Bài toán khoảng cách trong không gian

Tài liệu gồm 63 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề bài toán khoảng cách trong không gian

109 55 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

63 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
CHỦ ĐỀ 6: BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
Vấn đề 1: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG
Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao
Xét bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ
điểm A bất kì đến mặt bên
( )
SHB
.
Kẻ
AH HB
⊥
ta có:
( )
AK HB
AK SHB
AK SH
⊥
⇒⊥
⊥
Suy ra
( )
( )
;d A SHB AK=
.
Cách tính: Ta có:
( )
( )
2
;
AHB
S
d A SHB AK
HB
= =
sin .sinAB ABK AH AHK= =
.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC có
3 , 2 , 60AB a BC a ABC= = = °
. Biết
( )
SA ABC⊥
.
a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng
.
b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng
( )
SAC
.
Lời giải
a) Dựng
CH AB⊥
ta có:
( )
CH AB
CH SAB
CH SA
⊥
⇒⊥
⊥
Do đó
( )
( )
; sin 2 sin 60 3
d C SAB CH CB ABH a a= = = °=
.
b) Dựng
( )
CK AC CK SAC
⊥⇒⊥
.
Ta có:
(
)
( )
2
. sin
;
ABC
S
AB BC ABC
d B SAC CH
AC AC
= = =
Trong đó
222
2 . cosAC AB BC BA BC B=+−
( )
( )
3 .2 .sin 60 3 21
7;
7
7
aa a
AC a d B SAC
a
°
⇒= ⇒ = =
.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với
,3B a AD a= =
. Tam giác SAB cân tại S và
thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung tâm của AB.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
SHD
.
b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng
(
)
SHC
.
Lời giải
a) Do tam giác SAB cân tại S nên
SH AB
⊥
.
Ta có:
2
a
HA HD= =
.
Mặt khác
( ) ( ) (
)
SAB ABCD SH ABCD⊥ ⇒⊥
.
Dựng
( ) ( )
( )
;AE DH AE SHD d A SHD AE
⊥ ⇒⊥ ⇒ =
.
Mặt khác
22
. 39
13
AH AD a
AE
AH AD
= =
+
.
b) Dựng
( )
( )
;DK CH d D SHC DK⊥⇒ =
.
Ta có:
22
13
2
a
CH HB BC= +=
,
( )
2
1 13
. ; .. 3
2 22
HCD
a
S CD d H CD a a= = =
.
Do đó
( )
( )
2
2 39
D;
13
HCD
S
a
d SHC
CH
= =
.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có
3AD a=
,
2
AB BC a= =
. Biết
( )
SA ABCD⊥
.
a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng
( )
SAD
.
b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng
(
)
SAC
.
Lời giải
a) Dựng
( )
CE AD CE SAD⊥⇒⊥
.
Khi đó
( )
( )
;d C SAD CE=
, do ABCE là hình vuông cạnh
2a
nên
( )
( )
2; 2CE AE a d C SAD a==⇒=
.
b) Dựng
( )
DH AC DH SAC⊥⇒ ⊥
.
Khi đó
( )
( )
;d D SAC DH=
.
Ta có: ABCE là hình vuông nên
45CAD = °
.
Do đó
232
DH ADsin 45 3 .
22
a
a= °= =
.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
5
a
. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S
trên mặt phẳng
( )
ABCD
trùng với trọng tâm H của tam giác ABD.
a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng
( )
SAC
.
b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng
( )
SHD
.
Lời giải
a) Do H là trọng tâm tam giác ABD
H AC
⇒∈
.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD
BO AC⇒⊥
.
Mặt khác
( )
BO SH BO SAC⊥⇒⊥
Khi đó
( )
( )
52
;
2
a
d B SAC BO= =
.
b) Dựng
( ) ( )
( )
;CK HD CK SHD d C SHD CK⊥⇒⊥ ⇒ =
.
Gọi I là trung điểm của AB thì
H DI AO= ∩
.
Khi đó:
22
22 2
2
1
2.
2
25 25
2
25
5
25
2
ABCD
ICD
S
S
aa
CK a
DI DI
DA AI
a
a
= = = = =
+

+


.
Ví dụ 5: Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
nửa lục giác đều cạnh
a
, với
2
AB a=
. Biết
( )
SA ABCD⊥
và mặt phẳng
( )
SBC
tạo với đáy một góc
60
°
.
a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng
.
b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng
(
)
SAC
.
Lời giải
a) Tứ giác ABCD là nửa lục giác đều cạnh
a
nên nó nội tiếp đường tròn đường kính
2AB a=
.
Dựng
( )
( )
( )
;
CH AB CH SAB d C SAB CH⊥⇒ ⊥ ⇒ =
.
Mặt khác
3
60 sin 60
2
a
ABC CH BC= °⇒ = °=
.
Vậy
( )
( )
3
;
2
a
d C SAB =
.
b) Dựng
( ) ( )
( )
;DK AC DK SAC d D SAC DK⊥⇒ ⊥ ⇒ =
.
Do
120 , 90 30 sin sin 30
2
a
DCB ACB ACD DK CD DCK a= ° = °⇒ = °⇒ = = °=
.
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2,
2, 2AB BC= =
.
Gọi M là trung điểm của CD, hai mặt phẳng
( )
SBD
và
( )
SAM
cùng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách
từ B đến mặt phẳng
( )
SAM
.
Lời giải
Ta có
222 1
ABCD ABC MAB ABC MAB
S S S SS
∆ ∆ ∆∆
= = =⇒==
.
11
. . .sin 1 sin
2
2
ABC
S AB BC ABC ABC
∆
⇒= =⇒ =
.
Do đó
45 45ABC ADM= °⇒ = °
.
Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ADM, ta có:
22
10
2. . .
2
AM AD DM AD DM cos ADM= +− =
Gọi H là giao điểm của AM và BD
( )
SH ABCD
⇒⊥
.
Kẻ BK vuông góc với AM,
K AM BK AM∈⇒⊥
( )
1
.
Ta có
( ) ( ) ( )
SAM SBD SH SH ABCD SH BK∩ =⇒⊥ ⇒⊥
( )
2
.
Từ
( )
1
,
( )
2
( ) ( )
( )
;BK SAM d B SAM BK⇒⊥ ⇒ =
.
Mặt khác
2.
1 4 2 10
..
25
10
MAB
MAB
S
S BK AM BK
AM
∆
∆
= ⇒= = =
.
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ
.'' ' 'ABCD A B C D
có đáy là hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo
2AC BD a= =
. Tam giác A’BD vuông cân tại A’ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng
( )
'A AB
tạo với đáy một góc
60°
. Tính khoảng cách
( )
( )
'; 'd B A BD
.
Lời giải
Gọi H là tâm hình chữ nhật ABCD
⇒
'HA HC A H BD=⇒⊥
(Do
'A BD∆
cân tại A’).
Do
( ) (
) ( )
''A BD ABCD A H ABCD⊥ ⇒⊥
.
Ta có:
1
'
2
A H BD a= =
(trong tam giác vuông đường trung
tuyến ứng cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).
Dựng
(
)
' ' 60HM AB AB A HM A MH⊥⇒⊥ ⇒ =°
+) Khi đó:
tan 60 '
3
a
HM A H HM°= ⇒ =
22
22
3
3
a
AD HM AB a⇒= =⇒=
Do:
( ) ( )
( )
( )
( )
' // ' ' // ' '; ' ; 'AD BC BC ABD d B ABD d C ABD⇒⇒=
.
Ta có:
. 22
3
CD CB a
CE
BD
= =
. Vậy
( )
(
)
22
'; '
3
a
d B A BD
=
.
Dạng 2: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên.
Xét bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ
điểm H đến mặt bên
( )
SAB
.
Dựng
( )
,HE AB E AB⊥∈
ta có:
( )
AB SH
AB SHE
AB HE
⊥
⇒⊥
⊥
(
)
1
.
Dựng
( )
,HF SE F SE⊥∈
. Từ
( )
1
HF AB
⊥
Do đó
( ) ( )
( )
;HF SAB d H SAB HF⊥⇒ =
.
Cách tính: Xét tam giác SHE vuông tại H có đường cao HF ta có:
2 22
1 11
HF HE SH
= +
Hay
22
.HE SH
HF
HE SH
=
+
.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có
,3AB a BC a= =
. Biết
2SA a=
và
( )
SA ABC
⊥
.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
SBC
.
b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
SBM
.
Lời giải
a) Ta có :
AB BC⊥
, mặt khác
( )
BC SA BC SAB⊥⇒ ⊥
.
Dựng
AH SB⊥⇒
( )
AH SB
AH SBC
AH BC
⊥
⇒⊥
⊥
.
Khi đó
( )
( )
22
.2
;
5
SA AB a
d A SBC AH
SA AB
= = =
+
.
b) Dựng
,AE BM AF SE
⊥⊥
ta có:
( )
AE BM
BM SAE BM AF
AE BM
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
.
Khi đó:
( )
AF SE
AF SBM
AF BM
⊥
⇒⊥
⊥
.
Ta có:
22
,2AB a AC AB AC a= = +=
. Do BM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
1
2
BM AC AM AB a ABM= = = = ⇒∆
đều cạnh
a
3
2
a
AE⇒=
.
Khi đó
(
)
( )
22
. 2 57
;
19
AE SA a
d A SBM
AE SA
= =
+
.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh
2a
,
( )
SA ABC⊥
. Đường thẳng SB tạo với đáy
một góc
60°
.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
SBC
.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
SCM
, với M là trung điểm của cạnh AB.
Lời giải
a) Do
( )
(
)
(
)
; 60
SA ABC SB ABC SBA
⊥⇒ ==°
.
Do đó
tan 60 2 3SA AB a= °=
.
Dựng
,AE BC ABC⊥∆
đều nên
3
3
2
AB
a=
.
Dựng
AF SE⊥
, mặt khác
BC SA
BC AF
BC AE
⊥
⇒⊥
⊥
.
( ) ( )
(
)
22
. 2 21
;
7
SA AE a
AF SBC d A SBC AF
SA AE
⇒⊥ ⇒ == =
+
.
b) Do M là trung điểm của AB nên
CM AB⊥
.
Mặt khác
( )
CM SA CM SAM⊥⇒ ⊥
. Dựng
( )
AH SM AH SMC⊥⇒⊥
.
Khi đó
( )
( )
22
.2
;
5
SA AM a
d A SMC
SA AM
= =
+
.
Ví dụ 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Biết
,,
OA a OB b OC c= = =
.
Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng
( )
ABC
.
Lời giải
Do
( )
OC OA
OC OAB AB OC
OC OB
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
.
Dựng
,OE AB OF CE⊥⊥
suy ra
OF BC⊥
.
Khi đó
( ) (
)
(
)
;OF ABC d O ABC OF⊥⇒ =
.
Mặt khác:
2 22
111
OF OC OE
= +
và
222
111
OE OA OB
= +
Do đó
( )
( )
222
2
1 111
;
abc
d O ABC
=++
Vậy
22 22 2 2
abc
d
ab bc ca
=
++
.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SB vuông góc với mặt
phẳng đáy. Cho biết
3, 4, 2
SB a AB a BC a
= = =
. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng
( )
SAC
.
A.
12 61
61
a
B.
4
5
a
C.
12 29
29
a
D.
3 14
14
a
Lời giải
Ta có: BS, BA, BC đôi một vuông góc với nhau nên ta có:
( )
( )
2 2 2 2 22 2
2
1 11 1111 61
9 16 4 144
;
SB AB AC a a a a
d B SAC
=+ + =+ +=
Do đó
( )
(
)
12 61
;
61
a
d B SAC =
. Chọn A.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và
,3AB a BC a= =
. Hình chiếu
vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của cạnh AC. Biết
SH a=
, tính khoảng cách
từ H đến các mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
SAC
.
Lời giải
Dựng
HE AB⊥
và
HF SE⊥
thì ta có
( )
( )
;d H SAB HF
=
.
Mặt khác HE là đường trung bình trong tam giác ABC nên
3
22
BC a
HE = =
.
Khi đó
( )
(
)
22
. 21
;
7
HE SH a
d H SAB HF
HE SH
= = =
+
.
Tương tự dựng
( )
( )
,;HM BC HN SM d H SBC HN⊥ ⊥⇒ =
Mặt khác
22
.
22
5
AB a SH HM a
HM HN
SH HM
==⇒= =
+
.
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có
,2AB a AD a= =
, SA vuông góc với
đáy và
SA a=
.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
SCD
và
( )
SBC
.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
SBD
.
Lời giải
a) Dựng
AN SB⊥
. Do
BC SA
BC AN
BC AB
⊥
⇒⊥
⊥
.
( ) ( )
( )
22
.
;
SA AB
AN SBC d A SBC AN
SA AB
⊥⇒ ==
+
Vậy
( )
(
)
2
;
2
a
A SBC
=
.
Tương tự
( )
( )
22
.2
;
5
SA AD a
d A SCD AM
SA AD
= = =
+
.
b) Dựng
, AFAE BD SE
⊥⊥
.
Ta chứng minh được
( )
( )
;
d A SBD d AF= =
Vì
2222
11 1 1 2
3
a
AS AB AD d
d AB AD SA
⊥ ⊥ ⇒ = + + ⇒=
.
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
2a
. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên
mặt đáy trùng với trung điểm H của AB. Biết
3SD a=
.
a) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng
( )
SCD
.
b) Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng
(
)
SBD
.
Lời giải
a) Ta có:
22
5HD AH AD a= +=
Mặt khác
22
2SH SD DH a= −=
.
Dựng
(
)
( )
,;HM CD HN SM d H SCD HN
⊥ ⊥⇒ =
.
Do AHMD là hình chữ nhật nên
2AD HM a= =
.
Khi đó
( )
( )
22
.
;2
SH HM
d H SCD a
SH HM
= =
+
.
b) Dựng
;HE BD HF SE⊥⊥
khi đó
( )
( )
;d H SBD HF=
Ta có:
2
22 2
22
OA a
AC a OA a HE
= ⇒= ⇒ = =
Do đó
( )
( )
222
111 2 2
;
33
aa
HF d H SBD HF
HF SH HE
= + ⇒=⇒ ==
.
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có tam giác ABC đều cạnh
a
. Gọi H là trung
điểm của AB. Biết SH vuông góc với mặt đáy, mặt phẳng
( )
SCD
tạo với đáy một góc
60
°
. Tính
a) Khoảng cách từ H đến mặt phẳng
( )
SCD
.
b) Khoảng cách từ H đến mặt phẳng
( )
SBC
.
Lời giải
a) Do
đều nên
CH AB CH CD⊥⇒ ⊥
( )
3
60 ,
2
a
CH SHC SCH CH⊥ ⇒ =°=
.
Ta có:
3
tan 60
2
a
SH CH= °=
.
( )
3
,;
4
a
HK BC HK HF SK HF SBC⊥ = ⊥⇒ ⊥
Mặt khác:
22
. 42
14
HK SH a
HF
HK SH
= =
+
.
Khi đó
( )
( )
42
;
14
a
d H SBC =
b) Dựng
HE SC
⊥
ta có:
( )
HE SCD⊥
.
Ta có:
( )
( )
22
.3 3
;
44
HC SH a a
HE d H SCD HE
HC SH
==⇒==
+
.
Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có
2
AD
AB BC
= =
. Mặt
phẳng
( )
SAB
và
( )
SAD
cùng vuông góc với mặt đáy. Biết
2SA a=
và đường thẳng SD tạo với mặt
phẳng
( )
SAC
một góc
30°
. tính
a) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(
)
SCD
.
b) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
SBC
.
Lời giải
a) Do
( ) ( )
(
) ( )
(
)
SAB ABCD
SA ABCD
SAD ABCD
⊥
⇒⊥
⊥
.
Đặt
2
AD
AB BC x
= = =
, gọi E là trung điểm của AC ta có:
1
2
CE AB AD= =
ACD⇒∆
vuông tại C (tính chất trung
tuyến ứng cạnh huyền trong tam giác vuông).
+) Khi đó ta có:
22
2 4, 2SC x a CD x=+=
.
+) Mặt khác:
( )
CD SA
CD SAC
CD AC
⊥
⇒⊥
⊥
.
Do đó
( )
( )
22
22
21
; 30 tan 30 4 4
3
24
DC x
SD SAC DSC x a x a
SC
xa
= = °⇒ °= ⇒ = ⇔ = ⇔ =
+
.
Dựng
( ) ( )
( )
22
.2
;
3
SA AC a
AK SC AK SCD d A SCD AK
SA AC
⊥⇒ ⊥ ⇒ = = =
+
.
b) Dựng
AH SB
⊥
, ta có:
BC SA
BC AH
BC AB
⊥
⇒⊥
⊥
.
Mặt khác:
( )
AH SB AH SBC⊥⇒ ⊥
.
Do đó
( )
( )
22
.2 2
;
55
AB SA a a
AH d A SBC AH
AB SA
==⇒==
+
.
Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD là tam giác vuông cân tại
S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết
2SA a=
và SB tạo với đáy một góc
30°
. Gọi H là trung
điểm của AD. Tính các khoảng cách sau:
a)
( )
( )
;d H SBC
b)
( )
( )
;d H SAC
Lời giải
a) Gọi H là trung điểm của AD ta có:
SH AD⊥
Lại có:
( ) ( ) ( )
SAD ABCD SH ABCD⊥ ⇒⊥
.
Mặt khác:
1
22
2
AD SA a SH AD a= =⇒= =
.
30 tan 30 3SBH HB SH a HB a= °⇒ °= = ⇒ =
Khi đó:
22
2AB HB AH a= −=
Dựng
HE BC
HE SE
⊥
⊥
ta có:
BC HF⊥
từ đó suy ra
( ) ( )
( )
;HF SBC d H SBC HF⊥⇒ =
.
Ta có:
( )
(
)
222
111 6
;
3
a
HF d H SBC
HF SH HE
= + ⇒= =
.
b) Dựng
( )
HN AC AC SHN⊥⇒⊥
, dựng
( )
HI SN HI SAC
⊥⇒⊥
Dựng
22
22 .
2
63
a a HN SH a
DM AC DM HN HI
HN SH
⊥ ⇒ = ⇒ =⇒= =
+
.
Do đó
( )
( )
;
2
a
d H SAC HI= =
Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân
( )
//AD BC
có
,2AB BC CD a AD a= = = =
, SA vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng
( )
SCD
tạo với mặt phẳng
(
)
ABCD
một góc
60°
. Tính cách các khoảng cách sau:
a)
( )
( )
;d A SCD
b)
( )
( )
;d A SBC
Lời giải
a) Gọi O là trung điểm của cạnh AD ta có tứ giác ABCO là hình
bình hành
1
2
AB CO a AD
⇒===
do đó
90ACD AC CD= °⇒ ⊥
mà
SA CD⊥
nên
( )
60
SAC CD SCA⊥⇒ =°
.
+) Ta có:
22
3AC AD CD a= −=
suy ra
tan 60 3SA AC a= °=
+) Dựng
( )
,AE SC AE CD AE SCD⊥ ⊥⇒⊥
.
+) Khi đó
(
) ( ) ( )
( )
1
;; ;
2
d B SCD d O SCD d A SCD= =
.
+) Ta có:
( )
( )
22
.3 3
;
22
SA AC a a
AE d A SCD AE
SA AC
==⇒==
+
.
b) Dựng
( )
,AK BC AH SK AH SBC⊥ ⊥⇒ ⊥
+) Ta có:
( )
( )
;
d A SBC AH=
.
+) Mặt khác:
( )
22 22
. 3 .3
;
2
13
AC CD a AK SA a
AK d C AD AH
AC CD SA AK
= = = ⇒= =
++
Do đó
( )
( )
3
;
13
a
d A SBC AH= =
.
Ví dụ 12: Cho hình lăng trụ đứng
.'' 'ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
, gọi I là trung điểm cạnh
BC, đường thẳng A’C tạo với đáy một góc
60°
.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
'A BC
.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
α
chứa A’I và song song với AC.
Lời giải
a) Do
( ) ( )
( )
' 'C; 'AA ABC A ABC A CA⊥⇒ =
.
Ta có:
' 60 ' tan 60 3A CA AA AC a= °⇒ = °=
Dựng
( )
'
AI BC BC A AI⊥⇒⊥
và
3
2
a
AI =
Dựng
( )
( )
' ;'AH A I d A A BC AH⊥⇒ =
Ta có:
22
. ' 15
5
'
AI AA a
AH
AI AA
= =
+
Vậy
( )
( )
15
;'
5
a
d A A BC AH= =
b) Dựng
(
)
(
)
// '
Ix AC A Ix
α
⇒≡
Khi đó:
( )
( )
( )
( )
; ;'dA dA AIx
α
=
, Ix cắt AB tại trung điểm M và AB.
Dựng
,'AK Ix AE A K⊥⊥
Do
/ / 60IM AC AMK MAC⇒==°
suy ra
3
sin sin 60
24
aa
AK AM AMK= = °=
Ta có:
( )
(
)
22
. ' 51
;'
17
'
AK A A a
d A A IK AE
AK A A
= = =
+
Ví dụ 13: Cho hình lăng trụ
.'' 'ABC A B C
có đáy là tam giác vuông cân tại A với
3AB AC a= =
. Hình
chiếu vuông góc của B’ lên mặt đáy là điểm H thuộc BC sao cho
2HC HB=
. Biết cạnh bên của lăng trụ
bằng
2a
.
a) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng
( )
'B AC
.
b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng
( )
''BAA B
.
Lời giải
a) Ta có:
22
32 2BC AB AC a HB a= + = ⇒=
Lại có
22
'' 2B H BB HB a
= −=
Dựng
( )
,' 'HE AC HF B E HF B AC⊥ ⊥ ⇒⊥
Áp dụng định lý Talet trong tam giác BAC ta có:
22
2 .' 2
2
3
3
'
HE CH HE B H a
HE a HF
AB BC
HE B H
= =⇒=⇒= =
+
Do có:
( )
( )
2
;'
3
a
d H B AC HF= =
b) Dựng
,'HM AB HN B M⊥⊥
Khi đó
(
)
(
)
;'
d H B BA HN=
.
Ta có:
22
'. 6
33
'
AC HB HM a
HM a HN
HB HM
==⇒= =
+
.
Dạng 3: Khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến mặt bên.
Nếu
( )
//
AB
α
thì ta có
( )
( )
( )
(
)
;;dA dB
αα
=
.
Nếu AB cắt
( )
α
tại I thì ta có:
( )
(
)
( )
( )
;
;
dA
AI
BI
dB
α
α
=
(định lý Talet).
Xét bài toán: Tính khoảng cách từ điểm C bất kỳ đến mặt phẳng bên
( )
SAB
.
Nếu
( ) ( )
( )
( )
( )
// ; ; .CH SAB d C SAB d H SAB⇒=
Nếu
( )
( )
( )
( )
( )
;
.
;
d C SAB
CI
CH SAB I
HI
d H SAB
∩=⇒ =
Quay trở về bài toán tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt phẳng bên.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có
,2= =
AB a BC a
. Tam giác SAC cân tại
S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết
3a
SB
2
=
, tính:
a) Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng
( )
SAB
.
b) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
SBC
.
Lời giải
a) Gọi H là trung điểm của AC
SH AC⇒⊥
Mặt khác
( ) ( ) ( )
SAC ABC SH ABC⊥ ⇒⊥
Ta có:
22
5
22 2
AC AB BC a
BH
+
= = =
(trong tam giác vuông thì trung
tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).
Do đó
22
SH SB BH a= −=
Dựng
,HE AB HF SE
⊥⊥
khi đó
( )
HF SAB⊥
Do vậy
( )
( )
;d H SCD HF=
. Lại có
BC
HE a
2
= =
Mặt khác
2 22
22
1 1 1 SH.HE a 2
HF
HF HE SH 2
SH HE
= + ⇒= =
+
Lại có
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
d C; SAB
CA
2 d C; SAB 2d H; SAB a 2
HA
d H; SAB
==⇒= =
.
b) Dựng
( )
( )
HM BC,HN SM d H; SBC HN⊥ ⊥⇒ =
.
Trong đó
22
AB a SH.HM a
HM HN
22
5
SH HM
==⇒= =
+
Lại có
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
d A; SBC
AC 2a
2 d A; SBC 2d H; SBC 2HN
HC
d H; SBC
5
==⇒= ==
.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có
( )
SA ABC⊥
, đáy là tam giác đều cạnh a. Biết
SB a 5=
.
a) Tính khoảng cách từ trung điểm K của SA đến mặt phẳng
( )
SBC
.
b) Tính khoảng cách từ trung điểm I của SB đến mặt phẳng
( )
SAC
.
Lời giải
a) Dựng
a3
AM BC AM ACsinC a sin 60
2
⊥ ⇒ = = °=
Dựng
AN SM⊥
. Do
BC SA
BC AN
BC AM
⊥
⇒⊥
⊥
Lại có
( )
AN SM AN SBC⊥⇒⊥
Mặt khác
22
22 2
111
SA SB AB 2a,
AN SA AM
= −= =+
( )
( )
2a 57
d A; SBC AN
19
⇒==
Do K là trung điểm của SA nên ta có
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
d K; SBC
KS 1 1 a 57
d K; SBC AN
AS 2 2 19
d A; SBC
==⇒==
.
b) Dựng
a3
BE AC BE
2
⊥⇒=
Mặt khác
( ) ( )
( )
a3
BE SA BE SAC d B; SAC BE
2
⊥⇒⊥ ⇒ ==
Do
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
d B; SAC
BS 1 a 3
2 d I; SAC d B; SAC
IS 2 4
d I; SAC
==⇒= =
.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 3a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt
phẳng đáy và điểm H thuộc cạnh AB sao cho HB=2HA. Biết SC tạo với đáy một góc
45°
. Tính các khoảng
cách sau:
a)
( )
( )
d B; SAC
b)
(
)
( )
d I; SBC
Lời giải
a) Tam giác ABC đều nên
HAC 60= °
.
Ta có:
22
HC AH AC 2AH.ACcos 60 a 7= + − °=
Mặt khác
(
)
( )
SC; ABC SCH 45 SH HC a 7= = °⇒ = =
Ta có:
( )
( )
( )
( )
d B; SAC
BA
HA
d H; SAC
=
( )
( )
( )
( )
d B; SAC 3d H; SAC⇒=
Dựng
( )
HE AC,HF SE HF SAC⊥ ⊥⇒⊥
Ta có:
a3
HE HAsin 60 a sin 60
2
= °= °=
( )
(
)
22
HE.SH a 651 3a 651
HF d B; SAC 3HF
31 31
SH HE
⇒= = ⇒ = =
+
b) Ta có:
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
d A; SBC
AB 3 3
d A; SBC d H; SBC
HB 2 2
d H; SBC
==⇒=
Dựng
(
)
( )
HM BC,HN SM d H; SBC HN⊥ ⊥⇒ =
Mặt khác
22
SH.HM a 210
HM HBsin 60 2a sin 60 a 3 HN
10
SH HM
= °= °= ⇒ = =
+
Do đó
( )
( )
3 3a 210
d A; SBC HN
2 20
= =
.
Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh. Cạnh bên tạo với đáy góc
60°
.
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
SBC
.
Lời giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
( )
SG ABC⇒⊥
Gọi M là trung điểm của BC
⇒
BC GM⊥
, lại có:
BC SG⊥
suy ra
(
)
BC SGM
⊥
.
Dựng
GE SM⊥⇒
GE SM
GE (SBC)
GE BC
⊥
⇒⊥
⊥
Do đó
( )
( )
d G; SBC GE=
trong đó
1 1a3 a3 2 a3
GM AM . ,GA AM
3 32 6 3 3
= = = = =
Do
( )
( )
SG (ABC) SA; ABC SAG 60⊥⇒ ==°
a3
SG GA tan 60 tan 60 a
3
⇒ = °= °=
Do đó
22
SG.GM a
GE
13
SG GM
= =
+
, mặt khác
( )
( )
( )
( )
d A; SBC
AM
3
GM
d G; SBC
= =
Vậy
( )
( )
( )
(
)
3a
d A; SBC 3d G; SBC
13
= =
.
Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, tâm O, SO=a
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
SCD
.
b) Tính khoảng cách từ trung điểm của SO đến mặt phẳng
( )
SCD
.
Lời giải
a) Dựng
( )
( )
OE SE,OF SE d O; SCD =OF⊥ ⊥⇒
Mặt khác
0
22
AD SO.OE a 2
OE a d =OF=
22
SO OE
==⇒=
+
Lại có:
( )
(
)
( )
( )
(
)
(
)
o
d A; SCD
2 d A; SCD 2d a 2
d O; SCD
=⇒==
b) Gọi M là trung điểm của SO thì
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
o
d M; SCD
MS 1 1 a 2
d M; SCD d
OS 2 2 4
d O; SCD
==⇒==
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, biết
BAD 120= °
và
SO (ABCD)⊥
. Biết
SO a 3=
, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
SCD
.
Lời giải
Dựng
(
)
(
)
OE CD,OF SE d O; SCD =OF⊥ ⊥⇒
Do
BAD 120 CAD 60 CAD= °⇒ = °⇒∆
là tam giác đều cạnh a
Khi đó
a 3 a3
OCE 60 OE OCsin 60 .
22 4
= °⇒ = °= =
Do đó
(
)
( )
22
SO.OE a 51
OF d O; SCD
17
SO OE
= = =
+
Mặt khác
( )
(
)
( )
( )
d A; SCD
AC
2
OC
d O; SCD
= =
( )
( )
2a 51
d A; SCD 2OF
17
⇒==
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
AB 3AD 3= =
. Hình chiếu vuông góc của
đỉnh S lên mặt phẳng
( )
ABCD
là điểm
H AB∈
sao cho
HB 2HA=
. Biết
SH 3=
a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng
( )
SAD
.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
SCD
.
Lời giải
a)
AB 3 HA 1
=⇒=
Dựng
HE SA⊥
. Ta có:
AD SH
AD HE
AD AB
⊥
⇒⊥
⊥
Khi đó
( )
( )
(
)
22
HA.SH 3
HE SAD d H; SAD HE
2
HA SH
⊥⇒ == =
+
Mặt khác
( )
( )
B
H
H
d
BA 3 3
3 d B; SAD 3d
d HA 2
==⇒==
b) Do
(
) ( )
( )
( )
( )
AH / /CD AH / / SCD d A; SCD d H; SCD
⇒⇒=
Dựng
( )
( )
HK CD,HF SK d H; SCD =HF⊥ ⊥⇒
Mặt khác
22
SH.HK 3
HK AD 1,SH 3 HF
2
SH HK
= = =⇒= =
+
Vậy
( )
( )
3
d A; SCD
2
=
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, hình chiếu của đỉnh S trên
mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh OA. Biết góc giữa mặt phẳng
( )
SCD
và đáy bằng
60°
. Tính
khoảng cách:
a)
( )
( )
d B; SCD
b)
( )
( )
d A; SBD
Lời giải
a) Dựng
( )
HK CD CD SHK⊥⇒⊥
( ) (
)
( )
SCD ; SHK SKH 60= = °
. Ta có:
3 3a
HK AD
44
= =
Mặt khác
3a 3
SH HK tan 60
4
= °=
Ta có:
( )
AB / /CD AB / / SCD
⇒
Lại có:
( )
( )
( )
( )
d A; SCD
AC 4
HC 3
d H; SCD
= =
Do đó:
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
4
d B; SCD d A; SCD d H; SCD
3
= =
Dựng
3a 3
HE SK HE HK sin HKE HK sin 60
8
⊥ ⇒ = = °=
Vậy
( )
(
)
4 4 3 3a 3a
d B; SCD HE .
3 38 2
= = =
b) Ta có:
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
d A; SBD
AO 1 a 2
2 d A; SBD 2d H; SBD , HO AC
HO 4 4
d H; SBD
==⇒= ==
Dựng
22
HO.SH 3a 696
HF SO HF
232
HO SH
⊥⇒= =
+
Vậy
( )
( )
d A; SBD
3a 696
2HF
232
= =
Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD tâm O,
SA 2a 2=
. Hình chiếu vuông góc của
S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh OA, biết tam giác SBD vuông tại S. Tính khoảng
cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)
Lời giải
Ta có ∆SBD vuông tại S nên
11
SOBDAC
22
= =
SAC⇒
vuông tại S ta có:
22
SA HA.AC 4HA= =
22
8a 4HA HA a 2 AC 4a 2⇔= ⇔= ⇔=
AB AC 4a⇒==
Khi đó:
22
SH SA HA a 6= −=
Do
( )
( )
( )
( )
AD / /BC d D; SBC d A; SBC⇒=
Mặt khác
( )
( )
( )
( )
d A; SBC
AC 4
HC 3
d H; SBC
= =
Do đó
(
)
( )
( )
(
)
4
d D; SBC d H; SBC
3
=
. Dựng
( )
HE BC, HK SE HK SBC⊥ ⊥⇒ ⊥
.
Ta có
( )
( )
22
3 HE.SH 6a 4 8a 4a 10
HE AB 3a HK d D; SBC HK
4 35
10 10
HE SH
= =⇒= = ⇒ = = =
+
Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB là đáy lớn và tam
giác ABC là tam giác đều. Các mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
SAC
cùng vuông góc với đáy, cạnh bên
SC 2a=
và khoảng cách từ C đến mặt phẳng
( )
SAB
bằng a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
(SBC).
Lời giải
Ta có:
( )
(
)
( )
( )
SAB ABC
SA (ABC)
SAC ABC
⊥
⇒⊥
⊥
Gọi M là trung điểm của AB suy ra
( )
CM AB CM SAB⊥⇒ ⊥
Do đó
(
)
(
)
d C; SAB CM a
= =
22
SM SC CM a 3⇒= − =
Gọi K là trung điểm của BC nên
AK CM a
= =
Lại có
3 2a
CM AB AB
2
3
= ⇒=
a 2a 6
AM SA
33
⇒ =⇒=
. Kẻ
AH SK,H SK⊥∈
nên
( ) ( )
( )
AH SBC d A; SBC AH⊥⇒ =
Khi đó
2
22 2 2
1 1 1 1 1 2a 22
AH
AH SA AK a 11
2a 6
3
= + = +⇒ =



Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là lục giác đều cạnh a. Tam giác SAD vuông cân tại S và thuộc
mặt phẳng vuông góc với đáy
( )
ABCD
.
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD).
Lời giải
a) Gọi H là trung điểm của AD
SH AD⇒⊥
Mặt khác
( ) ( )
SAD ABCD⊥
( )
SH ABCD⇒⊥
SAD∆
vuông cân tại S nên
AD
SH a
4
= =
Dễ thấy HC=AB=a
HCD⇒∆
đều cạnh a
Dựng
(
)
( )
HE CD, HF SE d H; SCD =HF⊥ ⊥⇒
Mặt khác
22
a 3 SH.HE a 21
HE HF
27
SH HE
= ⇒= =
+
Do D=2HD
⇒
( )
( )
2a 21
d A; SCD 2HF
7
= =
b) Dễ thấy HDCB là hình thoi cạnh a
Do đó
( ) ( )
( )
( )
( )
a 21
BH / /CD BD / / SCD d B; SCD d H; SCD HF
7
⇒⇒===
Ví dụ 12: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân
AC BC a, AB a 3= = =
, hình
chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Biết mặt phẳng
( )
B'C'CB
tạo với đáy một góc
60°
. Tính các khoảng cách:
a)
(
)
(
)
d A; A 'BC
.
b)
(
)
(
)
d C; ABB'A '
.
Lời giải
a) Gọi I là trung tâm của AB ta có:
CI AB⊥
Dựng
( )
GE BC A 'EG BC⊥⇒ ⊥
Ta có:
A 'EG 60= °
GA ' GE tan 60⇒= °
22
aa
CI BC IB CG
23
= −=⇒=
Mặt khác:
3
sin ICB ICB 60
2
=⇒=°
Khi đó:
a3
GE CG sin 60
6
= °=
a
A 'G GE tan 60
2
⇒ = °=
Dựng
GF A 'E⊥
ta có:
( ) (
)
( )
GF A 'BC d G; A 'BC =GF⊥⇒
Ta có:
( )
( )
( )
( )
a 3 3 3a
d A; A 'BC 3d G; A ' BC 3GF 3GE sin 60 3 .
62 4
= = = °= =
b) Do
( )
(
)
(
)
(
)
CI 3GI d C; B'AB 3d G; B' AB=⇒=
Dựng
( )
( )
22
GI.A 'G
GK A'I d G; A'AB
GI A 'G
⊥⇒ =
+
Trong đó
( )
( )
1 a a a 10 3a 10
GI CI , A'G GK d C; A 'AB
3 6 2 20 20
= = =⇒= ⇒ =
Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
AB AD 2a, BC a= = =
,
tam giác SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), biết cạnh
bên
SD 3a
=
, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD
Lời giải
Gọi H là trung điểm của AB ta có:
SH AB⊥
mặt khác
( ) ( )
ABC (ABCD) SH ABCD⊥ ⇒⊥
Ta có:
22
HD AH AD a 5= +=
. Khi đó:
22
SH SD HD 2a= −=
Gọi
KB BC 1 4
K AB CD AK HK
KA AD 2 3
=∩⇒ = =⇒ =
Ta có:
( )
( )
( )
(
)
44
d A; SCD d H; SCD HF
33
= =
. Dựng
( )
HE CD, HF SE HF SCD⊥ ⊥⇒ ⊥
Ta có:
( )
2
2
CD AB AD BC a 5= +− =
;
22
2
HCD ABCD HBC HAD
3a 3a
S S S S 3a
22
= − − =−=
Do vậy
( )
2
HCD
22
2S
3a 3a SH.HE 6a 8a
HE HF d A;SCD
CD
a 5 5 29 9
SH HE
= = =⇒= = ⇒ =
+
.
Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh a, AD=2a, tam giác SAB cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SD tạo với đáy một góc
ϕ
thỏa mãn
1
tan
13
ϕ=
. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD.
Lời giải
Gọi H là trung điểm của AB ta có:
SH AB⊥
Mặt khác
( ) ( ) ( )
SAB ABCD SH ABCD⊥ ⇒⊥
Ta có:
22
2 2 2 22
a 13a
HD AH AD 2AD.AH.cos HAD 4a 2a .cos 60
44
= + − = + − °=
a 13
HD
2
⇒=
Ta có:
a
SDH SH HD tan
2
=ϕ⇒ = ϕ=
Gọi
AF 4
F AB CD AF 2AB
HF 3
=∩⇒= ⇒ =
Do đó:
( )
( )
( )
( )
44
d A; SCD d H; SCD HK
33
= =
Mặt khác
3a 3 3a 3
HE HFsin 60 .
22 4
= °= =
( )
(
)
22
HE.SH 3a 93 4 2a 93
HK d A; SCD HK
62 3 61
SH HE
⇒= = ⇒ = =
+
Dạng 4: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng
( )
α
song song với nhau là khoảng cách từ một điểm M
bất kì thuộc đường a đến mặt thẳng
(
)
α
.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
d a; d M; MH Mα= α= ∈α
.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng kia.
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
( )
( )
(
)
d;da;dA;AHa,Aa
α β= β= β= ⊂α ∈
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên SBC vuông góc với đáy ABC, Gọi
M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, SA, AC. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
( )
MNP
và
( )
SBC
.
Lời giải
Do
( ) ( )
MP / /BC
MNP SBC
MN / /SB
⇒⊥
Dựng
( )
SH BC H BC⊥∈
. Mặt khác
( ) ( )
SBC ABC⊥
Do đó
( )
SH ABC⊥
Gọi M là trung điểm của BC
AM BC⇒⊥
Gọi
K AE MP KE BC=∩⇒⊥
Mặt khác
KE SH KE (SBC)⊥⇒⊥
Suy ra
( )
( )
(
)
( )
( )
AE a 3
d MNP ; SBC d K; SBC KE
24
= = = =
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABC có cạnh đáy băng 2a và cạnh bên đều bằng
a5
. Tính khoảng
cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng
( )
SAB
.
Lời giải
Gọi O là tâm của đáy ABCD
( )
SO ABCD⇒⊥
Ta có:
AC
OA a 2
2
= =
22
SO SA OA a 3⇒= − =
Mặt khác
( )
( )
(
)
( )
d CD; SAB d D; SAB=
Ta có:
( )
(
)
( )
( )
d D; SAB
DB
2
OB
d O; SAB
= =
Dựng
OE AB,OF SE
⊥⊥
ta có:
AD
OE a
2
= =
Khi đó:
( )
( )
22
SO.OE
d D; SAB 2OF 2. a 3
SO OE
= = =
+
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy bằng a. Hình chiếu vuông góc
của A’ trên
(
)
ABC
trùng với trung điểm của BC.
a) Tính khoảng cách từ AA’ đến các mặt bên
( )
BCC 'B'
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ.
Lời giải
a) Gọi H là trung điểm của BC ta có:
A 'H BC⊥
Do
ABC∆
đều nên
( )
AH BC BC A 'HA⊥⇒⊥
Dựng
HK AA '
⊥
thì
( )
HK BB'
KH BCC'B'
KH BC
⊥
⇒⊥
⊥
Do đó
( )
( )
( )
( )
d AA '; BCC 'B' d K; BCC'B' KH= =
Lại có:
22
a3 a
AH ,AA ' a A'H A 'A AH
22
= =⇒= − =
Suy ra
AA'.AH a 3
HK
AA' 4
= =
Do đó
( )
( )
a3
d AA '; BCC 'B'
4
=
.
b) Ta có:
(
) ( )
( )
( )
(
)
a
d ABC ; A'B'C' d A'; ABC A'H
2
= = =
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm của AD, DC và A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
( )
MNP
và
( )
ACC'
.
Lời giải
Ta có:
(
) ( )
MN//AC,NP//AA' MNP // ACC'A'⇒
Gọi O là tâm hình vuông ABCD và
I DO MN= ∩
Ta có:
( )
IO AC
IO ACC 'A '
IO AA '
⊥
⇒⊥
⊥
Do đó
( ) (
)
( )
( )
( )
d MNP ; ACC'A ' d I; ACC 'A' IO
= =
Lại có:
OD BD a 2
IO
24 4
= = =
Vấn đề 2: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Đường vuông góc chung và đoạn vuông góc chung hai đường chéo nhau.
- Đường thẳng
∆
cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được
gọi là đường vuông góc chung của a và b.
- Đường thẳng vuông góc chung
∆
cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt tại M và N thì độ dài
đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Cách xác định đoạn vuông góc chung của 2 đường chéo nhau.
Cho 2 đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi
( )
β
là mặt phẳng chứa b và
song song với a, a’ là hình chiếu vuông góc của a trên
( )
β
.
Vì
( )
a// β
nên
a / /a'
. Gọi
N a' b= ∩
và
( )
α
là mặt phẳng chứa a và
a’. Dựng đường thẳng
∆
qua N và vuông góc chung và MN là đoạn
vuông góc chung của a và b.
Nhận xét:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến
mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song với nó
và chứa đường thẳng còn lại.
Dạng 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau.
Phương pháp giải: Dựng đường vuông góc chung. Khảo sát khối
chóp đỉnh S có đường cao SH, yêu cầu tính khoảng cách giữa 2
đường chéo nhau d (thuộc mặt đáy) và đường thẳng SC thuộc bên
khối chóp trong trường hợp
d SC
⊥
.
Dựng hình: Hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng đáy
là HC
Mặt khác:
( )
SC d
d SHC
SH d
⊥
⇒⊥
⊥
Gọi
M d HC= ∩
, dựng
MK SC
⊥
khi đó MK là đoạn vuông góc chung của AC và SC
Cách tính: Dựng
HE SC
⊥
khi đó
MK MC MC
MK .HE
HE HC HC
=⇒=
Xét tam giác vuông SHC ta có:
( )
222
111
HE MK d d;SC
HE SH HC
= + ⇒= =
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và
SA (ABCD)⊥
. Biết rằng SC tạo với
mặt đáy một góc
60°
a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SD
b) Tính khoảng cách giữa BD và SC.
Lời giải
a) Ta có:
AC a 2=
. Do
( )
SA ABCD⊥
và SC tạo với đáy góc
60°
nên
SCA 60= °
Khi đó
SA AC tan 60 a 6= °=
Do
AB AD
AB (SAD)
AB SA
⊥
⇒⊥
⊥
Dựng
AH SD⊥
suy ra AH là đoạn vuông góc chung của AB và SD
Ta có:
22
SA.AB a 42
7
SA AB
=
+
b) Ta có:
BD SC⊥
tại O và
BD SA⊥
( )
BD SAC⇒⊥
Dựng
OK SC⊥
OK BD⇒⊥
nên OK là đoạn vuông góc chung của BD và SC
Do đó
( )
a2 a6
d BD;SC OK OCsin OCK sin 60
24
= = = °=
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, gọi I là trung điểm của AB. Hình chiếu vuông
góc của S trên mặt đáy là trung điểm CI. Biết chiều cao của khối chóp là
h a3=
. Tính khoảng cách d giữa
đường thẳng AB và SC.
Lời giải
a) Ta có:
CI AB
AB (SIC)
SH AB
⊥
⇒⊥
⊥
Dựng
IF SC⊥
khi đó IF là đoạn vuông góc chung của AB và SC.
Dựng
HE SC⊥
ta có:
1
HE IF
2
=
Lại có
a3 a3
CI CH
24
= ⇒=
Khi đó
22
SH.HC a 51 2a 51
HE IF
17 17
SH HC
= = ⇒=
+
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD cạnh a và
( )
SA ABCD⊥
. Biết mặt
phẳng
( )
SBC
tạo với đáy một góc
60°
a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và CD.
b) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng BD và SC.
Lời giải
a) Do:
BC AB
BC (SAB) BC SB BC
BC SA
⊥
⇒⊥ ⇒⊥⇒
⊥
là đoạn vuông
góc chung của SB và CD.
Ta có:
( )
d SB; CD BC a= =
c) Mặt khác
( )
BC SAB⊥
Do đó
( ) ( )
( )
SBC ; ABCD SBA 60= = °
Suy ra
SA AB tan 60 a 3= °=
Gọi O là tâm hình vuông ABCD ta có
BD AC
BD (SAC)
BD SA
⊥
⇒⊥
⊥
Dựng
OM SC⊥
khi đó OM là đường vuông góc chung của BD và SC
Ta có
( )
22
a2
a 3.
SC SA SA.OC a 6 a 30
2
CAS CMO g g OM
CO MO SC 10
25
SA AC
∆ ∆ −⇒ = ⇒ = = = =
+
Cách 2: Dựng
1
AN SC OM AN
2
⊥⇒ =
. Mặt khác
222
1 1 1 a 30
AN
AN SA AC 5
= + ⇒=
Khi đó
1 a 30
d OM AN
2 10
= = =
Ví dụ 4: Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và
thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d giữa 2 đường thẳng SA và BC.
Lời giải
Gọi H là trung điểm của BC khi đó
SH BC
⊥
Mặt khác
(SBC) (ABC)⊥
do đó
SH (ABC)⊥
Ta có:
a
SH =
3
2
và
a BC a
AB AC ;AH= = = =
22
2
Do
BC AH
BC (SHA)
BC SH
⊥
⇒⊥
⊥
. Dựng
HK SA
⊥
khi đó
HK là đoạn vuông góc chung của BC và SA.
Lại có:
SH.AH a
HK
SH HA
= =
+
22
3
4
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân AB = BC = 3a, hình chiếu vuông góc
của B’ lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (ABB’A’) tạo với mặt phẳng (ABC)
một góc 60°. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và B’C.
Lời giải
Dựng
CI AB I⊥⇒
là trung điểm của AB.
Ta có:
(B'GI) AB B'IG⊥⇒ =60
Lại có:
aa
CI AB GI= = ⇒=
1 32 2
22 2
a
B'G GI tan⇒= =
6
60
2
Dựng
B'G.C I
IH B'C d(AB;B 'C) IH
B'C
⊥⇒ ==
Ta có:
aa
B'C B'G GC IH= + = ⇒=
22
14 3 42
2 14
Do đó
a
d(AB; B 'C) IH= =
3 42
14
Hoặc dựng :
B'G.GC
GK / /IH IH GK .
B'G GC
⇒= =
+
22
33
22
Dạng 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau không vuông góc.
Phương pháp giải : Dựng đường thẳng chứa a và song song với b (hoặc đường thẳng chứa b và song song
với a) để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Khảo sát khối chóp đỉnh S có đường cao SH, yêu cầu tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d
(thuộc mặt đáy) và đường thẳng SC thuộc mặt bên của khối chóp trong trường hợp d không vuông góc
với SC.
Dựng hình: Tìm giao điểm C của cạnh bên SC và mặt đáy
(giao điểm của cạnh thuộc mặt bên và mặt đáy). Từ C ta dựng
đường thẳng
xCy d
Khi đó d(d;SC) = d(d;(Sxy))
Gọi
M d HC d d(M;(Sxy))=∩ ⇒=
Ta có :
d(M;(Sxy)) MC MC
d(M;(Sxy)) .d(H;(Sxy))
d(H;(Sxy)) HC HC
=⇒=
Chú ý: Để tính d(d;(Sxy)) ta có thể lấy bất kỳ điểm nào
thuộc d (không nhất thiết là điểm M) sao cho việc quy đổi
khoảng cách cần tìm về khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt phẳng (Sxy) dễ dàng nhất.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vuông tại B có
AB = a,
BC a= 3
. Biết
a
SA
=
2
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB.
Lời giải
a) Dựng
Bx / /AC,AE Bx (SAE) Bx⊥⇒ ⊥
Dựng
AF SE d(AC;SB) AF⊥⇒ =
Dựng
BH AC⊥
dễ thấy
a
AE BH= =
3
2
Ta có:
AE.SA a
AF
SA AE
= =
+
22
30
10
b) Dựng
Cy/ /AB d(AB,SC) d(AB, (SCy))⇒=
Dựng
AM Cy, AN SM d(AB;(SCy)) AN⊥ ⊥⇒ =
Lại có :
AM.SA a
AM BC a AN
SA AM
== ⇒= =
+
22
21
3
27
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của B’ lên
mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB, góc giữa mặt phẳng (BCC’B’) và mặt phẳng đáy bằng
60
. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AA’ và BC.
Lời giải
Dựng
HK BC BC (B'HK) B'KH⊥⇒⊥ ⇒ =60
Ta có :
a
HK HBsin= =
3
60
4
a
B'H HK tan⇒= =
3
60
4
Do
AA '/ / BB' d(AA ';BC) d(AA ';(B'C 'C))⇒=
d(A;(B'C'CB)) d(H;(B'C'CB)) HE= =22
Ta có :
HK.B'H a
HE
B'H HK
= =
+
22
3
8
. Do đó
a
d =
3
4
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = 2a, hình chiếu vuông
góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AB, biết
SA a=
2
. Tính khoảng cách
d giữa 2 đường thẳng SA và BC.
Lời giải
Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Khi đó
SH (ABC)⊥
và
SH SA HA a= −=
22
Dựng
Ax / /BC d(SA;BC) d(B;(SAx))⇒=
Dựng
HK Ax (SHK) Ax
⊥⇒ ⊥
Dựng
HE SK d(B;(SAx)) d(H;(SAx))⊥⇒ =2
Ta có :
a
HK AHsin HAK= =
2
SH.HK a
d(H;(SAx)) HE
SH HK
⇒== =
+
22
3
Do đó
a
d(SA; BC) =
2
3
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB a= 3
, AC = a, tam giác SBC là
tam giác vuông cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách d
giữa hai đường thẳng SB và AC.
Lời giải
Gọi H là trung điểm của BC. Ta có
SH BC⊥
Mặt khác
(SBC) (ABC) SH (ABC)⊥ ⇒⊥
Ta có :
BC AB AC a SH BC a
= + =⇒= =
22
1
2
2
Dựng
Bx / /AC d(AC;SB) d(AC;(SBx))⇒=
d(C;(SBx)) d= =
Dựng :
HK Bx,HE SK HE (SBx)
⊥ ⊥⇒⊥
d(C;(SBx)) d(H;(SBx)) HE= =22
Ta có :
AB a SH.HK a
HK HE
SH HK
= = ⇒= =
+
22
3 21
22 7
Do đó :
a
d d(H;(SBK))= =
2 21
2
7
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a,
SA (ABCD)⊥
. Gọi M là trung điểm của
cạnh CD, biết
SA a= 5
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BM
Lời giải
Dựng
DN BM N⇒
là trung điểm của AB.
Khi đó
d(SD;BM) d(BM;(SDN))=
d(B;(SDN)) d(A;(SDN))
= =
Dựng
AE DN DN (SAE)⊥⇒⊥
, dựng
AF SE⊥
Khi đó
AF SE
AF (SDN)
AF DN
⊥
⇒⊥
⊥
Ta có :
AN.AD a
AE
AN AD
= =
+
22
2
5
Do vậy
AE.SA a
d(B;(SDN)) d(A;(SDN)) AF a.
AE SA
= = = = =
+
22
5 2 145
2
29 29
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a và
SA (ABC)⊥
. Gọi M
là trung điểm của AC. Biết góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
60
. Tính khoảng cách d giữa 2
đường thẳng AB và SM theo a.
Lời giải
Ta có :
AB BC
BC (SAB) SBA
BC SA
⊥
⇒⊥ ⇒
⊥
là góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và
(ABC)
Ta có :
SA ABtanSBA a
= = 23
. Dựng Mx//AB
Khi đó
d(AB;SM) d(AB;(SMx)) d(A;(SMx))= =
Dựng
AE Mx;AF SE⊥⊥
khi đó
d(A;(SMx)) AF
=
Do AE//BC nên
EAM ACB= = 45
Suy ra
AE AMcos a= =45
Do đó
SA.AE a
AF d
SA AE
= = =
+
22
2 39
13
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
SA (ABCD)
⊥
, đường thẳng SC tạo với đáy
góc
45
. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AC
Lời giải
Ta có :
AC a ;SCA (SC;(ABCD)= = =2 45
SA AC a⇒==2
Dựng
Bx / /AC d(AC;SB) d(AC;SBx)
⇒=
Dựng
AE Bx, AF SE d AF⊥ ⊥ ⇒=
Ta có :
BE / /AC BE BD⇒⊥
dễ dàng suy ra
OEBO là hình chữ nhật suy ra
a
AE OB= =
2
2
AE.SA a
d
AE SA
= =
+
22
10
5
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a,
BC a=
3
. Hình chiếu vuông
góc H của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thỏa mãn
HA HB= 2
 
. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và
mặt phẳng (ABCD) bằng
60
. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BD.
Lời giải
Dựng
HK CD SKH⊥⇒ =60
Ta có :
SH HK.tan BC.tan a= = =60 60 3

Dựng
Ax / /BD d(SA; BD) d(BD;(SAx))⇒=
d(B;(SAx)) d(H;(SAx))= =
3
2
Dựng
HE Ax, HF SE d(H;(SAx)) HF⊥ ⊥⇒ =
Ta có :
tan ABD HAE ABD=⇒==3 60
aa
HE HA.sin .⇒= = =
23 3
60
32 3
Do đó
SH.HE a a
HF d(SA;BD)
SH HE
= =⇒=
+
22
39
27 47
Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
()SA ABCD⊥
. Biết mặt phẳng (SBC) tạo
với đáy một góc
60
và M là trung điểm của SD. Tính khoảng cách d giữa 2 đường thẳng AB và CM.
Lời giải
Ta có:
()
BC AB
BC SAB SBA
BC SA
⊥
⇒⊥ ⇒
⊥
là góc giữa 2 mặt phẳng
(SBC) và (ABC)
Ta có:
tan 3SA AB SBA a= =
Do AB//CM do đó d(AB;CM) = d(AB;(CMD))
Dựng
AH SD
⊥
khi đó d(A;(SCD)) = AH
Lại có:
22
SA.AD 3
(; )
2
a
AH d AB CM
SA AD
= = =
+
Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính d là khoảng cách giữa 2 đường
thẳng AC và C’D.
Lời giải
Dễ thấy AB’//C’D do đó
d(AC;C’D) = d(C’D;(ACB’))
Khi đó d = d(D;(B’AC)). Mặt khác OB = OD (với O là tâm hình vuông
ABCD)
Khi đó d(D;(B’AC)) = d(B;(B’AC))
Do
( ')
'
BD AC
AC BB O
AC BB
⊥
⇒⊥
⊥
, dựng
'BH B O⊥
Suy ra
22
.'
(' )
3
'
BO BB a
H B AC h BH
BO BB
⊥ ⇒= = =
+
Ví dụ 11: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD = 3HB. Biết góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt
phẳng đáy bằng
45
. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BD.
Lời giải
Dựng
()HK CD CD SHK⊥⇒⊥
do vậy
( ; ) 45SCD ABCD SKH= =
Ta có:
∆
HKD vuông cân tại K do vậy
33
tan 45
22
aa
HK KD SH HK
==⇒= =
Dựng
//Ax BD
ta có:
(;)(;())(;())
d SA BD d BD SAx d H SAx= =
Dựng
2HE Ax HE OA a⊥⇒ = =
Dựng
()
HF SE HF SAx⊥⇒ ⊥
Ta có:
22
. 3 34
(; )
17
SH HE a
HF d SA BD
SH HE
= = =
+
Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a,
AD 3a=
, cạnh bên SA
vuông góc với đáy, gọi M là trung điểm của cạnh CD. Biết SM tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc
60
,
tính khoảng cách d giữa 2 đường thẳng AM và SB.
Lời giải
Ta có:
22
2M AD DM a
= +=
tan 60 2 3SA AM a⇒= =
Dựng
// ( ; ) ( ; )Bx AM d AM SB d A SBx
⇒=
Dựng
,AK Bx AH SK⊥⊥
Ta có:
1
tan 30
3
MD
MAB MAD
AD
==⇒=
30 30 3BAK AK ABcos a⇒ =⇒= =

12 60
( ;( ))
55
a
d A SBx AH a= = =
Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có
2AD a=
, hình chiếu vuông góc của
đỉnh S xuống mặt đáy là trung điểm của AB, biết tam giác SCD là tam giác vuông tại S và nằm trong mặt
phẳng tạo với đáy một góc
45
. Tính khoảng cách d giữa 2 đường thẳng SA và BD.
Lời giải
Gọi H là trung điểm của AB. Dựng
HF CD⊥
khi đó
2HF AD a= =
Ta có:
( ) 45CD SHF SFH⊥ ⇒=
tan 45 2; 2 2SH HF a SF HF a
⇒= = = =
Do tam giác SCD vuông cân nên CD = 2SF = 4a
Suy ra
22
.4
(; )
3
AB AD a
d A BD
AB AD
= =
+
Dựng
Ax / / B , ,
D HK Ax HE SK⊥⊥
Ta có
1 14 2
(; ) .
2 23 3
aa
HK d A BD
= = =
. Do vậy
4
(; )2
11
a
d SA BD HE= =
Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh
S lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm H của tam giác đều ABC, biết mặt phẳng (SCD) tạo với mặt phẳng
(ABCD) một góc
60
. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BD.
Lời giải
Ta có
∆
ABC đều cạnh a nên H là trực tâm của tam giác ABC
CH AB CH BC⇒⊥⇒⊥
( ) 60CD SHC SCH⇒⊥ ⇒ =
Ta có:
3
3
2
a
OB BD a= ⇒=
3
2
a
HB HC⇒==
. Khi đó
3
.tan 60
2
a
SH a= =
Dựng
Ax//BD,HE Ax,
2
a
HF SE HE OA⊥ ⊥⇒ ==
22
.
(; )
5
HE SH a
d SA BD HF
HE SH
= = =
+
Ví dụ 15: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông có AB = BC = a,
A’B =
3a
. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.
Lời giải
Ta có:
22
AA ' ' 2A B AB a= −=
Dựng
//Cx AM
khi đó
(;')(;('))d AM B C d AM B Cx=
1
( ;( ' )) ( ;( ' ))
2
d M B Cx d B B Cx
= =
Dựng
( 'Cx) d(B;(B'Cx)) BF
'
BE Cx
BF B
BF B E
⊥
⇒⊥ ⇒ =
⊥
Lại có
BE 2 BP=
, trong đó
22
AB.
BP
5
BM a
AB BM
= =
+
Suy ra
22
2 .' 2
BE
57
a BE BB a
BF
BE BE
=⇒= =
+
Do đó
( ;')
7
a
d AM B C =
Ví dụ 16: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, E lần lượt là
trung điểm của BC, A’C’. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng.
a) B’C’ và A’B
b) DE và AB’
Lời giải
a) Do lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Nên ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng
với hai đáy là tam giác đều cạnh a.
Ta có:
' '// ' '//( ' )B C BC B C A BC⇒
d(B'C'; A'B) d(B'C'; (A'BC)) d(B'; (A'BC))
⇒= =
Gọi
I A'B 'AB I=∩⇒
là trung điểm của AB’
Khi đó
(';(' )) (;(' ))d B A BC d A A BC
=
Dựng
22
'.AD
' ( '; (A'BC))
'
AA
AH A D d A AH
AA AD
⊥⇒ ==
+
Trong đó
3 21
';
27
aa
AA a AD d AH= = ⇒= =
b) Gọi F là trung điểm của B’C’
EF / / A'B'
(EFD)//(A'B'BA) DE//(A'B'BA)
// 'FD B B
⇒⇒ ⇒
Khi đó
d(DE;AB') d(DE;(A'B'BA)) d(D;(A'B'BA))= =
Dựng
3
( ) (D;(A'B'BA)) sin sin 60
24
aa
DK AB K AB d DK DB DBK⊥ ∈⇒ == = =
Ví dụ 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a, AD =
3a
,
()SA ABCD⊥
. Mặt
phẳng (SBC) tạo với đáy một góc
60
. Gọi M là trung điểm của SA. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng SC và DM
Lời giải
Ta có:
( ) ( );( )) 60
BC SA
BC SBA SBC ABC SDB
BC AB
⊥
⇒⊥ ⇒ = =
⊥
Do đó
tan 30 3SA AB a
= =
Để tính d(SC;DM) ta đổi về đỉnh của hình chóp C.DAS có
()CD SAD⊥
Dựng
/ / DM (DM;SC) (DM;(CSx)) d(D;(CSx))Sx d d⇒= =
Dựng
,DF ( ;( ))
DE Sx CE d D SCx DF⊥ ⊥⇒ =
Do
22 2
2
3
3.
. 15
2
// (;)(;)
5
3
3
4
a
a
AD AM a
SE DM DE d S DM d A DM
AD AM a
a
⇒= = = = =
+
+
Suy ra
22
DE.CD 6
(; )
4
a
DF d SC DM
CD DE
= = =
+
Ví dụ 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B,
()
SA ABCD⊥
. Biết AD = 2a, AB
= BC = a và SD tạo với đáy một góc
30
. Gọi K là trung điểm của SD. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng SB và AK.
Lời giải
Do
2
( ) ( ;( )) 30 tan 30
3
a
SA ABCD SD ABCD SDA SA AD⊥ ⇒ = = ⇒= =

Ta có:
()
BA AD
BA SAD
BA SA
⊥
⇒⊥
⊥
ta cắt khối chóp B.SAD có đường cao BA.
Dựng
// (;)(;())Sx AK d SB AK d AK SBx
⇒=
Dựng
,AF (;())(;())AFAE Sx BE d AK SBx d A SBx⊥ ⊥⇒ = =
Do
1
2
AK SK SD= =
và
90 60ASK ADS SAK=−=⇒

đều cạnh
2
3
a
Do đó
22
3 .2
( ; ) AF
22
SA AB AE a
AE d S AK a
AB AE
= = =⇒= =
+
Vậy
2
(; )
2
a
d SB AK
=
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và
,,AB a AC b AD c= = =
. Gọi d là
khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
BCD
. Đẳng thức nào dưới đây đúng?
A.
2 222
1 111
d abc
=++
B.
2 222
d abc
=++
C.
2
222
111
d
abc
=++
D.
d abc=
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi d là khoảng cách từ A đến đường thẳng chứa cạnh BC. Đẳng
thức nào dưới đây đúng?
A.
22
.AB AC
d
AB AC
=
+
B.
22
22
.
AB AC
d
AB AC
+
=
C.
22
d AB AC= +
D.
.
AB AC
d
AB AC
+
=
Câu 3: Cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng
( )
α
. Gọi
12
,dd
lần lượt là khoảng cách từ M và N
đến
( )
α
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
12
dd=
B.
12
1
2
dd=
C.
12
2dd=
D.
12
0dd
= =
Câu 4: Cho hai mặt phẳng
( ) ( )
,
αβ
song song với nhau. Lấy hai điểm M, N lần lượt nằm trên
( )
α
và
( )
β
sao cho đường thẳng MN không vuông góc với
( )
α
. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
( )
( )
( )
( )
,,dM dN
βα
=
B.
( )
( )
( ) ( )
( )
,,dM d
β αβ
=
C.
( )
( )
( ) ( )
( )
,,dN d
α αβ
=
D.
( ) ( )
( )
,d MN
αβ
=
Câu 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách từ D đến mặt phẳng
( )
ABC
. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. d=DG với G là trọng tâm tam giác ABC.
B. d=DH với H là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng
( )
ABC
.
C. d=DI với I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
D. d=DN trong đó N là trung điểm AM (với M là trung điểm đoạn BC)
Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và AB=2, AC=3, AD=4. Tính
khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
BCD
A.
12 61
61
d =
B.
144
61
d
=
C.
61
12
d =
D.
61d =
Câu 7: Khoảng cách lớn nhất giữa hai đỉnh của một hình lập phương cạnh
a
là bao nhiêu?
A.
3a
B.
2a
C.
2a
D.
5da=
Câu 8: Cho mặt phẳng
( )
α
và đường thẳng MN cắt
( )
α
tại điểm I. Biết rằng
32MI MN=
 
. Gọi
12
,dd
lần
lượt là khoảng cách từ M và N đến
( )
α
. Tính tỉ số
1
2
d
d
A.
1
2
2
3
d
d
=
B.
1
2
3
2
d
d
=
C.
1
2
1
3
d
d
=
D.
1
2
2
d
d
=
Câu 9: Cho mặt phẳng
( )
α
và đường thẳng MN cắt
( )
α
tại điểm I. Biết rằng
43IN IM=
 
. Gọi
12
,dd
lần
lượt là khoảng cách từ M và N đến
( )
α
. Tính tỉ số
1
2
d
d
A.
1
2
4
3
d
d
=
B.
1
2
3
4
d
d
=
C.
1
2
1
4
d
d
=
D.
1
2
4
d
d
=
Câu 10: Cho hình lăng trụ đều
.'' 'ABC A B C
. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M là trung
điểm CC’ và d là khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
'A BC
. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
( )
( )
', '
d d B A BC=
B.
( )
( )
2. , 'd d M A BC=
C.
( )
(
)
3. , '
d d O A BC=
D.
( )
( )
1
,'
3
d d O A BC=
Câu 11: Cho hình hộp chữ nhật
.'' ' 'ABCD A B C D
có ba kích thước
, , '=cAB a AD b AA= =
. Tính khoảng
cách d từ điểm A đến mặt phẳng
( )
''DA C
.
A.
(
) ( )
( )
222
abc
d
ab bc ac
=
++
B.
222
abc
d
abc
=
++
C.
22
bc
d
bc
=
+
D.
abc
d
ab bc ac
=
++
Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a
, SA vuông góc với đáy và
SA h=
. Tính
khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
SBC
theo
a
và
h
?
A.
22
3
43
ah
d
ah
=
+
B.
22
3
34
ah
d
ah
=
+
C.
22
ah
d
ah
=
+
D.
22
5
ah
d
ah
=
+
Câu 13: Cho hình lập phương
.'' ' '
ABCD A B C D
cạnh
a
. Khoảng cách từ A đến đường thẳng CC’ là
A.
a
B.
2a
C.
3a
D.
2
a
Câu 14: Cho hình lập phương
.'' ' 'ABCD A B C D
cạnh
a
. Khoảng cách từ A đến đường thẳng B’D’ là
A.
6
2
a
B.
2
a
C.
3a
D.
2a
Câu 15: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có
7, 3
SA a AB a= =
. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng
( )
ABC
bằng
A.
a
B.
2a
C.
20
3
a
D.
10a
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SC, đáy là hình chữ nhật. Gọi H là trung điểm của SB.
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
SBC
là đoạn thẳng
A. AS B. AB C. AC D. AH
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đường cao
2SC a=
, đáy là hình chữ nhật có
2,AB a AD a= =
. Gọi K
là trung điểm của SA. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
ABCD
bằng
A.
a
B.
2a
C.
2a
D.
3a
Câu 18: Cho hai đường thẳng
12
,∆∆
chéo nhau, đường thẳng
3
∆
bất kì cắt
1
∆
tại M và cắt
2
∆
tại N. Khẳng
định nào dưới đây luôn đúng?
A.
(
)
12
d, MN∆∆ ≤
B.
( )
12
d,
MN∆∆ >
C.
( ) ( )
21
d , d N,M ∆= ∆
D.
( )
12
d, MN∆∆ =
Câu 19: Cho hai đường thẳng
12
,
∆∆
chéo nhau, mặt phẳng
( )
β
chứa
2
∆
và song song với
1
∆
, mặt phẳng
( )
α
chứa
1
∆
và song song với
2
∆
. Khẳng định nào dưới đây sai?
A.
( ) (
)
( )
12 1
d, d,
β
∆∆ = ∆
B.
(
)
( )
(
)
( )
12
d, d,
βα
∆=∆
C.
( ) ( ) ( )
(
)
12
d, d ,
αβ
∆∆ <
D.
( ) ( )
( )
12
d, , ,MN M N
αβ
≤ ∀ ∈∆ ∈∆
Câu 20: Cho đường thẳng
1
∆
và mặt phẳng
( )
α
song song với nhau. Mặt phẳng
( )
β
chứa
1
∆
, vuông góc
với
( )
α
và cắt
( )
α
theo giao tuyến là
2
∆
. Khi đó khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
( )
( )
( )
12 1
d, d,
α
∆∆ = ∆
B.
(
) ( )
( )
12 1
d , <d ,
α
∆∆ ∆
C.
( ) ( )
( )
21
d , >d , ,M MM
α
∆ ∀ ∈∆
D.
( )
(
)
1 12
d , MN, ,
MN
α
∆ = ∀ ∈∆ ∈∆
Câu 21: Cho đường thẳng
∆
song song với mặt phẳng
( )
α
. Gọi d là khoảng cách từ
∆
đến
( )
α
. Mệnh đề
nào sau đây sai?
A. d bằng khoảng cách từ điểm bất kì trên
∆
đến
( )
α
.
B. d bằng khoảng cách từ điểm bất kì trên
( )
α
đến
∆
.
C. d bằng khoảng cách từ mặt phẳng
( )
β
đến
( )
α
với
( )
β
là mặt phẳng chứa
∆
và song song với
( )
α
.
D. d bằng khoảng cách giữa
∆
và hình chiếu vuông góc của
∆
lên
(
)
α
.
Câu 22: Cho hai đường thẳng chéo nhau
12
,∆∆
. Gọi d là khoảng cách giữa
12
,∆∆
. Mệnh đề nào sau đây
sai?
A. d bằng độ dài đoạn vuông góc chung của
12
,∆∆
.
B. d bằng khoảng cách giữa
1
∆
và
( )
β
là mặt phẳng chứa
2
∆
và song song với
1
∆
.
C. d bằng khoảng cách giữa
2
∆
và
( )
α
là mặt phẳng chứa
1
∆
và song song với
2
∆
.
D. d bằng độ dài đoạn thẳng MM’ với điểm M bất kì thuộc
1
∆
và M’ là hình chiếu vuông góc của M lên
2
∆
.
Câu 23: Cho hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
β
song song với nhau. Gọi d là khoảng cách giữa
(
)
α
và
(
)
β
. Mệnh
đề nào sau đây sai?
A. d bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc
( )
α
đến
( )
β
.
B. d bằng khoảng cách giữa một đường thẳng bất kì nằm trong
( )
β
đến
( )
α
.
C. d bằng khoảng cách giữa một đường thẳng
∆
bất kì nằm trong
( )
α
đến hình chiếu vuông góc của
∆
lên
( )
β
.
D. d bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng bất kì
1
∆
và
2
∆
lần lượt nằm trong
( )
α
và
( )
β
.
Câu 24: Cho hình hộp
.'' ' 'ABCD A B C D
. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
( )
( )
( )
( )
d , '' dB, ''A CDD C CDD C=
B.
( )
( )
(
)
( )
(
)
d , '''' dB, ''''
ABCD A B C D A B C D=
C.
(
) ( )
(
)
( )
( )
( )
d , '''' d '', ''ABCD A B C D ABB A CDC D=
D.
( ) ( )
( )
( )
( )
d , '''' dAC, ''''ABCD A B C D A B C D=
Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
( )
( )
( )
( )
d , d A,B SCD SCD=
B.
( )
( )
( )
( )
d C, d D,SAB SAB=
C.
( )
( )
( )
( )
d C, d A,SBD SBD=
D.
( )
( )
( )
( )
d B, d BC,SCD SAD=
Câu 26: Cho hình lập phương
.'' ' 'ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
. Tính
( )
( )
d B', ' 'A CDD C
A.
( )
(
)
d B', ' 'A CDD C a
=
B.
( )
( )
d B', ' '
2
a
A CDD C =
C.
( )
( )
d B', ' '
3
a
A CDD C =
D.
( )
( )
d B', ' ' 2A CDD C a=
Câu 27: Cho hình hộp chữ nhật
.'' ' 'ABCD A B C D
có
,BC b,CC' c
AB a= = =
. Khẳng định nào sau đây sai?
A.
( ) ( )
( )
d , ''''ABCD A B C D c=
B.
( )
( )
2
d ', 'A'
ab
BB ACC
ab
=
+
C.
( )
( )
d B', ' 'A CDD C b=
D.
( )
( )
d ', 'A' 2BB ACC a=
Câu 28: Cho hình lập phương
.'' ' 'ABCD A B C D
có
AB a=
. Tính khoảng cách
h
giữa hai mặt phẳng
( )
''BA C
và
( )
'ACD
.
A.
3
a
h =
B.
3
a
h =
C.
2
2
a
h =
D.
ha=
Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
,
( )
SA ABCD⊥
. Tính
(
)
(
)
d CD, SAB
.
A.
( )
( )
d CD, SAB a=
B.
( )
( )
d CD, 2SAB a=
C.
( )
( )
2
d CD,
2
a
SAB
=
D.
( )
( )
d CD, 2SAB a=
Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
,
( )
SA ABCD⊥
và
SA a=
. Tính
( )
( )
d,AB SCD
.
A.
( )
( )
d,AB SCD a=
B.
( )
(
)
d, 2AB SCD a
=
C.
( )
( )
2
d,
2
a
AB SCD =
D.
( )
( )
d, 2AB SCD a=
Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,
120ABC = °
và
( )
SA ABCD⊥
. Gọi M là trung
điểm của SC. Tính
( )
( )
d SA, BMD
.
A.
( )
( )
d SA, BMD a=
B.
( )
( )
d SA, 3BMD a=
C.
( )
(
)
3
d SA,
2
a
BMD =
D.
( )
( )
d SA, 2BMD a=
Câu 32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết
3,SA a AD a= =
và
SA vuông góc với đáy. Tính theo
a
khoảng cách từ B đến
( )
SCD
.
A.
3
2
a
B.
2
a
C.
3
4
a
D.
2a
Câu 33: Cho hình lập phương
.'' ' 'ABCD A B C D
có cạnh
a
. Tính theo
a
khoảng cách từ điểm D đến mặt
phẳng
( )
'A BC
.
A.
2a
B.
2
a
C.
2
2
a
D.
a
Câu 34: Cho hình chóp S.ABC, gọi M là trung điểm của AC và G là trọng tâm tam giác SAC. Biết khoảng
cách từ điểm M đến mặt phẳng
( )
SBC
bằng
6
6
a
. Tính theo
a
khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng
( )
SBC
.
A.
6
18
a
B.
6
9
a
C.
6
3
a
D.
6
6
a
Câu 35: Cho hình chóp đều S.ABCD có O là tâm của đáy. Biết cạnh đáy và đường cao bằng nhau và bằng
a
. Tính theo
a
khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng
( )
SBC
.
A.
5
10
a
B.
5
5
a
C.
25
5
a
D.
5
2
a
Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
a
, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo
a
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
( )
SCD
.
A.
3
7
a
B.
21
7
a
C.
2 21
7
a
D.
23
7
a
Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,
, AD 3AB a a= =
, hai mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
SAD
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa cạnh SC và mặt phẳng đáy bằng
60°
. Gọi G là trọng
tâm tam giác ABC. Tính theo
a
khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng
( )
SBC
.
A.
2 39
13
a
B.
2 39
39
a
C.
6 39
13
a
D.
39
13
a
Câu 38: Cho hình chóp S.ABC có
3SA a=
và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác ABC đều cạnh
a
. Vẽ AI vuông góc với SB. Tính theo
a
khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng
( )
SAC
.
A.
3
8
a
B.
3
4
a
C.
33
8
a
D.
33
4
a
Câu 39: Cho hình chóp S.ABCD có hai mặt phẳng
( )
( )
,SAB SAC
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và đáy
ABCD là nửa lục giác đều. Biết
3
SA a=
và
AB BC CD a
= = =
. Tính theo
a
khoảng cách từ điểm B đến
mặt phẳng
(
)
SCD
.
A.
6
2
a
B.
6a
C.
6
4
a
D.
6
8
a
Câu 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh
2a
, cạnh bên SA vuông góc vói mặt phẳng đáy,
120
BAD = °
, góc giữa mặt phẳng
( )
SBC
và đáy bằng
30°
. Tính theo
a
khoảng cách từ điểm B đến mặt
phẳng
( )
SBC
.
A.
32
4
a
B.
3
4
a
C.
3
2
a
D.
6
4
a
Câu 41: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng
3a
và cạnh bên bằng
2a
. Gọi E là trung
điểm của AB. Tính theo
a
khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng
( )
SBC
.
A.
5
5
a
B.
35
5
a
C.
35
10
a
D.
25
5
a
Câu 42: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tam giác ABC vuông tại A có
, AC 3AB a a= =
. Góc giữa SB và mặt phẳng
( )
SAC
bằng
45°
. Lấy điểm M trên cạnh SA sao cho
3
a
AM =
. Tính theo
a
khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng
( )
SBC
.
A.
2 21
21
a
B.
21
7
a
C.
2 21
7
a
D.
21
21
a
Câu 43: Cho hình lăng trụ
.'' ' 'ABCD A B C D
có đáy ABCD là hình chữ nhật,
AB a=
và
AD 3a=
. Hình
chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng
( )
ABCD
trùng với giao điểm của AC và BD. Tính khoảng cách
từ B’ đến mặt phẳng
( )
'
A BD
theo
a
.
A.
2
2
a
B.
2
C.
3a
D.
3
2
a
Câu 44: Cho hình chóp đều S.ABCD cạnh đáy bằng
a
, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
60°
. Gọi G là
trọng tâm của tam giác ABD. Tính theo
a
khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng
( )
SBC
.
A.
3
a
B.
3
3
a
C.
3
6
a
D.
6
a
Câu 45: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB a
=
,
30ACB = °
. Mặt bên SAC là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi G là trung điểm của SA. Tính theo
a
khoảng
cách từ điểm G đến mặt phẳng
( )
SBC
.
A.
3
4
a
B.
2 39
13
a
C.
39
13
a
D.
3
2
a
Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B,
,2BA BC a AD a= = =
. Cạnh bên
SA vuông góc với đáy và
2SA a=
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SB. Tính khoảng cách
từ điểm H đến mặt phẳng
( )
SCD
theo
a
.
A.
2
a
B.
4
a
C.
3
a
D.
a
Câu 47: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 4
a
. Hình chiếu của S trên mặt phẳng
( )
ABCD
là điểm H thuộc AB sao cho
3
HB HA=
. Góc giữa cạnh bên SC và đáy bằng
45°
. Tính theo
a
khoảng cách từ O đến mặt phẳng
( )
SBC
, với O là tâm của hình vuông ABCD.
A.
5 34
a
B.
5 34
17
a
C.
5 34
34
a
D.
5 17
2
a
Câu 48: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
2
AB a=
. Mặt phẳng bên SAB vuông góc
với mặt phẳng đáy và
,3SA a SB a= =
. Góc giữa mặt phẳng
( )
SBD
và đáy bằng
60°
. Tính theo
a
khoảng
cách từ điểm C đến mặt phẳng
( )
SBD
.
A.
3
3
a
B.
3
4
a
C.
3
4
a
D.
a
Câu 49: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B với
( )
, 3,SAAB a BC ABC= = ⊥
và SC
tạo với
( )
ABC
một góc
45°
. Gọi
12
,GG
lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAC. Tính
( )
( )
12
,d G G SBC
.
A.
( )
( )
12
,5d G G SBC a=
B.
( )
( )
12
4
,
35
a
d G G SBC =
C.
( )
( )
12
2
,
35
a
d G G SBC =
D.
( )
( )
12
6
,
5
a
d G G SBC =
Câu 50: Cho hình lăng trụ đứng
.''ABC A B C
có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
3BC a=
,
'2AB a=
và
đường thẳng AB’ tạo với mặt phẳng đáy một góc
60
°
. Tính
( )
( )
d BC, ' 'AB C
.
A.
( )
( )
d BC, ' '
2
a
AB C =
B.
( )
( )
d BC, ' ' 3AB C a=
C.
( )
( )
3
d BC, ' '
2
a
AB C =
D.
( )
( )
3
d BC, ' '
4
a
AB C =
Câu 51: Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'D'
ABCD A B C
có đáy ABCD là hình thoi cạnh
a
,
120ABC
= °
, đường
thẳng A’B tạo với mặt phẳng đáy một góc
60
°
. Tính
( )
( )
d B'D', 'A BD
.
A.
( )
( )
d B'D', ' 15A BD a=
B.
( )
( )
d B'D', '
5
a
A BD =
C.
( )
( )
d B'D', ' 3A BD a=
D.
( )
( )
15
d B'D', '
5
a
A BD =
Câu 52: Cho hình lăng trụ
.''ABC A B C
có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a
và
' ' 'CAA A B A a= = =
. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của BC và A’B. Tính
(
)
( )
d 'C,A AMN
.
A.
( )
( )
22
d A'C,
11
a
AMN =
B.
( )
( )
d A'C,
11
a
AMN =
C.
( )
( )
d A'C, 22AMN a=
D.
( )
( )
2
d A'C,
3
a
AMN =
Câu 53: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh
a
và SA vuông góc với đáy. Tính khoảng
cách d giữa hai đường thẳng SA và BD.
A.
2
a
d =
B.
da
=
C.
2da=
D.
2
2
a
d
=
Câu 54: Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC đôi một vuông góc, tam giác ABC cân và có
2AC a=
. Tính
khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BC.
A.
2
da=
B.
da=
C.
2
2
a
d =
D.
2da=
Câu 55: Cho tứ diện đều ABCD có I, J lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD. Khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB, CD bằng độ dài của đoạn thẳng nào dưới đây?
A. AI B. IJ C. AB D. AJ
Câu 56: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng
a
. Tính khoảng cách d giữa hai đường
thẳng BD và SC.
A.
4
a
d
=
B.
2
a
d =
C.
2
2
a
d =
D.
2da=
Câu 57: Cho hình hộp chữ nhật
.'' ' 'ABCD A B C D
có
=', 2AB AA a AC a= =
. Tính khoảng cách d giữa hai
đường thẳng AB’ và CD’.
A.
3da=
B.
5da=
C.
3
3
a
d =
D.
3
2
a
d =
Câu 58: Cho hình chóp S.ABCD có
( )
SA ABCD⊥
, đáy ABCD là hình chữ nhật với
2AC a=
và
BC a=
.
Tính
( )
,d SD BC
.
A.
( )
2
,
3
a
d SD BC =
B.
( )
3
,
2
a
d SD BC =
C.
( )
3
,
4
a
d SD BC =
D.
(
)
,3d SD BC a=
Câu 59: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB a=
, cạnh bên SA vuông góc với
đáy và
2SA a=
. Gọi M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SM và BC.
A.
2
3
a
d =
B.
2
a
d
=
C.
3
3
a
d =
D.
3
2
a
d =
Câu 60: Cho hình hộp chữ nhật
.'' ' 'ABCD A B C D
có
' 2, 4AA a AD a= =
. Gọi M là trung điểm của AD.
Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng A’B’ và C’M.
A.
3da=
B.
22da=
C.
2da=
D.
2da=
Câu 61: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
a
. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng
đáy và
SA a=
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
A.
a
B.
2a
C.
3a
D.
2a
Câu 62: Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và
OA OB OC a= = =
. Gọi
I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và OC nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
A.
a
B.
5
a
C.
3
2
a
D.
2
a
Câu 63: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. cạnh bằng
a
và
60BAC = °
. Biết
6
2
a
SC =
và vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD nhận giá trị nào trong các
giá trị sau?
A.
2
a
B.
6
4
a
C.
3
3
a
D.
3
4
a
Câu 64: Cho hình lăng trụ đứng
.'' 'ABC A B C
có tất cả các cạnh đều bằng
a
. Tính khoảng cách d giữa hai
đường thẳng AB’ và CC’.
A.
2
3
a
d =
B.
3
2
a
d =
C.
3
4
a
d =
D.
3da=
Câu 65: Cho hình chóp S.ABCD có
( )
SA ABCD⊥
, đáy ABCD là hình chữ nhật với
5AC a=
và
2
BC a=
. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SD và BC.
A.
2
3
a
d =
B.
3
2
a
d =
C.
3
4
a
d =
D.
3da=
Câu 66: Cho hình lập phương
.'' ' 'ABCD A B C D
cạnh
a
. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AD’ và
BD.
A.
3
2
a
d =
B.
3
3
a
d =
C.
3da=
D.
2
3
a
d =
Câu 67: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy
( )
ABCD
và
SA a=
. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SB và AD.
A.
2
3
a
d =
B.
3
2
a
d =
C.
2
2
a
d =
D.
da=
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Kẻ
AH BC, AK DH⊥⊥
ta có
BC AH
BC (HAD) BC AK
BC DA
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
Mà
AK DH AK (BCD)⊥⇒⊥
. Ta có
AK AH AD AB AC AD
=+=++
2 22222
1 1 1 111
Do đó
2 2 22
1111
dabc
=++
. Chọn A.
Câu 2: Ta có
AB .AC AB.AC
dd
d AB AC AB AC
AB AC
= + ⇔ = ⇔=
+
+
22
2
2 2 2 22
22
11 1
. Chọn A.
Câu 3: Do MN // (
α
) nên d
1
= d
2
. Chọn A.
Câu 4: Khẳng định sai là
d(( ),( )) MNαβ=
. Chọn D.
Câu 5: Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) là khoảng cách từ D đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC. Mà tam giác ABC đều nên trọng tâm cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp. Do đó A, B, C đúng. Chọn D.
Câu 6:
d(A,(BCD))
d(A, (BCD)) AB AC AD
= + + =++= ⇒ =
2 2 2 2 22 2
1 1 1 1 1 1 1 61 12 61
2 3 4 144 61
Chọn A.
Câu 7: Khoảng cách lớn nhất giữa 2 đỉnh chính là đường chéo là
a 3
. Chọn A.
Câu 8: Ta có
3MI 2MN 3MI 2(IN IM) IM 2IN 0= ⇔ = − ⇔+ =
      
. Ta có
d
IM
d IN
= =
1
2
2
. Chọn D.
Câu 9: Ta có
d
IM
d IN
= =
1
2
4
3
. Chọn A.
Câu 10: Gọi N là trung điểm của BC
d(A,(A'BC)) NA
d(A,(A'BC)) d(O,(A'BC))
d(O,(A 'BC)) NO
==⇒=33
Do đó đáp án D sai. Chọn D.
Câu 11: Ta có d(A,(DA’C’) = d(D’,(DA’C’))
Kẻ
D'E A'C',D'F' DE⊥⊥
Ta có
A 'C' DD'
A 'C' (DD'E) A 'C' D'F
A 'C ' D 'E
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
Mà
D'F DE D'F (DA'C')⊥⇒ ⊥
Ta có
D'F DD' D'E DD' D'A' D'C'
=+=+ +
222222
111111
a b b c c a abc
D'F
a b c abc
ab bc ca
++
=++= ⇒ =
++
2 2 22 2 2
2 2 2 2 22
2 2 22 2 2
111
Chọn A.
Câu 12: Kẻ
AE BC, AF SE⊥⊥
Ta có
BC AE
BC (SAE) BC AF
BC SA
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
Mà
AF SE AF (SBC)⊥⇒⊥
. Ta có
a
AE =
3
2
a h ah
AF
a
AF SA AE h a h
ah
+
= + =+ = ⇒=
+
22
2
2 2 2 2 22
22
1 1 1 1 13 4 3
3
3
34
4
Chọn B.
Câu 13: Ta có
d(A,CC') AC a= = 2
. Chọn B.
Câu 14: Gọi O là trung điểm của A’C’ và B’D’
Ta có
B'D' A'C'
B 'D' (AA 'C ') B' D ' AO
B'D ' AA '
⊥
⇒⊥ ⇒ ⊥
⊥
aa
d(A, B'D') AO AA ' A 'O a

== +=+ =



2
2 22
26
22
Chọn A.
Câu 15: Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
SH (ABC)⇒⊥
. Gọi M là trung điểm của BC
Ta có
a
AH AM . a
= = =
2 23 3
3
3 32
( ) ( )
d(S,(ABC)) SH SA AH a a a== −= − =
22
22
7 32
Chọn B.
Câu 16:
AB BC
AB (SBC) d(A, (SBC)) AB
AB SC
⊥
⇒⊥ ⇒ =
⊥
Chọn B.
Câu 17: Ta có
d(K,(ABCD)) d(S,(ABCD)) SC a= = =
11
22
. Chọn A.
Câu 18: Có vô số các đường thẳng cắt ∆
1
tại M và cắt ∆
2
tại N
Ta có d(
∆
1
,∆
2
)
≤
MN, dấu bằng xảy ra
⇔
MN là đoạn vuông góc chung của
∆
1
và
∆
2
. Chọn A.
Câu 19: Theo giả thiết bài toán ta có:
d( ,( )) d( ,( )) d( , ) d(( ),( ))
∆ β = ∆ α = ∆∆ = α β
1 2 12
Mặt khác :
d(( ),( )) MN, M , Nα β ≤ ∀ ∈∆ ∈∆
12
Do vậy khẳng định C là sai. Chọn C.
Câu 20: Do
/ /( )∆α
1
, mặt phẳng
()
β
chứa
∆
1
và cắt
()
α
theo giao tuyến là
∆
2
//⇒∆ ∆
12
Mặt phẳng
( ; ) () ()∆∆ ≡β⊥α
12
nên
d( , ) d( ,( ))∆∆ = ∆ α
12 1
. Chọn A.
Câu 21: Do
∆
song song với mặt phẳng
()α
nên khoảng cách từ
∆
đến
()
α
bằng khoảng cách từ một điểm
bất kì trên
∆
đến
()α
. Bằng khoảng cách từ mặt phẳng
()β
đến
()α
với
()β
là mặt phẳng chứa
∆
và song
song với
()
α
và cũng bằng khoảng cách từ mặt phẳng
()β
đến
()α
với
()β
là mặt phẳng chứa
∆
và song
song với
()α
.
Các khẳng định đúng là A, C và D. Khẳng định B sai. Chọn B.
Câu 22: Các khẳng định đúng là A, B và C.
Khẳng định sai là D. Chọn D.
Câu 23: d bằng khoảng cách giữa một đường thẳng
∆
bất kì nằm trong
()
α
đến hình chiếu vuông góc của
∆
lên
()β
suy ra khẳng định C đúng và D sai. Chọn D.
Câu 24: Ta có
AB / /CD AB / /(CDD 'C ')⇒
: nên
d(A,(CDD 'C')) d(B,(CDD'C'))= →
A đúng
Do
(ABCD) / /(A'B'C'D')
nên
d((ABCD),(A 'B'C'D ')) d(B,(A 'B'C'D '))=
và
d((ABCD),(A 'B'C'D ')) d(AC,(A 'B'C'D'))= →
B,D đều đúng.
Khẳng định sai là C. Chọn C.
Câu 25: Ta có:
AB / /CD AB / /(SCD)
⇒
d(A,(SCD)) d(B,(SCD))⇒=⇒
A đúng
Tương tự
CD / /(SAB) d(C,(SAB)) d(D,(SAB))⇒=
Do
AC BD∩
tại O và OA = OC
d(A;(SBD)) d(C;(SBD))⇒=
suy ra B và C đúng.
Khẳng định sai là D. Chọn D.
Câu 26: Dễ thấy
AB '/ /C ' D AB '/ /(C DD 'C ')⇒
nên
d(AB',(CDD 'C')) d(A;(C DD'C ')) d= =
Mặt khác ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên
AD (C DD 'C ') d AD a⊥ ⇒= =
.Chọn A.
Câu 27: Ta có
d((ABCD),(A 'B'C'D ')) AA ' CC' c= = =
d(BB ', (ACC ' A ')) d(B; (ACC'A')=
Dựng
BH AC⊥
, mặt khác
BH AA ' BH (ACC'A')⊥ ⇒⊥
Khi đó
AB.BC ab
d(BB ', (ACC ' A ')) BH
BA BC a b
= = =
++
2 2 22
Dễ thấy
AB '/ /C ' D AB '/ /(CDD 'C ')⇒
nên
d(AB',(CDD 'C')) d(A;(CDD'C')) AD BC b= = = =
Khẳng định sai là D. Chọn D.
Câu 28: Dễ thấy
A 'B '/ /CD '
(BA 'C ') / /(ACD ')
BC '/ /AD '
⇒
Do đó
d((BA 'C');(ACD')) d(B;(ACD '))=
Mặt khác BD cắt AC tại trung điểm O của BD suy ra
d((BA 'C');(ACD')) d(B;(ACD'))=
Dựng
DE D'O⊥
, mặt khác
AC DO
AC DE
AC DD'
⊥
⇒⊥
⊥
Do đó
DE (D 'AC)⊥
DO.DD'
d d(D;(D 'AC) DE
DO DD '
⇒= = =
+
22
Trong đó
DB a a
DO ;DD ' a d= = =⇒=
2
22
3
. Chọn A.
Câu 29: Ta có:
SA (ABCD) SA AD⊥ ⇒⊥
Mặt khác
AD AB SA (SAB)⊥⇒⊥
Do
CD / /(SAB) d(CD, (SAB)) d(D;(SAB)) DA a⇒===
Chọn A.
Câu 30: Do
AB / /CD AB / /(SCD)⇒
Khi đó
d(AB,(SCD)) d(A;(SCD))=
Dựng
AH SD⊥
, ta có
SA (ABCD) SA CD
⊥ ⇒⊥
Do
CD SA
CD (SAH) CD AH
CD AD
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
Lại có
AH SD AH (SCD)⊥⇒ ⊥
Suy ra
SA.AD a
d(A : (SCD)) AH
SA AD
= = =
+
22
2
2
Chọn C.
Câu 31: Gọi O là tâm của hình thoi ABCD thì OA = OC suy ra
OM là đường trung bình trong
∆
SAC
⇒
OM//SA
⇒
OM (ABCD) OM OA⊥ ⇒⊥
Do ABCD là hình thoi nên
OA BD OA (MBD)⊥⇒⊥
Khi đó
d(SA;(MBD)) d(A;(MBD)) AO= =
Mặt khác:
ABC BAD ABD
=⇒=⇒
120 60

đều cạnh a
Nên
aa
AO ABsin d= = ⇒=
33
60
22
. Chọn C.
Câu 32: Do
AB / / CD AB/ /(SCD)⇒
Suy ra
d(B;(SCD)) d(A;(SCD)) d
= =
Ta có:
CD SA
CD (SAD)
CD AD
⊥
⇒⊥
⊥
Dựng
AH SD AH (SCD)⊥⇒ ⊥
Khi đó
SA.AD a
d d(A;(SBC)) AH
SA AD
= = = =
+
22
3
2
Chọn A.
Câu 33: Do
AD / / BC AD/ /(A'BC)⇒
Suy ra
d(B;(A'BC)) d(A;(A'BC))
=
Dựng
AH A 'B⊥
, lại có
BC (A'AB) BC AH⊥ ⇒⊥
Do đó
AH (A 'BC) d(A;(A'BC)) AH⊥⇒ =
Lại có:
AA '.AB a
AH
AA ' AB
= =
+
22
2
2
Vậy
a
d(D;(A'BC)) d(A;(A'BC))= =
2
2
. Chọn C
Câu 34: Ta có: G là trọng tâm tam giác SAC
⇒
SG = 3MG
Mặt khác
M
G
d
MS
MG (SBC) S
d GS
∩ =⇒= =
3
2
Suy ra .
GM
aa
dd.= = =
2 26 6
3 36 9
Chọn B.
Câu 35: Do S.ABCD là hình chóp đều có O là tâm của đáy nên đáy
là hình vuông tâm O và
SO (ABCD)⊥
Dựng
OE BC⊥
, mặt khác
SO BC BC (SOE)⊥⇒⊥
Dựng
OF SE OF (SBC) d(O;(SBC)) OF⊥⇒⊥ ⇒ =
Ta có:
AB a
OE ;SO AB a= = = =
22
SO.OE a
OF
SO OE
⇒= =
+
22
5
5
Mặt khác
a
DB OB d(D;(SBC)) d(O;(SBC))=⇒= =
25
22
5
. Chọn C.
Câu 36: Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB, CD
Ta có
SH AB SH (ABCD),HM CD CD (SHM)⊥⇒⊥ ⊥⇒ ⊥
Kẻ
HK SM(K SM)⊥∈
mà
HK CD HK (SCD)⊥⇒⊥
Tam giác SHM vuông tại H, có
SH.HM a
HK
SH HM
= =
+
22
21
7
Mặt khác
AB / /CD AB / /(SCD)⇒
[
] [
]
a
d d;(SCD) d H;(SCD)
⇒= =
21
7
. Chọn B.
Câu 37: Ta có
( )
( )
SC;(ABCD) SC;A C SCA= = =
60
Tam giác SAC vuông tại A, có
SA AC.tanSCA a
= = 23
Kẻ
AH SB(H SB)⊥∈
mà
BC (SAB) AH (SBC)⊥ ⇒⊥
Tam giác SAB vuông tại A, có
SA.AB a
AH
SA AB
= =
+
22
2 39
13
Vì G là trọng tâm
[ ] [ ]
ABC d G;(SBC) d A;(SBC)⇒=
1
3
Vậy khoảng cách cần tìm là
a
d =
2 39
39
. Chọn B.
Câu 38: Gọi H là trung điểm AC
BH AC⇒⊥
Mà
[
]
a
SA BH BH (SAC) d B;(SAC) BH
⊥⇒⊥ ⇒ ==
3
2
Tam giác SAB vuông tại A, có
SA.AB a
AI
SA AB
= =
+
22
3
2
Tam giác SAI vuông tại I, có
a
SI SA AI
= −=
22
3
2
Suy ra
[ ]
[
]
IS a
d I;(SAC) d B;(SBC)
SB
=→= =
3 3 33
4 48
Chọn C.
Câu 39: ABCD là nửa lục giác đều
ABC ;AC CD⇒= ⊥
120
Kẻ
AH SC(H SC)
⊥∈
mà
CD AH AH (SCD)⊥⇒⊥
Tam giác ABC có
AB BC a;ABC AC a== = ⇒=120 3
Tam giác SAC vuông tại A, có
SA.AC a
AH
SA AC
= =
+
22
6
2
Vậy.
[ ]
[ ]
a
d B;(SCD) d A;(SCD)= =
16
24
. Chọn C.
Câu 40: Ta có
BAD ABC ABC=⇒=⇒120 60

đều
Gọi M là trung điểm BC
AM BC BC (SAM)
⇒ ⊥⇒⊥
Suy ra
( )
( )
(SBC);(ABCD) SM;AM SMA= = = 30
Kẻ
AK SM(K SM)
⊥∈
mà
BC AK AK (SBC)
⊥⇒⊥
Tam giác AKM vuông tại K, có
a
AK AM.sin= =
6
30
4
Lại có
AD / /BC AD / /(SBC)⇒
[ ] [ ]
a
d D;(SBC) d A;(SBC)⇒==
6
4
. Chọn D.
Câu 41: Gọi O là trọng tâm ∆ABC, M là trung điểm BC
Suy ra
SO (ABC),OM BC BC (SMO)⊥ ⊥⇒⊥
Kẻ
OH SM(H SM)
⊥∈
mà
BC OH OH (SBC)⊥⇒⊥
Ta có
aa
AM AB OA AM a;OM AM= =→= = = =
33 2 1
2 2 3 32
Tam giác SAO vuông tại O, có
SO SA OA a= −=
22
Tam giác SMO vuông tại O, có
SO.OM a
OH
SO OM
= =
+
22
5
2
Lại có
[ ] [
]
AM a
d A;(SBC) d O;(SBC) OH
OM
=⇒= ==
35
3 33
5
Mặt khác E là trung điểm AB
[ ] [ ]
a
d E;(SBC) d A;(SBC)→= =
1 35
2 10
Chọn C.
Câu 42:
( )
SA AB
AB (SAC) SB;(SAC) BSA
AC AB
⊥
⇒⊥ ⇒ = =
⊥
45
Suy ra tam giác SAB vuông cân tại A → SA = AB = a
Xét hình chóp S.ABC, ta được
[ ]
[ ]
a
d A;(SBC)
d A;(SBC) SA AB AC
=++⇒ =
2 222
1 1 1 1 21
7
Lại có
[ ]
[
]
SA a a
a : d M;(SBC) d A;(SBC)
MS
==⇒= =
2 3 2 2 21
3 2 3 21
Chọn A.
Câu 43: Kẻ
AH BD(H BD)⊥∈
mà
A 'O BD⊥
[ ]
AH (A ' BD) d A;(A 'BD) AH⇒⊥ ⇒ =
Tam giác ABD vuông tại A, có
AB.AD a
AH
BD
= =
3
2
Vậy
[ ] [ ]
a
d A;(A 'BD) d B';(A 'BD)
= =
3
2
. Chọn D.
Câu 44: Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm BC
Suy ra
SO (ABCD), OM BC BC (SMO)⊥ ⊥⇒⊥
Khi đó
(SBC);(ABCD) (SM;OM) SMO
= = = 60
Kẻ
OH SM(H SM) OH (SBC)⊥ ∈ →⊥
Tam giác OHM vuông tại H, có
OH a
sin HMO OH
OM
= ⇒=
3
4
Vì G là trọng tâm tam giác ABC
GC
OC
→=
4
3
[ ]
[ ]
aa
d G;(SBC) d O;(SBC) OH .⇒= ===
4 4 43 3
3 3 34 3
. Chọn B.
Câu 45: Gọi H, K lần lượt là trung điểm AC, BC
Ta có
SH AC SH (ABC)⊥⇒⊥
và
HK / /AB HK BC⇒⊥
Kẻ
BC HE
HE SK(E SK) HE (SBC)
SK HE
⊥
⊥ ∈ ⇒ ⇒⊥
⊥
Tam giác ABC vuông tại B, có
AB
AC 2a SH a 3
cosBAC
= =⇒=
Tam giác SHK vuông tại H, có
SH.HK a
HE
SH HK
= =
+
22
39
13
Lại có G là trung điểm SA, H là trung điểm AC
[ ]
[ ]
a
HK d G;(SBC) d A;(SBC)= = =
1 39
2 13
.Chọn C.
Câu 46: Gọi E là trung điểm AD
⇒
ABCE là hình vuông
AC CD
⇒⊥
mà
SA CD CD (SAC)⊥⇒⊥
Kẻ
AK SC(K SC) AK (SCD)⊥ ∈⇒⊥
Tam giác SAC vuông tại A, có
SA.AC
AK a
SA AC
= =
+
22
Do đó
[ ] [ ]
a
d B;(SCD) d A;(SCD)= =
1
22
Mà H là hình chiếu của A trên
HS
SB
SB
⇒=
2
3
Suy ra
[
] [
]
aa
d H;(SCD) d B;(SCD) .= = =
22
3 32 3
. Chọn C.
Câu 47: Kẻ
HK SB(K SB) HK (SBC)⊥ ∈⇒⊥
Vì
HB HA HA a,HB a HC BH BC a
= ⇒= =⇒= + =
22
33 5
Ta có
(
)
SC;(ABCD) SC;HC SCH SH HC a= = =⇒==
45 5
Tam giác SBH vuông tại B, có
( )
SC;(ABCD) SC;HC SCH SH HC a= = =⇒==45 5
Khi đó
[ ]
[ ]
[
]
d H;(SBC)
BH a
d A;(SBC)
d A;(SBC) AB
==⇒=
3 10 34
4 17
Vậy
[ ]
[ ]
aa
d O;(SBC) d A;(SBC) .= = =
1 1 10 34 5 34
2 2 17 17
Chọn B.
Câu 48: Kẻ
SH AB(H AB) SH (ABCD)
⊥ ∈ →⊥
Kẻ
HK BD(K BD) BD (SBD)⊥ ∈ ⇒⊥
Do đó
( )
(SBD);(ABCD) SK;HK SKH= = = 60
Kẻ
HE SK(E SK) HE (SBD)⊥ ∈ ⇒⊥
Ta có
SA SB AB SAB
+= ⇒
22 2
vuông tại S
Suy ra
SA.SB a BH
SH BH SB SH
AB AB
= = ⇒= − =⇒ =
22
3 33
2 24
Tam giác SHE vuông tại E, có
HE a
sin HSK HE
SH
=⇒=
3
4
Khi đó
[ ]
[ ]
[
]
d H;(SBD)
AB a a
d A;(SBD) .
d A;(SBD) BH
==⇒==
4 43 3
3 34 3
Vậy
[ ]
a
d C;(SBD) =
3
3
. Chọn A.
Câu 49: Do
SA (ABC)⊥
và SC tạo với (ABC) một góc 45°
nên
SCA
=
45
Ta có:
AC AB BC a SA AC tan a= + =⇒= =
22
2 45 2
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC thì
G G / /MN / /BC d(G G ;(SBC)) d(G ;(SBC)) d⇒==
12 12 1
Mặt khác
GM
G S MS d d= ⇒=
1
1
22
33
mà
MB AB=
1
2
M
d d(A;(SBC))
⇒=
1
2
Suy ra
G
d d(A;(SBC))
=
1
1
3
Dựng
AH SB⊥
, do
BC AB
BC (SAB) BC AH
BC SA
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
Mặt khác
22
SA.AB 2a
AH SB AH (SBC) d(A;(SBC)) AH
5
SA AB
⊥⇒ ⊥ ⇒ = = =
+
Suy ra
2a
d
35
=
. Chọn C.
Câu 50: Ta có: A’B cắt AB’ tại trung điểm I của mỗi đường
Do đó
d(BC,(AB'C')) d(B;(AB'C')) d(A';(AB'C')) d= = =
Dựng
A 'F AB'⊥
ta có:
B'C' A'B'
B'C ' AA '
⊥
⊥
B'C' (A'B'A)⇒⊥
. Lại có
A'F AB'
A 'F (AB ' C ')
A'F BC
⊥
⇒⊥
⊥
Khi đó:
AB'.AA '
d A'F
AB' AA '
= =
+
22
Trong đó AB’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 60° nên
A'BA AA' A'Bsin asin a=⇒= = =60 60 2 60 3

Mặt khác
AB AB'co s a
= =
60
Suy ra
AB'.AA ' a
d A'F
AB' AA '
= = =
+
22
3
2
. Chọn C.
Câu 51: Dựng
AE BD; AF A'E⊥⊥
Do
ABC BAD ABD=⇒=⇒120 60

là tam giác đều cạnh
a
a AE⇒=
3
2
Do
BD AE
BD (A 'AE) BD AF
BD AA '
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
Mặt khác
AF A 'E AF (A 'BD)⊥ ⇒⊥
Do A’B tạo với mặt phẳng đáy một góc 60°
A 'BA 60 A 'A ABtan 60 a 3⇒ =⇒= =

Khi đó
AA '.AE a
d(A;(A'BD) AF
AA ' AE
= = =
+
22
15
5
Do
B'D / /BD d(B'D';(A'BD)) d(B';(A'BD)) d⇒==
Mà
A 'B AB'∩=
I là trung điểm của AB’
a
d d(A;(A'BD)) AF⇒= = =
15
5
. Chọn D.
Câu 52: Dễ thấy A’.ABC là hình chóp tam giác đều nên hình chiếu của A’ xuống mặt đáy trùng với trọng
tâm tam giác ABC. MN là đường trung bình trong tam giác BA’C nên MN//A’C.
Khi đó
d(A'C,(AMN)) d(A';(AMN)) d(B;(AMN) d= = =
Gọi H là hình chiếu của N trên mặt phẳng (ABC)
NH/ / A'G'⇒⇒
H là trung điểm của BG.
Dựng
HE AM;HF NE d(H;(AMN)) HF⊥ ⊥⇒ =
Mặt khác
BM BC a A 'G
HE , NH= = = =
2 44 2
Trong đó
aa
BG A 'G A 'B BG=⇒= −=
22
36
33
Do đó
a NH.NE a
NH HF
NH NE
= ⇒= =
+
22
6
6
22
Suy đó
aa
d d(B;(AMN)) d(H;(AMN))= = = =
2 22
2
11
22
. Chọn A.
Câu 53: Gọi O là giao điểm của AC và BD
Ta có
OA SA
OA
OA BD
⊥
⇒
⊥
là đoạn vuông góc chung của SA và BD
Ta có
a
AC AB BC a OA AC= + = ⇒= =
22
12
2
22
Ta có
a
d(SA,BD) OA= =
2
2
. Chọn D.
Câu 54: Ta có
AB SA
AB
AB BC
⊥
⇒
⊥
là đoạn vuông góc chung của SA và BC
Ta có
AB BC⊥
và ∆ABC cân nên ∆ABC vuông cân tại B.
Do đó AB = BC = a
Ta có d(SA,BC) = AB = a. Chọn B.
Câu 55: Ta có JA = JB
⇒
IJ AB⊥
Ta có IC = ID
IJ CD⇒⊥
Do đó IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD
Do đó d(AB,CD)=IJ. Chọn B.
Câu 56: Gọi O là giao điểm của AC và BD
SO (ABCD)⇒⊥
Kẻ
OH SC⊥
BD AC
BD (SAC) BD OH
BD SO
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
OH SC
OH
OH BD
⊥
⇒
⊥
là đoạn vuông góc chung của BD và SC
22
1 a2 a2
OC AC ,SO SC OC
22 2
= = = −=
aa
OH d(BD,SC)
OH OS OC a
= + =⇒=⇒ =
2 2 23
1 1 14
22
Chọn B.
Câu 57: Gọi M là giao điểm của AB’ và A’B, N là giao điểm của CD’ và C’D
MN AB'
MN
MN CD'
⊥
⇒
⊥
là đoạn vuông góc chung của AB’ và CD’
MN BC AC AB a== −=
22
3
d(AB ', CD ') MN a= = 3
. Chọn A.
Câu 58: Ta có
CD AD
CD (SAD) CD SD
CD SA
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
CD SD
CD
CD BC
⊥
⇒
⊥
là đoạn vuông góc chung của SD và BC
CD AC AD a= −=
22
3
d(SD,BC) CD a
= =
3
. Chọn D.
Câu 59: Kẻ
BH SM, AK SM BH AK
⊥ ⊥⇒=
BC AB
BC (SAB) BC BH
BC SA
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
BH BC
BH
BH SM
⊥
⇒
⊥
là đoạn vuông góc của BC và SM
aa
AK BH
AK SA AM a
= + =⇒= ⇒=
2 2 22
1119 2 2
2 33
a
d(BC,SM) BH= =
2
3
. Chọn A.
Câu 60: Gọi N là trung điểm của BC
Ta có
A'B'//MN d(A'B',C'M) d(A'B',(C'MN))
⇒=
d(B',(B'MN)) d(C,(B'MN))= = 2
Kẻ
MN BC
CH C' N MN (BCC') MN HC
MN CC'
⊥
⊥ ⇒ ⇒⊥ ⇒⊥
⊥
Mà
HC C' N HC (C'MN)⊥ ⇒⊥
Lại có
HC a
HC NC CC' a
= + =⇒=
2 2 22
1 1 11
2
2
d(C,(B'MN)) a d(A'B',C'M) a⇒=⇒=2 22
. Chọn B.
Câu 61: Ta có
BC AB
BC (SAB) BC SB
BC SA
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
BC SB
BC
BC CD
⊥
⇒
⊥
là đoạn vuông góc chung của SB và CD
d(SB,CD) BC a= =
. Chọn A.
Câu 62: Gọi J là trung điểm của OB
⇒
IJ//OC, kẻ
OH AJ⊥
IJ / /OC d(AI,OC) d(OC,(AIJ)) d(O,(AIJ))⇒= =
IJ OB
IJ (OAB) IJ OH
IJ OA
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
Mà
OH AJ OH (AIJ)
⊥⇒ ⊥
a
OH
OH OA OJ a
= + =⇒=
2 2 22
1 1 15
5
Do đó
a
d(AI, OC) =
5
. Chọn B.
Câu 63: Kẻ
OH SA,CK SA⊥⊥
BD AC
BD (SAC) BD OH
BD SA
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
OH SA
OH
OH BD
⊥
⇒
⊥
là đoạn vuông góc chung của SA và BD
Ta có
AC a 3=
a
CK a OH
CK CS CA a
= + =⇒=⇒=
2 2 22
1 1 11
2
a
d(SA,BD) OH⇒==
2
. Chọn A.
Câu 64: Ta có
AA'//CC' d(AB',CC')⇒
=d(CC',(ABB'A'))=d(C,(ABB'A'))
Kẻ
CH AB⊥
ta có
CH AB
CH (ABB'A')
CH AA '
⊥
⇒⊥
⊥
Ta có
a
d(AB',CC')=CH=
3
2
. Chọn A.
Câu 65: Ta có
CD AD
CD (SAD) CD SD
CH SA
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
CD SD
CD
CD BC
⊥
⇒
⊥
là đoạn vuông góc chung của SD và BC
CD= AC AD a
−=
22
3
d(SD,BC) CD a= = 3
. Chọn D.
Câu 66: Ta có
BD / /B'D ' d(AD',BD) d(BD,(AB'D '))⇒=
d(B,(AB'D')) d(A',(AB'D'))
= =
Gọi O’ là giao điểm của A’C’ và B’D’, kẻ
A'H O'A⊥
Ta có
B 'D' A 'O '
B'D' (AA'O) B'D' O'A
B'D ' AA '
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
Mà
A'H AO' A'H (AB'D')⊥⇒ ⊥
Ta có
a
A'O' A 'C '= =
12
22
. Ta có
A'H A'O' AA' a
=+=
2 2 22
1 1 13
aa
A 'H d(AD ', BD)⇒=⇒ =
33
33
. Chọn B.
Câu 67: Kẻ
AH SB⊥
AD AB
AD (SAB) AD AH
AD SA
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
AH SB
AH
AH AD
⊥
⇒
⊥
là đoạn vuông góc chung của SB và AD
Ta có
a
AH
AH AS AB a
= + =⇒=
2 2 22
1 1 12 2
2
Ta có
a2
d(SB, AD) AH
2
= =
. Chọn C.
| 1/63
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHỦ ĐỀ 6: BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
Vấn đề 1: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG
Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao
Xét bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ
điểm A bất kì đến mặt bên (SHB).
Kẻ AH ⊥ HB ta có: AK ⊥ HB  ⇒ AK ⊥ (SHB) AK ⊥ SH Suy ra d ( ;
A (SHB)) = AK .
Cách tính: Ta có: d ( A (SHB)) 2 ; SAHB = AK = HB =  = 
ABsin ABK AH.sin AHK .
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC có = = 
AB 3a, BC 2a, ABC = 60° . Biết SA ⊥ ( ABC) .
a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) .
b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC). Lời giải CH ⊥ AB
a) Dựng CH ⊥ AB ta có:  ⇒ CH ⊥ (SAB) CH ⊥ SA Do đó
d (C (SAB)) = =  ;
CH CBsin ABH = 2asin 60° = a 3 .
b) Dựng CK ⊥ AC ⇒ CK ⊥ (SAC) .
Ta có: d (B (SAC)) 2SA . B BC sin ; ABC ABC = CH = = AC AC Trong đó 2 2 2 = + −  AC AB BC 2B . A BC cos B ⇒ AC = a
⇒ d (B (SAC)) 3 .2 a . a sin 60° 3a 21 7 ; = = . a 7 7
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với B = a, AD = a 3 . Tam giác SAB cân tại S và
thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung tâm của AB.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SHD) .
b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SHC) . Lời giải
a) Do tam giác SAB cân tại S nên SH ⊥ AB . Ta có: a HA = HD = . 2
Mặt khác (SAB) ⊥ ( ABCD) ⇒ SH ⊥ ( ABCD) .
Dựng AE ⊥ DH ⇒ AE ⊥ (SHD) ⇒ d ( ;
A (SHD)) = AE . Mặt khác AH.AD a 39 AE = = . 2 2 AH + AD 13
b) Dựng DK ⊥ CH ⇒ d ( ;
D (SHC)) = DK . 2 Ta có: 2 2 a 13
CH = HB + BC = , 1 a S
= CD d H CD = a a = . HCD ( ) 1 3 . ; . . 3 2 2 2 2
Do đó d ( (SHC)) 2S a HCD 2 39 D; = = . CH 13
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có AD = 3a , AB = BC = 2a . Biết
SA ⊥ ( ABCD) .
a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD).
b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC). Lời giải
a) Dựng CE ⊥ AD ⇒ CE ⊥ (SAD) .
Khi đó d (C;(SAD)) = CE , do ABCE là hình vuông cạnh 2a nên
CE = AE = 2a ⇒ d (C;(SAD)) = 2a .
b) Dựng DH ⊥ AC ⇒ DH ⊥ (SAC). Khi đó d ( ;
D (SAC)) = DH .
Ta có: ABCE là hình vuông nên  CAD = 45°. Do đó 2 3a 2 DH = ADsin 45° = 3 . a = . 2 2
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 5a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S
trên mặt phẳng ( ABCD) trùng với trọng tâm H của tam giác ABD.
a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SHD) . Lời giải
a) Do H là trọng tâm tam giác ABD ⇒ H ∈ AC .
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD ⇒ BO ⊥ AC .
Mặt khác BO ⊥ SH ⇒ BO ⊥ (SAC)
Khi đó d (B (SAC)) 5a 2 ; = BO = . 2
b) Dựng CK ⊥ HD ⇒ CK ⊥ (SHD) ⇒ d (C;(SHD)) = CK .
Gọi I là trung điểm của AB thì H = DI ∩ AO . 1 2. S 2 2 ABCD Khi đó: 2S a a ICD 2 25 25 CK = = = = = 2a 5 . 2 2 2 DI DI DA + AI 2  5 25 a a  +  2   
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác đều cạnh a , với AB = 2a . Biết SA ⊥ ( ABCD)
và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60°.
a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) .
b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC). Lời giải
a) Tứ giác ABCD là nửa lục giác đều cạnh a nên nó nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a .
Dựng CH ⊥ AB ⇒ CH ⊥ (SAB) ⇒ d (C;(SAB)) = CH . Mặt khác  a 3
ABC = 60° ⇒ CH = BC sin 60° = . 2
Vậy d (C (SAB)) a 3 ; = . 2
b) Dựng DK ⊥ AC ⇒ DK ⊥ (SAC) ⇒ d ( ;
D (SAC)) = DK . Do  = °  = ° ⇒  = ° ⇒ =  120 , 90 30 sin = sin 30 a DCB ACB ACD DK CD DCK a ° = . 2
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2, AB = 2, BC = 2 .
Gọi M là trung điểm của CD, hai mặt phẳng (SBD) và (SAM ) cùng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách
từ B đến mặt phẳng (SAM ). Lời giải Ta có S = S = = ⇒ = = . ∆ S∆ S∆ S ABCD 2 ABC 2 MAB 2 ABC M ∆ AB 1 1 ⇒ =  = ⇒  1 S = . ∆ AB BC ABC ABC ABC . . .sin 1 sin 2 2 Do đó  = ° ⇒  ABC 45 ADM = 45°.
Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ADM, ta có: 2 2 = + −  10 AM AD DM 2.A . D DM.cosADM = 2
Gọi H là giao điểm của AM và BD ⇒ SH ⊥ ( ABCD) .
Kẻ BK vuông góc với AM, K ∈ AM ⇒ BK ⊥ AM ( ) 1 .
Ta có (SAM ) ∩(SBD) = SH ⇒ SH ⊥ ( ABCD) ⇒ SH ⊥ BK (2) . Từ ( )
1 ,(2) ⇒ BK ⊥ (SAM ) ⇒ d ( ;
B (SAM )) = BK . Mặt khác 1 2.S MA ∆ B 4 2 10 S = ⇒ = = = . ∆ BK AM BK MAB . . 2 AM 10 5
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ ABC .
D A' B 'C ' D ' có đáy là hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo
AC = BD = 2a . Tam giác A’BD vuông cân tại A’ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng
( A' AB) tạo với đáy một góc 60°. Tính khoảng cách d (B';(A'BD)). Lời giải
Gọi H là tâm hình chữ nhật ABCD
⇒ HA = HC ⇒ A' H ⊥ BD (Do A
∆ ' BD cân tại A’).
Do ( A'BD) ⊥ ( ABCD) ⇒ A'H ⊥ ( ABCD) . Ta có: 1
A'H = BD = a (trong tam giác vuông đường trung 2
tuyến ứng cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).
Dựng HM ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( A HM ) ⇒  ' A'MH = 60° +) Khi đó: tan 60° = ' a HM A H ⇒ HM = 3 2a 2 ⇒ AD = 2HM = ⇒ AB = 2a 3 3
Do: A'D / /B 'C ⇒ B 'C / / ( A'BD) ⇒ d (B';( A'BD)) = d (C;( A'BD)) . Ta có: . CD CB 2a 2 CE = =
. Vậy d (B ( A BD)) 2a 2 '; ' = . BD 3 3
Dạng 2: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên.
Xét bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc lên mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ
điểm H đến mặt bên (SAB) .
Dựng HE ⊥ AB,(E ∈ AB) ta có: AB ⊥ SH  ⇒ AB ⊥ (SHE) ( ) 1 . AB ⊥ HE
Dựng HF ⊥ SE,(F ∈ SE) . Từ ( ) 1 HF ⊥ AB
Do đó HF ⊥ (SAB) ⇒ d (H;(SAB)) = HF .
Cách tính: Xét tam giác SHE vuông tại H có đường cao HF ta có: 1 1 1 = + 2 2 2 HF HE SH Hay HE.SH HF = . 2 2 HE + SH
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a 3 . Biết SA = 2a và SA ⊥ ( ABC) .
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM ). Lời giải
a) Ta có : AB ⊥ BC , mặt khác BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) . AH ⊥ SB
Dựng AH ⊥ SB ⇒  ⇒ AH ⊥ (SBC) . AH ⊥ BC Khi đó ( ( )) S . A AB 2 ; a d A SBC = AH = = . 2 2 SA + AB 5
b) Dựng AE ⊥ BM , AF ⊥ SE ta có: AE ⊥ BM 
⇒ BM ⊥ (SAE) ⇒ BM ⊥ AF. AE ⊥ BM AF ⊥ SE Khi đó:  ⇒ AF ⊥ (SBM) . AF ⊥ BM Ta có: 2 2
AB = a, AC = AB + AC = 2a . Do BM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên 1
BM = AC = AM = AB = a ⇒ A
∆ BM đều cạnh a a 3 ⇒ AE = . 2 2
Khi đó d ( A (SBM )) AE.SA 2a 57 ; = = . 2 2 AE + SA 19
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a , SA ⊥ ( ABC) . Đường thẳng SB tạo với đáy một góc 60°.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCM ) , với M là trung điểm của cạnh AB. Lời giải
a) Do SA ⊥ ( ABC) ⇒ (SB ( ABC))  =  ; SBA = 60° .
Do đó SA = AB tan 60° = 2a 3 .
Dựng AE ⊥ BC, A
∆ BC đều nên AB 3 = a 3 . 2 BC ⊥ SA
Dựng AF ⊥ SE , mặt khác  ⇒ BC ⊥ AF. BC ⊥ AE
⇒ AF ⊥ (SBC) ⇒ d ( A (SBC)) S . A AE 2a 21 ; = AF = = . 2 2 SA + AE 7
b) Do M là trung điểm của AB nên CM ⊥ AB .
Mặt khác CM ⊥ SA ⇒ CM ⊥ (SAM) . Dựng AH ⊥ SM ⇒ AH ⊥ (SMC) . Khi đó ( ( )) S . A AM 2 ; a d A SMC = = . 2 2 SA + AM 5
Ví dụ 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Biết OA = a,OB = , b OC = c .
Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng ( ABC). Lời giải OC ⊥ OA Do 
⇒ OC ⊥ (OAB) ⇒ AB ⊥ OC . OC ⊥ OB
Dựng OE ⊥ AB,OF ⊥ CE suy ra OF ⊥ BC .
Khi đó OF ⊥ ( ABC) ⇒ d ( ;
O ( ABC)) = OF . Mặt khác: 1 1 1 = + và 1 1 1 = + 2 2 2 OF OC OE 2 2 2 OE OA OB Do đó 1 1 1 1 = + + 2 d ( ; O ( ABC)) 2 2 2 a b c Vậy abc d = . 2 2 2 2 2 2
a b + b c + c a
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SB vuông góc với mặt
phẳng đáy. Cho biết SB = 3a, AB = 4a, BC = 2a . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC). A. 12a 61 B. 4a C. 12a 29 D. 3a 14 61 5 29 14 Lời giải
Ta có: BS, BA, BC đôi một vuông góc với nhau nên ta có: 1 1 1 1 1 1 1 61 = + + = + + = 2 d ( ; B (SAC)) 2 2 2 2 2 2 2 SB AB AC 9a 16a 4a 144a
Do đó d (B (SAC)) 12a 61 ; = . Chọn A. 61
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và AB = a, BC = a 3 . Hình chiếu
vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của cạnh AC. Biết SH = a , tính khoảng cách
từ H đến các mặt phẳng (SAB) và (SAC). Lời giải
Dựng HE ⊥ AB và HF ⊥ SE thì ta có d (H;(SAB)) = HF .
Mặt khác HE là đường trung bình trong tam giác ABC nên BC a 3 HE = = . 2 2
Khi đó d (H (SAB)) HE.SH a 21 ; = HF = = . 2 2 HE + SH 7
Tương tự dựng HM ⊥ BC, HN ⊥ SM ⇒ d (H;(SBC)) = HN Mặt khác AB a SH.HM a HM = = ⇒ HN = = . 2 2 2 2 SH + HM 5
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = 2a , SA vuông góc với
đáy và SA = a .
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) và (SBC).
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). Lời giải BC ⊥ SA
a) Dựng AN ⊥ SB . Do  ⇒ BC ⊥ AN . BC ⊥ AB ⊥ ( ) ⇒ ( ( )) . ; SA AB AN SBC d A SBC = AN = 2 2 SA + AB
Vậy ( A (SBC)) a 2 ; = . 2 Tương tự ( ( )) S . A AD 2 ; a d A SCD = AM = = . 2 2 SA + AD 5
b) Dựng AE ⊥ BD,AF ⊥ SE .
Ta chứng minh được d ( ;
A (SBD)) = d = AF Vì 1 1 1 1 2a
AS ⊥ AB ⊥ AD ⇒ = + + ⇒ d = . 2 2 2 2 d AB AD SA 3
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên
mặt đáy trùng với trung điểm H của AB. Biết SD = 3a .
a) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) .
b) Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBD). Lời giải a) Ta có: 2 2
HD = AH + AD = a 5 Mặt khác 2 2
SH = SD − DH = 2a .
Dựng HM ⊥ CD, HN ⊥ SM ⇒ d (H;(SCD)) = HN .
Do AHMD là hình chữ nhật nên AD = HM = 2a . Khi đó ( ( )) SH. ; HM d H SCD = = a 2 . 2 2 SH + HM
b) Dựng HE ⊥ B ;
D HF ⊥ SE khi đó d (H;(SBD)) = HF Ta có: OA a 2
AC = 2a 2 ⇒ OA = a 2 ⇒ HE = = 2 2 Do đó 1 1 1 2a 2 = + ⇒ = ⇒ ; a HF d H SBD = HF = . 2 2 2 ( ( )) HF SH HE 3 3
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có tam giác ABC đều cạnh a . Gọi H là trung
điểm của AB. Biết SH vuông góc với mặt đáy, mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc 60°. Tính
a) Khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) .
b) Khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SBC). Lời giải a) Do A
∆ BC đều nên CH ⊥ AB ⇒ CH ⊥ CD
CH ⊥ (SHC) ⇒  a 3 SCH = 60 ,°CH = . 2 Ta có: 3 = tan 60 a SH CH ° = . 2 a 3
HK ⊥ BC, HK =
; HF ⊥ SK ⇒ HF ⊥ (SBC) 4 Mặt khác: HK.SH 42a HF = = . 2 2 HK + SH 14
Khi đó d (H (SBC)) a 42 ; = 14
b) Dựng HE ⊥ SC ta có: HE ⊥ (SCD) . Ta có: HC.SH 3a = = ⇒ ( ( )) 3 ; a HE d H SCD = HE = . 2 2 HC + SH 4 4
Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AD AB = BC = . Mặt 2
phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết SA = 2a và đường thẳng SD tạo với mặt
phẳng (SAC) một góc 30° . tính
a) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) .
b) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Lời giải (
 SAB) ⊥ ( ABCD) a) Do 
⇒ SA ⊥ ( ABCD) ( .  SAD  ) ⊥ ( ABCD) Đặt AD AB = BC =
= x , gọi E là trung điểm của AC ta có: 2 1
CE = AB = AD ⇒ A
∆ CD vuông tại C (tính chất trung 2
tuyến ứng cạnh huyền trong tam giác vuông). +) Khi đó ta có: 2 2
SC = 2x + 4a ,CD = x 2 . CD ⊥ SA +) Mặt khác: 
⇒ CD ⊥ (SAC). CD ⊥ AC Do đó ( ; SD (SAC))  =  DC x 2 1 2 2
DSC = 30° ⇒ tan 30° = ⇒ =
⇔ 4x = 4a ⇔ x = a . 2 2 SC 2x + 4a 3 Dựng ⊥ ⇒ ⊥ ( ) ⇒ ( ( )) S . A AC 2 ; a AK SC AK SCD d A SCD = AK = = . 2 2 SA + AC 3 BC ⊥ SA
b) Dựng AH ⊥ SB , ta có:  ⇒ BC ⊥ AH . BC ⊥ AB
Mặt khác: AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ (SBC) . Do đó A . B SA 2a = = ⇒ ( ( )) 2 ; a AH d A SBC = AH = . 2 2 AB + SA 5 5
Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD là tam giác vuông cân tại
S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SA = a 2 và SB tạo với đáy một góc 30° . Gọi H là trung
điểm của AD. Tính các khoảng cách sau:
a) d (H;(SBC))
b) d (H;(SAC)) Lời giải
a) Gọi H là trung điểm của AD ta có: SH ⊥ AD
Lại có: (SAD) ⊥ ( ABCD) ⇒ SH ⊥ ( ABCD) . Mặt khác: 1
AD = SA 2 = 2a ⇒ SH = AD = a . 2 
SBH = 30° ⇒ HB tan 30° = SH = a ⇒ HB = a 3 Khi đó: 2 2
AB = HB − AH = a 2 HE ⊥ BC Dựng 
ta có: BC ⊥ HF từ đó suy ra HF ⊥ (SBC) ⇒ d (H;(SBC)) = HF . HE ⊥ SE Ta có: 1 1 1 a 6 = + ⇒ HF = = d H; SBC . 2 2 2 ( ( )) HF SH HE 3
b) Dựng HN ⊥ AC ⇒ AC ⊥ (SHN ) , dựng HI ⊥ SN ⇒ HI ⊥ (SAC) Dựng 2a 2 a HN.SH a
DM ⊥ AC ⇒ DM = ⇒ HN = ⇒ HI = = . 2 2 6 3 HN + SH 2 Do đó ( ;( )) a d H SAC = HI = 2
Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân ( AD / /BC) có
AB = BC = CD = a, AD = 2a , SA vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng (SCD) tạo với mặt phẳng
( ABCD) một góc 60°. Tính cách các khoảng cách sau: a) d ( ; A (SCD)) b) d ( ; A (SBC)) Lời giải
a) Gọi O là trung điểm của cạnh AD ta có tứ giác ABCO là hình bình hành 1
⇒ AB = CO = a = AD do đó 
ACD = 90° ⇒ AC ⊥ CD 2
mà SA ⊥ CD nên (SAC) ⊥ ⇒  CD SCA = 60° . +) Ta có: 2 2
AC = AD − CD = a 3 suy ra SA = AC tan 60° = 3a
+) Dựng AE ⊥ SC, AE ⊥ CD ⇒ AE ⊥ (SCD) .
+) Khi đó d (B SCD) = d (O SCD) 1 ; ; = d ( ; A (SCD)) . 2 +) Ta có: S . A AC 3a = = ⇒ ( ( )) 3 ; a AE d A SCD = AE = . 2 2 SA + AC 2 2
b) Dựng AK ⊥ BC, AH ⊥ SK ⇒ AH ⊥ (SBC) +) Ta có: d ( ;
A (SBC)) = AH . +) Mặt khác: = ( ) AC.CD a 3 AK.SA 3 ; a AK d C AD = = ⇒ AH = = 2 2 2 2 AC + CD 2 SA + AK 13 Do đó ( ( )) 3 ; a d A SBC = AH = . 13
Ví dụ 12: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B 'C 'có đáy là tam giác đều cạnh a , gọi I là trung điểm cạnh
BC, đường thẳng A’C tạo với đáy một góc 60°.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A'BC) .
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α ) chứa A’I và song song với AC. Lời giải
a) Do AA ⊥ ( ABC) ⇒ ( A ( ABC))  =  ' 'C; A'CA. Ta có: 
A'CA = 60° ⇒ AA' = AC tan 60° = a 3
Dựng AI ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( A' AI ) và a 3 AI = 2
Dựng AH ⊥ A'I ⇒ d ( ;
A ( A'BC)) = AH Ta có: AI.AA' a 15 AH = = 2 2 AI + AA' 5
Vậy d ( A ( A BC)) a 15 ; ' = AH = 5
b) Dựng Ix / / AC ⇒ (α ) ≡ ( A'Ix) Khi đó: d ( ; A (α )) = d ( ;
A ( A'Ix)), Ix cắt AB tại trung điểm M và AB.
Dựng AK ⊥ Ix, AE ⊥ A'K Do ⇒  =  IM / / AC AMK MAC = 60° suy ra =  a a 3
AK AM sin AMK = sin 60° = 2 4
Ta có: d ( A ( A IK )) AK.A' A a 51 ; ' = AE = = 2 2 AK + A' A 17
Ví dụ 13: Cho hình lăng trụ ABC.A'B 'C 'có đáy là tam giác vuông cân tại A với AB = AC = 3a . Hình
chiếu vuông góc của B’ lên mặt đáy là điểm H thuộc BC sao cho HC = 2HB . Biết cạnh bên của lăng trụ bằng 2a .
a) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (B' AC) .
b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (BAA'B') . Lời giải a) Ta có: 2 2
BC = AB + AC = 3a 2 ⇒ HB = a 2 Lại có 2 2
B 'H = BB ' − HB = a 2
Dựng HE ⊥ AC, HF ⊥ B 'E ⇒ HF ⊥ (B' AC)
Áp dụng định lý Talet trong tam giác BAC ta có: HE CH 2 HE.B 'H 2 = = ⇒ = 2 a HE a ⇒ HF = = 2 2 AB BC 3 HE + B 'H 3 Do có: ( ( )) 2 ; ' a d H B AC = HF = 3
b) Dựng HM ⊥ AB, HN ⊥ B 'M
Khi đó d (H;(B'BA)) = HN . Ta có: AC HB '.HM a 6 HM = = a ⇒ HN = = . 2 2 3 HB ' + HM 3
Dạng 3: Khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến mặt bên.
 Nếu AB / / (α ) thì ta có d ( ; A (α )) = d ( ; B (α )) . d ( ; A (α )) AI
 Nếu AB cắt (α ) tại I thì ta có: = (định lý Talet). d ( ; B (α )) BI
Xét bài toán: Tính khoảng cách từ điểm C bất kỳ đến mặt phẳng bên (SAB).
Nếu CH / / (SAB) ⇒ d (C;(SAB)) = d (H;(SAB)).
d (C; SAB ) Nếu ∩ ( ) ( ) CI CH SAB = I ⇒ =
d (H (SAB)) . ; HI
Quay trở về bài toán tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt phẳng bên.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = 2a . Tam giác SAC cân tại
S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết 3a SB = , tính: 2
a) Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
b) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) . Lời giải
a) Gọi H là trung điểm của AC⇒ SH ⊥ AC
Mặt khác (SAC) ⊥ ( ABC) ⇒ SH ⊥ ( ABC) 2 2 Ta có: AC AB BC a 5 BH + = = =
(trong tam giác vuông thì trung 2 2 2
tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy). Do đó 2 2
SH = SB − BH = a
Dựng HE ⊥ AB, HF ⊥ SE khi đó HF ⊥ (SAB)
Do vậy d (H;(SCD)) = HF . Lại có BC HE = = a 2 Mặt khác 1 1 1 SH.HE a 2 = + ⇒ HF = = 2 2 2 2 2 HF HE SH SH + HE 2 d(C;(SAB)) Lại có CA = = ⇒ = = . d( 2 d(C; SAB ) 2d(H; SAB ) H;(SAB)) ( ) ( ) a 2 HA
b) Dựng HM ⊥ BC,HN ⊥ SM ⇒ d(H;(SBC)) = HN . Trong đó AB a SH.HM a HM = = ⇒ HN = = 2 2 2 2 SH + HM 5 d(A;(SBC)) Lại có AC 2a = = ⇒ = = = . d( 2 d(A; SBC ) 2d(H; SBC ) H;(SBC)) ( ) ( ) 2HN HC 5
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) , đáy là tam giác đều cạnh a. Biết SB = a 5 .
a) Tính khoảng cách từ trung điểm K của SA đến mặt phẳng (SBC) .
b) Tính khoảng cách từ trung điểm I của SB đến mặt phẳng (SAC) . Lời giải a) Dựng a 3
AM ⊥ BC ⇒ AM = ACsinC = a sin 60° = 2 BC ⊥ SA Dựng AN ⊥ SM . Do  ⇒ BC ⊥ AN BC ⊥ AM
Lại có AN ⊥ SM ⇒ AN ⊥ (SBC) Mặt khác 2 2 1 1 1 SA = SB − AB = 2a, = + 2 2 2 AN SA AM ⇒ ( ( )) 2a 57 d A; SBC = AN = 19 d(K;(SBC))
Do K là trung điểm của SA nên ta có KS 1 1 a 57 = = ⇒ = = . d( d(K; SBC ) A;(SBC)) ( ) AN AS 2 2 19 b) Dựng a 3 BE ⊥ AC ⇒ BE = 2 Mặt khác ⊥ ⇒ ⊥ ( ) ⇒ ( ( )) a 3 BE SA BE SAC d B; SAC = BE = 2 d(B;(SAC)) Do BS 1 a 3 = = ⇒ = = . d( 2 d(I; SAC ) d(B; SAC ) I;(SAC)) ( ) ( ) IS 2 4
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 3a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt
phẳng đáy và điểm H thuộc cạnh AB sao cho HB=2HA. Biết SC tạo với đáy một góc 45°. Tính các khoảng cách sau: a) d(B;(SAC)) b) d(I;(SBC)) Lời giải
a) Tam giác ABC đều nên  HAC = 60°. Ta có: 2 2
HC = AH + AC − 2AH.ACcos60° = a 7 Mặt khác ( ( ))  =  SC; ABC SCH = 45° ⇒ SH = HC = a 7 BA d(B;(SAC)) Ta có: = HA d(H;(SAC)) ⇒ d(B;(SAC)) = 3d(H;(SAC))
Dựng HE ⊥ AC,HF ⊥ SE ⇒ HF ⊥ (SAC) Ta có: a 3 HE = HAsin 60° = a sin 60° = 2 HE.SH a 651 ⇒ = = ⇒ ( ( )) 3a 651 HF d B; SAC = 3HF = 2 2 SH + HE 31 31 d(A;(SBC)) b) Ta có: AB 3 3 = = ⇒ = d( d(A; SBC ) d(H; SBC ) H;(SBC)) ( ) ( ) HB 2 2
Dựng HM ⊥ BC,HN ⊥ SM ⇒ d(H;(SBC)) = HN Mặt khác SH.HM a 210
HM = HBsin 60° = 2a sin 60° = a 3 ⇒ HN = = 2 2 SH + HM 10 Do đó ( ( )) 3 3a 210 d A; SBC = HN = . 2 20
Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh. Cạnh bên tạo với đáy góc 60°.
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) . Lời giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ SG ⊥ (ABC)
Gọi M là trung điểm của BC ⇒ BC ⊥ GM , lại có: BC ⊥ SG suy ra BC ⊥ (SGM) . GE ⊥ SM Dựng GE ⊥ SM ⇒  ⇒ GE ⊥ (SBC) GE ⊥ BC Do đó d(G;(SBC)) = GE trong đó 1 1 a 3 a 3 2 a 3 GM = AM = . = ,GA = AM = 3 3 2 6 3 3 Do ⊥ ⇒ ( ( ))  =  SG (ABC) SA; ABC SAG = 60° a 3 ⇒ SG = GA tan 60° = tan 60° = a 3 d(A;(SBC)) Do đó SG.GM a GE = = , mặt khác AM = = 3 2 2 SG + GM 13 d(G;(SBC)) GM Vậy ( ( )) = ( ( )) 3a d A; SBC 3d G; SBC = . 13
Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, tâm O, SO=a
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng(SCD) .
b) Tính khoảng cách từ trung điểm của SO đến mặt phẳng (SCD) . Lời giải
a) Dựng OE ⊥ SE,OF ⊥ SE ⇒ d(O;(SCD))=OF Mặt khác AD SO.OE a 2 OE = = a ⇒ d =OF= = 0 2 2 2 SO + OE 2 d(A;(SCD)) Lại có: = ⇒ = = d( 2 d(A; SCD ) O;(SCD)) ( ) 2d a 2 o
b) Gọi M là trung điểm của SO thì d(M;(SCD)) MS 1 1 a 2 = = ⇒ = = d( d(M; SCD ) O;(SCD)) ( ) do OS 2 2 4
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, biết  BAD =120° và
SO ⊥ (ABCD). Biết SO = a 3 , tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) . Lời giải
Dựng OE ⊥ CD,OF ⊥ SE ⇒ d(O;(SCD))=OF Do  = ° ⇒  BAD 120 CAD = 60° ⇒ C
∆ AD là tam giác đều cạnh a Khi đó  a 3 a 3
OCE = 60° ⇒ OE = OCsin 60° = . = 2 2 4 Do đó SO.OE a 51 OF = = = d(O;(SCD)) 2 2 SO + OE 17 d(A;(SCD)) Mặt khác AC = = d(O;(SCD)) 2 OC ⇒ ( ( )) 2a 51 d A; SCD = 2OF = 17
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3AD = 3. Hình chiếu vuông góc của
đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H∈AB sao cho HB = 2HA . Biết SH = 3
a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD).
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) . Lời giải a) AB = 3 ⇒ HA =1 AD ⊥ SH Dựng HE ⊥ SA . Ta có:  ⇒ AD ⊥ HE AD ⊥ AB Khi đó ⊥ ( ) ⇒ ( ( )) HA.SH 3 HE SAD d H; SAD = HE = = 2 2 HA + SH 2 Mặt khác d BA 3 3 B = = 3 ⇒ d(B;(SAD)) = 3d = H d HA 2 H
b) Do AH / /CD ⇒ AH / / (SCD) ⇒ d(A;(SCD)) = d(H;(SCD))
Dựng HK ⊥ CD,HF ⊥ SK ⇒ d(H;(SCD))=HF Mặt khác SH.HK 3 HK = AD =1,SH = 3 ⇒ HF = = 2 2 SH + HK 2 Vậy ( ( )) 3 d A; SCD = 2
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, hình chiếu của đỉnh S trên
mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh OA. Biết góc giữa mặt phẳng (SCD) và đáy bằng 60°. Tính khoảng cách: a) d(B;(SCD)) b) d(A;(SBD)) Lời giải
a) Dựng HK ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (SHK) (( ) ( ))  =  SCD ; SHK SKH = 60°. Ta có: 3 3a HK = AD = 4 4 Mặt khác 3a 3 SH = HK tan 60° = 4
Ta có: AB / /CD ⇒ AB / / (SCD) d(A;(SCD)) Lại có: AC 4 = = d(H;(SCD)) HC 3 Do đó: ( ( )) = ( ( )) 4 d B; SCD d A; SCD = d(H;(SCD)) 3 Dựng ⊥ ⇒ =  3a 3 HE SK HE HK sin HKE = HK sin 60° = 8 Vậy ( ( )) 4 4 3 3a 3a d B; SCD = HE = . = 3 3 8 2 d(A;(SBD)) b) Ta có: AO 1 a 2 = = ⇒ = = = d( 2 d(A; SBD ) 2d(H; SBD ) H;(SBD)) ( ) ( ) ,HO AC HO 4 4 Dựng HO.SH 3a 696 HF ⊥ SO ⇒ HF = = 2 2 HO + SH 232 Vậy d(A;(SBD)) 3a 696 = 2HF = 232
Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD tâm O, SA = 2a 2 . Hình chiếu vuông góc của
S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh OA, biết tam giác SBD vuông tại S. Tính khoảng
cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) Lời giải
Ta có ∆SBD vuông tại S nên 1 1 SO = BD = AC 2 2 ⇒ S
 AC vuông tại S ta có: 2 2 SA = HA.AC = 4HA 2 2
⇔ 8a = 4HA ⇔ HA = a 2 ⇔ AC = 4a 2 ⇒ AB = AC = 4a Khi đó: 2 2 SH = SA − HA = a 6
Do AD / /BC ⇒ d(D;(SBC)) = d(A;(SBC)) d(A;(SBC)) Mặt khác AC 4 = = d(H;(SBC)) HC 3 Do đó ( ( )) 4
d D; SBC = d(H;(SBC)) . Dựng HE ⊥ BC,HK ⊥ SE ⇒ HK ⊥ (SBC) . 3 Ta có 3 HE.SH 6a = = ⇒ = = ⇒ ( ( )) 4 8a 4a 10 HE AB 3a HK d D; SBC = HK = = 2 2 4 HE + SH 10 3 10 5
Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB là đáy lớn và tam
giác ABC là tam giác đều. Các mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy, cạnh bên SC = 2a
và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) bằng a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). Lời giải (  SAB) ⊥ (ABC) Ta có: (  ) ⊥ ( ) ⇒ SA ⊥ (ABC) SAC ABC
Gọi M là trung điểm của AB suy ra CM ⊥ AB ⇒ CM ⊥ (SAB) Do đó d(C;(SAB)) = CM = a 2 2 ⇒ SM = SC − CM = a 3
Gọi K là trung điểm của BC nên AK = CM = a Lại có 3 2a CM = AB ⇒ AB = 2 3 a 2a 6 ⇒ AM = ⇒ SA =
. Kẻ AH ⊥ SK,H ∈SK nên AH ⊥ (SBC) ⇒ d(A;(SBC)) = AH 3 3 Khi đó 1 1 1 1 1 2a 22 = + = + ⇒ AH = 2 2 2 2 2 AH SA AK   a 11 2a 6  3   
Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là lục giác đều cạnh a. Tam giác SAD vuông cân tại S và thuộc
mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD) .
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD). Lời giải
a) Gọi H là trung điểm của AD ⇒ SH ⊥ AD
Mặt khác (SAD) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD) S
∆ AD vuông cân tại S nên AD SH = = a 4
Dễ thấy HC=AB=a ⇒ HC ∆ D đều cạnh a
Dựng HE ⊥ CD,HF ⊥ SE ⇒ d(H;(SCD))=HF Mặt khác a 3 SH.HE a 21 HE = ⇒ HF = = 2 2 2 SH + HE 7 Do D=2HD⇒ ( ( )) 2a 21 d A; SCD = 2HF = 7
b) Dễ thấy HDCB là hình thoi cạnh a Do đó ⇒ ( ) ⇒ ( ( )) = ( ( )) a 21 BH / /CD BD / / SCD d B; SCD d H; SCD = HF = 7
Ví dụ 12: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân AC = BC = a,AB = a 3 , hình
chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Biết mặt phẳng
(B'C'CB) tạo với đáy một góc 60°. Tính các khoảng cách: a) d(A;(A'BC)) . b) d(C;(ABB'A')) . Lời giải
a) Gọi I là trung tâm của AB ta có: CI ⊥ AB
Dựng GE ⊥ BC ⇒ (A'EG) ⊥ BC Ta có: 
A 'EG = 60° ⇒ GA ' = GE tan 60° 2 2 a a CI = BC − IB = ⇒ CG = 2 3 Mặt khác:  3 = ⇒  sin ICB ICB = 60° 2 Khi đó: a 3 GE = CG sin 60° = 6 a ⇒ A 'G = GE tan 60° = 2
Dựng GF ⊥ A 'E ta có: GF ⊥ (A'BC) ⇒ d(G;(A'BC))=GF Ta có: ( ( )) = ( ( )) a 3 3 3a d A; A 'BC
3d G; A 'BC = 3GF = 3GEsin 60° = 3 . = 6 2 4
b) Do CI = 3GI ⇒ d(C;(B'AB)) = 3d(G;(B'AB)) Dựng ⊥ ⇒ ( ( )) GI.A 'G GK A 'I d G; A 'AB = 2 2 GI + A 'G Trong đó 1 a a a 10 = = = ⇒ = ⇒ ( ( )) 3a 10 GI CI ,A 'G GK d C; A 'AB = 3 6 2 20 20
Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = AD = 2a,BC = a ,
tam giác SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), biết cạnh bên SD = 3a , tính khoảng
cách từ A đến mặt phẳng SCD Lời giải
Gọi H là trung điểm của AB ta có: SH ⊥ AB mặt khác (ABC) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD) Ta có: 2 2
HD = AH + AD = a 5 . Khi đó: 2 2 SH = SD − HD = 2a Gọi KB BC 1 4 K = AB∩ CD ⇒ = = ⇒ AK = HK KA AD 2 3 Ta có: ( ( )) 4 = ( ( )) 4 d A; SCD
d H; SCD = HF. Dựng HE ⊥ CD,HF ⊥ SE ⇒ HF ⊥ (SCD) 3 3 2 2 Ta có: 2
CD = AB + (AD − BC)2 = a 5 ; 2 3a 3a S = S − S − S = 3a − = HCD ABCD HBC HAD 2 2 2 Do vậy 2S 3a 3a SH.HE 6a 8a HCD HE = = = ⇒ HF = = ⇒ d(A;SCD) = . 2 2 CD a 5 5 SH + HE 29 9
Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh a, AD=2a, tam giác SAB cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SD tạo với đáy một góc ϕ thỏa mãn 1 tan ϕ =
. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD. 13 Lời giải
Gọi H là trung điểm của AB ta có: SH ⊥ AB
Mặt khác (SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD) Ta có: = + −  2 2 2 2 2 a 2 2 13a HD AH AD 2AD.AH.cos HAD = + 4a − 2a .cos60° = 4 4 a 13 ⇒ HD = 2 Ta có:  a SDH = ϕ ⇒ SH = HD tan ϕ = 2 Gọi AF 4 F = AB∩ CD ⇒ AF = 2AB ⇒ = HF 3 Do đó: ( ( )) 4 = ( ( )) 4 d A; SCD d H; SCD = HK 3 3 Mặt khác 3a 3 3a 3 HE = HFsin 60° = . = 2 2 4 HE.SH 3a 93 ⇒ = = ⇒ ( ( )) 4 2a 93 HK d A; SCD = HK = 2 2 SH + HE 62 3 61
Dạng 4: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau là khoảng cách từ một điểm M
bất kì thuộc đường a đến mặt thẳng (α) .
d(a;(α)) = d(M;(α)) = MH(M∈(α)).
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng kia.
d((α);(β)) = d(a;(β)) = d(A;(β)) = AH(a ⊂ (α),A∈a)
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên SBC vuông góc với đáy ABC, Gọi
M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, SA, AC. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (SBC) . Lời giải MP / /BC Do  ⇒ (MNP) ⊥ (SBC) MN / /SB
Dựng SH ⊥ BC(H∈BC). Mặt khác (SBC) ⊥ (ABC) Do đó SH ⊥ (ABC)
Gọi M là trung điểm của BC⇒ AM ⊥ BC
Gọi K = AE ∩ MP ⇒ KE ⊥ BC
Mặt khác KE ⊥ SH ⇒ KE ⊥ (SBC) Suy ra (( ) ( )) = ( ( )) AE a 3 d MNP ; SBC d K; SBC = KE = = 2 4
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABC có cạnh đáy băng 2a và cạnh bên đều bằng a 5 . Tính khoảng
cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng (SAB). Lời giải
Gọi O là tâm của đáy ABCD⇒ SO ⊥ (ABCD) Ta có: AC OA = = a 2 2 2 ⇒ SO = SA − OA = a 3 2
Mặt khác d(CD;(SAB)) = d(D;(SAB)) d(D;(SAB)) Ta có: DB = = d(O;(SAB)) 2 OB
Dựng OE ⊥ AB,OF ⊥ SE ta có: AD OE = = a 2 Khi đó: ( ( )) SO.OE d D; SAB = 2OF = 2. = a 3 2 2 SO + OE
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy bằng a. Hình chiếu vuông góc
của A’ trên (ABC) trùng với trung điểm của BC.
a) Tính khoảng cách từ AA’ đến các mặt bên (BCC'B')
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ. Lời giải
a) Gọi H là trung điểm của BC ta có: A 'H ⊥ BC Do AB ∆
C đều nên AH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (A'HA) HK ⊥ BB' Dựng HK ⊥ AA ' thì  ⇒ KH ⊥ (BCC'B') KH ⊥ BC
Do đó d(AA';(BCC'B')) = d(K;(BCC'B')) = KH Lại có: a 3 2 2 a AH =
,AA ' = a ⇒ A'H = A 'A − AH = 2 2 Suy ra AA'.AH a 3 HK = = AA' 4 Do đó ( ( )) a 3 d AA '; BCC'B' = . 4 b) Ta có: (( ) ( )) = ( ( )) a d ABC ; A 'B'C' d A '; ABC = A 'H = 2
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm của AD, DC và A’D’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ACC') . Lời giải
Ta có: MN / /AC, NP / / A A ' ⇒ (MNP) / / (ACC'A')
Gọi O là tâm hình vuông ABCD và I = DO ∩ MN IO ⊥ AC Ta có:  ⇒ IO ⊥ (ACC'A ') IO ⊥ AA '
Do đó d((MNP);(ACC'A')) = d(I;(ACC'A')) = IO Lại có: OD BD a 2 IO = = = 2 4 4
Vấn đề 2: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Đường vuông góc chung và đoạn vuông góc chung hai đường chéo nhau.
- Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được
gọi là đường vuông góc chung của a và b.
- Đường thẳng vuông góc chung ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt tại M và N thì độ dài
đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Cách xác định đoạn vuông góc chung của 2 đường chéo nhau.
Cho 2 đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (β) là mặt phẳng chứa b và
song song với a, a’ là hình chiếu vuông góc của a trên (β) .
Vì a / / (β) nên a / /a ' . Gọi N = a '∩ b và (α) là mặt phẳng chứa a và
a’. Dựng đường thẳng ∆ qua N và vuông góc chung và MN là đoạn
vuông góc chung của a và b. Nhận xét:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến
mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song với nó
và chứa đường thẳng còn lại.
Dạng 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau.
Phương pháp giải: Dựng đường vuông góc chung. Khảo sát khối
chóp đỉnh S có đường cao SH, yêu cầu tính khoảng cách giữa 2
đường chéo nhau d (thuộc mặt đáy) và đường thẳng SC thuộc bên
khối chóp trong trường hợp d ⊥ SC.
Dựng hình: Hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng đáy là HC SC  ⊥ d Mặt khác:  ⇒ d ⊥ (SHC) SH  ⊥ d
Gọi M = d ∩ HC, dựng MK ⊥ SC khi đó MK là đoạn vuông góc chung của AC và SC
Cách tính: Dựng HE ⊥ SC khi đó MK MC MC = ⇒ MK = .HE HE HC HC
Xét tam giác vuông SHC ta có: 1 1 1 = + ⇒ HE = MK = d d;SC 2 2 2 ( ) HE SH HC
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA ⊥ (ABCD) . Biết rằng SC tạo với mặt đáy một góc 60°
a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SD
b) Tính khoảng cách giữa BD và SC. Lời giải
a) Ta có: AC = a 2 . Do SA ⊥ (ABCD) và SC tạo với đáy góc 60° nên  SCA = 60°
Khi đó SA = AC tan 60° = a 6 AB ⊥ AD Do  ⇒ AB ⊥ (SAD) AB ⊥ SA
Dựng AH ⊥ SD suy ra AH là đoạn vuông góc chung của AB và SD Ta có: SA.AB a 42 = 2 2 SA + AB 7
b) Ta có: BD ⊥ SC tại O và BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC)
Dựng OK ⊥ SC ⇒ OK ⊥ BD nên OK là đoạn vuông góc chung của BD và SC Do đó ( ) = =  a 2 a 6 d BD;SC OK OCsin OCK = sin 60° = 2 4
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, gọi I là trung điểm của AB. Hình chiếu vuông
góc của S trên mặt đáy là trung điểm CI. Biết chiều cao của khối chóp là h = a 3 . Tính khoảng cách d giữa
đường thẳng AB và SC. Lời giải CI ⊥ AB a) Ta có:  ⇒ AB ⊥ (SIC) S  H ⊥ AB
Dựng IF ⊥ SC khi đó IF là đoạn vuông góc chung của AB và SC. Dựng HE ⊥ SC ta có: 1 HE = IF 2 Lại có a 3 a 3 CI = ⇒ CH = 2 4 Khi đó SH.HC a 51 2a 51 HE = = ⇒ IF = 2 2 SH + HC 17 17
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD cạnh a và SA ⊥ (ABCD) . Biết mặt
phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60°
a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và CD.
b) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng BD và SC. Lời giải BC ⊥ AB a) Do: 
⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ BC là đoạn vuông BC ⊥ SA góc chung của SB và CD. Ta có: d(SB;CD) = BC = a c) Mặt khác BC ⊥ (SAB) Do đó (( ) ( ))  =  SBC ; ABCD SBA = 60° Suy ra SA = ABtan 60° = a 3 BD ⊥ AC
Gọi O là tâm hình vuông ABCD ta có  ⇒ BD ⊥ (SAC) BD ⊥ SA
Dựng OM ⊥ SC khi đó OM là đường vuông góc chung của BD và SC a 2 a 3. Ta có CA ∆ S  CM ∆ O(g − g) SC SA SA.OC 2 a 6 a 30 ⇒ = ⇒ OM = = = = 2 2 CO MO SC SA + AC 2 5 10 Cách 2: Dựng 1
AN ⊥ SC ⇒ OM = AN . Mặt khác 1 1 1 a 30 = + ⇒ AN = 2 2 2 2 AN SA AC 5 Khi đó 1 a 30 d = OM = AN = 2 10
Ví dụ 4: Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, tam giác SBC là tam giác đều cạnh a và
thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d giữa 2 đường thẳng SA và BC. Lời giải
Gọi H là trung điểm của BC khi đó SH ⊥ BC
Mặt khác (SBC) ⊥ (ABC) do đó SH ⊥ (ABC) Ta có: a SH = 3 và a BC a AB = AC = ;AH = = 2 2 2 2 BC ⊥ AH Do 
⇒ BC ⊥ (SHA) . Dựng HK ⊥ SA khi đó BC ⊥ SH
HK là đoạn vuông góc chung của BC và SA. Lại có: SH.AH a HK = = 3 SH2 + HA2 4
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân AB = BC = 3a, hình chiếu vuông góc
của B’ lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (ABB’A’) tạo với mặt phẳng (ABC)
một góc 60°. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và B’C. Lời giải
Dựng CI ⊥ AB ⇒ I là trung điểm của AB.
Ta có: (B'GI) ⊥ AB ⇒ B'IG = 60 Lại có: 1 a 3 2 a CI = AB = ⇒ GI = 2 2 2 2  a ⇒ B'G = GI tan = 6 60 2 Dựng B'G.CI
IH ⊥ B'C ⇒ d(AB;B'C) = IH = B'C Ta có: 2 2 a 14 a B'C = B'G + GC = ⇒ IH = 3 42 2 14 Do đó a d(AB;B'C) = IH = 3 42 14 Hoặc dựng : 3 3 B'G.GC GK / /IH ⇒ IH = GK = . 2 2 B'G2 + GC2
Dạng 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau không vuông góc.
Phương pháp giải : Dựng đường thẳng chứa a và song song với b (hoặc đường thẳng chứa b và song song
với a) để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Khảo sát khối chóp đỉnh S có đường cao SH, yêu cầu tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d
(thuộc mặt đáy) và đường thẳng SC thuộc mặt bên của khối chóp trong trường hợp d không vuông góc với SC.
Dựng hình: Tìm giao điểm C của cạnh bên SC và mặt đáy
(giao điểm của cạnh thuộc mặt bên và mặt đáy). Từ C ta dựng đường thẳng xCy d
Khi đó d(d;SC) = d(d;(Sxy))
Gọi M = d ∩ HC ⇒ d = d(M;(Sxy)) Ta có : d(M;(Sxy)) MC MC = ⇒ d(M;(Sxy)) = .d(H;(Sxy)) d(H;(Sxy)) HC HC
Chú ý: Để tính d(d;(Sxy)) ta có thể lấy bất kỳ điểm nào
thuộc d (không nhất thiết là điểm M) sao cho việc quy đổi
khoảng cách cần tìm về khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt phẳng (Sxy) dễ dàng nhất.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vuông tại B có
AB = a, BC = a 3. Biết a SA = 2
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB. Lời giải
a) Dựng Bx / /AC,AE ⊥ Bx ⇒ (SAE) ⊥ Bx
Dựng AF ⊥ SE ⇒ d(AC;SB) = AF Dựng BH ⊥ AC dễ thấy a AE = BH = 3 2 Ta có: AE.SA a AF = = 30 SA2 + AE2 10
b) Dựng Cy/ /AB ⇒ d(AB,SC) = d(AB,(SCy))
Dựng AM ⊥ Cy,AN ⊥ SM ⇒ d(AB;(SCy)) = AN Lại có : AM.SA a AM = BC = a ⇒ AN = = 21 3 SA2 + AM2 27
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của B’ lên
mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB, góc giữa mặt phẳng (BCC’B’) và mặt phẳng đáy bằng
60. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AA’ và BC. Lời giải
Dựng HK ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (B'HK) ⇒ B'KH = 60 Ta có :  a HK = HBsin = 3 60 4  a ⇒ B'H = HK tan = 3 60 4
Do AA '/ / BB' ⇒ d(AA ';BC) = d(AA ';(B'C'C)) d(A;(B'C'CB)) = d 2 (H;(B'C'CB)) = H 2 E Ta có : HK.B'H a HE = = 3 . Do đó a d = 3 B'H2 + HK2 8 4
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = 2a, hình chiếu vuông
góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AB, biết SA = a 2. Tính khoảng cách
d giữa 2 đường thẳng SA và BC. Lời giải
Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Khi đó
SH ⊥ (ABC) và SH = SA2 − HA2 = a
Dựng Ax / /BC ⇒ d(SA;BC) = d(B;(SAx))
Dựng HK ⊥ Ax ⇒ (SHK) ⊥ Ax
Dựng HE ⊥ SK ⇒ d(B;(SAx)) = d 2 (H;(SAx))  Ta có : a HK = AHsin HAK = 2 SH.HK a ⇒ d(H;(SAx)) = HE = = SH2 + HK2 3 Do đó a d(SA;BC) = 2 3
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a 3, AC = a, tam giác SBC là
tam giác vuông cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách d
giữa hai đường thẳng SB và AC. Lời giải
Gọi H là trung điểm của BC. Ta có SH ⊥ BC
Mặt khác (SBC) ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ (ABC)
Ta có : BC = AB2 + AC2 = a ⇒ SH = 1 2 BC = a 2
Dựng Bx / /AC ⇒ d(AC;SB) = d(AC;(SBx)) = d(C;(SBx)) = d
Dựng : HK ⊥ Bx,HE ⊥ SK ⇒ HE ⊥ (SBx) d(C;(SBx)) = d 2 (H;(SBx)) = H 2 E Ta có : AB a 3 SH.HK a HK = = ⇒ HE = = 21 2 2 SH2 + HK2 7 Do đó : a d = d(H;(SBK)) = 2 21 2 7
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA ⊥ (ABCD) . Gọi M là trung điểm của
cạnh CD, biết SA = a 5. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BM Lời giải
Dựng DN BM ⇒ N là trung điểm của AB.
Khi đó d(SD;BM) = d(BM;(SDN)) = d(B;(SDN)) = d(A;(SDN))
Dựng AE ⊥ DN ⇒ DN ⊥ (SAE) , dựng AF ⊥ SE AF ⊥ SE Khi đó  ⇒ AF ⊥ (SDN) AF ⊥ DN Ta có : AN.AD a AE = = 2 AN2 + AD2 5 Do vậy AE.SA 5 a d(B;(SDN)) = d(A;(SDN)) = AF = = a. = 2 145 2 AE2 + SA2 29 29
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a và SA ⊥ (ABC) . Gọi M
là trung điểm của AC. Biết góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60. Tính khoảng cách d giữa 2
đường thẳng AB và SM theo a. Lời giải AB ⊥ BC  Ta có : 
⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ SBA là góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và BC ⊥ SA (ABC)  Ta có : SA = ABtanSBA = a 2 3. Dựng Mx//AB
Khi đó d(AB;SM) = d(AB;(SMx)) = d(A;(SMx))
Dựng AE ⊥ Mx;AF ⊥ SE khi đó d(A;(SMx)) = AF  
Do AE//BC nên EAM = ACB = 45 Suy ra AE = AMcos45 = a Do đó SA.AE a AF = = 2 39 = d SA2 + AE2 13
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) , đường thẳng SC tạo với đáy
góc 45 . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AC Lời giải  AC = a ; 2 SCA =  Ta có : (SC;(ABCD) = 45 ⇒ SA = AC = a 2
Dựng Bx / /AC ⇒ d(AC;SB) = d(AC;SBx)
Dựng AE ⊥ Bx,AF ⊥ SE ⇒ d = AF
Ta có : BE / /AC ⇒ BE ⊥ BD dễ dàng suy ra
OEBO là hình chữ nhật suy ra a AE = OB = 2 2 AE.SA a d = = 10 AE2 + SA2 5
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3. Hình chiếu vuông  
góc H của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thỏa mãn HA = HB 2
. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và
mặt phẳng (ABCD) bằng 60. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BD. Lời giải
Dựng HK ⊥ CD ⇒ SKH = 60
Ta có : SH = HK.tan 60 = BC.tan 60 = a 3
Dựng Ax / /BD ⇒ d(SA;BD) = d(BD;(SAx)) = d(B;(SAx)) = 3d(H;(SAx)) 2
Dựng HE ⊥ Ax,HF ⊥ SE ⇒ d(H;(SAx)) = HF   
Ta có : tan ABD = 3⇒ HAE = ABD = 60  a 2 3 a ⇒ HE = HA.sin = . = 3 60 3 2 3 Do đó SH.HE a 3 a HF = = ⇒ d(SA;BD) = 9 SH2 + HE2 2 7 4 7
Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) . Biết mặt phẳng (SBC) tạo
với đáy một góc 60 và M là trung điểm của SD. Tính khoảng cách d giữa 2 đường thẳng AB và CM. Lời giảiBC ⊥ AB Ta có:  ⇒ ⊥ ⇒  BC (SAB)
SBA là góc giữa 2 mặt phẳng BC ⊥ SA (SBC) và (ABC) Ta có: = 
SA AB tan SBA = a 3
Do AB//CM do đó d(AB;CM) = d(AB;(CMD))
Dựng AH ⊥ SD khi đó d(A;(SCD)) = AH Lại có: SA.AD a 3 AH = = = d(A ; B CM ) 2 2 SA + AD 2
Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính d là khoảng cách giữa 2 đường
thẳng AC và C’D. Lời giải
Dễ thấy AB’//C’D do đó
d(AC;C’D) = d(C’D;(ACB’))
Khi đó d = d(D;(B’AC)). Mặt khác OB = OD (với O là tâm hình vuông ABCD)
Khi đó d(D;(B’AC)) = d(B;(B’AC)) BD ⊥ AC Do 
⇒ AC ⊥ (BB 'O) , dựng BH ⊥ B 'O AC ⊥ BB ' Suy ra B . O BB ' ⊥ ( ' ) a H
B AC ⇒ h = BH = = 2 2 BO + BB ' 3
Ví dụ 11: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD = 3HB. Biết góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt
phẳng đáy bằng 45 . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BD. Lời giải
Dựng HK ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (SHK)do vậy  =  (S ;
CD ABCD) SKH = 45
Ta có: ∆ HKD vuông cân tại K do vậy 3a  3 = = ⇒ = tan 45 a HK KD SH HK = 2 2
Dựng Ax / /BD ta có: d(S ;
A BD) = d(B ;
D (SAx)) = d(H;(SAx))
Dựng HE ⊥ Ax ⇒ HE = OA = a 2
Dựng HF ⊥ SE ⇒ HF ⊥ (SAx) Ta có: SH.HE 3a 34 HF = = = d(S ; A BD) 2 2 SH + HE 17
Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = a 3 , cạnh bên SA
vuông góc với đáy, gọi M là trung điểm của cạnh CD. Biết SM tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60 ,
tính khoảng cách d giữa 2 đường thẳng AM và SB. Lời giải Ta có: 2 2
M = AD + DM = 2a
⇒ SA = AM tan 60 = 2a 3
Dựng Bx / / AM ⇒ d(AM ;SB) = d( ; A SBx)
Dựng AK ⊥ Bx, AH ⊥ SK Ta có:  MD 1 = = ⇒  tan MAB MAD = 30 AD 3 ⇒ 
BAK = 30 ⇒ AK = ABcos30 = a 3 12 a 60 d( ;
A (SBx)) = AH = a = 5 5
Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AD = a 2 , hình chiếu vuông góc của
đỉnh S xuống mặt đáy là trung điểm của AB, biết tam giác SCD là tam giác vuông tại S và nằm trong mặt
phẳng tạo với đáy một góc 45 . Tính khoảng cách d giữa 2 đường thẳng SA và BD. Lời giải
Gọi H là trung điểm của AB. Dựng HF ⊥ CD khi đó
HF = AD = a 2 Ta có: ⊥ ⇒  CD (SHF) SFH = 45
⇒ SH = HF tan 45 = a 2;SF = HF 2 = 2a
Do tam giác SCD vuông cân nên CD = 2SF = 4a Suy ra A . B AD 4 ( ; ) a d A BD = = 2 2 AB + AD 3
Dựng Ax / / B D, HK ⊥ Ax, HE ⊥ SK Ta có 1 1 4a 2 = ( ; ) = . a HK d A BD = . Do vậy 4 ( ; ) = 2 a d SA BD HE = 2 2 3 3 11
Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh
S lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm H của tam giác đều ABC, biết mặt phẳng (SCD) tạo với mặt phẳng
(ABCD) một góc 60 . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BD. Lời giải
Ta có ∆ ABC đều cạnh a nên H là trực tâm của tam giác ABC
⇒ CH ⊥ AB ⇒ CH ⊥ BC ⇒ ⊥ ⇒  CD (SHC) SCH = 60 Ta có: a 3 OB = ⇒ BD = a 3 2 a 3 ⇒ HB = HC = . Khi đó a 3 SH = .tan 60 = a 2 2 Dựng Ax//BD,HE ⊥ Ax, a
HF ⊥ SE ⇒ HE = OA = 2 HE. ( ; ) SH a d SA BD = HF = = 2 2 HE + SH 5
Ví dụ 15: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông có AB = BC = a,
A’B = a 3 . Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C. Lời giải Ta có: 2 2
AA ' = A'B − AB = a 2
Dựng Cx / / AM khi đó d(AM ; B 'C) = d(AM ;(B 'Cx)) 1
= d(M ;(B 'Cx)) = d( ;
B (B 'Cx)) 2 BE ⊥ Cx Dựng 
⇒ BF ⊥ (B 'Cx) ⇒ d(B;(B'Cx)) = BF
BF ⊥ B ' E
Lại có BE = 2BP , trong đó AB. BP BM a = = 2 2 AB + BM 5 Suy ra 2a BE.BB ' 2 BE a = ⇒ BF = = 2 2 5 BE + BE 7 Do đó ( ; ' ) a d AM B C = 7
Ví dụ 16: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, E lần lượt là
trung điểm của BC, A’C’. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng.
a) B’C’ và A’B
b) DE và AB’ Lời giải
a) Do lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Nên ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng
với hai đáy là tam giác đều cạnh a.
Ta có: B 'C '/ /BC ⇒ B 'C '/ /(A'BC)
⇒ d(B'C';A'B) = d(B'C';(A'BC)) = d(B';(A'BC))
Gọi I = A'B∩ AB ' ⇒ I là trung điểm của AB’
Khi đó d(B ';(A'BC)) = d( ;
A (A'BC)) Dựng AA'.AD
AH ⊥ A'D ⇒ d(A';(A'BC)) = AH = 2 2 AA' + AD Trong đó a 3 a 21 AA' = ; a AD = ⇒ d = AH = 2 7 EF / / A'B'
b) Gọi F là trung điểm của B’C’ ⇒ 
⇒ (EFD)//(A'B'BA) ⇒ DE//(A'B'BA)
FD / /B ' B
Khi đó d(DE;AB') = d(DE;(A'B'BA)) = d(D;(A'B'BA)) Dựng ⊥ ∈ ⇒ = =  aa 3 DK AB(K AB)
d(D;(A'B'BA)) DK DBsin DBK = sin 60 = 2 4
Ví dụ 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a, AD = a 3 , SA ⊥ (ABCD) . Mặt
phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60 . Gọi M là trung điểm của SA. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng SC và DM Lời giải BC ⊥ SA Ta có:  ⇒ ⊥ ⇒  =  BC (SB ) A
(SBC);(ABC)) SDB = 60 BC ⊥ AB
Do đó SA = AB tan 30 = a 3
Để tính d(SC;DM) ta đổi về đỉnh của hình chóp C.DAS có CD ⊥ (SAD)
Dựng Sx / / DM ⇒ d(DM;SC) = d(DM;(CSx)) = d(D;(CSx))
Dựng DE ⊥ Sx,DF ⊥ CE ⇒ d( ;
D (SCx)) = DF a 3 a 3. Do A . D AM 2 a 15
SE / /DM ⇒ DE = d(S; DM ) = d( ; A DM ) = = = 2 2 2 AD + AM 3a 5 2 3a + 4 Suy ra DE.CD a 6 DF = =
= d(SC; DM ) 2 2 CD + DE 4
Ví dụ 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, SA ⊥ (ABCD) . Biết AD = 2a, AB
= BC = a và SD tạo với đáy một góc 30 . Gọi K là trung điểm của SD. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng SB và AK. Lời giải Do ⊥ ⇒  =    2 ( ) ( ;( )) = 30 ⇒ = tan 30 a SA ABCD SD ABCD SDA SA AD = 3 BA ⊥ AD Ta có: 
⇒ BA ⊥ (SAD) ta cắt khối chóp B.SAD có đường cao BA. BA ⊥ SA
Dựng Sx / / AK ⇒ d(S ;
B AK) = d(AK;(SBx))
Dựng AE ⊥ Sx,AF ⊥ BE ⇒ d(AK;(SBx)) = d( ; A (SBx)) = AF Do 1
AK = SK = SD và  =  − 
ASK 90 ADS = 60 ⇒ a
SAK đều cạnh 2 2 3 Do đó SA 3 A . B AE a 2
AE = d(S; AK) = = a ⇒ AF = = 2 2 2 AB + AE 2 Vậy a 2 d(S ; B AK) = 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và AB = a, AC = b, AD = c . Gọi d là
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) . Đẳng thức nào dưới đây đúng? A. 1 1 1 1 = + + B. 2 2 2 2
d = a + b + c C. 2 1 1 1 d = + +
D. d = abc 2 2 2 2 d a b c 2 2 2 a b c
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi d là khoảng cách từ A đến đường thẳng chứa cạnh BC. Đẳng
thức nào dưới đây đúng? 2 2 A. A . B AC + d + = B. AB AC d = C. 2 2
d = AB + AC D. AB AC d = 2 2 AB + AC 2 2 AB .AC A . B AC
Câu 3: Cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (α ) . Gọi d ,d lần lượt là khoảng cách từ M và N 1 2
đến (α ) . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d = d B. 1 d = d
C. d = 2d
D. d = d = 0 1 2 1 2 2 1 2 1 2
Câu 4: Cho hai mặt phẳng (α ),(β ) song song với nhau. Lấy hai điểm M, N lần lượt nằm trên (α ) và (β )
sao cho đường thẳng MN không vuông góc với (α ) . Khẳng định nào sau đây sai?
A. d (M ,(β )) = d (N,(α ))
B. d (M ,(β )) = d ((α ),(β ))
C. d (N,(α )) = d ((α ),(β ))
D. d ((α ),(β )) = MN
Câu 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( ABC). Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. d=DG với G là trọng tâm tam giác ABC.
B. d=DH với H là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng ( ABC).
C. d=DI với I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
D. d=DN trong đó N là trung điểm AM (với M là trung điểm đoạn BC)
Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và AB=2, AC=3, AD=4. Tính
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) A. 12 61 d = B. 144 d = C. 61 d = D. d = 61 61 61 12
Câu 7: Khoảng cách lớn nhất giữa hai đỉnh của một hình lập phương cạnh a là bao nhiêu? A. a 3 B. a 2 C. 2a
D. d = a 5  
Câu 8: Cho mặt phẳng (α ) và đường thẳng MN cắt (α ) tại điểm I. Biết rằng 3MI = 2MN . Gọi d ,d lần 1 2
lượt là khoảng cách từ M và N đến (α ) . Tính tỉ số d1 d2 A. d 2 d 3 d 1 d 1 = B. 1 = C. 1 = D. 1 = 2 d 3 d 2 d 3 d 2 2 2 2  
Câu 9: Cho mặt phẳng (α ) và đường thẳng MN cắt (α ) tại điểm I. Biết rằng 4IN = 3IM . Gọi d ,d lần 1 2
lượt là khoảng cách từ M và N đến (α ) . Tính tỉ số d1 d2 A. d 4 d 3 d 1 d 1 = B. 1 = C. 1 = D. 1 = 4 d 3 d 4 d 4 d 2 2 2 2
Câu 10: Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B 'C '. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M là trung
điểm CC’ và d là khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A'BC) . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. d = d (B',( A'BC))
B. d = 2.d (M ,( A'BC))
C. d = 3.d (O,( A'BC)) D. 1
d = d (O,( A'BC)) 3
Câu 11: Cho hình hộp chữ nhật ABC .
D A' B 'C ' D ' có ba kích thước AB = a, AD = b, AA'=c . Tính khoảng
cách d từ điểm A đến mặt phẳng (DA'C '). A. abc d = B. abc d =
(ab)2 +(bc)2 +(ac)2 2 2 2 a + b + c C. bc d = D. abc d = 2 2 b + c
ab + bc + ac
Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA = h . Tính
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a và h ? A. ah 3 d = B. ah 3 d = C. ah d = D. ah 5 d = 2 2 4a + 3h 2 2 3a + 4h 2 2 a + h 2 2 a + h
Câu 13: Cho hình lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' cạnh a . Khoảng cách từ A đến đường thẳng CC’ là A. a B. a 2 C. a 3 D. a 2
Câu 14: Cho hình lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' cạnh a . Khoảng cách từ A đến đường thẳng B’D’ là A. a 6 B. a C. a 3 D. a 2 2 2
Câu 15: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = a 7, AB = 3a . Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC) bằng A. a B. 2a C. a 20 D. a 10 3
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SC, đáy là hình chữ nhật. Gọi H là trung điểm của SB.
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là đoạn thẳng A. AS B. AB C. AC D. AH
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SC = 2a , đáy là hình chữ nhật có AB = a 2, AD = a . Gọi K
là trung điểm của SA. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ABCD) bằng A. a B. 2a C. a 2 D. a 3
Câu 18: Cho hai đường thẳng ∆ ,∆ chéo nhau, đường thẳng ∆ bất kì cắt ∆ tại M và cắt ∆ tại N. Khẳng 1 2 3 1 2
định nào dưới đây luôn đúng?
A. d(∆ ,∆ ≤ MN
B. d(∆ ,∆ > MN 1 2 ) 1 2 )
C. d(M ,∆ = d N,∆
D. d(∆ ,∆ = MN 1 2 ) 2 ) ( 1 )
Câu 19: Cho hai đường thẳng ∆ ,∆ chéo nhau, mặt phẳng (β ) chứa ∆ và song song với ∆ , mặt phẳng 1 2 2 1
(α ) chứa ∆ và song song với ∆ . Khẳng định nào dưới đây sai? 1 2
A. d(∆ ,∆ = d ∆ , β
B. d(∆ , β = d ∆ , α 1 ( )) ( 2 ( )) 1 2 ) ( 1 ( ))
C. d(∆ ,∆ < d α , β
D. d((α ),(β )) ≤ MN, M ∀ ∈ ∆ , N ∈∆ 1 2 ) (( ) ( )) 1 2
Câu 20: Cho đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α ) song song với nhau. Mặt phẳng (β ) chứa ∆ , vuông góc 1 1
với (α ) và cắt (α ) theo giao tuyến là ∆ . Khi đó khẳng định nào dưới đây đúng? 2
A. d(∆ ,∆ = d ∆ , α B. d(∆ ,∆ 1 2 ) ( 1 ( )) 1 2 ) ( 1 ( ))
C. d(M ,∆ >d M , α , M ∀ ∈ ∆
D. d(∆ , α = MN, M ∀ ∈ ∆ , N ∈∆ 1 ( )) 2 ) ( ( )) 1 1 2
Câu 21: Cho đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α ) . Gọi d là khoảng cách từ ∆ đến (α ) . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. d bằng khoảng cách từ điểm bất kì trên ∆ đến (α ) .
B. d bằng khoảng cách từ điểm bất kì trên (α ) đến ∆ .
C. d bằng khoảng cách từ mặt phẳng (β ) đến (α ) với (β )là mặt phẳng chứa ∆ và song song với (α ) .
D. d bằng khoảng cách giữa ∆ và hình chiếu vuông góc của ∆ lên (α ) .
Câu 22: Cho hai đường thẳng chéo nhau ∆ ,∆ . Gọi d là khoảng cách giữa ∆ ,∆ . Mệnh đề nào sau đây 1 2 1 2 sai?
A. d bằng độ dài đoạn vuông góc chung của ∆ ,∆ . 1 2
B. d bằng khoảng cách giữa ∆ và (β ) là mặt phẳng chứa ∆ và song song với ∆ . 1 2 1
C. d bằng khoảng cách giữa ∆ và (α ) là mặt phẳng chứa ∆ và song song với ∆ . 2 1 2
D. d bằng độ dài đoạn thẳng MM’ với điểm M bất kì thuộc ∆ và M’ là hình chiếu vuông góc của M lên ∆ . 1 2
Câu 23: Cho hai mặt phẳng (α ) và (β ) song song với nhau. Gọi d là khoảng cách giữa (α ) và (β ). Mệnh đề nào sau đây sai?
A. d bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc (α ) đến (β ).
B. d bằng khoảng cách giữa một đường thẳng bất kì nằm trong (β ) đến (α ) .
C. d bằng khoảng cách giữa một đường thẳng ∆ bất kì nằm trong (α ) đến hình chiếu vuông góc của ∆ lên (β ).
D. d bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng bất kì ∆ và ∆ lần lượt nằm trong (α ) và (β ). 1 2
Câu 24: Cho hình hộp ABC .
D A' B 'C ' D ' . Khẳng định nào sau đây sai? A. d( ,
A (CDD'C ')) = d(B,(CDD'C '))
B. d(( ABCD),( A'B'C 'D')) = d(B,( A'B'C 'D'))
C. d(( ABCD),( A'B'C 'D')) = d(( ABB' A'),(CDC 'D'))
D. d(( ABCD),( A'B'C 'D')) = d(AC,( A'B'C 'D'))
Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây sai?
A. d(B,(SCD)) = d(A,(SCD))
B. d(C,(SAB)) = d(D,(SAB))
C. d(C,(SBD)) = d(A,(SBD))
D. d(B,(SCD)) = d(BC,(SAD))
Câu 26: Cho hình lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' có cạnh bằng a . Tính d( AB',(CDD'C '))
A. d( AB',(CDD'C ')) = a B. d( B',( ' ')) a A CDD C = 2 C. d( B',( ' ')) a A CDD C =
D. d( AB',(CDD'C ')) = a 2 3
Câu 27: Cho hình hộp chữ nhật ABC .
D A' B 'C ' D ' có AB = a,BC = b,CC' = c . Khẳng định nào sau đây sai?
A. d(( ABCD),( A'B'C 'D')) = c B. d( ',( 'A')) ab BB ACC = 2 a + b
C. d( AB',(CDD'C ')) = b
D. d(BB',( ACC 'A')) = a 2
Câu 28: Cho hình lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' có AB = a . Tính khoảng cách h giữa hai mặt phẳng
(BA'C ') và ( ACD'). A. a h = B. a h = C. a 2 h =
D. h = a 3 3 2
Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA ⊥ ( ABCD) . Tính d(CD,(SAB)) .
A. d(CD,(SAB)) = a
B. d(CD,(SAB)) = a 2 C. ( (SAB)) a 2 d CD, =
D. d(CD,(SAB)) = 2a 2
Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA ⊥ ( ABCD) và SA = a . Tính d( AB,(SCD)).
A. d( AB,(SCD)) = a
B. d( AB,(SCD)) = a 2
C. ( AB (SCD)) a 2 d , =
D. d( AB,(SCD)) = 2a 2
Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, 
ABC =120° và SA ⊥ ( ABCD) . Gọi M là trung
điểm của SC. Tính d(SA,(BMD)).
A. d(SA,(BMD)) = a
B. d(SA,(BMD)) = a 3 C. ( (BMD)) a 3 d SA, =
D. d(SA,(BMD)) = a 2 2
Câu 32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết SA = a 3, AD = a và
SA vuông góc với đáy. Tính theo a khoảng cách từ B đến (SCD) . A. a 3 B. a C. a 3 D. 2a 2 2 4
Câu 33: Cho hình lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' có cạnh a . Tính theo a khoảng cách từ điểm D đến mặt
phẳng ( A'BC) . A. a 2 B. a C. a 2 D. a 2 2
Câu 34: Cho hình chóp S.ABC, gọi M là trung điểm của AC và G là trọng tâm tam giác SAC. Biết khoảng
cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC) bằng a 6 . Tính theo a khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng 6 (SBC). A. a 6 B. a 6 C. a 6 D. a 6 18 9 3 6
Câu 35: Cho hình chóp đều S.ABCD có O là tâm của đáy. Biết cạnh đáy và đường cao bằng nhau và bằng
a . Tính theo a khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC). A. a 5 B. a 5 C. 2a 5 D. a 5 10 5 5 2
Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) . A. a 3 B. a 21 C. 2a 21 D. 2a 3 7 7 7 7
Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a,AD = a 3 , hai mặt phẳng (SAB) và
(SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa cạnh SC và mặt phẳng đáy bằng 60°. Gọi G là trọng
tâm tam giác ABC. Tính theo a khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBC). A. 2a 39 B. 2a 39 C. 6a 39 D. a 39 13 39 13 13
Câu 38: Cho hình chóp S.ABC có SA = a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác ABC đều cạnh
a . Vẽ AI vuông góc với SB. Tính theo a khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAC) . A. a 3 B. a 3 C. 3a 3 D. 3a 3 8 4 8 4
Câu 39: Cho hình chóp S.ABCD có hai mặt phẳng (SAB),(SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và đáy
ABCD là nửa lục giác đều. Biết SA = a 3 và AB = BC = CD = a . Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) . A. a 6 B. a 6 C. a 6 D. a 6 2 4 8
Câu 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a 2 , cạnh bên SA vuông góc vói mặt phẳng đáy, 
BAD =120° , góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 30° . Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SBC). A. 3a 2 B. a 3 C. 3a D. a 6 4 4 2 4
Câu 41: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 và cạnh bên bằng a 2 . Gọi E là trung
điểm của AB. Tính theo a khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SBC). A. a 5 B. 3a 5 C. 3a 5 D. 2a 5 5 5 10 5
Câu 42: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tam giác ABC vuông tại A có
AB = a,AC = a 3 . Góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) bằng 45°. Lấy điểm M trên cạnh SA sao cho a
AM = . Tính theo a khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC) . 3 A. 2a 21 B. a 21 C. 2a 21 D. a 21 21 7 7 21
Câu 43: Cho hình lăng trụ ABC .
D A' B 'C ' D ' có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a và AD = a 3 . Hình
chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng ( ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính khoảng cách
từ B’ đến mặt phẳng ( A'BD) theo a . A. a 2 B. 2 C. a 3 D. a 3 2 2
Câu 44: Cho hình chóp đều S.ABCD cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60°. Gọi G là
trọng tâm của tam giác ABD. Tính theo a khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBC). A. a B. a 3 C. a 3 D. a 3 3 6 6
Câu 45: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a , 
ACB = 30° . Mặt bên SAC là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi G là trung điểm của SA. Tính theo a khoảng
cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBC). A. a 3 B. 2a 39 C. a 39 D. a 3 4 13 13 2
Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, BA = BC = a, AD = 2a . Cạnh bên
SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SB. Tính khoảng cách
từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) theo a . A. a B. a C. a D. a 2 4 3
Câu 47: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 4 a . Hình chiếu của S trên mặt phẳng
( ABCD) là điểm H thuộc AB sao cho HB = 3HA. Góc giữa cạnh bên SC và đáy bằng 45°. Tính theo a
khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC), với O là tâm của hình vuông ABCD. A. 5a 34 B. 5a 34 C. 5a 34 D. 5a 17 17 34 2
Câu 48: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a . Mặt phẳng bên SAB vuông góc
với mặt phẳng đáy và SA = a, SB = a 3 . Góc giữa mặt phẳng (SBD) và đáy bằng 60°. Tính theo a khoảng
cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD). A. a 3 B. a 3 C. 3a D. a 3 4 4
Câu 49: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = a, BC = 3,SA ⊥ ( ABC) và SC
tạo với ( ABC) một góc 45°. Gọi G ,G lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAC. Tính 1 2
d (G G , SBC . 1 2 ( ))
A. d (G G , SBC = a 5 B. ( 4 , a d G G SBC = 1 2 ( )) 1 2 ( )) 3 5 C. ( 2 , a d G G SBC = D. ( 6 , a d G G SBC = 1 2 ( )) 1 2 ( )) 3 5 5
Câu 50: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B 'C có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a 3 , AB ' = 2a và
đường thẳng AB’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 60°. Tính d(BC,( AB'C ')). A. d(BC,( ' ')) a AB C =
B. d(BC,( AB'C ')) = a 3 2 C. ( ( AB C )) a 3 d BC, ' ' = D. ( ( AB C )) a 3 d BC, ' ' = 2 4
Câu 51: Cho hình lăng trụ đứng ABC .
D A'B 'C 'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,  ABC =120°, đường
thẳng A’B tạo với mặt phẳng đáy một góc 60°. Tính d(B'D',( A'BD)) .
A. d(B'D',( A'BD)) = a 15 B. d(B'D',( ' )) a A BD = 5
C. d(B'D',( A'BD)) = a 3 D. ( ( A BD)) a 15 d B'D', ' = 5
Câu 52: Cho hình lăng trụ ABC.A'B 'C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và AA' = A'B = A'C = a . Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của BC và A’B. Tính d( A'C,( AMN )) . A. ( ( AMN )) a 22 d A'C, = B. d(A'C,( )) a AMN = 11 11
C. d(A'C,( AMN )) = a 22 D. ( ( AMN )) a 2 d A'C, = 3
Câu 53: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với đáy. Tính khoảng
cách d giữa hai đường thẳng SA và BD. A. a d =
B. d = a
C. d = a 2 D. a 2 d = 2 2
Câu 54: Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC đôi một vuông góc, tam giác ABC cân và có AC = a 2 . Tính
khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BC.
A. d = a 2
B. d = a C. a 2 d =
D. d = 2a 2
Câu 55: Cho tứ diện đều ABCD có I, J lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD. Khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB, CD bằng độ dài của đoạn thẳng nào dưới đây? A. AI B. IJ C. AB D. AJ
Câu 56: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Tính khoảng cách d giữa hai đường
thẳng BD và SC. A. a d = B. a d = C. a 2 d =
D. d = a 2 4 2 2
Câu 57: Cho hình hộp chữ nhật ABC .
D A' B 'C ' D ' có AB=AA' = a, AC = 2a . Tính khoảng cách d giữa hai
đường thẳng AB’ và CD’.
A. d = a 3
B. d = a 5 C. a 3 d = D. a 3 d = 3 2
Câu 58: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD) , đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = 2a và BC = a .
Tính d (SD, BC) . A. ( ) 2 , a d SD BC =
B. d (SD BC) a 3 , = C. ( ) 3 , a d SD BC =
D. d (SD, BC) = a 3 3 2 4
Câu 59: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a , cạnh bên SA vuông góc với
đáy và SA = a 2 . Gọi M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SM và BC. A. a 2 d = B. a d = C. a 3 d = D. a 3 d = 3 2 3 2
Câu 60: Cho hình hộp chữ nhật ABC .
D A' B 'C ' D ' có AA' = 2a, AD = 4a . Gọi M là trung điểm của AD.
Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng A’B’ và C’M.
A. d = 3a
B. d = 2a 2
C. d = a 2
D. d = 2a
Câu 61: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng
đáy và SA = a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD nhận giá trị nào trong các giá trị sau? A. a B. a 2 C. a 3 D. 2a
Câu 62: Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a . Gọi
I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và OC nhận giá trị nào trong các giá trị sau? A. a B. a C. a 3 D. a 5 2 2
Câu 63: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. cạnh bằng a và  BAC = 60° . Biết a 6 SC =
và vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD nhận giá trị nào trong các 2 giá trị sau? A. a B. a 6 C. a 3 D. a 3 2 4 3 4
Câu 64: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B 'C ' có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính khoảng cách d giữa hai
đường thẳng AB’ và CC’. A. 2a d = B. a 3 d = C. 3a d =
D. d = a 3 3 2 4
Câu 65: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD) , đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a 5 và
BC = a 2 . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SD và BC. A. 2a d = B. a 3 d = C. 3a d =
D. d = a 3 3 2 4
Câu 66: Cho hình lập phương ABC .
D A' B 'C ' D ' cạnh a . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AD’ và BD. A. a 3 d = B. a 3 d =
C. d = a 3 D. 2a d = 2 3 3
Câu 67: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy ( ABCD) và SA = a . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SB và AD. A. a 2 d = B. a 3 d = C. a 2 d =
D. d = a 3 2 2
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN BC ⊥ AH
Câu 1: Kẻ AH ⊥ BC,AK ⊥ DH ta có 
⇒ BC ⊥ (HAD) ⇒ BC ⊥ AK BC ⊥ DA
Mà AK ⊥ DH ⇒ AK ⊥ (BCD) . Ta có 1 = 1 + 1 = 1 + 1 + 1 AK2 AH2 AD2 AB2 AC2 AD2 Do đó 1 1 1 1 = + + . Chọn A. 2 2 2 2 d a b c 2 2 Câu 2: Ta có 1 1 1 2 AB .AC AB.AC = + ⇔ d = ⇔ d = . Chọn A. d2 AB2 AC2 AB2 + AC2 AB2 + AC2
Câu 3: Do MN // (α) nên d1 = d2. Chọn A.
Câu 4: Khẳng định sai là d((α),( )) β = MN . Chọn D.
Câu 5: Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) là khoảng cách từ D đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC. Mà tam giác ABC đều nên trọng tâm cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp. Do đó A, B, C đúng. Chọn D. Câu 6: 1
= 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 61 ⇒ d(A,(BCD)) = 12 61 d(A,(BCD))2 AB2 AC2 AD2 2 2 2 2 3 4 144 61 Chọn A.
Câu 7: Khoảng cách lớn nhất giữa 2 đỉnh chính là đường chéo là a 3. Chọn A.       
Câu 8: Ta có 3MI = 2MN ⇔ 3MI = 2(IN − IM) ⇔ IM + 2IN = 0. Ta có d1 IM = = 2. Chọn D. d2 IN Câu 9: Ta có d 4 1 IM = = . Chọn A. d 3 2 IN
Câu 10: Gọi N là trung điểm của BC d(A,(A 'BC)) NA = = 3⇒ d(A,(A 'BC)) = d 3 (O,(A 'BC)) d(O,(A 'BC)) NO
Do đó đáp án D sai. Chọn D.
Câu 11: Ta có d(A,(DA’C’) = d(D’,(DA’C’))
Kẻ D'E ⊥ A 'C',D'F' ⊥ DE A 'C' ⊥ DD' Ta có 
⇒ A 'C' ⊥ (DD'E) ⇒ A 'C' ⊥ D'F A 'C' ⊥ D'E
Mà D'F ⊥ DE ⇒ D'F ⊥ (DA'C') Ta có 1 = 1 + 1 = 1 + 1 + 1
D'F2 DD'2 D'E2 DD'2 D'A'2 D'C'2 1 1 1 a b 2 2 + b c 2 2 + c a 2 2 abc = + + = ⇒ D'F = a2 b2 c2 a b 2 c 2 2 a b 2 2 + b c 2 2 + c a 2 2 Chọn A.
Câu 12: Kẻ AE ⊥ BC,AF ⊥ SE BC ⊥ AE Ta có 
⇒ BC ⊥ (SAE) ⇒ BC ⊥ AF BC ⊥ SA
Mà AF ⊥ SE ⇒ AF ⊥ (SBC) . Ta có a AE = 3 2 1 1 1 1 1 a2 3 + h2 4 ah = + = + = ⇒ AF = 3 AF2 SA2 AE2 h2 a2 3 a 3 h 2 2 a2 3 + h2 4 4 Chọn B.
Câu 13: Ta có d(A,CC') = AC = a 2. Chọn B.
Câu 14: Gọi O là trung điểm của A’C’ và B’D’ B'D' ⊥ A 'C' Ta có 
⇒ B'D' ⊥ (AA 'C') ⇒ B'D' ⊥ AO B'D' ⊥ AA '  a 2 2 2 2 2 a
d(A,B'D') = AO = AA ' + A 'O = a + 6   =    2  2 Chọn A.
Câu 15: Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
⇒ SH ⊥ (ABC) . Gọi M là trung điểm của BC Ta có 2 2 a AH = AM = . 3 3 = a 3 3 3 2 d(S,(ABC)) 2 2
= SH = SA2 − AH2 = (a 7) −(a ) 3 = a 2 Chọn B. AB ⊥ BC Câu 16:
⇒ AB ⊥ (SBC) ⇒ d(A,(SBC)) = AB AB ⊥ SC Chọn B.
Câu 17: Ta có d(K,(ABCD)) = 1d(S,(ABCD)) = 1SC = a . Chọn A. 2 2
Câu 18: Có vô số các đường thẳng cắt ∆1 tại M và cắt ∆2 tại N
Ta có d(∆1,∆2) ≤ MN, dấu bằng xảy ra ⇔ MN là đoạn vuông góc chung của ∆1 và ∆2. Chọn A.
Câu 19: Theo giả thiết bài toán ta có: d(∆ ,( ))
β = d(∆ ,(α)) = d(∆ ,∆ ) = d((α),( )) β 1 2 1 2 Mặt khác : d((α),( )) β ≤ MN, M ∀ ∈ ∆ , N ∈∆ 1 2
Do vậy khẳng định C là sai. Chọn C.
Câu 20: Do ∆ / /(α , mặt phẳng ( )
β chứa ∆ và cắt (α) theo giao tuyến là ∆ ⇒ ∆ 1 / /∆ 1 ) 1 2 2
Mặt phẳng (∆ ;∆ ) ≡ ( )
β ⊥ (α nên d(∆ ,∆ ) = d(∆ ,(α . Chọn A. 1 2 1 )) 1 2 )
Câu 21: Do ∆ song song với mặt phẳng (α) nên khoảng cách từ ∆ đến (α) bằng khoảng cách từ một điểm
bất kì trên ∆ đến (α) . Bằng khoảng cách từ mặt phẳng ( ) β đến (α) với ( )
β là mặt phẳng chứa ∆ và song
song với (α) và cũng bằng khoảng cách từ mặt phẳng ( ) β đến (α) với ( )
β là mặt phẳng chứa ∆ và song song với (α) .
Các khẳng định đúng là A, C và D. Khẳng định B sai. Chọn B.
Câu 22: Các khẳng định đúng là A, B và C.
Khẳng định sai là D. Chọn D.
Câu 23: d bằng khoảng cách giữa một đường thẳng ∆ bất kì nằm trong (α) đến hình chiếu vuông góc của ∆ lên ( )
β suy ra khẳng định C đúng và D sai. Chọn D.
Câu 24: Ta có AB / /CD ⇒ AB / /(CDD'C') : nên
d(A,(CDD'C')) = d(B,(CDD'C')) → A đúng Do (ABCD) / /(A 'B'C'D') nên
d((ABCD),(A 'B'C'D')) = d(B,(A 'B'C'D')) và
d((ABCD),(A 'B'C'D')) = d(AC,(A 'B'C'D')) → B,D đều đúng.
Khẳng định sai là C. Chọn C.
Câu 25: Ta có: AB / /CD ⇒ AB / /(SCD)
⇒ d(A,(SCD)) = d(B,(SCD)) ⇒ A đúng
Tương tự CD / /(SAB) ⇒ d(C,(SAB)) = d(D,(SAB))
Do AC∩ BD tại O và OA = OC
⇒ d(A;(SBD)) = d(C;(SBD)) suy ra B và C đúng.
Khẳng định sai là D. Chọn D.
Câu 26: Dễ thấy AB'/ /C'D ⇒ AB'/ /(CDD'C') nên
d(AB',(CDD'C')) = d(A;(CDD'C')) = d
Mặt khác ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên
AD ⊥ (CDD'C') ⇒ d = AD = a .Chọn A.
Câu 27: Ta có d((ABCD),(A'B'C'D')) = AA' = CC' = c
d(BB',(ACC'A ')) = d(B;(ACC'A')
Dựng BH ⊥ AC, mặt khác BH ⊥ AA ' ⇒ BH ⊥ (ACC'A') Khi đó AB.BC ab d(BB',(ACC'A ')) = BH = = BA2 + BC2 a2 + b2
Dễ thấy AB'/ /C'D ⇒ AB'/ /(CDD'C') nên
d(AB',(CDD'C')) = d(A;(CDD'C')) = AD = BC = b
Khẳng định sai là D. Chọn D. A 'B'/ /CD'
Câu 28: Dễ thấy  ⇒ (BA 'C') / /(ACD') BC'/ /AD'
Do đó d((BA 'C');(ACD')) = d(B;(ACD'))
Mặt khác BD cắt AC tại trung điểm O của BD suy ra
d((BA 'C');(ACD')) = d(B;(ACD')) AC ⊥ DO
Dựng DE ⊥ D'O, mặt khác  ⇒ AC ⊥ DE AC ⊥ DD' Do đó DE ⊥ (D'AC) DO.DD' ⇒ d = d(D;(D'AC) = DE = DO2 + DD'2 Trong đó DB a 2 a DO = = ;DD' = a ⇒ d = . Chọn A. 2 2 3
Câu 29: Ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AD
Mặt khác AD ⊥ AB ⇒ SA ⊥ (SAB)
Do CD / /(SAB) ⇒ d(CD,(SAB)) = d(D;(SAB)) = DA = a Chọn A.
Câu 30: Do AB / /CD ⇒ AB / /(SCD)
Khi đó d(AB,(SCD)) = d(A;(SCD))
Dựng AH ⊥ SD, ta có SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD CD ⊥ SA Do 
⇒ CD ⊥ (SAH) ⇒ CD ⊥ AH CD ⊥ AD
Lại có AH ⊥ SD ⇒ AH ⊥ (SCD) Suy ra SA.AD a d(A : (SCD)) = AH = = 2 SA2 + AD2 2 Chọn C.
Câu 31: Gọi O là tâm của hình thoi ABCD thì OA = OC suy ra
OM là đường trung bình trong ∆SAC ⇒OM//SA
⇒ OM ⊥ (ABCD) ⇒ OM ⊥ OA
Do ABCD là hình thoi nên OA ⊥ BD ⇒ OA ⊥ (MBD)
Khi đó d(SA;(MBD)) = d(A;(MBD)) = AO   
Mặt khác: ABC = 120 ⇒ BAD = 60 ⇒ AB  D đều cạnh a Nên  a 3 a AO = ABsin = ⇒ d = 3 60 . Chọn C. 2 2
Câu 32: Do AB / / CD ⇒ AB/ /(SCD)
Suy ra d(B;(SCD)) = d(A;(SCD)) = d CD ⊥ SA Ta có:  ⇒ CD ⊥ (SAD) CD ⊥ AD
Dựng AH ⊥ SD ⇒ AH ⊥ (SCD) Khi đó SA.AD a d = d(A;(SBC)) = AH = = 3 SA2 + AD2 2 Chọn A.
Câu 33: Do AD / / BC ⇒ AD/ /(A'BC)
Suy ra d(B;(A'BC)) = d(A;(A'BC))
Dựng AH ⊥ A 'B, lại có BC ⊥ (A'AB) ⇒ BC ⊥ AH
Do đó AH ⊥ (A 'BC) ⇒ d(A;(A'BC)) = AH Lại có: AA '.AB a AH = = 2 AA '2+ AB2 2 Vậy a d(D;(A'BC)) = d(A;(A'BC)) = 2 . Chọn C 2
Câu 34: Ta có: G là trọng tâm tam giác SAC ⇒ SG = 3MG Mặt khác d MS M MG ∩ (SBC) = S ⇒ = = 3 d GS 2 G Suy ra . 2 2 a 6 a d = d = . = 6 Chọn B. G M 3 3 6 9
Câu 35: Do S.ABCD là hình chóp đều có O là tâm của đáy nên đáy
là hình vuông tâm O và SO ⊥ (ABCD)
Dựng OE ⊥ BC , mặt khác SO ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SOE)
Dựng OF ⊥ SE ⇒ OF ⊥ (SBC) ⇒ d(O;(SBC)) = OF Ta có: AB a OE = = ;SO = AB = a 2 2 SO.OE a ⇒ OF = = 5 SO2 + OE2 5 Mặt khác a
DB = OB ⇒ d(D;(SBC)) = d(O;(SBC)) = 2 5 2 2 . Chọn C. 5
Câu 36: Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB, CD
Ta có SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ (ABCD),HM ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (SHM)
Kẻ HK ⊥ SM(K ∈SM) mà HK ⊥ CD ⇒ HK ⊥ (SCD)
Tam giác SHM vuông tại H, có SH.HM a HK = = 21 SH2 + HM2 7
Mặt khác AB / /CD ⇒ AB / /(SCD) ⇒ [ ] = [ ] a d d;(SCD) d H;(SCD) = 21. Chọn B. 7  SC;(ABCD) =   Câu 37: Ta có ( ) (SC;AC) = SCA = 60 
Tam giác SAC vuông tại A, có SA = AC.tanSCA = a 2 3
Kẻ AH ⊥ SB(H ∈SB) mà BC ⊥ (SAB) ⇒ AH ⊥ (SBC)
Tam giác SAB vuông tại A, có SA.AB a AH = = 2 39 SA2 + AB2 13
Vì G là trọng tâm A
 BC ⇒ d[G;(SBC)] = 1d[A;(SBC)] 3
Vậy khoảng cách cần tìm là a d = 2 39 . Chọn B. 39
Câu 38: Gọi H là trung điểm AC ⇒ BH ⊥ AC Mà ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ [ ] a SA BH BH (SAC) d B;(SAC) = BH = 3 2
Tam giác SAB vuông tại A, có SA.AB a AI = = 3 SA2 + AB2 2
Tam giác SAI vuông tại I, có 2 2 a SI = SA − AI = 3 2 Suy ra IS = 3 → [ ] = 3 [ ] a d I;(SAC) d B;(SBC) = 3 3 SB 4 4 8 Chọn C.
Câu 39: ABCD là nửa lục giác đều ⇒ ABC = 120;AC ⊥ CD
Kẻ AH ⊥ SC(H ∈SC) mà CD ⊥ AH ⇒ AH ⊥ (SCD) 
Tam giác ABC có AB = BC = a;ABC = 120 ⇒ AC = a 3
Tam giác SAC vuông tại A, có SA.AC a AH = = 6 SA2 + AC2 2 Vậy. [ ] = 1 [ ] a d B;(SCD) d A;(SCD) = 6 . Chọn C. 2 4   
Câu 40: Ta có BAD = 120 ⇒ ABC = 60 ⇒ AB  C đều
Gọi M là trung điểm BC ⇒ AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAM)  (SBC);(ABCD) =   Suy ra ( ) (SM;AM) = SMA = 30
Kẻ AK ⊥ SM(K ∈SM) mà BC ⊥ AK ⇒ AK ⊥ (SBC)
Tam giác AKM vuông tại K, có  a AK = AM.sin = 6 30 4
Lại có AD / /BC ⇒ AD / /(SBC) ⇒ [ ] = [ ] a d D;(SBC) d A;(SBC) = 6 . Chọn D. 4
Câu 41: Gọi O là trọng tâm ∆ABC, M là trung điểm BC
Suy ra SO ⊥ (ABC),OM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SMO)
Kẻ OH ⊥ SM(H ∈SM) mà BC ⊥ OH ⇒ OH ⊥ (SBC) Ta có 3 a 3 2 1 a AM = AB = → OA = AM = a;OM = AM = 2 2 3 3 2
Tam giác SAO vuông tại O, có SO = SA2 − OA2 = a
Tam giác SMO vuông tại O, có SO.OM a OH = = 5 SO2 + OM2 2 Lại có AM = ⇒ [ ] = [ ] a d A;(SBC) d O;(SBC) = OH = 3 5 3 3 3 OM 5
Mặt khác E là trung điểm AB → [ ] = 1 [ ] a d E;(SBC) d A;(SBC) = 3 5 2 10 Chọn C. S  A ⊥ AB  ⇒ AB ⊥ (SAC) ⇒ ( Câu 42: SB;(SAC))  = BSA = 45 AC ⊥ AB
Suy ra tam giác SAB vuông cân tại A → SA = AB = a
Xét hình chóp S.ABC, ta được 1 1 1 1 21 2 [ ] = + + ⇒ 2 2 2 [ ] a d A;(SBC) = d A;(SBC) SA AB AC 7 Lại có SA a = 2 = 3⇒ [ ] = 2 [ ] a a : d M;(SBC) d A;(SBC) = 2 21 MS 3 2 3 21 Chọn A.
Câu 43: Kẻ AH ⊥ BD(H∈BD) mà A'O ⊥ BD
⇒ AH ⊥ (A 'BD) ⇒ d[A;(A'BD)] = AH
Tam giác ABD vuông tại A, có AB.AD a AH = = 3 BD 2 Vậy [ ] = [ ] a d A;(A 'BD) d B';(A 'BD) = 3 . Chọn D. 2
Câu 44: Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm BC
Suy ra SO ⊥ (ABCD),OM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SMO)  (SBC);(ABCD) =   Khi đó (SM;OM) = SMO = 60
Kẻ OH ⊥ SM(H ∈SM) → OH ⊥ (SBC) 
Tam giác OHM vuông tại H, có OH a sin HMO = ⇒ OH = 3 OM 4
Vì G là trọng tâm tam giác ABC GC → = 4 OC 3 ⇒ [ ] = 4 [ ] 4 4 a 3 a d G;(SBC) d O;(SBC) = OH = . = 3 . Chọn B. 3 3 3 4 3
Câu 45: Gọi H, K lần lượt là trung điểm AC, BC
Ta có SH ⊥ AC ⇒ SH ⊥ (ABC) và HK / /AB ⇒ HK ⊥ BC BC ⊥ HE
Kẻ HE ⊥ SK(E ∈SK) ⇒  ⇒ HE ⊥ (SBC) S  K ⊥ HE
Tam giác ABC vuông tại B, có =  AB AC = 2a ⇒ SH = a 3 cosBAC
Tam giác SHK vuông tại H, có SH.HK a HE = = 39 SH2 + HK2 13
Lại có G là trung điểm SA, H là trung điểm AC = [ ] = 1 [ ] a HK d G;(SBC) d A;(SBC) = 39 .Chọn C. 2 13
Câu 46: Gọi E là trung điểm AD ⇒ABCE là hình vuông
⇒ AC ⊥ CD mà SA ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (SAC)
Kẻ AK ⊥ SC(K ∈SC) ⇒ AK ⊥ (SCD)
Tam giác SAC vuông tại A, có SA.AC AK = = a SA2 + AC2 Do đó [ ] = 1 [ ] a d B;(SCD) d A;(SCD) = 2 2
Mà H là hình chiếu của A trên HS SB ⇒ = 2 SB 3 Suy ra [ ] = 2 [ ] 2 a a d H;(SCD)
d B;(SCD) = . = . Chọn C. 3 3 2 3
Câu 47: Kẻ HK ⊥ SB(K ∈SB) ⇒ HK ⊥ (SBC)
Vì HB = HA ⇒ HA = a,HB = a ⇒ HC = BH2 + BC2 3 3 = a 5  SC;(ABCD) =   Ta có
(SC;HC) = SCH = 45 ⇒ SH = HC = a 5
Tam giác SBH vuông tại B, có  SC;(ABCD) =  
(SC;HC) = SCH = 45 ⇒ SH = HC = a 5 d[H;(SBC)] Khi đó BH 3 a = = ⇒ = 10 34 d[A;(SBC)] d[A;(SBC)] AB 4 17 Vậy [ ] = 1 [ ] 1 a 10 34 a d O;(SBC) d A;(SBC) = . = 5 34 2 2 17 17 Chọn B.
Câu 48: Kẻ SH ⊥ AB(H∈AB) → SH ⊥ (ABCD)
Kẻ HK ⊥ BD(K ∈BD) ⇒ BD ⊥ (SBD)  (SBD);(ABCD) =   Do đó (SK;HK) = SKH = 60
Kẻ HE ⊥ SK(E ∈SK) ⇒ HE ⊥ (SBD) Ta có SA2+ SB2 = AB2 ⇒ SA  Bvuông tại S Suy ra SA.SB a 3 2 2 3 BH SH = = ⇒ BH = SB −SH = ⇒ = 3 AB 2 2 AB 4 
Tam giác SHE vuông tại E, có HE a sin HSK = ⇒ HE = 3 SH 4 d[H;(SBD)] Khi đó AB 4 4 a 3 a 3 [ ] = = ⇒ d[A;(SBD)] = . = d A;(SBD) BH 3 3 4 3 Vậy [ ] a d C;(SBD) = 3. Chọn A. 3
Câu 49: Do SA ⊥ (ABC) và SC tạo với (ABC) một góc 45°  nên SCA = 45 Ta có: AC = AB2 + BC2 = a 2 ⇒ SA = AC tan 45 = a 2
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC thì
G G / /MN / /BC ⇒ d(G G ;(SBC)) = d(G ;(SBC)) = 1 2 1 2 1 d Mặt khác G S = 2 2 mà MB = 1AB 1 MS ⇒ d = d G1 M 3 3 2 ⇒ d = 1d(A;(SBC)) M 2 Suy ra d = 1d(A;(SBC)) G1 3 BC ⊥ AB Dựng AH ⊥ SB , do 
⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH BC ⊥ SA Mặt khác SA.AB 2a
AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ d(A;(SBC)) = AH = = 2 2 SA + AB 5 Suy ra 2a d = . Chọn C. 3 5
Câu 50: Ta có: A’B cắt AB’ tại trung điểm I của mỗi đường
Do đó d(BC,(AB'C')) = d(B;(AB'C')) = d(A ';(AB'C')) = d B'C' ⊥ A 'B'
Dựng A 'F ⊥ AB' ta có:  B'C' ⊥ AA ' A'F ⊥ AB'
⇒ B'C' ⊥ (A 'B'A). Lại có  ⇒ A 'F ⊥ (AB'C') A'F ⊥ BC Khi đó: AB'.AA ' d = A 'F = AB'2+ AA '2 
Trong đó AB’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 60° nên A'BA = 60 ⇒ AA' = A'Bsin 60 = a 2 sin 60 = a 3
Mặt khác AB = AB'cos60 = a Suy ra AB'.AA ' a d = A 'F = = 3 . Chọn C. AB'2+ AA '2 2
Câu 51: Dựng AE ⊥ BD;AF ⊥ A'E   
Do ABC = 120 ⇒ BAD = 60 ⇒ AB  D là tam giác đều cạnh a a ⇒ AE = 3 2 BD ⊥ AE Do 
⇒ BD ⊥ (A 'AE) ⇒ BD ⊥ AF BD ⊥ AA '
Mặt khác AF ⊥ A 'E ⇒ AF ⊥ (A 'BD)
Do A’B tạo với mặt phẳng đáy một góc 60° 
⇒ A 'BA = 60 ⇒ A 'A = ABtan 60 = a 3 Khi đó AA '.AE a d(A;(A 'BD) = AF = = 15 AA '2+ AE2 5
Do B'D / /BD ⇒ d(B'D';(A'BD)) = d(B';(A'BD)) = d
Mà A 'B∩ AB' = I là trung điểm của AB’ a ⇒ d = d(A;(A 'BD)) = AF = 15. Chọn D. 5
Câu 52: Dễ thấy A’.ABC là hình chóp tam giác đều nên hình chiếu của A’ xuống mặt đáy trùng với trọng
tâm tam giác ABC. MN là đường trung bình trong tam giác BA’C nên MN//A’C.
Khi đó d(A'C,(AMN)) = d(A';(AMN)) = d(B;(AMN) = d
Gọi H là hình chiếu của N trên mặt phẳng (ABC)
⇒ NH/ / A'G' ⇒ H là trung điểm của BG.
Dựng HE ⊥ AM;HF ⊥ NE ⇒ d(H;(AMN)) = HF Mặt khác BM BC a A 'G HE = = = , NH = 2 4 4 2 Trong đó a 3 2 2 a BG = ⇒ A 'G = A 'B − BG = 6 3 3 Do đó a 6 NH.NE a NH = ⇒ HF = = 6 NH2 + NE2 22 Suy đó a 2 a d = d(B;(AMN)) = d(H;(AMN)) = = 22 2 . Chọn A. 22 11
Câu 53: Gọi O là giao điểm của AC và BD OA ⊥ SA Ta có 
⇒ OA là đoạn vuông góc chung của SA và BD OA ⊥ BD Ta có 2 2 1 a AC = AB + BC = a ⇒ OA = AC = 2 2 2 2 Ta có a d(SA,BD) = OA = 2 . Chọn D. 2 AB ⊥ SA Câu 54: Ta có 
⇒ AB là đoạn vuông góc chung của SA và BC AB ⊥ BC
Ta có AB ⊥ BC và ∆ABC cân nên ∆ABC vuông cân tại B. Do đó AB = BC = a
Ta có d(SA,BC) = AB = a. Chọn B.
Câu 55: Ta có JA = JB ⇒ IJ ⊥ AB
Ta có IC = ID ⇒ IJ ⊥ CD
Do đó IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD
Do đó d(AB,CD)=IJ. Chọn B.
Câu 56: Gọi O là giao điểm của AC và BD ⇒ SO ⊥ (ABCD) Kẻ OH ⊥ SC BD ⊥ AC  
⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ OH BD ⊥ SO OH ⊥ SC  
⇒ OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC OH ⊥ BD 1 a 2 a 2  2 2 OC = AC = ,SO = SC − OC = 2 2 2 1 1 1 4 a a  = + = ⇒ OH = ⇒ d(BD,SC) = OH2 OS2 OC2 a3 2 2 Chọn B.
Câu 57: Gọi M là giao điểm của AB’ và A’B, N là giao điểm của CD’ và C’D MN ⊥ AB'  
⇒ MN là đoạn vuông góc chung của AB’ và CD’ MN ⊥ CD'
 MN = BC = AC2 − AB2 = a 3
 d(AB',CD ') = MN = a 3. Chọn A. CD ⊥ AD Câu 58: Ta có 
⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD CD ⊥ SA CD ⊥ SD  
⇒ CDlà đoạn vuông góc chung của SD và BC CD ⊥ BC  CD = AC2 − AD2 = a 3
 d(SD, BC) = CD = a 3. Chọn D.
Câu 59: Kẻ BH ⊥ SM,AK ⊥ SM ⇒ BH = AK BC ⊥ AB  
⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ BH BC ⊥ SA BH ⊥ BC  
⇒ BH là đoạn vuông góc của BC và SM BH ⊥ SM 1 1 1 9 2 2  a a = + = ⇒ AK = ⇒ BH = AK2 SA2 AM2 a2 2 3 3  a d(BC,SM) = BH = 2 . Chọn A. 3
Câu 60: Gọi N là trung điểm của BC
Ta có A 'B'/ /MN ⇒ d(A 'B',C'M) = d(A 'B',(C'MN)) = d(B',(B'MN)) = d 2 (C,(B'MN)) MN ⊥ BC Kẻ CH ⊥ C'N ⇒ 
⇒ MN ⊥ (BCC') ⇒ MN ⊥ HC MN ⊥ CC'
Mà HC ⊥ C'N ⇒ HC ⊥ (C'MN)
Lại có 1 = 1 + 1 = 1 ⇒ HC = a 2 HC2 NC2 CC'2 a2 2
⇒ d(C,(B'MN)) = a 2 ⇒ d(A 'B',C'M) = a 2 2. Chọn B. BC ⊥ AB Câu 61: Ta có 
⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB BC ⊥ SA BC ⊥ SB  
⇒ BC là đoạn vuông góc chung của SB và CD BC ⊥ CD
 d(SB,CD) = BC = a . Chọn A.
Câu 62: Gọi J là trung điểm của OB ⇒ IJ//OC, kẻ OH ⊥ AJ
 IJ / /OC ⇒ d(AI,OC) = d(OC,(AIJ)) = d(O,(AIJ)) IJ ⊥ OB  
⇒ IJ ⊥ (OAB) ⇒ IJ ⊥ OH IJ ⊥ OA
Mà OH ⊥ AJ ⇒ OH ⊥ (AIJ) 1 1 1 5  a = + = ⇒ OH = OH2 OA2 OJ2 a2 5 Do đó a d(AI,OC) = . Chọn B. 5
Câu 63: Kẻ OH ⊥ SA,CK ⊥ SA BD ⊥ AC  
⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ OH BD ⊥ SA OH ⊥ SA  
⇒ OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD OH ⊥ BD Ta có AC = a 3 1 1 1 1 a = + = ⇒ CK = a ⇒ OH = CK2 CS2 CA2 a2 2 a
⇒ d(SA,BD) = OH = . Chọn A. 2
Câu 64: Ta có AA'//CC' ⇒ d(AB',CC')
=d(CC',(ABB'A'))=d(C,(ABB'A')) CH ⊥ AB Kẻ CH ⊥ AB ta có  ⇒ CH ⊥ (ABB'A') CH ⊥ AA ' Ta có a d(AB',CC')=CH= 3 . Chọn A. 2 CD ⊥ AD Câu 65: Ta có 
⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD CH ⊥ SA CD ⊥ SD  
⇒ CDlà đoạn vuông góc chung của SD và BC CD ⊥ BC  CD= AC2 − AD2 = a 3
 d(SD, BC) = CD = a 3. Chọn D.
Câu 66: Ta có BD / /B'D' ⇒ d(AD',BD) = d(BD,(AB'D'))
= d(B,(AB'D')) = d(A',(AB'D'))
Gọi O’ là giao điểm của A’C’ và B’D’, kẻ A'H ⊥ O'A B'D' ⊥ A 'O' Ta có 
⇒ B'D' ⊥ (AA 'O) ⇒ B'D' ⊥ O'A B'D' ⊥ AA '
Mà A 'H ⊥ AO' ⇒ A 'H ⊥ (AB'D') Ta có 1 a A'O' = A 'C' = 2 . Ta có 1 = 1 + 1 = 3 2 2 A 'H2 A 'O'2 AA '2 a2 a 3 a ⇒ A 'H = ⇒ d(AD',BD) = 3 . Chọn B. 3 3 Câu 67: Kẻ AH ⊥ SB AD ⊥ AB 
⇒ AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ AH AD ⊥ SA AH ⊥ SB 
⇒ AH là đoạn vuông góc chung của SB và AD AH ⊥ AD Ta có 1 1 1 2 a = + = ⇒ AH = 2 AH2 AS2 AB2 a2 2 Ta có a 2 d(SB,AD) = AH = . Chọn C. 2
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1