Bài toán min – max liên quan hàm số mũ – logarit nhiều biến – Đặng Việt Đông

Tài liệu gồm 51 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Đặng Việt Đông, tuyển chọn và hướng dẫn giải 96 bài toán min – max (giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất / GTNN – GTLN)

35 18 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

51 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
MIN-MAX LIÊN QUAN HÀM MŨ, HÀM LÔ-GA-RÍT (NHIỀU BIẾN)
DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐÁNH GIÁ, ÁP DỤNG BĐT.
DẠNG 2: ÁP DỤNG PHÁP HÀM SỐ, HÀM ĐẶC TRƯNG.
+ ÁP DỤNG HÀM SỐ
+ ÁP DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG
DẠNG 3: ÁP DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐÁNH GIÁ, ÁP DỤNG BĐT.
Câu 1: Xét các số thức ,,,thỏa mãn >1,>1và
=
=
√

. Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức =+ 3thuộc tập hợp nào dưới đây?
A.
(
0;1
)
. B. 󰇡2;
󰇢, 󰇡
;2󰇢. C. 󰇡
;2󰇢. D. 󰇡
;3󰇢.
Lời giải
Chọn B
=
=√
⇒
=
√
=
1
3
(
1 + 
)
=
√
=
1
3
(
1 + 
)
⇒=+ 3=
1
3
(
1 + 
)
+ 1 + 
=
4
3
+
1
3

+ 
≥
4
3
+ 2
1
3
∈2;
5
2
Câu 2: Cho hai số thực , đều lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức =


+

√

bằng
A.
. B.
. C.
. D.
Lời giải
Chọn B
Ta có =


+

√

=
(

)
+ 
√

=1 +
+
(

+ 1
)
=
+

+
.
Đặt =
. Do , >1 nên >0.
Khi đó =+

+
≥2.

+
=
(Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương và
).
Dấu "=" xảy ra ⇔󰇫
=

>0
⇔󰇫
=±
>0
⇒=
.
Vậy =
tại 
=
⇔=
√
.
Câu 3: Với ,, là các số thực lớn hơn 1, đặt =
(

)
,=
(

)
,=
(

)
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biếu thức =+ + 4.
A. 6. B. 12. C. 10. D. 16.
Lời giải
Chọn C
Ta có =
+ 
; =
+ 
; =
+ 
. Khi đó
=+ + 4=
+ 
+
+
+ 4
+ 4
.
=󰇡
+

󰇢+󰇡
+

󰇢+󰇡
+

󰇢.
Vì ,,>1⇒
>0; 
>0; 
>0 nên
=󰇡
+

󰇢+󰇡
+

󰇢+󰇡
+

󰇢≥2.2 + 2.2 + 2.1=10.
Vậy =10⇔

=2

=1

=2
⇔
=
=
=
⇔
󰇥
=
=
.
Câu 4: Xét các số thực dương ,,, thỏa mãn >1,>1 và
=
=
√
. Giá trị nhỏ nhất của
biểu thức =+ 2 thuộc tập hợp nào dưới đây?
A.
(
1;2
)
. B.
(
2;
󰇢. C. (3;4
)
. D. (
;3󰇢.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Lời giải
Chọn D
Ta có
=
=
√
⇔󰇫
=
√

=
√

⇔
󰇱
=
(
1 + 
)
=
(
1 + 
)
.
=+ 2=
+

+ 1 + 
=

+

+
.
Đặt =
>0⇒=
+
+
(
>0
)
.
=
+
+
≥2
.
+
=
√
2 +
∈(
;3󰇢.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 󰇫
=
>0
⇔=
√
2.
Vậy =
√
2 +
∈
;3󰇢.
Câu 5: Cho , là các số thực thỏa 

(
+
)
≤1. Khi 3+ đạt giá trị lớn nhất, thì giá trị
=
là
A. =1. B. =
. C. =3. D. =
.
Lời giải
Chọn C
Xét trường hợp 3+ >1.
2 2 2 2
3
log 1 3
x y
x y x y x y
(
1
)
.
Đặt =3+ ⇒=−3.
(
1
)
⇔
+
(
−3
)
−≤0
2 2
10 6 0
x Px P P
(
2
)
.
Δ =9
−10
(
−2
)
=−
+ 10
Nếu Δ <0 thì
(
2
)
vô nghiệm. Do đó Δ ≥0⇔0≤≤10.
Vậy

. Khi đó
(
2
)
⇔=


=3⇒=1⇒=
=3.
Câu 6: Cho các số thực ; thỏa mãn
+ 4+ 12
=4. Giá trị lớn nhất của biểu thức =

(
−2
)
là
A. =3
2. B. =
12.
C. =12. D. =16.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện ≠2. Từ
+ 4+ 12
=4suy ra:
Nếu =0 thì
=4⇒=2
Nếu ≠0ta có:=
(
−2
)
⇔4
(
−2
)
=4.2
⇒
4.2
4
=
4.
(
−2
)
+ 4+12
=
4󰇡
2
−1󰇢
󰇡
2
󰇢
+ 2
2
+ 3
Đặt =

,∈ℝ, 2
=



⇔2
(
+ 2+ 3
)
=4
−8+ 4
⇔
(
2
−4
)
+ 2
(
2
+ 4
)
+ 3.2
−4=0Xét với
(
≠2
)
Để phương trình có nghiệm:
󰆒
≥0⇔
(
2
+ 4
)
−
(
2
−4
)(
3.2
−4
)
≥0
⇔−2
(
2
)
+ 24.2
≥0⇔0≤2
≤12⇒≤
12
Vậy =
12.
Dấu đẳng thức xảy ra khi
󰇱
=−2
=

+ 4+12
=4
⇒󰇫
=−4
=
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Câu 7: Cho , là các số thực dương, thỏa mãn
2
2 2
1
2
1 1
log log log 3
x y x y
. Tìm giá trị nhỏ nhất
P
của biểu thức =4+ .
A.
√
5

B.
√
5

C.
√
5

D.
√
5

.
Lời giải:
Chọn A
2 2 2
2 2 2
1 1 1
log log log 3 3 ( 3)
x y x y xy x y x y y
.Từ đây, , là các số thực dương nên ta
suy ra >3
và ≥

=+ 3 +

Do đó, ≥4󰇡+ 3 +

󰇢+=5(−3) +


+ 27≥12
√
5 + 27.
Dấu bằng xảy ra khi=3 +
√
,=6+

√

.
Câu 8: Cho =
√

với >1, >1 và =
+ 16
. Tìm sao cho đạt giá trị
nhỏ nhất.
A. =
. B. =4. C. =1. D. =2.
Lời giải
Chọn C
Theo giả thiết ta có =

(

)
=
(
1 + 
)
⇒
=3−1.
Suy ra =
+


⇔=
(
3−1
)
+


⇔=
(
3−1
)
+

+

.
Vì >1, >1 nên 
=3−1>0.
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số dương ta có:
⇔=
(
3−1
)
+

+

≥3.
(
3−1
)
.

(

)
⇔≥12.
Dấu bằng xảy ra khi
(
3−1
)
=

⇔=1.
Câu 9: Xét các số thực dương , , , thỏa mãn >1, >1 và

=
=
. Biết giá trị nhỏ
nhất của biểu thức =+3+ 2 có dạng +
√
14 (với ,là các số tự nhiên), tính
=+.
A. 48 B. 34 C. 30. D. 38.
Lời giải
Chọn D
Theo bài ra ta có:

=
=
⇔
󰇥

=
=
⇔
2=
(
)
=
(
)
⇔
2=4 +4
=4+ 4
⇔
=2
(
1 + 
)
=4
(
1 + 
)
Do đó: =+ 3+ 2=8
(
1 + 
)(
1 + 
)
+ 6
(
1 + 
)
+ 8
(
1 + 
)
=16 + 8
+ 8
+ 6 + 6
+ 8 + 8
=30 + 14
+ 16
Đặt =
. Vì , >1 nên 
>
1=0.
Khi đó =30 + 14+

≥30 + 214.

=30 + 8
√
14.
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất là 30+ 8
√
14 khi 14=

⇒=
√

hay =
√

.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Ta có:
󰇥
=30
=8
⇒=+ =38
.
Câu 10: Trong các nghiệm
(
;
)
thỏa mãn bất phương trình 


(
+ 2
)
≥1, tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức =+ 2.
A.
. B.
. C.
. D. 1.
Lời giải
Chọn B
Nếu 0<3
+ 2
<1 thì từ giả thiết 


(
+ 2
)
≥1 ta suy ra + 2≤1.
Nếu 3
+ 2
>1 thì khi đó ta có:



(
+ 2
)
≥1 ⇔+ 2≥3
+ 2
⇔3
−+ 2
−2≤0
⇔󰇡
√
3 −
√
󰇢
+ 󰇡
√
2 −
√
󰇢
≤

.
Ta viết lại =+2=
√
󰇡
√
3 −
√
󰇢+
√
2󰇡
√
2 −
√
󰇢+
Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwartz thì
1
√
3

√
3 −
1
2
√
3
+
√
2
√
2 −
1
√
2
≤
1
√
3
+
√
2
.

√
3 −
1
2
√
3
+ 
√
2 −
1
√
2
≤
.

=
.
Do đó ≤
+
=
. Dấu “=” xảy ra khi
(
;
)
=󰇡
;1󰇢.
Vậy

đạt được khi
(
;
)
=󰇡
;1󰇢.
Câu 11: Xét các số thực , thỏa mãn 
(
−1
)
+ 
(
−1
)
=1. Khi biểu thức =2+ 3 đạt
giá trị nhỏ nhất thì 3−2=+
√
3 với ,∈ℚ. Tính =.
A. =9. B. =
. C. =
. D. =7.
Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
−1>0
−1>0
⇔
>1
>1
.
Khi đó: 
(
−1
)
+ 
(
−1
)
=1⇔
(
−1
)(
−1
)
=2⇔−1=

⇔=

+ 1.
Suy ra: =2+ 3=2+

+ 3=2
(
−1
)
+

+ 5.
Cách 1: Dùng bất đẳng thức
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 2
(
−1
)
+

≥22
(
−1
)
.

⇒2
(
−1
)
+

≥4
√
3⇒≥4
√
3 + 5.
Dấu “=” xảy ra ⇔2
(
−1
)
=

⇔
(
−1
)
=3⇔
|
−1
|
=
√
3⇔
󰇩
=1 +
√
3
(
)
=1 −
√
3
(
)
.
⇒=
√
+ 1=
√

.
Do đó: 3−2=3
1 +
√
3
−2󰇡
√

󰇢=1+
√
3⇒=1;=
⇒==
.
Cách 2: Dùng bảng biến thiên
Ta có: =2+

+ 3 ⇒′=2−
(

)
′=0⇔
󰇩
=1 +
√
3
(
)
=1 −
√
3
(
)
Bảng biến thiên
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
√
3
√
3
√


.
Do đó: 3−2=3
1 +
√
3
−2󰇡
√

󰇢=1+
√
3⇒=1;=
⇒==
.
Câu 12: Xét các số thực ,thỏa mãn 
(
−1
)
+ 
(
−1
)
=1. Khi biểu thức =2+3đạt
giá trị nhỏ nhất thì 3−2=+
√
3với ,∈ℚ. Tính =?
A. =9. B. =
. C. =
. D. =7.
Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
−1>0
−1>0
⇔
>1
>1
Khi đó: 
(
−1
)
+ 
(
−1
)
=1⇔
(
−1
)(
−1
)
=2⇔−1=

⇔=

+ 1
Suy ra: =2+ 3=2+

+ 3=2
(
−1
)
+

+ 5
Cách 1: Dùng bất đẳng thức
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 2
(
−1
)
+

≥22
(
−1
)
.

⇒2
(
−1
)
+
6
−1
≥4
√
3⇒≥4
√
3 + 5
Dấu “=” xảy ra ⇔2
(
−1
)
=

⇔
(
−1
)
=3⇔
|
−1
|
=
√
3⇔
󰇩
=1 +
√
3
(
)
=1 −
√
3
(
)
⇒=
√
+ 1=
√

.
Do đó: 3−2=3
1 +
√
3
−2󰇡
√

󰇢=1+
√
3⇒=1;=
⇒==
.
Cách 2: Dùng bảng biến thiên
Ta có: =2+

+ 3⇒'=2 −
(

)
'=0⇔
󰇩
=1 +
√
3
(
)
=1 −
√
3
(
)
Bảng biến thiên
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
√
3
√
3
√


.
Do đó: 3−2=3
1 +
√
3
−2󰇡
√

󰇢=1+
√
3⇒=1;=
⇒==
.
Câu 13: Cho ,,là các số thực dương thỏa mãn 64
+ 64

+ 64

=3.4

. Giá trị lớn nhất của
biểu
thức =

+

+

+ 1515
A. 2020. B. 2019. C. 2021. D. 2018.
Lời giải
Chọn A
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức côsi cho 4 số dương ta có:
(
+ 2+ 2+3
)
1
+
1
2
+
1
2
+
1
3
≥16⇔
1
+ 2+ 2+ 3
≤
1
16
1
+
2
2
+
1
3
(
+ +2+ 3
)
1
+
1
+
1
2
+
1
3
≥16⇔
1
+ +2+ 3
≤
1
16
2
+
1
2
+
1
3
(
+ 2+ 3+ 3
)
1
+
1
2
+
1
3
+
1
3
≥16⇔
1
+ 2+ 3+3
≤
1
16
1
+
1
2
+
2
3
Từ đó suy ra =

+

+

+ 1515≤
󰇡
+

+

󰇢+ 1515
Từ giả thiết ta lại có 3.4

=64
+ 64

+ 64

≥3
64
.64

.64

=3.4


Suy ra 4


≤4

⇔
+

+

≤2020
Vậy ≤
󰇡
+

+

󰇢+1515≤

+ 1515=2020
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
󰇱
=

=

+

+

=2020
⇔=

;=

;=

.
Câu 14: Xét các số thực dương , , , ,, thỏa mãn >1, >1, >1 và
=
=
=
√
.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức =++ +
thuộc tập hợp nào dưới đây?
A. 10;13
)
. B. 7;10
)
. C. 3;5
)
. D. 5;7
)
.
Lời giải
Chọn D
Từ giả thiết ta có
1
1 log log
2
a a
x b c ,
1
1 log log
2
b b
y a c ,
1
1 log log
2
c c
z b a . Khi đó ta có
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
2 4 log log log log log log
a b a c b c
P b a c a c b
.
Vì >1, >1, >1 nên
log 0
a
b
,
log 0
b
c
,
log 0
c
a
,
log 0
b
a
,
log 0
c
b
,
log 0
a
c
.
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta được
log log 2 log .log
a b a b
b a b a
hay
log log 2
a b
b a
.
Tương tự
log log 2
a c
c a
và
log log 2
b c
c b
.
Do đó 2≥10 hay ≥5. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ==.
Vậy giá trị nhỏ nhất
min
5
P
.
Câu 15: Cho hai số thực dương ,thỏa mãn 
(+ + 2)=1 + 
󰇡

+

󰇢. Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức


=
với ,∈ℕ,(,)=1. Hỏi +bằng bao nhiêu.
A. 2. B. 9. C. 12. D. 13
Lời giải
Chọn D
Ta có 
(++ 2)=1 + 
󰇡

+

󰇢⇔

=
󰇡


−
−
󰇢
⇔

=

()

. Gọi >0là giá trị nhỏ nhất của


khi đó là số dương nhỏ nhất để hệ
󰇱

+


=


=
có nghiệm.
Ta có
󰇱

+


=


=
⇔
󰇱
()

−2=

+


=
⇔
(+ )
=(+ 2)

+


=
Từ (+ )
=(+ 2)⇒(+ 2)≥4⇒≥2.
Đặt
0
t x y

+


=⇔
+ (2 −3)+ 6 + 3=0 (*). Ta đi tìm ≥2để (*) có
nghiệm dương ⇔=9
−24−20≥0⇔≥

. Do đó


≥

, dấu “=” xảy ra khi
+ =4
=3
⇒(;)=(1;3). Vậy + =13.
Câu 16: Cho các số thực dương và thỏa mãn 4+ 9.3

=
4 + 9

.7


. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức =

.
A. =9. B. =

√
. C. =1 + 9
√
2. D. =

√
.
Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết ta đặt =
−2, ∈ℝ.
Phương trình 4 + 9.3

=
4 + 9

.7


trở thành
4 + 9.3
=
(
4 + 9
)
.

⇔4
(
7
−49
)
+ 9
9.󰇡
󰇢
−49=0.
Nhận thấy =2là nghiệm phương trình.
Ta chứng minh =2là nghiệm duy nhất của phương trình.
Xét >2: 7
>49và 9.󰇡
󰇢
>49nên vế trái phương trình luôn dương, nên phương trình vô nghiệm.
Xét <2: 7
<49và 9.󰇡
󰇢
<49nên vế trái phương trình luôn âm, nên phương trình vô nghiệm.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Vậy =
−2=2⇔=

thay vào =

=

. Dấu bằng đạt được khi =

⇒=4.
Câu 17: Xét các số thực dương , , , thỏa mãn >1, >1và

=

=
. Biết giá trị nhỏ
nhất của biểu thức =3+ 2+có dạng +
√
30 (với ,là các số tự nhiên), tính =
+
A. 34 B. 36. C. 52. D. 48
Lời giải
Chọn C
Theo bài ra ta có:

=

=
⇔
󰇥

=

=
⇔
2=
(
)
3=
(
)
⇔
2=6 + 6
3=6+ 6
⇔
=3
(
1 + 
)
=2
(
1 + 
)
Do đó: =3+ 2+ =18
(
1 + 
)(
1 + 
)
+ 6
(
1 + 
)
+ 2
(
1 + 
)
=18 +18
+ 18
+ 18 + 6 + 6
+ 2 + 2
=44 + 24
+ 20
Đặt =
. Vì , >1nên 
>
1=0.
Khi đó =44 + 24+

≥44 + 224.

=44 + 8
√
30.
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất là 44+ 8
√
30khi 24=

⇒=
√

hay =
√

.
Ta có:
󰇥
=44
=8
⇒=+ =52
Câu 18: Cho hai số thực ;; thỏa mãn hệ thức

+

≤3+ + . Giá trị nhỏ nhất của
biểu thức =
+
+ 2
−22 bằng?
A. −19. B. 12. C. −15. D. 8.
Lời giải
Chọn A
Chúng ta nắm bắt được dạng thì sẽ có cách giải như sau:

+

≤3+ + ⇔
+
≤+ + 2⇔
=+ 2+ =0
=2−−2=0
⇔
󰇥
=2−2
=−5+ 4
Thế vào biểu thức , ta được:
=
+
(
2−2
)
+ 2
(
−5+ 4
)
−22=55
−110+ 36=55
(
−1
)
−19≥−19
Vậy giá trị nhỏ nhất của là:

=−19.
Câu 19: Cho hai số thực dương , lớn hơn 1 và biết phương trình
.

=1 có nghiệm thực. Biết
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4
log
log
a
a
P ab
b
có dạng
với , là số tự nhiên và
là
phân số tối giản. Khi đó + 2 bằng
A. 34. B. 21. C. 23. D. 10.
Lời giải
Chọn C
Phương trình tương đương với
2 2
2 log 0 log 2log 0
a a a
x x b x x b b
.
Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
2
log 8log 0
a a
b b
log 8
a
b
( )

>0.
16 16
1 2 . 1 9
x x
x x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Khi đó
4
log 1
log
a
a
P b
b
=
(
)
=+
+ 1≥
;
)
(
)
=
(
8
)
=

=
.
Vậy + 2=23.
Câu 20: Cho các số thực , thỏa mãn điều kiện 0<<<1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức =

(

)
+ 8
−1.
A. 6. B. 8. C. 3
√
2
. D. 7.
Lời giải
Chọn D
Ta có: 
=

=
(


)
.
(
3−2
)
≥0 ⇒9
−12+ 4≥0 ⇒

≤
⇒
(

)
≥
=2
.
Do đó: ≥2
+
(


)
−1 ⇒≥
(

−1
)
+
(

−1
)
+
(


)
+ 1.
Mà 0<<<1⇒
>
=1 ⇒
−1>0.
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
(

−1
)
+
(

−1
)
+
(


)
≥6 ⇒≥7.
Dấu "=" xảy ra ⇔󰇫
3−2=0

−1=
(


)
⇔󰇫
=

=3
⇔
=
=
.
Vậy =7.
Câu 21: Cho số thực ,>1
thỏa mãn điều kiện 

+ 

=2020
. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức =


+


?
A.
2019 2018
2020 log 2018 log 2019
. B.
2019 2018
1
log 2018 log 2019
2020
.
C.
2019 2018
2020
log 2018 log 2019
. D.
2019 2018
2020 log 2018 2020 log 2019
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2019 2018
log log
P a b
2019 2018 2018 2019
log 2018. log log 2019 log
a b
.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky, ta có:
2
2
2019 2018 2018 2019
log 2018. log log 2019 log
P a b
2
2019 2018 2018 2019 2019 2018
log 2018 log 2019 log log log 2018 log 2019 2020
a b
2019 2018
2020 log 2018 log 2019
P .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2018 2019
2019 2018
2
2018 2019
l
log log 2
og log
log 2
0
018 log 201
02
9
a
b
b
a
2018 2018 2019 2
8
019
2
201 2019
log 2019 log log 2018
0
g
log log 202
lo
a b
a b
⇔&

=


󰇥


=


(với =

2019)
Vậy tồn tại , >1 để đẳng thức xảy ra nên
2019 2018
max 2020 log 2018 log 2019
P .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Câu 22: Cho >0,>0 thỏa mãn
2 2
4 5 1 8 1
log 16 1 log 4 5 1 2
a b ab
a b a b
. Giá trị của +
2bằng
A.

. B. 6. C.

. D. 9.
Lời giải
Chọn A
Ta có: 16
+
+ 1≥2
√
16
+ 1=8+ 1 do đó:
2 2
4 5 1 8 1
log 16 1 log 4 5 1
a b ab
a b a b
4 5 1 8 1
log 8 1 log 4 5 1
a b ab
ab a b
4 5 1
4 5 1
1
8 1
8 1
log
log
a b
a b
ab
ab
4 5 1
4 5 1
1
2 8 1 2
8
log .
lo 1g
a b
a b
ab
ab
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
16
=
8+ 1=4+ 5+ 1
⇔
󰇥
4=
2
+ 1=6+ 1
⇔
=
3
4
=3
Vậy + 2=

.
Câu 23: Cho ,,>0; ,,>1 và
=
=
=
√
. Giá trị lớn nhất của biểu thức =

+

−
thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
(
10;15
)
. B.

;

󰇢. C. −10;10
)
. D.
[
15;20
]
.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
=
=
=
√

⇒

=

=

=
1
2
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
1
=2

1
=2

1
=2

Do đó:
+
+
=2
(


+ 

+ 

)
=2

=2
Suy ra:
+
=2 −
Ta có: =

+

−
=16󰇡2 −
󰇢−
=32 −

−
(>0).
Mặc khác,

+
=
+
+
≥3
.
.
=12.
Dấu “=” xảy ra ⇔=2.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 32 −12=20 tại =2.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
DẠNG 2: ÁP DỤNG PHÁP HÀM SỐ, HÀM ĐẶC TRƯNG.
ÁP DỤNG HÀM SỐ
Câu 24: Cho , là các số thực dương thỏa mãn >1 và
√
≤<. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
=
+ 2
√
󰇡
󰇢 bằng
A. 6. B. 7. C. 5. D. 4.
Lời giải
Chọn C
Đặt =
, vì >1 và
√
≤< nên
≤<1.
Ta có =
+ 2
√
󰇡
󰇢=

+
−4=
(
)
.
Xét hàm số
(
)
=

+
−4 trên nửa khoảng
;1󰇢, ta có
󰆒
(
)
=
(

)
−
=
(

)(

)
.
(

)
;
󰆒
(
)
=0⇔=2∉
;1󰇢 hoặc =
∈
;1󰇢.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có 
;󰇢
(
)
=5 khi =
.
Vậy =5 khi 
=
⇔=
√
.
Câu 25: Cho , là các số thực dương thỏa mãn ≤4−1. Giá trị nhỏ nhất của =
(

)
+


là + . Giá trị của tích . là
A. 45. B. 81. C. 115. D. 108.
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết, ta có ≤4−1 nên
≤
−
.
Đặt =
, ta có 0<≤4 (vì
−
≤4, ∀>0).
Ta có =12 +
+ 
(
+2
)
;
󰆒
(
)
=−
+

<0, với mọi 0<≤4.
Do đó
(
4
)

=

+ 6. Suy ra =

, =6 nên .=81.
Câu 26: Cho các số thực , , khác 0 thỏa mãn 3
=5
=15

. Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức
=
+
+
−4
(
+ +
)
là?
A. −3 −
3. B. −4. C. −2 −
√
3. D. −2 −
5.
Lời giải
Chọn B
Đặt =3
=5
=15

; >0.
Suy ra
=
=
−=

⇒−=


=


=
=


⇔++=0.
Ta có =
+
+
−4
(
+ +
)
=
(
+ +
)
−2
(
+ + 
)
−4
(
+ +
)
.
⇒=
(
+ +
)
−4
(
+ +
)
=
[(
+ +
)
−2
]
−4≥−4.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
⇒
󰇥
+ + =2
+ + =0

.
Câu 27: Xét các số thực , sao cho >1,
√
≤<. Biểu thức =
+ 2
√
󰇡
󰇢 đạt giá trị
nhỏ nhất khi
A.
=
. B. =
. C.
=. D.
=
.
Lời giải
Chọn A
Do >1 mà > suy ra >1.
Ta có
√
≤<⇔log
√
≤log
<log
⇔
≤log
<1.
Theo bài ra =
+ 2
√
󰇡
󰇢⇔=


+ 2

󰇡
󰇢

√
⇔=

+ 4


.
Đặt =log
suy ra ∈
;1󰇢 ta được =

+ 4

với ∈
;1󰇢.
󰆒
=
(

)
−
cho
󰆒
=0⇒
=4
(
1 −
)
⇔3
−8+ 4=0⇔=
(thỏa mãn) hoặc =2(loại)
Dựa vào bảng biến thiên giá trị nhỏ nhất =5 khi =
⇔
=
⇔
=
.
Cho , là các số thực thỏa mãn 1<<
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức =
(

−1
)
+
8󰇧
√
√
󰇨
.
A. 18.
B. 9.
C. 27.
D. 30
Lời giải
Chọn C
Ta có 
√
√
=
󰇧
󰇨=
.




=




=

√


√

.
Suy ra =
2
−1
+ 8󰇡

√


√

󰇢
.
Đặt =2
, do 1<<
⇔
1<
<
⇒>2.
Ta có hàm số
(
)
=
(
−1
)
+ 8.󰇡


󰇢
với >2.
󰆒
(
)
=
(

)(

)


(

)
;
′
(
)
=0⇒
󰇣
=1
=4
.
Lập bảng biến thiên trên
(
2;+∞
)
ta được
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức =
(

−1
)
+ 8󰇧
√
√
󰇨
là 27 đạt được khi =4⇔
2
=4 ⇔
=
⇔=
.
Câu 28: Cho , là hai số thực dương thỏa mãn
=3+ 4
và ∈
[
4;2

]
. Gọi ,
lần lượt là
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức =
4+

. Tính tổng =+
.
A. =


. B. =


. C. =


. D. =
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
=3+ 4
⇔
−
=3
(
+
)
⇔
(
+
)(
−4
)
=0⇔
󰇣
=−
=4
Vì , dương nên =4, ta thay vào ta được
=
4+
3
4

=

4

2
+
3
4

=

+ 2

−1
+
3
4
Đặt 
= vì ∈
[
4;2

]
nên ∈
[
2;32
]
Xét hàm số
(
)
=


+
󰆒
(
)
=
−3
(
−1
)
+
3
4
⇒
󰆒
(
)
=0⇔
󰇣
=−1 ()
=3
Ta có bảng biến thiên
Vậy =


;=

⇒=+ =


.
Câu 29: Cho
3
log
a
m ab với >1,>1 và
2
log 16log
a b
P b a . Tìm sao cho đạt giá trị
nhỏ nhất.
A. =
. B. =4. C. =1. D. =2.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
3
1 1
log log 1 log
3 3
a a a
m ab ab b
.
3 1 log log 3 1
a a
m b b m
.
Do >1,>1nên
log log 1 0
a a
b
⇒>
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Ta có:
2
2 2
16 16
log 16log log 3 1
log 3 1
a b a
a
P b a b m
b m
, với ∈󰇡
;+∞󰇢.
󰆒
=6
(
3−1
)
−

(

)
.
󰆒
=0⇔6
(
3−1
)
−

(

)
=0⇔
(
3−1
)
=8⇔3−1=2⇔=1.
Bảng biến thiên
Vậy
min 12 1.
P m
Câu 30: Tính giá trị của biểu thức =
+
−+ 1 biết rằng 4

=
14 −
(
−
2
)
+ 1
với ≠0
và −1≤≤

.
A. =1. B. =4. C. =2. D. =3.
Lời giải
Chọn C
Ta có biểu thức vế trái: 4

≥4

=4.
(
1
)
Xét biểu thức
(
)
=14 −
(
+ 1
)
+ 1+ 3
+ 1
với −1≤≤

.
Đặt =
+ 1⇒∈
󰇩
0;

󰇪
suy ra
(
)
=14 −
(
+ 1
)
+ 1 + 3
+ 1=
(
)
=−
+ 3+
14
Khảo sát hàm số
(
)
=−
+ 3+ 14trên đoạn
󰇩
0;

󰇪
ta được kết quả:
(
)
≤16.
⇒
(
)
≤
16=4
(
2
)
Từ (1) và (2) ta có: 󰇫
=1
+ 1=1
⇒
=1,=0⇒=1 + 1=2.
Câu 31: Cho , là số thực dương thỏa mãn 
+ 
(
7
)
≥
(
+ 7
)
. Giá trị nhỏ nhất của
=4+ 7có dạng
√
+ , trong đó ,, là số tự nhiên và >1. Xác định: ++
A. + + =13. B. + + =12. C. + + =11. D. + + =10
Lời giải
Chọn A
Từ 
+ 
(
7
)
≥
(
+ 7
)
⇔7≥
+ 7.
Nhận xét: Nếu 0<≤1 thì 7≥7≥
+ 7⇔0≥
(vô lý)
Xét>1 thì 7≥
+ 7⇔7
(
−1
)
≥
⇔7≥

.
Vậy =4+ 7≥4+

.
Xét:
(
)
=4+

trên
(
1;+∞
)
.
Có
󰆒
(
)
=4 +
()
(

)
=


(

)
Xét
󰆒
(
)
=0⇔5
−10+ 4=0⇔󰇯
=

√
(loai)
=

√
(nhan)
.
Vậy 
(
;
)
(
)
=󰇡

√
󰇢=2
√
5 + 6.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Câu 32: Cho , là các số thực dương thoả mãn + ≥
(
+
)
. Tìm giá trị nhỏ nhất của =
+ .
A. =6. B. =2 + 3
√
2. C. =3+ 2
√
2. D. =
√
17 +
√
3.
Lời giải
Chọn C
Ta có + ≥
(
+
)
⇔≥
(
+
)
⇔≥
+ ⇔
(
−1
)
≥
>0
Mà >0, >0nên >1và ≥

. Suy ra +≥

+ .
Xét hàm số
(
)
=

+ =2+ 1 +

, >1.
Ta có:
󰆒
(
)
=2 −
(

)
=0⇔=1 +
√
(Do >1)⇒󰇡1 +
√
󰇢=3 + 2
√
2.
Bảng biến thiên
Vậy =3+ 2
√
2.
Chú ý: Ta có tìm minh của
(
)
như sau:
(
)
=2+ 1 +

=2
(
−1
)
+

+ 3≥22
(
−1
)

+ 3=2
√
2 + 3.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2
(
−1
)
=

=
√
2⇔=1+
√
.
Câu 33: Tính giá trị của biểu thức =
+
−+ 1 biết rằng 4

=
14 −
(
−
2
)
+ 1
với ≠0 và −1≤≤

.
A. =4. B. =2. C. =1. D. =3.
Lời giải
Chọn B
Xét 4

=
14 −
(
−2
)
+ 1
.
Ta có 4

≥4

.

=4, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi =±1,.
Mặt khác 14 −
(
−2
)
+ 1=14+ 3
+ 1 −
+ 1
.
Đặt =
+ 1 ta có 0≤≤
√

. Xét hàm số
(
)
=−
+ 3+ 14. Ta tìm GTLN – GTNN của hàm
số trên đoạn
󰇣
0;
√

󰇤
được 
;
√

(
)
=󰇡
√

󰇢=

√

; 
;
√

(
)
=
(
1
)
=16.
Suy ra 
14 −
(
−2
)
+ 1
≤
16=4,.
Từ và suy ra ta có
=±1
=
+ 1=1
⇔
=±1
=0
. Thay vào =2.
Câu 34: Xét các số thực ,thỏa mãn >0và
+

−3=.
(
1 −2.
)
. Giá trị lớn nhất của
biểu thức =+ thuộc tập hợp nào dưới đây?
A.
(
1;2
)
. B. 2;4
)
. C. −3;0
)
. D. 0;3
)
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Lời giải
Chọn D
Xét phương trình
+

−3=.
(
1 −2.
)
Đặt =
(
>0
)
ta có:
+
−3=
(
1 −2
)
⇔3+ =
(
+
)
≥4
(

)
⇔−
≤≤1.
Lại do ,>0⇒0<≤1⇒0<.
≤1⇔+ ≤0nên ≤0.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
=
=1
,>0
⇔==1hay
=1
=0
Vậy 0;3
)

.
Câu 35: Gọi là tập các cặp số thực
(
,
)
sao cho ∈
[
−1;1
]
và 
(
−
)
−2017=
(
−
)
−
2017+

. Biết rằng giá trị lớn nhất của biểu thức =

(
+ 1
)
−2018
với
(
,
)
∈ đạt được tại
(
;
)
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A.
∈
(
−1;0
)
. B.
=−1. C.
=1. D.
∈0;1
)
.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện −>0
Ta có 
(
−
)
−2017=
(
−
)
−2017+

⇔
(
−
)

(
−
)
−2017
(
−
)
=

⇔
(
−
)
−2017 −


=0 (*)
Xét hàm
(
)
=−2017 −

, có
󰆒
(
)
=
+

>0 với ∀>0
Do đó
(
)
đồng biến trên khoảng
(
0;+∞
)
,
suy ra (∗)⇔
(
−
)
=0=
(

)
⇔−=

⇔=−

Khi đó =

(
1 + −

)
−2018
=
(
)
g x

(2019 + 2018−2018

) −4036
g x

(2018.2020 + 2018
−2018

) −4036
≤

(2018.2020+ 2018
−2018

) −4036<0 với ∀∈
[
−1;1
]
Nên
󰆒
(
)
nghịch biến trên đoạn
[
−1;1
]
,
mà
󰆒
(
−1
)
=

+ 2018>0,
󰆒
(
0
)
=2019 −2018

<0 nên tồn tại
∈
(
−1;0
)
sao cho
(
)
=0 và khi đó 
[
;
]
(
)
=
(
)
Vậy lớn nhất tại
∈
(
−1;0
)
.
Câu 36: Cho ,thỏa mãn 
(
+
)
+ 
(
−
)
≥1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức =2−
.
A.
√
3

. B.

√

C.

. D.

.
Lời giải
Chọn A
Theo giả thiết: 
(
+
)
+ 
(
−
)
≥1⇔
󰇱
+ >0
−>0
−
≥4
⇒
>0
≥
+ 4
Ta có: =2−≥2
+ 4 −.
Xét hàm số:
(
)
=2
+ 4 −có
󰆒
(
)
=
2
+ 4
−1=
2−
+ 4
+ 4
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
󰆒
(
)
=0⇔2−
+ 4=0⇔󰇫
≥0
=
⇔=
√
.
BBT:
Từ BBT suy ra =2−≥
(
)
≥2
√
3, dấu "="xảy ra khi
=
√
=
+ 4
⇔
󰇱
=
√
=
√
.
Vậy
√
3

khi
󰇱
=
√
=
√
.
Câu 37: Cho hai số thực , thỏa mãn 0≤≤
, 0≤≤
và 
(
11 −2−
)
=2+ 4−1. Xét
biểu thức =16
−2
(
3+2
)
−+ 5. Gọi , lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị
lớn nhất của . Khi đó giá trị của =
(
4+
)
bằng bao nhiêu?
A. 16. B. 18. C. 17. D. 19.
Lời giải
Chọn A
Ta có

(
11 −2−
)
=2+ 4−1⇔2
(
2+
)
−
11 −
(
2+
)
−1=0
Đặt =2+ , 0<<11. Phương trình trở thành: 2−
(
11 −
)
−1=0.
(
1
)
Xét hàm số
(
)
=2−
(
11 −
)
−1 trên khoảng
(
0;11
)
.
Có
󰆒
=2 +

>0, ∀∈
(
0;11
)
. Do đó hàm số
(
)
luôn đồng biến.
Dễ thấy
(
1
)
có nghiệm =1. Do đó =1 là nghiệm duy nhất của
(
1
)
.
Suy ra 2=1 −. Khi đó =16
(

)
−
(
1 −
)(
3+ 2
)
−+5=4
−5
+ 2+ 3.
Xét hàm số
(
)
=4
−5
+ 2+ 3 trên
󰇣
0;
󰇤
, có
󰆒
(
)
=12
−10+ 2>0, ∀∈
󰇣
0;
󰇤
.
Do đó, 
󰇣
;
󰇤
(
)
=
(
0
)
=3, 
󰇣
;
󰇤
(
)
=
(
1
)
=4.
Suy ra =3, =4.
Vậy =4.3 + 4=16.
Câu 38: Xét các số thực dương , thỏa mãn 
+
≤
(
+
)
. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức =+ 3.
A.


. B.

. C.

√

. D.

.
Lời giải
Chọn B
Với ,>0, ta có:
2 2 2
1
1 1 1 1
2
2 2 2 2
log log log log . log
x y x y x y x y xy x y
⇔
≤−⇔
≤
(
−1
)
. Suy ra: −1>0.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Từ
≤
(
−1
)
⇒ ≥

, với >1.
Khi đó: =+3≥

+ 3=4+ 1 +

, với >1.
Xét hàm số: ℎ
(
)
=4+1 +

trên khoảng
(
1; +∞
)
.
Ta có: ℎ
󰆒
(
)
=4−
(

)
=


(

)
;
ℎ
󰆒
(
)
=0⇔4
−8+ 3=0⇔
=
3
2
=
1
2
∉
(
1; +∞
)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có: 
(
;
)
ℎ
(
)
=9 khi =
.
Suy ra: ≥ 
(
;
)
ℎ
(
)
=9.
Vậy

khi =
và =
󰇡
󰇢

=
.
Câu 39: Cho các số thực ,,, thỏa mãn điều kiện >1,>1,>0,>0, + =. Biết rằng
biểu thức =


đạt giá trị nhỏ nhất khi =
. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. +
=

. B. +
=

. C. +
=

. D. +
=.
Lời giải
Chọn A
Ta có =


+


=
(
)
, suy ra
󰆒
(
)
=



−


=0⇔
=
⇔.=. ⇔
=
⇔=
⇔=
(

)
=1, 
→
(
)
=+∞,
→
(
)
=+∞
Ta có BBT
Từ BBT⇒=1, đạt được khi =

.
Do đó =1,=−1⇒+
=

.
Câu 40: Với hai số thực , bất kỳ, ta kí hiệu :
(
;
)
()=|−| +|−|+ |−2| + |−3|. Biết
rằng luôn tồn tại duy nhất số thực
để 
∈ℝ
(
;
)
()=
(
;
)
(
) với mọi số thực , thỏa
mãn
=
và 0<<. Số
bằng
A. 2−1. B. 2,5. C. . D. 2.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Lời giải
Chọn C
Trước tiên ta xét , thỏa mãn
=
và 0<<.
Ta có:
=
⇔=⇔

=

.
Xét hàm số
(
)
=

trên
(
0;+∞
)
.
Ta có: ′
(
)
=

; ′
(
)
=0⇔=.
Bảng biến thiên
Do 0<< và
(
)
=
(
)
nên ta có 0<<<.
Khi đó
(
;
)
()=
|
−
|
+
|
−
|
+
|
−2
|
+
|
−3
|
=
(
|
−
|
+
|
−
|
)
+
(
|
−2
|
+
|
3 −
|
)
≥
|
−+−
|
+
|
−2+ 3 −
|
=−+ 1
Mặt khác do << và 2<<3 nên ta có:
(
;
)
()=
|
−
|
+
|
−
|
+
|
−2
|
+
|
−3
|
=−+ −+ −2 + 3 −=−+1.
Vậy
=.
Câu 41: Cho , là các số thực dương thỏa mãn ≤4−1. Giá trị nhỏ nhất của =
(

)
+


là + . Giá trị của tích . là
A. 45. B. 81. C. 108. D. 115.
Lời giải
Chọn B
Ta có: ≤4−1⇔4≥+1≥2
⇒4≥2
 nên:
≤2⇔
≤4.
Xét =
(

)
+ 

=12 + 6.
+ 󰇡
+ 2󰇢.
Đặt =
, 0<≤4.
Suy ra: =
(
)
=12 +
+ 
(
+ 2
)
.
Ta có:
󰆒
(
)
=−
+

=

.
(

)
=
(

)

.
(

)
.
Với 0<≤4 thì −3<−3≤1⇒0≤
(
−3
)
<9 nên
(
−3
)
−21<0, ∀∈0;4.
Do đó:
󰆒
(
)
<0.
Hàm số
(
)
nghịch biến trên (0;4].
Suy ra:
(
)
≥
(
4
)
, ∀∈0;4. Hay ≥
(
4
)
=12 +
+ 6⇔≥

+ 6.
Vậy

6

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 󰇫
=4
=1
⇔󰇫
=2
=
Khi đó: =

; =6 nên =81.
Câu 42: Xét các số thực dương , thỏa mãn 󰇡


󰇢=3+ −1. Tìm giá trị nhỏ nhất

của
=
+
√

.
A.

. B.

. C.

. D.

.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Lời giải
Chọn A
Điều kiện 0<<
.
Từ giả thiết 󰇡


󰇢=3+ −1⇔
(
1 −2
)
+
(
1 −2
)
=
(
+
)
+
(
+
)
(
1
)
Xét hàm số
(
)
=+ trên
(
0;+∞
)
có
󰆒
(
)
=
+ 1>0, ∀>0 do đó hàm
(
)
đơn điệu.
Vậy
(
1
)
⇔1 −2=+ ⇔3+ =1
(
2
)
Có =
+
√

≥
+

=
+

Đặt
(
)
=
+

, ta có
󰆒
(
)
=−
+
(

)
suy ra
󰆒
(
)
=0⇔=
.
Do đó 
󰇡;
󰇢
(
)
=8. Vậy

.
Bổ sung: có thể đánh giá =
+
√

≥
+

=
+

≥


=
Câu 43: Xét các số thực , thỏa mãn
2 2
1
x y
và 

(
2+ 3
)
≥1. Giá trị lớn nhất
max
P
của biểu thức
2
P x y
bằng
A.
19 19
2
max
P
. B.
7 65
2
max
P
. C.
11 10 2
3
max
P
. D.
7 10
2
max
P
.
Lời giải
Chọn B
Ta có: 

(
2+ 3
)
≥1⇔2+ 3≥
+
⇔
−2+
−3≤0.
󰆒
=1 −
(
−3
)
=−
+ 3+ 1.
Để tồn tại , thì
󰆒
≥0⇔∈
󰇣

√

;

√

󰇤
.
Khi đó =1 ±
−
+ 3+ 1.
Ta có: =2+ ≤2
1 +
−
+ 3+ 1
+ =
(
)
.
󰆒
(
)
=



+ 1.
󰆒
(
)
=0⇔
−
+ 3+ 1=2−3⇔−
+ 3+ 1=4
−12+ 9, =16.
⇔=

√


.
Bảng biến thiên.
Do đó =+ 2≤

√

Vậy

=

√

khi
󰇱
=

√


=1+
−
+ 3+ 1=

√

(thỏa mãn điều kiện
2 2
1
x y
)
Câu 44: Cho hai số thực , thỏa mãn 
+ 
=1. Giá trị lớn nhất của biểu thức =

+

bằng
A.

3 +

2. B.

3 + 
2.
C.
(

3 + 
2
)
. D.


.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Lời giải
Chọn B
Biến đổi yêu cầu của bài toán ta được:
=

+

=


+


=


+


.
Xét hàm số
(
)
=
√

+

3.
√
1 −⇒
󰆒
(
)
=
√

−

√

.
Ta có
󰆒
(
)
=0⇔
√
1 −=
3
√
⇔1 −=.
3⇔=

.
⇒
(
)
≥󰇡

󰇢=

3 + 
2⇒=

3 + 
2.
Câu 45: Cho , là các số dương thỏa mãn 


+ 1 +
−10+ 9
≤0. Gọi , lần
lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của =


. Tính =10−.
A. =60. B. =94. C. =104. D. =50.
Lời giải
Chọn B

+ 5
+ 10+
+ 1 +
−10+ 9
≤0
⇔
(
+ 5
)
−
(
+ 10+
)
+ 
2 + 2
(
+ 5
)
−
(
+ 10+
)
≤0
⇔
(
2
+ 10
)
+ 2
(
+ 5
)
≤
(
+ 10+
)
+
(
+ 10+
)
⇔2
+ 10
≤
+ 10+
vi)
⇔
−10+9
≤0⇔
−10
+9≤0⇔1≤
≤9
=
+ + 9
+
=
󰇡
󰇢
+
+ 9
+ 1
Đặt =
, điều kiện: 1≤≤9
(
)
=


;
󰆒
(
)
=

(

)
;
󰆒
(
)
=0⇔
󰇣
=−4
=2
(
1
)
=

;
(
2
)
=5 ;
(
9
)
=


Nên =


, =5. Vậy =10−=94
.
ÁP DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG
Câu 46: Cho hai số thực dương , thay đổi thỏa mãn đẳng thức
(
−1
)
.2

=
(
+
)
.2

.
Tìm giá trị nhỏ nhất

của .
A.

. B.

. C.

. D.
√
3

.
Lời giải
Chọn B
Ta có
(
−1
)
2

=
(
+
)
2

⇔
(
2−1−1
)
2

=
(
+
)
2

(
1
)
Xét hàm
(
)
=
(
−1
)
.2
với ≥1.
Khi đó
󰆒
(
)
=2
+
(
−1
)
.2
.2>0 với ∀≥1.
Từ
(
1
)
⇔2−1=
+ + 1⇔=


󰆒
=
2
−2−4
(
2−1
)
=0⇔2
−2−4=0⇔
󰇣
=2
=−1
Loại =−1 vì điều kiện của nên
(
2
)
=2.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Câu 47: Cho các số thực ,thỏa mãn 0≤,≤1và 
󰇡


󰇢+
(
+ 1
)(
+ 1
)
−2=0
Tìm giá trị nhỏ nhất của với =2+ .
A. 2. B. 1. C.
. D. 0.
Lời giải
Chọn B

󰇡


󰇢+
(
+ 1
)(
+ 1
)
−2=0
3 3
log log 1 1
x y x y xy xy
(
1
)
.
Xét hàm số
(
)
=
+ với >0, ta có
󰆒
(
)
=
.
+ 1>0∀>0
⇒
(
)
luôn đồng biến với ∀>0
(
1
)
⇔+ =1 −
1 2
1
1 1
x
y
x x
(
2
)
.
Thế
(
2
)
vào ta được =2+


Với 0≤≤1
󰆒
=2 −
(

)
;
󰆒
=0⇔
=0∉
[
0;1
]
=−2∉
[
0;1
]
.
(
0
)
=1;
(
1
)
=2.
Vậy giá trị nhỏ nhất của là 1 đạt được khi =0;=1.
Câu 48: Cho , là hai số thực dương thỏa mãn 
󰇡


󰇢=+ 3−4. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức =
+
A.
. B.
. C.
. D. 1.
Lời giải
Chọn B

4+ 2+ 5
+
=+3−4⇔
(
4+ 2+ 5
)
−
5
(
+
)
=5
(
+
)
−
(
4+2+ 5
)
⇔
(
4+2+5
)
+
(
4+ 2+ 5
)
=
5
(
+
)
+ 5
(
+
)
(*)
Hàm số
(
)
=
+
(
>0
)
có
'
(
)
=

+ 1>0
(
)
đồng biến nên (*)⇔
(
4+ 2+ 5
)
=
5
(
+
)
⇔4+ 2+ 5=5
(
+
)
.
4+ 2+ 5=5
(
+
)
⇔=5 −3
=
+
⇒ =
(
5 −3
)
+
=10
−30+25=10󰇡−
󰇢
+
≥
.
Vậy GTNN =
.
Câu 49: Cho 2 số thực dương , thỏa mãn 
[(
+ 1
)(
+ 1
)]

=9 −
(
−1
)(
+ 1
)
. Giá trị nhỏ
nhất của biểu thức =+ 2 là
A.


. B.


. C.
√
3

. D.
√
2

.
Lời giải
Chọn D
Ta có 
[(
+1
)(
+ 1
)]

=9 −
(
−1
)(
+ 1
)
⇔
(
+ 1
)[

(
+ 1
)
+ 
(
+ 1
)]
+
(
−1
)(
+ 1
)
=9.
⇔
(
+ 1
)[

(
+ 1
)
+ 
(
+ 1
)
+ −1
]
=9
⇔
(
+ 1
)
+ −1=
9
+ 1
−
(
+ 1
)
⇔
(
+ 1
)
+ + 1 −2=

−2+ 

(*).
Xét hàm số
(
)
=
+ −2 với >0 có
󰆒
(
)
=

+ 1>0 với mọi >0 nên hàm số
(
)
luôn đồng biến và liên tục trên
(
0;+∞
)
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Từ (*) suy ra +1=

⇔=

−1=


, do >0 nên ∈
(
0;8
)
.
Vậy =+ 2=


+ 2=2−1 +

=2
(
+ 1
)
+

−3≥−3 + 6
√
2.
Vậy
√
2

khi 2
(
+ 1
)
=

⇔=
√
−1.
Câu 50: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn: 3

+ 2

+ (+ 1)=


+

+ 2+ 5.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức=3+2.
A.
√
6

. B.
√
2

. C.
√
2

. D.
√
2

.
Lời giải
Chọn B
Ta có: 3

+ 2

+ (+ 1)=


+

+ 2+ 5
3

−

+ −5=3

−

+ 2−(∗)
Xét hàm số ()=3
−
+ có
󰆒
()=3
.3 −
.
+ 1>0,∀
suy ra hàm số () luôn đồng biến.
Từ (*) ta có (−5)=(2−) ⇔ −5=2− ⇔=

Suy ra =

+ 2=


⇔=
2(+ 1)
+ 4(+ 1) + 9
+ 1
=2(+ 1) + 4 +
9
+ 1
≥4+ 6
√
2.
Câu 51: Cho hai số thức ,thỏa mãn 16.2

=
(

)

. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức =
+
A.
. B.
C.
D. 1
Lời giải
Chọn C
Từ giải thiết suy ra 1 −2>0. Theo bài ra:
16

.2

=
8
(
1 −2
)
+ 2
⇔

(
+ 2
)
=
8
(
1 −2
)
16

⇔2

(
+ 2
)
=
8
(
1 −2
)
2

⇔2

(
+ 2
)
=2

(
2 −4
)
(1)
Xét hàm số ()=.2
với ∈=
(
0;+∞
)
Do hàm số liên tục trên và có
󰆒
()=2
+ .2
.>0,∀∈ suy ra hàm số đồng biến trên .
Khi đó (1)⇔+ 2=2 −4⇔
(
1 + 4
)
=2 −2 suy ra 2 −2>0⇔<1.
Ta có =
+
=
(1 + 4)=
(2 −2)=
(
1 −
)
≤
󰇡

󰇢
=
Vậy =
xảy ra khi
󰇱
=
=
.
Câu 52: Cho hai số dương , thỏa mãn 
󰇡



󰇢=3
−2−1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức =2−18+ 72−45 trên nửa khoảng 0;5.
A. 2020. B. 20. C. 15. D. 30.
Lời giải
Chọn C
Ta có:

+
3
+ 3+
=3
−2−1
⇔
(
+
)
−
(
3
+ 3+
)
=3
−2−1
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
⇔
(
+
)
+ 2+ 1=
(
3
+ 3+
)
+ 3
⇔
(
3+3
)
+ 3+ 3=
(
3
+ 3+
)
+ 3
+ 3+
Hàm đặc trưng
(
)
=
+ ∀>0⇒
󰆒
(
)
=

+ 1>0∀>0
⇒Hàm số đồng biến trên khoảng
(
0;+∞
)
Do đó: 3+ 3=3
+ 3+ ⇔2=3
Thay vào ta có: =
(
)
=3
−27
+ 72−45
󰆒
(
)
=9
−54+72
󰆒
(
)
=0⇔
=2
=4
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của P là 15
Câu 53: Cho hai số thực dương , thỏa mãn 6.3
+ + 1=3+
(
+ 3
)
. Giá trị nhỏ nhất của
biểu thức =

bằng
A.

. B.

. C.
.
. D. 3
Lời giải
Chọn D
Đặt =
(
+ 3
)
⇔3
=+ 3
⇔3=3

−3

Khi đó phương trình 6.3
+ + 1=3+
(
+ 3
)
trở thành:
3

+ + 1=3

−3

+
⇔3.3

+ + 1=3

+
⇔3

+ + 1=3

+ (1)
Xét hàm số:
(
)
=3

+ trên khoảng
(
0;+∞
)
Ta có:
󰆒
(
)
=3

.3 + 1>0,∀∈
(
0;+∞
)
suy ra hàm số luôn đồng biến
Do (1) suy ra
(
+ 1
)
=
(
)
⇔+ 1=⇔+1=
(
+ 3
)
⇔3

−3
=⇔=2.3
Khi đó =

=
=
(
)
có ⇒
󰆒
(
)
=
.
=0⇔=

.
Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng
(
0;+∞
)
suy ra 
(
;
)
=󰇡

󰇢=3.
Câu 54: Cho hai số thực , thỏa mãn hệ thức log
,




=4+ 4 −
−
−2. Gọi và
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức =3+ 4+12. Giá trị biểu
thức
(
+ 2
)
tương ứng bằng
A. 28. B. 26. C. 29. D. 27.
Lời giải
Chọn D
Điều kiện xác định:




>0⇔
+ 4−2+ 10>0.(*)
Ta sẽ đưa phương trình về dạng log
=−⇔..⇔= (với >1)
Giả thiết log
,




=4+ 4 −
−
−2
⇔log
(
+ 4−2+ 10
)
−log
(
2
+
+ 6
)
=
(
2
+
+ 6
)
−
(
+ 4−2+ 10
)
.
⇔log
(
+ 4−2+ 10
)
+
(
+ 4−2+ 10
)
=log
(
2
+
+ 6
)
+
(
2
+
+ 6
)
(1)
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Xét hàm số đồng biến
(
)
=log+ vì ′
(
)
=

+ 1>0 ∀t>0.
Từ (1) suy ra
(
+ 4−2+ 10
)
=
(
2
+
+ 6
)
⇔
+ 4−2+ 10=2
+
+ 6
⇔
(
−2
)
+
(
+ 1
)
=9 (2)
Xét biểu thức: =3+4+12=3
(
−2
)
+ 4
(
+ 1
)
+ 14
Theo BĐT buhia, ta có
3
(
−2
)
+ 4
(
+ 1
)
≤
(
3
+ 4
)((
−2
)
+
(
+ 1
)
)
=225
⇔
|
3
(
−2
)
+ 4
(
+ 1
)
|
≤15⇔−
|
3
(
≤−2
)
+ 4
(
+ 1
)
|
≤3
(
−2
)
+ 4
(
+ 1
)
≤
|
3
(
≤−2
)
+
4
(
+ 1
)
|
⇔−15≤3
(
−2
)
+ 4
(
+ 1
)
≤15⇔−1≤=3
(
−2
)
+ 4
(
+ 1
)
+ 14≤29
Suy ra giá trị nhỏ nhất của là:

=9;

=−1⇒
(
+2
)
=27.
Câu 55: Cho ,, là các số thực thỏa mãn 
󰇡




󰇢=(−2) + (−2) + (−2). Tìm
giá trị lớn nhất của Cho ;là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 5

+

+ + 1=

+ 3

+
(
−4
)
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức =+ .
A. 3. B. 5 + 2
√
5. C. 3 −2
√
5. D. 1 +
√
5.
Lời giải
Chọn B
Ta có 5

+

+ +1=

+ 3

+
(
−4
)
5

−3

+ + 4=5

−3

+ −1
(
1
)
.
Xét hàm số
(
)
=5
−3

+ trên ℝ.
Vì
󰆒
(
)
=5
.5 + 3

.3 + 1>0;∀∈ℝnên hàm số
(
)
đồng biến trên
(
2
)
.
Từ
(
1
)
và
(
2
)
ta có + 4=−1
(
3
)
. Dễ thấy =4không thỏa mãn
(
3
)
.
Với ≠4,
(
3
)
⇔=


kết hợp điều kiện >0suy ra >4.
Do đó =+ =+


.
Xét hàm số
(
)
=+


trên
(
4;+∞
)
.
Ta có
󰆒
(
)
=1 −
(

)
=0⇔
=4 +
√
5
=4 −
√
5
.
Dựa vào bảng biến thiên ta có 
(
;∞
)
(
)
√
5

.
Câu 56: Cho các số thực , với ≥0 thỏa mãn

+

+
(
+ 1
)
+ 1=

+

−
3. Gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức =+ 2+ 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. ∈
(
2;3
)
. B. ∈
(
−1;0
)
. C. ∈
(
0;1
)
. D. ∈
(
1;2
)
.
Lời giải
Chọn C
Đẳng thức đã cho tương đương

−

+ + 3=

−

+
(
−−1
)
(
∗
)
.
Xét hàm số
(
)
=
−
+ với ∈ℝ.
Ta có
󰆒
(
)
=
+
+ 1⇒
󰆒
(
)
>0 với ∀∈ℝ. Suy ra hàm số
(
)
đồng biến trên ℝ.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Khi đó
(
∗
)
được viết lại thành
(
+ 3
)
=
(
−−1
)
⇔+3=−−1⇔
(
+ 3
)
=−−1⇔=


.
Thay =


vào biểu thức ta được
=+ 2󰇡


󰇢+ 1=+2󰇡

−1󰇢+1=+

−1=+ 3 +

−4.
Đặt + 3=. Vì ≥0 nên ≥3. Ta có
=+
−4=󰇡

+
󰇢+

−4 ≥
Côsi
2

.
+
.
−4=
.
Do đó với =3 thì =
suy ra =
∈
(
0;1
)
.
Câu 57: Cho hai số thực dương , thay đổi thỏa mãn đẳng thức
(
−1
)
.2

=
(
+
)
.2

.Tìm giá trị nhỏ nhất

của .
A.

. B.

. C.

. D.
√
3

.
Lời giải
Chọn B
Ta có
(
−1
)
2

=
(
+
)
2

⇔
(
2−1−1
)
2

=
(
+
)
2

(
1
)
Xét hàm
(
)
=
(
−1
)
.2
với ≥1.
Khi đó
󰆒
(
)
=2
+
(
−1
)
.2
.2>0với ∀≥1.
Từ
(
1
)
⇔2−1=
+ + 1⇔=


󰆒
=
2
−2−4
(
2−1
)
=0⇔2
−2−4=0⇔
󰇣
=2
=−1
Loại =−1vì điều kiện của nên
(
2
)
=2.
Câu 58: Cho các số dương , thỏa mãn 
󰇡


󰇢+3+ 2≤4. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
=6+ 2+
+
bằng
A.

√
. B. 11
√
3. C.

√
. D. 19.
Lời giải
Chọn D
ĐK: 󰇫


>0
,>0
⇔+>1
Ta có:

+ −1
2+ 3
+ 3+ 2≤4
⇔
(

(
+ −1
)
+ 1
)
+ 5
(
+ −1
)
≤
(
2+ 3
)
+ 2+ 3
⇔
[
5
(
+ −1
)]
+ 5
(
+ −1
)
≤
(
2+ 3
)
+ 2+ 3
(
∗
)
Xét hàm số ()=
(
)
+
trên
(
0;+∞
)
ta có
󰆒
()=
1
5
+ 1>0,∀∈
(
0;+∞
)
.
⇒Hàm số ()=
(
)
+
đồng biến trên
(
0;+∞
)
.
(
∗
)
⇔5
(
+ −1
)
≤2+ 3
⇔3+ 2≤5
Mặt khác, ta có:
=6+ 2+
4
+
9
=9+
4
+ 4+
9
−
(
3+ 2
)
≥2.6 + 2.6 −5=19
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
⇒
GTNN của =19, dấu “ = ” xảy ra ⇔
⎩
⎨
⎧
9=
4=
3+ 2=5
⇔
󰇱
=
=
(
)
Câu 59: Cho các số thực , với ≥0 thỏa mãn 5

+ 5

+
(
+ 1
)
+ 1=5

+

−
3. Gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức =+ 2+ 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. ∈
(
0;1
)
. B. ∈
(
1;2
)
. C. ∈
(
2;3
)
. D. ∈
(
−1;0
)
.
Lời giải
Chọn A
Ta có: 5

+ 5

+
(
+ 1
)
+ 1=5

+

−3
⇔5

−5

+ + 3=5

−5

−−1.
Xét hàm số
(
)
=5
−5

+ có
󰆒
(
)
=5
5 + 5

5 + 1>0, ∀∈ℝ.
Do đó hàm số
(
)
đồng biến trên ℝ⇒
(
+ 3
)
=
(
−−1
)
⇔+3=−−1
⇔
(
3 +
)
=−−1⇔=


(do ≥0 nên + 3≠0) ⇔+ 2+ 1=+


+ 1
=


.
Xét hàm số
(
)
=


với ≥0 có
󰆒
(
)
=

(

)
>0, ∀≥0.
Do đó:
(
)
≥
(
0
)
=
, ∀≥0 hay + 2+ 1≥
, ∀≥0. Vậy =
∈
(
0;1
)
.
Câu 60: Cho ,∈
(
0;2
)
thỏa mãn
(
−3
)(
+ 8
)
=
(
−11
)
. Giá trị lớn nhất của =
√
+
1 +  bằng
A.
√
1 + 3 −2. B. 2
√
3−2. C. 1 +
√
3 −2. D. 1 +
√
2.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện: ≥1,≥
.
Ta có :
(
−3
)(
+8
)
=
(
−11
)
⇔
+ 5−24=
−11
⇔
−11−
(
+ 5−24
)
=0, có =
(
2+ 5
)
>0,∀≥1.
Do đó ⇔󰇯
=

(

)
=

(

)
⇔
=+ 8
=3 −
⇔󰇯
=

=

.
+) Do =

>
>2 nên loại =

.
+) Với =

, 1≤<2:
Cách 1:
Khi đó, ta được: =
√
+
(
3 −
)
trên 1;2
)
.
Ta có
󰆒
=

√

−
(

)

(

)
󰆒
=0⇔
1
2
√

−
1
2
(
3 −
)

(
3 −
)
=0
⇔
(
3 −
)

(
3 −
)
−√=0⇔
(
3 −
)

(
3 −
)
=√
Xét hàm
(
)
=
√
 trên 1;+∞
)
, có
󰆒
(
)
=
√
+
√

>0,∀∈
(
1;+∞
)
.
Khi đó ⇔
(
3 −
)
=
(
)
⇔3 −=⇔=
.
Bảng biến thiên:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Từ đó
max
=2
√
3−2 tại =
, =

.
Cách 2:
Khi đó, ta được: =
√
+
(
3 −
)
trên 1;2
)
.
⇒
=
󰇣
√
+ 
(
3 −
)
󰇤
≤2
(
+
(
3 −
))
=2
[
(
3 −
)]
≤2󰇡

󰇢
=
4
(
3−2
)
,∀∈1;2
)
Dấu “=” xảy ra khi
󰇱
√
=
(
3 −
)
=3 −
∈1;2
)
⇔=
.
Vậy Từ đó
max
=2
√
3−2 tại =
, =

.
Câu 61: Cho hai số thực ;thỏa mãn: 
√
(
+ 8+ 16
)
+ 
[(
5 −
)(
1 +
)]
=
2

+ 
(
2+ 8
)
.
Gọi là tập các giá trị nguyên của tham số
để giá trị lớn nhất của biểu thức =
+
−
không vượt quá 10. Hỏi có bao nhiêu tập con khác rỗng.
A. 16385. B. 2047. C. 32. D. 16383.
Lời giải
Chọn D
ĐKXĐ:
−1<<5
≠−4
.
Ta có: 
√
(
+ 8+ 16
)
+ 
[(
5 −
)(
1 +
)]
=2

+ 
(
2+8
)
⇔
(
+ 4
)
+ 
[(
5 −
)(
1 +
)]
=2
{

[(
5 −
)(
1+
)]
−
3
}
+
[

4 + 
(
+ 4
)
]
⇔2
(
+ 4
)
+ 
[(
5 −
)(
1+
)]
=2
[(
5 −
)(
1 +
)]
+ 
(
+ 4
)
⇔
2 2
3 2 3 2
2log 4 log 4 2log 5 1 log 5 1
y y x x x x
(
∗
)
Xét hàm số:
(
)
=2
−
trên
(
0;+∞
)
Ta có: ′
(
)
=
.
−
.
=

..
>0
⇒
(
)
đồng biến trên
(
0;+∞
)
.
(
∗
)
⇔
((
+ 4
)
)
=
(
5 −
)(
1+
)
(
+ 4
)
=
(
5 −
)(
1+
)
(
−2
)
+
(
+ 4
)
=9
Đặt:
=2 + 3
=−4 +3
=
󰇻

+
−
󰇻
=
󰇻
(
2 + 3
)
+
(
−4 + 3
)
−
󰇻
=
√
29 + 12−24−
Ta có: 29 −12
√
5≤29 + 12−24≤29 + 12
√
5
⇒−3 + 2√5≤
√
29 + 12−24≤3+ 2√5
⇒−3 + 2√5 −≤
√
29 + 12−24−≤3 +2√5 −
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
−3 + 2
√
5 −

3 + 2
√
5 −

[

󰇫
−3 + 2
√
5 −
≤10
3 + 2
√
5 −
≤10
−10≤−3 +2
√
5 −≤10
−10≤3 + 2
√
5 −≤10
−13 + 2
√
5≤≤7 + 2
√
5
−7 + 2
√
5≤≤13 + 2
√
5
⇔−7 + 2
√
5≤≤7 + 2
√
5.
Vì ∈ℤ⇒∈
{
−2;−1;..10;11
}
.
Do đó số phần tử của là: 14
⇒Số tập con khác rỗng của là 2

−1=16383.
Câu 62: Cho hai số thực , thỏa mãn 0≤,≤1 trong đó, không đồng thời bằng 0 hoặc 1 và

󰇡


󰇢+
(
+ 1
)
.
(
+ 1
)
−2=0. Tìm giá trị nhỏ nhất của với =2+
A. 2. B. 1. C.
. D. 0.
Lời giải
Chọn B
Từ điều kiện đề bài và


>0;1 −≠0 ⇒+ >0;1 −>0khi đó

+
1 −
+
(
+ 1
)
.
(
+ 1
)
−2=0⇔
(
+
)
+
(
+
)
=
(
1 −
)
+
(
1 −
)(
1
)
Xét hàm số
(
)
=
+
(
>0
)
có
󰆒
(
)
=
.
+ 1>0∀>0
⇒
(
)
là hàm số đồng biến trên khoảng
(
0;+∞
)
.
Vậy phương trình
(
1
)
⇔+ =1 −⇒=


⇒=2+


Xét hàm số ()=2+


với ∈
[
0;1
]
có
󰆒
()=2 +

(

)
cho
󰆒
()=0⇔
󰇣
=0
=−2
(
0
)
=1;
(
1
)
=2⇒
[
;
]
()=1⇒Chọn B
Câu 63: Cho ; là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 5

+

+ + 1=

+ 3

+
(
−4
)
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức =+ .
A. 3. B. 5 + 2
√
5. C. 3 −2
√
5. D. 1 +
√
5.
Lời giải
Chọn B
Ta có 5

+

+ +1=

+ 3

+
(
−4
)
⇔ 5

−3

+ + 4=5

−3

+ −1
(
1
)
.
Xét hàm số
(
)
=5
−3

+ trên ℝ.
Vì
󰆒
(
)
=5
.5 + 3

.3 + 1>0;∀∈ℝ nên hàm số
(
)
đồng biến trên ℝ
(
2
)
.
Từ
(
1
)
và
(
2
)
ta có + 4=−1
(
3
)
. Dễ thấy =4 không thỏa mãn
(
3
)
.
Với ≠4,
(
3
)
⇔=


kết hợp điều kiện >0 suy ra >4.
Do đó =+ =+


.
Xét hàm số
(
)
=+


trên
(
4;+∞
)
.
Ta có
󰆒
(
)
=1 −
(

)
=0 ⇔
=4+
√
5
=4−
√
5
.
4
4
+
√
5
+
∞
󰆒
(
)
–
0
+
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
(
)
+
∞
5
+
2
√
5
+
∞
Dựa vào bảng biến thiê
n ta có 
(
;
)
(
)
√
5

.
Câu 64: Xét các số thực dương , thỏa mãn 
√



=
(
−3
)
+
(
−3
)
+ . Tìm giá
trị lớn nhất

của biểu thức =


.
A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Lời giải
Chọn C
Ta có:

√
+
+
+ + 2
=
(
−3
)
+
(
−3
)
+ 
⇔
√
3
(
+
)
+ 3
(
+
)
=
√
(
+
+ + 2
)
+
+
+ + 2.
Xét hàm số
(
)
=
√
+ , >0 có
󰆒
(
)
=

√
+ 1>0,∀>0. Vậy hàm số
(
)
luôn đồng
biến và liên tục trên khoảng
(
0;+∞
)
.
Do đó:
3
(
+
)
=
(
+
+ + 2
)
⇔3
(
+
)
=
+
+ + 2
(
1
)
Cách 1: Từ
(
1
)
⇔=
(
+
)
−3
(
+
)
+ 2.
Ta có =+ −=
(
+ 1
)
−≤󰇡

󰇢
−
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi =+ 1.
Do đó từ
(
1
)
, suy ra: ≤
(

)
−
(
+
)
+ 3
(
+
)
−2.
Đặt =+ , >0.
Suy ra: =
(

)


≤

(

)



=


(

)
=
(
)
.
Ta có:
󰆒
(
)
=


(

)
=0⇔=3 (nhận)
Bảng biến thiên
Dựa vào BBT, ta có =
(
;
)
(
)
=
(
3
)
=1 khi và chỉ khi
=+ 1
+ =3
⇔
=2
=1
.
Cách 2: (Trắc nghiệm)
Ta có: =2+


.
Trong
(
1
)
coi là ẩn, là tham số. Ta có
+
(
−3
)
+
−3+ 2=0 có nghiệm khi
=
(
−3
)
−4
(
−3+ 2
)
≥0⇔

√
≤≤

√
<3 nên −11<0
Vậy <2 nên trong 4phương án thì

khi đó =2, =1.
Cách 3: (Trắc nghiệm)
Ta có: =3−


<3 với , >0.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
+ Nếu =2 thì


=2⇔=11. Thay vào
(
1
)
ta được:
+ 3+ 90=0 (vô lý).
+ Nếu =1 thì


=1⇔2+ =5⇔=5 −2. Thay vào
(
1
)
, ta được:
3
(
+ 5 −2
)
=
+
(
5 −2
)
+
(
5 −2
)
+ 2⇔3
−12+ 12=0⇔=2⇒=1.
Vậy

.
Câu 65: Cho các số thực dương và thỏa mãn 4 + 9.3

=
4 + 9

.7


. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức =

.
A. =9. B. =

√
. C. =1 + 9
√
2. D. Hàm số không có
giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết ta đặt =
−2, ∈ℝ.
Phương trình 4 + 9.3

=
4 + 9

.7


trở thành
4 + 9.3
=
(
4 + 9
)
.

⇔4
(
7
−49
)
+ 9
9.󰇡
󰇢
−49=0.
Nhận thấy =2 là nghiệm phương trình.
Ta chứng minh =2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Xét >2: 7
>49 và 9.󰇡
󰇢
>49 nên vế trái phương trình luôn dương, nên phương trình vô nghiệm.
Xét <2: 7
<49 và 9.󰇡
󰇢
<49 nên vế trái phương trình luôn âm, nên phương trình vô nghiệm.
Vậy =
−2=2⇔=

thay vào =

=

. Dấu bằng đạt được khi =

⇒=4.
Câu 66: Cho hai số thực , thay đổi thỏa mãn đẳng thức
.


+
(
−1
)
.2

=0. Tìm giá trị
lớn nhất của , biết rằng >1.
A. =−
. B. =−3. C. =1. D. =0.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
.


+
(
−1
)
.2

=0⇔
.2
=
(
+ −−1
)
.2

(
∗
)
.
Xét hàm số
(
)
=.2
trên 0;+∞
)
. Ta có
󰆒
(
)
=2
+ .2
2>0∀≥0.
Vậy hàm số
(
)
=.2
đồng biến trên 0;+∞
)
.
Suy ra:
(
∗
)
⇔
(
)
=
(
+ −−1
)
⇔+−−1=
⇒=


do >1.
Ta có:
󰆒
=
(

)(

)


(

)
=


(

)
;
󰆒
=0⇔
󰇣
=0
=2
.
Bảng biến thiên:
16 16
1 2 . 1 9
x x
x x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Từ bảng biến thiên suy ra: =−3.
Câu 67: Cho hai số thực , không âm thỏa mãn
+ 2−+ 1=


. Giá trị nhỏ nhất của
biểu thức =

+ 4
−2+ 1 là
A. −
. B. 1. C.
. D. −1.
Lời giải
Chọn A
+ 2−+ 1=


⇔2
(
+1
)
+ 
(
2
(
+ 1
)
)
=
(
2+1
)
+
(
2+1
)
.
Xét hàm số
(
)
=+ 
,
(
>0
)
;
󰆒
(
)
=1 +
.
>0,∀>0
Suy ra 2
(
+1
)
=2+ 1 ⇒2=2
(
+ 1
)
−1.
=

+ 4
−2+ 1 =

+ 4
−2
(
+1
)
+ 1 + 1 =

+ 2
−4=
(
)
.
󰆒
(
)
=2

+ 4−4 là hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0;+∞
)
nên
󰆒
(
)
=0 có tối đa 1
nghiệm, nhẩm được nghiệm =
nên nghiệm đó là duy nhất.
Vậy =−
tại =
.
Câu 68: Cho hai số thực , thỏa mãn
2
2
2
2 3 2
3
5 4
log 8 16 log 5 1 2log log 2 8 .
3
x x
y y x x y
Gọi là tập các giá trị nguyên của tham số để giá trị lớn nhất của biểu thức =
+
−
không
vượt quá 10. Hỏi có bao nhiêu tập con không phải là tập rỗng?
A. 2047. B. 16383. C. 16384. D. 32.
Lời giải
Chọn B
ĐK: −1<<5, ≠−4. Ta có:
2
2
2
2 3 2
3
5 4
log 8 16 log 5 1 2log log 2 8 .
3
x x
y y x x y
2 2 2 2
3 3 2 2
2log 8 16 2log 5 4 log 8 16 log 5 4
y y x x y y x x
2 2
3 2 3 2
log 4 1 .log 8 16 log 4 1 .log 5 4
y y x x
⇔
+ 8+ 16=5 + 4−
(vì hàm
3 2
log 4 1 .log
f t t
đồng biến trên
(
0;+∞
)
).
⇒
(
+
+ 11
)
=
(
4−8
)
≤80
(
+
)
⇒
(
+
)
−58
(
+
)
+ 121≤0
⇒29 −12
√
5≤
+
≤29 + 12
√
5⇒
29 −12
√
5≤
+
≤
29 + 12
√
5.
Đặt =
29 −12
√
5, =
29 + 12
√
5, ta có: 
[
;
]
=
{
|
−
|
,
|
−
|
}
.
Do đó, 
[
;
]
≤10⇔
|
−
|
≤10
|
−
|
≤10
⇔
󰇥
−10≤≤+10
−10≤≤+ 10
⇒−10≤≤+ 10.
Vì ∈ℤnên =
{
−2;−1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11
}
.
Câu 69: Cho các số thực ,, thỏa mãn điều kiện

󰇡





󰇢=
(
−2
)
+
(
−2
)
+
(
−2
)
. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức =


bằng?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
A. −
. B.
. C. −
. D.
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:


+ +
2
+ 2
+ 2
+ 1
=
(
−2
)
+
(
−2
)
+
(
−2
)
⇔

(
+ +
)
+ 2
(
+ +
)
=

(
2
+ 2
+ 2
+ 1
)
+
(
+
+
)
⇔2

(
+ +
)
+ 4
(
++
)
=2

(
2
+ 2
+ 2
+ 1
)
+ 2
(
+
+
)
⇔
(
+ +
)
+ 4
(
+ +
)
+ 1=
(
2
+ 2
+ 2
+ 1
)
+
(
+
+
)
+ 1
⇔
4
(
+ +
)
+ 4
(
+ +
)
=
(
2
+ 2
+ 2
+ 1
)
+
(
2
+ 2
+ 2
+ 1
)
Xét hàm số:
(
)
=
+
(
>0
)
.
Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.
Suy ra:
4
(
+ +
)
=
(
2
+ 2
+ 2
+ 1
)
⇒4
(
+ +
)
=2
+ 2
+ 2
+ 1
⇔
+
+
−2−2−2+
1
2
=0
(
)
Ta có mặt cầu:
(
)
:
(
1;1;1
)
=
√

Ta có: =


⇔
(
−1
)
+
(
−1
)
+
(
+ 1
)
=0
(
)
Để mặt phẳng
(
)
và mặt cầu
(
)
có điểm chung:
[
;
(
)]
≤⇔
|

|

(

)
(

)
≤
√

.
⇔3
−2−13≤0.
⇔

√

≤≤

√

.
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức =


bằng
.
Câu 70: Cho hai số thực dương ,
thay đổi thỏa mãn đẳng thức:
(
2−1
)
4

=
(
+ +
1
)
2

. Tìm giá trị nhỏ nhất

của .
A.

. B.
√
3

. C.

. D.

.
Lời giải
Chọn D
Do ,
là số thực dương đẳng thức
(
2−1
)
4

=
(
+ + 1
)
2

. Suy ra 2−1>0.
Khi đó ta có 
(
2−1
)
+
(
2−1
)
=
(
+ + 1
)
+
(
+ +1
)
(1)
Xét hàm số
(
)
=
+ . Hàm số này đồng biến trên
(
0;+∞
)
.
Nên từ (1) ta được
(
2−1
)
=
(
+ + 1
)
⇔2−2=
+ ⇔
(
2−1
)
=
+ 2
Do >0,
+ 2>0 nên 2−1>0⇔>
Suy ra =


.
Xét hàm số ()=


trên 󰇡
;+∞󰇢.
Bảng biến thiên ()
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Dựa vào bảng biến thiên suy ra

tại =2.
Câu 71: Cho ; là các số thực dương thỏa mãn 


=+ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức =
+
√
.
A. 3 +
√
3. B. 4. C. 3 + 2
√
3. D. 6.
Lời giải
Chọn B
Ta có 


=+ 2 ⇔
(
2+ + 1
)
−
(
+
)
=+ 2
⇔
(
2+ + 1
)
=
(
3+ 3
)
+ + 2−1
⇔
(
2++ 1
)
+ 2+ +1=
(
3+3
)
+ 3+ 3
(*)
Xét hàm số
(
)
=
+ với >0.
Khi đó
󰆒
(
)
=

+ 1>0,∀>0, suy ra hàm số
(
)
liên tục và đồng biến trên
(
0;+∞
)
.
Do đó
(
∗
)
⇔2+ + 1=3+ 3⇔+ 2=1⇔=1 −2.
Vì ,>0⇒0<<
.
Xét =
+
√
=

+
√
=

+
√
+
√
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có ≥3.
(

)
=3.

(

)
≥3.
√
8
=6.
Dấu "=" xảy ra ⇔
󰇱
=1 −2
1 −2=
2=1 −2
⇔
󰇱
=
=
.
Câu 72: Cho hai số thực dương và thỏa mãn 4

.2

=
(

)
. Giá trị lớn nhất của biểu thức =
+ 2
bằng
A. 1. B. 3. C.
√

. D.

.
Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết suy ra 1 −>0.
4

.2

=
(

)
⇔
(
+
)
.2

=
(

)

⇔
(
+
)
.2

=
(
2 −2
)
.2

(1).
Xét hàm số
(
)
=.2
với ∈
(
0;+∞
)
=. Dễ thấy hàm số
(
)
liên tục trên và
󰆒
(
)
=2
+ .2
.2>0,∀∈suy ra
(
)
là hàm số đồng biến trên .
(1) ⇔+ =2 −2⇒
(
1 + 2
)
=2 − (2). Từ (2), suy ra 2 −>0⇒<2.
Ta được =+ 2
=
(
1 + 2
)
=
(
)
(
2 −
)
.
Theo bất đẳng thức Cô – si, ta được =
(
2 −
)
≤
󰇣
(

)
󰇤
=1.
Vậy =1, đạt được khi và chỉ khi 󰇫
=
=1
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Câu 73: Cho, là các số thực dương thỏa mãn 5

+

+ +1=

+ 3

+ (−2). Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức =+ .
A.
√
2

. B.
√
3

. C.
√
5

. D.
√
2

.
Lời giải
Chọn B
Theo đề ra ta có
5

+
3
3

+ + 1=
5

5
+ 3

+ (−2)
⇔5

−
1
3

+ + 2=5

−
1
3

+ −1
Xét
(
)
=5
−
+ .⇒
󰆒
(
)
=5
5+ 3

3 + 1>0
⇒+ 2=−1⇒=


.Do >0,>0⇒


>0⇒>2
Ta có: =+ =+


=


󰆒
=
−4+ 1
(
−2
)
=0⇔
󰇩
=2+
√
3∈
(
2;+∞
)
=2−
√
3∉
(
2;+∞
)
Bảng biến thiên
Chỉnh lại bbt cho em,chỉ xét với >2nhé,kết quả không thay đổi.
Từ bảng biến thiên ta thấy
√
3

tại =2 +
√
3.
Câu 74: Cho hai số thực , dương thỏa mãn hệ thức 3


log+ log
+ 1 −=0.
Khi biểu thức =
−
−+
+ 1 đạt giá trị nhỏ nhất thì biểu thức =
(
−1
)
+ 2 bằng
A. 9. B. 1. C. 5. D. 4.
Lời giải
Chọn D
Từ giả thiết: 3


log+log
+ 1 −=0⇔

log+
log
+ 1 −
=0
⇔2.3
log+3


log


=0⇔3
log
=3


log
+
+ 1
.
⇔
(
)
=
+
+ 1
. Với hàm số:
(
)
=3
log; ′
(
)
=3
.log.ln3 + 3
.
.
>0
Suy ra
(
)
=
+
+ 1
⇔
=+
+ 1. Thế vào biểu thức ta được:
=
−
−+
+ 1=
−
+
+ 1
−+
+ 1=
−2=
(
−1
)
−1≥−1.
Dấu ′′=′′ xảy ra khi =1⇒
=+
+ 1=1 +
√
2⇒=
1 +
√
2
Suy ra: =
(
−1
)
+ 2=4.
Câu 75: Xét các số thực dương , thoả mãn 2018


=

(

)
. Giá trị nhỏ nhất

của biểu
thức =2−3 bằng
A.

. B.

. C.

. D.

.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2018


=
2+
(
+ 1
)
⇒2(
−+1)=

(
2+
)
−

(
+ 2+ 1
)
⇔

(
+ 2+ 1
)
+ 2
(
+ 2+ 1
)
=

(
2+
)
+ 2
(
2+
)(
∗
)
.
Xét hàm:
(
)
=

+ 2,>0.
Suy ra:
󰆒
(
)
=

+ 2>0,∀>0.
Do đó hàm
(
)
đồng biến trên khoảng
(
0;+∞
)
.
Mà
(
∗
)
⇔
(
+ 2+ 1
)
=
(
2+
)
⇔
+ 2+ 1=2+⇔=
+ 1.
Khi đó: =2−3=2
−3+ 2=2󰇡−
󰇢
+
≥
.
Kết luận:

khi =
.
Câu 76: Cho hai số thực dương , thỏa mãn 
+
(
+
)
≥
(
6 −
)
+ 6. Giá trị nhỏ nhất
của biểu thức =3+2+
+
bằng
A.

. B. 19. C.

. D. 8 + 6
√
2.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện:
>0
0<<6
.
Từ giả thiết ta có: 
+
(
+
)
≥
(
6 −
)
+ 6⇔
+
≥
[
(
6 −
)]
+
(
6 −
)
(*)
Xét hàm số
(
)
=
+ với >0, Ta có ′
(
)
=

+ 1>0,∀>0 nên hàm số
(
)
=
+
đồng biến trên khoảng
(
0;+∞
)
.
Do đó
(
∗
)
⇔
(
)
≥
[
(
6 −
)]
⇔
≥
(
6 −
)
⇔≥6−⇔+ ≥6
(
∗∗
)
(do >0)
Áp dụng Bất đẳng thức Cô si cho các cặp số dương và bất đẳng thức
(
∗∗
)
, ta có: =3+ 2+
+
=
(
+
)
+ 󰇡

+
󰇢+󰇡
+
󰇢≥
.6+ 2

.
+ 2
.
=19.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
⎩
⎨
⎧
+ =6

=
=
⇔
=2
=4
. Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng 19.
Câu 77: Xét các số thực ,
y
(
≥0
)
thỏa mãn
2018

+ 2018

+ +1=2018

+


−
(
+ 3
)
.
Gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức =+ 2. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. ∈
(
0;1
)
. B. ∈
(
1;2
)
. C. ∈
(
2;3
)
. D. ∈
(
−1;0
)
.
Lời giải
Chọn D
Ta có 2018

+ 2018

+ +1=2018

+


−
(
+ 3
)
⇔2018

−2018

+ + 3=2018

−2018

−−1
3 1
f x y f xy
(
1
)
Xét hàm số
(
)
=2018
−2018

+ , với ∈ℝta có
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
󰆒
(
)
=2018
2018 + 2018

2018 + 1>0, ∀∈ℝ.
Do đó
(
)
đồng biến trên ℝnên
(
1
)
⇔+ 3=−−1
⇔
(
+ 3
)
=−−1⇒=−


⇒=−
(

)

.
Xét hàm số
(
)
=−
(

)

, với ∈0;+∞
)
có
󰆒
(
)
=1 −
(

)
=

(

)
>0, ∀∈
(
0;+∞
)
.
Do đó
(
)
đồng biến trên 0;+∞
)
⇒
(
)
≥
(
0
)
=−
.
Dấu “=” xảy ra ⇔=0⇒=−
.
Câu 78: Cho 0≤;≤1 thỏa mãn 2017

=


. Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của biểu thức =
(
4
+ 3
)(
4
+ 3
)
+ 25. Khi đó + bằng bao
nhiêu?
A.

. B.


. C.


. D.

.
Lời giải
Chọn B
Ta có 2017

=


⇔



=

(

)

⇔ 2017

[(
1 −
)
+ 2018
]
=2017
(
+ 2018
)
Xét hàm số
(
)
=2017
(
+ 2018
)
, với 0≤≤1.
⇒
󰆒
(
)
=
(
+ 2018
)
.2017
.2017 + 2.2017
=2017
[(
+ 2018
)
.2017 + 2
]
>0
⇒Hàm số
(
)
đồng biến trên 0≤≤1
⇒1−= ⇔ =1 −
Cách 1:
Theo giả thiết =
(
4
+ 3
)(
4
+ 3
)
+ 25
=
[
4
+ 3
(
1 −
)]
.
[
4
(
1 −
)
+ 3
]
+ 25
(
1 −
)
=
(
4
−3+ 3
)(
4
−5+ 4
)
+ 25
(
1 −
)
=16
−20
+ 16
−12
+ 15
−12+12
−15+ 12 + 25−25
=16
−32
+ 18
−2+ 12
Xét hàm số
(
)
=16
−32
+ 18
−2+ 12, với 0≤≤1.
⇒
󰆒
(
)
=64
−96
+ 36−2. Cho
󰆒
(
)
=0 ⇔ 󰇯
=
±
√
=
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta có
󰇱
=
[
;
]
(
)
=

=
[
;
]
(
)
=


.
191
16
12
+ 0
2- 3
4
+
191
16
1
0
12
2+ 3
4
y
y'
x
1
2
0
0
25
2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Vậy + =

+


=


.
Cách 2:
Từ 0≤;≤1và + =1 suy ra 0≤≤󰇡

󰇢
=
.
Viết lại =16
+ 12
(
+
)
+ 34
=16
+ 12
[(
+
)
−3
(
+
)]
+ 34
=16
−2+12
Đặt =,∈
󰇣
0;
󰇤
thì =
(
)
=16
−2+ 12.
Khảo sát hàm
(
)
ta được 
∈
󰇣
;
󰇤
(
)
=󰇡
󰇢=


, max
∈
󰇣
;
󰇤
(
)
=󰇡
󰇢=


.
Vậy + =

+


=


Câu 79:
Cho các số thực , thỏa mãn log




=
(
−2
)
+
(
−2
)
+
(
−2
)
.
Giá trị lớn nhất của biểu thức =


bằng
A.

√
. B.

√
. C.

√
. D.

√
.
Lời giải
Chọn D
Điều kiện:




>0⇔+ + >0
(
∗
)
.
Ta biến đổi hệ thức ban đầu ⇔log




=
(
−2
)
+
(
−2
)
+
(
−2
)
⇔1 + log
+ +
+
+
+ 1
=
+
+
+ 1 −2−2−2
⇔log
2+ 2+2
+
+
+ 1
=
+
+
+ 1 −
(
2+ 2+ 2
)
⇔log
(
2+ 2+ 2
)
−log
(
+
+
+ 1
)
=
+
+
+ 1 −
(
2+ 2+ 2
)
⇔log
(
2+ 2+ 2
)
+
(
2+ 2+ 2
)
=log
(
+
+
+ 1
)
+
(
+
+
+ 1
)
(1)
Xét hàm số
(
)
=log
+,>0 ⇒′
(
)
=

+ 1>0,∀>0 ⇒
(
)
tăng trên
(
0 ; +∞
)
.
Từ
(
1
)
⇔
(
2+ 2+ 2
)
=
(
+
+
+ 1
)
⇔2+ 2+ 2=
+
+
+ 1
Suy ra:
(
−1
)
+
(
−1
)
+
(
−1
)
=2
(
∗∗
)
Dễ thấy điều kiện
(
∗
)
được thỏa mãn ở hệ thức: 2+ 2+2=
+
+
+ 1>0
Ta có: =


⇔
(
−1
)
+
(
−2
)
+
(
−1
)
=−
⇔
(
−1
)(
−1
)
+
(
−2
)(
−1
)
+
(
−1
)(
−1
)
=4 −4
⇒
(
4 −4
)
=
[(
−1
)(
−1
)
+
(
−2
)(
−1
)
+
(
−1
)(
−1
)]
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
⇒
(
4 −4
)
≤
[(
−1
)
+
(
−2
)
+
(
−1
)
][(
−1
)
+
(
−1
)
+
(
−1
)
]
⇒
(
4 −4
)
≤2
[(
−1
)
+
(
−2
)
+
(
−1
)
]
⇔5
−8+ 2≤0⇔
4 −
√
6
5
≤≤
4 +
√
6
5
Suy ra giá trị lớn nhất của là

=

√
.
Câu 80: Cho hai số thực , thỏa mãn hệ thức log


=5+ 2−5+ 1. Giá trị nhỏ nhất của
biểu thức =
−10+4+2019 tương ứng bằng
A. 2019. B. 2010. C. 2011. D. 1990.
Lời giải
Chọn D
Điều kiện xác định:


>0.(*)
Ta có log


=5+ 2−5+ 1⇔ log


=
(
5+ 7+ 1
)
−
(
5+ 5
)
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
⇔1 + log


=
(
5+ 7+ 12
)
−5
(
++ 2
)
.
⇔log


=
(
5+ 7+ 12
)
−
(
5+5+10
)
.
⇔log
(
5+ 5+10
)
−log
(
5+7+12
)
=
(
5+ 7+ 12
)
−
(
5+ 5+10
)
.
⇔log
(
5+ 5+10
)
+
(
5+ 7+ 12
)
=log
(
5+ 7+ 12
)
+
(
5+ 5+10
)
.
⇔
(
5+ 5+ 10
)
=
(
5+ 7+ 12
)
⇔5+5+ 10=5+7+ 12.
Suy ra 5−2=5+ 2⇒=
−2
(
5−2
)
+ 2019=
−2
(
5+2
)
+ 2019=
(
−5
)
+ 1990
Khi =5⇒=


⇒thỏa mãn điều kiện (*).
Suy ra giá trị nhỏ nhất của là:

=1990.
Câu 81: Cho ,>0 thỏa 2019


−

(

)
=0. Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P
của =2−4.
A. 2018. B. 2019. C.
. D. 2.
Lời giải
Chọn D
Ta có: 2019


−

(

)
=0⇔2019


(

)
=

(

)
⇔2019
(

)
.
(
+ 2
)
=2019
(

)
.
(
4+ + 2
)(
∗
)
.
Đặt
=
(
+ 2
)
=4+ + 2
(
,>0
)
Khi đó:
(
∗
)
⇔2019

.=2019

.⇔
(
)
=
(
)
với
(
)
=2019

.,(>0)
⇒′
(
)
=2019

.22019.+ 2019

>0,∀>0
Do đó:
(
)
=
(
)
⇔= ⇔
(
+ 2
)
=4+ + 2⇔=
+ 2.
⇒=2−4=2
−4+ 4=2
(
−1
)
+ 2≥2.
Vậy

.
Câu 82: Cho , là các số dương thỏa mãn ≤4−1. Giá trị nhỏ nhất của: =
(

)
+ 

là
+ . Giá trị của tích  là
A. =18. B. =81. C. =28. D. =82.
Lời giải
Chọn B
Với >0,>0 ta có
≤4−1⇔
<−
+
⇔
<−󰇡
−2.2.
+ 4󰇢+ 4⇔
<4−󰇡
−2󰇢
⇒
≤4.
Vậy 0<
≤4.
=
(

)
+ 

=12 + 6.
+ 󰇡
+ 2󰇢.
Đặt =
⇒0<≤4.
(
)
=12 + 6
+ 
(
+ 2
)
⇒
󰆒
(
)
=−
+

=

()
.
󰆒
(
)
=0⇔
−6−12=0⇔
󰇩
=3 −
√
21
(
)
=3 +
√
21
(

)
Lập bảng biến thiên
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Vậy .=81.
Câu 83: Cho hai số thực dương , thỏa mãn 2


log
+ 2
log
+ 1 −
=0. Giá trị
lớn nhất của =3
−
−3 tương ứng bằng
A.
. B. 3. C.

. D.

.
Lời giải
Chọn D
Ta đổi biến giả thiết như sau:
2


log
+ 2
log
󰇡
+ 1 −󰇢=0⇔
2.2
log
2


=−2
log
+ 1 −

+ 1 +
+ 1 +
⇔2.2
log
=−2
.2


log
1
+ 1 +
⇔2.2
log
=2
.2


log
󰇡
+ 1 + 󰇢
⇔2
log
=2


log
󰇡+ 
+ 1󰇢⇔
(
)
=󰇡+ 
+ 1󰇢⇔
=+ 
+ 1
(Với hàm
(
)
=2
log
⇒′
(
)
=2
log
.ln2 +2
.

>0 với ∀>0. Suy ra hàm đặc trưng đang
xét là đơn điệu tăng).
Thay
=+
+ 1 vào biểu thức:
=3
+
+ 1
−
−3=−
+ 3
+ 1=

−󰇡
+ 1 −
󰇢
≤

.
Dấu ′′=′′ xảy ra khi
+ 1 −
=0⇔=±
√
⇒=
√
; =

√
Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức là:

=

.
Câu 84: Xét các số thực , thỏa mãn >0 và
+

−3=.
(
1 −2.
)
. Giá trị lớn nhất của
biểu thức =ln+ thuộc tập hợp nào dưới đây?
A.
(
1; 2
)
. B.
[
2; 4
)
. C.
[
−3; 0
)
. D.
[
0; 3
)
.
Lời giải
Chọn D
Xét phương trình
+

−3=.
(
1 −2.
)
Đặt =
(
>0
)
ta có:
+
−3=
(
1 −2
)
⇔3 + =
(
+
)
≥4
(

)
⇔−
≤≤1.
Lại do ,>0⇒0<≤1⇒0<.
≤1⇔ln+≤0 nên ≤0.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
=
=1
,>0
⇔==1 hay
=1
=0
Vậy

=0∈
[
0; 3
)
.
Câu 85: Cho hai số thực , lớn hơn 1 và thỏa mãn
.(
)
≥
.(
)
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức =
+ 
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
A.
√
. B. 2
√
2. C.

√
. D.

√
.
Lời giải
Chọn C
Với ,>1, ta có
.(
)
≥
.(
)
⇔
.(
)
≥
.(
)
⇔+
≥+
⇔

+
≥

+
(1).
Xét hàm số ()=
−
+ 1 − trên 1;+∞
)
, có ′()=
−
>0,∀≥1.
Hàm số () đồng biến trên 1;+∞
)
nên ()>(1)=1>0,∀>1.
Xét hàm số ()=

+
trên
(
1;+∞
)
, có ′()=
()
>0,∀>1, nên () đồng biến trên (1;+∞).
Với ,>1 thì (1)⇔()≥()⇔≥.
Đặt =
. Do ≥>1 nên ≥1. Ta có =ℎ()=

+
. Nhận thấy ℎ′()=


, nên
ℎ′()=0 khi =
√
2, ℎ′()<0 khi 1≤<
√
2, ℎ′()>0 khi >
√
2. Dẫn tới =ℎ()≥ℎ
√
2
=

√
,∀≥1, đẳng thức xảy ra khi =
√
2.
Vậy =

√
, đạt được khi =
√
và >1.
Câu 86: Cho hai số thực dương , thỏa mãn hệ thức: 2
−
≤
(
+ 6
)
. Tìm giá trị
lớn nhất

của biểu thức
2
2 2
2 2
ab b
P
a ab b
.
A.

=
. B.

=0. C.
1
2
Max
P
. D.

=
.
Lời giải
Chọn C
Ta có: 2
−
≤
(
+ 6
)
⇔
≤
(
+ 6
)
⇔
≤+ 6
⇔󰇡
󰇢
−
−6≤0⇔−3≤
≤2.
Do , dương nên 0<
≤2.
Đặt =
,0<≤2.
Khi đó:
2
2 2 2
1
2 2 2 2
ab b t
P
a ab b t t
Xét hàm số
(
)
=


với 0<≤2.
Ta có:
󰆒
(
)
=


(

)
≥0,∀∈0;2.
Suy ra
(
)
≤
(
2
)
=
. Vậy 
;
(
)
=
khi =2.
Do đó
1
2
Max
P
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
DẠNG 3: ÁP DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH.
Câu 87: Cho hai số thực , thỏa mãn đồng thời các điều kiện
+
≤4 và log


(
2+2+
3−4
)
≥1. Gọi là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số để tồn tại một cặp số
thực
(
;
)
thỏa mãn bài toán. Số phần tử của tập là:
A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Lời giải
Chọn B
Miền điều kiện
+
≤4 là miền nằm trong hình tròn
(
)
tâm là gốc toạn độ
(
0;0
)
bán kính
=
2 kể cả đường tròn
(
)
như hình vẽ.
Từ giả thiết:
log


(
2+2+3−4
)
≥1⇔2+ 2+ 3−4≥
+
+ 1
⇔
(
−1
)
+
(
−
)
≤
+ 3−4
Nằm trong hình tròn
(
)
tâm
(
1;
)
bán kính
=
√
+ 3−4
(
≤−`4 ; ≥1
)
kể cả đường
tròn
(
)
như hình vẽ.
Để tồn tại một cặp số thực
(
;
)
thỏa mãn đềtoán thì xảy ra hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Đường tròn
(
)
có
=0 coi như chỉ là một điểm và điểm này sẽ nằm trong hoặc
trên
(
)
Ta có điều kiện tương ứng:
=0
≤
=2
⇔󰇫
=
√
+ 3−4=0
=
√
1
+
≤
=2
⇔
=1;=−4
|
|
≤
√
3
⇔=1 (thỏa mãn) (1)
Trường hợp 2: Đường tròn
(
)
tiếp xúc ngoài với đường tròn
(
)
.
Ta có điều kiện tương ứng:
=
+
⇔
1
+
=2+
+ 3−4
⇔
+ 1
=4 +
+ 3−4 + 4
+ 3−4
⇔1 −3=4
+ 3−4
⇔
󰇱
≤
1
3
(
1 −3
)
=16
+ 48−64
⇔
<
1
3
7
+ 54−65=0
⇔
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
≤
󰇯
=

√

=

√

⇔=

√

,
(
∈ℤ
)
(loại)
Câu 88: Cho hai số thực , thỏa mãn 
√



=
(
−3
)
+
(
−3
)
+ . Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức =


.
A.

√


. B.

√


. C.

√


. D.

√


.
Lời giải
Chọn D
• Ta có: 
√



=
(
−3
)
+
(
−3
)
+
(C
2
)
(C
1
)
O
I
(C
2
)
(C
1
)
O
I
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
⇔
√
(
+
)
−
√
(
+
+ + 2
)
+ 
√
3=
+
+ + 2 −3
(
+
)
⇔
+
+ + 2+ 
√
(
+
+ + 2
)
=3
(
+
)
+ 
√
3
(
+
)
.
⇔
+
+ + 2=3
(
+
)
.
⇔
+ +
+

−

+
−3 󰇡+
󰇢+
=1.
⇔󰇡+
󰇢
−3󰇡+
󰇢+
+ 󰇡
√

−
√
󰇢
=1.
⇔󰇡+
−
󰇢
+ 󰇡
√

−
√
󰇢
=1 (*)
Đặt:
󰇱
=+
−
=
√

−
√
⇒
󰇱
=−
√
+ 1
=

√
+ 1
⇒(*) trở thành:
2 2
1
a b
(
)
là đường tròn tâm
(
0;0
)
, bán kính =1.
• =


⇒
(
+ + 6
)
=+ 2+ 3.
⇒󰇡+
√
+ 8󰇢=+
√
3+ 6.
⇒
(
−1
)
+

√
+ 8−6=0
(
)
.
• Điều kiện để đường tròn
(
)
và đường thẳng có giao điểm là:
(
;
)
≤1 ⇔
|

|
(

)
(

)
≤1.
⇔
|
8−6
|
≤
(
−1
)
+
(

)
.
⇔

−92+ 32≤0.
⇔

√


≤≤

√


.
⇒

√



.
Câu 89: Cho hai số thực , thỏa điều kiện log

(2+ + 1)≥1,+ ≤6. Gọi giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức =2+ lần lượt là và . Giá trị của biểu thức =+
bằng:
A. 7. B. 5. C. 8. D. 11.
Lời giải
Chọn D
Đây là dạng toán max-min trên miền điển hình.
Từ giả thiết suy ra:
log

(2+ + 1)≥1
+ ≤6
⇔
2+ + 1≥
−2+ 3
≤6−
⇔
≥
−4+ 2
≤6−
Chúng ta dể dàng phác họa nhanh được miền như trên hình vẽ.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Ta xác định rõ được hai giao điểm của hai đường cong tạo nên miền là:
=
−4+ 2
=6−
⇔
=−1;=7⇒(−1;7)
=4;=2⇒(4;2)
Tiếp đó ta xử lý tới biểu thức max-min: =2+ ⇔=−2+; đây là một họ đường thẳng song
song với nhau ta gọi họ đường thẳng Δ
.
Trong đó mỗi cặp
(
;
)
thỏa mãn điều kiện bài tọa đã cho sẽ ứng với một điểm
(
;
)
∈
Điều kiện là đường thẳng Δ
phải cắt miền (có ít nhất một điểm chung với miền ).
Bằng trực quan trên đồ thị, ta có thể xác định được trường hợp đường thẳng Δ
đi qua điểm ứng với
giá trị
. Thõa mản: =−2+
⇔2=−2.4 +
⇒
=10.
Đường thẳng Δ
tiếp xúc với đường parabol
(
)
tại hoành độ <2 ứng với giá trị
. Thỏa mãn
phương trình có nghiệm kép: =−2+
=
−4+ 2⇔
−2+ 2 −
=0⇔
=1
Các giá trị phải nằm trong đoạn: 1=
≤≤
=10
Suy ra:

=10=

=1=
⇒=+ =11.
Câu 90: Cho các số thực ,,, sao cho 2+<0 và thỏa mãn điều kiện
󰇫

(
+
+ 9
)
=1 + 
(
3+2
)
9

.3

.3


+ 
[(
2++ 2
)
+ 1
]
=81
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức =
(
−
)
+
(
−
)
.
A. 2
√
5 −2. B. 2. C.
√
5 −2. D. 2
√
5.
Lời giải
Chọn A
Ta có: 
(
+
+ 9
)
=1 + 
(
3+ 2
)
⇔
(
+
+ 9
)
=
[
2
(
3+ 2
)]
⇔
+
+ 9=6+4⇔
(
−3
)
+
(
−2
)
=4.
Gọi
(
;
)
, suy ra thuộc đường tròn
(
)
có tâm
(
3;2
)
, bán kính =2.
Lại có 9

.3

.3


+ 
[(
2+ + 2
)
+ 1
]
=81
⇔3
(

)
󰇡


󰇢
+ 
[(
2+ + 2
)
+ 1
]
=81,
(
1
)
Với ∀, thỏa mãn 2+ <0, ta có:
+) −
(
2+
)
+


≥2
[
−
(
2+
)]
.󰇡


󰇢=4⇒3
(

)
󰇡


󰇢
≥81
+) 
[(
2+ + 2
)
+ 1
]
≥1=0.
Suy ra 3
(

)
󰇡


󰇢
+ 
[(
2+ + 2
)
+ 1
]
≥81
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Do đó
(
1
)
⇔󰇫
−
(
2+
)
=


2++ 2=0
⇔2+ +2=0.
Gọi
(
;
)
, suy ra thuộc đường thẳng có phương trình 2+ +2=0.
Ta có: =
(
−
)
+
(
−
)
=.
(
,
)
=
|
.
|
√

=2
√
5>2 ⇒ đường thẳng không cắt đường tròn
(
)
.
Do đó  ngắn nhất khi là hình chiếu của điểm trên đường thẳng và điểm là giao điểm của đoạn
thẳng  với đường tròn
(
)
.
Lúc đó =−=2
√
5 −2.
Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng 2
√
5 −2.
Câu 91: Cho các số thực dương , thỏa mãn 
(

)
(
+
)
≤1. Giá trị lớn nhất của biểu thức
=48
(
+
)
−156
(
+
)
+ 133
(
+
)
+ 4 là
A. 29. B.


. C. 30. D.


.
Lời giải
Chọn C
TH1: 
(

)
(
+
)
≤1⇔
+ >1
+
≤+
⇔
+ >1
󰇡−
󰇢
+ 󰇡−
󰇢
≤
(∗)
(
1
)
.
Tập nghiệm của BPT (*) là tọa độ tất cả các điểm thuộc hình tròn tâm 󰇡
;
󰇢 bán kính =
√
.
Miền nghiệm của hệ (1) là phần tô màu như hình vẽ.
Đặt =+ ⇒1<≤2
Khi đó
(
)
=48
−156
+ 133+4
󰆒
(
)
=144
−312+ 133;
󰆒
(
)
=0⇔󰇯
=


=

Bảng biến thiên
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Do đó, 
(
)

=30⇒=2⇒+=2.
TH2: 
()
(
+
)
≤1⇔
0<+ <1
+
≥+
⇔
0<+<1
󰇡−
󰇢
+ 󰇡−
󰇢
≥
(
2
)
.
(
2
)
không thỏa điều kiện >0, >0.
Câu 92: Cho hai số thực , thỏa mãn điều kiện log
(+−1)≤1,≥0,≥0. Gọi giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức =
+
−6−4+ 1 lần lượt là và . Giá trị của
biểu thức =
+
bằng:
A. 12. B. 104. C. 20. D. 48.
Lời giải
Chọn B
Đây là bài toán max-min trên miền điển hình.
Từ giả thiết ta suy ra: log
(+−1)≤1⇔
+ −1>0
+ =1≤2
⇔
>1 −
≤3 −
Chúng ta có miền như sau: ={≥0;≥0;>1−;≤3 −}.
Chúng ta dễ dàng phác họa nhanh được miền như trên hình vẽ.
Mô tả qua về miền như sau: là phần gạch chéo bao gồm tất cả các đường biên chỉ bỏ đi phần đường
biên màu đỏ ứng với đường thẳng =1 −
Tiêp đó ta xử lý tới biểu thức max-min: =
+
−6−4+ 1=(−3)
+ (−2)
−12
Trong đó mỗi cặp
(
;
)
thỏa mãn điều kiện bài toán đã cho sẽ ứng với một điểm
(
;
)
∈
Nếu ta gọi điểm
(
3;2
)
⇒=
−12.
Đến đây ta chỉ việc đi tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của khoảng cách .
Dễ thấy trực quan hình vẽ:


==
√
10


==(;(+ −3=0))=
||
√
=
√
2
Suy ra:

=

−12=−2=

=

−12=−10=
⇒=
+
=104.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Câu 93: Cho hai số thực , thỏa mãn đồng thời các điều kiện
+
=9 và log


(
2−2+
−1
)
≥1. Gọi là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số để tồn tại duy nhất một cặp
số thực
(
;
)
thỏa mãn bài toán. Tổng giá trị tất cả các phần tử của tập nằm trong khoản nào
cho ở dưới đây?
A.
(
4;5
)
. B.
(
1;2
)
. C.
(
2;3
)
. D.
(
3;4
)
.
Lời giải
Chọn D
Miền điều kiện 󰇫
+
=9
log


(
2−2+ −1
)
≥1
⇔
+
=9
2−2+ −1≥
+
+ 2
⇔
+
=9
(
)
(
−1
)
+
(
+ 1
)
≤−1
(
)
có duy nhất 1 nghiệm.
(
)
là đường tròn có tâm là gốc toạn độ
(
0;0
)
bán kính
=3.
(
)
là miền trong đường tròn và đường tròn tâm
(
1 ; −1
)
,
=
√
−1
(
>1
)
.
Để tồn tại một cặp số thực
(
;
)
thỏa mãn đề toán thì xảy ra hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Đường tròn
(
)
có
=0 coi như chỉ là một điểm
(
1 ; −1
)
và điểm
(
1 ; −1
)
này sẽ
nằm trong hoặc trên
(
)
Ta có điều kiện tương ứng:
=0
≤
=3
⇔󰇫
=−1=0
=1
+
(
−1
)
≤
=3
⇔
=1
√
2≤
√
3
⇔=1.
Trường hợp 2: Đường tròn
(
)
tiếp xúc ngoài với đường tròn
(
)
.
Ta có điều kiện tương ứng:
=
+
⇔1
+
(
−1
)
=3 +
√
−1
⇔
√
−1=3 −
√
2
⇔−1=11 −6
√
2⇔=12 −6
√
2 (thỏa mãn >1)
Vậy tìm được:
=12 −6
√
2,
=1. Suy ra
+
=13 −6
√
2≈4,5.
Câu 94: Cho hai số thực và thõa mãn các điều kiện
+
≥9 và log

(
(
8
+ 8
−7
)
−
7
)
≥2. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức =3+ lần lượt là và .
Khi đó giá trị của biểu thức
+ 3
√
2
bằng:
A. 12 + 18
√
2. B. 24. C. 6
√
10. D. 10 −2
√
3
Lời giải
Chọn A
Từ
log

(
(
8
+ 8
−7
)
−7
)
≥2⇔
(
+
)
(8−7)≥
(
+
)
⇔(−4)
+
≤9
Như vậy và thỏa mãn:
+
≥9
(
−4
)
+
≤9
. Đây là miền giới hạn bởi bên trong đường tròn
(
)
:
(
−4
)
+
=9 và bên ngoài đường tròn
(
)
:
+
≥9
Hai đường tròn cùng bán kính
=
=3 và tâm
(
0;0
)
và tâm
(
4;0
)
như hình vẽ.
(C
2
)
(C
1
)
O
I
(C
2
)
(C
1
)
O
I
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Giao điểm của hai đường tròn là
2;±
√
5
. Cụ thể điểm như hình vẽ, có
2;−
√
5
Xét họ đường thẳng Δ song song với nhau: 3+ −=0
Để thỏa mãn bài toán thì họ đường thẳng này phải cắt miền .
Ứng với vị trí đường thẳng Δ
đi qua điểm , ta có: 3.2 −
√
5 −=0→
=6 −
√
5
Ứng với vị trí đường thẳng Δ
tiếp xúc với
(
)
ta có:
(
;Δ
)
=
⇔
|3.4 + 0 −|
√
9 + 1
=3↔
=12 −3
√
10
=12 + 3
√
10
⇒
=12 + 3
√
10
Suy ra: giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tương ứng là: 󰇫
=
=

=12 + 3
√
10
=
=

=6 −
√
5
Suy ra:
+ 3
√
2
=12 + 18
√
2.
Câu 95: Cho hai số thực và thõa mãn đồng thời các điều kiện: + + 2≥0 và log


(
2−
2+3
)
≥1. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức =2+ lần lượt là và . Giá trị
của biểu thức =+ bằng:
A. −2 + 2
√
5. B. 2. C. 4 −2
√
3. D. 4
Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết log


(2−2+ 3)≥1⇔2−2+3≥
+
+ 1⇔(−1)
+ (+ 1)
≤4
Như vậy, điểm
(
;
)
nằm trong miền giới hạn bởi: =
{
(−1)
+ (+ 1)
≤4;+ + 2≥0
}
Miền được xác định như hình vẽ:
Biểu thức được biến đổi về dạng họ đường thẳng: :2+ −=0
Khi =0 thì đường thẳng đi qua gốc tọa độ và tương ứng là: Δ
:2+ =0, như hình vẽ.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Ứng với vị trí: Δ
:2+ −
=0; đi qua điểm
(
−1;−1
)
; suy ra: 2(−1) +(−1) −
=0⇔
=
−3
Suy ra: ở vị trí Δ
:2+ −
=0 (thì
>0). Ở vị trí này đường thẳng Δ
tiếp xúc với đường tròn
(
)
, nên ta có: 󰇫
(
;Δ
)
=
>0
⇔󰇫
|
.
|
√

=2
>0
⇔
=1 ± 2
√
5
>0
⇔
=1+ 2
√
5
Từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:
=1 + 2
√
5=;
=−3=.
Suy ra: + =−2+ 2
√
5.
Câu 96: Cho hai số thực , thỏa mãn:

√
(
+ 8+ 16
)
+ 
(
5 −
)(
1 +
)
=2

+ 
(
2+ 8
)
.
Gọi là tập các giá trị nguyên của tham số để giá trị lớn nhất của biểu thức =
+
−
không vượt quá 10. Hỏi có bao nhiêu tập con không phải là tập rỗng?
A. 2047. B. 16383. C. 16384. D. 32.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện: ≠−4;−1<<5.
Ta có: 
√
(
+ 8+ 16
)
+ 
(
5 −
)(
1 +
)
=2


+ 
(
2+ 8
)
(1)
⇔2
(
+ 4
)
+ 
(
−
+ 4+ 5
)
=2
[

(
−
+ 4+ 5
)
−1
]
+ 
[
4
(
+ 4
)
]
⇔2
(
+ 4
)
−
(
+ 4
)
=2
(
−
+ 4+ 5
)
−
(
−
+ 4+ 5
)
(2).
Xét hàm số ()=2
−
,>0, ta có: ′()=

−

=
.

.
>0,∀>0
⇒ Hàm số () đồng biến với >0, suy ra: (2)⇔
(
+ 4
)
=−
+ 4+ 5⇔
(
−2
)
+
(
+ 4
)
=9
⇒Tập hợp các cặp số (;) thỏa mãn (1) là đường tròn ()tâm là (2;−4) và bán kính =3 bỏ bớt 2
điểm
(
−1;−4
)
,
(
5;−4
)
.
Gọi (;) là điểm thuộc đường tròn ()⇒=
+
là khoảng cách từ đến gốc .
Vì =2
√
5>3 nên nằm ngoài () và ta có: 2
√
5 −3≤≤2
√
5 + 3⇔2
√
5 −3 −≤−≤
2
√
5 + 3 −
⇒Với =
|
−
|
, =

2
√
5 −3 −
,
2
√
5 + 3 −

⇒Để thỏa mãn bài toán ta phải có: 󰇫
2
√
5 −3 −
≤10
2
√
5 + 3 −
≤10
⇔
−10≤2
√
5 −3 −≤10
−10≤2
√
5 + 3 −≤10
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
⇔
2
√
5 −13≤≤2
√
5 + 7
2
√
5 −7≤≤13 + 2
√
5
⇔2
√
5 −7≤≤2
√
5 + 7.
Ta có: 2
√
5 −7≈−2,5;2
√
5 + 7≈11,5⇒∈
{
−2;−1;0;.;11
}
⇒ Tập có 14 phần tử ⇒ Số tập con
khác rỗng của tập là: 2

−1=16383.
| 1/51
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
MIN-MAX LIÊN QUAN HÀM MŨ, HÀM LÔ-GA-RÍT (NHIỀU BIẾN)
DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐÁNH GIÁ, ÁP DỤNG BĐT.
DẠNG 2: ÁP DỤNG PHÁP HÀM SỐ, HÀM ĐẶC TRƯNG. + ÁP DỤNG HÀM SỐ
+ ÁP DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG
DẠNG 3: ÁP DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐÁNH GIÁ, ÁP DỤNG BĐT.
Câu 1: Xét các số thức , , , thỏa mãn > 1, > 1và = = √ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức =
+ 3 thuộc tập hợp nào dưới đây? A. (0; 1). B. 2; , ; 2 . C. ; 2 . D. ; 3 . Lời giải Chọn B 1 = √ = (1 + ) = = √ ⇒ 3 1 = √ = (1 + ) 3 1 4 1 4 1 5 ⇒ = + 3 = (1 + ) + 1 + = + + ≥ + 2 ∈ 2; 3 3 3 3 3 2
Câu 2: Cho hai số thực , đều lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + bằng √ A. . B. . C. . D. Lời giải Chọn B Ta có = + = ( ) + √ √ = 1 + + ( + 1) = + + . Đặt = . Do , > 1 nên > 0. Khi đó = + + ≥ 2 .
+ = (Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương và ). = = ± Dấu " = " xảy ra ⇔ ⇔ ⇒ = . > 0 > 0 Vậy = tại = ⇔ = √ .
Câu 3: Với , , là các số thực lớn hơn 1, đặt = ( ) , = ( ) , = ( ). Tìm giá trị
nhỏ nhất của biếu thức = + + 4 . A. 6. B. 12. C. 10. D. 16. Lời giải Chọn C Ta có = + ; = + ; = + . Khi đó = + + 4 = + + + + 4 + 4 . = + + + + + . Vì , , > 1 ⇒ > 0; > 0; > 0 nên = + + + + + ≥ 2.2 + 2.2 + 2.1 = 10. = 2 = = Vậy = 10 ⇔ = 1 ⇔ = ⇔ . = = 2 =
Câu 4: Xét các số thực dương , , , thỏa mãn > 1, > 1 và = = √
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức =
+ 2 thuộc tập hợp nào dưới đây? A. (1; 2). B. (2; . C. (3; 4). D. ( ; 3 .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Lời giải Chọn D = √ = (1 + ) Ta có = = √ ⇔ ⇔ . = √ = (1 + ) = + 2 = + + 1 + = + + . Đặt = > 0 ⇒ = + + ( > 0). = + + ≥ 2 . + = √2 + ∈ ( ; 3 . =
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ⇔ = √2. > 0 Vậy = √2 + ∈ ; 3 .
Câu 5: Cho , là các số thực thỏa ( +
) ≤ 1. Khi 3 + đạt giá trị lớn nhất, thì giá trị = là A. = 1. B. = . C. = 3. D. = . Lời giải Chọn C Xét trường hợp 3 + > 1. log x y
  x y x y (1). xy  2 2  2 2 1 3 3 Đặt = 3 + ⇒ = − 3 . (1) ⇔ + ( − 3 ) − ≤ 0 2 2
 10x  6Px P P  0 (2). Δ = 9 − 10( − 2) = − + 10
Nếu Δ < 0 thì (2) vô nghiệm. Do đó Δ ≥ 0 ⇔ 0 ≤ ≤ 10. Vậy . Khi đó (2) ⇔ = = 3 ⇒ = 1 ⇒ = = 3.
Câu 6: Cho các số thực ; thỏa mãn + 4 + 12
= 4. Giá trị lớn nhất của biểu thức = ( − 2 ) là A. = 3 2. B. = 1 2. C. = 12. D. = 16. Lời giải Chọn B Điều kiện ≠ 2 . Từ + 4 + 12 = 4suy ra: Nếu = 0 thì = 4 ⇒ = 2 Nếu ≠ 0ta có: =
( − 2 ) ⇔ 4( − 2 ) = 4. 2 4. 2 4. ( − 2 ) 4 2 − 1 ⇒ = = 4 + 4 + 12 2 + 2 2 + 3 Đặt = , ∈ ℝ, 2 = ⇔ 2 ( + 2 + 3) = 4 − 8 + 4 ⇔ (2 − 4)
+ 2(2 + 4) + 3. 2 − 4 = 0Xét với ( ≠ 2)
Để phương trình có nghiệm:
≥ 0 ⇔ (2 + 4) − (2 − 4)(3. 2 − 4) ≥ 0
⇔ −2(2 ) + 24. 2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ 2 ≤ 12 ⇒ ≤ 1 2 Vậy = 1 2. = −2 = −4
Dấu đẳng thức xảy ra khi = ⇒ . = + 4 + 12 = 4
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Câu 7: Cho , là các số thực dương, thỏa mãn log x  log y  log 3x y
. Tìm giá trị nhỏ nhất 1 1 1  2  2 2 2 P của biểu thức = 4 + . min A. √5 B. √5 C. √5 D. √5 . Lời giải: Chọn A
log x  log y  log  2 3x y  2 2
xy  3x y x( y  3)  y .Từ đây, , là các số thực dương nên ta 1 1 1 2 2 2 suy ra > 3 và ≥ = + 3 + Do đó, ≥ 4 + 3 + + = 5( − 3) + + 27 ≥ 12√5 + 27.
Dấu bằng xảy ra khi = 3 + √ , = 6 + √ . Câu 8: Cho = √ với > 1, > 1 và = + 16
. Tìm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. A. = . B. = 4. C. = 1. D. = 2. Lời giải Chọn C Theo giả thiết ta có = ( ) = (1 + ) ⇒ = 3 − 1. Suy ra = + ⇔ = (3 − 1) + ⇔ = (3 − 1) + + . Vì > 1, > 1 nên = 3 − 1 > 0.
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số dương ta có: ⇔ = (3 − 1) + + ≥ 3. (3 − 1) . ⇔ ≥ 12. ( ) Dấu bằng xảy ra khi (3 − 1) = ⇔ = 1.
Câu 9: Xét các số thực dương , , , thỏa mãn > 1, > 1 và = = . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + 3 + 2 có dạng
+ √14 (với , là các số tự nhiên), tính = + . A. 48 B. 34 C. 30. D. 38. Lời giải Chọn D 2 = ( ) 2 = 4 + 4 Theo bài ra ta có: = = ⇔ = ⇔ ⇔ = = ( ) = 4 + 4 = 2(1 + ) ⇔ = 4(1 + ) Do đó: = + 3 + 2 = 8(1 + )(1 + ) + 6(1 + ) + 8(1 + ) = 16 + 8 + 8 + 6 + 6 + 8 + 8 = 30 + 14 + 16 Đặt = . Vì , > 1 nên > 1 = 0. Khi đó = 30 + 14 + ≥ 30 + 2 14 . = 30 + 8√14. √
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất là 30 + 8√14 khi 14 = ⇒ = √ hay = .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 = 30 Ta có: ⇒ = + = 38 = 8 .
Câu 10: Trong các nghiệm ( ; ) thỏa mãn bất phương trình
( + 2 ) ≥ 1, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức = + 2 . A. . B. . C. . D. 1. Lời giải Chọn B Nếu 0 < 3 + 2
< 1 thì từ giả thiết
( + 2 ) ≥ 1 ta suy ra + 2 ≤ 1. Nếu 3 + 2 > 1 thì khi đó ta có: ( + 2 ) ≥ 1 ⇔ + 2 ≥ 3 + 2 ⇔ 3 − + 2 − 2 ≤ 0 ⇔ √3 − + √2 − ≤ . √ √ Ta viết lại = + 2 = √3 − + √2 √2 − + √ √ √
Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwartz thì 1 1 1 1 1 1 √3 − + √2 √2 − ≤ + √2 . √3 − + √2 − √3 2√3 √2 √3 2√3 √2 ≤ . = .
Do đó ≤ + = . Dấu “=” xảy ra khi ( ; ) = ; 1 . Vậy đạt được khi ( ; ) = ; 1 .
Câu 11: Xét các số thực , thỏa mãn ( − 1) +
( − 1) = 1. Khi biểu thức = 2 + 3 đạt
giá trị nhỏ nhất thì 3 − 2 =
+ √3 với , ∈ ℚ. Tính = . A. = 9. B. = . C. = . D. = 7. Lời giải Chọn C − 1 > 0 > 1 Điều kiện: ⇔ − 1 > 0 > 1. Khi đó: ( − 1) +
( − 1) = 1 ⇔ ( − 1)( − 1) = 2 ⇔ − 1 = ⇔ = + 1. Suy ra: = 2 + 3 = 2 + + 3 = 2( − 1) + + 5.
Cách 1: Dùng bất đẳng thức
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 2( − 1) + ≥ 2 2( − 1). ⇒ 2( − 1) + ≥ 4√3 ⇒ ≥ 4√3 + 5. = 1 + √3( )
Dấu “=” xảy ra ⇔ 2( − 1) =
⇔ ( − 1) = 3 ⇔ | − 1| = √3 ⇔ . = 1 − √3( ) ⇒ = + 1 = √ . √
Do đó: 3 − 2 = 3 1 + √3 − 2 √ = 1 + √3 ⇒ = 1; = ⇒ = = .
Cách 2: Dùng bảng biến thiên Ta có: = 2 + + 3 ⇒ ′ = 2 − ( ) = 1 + √3( ) ′ = 0 ⇔ = 1 − √3( ) Bảng biến thiên
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: √3√3 √ .
Do đó: 3 − 2 = 3 1 + √3 − 2 √ = 1 + √3 ⇒ = 1; = ⇒ = = .
Câu 12: Xét các số thực , thỏa mãn ( − 1) +
( − 1) = 1. Khi biểu thức = 2 + 3 đạt
giá trị nhỏ nhất thì 3 − 2 = + √3với , ∈ ℚ. Tính = ? A. = 9. B. = . C. = . D. = 7. Lời giải Chọn C − 1 > 0 > 1 Điều kiện: ⇔ − 1 > 0 > 1 Khi đó: ( − 1) +
( − 1) = 1 ⇔ ( − 1)( − 1) = 2 ⇔ − 1 = ⇔ = + 1 Suy ra: = 2 + 3 = 2 + + 3 = 2( − 1) + + 5
Cách 1: Dùng bất đẳng thức
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 2( − 1) + ≥ 2 2( − 1). 6 ⇒ 2( − 1) + ≥ 4√3 ⇒ ≥ 4√3 + 5 − 1 = 1 + √3( )
Dấu “=” xảy ra ⇔ 2( − 1) =
⇔ ( − 1) = 3 ⇔ | − 1| = √3 ⇔ = 1 − √3( ) ⇒ = + 1 = √ . √
Do đó: 3 − 2 = 3 1 + √3 − 2 √ = 1 + √3 ⇒ = 1; = ⇒ = = .
Cách 2: Dùng bảng biến thiên Ta có: = 2 + + 3 ⇒ ' = 2 − ( ) = 1 + √3( ) ' = 0 ⇔ = 1 − √3( ) Bảng biến thiên
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: √3√3 √ .
Do đó: 3 − 2 = 3 1 + √3 − 2 √ = 1 + √3 ⇒ = 1; = ⇒ = = .
Câu 13: Cho , , là các số thực dương thỏa mãn 64 + 64 + 64 = 3. 4
. Giá trị lớn nhất của biểu thức = + + + 1515 A. 2020. B. 2019. C. 2021. D. 2018. Lời giải Chọn A
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức côsi cho 4 số dương ta có: 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ( + 2 + 2 + 3 ) + + + ≥ 16 ⇔ ≤ + + 2 2 3 + 2 + 2 + 3 16 2 3 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ( + + 2 + 3 ) + + + ≥ 16 ⇔ ≤ + + 2 3 + + 2 + 3 16 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ( + 2 + 3 + 3 ) + + + ≥ 16 ⇔ ≤ + + 2 3 3 + 2 + 3 + 3 16 2 3 Từ đó suy ra = + + + 1515 ≤ + + + 1515
Từ giả thiết ta lại có 3. 4 = 64 + 64 + 64 ≥ 3 64 . 64 . 64 = 3. 4 Suy ra 4 ≤ 4 ⇔ + + ≤ 2020 Vậy ≤ + + + 1515 ≤ + 1515 = 2020 = =
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ⇔ = ; = ; = . + + = 2020
Câu 14: Xét các số thực dương , , , , , thỏa mãn > 1, > 1, > 1 và = = = √ .
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = +
+ + thuộc tập hợp nào dưới đây? A. 10; 13). B. 7; 10). C. 3; 5). D. 5; 7). Lời giải Chọn D Từ giả thiết ta có 1 1 1
x  1 log b  log c , y  1 log a  log c, z  1 log b  log a . Khi đó ta có 2 a a 2 b b 2 c c
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
2P  4  log b  log a  log c  log a  log c  log b . a b a c b c
Vì > 1, > 1, > 1 nên log b  0 , log c  0 , log a  0 , log a  0 , log b  0 , log c  0 . a b c b c a
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta được
log b  log a  2 log .
b log a hay log b  log a  2 . a b a b a b
Tương tự log c  log a  2 và log c  log b  2 . a c b c Do đó 2
≥ 10 hay ≥ 5. Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi = = .
Vậy giá trị nhỏ nhất P  5 . min
Câu 15: Cho hai số thực dương , thỏa mãn ( + + 2) = 1 + + . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
= với , ∈ ℕ, ( , ) = 1. Hỏi + bằng bao nhiêu. A. 2. B. 9. C. 12. D. 13 Lời giải Chọn D Ta có ( + + 2) = 1 + + ⇔ = − − ⇔ = (
). Gọi > 0là giá trị nhỏ nhất của
khi đó là số dương nhỏ nhất để hệ + = có nghiệm. = + = ( ) − 2 = ( + ) = ( + 2) Ta có ⇔ ⇔ = + = + = Từ ( + ) = ( + 2) ⇒ ( + 2) ≥ 4 ⇒ ≥ 2.
Đặt t x y  0  + = ⇔ + (2 − 3 ) + 6 + 3 = 0 (*). Ta đi tìm ≥ 2để (*) có nghiệm dương ⇔ = 9 − 24 − 20 ≥ 0 ⇔ ≥ . Do đó ≥ , dấu “=” xảy ra khi + = 4 ⇒ ( ; ) = (1;3). = 3 Vậy + = 13.
Câu 16: Cho các số thực dương và thỏa mãn 4 + 9. 3 = 4 + 9 . 7 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = . A. = 9. B. = √ . C. = 1 + 9√2. D. = √ . Lời giải Chọn A Từ giả thiết ta đặt = − 2 , ∈ ℝ. Phương trình 4 + 9. 3 = 4 + 9 . 7 trở thành 4 + 9. 3 = (4 + 9 ). ⇔ 4(7 − 49) + 9 9. − 49 = 0.
Nhận thấy = 2là nghiệm phương trình.
Ta chứng minh = 2là nghiệm duy nhất của phương trình. Xét > 2: 7 > 49và 9.
> 49nên vế trái phương trình luôn dương, nên phương trình vô nghiệm. Xét < 2: 7 < 49và 9.
< 49nên vế trái phương trình luôn âm, nên phương trình vô nghiệm.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Vậy = − 2 = 2 ⇔ = thay vào = = 16 16  x  1  2 . x 1  9 x x
. Dấu bằng đạt được khi = ⇒ = 4.
Câu 17: Xét các số thực dương , , , thỏa mãn > 1, > 1và = = . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 3 + 2 + có dạng
+ √30 (với , là các số tự nhiên), tính = + A. 34 B. 36. C. 52. D. 48 Lời giải Chọn C 2 = ( ) 2 = 6 + 6 Theo bài ra ta có: = = ⇔ = ⇔ ⇔ = 3 = ( ) 3 = 6 + 6 = 3(1 + ) ⇔ = 2(1 + ) Do đó: = 3 + 2 + = 18(1 + )(1 + ) + 6(1 + ) + 2(1 + ) = 18 + 18 + 18 + 18 + 6 + 6 + 2 + 2 = 44 + 24 + 20 Đặt = . Vì , > 1nên > 1 = 0. Khi đó = 44 + 24 + ≥ 44 + 2 24 . = 44 + 8√30. √
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất là 44 + 8√30khi 24 = ⇒ = √ hay = . = 44 Ta có: ⇒ = + = 52 = 8
Câu 18: Cho hai số thực ; ; thỏa mãn hệ thức + ≤ 3 +
+ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + + 2 − 22 bằng? A. −19. B. 12. C. −15. D. 8. Lời giải Chọn A
Chúng ta nắm bắt được dạng thì sẽ có cách giải như sau: = + 2 + = 0 = 2 − 2 + ≤ 3 + + ⇔ + ≤ + + 2 ⇔ ⇔ = 2 − − 2 = 0 = −5 + 4
Thế vào biểu thức , ta được: =
+ (2 − 2) + 2(−5 + 4) − 22 = 55
− 110 + 36 = 55( − 1) − 19 ≥ −19
Vậy giá trị nhỏ nhất của là: = −19.
Câu 19: Cho hai số thực dương , lớn hơn 1 và biết phương trình .
= 1 có nghiệm thực. Biết 4
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  log ab  có dạng với
, là số tự nhiên và là a log b a
phân số tối giản. Khi đó + 2 bằng A. 34. B. 21. C. 23. D. 10. Lời giải Chọn C
Phương trình tương đương với 2
x   x   2
2 log b  0  x x log b  2 log b  0 . a a a
Điều kiện để phương trình có nghiệm là:    b b  log b  8 ( ) > 0. a 2 log  8log  0 a a
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 4
Khi đó P  log b  1 = ( ) = + + 1 ≥ ( ) = (8) = = . a log b ; ) a Vậy + 2 = 23.
Câu 20: Cho các số thực , thỏa mãn điều kiện 0 < <
< 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = ( ) + 8 − 1. A. 6. B. 8. C. 3√2. D. 7. Lời giải Chọn D Ta có: = = . ( ) ( ( ) 3 − 2) ≥ 0 ⇒ 9 − 12 + 4 ≥ 0 ⇒ ≤ ⇒ ≥ = 2 . Do đó: ≥ 2 + − 1 ⇒ ≥ ( − 1) + ( − 1) + + 1. ( ) ( ) Mà 0 < < < 1 ⇒ > = 1 ⇒ − 1 > 0.
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: ( − 1) + ( − 1) + ≥ 6 ⇒ ≥ 7. ( ) 3 − 2 = 0 = = Dấu " = " xảy ra ⇔ − 1 = ⇔ ⇔ . ( ) = 3 = Vậy = 7.
Câu 21: Cho số thực ,
> 1 thỏa mãn điều kiện +
= 2020 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức = + ? 1 A. 2020 log 2018  log 2019 . B. log 2018  log 2019 . 2019 2018  2019 2018 2020 2020 C. . D. 2020 log 2018  2020 log 2019 . 2019 2018 log 2018  log 2019 2019 2018 Lời giải Chọn A Ta có: P  log a  log b  log 2018. log a  log 2019 log b . 2019 2018 2019 2018 2018 2019
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky, ta có: P   log 2018. log a  log 2019 log b 2 2 2019 2018 2018 2019  log 2018  log 2019log a  log b   log 2018  log 2019 2 2020 2019 2018 2018 2019 2019 2018  P  2020 log 2018  log 2019 . 2019 2018  log a log b 2018 2019  
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  log 2018 log 2019 2019 2018  2 log a  log b  20 0 2  2018 2019  log 2019 log a  log 2018 log b 2018  2018  2019  2019   2 log a  log b  2020  2018 2019 ⇔ & = = (với = 2019)
Vậy tồn tại , > 1 để đẳng thức xảy ra nên max P  2020 log 2018  log 2019 . 2019 2018
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Câu 22: Cho > 0, > 0 thỏa mãn log a b   a b   . Giá trị của + a b   2 2 16 1 log 4 5 1 2 4 5 1  8ab 1    2 bằng A. . B. 6. C. . D. 9. Lời giải Chọn A Ta có: 16 + + 1 ≥ 2√16 + 1 = 8 + 1 do đó: log a b   a b a b   2 2 16 1 log 4 5 1 4 5 1  8ab 1     log 8ab 1  log 4a  5b 1 4a5b 1    8ab 1    1  log 8ab 1  4a5b 1    log 8ab 1 4a5b 1    1  2 log 8ab 1 .  2 4a5b 1    log 8ab 1 4a5b 1   
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi: 3 16 = 4 = ⇔ ⇔ = 8 + 1 = 4 + 5 + 1 2 + 1 = 6 + 1 4 = 3 Vậy + 2 = . Câu 23: Cho , , > 0; , , > 1 và = = = √
. Giá trị lớn nhất của biểu thức = + −
thuộc khoảng nào dưới đây? A. (10; 15). B. ; . C. −10; 10). D. [15; 20]. Lời giải Chọn D Ta có: = = = √ 1 ⇒ = = = 2 1 ⎧ = 2 ⎪1 ⇒ = 2 ⎨ ⎪1 ⎩ = 2 Do đó: + + = 2( + + ) = 2 = 2 Suy ra: + = 2 − Ta có: = + − = 16 2 − − = 32 − − ( > 0). Mặc khác, + = + + ≥ 3 . . = 12. Dấu “=” xảy ra ⇔ = 2.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 32 − 12 = 20 tại = 2.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
DẠNG 2: ÁP DỤNG PHÁP HÀM SỐ, HÀM ĐẶC TRƯNG. ÁP DỤNG HÀM SỐ
Câu 24: Cho , là các số thực dương thỏa mãn > 1 và √ ≤
< . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + 2 √ bằng A. 6. B. 7. C. 5. D. 4. Lời giải Chọn C Đặt = , vì > 1 và √ ≤ < nên ≤ < 1. Ta có = + 2 = + − 4 = ( ) √ . Xét hàm số ( ) =
+ − 4 trên nửa khoảng ; 1 , ta có ( ) ( )( ) = − = ;
( ) = 0 ⇔ = 2 ∉ ; 1 hoặc = ∈ ; 1 . ( ) .( ) Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có ( ) = 5 khi = . ; Vậy = 5 khi = ⇔ = √ . ( )
Câu 25: Cho , là các số thực dương thỏa mãn
≤ 4 − 1. Giá trị nhỏ nhất của = + là +
. Giá trị của tích . là A. 45. B. 81. C. 115. D. 108. Lời giải Chọn B Từ giả thiết, ta có ≤ 4 − 1 nên ≤ − . Đặt = , ta có 0 < ≤ 4 (vì − ≤ 4, ∀ > 0). Ta có = 12 + + ( + 2); ( ) = − +
< 0, với mọi 0 < ≤ 4. Do đó (4) = + 6. Suy ra = , = 6 nên . = 81.
Câu 26: Cho các số thực , , khác 0 thỏa mãn 3 = 5 = 15
. Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + + − 4( + + ) là? A. −3 − 3. B. −4. C. −2 − √3. D. −2 − 5. Lời giải Chọn B Đặt = 3 = 5 = 15 ; > 0. = Suy ra = ⇒ − = = = = ⇔ + + = 0. − = Ta có = + + − 4( + + ) = ( + + ) − 2( + + ) − 4( + + ). ⇒ = ( +
+ ) − 4( + + ) = [( + + ) − 2] − 4 ≥ −4.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 + + = 2 ⇒ . + + = 0
Câu 27: Xét các số thực , sao cho > 1, √ ≤ < . Biểu thức = + 2 √ đạt giá trị nhỏ nhất khi A. = . B. = . C. = . D. = . Lời giải Chọn A
Do > 1 mà > suy ra > 1. Ta có √ ≤ < ⇔ log √ ≤ log < log ⇔ ≤ log < 1. Theo bài ra = + 2 ⇔ = + 2 √ √ ⇔ = + 4 . Đặt = log suy ra ∈ ; 1 ta được = + 4 với ∈ ; 1 . = − cho = 0 ⇒ = 4(1 − ) ( ) ⇔ 3
− 8 + 4 = 0 ⇔ = (thỏa mãn) hoặc = 2(loại)
Dựa vào bảng biến thiên giá trị nhỏ nhất = 5 khi = ⇔ = ⇔ = .
Cho , là các số thực thỏa mãn 1 < <
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = ( − 1) + 8 √ . √ A. 18. B. 9. C. 27. D. 30 Lời giải Chọn C √ Ta có = = . = = √ . √ √ Suy ra = 2 − 1 + 8 √ . √ Đặt = 2 , do 1 < < ⇔ 1 < < ⇒ > 2.
Ta có hàm số ( ) = ( − 1) + 8. với > 2. ( ) ( )( ) = 1 = ; ′( ) = 0 ⇒ . ( ) = 4
Lập bảng biến thiên trên (2; +∞) ta được
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức = ( − 1) + 8 √ là 27 đạt được khi = 4 ⇔ √ 2 = 4 ⇔ = ⇔ = .
Câu 28: Cho , là hai số thực dương thỏa mãn = 3 + 4 và
∈ [4; 2 ]. Gọi , lần lượt là
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 4 + . Tính tổng = + . A. = . B. = . C. = . D. = . Lời giải Chọn B = − Ta có = 3 + 4 ⇔ −
= 3 ( + ) ⇔ ( + )( − 4 ) = 0 ⇔ = 4
Vì , dương nên = 4 , ta thay vào ta được 3 4 3 + 2 3 = 4 + = + = + 4 4 − 1 4 2 Đặt
= vì ∈ [4; 2 ] nên ∈ [2; 32] Xét hàm số ( ) = + −3 3 ( ) = −1 ( ) = + ⇒ ( ) = 0 ⇔ ( − 1) 4 = 3 Ta có bảng biến thiên Vậy = ; = ⇒ = + = .
Câu 29: Cho m  3 log
ab với > 1, > 1 và 2
P  log b  16 log a . Tìm sao cho đạt giá trị aa b nhỏ nhất. A. = . B. = 4. C. = 1. D. = 2. Lời giải Chọn C 1 1 Ta có: m  log ab ab   b . a  3
 loga   1 loga  3 3
 3m  1  log b  log b  3m 1. a a Do > 1,
> 1nên log b  log 1  0 ⇒ > . a a
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 16 16
Ta có: P  log b  16 log a  log b   m   , với ∈ ; +∞ . a b a 3 2 2 2 1 log b 3m  1 a = 6(3 − 1) − . ( ) = 0 ⇔ 6(3 − 1) − = 0 ⇔ (3 − 1) = 8 ⇔ 3 − 1 = 2 ⇔ = 1. ( ) Bảng biến thiên
Vậy min P  12  m  1.
Câu 30: Tính giá trị của biểu thức = + − + 1 biết rằng 4 = 14 − ( − 2)
+ 1 với ≠ 0 và −1 ≤ ≤ . A. = 1. B. = 4. C. = 2. D. = 3. Lời giải Chọn C
Ta có biểu thức vế trái: 4 ≥ 4 = 4. (1)
Xét biểu thức ( ) = 14 − ( + 1) + 1 + 3 + 1 với −1 ≤ ≤ . Đặt = + 1 ⇒ ∈ 0; suy ra ( ) = 14 − ( + 1) + 1 + 3 + 1 = ( ) = − + 3 + 14
Khảo sát hàm số ( ) = − + 3 + 14trên đoạn 0;
ta được kết quả: ( ) ≤ 16. ⇒ ( ) ≤ 1 6 = 4(2) = 1 Từ (1) và (2) ta có: ⇒ = 1, = 0 ⇒ = 1 + 1 = 2. + 1 = 1
Câu 31: Cho , là số thực dương thỏa mãn + (7 ) ≥ (
+ 7 ). Giá trị nhỏ nhất của
= 4 + 7 có dạng √ + , trong đó , , là số tự nhiên và > 1. Xác định: + + A. + + = 13. B. + + = 12. C. + + = 11. D. + + = 10 Lời giải Chọn A Từ + (7 ) ≥ ( + 7 ) ⇔ 7 ≥ + 7 . Nhận xét: Nếu 0 < ≤ 1 thì 7 ≥ 7 ≥ + 7 ⇔ 0 ≥ (vô lý) Xét > 1 thì 7 ≥ + 7 ⇔ 7 ( − 1) ≥ ⇔ 7 ≥ . Vậy = 4 + 7 ≥ 4 + . Xét: ( ) = 4 + trên (1; +∞). Có ( ) = 4 + ( ) = ( ) ( ) = √ (loai) Xét ( ) = 0 ⇔ 5 − 10 + 4 = 0 ⇔ . = √ (nhan) Vậy ( ) = √ = 2√5 + 6. ( ; )
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Câu 32: Cho , là các số thực dương thoả mãn + ≥ (
+ ). Tìm giá trị nhỏ nhất của = + . A. = 6. B. = 2 + 3√2. C. = 3 + 2√2. D. = √17 + √3. Lời giải Chọn C Ta có + ≥ ( + ) ⇔ ≥ ( + ) ⇔ ≥ + ⇔ ( − 1) ≥ > 0
Mà > 0, > 0nên > 1và ≥ . Suy ra + ≥ + . Xét hàm số ( ) = + = 2 + 1 + , > 1. Ta có: ( ) = 2 − = 0 ⇔ = 1 + (Do > 1)⇒ 1 + = 3 + 2√2. ( ) √ √ Bảng biến thiên Vậy = 3 + 2√2.
Chú ý: Ta có tìm minh của ( )như sau: ( ) = 2 + 1 + = 2( − 1) + + 3 ≥ 2 2( − 1) + 3 = 2√2 + 3.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2( − 1) = = √2 ⇔ = 1 + √ .
Câu 33: Tính giá trị của biểu thức = + − + 1 biết rằng 4 = 14 − ( − 2) + 1 với ≠ 0 và −1 ≤ ≤ . A. = 4. B. = 2. C. = 1. D. = 3. Lời giải Chọn B Xét 4 = 14 − ( − 2) + 1 . . Ta có 4 ≥ 4
= 4, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = ±1,. Mặt khác 14 − ( − 2) + 1 = 14 + 3 + 1 − + 1 . Đặt =
+ 1 ta có 0 ≤ ≤ √ . Xét hàm số ( ) = −
+ 3 + 14. Ta tìm GTLN – GTNN của hàm số trên đoạn 0; √ được ( ) = √ = √ ; ( ) = (1) = 16. ;√ ;√ Suy ra 14 − ( − 2) + 1 ≤ 1 6 = 4,. = ±1 = ±1 Từ và suy ra ta có ⇔ = + 1 = 1 = 0 . Thay vào = 2.
Câu 34: Xét các số thực , thỏa mãn > 0và + − 3 = . (1 − 2 .
). Giá trị lớn nhất của biểu thức =
+ thuộc tập hợp nào dưới đây? A. (1; 2). B. 2; 4). C. −3; 0). D. 0; 3).
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Lời giải Chọn D Xét phương trình + − 3 = . (1 − 2 . ) Đặt = ( > 0)ta có: + − 3 = (1 − 2 ) ⇔ 3 + = ( + ) ≥ 4( ) ⇔ − ≤ ≤ 1. Lại do , > 0 ⇒ 0 < ≤ 1 ⇒ 0 < . ≤ 1 ⇔ + ≤ 0nên ≤ 0. = = 1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = 1 ⇔ = = 1hay = 0 , > 0 Vậy 0; 3) .
Câu 35: Gọi là tập các cặp số thực ( , ) sao cho ∈ [−1; 1] và ( − ) − 2017 = ( − ) − 2017 +
. Biết rằng giá trị lớn nhất của biểu thức = ( + 1) − 2018 với
( , ) ∈ đạt được tại ( ;
). Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. ∈ (−1; 0). B. = −1. C. = 1. D. ∈ 0; 1). Lời giải Chọn A Điều kiện − > 0 Ta có ( − ) − 2017 = ( − ) − 2017 + ⇔ ( − ) ( − ) − 2017( − ) = ⇔ ( − ) − 2017 − = 0 (*) Xét hàm ( ) = − 2017 − , có ( ) = + > 0 với ∀ > 0
Do đó ( ) đồng biến trên khoảng (0; +∞),
suy ra (∗) ⇔ ( − ) = 0 = ( ) ⇔ − = ⇔ = − Khi đó = (1 + − ) − 2018 = ( ) g x  (2019 + 2018 − 2018 ) − 4036
g  x  (2018.2020 + 2018 − 2018 ) − 4036 ≤ (2018.2020 + 2018 − 2018
) − 4036 < 0 với ∀ ∈ [−1; 1] Nên
( ) nghịch biến trên đoạn [−1; 1], mà (−1) = + 2018 > 0, (0) = 2019 − 2018 < 0 nên tồn tại ∈ (−1; 0) sao cho ( ) = 0 và khi đó ( ) = ( ) [ ; ] Vậy lớn nhất tại ∈ (−1; 0).
Câu 36: Cho , thỏa mãn ( + ) +
( − ) ≥ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 2 − . √ A. √3 . B. C. . D. . Lời giải Chọn A + > 0 > 0 Theo giả thiết: ( + ) + ( − ) ≥ 1 ⇔ − > 0 ⇒ ≥ + 4 − ≥ 4 Ta có: = 2 − ≥ 2 + 4 − . Xét hàm số: ( ) = 2 + 4 − có 2 2 − + 4 ( ) = − 1 = + 4 + 4
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 ≥ 0 ( ) = 0 ⇔ 2 − + 4 = 0 ⇔ ⇔ = √ . = BBT: = √ = √ Từ BBT suy ra = 2 −
≥ ( ) ≥ 2√3, dấu " = "xảy ra khi ⇔ . = + 4 = √ = √ Vậy √3 khi . = √
Câu 37: Cho hai số thực , thỏa mãn 0 ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ và
(11 − 2 − ) = 2 + 4 − 1. Xét biểu thức = 16 − 2 (3 + 2) −
+ 5. Gọi , lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị
lớn nhất của . Khi đó giá trị của = (4 + ) bằng bao nhiêu? A. 16. B. 18. C. 17. D. 19. Lời giải Chọn A Ta có
(11 − 2 − ) = 2 + 4 − 1 ⇔ 2(2 + ) − 11 − (2 + ) − 1 = 0 Đặt = 2 + , 0 <
< 11. Phương trình trở thành: 2 − (11 − ) − 1 = 0. (1) Xét hàm số ( ) = 2 −
(11 − ) − 1 trên khoảng (0; 11). Có = 2 +
> 0, ∀ ∈ (0; 11). Do đó hàm số ( ) luôn đồng biến.
Dễ thấy (1) có nghiệm = 1. Do đó = 1 là nghiệm duy nhất của (1). ( ) Suy ra 2 = 1 − . Khi đó = 16 − (1 − )(3 + 2) − + 5 = 4 − 5 + 2 + 3. Xét hàm số ( ) = 4 − 5 + 2 + 3 trên 0; , có ( ) = 12
− 10 + 2 > 0, ∀ ∈ 0; . Do đó, ( ) = (0) = 3, ( ) = (1) = 4. ; ; Suy ra = 3, = 4. Vậy = 4.3 + 4 = 16.
Câu 38: Xét các số thực dương , thỏa mãn + ≤ ( +
). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + 3 . √ A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B  Với , > 0, ta có:
log x  log y  log  2
x y   log  . x y   log  2 x y  2 1
xy x y 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ⇔ ≤ − ⇔
≤ ( − 1). Suy ra: − 1 > 0.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Từ ≤ ( − 1) ⇒ ≥ , với > 1. Khi đó: = + 3 ≥ + 3 = 4 + 1 + , với > 1.
 Xét hàm số: ℎ( ) = 4 + 1 + trên khoảng (1; +∞). Ta có: ℎ ( ) = 4 − = ; ( ) ( ) 3 = ℎ ( ) = 0 ⇔ 4 − 8 + 3 = 0 ⇔ 2 1 = ∉ (1; +∞) 2 Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có: ℎ( ) = 9 khi = . ( ; ) Suy ra: ≥ ℎ( ) = 9. ( ; ) Vậy khi = và = = .
Câu 39: Cho các số thực , , , thỏa mãn điều kiện > 1, > 1, > 0, > 0, + = . Biết rằng biểu thức =
đạt giá trị nhỏ nhất khi =
. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. + = . B. + = . C. + = . D. + = . Lời giải Chọn A Ta có = + = ( ), suy ra ( ) = − = 0 ⇔ = ⇔ . = . ⇔ = ⇔ = ⇔ = ( ) = 1, ( ) = +∞, ( ) = +∞ → → Ta có BBT Từ BBT⇒ = 1, đạt được khi = . Do đó = 1, = − 1 ⇒ + = .
Câu 40: Với hai số thực , bất kỳ, ta kí hiệu : ( ; )( ) = | − | + | − | + | − 2| + | − 3|. Biết
rằng luôn tồn tại duy nhất số thực để ( ; )( ) = ( ; )(
) với mọi số thực , thỏa ∈ℝ mãn = và 0 < < . Số bằng A. 2 − 1. B. 2,5. C. . D. 2 .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Lời giải Chọn C
Trước tiên ta xét , thỏa mãn = và 0 < < . Ta có: = ⇔ = ⇔ = . Xét hàm số ( ) = trên (0; +∞). Ta có: ′( ) = ; ′( ) = 0 ⇔ = . Bảng biến thiên Do 0 <
< và ( ) = ( ) nên ta có 0 < < < .
Khi đó ( ; )( ) = | − | + | − | + | − 2| + | − 3|
= (| − | + | − |) + (| − 2| + |3 − |) ≥ | − + − | + | − 2 + 3 − | = − + 1 Mặt khác do < < và 2 < < 3 nên ta có: ( ; )( ) = |
− | + | − | + | − 2| + | − 3| = − + − + − 2 + 3 − = − + 1. Vậy = . ( )
Câu 41: Cho , là các số thực dương thỏa mãn
≤ 4 − 1. Giá trị nhỏ nhất của = + là +
. Giá trị của tích . là A. 45. B. 81. C. 108. D. 115. Lời giải Chọn B Ta có: ≤ 4 − 1 ⇔ 4 ≥ + 1 ≥ 2 ⇒ 4 ≥ 2 nên: ≤ 2 ⇔ ≤ 4. ( ) Xét = + = 12 + 6. + + 2 . Đặt = , 0 < ≤ 4. Suy ra: = ( ) = 12 + + ( + 2). ( ) Ta có: ( ) = − + = = . .( ) .( ) Với 0 <
≤ 4 thì −3 < − 3 ≤ 1 ⇒ 0 ≤ ( − 3) < 9 nên ( − 3) − 21 < 0, ∀ ∈ 0; 4. Do đó: ( ) < 0.
Hàm số ( ) nghịch biến trên (0; 4].
Suy ra: ( ) ≥ (4), ∀ ∈ 0; 4. Hay ≥ (4) = 12 + + 6 ⇔ ≥ + 6. = 4 = 2 Vậy 6
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ⇔ = 1 = Khi đó: = ; = 6 nên = 81.
Câu 42: Xét các số thực dương , thỏa mãn = 3 +
− 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của = + . √ A. . B. . C. . D. .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Lời giải Chọn A Điều kiện 0 < < . Từ giả thiết = 3 + − 1 ⇔ (1 − 2 ) + (1 − 2 ) = ( + ) + ( + ) (1) Xét hàm số ( ) =
+ trên (0; +∞) có ( ) = + 1 > 0, ∀ > 0 do đó hàm ( ) đơn điệu. Vậy (1) ⇔ 1 − 2 = + ⇔ 3 + = 1 (2) Có = + ≥ + = + √ Đặt ( ) = + , ta có ( ) = − + suy ra ( ) = 0 ⇔ = . ( ) Do đó ( ) = 8. Vậy . ;
Bổ sung: có thể đánh giá = + ≥ + = + ≥ = √
Câu 43: Xét các số thực , thỏa mãn 2 2
x y  1 và
(2 + 3 ) ≥ 1. Giá trị lớn nhất P
của biểu thức P  2x y bằng max 19  19 7  65 1110 2 7  10 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . max 2 max 2 max 3 max 2 Lời giải Chọn B Ta có: (2 + 3 ) ≥ 1 ⇔ 2 + 3 ≥ + ⇔ − 2 + − 3 ≤ 0. = 1 − ( − 3 ) = − + 3 + 1. Để tồn tại , thì ≥ 0 ⇔ ∈ √ ; √ . Khi đó = 1 ± − + 3 + 1. Ta có: = 2 + ≤ 2 1 + − + 3 + 1 + = ( ). ( ) = + 1. ( ) = 0 ⇔ − + 3 + 1 = 2 − 3 ⇔ − + 3 + 1 = 4 − 12 + 9, = 16. ⇔ = √ . Bảng biến thiên. Do đó = + 2 ≤ √ = √ Vậy = √ khi (thỏa mãn điều kiện 2 2 x y  1 ) = 1 + − + 3 + 1 = √
Câu 44: Cho hai số thực , thỏa mãn +
= 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức = + bằng A. 3 + 2. B. 3 + 2. C. ( 3 + 2). D. .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Lời giải Chọn B
Biến đổi yêu cầu của bài toán ta được: = + = + = + . Xét hàm số ( ) = √ + 3 . √1 − ⇒ ( ) = − . √ √ Ta có ( ) = 0 ⇔ √1 − = 3 √ ⇔ 1 − = . 3 ⇔ = . ⇒ ( ) ≥ = 3 + 2 ⇒ = 3 + 2.
Câu 45: Cho , là các số dương thỏa mãn + 1 + − 10 + 9 ≤ 0. Gọi , lần
lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của = . Tính = 10 − . A. = 60. B. = 94. C. = 104. D. = 50. Lời giải Chọn B + 5 + 1 + − 10 + 9 ≤ 0 + 10 + ⇔ ( + 5 ) − ( + 10 + ) + 2 + 2( + 5 ) − ( + 10 + ) ≤ 0 ⇔ (2 + 10 ) + 2( + 5 ) ≤ ( + 10 + ) + ( + 10 + ) ⇔ 2 + 10 ≤ + 10 + vi) ⇔ − 10 + 9 ≤ 0 ⇔ − 10 + 9 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ ≤ 9 + + 9 + + 9 = = + + 1
Đặt = , điều kiện: 1 ≤ ≤ 9 ( ) = −4 = ; ( ) = ; ( ) = 0 ⇔ ( ) = 2 (1) = ; (2) = 5 ; (9) = Nên = , = 5. Vậy = 10 − = 94.
ÁP DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG
Câu 46: Cho hai số thực dương , thay đổi thỏa mãn đẳng thức ( − 1). 2 = ( + ). 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của . A. . B. . C. . D. √3 . Lời giải Chọn B Ta có ( − 1)2 = ( + )2 ⇔ (2 − 1 − 1)2 = ( + )2 (1)
Xét hàm ( ) = ( − 1). 2 với ≥ 1.
Khi đó ( ) = 2 + ( − 1). 2 . 2 > 0 với ∀ ≥ 1. Từ (1) ⇔ 2 − 1 = + + 1 ⇔ = 2 − 2 − 4 = 2 = = 0 ⇔ 2 − 2 − 4 = 0 ⇔ (2 − 1) = −1
Loại = −1 vì điều kiện của nên (2) = 2.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Câu 47: Cho các số thực , thỏa mãn 0 ≤ , ≤ 1và + ( + 1)( + 1) − 2 = 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của với = 2 + . A. 2. B. 1. C. . D. 0. Lời giải Chọn B
+ ( + 1)( + 1) − 2 = 0  log
x y x y  log 1 xy  1 xy (1). 3     3     Xét hàm số ( ) = + với > 0, ta có ( ) = + 1 > 0∀ > 0 . 1 x 2
⇒ ( )luôn đồng biến với ∀ > 0  (1) ⇔ + = 1 −  y   1   (2). x 1 x 1 Thế (2)vào ta được = 2 + Với 0 ≤ ≤ 1 = 0 ∉ [0; 1] = 2 − ; = 0 ⇔ . (0) = 1; (1) = 2. ( ) = −2 ∉ [0; 1]
Vậy giá trị nhỏ nhất của là 1 đạt được khi = 0; = 1.
Câu 48: Cho , là hai số thực dương thỏa mãn =
+ 3 − 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + A. . B. . C. . D. 1. Lời giải Chọn B 4 + 2 + 5 = + 3 − 4 ⇔ (4 + 2 + 5) − 5 ( + ) + = 5( + ) − (4 + 2 + 5) ⇔ (4 + 2 + 5) + (4 + 2 + 5) = 5 ( + ) + 5( + )(*) Hàm số ( ) = + ( > 0) có '( ) = + 1 > 0
( ) đồng biến nên (*)⇔ (4 + 2 + 5) =
5( + ) ⇔ 4 + 2 + 5 = 5( + ). 4 + 2 + 5 = 5( + ) ⇔ = 5 − 3 = + ⇒ = (5 − 3 ) + = 10 − 30 + 25 = 10 − + ≥ . Vậy GTNN = .
Câu 49: Cho 2 số thực dương , thỏa mãn [( + 1)( + 1)]
= 9 − ( − 1)( + 1). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + 2 là A. . B. . C. √3 . D. √2 . Lời giải Chọn D Ta có [( + 1)( + 1)] = 9 − ( − 1)( + 1) ⇔ ( + 1)[ ( + 1) + ( + 1)] + ( − 1)( + 1) = 9. ⇔ ( + 1)[ ( + 1) + ( + 1) + − 1] = 9 9 ⇔ ( + 1) + − 1 = − ( + 1) + 1 ⇔ ( + 1) + + 1 − 2 = − 2 + (*). Xét hàm số ( ) = + − 2 với > 0 có ( ) =
+ 1 > 0 với mọi > 0 nên hàm số ( )
luôn đồng biến và liên tục trên (0; +∞).
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Từ (*) suy ra + 1 = ⇔ = − 1 = , do > 0 nên ∈ (0; 8). Vậy = + 2 = + 2 = 2 − 1 + = 2( + 1) + − 3 ≥ −3 + 6√2. Vậy √2 khi 2( + 1) = ⇔ = − 1. √
Câu 50: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn: 3 + 2 + ( + 1) = + + 2 + 5.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 3 + 2 . A. √6 . B. √2 . C. √2 . D. √2 . Lời giải Chọn B Ta có: 3 + 2 + ( + 1) = + + 2 + 5  3 − + − 5 = 3 − + 2 − (∗) Xét hàm số ( ) = 3 − + có ( ) = 3 . 3 − . + 1 > 0, ∀
suy ra hàm số ( ) luôn đồng biến. Từ (*) ta có ( − 5) = (2 − ) ⇔ − 5 = 2 − ⇔ = Suy ra = + 2 = 2( + 1) + 4( + 1) + 9 9 ⇔ = = 2( + 1) + 4 + ≥ 4 + 6√2. + 1 + 1 ( )
Câu 51: Cho hai số thức , thỏa mãn 16. 2 =
. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức = + A. . B. C. D. 1 Lời giải Chọn C
Từ giải thiết suy ra 1 − 2 > 0. Theo bài ra: 8(1 − 2 ) 8(1 − 2 ) 16 . 2 = ⇔ ( + 2 ) = + 2 16 8(1 − 2 ) ⇔ 2 ( + 2 ) = ⇔ 2 ( + 2 ) = 2 (2 − 4 )(1) 2
Xét hàm số ( ) = . 2 với ∈ = (0; +∞)
Do hàm số liên tục trên và có ( ) = 2 + . 2 .
> 0, ∀ ∈ suy ra hàm số đồng biến trên . Khi đó (1) ⇔ + 2 = 2 − 4
⇔ (1 + 4 ) = 2 − 2 suy ra 2 − 2 > 0 ⇔ < 1. Ta có = + = (1 + 4 ) = (2 − 2 ) = (1 − ) ≤ = = Vậy = xảy ra khi . =
Câu 52: Cho hai số dương , thỏa mãn = 3
− 2 − 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức = 2
− 18 + 72 − 45 trên nửa khoảng 0; 5. A. 2020. B. 20. C. 15. D. 30. Lời giải Chọn C Ta có: + = 3 − 2 − 1 3 + 3 + ⇔ ( + ) − (3 + 3 + ) = 3 − 2 − 1
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 ⇔ ( + ) + 2 + 1 = (3 + 3 + ) + 3 ⇔ (3 + 3 ) + 3 + 3 = (3 + 3 + ) + 3 + 3 + Hàm đặc trưng ( ) = + ∀ > 0 ⇒ ( ) = + 1 > 0∀ > 0
⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) Do đó: 3 + 3 = 3 + 3 + ⇔ 2 = 3 Thay vào ta có: = ( ) = 3 − 27 + 72 − 45 ( ) = 9 − 54 + 72 = 2 ( ) = 0 ⇔ = 4 Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của P là 15
Câu 53: Cho hai số thực dương , thỏa mãn 6. 3 + + 1 = 3 +
( + 3 ). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = bằng . A. . B. . C. . D. 3 Lời giải Chọn D Đặt = ( + 3 ) ⇔ 3 = + 3 ⇔ 3 = 3 − 3
Khi đó phương trình 6. 3 + + 1 = 3 + ( + 3 ) trở thành: 3 + + 1 = 3 − 3 + ⇔ 3. 3 + + 1 = 3 + ⇔ 3 + + 1 = 3 + (1) Xét hàm số: ( ) = 3 + trên khoảng (0; +∞) Ta có: ( ) = 3 .
3 + 1 > 0, ∀ ∈ (0; +∞) suy ra hàm số luôn đồng biến Do (1) suy ra ( + 1) = ( ) ⇔ + 1 = ⇔ + 1 = ( + 3 ) ⇔ 3 − 3 = ⇔ = 2. 3 Khi đó = = = ( )có ⇒ ( ) = . = 0 ⇔ = .
Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; +∞) suy ra = = 3. ( ; )
Câu 54: Cho hai số thực , thỏa mãn hệ thức log , = 4 + 4 − − − 2 . Gọi và
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
= 3 + 4 + 12. Giá trị biểu thức ( + 2 ) tương ứng bằng A. 28. B. 26. C. 29. D. 27. Lời giải Chọn D
 Điều kiện xác định: > 0 ⇔ + 4 − 2 + 10 > 0.(*)
 Ta sẽ đưa phương trình về dạng log = − ⇔. . ⇔ = (với > 1)  Giả thiết log , = 4 + 4 − − − 2 ⇔ log( + 4 − 2 + 10) − log(2 + + 6) = (2 + + 6) − ( + 4 − 2 + 10). ⇔ log( + 4 − 2 + 10) + ( + 4 − 2 + 10) = log(2 + + 6) + (2 + + 6) (1)
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
 Xét hàm số đồng biến ( ) = log + vì ′( ) = + 1 > 0 ∀t > 0.  Từ (1) suy ra ( + 4 − 2 + 10) = (2 + + 6) ⇔ + 4 − 2 + 10 = 2 + + 6 ⇔ ( − 2) + ( + 1) = 9 (2)
 Xét biểu thức: = 3 + 4 + 12 = 3( − 2) + 4( + 1) + 14
 Theo BĐT buhia, ta có 3( − 2) + 4( + 1)
≤ (3 + 4 )(( − 2) + ( + 1) ) = 225
⇔ |3( − 2) + 4( + 1)| ≤ 15 ⇔ −|3( ≤ −2) + 4( + 1)| ≤ 3( − 2) + 4( + 1) ≤ |3( ≤ −2) +
4( + 1)| ⇔ −15 ≤ 3( − 2) + 4( + 1) ≤ 15 ⇔ −1 ≤
= 3( − 2) + 4( + 1) + 14 ≤ 29
 Suy ra giá trị nhỏ nhất của là: = 9; = −1 ⇒ ( + 2 ) = 27.
Câu 55: Cho , , là các số thực thỏa mãn
= ( − 2) + ( − 2) + ( − 2). Tìm
giá trị lớn nhất của Cho ; là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 5 + + + 1 = + 3
+ ( − 4). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + . A. 3. B. 5 + 2√5. C. 3 − 2√5. D. 1 + √5. Lời giải Chọn B Ta có 5 + + + 1 = + 3 + ( − 4)  5 − 3 + + 4 = 5 − 3 + − 1(1). Xét hàm số ( ) = 5 − 3 + trên ℝ. Vì ( ) = 5 . 5 + 3 .
3 + 1 > 0; ∀ ∈ ℝnên hàm số ( )đồng biến trên  (2). Từ (1)và (2)ta có + 4 =
− 1(3). Dễ thấy = 4không thỏa mãn (3). Với ≠ 4, (3) ⇔ =
kết hợp điều kiện > 0suy ra > 4. Do đó = + = + . Xét hàm số ( ) = + trên (4; +∞). = 4 + √5 Ta có ( ) = 1 − = 0 ⇔ . ( ) = 4 − √5
Dựa vào bảng biến thiên ta có ( )√5 . ( ; ∞)
Câu 56: Cho các số thực , với ≥ 0 thỏa mãn + + ( + 1) + 1 = + −
3 . Gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức =
+ 2 + 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. ∈ (2; 3). B. ∈ (−1; 0). C. ∈ (0; 1). D. ∈ (1; 2). Lời giải Chọn C
Đẳng thức đã cho tương đương − + + 3 = − + (− − 1) (∗). Xét hàm số ( ) = − + với ∈ ℝ. Ta có ( ) = + + 1 ⇒
( ) > 0 với ∀ ∈ ℝ. Suy ra hàm số ( ) đồng biến trên ℝ.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Khi đó (∗) được viết lại thành ( + 3 ) = (− − 1) ⇔ + 3 = −
− 1 ⇔ ( + 3) = − − 1 ⇔ = . Thay =
vào biểu thức ta được = + 2 + 1 = + 2 − 1 + 1 = + − 1 = + 3 + − 4.
Đặt + 3 = . Vì ≥ 0 nên ≥ 3. Ta có Côsi = + − 4 = + + − 4 ≥ 2 . + . − 4= . Do đó với = 3 thì = suy ra = ∈ (0; 1).
Câu 57: Cho hai số thực dương ,
thay đổi thỏa mãn đẳng thức ( − 1). 2 = ( + ). 2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của . A. . B. . C. . D. √3 . Lời giải Chọn B Ta có ( − 1)2 = ( + )2 ⇔ (2 − 1 − 1)2 = ( + )2 (1)
Xét hàm ( ) = ( − 1). 2 với ≥ 1.
Khi đó ( ) = 2 + ( − 1). 2 . 2 > 0với ∀ ≥ 1. Từ (1) ⇔ 2 − 1 = + + 1 ⇔ = 2 − 2 − 4 = 2 = = 0 ⇔ 2 − 2 − 4 = 0 ⇔ (2 − 1) = −1
Loại = −1vì điều kiện của nên (2) = 2.
Câu 58: Cho các số dương , thỏa mãn
+ 3 + 2 ≤ 4. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 6 + 2 + + bằng √ √ A. . B. 11√3. C. . D. 19. Lời giải Chọn D > 0 ĐK: ⇔ + > 1 , > 0 Ta có: + − 1 + 3 + 2 ≤ 4 2 + 3 ⇔ (
( + − 1) + 1) + 5( + − 1) ≤ (2 + 3 ) + 2 + 3 ⇔
[5( + − 1)] + 5( + − 1) ≤ (2 + 3 ) + 2 + 3 (∗) Xét hàm số ( ) = ( ) + trên (0; +∞) ta có 1 ( ) = + 1 > 0, ∀ ∈ (0; +∞). 5 ⇒ Hàm số ( ) =
( ) + đồng biến trên (0; +∞).
(∗) ⇔ 5( + − 1) ≤ 2 + 3 ⇔ 3 + 2 ≤ 5 Mặt khác, ta có: 4 9 = 6 + 2 + + 4 9 = 9 + + 4 +
− (3 + 2 ) ≥ 2.6 + 2.6 − 5 = 19
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 ⎧9 = =
⇒ GTNN của = 19, dấu “ = ” xảy ra ⇔ ⇔ ( ) 4 = ⎨ = ⎩3 + 2 = 5
Câu 59: Cho các số thực , với ≥ 0 thỏa mãn 5 + 5 + ( + 1) + 1 = 5 + −
3 . Gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức =
+ 2 + 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. ∈ (0; 1). B. ∈ (1; 2). C. ∈ (2; 3). D. ∈ (−1; 0). Lời giải Chọn A Ta có: 5 + 5 + ( + 1) + 1 = 5 + − 3 ⇔ 5 − 5 + + 3 = 5 − 5 − − 1. Xét hàm số ( ) = 5 − 5 + có ( ) = 5 5 + 5 5 + 1 > 0, ∀ ∈ ℝ.
Do đó hàm số ( ) đồng biến trên ℝ ⇒ ( + 3 ) = (− − 1) ⇔ + 3 = − − 1 ⇔ (3 + ) = − − 1 ⇔ = (do ≥ 0 nên + 3 ≠ 0) ⇔ + 2 + 1 = + + 1 = . Xét hàm số ( ) = với ≥ 0 có ( ) = > 0, ∀ ≥ 0. ( )
Do đó: ( ) ≥ (0) = , ∀ ≥ 0 hay + 2 + 1 ≥ , ∀ ≥ 0. Vậy = ∈ (0; 1). Câu 60: Cho ,
∈ (0; 2) thỏa mãn ( − 3)( + 8) = (
− 11). Giá trị lớn nhất của = √ + 1 + bằng A. √1 + 3 − 2. B. 2√ 3 − 2. C. 1 + √ 3 − 2. D. 1 + √ 2. Lời giải Chọn B Điều kiện: ≥ 1, ≥ . Ta có : ( − 3)( + 8) = ( − 11) ⇔ + 5 − 24 = − 11 ⇔ − 11 − (
+ 5 − 24) = 0, có = (2 + 5) > 0, ∀ ≥ 1. ( ) = = + 8 = Do đó ⇔ ⇔ ⇔ . ( ) = = 3 − = +) Do = > > 2 nên loại = . +) Với = , 1 ≤ < 2: Cách 1: Khi đó, ta được: = √ + (3 − ) trên 1; 2). Ta có = − √ ( ) ( ) 1 1 = 0 ⇔ − = 0 2 √ 2(3 − ) (3 − ) ⇔ (3 − ) (3 − ) − √ = 0 ⇔ (3 − ) (3 − ) = √ Xét hàm ( ) = √ trên 1; +∞), có ( ) = √ + > 0, ∀ ∈ (1; +∞). √
Khi đó ⇔ (3 − ) = ( ) ⇔ 3 − = ⇔ = . Bảng biến thiên:
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Từ đó max = 2√ 3 − 2 tại = , = . Cách 2: Khi đó, ta được: = √ + (3 − ) trên 1; 2). ⇒ = √ + (3 − ) ≤ 2( + (3 − )) = 2 [ (3 − )] ≤ 2 = 4( 3 − 2), ∀ ∈ 1; 2) √ = (3 − ) Dấu “=” xảy ra khi = 3 − ⇔ = . ∈ 1; 2) Vậy Từ đó max = 2√ 3 − 2 tại = , = .
Câu 61: Cho hai số thực ; thỏa mãn: ( + 8 + 16) + [(5 − )(1 + )] = √ 2 + (2 + 8) .
Gọi là tập các giá trị nguyên của tham số
để giá trị lớn nhất của biểu thức = + −
không vượt quá 10. Hỏi có bao nhiêu tập con khác rỗng. A. 16385. B. 2047. C. 32. D. 16383. Lời giải Chọn D −1 < < 5 ĐKXĐ: ≠ −4 . Ta có: ( + 8 + 16) + [(5 − )(1 + )] = 2 + (2 + 8) √ ⇔ ( + 4) + [(5 − )(1 + )] = 2{ [(5 − )(1 + )] − 3} + [ 4 + ( + 4) ] ⇔ 2 ( + 4) + [(5 − )(1 + )] = 2 [(5 − )(1 + )] + ( + 4) 2 2
⇔ 2log y  4  log y  4
 2log  5  x 1 x   log  5  x 1 x  3   2   3    2        (∗) Xét hàm số: ( ) = 2 − trên (0; +∞) Ta có: ′( ) = − = > 0 . . . .
⇒ ( ) đồng biến trên (0; +∞). (∗) ⇔ (( + 4) ) = (5 − )(1 + )  ( + 4) = (5 − )(1 + )  ( − 2) + ( + 4) = 9 = 2 + 3 Đặt: = −4 + 3 = + − = (2 + 3 ) + (−4 + 3 ) − = √29 + 12 − 24 −
Ta có: 29 − 12√5 ≤ 29 + 12 − 24 ≤ 29 + 12√5
⇒ −3 + 2√5 ≤ √29 + 12 − 24 ≤ 3 + 2√5 ⇒ −3 + 2√5 − ≤ √29 + 12 − 24 − ≤ 3 + 2√5 −
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 −3 + 2√5 −  3 + 2√5 − [ −3 + 2√5 − ≤ 10  3 + 2√5 − ≤ 10 −10 ≤ −3 + 2√5 − ≤ 10 −13 + 2√5 ≤ ≤ 7 + 2√5   ⇔ −7 + 2√5 ≤ ≤ 7 + 2√5. −10 ≤ 3 + 2√5 − ≤ 10 −7 + 2√5 ≤ ≤ 13 + 2√5 Vì ∈ ℤ ⇒ ∈ {−2; −1; . .10; 11}.
Do đó số phần tử của là: 14
⇒Số tập con khác rỗng của là 2 − 1 = 16383.
Câu 62: Cho hai số thực , thỏa mãn 0 ≤ ,
≤ 1 trong đó , không đồng thời bằng 0 hoặc 1 và
+ ( + 1). ( + 1) − 2 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của với = 2 + A. 2. B. 1. C. . D. 0. Lời giải Chọn B
Từ điều kiện đề bài và > 0; 1 − ≠ 0 ⇒ + > 0; 1 − > 0khi đó + + ( + 1). ( + 1) − 2 = 0 ⇔ ( + ) + ( + ) = (1 − ) + (1 − )(1) 1 − Xét hàm số ( ) = + ( > 0) có ( ) = + 1 > 0∀ > 0 .
⇒ ( ) là hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞). Vậy phương trình (1) ⇔ + = 1 − ⇒ = ⇒ = 2 + = 0 Xét hàm số ( ) = 2 + với ∈ [0; 1]có ( ) = 2 + cho ( ) = 0 ⇔ ( ) = −2 (0) = 1; (1) = 2 ⇒ ( ) = 1 ⇒Chọn B [ ; ]
Câu 63: Cho ; là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 5 + + + 1 = + 3 +
( − 4). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + . A. 3. B. 5 + 2√5. C. 3 − 2√5. D. 1 + √5. Lời giải Chọn B Ta có 5 + + + 1 = + 3 + ( − 4) ⇔ 5 − 3 + + 4 = 5 − 3 + − 1(1). Xét hàm số ( ) = 5 − 3 + trên ℝ. Vì ( ) = 5 . 5 + 3 .
3 + 1 > 0; ∀ ∈ ℝ nên hàm số ( ) đồng biến trên ℝ (2). Từ (1) và (2) ta có + 4 =
− 1(3). Dễ thấy = 4 không thỏa mãn (3). Với ≠ 4, (3) ⇔ =
kết hợp điều kiện > 0 suy ra > 4. Do đó = + = + . Xét hàm số ( ) = + trên (4; +∞). = 4 + √5 Ta có ( ) = 1 − = 0 ⇔ . ( ) = 4 − √5 4 4 + √5 +∞ ( ) – 0 +
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 +∞ +∞ ( ) 5 + 2√5
Dựa vào bảng biến thiê n ta có ( )√5 . ( ; )
Câu 64: Xét các số thực dương , thỏa mãn = ( − 3) + ( − 3) + . Tìm giá √ trị lớn nhất của biểu thức = . A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Lời giải Chọn C Ta có: + = ( − 3) + ( − 3) + √ + + + 2 ⇔ 3 ( + ) + 3( + ) = ( + + + 2) + + + + 2. √ √ Xét hàm số ( ) = + , > 0 có ( ) =
+ 1 > 0, ∀ > 0. Vậy hàm số ( ) luôn đồng √ √
biến và liên tục trên khoảng (0; +∞). Do đó: 3( + ) = ( + + + 2) ⇔ 3( + ) = + + + 2 (1) Cách 1: Từ (1) ⇔ = ( + ) − 3( + ) + 2. Ta có = + − = ( + 1) − ≤ −
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = + 1. ( ) Do đó từ (1), suy ra: ≤ − ( + ) + 3( + ) − 2. Đặt = + , > 0. ( ) ( ) Suy ra: = ≤ = = ( ). ( ) Ta có: ( ) = = 0 ⇔ = 3 (nhận) ( ) Bảng biến thiên = + 1 = 2 Dựa vào BBT, ta có =
( ) = (3) = 1 khi và chỉ khi ⇔ ( ; ) + = 3 = 1. Cách 2: (Trắc nghiệm) Ta có: = 2 + .
Trong (1) coi là ẩn, là tham số. Ta có + ( − 3) +
− 3 + 2 = 0 có nghiệm khi = ( − 3) − 4( − 3 + 2) ≥ 0 ⇔ √ ≤ ≤ √ < 3 nên − 11 < 0 Vậy
< 2 nên trong 4phương án thì khi đó = 2, = 1. Cách 3: (Trắc nghiệm) Ta có: = 3 − < 3 với , > 0.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 + Nếu = 2 thì = 2 ⇔
= 11. Thay vào (1) ta được: + 3 + 90 = 0 (vô lý). + Nếu = 1 thì = 1 ⇔ 2 + = 5 ⇔
= 5 − 2 . Thay vào (1), ta được: 3( + 5 − 2 ) =
+ (5 − 2 ) + (5 − 2 ) + 2 ⇔ 3 − 12 + 12 = 0 ⇔ = 2 ⇒ = 1. Vậy .
Câu 65: Cho các số thực dương và thỏa mãn 4 + 9. 3 = 4 + 9 . 7 . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức = . A. = 9. B. = √ . C. = 1 + 9√2. D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Lời giải Chọn A Từ giả thiết ta đặt = − 2 , ∈ ℝ. Phương trình 4 + 9. 3 = 4 + 9 . 7 trở thành 4 + 9. 3 = (4 + 9 ). ⇔ 4(7 − 49) + 9 9. − 49 = 0.
Nhận thấy = 2 là nghiệm phương trình.
Ta chứng minh = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
 Xét > 2: 7 > 49 và 9.
> 49 nên vế trái phương trình luôn dương, nên phương trình vô nghiệm.
 Xét < 2: 7 < 49 và 9.
< 49 nên vế trái phương trình luôn âm, nên phương trình vô nghiệm. Vậy = − 2 = 2 ⇔ = thay vào = = 16 16  x  1  2 . x
1  9 . Dấu bằng đạt được khi = ⇒ = 4. x x .
Câu 66: Cho hai số thực , thay đổi thỏa mãn đẳng thức + ( − 1). 2 = 0. Tìm giá trị
lớn nhất của , biết rằng > 1. A. = − . B. = −3. C. = 1. D. = 0. Lời giải Chọn B . Ta có: + ( − 1). 2 = 0 ⇔ . 2 = ( + − − 1). 2 (∗).
Xét hàm số ( ) = . 2 trên 0; +∞). Ta có ( ) = 2 + . 2 2 > 0∀ ≥ 0.
Vậy hàm số ( ) = . 2 đồng biến trên 0; +∞). Suy ra: (∗) ⇔ ( ) = ( + − − 1) ⇔ + − − 1 = ⇒ = do > 1. ( )( ) = 0 Ta có: = = ; = 0 ⇔ . ( ) ( ) = 2 Bảng biến thiên:
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Từ bảng biến thiên suy ra: = −3.
Câu 67: Cho hai số thực , không âm thỏa mãn + 2 − + 1 =
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + 4 − 2 + 1 là A. − . B. 1. C. . D. −1. Lời giải Chọn A + 2 − + 1 = ⇔ 2( + 1) + (2( + 1) ) = (2 + 1) + (2 + 1). Xét hàm số ( ) = + , ( > 0); ( ) = 1 + > 0, ∀ > 0 .
Suy ra 2( + 1) = 2 + 1 ⇒ 2 = 2( + 1) − 1. = + 4 − 2 + 1 = + 4 − 2( + 1) + 1 + 1 = + 2 − 4 = ( ). ( ) = 2
+ 4 − 4 là hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; +∞) nên ( ) = 0 có tối đa 1
nghiệm, nhẩm được nghiệm = nên nghiệm đó là duy nhất. Vậy = − tại = .
Câu 68: Cho hai số thực , thỏa mãn 2    y y   5 4x x log 8
16  log 5  x1 x  2 log
 log 2 y  82 2 . 2   3 2 3 3
Gọi là tập các giá trị nguyên của tham số để giá trị lớn nhất của biểu thức = + − không
vượt quá 10. Hỏi có bao nhiêu tập con không phải là tập rỗng? A. 2047. B. 16383. C. 16384. D. 32. Lời giải Chọn B ĐK: −1 < < 5, ≠ −4. Ta có: 2    y y   5 4x x log 8
16  log 5  x1 x  2 log
 log 2 y  82 2 . 2   3 2 3 3  2 log  2
y  8y 16  2log  2
5  4x x   log  2
y  8y 16  log  2 5  4x x 3 3 2 2   log 4   1 .log  2
y  8y 16  log 4   1 .log  2 5  4x x 3 2 3 2  ⇔ + 8 + 16 = 5 + 4 −
(vì hàm f t   log 4 1 .log t đồng biến trên (0; +∞)). 3  2 ⇒ ( + + 11) = (4 − 8 ) ≤ 80( + ) ⇒ ( + ) − 58( + ) + 121 ≤ 0 ⇒ 29 − 12√5 ≤ +
≤ 29 + 12√5 ⇒ 29 − 12√5 ≤ + ≤ 29 + 12√5. Đặt =
29 − 12√5, = 29 + 12√5, ta có: = {| − |, | − |}. [ ; ] | − | ≤ 10 − 10 ≤ ≤ + 10 Do đó, ≤ 10 ⇔ ⇔ ⇒ − 10 ≤ ≤ + 10. [ ; ] | − | ≤ 10 − 10 ≤ ≤ + 10 Vì
∈ ℤnên = {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}.
Câu 69: Cho các số thực , , thỏa mãn điều kiện = ( − 2) + ( − 2) +
( − 2). Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức = bằng?
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 A. − . B. . C. − . D. . Lời giải Chọn B Ta có: + +
= ( − 2) + ( − 2) + ( − 2) 2 + 2 + 2 + 1 ⇔ ( + + ) + 2( + + ) = (2 + 2 + 2 + 1) + ( + + ) ⇔ 2 ( + + ) + 4( + + ) = 2 (2 + 2 + 2 + 1) + 2( + + ) ⇔ ( + + ) + 4( + + ) + 1 = (2 + 2 + 2 + 1) + ( + + ) + 1 ⇔ 4 ( + + ) + 4( + + ) = (2 + 2 + 2 + 1) + (2 + 2 + 2 + 1) Xét hàm số: ( ) = + ( > 0).
Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định. Suy ra: 4( + + ) = (2 + 2 + 2 + 1) ⇒ 4( + + ) = 2 + 2 + 2 + 1 1 ⇔ + + − 2 − 2 − 2 + = 0( ) 2 (1; 1; 1) Ta có mặt cầu: ( ): = √ Ta có: =
⇔ ( − 1) + ( − 1) + ( + 1) = 0( )
Để mặt phẳng ( ) và mặt cầu ( ) có điểm chung: [ | | ; ( )] ≤ ⇔ ≤ √ . ( ) ( ) ⇔ 3 − 2 − 13 ≤ 0. ⇔ √ ≤ ≤ √ .
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức = bằng .
Câu 70: Cho hai số thực dương , thay đổi thỏa mãn đẳng thức: (2 − 1)4 = ( + + 1)2
. Tìm giá trị nhỏ nhất của . A. . B. √3 . C. . D. . Lời giải Chọn D
Do , là số thực dương đẳng thức (2 − 1)4 = ( + + 1)2 . Suy ra 2 − 1 > 0. Khi đó ta có (2 − 1) + (2 − 1) = ( + + 1) + ( + + 1) (1) Xét hàm số ( ) =
+ . Hàm số này đồng biến trên (0; +∞). Nên từ (1) ta được (2 − 1) = ( + + 1) ⇔ 2 − 2 = + ⇔ (2 − 1) = + 2 Do > 0,
+ 2 > 0 nên 2 − 1 > 0 ⇔ > Suy ra = . Xét hàm số ( ) = trên ; +∞ . Bảng biến thiên ( )
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Dựa vào bảng biến thiên suy ra tại = 2.
Câu 71: Cho ; là các số thực dương thỏa mãn =
+ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + . √ A. 3 + √3. B. 4. C. 3 + 2√3. D. 6. Lời giải Chọn B Ta có = + 2 ⇔ (2 + + 1) − ( + ) = + 2 ⇔ (2 + + 1) = (3 + 3 ) + + 2 − 1 ⇔ (2 + + 1) + 2 + + 1 = (3 + 3 ) + 3 + 3 (*) Xét hàm số ( ) = + với > 0. Khi đó ( ) =
+ 1 > 0, ∀ > 0, suy ra hàm số ( ) liên tục và đồng biến trên (0; +∞). Do đó (∗) ⇔ 2 + + 1 = 3 + 3 ⇔ + 2 = 1 ⇔ = 1 − 2 . Vì , > 0 ⇒ 0 < < . Xét = + = + = + + √ √ √ √
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có ≥ 3. = 3. ≥ 3. √8 = 6. ( ) ( ) = 1 − 2 =
Dấu " = " xảy ra ⇔ 1 − 2 = ⇔ . 2 = 1 − 2 = ( )
Câu 72: Cho hai số thực dương và thỏa mãn 4 . 2 =
. Giá trị lớn nhất của biểu thức = + 2 bằng √ A. 1. B. 3. C. . D. . Lời giải Chọn A
Từ giả thiết suy ra 1 − > 0. ( ) ( ) 4 . 2 = ⇔ ( + ). 2 = ⇔ ( + ). 2 = (2 − 2 ). 2 (1).
Xét hàm số ( ) = . 2 với ∈ (0; +∞) =
. Dễ thấy hàm số ( )liên tục trên và ( ) = 2 + . 2 .
2 > 0, ∀ ∈ suy ra ( )là hàm số đồng biến trên . (1) ⇔ + = 2 − 2
⇒ (1 + 2 ) = 2 − (2). Từ (2), suy ra 2 − > 0 ⇒ < 2. ( ) Ta được = + 2 = (1 + 2 ) = (2 − ). ( )
Theo bất đẳng thức Cô – si, ta được = (2 − ) ≤ = 1. = Vậy
= 1, đạt được khi và chỉ khi . = 1
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Câu 73: Cho , là các số thực dương thỏa mãn 5 + + + 1 = + 3 + ( − 2). Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + . A. √2 . B. √3 . C. √5 . D. √2 . Lời giải Chọn B Theo đề ra ta có 3 5 5 + + + 1 = + 3 + ( − 2) 3 5 1 1 ⇔ 5 − + + 2 = 5 − + − 1 3 3 Xét ( ) = 5 − + .⇒ ( ) = 5 5 + 3 3 + 1 > 0 ⇒ + 2 = − 1 ⇒ = .Do > 0, > 0 ⇒ > 0 ⇒ > 2 Ta có: = + = + = − 4 + 1 = 2 + √3 ∈ (2; +∞) = = 0 ⇔ ( − 2) = 2 − √3 ∉ (2; +∞) Bảng biến thiên
Chỉnh lại bbt cho em,chỉ xét với > 2nhé,kết quả không thay đổi.
Từ bảng biến thiên ta thấy √3 tại = 2 + √3.
Câu 74: Cho hai số thực , dương thỏa mãn hệ thức 3 log + log + 1 − = 0. Khi biểu thức = − − +
+ 1 đạt giá trị nhỏ nhất thì biểu thức = ( − 1) + 2 bằng A. 9. B. 1. C. 5. D. 4. Lời giải Chọn D Từ giả thiết: 3 log + log + 1 − = 0 ⇔ log + log + 1 − = 0 ⇔ 2. 3 log + 3 log = 0 ⇔ 3 log = 3 log + + 1 . ⇔ ( ) = +
+ 1 . Với hàm số: ( ) = 3 log ; ′( ) = 3 . log . ln3 + 3 . > 0 . Suy ra ( ) = + + 1 ⇔ = +
+ 1. Thế vào biểu thức ta được: = − − + + 1 = − + + 1 − + + 1 =
− 2 = ( − 1) − 1 ≥ −1.
Dấu ′′ = ′′ xảy ra khi = 1 ⇒ = + + 1 = 1 + √2 ⇒ = 1 + √2 Suy ra: = ( − 1) + 2 = 4.
Câu 75: Xét các số thực dương , thoả mãn 2018 = . Giá trị nhỏ nhất của biểu ( ) thức = 2 − 3 bằng A. . B. . C. . D. .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Lời giải Chọn C Ta có: 2 + 2018 = ( + 1) ⇒ 2( − + 1) = (2 + ) − ( + 2 + 1) ⇔ ( + 2 + 1) + 2( + 2 + 1) = (2 + ) + 2(2 + )(∗). Xét hàm: ( ) = + 2 , > 0. Suy ra: ( ) = + 2 > 0, ∀ > 0.
Do đó hàm ( ) đồng biến trên khoảng (0; +∞). Mà (∗) ⇔ ( + 2 + 1) = (2 + ) ⇔ + 2 + 1 = 2 + ⇔ = + 1. Khi đó: = 2 − 3 = 2 − 3 + 2 = 2 − + ≥ . Kết luận: khi = .
Câu 76: Cho hai số thực dương , thỏa mãn + ( + ) ≥
(6 − ) + 6 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 3 + 2 + + bằng A. . B. 19. C. . D. 8 + 6√2. Lời giải Chọn B > 0 Điều kiện: 0 < < 6. Từ giả thiết ta có: + ( + ) ≥ (6 − ) + 6 ⇔ + ≥ [ (6 − )] + (6 − ) (*) Xét hàm số ( ) =
+ với > 0, Ta có ′( ) =
+ 1 > 0, ∀ > 0 nên hàm số ( ) = +
đồng biến trên khoảng (0; +∞). Do đó (∗) ⇔ ( ) ≥ [ (6 − )] ⇔ ≥ (6 − ) ⇔ ≥ 6 − ⇔ + ≥ 6(∗∗) (do > 0)
Áp dụng Bất đẳng thức Cô si cho các cặp số dương và bất đẳng thức (∗∗), ta có: = 3 + 2 + + = ( + ) + + + + ≥ . 6 + 2 . + 2 . = 19. + = 6 ⎧ = = 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ⇔ ⎨
= 4. Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng 19. ⎩ =
Câu 77: Xét các số thực , y ( ≥ 0)thỏa mãn 2018 + 2018 + + 1 = 2018 + − ( + 3).
Gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức =
+ 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. ∈ (0; 1). B. ∈ (1; 2). C. ∈ (2; 3). D. ∈ (−1; 0). Lời giải Chọn D Ta có 2018 + 2018 + + 1 = 2018 + − ( + 3) ⇔ 2018 − 2018 + + 3 = 2018 − 2018 − − 1
f x  3y  f xy   1 (1)
Xét hàm số ( ) = 2018 − 2018 + , với ∈ ℝta có
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 ( ) = 2018 2 018 + 2018
2 018 + 1 > 0, ∀ ∈ ℝ.
Do đó ( )đồng biến trên ℝnên (1) ⇔ + 3 = − − 1 ( ) ⇔ ( + 3) = − − 1 ⇒ = − ⇒ = − . ( ) Xét hàm số ( ) = − , với ∈ 0; +∞)có ( ) = 1 − = > 0, ∀ ∈ (0; +∞). ( ) ( )
Do đó ( )đồng biến trên 0; +∞) ⇒ ( ) ≥ (0) = − . Dấu “=” xảy ra ⇔ = 0 ⇒ = − . Câu 78: Cho 0 ≤ ; ≤ 1 thỏa mãn 2017 = . Gọi
, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của biểu thức = (4 + 3 )(4 + 3 ) + 25 . Khi đó + bằng bao nhiêu? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có 2017 = ⇔ = ( ) ⇔ 2017 [(1 − ) + 2018] = 2017 ( + 2018) Xét hàm số ( ) = 2017 ( + 2018), với 0 ≤ ≤ 1. ⇒ ( ) = ( + 2018). 2017 . 2 017 + 2 . 2017 = 2017 [( + 2018). 2 017 + 2 ] > 0
⇒ Hàm số ( ) đồng biến trên 0 ≤ ≤ 1 ⇒ 1 − = ⇔ = 1 − Cách 1: Theo giả thiết = (4 + 3 )(4 + 3 ) + 25 = [4
+ 3(1 − )]. [4(1 − ) + 3 ] + 25 (1 − ) = (4 − 3 + 3)(4 − 5 + 4) + 25 (1 − ) = 16 − 20 + 16 − 12 + 15 − 12 + 12 − 15 + 12 + 25 − 25 = 16 − 32 + 18 − 2 + 12 Xét hàm số ( ) = 16 − 32 + 18 − 2 + 12, với 0 ≤ ≤ 1. = ±√ ⇒ ( ) = 64 − 96 + 36 − 2. Cho ( ) = 0 ⇔ = Bảng biến thiên 2- 3 1 2+ 3 x 0 4 2 4 1 y' 0 + 0 0 + 12 25 12 y 2 191 191 16 16 = ( ) = [ ; ]
Từ bảng biến thiên, ta có . = ( ) = [ ; ]
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Vậy + = + = . Cách 2: Từ 0 ≤ ; ≤ 1và + = 1 suy ra 0 ≤ ≤ = . Viết lại = 16 + 12( + ) + 34 = 16 + 12[( + ) − 3 ( + )] + 34 = 16 − 2 + 12 Đặt = , ∈ 0; thì = ( ) = 16 − 2 + 12.
Khảo sát hàm ( ) ta được ( ) = = , max ( ) = = . ∈ ; ∈ ; Vậy + = + =
Cho các số thực , thỏa mãn log
= ( − 2) + ( − 2) + ( − 2). Câu 79:
Giá trị lớn nhất của biểu thức = bằng √ √ √ √ A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Điều kiện: > 0 ⇔ + + > 0 (∗).
Ta biến đổi hệ thức ban đầu ⇔ log
= ( − 2) + ( − 2) + ( − 2) + + ⇔ 1 + log = + + + 1 − 2 − 2 − 2 + + + 1 2 + 2 + 2 ⇔ log = + + + 1 − (2 + 2 + 2 ) + + + 1 ⇔ log (2 + 2 + 2 ) − log ( + + + 1) = + + + 1 − (2 + 2 + 2 )
⇔ log (2 + 2 + 2 ) + (2 + 2 + 2 ) = log ( + + + 1) + ( + + + 1) (1) Xét hàm số ( ) = log + , > 0 ⇒ ′( ) =
+ 1 > 0, ∀ > 0 ⇒ ( ) tăng trên (0 ; +∞). Từ (1) ⇔ (2 + 2 + 2 ) = ( + + + 1) ⇔ 2 + 2 + 2 = + + + 1
Suy ra: ( − 1) + ( − 1) + ( − 1) = 2 (∗∗)
Dễ thấy điều kiện (∗) được thỏa mãn ở hệ thức: 2 + 2 + 2 = + + + 1 > 0 Ta có: =
⇔ ( − 1) + ( − 2) + ( − 1) = −
⇔ ( − 1)( − 1) + ( − 2)( − 1) + ( − 1)( − 1) = 4 − 4
⇒ (4 − 4 ) = [( − 1)( − 1) + ( − 2)( − 1) + ( − 1)( − 1)] Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
⇒ (4 − 4 ) ≤ [( − 1) + ( − 2) + ( − 1) ][( − 1) + ( − 1) + ( − 1) ] 4 − √6 4 + √6
⇒ (4 − 4 ) ≤ 2[( − 1) + ( − 2) + ( − 1) ] ⇔ 5 − 8 + 2 ≤ 0 ⇔ ≤ ≤ 5 5
Suy ra giá trị lớn nhất của là = √ .
Câu 80: Cho hai số thực , thỏa mãn hệ thức log = 5 + 2 − 5
+ 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức = − 10
+ 4 + 2019 tương ứng bằng A. 2019. B. 2010. C. 2011. D. 1990. Lời giải Chọn D
 Điều kiện xác định: > 0.(*)  Ta có log = 5 + 2 − 5 + 1 ⇔ log = (5 + 7 + 1) − (5 + 5 )
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 ⇔ 1 + log = (5 + 7 + 12) − 5( + + 2). ⇔ log = (5 + 7 + 12) − (5 + 5 + 10). ⇔ log (5
+ 5 + 10) − log (5 + 7 + 12) = (5 + 7 + 12) − (5 + 5 + 10). ⇔ log (5
+ 5 + 10) + (5 + 7 + 12) = log (5 + 7 + 12) + (5 + 5 + 10). ⇔ (5 + 5 + 10) = (5 + 7 + 12) ⇔ 5 + 5 + 10 = 5 + 7 + 12. Suy ra 5 − 2 = 5 + 2 ⇒ = − 2(5 − 2 ) + 2019 = − 2(5 + 2) + 2019 = ( − 5) + 1990  Khi = 5 ⇒ =
⇒ thỏa mãn điều kiện (*).
 Suy ra giá trị nhỏ nhất của là: = 1990. Câu 81: Cho , > 0 thỏa 2019 −
= 0. Tìm giá trị nhỏ nhất P của = 2 − 4 . ( ) min A. 2018. B. 2019. C. . D. 2. Lời giải Chọn D Ta có: 2019 − = 0 ⇔ 2019 ( ) = ( ) ( ) ⇔ 2019 ( ) . ( + 2) = 2019 ( ). (4 + + 2)(∗). = ( + 2) Đặt ( , > 0) = 4 + + 2 Khi đó: (∗) ⇔ 2019 . = 2019 . ⇔ ( ) = ( )
với ( ) = 2019 . , ( > 0) ⇒ ′( ) = 2019 . 2 2 019. + 2019 > 0, ∀ > 0 Do đó: ( ) = ( ) ⇔ = ⇔ ( + 2) = 4 + + 2 ⇔ = + 2. ⇒ = 2 − 4 = 2
− 4 + 4 = 2( − 1) + 2 ≥ 2. Vậy . ( )
Câu 82: Cho , là các số dương thỏa mãn
≤ 4 − 1. Giá trị nhỏ nhất của: = + là + . Giá trị của tích là A. = 18. B. = 81. C. = 28. D. = 82. Lời giải Chọn B Với > 0, > 0 ta có ≤ 4 − 1 ⇔ < − + ⇔ < − − 2.2. + 4 + 4 ⇔ < 4 − − 2 ⇒ ≤ 4. Vậy 0 < ≤ 4. ( ) = + = 12 + 6. + + 2 . Đặt = ⇒ 0 < ≤ 4. ( ) = 12 + 6 + ( + 2) ⇒ ( ) = − + = . ( ) = 3 − √21( ) ( ) = 0 ⇔ − 6 − 12 = 0 ⇔ = 3 + √21( ) Lập bảng biến thiên
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Vậy . = 81.
Câu 83: Cho hai số thực dương , thỏa mãn 2 log + 2 log + 1 − = 0. Giá trị lớn nhất của = 3 − − 3 tương ứng bằng A. . B. 3. C. . D. . Lời giải Chọn D
Ta đổi biến giả thiết như sau: 2. 2 log 2 log + 2 log + 1 − = 0 ⇔ 2 + 1 − + 1 + = −2 log + 1 + 1 ⇔ 2. 2 log = −2 . 2 log ⇔ 2. 2 log = 2 . 2 log + 1 + + 1 + ⇔ 2 log = 2 log + + 1 ⇔ ( ) = + + 1 ⇔ = + + 1 (Với hàm ( ) = 2 log ⇒ ′( ) = 2 log . ln2 + 2 .
> 0 với ∀ > 0. Suy ra hàm đặc trưng đang
xét là đơn điệu tăng). Thay = + + 1 vào biểu thức: = 3 + + 1 − − 3 = − + 3 + 1 = − + 1 − ≤ .
Dấu ′′ = ′′ xảy ra khi + 1 − = 0 ⇔ = ± √ ⇒ = √ ; = √
Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức là: = .
Câu 84: Xét các số thực , thỏa mãn > 0 và + − 3 = . (1 − 2 .
). Giá trị lớn nhất của biểu thức
= ln + thuộc tập hợp nào dưới đây? A. (1; 2). B. [2; 4). C. [−3; 0). D. [0; 3). Lời giải Chọn D Xét phương trình + − 3 = . (1 − 2 . ) Đặt = ( > 0) ta có: + − 3 = (1 − 2 ) ⇔ 3 + = ( + ) ≥ 4( ) ⇔ − ≤ ≤ 1. Lại do , > 0 ⇒ 0 < ≤ 1 ⇒ 0 < . ≤ 1 ⇔ ln + ≤ 0 nên ≤ 0. = = 1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi = 1 ⇔ = = 1 hay = 0 , > 0 Vậy = 0 ∈ [0; 3).
Câu 85: Cho hai số thực , lớn hơn 1 và thỏa mãn . ( ) ≥ . (
) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 √ √ √ A. . B. 2√2. C. . D. . Lời giải Chọn C Với , > 1, ta có . ( ) ≥ . ( ) ⇔ . ( ) ≥ . ( ) ⇔ + ≥ + ⇔ + ≥ + (1). Xét hàm số ( ) = − + 1 − trên 1; +∞), có ′( ) = − > 0, ∀ ≥ 1.
Hàm số ( ) đồng biến trên 1; +∞) nên ( ) > (1) = 1 > 0, ∀ > 1. Xét hàm số ( ) =
+ trên (1; +∞), có ′( ) = ( ) > 0, ∀ > 1, nên ( ) đồng biến trên (1; +∞). Với ,
> 1 thì (1) ⇔ ( ) ≥ ( ) ⇔ ≥ . Đặt = . Do ≥ > 1 nên ≥ 1. Ta có = ℎ( ) = + . Nhận thấy ℎ′( ) = , nên
ℎ′( ) = 0 khi = √2, ℎ′( ) < 0 khi 1 ≤
< √2, ℎ′( ) > 0 khi > √2. Dẫn tới = ℎ( ) ≥ ℎ √2 =
√ , ∀ ≥ 1, đẳng thức xảy ra khi = √2. Vậy =
√ , đạt được khi = √ và > 1.
Câu 86: Cho hai số thực dương , thỏa mãn hệ thức: 2 − ≤ ( + 6 ). Tìm giá trị 2 ab b lớn nhất
của biểu thức P  . 2 2
a  2ab  2b 1 A. = . B. = 0. C. P  . D. = . Max 2 Lời giải Chọn C Ta có: 2 − ≤ ( + 6 ) ⇔ ≤ ( + 6 ) ⇔ ≤ + 6 ⇔ − − 6 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ ≤ 2. Do , dương nên 0 < ≤ 2. Đặt = , 0 < ≤ 2. 2 ab b t 1 Khi đó: P   2 2 2
a  2ab  2b t  2t  2 Xét hàm số ( ) = với 0 < ≤ 2. Ta có: ( ) = ≥ 0, ∀ ∈ 0; 2. ( ) Suy ra ( ) ≤ (2) = . Vậy ( ) = khi = 2. ; 1 Do đó P  . Max 2
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
DẠNG 3: ÁP DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH.
Câu 87: Cho hai số thực , thỏa mãn đồng thời các điều kiện + ≤ 4 và log (2 + 2 + 3
− 4) ≥ 1. Gọi là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số để tồn tại một cặp số
thực ( ; ) thỏa mãn bài toán. Số phần tử của tập là: A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Lời giải Chọn B Miền điều kiện +
≤ 4 là miền nằm trong hình tròn ( ) tâm là gốc toạn độ (0; 0) bán kính =
2 kể cả đường tròn ( ) như hình vẽ. Từ giả thiết: log (2 + 2 + 3 − 4) ≥ 1 ⇔ 2 + 2 + 3 − 4 ≥ + + 1 ⇔ ( − 1) + ( − ) ≤ + 3 − 4 Nằm trong hình tròn ( ) tâm (1; ) bán kính = √ + 3 − 4 ( ≤ −`4 ; ≥ 1) kể cả đường tròn ( ) như hình vẽ.
Để tồn tại một cặp số thực ( ; ) thỏa mãn đềtoán thì xảy ra hai trường hợp sau: (C1) (C1) I O O I (C2) (C2)
Trường hợp 1: Đường tròn ( ) có
= 0 coi như chỉ là một điểm và điểm này sẽ nằm trong hoặc trên ( )
Ta có điều kiện tương ứng: = 0 = √ + 3 − 4 = 0 = 1; = −4 ⇔ ⇔ ⇔ = 1 ≤ = 2 (thỏa mãn) (1) = √1 + ≤ = 2 | | ≤ √3
Trường hợp 2: Đường tròn (
) tiếp xúc ngoài với đường tròn ( ).
Ta có điều kiện tương ứng: = + ⇔ 1 + = 2 + + 3 − 4 ⇔ + 1 = 4 + + 3 − 4 + 4 + 3 − 4 ⇔ 1 − 3 = 4 + 3 − 4 1 1 ≤ ⇔ 3 ⇔ < 3 (1 − 3 ) = 16 + 48 − 64 7 + 54 − 65 = 0 ⎧ ≤ ⎪ ⇔ = √ ⇔ = √ , ( ∈ ℤ) (loại) ⎨ ⎪ ⎩ = √
Câu 88: Cho hai số thực , thỏa mãn = ( − 3) + ( − 3) + . Tìm giá trị lớn √ nhất của biểu thức = . √ √ √ √ A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D • Ta có: = ( − 3) + ( − 3) + √
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 ⇔ ( + ) − ( + + + 2) + 3 = + + + 2 − 3( + ) √ √ √ ⇔ + + + 2 + ( + + + 2) = 3( + ) + 3 ( + ). √ √ ⇔ + + + 2 = 3( + ). ⇔ + + + − + − 3 + + = 1. ⇔ + − 3 + + + √ − √ = 1. ⇔ + − + √ − √ = 1 (*) = + − = − + 1 Đặt: ⇒ √ = √ − √ = + 1 √ ⇒ (*) trở thành: 2 2
a b  1 ( ) là đường tròn tâm (0; 0), bán kính = 1. • = ⇒ ( + + 6) = + 2 + 3. ⇒ + + 8 = + √3 + 6. √ ⇒ ( − 1) + + 8 − 6 = 0 ( ). √
• Điều kiện để đường tròn ( ) và đường thẳng có giao điểm là: ( | | ; ) ≤ 1 ⇔ ≤ 1. ( ) ( ) ( ) ⇔ |8 − 6| ≤ ( − 1) + . ⇔ − 92 + 32 ≤ 0. ⇔ √ ≤ ≤ √ . ⇒ √ .
Câu 89: Cho hai số thực , thỏa điều kiện log (2 + + 1) ≥ 1, +
≤ 6. Gọi giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
= 2 + lần lượt là và . Giá trị của biểu thức = + bằng: A. 7. B. 5. C. 8. D. 11. Lời giải Chọn D
Đây là dạng toán max-min trên miền điển hình. log (2 + + 1) ≥ 1 2 + + 1 ≥ − 2 + 3 ≥ − 4 + 2 Từ giả thiết suy ra: ⇔ ⇔ + ≤ 6 ≤ 6 − ≤ 6 −
Chúng ta dể dàng phác họa nhanh được miền như trên hình vẽ.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Ta xác định rõ được hai giao điểm của hai đường cong tạo nên miền là: = − 4 + 2 = −1; = 7 ⇒ (−1; 7) ⇔ = 6 − = 4; = 2 ⇒ (4; 2)
Tiếp đó ta xử lý tới biểu thức max-min: = 2 + ⇔
= −2 + ; đây là một họ đường thẳng song
song với nhau ta gọi họ đường thẳng Δ .
Trong đó mỗi cặp ( ; ) thỏa mãn điều kiện bài tọa đã cho sẽ ứng với một điểm ( ; ) ∈
Điều kiện là đường thẳng Δ phải cắt miền (có ít nhất một điểm chung với miền ).
Bằng trực quan trên đồ thị, ta có thể xác định được trường hợp đường thẳng Δ đi qua điểm ứng với giá trị . Thõa mản: = −2 + ⇔ 2 = −2.4 + ⇒ = 10.
Đường thẳng Δ tiếp xúc với đường parabol ( ) tại hoành độ < 2 ứng với giá trị . Thỏa mãn
phương trình có nghiệm kép: = −2 + = − 4 + 2 ⇔ − 2 + 2 − = 0 ⇔ = 1
Các giá trị phải nằm trong đoạn: 1 = ≤ ≤ = 10 = 10 = Suy ra: ⇒ = + = 11. = 1 =
Câu 90: Cho các số thực , , , sao cho 2 +
< 0 và thỏa mãn điều kiện ( + + 9) = 1 + (3 + 2 ) 9 . 3 . 3 + [(2 + + 2) + 1] = 81
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = ( − ) + ( − ) . A. 2√5 − 2. B. 2. C. √5 − 2. D. 2√5. Lời giải Chọn A Ta có: ( + + 9) = 1 + (3 + 2 ) ⇔ ( + + 9) = [2(3 + 2 )] ⇔ +
+ 9 = 6 + 4 ⇔ ( − 3) + ( − 2) = 4.
Gọi ( ; ), suy ra thuộc đường tròn ( ) có tâm (3; 2), bán kính = 2. Lại có 9 . 3 . 3 + [(2 + + 2) + 1] = 81 ⇔ 3 ( ) + [(2 + + 2) + 1] = 81, (1) Với ∀ , thỏa mãn 2 + < 0, ta có: +) −(2 + ) + ≥ 2 [−(2 + )]. = 4 ⇒ 3 ( ) ≥ 81 +) [(2 + + 2) + 1] ≥ 1 = 0. Suy ra 3 ( ) + [(2 + + 2) + 1] ≥ 81
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 −(2 + ) = Do đó (1) ⇔ ⇔ 2 + + 2 = 0. 2 + + 2 = 0
Gọi ( ; ), suy ra thuộc đường thẳng có phương trình 2 + + 2 = 0. Ta có: = ( − ) + ( − ) = . ( | , ) = .
| = 2√5 > 2 ⇒ đường thẳng không cắt đường tròn ( ). √ Do đó
ngắn nhất khi là hình chiếu của điểm trên đường thẳng và điểm là giao điểm của đoạn thẳng với đường tròn ( ). Lúc đó = − = 2√5 − 2.
Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng 2√5 − 2.
Câu 91: Cho các số thực dương , thỏa mãn ( )( +
) ≤ 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức
= 48( + ) − 156( + ) + 133( + ) + 4 là A. 29. B. . C. 30. D. . Lời giải Chọn C + > 1 + > 1 TH1: ( )( + ) ≤ 1 ⇔ ⇔ (1). + ≤ + − + − ≤ (∗)
Tập nghiệm của BPT (*) là tọa độ tất cả các điểm thuộc hình tròn tâm ; bán kính = . √
Miền nghiệm của hệ (1) là phần tô màu như hình vẽ. Đặt = + ⇒ 1 < ≤ 2 Khi đó ( ) = 48 − 156 + 133 + 4 = ( ) = 144 − 312 + 133; ( ) = 0 ⇔ = Bảng biến thiên
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Do đó, ( ) = 30 ⇒ = 2 ⇒ + = 2. 0 < + < 1 0 < + < 1 TH2: ( )( + ) ≤ 1 ⇔ ⇔ (2). + ≥ + − + − ≥
(2) không thỏa điều kiện > 0, > 0.
Câu 92: Cho hai số thực , thỏa mãn điều kiện log ( + − 1) ≤ 1, ≥ 0,
≥ 0. Gọi giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức = +
− 6 − 4 + 1 lần lượt là và . Giá trị của biểu thức = + bằng: A. 12. B. 104. C. 20. D. 48. Lời giải Chọn B
Đây là bài toán max-min trên miền điển hình. + − 1 > 0 > 1 −
Từ giả thiết ta suy ra: log ( + − 1) ≤ 1 ⇔ ⇔ + = 1 ≤ 2 ≤ 3 −
Chúng ta có miền như sau: = { ≥ 0; ≥ 0; > 1 − ; ≤ 3 − }.
Chúng ta dễ dàng phác họa nhanh được miền như trên hình vẽ.
Mô tả qua về miền như sau: là phần gạch chéo bao gồm tất cả các đường biên chỉ bỏ đi phần đường
biên màu đỏ ứng với đường thẳng = 1 −
Tiêp đó ta xử lý tới biểu thức max-min: = +
− 6 − 4 + 1 = ( − 3) + ( − 2) − 12
Trong đó mỗi cặp ( ; ) thỏa mãn điều kiện bài toán đã cho sẽ ứng với một điểm ( ; ) ∈
Nếu ta gọi điểm (3; 2) ⇒ = − 12.
Đến đây ta chỉ việc đi tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của khoảng cách . = = √10
Dễ thấy trực quan hình vẽ: = = ( ; ( + − 3 = 0)) = | | = √2 √ = − 12 = −2 = Suy ra: ⇒ = + = 104. = − 12 = −10 =
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Câu 93: Cho hai số thực , thỏa mãn đồng thời các điều kiện + = 9 và log (2 − 2 +
− 1) ≥ 1. Gọi là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số để tồn tại duy nhất một cặp
số thực ( ; ) thỏa mãn bài toán. Tổng giá trị tất cả các phần tử của tập nằm trong khoản nào cho ở dưới đây? A. (4; 5). B. (1; 2). C. (2; 3). D. (3; 4). Lời giải Chọn D + = 9 + = 9 Miền điều kiện ⇔ log (2 − 2 + − 1) ≥ 1 2 − 2 + − 1 ≥ + + 2 + = 9 ( ) ⇔ có duy nhất 1 nghiệm. ( − 1) + ( + 1) ≤ − 1 ( )
( ) là đường tròn có tâm là gốc toạn độ (0; 0) bán kính = 3.
( ) là miền trong đường tròn và đường tròn tâm (1 ; −1), = √ − 1 ( > 1).
Để tồn tại một cặp số thực ( ; ) thỏa mãn đề toán thì xảy ra hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Đường tròn ( ) có
= 0 coi như chỉ là một điểm (1 ; −1) và điểm (1 ; −1) này sẽ nằm trong hoặc trên ( )
Ta có điều kiện tương ứng: = 0 = − 1 = 0 = 1 ⇔ ⇔ ⇔ = 1. ≤ = 3 = 1 + (−1) ≤ = 3 √2 ≤ √3 (C1) (C1) I O O I (C2) (C2)
Trường hợp 2: Đường tròn (
) tiếp xúc ngoài với đường tròn ( ).
Ta có điều kiện tương ứng: = + ⇔ 1 + (−1) = 3 + √ − 1 ⇔ √ − 1 = 3 − √2 ⇔ − 1 = 11 − 6√2 ⇔ = 12 − 6√2 (thỏa mãn > 1) Vậy tìm được: = 12 − 6√2, = 1. Suy ra + = 13 − 6√2 ≈ 4,5.
Câu 94: Cho hai số thực và thõa mãn các điều kiện + ≥ 9 và log ( (8 + 8 − 7 ) − 7
) ≥ 2. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 3 + lần lượt là và .
Khi đó giá trị của biểu thức + 3 √2 bằng: A. 12 + 18√2. B. 24. C. 6√10. D. 10 − 2√3 Lời giải Chọn A Từ log ( (8 + 8 − 7 ) − 7 ) ≥ 2 ⇔ ( + )(8 − 7) ≥ ( + ) ⇔ ( − 4) + ≤ 9 + ≥ 9 Như vậy và thỏa mãn:
. Đây là miền giới hạn bởi bên trong đường tròn ( − 4) + ≤ 9 ( ): ( − 4) +
= 9 và bên ngoài đường tròn ( ): + ≥ 9
Hai đường tròn cùng bán kính =
= 3 và tâm (0; 0) và tâm (4; 0) như hình vẽ.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Giao điểm của hai đường tròn là 2; ±√5 . Cụ thể điểm như hình vẽ, có 2; −√5
Xét họ đường thẳng Δ song song với nhau: 3 + − = 0
Để thỏa mãn bài toán thì họ đường thẳng này phải cắt miền .
Ứng với vị trí đường thẳng Δ đi qua điểm , ta có: 3.2 − √5 − = 0 → = 6 − √5
Ứng với vị trí đường thẳng Δ tiếp xúc với ( ) ta có: ( ; Δ ) = |3.4 + 0 − | ⇔ = 3 ↔ = 12 − 3√10 ⇒ = 12 + 3√10 √9 + 1 = 12 + 3√10 = = = 12 + 3√10
Suy ra: giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tương ứng là: = = = 6 − √5 Suy ra: + 3 √2 = 12 + 18√2.
Câu 95: Cho hai số thực và thõa mãn đồng thời các điều kiện: + + 2 ≥ 0 và log (2 −
2 + 3) ≥ 1. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức = 2 + lần lượt là và . Giá trị của biểu thức = + bằng: A. −2 + 2√5. B. 2. C. 4 − 2√3. D. 4 Lời giải Chọn A Từ giả thiết log
(2 − 2 + 3) ≥ 1 ⇔ 2 − 2 + 3 ≥ +
+ 1 ⇔ ( − 1) + ( + 1) ≤ 4
Như vậy, điểm ( ; ) nằm trong miền giới hạn bởi: = {( − 1) + ( + 1) ≤ 4; + + 2 ≥ 0}
Miền được xác định như hình vẽ:
Biểu thức được biến đổi về dạng họ đường thẳng: : 2 + − = 0 Khi
= 0 thì đường thẳng đi qua gốc tọa độ và tương ứng là: Δ : 2 + = 0, như hình vẽ.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Ứng với vị trí: Δ : 2 + −
= 0; đi qua điểm (−1; −1); suy ra: 2(−1) + (−1) − = 0 ⇔ = −3 Suy ra: ở vị trí Δ : 2 + − = 0 (thì
> 0). Ở vị trí này đường thẳng Δ tiếp xúc với đường tròn ( | ; Δ ) = . | = 2 ( ), nên ta có: ⇔ √ ⇔ = 1 ± 2√5 ⇔ = 1 + 2√5 > 0 > 0 > 0
Từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức là: = 1 + 2√5 = ; = −3 = . Suy ra: + = −2 + 2√5.
Câu 96: Cho hai số thực , thỏa mãn: ( + 8 + 16) + (5 − ) (1 + ) = 2 + (2 + 8) . √
Gọi là tập các giá trị nguyên của tham số để giá trị lớn nhất của biểu thức = + −
không vượt quá 10. Hỏi có bao nhiêu tập con không phải là tập rỗng? A. 2047. B. 16383. C. 16384. D. 32. Lời giải Chọn B
Điều kiện: ≠ −4; −1 < < 5. Ta có: ( + 8 + 16) + (5 − ) (1 + ) = 2 + (2 + 8) (1) √ ⇔ 2 ( + 4) + (− + 4 + 5) = 2[ (− + 4 + 5) − 1] + [4( + 4) ] ⇔ 2 ( + 4) − ( + 4) = 2 (− + 4 + 5) − (− + 4 + 5) (2). Xét hàm số ( ) = 2 −
, > 0, ta có: ′( ) = − = . > 0, ∀ > 0 . ⇒ Hàm số ( ) đồng biến với
> 0, suy ra: (2) ⇔ ( + 4) = − + 4 + 5 ⇔ ( − 2) + ( + 4) = 9
⇒ Tập hợp các cặp số ( ; ) thỏa mãn (1) là đường tròn ( )tâm là (2; −4) và bán kính = 3 bỏ bớt 2
điểm (−1; −4), (5; −4).
Gọi ( ; ) là điểm thuộc đường tròn ( ) ⇒ = +
là khoảng cách từ đến gốc . Vì
= 2√5 > 3 nên nằm ngoài ( ) và ta có: 2√5 − 3 ≤
≤ 2√5 + 3 ⇔ 2√5 − 3 − ≤ − ≤ 2√5 + 3 − ⇒ Với = | − |, = 2√5 − 3 − , 2√5 + 3 − 2√5 − 3 − ≤ 10 −10 ≤ 2 ⇒ √5 − 3 − ≤ 10
Để thỏa mãn bài toán ta phải có: ⇔ 2√5 + 3 − ≤ 10 −10 ≤ 2√5 + 3 − ≤ 10
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 2 ⇔ √5 − 13 ≤
≤ 2√5 + 7 ⇔ 2√5 − 7 ≤ ≤ 2√5 + 7. 2√5 − 7 ≤ ≤ 13 + 2√5
Ta có: 2√5 − 7 ≈ −2,5; 2√5 + 7 ≈ 11,5 ⇒
∈ {−2; −1; 0; . ; 11} ⇒ Tập có 14 phần tử ⇒ Số tập con
khác rỗng của tập là: 2 − 1 = 16383.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông