Bài tập trắc nghiệm khoảng cách có đáp án và lời giải

Tài liệu gồm 82 trang được biên soạn bởi thầy Nguyễn Bảo Vương, tuyển chọn 114 câu hỏi và bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết về các chủ đề: khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, 

102 51 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

82 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng
hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
TOÁN 11
1H3-5
Con
tents
A. C
ÂU HỎI .................................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ..................................................... 1
DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG ................................................................................... 3
Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên.............................................................................. 3
Dạng 2.2 Khoàng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt phẳng ........................................................................................ 6
DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG .......................................................................................... 11
B. LỜI GIẢI ................................................................................................................................................................... 18
DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ................................................... 18
DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG ................................................................................. 22
Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên............................................................................ 22
Dạng 2.2 Khoàng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt phẳng ...................................................................................... 34
DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG .......................................................................................... 54
A. CÂU HỎI
DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều
.
S
ABCD
có cạnh đáy là
2a
và tam giác
S
AC
đều. Tính độ dài cạnh
bên của hình chóp.
A.
2a
. B.
2a
. C.
3a
. D.
a
.
Câu 2. (Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho tứ diện
A
BCD
có
3 , 4AC a BD a
. Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm
và
B
C
. Biết
vuông góc
BD
. Tính
M
N
.
A.
5
2
a
M
N
. B.
7
2
a
M
N
. C.
7
2
a
M
N
. D.
5
2
a
M
N
.
Câu 3. (Ngô Quyền - Hải Phòng lần 2 - 2018-2019) Cho hình chóp
.
S
ABC
có đáy là tam giác đều cạnh
a
,
SA ABC
, góc giữa hai mặt phẳng
A
BC
và
S
BC
là
60
. Độ dài cạnh
S
A
bằng
A.
3
2
a
. B.
2
a
. C.
3a
. D.
3
a
.
Câu 4. (ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Cho hình lăng trụ
.
A
BC A B C
có tất cả các cạnh đều bằng
a
. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng
30
.
Hình chiếu
H
của
A
trên mặt phẳng
A
B C
là trung điểm của
B
C
. Tính theo
a
khoảng cách
giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ
.
ABC A B C
.
KHOẢNG CÁCH
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng
hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
A.
2
a
. B.
3
a
. C.
3
2
a
. D.
2
2
a
.
Câu 5. Cho hình hộp chữ nhật
.
' ' ' 'ABCD A B C D
có
2A
D a
,
C
D a
,
'
2AA a
. Đường chéo
'A
C
có độ dài bằng
A.
5a
. B.
7a
. C.
6a
. D.
3a
.
Câu 6. Cho hình hộp chữ nhật
.
A
BCD A B C D
có
2A
D a
,
C
D a
,
2A
A a
. Đường chéo
A
C
có
độ dài bằng:
A.
5a
. B.
7a
. C.
6a
. D.
3a
.
Câu 7. (Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho tứ diện
A
BCD
có tam giác
ABD
đều cạnh bằng
2
, tam giác
ABC
vuông tại
B
,
3
BC
. Biết khoảng cách giữa hai đường
thẳng chéo nhau
A
B
và
C
D
bằng
11
2
. Khi đó độ dài cạnh
C
D
là
A.
2
. B.
2
. C.
1
. D.
3
.
Câu 8. Cho hình bình hành
A
BCD
. Qua
, , ,A B C D
lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng
, , ,Ax By Cz Dt
cùng
phía so với
A
BCD
song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng
A
BCD
. Một mặt phẳng
lần lượt cắt các nửa đường thẳng
, , ,Ax By Cz Dt
tại
, , ,A B C D
thỏa mãn
2, 3, 4
AA BB CC
. Hãy tính
.DD
A.
3.
B.
7
.
C.
2
.
D.
5.
Câu 9. (Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Cho tứ diện
A
BCD
có tam giác
A
BD
đều cạnh bằng
2
, tam
giác
ABC
vuông tại
B
,
3
BC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
A
B
và
CD
bằng
11
2
. Khi đó độ dài cạnh
C
D
là
A.
2
. B.
2
. C.
1
. D.
3
.
Câu 10. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hình lăng trụ tam giác đều
.
' ' 'ABC A B C
có độ dài cạnh đáy
bằng
4 3
và cạnh bên bằng
1
2
. Gọi
M
và
N
lần lượt là trung điểm của
'AA
và
BC
, gọi
P
và
Q
là hai điểm chạy trên đáy
'
' 'A B C
sao cho
3
PQ
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T MP NQ
bằng
A.
8 3
. B.
3 37
. C.
3 61
. D.
6 29
.
Câu 11. (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho hình chóp
.
S
ABCD
có
SA ABCD
,
2SA a
,
ABCD
là hình vuông cạnh bằng
a
. Gọi
O
là tâm của
ABCD
, tính khoảng cách từ
O
đến
S
C
.
A.
2
4
a
. B.
3
3a
. C.
4
3a
. D.
3
2a
.
Câu 12. Một hình lập phương được tạo thành khi xếp miếng bìa carton như hình vẽ bên.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
Tính khoảng cách từ điểm
O
đến đường thẳng
AB
sau khi xếp, biết rằng độ dài đoạn thẳng
AB
bằng
2a
.
A.
5
2
a
. B.
5
4
a
. C.
5
3
a
. D.
5a
.
DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG
Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên
Câu 13. (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh lần 1 năm 18-19) Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA ABC
,
2SA AB a
, tam giác
ABC
vuông tại
B
(tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng
A.
3a
. B.
a
. C.
2a
. D.
2a
.
Câu 14. (Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho hình chóp
SABC
có đáy là tam giác vuông tại
A
,
AB a
,
3AC a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
2SA a
. Khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng
A.
57
19
a
. B.
2 57
19
a
. C.
2 3
19
a
. D.
2 38
19
a
.
Câu 15. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác vuông cân tại
B
,
2 2SA AC a
và
SA
vuông góc với đáy. Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
là
A.
2 6
3
a
. B.
4 3
3
a
. C.
6
3
a
. D.
3
3
a
.
Câu 16. (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Cho hình chóp
.
S ABC
có
đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
và cạnh bên
SB
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết
3 , 4 , 2SB a AB a BC a
. Khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
( )SAC
bằng
A. . B.
3 14
14
a
. C.
4
5
a
. D.
12 29
29
a
.
12 61
61
a
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
Câu 17. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác vuông đỉnh
B
,
AB a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
2SA a
. Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng
A.
2 5
5
a
. B.
5
3
a
. C.
2 2
3
a
. D.
5
5
a
.
Câu 18. (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA a
. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
SBC
bằng
A.
5
3
a
. B.
3
2
a
. C.
6
6
a
. D.
3
3
a
.
Câu 19. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác vuông cân tại
,
C BC a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA a
. Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng
A.
2a
. B.
2
2
a
. C.
2
a
. D.
3
2
a
.
Câu 20. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác vuông đỉnh
B
,
AB a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA a
. Khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng
A.
2
a
. B.
a
. C.
6
3
a
. D.
2
2
a
.
Câu 21. (HKII-CHUYÊN NGUYỄN HUỆ-HN-2018-2019) Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
có
cạnh bằng
1
. Tính khoảng cách
d
từ điểm
A
đến mặt phẳng
BDA
.
A.
3
3
d
. B.
6
4
d
. C.
2
2
d
. D.
3
d .
Câu 22. (Thi thử lần 4-chuyên Bắc Giang_18-19) Cho hình lăng trụ đứng
' ' '
ABCA B C
có đáy là tam giác
ABC
vuông tại A có
2a
BC
,
3AB a
, (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách từ
A
đến mặt
phẳng
' '
( )BCC B
là
A.
5
2
a
. B.
7
3
a
. C.
3
2
a
. D.
21
7
a
.
Câu 23. (Thi thử Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa – 07-05 - 2019) Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có tất cả các cạnh đều bằng
a
. Khoảng cách từ tâm
O
của đáy tới
mp SCD
bằng
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
A.
. B.
2
a
. C.
6
a
. D.
3
a
.
Câu 24. (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình vuông tâm
O
,
SA
vuông góc với mặt đáy. Hỏi mệnh đề nào sau đây là sai?
A.
2
d B, SCD d O, SCD .
B.
d A, SBD d B, SAC .
C.
d C, SAB d C, SAD .
D.
d S , ABCD SA.
Câu 25. (Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABC
có tam giác
ABC
là tam giác
vuông tại
A
,
3AC a
,
30
ABC
. Góc giữa
SC
và mặt phẳng
ABC
bằng
60
. Cạnh bên
SA
vuông góc với đáy. Khoảng cách từ
A
đến
SBC
bằng bao nhiêu?
A.
6
35
a
. B.
3
35
a
. C.
2 3
35
a
. D.
3
5
a
Câu 26. (SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho hình chóp
.
S MNPQ
có đáy là hình vuông
cạnh
3 2MN a
,
SM
vuông góc với mặt phẳng đáy,
3SM a
, với
0 a
. Khoảng cách từ
điểm
M
đến mặt phẳng
SNP
bằng
A.
3a
. B.
2 6a
. C.
2 3a
. D.
6a
.
Câu 27. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đường cao
2SA a
, đáy
ABCD
là hình thang vuông ở
A
và
D
,
2 ,
AB a AD CD a
. Khoảng cách từ
điểm
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng
A.
2
.
3
a
B.
2
.
2
a
C.
D.
2.
a
Câu 28. (Đề thi HSG 12-Sở GD&ĐT Nam Định-2019) Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA
vuông góc với mặt
phẳng
ABC
, đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
,
2AC a
. Gọi
G
là trọng tâm tam giác
SAB
và
K
là hình chiếu của điểm
A
trên cạnh
SC
. Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng
ABC
và
AGK
. Tính
cos
, biết rằng khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
KBC
bằng
.
A.
1
cos
2
. B.
2
cos
2
. C.
3
cos
2
. D.
3
cos
3
.
Câu 29. (Thi thử SGD Bình Phước - 2019) Cho hình chóp
.
S ABC
có
3SA a
và
SA ABC
. Biết
2AB BC a
,
120
ABC
. Khoảng cách từ
A
đến
SBC
bằng
A.
3
2
a
. B.
2
a
. C.
a
. D.
2a
.
Câu 30. (Chuyên Quốc Học Huế lần 2 - 2018-2019) Cho hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
cạnh
a
.
Tính khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( ' )A BD
theo
a
.
A.
3
3
a
. B.
3a
. C.
2 3a
. D.
3
6
a
.
Câu 31. (KSCL Sở Hà Nam - 2019) Cho hình lăng trụ tam giác đều
. ' ' 'ABC A B C
có tất cả các cạnh bằng
a
. Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
'
A BC
bằng
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
A.
12
7
a
. B.
21
7
a
. C.
6
4
a
. D.
3
4
a
.
Câu 32. (Sở giáo dục Cần Thơ - 2019) Cho hình lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác
vuông tại
A
,
AA AC a
và
3
AB a
. Khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
( ' )A BC
bằng
A.
21
7
a
. B.
3
7
a
. C.
21
3
a
. D.
7
3
a
.
Câu 33. (Thi Thử Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-Lần 2-2019) Cho tứ diện
OABC
có
, ,OA OB OC
đôi một vuông góc. Biết
, 2 , 3OA a OB a OC a
. Tính khoảng cách từ điểm
O
đến mặt phẳng
ABC
.
A.
3
2
a
. B.
2 3
19
a
. C.
17
19
a
. D.
19
a
.
Câu 34. (KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Cho hình chóp tứ giác
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành tâm
;O
mặt phẳng
SAC
vuông góc với mặt phẳng
SBD
. Biết khoảng cách từ
O
đến các mặt phẳng
, ,
SAB SBC SCD
lần lượt là
1;2; 5
. Tính
khoảng cách
d
từ
O
đến mặt phẳng
SAD
.
A.
19
20
d
.
B.
20
19
d
.
C.
2
d
.
D.
2
2
d
.
Dạng 2.2 Khoàng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt phẳng
Câu 35. (Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông
tâm
O
,
SA ABCD
. Gọi
I
là trung điểm của
SC
. Khoảng cách từ
I
đến mặt phẳng
ABCD
bằng độ dài đoạn thẳng nào?
A.
IB
. B.
IC
. C.
IA
. D.
IO
.
Câu 36. (Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có đáy là hình vuông
cạnh
a
. Gọi
M
là trung điểm của
SD
. Khoảng cách từ
M
đến mặt phẳng
SAC
bằng
A.
2
2
a
. B.
2
4
a
. C.
2
a
. D.
4
a
.
Câu 37. (THPT NÔNG CỐNG - THANH HÓA LẦN 1_2018-2019) Cho tứ diện đều
.
S ABCD
có tất cả
các cạnh đều bằng
2a
, gọi
M
là điểm thuộc cạnh $AD$ sao cho
2DM MA
. Tính khoảng cách
từ
M
đến mặt phẳng
BCD
.
A.
2 6
9
a
. B.
6a
. C.
4 6
9
a
. D.
2 6
3
a
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
Câu 38. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho tứ diện đều
ABCD
có cạnh bằng
a
. Khoảng cách từ
A
đến
mặt phẳng
BCD
bằng:
A.
3
4
a
. B.
3
3
a
. C.
6
3
a
. D.
6
2
a
.
Câu 39. (THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Trong không gian cho tam giác ABC có
o
90 ,
ABC AB a
. Dựng AA’, CC’ ở cùng một phía và vuông góc với mặt phẳng
ABC
. Tính
khoảng cách từ trung điểm của A’C’ đến
'BCC
.
A.
2
a
. B.
a
. C.
3
a
. D.
2a
.
Câu 40. (Thi thử Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có
SA
vuông góc với mặt đáy và
đáy
ABCD
là hình chữ nhật. Biết
4AB a
,
3AD a
,
5SB a
. Tính khoảng cách từ điểm
C
đến
mặt phẳng
SBD
.
A.
12 41
41
a
. B.
41
12
a
. C.
12 61
61
a
. D.
61
12
a
.
Câu 41. (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật, cạnh
2 2 .AB AD a
Tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy
ABCD
Tính
khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
SBD
.
A.
3
4
a
. B.
3
2
a
. C.
2
a
. D.
a
.
Câu 42. (Chuyên Tự Nhiên Lần 1 - 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng
2a
và chiều cao bằng
3a
. Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SCD
bằng.
A.
3
2
a
. B.
a
. C.
3a
. D.
2a
.
Câu 43. (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh 4a. Gọi H là điểm thuộc đường thẳng AB sao cho
3 0HA HB
. Hai mặt phẳng
SAB
và
SHC
đều vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng
SHC
.
A.
5
6
a
. B.
12
5
a
. C.
6
5
a
. D.
5
12
a
.
Câu 44. (LÊ HỒNG PHONG HKI 2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có tất cả các cạnh đều bằng
a
.
Gọi
F
là trung điểm của cạnh
SA
. Tính khoảng cách từ
S
đến mặt phẳng
FCD
?
A.
1
2
a
. B.
1
5
a
. C.
2
11
a
. D.
2
9
a
.
Câu 45. (TRƯỜNG CHUYÊN QUANG TRUNG- BÌNH PHƯỚC 2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc
30
BAC
,
SA a
và
BA BC a
. Gọi
D
là
điểm đối xứng với
B
qua
. Khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
( )SCD
bằng
A.
21
7
a
. B.
2 21
7
a
. C.
21
14
a
. D.
2
2
a
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
Câu 46. (Thi thử lần 1 trường THPT Hậu Lộc 2 năm 2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính
2AD a
,
SA
vuông góc với đáy và
3SA a
. Gọi
H
là hình chiếu của
A
lên
SB
. Khoảng cách từ
H
đến mặt phẳng
SCD
bằng
A.
6
3
a
. B.
3 6
8
a
. C.
6
2
a
. D.
3 6
16
a
.
Câu 47. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy là hình thoi tâm
O
cạnh
a
,
60
ABC
,
SA ABCD
,
3
2
a
SA
. Khoảng cách từ
O
đến mặt phẳng
SBC
bằng
A.
3
8
a
. B.
5
8
a
. C.
3
4
a
. D.
5
4
a
.
Câu 48. (Trường THPT Chuyên Lam Sơn_2018-2019) Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
có đáy
ABC
là
tam giác vuông tại
A
,
, 2AB a AC a
. Hình chiếu vuông góc của
A
trên mặt phẳng
ABC
là
điểm
I
thuộc cạnh
BC
. Tính khoảng cách từ
A
tới mặt phẳng
A BC
.
A.
2
3
a
. B.
3
2
a
. C.
2 5
5
a
. D.
1
3
a
.
Câu 49. (THPT Cẩm Bình 2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật cạnh
2 2AB AD a
. Tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy
ABCD
. Tính
khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBD
.
A.
2
a
. B.
3
2
a
. C.
3
4
a
. D.
a
.
Câu 50. (101 - THPT 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
, mặt bên
SAB
là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBD
bằng
A.
21
14
a
. B.
21
7
a
. C.
2
2
a
. D.
21
28
a
.
Câu 51. (102 - THPT 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên
SAB
là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ( minh họa như hình vẽ bên).
Khoảng cách từ
C
đến mặt phẳng
( )SBD
bằng
A.
21
28
a
. B.
21
14
a
. C.
2
2
a
. D.
21
7
a
.
Câu 52. (103 - THPT 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
, mặt bên
SAB
là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng
cách từ
D
đến mặt phẳng
SAC
bằng
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
A.
21
14
a
. B.
21
28
a
. C.
2
2
a
. D.
21
7
a
.
Câu 53. (104 - THPT 2019) Cho hinh chop
.S ABCD
co đay la hinh vuông canh
a
, măt bên
SAB
la tam
giac đêu va năm trong măt phăng vuông goc vơi măt phăng đay. Khoang cach tư
B
đên măt phăng
SAC
băng
A.
2
2
a
. B.
21
28
a
. C.
21
7
a
. D.
21
14
a
.
Câu 54. (Tham khảo THPTQG 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thoi cạnh
a
,
60
BAD ,
SA a
và
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
SCD
bằng
A.
21
7
a
. B.
15
7
a
. C.
21
3
a
. D.
15
3
a
.
Câu 55. (Đề minh họa lần 1 2017) Cho hình chóp tứ giác
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng
2a
. Tam giác
SAD
cân tại
S
và mặt bên
SAD
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối
chóp
.
S ABCD
bằng
3
4
3
a
. Tính khoảng cách
h
từ
B
đến mặt phẳng
SCD
A.
2
3
h a
B.
4
3
h a
C.
8
3
h a
D.
3
4
h a
Câu 56. (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - Lần 1 - Năm học 2018_2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông,
SA
vuông góc với đáy, mặt bên
SCD
tạo với mặt đáy một góc
bằng
0
60
,
M
là trung điểm
. Biết thể tích khối chóp
.
S ABCD
bằng
.
3
3
3
a
Khoảng cách từ
điểm M đến mặt phẳng
SCD
bằng
A.
6
3a
. B. 3a . C.
4
3a
. D.
2
3a
.
Câu 57. (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
a
.
Góc
o
60
BAC
, hình chiếu của đỉnh
S
lên mặt phẳng
ABCD
trùng với trọng tâm của tam giác
ABC
, góc tạo bởi hai mặt phẳng
SAC
và
ABCD
là
o
60
. Khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
SCD
bằng
A.
3
2 7
a
. B.
3
7
a
. C.
9
2 7
a
. D.
2 7
a
.
A
B
D
C
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
Câu 58. (THPT THUẬN THÀNH 3 - BẮC NINH) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác
vuông tại
B
biết
3BC a
,
BA a
. Hình chiếu vuông góc
H
của
S
trên mặt phẳng đáy là trung
điểm của cạnh
và biết thể tích khối chóp
.
S ABC
bằng
3
6
6
a
. Tính khoảng cách
d
từ
C
đến
mặt phẳng
SAB
.
A.
30
5
a
d
. B.
2 66
11
a
d
. C.
30
10
a
d
. D.
66
11
a
d
.
Câu 59. (Thi HK2 THPT Chuyên Bắc Giang 2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy la hình vuông
cạnh bằng
2a
. Tam giác
SAD
cân tại
S
và mặt phẳng
SAD
vuông góc với mặt phẳng đáy.
Biết thể tích khối chóp
.
S ABCD
bằng
3
4
3
a
. Tính khoảng cách
h
từ
B
đến mặt phẳng
SCD
.
A.
3
4
h a
. B.
2
3
h a
. C.
8
3
h a
. D.
4
3
h a
.
Câu 60. (Thi thử SGD Hưng Yên) Cho hình chóp
.
S ABCD
có
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
.
Tứ giác
ABCD
là hình vuông cạnh
a
,
2SA a
. Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
A
trên
SB
.
Tính khoảng cách từ
H
đến mặt phẳng
SCD
.
A.
4 5
5
a
. B.
4 5
25
a
. C.
2 5
5
a
. D.
8 5
25
a
.
Câu 61. (Kim Liên - Hà Nội lần 2 năm 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang cân,
đáy lớn
AB
. Biết
, 2 ,AD DC CB a AB a
cạnh
SA
vuông góc với đáy và mặt phẳng
SBD
tạo với đáy góc
0
45
. Gọi
I
là trung điểm cạnh
AB
. Tính khoảng cách từ
I
đến mặt phẳng
.SBD
A.
4
a
d
. B.
2
a
d
. C.
2
4
a
d
. D.
2
2
a
d
.
Câu 62. (SGD Điện Biên - 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
, tâm
O
. Biết
2SA a
và
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm
O
đến mặt phẳng
SBC
bằng
A.
5
5
a
. B.
2 5
5
a
. C.
4 5
5
a
. D.
3 5
5
a
.
Câu 63. (SP Đồng Nai - 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật
AB a
,
3AD a
. Cạnh bên
SA
vuông góc với đáy và
2SA a
. Tính khoảng cách từ
C
đến mặt phẳng
SBD
.
A.
2 57
19
a
. B.
2
5
a
. C.
5
2
a
. D.
57
19
a
.
Câu 64. (Thi thử Nguyễn Huệ- Ninh Bình- Lần 3- 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình
chữ nhật. Mặt bên
SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
M
là
trung điểm của
SA
. Biết
3,
AD a AB a
. Khoảng cách từ điểm
C
đến mặt phẳng
MBD
bằng
A.
2 15
.
10
a
B.
39
.
13
a
C.
2 39
.
13
a
D.
15
.
10
a
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
Câu 65. (Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Cho hinh lăng tru tam giac đêu
.
ABC A B C
co
2 3
AB va
2AA
. Goi
M
,
N
,
P
lân lươt la trung điêm cac canh
A B
,
A C
va
BC
(tham khao hinh ve
dươi). Khoang cach tư
A
đên
MNP
băng
A.
17
65
. B.
6 13
65
. C.
13
65
. D.
12
5
.
Câu 66. (Kim Liên - Hà Nội - Lần 1 - 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vuông
tại
C
và
D
,
30
ABC
. Biết
AC a
,
2
a
CD
,
3
2
a
SA
và cạnh
SA
vuông góc với mặt phẳng
đáy. Khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
SCD
bằng
A.
6a
.
B.
6
2
a
.
C.
6
4
a
.
D.
3
2
a
.
DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 67. (KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Cho hình lập phương
.D A BABC
C D
cạnh
a
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
CD
.
A.
2
.
2
a
B.
.a
C.
2.
a
D.
2 .a
Câu 68. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho tứ diện đều
ABCD
có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai
đường thẳng
AB
và
CD
bằng
A.
2
3
a
. B.
2
2
a
. C.
3
2
a
. D.
3
3
a
.
P
N
M
C
A
B'
A'
C'
B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
Câu 69. (SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho hình chóp
.
S MNPQ
có đáy là hình vuông,
3MN a
, với
0 a
, biết
SM
vuông góc với đáy,
6SM a
. Khoảng cách giữa hai đường
thẳng
và
SQ
bằng
A.
6a
. B.
3a
. C.
2 3a
. D.
3 2a
.
Câu 70. (SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho hình hộp chữ nhật
.
EFGH E F G H
có
3 , 4 , 12 ,EF a EH a EE a
với
0
a
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
EF
và
GH
bằng
A.
. B.
3a
. C.
2a
. D.
4a
.
Câu 71. (HKI- BÙI THỊ XUÂN-TP HCM 2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình
vuông cạnh
a
. Đường thẳng
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
và
SA a
. Tính khoảng cách
d
giữa hai đường thẳng
SB
và
CD
.
A.
2d a
. B.
3d a
. C.
2d a
. D.
d a
.
Câu 72. (Thi thử Bạc Liêu – Ninh Bình lần 1) Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
BB
và
A C
bằng
A.
2a
. B.
a
. C.
3a
. D.
2
2
a
.
Câu 73. (Thi thử THPT lần 2-Yên Dũng 2-Bắc Giang) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình
vuông cạnh bằng
a
,
SA ABCD
,
3SA a
. Gọi
M
là trung điểm
SD
. Tính khoảng cách
giữa đường thẳng
AB
và
CM
.
A.
2 3
3
a
. B.
3
2
a
. C.
3
4
a
. D.
3
4
a
.
Câu 74. (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật, các mặt
,
SAB SAD
vuông góc với đáy. Góc giữa
SCD
và đáy bằng
60 ,
BC a
. Khoảng cách giữa
hai đường thẳng
AB
và
SC
bằng
A.
3
2
a
. B.
3
2
13
a
. C.
2
a
. D.
3
2
5
a
.
Câu 75. (Tham khảo 2018) Cho lập phương
.
ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
( tham khảo hình vẽ bên).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
A C
bằng
A.
3a
. B.
a
. C.
3
2
a
. D.
2a
.
Câu 76. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
AB a
,
2BC a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA a
. Khoảng cách giữa hai đường
thẳng
BD
,
SC
bằng
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
A.
30
6
a
. B.
4 21
21
a
. C.
2 21
21
a
. D.
30
12
a
.
Câu 77. (Ngô Quyền - Hải Phòng lần 2 - 2018-2019) Cho lăng trụ tam giác đều
.
ABC A B C
có
AB a
,
2AA a
. Khoảng cách giữa
AB
và
CC
bằng
A.
2 5
5
a
. B.
a
. C.
3a
. D.
3
2
a
.
Câu 78. (Chuyên ĐH Vinh-lần 2-2019) Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình thang vuông tại
A
và
B
với
AB BC a
,
2AD a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA a
. Tính theo
a
khoảng
cách giữa hai đường thẳng
và
SD
.
A.
6
6
a
. B.
6
2
a
. C.
6
3
a
. D.
3
3
a
.
Câu 79. (Thi thử hội 8 trường chuyên lần 3 - 23 - 5 - 2019) Cho khối lăng trụ
.
ABC A B C
có đáy là tam
giác ABC cân tại A có
2AB AC a
;
2 3BC a
. Tam giác
A BC
vuông cân tại
A
và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy
ABC
. Khoảng cách giữa hai
AA
và BC bằng
A.
3a
. B.
2
2
a
. C.
5
2
a
. D.
3
2
a
.
Câu 80. (HKI-Chuyên Vinh 18-19) Cho hình chóp tứ giác
.
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật cạnh
2AD a
,
SA ABCD
và
SA a
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SD
bằng
A.
3
3
a
. B.
6
4
a
. C.
2 5
5
a
. D.
6a
.
Câu 81. (TRIỆU QUANG PHỤC HƯNG YÊN-2018-2019) Cho tứ diện
OABC
có
, ,
OA OB OC
đôi
một vuông góc với nhau và
, 2 .OA a OB OC a
Gọi
M
là trung điểm của cạnh
BC
. Khoảng
cách giữa hai đường thẳng
OM
và
bằng:
A.
2
2
a
. B.
2 5
5
a
. C.
a
. D.
6
3
a
.
Câu 82. (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông
với đường chéo
2AC a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
. Khoảng cách giữa hai đường
thẳng
SB
và
CD
là
A.
3
a
. B.
. C.
2a
. D.
3a
.
Câu 83. (Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Cho lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có
, 2 , 120
AC a BC a ACB
. Gọi
M
là trung điểm của
BB
. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng
AM
và
CC
theo
a
.
A.
3
7
a
. B.
3a
. C.
7
7
a
. D.
3
7
a
.
Câu 84. (HKI CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019) Cho tứ diện
SABC
có các cạnh
, ,SA SB SC
đôi một vuông góc với nhau và
, 2 ,SA a SB a
3SC a
. Gọi
I
là trung điểm của
BC
. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng
SC
và
AI
theo
.a
A.
a
. B.
2a
. C.
3 2
2
a
. D.
2
2
a
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
Câu 85. (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
,
AB a
, cạnh bên
SA
vuông góc với đáy và
2SA a
. Gọi
E
là trung điểm của
AB
. Khoảng
cách giữa đường thẳng
SE
và đường thẳng
BC
bằng bao nhiêu?
A.
3
3
a
. B.
3
2
a
. C.
2
a
. D.
2
3
a
.
Câu 86. (Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ
nhật
2AD a
. Cạnh bên
2SA a
và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SD
.
A.
2a
. B.
2a
. C.
a
. D.
2
5
a
.
Câu 87. (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Cho hinh chop
.
S ABCD
co đay
ABCD
la hinh
chư nhât canh
AB a
,
2AD a
. Măt phăng
SAB
va
SAC
cung vuông goc vơi
ABCD
. Goi
H
la hinh chiêu vuông goc cua
A
trên
SD
. Tinh khoang cach giưa
AH
va
SC
biêt
AH a
.
A.
19
19
a
. B.
2 19
19
a
. C.
73
73
a
. D.
2 73
73
a
.
Câu 88. (NGÔ GIA TỰ_VĨNH PHÚC_LẦN 1_1819) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình bình hành
và
11,
SA SB SC
0
30 ,
SAB
0
60
SBC và
0
45 .
SCA Tính khoảng cách
d
giữa hai đường
thẳng
AB
và
SD
.
A.
4 11.
d
B.
2 22.
d
C.
22
.
2
d
D.
22.
d
Câu 89. (NGÔ GIA TỰ LẦN 1_2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình bình hành và
11
SA SB SC
,
0
30
SAB ,
0
60
SBC và
0
45
SCA . Tính khoảng cách
d
giữa hai đường
thẳng
AB
và
SD
?
A.
4 11
d
. B.
2 22
d
. C.
22
2
d
. D.
22
d
.
Câu 90. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình chóp đáy là hình vuông cạnh
, hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là điểm trung điểm của đoạn
. Gọi là trung điểm của đoạn . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo
.
A. B.
C. . D. .
Câu 91. (ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Cho hình chóp
.
S ABC
có
đáy là tam giác đều cạnh
a
,
I
là trung điểm của
AB
, hình chiếu
S
lên mặt đáy là trung điểm
H
của
CI
, góc giữa
SA
và đáy là
45
. Khoảng cách giữa
SA
và
CI
bằng:
A.
2
a
. B.
3
2
a
. C.
77
22
a
. D.
7
4
a
.
Câu 92. (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABC
có
0 0 0
, 60 , 90 , 120
SA SB SC a ASB BSC CSA
. Tính khoảng cách
d
giữa hai đường thẳng
và
SB
.
17
,
2
a
a SD
S
ABCD
H
AB
K
HK
SD
a
3
5
a
3
45
a
3
15
a
3
25
a
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
A.
3
4
a
d
. B.
3
3
a
d
. C.
22
11
a
d
. D.
22
22
a
d
.
Câu 93. (SGD Nam Định) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh bằng
a
, mặt bên
SAB
là tam giác vuông cân tại đỉnh
S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính
khoảng cách
h
giữa hai đường thẳng
SB
và
AC
.
A.
7
3
a
h
. B.
21
7
a
h
. C.
3h a
. D.
7
21
a
h
.
Câu 94. (Thi thử Bạc Liêu – Ninh Bình lần 1) Cho hình lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có tất cả các
cạnh đều bằng
a
.
M
là trung điểm của
AA
. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng
MB
và
BC
.
A.
2
a
. B.
3
2
a
. C.
6
3
a
. D.
a
.
Câu 95. (Cụm liên trường Hải Phòng-L1-2019) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy là tam giác đều cạnh bằng
a
. Gọi
I
là trung điểm của
AB
, hình chiếu của
S
lên mặt phẳng
ABC
là trung điểm của
CI
,
góc giữa
SA
và mặt đáy bằng
45
o
. Gọi
G
là trọng tâm tam giác
SBC
. Khoảng cách giữa hai
đường thẳng
SA
và
bằng
A.
21
14
a
. B.
14
8
a
. C.
77
22
a
. D.
21
7
a
.
Câu 96. (THPT Minh Khai - lần 1) Cho tứ diện đều
ABCD
có cạnh bằng
2a
. Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng
AB
và
CD
.
A.
2
.
2
a
B.
3
.
2
a
C.
2.
a
D.
3.
a
Câu 97. (Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
,
SA ABC
, góc giữa đường thẳng
SB
và mặt phẳng
ABC
bằng
60
. Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng
và
SB
.
A.
2
2
a
. B.
2a
. C.
7
7
a
. D.
15
5
a
.
Câu 98. (Chuyên Đại học Vinh - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho hinh lăng tru đưng
.
ABC A B C
co
đay
ABC
la tam giac vuông tai
A
. Goi
E
la trung điêm cua
AB
. Cho biêt
2AB a
,
13BC a
,
4CC a
. Khoang cach giưa hai đương thăng
A B
va
CE
băng
A.
4
7
a
. B.
12
7
a
. C.
6
7
a
. D.
3
7
a
.
Câu 99. (THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Cho hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
cạnh
a
. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng
'BC
và
'.CD
A.
2.
a
B.
2 .a
C.
3
.
3
a
D.
2
.
3
a
Câu 100. (TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Cạnh bên
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
. Góc giữa
SC
và mặt đáy
bằng
0
45
. Gọi
E
là trung điểm
BC
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
SC
.
A.
5
5
a
. B.
5
19
a
. C.
38
5
a
. D.
38
19
a
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
Câu 101. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là ình chữ nhật,
, 2 ,AB a BC a
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
.SA a
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
SB
bằng
A.
6
2
a
. B.
2
3
a
. C.
2
a
. D.
3
a
.
Câu 102. (THPT THUẬN THÀNH 3 - BẮC NINH) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi
có cạnh bằng
3a
,
120
BAD
và cạnh bên
SA
vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa
SBC
và
ABCD
bằng
60
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
BD
và
SC
.
A.
3 39
26
a
. B.
14
6
a
. C.
39
26
a
. D.
3 39
13
a
.
Câu 103. (Nho Quan A - Ninh Bình - lần 2 - 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông
cạnh bằng
10
. Cạnh bên
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
và
10 5
SC . Gọi
,M N
lần
lượt là trung điểm của
SA
và
CD
. Tính khoảng cách
d
giữa
BD
và
MN
.
A.
3 5
d
. B.
5
d
. C.
5
d
. D.
10
d
.
Câu 104. (Đề thi thử Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk lần 2) Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác
đều cạnh
a
, hình chiếu vuông góc của S xuống
( )ABC
trùng với trung điểm H của
AB
. Biết góc
tạo bởi hai mặt phẳng
( )SAC
và
( )SBC
bằng
0
60
. Khoảng cách giữa
AB
và
SC
A.
3
6
a
. B.
2
4
a
. C.
3
4
a
. D.
3
2
a
.
Câu 105. (Thi Thử Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-Lần 2-2019) Cho tứ diện đều
ABCD
có cạnh
bằng 1, gọi
M
là trung điểm
và
N
trên cạnh
BC
sao cho
2
BN NC
. Tính khoảng cách giữa
2 đường thẳng
MN
và
CD
.
A.
2 2
9
. B.
6
3
. C.
6
9
. D.
.
Câu 106. (Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Cho hình chóp
. DS ABC
có đáy là hình thoi cạnh là
2a
,
60
ABC
. Tam giác
DSA
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
M
là điểm trên cạnh
AB
sao cho
1
3
AM
AB
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
SM
và
BC
bằng
A.
30
.
10
a
B.
30
.
5
a
C.
3
.
2
a
D.
3
.
4
a
Câu 107. (HKI - SGD BẠC LIÊU_2017-2018) Cho khối chóp
.
S ABCD
có đáy là hình vuông,
SAB
đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
.
S ABCD
có diện
tích
2
84
cm
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
SA
và
BD
là
A.
3 21
7
cm
. B.
2 21
7
cm
. C.
21
7
cm
D.
6 21
7
cm
.
Câu 108. (THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.
, ,M N P
lần lượt là
trung điểm
, ,SB BC SD
. Tính khoảng cách giữa
AP
và
MN
A.
3
15
a
. B.
3 5
10
a
. C.
4 15
a . D.
5
5
a
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
Câu 109. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình bình
hành và
11, 30 , 60
o o
SA SB SC SAB SBC
và
45
o
SCA . Tính khoảng cách
d
giữa hai
đường thẳng
AB
và
SD
.
A.
4 11
d
. B.
2 22
d
. C.
22
2
d
. D.
22
d
Câu 110. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp
.
S ABCD
có các mặt phẳng
SAB
,
SAD
cùng
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
, đáy là hình thang vuông tại các đỉnh
A
và
B
, có
2 2 2AD AB BC a
,
SA AC
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
SB
và
CD
bằng:
A.
3
2
a
. B.
15
5
a
. C.
3
4
a
. D.
10
5
a
.
Câu 111. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho tứ diện
.
O ABC
có
, ,OA OB OC
đôi một vuông góc với
nhau,
OA a
và
2OB OC a
. Gọi
M
là trung điểm của
BC
. Khoảng cách giữa hai đường
thẳng
OM
và
AB
bằng
A.
2
2
a
. B.
a
. C.
2 5
5
a
. D.
6
3
a
.
Câu 112. (THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019) Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
cạnh
a
( tham
khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
BC
bằng
A.
3
3
a
. B.
2
2
a
. C.
3a
. D.
2a
.
Câu 113. (THI THỬ L4-CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ-HÒA BÌNH-2018-2019)Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật tâm
O
,
AB a
,
3BC a
. Tam giác
ASO
cân tại
S
,
mặt phẳng
SAD
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
, góc giữa
SD
và
ABCD
bằng
60
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
SB
và
bằng
A.
3
4
a
. B.
3
2
a
. C.
6
7
a
. D.
3
2
a
.
Câu 114. [THPT THĂNG LONG-HÀ NỘI-LẦN 2-2018-2019] Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
cạnh
2a
. Hình chiếu của
S
trên mặt đáy là trung điểm của
H
của
OA
. Góc
giữa hai mặt phẳng
SCD
và
ABCD
bằng
45
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SC
.
C'
D'
B'
A'
C
B
D
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
A.
6a
. B.
2a
. C.
3 2
2
a
. D.
3 2
4
a
.
B. LỜI GIẢI
DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1. Chọn A
Hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
nên
ABCD
là hình vuông có cạnh bằng
2a
nên
2AC a
.
Tam giác
SAC
đều nên cạnh bên
2SA AC a
.
Câu 2. Chọn A
Gọi
P
là trung điểm
AB
Ta có
//
//
AC PN
PN PM
BD PM
và
3
; 2
2 2 2
AC a BD
PN PM a
2 2
5
2
a
MN PM PN
Câu 3. Chọn A
Gọi
I
là trung điểm
BC
, khi đó
BC AI
P
N
M
A
C
B
D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
Mặt khác
,BC AI BC SA BC SAI BC SI
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng
ABC
và
SBC
là
SIA .
Tam giác
SIA
vuông tại
A
nên
3 3
tan .tan . 3
2 2
SA a a
SIA SA IA SIA
AI
.
Câu 4.
Chọn A.
Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng
30
nên
30AA H
.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ
.ABC A B C
bằng
.sin .sin 30
2
a
AH AA AA H AA
.
Câu 5. Chọn B
2
2
2 2 2 2
' + ' 2 + 2 7AC AB AD AA a a a a .
Câu 6. Chọn B
Ta có
2 2
5AC AD DC a
. Nên
2 2
AC AC CC
2 2
5 2a a
7a .
Câu 7. Chọn A
Dựng hình chữ nhật
ABCE
, gọi
,M N
lần lượt là trung điểm
,AB CE
,
MH DN
tại
H
Ta có
AB DM
AB DMN CE DMN MH CE
AB MN
MH DN
MH CDE
MH CE
tại
H
11
, ;
2
d AB CD d M CDE MH
Tam giác
DMN
có
3DM MN
H
là trung điểm
DN
, mà
2 2
1
2
HN MN MH
1DN
Xét tam giác
DNC
vuông tại
N
2 2
2CD DN CN
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
Câu 8. Chọn C
Gọi
I
là giao của
và
BD
.
I
là giao điểm của
A C
và
B D
. Khi đó
II
là đường trung
bình của các hình thang
ACC A
và
BDD B
. Theo tính chất của hình thang ta có
2 2 4 6 3
II BB DD AA CC DD
.
Câu 9. Chọn A
Dựng hình chữ nhật
ABCE
, gọi
,M N
lần lượt là trung điểm
,AB CE
,
MH DN
tại
H
Ta có
AB DM
AB DMN CE DMN MH CE
AB MN
N
M
E
A
B
C
D
H
x
t
z
y
D'
I'
I
B
A
D
C
A'
B'
C'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
MH DN
MH CDE
MH CE
tại
H
11
, ;
2
d AB CD d M CDE MH
Tam giác
DMN
có
3
DM MN
H
là trung điểm
DN
, mà
2 2
1
2
HN MN MH
1
DN
Xét tam giác
DNC
vuông tại
N
2 2
2
CD DN CN
.
Câu 10. Chọn B
Chiều cao của tam giác đáy:
3
4 3. 6
2
AN A H
.
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
N
lên
B C
.
Đặt
,
A P x QH y
.
Ta có:
3 6 3
A P PQ QH A H A P QH x y
.
Dấu
" "
xảy ra khi
,P Q
nằm trên đoạn
A H
.
Lại có:
2 2 2 2
6 , 12
MP x NQ y
.
Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp-xki :
2 2 2 2 2 2
, , , ( ) ( )x y a b a b x y a x b y
.
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0
ay bx
ax by
.
Ta có :
2 2
2 2 2 2 2 2
6 12 6 12 18 3 3 37
T MP NQ x y x y
.
Dấu
" "
xảy ra khi:
3
1
6 12
2
6.12 0
x y
x
y x
y
xy
.
Vậy
min
3 37
T
.
Câu 11. Chọn B
4 3
12
H
B'
M
C'
N
A
B
C
P
Q
A'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
Kẻ
,OH SC d O SC OH
.
2
2 2
AC a
OC
;
2 2
6SC SA AC a
. 2.2 3
3
2 6
OH SA OC SA a a a
OHC SAC OH
OC SC SC
a
Câu 12. Chọn D
Sau khi xếp miếng bìa lại ta được hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
cạnh
2a
,
O
là tâm của
' ' ' 'A B C D
.
Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm các cạnh
, ' .AB A B
' 2MN AA a
,
1
' '
2
OM A D a
.
Lại có:
AB OM
AB MN
AB ON
,d O AB ON
2 2
OM MN
5a .
DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG
Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên
Câu 13.
Lời giai
Chon D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
Gọi
H
là trung điểm cạnh
SB
.
AH BC BC SAB
AH SBC
AH SB
.
Do đó khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
là
2 2
2
2 2
SB a
AH a
.
Câu 14. Chọn B
Từ
A
kẻ
AD BC
mà
SA ABC SA BC
BC SAD
SAD SBC
mà
SAD SBC SD
Từ
A
kẻ
AE SD AE SBC
;
d A SBC AE
Trong
ABC
vuông tại
A
ta có:
2 2 2 2
1 1 1 4
3AD AB AC a
Trong
SAD
vuông tại
A
ta có:
2 2 2 2
1 1 1 19
12AE AS AD a
2 57
19
a
AE
Câu 15.
Lờigiải
Chọn C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
Kẻ
AH SB H SB
.
Ta có:
BC AB
BC SAB BC AH SAB
BC SA SA ABC
.
Vì
AH SB
AH SBC
AH BC
.
Do đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng
SBC
là
,A SBC
d AH
.
Xét tam giác
ABC
vuông cân tại
B
, có
2 2
2
AC
AC a AB a
.
Xét tam giác
SAB
vuông tại
A
, ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3
2 2AH SA AB a a a
2
2
2 6
3 3
a a
AH AH
.
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng
SBC
là
,
6
3
A SBC
a
d AH
.
Câu 16. Chọn A
Từ
B
kẻ
BI AC
nối
S
với
I
và kẻ
BH SI
dễ thấy
BH
là khoảng cách từ
B
đến mặt phẳng
( )SAC
Ta có
.
B SAC
là tam diện vuông tại
B
nên:
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 61 12 61
9 4 16 144 61
a
BH
BH BS BC BA a a a a
Câu 17. Chọn A
H
C
B
A
S
2a
4a
3a
B
C
A
S
I
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
Ta có
BC AB
BC SAB
BC SA
.
Kẻ
AH SB
. Khi đó
AH BC
AH SBC
AH
là khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
.
Ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5
4 4AH SA AB a a a
2
2
4 2 5
5 5
a a
AH AH
.
Câu 18. Chọn B
Ta có:
BC AB
BC SA
BC SAB
SAB SBC
SAB SBC SB
Trong mặt phẳng
SAB
: Kẻ
AH SB
;
AH d A SBC
2 2 2
1 1 1
AH SA AB
2 2
1 1
3a a
2
4
3a
.
3
;
2
a
d A SBC AH
.
Câu 19. Chọn B
a
2a
A
C
B
S
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
Vì
BC AC
BC SAC
BC SA
Khi đó
SBC SAC
theo giao tuyến là
SC
.
Trong
,SAC
kẻ
AH SC
tại
H
suy ra
AH SBC
tại
H
.
Khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng
AH
.
Ta có
AC BC a
,
SA a
nên tam giác
SAC
vuông cân tại
A
.
Suy ra
1 1
2
2 2
AH SC a
.
Cách 2: Ta có
. .
3 3
,
A SBC S ABC
SBC SBC
V V
d A SBC
S S
.
Vì
BC AC
BC SC
BC SA
nên tam giác
SBC
vuông tại
C
.
Suy ra
2
. .
1 1
3. .
3 3
2
3 2
,
1
2
.
2
A SBC S ABC
SBC SBC
SA CA
V V
a
d A SBC
S S
SC BC
.
Câu 20. Chọn D
S
A
B
C
H
Kẻ
AH SB
trong mặt phẳng
SBC
Ta có:
BC AB
BC SAB
BC SA
BC AH
Vậy
AH BC
AH SBC
AH SB
1 2
,
2 2
a
d A SBC AH SB
.
a
a
a
//
//
A
C
B
S
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
Câu 21. Chọn A
Gọi
O
là tâm của hình vuông
ABCD
.
Ta có
BD AO
BD AA
BD AA O
Suy ra
BDA AA O
.
Kẻ
AH A O
AH BDA
.
Suy ra
,
AH d A BDA
.
Xét tam giác
AA O
vuông tại
A
có
1AA
,
1 2
2 2
AO AC
:
2 2
.AA AO
AH
AA AO
3
3
.
Vậy
3
,
3
d A BDA
.
Câu 22. Chọn C
Vì lăng trụ
' ' '
ABCA B C
là lăng trụ đứng nên
' '
( ) ( )ABC BCC B
.
Do đó kẻ
' '
( )AH BC AH BCC B
.
Vậy khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
' '
( )BCC B
là đoạn
.
Ta có
2 2
4a 3a
AC a
.
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 3
3a 3a 2
a
AH
AH AB AC a
.
Câu 23. Chọn C
Gọi
M
là trung điểm của
CD
; H là hình chiếu vuông góc của
O
lên
(*)
SM OH SM
.
Ta có
(**)
OM CD
CD SOM CD OH
SM CD
Từ (*), (**) suy ra
OH SCD
khi đó
,
d O SCD OH
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
Ta có
2
2 2 2
2 2
2 2
a a
SO SB BO a
;
3
;
2 2
a a
OM SM
.
Ta lại có
2
.
2 2
. .
3 6
2
a a
a
OH SM SO OM OH
a
.
Cách khác: Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
O
lên
SCD
. Vì
, ,OC OD OS
đôi một vuông góc nên ta
có
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OC OD OS
(không cần xác định chính xác vị trí của điểm H)
Câu 24. Chọn B
- Vì
O
là trung điểm của
BD
nên
2
d B, SCD d O, SCD .
Do đó câu A đúng.
- Kẻ
AH
vuông góc với
SO
mà hai mặt phẳng
SAC
và
SBD
vuông góc với nhau theo giao
tuyến
SO
, suy ra
AH
vuông góc với mặt phẳng
SBD
.
Ta có
d A, SBD AH OA
và
d B, SAC OB OA
nên
d A, SBD d B, SAC
Do
đó câu B sai.
- Ta có
d C, SAB CB
và
d C, SAD CD
nên
d C, SAB d C, SAD .
Do đó câu C
đúng.
- Vì
SA
vuông góc với mặt đáy nên
d S , ABCD SA
. Do đó câu D đúng.
Câu 25. Chọn D
Dựng
AM BC
;
AH SM
a 3
30°
60
0
S
C
B
A
M
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
Ta có:
AM BC
BC SAM
SA BC
AH BC
và
AH SM
AH SBC
;
d A SBC AH
Tam giác
SAC
vuông tại
A
.tan 60
SA AC
=
3. 3 3a a
SAC BAC
g c g
3SA BA a
Tam giác
ABC
vuông tại
A
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4
9 3 9AM AB AC a a a
Tam giác
SAM
vuông tại A
2 2 2
1 1 1
AH SA AM
2 2 2 2
1 1 4 5
9 9 9AH a a a
3
5
a
AH
Câu 26. Chọn D
Gọi
H
là hình chiếu của
M
trên
SN
. Ta có:
( )
NP MN
NP SMN
NP SM
mà
SH SMN NP SH
.
( )
SH NP
SH SNP
SH SN
hay khoảng cách từ điểm
M
đến mặt phẳng
SNP
bằng
MH
.
Trong tam giác vuông
SMN
có
2 2 2 2
. 3 .3 2
6
9 18
MN SM a a
MH a
MN SM a a
.
Câu 27. Chọn A
+ Lấy
E
là trung điểm
AB
tứ giác
ADCE
là hình vuông cạnh bằng
a
2AC a
+
BCE
vuông cân
, 2CE EB CE EB a BC a
ACB
có:
2 2
2 2 2 2
2 2 4
AC BC a a a AB
ACB
vuông tại
C
BC AC
(1)
H
E
D
C
B
A
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
SA ABCD
BC SA
(2)
Từ (1) và (2)
BC SAC
+ Dựng
AH SC
, có
AH BC
(vì
,BC SAC SAC AH
)
;AH SBC d A SBC AH
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3 2
;
4 2 4
3
a
AH d A SBC
AH AS AC a a a
Câu 28. Chọn D
Tam giác
ABC
vuông cân tại
B
mà
2AC a
suy ra
AB BC a
.
Do
BC BA
,
BC SA
(vì
SA ABC
) nên
BC SAB
.
Gọi
H
là hình chiếu của điểm
A
lên
SB
, thì
AH SB
,
AH BC
(vì
BC SAB
) nên
AH SAB
hay
,
2
a
AH d A SBC .
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông
SAB
với đường cao
AH
, ta được:
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
AH SA AB SA AH AB a
SA a
nên tam giác
SAB
vuông cân tại
A
do đó trọng tâm
G
thuộc
AH
.
Từ
AH SBC AH SC
và
AK SC
nên
SC AHK
hay
SC AGK
.
Vì
SC AGK
và
SA ABC
nên góc giữa hai mặt phẳng
AGK
và
ABC
chính là góc
giữa hai đường thẳng
SC
và
SA
hay
CSA
.
Theo trên ta có
2 2
3SC SA AC a
suy ra
3
cos
3
3
SA a
AC
a
.
Câu 29. Chọn A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
Gọi
S
là diện tích tam giác
ABC
ta có
2
1
. .sin120 3
2
S BA BC a
. Nên thể tích khối chóp
.
S ABC
là
2 3
1
3.3 3 3
3
V Bh a a a
.
Gọi
AH
là đường cao trong tam giác
ABC
khi đó ta có
2
2 2 3
3
2
S a
AH a
BC a
.
2 2
2 3SH SA AH a
.
Vì
BC SAH
BC SH
. Nên diện tích tam giác
SBC
là
2
1
1
. 2 3
2
S BC SH a
.
Vậy khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
SBC
là
3
2
1
3 3 3 3
2
2 3
V a a
d
S
a
.
Câu 30. Chọn A
Gọi
I AC BD
và
H
là hình chiếu của
A
lên đường thẳng
'A I
.
Ta có:
'
BD AI
BD AH
BD AA
( ' ) d( ,( ' ))
'
AH BD
AH A BD A A BD AH
AH A I
.
Ta có:
2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1 3 3
' 3
2
( )
2
a
AH
AH AI AA a a
a
.
Câu 31. Chọn B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32
Gọi
D
là trung điểm cạnh
BC
,
E
là hình chiếu của
A
lên
'A D
.
Ta có:
'
'
BC AD
BC ADA BC AE
BC AA
.
'
'
AE BC
AE A BC
AE A D
, suy ra
, '
d A A BC AE
.
Trong tam giác
'A AD
có:
3
' ,
2
a
AA a AD
,
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 7
' 3 3AE AA AD a a a
3 21
7
7
a a
AE
.
Câu 32. Chọn A
Kẻ
( ) AE BC E BC
;
( 'E )
AH A E H A
.
Ta có: ( )
BC AE
BC A AE BC AH
BC AA
.
Mà
( )
AH A E AH A BC
.
Do đó khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
( ' )A BC
bằng
AH
.
Xét tam giác
ABC
vuông tại
A
ta có
2 2 2 2
1 1 1 4
3
AE AB AC a
.
Xét tam giác
A AE
vuông tại
A
ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 7 21
3 3 7
a
AH
AH AE A A a a a
.
Câu 33. Chọn B
H
E
C'
B'
A'
C
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33
Trong tam giác
OAB
dựng đường cao
OH
, trong tam giác
OCH
dựng đường cao
(1)OI OI CH
. Mặt khác ta có
(2)
BC OH
BC OAH BC OI
BC OA
. Từ (1) và (2)
suy ra
;
OI ABC d O ABC OI
.
Xét tam giác
OAB
vuông tại
O
có
2 2 4
2 2 2
. 4 2
, 2
5
5
OA OB a a
OA a OB a OH
OA OB a
.
Xét tam giác
OCH
vuông tại
O
có
2 2 4
2 2 2
2 . 12 2 3
3,
19
5 19
a OC OI a a
OC a OH OI
OC OI a
.
Vậy
2 3
; .
19
a
d O ABC OI
Câu 34. Chọn B
Cách 1:
Gọi
, , ,p q u v
lần lượt là các khoảng cách từ
O
đến các mặt phẳng
, , , .SAB SBC SCD SDA
Trong mặt phẳng
SAC
dựng đường thẳng qua
O
vuông góc với đường thẳng
SO
cắt hai
đường thẳng
,SA SC
lần lượt tại
', 'A C
Trong mặt phẳng
SBD
dựng đường thẳng qua
O
vuông góc với đường thẳng
SO
cắt hai
đường thẳng
,SB SD
lần lượt tại
', 'B D
.
Do
, , ' '
SAC SBD SAC SBD SO A C SO
nên
' '
A C SBD
' ' ' 'A C B D
.
Khi đó tứ diện
' 'OSA B
có
, ', 'OS OA OB
đôi một vuông góc nên ta chứng minh được
2 2 2 2
1 1 1 1
1
' '
p OS OA OB
C
O
A
B
H
I
O
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 34
Chứng minh tương tự:
2 2 2 2
1 1 1 1
2
' 'q OS OB OC
;
2 2 2 2
1 1 1 1
3
' 'u OS OC OD
2 2 2 2
1 1 1 1
4
' 'v OS OD OA
Từ
1 , 2 , 3 , 4
ta có
2 2 2 2
1 1 1 1
.
p u q v
Với
2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 19 20
1; 2; 5
1 2 20 19
5
p q u d v
v v
.
Cách 2:
Dựng mặt phẳng qua O, vuông góc với
SO
, cắt các đường thẳng
, , ,SA SB SC SD
lần lượt tại
, , ,A B C D
SO A B C D
.
Vì
SAC SBD
A C B D
.
Ta có:
2 2 2
1 1 1 1
1
,d O SA B
SO OA OB
.
1
2 2 2
1 1 1 1 1
4
,d O SB C
SO OB OC
.
2
2 2 2
1 1 1 1 1
5
,d O SC D
SO OC OD
.
3
2 2 2 2
1 1 1 1 1
,d O SD A
SO OD OA d
.
4
2
1 1 1
1 , 2 , 3 , 4 1
5 4
d
20
19
d
.
Dạng 2.2 Khoàng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt phẳng
Câu 35. Chọn D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35
Từ giả thiết suy ra
OI
là đường trung bình của
SAC
, do đó
OI SA
.
Ta có
IO SA
IO ABCD
SA ABCD
.
Vậy
,d I ABCD OI
.
Câu 36. Chọn B
1 1 1 2
, ,
2 2 4 4
a
d M SAC d D SAC DO BD
.
Câu 37. Chọn C
Gọi H là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác BCD, AG là đường cao của tứ diện
Xét tam giác đều BCD có
3 2 2 3
2 . 3
2 3 3
a
BH a a BG BH
.
Xét tam giác vuông ABG có
2
2 2 2
2 3 2 6
(2 ) .
3 3
a
AG AB BG a a
Mà
2 2 4 6
( ;( )) ( ;( )) .
3 3 9
d M BCD d A BCD AG a
Câu 38. Chọn C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36
Gọi
G
là trọng tâm tam giác
BCD
. Ta có
AG BCD
tại
G
nên
,d A BCD AG
.
Xét tam giác
ABG
vuông tại
G
có
2
2 2 2
3 6
3 3
a a
AG AB BG a
.
Câu 39. Chọn A
• Gọi M, N, H lần lượt là trung điểm của A’C’, AC, BC.
/ / ' ' / / 'MN CC BCC MN BCC
; ' ; '
2
a
d M BCC d N BCC NH
Câu 40. Chọn A
a
H
N
M
A
C
B
A'
C'
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 37
Ta có:
2 2
2 2
5 4 3SA SB AB a a a
.
Ta có
, ,
d C SBD d A SBD h
.
Tứ diện
ASBD
có các cạnh
, ,AB AD AS
đôi một vuông góc với nhau và
4 , 3 , 3AB a AD a AS a
nên ta có
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 41 12 41
16 9 9 144 41
a
h
h AB AD AS a a a a
Vậy
12 41
,
41
a
d C SBD
.
Câu 41. Chọn B
Kẻ
.SI AB
Do tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy
ABCD
.
I
là trung điểm của
AB
và
SI ABCD
.
SAB
đều cạnh
2a
2 3
3.
2
a
SI a
Kẻ
IK BD
K BD
,
AH BD
H BD
1
2
IK AH
Kẻ
, (1).
IJ SK J SK
Ta có
IK BD
SI ABCD SI BD
(2).
BD SIK BD IJ
4a
3a
5a
C
D
A
B
S
H
I
C
A
B
D
S
K
J
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 38
Từ (1) và (2) suy ra
IJ SBD
,( ) .d I SBD IJ
Ta có:
2 2 2
1 1 1
AH AB AD
2 2
1 5
4AH a
2
5
a
AH
.
5
a
IK
2 2 2
1 1 1
IJ SI IK
2 2
1 16
3IJ a
3
4
a
IJ
3
,( ) .
4
a
d I SBD
I
là trung điểm
AB
,( )d A SBD
3
2 ,( ) .
2
a
d I SBD
Câu 42. Chọn C
Vì chóp
SABCD
là chóp đều nên
ABCD
là hình vuông cạnh
2a
.
Gọi O là tâm hình vuông, ta có
SO ABCD
.
Ta có
, 2 ,
d A SCD d O SCD
.
Gọi
K
trung điểm
CD OK CD
. Lại có
CD SO
.
Suy ra
CD SOK
suy ra
SCD SOK
.
Trong
SOK
kẻ
,OH SK OH SCD
d O SCD OH
.
Xét
SOK
vuông tại
O
, đường cao
OH
, ta có
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3
, 2 3
3 2
a
OH d A SCD OH a
OH OK OS a a
.
Câu 43. Chọn B
A
D
C
B
S
H
I
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39
Trong mặt phẳng
ABCD
dựng
BI HC
.
Ta có:
;
SAB SHC SH
SH ABCD
SAB ABCD SHC ABCD
.
Khi đó:
,
BI HC
BI SHC d B SHC BI
BI SH
.
Xét trong tam giác
BHC
vuông tại
B
ta có:
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 25 12
144 5
3 4
a
BI
BI BH BC a
a a
.
Suy ra: Khoảng cách từ B đến mặt phẳng
SHC
bằng
12
5
a
.
Câu 44. Chọn C
Gọi
O AC BD
,
G SO FC
G
là trọng tâm tam giác
SAC
.
Do đó:
,
2
,
d S FCD
SG
OG
d O FCD
, 2 , 2d S FCD d O FCD h
.
Lại có:
ABCD
là hình thoi nên
O
là trung điểm của
,
AC BD
và
OC OD
.
Mà:
SA SB SC SD
SO ABCD
OA OB OC OD
ABCD
là hình vuông.
2
2
a
OC OD
2 2
2
2
a
OS SC OC
1 2
3 6
a
OG OS
.
Khi đó:
.
O GCD
là tứ diện vuông đỉnh
O
2 2 2 2
1 1 1 1
h OC OD OG
2
22
a
1
22
h a
.
Vậy
2
, 2
11
d S FCD h a
.
Câu 45. Chọn A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 40
Do
D
là điểm đối xứng với
B
qua
AC
và
ABC
cân tại
B
nên tứ giác
ABCD
là hình thoi cạnh
a
. Suy ra
BCD
là tam giác đều cạnh
a
.
Gọi
M
là trung điểm của
CD
, suy ra
BM CD
và
3
2
a
BM
.
Qua điểm
A
, dựng đường thẳng song song với
BM
và cắt
CD
tại
K
.
Khi đó
AK CD
và
3
2
a
AK BM
.
Ta có
CD AK
CD SAK SCD SAK
CD SA
.
Trong mặt phẳng
( )SAK
, dựng
AH SK
, với
H SK
. Suy ra
( )AH SCD
tại
H
.
Do
AB
song song với mặt phẳng
( )SCD
nên
( ,( )) ( ,( ))d B SCD d A SCD AH
.
Xét
SAK
vuông tại
A
, ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 7 21
3 3 7
AH a
AH SA AK a a a
.
Câu 46. Chọn D
Do
ABCD
là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính
AD
nên tứ giác
ABCD
cũng nội
tiếp đường tròn đường kính
AD
. Gọi
I
là trung điểm
AD
thì các tam giác
, ,IAB IBC ICD
đều
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41
cạnh
a
và
AC CD
nên
2 2
3AC AD CD a
. Lấy
;
K BC M AD
sao cho
;
HK SC KM CD
; ; ;
d H SCD d K SCD d M SCD
SAB
vuông tại
A
có
2SB a
và
2
2
3 3 3
.
2 2 4
a a SH KC MD
SH SB SA SH
a SB CB DI
.
Vậy
;
3 3
2 8 8
;
d M SCD
MD MD
AD DI
d A SCD
. Do
AC CD
CD SAC
CD SA
.
Trong
mp SAC
kẻ
AN SC
tại
N
thì
;
AN SCD d A SCD AN
.
SAC
vuông cân tại
A
(Do
3SA AC a
) nên
6
2
a
AN
.
Vậy
3 3 6
; ; .
8 16
a
d H SCD d M SCD AN
Câu 47. Chọn A
Cách 1:
Xét
ABC
đều do
60
ABC
và
AB BC
.
Lấy
I
là trung điểm
BC
, kẻ
AH SI
tại
H
.
Ta có:
AI BC
, mà
,
BC SA BC SAI AH SAI BC AH
.
Từ và
AH SBC
tại H
,
AH d A SBC
.
Ta có:
ABC
đều cạnh
a
3
2
a
AI
.
Xét
SAI
vuông tại
A
có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 4 16 3
,
9 3 9 4
a
AH d A SBC
AH SA AI a a a
.
Ta có:
O,
1 1 3
O, A,
2 2 8
A,
d SBC
OC a
d SBC d SBC
AC
d SBC
.
Cách 2:
Tương tự cách 1 ta có
ABC
đều cạnh
3
2
a
a AI
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42
Diện tích
OBC
là:
2
1 3
.
2 8
OBC ABC
a
S S
.
Thể tích của khối chóp
.
S OBC
là:
2 3
.
1 1 3 3 3
. . . .
3 3 2 8 16
S OBC OBC
a a a
V SA S
.
Xét
SAI
vuông tại
A
:
2
2
2 2
3 3
3
2 2
a a
SI SA AI a
.
Xét
SAI
có
SA SC do SAB SAC
SI
là đường cao
2
1
. 3
2
SBC
S SI BC a
.
Ta có:
3
.
2
3. 3
3
3
16
;
8
3
S OBC
SBC
a
V
a
d O SBC
S
a
.
Câu 48. Chọn C
Xét tam giác
ABC
có
, 2 5AB a AC a BC a
.
Trong mp
ABC
kẻ
,
AH BC H BC
.
Ta có:
'
' ,
ABC A BC
ABC A BC BC AH A BC d A A BC AH
AH BC
Trong tam giác vuông
ABC
ta có
. 2 5 2 5
,
5 5
AB AC
AH a d A A BC a
BC
.
Câu 49. Chọn B
2a
a
A
A'
B
B'
C
C'
I
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43
Gọi
I
là trung điểm của
AB
SI AB
.
Ta có:
SI AB
SAB ABCD gt SI ABCD
SAB ABCD AB
.
Xét
SAB
đều có cạnh bằng
2a
3SI a
Kẻ
AK BD
tại
K
. Ta xét
BAD
có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5 2 5
4 4 5
a
AK
AK AB AD a a a
.
Kẻ
JI BD
tại
1 5
/ /
2 5
a
J JI AK JI AK
. Ta có:
BD SI BD SJI
.
Kẻ
HI SJ
tại
H IH SBD
tại
;
H d I SBD IH
.
Xét
SJI
có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 5 1 16 3
3 3 4
a
HI
HI JI SI a a a
.
Do
I
là trung điểm của
AB
nên:
;
3
2 ; 2 ;
2
;
d A SBD
AB a
d A SBD d I SBD
AI
d I SBD
.
Câu 50. Chọn B
Gọi
H
là trung điểm
AB
. Suy ra
SH ABCD
.
Ta có
,
1
, 2 ,
2
,
d H SBD
BH
d A SBD d H SBD
BA
d A SBD
.
Gọi
I
là trung điểm
OB
, suy ra
||HI OA
(với
O
là tâm của đáy hình vuông).
Suy ra
1 2
2 4
a
HI OA
. Lại có
BD HI
BD SHI
BD SH
.
Vẽ
HK SI HK SBD
. Ta có
2 2 2
1 1 1 21
14
a
HK
HK SH HI
.
Suy ra
21
, 2 , 2
7
a
d A SBD d H SBD HK
.
Câu 51.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44
. Chọn D
.
Gọi
H
là trung điểm của
( ).AB SH AB SH ABCD
.
Từ
H
kẻ
HM BD
,
M
là trung điểm của
BI
và
I
là tâm của hình vuông.
Ta có: (SHM)
BD HM
BD
BD SH
.
Từ
H
kẻ
HK SM HK BD
( Vì
(SHM)BD
).
( ) d(H;(SBD)) HK.HK SBD
.
Ta có:
2
.
2 4 4
AI AC a
HM
3
2
a
SH
.
2 2 2 2
2 3
.
. 21
4 2
.
14
2 3
4 2
a a
HM HS a
HK
HM HS
a a
.
21 21
( ;( )) ( ;( )) 2 ( ;( )) 2 2. .
14 7
a a
d C SBD d A SBD d H SBD HK
.
Vậy:
( ;( ))d C SBD
21
.
7
a
.
Câu 52. Chọn D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 45
* Gọi
O AC BD
và
G
là trọng tâm tam giác
ABD
,
I
là trung điểm của
AB
ta có
SI ABCD
và
;
2 ; 2. ;
;
d D SAC
DG
d D SAC d I SAC
IG
d I SAC
.
* Gọi
K
là trung điểm của
AO
,
H
là hình chiếu của
I
lên
SK
ta có
;
IK AC IH SAC
; 2. ; 2.d D SAC d I SAC IH
* Xét tam giác
SIK
vuông tại I ta có:
3 2
;
2 2 4
a BO a
SI IK
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 16 28 3
3 2 3
2 7
a
IH
IH SI IK a a a
21
; 2. ; 2.
7
a
d D SAC d I SAC IH
.
Câu 53. Chọn C
Goi
O
la giao điêm cua
AC
va
BD
,
I
la trung điêm cua
.
Ke
/ / ,
IK BD K AC
; ke
, IH SK H SK
(1).
Do
SAB ABCD
va tam giac
SAB
đêu nên
SI ABCD SI AC
Lai co
IK AC
, suy ra
AC SIK AC IH
(2)
Tư (1) va (2) suy ra
IH SAC
suy ra
IH
la khoang cach tư I đên đên măt phăng
SAC
băng
O
G
I
A
B
D
C
S
O
A
C
S
I
K
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 46
Ta co
1 2
2 4
a
IK BO
, tam giac
SIK
vuông tai I nên
2 2 2 2
1 1 1 28 3
2 7
3
a
IH
IH SI IK a
Khoang cach tư
B
đên măt phăng
SAC
băng hai lân khoang cach tư
H
đên măt phăng
SAC
nên khoang cach tư
B
đên măt phăng
SAC
la
21
7
a
d
.
Câu 54. Chọn A
Cách 1 Diện tích hình thoi
2
3
2
a
S
.
Thể tích hình chóp
.
S ABCD
:
3
3
6
a
V
.
Ta có
2
SD a
,
3
AC a
,
2SC a
.
Nửa chu vi
SCD
là
3 2
2
SCD
a a
p
.
2
7
2 2
4
SCD
a
S p p a p a p a
3
.
2
1 3
3. .
3
21
2 6
,
7
7
4
S BCD
SCD
a
V
a
d B
S
a
SCD
Cách 2 Ta có
// //
AB CD AB SCD
, suy ra
, ,d B d A
SCD SCD
.
Trong mặt phẳng
ABCD
, kẻ
AK CD
tại
K
.
Trong mặt phẳng
SAK
, kẻ
AH SK
tại
H
.
Suy ra
,
AH SCD d A SCD AH
.
Tam giác
SAK
vuông tại
A
,
AH
là đường cao, suy sa:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 7 21
3 3 7
a
AH
AH AK AS a a a
, do
3
2
a
AK
.
Vậy
21
,
7
SCD
a
d B
.
Câu 55.
Lơi giai
Chọn B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 47
Goi
I
la trung điêm cua
. Tam giac
SAD
cân tai
S
SI AD
Ta co
SI AD
SI ABCD
SAD ABCD
SI
la đương cao cua hinh chop.
Theo gia thiêt
3 2
.
1 4 1
. . .2 2
3 3 3
S ABCD ABCD
V SI S a SI a SI a
Vi
AB
song song vơi
SCD
, , 2 ,
d B SCD d A SCD d I SCD
Goi
H
la hinh chiêu vuông goc cua
I
lên
SD
.
Măt khac
SI DC
IH DC
ID DC
. Ta co
,
IH SD
IH SCD d I SCD IH
IH DC
Xet tam giac
SID
vuông tai
2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 2
:
4 2 3
a
I IH
IH SI ID a a
4
, , 2 ,
3
d B SCD d A SCD d I SCD a
.
Câu 56. Chọn C
+
1
; ;
2
d M SCD d B SCD
(vì
M
là trung điểm
).
H
M
A
D
C
B
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 48
Vì
/ / ; ;
AB SCD d B SCD d A SCD
.
Kẻ
AH SD
AH CD
vì
CD SAD
(do
;
CD AD CD SA
)
AH SCD
.
;
d A SCD AH
.
+
ABCD SCD CD
CD SAD
góc giữa
SCD
và
ABCD
bằng góc
SDA
,
0
60
SDA .
Gọi cạnh của hình vuông
ABCD
có độ dài bằng
x
.
Tam giác vuông
SAD
có:
0
tan 60 3
SA
SA x
AD
.
3
2
1 1 3
. . 3.
3 3 3
ABCD ABCD
x
V SA S x x
.
Mà thể tích khối chóp
.
S ABCD
bằng
3
3
3
a
3 3
3 3
3 3
x a
x AD a
và
3
SA a
.
+ Tam giác vuông
SAD
có đường cao
AH
:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 3
.
3 3 2
a
AH
AH AD SA a a a
Vậy khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng
SCD
bằng
3
3
2
2 4
a
a
.
Câu 57. Chọn A
Gọi
I AC BD
,
H
là trọng tâm của tam giác
ABC
.
Do
ABCD
là hình thoi và
o
60
BAC
nên
,
ABC ACD
là các tam giác đều cạnh
a
.
o
, 60
SAC ABCD SIH
.
Ta có:
3 1 3
2 3 6
a a
BI IH BI
;
o
.tan 60
2
a
SH IH
;
2 4 2 3
3 3 3
a
HD BD BI
.
Kẻ
, ,
HK CD HE SK d H SCD HE
.
I
D
A
B
C
S
H
K
E
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 49
Trong tam giác vuông
HKD
ta có
o
3
.sin30
3
a
HK HD
.
Do đó
2 2
.
,
7
SH HK a
d H SCD HE
SH HK
.
Mặt khác
,
3 3 3
, .
2 2
,
7 2 7
d B SCD
BD a a
d B SCD
HD
d H SCD
.
Câu 58. Chọn B
Ta có:
SH ABC
.
Mà
3
.
1 6 1 1
. . . . . 3. 2
3 6 3 2
S ABC ABC
a
V S SH a a SH SH a
.
Vì
H
là trung điểm của cạnh
; 2 ;
AC d C SAB d H SAB
.
Gọi
M
là trung điểm của cạnh
AB HM AB
.
Mà
AB SH AB SHM
và
3
2 2
BC a
HM
.
Kẻ
KH SM
tại
K
.
Do
AB SHK AB HK HK SAB
tại
K
.
2 2 2
2
3
2.
. 66
2
;
11
3
2
4
a
a
SH HM a
d H SAB HK
SH HM a
a
2 66
;
11
a
d C SAB
.
Câu 59. Chọn D
Gọi
H
là trung điểm của
AD
. Vì
SAD
cân nên
SH AD SH ABCD
.
A
C
B
S
H
M
K
B
H
D
C
A
S
K
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 50
Trong mp
SAD
kẻ
1
HK SD
.Vì
2
CD AD
CD SAD CD HK
CD SH
.
Từ (1) và (2) suy ra
,( )
HK SCD HK d H SCD
.
Ta có
2
.
1 4
. 2. 2 2
3 3
S ABCD
V SH a a a SH a
. Xét tam giác
SHD
vuông tại
H
ta có
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 9 2 2
,( )
4 4 3 3
2
a a
HK d H SCD
a
HK SH HD a a
.
Vì
// , ,(
AB SCD d B SCD d A SCD
. Mặt khác
H
là trung điểm của
AD
4
,( ) ,( ) 2 ,( )
3
a
d B SCD d A SCD d H SCD
. Vậy
4
3
a
h
.
Câu 60. Chọn D
Gọi
O
là tâm của hình vuông
ABCD
.
Dựng
AK SD
tại
K
,
CD AD CD SA CD SAD CD AK
AK SCD
Ta có:
//
SH SK
SAB SAD HK BD
SB SD
.
SBD
cân đỉnh
S
, gọi
J HK SO
HJ JK
. Dựng
AJ
cắt
SC
tại
I
. Dựng
//
JM AK JM SCD
;d H SCD
2 ; 2
d J SCD JM
.
Ta có:
2 5 2 3 3 2 2 3 4 3 2 2
; ; ; ; ; .
5 3 2 5 15 5
a a a a a a
AH AK AI SO AJ IJ HJ
Ta có:
4 5
25
IJ JM a
JM
AI AK
;
d H SCD
8 5
.
25
a
Câu 61. Chọn C
M
I
J
K
O
D
A
B
C
S
H
H
I
C
D
A B
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 51
Hai tứ giác
ADCI
và
BCDI
là hình thoi
AD CI
AD BD
CI BD
BD SAD SD BD
. Suy ra góc giữa mặt phẳng
SBD
và
ABCD
là
0
45
SDA .
Do đó
SA AD a
. Gọi
H
là hình chiếu của
A
lên
SD
AH SBD
2
, .
2
a
d A SBD AH
Ta có
,
1 1 2
, , .
2 2 4
,
d I SBD
IB a
d I SBD d A SBD
AB
d A SBD
Câu 62. Chọn A
Ta có:
1
; ;
2
d O SBC d A SBC
.
Kẻ
1
AH SB
.
+)
BC AB
BC SAB
BC SA
.
2
AH BC
.
Từ
1
và
2
AH SBC
;
d A SBC AH
.
+) Xét tam giác
SAB
, ta có:
2 2
. 2 5
5
SA AB
AH a
SA AB
.
Vậy khoảng cách từ điểm
O
đến mặt phẳng
SBC
bằng
5
5
a
.
Câu 63. Chọn A
Gọi
O AC BD
. Suy ra,
O
là trung điểm của
nên
, ,
d C SBD d A SBD
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 52
Kẻ
AK BD
,
AH SK
.
Ta có
SA BD
BD SAK SBD SAK
AK BD
.
Lại do
SBD SAK SK
AH SK
, suy ra
AH SBD
nên
,d A SBD AH
.
Ta có
2 2 2 2
. . . 3 3
2
3
AB AD AB AD a a a
AK
BD
AB AD a a
.
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 19 2 57
4 3 12 19
a
AH
AH SA AK a a a
.
Vậy khoảng cách từ
C
đến mặt phẳng
SBD
là
2 57
,
19
a
d C SBD
.
Câu 64. Chọn B
Diện tích hình chữ nhật
ABCD
là
2
. 3
ABCD
S AD AB a
.
Δ SAB
đều cạnh
AB a
, gọi
H
là trung điểm
AB
SH AB
,
3
2
a
SH
.
Do
,
SAB ABCD
SAB ABCD AB
SH SAB SH AB
SH ABCD
.
Thể tích hình chóp
.S ABCD
là:
3
.
1
.
3 2
S ABCD ABCD
a
V SH S .
Gọi
M
là trung điểm
SA
3
2
a
BM
và thể tích tứ diện
MBCD
là:
3
Δ .
1 1 1 1 1
, . . , .
3 3 2 2 4 8
MBCD BCD ABCD S ABCD
a
V d M BCD S d S ABCD S V .
Hình chữ nhật
ABCD
có
2 2
2BD AB AD a
.
Có
SH ABCD SH AD
, mà
AB AD
AD SAB AD SA
.
Δ MAD
vuông tại
A
,
2 2
13
2
a
MD MA AD
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 53
Δ
MBD
có
2 2 2
MB MD BD
Δ
MBD
vuông tại
M
.
Diện tích tam giác
MBD
là
2
Δ
1 39
.
2 8
MBD
a
S MB MD
.
Mà thể tích tứ diện
CMBD
là:
Δ
1
, .
3
CMBD MBD
V d C MBD S
3
2
Δ Δ
3
3 3
39
8
,
13
39
8
CMBD MBCD
MBD MBD
a
V V
a
d C MBD
S S
a
.
Câu 65. Chọn D
- Goi
D
la trung điêm cua
B C
MN A D
MN DP
MN A DPA
MNP A DPA
- Goi
E MN A D
EP
la giao tuyên cua
MNP
va
A DPA
.
- Dưng
AH EP AH MNP
;
AH d A MNP
.
- Goi
F
la trung điêm cua
AP
EF AP
va
2EF A A
,
3
2 2
AP
FP
2 2
5
2
EP EF FP
.EF AP
AH
EP
2.3 12
5
5
2
.
Vây
12
;
5
d A MNP
.
Câu 66. Chọn B
F
E
D
P
N
M
B
C
A'
C'
B'
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 54
Gọi
E
là giao điểm của
AB
và
CD
;
H
,
K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A
trên
SD
,
BC
. Ta có
2 2
3
2
a
AD AC CD CK
,
.cot
KB AK ABC
3
.cot 30
2
a
CD
.
3BC BK KC a
.
Tam giác
EBC
có
//
AD BC
và
2
BC AD
nên
là đường trung bình, suy ra
A
là trung
điểm của cạnh
EB
.
CD AD
CD SA
CD SAD
CD AH
.
AH CD
AH SD
AH SCD
,
d A SCD AH
.
Tam giác
SAD
vuông cân tại
A
nên
2 6
2 4
AD a
AH
.
Vậy
, . ,
EB
d B SCD d A SCD
EA
6
2
2
a
AH
.
DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 67. Chọn B
* Do
//
AB CDD C
nên ta có:
; ; ;
D DD C DD C D a
d AB C d AB C d A C A
.
A
B
D
C
A'
B'
D'
C'
S
A
B
C
D
E
H
K
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 55
Câu 68. Chọn B
Gọi
, E F
lần luợt là trung điểm của
AB
và
CD
. Do tứ diện
ABCD
đều cạnh a nên
3
2
a
DE CE
.Xét trong tam giác cân ECD tại E có
2 2 2
2 2 2
3
4 4 2
a a a
EF ED FD .
Do tam giác
,
ABC ABD
đều nên
,
ED AB EC AB
suy ra
EF AB
mà tam giác
ECD
cân tại
E
nên
EF CD
. Vậy khoảng cách giữa
AB
và
CD
bằng độ dài đoạn
EF
. Tức bằng
2
2
a
.
Câu 69. Chọn B
Do
MN SM
( giả thiết SM vuông góc với đáy) và
MN MQ
(do
MNPQ
là hình vuông) vậy
MN SMQ
suy ra
, d , d , 3d NP SQ NP SMQ N SMQ NM a
.
Câu 70. Chọn D
Ta có:
, , ,

EF EFF E
GH GHH G d EF GH d EFF E GHH G d E GHH G
EFF E GHH G
.
Vì
EH GHH G
, 4 .
d E GHH G EH a
Câu 71. Chọn D
F
E
A
B
C
D
N
M
Q
P
S
12a
4a
3a
H'
G'
F'
E'
H
G
F
E
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 56
Vì
//CD AB
nên
//CD SAB
. Do đó
; ; ;d CD SB d CD SAB d D SAB DA a
.
Câu 72. Chọn D
Gọi O A C B D
.
Ta có
,BB B O
A C B O
,B O d BB A C
.
2 2
1 1 2
2 2 2
a
B O B D B C C D
.
Câu 73. Chọn B
*) Trong tam giác
SAD
, kẻ đường cao
AH
AH SD
(1).
CD AD
CD SA
CD SAD CD AH
(2).
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 57
Từ (1), (2)
AH SCD
.
Có
/ / / /
AB CD AB SCD
, mà
CM SCD
, , ,
d AB CM d AB SCD d A SCD AH
.
*)
2 2 2
1 1 1
AH SA AD
2 2 2
1 1 4
3 3a a a
3
2
a
AH
.
Câu 74. Chọn A
Theo giả thiết các mặt
,
SAB SAD
vuông góc với đáy nên suy ra
SA ABCD
.
Xét 2 mặt phẳng
SCD
và
ABCD
có:
( )
(
SCD ABCD CD
AD CD gt
SD CD CD SAvì
D
Suy ra
, , 60
SCD ABCD AD SD SDA
.
Mặt khác,
/ / / / , , ,
AB CD SCD AB SCD d AB SC d AB SCD d A SCD
.
Trong
SAD
, từ
A
dựng
AH SD
tại
H
thì
AH SCD
nên
,
d A SCD AH
.
Xét tam giác
SAD
vuông tại
A
có:
2 2 2
1 1 1 3
, .tan 60 3
2
a
AD a SA AD a AH
AH AS AD
.
Câu 75. Chọn B
Ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
và
A C
bằng khoảng cách giữa mặt phẳng
song song
ABCD
và
A B C D
thứ tự chứa
và
A C
. Do đó khoảng cách giữa hai đường
thẳng
và
A C
bằng
a
.
Câu 76. Chọn C
S
H
C
A
D
B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 58
Gọi
O
là tâm hình chữ nhật và M là trung điểm
SA
, ta có:
//
SC BMD
.
Do đó
,
d SC BD
,
d SC BMD
,
d S BMD
,
d A BMD h
Ta có:
, ,AM AB AD
đôi một vuông góc nên
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 1 1
4h AM AB AD a a a
Suy ra:
2 21
21
a
h
.
Câu 77. Chọn D
Gọi
I
là trung điểm của
AB
.
Ta có:
/ /
CC BB
nên
/ /
CC ABB A
.
Vì
AB ABB A
nên
, ,
d CC AB d CC ABB A CI
.
Do lăng trụ tam giác đều
.
ABC A B C
nên tam giác
ABC
đều cạnh
a
nên
3
2
a
CI
Nên
3
,
2
a
d CC AB CI
.
Câu 78. Chọn C
Kẻ
/ / ,
Dx AC Dx AB I
.
/ / ; / /
AC DI AC mp SDI AC mp SDI
Khi đó
; ,
d AC SD d A SDI
Kẻ
AH
vuông góc với
DI
tại
H
, do
SA DI
nên
DI mp SAH mp SAH mp SDI SH
O
M
D
C
B
A
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 59
Trong
mp SAH
, kẻ
AP SH P
suy ra
;
d A SDI AP
Ta có, trong
: / / 2mp ABCD AH CD a
.
Trong tam giác:
SAH
vuông tại
A
, có
AP
là đường cao
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3 6 6
;
2 3 3
2
a a
AP d AC SD AP
AP SA SH a a
a
Câu 79.
Chọn D
Gọi
H
là trung điểm của
BC
và
K
là hình chiều của
H
trên
A A
.
Theo giả thiết ta có tam giác
ABC
cân tại
A
nên
1
BC AH
và
2 2 2 2
4 3
AH AB BH a a a
. Mặt khác
A BC ABC
và tam giác
A BC
vuông cân
tại
A
nên
2
A H BC
và
1
3.
2
A H BC a
Từ
1
và
2
suy ra
BC AHA BC HK
nên
HK
là đoạn vuông góc chung của
A A
và
BC
.
Vậy
2
2 2 2 2
. 3 3
, .
2
3
AH A H a a
d A A BC HK
AH A H a a
Câu 80. Chọn C
Trong tam giác
SAD
kẻ đường cao
AH
ta có
2
2
. 2 . 2 5
. .
5
2
AD AS a a a
AD AS AH SD AH
SD
a a
Dễ thấy
AH
chính là đường vuông góc chung của
AB
và
SD
Vậy
2 5
,
5
a
d AB SD AH
.
Câu 81. Chọn D
B
C
A
A'
C'
B'
H
K
D
B
C
A
S
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 60
Ta có được
OA OBC
.
Trong mặt phẳng (OBC), dựng điểm E sao cho OMCE là hình bình hành thì OMCE cũng là
hình vuông (do OBC là tam giác vuông cân tại O).
Lại có:
CE OE
CE AOE
CE OA
.
Kẻ
OH AE
tại H thì
OH AEC
.
Vì
//
OM AEC
nên
2 2 2 2
. . 2 6
; ;
3
2
OA OE a a a
d AC OM d O ACE OH
OA OE a a
.
Câu 82. Chọn C
Ta có
DA SA
DA SAB
DA AB
.
Mặt khác
//
//
CD SAB
CD SAB
CD AB
.
Từ đó suy ra khoảng cách giữa
SB
và
CD
bằng khoảng cách giữa
SAB
và
CD
và bằng
DA
.
Từ giác ABCD là hình vuông với đường chéo
2AC a
suy ra
2DA a
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
SB
và
CD
là
2a .
Câu 83. Chọn D
M
A
O
C
B
E
H
D
C
B
A
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 61
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
C
trên
AB
.
Có
.
ABC A B C
là hình lăng trụ đứng nên
,
CH ABB A d C ABB A CH
/ / / /
CC BB CC ABB A
nên
, , ,
d CC AM d CC ABB A d C ABB A CH
Xét tam giác
ABC
có
2 2 2 2
2. . .cos120 7 7A B C A C B C A C B a A B a
1 1 3 3
. .sin . .2 . 7.
2 2 2 7
ABC
S CA CB C AB CH a a a CH CH a
.
Vậy
3
,
7
d AM CC a
Câu 84. Chọn D
Trong
SBC
kẻ
/ / / /
IK SC SC AIK
Khoảng cách
; ; ;
d SC AI d SC AIK d S AIK
.
, ,SA SB SC
đôi một vuông góc với nhau
SC SAB
, mà
/ /IK SC
IK SAB
.
Trong
SAB
kẻ
SH AK
SH IK IK SAB
SH AIK
;
d S AIK SH
.
M
B
C
A'
B'
C'
A
H
3a
2a
a
H
K
I
C
B
S
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 62
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 2
2
2
a a
SH
SH SA SK a a a
.
Vậy
;
d SC AI
2
2
a
.
Câu 85. Chọn D
S
A
B
C
E
I
K
Gọi
I
là trung điểm của
, ta có
//EI BC
nên
, , , ,
d BC SE d BC SEI d B SEI d A SEI AK
(hình vẽ).
Trong tam giác vuông
SAE
ta có
2 2 2
2
2.
. 2
2
3
2
4
a
a
AS AE a
AK
AS AE a
a
.
Câu 86. Chọn B
Gọi
H
là hình chiếu của
A
trên cạnh
SD
. Ta có
AB AD
AB SAD AB AH
AB SD
.
Suy ra
AH
là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
AB
và
SD
. Do đó
,
d AB SD AH
.
SAD
vuông cân tại
A
có
AH
là đường cao nên
H
là trung điểm của
SD
, suy ra
1 2 2
2
2 2
a
AH SD a
.
Vậy
, 2d AB SD a
.
H
C
A
D
B
S
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 63
Câu 87. Chọn A
Ta co:
SAB ABCD
SAC ABCD SA ABCD
SAB SAC SA
.
*
CD AD
CD SAD CD AH
CD SA
, mà
AH SD AH SCD
.
Trong
SCD
ke
HK SC
tai
K
AH HK
.
HK
la đoan vuông goc chung cua
AH
va
SC
.
* Ta co:
2
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 3 4
4 3
a
SA
AH SA AD SA AH AD a
.
2 2
3
3
a
SH SA AH
;
2 2
5
AC AB AD a
;
2 2
57
3
a
SC SA AC
.
SHK SCD g g
HK CD
SH SC
. 3 3 19
. .
3 19
57
SH CD a
HK a a
SC
a
Câu 88.
Chọn D
Do
11
SB SC
và
0
60
SBC nên
SBC
đều, do đó
11.
BC
Ta lại có,
11
SA SC
và
0
45
SCA
nên
SAC
vuông cân tại
,S
hay
11 2.
AC
Mặt khác,
11
SA SB
và
0
30
SAB nên
11 3.
AB
Từ đó, ta có
2 2 2
AB BC AC
suy ra
ABC
vuông tại
.C
Gọi
H
là trung điểm của
.AB
Khi đó,
H
là tâm đường tròn ngoại tiếp
.ABC
Vì
SA SB SC
nên
( ).SH ABC
Gọi
M
là điểm trên
CD
sao cho
,HM AB
suy ra
.HM CD
Gọi
N
là chân đường vuông
góc hạ từ
C
xuống
.AB
Khi đó,
/ /HM CN
và
.HM CN
Do
ABC
vuông tại
C
nên theo
công thức tính diện tích ta có:
D
B
C
A
S
H
K
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 64
2 2
. 11 6
3
CA CB
HM CN
CA CB
Ta lại có,
1 11 3
2 2
CH AB
nên
2 2
11
.
2
SH SC CH
Trong tam giác vuông
,SHM
dựng đường cao
HI
( ),I SM
suy ra
( ).HI SCD
Khi đó,
2 2
.
( , ) ( ,( )) ( ,( )) 22.
SH HM
d AB SD d AB SCD d H SCD HI
SH HM
Vậy
( , ) 22.
d AB SD
Câu 89. Chọn D
Theo giả thiết:
11
SA SB SC
,
0
30
SAB ,
0
60
SBC và
0
45
SCA nên ta được các góc có
số đo như hình vẽ.
Trong tam giác
SAB
:
2 02
2 . .cos120
11 3
AB SA SB SA SB
.
Tam giác
SBC
đều nên
11
BC
.
Tam giác
SAC
vuông tại
C
:
2 2
11 2
AC SA SC
.
Từ đó
ABC
vuông tại
C
. Gọi
H
là trung điểm của
AB
.
Do
SA SB SC
nên hình chiếu của
S
xuống đáy trùng với tâm
H
của đáy.
Do
/ /AB CD
nên
, , ,
d AB SD d AB SDC d H SDC
.
Từ
H
kẻ
HK
DC
, mà
DC
SH
nên
DC
SHK
.
Từ
H
kẻ
HI
SK
,
HI
DC
(vì
DC
SHK
)
HI SDC
.
,
HI d H SDC
.
. 11 2.11 11 6
,
3
11 3
AC BC
HK d C AB
AB
.
Trong tam giác vuông
0
, 30
SAH SAH
1 11
2 2
SH SA
.
Ta có:
2 2
.
22
HK HS
HI
HK HS
.
Câu 90. Chọn A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 65
Ta có
Do , với O là giao điểm hai đường chéo
Do tứ diện vuông tại O nên
Vậy
Câu 91. Chọn C
Kẻ đường thẳng
Ax
song song với
IC
, kẻ
HE Ax
tại
E
.
Vì
//
IC SAE
nên
; ; ;
d IC SA d IC SAE d H SAE
.
Kẻ
HK SE
tại
K
,
K SE
. (1)
,
Ax HE Ax SH
Ax SEA
Ax HK
(2)
Từ (1), (2) suy ra
HK SAE
. Vậy
;
d H SAE HK
.
1 1 3 3
2 2 2 4
a a
CH IH IC
;
2
2
2 2
3 7
4 2 4
a a a
AH IH IA
.
; 45
SA ABC SAH
SAH
vuông cân tại
H
nên
7
4
a
SH AH
.
Ta có
2
a
HE IA
( vì tứ giác
AIHE
là hình chữ nhật)
2 2 2
2
7
.
. 77
4 2
22
7
4 2
a a
SH HE a
HK
SH HE
a a
.
Câu 92. Chọn C
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
17
3
4 4
a a
SH SD HD SD AH AD a a
/ / ;( ) ;( )
HK SBD d HK SBD d H SBO h
HSBO
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 4 25
3 3h SH HB HO a a a a
3
5
a
h
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 66
Ta có
2 2 2 2 0
; 2; 2 .a.cos120 3 AB SA SB a BC a a a AC a a a a
Suy ra
2 2 2
AC AB BC
, hay
ABC
vuông tại
B
.
Gọi
H
là trung điểm của
thì
HA HB HC
, mặt khác
SA SB SC
nên
SH
là trục đường
tròn ngoại tiếp
ABC
, do đó
( )SH ABC
.
Gọi
d
là đường thẳng qua
B
và song song với
,
là mặt phẳng xác định bởi
SB
và . Khi
đó
/ / ; ; ;
AC d AC SB d SC d H
.
Gọi
M
là hình chiếu vuông góc của
H
lên
d
và
K
là hình chiếu vuông góc của
H
lên
SM
, dễ
thấy
;
d H HK
.
Gọi
N
là chân đường cao hạ từ
B
xuống
thì
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3 6
2 2 3
a
BN
BN AB BC a a a
Ta có
6
3
a
HM BN
,
0
.cos60
2
a
SH a
Trong tam giác vuông
SHM
ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 3 11 22
2 2 11
a
HK
HK SH HM a a a
.
Câu 93. Chọn B
Gọi
H
là trung điểm cạnh
AB
SH AB
. Kết hợp giả thiết
SAB ABC
suy ra
SH ABC
.
Dựng hình bình hành
ACBD
, kẻ
HK BD
(
K BD
), kẻ
HI SK
(
I SK
).
Ta có
// , , ,
AC SBD d SB AC d AC SBD d A SBD
.
d
a
a
M
H
S
B
A
C
N
K
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 67
Ta có
AH SBD B
và
2.AB HB
suy ra
, 2 ,
d A SBD d H SBD
1
Ta có
BD HK
BD SH
BD SHK
BD HI
mà
HI SK
HI SBD
,
d H SBD HI
2
Tính
HI
dựa vào tam giác vuông
SHK
có đường cao
HI
, với
2
a
SH
;
3
4
a
HK
.
Theo công thức
2 2 2 2 2 2
1 1 1 16 4 28
3 3HI HK HS a a a
21
14
HI a
3
Từ
1 , 2 , 3
suy ra
21
,
7
d SB AC a
.
Câu 94. Chọn B
Do / /
BC B C
nên
;d B M BC
;
d BC MB C
;
d B MB C
2 ;
d A MB C
(do
2
BE BB
AE AM
).
;
d A MB C A H
, ta có
3
2
a
A I
,
2
a
A M
suy ra
2 2
3
.
3
2 2
4
3
4 4
a
a
a
A H
a a
Vậy
3
; 2
2
a
d B M BC A H
.
Câu 95.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 68
Chọn C
Gọi giao điểm của
với
SB
là
M
. Suy ra
M
là trung điểm của
SB
.
Gọi
E
là chân đường vuông góc hạ từ
M
xuống mặt phẳng
ABC
.
Ta có
/ / / /
AS IM AS IMC
.
Suy ra
, , , ,
d SA CG d SA IMC d S IMC d B IMC
.
Theo bài ra ta có
3
2
a
CI
suy ra
3
4
a
IH
.
Suy ra
2 2
2 2
3 7
4 16 4
a a a
AH AI IH .
Do góc
, 45
o
SA ABC
suy ra tam giác
SHA
vuông cân tại
H
.
Suy ra
7
4
a
SH AH
.
Suy ra
14
2
4
a
SA AH
.
Xét tam giác
SBC
có:
Dễ thấy
14
4
a
SB SA
.
2 2
10
4
a
SC SI SH IH
.
Suy ra
2 2 2
2 2 38
4 8
SC BC SB a
CM
.
Xét tam giác
IMC
có:
14
2 8
SA a
IM
,
38
8
a
CM
,
3
2
a
CI
Suy ra
2
33
32
IMC
S a
.
Thể tích khối chóp
MIBC
là:
3
1 1 1 1 7 1 3 21
. . . . . . . .
3 3 2 2 3 8 2 2 2 192
MIBC IBC
SH a a a
V ME S IC IB a
.
Suy ra
3
2
21
3.
3
77
192
, ,
22
33
32
MIBC
IMC
a
V
d S MIC d B MIC a
S
a
.
a
G
H
M
I
A
B
C
S
E
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 69
Câu 96. Chọn C
Gọi
, M N
lần lượt là trung điểm của
AB
và
CD
.
Tam giác
CND
cân tại
N
MN CD
(1)
Tam giác
AMB
cân tại
M
MN AB
(2)
Từ (1) và (2)
MN
là đường vuông góc chung của hai đường thẳng
AB
và
CD
( , ) =
d AB CD MN
Ta có
2
CD
MD a
;
3ND a
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông
NMD
ta có:
2 2 2 2
( 3) 2MN ND MD a a a
Vậy
( , ) = 2d AB CD a
Câu 97. Chọn D
, , 60
SA ABC SB ABC SB AB SBA
, do đó
tan 60 3AS AB a
Trong
mp ABC
lấy điểm
D
sao cho tứ giác
ACBD
là hình bình hành
Ta có
//
AC SBD
nên
, , ,
d AC SB d AC SBD d A SBD
Gọi I là trung điểm của
BD
,H
là hình chiếu của
A
trên
SI
Tam giác
ABC
đều và tứ giác
ACBD
là hình bình hành nên
AB AD BD a
hay tam giác
ABD
đều
3
2
a
AI
Ta có
AI BD
mà
SA BD
nên
SAI
BD BD AH
, lại có
AH SI
nên
SBD
AH
Vậy
2 2
2 2
. 15
, ,
5
SA AI a
d AC SB d A SBD AH
SA AI
Câu 98. Chọn C
D
H
I
S
C
B
A
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 70
Gọi
F
là trung điểm
AA
.
Ta có
//CEF A B
nên
, , , ,d d d d
CE A B A B CEF A CEF A CEF
.
Kẻ
;
AI CE AH FI
thì
AH CEF
hay
,d
A CEF AH
.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 49
9 4 36AH AF AI AF AE AF AC a a a a
.
Suy ra
6
, ,
7
d d
a
CE A B A CEF AH
.
Vây khoang cach giưa
A B
va
CE
la
6
7
a
.
Câu 99.
Chọn C
Ta có
'/ / ' '/ / 'BC AD BC ACD
.
Do đó
', ' ', '
, ' , '
d BC CD d BC ACD
d B ACD d D ACD h
Vì
, , 'DA DC DD
đôi một vuông góc nên ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3 3
' 3
a
h
h DA DC DD h a
.
Vậy
3
', '
3
a
d BC CD
.
GHI CHÚ : Ta chứng minh bài toán sau
F
E
C
B
A'
B'
C'
A
I
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 71
Cho tứ diện
OABC
có
, ,OA OB OC
đôi một vuông góc với nhau. Gọi
H
là hình chiếu của
O
trên mặt phẳng
ABC
, ta có
H
là trực tâm tam giác
ABC
và
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
.
Thật vậy, từ giả thiết ta có
OA OB
OA OBC
OA OC
Khi đó
1
BC OA
BC OAH BC AH
BC OH
Tương tự
OB OAC
Mà
2
AC OB
AC OBH AC BH
AC OH
Từ
1
và
2
suy ra
H
là trực tâm của tam giác
.ABC
Gọi
K
là giao điểm của
AH
và
BC
, ta suy ra
BC OK
(định lý ba đường vuông góc).
Xét trong tam giác vuông
OBC
có:
2 2 2
1 1 1
OK OB OC
Xét trong tam giác vuông
OAK
ta lại có:
2 2 2
1 1 1
OH OA OK
Từ đó suy ra
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
(Đpcm).
Câu 100. Chọn D
Dựng hình bình hành
DKCE
, khi đó
/ /( )DE SCK
.
1
( ; ) ( ;( )) ( ;( )) ( ;( ))
3
d DE SC d DE SCK d D SCK d A SCK
.
Kẻ
( ) ( ) ( )AI CK CK SAI SCK SAI
.
Kẻ
( ) ( ;( )
AJ SI AJ SCK d A SCK AJ
.
Ta có
2
3
4
ACK
a
S
,
5
2
a
CK DE
, suy ra
3 5
5
a
AI
.
A
O
B
C
H
K
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 72
2 2 2
1 1 1 3 38 1 38
( ;( ))
19 3 19
a a
AJ d D SCK AJ
AJ SA AI
.
Câu 101. Chọn B
Từ
B
kẻ
// // ,
Bx AC AC SB Bx
Suy ra
, , , , ,
d AC SB d AC SB Bx d A SB Bx
Từ
A
kẻ
AK Bx K Bx
và
AH SK
Do
AK Bx
Bx SAK Bx AH
SA Bx
Nên
, , ,
AH SB Bx d A SB Bx AH
Ta có
BKA
đồng dạng với
ABC
vì hai tam giác vuông có
KBA BAC
(so le trong
Suy ra
. .2 2 5
.
5
5
AK AB AB CB a a a
AK
CB CA CA
a
Trong tam giác
SAK
có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 5 9 2
.
4 4 3
a
AH
AH AS AK a a a
Vậy
2
, .
3
a
d AC SB
.
Câu 102. Chọn A
* Gọi
I
là trung điểm của
BC
, do
ABC
là tam giác đều nên
; ; 60
AI BC
SBC ABCD AI SI SIA
SI BC
x
O
CD
B
A
S
K
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 73
Do
ABCD
là hình thoi nên
AC BD BD SAC
SAC
là mặt phẳng chứa
SC
và
BD
1 1
; ; ;
2 2
d SC BD d O SC d A SC AH
Xét tam giác
SAC
vuông tại
A
ta có
3 3 3
.tan60 3. . 3
2 2
a
SA AI a
;
3AC AB a
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 13
27 3 27AH AS AC a a a
3 3 3 39
13
13
a a
AH
1 3 39
;
2 26
a
d SC BD AH
.
Câu 103. Chọn B
Gọi
P
là trung điểm của
BC
//BD NP
//
BD MNP
, ,
d BD MN d BD MNP
,
d D MNP
,
d C MNP
1
,
3
d A MNP
.
Gọi
I AC NP
. Kẻ
AH MI
tại
H
.
Ta có
NP SA
NP SAC
NP AC
NP AH
.
AH MI
AH MNP
AH NP
,
d A MNP AH
.
Ta có
2 2 2
SA SC AC
2 2
10 5 10 2
300
.
60
I
O
A
B
D
C
S
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 74
Suy ra
2 2 2
1 1 1
AH AM AI
2 2
1 1
3
2 4
SC AC
4 16
300 1800
20
900
30
2 5
AH .
Vậy
1
, 5
3
d BD MN AH
.
Câu 104. Chọn A
Có
( ) ( ) .SAC SBC SC
Từ giả thiết ta có
( )
AB SH
AB SHC AB SC
AB HC
Hạ
AI SC
ta có
(AIB)
AB SC
SC SC BI
SC AI
do đó góc gữa
( )SAC
và
( )SBC
là
AIB
hoặc
0
180
AIB
. Nhận thấy
ABC
là tam giác đều nên
ABI
không thể là tam giác đều. Vì thế
0
120 .
AIB
Từ
( )
( ; ) .
(AIB)
AB SHC AB HI
d AB HC HI
SC SC HI
Tam giác
ABI
cân tại I nên
HI
cũng là phân giác góc
AIB
, suy ra
0
60 .
AIH
Xét tam giác
AIH
vuông tại H có
0
3
.
tan 60 6
2 3
AH a a
HI
Câu 105. Chọn C
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 75
Gọi
H
là tâm tam giác
ABC
khi đó
AH ABC
. Có
2 / /BN NC NH CD
.
Gọi
I
là trung điểm
CD
, từ
M
kẻ đường thẳng
/ / CD
cắt
AI
tại
.E
Gọi
K
là trung điểm
HI
,
J
là hình chiếu của
K
lên
.
Khi đó
, , 2 , 2d MN CD d I EMHN d K EMHN KJ
.
Ta có
1 1 3
2 6 12
KH HI BI
;
2 2
1 1 1 3 1 6
2 2 2 4 12 6
EK AH AI IH
2 2 2
1 1 1 144 1 6 6
6 54 ,
3 54 18 9
KJ d MN CD
KJ KH KE
.
Câu 106.
Chọn B
Dựng MN song song BC
, , ,
d SM BC d BC SMN d C SMN
2 , , 2d , 2
FC FH HE SMN d C SMN H SMN HE
3
3 , 3
3
a
HC a HF SH a
2 2 2 2 2 2
1 1 1 3 1 10 30 30
, .
3a 3a 10 5
HE a d SM BC a
HE HF HS a
Câu 107. Chọn D
E
I
M
A
B
C
D
N
H
K
J
60
o
F
N
M
H
A
D
C
B
S
E
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 76
Gọi H là trung điểm của AB thì
SH ABCD
, Gọi F là trọng tâm tam giác (SAB), O là trung
điểm AC và I là đỉnh của hình chữ nhật OHFI thì OI là trục của đường tròn ABCD và FI là trục
của đường tròn (SAB) nên tâm của mặt cầu là I và bán kính của mặt cầu là IA.
Diện tích của mặt cầu là
2
4 84R
nên
2
21R .
Đặt
0AB x
thì
2 2
2 2 2 2 2 2
3 2
21
6 2
x x
R IA IO OA HF OA
6x
Kẻ hình bình hành BDAJ thì khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (JAS) và gấp hai lần khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (JAS).
Kẻ HK
JA ở K, kẻ HG vuông góc với SK ở G thì HG là khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng
(JAS). Tam giác AHK vuông cân ở H, AH=3 nên
3
2
HK . Có
2
2 2 2
1 1 1 2 1 7 3 21
9 27 7
6. 3
2
HG
HG HK HS
.
Vậy khoảng cách cần tính là
6 21
7
.
Câu 108.
Gọi
Q
là trung điểm
CD
, ta có
// //PQ SC MN
nên có
/ /MN APQ
, , ,d MN PQ d MN APQ d N APQ
Vì
ND HC
ND SHC ND SC ND PQ
ND SH
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 77
. 0AQ ND AD DQ DC CN AQ ND
Vậy có
ND PQ
ND APQ
ND AQ
tại
E
,MN AP
d NE
mà có
2 2 2 2
1 1 1 5
5
a
DE
DE DA DQ a
và
5 3 5
2 10
a a
DN EN
Vậy
3 5
,
10
a
d MN AP
.
Câu 109. Chọn D
Dựa vào định lý cosin ta dễ dàng tính được
11 3, 11, 11 2AB BC AC
. Khi đó
ABC
vuông tại
.C
Do
SA SB SC
, nên hình chiếu của
S
xuống mặt phẳng
ABC
trùng với trung
điểm
H
của
AB
. Nên
SH ABCD
.
11
.s
2
SH SA inSAB
.
Kẻ
,HK CD AP CD
, tứ giác
APKH
là hình chữ nhật,
2 2 2
11 6 1 1 1
3
HK AP
AP AD AC
.
Trong tam giác vuông
SHK
, kẻ
HI SK
.
Do
AB CD
nên
, , ,d AB SD d AB SCD d H SCD HI
.
Ta có,
2 2 2
1 1 1
22HI
HI SH HK
.
Vậy
, 22d AB SD .
Câu 110. Chọn D
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 78
Theo giả thiết
SA ABCD
SA AC
;
2SA AC a
.
Gọi
M
là trung điểm của
. Ta có:
// //
BM CD CD SBM
; ; ; ;d CD SB d CD SBM d C SBM d A SBM
.
Theo giả thiết và theo cách dựng ta có
ABCM
là hình vuông cạnh
a
.
Gọi
K AC BM AK BM BM SAC
.
Dựng
AH SB
. Khi đó:
;
d A SBM AH
Xét tam giác
SAC
vuông tại
A
, đường cao
AH
có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 10
2 5
a
AH
AH SA AK a a
.
Câu 111. Chọn D
Ta có
OBC
vuông cân tại
O
,
M
là trung điểm của
BC
OM BC
Dựng hình chữ nhật
OMBN
, ta có
/ /
/ /
OM BN
OM ABN
BN ABN
, , ,
d AB OM d OM ABN d O ABN
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
O
trên
ta có:
M
A
O
B
C
N
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 79
BN ON
BN OAN
BN OA
OH BN
mà
OH AN
OH ABN
,
d O ABN OH
OAN
vuông tại
O
, đường cao
OH
2 2 2
1 1 1
OH OA ON
2 2
1 1
OA BM
2 2
1 4
OA BC
2 2 2
1 4
OA OB OC
2 2 2 2
1 4 3
4 4 2a a a a
2
2
2
3
a
OH
6
3
a
OH
6
,
3
a
d AB OM OH
Câu 112. Chọn A
Cách 1:
Gọi
O
và
O
lần lượt là tâm các hình vuông
ABCD
và
A B C D
của hình lập phương
.
ABCD A B C D
cạnh
a
.
Ta có:
B D A C
B D AA C C
B D AA
Mà
A C AA C C A C B D
Ta lại có:
AB A B
AB A BCD
AB A D
Mà
A C A BCD A C AB
2
Từ
và
2
A C AB D
Tương tự ta chứng minh được
A C BDC
//
AB D BDC
Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
AB
và
BC
bằng khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song
AB D
và
BDC
Giả sử
A C OC
;
A C AO K
H
K
O'
O
C'
D'
B'
A'
C
A
D
B
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 80
Xét
OHC C HA
∽
g g
1
2
HC OC OC
A H A C AC
1 1 1
1 2 3 3
HC HC
HC A C
A C A H HC
Tương tự ta có:
1
3
A K A C
Vậy Hai mặt phẳng
AB D
và
BDC
song song với nhau, vuông góc với đoạn
A C
và chia
A C
thành 3 phần bằng nhau. Do đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng
AB D
và
BDC
bằng
3
3 3
A C a
.
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
AB
và
BC
bằng
3
3
a
.
Cách 2:
Ta có
//
AD BC
//
BC AB D
, , , ,
d BC AB d BC AB D d C AB D d A AB D
Gọi
A C B D O
Ta có:
A O B D
B D AA O
AA B D
Kẻ
A H AO
và ta có
AA O AB D AO
nên ta có
A H AO
,
d A AB D A H
AA O
vuông tại
A
có
A H
là đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông nên ta có:
2 2 2
1 1 1
A H AA A O
2
2 2 2
1 1 1 3
2
2
A H a a
a
2
2
3
3
3
a a
A H A H
Câu 113. Chọn A
O
C'
D'
B'
A'
C
B
D
A
H
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 81
Kẻ
SH AD
tại
H
, suy ra
SH ABCD
, do
SA SO HA HO
nên
H
thuộc trung trực
. Góc giữa
SD
và
ABCD
là góc
0
60
SDH .
Ta có
0
2 .cos 2 .cos30 3
AO AH HAO AH AH
3 3
AO a
AH
2 3
3
a
HD
2SH a
.
Lây
M
là trung điểm
SD
, kẻ
/ /
MI SH I AD
, kẻ
,
IE AC IK ME
Khi đó
3 3
, , , , .
2 2
d AC SB d B MAC d D MAC d I MAC IK
Ta có:
1
2
MI SH a
0
2 2. .tan 30
3
a
IE HF AF
2 2 2
1 1 1 3 3
, .
2 2 2 4
a a a
IK d SB AC
IK IM IE
.
Câu 114. Chọn B
Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm của
CD
và
MD
.
HN CD
SN CD
( do
HN
là hình chiếu của
SN
lên
ABCD
).
Ta có
SCD ABCD CD
HN CD
SN CD
, suy ra góc giữa
SCD
và
ABCD
là
0
45
SNH .
Ta có
/ / / /
AB CD AB SCD
nên
, , ,
d AB SC d AB SCD d A SCD
.
F
I
M
O
H
A
B
D
S
C
E
K
N
M
H
O
A
C
S
B
D
E
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 82
Mà
,
3 4
, ,
4 3
,
d H SCD
CH
d A SCD d H SCD
CA
d A SCD
.
Ta có
SHN SCD
SHN SCD SN
. Kẻ
HE SN HE SCD
.
Suy ra
,
d H SCD HE
.
Ta có
3 3 3 3
.2
4 4 4 2
HN CH a
HN AD a
AD CA
Do đó
3
2
a
SH HN
,
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 4 8
9 9 9HE HS HN a a a
3 3 2
4
2 2
a a
HE .
Vậy
4
, , 2
3
d AB SC d H SCD a
.
| 1/82
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 TOÁN 11 1H3-5 KHOẢNG CÁCH Contents
A. CÂU HỎI .................................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ..................................................... 1
DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG ................................................................................... 3
Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên.............................................................................. 3
Dạng 2.2 Khoàng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt phẳng ........................................................................................ 6
DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG .......................................................................................... 11
B. LỜI GIẢI ................................................................................................................................................................... 18
DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ................................................... 18
DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG ................................................................................. 22
Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên............................................................................ 22
Dạng 2.2 Khoàng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt phẳng ...................................................................................... 34
DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG .......................................................................................... 54 A. CÂU HỎI
DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 1.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a 2 và tam giác SAC đều. Tính độ dài cạnh bên của hình chóp. A. 2a . B. a 2 . C. a 3 . D. a . Câu 2.
(Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD có
AC  3a, BD  4a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC . Biết AC vuông góc BD . Tính MN . 5a 7a a 7 a 5 A. MN  . B. MN  . C. MN  . D. MN  . 2 2 2 2 Câu 3.
(Ngô Quyền - Hải Phòng lần 2 - 2018-2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh
a , SA   ABC , góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và SBC là 60 . Độ dài cạnh SA bằng 3a a a A. . B. . C. a 3 . D. . 2 2 3 Câu 4.
(ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Cho hình lăng trụ AB . C A BC
  có tất cả các cạnh đều bằng a . Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 .
Hình chiếu H của A trên mặt phẳng  AB C
  là trung điểm của B C
  . Tính theo a khoảng cách
giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ AB . C A BC   .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 a a a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 2 Câu 5.
Cho hình hộp chữ nhật ABC .
D A ' B 'C ' D ' có AD  2a , CD a , AA'  a 2 . Đường chéo AC ' có độ dài bằng A. a 5 . B. a 7 . C. a 6 . D. a 3 . Câu 6.
Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A BCD
  có AD  2a , CD a , AA  a 2 . Đường chéo AC có độ dài bằng: A. a 5 . B. a 7 . C. a 6 . D. a 3 . Câu 7.
(Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho tứ diện ABCD có tam giác
ABD đều cạnh bằng 2 , tam giác ABC vuông tại B , BC  3 . Biết khoảng cách giữa hai đường 11
thẳng chéo nhau AB và CD bằng
. Khi đó độ dài cạnh CD là 2 A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 3 . Câu 8.
Cho hình bình hành ABCD . Qua ,
A B,C, D lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng Ax, By,Cz, Dt cùng
phía so với  ABCD  song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng  ABCD  . Một mặt phẳng
  lần lượt cắt các nửa đường thẳng Ax, By,Cz, Dt tại A , B ,C , D thỏa mãn
AA  2, BB  3,CC  4 . Hãy tính DD .  A. 3. B. 7. C. 2. D. 5. Câu 9.
(Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABD đều cạnh bằng 2 , tam
giác ABC vuông tại B , BC  3 . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD 11 bằng
. Khi đó độ dài cạnh CD là 2 A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 3 .
Câu 10. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hình lăng trụ tam giác đều AB .
C A' B 'C ' có độ dài cạnh đáy
bằng 4 3 và cạnh bên bằng 12 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AA ' và BC , gọi P và
Q là hai điểm chạy trên đáy  A' B 'C ' sao cho PQ  3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T MP NQ bằng A. 8 3 . B. 3 37 . C. 3 61 . D. 6 29 .
Câu 11. (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD ,
SA  2a , ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Gọi O là tâm của ABCD , tính khoảng cách từ O đến SC . a 2 a 3 a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 4 3 4 3
Câu 12. Một hình lập phương được tạo thành khi xếp miếng bìa carton như hình vẽ bên.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB sau khi xếp, biết rằng độ dài đoạn thẳng AB bằng 2a . a 5 a 5 a 5 A. . B. . C. . D. a 5 . 2 4 3
DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG
Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên
Câu 13. (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh lần 1 năm 18-19) Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC,
SA AB  2a , tam giác ABC vuông tại B (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng A. a 3 . B. a . C. 2a . D. a 2 .
Câu 14. (Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại
A , AB a , AC a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  2a . Khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng  SBC bằng a 57 2a 57 2a 3 2a 38 A. . B. . C. . D. . 19 19 19 19
Câu 15. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B ,
2SA AC  2a và SA vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC là 2a 6 4a 3 a 6 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 16. (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Cho hình chóp S.ABC có
đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết
SB  3a, AB  4a, BC  2a . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) bằng 12 61a 3 14a 4a 12 29a A. . B. . C. . D. . 61 14 5 29
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 3
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 17. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B ,
AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  2a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC bằng 2 5a 5a 2 2a 5a A. . B. . C. . D. . 5 3 3 5
Câu 18. (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a, SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  bằng 5a 3a 6a 3a A. . B. . C. . D. . 3 2 6 3
Câu 19. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại ,
C BC a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 2a a 3a A. 2a . B. . C. . D. . 2 2 2
Câu 20. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh
B , AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng a a 6 a 2 A. . B. a . C. . D. . 2 3 2
Câu 21. (HKII-CHUYÊN NGUYỄN HUỆ-HN-2018-2019) Cho hình lập phương ABC . D AB CD   có
cạnh bằng 1. Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng  BDA . 3 6 2 A. d  . B. d  . C. d  .
D. d  3 . 3 4 2
Câu 22. (Thi thử lần 4-chuyên Bắc Giang_18-19) Cho hình lăng trụ đứng ' ' '
ABCA B C có đáy là tam giác
ABC vuông tại A có BC  2a , AB a 3 , (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ' ' (BCC B ) là a 5 a 7 a 3 a 21 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 7
Câu 23. (Thi thử Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa – 07-05 - 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
có tất cả các cạnh đều bằng a . Khoảng cách từ tâm O của đáy tới mp SCD bằng
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 4
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 a a a a A. . B. . C. . D. . 2 2 6 3
Câu 24. (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O ,
SA vuông góc với mặt đáy. Hỏi mệnh đề nào sau đây là sai?
A. d B,SCD  2d O,SCD.
B. d A,SBD  d B,SAC .
C. d C,SAB  d C,SAD .
D. d S ,ABCD  SA.
Câu 25. (Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC là tam giác
vuông tại A , AC a 3 ,  ABC 30 
. Góc giữa SC và mặt phẳng ABC bằng 60 . Cạnh bên SA
vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến  SBC  bằng bao nhiêu? a 6 a 3 2a 3 3a A. . B. . C. . D. 35 35 35 5
Câu 26. (SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho hình chóp S.MNPQ có đáy là hình vuông
cạnh MN  3a 2 , SM vuông góc với mặt phẳng đáy, SM  3a , với 0  a   . Khoảng cách từ
điểm M đến mặt phẳng  SNP bằng A. a 3 . B. 2a 6 . C. 2a 3 . D. a 6 .
Câu 27. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình chóp S.ABCD có đường cao
SA  2a , đáy ABCD là hình thang vuông ở A và D , AB  2a, AD CD a . Khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng SBC  bằng 2a 2a 2a A. . B. . C. . D. a 2. 3 2 3
Câu 28. (Đề thi HSG 12-Sở GD&ĐT Nam Định-2019) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt
phẳng  ABC  , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC a 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác
SAB và K là hình chiếu của điểm A trên cạnh SC . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  ABC và a
AGK  . Tính cos , biết rằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng KBC bằng . 2 1 2 3 3 A. cos  . B. cos  . C. cos  . D. cos  . 2 2 2 3
Câu 29. (Thi thử SGD Bình Phước - 2019) Cho hình chóp S.ABC có SA  3a và SA   ABC  . Biết
AB BC  2a , 
ABC  120 . Khoảng cách từ A đến  SBC  bằng 3a a A. . B. . C. a . D. 2a . 2 2
Câu 30. (Chuyên Quốc Học Huế lần 2 - 2018-2019) Cho hình lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' cạnh a .
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A' B ) D theo a . a 3 a 3 A. . B. a 3 .
C. 2a 3 . D. . 3 6
Câu 31. (KSCL Sở Hà Nam - 2019) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A' B 'C ' có tất cả các cạnh bằng
a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  A'BC bằng
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 5
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 a 12 a 21 a 6 a 3 A. . B. . C. . D. . 7 7 4 4
Câu 32. (Sở giáo dục Cần Thơ - 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC.  A
B C có đáy ABC là tam giác
vuông tại A , A
A AC a và AB a 3 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A' BC ) bằng a 21 a 3 a 21 a 7 A. . B. . C. . D. . 7 7 3 3
Câu 33. (Thi Thử Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-Lần 2-2019) Cho tứ diện OABC có O , A O , B OC
đôi một vuông góc. Biết OA  , a OB  2 ,
a OC a 3 . Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  ABC . a 3 2a 3 a 17 a A. . B. . C. . D. . 2 19 19 19
Câu 34. (KSNLGV - THUẬN THÀNH 2 - BẮC NINH NĂM 2018 - 2019) Cho hình chóp tứ giác
S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O; mặt phẳng  SAC  vuông góc với mặt phẳng
SBD . Biết khoảng cách từ O đến các mặt phẳng SAB,SBC,SCD lần lượt là 1;2; 5 . Tính
khoảng cách d từ O đến mặt phẳng  SAD . 19 A. d  . 20 20 B. d  . 19 C. d  2 . 2 D. d  . 2
Dạng 2.2 Khoàng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt phẳng
Câu 35. (Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
tâm O , SA   ABCD . Gọi I là trung điểm của SC . Khoảng cách từ I đến mặt phẳng  ABCD
bằng độ dài đoạn thẳng nào? A. IB . B. IC . C. IA . D. IO .
Câu 36. (Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông
cạnh a . Gọi M là trung điểm của SD . Khoảng cách từ M đến mặt phẳng  SAC  bằng a 2 a 2 a a A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4
Câu 37. (THPT NÔNG CỐNG - THANH HÓA LẦN 1_2018-2019) Cho tứ diện đều S.ABCD có tất cả
các cạnh đều bằng 2a , gọi M là điểm thuộc cạnh $AD$ sao cho DM  2MA . Tính khoảng cách
từ M đến mặt phẳng  BCD. 2a 6 4a 6 2a 6 A. . B. a 6 . C. . D. . 9 9 3
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 6
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 38. (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến
mặt phẳng  BCD bằng: a 3 a 3 a 6 a 6 A. . B. . C. . D. . 4 3 3 2
Câu 39. (THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Trong không gian cho tam giác ABC có  o
ABC  90 , AB a . Dựng AA’, CC’ ở cùng một phía và vuông góc với mặt phẳng  ABC . Tính
khoảng cách từ trung điểm của A’C’ đến  BCC ' . a a A. . B. a . C. . D. 2a . 2 3
Câu 40. (Thi thử Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy và
đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AB  4a , AD  3a , SB  5a . Tính khoảng cách từ điểm C đến
mặt phẳng  SBD . 12 41 a 41 a 12 61 a 61 a A. . B. . C. . D. . 41 12 61 12
Câu 41. (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, cạnh
AB  2 AD  2 .
a Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy  ABCD Tính
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBD . a 3 a 3 a A. . B. . C. . D. a . 4 2 2
Câu 42. (Chuyên Tự Nhiên Lần 1 - 2018-2019) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng
2a và chiều cao bằng a 3 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD bằng. a 3 A. . B. a . C. a 3 . D. 2a . 2
Câu 43. (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình  
vuông cạnh 4a. Gọi H là điểm thuộc đường thẳng AB sao cho 3HA HB  0 . Hai mặt phẳng
SAB và SHC  đều vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SHC  . 5a 12a 6a 5a A. . B. . C. . D. . 6 5 5 12
Câu 44. (LÊ HỒNG PHONG HKI 2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a .
Gọi F là trung điểm của cạnh SA . Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng  FCD ? 1 1 2 2 A. a . B. a . C. a . D. a . 2 5 11 9
Câu 45. (TRƯỜNG CHUYÊN QUANG TRUNG- BÌNH PHƯỚC 2018-2019) Cho hình chóp S.ABC
có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc  BAC 30 
, SA a và BA BC a . Gọi D là
điểm đối xứng với B qua AC . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) bằng 21 2 21 21 2 A. a . B. a . C. a . D. a . 7 7 14 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 7
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 46. (Thi thử lần 1 trường THPT Hậu Lộc 2 năm 2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD  2a , SA vuông góc với đáy và
SA a 3 . Gọi H là hình chiếu của A lên SB . Khoảng cách từ H đến mặt phẳng  SCD bằng a 6 3a 6 a 6 3a 6 A. . B. . C. . D. . 3 8 2 16
Câu 47. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O cạnh a ,  3a
ABC  60 , SA   ABCD , SA
. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SBC  bằng 2 3a 5a 3a 5a A. . B. . C. . D. . 8 8 4 4
Câu 48. (Trường THPT Chuyên Lam Sơn_2018-2019) Cho hình lăng trụ ABC.AB C
  có đáy ABC là
tam giác vuông tại A , AB  ,
a AC  2a . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng  ABC  là
điểm I thuộc cạnh BC . Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng  ABC  . 2 3 2 5 1 A. a . B. a . C. a . D. a . 3 2 5 3
Câu 49. (THPT Cẩm Bình 2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh
AB  2AD  2a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy  ABCD . Tính
khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBD . a a 3 a 3 A. . B. . C. . D. a . 2 2 4
Câu 50. (101 - THPT 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBD bằng 21a 21a 2a 21a A. . B. . C. . D. . 14 7 2 28
Câu 51. (102 - THPT 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ( minh họa như hình vẽ bên).
Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng 21a 21a 2a 21a A. . B. . C. . D. . 28 14 2 7
Câu 52. (103 - THPT 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng
cách từ D đến mặt phẳng  SAC  bằng
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 8
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S A D B C a 21 a 21 a 2 a 21 A. . B. . C. . D. . 14 28 2 7
Câu 53. (104 - THPT 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC bằng 2a 21a 21a 21a A. . B. . C. . D. . 2 28 7 14
Câu 54. (Tham khảo THPTQG 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a ,  BAD  60 ,
SA a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD bằng a 21 a 15 a 21 a 15 A. . B. . C. . D. . 7 7 3 3
Câu 55. (Đề minh họa lần 1 2017) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a
. Tam giác SAD cân tại S và mặt bên SAD vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối 4
chóp S.ABCD bằng 3
a . Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng  SCD 3 2 4 8 3 A. h a B. h a C. h a D. h a 3 3 3 4
Câu 56. (THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - Lần 1 - Năm học 2018_2019) Cho hình chóp S.ABCD
có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy, mặt bên SCD  tạo với mặt đáy một góc 3 a 3 bằng 0
60 , M là trung điểm BC . Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng . Khoảng cách từ 3
điểm M đến mặt phẳng SCD bằng a 3 a 3 a 3 A. . B. a 3 . C. . D. . 6 4 2
Câu 57. (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a .  Góc o
BAC  60 , hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng  ABCD trùng với trọng tâm của tam giác
ABC , góc tạo bởi hai mặt phẳng  SAC  và  ABCD là o
60 . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng
SCD bằng 3a 3a 9a a A. . B. . C. . D. . 2 7 7 2 7 2 7
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 9
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 58. (THPT THUẬN THÀNH 3 - BẮC NINH) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại B biết BC a 3 , BA a . Hình chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng đáy là trung 3 a 6
điểm của cạnh AC và biết thể tích khối chóp S.ABC bằng
. Tính khoảng cách d từ C đến 6
mặt phẳng  SAB . a 30 2a 66 a 30 a 66 A. d  . B. d  . C. d  . D. d  . 5 11 10 11
Câu 59. (Thi HK2 THPT Chuyên Bắc Giang 2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy la hình vuông
cạnh bằng a 2 . Tam giác SAD cân tại S và mặt phẳng  SAD vuông góc với mặt phẳng đáy. 4
Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng 3
a . Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng SCD . 3 3 2 8 4 A. h a . B. h a . C. h a . D. h a . 4 3 3 3
Câu 60. (Thi thử SGD Hưng Yên) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD .
Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a , SA  2a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB .
Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng  SCD . 4a 5 4a 5 2a 5 8a 5 A. . B. . C. . D. . 5 25 5 25
Câu 61. (Kim Liên - Hà Nội lần 2 năm 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân,
đáy lớn AB . Biết AD DC CB  , a AB  2 ,
a cạnh SA vuông góc với đáy và mặt phẳng SBD tạo với đáy góc 0
45 . Gọi I là trung điểm cạnh AB . Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng SBD. a a a 2 a 2 A. d  . B. d  . C. d  . D. d  . 4 2 4 2
Câu 62. (SGD Điện Biên - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tâm O . Biết
SA  2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  SBC bằng a 5 2a 5 4a 5 3a 5 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5
Câu 63. (SP Đồng Nai - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a ,
AD a 3 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  2a . Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SBD . 2a 57 2a a 5 a 57 A. . B. . C. . D. . 19 5 2 19
Câu 64. (Thi thử Nguyễn Huệ- Ninh Bình- Lần 3- 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
chữ nhật. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là
trung điểm của SA . Biết AD a 3, AB a . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng MBD bằng 2a 15 a 39 2a 39 a 15 A. . B. . C. . D. . 10 13 13 10
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 65. (Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.AB C
  có AB  2 3 và
AA  2 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB , AC và BC (tham khảo hình vẽ
dưới). Khoảng cách từ A đến MNP bằng C' N B' M A' C P B A 17 6 13 13 12 A. . B. . C. . D. . 65 65 65 5
Câu 66. (Kim Liên - Hà Nội - Lần 1 - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông  a a 3
tại C và D , ABC  30 . Biết AC a , CD  , SA
và cạnh SA vuông góc với mặt phẳng 2 2
đáy. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD bằng A. a 6 . a 6 B. . 2 a 6 C. . 4 a 3 D. . 2
DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 67. (KSCL LẦN 1 CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA_2018-2019) Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  cạnh a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD . a 2 A. . B. . a C. a 2. D. 2 . a 2
Câu 68. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB và CD bằng a 2 a 2 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 3
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 11
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 69. (SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho hình chóp S.MNPQ có đáy là hình vuông,
MN  3a , với 0  a   , biết SM vuông góc với đáy, SM  6a . Khoảng cách giữa hai đường
thẳng NP và SQ bằng A. 6a . B. 3a .
C. 2a 3 . D. 3a 2 .
Câu 70. (SỞ GD ĐỒNG NAI HKI KHỐI 12-2018-2019) Cho hình hộp chữ nhật EFGH .E FGH   có
EF  3a, EH  4a, EE  12a, với 0  a   . Khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và GH  bằng A. 12a . B. 3a . C. 2a . D. 4a .
Câu 71. (HKI- BÙI THỊ XUÂN-TP HCM 2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD và SA a . Tính khoảng cách
d giữa hai đường thẳng SB và CD .
A. d  2a .
B. d a 3 .
C. d a 2 .
D. d a .
Câu 72. (Thi thử Bạc Liêu – Ninh Bình lần 1) Cho hình lập phương A . BCD AB CD
  có cạnh bằng a .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB và AC bằng a 2 A. a 2 . B. a . C. a 3 . D. . 2
Câu 73. (Thi thử THPT lần 2-Yên Dũng 2-Bắc Giang) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh bằng a , SA   ABCD , SA a 3 . Gọi M là trung điểm SD . Tính khoảng cách
giữa đường thẳng AB và CM . 2a 3 a 3 3a a 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 4
Câu 74. (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, các mặt
SAB, SAD vuông góc với đáy. Góc giữa SCD và đáy bằng 60, BC a . Khoảng cách giữa
hai đường thẳng AB và SC bằng 3a 3 a 3 A. . B. 2 a . C. . D. 2 a . 2 13 2 5
Câu 75. (Tham khảo 2018) Cho lập phương ABC . D AB CD
  có cạnh bằng a ( tham khảo hình vẽ bên).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC bằng 3a A. 3a . B. a . C. . D. 2a . 2
Câu 76. (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,
AB a , BC  2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Khoảng cách giữa hai đường
thẳng BD , SC bằng
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 12
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 a 30 4 21a 2 21a a 30 A. . B. . C. . D. . 6 21 21 12
Câu 77. (Ngô Quyền - Hải Phòng lần 2 - 2018-2019) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A BC
  có AB a
, AA  2a . Khoảng cách giữa AB và CC bằng 2a 5 a 3 A. . B. a . C. a 3 . D. . 5 2
Câu 78. (Chuyên ĐH Vinh-lần 2-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B
với AB BC a , AD  2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Tính theo a khoảng
cách giữa hai đường thẳng AC và SD . 6a 6a 6a 3a A. . B. . C. . D. . 6 2 3 3
Câu 79. (Thi thử hội 8 trường chuyên lần 3 - 23 - 5 - 2019) Cho khối lăng trụ ABC.A BC   có đáy là tam
giác ABC cân tại A có AB AC  2a ; BC  2a 3 . Tam giác A B
C vuông cân tại A và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy  ABC . Khoảng cách giữa hai AA và BC bằng a 2 a 5 a 3 A. a 3 . B. . C. . D. . 2 2 2
Câu 80. (HKI-Chuyên Vinh 18-19) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh
AD  2a , SA   ABCD và SA a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng a 3 a 6 2a 5 A. . B. . C. . D. a 6 . 3 4 5
Câu 81. (TRIỆU QUANG PHỤC HƯNG YÊN-2018-2019) Cho tứ diện OABC có OA, OB , OC đôi
một vuông góc với nhau và OA a, OB OC  2a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Khoảng
cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng: a 2 2a 5 a 6 A. . B. . C. a . D. . 2 5 3
Câu 82. (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
với đường chéo AC  2a , SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD . Khoảng cách giữa hai đường
thẳng SB và CD là a a A. . B. . C. a 2 . D. a 3 . 3 2
Câu 83. (Chuyên Lê Thánh Tông-Quảng Nam-2018-2019) Cho lăng trụ đứng ABC.AB C   có  AC  , a BC  2 ,
a ACB 120. Gọi M là trung điểm của BB . Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AM và CC theo a . 3 7 3 A. a . B. a 3 . C. a . D. a . 7 7 7
Câu 84. (HKI CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019) Cho tứ diện SABC có các cạnh , SA SB, SC
đôi một vuông góc với nhau và SA a, SB  2a, SC  3a . Gọi I là trung điểm của BC . Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AI theo . a 3a 2 a 2 A. a . B. a 2 . C. . D. . 2 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 13
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 85. (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
B , AB a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2 . Gọi E là trung điểm của AB . Khoảng
cách giữa đường thẳng SE và đường thẳng BC bằng bao nhiêu? a 3 a 3 a a 2 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 3
Câu 86. (Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ
nhật AD  2a . Cạnh bên SA  2a và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB và SD . 2a A. 2a . B. a 2 . C. a . D. . 5
Câu 87. (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-HKI 18-19) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình
chữ nhật cạnh AB a , AD  2a . Mặt phẳng SAB và  SAC  cùng vuông góc với  ABCD . Gọi
H là hình chiếu vuông góc của A trên SD . Tính khoảng cách giữa AH và SC biết AH a . 19 2 19a 73 2 73 A. a . B. . C. a . D. a . 19 19 73 73
Câu 88. (NGÔ GIA TỰ_VĨNH PHÚC_LẦN 1_1819) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành 
và SA SB SC  11, 0 SAB  30 ,  0 SBC  60 và  0
SCA  45 . Tính khoảng cách d giữa hai đường
thẳng AB và SD . 22 A. d  4 11. B. d  2 22. C. d  . D. d  22. 2
Câu 89. (NGÔ GIA TỰ LẦN 1_2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và
SA SB SC  11 ,  0 SAB  30 ,  0 SBC  60 và  0
SCA  45 . Tính khoảng cách d giữa hai đường
thẳng AB và SD ? 22 A. d  4 11 . B. d  2 22 . C. d  . D. d  22 . 2
Câu 90. (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình chóp đáy là hình vuông cạnh a 17 a, SD
, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H trung điểm của đoạn 2
AB . Gọi K là trung điểm của đoạn AD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD theo a . a 3 a 3 a 3 a 3 A. B. C. . D. . 5 45 15 25
Câu 91. (ĐỀ THI THỬ ĐỒNG ĐẬU-VĨNH PHÚC LẦN 01 - 2018 – 2019) Cho hình chóp S.ABC có
đáy là tam giác đều cạnh a , I là trung điểm của AB , hình chiếu S lên mặt đáy là trung điểm H
của CI , góc giữa SA và đáy là 45 . Khoảng cách giữa SA và CI bằng: a a 3 a 77 a 7 A. . B. . C. . D. . 2 2 22 4
Câu 92. (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho hình chóp S.ABC có  0  0  0
SA SB SC a, ASB  60 , BSC  90 , CSA  120 . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và SB .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 14
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 3 3 22 22 A. a d . B. a d . C. a d . D. a d . 4 3 11 22
Câu 93. (SGD Nam Định) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , mặt bên
SAB là tam giác vuông cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính
khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC . a 7 a 21 a 7 A. h  . B. h  .
C. h a 3 . D. h  . 3 7 21
Câu 94. (Thi thử Bạc Liêu – Ninh Bình lần 1) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.AB C   có tất cả các
cạnh đều bằng a . M là trung điểm của AA . Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng MB và BC . a a 3 a 6 A. . B. . C. . D. a . 2 2 3
Câu 95. (Cụm liên trường Hải Phòng-L1-2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng
a . Gọi I là trung điểm của AB , hình chiếu của S lên mặt phẳng  ABC là trung điểm của CI ,
góc giữa SA và mặt đáy bằng 45o . Gọi G là trọng tâm tam giác S
BC . Khoảng cách giữa hai
đường thẳng SA và CG bằng a 21 a 14 a 77 a 21 A. . B. . C. . D. . 14 8 22 7
Câu 96. (THPT Minh Khai - lần 1) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2a . Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng AB và CD . a 2 a 3 A. . B. . C. a 2. D. a 3. 2 2
Câu 97. (Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a , SA   ABC  , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  ABC  bằng 60 . Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng AC và SB . a 2 a 7 a 15 A. . B. 2a . C. . D. . 2 7 5
Câu 98. (Chuyên Đại học Vinh - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC. AB C   có
đáy ABC là tam giác vuông tại A. Gọi E là trung điểm của AB . Cho biết AB  2a , BC  13 a
, CC  4a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng A B
 và CE bằng 4a 12a 6a 3a A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7
Câu 99. (THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Cho hình lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' cạnh a . Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng BC ' và CD '. a 3 a 2 A. a 2. B. 2 . a C. . D. . 3 3
Câu 100. (TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG NĂM HỌC 2018 – 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD . Góc giữa SC và mặt đáy bằng 0
45 . Gọi E là trung điểm BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC . a 5 a 5 a 38 a 38 A. . B. . C. . D. . 5 19 5 19
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 101. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ình chữ nhật, AB  , a BC  2 ,
a SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  .
a Khoảng cách giữa hai đường thẳng
AC và SB bằng 6a 2a a a A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3
Câu 102. (THPT THUẬN THÀNH 3 - BẮC NINH) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi
có cạnh bằng a 3 , 
BAD  120 và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa SBC và
ABCD bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC . 3a 39 a 14 a 39 3a 39 A. . B. . C. . D. . 26 6 26 13
Câu 103. (Nho Quan A - Ninh Bình - lần 2 - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh bằng 10 . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD và SC  10 5 . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của SA và CD . Tính khoảng cách d giữa BD và MN .
A. d  3 5 .
B. d  5 .
C. d  5 .
D. d  10 .
Câu 104. (Đề thi thử Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk lần 2) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC) trùng với trung điểm H của AB . Biết góc
tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 0
60 . Khoảng cách giữa AB và SC a 3 a 2 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 6 4 4 2
Câu 105. (Thi Thử Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-Lần 2-2019) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh
bằng 1, gọi M là trung điểm AD và N trên cạnh BC sao cho BN  2NC . Tính khoảng cách giữa
2 đường thẳng MN và CD . 2 2 6 6 2 A. . B. . C. . D. . 9 3 9 9
Câu 106. (Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thoi cạnh là 2a , 
ABC  60 . Tam giác SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M AM 1
là điểm trên cạnh AB sao cho
 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC bằng AB 3 30 30 3 3 A. . a B. . a C. . a D. . a 10 5 2 4
Câu 107. (HKI - SGD BẠC LIÊU_2017-2018) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SAB đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có diện tích   2 84
cm  . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là 3 21 2 21 21 6 21 A. cm . B. cm . C. cmD. cm . 7 7 7 7
Câu 108. (THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh
a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. M , N , P lần lượt là
trung điểm SB, BC , SD . Tính khoảng cách giữa AP và MN 3a 3a 5 a 5 A. . B. .
C. 4a 15 . D. . 15 10 5
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 16
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 109. (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và  o     11,  30 ,  60o SA SB SC SAB SBC và  45o SCA
. Tính khoảng cách d giữa hai
đường thẳng AB và SD . 22 A. d  4 11 . B. d  2 22 . C. d  . D. d  22 2
Câu 110. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có các mặt phẳng  SAB ,  SAD cùng
vuông góc với mặt phẳng  ABCD , đáy là hình thang vuông tại các đỉnh A và B , có
AD  2 AB  2BC  2a , SA AC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng: a 3 a 15 a 3 a 10 A. . B. . C. . D. . 2 5 4 5
Câu 111. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho tứ diện . O ABC có O ,
A OB, OC đôi một vuông góc với
nhau, OA a và OB OC  2a . Gọi M là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường
thẳng OM và AB bằng 2a 2 5a 6a A. . B. a . C. . D. . 2 5 3
Câu 112. (THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019) Cho hình lập phương ABC . D AB CD
  cạnh a ( tham
khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và BC bằng B C D A B' C' A' D' a 3 a 2 A. . B. . C. a 3 . D. a 2 . 3 2
Câu 113. (THI THỬ L4-CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ-HÒA BÌNH-2018-2019)Cho hình chóp
S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , AB a , BC a 3 . Tam giác ASO cân tại S ,
mặt phẳng SAD vuông góc với mặt phẳng  ABCD , góc giữa SD và  ABCD bằng 60 .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng 3a 3a 6a a 3 A. . B. . C. . D. . 4 2 7 2
Câu 114. [THPT THĂNG LONG-HÀ NỘI-LẦN 2-2018-2019] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD
là hình vuông tâm O cạnh 2a . Hình chiếu của S trên mặt đáy là trung điểm của H của OA . Góc
giữa hai mặt phẳng SCD và  ABCD bằng 45 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 3a 2 3a 2 A. a 6 . B. a 2 . C. . D. . 2 4 B. LỜI GIẢI
DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu 1. Chọn A
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD nên ABCD là hình vuông có cạnh bằng a 2 nên AC  2a .
Tam giác SAC đều nên cạnh bên SA AC  2a . Câu 2. Chọn A
Gọi P là trung điểm AB AC // PN AC 3a BD Ta có 
PN PM và PN   ; PM   2a BD // PM  2 2 2 5a 2 2 MN PM PN  2 D M A C P N B Câu 3. Chọn A
Gọi I là trung điểm BC , khi đó BC AI
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 18
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Mặt khác BC AI , BC SA BC  SAI   BC SI
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và SBC là  SIA . SA a a
Tam giác SIA vuông tại A nên   3 3 tan SIA   SA I . A tan SIA  . 3  . AI 2 2 Câu 4. Chọn A.
Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 nên 
AAH  30 .
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ AB . C A BC   bằng  a
AH AA .sin AAH AA .sin 30  . 2 Câu 5. Chọn B AC AB AD AA
a   a a 2 2 2 2 2 2 ' + ' 2 + 2  a 7 . Câu 6. Chọn B Ta có 2 2 AC
AD DC a 5 . Nên 2 2 AC  AC CC 2 2
 5a  2a a 7 . Câu 7. Chọn A
Dựng hình chữ nhật ABCE , gọi M , N lần lượt là trung điểm AB, CE , MH DN tại H Ta có  AB DM
AB   DMN   CE   DMN   MH CE AB MN  MH DN 11 
MH  CDE  tại H d AB,CD  d M ;CDE  MH MH CE    2 1
Tam giác DMN có DM MN  3  H là trung điểm DN , mà 2 2 HN MN MH  2  DN  1
Xét tam giác DNC vuông tại N 2 2 CD
DN CN  2 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 D H A E M N C B Câu 8. Chọn C t x y z A' D' I' B' C' A D I B C
Gọi I là giao của AC và BD. I  là giao điểm của A C   và B D
  . Khi đó II là đường trung
bình của các hình thang ACC A   và BDD B
  . Theo tính chất của hình thang ta có
2II  BB  DD  AA  CC  2  4  6  DD  3 . Câu 9. Chọn A
Dựng hình chữ nhật ABCE , gọi M , N lần lượt là trung điểm A ,
B CE , MH DN tại H Ta có  AB DM
AB   DMN   CE   DMN   MH CE AB MN
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 MH DN 11 
MH  CDE  tại H d AB,CD  d M ;CDE   MH MH CE    2 1
Tam giác DMN có DM MN  3  H là trung điểm DN , mà 2 2 HN MN MH  2  DN  1
Xét tam giác DNC vuông tại N 2 2 CD
DN CN  2 .
Câu 10. Chọn B A' B' P Q H 12 M C' A B 4 3 N C 3
Chiều cao của tam giác đáy: AN A H   4 3.  6 . 2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của N lên B C   .
Đặt AP x, QH y .
Ta có: AP PQ QH AH AP  3  QH  6  x y  3 .
Dấu "  " xảy ra khi P, Q nằm trên đoạn AH . Lại có: 2 2 2 2 MP
6  x , NQ  12  y .
Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp-xki : 2 2 2 2 2 2 x
 , y, a, b    a b x y
(a x)  (b y) .ay bx
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  . ax by  0  Ta có :
T MP NQ   x   y   
2   x y2 2 2 2 2 2 2 6 12 6 12  18  3  3 37 . x y  3  x  1
Dấu "  " xảy ra khi: 6y  12x   . y  2   6.12  xy  0  Vậy T  3 37 . min
Câu 11. Chọn B
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 21
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Kẻ OH SC d  ,
O SC   OH . AC a 2 OC   ; 2 2
SC SA AC a 6 2 2 OH SA OC.SA a 2.2a a 3 OHC SAC     OH    OC SC SC 2a 6 3
Câu 12. Chọn D
Sau khi xếp miếng bìa lại ta được hình lập phương ABC .
D A ' B 'C ' D ' cạnh 2a , O là tâm của
A ' B 'C ' D ' .
Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh A , B A' . B 1
MN AA '  2a , OM
A' D '  a . 2  AB OM Lại có: 
AB ON d O, AB  ON 2 2
OM MN a 5 . AB MN
DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG
Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên Câu 13. Lời giải Chọn D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Gọi H là trung điểm cạnh SB . AH BC
BC SAB 
AH  SBC  . AH SBSB 2a 2
Do đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC là AH    a 2 . 2 2
Câu 14. Chọn B
Từ A kẻ AD BC mà SA   ABC  SA BC
BC  SAD  SAD  SBC mà SAD SBC  SD
 Từ A kẻ AE SD AE  SBC  d  ;
A SBC  AE 1 1 1 4
Trong ABC vuông tại A ta có:    2 2 2 2 AD AB AC 3a 1 1 1 19 2a 57
Trong SAD vuông tại A ta có:     AE  2 2 2 2 AE AS AD 12a 19 Câu 15. Lờigiải Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S H A C B
Kẻ AH SB H SB . BC AB  Ta có: 
BC  SAB  BC AH  SAB .
BC SASA    ABC   AH SB Vì 
AH  SBC  . AH BC
Do đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  là dAH .
A,SBC AC
Xét tam giác ABC vuông cân tại B , có AC  2a AB   2a . 2 1 1 1 1 1 3
Xét tam giác SAB vuông tại A , ta có:      2 2 2 2 2 2 AH SA AB a 2a 2a 2 2a 6a 2  AH   AH  . 3 3 6a
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  là dAH  .
A,SBC 3
Câu 16. Chọn A S 3a H 2a B C I 4a A
Từ B kẻ BI AC nối S với I và kẻ BH SI dễ thấy BH là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) Ta có .
B SAC là tam diện vuông tại B nên: 1 1 1 1 1 1 1 61 12 61a         BH  2 2 2 2 2 2 2 2 BH BS BC BA 9a 4a 16a 144a 61
Câu 17. Chọn A
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S 2a H A C a BBC AB Ta có 
BC  SAB . BC SA
Kẻ AH SB . Khi đó AH BC AH  SBC
AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  . 1 1 1 1 1 5 2 4a 2 5a Ta có      2  AH   AH  . 2 2 2 2 2 2 AH SA AB 4a a 4a 5 5
Câu 18. Chọn B BC AB Ta có: 
BC  SABBC SA  
  SAB  SBC    SAB
 SBC  SB
Trong mặt phẳng  SAB : Kẻ AH SB AH d  ; A SBC 1 1 1 1 1 4      . 2 2 2 AH SA AB 2 2 a 3a 2 3a a
d A SBC 3 ;  AH  . 2
Câu 19. Chọn B
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S // a H // B A a a C BC AC Vì 
BC  SAC BC SA
Khi đó SBC    SAC  theo giao tuyến là SC .
Trong SAC , kẻ AH SC tại H suy ra AH   SBC tại H .
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  bằng AH .
Ta có AC BC a , SA a nên tam giác SAC vuông cân tại A . 1 1 Suy ra AH SC a 2 . 2 2 3V 3V
Cách 2: Ta có d  , A SBC  A.SBC S . ABC   . S S SBC SBCBC AC Vì 
BC SC nên tam giác SBC vuông tại C . BC SA  1 1 2 3. . SA CA 3V 3V a 2
Suy ra d A SBC  . A SBC S. ABC 3 2 ,     . S S 1 2 SBCSBCSC.BC 2
Câu 20. Chọn D S H A C B
Kẻ AH SB trong mặt phẳng  SBC  BC AB Ta có: 
BC  SAB  BC AH BC SA   AH BC a Vậy 
AH   SBC   d A SBC  1 2 ,  AH SB  . AH SB  2 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 21. Chọn A
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . BD AO Ta có 
BD   AA O   BD AA 
Suy ra  BDA   AA O   .
Kẻ AH AO AH   BDA .
Suy ra AH d  ,
A BDA . 1 2 AA .AO 3
Xét tam giác AAO vuông tại A có AA  1, AO AC  : AH   . 2 2 2 2 AA  AO 3
Vậy d A BDA 3 ,  . 3
Câu 22. Chọn C Vì lăng trụ ' ' '
ABCA B C là lăng trụ đứng nên ' '
(ABC)  (BCC B ) . Do đó kẻ ' '
AH BC AH  (BCC B ) .
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng ' '
(BCC B ) là đoạn AH . Ta có 2 2
AC  4a  3a  a . 1 1 1 1 1 4 3a       AH  . 2 2 2 2 2 2 AH AB AC 3a a 3a 2
Câu 23. Chọn C
Gọi M là trung điểm của CD ; H là hình chiếu vuông góc của O lên SM OH SM (*) . OM   CD Ta có 
CD  SOM   CD OH (**) SM CD
Từ (*), (**) suy ra OH  SCD khi đó d O,SCD  OH .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2  a 2  a 2 a a 3 Ta có 2 2 2 SO SB BO a     ; OM  ; SM  .  2  2   2 2 a 2 a . a Ta lại có 2 2
OH.SM S . O OM OH   . a 3 6 2
Cách khác: Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên SCD . Vì OC,O ,
D OS đôi một vuông góc nên ta 1 1 1 1 có   
(không cần xác định chính xác vị trí của điểm H) 2 2 2 2 OH OC OD OS
Câu 24. Chọn B
- Vì O là trung điểm của BD nên d B,SCD  2d O,SCD.Do đó câu A đúng.
- Kẻ AH vuông góc với SO mà hai mặt phẳng SAC và SBD vuông góc với nhau theo giao
tuyến SO , suy ra AH vuông góc với mặt phẳng SBD .
Ta có d A,SBD  AH OA và d B,SAC  OB OA nên d A,SBD  d B,SAC Do đó câu B sai.
- Ta có d C,SAB  CB và d C,SAD  CD nên d C,SAB  d C,SAD . Do đó câu C đúng.
- Vì SA vuông góc với mặt đáy nên d S ,ABCD  SA . Do đó câu D đúng.
Câu 25. Chọn D S H a 3 600 A C M 30° B
Dựng AM BC ; AH SM
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Ta có: AM BC
  BC   SAM   AH BC và AH SM AH   SBC SA BC   d  ;
A SBC   AH
Tam giác SAC vuông tại A SA AC. tan 60  
= a 3. 3  3a SAC B
AC g c g   SA BA  3a 1 1 1 1 1 4
Tam giác ABC vuông tại A       2 2 2 2 2 2 AM AB AC 9a 3a 9a 1 1 1 1 1 4 5 3a
Tam giác SAM vuông tại A         AH 2 2 2 AH SA AM 2 2 2 2 AH 9a 9a 9a 5
Câu 26. Chọn D
Gọi H là hình chiếu của M trên SN . Ta có: NP MN
NP  (SMN ) mà SH  SMN   NP SH . NP SM  SH NP
SH  (SNP) hay khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  SNP bằng MH . SH SNMN.SM 3 .3 a a 2
Trong tam giác vuông SMN có MH    a 6 . 2 2 2 2 MN SM 9a 18a
Câu 27. Chọn A S H E A B D C
+ Lấy E là trung điểm AB  tứ giác ADCE là hình vuông cạnh bằng a AC a 2 + BC
E vuông cân CE EB, CE EB a BC a 2 2 2 ACB có: 2 2
AC BC  a  a  2 2 2 2
 4a AB  ACB vuông tại C
BC AC (1)
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
SA   ABCD  BC SA (2)
Từ (1) và (2)  BC  SAC
+ Dựng AH SC , có AH BC (vì BC  SAC ,SAC   AH )
AH  SBC   d  ;
A SBC   AH 1 1 1 1 1 3 2a       AH   d ; A SBC 2 2 2 2 2 2    AH AS AC 4a 2a 4a 3
Câu 28. Chọn D
Tam giác ABC vuông cân tại B mà AC a 2 suy ra AB BC a .
Do BC BA , BC SA (vì SA   ABC ) nên BC   SAB .
Gọi H là hình chiếu của điểm A lên SB , thì AH SB , AH BC (vì BC   SAB ) nên a
AH  SAB hay AH d  ,
A SBC   . 2
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông SAB với đường cao AH , ta được: 1 1 1 1 1 1 1      
SA a nên tam giác SAB vuông cân tại A 2 2 2 2 2 2 2 AH SA AB SA AH AB a
do đó trọng tâm G thuộc AH .
Từ AH  SBC   AH SC và AK SC nên SC   AHK  hay SC   AGK  .
Vì SC   AGK  và SA   ABC nên góc giữa hai mặt phẳng  AGK  và  ABC chính là góc 
giữa hai đường thẳng SC và SA hay   CSA . SA a 3 Theo trên ta có 2 2
SC SA AC a 3 suy ra cos    . AC a 3 3
Câu 29. Chọn A
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 1
Gọi S là diện tích tam giác ABC ta có 2 S B .
A BC.sin120  a
3 . Nên thể tích khối chóp 2 1 S.ABC là 2 3 V Bh a 3.3a  3a 3 . 3 2 2S 2a 3
Gọi AH là đường cao trong tam giác ABC khi đó ta có AH    a 3 . BC 2a 2 2
SH SA AH  2a 3 . 1
Vì BC  SAH   BC SH . Nên diện tích tam giác SBC là 2 S B . C SH  2a 3 . 1 2 3 3V 3a 3 3a
Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  là d    . 2 S 2a 3 2 1
Câu 30. Chọn A
Gọi I AC BD và H là hình chiếu của A lên đường thẳng A ' I . BD AI Ta có:   BD AH BD AA '
 AH BD AH  (A'BD)  d( ,
A ( A' BD))  AH .
AH A ' I 1 1 1 1 1 3 a 3 Ta có:       AH  . 2 2 2 2 2 AH AI AA ' a 2 a a 3 2 ( ) 2
Câu 31. Chọn B
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Gọi D là trung điểm cạnh BC , E là hình chiếu của A lên A' D . BC AD Ta có: 
BC   ADA'  BC AE BC AA'  . AE BC
AE   A'BC , suy ra d  ,
A A'BC  AE .
AE A' Da 3
Trong tam giác A' AD có: AA'  a, AD  , 2 1 1 1 1 4 7 a 3 a 21       AE   . 2 2 2 2 2 2 AE AA' AD a 3a 3a 7 7
Câu 32. Chọn A A' C' B' H C A E B
Kẻ AE BC (E BC ) ; AH  
A E (H A 'E ) . BC AE  Ta có:   BC  ( 
A AE)  BC AH . BC   AA  Mà AH  
A E AH  (  A BC ) .
Do đó khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A ' BC ) bằng AH . 1 1 1 4
Xét tam giác ABC vuông tại A ta có    . 2 2 2 2 AE AB AC 3a 1 1 1 4 1 7 a 21 Xét tam giác 
A AE vuông tại A ta có       AH  . 2 2 2 2 2 2 AH AEA A 3a a 3a 7
Câu 33. Chọn B
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 32
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 C I B O H A
Trong tam giác OAB dựng đường cao OH , trong tam giác OCH dựng đường cao BC OH
OI OI CH (1) . Mặt khác ta có 
BC  OAH   BC OI (2) . Từ (1) và (2) BC OA
suy ra OI   ABC  d  ;
O ABC  OI . 2 2 4 OA .OB 4a 2a
Xét tam giác OAB vuông tại O có OA a, OB  2a OH    . 2 2 2 OA OB 5a 5
Xét tam giác OCH vuông tại O có 2 2 4 2a OC .OI 12a 2 3a
OC a 3,OH   OI    . 2 2 2 5 OC OI 19a 19 a
Vậy d O ABC 2 3 ;  OI  . 19
Câu 34. Chọn B Cách 1: S D' A D C' A' O B C B'
Gọi p, q, u, v lần lượt là các khoảng cách từ O đến các mặt phẳng SAB,SBC ,SCD,SDA.
Trong mặt phẳng  SAC  dựng đường thẳng qua O vuông góc với đường thẳng SO cắt hai đường thẳng S ,
A SC lần lượt tại A ', C '
Trong mặt phẳng  SBD dựng đường thẳng qua O vuông góc với đường thẳng SO cắt hai
đường thẳng SB, SD lần lượt tại B ', D ' .
Do SAC   SBD,SAC   SBD  S ,
O A'C '  SO nên A'C '  SBD
A'C '  B ' D ' .
Khi đó tứ diện OSA' B ' có OS , OA ', OB ' đôi một vuông góc nên ta chứng minh được 1 1 1 1    1 2 2 2 2   p OS OA' OB '
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 1 1 1 1 Chứng minh tương tự:    2 ; 2 2 2 2   q OS OB ' OC ' 1 1 1 1    3 2 2 2 2   u OS OC ' OD ' 1 1 1 1    4 2 2 2 2   v OS OD ' OA ' 1 1 1 1 Từ  
1 , 2,3,4 ta có    . 2 2 2 2 p u q v 1 1 1 1 1 19 20
Với p  1; q  2;u  5        d v  . 2 1  2 2 2 2 2 v v 20 19 5 Cách 2:
Dựng mặt phẳng qua O, vuông góc với SO , cắt các đường thẳng S ,
A SB, SC, SD lần lượt tại A ,
B , C , D  SO   A BCD   .
Vì SAC    SBD  AC  B D   . 1 1 1 1 Ta có:     1.   1 2 2 2 SO OAOB
d O,SAB 1 1 1 1 1     . 2 2 2 2 SO OBOC
d O,SB C   4 1 1 1 1 1     . 3 2 2 2 SO OCOD
d O,SC D   5 1 1 1 1 1     . 4 2 2 2 SO ODOA
d O,SD A   2 d 1 1 1 20  
1 , 2,3,4  1    d  . 2 5 4 d 19
Dạng 2.2 Khoàng cách từ 1 điểm bất kỳ đến mặt phẳng
Câu 35. Chọn D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 34
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Từ giả thiết suy ra OI là đường trung bình của S
AC , do đó OI SA . IO SA  Ta có 
IO   ABCD . SA    ABCD 
Vậy d I, ABCD  OI .
Câu 36. Chọn B d  1 1 1 a 2
M , SAC   d D,SAC   DO BD  . 2 2 4 4
Câu 37. Chọn C
Gọi H là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác BCD, AG là đường cao của tứ diện 3 2 2 3a
Xét tam giác đều BCD có BH  2 . a
a 3  BG BH  . 2 3 3 2  2 3a  2 6
Xét tam giác vuông ABG có 2 2 2 AG
AB BG  (2a)     . a  3  3   2 2 4 6
Mà d (M ;(BCD))  d ( ; A (BCD))  AG  . a 3 3 9
Câu 38. Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Gọi G là trọng tâm tam giác BCD . Ta có AG   BCD tại G nên d  ,
A BCD  AG . 2  a 3  a 6
Xét tam giác ABG vuông tại G có 2 2 2 AG AB BG a     .  3  3  
Câu 39. Chọn A A' M C' N A C a H B
• Gọi M, N, H lần lượt là trung điểm của A’C’, AC, BC.
MN / / CC '   BCC '  MN / /  BCC '   a
d M ; BCC '  d N;BCC '  NH  2
Câu 40. Chọn A
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S 5a D C 3a 4a A B 2 2 Ta có: 2 2
SA SB AB  5a  4a  3a .
Ta có d C,SBD  d  ,
A SBD  h .
Tứ diện ASBD có các cạnh AB, A ,
D AS đôi một vuông góc với nhau và
AB  4a, AD  3a, AS  3a nên ta có 1 1 1 1 1 1 1 41 12a 41         h  2 2 2 2 2 2 2 2 h AB AD AS 16a 9a 9a 144a 41 a
Vậy d C SBD 12 41 ,  . 41
Câu 41. Chọn B S A D H I J K B C Kẻ SI  . AB
Do tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy  ABCD .
I là trung điểm của AB và SI   ABCD . 2a 3
SAB đều cạnh 2a SI   a 3. 2 1
Kẻ IK  BD  K BD , AH  BD  H BD  IK AH 2
Kẻ IJ SK,  J SK  (1). IK BD  Ta có 
BD  SIK   BD IJ (2). SI  
ABCD  SI BD
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 37
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Từ (1) và (2) suy ra IJ  SBD  d I, (SBD)  IJ. 1 1 1 1 5 2a a Ta có:      AH   IK  . 2 2 2 AH AB AD 2 2 AH 4a 5 5 1 1 1 1 16 a 3 a 3      IJ
d I,(SBD)  . 2 2 2 IJ SI IK 2 2 IJ 3a 4 4 a 3
I là trung điểm AB d  ,
A (SBD)  2d I,(SBD)  . 2
Câu 42. Chọn C
Vì chóp SABCD là chóp đều nên ABCD là hình vuông cạnh 2a .
Gọi O là tâm hình vuông, ta có SO   ABCD . Ta có d  ,
A SCD  2d  ,
O SCD .
Gọi K trung điểm CD OK CD . Lại có CD SO .
Suy ra CD   SOK  suy ra SCD  SOK  .
Trong SOK  kẻ OH SK OH  SCD  d  ,
O SCD  OH . Xét SO
K vuông tại O , đường cao OH , ta có 1 1 1 1 1 a 3      OH   d , A SCD
 2OH a 3 . 2 2 2 2 2    OH OK OS a 3a 2
Câu 43. Chọn B S A D H I B C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 38
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Trong mặt phẳng  ABCD dựng BI HC .   SAB
  SHC   SH Ta có: 
SH   ABCD .
SAB   ABCD;SHC     ABCD  BI HC Khi đó: 
BI  SHC  d  ,
B SHC  BI . BI SH
Xét trong tam giác BHC vuông tại B ta có: 1 1 1 1 1 25 12a       BI  . 2 2 2 BI BH BC
3a2 4a2 2 144a 5 12a
Suy ra: Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SHC  bằng . 5
Câu 44. Chọn C
Gọi O AC BD , G SO FC G là trọng tâm tam giác SAC .
d S, FCD SG Do đó: 
 2  d S, FCD  2d O, FCD  2h .
d O, FCD OG
Lại có: ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC, BD và OC OD . 
SO   ABCD
Mà: SA SB SC SD  
ABCD là hình vuông.
OA OB OC ODa 2 a 2 1 a 2
OC OD  2 2  OS SC OC   OG OS  . 2 2 3 6 1 1 1 1 22 1 Khi đó: .
O GCD là tứ diện vuông đỉnh O       h a . 2 2 2 2 h OC OD OG 2 a 22
Vậy  d S FCD 2 ,  2h a . 11
Câu 45. Chọn A
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Do D là điểm đối xứng với B qua AC và A
BC cân tại B nên tứ giác ABCD là hình thoi cạnh a . Suy ra B
CD là tam giác đều cạnh a . a 3
Gọi M là trung điểm của CD , suy ra BM CD và BM  . 2
Qua điểm A , dựng đường thẳng song song với BM và cắt CD tại K . a 3
Khi đó AK CD và AK BM  . 2 C  D AK  Ta có 
CD  SAKSCD SAK. CD SA 
Trong mặt phẳng (SAK ) , dựng AH SK , với H SK . Suy ra AH  (SCD) tại H .
Do AB song song với mặt phẳng (SCD) nên d (B, (SCD))  d ( ,
A (SCD))  AH . Xét S
AK vuông tại A , ta có 1 1 1 1 4 7 21       AH a . 2 2 2 2 2 2 AH SA AK a 3a 3a 7
Câu 46. Chọn D
Do ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD nên tứ giác ABCD cũng nội
tiếp đường tròn đường kính AD . Gọi I là trung điểm AD thì các tam giác IAB, IBC, ICD đều
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 40
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
cạnh a và AC CD nên 2 2 AC
AD CD a 3 . Lấy K BC; M AD sao cho
HK SC; KM CD d H;SCD  d K;SCD  d M ;SCD 2  3a 3a SH 3 KC MD
SAB vuông tại A có SB  2a và 2
SH.SB SA SH       . 2a 2 SB 4 CB DI MD MD 3
d M ;SCD 3  AC CD Vậy     . Do 
CD  SAC  . AD 2DI 8 d  ; A SCD 8 CD SA
Trong mp SAC kẻ AN SC tại N thì AN   SCD  d  ;
A SCD  AN .  a 6
SAC vuông cân tại A (Do SA AC a 3 ) nên AN  . 2 a
Vậy d H SCD  d M SCD 3 3 6 ; ;  .AN  8 16
Câu 47. Chọn A Cách 1:
Xét ABC đều do 
ABC  60 và AB BC .
Lấy I là trung điểm BC , kẻ AH SI tại H .
Ta có: AI BC , mà BC SA BC  SAI , AH  SAI   BC AH .
Từ và  AH  SBC  tại H  AH d  ,
A SBC . a 3
Ta có: ABC đều cạnh a AI  . 2 Xét S
AI vuông tại A có: 1 1 1 4 4 16 3a       AH   d , A SBC . 2 2 2 2 2 2    AH SA AI 9a 3a 9a 4 Ta có:
d O,SBC OC 1     1 3a
d O, SBC   d A,SBC  .
d A,SBC AC 2 2 8 Cách 2: a 3
Tương tự cách 1 ta có ABC đều cạnh a AI  . 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2 1 a 3 Diện tích OBC là: S  .S  . OBC 2 ABC 8 2 3 1 1 3a a 3 a 3
Thể tích của khối chóp S.OBC là: V  .S . A S  . .  . S .OBC 3 OBC 3 2 8 16 2 2 3aa 3    Xét S
AI vuông tại A : 2 2 SI SA AI        3a . 2  2      Xét S
AI có SA SC do SAB S
AC   SI là đường cao 1 2  S
SI.BC a 3 . SBC 2 3 3.a 3 3V 3a
Ta có: d O SBC  S .OBC 16 ;    . 2 Sa SBC 3 8
Câu 48. Chọn C A' C' B' 2a A C a I H B
Xét tam giác ABC có AB a, AC  2a BC a 5 .
Trong mp  ABC  kẻ AH BC, H BC . 
ABC    A' BC   Ta có: 
ABC    A ' BC   BC AH   ABC   d  ,
A ABC   AH AH BCA . B AC 2 5 2 5
Trong tam giác vuông ABC ta có AH   a d  ,
A ABC   a . BC 5 5
Câu 49. Chọn B
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Gọi I là trung điểm của AB SI AB . SI AB  Ta có: 
SAB   ABCD  gt   SI   ABCD . 
SAB ABCD  AB  Xét SA
B đều có cạnh bằng 2a SI a 3 1 1 1 1 1 5 2a 5
Kẻ AK BD tại K . Ta xét BAD có:       AK  . 2 2 2 2 2 2 AK AB AD 4a a 4a 5 1 5a
Kẻ JI BD tại J JI / / AK JI AK
. Ta có: BD SI BD  SJI  . 2 5
Kẻ HI SJ tại H IH  SBD tại H d I;SBD  IH . 1 1 1 5 1 16 a 3 Xét SJI có:       HI  . 2 2 2 2 2 2 HI JI SI a 3a 3a 4
Do I là trung điểm của AB nên: d  ; A SBD AB    d a 3 2 ;
A SBD  2d I;SBD  .
d I;SBD AI 2
Câu 50. Chọn B
Gọi H là trung điểm AB . Suy ra SH   ABCD .
d H,SBD BH 1 Ta có    d  ,
A SBD  2d H,SBD . d  , A SBD BA 2
Gọi I là trung điểm OB , suy ra HI || OA (với O là tâm của đáy hình vuông). 1 a 2 BD HI Suy ra HI OA  . Lại có 
BD   SHI  . 2 4 BD SH  1 1 1 a 21
Vẽ HK SI HK  SBD . Ta có    HK  . 2 2 2 HK SH HI 14 a
Suy ra d A SBD  d H SBD 21 , 2 ,  2HK  . 7 Câu 51.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 . Chọn D .
Gọi H là trung điểm của AB SH AB SH  ( ABCD). .
Từ H kẻ HM BD , M là trung điểm của BI và I là tâm của hình vuông. BD HM  Ta có:   BD  (SHM)  . BD SH 
Từ H kẻ HK SM HK BD ( Vì BD  (SHM) ).
HK  (SBD)  d(H;(SBD))  HK. . AI AC 2a 3a Ta có: HM    . SH  . 2 4 4 2 2a 3a . HM .HS 21 4 2 a HK    .. 2 2 2 2 HM HS     14  2a  3a            4   2  21a 21a
d (C;(SBD))  d ( ;
A (SBD))  2d (H;(SBD))  2HK  2.  .. 14 7 21a
Vậy: d (C;(SBD))  . . 7
Câu 52. Chọn D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S S H A A D K G I O O I B C C
* Gọi O AC BD và G là trọng tâm tam giác ABD , I là trung điểm của AB ta có
d D;SAC  DG
SI   ABCD và 
 2  d D;SAC   2.d I;SAC  .
d I;SAC  IG
* Gọi K là trung điểm của AO , H là hình chiếu của I lên SK ta có IK AC; IH  SAC   d  ;
D SAC  2.d I;SAC  2.IH a 3 BO a 2
* Xét tam giác SIK vuông tại I ta có: SI  ; IK   2 2 4 1 1 1 4 16 28 a 3       IH  2 2 2 2 2 2 IH SI IK 3a 2a 3a 2 7   a
d D SAC   d I SAC  21 ; 2. ;  2.IH  . 7
Câu 53. Chọn C
Gọi O là giao điểm của AC và BD , I là trung điểm của AB . Kẻ IK / /B ,
D K AC ; kẻ IH SK , H SK (1).
Do SAB   ABCD và tam giác SAB đều nên SI   ABCD  SI AC
Lại có IK AC , suy ra AC  SIK   AC IH (2)
Từ (1) và (2) suy ra IH   SAC  suy ra IH là khoảng cách từ I đến đến mặt phẳng  SAC  bằng
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 45
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 1 2a Ta có IK BO
, tam giác SIK vuông tại I nên 2 4 1 1 1 28 3a     IH  2 2 2 2 IH SI IK 3a 2 7
Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SAC  bằng hai lần khoảng cách từ H đến mặt phẳng 21a
SAC nên khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC là d  . 7
Câu 54. Chọn A 2 a 3
Cách 1 Diện tích hình thoi S  . 2 3 a 3
Thể tích hình chóp S.ABCD : V  . 6
Ta có SD a 2 , AC a 3 , SC  2a . 3a a 2
Nửa chu vi SCD là p  . SCD 2 2 a 7 Sp p a p a p a  SCD   2  2  4 3 1 a 3 3. . d  3V a 21 B SCD S .BCD 2 6 ,    2 S aSCD 7 7 4
Cách 2 Ta có AB // CD AB // SCD , suy ra d  ,
B SCD  d  ,
A SCD .
Trong mặt phẳng  ABCD , kẻ AK CD tại K .
Trong mặt phẳng SAK  , kẻ AH SK tại H .
Suy ra AH  SCD  d  ,
A SCD  AH .
Tam giác SAK vuông tại A , AH là đường cao, suy sa: 1 1 1 4 1 7 a 21 a 3       AH  , do AK  . 2 2 2 2 2 2 AH AK AS 3a a 3a 7 2 a
Vậy d B SCD 21 ,  . 7 Câu 55. Lời giải Chọn B
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 46
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Gọi I là trung điểm của AD . Tam giác SAD cân tại S SI AD SI AD  Ta có 
SI   ABCD SAD    ABCD 
SI là đường cao của hình chóp. 1 4 1 Theo giả thiết 3 2 V  .SI.Sa
SI.2a SI  2a S . ABCD 3 ABCD 3 3
Vì AB song song với  SCD  d  ,
B SCD  d  ,
A SCD  2d I,SCD
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên SD . SI DCIH SD Mặt khác 
IH DC . Ta có 
IH  SCD  d I,SCD  IH ID DCIH DC  1 1 1 1 4 2a
Xét tam giác SID vuông tại I :      IH  2 2 2 2 2 IH SI ID 4a 2a 3
d B SCD  d A SCD  d I SCD 4 , , 2 ,  a . 3
Câu 56. Chọn C S H D A M B C 1
+ d M ;SCD  d B;SCD (vì M là trung điểm BC ). 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 47
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Vì AB / / SCD  d  ;
B SCD  d  ;
A SCD . Kẻ AH SD
AH CD vì CD  SAD (do CD AD;CD SA )
AH  SCD .  d  ;
A SCD  AH .
+  ABCD    SCD   CD
CD  SAD
 góc giữa SCD và  ABCD bằng góc  SDA ,  0 SDA  60 .
Gọi cạnh của hình vuông ABCD có độ dài bằng x . SA
Tam giác vuông SAD có: 0 tan 60 
SA x 3 . AD 3 1 1 x 3 2 VS . A S  .x 3.x  . ABCD 3 ABCD 3 3 3 a 3 3 3 x 3 a 3
Mà thể tích khối chóp S.ABCD bằng  
x AD a và SA a 3 . 3 3 3
+ Tam giác vuông SAD có đường cao AH : 1 1 1 1 1 4 a 3       AH  . 2 2 2 2 2 2 AH AD SA a 3a 3a 2 a 3 a 3
Vậy khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng SCD bằng 2  . 2 4
Câu 57. Chọn A S A D E I H B C K
Gọi I AC BD , H là trọng tâm của tam giác ABC . 
Do ABCD là hình thoi và o
BAC  60 nên ABC, A
CD là các tam giác đều cạnh a .
 SAC  ABCD     o ,  SIH  60 . a 3 1 a 3 a 2 4 2a 3 Ta có: BI   IH BI  ; o
SH IH . tan 60  ; HD BD BI  . 2 3 6 2 3 3 3
Kẻ HK CD , HE SK d H ,SCD  HE .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 48
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 a 3
Trong tam giác vuông HKD ta có o HK H . D sin 30  . 3 SH.HK a
Do đó d H,SCD  HE   . 2 2 SH HK 7
d B,SCD BD 3 3 a 3a Mặt khác  
d B,SCD  .  .
d H ,SCD HD 2 2 7 2 7
Câu 58. Chọn B S K A C H M B
Ta có: SH   ABC . 3 1 a 6 1 1 Mà V  .S .SH   . . .
a a 3.SH SH a 2 . S .ABC 3 ABC 6 3 2
Vì H là trung điểm của cạnh AC d C;SAB  2d H;SAB .
Gọi M là trung điểm của cạnh AB HM AB . BC a 3
Mà AB SH AB  SHM  và HM   . 2 2
Kẻ KH SM tại K .
Do AB  SHK   AB HK HK  SAB tại K . a 3 a 2. ad SH .HM a 66 H SAB 2 ;  HK   
d C SAB 2 66 ;  . 2 2 2 11 SH HM 11 2 3a 2a  4
Câu 59. Chọn D S K D C H A B
Gọi H là trung điểm của AD . Vì SAD cân nên SH AD SH   ABCD .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 49
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 CD AD
Trong mp  SAD kẻ HK SD   1 .Vì
  CD   SAD  CD HK 2 . CD SH
Từ (1) và (2) suy ra HK  SCD  HK d H, (SCD) . 1 4 Ta có 2 V
SH.a 2.a 2 
a SH  2a . Xét tam giác SHD vuông tại H ta có S.ABCD 3 3 1 1 1 1 1 9 2a 2a       HK
d H , (SCD)  . 2 2 2 2 2 2   HK SH HD 4a a 4a 3 3 2
Vì AB //  SCD  d  ,
B SCD  d  ,
A (SCD . Mặt khác H là trung điểm của AD 4a 4ad  ,
B (SCD)  d  ,
A (SCD)  2d H,(SCD)  . Vậy h  . 3 3
Câu 60. Chọn D S K D A M J I H O B C
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD .
Dựng AK SD tại K CD AD , CD SA CD  SAD  CD AK AK  SCDSH SK
Ta có:  SAB   SAD    HK // BD . SB SD
SBD cân đỉnh S , gọi J HK SO HJ JK . Dựng AJ cắt SC tại I . Dựng
JM // AK JM  SCD  d H ;SCD  2 d J ;SCD  2 JM . 2a 5 2a 3 3a 2 2a 3 4a 3 2a 2
Ta có: AH AK  ; AI  ; SO  ; AJ  ; IJ  ; HJ  . 5 3 2 5 15 5 IJ JM 4a 5 8a 5 Ta có:   JM
d H ;SCD  . AI AK 25 25
Câu 61. Chọn C S H I A B C D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 50
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 AD CI
Hai tứ giác ADCI và BCDI là hình thoi    AD BD CI BD
BD  SAD  SD BD . Suy ra góc giữa mặt phẳng  SBD và  ABCD là  0 SDA  45 .
Do đó SA AD a . Gọi H là hình chiếu của A lên SD AH   SBD   a d A SBD 2 ,  AH  . 2
d I,SBD IB 1 1 a 2 Ta có  
d I ,SBD  d  ,
A SBD  . d  , A SBD AB 2 2 4
Câu 62. Chọn A 1
Ta có: d O;SBC  d A;SBC . 2
Kẻ AH SB   1 . BC AB +) 
BC   SAB . BC SA
AH BC 2 . Từ  
1 và 2  AH  SBC   d A;SBC  AH . SA. AB 2 5
+) Xét tam giác SAB , ta có: AH   a . 2 2 5 SA AB a 5
Vậy khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  SBC bằng . 5
Câu 63. Chọn A
Gọi O AC BD . Suy ra, O là trung điểm của AC nên d C,SBD  d  ,
A SBD .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 51
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Kẻ AK BD , AH SK . SA BD Ta có 
BD  SAK   SBD  SAK  . AK BD   
SBD   SAK   SK Lại do 
, suy ra AH   SBD nên d  ,
A SBD  AH .  AH SK  . AB AD . AB AD . a a 3 a 3 Ta có AK     . 2 2 2 2 BD 2 AB AD a  3a 1 1 1 1 4 19 2a 57       AH  . 2 2 2 2 2 2 AH SA AK 4a 3a 12a 19 a
Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SBD là d C SBD 2 57 ,  . 19
Câu 64. Chọn B
Diện tích hình chữ nhật ABCD là 2 SA . D AB a 3 . ABCD a 3
Δ SAB đều cạnh AB a , gọi H là trung điểm AB SH AB , SH  . 2 
SAB   ABCD  Do 
SAB   ABCD  AB SH   ABCD .
SH  SAB,SH AB  3 1 a
Thể tích hình chóp S.ABCD là: VSH.S  . S . ABCD 3 ABCD 2 a 3
Gọi M là trung điểm SA BM
và thể tích tứ diện MBCD là: 2 3 1 a Vd M BCD Sd S ABCD SV  . MBCD  1 1 1 1 ,  . . , . ΔBCD    ABCD S . 3 3 2 2 4 ABCD 8
Hình chữ nhật ABCD có 2 2 BD
AB AD  2a .
Có SH   ABCD  SH AD , mà AB AD AD  SAB  AD SA . a 13
 Δ MAD vuông tại A , 2 2 MD MA AD  . 2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 52
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  Δ MBD có 2 2 2
MB MD BD  Δ MBD vuông tại M . 2 1 a 39
Diện tích tam giác MBD là SM . B MD  . ΔMBD 2 8 1
Mà thể tích tứ diện CMBD là: Vd C MBD S CMBD  , . Δ 3 MBD 3 a 3  d  3V 3V a 39 C MBD CMBD MBCD 8 ,     . 2 S S a MBD MBD 39 13 Δ Δ 8
Câu 65. Chọn D N A' C' E D M B' H A C F P B
MN AD
- Gọi D là trung điểm của B C    
MN   ADPA  MNP   ADPAMN DP
- Gọi E MN AD EP là giao tuyến của MNP và  A DPA .
- Dựng AH EP AH  MNP  AH d  ;
A MNP . AP 3
- Gọi F là trung điểm của AP EF AP và EF A A   2 , FP   2 2 5 EF.AP 2.3 12 2 2  EP EF FP   AH    . 2 EP 5 5 2
Vậy d A MNP 12 ;  . 5
Câu 66. Chọn B
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 53
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S C K B H D A E
Gọi E là giao điểm của AB và CD ; H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SD , BC . Ta có a 3 a 3 2 2 AD AC CD   CK , 
KB AK. cot ABC C . D cot 30  . 2 2
BC BK KC a 3 .
Tam giác EBC có AD // BC và BC  2 AD nên AD là đường trung bình, suy ra A là trung
điểm của cạnh EB . CD AD
CD  SAD  CD AH . CD SA   AH CD
AH  SCD  d  ,
A SCD  AH . AH SDAD 2 a 6
Tam giác SAD vuông cân tại A nên AH   . 2 4 EB a 6
Vậy d B, SCD  .d  ,
A SCD  2AH  . EA 2
DẠNG 3. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 67. Chọn B B C A D B' C' A' D'
* Do AB// CDD C   nên ta có:
d AB ; D
C   d AB ; D C D C
   d  ; A D C D C    D Aa .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 54
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 68. Chọn B A E B D F C
Gọi E, F lần luợt là trung điểm của AB và CD . Do tứ diện ABCD đều cạnh a nên a 3 2 2 2 3a a a DE CE
.Xét trong tam giác cân ECD tại E có 2 2 2
EF ED FD    . 2 4 4 2
Do tam giác ABC, ABD đều nên ED AB, EC AB suy ra EF AB mà tam giác ECD cân tại a 2
E nên EF CD . Vậy khoảng cách giữa AB và CD bằng độ dài đoạn EF . Tức bằng . 2
Câu 69. Chọn B S M N Q P
Do MN SM ( giả thiết SM vuông góc với đáy) và MN MQ (do MNPQ là hình vuông) vậy
MN  SMQ suy ra d N ,
P SQ  d  N ,
P SMQ  d  N,SMQ  NM  3a .
Câu 70. Chọn D E' H' F' G' 12a E 4a H 3a F G
EF    EFFE  Ta có: GH  
 GHH G
d EF ,GH   d EFFE,GHH G  d E,GHH G . 
EFFE GHHG  
Vì EH  GHH G  d E,GHH G  EH  4 . a
Câu 71. Chọn D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 55
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Vì CD // AB nên CD //  SAB . Do đó d CD; SB  d CD;SAB  d D;SAB  DA a .
Câu 72. Chọn D
Gọi O AC  B D   .
Ta có BB  B , O
AC  B O   B O
  d BB , AC. 1 1 a 2 2 2 B O   B D    B C   C D    . 2 2 2
Câu 73. Chọn B
*) Trong tam giác SAD , kẻ đường cao AH AH SD (1).
CD AD CD  SAD  CD AH (2). CD SA
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 56
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Từ (1), (2)  AH   SCD .
Có AB/ /CD AB/ /SCD , mà CM   SCD  d A ,
B CM   d A ,
B SCD  d  ,
A SCD  AH . 1 1 1 1 1 4 a 3 *)       AH  . 2 2 2 AH SA AD 2 2 2 3a a 3a 2
Câu 74. Chọn A S H A D B C
Theo giả thiết các mặt SAB, SAD vuông góc với đáy nên suy ra SA   ABCD . 
SCD   ABCD  CD
Xét 2 mặt phẳng  SCD và  ABCD có: AD CD (gt)
SD CD (vìCD  SAD 
Suy ra SCD  ABCD  AD SD  , , SDA 60    .
Mặt khác, AB / /CD  SCD  AB / / SCD  d AB, SC  d AB,SCD  d  ,
A SCD .
Trong  SAD , từ A dựng AH SD tại H thì AH   SCD nên d  ,
A SCD  AH .
Xét tam giác SAD vuông tại A có:  1 1 1 a 3
AD a, SA A .
D tan 60  a 3     AH  . 2 2 2 AH AS AD 2
Câu 75. Chọn B
Ta có khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và AC bằng khoảng cách giữa mặt phẳng
song song  ABCD và  A BCD
  thứ tự chứa BD và AC . Do đó khoảng cách giữa hai đường
thẳng BD và AC bằng a .
Câu 76. Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 57
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S M D A O B C
Gọi O là tâm hình chữ nhật và M là trung điểm SA , ta có: SC//  BMD .
Do đó d SC, BD  d SC, BMD  d S, BMD  d  ,
A BMD  h
Ta có: AM , AB, AD đôi một vuông góc nên 1 1 1 1 4 1 1       2 2 2 2 2 2 2 h AM AB AD a a 4a 2a 21 Suy ra: h  . 21
Câu 77. Chọn D
Gọi I là trung điểm của AB .
Ta có: CC / /BB nên CC / /  ABB A   .
Vì AB   ABB A
  nên d CC , AB  d CC , ABB A    CI . a 3
Do lăng trụ tam giác đều ABC.A BC
  nên tam giác ABC đều cạnh a nên CI   2 a 3
Nên d CC , AB  CI   . 2
Câu 78. Chọn C
Kẻ Dx / / AC, Dx AB  I .
AC / /DI; AC mp SDI   AC / /mp SDI
Khi đó d AC; SD  d  , A SDI 
Kẻ AH vuông góc với DI tại H , do SA DI
nên DI mp SAH   mp SAH   mp SDI   SH
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 58
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Trong mp SAH  , kẻ AP SH   
P suy ra d  ;
A SDI   AP
Ta có, trong mp ABCD : AH / /  CD a 2 .
Trong tam giác: SAH vuông tại A , có AP là đường cao 1 1 1 1 1 3 a 6 a 6        AP
d AC; SD AP  2 2 2 2 2   AP SA SH aa  2 2a 3 3 2 B' C' A' K H B C Câu 79. A Chọn D
Gọi H là trung điểm của BC và K là hình chiều của H trên A A  .
Theo giả thiết ta có tam giác ABC cân tại A nên BC AH   1 và 2 2 2 2 AH AB BH
4a  3a a . Mặt khác  ABC    ABC  và tam giác A BC vuông cân 1
tại A nên A H
BC 2 và AH BC a 3. Từ 1 và 2 suy ra 2
BC   AHA  BC HK nên HK là đoạn vuông góc chung của A A  và BC . 2 AH .AH a 3 a 3
Vậy d A ,
A BC   HK    . 2 2 2 2   2 AH A H a  3a
Câu 80. Chọn C S H A D B C
Trong tam giác SAD kẻ đường cao AH ta có . AD AS 2 . a a 2a 5 .
AD AS AH .SD AH    SDa2 2 5 2  a
Dễ thấy AH chính là đường vuông góc chung của AB và SD a
Vậy d AB SD 2 5 ,  AH  . 5
Câu 81. Chọn D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 59
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A H E C O M B
 Ta có được OA  OBC  .
 Trong mặt phẳng (OBC), dựng điểm E sao cho OMCE là hình bình hành thì OMCE cũng là
hình vuông (do OBC là tam giác vuông cân tại O). CE OE  Lại có: 
CE   AOE . CE OA
 Kẻ OH AE tại H thì OH   AEC . O . A OE a.a 2 a 6
Vì OM //  AEC nên d AC ;OM   d O ; ACE   OH    . 2 2 2 2 3 OA OE a  2a
Câu 82. Chọn C S A D B C DA SA Ta có 
DA  SAB . DA AB  
CD   SAB  Mặt khác 
CD // SAB . CD // AB
Từ đó suy ra khoảng cách giữa SB và CD bằng khoảng cách giữa SAB và CD và bằng DA .
Từ giác ABCD là hình vuông với đường chéo AC  2a suy ra DA  2a .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là a 2.
Câu 83. Chọn D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 60
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A H B C M A' B' C'
Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB .
Có ABC.AB C
  là hình lăng trụ đứng nên CH   ABB A
   d C, ABB A    CH
CC / /BB CC / /  ABB A
  nên d CC , AM   d CC , ABB A
   d C, ABB A    CH
Xét tam giác ABC có 2 2 2 2 A BC A C B
 2 .C A.C B . c o s 1 2 0   7 aA B a 7 1 1 3 3 SC . A C . B sin C A . B CH  . a 2 . a
a 7.CH CH a . ABC 2 2 2 7 3
Vậy d AM ,CC  a 7
Câu 84. Chọn D A a H 3a S C 2a K I B
Trong  SBC  kẻ IK / /SC SC / /  AIK
Khoảng cách d SC; AI   d SC; AIK   d S; AIK  . ,
SA SB, SC đôi một vuông góc với nhau  SC   SAB , mà IK / /SC IK   SAB .
Trong SAB kẻ SH AK
SH IK IK  SAB
SH   AIK   d S; AIK   SH .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 61
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 1 1 1 1 1 2 a a 2       SH   . 2 2 2 2 2 2 SH SA SK a a a 2 2 a 2
Vậy d SC; AI   . 2
Câu 85. Chọn D S K A E B I C
Gọi I là trung điểm của AC , ta có EI // BC nên
d BC, SE  d BC,SEI   d B,SEI   d  ,
A SEI   AK (hình vẽ). a a 2. AS.AE a 2
Trong tam giác vuông SAE ta có 2 AK    . 2 2 2 3 AS AE 2 a 2a  4
Câu 86. Chọn B S H A D B C
Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh SD . Ta có  AB AD
AB  SAD  AB AH . AB SD
Suy ra AH là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AB và SD . Do đó
d AB, SD  AH . S
AD vuông cân tại A có AH là đường cao nên H là trung điểm của SD , suy ra 1 2a 2 AH SD   a 2 . 2 2
Vậy d AB, SD  a 2 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 62
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 87. Chọn A S H K D A B C
SAB   ABCD  Ta có: 
SAC    ABCD
SA   ABCD . 
SABSAC  SACD AD * 
CD  SAD CD AH , mà AH SD AH  SCD . CD SA
Trong  SCD  kẻ HK SC tại K AH HK .
HK là đoạn vuông góc chung của AH và SC . 2 1 1 1 1 1 1 3 4a * Ta có: 2        SA  . 2 2 2 2 2 2 2 AH SA AD SA AH AD 4a 3 a 3 57a 2 2 SH SA AH  ; 2 2 AC
AB AD a 5 ; 2 2 SC SA AC  . 3 3 HK CD SH.CD a 3 3 19
SHK   SCD g g     HK   .a.  a SH SC SC 3 57a 19 Câu 88. Chọn D
Do SB SC  11 và  0
SBC  60 nên S
BC đều, do đó BC  11.
Ta lại có, SA SC  11 và  0
SCA  45 nên S
AC vuông cân tại S , hay AC  11 2.
Mặt khác, SA SB  11 và  0
SAB  30 nên AB  11 3. Từ đó, ta có 2 2 2
AB BC AC suy ra A
BC vuông tại C.
Gọi H là trung điểm của .
AB Khi đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp A
BC. Vì SA SB SC
nên SH  ( ABC ).
Gọi M là điểm trên CD sao cho HM AB, suy ra HM C .
D Gọi N là chân đường vuông
góc hạ từ C xuống .
AB Khi đó, HM / /CN và HM CN. Do A
BC vuông tại C nên theo
công thức tính diện tích ta có:
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 63
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 C . A CB 11 6 HM CN   2 2 3 CA CB 1 11 3 11 Ta lại có, CH AB  nên 2 2 SH SC CH  . 2 2 2
Trong tam giác vuông SHM , dựng đường cao HI (I SM ), suy ra HI  (SCD). Khi đó, SH .HM
d ( AB, SD)  d ( AB, (SCD))  d (H , (SCD))  HI   22. 2 2 SH HM
Vậy d ( AB, SD)  22.
Câu 89. Chọn D
Theo giả thiết: SA SB SC  11 ,  0 SAB  30 ,  0 SBC  60 và  0
SCA  45 nên ta được các góc có số đo như hình vẽ. Trong tam giác SAB : 2 2 0
AB SA SB  2S . A S . B cos120  11 3 .
Tam giác SBC đều nên BC  11.
Tam giác SAC vuông tại C : 2 2
AC SA SC  11 2 . Từ đó  A
BC vuông tại C . Gọi H là trung điểm của AB .
Do SA SB SC nên hình chiếu của S xuống đáy trùng với tâm H của đáy.
Do AB / /CD nên d AB, SD  d AB,SDC  d H ,SDC .
Từ H kẻ HK DC , mà DC SH nên DC  SHK  .
Từ H kẻ HI SK , HI DC (vì DC  SHK  )  HI  SDC .
HI d H,SDC . AC.BC 11 2.11 11 6
HK d C, AB    . AB 11 3 3  1 11 Trong tam giác vuông 0
SAH , SAH  30  SH SA  . 2 2 HK.HS Ta có: HI   22 . 2 2 HK HS
Câu 90. Chọn A
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 64
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2 2 17a a Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2
SH SD HD SD AH AD    a  3a 4 4
Do HK / /  SBD  d HK;(SBD)  d H;(SBO)  h , với O là giao điểm hai đường chéo 1 1 1 1 1 4 4 25
Do tứ diện HSBO vuông tại O nên        2 2 2 2 2 2 2 2 h SH HB HO 3a a a 3a a 3 Vậy h  5
Câu 91. Chọn C
Kẻ đường thẳng Ax song song với IC , kẻ HE Ax tại E .
Vì IC// SAE nên d IC; SA  d IC;SAE  d H; SAE .
Kẻ HK SE tại K , K SE . (1)
Ax HE, Ax SH Ax   SEA  Ax HK (2)
Từ (1), (2) suy ra HK  SAE . Vậy d H;SAE  HK . 2 1 1 a 3 a 3 2  a 3   a a 7 CH IH IC   ; 2 2 AH IH IA        . 2 2 2 4  4   2  4   a 7 SA ABC     ;
SAH  45  S
AH vuông cân tại H nên SH AH  . 4 a
Ta có HE IA
( vì tứ giác AIHE là hình chữ nhật) 2 a 7 a . SH.HE a 77 4 2 HK   . 2 2 2 2 22 SH HEa 7   a       4  2   
Câu 92. Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 65
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S a K M B C d a H N A Ta có 2 2 2 2 0
AB SA SB a; BC a a a 2; AC a a  2 .
a a .cos120  a 3 Suy ra 2 2 2
AC AB BC , hay ABC vuông tại B .
Gọi H là trung điểm của AC thì HA HB HC , mặt khác SA SB SC nên SH là trục đường
tròn ngoại tiếp ABC , do đó SH  ( ABC) .
Gọi d là đường thẳng qua B và song song với AC ,   là mặt phẳng xác định bởi SB và . Khi
đó AC / /   d AC; SB  d SC;   d H;  .
Gọi M là hình chiếu vuông góc của H lên d và K là hình chiếu vuông góc của H lên SM , dễ
thấy d H;   HK .
Gọi N là chân đường cao hạ từ B xuống AC thì 1 1 1 1 1 3 6        a BN 2 2 2 2 2 2 BN AB BC a 2a 2a 3 6 Ta có   a HM BN , 0  .cos 60  a SH a 3 2 1 1 1 4 3 11 22
Trong tam giác vuông SHM ta có:        a HK . 2 2 2 2 2 2 HK SH HM a 2a 2a 11
Câu 93. Chọn B
Gọi H là trung điểm cạnh AB SH AB . Kết hợp giả thiết SAB   ABC  suy ra
SH   ABC  .
Dựng hình bình hành ACBD , kẻ HK BD ( K BD ), kẻ HI SK ( I SK ).
Ta có AC // SBD  d SB , AC   d AC ,SBD  d A,SBD .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 66
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Ta có AH  SBD  B và AB  2.HB suy ra d A,SBD  2d H ,SBD   1 BD HK Ta có 
BD  SHK   BD HI mà HI SK HI  SBDBD SH
d H ,SBD  HI 2 a a 3
Tính HI dựa vào tam giác vuông SHK có đường cao HI , với SH  ; HK  . 2 4 1 1 1 16 4 28 21 Theo công thức       HI a 3 2 2 2 2 2 2 HI HK HS 3a a 3a 14 21 Từ  
1 , 2, 3 suy ra d SB , AC   a . 7
Câu 94. Chọn B Do BC / / B C
  nên d B M
 ; BC d BC;MB C
   d  ; B MB C
   2d  ; A MB C   (do BE BB   2 ). AE AM a a 3 . a 3 a a 3 d  ; A MB C
  AH , ta có AI  , AM  suy ra 2 2 AH   2 2 2 2 4 a 3a  4 4 a Vậy d B MBC 3 ;  2AH  . 2 Câu 95.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 67
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S M G A C H I E a Chọn C B
Gọi giao điểm của CG với SB là M . Suy ra M là trung điểm của SB .
Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ M xuống mặt phẳng  ABC.
Ta có AS / /IM AS / / IMC. Suy ra d S ,
A CG  d S ,
A IMC  d S,IMC  d B,IMC . a 3 a 3
Theo bài ra ta có CI  suy ra IH  . 2 4 2 2 a 3a a 7 Suy ra 2 2 AH AI IH    . 4 16 4 Do góc ,     45o SA ABC  suy ra tam giác S
HA vuông cân tại H . a 7
Suy ra SH AH  . 4 a 14
Suy ra SA AH 2  . 4 Xét tam giác SBC có: a 14
Dễ thấy SB SA  . 4 a 10 2 2 SC SI SH IH  . 4 2 2 2
2SC  2BC SB a 38 Suy ra CM   . 4 8 Xét tam giác IMC có: SA a 14 a 38 a 3 IM   , CM  , CI  2 8 8 2 33 Suy ra 2 Sa . IMC  32
Thể tích khối chóp MIBC là: 1 1 SH 1 1 a 7 1 a a 3 21 3 VME.S  . . IC.IB  . . . .  a . MIBC  3 IBC 3 2 2 3 8 2 2 2 192 21 3 3. a 3V 77
Suy ra d S MIC  d B MIC MIBC 192 , ,    a . S IMC 33 22 2 a 32
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 68
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Câu 96. Chọn C
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD .
Tam giác CND cân tại N MN CD (1)
Tam giác AMB cân tại M MN AB (2)
Từ (1) và (2)  MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD
d ( AB, CD) = MN CD Ta có MD
a ; ND a 3 2
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông NMD ta có: 2 2 2 2 MN
ND MD  (a 3)  a a 2
Vậy d ( AB, CD) = a 2
Câu 97. Chọn D S H A C D I B
SA   ABC   SB ABC   SB AB  , ,
SBA  60 , do đó AS AB tan 60  a 3 Trong
mp ABC  lấy điểm D sao cho tứ giác ACBD là hình bình hành
 Ta có AC //  SBD nên d AC, SB  d AC,SBD  d  , A SBD
 Gọi I là trung điểm của BD , H là hình chiếu của A trên SI
Tam giác ABC đều và tứ giác ACBD là hình bình hành nên AB AD BD a hay tam giác ABD a 3 đều  AI  2
Ta có AI BD mà SA BD
nên BD  SAI   BD AH , lại có AH SI nên AH  SBD 2 2 SA .AI a 15
Vậy d AC, SB  d  ,
A SBD  AH   2 2 SA AI 5
Câu 98. Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 69
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A' C' F B' H A C I E B
Gọi F là trung điểm AA .
Ta có CEF  //A B
 nên dCE, A B    d A B
 ,CEF   d A ,CEF   d ,
A CEF  .
Kẻ AI CE; AH FI thì AH  CEF  hay d ,
A CEF   AH . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 49           . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AH AF AI AF AE AF AC a 9a 4a 36a Suy ra a
dCE AB  d A CEF  6 , ,  AH  . 7 6a
Vậy khoảng cách giữa A B  và CE là . 7 Câu 99. Chọn C
Ta có BC '/ / AD '  BC '/ /  ACD ' . Do đó
d BC ',CD '  d BC ', ACD '
d B, ACD '  d D, ACD '  h Vì D ,
A DC, DD ' đôi một vuông góc nên ta có 1 1 1 1 1 3 a 3       h  . 2 2 2 2 2 2 h DA DC DD ' h a 3 a 3
Vậy d BC ',CD '  . 3
GHI CHÚ : Ta chứng minh bài toán sau
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 70
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Cho tứ diện OABC có O ,
A OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O 1 1 1 1
trên mặt phẳng  ABC , ta có H là trực tâm tam giác ABC và    . 2 2 2 2 OH OA OB OC
Thật vậy, từ giả thiết ta có OA OB A
  OA  OBCOA OC Khi đó BC OA
  BC  OAH   BC AH   1 H BC OH C
Tương tự OB  OACO AC OB  Mà
  AC  OBH   AC BH 2 AC OH KB Từ  
1 và 2 suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.
Gọi K là giao điểm của AH và BC , ta suy ra BC OK (định lý ba đường vuông góc). 1 1 1
Xét trong tam giác vuông OBC có:   2 2 2 OK OB OC 1 1 1
Xét trong tam giác vuông OAK ta lại có:   2 2 2 OH OA OK 1 1 1 1 Từ đó suy ra    (Đpcm). 2 2 2 2 OH OA OB OC
Câu 100. Chọn D
Dựng hình bình hành DKCE , khi đó DE / /(SCK ) . 1
d (DE; SC)  d (DE; (SCK ))  d (D; (SCK ))  d ( ; A (SCK )) . 3
Kẻ AI CK CK  (SAI )  (SCK )  (SAI ) .
Kẻ AJ SI AJ  (SCK )  d ( ;
A (SCK )  AJ . 2 3a a 5 3a 5 Ta có S  , CK DE  , suy ra AI  . ACK  4 2 5
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 71
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 1 1 1 3a 38 1 a 38    AJ
d (D; (SCK ))  AJ  . 2 2 2 AJ SA AI 19 3 19
Câu 101. Chọn B S Từ B kẻ H K B A O x D C
Bx//AC AC// S , B Bx
Suy ra d AC, SB  d AC,SB, Bx  d  , A S , B Bx
Từ A kẻ AK Bx K Bx và AH SK AK Bx Do 
Bx  SAK   Bx AH SA Bx
Nên AH  SB, Bx  d  , A S ,
B Bx  AH Ta có B
KA đồng dạng với AB
C vì hai tam giác vuông có  
KBA BAC (so le trong AK AB . AB CB .2 a a 2 5a Suy ra   AK    . CB CA CA a 5 5 1 1 1 1 5 9 2a
Trong tam giác SAK có       AH  . 2 2 2 2 2 2 AH AS AK a 4a 4a 3 2a
Vậy d AC, SB  . . 3
Câu 102. Chọn A
* Gọi I là trung điểm của BC , do ABC là tam giác đều nên  AI BC
 SBC   ABCD   AI SI   ; ;  SIA  60 SI BC
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 72
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S H A D 60 O B I C
Do ABCD là hình thoi nên AC BD BD  SAC   SAC  là mặt phẳng chứa SC và  BD 1 1
d SC; BD  d  ;
O SC   d  ; A SC   AH 2 2 3 3a 3
Xét tam giác SAC vuông tại A ta có SA AI. tan 60  a 3. . 3 
; AC AB a 3 2 2 1 1 1 4 1 13 3a 3 3a 39       AH   2 2 2 2 2 2 AH AS AC 27a 3a 27a 13 13 1 3a 39
d SC; BD  AH  . 2 26
Câu 103. Chọn B
Gọi P là trung điểm của BC BD // NP BD //  MNP  1  d B ,
D MN   d B ,
D MNP  d D,MNP  d C,MNP  d  ,
A MNP . 3
Gọi I AC NP . Kẻ AH MI tại H . NP SA Ta có 
NP  SAC   NP AH . NP AC   AH MI
AH  MNP  d  ,
A MNP  AH . AH NP  2 2 Ta có 2 2 2
SA SC AC  10 5  10 2  300 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 73
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 1 1 1 1 1 4 16 20 30 Suy ra         AH  . 2 2 2 AH AM AI 2 2  SC   3AC  300 1800 900 2 5      2   4  1
Vậy d BD, MN   AH  5 . 3
Câu 104. Chọn A
Có (SAC)  (SBC)  S . C AB SH Từ giả thiết ta có 
AB  (SHC)  AB SC AB HC   AB SC
Hạ AI SC ta có 
SC  (AIB)  SC BI do đó góc gữa (SAC) và (SBC) là AIB hoặc SC AI  0 
180  AIB . Nhận thấy ABC là tam giác đều nên ABI không thể là tam giác đều. Vì thế  0 AIB  120 .  AB  (SHC)  AB HI Từ     d ( A ; B HC)  HI. SC  (AIB) SC HI   
Tam giác ABI cân tại I nên HI cũng là phân giác góc AIB , suy ra  0 AIH  60 . AH a a 3
Xét tam giác AIH vuông tại H có HI    . 0 tan 60 2 3 6
Câu 105. Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 74
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 A E M I C D J K N H B
Gọi H là tâm tam giác ABC khi đó AH   ABC . Có BN  2NC NH / /CD .
Gọi I là trung điểm CD , từ M kẻ đường thẳng / / CD cắt AI tại E.
Gọi K là trung điểm HI , J là hình chiếu của K lên HE .
Khi đó d MN,CD  d I, EMHN   2d K, EMHN   2KJ . 1 1 3 1 1 1 3 1 6 Ta có KH HI BI  ; 2 2 EK AH AI IH    2 6 12 2 2 2 4 12 6 1 1 1 144 1 6 6      6  54  KJ    d MN ,CD  . 2 2 2   KJ KH KE 3 54 18 9
Câu 106. Chọn B S E A M B 60o H F D N C
Dựng MN song song BC  d SM , BC  d BC,SMN   d C,SMN 
FC  2FH , HE  SMN   d C,SMN   2dH ,SMN   2HE a 3
HC a 3  HF  , SH a 3 3 1 1 1 3 1 10 30       HE
a d SM BC 30 ,  . a 2 2 2 2 2 2 HE HF HS a 3a 3a 10 5
Câu 107. Chọn D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 75
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Gọi H là trung điểm của AB thì SH   ABCD , Gọi F là trọng tâm tam giác (SAB), O là trung
điểm AC và I là đỉnh của hình chữ nhật OHFI thì OI là trục của đường tròn ABCD và FI là trục
của đường tròn (SAB) nên tâm của mặt cầu là I và bán kính của mặt cầu là IA.
Diện tích của mặt cầu là 2 4 R  84 nên 2 R  21. 2 2  x 3   x 2 
Đặt AB x  0 thì 2 2 2 2 2 2
R IA IO OA HF OA        21  x  6  6   2     
Kẻ hình bình hành BDAJ thì khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (JAS) và gấp hai lần khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (JAS).
Kẻ HK  JA ở K, kẻ HG vuông góc với SK ở G thì HG là khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng 3
(JAS). Tam giác AHK vuông cân ở H, AH=3 nên HK  . Có 2 1 1 1 2 1 7 3 21       HG  . 2 2 2 2 HG HK HS 9 27 7  6. 3    2   6 21
Vậy khoảng cách cần tính là . 7 Câu 108.
Gọi Q là trung điểm CD , ta có PQ //SC //MN nên có MN / /  APQ
d MN, PQ  d MN, APQ  d N, APQ ND HC
ND  SHC   ND SC ND PQ Vì ND SH
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 76
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 
     .
AQ ND   AD DQDC CN   0  AQ ND ND PQ  Vậy có
  ND   APQ tại E dNE ND AQMN ,AP  1 1 1 5 a mà có     DE  2 2 2 2 DE DA DQ a 5 a 5 3a 5 và DN   EN  2 10 3a 5
Vậy d MN , AP  . 10
Câu 109. Chọn D
Dựa vào định lý cosin ta dễ dàng tính được AB  11 3, BC  11, AC  11 2 . Khi đó ABC
vuông tại C. Do SA SB SC , nên hình chiếu của S xuống mặt phẳng  ABC  trùng với trung 11
điểm H của AB . Nên SH   ABCD . SH  . SA s inSAB  . 2
Kẻ HK CD, AP CD , tứ giác APKH là hình chữ nhật, 11 6  1 1 1  HK AP     . 2 2 2  3  AP AD AC
Trong tam giác vuông SHK , kẻ HI SK .
Do AB CD nên d AB, SD  d AB,SCD  d H ,SCD  HI . 1 1 1 Ta có,    HI  22 . 2 2 2 HI SH HK
Vậy d AB, SD  22 .
Câu 110. Chọn D
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 77
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
Theo giả thiết SA   ABCD  SA AC ; SA AC a 2 .
Gọi M là trung điểm của AD . Ta có: BM // CD CD //  SBM   d  ;
CD SB  d C ;
D SBM   d C;SBM    d  ;
A SBM   .
Theo giả thiết và theo cách dựng ta có ABCM là hình vuông cạnh a .
Gọi K AC BM AK BM BM  SAC  .
Dựng AH SB . Khi đó: d  ;
A SBM    AH
Xét tam giác SAC vuông tại A , đường cao AH có: 1 1 1 1 2 a 10      AH  . 2 2 2 2 2 AH SA AK 2a a 5
Câu 111. Chọn D A C H M O B N Ta có O
BC vuông cân tại O , M là trung điểm của BC OM BC OM / / BN
Dựng hình chữ nhật OMBN , ta có 
OM / /  ABN BN    ABN    d  ,
AB OM   d OM , ABN   d O, ABN 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AN ta có:
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 78
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 BN ON
BN  OAN   OH BN mà OH AN BN OA
OH   ABN   d O, ABN   OH
OAN vuông tại O , đường cao OH 1 1 1 1 1 1 4 1 4          2 2 2 OH OA ON 2 2 OA BM 2 2 OA BC 2 2 2 OA OB OC 1 4 3 2 2a a 6 a 6    2  OH   OH   d A ,
B OM   OH  2 2 2 2 a 4a  4a 2a 3 3 3
Câu 112. Chọn A Cách 1: B C O A D H K B' O' C' A' D'
Gọi O và O lần lượt là tâm các hình vuông ABCD và AB CD
  của hình lập phương ABC . D AB CD   cạnh a . B D
   AC Ta có:   B D
    AAC C   B D    AA  Mà A C    AA CC    A C   B D    1 
AB  AB  Ta lại có:
  AB   ABCD
AB  AD Mà A C    A B
CD  A C   AB  2 
Từ  1  và  2   A C    AB D  
Tương tự ta chứng minh được  AC   BDC   AB D
  //  BDC
Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và BC bằng khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song  AB D
  và  BDC
Giả sử AC OC ; AC AO  K
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 79
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 HC OC OC 1
Xét OHC ∽ C H
A  g g      A HA C   AC 2 HC HC 1 1 1     HC A CA CA H   HC 1 2 3 3 1
Tương tự ta có: A K   A C  3
Vậy Hai mặt phẳng  AB D
  và  BDC song song với nhau, vuông góc với đoạn AC và chia
AC thành 3 phần bằng nhau. Do đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng  AB D
  và  BDC bằng AC a 3  . 3 3 a 3
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và BC bằng . 3 Cách 2: B C D A B' H C' O A' D'
Ta có AD // BC  BC //  AB D  
d BC , AB  d BC , AB D
   d C , AB D
   d A , AB D  
Gọi AC  B D    O
AO B D   Ta có:   B D
    AAOAA  B D   
Kẻ AH AO và ta có  AA O    AB D
   AO nên ta có AH AO
d A , AB D    A HAA O
 vuông tại A có A H
là đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông nên ta có: 1 1 1 1 1 1 3 2 a a 3       2  AH   AH  2 2 2 A HAAA O  2 2 2 2 AH a  2 a a  3 3   2  
Câu 113. Chọn A
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 80
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 S M D C I K H O E F A B
Kẻ SH AD tại H , suy ra SH   ABCD , do SA SO HA HO nên H thuộc trung trực
AO . Góc giữa SD và  ABCD là góc  0 SDH  60 .  AO a 2a 3 Ta có 0
AO  2 AH.cos HAO  2 AH.cos 30  AH 3  AH    HD  3 3 3  SH  2a .
Lây M là trung điểm SD , kẻ MI / /SH I AD , kẻ IE AC, IK ME 3 3
Khi đó d AC, SB  d B,MAC   d D,MAC   d I,MAC   IK. 2 2 1 Ta có: MI SH a 2 a 0
IE  2HF  2.AF. tan 30  3 1 1 1 a 3 a 3a    IK   d SB, AC  .  . 2 2 2   IK IM IE 2 2 2 4
Câu 114. Chọn B S E A D H N O M B C
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD và MD .
HN CD SN CD ( do HN là hình chiếu của SN lên  ABCD ). 
SCD   ABCD  CD
Ta có HN CD
, suy ra góc giữa SCD và  ABCD là  0 SNH  45 . SN CD
Ta có AB / /CD AB / / SCD nên d A ,
B SC   d AB,SCD  d  ,
A SCD .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 81
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489
d H ,SCD CH 3 4 Mà    d  ,
A SCD  d H ,SCD . d  , A SCD CA 4 3   SHN    SCD Ta có 
. Kẻ HE SN HE  SCD . SHN
  SCD  SN
Suy ra d H , SCD  HE . HN CH 3 3 3 3a Ta có    HN AD  .2a AD CA 4 4 4 2 3a 1 1 1 4 4 8 3a 3a 2
Do đó SH HN  ,       HE   . 2 2 2 2 2 2 2 HE HS HN 9a 9a 9a 2 2 4 4
Vậy d AB, SC   d H ,SCD  a 2 . 3
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 82