Bài tập ứng suất Chương 1 môn Kết cấu 1 | Trường Đại học Giao thông vận tải Hà Nội

Btap ứng suất chương 1 - kết cấu 1 1. Đề bài
Cho trạng thái ứng suất phẳng tại một điểm trên phân tố như hình vẽ ban đầu:
• Ứng suất pháp theo phương x: σx = −80 MPa (Nén).
• Ứng suất pháp theo phương y: σy = 50 MPa (Kéo).
• Ứng suất tiếp: τxy = −25 MPa.
Yêu cầu: Xác định trạng thái ứng suất trên một phân tố mới được xoay một góc 30◦ theo chiều
kim đồng hồ so với vị trí ban đầu.
2. Lời giải chi tiết
Bước 1: Xác định các thông số đầu vào
Theo quy ước dấu của sức bền vật liệu: σx = −80 MPa σy = 50 MPa τxy = −25 MPa
Do phân tố xoay cùng chiều kim đồng hồ, góc xoay là âm:
θ = −30◦
Bước 2: Tính toán các đại lượng trung gian
Ta tính các giá trị lượng giác cho góc 2θ = −60◦:
cos(2θ) = cos(−60◦) = 0.5 √3
sin(2θ) = sin(−60◦) = − ≈ −0.866 2
Và các thành phần ứng suất trung bình, bán kính vòng tròn Mohr (đại lượng chênh lệch): σx + σy −80 + 50 = = −15 MPa 2 2 σx − σy −80 − 50 = = −65 MPa 2 2 1
Bước 3: Tính ứng suất trên mặt phẳng mới (x′)
Áp dụng công thức biến đổi ứng suất pháp: σ σ σ x + σy x − σy x′ = +
cos(2θ) + τxy sin(2θ) 2 2
= −15 + (−65)(0.5) + (−25)(−0.866)
= −15 − 32.5 + 21.65
= −25.85 MPa
Kết quả âm cho thấy đây là ứng suất nén.
Bước 4: Tính ứng suất trên mặt phẳng vuông góc (y′)
Áp dụng công thức tương tự (hoặc thay θ bằng θ + 90◦): σ σ x + σy y′ =
− σx − σy cos(2θ) − τxy sin(2θ) 2 2
= −15 − (−65)(0.5) − (−25)(−0.866)
= −15 + 32.5 − 21.65
= −4.15 MPa
Kết quả âm cho thấy đây cũng là ứng suất nén.
Bước 5: Tính ứng suất tiếp trên hệ trục mới (τx′y′)
τx′y′ = −σx − σy sin(2θ) + τxy cos(2θ) 2
= −(−65)(−0.866) + (−25)(0.5)
= −(56.29) − 12.5
= −68.79 MPa
Dấu âm cho thấy chiều của ứng suất tiếp hướng xuống trên mặt x′ dương (ngược chiều dương trục y′). 3. Kết luận
Trạng thái ứng suất tại phân tố xoay 30◦ theo chiều kim đồng hồ là:
• Ứng suất pháp σx′ ≈ −25.8 MPa (Nén).
• Ứng suất pháp σy′ ≈ −4.15 MPa (Nén).
• Ứng suất tiếp τx′y′ ≈ −68.8 MPa. 2