26 trang 65 lượt tải

Bài toán min – max mũ và logarit

129

Tài liệu gồm 26 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề Bài toán min – max mũ và logarit

Chủ đề: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT) 188 tài liệu

Môn: Toán 11 3.3 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Kim Oanh

1 năm trước
Danh sách Quiz
/26
CHỦ ĐỀ 10: BÀI TOÁN MIN – MAX LOGARIT
1. Công thức lôgarit
Giả sử
0, 1aa>≠
và các số A, B, N,… > 0 ta có các công thức sau đây:
•
(
)
log log log
a ab
AB A B= +
.
Mở rộng
(
)
12 1 2
log ... log log ... log
a N a a aN
AA A A A A
= + ++
.
•
log log log
a aa
A
AB
B
= −
. Hệ quả
1
log log
a
N
N
= −
.
•
log .log
aa
NN
α
α
=
•
1
log .log
n
aa
NN
n
=
Công thức đổi cơ số: Giả sử a, b dương và khác 1;
, 0
cx
>
ta có
•
log .log log
ab a
bc c=
và
.
•
1
log log
a
a
xx
α
α
=
và
log .log
n
a
a
xn x=
.
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D( f(x) xác định và liên tục trên D)
Phương pháp giải
- Bước 1: Tính
( )
y fx
′′
=
, tìm tất cả các nghiệm
i
x
của phương trình
( )
0fx
′
=
và các điểm
i
α
làm cho
( )
fx
′
không xác định.
- Bước 2:
• Trường hợp 1:
[ ]
;
D ab
∈
. Tính các giá trị
( ) ( ) ( ) ( )
,, ,
ii
fa fb fx f
α
.
Với
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
min min , , ,
,;
max max , , ,
ii
D
ii
ii
D
fx fa fb fx f
x ab
fx fa fb fx f
α
α
α
=
∈ →
=
.
• Trường hợp 2:
[ ]
;D ab∉ →
Lập bảng biến thiên suy ra min, max.
Chú ý: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đơn điệu trên đoạn
[ ]
;
ab
.
Nếu hàm số
( )
y fx
=
đồng biến với
[ ]
[ ]
( )
[ ]
( )
;
;
; min ;max
ab
ab
xab yfa yfb∀∈ ⇒ = =
.
Nếu hàm số
( )
y fx=
nghịch biến với
[ ]
[ ]
( )
[ ]
( )
;
;
; min ;max
ab
ab
xab yfb yfa∀∈ ⇒ = =
.
3. Các bất đẳng thức quen thuộc
a) Bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực dương:
2a b ab+≥
.
Mở rộng bất đẳng thức AM – GM cho ba số thực dương:
3
3
a b c abc
++≥
.
b) Bất đẳng thức Bunhiacopxki:
( )
( )( )
2
222 2
abcd acbd
+ ≤+ +
.
c) Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức
( )
2
22
xy
xy
a b ab
+
+≥
+
.
Ví dụ 1: Cho
( )
3
log
a
m ab=
, với
,1
ab
>
và
2
log 16log
ab
Pb a= +
. Khi biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất thì
giá trị của m bằng
A.
2m =
. B.
1m
=
. C.
1
2
m
=
. D.
4
m =
.
Lời giải:
Ta có:
( )
2
2
16
log 16log log
log
a ba
a
Pb a b
b
=+=+
Đặt
log
a
tb=
vì
, 1 log 0
a
ab b t
>⇒ =>
Khi đó
22 2
3
16 8 8 8 8
. . 12Pt t t
t t t tt
= + = ++≥ =
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2
8
2 log 2
a
tt b
t
= ⇔= ⇔ =
.
Lại có
( )
( ) ( )
1
3
3
11
log log log 1 log 1
33
aa a a
m ab ab ab b= = = =+=
. Chọn B.
Ví dụ 2: Cho x, y là số thực dương thỏa mãn
(
)
2
ln ln lnx y xy+≥ +
. Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P
của biểu
thức
Pxy
= +
.
A.
min
6P =
. B.
min
22 3P = +
. C.
min
32 2P = +
. D.
min
17 2P = +
.
Lời giải:
Ta có
( )
( )
( )
(
)
2 22 2
ln ln ln ln ln 1
x y xy xy xy xyxy yx x+ ≥ +⇔ ≥ +⇔≥+⇔ −≥
.
Mà
,0xy>
suy ra
( )
2
1 0 10 1yx x x x−≥ >⇔−>⇔>
. Khi đó
( )
2
2
1
1
x
yx x y
x
−≥ ⇔≥
−
.
Do đó, biểu thức
( )
22
2
11
x xx
P x y x fx
xx
−
= + = + → =
−−
.
Xét hàm số
( )
fx
trên khoảng
( )
1; +∞
, có
( )
( )
2
2
2 41
, 1
1
xx
fx x
x
−+
′
= ∀≠
−
.
Phương trình
( )
2
1
22
0
2
4 10
x
fx x
xx
>
+
′
=⇔ ⇔=
− +=
.
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra
( )
2 22
min 3 2 2
2
fx f

+
= = +



.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là
min
3 22
P = +
. Chọn B.
Nhận xét. Vì hàm số
ln
yx
=
đồng biến trên khoảng
(
)
0;
+∞
nên
(
) (
) (
)
( )
ln lnf x gx f x gx
>⇔ >
.
Ví dụ 3: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn
( )
log 2 log logxy x y+= +
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
4
12
1
.
x
y
y
x
Pee
+
+
=
.
A.
5
8
min
Pe=
. B.
min
Pe=
. C.
8
5
min
Pe=
. D.
1
2
min
Pe
=
.
Lời giải:
Từ giả thiết, ta có
( ) ( ) ( )
log 2 log log log 2 log 2
xy x y xy xy xyxy
+= + ⇔ += ⇔+=
.
Ta có
2
2
22
22
2
1
12
.
4
1 2.
12 412
11
2
..
x
y
xx
yy
x
y
yy
xx
Peeeee



+
+
+
++
++
= = =
. Đặt
2
x
a
by
=
=
, giả thiết
a b ab⇔+=
.
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được
( )
2
4
4
ab
ab ab ab
+
+= ≤ ⇔+≥
Và xét biểu thức
( )
( )
( )
2
22 2
12 12 22 1
ab
ab t
T ft
b a ab t
+
= + ≥ → =
+ + ++ +
với
4
t ab=+≥
.
Xét hàm số
( )
ft
trên
[
)
4; +∞
, có
( )
(
)
( )
2
2
2
0
1
tt
f t ft
t
+
′
= >⇒
+
là hàm số đồng biến trên
[
)
4; +∞
Do đó
(
) (
)
16
4
5
ft f≥=
suy ra
8
5
8
5
T
T Pe e≥ → = ≥
. Chọn C
Nhận xét. Bài toán có sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức
( )
2
22
xy
xy
a b ab
+
+≥
+
.
Ví dụ 4: Cho x, y là số thực dương thỏa mãn
( ) ( )
44
log log 1xy xy++ −≥
. Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P
của
biểu thức
2P xy= −
.
A.
min
4P =
. B.
min
4
P = −
. C.
min
23P
=
. D.
min
10 3
3
P =
.
Lời giải:
Điều kiện:
0xy>>
. Từ giả thiết, ta có
( )( ) ( )
22
4
log 1 4 *xyxy x y+ − ≥⇔ − ≥


Ta có
22P xy y xP= −⇔= −
thế vào (*), ta được
( )
2
2
24
x xP−−≥
.
( )
22222
4 4 4 3 4 4 0 *x x xP P x xP P⇔ − + − ≥⇔ − + +≤
Để bất phương trình (*) có nghiệm
( )
( )
2
22
Δ = 2 3 4 0 12 0 2 3PP P P
′
− − + ≥⇔ − ≥⇔ ≥
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
min
23P =
.Chọn C.
Ví dụ 5: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Xét các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện
3
1
log 3 2 4
2
xy
xy x y
xy
−
= ++ −
+
. Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P
của
Pxy= +
.
A.
min
9 11 19
9
P
−
=
. B.
min
9 11 19
9
P
+
=
. C.
min
18 11 29
21
P
−
=
. D.
min
2 11 3
3
P
−
=
.
Lời giải:
Ta có
( ) ( )
3 33
1
log 3 2 4 log 1 log 2 3 2 4
2
xy
xy x y xy x y xy x y
xy
−
= ++ −⇔ − − + = ++ −
+
(
) (
)
33
2 3 log 3 3 2 log 2xy xy x y x y⇔− + − =+ + +
Xét hàm số
( )
3
logft t t= +
trên khoảng
( )
0; +∞
, có
( )
1
1 0, 0
.ln 3
ft t
t
′
= + > ∀>
Suy ra
( )
ft
là hàm số đồng biến trên khoảng
( )
0; +∞
Mà
( ) (
)
3
33 2 33 2
32
x
f xy f x y xy x y y
x
−
− = + ⇔− =+ ⇔ =
+
.
Khi đó, biểu thức
( )
22
333 33
32 32 32
x xx xx
P x y x fx
xx x
− ++ ++
= + = + = → =
++ +
Xét hàm số
( )
fx
trên khoảng
( )
0; +∞
, có
( )
( )
2
2
9 12 7
, 0
32
xx
fx x
x
+−
′
= ∀>
+
.
Phương trình
( )
2
0
11 2
0
3
9 12 7 0
x
fx x
xx
>
−
′
=⇔ ⇔=
+ −=
.
Tính
( )
11 2 2 11 3 3
,0
33 2
ff

−−
= =



và
( )
( )
( )
0;
2 11 3
lim min
3
x
fx fx
→+∞ +∞
−
= + ∞ → =
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là
min
2 11 3
3
P
−
=
. Chọn D.
Ví dụ 6: Cho hai số thực x, y thỏa mãn
22
1xy+>
và
( )
22
log 2 1
xy
xy
+
+≥
. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2P xy= +
. Tính
Mm+
.
A.
min
4P
=
. B.
min
4P
=
. C.
min
23P =
. D.
min
10 3
3
P =
.
Lời giải:
Vì
22
1xy+>
suy ra
(
)
22
log
xy
y fx
+
=
là hàm số đồng biến trên tập xác định.
Khi đó
( )
( )
22 22
22 22
log 2 log 2
xy xy
xy xy xyxy
++
+ ≥ + ⇔+ ≥ +
( )
( )
2
2
22 2 2
1 51 5
2 0 21 1
4 42 4
xxy y xx y y x y

⇔ −+ − ≤⇔ −+ + − + ≤ ⇔ − + − ≤


Xét biểu thức P, ta có
11
2212212
22
Pxyxy xyP
 
= += − +−+⇔ − +−=−
 
 
.
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, có
( )
( )
2
2
2
2
22
11
2 1 2 1. 1
22
xy x y


 
− +− ≤ + + + −

 

 



( )
min
2
max
1
5 25 5 5 1 9
2
2 5. 2
9
45 2 2 2 2
2
P
P PP
P
= −
⇔ − ≤ = ⇔− ≤ − ≤ ⇔− ≤ ≤ →
=
.
Vậy tổng
91
4
22
Mm

+ = +− =


. Chọn C.
Ví dụ 7: [Đề thi Thử nghiệm 2017 – Bộ GD&ĐT] Xét các số thực a, b thỏa mãn điều kiện
1
ab>>
. Tìm
giá trị nhỏ nhất
min
P
của biểu thức
( )
22
log 3log
ab
b
a
Pa
b

= +


.
A.
min
19
P =
. B.
min
13P =
. C.
min
14
P
=
. D.
min
15P =
.
Lời giải:
Ta có
( )
( ) ( )
2
22
2 22
44 4
log 4 log
log log 1 log
log
aa
bb
aa a
a
aa
ab b
a
b

= = = =

−−




.
Khi đó biểu thức
( ) (
)
22
4 43
3log 3 3
log
1 log 1 log
b
a
aa
Pa
b
bb
= + −= + −
−−
.
Đặt
log
a
tb=
với
1
0
1
a
t
b
>
⇒>
>
suy ra
( )
(
)
2
43
3
1
P ft
t
t
= = +−
−
.
Xét hàm số
( )
ft
, có
( )
(
)
( )
3
2
83 1
, 0
3
1
ft ft t
t
t
′′
=− − = ⇔=
−
.
Tính
( )
1
1
15, lim
3
t
f ft
→

= = +∞


và
( )
0
lim
t
ft
→
= +∞
.
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
ft
là 15.
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là
min
15P =
. Chọn D.
Ví dụ 8: Cho các số thực a, b thỏa mãn
1, 1ab
>>
.
Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P
của biểu thức
( )
2
27
2log log 4log
2
ab ab a
P a b ab= ++
.
A.
min
36P
=
. B.
min
24P
=
. C.
min
48P =
. D.
min
32P =
.
Lời giải:
Xét biểu thức P, ta có
27 2 1
4log 4
2 log log
a
ab
Pb
ab ab

= + ++


.
Đặt
(
)
1
log 0 log
ab
t bt a
t
= >⇔ =
. Khi đó
2
27 2
44
211
t
Pt
tt

= + ++

++

.
Xét hàm số
(
)
2
27 2
4
22
t
ft t
t
+

= +

+

với
( )
0;t ∈ +∞
, có
( )
( )( )
( )
2
3
22 5
02
1
tt
ft t
t
−+
′
= = ⇔=
+
.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng
(
)
ft
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
( )
min
2 32 36fP=⇒=
. Chọn A.
Ví dụ 9: Cho hai số thực
1ab
≥>
. Biết rằng biểu thức
2
log
log
a
ab
a
T
ab
= +
đạt giá trị lớn nhất là M
khi
có số thực m sao cho
m
ba=
. Tính
PMm
= +
.
A.
23
8
Mm−=
. B.
81
16
Mm−=
. C.
19
8
Mm
−=
. D.
51
16
Mm−=
.
Lời giải:
Xét biểu thức T, ta có
2log log log 2log 1 log 2
a aa a a
T ab a b b b
= + − = +− +
.
Đặt
log
a
tb=
với
(
]
;1t ∈ −∞
, khi đó
( )
21 2T ft t t= = + −+
.
Xét hàm số
( )
ft
trên khoảng
(
]
;1−∞
, có
( ) ( )
1 15
2 ;0
16
21
ft ft t
t
′′
=− = ⇔=
−
.
Tính
( )
15 33
1 4,
16 8
ff

= =


và
( )
lim
t
ft
→−∞
= −∞
.
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra giá trị lớn nhất của hàm số
( )
ft
là
33
8
.
Vậy
33
8
M =
và
15 51
log
16 16
m
a
ba m bt Mm= ⇔= == ⇒ −=
. Chọn D.
Ví dụ 10: Cho a, b là các số thực dương khác 1. Biết rằng biểu thức
( )
log log
log log
ab
ab
b
a
a
P
ab a
+
=
+
đạt giá trị nhỏ
nhất bằng M khi
m
ba=
. Tính
Mm+
.
A.
2
Mm
+=
. B.
2
3
Mm+=
. C.
4
3
Mm+=
. D.
0
Mm+=
.
Lời giải:
Xét biểu thức P, ta có
log log log log log 1
log log log log log 1
aab ab
aab ab
baa ba
P
aba ba
−+ +−
= =
++ ++
.
Đặt
1
log log
ab
tb a
t
=⇔=
với
t ∈
, khi đó
( )
2
2
1
1
1
1
1
1
t
tt
t
P ft
tt
t
t
+−
−+
= = =
++
++
.
Xét hàm số
( )
ft
trên khoảng
( )
;−∞ +∞
, có
( )
( )
( )
( )
2
2
2
21
, 0 1
1
t
ft ft t
tt
−
′′
= = ⇔=±
++
.
Tính
( )
( )
1
1 , 13
3
ff= −=
và
( )
lim 1
t
ft
→∞
=
suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
ft
bằng
1
3
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 log 1
a
t b ab=⇔ =⇔=
.
Vậy
1 14
, 1 1
3 33
m
M ba a m Mm= = = ⇒ = → + = + =
. Chọn C.
Ví dụ 11: Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn
22
34b ab a
= +
và
32
4; 2a

∈

. Gọi M, m lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
8
3
log 4 log
44
b
b
Pa= +
. Tính tổng
TMm= +
.
A.
3701
124
T
=
. B.
7
2
T =
. C.
2957
124
T
=
. D.
1897
62
T =
.
Lời giải:
Từ giả thiết, ta có
2
22
1
3 4 4. 3. 1 0 4
4
aa a
b ab a b a
bb b

= + ⇔ + −= ⇔ = ⇔ =


.
Khi đó
( )
2 22 2
88
3 3 13 3
log 4 log log log log 4 log
44 4 4 2
log
8
bb
b
b
Pa b b b
b
= + =+ −=+ −
2
222
2
2
log
133133 33
log log log
3
1log842 42log342
1
log
b
b
bbb
b
b
= +−= +−= +−
−−
−
.
Đặt
2
logtb=
với
[ ]
32 34
2
4;2 16 2 4 log 34 4;34a b bt

∈ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒∈

.
Xét hàm số
( )
3
34
t
ft t
t
= +
−
với
[ ]
4;34t ∈
, ta có
( )
( )
( )
[ ]
2
2
3 65
; 4;34
43
tt
ft t
t
−+
′
= ∀∈
−
.
Phương trình
( )
( ) ( ) ( )
2
4 34
25 1649
0 5 4 7, 5 , 34
4 62
6 50
t
ft t f f f
tt
≤≤
′
= ⇔ ⇔=⇒ = = =
− +=
.
Suy ra
[ ]
( ) ( )
[
]
( )
( )
max
4;34
min
4;34
1649 778
max 34
3701
62 31
25 19
124
min 5
44
ft f M P
TMm
ft f m P

= = = =


⇒ ⇒= +=


= = = =


. Chọn A.
Ví dụ 12: Cho các số thực a, b thỏa mãn điều kiện
1
4, , 1
2
ab a b=≥≥
. Tìm giá trị lớn nhất
max
P
của biểu
thức
33
11
22
log log 1Pa b

= +−


.
A.
max
63P = −
. B.
max
6P = −
. C.
max
27
4
P = −
. D.
max
0P
=
.
Lời giải:
Đặt
1
2
logxa=
và
1
2
logyb
=
suy ra
( )
111 1
222 2
log log log log 4 2x y a b ab+= + = = =−
.
Khi đó
(
)
3
3
1Px y=+−
mà
( )
3
32
2 2 3 9 27 27xy y x Px x x x+ =−⇔ =−− ⇒ = +−− =− − −
.
( )
2
22
max
3 9 27 3 27 27 27
9 3 3 9 2. 9
244 2 4 4 4
xx x x x P
−

=− ++=− + + − =− + − ≤ ⇒ =−


.
Dấu “=” xảy ra
31
1
22
2
1
2
3
log
2
31 1 1
;
1
22 2 2
log
2
a
xy a b
b
−−
= −
 
⇔=−⇒=−→ ⇔= =
 
 
= −
. Chọn C.
Ví dụ 13: Cho hai số thực a, b thỏa mãn
01ab
<<<
và biểu thức
log 4log
4
aa
b
b
Pa a

=−+


đạt giá trị
nhỏ nhất. Tính
S ab
= +
.
A.
5
16
S =
. B.
5
8
S =
. C.
5
4
S =
. D.
5
32
S =
.
Lời giải:
Ta có
( )
1 11
log log
2 2 1 log
2log
aa
a
bb
a
aa
a
b
b
= = =
−
.
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
2.
44
bb
a a ab+≥ =
.
Do
(
)
1 log log 4log 4log 2 1 log
44
aa a a a
bb
a a ab a ab b
 
< ⇒ + ≤ ⇒− + ≥− =− +
 
 
.
Suy ra
( )
( )
( )
( ) ( )
11
21 log 21
21 log 21
a
a
P b x fx
bx
= −+ = −+=
−−
, với
log
a
xb
=
.
Do
0 10log 10 1
a
ab b x< < <⇒ < <⇒ < <
Xét trên khoảng
( )
0;1
có
(
)
( )
( )
2
11
20
2
21
fx fx x
x
′′
=−+ ⇒ = ⇔ =
−
.
Suy ra
( )
1
2
2
fx f

≥=−


. Vậy
( )
( )
min
0;1
1
min 2
2
P fx f

= = = −


.
Dấu “=” xảy ra
1
5
16
4
1
1
16
log
2
4
a
b
a
a
S ab
bx
b
=
=

⇔ ⇔ ⇒ =+=


= =
=
. Chọn A.
Ví dụ 14: Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện
1
1
4
ab<<<
. Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P
của biểu thức
1
log log
4
ba
b
Pa a

= −+


.
A.
1
2
. B.
9
2
. C.
19
4
. D.
7
2
.
Lời giải:
Ta có
( )
11
log
2 1 log
2log
a
a
b
a
a
a
b
b
= =
−
.
Và
2
2 22
11 1 1 2
0 log log
4 2 4 4 log
bb
a
aa a a a a a
b
 
−+ = − ≥⇔− ≤ ⇒ − ≥ =
 
 
, với
1
;1
4
b

∈


.
Vậy
( )
(
)
( )
1 2 1 21
log log
4 log 2 1 log 2 1
ba
aa
b
P a a fx
b bx x

= −+ ≥ + =+ =

−−

, với
log
a
xb=
.
Do
( )
1
1 0 log 1 0;1
4
a
ab b x< < <⇒ < <⇒∈
. Xét
( )
( )
21
21
fx
xx
= +
−
trên
( )
0;1
, có
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
22
22
21 21 2
, 0 0 4 1
3
21 21
fx fx x x x
xx
xx
′′
=−+ =⇔−+ =⇔ − =⇔=
−−
.
Suy ra
( )
29
32
P fx f

≥≥ =


. Dấu “=” xảy ra khi
2
log
3
a
bx⇔==
. Chọn B.
Ví dụ 15: Cho hai số thực a, b thỏa mãn
1
1
6
ab<<<
. Biết rằng biểu thức
2
2
3
1
log log
2
ba
a
b
Pa
a
= −
đạt giá
trị nhỏ nhất bằng m khi có số thực n sao cho
n
ba=
. Tính
S mn= +
.
A.
1
2
S =
. B.
1
2
S
=
. C.
3
2
S = −
. D.
5
2
S =
.
A. T B. T C. T D. T
Lời giải:
Ta có
( )
2
22
2
3
2
1 11
log .log , log 2log 3
4
4 log 1
4log
b b aa
aa
a
a
b
aa b
b
a
b
a
= = = = −
−
.
Vậy
( ) ( )
( )
22
11 1
. 2log 3 2 3
2
4 log 1 8 1
a
a
P b x fx
bx
= − += − +=
−−
, với
log
a
xb=
.
Do
( )
0 0 log 1 0;1
a
aba b x< < < ⇒ < <⇒∈
.
Xét
( )
( )
2
1
23
81
fx x
x
= −+
−
trên
( )
0;1
, có
( )
( )
( )
(
)
(
)
3
33
1 1 11
2, 0 2 0 1
82
41 41
fx fx x x
xx
′′
=− − =⇔+ =⇔ − =−⇔=
−−
Suy ra
( )
15
22
P fx f

=≥=


. Dấu “=” xảy ra
1
2
1
log
2
a
bx ba⇔ == ⇔=
.
Vậy
51
, 3
22
m n S mn= = ⇒ = +=
. Chọn B.
Ví dụ 16: Gọi a, b, c là ba số thực khác 0 và thay đổi thỏa mãn điều kiện
3 5 15
ab c−
= =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
( )
222
4P a b c abc= + + − ++
.
A.
5
3 log 3−−
. B.
4−
. C.
23−−
. D.
3
2 log 5−−
.
Lời giải:
Ta có
3
5
15
log
11 1
3 5 15 log log 3; log 5; log 15
log
ab c
tt t
at
tb t
ab c
ct
−
=
= = =⇔ = ⇔ = = −=
−=
.
Mặt khác
(
)
11 1 111
log 3 log 5 log 3.5 log 15 0 0
tt t t
ab bc ca
ab c abc
+ = = ⇒+=−⇔++=⇔ + + =
.
Khi đó
( ) ( ) ( ) (
) ( )
22
24 4P abc abbcca abc abc abc= ++ − + + − ++ = ++ − ++
( ) ( ) ( )
22
2
min
2.2 2 4 2 4 4 4abc abc abc P= ++ − ++ + −= ++− −≥−⇒ =−
. Chọn B.
Ví dụ 17: Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện
0, 0 2ab> <<
.
Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P
của biểu thức
( )
(
)
2
2
22
2
2
a
aa
a
aa
b
b
P
b
b
+
= +
−
.
A.
min
9
4
P
=
. B.
min
7
4
P
=
. C.
min
13
4
P =
. D.
min
4P =
.
Lời giải:
Ta có
( )
( )
( )
( )
2 22
2
2 2 2 .b 2
1
22
2 2 2.2 .2
a
a a aa a
aa
a a a ab a
b
b
P
bb
bb
+
= + = ++
− −+
.
Đặt
22
a
a
a
t
bb

= =


, vì
( )
2
0; 2 1b
b
∈ ⇔>
và
ao>
suy ra
2
11
a
t
b

>⇔>


.
Khi đó
( ) ( )
22
22
2
2 .b
1
21 212
22
2 2.2 .2
2. 1
a
aa
aa
a ab a
t tt
b
P
tt tt
b
bb



= = → = + +
−+ −+
 
−+
−+
 
 
.
Xét hàm số
( )
2
2 12
tt
ft
tt
= +
−+
trên khoảng
( )
1; +∞
, có
( )
( )
32
3
33
, 1
21
t tt
ft t
t
− +−
′
= ∀>
−
.
Phương trình
( )
( )
2
32
1
1
03
3 30
3 30
t
t
ft t
tt t
t tt
>
>
′
= ⇔ ⇔ ⇔=

− +− =
− +− =
.
Tính
(
) (
)
1
9
3 , lim
4
t
f ft
+
→
= = +∞
và
( )
lim
t
ft
→+∞
= +∞
suy ra
( )
(
) ( )
1;
9
min 3
4
ft f
+∞
= =
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là
min
9 13
1
44
P = +=
. Chọn C.
Ví dụ 18: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn
( )
2 22
2 222
5 16.4 5 16 .7
xy xy yx− − −+
+=+
.
Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P
của biểu thức
2 16xy
P
x
+
=
.
A.
min
16P =
. B.
min
8P =
. C.
min
12P
=
. D.
min
10
P =
.
Lời giải:
Đặt
2
2tx y= −
, khi đó giả thiết
( )
22
2
22
54 54
5 16.4 5 16 .7
77
tt
t tt
tt
+
−
+
++
⇔+ = + ⇔ =
.
Xét hàm số
( )
54 1 4
5.
7 77
aa
a
a
fa
+
 
= = +
 
 
, có
( )
1144
5. .ln .ln 0,
7777
aa
fa a
  
′
= + < ∀∈
  
  
.
Suy ra
( )
fa
là hàm số nghịch biến trên
mà
( ) ( )
2 2 22 2ft f t t t t+ = ⇔+ = ⇔=
.
Do đó
( )
( )
2
22 2
. 2 16
16
222 2 2
xx
x y y x P x fx
xx
−+
− = ⇔ = − → = = + − =
.
Xét hàm số
( )
2
16
2
fx x
x
=+−
trên khoảng
(
)
0;
+∞
, có
( )
( )
2
16
2, 0 2
fx x fx x
x
′′
= − =⇔=
.
Tính
( )
( )
0
2 10, lim
x
f fx
+
→
= = +∞
và
( )
lim
x
fx
→+∞
= +∞
suy ra
( )
( ) ( )
0;
min 2 10fx f
+∞
= =
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là
min
10
P =
. Chọn D.
Ví dụ 19: Cho hai số thực
1, 1
ab
>>
thỏa mãn phương trình
2
1
.1
xx
ab
−
=
có hai nghiệm phân biệt
12
,xx
.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
2
12
12
12
4
xx
S xx
xx

= −+

+

thuộc khoảng nào dưới đây?
A.
3
1;
2



. B.
5
2;
2



. C.
9
;5
2



. D.
7
;4
2



.
Lời giải:
Ta có
( )
( )
22
1 12
. 1 log . log 1 .log 1 0 *
xx xx
b ba
ab ab x x b
−−
=⇔ = ⇔ + −=
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
( )
2
Δ log 4 0
a
b⇔ = +>
(luôn đúng).
Khi đó, theo hệ thức Viet ta được
12
2
12
log
1
4log
1
log
a
a
a
xx b
S bb
xx
+=−
→ = +
= −
.
Lại có
2
3
3
2 22
1 11
4log 2log 2log 3 4log . 3 4
log log log
a aa a
a aa
bb b b b
bb
+= + +≥ =
Suy ra
3
34S ≥
. Dấu bằng xảy ra
( )
3
2
3
1 11
2log log log
log 2
2
a aa
a
b bb
b
⇔ =⇔ =⇔=
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là
3
9
3 4 ;5
2

∈


. Chọn C.
Nhận xét:
• Bài toán áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số thực dương
3
3a b c abc++≥
• Với điều kiện
1, 1 log 0
a
ab b> > → >
nên áp dụng được bất đẳng thức AM – GM.
Ví dụ 20: Cho
0, 0xy>>
thỏa mãn
( )
( )
2
21
2
2
2018
1
xy
xy
x
−+
+
=
+
.
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
23P yx= −
.
A.
1
2
. B.
7
8
. C.
3
4
. D.
5
6
.
Lời giải:
Ta có
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
21
2
2 1 22
2
2
2018 1 .2018 2 .2018 *
1
xy
x xy
xy
x xy
x
−+
++
+
= ⇔+ = +
+
.
Xét hàm số
( )
2
.2018
t
ft t=
trên
(
)
0;
+∞
, có
( )
22
2018 2 .2018 .ln 2018 0
tt
ft t
′
=+>
.
Suy ra
( )
ft
là hàm đồng biến trên
( )
0;
+∞
nên
( )
(
) ( )
2
* 12f x f xy

⇔ += +

( )
2
22
1 2 2 12 1
x xy x x xy yx⇔ + = +⇔ + += +⇔= +
.
Khi đó
(
)
( )
2
22
1 77
232 132 32 43
8 88
P yx x x x x x
=−= +−= −+= − +≥
.
Dấu bằng xảy ra khi
3 25
4 30
4 16
xxy− = ⇔ = → =
. Vậy
min
7
8
P =
. Chọn B.
Ví dụ 21: Cho
0, 0ab>>
thỏa mãn
( )
( )
22
321 6 1
log 9 1 log 3 2 1 2
a b ab
ab ab
++ +
+ ++ + +=
.
Giá trị của biểu thức
2ab+
bằng
A. 6. B. 9. C.
7
2
. D.
5
2
.
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có
( )
(
)
( )
( )
22 22
321 6 1 321 6 1
2 log 9 1 log 3 2 1 2 log 9 1 .log 3 2 1
a b ab a b ab
ab ab ab ab
++ + ++ +
= +++ ++≥ ++ ++
(
)
(
)
22 22 22
61 61
1log91log9119161
ab ab
ab ab ab ab
++
⇔≥ ++⇔ ++≤⇔ ++≤ +
(
) (
)
22
2
3 2.3 . 0 3 0 3 0 3a abb ab ab b a⇔ − + ≤⇔ − ≤⇔ −=⇔=
.
Dấu bằng xảy ra
(
)
( )
22
321 6 1
log 9 1 log 3 2 1 1
a b ab
ab ab
++ +
⇔ + += + +=
Khi đó, ta có hệ
(
)
22 22
33
13
;;
22
9 1321 9 32
ba ba
ab
ab ab ab ab
= =


⇔ ⇔=


+ += + + + = +


.
Vậy
1 31 7
2 2. 3
2 22 2
ab+ = + = +=
. Chọn C.
Ví dụ 22: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện
41xy y≤−
.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
62
2
ln
xy
xy
P
xy
+
+
= +
bằng
lnab+
. Tích
.ab
bằng
A. 45. B. 115. C. 108. D. 81.
Lời giải:
Ta có
2
22
4 14 1 1
41 42 4
xy
xy y
y y yy y

−
≤ −⇔ ≤ = − = − − ≤


Lại có
( )
62
26
ln 12 ln 2
xy
xy y x
P
x y xy
+

+
= + =++ +


.
Đặt
(
]
0; 4
x
t
y
= ∈
khi đó
( ) (
)
6
12 ln 2
P ft t
t
= = ++ +
.
Xét hàm số
( ) (
)
6
12 ln 2ft t
t
= ++ +
trên
(
]
0; 4
, có
( )
2
61
2
ft
tt
′
=−+
+
;
Dựa vào bảng biến thiên, ta được
(
]
( ) ( )
0;4
27
min 4 4 ln 6
6
ff= = +
Do đó
27
27
min ln 6 ln
6
6
6
a
P ab
b
=
= + = + →
=
. Vậy
27
. 6. 81
6
ab= =
. Chọn D.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn
1
3 ln 9 3 3
3
xy
xy x y
xy
++
+ = −−
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P xy
=
.
A.
1
9
. B.
1
3
. C. 9. D. 1.
Câu 2: Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn
( )
22
35
5 13 2
35
xy
xy xy
xy
x yx
+ −−
+ + += + + −
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
2
Sx y= +
.
A.
6 23−
. B.
4 26+
. C.
4 26−
. D.
6 23+
.
Câu 3: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn
2
1
log 2 3
ab
ab a b
ab
−
= ++−
+
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2Pa b= +
.
A.
2 10 3
2
−
. B.
2 10 1
2
−
. C.
2 10 5
2
−
. D.
3 10 7
2
−
.
Câu 4: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn
( )
22
23
log 11 20 40 1
x xy y
xy
++
+ −=
. Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của
y
S
x
=
. Tính
ab+
.
A.
10ab+=
. B.
2 14ab+=
. C.
11
6
ab+=
. D.
7
2
ab+=
.
Câu 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện
( )
22
2
log 3 1
xy
xy
++
++ ≥
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
346Sxy=+−
.
A.
56 9
2
−
. B.
56 3
2
−
. C.
53 5
2
−
. D.
56 5
2
−
.
Câu 6: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn
( )
2
log log logx y xy+≥ +
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3Px y= +
.
A. 1. B.
3
2
. C. 9. D.
1
2
.
Câu 7: Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn
2
1
1
3 22 2 4
3
xy
xy
xy x y
+
−

− =− −−


. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
23P xy= +
.
A.
62 7−
. B.
10 2 1
10
+
. C.
15 2 20−
. D.
32 4
2
−
.
Câu 8: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn
( )
( )
33
2
log 8 1 2 3
1
xy
x y x y xy xy
xy
+
+ +++ = − − +
−
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
3Px y= +
.
A.
1 15
2
+
. B.
15 3
2
+
. C.
15 2
−
. D.
2 15 3
6
+
.
Câu 9: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn
2
2
log 3 3 1
21
y
y yx x
x
=− + +− +
+
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
100Px y= −
.
A. −2499. B. −2501. C. −2500. D. −2490.
Câu 10: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn
3
2
log 3 7
ab
ab a b
ab
−
= ++−
+
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
5Sa b= +
.
A.
2 95 6
3
−
. B.
4 95 15
12
+
. C.
3 95 16
3
−
. D.
5 95 21
3
−
.
Câu 11: Cho hai số thực x, y thỏa mãn
( )
22
1
log 2 4 1
xy
xy
++
−=
.
Tính
x
P
y
=
khi biểu thức
435S xy=+−
đạt giá trị lớn nhất.
A.
8
5
P =
. B.
9
5
P =
. C.
13
4
P = −
. D.
17
44
P =
.
Câu 12: Cho hai số thực x, y thỏa mãn
41xy y
≤−
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
62
ln
y xy
S
xy

+
= +


.
A.
24 ln 6+
. B.
12 ln 4+
. C.
3
ln 6
2
+
. D.
3 ln 4
+
.
Câu 13: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn
( )
log log 1 logx y xy+ +≥ +
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
3
Sx y= +
.
A.
13
10
+
. B.
23
5
+
. C.
33
30
+
. D.
13
4
+
.
Câu 14: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn
( )
3
log log logx y xy+≥ +
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2S xy= +
là
A.
22 2−
. B.
3
8
. C.
4 42+
. D.
3 22+
.
Câu 15: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn
22
1ab+>
và
( )
22
log 1
ab
ab
+
+≥
. Giá trị lớn nhất của biểu
thức
243P ab=+−
là
A.
10
2
. B.
10
. C.
2 10
. D.
1
10
.
Câu 16: Cho hàm số x, y thay đổi thỏa mãn
1
4, , 1
2
xy x y=≥≥
. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
2
2
22
log log 1Px y=+−
. Tính
2SM m= +
.
A.
6S
=
. B.
11S
=
. C.
21
2
S
=
. D.
11
2
S =
.
Câu 17: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
log 3 log 3 1xy xy++ −=
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
Sxy= −
.
A.
45
3
. B.
22
3
. C.
10
. D. 1.
Câu 18: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
log 3 log 3 1xy xy++ −=
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
21Sx y=−+
.
A.
10 1+
. B.
52 3
2
−
. C.
3 52
3
+
. D.
3 25
3
+
.
Câu 19: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn
(
)
22 4
log log logx y xy
+= +
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
22
Sx y= +
.
A.
3
24
. B.
22
. C. 4. D.
3
42
.
Câu 20: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn
( )
22 2
log log logx y xy
+= +
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
22
Sx y= +
.
A. 8. B. 4. C. 16. D.
82
.
Câu 21: Cho các số thực x, y thỏa mãn
( )
22
1 22
3
2 log 1 3
xy
xy
+−
+ + +=
. Biết giá trị lớn nhất của biểu thức
33
S xy x y=−+ −
là
6a
b
với a, b là các số nguyên dương và
a
b
là phân số tối giản. Tính
2Ta b= +
.
A.
25
T =
. B.
34T =
. C.
32
T =
. D.
41T =
.
Câu 22: Với
, , 1abc>
. Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( ) ( ) ( )
log log 4log
ab c
P bc ca ab=++
là
A. 6. B. 12. C. 10. D. 11.
Câu 23: Cho các số thực a, b, c lớn hơn 1 thỏa mãn
( )
2 22
log 1 log log log 2
bc
a bc≥−
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
2 22
2 22
10log 10log logS a bc=++
.
A. 4. B. 3. C.
9
2
. D.
7
2
.
Câu 24: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
222
222
5log 16log 27log 1
ab c++ =
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
22 22 22
log log log log log logS ab bc ca=++
.
A.
1
16
. Với
, , 1abc>
B.
1
12
. C.
1
9
. D.
1
8
.
Câu 25: Với
, , 1
abc>
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(
) (
) (
)
log 3log 4log
ab c
P bc ca ab=++
.
A. 16. B.
6 43
+
. C.
4 63
+
. D.
8 43+
.
Câu 26: Cho các số thực
, , 1abc>
. Tính
( )
log
b
ca
khi biểu thức
( ) ( ) (
)
log 2log 9log
abc
S bc ca ab=++
đạt giá trị nhỏ nhất.
A.
22
. B.
( )
82 2 1
7
−
. C.
32+
. D.
8 22
7
−
.
Câu 27: Cho các số thực dương a, b, c khác 1 thỏa mãn
22
log log log 2log 3
ab a b
cc
bc
ab
+= − −
. Gọi M, m lần
lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
log log
ab
P bc
= −
. Tính
23S mM= +
.
A.
2
3
S =
. B.
1
3
S
=
. C.
3S =
. D.
2S =
.
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Ta có
( )
( ) ( )
1
3 ln 9 3 3 ln 1 3 1 ln 3 9
3
xy
xy x y x y x y xy xy
xy
++
+ = − − ⇔ +++ ++ = +
Xét hàm số
(
)
( )
ln 3 0ft t t t
=+>
ta có:
( )
( )
1
3 0 ft t
t
′
= + > ∀∈
Do đó hàm số
( )
ft
đồng biến trên khoảng
(
)
0; +∞
Ta có:
( ) ( )
1 3 13f x y f xy x y xy++ = ⇔++=
Do
, 0 2x y x y xy
>⇒+≥
(BĐT AM – GM)
(
)( )
3 12 1 3 2 10 3 1 1 0 1 1xy x y xy xy xy xy xy xy xy⇒ =++≥ +⇔ − −≥⇔ + −≥⇔ ≥⇔ ≥
Dấu bằng xảy ra
1xy⇔==
. Chọn D.
Câu 2: Ta có:
( )
22
35
5 13 2
35
xy
xy xy
xy
x yx
+ −−
+ + += + + −
21 1 2
5 3 15 3 2
x y xy xy x y
x xy y
+ − − −−
⇔ + + += + + −
(
)
2 2 11
5 3 2 5 3 1 *
x y x y xy xy
x y xy
+ −− − −
⇔ − ++ = − + −
Xét hàm số
( ) ( )
53
tt
ft t t
−
=−+ ∈
ta có:
( ) ( )
5 ln 5 3 ln 3 1 0
tt
ft t
−
′
= + + > ∀∈
Do đó hàm số
( )
ft
đồng biến trên
.
Ta có:
( ) (
) ( )
* 2 121f x y f xy x y xy
⇔ + = − ⇔+ = −
Lại có:
( )
2
2
2 22
8
xy
x y xy xy
+
+≥ ⇔≤
nên ta có:
( )
2
2
21 1
8
xy
x y xy
+
+ = −≤ −
Khi đó
2
10 426
8
S
SS−−≥⇔≥+
. Chọn B.
Câu 3: Do
, 01 0a b ab> ⇒− >
Khi đó ta có:
( )
( )
22
log 1 log 2 3ab a b ab a b
− − + = ++−
( ) (
)
22 2
log 1 log 2 2 2 logab ab a b a b⇔ − + +− = + ++
( ) ( ) ( )
22
log 2 2 2 2 log *ab ab a b a b⇔ − +− = + ++
Xét hàm số
( ) ( )
2
log 0ft t t t= +>
ta có:
( ) ( )
1
1 0 0
ln 2
ft t
t
′
= + > ∀>
Do đó hàm số
( )
ft
đồng biến trên khoảng
( )
0; +∞
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2
* 22 22 2 2 1
21
a
f ab f a b ab a b a b a b
a
−
⇔ − = + ⇔− =+⇔−= + ⇔=
+
Khi đó:
( )
42
21
a
P a ga
a
−
=+=
+
(với
0a >
) suy ra
( )
( )
0
2
10
1 0 2 1 10
21
a
ga a
a
>
′
= − = → ⇔ + =
+
min
10 1 10 1 2 10 3
2 22
a Pg

− −−
⇔= ⇒ = =



. Chọn A.
Câu 4:
(
)
22
22
23
log 11 20 40 1 11 20 40 2 3
x xy y
xy xy xxyy
++
+−=⇔+−=++
Lại có:
2 2 22
. 11 20 40 2 3y S x x Sx x Sx S x
= ⇒ + −= + +
( )
( )
22
2 3 20 11 40 0
S Sx S x⇔ ++ − + + =
Điều kiện để tồn tại
0x >
là:
( )
( )
(
)
( )
2
2
2
Δ 20 11 160 2 3 0
20 11 0 *
40
Vì 2 0
0
3SS
S SS
S
= + − ++ ≥
++
+>
>
>
Do
0
S >
nên
( )
(
)
(
)
2
11
* 80 280 199 0 35 230 35 230
20 20
SS S
⇔ − + ≤⇔ − ≤ +
Do đó
min max
7
2
ab S S
+= + =
. Chọn D.
Câu 5: Do
( )
22
21 ;x y xy+ +>∀
nên ta có:
( )
22
22
2
log 3 1 2 3
xy
xy x y xy
++
++ ≥⇔ + +≤++
22
22
1 13
10
2 22
x y xy x y

⇔ + − − −< ⇔ − + − <


Đặt
22
11 3
;
22 2
ax by a b=− =−⇒ + ≤
Lại có:
( )( )
2222
1 1 5 5 5 56 5
3 4 34 34
2 22 2 2 2
S x y ab ab
−

= − + − −= + −≤ + + −=


.
Vậy
min
56 5
2
S
−
=
. Chọn D.
Câu 6:
( )
(
)
22 2
2
1
log log log 1 0
1
y
x y xy xyxy xy y
y
x
y
>
+ ≥ + ⇔ ≥+ ⇔ − ≥ >⇒
≥
−
Khi đó
( ) ( )
2
3 3 1
1
y
Pxy yfyy
y
=+≥ += >
−
Ta có:
( )
( )
1
2
13
40
2
1
y
fy y
y
>
′
= − = → =
−
Khi đó
min
3
9
2
Pf

= =


. Dấu bằng xảy ra
39
;
22
yx⇔= =
. Chọn C.
Câu 7: Ta có:
( ) ( )
2
1 12
1
3 22 2 4 3 3 2 1 2 2
3
xy
xy xy x y
xy x y xy x y
+
− − −−

− =− − − ⇔ − =− −− +


( ) ( )( )
12
3 2 13 2 2 *
xy x y
xy x y
− −−
⇔ + −= − +
Xét hàm số
(
)
( )
3 2
t
ft t t
=+∈
ta có:
( ) ( )
3 ln 3 2 0
t
ft t
′
= + > ∀∈
Do đó hàm số
(
)
ft
đồng biến trên
.
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
21
* 1 2 1 2 1 12
1
y
f xy f x y xy x y x y y x
y
−+
⇔ − = −− ⇔ −=−− ⇔ + =− ⇔ =
+
( ) (
) ( )
( )
0
2
42 6
3 , 0 30 1 2 21
1
1
y
y
P y gy y g y y y
y
y
>
−+ −
′
⇒ = + = > ⇒ = + = → + = ⇔ = −
+
+
.
Ta có:
( )
min
2 1 62 7Pg= −= −
. Chọn A.
Câu 8: Ta có:
, 0 01 0
x y x y xy>⇒+>⇒− >
Khi đó:
( )
( )
33
2
log 8 1 2 3
1
xy
x y x y xy xy
xy
+
+ +++ = − − +
−
( )
( )
( )
( )
(
)
33
22
log log 1 8 1 2 1 1x y x y x y xy xy xy⇔ + +++ + − − = − − − +
( )
( ) ( )
( ) (
)
33
22
log log 1 1 8 1 2 1x y x y x y xy xy xy⇔ + + + + + = − ++ − + −
( ) ( ) ( )
( ) ( )
33
22
log log 2 8 1 2 1x y x y x y xy xy xy⇔ + +++ + = − + − + −
Xét hàm số
( ) (
)
3
2
log 0
ft t t t t= ++ >
ta có:
( ) ( )
2
1
3 1 0 0
ln 2
ft t t
t
′
= ++ > ∀>
Do đó hàm số
( )
ft
đồng biến trên khoảng
(
)
0; +∞
.
Ta có:
( ) (
) ( )
2
22 22 12 2
12
y
f x y f xy x y xy x y y x
y
−
+ = − ⇔+=− ⇔ + =−⇔=
+
Khi đó:
( )( ) ( )
( )
0
2
2 55
3 0 30 2 1
21 3
21
y
y
P y gy y g y y
y
y
>
−+ −
′
= + = > ⇒ = + = → + =
+
+
min
15 3 15 3
15 2
66
y Pg

−−
⇔= ⇒ = = −



. Chọn C.
Câu 9: Ta có:
2
2
log 3 3 1
21
y
y yx x
x
=− + +− +
+
( )
2
22
log log 2 1 3 3 1y x y yx x
⇔ − + =− + +− +
( )
2
22
log 1 log 1 3 3 1y x y yx x⇔ −− + + − = − +
( )
( )
2
22
log 3 log 1 1 3 1yy y x x x⇔ + − = + ++ − +
Xét hàm số
( )
2
2
log 3ft t t t= +−
(với
0t >
) ta có:
( )
1
23
ln 2
ft t
t
′
= +−
Lại có:
( ) ( )
11
2 2 .2 3 0 0
ln 2 ln 2
t ft t
t
′
+ ≥ > ⇒ > ∀>
Do đó hàm số
( )
ft
đồng biến trên khoảng
(
)
0;
+∞
.
Ta có:
( )
(
)
2
11 1
fy f x y x x y
= + ⇔= +⇔= −
Khi đó
(
)
2
2
100 1 50 2051 2051
Py y y
= − − = − − ≥−
dấu bằng xảy ra
50y⇔=
.
Vậy
min
2051P
= −
.Chọn B.
Câu 10: Do
; 0ab
>
nên
0ab+>
suy ra
20
ab−>
Ta có:
( ) ( ) ( )
3 33
2
log 3 7 log 2 log 3 2 1
ab
ab a b ab a b ab a b
ab
−
= ++−⇔ − − + = − ++−
+
( ) ( ) (
)
33
log 2 1 3 2 logab ab a b a b⇔ −++−= +++
( ) ( )
( )
33
log 3 2 3 2 logab ab a b a b⇔ −+−= +++
Xét hàm số
( )
3
logft t t= +
(với
0t
>
) ta có:
( ) ( )
1
10 0
ln 3
ft t
t
′
= + > ∀>
Ta có:
( ) ( )
6
32 6 3
31
b
f ab f a b ab a b a
b
−
− = + ⇔− =+⇔=


+
Khi đó
( )
( ) ( )
( )
0
2
6 19 19
5 0 50 3 1
31 5
31
b
b
S b gb b g b b
b
b
>
−+ −
′
= + = > ⇒ = + = → + =
+
+
min
1 19 1 19 1 2 95 6
1
3 5 35 3 3
b Sf

−
⇔= − ⇔ = − =



. Chọn A.
Câu 11: Ta có:
(
) ( )
22
22
1 2sin
24 1 1 2 4
2 2cos
xt
x yx y x y
yt
= +
− = + + ⇒ − + + = →
=−+
( ) ( )
22
4 1 2sin 3 2 2cos 5 7 8sin 6cos 7 8 6 3S t t tt⇒ = + + −+ − =−+ + ≤−+ + =
.
Dấu “=” xảy ra
4 3 13
sin ; cos
55 4
t tP⇔ = =⇒=−
. Chọn C.
Câu 12: Ta có
( )
2
22
21 04 414
y y y y xy−≥⇒≥−⇒≥
Với
( ) ( ) (
]
6
0 4 6. ln 2 ln 2 ; 2;4
x yx x
y S t ft t
y xy t y

> ⇒ ≤ → = + + = + + = = ∈ −


.
( )
( ) ( )
2
16 6
0 3 21 3 21 ln 5 21
2
3 21
ft t f
tt
′
⇒ = −=⇒=−⇒− =− +
+
−
.
Tính
(
)
33
4 ln 6 ln 6
22
fS= +⇒≥+
.
Tương tự với
( )
( ) ( )
63
0 4 ln 2 ; 4 4 ln 6
2
xx
y Sgu u u Sg
y uy
<⇒ ≥⇒≥ = + + = ≥⇒≥ =+
. Chọn C.
Câu 13:
( ) ( )
( )
1
log 10 log 10 10 1 0
10 10 1
y
xy x y xy x y x y y y x
y
≥ + ⇒ ≥+⇒ − ≥>⇒> ⇒≥
−
(
)
1 1 23
3 10 1 30 3 10 1 4 2 3 4
10 1 10 1 10 1 5
y
S yS y y S
y yy
+
⇒ ≥ + ⇒ ≥+ + = + − + ≥ + ⇒ =
− −−
. Chọn B.
Câu 14:
( )
( )
(
)
3
33 3
log log 1 0 1
1
x
xy x y xy x y y x x x y
x
≥ + ⇒ ≥ + ⇒ − ≥ > ⇒ >⇒ ≥
−
( ) (
)
(
)
( )
( )
23
3
32 2
2
31
2 2 02 3 2 210
1
1
xx x
x
S x fx f x x x x x
x
x
−−
′
⇒ ≥ + = → = + = ⇒ − + − + =
−
−
( )
( )
( )
( )
2
2 1 2 0 2 1 2 4 4 2x x x x Sf⇒ − − =⇒= > ⇒≥ =+
. Chọn C.
Câu 15: Ta có
22
22 22
1 sin
2
1 11
2
1 cos
2 22
2
2
t
a
aba b a b ab a b
t
b
= +

+ ≥ + → + = + ⇒ − + − = →


= +
(
) ( )
2
1 2 sin 2 1 2 cos 3 2 sin 2 2 cos 2 2 2 10
P t t tt⇒ =+ + + −= + ≤ + =
. Chọn B.
Câu 16: Ta có
( ) ( ) ( )
2
2 22
2 2 22
44 4
; 8 log log 1 2 log log 1
xy P y y y
yx y

==≤⇒= +−=− +−


.
Đặt
[ ]
(
) ( )
(
)
2
22
2
1
log 2 2;1 1 2 2 1 4 2 0
2
t y P t t t t ft f t t t
′
= − ∈− ⇒ = + + = + + = ⇒ = + = ⇒ =−
.
Tính
( ) ( )
2 5; 1 5
1
5; 6
11
2
22
ff
Mm S
f
−= =
⇒ = =⇒=

−=


. Chọn A.
Câu 17: Từ
( ) ( )
30; 30 3 3 0 0xy xy xy xy x
+ > − >⇒ + + − >⇒>
.
Ta có
( )(
)
22 2
log 3 3 1 9 10 9 10x yx y x y x y+ − =⇒ − = ⇒= +


( )
( )
( )
22
2
18
9 10 9 10 0 1 0
2 9 10
t
S y y t t ft t y f t
t
′
⇒ = + − = + −= = ≥ ⇒ = −=
+
( )
22
5 5 45
9 10 81
6 63
t t t ft f

⇒ + = ⇒= ⇒ ≥ =



. Chọn A.
Câu 18: : Từ
( ) (
)
30; 30 3 3 0 0
xy xy xy xy x+ > − >⇒ + + − >⇒>
.
Ta có
( )( )
22 2
log 3 3 1 9 10 9 10x yx y x y x y+ − =⇒ − = ⇒= +


( )
( )
(
)
22
2
18
9 10 2 1 9 10 2 1 0 2 0
2 9 10
t
S y y t t ft t y f t
t
′
⇒ = + − += + − += = ≥ ⇒ = − =
+
( )
( )
22
22 22 3 52
4 9 10 81
3 33
t t t ft f

+
⇒ + = ⇒= ⇒ ≥ =



. Chọn C.
Câu 19:
( )
( ) ( )
24
22
22
log log 2 2xy x y xy x y x y x y S x y xy xy xy= +⇒ = +⇒+= ⇒= + − = −
.
Lại có
(
)
4
22
3 3 33
2 4 4 24 24x y x y xy xy S=+≥ ⇒ ≥ ⇒≥ − =
. Chọn A.
Câu 20:
(
)
( ) ( ) (
)
22
22
log log 2 2xy x y xy x y S x y xy xy xy
= + ⇒ =+⇒= + − = −
.
Lại có
2
2 4 4 2.4 8xy x y xy xy S
=+≥ ⇒ ≥⇒≥ − =
. Chọn A.
Câu 21: Đặt
22
1
ux y=++
suy ra giả thiết
2
33
2 log 3 2 4.log 12 0
uu
uu
−
⇔ + =⇔+ −=
.
Xét hàm số
( )
3
2 4.log 12
u
fu u
=+−
trên
( )
1; +∞
, có
(
)
4
2 .ln 2 0; 1
.ln 3
u
fu u
u
′
= + > ∀>
.
Suy ra
( )
fu
là hàm số đồng biến trên
(
)
1;
+∞
mà
( )
22
30 3 2f u xy=⇒=⇒ + =
.
Khi đó
( )
( )
( )( )
33 2 2
2S xy x y xy xyx xyy xy xy xy=−+ − =−+ − − + =−+ − +
.
Lại có
( )
2
2
22 2 2
2
2
2 2 22
22
xy
xy
x y x xy y xy xy
−−
−−
+=⇔− +=− ⇔= =
.
Đặt
t xy= −
, do đó
( )
2
2
2
. 2 .6
22
xy
t
S xy xy t t

−−
= − + − + = + −


Mà
( ) ( )
( )
( ) ( )
22 2 2
22 2
2 4 4 0 40 2xy xy x y xy xy t t+ + − = + = ⇔ + = − − ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤≤
.
Xét hàm số
(
)
3
2
.6 4
22
tt
ft t t t=+ −=−+
trên
[ ]
[ ]
( )
0;2
16 6
0; 2 max
9
ft → =
.
Vậy
max
16
16 6 6
2 16 2.9 34
9
9
a
a
S Ta b
b
b
=
= = → ⇒ = + = + =
=
. Chọn B.
Câu 22: Đặt
( )
log ; log ; log ; ; 0
a bc
x by cz a xyz= = = >
.
Khi đó
11 1
log log 4 log
log log log
ab c
ca b
Pb c a
ab c

=+ ++ + +


14 1
log log 4log
log log log
ab c
ab c
bc a
bc a
 
=+ ++ + +
 
 
Lại có
11
log 2 log . 2
log log
aa
aa
bb
bb
+≥ =
;
44
3log 2 log . 4
log log
bb
bb
cc
cc
+≥ =
;
Và
11
4log 2 4 log . 4
log log
cc
cc
aa
aa
+≥ =
nên suy ra
24410P
≥++=
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 10. Chọn C.
Câu 23: Ta có
( ) ( )
2 22 2 2 2 2
log 1 log log log 2 log .log 1 log .log
bc
a b c a bc b c≥ − ⇔ ≥−
( )
2 2 2 22 22 22 22
log . log log log .log 1 log .log log .log log .log 1a b c bc ab bc ca⇔ + + ≥⇔ + + ≥
Đặt
2 22
2 22
1
log ; log ; log
10 10
xy yz zx
x ay bz c
P x yz
++≥
= = = →
=++
.
Lại có
( )
2 2 2 22 22 2 2
2 20 20 2 16 16 4P x y x xz yz xy
= + + = ++ ++ +
.
Mà
22
22
22
16 8
16 8
2
x z xz
y z yz
x y xy
+≥
+≥
+≥
suy ra
( )
2 8 8 4.2 4 4P xz yz xy P xy yz zx≥++ ⇔≥ ++≥
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 4. Chọn A.
Câu 24: Đặt
222
2 22
5 16 27 1
log ; log ; log
1
xyz
x ay bz c
P xy yz zx
++=
= = = →
= ++
.
Ta có
(
)
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 22
1 5 16 27 3 4 4 9 2 9x y z x y y z zx=++=++++ +
( )
2 2 2 2 22
1
3.2 .4 2 4 .9 2.2 9 . 12
12
x y y z z x xy yz zx P≥ + + = + + ⇒≤
.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là
1
12
. Chọn B.
Câu 25: Đặt
( )
log ; log ; log ; ; 0
a bc
x by cz a xyz= = = >
.
Khi đó
11 1
log 3 log 4 log
log log log
ab c
ca b
Pb c a
ab c

=++ + + +


341
log 3log 4 log
log log log
abc
ab c
bca
bc a
 
=++ ++ +
 
 
Lại có
33
log 2 log . 2 3
log log
aa
aa
bb
bb
+≥ =
;
44
3log 2 3log c. 4 3
log log
bb
bb
c
cc
+≥ =
;
Và
11
4log 2 4 log . 4
log log
cc
cc
aa
aa
+≥ =
nên suy ra
23 43 4 4 63P ≥ + +=+
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là
4 63+
. Chọn C.
Câu 26: Đặt
( )
log ; log ; log ; ; 0
a bc
x by cz a xyz= = = >
.
Khi đó
11 1
log 2 log 9 log
log log log
ab c
ca b
Pb c a
ab c

=++ + + +


291
log 2log 9log
log log log
a bc
abc
bca
bca
 
−+ + + + +
 
 
Lại có
22
log 2 log . 2 2
log log
aa
aa
bb
bb
+≥ =
;
99
2log 2 2log c. 6 2
log log
bb
bb
c
cc
+≥ =
;
Và
11
9log 2 9log . 6
log log
cc
cc
aa
aa
+≥ =
nên suy ra
22 62 6 6 82P ≥ + +=+
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
( )
log 2
32 1 32 2
log log log 2 2
2 log 2 2
1
log
3
a
b bb
a
c
b
c ca c
b
a
=
= ⇒ = + = +=
=
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là
6 82+
và
( )
log 2 2
b
ca =
. Chọn A.
Câu 27: Giả thiết
(
) ( ) ( )
22
log log log log 2log 5 *
a b aa b
b c cb c⇔ + =−− −
.
Đặt
log ; log log
ab a
x b y c xy c= = ⇒=
suy ra
( )
22
* 21x y xy x y
⇔ + = −− −
Khi đó
P xy y xP=−⇔=−
suy ra
( ) ( ) ( )
2
2
21x xP xxP x xP
+− = −−− −−
(
)
(
)
22
3 2 1 0 1
x Px P P⇔ + − + − +=
.
Để phương trình (1) có nghiệm
(
)
(
)
2
2
5
Δ3 4 2 10 1
3
P PP P
⇔ = − − − + ≥ ⇔− ≤ ≤
.
Do đó
5
min 1; max
3
PP=−=
. Vậy
( )
5
2 3 2. 1 3. 3
3
S mM= + = −+ =
. Chọn C.

Tài liệu khác của Toán 11

Preview text:

CHỦ ĐỀ 10: BÀI TOÁN MIN – MAX LOGARIT 1. Công thức lôgarit
Giả sử a > 0,a ≠ 1 và các số A, B, N,… > 0 ta có các công thức sau đây: • log AB = A + B . a ( ) loga logb
Mở rộng log A A A = A + A + + A . a ( ... N loga loga ... log 1 2 ) 1 2 a N • log A = A − B . Hệ quả 1 log = − N . a log a loga loga B N • log Nα = α N a .loga • n 1 log N = N a .loga n
Công thức đổi cơ số: Giả sử a, b dương và khác 1; c, x > 0 ta có • log b c = c và 1 log b = x = − x . a ; log log a .logb loga 1 log a a b a • 1 log = và log x = n x . n .log α x log x a a α a a
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D( f(x) xác định và liên tục trên D) Phương pháp giải
- Bước 1: Tính y′ = f ′(x), tìm tất cả các nghiệm x của phương trình f ′(x) = 0 và các điểm α làm cho i i
f ′(x) không xác định. - Bước 2:
• Trường hợp 1: D ∈[ ;
a b] . Tính các giá trị f (a), f (b), f (x f α . i ) , ( i )
min f (x) = min{ f (a), f (b), f (x f α i ) , ( i )} Với x ,α ∈[ ; a b]  D  → . i i
max f ( x) = max{ f (a), f (b), f ( x f α i ) , ( i )}  D
• Trường hợp 2: D ∉[ ; a b] 
→ Lập bảng biến thiên suy ra min, max.
Chú ý: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đơn điệu trên đoạn [ ; a b].
Nếu hàm số y = f (x) đồng biến với x ∀ ∈[ ;
a b] ⇒ min y = f (a);max y = f (b) . [a;b] [a;b]
Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến với x ∀ ∈[ ;
a b] ⇒ min y = f (b);max y = f (a) . [a;b] [a;b]
3. Các bất đẳng thức quen thuộc
a) Bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực dương: a + b ≥ 2 ab .
Mở rộng bất đẳng thức AM – GM cho ba số thực dương: 3
a + b + c ≥ 3 abc .
b) Bất đẳng thức Bunhiacopxki: ( + )2 ≤ ( 2 2 + )( 2 2 ab cd a c b + d ) . x y ( + )2 2 2 x y
c) Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức + ≥ . a b a + b
Ví dụ 1: Cho m = (3 log
ab , với a,b >1 và 2 P = log b +
a . Khi biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất thì a 16log a ) b
giá trị của m bằng A. m = 2 . B. m =1. C. 1 m = . D. m = 4 . 2 Lời giải: Ta có: 2 P = b + a = b + a b ( a )2 16 log 16log log log b a
Đặt t = log b vì a,b >1⇒ log b = t > a 0 a Khi đó 2 16 2 8 8 2 8 8 = + = + + ≥ 3 P t t t . . =12 . t t t t t
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 8
t = ⇔ t = 2 ⇔ log b = . a 2 t 1 Lại có m = log ab = ab = ab = + b = . Chọn B. a ( 3 ) loga ( ) 1 1 3 loga (1 loga ) 1 3 3
Ví dụ 2: Cho x, y là số thực dương thỏa mãn x + y ≥ ( 2 ln ln
ln x + y) . Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu min
thức P = x + y . A. P = 6 . B. P = 2 2 + 3.
C. P = 3 2 + 2 . D. P = 17 + 2 . min min min min Lời giải:
Ta có x + y ≥ ( 2
x + y) ⇔ (xy) ≥ ( 2 x + y) 2
⇔ xy ≥ x + y ⇔ y (x − ) 2 ln ln ln ln ln 1 ≥ x . 2
Mà x, y > 0 suy ra y(x − ) 2
1 ≥ x > 0 ⇔ x −1 > 0 ⇔ x >1. Khi đó ( − ) 2 1 x y x ≥ x ⇔ y ≥ . x −1 2 2 Do đó, biểu thức x = + = +  → ( ) 2x − x P x y x f x = . x −1 x −1 2
Xét hàm số f (x) trên khoảng (1; − +
+∞), có f ′(x) 2x 4x 1 = , x ∀ ≠ 1. (x − )2 1 x >1
Phương trình f ′(x) 2 + 2 = 0 ⇔  ⇔ x = . 2
x − 4x +1 = 0 2  + 
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra f (x) 2 2 2 min = f   = 3 + 2 2  . 2   
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là P = 3+ 2 2 . Chọn B. min
Nhận xét. Vì hàm số y = ln x đồng biến trên khoảng (0;+∞) nên
f (x) > g (x) ⇔ ln f (x) > ln g (x) .
Ví dụ 3: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log(x + 2y) = log x + log y . 2 2 x y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 1+2y 1 = . +x P e e . 5 8 1 A. 8 P = e .
B. P = e . C. 5 P = e . D. 2 P = e . min min min min Lời giải:
Từ giả thiết, ta có log(x + 2y) = log x + log y ⇔ log(x + 2y) = log(xy) ⇔ x + 2y = xy . 2  x    2  2  y 2 2 2 2 x + y 1 x yx 1+2 4 . y xa = Ta có 1+2. 1+2 y 1+x 4 1+2 y 1+x 2 P = e .e = e .e = e . Đặt 
2 , giả thiết ⇔ a + b = ab . b  = y (a +b)2
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được a + b = ab ≤ ⇔ a + b ≥ 4 4 a b (a +b)2 2 2 2 Và xét biểu thức t T = + ≥  → f t =
với t = a + b ≥ 4 .
1+ 2b 1+ 2a 2 + 2(a + b) ( ) t+1 2
Xét hàm số f (t) trên [4; + +∞) , có ′( ) t 2t f t =
> 0 ⇒ f t là hàm số đồng biến trên [4;+∞) 2 ( ) (t + )1 8
Do đó f (t) ≥ f ( ) 16 4 = suy ra 8 T 5 T ≥ 
→ P = e ≥ e . Chọn C 5 5 x y ( + )2 2 2 x y
Nhận xét. Bài toán có sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức + ≥ . a b a + b
Ví dụ 4: Cho x, y là số thực dương thỏa mãn log x + y + log x − y ≥1. Tìm giá trị nhỏ nhất P của 4 ( ) 4 ( ) min
biểu thức P = 2x − y . A. P = 4 . B. P = 4 − . C. P = 2 3 . D. 10 3 P = . min min min min 3 Lời giải:
Điều kiện: x > y > 0 . Từ giả thiết, ta có log (x + y)(x − y) 2 2
 ≥ 1 ⇔ x − y ≥ 4 * 4  ( )
Ta có P = 2x − y ⇔ y = 2x − P thế vào (*), ta được 2
x − (2x − P)2 ≥ 4 . 2 2 2 2 2
⇔ x − 4x + 4xP − P ≥ 4 ⇔ 3x − 4xP + P + 4 ≤ 0 (*)
Để bất phương trình (*) có nghiệm ′ (− P)2 − ( 2 P + ) 2 Δ = 2 3
4 ≥ 0 ⇔ P −12 ≥ 0 ⇔ P ≥ 2 3 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là P = 2 3 .Chọn C. min
Ví dụ 5: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Xét các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện 1
log − xy = 3xy + x + 2y − 4. Tìm giá trị nhỏ nhất P của P = x + y . 3 x + 2y min A. 9 11 19 P − = . B. 9 11 19 P + = . C. 18 11 29 P − = . D. 2 11 3 P − = . min 9 min 9 min 21 min 3 Lời giải: Ta có 1
log − xy = 3xy + x + 2y − 4 ⇔ log 1− xy − log x + 2y = 3xy + x + 2y − 4 3 3 ( ) 3 ( ) x + 2y
⇔ 2 − 3xy + log 3− 3xy = x + 2y + log x + 2y 3 ( ) 3 ( )
Xét hàm số f (t) = t + log t trên khoảng (0;+∞), có f ′(t) 1 = 1+ > 0, 0 t ∀ > 3 t.ln 3
Suy ra f (t) là hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞) Mà ( − ) = ( + ) 3 3 3 2 ⇔ 3− 3 = + 2 − x f xy f x y xy x y ⇔ y = . 3x + 2 2 2 Khi đó, biểu thức 3− x 3x + x + 3
P = x + y = x + = 
→ f (x) 3x + x + 3 = 3x + 2 3x + 2 3x + 2 2
Xét hàm số f (x) trên khoảng (0; + −
+∞), có f ′(x) 9x 12x 7 = , x ∀ > 0 . (3x + 2)2 x > 0
Phương trình f ′(x) 11 − 2 = 0 ⇔  ⇔ x = . 2 9
x +12x − 7 = 0 3  −  Tính 11 2 2 11 − 3 − f 2 11 3   = f ( ) 3 , 0 = 
và lim f (x) = +∞  → min f (x) = . 3  3 2   x→+∞ (0;+∞) 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 2 11 3 P − = . Chọn D. min 3
Ví dụ 6: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2 2
x + y >1 và log
x + 2y ≥1. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn 2 2 ( ) x + y
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2x + y . Tính M + m. A. P = 4 . B. P = 4 . C. P = 2 3 . D. 10 3 P = . min min min min 3 Lời giải: Vì 2 2
x + y >1 suy ra y = log
f x là hàm số đồng biến trên tập xác định. 2 2 ( ) x + y Khi đó 2 2 2 2 log x + 2y ≥ log
x + y ⇔ x + 2y ≥ x + y 2 2 ( ) 2 2 x + y x + y ( ) 2 2  2 1 x x y y x x   ( 2 y y ) 2 5  1  x  ⇔ − + − ≤ ⇔ − + + − + ≤ ⇔ − +  ( y − )2 5 2 0 2 1 1 ≤   4  4  2  4
Xét biểu thức P, ta có  1   1
P 2x y 2 x y 1 2 2 x  = + = − + − + ⇔ − + y −1 = P −     2 .  2   2  2 2 2      
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, có 1   xy  ( 2 2)  1 2 1 2 1 . x  − + − ≤ + + +  ( y − )2 1    2    2     1 P = −  ⇔ (P − ) min 2 5 25 5 5 1 9  2 2 ≤ 5. =
⇔ − ≤ P − 2 ≤ ⇔ − ≤ P ≤  → . 4 5 2 2 2 2  9 P = max  2 Vậy tổng 9 1 M m   + = + − =   4 . Chọn C. 2  2 
Ví dụ 7: [Đề thi Thử nghiệm 2017 – Bộ GD&ĐT] Xét các số thực a, b thỏa mãn điều kiện a > b >1. Tìm
giá trị nhỏ nhất P của biểu thức 2  a P a  = + . a ( 2 log ) 3log min b  b bA. P =19 . B. P =13. C. P =14 . D. P =15. min min min min Lời giải: 2   Ta có 2 a =  a = = = . a ( 2 ) 4 4 4 log 4 loga 2 bb   a  (log a − b − b a
loga )2 (1 loga )2 loga b    Khi đó biểu thức 4 4 3 P = + 3log a − = + − . b 3 3 (1−log b − b b a )2 (1 loga )2 logaa >1
Đặt t = log b với 4 3 
⇒ t > 0 suy ra P = f (t) = + − 3. a b  > 1 (1−t)2 t
Xét hàm số f (t) , có f ′(t) 8 3 1 = − − ,
f ′ t = 0 ⇔ t = . 3 2 ( ) (t − ) 1 t 3 Tính  1 f
 =15, lim f (t) = +∞  
và lim f (t) = +∞ . 1  3 t→  t→0
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số f (t) là 15.
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là P =15. Chọn D. min
Ví dụ 8: Cho các số thực a, b thỏa mãn a >1, 1 b > .
Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức 27 P =
(2log a + log b)2 + 4log ab . min 2 ab ab a A. P = 36 . B. P = 24 . C. P = 48 . D. P = 32 . min min min min Lời giải:  
Xét biểu thức P, ta có 27 2 1 P =  +  + 4log b + 4 . 2  log ab log a ab a b  2 Đặt t = b t > ⇔ a = . Khi đó 27  2 t P  = + + 4t +   4. a ( ) 1 log 0 logb t
2  t +1 t +1 2 2 t − 2 2t + 5
Xét hàm số f (t) 27  t + 2  = +  
4t với t ∈(0;+∞) , có f ′(t) ( )( ) = = 0 ⇔ t = 2 . 2  t + 2  (t + )3 1
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng f (t) đạt giá trị nhỏ nhất bằng f (2) = 32 ⇒ P = 36. Chọn A. min
Ví dụ 9: Cho hai số thực a ≥ b >1. Biết rằng biểu thức 2 = + log a T
đạt giá trị lớn nhất là M khi log a a b ab
có số thực m sao cho m
b = a . Tính P = M + m. A. 23 M − m = . B. 81 M − m = . C. 19 M − m = . D. 51 M − m = . 8 16 8 16 Lời giải:
Xét biểu thức T, ta có T = 2log ab + a − b = b + − b + . a loga loga 2loga 1 loga 2
Đặt t = log b với t ∈(−∞ ]
;1 , khi đó T = f (t) = 2t + 1−t + 2. a
Xét hàm số f (t) trên khoảng ( ] ;1
−∞ , có f ′(t) 1 = − f ′(t) 15 2 ; = 0 ⇔ t = . 2 1− t 16 Tính f ( ) 15 33 1 4, f   = = 
và lim f (t) = −∞ . 16    8 t→−∞
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra giá trị lớn nhất của hàm số f (t) là 33 . 8 Vậy 33 M = và m 15 51
b = a ⇔ m = log b = t = ⇒ M − m = . Chọn D. 8 a 16 16 log b + a a logb
Ví dụ 10: Cho a, b là các số thực dương khác 1. Biết rằng biểu thức a P = đạt giá trị nhỏ log ab + a a ( ) logb nhất bằng M khi m
b = a . Tính M + m.
A. M + m = 2. B. 2 M + m = . C. 4 M + m = .
D. M + m = 0. 3 3 Lời giải: Xét biểu thức − + + − P, ta có log b a a b a a loga logb loga logb 1 P = = . log a + b + a b + a + a loga logb loga logb 1 1 t + −1 2 Đặt 1 − + t = log b ⇔ a = với t t t t 1 ∈ P = f t = = . a logb  , khi đó ( ) t 2 1 t + t +1 t + +1 t 2( 2t − ) 1
Xét hàm số f (t) trên khoảng ( ;
−∞ +∞) , có f ′(t) = ,
f ′ t = 0 ⇔ t = 1 ± . 2 ( ) ( 2t +t + )1 Tính f ( ) 1 1 = , f (− )
1 = 3 và lim f (t) =1 suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số f (t) bằng 1 . 3 t→∞ 3
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t =1 ⇔ log b = ⇔ a = b . a 1 Vậy 1 m 1 4 M = ,
b = a = a ⇒ m =1
→ M + m = +1 = . Chọn C. 3 3 3
Ví dụ 11: Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn 2 2
b = 3ab + 4a và 32 a ∈ 4;2  
 . Gọi M, m lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 = log b P a +
. Tính tổng T = M + m . b 4 log2 4 4 8 A. 3701 T = . B. 7 T = . C. 2957 T = . D. 1897 T = . 124 2 124 62 Lời giải: 2 Từ giả thiết, ta có 2 2  a a a 1
b = 3ab + 4a ⇔ 4.
+ 3. −1 = 0 ⇔ = ⇔ b =   4a .  b b b 4 Khi đó 3 b 3 1 3 3 P = log a + = b + b − = + b − b 4 log logb log log 4 log 2 ( 2 2 ) 2 4 4 4 b 4 2 8 8 logb 8 1 3 3 1 3 3 log b 3 3 2 = + log b − = + log b − = + log b − . 2 2 2 1− log b − b 8 4 2 3 4 2 log 3 4 2 2 1− log b2
Đặt t = log b với 32 34
a ∈ 4;2  ⇒16 ≤ b ≤ 2 ⇒ 4 ≤ log b ≤ 34 ⇒ t ∈ 4;34   . 2 [ ] 2
3( 2t − 6t + 5)
Xét hàm số f (t) t 3 =
+ t với t ∈[4;34] , ta có f ′(t) = ; t ∀ ∈ 4;34 . 2 [ ] t − 3 4 4(t −3) 4 ≤ t ≤ 34
Phương trình f ′(t) = ⇔ 
⇔ t = ⇒ f ( ) = f ( ) 25 = f ( ) 1649 0 5 4 7, 5 , 34 = . 2 t  − 6t + 5 = 0 4 62 
f (t) = f ( ) 1649  778 max 34 = M = P =   max Suy ra  [4;34] 62  31 3701  ⇒ 
⇒ T = M + m = . Chọn A.
f (t) f ( ) 25 19 124 min 5  = = m = P = [ ] min 4;34 4  4
Ví dụ 12: Cho các số thực a, b thỏa mãn điều kiện 1 ab = 4, a ≥ ,
b ≥1. Tìm giá trị lớn nhất P của biểu 2 max 3 3    
thức P = log a + log b −1 . 1 1   2   2  A. P = 63 − . B. P = 6 − . C. 27 P = − . D. P = 0 . max max max 4 max Lời giải:
Đặt x = log a và y = log b suy ra 1 1 2 2
x + y = log a + log b = log ab = log 4 = 2 − . 1 1 1 ( ) 1 2 2 2 2 Khi đó 3
P = x + ( y − )3 1 mà 3
x + y = − ⇔ y = −x − ⇒ P = x + (−x − )3 2 2 2 3 = 9
− x − 27x − 27 . = − (x + x + ) 2 2  2 3 9  27  3  27 27 − 27 9 3 3 = 9 − x + 2. x + − = 9 − x + − ≤ ⇒ P = −     . max  2 4  4  2  4 4 4  3 log a = − 3 1  1 3 1  2 − − Dấu “=” xảy ra 2 2 2  1   1 x ya   ; b  ⇔ = − ⇒ = −  → ⇔ = = . Chọn C. 2 2 1   2    2  log b  = − 1  2 2
Ví dụ 13: Cho hai số thực a, b thỏa mãn 0 < a < b <1 và biểu thức log  b P aa  = − + đạt giá trị a 4loga  4 b
nhỏ nhất. Tính S = a + b . A. 5 S = . B. 5 S = . C. 5 S = . D. 5 S = . 16 8 4 32 Lời giải: Ta có 1 1 1 log a = a = = . a log 2 a a 2 − b b b (1 loga ) 2loga b
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có b + ≥ 2 . b a a = ab . 4 4 Do 1 log  b   b a a ab a  < ⇒ + ≤ ⇒ − + ≥ − ab = − +     b . a loga 4loga 4loga 2(1 loga )  4   4  Suy ra 1 1 P = − + b = −
+ x = f x , với x = log b . 2(1− log b − x a a
) 2(1 loga ) 2(1 ) 2(1 ) ( )
Do 0 < a < b <1⇒ 0 < log b < ⇒ < x < a 1 0 1 Xét trên khoảng (0; ) 1 có f ′(x) 1 1 = 2 − +
⇒ f ′ x = 0 ⇔ x = . 2 ( ) 2(1− x) 2 Suy ra f (x) 1 f   ≥ = 1  2 −  . Vậy P min f x f   = = =   2 − . min ( )  2  (0 ) ;1  2   b  1 a = a =   Dấu “=” xảy ra  4  16 5 ⇔  ⇔ 
⇒ S = a + b = . Chọn A. 1 1 16 log b x b  = = = a  2  4
Ví dụ 14: Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện 1 < a < b <1 . Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức 4 min  1 P log a  = − +   a . b log  4 ab A. 1 . B. 9 . C. 19 . D. 7 . 2 2 4 2 Lời giải: Ta có 1 1 log a = = . a a 2 − b b (1 loga ) 2loga b 2 Và 2 1  1  1 2  1  2 2
a − a + = a −
≥ 0 ⇔ a − ≤ a ⇒ log   a − ≥  a =   , với 1 b  ∈ ;1 . b log 4   2  4  4 b  log b  4 a  Vậy  1  2 1 2 1 P = log a − + a ≥ + = + =  
f x , với x = log b . b log  4 a  log b − b x − x a b a 2(1 loga ) 2(1 ) ( ) Do 1 2 1
< a < b <1⇒ 0 < log b <1⇒ x ∈(0; )
1 . Xét f (x) = + trên (0; ) 1 , có 4 a x 2(1− x) f ′(x) 2 1 2 1 2 = − + ,
f ′ x = 0 ⇔ − +
= 0 ⇔ 4 1− x = x ⇔ x = . 2 2 ( ) 2 2 ( )2 2 x 2(1− x) x 2(1− x) 3 Suy ra P f (x) 2 9 f   ≥ ≥ =  . Dấu “=” xảy ra khi 2
⇔ log b = x = . Chọn B. 3    2 a 3 2
Ví dụ 15: Cho hai số thực a, b thỏa mãn 1 < a < b <1. Biết rằng biểu thức 1 2 = log − log b P a đạt giá 6 3 2 b a a a
trị nhỏ nhất bằng m khi có số thực n sao cho n
b = a . Tính S = m + n . A. 1 S = . B. 1 S = . C. 3 S = − . D. 5 S = . 2 2 2 2 A. T B. T C. T D. T Lời giải: 2 Ta có 2 1 2 1 1 log b a = a = = = b − . b .logb , loga 2loga 3 4 b b − a a a 4(loga )2 3 2 1 4loga a Vậy 1 1 1 P = . − 2log b + =
− x + = f x , với x = log b . a 3 2 3 2 2 ( ) 2 4(log b − x − a a ) 1 8( ) 1
Do 0 < a < b < a ⇒ 0 < log b < ⇒ x∈ . a 1 (0; )1 Xét f (x) 1 = − 2x + 3 trên (0; ) 1 , có 8(x − )2 1 f ′(x) 1 1 1 1 = −
− 2, f ′ x = 0 ⇔ 2 +
= 0 ⇔ x −1 = − ⇔ x = 3 ( ) 3 ( )3 4(x − ) 1 4(x − ) 1 8 2 1 Suy ra P f (x) 1 5 f   = ≥ = 1  . Dấu “=” xảy ra 2
⇔ log b = x = ⇔ b = a . 2    2 a 2 Vậy 5 1 m = ,
n = ⇒ S = m + n = 3. Chọn B. 2 2
Ví dụ 16: Gọi a, b, c là ba số thực khác 0 và thay đổi thỏa mãn điều kiện 3a = 5b =15−c .
Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2
P = a + b + c − 4(a + b + c). A. 3 − − log 3. B. 4 − . C. 2 − − 3 . D. 2 − − log 5 . 5 3 Lời giải:a = log t 3 Ta có a b −c  1 1 1
3 = 5 =15 = t ⇔ b  = log t ⇔ = log = − = . t 3; logt 5; logt 15 5 a b c −c =  log t 15 Mặt khác + = =
⇒ + = − ⇔ + + = ⇔ ab + bc + ca = . t t t ( ) 1 1 1 1 1 1 log 3 log 5 log 3.5 logt 15 0 0 a b c a b c
Khi đó P = (a + b + c)2 − (ab + bc + ca) − (a + b + c) = (a + b + c)2 2 4
− 4(a + b + c)
= (a + b + c)2 − 2.2(a + b + c) 2
+ 2 − 4 = (a + b + c − 2)2 − 4 ≥ 4 − ⇒ P = 4 − . Chọn B. min
Ví dụ 17: Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện a > 0, 0 < b < 2 . (2b)a a a
Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức 2 + 2b P = + . min (2 −b )2 2 a a a b A. 9 P = . B. 7 P = . C. 13 P = . D. P = 4 . min 4 min 4 min 4 min Lời giải: (2b)a a a a a a Ta có 2 + 2b 2 .b 2 P = ( + = + + . 2 − b ) 1 2 2 a b
(2 )2 −2.2 .2 +(b )2 2 a a a a a b a b a a Đặt 2  2 a t  = = , vì b∈( ) 2
0;2 ⇔ >1 và a > o suy ra  2  >1 ⇔ t >   1. a bb    bb   2 aa a   Khi đó 2 .b  b t t t ( = =  → P = + + . 2a ) 1
2 − 2.2a.2b +( ab )2 a a 2 2  2   2  t − 2t +1 t − 2t +1 2 − 2. +     1  b   b  3 2 Xét hàm số ( ) t t − + − f t =
+ trên khoảng (1;+∞), có f ′(t) t 3t t 3 = , t ∀ > 1. 2 t − 2t +1 2 2(t − )3 1 t  >1 t  >  1
Phương trình f ′(t) = 0 ⇔  ⇔  ⇔ t = 3. 3 2 2 t
 − 3t + t − 3 = 0 t
 (t − 3) + t − 3 = 0 Tính f ( ) 9
3 = , lim f (t) = +∞ và lim f (t) = +∞ suy ra
f (t) = f ( ) 9 min 3 = . 1 4 t + → t→+∞ (1;+∞) 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 9 13 P = +1 = . Chọn C. min 4 4
Ví dụ 18: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 2 x − y + = ( 2 x − y + ) 2 2 2 2 y−x +2 5 16.4 5 16 .7 .
Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức 2xy +16 P = . min x A. P =16 . B. P = 8. C. P =12 . D. P =10 . min min min min Lời giải: t+ t Đặt 2 + +
t = x − 2y , khi đó giả thiết t ⇔ + = ( t + ) 2 2 2−t 5 4 5 4 5 16.4 5 16 .7 ⇔ = . t+2 2 7 7 t a a a a a
Xét hàm số f (a) 5+ 4  1   4 5.  = = + , có f (a)  1   1   4   4
5.  .ln    .ln  ′ = + <   0, a ∀ ∈  . 7a  7   7       7   7   7   7 
Suy ra f (a) là hàm số nghịch biến trên  mà f (t + 2) = f (2t) ⇔ t + 2 = 2t ⇔ t = 2 . .x( 2 x − 2 +16 2 2 ) Do đó 2 16
x − 2y = 2 ⇔ 2y = x − 2  → P = = x + − 2 = f (x) . x x
Xét hàm số f (x) 2 16 = x +
− 2 trên khoảng (0;+∞), có f ′(x) 16 = 2x −
, f ′ x = 0 ⇔ x = 2. 2 ( ) x x
Tính f (2) =10, lim f (x) = +∞ và lim f (x) = +∞ suy ra min f (x) = f (2) =10. x 0+ → x→+∞ (0;+∞)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là P =10 . Chọn D. min
Ví dụ 19: Cho hai số thực a >1, 1
b > thỏa mãn phương trình 2 x x 1
a .b − =1 có hai nghiệm phân biệt x , x . 1 2 2  
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x x 1 2 S = 
 − 4( x + x thuộc khoảng nào dưới đây? 1 2 ) x +  x 1 2  A.  3 1;         . B. 5  2; . C. 9  ;5 . D. 7  ;4 . 2        2   2   2  Lời giải: Ta có 2 x x a b − a b − = ⇔ = ⇔ x + x b − = b ( 2 1 x x 1 ) 2 . 1 log . logb1 .loga 1 0 (*)
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ = (
b + > (luôn đúng). a )2 Δ log 4 0
x + x = −log b
Khi đó, theo hệ thức Viet ta được 1 2 a 1   → S = 4log b + b . a 2 x x = 1 −  log 1 2 a Lại có 1 1 2 1 3 4log b + b = b + b + ≥ b = a 2loga 2loga 33 4loga . 3 4 2 2 2 log b b a loga loga Suy ra 3
S ≥ 3 4 . Dấu bằng xảy ra 1 ⇔ b = ⇔ b = ⇔ b = . a ( a )3 1 1 2log log log 2 a 3 log b a 2 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 3  9 3 4 ;5 ∈ . Chọn C. 2    Nhận xét:
• Bài toán áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số thực dương 3
a + b + c ≥ 3 abc
• Với điều kiện a >1, 1 b > 
→log b > nên áp dụng được bất đẳng thức AM – GM. a 0 Ví dụ 20: 2 Cho + x > 0, 0 y > thỏa mãn 2(x −y+ )1 2 2018 x y = . (x + )2 1
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2y − 3x . A. 1 . B. 7 . C. 3 . D. 5 . 2 8 4 6 Lời giải: 2 Ta có (x −y+ ) 2 2018 x + y =
⇔ x +1 .2018 x+ = 2x + y .2018 x+y * . 2 ( ) ( )2 2 1 2 2 1 ( ) 2(2 ) ( ) (x + ) 1 Xét hàm số ( ) 2 = .2018 t f t t trên (0;+∞), có ′( ) 2t 2 = 2018 + 2 .2018 t f t t .ln 2018 > 0 .
Suy ra f (t) là hàm đồng biến trên (0;+∞) nên ( ) ⇔ f (x + )2 *
1  = f (2x + y)   ⇔ (x + )2 2 2
1 = 2x + y ⇔ x + 2x +1 = 2x + y ⇔ y = x +1.
Khi đó P = y − x = ( 2 x + ) 2 1
− x = x − x + = ( x − )2 7 7 2 3 2 1 3 2 3 2 4 3 + ≥ . 8 8 8 Dấu bằng xảy ra khi 3 25
4x − 3 = 0 ⇔ x =  → y = . Vậy 7 P = . Chọn B. 4 16 min 8
Ví dụ 21: Cho a > 0, 0 b > thỏa mãn log + + + + + = . + + a b + a b a b ( 2 2 9 1 log ab 3 2 1 2 3 2 1 ) 6 1 ( )
Giá trị của biểu thức a + 2b bằng A. 6. B. 9. C. 7 . D. 5 . 2 2 Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có 2 = log + + + + + ≥ + + + + + + a b + a b + + a b + a b a b ( 2 2 9
)1 log ab (3 2 )1 2 log a b ( 2 2 9 1 .log ab 3 2 1 3 2 1 6 1 3 2 1 ) 6 1( ) ⇔ 1≥ log + + ⇔ + + ≤ ⇔ + + ≤ + + a b + a b a b ab ab ( 2 2 9 )1 log ab ( 2 2 9 ) 2 2 1 1 9 1 6 1 6 1 6 1 ⇔ ( a)2 2 3 − 2.3 .
a b + b ≤ 0 ⇔ (3a − b)2 ≤ 0 ⇔ 3a − b = 0 ⇔ b = 3a . Dấu bằng xảy ra ⇔ log + + = + + = + + a b + a b a b ( 2 2 9 1 log ab 3 2 1 1 3 2 1 ) 6 1 ( ) b  = 3a b  = 3a Khi đó, ta có hệ   (a b)  1 3 ;  ;  ⇔ ⇔ = . 2 2 2 2 9  a
b 1 3a 2b 1 9  a b 3a 2b 2 2  + + = + + + = +   Vậy 1 3 1 7
a + 2b = + 2. = + 3 = . Chọn C. 2 2 2 2
Ví dụ 22: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện xy ≤ 4y −1. 6(2x + y)
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x + 2 = + ln y P
bằng a + ln b . Tích . a b bằng x y A. 45. B. 115. C. 108. D. 81. Lời giải: 2 −   Ta có x 4y 1 4 1 1
xy ≤ 4y −1 ⇔ ≤ = − = 4 − 2 − ≤   4 2 2 y y y yy  6(2x + y) +   Lại có x 2y 6 = + ln = 12 y + + ln x P +  2 . x y x y    Đặt x
t = ∈(0;4] khi đó P = f (t) 6 = 12 + + ln (t + 2) . y t
Xét hàm số f (t) 6
= 12 + + ln (t + 2) trên (0;4], có f ′(t) 6 1 = − + ; t 2 t t + 2
Dựa vào bảng biến thiên, ta được f ( ) = f ( ) 27 min 4 4 = + ln 6 (0;4] 6  27 a = Do đó 27 min P =
+ ln 6 = a + ln b  → 6 . Vậy 27 . a b = 6. = 81. Chọn D. 6 b  6  = 6
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y +1 3+ ln
= 9xy − 3x − 3y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 3xy thức P = xy . A. 1 . B. 1 . C. 9. D. 1. 9 3 xy
Câu 2: Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn x+2y 3 5 − x−2 5 + + x +1 = + 3
y + y x − . Tìm giá trị xy ( 2) 3 5
nhỏ nhất của biểu thức S = x + 2y . A. 6 − 2 3 . B. 4 + 2 6 . C. 4 − 2 6 . D. 6 + 2 3 .
Câu 3: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn 1
log − ab = 2ab + a + b − 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 a + b
thức P = a + 2b . A. 2 10 − 3 . B. 2 10 −1 . C. 2 10 − 5 . D. 3 10 − 7 . 2 2 2 2
Câu 4: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log
11x + 20y − 40 =1. Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn 2 2 ( ) 2x +xy+3y
nhất và giá trị nhỏ nhất của y
S = . Tính a + b . x
A. a + b = 10 .
B. a + b = 2 14 . C. 11 a + b = . D. 7 a + b = . 6 2
Câu 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện log
x + y + 3 ≥1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 ( ) x + y +2
S = 3x + 4y − 6 . A. 5 6 − 9 . B. 5 6 − 3 . C. 5 3 − 5 . D. 5 6 − 5 . 2 2 2 2
Câu 6: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y ≥ ( 2 log log
log x + y ) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x + 3y . A. 1. B. 3 . C. 9. D. 1 . 2 2 x+2 y
Câu 7: Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn xy 1−  1 3  −
= 2 − 2xy − 2x −  
4y . Tìm giá trị nhỏ  3 
nhất của biểu thức P = 2x + 3y . A. 6 2 + − − 7 . B. 10 2 1 . C. 15 2 − 20 . D. 3 2 4 . 10 2
Câu 8: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn ( + )3 + + + log x + y x y x y
= 8(1− xy)3 − 2xy + 3. Tìm giá trị 2 1− xy
nhỏ nhất của biểu thức P = x + 3y . A. 1+ 15 . B. 15 + 3 . C. 15 + − 2 . D. 2 15 3 . 2 2 6
Câu 9: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn y 2 log
= − y + 3y + x − 3 1+ x . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 1+ x
biểu thức P = x −100y . A. −2499. B. −2501. C. −2500. D. −2490.
Câu 10: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn 2
log − ab = 3ab + a + b − 7 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 3 a + b
thức S = a + 5b . A. 2 95 − 6 . B. 4 95 +15 . C. 3 95 −16 . D. 5 95 − 21. 3 12 3 3
Câu 11: Cho hai số thực x, y thỏa mãn log 2x − 4y =1. 2 2 ( ) x + y 1 + Tính x
P = khi biểu thức S = 4x + 3y − 5 đạt giá trị lớn nhất. y A. 8 P = . B. 9 P = . C. 13 P = − . D. 17 P = . 5 5 4 44
Câu 12: Cho hai số thực x, y thỏa mãn xy ≤ 4y −1.  + 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 6y x 2 = + ln y S . xy    A. 24 + ln 6. B. 12 + ln 4 . C. 3 + ln 6 . D. 3+ ln 4 . 2
Câu 13: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x + log y +1≥ log(x + y). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức S = x + 3y . A. 1+ 3 . B. 2 + 3 . C. 3+ 3 . D. 1+ 3 . 10 5 30 4
Câu 14: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn x + y ≥ ( 3 log log
log x + y) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S = 2x + y là A. 2 2 − 2. B. 3 . C. 4 + 4 2 . D. 3+ 2 2 . 8
Câu 15: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn 2 2
a + b >1 và log
a + b ≥1. Giá trị lớn nhất của biểu 2 2 ( ) a +b
thức P = 2a + 4b − 3 là A. 10 . B. 10 . C. 2 10 . D. 1 . 2 10
Câu 16: Cho hàm số x, y thay đổi thỏa mãn 1 xy = 4, x ≥ ,
y ≥1. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá 2
trị nhỏ nhất của biểu thức 2
P = log x + log y −1 . Tính S = M + 2m . 2 ( 2 )2 A. S = 6 . B. S =11. C. 21 S = . D. 11 S = . 2 2
Câu 17: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện log(x + 3y) + log(x −3y) =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức S = x − y . A. 4 5 . B. 2 2 . C. 10 . D. 1. 3 3
Câu 18: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện log(x + 3y) + log(x −3y) =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức S = x − 2 y +1. A. 10 − + + +1. B. 5 2 3 . C. 3 5 2 . D. 3 2 5 . 2 3 3
Câu 19: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log x + log y = log x + y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 2 4 ( ) thức 2 2
S = x + y . A. 3 2 4 . B. 2 2 . C. 4. D. 3 4 2 .
Câu 20: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x + log y = log x + y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 2 2 ( ) thức 2 2
S = x + y . A. 8. B. 4. C. 16. D. 8 2 .
Câu 21: Cho các số thực x, y thỏa mãn 2 2 x + y 1 2 − + log ( 2 2
x + y +1 = 3. Biết giá trị lớn nhất của biểu thức 3 ) 3 3
S = x − y + x − y là a 6 với a, b là các số nguyên dương và a là phân số tối giản. Tính T = a + 2b . b b A. T = 25. B. T = 34 . C. T = 32 . D. T = 41.
Câu 22: Với a, b, c >1. Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = log bc + ca + ab là a (
) logb ( ) 4logc ( ) A. 6. B. 12. C. 10. D. 11.
Câu 23: Cho các số thực a, b, c lớn hơn 1 thỏa mãn log a ≥ 1− log blog c log
. Tìm giá trị nhỏ nhất bc 2 2 ( 2 2 ) của biểu thức 2 2 2
S =10log a +10log b + log c . 2 2 2 A. 4. B. 3. C. 9 . D. 7 . 2 2
Câu 24: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 2 2 2
5log a +16log b + 27log c =1. Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 2
biểu thức S = log a log b + log blog c + log c log a . 2 2 2 2 2 2
A. 1 . Với a, b, c >1 B. 1 . C. 1 . D. 1 . 16 12 9 8
Câu 25: Với a, b, c >1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = log bc + ca + ab . a (
) 3logb ( ) 4logc ( ) A. 16. B. 6 + 4 3 . C. 4 + 6 3 . D. 8 + 4 3 .
Câu 26: Cho các số thực a, b, c >1. Tính log ca khi biểu thức S = log bc + ca + ab a (
) 2logb ( ) 9logc ( ) b ( )
đạt giá trị nhỏ nhất. 8(2 2)−1 A. 2 2 . B. . C. 3 − + 2 . D. 8 2 2 . 7 7
Câu 27: Cho các số thực dương a, b, c khác 1 thỏa mãn 2 2 log c c b + c = − − . Gọi M, m lần a logb loga 2logb 3 a b
lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = log b −
c . Tính S = 2m + 3M . a logb A. 2 S = . B. 1 S = .
C. S = 3.
D. S = 2 . 3 3
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Ta có x + y +1 3+ ln
= 9xy − 3x − 3y ⇔ ln (x + y + ) 1 + 3(x + y + )
1 = ln (3xy) + 9xy 3xy
Xét hàm số f (t) = lnt + 3t (
t > 0) ta có: f ′(t) 1 = + 3 > 0 ( t ∀ ∈ ) t
Do đó hàm số f (t) đồng biến trên khoảng (0;+∞)
Ta có: f (x + y + )
1 = f (3xy) ⇔ x + y +1 = 3xy Do x,
y > 0 ⇒ x + y ≥ 2 xy (BĐT AM – GM)
⇒ 3xy = x + y +1≥ 2 xy +1 ⇔ 3xy − 2 xy −1≥ 0 ⇔ (3 xy + )
1 ( xy − )1 ≥ 0 ⇔ xy ≥1⇔ xy ≥1
Dấu bằng xảy ra ⇔ x = y =1. Chọn D. xy
Câu 2: Ta có: x+2y 3 5 − x−2 5 + + x +1 = + 3 y + y x − xy ( 2) 3 5 x+2 y 1−xy xy 1 − − x−2 ⇔ 5 + 3 + +1 = 5 + 3 y x + xy − 2y x+2 y − x−2 y xy 1 − 1 ⇔ 5 − 3 + + 2 = 5 − 3 −xy x y + xy − ( 1 *)
Xét hàm số ( ) = 5t −3−t f t
+ t (t ∈) ta có: ′( ) = 5t ln 5 + 3−t f t ln 3+1 > 0 ( t ∀ ∈ )
Do đó hàm số f (t) đồng biến trên  .
Ta có: (*) ⇔ f (x + 2y) = f (xy − )
1 ⇔ x + 2y = xy −1 (x + y)2 2 (x + y)2 2
Lại có: x + 2y ≥ 2 2xy ⇔ xy ≤
nên ta có: x + 2y = xy −1≤ −1 8 8 2
Khi đó S − S −1≥ 0 ⇔ S ≥ 4 + 2 6 . Chọn B. 8
Câu 3: Do a,b > 0 ⇒1− ab > 0
Khi đó ta có: log 1− ab − log a + b = 2ab + a + b − 3 2 ( ) 2 ( )
⇔ log 1− ab + log 2 + 2 − 2ab = log a + b + a + b 2 ( ) 2 2 ( )
⇔ log 2 − 2ab + 2 − 2ab = log a + b + a + b * 2 ( ) 2 ( ) ( )
Xét hàm số f (t) = log t + t 0
t > ta có: f ′(t) 1 = +1 > ( 0 0 t ∀ > ) 2 ( ) t ln 2
Do đó hàm số f (t) đồng biến trên khoảng (0;+∞) Ta có: ( ) ⇔ ( − ) = ( + ) ⇔ − = + ⇔ − = ( + ) 2 * 2 2 2 2 2 2 1 − a f ab f a b ab a b a b a ⇔ b = 2a +1 Khi đó: 4 − 2a P = a +
= g (a) (với a > 0 ) suy ra g (a) 10 a 0 1 0 > ′ = − =  → ⇔ 2a +1 = 10 2a +1 (2a + )2 1 10 −1  10 −1 2 10 −3 ⇔ a = ⇒ P = g   = . Chọn A. min 2  2  2   Câu 4: 2 2 log
11x + 20y − 40 =1 ⇔ 11x + 20y − 40 = 2x + xy + 3y 2 2 ( ) 2x +xy+3y Lại có: 2 2 2 2
y = S.x ⇒11x + 20Sx − 40 = 2x + Sx + 3S x ⇔ ( 2 + S + S ) 2 2 3 x − (20S + ) 11 x + 40 = 0  = ( S + )2 − ( 2 Δ 20 11
160 2 + S + 3S ) ≥ 0 
Điều kiện để tồn tại x > 0 là: 20S +11> 0 (*)( 2
Vì 2 + S + 3S > 0) 40 > 0  Do S > 0 nên ( ) 2 1 ⇔ S − S + ≤ ⇔ ( − ) 1 * 80 280 199 0 35 230 ≤ S (35+ 230) 20 20 Do đó 7
a + b = S + S = . Chọn D. min max 2 Câu 5: Do 2 2
x + y + 2 >1(∀ ; x y) nên ta có: 2 2 log
x + y + 3 ≥1 ⇔ x + y + 2 ≤ x + y + 3 2 2 ( ) x + y +2 2 2 2 2  1   1  3
⇔ x + y − x − y −1< 0 ⇔ x − +   y − <  2 2      2 Đặt 1 1 2 2 3
a = x − ; b = y − ⇒ a + b ≤ 2 2 2 Lại có:  1   1  5 5 S = x − +   y − − = 
a + b − ≤ ( 2 2 + )( 2 2
a + b ) 5 5 6 −5 3 4 3 4 3 4 − =  .  2   2  2 2 2 2 Vậy 5 6 5 S − = . Chọn D. min 2 y >1
Câu 6: log x + log y ≥ log( 2 x + y ) 2
⇔ xy ≥ x + y ⇔ x( y − ) 2  2 1 ≥ y > 0 ⇒  y x ≥   y −1 2 Khi đó = + 3 y P x y ≥ + 3y = f y ( ) ( y > )1 y −1
Ta có: f ′( y) 1 y 1 > 3 = 4 − = 0 → y = ( y − )2 1 2 Khi đó 3 P f   = =
  9 . Dấu bằng xảy ra 3 9
⇔ y = ; x = . Chọn C. min  2  2 2 x+2 y
Câu 7: Ta có: xy 1−  1  xy 1 − − x−2 3 − = 2 − 2 − 2 − 4 ⇔ 3 − 3 y xy x y = 2 − (xy − ) 1 − 2(x +   2y)  3  xy 1 − ⇔ + ( − ) − x−2 3 2 1 = 3 y xy
− 2(x + 2y)(*) Xét hàm số ( ) = 3t f t
+ 2t (t ∈) ta có: ′( ) = 3t f t ln 3+ 2 > 0 ( t ∀ ∈ )
Do đó hàm số f (t) đồng biến trên  .
Ta có: ( ) ⇔ f (xy − ) = f (−x − y) ⇔ xy − = −x − y ⇔ x( y + ) 2 − y +1 * 1 2 1 2
1 =1− 2y ⇔ x = y +1 4 − y + 2 ⇒ P =
+ 3y = g ( y),( y > 0) ⇒ g′( y) 6 − y>0 =
+ 3 = 0 → y +1 = 2 ⇔ y = 2 −1. y +1 ( y + )2 1
Ta có: P = g 2 −1 = 6 2 − 7 . Chọn A. min ( )
Câu 8: Ta có: x, y > 0 ⇒ x + y > 0 ⇒1− xy > 0
Khi đó: ( + )3 + + + log x + y x y x y
= 8(1− xy)3 − 2xy + 3 2 1− xy
⇔ (x + y)3 + x + y + log (x + y) − log (1− xy) = 8(1− xy)3 − 2 xy −1 +1 2 2 ( )
⇔ (x + y)3 + x + y + log (x + y) = log (1− xy) +1+ 8(1− xy)3 + 2 1− xy 2 2 ( )
⇔ (x + y)3 + x + y + log (x + y) = log (2 − xy) + 8(1− xy)3 + 2 1− xy 2 2 ( )
Xét hàm số f (t) 3
= t + t + log t 0
t > ta có: f ′(t) 2 1 = 3t +1+ > ( 0 0 t ∀ > ) 2 ( ) t ln 2
Do đó hàm số f (t) đồng biến trên khoảng (0;+∞). Ta có: ( + ) = ( − ) ⇔ + = − ⇔ ( + ) 2 2 2 2 2 1 2 = 2 − y f x y f xy x y xy x y − y ⇔ x = 1+ 2y Khi đó: − y + 2 P =
+ y = g ( y)( y > ) ⇒ g′( y) 5 − y>0 5 3 0 =
+ 3 = 0 →2y +1 = 2y +1 (2y + )2 1 3 15 − 3  15 −3  ⇔ y = ⇒ P = g
 = 15 − 2. Chọn C. min 6  6    Câu 9: Ta có: y 2 log
= − y + 3y + x − 3 1+ x 2 2 1+ x
⇔ log y − log (2 1+ x) 2
= − y + 3y + x − 3 1+ x 2 2
⇔ log y −1− log ( 1+ x) 2
+ y − 3y = x − 3 1+ x 2 2 2
⇔ log y + y − 3y = log
1+ x + 1+ x − 3 1+ x 2 2 ( ) ( )
Xét hàm số f (t) 2
= log t + t − 3t (với t > 0) ta có: f ′(t) 1 = + 2t − 3 2 t ln 2 Lại có: 1 1 + 2t ≥ 2
.2 > 3 ⇒ f ′(t) > 0( t ∀ > 0) t ln 2 ln 2
Do đó hàm số f (t) đồng biến trên khoảng (0;+∞).
Ta có: f ( y) = f ( + x) 2 1
⇔ y = 1+ x ⇔ x = y −1 Khi đó 2
P = y −100y −1 = ( y − 50)2 − 2051≥ 2051 −
dấu bằng xảy ra ⇔ y = 50 . Vậy P = 2051 − .Chọn B. min Câu 10: Do ; 0
a b > nên a + b > 0 suy ra 2 − ab > 0 Ta có: 2
log − ab = 3ab + a + b − 7 ⇔ log 2 − ab − log a + b = 3 ab − 2 + a + b −1 3 3 ( ) 3 ( ) ( ) a + b
⇔ log 2 − ab +1+ 3 2 − ab = log a + b + a + b 3 ( ) ( ) 3 ( )
⇔ log 3 2 − ab + 3 2 − ab = log a + b + a + b 3 ( ) ( ) 3 ( )
Xét hàm số f (t) = log t + t (với t > 0) ta có: f ′(t) 1 = +1 > 0( t ∀ > 0) 3 t ln 3 Ta có:  ( − ) =  ( + ) 6 3 2 ⇔ 6 − 3 − b f ab f a b
ab = a + b ⇔ a = 3b +1 Khi đó b − + 6 S =
+ b = g (b)(b > ) ⇒ g′(b) 19 − b>0 19 5 0 =
+ 5 = 0 →3b +1 = 3b +1 (3b + )2 1 5 1  19   1 19 1  2 95 − 6 ⇔ b = 
−1 ⇔ S = f  −  = . Chọn A. min 3  5   3 5 3 3     x =1+ 2sin t Câu 11: Ta có: 2 2
2x − 4y = x + y +1⇒ (x − )2
1 + ( y + 2)2 = 4  → y = 2 − + 2cost ⇒ S = ( + t) + (− + t) 2 2 4 1 2sin 3 2 2cos − 5 = 7
− + 8sin t + 6cost ≤ 7 − + 8 + 6 = 3. Dấu “=” xảy ra 4 3 13
⇔ sin t = ; cost = ⇒ P = − . Chọn C. 5 5 4
Câu 12: Ta có ( y − )2 2 2 2
1 ≥ 0 ⇒ 4y ≥ 4y −1⇒ 4y ≥ xy   Với x y x > ⇒ ≤  → = + + = ( + ) 6 0 4 6. ln 2 ln 2 + = ( ); x y S t f t t = ∈( 2 −   ;4] . y xyt y ⇒ f ′(t) 1 6 6 = −
= 0 ⇒ t = 3− 21 ⇒ f 3− 21 = ln 5 − 21 + . 2 ( ) ( ) t + 2 t 3− 21 Tính f ( ) 3 3
4 = ln 6 + ⇒ S ≥ + ln 6 . 2 2 Tương tự với x < ⇒ ≥ ⇒ ≥ ( ) 6 = + ( + ) x y S g u u
u = ≥ ⇒ S ≥ g ( ) 3 0 4 ln 2 ; 4 4 = + ln 6 . Chọn C. y u y 2 Câu 13: ( ) ≥ ( + ) ⇒ ≥ + ⇒ ( − ) 1 log 10 log 10 10 1 ≥ > 0 y xy x y xy x y x y y ⇒ y > ⇒ x ≥ 10 10y −1 y 1 1 ⇒ S ≥ + y ⇒ S ≥ + + y = + ( y − ) 2 + 3 3 10 1 30 3 10
1 + 4 ≥ 2 3 + 4 ⇒ S = . Chọn B. 10y −1 10y −1 10y −1 5 3 Câu 14: ( ) ≥ ( 3 + ) 3 ⇒ ≥ + ⇒ ( − ) 3 log log 1 ≥ > 0 ⇒ >1 x xy x y xy x y y x x x ⇒ y ≥ x −1 3 2 3 x x x − − x ⇒ S ≥ 2x + = f (x)  → f ′(x) 3 ( ) 1 3 2 = 2 +
= 0 ⇒ 2x − 3x + 2( 2 x − 2x +1 = 0 2 ) x −1 (x − ) 1 ⇒ ( x − )( 2
2 1 x − 2) = 0 ⇒ x = (x > )
2 1 ⇒ S ≥ f ( 2) = 4+ 4 2 . Chọn C.  1 sin t 2 2 a = +  Câu 15: Ta có 2 2 2 2  1   1  1  2 2
a + b ≥ a + b 
→ a + b = a + b ⇒ a − +  b − =  → 2 2      2  1 cost b  = +  2 2 ⇒ P = + t + ( + t)− = t + t ≤ + ( )2 1 2 sin 2 1 2 cos 3 2 sin 2 2 cos 2 2 2 = 10 . Chọn B. 2 Câu 16:   Ta có 4 4 4 x = ; 8
y = ≤ ⇒ P = log + (log y − )2
1 = (2 − log y)2 + (log y −   )2 1 . 2 2 2 2 y xy  Đặt t = y − ∈[− ] 2
⇒ P = t + (t + )2 2 1 log 2 2;1
1 = 2t + 2t +1 = f t ⇒ f ′ t = 4t + 2 = 0 ⇒ t = − . 2 ( ) ( ) 2  f ( 2 − ) = 5; f ( ) 1 = 5 Tính  1   1  1 ⇒ M = 5; 6
m = ⇒ S = . Chọn A. f − =   2   2  2
Câu 17: Từ x + 3y > 0; x − 3y > 0 ⇒ (x + 3y) + (x −3y) > 0 ⇒ x > 0 . Ta có
(x + y)(x − y) 2 2 2 log 3
3  =1⇒ x − 9y =10 ⇒ x = 9y +10  2 2 ⇒ = + − = + − = ( ) ( = ≥ ) ⇒ ′( ) 18 9 10 9 10 0 t S y y t t f t t y f t = −1 = 0 2 2 9t +10   2 2 5
⇒ t + = t ⇒ t = ⇒ f (t) 5 4 5 9 10 81 ≥ f   = . Chọn A. 6  6  3  
Câu 18: : Từ x + 3y > 0; x − 3y > 0 ⇒ (x + 3y) + (x −3y) > 0 ⇒ x > 0 . Ta có
(x + y)(x − y) 2 2 2 log 3
3  =1⇒ x − 9y =10 ⇒ x = 9y +10  2 2 ⇒ = + − + = +
− + = ( ) ( = ≥ ) ⇒ ′( ) 18 9 10 2 1 9 10 2 1 0 t S y y t t f t t y f t = − 2 = 0 2 2 9t +10 ⇒ (   2 t + ) 2 2 2 = t ⇒ t = ⇒ f (t) 2 2 3+ 5 2 4 9 10 81 ≥ f   = . Chọn C. 3  3  3  
Câu 19: log (xy) 2 2
= log x + y ⇒ xy = x + y ⇒ x + y = x y ⇒ S = x + y − 2xy = xy − 2xy . 2 2 ( )2 ( )4
Lại có x y = x + y ≥ xy ⇒ xy ≥ ⇒ S ≥ ( )4 2 2 3 3 3 3 2 4
4 − 2 4 = 2 4 . Chọn A.
Câu 20: log (xy) = log (x + y) ⇒ xy = x + y ⇒ S = (x + y)2 − 2xy = (xy)2 − 2xy . 2 2 Lại có 2
xy = x + y ≥ 2 xy ⇒ xy ≥ 4 ⇒ S ≥ 4 − 2.4 = 8 . Chọn A. Câu 21: Đặt 2 2
u = x + y +1 suy ra giả thiết u−2 ⇔ 2 + log = 3 ⇔ 2u u + 4.log u −12 = 0 . 3 3 Xét hàm số ( ) = 2u f u
+ 4.log u −12 trên (1;+∞), có f ′(u) u 4 = 2 .ln 2 + > 0; 1 u ∀ > . 3 . u ln 3
Suy ra f (u) là hàm số đồng biến trên (1;+∞) mà f ( ) 2 2
3 = 0 ⇒ u = 3 ⇒ x + y = 2 . Khi đó 3 3
S = x − y + x − y = x − y + (x − y)( 2 2
x − xy + y ) = x − y + (x − y)(2 + xy) . 2 − x − y 2 − x − y 2 2 2 2 ( )2 2
Lại có x + y = 2 ⇔ x − 2xy + y = 2 − 2xy ⇔ xy = = . 2 2 2 
2 − x − y
Đặt t = x − y , do đó S = x − y + (x − y) t 2 . 2 +
 = t + . 6 − t  2  2  
Mà (x + y)2 + (x − y)2 = ( 2 2
x + y ) = ⇔ (x + y)2 = −(x − y)2 2 2 4 4
≥ 0 ⇔ t ≤ 4 ⇔ 0 ≤ t ≤ 2 . 3 Xét hàm số ( ) t 2 = + . 6 t f t t
− t = − + 4t trên [ ]→ f (t) 16 6 0;2 max = . 2 2 [0;2] 9 16 6 a 6 a =16 Vậy S = =  →
⇒ T = a + 2b =16 + 2.9 = 34 . Chọn B. max 9 b b  = 9
Câu 22: Đặt x = log b y = c z = a x y z > .
a ; logb ; logc ( ; ; 0)   Khi đó 1 1 1 P = log b + + c + +  a + a logb 4 log log a log c bc c a logb        1 4 1 = log b +  +  c +  +  a + a logb 4log log b   log c c   a   a b logc  Lại có 1 1 log b + ≥ b = ; 4 4 3log c + ≥ c = ; b 2 logb . 4 a 2 loga . 2 log b b log c c b log a loga b Và 1 1 4log a + ≥ a
= nên suy ra P ≥ 2 + 4 + 4 =10 . c 2 4logc . 4 log a a c logc
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 10. Chọn C.
Câu 23: Ta có log a ≥ 1− log blog c log ⇔ a bc ≥ − b c bc 2 log .log 1 log .log 2 ( 2 2 ) 2 2 ( ) 2 2 ⇔ log .
a log b + log c + log .
b log c ≥1 ⇔ log . a log b + log . b log c + log . c log a ≥1 2 ( 2 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2
xy + yz + zx ≥1
Đặt x = log a; y = log ; b lo z = g c  → . 2 2 2  2 2 2
P = 10x +10y + z Lại có 2 2 2 2 2 2 2
P = x + y + x = x + z + y + z + ( 2 2 2 20 20 2 16 16 4 x + y ) . 2 2 16
x + z ≥ 8xz  Mà 2 2 16
y + z ≥ 8yz suy ra 2P ≥ 8xz + 8yz + 4.2xy ⇔ P ≥ 4( xy + yz + zx) ≥ 4 .  2 2
x + y ≥ 2xy
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 4. Chọn A. 2 2 2  + + = Câu 24: Đặt 5x 16y 27z 1 x = log a; y = log ; b lo z = g c  → . 2 2 2 
P = 1xy + yz + zx Ta có 2 2 2
= x + y + z = ( 2 2 x + y ) + ( 2 2 y + z ) + ( 2 2 1 5 16 27 3 4 4 9 2 9z + x ) 2 2 2 2 2 2 ≥ x y + y z +
z x = (xy + yz + zx) 1 3.2 .4 2 4 .9 2.2 9 . 12 ⇒ P ≤ . 12
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 1 . Chọn B. 12
Câu 25: Đặt x = log b y = c z = a x y z > .
a ; logb ; logc ( ; ; 0)     Khi đó 1 1 1 P = log b + +  c +  +  a + a 3 logb 4 log log a  log c b   c c a logb        3 4 1 = log b +  +  c +  +  a + a 3logb 4log log b   log c c   a   a b logc  Lại có 3 3 log b + ≥ b = ; 4 4 3log c + ≥ = ; b 2 3logbc. 4 3 a 2 loga . 2 3 log b b log c c b log a loga b Và 1 1 4log a + ≥ a
= nên suy ra P ≥ 2 3 + 4 3 + 4 = 4 + 6 3 . c 2 4logc . 4 log a a c logc
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 4 + 6 3 . Chọn C.
Câu 26: Đặt x = log b y = c z = a x y z > .
a ; logb ; logc ( ; ; 0)     Khi đó 1 1 1 P = log b + +  c +  +  a + a 2 logb 9 log log a  log c b   c c a logb        2 9 1 −log b +  +  c +  +  a + a 2logb 9log log b   log c c   a   a b logc  Lại có 2 2 log b + ≥ b = ; 9 9 2log c + ≥ = ; b 2 2logbc. 6 2 a 2 loga . 2 2 log b b log c c b log a loga b Và 1 1 9log a + ≥ a
= nên suy ra P ≥ 2 2 + 6 2 + 6 = 6 + 8 2 . c 2 9logc . 6 log a a c logc  log b = a 2 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  3 2  c = ⇒ ca = c + = + = . b b ( ) 1 3 2 2 log log logb 2 2 2 log ba 2 2  1 log a =  c  3
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 6 + 8 2 và log ca = . Chọn A. b ( ) 2 2
Câu 27: Giả thiết ⇔ ( b + c = c − b − c − . a )2 ( b )2 log log loga loga 2logb 5 (*)
Đặt x = log b y = c ⇒ xy = c suy ra ( ) 2 2
* ⇔ x + y = xy − x − 2y −1 a ; logb loga
Khi đó P = x − y ⇔ y = x − P suy ra 2
x + (x − P)2 = x(x − P) − x − 2(x − P) −1 2 ⇔ x + ( − P) 2 3
x + P − 2P +1 = 0 ( ) 1 .
Để phương trình (1) có nghiệm ⇔ = ( − P)2 − ( 2 P − P + ) 5 Δ 3 4 2 1 ≥ 0 ⇔ 1 − ≤ P ≤ . 3 Do đó 5 min P = 1
− ; max P = . Vậy S = m + M = (− ) 5 2 3
2. 1 + 3. = 3. Chọn C. 3 3
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1

Tài liệu liên quan: