TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN-TIN Hình học tuyến tính 1 Bài tập Tuần 5
1. Cho ánh xạ ϕ : E → F và O là một điểm cố định thuộc E. Giả sử tồn tại ánh xạ −−−−−−−→ tuyến tính −−→
f : E → F thoả mãn f (OM ) = ϕ(O)ϕ(M ) với mọi M thuộc E. Chứng
minh rằng ϕ là một ánh xạ afin.
2. Chứng minh rằng nghịch ảnh của một không gian afin con qua ánh xạ afin là một không gian afin con.
3. Trong mặt phẳng afin cho hai điểm cố định A, B. Xét ánh xạ ϕ biến mỗi điểm M
trong mặt phẳng thành trọng tâm của tam giác MAB. Chứng minh rằng ϕ là ánh xạ afin.
4. Giả sử f : E → E là một ánh xạ tuyến tính thoả mãn f2 = f. Khi đó ta có: (a) E = Kerf ⊕ Imf; (b) Imf = Ker(f − idE).
5. Áp dụng bài tập trên để chứng minh rằng nếu π : E → E là một ánh xạ afin thoả
mãn π2 = π thì π là phép chiếu lên phẳng F theo phương G. Ở đó F = {M ∈ E :
π(M ) = M } có không gian chỉ phương F = Im− → π và G = Ker− → π .
6. Trong không gian afin E chiều 3 với một mục tiêu cố định lấy các điểm A(1, 2, 1),
B(0, 1, 2), C(2, 4, 5). Xác định toạ độ của tâm tỉ cự của các hệ sau đây. (a) {(A, 1), (B, 2)} (b) {(A, 1), (B, 1), (C, 1)} (c) {(A, 1), (B, 2), (C, 3)}
7. Chứng minh rằng tâm tỉ cự của hai hệ {(A1, α1), . . . , (Ak, αk)}
{(A1, λα1), . . . , (Ak, λαk)}
trùng nhau với mọi λ 6= 0.
8. Trong không gian afin E cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D. Gọi M, N, P, Q lần
lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
(a) Chứng minh rằng ba đường thẳng MN, P Q, AC đôi một song song với nhau.
(b) Gọi O là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng O là tâm tỉ cự của hệ
{(A, 1), (B, 1), (C, 1), (D, 1)}. 1