Bài tập Xác Suất Thống Kê Chương 2 Đại lượng ngẫu nhiên | Đại học Kiến trúc Hà Nội

Chương 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN BÀI TẬP
. 2.1. Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau. Xác suất trong thời gian T
các bộ phận bị hỏng tương ứng là 0,4; 0,2 và 0,1. Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian T.
a) Lập bảng xác suất của X.
b) Tính xác suất trong thời gian T có không quá 2 bộ phận bị hỏng.
. 2.2. Ba xạ thủ độc lập bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng tương ứng là 0,7; 0,8;
0,5, mỗi xạ thủ bắn một viên. Gọi X là số viên trúng a) Lập bảng phân phối của X.
b) Tìm kì vọng, phương sai và trung vị.
c) Tính xác suất có ít nhất 2 viên trúng.
. 2.3. Có hai lô sản phẩm. Lô 1 có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm, lô 2 có 7 chính phẩm và 3
phế phẩm. Từ lô 1 lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ vào lô 2, sau đó từ lô 2 lấy ngẫu nhiên ra 2
sản phẩm. Lập bảng phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra ở lần 2.
. 2.4. Một thiết bị có 3 bộ phận hoạt động độc lập. Gọi X là số bộ phận hỏng trong thời
gian T, X có bảng phân phối xác suất sau: X 0 1 2 3 P 0,024 0,452 0,188 0,336
a) Tính kì vọng và phương sai.
b) Biết xác suất bộ phân 1 hỏng trong thời gian T là 0,8. Tìm xác suất hỏng trong thời gian
T của mỗi bộ phận còn tại.
. 2.5. Một công ty khai thác dầu đang có hai dự án khai thác dầu, môt ở châu Á và một ở
châu Âu. Gọi X là số dự án thành công, X có bảng phân phối xác suất sau: X 0 1 2 P 0,02 0,26 0,72
Giả sử xác suất thành công mỗi dự án là độc lập nhau. Tìm xác suất thành công của mỗi dự án.
. 2.6. Xác suất để một người bắn trúng bia là 0,8. Người ấy được phát từng viên đạn để bắn
cho đến khi trúng bia. Gọi X là số viên đạn bắn trượt, tìm quy luật phân phối của X.
. 2.7. Một xạ thủ được cung cấp 4 viên đạn và 80 nghìn đồng. Xạ thủ đó bắn độc lập từng
viên cho tới khi một viên trúng đích hoặc hết đạn thì dừng lại. Xác suất bắn trúng đích của 7
BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
xạ thủ là 0,7. Nếu bắn trúng 1 viên thì được nhận 50 nghìn còn nếu bắn trật 1 viên thì mất
20 nghìn. Gọi X là số tiền có được của xạ thủ sau khi bắn xong. Lập bảng phân phối xác suất của X và tính E(X).
. 2.8. Một người tham gia 1 trò chơi gieo đồng thời 3 đồng tiền cân đối đồng chất. Mỗi đồng
tiền có 2 mặt kí hiệu là S và N. Người đó bỏ ra x đồng cho 1 lần gieo. Nếu kết quả gieo cả
3 mặt giống nhau thì người đó không thu về đồng nào còn nếu kết quả gieo cả 3 mặt không
giống nhau thì được 3x đồng. Người này có nên thường xuyên tham gia trò chơi này không? Vì sao?
. 2.9. Trong kì thi hết môn học A thầy giáo cho đề cương ôn tập gồm 10 câu lý thuyết và
15 câu bài tập. Thầy giáo cấu tạo đề thi gồm 1 câu lý thuyết và 2 câu bài tập được lấy ngẫu
nhiên trong đề cương. Sinh viên B chỉ học và trả lời được 7 câu lý thuyết và chỉ làm được 10
câu bài tập trong đề cương. Nếu trả lời đúng câu lý thuyết thì được 4 điểm và làm đúng mỗi
câu bài tập thì được 3 điểm, không có điểm từng phần trong từng câu. Gọi X là số điểm môn
học A của sinh viên B sau khi thi. Lập bảng phân phối xác suất của X và tính E(X).
. 2.10. Một sinh viên thi vấn đáp trả lời 5 câu hỏi một cách độc lập. Khả năng trả lời đúng
mỗi câu hỏi đều bằng 65%. Nếu trả lời đúng thì sinh viên được 4 điểm, nếu sai thì bị trừ 2 điểm.
a) Tìm xác suất để sinh viên đó trả lời đúng 3 câu hỏi.
b) Tìm số điểm trung bình mà sinh viên đó đạt được.
. 2.11. Trong một kênh truyền hình kĩ thuật số, xác suất thiết bị đầu cuối nhận được 1 bit
(đơn vị dùng để đo lượng thông tin) bị lỗi là 0,001 và các bit bị lỗi độc lập nhau. Kí hiệu X
là số bit thiết bị đầu cuối nhận được bị lỗi trong 1000 bit được truyền đi.
a) Tính các xác suất P (X = 1), P (X ≥ 1), P (X ≤ 2).
b) Tính kì vọng và phương sai của X.
. 2.12. Tuổi thọ của một loại bóng đèn là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vị năm) với hàm mật độ như sau kx2(4 − x) nếu x ∈ [0; 4] f (x) = 0 nếu x 6∈ [0; 4]
a) Tìm k và vẽ đồ thị f (x).
b) Tìm xác suất để bóng đèn cháy trước khi nó được 1 năm tuổi.
c) Tìm kì vọng và phương sai.
. 2.13. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng  π π a cos x nếu x ∈ [− ; ]   2 2 f (x) = π π  0 nếu x 6∈ [− ; ]  2 2
a)Tìm a và xác định hàm phân phối xác suất F (x) của X. π
b) Tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng ( ; π). 4
. 2.14. Biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất 1 x F (x) = a + arctan , x ∈ R. π 2 a) Tìm a.
b) Tìm m sao cho P (X>m)=0,25. 8
CHƯƠNG 2. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
. 2.15. Cho X có hàm phân phối xác suất 0 nếu x ≤ 0  F (x) = a sin 2x nếu 0 < x ≤ π/4 1 nếu x > π/4
a) Tìm a và hàm mật độ xác suất của X. b) Tính kì vọng.
. 2.16. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối 0 nếu x < −π/2  F (x) = a + b sin x nếu − π/2 ≤ x ≤ π/2 1 nếu x > π/2 với a, b là hằng số. a) Tìm a và b.
b) Với a và b tìm được ở câu a), tính P (X > π/4).
. 2.17. Tỉ lệ tai nạn giao thông theo thống kê có được là 1/1000 và 4/1000 đối với tai nạn
giao thông nặng và nhẹ. Một công ty bảo hiểm bán bảo hiểm với mức phí 80.000 đồng. Hỏi
tiền lãi trung bình của công ty bán bảo hiểm là bao nhiêu ? Biết rằng thuế và các chi phí khác
chiếm 30% phí bảo hiểm; ngoài ra nếu bị tai nạn giao thông nặng, nhẹ thì được công ty bảo
hiểm bồi thường số tiền tương ứng là 10 triệu đồng và 5 triệu đồng.
. 2.18. Trọng lượng của một gói đường đóng bằng máy tự động có phân bố chuẩn. Trong
1000 gói đường có 70 gói có trọng lượng lớn hơn 1015g, trọng lượng trung bình của 1000 gói
đường là 1012g. Hãy ước lượng xem có bao nhiêu gói đường có trong lượng ít hơn 1008g trong 1000 gói đường.
. 2.19. Một chi tiết máy được xem là đạt tiêu chuẩn nếu sai số tuyệt đối giữa chiều dài của
nó so với chiều dài quy định không vượt quá 10mm. Biến ngẫu nhiên X chỉ độ lệch của chiều
dài chi tiết so với chiều dài quy định có phân phối chuẩn N (µ, σ2), với µ = 0 mm, σ = 5 mm.
a) Chọn ngẫu nhiên một chi tiết, tính xác suất chi tiết đó đạt tiêu chuẩn.
b) Tìm số trung bình các chi tiết đạt tiêu chuẩn khi lấy ra 100 chi tiết.
. 2.20. Tuổi thọ (năm) của một thiết bị điện tử là một biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất 0, 25e−0,25x nếu x ≥ 0 f (x) = 0 nếu x < 0 a) Tính P (X > 2).
b) Bán được một thiết bị thì lãi 15 nghìn đồng nhưng nếu phải bảo hành thì lỗ 5 nghìn đồng.
Để trung bình mỗi thiết bị lãi 10 nghìn thì nên quy định thời gian bảo hành bao nhiêu năm?
c) Với thời gian quy định bảo hành 6 tháng, cửa hàng A nhập về 10.000 thiết bị để bán. Tính
xác suất với 10.000 thiết bị được bán hết cửa hàng A lãi ít nhất 125 triệu đồng
. 2.21. Chiều cao của nam giới khi trưởng thành ở một vùng dân cư là biến ngẫu nhiên có
phân phối chuẩn với µ = 160 cm và σ = 6 cm. Một thanh niên bị coi là lùn nếu có chiều cao nhỏ hơn 1, 55 cm.
a) Tìm tỉ lệ thanh niên lùn ở vùng đó.
b) Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên 4 người thì có ít nhất một người không lùn.
. 2.22. Tuổi thọ của một bóng đèn là biến ngẫu nhiên X có E(X) = 250 giờ và σ(X) = 250 giờ.
a) Một cửa hàng mua 30 bóng đèn để khi hỏng có thể thay thế ngay. Dùng định lí giới hạn
trung tâm để tính: xác suất để cửa hàng duy trì được ánh sáng liên tục trong ít nhất 8750 giờ 9
Document Outline

• Đại lượng ngẫu nhiên
  • Bài tập chương 2