT SỐ CÂU HỎI LIÊN QUAN ................................................................................................................ 15
B. LỜI GIẢI ................................................................................................................................................................... 18
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT ................................................................................................................................ 18
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, MẶT PHẲNG VỚI ĐƯỜNG
THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG ................................................................................................ 19
Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với đường thẳng .................................. 19
Dạng 2.2 Hai mặt phẳng vuông góc ........................................................................................................................... 21
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG ............................................................................................... 26
Dạng 3.1 Góc của mặt phẳng bên với mặt phẳng đáy ................................................................................................ 26
Dạng 3.2 Góc của hai mặt phẳng bên ..................................................................................................................... 42
Dạng 3.3 Góc của hai mặt phẳng khác ....................................................................................................................... 53
DẠNG 4. MỘT SỐ CÂU HỎI LIÊN QUAN ................................................................................................................ 62 A. CÂU HỎI
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C. Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 00.
D. Hai đường thẳng trong không gian cắt nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng lớn hơn 00 và nhỏ hơn 900. Câu 2.
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
A. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng tùy ý nằm trong mỗi mặt phẳng.
B. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
C. Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.
D. Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt vuông
góc với hai mặt phẳng đó. Câu 3.
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
A. Hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau.
B. Hình chóp tứ giác đều có các cạnh bên bằng nhau.
C. Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông.
D. Hình chóp tứ giác đều có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên đáy trùng với tâm của đáy. Câu 4.
Cho các đường thẳng a,b và các mặt phẳng  ,  . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau a     a bA.
      . B.   b//   . a      a      a b         
C. a          .
D. a     a b .   b     b     Câu 5.
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
A. Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và
vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng kia.
B. Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước
C. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
D. Đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đườngthẳng chéo nhau a, b khi và chỉ khi
d vuông góc với cả a và . b Câu 6.
Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng   . có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và
vuông góc với   . A. 2 . B. 0 . C. Vô số. D. 1 . Câu 7.
Mảnh bìa phẳng nào sau đây có thể xếp thành lăng trụ tứ giác đều? A. B.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 C. D. Câu 8.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc nhau.
B. Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
C. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông
góc với mặt phẳng kia.
D. Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng vuông góc với nhau. Câu 9.
Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng   . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa a và
vuông góc với   ? A. 2 . B. 0 . C. Vô số. D. 1.
Câu 10. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
i) Hình hộp đứng có đáy là hình vuông là hình lập phương
ii) Hình hộp chữ nhật có tất cả các mặt là hình chữ nhật
iii) Hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với đáy
iv) Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau là hình lập phương A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 11. (Nông Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Trong không gian cho hai đường thẳng a, b và mặt
phẳng (P) , xét các phát biểu sau:
(I). Nếu a / / b mà a  (P) thì luôn có b  (P) .
(II). Nếu a  (P) và a b thì luôn có b / / (P) .
(III). Qua đường thẳng a chỉ có duy nhất một mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P) .
(IV). Qua đường thẳng a luôn có vô số mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P) .
Số khẳng định đúng trong các phát biểu trên là A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3 .
Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai?
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B. Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc
với đường thẳng còn lại.
C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một
đường thẳng thì song song với nhau.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 13. Cho hai mặt phẳng  P và Q song song với nhau và một điểm M không thuộc  P và Q .
Qua M có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với  P và Q . A. 3 . B. Vô số. C. 1. D. 2 .
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, MẶT PHẲNG
VỚI ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với đường thẳng
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD đều. Gọi H là trung điểm của cạnh AC . Tìm mệnh đề sai?
A. SAC    SBD .
B. SH   ABCD .
C. SBD   ABCD . D. CD  SAD .
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và SA SC, SB SD . Mệnh
đề nào sau đây sai?
A. SC   SBD .
B. SO   ABCD .
C. SBD   ABCD . D. SAC    ABCD .
Câu 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng  ABC . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. SA BC .
B. AB BC .
C. AB SC .
D. SB BC .
Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sin của góc tạo bởi đường MD và mặt phẳng  SBC  . 13 13 15 15 A. . B. . C. . D. . 5 3 5 3
Câu 18. (THPT TRIỆU THỊ TRINH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông, hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với mặt đáy. AH , AK lần lượt là đường cao của
tam giác SAB , SAD . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. BC AH .
B. SA AC .
C. HK SC .
D. AK BD .
Dạng 2.2 Hai mặt phẳng vuông góc
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và SB vuông góc với mặt phẳng  ABCD .
Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng SBD ?
A. SBC . B. SAD . C. SCD .
D. SAC  .
Câu 20. Cho lăng trụ đứng ABC.AB C
  có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A . Gọi M là trung điểm
của BC , mệnh đề nào sau đây sai ?
A. ABB   ACC . B. AC M    ABC  .
C. AMC   BCC . D. ABC    ABA .
Câu 21. (THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN 2 - 2018).Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
cân tại B , cạnh bên SA vuông góc với đáy, I là trung điểm AC , H là hình chiếu của I lên SC
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. BIH   SBC  .
B. SAC   SAB .
C. SBC    ABC  . D. SAC    SBC  .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 22. Cho hình chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , SA   ABC  , gọi M là trung
điểm của AC . Mệnh đề nào sai ?
A. SAB  SAC  . B. BM  AC .
C. SBM  SAC . D. SAB  SBC .
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O , SA   ABCD , SA a 6
(như hình vẽ). Mệnh đề nào sau đây là đúng?.
A. SBC    ABCD . B. SBC   SCD . C. SBC    SAD
D. SBC    SAB .
Câu 24. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABC .
D A ' B 'C ' D ' . Mặt phẳng  AB 'C  vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
A. D ' BC  .
B. B ' BD .
C. D ' AB .
D. BA'C ' .
Câu 25. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , cạnh bên SA vuông góc với  ABC
. Gọi I là trung điểm cạnh AC , H là hình chiếu của I trên SC . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. SBC    IHB .
B. SAC   SAB .
C. SAC  SBC  . D. SBC   SAB .
Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD , đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D . Biết
SA AD DC a , AB  2a . Khẳng định nào sau đây sai?
A. SBD  SAC  .
B. SAB  SAD .
C. SAC   SBC  .
D. SAD  SCD .
Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.Trong số các mặt phẳng chứa mặt đáy và các mặt
bên của hình chóp, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (SAB) ? A. 4 . B. 3 . C. 1. D. 2 .
Câu 28. (THPT THANH MIỆN I - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình hộp ABC . D AB CD   , khẳng
định nào đúng về hai mặt phẳng  A BD   và CB D   .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
A. ABD  CB D
  . B. ABD // CB D   .
C. ABD  CB D
  . D. ABD  CB D    BD .
Câu 29. (SGD&ĐT BRVT - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA SC . Khẳng
định nào sau đây đúng?
A. Mặt phẳng SBD vuông góc với mặt phẳng  ABCD .
B. Mặt phẳng SBC  vuông góc với mặt phẳng  ABCD .
C. Mặt phẳng SAD vuông góc với mặt phẳng  ABCD .
D. Mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng  ABCD .
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Dạng 3.1 Góc của mặt phẳng bên với mặt phẳng đáy
Câu 30. [KIM LIÊN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018] Cho hình lập phương ABC . D ABC D
  . Tính góc giữa mặt
phẳng  ABCD và  ACC A   . A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 .
Câu 31. (Thi thử SGD Hưng Yên) Cho hình lập phương ABCD.AB CD
  . Góc giữa  ABCD và  A BCD   bằng A. 45 . B. 60 . C. 0 . D. 90 .
Câu 32. (THPT QUỲNH LƯU - NGHỆ AN - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a 2 và a 2 chiều cao bằng
. Tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng: 2 1 3 A. 1. B. . C. 3 . D. . 3 4
Câu 33. (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA
vuông góc với mặt đáy (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai mặt phẳng SCD và  ABCD bằng S A D B C A. Góc  SDA . B. Góc  SCA . C. Góc  SCB . D. Góc  ASD .
Câu 34. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình
chữ nhật cạnh AB  4a , AD  3a . Các cạnh bên đều có độ dài 5a . Tính góc  giữa  SBC và  ABCD .
A.   7546 .
B.   7121 .
C.   6831 .
D.   6521 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 35. (SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN - 2018) Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông có
cạnh 2a , SA a 6 và vuông góc với đáy. Góc giữa  SBD và  ABCD bằng? A. 0 90 . B. 0 30 . C. 0 45 . D. 0 60 .
Câu 36. (THPT PHÚ LƯƠNG - THÁI NGUYÊN - 2018) Cho hình lăng trụ ABC.AB C   có đáy là tam
giác đều cạnh bằng a , cạnh bên AA  2a . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  ABC
trùng với trung điểm của đoạn BG (với G là trọng tâm tam giác ABC ). Tính cosin của góc 
giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABB A   . 1 1 1 1 A. cos  . B. cos  . C. cos  . D. cos  . 95 165 134 126
Câu 37. (THTP LÊ QUÝ ĐÔN - HÀ NỘI - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện S.ABC có các cạnh SA , SB ; SC
đôi một vuông góc và SA SB SC  1 . Tính cos , trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  ? 1 1 1 1 A. cos  . B. cos  . C. cos  . D. cos  . 2 2 3 3 2 3
Câu 38. (CHUYÊN KHTN - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân
tại A và AB a 2 . Biết SA   ABC  và SA a . Góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  bằng A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 90 .
Câu 39. (THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B ,
AB BC a , SA a 3 , SA   ABC  . Góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  là A. o 45 . B. o 60 . C. o 90 . D. o 30 .
Câu 40. (THPT HOA LƯ A - LẦN 1 - 2018) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc
và OB OC a 6 , OA a . Tính góc giữa hai mặt phẳng  ABC và OBC . A. 60 . B. 30 . C. 45 . D. 90 .
Câu 41. (TT DIỆU HIỀN - CẦN THƠ - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B ,
SA   ABC  , SA  3 cm , AB  1 cm , BC  2 cm . Mặt bên  SBC  hợp với đáy một góc bằng: A. 30 . B. 90 . C. 60 . D. 45 .
Câu 42. (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a 3 , 3a đường cao bằng
. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng: 2 A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 75 .
Câu 43. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho tứ diện OABC có O ,
A OB, OC đôi một
vuông góc và OB OC a 6 , OA a . Khi đó góc giữa hai mặt phẳng ( ABC) và (OBC) bằng A. 0 90 B. 0 60 C. 0 45 D. 0 30
Câu 44. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A BC   có diện tích đáy bằng 2
3a (đvdt), diện tích tam giác A BC bằng 2
2a (đvdt). Tính góc giữa hai mặt phẳng  A B
C  và  ABC ? A. 120 . B. 60 . C. 30 . D. 45 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 45. (Nông Cống - Thanh Hóa - Lần 1 - 1819) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 3a
a 3 , đường cao bằng
. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 2 A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 75 .
Câu 46. (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Cho hình chóp tứ giác đều
có tất cả các cạnh bằng a . Côsin của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2
Câu 47. (Thi thử Bạc Liêu – Ninh Bình lần 1) Cho hình lập phương A . BCD AB CD
  có cạnh bằng a .
Giá trị sin của góc giữa hai mặt phẳng BDA và  ABCD bằng 3 6 6 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 3 3
Câu 48. (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB
= a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB  2a . Góc giữa mặt phẳng SBC  mặt phẳng đáy bằng A. o 90 . B. o 60 . C. o 45 . D. o 30 .
Câu 49. (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,
đường cao SA x . Góc giữa  SBC  và mặt đáy bằng 0
60 . Khi đó x bằng a 6 a 3 a A. . B. a 3 . C. . D. . 2 2 3
Câu 50. (TRƯỜNG CHUYÊN QUANG TRUNG- BÌNH PHƯỚC 2018-2019) Cho hình hộp chữ nhật ABC .
D A' B 'C ' D ' có BC a, BB '  a 3 . Góc giữa hai mặt phẳng  A' B 'C và  ABC ' D  ' bằng A. o 60 . B. o 45 . C. o 30 . D. o 90 .
Câu 51. (THI THỬ L4-CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ-HÒA BÌNH-2018-2019)Cho hình chóp tứ giác
đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc giữa một mặt bên và mặt đáy. 3 2 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 3
Câu 52. (Kim Liên - Hà Nội lần 2 năm 2019) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên
bằng 3a . Gọi  là góc giữa mặt bên và mặt đáy, mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 10 2 14 A. cos  . B. cos  . C. cos  . D. cos  . 4 10 2 14
Câu 53. (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A' B 'C ' có tất cả
các cạnh đều bằng a . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  AB 'C ' và  A' B 'C ' . Tính giá trị của tan ? 2 3 3 3 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2
Câu 54. (SP Đồng Nai - 2019) Cho hình lăng trụ đều AB .
C A' B 'C ' có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng
a . Tính góc giữa hai mặt phẳng  AB 'C ' và  A'B 'C ' .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 .
Câu 55. (Kim Liên - Hà Nội - L1 - 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với O là tâm của 3
đáy và chiều cao SO
AB . Tính góc giữa mặt phẳng SAB và mặt phẳng đáy. 2 A. 90 . B. 60 . C. 30 . D. 45 .
Câu 56. (THPT Yên Dũng 3 - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho hình chop S.ABC có SA  ( ABC) , tam giác
ABC đều cạnh 2a , SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 30 . Khi đó mpSBC tạo với đáy một
góc x . Tính tan x . 1 3 2
A. tan x  2 . B. tan x  . C. tan x  . D. tan x  . 3 2 3
Câu 57. (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Lăng trụ tam giác đều AB . C A BC   có cạnh đáy 3a
bằng a . Gọi M là điểm trên cạnh AA sao cho AM
. Tang của góc hợp bởi hai mặt phẳng 4
MBC  và  ABC  là: 1 3 2 A. 2 . B. . C. . D. . 2 2 2
Câu 58. (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - Lần 1 - Năm học 2018_2019) Cho hình chóp S.ABCD có a 6
đáy ABCD là hình vuông cạnh ,
a SA vuông góc với đáy và SA
. Khi đó góc giữa mặt phẳng 6
SBD và mặt đáy  ABCD là. A. 60 B. 45 C. 30 D. 75
Câu 59. (HKII-CHUYÊN NGUYỄN HUỆ-HN-2018-2019) Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên
hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC AD BC BD a, CD  2x . Tìm giá trị của x để
hai mặt phẳng  ABC  và  ABD vuông góc với nhau. a a 3 a 2 a A. x  . B. x  . C. x  . D. x  . 3 3 3 2
Câu 60. (Thi thử Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa – 07-05 - 2019) Cho tứ diện ABCD có BCD là tam a 6 a 3
giác vuông tại đỉnh B , cạnh CD a , BD
, AB AC AD  . Tính góc tạo bởi các 3 2
mặt phẳng  ABC  và mặt phẳng  BCD .    A. . B. . C. . D. arctan 3 . 4 3 6
Câu 61. (Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại
B , cạnh bên SA vuông góc với đáy  ABC  , AB a , SA  2a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của S ,
B SC . Côsin của góc giữa hai mặt phẳng  AMN  và  ABC  bằng 1 2 5 5 1 A. . B. . C. . D. . 2 5 5 4
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 62. (Thi thử Nguyễn Huệ- Ninh Bình- Lần 3- 2019)Cho lăng trụ đứng ABC.A BC   có cạnh bên
AA  2a , AB AC a , góc  0
BAC  120 . Gọi M là trung điểm BB thì côsin của góc tạo bởi hai
mặt phẳng ( ABC) và ( AC M  ) là 3 5 3 93 A. . B. . C. . D. . 31 5 15 31
Dạng 3.2 Góc của hai mặt phẳng bên
Câu 63. (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B
có AB a , AC  2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA  2 .
a Gọi  là góc tạo bởi hai mặt
phẳng SAC ,SBC  . Tính cos  ? 3 1 15 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 5 5
Câu 64. (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a 2 ,
AD a và SA   ABCD . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB (tham khảo hình vẽ). S A M B D C
Góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và  SDM  bằng A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 .
Câu 65. (THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AD DC a . Biết SAB là tam giác đều cạnh 2a
và mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng  ABCD . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng
SAB và SBC  . 2 2 3 5 A. . B. . C. . D. . 7 6 7 7
Câu 66. (THPT NGUYỄN ĐỨC THUẬN - NAM ĐỊNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có
đáy là hình vuông cạnh a , tam giác đều SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H ,
K lần lượt là trung điểm của AB , CD . Ta có tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng SAB và SCD bằng 2 2 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 2
Câu 67. (THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình vuông
ABCD cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Góc  là góc giữa hai mặt phẳng SAB và
SCD . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2 3 3 3 2 A. tan   . B. tan   . C. tan  . D. tan  . 3 3 2 3
Câu 68. (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a 3 . Góc tạo
bởi  SAB và  SCD bằng A. 30 . B. 60 . C. 90 . D. 45 .
Câu 69. (THPT LƯƠNG VĂN TỤY - NINH BÌNH - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy a 3
ABCD là hình chữ nhật, AB a ; AD
. Mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và nằm trong 2
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABCD . Biết 
ASB  120 . Góc giữa hai mặt phẳng  SAD và SBC  bằng: A. 60 . B. 30 . C. 45 . D. 90 .
Câu 70. (THPT KIẾN AN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông
góc với mặt phẳng  ABC  , biết AB AC a , BC a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng SAB và SAC  . A. 30 . B. 150 . C. 60 . D. 120 .
Câu 71. (SGD&ĐT BẮC GIANG - LẦN 1 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA a (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai mặt phẳng
SAB và SCD bằng? S A D B C A. 60 . B. 45 . C. 30 . D. 90 .
Câu 72. (CHUYÊN ĐHSPHN - 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB BC a và SA a . Góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và SBC  bằng A. 60 . B. 90 . C. 30 . D. 45 .
Câu 73. (THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình chữ nhật với AB a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a (hình vẽ). Góc giữa hai
mặt phẳng SAD và SBC  bằng: A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 .
Câu 74. (Trường THPT Chuyên Lam Sơn_2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O a 6
và SO  ( ABCD) , SO
, BC SB a .Số đo góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là: 3 A. 0 90 . B. 0 60 . C. 0 30 . D. 0 45 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 75. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương thi thử lần 1 (2018-2019)) Cho hình chóp đều S.ABCD có
cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng 2 2 . Gọi  là góc của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SAB)
. Khi đó cos bằng 5 2 5 21 5 A. . B. . C. . D. . 7 5 7 5
Câu 76. (TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam
giác đều cạnh bằng a , SA   ABC , SA a 3 . Cosin của góc giữa hai mặt phẳng  SAB và SBC là 2 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5
Câu 77. (THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng
2a , cạnh đáy bằng a . Gọi  là góc giữa hai mặt bên của hình chóp đó. Hãy tính cos . 8 3 7 1 A. cos  . B. cos  . C. cos  . D. cos  . 15 2 15 2
Câu 78. [THPT NINH BÌNH-BẠC LIÊU-2019] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ
nhật, AB a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a . Góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và SAD bằng S a A D a B C A. 60 . B. 30 . C. 90 . D. 45 .
Câu 79. (SGD Điện Biên - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  3 ,
BC  4 . Tam giác SAC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm C đến
đường thẳng SA bằng 4 . S A D B C
Côsin của góc giữa hai mặt phẳng  SAB và  SAC bằng 3 17 3 34 2 34 5 34 A. . B. . C. . D. . 17 34 17 17
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 80. (Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a , SAB là tam giác đều và SAB vuông góc với  ABCD . Tính cos với  là góc
tạo bởi SAC  và  SCD . 3 6 5 2 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7
Dạng 3.3 Góc của hai mặt phẳng khác
Câu 81. (THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Cho hình lăng trụ đều ABC.AB C
  có tất cả các cạnh
bằng nhau. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  AB C
  và  ABC  , tính cos 1 21 7 4 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7
Câu 82. (Tham khảo THPTQG 2019) Cho hình lập phương ABC . D
A BCD . Góc giữa hai mặt phẳng  
A BCD và  ABCD bằng A. 30 . B. 60 . C. 45 . D. 90 .
Câu 83. (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho hình lập phương ABC . D AB CD
  . Tính góc giữa hai
mặt phẳng  ABC và  ACD. A. 90 . B. 120 . C. 60 . D. 45 .
Câu 84. (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-L1-2019) Cho hình lăng trụ đứng AB D C .A BC  D
  có đáy ABCD là
hình thoi, AC  2 AA  2a 3 . Góc giữa hai mặt phẳng  A' BD và C BD   bằng A. 0 90 . B. 0 60 . C. 0 45 . D. 0 30 .
Câu 85. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương thi thử lần 1 (2018-2019)) Cho lăng trụ đều AB .
C A' B 'C ' có
AB  2 3, BB '  2. Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm của A ' B ', A 'C ', BC. Nếu gọi  là độ
lớn của góc giữa hai mặt phẳng MNP và  ACC ' thì cos bằng 4 2 3 2 3 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5
Câu 86. (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An - L2 - 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABC .
D A' B 'C ' D ' có mặt AB 6
ABCD là hình vuông, AA ' 
. Xác định góc giữa hai mặt phẳng  A' BD và C ' BD . 2 A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 60 . D. 0 90 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 87. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình lập phương ABC . D AB CD
  có tâm O . Gọi I là 1
tâm của hình vuông AB CD
  và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO MI (tham khảo 2 hình vẽ).
Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng MC D
  và MAB bằng. 17 13 6 85 7 85 6 13 A. . B. . C. . D. . 65 85 85 65
Câu 88. (Tham khảo 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.AB C
  có AB  2 3 và AA  2. Gọi
M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh A B  , A C
  và BC (tham khảo hình vẽ bên). Côsin của
góc tạo bởi hai mặt phẳng  AB C
  và MNP bằng C' N M B' A' C P B A 6 13 13 17 13 18 13 A. . B. . C. . D. . 65 65 65 65
Câu 89. (Thi thử lần 4-chuyên Bắc Giang_18-19) Cho hình hộp chữ nhật ABC . D AB CD   có các cạnh
AB  2 ; AD  3 ; AA  4 . Góc giữa hai mặt phẳng  BC D
  và  AC D
  là  , (tham khảo hình vẽ
bên dưới). Tính giá trị gần đúng của  ?
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A B D C B' A' D' C' A. 38,1 . B. 45, 2 . C. 53, 4 . D. 61, 6 .
Câu 90. (KSCL Sở Hà Nam - 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC . D A BCD
  có đáy ABCD là hình thoi.
Biết AC  2, AA  3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng  AB D   và CB D   . A. 0 60 . B. 0 90 . C. 0 45 . D. 0 30 .
Câu 91. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình lập phương ABC . D AB CD
  có tâm O . Gọi I là
tâm của hình vuông AB CD
  và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO  2MI (tham khảo hình vẽ). B C N J A D O H M K B' C' I L A' D'
Khi đó côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC D  )  và (MA ) B bằng 6 85 7 85 17 13 6 13 A. . B. . C. . D. . 85 85 65 65
Câu 92. (Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho hình hộp chữ nhật ABC . D AB CD   có các cạnh
AB  2 , AD  3 , AA  4 . Góc giữa hai mặt phẳng ( AB ' D ') và ( A'C ' D) là  . Tính giá trị gần đúng của góc  . A. 45, 2 . B. 38,1 . C. 53, 4 . D. 61, 6 .
DẠNG 4. MỘT SỐ CÂU HỎI LIÊN QUAN
Câu 93. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 3 - 2018) Trong hình lăng trụ đứng ABC.AB C   có
AB AA  a , BC  2a , AC a 5 . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABC  có số đo bằng 45 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
B. Hai mặt phẳng  AAB ' B và  BB C
  vuông góc với nhau.
C. AC  2a 2 .
D. Đáy ABC là tam giác vuông.
Câu 94. (THPT QUẢNG YÊN - QUẢNG NINH - 2018) Cho tam giác đều ABC cạnh a . Gọi d , d lần B C
lượt là các đường thẳng đi qua B , C và vuông góc với  ABC  .  P là mặt phẳng đi qua A và a 6
hợp với  ABC  một góc bằng 60 .  P cắt d , d tại D và E . Biết AD  , AE a 3 . B C 2 
Đặt   DAE . Khẳng định nào sau đây là đúng? 2 6 A.   30 . B. sin   . C. sin   . D.   60 . 6 2
Câu 95. (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 2 - 2018) Cho tứ diện ABCD có
ACD   BCD , AC AD BC BD a và CD  2x . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của
AB và CD . Với giá trị nào của x thì  ABC    ABD ? a 3 a A. x  .
B. x a .
C. x a 3 . D. x  . 3 3
Câu 96. (ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh a và SA   ABCD , SA x . Xác định x để hai mặt phẳng SBC  và SDC
tạo với nhau một góc 60 . a 3 a
A. x a 3 .
B. x a . C. x  . D. x  . 2 2
Câu 97. (THPT THÁI PHIÊN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lập phương / / / / AB . CD A B C D
có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng (P) đi qua dường chéo / BD , khi diện
tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất, côsin góc tạo bởi (P) và mặt phẳng ( ABCD) bằng 6 6 6 2 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 6 3
Câu 98. (THPT CHUYÊN KHTN - LẦN 3 - 2018) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài
cạnh đáy bằng a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC . Biết mặt phẳng
AMN  vuông góc với mặt phẳng SBC. Tính diện tích tam giác AMN theo a . 2 a 10 2 a 10 2 a 5 2 a 5 A. . B. . C. . D. . 24 16 8 4
Câu 99. (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 4 - 2018)Cho tứ diện ABCD có V
AC AD BC BD a và hai mặt phẳng  ACD ,  BCD vuông góc với nhau. Tính độ dài
cạnh CD sao cho hai mặt phẳng  ABC ,  ABD vuông góc. 2a a a A. . B. . C. . D. a 3 . 3 3 2
Câu 100. (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI - HKI - 2018) Bạn Nam làm một cái máng thoát nước mưa,
mặt cắt là hình thang cân có độ dài hai cạnh bên và cạnh đáy đều bằng 20 cm , thành máng nghiêng
với mặt đất một góc  0    90 . Bạn Nam phải nghiêng thành máng một góc trong khoảng
nào sau đây để lượng nước mưa thoát được là nhiều nhất?
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 20cm 20cm φ φ 20cm A. 50 ;  70 . B. 10 ;  30 . C. 30 ;  50 . D. 70 ;  90 .
Câu 101. (Trường THPT Thăng Long Lần 1 năm 2018-2019) Cho hình lập phương ABC . D AB CD   có
cạnh bằng 3 . Mặt phẳng   cắt tất cả các cạnh bên của hình lập phương. Tính diện tích thiết
diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng   biết   tạo với mặt phẳng  ABB A   một góc 60 . 3 3 3 A. 2 3 . B. . C. 6 . D. . 2 2
Câu 102. Cho hình lập phương ABCD.A' B' C' D' có cạnh bằng 3. Gọi M , N ,P là ba điểm lần lượt thuộc
ba cạnh BB',C ' D', AD sao cho BM C ' N DP  1. Tính diện tích S của thiết diện cắt bởi mặt
phẳng ( M N P ) với hình lập phương đã cho. 13 3 17 3 15 3 13 3 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 3 3 2 2
Câu 103. Cho hình hình lập phương ABC . D A B C 
D có cạnh bằng 3 . Mặt phẳng   cắt tất cả các cạnh
bên của hình lập phương. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi   biết   tạo với  ABB 
A  một góc 60 . 3 3 3 A. 2 3 . B. . C. 6 . D. . 2 2
Câu 104. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt phẳng  ABC và mặt phẳng SBC bằng 0
60 . Tính diện tích A
BC , biết diện tích SBC bằng 2. A. 1. B. 3 . C. 4. D. 2.
Câu 105. (Bình Giang-Hải Dương lần 2-2019) Bác Bình muốn làm một ngôi nhà mái lá cọ như trong hình
với diện tích mặt nền nhà (tính theo viền tường bên ngoài ngôi nhà) là 2
100 m , mỗi mặt phẳng mái
nhà nghiêng so với mặt đất 0 30 , để lợp một 2
m mái nhà cần mua 100 nghìn đồng lá cọ. Hỏi số tiền
bác Bình sử dụng mua lá cọ để lợp tất cả mái nhà gần nhất với số nào sau đây? (coi như các mép
của mái lá cọ chỉ chớm đến viền tường bên ngoài ngôi nhà, chỗ thò ra khỏi tường không đáng kể).
A. 11,547 triệu đồng.
B. 12,547 triệu đồng. C. 18,547 triệu đồng. D. 19,547 triệu đồng.
Câu 106. Cho tứ diện ABCD AC AD BC BD a ,  ACD   BCD và  ABC   ABD . Tính độ
dài cạnh CD. 2 3 3 A. a . B. a . C. 2a . D. 2 2a . 3 3
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 107. Cho hình hộp chữ nhật ABCB.AB CD
  có AB a, AD a 3, AA  a . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của AD, AA . Góc giữa hai đường thẳng MN và BB bằng A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 30 .
Câu 108. (Bình Giang-Hải Dương lần 2-2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A BC   có
AB AA  a, BC  2a; AC a 5 . Khẳng định nào sau đây sai?
A. AC  2a 2 .
B. Góc giữa hai mặt phẳng  ABC và  A B
C  có số đo bằng 45 .
C. Đáy ABC là tam giác vuông.
D. Hai mặt phẳng  AA BB   và  BB C
  vuông góc với nhau. B. LỜI GIẢI
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu 1. Chọn B
A sai vì hai mặt phẳng đó có thể cắt nhau.
C Sai vì hai đường thẳng đó có thể trùng nhau.
D Sai vì hai đường thẳng đó có thể cheo nhau. Câu 2. Chọn B Câu 3. Chọn A Lý thuyết. Câu 4. Chọn A Câu 5. Chọn A Câu 6. Chọn D Câu 7. Chọn A Câu 8. Chọn A Câu 9. Chọn D
Câu 10. Chọn B
Có hai mệnh đề đúng là ii) và iii)
Câu 11. Chọn A
Khẳng định (I) đúng (Hình vẽ trên)
Khẳng định (II) sai vì nếu a   P và a b thì b / /  P hoặc b  P
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Khẳng định (III) sai trong trường hợp đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng  P . Khi đó có
vô sô mặt phẳng chứa đường thẳng a và vuông góc với mặt phẳng  P . Ví dụ hình hộp chữ nhật ABC . D A BCD
  thì qua đường thẳng AA ta chỉ ra được ít nhất ba mặt phẳng cùng vuông góc với
mặt phẳng  ABCD .
Khẳng định (IV) sai trong trường hợp đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng  P . Khi
đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng  P thì qua đường thẳng a có duy nhất một mặt
phẳng Q vuông góc với mặt phẳng  P .
Câu 12. Chọn A
Hình ảnh minh họa hai mặt phẳng  P và Q cùng vuông góc với mặt phẳng  R nhưng không song song với nhau.
Câu 13. Chọn B
+ Qua M có duy nhất một đường thẳng d vuông góc với  P và Q .
+ Mọi mặt phẳng chứa d đều vuông góc với  P và Q nên có vô số mặt phẳng qua M vuông
góc với  P và Q
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, MẶT PHẲNG
VỚI ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với đường thẳng Câu 14. Lời giải Chọn D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S A D H B C
Câu 15. Chọn A
Từ giả thiết suy ra SO AC; SO BD SO   ABCD mà SO  SBD, SO  SAC
 SBD   ABCD; SAC   ABCD . Vậy SC  SBD là mệnh đề sai.
Câu 16. Chọn C S A C B
SA BC đúng vì SA   ABC  .
AB BC đúng vì A
BC vuông tại B .  AB BC
SB BC đúng vì 
BC  SAB . SA BC
Câu 17. Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Gọi D là hình chiếu vuông góc của D trên SBC  . 1
Gọi  là góc tạo bởi đường MD và mặt phẳng SBC  . Khi đó: DD1 sin  . MD 2 a a 5 Ta có 2 2 2
MD CD CM a   . 4 2
Gọi H là chân đường cao kẻ từ S của SAB . Khi đó do tam giác SAB đều và a 3
SAB   ABCD  SH   ABCD và SH  . 2
Kẻ HH SB HH SBC d H , SBCHH và ta có 1 1      1 1 1 1 1 1 a 3      HH  . 2 2 2 2 2 1 HH SH BH    a 4 1 a 3       2 2    a 3
Ta có DD d D, SBCd , A SBC  2d H , SBC  2HH  . 1          1 2 DD 15 Do đó 1 sin    . MD 5 Câu 18.   SAB     ABCD Ta có 
nên SA   ABCD SAD    ABCD 
Suy ra SA AC (B đúng); SA BC ; SA BD .
Mặt khác BC AB nên BC  SAB suy ra BC AH (A đúng).
và BD AC nên BD  SAC  suy ra BD SC ;
Đồng thời HK // BD nên HK SC (C đúng).
Vậy mệnh đề sai là AK BD (vì không đủ điều kiện chứng minh).
Dạng 2.2 Hai mặt phẳng vuông góc
Câu 19. Chọn D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 AC BD Ta có 
AC  SBD  SAC   SBD . AC SB
Câu 20. Chọn B A' C' B' A C M B
Ta có BC AM và BC AA nên BC   AAM    ABC    AAB B   . Nếu  AC M
  ABC  thì suy ra  AC M
  AAB B   : Vô lý. Do đó B sai.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S H I A C B Câu 21.
BI AC gt  Ta có: 
BI  SAC   SC SC BI   1 .
BI SA SA    ABC  
Theo giả thiết: SC IH 2 . Từ  
1 và 2 suy ra: SC   BIH  . Mà SC  SBC  nên  BIH    SBC  .
Câu 22. Chọn A
+ Có tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B , M là trung điểm của AC BM AC BM AC + Có
  BM   SAC   SBM   SAC . BM SA BC SA  + Có
  BC   SAB   SBC    SABBC AB Vậy A sai. Câu 23. Chọn D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
BC SA do SA   ABCD
BC AB gt
  BC   SAB mà BC   SBC  . Vậy  SBC    SAB . 
SA AB A  
Câu 24. Chọn B AC BD Ta có: 
AC   BB ' D mà AC   AB 'C    AB 'C    BB ' D . AC BB ' 
Câu 25. Chọn B. S H A I C B
Vì AB   SAC nên  SAC   SAB .
Câu 26. Chọn A S A M B D C AB AD Ta có 
AB  SAD  SAB  SAD , suy ra phương án B đúng. AB SA  Lại có 2 2 2 2 2 2
AC AD DC a a  2a AC a 2 .
Gọi M là trung điểm của AB . Khi đó 2 2 2 2 2 2
BC MB MC a a  2a BC a 2 . Ta thấy 2 2 2
AB AC CB BC AC . BC AC Như vậy 
BC  SAC   SBC   SAC  , suy ra phương án C đúng. BC SA
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 DC AD Ta có 
DC  SAD  SCD  SAD , suy ra phương án D đúng. DC SA
Câu 27. Chọn B
(SAB)  ( ABCD) 
(SAB)  ( ABCD)  AB  BC  (SAB)  BC  AB   (SBC)  (SAB)
Tương tự suy ra (SAD)  (SAB).
SCD SAB     0 ;  ISJ  90
Vậy có 3 mặt phẳng ( ABCD);(SAD); (SBC) vuông góc với (SAB). Câu 28.
Ta có CD // AB mà A B
   ABD nên CD //  ABD . CB // A D  mà A D    A B
D nên CB//  ABD . Vậy CB D
  chứa hai đường thẳng CD , CB cắt nhau và cùng song song với  A BD   từ đó ta
có  ABD // CB D   . S Câu 29. A B O D C
Gọi O AC BD .
Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC BD (1).
Mặt khác tam giác SAC cân tại S nên SO AC (2).
Từ (1) và (2) suy ra AC  SBD nên SBD   ABCD .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Dạng 3.1 Góc của mặt phẳng bên với mặt phẳng đáy Câu 30.
Do AA   ABCD   ACC A
    ABCD .
Câu 31. Chọn C A ' D' B' C ' A D B C
Ta thấy hai mặt phẳng  ABCD và  A BCD
  là hai mặt đáy của hình lập phương nên chúng song song với nhau.
Vậy góc giữa  ABCD và  A BCD
  bằng  ABCD, AB CD       0. S B C E O A D Câu 32. a 2
Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng  SEO ; EO  2  SO
Xét SEO vuông tại O , ta có tan SEO   1. EO CD    SADCâu 33. Ta có 
  ABCD SCD  ,  SDA . ABCD
  SCD  CD
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S B A O H C D Câu 34.
Gọi O , H lần lượt là trung điểm của AC và BC . 2 2  3  91a
Xét tam giác SHC vuông tại H ta có: 2 2
SH SC HC  5a  a    .  2  2
Vì SA SB SC SD  5a nên SO   ABCD .
Ta có: SBC   ABCD  BC , SH BC , OH BC , suy ra góc giữa  SBC và  ABCD bằng  SHO   . OH 2a 4 91
Xét tam giác SOH vuông tại O , ta có: cos       6521 . SH 91a 91 2 S A B D Câu 35. C
Từ A ta kẻ đường vuông góc tới BD , thì chân đường vuông góc là tâm O của hình vuông, từ đây
dễ thấy SO BD , nên góc giữa hai mặt phẳng là góc SOA . SA a 6 Xét tam giác SO
A có tan SOA  
 3 . Vậy góc cần tìm bằng 0 60 . OA a 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A' C' B' A G C M H K B Câu 36.
- Gọi H là trung điểm BG , theo giả thiết AH   ABC  .
- Gọi M , K lần lượt là trung điểm của AB và BM CM   AB  
HK AB   AHK   AB HK / /CM  
AKH   là góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABB A   a 3 2 2 2 2 AB AG BG 7a
- Ta có: AB a , AG BG  2  AH    3 2 4 12 2 41a 1 a 3 2 165a 2 2 2
AH AA AH  ; HK GM  2 2 2
AK AH HK  12 2 12 48 HK 1  cos   . AK 165
Câu 37. Cách 1:
Gọi D là trung điểm cạnh BC .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 SA SB Ta có 
SA  SBC   SA BC . SA SC
Mà SD BC nên BC  SAD .
 SBC   ABC      ,  SDA   . 1 3 SD 1
Khi đó tam giác SAD vuông tại S có SD  ; AD  và cos   cos  . 2 2 AD 3  Cách 2:
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ
Ta có S 0;0;0 , A0;0 
;1 , B 0;1;0 , C 1;0;0 
 phương trình mặt phẳng  ABC  : x y z 1  0 có VTPT n  1;1  ;1 . 
Mặt phẳng SBC   Oxy : z  0 có VTPT là k  0;0  ;1 .  .nk 1
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng SBC  và  ABC  là cos     cos  . n . k 3 S C A M B Câu 38.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
SBC    ABC   BC SAM    BC
Kẻ AM BC tại M . Ta có 
 SBC , ABC     
 SM , AM  . SAM
  SBC  SM
SAM  ABC  AM
Suy ra góc giữa SBC  và  ABC  bằng góc  SMA .  SA a  Ta có tan SMA  
 1  SMA  45 . AM a Câu 39.
Ta có BC  SAB  BC SA . Góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  là góc  SBA .  SA a 3 tan SBA    3  o  SBA  60 . AB a A O C I Câu 40. B
Gọi I là trung điểm của BC AI BC . Mà OA BC nên AI BC . 
OBC    ABC   BC
Ta có: BC AI
 OBC   ABC    OI AI   , ,  OIA . BC OI  1 1 Ta có: 2 2 OI BC
OB OC a 3 . 2 2  OA 3 
Xét tam giác OAI vuông tại A có tan OIA    OIA  30 . OI 3
Vậy OBC   ABC   ,  30 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S A CCâu 41. B
Theo giả thiết vì SA   ABC  nên SA AB , SA BC . Mặt khác BC AB nên BC SB . Vậy
góc giữa SBC  và đáy là góc  SBA   . SA
Trong tam giác vuông SAB ta có: tan   3    60 . AB Câu 42.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD ; M là trung điểm của CD .
Góc giữa mặt bên và mặt đáy là  SMO . 1 a 3 Ta có OM AD  . 2 2 3 a SO
Xét tam giác SOM vuông tại O , ta có  tan SMO  2   3 
SMO  60 . OM 3 a 2 Câu 43.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Lời giải Chọn D
Gọi M là trung điểm của BC . Suy ra A
OM BC . Nên góc giữa hai mặt phẳng
( ABC ) và (OBC ) chính là góc  OMA . a
Ta có: Tam giác OBC vuông cân tạ O nên 1 1 2 2 a 6 OM BC
OB OC a 3 2 2 O C
Xét tam giác OAM vuông tại O có  OA 1 tan OMA   . Suy ra OM a 6 3 M  0 OMA  30
Vây, góc giữa hai mặt phẳng ( ABC) và B (OBC ) bằng 0 30
Câu 44. Chọn C A' C' B' A C B +) Ta có A
BC là hình chiếu vuông góc của AB
C trên mặt phẳng  ABC
+) Gọi  là góc giữa  A B
C  và  ABC . 2 S a 3 3 Ta có: cos ABC         30 . 2 S 2a 2 ABC
Câu 45. Chọn C S D O C M A B
Gọi O AC BD thì SO   ABCD .
Gọi M là trung điểm của BC thì 
SMO là góc cần tìm. Xét S
MO vuông tại O có:
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 3aSO 2  tan SMO    3  SMO  60 .  OM a 3 2
Câu 46. Chọn D A D B H I C
Hình chóp tứ giác đều ABCD có H là trọng tâm của tam giác đáy BCD và DH cắt BC tại I
Ta có AH   BCD
Tam giác BCD đều và H là trọng tâm của tam giác BCD nên DI BC .  AH BC   AI BC DI BC  
 góc giữa mặt bên  ABC và mặt đáy  BCD là AID a 3
Tam giác ABC đều có AI là đường trung tuyến nên AI  2 1 a 3
Tam giác BCD đều có H là trọng tâm nên IH DI  . 3 6 IH
AH   BCD nên tam giác AIH vuông tại H . Khi đó  1 cos AIH   AH 3
Câu 47. Chọn C A' D' B' C' A D I B C BD AI
Gọi I AC BD . Ta có: 
BD AIA; BD BDAABCD.  BD AA  
Do đó góc giữa hai mặt phẳng BDA và  ABCD là AIA . Ta có: AAI vuông tại A , có: a 2 a 6 AA 6 2 2 
AA  a; AI
AI AA  AI   sin AIA   . 2 2 AI 3
Câu 48. Chọn B
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S 2 a D A a B C
Ta có BC AB
BC SA vì SA   ABCD .
BC  SAB  BC SB .
SBC  ABCD  BC
SB  SBC  , SB BC
AB   ABCD , AB BC
 góc giữa mặt phẳng  SBC  mặt phẳng  ABCD bằng góc giữa SB, AB bằng góc  SBA .  AB a 1  0
SAB : cos SBA     SBA  60 . v SB 2a 2
Vậy góc giữa mặt phẳng  SBC  mặt phẳng đáy bằng o 60 . Câu 49. Lời giải Chọn B
SBC    ABCD  BC  BC SASAB    BC
BC  SAB . Ta có  BC AB  SAB
  SBC   SB
SAB ABCD  AB
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 34
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 x
Suy ra góc giữa  SBC  và mặt đáy bằng góc 0 ˆ SBA  60 . Do đó 0 tan 60   x a 3 . a
Câu 50. Chọn A D' A' C' B' a 3 I D A C a B Ta có: 
A'B'C;ABC 'D 'BC ';B'C
Gọi I là giao điểm của hai đường chéo BC ' và B 'C . CB 1 +)   o tan CB ' B  
CB ' B  30 . BB ' 3
Tam giác IBB ' cân tại I , suy ra:  o  o
BIB '  120  CIB  60 . Vậy 
A B  ABC D  o ' 'C ; ' '  60 .
Câu 51. Chọn A S A D M O B C
Giả sử S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . a a 3
Gọi O AC BD và M là trung điểm của cạnh CD OM  và SM  . 2 2 CD   SO Theo giả thiết ta có 
CD  SOM   CD SM . CD OM
Vậy SCD  ABCD  OM SM   , ,  SMO . a OM
Xét tam giác vuông SOM ta có  3 2 cos SOM    . SM a 3 3 2
Câu 52. Chọn A
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Gọi O là giao điểm của AC và BD , N là trung điểm của BC .
  SBC   ABC   SN ON   , D ,  SNO 1 OB BD  2a 2 Xét SOB vuông tại O: 2 2 SO
SB OB a 7 Xét SON vuông tại O: 2 2 SN
SO ON  2 2a ON 1 2 Xét SO
N vuông tại O: cos    SN 2 2 4
Câu 53. Chọn A A C B A' C' H B'
Gọi H là trung điểm của B 'C '
AH B 'C ' (do A
B 'C ' cân tại A ) và A' H B 'C ' (do A
 ' B 'C ' đều).
Suy ra  AB C   A B C        AH A H   ' ' , ' ' ' , '  AHA ' . AA a Vậy  ' 2 3 tan AHA '    . A' H a 3 3 2
Câu 54. Chọn A
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Gọi M là trung điểm B 'C ' . Do lăng trụ đều nên ta có: A'M B'C ', AM B'C ' . 
Do đó góc giữa hai mặt phẳng  AB 'C ' và  A'B 'C ' là góc AMA'. 3
Lại có tam giác đều A' B 'C ' nên A ' M  2aa 3 . 2 AA a 1 Từ đó:  ' t n a AMA '    A' M a 3 3
Vậy góc giữa hai mặt phẳng  AB 'C ' và  A'B 'C ' bằng 30 .
Câu 55. Chọn B S D A I O C B
Đặt AB a , gọi I là trung điểm của AB . Ta có: 
SAB   ABCD  AB  SI AB
 SAB  ABCD  SI OI   , ,  SIO OI AB  Mặt khác, ta lại có: 3 a 3 3 1  SO 2 
AB a, SO AB a, OI
a  tan SIO  
 3  SIO  60o 2 2 2 OI 1 a 2
Câu 56. Chọn D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 37
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S C A x 2a 30° M B
Ta có SA  (ABC)  AB là hình chiếu của AB lên (ABC) .   2a 3
Do đó SBA  (S ;
B (ABC))  30 , SA AB tan 30  . 3
Gọi M là trung điểm của BC , ta có 2a 3 A
BC đều cạnh 2a AM  2
(SBC)  ( ABC)  BC  Và    AM BC
SMA  (SBC; ABC)  x . SM BCSA 2a 3 2 2 Vậy tan x   .  . AM 3 2a 3 3
Câu 57. Chọn C
Gọi D là trung điểm của BC .
Ta có MBC   ABC  BC . BC AD Và 
BC   AMD . BC AM
Do đó   MBC   ABC      DM AD   , ,
MDA , (vì tam giác MAD vuông tại A ). AM 3a 2 3 Vậy tan    .  . AD 4 a 3 2
Câu 58. Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 38
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S A D O B C
Gọi O AC BD ta có SO B , D AO BD
Góc giữa mặt phẳng  SBD và mặt phẳng  ABCD là góc  SOA a 6 a 2
Xét tam giác vuông SOA có SA  ;OA  6 2 a 6  SA 3 Nên 6 tan SOA    , suy ra góc  SOA  30 OA a 2 3 2
Vậy góc giữa hai mặt phẳng  SBD và  ABCD bằng 30 Câu 59. Chọn B A K B D H C
Gọi H , K lần lượt là trung điểm của CD và AB .
Do tam giác ACD cân tại A nên AH CD mà  ACD   BCD  AH   BCD  AH HB  2 2 2 a x AB  2 2  AB HA HB   2 2
2 a x  và HK   . 2 2
Do các tam giác ABC, ABD cân tại C và D nên CK AB, DK AB  góc giữa hai mặt phẳng
ABC và  ABDlà góc  KC KD  , . Khi đó: 2 2 2 a x CD a 3
ABC    ABD   
CKD  90  KH    x x  . 2 2 3 a 3 Vậy x  . 3
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 60. Chọn B A B D M H C a 3
Gọi M và H lần lượt là trung điểm BC và CD . Do AB AC AD  và H là chân 2
đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy BCD nên AH   BCD . BC MH
Ta có BC AH
BC   AMH  .
MH, AH   AMH   BC MH Suy ra 
  ABC   BCD  ,  AMH . BC AM  2 2  a 3   a        2 2 2   2 AH AB BH    tan AMH     3 . MH 1 1 a 6 BD . 2 2 3  Suy ra  AMH  . 3
Câu 61. Chọn C
Ta có: MN //BC (tính chất đường trung bình)  MN //  ABC    AMN    ABC   Ax .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 40
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Ax AB
Dễ thấy, BC  SAB  Ax  SAB  
. Vậy góc giữa hai mặt phẳng  AMN  và Ax AM   ABC   
là MAB . Vì tam giác SAB vuông, nên MAB SBA . Ta có:   AB a a 5
cosMAB  cosSBA     . 2 2 SB SA AB a 5 5
Câu 62. Chọn D A' C' B' 2a M A a C K a B D
Kéo dài BC cắt C M
tại D , khi đó giao tuyến của ( ABC) và ( AC M  ) là AD .
Do M là trung điểm của BB suy ra 2 2 2
DB BC a a  2a cos120  a 3
Trong mặt phẳng ( ABC) kẻ BK AD, K AD . BK
Gọi  là góc tạo bởi hai mặt phẳng ( ABC) và ( AC M  ) . Ta có cos  . MK A a C a K a 3 B a 3 D
Do tam giác ABC cân tại A và góc  0 BAC  120 nên   0
ABC ACB  30 suy ra  0 ABD  150 . 3 Ta có 2 2 2 0 2 2 2 2
AD BD AB  2B . D A .
B cos150  3a a  2a 3.  7a . 2 a a
Suy ra AD a 7  0 sin150 . 3 3  sin DAB     3 3 BK  .
AB sin DAB a  . a 7 2 7 2 7 2 7
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 a 3 2 3a a 31 BK 2 7 93  2 2 2 MK
BM BK a   . Vậy cos    . 28 2 7 MK a 31 31 2 7
Dạng 3.2 Góc của hai mặt phẳng bên S K H A C Câu 63. B
Ta có SA   ABC   SA BC
Mặt khác BC AB BC  SAB  BC AH (1).
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB , SC khi đó ta có. AH SC (2).
Từ (1) và (2) ta có AH   SBC   AH SC (3).
Mặt khác ta lại có AK SC (4).
Từ (3) và (4) ta có SC   AHK   SC HK .
Vậy SAC SBC   AK HK   , ,  AKH .
Do AH  SBC   AH HK hay tam giác AHK vuông tại H . . AB SA 2a 5 AC.SA a 30 Ta có AH   ; AK
a 2  HK  . 2 2 5 AB SA 2 2 AC SA 5 HK 15 Vậy cos AKH   . AK 5
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S H A M B N D C Câu 64. AM AD 2
Gọi N AC DM . Ta có  
, do đó hai tam giác ABC và DAM đồng dạng, suy BC AB 2 ra  
AMN MAN  90 . Vậy AC DM DM   SAC  mà DM   SDM  nên góc giữa hai
mặt phẳng  SAC  và  SDM  là 90 . S H A B D C Câu 65.
Theo giả thuyết H là hình chiếu của C lên AB nên hình chiếu của mặt phẳng  SBC  lên mặt S
phẳng SAB là SBH  . Đặt   SBC  SAB  , ta có: cos SBH    . S SBC Mặt khác ta có: 2 1 a 3 S  . a a 3  . SHB 2 2
SB SC  2 ; a BC a 2 . a    a a a    2 4 2 4 2 2 2 a 7 S  . . .  . SBC  2 2 2 2 2 S 3 Vậy cos SBH     . S SBC 7
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S x B C H K A Câu 66. D
Ta có: H là trung điểm AB thì SH AB (vì tam giác SAB đều)   SAB     ABCD Mà 
SH   ABCD SAB
   ABCD  AB   AB CD  Mặt khác 
 SAB  SCD  Sx // AB // CD
S  SAB   SCD  Sx SH
Mà Sx  SHK   
, với K là trung điểm CD . Sx SK
 SAB SCD     ,  HSK .  HK 2 3 Khi đó tan HSK   . SH 3 S x A D H I B Câu 67. C
Gọi H là trung điểm của AB SH là trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SAB
SAB   ABCD 
Ta có: AB   SAB  
ABCD  SH   ABCD
SH  SAB,SH AB
Gọi I là trung điểm của CD HI là đường trung bình của hình vuông ABCD
HI a, HI CD CD SH Do 
CD  SHI   CD SI CD HI
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
S  SAB  SCD 
Lại có AB  SAB; CD  SCD  Sx  SAB SCD với Sx / / AB / /CD AB / /CD   Sx / / AB Ta có: 
SH Sx . Chứng minh tương tự: Sx SI . AB SH
Sx  SCD  SAB   Khi đó: SH  
SAB, SH AB  SAB SCD  SH SI    , ,  HSI    
SI  SCD,SI CDHI 2 3 Xét S
HI có: tan    . SH 3
Câu 68. Giao tuyến của hai mặt phẳng  SAB và  SCD là đường thẳng d đi qua S và d //AB, d //CD .
Do đó d S ,
A d SD , góc giữa hai mặt phẳng  SAB và  SCD là góc giữa SA và SD AD
Tam giác SAD vuông tại A ,  1 tan ASD  
, do đó góc cần tìm bằng 30 . AS 3 Câu 69.
Gọi H là trung điểm của AB , theo đề ra ta được SH   ABCD .
Dựng T , K lần lượt là hình chiếu của H lên SA , SB HT  SAD và HK  SBC  .
Vậy SAD; SBC     
 HT; HK  .
Xét tứ giác SKHT có hai góc vuông đối diện nhau nên SKHT là tứ giác nội tiếp   KHT  60 do  ASB  120 .
Vậy SAD SBC       HT HK   ; ;  KHT  60 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 45
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 70.
Vì SA   ABC  nên SA AB và SA AC .
SAB   SAC   SA
ta có: SA AB
 SAB SAC        AB AC  , ,  BAC . SA AC
AB AC BC
a a  a 2 2 2 3 1 Xét ABC có  2 2 2 cos BAC       BAC  120 . 2. . AB AC 2. . a a 2
Vậy SAB,SAC     120. Sx A D Câu 71. B C CD    SAD Sx SA Ta có 
Sx  SAD  
và SAB  SCD  Sx // AB //CD CD  // SxSx SD
 SAB SCD     ,  ASD   .
Tam giác SAD vuông tại A có SA AD a  SAD vuông cân tại A    45
Vậy SAB,SCD     45.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 46
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S KH A C Câu 72. B
Gọi H là trung điểm cạnh AC
Ta có SAC    ABC  (vì SA   ABC  ) và BH AC BH  SAC  .
Trong mặt phẳng SAC  , kẻ HK SC thì SC   BHK   SC BK .
 SAC  SBC      ,  SKH   . Mặt khác a 2
Tam giác ABC vuông cân tại B có AB BC a nên AC a 2 và BH  . 2 HC.SA HC.SA a 2
Hai tam giác CKH và CAS đồng dạng nên HK   HK   . SC 2 2 SA AC 3 BH
Tam giác BHK vuông tại H có tan    3    60 . BK
Vậy SAC ,SBC      60. Câu 73.
Ta có: SBC   SAD  Sx // BC // AD .
Ta chứng minh được BC  SAB  BC SB Sx SB .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 47
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Lại có: SA   ABCD  SA AD SA Sx .
Vậy góc giữa mặt phẳng SBC  và  SAD là góc  BSA  45 .
Câu 74. Chọn A 2 a a Theo bài ra ta có 2 2 2 6 3 OB SB SO a   9 3 2 a a và 2 2 2 3 6 OA AB OB a   . 9 3  a 6   a 3   a 6 
Chọn hệ trục Oxyz , với O0;0;0 , A ;0;0, B 0; ;0 , S  0;0; ,    3        3   3    a 6   a 3  C   ;0;0 , D 0; ;0 .   3      3   
Phương trình mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến là n   1  ; 2; 
1 và vectơ pháp tuyến của mặt 
phẳng (SCD) là n '   1  ; 2;  1 .
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) ta có:    
cos  cos n n  1 2 1 , '   0 ( 1
 )   2 2 1 . ( 1  )   2 2 2 1 2 1  1 Suy ra góc 0   90
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là 0 90
Câu 75. Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 48
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S C B O H D A AC  2 2  S
AC là tam giác đều  S  2 3  S  3 SAC SAO 2 2 SH SA AH  7  S  7 . SAB
Hình chiếu vuông góc của S
AB lên mặt phẳng (SAC) là SAO . S 3 21 Suy ra: cos SAO      . S SAB  7 7
Câu 76. Chọn B
Gọi M là trung điểm của BC . Do tam giác ABC đều nên AM BC và a 3
AM AB sin 60  2
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A trên SM, SB .
Vì SA   ABC  SA A ,
B SA AM . Trong các tam giác vuông SAB , SAM , ta có: 1 1 1 a 3 1 1 1 a 15    AK     AH  2 2 2 ; AK SA AB 2 2 2 2 AH SA AM 5 
BC SAdo SA   ABC  
BC  SAM   BC AHAM BC   AH SMAH KHSB AH
AH  SBC    . 
SB   AHK   SB HK . AH BC AH SB   SB AKa 3 Từ 2 2
AH KH KH AK AH  20 SB AK HK Từ 
 SAB SBC    AKH
SAB SBC 1 , cos ,   SB HK AK  5
Câu 77. Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 49
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S M C A H N B
Gọi M , N là chân đường cao hạ từ các đỉnh B, S của tam giác SBC . H là hình chiếu của S trên
mặt phẳng  ABC  .
Ta có: AB   SHC   AB SC
Mặt khác SC BM SC   ABM   SC AM
SAC   SBC   SC
AM   SAC  Vậy 
 SAC ;SBC    AM ; BM  . BM   SBC
SC AM , SC BM  
Ta tính góc AMB . Xét tam giác AMB .
Tam giác SBC cân tại S nên N là trung điểm của BC . 2 a a 15 +) 2 2 2 SN SC NC  4a   . 4 2 SN.BC a 15.a a 15 +) BM    . SC 2.2a 4 +) 2 2 2 2 AM AC MC
BC MC BM . 2 2 15a 15a 2   a  2 2 2
AM BM AB 7  Ta có 16 16 cos AMB   
 0 , suy ra góc AMB nhọn. 2 2.M . A MB 15a 15 2. 16
Vậy   SAC SBC   AM BM   7 ; ;  AMB  cos  . 15
Câu 78. Chọn D S x a A D a B C
S   SAD   SBC  Ta có:   
 SAD  SBC   Sx //BC , Sx //AD . BC // AD
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 50
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 BC AB Ta có: 
BC   SAB  BC SB . BC SA
Mà Sx//BC Sx SB tại S . (1) SA AD Ta lại có: 
SA Sx tại S . (2) Sx//AD
Từ (1) và (2)  SBC  SAD      SB SA  , ,  ASB .
Xét tam giác SAB vuông tại A có: SA AB  SAB vuông cân tại 
A ASB  45
 SBC,SAD     45.
Câu 79. Chọn B S K M D A P H B C
Xét tam giác ABC vuông tại B ta có: 2 2 2 2 2 AC
AB BC  3  4  5 .
Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống SA . Xét tam giác CAK vuông tại K ta có: 2 2 2 2
AK CA CK  5  4  3.
Kẻ SH AC , H AC và KP//SH , P AC thì KP   ABCD .
Xét tam giác BAC vuông tại B và tam giác KAC vuông tại K ta thấy các cạnh tương ứng bằng
nhau và KP là đường cao của tam giác KAC nên BP là đường cao của tam giác BAC .
Kẻ PM KA , M KA . Vì KA PB và KA PM nên KA   PMB . Suy ra KA MB . 
Như vậy, góc giữa mặt phẳng  SAC  và  SAB bằng góc PMB . . KA KC 3.4 12
Xét tam giác KAC vuông tại K ta có: K . P AC K . A KC KP    . AC 5 5 12
Suy ra BP KP  . 5 2  12  9
Xét tam giác KPA vuông tại P ta có 2 2 2 PA
KA KP  3     .  5  5 P . A PK 36
Lại có PM .AK P . A PK PM   . AK 25 2 2  12   36  12 34
Xét tam giác PMB vuông tại P ta có 2 2 MB PB PM        .  5   25  25
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 51
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 MP Ta có:  36 25 3 34 cos PMB   .  . MB 25 12 34 34
Câu 80. Chọn C S O D A K I H J O K I B C
Gọi H , O, J lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD .
I là hình chiếu vuông góc của O lên SJ , K là hình chiếu vuông góc của I lên SC .
SAB   ABCD 
 SAB    ABCD   AB SH   ABCD  . SH AB   SH CD .
Mặt khác, CD HJ CD  SHJ   CD OI .  OI SJSC OI
OI  SCD  OI SC , Có   SC OK. OI CDSC IK  
Suy ra SAC  SCD      KO KI   , ,  OKI (do O
KI vuông tại I nên OKI nhọn) 2 a 3  a 3  a 7 SH  , 2 2
SC SD SB BC a 2 , 2 2 2 SJ
SH HJ     a  . 2  2  2   OI OJ IJ OJ .SH a 3 SHJ ∽ OIJ     OI   . SH SJ H J SJ 2 7 OJ .HJ a IJ   . SJ 7 5 7a
Có SI SJ IJ  . 14 5 7a a . SI KI SI.JC 5 14a SKI SJC  14 2   KI    . SC JC SC a 2 56 O
KI vuông tại I OI a 3 56 24 tan   .  KI 2 7 5 14a 25 1 25 5 Có 2 cos     cos  (do cos  0 ) 2 1 tan  49 7
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 52
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 5 Vậy cos  . 7
Dạng 3.3 Góc của hai mặt phẳng khác Câu 81.
Giả sử cạnh của hình lăng trụ đều ABC.AB C
  có độ dài bằng a . Gọi M A B
  AB và N AC AC . Khi đó  AB C
    ABC   MN . Kẻ A I
  MN I MN  mà AA  BC , BC//MN AA  MN . Vậy AI MN . Khi đó  AB C
 , ABC    AI, AI    .
Gọi J là trung điểm BC . a 3 7 1 a 7 AJ  , 2 2 AJ AA  AJ
a AI AJ  . 2 2 2 4 Xét tam giác AIA có:  2 2 2
AI AI AA 1  cos AIA       AI AI       AIA 1 cos cos , cos 180  .
2.AI.AI 7 7
Câu 82. Chọn D A B C D I J O ABDC
Ta có: CD   AD D
A   CD   A D   A D AD   AD    A BCDCD AD  Mà 
AD   ABCD   ABCD    A BCD
Do đó: góc giữa hai mặt phẳng  
A BCD và  ABCD bằng 90 .
Câu 83. Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 53
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 BD AC
Ta có:  ABC   ACD  AC . Do      BD A C . BD AA 
Kẻ BE AC  E , thì BDE  AC .
BDEABC EB ;BDEACD ED .
Vậy ABC; AC    D   E ; B ED. BC BA  Có 
BC  AAB B       BC A B . BC BB 
Giả sử hình lập phương ABC . D AB CD
  có cạnh bằng a . Tam giác ABC vuông tại B với
đường cao là BE , ta có: 1 1 1   1 1   3   a 2 a 2 BE
. Tương tự ta có DE  . 2 2 2 BE BC BA 2 2 a 2a 2 2a 3 3
Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác BDE : 2 2 2a 2a 2  2a  2 2 2
BE DE BD  cos BED  3 3  1    BED  120 . 2.BE.DE 2 2a 2 2. 3
Vậy ABC; AC    D   E ; B ED 
180 BED  60 .
Câu 84. Chọn A B C O A D B' C' A' D'BD AC Ta có: 
BD   ACC A
   BD OA , BD OCBD A A  
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng  ABD và C BD
 là góc giữa hai đường thẳng OA và OC.
Theo giả thiết: AC  2 AA  2a 3  AO AA a 3  OA  OC  a 6
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 54
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2 2 2 2 2 2
OA  OC  AC
6a  6a 12a Trong tam giác OA C   : cos O    0 2 2.OA .OC 2.6a Suy ra  0
AOC  90 .
Chú ý: có thể suy ra góc 
AOC vuông bằng cách nhận xét 2 tam giác AOA ,
COC vuông cân.
Câu 85. Chọn B A' H N C' M B' L A K C E P B Do AB .
C A' B 'C ' là lăng trụ đều nên nó là lăng trụ đứng và có đáy là tam giác đều. Ta lấy thêm
các trung điểm của AB, AC lần lượt là các điểm E, L. Gọi H , K lần lượt là trung điểm của
A ' N , C .
L Khi đó thực hiện phép chiếu vuông góc tam giác MNP lên mặt phẳng  ACC ' A' ta
được tam giác KNH .
Tam giác MNP có MN  3, MP NP với 2 2 MP
PE ME  3  4  7 . 3 5
Tam giác MNP cân tại P nên độ dài đường cao kẻ từ P tính được là 7   . 4 2 1 5 5 3
Nên diện tích là: S  . 3  . MNP 2 2 4
Tam giác KHN có diện tích được tính là  3 3 3   3    .2  3  .2 2 2 2     3 SSSS  4 3    . KHN ACC ' A' AKHA' KCC ' N 2 2 2
Áp dụng công thức hình chiếu ta có SS .cos . KHN MNP 3 S 2 Vậy KHN 2 cos    . SMNP 5 3 5 4
Câu 86. Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 55
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A D O B C A' D' B' C'
+ Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình vuông ABCD . x 6
Đặt AB x BC  ; x AA'  . 2 2  x 6  x 10 2
A' B A ' D     x
  A ' BD cân  A'O BD .  2  2   2  x 6  x 10 2
C ' B C ' D     x
 C ' BD cân  C 'O BD .  2  2  
+  A' BD C ' BD  BD
A'O B ,
D A'O   A' BD
C 'O BD, C 'O  C ' BD
 góc giữa hai mặt phẳng  A' BD và C ' BD bằng góc giữa A'O và C 'O . + Tính  A'OC ' . 2 2  x 10   x 2  2 2
A'O C 'O
A ' B BO        x 2 .  2   2     
A'C '  x 2 .
  A 'OC ' đều   0 A'OC '  60 .
Vậy góc giữa hai mặt phẳng  A' BD và C ' BD bằng 0 60 .
Cách khác: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình hộp chữ nhật ABC .
D A' B 'C ' D ' để tìm góc giữa hai
mặt phẳng  A' BD và C ' BD .
Câu 87. Chọn D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 56
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Ta chọn hình lập phương có cạnh bằng 6 . Gọi ,
P Q lần lượt là trung điểm các cạnh C D
  và AB . Khi đó ta có 2 2
MP MI IP  13 , MQ  5, PQ  6 2
Áp dụng định lý hàm cos ta được:  2 2 2
MP MQ PQ 17 13 cos PMQ    . 2M . P MQ 65
Gọi  là góc giữa MC D
  và MAB : 6 13 sin   . 65
Câu 88. Chọn B Gọi ,
P Q lần lượt là trung điểm của BC và B C
 ; I BM AB , J CN AC , E MN A . Q
Suy ra,  MNP  AB C
   MNCB  AB C
   IJ và gọi K IJ PE K AQ với E là
trung điểm MN (hình vẽ).
AAQP  IJ AQ IJ , PE IJ  MNP, AB C      
  AQ, PE    13 5 5
Ta có AP  3, PQ  2  AQ  13  QK  ; PE   PK  . 3 2 3 2 2 2 
KQ KP PQ 13 cos  cos QKP   . 2K . Q KP 65 C' Q N E M B' A' J K I C P B A Cách 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 57
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ
P 0;0;0, A3;0;0, B 0; 3;0,C 0; 3;0, A3;0;2, B0; 3;2,C0; 3;2  3 3   3 3  nên M  ; ; 2  , N  ;  ; 2   2 2   2 2    
  1  
Ta có vtpt của mp  AB C   là n
AB , AC  2;0;3 và vtpt của mp MNP là 1   2 3    n  4; 0; 3  2     8  9 13
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  AB C
  và mp MNP  os c   o
c s n ,n   1 2  13 25 65 Cách 3
Gọi Q là trung điểm của AA ' , khi đó mặt phẳng  AB 'C ' song song với mặt phẳng MNQ nên
góc giữa hai mặt phẳng  AB 'C ' và  MNP cũng bằng góc giữa hai mặt phẳng MNQ và  MNP . Ta có:
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 58
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
MNP  MNQ  MN  0
PE   MNPPE MN   MNP  MNQ   ; ;
PEQ hoặc MNP;MNQ    180  PEQ
QE  MNQ; QE MN
Tam giác ABC đều có cạnh 2 3  AP  3 .
Tam giác APQ vuông tại A nên ta có: 2 2 2 2 PQ
AP AQ  3  1  10 2  3  13
Tam giác A 'QE vuông tại A ' nên ta có: 2 2 2 QE
A ' E A 'Q  1     2  2 2  3  5
Tam giác PEF vuông tại F nên ta có: 2 2 2 PE FP FE  2      2  2
Áp dụng định lý hàm số côsin vào tam giác PQE ta có: 25 13  10  2 2 2
EP EQ PQ 13 4 4 cos PEQ     2. . EP EQ 5 13 65 2. . 2 2 13
Do đó: cos MNP; AB 'C '  0 
 cos 180  PEQ    cos PEQ  . 65
Câu 89. Chọn D
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau. z A' D' C' B' A D y B C x
Theo cách chọn hệ trục tọa độ và theo bài ra ta có: A0;0;0 ; B 2;0;0 ; D0;3;0 ; C 2;3;0 ;
C2;3;4 ; A0;0;4 .      
Ta có: BC  0;3; 4 ; BD  2;3;0  n  BC ;  BD   
n  6; 4;  3 là 1     12; 8;6 BC D     
một vectơ pháp tuyến của  BC D   . 
Tương tự ta có: n  6;  4;  3 là một vectơ pháp tuyến của  AC D   . 2     n .n 6.6 16  9 29 Ta có: 1 2 cos      . n n 6  4   3  2 . 6   4  2   3  2 2 2 2 61 1 2    61, 6 . Câu 90. Lời giải Chọn A
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 59
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Gọi O A C    B D   .  AB D    CB D    B D   Mà B D     ACC A     AC CA      AB D    AO Mặt khác:   AC CA     CB D    CO
suy ra góc giữa hai mặt phẳng  AB D   và CB D
  là góc giữa AO và CO . 2 2 CO AO
AA  AO  2  AC  AOC là tam giác đều. Vậy góc cần tìm bằng 0 60 .
Câu 91. Chọn B B C N J A D O H M K B' C' I L A' D'
Giao tuyến của (MA ) B và (MC D  )
 là đường thẳng KH như hình vẽ.
Gọi J là tâm hình vuông ABCD . ,
L N lần lượt là trung điểm của C D   và AB . Ta có: C D
   (LIM )  C D
   LM LM KH .
Tương tự AB  (NJM )  AB MN MN KH .
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (MA ) B và (MC D  )
 chính là góc giữa 2 đường thẳng (MN, M ) L .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 60
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 10 34
Gọi cạnh hình lập phương là 1. Ta có LM  , MN  , NL  2 . 6 6
MN ML NL  Ta có:  2 2 2 7 85 cos LMN   . 2MN.ML 85 7 85
Suy ra cosin của góc giữa hai mặt phẳng (MA ) B và (MC D  )  là . 85
Câu 92. Chọn D
Gọi M và N là tâm của các hình chữ nhật AA' D ' D và A ' B 'C ' D ' .
Dễ thấy A ' MN  D ' MN .
Gọi H là chân đường cao từ đỉnh A' của tam giác A ' MN . Thế thì D ' H MN . Suy ra 
cos  cos A ' HD ' . 5 13
Ta có: A ' D  5 ; A ' M  ; A' N  ; MN  5 . 2 2
Xét tam giác A ' MN . 2 2 2
A ' M A ' N MN 9 2 61 Ta có cos A '   2
 sin A '  1 cos A'  .
2.A ' M .A ' N 5 13 5 13 1 61 1 61  S
A ' M .A ' N.sin A '  
MN.A' H A ' H   D ' H . A  ' MN 2 4 2 2 5 2 2 2
A' H D ' H A' D ' 29
Trong tam giác A' HD ' có cos H   
2.A' H.D ' H 61 29 Vậy cos     61, 6 . 61
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 61
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
DẠNG 4. MỘT SỐ CÂU HỎI LIÊN QUAN A' C' B' A C Câu 93. B
Xét tam giác ABC có AB BC a   a2 2 2 2 2 2  5a 2
AC  tam giác ABC vuông tại B .
 Đáp án D đúng.
Do ABC.AB C
  là lăng trụ đứng và tam giác ABC vuông tại B nên AB   BB C  
  AAB ' B   BB C
   Đáp án B đúng.
Do ABC.AB C
  là lăng trụ đứng và tam giác ABC vuông tại B nên  
ABC , ABC    AB, AB  ABA  45  Đáp án A đúng.
Xét tam giác vuông AAC ta có 2 2 AC AA  AC 2 2 
a  5a a 6  Đáp án C sai. E D A C B Câu 94.
Ta có: ABC là hình chiếu của A
DE trên mặt phẳng  ABC  . 2 a 3 1 2 a 3 Do đó SS .cos 60   S .  S  . ABC ADE 4 ADE 2 ADE 2 1 2 a 3 1 a 6 2 Mặt khác  S  .
AD AE.sin DAE   .
.a 3 sin   sin   . ADE 2 2 2 2 6
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 62
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A I a a a C B x J a D Câu 95.
ACD   BCD  Theo giả thiết ta có: 
ACD   BCD  CD AJ   BCD  AJ BJ .  AJ CD
ACD  BCD (c.c.c)  AJ BJ AB AJ   2 2
AC CJ    2 2 2 2 2 a x  1 1  AI AB  2 2 2 a x  2 2
Dễ thấy CAB và D
AB bằng nhau và cân tại các đỉnh C và D .  2 2 a x  2 2 a x 2 2 2
DI CI
AC AI a   . 2 2 CI   AB Có 
, nên để  ABC    ABD thì CI DI hay ICD vuông tại I . DI ABa 3 2 2
CD CI 2  2x a x x  . 3 Câu 96.
Ta có SCD  SAD , vẽ AN SD tại N AN  SCD .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 63
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
SAB  SBC , vẽ AM SB tại M AM  SBC .
 SBC  SCD  , 
AM AN MAN . ax SM MN SM .BD Ta có SB SD 2 2 
x a , AM AN  ,   MN  2 2 x a SB BD SB 2 x .a 2 2 x 2 2 x a 2 x a 2 SM   MN   MN  . 2 2 2 2 x a 2 2 x a x a 2 xa x a 2
AMN đều cho ta MN AM   2 2 
x a x 2  x a . 2 2 2 2 x a x a
Câu 97. Gọi  là góc tạo bởi (P) và mặt phẳng ( ABCD)
Diện tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất     / BD ABCD   / , ( )  D BD BD 2 6 / cos D BD    / BD 3 3
Câu 98. Ta thấy do hình chóp S.ABC đỉnh S là chóp tam giác đều nên AB BC AC  . a
SAB  SAC  . c .
c c  AM AN.
Do đó tam giác AMN cân tại
A. Gọi H
là trung điểm của MN thì AH MN và I là trung điểm của BC.
AMN   SBC
AMNSBC  MN AH  SBC  AH SH; AH SI
Trong AMN:AH   MN
Xét tam giác SAI có đường AH vừa là trung tuyến vừa là đường cao
nên tam giác SAI cân tại A. a 3
Tam giác ABC đều cạnh a AI   SA S . B 2 2 2 3a a a
Xét tam giác SBI vuông tại I nên 2 2 SI SB BI    . 4 4 2 1 a Ta có: SH SI  . 2 2 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 64
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2 2 3a a a 5
Xét tam giác ASH vuông tại H nên 2 2 AH SA SH    . 4 8 2 2 2 1 1 a 5 a a 10 Vậy S  .AH.MN  . .  . AMN 2 2 2 2 2 16 Câu 99.
Gọi H là trung điểm của CD nên AH CD
AH   BCD (do  ACD   BCD ) và  ACD   BCD  CD
Gọi M là trung điểm của AB nên CM AB
Vì  ABC    ABD và  ABC    ABD  AB CM  . MD
ABC  ABD MC MD  MCD vuông cân tại M . 2 2 x x
Đặt CD x 2 2 2 2 2 2 2
AH BH a
AB AH BH  2a  4 2 2 2 1 1 x 2 x 1 2 Ta có 2 2 MH AB  2a   MH CD  2a  .  x 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2a 2 2 2 2  2a
 2x  4a  3x x  . 2 3
Câu 100. Chọn A D C 20cm 20cm φ φ A 20cm B
Để lượng mưa thoát được nhiều nhất khi diện tích hình thang cân ABCD lớn nhất.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 65
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A B φ φ D C H K
Khi đó ta có: HK AB  20cm , DH CK  cos.20 , AH BK  sin .20 . 1 1 Do đó: SAB CD AH
20  20  2.20.cos .20.sin  400.1 cos.sin ABCD  . 2 2
Đặt t  cos , vì  0 ;1
 80  cos  0  S    t  2 400 1 1 t . t  2 2  t t 1
Xét f t     t  2 1
1 t với t  0 
;1 . Khi đó: f t 2
 1 t  1 t .  2 1 t 2 1 tt  1
Do đó: f t  0     1 .Bảng biến thiên: t   2 1 1
Từ bảng biến thiên ta có f t  đạt giá trị lớn nhất tại t   cos     60 . 2 2
Câu 101. Chọn A C' B' P A' D' N K Q B C H M D A
Gọi M , N , P, Q lần lượt là giao điểm của   với các cạnh bên AA, BB ,
CC, DD .
Thiết diện của   với hình lập phương là hình bình hành MNPQ . Kẻ QH vuông góc với MN ,
QK vuông góc với AA . Suy ra HK MN . 
 MNPQABB A   MN  Vì QH MN  
MNPQ ABB A    QH HK   , ,  QHK  60  . HK MN 
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 66
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 QK QK QK
QKH vuông tại K nên sin 60   QH   2 ; KH  1. QH sin 60 tan 60
Do đó ta tìm được MN  3 .
Vậy diện tích của thiết diện S  2 3 . MNPQ
Câu 102. Đáp án. D.  
Dựng NK  3MB,MN KB I
PI AB J ,   NQ  2MJ   MR  2PQ
Thiết diện là lục giác MRNQPJ . Cách 1: SSS MRNQPJ MJPQ MQNR 2  3 2  3 6 6 2 FE  3      FG ,GE  6  2  2 2   2 6 ( 3 2  3 2 ) ( MQ JP )FG 5 3 3 2 S    MJPQ 2 2 2 1
( 3 2  3 2 ) 6 ( MQ NR )EG 3 S    4 3 MJPQ 2 2 13 3 SSS  . MRNQPJ MJPQ MQNR 2
Cách 2: Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng( MRNQPJ );( PJBTKD ) SPJBTKD SMRNQPJ cos 1 13 SSSS  9   2  PJBTKD ABCD KCT APJ 2 2 3 2 FU 3 2
cos  cosEFU=   FE 3 6 3 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 67
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S 13 3 PJBTKD S   . MRNQPJ cos 2
Câu 103. Chọn A
Giả sử   cắt tất cả các cạnh bên như hình vẽ.
Do góc giữa   và  ABB 
A  bằng 60 nên suy ra góc giữa   và mặt đáy  ABCD bằng 90  60  30 .
Gọi S là diện tích tứ giác IJKL và S là diện tích của hình vuông ABCD . S  2 3
Ta có S  S.cos 30  S    2 3 . cos 30 3 2 S C A 60 M B Câu 104. Chọn A
Áp dụng công thức diện tích hình chiếu: 1 SS .cos 60  2.  1 ABC SBC 2
Câu 105. Chọn A
Ngôi nhà có hai mái đối xứng nhau và có diện tích bằng nhau, diện tích một nửa mặt nền nhà bằng 2
S  50 m . Gọi S ' là diện tích một mái, khi đó một mái nhà có hình chiếu vuông góc là một S S 100
nửa mặt nền nhà. Ta có 0  cos 30 2  S '  
m . Vậy tổng diện tích mái nhà là S ' 0 cos 30 3 200 2 m . 3 200
Số tiền bác Bình cần là
.100  11547 nghìn đồng  11, 547 triệu đồng. 3
Câu 106. Chọn A
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 68
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 C a a N A M B a a D
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. ABC A
BD CM DM .
ABC    ABD  o  CMD  90 .  M
CD vuông cân tại M.  MN CD .
Tương tự, ta cũng có ABN
vuông cân tại N MN AB Đặt CD  2 ,
x 0  x a ta có:
CN DN MN x . 2 2
AN BN a x .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABN ta có: 1 1 1 2 1 3      x a . 2 2 2 2 2 2 AN BN MN a x x 3 2 3
CD  2x a . 3
Câu 107. Chọn C
Vì AA / / BB nên góc giữa hai đường thẳng MN và BB bằng góc giữa MN và AA và bằng góc  ANM . AM a 3 2
Xét tam giác ANM vuông tại A , ta có:   tan ANM   .
 3  ANM  60 . AN 2 a
Câu 108. Chọn A
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 69
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A B C B' A' C'
Ta có: Tam giác ACC vuông tại C . Mà 2 2
CC  AA  ;
a AC a 5  AC 
AC CC  a 6 do đó khẳng định AC  2a 2 là sai. +) Ta có 2 2 2 2 2 2
AB BC a  4a  5a AC chứng tỏ tam giác ABC vuông tại B
+) Ta có AB BC; AB BB  AB   BB C
  mà AB   AAB B
    AAB B     BB C  
+) Ta có AB AA  ABB A
  là hình vuông do đó  A BA  45 .
Mặt khác:  ABC    A B
C   BC
BC AB và BC BB  BC   ABB A    ABB A
    ABC   AB;  ABB A
    ABC   AB  góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABC bằng
góc giữa AB và AB và bằng 
ABA . Vậy góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  A B
C  có số đo bằng 45 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 70