Bài tập tự luận chương quan hệ vuông góc trong không gian môn Toán lớp 11

BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Vấn đề 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
• Cách chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp(a ):
Cách 1: Ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (a ).
Cách 2: Ta chứng minh d song song với một đường thẳng d’ vuông góc với (a ).
• Cách chứng minh đường thẳng a và b vuông góc:
Cách 4: Ta chứng minh a vuông góc với một mp(a ) chứa đường thẳng b.
• Kết quả: + Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mp thì song song.
+ Nếu hai mp phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
Bài 1. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với đáy. Gọi M,
N là hình chiếu của A trên SB, SD.
Chứng minh MN//BD và SC vuông góc với mp(AMN).
Gọi K là giao điểm của SC với mp(AMN). Chứng minh AMKN có hai đường chéo vuông góc.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Gọi H, K là trực tâm của tam giác
ABC và SBC. Chứng minh rằng:
SC vuông góc với mp(BHK). b) HK vuông góc với mp(SBC).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, biết SB = SD.
Chứng minh (SAC) là mp trung trực của đoạn thẳng BD.
Gọi H, K là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SH = SK, OH = OK và HK//BD.
Chứng minh (SAC) là mp trung trực của HK.
Bài 4. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng
A’H ^ (ABC). Chứng minh rằng:
AA’ ^ BC và AA’ ^ B’C’.
Gọi MM’ là giao tuyến xủa hai mp(AHA’) và (BCC’B’) trong đó M ÎBC và M’ ÎB’C’.
Chứng minh tứ giác BCC’B’ là hình chữ nhật và MM’ là đường cao của hình chữ nhật đó.
Bài 5. HAi tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mp khác nhau tạo nên tứ diện ABCD.
Gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh BC ^ AD.
b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh AH ^ (BCD).
Bài 6. Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mp khác nhau sao cho AC ^ BF.
Gọi CH và FK là hai đường cao của tam giác BCE và ADF. Chứng minh:
a) ACH và BFK là các tam giác vuông. b) BF ^ AH và AC ^ BK. 6a
Bài 7. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác cân tại A với AB = a, BC = . Gọi M là 5
trung điểm của BC. Vẽ AH ^ MD. a) Chứng minh AH ^ (BCD). 4a b) Cho AD =
.Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM. 5
c) Gọi G1, G2 là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Chứng minh G1G2 ^ (ABC).
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. Trang 1
a) Chứng minh SO ^ (ABCD) và AC ^ SD.
b) Gọi I, J là trung điểm của BA, BC. Chứng minh IJ ^ (SBD).
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SAB là tam giác đều, SCD
là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J là trung điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh SI ^ (SCD), SJ ^ (SAB).
b) Gọi SH là đường cao của tam giác SIJ. Chứng minh SH ^ AC và tính độ dài SH.
c) Gọi M là điểm thuộc BD sao cho BM ^ SA. Tính AM theo aAM theo a.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SAB là tam giác đều và SC =
a 2 . Gọi H, K là trung điểm của AB, AD.
a) Chứng minh SH ^ (ABCD). b) Chứng minh AC ^ SK và CK ^ SD.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có SA ^ đáy và SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông
đường cao AB = a, BC = 2a. Ngoài ra SC ^ BD.
a) Chứng minh tam giác SBC vuông.
b) Tính theo a độ dài đoạn AD.
c) Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM = x, với 0 £ x £ a . Tính độ dài đường cao DE
của tam giác BDM theo a và x. Xác định x để DE lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có SA ^ đáy và SA = 2a, tam giác ABC vuông tại C với AB = 2a, Ð BAC = 0
30 . Gọi M là một điểm di đọng trên cạnh AC, H là hình chiếu của S trên BM. a) Chứng minh AH ^ BM.
b) Đặt AM = x, với 0 £ x £ 3 . Tính khoảng cách từ S tới BM theo a và x. Tìm x để khoảng
cách này là lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 13. Cho tam giác ABC có BC = 2a và đường cao AD = a. Trên đường thẳng vuông góc
với mp(ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = a 2 . Gọi E, F là trung điểm SB, SC. a) Chứng minh BC ^ (SAD).
b) Tính diện tích của tam giác AEF.
Bài 14. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. cạnh bên AA’ = a và vuông góc với đáy.
a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI ^ BC’.
b) Gọi M là trung điểm của BB’. Chứng minh AM ^ BC’. a
c) Gọi K là một điểm trên đoạn A’B’ sao cho KB’ = và J là trung điểm của B’C’. Chứng 4 minh AM ^ (MKJ).
Bài 15. Cho tứ diện ABCD có DA ^ (DBC) và tam giác ABC vuông tại A. Kẻ DI ^ BC. a) Chứng minh BC ^ (AID).
b) Kẻ DH ^ AI. Chứng minh DH ^ (ABC). c) Đặt AI Ð D = a , ABD Ð = b , ACD Ð = g . Chứng minh 2 2 2 sin a = sin b + sin g . d) Giả sử AD = a, 0 b = g = 30 . Tính BC và a . 2a 3
Bài 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = SB = . 3
a) Kẻ SH ^ (ABC). Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b) TÍnh đọ dài SH theo a.
c) Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh BC ^ (SAI).
d) Gọi j là góc giữa SA và SH. Tính j . Trang 2
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD). Gọi I , M là
trung điểm của SC và AB. Cho SA = a.
a) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh IO ^ (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ I đến CM.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, SA ^ (ABCD).
a) Gọi H, K là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SC ^ (AHK).
b) Kẻ AJ ^ (SBD). Chứng minh J là trực tâm của tam giác SBD.
Bài 19. Cho hình chóp S.ABC có SA ^ đáy, tam giác ABC cân tại B. Gọi G là trọng tâm của
tam giác SAC và N là điểm thuộc cạnh SB sao cho SN = 2NB. Chứng minh a) BC ^ (SAB). b) NG ^ (SAC).
Bài 20. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC, tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là trung
điểm của BC. Chứng minh: a) BC ^ (SAI). b) SI ^ (ABC).
Bài 21. Cho tứ diện ABCD có DA ^ (ABC). Gọi AI là đường cao và H là trực tâm của tam
giác ABC. Hạ HK ^ DI. Chứng minh: a) HK ^ BC.
b) K là trực tâm của tam giác DBC.
Bài 22. Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A,
lấy điểm S di động. Gọi D, F là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh: AF ^ SB.
Bài 23. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, 0 AS Ð B =120 , 0 BS Ð C = 90 , 0 C Ð SA = 60 .
a) Chứng minh tam giác ABC vuông.
b) Xác định hình chiếu H của S trên mp(ABC). Tính SH theo a.
Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có ABD là tam giác đều, BCD là tam giác cân tại C có 0 BCD Ð =120 . SA ^ đáy.
a) Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh SC ^ (AHK).
b) Gọi C’ là giao điểm của SC với mp(AHK). Tính diện tích tứ giác AHC’K khi AB = SA = a.
Bài 25. Cho tam giác ABC đều cạnh a, d là đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A. Gọi H,
K là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh HK ^ (SBC).
Bài 26. Cho hình vuông ABCD. Gọi H, K là trung điểm AB, AD. Trên đường thẳng vuông
góc với mp(ABCD) tại H, lấy điểm S (khác H). Chứng minh: a) AC ^ (SHK). b) CK ^ SD.
Bài 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA ^ đáy. Hạ AH ^ SB, AK ^ SC.
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Chứng minh SHK là tam giác vuông.
c) Gọi D là giao điểm của HK và BC. Chứng minh AC ^ AD.
Bài 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh tâm O, AB = SA = a, SA ^ đáy.
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, (P) cắt SB, SC, SD tại H, I, K. a) Chứng minh HK//BD.
b) Chứng minh AH ^ SB, AK ^ SD.
c) Chứng minh tứ giác AHIK có hai đường chéo vuông góc. Tính diện tích AHIK theo a. Trang 3
Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3 , mặt
bên SBC vuông tại B, SCD vuông tại D có SD = a 5 .
a) Chứng minh SA ^ (ABCD) và tính SA.
b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt CB, CD tại I, J. Gọi H là hình chiếu của A
trên SC, K và L là giao điểm của SB, SD với mp(HIJ). Chứng minh AK ^ (SBC) và AL ^ (SCD).
c) Tính diện tích tứ giác AKHL.
Bài 30. Cho tam giác MAB vuông tại M nằm trong mp(P). Trên đường thẳng vuông góc với
(P) tại A lấy hai điểm C, D nằm hai phía đối với (P). Gọi C’ là hình chiếu của C trên MD, H
là giao điểm của AM và CC’.
a) Chứng minh CC’ ^ (MBD).
b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. Chứng minh K là trực tâm của tam giác BCD.
Vấn đề 2. Hai mặt phẳng vuông góc.
• Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
Cách 1: Ta chứng minh mp này chứa một đường thẳng vuông góc với mp kia.
Cách 2: Ta chứng minh góc giữa chúng là 0 90 .
• Cách chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp(a ):
Cách 3: Nếu hai mp cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến (nếu có) của
chúng cũng vuông góc với mặt phẳng này.
Cách 4: Nếu hai mp vuông góc với nhau, một đường thẳng nằm trong mp này mà vuông góc
với giao tuyến thì vuông góc với mp kia.
• Kết quả: + S ' = os Sc j
+ Nếu hai mp(P) và (Q) vuông góc với nhau, điểm A thuộc (P) thì mọi đường thẳng qua
A và vuông góc với (Q) đều nằm trong (P).
• Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương.
• Hình chóp đều và hình chóp cụt đều.
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đáy.
Chú ý. + Cần phân biệt hai khái niệm Hình chóp đều và hình chóp có đáy là đa giác đều.
+ Hình chóp đều có các cạnh bên bằng nhau.
+ Hình chóp đều có góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau.
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có AB ^ (BCD). Trong tam giác BCD vẽ các đường cao BE và
DF cắt nhau tại O. Trong mp(ACD) vẽ DK ^ AC. Gọi H là trực tâm của tam giác ACD.
a) Chứng minh (ACD) ^ (ABE) và (ACD) ^ (DFK). b) Chứng minh OH ^ (ACD). Trang 4
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, có cạnh bằng a và đường a 6 chéo BD = a. SC =
và vuông góc với (ABCD). Chứng minh (SAB) ^ (SAD). 2
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có các mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với (ABCD).
Biết ABCD là hình vuông và SA = AB. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh:
a) (SAC) ^ (SBD). b) (SAD) ^ (SCD). c) (SCD) ^ (ABM).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có BC = 2AB. Tam giác SAB đều và
vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB. Chứng minh (SAD) ^ (SAB).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và SA = SB = SC = a.
a) Chứng minh (SBD) ^ (ABCD). b) Chứng minh tam giác SBD vuông.
Bài 6. Cho tam giác ACD và BCD năm trong hai mp vuông góc với nhau. AC = AC = BC =
BD = a và CD = 2x. Gọi I, J là trung điểm của AB, CD.
a) Chứng minh IJ ^ AB và CD.
b) Tính AB và IJ theo a và x.
c) Xác định x để (ABC) ^ (ABD).
Bài 7. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại B và AD ^ (ABC). Chứng minh (ABD) ^ (BCD).
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAC là tam giác đều và
nằm trong mp vuông góc với (ABC). Gọi I là trung điểm của SC.
a) Chứng minh (SBC) ^ (SAC). b) Chứng minh (ABI) ^ (SBC).
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB’ và CC’ cùng vuông góc với mp(ABC).
a) Chứng minh (ABB’) ^ (ACC’).
b) Gọi AH, AK là đường cao của các tam giác ABC và AB’C’. Chứng minh hai
mp(BCC’B’) và (AB’C’) cùng vuông góc với mp(AHK).
Bài 10. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y. Tìm hệ thức
lien hệ giữa a, b, x, y để:
a) (ABC) ^ (BCD). b) (ABC) ^ (ACD).
Bài 11. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường a 6
thẳng vuông góc với (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = . Chứng minh: 2
a) (SAB) ^ (SAC). b) (SBC) ^ (SAD).
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ^ đáy. Gọi M, N là hai
điểm thuộc các cạnh BC, CD sao cho BM = x, DN = y. Tìm hệ thức lien hệ giữa a, x và y để (SAM) ^ (SMN).
Bài 13. Cho tam giác ABC vuông tại B. Đoạn thẳng AD ^ (ABC). Chứng minh (ABD) ^ (BCD).
Vẽ đường cao AH của tam giác ABD, chứng minh AH ^ (BCD).
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC = a. Chứng minh:
(ABCD) ^ (SBD). b) Tam giác SBD vuông tại S.
Bài 15. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh AC’ ^ (A’BD) và (ACC’A’) ^ (A’BD).
Bài 16. Cho tứ diện S.ABC có SA ^ đáy. Gọi H, K là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh:
a) (SAC) ^ (BHK). b) (SBC) ^ (BHK). Trang 5
Bài 17. Cho tứ diện SABC có ba đỉnh A, B, C tạo thành tam giác vuông cân đỉnh B và AC =
2a, có cạnh SA ^ mp(ABC) và SA = a.
a) Chứng minh (SAB) ^ (SBC).
b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH ^ (SBC).
c) Tính độ dài đoạn AH.
d) Từ trung điểm O của đoạn AC vẽ OK ^ (SBC). Tính độ dài đoạn OK.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và có cạnh SA ^ đáy. Giả sử
(a ) là mp qua A và vuông góc với cạnh SC, (a ) cắt SC tại I.
a) Xác định giao điểm K của SO với mp(a ).
b) Chứng minh (SBD) ^ (SAC) và BD//(a ).
Bài 19. Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác
đều và nằm trong mp vuông góc với đáy.
a) Chứng minh (SAB) ^ (SAD) và (SAB) ^ (SBC).
b) Tính góc giữa hai mp (SAD) và (SBC).
c) Gọi H, I là trung điểm của AB, BC. Chứng minh (SHC) ^ (SDI).
Bài 20. Cho tứ diện ABCD có AD ^ (DBC). Gọi AE, BF là các đường cao của tam giác
ABC; H, K là trực tâm của các tam giác ABC và DBC. Chứng minh:
a) (ADE) ^ (ABC) và (BFK) ^ (ABC). b) HK ^ (ABC). 2a 6
Bài 21. Trong mp(P), cho hình thoi ABCD với AB = a, AC = . Trên đường thẳng 3
vuông góc với mp(P) tại gaio điểm O của hai đường chéo AC và BD, lấy điểm S sao cho SB = a. Chứng minh:
a) Tam giác ASC vuông. b) (SAB) ^ (SAD).
Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, hai đáy là AD = 2a, BC =
a. Biết AB = a, SA = a 2 và SA ^ đáy.
a) Chứng minh (SAC) ^ (SDC).
b) Dựng thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(P) chứa AB và vuông góc với mp(SDC).
Tính diện tích thiết diện theo a.
Bài 23. Cho hình chóp S.ABCD có SA ^ đáy, đáy ABCD là hình chữ nhật. Hạ AH ^ SB, AK ^ SD. Chứng minh:
a) (SBC) ^ (SAB). b) (AHK) ^ (SAC). a 3
Bài 24. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng . Chứng 2 minh (SBC) ^ (SAB).
Bài 25. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi H là hình chiếu của A trên (BCD) và O là trung điểm
của AH. Chứng minh các mp(OBC), (OCD), (OBD) đôi một vuông góc với nhau.
Bài 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, SA ^ đáy. Gọi H, K là trực tâm của
tam giác ABC và DBC. Chứng minh:
a) (SAH) ^ (SBC). b) (CHK) ^ (SBC).
Bài 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ^ đáy. Gọi M là trung điểm của
BC. Tìm N trên CD để (SAM) ^ (SMN).
Bài 28. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = a. Gọi I, K là trung điểm của AB,
CD. Một mp(P) qua CD và vuông góc với (SAB) cắt SA, SB tại M và N.
a) Chứng minh (SIK) ^ (SAB). Trang 6
b) (P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a.
Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a 2 và vuông góc với đáy.
a) Chứng minh (SCD) ^ (SAD).
b) Cắt hình chóp bởi mp(P) chứa AB và vuông góc với (SCD). Tính theo a diện tích thiết diện đó.
Bài 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Hai mp(SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy.
a) Chứng minh (SAC) ^ (SBD).
b) Từ O kẻ OK ^ BC. Chứng minh BC ^ (SOA).
c) Chứng minh (SBC) ^ (SOK).
d) Kẻ OH ^ SK. Chứng minh OH ^ (SBC).
Bài 31. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Kẻ CK ^ BD. a) Chứng minh C’K ^ BD.
b) Chứng minh (C’BD) ^ (C’CK).
c) Kẻ CH ^ C’K. Chứng minh CH ^ (C’BD).
Bài 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, SB = SD = a, BD =
2a 3 . Hai mp(SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. 3
a) Chứng minh tam giác SAC vuông tại S. b) Chứng minh (SBC) ^ (SCD).
Bài 33. Cho tam giác đều ABC. Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A lấy điểm
S. Gọi D là trung điểm của BC.
a) Chứng minh (SAD) ^ (SBC).
b) Kẻ CI ^ AB, CK ^ SB. Chứng minh SB ^ (ICK).
c) Kẻ BM ^ AC, MN ^ SC. Chứng minh SC ^ BN.
d) Chứng minh (CIK) ^ (SBC) và (MBN) ^ (SBC).
e) MB cắt CI tại G, CK cắt BN tại H. Chứng minh GH ^ (SBC).
f) Chứng minh 6 điểm B, C, I, K, M, N cách đều D.
Bài 34. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SH ^ đáy với H thuộc đoạn BC.
a) Chứng minh (SBC) ^ (ABC).
b) Kẻ HI ^ AB, HK ^ AC. Tứ giác AIHK có đặc điểm gì?
c) Chứng minh (SHI) ^ (SAB) và (SHK) ^ (SAC).
d) Kẻ HM ^ SI, HN ^ SK. Chứng minh HM ^ (SAB) và HN ^ (SAC).
Bài 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, AB < BC, AB = a. Hai
mp(SAD) và (SAD) cùn vuông góc với đáy. Chứng minh SA ^ (ABCD). Chứng minh (CSB) ^ (SAB). 2 a Đặt SCA Ð = a , BS
Ð C = b . Chứng minh 2 SC = . 2 2 os c a - sin b
Bài 36. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, các cạnh đáy có độ dài bằng a, M, N là trung
điểm của SB, SC. Biết (AMN) ^ (SBC). Tính theo a diện tích tam giác AMN.
Bài 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hai mp(ASB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Chứng minh SA ^ (ABCD). Trang 7 Chứng minh (SAC) ^ (SBD).
Cho SA = 2a. Kẻ AH ^ (SBC). Tính AH?
Bài 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, SA ^ đáy và SA = a 2
a 2 . Gọi M là một điểm thuộc đoạn AO sao cho AM = x, 0 £ x £ . 2
a) Gọi H là hình chiếu của M trên (SBC). Tính MH.
b) Mp(P) ^ AC tại M cắt hình chóp theo một đa giác. Trình bày cách dựng thiết diện này.
c) Tìm x để diện tích đa giác lớn nhất.
Bài 39. Trong mp(P) cho tam giác ABC vuông tại A với AB = a, 0 ABC Ð = 60 , SB ^ (ABC) và SB = 2a. Chứng minh (SAC) ^ (SAB).
Lấy điểm M thuộc đoạn AB sao cho BM = x, 0 < x < a. Qua M dựng mp(Q)
song song với AC và SB. Tính diện tích thiết diện của (Q) với hình chóp. Tìm
x để diện tích này lớn nhất.
Bài 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ^ đáy. Gọi M, N là các a 3a
điểm thuộc BC và CD sao cho BM = , DN = . Chứng minh (SAM) ^ (SMN). 2 4
Vấn đề 3. Góc. I.
Góc giữa hai đường thẳng.
• Cách xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b:
Chọn điểm O thích hợp, rồi kẻ hai đường thẳng đi qua điểm O: a’//a và b’//b.
• Các phương pháp tính góc:
+ Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác: a b c 2 2 2 b + c - a Định lí sin: = =
Định lí cos: cos A = sin A sin B sin C 2bc Trang 8 ur ur u .u 1 2
+ Tính góc theo vectơ chỉ phương: os c j = ur ur u . u 1 2 • Chú ý. + 0 0 0 £ j £ 90 uur uuur
+ AB ^ CD Û . AB CD = 0.
+ Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì 0 j = 0 .
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a 2 . Tính góc giữa
hai đường thẳng SC và AB.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, SA = SB và SA ^ BC. Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC.
Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a (hình hộp thoi), 0 BAD Ð = 60 , 0 BA Ð A' = D Ð AA' =120 .
a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A’D và AC’ với B’D.
b) Tính diện tích các hình A’B’CD và ACC’A’.
c) Tính góc giữa đường thẳng AC’ và các đường thẳng AB, AD, AA’.
Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K là trung điểm của BC, AC, AD, BD. Hãy tính góc
giữa hai đường thẳng AB và CD trong các truờng hợp:
a) Tứ giác IJHK là hình thoi có đường chéo IH = 3 IJ.
b) Tứ giác IJHK là hình chữ nhật.
Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm của BC và AD.
a) Tính góc giữa AB và DM, biết ABCD là tứ diện đều cạnh bằng a.
b) Tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = a 3 .
c) Tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = a 2 .
d) Tính góc giữa AB và CD, biết AB = 2a, CD = 2a 2 và MN = a 5 .
Bài 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b và AA’ = c.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng AD’ và B’C.
b) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và A’C.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và các tam giác SAB, SBC, SCA vuông
tại S. Gọi M là trung điểm BC. Tính góc giữa AC và SM.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, đáy là hình vuông. Gọi N là
trung điểm SB. Tính góc giữa AN và CN, AN và SD.
Bài 9. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và 0 BA Ð C = BA Ð D = 60 , 0 C Ð AD = 90 . Chứng minh: a) AB ^ CD.
b) Nếu I, J là trung điểm của AB và CD thì IJ ^ AB, IJ ^ CD.
Bài 10. Cho tứ diện ABCD có các tam giác ABD và DBC là các tam giác đều cạnh a. Cho AD = a 2 . a) Chứng minh AD ^ BC.
b) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. II.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Cách xác định góc giữa đường thẳng d và mp(P): Trang 9 • Chú ý. + 0 0 0 £ j £ 90 .
+ Nếu d Pmp(P) hoặc d Ì mp(P) thì 0 j = 0 .
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, BC = a, SA = SA = SC =
a 3 . Tính góc giữa đường thẳng SA và mp(ABC). 2
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ^ đáy và SA = a 2 . Tính
góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD).
III. Góc giữa hai mặt phẳng.
• Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
Vấn đề 4. Khoảng cách.
• Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
Cách 1: Ta chứng minh mp này chứa một đường thẳng vuông góc với mp kia.
Cách 2: Ta chứng minh góc giữa chúng là 0 90 .
• Cách chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp(a ):
Cách 3: Nếu hai mp cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến (nếu có) của
chúng cũng vuông góc với mặt phẳng này.
Cách 4: Nếu hai mp vuông góc với nhau, một đường thẳng nằm trong mp này mà vuông góc
với giao tuyến thì vuông góc với mp kia.
• Kết quả: + S ' = os Sc j
+ Nếu hai mp(P) và (Q) vuông góc với nhau, điểm A thuộc (P) thì mọi đường thẳng qua
A và vuông góc với (Q) đều nằm trong (P).
• Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương.
• Hình chóp đều và hình chóp cụt đều.
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đáy.
Chú ý. + Cần phân biệt hai khái niệm Hình chóp đều và hình chóp có đáy là đa giác đều.
+ Hình chóp đều có các cạnh bên bằng nhau.
+ Hình chóp đều có góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau.
Vấn đề 5. Một số bài toán HHKG trong các đề thi ĐH – CĐ.
Bài 1. (ĐH – CĐ A 2002). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy
bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN,
biết rằng mp(AMN) vuông góc với mp(SBC).
Bài 2. (ĐH – CĐ B 2002). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AA’, CD, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N. Trang 10
Bài 3. (ĐH – CĐ D 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng
(ABC); AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A tới mp(BCD).
Bài 4. (ĐH – CĐ B 2003). Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một
hình thoi cạnh a, góc Ð BAD bằng 0
60 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’ và CC’.
Chứng minh 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo
a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
Bài 5. (ĐH – CĐ D 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến
là đường thẳng d. Trên d lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mp(P) lấy điểm C, trong
mp(Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với d và AC = BD = AB. Tính khoảng
cách từ A đến mp(BCD) theo a.
Bài 6. (ĐH – CĐ B 2004). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa
cạnh bên và mặt đáy bằng j . Tính tang góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo j .
Bài 7. (ĐH – CĐ B 2006). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AD = a 2 ,
AB = a, SA = a và SA vuông góc với mp(ABCD). Gọi M, N là trung điểm của AD, SC; I là
giao điểm của BM và AC. Chứng minh mp(SAC) vuông góc với mp(SMB).
Bài 8. (ĐH – CĐ A 2007). Cho hình chóp tam giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P là
trung điểm của SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP.
Bài 9. (ĐH – CĐ B 2007). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a.
Gọi D là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M, N là trung điểm của AE và BC.
Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Bài 10. (ĐH – CĐ D 2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, Ð ABC = ÐBAD = 0
90 , BA = BC =a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình
chiếu cuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng
cách từ H tới mặt phẳng (SCD).
Bài 11. (ĐH – CĐ A 2008). Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy
ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên
mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’.
Bài 12. (ĐH – CĐ B 2008). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA = a,
SB = a 3 và mp(SAB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N là trung điểm của AB, BC. Tính
cosin góc giữa hai đường thẳng SM và DN.
Bài 13. (ĐH – CĐ D 2008). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,
AB = AC = a, cạnh bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng AM và B’C.
Bài 14. (ĐH – CĐ D 2009). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác
vuông tại B, AB = a, AA’ = a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của
AM và A’C. Tính khoảng cách từ A đến mp(IBC).
Bài 15. (ĐH – CĐ A 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N
là trung điểm của AB, AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với
mp(ABCD) và SH = a 3 . Tính theo a khoảng cách giữa DM và SC. Trang 11