Bài toán min – max mũ và logarit
Tài liệu gồm 26 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề Bài toán min – max mũ và logarit
Chủ đề: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT)
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
CHỦ ĐỀ 10: BÀI TOÁN MIN – MAX LOGARIT 1. Công thức lôgarit
Giả sử a > 0,a ≠ 1 và các số A, B, N,… > 0 ta có các công thức sau đây: • log AB = A + B . a ( ) loga logb
Mở rộng log A A A = A + A + + A . a ( ... N loga loga ... log 1 2 ) 1 2 a N • log A = A − B . Hệ quả 1 log = − N . a log a loga loga B N • log Nα = α N a .loga • n 1 log N = N a .loga n
Công thức đổi cơ số: Giả sử a, b dương và khác 1; c, x > 0 ta có • log b c = c và 1 log b = x = − x . a ; log log a .logb loga 1 log a a b a • 1 log = và log x = n x . n .log α x log x a a α a a
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D( f(x) xác định và liên tục trên D) Phương pháp giải
- Bước 1: Tính y′ = f ′(x), tìm tất cả các nghiệm x của phương trình f ′(x) = 0 và các điểm α làm cho i i
f ′(x) không xác định. - Bước 2:
• Trường hợp 1: D ∈[ ;
a b] . Tính các giá trị f (a), f (b), f (x f α . i ) , ( i )
min f (x) = min{ f (a), f (b), f (x f α i ) , ( i )} Với x ,α ∈[ ; a b] D → . i i
max f ( x) = max{ f (a), f (b), f ( x f α i ) , ( i )} D
• Trường hợp 2: D ∉[ ; a b]
→ Lập bảng biến thiên suy ra min, max.
Chú ý: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đơn điệu trên đoạn [ ; a b].
Nếu hàm số y = f (x) đồng biến với x ∀ ∈[ ;
a b] ⇒ min y = f (a);max y = f (b) . [a;b] [a;b]
Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến với x ∀ ∈[ ;
a b] ⇒ min y = f (b);max y = f (a) . [a;b] [a;b]
3. Các bất đẳng thức quen thuộc
a) Bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực dương: a + b ≥ 2 ab .
Mở rộng bất đẳng thức AM – GM cho ba số thực dương: 3
a + b + c ≥ 3 abc .
b) Bất đẳng thức Bunhiacopxki: ( + )2 ≤ ( 2 2 + )( 2 2 ab cd a c b + d ) . x y ( + )2 2 2 x y
c) Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức + ≥ . a b a + b
Ví dụ 1: Cho m = (3 log
ab , với a,b >1 và 2 P = log b +
a . Khi biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất thì a 16log a ) b
giá trị của m bằng A. m = 2 . B. m =1. C. 1 m = . D. m = 4 . 2 Lời giải: Ta có: 2 P = b + a = b + a b ( a )2 16 log 16log log log b a
Đặt t = log b vì a,b >1⇒ log b = t > a 0 a Khi đó 2 16 2 8 8 2 8 8 = + = + + ≥ 3 P t t t . . =12 . t t t t t
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 8
t = ⇔ t = 2 ⇔ log b = . a 2 t 1 Lại có m = log ab = ab = ab = + b = . Chọn B. a ( 3 ) loga ( ) 1 1 3 loga (1 loga ) 1 3 3
Ví dụ 2: Cho x, y là số thực dương thỏa mãn x + y ≥ ( 2 ln ln
ln x + y) . Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu min
thức P = x + y . A. P = 6 . B. P = 2 2 + 3.
C. P = 3 2 + 2 . D. P = 17 + 2 . min min min min Lời giải:
Ta có x + y ≥ ( 2
x + y) ⇔ (xy) ≥ ( 2 x + y) 2
⇔ xy ≥ x + y ⇔ y (x − ) 2 ln ln ln ln ln 1 ≥ x . 2
Mà x, y > 0 suy ra y(x − ) 2
1 ≥ x > 0 ⇔ x −1 > 0 ⇔ x >1. Khi đó ( − ) 2 1 x y x ≥ x ⇔ y ≥ . x −1 2 2 Do đó, biểu thức x = + = + → ( ) 2x − x P x y x f x = . x −1 x −1 2
Xét hàm số f (x) trên khoảng (1; − +
+∞), có f ′(x) 2x 4x 1 = , x ∀ ≠ 1. (x − )2 1 x >1
Phương trình f ′(x) 2 + 2 = 0 ⇔ ⇔ x = . 2
x − 4x +1 = 0 2 +
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra f (x) 2 2 2 min = f = 3 + 2 2 . 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là P = 3+ 2 2 . Chọn B. min
Nhận xét. Vì hàm số y = ln x đồng biến trên khoảng (0;+∞) nên
f (x) > g (x) ⇔ ln f (x) > ln g (x) .
Ví dụ 3: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log(x + 2y) = log x + log y . 2 2 x y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 1+2y 1 = . +x P e e . 5 8 1 A. 8 P = e .
B. P = e . C. 5 P = e . D. 2 P = e . min min min min Lời giải:
Từ giả thiết, ta có log(x + 2y) = log x + log y ⇔ log(x + 2y) = log(xy) ⇔ x + 2y = xy . 2 x 2 2 y 2 2 2 2 x + y 1 x y x 1+2 4 . y x a = Ta có 1+2. 1+2 y 1+x 4 1+2 y 1+x 2 P = e .e = e .e = e . Đặt
2 , giả thiết ⇔ a + b = ab . b = y (a +b)2
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được a + b = ab ≤ ⇔ a + b ≥ 4 4 a b (a +b)2 2 2 2 Và xét biểu thức t T = + ≥ → f t =
với t = a + b ≥ 4 .
1+ 2b 1+ 2a 2 + 2(a + b) ( ) t+1 2
Xét hàm số f (t) trên [4; + +∞) , có ′( ) t 2t f t =
> 0 ⇒ f t là hàm số đồng biến trên [4;+∞) 2 ( ) (t + )1 8
Do đó f (t) ≥ f ( ) 16 4 = suy ra 8 T 5 T ≥
→ P = e ≥ e . Chọn C 5 5 x y ( + )2 2 2 x y
Nhận xét. Bài toán có sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức + ≥ . a b a + b
Ví dụ 4: Cho x, y là số thực dương thỏa mãn log x + y + log x − y ≥1. Tìm giá trị nhỏ nhất P của 4 ( ) 4 ( ) min
biểu thức P = 2x − y . A. P = 4 . B. P = 4 − . C. P = 2 3 . D. 10 3 P = . min min min min 3 Lời giải:
Điều kiện: x > y > 0 . Từ giả thiết, ta có log (x + y)(x − y) 2 2
≥ 1 ⇔ x − y ≥ 4 * 4 ( )
Ta có P = 2x − y ⇔ y = 2x − P thế vào (*), ta được 2
x − (2x − P)2 ≥ 4 . 2 2 2 2 2
⇔ x − 4x + 4xP − P ≥ 4 ⇔ 3x − 4xP + P + 4 ≤ 0 (*)
Để bất phương trình (*) có nghiệm ′ (− P)2 − ( 2 P + ) 2 Δ = 2 3
4 ≥ 0 ⇔ P −12 ≥ 0 ⇔ P ≥ 2 3 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là P = 2 3 .Chọn C. min
Ví dụ 5: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Xét các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện 1
log − xy = 3xy + x + 2y − 4. Tìm giá trị nhỏ nhất P của P = x + y . 3 x + 2y min A. 9 11 19 P − = . B. 9 11 19 P + = . C. 18 11 29 P − = . D. 2 11 3 P − = . min 9 min 9 min 21 min 3 Lời giải: Ta có 1
log − xy = 3xy + x + 2y − 4 ⇔ log 1− xy − log x + 2y = 3xy + x + 2y − 4 3 3 ( ) 3 ( ) x + 2y
⇔ 2 − 3xy + log 3− 3xy = x + 2y + log x + 2y 3 ( ) 3 ( )
Xét hàm số f (t) = t + log t trên khoảng (0;+∞), có f ′(t) 1 = 1+ > 0, 0 t ∀ > 3 t.ln 3
Suy ra f (t) là hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞) Mà ( − ) = ( + ) 3 3 3 2 ⇔ 3− 3 = + 2 − x f xy f x y xy x y ⇔ y = . 3x + 2 2 2 Khi đó, biểu thức 3− x 3x + x + 3
P = x + y = x + =
→ f (x) 3x + x + 3 = 3x + 2 3x + 2 3x + 2 2
Xét hàm số f (x) trên khoảng (0; + −
+∞), có f ′(x) 9x 12x 7 = , x ∀ > 0 . (3x + 2)2 x > 0
Phương trình f ′(x) 11 − 2 = 0 ⇔ ⇔ x = . 2 9
x +12x − 7 = 0 3 − Tính 11 2 2 11 − 3 − f 2 11 3 = f ( ) 3 , 0 =
và lim f (x) = +∞ → min f (x) = . 3 3 2 x→+∞ (0;+∞) 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2 11 3 P − = . Chọn D. min 3
Ví dụ 6: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2 2
x + y >1 và log
x + 2y ≥1. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn 2 2 ( ) x + y
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2x + y . Tính M + m. A. P = 4 . B. P = 4 . C. P = 2 3 . D. 10 3 P = . min min min min 3 Lời giải: Vì 2 2
x + y >1 suy ra y = log
f x là hàm số đồng biến trên tập xác định. 2 2 ( ) x + y Khi đó 2 2 2 2 log x + 2y ≥ log
x + y ⇔ x + 2y ≥ x + y 2 2 ( ) 2 2 x + y x + y ( ) 2 2 2 1 x x y y x x ( 2 y y ) 2 5 1 x ⇔ − + − ≤ ⇔ − + + − + ≤ ⇔ − + ( y − )2 5 2 0 2 1 1 ≤ 4 4 2 4
Xét biểu thức P, ta có 1 1
P 2x y 2 x y 1 2 2 x = + = − + − + ⇔ − + y −1 = P − 2 . 2 2 2 2 2
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, có 1 x y ( 2 2) 1 2 1 2 1 . x − + − ≤ + + + ( y − )2 1 2 2 1 P = − ⇔ (P − ) min 2 5 25 5 5 1 9 2 2 ≤ 5. =
⇔ − ≤ P − 2 ≤ ⇔ − ≤ P ≤ → . 4 5 2 2 2 2 9 P = max 2 Vậy tổng 9 1 M m + = + − = 4 . Chọn C. 2 2
Ví dụ 7: [Đề thi Thử nghiệm 2017 – Bộ GD&ĐT] Xét các số thực a, b thỏa mãn điều kiện a > b >1. Tìm
giá trị nhỏ nhất P của biểu thức 2 a P a = + . a ( 2 log ) 3log min b b b A. P =19 . B. P =13. C. P =14 . D. P =15. min min min min Lời giải: 2 Ta có 2 a = a = = = . a ( 2 ) 4 4 4 log 4 loga 2 b b a (log a − b − b a
loga )2 (1 loga )2 loga b Khi đó biểu thức 4 4 3 P = + 3log a − = + − . b 3 3 (1−log b − b b a )2 (1 loga )2 loga a >1
Đặt t = log b với 4 3
⇒ t > 0 suy ra P = f (t) = + − 3. a b > 1 (1−t)2 t
Xét hàm số f (t) , có f ′(t) 8 3 1 = − − ,
f ′ t = 0 ⇔ t = . 3 2 ( ) (t − ) 1 t 3 Tính 1 f
=15, lim f (t) = +∞
và lim f (t) = +∞ . 1 3 t→ t→0
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số f (t) là 15.
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là P =15. Chọn D. min
Ví dụ 8: Cho các số thực a, b thỏa mãn a >1, 1 b > .
Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức 27 P =
(2log a + log b)2 + 4log ab . min 2 ab ab a A. P = 36 . B. P = 24 . C. P = 48 . D. P = 32 . min min min min Lời giải:
Xét biểu thức P, ta có 27 2 1 P = + + 4log b + 4 . 2 log ab log a ab a b 2 Đặt t = b t > ⇔ a = . Khi đó 27 2 t P = + + 4t + 4. a ( ) 1 log 0 logb t
2 t +1 t +1 2 2 t − 2 2t + 5
Xét hàm số f (t) 27 t + 2 = +
4t với t ∈(0;+∞) , có f ′(t) ( )( ) = = 0 ⇔ t = 2 . 2 t + 2 (t + )3 1
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng f (t) đạt giá trị nhỏ nhất bằng f (2) = 32 ⇒ P = 36. Chọn A. min
Ví dụ 9: Cho hai số thực a ≥ b >1. Biết rằng biểu thức 2 = + log a T
đạt giá trị lớn nhất là M khi log a a b ab
có số thực m sao cho m
b = a . Tính P = M + m. A. 23 M − m = . B. 81 M − m = . C. 19 M − m = . D. 51 M − m = . 8 16 8 16 Lời giải:
Xét biểu thức T, ta có T = 2log ab + a − b = b + − b + . a loga loga 2loga 1 loga 2
Đặt t = log b với t ∈(−∞ ]
;1 , khi đó T = f (t) = 2t + 1−t + 2. a
Xét hàm số f (t) trên khoảng ( ] ;1
−∞ , có f ′(t) 1 = − f ′(t) 15 2 ; = 0 ⇔ t = . 2 1− t 16 Tính f ( ) 15 33 1 4, f = =
và lim f (t) = −∞ . 16 8 t→−∞
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra giá trị lớn nhất của hàm số f (t) là 33 . 8 Vậy 33 M = và m 15 51
b = a ⇔ m = log b = t = ⇒ M − m = . Chọn D. 8 a 16 16 log b + a a logb
Ví dụ 10: Cho a, b là các số thực dương khác 1. Biết rằng biểu thức a P = đạt giá trị nhỏ log ab + a a ( ) logb nhất bằng M khi m
b = a . Tính M + m.
A. M + m = 2. B. 2 M + m = . C. 4 M + m = .
D. M + m = 0. 3 3 Lời giải: Xét biểu thức − + + − P, ta có log b a a b a a loga logb loga logb 1 P = = . log a + b + a b + a + a loga logb loga logb 1 1 t + −1 2 Đặt 1 − + t = log b ⇔ a = với t t t t 1 ∈ P = f t = = . a logb , khi đó ( ) t 2 1 t + t +1 t + +1 t 2( 2t − ) 1
Xét hàm số f (t) trên khoảng ( ;
−∞ +∞) , có f ′(t) = ,
f ′ t = 0 ⇔ t = 1 ± . 2 ( ) ( 2t +t + )1 Tính f ( ) 1 1 = , f (− )
1 = 3 và lim f (t) =1 suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số f (t) bằng 1 . 3 t→∞ 3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t =1 ⇔ log b = ⇔ a = b . a 1 Vậy 1 m 1 4 M = ,
b = a = a ⇒ m =1
→ M + m = +1 = . Chọn C. 3 3 3
Ví dụ 11: Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn 2 2
b = 3ab + 4a và 32 a ∈ 4;2
. Gọi M, m lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 = log b P a +
. Tính tổng T = M + m . b 4 log2 4 4 8 A. 3701 T = . B. 7 T = . C. 2957 T = . D. 1897 T = . 124 2 124 62 Lời giải: 2 Từ giả thiết, ta có 2 2 a a a 1
b = 3ab + 4a ⇔ 4.
+ 3. −1 = 0 ⇔ = ⇔ b = 4a . b b b 4 Khi đó 3 b 3 1 3 3 P = log a + = b + b − = + b − b 4 log logb log log 4 log 2 ( 2 2 ) 2 4 4 4 b 4 2 8 8 logb 8 1 3 3 1 3 3 log b 3 3 2 = + log b − = + log b − = + log b − . 2 2 2 1− log b − b 8 4 2 3 4 2 log 3 4 2 2 1− log b2
Đặt t = log b với 32 34
a ∈ 4;2 ⇒16 ≤ b ≤ 2 ⇒ 4 ≤ log b ≤ 34 ⇒ t ∈ 4;34 . 2 [ ] 2
3( 2t − 6t + 5)
Xét hàm số f (t) t 3 =
+ t với t ∈[4;34] , ta có f ′(t) = ; t ∀ ∈ 4;34 . 2 [ ] t − 3 4 4(t −3) 4 ≤ t ≤ 34
Phương trình f ′(t) = ⇔
⇔ t = ⇒ f ( ) = f ( ) 25 = f ( ) 1649 0 5 4 7, 5 , 34 = . 2 t − 6t + 5 = 0 4 62
f (t) = f ( ) 1649 778 max 34 = M = P = max Suy ra [4;34] 62 31 3701 ⇒
⇒ T = M + m = . Chọn A.
f (t) f ( ) 25 19 124 min 5 = = m = P = [ ] min 4;34 4 4
Ví dụ 12: Cho các số thực a, b thỏa mãn điều kiện 1 ab = 4, a ≥ ,
b ≥1. Tìm giá trị lớn nhất P của biểu 2 max 3 3
thức P = log a + log b −1 . 1 1 2 2 A. P = 63 − . B. P = 6 − . C. 27 P = − . D. P = 0 . max max max 4 max Lời giải:
Đặt x = log a và y = log b suy ra 1 1 2 2
x + y = log a + log b = log ab = log 4 = 2 − . 1 1 1 ( ) 1 2 2 2 2 Khi đó 3
P = x + ( y − )3 1 mà 3
x + y = − ⇔ y = −x − ⇒ P = x + (−x − )3 2 2 2 3 = 9
− x − 27x − 27 . = − (x + x + ) 2 2 2 3 9 27 3 27 27 − 27 9 3 3 = 9 − x + 2. x + − = 9 − x + − ≤ ⇒ P = − . max 2 4 4 2 4 4 4 3 log a = − 3 1 1 3 1 2 − − Dấu “=” xảy ra 2 2 2 1 1 x y a ; b ⇔ = − ⇒ = − → ⇔ = = . Chọn C. 2 2 1 2 2 log b = − 1 2 2
Ví dụ 13: Cho hai số thực a, b thỏa mãn 0 < a < b <1 và biểu thức log b P a a = − + đạt giá trị a 4loga 4 b
nhỏ nhất. Tính S = a + b . A. 5 S = . B. 5 S = . C. 5 S = . D. 5 S = . 16 8 4 32 Lời giải: Ta có 1 1 1 log a = a = = . a log 2 a a 2 − b b b (1 loga ) 2loga b
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có b + ≥ 2 . b a a = ab . 4 4 Do 1 log b b a a ab a < ⇒ + ≤ ⇒ − + ≥ − ab = − + b . a loga 4loga 4loga 2(1 loga ) 4 4 Suy ra 1 1 P = − + b = −
+ x = f x , với x = log b . 2(1− log b − x a a
) 2(1 loga ) 2(1 ) 2(1 ) ( )
Do 0 < a < b <1⇒ 0 < log b < ⇒ < x < a 1 0 1 Xét trên khoảng (0; ) 1 có f ′(x) 1 1 = 2 − +
⇒ f ′ x = 0 ⇔ x = . 2 ( ) 2(1− x) 2 Suy ra f (x) 1 f ≥ = 1 2 − . Vậy P min f x f = = = 2 − . min ( ) 2 (0 ) ;1 2 b 1 a = a = Dấu “=” xảy ra 4 16 5 ⇔ ⇔
⇒ S = a + b = . Chọn A. 1 1 16 log b x b = = = a 2 4
Ví dụ 14: Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện 1 < a < b <1 . Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức 4 min 1 P log a = − + a . b log 4 a b A. 1 . B. 9 . C. 19 . D. 7 . 2 2 4 2 Lời giải: Ta có 1 1 log a = = . a a 2 − b b (1 loga ) 2loga b 2 Và 2 1 1 1 2 1 2 2
a − a + = a −
≥ 0 ⇔ a − ≤ a ⇒ log a − ≥ a = , với 1 b ∈ ;1 . b log 4 2 4 4 b log b 4 a Vậy 1 2 1 2 1 P = log a − + a ≥ + = + =
f x , với x = log b . b log 4 a log b − b x − x a b a 2(1 loga ) 2(1 ) ( ) Do 1 2 1
< a < b <1⇒ 0 < log b <1⇒ x ∈(0; )
1 . Xét f (x) = + trên (0; ) 1 , có 4 a x 2(1− x) f ′(x) 2 1 2 1 2 = − + ,
f ′ x = 0 ⇔ − +
= 0 ⇔ 4 1− x = x ⇔ x = . 2 2 ( ) 2 2 ( )2 2 x 2(1− x) x 2(1− x) 3 Suy ra P f (x) 2 9 f ≥ ≥ = . Dấu “=” xảy ra khi 2
⇔ log b = x = . Chọn B. 3 2 a 3 2
Ví dụ 15: Cho hai số thực a, b thỏa mãn 1 < a < b <1. Biết rằng biểu thức 1 2 = log − log b P a đạt giá 6 3 2 b a a a
trị nhỏ nhất bằng m khi có số thực n sao cho n
b = a . Tính S = m + n . A. 1 S = . B. 1 S = . C. 3 S = − . D. 5 S = . 2 2 2 2 A. T B. T C. T D. T Lời giải: 2 Ta có 2 1 2 1 1 log b a = a = = = b − . b .logb , loga 2loga 3 4 b b − a a a 4(loga )2 3 2 1 4loga a Vậy 1 1 1 P = . − 2log b + =
− x + = f x , với x = log b . a 3 2 3 2 2 ( ) 2 4(log b − x − a a ) 1 8( ) 1
Do 0 < a < b < a ⇒ 0 < log b < ⇒ x∈ . a 1 (0; )1 Xét f (x) 1 = − 2x + 3 trên (0; ) 1 , có 8(x − )2 1 f ′(x) 1 1 1 1 = −
− 2, f ′ x = 0 ⇔ 2 +
= 0 ⇔ x −1 = − ⇔ x = 3 ( ) 3 ( )3 4(x − ) 1 4(x − ) 1 8 2 1 Suy ra P f (x) 1 5 f = ≥ = 1 . Dấu “=” xảy ra 2
⇔ log b = x = ⇔ b = a . 2 2 a 2 Vậy 5 1 m = ,
n = ⇒ S = m + n = 3. Chọn B. 2 2
Ví dụ 16: Gọi a, b, c là ba số thực khác 0 và thay đổi thỏa mãn điều kiện 3a = 5b =15−c .
Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2
P = a + b + c − 4(a + b + c). A. 3 − − log 3. B. 4 − . C. 2 − − 3 . D. 2 − − log 5 . 5 3 Lời giải: a = log t 3 Ta có a b −c 1 1 1
3 = 5 =15 = t ⇔ b = log t ⇔ = log = − = . t 3; logt 5; logt 15 5 a b c −c = log t 15 Mặt khác + = =
⇒ + = − ⇔ + + = ⇔ ab + bc + ca = . t t t ( ) 1 1 1 1 1 1 log 3 log 5 log 3.5 logt 15 0 0 a b c a b c
Khi đó P = (a + b + c)2 − (ab + bc + ca) − (a + b + c) = (a + b + c)2 2 4
− 4(a + b + c)
= (a + b + c)2 − 2.2(a + b + c) 2
+ 2 − 4 = (a + b + c − 2)2 − 4 ≥ 4 − ⇒ P = 4 − . Chọn B. min
Ví dụ 17: Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện a > 0, 0 < b < 2 . (2b)a a a
Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức 2 + 2b P = + . min (2 −b )2 2 a a a b A. 9 P = . B. 7 P = . C. 13 P = . D. P = 4 . min 4 min 4 min 4 min Lời giải: (2b)a a a a a a Ta có 2 + 2b 2 .b 2 P = ( + = + + . 2 − b ) 1 2 2 a b
(2 )2 −2.2 .2 +(b )2 2 a a a a a b a b a a Đặt 2 2 a t = = , vì b∈( ) 2
0;2 ⇔ >1 và a > o suy ra 2 >1 ⇔ t > 1. a b b b b 2 a a a Khi đó 2 .b b t t t ( = = → P = + + . 2a ) 1
2 − 2.2a.2b +( ab )2 a a 2 2 2 2 t − 2t +1 t − 2t +1 2 − 2. + 1 b b 3 2 Xét hàm số ( ) t t − + − f t =
+ trên khoảng (1;+∞), có f ′(t) t 3t t 3 = , t ∀ > 1. 2 t − 2t +1 2 2(t − )3 1 t >1 t > 1
Phương trình f ′(t) = 0 ⇔ ⇔ ⇔ t = 3. 3 2 2 t
− 3t + t − 3 = 0 t
(t − 3) + t − 3 = 0 Tính f ( ) 9
3 = , lim f (t) = +∞ và lim f (t) = +∞ suy ra
f (t) = f ( ) 9 min 3 = . 1 4 t + → t→+∞ (1;+∞) 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 9 13 P = +1 = . Chọn C. min 4 4
Ví dụ 18: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 2 x − y + = ( 2 x − y + ) 2 2 2 2 y−x +2 5 16.4 5 16 .7 .
Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức 2xy +16 P = . min x A. P =16 . B. P = 8. C. P =12 . D. P =10 . min min min min Lời giải: t+ t Đặt 2 + +
t = x − 2y , khi đó giả thiết t ⇔ + = ( t + ) 2 2 2−t 5 4 5 4 5 16.4 5 16 .7 ⇔ = . t+2 2 7 7 t a a a a a
Xét hàm số f (a) 5+ 4 1 4 5. = = + , có f (a) 1 1 4 4
5. .ln .ln ′ = + < 0, a ∀ ∈ . 7a 7 7 7 7 7 7
Suy ra f (a) là hàm số nghịch biến trên mà f (t + 2) = f (2t) ⇔ t + 2 = 2t ⇔ t = 2 . .x( 2 x − 2 +16 2 2 ) Do đó 2 16
x − 2y = 2 ⇔ 2y = x − 2 → P = = x + − 2 = f (x) . x x
Xét hàm số f (x) 2 16 = x +
− 2 trên khoảng (0;+∞), có f ′(x) 16 = 2x −
, f ′ x = 0 ⇔ x = 2. 2 ( ) x x
Tính f (2) =10, lim f (x) = +∞ và lim f (x) = +∞ suy ra min f (x) = f (2) =10. x 0+ → x→+∞ (0;+∞)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là P =10 . Chọn D. min
Ví dụ 19: Cho hai số thực a >1, 1
b > thỏa mãn phương trình 2 x x 1
a .b − =1 có hai nghiệm phân biệt x , x . 1 2 2
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x x 1 2 S =
− 4( x + x thuộc khoảng nào dưới đây? 1 2 ) x + x 1 2 A. 3 1; . B. 5 2; . C. 9 ;5 . D. 7 ;4 . 2 2 2 2 Lời giải: Ta có 2 x x a b − a b − = ⇔ = ⇔ x + x b − = b ( 2 1 x x 1 ) 2 . 1 log . logb1 .loga 1 0 (*)
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ = (
b + > (luôn đúng). a )2 Δ log 4 0
x + x = −log b
Khi đó, theo hệ thức Viet ta được 1 2 a 1 → S = 4log b + b . a 2 x x = 1 − log 1 2 a Lại có 1 1 2 1 3 4log b + b = b + b + ≥ b = a 2loga 2loga 33 4loga . 3 4 2 2 2 log b b a loga loga Suy ra 3
S ≥ 3 4 . Dấu bằng xảy ra 1 ⇔ b = ⇔ b = ⇔ b = . a ( a )3 1 1 2log log log 2 a 3 log b a 2 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 3 9 3 4 ;5 ∈ . Chọn C. 2 Nhận xét:
• Bài toán áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số thực dương 3
a + b + c ≥ 3 abc
• Với điều kiện a >1, 1 b >
→log b > nên áp dụng được bất đẳng thức AM – GM. a 0 Ví dụ 20: 2 Cho + x > 0, 0 y > thỏa mãn 2(x −y+ )1 2 2018 x y = . (x + )2 1
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2y − 3x . A. 1 . B. 7 . C. 3 . D. 5 . 2 8 4 6 Lời giải: 2 Ta có (x −y+ ) 2 2018 x + y =
⇔ x +1 .2018 x+ = 2x + y .2018 x+y * . 2 ( ) ( )2 2 1 2 2 1 ( ) 2(2 ) ( ) (x + ) 1 Xét hàm số ( ) 2 = .2018 t f t t trên (0;+∞), có ′( ) 2t 2 = 2018 + 2 .2018 t f t t .ln 2018 > 0 .
Suy ra f (t) là hàm đồng biến trên (0;+∞) nên ( ) ⇔ f (x + )2 *
1 = f (2x + y) ⇔ (x + )2 2 2
1 = 2x + y ⇔ x + 2x +1 = 2x + y ⇔ y = x +1.
Khi đó P = y − x = ( 2 x + ) 2 1
− x = x − x + = ( x − )2 7 7 2 3 2 1 3 2 3 2 4 3 + ≥ . 8 8 8 Dấu bằng xảy ra khi 3 25
4x − 3 = 0 ⇔ x = → y = . Vậy 7 P = . Chọn B. 4 16 min 8
Ví dụ 21: Cho a > 0, 0 b > thỏa mãn log + + + + + = . + + a b + a b a b ( 2 2 9 1 log ab 3 2 1 2 3 2 1 ) 6 1 ( )
Giá trị của biểu thức a + 2b bằng A. 6. B. 9. C. 7 . D. 5 . 2 2 Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có 2 = log + + + + + ≥ + + + + + + a b + a b + + a b + a b a b ( 2 2 9
)1 log ab (3 2 )1 2 log a b ( 2 2 9 1 .log ab 3 2 1 3 2 1 6 1 3 2 1 ) 6 1( ) ⇔ 1≥ log + + ⇔ + + ≤ ⇔ + + ≤ + + a b + a b a b ab ab ( 2 2 9 )1 log ab ( 2 2 9 ) 2 2 1 1 9 1 6 1 6 1 6 1 ⇔ ( a)2 2 3 − 2.3 .
a b + b ≤ 0 ⇔ (3a − b)2 ≤ 0 ⇔ 3a − b = 0 ⇔ b = 3a . Dấu bằng xảy ra ⇔ log + + = + + = + + a b + a b a b ( 2 2 9 1 log ab 3 2 1 1 3 2 1 ) 6 1 ( ) b = 3a b = 3a Khi đó, ta có hệ (a b) 1 3 ; ; ⇔ ⇔ = . 2 2 2 2 9 a
b 1 3a 2b 1 9 a b 3a 2b 2 2 + + = + + + = + Vậy 1 3 1 7
a + 2b = + 2. = + 3 = . Chọn C. 2 2 2 2
Ví dụ 22: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện xy ≤ 4y −1. 6(2x + y)
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x + 2 = + ln y P
bằng a + ln b . Tích . a b bằng x y A. 45. B. 115. C. 108. D. 81. Lời giải: 2 − Ta có x 4y 1 4 1 1
xy ≤ 4y −1 ⇔ ≤ = − = 4 − 2 − ≤ 4 2 2 y y y y y 6(2x + y) + Lại có x 2y 6 = + ln = 12 y + + ln x P + 2 . x y x y Đặt x
t = ∈(0;4] khi đó P = f (t) 6 = 12 + + ln (t + 2) . y t
Xét hàm số f (t) 6
= 12 + + ln (t + 2) trên (0;4], có f ′(t) 6 1 = − + ; t 2 t t + 2
Dựa vào bảng biến thiên, ta được f ( ) = f ( ) 27 min 4 4 = + ln 6 (0;4] 6 27 a = Do đó 27 min P =
+ ln 6 = a + ln b → 6 . Vậy 27 . a b = 6. = 81. Chọn D. 6 b 6 = 6
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y +1 3+ ln
= 9xy − 3x − 3y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 3xy thức P = xy . A. 1 . B. 1 . C. 9. D. 1. 9 3 xy
Câu 2: Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn x+2y 3 5 − x−2 5 + + x +1 = + 3
y + y x − . Tìm giá trị xy ( 2) 3 5
nhỏ nhất của biểu thức S = x + 2y . A. 6 − 2 3 . B. 4 + 2 6 . C. 4 − 2 6 . D. 6 + 2 3 .
Câu 3: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn 1
log − ab = 2ab + a + b − 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 a + b
thức P = a + 2b . A. 2 10 − 3 . B. 2 10 −1 . C. 2 10 − 5 . D. 3 10 − 7 . 2 2 2 2
Câu 4: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log
11x + 20y − 40 =1. Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn 2 2 ( ) 2x +xy+3y
nhất và giá trị nhỏ nhất của y
S = . Tính a + b . x
A. a + b = 10 .
B. a + b = 2 14 . C. 11 a + b = . D. 7 a + b = . 6 2
Câu 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện log
x + y + 3 ≥1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 ( ) x + y +2
S = 3x + 4y − 6 . A. 5 6 − 9 . B. 5 6 − 3 . C. 5 3 − 5 . D. 5 6 − 5 . 2 2 2 2
Câu 6: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y ≥ ( 2 log log
log x + y ) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x + 3y . A. 1. B. 3 . C. 9. D. 1 . 2 2 x+2 y
Câu 7: Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn xy 1− 1 3 −
= 2 − 2xy − 2x −
4y . Tìm giá trị nhỏ 3
nhất của biểu thức P = 2x + 3y . A. 6 2 + − − 7 . B. 10 2 1 . C. 15 2 − 20 . D. 3 2 4 . 10 2
Câu 8: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn ( + )3 + + + log x + y x y x y
= 8(1− xy)3 − 2xy + 3. Tìm giá trị 2 1− xy
nhỏ nhất của biểu thức P = x + 3y . A. 1+ 15 . B. 15 + 3 . C. 15 + − 2 . D. 2 15 3 . 2 2 6
Câu 9: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn y 2 log
= − y + 3y + x − 3 1+ x . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 1+ x
biểu thức P = x −100y . A. −2499. B. −2501. C. −2500. D. −2490.
Câu 10: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn 2
log − ab = 3ab + a + b − 7 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 3 a + b
thức S = a + 5b . A. 2 95 − 6 . B. 4 95 +15 . C. 3 95 −16 . D. 5 95 − 21. 3 12 3 3
Câu 11: Cho hai số thực x, y thỏa mãn log 2x − 4y =1. 2 2 ( ) x + y 1 + Tính x
P = khi biểu thức S = 4x + 3y − 5 đạt giá trị lớn nhất. y A. 8 P = . B. 9 P = . C. 13 P = − . D. 17 P = . 5 5 4 44
Câu 12: Cho hai số thực x, y thỏa mãn xy ≤ 4y −1. +
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 6y x 2 = + ln y S . x y A. 24 + ln 6. B. 12 + ln 4 . C. 3 + ln 6 . D. 3+ ln 4 . 2
Câu 13: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x + log y +1≥ log(x + y). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức S = x + 3y . A. 1+ 3 . B. 2 + 3 . C. 3+ 3 . D. 1+ 3 . 10 5 30 4
Câu 14: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn x + y ≥ ( 3 log log
log x + y) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S = 2x + y là A. 2 2 − 2. B. 3 . C. 4 + 4 2 . D. 3+ 2 2 . 8
Câu 15: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn 2 2
a + b >1 và log
a + b ≥1. Giá trị lớn nhất của biểu 2 2 ( ) a +b
thức P = 2a + 4b − 3 là A. 10 . B. 10 . C. 2 10 . D. 1 . 2 10
Câu 16: Cho hàm số x, y thay đổi thỏa mãn 1 xy = 4, x ≥ ,
y ≥1. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá 2
trị nhỏ nhất của biểu thức 2
P = log x + log y −1 . Tính S = M + 2m . 2 ( 2 )2 A. S = 6 . B. S =11. C. 21 S = . D. 11 S = . 2 2
Câu 17: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện log(x + 3y) + log(x −3y) =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức S = x − y . A. 4 5 . B. 2 2 . C. 10 . D. 1. 3 3
Câu 18: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện log(x + 3y) + log(x −3y) =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức S = x − 2 y +1. A. 10 − + + +1. B. 5 2 3 . C. 3 5 2 . D. 3 2 5 . 2 3 3
Câu 19: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log x + log y = log x + y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 2 4 ( ) thức 2 2
S = x + y . A. 3 2 4 . B. 2 2 . C. 4. D. 3 4 2 .
Câu 20: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x + log y = log x + y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 2 2 ( ) thức 2 2
S = x + y . A. 8. B. 4. C. 16. D. 8 2 .
Câu 21: Cho các số thực x, y thỏa mãn 2 2 x + y 1 2 − + log ( 2 2
x + y +1 = 3. Biết giá trị lớn nhất của biểu thức 3 ) 3 3
S = x − y + x − y là a 6 với a, b là các số nguyên dương và a là phân số tối giản. Tính T = a + 2b . b b A. T = 25. B. T = 34 . C. T = 32 . D. T = 41.
Câu 22: Với a, b, c >1. Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = log bc + ca + ab là a (
) logb ( ) 4logc ( ) A. 6. B. 12. C. 10. D. 11.
Câu 23: Cho các số thực a, b, c lớn hơn 1 thỏa mãn log a ≥ 1− log blog c log
. Tìm giá trị nhỏ nhất bc 2 2 ( 2 2 ) của biểu thức 2 2 2
S =10log a +10log b + log c . 2 2 2 A. 4. B. 3. C. 9 . D. 7 . 2 2
Câu 24: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 2 2 2
5log a +16log b + 27log c =1. Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 2
biểu thức S = log a log b + log blog c + log c log a . 2 2 2 2 2 2
A. 1 . Với a, b, c >1 B. 1 . C. 1 . D. 1 . 16 12 9 8
Câu 25: Với a, b, c >1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = log bc + ca + ab . a (
) 3logb ( ) 4logc ( ) A. 16. B. 6 + 4 3 . C. 4 + 6 3 . D. 8 + 4 3 .
Câu 26: Cho các số thực a, b, c >1. Tính log ca khi biểu thức S = log bc + ca + ab a (
) 2logb ( ) 9logc ( ) b ( )
đạt giá trị nhỏ nhất. 8(2 2)−1 A. 2 2 . B. . C. 3 − + 2 . D. 8 2 2 . 7 7
Câu 27: Cho các số thực dương a, b, c khác 1 thỏa mãn 2 2 log c c b + c = − − . Gọi M, m lần a logb loga 2logb 3 a b
lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = log b −
c . Tính S = 2m + 3M . a logb A. 2 S = . B. 1 S = .
C. S = 3.
D. S = 2 . 3 3
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Ta có x + y +1 3+ ln
= 9xy − 3x − 3y ⇔ ln (x + y + ) 1 + 3(x + y + )
1 = ln (3xy) + 9xy 3xy
Xét hàm số f (t) = lnt + 3t (
t > 0) ta có: f ′(t) 1 = + 3 > 0 ( t ∀ ∈ ) t
Do đó hàm số f (t) đồng biến trên khoảng (0;+∞)
Ta có: f (x + y + )
1 = f (3xy) ⇔ x + y +1 = 3xy Do x,
y > 0 ⇒ x + y ≥ 2 xy (BĐT AM – GM)
⇒ 3xy = x + y +1≥ 2 xy +1 ⇔ 3xy − 2 xy −1≥ 0 ⇔ (3 xy + )
1 ( xy − )1 ≥ 0 ⇔ xy ≥1⇔ xy ≥1
Dấu bằng xảy ra ⇔ x = y =1. Chọn D. xy
Câu 2: Ta có: x+2y 3 5 − x−2 5 + + x +1 = + 3 y + y x − xy ( 2) 3 5 x+2 y 1−xy xy 1 − − x−2 ⇔ 5 + 3 + +1 = 5 + 3 y x + xy − 2y x+2 y − x−2 y xy 1 − 1 ⇔ 5 − 3 + + 2 = 5 − 3 −xy x y + xy − ( 1 *)
Xét hàm số ( ) = 5t −3−t f t
+ t (t ∈) ta có: ′( ) = 5t ln 5 + 3−t f t ln 3+1 > 0 ( t ∀ ∈ )
Do đó hàm số f (t) đồng biến trên .
Ta có: (*) ⇔ f (x + 2y) = f (xy − )
1 ⇔ x + 2y = xy −1 (x + y)2 2 (x + y)2 2
Lại có: x + 2y ≥ 2 2xy ⇔ xy ≤
nên ta có: x + 2y = xy −1≤ −1 8 8 2
Khi đó S − S −1≥ 0 ⇔ S ≥ 4 + 2 6 . Chọn B. 8
Câu 3: Do a,b > 0 ⇒1− ab > 0
Khi đó ta có: log 1− ab − log a + b = 2ab + a + b − 3 2 ( ) 2 ( )
⇔ log 1− ab + log 2 + 2 − 2ab = log a + b + a + b 2 ( ) 2 2 ( )
⇔ log 2 − 2ab + 2 − 2ab = log a + b + a + b * 2 ( ) 2 ( ) ( )
Xét hàm số f (t) = log t + t 0
t > ta có: f ′(t) 1 = +1 > ( 0 0 t ∀ > ) 2 ( ) t ln 2
Do đó hàm số f (t) đồng biến trên khoảng (0;+∞) Ta có: ( ) ⇔ ( − ) = ( + ) ⇔ − = + ⇔ − = ( + ) 2 * 2 2 2 2 2 2 1 − a f ab f a b ab a b a b a ⇔ b = 2a +1 Khi đó: 4 − 2a P = a +
= g (a) (với a > 0 ) suy ra g (a) 10 a 0 1 0 > ′ = − = → ⇔ 2a +1 = 10 2a +1 (2a + )2 1 10 −1 10 −1 2 10 −3 ⇔ a = ⇒ P = g = . Chọn A. min 2 2 2 Câu 4: 2 2 log
11x + 20y − 40 =1 ⇔ 11x + 20y − 40 = 2x + xy + 3y 2 2 ( ) 2x +xy+3y Lại có: 2 2 2 2
y = S.x ⇒11x + 20Sx − 40 = 2x + Sx + 3S x ⇔ ( 2 + S + S ) 2 2 3 x − (20S + ) 11 x + 40 = 0 = ( S + )2 − ( 2 Δ 20 11
160 2 + S + 3S ) ≥ 0
Điều kiện để tồn tại x > 0 là: 20S +11> 0 (*)( 2
Vì 2 + S + 3S > 0) 40 > 0 Do S > 0 nên ( ) 2 1 ⇔ S − S + ≤ ⇔ ( − ) 1 * 80 280 199 0 35 230 ≤ S (35+ 230) 20 20 Do đó 7
a + b = S + S = . Chọn D. min max 2 Câu 5: Do 2 2
x + y + 2 >1(∀ ; x y) nên ta có: 2 2 log
x + y + 3 ≥1 ⇔ x + y + 2 ≤ x + y + 3 2 2 ( ) x + y +2 2 2 2 2 1 1 3
⇔ x + y − x − y −1< 0 ⇔ x − + y − < 2 2 2 Đặt 1 1 2 2 3
a = x − ; b = y − ⇒ a + b ≤ 2 2 2 Lại có: 1 1 5 5 S = x − + y − − =
a + b − ≤ ( 2 2 + )( 2 2
a + b ) 5 5 6 −5 3 4 3 4 3 4 − = . 2 2 2 2 2 2 Vậy 5 6 5 S − = . Chọn D. min 2 y >1
Câu 6: log x + log y ≥ log( 2 x + y ) 2
⇔ xy ≥ x + y ⇔ x( y − ) 2 2 1 ≥ y > 0 ⇒ y x ≥ y −1 2 Khi đó = + 3 y P x y ≥ + 3y = f y ( ) ( y > )1 y −1
Ta có: f ′( y) 1 y 1 > 3 = 4 − = 0 → y = ( y − )2 1 2 Khi đó 3 P f = =
9 . Dấu bằng xảy ra 3 9
⇔ y = ; x = . Chọn C. min 2 2 2 x+2 y
Câu 7: Ta có: xy 1− 1 xy 1 − − x−2 3 − = 2 − 2 − 2 − 4 ⇔ 3 − 3 y xy x y = 2 − (xy − ) 1 − 2(x + 2y) 3 xy 1 − ⇔ + ( − ) − x−2 3 2 1 = 3 y xy
− 2(x + 2y)(*) Xét hàm số ( ) = 3t f t
+ 2t (t ∈) ta có: ′( ) = 3t f t ln 3+ 2 > 0 ( t ∀ ∈ )
Do đó hàm số f (t) đồng biến trên .
Ta có: ( ) ⇔ f (xy − ) = f (−x − y) ⇔ xy − = −x − y ⇔ x( y + ) 2 − y +1 * 1 2 1 2
1 =1− 2y ⇔ x = y +1 4 − y + 2 ⇒ P =
+ 3y = g ( y),( y > 0) ⇒ g′( y) 6 − y>0 =
+ 3 = 0 → y +1 = 2 ⇔ y = 2 −1. y +1 ( y + )2 1
Ta có: P = g 2 −1 = 6 2 − 7 . Chọn A. min ( )
Câu 8: Ta có: x, y > 0 ⇒ x + y > 0 ⇒1− xy > 0
Khi đó: ( + )3 + + + log x + y x y x y
= 8(1− xy)3 − 2xy + 3 2 1− xy
⇔ (x + y)3 + x + y + log (x + y) − log (1− xy) = 8(1− xy)3 − 2 xy −1 +1 2 2 ( )
⇔ (x + y)3 + x + y + log (x + y) = log (1− xy) +1+ 8(1− xy)3 + 2 1− xy 2 2 ( )
⇔ (x + y)3 + x + y + log (x + y) = log (2 − xy) + 8(1− xy)3 + 2 1− xy 2 2 ( )
Xét hàm số f (t) 3
= t + t + log t 0
t > ta có: f ′(t) 2 1 = 3t +1+ > ( 0 0 t ∀ > ) 2 ( ) t ln 2
Do đó hàm số f (t) đồng biến trên khoảng (0;+∞). Ta có: ( + ) = ( − ) ⇔ + = − ⇔ ( + ) 2 2 2 2 2 1 2 = 2 − y f x y f xy x y xy x y − y ⇔ x = 1+ 2y Khi đó: − y + 2 P =
+ y = g ( y)( y > ) ⇒ g′( y) 5 − y>0 5 3 0 =
+ 3 = 0 →2y +1 = 2y +1 (2y + )2 1 3 15 − 3 15 −3 ⇔ y = ⇒ P = g
= 15 − 2. Chọn C. min 6 6 Câu 9: Ta có: y 2 log
= − y + 3y + x − 3 1+ x 2 2 1+ x
⇔ log y − log (2 1+ x) 2
= − y + 3y + x − 3 1+ x 2 2
⇔ log y −1− log ( 1+ x) 2
+ y − 3y = x − 3 1+ x 2 2 2
⇔ log y + y − 3y = log
1+ x + 1+ x − 3 1+ x 2 2 ( ) ( )
Xét hàm số f (t) 2
= log t + t − 3t (với t > 0) ta có: f ′(t) 1 = + 2t − 3 2 t ln 2 Lại có: 1 1 + 2t ≥ 2
.2 > 3 ⇒ f ′(t) > 0( t ∀ > 0) t ln 2 ln 2
Do đó hàm số f (t) đồng biến trên khoảng (0;+∞).
Ta có: f ( y) = f ( + x) 2 1
⇔ y = 1+ x ⇔ x = y −1 Khi đó 2
P = y −100y −1 = ( y − 50)2 − 2051≥ 2051 −
dấu bằng xảy ra ⇔ y = 50 . Vậy P = 2051 − .Chọn B. min Câu 10: Do ; 0
a b > nên a + b > 0 suy ra 2 − ab > 0 Ta có: 2
log − ab = 3ab + a + b − 7 ⇔ log 2 − ab − log a + b = 3 ab − 2 + a + b −1 3 3 ( ) 3 ( ) ( ) a + b
⇔ log 2 − ab +1+ 3 2 − ab = log a + b + a + b 3 ( ) ( ) 3 ( )
⇔ log 3 2 − ab + 3 2 − ab = log a + b + a + b 3 ( ) ( ) 3 ( )
Xét hàm số f (t) = log t + t (với t > 0) ta có: f ′(t) 1 = +1 > 0( t ∀ > 0) 3 t ln 3 Ta có: ( − ) = ( + ) 6 3 2 ⇔ 6 − 3 − b f ab f a b
ab = a + b ⇔ a = 3b +1 Khi đó b − + 6 S =
+ b = g (b)(b > ) ⇒ g′(b) 19 − b>0 19 5 0 =
+ 5 = 0 →3b +1 = 3b +1 (3b + )2 1 5 1 19 1 19 1 2 95 − 6 ⇔ b =
−1 ⇔ S = f − = . Chọn A. min 3 5 3 5 3 3 x =1+ 2sin t Câu 11: Ta có: 2 2
2x − 4y = x + y +1⇒ (x − )2
1 + ( y + 2)2 = 4 → y = 2 − + 2cost ⇒ S = ( + t) + (− + t) 2 2 4 1 2sin 3 2 2cos − 5 = 7
− + 8sin t + 6cost ≤ 7 − + 8 + 6 = 3. Dấu “=” xảy ra 4 3 13
⇔ sin t = ; cost = ⇒ P = − . Chọn C. 5 5 4
Câu 12: Ta có ( y − )2 2 2 2
1 ≥ 0 ⇒ 4y ≥ 4y −1⇒ 4y ≥ xy Với x y x > ⇒ ≤ → = + + = ( + ) 6 0 4 6. ln 2 ln 2 + = ( ); x y S t f t t = ∈( 2 − ;4] . y x y t y ⇒ f ′(t) 1 6 6 = −
= 0 ⇒ t = 3− 21 ⇒ f 3− 21 = ln 5 − 21 + . 2 ( ) ( ) t + 2 t 3− 21 Tính f ( ) 3 3
4 = ln 6 + ⇒ S ≥ + ln 6 . 2 2 Tương tự với x < ⇒ ≥ ⇒ ≥ ( ) 6 = + ( + ) x y S g u u
u = ≥ ⇒ S ≥ g ( ) 3 0 4 ln 2 ; 4 4 = + ln 6 . Chọn C. y u y 2 Câu 13: ( ) ≥ ( + ) ⇒ ≥ + ⇒ ( − ) 1 log 10 log 10 10 1 ≥ > 0 y xy x y xy x y x y y ⇒ y > ⇒ x ≥ 10 10y −1 y 1 1 ⇒ S ≥ + y ⇒ S ≥ + + y = + ( y − ) 2 + 3 3 10 1 30 3 10
1 + 4 ≥ 2 3 + 4 ⇒ S = . Chọn B. 10y −1 10y −1 10y −1 5 3 Câu 14: ( ) ≥ ( 3 + ) 3 ⇒ ≥ + ⇒ ( − ) 3 log log 1 ≥ > 0 ⇒ >1 x xy x y xy x y y x x x ⇒ y ≥ x −1 3 2 3 x x x − − x ⇒ S ≥ 2x + = f (x) → f ′(x) 3 ( ) 1 3 2 = 2 +
= 0 ⇒ 2x − 3x + 2( 2 x − 2x +1 = 0 2 ) x −1 (x − ) 1 ⇒ ( x − )( 2
2 1 x − 2) = 0 ⇒ x = (x > )
2 1 ⇒ S ≥ f ( 2) = 4+ 4 2 . Chọn C. 1 sin t 2 2 a = + Câu 15: Ta có 2 2 2 2 1 1 1 2 2
a + b ≥ a + b
→ a + b = a + b ⇒ a − + b − = → 2 2 2 1 cost b = + 2 2 ⇒ P = + t + ( + t)− = t + t ≤ + ( )2 1 2 sin 2 1 2 cos 3 2 sin 2 2 cos 2 2 2 = 10 . Chọn B. 2 Câu 16: Ta có 4 4 4 x = ; 8
y = ≤ ⇒ P = log + (log y − )2
1 = (2 − log y)2 + (log y − )2 1 . 2 2 2 2 y x y Đặt t = y − ∈[− ] 2
⇒ P = t + (t + )2 2 1 log 2 2;1
1 = 2t + 2t +1 = f t ⇒ f ′ t = 4t + 2 = 0 ⇒ t = − . 2 ( ) ( ) 2 f ( 2 − ) = 5; f ( ) 1 = 5 Tính 1 1 1 ⇒ M = 5; 6
m = ⇒ S = . Chọn A. f − = 2 2 2
Câu 17: Từ x + 3y > 0; x − 3y > 0 ⇒ (x + 3y) + (x −3y) > 0 ⇒ x > 0 . Ta có
(x + y)(x − y) 2 2 2 log 3
3 =1⇒ x − 9y =10 ⇒ x = 9y +10 2 2 ⇒ = + − = + − = ( ) ( = ≥ ) ⇒ ′( ) 18 9 10 9 10 0 t S y y t t f t t y f t = −1 = 0 2 2 9t +10 2 2 5
⇒ t + = t ⇒ t = ⇒ f (t) 5 4 5 9 10 81 ≥ f = . Chọn A. 6 6 3
Câu 18: : Từ x + 3y > 0; x − 3y > 0 ⇒ (x + 3y) + (x −3y) > 0 ⇒ x > 0 . Ta có
(x + y)(x − y) 2 2 2 log 3
3 =1⇒ x − 9y =10 ⇒ x = 9y +10 2 2 ⇒ = + − + = +
− + = ( ) ( = ≥ ) ⇒ ′( ) 18 9 10 2 1 9 10 2 1 0 t S y y t t f t t y f t = − 2 = 0 2 2 9t +10 ⇒ ( 2 t + ) 2 2 2 = t ⇒ t = ⇒ f (t) 2 2 3+ 5 2 4 9 10 81 ≥ f = . Chọn C. 3 3 3
Câu 19: log (xy) 2 2
= log x + y ⇒ xy = x + y ⇒ x + y = x y ⇒ S = x + y − 2xy = xy − 2xy . 2 2 ( )2 ( )4
Lại có x y = x + y ≥ xy ⇒ xy ≥ ⇒ S ≥ ( )4 2 2 3 3 3 3 2 4
4 − 2 4 = 2 4 . Chọn A.
Câu 20: log (xy) = log (x + y) ⇒ xy = x + y ⇒ S = (x + y)2 − 2xy = (xy)2 − 2xy . 2 2 Lại có 2
xy = x + y ≥ 2 xy ⇒ xy ≥ 4 ⇒ S ≥ 4 − 2.4 = 8 . Chọn A. Câu 21: Đặt 2 2
u = x + y +1 suy ra giả thiết u−2 ⇔ 2 + log = 3 ⇔ 2u u + 4.log u −12 = 0 . 3 3 Xét hàm số ( ) = 2u f u
+ 4.log u −12 trên (1;+∞), có f ′(u) u 4 = 2 .ln 2 + > 0; 1 u ∀ > . 3 . u ln 3
Suy ra f (u) là hàm số đồng biến trên (1;+∞) mà f ( ) 2 2
3 = 0 ⇒ u = 3 ⇒ x + y = 2 . Khi đó 3 3
S = x − y + x − y = x − y + (x − y)( 2 2
x − xy + y ) = x − y + (x − y)(2 + xy) . 2 − x − y 2 − x − y 2 2 2 2 ( )2 2
Lại có x + y = 2 ⇔ x − 2xy + y = 2 − 2xy ⇔ xy = = . 2 2 2
2 − x − y
Đặt t = x − y , do đó S = x − y + (x − y) t 2 . 2 +
= t + . 6 − t 2 2
Mà (x + y)2 + (x − y)2 = ( 2 2
x + y ) = ⇔ (x + y)2 = −(x − y)2 2 2 4 4
≥ 0 ⇔ t ≤ 4 ⇔ 0 ≤ t ≤ 2 . 3 Xét hàm số ( ) t 2 = + . 6 t f t t
− t = − + 4t trên [ ]→ f (t) 16 6 0;2 max = . 2 2 [0;2] 9 16 6 a 6 a =16 Vậy S = = →
⇒ T = a + 2b =16 + 2.9 = 34 . Chọn B. max 9 b b = 9
Câu 22: Đặt x = log b y = c z = a x y z > .
a ; logb ; logc ( ; ; 0) Khi đó 1 1 1 P = log b + + c + + a + a logb 4 log log a log c b c c a logb 1 4 1 = log b + + c + + a + a logb 4log log b log c c a a b logc Lại có 1 1 log b + ≥ b = ; 4 4 3log c + ≥ c = ; b 2 logb . 4 a 2 loga . 2 log b b log c c b log a loga b Và 1 1 4log a + ≥ a
= nên suy ra P ≥ 2 + 4 + 4 =10 . c 2 4logc . 4 log a a c logc
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 10. Chọn C.
Câu 23: Ta có log a ≥ 1− log blog c log ⇔ a bc ≥ − b c bc 2 log .log 1 log .log 2 ( 2 2 ) 2 2 ( ) 2 2 ⇔ log .
a log b + log c + log .
b log c ≥1 ⇔ log . a log b + log . b log c + log . c log a ≥1 2 ( 2 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2
xy + yz + zx ≥1
Đặt x = log a; y = log ; b lo z = g c → . 2 2 2 2 2 2
P = 10x +10y + z Lại có 2 2 2 2 2 2 2
P = x + y + x = x + z + y + z + ( 2 2 2 20 20 2 16 16 4 x + y ) . 2 2 16
x + z ≥ 8xz Mà 2 2 16
y + z ≥ 8yz suy ra 2P ≥ 8xz + 8yz + 4.2xy ⇔ P ≥ 4( xy + yz + zx) ≥ 4 . 2 2
x + y ≥ 2xy
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 4. Chọn A. 2 2 2 + + = Câu 24: Đặt 5x 16y 27z 1 x = log a; y = log ; b lo z = g c → . 2 2 2
P = 1xy + yz + zx Ta có 2 2 2
= x + y + z = ( 2 2 x + y ) + ( 2 2 y + z ) + ( 2 2 1 5 16 27 3 4 4 9 2 9z + x ) 2 2 2 2 2 2 ≥ x y + y z +
z x = (xy + yz + zx) 1 3.2 .4 2 4 .9 2.2 9 . 12 ⇒ P ≤ . 12
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 1 . Chọn B. 12
Câu 25: Đặt x = log b y = c z = a x y z > .
a ; logb ; logc ( ; ; 0) Khi đó 1 1 1 P = log b + + c + + a + a 3 logb 4 log log a log c b c c a logb 3 4 1 = log b + + c + + a + a 3logb 4log log b log c c a a b logc Lại có 3 3 log b + ≥ b = ; 4 4 3log c + ≥ = ; b 2 3logbc. 4 3 a 2 loga . 2 3 log b b log c c b log a loga b Và 1 1 4log a + ≥ a
= nên suy ra P ≥ 2 3 + 4 3 + 4 = 4 + 6 3 . c 2 4logc . 4 log a a c logc
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 4 + 6 3 . Chọn C.
Câu 26: Đặt x = log b y = c z = a x y z > .
a ; logb ; logc ( ; ; 0) Khi đó 1 1 1 P = log b + + c + + a + a 2 logb 9 log log a log c b c c a logb 2 9 1 −log b + + c + + a + a 2logb 9log log b log c c a a b logc Lại có 2 2 log b + ≥ b = ; 9 9 2log c + ≥ = ; b 2 2logbc. 6 2 a 2 loga . 2 2 log b b log c c b log a loga b Và 1 1 9log a + ≥ a
= nên suy ra P ≥ 2 2 + 6 2 + 6 = 6 + 8 2 . c 2 9logc . 6 log a a c logc log b = a 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 3 2 c = ⇒ ca = c + = + = . b b ( ) 1 3 2 2 log log logb 2 2 2 log b a 2 2 1 log a = c 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 6 + 8 2 và log ca = . Chọn A. b ( ) 2 2
Câu 27: Giả thiết ⇔ ( b + c = c − b − c − . a )2 ( b )2 log log loga loga 2logb 5 (*)
Đặt x = log b y = c ⇒ xy = c suy ra ( ) 2 2
* ⇔ x + y = xy − x − 2y −1 a ; logb loga
Khi đó P = x − y ⇔ y = x − P suy ra 2
x + (x − P)2 = x(x − P) − x − 2(x − P) −1 2 ⇔ x + ( − P) 2 3
x + P − 2P +1 = 0 ( ) 1 .
Để phương trình (1) có nghiệm ⇔ = ( − P)2 − ( 2 P − P + ) 5 Δ 3 4 2 1 ≥ 0 ⇔ 1 − ≤ P ≤ . 3 Do đó 5 min P = 1
− ; max P = . Vậy S = m + M = (− ) 5 2 3
2. 1 + 3. = 3. Chọn C. 3 3
Document Outline
- ITMTTL~1
- IIBITP~1
- IIILIG~1