TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN-TIN Hình học tuyến tính 1 Bài tập Tuần 6
1. Viết biểu thức toạ độ của ánh xạ afin (nếu tồn tại) trong các trường hợp sau.
(a) ϕ : R → R thoả mãn ϕ(0) = 3 và ϕ(1) = 2
(b) ϕ : R2 → R2 thoả mãn ϕ(1, 2) = (1, 2), ϕ(2, 1) = (2, 1) và ϕ(1, 1) = (3, 3)
(c) ϕ : R2 → R2 thoả mãn ϕ(1, 3) = (1, 0), ϕ(3, 1) = (0, 1) và ϕ(2, 2) = (1, 1)
2. Viết biểu thức toạ độ của phép vị tự tâm I tỉ số λ, ở đó I có toạ độ (a1, . . . , a ) n
trong một mục tiêu đã chọn của không gian afin.
3. Trong không gian afin chiều 3 với một mục tiêu cho trước cho mặt phẳng F có phương
trình x + 2y − 2z = 3 và đường thẳng G có phương trình x = 1 − t, y = 2 + t, z = 0.
(a) Viết phương trình của phép chiếu lên mặt phẳng F theo phương của đường thẳng G.
(b) Viết phương trình của phép chiếu lên đường thẳng G theo phương của mặt phẳng F.
(c) Viết phương trình của phép đối xứng qua mặt phẳng F theo phương của đường thẳng G.
4. Hoàn thành các chứng minh của định lý Pappus và định lý Desargues.
5. (Định lý Menelaus) Trong mặt phẳng cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C. Giả
sử A0, B0, C0 tương ứng là các điểm nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng
minh rằng các điểm A0, B0, C0 thẳng hàng nếu và chỉ nếu −−→ −−→ − −→ A0B B0C C0A −−
→ · −−→ · −−→ = 1. A0C B0A C0B
(Gợi ý: Giả sử A0, B0, C0 thẳng hàng. Qua A, B, C vẽ ba đường thẳng song song với
nhau và cắt đường thẳng đi qua A0, B0, C0 lần lượt tại X, Y, Z.)
6. (Định lý Ceva) Trong mặt phẳng cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C . Giả sử
A0, B0, C0 tương ứng là các điểm nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng
minh rằng các đường thẳng AA0, BB0, CC0 đồng quy hoặc song song nếu và chỉ nếu −−→ −−→ − −→ A0B B0C C0A −
−→ · −−→ · −−→ = −1. A0C B0A C0B
(Gợi ý: Giả sử AA0, BB0, CC0 đồng quy. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BB0 và CC0 tại D, E.)
7. Hãy tìm một vài cách chứng minh của định lý Thalès trong hình học sơ cấp. 1