Bài tập Xác suất thông kê | Đại học Bách Khoa Hà Nội
Bài tập Xác suất thông kê | Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu được biên soạn giúp các bạn tham khảo, củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao kết thúc học phần. Mời các bạn đọc đón xem!
Preview text:
Câu lạc bộ Hỗ trợ học tập Xác suất thống kê
Slide và tài liệu tham khảo: Thảo luận học tập: BÀI TẬP BUỔI 1
Xác suất cổ điển
1. Thang máy của một toàn nhà 7 tầng, xuất phát từ tầng 1 với 3 người khách. Tính xác suất để:
(a) Tất cả cùng ra ở tầng 4.
(b) Tất cả cùng ra ở một tầng.
(c) Mỗi người ra ở một tầng khác nhau.
2. Ta gieo liên tiếp 4 lần một đồng tiền cân đối đồng chất. Tìm xác suất của các biến cố:
(a) A : "Có hai mặt sấp"
(b) B : "Có ba mặt ngửa"
(c) C : "Có ít nhất một mặt sấp"
3. 12 sản phẩm được sắp ngẫu nhiên vào 3 hộp. Tìm xác suất để hộp thứ nhất có chứa 3 sản phẩm.
4. Một đoàn tàu có 4 toa được đánh số I, II, III, IV đỗ ở sân ga. Có 6 hành khách từ sân ga lên tàu.
Mỗi người độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để:
(a) Toa I có 3 người, toa II có 2 người và toa III có 1 người.
(b) Một toa có 3 người, một toa có 2 người, một toa có 1 người.
(c) Mỗi toa có ít nhất một người.
5. Một câu lạc bộ có 10 sinh viên đến từ 10 trường khác nhau. Họ ngồi nhậu tại một bàn tròn có
10 ghế. Tính xác suất để Vương (HUST) ngồi cạnh Thu (NEU). Xác suất hình học
1. Một thanh sắt thẳng được bẻ thành ba khúc một cách một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để ba
khúc một tam giác. Biết rằng thanh sắt dài l (đơn vị dài).
2. Trên đoạn thẳng OA ta gieo một cách ngẫu nhiên hai điểm B C có tọa độ tương ứng là OB = ,
x OC = y(y ≥ x). Tìm xác suất sao cho độ dài của đoạn BC bé hơn độ dài của đoạn OB. ,
3. Trên đường tròn bán kính R có một điểm A cố định, chọn ngẫu nhiên một điểm B. Tìm xác suất
để cung AB không quá R. 14/10/2020
Câu lạc bộ Hỗ trợ học tập Xác suất thống kê
Các công thức tính xác suất cơ bản 1 1 3 1. Cho P(A) = P(B) =
và P(A + B) = . Tính P(AB) P(A ) P(A + B) (AB) ( ). , P AB .B , , P 3 , 2 4 , 1
2. Giả sử P(A) = P(B) =
và P(A|B) = P(B). Tính P(AB). 4
3. Có ba tiêu chí phổ biến cho việc chọn mua một chiếc xe hơi mới nào đó là A : Hộp số tự động,
B: Động cơ V6 và C: Điều hòa nhiệt độ. Dựa trên dữ liệu bán hàng trước đây, ta có thể giả
sử rằng P(A) = 0 7 P(B) = 0
(C) = 0 80 P(A + B) = 0 P(A + ) = 0
P(B + C) = .85 .80 . , , C .75 . , , P ,
0 90vP(A + B + C) =
95, với P(A) là xác suất người mua bất kì chọn tiêu chí A,... Tính xác . 0.
suất của các biến cố sau:
(a) Người mua chọn ít nhất một trong 3 tiêu chí.
(b) Người mua không chọn tiêu chí nào trong 3 tiêu chí trên.
(c) Người mua chỉ chọn tiêu chí điều hòa nhiệt độ.
(d) Người mua chọn chính xác một trong 3 tiêu chí.
4. Tỷ lệ người mắc bệnh tim trong một vùng dân cư 9%, mắc bệnh huyết áp là 12%. Chọn ngẫu
nhiên một người trong vùng. Tính xác suất để người đó.
(a) Bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp.
(b) Không bị bệnh tim cũng không bị bệnh huyết áp.
(c) Không bị bệnh tim hoặc không bị bệnh huyết áp.
(d) Bị bệnh tim nhưng không bị bệnh huyết áp.
(e) Không bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp.
5. (*) Có một nhóm n sinh viên, mỗi người có một áo mưa giống hệt nhau. Một hôm trời mưa, cả
nhóm cùng đến lớp và treo áo ở mắc áo. Lúc ra về vì vội vàng mỗi người lấy bừa một cái áo.
Tính xác suất để có ít nhất một sinh viên chọn đúng áo của mình.
6. Ba xạ thủ, mỗi người bắn một viên đạn vào mục tiêu với xác suất trúng đích của mỗi người là 0 6; 0 8. Tìm xác suất để: .7; 0 . .
(a) Chỉ có người thứ hai bắn trúng.
(b) Có đúng một người bắn trúng.
(c) Có ít nhất một người bắn trúng.
(d) Cả ba người đều bắn trúng.
(e) Có đúng hai người bắn trúng.
(f) Có ít nhất hai người bắn trúng.
(g) Có không quá hai người bắn trúng.
7. Một hộp có 100 tấm thẻ như nhau được ghi các số từ 1 đến 100. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi đặt
theo thứ tự từ trái quua phải. Tính xác suất để:
(a) Rút được 2 thẻ lập nên một số có hai chữ số.
(b) Rút được 2 thẻ lập nên một số chia hết cho 5. 14/10/2020
Câu lạc bộ Hỗ trợ học tập Xác suất thống kê
8. Một hộp đựng 15 quả bóng bàn trong đó có 9 quả mới. Lần đầu người ta lấy ngẫu nhiên 3 quả
để thi đấn, sau đó lại trả vào hộp. Lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất để cả 3 quả
lấy ra lần sau đều mới.
9. Một cuộc điều tra cho thấy, ở một thành phố, có 20 7% dân số dùng sản phẩm loại X, 50% dùng .
sản phẩn Y và trong số những người dùng Y , có 36 5% dùng X. Phỏng vấn ngẫu nhiên một .
người dân trong thành phố đó. Tính xác suất để người ấy:
(a) Dùng cả X và Y .
(b) Dùng Y , biết rằng người ấy không dùng X.
10. Một sinh viên thi trắc nghiệm môn Ngoại Ngữ gồm có 10 câu hỏi. Mỗi câu có 4 phương án lựa
chọn, trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Giả sử sinh viên làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên
các câu hỏi. Tính xác suất để:
(a) Sinh viên vừa đủ điểm đậu (5 điểm).
(b) Sinh viên chọn đúng ít nhất một câu hỏi.
11. Một bài kiểm tra có 10 câu trắc nghiệm. Mỗi câu hỏi có 4 lựa chọn trong đó có một lựa chọn đúng.
(a) Một học sinh chọn ngẫu nhiên một trong bốn lựa chọn đối với tất cả các câu hỏi.
i. Tính xác suất học sinh đó chọn đúng từ 5 câu trở lên
ii. Nhiều khả năng nhất học sinh đó trả lời đúng bao nhiêu câu hỏi? Tính xác suất tương ứng.
(b) Hỏi đề phải cho bao nhiêu câu hỏi trắc nghiệm để với xác suất hơn 99%, một học sinh
chọn ngẫu nhiên đúng ít nhất 1 câu? 14/10/2020
Câu lạc bộ Hỗ trợ học tập Xác suất thống kê
Tài liệu: https://bitly.com.vn/q5IFR
Thảo luận học tập: https://bitly.com.vn/tXj3n
I. TỔNG HỢP CÔNG THỨC Các tính chất • Giao hoán
A + B = B + A
A.B = B.A • Kết hợp
A + B +C = (A + B) +C = A + (B +C)
ABC = (AB)C = A(BC)
• Phân phối của phép cộng và phép nhân
A(B +C) = AB + AC • Đặc biệt A + A = A A.A = A A + Ω = Ω A.Ω = A A + θ = A A.θ = φ
Công thức cộng xác suất
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)
Nếu A và B xung khắc thì:
P(A + B) = P(A) + P(B) Với 3 biến:
P(A + B +C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(BC) − P(CA) + P(ABC)
Khi các sự kiện xung khắc đôi một:
P(A1 + A2 + ... + An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)
Công thức xác suất có điều kiện P(AB)
P(A | B) = P(B)
Công thức nhân xác suất
P(AB) = P(B | A)P(A) = P(A | B)P(B)
Nếu A, B độc lập
P(A) = P(A | B) = P(A | B) và
P(AB) = P(A)P(B) 21/10/2020
Câu lạc bộ Hỗ trợ học tập Xác suất thống kê
Một số công thức khác
A1 + A2 + A3 + ... + An = A1.A2.A3...An
A1A2A3...An = A1 + A2 + A3 + ... + An
P(A) = P(AB) + P(AB)
P(B) = P(AB) + P(AB)
P(AB) + P(AB) + P(AB) + P(A.B) = 1
Công thức xác suất đầy đủ n
P(H) = ∑ P(Ai).P(H | Ai) i=1 Công thức Bayes P(AiH)
P(Ai)P(H | Ai)
P(Ai | H) = = ,
i = 1, 2, ..., n. P(H) ∑n P(A j=1
j).P(H | A j) Công thức Bernoulli
Xác suất để sự kiện A xuất hiện đúng k lần trong n phép thử của dãy phép thử Bernoulli là:
pn(k) = Cknpkqn−k, q = 1 − p;k = 0,1,...,n. II. BÀI TẬP BUỔI 2
1 Xác suất có điều kiện
1. Trong một kỳ thi, thí sinh được phép thi 3 lần. Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là 0.9. Nếu trượt
lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần thứ 2 là 0.7. Nếu trượt cả 2 lần thì xác suất vượt qua kì
thi lần thứ 3 là 0.3. Tính xác suất để thí sinh thi đậu.
2. Từ một lô sản phẩm có 20 sản phẩm. Trong đó có 5 phế phẩm. Lấy liên tiếp 2 sản phẩm. Tính
xác suất để cả 2 đều hỏng.
2 Công thức xác suất đầy đủ và Bayes
1. Một lô hạt giống gồm 3 loại hạt để lẫn lộn. Loại 1 chiếm 2/3 số hạt, loại 2 chiếm 1/4, còn lại
là loại 3. Tỉ lệ nảy mầm của loại 1,2,3 theo thứ tự là 80%, 70% và 50%. Lấy ngẫu nhiên 1 hạt từ lô hạt giống.
(a) Tính xác suất để hạt lấy ra nảy mầm được.
(b) Giả sử hạt giống lấy ra là nảy mầm được. Tính xác suất để hạt giống đó thuộc loại 2.
(c) Giả sử hạt giống lấy ra là không nảy mầm được. Nhiều khả năng nhất hạt giống đó thuộc loại nào? Tại sao?
2. Có 2 xạ thủ loại I và xạ thủ loại II, xác suất bắn trúng đích của các loại xạ thủ theo thứ tự là 0.9 và 0.8.
(a) Lấy ngẫu nhiên ra 1 xạ thủ và xạ thủ đó bắn 1 viên đạn. Tính xác suất để viên đạn đó trúng đích. 21/10/2020
Câu lạc bộ Hỗ trợ học tập Xác suất thống kê
(b) Nếu lấy ra 2 xạ thủ và mỗi người bắn 1 viên thì khả năng để cả 2 viên đều trúng đích là bao nhiêu?
3. Có 2 lô sản phẩm. Lô 1: Gồm toàn chính phẩm. Lô 2: Có tỉ lệ phế phẩm và chính phẩm là 1/4.
Chọn ngẫu nhiên 1 lô, từ lô này lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm, thấy nó là chính phẩm, rồi hoàn lại
sản phẩm này vào lô. Hỏi rằng nếu lấy ngẫu nhiên (cũng từ lô đã chọn) một sản phẩm khác thì
xác suất để lấy sản phẩm là phế phẩm là bao nhiêu
4. Có hai lô hàng. Lô 1: Có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. Lô 2: Có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm.
Từ lô thứ nhất lấy ra 2 sản phẩm, từ lô thứ hai lấy ra 3 sản phẩm rồi trong số sản phẩm lấy được,
ta lại lấy tiếp ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong 2 sản phẩm đó có ít nhất 1 chính phẩm.
5. Có 2 lô sản phẩm. Lô 1: Có a chính phẩm và b phế phẩm. Lô 2: Có c chính phẩm và d phế
phẩm. Từ lô thứ nhất lấy sang lô thứ hai một sản phẩm, sau đó từ lô thứ 2 bỏ sang lô thứ nhất 1
sản phẩm. Sau đó từ lô thứ nhất lấy ra 1 sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được chính phẩm.
6. Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất để câu được cá ở những chỗ đó tương
ứng là: 0.6;0.7;0.8. Biết rằng ở một chỗ người đó thả câu 3 lần và chỉ câu được 1 con cá. Tìm
xác suất để cá được câu ở chỗ thứ nhất.
7. Một hộp chứa 3 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh. Một hộp khác chứa 10 bi trắng, 6 bi đỏ và 9 bi
xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một bi. Tính xác suất để 2 bi lấy ra cùng màu.
8. Một máy tính gồm 1000 linh kiện A, 800 linh kiện B, 2000 linh kiện C. Xác suất hỏng của 3
loại linh kiện đó lần lượt là 0.001; 0.005 và 0.002. Máy tính ngưng hoạt động khi số linh kiện
bị hỏng nhiều hơn 1. Giả sử các linh kiện hỏng độc lập nhau
(a) Tìm xác suất để có hơn 1 linh kiện loại A hỏng.
(b) Tìm xác suất để máy tính ngưng hoạt động.
9. Trong đội bóng đá của khoa có 5 sinh viên năm thứ 1; 6 sinh viên năm thứ 2; 4 sinh viên năm
thứ 3. Xác suất tham gia đội tuyển của trường tương ứng là 0.75; 0.7 và 0.8. Gặp một sinh viên
trong đội tuyển của trường. Hỏi sinh viên này có khả năng thuộc năm nào nhiều nhất?
10. Trong một hộp đựng 30 quả cầu gồm: 7 cầu đỏ, 11 cầu xanh, 12 cầu vàng. Lấy ngẫu nhiên lần
lượt 3 quả cầu. Tính xác suất để có 3 quả cùng màu trong 2 trường hợp sau: (a) Chọn không hoàn lại. (b) Chọn hoàn lại.
11. Một máy bay có 5 động cơ, trong đó có 3 động cơ ở cánh phải và 2 động cơ ở cánh trái. Mỗi
động cơ ở cánh phải có xác suất bị hỏng là 0.1, còn mỗi động cơ ở cánh trái có xác suất bị hỏng
là 0.05. Các động cơ hoạt động độc lập. Tính xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn
trong các trường hợp sau:
(a) Máy bay chỉ bay được nếu có ít nhất 2 động cơ làm việc.
(b) Máy bay chỉ bay được khi trên mỗi cánh của nó có ít nhất một động cơ làm việc.
12. Gieo 3 con xúc sắc cân xứng độc lập. Tính xác suất để:
(a) Tổng số nốt xuất hiện là 8 nếu biết rằng ít nhất có một con ra nốt 1.
(b) Có ít nhất một con ra lục nếu biết rằng số nốt trên 3 con là khác nhau. 21/10/2020
Câu lạc bộ Hỗ trợ học tập Xác suất thống kê
13. Một chuồng gà có 9 con mái và một con trống. Chuồng kia có 1 con mái và 5 con trống. Từ mỗi
chuồng ta bắt ra ngẫu nhiên 1 con làm thịt. Các con gà còn lại được dồn vào chuồng thứ 3. Từ
chuồng này ta lại bắt ngẫu nhiên 1 con. Tính xác suất để bắt được con gà trống.
3 Công thức Bernoulli
1. Khi tiêm truyền một loại huyết thanh, trung bình có một trường hợp phản ứng trên 1000 trường
hợp. Dùng loại huyết thanh này tiêm cho 2000 người. Tính xác suất để:
(a) Có 3 trường hợp phản ứng
(b) Có nhiều nhất 3 trường hợp phản ứng
(c) Có nhiều hơn 3 trường hợp phản ứng
2. Một nhà máy sản suất với tỷ lệ phế phẩm là 7%.
(a) Quan sát ngẫu nhiên 10 sản phẩm. Tính xác suất để:
i. Có đúng một phế phẩm
ii. Có ít nhất một phế phẩm
iii. Có nhiều nhất một phế phẩm
(b) Hỏi phải quan sát ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất nhận được ít nhất một phế phẩm ≥ 0.9 21/10/2020
Câu lạc bộ Hỗ trợ học tập Xác suất thống kê
Giải bài tập các buổi: https://tinyurl.com/y55p8r8q BÀI TẬP BUỔI 3
1. Một lô hàng chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên
từ lô hàng ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong hai sản phẩm chọn ra.
• Lập bảng phân bố xác suất của X .
• Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X .
2. Có 3 hộp A, B và C đựng các lọ thuốc. Hộp A có 10 lọ tốt và 5 lọ hỏng, hộp B có 6 lọ tốt và 4 lọ
hỏng, hộp C có 5 lọ tốt và 7 lọ hỏng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ thuốc.
(a) Tìm luật phân phối xác suất cho số lọ thuốc tốt trong 3 lọ lấy ra.
(b) Tìm xác suất để được ít nhất 2 lọ tốt; được 3 lọ cùng loại.
3. Trong một đội tuyển, 3 vận động viên A, B và C thi đấu với xác suất thắng trạng của mỗi người
lần lượt là 0.6;0.7 và 0.8. Trong một đợt thi đấu, mỗi vận động viên thi đấu một trận độc lập nhau.
(a) Tìm luật phân phối xác suất cho số trận thắng của đội tuyển.
(b) Tính xác suất để đội tuyển thua nhiều nhất một trận. Tính xác suất để đội tuyển thắng ít nhất 1 trận.
4. Một cơ sở sản xuất các bao kẹo. Số kẹo trong mỗi bao là một biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất như sau: Số kẹo trong bao 18 19 20 21 22 P 0.14 0.24 0.32 0.21 0.09
(a) Tìm trung bình và phương sai của số viên kẹo trong mỗi bao
(b) Chi phí sản xuất của mỗi bao kẹo là 3X + 16, trong đó X là biến ngẫu nhiên chỉ số kẹo
trong bao. Tiền báo mỗi bao kẹo là 100k VNĐ. Không phân biệt số kẹo trong bao. Tìm
lợi nhuận trong bình và độ lệch chuẩn của lợi nhuận trong mỗi bao kẹo. 5. Đề như câu 4.
(a) Tìm xác suất để một bao kẹo được chọn ngẫu nhiên sẽ chứa từ 19 đến 21 viên kẹo.
(b) Hai bao kẹo được chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để ít nhất một trong hai bao chứa ít nhất 20 viên kẹo.
6. Một công ty có 3 tổng đại lý. Gọi X,Y và Z theo thứ tự là khối lượng hàng bán được trong một
ngày của 3 tổng đại lý trên (tính bằng tấn). Biết phân phối xác suất của các BNN X,Y và Z như sau: xi 5 6 7 8
P(X = xi) 0.1 0.3 0.4 0.2 28/10/2020
Câu lạc bộ Hỗ trợ học tập Xác suất thống kê yi 4 5 6 7 8
P(Y = yi) 0.15 0.2 0.4 0.1 0.15 zi 7 8 9 10
P(Z = zi) 0.2 0.3 0.4 0.1
Tính khối lượng hàng hóa bán được trung bình trong một tháng (30 ngày) của công ty trên. (2x ,x ∈ [0;1]
7. Cho hàm f (x) = 0 ,x /∈ [0;1]
(a) Chứng tỏ f (x) là hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục X.
(b) Tìm hàm phân phối xác suất F(x) của X. 1
(c) Tính xác suất P 0 < X < . 2
8. Cho 2 biến ngẫu nhiên X và Y độc lập với bảng phân phối xác suất như sau: xi 0 1 2 yi -1 1
P(X = xi) 0.3 0.4 0.3
P(Y = yi) 0.4 0.6
Hãy lập bảng phân phối xác suất của X2, X +Y, X.Y .
9. Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ f (x):
1 + x nếu −1 6 x 6 0 1 f (x) = 1 − x nếu 0 < x 6 1
Tính P − < X < 1 2 0 nếu | x |> 1
10. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối: π 0 khi x < − 2 π π F(x) = a + bsinx khi − 6 x 6
Với a, b là hằng số. 2 2 π 1 khi x > 2 Tìm a, b.
11. Một người thợ săn bắn 4 viên đạn. Biết xác suất trúng đích của mỗi viên đạn bắn ra là 0.8. Gọi
X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số viên đạn trúng đích.
(a) Tìm luật phân phối của X.
(b) Tìm kỳ vọng và phương sai của X. 28/10/2020
Câu lạc bộ Hỗ trợ học tập Xác suất thống kê
Giải bài tập các buổi: https://tinyurl.com/y55p8r8q
Lưu ý trước khi thi:
• Có thể thi vào bất kỳ phần nào đã học, nên tốt nhất là học đều chứ đừng tập trung phần nào cả.
• Phần hàm mật độ XS phải nhớ hết các công thức tính Mod, Med, E, V; nhớ các công thức xấp
xỉ từ phân phối này sang phân phối kia.
• Phần phân phối đều, xác suất hình học lâu rồi không thi nhưng cũng phải đọc qua cho chắc.
• Phần nhóm đầy đủ hay bảng phân phối phải nhớ đếm đủ số trường hợp. . BÀI TẬP BUỔI 4
1 Phân phối Bernoulli, nhị thức
1. Tỷ lệ một loại bệnh bẩm sinh trong dân số là p = 0.01. Bệnh này cần sự chăm sóc đặc biệt lúc
mới sinh. Một nhà bảo sinh thường có 20 ca sinh trong một tuần. Tính xác suất để:
(a) Không có trường hợp nào cần chăm sóc đặc biệt
(b) Có đúng một trường hợp cần chăm sóc đặc biệt
(c) Có nhiều hơn một trường hợp cần chăm sóc đặc biệt
Tính bằng quy luật nhị thức rồi dùng quy luật Poisson để so sánh kết quả.
2. Tỷ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên A trong một cuộc bầu cử là 60%. Người ta hỏi ý kiến 20 cử tri
được chọn một cách ngẫu nhiên. Gọi X là số người bỏ phiếu cho A trong 20 người đó.
(a) Tìm giá trị trung bình, độ lệch chuẩn và Mod của X.
(b) Tìm P(X ≤ 10)
(c) Tìm P(X > 12)
(d) Tìm P(X = 11)
3. Giả sử tỷ lệ dân cư mắc bệnh A trong vùng là 10%. Chọn ngẫu nhiên 1 nhóm 400 người.
(a) Viết công thức tính xác suất để trong đó có nhiều nhất 50 người mắc bệnh A.
(b) Tính xấp xỉ xác suất đó bằng phân phối chuẩn.
4. Một máy sản xuất ra sản phẩm loại A với xác suất 0.485. Tính xác suất sao cho trong 200 sản
phẩm do máy sản xuất ra có ít nhất 95 sản phẩm loại A.
5. Xác suất trúng số là 1%. Mỗi tuần mua một vé số. Hỏi phải mua vé số liên tiếp trong tối thiểu
bao nhiêu tuần để có không ít hơn 95% hy vọng trúng số ít nhất 1 tuần.
6. Một bài thi trắc nghiệm gồm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1
phương án đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và câu trả lời sai bị trừ 2 điểm. Một
sinh viên kém làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên một phương án cho mỗi câu hỏi.
(a) Tính xác suất để học sinh này được 4 điểm. 4/11/2020
Câu lạc bộ Hỗ trợ học tập Xác suất thống kê
(b) Tính xác suất để học sinh này bị điểm âm.
(c) Gọi X là số câu trả lời đúng, tính E(X) và V (X).
(d) Tính số câu sinh viên này có khả năng trả lời đúng lớn nhất.
7. Có 3 lọ giống nhau: hai lọ loại I, mỗi lọ có 3 bi trắng và 7 bi đen; một lọ loại II có 4 bi trắng
và 6 bi đen. Một trò chơi được đặt ra như sau: Mỗi ván, người chơi chọn ngẫu nhiên một lọ và
lấy ra hai bi từ lọ đó. Nếu lấy được đúng hai bi trắng thì người chơi thắng, ngược lại người chơi thua.
(a) Người A chơi trò chơi này, tính xác suất người A thắng ở mỗi ván.
(b) Giả sử người A chơi 10 ván, tính số ván trung bình người chơi thắng được và số ván người
A thắng tin chắc nhất.
(c) Người A phải chơi ít nhất bao nhiêu ván để xác suất thắng ít nhất một ván không dưới 0.99 2 Phân phối Poisson
1. Một trung tâm bưu điện nhân được trung bình 3 cuộc gọi điện thoại trong mỗi phút. Tính xác
suất để trung tâm này nhận được 1 cuộc, 2 cuộc, 3 cuộc gọi trong 1 phút, biết rằng số cuộc gọi
trong một phút có phân phối Poisson.
2. Một cửa hàng cho thuê xe car nhận thấy rằng số người đến thuê xe car vào ngày thứ bảy cuối
tuần là một đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số λ = 2. Giả sử cửa hàng có 4 chiếc car.
(a) Tìm xác suất không phải tất cả 4 chiếc car đều được thuê.
(b) Tìm xác suất tất cả 4 chiếc car đều được thuê.
(c) Tìm xác suất cửa hàng không đáp ứng được nhu cầu.
(d) Trung bình có bao nhiêu car được thuê
(e) Cửa hàng cần có ít nhất bao nhiêu car để xác suất không đáp ứng được nhu cầu thuê bé hơn 2%.
3. Một tổng đài bưu điện có các cuộc điện thoại gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc lập với nhau và
có tốc độ trung bình 2 cuộc gọi trong 1 phút. Tính xác suất để:
(a) Có đúng 5 cuộc gọi điện thoại trung 2 phút.
(b) Không có cuộc điện thoại nào trong khoảng thời gian 30 giây.
(c) Có ít nhất 1 cuộc điện thoại trong khoảng thời gian 10 giây.
4. Tại một điểm bán vé máy bay, trung bình trong 10 phút có 4 người đến mua vé. Tính xác suất để:
(a) Trong 10 phút có 7 người đến mua vé.
(b) Trung 10 phút có không quá 3 người đến mua vé.
5. Các khách hàng đến quần thu ngân, theo phân phối Poisson, với số lượng trung bình 5 người
mỗi phút. Tính xác suất xuất hiện ít nhất 10 khách hàng trong khoảng thời gian 3 phút.
6. Ta có 10 máy sản xuất ( độc lập nhau), mỗi máy sản xuất ra 2% thứ phẩm không đạt chuẩn. 4/11/2020
Câu lạc bộ Hỗ trợ học tập Xác suất thống kê
(a) Trung bình có bao nhiêu sản phẩm được sản xuất bởi máy đầu tiên trước khi nó có thứ phẩm đầu tiên?
(b) Ta lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ mỗi máy sản xuất. Hỏi xác suất nhiều nhất hai thứ
phẩm trong 10 sản phẩm này là bao nhiêu?
(c) Làm lại câu (b) bằng cách sử dụng xấp xỉ Poisson.
(d) Phải lấy ra ít nhất bao nhiêu sản phẩm được sản xuất bởi máy đầu tiên để xác suất đạt được
ít nhất một thứ phẩm không nhỏ hơn 1/2 (giả sử rằng các sản phẩm là độc lập nhau)? 3 Phân phối chuẩn
1. Các kết quả của bải kiểm tra chỉ số thông minh (IQ) cho các học sinh của một trường tiểu học
cho thấy điểm IQ của các học sinh này tuân theo phân phối chuẩn với các tham số là µ = 100
và σ 2 = 225. Tỉ lệ học sinh có điểm IQ nhỏ hơn 91 hoặc lớn hơn 130 là bao nhiêu?
2. Trọng lượng X (tính bằng gam) một loại trái câu có phân phối chuẩn N(µ, σ2), với µ = 500
(gam) và σ 2 = 16 gam2. Trái cây thu hoạch được phân loại theo trọng lượng như sau: (a) Loại 1: trên 505 gam
(b) Loại 2: từ 495 đến 505 gam, (c) Loại 3: dưới 495 gam. Tính tỉ lệ mỗi loại. −(x + 2)2
3. Cho một biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f (x) = Ae 18
(a) Tìm hằng số A, hỏi X có phân phối gì?
(b) Tính P(−5 < X < −2) Cho hàm Laplace Φ(0) = 0; 0 3413 Φ(1) = . . 4 Phân phối mũ
1. Một linh kiện điện tử có thời gian hoạt động X là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với hàm mật
độ X là: f (x) = λ e−λx,
x > 0. (Đề 20181, giải ở link CLB đăng thứ 6 tuần nào đó gần đây)
(a) Xác định phân phối xác suất cho thời gian hoạt động của một mạng gồm 2 linh kiện loại trên mắc song song.
(b) Tính kỳ vọng và phương sai của thời gian hoạt động của mạng đó.
2. Tuổi thị X (đơn vị: năm) của sản phẩm do nhà máy M sản xuất là biến ngẫu nhiên có phân phối
mũ với tham số λ = 0.2. Mua một sản phầm của nhà máy M. Tính xác suất sản phẩm có tuổi thọ từ 2 đến 4 năm.
3. Tuổi thị X (đơn vị: năm) của sản phẩm do nhà máy M sản xuất là biến ngẫu nhiên có phân phối
mũ với tham số λ = 0.1. Mua một sản phẩm của nhà máy M đã sử dụng rồi. Tính xác suất sử
dụng sản phẩm được thêm 10 năm nữa. 4/11/2020
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Tài liệu: https://bitly.com.vn/tuldyw
THỐNG KÊ - ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ
1. [20171] Thống kê ở một vùng trong 500 xe ô tô đăng ký có 68 xe thể thao. Với độ tin cậy 95%
hãy xác định khoảng tin cậy đối xứng cho tỉ lệ xe thể thao ở vùng đó. Theo anh (chị) có cách
nào để nâng cao độ chính xác của khoảng tin cậy cho tỷ lệ trên.
2. [20171] Điều tra ở một vùng trong 800 người chọn ngẫu nhiên có 184 người tham gia tập thể
thao. Với độ tin cậy 90% hãy xác định khoảng tin cậy đối xứng cho tỷ lệ người có tập thể thao
ở vùng đó. Theo anh (chị) độ chính xác của khoảng tin cậy cho tỷ lệ trên có thể phụ thuộc vào những yếu tố nào?
3. [20172] Tiến hành 120 phép đo như nhau, độc lập thì thấy sự kiện A xuất hiện 42 lần.
a) Xác định khoảng tin cậy đối xứng 99% cho tỷ lệ xuất hiện A
b) Tính xác suất để sai số ước lượng của tỷ lệ trên bé hơn 10% tần suất mẫu.
4. [20173] Số liệu dưới đây cho tỷ lệ phần trăm một hóa chất trong 11 mẫu một loại xi măng: 6 15 8 8 6 9 17 18 4 8 10
Với độ tin cậy 95% hãy tìm ước lương khoảng cho tỷ lệ phần trăm trung bình của loại hóa chất
trên (giả sử tỷ lệ đó là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn).
5. [20181] Ở một trung tâm cây trồng, theo dõi 3070 cây cà phê thì có 1135 cây cho thu hoạch thấp.
a) Với độ tin cậy 95% hãy xác định khoảng tin cậy cho tỷ lệ cây cà phê có thu hoạch thấp.
b) Tần suất cà phê có thu hoạch thấp có là ước lương không chệch của tỷ lệ cây cho thu hoạch thấp không? Tại sao?
6. [20181] Đo số lượng bạch cầu trong máu của 170 trẻ em, ta tính được các đặc trưng mẫu: Trung
bình mẫu 11250 và độ lệch chuẩn mẫu (chưa hiệu chỉnh) S=2100.
a) Với độ tin cậy 95% hãy xác định khoảng tin cậy cho số lượng bạch cầu trung bình của trẻ em.
b) Tính ước lượng không chệch cho phương sai của số lượng bạch cầu đó.
7. [20182] Khảo sát trọng lượng X (kg) của 200 con lợn xuất chuồng ta được bảng số liệu sau: X (kg)
[85-95) [95-105) [105-115) [115-125) [125-135) [135-145) Số lợn 10 30 45 80 30 5
Với độ tin cậy 90% hãy ước lượng khoảng cho trọng lượng trung bình của đàn lợn xuất chuồng. 9/12/2020
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
8. [20182] Cân thử 100 quả trứng gà trong một trại chăn nuôi ta có kết quả sau:
Trọng lượng (gam) 150 160 165 170 180 185 Số trứng 4 16 25 30 15 10
Với độ tin cậy 90% hãy ước lượng khoảng cho trọng lượng trung bình của trứng gà trong trại chăn nuôi đó.
9. [20192] Đo độ xa X (đơn vị là mm) từ điểm trúng bia đến tâm bia của 16 lần bắn ta thu được số liệu sau:
2,10 1,95 2,07 2,03 1,91 2,08 1,98 2,10
2,06 1,92 1,95 2,11 2,00 1,96 2,08 1,91
a) Hãy ước lượng độ xa trung bình với độ tin cậy 95%. Giả sử độ xa X là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
b) Tính xác suất để độ xa X lớn hơn 2mm.
10. [20193] Lượng mưa ở một thành phố đo được trong 10 ngày hè là: 25 50 45 0 15 12 102 21 19 8
a) Tìm ước lượng không chệch của độ lệch chuẩn của lượng mưa trên.
b) Với độ tin cậy 95% xác định khoảng tin cậy cho lượng mưa trung bình tại thành phố đó, biết
lượng mưa đó tuân theo luật phân phối chuẩn.
11. Điểm trung bình môn toán của 100 thí sinh dự thi vào trường A là 5 với độ lệch chuẩn là 0.25.
a) Ước lượng điểm trung bình môn toán của toàn thể thí sinh với độ tin cậy là 95%.
b) Với sai số ước lượng điểm trung bình ở câu (a) là 0.25 điểm. Hãy xác định độ tin cậy.
12. Tuổi thọ của một loại bóng đèn được biết theo quy luật chuẩn với độ lệch chuẩn 100 giờ.
a) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng đèn để thử nghiệm, thấy mỗi bóng tuổi thọ trung bình là 1000
giờ. Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn xí nghiệp A sản xuất với độ tin cậy là 95%.
b) Với dung sai của ước là tuổi thọ trung bình là 15 giờ. Hãy xác định độ tin cậy.
c) Để dung sai của ước lượng tuổi thọ trung bình không quá 25 giờ với độ tin cậy là 95% thì
cần phải thử nghiệm ít nhất bao nhiêu bóng.
13. Đo đường kính của một chi tiết máy do một máy tiện tự động sản xuất, ta ghi nhận được số liệu như sau:
x 12.00 12.05 12.10 12.15 12.20 12.25 12.30 12.35 12.40 n 2 3 7 9 10 8 6 5 3
với n chỉ số trường hợp tính theo từng giá trị của X (mm)
a) Tính trung bình mẫu x và độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh s
b) Ước lượng đường kính trung bình µ ở độ tin cậy 0.95.
c) Nếu muốn sai số ước lượng không quá ε = 0 02 mm ở độ tin cậy 0.95 thì phải quan sát ít . nhất mấy trường hợp. 9/12/2020
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Giải hôm trước: https://bitly.com.vn/k2yrmi
THỐNG KÊ - KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT
1. [20192] Số lượng người mắc bệnh số xuất huyết ở địa phương A là 15 người trên một mẫu 200
người; số lượng này ở địa phương B là 20 người trên một mẫu 250 người. Hỏi tỷ lệ mắc bệnh
sốt xuất huyết ở 2 địa phương trên có địa coi là như nhau hay không? Hãy kết luận với mức ý nghĩa α = 0,05.
2. [20193] Cho 11 vận động viên golf, mỗi người đánh 2 quả bóng có thương hiệu khác nhau,
khoảng cách bay xa của mỗi lần đánh bóng như sau: Golfer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Quả 1 283 268 297 249 290 287 257 235 316 317 266
Quả 2 287 272 305 240 293 282 257 241 324 310 275
a) Có thể cho rằng hai khoảng cách trên là giống nhau hay không, biết rằng hai khoảng cách
của hai loại bóng tuân theo phân phối chuẩn (α = 0,05)?
b) Có thể kết luận khoảng cách bay của bóng loại 2 lớn hơn không(α = 0,01)?
3. [20181] Theo dõi thời gian bắt đầu có tác dụng của một loại thuốc trên một nhóm bệnh nhân
trước và sau khi mổ dạ dày, ta thu được bộ số liệu (giả sử thời gian trên có phân phối chuẩn) Bệnh nhân 1 2 3 4 5 6 7 8 Trước mổ 44 51 52 55 66 68 70 71 Sau mổ 52 64 60 74 55 67 75 65
Hỏi thời gian tác dụng của thuốc trước và sau mổ có khác nhau không với mức ý nghĩa 1%?
4. [20181] Đo nồng độ một vi chất bằng hai phương pháp khác nhau, ta có kết quả (giả sử nồng độ
vi chất trên có phân phối chuẩn) Thứ tự mẫu 1 2 3 4 5 6 Phương pháp cũ 0,85 1,12 1,46 1,20 1,60 1,52
Phương pháp mới 1,09 1,24 1,20 1,25 1,65 1,48
Hỏi phương pháp mới có khác với phương pháp cũ hay không (cho mức ý nghĩa 1%?
5. [20172] Cân 150 con vịt người ta thu được bộ số liệu sau:
Khối lượng 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 Số lượng 2 6 24 35 39 24 14 6
Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng khối lượng trung bình của lứa vịt trên lớn hơn 2 kg hay được không?
6. [20182] Cân thử 100 quả trứng gà trong một trại chăn nuôi ta có kết quả sau:
Trọng lượng (gam) 150 160 165 170 180 185 Số trứng 4 16 25 30 15 10
Với mức ý nghĩa 5% liệu có thể khẳng định rằng tỷ lệ trứng gà nặng hơn 170 gam cao hơn 20% hay không? 16/12/2020
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
7. [20171] Để đánh giá trình độ của một người ứng viên người ta dựa vào 8 lần cho điểm của đồng
thời 2 chuyên gia (số liệu cặp và giả sử giá trị đếm số của mỗi chuyên gia được coi là biến ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn):
Chuyên gia 1 76,3 88,4 80,2 94,7 68,7 82,8 76,1 79,0
Chuyên gia 2 75,1 86,8 77,3 90,6 69,1 81,0 75,3 79,1
Với mức ý nghĩa α = 5% có thể cho rằng điểm số trung bình của chuyên gia 1 là cao hơn của chuyên gia 2 hay không?
8. [20172] Đo chiều cao của 300 trẻ 12 tuổi ở một trường học, người ta thu được bộ số liệu sau:
Chiều cao 120 125 130 135 140 145 150 Số lượng 9 33 74 93 64 21 6
Với mức ý nghĩa 1% có thể cho rằng chiều cao trung bình của lứa trẻ trên nhỏ hơn 140 (cm) được không?
9. [20171] Đo thời gian phản ứng (giây) đối với 2 loại thuốc kích thích của 8 người tham gia thí
nghiệm (giả sử thời gian phản ứng đối với mỗi loại thuốc được coi là biến ngẫu nhiên có phân
phối chuẩn), ta có bộ số liệu cặp:
Thuốc 1 3,1 1,5 2,9 2,6 1,7 2,3 3,8 2,4
Thuốc 2 4,1 2,2 3,5 1,8 2,7 2,5 3,4 3,2
Với mức ý nghĩa α = 5% có thể cho rằng thời gian phản ứng trung bình đối với 2 loại thuốc là như nhau hay không?
10. [20173] Trong dãy n = 60 phép thử Bernoulli quan sát có 15 thí nghiệm thành công. Có thể bác
bỏ giả thuyết ”p < 30%” được không?. Cho mức ý nghĩa α = 5%, p ký hiệu tỷ lệ thí nghiệm thành công?
11. [20182] Khảo sát trọng lượng X (kg) của 200 con lợn xuất chuồng ta được bảng số liệu sau: X (kg)
[85-95) [95-105) [105-115) [115-125) [125-135) [135-145) Số lợn 10 30 45 80 30 5
Với mức ý nghĩa 5% liệu có thể khẳng định rằng tỷ lệ lợn xuất chuồng có trọng lượng thấp hơn
115 (kg) là ít hơn 50% hay không?
12. [20193 (MI2021)] Hai dây chuyền của một công ty sản xuất cùng loại sản phẩm. Kiểm tra
ngẫu nhiên 1000 sản phẩm do dây chuyền I sản xuất thấy 30 sản phẩm hỏng; kiểm tra 1000 sản
phẩm do dây chuyền II sản xuất thấy 20 sản phẩm hỏng.
a) Có phải dậy chuyền II hiệu quả hơn dây chuyền I hay không với mức ý nghĩa 5%?
b) Ước lượng khoảng cho tỷ lệ sản phẩm hỏng do dây chuyền II sản xuất với độ tin cậy 99%.
c) Nếu dùng khoảng tin cậy để dự đoán tỷ lệ sản phẩm hỏng thì sai số dự đoán chính là nửa độ
dài khoảng tin cậy. Cần phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm để sai số khi dự đoán tỷ lệ sản
phẩm hỏng do dây chuyền II sản xuất nhỏ hơn 0,008 với độ tin cậy 95%? 16/12/2020
Xác suất cổ điển 1. 3. 4. 5.
Phân biệt 2 trường hợp là bàn tròn có đánh số vị trí và không đánh số vị trí
Đánh số vị trí thì không gian mẫu là 10!
Không đánh số vị trí thì không gian mẫu là 9! thôi vì phải xếp người đầu tiên vào để làm mốc.
Cả 2 trường hợp đều cho đáp án là 2/9 nhá.
Xác suất hình học 1. 3.
Các công thức tính xác suất cơ bản 1. 3. 5. 6. 8. 9. 10. 11. Câu 1: (XS có DK) Câu 2:
Câu 1: (CTXS đầy đủ và Bayes) Câu 2: Câu 3: Câu 4: : Câu 5: Câu 6: Câu 7: Câu 8: Câu 9: Câu 10: Câu 11: Câu 12: Câu 13:
Giải XSTK Buổi 3 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
Giải BT XSTK Buổi 4
PP Nhị thức, Bernoulli 1. 3.
Phân phối Poisson 2. 5. 6.
Phân phối chuẩn 2.
Phân phối mũ 1.