Bài tập trắc nghiệm Toán 11 (HK2) – Huỳnh Chí Dũng

Tài liệu gồm 105 trang với:
+ Hệ thống bài tập đa dạng
+ Phân dạng rõ ràng
+ Hơn 700 câu trắc nghiệm

 

103 52 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 11

Môn: Toán 11

Thông tin:

105 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
QUẢ BẠN GẶT ĐƯỢC NGÀY MAI QUYẾT
ĐỊNH BỞI NHÂN BẠN GIEO HÔM NAY
Hệ thống bài tập đa dạng.
Phân dạng rõ ràng.
Hơn 700 câu trắc nghiệm.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 2
GIỚI HẠN - HÀM SỐ LIÊN TỤC
CHUYÊN ĐỀ .
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 3
I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
1
lim 0
n
n

;
1
lim 0 ( )
k
n
k
n


lim 0 ( 1)
n
n
qq


;
2. Định lí :
a) Nếu lim u
n
= a, lim v
n
= b thì
lim (u
n
+ v
n
) = a + b
lim (u
n
– v
n
) = a – b
lim (u
n
.v
n
) = a.b
(nếu b 0)
b) Nếu u
n
0, n và lim u
n
= a
thì a 0 và lim
n
ua
c) Nếu
nn
uv
,n và lim v
n
= 0
thì lim u
n
= 0
d) Nếu lim u
n
= a thì
lim
n
ua
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u
1
+ u
1
q + u
1
q
2
+ … =
1
1
u
q
1q
1. Giới hạn đặc biệt:
lim n
lim ( )
k
nk
lim ( 1)
n
qq
2. Định lí:
a) Nếu
lim
n
u 
thì
1
lim 0
n
u
b) Nếu lim u
n
= a, lim v
n
=  thì lim
n
n
u
v
= 0
c) Nếu lim u
n
= a 0, lim v
n
= 0
thì lim
n
n
u
v
=
.0
.0
n
n
neáu a v
neáu a v


d) Nếu lim u
n
= +, lim v
n
= a
thì lim(u
n
.v
n
) =
0
0
neáu a
neáu a


* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định:
0
0
,
, – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô
định.
LƯU Ý:
1. Định lí kẹp: Nếu
nn
uv
,n và lim v
n
= 0 thì lim u
n
= 0
2. Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của
tử và của mẫu.
Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng
dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
3. Một số tổng thường gặp
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 4
1
1
1 2 3 ... .
2
nn
Sn
2 2 2 2
2
1 2 1
1 2 3 ... .
6
n n n
Sn

2
2
3 3 3 3
3
1
1 2 3 ... .
4
nn
Sn
4
( 1)( 1)
1.2 2.3 3.4 ... 1 .
3
n n n
S n n

5
1 1 1
... .
1.2 2.3 ( 1) 1
n
S
n n n

2
6
1 3 5... 2 1 .S n n
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
DẠNG 1:
Giới hạn các giới hạn sau:
1)
2
2
23
lim
3 2 1
nn
nn


2)
32
21
lim
43
n
nn

3)
32
3
32
lim
4
n n n
n

4)
4
2
lim
( 1)(2 )( 1)
n
n n n
5)
13
lim
43
n
n
6)
1
4.3 7
lim
2.5 7
nn
nn
7)
12
46
lim
58
nn
nn

8)
2
2
4 1 2 1
lim
41
nn
n n n
9)
2
2
34
lim
2
nn
nn

10)
3
26
42
1
lim
1
nn
nn


DẠNG 2:
Giới hạn các giới hạn sau:
1)
2
lim 2 1n n n
2)
22
lim 2n n n
3)
3
3
lim 2 1n n n
4)
24
lim 1 3 1n n n
5)
22
lim 3 1n n n
6)
3
32
lim 3n n n
DẠNG 3: GIỚI HẠN DÃY SỐ
1)
1 1 1
lim ...
1.3 3.5 (2 1)(2 1)nn




2)
1 1 1
lim ...
1.3 2.4 ( 2)nn



3)
2 2 2
1 1 1
lim 1 1 ... 1
23 n
4)
2
2
1 2 2 ... 2
lim
1 3 3 ... 3
n
n
5)
1 1 1
lim ...
1 2 2 1 2 3 3 2 1 ( 1)n n n n



6) Cho dãy số (u
n
) được xác định bởi:
12
21
0; 1
2 , ( 1)
n n n
uu
u u u n


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 5
a) Chứng minh rằng: u
n+1
=
1
1
2
n
u
, n 1.
b) Đặt v
n
= u
n
–
2
3
. Giới hạn v
n
theo n. Từ đó tìm lim u
n
.
DẠNG 4: CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Giới hạn tổng các CSN sau:
1)
11
2 2 1 ...
2
2
2)
1 1 1
3 1 ...
3 9 27
3)
1 1 1 1 1
...
2 4 8 16 32
Viết các số sau dưới dạng phân số
1)1,(01). 2)2,(17). 3)3,020202020.. 4)4,115115115….
5)3,666666.. 6)1,(23). 7)2,(03). 8)4,(11).
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu [1] Giới hạn
21
lim
23
n
n
bằng:
A.
1.
B.
2
.
3
C.
1
.
2
D.
1
.
3
Câu [2] Giới hạn
2
2
2 3 1
lim
23
nn
nn


bằng:
A.
1.
B.
2
.
3
C.
2.
D.
.
Câu [3] Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A.
lim2 0.
n
B.
3
lim 0.
n



C.
2
lim 0.
3
n



D.
lim 0.
3
n



Câu [4] Giới hạn
3
2
1
lim
nn
n

bằng:
A.
0.
B.
2
.
3
C.
.
D.
1.
Câu [5] Giới hạn
3
23
21
lim
3 4 2
nn
nn


bằng:
A.
1
.
3
B.
2
.
3
C.
1
.
4
D.
1
.
2
Câu [6] Giới hạn
2
41
lim
6
n
nn
bằng:
A.
0.
B.
4.
C.
2
.
3
D.
1.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 6
Câu [7] Giới hạn
2
12
lim
32
n
n
bằng:
A.
.
B.
2
.
3
C.
1
.
2
D.
.
Câu [8] Giới hạn
23
lim
1
n
n
bằng:
A.
2.
B.
2.
C.
0.
D.
.
Câu [9] Giới hạn
2
1
lim
3 2 1
nn
nn


bằng:
A.
1
.
2
B.
1
.
3
C.
0.
D.
.
Câu [10] Giới hạn
3
3
2
.1
lim
2 1 1
n n n n
nn


bằng:
A.
.
B.
0.
C.
1
.
2
D.
1.
Câu [11] Với a là số thực dương. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng:
A.
lim 0 1.
n
aa
B.
lim 1.
n
aa
C.
lim 0 1.
n
aa
D.
lim 1.
n
aa
Câu [12] Giới hạn
22
lim 1 1n n n
bằng:
A.
.
B.
0.
C.
1
.
2
D.
1
.
2
Câu [13] Giới hạn
3
3
2
1
lim
1
nn
nn


bằng:
A.
.
B.
0.
C.
1
.
2
D.
1.
Câu [14] Giới hạn
23
lim
4
nn
n
bằng:
A.
.
B.
1
.
2
C.
0.
D.
3
.
4
Câu [15] Giới hạn
bằng:
A.
.
B.
0.
C.
2
.
3
D.
4
.
3
Câu [16] Giới hạn
11
2 2 4
34
lim
32
nn
nn


bằng:
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 7
A.
1
.
7
B.
4
.
9
C.
1
.
4
D.
13
.
75
Câu [17] Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A.
lim10 0
n
. B.
5
lim 0
4
n



C.
25
lim lim .
36
D.
13
lim lim .
32
Câu [18] Cấp số nhân lùi vô hạn
1
5, 5,1, ,...
5
Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây:
A.
. B.
15
.
5
S
C.
5
.
15
S
D.
15
.
5
S
Câu [19] Số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,0202020202…. chính xác bằng:
A. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn,
1
21
,.
100 100
uq
B. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn,
1
21
,,
100 100
uq
cộng thêm 1.
C. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn,
1
1
2, .
100
uq
D. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn,
1
1
2, ,
100
uq
cộng thêm 1.
Câu [20] Tổng S = 1 + 4 + 16 +…65536 bằng:
A.
21845.S
B.
65535.S
C.
262143.S
D.
87381.S
Câu [21] Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn -3; 0,3; -0,03; 0,003… là:
A.
10
.
3
S 
B.
30
.
11
S 
C.
10
.
3
S
D.
30
.
11
S
Câu [22] Giới hạn
1 1 1
lim ...
1.2 2.3 1nn



bằng:
A.
.
B.
0.
C.
1.
D.
2.
Câu [23] Giới hạn
2 2 2 2
1 3 5 2 1
lim ...
n
n n n n



bằng:
A.
.
B.
0.
C.
1.
D.
3.
Câu [24] Giới hạn
2 2 2
1 1 1
lim ...
12n n n n



bằng:
A.
.
B.
0.
C.
1.
D.
3.
Câu [25] Chọn câu đúng trong các câu sau:
A.
2
24
lim 0.
n
n
n
B.
2
24
lim .
n
n
n

Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 8
C.
2
24
lim 2.
n
n
n
D.
2
24
lim 2.
n
n
n
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 9
II. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
0
0
lim
xx
xx
;
0
lim
xx
cc
(c: hằng số)
2. Định lí:
a) Nếu
0
lim ( )
xx
f x L
và
0
lim ( )
xx
g x M
thì:
0
lim ( ) ( )
xx
f x g x L M
0
lim ( ) ( )
xx
f x g x L M
0
lim ( ). ( ) .
xx
f x g x L M
0
()
lim
()
xx
f x L
g x M
(nếu M 0)
b) Nếu f(x) 0 và
0
lim ( )
xx
f x L
thì L 0 và
0
lim ( )
xx
f x L
c) Nếu
0
lim ( )
xx
f x L
thì
0
lim ( )
xx
f x L
3. Giới hạn một bên:
0
lim ( )
xx
f x L
00
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L



1. Giới hạn đặc biệt:
lim
k
x
x


;
lim
k
x
neáu k chaün
x
neáu k leû



;
lim 0
k
x
c
x

0
1
lim
x
x

;
0
1
lim
x
x

00
11
lim lim
xx
xx



2. Định lí:
Nếu
0
lim ( )
xx
f x L
0 và
0
lim ( )
xx
gx

thì:
0
0
0
lim ( )
lim ( ) ( )
lim ( )
xx
xx
xx
neáu L vaø g x cuøngdaáu
f x g x
neáu L vaø g x traùi daáu


0
00
0
0 lim ( )
()
lim lim ( ) 0 . ( ) 0
()
lim ( ) 0 . ( ) 0
xx
x x x x
xx
neáu g x
fx
neáu g x vaø L g x
gx
neáu g x vaø L g x




* Khi Giới hạn giới hạn có một trong các dạng vô
định:
0
0
,
, – , 0. thì phải tìm cách khử dạng
vô định.
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
DẠNG 1: GIỚI HẠN KHÔNG VÔ ĐỊNH
1)
23
0
1
lim
1
x
x x x
x
2)
2
1
31
lim
1
x
xx
x


3)
2
sin
4
lim
x
x
x



4)
4
1
1
lim
3
x
x
xx


5)
2
2
1
lim
1
x
xx
x

6)
2
1
23
lim
1
x
xx
x

DẠNG 2: VÔ ĐỊNH DẠNG
0
0
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 10
1)
32
2
1
1
lim
32
x
x x x
xx

2)

4
32
1
1
lim
2
x
x
x x x
3)
5
3
1
1
lim
1
x
x
x

4)
32
42
3
5 3 9
lim
89
x
x x x
xx

5)
56
2
1
54
lim
(1 )
x
x x x
x

6)
1
1
lim
1
m
n
x
x
x
7)
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
lim
x
x x x
x
8)
2
1
...
lim
1
n
x
x x x n
x
9)
4
32
2
16
lim
2
x
x
xx

10)
2
2
4 1 3
lim
4
x
x
x

11)
3
3
1
1
lim .
4 4 2
x
x
x

12)
2
0
11
lim
x
x
x

13)
2
22
lim
73
x
x
x


14)
1
2 2 3 1
lim
1
x
xx
x
15)
2
02
11
lim
16 4
x
x
x


16)
3
0
11
lim
11
x
x
x


17)
2
3
32
lim
3
x
xx
xx


18)
0
9 16 7
lim
x
xx
x
19)
3
0
11
lim
x
xx
x
20)
3
2
2
8 11 7
lim
32
x
xx
xx

21)
3
0
2 1 8
lim
x
xx
x
DẠNG 3: VÔ ĐỊNH DẠNG
;.
0
1)
2
2
1
lim
21
x
x
xx


2)
2
21
lim
2
x
xx
x


3)
2
32
21
lim
32
x
x
xx


4)
2
2
2 3 4 1
lim
4 1 2
x
x x x
xx

5)
2
2
4 2 1 2
lim
9 3 2
x
x x x
x x x


6)
2
1
lim
1
x
xx
xx


DẠNG 4: VÔ ĐỊNH DẠNG
-
1)
2
lim
x
x x x





2)
2
lim 2 1 4 4 3
x
x x x




3)
3
23
lim 1 1
x
xx




4)
lim
x
x x x x




5)
33
lim 2 1 2 1
x
xx

6)
3
32
lim 3 1 2
x
xx

7)
3
1
13
lim
1
1
x
x
x



8)
22
2
11
lim
3 2 5 6
x
x x x x



Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 11
9)
x
xx
2
lim 1


10)
x
x x x
2
lim ( 1)

11)
x
xx
x
2
1
lim
52

12)
x
x x x
2
lim 3


13)
x
xx
x
5 3 1
lim
1


14)
x
x x x
xx
2
2
23
lim
4 1 2


15)
3
0
11
lim
x
xx
x
DẠNG 5: GIỚI HẠN MỘT BÊN
1)
2
15
lim
2
x
x
x
2)
2
15
lim
2
x
x
x
3)
2
3
1 3 2
lim
3
x
xx
x

4)
2
2
4
lim
2
x
x
x
5)
2
2
2
lim
2 5 2
x
x
xx

6)
2
2
2
lim
2 5 2
x
x
xx

7)
x
xx
x
2
2
2 3 2
lim
2


8)
x
x
xx
2
1
1
lim
34

9)
x
xx
x
3
1
3 4 1
lim
1


10) Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
a)
3
11
0
11
( ) 0
3
0
2
x
khi x
x
f x taïi x
khi x



b)
2
9
3
( ) 3
3
13
x
khi x
f x taïi x
x
x khi x


c)
2
3
4
2
2
8
( ) 2
16
2
2
xx
khi x
x
f x taïi x
x
khi x
x

d)
2
2
32
1
1
( ) 1
1
2
xx
khi x
x
f x taïi x
x
khi x



11) Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra::
a)
3
1
1
( ) 1
1
21
x
khi x
f x taïi x
x
mx khi x


b)
3
22
13
1
( ) 1
1
1
3 3 1
khi x
f x taïi x
x
x
m x mx khi x


c)
2
0
( ) 0
100 3
0
3
x m khi x
f x taïi x
xx
khi x
x



d)
2
31
( ) 1
31
x m khi x
f x taïi x
x x m khi x
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 12
Sử dụng đề sau cho câu [1], [2], [3]
Cho hàm số
2
2 1, 0
3 , 0
xx
fx
x x x


.
Câu [1] Giới hạn
0
lim
x
fx
bằng:
A.1 B.0 C.3 D.-3
Câu [2] Giới hạn
0
lim
x
fx
bằng:
A.1 B.0 C.3 D.-3
Câu [3] Giới hạn
0
lim
x
fx
bằng:
A.1 B.0 C.3 D.Không tồn tại.
Câu [4] Cho hàm số
21x
fx
x
. Giới hạn
1
2
lim
x
fx
bằng:
A.1 B.0 C.2 D.1/2
Câu [5] Cho hàm số
x
fx
x
. Giới hạn
0
lim
x
fx
bằng:
A.1 B.0 C.-1 D. Không tồn tại.
Câu [6] Cho hàm số
2
3 , 0
2, 0
x a x
fx
x a x

. Với giá trị nào của a thì hàm số có giới hạn khi x tiến đến 0:
A.1 B.0 C.2 D.3
Câu [7] Cho hàm số
2
3 , 0
2, 0
x a x
fx
x a x

. Với giá trị nào của a thì hàm số có giới hạn khi x tiến đến 0:
A.1 B.0 C.2 D.3
Câu [8] Giới hạn
2
2
2
3 2 1
lim
2
x
xx
x

bằng:
A.
3.
B.
3
.
2
C.
9
.
4
D.
.
Câu [9] Giới hạn
2
2
lim 2 2 1 3
x
x x x
bằng:
A.
.
B.
0.
C.
5.
D.
5 6.
Câu [10] Giới hạn
2
1
32
lim
1
x
xx
x

bằng:
A.
.
B.
1.
C.
1.
D.
3.
Câu [11] Giới hạn
2
3
9
lim
3
x
x
x
bằng:
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 13
A.
.
B.
6.
C.
1
.
3
D.
6.
Câu [12] Giới hạn
2
3
9
lim
3
x
x
x
bằng:
A.
.
B.
0.
C.
1.
D.
6.
Câu [13] Trong các câu sau, câu nào đúng
A.
1
12
lim
1
x
x
x

B.
1
12
lim
1
x
x
x

C.
1
12
lim
1
x
x
x

D.
1
12
lim
1
x
x
x

Câu [14] Giới hạn
2
32
1
65
lim
21
x
xx
xx



bằng:
A.
.
B.
4.
C.
1.
D.
0.
Câu [15] Giới hạn
2
1
1
lim
32
x
x
xx

bằng:
A.
1.
B.
.
C.
1
.
2
D.
.
Câu [16] Giới hạn
2
22
lim
22
x
x
x

bằng:
A.
2.
B.
1
.
2
C.
2.
D.
1
.
2
Câu [17] Giới hạn
2
2
22
lim
22

x
x
x
bằng:
A.
2.
B.
1
.
2
C.
2.
D.
1
.
2
Câu [18] Giới hạn
3
12
lim
63
x
x
x


bằng:
A.1. B.3/2. C.2/3. D.3.
Câu [19] Cho hàm số
1
.
1
x
fx
x
Trong các dãy số sau, dãy nào thỏa

lim 1
n
x
fx
:
A.



3
:.
2
n
nn
xx
B.



1
:.
4
n
nn
xx
C.
: 3 .
n
nn
xx
D.
:.
n
nn
x x n
Câu [20] Cho hàm số

2
21
1
xx
fx
x
, với dãy (x
n
) bất kì thỏa
lim 1
n
x
, thì

lim
n
n
fx
bằng:
A.2. B.3/2. C.3. D.
.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 14
III. HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x
0
0
0
lim ( ) ( )
xx
f x f x
Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
ta thực hiện các bước:
B1: Tính f(x
0
).
B2: Tính
0
lim ( )
xx
fx
(trong nhiều trường hợp ta cần tính
,
)
B3: So sánh
0
lim ( )
xx
fx
với f(x
0
) và rút ra kết luận.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a x b
f x f a f x f b



4. Hàm số đa thức liên tục trên R.
Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x
0
. Khi đó:
Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x
0
.
Hàm số y =
()
()
fx
gx
liên tục tại x
0
nếu g(x
0
) 0.
6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c (a; b): f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm
c (a; b).
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m =
;
min ( )
ab
fx
, M =
;
max ( )
ab
fx
. Khi đó với mọi T (m; M) luôn
tồn tại ít nhất một số c (a; b): f(c) = T.
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu [1] Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
a)
3
1
( ) 1
1
11
x
khi x
f x taïi x
x
khi x

b)
32
1
1
( ) 1
1
1
4
x
khi x
x
f x taïi x
khi x


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 15
c)
23
2
2 7 5
2
( ) 2
32
12
xxx
khi x
f x taïi x
xx
khi x


d)
2
5
5
( ) 5
2 1 3
( 5) 3 5
x
khi x
f x taïi x
x
x khi x


e)
1 cos 0
( ) 0
10
x khi x
f x taïi x
x khi x



f)
1
1
( ) 1
21
21
x
khi x
f x taïi x
x
x khi x



Câu [2] Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
a)
2
1
( ) 1
2 3 1
x khi x
f x taïi x
mx khi x


b)
32
22
1
( ) 1
1
31
x x x
khi x
f x taïi x
x
x m khi x


c)
2
0
6
( ) 0, 3 0 3
( 3)
3
m khi x
xx
f x khi x x taïi x vaø x
xx
n khi x

d)
2
2
2
( ) 2
2
2
xx
khi x
f x taïi x
x
m khi x


Câu [3] Xét Giới hạn liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a)
3
3
2
1
1
()
4
1
3
xx
khi x
x
fx
khi x



b)
2
3 4 2
( ) 5 2
2 1 2
x x khi x
f x khi x
x khi x


c)
2
4
2
()
2
42
x
khi x
fx
x
khi x

d)
2
2
2
()
2
2 2 2
x
khi x
fx
x
khi x
Câu [4] Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:
a)
2
2
2
()
2
2
xx
khi x
fx
x
m khi x

b)
2
1
( ) 2 1
11
x x khi x
f x khi x
mx khi x



c)
32
22
1
()
1
31
x x x
khi x
fx
x
x m khi x

d)
2
1
()
2 3 1
x khi x
fx
mx khi x

Câu [5] Xét Giới hạn liên tục của hàm số:
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 16
a)
x khi x
fx
xx
khi x
x
2
13
()
23
3
26


trên R b)
x
khi x
x
fx
khi x
2
1 cos
0
sin
()
1
0
4
tại x = 0
c)
x
khi x
fx
xx
khi x
2
12 6
2
()
7 10
22

trên R d)
x khi x
fx
x khi x
2
0
()
10

tại x = 0
Câu [6] Tìm a để hàm số liên tục trên R:
a)
2
32
2 1 1
()
22
1
1
a khi x
fx
x x x
khi x
x
b)
x
khi x
fx
x
x a khi x
2
1
1
()
1
1

c)
xx
khi x
fx
x
a khi x
2
2
2
()
2
2



d)
xx
khi x
fx
x
ax khi x
2
43
1
()
1
21


Câu [7] Chứng minh rằng phương trình:
a)
x x x
32
6 9 1 0
có 3 nghiệm phân biệt.
b)
m x x x
3 2 4
( 1) ( 4) 3 0
luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của m.
c)
m x x
2 4 3
( 1) – –1 0
luôn có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng
1; 2
với mọi m.
d)
x mx
32
10
luôn có 1 nghiệm dương.
e)
x x x
42
3 5 –6 0
có nghiệm trong khoảng (1; 2).
Câu [8] Cho m > 0 và a, b, c là 3 số thực thoả mãn:
a b c
m m m
0
21

. Chứng minh rằng phương trình:
f x ax bx c
2
( ) 0
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
HD: Xét 2 trường hợp c = 0; c 0. Với c 0 thì
mc
ff
m m m
2
1
(0). 0
2 ( 2)




Câu [9] Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a)
3
3 1 0xx
b)
32
6 9 1 0x x x
c)
3
2 6 1 3xx
Câu [10] Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:
a)
5
3 3 0xx
b)
5
10xx
c)
4 3 2
3 1 0x x x x
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 17
Câu [11] Chứng minh rằng phương trình:
53
5 4 1 0x x x
có 5 nghiệm trên (–2; 2).
Câu [12] Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
a)
3
( 1) ( 2) 2 3 0m x x x
b)
42
2 2 0x mx mx
c)
( )( ) ( )( ) ( )( ) 0a x b x c b x c x a c x a x b
d)
2 3 2
(1 )( 1) 3 0m x x x
e)
cos cos2 0x m x
f)
(2cos 2) 2sin5 1m x x
Câu [13] Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:
a)
2
0ax bx c
với 2a + 3b + 6c = 0 b)
2
0ax bx c
với a + 2b + 5c = 0
c)
32
0x ax bx c
Câu [14] Chứng minh rằng phương trình:
2
0ax bx c
luôn có nghiệm x
1
0;
3



với a 0, 2a+6b+19c=0.
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu [1] Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Hàm số
32
51y x x
liên tục trên
.
B. Hàm số
1
2yx
x
liên tục trên
;2 .
C. Hàm số
cosyx
liên tục trên
.
D. Hàm số
2
22y x x
liên tục trên
.
Câu [2] Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hàm số
1
24
x
y
x
liên tục trên
;2 2; .
B. Hàm số

2
tan 1yx
liên tục trên
.
C. Hàm số
24
1y x x
liên tục trên
.
D. Hàm số
2
cos
x
y
x
liên tục trên
.
Câu [3] Cho hàm số


2
,1
2 1, 1
x x x
y
mx
. Với giá trị nào của m thì hàm số trên liên tục trên :
A.0. B.1 hoặc 0. C.-1. D.-1/2.
Câu [4] Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Hàm số
2
1
x
y
x
liên tục trên
;1 va 1; .
B.Hàm số
3
siny x x
liên tục trên
.
C. Hàm số
2
2
x
y
x
liên tục trên
.
D.Hàm số
liên tục trên
1; .
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 18
Câu [5] Cho hàm số
21
3
x
y
x
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng:
A. Hàm số liên tục trên
;3 3; .
B.

2
lim .
3
x
y
C.

3
lim .
x
y
D.
3
lim 1.
x
y
Câu [6] Cho hàm số


2
,1
1
,1
21
x m x
y
x
x
x
. Với giá trị nào của m thì hàm số trên liên tục trên :
A.3. B.-2. C.1. D.-1.
Câu [7] Cho hàm số
x
y
x
. Nhận xét nào dưới đây là đúng:
A.
0
lim 0.
x
y
B.



00
lim lim 0.
xx
yy
C. Hàm số liên tục tại x = 0. D.
0
lim 0.
x
y
Câu [8] Cho hàm số

3
1
,2
5
2
,2
24
x
x
y
x
x
xx
. Nhận xét nào dưới đây là sai:
A. Hàm số liên tục trên
.
B.
2
1
lim .
10
x
y
C. Hàm số không xác định tại x = 0. D.
1
1.
5
f
Câu [9] Cho hàm số

2
5 3 1
x
y
xx
. Nhận xét nào dưới đây là sai:
A. Hàm số liên tục trên




1
;.
3
B. Hàm số liên tục tại x = 10.
C.

lim 0.
x
y
D. Hàm số liên tục tại x = 1.
Câu [10] Cho hàm số
2
1
y
x
. Nhận xét nào dưới đây là sai:
A. Hàm số nghịch biến trên
;1 , 1; .
B. Hàm số liên tục trên từng khoảng xác định.
C.



11
lim , lim .
xx
yy
D.Vì hàm số nghịch biến nên
0 2 ,f f x f
với mọi x
0;2 .
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 19
ĐỀ ÔN TẬP SỐ 1 – ÔN TẬP CHƯƠNG 4 ĐS
PHẦN 1: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
[1] Giới hạn

2
2
1
lim
21
n
nn
bằng:
A.
1
.
2
B.
0.
C.
.
D.1.
[2] Giới hạn
1
25
lim
15
nn
n
bằng:
A.2. B.5. C.
2
.
5
D.
.
[3] Giới hạn
2
lim n n n
bằng:
A.
0.
B.
1.
C.
.
D.
1
.
2
[4] Giới hạn
1 1 1
lim ...
1.2 2.3 ( 1)nn



bằng:
A.
5
.
4
B.
3
.
2
C.
1.
D.
4
.
3
[5] Giới hạn
3
2 3 2
lim 2 2n n n n
bằng:
A.0. B.
5
.
3
C.
1,67.
D.
.
[6] Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
o o o
x x x x x x
f x g x f x g x
. B.
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
o o o
x x x x x x
f x g x f x g x
.
C.
lim ( ) ( ) lim[ ( ) ( )]
oo
x x x x
f x g x f x g x

. D.
lim ( ) ( ) lim[ ( ) ( )]
oo
x x x x
f x g x f x g x

.
[7] Giới hạn
x
xx
xx
3
5
1
21
lim
21


bằng:
A.0. B.2. C.1. D.
.
[8] Giới hạn
x
x
xx
2
2
2
lim
2 5 2


bằng:
A.
1
.
2
B.
0.
C.
.
D.
1
.
3
[9] Giới hạn
3
32
2
1
57
lim
1
x
xx
x
bằng:
A.
11
.
24
B.
5.
C.
7
.
16
D.
.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 20
[10] Giới hạn
x
xx
xx
3
4
1
32
lim
43


bằng:
A.
.
B.
1
.
2
C.
1.
D.
2
.
3
[11] Giới hạn


x
xx
x
2
3
2 5 3
lim
3
bằng:
A.
0.
B.
2.
C.
.
D.
.
[12] Giới hạn

22
lim 1
x
x x x
bằng:
A.
1
.
2
B.
.
C.
0.
D.
1
.
2
[13] Giới hạn
x
xx
x
33
0
11
lim
bằng:
A.
.
B.
1
.
2
C.
3
.
4
D.
2
.
3
[14] Giới hạn
x
x x x
x x x x
32
4 3 2
2 3 4 1
lim
5 2 3

bằng:
A.0. B.2. C.
.
D.
.
[15] Trong các giới hạn sau, giới hạn nào không tồn tại:
A.
1
1
lim .
2
x
x
x
B.
1
1
lim .
2
x
x
x
C.
1
1
lim .
2


x
x
x
D.
1
1
lim .
2

x
x
x
[16] Giới hạn

x
x
xx
2
lim
11
bằng:
A.
1.
B.
1.
C.
1
.
2
D.
1
.
2
[17] Cho hàm số
fx
x
2
3
. Chọn kết quả đúng:
A. Hàm số liên tục tại mọi
x 3
. B.

x
fxlim 0
C.

x
fxlim 0
D.

x
fx
3
lim .
[18] Cho hàm số

fx
xx
2
1
23
. Chọn kết quả sai:
A.



xx
f x f x
31
lim lim .
B.

x
fxlim 0.
C. Hàm số liên tục tại mọi
xx3, 1
. D.


xx
f x f x
31
lim lim .
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 21
[19] Cho hàm số

xx
x
fx
x
ax x
2
3
,3
3
1, 3
. Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên :
A.0. B.-1. C.-1/3. D.3.
[20] Cho hàm số


ax x
fx
x x x
2
2, 1
3 , 1
. Kết quả nào sau đây là sai:
A. Hàm số liên tục với mọi
x ;1 .
B. Hàm số liên tục với mọi

x 1; .
C. Tập xác định của hàm số là:
D .
D. Hàm số liên tục tại x = 1 khi a = -4.
[21] Cho hàm số
fx
x
1
5
. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A.


xx
f x f x
55
lim lim .
B.
x
fx
6
lim 1.
C.

x
fxlim 0.
D.
x
f x f
6
lim 6 .
[22] Cho hàm số
x
fx
x
2
2
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Vì


xx
f x f x
00
lim lim
nên f(x) liên tục tại x = 0.
B. Vì

x
f x x
x
2
2
2
, nên f(x) là hàm đồng biến trên , do đó
ff
100000000 1000000000
10 10
.
C. Với x < 0,
x
f x x
x
2
2
20
, nên hàm số nghịch biến trên
;0
, do đó
ff
10 9
10 10
10 10
.
D. Với x > 0,

x
f x x
x
2
2
2
, nên hàm số đồng biến trên
0;
, do đó
ff
10 9
10 10
10 10
.
[23] Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
1 1 1
5 ...
5 25 125
bằng:
A.
25
.
4
B.
6.
C.
4.
D.
25
.
6
[24] Cho 3 số hạng đầu của một CSN lùi vô hạn là
1, x 2, 2 3x.
Tổng của CSN lùi vô hạn này là:
A.
2.
B.
1
.
3
C.
2 2.
D.
12
[25] Cho phương trình
42
2x 5x x 1 0.
Khẳng định nào đúng:
A. Phương trình không có nghiệm trong khoảng (-1;1).
B. Phương trình không có nghiệm trong khoảng (-2;0).
C. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng (-2;1).
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 22
D. Phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0;2).
PHẦN 2: BÀI TẬP TỰ LUẬN
1.Tính các giới hạn sau: a)
2
2
1
3
lim
45
x
xx
xx


b)
3
2
2 3 2
lim
2
x
xx
x
2. Cho hàm số
3
2
13
,1
()
11
2 2, 1
x
fx
xx
m m x


. Tìm m để hàm số liên tục trên R.
3. Viết số sau dưới dạng phân số: 1,123123123123.....
4. CMR ptr sau luôn có nghiệm với mọi m:
cos 1 2 cos 3sin2x m x m m x
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 23
ĐỀ ÔN TẬP SỐ 2 – ÔN TẬP CHƯƠNG 4 ĐS
PHẦN 1: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
[1]

42
23
23
lim
2 3 1
nn
nn
bằng:
A.
2
.
3
B.
0.
C.
.
D. -1.
[2]
1 2.3 7
lim
5 2.7
nn
nn

bằng:
A.
0.
B.
.
C.
1
.
5
D.
1
.
2
[3] Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
3 3 3
lim ( ) ( ) lim[ ( ) ( )]

oo
x x x x
f x g x f x f x
. B.
3
33
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
o o o
x x x x x x
f x g x f x g x
.
C.
3
3
lim ( ) ( ) lim[ ( ) ( )]

oo
x x x x
f x g x f x g x
. D.
3 3 3
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
o o o
x x x x x x
f x g x f x g x
.
[4]

x
x
xx
2
2
1
2
81
lim
6 5 1
bằng:
A.
.
B.
.
C.
1
.
5
D.
4
.
3
[5]
x
x
x
1
2 7 3
lim
32


bằng:
A.
3
.
2
B.
2
.
3
C.
4
.
3
D.
.
[6] Giới hạn
10
lim
2

x
xxx
x
bằng :
A. 2. B.-2. C.-∞. D.+∞.
[7]
22
1
lim
24nn
bằng:
A.
.
B.0. C.
1
.
2
D.
.
[8]
n
n
2
1 2 3 ...
lim
3
bằng:
A.
1
.
6
B.
1
.
3
C.0. D.
1
.
2
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 24
[9] Tính
1
83
lim
2
x
x
x

bằng phương pháp nào là ngắn và đúng nhất:
A. Nhân cả tử và mẫu với
83x
. B. Thay x = 1 vào.
C. Chia cả tử và mẫu cho x. D. Chia cả tử và mẫu cho
.x
[10]
3
0
1 4 1 6
lim
x
xx
x
bằng:
A.2. B.4. C.0. D.1.
[11]

25
lim
21
x
x
x
bằng:
A.
.
B.
5
.
2
C.
5
.
2
D.1.
[12]


x
x
x
2
8 2 2
lim
2
bằng:
A.0. B.
3 1.
C.
3 1.
D.
.
[13]
x
x x x
2
lim 2


bằng:
A.
.
B.0. C.-1. D.
.
[14]
x
x
x
2
2
lim
37

bằng:
A.1. B.0. C.6. D.-6.
[15]
x
x
x
4
1 2 3
lim
2

bằng:
A.
3
.
2
B.
4
.
3
C.
2
.
3
D.
1
.
3
[16]
x
x
x
3
2
2
0
11
lim

bằng:
A.
1
.
3
B.
1.
C.
1
.
2
D.-1.
[17] Cho hàm số

2
4f x x
. Chọn câu sai trong các câu dưới đây:
A. Hàm số liên tục trên
2;2 .
B. Hàm số liên tục tại
1.x
C. Hàm số liên tục tại
2.x
D.
0, 2;2f x x
và hàm số liên tục trên
2;2
nên phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc
2;2 .
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 25
[18] Một CSN lùi vô hạn có tổng là
4S
và số hạng đầu
1
2.u
CSN đó có công bội là:
A.
3
.
4
B.
1
.
2
C.
3
.
4
D.
1
.
2
[19] Tổng
2 3 4
1 1 1 1
1 ...
10
10 10 10
S
bằng:
A.
9
.
10
B.
10
.
9
C.
10
.
11
D.
11
.
10
[20] Cho hàm số
13
x
fx
xx
. Chọn câu sai:
A. Hàm số không liên tục tại x = 1 và x = 3. B. Hàm số liên tục tại x = 2.
C. Hàm số liên tục trên
;1
và
1;3 .
D. Vì
1 10 1
, 2 2 . 2 0
2 5 2
f f f f
nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc



1
;2 .
2
[21] Cho hàm số
2
2
, 0
1 1, 0
xx
x
fx
x
a x x
. Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên :
A.2. B.1. C.3. D.-1.
[22] Cho hàm số

2
2
1, 0
1, 0
x x x
fx
ax x
. Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên :
A.-1. B.1. C.2. D. .
[23] Cho hàm số
2
31
x
fx
x
. Câu nào dưới đây là sai:
A.


1
3
lim .
x
fx
B.


1
3
lim .
x
fx
C.

2
lim .
3
x
fx
D.


1
lim .
3
x
fx
[24] Xét phương trình
cos 0 1xx
. Phát biểu nào dưới đây là sai:
A.Vì
0,7 . 0,8 0ff
nên phương trình (1) có 1 nghiệm thuộc
0,7;0,8 .
B.
cosf x x x
là hàm liên tục trên . C. Phương trình (1) có nghiệm.
D. Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc
0; .
[25] Vào khoảng thế kỷ thứ 6, Ấn Độ là một quốc gia rộng lớn và phát triển, có nền Toán học rất phát triển. Các
nhà thông thái Ấn Độ đã phát minh ra một trò chơi gọi là “Saturanga” ( ngày nay được biết đến với tên gọi Cờ
vua). Người phát minh ra Saturanga muốn được ban thưởng bằng cách “ ô thứ 1 đặt 1 hạt thóc, ô thứ 2 đặt 2 hạt,
ô thứ 3 đặt 6 hạt, cứ thế nhân đôi lên đến ô 64”. Nếu ban thưởng theo cách đó thì phải trả hết tất cả bao nhiêu hạt
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 26
thóc:
A.
64
2.
B.
64
2 1.
C.
63
2.
D.
63
2 1.
PHẦN 2: BÀI TẬP TỰ LUẬN
1. Tính các giới hạn sau: a)





2
lim 3 .
x
x x x
b)
3
0
1 3 1
lim .
x
xx
x
2. Cho hàm số


7 10 2
,2
2
3 , 2
x
x
fx
x
mx x
. Với giá trị nào của m thì hàm số liên tục tại x = 2.
3. Viết số 3,3131313131… dưới dạng phân số.
4. CMR phương trình
4 2016 5
1 32 0m m x x
luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi tham số m.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 27
ĐỀ ÔN TẬP SỐ 3 – ÔN TẬP CHƯƠNG 4 ĐS
PHẦN 1: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
[1] Giới hạn
1
1 2.3 6
lim
2 (3 5)
nn
nn

bằng:
A.
1
.
3
B.
1
.
6
C.
1.
D.
3.
[2] Giới hạn

2
2
4 1 3
lim
41
nn
n n n
bằng:
A.
3.
B.
7
.
2
C.
2.
D.
5
.
2
[3] Giới hạn
22
2
4 4 1
lim
31
n n n
nn

bằng:
A.
1.
B.
1
.
2
C.
1
.
31
D.
3
.
31
[4] Giới hạn
2
22
3
1 3 5 ... 2 1
lim
3
n
nn
bằng:
A.
4.
B.
4
.
3
C.
1
.
3
D.
4
.
5
[5] Giới hạn
3
2
2
3 4 3 2
lim
1
x
xx
x
bằng:
A.0. B.1. C.2. D.3.
[6] Giới hạn
x
x x x
xx
32
2
3
4 4 3
lim
3
bằng:
A.
13
.
3
B.
7.
C.
7
.
3
D.
13.
[7] Giới hạn
x
x x x
x x x
4 3 2
4 3 2
1
2 5 3 1
lim
3 8 6 1
bằng:
A.
.
B.
3
.
4
C.
2
.
3
D.
9
.
8
[8] Giới hạn
xx
x
x
112
1
lim
1
bằng :
A. 1. B. -1. C. -
1
.
2
D.
1
.
2
[9] Giới hạn
x
xx
xx
0
lim
bằng:
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 28
A.
1.
B.
1.
C.
2.
D.
2.
[10] Giới hạn






x
x
x
xx
2
2
lim 2
21
bằng:
A.
2
.
3
B.
2
.
3
C.
6
.
3
D.
6
.
3
[11] Giới hạn
x
xx
xx
23
32
(2 3) (4 7)
lim
(3 1)(10 9)



bằng:
A.
4
.
3
B.
4
.
15
C.
128
.
15
D.
64
.
3
[12] Giới hạn


x
x x x
x x x
43
3 4 2
2
lim
3 2 7
bằng:
A.
2
.
3
B.
2
.
3
C.
2.
D.
6
.
3
[13] Giới hạn
x
x
x
3
2
42
lim
2
bằng:
A.
1.
B.
1
.
3
C.
2.
D.
3
4.
[14] Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?
A.
1
n n 1
. B.
2
1
n1
. C.
2n 1
n
. D.
n
1
3



.
[15] Cho hàm số
2
x2
fx
2x 3x 1

. Kết quả nào sau đây là sai:
A. TXĐ của hàm số là
1
\ 1; .
2



B.
x1
lim f x .

C.
1
x
2
lim f x .

D.
1
x
2
5
lim f x .
6

[16] Cho phương trình
4
x x 3.
Phương trình này có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng nào dưới đây:
A.
0;1 .
B.
1;0 .
C.
1;2 .
D.
2;3 .
[17] Cho hàm số
2
x9
,x 3
f x .
x3
2x ,x 3


Khẳng định nào dưới đây là sai:
A.Hàm số liên tục trên . B.
x 3 x 3
lim f x lim f x .


Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 29
C.
x
lim f x .


D.
x3
lim f x 6.

[18] Cho hàm số
2 x 1
,x 1
fx
x1
a x ,x 1


. Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên ?
A.
3
.
2
B.
1
.
2
C.
1
.
2
D.
5
.
2
[19] Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Hàm số
2
1
y
x x 1

liên tục tại mọi x thuộc
.
B. Hàm số
3
1
y
x1
liên tục tại mọi x khác -1.
C. Hàm số
x
y
2x
liên tục tại mọi x khác 2.
D. Hàm số
2
y 2 x 1 x
liên tục tại mọi x thuộc
.
[20] Cho hàm số
2
2 x 3
x1
x1
y f x
1
khi x 1
8


khi
. Khi đó
x1
limf x
bằng
A.
1
.
8
B.
1
.
8
C. 0. D.
.
[21] Giới hạn
x3
| x 3|
lim
3x 6
bằng
A.
1
.
2
B.
1
.
6
C. 0. D.
.
[22] Giới hạn
3
2
x2
x 2x 3
lim
x 2x


bằng
A.
7
.
8
B.
1
.
8
C.
9
.
8
D.
.
[23] Chùa Bái Đính ở Ninh Bình là ngôi chùa lớn nhất Việt Nam nắm giữ nhiều kỉ lục
Việt Nam, Đông Nam Á, Châu Á. Chùa được khởi công xây dựng năm 2003 với tổng
diện tích hơn 80ha. Nơi đây có bảo tháp cao 14 tầng lưu giữa Xá lợi Phật được đưa về từ
Ấn Độ. Nếu diện tích mặt sàn là 300m
2
. Diện tích tầng trên bằng nửa diện tích tầng dưới,
và lát gạch bằng đá hoa kích thước 30 x 30cm thì cần tối thiểu bao nhiêu viên gạch để có
thể xây xong bảo tháp?
A. 6667 viên gạch. B.46667 viên gạch. C.3334 viên gạch. D.9997 viên gạch.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 30
[24] Biết
n
limu 2
. Giới hạn
n
2
nn
u2
lim
u 3u 2




bằng:
A.0. B.1. C.2. D.3.
[25] Cho phương trình
32
3 2 1 1 0mx x m x
(1). Nhận xét nào dưới đây là đúng.
A. Ptr (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt thuộc (-1;3).
B. Ptr (1) luôn có ít nhất một nghiệm thuộc (3;5).
C. Ptr (1) luôn có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-1;3).
D. Ptr (1) luôn có 3 nghiệm phân biệt thuộc (3;5).
PHẦN 2: BÀI TẬP TỰ LUẬN
1. Tính các giới hạn sau: a)
nn
nn1
( 1) 4.3
lim
( 1) 2.3


b)
3
0
1 2 . 1 4 1
lim
x
xx
x
2. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi công thức:

1
1
1
32
1, *
2
n
n
n
u
u
nn
u
u
. Tính
lim
n
u
?
3. CMR phương trình
5
5 1 0xx
có ít nhất 3 nghiệm.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 31
ĐỀ ÔN TẬP SỐ 4 – ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA KÌ 2
PHẦN 1. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
[1] Giới hạn

2
2
2
lim
3 2 1
nn
nn
bằng bao nhiêu?
A.
0.
B.
1
.
2
C.
1
.
3
D.
.
[2] Giới hạn
51
52
23
lim
31
n
n
bằng bao nhiêu?
A.
0.
B.
2
.
3
C.
32
.
243
D.
3.
[3] Giới hạn
2
x
x1
lim
x1

bằng bao nhiêu?
A. 1. B.-1. C. 0. D. -∞.
[4] Giới hạn
24
lim 1 n n n
bằng bao nhiêu?
A.
0.
B.
1.
C.
.
D.
1.
[5] Giới hạn

x
x
x
0
11
lim
bằng bao nhiêu?
A.
0.
B.
1.
C.
1
.
2
D.
1
.
2
[6] Giới hạn
3
2
2
8 11 7
lim
2 5 2
x
xx
xx

bằng bao nhiêu?
A.
7
.
162
B.
13
.
54
C.
19
.
54
D.
25
.
162
[7] Trong các phương pháp tìm giới hạn
xx
lim f x lim ( 1 x x)
 
dưới đây, phương pháp nào là
phương pháp thích hợp?
A. Nhân với biểu thức liên hợp
( 1 x x)
. B. Chia cho
2
x.
C. Chia cho x. D.
x1
x limf x 0.
x



Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 32
[8] Giới hạn


2
2
23
lim
4 1 2
x
x x x
xx
bằng bao nhiêu?
A.
2
.
3
B.
2
.
3
C.
4.
D.
3
.
2
[9] Giới hạn


x
x
xx
2
1
83
lim
23
bằng bao nhiêu?
A.
1
.
24
B.
1
.
12
C.
1
.
18
D.
37
.
4
[10] Cho hàm số
cos x
fx
x
. Kết quả nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số xác định trên
.
B.
2 . 0 0ff

nên phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc
2 ,0 .
C. Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc
0,2 .
D.
lim .
x
fx

[11] Cho hàm số
2
cos , 1
.
1, 1
xx
fx
ax

Với giá trị thực nào của a thì hàm số liên tục tại x = 1?
A.Không có giá trị thực của a thỏa đề. B.-1. C.0. D.
2.
[12] Một lọ thủy tinh dung tích 1000 ml chứa đầy 1 loại dung
dịch chất độc nồng độ 10 % đã được chuyển sang bình chứa khác;
nhưng dung dịch độc hại sau khi đổ hết vẫn còn dính lọ 0,1 % .
Người ta dùng nước cất xúc rửa lọ thủy tinh này. Giả sử rằng mỗi
lấn xúc rửa, chất độc hòa tan hết trong nước và sau khi đổ đi dung
dịch mới cũng vẫn còn dính lọ một lượng như nhau.
Phải xúc rửa tối thiểu bao nhiêu lần để chất độc còn trong lọ 0,001 g nếu mỗi lần dùng 1000 ml nước cất ?
A. 2 lần. B. 3 lần. C. 4 lần. D. 5 lần.
[13] Khẳng định nào sai
A. Mỗi cấp số nhân với công bội q > 1 là một dãy số tăng.
B. Mỗi cấp số nhân với công bội q > 1 là một dãy số bị chặn dưới.
C. Dãy số mà mọi số hạng đều bằng nhau là 1 cấp số nhân.
D. Một cấp số nhân mà mọi số hạng đều âm thì có công bội q < 0.
[14] Cấp số nhân
1 3;2
11
nuuu
nn
có tổng của 10 số hạng đầu tiên là:
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 33
A.
10
10
31
2
S
. B.
9
10
31
2
S
. C.
10
10
31S 
. D.
.
[15] Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A,B,C,D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A,B,C,D
tạo thành hình hình hành là:
A.
0.OA OB OC OD
B.
.OA OC OB OD
C.
11
.
22
OA OB OC OD
D.
11
.
22
OA OC OB OD
[16] Cho tứ diện A.BCD, G là trọng tâm
BCD
. Đặt
, , .AB x AC y AD z
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
1
.
3
AG x y z
B.
1
.
3
AG x y z
C.
2
.
3
AG x y z
D.
2
.
3
AG x y z
[17] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. M là điểm xác định bởi
1
2
OM AB BC
. Khẳng định nào
dưới đây là đúng?
A. M là trung điểm BB’.
B. M là đỉnh thứ tư của hình thang OMAC, đáy
1
.
2
OM AC
C. M là trung điểm AA’.
D. M là trung điểm DD’.
[18] Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu a và b đồng phẳng và cùng vuông góc với c thì a //b.
B. Nếu a//b và
ac
thì
.cb
C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a //b.
D. Nếu a và b cùng nằm trong mp chứa a và song song c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c.
[19] Cho tứ diện A.BCD có AB = CD = a, IJ =
3
2
a
(I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa
AB và CD là:
A. 30
0
. B. 45
0
. C. 60
0
. D. 90
0
.
[20] Xét bài toán “Cho tứ diện A.BCD. CMR nếu
. . .AB AC AC AD AD AB
thì
,AB CD AC BD
và
AD BC
. Điều ngược lại đúng không?”
Một học sinh giải bài toán trên như sau:
Bước 1:
. . . 0 . 0 .AB AC AC AD AC AB AD AC DB AC BD
Bước 2: Chứng minh tương tự ta được
AB CD
và
AD BC
.
Bước 3: Khẳng định ngược lại cũng đúng vì các bước chứng minh là tương đương nhau.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 34
Bài giải trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước thứ mấy?
A.Đúng. B.Sai, bước 1. C.Sai, bước 2. D.Sai, bước 3.
[21] Qua điểm O cho trước, xác định được bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d cho trước?
A.0. B.1. C.2. D.Vô số.
[22] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA= SC và SB = SD. Khẳng định nào sau
đây là sai?
A.
.SO ABCD
B.
.CO SBD
C.
.BO SAC
D.
.DO SAB
[23] Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và
ABC
vuông tại B. Vẽ
,.SH mp ABC H ABC
Khẳng
định nào dưới đây là đúng?
A. H trùng với trọng tâm
ABC
. B. H trùng với trực tâm
ABC
.
C. H trùng với trung điểm AC. D. H trùng với trung điểm của BC.
[24] Cho tứ diện A.BCD có BA,BC,BD bằng nhau và vuông góc nhau đôi một. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Góc giữa AC và (BCD) là góc 
. B. Góc giữa AD và (ABC) là góc 
.
C. Góc giữa AC và (ABD) là góc 
. D. Góc giữa CD và (ABD) là góc 
.
[25] Cho
ABC
vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A và vuông góc (ABC) lấy điểm S sao cho
6
.
2
a
SA
Số đo góc giữa SC và (ABC) bằng:
A.30
0
. B.45
0
. C.60
0
. D.90
0
.
PHẦN 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN
1. Viết số 2,15151515… dưới dạng phân số.
2. Cho hàm số
3
2
13
,1
()
11
2 2, 1
x
fx
xx
m m x


. Tìm m để hàm số liên tục trên R.
3. Cho tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Trên đường thẳng vuông góc với
(ABCD) lấy điểm S sao cho BA = 2SA = 2CD = 2AD = 2a.
a) CMR:
()AB SAD
b) CMR:
BC SC
c) Tính góc đường SC và mặt phẳng (SAD).
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 35
ĐỀ ÔN TẬP SỐ 5 – ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA KÌ 2
PHẦN 1. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
[1] Giới hạn
(2 1)( 3)
lim
( 1)( 2)
n n n
nn


bằng bao nhiêu?
A.
0.
B.
3
.
2
C.
2.
D.
.
[2] Giới hạn
2
2
4 1 2 1
lim
41
nn
n n n
bằng bao nhiêu?
A.
2.
B.
2.
C.
1
.
2
D.
1
.
2
[3] Giới hạn
x
x
x
2
02
11
lim
4 16


bằng bao nhiêu?
A.
4.
B.
1
.
4
C.
1.
D.
4.
[4] Giới hạn
x
x
x
2
2
1
( 2) 1
lim
1


bằng bao nhiêu?
A.
0.
B.
1.
C.
1.
D.
2.
[5] Cho dãy số (u
n
) được xác định bởi:
1
1
1
1
( 1)
2
nn
n
u
u u n
. Tính lim u
n
A.
2.
B.
1.
C.
3.
D.
4.
[6] Giới hạn
x
x
x
3
34
lim
3
bằng bao nhiêu?
A.
.
B.
1.
C.
3.
D.
.
[7] Cho hàm số:
2
1
, 1
1
2 2, 1
x
x
fx
x
xx

. Nhận xét nào dưới đây là sai?
A. Hàm số xác định trên
.
C.
1
lim 0.
x
fx
B. Hàm số liên tục trên
.
D.
1
lim .
x
fx

Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 36
[8] Giới hạn
2
2
(2 1) 3
lim
5
x
xx
xx


bằng bao nhiêu?
A.
2.
B.
2
.
5
C.
2.
D.
2
.
5
[9] Giới hạn
x
xx
xx
2
2
3
56
lim
8 15


bằng bao nhiêu?
A.
1.
B.
1
.
2
C.
1.
D.
1
.
2
[10] Giới hạn
x
xx
x
2
2
2
2 5 2
lim
( 2)

bằng bao nhiêu?
A.
.
B.
5
.
4
C.
5
.
4
D.
.
[11] Cho hàm số y = f(x) = x
4
+ x
2
– 3. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số f(x) liên tục trên
.
B. Phương trình x
4
+ x
2
– 3 = 0 có tối đa 4 nghiệm trong
.
C. Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1,2).
D. Vì f(-3).f(3) > 0 nên phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thực trong khoảng (-3,3).
[12] Tìm u
1
và q của cấp số nhân biết
02
08
32
41
uu
uu
và
nu
n
0
A. u
1
= -4; d = 2. B. u
1
= - 2; d = 4. C. u
1
= 2; d = -4. D. u
1
= 4; d = -2.
[13] Với giá trị nào của x thì 3 số x – 1; x + 2; 3x tạo thành một CSN:
A.3. B.4. C.5. D.6.
[14] Một khách hàng có 100 triệu VNĐ muốn gửi ngân hàng, lãi suất ngân hàng được tính 12% một năm. Lãi
sẽ được cộng dồn vào vốn nếu anh ta không rút lãi trong một năm gửi (cách tính này gọi là cách tính lãi kép).
Với cách tính lãi như trên sau bao lâu anh ta có được cả số tiền cả vốn lẫn lãi gấp đôi số tiền ban đầu ( làm tròn
thành năm) ?
A.3 năm. B.6 năm. C.9 năm. D.12 năm.
[15] Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, M là trung điểm BB’. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
1
'.
2
AM CB AA CA
B.
1
'.
2
AM CA AA CB
C.
1
'.
2
AM CA AA CB
D.
1
'.
2
AM CB CA AA
[16] Khẳng định nào sau đây là sai?
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 37
A. Nếu đường thẳng d vuông góc mp (P) thì d vuông góc với mọi đường thẳng trong mp (P).
B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mp (P) thì
.d mp P
C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mp (P) thì d vuông góc với bất kì
đường thẳng nào nằm trong mp (P).
D. Nếu
d mp P
và d’ //mp(P) thì
'.dd
[17] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
A.
' ' .A C BD
B.
C.
' ' .A B C D
D.
' ' .C B A D
[18] Cho tứ diện A.BCD, có AB = CD. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm AC,BC,BD,AD. Góc giữa (IE,JF)
bằng:
A.30
0
. B.45
0
. C.60
0
. D.90
0
.
[19] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Kết quả nào dưới đây là
đúng?
A.
1
' ' ' ' .
4
OI AC CA BD DB
B.
1
' ' ' ' .
8
OI AC CA BD DB
C.
1
' ' ' ' .
8
OI AC CA BD DB
D.
1
' ' ' ' .
4
OI AC CA BD DB
[20] Cho hình chóp S.ABC có SA,SB,SC đôi một vuông góc nhau và SA = SB =SC. Gọi O là hình chiếu vuông
góc của S lên mp(ABC). Khẳng định nào sau đây là sai?
A.O là trọng tâm
ABC
. B. O là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
.
C. O là trực tâm
ABC
. D. Cả 3 câu trên đều sai.
[21] Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mp(ABC),
ABC
vuông ở B. AH là đường cao của
SAB
. Khẳng
định nào sau đây là sai?
A.
.SA BC
B.
C.
.AH AC
D.
.AH SC
[22] Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc (ABCD) và đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi O là trọng tâm của
tam giác ACD và I là trung điểm SC. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.
.BC SB
B. (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.
C.
.IO ABCD
D. Tam giác SCD vuông ở D.
[23] Cho tứ diện A.BCD, G được gọi là trọng tâm tứ diện A.BCD khi
0.GA GB GC GD
Khẳng định nào
sau đây sai?
A.
0,GI GJ
với I, J lần lượt là trung điểm AB và CD.
B. G là trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD.
C. G là trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC.
D. G là trung điểm đoạn thẳng nối A với trọng tâm
.BCD
[24] Cho tứ diện A.BCD có AC = a, BD = 3a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết rằng AC
vuông góc BD. Độ dài MN bằng:
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 38
A.
10
.
2
a
B.
10.a
C.
4.a
D.
2.a
[25] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có
' , ' 'AB C A DC
có các góc đều nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC
và A’D là góc:
A.
. B.
. C.
. D.
.
PHẦN 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN
1. Tính các giới hạn sau:
a)
2
2
3
3
7 1 1 2
lim 1, b) lim c) lim .
3
9
xx
x
xx
xx
x
x


2. Một CSN lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội 2/3. Số hạng thứ 20 của CSN đó bằng bao nhiêu?
3. CMR phương trình
3
22
1 1 3 0m x x x
có ít nhất 1 nghiệm với mọi giá trị của m.
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tâm O và SA = a vuông góc đáy. M là trung điểm
SD.Gọi (P) là mặt phẳng đi qua OM, vuông góc AD.
a) Xác định mp (P).
b) Thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp S.ABCD là hình gì? Tính diện tích thiết diện.
c) Tính góc hợp bởi SO và mp(SCD).
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 39
ĐỀ ÔN TẬP SỐ 6 – ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA KÌ 2
PHẦN 1. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
[1] Giới hạn
43
22
14
21
lim
53
n n n
nn

bằng bao nhiêu?
A.
0.
B.
16
.
3
C.
2
.
3
D.
2
.
5
[2] Giới hạn
3
26
42
1
lim
1
nn
nn


bằng bao nhiêu?
A.
2.
B.
1.
C.
0.
D.
.
[3] Giới hạn
n
nn
22
lim
3 1 1
bằng bao nhiêu?
A.
31
.
2
B.
1
.
2
C.
1
.
31
D.
0.
[4] Giới hạn
22
2
4 4 1
lim
31
n n n
nn

bằng bao nhiêu?
A.
1
.
31
B.
1
.
2
C.
31
.
2
D.
1
.
2
[5] Giới hạn
nn
n
2 2 2
4
2.1 3.2 ... 1
lim
bằng bao nhiêu?
A.
1
.
12
B.
10.
C.
1
.
10
D.
7
.
12
[6] Giới hạn
x
xx
x
2
2 7 5
lim
2
bằng bao nhiêu?
A.
5
.
12
B.
55
.
4
C.
1
.
12
D.
0.
[7] Giới hạn

x
x x x
xx
32
42
2
2 4 8
lim
8 16
bằng bao nhiêu?
A.
1
.
4
B.
.
C.
1
.
4
D.
.
[8] Giới hạn
0
1 4 . 1 6 1
lim
x
xx
x
bằng bao nhiêu?
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 40
A.
24 1.
B.
10
.
21
C.
10.
D.
5.
[9] Trong các phương pháp tìm giới hạn
22
43
lim
2
1
x
xx
x
dưới đây, phương pháp nào là phương pháp thích
hợp?
A. Nhân phân thức với biểu thức liên hợp của mẫu là (2x -2 ) . B. Chia tử và mẫu cho
2
x.
C. Phân tích nhân tử ở tử số rồi rút gọn. D. Chia tử và mẫu cho
x.
[10] Giới hạn
2
3
1
75
lim
1
x
xx
x
bằng bao nhiêu?
A.
5
.
12
B.
5
.
16
C.
1
.
6
D.
7
.
12
[11] Cho hàm số
2
cos , 1
.
2, 1
xx
fx
ax

Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 1.
A.
1.
B.
3.
C.
3.
D.
2.
[12] Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hàm số
1yx
liên tục tại mọi x thuộc
.
B. Hàm số y = cosx liên tục tại mọi x thuộc
.
C. Hàm số
2
1yx
liên tục tại mọi x khác
1.
D. Hàm số y = tanx liên tục tại mọi x thuộc
.
[13] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
.SA SC SB SD
B.
.SA SB SC SD
C.
.SA SD SB SC
D.
0.SA SB SC SD
[14] Cho tứ diện A.BCD, có M,P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
1
.
2
MP AC AD AB
B.
1
.
2
MP AD AB AC
C.
1
.
2
MP AC AB AD
D.
1
.
2
MP AC AD AB
[15] Cho tứ diện đều A.BCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:
A.30
0
. B.45
0
. C.60
0
. D.90
0
.
[16] Cho tứ diện đều A.BCD, M là trung điểm BC. Khi đó cos(AB,DM) bằng:
A.
3
.
6
B.
1
.
6
C.
3
.
2
D.
3
.
3
[17] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp đều bằng 2a. Gọi M và
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 41
N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo góc giữa (MN, SC) bằng:
A.79
0
11’. B.41
0
24’. C.60
0
. D.90
0
.
[18] Trong không gian cho đường thẳng d và điểm O. Qua O có mấy đường thẳng vuông góc với d cho trước?
A.0. B.1. C.2. D. Vô số.
[19] Mệnh đề nào sau đây sai?
[20] Cho tứ diện A.BCD có AB = AC, DB = DC. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
.BD ABC
B.
.AC BD
C.
.CD ABD
D.
.BC AD
[21] Cho hình chóp S.ABC có cạnh
SA ABC
và đáy ABC là tam giác cân tại C. Gọi H, K lần lượt là trung
điểm của AB và SB. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
.CH SA
B.
.CH SB
C.
.AK SC
D.
.AK CH
[22] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mp đáy. Gọi I, J, K lần lượt là
trung điểm của AB, BC và SB. Khẳng định nào sau đây sai?
A. (IJK)//(SAC). B.
.BD IJK
C.
0
, 60 .SC BD
D.
.BD SAC
[23] Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O và vuông góc với (ABCD) lấy
điểm S. Biết số đo góc giữa SA và mp (ABCD) bằng 45
0
. Độ dài SO bằng:
A.
.
22
a
B.
2.a
C.
2
.
2
a
D.
2 2.a
A. Hình thức 2, vì sau 10 năm số tiền nhận được hơn hình thức 1 hơn 500 triệu.
B. Hình thức 1, vì sau 10 năm số tiền nhận được hơn hình thức 2 hơn 500 triệu.
C. Hình thức 1, vì mỗi tháng hình thức 1 nhận được 5 triệu, còn hình thức hai thì chỉ 3 triệu.
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.
D. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng
thì song song nhau.
[24] Một công ty khi tuyển dụng nhân sự vào vị trí kế toán trưởng với hợp đồng dài hạn 10 năm đã đưa ra hai
hình thức trả lương như sau.
Hình thức 1: Trong năm đầu tiên nhận được 60 triệu VNĐ, mỗi năm tiếp theo nhận được tiền lương bằng số tiền
năm trước nhân với 1.1.
Hình thứ 2: Trong quí đầu tiên nhận được 12 triệu VNĐ, mỗi quí tiếp theo nhận được tiền lương bằng số tiền
quí trước nhân với 1,05.
Nếu bạn là người nộp vào vị trí kế toán trưởng ở trên, bạn sẽ chọn hình thức nhận lương nào để thu được số tiền
nhiều nhất? Vì sao?
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 42
D. Hai hình thức đều như nhau vì sau 10 năm số tiền thu được đều gần 1 tỉ VNĐ.
[25] Xét phương trình
3sin 4cos 2 0 1 , 0.x x mx m
Đặt f(x) = VT(1). Nhận xét nào dưới đây là đúng?
A. Phương trình (1) luôn có ít nhất một nghiệm thuộc
2
0; .
m



B. Phương trình (1) luôn có ít nhất một nghiệm thuộc
4
0; .
m



C. Phương trình (1) luôn có ít nhất một nghiệm thuộc
2
;0 .
m



D. Phương trình (1) luôn có ít nhất một nghiệm thuộc
4
;0 .
m



PHẦN 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN
1. Xét tính liên tục của hàm số
2
2, 2
24
2
32
khi x
fx
x
khi x
xx

trên
.
2. Cho dãy số
1
1
0
.
23
1
4
n
n
n
u
u
un
u

a) Viết bốn số hạng đầu của dãy số
1
:.
3
n
nn
n
u
vv
u
b) CM: (v
n
) là một CSN.
3. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang vuông tại A và B, AD < BC, SA vuông góc với mặt
đáy, SA = a, AD = AB = a,
a) Chứng tỏ các mặt bên SAB, SAD, SBC là tam giác vuông.
b) Xác định và tính góc giữa SD và BC.
c) Xác định và tính góc giữa SO và (ABCD). Với O là hình chiếu của A lên BD.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 43
ĐẠO HÀM
CHUYÊN ĐỀ .
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 44
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x
0
(a; b):
xx
f x f x
fx
xx
0
0
0
0
( ) ( )
'( ) lim
=
x
y
x
0
lim
(x = x – x
0
, y = f(x
0
+ x) – f(x
0
))
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x
0
thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Ý nghĩa của đạo hàm
Ý nghĩa hình học:
+ f (x
0
) = k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại
M x f x
00
; ( )
.
+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại
M x y
00
;
là: y – y
0
= f (x
0
).(x – x
0
)
Ý nghĩa vật lí:
+ Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm t
0
là v(t
0
) = s(t
0
).
+ Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t
0
là I(t
0
) = Q(t
0
).
3. Qui tắc tính đạo hàm
(C) = 0 (x) = 1 (x
n
) = n.x
n–1
nN
n 1



x
x
1
2
u v u v()
uv u v v u()

u u v v u
v
v
2



(v 0)
ku ku()

v
v
v
2
1




Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u
x
và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là y
u
thì hàm
số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x là:
x u x
y y u.
4. Đạo hàm của hàm số lượng giác
(sinx) = cosx (cosx) = – sinx
x
x
2
1
tan
cos

x
x
2
1
cot
sin
5. Vi phân:
dy df x f x x( ) ( ).
f x x f x f x x
0 0 0
( ) ( ) ( ).

6. Đạo hàm cấp cao:
f x f x''( ) '( )
;
f x f x'''( ) ''( )
;
nn
f x f x
( ) ( 1)
( ) ( )


(n N, n 4)
Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t
0
là a(t
0
) = f(t
0
).
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 45
DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
bằng định nghĩa ta thực hiện các bước:
B1: Giả sử x là số gia của đối số tại x
0
. Tính y = f(x
0
+ x) – f(x
0
).
B2: Tính
x
y
x
0
lim
.
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu [1] Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra:
a)
y f x x x
2
( ) 2 2
tại
x
0
1
b)
y f x x( ) 3 2
tại x
0
= –3
c)
x
y f x
x
21
()
1

tại x
0
= 2 d)
y f x x( ) sin
tại x
0
=
6
e)
y f x x
3
()
tại x
0
= 1 f)
xx
y f x
x
2
1
()
1


tại x
0
= 0
Câu [2] Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
f x x x
2
( ) 3 1
b)
f x x x
3
( ) 2
c)
f x x x( ) 1, ( 1)
d)
fx
x
1
()
23
e)
f x x( ) sin
f)
fx
x
1
()
cos
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
[1] Số gia của hàm số
3
f x x
ứng với x
0
= 2 và
x1
là:
A. 19. B. -19. C. 7. D. -7.
[2] Số gia của hàm số
2
f x x 4x 1
ứng với x và
x
là:
A.
2x Δx.
B.
2x 4Δx.
C.
Δx Δx 2x 4 .
D.
Δx. 2x 4Δx .
[3] Số gia của hàm số
2
x
fx
2
ứng với số gia
Δx
của đối số x tại
0
x1
là:
A.
2
1
Δx Δx .
2


B.
2
1
Δx Δx.
2
C.
2
1
Δx Δx .
2


D.
2
1
Δx Δx.
2
[4] Tỉ số
Δy
Δx
của hàm số
f x 2x x 1
theo x và
Δx
là:
A.
2
4xΔx 2 Δx 2Δx.
B.
2
4x 2 Δx 2.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 46
C.
4x 2Δx 2.
D.
4x 2Δx 2.
[5] Cho hàm số
2
f x x x
, đạo hàm của hàm số ứng với số gia
Δx
của đối số x tại x
0
là:
A.
Δx 0
lim Δx 2x 1 .

B.
Δx 0
lim Δx 2x 1 .

C.
2
Δx 0
lim Δx 2xΔx Δx .

D.
2
Δx 0
lim Δx 2xΔx Δx .

Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 47
DẠNG 2: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC
α α 1
α α 1
2
2
2
2
2
2
1. u ' α.u .u '.
1. C ' 0.
u'
2. u ' .
2u
2. x ' 1.
1 u'
3. x ' α.x .
3. ' .
uu
1
4. x ' .
4. sin u ' u'.cosu.
2x
5. cosu ' u '.
11
5. ' .
xx
6. sin x ' cos x.
7. cosx ' sin x.
1
8. tan x ' 1 tan x.
cos x
1
9. cot x ' 1 cot x .
sin x










'
2
2
2
2
2
2
u v ' u' v'.
uv ' u'v v'u.
u u 'v v'u
.
vv
ku ' k.u' k const .
sin u.
u'
6. tanu ' 1 tan u .u'.
cos u
u'
7. cotu ' 1 cot u .u'.
sin u
ax b ad bc
8. '
cx d
cx d









A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Baøi 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y x x x
43
1
2 2 5
3
b)
y x x x
x
2
32
.
3
c)
y x x
32
( 2)(1 )
d)
y x x x
2 2 2
( 1)( 4)( 9)
e)
y x x x
2
( 3 )(2 )
f)
yx
x
1
11



g)
y
x
3
21
h)
x
y
x
21
13
i)
xx
y
xx
2
2
1
1


k)
xx
y
x
2
33
1

l)
xx
y
x
2
2 4 1
3

m)
x
y
xx
2
2
2
23

Baøi 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y x x
24
( 1)
b)
yx
25
(1 2 )
c)
3 2 11
( 2 1) y x x
d)
25
( 2 )y x x
e)
yx
4
2
32
f)
y
xx
22
1
( 2 5)

g)
x
y
x
2
3
( 1)
( 1)
h)
x
y
x
3
21
1



i)
3
2
3
2




y
x
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 48
Baøi 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
y x x
2
2 5 2
b)
y x x
3
2
c)
y x x
d)
y x x
2
( 2) 3
e)
yx
3
( 2)
f)
yx
3
1 1 2
g)
x
y
x
3
1
h)
x
y
x
2
41
2
i)
x
y
x
2
4
Baøi 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
x
y
x
2
sin
1 cos



b)
y x x.cos
c)
yx
3
sin (2 1)
d)
yxcot 2
e)
yx
2
sin 2
f)
y x xsin 2
g)
yx
23
(2 sin 2 )
h)
y x x
22
sin cos tan
i)
y x x
23
2sin 4 3cos 5
k)
x
y
x
2
1
cos
1




l)
y x x x
35
21
tan2 tan 2 tan 2
35
Baøi 5: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng:
a)
nn
x nx n x n x
1
(sin .cos )' sin .cos( 1)

b)
nn
x nx n x n x
1
(sin .sin )' .sin .sin( 1)

c)
nn
x nx n x n x
1
(cos .sin )' .cos .cos( 1)

d)
nn
x nx n x n x
1
(cos .cos )' .cos .sin( 1)
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
[1] Đạo hàm của hàm số
42
y x 3x x 1
là:
A.
32
y' 4x 6x x.
B.
32
y' 4x 3x x.
C.
32
y' 4x 6x 1.
D.
32
y' 4x 3x 1.
[2] Đạo hàm của hàm số y = 10 là:
A.10. B.0. C.-10. D. Không có đạo hàm.
[3] Đạo hàm của hàm số
6
13
y x 2 x
2x
là:
A.
5
2
31
y' 3x .
x
x
B.
5
2
31
y' 6x .
x
2x
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 49
C.
5
2
31
y' 3x .
x
x
D.
5
2
31
y' 6x .
x
2x
[4] Đạo hàm của hàm số
2x
y
3x 1
là:
A.
2
5
y' .
3x 1
B.
2
7
y' .
3x 1
C.
5
y' .
3x 1
D.
7
y' .
3x 1
[5] Đạo hàm của hàm số
y 3sin2x cos3x
là:
A.
y' 3cos2x sin3x.
B.
y' 3cos2x sin3x.
C.
y' 6cos2x 3sin3x.
D.
y' 6cos2x 3sin3x.
[6] Đạo hàm của hàm số
2
y x tan x x
là:
A.
1
y' 2x tanx .
2x

B.
2
2x 1
y' .
cos x
2x

C.
2
2
x1
y' 2x tan x .
cos x
x
D.
2
2
x1
y' 2x tan x .
cos x
2x
[7] Đạo hàm của hàm số
2
y x 2 2x 1
là:
A.
y' 4x.
B.
2
y' 6x 2x 4
C.
2
y' 2x 2x 4.
D.
2
y' 3x 6x 2.
[8] Đạo hàm của hàm số
2
y x. x 2x
là:
A.
2
2x 2
y' .
x 2x
B.
2
2
3x 4x
y' .
x 2x
C.
2
2
2x 2x 1
y' .
x 2x

D.
2
2
2x 3x
y' .
x 2x
[9] Đạo hàm của hàm số
2x 1
y
x2
là:
A.
2
1 5 x 2
y' . . .
2 2x 1
2x 1
B.
2
5 x 2
y' . .
2x 1
2x 1

C.
2
5 x 2
y' . .
2x 1
2x 1
D.
1 x 2
y' .
2 2x 1
[10] Đạo hàm của hàm số
1
y
x 1 x 1
là:
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 50
A.
11
y' .
4 x 1 4 x 1


B.
11
y' .
2 x 1 2 x 1


C.
2
1
y' .
x 1 x 1

D.
1
y' .
2 x 1 2 x 1
[11] Đạo hàm của hàm số
2016
32
y x 2x
là:
A.
2015
32
y' 2016 x 2x .
B.
2015
3 2 2
y' 2016 x 2x 3x 4x .
C.
3 2 2
y' 2016 x 2x 3x 4x .
D.
3 2 2
y' 2016 x 2x 3x 2x .
[12] Đạo hàm của hàm số
2x 3
y 2x
5x

là:
A.
2
13 1
y' .
2x
x5

B.
2
17 1
y' .
2 2x
x5

C.
2
13 1
y' .
2 2x
x5

D.
2
17 1
y' .
2x
x5

[13] Đạo hàm của hàm số
2
y 2x 1 x x
là:
A.
2
2
2
xx
y' 2 x x .
xx
B.
2
2
2
2x x
y' 2 x x .
2 x x
C.
2
2
2
2x x
y' 2 x x .
xx
D.
2
2
2
xx
y' 2 x x .
2 x x
[14] Hàm số có
2
1
y' 2x
x

là:
A.
1
y 2 .
x

B.
3
2
y 2 .
x

C.
2
1
y x .
x

D.
2
1
y x .
x

[15] Đạo hàm của hàm số
2
y 2sin x cos2x x
là:
A.
y' 4sinx sin2x 1.
B.
y' 4sin2x 1.
C.
y' 1.
D.
y' 4sinx 2sin2x 1.
[16] Đạo hàm của hàm số
sin x cosx
y
sin x cosx
là:
A.
2
sin2x
y' .
sin x cosx
B.
22
2
sin x cos x
y' .
sin x cosx
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 51
C.
2
2 2sin2x
y' .
sin x cosx

D.
2
2
y' .
sin x cosx
[17] Đạo hàm của hàm số
22
y tan x cot x
là:
A.
22
tanx cot x
y' 2 2 .
cos x sin x

B.
22
tanx cotx
y' 2 2 .
cos x sin x

C.
22
tanx cot x
y' 2 2 .
sin x cos x

D.
y' 2tanx 2cotx.
[18] Đạo hàm của hàm số
2
π π π
y sin 2x x
2 2 4



là:
A.
π
y' 2sin π 4x .
2
B.
π π π
y' 2sin x cos x .
2 2 2
C.
π π π
y' 2sin x cos x x.
2 2 2
D.
y' 2sin π 4x .
[19] Đạo hàm của hàm số
1
y 2 tan x
x



là:
A.
1
y' .
1
2 2 tan x
x




B.
2
1
1 tan x
x
y' .
1
2 2 tan x
x








C.
2
2
1
1 tan x
1
x
y' . 1 .
x
1
2 2 tan x
x












D.
2
2
1
1 tan x
1
x
y' . 1 .
x
1
2 2 tan x
x












[20] Đạo hàm của hàm số
cos2x
y
3x 1
là:
A.
2sin2x 3x 1 3cos2x
y' .
3x 1
B.
2
2sin2x 3x 1 3cos2x
y' .
3x 1
C.
2
2sin2x 3x 1 3cos2x
y' .
3x 1

D.
2
sin2x 3x 1 3cos2x
y' .
3x 1
[21] Đạo hàm của hàm số
2
2
y sin 2x.cosx
x

là:
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 52
A.
2
y' 2sin2x.cosx sin x.sin 2x 2 x.
B.
2
1
y' 2sin4x.cosx sinx.sin 2x .
xx
C.
2
1
y' 2sin4x.cosx sin x.sin 2x .
xx
D.
2
y' 2sin2x.cosx sin x.sin 2x 2 x.
[22] Đạo hàm của hàm số
2
π
y cot cosx sin x
2
là:
A.
2
1 cosx
y' 2cot cosx .
sin cosx
π
2 sin x
2
B.
2
1 cosx
y' 2cot cosx .sin x .
sin cosx
π
2 sin x
2

C.
2
1 cosx
y' 2cot cosx .
sin cosx
π
sin x
2
D.
2
1 cosx
y' 2cot cosx .sin x .
sin cosx
π
sin x
2

[23] Đạo hàm của hàm số
y xsina cosa xcosa sina ,
với a là hằng số, là:
A.
2
y' 2xsin a.
B.
y' xsin2a cos2a.
C.
y' xsin2a cos2a.
D.
2
y' 2xcos a.
[24] Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
B. Hàm số
yx
có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
C. Hàm số
y x x
có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
D. Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
[25] Đạo hàm của hàm số
22
π 1 π
y cos x x
3 2 4
là:
A.
2
4ππ
y' 2xsin 2x .
34
B.
2
4ππ
y' xsin 2x .
34
C.
2
4ππ
y' xsin 2x .
34
D.
2
4ππ
y' 2xsin 2x .
34
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 53
[26] Đạo hàm của hàm số
πx
tan 1 sin x
42
y
sin x




là:
A.
2
2
1 1 cosx πx
y' 1 .tan .
πx
sin x sin x 4 2
cos
42



B.
2
2
1 1 cosx πx
y' 1 .tan .
πx
sin x sin x 4 2
cos
42



C.
2
2
1 1 cosx πx
y' 1 .tan .
πx
sin x sin x 4 2
2cos
42



D.
2
2
1 1 cosx πx
y' 1 .tan .
πx
sin x sin x 4 2
2cos
42



[27] Đạo hàm của hàm số
2016
2
y 2x x cosx
là:
A.
2015 2016
22
sinx
y' 2016 2x x 4x 1 . cosx 2x x .
2 cosx
B.
2015 2016
22
1
y' 2016 2x x 4x 1 . cosx 2x x .
2 cosx
C.
2015 2016
22
sinx
y' 2016 2x x . cosx 2x x .
2 cosx
D.
2015 2016
22
1
y' 2016 2x x . cosx 2x x .
2 cosx
DẠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x
0
, y
0
)
C()
là:
y f x x x y
0 0 0
'( )( ) .
(*)
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: hệ số góc của tiếp tuyến tại (x
0
; y
0
)
0
y' x k
3. Nhắc lại: Cho (): y = ax + b. Khi đó:
d
d k a( ) ( )

d
dk
a
1
( ) ( )
4. Ý nghĩa Vật lý: Vận tốc tức thời:
v t s' t .
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 54
Gia tốc:
a t v' t s" t .
Cường độ dòng điện:
i t q' t .
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Baøi 1: Cho hàm số (C):
y f x x x
2
( ) 2 3.
Viết phương trình tiếp tuyến với (C):
a) Tại điểm thuộc (C) có hoành độ x
0
= 1.
b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0.
c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0.
d) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ.
Baøi 2: Cho hàm số
xx
y f x
x
2
2
()
1


(C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1.
Baøi 3: Cho hàm số
x
y f x
x
31
()
1

(C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:
yx
1
100
2

.
e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 2x + 2y – 5 = 0.
Baøi 4: Cho hàm số (C):
y x x
32
3.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1, –2).
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I.
Baøi 5: Cho hàm số (C):
y x x
2
1.
Tìm phương trình tiếp tuyến với (C):
a) Tại điểm có hoành độ x
0
=
1
.
2
b) Song song với đường thẳng x + 2y = 0.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 55
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
[1] Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số
3
f x x x
tại điểm M(-2; 8) là:
A. 6. B. -11. C. 11. D. -12
[2] Phương trình tiếp tuyến của Parabol
2
f x 3x x 1
tại điểm M(1; -1) là:
A.
y 5x 4.
B.
y 5x 6.
C.
y 6x 5.
D.
y 6x 6.
[3] Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x
y
x1
tại điểm có hoành độ là -1 có phương trình là:
A.
11
y x .
44
B.
13
y x .
44

C.
13
y x .
44
D.
11
y x .
44

[4] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
y x x 1
tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là:
A.
1
y x 1.
2

B.
1
y x 1.
2

C.
y x 1.
D.
y x 1.
[5] Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tanx tại điểm có hoành độ
0
π
x
4
là:
A. 2. B.
1
.
2
C. 1. D.
2
.
2
[6] Cho hàm số
3
4 3 1. y x x
Tiếp tuyến với (C) tại điểm A(1;2) cắt (C) tại điểm nào dưới đây:
A.
0;1 .A
B.
2; 25 .A
C.
2;27 .A
D.
1;0 .A
[7] Cho hàm số
32
3 2 . y x x C
Ptr tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d: 3x – 5y – 4 =0 là:
A.
5 61 5 29
;.
3 27 3 27
y x y x
B.
5 2 5 3
;.
3 5 3 7
y x y x
C.
5 35 5 21
;.
3 6 3 17
y x y x
D.
5 2 5 13
;.
3 9 3 41
y x y x
[8] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
y x 4
có hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 là:
A.
y 3x.
B.
y 3x 8,y 3x.
C.
y 3x 6.
D.
y 3x 2,y 3x 6.
[9] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
42
y x 2x 1
tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là:
A.
y 40x 57.
B.
y 8x 6,y 8x 6.
C.
y 8x 6,y 8x 6.
D.
y 8x 8,y 8x 8.
[10] Cho hàm số
2
y x 6x 5
có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến đó là:
A.
y 4.
B.
y 4.
C.
x 3.
D.
x3
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 56
[11] Biết tiếp tuyến (d) của hàm số
3
y x 2x 2
vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất. Phương
trình (d) là:
A.
1 18 5 3 1 18 5 3
y x ,y x .
99
33

B.
y x,y x 4.
C.
1 18 5 3 1 18 5 3
y x ,y x .
99
33

D.
y x 2,y x 4.
[12] Cho hai hàm
1
()
2
fx
x
và
2
()
2
x
gx
. Góc giữa hai tiếp tuyến của đồ thị mỗi hàm số đã cho tại giao
điểm của chúng là:
A. 30
0
. B. 45
0
. C. 60
0
. D. 90
0
[13] Cho hàm số:
2
1
6.
4
y x x
Để đường thẳng
9
4
y x b
là tiếp tuyến của đồ thị thì giá trị của b là:
A.
1;0.
B.
1
0; .
2
C.
1
;1.
2
D.
3
1; .
2
[14] Số cặp điểm A,B trên đồ thị hàm số
32
3 3 5 y x x x C
, mà tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau là:
A.1. B.2. C.0. D. Vô số.
[15] Cho hàm số
1
.
1
x
yC
x
Có bao nhiêu cặp điểm A, B thuộc (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau:
A.0. B.1. C.2. D.Vô số.
[16] Cho hàm số
32
3 3 5 . y x x x C
Với giá trị nào của k thì trên đồ thị (C) có ít nhất 1 điểm mà tiếp
tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y = kx:
A.
1.k
B.
1.k
C.
0.k
D.
0 1.k
[17] Cho hàm số
2
31
.
m x m m
y
xm
Với giá trị nào của m thì tại giao điểm của đồ thị với Ox, tiếp tuyến
song song với đường thẳng y = x +1:
A.
1.m
B
1
.
5
m
C.
3.m
D.
3
.
2
m
[18] Cho hàm số
32
6 9 1 . y x x x C
Từ điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến
đến (C):
A.0. B.1. C.2. D.3.
[19] Cho hàm số
42
2 1 . y x x C
Tọa độ điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C):
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 57
A.
0;1 .A
B.
1
0; .
3



A
C.
0; 1 .A
D.
1
0; .
2



A
[20] Cho hàm số
1
.
1
x
yC
x
Tọa độ điểm thuộc trục tung mà từ đó kẻ được đúng 1 tiếp tuyến tới đồ thị hàm
số:
A.
33
0; , 0; .
22
AB
B.
11
0; , 0; .
22
AB
C.
0;1 , 0; 1 .AB
D.
33
0; , 0; .
44
AB
[21] Trên đồ thị
1
1
y
x
có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác
có diện tích bằng 2. Tọa độ M là:
A.
1
4; .
3



B.
3
; 4 .
4



C.
34
;.
47




D.
2;1 .
[22] Một chất điểm chuyển động có phương trình
3
s t 3t
(t tính bằng giây, s tính bằng mét). Vận tốc của
chất điểm tại thời điểm
0
t2
(giây) bằng:
A.14m/s. B.7m/s. C.15m/s. D.12m/s.
[23] Điện lượng truyền trong dây dẫn mạch dao động LC có phương trình
ππ
q 2cos t C
63




thì cường độ
dòng điện tức thời tại thời điểm
0
t 2s
bằng:
A.
1A.
B.
0,9A.
C.1A. D.0,9A.
[24] Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là
22
1
s t gt ,g 9,8m/ s
2

. Vận tốc tại thời điểm t = 3s
là:
A.
44,1m / s.
B.
14,7m/s.
C.
3,26m/s.
D.
29,4m/s.
[25] Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
32
s t 3t 4t t,
trong đó t được tính bằng giây và s
được tính bằng mét. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm gia tốc bằng 0 là:
A.
0,77m/s.
B.
0,73m/s.
C.
0,77m/s.
D.
0,73m/ s.
DẠNG 4. VI PHÂN - ĐẠO HÀM CẤP CAO VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC
1. Vi phân của hàm số y = f(x):
dy f ' x dx
2. Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ... ta dùng công thức:
nn
yy
/
( ) ( 1)
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 58
3. Để tính đạo hàm cấp n:
Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n.
Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng.
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu [1] Tính vi phân của các hàm số sau:
a)
π
sin x π.
3



b)
π
cos x π.
3



c)
π
tan x π.
3



d)
π
cot x π.
3



e)
2
2x 3.
f)
2016
2
x 2x .
g)
2x
sin x 1
h)
2
cos x 1.
i)
2
xsin x.
j)
2
ππ
tan 2x x.
32




k)
2sin x 1
.
cosx x
Câu [2] Cho hàm số
f x x x( ) 3( 1)cos
.
a) Tính
f x f x'( ), ''( )
b) Tính
f f f''( ), '' , ''(1)
2



Câu [3] Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp được chỉ ra:
a)
y x ycos , '''
b)
y x x x x y
4 3 2
5 2 5 4 7, ''
c)
x
yy
x
3
, ''
4
d)
y x x y
2
2 , ''
e)
y x x ysin , ''
f)
y x x ytan , ''
g)
y x y
23
( 1) , ''
h)
y x x y
6 3 (4)
4 4,
i)
yy
x
(5)
1
,
1
Câu [4] Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng:
a)
n
n
n
n
x
x
()
1
1 ( 1) !
1
(1 )



b)
n
n
xx
()
.
(sin ) sin
2




c)
n
n
xx
()
.
(cos ) cos
2




Câu [5] Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a)
y
x
1
2
b)
y
xx
2
1
32

c)
x
y
x
2
1
d)
x
y
x
1
1
e)
yx
2
sin
f)
y x x
44
sin cos
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 59
Câu [6] Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra:
a)
y x x
xy y x xy
sin
'' 2( ' sin ) 0
b)
y x x
yy
2
3
2
'' 1 0


c)
y x x
x y x y y
2 2 2
tan
'' 2( )(1 ) 0
d)
x
y
x
y y y
2
3
4
2 ( 1) ''


Câu [7] Giải phương trình
fx'( ) 0
với:
a)
f x x x x( ) 3cos 4sin 5
b)
f x x x x( ) cos 3sin 2 1
c)
f x x x
2
( ) sin 2cos
d)
xx
f x x
cos4 cos6
( ) sin
46
e)
x
f x x
3
( ) 1 sin( ) 2cos
2
f)
f x x x x x( ) sin3 3cos3 3(cos 3sin )
Câu [8] Giải phương trình
f x g x'( ) ( )
với:
a)
f x x
g x x
4
( ) sin 3
( ) sin6
b)
f x x
g x x x
3
( ) sin 2
( ) 4cos2 5sin4

c)
x
f x x
g x x x x
22
2
( ) 2 cos
2
( ) sin

d)
x
f x x
x
g x x x
2
( ) 4 cos
2
( ) 8cos 3 2 sin
2
Câu [9] Giải bất phương trình
f x g x'( ) '( )
với:
a)
f x x x g x x x
32
( ) 2, ( ) 3 2
b)
2
( ) 2 8, ( ) f x x x g x x
c)
x
f x x x g x x
2
3 2 3
( ) 2 3, ( ) 3
2
d)
f x g x x x
x
3
2
( ) , ( )
Câu [10] Xác định m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x R:
a)
mx
f x vôùi f x x mx
3
2
'( ) 0 ( ) 3 5
3
b)
mx mx
f x vôùi f x m x
32
'( ) 0 ( ) ( 1) 15
32
Câu [11] Cho hàm số
32
2 3.y x x mx
Tìm m để:
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 60
a)
'( )fx
bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất.
b)
'( ) 0fx
với mọi x.
Câu [12] Cho hàm số
32
( ) (3 ) 2.
32
mx mx
f x m x
Tìm m để:
a)
'( ) 0fx
với mọi x.
b)
'( ) 0fx
có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
c) Trong trường hợp
'( ) 0fx
có hai nghiệm, tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 61
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
[1] Biết
2
y x 2
. Tập nghiệm của phương trình
xy' 1
là:
A.
22
,.
22





B.
1;2 .
C.
1 2, 1 2 .
D.
2 1 .
[2] Vi phân của hàm số
4
y 5x 3x 1
là:
A.
3
dy 4x 3x dx.
B.
3
dy 4x 3 dx.
C.
3
dy 20x 3x dx.
D.
3
20 3 .dy x dx
[3] Vi phân của hàm số
3
y sin 3x
là:
A.
2
dy 3sin 3x .cos 3x dx.
B.
2
9sin 3 .cos 3 .dy x x dx
C.
dy 3sin 6x dx.
D.
2
dy 3sin 3x dx.
[4] Vi phân của hàm số
2
3y x x
tại điểm x = 2, ứng với
0,1
x

là:
A.
0,4.
B.
0,07.
C.
1,1.
D.
10.
[5] Vi phân của y = cot(2017x) là:
A.
2017sin 2017 .dy x dx
B.
2
2017
.
sin 2017
dy dx
x
C.
2
2017
.
cos 2017
dy dx
x

D.
2
2017
.
sin 2017
dy dx
x

[6]
sin
cos
dx
dx
bằng:
A.
cot .x
B.
tan .x
C.
tan .x
D.
cot .x
[7] Tính
f " 2 .
Biết rằng
52
f x x 3x 2017x
.
A.
2171.
B.
68.
C.
160.
D.
154.
[8] Biết khai triển
2016
2 3 2016
0 1 2 3 2016
1 3x a a x a x a x ... a x
. Tổng
1 2 2016
S a 2a ... 2016a
bằng:
A.
2016
2016.4 .
B.
2015
6048.4 .
C.
2015
2016.4 .
D.
2016
6048.4 .
[9] Biết
32
23
y x x x
32
. Tập nghiệm của bất phương trình
2
y'
0
x
là:
A.
1
; 1 ; .
2

 

B.
1
; 1 ; .
2

 


C.
1
; 1 ; \ 0 .
2

 

D.
1
1; .
2




Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 62
[10] Tập nghiệm của phương trình
'0fx
là … biết
3
60 64
f x 3x 5
xx
:
A.
2, 4 .
B.
4,16 .
C.
4, 16 .
D.
.
[11] Cho hàm số
f x 2x 1
. Giá trị
' 3 3ff
là:
A.
6
.
7
B.
8
.
7
C.
13 7
.
14
D.
6
.
7
[12] Tập nghiệm phương trình
2017
22
f ' x 0, f x 5 x 1 x 1
là:
A.
.
B.
0.
C.
1.
D.
1.
[13] Cho hai hàm số
2
f x x 3
và
1
1
gx
x
. Tỉ số
f ' 1
g' 0
bằng:
A.
1.
B. -2. C. 2. D. Không xác định.
[14] Cho hàm số
32
1
f x x x 3x 2017.
3
Tập nghiệm của bất phương trình
f ' x
0
2x
là:
A.
1;2 .
B.
1;3 .
C.
; 1 3; . 
D.
; 1 2; .
[15] Cho hàm số
32
3f x x x
. Tập nghiệm của bất phương trình
f ' x 0
là:
A.
;0 3; .
B.
0;3 .
C.
;0 2; .
D.
0;2 .
[16] Cho hàm số
2
f x x 2x
. Tập nghiệm của bất phương trình
f ' x f x
là:
A.
3 5 3 5
;.
22




B.
35
;2 .
2



C.
35
0; .
2



D.
35
2; .
2



[17] Cho hàm số
32
y mx x x 5
. Với giá trị nào của m thì y’ = 0 có hai nghiệm trái dấu?
A. m < 0. B.
1
.
3
m 
C.
1
m.
3

D.
m 0.
[18] Cho hàm số y = tanx + cotx. Tập nghiệm của phương trình y’ = 0 là:
A.
.
B.
π
kπ k .
4

C.
.
42
kk


D.
ππ
k k .
22

[19] Đạo hàm cấp hai của hàm số
2
y sin x
là:
A. -2sin2x. B. 2cos2x. C. -2cos2x. D. 2sin2x.
[20] Hàm số nào dưới đây có đạo hàm cấp 2 là 6x?
A.
2
3.yx
B.
3
2.yx
C.
2
.yx
D.
3
.yx
[21] Đạo hàm cấp n, với n là số tự nhiên khác 0 của hàm số y = cosx là:
A.
nπ
cos x .
2



B.
nπ
sin x .
2



Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 63
C.
n
1 cos x nπ.
D.
n
1 sin x nπ.
[22] Cho
2
y 2x x
. Giá trị của biểu thức
3
A y .y"
là:
A.2. B.-1. C.3. D. Kết quả khác.
[23] Đạo hàm cấp n ( với n là số tự nhiên khác 0) của hàm số
1
1
y
x
là:
A.
1
1
.
1
n
n
n
x
B.
1
!
.
1
n
n
x
C.
1
1!
.
1
n
n
n
x
D.
1!
.
1
n
n
n
x
[24] Cho y = 3sinx + 2cosx. Tính giá trị biểu thức
''A y y
là:
A. 0. B.
4cos .Ax
C.
6sin 4cos .A x x
D. 2.
[25] Đạo hàm cấp 2 của hàm số y = tanx + cotx + sinx + cosx bằng:
A.0. B.
22
tan cot cos sin .x x x x
C.
22
2tan 2cot
sin cos .
cos sin
xx
xx
xx
D.
22
2tan 2cot
sin cos .
cos sin
xx
xx
xx
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 64
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
CHUYÊN ĐỀ .
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 65
I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Định nghĩa và các phép toán
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:
AB BC AC
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:
AB AD AC
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có:
''AB AD AA AC
+ Hê thức trung điểm đoạn thẳng: I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
0IA IB
,
2OA OB OI
.
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:
0; 3GA GB GC OA OB OC OG
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:
0; 4GA GB GC GD OA OB OC OD OG
+ Điều kiện hai vectơ cùng phương:
( 0) ! :a vaø b cuøng phöông a k R b ka
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ
,,a b c
, trong đó
a vaø b
không cùng phương. Khi đó:
,,a b c
đồng phẳng ! m, n R:
c ma nb
Cho ba vectơ
,,a b c
không đồng phẳng,
x
tuỳ ý. ! m, n, p R:
x ma nb pc
3. Tích vô hướng của hai vectơ
Góc giữa hai vectơ trong không gian:
00
, ( , ) (0 180 )AB u AC v u v BAC BAC
Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho
,0uv
. Khi đó:
. . .cos( , )u v u v u v
+ Với
00u hoaëc v
. Qui ước:
.0uv
+
.0u v u v
A. PHÂN DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 66
1. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I là trung điểm của EF.
a) Chứng minh:
0IA IB IC ID
.
b) Chứng minh:
4MA MB MC MD MI
, với M tuỳ ý.
c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cố định (P) sao cho:
MA MB MC MD
nhỏ nhất.
2. Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kì, các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối đồng qui tại trung
điểm của chúng. (Điểm đồng qui đó được gọi là trọng tâm của tứ diện)
3. Cho tứ diện ABCD. Gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm chia các cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số k (k
Chứng minh rằng hai tứ diện ABCD và ABCD có cùng trọng tâm.
DẠNG 2: CHỨNG MINH CÁC VECTƠ ĐỒNG PHẲNG
1. Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho
2MS MA
và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho
1
2
NB NC
. Chứng minh rằng ba vectơ
,,AB MN SC
đồng phẳng.
ĐS: Chứng minh
21
33
MN AB SC
.
2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AE, CG, AD, DH,
GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của NG và JH.
a) Chứng minh ba vectơ
,,MN FH PQ
đồng phẳng.
b) Chứng minh ba vectơ
,,IL JK AH
đồng phẳng.
ĐS: a)
,,MN FH PQ
có giá cùng song song với (ABCD).
b)
,,IL JK AH
có giá cùng song song với (BDG).
3. Cho hình lăng trụ ABC.DEF. Gọi G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của AE, EC, CD, BC, BE.
a) Chứng minh ba vectơ
,,AJ GI HK
đồng phẳng.
b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên AF và CE sao cho
1
3
FM CN
FA CE

. Các đường thẳng vẽ từ M và N
song song với CF lần lượt cắt DF và EF tại P và Q. Chứng minh ba vectơ
,,MN PQ CF
đồng phẳng.
4. Cho hình hộp ABCD.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD; G và G lần lượt là
trọng tâm của các tứ diện ADMN và BCCD. Chứng minh rằng đường thẳng GG và mặt phẳng (ABBA) song
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 67
song với nhau.
ĐS: Chứng minh
1
' 5 '
8
GG AB AA
, ', 'AB AA GG
đồng phẳng.
5. Cho tứ diện OABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Phân tích vectơ
OG
theo các ba
,,OA OB OC
.
b) Gọi D là trọng tâm của tứ diện OABC. Phân tích vectơ
OD
theo ba vectơ
,,OA OB OC
.
ĐS: a)
1
3
OG OA OB OC
b)
1
4
OD OA OB OC
.
6. Cho hình hộp OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp.
a) Phân tích hai vectơ
OI vaø AG
theo ba vectơ
,,OA OC OD
.
b) Phân tích vectơ
BI
theo ba vectơ
,,FE FG FI
.
ĐS: a)
1
2
OI OA OC OD
,
AG OA OC OD
. b)
BI FE FG FI
.
7. Cho hình lập phương ABCD.EFGH.
a) Phân tích vectơ
AE
theo ba vectơ
,,AC AF AH
.
b) Phân tích vectơ
AG
theo ba vectơ
,,AC AF AH
.
ĐS: a)
1
2
AE AF AH AC
b)
1
2
AG AF AH AC
.
DẠNG 3: TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ
1. Cho hình lập phương ABCD.ABCD.
a) Xác định góc giữa các cặp vectơ:
''AB vaø A C
,
''AB vaø A D
,
'AC vaø BD
.
b) Tính các tích vô hướng của các cặp vectơ:
''AB vaø A C
,
''AB vaø A D
,
'AC vaø BD
.
2. Cho hình tứ diện ABCD, trong đó AB BD. Gọi P và Q là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và
CD sao cho
,PA kPB QC kQD
(k 1). Chứng minh
AB PQ
.
DẠNG 4: MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC
1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là bốn điểm lấy trên AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng nếu
ba đường thẳng MN, PQ, AC đôi một song song thì bốn điểm P, Q, M, N đồng phẳng.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 68
2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J lần lượt là trung điểm BB’, A’C’. K là điểm trên B’C’ sao
cho
2. .KC KB
Chứng minh bốn điểm A, I, J, K thẳng hàng.
3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có
, ' , .BA a BB b BC c
M, N lần lượt là hai điểm nằm trên AC, DC’
sao cho
. , ' ' .MC n AC C N mC D
a) Hãy phân tích
'BD
theo các véctơ
, , .abc
b) Chứng minh rằng:
1.MN m n a m b nc
c) Tìm m, n để MN//BD’.
4. Cho hai hình vuông ABCD và ADD’A’ cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc. M, N là hai điểm nằm
trên hai đường chéo BD và AD’ sao cho DM = AN = x (0 < x <
aa
). Chứng minh rằng: MN//(BCD’A’).
5. Cho tứ diện ABCD, hai điểm M, N thoả mãn:
. 0, . 0.MA t MC NB t ND
Chứng minh khi t thay đổi thì
trung điểm I của MN di chuyển trên một đường thẳng cố định.
6. Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng; M là một điểm di động
a) Chứng minh rằng vectơ
23v MA MB MC
là một vectơ không phụ thuộc vào M.
b) D là điểm thoả mãn
AD v
và giả sử đường thẳng AD cắt BC tại N. Chứng minh:
3.NB NC
7. Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng. Tìm tập hợp các điểm M, M thoả mãn
2.NA NB NC NB BA
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
[1] Điều kiện nào dưới đây là đủ để kết luận ba vectơ
,,a b c
không đồng phẳng:
A.
1
12
2
.
. 0 .
.
a k b
kk
c k b
B.
1
12
2
.
. 0 .
.
a k b
kk
c k b
C.
1 2 1 2
, 0 .a k b k c k k
D.
.0
. 0.
.0
ab
bc
ac
[2] Điều kiện nào dưới đây là đủ để kết luận ba vectơ
,,a b c
đồng phẳng:
A.
1 2 1 2
, 0 .a k b k c k k
B.
12
.a k b k c
C.
1 2 1 2
, 0 .a k b k c k k
D.
.0
. 0.
.0
ab
bc
ac
[3] Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là đúng?
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 69
A. Nếu
1
AB AC
2
thì B là trung điểm của AC.
B. Nếu
AB AC 2AD
thì A,B,C,D đồng phẳng.
C. Nếu
1
AB AC
2
thì A là trung điểm của BC.
D. Nếu
AB AC 2AD
thì A,B,C,D đồng phẳng.
[4] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A.
BD D'D B'D' B'B.
B.
BA BC D'D B'D' BB'.
C.
BA BC D'D B'D' B'B.
D.
BD DD' B'D' BB'.
[5] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A.
AB B'C' DD' AC'.
B.
AB B'C' DD' 0.
C.
AB B'C' DD' A'C.
D.
AB B'C' DD' A'C'.
[6] Cho hình chóp S.ABC, gọi M, N là hai điểm thỏa
1
MS 2AM,NB NC.
2
Đẳng thức nào dưới đây là
đúng:
A.
21
MN AB SC.
32

B.
21
MN AB SC.
32

C.
21
MN AB SC.
32
D.
21
MN AB SC.
32
[7] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A.
AC BA DB C'D 0.
B.
AC BA DB D'C' 0.
C.
AC BA DB C'D CC'.
D.
AC BA DB C'D C'C.
[8] Cho tứ diện A.BCD có trọng tâm là G. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Đẳng thức nào dưới
đây là sai?
A.
1
MN AD BC .
2

B.
1
MN AC BD .
2

C.
1
MN AB CD .
2

D.
GM GN 0.
[9] Cho tứ diện A.BCD có G là trọng tâm
ABC
. Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A.
1
DA DB DC DG.
3
B.
DA DB DC 3DG.
C.
2
DA DB DC DG.
3
D.
DA DB DC 0.
[10] Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Vì
IA IB 0
nên I là trung điểm của AB.
B. Vì I là trung điểm AB nên với điểm O bất kì ta luôn có
1
IO AO BO .
2

C. Vì
AB 2AD AC 0
nên A,B,C,D đồng phẳng.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 70
D. Vì
AB CB CD AD 0
nên A,B,C, D đồng phẳng.
[11] Cho tứ diện A.BCD; M, N, G lần lượt là trung điểm AB, CD, MN, I là điểm bất kì trong không gian, đẳng
thức nào dưới đây là sai?
A.
1
IG IM IN .
2

B.
AM AN 2AG.
C.
GA GB GC GD 4GI.
D.
IA IB IC ID 4.IG.
[12] Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O, I là trung điểm SO.đẳng thức nào dưới đây
là sai?
A.
SB SC SA SD.
B.
SA SB SC SD 4.SO.
C.
IA IB IC ID 2SO.
D.
SB SD SA SC.
[13] Trong không gian, ta xét
ABC
. M là một điểm thuộc mp(ABC), sao cho
MA xMB yMC,x.y 0.
Gọi
O là điểm bất kì trong không gian. Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A.
1 x y
OM OA OB OC.
x y 1 x y 1 x y 1
B.
1 x y
OM OA OB OC.
x y 1 x y 1 x y 1
C.
1 x y
OM OA OB OC.
x y 1 x y 1 x y 1
D.
1 x y
OM OA OB OC.
x y 1 x y 1 x y 1
[14] Cho hình chóp S.ABC. Trên SA,SB, SC lấy A’, B’, C’ sao cho SA = aSA’, SB=b.SB’, SC= c.SC’. Mối liên
hệ a,b,c để mp(A’B’C’) đi qua trọng tâm
ABC
là:
A.
a b c 1.
B.
a b c 1.
C.
a b c 3.
D.
a b c 3.
[15] Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có
AA' a,AB b,AC c.
Đẳng thức nào dưới đây là đúng:
A.
B'C a b c.
B.
B'C a b c.
C.
B'C a b c.
D.
B'C a b c.
[16] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tích vô hướng
AC'.A'B
bằng:
A.0. B.-a
2
. C.a
2
. D.2a
2
.
[17] Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có
AA' a,AB b,AC c.
Đẳng thức nào dưới đây là đúng:
A.
BC' a b c.
B.
BC' a b c.
C.
BC' a b c.
D.
BC' a b c.
[18] Trong không gian cho 4 điểm A,B,C,D tùy ý. Đẳng thức nào dưới đây là đúng
A.
AB.DC BC.DA AC.DB 0.
B.
AB.DC BC.DA AC.AB 0.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 71
C.
AB.DC BC.DA CA.DB 0.
D.
AB.DC BC.DA AD.AB 0.
[19] Cho tứ diện A.BCD, có AC vuông góc BD, AB vuông góc CD. Kết luận nào dưới đây là sai:
A.
AD BC.
B.
AC.BD 0.
C.
AB CD.
D.
AD.BC AB.CD 0.
[20] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi P, R lần lượt là trung điểm AB, A’D’. Gọi P’, Q, Q’, R’ lần lượt là
giao điểm của các đường chéo trong các mặt ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’, ADD’A’. Xét các mệnh đề dưới đây.
(I)
PP' QQ' RR' 0.
(II) Hai tam giác
PQR,
P’Q’R’ có cùng trọng tâm.
(III) PP’, QQ’, RR’ đồng phẳng.
Có bao nhiêu mệnh đề sai:
A.0. B.1. C.2. D.3.
[21] Cho tứ diện A.BCD, gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm tứ diện A.BCD và
BCD
. Khẳng định nào dưới đây
là sai:
A.
GA GB GC GD 0.
B.
GA 3GG' 0.
C.A,G,G’ thẳng hàng. D.G là trung điểm AG’.
[22] Điều kiện nào dưới đây là đủ để khẳng định ba điểm A,B,C thẳng hàng.
A.
OB k 1 OA k 1 OC, k 0
và O là điểm bất kì. B.
AB k.AC, k .
C.
m n 1
OA mOB nOC,
mn 0


và O là điểm bất kì. D.
AB k.AC, k .
[23] Cho ba vectơ
,,a b c
khác
0
và ba số thực m.n.p 0. Đặt
,,x ma nb y pb mc z nc pa
. Hệ thức
liên hệ giữa ba vectơ
,,x y z
là:
A.
0.px ny mz
B.
0.p m x n p y m p z
C.
0.px ny mz
D.
0.p m x n p y m p z
[24] Cho tứ diện O.ABC, G là trọng tâm tứ diện O.ABC, G’ là trọng tâm
ABC
. Đẳng thức nào dưới đây là
sai:
A.
1
'.
3
OG OA OB OC
B.
2 ' 3 0.OG OG
C.
1
.
4
DG DA DB DC DO
D.
1
.
4
OG OA OB OC
[25] Cho hình hộp OABC.O’A’B’C’. Gọi I là tâm của hình hộp. Đẳng thức nào dưới đây là đúng:
A.
.OI OA OB OC
B.
1
.
3
OI OA OB OC
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 72
C.
1
.
4
OI OA OB OC
D.
1
.
2
OI OA OB OC
[26] Cho hình hộp OABC.O’A’B’C’. Gọi I là tâm của hình hộp. Đẳng thức nào dưới đây là đúng:
A.
' '.AC OA OC OO
B.
' '.AC OA OC OO
C.
' '.AC OA OC OO
D.
' '.AC OA OC OO
[27] Cho hình hộp OABC.O’A’B’C’. Gọi I là tâm của hình hộp. Đẳng thức nào dưới đây là đúng:
A.
' ' ' ' ' .BI B A B C B I
B.
' ' ' ' ' .BI B A B C B I
C.
' ' ' ' ' .BI B A B C B I
D.
' ' ' ' ' .BI B A B C B I
[28] Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Đẳng thức nào dưới đây là đúng:
A.
1
.
3
AE AF AH AC
B.
1
.
2
AE AF AH AC
C.
1
.
2
AE AF AH AC
D.
1
3
AE AF AH AC
[29] Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Đẳng thức nào dưới đây là đúng:
A.
1
.
2
AG AF AH AC
B.
1
.
2
AG AF AH AC
C.
1
.
2
AG AF AH AC
D.
1
.
2
AG AF AH AC
[30] Cho tứ diện ABCD. Ba điểm M, N, P trong không gian thỏa mãn:
OM OA t.OB 2OC
,
ON OA 2OB OC
,
OP (t 2)OA 2OC
. Với giá trị nào của t > 0 thì ba vectơ
,,OM ON OP
đồng phẳng:
A.
0.
B.1. C.2. D.3.
[31] Cho tứ diện ABCD. Ba vectơ
a,b,c
thỏa mãn
a OA 2OC
,
b OA 2OB OC
,
c 2OA 2OC
. Biểu
diễn
v 5OA 10OB 15OC
theo ba vectơ
a,b,c
ta được:
A.
v 20a 5b 10c.
B.
v 20a 5b 10c.
C.
v 20a 5b 10c.
D.
v 20a 5b 10c.
[32] Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng, I là trung điểm BC, G là trọng tâm
ABC
. Tập hợp các điểm M, M thoả mãn
2MA MB MC MA MB MC
là:
A. Đường tròn tâm G, bán kính IA. B. Đường tròn tâm G, bán kính
1
3
IA.
C. Mặt cầu tâm G, bán kính IA. D. Mặt cầu tâm G, bán kính
2
IA.
3
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 73
II. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng a,b là góc giữa hai đường a’, b’ cùng đi qua một
điểm và lần lượt song song a,b.
Chú ý: Nếu a//b hoặc a b thì
0
,0ab
và
00
0 , 90ab
2. Hai đường thẳng vuông góc:
a b
0
, 90ab
Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
A. PHÂN DẠNG BÀI TẬP
1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và
ASB BSC CSA
. Chứng minh rằng SA BC, SB
AC, SC AB.
ĐS: Chứng minh
.SA BC
= 0
2. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD.
a) Chứng minh AO vuông góc với CD.
b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BM.
ĐS: b)
3
cos( , )
6
AC BM
.
3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c.
a) CMR đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện thì vuông góc với 2 cạnh đó.
b) Tính góc hợp bởi các cạnh đối của tứ diện.
ĐS: b)
2 2 2 2 2 2
222
arccos ; arccos ; arccos
a c b c a b
b a c

.
4. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân tại A,
M là điểm trên cạnh AD (M A và D). Mặt phẳng (P) qua M song song với mp(SAB) cắt BC, SC, SD lần
lượt tại N, P, Q.
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.
b) Đặt AM = x. Tính diện tích của MNPQ theo a và x.
5. Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC BD, AB
CD, AD CB.
a
b
a’
b’
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 74
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
[1] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
A. Trong không gian, nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song nhau.
B. Trong không gian, nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng vuông góc nhau.
C. Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song nhau.
D. Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng vuông góc nhau.
[2] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a
vuông góc với c.
B. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng c thì a
vuông góc với c.
C. Cho ba đường thẳng a,b,c vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a
thì d song song với b hoặc c.
D. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với
mọi đường thẳng nằm trong mp (a,b).
[3] Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì song song với đường thẳng kia.
[4] Cho
a,b,c
là ba vectơ không cùng phương và khác
0
.Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Nếu
c
vuông góc cả hai vectơ
a,b,
thì ba vectơ
a,b,c
không đồng phẳng.
B. Nếu
a,b,c
cùng vuông góc vectơ
n0
thì ba vectơ
a,b,c
đồng phẳng.
C. Hai vectơ
a,b
luôn đồng phẳng.
D. Nếu
a,b,c
cùng vuông góc vectơ
n0
thì ba vectơ
a,b,c
không đồng phẳng.
[5] Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Khi đó
AB.EG
bằng:
A.
2
a.
B.
2
a 2.
C.
0.
D.
2
a2
.
2
[6] Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Khi đó góc giữa HB và AC bằng:
A.
0
0.
B.
0
30 .
C.
0
90 .
D.
0
60 .
[7] Cho tứ diện A.BCD có AB = AC = AD = a và
0 0 0
ˆ ˆ ˆ
BAC 120 ,BAD 60 ,CAD 90
. Góc giữa
AB
và
CD
là:
A.
0
180 .
B.
0
120 .
C.
0
90 .
D.
0
45 .
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 75
[8] Cho tứ diện A.BCD có AB = AC = AD = a và
00
ˆ ˆ ˆ
BAC BAD 60 ,CAD 90
. Gọi I, J lần lượt là trung
điểm AB và CD. Góc giữa
AB
và
IJ
là:
A.
0
45 .
B.
0
60 .
C.
0
90 .
D.
0
120 .
[9] Cho tứ diện A.BCD có AB = AC = AD = a và
00
ˆ ˆ ˆ
BAC BAD 60 ,CAD 90
. Gọi I, J lần lượt là trung
điểm AB và CD. Góc giữa
CD
và
IJ
là:
A.
0
45 .
B.
0
90 .
C.
0
135 .
D.
0
120 .
[10] Cho hình chóp S.ABC có SA = SC = a, SB = 2a và
00
ˆ ˆ ˆ
ASB CSA 45 ;BSC 90 .
Góc giữa
SA
và
BC
là:
A.
0
45 .
B.
0
108 26'.
C.
0
90 .
D.
0
129 13'.
[11] Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và
ˆ ˆ ˆ
ASB BSC CSA.
Góc giữa
SB
và
AC
là:
A.
0
45 .
B.
0
60 .
C.
0
90 .
D.
0
120 .
[12] Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và
ˆ ˆ ˆ
ASB BSC CSA.
Góc giữa
SC
và
AB
là:
A.
0
45 .
B.
0
60 .
C.
0
115 .
D.
0
90 .
[13] Cho hình lập phương ABCD.EFGH, góc giữa
AB
và
GE
là:
A.
0
135 .
B.
0
45 .
C.
0
115 .
D.
0
90 .
[14] Cho hình lập phương ABCD.EFGH, góc giữa
AF
và
EG
là:
A.
0
45 .
B.
0
60 .
C.
0
115 .
D.
0
90 .
[15] Cho hình lập phương ABCD.EFGH, góc giữa
AB
và
DH
là:
A.
0
135 .
B.
0
45 .
C.
0
115 .
D.
0
90 .
[16] Trong không gian cho hai tam giác đều ABC, ABC’nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Góc giữa
AB
và
CC'
là:
A.
0
60 .
B.
0
45 .
C.
0
90 .
D.
0
120 .
[17] Gọi S là diện tích
ABC
. Khi đó
2
22
1
S AB .AC k AB.AC
2

. Giá trị của k là:
A.0. B.
1
.
2
C.
1
.
4
D.
1.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 76
a
a’
b
(P)
III. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
1. Định nghĩa: d (P) d a, a (P) ( vuông góc với mặt thì vuông góc với mọi đường nằm trong mặt)
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng :
, ( ),
()
,
a b P a b O
dP
d a d b


(đường thẳng vuông góc với mp khi vuông góc 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mp).
3. Mặt phẳng trung trực: của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với
đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
4. Một số tính chất:
()
()
ab
Pb
Pa


( ), ( )
ab
ab
a P b P


( ) ( )
()
()
PQ
aQ
aP


( ) ( )
( ) )
( ) ,( )
PQ
PQ
P a Q a


()
()
aP
ba
bP


()
)
,( )
aP
aP
a b P b


6. Định lí ba đường vuông góc:
Cho
( ), ( )a P b P
, a là hình chiếu của a trên (P).
Khi đó b a b a
( vuông góc hình chiếu
vuông góc với đường xiên)
6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Nếu d (P) thì
,( )dP
= 90
0
.
Nếu
()dP
thì
,( )dP
=
,'dd
với d là hình chiếu của d trên (P).
Chú ý: 0
0
,( )dP
90
0
.
d
a
b
(P
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 77
A. PHÂN DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC ĐƯỜNG THẲNG
* Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
, ( ),
()
,
a b P a b O
dP
d a d b


,
( ) ( )
()
()
PQ
aQ
aP


()
()
ab
Pb
Pa


* Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: Định lý 3 đường vuông góc.

()
.
aP
ab
bP
1. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O. SA (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A trên SB, SC, SD.
a) CMR: BC (SAB), CD (SAD), BD (SAC).
b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra 3 đường thẳng AH, AI, AK cùng nằm trong một
mặt phẳng.
c) CMR: HK (SAC). Từ đó suy ra HK AI.
2. Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA (ABC).
a) Chứng minh: BC (SAB).
b) Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh: AH SC.
3. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết: SA = SC, SB = SD.
a) Chứng minh: SO (ABCD).
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CMR: IJ (SBD).
4. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: BC (AID).
b) Vẽ đường cao AH của AID. Chứng minh: AH (BCD).
5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm
O trên mp(ABC). Chứng minh rằng:
a) BC (OAH).
b) H là trực tâm của tam giác ABC.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 78
c)
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
.
d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn.
6. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SAD là tam giác
vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của SIJ và chứng minh rằng SI (SCD), SJ (SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH AC.
c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho: BM SA. Tính AM theo a.
ĐS: a) a,
3
,
22
aa
c)
5
2
a
7. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a
2
. Gọi H
và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.
a) CMR: SH (ABCD).
b) Chứng minh: AC SK và CK SD.
8. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a
3
, mặt bên SBC vuông tại B, mặt
bên SCD vuông tại D có SD = a
5
.
a) Chứng minh: SA (ABCD) và tính SA.
b) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hình
chiếu của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với mp(HIJ). CMR: AK (SBC), AL
(SCD).
c) Tính diện tích tứ giác AKHL.
ĐS: a) a
2
. c)
2
8
15
a
.
9. Gọi I là 1 điểm bất kì ở trong đường tròn (O;R). CD là dây cung của (O) qua I. Trên đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R. Gọi E là điểm đối tâm của D trên
đường tròn (O). Chứng minh rằng:
a) Tam giác SDE vuông tại S.
b) SD CE.
c) Tam giác SCD vuông.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 79
10. Cho MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ta lấy 2 điểm
C, D ở hai bên điểm A. Gọi C là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC.
a) Chứng minh: CC (MBD).
b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. CMR: K là trực tâm của BCD.
11. Cho hình tứ diện ABCD.
a) Chứng minh rằng: AB CD AC
2
– AD
2
= BC
2
– BD
2
.
b) Từ đó suy ra nếu một tứ diện có 2 cặp cạnh đối vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối còn lại cũng vuông
góc với nhau.
DẠNG 2: TÌM THIẾT DIỆN QUA 1 ĐIỂM VÀ VUÔNG GÓC VỚI ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC
Tìm 2 đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với đường thẳng đã cho, khi đó mặt phẳng cắt sẽ song song (hoặc
chứa) với 2 đường thẳng ấy.
ĐS: a) Hình thang vuông b) S = 2a(a – x).
2. Cho tứ diện SABC, có đáy là tam giác đều cạnh a; SA (ABC) và SA = 2a. Mặt phẳng (P) qua B và
vuông góc với SC. Tìm thiết diện của tứ diện với (P) và tính diện tích của thiết diện này.
ĐS: S =
2
15
20
a
.
3. Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a. SA (ABC) và SA = a
3
. M là 1
điểm tuỳ ý trên cạnh AB, đặt AM = x (0 < x < a). Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB.
a) Tìm thiết diện của tứ diện với (P).
b) Tính diện tích của thiết diện đó theo a và x. Tìm x để diện tích thiết diện có giá trị lớn nhất.
ĐS: b) S =
3
x(a – x); S lớn nhất khi x =
2
a
.
4. Cho hình tứ diện SABC với ABC là tam giác đều cạnh a, SA (ABC) và SA = a. Tìm thiết diện của tứ
diện với mặt phẳng (P) và tính diện tích thiết diện trong các trường hợp sau:
1. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a; SA (ABCD)
và SA = 2a. Gọi M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với AB. Đặt AM = x (0 <
x < a).
a) Tìm thiết diện của hình chóp với (P). Thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 80
a) (P) qua S và vuông góc với BC.
b) (P) qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC.
c) (P) qua trung điểm M của SC và vuông góc với AB.
ĐS: a)
2
3
4
a
. b)
2
2 21
49
a
. c)
2
53
32
a
.
5. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA = a
2
. Vẽ đường cao AH của
tam giác SAB.
a) CMR:
2
3
SH
SB
.
b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. (P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện
tích thiết diện. ĐS: b) S =
2
56
18
a
DẠNG 3: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Phương pháp: Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Tìm giao điểm O của a với (P).
Chọn điểm A a và dựng AH (P). Khi đó
( ,( ))AOH a P
1. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SO (ABCD). Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết
0
( ,( )) 60MN ABCD
.
a) Tính MN và SO.
b) Tính góc giữa MN và (SBD).
ĐS: a) MN =
10
2
a
; SO =
30
2
a
b) sin
5
( ,( ))
5
MN SBD
.
2. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA (ABCD) và SA = a
6
. Tính góc giữa:
a) SC và (ABCD) b) SC và (SAB) c) SB và (SAC) d) AC và (SBC)
ĐS: a) 60
0
b) arctan
1
7
c) arcsin
1
14
d) arcsin
21
7
.
3. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA (ABCD). Cạnh SC = a hợp với đáy góc
và hợp với mặt bên SAB góc .
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 81
a) Tính SA.
b) CMR: AB = a
cos( ).cos( )
.
ĐS: a) a.sin
4. Cho hình chóp SABC, có ABC là tam giác cân, AB = AC = a,
BAC
. Biết SA, SB, SC đều hợp với
mặt phẳng (ABC) góc .
a) CMR: hình chiếu của S trên mp(ABC) là tâm của đường tròn ngoại tiếp ABC.
b) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC).
ĐS: b)
.sin
2
cos
a
.
ĐS: a) a
2
. b)
66
11
a
. c) arcsin
54
55
.
6. Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; AA (ABC). Đoạn nối trung điểm
M của AB và trung điểm N của BC có độ dài bằng a, MN hợp với đáy góc và mặt bên BCCB góc .
a) Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và .
b) Chứng minh rằng: cos =
2
sin.
ĐS: a) AB = AC = 2a.cos; BC = 2a
2
cos; AA = a.sin.
A. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
[1] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
A. Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mp (P) thì nó vuông góc với mp (P).
B. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai mp song song nhau thì nó cũng vuông góc với mp còn lại.
C. Đường thẳng vuông góc với mp thì vuông góc với mọi đường nằm trong mp đó.
D. Một đường thẳng vuông góc với một mp cho trước thì mọi đường thẳng song song với đường thẳng đó đều
vuông góc với mp.
5. Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy là tam giác đều cạnh a, AA (ABC). Đường chéo BC của mặt bên
BCCB hợp với (ABBA) góc 30
0
.
a) Tính AA.
b) Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến (BAC).
c) Gọi N là trung điểm của cạnh BB. Tính góc giữa MN và (BAC).
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 82
[2] Dữ kiện nào dưới đây có thể khẳng định
dP
:
(I)
dQ
d P .
P / /(Q

(II)
d' Q
d P .
d / /d'

(III)
1
2
12
dd
d d d P .
d d P

(IV)
0
d, P 90 .
A.Chỉ có (III). B. (I), (II), (III). C.(III) và (IV). D. (I), (II), (III), (IV).
[3] Cho tứ diện A.BCD cách nào dưới đây có thể xác định điểm O cách đều 4 đỉnh của tứ diện:
A. Dựng đường thẳng d vuông góc với mp(BCD) tại tâm đường tròn ngoại tiếp
BCD
. Dựng đường trung trực
d’ của AB. d cắt d’ tại I, I chính là điểm cần tìm.
B. Dựng đường thẳng d vuông góc với mp(BCD) tại tâm đường tròn nội tiếp
BCD
. Dựng mp trung trực (P)
của AB. d cắt (P) tại I, I chính là điểm cần tìm.
C. Dựng đường thẳng d vuông góc với mp(BCD) tại tâm đường tròn ngoại tiếp
BCD
. Dựng mp trung trực (P)
của AB. d cắt (P) tại I, I chính là điểm cần tìm.
D. Hạ đường cao AH của tứ diện A.BCD. Dựng mp trung trực (P) của AB. AH cắt (P) tại I, I chính là điểm cần
tìm.
[4] Góc giữa đường thẳng và mp :
A. Là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mp.
B. Là góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó trên mp.
C. Có thể là góc tù.
D. Luôn luôn là góc nhọn.
[5] Chọn câu sai. Cho điểm S có hình chiếu vuông góc trên mp(P) là H, M là điểm bất kì trên (P) ( M không
trùng H). Khi đó ta có:
A.
SM, P SM,MH
(góc giữa đường với mặt bằng góc giữa đường và hình chiếu vuông góc của nó
trên mặt).
B.
1 2 1 2
SM SM HM HM
(hình chiếu lớn hơn khi và chỉ khi đường xiên lớn hơn).
C.
SM MH
(độ dài của đường xiên luôn nhỏ hơn hoặc bằng hình chiếu).
D.
1 2 1 2
SM SM HM HM
( hình chiếu bằng nhau khi và chỉ khi đường xiên bằng nhau).
[6] Cho tứ diện A.BCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc nhau và AB = a, BC = b, CD = c. Độ dài AD bằng:
A.
2 2 2
AD a b c .
B.
2 2 2 2
1 1 1 1
.
AD a b c
C.
AB ab bc ac.
D.
2
1 1 1 1
.
ab bc ac
AD
[7] Cho tứ diện A.BCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc nhau. Khi đó CD vuông góc với mp:
A. mp(ABD). B. mp(ABC). C. mp trung trực của BC. D. mp trung trực của BD.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 83
[8] Cho tứ diện A.BCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc nhau. Điểm cách đều bốn đỉnh A,B,C,D của hình
chóp là:
A. trung điểm AB. B. trung điểm BC. C. trung điểm CD. D. trung điểm AD.
[9] Cho tứ diện A.BCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc nhau và AB = a, BC = b, CD = c. Độ dài đường cao
đỉnh A của tứ diện là:
A.a. B.b. C.
2 2 2
a b c .
D.
2 2 2 2
1 1 1 1
.
h a b c
[10] Cho tứ diện O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và OA = 2OB = OC. Khi đó:
A.
ABC
có góc A là góc tù. C.
ABC
có góc B là góc tù.
B.
ABC
có góc C là góc tù. D.
ABC
có 3 góc nhọn.
[11] Cho tứ diện O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. Khi đó hình chiếu vuông góc của O
lên mp(ABC) là:
A. trọng tâm
ABC.
B. trực tâm
ABC.
C. tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC.
D. tâm đường tròn nội tiếp
ABC.
[12] Cho tứ diện O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. Độ dài đường cao đỉnh O của hình
chóp là:
A.
2 2 2 2
1 1 1 1
.
h OA OB OC
B.
2 2 2
h OA OB OC .
C.
h OA.OB OB.OC OA.OC.
D.
2
1 1 1 1
.
OA.OB OB.OC OA.OC
h
[13] Cho hình chóp S.ABC có
SA ABC
,
ABC
có ba góc nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm
ABC
và
SBC
. Chọn câu sai trong các câu sau:
A. BC
SH.
B.
AH,SK,BC
đồng qui. C.
BC SAH .
D.
BC SAB .
[14] Cho hình chóp S.ABC có
SA ABC
, SA = 2a,
ABC
đều cạnh a. Gọi H, K lần lượt là trực tâm
ABC
và
SBC
. Góc giữa SC và mp (BHK) là:
A. 30
0
. B.60
0
. C.90
0
. D.45
0
.
[15] Xét bài toán “ Cho hình chóp S.ABC có
SA ABC
,
ABC
có ba góc nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm
ABC
và
SBC
. Xác định góc giữa HK và mp (SBC).”
Để giải bài toán trên, một học sinh đã làm như sau:
B1. HK
SBC K.
(1)
B2. Trong mp(ABC):
AH BC I.
(2)
B3. Ba đường thẳng AH, BC, SK đồng qui tại I. (3)
B4. Từ (1), (2), (3)
HK, SBC HIK.
(4)
Bài giải trên đúng hay sai, nếu sai thì sai ở bước nào?
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 84
A. Đúng. B. Sai B2. C. Sai B3. D.Sai B4.
[16] Cho hình chóp S.ABC có
SA ABC
,
ABC
có ba góc nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm
ABC
và
SBC
. Chọn câu sai trong các câu dưới đây:
A.
HK SBC .
B.
CK SAB .
C.
BH SAC .
D.
CH SAB .
[17] Cho hình chóp S.ABC có
ABC
đều cạnh a và SA = SB = SC = b. G là trọng tâm
ABC
. Kết luận nào sau
đây là đúng:
A.
SG ABC .
B.
AG SBC .
C.
BG SAC .
D.
CG SAB .
[18] Cho hình chóp S.ABC có
ABC
đều cạnh a và SA = SB = SC = b. G là trọng tâm
ABC
. Độ dài SG bằng:
A.
22
36 3
.
6
ba
SG
B.
22
36 3
.
6
ba
SG
C.
22
93
.
3
ba
SG
D.
22
93
.
3
ba
SG
[19] Cho hình chóp S.ABC có
ABC
đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Mp (P) đi qua A và vuông góc với SC.
Hệ thức liên thệ giữa a và b để (P) cắt SC tại C
1
nằm trong đoạn SC?
A.
2.ba
B.
2.ba
C.
2.ab
D.
2.ab
[20] Với a,b thỏa điều kiện trên, diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp S.ABC bằng:
A.
2 2 2
3
.
2
a b a
S
b
B.
2 2 2
5
.
2
a b a
S
b
C.
2 2 2
3
.
4
a b a
S
b
D.
2 2 2
5
.
4
a b a
S
b
[21] Tứ diện A.BCD gọi là tứ diện trực tâm khi nó có các cạnh đối diện vuông góc nhau. Xét các mệnh đề dưới
đây.
(I) Chân đường cao từ một đỉnh trùng với trực tâm mặt đối diện.
(II)
2 2 2 2 2 2
.AB CD AC BD AD BC
(III) Bốn đường cao của tứ diện đồng qui tại một điểm.
(IV)
2 2 2 2
1 1 1 1
.
AH AB AC AD
Có mấy mệnh đề có thể khẳng định tứ diện A.BCD là trực tâm.
A.4. B. 3. C. 2. D. 1.
[22] Cho tứ diện A.BCD có AB =AC = BC = BD = CD = a, AD =
3
.
2
a
Gọi H lần chân đường cao đỉnh A của
hình chóp. Độ dài BH bằng:
A.
3
.
4
a
BH
B.
3
.
6
a
BH
C.
3
.
2
a
BH
D.
3
.
3
a
BH
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 85
[23] Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, cạnh SA vuông góc với đáy. Gọi I, J là hai điểm trên SB
và SD sao cho
SI SK
SB SD
. Mệnh đề nào dưới đây là sai:
A.
/ / .IK mp ABCD
B.
.IK mp SAC
C.
.IK mp SCD
D.
/ / .AB mp SCD
[24] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp (ABCD),
6.SA a
Góc
giữa SC và (ABCD) bằng:
A.
0
60 .
B.
0
30 .
C.
6,147
rad. D.90
0
.
[25] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp (ABCD),
2.SA a
Góc
giữa SC và (SAB) bằng:
A.90
0
. B.30
0
. C.45
0
. D.60
0
.
[26] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp (ABCD),
.SA a
Góc giữa
SB và (SAC) bằng:
A.90
0
. B.30
0
. C.45
0
. D.60
0
.
[27] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp (ABCD),
2.SA a
Góc giữa
SC và (SBD) bằng:
A.20
0
7’. B.45
0
35’. C.45
0
. D.20
0
42’.
[28] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SO vuông góc (ABCD). Gọi M, N lần
lượt là trung điểm SA và BC, biết 
󰇛

󰇜
= 60
0
. Độ dài MN là:
A.
10
.
2
a
B.
5.a
C.
5
.
8
a
D.
5
.
8
a
[29] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SO vuông góc (ABCD). Gọi M, N lần
lượt là trung điểm SA và BC, biết 
󰇛

󰇜
= 60
0
. Độ dài SO là:
A.
30.a
B.
30
.
2
a
C.
30
.
8
a
D.
30
.
4
a
[30] Cho tứ diện A.BCD, có AB vuông góc (BCD),
3,AB a BCD
đều cạnh a. Góc giữa AC và (BCD) bằng:
A.90
0
. B.30
0
. C.45
0
. D.60
0
.
[31] Cho tứ diện A.BCD, có AB vuông góc (BCD),
3,AB a BCD
vuông cân tại C, cạnh BC= a. Góc giữa
AD và (BCD) bằng:
A.39
0
17’. B.40
0
53’. C.50
0
46’. D.49
0
7’.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 86
[32] Cho tứ diện A.BCD, có AB vuông góc (BCD),
3,AB a BCD
đều cạnh a. Góc giữa AD và (ABC) bằng:
A.64
0
20’. B.25
0
40’. C.42
0
2’. D.47
0
58’.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 87
IV. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1. Góc giữa hai mặt phẳng
()
( ),( ) ,
()
aP
P Q a b
bQ

Giả sử (P) (Q) = c. Từ I c, dựng
( ),
( ),
a P a c
b Q b c


( ),( ) ,P Q a b
Chú ý:
00
0 ( ),( ) 90PQ
2. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của hình chiếu (H) của (H) trên (Q), =
( ),( )PQ
.
Khi đó: S = S.cos
3. Hai mặt phẳng vuông góc
(P) (Q)
0
( ),( ) 90PQ
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
()
( ) ( )
()
Pa
PQ
aQ

4. Tính chất
( ) ( ),( ) ( )
()
( ),
P Q P Q c
aQ
a P a c


( ) ( )
( ) ( )
, ( )
PQ
A P a P
a A a Q

( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q a
P R a R
QR

5. Hình lăng trụ đứng – Hình hộp chữ nhật – Hình lập phương
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 88
A. PHÂN DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Phương pháp: Muốn tìm góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
Tìm hai đường thẳng a, b: a (P), b (Q). Khi đó:
( ),( ) ,P Q a b
.
Giả sử (P) (Q) = c. Từ I c, dựng
( ),
( ),
a P a c
b Q b c


( ),( ) ,P Q a b
1. Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA (ABC) và SA = a. Gọi
E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC).
ĐS: a)
( ),( )SAC SBC
= 60
0
b) cos
3
(( ),( ))
10
SEF SBC
.
2. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA (ABCD). Tính SA theo a để số đo của góc giữa hai mặt
phẳng (SCB) và (SCD) bằng 60
0
.
ĐS:SA = a.
3. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a; SA
(ABCD) và SA = a
3
.
a) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD).
ĐS: a) tan
(( ),( )) 7SAD SBC
b) cos
10
(( ),( ))
5
SBC SCD
.
4. Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA (ABCD) và SA = a
3
. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:
a) (SBC) và (ABC) b) (SBD) và (ABD) c) (SAB) và (SCD)
ĐS: a) 60
0
b) arctan
6
c) 30
0
.
5. Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB =
3
3
a
; SA (ABCD) và SO =
6
3
a
.
a) Chứng minh
ASC
vuông.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 89
b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
ĐS: c) 60
0
.
6. Cho hình chóp SABCD có SA (ABCD) và SA = a
2
, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với
AB = 2a, AD = DC = a. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng:
a) (SBC) và (ABC) b) (SAB) và (SBC) c) (SBC) và (SCD)
ĐS: a) 45
0
b) 60
0
c) arccos
6
3
.
DẠNG 2. CHỨNG MINH HAI MP VUÔNG GÓC –CÁCH KHÁC CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG
VUÔNG GÓC MP
* Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh (P) (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
Chứng minh trong (P) chứa đường thẳng a mà a (Q).
Chứng minh
0
( ),( ) 90PQ
* Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh d (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
Chứng minh d (Q) với (Q) (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).
Chứng minh d = (Q) (R) với (Q) (P) và (R) (P).
Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.
1. Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc vơi
mp(ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a
6
. Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc
với nhau.
2. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đường cao BE,
DF của BCD, đường cao DK của ACD.
a) Chứng minh: AB (BCD).
b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC).
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 90
c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC. CMR: OH (ADC).
3. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA (ABCD).
a) Chứng minh (SAC) (SBD).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD).
c) Gọi BE, DF là hai đường cao của SBD. CMR: (ACF) (SBC), (AEF) (SAC).
ĐS: b) 90
0
.
4. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD). Gọi M, N là 2 điểm lần lượt ở
trên 2 cạnh BC, DC sao cho BM =
2
a
, DN =
3
4
a
. Chứng minh 2 mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc
với nhau.
5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB và CC cùng vuông góc với mp(ABC).
a) Chứng minh (ABB) (ACC).
b) Gọi AH, AK là các đường cao của ABC và ABC. Chứng minh 2 mặt phẳng (BCCB) và (ABC)
cùng vuông góc với mặt phẳng (AHK).
ĐS: b) arcsin
6
4
c) arcsin
10
5
7. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b. Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với
mp(ABC); S là 1 điểm di động trên (P) sao cho SABC là hình chóp có 2 mặt bên SAB, SAC hợp với đáy
ABC hai góc có số đo lần lượt là và
2
. Gọi H, I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên BC,
AB, AC.
a) Chứng minh rằng: SH
2
= HI.HJ.
b) Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy tìm giá trị của .
ĐS: b) SH
max
=
1
; arctan
2
c
bc
b
6. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với
đáy. Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh rằng SI (ABCD), AD (SAB).
b) Tính góc giữa BD và mp(SAD).
c) Tính góc giữa SD và mp(SCI).
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 91
8. Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, x,
y để:
a) Mặt phẳng (ABC) (BCD).
b) Mặt phẳng (ABC) (ACD).
ĐS: a) x
2
– y
2
+
2
2
b
= 0 b) x
2
– y
2
+ b
2
– 2a
2
= 0
9. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) ; M và N là hai điểm nằm trên
các cạnh BC, CD. Đặt BM = x, DN = y.
a) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau là MN
(SAM). Từ đó suy ra hệ thức liên hệ giữa x và y.
b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) có số đo bằng 30
0
là
a(x + y) +
3
xy = a
2
3
.
ĐS: a) a
2
– a(x + y) + x
2
= 0
6
2
a
c) Chứng minh
0
90BKD
và từ đó suy ra (SAB) (SAD).
ĐS: b)
2
a
IK
.
DẠNG 3: DIỆN TÍCH HÌNH CHIẾU CỦA ĐA GIÁC
Phương pháp: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của hình chiếu (H) của (H) trên (Q),
=
( ),( )PQ
. Khi đó: S = S.cos
1. Cho hình thoi ABCD có đỉnh A ở trong mặt phẳng (P), các đỉnh khác không ở trong (P), BD = a, AC = a
2
. Chiếu vuông góc hình thoi lên mặt phẳng (P) ta được hình vuông ABCD.
a) Tính diện tích của ABCD và ABCD. Suy ra góc giữa (ABCD) và (P).
b) Gọi E và F lần lượt là giao điểm của CB, CD với (P). Tính diện tích của tứ giác EFDB và EFDB.
10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thoi tâm I cạnh a và có góc A bằng 60
0
, cạnh SC =
và SC (ABCD).
a) Chứng minh (SBD) (SAC).
b) Trong tam giác SCA kẻ IK SA tại K. Tính độ dài IK.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 92
ĐS: a) 450 b) S
EFDB
=
2
32
4
a
; S
EFD
B
=
2
3
4
a
2. Cho tam giác cân ABC có đường cao AH = a
3
, đáy BC = 3a; BC (P). Gọi A là hình chiếu của A trên
(P). Khi ABC vuông tại A, tính góc giữa (P) và (ABC).
ĐS: 30
0
3. Cho tam giác đều ABC cạnh a, nằm trong mặt phẳng (P). Trên các đường thẳng vuông góc với (P) vẽ từ B
và C lấy các đoạn BD =
2
2
a
, CE = a
2
nằm cùng một bên đối với (P).
a) Chứng minh tam giác ADE vuông. Tính diện tích của tam giác ADE.
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ADE) và (P).
ĐS: a)
2
3
4
a
b) arccos
3
3
4. Cho hình chóp SABC có các mặt bên hợp với đáy một góc .
a) Chứng minh hình chiếu của S trên mp(ABC) là tâm của đường tròn nội tiếp ABC.
b) Chứng minh: S
SAB
+ S
SBC
+ S
SCA
=
cos
ABC
S
này vuông tại A.
c) Cho x = 4a. Vẽ đường cao OC của OAB. Chứng minh rằng CA AB. Tính góc giữa hai mặt phẳng
(OAB) và (P).
ĐS: a) x = 0 b) x = 4a c) arccos
39
26
5. Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Gọi H là trực tâm của ABC. Chứng minh rằng:
a) SH (ABC).
b) (S
SBC
)
2
= S
ABC
.S
HBC
. Từ đó suy ra: (S
ABC
)
2
= (S
SAB
)
2
+ (S
SBC
)
2
+(S
SCA
)
2
.
6. Trong mặt phẳng (P) cho OAB vuông tại O, AB = 2a, OB = a. Trên các tia vuông góc với (P) vẽ từ A và
B và ở về cùng một bên đối với (P), lấy AA = a, BB = x.
a) Định x để tam giác OAB vuông tại O.
b) Tính AB, OA, OB theo a và x. Chứng tỏ tam giác OAB không thể vuông tại B. Định x để tam giác
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 93
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
[1] Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề đúng.
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song nhau.
B. Nếu hai mặt phẳng vuông góc nhau thì mọi đường trong mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
C. Nếu hai mặt phẳng phân biệt
,

cùng vuông góc với mặt phẳng
thì giao tuyến d của
,

sẽ
vuông góc với mp
.
D. Hai mặt phẳng phân biệt
,

cắt nhau theo giao tuyến d, với mỗi điểm A thuộc
và B thuộc
thì
AB vuông góc d.
[2] Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Qua một đường thẳng d cho trước xác định được duy nhất một mặt phẳng (P) chứa d và vuông góc mp (Q)
cho trước.
B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.
C. Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì luôn đi qua
một đường thẳng cố định.
D. Hai mặt phẳng vuông góc nhau thì đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến sẽ
vuông góc với mặt phẳng còn lại.
[3] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là sai?
A. Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là hình chữ nhật.
B. Hình lăng trụ có hai mặt bên là hình chữ nhật là hình lăng trụ đứng.
C. Hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
D. Hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy là hình lăng trụ đứng.
[4] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. Để ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật
thì:
A.
2 2 2
' ' .A C AC a b c
B.
2 2 2 2 2 2
' ' .A C BD a b a c b c
C.
2 2 2 2 2 2
' ' .A C AC a b a c b c
D.
2 2 2
' ' .A C BD a b c
[5] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song nhau.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song nhau.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thì song song nhau.
D. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau.
[6] Chọn câu đúng. Dữ kiện nào dưới đây không thể kết luận
mp P mp Q
?
A.
.
dP
dQ
B. 󰇛
󰇛
󰇜
󰇛󰇜󰇜
= 90
0
. C.
12
12
, ,
.
,
d Q d d P
d d d d

D. A,B,C đều đúng.
[7] Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song nhau.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 94
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau.
C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
D. Đường thẳng d không thuộc mặt phẳng
, d và
cùng vuông góc với đường thẳng d’ thì d //
.
[8] Độ dài đường chéo của một hình lập phương cạnh a là:
A.
2.a
B.
3.a
C.2a. D.3a.
[9] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Kết luận nào dưới đây là sai:
A.
' ' .AC A BD
B.
' ' ' .AC B CD
C.
' / / ' ' .A BD B CD
D. 󰇛
󰇛

󰆒
󰆒
󰇜
󰇜
= 45
0
.
[10] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Mặt phẳng trung trực của AC’ cắt hình lập phương theo
thiết diện là hình:
A. Tam giác đều. B. Tứ giác đều. C. Ngũ giác đều. D. Lục giác đều.
[11] Cho hai mặt phẳng
,

cắt nhau, điểm M nằm ngoài hai mặt phẳng đó. Qua M dựng được bao nhiêu
mp vuông góc với cả
,

:
A.0. B.1. C.2. D. vô số.
[12] Cho hai mặt phẳng
,

song song nhau, điểm M nằm ngoài hai mặt phẳng đó. Qua M dựng được bao
nhiêu mp vuông góc với cả
,

:
A.0. B.1. C.2. D. vô số.
[13] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm hình vuông
ABCD. Độ dài SO bằng:
A.
2.a
B.
2
.
2
a
C.
3
.
2
a
D.
3.a
[14] Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.
PQ
, lấy A,B thuộc
sao cho AB = 8cm, C
thuộc mp (P), D thuộc mp (Q) và AC = 6cm, BD = 24cm và AC,BD cùng vuông góc AB. Độ dài CD là:
A.
6 17 .cm
B.
612 .cm
C.26cm. D.38cm.
[15] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Mặt phẳng trung trực của AC’ cắt hình lập phương theo
thiết diện H, diện tích thiết diện này là:
A.
2
33
.
4
a
B.
2
3
.
4
a
C.
2
32
.
4
a
D.
2
2
.
4
a
[16] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm hình vuông
ABCD. Gọi M là trung điểm của SC, góc giữa (MBD) và (SAC) bằng:
A.
0
30 .
B.
0
45 .
C.
0
60 .
D.
0
90 .
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 95
[17] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm hình vuông
ABCD, M là trung điểm SC.Độ dài MO bằng:
A.
2.a
B.
2
.
2
a
C.
.
2
a
D.
.a
[18] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm hình vuông
ABCD, M là trung điểm SC. Góc giữa (MBD) và (ABCD) bằng
A.
0
30 .
B.
0
45 .
C.
0
60 .
D.
0
90 .
[19] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và
0
6
ˆ
60 , ,
2
a
A SC SC ABCD
. Trong
SAC
dựng OK vuông góc SA tại K. Số đo 
bằng:
A.30
0
. B.45
0
. C.60
0
. D.90
0
.
[20] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc (ABCD), SA = x. Với giá
trị nào của x thì góc giữa 2 mp (SBC) và (SCD) là 60
0
?
A.
.
2
a
x
B.
.xa
C.
2.xa
D.
3
.
2
a
x
[21] Cho mp(P) vuông góc mp(Q),
PQ
. A,B thuộc
,
,C P D Q
sao cho
AB AC
AB BD
và
AB = AC = BD. Gọi
là mp đi qua A và vuông góc với CD. Thiết diện tạo bởi
và tứ diện A.BCD là hình:
A. Tam giác vuông. B. Tam giác cân.
C. Tam giác đều. D. Hình vuông.
[22] Cho mp(P) vuông góc mp(Q),
PQ
. A,B thuộc
,
,C P D Q
sao cho
AB AC
AB BD
và
AB = AC = BD = a. Gọi
là mp đi qua A và vuông góc với CD. Thiết diện tạo bởi
và tứ diện A.BCD có
diện tích là:
A.
2
3
.
4
a
B.
2
3
.
6
a
C.
2
3
.
8
a
D.
2
3
.
12
a
[23] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Mệnh đề nào dưới đây là sai.
A. Tứ diện A.B’C’D’ có các cạnh đối bằng nhau
ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật.
B. Tứ diện A.B’C’D’ có các cạnh đối vuông góc
ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp có các mặt bên là hình thoi.
C. Tứ diện A.B’C’D’ đều
ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương.
D. Cả 3 câu A,B,C đều sai.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 96
[24] Cho hai
ACD và
BCD nằm trên hai mp vuông góc nhau, AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Độ dài
AB bằng:
A.
22
.AB a x
B.
22
.AB a x
C.
22
2.AB a x
D.
22
2.AB a x
[25] Cho hai
ACD và
BCD nằm trên hai mp vuông góc nhau, AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J
lần lượt là trung điểm AB, CD. Độ dài IJ bằng:
A.
22
2
.
2
ax
AB
B.
22
2.AB a x
C.
22
2 2 .AB a x
D.
22
2
.
2
ax
AB
[26] Cho hai
ACD và
BCD nằm trên hai mp vuông góc nhau, AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Với giá
trị nào của x thì (ABC) và (ABD) vuông góc nhau?
A.
5
.
3
a
B.
3
.
3
a
C.
5
.
6
a
D.
3
.
6
a
[27] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Góc giữa (ABCD) và (SBD)
bằng:
A.30
0
. B.45
0
.
C.60
0
. D.90
0
.
[28] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Khi đó
SBD là:
A.Tam giác vuông tại S. B.Tam giác vuông tại B.
C.Tam giác vuông tại D. D.Tam giác cân tại B.
[29] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Đường cao đỉnh S của hình
chóp S.ABCD là:
A. SO, với O là giao điểm AC, BD.
B. SB.
C. SG’, G’ là trọng tâm
ABC.
D. SG, G là trọng tâm
ACD.
[30] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và
0
6
ˆ
60 , ,
2
a
A SC SC ABCD
. Góc giữa
hai mp (SBD) và (SAC) bằng:
A.30
0
. B.45
0
.
C.60
0
. D.90
0
.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 97
[31] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và
0
6
ˆ
60 , ,
2
a
A SC SC ABCD
. Trong
SAC
dựng OK vuông góc SA tại K. Độ dài OK bằng:
A.
.
2
a
B.
3
.
2
a
C.
2.a
D.
2 3.a
[32] Cho tứ diện A.BCD có
ABC
vuông cân tại A, BC = a. Góc giữa 2mp (ABC) và (BCD) là 60
0
và AD
vuông góc (BCD) tại D. Diện tích
BCD
bằng:
A.
2
2.a
B.
2
.
8
a
C.
2
.
2
a
D.
2
.
4
a
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 98
V. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
( , )
( ,( ))
d M a MH
d M P MH
trong đó H là hình chiếu của M trên a hoặc (P).
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
d(a,(P)) = d(M,(P)) trong đó M là điểm bất kì nằm trên a.
d((P),(Q) = d(M,(Q)) trong đó M là điểm bất kì nằm trên (P).
mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt
chứa hai đường thẳng đó.
A. PHÂN DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH 2 ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Cách 1: Giả sử a b:
Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại A.
Dựng AB b tại B
AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song.
Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a.
Chọn M a, dựng MH (P) tại H.
Từ H dựng đường thẳng a // a, cắt b tại B.
Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a tại A.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Đường thẳng cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b được gọi là đường vuông góc chung của a, b.
Nếu cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b.
Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó với
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 99
AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)).
Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc.
Dựng mặt phẳng (P) a tại O.
Dựng hình chiếu b của b trên (P).
Dựng OH b tại H.
Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b tại B.
Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A.
AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Chú ý: d(a,b) = AB = OH.
1. Cho hình tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC = a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy dựng và tính độ dài
đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng:
a) OA và BC. b) AI và OC.
ĐS: a)
2
2
a
b)
5
5
a
2. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA (ABCD) và SA = a. Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng:
a) SC và BD. b) AC và SD.
ĐS: a)
6
6
a
b)
3
3
a
3. Cho tứ diện SABC có SA (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui.
b) Chứng minh SC (BHK), HK (SBC).
c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.
ĐS: c) Gọi E = AH BC. Đường vuông góc chung của BC và SA là AE.
4. a) Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AC = BD, AD = BC thì dường vuông góc chung của AB và
CD là đường nối các trung điểm I, K của hai cạnh AB và CD .
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 100
b) Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối các trung điểm I, K của hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD
là đường vuông góc chung của AB và CD thì AC = BD, AD = BC.
ĐS: b) Giả sử BC = a, AD = a, AC = b, BD = b. Chứng minh a = a, b = b.
5. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm của AB. Dựng IS (ABCD) và IS =
3
2
a
. Gọi M,
N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SD, SB. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của
các cặp đường thẳng:
a) NP và AC b) MN và AP.
ĐS: a)
3
4
a
b)
2
a
DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH ĐIỂM – MP; ĐƯỜNG THẲNG – MP SONG SONG, HAI MP SONG SONG
Để tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) ta cần xác định đoạn vuông góc vẽ từ điểm
đó đến đường thẳng (mặt phẳng).
1. Cho hình chóp SABCD, có SA (ABCD) và SA = a
6
, đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong
đường tròn đường kinh AD = 2a.
a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
c) Tính diện tích của thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với mp(SAD) và
cách (SAD) một khoảng bằng
3
4
a
.
ĐS: a) d(A,(SCD)) = a
2
; d(B,(SCD)) =
2
2
a
b)
6
3
a
c)
2
6
2
a
2. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA (ABC) và AA = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC =
2a, AB = a
3
.
a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB).
b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC).
c) Chứng minh rằng AB (ACCA) và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC).
ĐS: a)
3
2
a
b)
21
7
a
c)
2
2
a
3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA = 2a.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 101
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD).
b) M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng MN song song với (SBD) và tính
khoảng cách từ MN đến (SBD).
c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt các cạnh SA, SD theo thứ tự tại E, F. Cho biết AD cách (P) một khoảng là
2
2
a
, tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) và diện tích tứ giác BCFE.
ĐS: a)
2a
;
2
2
a
b)
6
3
a
c)
2
6
2
a
4. Cho hai tia chéo nhau Ax, By hợp với nhau góc 60
0
, nhận AB = a làm đoạn vuông góc chung. Trên By
lấy điểm C với BC = a. Gọi D là hình chiếu của C trên Ax.
a) Tính AD và khoảng cách từ C đến mp(ABD).
b) Tính khoảng cách giữa AC và BD.
ĐS: a) AD =
2
a
; d(C,(ABD)) =
3
2
a
b)
93
31
a
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
0
60BAD
. Gọi O là giao điểm của AC và
BD. Đường thẳng SO (ABCD) và SO =
3
4
a
. Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE.
a) Chứng minh (SOF) (SBC).
b) Tính các khoảng cách từ O và A đến (SBC).
ĐS: b) d(O,(SBC)) =
3
8
a
, d(A,(SBC)) =
3
4
a
.
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
[1] Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Đường thẳng
vuông góc với đường thẳng a và cũng vuông góc với đường thẳng b nên
là đường vuông
góc chung của a và b.
B. Gọi (P) là mp song song với hai đường chéo nhau a và b.
là đường vuông góc chung của a và b thì
vuông
góc với mp(P).
C. Gọi
là đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau a và b thì
là giao tuyến của 2 mp
, ; , .ab
D. Gọi
là đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau a và b. Nếu
ab
thì
,.a mp b
[2] Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Cho a và b là 2 đường thẳng chéo nhau, M là một điểm bất kì trên a. Đường thẳng
đi qua M , vuông góc và
cắt b tại N thì MN là đoạn vuông góc chung của a và b.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 102
B. Nếu
là đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau a và b thì
,.a mp b
C. Nếu
là đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau a và b thì
,.b mp a
D. Cho a và b là 2 đường thẳng chéo nhau, M là một điểm bất kì trên a, N là một điểm bất kì trên b. Độ dài đoạn
thẳng MN ngắn nhất khi MN là đường vuông góc chung của a,b.
[3] Cho tứ diện đều A.BCD cạnh a, khoảng cách giữa AB và CD bằng:
A.
.
2
a
B.
2
.
2
a
C.
3
.
2
a
D.
.a
[4] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Khoảng cách từ C đến AC’ bằng:
A.
3
.
2
a
B.
3
.
2
a
C.
2
.
3
a
D.
2
.
3
a
[5] Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S tới mp(ABC)
bằng:
A.
.a
B.
17
.
12
a
C.
2
.
3
a
D.
2.a
[6] Cho tứ diện A.BCD có AC = BC = AD = BD = a, AB = c, CD = c’. Khoảng cách giữa AB và CD bằng:
A.
2 2 2
2'
.
2
a c c
B.
2 2 2
2'
.
2
a c c
C.
2 2 2
4'
.
4
a c c
D.
2 2 2
4'
.
2
a c c
[7] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. Khoảng cách từ B đến mp(ACC’A’)
bằng:
A.
22
.
ab
ab
B.
2 2 2
.
ab
abc
C.
22
.
2
ab
ab
D.
2 2 2
.
2
ab
abc
[8] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. Khoảng cách từ BB’ và AC’ bằng:
A.
22
.
ab
ab
B.
2 2 2
.
ab
abc
C.
22
.
2
ab
ab
D.
2 2 2
.
2
ab
abc
[9] Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mp đáy là 30
0
. Hình
chiếu vuông góc H của A lên (A’B’C’) thuộc B’C’. Khoảng cách giữa hai mp đáy?
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 103
A.
3.a
B.
.
3
a
C.
.
2
a
D.
3
.
2
a
[10] Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mp đáy là 30
0
. Hình
chiếu vuông góc H của A lên (A’B’C’) thuộc B’C’. Khoảng cách giữa AA’ và B’C’ bằng:
A.
4
.
3
a
B.
3
.
4
a
C.
2
.
3
a
D.
3
.
2
a
[11] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’C’ cạnh a. Khoảng cách BC’ và CD’ bằng:
A.
.
2
a
B.
2
.
2
a
C.
3
.
2
a
D.
3
.
4
a
[12] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’C’ cạnh a. Khoảng cách BD’ và B’C bằng:
A.
3
.
6
a
B.
6
.
6
a
C.
6
.
3
a
D.
6.a
[13] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’=a, AC = 2a. Khoảng cách từ D đến mp(ACD’)
bằng:
A.
6
.
3
a
B.
3
.
6
a
C.
5
.
10
a
D.
10
.
5
a
[14] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’=a, AC = 2a. Khoảng cách giữa AC’ và CD’ bằng:
A.
.
2
a
B.
.
3
a
C.
.
5
a
D.
.a
[15] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và 


= 60
0
. Khoảng cách
giữa hai mặt đáy (ABCD) và (A’B’C’D’) là:
A.
3
.
2
a
B.
3
.
2
a
C.
2
.
3
a
D.
6
.
3
a
[16] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp
bằng nhau và bằng
2.a
Khoảng cách từ S đến mp (ABCD) bằng:
A.
5
.
2
a
B.
3
.
4
a
C.
3
.
2
a
D.
5
.
4
a
[17] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp
bằng nhau và bằng
2.a
Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB và CD, K là điểm bất kì thuộc AD. Khoảng cách
giữa EF và SK bằng:
A.
3
.
7
a
B.
21
.
7
a
C.
7
.
3
a
D.
21
.
3
a
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 104
[18] Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc 
60
0
. SO vuông góc mp (ABCD) và
3
.
4
a
SO
E là trung điểm BC, F là trung điểm BE. Góc giữa (SOF) và (SBC) bằng:
A.
0
30 .
B.
0
45 .
C.
0
60 .
D.
0
90 .
[19] Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc 
60
0
. SO vuông góc mp (ABCD) và
3
.
4
a
SO
Khoảng cách từ O đến mp (SBC) bằng:
A.
3
.
8
a
B.
8
.
3
a
C.
9
.
64
a
D.
64
.
9
a
[20] Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc 
60
0
. SO vuông góc mp (ABCD) và
3
.
4
a
SO
Khoảng cách từ A đến mp (SBC) bằng:
A.
3
.
2
a
B.
2
.
3
a
C.
3
.
4
a
D.
4
.
3
a
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng –
01636920986
Fb: 01636 920 986
: huynhchidung121289@gmail.com , Trang 105
| 1/105
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

QUẢ BẠN GẶT ĐƯỢC NGÀY MAI QUYẾT
ĐỊNH BỞI NHÂN BẠN GIEO HÔM NAY
Hệ thống bài tập đa dạng. Phân dạng rõ ràng.
Hơn 700 câu trắc nghiệm.
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
CHUYÊN ĐỀ .
GIỚI HẠN - HÀM SỐ LIÊN TỤC
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 2
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
1. Giới hạn đặc biệt: 1 1 k lim  0 ; lim  0 (k   ) lim n   lim n (k     ) n n k n n lim n
q   (q  1) lim n
q  0 ( q  1) ; lim C C n n 2. Định lí: 2. Định lí : 1
a) Nếu lim u   thì lim  0 a) Nếu lim u n n = a, lim vn = b thì un  lim (un + vn) = a + b u
b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim n = 0  lim (u v n – vn) = a – b n  lim (un.vn) = a.b
c) Nếu lim un = a  0, lim vn = 0  u a  neáu . a v  0 lim n  (nếu b  0) u thì lim n = nv b n v  neáu . a v  0  n n
b) Nếu un  0, n và lim un= a
d) Nếu lim un = +, lim vn = a
thì a  0 và lim u a   n neáu a 0 thì
lim(un.vn) =  neáu a  0
c) Nếu u v ,n và lim v n n n = 0 thì lim un = 0
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: d) Nếu lim u  n = a thì lim u a n 0  ,
,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 0  u định. S = u  q   1 + u1q + u1q2 + … = 1 1 1 q LƯU Ý: 1.
Định lí kẹp: Nếu u v ,n và lim v n n n = 0 thì lim un = 0
2. Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
 Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
 Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.
 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng
dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
3. Một số tổng thường gặp
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 3
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 n n   1 n n 1 2n 1 2 2 2 2   
S  1 2  3  ...  n  .
S  1  2  3  ...  n  . 1 2 2 6 n n  2 2 1
n(n 1)(n 1) 3 3 3 3
S  1  2  3  ...  n  .
S  1.2  2.3  3.4  ...  n 1 .n  4   3 4 3 1 1 1 n S   ...  .
S  1 3  5...  2n 1  n . 6   2 5 1.2 2.3 n(n 1) n 1 A. BÀI TẬP TỰ LUẬNDẠNG 1:
Giới hạn các giới hạn sau:  2 2n n  3 2n 1 3 2
3n  2n n 1) lim 2) lim 3) lim 2 3n  2n 1 3 2 n  4n  3 3 n  4 4 n 1 3n n n 1 4.3 7   4) lim 5) lim 6) lim 2 (n 1)(2  ) n (n 1) 4  3n 2.5n  7n n 1  n2 4  6 2
4n 1  2n 1 2
n  3  n  4 7) lim 8) lim 9) lim 5n  8n 2
n  4n 1  n 2 n  2  n 2 3 6 n  1 n 10) lim 4 2 n 1  n
DẠNG 2:    Giới hạn các giới hạn sau: 1)  2 lim
n  2n n   1 2)  2 2 lim
n n n  2  3) 3 3 lim
2n n n   1  2 2 3 3 2 lim
n  3n n lim
n  3n n 1 4)  2 4
lim 1 n n  3n 1 5) 6)
DẠNG 3: GIỚI HẠN DÃY SỐ  1 1 1   1 1 1  1) lim   ...    2) lim   ...    1.3 3.5
(2n 1)(2n 1)  1.3 2.4 ( n n  2)   1  1   1  2
1 2  2  ...  2n 3) lim 1 1 ... 1       4) lim 2 2 2  2  3   n  2
1 3  3  ...  3n  1 1 1  5) lim   ...  1 2  2 1 2 3  3 2
n n 1  (n 1) n u   0; u 1
6) Cho dãy số (un) được xác định bởi: 1 2
2u u u , (n 1)  n2 n 1  n
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 4
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 1 a) Chứng minh rằng: u   n+1 = u 1 , n  1. 2 n
b) Đặt vn = un – 2 . Giới hạn vn theo n. Từ đó tìm lim un. 3
DẠNG 4: CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Giới hạn tổng các CSN sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1) 2  2 1  ... 2) 3 1   ... 3)     ... 2 2 3 9 27 2 4 8 16 32
Viết các số sau dưới dạng phân số 1)1,(01). 2)2,(17). 3)3,020202020.. 4)4,115115115…. 5)3,666666.. 6)1,(23). 7)2,(03). 8)4,(11).
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2n 1 Câu [1] Giới hạn lim bằng: 2  3n 2 1 1 A.1. B. . C.  . D.  . 3 2 3 2 2n  3n 1 Câu [2] Giới hạn lim bằng: 2 2  3n n 2 A.1. B.  . C. 2. D. .  3 Câu [3]
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: n  n n 3   2     
A. lim 2n  0. B. lim  0.      C. lim 0.   D. lim 0.      3   3  3 2 1 n n Câu [4] Giới hạn lim bằng: n 2 A. 0. B. . C. .  D. 1. 3 3 n  2n 1 Câu [5] Giới hạn lim bằng: 2 3 3n  4n  2 1 2 1 1 A. . B.  . C.  . D. . 3 3 4 2 4n 1 Câu [6] Giới hạn lim bằng: 2 n  6n 2 A. 0. B. 4. C.  . D. 1.  3
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 5
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 2 1 2n Câu [7] Giới hạn lim bằng: 3n  2 2 1 A. .  B.  . C.  . D. .  3 2 2n  3 Câu [8] Giới hạn lim bằng: n 1 A. 2. B. 2. C. 0. D. .  2 n n 1 Câu [9] Giới hạn lim bằng: 3 n  2n 1 1 1 A. . B. . C. 0. D. .  2 3 3 3 . n n 1  n n
Câu [10] Giới hạn lim bằng: 2 2n n 1 1 1 A. .  B. 0. C. . D. 1. 2
Câu [11] Với a là số thực dương. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng: A. lim n
a  0  a 1. B. lim n
a    a  1. C. lim n
a  0  a  1. D. lim n
a    a  1. Câu [12] Giới hạn  2 2 lim
n n 1  n 1 bằng: 1 1 A. .  B. 0. C. . D.  . 2 2 3 3 n n 1
Câu [13] Giới hạn lim bằng: 2 n 1  n 1 A. .  B. 0. C. . D. 1. 2 2n  3n
Câu [14] Giới hạn lim bằng: 4n 1 3 A. .  B. . C. 0. D. . 2 4 2 2 n  3
Câu [15] Giới hạn lim bằng: 1 3n 2 4 A. .  B. 0. C. . D. . 3 3 n 1  n 1 3  4 
Câu [16] Giới hạn lim bằng: n2 2n4 3  2
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 6
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 1 4 1 13 A.  . B. . C.  . D. . 7 9 4 75
Câu [17] Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: n  5   2   5   1   3 
A. lim10n  0. B. lim  0   C. lim  lim .     D. lim  lim .      4   3   6   3   2  1
Câu [18] Cấp số nhân lùi vô hạn 5, 5,1,
,... Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây: 5 5 1 5 5 1 5 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 1 5 5 1 5 5
Câu [19] Số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,0202020202…. chính xác bằng: 2 1
A. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn, u  , q  . 1 100 100 2 1
B. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn, u  , q  , cộng thêm 1. 1 100 100 1
C. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn, u  2, q  . 1 100 1
D. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn, u  2, q  , cộng thêm 1. 1 100
Câu [20] Tổng S = 1 + 4 + 16 +…65536 bằng: A. S  21845. B. S  65535. C. S  262143. D. S  87381.
Câu [21] Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn -3; 0,3; -0,03; 0,003… là: 10 30 10 30 A. S   . B. S   . C. S  . D. S  . 3 11 3 11  1 1 1 
Câu [22] Giới hạn lim   ...  bằng: 1.2 2.3 n n    1  A. .  B. 0. C. 1. D. 2.  1 3 5 2n 1 
Câu [23] Giới hạn lim   ...   bằng: 2 2 2 2  n n n nA. .  B. 0. C. 1. D. 3.  1 1 1 
Câu [24] Giới hạn lim   ...  bằng: 2 2 2  n 1 n  2 n n A. .  B. 0. C. 1. D. 3.
Câu [25] Chọn câu đúng trong các câu sau: 2 2n  4 2 2n  4 A. lim  0. B. lim  .  n n n n
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 7
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 2 2n  4 2 2n  4 C. lim  2. D. lim  2. n n n n
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 8
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
II. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
1. Giới hạn đặc biệt:
lim x x0 ; lim c c (c: hằng số)
 neáu k chaün xx xx lim k
x   ; lim k x   0 0 x x  neáu k leû 2. Định lí: c lim c c ; lim  0
a) Nếu lim f (x)  L và lim ( g x)  M k x x x x xx x 0 0 1 1
thì: lim  f (x)  ( g x  )  L M lim   ; lim   xx   0 x0 x x0 x
lim  f (x) ( g x  )  L M 1 1 xx lim  lim   0 x 0 x x 0   x lim  f (x). ( g x  )  L.M xx 2. Định lí: 0 f (x)
Nếu lim f (x)  L  0 và lim ( g x)   thì: lim L  (nếu M  0) xx xx 0 0 xx ( g x) M 0
 neáu L vaø lim (
g x) cuøng daáu
b) Nếu f(x)  0 và lim f (x)  Lxx0 lim f (x) ( g x)  xx  0 xx
 neáu L vaø lim (
g x) traùi daáu 0  xx  0 thì L  0 và lim
f (x)  L xx0 0 neáu lim ( g x)    xx0 f (x)
c) Nếu lim f (x)  L thì lim f (x)  L lim    neáu lim (
g x)  0 vaø L. ( g x)  0 xx xx xx ( g x)  xx 0 0 0 0
 neáu lim (gx)  0 vaø L. (gx)  0
3. Giới hạn một bên:xx  0
lim f (x)  L x
* Khi Giới hạn giới hạn có một trong các dạng vô x0 0 
 lim f (x)  lim f (x)  L định:
,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng x x x x    0 ,  0 0 vô định. A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
DẠNG 1: GIỚI HẠN KHÔNG VÔ ĐỊNH    2 3 1  x
x x x 2 3x 1  x sin  4    1) lim 2) lim 3) lim x0 1 x x 1  x 1  x x 2 x 1 2 x x 1 2 x  2x  3 4) lim lim lim 4 5) 6) x 1
 x x  3 x 2  x 1 x 1  x 1 0
DẠNG 2: VÔ ĐỊNH DẠNG 0
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 9
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 3 2
x x x 1 4 x 1 5 x 1 1) lim lim lim 2 2) 3) x 1  x  3x  2 x 3 x  2 1 2x x 3 x 1  x 1 3 2
x  5x  3x  9 5 6
x  5x  4x m x 1 4) lim lim lim 4 2 5) 6) x 3  x  8x  9 2 x 1  (1 x) 1 n xx 1
(1 x)(1 2x)(13x) 1 2 x x  ... nx n 4 x 16 7) lim 8) lim 9) lim x 0  x x 1  x 1 3 2 x 2  x  2x 4x 1 3 3 x 1 2 1 x 1 10) lim lim . lim 2 11) 12) x 2  x  4 3 x 1  4x  4  2 x0 x x  2  2
2x  2  3x 1 2 x 1 1 13) lim 14) lim 15) lim x 2  x  7  3 x 1  x 1 x0 2 x 16  4 1 x 1 x  3 2x
x  9  x 16  7 16) lim lim lim 3 17) 18)
x0 1 x 1 2 x 3  x  3x x0 x 3
1 x  1 x
3 8x 11  x  7 3
2 1 x  8  x 19) lim 20) lim 21) lim x0 x 2 x 2  x  3x  2 x0 x
DẠNG 3: VÔ ĐỊNH DẠNG ;.0  2 x 1 2 2x x 1 2 2x 1 1) lim lim lim 2 2) 3)
x 2x x 1 x x  2 3 2
x x  3x  2 2
x  2x  3  4x 1 2
4x  2x 1  2  x x x 1 4) lim 5) lim 6) lim x 2
4x 1  2  x x 2
9x  3x  2x 2
x x x 1
DẠNG 4: VÔ ĐỊNH DẠNG -  2   2 
1) lim  x x x
2) lim 2x 1 4x  4x 3  x   x    2 3 3   
3) lim  x 1  x 1
4) lim  x x x x x   x   3 3 lim
2x 1  2x 1 3 3 2 lim
3x 1  x  2 5) 6) x x  1 3   1 1  7) lim   lim  3  8)   x 1
 1 x 1 x  2 2 x 2
  x  3x  2 x  5x  6 
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 10
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 x2 1  x x2 lim 1  x 2 9)
10) lim (x x x 1) 11) lim x x x  5 2x  5x  3 1 x
x2  2x  3x x2 lim
x  3  x 12) 13) lim 14) lim x x 1 x
x 4x2 1  x  2
3 x 1  1 x 15) lim x0 x
DẠNG 5: GIỚI HẠN MỘT BÊN x 15 x 15 2 1 3x  2x 1) lim 2) lim 3) lim x 2  x  2 x 2  x  2 x 3  x  3 2 x  4 2  x 2  x 4) lim 5) lim 6) lim x 2  x  2  2 x 2  2x  5x  2  2 x 2  2x  5x  2 2x2  3x  2 x 1 3x3  4x 1 7) lim 8) lim 9) lim x 2  x  2 x   x2 1  3x  4 x 1  x 1
10) Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:  1 x 1  khi x  0  2  9  x 3  khi x  3 a) f (x)  1 x 1  taïi x  0 b) f (x)   taïi x  3 x  3 3 khi x  0 1
  x khi x  3 2  2 x  2x  2  khi x  2 x  3x  2   khi x  1 3  2 c) f (x)  8  xtaïi x  2 f (x)  x 1  taïi x  1 4 d)  x 16  x khi x  2   khi x  1  x  2  2
11) Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra::  3 x 1  1 3  khi x  1   khi x 1 a) f (x)   taïi x  1 x 1 b) f (x)  3  x 1 taïi x 1 x 1
mx 2 khi x 1  2 2
m x 3mx  3 khi x  1 x m khi x  0  x  3m khi x  1  c) 2
f (x)   x 100x 3 taïi x  0 f (x)   taïi x  1  khi x d)  0 2 
x x m  3 khi x  1   x  3
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 11
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
Sử dụng đề sau cho câu [1], [2], [3]
2x 1, x  0
Cho hàm số f x   . 2
x  3x, x  0 Câu [1]
Giới hạn lim f x bằng:  x0 A.1 B.0 C.3 D.-3 Câu [2]
Giới hạn lim f x bằng:  x0 A.1 B.0 C.3 D.-3 Câu [3]
Giới hạn lim f x bằng: x0 A.1 B.0 C.3 D.Không tồn tại. x Câu [4]
Cho hàm số f x 2 1 
. Giới hạn lim f x bằng: x 1 x 2 A.1 B.0 C.2 D.1/2 Câu [5] Cho hàm số   x f x
. Giới hạn lim f x bằng: x x0 A.1 B.0 C.-1 D. Không tồn tại.
x  3a, x  0 Câu [6]
Cho hàm số f x  
. Với giá trị nào của a thì hàm số có giới hạn khi x tiến đến 0: 2
x a  2, x  0 A.1 B.0 C.2 D.3
x  3a, x  0 Câu [7]
Cho hàm số f x  
. Với giá trị nào của a thì hàm số có giới hạn khi x tiến đến 0: 2
x a  2, x  0 A.1 B.0 C.2 D.3 2 3x  2x 1 Câu [8] Giới hạn lim bằng: 2 x2 x  2 3 9 A. 3. B. . C. . D. .  2 4 Câu [9] Giới hạn lim    bằng:   2 2x 2x 1 3x x 2  A. .  B. 0. C. 5.  D. 5  6. 2 x  3x  2
Câu [10] Giới hạn lim bằng: x 1  x 1 A. .  B. 1. C. 1.  D. 3. 2 x  9
Câu [11] Giới hạn lim bằng:  x3 x  3
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 12
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 1 A. .  B. 6. C.  . D. 6.  3 2 x  9
Câu [12] Giới hạn lim bằng: x3 x  3 A. .  B. 0. C. 1.  D. 6.
Câu [13] Trong các câu sau, câu nào đúng 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x A. lim   B. lim   C. lim   D. lim     x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1 x 1  x 1 2 x  6x  5
Câu [14] Giới hạn lim bằng: 3 2 x 1
 x  2x 1 A. .  B. 4.  C. 1.  D. 0. x 1
Câu [15] Giới hạn lim bằng: 2 x 1
x  3x  2 1 A.1. B. .  C.  . D. .  2 x  2  2
Câu [16] Giới hạn lim bằng: x2 2x  2 1 1 A. 2. B. . C. 2. D. . 2 2 2 x  2  2
Câu [17] Giới hạn lim bằng: x 2 x 2  2 1 1 A. 2. B. . C. 2. D. . 2 2 x  1  2
Câu [18] Giới hạn lim bằng: x 3  x  6  3 A.1. B.3/2. C.2/3. D.3. x 1 Câu [19]
Cho hàm số f x  
. Trong các dãy số sau, dãy nào thỏa lim f x : n   1 x 1 x n n 3 1 A. x x B. x x C. x x D. x x n n  :  n. n  :  3 .n n    :  . n    :  n   . n    2   4  n n 2 2x x 1
Câu [20] Cho hàm số f x   
, với dãy (xn) bất kì thỏa lim x  1, thì lim f x bằng: n x 1 n n A.2. B.3/2. C.3. D. .
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 13
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
III. HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x
lim f (x)  f (x ) 0  0 xx0
 Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước: B1: Tính f(x0).
B2: Tính lim f (x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim f (x) , lim f (x) ) xx   0 xx xx 0 0
B3: So sánh lim f (x) với f(x0) và rút ra kết luận. xx0
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và lim f (x)  f ( )
a , lim f (x)  f ( ) b x ax b  
4.  Hàm số đa thức liên tục trên R.
 Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
 Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0. f (x)
 Hàm số y = g(x) liên tục tại x0 nếu g(x0)  0.
6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c (a; b).
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min f (x)
max f (x) . Khi đó vớ  , M = i mọi T  (m; M) luôn ; a b  ;ab
tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = T.
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu [1] Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:   x  3 x  3  2  khi x  1  khi x  1  a) f (x)   taïi x  1 x 1  b) f (x)  x 1  taïi x  1  1  1  khi x  1  khi x  1 4
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 14
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986  2 3
2 7x  5x xx  5  khi x  2  khi x  5 c) f (x)   2 taïi x  2 x 3x  2
d) f (x)   2x 1  3 taïi x  5 1  khi x  2  2 (
x  5)  3 khi x  5 1
  cos x khi x  0  x 1  khi x  1 e) f (x)   taïi x  0 f) f (x)   taïi x  1 2  x 1  x 1 khi x 0  2  x khi x  1
Câu [2] Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:  3 2  2 x khi x
x x  2x  2  1  khi x  1 a) f (x)   taïi x 1 b) f (x)   taïi x 1 x 1
2mx  3 khi x  1 3  x m khi x 1 m khi x  0  2
x x  6 c) f (x)  
khi x  0, x  3 taïi x  0 vaø x  3  x(x  3) n khi x  3  2 x x  2  khi x  2 d) f (x)   taïi x  2 x  2 m khi x  2
Câu [3] Xét Giới hạn liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:  3 x x  2  2  khi x  1  x  3x  4 khi x  2  3  a) f (x)  x 1 
b) f (x)  5 khi x  2 4 khi x   1  2x 1 khi x  2 3  2 x  4  2 x  2  khi x  2   khi x  2
c) f (x)   x  2
d) f (x)   x  2  4  khi x  2   2 2 khi x  2
Câu [4] Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:  2 x x  2  2 x x khi x  1  khi x  2  a) f (x)   x  2
b) f (x)  2 khi x  1   m khi x  2 mx 1 khi x  1  3 2
x x  2x  2  khi x  1  2 x khi x  1 c) f (x)   x 1 d) f (x)   3  2mx  3 khi x 1  x m khi x  1
Câu [5] Xét Giới hạn liên tục của hàm số:
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 15
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986  1   x khi x 3 1 cos x   khi x  0  2
a) f (x)   x2  2x  3 trên R b) f (x)  sin x tại x = 0 khi x  3  1  2x  6 khi x  0 4  12  6xkhi x  2 x2 khi x  0
c) f (x)   x2  7x 10 trên R d) f (x)   tại x = 0  1
  x khi x  0 2 khi x  2
Câu [6] Tìm a để hàm số liên tục trên R: 2 2a 1 khi x 1  x2 1  khi x  1 a) 3 2 f (x) f (x) x x 2x 2 b)   x 1 khi x 1 x a khi x  1 x 1
x2  x 2  2  khi x x  4x  3  2   khi x  1 c) f (x)   x  2 d) f (x)   x 1 a khi x  2  ax 2 khi x  1
Câu [7] Chứng minh rằng phương trình: 3 2
a) x  6x  9x 1  0 có 3 nghiệm phân biệt. 3 2 4
b) m(x 1) (x  4)  x  3  0 luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của m. 2 4 3  1  ; 2 
c) (m 1)x – x –1  0 luôn có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng với mọi m. 3 2
d) x mx 1  0 luôn có 1 nghiệm dương. 4 2
e) x  3x  5x –6  0 có nghiệm trong khoảng (1; 2). a b c
Câu [8] Cho m > 0 và a, b, c là 3 số thực thoả mãn:    0 m
. Chứng minh rằng phương trình:  2 m 1 m f x ax2 ( )
bx c  0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).  m   c2 1
HD: Xét 2 trường hợp c = 0; c  0. Với c  0 thì f (0). f      0  m  2  m(m  2) Câu [9]
Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 3 3 2 3
a) x  3x 1  0
b) x  6x  9x 1  0
c) 2x  6 1 x  3
Câu [10] Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: 5 5 4 3 2
a) x  3x  3  0
b) x x 1  0
c) x x  3x x 1  0
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 16
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
Câu [11] Chứng minh rằng phương trình: 5 3
x  5x  4x 1 0 có 5 nghiệm trên (–2; 2).
Câu [12] Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số: 3 4 2 a) (
m x 1) (x  2)  2x 3  0
b) x mx  2mx  2  0 2 3 2 c) ( a x  ) b (x  ) c  ( b x  ) c (x  ) a  ( c x  ) a (x  )
b  0 d) (1 m )(x 1)  x x 3  0
e) cos x m cos2x  0 f) (
m 2cos x  2)  2sin5x 1
Câu [13] Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm: 2 2
a) ax bx c  0 với 2a + 3b + 6c = 0
b) ax bx c  0 với a + 2b + 5c = 0 3 2
c) x ax bx c  0  1
Câu [14] Chứng minh rằng phương trình: 2
ax bx c  0 luôn có nghiệm x  0;
 3 với a  0, 2a+6b+19c=0.  
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu [1]
Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Hàm số y  3 x  2
5x 1liên tục trên .
B. Hàm số y   x  1 2
liên tục trên ;2. x
C. Hàm số y  cos x liên tục trên .
D. Hàm số y  2
x  2x  2 liên tục trên . Câu [2]
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: x 1
A. Hàm số y
liên tục trên ;2 2;.
B. Hàm số y   2 tan x   1 liên tục trên . 2x  4 x
C. Hàm số y   2 x  4
x 1 liên tục trên .
D. Hàm số y  liên tục trên . 2 cos x  2
x x, x  1 Câu [3] Cho hàm số y  
. Với giá trị nào của m thì hàm số trên liên tục trên :
2m 1, x  1 A.0. B.1 hoặc 0. C.-1. D.-1/2. Câu [4]
Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: x  2
A. Hàm số y
liên tục trên ; 
1 va 1;. B.Hàm số y  3
sin  x    x liên tục trên . x 1 x 1
C. Hàm số y  liên tục trên .
D.Hàm số y
liên tục trên 1;. 2 x  2 x 1
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 17
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 2x 1 Câu [5] Cho hàm số y
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng: 3  x
A. Hàm số liên tục trên ;3 3;. B. y  2 lim . x 3
C. lim y  . D. lim y  1.  x3 x3  2 x  , m x   1 Câu [6] Cho hàm số y   x 1
. Với giá trị nào của m thì hàm số trên liên tục trên : , x   1  2  x 1 A.3. B.-2. C.1. D.-1. Câu [7] Cho hàm số  x y
. Nhận xét nào dưới đây là đúng: x A. lim y  0.
B. lim y  lim y  0.
C. Hàm số liên tục tại x = 0. D. lim y  0.     x0 x0 x0 x0  1 , x   2 5x Câu [8] Cho hàm số y  
. Nhận xét nào dưới đây là sai: x   2 , x   2  3 x  2x  4 1
A. Hàm số liên tục trên . B. lim y  .  x2 10
C. Hàm số không xác định tại x = 0.
D. f    1 1 . 5 2x Câu [9] Cho hàm số y  
. Nhận xét nào dưới đây là sai:
5  x  3x 1  1 
A. Hàm số liên tục trên  ;  .
B. Hàm số liên tục tại x = 10.  3  C. lim y  0.
D. Hàm số liên tục tại x = 1. x 2
Câu [10] Cho hàm số y
. Nhận xét nào dưới đây là sai: x 1
A. Hàm số nghịch biến trên ;  1 ,1;.
B. Hàm số liên tục trên từng khoảng xác định.
C. lim y  , lim y  .   x1 x1
D.Vì hàm số nghịch biến nên f 0  f x  f 2, với mọi x 0;2.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 18
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
ĐỀ ÔN TẬP SỐ 1 – ÔN TẬP CHƯƠNG 4 ĐS
PHẦN 1: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2 n 1 [1] Giới hạn lim 2 bằng: 2n n 1 1 A. . 2 B. 0. C. . D.1. n n 1 2 5   [2] Giới hạn lim bằng: 1 5n 2 A.2. B.5. C. . 5 D. .  2
lim n n n[3] Giới hạn bằng: 1 A. 0. B. 1. C. . D.  . 2  1 1 1  [4] Giới hạn lim   . .   bằng: 1.2 2.3 ( n n 1)    5 3 4 A. . . . 4 B. 2 C. 1. D. 3
 2n n 3 3n  2 lim 2 2n [5] Giới hạn bằng: 5 A.0. B. . 3 C. 1,67. D. .
[6] Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. lim f (x)  g(x)  lim f (x)  lim g(x) .
B. lim f (x)  g(x)  lim f (x)  lim g(x) . xx xx xx xx xx xx o o o o o o
C. lim f (x)  g(x)  lim [f ( ) x g( )] x .
D. lim f (x)  g(x)  lim [f (x)  g(x)] . xx xx xx xx o o o o x3  2x 1 [7] Giới hạn lim bằng: xx5 1  2x 1 A.0. B.2. C.1. D. . x  2 [8] Giới hạn lim bằng: x 2x2 2  5x  2 1 1 A. . . 2 B. 0. C. . D.  3 3 3 2
5 x x  7 [9] Giới hạn lim 2 bằng: x 1  x 1 11 7 A.  . . 24 B.  5. C.  16 D. .
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 19
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 x3  3x  2 [10] Giới hạn lim bằng: xx4 1  4x  3 1 2 A. . B. . . 2 C. 1. D. 3 2x2  5x 3
[11] Giới hạn lim  x3 x  3 bằng: A. 0. B. 2. C. . D. .
 2x x  2 lim x 1 [12] Giới hạn bằng: x 1 1 A.  . . 2 B. . C. 0. D. 2 3 1 x 3  1 x [13] Giới hạn lim bằng: x0 x 1 3 2 A. . B. . . . 2 C. 4 D. 3
2x3  3x2  4x 1 [14] Giới hạn lim bằng:
x x4  5x3  2x2  x  3 A.0. B.2. C. . D. . [15]
Trong các giới hạn sau, giới hạn nào không tồn tại: x 1 x 1 x 1 x 1 A. lim . B. lim . C. lim . D. lim . x 1  x  2 x 1  2  x x 1  x  2 x 1  2  x x [16] Giới hạn lim bằng: x
x2 1  x 1 1 1 A. 1. B. 1. C.  . . 2 D. 2 2
[17] Cho hàm số f x 
. Chọn kết quả đúng: 3 x
A. Hàm số liên tục tại mọi x  3 .
B. lim f x  0
C. lim f x  0
D. lim f x  . x x  x3 1
[18] Cho hàm số f x 
. Chọn kết quả sai: x2  2x  3
A. lim f x   lim f x.
B. lim f x  0.   x3 x1 x
C. Hàm số liên tục tại mọi x  3, x  1.
D. lim f x  lim f x.   x3 x1
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 20
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 x2   3x , x  3
[19] Cho hàm số f x   x  3
. Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên :  ax 1, x  3 A.0. B.-1. C.-1/3. D.3. ax 2, x 1
[20] Cho hàm số f x   
 x2 3x, x 1. Kết quả nào sau đây là sai:
A. Hàm số liên tục với mọi x ;  1 .
B. Hàm số liên tục với mọi x  1;   .
C. Tập xác định của hàm số là: D  .
D. Hàm số liên tục tại x = 1 khi a = -4. 1
[21] Cho hàm số f x 
. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: x  5
A. lim f x  lim f x.
B. lim f x  1.
C. lim f x  0.
D. lim f x  f 6.   x5 x5 x6 x x6 x2 2
[22] Cho hàm số f x  x . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Vì lim f x  lim f x nên f(x) liên tục tại x = 0.   x0 x0 x2 2 100000000 1000000000
B. Vì f x 
 2x , nên f(x) là hàm đồ f 10  f 10 x ng biến trên , do đó    . x2 2 10 9 10 10
C. Với x < 0, f x   2x  0
;0 , do đó f 10   f 10  x
, nên hàm số nghịch biến trên   . x2 2 10 9 10 10
D. Với x > 0, f x   2x
0; , do đó f 10   f 10  x
, nên hàm số đồng biến trên   . 1 1 1
[23] Tổng cấp số nhân lùi vô hạn 5     ... 5 25 125 bằng: 25 25 A. . . 4 B. 6. C. 4. D. 6
[24] Cho 3 số hạng đầu của một CSN lùi vô hạn là 1, x 2,
2  3x.Tổng của CSN lùi vô hạn này là: 1 A. 2. B. . 2 2. 1 2 3 C.D.   [25] Cho phương trình 4 2
2x  5x  x 1  0. Khẳng định nào đúng:
A. Phương trình không có nghiệm trong khoảng (-1;1).
B. Phương trình không có nghiệm trong khoảng (-2;0).
C. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng (-2;1).
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 21
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
D. Phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0;2).
PHẦN 2: BÀI TẬP TỰ LUẬN 2 x  3x 3
x  2  3x  2
1.Tính các giới hạn sau: a) lim lim  2 x 1  x  4x  b) 5 x2 x  2  1 3   , x  1 2. Cho hàm số 3
f (x)   x 1 x 1
. Tìm m để hàm số liên tục trên R.  2
m  2m  2, x 1
3. Viết số sau dưới dạng phân số: 1,123123123123.....
4. CMR ptr sau luôn có nghiệm với mọi m: cos x 1 2mcos x  m m 3 sin 2x
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 22
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
ĐỀ ÔN TẬP SỐ 2 – ÔN TẬP CHƯƠNG 4 ĐS
PHẦN 1: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 4 2n  2 n  3 [1] lim bằng:  2 2n  3 3n 1 2 A. . 3 B. 0. C. . D. -1. 1 2.3n  7n [2] lim bằng: 5n  2.7n 1 1 A. 0. B. . C. . . 5 D.  2 [3]
Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 3 3 3 lim
f (x)  g(x)  lim [ f (x)  f (x)] . B. 3 lim
f (x)  g(x)  f x  3 lim ( ) 3 lim g( x) . xx xx xx xx xx o o o o o C. 3 lim
f (x)  g(x)  f x f x g x f x  3 lim [ ( ) g(x)] . D. 3 3 3 lim ( ) ( ) lim ( ) lim g(x) . xx xx xx xx xo o x o o o 8x2 1 [4] lim bằng:  6x2 1  5x 1 x2 1 4 A. . B. . C. . . 5 D. 3 2x  7  3 [5] lim bằng: x 1  x  3  2 3 2 4 A. . . . 2 B. 3 C. 3 D. . 2 x x x [6] Giới hạn lim bằng : x x  10 A. 2. B.-2. C.-∞. D.+∞. 1 [7] lim bằng: 2 2
n  2  n  4 1 A. . B.0. C. . 2 D. .
1 2  3 ... n [8] lim bằng: n2 3 1 1 1 A. . . . 6 B. 3 C.0. D. 2
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 23
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 x  8  3 [9] Tính lim
bằng phương pháp nào là ngắn và đúng nhất: x 1  x  2
A. Nhân cả tử và mẫu với  x  8  3 . B. Thay x = 1 vào.
C. Chia cả tử và mẫu cho x.
D. Chia cả tử và mẫu cho x.
1 4x  3 1 6x [10] lim x0 x bằng: A.2. B.4. C.0. D.1. 2  5x [11] lim bằng:
x 2 x 1 5 5 A. . B.  . . 2 C. 2 D.1. 8 2x  2 [12] lim bằng: x2 x  2 A.0. B. 3 1. C. 3 1. D. .  x2 lim  2x x[13] bằng: x A. . B.0. C.-1. D. . x  2 [14] lim bằng: x 2  3  x  7 A.1. B.0. C.6. D.-6. 1 2x  3 [15] lim bằng: x4 x  2 3 4 2 1 A. . . . . 2 B. 3 C. 3 D. 3 3 1 x2 1 [16] lim bằng: xx2 0 1 1 A. . . 3 B. 1. C. 2 D.-1.
[17] Cho hàm số f x   2
4 x . Chọn câu sai trong các câu dưới đây:
A. Hàm số liên tục trên 2;2.
B. Hàm số liên tục tại x  1.
C. Hàm số liên tục tại x  2.
D. f x  0,x 2;2 và hàm số liên tục trên 2;2 nên phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc 2;2.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 24
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
[18] Một CSN lùi vô hạn có tổng là S  4 và số hạng đầu u  1
2. CSN đó có công bội là: A. 3 . 4 B.  1 . 2 C.  3 . 4 D. 1 . 2 1 1 1 1
[19] Tổng S  1     ... 2 3 4 10 bằng: 10 10 10 A.  9 . 10 B. 10 . 9 C. 10 . 11 D. 11 . 10 x
[20] Cho hàm số f x   . Chọn câu sai: x   1 3 x
A. Hàm số không liên tục tại x = 1 và x = 3.
B. Hàm số liên tục tại x = 2.
C. Hàm số liên tục trên   ;1 và 1;3.  1  10  1   1  D. Vì f  
, f 2  2  f .f 2     
0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc  ;2.  2  5  2   2  2x  2  x , x  0
[21] Cho hàm số f x   x
. Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên :
a x 11, x  0 A.2. B.1. C.3. D.-1. 2 x x 1, x 0
[22] Cho hàm số f x      
. Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên :  2 ax 1, x  0 A.-1. B.1. C.2. D. . 2 x
[23] Cho hàm số f x   . Câu nào dưới đây là 3x sai: 1 2 1 A.
lim f x  . B.
lim f x  .
C. lim f x  .
D. lim f x   .  1  x 3 x 3 x 1  x 3 3
[24] Xét phương trình cos x x  0 
1 . Phát biểu nào dưới đây là sai:
A.Vì f 0,7. f 0,8  0 nên phương trình (1) có 1 nghiệm thuộc 0,7;0,8.
B. f x  cos x x là hàm liên tục trên .
C. Phương trình (1) có nghiệm.
D. Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc 0; .
[25] Vào khoảng thế kỷ thứ 6, Ấn Độ là một quốc gia rộng lớn và phát triển, có nền Toán học rất phát triển. Các
nhà thông thái Ấn Độ đã phát minh ra một trò chơi gọi là “Saturanga” ( ngày nay được biết đến với tên gọi Cờ
vua). Người phát minh ra Saturanga muốn được ban thưởng bằng cách “ ô thứ 1 đặt 1 hạt thóc, ô thứ 2 đặt 2 hạt,
ô thứ 3 đặt 6 hạt, cứ thế nhân đôi lên đến ô 64”. Nếu ban thưởng theo cách đó thì phải trả hết tất cả bao nhiêu hạt
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 25
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 thóc: 64 64 63 63 A. 2 . B. 2 1. C. 2 . D. 2 1.
PHẦN 2: BÀI TẬP TỰ LUẬN  3 2 
1 3x  1 x 1.
Tính các giới hạn sau: a) lim  x  3x x . b) lim . x   x0 x  7x 10   2 ,x  2 2.
Cho hàm số f x   x  2
. Với giá trị nào của m thì hàm số liên tục tại x = 2. mx 3 , x  2 3.
Viết số 3,3131313131… dưới dạng phân số. 4 2016 5 4.
CMR phương trình m m   1 x
x  32  0luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi tham số m.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 26
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
ĐỀ ÔN TẬP SỐ 3 – ÔN TẬP CHƯƠNG 4 ĐS
PHẦN 1: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 2.3n  6n [1] Giới hạn lim n n 1 bằng: 2 (3   5) A. 1 . 3 B. 1 . 6 C. 1. D. 3. 2 4n 1  3n [2] Giới hạn lim bằng: 2
n  4n 1  n A. 3. B. 7 . 2 C. 2. D. 5 . 2 2 2
n  4n  4n 1 [3] Giới hạn lim bằng: 2 3n 1  n 1 1 3 A. 1. B.  . . . 2 C. D. 3 1 3 1
1 3  5  ...2n  2 2 2 1 [4] Giới hạn lim 3 bằng: n  3n 4 A. 4. B. 4 . 3 C. 1 . 3 D. . 5 3 2
3x  4  3x  2 [5] Giới hạn lim bằng: x 2  x 1 A.0. B.1. C.2. D.3.
x3  4x2  4x  3 [6] Giới hạn lim bằng: xx2 3  3x 13 7 A. . . 3 B. 7. C. 3 D. 13.
2x4  5x3  3x2 1 [7] Giới hạn lim bằng:
x 3x4  8x3  6x2 1 1 3 9 A. . B. . 4 C. 2 . 3 D. . 8 1  x [8] Giới hạn lim bằng : 
x1 2 1  x  1  x A. 1. B. -1. C. - 1 . D. 1 . 2 2 x x [9] Giới hạn lim bằng: x 0  x x
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 27
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 A. 1. B. 1. C. 2. D. 2.    x
[10] Giới hạn lim  x  2 bằng: x  x 22 2 x      1  2 2 6 6 A. . . . . 3 B.  3 C. 3 D.  3 (2x 2  3) (4x 3  7) [11] Giới hạn lim bằng:
x (3x3 1)(10x2  9) 4 4 128 64 A. . . . . 3 B. 15 C. 15 D. 3
2x4  x3  x [12] Giới hạn lim bằng:
x x3  3x4  2x2  7 2 2 6 A. . . . 3 B. 3 C. 2. D.  3 3 4x  2 [13] Giới hạn lim bằng: x 2  x  2 1 3 A. 1. B. . 4. 3 C. 2. D.
[14] Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0? n 1 1 2n 1  1  A. . B. . C. . D.   . n n   1 2 n 1 n  3  x  2
[15] Cho hàm số f x 
. Kết quả nào sau đây là sai: 2 2x  3x 1  1 
A. TXĐ của hàm số là \ 1  ; .
B. lim f x   .   2  x 1  5
C. lim f x   . 
D. lim f x   .   1 1 6 x x 2 2
[16] Cho phương trình 4
x  x  3. Phương trình này có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng nào dưới đây: A. 0  ;1 . B.  1  ;0. C. 1; 2. D. 2;3. 2 x  9  , x  3 
[17] Cho hàm số f x   x  3
. Khẳng định nào dưới đây là sai: 2x ,x  3 
A.Hàm số liên tục trên .
B. lim f x  lim f x.   x 3  x 3 
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 28
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
C. lim f x   .  D. lim f x  6  . x  x 3   2  x 1  , x  1
[18] Cho hàm số f x   x 1
. Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên ? a  x ,x 1 3 1 1 5 A.  . B.  . C. . D.  . 2 2 2 2
[19] Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: 1 A. Hàm số y 
liên tục tại mọi x thuộc . 2 x  x 1 1 B. Hàm số y 
liên tục tại mọi x khác -1. 3 x 1 C. Hàm số x y 
liên tục tại mọi x khác 2. 2  x D. Hàm số 2
y  2 x 1  x liên tục tại mọi x thuộc . 2  x  3  kh x i  1   [20] Cho hàm số    2 x 1 y f x  
. Khi đó lim f x bằng 1   x 1  khi x  1 8 1 1 A. . B.  . C. 0. D. .  8 8 | x  3 | [21] Giới hạn lim bằng  x3 3x  6 1 1 A. . B. . C. 0. D. .  2 6 3 x  2x  3 [22] Giới hạn lim bằng  2 x 2  x  2x 7 1 9 A. . B. . C.  . D. .  8 8 8
[23] Chùa Bái Đính ở Ninh Bình là ngôi chùa lớn nhất Việt Nam nắm giữ nhiều kỉ lục
Việt Nam, Đông Nam Á, Châu Á. Chùa được khởi công xây dựng năm 2003 với tổng
diện tích hơn 80ha. Nơi đây có bảo tháp cao 14 tầng lưu giữa Xá lợi Phật được đưa về từ
Ấn Độ. Nếu diện tích mặt sàn là 300m2. Diện tích tầng trên bằng nửa diện tích tầng dưới,
và lát gạch bằng đá hoa kích thước 30 x 30cm thì cần tối thiểu bao nhiêu viên gạch để có
thể xây xong bảo tháp? A. 6667 viên gạch. B.46667 viên gạch. C.3334 viên gạch. D.9997 viên gạch.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 29
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986  u  2 
[24] Biết lim u  2 . Giới hạn n lim   bằng: n 2 u  3u  2  n n  A.0. B.1. C.2. D.3. 3 2
[25] Cho phương trình mx  3x  2m  
1 x 1 0(1). Nhận xét nào dưới đây là đúng.
A. Ptr (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt thuộc (-1;3).
B. Ptr (1) luôn có ít nhất một nghiệm thuộc (3;5).
C. Ptr (1) luôn có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-1;3).
D. Ptr (1) luôn có 3 nghiệm phân biệt thuộc (3;5).
PHẦN 2: BÀI TẬP TỰ LUẬN n n ( 1  )  4.3 3
1 2x. 1 4x 1
1. Tính các giới hạn sau: a) lim lim n 1 b)  n ( 1  )  2.3 x0 xu  1  1 2. Cho dãy số (u 3u   2 n 1,n *
n) xác định bởi công thức: n
. Tính lim nu? n u    1 u   2 n 5
3. CMR phương trình x  5x 1  0 có ít nhất 3 nghiệm.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 30
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
ĐỀ ÔN TẬP SỐ 4 – ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA KÌ 2
PHẦN 1. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2 n  2n [1] Giới hạn lim bằng bao nhiêu? 3n  2 2n 1 1 1 A. 0. B. . C. . D. .  2 3 5n1 2  3 [2] Giới hạn lim 5n bằng bao nhiêu? 2 3 1 2 32 A. 0. B. . C. . D. 3. 3 243 x 1 [3] Giới hạn lim bằng bao nhiêu? x 2 x 1 A. 1. B.-1. C. 0. D. -∞.   2  4 lim 1 n n n [4] Giới hạn bằng bao nhiêu? A. 0. B. 1.  C. .  D. 1. 1 x 1 [5] Giới hạn lim bằng bao nhiêu? x0 x 1 1 A. 0. B. 1.  C.  . D. . 2 2
3 8x 11  x  7 [6] Giới hạn lim 2 bằng bao nhiêu? x 2  2x  5x  2 7 13 19 25 A. . B. . C. . D. . 162 54 54 162 [7]
Trong các phương pháp tìm giới hạn lim f x  lim ( 1 x  x) dưới đây, phương pháp nào là x x phương pháp thích hợp?
A. Nhân với biểu thức liên hợp ( 1 x  x ) . B. Chia cho 2 x .  x 1   C. Chia cho x. D. x      limf x  0.  x  
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 31
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 2
x  2x  3x [8] Giới hạn lim bằng bao nhiêu? x 2
4x 1  x  2 2 2 3 A. . B.  . C. 4. D. . 3 3 2 x  8  3 [9] Giới hạn lim bằng bao nhiêu? xx2 1  2x  3 1 1 1 3  7 A. . B.  . C. . D. . 24 12 18 4 [10] Cho hàm số   cos x f x  
. Kết quả nào dưới đây là đúng?  x
A. Hàm số xác định trên . B. f  2
  . f 0  0 nên phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc  2   ,0.
C. Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc 0, 2 .
D. lim f x   .  x   
cos x, x 1
[11] Cho hàm số f x  
. Với giá trị thực nào của a thì hàm số liên tục tại x = 1? 2
a 1, x 1
A.Không có giá trị thực của a thỏa đề. B.-1. C.0. D.  2.
[12] Một lọ thủy tinh dung tích 1000 ml chứa đầy 1 loại dung
dịch chất độc nồng độ 10 % đã được chuyển sang bình chứa khác;
nhưng dung dịch độc hại sau khi đổ hết vẫn còn dính lọ 0,1 % .
Người ta dùng nước cất xúc rửa lọ thủy tinh này. Giả sử rằng mỗi
lấn xúc rửa, chất độc hòa tan hết trong nước và sau khi đổ đi dung
dịch mới cũng vẫn còn dính lọ một lượng như nhau.
Phải xúc rửa tối thiểu bao nhiêu lần để chất độc còn trong lọ  0,001 g nếu mỗi lần dùng 1000 ml nước cất ? A. 2 lần. B. 3 lần. C. 4 lần. D. 5 lần.
[13] Khẳng định nào sai
A. Mỗi cấp số nhân với công bội q > 1 là một dãy số tăng.
B. Mỗi cấp số nhân với công bội q > 1 là một dãy số bị chặn dưới.
C. Dãy số mà mọi số hạng đều bằng nhau là 1 cấp số nhân.
D. Một cấp số nhân mà mọi số hạng đều âm thì có công bội q < 0.
[14] Cấp số nhân u  ; 2 u
 3u   1 có tổng của 10 số hạng đầu tiên là: 1 n 1  n n
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 32
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 10 3 1 9 3 1 A. S  . B. S  . C. 10 S  3 1. D. 9 S  3 1. 10 10 10 2 10 2
[15] Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A,B,C,D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A,B,C,D
tạo thành hình hình hành là:
A. OA OB OC OD  0.
B. OA OC OB O . D 1 1 1 1 C. OA OB OC O . D D. OA OC OB O . D 2 2 2 2
[16] Cho tứ diện A.BCD, G là trọng tâm B
CD. Đặt AB  , x AC  , y AD  .
z Khẳng định nào sau đây là đúng? 1 1 A. AG
xyz.
B. AG    x y z. 3 3 2 2 C. AG
xyz.
D. AG   x y z. 3 3 1
[17] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. M là điểm xác định bởi OM
ABBC. Khẳng định nào 2 dưới đây là đúng?
A. M là trung điểm BB’.
B. M là đỉnh thứ tư của hình thang OMAC, đáy 1 OM AC. 2
C. M là trung điểm AA’.
D. M là trung điểm DD’.
[18] Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu a và b đồng phẳng và cùng vuông góc với c thì a //b.
B. Nếu a//b và a c thì c  . b
C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a //b.
D. Nếu a và b cùng nằm trong mp chứa a và song song c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c. a 3
[19] Cho tứ diện A.BCD có AB = CD = a, IJ =
(I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa 2 AB và CD là: A. 300. B. 450. C. 600. D. 900.
[20] Xét bài toán “Cho tứ diện A.BCD. CMR nếu A . B AC A . C AD A .
D AB thì AB C , D AC BD và
AD BC . Điều ngược lại đúng không?”
Một học sinh giải bài toán trên như sau: Bước 1: A . B AC A . C AD A .
C AB AD  0  A .
C DB  0  AC B . D
Bước 2: Chứng minh tương tự ta được AB CD và AD BC .
Bước 3: Khẳng định ngược lại cũng đúng vì các bước chứng minh là tương đương nhau.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 33
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
Bài giải trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước thứ mấy? A.Đúng. B.Sai, bước 1. C.Sai, bước 2. D.Sai, bước 3.
[21] Qua điểm O cho trước, xác định được bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d cho trước? A.0. B.1. C.2. D.Vô số.
[22] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA= SC và SB = SD. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. SO   ABCD.
B. CO  SBD.
C. BO  SAC.
D. DO  SAB.
[23] Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ABC
vuông tại B. Vẽ SH mp ABC, H  ABC.Khẳng
định nào dưới đây là đúng?
A. H trùng với trọng tâm ABC  .
B. H trùng với trực tâm ABC  .
C. H trùng với trung điểm AC.
D. H trùng với trung điểm của BC.
[24] Cho tứ diện A.BCD có BA,BC,BD bằng nhau và vuông góc nhau đôi một. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Góc giữa AC và (BCD) là góc 𝐴𝐶𝐵 ̂.
B. Góc giữa AD và (ABC) là góc 𝐴𝐷𝐵 ̂.
C. Góc giữa AC và (ABD) là góc 𝐶𝐴𝐵 ̂.
D. Góc giữa CD và (ABD) là góc 𝐶𝐵𝐷 ̂. [25] Cho ABC
vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng qua A và vuông góc (ABC) lấy điểm S sao cho a 6 SA
. Số đo góc giữa SC và (ABC) bằng: 2 A.300. B.450. C.600. D.900.
PHẦN 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN
1. Viết số 2,15151515… dưới dạng phân số.  1 3   , x  1 2. Cho hàm số 3
f (x)   x 1 x 1
. Tìm m để hàm số liên tục trên R.  2
m  2m  2, x 1 3.
Cho tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Trên đường thẳng vuông góc với
(ABCD) lấy điểm S sao cho BA = 2SA = 2CD = 2AD = 2a.
a) CMR: AB  (SA ) D
b) CMR: BC SC
c) Tính góc đường SC và mặt phẳng (SAD).
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 34
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
ĐỀ ÔN TẬP SỐ 5 – ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA KÌ 2
PHẦN 1. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
(2n n 1)( n  3) [1] Giới hạn lim (n bằng bao nhiêu? 1)(n  2) 3 A. 0. B. . C. 2. D. .  2 2
4n 1  2n 1 [2] Giới hạn lim bằng bao nhiêu? 2
n  4n 1  n 1 1 A.  2. B. 2. C.  . D. . 2 2 x2 1 1 [3] Giới hạn lim bằng bao nhiêu?
x0 4  x2 16 1 A. 4. B. . C. 1. D. 4.  4 (x 2  2) 1 [4] Giới hạn lim bằng bao nhiêu? x x2 1 1 A. 0. B. 1.  C. 1. D. 2.  1 u  1 
[5] Cho dãy số (un) được xác định bởi:  1 . Tính lim un  n u 1  u  (n  1)  n  2n A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. 3x  4 [6] Giới hạn lim bằng bao nhiêu? x 3  3 x A. .  B. 1. C. 3.  D. .  2  x 1  , x  1
[7] Cho hàm số: f x   1 x
. Nhận xét nào dưới đây là sai? 
 2x  2, x  1 A.
Hàm số xác định trên .
C. lim f x  0.  x 1  B. Hàm số liên tục trên .
D. lim f x   .   x 1 
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 35
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 2
(2x 1) x  3 [8] Giới hạn lim 2 bằng bao nhiêu? x x  5x 2 2 A. 2.  B. . C. 2. D.  . 5 5 x2  5x  6 [9] Giới hạn lim bằng bao nhiêu? xx2 3  8x 15 1 1 A. 1.  B. . C. 1. D.  . 2 2 2x2  5x  2 [10] Giới hạn lim bằng bao nhiêu? x   (x 2 2  2) 5 5 A. .  B. . C.  . D. .  4 4
[11] Cho hàm số y = f(x) = x4 + x2 – 3. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số f(x) liên tục trên .
B. Phương trình x4 + x2 – 3 = 0 có tối đa 4 nghiệm trong .
C. Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1,2).
D. Vì f(-3).f(3) > 0 nên phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thực trong khoảng (-3,3).
8u u  0 [12] Tìm u 1 4  
1 và q của cấp số nhân biết  và u 0 n
2u u  0 n 2 3 A. u1 = -4; d = 2. B. u1 = - 2; d = 4. C. u1 = 2; d = -4. D. u1 = 4; d = -2.
[13] Với giá trị nào của x thì 3 số x – 1; x + 2; 3x tạo thành một CSN: A.3. B.4. C.5. D.6.
[14] Một khách hàng có 100 triệu VNĐ muốn gửi ngân hàng, lãi suất ngân hàng được tính 12% một năm. Lãi
sẽ được cộng dồn vào vốn nếu anh ta không rút lãi trong một năm gửi (cách tính này gọi là cách tính lãi kép).
Với cách tính lãi như trên sau bao lâu anh ta có được cả số tiền cả vốn lẫn lãi gấp đôi số tiền ban đầu ( làm tròn thành năm) ? A.3 năm. B.6 năm. C.9 năm. D.12 năm.
[15] Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, M là trung điểm BB’. Khẳng định nào sau đây là đúng? 1 1
A. AM CB AA'  C . A
B. AM CA AA'  C . B 2 2 1 1
C. AM CA AA'  C . B
D. AM CB CA AA'. 2 2
[16] Khẳng định nào sau đây là sai?
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 36
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
A. Nếu đường thẳng d vuông góc mp (P) thì d vuông góc với mọi đường thẳng trong mp (P).
B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mp (P) thì d mp P.
C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mp (P) thì d vuông góc với bất kì
đường thẳng nào nằm trong mp (P).
D. Nếu d mp P và d’ //mp(P) thì d d '.
[17] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
A. A'C '  B . D
B. BB '  B . D
C. A' B C ' . D
D. C ' B A' . D
[18] Cho tứ diện A.BCD, có AB = CD. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm AC,BC,BD,AD. Góc giữa (IE,JF) bằng: A.300. B.450. C.600. D.900. [19]
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Kết quả nào dưới đây là đúng? 1 1 A. OI
AC'CA'BD'DB'.
B. OI    AC '  CA'  BD'  DB'. 4 8 1 1 C. OI
AC'CA'BD'DB'.
D. OI    AC '  CA'  BD'  DB '. 8 4
[20] Cho hình chóp S.ABC có SA,SB,SC đôi một vuông góc nhau và SA = SB =SC. Gọi O là hình chiếu vuông
góc của S lên mp(ABC). Khẳng định nào sau đây là sai?
A.O là trọng tâm ABC  .
B. O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  .
C. O là trực tâm ABC  .
D. Cả 3 câu trên đều sai.
[21] Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mp(ABC), ABC
vuông ở B. AH là đường cao của SAB . Khẳng
định nào sau đây là sai?
A. SA B . C
B. AH B . C
C. AH A . C
D. AH S . C
[22] Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc (ABCD) và đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi O là trọng tâm của
tam giác ACD và I là trung điểm SC. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. BC S . B
B. (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.
C. IO   ABCD.
D. Tam giác SCD vuông ở D.
[23] Cho tứ diện A.BCD, G được gọi là trọng tâm tứ diện A.BCD khi GA GB GC GD  0. Khẳng định nào sau đây sai?
A. GI GJ  0, với I, J lần lượt là trung điểm AB và CD.
B. G là trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD.
C. G là trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC.
D. G là trung điểm đoạn thẳng nối A với trọng tâm BC . D
[24] Cho tứ diện A.BCD có AC = a, BD = 3a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết rằng AC
vuông góc BD. Độ dài MN bằng:
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 37
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 a 10 A. . B. a 10. C. 4 . a D. 2 . a 2
[25] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A
B'C, A
 'DC ' có các góc đều nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc: A.𝐷𝐴′𝐶 ̂′. B.𝐴𝐵′𝐶 ̂ . C.𝐷𝐵′𝐵 ̂ . D.𝐵𝐷𝐵′ ̂ .
PHẦN 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN 1. Tính các giới hạn sau: 7x 1 x 1  2 a) 2 lim x x 1, b) lim c) lim .  2 x x 3  x  3 x 3  9  x 2.
Một CSN lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội 2/3. Số hạng thứ 20 của CSN đó bằng bao nhiêu? 3. CMR phương trình  2
m x  3 2 1
1  x x  3  0 có ít nhất 1 nghiệm với mọi giá trị của m. 4.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tâm O và SA = a vuông góc đáy. M là trung điểm
SD.Gọi (P) là mặt phẳng đi qua OM, vuông góc AD. a) Xác định mp (P).
b) Thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp S.ABCD là hình gì? Tính diện tích thiết diện.
c) Tính góc hợp bởi SO và mp(SCD).
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 38
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
ĐỀ ÔN TẬP SỐ 6 – ÔN TẬP KIỂM TRA GIỮA KÌ 2
PHẦN 1. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
2n n4n  3 2 2 1 [1] Giới hạn lim bằng bao nhiêu? 14 5n  3n 16 2 2 A. 0. B.  . C.  . D. . 3 3 5 2 3 6 n  1 n [2] Giới hạn lim bằng bao nhiêu? 4 2 n 1  n A. 2.  B. 1.  C. 0. D. .  n [3] Giới hạn lim bằng bao nhiêu? n2 3 1  n2 1 3 1 1 1 A. . B. . C. . D. 0. 2 2 3 1 2 2
n  4n  4n 1 [4] Giới hạn lim bằng bao nhiêu? 2 3n 1  n 1 1 3 1 1 A. . B. . C.  . D.  . 3 1 2 2 2 2 2.1  2
3.2  ... n   1 n2 [5] Giới hạn lim bằng bao nhiêu? n4 1 1 7 A. . B. 10. C. . D. . 12 10 12
x  2  x  7  5 [6] Giới hạn lim x2 x  2 bằng bao nhiêu? 5 5  5 1 A. . B. . C. . D. 0. 12 4 12
x3  2x2  4x  8 [7] Giới hạn lim bằng bao nhiêu? xx4  8x2 2 16 1 1 A.  . B. .  C. . D. .  4 4
1 4x. 1 6x 1 [8] Giới hạn lim bằng bao nhiêu? x0 x
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 39
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 10 A. 24 1. B. . 2  C. 10. D. 5. 1 2 x  3x  4 [9]
Trong các phương pháp tìm giới hạn lim
dưới đây, phương pháp nào là phương pháp thích x 1  2x  2 hợp?
A. Nhân phân thức với biểu thức liên hợp của mẫu là (2x -2 ) .
B. Chia tử và mẫu cho 2 x .
C. Phân tích nhân tử ở tử số rồi rút gọn.
D. Chia tử và mẫu cho x. 3 2
x  7  5  x [10] Giới hạn lim x 1  x  bằng bao nhiêu? 1 5 5 1 7 A.  . B. . C.  . D. . 12 16 6 12
cos x, x 1
[11] Cho hàm số f x  
. Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 1. 2
a  2, x 1 A. 1.  B. 3. C.  3. D.  2.
[12] Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hàm số y
x 1 liên tục tại mọi x thuộc .
B. Hàm số y = cosx liên tục tại mọi x thuộc . C. Hàm số 2 y
x 1 liên tục tại mọi x khác 1. 
D. Hàm số y = tanx liên tục tại mọi x thuộc .
[13] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. SA SC SB S . D
B. SA SB SC S . D
C. SA SD SB S . C
D. SA SB SC SD  0.
[14] Cho tứ diện A.BCD, có M,P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khẳng định nào sau đây là đúng? 1 1 A. MP
AC ADAB. B. MP
ADABAC. 2 2 1 1 C. MP
AC ABAD. D. MP
AC ADAB. 2 2
[15] Cho tứ diện đều A.BCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng: A.300. B.450. C.600. D.900.
[16] Cho tứ diện đều A.BCD, M là trung điểm BC. Khi đó cos(AB,DM) bằng: 3 1 3 3 A. . B. . C. . D. . 6 6 2 3
[17] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp đều bằng 2a. Gọi M và
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 40
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo góc giữa (MN, SC) bằng: A.79011’. B.41024’. C.600. D.900.
[18] Trong không gian cho đường thẳng d và điểm O. Qua O có mấy đường thẳng vuông góc với d cho trước? A.0. B.1. C.2. D. Vô số.
[19] Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.
D. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau.
[20] Cho tứ diện A.BCD có AB = AC, DB = DC. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. BD   ABC.
B. AC B . D
C. CD   ABD.
D. BC A . D
[21] Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA   ABC và đáy ABC là tam giác cân tại C. Gọi H, K lần lượt là trung
điểm của AB và SB. Khẳng định nào sau đây sai?
A. CH S . A
B. CH S . B
C. AK S . C
D. AK CH.
[22] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mp đáy. Gọi I, J, K lần lượt là
trung điểm của AB, BC và SB. Khẳng định nào sau đây sai? A. (IJK)//(SAC).
B. BD   IJK . C. SC BD 0 ,  60 .
D. BD  SAC.
[23] Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O và vuông góc với (ABCD) lấy
điểm S. Biết số đo góc giữa SA và mp (ABCD) bằng 450. Độ dài SO bằng: a a 2 A. . B. a 2. C. . D. 2a 2. 2 2 2
[24] Một công ty khi tuyển dụng nhân sự vào vị trí kế toán trưởng với hợp đồng dài hạn 10 năm đã đưa ra hai
hình thức trả lương như sau.
Hình thức 1: Trong năm đầu tiên nhận được 60 triệu VNĐ, mỗi năm tiếp theo nhận được tiền lương bằng số tiền
năm trước nhân với 1.1.
Hình thứ 2: Trong quí đầu tiên nhận được 12 triệu VNĐ, mỗi quí tiếp theo nhận được tiền lương bằng số tiền
quí trước nhân với 1,05.
Nếu bạn là người nộp vào vị trí kế toán trưởng ở trên, bạn sẽ chọn hình thức nhận lương nào để thu được số tiền nhiều nhất? Vì sao?
A. Hình thức 2, vì sau 10 năm số tiền nhận được hơn hình thức 1 hơn 500 triệu.
B. Hình thức 1, vì sau 10 năm số tiền nhận được hơn hình thức 2 hơn 500 triệu.
C. Hình thức 1, vì mỗi tháng hình thức 1 nhận được 5 triệu, còn hình thức hai thì chỉ 3 triệu.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 41
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
D. Hai hình thức đều như nhau vì sau 10 năm số tiền thu được đều gần 1 tỉ VNĐ.
[25] Xét phương trình 3sin x  4cos x mx  2  0 
1 , m  0. Đặt f(x) = VT(1). Nhận xét nào dưới đây là đúng?  2 
A. Phương trình (1) luôn có ít nhất một nghiệm thuộc 0; .    m   4 
B. Phương trình (1) luôn có ít nhất một nghiệm thuộc 0; .    m   2 
C. Phương trình (1) luôn có ít nhất một nghiệm thuộc  ;0 .    m   4 
D. Phương trình (1) luôn có ít nhất một nghiệm thuộc  ;0 .    m
PHẦN 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN
2, khi x  2 
1. Xét tính liên tục của hàm số f x   2x  4 trên . khi x  2  2
x  3x  2   1 u 0  2. Cho dãy số  2u  3 . n u    n 1  n  1 u  4  n u
a) Viết bốn số hạng đầu của dãy số   n v  1 : n v . n u  3 n b) CM: (vn) là một CSN. 3.
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang vuông tại A và B, AD < BC, SA vuông góc với mặt
đáy, SA = a, AD = AB = a,
a) Chứng tỏ các mặt bên SAB, SAD, SBC là tam giác vuông.
b) Xác định và tính góc giữa SD và BC.
c) Xác định và tính góc giữa SO và (ABCD). Với O là hình chiếu của A lên BD.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 42
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
CHUYÊN ĐỀ . ĐẠO HÀM
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 43
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0  (a; b):
f (x)  f (x ) y f '(x 0 lim 0 )  lim =
(x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0)) xx  x0 x 0 x x0
 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Ý nghĩa của đạo hàm
Ý nghĩa hình học: + f (x
M x ; f (x )
0) = k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại  0 0  .
+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M x ; y 0
0  là: y – y0 = f (x0).(x – x0)
Ý nghĩa vật lí:
+ Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm t0 là v(t0) = s(t0).
+ Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t0 là I(t0) = Q(t0).
3. Qui tắc tính đạo hàmnN   x 1 (C) = 0 (x) = 1 (xn) = n.xn–1    n 1    2 x u    u v   v u  1    vu
(  v)  u  vu
( v)  uv v u     ( )        v  (v  0) ku ku v2  v v2
Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là ux và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là yu thì hàm
số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x là: yx y uu . x
4. Đạo hàm của hàm số lượng giác 1 1 (sinx) = cosx (cosx) = – sinx tan x  cot x   2 cos x 2 sin x
5. Vi phân: dy df (x)  f (  x).x
f (x  x)  f (x )  f (x ).x 0 0 0 (n) (n 1  )   
6. Đạo hàm cấp cao: f ' (x)  f '(x  )  
; f ' '(x)  f ' (x  )   ; f (x)   f
(x) (n  N, n  4)
Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là a(t0) = f(t0).
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 44
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa ta thực hiện các bước:
B1: Giả sử x là số gia của đối số tại x0. Tính y = f(x0 + x) – f(x0). y B2: Tính lim . x0 x A. BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu [1]
Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra: 2
a) y f (x)  2x x  2 tại x0 1
b) y f (x) 
3 2x tại x0 = –3 2x 1 
c) y f (x)  x 1 tại x0 = 2
d) y f (x)  sin x tại x0 = 6 2 3 x x 1
e) y f (x)  x tại x
y f (x)  0 = 1 f) x 1 tại x0 = 0 Câu [2]
Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau: 2 3
a) f (x)  x  3x 1
b) f (x)  x  2x c) f (x) 
x 1, (x  1) 1 1 d) f (x)  ( )  2x ( )  sin 3 e) f x x f) f x cos x B.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM [1]
Số gia của hàm số   3 f x  x ứng với x   0 = 2 và x 1 là: A. 19. B. -19. C. 7. D. -7. [2]
Số gia của hàm số   2
f x  x  4x 1 ứng với x và x  là: A. 2x  Δx. B. 2x  4Δx.
C. Δx Δx  2x  4.
D. Δx.2x  4Δx. [3]
Số gia của hàm số   2 x f x 
ứng với số gia Δx của đối số x tại x  1  là: 2 0 1 1 1 1 A. Δx2  Δx. Δx  Δx. C. Δx2 Δx. Δx  Δx. 2   B.  2 2 2   D.  2 2 [4]
Tỉ số Δy của hàm số f x  2x x   1 theo x và Δx là: Δx A.   2 4xΔx 2 Δx  2Δx. B.   2 4x 2 Δx  2.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 45
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 C. 4x  2Δx  2. D. 4x  2Δx  2. [5] Cho hàm số   2
f x  x  x , đạo hàm của hàm số ứng với số gia Δx của đối số x tại x0 là:
A. lim Δx  2x   1 .
B. lim Δx  2x   1 . Δx 0  Δx 0  2 lim   lim Δx  2xΔx  Δx . Δx0   D.     2 Δx 2xΔx Δx . Δx 0  C.  
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 46
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
DẠNG 2: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC 1. α u  α 1 '  α.u  .u '. u  v'  u' v'. 1.C'  0. 2. u  u '  uv'  u'v  v'u. 2.x ' . '  1. 2 u '   u  u ' v  v ' u α  α 1   1  u ' 3. x '  α.x .  3. '   .   .   2 2  u  u  v  v   1 4. x '  .
ku'  k.u'k  const 4.sin u'  u '.cos u. . 2 x 5.cos u'  u '.  sin u. 1  1 5. '   .   2  x  x   u ' 6. tan u '    2 1 tan u .u '. 2  6.sin x'  cos x. cos u u ' 2 7.cos x'  sin x. 7.cot u'     1 cot u .u '. 2   sin u     8.tan x 1 2 '  1 tan x. ax b ad bc 2  cos x 8. '    cx  d  cx  d2   1 9. cot x '     2 1 cot x . 2  sin x A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Baøi 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 4 1 3 3 2 3 2 a) y  2x x  2 x  5    .  (  2)(1 ) 3 b) y x x x c) y x x x2 3 2 2 2 2  1 
d) y  (x 1)(x  4)(x  9)
e) y  (x  3x)(2  x)
f) y   x   1  1  x  3 2x 1 1 x x2 g) y y  2x y  1 h) 1 3x i) 1 x x2 x2  3x  3 x2 2  4x 1 2x2 k) y y y x 1 l) x  3 m) x2  2x  3
Baøi 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2 4 3 2 11
a) y  (x x 1) b) y   x2 5 (1 2 )
c) y  (x  2 x 1) 4 2 5 y    x2 3 2  1
d) y  (x  2x) e)
f) y  (x2 2x 2  5) 3 (x 2 1)  2x 1 3  3  g) y  h) y    i) y  2    (x 3 1)  x 1  2  x
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 47
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
Baøi 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y x2 2  5x  2 b) y x3  x  2 c) y x x 3
y  1 12x  d) y x x2 ( 2)  3 e) y x 3 (  2) f) x3 4x 1 x2 4  g) y  h) y  i) y x 1 x2  2 x
Baøi 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:  x 2 sin  3 a) y  
b) y x.cos x
c) y  sin (2x 1) 1 cos x    d) y  cot 2x e) y   x2 sin 2
f) y  sin x  2x 2 3 y   2 x 2 sin cos tan x 2 3
g) y  (2  sin 2x) h)
i) y  2sin 4x  3cos 5x   2 x 1 2 3 1 5 k) y  cos    tan2  tan 2  tan 2  l) y x x x x 1    3 5
Baøi 5: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: n n 1  n n 1 
a) (sin x.cos nx)'  nsin
x.cos(n 1)x b)(sin x.sinnx)'  n.sin
x.sin(n 1)x n n 1  n n 1 
c) (cos x.sin nx)'  n.cos
x.cos(n 1)x d)(cos x.cosnx)'   n.cos
x.sin(n 1)x
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM [1] Đạo hàm của hàm số 4 2 y  x  3x  x 1là: 3 2 3 2
A. y '  4x  6x  x.
B. y '  4x  3x  x. 3 2 3 2
C. y '  4x  6x 1.
D. y '  4x  3x 1. [2]
Đạo hàm của hàm số y = 10 là: A.10. B.0. C.-10.
D. Không có đạo hàm. 1 3 [3] Đạo hàm của hàm số 6 y  x   2 x là: 2 x 3 1 3 1 5 5 A. y '  3x   . B. y '  6x   . 2 x x 2 x 2 x
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 48
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 3 1 3 1 5 5 C. y '  3x   . D. y '  6x   . 2 x x 2 x 2 x  [4] Đạo hàm của hàm số 2 x y  là: 3x 1 5 7  5 A. y '     B. y ' . C. y ' . D. 3x   . 2 1 3x  2 1 3x 1 7  y '  . 3x 1
[5] Đạo hàm của hàm số y  3sin 2x  cos 3x là:
A. y '  3cos 2x  sin 3x.
B. y '  3cos 2x  sin 3x.
C. y '  6cos 2x  3sin 3x. D. y '  6  cos 2x  3sin3x.
[6] Đạo hàm của hàm số 2 y  x tan x  x là: 1 2x 1 A. y '  2x tan x  . B. y '   . 2 x 2 cos x 2 x 2 x 1 2 x 1 C. y '  2x tan x   . D. y '  2x tan x   . 2 cos x x 2 cos x 2 x
[7] Đạo hàm của hàm số   2 y x  22x   1 là: 2 2 2 A. y '  4x.
B. y '  6x  2x  4
C. y '  2x  2x  4.
D. y '  3x  6x  2.
[8] Đạo hàm của hàm số 2 y  x. x  2x là: 2x  2 2 3x  4x 2 2x  2x 1 2 2x  3x A. y '  . B. y '  . C. y '  . D. y '  . 2 x  2x 2 x  2x 2 x  2x 2 x  2x 2x 1
[9] Đạo hàm của hàm số y  x  là: 2 1 5 x  2 5  x  2 A. y '  . B. y '  . . 2 2x   . . 2 1 2x 1 2x  2 1 2x 1 5 x  2 1 x  2 C. y '   D. y '  . 2x   . . 2 1 2x 1 2 2x 1 1
[10] Đạo hàm của hàm số y  x 1  x  là: 1
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 49
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 1 1 1 1 A. y '   . y '   . 4 x 1 4 x  B. 1 2 x 1 2 x 1 1 1 C. y '    D. y '  .    x 1  x 1 . 2 2 x 1 2 x 1
[11] Đạo hàm của hàm số    2016 3 2 y x 2x là: A.    2015 2015 3 2 y ' 2016 x 2x . B.   3 2    2 y ' 2016 x 2x 3x  4x . C.   3 2   2 y ' 2016 x 2x 3x  4x . D.   3 2   2 y ' 2016 x 2x 3x  2x . 
[12] Đạo hàm của hàm số 2x 3 y   2x là: 5  x 13 1 17 1 A. y '      B. y ' . x  5 . 2 2x x 52 2 2x 13 1 17 1 C. y '      D. y ' . x  5 . 2 2 2x x 52 2x
[13] Đạo hàm của hàm số     2 y 2x 1 x  x là: 2 x  x 2 2x  x A. 2 y '  2 x  x  . B. 2 y '  2 x  x  . 2 x  x 2 2 x  x 2 2x  x 2 x  x C. 2 y '  2 x  x  . D. 2 y '  2 x  x  . 2 x  x 2 2 x  x 1
[14] Hàm số có y '  2x  là: 2 x 1 2 1 1 A. y  2  . B. y  2  . C. 2 y  x  . D. 2 y  x  . x 3 x x x
[15] Đạo hàm của hàm số 2
y  2sin x  cos 2x  x là:
A. y '  4sin x  sin 2x 1.
B. y '  4sin 2x 1. C. y '  1.
D. y '  4sin x  2sin 2x 1. 
[16] Đạo hàm của hàm số sin x cos x y  là: sin x  cos x sin 2x 2 2 sin x  cos x A. y '   B. y '  . sin x  cos x  . 2 sin x cos x2
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 50
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 2   2sin 2x 2  C. y '    D. y ' . sin x  cos x  . 2 sin x cosx2
[17] Đạo hàm của hàm số 2 2 y  tan x  cot x là: tan x cot x tan x cot x A. y '  2  2 . B. y '  2  2 . 2 2 cos x sin x 2 2 cos x sin x tan x cot x C. y '  2  2 .
D. y '  2 tan x  2cot x. 2 2 sin x cos x  π  π π
[18] Đạo hàm của hàm số 2 y  sin  2x  x    là:  2  2 4  π   π  π A.      π y ' 2sin π 4x  . B. y '  2sin  x cos  x  .     2  2   2  2  π   π  π C. y '  2sin  x cos  x  x.     D. y '  2  sinπ  4x.  2   2  2  
[19] Đạo hàm của hàm số 1 y  2  tan x    là:  x   1  2 1 tan x    1  x  A. y '  . B. y '  .  1   1  2 2  tan x    2 2  tan x     x   x   1   1  2 1 tan x    2 1 tan x     x   1   x   1  C. y '  . 1 .   D. y '  . 1 .   2  2 1   x   1   x  2 2  tan x    2 2  tan x     x   x 
[20] Đạo hàm của hàm số cos 2x y  là: 3x 1 2  sin 2x3x   1  3cos 2x 2  sin 2x 3x   1  3cos 2x A. y '  . y '  . 3x  B. 1 3x  2 1 2sin 2x 3x   1  3cos 2x sin 2x 3x   1  3cos 2x C. y '  D.   y ' . 3x   . 2 1 3x  2 1 2
[21] Đạo hàm của hàm số 2 y  sin 2x.cos x  là: x
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 51
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 1 2 2
A. y '  2sin 2x.cos x  sin x.sin 2x  2 x.
B. y '  2sin 4x.cos x  sin x.sin 2x  . x x 1 2 2
C. y '  2sin 4x.cos x  sin x.sin 2x  .
D. y '  2sin 2x.cos x  sin x.sin 2x  2 x. x x π
[22] Đạo hàm của hàm số 2
y  cot cos x  sin x  là: 2 1 cos x A. y '  2  cot cos x  . 2 sin cos x π 2 sin x  2 1 cos x
B. y '  2 cot cos x  .sin x  . 2 sin cos x π 2 sin x  2 1 cos x C. y '  2  cot cos x  . 2 sin cos x π sin x  2 1 cos x
D. y '  2 cot cos x  .sin x  . 2 sin cos x π sin x  2
[23] Đạo hàm của hàm số y  x sin a  cos ax cos a  sin a, với a là hằng số, là: 2 2 A. y '  2x sin a.
B. y '  x sin 2a  cos 2a.
C. y '  x sin 2a  cos 2a. D. y '  2x cos a. [24]
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A.
Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó. B.
Hàm số y  x có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó. C.
Hàm số y  x x có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó. D.
Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó. π 1 π
[25] Đạo hàm của hàm số 2 2 y  cos  x  x là: 3 2 4 4π π 4π π A. 2 y '  2  x sin  2x  . B. 2 y '  x sin  2x  . 3 4 3 4 4π π 4π π C. 2 y '  x sin  2x  . D. 2 y '  2x sin  2x  . 3 4 3 4
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 52
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986  π x  tan   1 sin x  4 2 
[26] Đạo hàm của hàm số y  là: sin x 1  1  cos x  π x  A. y '   1  .tan  .     2  π x  2  sin x  sin x  4 2  cos     4 2  1  1  cos x  π x  B. y '   1  .tan  .     2  π x  2  sin x  sin x  4 2  cos     4 2  1  1  cos x  π x  C. y '   1  .tan  .     2  π x  2  sin x  sin x  4 2  2 cos     4 2  1  1  cos x  π x  D. y '  1  .tan  .     2  π x  2  sin x  sin x  4 2  2 cos     4 2 
[27] Đạo hàm của hàm số    2016 2 y 2x x cos x là: 2015 2016 sin x 2 2
A. y '  20162x  x
4x  1. cosx 2x x . 2 cos x 2015 2016 1 2 2
B. y '  20162x  x
4x  1. cosx 2x x . 2 cos x 2015 2016 sin x 2 2
C. y '  20162x  x . cos x  2x  x . 2 cos x 2015 2016 1 2 2
D. y '  20162x  x . cos x  2x  x . 2 cos x
DẠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x
y f '(x )(x x ) y . 0, y0)  C ( ) là:    0 0 0 (*)
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: hệ số góc của tiếp tuyến tại (x  0; y0) y '  x k 0  1
3. Nhắc lại: Cho (): y = ax + b. Khi đó: (d)  () 
(d)  ()  k d k a d   a 4. Ý nghĩa Vật lý:
 Vận tốc tức thời: vt  s't.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 53
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
 Gia tốc: a t  v't  s"t.
 Cường độ dòng điện: it  q't. A. BÀI TẬP TỰ LUẬN Baøi 1: 2
Cho hàm số (C): y f (x)  x  2x  3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C):
a) Tại điểm thuộc (C) có hoành độ x0 = 1.
b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0.
c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0.
d) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ.  x x2 2
Baøi 2: Cho hàm số y f (x)  x 1 (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1. 3x 1
Baøi 3: Cho hàm số y f (x)  1 x (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. 1
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y x 100 2 .
e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 2x + 2y – 5 = 0. Baøi 4: 3 2
Cho hàm số (C): y x  3x .
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1, –2).
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I.
Baøi 5: Cho hàm số (C): y   x x2 1
. Tìm phương trình tiếp tuyến với (C): 1
a) Tại điểm có hoành độ x . 0 = 2
b) Song song với đường thẳng x + 2y = 0.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 54
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
[1] Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số   3
f x  x  x tại điểm M(-2; 8) là: A. 6. B. -11. C. 11. D. -12
[2] Phương trình tiếp tuyến của Parabol   2 f x  3
 x  x 1 tại điểm M(1; -1) là: A. y  5  x  4. B. y  5  x  6. C. y  6  x  5. D. y  6  x  6.
[3] Tiếp tuyến của đồ thị hàm số x y 
tại điểm có hoành độ là -1 có phương trình là: x 1 1 1 1 3 1 3 1 1 A. y   x  . B. y  x  . C. y   x  . D. y  x  . 4 4 4 4 4 4 4 4 [4]
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2
y  x  x 1 tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là: 1 1 A. y  x 1. B. y  x 1. C. y  x 1. D. y  x 1. 2 2 π
[5] Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tanx tại điểm có hoành độ x  là: 0 4 1 2 A. 2. B. . C. 1. D. . 2 2 [6] Cho hàm số 3
y  4x  3x 1. Tiếp tuyến với (C) tại điểm A(1;2) cắt (C) tại điểm nào dưới đây: A. A0;  1 . B. A 2  ; 2  5. C. A2;27. D. A 1  ;0. [7] Cho hàm số 3 2
y x  3x  2C. Ptr tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d: 3x – 5y – 4 =0 là: 5 61 5 29 5 2 5 3
A. y   x  ; y   x  .
B. y   x  ; y   x  . 3 27 3 27 3 5 3 7 5 35 5 21 5 2 5 13
C. y   x  ; y   x  .
D. y   x  ; y   x  . 3 6 3 17 3 9 3 41 [8]
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
y  x  4 có hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 là: A. y  3x.
B. y  3x  8, y  3x. C. y  3x  6.
D. y  3x  2, y  3x  6. [9]
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2
y  x  2x 1tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là: A. y  40x  57.
B. y  8x  6, y  8  x  6.
C. y  8x  6, y  8  x  6.
D. y  8x 8, y  8  x 8. [10] Cho hàm số 2
y  x  6x  5 có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến đó là: A. y  4  . B. y  4. C. x  3. D. x  3 
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 55
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
[11] Biết tiếp tuyến (d) của hàm số 3
y  x  2x  2 vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất. Phương trình (d) là: 1 18  5 3 1 18  5 3 A. y  x   , y  x   .
B. y  x, y  x  4. 3 9 3 9 1 18  5 3 1 18  5 3 C. y  x   , y  x   .
D. y  x  2, y  x  4. 3 9 3 9 1 2 x
[12] Cho hai hàm f (x)  và g(x) 
. Góc giữa hai tiếp tuyến của đồ thị mỗi hàm số đã cho tại giao x 2 2 điểm của chúng là: A. 300. B. 450. C. 600. D. 900 1 9 [13] Cho hàm số: 2 y
x x  6. Để đường thẳng y  
x b là tiếp tuyến của đồ thị thì giá trị của b là: 4 4 1 1 3 A. 1  ;0. B. 0; . C. ;1. D.1; . 2 2 2
[14] Số cặp điểm A,B trên đồ thị hàm số 3 2
y x  3x  3x  5C, mà tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau là: A.1. B.2. C.0. D. Vô số. x 1
[15] Cho hàm số y
C. Có bao nhiêu cặp điểm A, B thuộc (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau: x 1 A.0. B.1. C.2. D.Vô số. [16] Cho hàm số 3 2
y x  3x  3x  5C. Với giá trị nào của k thì trên đồ thị (C) có ít nhất 1 điểm mà tiếp
tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y = kx: A. k  1. B. k  1. C. k  0.
D. 0  k  1.  m  2 3
1 x m m
[17] Cho hàm số y
. Với giá trị nào của m thì tại giao điểm của đồ thị với Ox, tiếp tuyến x m
song song với đường thẳng y = x +1: 1 3 A. m  1.  B m   . C. m  3.  D. m   . 5 2 [18] Cho hàm số 3 2
y x  6x  9x  
1 C . Từ điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C): A.0. B.1. C.2. D.3. [19] Cho hàm số 4 2
y x  2x  
1 C . Tọa độ điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C):
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 56
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986  1   1  A. A0;  1 . B. A 0; .   C. A0;  1 . D. A 0; .    3   2  x 1
[20] Cho hàm số y
C. Tọa độ điểm thuộc trục tung mà từ đó kẻ được đúng 1 tiếp tuyến tới đồ thị hàm x 1 số:  3   3   1   1  A. A 0;  , B 0; .     B. A 0; , B 0;  .      2   2   2   2   3   3  C. A0;  1 , B 0;  1 . D. A 0; , B 0;  .      4   4  [21] Trên đồ thị 1 y
có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác x 1
có diện tích bằng 2. Tọa độ M là:  1   3   3 4  A. 4; .   B. ; 4  .   C.  ;  .   D. 2  ;1 .  3   4   4 7  [22]
Một chất điểm chuyển động có phương trình 3
s  t  3t (t tính bằng giây, s tính bằng mét). Vận tốc của
chất điểm tại thời điểm t  2 (giây) bằng: 0 A.14m/s. B.7m/s. C.15m/s. D.12m/s.  π π 
[23] Điện lượng truyền trong dây dẫn mạch dao động LC có phương trình q  2 cos t  
C thì cường độ  6 3 
dòng điện tức thời tại thời điểm t  2s bằng: 0 A. 1  A. B. 0  ,9A. C.1A. D.0,9A. 1
[24] Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là s t 2 2
 gt ,g  9,8m / s . Vận tốc tại thời điểm t = 3s 2 là: A. 44,1m / s. B. 14, 7m / s. C. 3, 26m / s. D. 29, 4m / s.
[25] Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình   3 2
s t  3t  4t  t, trong đó t được tính bằng giây và s
được tính bằng mét. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm gia tốc bằng 0 là: A.  0  ,77m / s. B.  0  ,73m / s. C.  0, 77m / s. D.  0, 73m / s.
DẠNG 4. VI PHÂN - ĐẠO HÀM CẤP CAO VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC
1. Vi phân của hàm số y = f(x): dy  f 'xdx (n)   (n / y y 1  ) 
2. Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ... ta dùng công thức:
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 57
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
3. Để tính đạo hàm cấp n:
 Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n.
 Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng.
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu [1]
Tính vi phân của các hàm số sau:  π   π   π   π  a) sin x  π .   b) cos x  π .   c) tan x  π .   d) cot x  π .    3   3   3   3  2x e) 2 2x  3. f)   2016 2 x 2x . g) h) 2 cos x 1. sin x 1  π  π 2sin x 1 i) 2 x sin x. j) 2 tan  2x  x.   k)  . 3  2 cos x  x Câu [2]
Cho hàm số f (x)  3(x 1) cos x . 
a) Tính f '(x), f ' (x) b) Tính f ' (  
), f '  , f ' (1)  2  Câu [3]
Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp được chỉ ra: 4 3 2 x 3
a) y  cos x, y ' '
b) y  5x  2x  5x  4x  7, y ' c) y  , y'' x  4 d) y x x2 2 , y'
e) y x sin x, y '
f) y x tan x, y ' 2 3 6 3 (4) 1 (5)
g) y  (x 1) , y '
h) y x  4x  4, y i) y  , y 1 x Câu [4]
Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: (n) n  1  ( 1  ) n! (n)  n.  (n)  n.  a)   
(sin x)  sin x  (cos x)  cos x n b)   c)   1 x  (1 x 1 )   2   2  Câu [5]
Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: 1 1 x a) y   y x  2 b) y c) x2  3x  2 x2 1 1 x 2 4 4 d) y   sin  sin  cos 1 x e) y x f) y x x
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 58
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 Câu [6]
Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra:
y x sin x
y  2x x2 a)  b) 
xy'  2(y'sin x)  xy  0
y3y''1 0  x  3
y x tan xy  c)  d)  x  4
x2y '  2(x2  y2)(1 y)  0
2y 2  (y 1)y'' Câu [7]
Giải phương trình f '(x)  0 với:
a) f (x)  3cos x  4sin x  5x
b) f (x)  cos x  3 sin x  2x 1 2 x x
c) f (x)  sin x  2 cos x d) f x x cos4 cos6 ( ) sin   4 6   x e) f x     x 3 ( ) 1 sin( ) 2cos
( )  sin3  3 cos3 3(cos  3sin ) 2 f) f x x x x x Câu [8]
Giải phương trình f '(x)  g(x) với:  f x 4 ( )  sin 3xf x 3 ( )  sin 2x a)  b) 
g(x)  sin 6x
g(x)  4 cos2x  5sin 4x  2 x  2 2 x
f (x)  4x cos
f (x)  2x cos  2 c)  2 d)  x
g(x)  x x2 sin x
g(x)  8cos 32xsin x  2 Câu [9]
Giải bất phương trình f '(x)  g'(x) với: 3 2
a) f (x)  x x  2, g(x)  3x x  2 b) 2 f (x) 
x  2x  8, g(x)  x x2 3 2 3 2 3
c) f (x)  2x x  3, g(x)  x   3 ( )  , ( )   2 d) f x g x x x x Câu [10]
Xác định m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  R: mx3 2 a) f '(x)  0 vôùi f (x) 
3x mx  5 3 mx3 mx2 b) f '(x)  0 vôùi f (x)  
 (m 1)x 15 3 2 Câu [11] Cho hàm số 3 2
y x  2x mx  3. Tìm m để:
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 59
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
a) f '(x) bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất.
b) f '(x)  0 với mọi x. 3 2 mx mx Câu [12]
Cho hàm số f (x)     (3 )
m x  2. Tìm m để: 3 2
a) f '(x)  0 với mọi x.
b) f '(x)  0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
c) Trong trường hợp f '(x)  0 có hai nghiệm, tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 60
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM [1] Biết 2
y  x  2 . Tập nghiệm của phương trình xy '  1 là:  2 2  A.  , . B.  1  ;  2 .  2 2   C.  1   2, 1   2. D.  2   1 . [2] Vi phân của hàm số 4 y  5x  3x 1 là: A.   3 dy 4x  3xdx. B.   3 dy 4x  3dx. C.   3 dy 20x  3xdx. D. dy   3 20x  3d . x [3] Vi phân của hàm số 3 y  sin 3x là: A. 2
dy  3sin 3x.cos3xdx. B. 2
dy  9sin 3x.cos3xd . x
C. dy  3sin 6xdx. D. 2 dy  3sin 3xdx. [4] Vi phân của hàm số 2
y  3x x tại điểm x = 2, ứng với   0,1 là: x A. 0  , 4. B. 0  ,07. C. 1,1. D. 10. [5]
Vi phân của y = cot(2017x) là: 2017 A. dy  2
 017sin2017xd .x B. dy d . x 2 sin 2017x 2017 2017 C. dy   d . x D. dy   d . x 2 cos 2017x 2 sin 2017xd sin x[6] bằng: d cos xA. cot . x B.  tan . x C. tan . x D.  cot . x [7]
Tính f "2. Biết rằng   5 2 f x  x  3x  2017x . A. 2171. B. 68. C. 160. D. 154. [8]
Biết khai triển 1 3x2016 2 3 2016
 a  a x  a x  a x ... a x
. Tổng S  a  2a  ...  2016a bằng: 0 1 2 3 2016 1 2 2016 A. 2016 2016.4 . B. 2015 6048.4 . C. 2015 2016.4 . D. 2016 6048.4 . 2 3 y ' [9] Biết 3 2 y  x 
x  x . Tập nghiệm của bất phương trình  0 là: 3 2 2 x     A.    1 ; 1   ;  .   B.    1 ; 1   ;  .    2   2   1   1  C.  ;    1   ;  \     0 . D. 1  ; .    2   2 
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 61
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 60 64
[10] Tập nghiệm của phương trình f ' x  0 là … biết f x  3x    5 : 3 x x A.  2  ,  4 . B. 4,1  6 . C.  4  , 1   6 . D. . 
[11] Cho hàm số f x  2x 1 . Giá trị f '3  f 3 là: 6 8 13 7 6 A. . B. . C.  . D. . 7 7 14 7
[12] Tập nghiệm phương trình         2017 2 2 f ' x 0, f x 5 x 1  x 1 là: A. .  B.   0 . C.   1 . D.   1 . f '  1
[13] Cho hai hàm số   2
f x  x  3 và g x 1  . Tỉ số bằng: 1 x g '0 A. 1. B. -2. C. 2. D. Không xác định. f 'x 1
[14] Cho hàm số f x 3 2
 x  x  3x  2017. Tập nghiệm của bất phương trình  0 là: 3 2  x A.  1  ;2. B.  1  ;  3 . C.  ;    1 3;. D.  ;    1  2;.
[15] Cho hàm số f x 3 2
x 3x . Tập nghiệm của bất phương trình f 'x  0 là: A.  ;  03;. B. 0;3. C.  ;  02;. D. 0;2.
[16] Cho hàm số   2 f x 
x  2x . Tập nghiệm của bất phương trình f 'x  f x là:           3  5 3  5  3 5 3 5 3 5 A.  ; . B.  ; 2. C. 0; . D. 2; . 2 2   2   2   2   [17] Cho hàm số 3 2
y  mx  x  x  5 . Với giá trị nào của m thì y’ = 0 có hai nghiệm trái dấu? 1 1 A. m < 0. B. m   . C. m   . D. m  0. 3 3
[18] Cho hàm số y = tanx + cotx. Tập nghiệm của phương trình y’ = 0 là: π   π π A. .  B.  kπk  . C.
k k  . D.  k k  . 4 4 2 2 2
[19] Đạo hàm cấp hai của hàm số 2 y  sin x là: A. -2sin2x. B. 2cos2x. C. -2cos2x. D. 2sin2x.
[20] Hàm số nào dưới đây có đạo hàm cấp 2 là 6x? A. 2 y  3x . B. 3 y  2x . C. 2 y x . D. 3 y x .
[21] Đạo hàm cấp n, với n là số tự nhiên khác 0 của hàm số y = cosx là:  nπ   nπ  A. cos x  .   B. sin x  .    2   2 
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 62
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 n n C.   1 cos x  nπ. D.   1 sin x  nπ. 3 [22] Cho 2
y  2x  x . Giá trị của biểu thức A  y .y" là: A.2. B.-1. C.3. D. Kết quả khác. [23]
Đạo hàm cấp n ( với n là số tự nhiên khác 0) của hàm số 1 y  là: x 1  n n n 1 n n!   1 n!   1 n! A.   B. . C. . D. . nnn x   . n 1 1 x   1 1 x   1 1 x   1 [24]
Cho y = 3sinx + 2cosx. Tính giá trị biểu thức A y '' y là: A. 0. B. A  4cos . x
C. A  6sin x  4cos . x D. 2. [25]
Đạo hàm cấp 2 của hàm số y = tanx + cotx + sinx + cosx bằng: A.0. B. 2 2
tan x  cot x  cos x  sin . x 2 tan x 2 cot x 2 tan x 2 cot x C.   sin x  cos . x D.   sin x  cos . x 2 2 cos x sin x 2 2 cos x sin x
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 63
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
CHUYÊN ĐỀ .
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 64
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Định nghĩa và các phép toán
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB BC AC
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB AD AC
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có: AB AD AA'  AC '
+ Hê thức trung điểm đoạn thẳng: I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý. IA IB  0 , OA OB  2OI .
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:
GA GB GC  0;
OA OB OC  3OG
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:
GA GB GC GD  0;
OA OB OC OD  4OG
+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: a vaø b cuøng phöông (a  0)  !
k R : b ka
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
 Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a,b,c , trong đó a vaø b không cùng phương. Khi đó: a,b,c
đồng phẳng  ! m, n  R: c ma nb
 Cho ba vectơ a,b,c không đồng phẳng, x tuỳ ý. ! m, n, p  R: x ma nb pc
3. Tích vô hướng của hai vectơ
Góc giữa hai vectơ trong không gian: 0 0
AB u, AC v  (u,v)  BAC (0  BAC 180 )
Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho u, v  0 . Khi đó: .
u v u . v .cos(u,v)
+ Với u  0 hoaëc v  0. Qui ước: . u v  0 + u v  . u v  0 A. PHÂN DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 65
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 1.
Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I là trung điểm của EF.
a) Chứng minh: IA IB IC ID  0 .
b) Chứng minh: MA MB MC MD  4MI , với M tuỳ ý.
c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cố định (P) sao cho: MA MB MC MD nhỏ nhất. 2.
Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kì, các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối đồng qui tại trung
điểm của chúng. (Điểm đồng qui đó được gọi là trọng tâm của tứ diện) 3.
Cho tứ diện ABCD. Gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm chia các cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số k (k 
Chứng minh rằng hai tứ diện ABCD và ABCD có cùng trọng tâm.
DẠNG 2: CHỨNG MINH CÁC VECTƠ ĐỒNG PHẲNG 1.
Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho MS 1  2
MA và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho NB   NC . Chứng minh rằng ba vectơ A , B MN,SC 2 đồng phẳng. 2 1
ĐS: Chứng minh MN AB SC 3 3 . 2.
Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AE, CG, AD, DH,
GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của NG và JH.
a) Chứng minh ba vectơ MN,FH,PQ đồng phẳng.
b) Chứng minh ba vectơ IL, JK, AH đồng phẳng.
ĐS: a) MN,FH,PQ có giá cùng song song với (ABCD).
b) IL, JK, AH có giá cùng song song với (BDG). 3.
Cho hình lăng trụ ABC.DEF. Gọi G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của AE, EC, CD, BC, BE.
a) Chứng minh ba vectơ AJ,GI , HK đồng phẳng. FM CN 1
b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên AF và CE sao cho 
 . Các đường thẳng vẽ từ M và N FA CE 3
song song với CF lần lượt cắt DF và EF tại P và Q. Chứng minh ba vectơ MN,P , Q CF đồng phẳng. 4.
Cho hình hộp ABCD.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD; G và G lần lượt là
trọng tâm của các tứ diện ADMN và BCCD. Chứng minh rằng đường thẳng GG và mặt phẳng (ABBA) song
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 66
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 song với nhau. 1
ĐS: Chứng minh GG '  5AB AA'  AB AA GG đồng phẳng. 8 , ', ' 5.
Cho tứ diện OABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Phân tích vectơ OG theo các ba O , A O , B OC .
b) Gọi D là trọng tâm của tứ diện OABC. Phân tích vectơ OD theo ba vectơ O , A O , B OC . 1 1
ĐS: a) OG  OA OB OC
OD  OA OB OC 3 b) 4 . 6.
Cho hình hộp OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp.
a) Phân tích hai vectơ OI vaø AG theo ba vectơ O , A OC,OD .
b) Phân tích vectơ BI theo ba vectơ FE,FG,FI . 1
ĐS: a) OI  OA OC OD        2 , AG
OA OC OD . b) BI FE FG FI . 7.
Cho hình lập phương ABCD.EFGH.
a) Phân tích vectơ AE theo ba vectơ AC, AF, AH .
b) Phân tích vectơ AG theo ba vectơ AC, AF, AH . 1 1
ĐS: a) AE   AF AH AC
AG   AF AH AC 2 b) 2 .
DẠNG 3: TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ 1.
Cho hình lập phương ABCD.ABCD.
a) Xác định góc giữa các cặp vectơ: AB vaø A 'C ' , AB vaø A' D ' , AC ' vaø BD .
b) Tính các tích vô hướng của các cặp vectơ: AB vaø A 'C ' , AB vaø A' D ' , AC ' vaø BD . 2.
Cho hình tứ diện ABCD, trong đó AB  BD. Gọi P và Q là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và
CD sao cho PA kP ,
B QC kQD (k  1). Chứng minh AB PQ .
DẠNG 4: MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC 1.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là bốn điểm lấy trên AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng nếu
ba đường thẳng MN, PQ, AC đôi một song song thì bốn điểm P, Q, M, N đồng phẳng.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 67
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 2.
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J lần lượt là trung điểm BB’, A’C’. K là điểm trên B’C’ sao cho KC  2  .K .
B Chứng minh bốn điểm A, I, J, K thẳng hàng. 3.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có BA  , a BB '  , b BC  .
c M, N lần lượt là hai điểm nằm trên AC, DC’ sao cho MC  .
n AC,C ' N mC ' . D
a) Hãy phân tích BD ' theo các véctơ a, , b . c
b) Chứng minh rằng: MN  m na  1 mb n . c c) Tìm m, n để MN//BD’. 4.
Cho hai hình vuông ABCD và ADD’A’ cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc. M, N là hai điểm nằm
trên hai đường chéo BD và AD’ sao cho DM = AN = x (0 < x < a a ). Chứng minh rằng: MN//(BCD’A’). 5.
Cho tứ diện ABCD, hai điểm M, N thoả mãn: MA t.MC  0, NB t.ND  0. Chứng minh khi t thay đổi thì
trung điểm I của MN di chuyển trên một đường thẳng cố định. 6.
Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng; M là một điểm di động
a) Chứng minh rằng vectơ v  2MA MB  3MC là một vectơ không phụ thuộc vào M.
b) D là điểm thoả mãn AD v và giả sử đường thẳng AD cắt BC tại N. Chứng minh: NB  3N . C 7.
Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng. Tìm tập hợp các điểm M, M thoả mãn
NA  2NB NC NB BA . B.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM [1]
Điều kiện nào dưới đây là đủ để kết luận ba vectơ a,b,c không đồng phẳng:
a k .b
a k .b A. 1  k .k  0 . B. 1 
k .k  0 . 1 2  1 2 
c k .b
c k .b 2  2 a.b  0 
C. a k b k c, k k  0 . D. b  .c  0. 1 2  1 2  a.c  0  [2]
Điều kiện nào dưới đây là đủ để kết luận ba vectơ a,b,c đồng phẳng:
A. a k b k c, k k  0 .
B. a k b k c. 1 2  1 2  1 2 a.b  0 
C. a k b k c, k k  0 . D. b  .c  0. 1 2  1 2  a.c  0  [3]
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là đúng?
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 68
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 A. Nếu 1 AB 
AC thì B là trung điểm của AC. 2
B. Nếu AB  AC  2AD thì A,B,C,D đồng phẳng. C. Nếu 1 AB 
AC thì A là trung điểm của BC. 2
D. Nếu AB  AC  2AD thì A,B,C,D đồng phẳng. [4]
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. BD  D' D  B' D'  B' B.
B. BA  BC  D' D  B' D'  BB'.
C. BA  BC  D'D  B'D'  B'B.
D. BD  DD'  B' D'  BB'. [5]
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. AB  B'C'  DD'  AC'.
B. AB  B'C'  DD'  0.
C. AB  B'C'  DD'  A 'C.
D. AB  B'C'  DD'  A 'C'. [6]
Cho hình chóp S.ABC, gọi M, N là hai điểm thỏa 1 MS  2AM, NB  
NC. Đẳng thức nào dưới đây là 2 đúng: 2 1 2 1 A. MN  AB  SC. B. MN  AB  SC. 3 2 3 2 2 1 2 1 C. MN   AB  SC. D. MN   AB  SC. 3 2 3 2 [7]
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. AC  BA  DB  C' D  0.
B. AC  BA  DB  D'C'  0.
C. AC  BA  DB  C' D  CC'.
D. AC  BA  DB  C' D  C'C. [8]
Cho tứ diện A.BCD có trọng tâm là G. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Đẳng thức nào dưới đây là sai? 1 1 A. MN  ADBC. B. MN  ACBD. 2 2 1 C. MN  ABCD. D. GM  GN  0. 2 [9]
Cho tứ diện A.BCD có G là trọng tâm A
 BC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng? 1 A. DA  DB  DC  DG.
B. DA  DB  DC  3DG. 3 2 C. DA  DB  DC  DG.
D. DA  DB  DC  0. 3
[10] Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Vì IA  IB  0 nên I là trung điểm của AB. 1
B. Vì I là trung điểm AB nên với điểm O bất kì ta luôn có IO  AOBO. 2
C. Vì AB  2AD  AC  0 nên A,B,C,D đồng phẳng.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 69
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
D. Vì AB  CB  CD  AD  0 nên A,B,C, D đồng phẳng.
[11] Cho tứ diện A.BCD; M, N, G lần lượt là trung điểm AB, CD, MN, I là điểm bất kì trong không gian, đẳng
thức nào dưới đây là sai? 1 A. IG  IMIN. B. AM  AN  2AG. 2
C. GA  GB  GC  GD  4GI.
D. IA  IB  IC  ID  4.IG.
[12] Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O, I là trung điểm SO.đẳng thức nào dưới đây là sai?
A. SB  SC  SA  SD.
B. SA  SB  SC  SD  4.SO.
C. IA  IB  IC  ID  2SO.
D. SB  SD  SA  SC.
[13] Trong không gian, ta xét A
 BC. M là một điểm thuộc mp(ABC), sao cho MA  xMB yMC, x.y  0.Gọi
O là điểm bất kì trong không gian. Đẳng thức nào dưới đây là đúng? 1 x y A. OM  OA  OB  OC. x  y 1 x  y 1 x  y 1 1 x y B. OM  OA  OB  OC. x  y 1 x  y 1 x  y 1 1  x y C. OM  OA  OB  OC. x  y 1 x  y 1 x  y 1 1  x y D. OM  OA  OB  OC. x  y 1 x  y 1 x  y 1
[14] Cho hình chóp S.ABC. Trên SA,SB, SC lấy A’, B’, C’ sao cho SA = aSA’, SB=b.SB’, SC= c.SC’. Mối liên
hệ a,b,c để mp(A’B’C’) đi qua trọng tâm A  BClà: A. a  b  c  1. B. a  b  c  1  . C. a  b  c  3. D. a  b  c  3  .
[15] Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA '  a, AB  b, AC  c. Đẳng thức nào dưới đây là đúng:
A. B'C  a  b  c. B. B'C  a   b  c.
C. B'C  a  b  c. D. B'C  a   b  c.
[16] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tích vô hướng AC'.A ' B bằng: A.0. B.-a2. C.a2. D.2a2.
[17] Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA '  a, AB  b, AC  c. Đẳng thức nào dưới đây là đúng:
A. BC'  a  b  c.
B. BC'  a  b  c. C. BC'  a   b  c. D. BC'  a   b  c.
[18] Trong không gian cho 4 điểm A,B,C,D tùy ý. Đẳng thức nào dưới đây là đúng
A. AB.DC  BC.DA  AC.DB  0.
B. AB.DC  BC.DA  AC.AB  0.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 70
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
C. AB.DC  BC.DA  CA.DB  0.
D. AB.DC  BC.DA  AD.AB  0.
[19] Cho tứ diện A.BCD, có AC vuông góc BD, AB vuông góc CD. Kết luận nào dưới đây là sai: A. AD  BC. B. AC.BD  0. C. AB  CD.
D. AD.BC  AB.CD  0.
[20] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi P, R lần lượt là trung điểm AB, A’D’. Gọi P’, Q, Q’, R’ lần lượt là
giao điểm của các đường chéo trong các mặt ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’, ADD’A’. Xét các mệnh đề dưới đây.
(I) PP '  QQ '  RR '  0.
(II) Hai tam giác  PQR,  P’Q’R’ có cùng trọng tâm.
(III) PP’, QQ’, RR’ đồng phẳng.
Có bao nhiêu mệnh đề sai: A.0. B.1. C.2. D.3.
[21] Cho tứ diện A.BCD, gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm tứ diện A.BCD và B
 CD . Khẳng định nào dưới đây là sai:
A. GA  GB  GC  GD  0. B. GA  3GG '  0.
C.A,G,G’ thẳng hàng.
D.G là trung điểm AG’.
[22] Điều kiện nào dưới đây là đủ để khẳng định ba điểm A,B,C thẳng hàng. A. OB  k   1 OA  k   1 OC, k
  0 và O là điểm bất kì. B. AB  k.AC, k   . m  n 1
C. OA  mOB  nOC,  và O là điểm bất kì. D. AB  k.AC, k   . mn  0
[23] Cho ba vectơ a, b,c khác 0 và ba số thực m.n.p  0. Đặt x ma nb, y pb mc, z nc pa . Hệ thức
liên hệ giữa ba vectơ x, y,z là:
A. px ny mz  0.
B. p mx  n py  m pz  0.
C. px ny mz  0.
D. p mx  n py  m pz  0.
[24] Cho tứ diện O.ABC, G là trọng tâm tứ diện O.ABC, G’ là trọng tâm ABC . Đẳng thức nào dưới đây là sai: 1
OG'  OA OB OCA. . 2OG' 3OG 0. 3 B.   1 DG 1
 DA DB DC DO
OG  OA OB OCC. . . 4 D. 4
[25] Cho hình hộp OABC.O’A’B’C’. Gọi I là tâm của hình hộp. Đẳng thức nào dưới đây là đúng: 1
OI  OA OB OC
A. OI OA OB OC. B. . 3
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 71
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 1 OI 1
 OA OB OC
OI  OA OB OCC. . . 4 D. 2
[26] Cho hình hộp OABC.O’A’B’C’. Gọi I là tâm của hình hộp. Đẳng thức nào dưới đây là đúng:
A. AC '  OA OC OO '.
B. AC '  OA OC OO '.
C. AC '  OA OC OO '.
D. AC '  OA OC OO '.
[27] Cho hình hộp OABC.O’A’B’C’. Gọi I là tâm của hình hộp. Đẳng thức nào dưới đây là đúng:
A. BI B ' A'  B 'C '  B ' I.
B. BI B' A'  B'C '  B' I.
C. BI B ' A'  B 'C '  B ' I.
D. BI  B ' A'  B 'C '  B ' I.
[28] Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Đẳng thức nào dưới đây là đúng: 1 AE 1
  AF AH AC
AE   AF AH ACA. . . 3 B. 2 1 AE 1
  AF AH AC
AE   AF AH ACC. . 2 D. 3
[29] Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Đẳng thức nào dưới đây là đúng: 1 AG 1
  AF AH AC
AG   AF AH ACA. . . 2 B. 2 1 AG 1
  AF AH AC
AG   AF AH ACC. . . 2 D. 2 [30]
Cho tứ diện ABCD. Ba điểm M, N, P trong không gian thỏa mãn: OM  OA  t.OB 2OC ,
ON  OA  2OB  OC , OP  (t  2)OA  2OC . Với giá trị nào của t > 0 thì ba vectơ OM,ON,OP đồng phẳng: A. 0. B.1. C.2. D.3.
[31] Cho tứ diện ABCD. Ba vectơ a, b, c thỏa mãn a  OA  2OC , b  OA  2OB  OC , c  2  OA  2OC . Biểu
diễn v  5OA 10OB 15OC theo ba vectơ a, b, c ta được:
A. v  20a  5b 10c. B. v  2  0a 5b 10c.
C. v  20a  5b 10c.
D. v  20a  5b 10c. [32]
Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng, I là trung điểm BC, G là trọng tâm A
 BC. Tập hợp các điểm M, M thoả mãn MAMB MC  2MAMB MC là: 1
A. Đường tròn tâm G, bán kính IA.
B. Đường tròn tâm G, bán kính IA. 3 2
C. Mặt cầu tâm G, bán kính IA.
D. Mặt cầu tâm G, bán kính IA. 3
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 72
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
II. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng a,b là góc giữa hai đường a’, b’ cùng đi qua một
điểm và lần lượt song song a,b.  ,ab 0 0 0   , a b 0
Chú ý: Nếu a//b hoặc a  b thì  0 và  90 a a’
2. Hai đường thẳng vuông góc: b’   ,ab 0 a  b   90 b
 Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. A. PHÂN DẠNG BÀI TẬP 1.
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và ASB BSC CSA . Chứng minh rằng SA  BC, SB  AC, SC  AB. ĐS: Chứng minh S . A BC = 0 2.
Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD.
a) Chứng minh AO vuông góc với CD.
b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BM. 3 ĐS:
b) cos(AC, BM)  6 . 3.
Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c.
a) CMR đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện thì vuông góc với 2 cạnh đó.
b) Tính góc hợp bởi các cạnh đối của tứ diện. 2 2 2 2 2 2 a c b c a b ĐS: b) arccos ; arccos ; arccos 2 2 2 . b a c 4.
Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân tại A,
M là điểm trên cạnh AD (M  A và D). Mặt phẳng (P) qua M song song với mp(SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.
b) Đặt AM = x. Tính diện tích của MNPQ theo a và x. 5.
Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC  BD, AB  CD, AD  CB.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 73
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM [1]
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
A. Trong không gian, nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song nhau.
B. Trong không gian, nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng vuông góc nhau.
C. Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song nhau.
D. Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng vuông góc nhau. [2]
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A.
Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c. B.
Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b song song với đường thẳng c thì a vuông góc với c. C.
Cho ba đường thẳng a,b,c vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a
thì d song song với b hoặc c. D.
Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với
mọi đường thẳng nằm trong mp (a,b). [3]
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì song song với đường thẳng kia. [4]
Cho a, b, c là ba vectơ không cùng phương và khác 0 .Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Nếu c vuông góc cả hai vectơ a, b, thì ba vectơ a, b, c không đồng phẳng.
B. Nếu a, b, c cùng vuông góc vectơ n  0 thì ba vectơ a, b, c đồng phẳng.
C. Hai vectơ a, b luôn đồng phẳng.
D. Nếu a, b, c cùng vuông góc vectơ n  0 thì ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. [5]
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Khi đó AB.EG bằng: 2 a 2 A. 2 a . B. 2 a 2. C. 0. D. . 2 [6]
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Khi đó góc giữa HB và AC bằng: A. 0 0 . B. 0 30 . C. 0 90 . D. 0 60 . [7]
Cho tứ diện A.BCD có AB = AC = AD = a và ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0
BAC  120 , BAD  60 , CAD  90 . Góc giữa AB và CD là: A. 0 180 . B. 0 120 . C. 0 90 . D. 0 45 .
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 74
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 [8]
Cho tứ diện A.BCD có AB = AC = AD = a và ˆ ˆ 0 ˆ 0
BAC  BAD  60 , CAD  90 . Gọi I, J lần lượt là trung
điểm AB và CD. Góc giữa AB và IJ là: A. 0 45 . B. 0 60 . C. 0 90 . D. 0 120 . [9]
Cho tứ diện A.BCD có AB = AC = AD = a và ˆ ˆ 0 ˆ 0
BAC  BAD  60 , CAD  90 . Gọi I, J lần lượt là trung
điểm AB và CD. Góc giữa CD và IJ là: A. 0 45 . B. 0 90 . C. 0 135 . D. 0 120 .
[10] Cho hình chóp S.ABC có SA = SC = a, SB = 2a và ˆ ˆ 0 ˆ 0
ASB  CSA  45 ; BSC  90 . Góc giữa SA và BC là: A. 0 45 . B. 0 108 26'. C. 0 90 . D. 0 129 13'. [11]
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ˆ ˆ ˆ
ASB  BSC  CSA. Góc giữa SB và AC là: A. 0 45 . B. 0 60 . C. 0 90 . D. 0 120 .
[12] Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ˆ ˆ ˆ
ASB  BSC  CSA. Góc giữa SC và AB là: A. 0 45 . B. 0 60 . C. 0 115 . D. 0 90 .
[13] Cho hình lập phương ABCD.EFGH, góc giữa AB và GE là: A. 0 135 . B. 0 45 . C. 0 115 . D. 0 90 .
[14] Cho hình lập phương ABCD.EFGH, góc giữa AF và EG là: A. 0 45 . B. 0 60 . C. 0 115 . D. 0 90 .
[15] Cho hình lập phương ABCD.EFGH, góc giữa AB và DH là: A. 0 135 . B. 0 45 . C. 0 115 . D. 0 90 .
[16] Trong không gian cho hai tam giác đều ABC, ABC’nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Góc giữa AB và CC ' là: A. 0 60 . B. 0 45 . C. 0 90 . D. 0 120 . 1 2 2
[17] Gọi S là diện tích A  BC. Khi đó S 
AB .AC  k AB.AC2 . Giá trị của k là: 2 1 1 A.0. B. . C. . D. 1. 2 4
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 75
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
III. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
1. Định nghĩa: d  (P)  d  a, a  (P) ( vuông góc với mặt thì vuông góc với mọi đường nằm trong mặt)
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng : d  ,
a b  (P),a b O   d  (P) a (P d  , a d b b
(đường thẳng vuông góc với mp khi vuông góc 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mp).
3. Mặt phẳng trung trực: của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với
đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
4. Một số tính chất:  aba b   (P)  b    ab (  P)  a
a  (P),b  (P)  (  P) (Q) (  P)  (Q)   a  (Q)  
 (P)Q) a  (P) (  P)  ,
a (Q)  a
 a (P) a  (P)   b a    aP) b  (P) a  ,
b (P)  b a 6.
Định lí ba đường vuông góc: a’ b (P)
Cho a  (P),b  (P), a là hình chiếu của a trên (P).
Khi đó b  a  b  a
( vuông góc hình chiếu  vuông góc với đường xiên)
6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng  Nếu d  d,(P) (P) thì = 900.
 Nếu d  (P)
d,(P) d,d' thì =
với d là hình chiếu của d trên (P). d,(P) Chú ý: 00   900.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 76
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
A. PHÂN DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC ĐƯỜNG THẲNG
* Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:  ,
a b  (P),a b O (  P) (Q) ab   d  (P),   a  (Q)   (P)  bd  , a d ba  (P) (  P)  aa  (P)
* Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: Định lý 3 đường vuông góc.  a . b b   P   1.
Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O. SA  (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A trên SB, SC, SD.
a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC).
b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra 3 đường thẳng AH, AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng.
c) CMR: HK  (SAC). Từ đó suy ra HK  AI. 2.
Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA  (ABC). a) Chứng minh: BC  (SAB).
b) Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh: AH  SC. 3.
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết: SA = SC, SB = SD.
a) Chứng minh: SO  (ABCD).
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CMR: IJ  (SBD). 4.
Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều. Gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh: BC  (AID).
b) Vẽ đường cao AH của AID. Chứng minh: AH  (BCD). 5.
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm
O trên mp(ABC). Chứng minh rằng: a) BC  (OAH).
b) H là trực tâm của tam giác ABC.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 77
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 1 1 1 1 c)    2 2 2 2 . OH OA OB OC
d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn. 6.
Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SAD là tam giác
vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của SIJ và chứng minh rằng SI  (SCD), SJ  (SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH  AC.
c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho: BM  SA. Tính AM theo a. a a 3 a 5 ĐS: a) a, , 2 2 c) 2 7.
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a 2 . Gọi H
và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. a) CMR: SH  (ABCD).
b) Chứng minh: AC  SK và CK  SD. 8.
Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3 , mặt bên SBC vuông tại B, mặt
bên SCD vuông tại D có SD = a 5 .
a) Chứng minh: SA  (ABCD) và tính SA.
b) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hình
chiếu của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với mp(HIJ). CMR: AK  (SBC), AL  (SCD).
c) Tính diện tích tứ giác AKHL. 2 8a ĐS: a) a 2 . c) 15 . 9.
Gọi I là 1 điểm bất kì ở trong đường tròn (O;R). CD là dây cung của (O) qua I. Trên đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R. Gọi E là điểm đối tâm của D trên
đường tròn (O). Chứng minh rằng:
a) Tam giác SDE vuông tại S. b) SD  CE. c) Tam giác SCD vuông.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 78
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 10.
Cho MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ta lấy 2 điểm
C, D ở hai bên điểm A. Gọi C là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC.
a) Chứng minh: CC  (MBD).
b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. CMR: K là trực tâm của BCD. 11. Cho hình tứ diện ABCD.
a) Chứng minh rằng: AB  CD  AC2 – AD2 = BC2 – BD2.
b) Từ đó suy ra nếu một tứ diện có 2 cặp cạnh đối vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc với nhau.
DẠNG 2: TÌM THIẾT DIỆN QUA 1 ĐIỂM VÀ VUÔNG GÓC VỚI ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC
Tìm 2 đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với đường thẳng đã cho, khi đó mặt phẳng cắt sẽ song song (hoặc
chứa) với 2 đường thẳng ấy. 1.
Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a; SA  (ABCD)
và SA = 2a. Gọi M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với AB. Đặt AM = x (0 < x < a).
a) Tìm thiết diện của hình chóp với (P). Thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x. ĐS: a) Hình thang vuông b) S = 2a(a – x). 2.
Cho tứ diện SABC, có đáy là tam giác đều cạnh a; SA  (ABC) và SA = 2a. Mặt phẳng (P) qua B và
vuông góc với SC. Tìm thiết diện của tứ diện với (P) và tính diện tích của thiết diện này. 2 a 15 ĐS: S = 20 . 3.
Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a. SA  (ABC) và SA = a 3 . M là 1
điểm tuỳ ý trên cạnh AB, đặt AM = x (0 < x < a). Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB.
a) Tìm thiết diện của tứ diện với (P).
b) Tính diện tích của thiết diện đó theo a và x. Tìm x để diện tích thiết diện có giá trị lớn nhất. a ĐS: b) S =
3 x(a – x); S lớn nhất khi x = 2 . 4.
Cho hình tứ diện SABC với ABC là tam giác đều cạnh a, SA  (ABC) và SA = a. Tìm thiết diện của tứ
diện với mặt phẳng (P) và tính diện tích thiết diện trong các trường hợp sau:
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 79
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
a) (P) qua S và vuông góc với BC.
b) (P) qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC.
c) (P) qua trung điểm M của SC và vuông góc với AB. 2 a 3 2 2a 21 2 5a 3 ĐS: a) 4 . b) 49 . c) 32 . 5.
Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a 2 . Vẽ đường cao AH của tam giác SAB. SH 2 a) CMR:  SB 3 .
b) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. (P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện 2 5a 6 tích thiết diện. ĐS: b) S = 18
DẠNG 3: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Phương pháp: Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
 Tìm giao điểm O của a với (P).
 Chọn điểm A  a và dựng AH  (P). Khi đó AOH  ( , a (P)) 1.
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SO  (ABCD). Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết 0
(MN,(ABCD))  60 . a) Tính MN và SO.
b) Tính góc giữa MN và (SBD). a 10 a 30 5 ĐS: a) MN = (MN,(SBD))  2 ; SO = 2 b) sin 5 . 2.
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA  (ABCD) và SA = a 6 . Tính góc giữa: a) SC và (ABCD)
b) SC và (SAB) c) SB và (SAC) d) AC và (SBC) 1 1 21 ĐS: a) 600 b) arctan c) arcsin d) arcsin 7 14 7 . 3.
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA  (ABCD). Cạnh SC = a hợp với đáy góc 
và hợp với mặt bên SAB góc .
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 80
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 a) Tính SA.
b) CMR: AB = a cos(   ).cos(   ) . ĐS: a) a.sin 4.
Cho hình chóp SABC, có ABC là tam giác cân, AB = AC = a, BAC   . Biết SA, SB, SC đều hợp với mặt phẳng (ABC) góc .
a) CMR: hình chiếu của S trên mp(ABC) là tâm của đường tròn ngoại tiếp ABC.
b) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC). . a sin  ĐS 2 : b) cos . 5.
Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy là tam giác đều cạnh a, AA  (ABC). Đường chéo BC của mặt bên
BCCB hợp với (ABBA) góc 300. a) Tính AA.
b) Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến (BAC).
c) Gọi N là trung điểm của cạnh BB. Tính góc giữa MN và (BAC). a 66 54 ĐS: a) a 2 . b) 11 . c) arcsin 55 . 6.
Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; AA  (ABC). Đoạn nối trung điểm
M của AB và trung điểm N của BC có độ dài bằng a, MN hợp với đáy góc  và mặt bên BCCB góc .
a) Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và .
b) Chứng minh rằng: cos = 2 sin. ĐS:
a) AB = AC = 2a.cos; BC = 2a 2 cos; AA = a.sin. A.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
[1] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
A. Đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mp (P) thì nó vuông góc với mp (P).
B. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai mp song song nhau thì nó cũng vuông góc với mp còn lại.
C. Đường thẳng vuông góc với mp thì vuông góc với mọi đường nằm trong mp đó. D.
Một đường thẳng vuông góc với một mp cho trước thì mọi đường thẳng song song với đường thẳng đó đều vuông góc với mp.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 81
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
[2] Dữ kiện nào dưới đây có thể khẳng định d  P : d   Q d'  Q (I)   d  P   d  P  (II) .   . P / /(Q d / /d' d  1 d  (III) d  d   d, P  0  2 d P. (IV)   90 .      1 d d2  P A.Chỉ có (III). B. (I), (II), (III). C.(III) và (IV).
D. (I), (II), (III), (IV).
[3] Cho tứ diện A.BCD cách nào dưới đây có thể xác định điểm O cách đều 4 đỉnh của tứ diện:
A. Dựng đường thẳng d vuông góc với mp(BCD) tại tâm đường tròn ngoại tiếp B
 CD . Dựng đường trung trực
d’ của AB. d cắt d’ tại I, I chính là điểm cần tìm.
B. Dựng đường thẳng d vuông góc với mp(BCD) tại tâm đường tròn nội tiếp B
 CD . Dựng mp trung trực (P)
của AB. d cắt (P) tại I, I chính là điểm cần tìm.
C. Dựng đường thẳng d vuông góc với mp(BCD) tại tâm đường tròn ngoại tiếp B
 CD . Dựng mp trung trực (P)
của AB. d cắt (P) tại I, I chính là điểm cần tìm.
D. Hạ đường cao AH của tứ diện A.BCD. Dựng mp trung trực (P) của AB. AH cắt (P) tại I, I chính là điểm cần tìm.
[4] Góc giữa đường thẳng và mp : A.
Là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mp. B.
Là góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó trên mp. C. Có thể là góc tù. D. Luôn luôn là góc nhọn.
[5] Chọn câu sai. Cho điểm S có hình chiếu vuông góc trên mp(P) là H, M là điểm bất kì trên (P) ( M không
trùng H). Khi đó ta có:
A. SM,P  SM, MH (góc giữa đường với mặt bằng góc giữa đường và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt). B. S   
(hình chiếu lớn hơn khi và chỉ khi đường xiên lớn hơn). 1 M SM2 H 1 M HM2
C. SM  MH (độ dài của đường xiên luôn nhỏ hơn hoặc bằng hình chiếu). D. S   
( hình chiếu bằng nhau khi và chỉ khi đường xiên bằng nhau). 1 M SM2 H 1 M HM2
[6] Cho tứ diện A.BCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc nhau và AB = a, BC = b, CD = c. Độ dài AD bằng: 1 1 1 1 A. 2 2 2 AD  a  b  c . B.    . 2 2 2 2 AD a b c 1 1 1 1
C. AB  ab  bc  ac. D.    . 2 AD ab bc ac
[7] Cho tứ diện A.BCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc nhau. Khi đó CD vuông góc với mp: A. mp(ABD). B. mp(ABC).
C. mp trung trực của BC.
D. mp trung trực của BD.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 82
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
[8] Cho tứ diện A.BCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc nhau. Điểm cách đều bốn đỉnh A,B,C,D của hình chóp là: A. trung điểm AB. B. trung điểm BC. C. trung điểm CD. D. trung điểm AD.
[9] Cho tứ diện A.BCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc nhau và AB = a, BC = b, CD = c. Độ dài đường cao
đỉnh A của tứ diện là: 1 1 1 1 A.a. B.b. C. 2 2 2 a  b  c . D.    . 2 2 2 2 h a b c
[10] Cho tứ diện O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và OA = 2OB = OC. Khi đó: A. A  BCcó góc A là góc tù. C. A
 BCcó góc B là góc tù. B. A
 BCcó góc C là góc tù. D. A  BCcó 3 góc nhọn.
[11] Cho tứ diện O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. Khi đó hình chiếu vuông góc của O lên mp(ABC) là: A. trọng tâm A  BC. B. trực tâm A  BC.
C. tâm đường tròn ngoại tiếp A  BC.
D. tâm đường tròn nội tiếp A  BC.
[12] Cho tứ diện O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. Độ dài đường cao đỉnh O của hình chóp là: 1 1 1 1 A.    . B. 2 2 2 h  OA  OB  OC . 2 2 2 2 h OA OB OC 1 1 1 1
C. h  OA.OB  OB.OC  OA.OC. D.    . 2 h OA.OB OB.OC OA.OC
[13] Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , A
 BCcó ba góc nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm A  BCvà S
 BC . Chọn câu sai trong các câu sau: A. BC  SH.
B. AH,SK, BC đồng qui. C. BC  SAH. D. BC  SAB.
[14] Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , SA = 2a, A
 BCđều cạnh a. Gọi H, K lần lượt là trực tâm A  BC và S
 BC . Góc giữa SC và mp (BHK) là: A. 300. B.600. C.900. D.450.
[15] Xét bài toán “ Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , A
 BCcó ba góc nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm A  BCvà S
 BC . Xác định góc giữa HK và mp (SBC).”
Để giải bài toán trên, một học sinh đã làm như sau:
B1. HK SBC  K. (1)
B2. Trong mp(ABC): AH  BC  I. (2)
B3. Ba đường thẳng AH, BC, SK đồng qui tại I. (3)
B4. Từ (1), (2), (3)  HK,SBC  H  IK. (4)
Bài giải trên đúng hay sai, nếu sai thì sai ở bước nào?
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 83
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 A. Đúng. B. Sai B2. C. Sai B3. D.Sai B4.
[16] Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , A
 BCcó ba góc nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm A  BCvà S
 BC . Chọn câu sai trong các câu dưới đây: A. HK  SBC. B. CK  SAB. C. BH  SAC. D. CH  SAB.
[17] Cho hình chóp S.ABC có A
 BC đều cạnh a và SA = SB = SC = b. G là trọng tâm A  BC. Kết luận nào sau đây là đúng:
A. SG   ABC.
B. AG  SBC.
C. BG  SAC.
D. CG  SAB.
[18] Cho hình chóp S.ABC có ABC đều cạnh a và SA = SB = SC = b. G là trọng tâm ABC . Độ dài SG bằng: 2 2 36b  3a 2 2 36b  3a A. SG  . B. SG  . 6 6 2 2 9b  3a 2 2 9b  3a C. SG  . D. SG  . 3 3
[19] Cho hình chóp S.ABC có ABC đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Mp (P) đi qua A và vuông góc với SC.
Hệ thức liên thệ giữa a và b để (P) cắt SC tại C1 nằm trong đoạn SC?
A. b a 2. B. b  2 . a C. a  2 . b
D. a b 2.
[20] Với a,b thỏa điều kiện trên, diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp S.ABC bằng: 2 2 2 a 3b a 2 2 2 a 5b a A. S  . B. S  . 2b 2b 2 2 2 a 3b a 2 2 2 a 5b a C. S  . D. S  . 4b 4b
[21] Tứ diện A.BCD gọi là tứ diện trực tâm khi nó có các cạnh đối diện vuông góc nhau. Xét các mệnh đề dưới đây. (I)
Chân đường cao từ một đỉnh trùng với trực tâm mặt đối diện. (II) 2 2 2 2 2 2
AB CD AC BD AD BC . (III)
Bốn đường cao của tứ diện đồng qui tại một điểm. 1 1 1 1 (IV)    . 2 2 2 2 AH AB AC AD
Có mấy mệnh đề có thể khẳng định tứ diện A.BCD là trực tâm. A.4. B. 3. C. 2. D. 1. a
[22] Cho tứ diện A.BCD có AB =AC = BC = BD = CD = a, AD =
3 .Gọi H lần chân đường cao đỉnh A của 2
hình chóp. Độ dài BH bằng: a 3 a 3 a 3 a 3 A. BH  . B. BH  . C. BH  . D. BH  . 4 6 2 3
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 84
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
[23] Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, cạnh SA vuông góc với đáy. Gọi I, J là hai điểm trên SB SI SK và SD sao cho 
. Mệnh đề nào dưới đây là sai: SB SD
A. IK / /mp ABCD.
B. IK mp SAC.
C. IK mp SCD.
D. AB / /mp SCD.
[24] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp (ABCD), SA a 6.Góc
giữa SC và (ABCD) bằng: A. 0 60 . B. 0 30 . C. 6  ,147rad. D.900.
[25] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp (ABCD), SA a 2. Góc
giữa SC và (SAB) bằng: A.900. B.300. C.450. D.600.
[26] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp (ABCD), SA  . a Góc giữa SB và (SAC) bằng: A.900. B.300. C.450. D.600.
[27] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp (ABCD), SA  2 . a Góc giữa SC và (SBD) bằng: A.2007’. B.45035’. C.450. D.20042’.
[28] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SO vuông góc (ABCD). Gọi M, N lần
lượt là trung điểm SA và BC, biết (𝑀𝑁, (𝐴𝐵
̂𝐶𝐷)) = 600. Độ dài MN là: 10 5 5 A. a . B. a 5. C. a . D. a . 2 8 8
[29] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SO vuông góc (ABCD). Gọi M, N lần
lượt là trung điểm SA và BC, biết (𝑀𝑁, (𝐴𝐵
̂𝐶𝐷)) = 600. Độ dài SO là: 30 30 30 A. a 30. B. a . C. a . D. a . 2 8 4
[30] Cho tứ diện A.BCD, có AB vuông góc (BCD), AB a 3, B
CD đều cạnh a. Góc giữa AC và (BCD) bằng: A.900. B.300. C.450. D.600.
[31] Cho tứ diện A.BCD, có AB vuông góc (BCD), AB a 3, B
CD vuông cân tại C, cạnh BC= a. Góc giữa AD và (BCD) bằng: A.39017’. B.40053’. C.50046’. D.4907’.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 85
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
[32] Cho tứ diện A.BCD, có AB vuông góc (BCD), AB a 3, B
CD đều cạnh a. Góc giữa AD và (ABC) bằng: A.64020’. B.25040’. C.4202’. D.47058’.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 86
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
IV. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1. Góc giữa hai mặt phẳng  a  (P) 
 (P),(Q)   , a b b  (Q) 
a  (P),a c Giả sử (P)  0 0  (P),( ) Q  0
(Q) = c. Từ I  c, dựng   (P),( ) Q    , a bChú ý:  90
b  (Q),b c
2. Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S (P),( ) Q
là diện tích của hình chiếu (H) của (H) trên (Q),  = . Khi đó: S = S.cos
3. Hai mặt phẳng vuông góc  (P),(Q) 0 (P)  (Q)   90  (  P)  a
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:   (P)  (Q) a  (Q) 4. Tính chất (  P)  (Q)   (
P)  (Q),(P)(Q)  c   a  (Q)  A(P)  a  (P)
a  (P),a c a  , A a  (Q) (
P)(Q)  a   (  P)  (R)  a  (R) (
 Q)  (R)
5. Hình lăng trụ đứng – Hình hộp chữ nhật – Hình lập phương
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 87
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 A. PHÂN DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Phương pháp: Muốn tìm góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
 Tìm hai đường thẳng a, b: a  (P), b  (Q). Khi đó: (P),( ) Q    , a b . 
a  (P),a c
Giả sử (P)  (Q) = c. Từ I  c, dựng   (P),( ) Q    , a b
b  (Q),b c 1.
Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA  (ABC) và SA = a. Gọi
E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC). 3 ĐS
(SAC),(SBC) : a) = 600
b) cos ((SEF),(SBC))  . 10 2.
Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA  (ABCD). Tính SA theo a để số đo của góc giữa hai mặt
phẳng (SCB) và (SCD) bằng 600. ĐS:SA = a. 3.
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a; SA  (ABCD) và SA = a 3 .
a) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD). 10 ĐS:
a) tan ((SAD),(SBC))  7
b) cos ((SBC),(SCD))  5 . 4.
Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a 3 . Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau: a) (SBC) và (ABC) b) (SBD) và (ABD) c) (SAB) và (SCD) ĐS: a) 600 b) arctan 6 c) 300. a 3 a 6 5.
Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB =
3 ; SA  (ABCD) và SO = 3 .
a) Chứng minh ASC vuông.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 88
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). ĐS: c) 600. 6.
Cho hình chóp SABCD có SA  (ABCD) và SA = a 2 , đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với
AB = 2a, AD = DC = a. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng: a) (SBC) và (ABC) b) (SAB) và (SBC) c) (SBC) và (SCD) 6 ĐS: a) 450 b) 600 c) arccos 3 .
DẠNG 2. CHỨNG MINH HAI MP VUÔNG GÓC –CÁCH KHÁC CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MP
* Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh (P)  (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
 Chứng minh trong (P) chứa đường thẳng a mà a  (Q).
 Chứng minh  P Q  0 ( ),( )  90
* Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh d  (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
 Chứng minh d  (Q) với (Q)  (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).
 Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) và (R)  (P).
 Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước. 1.
Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc vơi
mp(ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a 6 . Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau. 2.
Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đường cao BE,
DF của BCD, đường cao DK của ACD. a) Chứng minh: AB  (BCD).
b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC).
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 89
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC. CMR: OH  (ADC). 3.
Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA  (ABCD).
a) Chứng minh (SAC)  (SBD).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD).
c) Gọi BE, DF là hai đường cao của SBD. CMR: (ACF)  (SBC), (AEF)  (SAC). ĐS: b) 900. 4.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD). Gọi M, N là 2 điểm lần lượt ở a 3a
trên 2 cạnh BC, DC sao cho BM =
. Chứng minh 2 mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc 2 , DN = 4 với nhau. 5.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB và CC cùng vuông góc với mp(ABC).
a) Chứng minh (ABB)  (ACC).
b) Gọi AH, AK là các đường cao của ABC và ABC. Chứng minh 2 mặt phẳng (BCCB) và (ABC)
cùng vuông góc với mặt phẳng (AHK). 6.
Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc với
đáy. Gọi I là trung điểm của AB.
a) Chứng minh rằng SI  (ABCD), AD  (SAB).
b) Tính góc giữa BD và mp(SAD).
c) Tính góc giữa SD và mp(SCI). 6 10 ĐS: b) arcsin 4 c) arcsin 5 7.
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b. Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với
mp(ABC); S là 1 điểm di động trên (P) sao cho SABC là hình chóp có 2 mặt bên SAB, SAC hợp với đáy 
ABC hai góc có số đo lần lượt là  và  2
. Gọi H, I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên BC, AB, AC.
a) Chứng minh rằng: SH2 = HI.HJ.
b) Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy tìm giá trị của . 1 c ĐS: b) SH bc;   arctan max = 2 b
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 90
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 8.
Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, x, y để:
a) Mặt phẳng (ABC)  (BCD).
b) Mặt phẳng (ABC)  (ACD). 2 b ĐS:
a) x2 – y2 + 2 = 0 b) x2 – y2 + b2 – 2a2 = 0 9.
Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) ; M và N là hai điểm nằm trên
các cạnh BC, CD. Đặt BM = x, DN = y.
a) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau là MN 
(SAM). Từ đó suy ra hệ thức liên hệ giữa x và y.
b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) có số đo bằng 300 là a(x + y) + 3 xy = a2 3 . ĐS: a) a2 – a(x + y) + x2 = 0 a 6 10.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a và có góc A bằng 600, cạnh SC = 2 và SC  (ABCD).
a) Chứng minh (SBD)  (SAC).
b) Trong tam giác SCA kẻ IK  SA tại K. Tính độ dài IK. c) Chứng minh 0
BKD  90 và từ đó suy ra (SAB)  (SAD). a ĐS: b) IK  2 .
DẠNG 3: DIỆN TÍCH HÌNH CHIẾU CỦA ĐA GIÁC
Phương pháp: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của hình chiếu (H) của (H) trên (Q),  = (P),( )
Q . Khi đó: S = S.cos 1.
Cho hình thoi ABCD có đỉnh A ở trong mặt phẳng (P), các đỉnh khác không ở trong (P), BD = a, AC = a
2 . Chiếu vuông góc hình thoi lên mặt phẳng (P) ta được hình vuông ABCD.
a) Tính diện tích của ABCD và ABCD. Suy ra góc giữa (ABCD) và (P).
b) Gọi E và F lần lượt là giao điểm của CB, CD với (P). Tính diện tích của tứ giác EFDB và EFDB.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 91
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 2 3a 2 2 3a ĐS: a) 450 b) SEFDB = 4 ; SEFDB = 4 2.
Cho tam giác cân ABC có đường cao AH = a 3 , đáy BC = 3a; BC  (P). Gọi A là hình chiếu của A trên
(P). Khi ABC vuông tại A, tính góc giữa (P) và (ABC). ĐS: 300 3.
Cho tam giác đều ABC cạnh a, nằm trong mặt phẳng (P). Trên các đường thẳng vuông góc với (P) vẽ từ B a 2
và C lấy các đoạn BD = 2 , CE = a 2 nằm cùng một bên đối với (P).
a) Chứng minh tam giác ADE vuông. Tính diện tích của tam giác ADE.
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ADE) và (P). 2 3a 3 ĐS: a) 4 b) arccos 3 4.
Cho hình chóp SABC có các mặt bên hợp với đáy một góc .
a) Chứng minh hình chiếu của S trên mp(ABC) là tâm của đường tròn nội tiếp ABC. S b) Chứng minh: ABC
SSAB + SSBC + SSCA = cos 5.
Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Gọi H là trực tâm của ABC. Chứng minh rằng: a) SH  (ABC).
b) (SSBC)2 = SABC.SHBC. Từ đó suy ra: (SABC)2 = (SSAB)2 + (SSBC)2 +(SSCA)2. 6.
Trong mặt phẳng (P) cho OAB vuông tại O, AB = 2a, OB = a. Trên các tia vuông góc với (P) vẽ từ A và
B và ở về cùng một bên đối với (P), lấy AA = a, BB = x.
a) Định x để tam giác OAB vuông tại O.
b) Tính AB, OA, OB theo a và x. Chứng tỏ tam giác OAB không thể vuông tại B. Định x để tam giác này vuông tại A.
c) Cho x = 4a. Vẽ đường cao OC của OAB. Chứng minh rằng CA  AB. Tính góc giữa hai mặt phẳng (OAB) và (P). 39 ĐS: a) x = 0 b) x = 4a c) arccos 26
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 92
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM [1]
Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề đúng.
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song nhau.
B. Nếu hai mặt phẳng vuông góc nhau thì mọi đường trong mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
C. Nếu hai mặt phẳng phân biệt  ,  cùng vuông góc với mặt phẳng   thì giao tuyến d của  ,  sẽ
vuông góc với mp  .
D. Hai mặt phẳng phân biệt  ,  cắt nhau theo giao tuyến d, với mỗi điểm A thuộc   và B thuộc   thì AB vuông góc d. [2]
Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A.
Qua một đường thẳng d cho trước xác định được duy nhất một mặt phẳng (P) chứa d và vuông góc mp (Q) cho trước. B.
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước. C.
Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì luôn đi qua
một đường thẳng cố định. D.
Hai mặt phẳng vuông góc nhau thì đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến sẽ
vuông góc với mặt phẳng còn lại. [3]
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là sai?
A. Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là hình chữ nhật.
B. Hình lăng trụ có hai mặt bên là hình chữ nhật là hình lăng trụ đứng.
C. Hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
D. Hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy là hình lăng trụ đứng. [4]
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. Để ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật thì: A. 2 2 2
A'C AC '  a b c . B. 2 2 2 2 2 2
A'C BD '  a b a c b c . C. 2 2 2 2 2 2
A'C AC '  a b a c b c . D. 2 2 2
A'C BD '  a b c . [5]
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song nhau.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song nhau.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thì song song nhau.
D. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau. [6]
Chọn câu đúng. Dữ kiện nào dưới đây không thể kết luận mpP  mpQ ? d   P
d  Q, d ,d P 1 2   A.B. ((𝑃), (𝑄 ̂ ))= 900. C.  . D. A,B,C đều đúng. d   Q.
d d , d d  1 2 [7]
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song nhau.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 93
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau.
C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
D. Đường thẳng d không thuộc mặt phẳng   , d và   cùng vuông góc với đường thẳng d’ thì d //  . [8]
Độ dài đường chéo của một hình lập phương cạnh a là: A. a 2. B. a 3. C.2a. D.3a. [9]
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Kết luận nào dưới đây là sai:
A. AC '   A' BD.
B. AC '   B 'CD '.
C. A' BD / / B 'CD '.
D. (𝐴′𝐵, (𝐴𝐵′ ̂𝐶′𝐷)) = 450.
[10] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Mặt phẳng trung trực của AC’ cắt hình lập phương theo
thiết diện là hình: A. Tam giác đều. B. Tứ giác đều. C. Ngũ giác đều. D. Lục giác đều.
[11] Cho hai mặt phẳng  ,  cắt nhau, điểm M nằm ngoài hai mặt phẳng đó. Qua M dựng được bao nhiêu
mp vuông góc với cả  ,  : A.0. B.1. C.2. D. vô số.
[12] Cho hai mặt phẳng  ,  song song nhau, điểm M nằm ngoài hai mặt phẳng đó. Qua M dựng được bao
nhiêu mp vuông góc với cả  ,  : A.0. B.1. C.2. D. vô số.
[13] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm hình vuông
ABCD. Độ dài SO bằng: a 2 a 3 A. a 2. B. . C. . D. a 3. 2 2
[14] Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.  P Q   , lấy A,B thuộc  sao cho AB = 8cm, C
thuộc mp (P), D thuộc mp (Q) và AC = 6cm, BD = 24cm và AC,BD cùng vuông góc AB. Độ dài CD là: A. 6 17 . cm B. 612 . cm C.26cm. D.38cm.
[15] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Mặt phẳng trung trực của AC’ cắt hình lập phương theo
thiết diện H, diện tích thiết diện này là: 2 3a 3 2 a 3 A. . B. . 4 4 2 3a 2 2 a 2 C. . D. . 4 4
[16] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm hình vuông
ABCD. Gọi M là trung điểm của SC, góc giữa (MBD) và (SAC) bằng: A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 60 . D. 0 90 .
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 94
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
[17] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm hình vuông
ABCD, M là trung điểm SC.Độ dài MO bằng: a 2 a A. a 2. B. . C. . D. . a 2 2
[18] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm hình vuông
ABCD, M là trung điểm SC. Góc giữa (MBD) và (ABCD) bằng A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 60 . D. 0 90 . a 6
[19] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và 0
ˆA  60 ,SC
, SC   ABCD . Trong 2 S
AC dựng OK vuông góc SA tại K. Số đo 𝐵𝐾𝐷 ̂ bằng: A.300. B.450. C.600. D.900.
[20] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc (ABCD), SA = x. Với giá
trị nào của x thì góc giữa 2 mp (SBC) và (SCD) là 600? a A. x  . B. x  . a 2 3a C. x  2 . a D. x  . 2 AB AC
[21] Cho mp(P) vuông góc mp(Q),  P Q   . A,B thuộc  , C  P, D Q sao cho  và AB BD
AB = AC = BD. Gọi   là mp đi qua A và vuông góc với CD. Thiết diện tạo bởi   và tứ diện A.BCD là hình: A. Tam giác vuông. B. Tam giác cân. C. Tam giác đều. D. Hình vuông. AB AC
[22] Cho mp(P) vuông góc mp(Q),  P Q   . A,B thuộc  , C  P, D Q sao cho  và AB BD
AB = AC = BD = a. Gọi   là mp đi qua A và vuông góc với CD. Thiết diện tạo bởi   và tứ diện A.BCD có diện tích là: 2 a 3 2 a 3 A. . B. . 4 6 2 a 3 2 a 3 C. . D. . 8 12
[23] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Mệnh đề nào dưới đây là sai.
A. Tứ diện A.B’C’D’ có các cạnh đối bằng nhau  ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật.
B. Tứ diện A.B’C’D’ có các cạnh đối vuông góc  ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp có các mặt bên là hình thoi.
C. Tứ diện A.B’C’D’ đều  ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương.
D. Cả 3 câu A,B,C đều sai.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 95
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
[24] Cho hai  ACD và  BCD nằm trên hai mp vuông góc nhau, AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Độ dài AB bằng: A. 2 2
AB a x . B. 2 2
AB a x . C. AB   2 2 2 a x . D. AB   2 2 2 a x .
[25] Cho hai  ACD và  BCD nằm trên hai mp vuông góc nhau, AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Gọi I, J
lần lượt là trung điểm AB, CD. Độ dài IJ bằng:  2 2 2 a x A. AB  . B. 2 2
AB  2 a x . 2  2 2 2 a x C. AB   2 2 2 2 a x . D. AB  . 2
[26] Cho hai  ACD và  BCD nằm trên hai mp vuông góc nhau, AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x. Với giá
trị nào của x thì (ABC) và (ABD) vuông góc nhau? a 5 a 3 A. . B. . 3 3 a 5 a 3 C. . D. . 6 6
[27] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Góc giữa (ABCD) và (SBD) bằng: A.300. B.450. C.600. D.900.
[28] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Khi đó  SBD là:
A.Tam giác vuông tại S.
B.Tam giác vuông tại B.
C.Tam giác vuông tại D.
D.Tam giác cân tại B.
[29] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Đường cao đỉnh S của hình chóp S.ABCD là:
A. SO, với O là giao điểm AC, BD. B. SB.
C. SG’, G’ là trọng tâm  ABC.
D. SG, G là trọng tâm  ACD. a 6
[30] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và 0
ˆA  60 ,SC
, SC   ABCD . Góc giữa 2
hai mp (SBD) và (SAC) bằng: A.300. B.450. C.600. D.900.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 96
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 a 6
[31] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và 0
ˆA  60 ,SC
, SC   ABCD . Trong 2 S
AC dựng OK vuông góc SA tại K. Độ dài OK bằng: a a 3 A. . B. . 2 2 C. 2 . a D. 2a 3.
[32] Cho tứ diện A.BCD có ABC
vuông cân tại A, BC = a. Góc giữa 2mp (ABC) và (BCD) là 600 và AD
vuông góc (BCD) tại D. Diện tích BCDbằng: 2 a 2 a 2 a A. 2 2a . B. . C. . D. . 8 2 4
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 97
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 V. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
d(M,a)  MH
d(M,(P))  MH
trong đó H là hình chiếu của M trên a hoặc (P).
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song d(a,(P)) = d(M,(P))
trong đó M là điểm bất kì nằm trên a.
d((P),(Q) = d(M,(Q)) trong đó M là điểm bất kì nằm trên (P).
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
 Đường thẳng  cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b được gọi là đường vuông góc chung của a, b.
 Nếu  cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b.
 Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó với
mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt
chứa hai đường thẳng đó.
A. PHÂN DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH 2 ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. Cách 1: Giả sử a  b:
 Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại A.  Dựng AB  b tại B
 AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song.
 Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a.
 Chọn M  a, dựng MH  (P) tại H.
 Từ H dựng đường thẳng a // a, cắt b tại B.
 Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a tại A.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 98
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
 AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)).
Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc.
 Dựng mặt phẳng (P)  a tại O.
 Dựng hình chiếu b của b trên (P).
 Dựng OH  b tại H.
 Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b tại B.
 Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A.
 AB là đoạn vuông góc chung của a và b. Chú ý: d(a,b) = AB = OH. 1.
Cho hình tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC = a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy dựng và tính độ dài
đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng: a) OA và BC. b) AI và OC. a 2 a 5 ĐS: a) 2 b) 5 2.
Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a. Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng: a) SC và BD. b) AC và SD. a 6 a 3 ĐS: a) 6 b) 3 3.
Cho tứ diện SABC có SA  (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui.
b) Chứng minh SC  (BHK), HK  (SBC).
c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.
ĐS: c) Gọi E = AH  BC. Đường vuông góc chung của BC và SA là AE. 4.
a) Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AC = BD, AD = BC thì dường vuông góc chung của AB và
CD là đường nối các trung điểm I, K của hai cạnh AB và CD .
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 99
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
b) Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối các trung điểm I, K của hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD
là đường vuông góc chung của AB và CD thì AC = BD, AD = BC.
ĐS: b) Giả sử BC = a, AD = a, AC = b, BD = b. Chứng minh a = a, b = b. a 3 5.
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm của AB. Dựng IS  (ABCD) và IS = . Gọi M, 2
N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SD, SB. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng: a) NP và AC b) MN và AP. a 3 a ĐS: a) 4 b) 2
DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH ĐIỂM – MP; ĐƯỜNG THẲNG – MP SONG SONG, HAI MP SONG SONG
Để tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) ta cần xác định đoạn vuông góc vẽ từ điểm
đó đến đường thẳng (mặt phẳng). 1.
Cho hình chóp SABCD, có SA  (ABCD) và SA = a 6 , đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong
đường tròn đường kinh AD = 2a.
a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
c) Tính diện tích của thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với mp(SAD) và a 3
cách (SAD) một khoảng bằng 4 . a 2 a 6 2 a 6 ĐS: a) d(A,(SCD)) = a 2 ; d(B,(SCD)) = 2 b) 3 c) 2 2.
Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA  (ABC) và AA = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3 .
a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB).
b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC).
c) Chứng minh rằng AB  (ACCA) và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC). a 3 a 21 a 2 ĐS: a) 2 b) 7 c) 2 3.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA = 2a.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 100
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD).
b) M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng MN song song với (SBD) và tính
khoảng cách từ MN đến (SBD).
c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt các cạnh SA, SD theo thứ tự tại E, F. Cho biết AD cách (P) một khoảng là a 2
2 , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) và diện tích tứ giác BCFE. a 2 a 6 2 a 6 ĐS: a) a 2 ; 2 b) 3 c) 2 4.
Cho hai tia chéo nhau Ax, By hợp với nhau góc 600, nhận AB = a làm đoạn vuông góc chung. Trên By
lấy điểm C với BC = a. Gọi D là hình chiếu của C trên Ax.
a) Tính AD và khoảng cách từ C đến mp(ABD).
b) Tính khoảng cách giữa AC và BD. a a 3 a 93 ĐS: a) AD = 2 ; d(C,(ABD)) = 2 b) 31 5.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và 0
BAD  60 . Gọi O là giao điểm của AC và 3a
BD. Đường thẳng SO  (ABCD) và SO =
. Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE. 4
a) Chứng minh (SOF)  (SBC).
b) Tính các khoảng cách từ O và A đến (SBC). 3a 3a ĐS:
b) d(O,(SBC)) = 8 , d(A,(SBC)) = 4 . B.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM [1]
Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Đường thẳng  vuông góc với đường thẳng a và cũng vuông góc với đường thẳng b nên  là đường vuông góc chung của a và b.
B. Gọi (P) là mp song song với hai đường chéo nhau a và b.  là đường vuông góc chung của a và b thì  vuông góc với mp(P).
C. Gọi  là đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau a và b thì  là giao tuyến của 2 mp  ,  a; ,  b.
D. Gọi  là đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau a và b. Nếu a b thì a mp  , b . [2]
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Cho a và b là 2 đường thẳng chéo nhau, M là một điểm bất kì trên a. Đường thẳng  đi qua M , vuông góc và
cắt b tại N thì MN là đoạn vuông góc chung của a và b.
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 101
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
B. Nếu  là đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau a và b thì a mp  , b .
C. Nếu  là đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau a và b thì b mp a, .
D. Cho a và b là 2 đường thẳng chéo nhau, M là một điểm bất kì trên a, N là một điểm bất kì trên b. Độ dài đoạn
thẳng MN ngắn nhất khi MN là đường vuông góc chung của a,b. [3]
Cho tứ diện đều A.BCD cạnh a, khoảng cách giữa AB và CD bằng: a a 2 a 3 A. . B. . C. . D. . a 2 2 2 [4]
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Khoảng cách từ C đến AC’ bằng: 3a 3 2 2a A. . B. a . C. a . D. . 2 2 3 3 [5]
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S tới mp(ABC) bằng: 17 2 A. . a B. a . C. a . D. 2 . a 12 3 [6]
Cho tứ diện A.BCD có AC = BC = AD = BD = a, AB = c, CD = c’. Khoảng cách giữa AB và CD bằng: 2 2 2
2a c c ' 2 2 2
2a c c ' A. . B. . 2 2 2 2 2
4a c c ' 2 2 2
4a c c ' C. . D. . 4 2 [7]
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. Khoảng cách từ B đến mp(ACC’A’) bằng: ab ab A. . B. . 2 2 a b 2 2 2
a b c ab ab C. . D. . 2 2 2 a b 2 2 2
2 a b c [8]
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. Khoảng cách từ BB’ và AC’ bằng: ab ab A. . B. . 2 2 a b 2 2 2
a b c ab ab C. . D. . 2 2 2 a b 2 2 2
2 a b c [9]
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mp đáy là 300. Hình
chiếu vuông góc H của A lên (A’B’C’) thuộc B’C’. Khoảng cách giữa hai mp đáy?
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 102
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 a a a 3 A. a 3. B. . C. . D. . 3 2 2
[10] Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mp đáy là 300. Hình
chiếu vuông góc H của A lên (A’B’C’) thuộc B’C’. Khoảng cách giữa AA’ và B’C’ bằng: 4a a 3 2a a 3 A. . B. . C. . D. . 3 4 3 2
[11] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’C’ cạnh a. Khoảng cách BC’ và CD’ bằng: a a 2 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 4
[12] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’C’ cạnh a. Khoảng cách BD’ và B’C bằng: 3a a 6 a 6 A. . B. . C. . D. a 6. 6 6 3
[13] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’=a, AC = 2a. Khoảng cách từ D đến mp(ACD’) bằng: a 6 a 3 a 5 a 10 A. . B. . C. . D. . 3 6 10 5
[14] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’=a, AC = 2a. Khoảng cách giữa AC’ và CD’ bằng: a a a A. . B. . C. . D. . a 2 3 5
[15] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và 𝐵𝐴𝐷 ̂ = 𝐵𝐴𝐴′ ̂ = 𝐷𝐴𝐴′ ̂ = 600. Khoảng cách
giữa hai mặt đáy (ABCD) và (A’B’C’D’) là: 3a 3 2a a 6 A. . B. a . C. . D. . 2 2 3 3
[16] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp
bằng nhau và bằng a 2. Khoảng cách từ S đến mp (ABCD) bằng: a 5 3a a 3 5a A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4
[17] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp
bằng nhau và bằng a 2. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB và CD, K là điểm bất kì thuộc AD. Khoảng cách giữa EF và SK bằng: 3a a 21 7a a 21 A. . B. . C. . D. . 7 7 3 3
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 103
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
[18] Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc 𝐵𝐴𝐷
̂ = 600. SO vuông góc mp (ABCD) và 3a SO
. E là trung điểm BC, F là trung điểm BE. Góc giữa (SOF) và (SBC) bằng: 4 A. 0 30 . B. 0 45 . C. 0 60 . D. 0 90 .
[19] Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc 𝐵𝐴𝐷
̂ = 600. SO vuông góc mp (ABCD) và 3a SO
. Khoảng cách từ O đến mp (SBC) bằng: 4 3a 8a A. . B. . 8 3 9a 64a C. . D. . 64 9
[20] Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc 𝐵𝐴𝐷
̂ = 600. SO vuông góc mp (ABCD) và 3a SO
. Khoảng cách từ A đến mp (SBC) bằng: 4 a 3 2a 3a 4a A. . B. . C. . D. . 2 3 4 3
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 104
Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 105