Bài tập tuần 5- Hình học tuyến tính 1 | Đại học Sư phạm Hà Nội

Bài tập tuần 5- Hình học tuyến tính 1 | Đại học Sư phạm Hà Nội với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học vào thực tiễn cuộc sống.

9 5 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Chuyên đề Toán

Trường: Đại học Sư Phạm Hà Nội

Thông tin:

1 trang 2 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN-TIN
Hình học tuyến tính 1
Bài tập Tuần 5
1.
Cho ánh xạ
ϕ
:
E → F
và
O
là một điểm cố định thuộc
E
. Giả sử tồn tại ánh xạ
tuyến tính
f
:
E → F
thoả mãn
f
(
−−→
OM
) =
−−−−−−−→
ϕ ϕ(O) (M)
với mọi
M
thuộc
E
. Chứng
minh rằng là một ánh xạ afin.ϕ
2.
Chứng minh rằng nghịch ảnh của một không gian afin con qua ánh xạ afin là một
không gian afin con.
3.
Trong mặt phẳng afin cho hai điểm cố định
A, B
. Xét ánh xạ
ϕ
biến mỗi điểm
M
trong mặt phẳng thành trọng tâm của tam giác
MAB
. Chứng minh rằng
ϕ
là ánh
xạ afin.
4. Giả sử là một ánh xạ tuyến tính thoả mãn . Khi đó ta có:f : E → E f f
2
=
(a) ;E = Kerf ⊕ Imf
(b) .Im )f = Ker(f − id
E
5.
Áp dụng bài tập trên để chứng minh rằng nếu
π
:
E → E
là một ánh xạ afin thoả
mãn
π
2
=
π
thì
π
là phép chiếu lên phẳng
F
theo phương
G
. Ở đó
F
=
{M ∈ E
:
π
(M M) = } có không gian chỉ phương F = Im
−→
π
và G = Ker
−→
π .
6.
Trong không gian afin
E
chiều 3 với một mục tiêu cố định lấy các điểm
A
(1
,
2
,
1),
B(0, , , ,1 2), C(2 4 5). Xác định toạ độ của tâm tỉ cự của các hệ sau đây.
(a) {( 1) ( 2)A, , B, }
(b) {( 1) ( 1) 1)A, , B, , (C, }
(c) {( 1) ( 2) 3)A, , B, , (C, }
7. Chứng minh rằng tâm tỉ cự của hai hệ
{( )A
1
, α
1
, . . . , (A
k
, α
k
)}
{( )A
1
, λα
1
, . . . , (A
k
, λα
k
)}
trùng nhau với mọi .λ 6= 0
8.
Trong không gian afin
E
cho bốn điểm phân biệt
A, B, C, D
. Gọi
M, N, P, Q
lần
lượt là trung điểm của .AB, BC, CD, DA
(a) Chứng minh rằng ba đường thẳng đôi một song song với nhau.MN, P Q, AC
(b)
Gọi
O
là giao điểm của
MP
và
NQ
. Chứng minh rằng
O
là tâm tỉ cự của hệ
{( 1) ( 1) ( 1) 1)A, , B, , C, , (D, }.
1
| 1/1
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN-TIN Hình học tuyến tính 1 Bài tập Tuần 5
1. Cho ánh xạ ϕ : E → F và O là một điểm cố định thuộc E. Giả sử tồn tại ánh xạ −−−−−−−→ tuyến tính −−→
f : E → F thoả mãn f (OM ) = ϕ(O)ϕ(M ) với mọi M thuộc E. Chứng
minh rằng ϕ là một ánh xạ afin.
2. Chứng minh rằng nghịch ảnh của một không gian afin con qua ánh xạ afin là một không gian afin con.
3. Trong mặt phẳng afin cho hai điểm cố định A, B. Xét ánh xạ ϕ biến mỗi điểm M
trong mặt phẳng thành trọng tâm của tam giác MAB. Chứng minh rằng ϕ là ánh xạ afin.
4. Giả sử f : E → E là một ánh xạ tuyến tính thoả mãn f2 = f. Khi đó ta có: (a) E = Kerf ⊕ Imf; (b) Imf = Ker(f − idE).
5. Áp dụng bài tập trên để chứng minh rằng nếu π : E → E là một ánh xạ afin thoả
mãn π2 = π thì π là phép chiếu lên phẳng F theo phương G. Ở đó F = {M ∈ E :
π(M ) = M } có không gian chỉ phương F = Im− → π và G = Ker− → π .
6. Trong không gian afin E chiều 3 với một mục tiêu cố định lấy các điểm A(1, 2, 1),
B(0, 1, 2), C(2, 4, 5). Xác định toạ độ của tâm tỉ cự của các hệ sau đây. (a) {(A, 1), (B, 2)} (b) {(A, 1), (B, 1), (C, 1)} (c) {(A, 1), (B, 2), (C, 3)}
7. Chứng minh rằng tâm tỉ cự của hai hệ {(A1, α1), . . . , (Ak, αk)}
{(A1, λα1), . . . , (Ak, λαk)}
trùng nhau với mọi λ 6= 0.
8. Trong không gian afin E cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D. Gọi M, N, P, Q lần
lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
(a) Chứng minh rằng ba đường thẳng MN, P Q, AC đôi một song song với nhau.
(b) Gọi O là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng O là tâm tỉ cự của hệ
{(A, 1), (B, 1), (C, 1), (D, 1)}. 1