Bài toán số chính phương trong các đề thi học sinh giỏi Toán 6
Tài liệu gồm 62 trang, tuyển tập các bài toán trắc nghiệm và tự luận chủ đề số chính phương trong các đề thi học sinh giỏi môn Toán 6 các cấp (cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh), có đáp án và lời giải chi tiết.
Chủ đề: Tài liệu chung Toán 6 391 tài liệu
Môn: Toán 6 2.7 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 1
CHỦ ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG A. PHẦN NỘI DUNG
Dạng 1: Nhận biết một số là số chính phương
Bài 1: Tìm số nguyên tố ab(a > b > 0) sao cho ab −ba là số chính phương
Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2018-2019 Lời giải
Ta có: ab − ba =10a + b −10b − a = 9(a − b)
Do 9 là số chính phương nên (a − b) là số chính phương. Mà 1≤ a − b ≤ 8 nên a − b∈{1; } 4
Nếu a − b =1 suy ra ab∈{21;32;43;54;65;76;87; }
98 suy ra : ab = 43
Nếu a − b = 4 suy ra ab∈{51;62;73; }
84 suy ra : ab = 73 Vậy ab∈{43; } 73 Bài 2: Tìm n ∈ * để 2
n + 2006 là số chính phương.
Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2015 - 2016 Lời giải Giả sử 2
n + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt: 2 2
n + 2006 = a (a ∈) 2 2 a − n = 2006
(a − n)(a + n) = 2006 ( ) 1
Mà (a + n) −(a − n) = 2n chia hết cho 2 .
a + n và a − n có cùng tính chẵn lẻ.
+) TH1: a + n và a − n cùng lẻ nên (a − n)(a + n) lẻ, trái với ( ) 1 .
+) TH2: a + n và a − n cùng chẵn nên (a − n)(a + n) chia hết cho 4 , trái với ( ) 1 .
Vậy không có n thỏa mãn 2
n + 2006 là số chính phương.
Bài 3: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n +1;2n +1;5n +1đều là số chính phương?
Trích đề chọn HSG Trực Ninh năm 2017-2018 Lời giải
Do n +1 là số chính phương nên khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
Nếu n +13 thì n chia cho 3 dư 2 nên 2n +1chia cho 3 dư 2 , vô lý.
Do đó n +1chia cho 3 sẽ dư 1 nên n3
Do 2n +1là số chính phương lẻ nên 2n +1chia cho 8 dư 1, suy ra 2n8, từ đó n4
Do đó n +1 là số chính phương lẻ nên n +1 chia cho 8 dư 1, suy ra n8
Ta thấy n3,n8 mà (3,8) =1 nên n24 mà n là số nguyên dương Với n = 24 thì 2 2 2
n +1 = 25 = 5 ;2n +1 = 49 = 7 ; 5n +1 =121 =11
Vậy n = 24 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề bài
Bài 4: Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0) biết ab −ba là số chính phương
Trích đề chọn HSG Nga Sơn năm 2017-2018 Lời giải
Ta có: ab − ba = 9(a −b)
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 2
Do a,b là các chữ số, ab là số nguyên tố, nên 3 ≤ b . Do đó 9.(a −b) là số chính phương khi a − b∈{1; } 4
+) Với a − b =1mà ab là số nguyên tố nên ta được số ab = 43
+)Với a − b = 4 mà ab là số nguyên tố nên ta được số ab = 73 Vậy ab = {43; } 73
Bài 5: Tìm số tự nhiên n sao cho : 1!+ 2!+ 3!+.....+ n! là số chính phương.
Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019 Lời giải Xét : 2 n =1⇒1!=1 n = 2 nên 1!+ 2!= 3 n = 3 nên 2 1!+ 2!+ 3!= 9 = 3
n = 4 nên 1!+ 2!+ 3!+ 4!= 33
Với n > 4 thì n!=1.2.3.......n là một số chẵn. Nên 1!+ 2!+......+ n!= 33 cộng với một số chẵn bằng số có
chữ số tận cùng là 3 nên không là chính phương
Vậy n =1,n = 3 thì thỏa đề Bài 6: Cho 2 3 2022 2023 M = 5 + 5 + 5 +...+ 5
+ 5 có phải là số chính phương không? Vì sao?
Trích đề HSG THCS Quỳnh Thiện năm 2022 - 2023 Lời giải
Vì mỗi số hạng của M đều chia hết cho 5 nên M 5 Nhưng M không chia hết cho 25 ( do trong tổng
chỉ có duy nhất 1 số hạng là 5 không chia hết cho 25). Do đó M không phải là số chính phương.
Bài 7: Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết n là số chính phương và n là bội của 147
Trích đề HSG huyện Thanh Miện năm 2021 - 2022 Lời giải
Vì n là số tự nhiên có 4 chữ số nên 1000 ≤ n ≤ 9999
Theo bài ra n là bội của 147 nên 2
n =147.k = 7 .3k
Do n là số chính phương nên khi phân tích n ra thừa số nguyên tố thì lũy thừa của các thừa
số nguyên tố phải có số mũ chẵn suy ra k3 ⇒ k = 3m 2 2
⇒ n = 7 .3 .m = 441m
⇒ 1000 ≤ 441m ≤ 9999 ⇒ 2 < m ≤ 22
Để n là số chính phương thì m phải là số chính phương nên m∈{4;9;1 } 6
Suy ra các số tự nhiên cần tìm là: 1764;3969;7056 − Bài 8: Cho phân số 6x 1 C = . Tìm x∈
M = x + có giá trị là 3
để C có giá trị là số nguyên và 5 11 x + 2 số chính phương.
Trích đề HSG huyện Bình Giang năm 2021 - 2022 Lời giải
Để C có giá trị là số nguyên thì 6x –1 3x + 2
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 3
⇒ 2(3x + 2 )−53x + 2
⇒ 53x + 2 (do 2(3x + 2)3x + 2 )
Mà x∈ Z ⇒ 3x + 2∈U (5) = { 5 − ; 1; − 1; } 5 ⇒ 3x ∈{ 7 − ; 3 − ; 1 − ; }
3 Mà x∈ Z ⇒ x∈{ 1; − } 1 Với x = 1 − ta có M = 5.( )
–1 +11 = 6 không là số chính phương.
Với x =1 ta có M = 5.1+11 =16 là số chính phương.
Vậy x =1 thỏa mãn đề bài.
Dạng 2: Chứng minh một số là số chính phương Bài 1: Cho E = ( 2 2011
125. 1+ 6 + 6 +…+ 6 ) . Chứng minh rằng E + 25 là một số chính phương.
Trích đề HSG trường THCS Yên Phong năm 2021 - 2022 Lời giải E = ( 2 2011 125. 1+ 6 + 6 +…+ 6 ) Đặt A = ( 2 2011 1+ 6 + 6 +…+ 6 ) A = ( 2 3 2012 6 6 + 6 + 6 +…+ 6 ) 2012
6A− A = 5A = 6 −1 2012 6 1 A − = 5 2012 6 −1 E =125. 2012 = 25(6 −1) 5 E + = ( 2012 25 25. 6 − ) 1 + 25 2012 = 25.6 = ( )2 2 1006 5 . 6 = ( )2 1006 2.6
Vậy E + 25 là một số chính phương.
Bài 2: M có là một số chính phương không, nếu: M =1+ 3+ 5 +.....+ (2n − )
1 (với n∈,n ≠ 0) .
Trích đề HSG huyện Lương Tài năm 2015 -2016 Lời giải
M =1+ 3+ 5 +...+ (2n − )
1 (n∈,n ≠ 0)
Tính số số hạng: (2n −1− ) 1 : 2 +1 = n
Tính tổng: M =1+ 3+ 5 +.....+ (2n − ) 1 = ( n − + ) 2 2
2 1 1 .n : 2 = 2n : 2 = n
Vậy M là số chính phương.
Bài 3: Tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên có phải là một số chính phương không? Tại sao?
Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2021-2022 Lời giải
Ta có n lẻ nên ta đặt n = 2k +1;k ∈
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 4
Tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên là: S =1+ 3+ 5 +...+ 2k +1 (2k + )1−1
Tổng S có số số hạng là: +1 = k +1 2 (2k + ) 1 +1(k + ) 1 2(k + )2 1 S = = = (k + )2 1 2 2
Vậy S là số chính phương.
Bài 4: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 735 thì được một số chính phương.
Trích đề HSG TP Bắc Giang năm 2021-2022 Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là n , ta có: 2
735n = a ( a tự nhiên) hay 2 2
7 ⋅3⋅5⋅n = a .
Số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên 2 = 3.5. ( * n k k ∈ N )
Nếu k ≥ 3 thì n ≥135,n có nhiều hơn hai chữ số (loại). Vậy k =1 hoặc k = 2 .
Khi đó hai số cần tìm là 15 và 60 .
Bài 5: Tìm số nguyên tố p,q sao cho 2 2
p + 3pq + q là số chính phương.
Trích đề HSG huyện Đông Hưng năm 2021-2022 Lời giải
Với các số nguyên tố p,q , ta có 2 2
p + 3pq + q là số chính phương. Đặt 2 2 2
p + 3pq + q = k ( k ∈ ) ( + )2 2
p q + pq = k 2
k − ( p + q)2 = pq
(k − p − q)(k + p + q) = pq Ta xét ba trường hợp :
TH1 : k − p − q =1;k + p + q = pq
2 p + 2q = pq −1
pq − 2 p − 2q =1
p(q − 2) − 2( p − 2) = 5
( p − 2)(q − 2) = 5
Vì p,q là các số nguyên tố nên : p − 2 =1 q − 2 = 5 p − 2 = 5 q − 2 =1 p = 3 q = 7 . p = 7 q = 3
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 5
Vậy ta có hai cặp p,q là (3;7),(7;3) .
TH2 : k − p − q = ;
pq k + p + q =1 ;
Vì p,q là số nguyên tố nên pq >1
k − p − q > k + p + q mà k − p − q < k + p + q (vô lí, loại).
TH3 : k − p − q = p;k + p + q = q ;
2 p + 2q = q − p
3p + q = 0 (vô lý, loại).
Vậy ta có hai cặp p,q là (3;7),(7;3) . Bài 6: Cho 2
B = 80 − 79.80 +1601
Chứng minh rằng B là bình phương của một số tự nhiên
Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2018 - 2019 Lời giải 2 B = − + = ( − ) 2
80 79.80 1601 80. 80 79 +1601 = 80.1+1601 =1681 = 41
Vậy B là bình phương của một số tự nhiên là 41.
Bài 7: Tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên có phải là một số chính phương không? Tại sao?
Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2021-2022 Lời giải
Tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên có phải là một số chính phương không? Tại sao?
Vì n lẻ nên ta đặt n = 2k +1
Tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên là : S = 1+ 3+ 5+…+ 2k +1 (2k + )1−1
Tổng S có số số hạng là: +1 = k +1 2 (2k + ) 1 +1(k + ) 1 2(k + )2 1 S = = = (k + )2 1 2 2
Nên S là số chính phương
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên khác 0, có số lượng các ước tự nhiên là một số lẻ thì số tự
nhiên đó là số chính phương.
Trích đề HSG huyện Vũ Thư, năm 2018- 2019 Lời giải
Gọi số tự nhiên đó là P(P ≠ 0) Nếu 2
P =1⇒1 =1⇒ P là số chính phương
Nếu P >1. Phân tích P ra thừa số nguyên tố ta có: x = . y..... z P a b
c (với a,b,c …là các số nguyên tố)
Khi đó số lượng các ước của P: (x + ) 1 ( y + ) 1 ......(z + ) 1 Theo bài ra (x + ) 1 ( y + ) 1 ......(z + ) 1 là số lẻ
⇒ x +1; y +1;....; z +1đều là các số lẻ
⇒ x, y,....., z đều là các số chẵn
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 Do đó x = 2 ,
m y = 2n, z = 2t Nên m n t = = ( m n t P a b c a b c )2 2 2 2 . ....
Vậy P là số chính phương.
Bài 9: Tìm số nguyên tố p để 4 p +1 là số chính phương
Trích đề thi chọn HSG Trường Phật Tích huyện Tiên Du năm 2021-2022 Lời giải
4 p +1là số chính phương và p là số nguyên tố nên 2 4p +1 = x (x ∈ N; x ≥ 3) Suy ra 2
4p = x −1suy ra 4p = (x − ) 1 (x + ) 1
Vì x ∈ N; x ≥ 3 nên (x − ) 1 (x + )
1 là tích hai số lẻ hoặc chẵn liên tiếp.
Do 4 p là số chẵn nên (x − ) 1 (x + )
1 là tích hai số chẵn liên tiếp. Do đó (x − ) 1 (x + )
1 8 suy ra 4p8suy ra p2
Mà p là số nguyên tố suy ra p = 2 Thử lại : 2
4.2 +1= 9 = 3 . Vậy p = 2 .
Dạng 3: Chứng minh một số không là số chính phương Bài 1: Cho 2 3 2022
B = 3+ 3 + 3 +...+ 3 . Chứng minh rằng 2B + 3 không là số chính phương.
Trích đề HSG huyện Bình Xuyên năm 2021-2022 Lời giải Ta có: 2 3 2022
B = 3+ 3 + 3 +...+ 3 (1) 2 3 4 2023
Suy ra : 3.B = 3 + 3 + 3 ...+ 3 (2)
Lấy (2) trừ (1) ta được: 2023 3.B − B = 3 − 3 Suy ra: 2023 2B = 3 − 3 2023 2B + 3 = 3 − 3+ 3 2023 2B + 3 = 3 B + = = ( )2 2022 1011 2 3 3 .3 3 .3 Ta có ( )2 1011 3
.3 không là số chính phương do 3 không là số chính phương.
Vậy 2B + 3 không là số chính phương. Bài 2: Cho 2 3 2021
M = 5 + 5 + 5 +....+ 5 . Tìm số dư trong phép chia M cho 6 . Hỏi M có phải là số chính phương?
Trích đề HSG huyện Thiệu Hoá năm 2021 - 2022 Lời giải
M có 2021 số hạng nên ta có 2 3 4 5 2020 2021
M = 5 + (5 + 5 ) + (5 + 5 ).. + (5 + 5 ) 2 4 2020
= 5 + 5 (1+ 5) + 5 (1+ 5) +. .+ 5 (1+ 5) 2 4 2020
= 5 + 6(5 + 5 +...+ 5 ) = 6k + 5, k ∈
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 7 Vậy M chia 6 dư 5.
Vì số chính phương khi chia cho 6 chỉ có thể dư 0;1;2;3;4 nên M không phải là số chính phương
(HS có thể lập luận M chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 )
Dạng 4: Tìm điều kiện để một số là số chính phương
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho: 1!+ 2!+ 3!+…+ n! là số chính phương
Trích đề HSG huyện Nghi Sơn, năm 2018- 2019 Lời giải
Đặt A =1!+ 2!+ 3!+…+ n!
+ Xét n =1⇒ A =1 (là số chính phương) ⇒ n =1(TM )
+ Xét n = 2 ⇒ A =1+ 2.1 = 3 (không là số chính phương) ⇒ n = 2 (loại)
+ Xét n = 3 ⇒ A =1+ 2.1+ 3.2.1 = 9 (là số chính phương) ⇒ n = 3(TM )
+ Xét n = 4 ⇒ A =1+ 2.1+ 3.2.1+ 4.3.2.1 = 33 (không là số chính phương) ⇒ n = 4 (loại)
+ Xét n ≥ 5 ⇒ A =1+ 2.1+ 3.2.1+ 4.3.2.1+ B = 33+ B (trong đó B là số có chữ số tận cùng là 0 )
Suy ra A có chữ số tận cùng là 3
Mà số chính phương không thể có chữ số tận cùng là 3 ⇒ A không là số chính phương với n ∀ ≥ 5;n∈
Vậy ta tìm được n∈{1; } 3
Bài 2: Tìm số nguyên tố ab(a > b > 0) sao cho ab −ba là số chính phương
Trích đề HSG huyện Lâm Thao, năm 2018- 2019 Lời giải
ab − ba = a + b − ( b + a) 2 10 10 = 3 (a − b)
Do ab − ba chính phương nên a − bchính phương
Vì 1≤ a − b ≤ 8 ⇒ a − b∈{1; } 4
Với a − b =1⇒ ab∈{21;32;43;54;65;76;87; } 98
Loại các hợp số 213;322;542;655;762;873;982 , còn lại 43là số nguyên tố.
Với a − b = 4 ⇒ a − b∈{51;62;73;84; } 95
Loại các hợp số 513;622;842;955 , còn 73là số nguyên tố.
Vậy ab là 43 hoặc 73. Khi đó 2
ab − ba = 43− 34 = 3 hoặc 2
ab − ba = 73− 37 = 6
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 8
B. PHẦN PHIẾU BÀI TẬP
(copy đề bài ở các dạng trên để làm phiếu phô tô cho HS)
Dạng 1: Nhận biết một số là số chính phương
Bài 1: Tìm số nguyên tố ab(a > b > 0) sao cho ab −ba là số chính phương
Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2018-2019 Bài 2: Tìm n ∈ * để 2
n + 2006 là số chính phương.
Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2015 - 2016
Bài 3: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n +1;2n +1;5n +1đều là số chính phương?
Trích đề chọn HSG Trực Ninh năm 2017-2018
Bài 4: Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0) biết ab −ba là số chính phương
Trích đề chọn HSG Nga Sơn năm 2017-2018
Bài 5: Tìm số tự nhiên n sao cho : 1!+ 2!+ 3!+.....+ n! là số chính phương.
Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019 Bài 6: Cho 2 3 2022 2023 M = 5 + 5 + 5 +...+ 5
+ 5 có phải là số chính phương không? Vì sao?
Trích đề HSG THCS Quỳnh Thiện năm 2022 - 2023
Bài 7: Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết n là số chính phương và n là bội của 147
Trích đề HSG huyện Thanh Miện năm 2021 - 2022 − Bài 8: Cho phân số 6x 1 C = . Tìm x∈
M = x + có giá trị là 3
để C có giá trị là số nguyên và 5 11 x + 2 số chính phương.
Trích đề HSG huyện Bình Giang năm 2021 - 2022
Dạng 2: Chứng minh một số là số chính phương Bài 1: Cho E = ( 2 2011
125. 1+ 6 + 6 +…+ 6 ) . Chứng minh rằng E + 25 là một số chính phương.
Trích đề HSG trường THCS Yên Phong năm 2021 - 2022
Bài 2: M có là một số chính phương không, nếu: M =1+ 3+ 5 +.....+ (2n − )
1 (với n∈,n ≠ 0) .
Trích đề HSG huyện Lương Tài năm 2015 -2016
Bài 3: Tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên có phải là một số chính phương không? Tại sao?
Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2021-2022
Bài 4: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 735 thì được một số chính phương.
Trích đề HSG TP Bắc Giang năm 2021-2022
Bài 5: Tìm số nguyên tố p,q sao cho 2 2
p + 3pq + q là số chính phương.
Trích đề HSG huyện Đông Hưng năm 2021-2022 Bài 6: Cho 2
B = 80 − 79.80 +1601
Chứng minh rằng B là bình phương của một số tự nhiên
Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2018 - 2019
Bài 7: Tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên có phải là một số chính phương không? Tại sao?
Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2021-2022
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 9
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên khác 0, có số lượng các ước tự nhiên là một số lẻ thì số tự
nhiên đó là số chính phương.
Trích đề HSG huyện Vũ Thư, năm 2018- 2019
Bài 9: Tìm số nguyên tố p để 4 p +1 là số chính phương
Trích đề thi chọn HSG Trường Phật Tích huyện Tiên Du năm 2021-2022
Dạng 3: Chứng minh một số không là số chính phương Bài 1: Cho 2 3 2022
B = 3+ 3 + 3 +...+ 3 . Chứng minh rằng 2B + 3 không là số chính phương.
Trích đề HSG huyện Bình Xuyên năm 2021-2022 Bài 2: Cho 2 3 2021
M = 5 + 5 + 5 +....+ 5 . Tìm số dư trong phép chia M cho 6 . Hỏi M có phải là số chính phương?
Trích đề HSG huyện Thiệu Hoá năm 2021 - 2022
Dạng 4: Tìm điều kiện để một số là số chính phương
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho: 1!+ 2!+ 3!+…+ n! là số chính phương
Trích đề HSG huyện Nghi Sơn, năm 2018- 2019
Bài 2: Tìm số nguyên tố ab(a > b > 0) sao cho ab −ba là số chính phương
Trích đề HSG huyện Lâm Thao, năm 2018- 2019
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 10
C. SƯU TẦM CÁC BÀI TRONG CÁC ĐỀ CỦA NHỮNG NĂM TRƯỚC ĐÓ
(Phần này lấy các câu từ những năm trước, trước năm 2020-2021, tối thiểu 10 bài)
Bài 1: Cho p là tích của 2016 số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng p −1 và p +1 không là số chính phương.
Trích đề HSG huyện Thiệu Hoá (Thanh Hoá) năm 2015 - 2016 Lời giải
Nhận xét: Một số chính phương khi chia cho 3 và 4 thì chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
Từ giả thiết suy ra p chia hết cho 2, 3 nhưng không chia hết cho 4 .
Vì p 3 nên p−1 chia cho 3 dư 2 . Vậy p−1 không là số chính phương.
Vì p 2 và p không chia hết cho 4 suy ra p chia cho 4 dư 2 nên p +1 chia cho 4 dư 3 do đó
p +1 cũng không là số chính phương.
Vậy p −1 và p +1 không là số chính phương.
Bài 2: Với a,b∈ và 2
(a − b)(a + b +1) = b . Hãy chứng tỏ rằng a − b và a + b +1 là các số chính phương.
Trích đề HSG Quận Hoàng Mai (Hà Nội) năm 2016 - 2017 Lời giải Vì *
b∈ và (a −b) 2
(a + b +1) = b (*)
nên tích (a −b)(a + b +1) là một số chính phương ( ) 1
Gọi d là ước chung lớn nhất của a − b và a + b +1.
Ta có a −bd và a +b +1d
Suy ra (a + b + )
1 − (a − b)d hay 2b+1d
Mặt khác, từ (*) ta có: 2 2
b d suy ra bd
Từ 2b +1 chia hết cho d và b chia hết cho d nên ta có 1 chia hết cho d hay d =1.
Vậy a − b và a + b +1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau (2) Từ ( )
1 và (2) suy ra a −b và a + b +1 đều là các số chính phương.
Bài 3: Chứng minh số 2 2 2 2
n = 2004 + 2003 + 2002 − 2001 không phải là số chính phương Lời giải Ta có: 2
2004 có chữ số tận cùng là 6 . 2
2003 có chữ số tận cùng là 9. 2
2002 có chữ số tận cùng là 4 . 2
2001 có chữ số tận cùng là 1. Suy ra: 2 2 2 2
2004 + 2003 + 2002 − 2001 có chữ số tận cùng là 8 . Do đó : 2 2 2 2
n = 2004 + 2003 + 2002 − 2001 không phải là số chính phương. Bài 4: Tổng 100 50
A =10 +10 +1 là số chính phương không?
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 11 Lời giải 100 50
A =10 +10 +1 có tổng các chữ số bằng 3 nên chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 nên không là số chính phương. Bài 5: Cho 2 3 4 2019
A = 5 + 5 + 5 + 5 +.....+ 5 . Hỏi 4A + 5 có phải là số chính phương không. Lời giải 2 3 4 2020
5.A = 5 + 5 + 5 +.....+ 5 .
Suy ra: A − A = ( 2 2 − ) + ( 3 3 − ) + + ( 2019 2019 − ) 2020 5. 5 5 5 5 ..... 5 5 + 5 − 5 . 2020 4.A = 5 − 5 Suy ra: 2020
4.A+ 5 = 5 là một số chính phương. Bài 6: Cho 2 3 2020
S = 3+ 3 + 3 +...+ 3 .Chứng minh S không phải là số chính phương. Lời giải
Ta có: với mọi số tự nhiên n ≥ 2 thì 3n 9 , suy ra 2 3 2020
3 + 3 +...+ 3 chia hết cho 9. Do đó: 2 3 2020
3 + 3 + 3 +...+ 3 chia cho 9 dư 3 hay S không chia hết cho 9
Mặt khác: S chia hết cho 3, do đó S không phải là số chính phương.
Bài 7: Cho B =1.3.5.7.....2017.2019, hỏi trong các số 2B −1,2B,2B +1 số nào là số chính phương? Lời giải
Ta có : 2B −1 = 2.1.3.5.....2017.2019 −1 , vì 2B3 nên 2B −1= 3k + 2(k ∈ N ) Vậy 2B −1 không là số chính phương.
Ta có : 2B = 2.1.3.5.....2017.2019 vậy 2B là số chẵn, mà B lẻ nên B / 2 suy ra B / 2 nhưng 2B / 4
Và 2B chẵn nên 2B chia cho 4 dư 1 hoặc dư 3, vậy 2B không là số chính phương.
Ta có : 2B +1 = 2.1.3.5.....2017.2019 +1 vậy 2B +1 là số lẻ, nên 2B +1/ 4
và 2B / 4 suy ra 2B +1 chia 4 dư 1, vậy 2B +1 không là số chính phương. Bài 8: Số 2 2 2
m = 1992 +1993 +1994 có phải là số chính phương không? Lời giải Ta có: 2 1992 , 2 1994 chia cho 3 dư 1, còn 2 1993 chia hết cho 3. suy ra 2 2 2
1992 +1993 +1994 chia cho 3 dư 2 .
Mà số chính phương chia cho 3 không bao giờ có số dư là 2 . Do đó 2 2 2
m = 1992 +1993 +1994 không là số chính phương.
Bài 9: Chứng minh rằng tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương? Lời giải
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: a,a +1,a + 2,a + 3 a ∈ N
Xét tổng ta có: S = 4a + 6 , thấy tổng chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không là số chính phương
Bài 10: Cho M = abc + bca + cab. Chứng tỏ rằng M không là số chính phương. Lời giải
Ta có : M = abc + bca + cab = 111a +111b +111c =111(a + b + c) = 3.37.(a + b + c)
Ta có: 1≤ b ≤ 9, 1≤ c ≤ 9, 1≤ a ≤ 9 , suy ra : 3 ≤ a + b + c ≤ 27
Mà số chính phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, do đó
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 12 2
a + b + c = 37k (k ∈ N) , vô lí vì a + b + c ≤ 27
Vậy M không là số chính phương.
Bài 11: Tìm số nguyên tố ab(a > b > 0) sao cho ab −ba là số chính phương
Trích đề HSG huyện Tam Nông năm 2018-2019 Lời giải Ta có:
ab − ba =10a + b −10b − a = 9a − 9b = 9(a − b) Suy ra: ab∈{43; } 73 .
Bài 12: Tìm n để 2
n + 2006 là một số chính phương
Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019 Lời giải Giả sử 2
n + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt 2 2
n + 2006 = a (a ∈) 2 2
⇒ a − n = 2006
⇒ (a − n)(a + n) = 2006 ( *)
Thấy a,n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*)
Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a − n)2,(a + n)2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 .
Vậy không tồn tại n để 2
n + 2006 là số chính phương. Bài 13: Số 10
A =10 + 8 là số chính phương không? Lời giải 10
A =10 + 8 có chữ số tận cùng là 8 nên không là số chính phương. Bài 14: Tổng 2 3
B =11+11 +11 là số chính phương không? Lời giải
Tổng B có chữ số tận cùng là 3 nên không là số chính phương. Bài 15: Tổng 2 3 20
A = 3+ 3 + 3 +.....+ 3 là số chính phương không. Lời giải
Tổng A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
Nên A không là số chính phương. Bài 16: Cho 2 3 4 20
A = 2 + 2 + 2 +.....+ 2 . Chứng minh rằng A + 4 không là số chính phương? Lời giải 3 4 5 21
2.A = 2 + 2 + 2 +.....+ 2
=> A − A = ( 3 3 − ) + ( 4 4 − ) + + ( 20 20 − ) 21 2 2. 2 2 2 2 ..... 2 2 + 2 − 2 21 2 => A = 2 − 2 21
=> A + 4 = 2 không là số chính phương vì có mũ lẻ. Bài 17: Cho 1 2 3 100
B = 3 + 3 + 3 +.....+ 3 . Chứng minh rằng 2B + 3 không là số chính phương? Lời giải 2 3 4 101
3.B = 3 + 3 + 3 +.....+ 3 .
=> B − B = ( 2 2 − ) + ( 3 3 − ) + + ( 100 100 − ) 101 3. 3 3 3 3 ..... 3 3 + 3 − 3 101 => 2.B = 3 − 3 101
=> 2.B + 3 = 3 không là số chính phương vì mũ lẻ.
Bài 18 : Tìm số tự nhiên n có hai chữ số biết 2n +1 và 3n +1 đều là số chính phương. Lời giải
Vì n là số tự nhiên có 2 chữ số nên 10 ≤ n ≤ 99 => 21≤ 2n +1≤199 .
Mà 2n +1 là số chính phương lẻ nên 2n +1∈{25;49;81;121; } 169
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 13
=> 2n∈{24;48;80;120; }
168 => n∈{12;24;40;60; } 84
Khi đó 3n +1∈{37;73;121;181; } 253
Thấy chỉ có 121 là số chính phương. Vậy n = 40 .
Bài 19 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 2
C = 2n + 2n + 3 không là số chính phương. Lời giải: Nếu n = 0 thì 2
C = 2n + 2n + 3 = 3 không là số chính phương.
Giả sử với mọi số tự nhiên n ≥1, C là số chính phương. Suy ra: 2 C = k 2 2
suy ra : 2n + 2n + 3 = k . Hay 2
2n(n +1) + 3= k (*).
Mà n(n +1)2 nên 2n(n +1)4 .
Nên (*) mâu thuẫn hay vô lý hay không xảy ra.
Vậy với mọi số tự nhiên n thì 2
C = 2n + 2n + 3 không là số chính phương.
Bài 20: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số để 3n +1 và 4n +1 đều là các số chính phương. Lời giải
Vì n là số tự nhiên có 2 chữ số nên 10 ≤ n ≤ 99 => 41≤ 4n +1≤ 397 .
Mặt khác 4n +1 là số chính phương lẻ nên 4n +1∈{49;81;121;169;225;289; } 361
=> 4n∈{48;80;120;168;224;288; } 360
=> n∈{12;20;30;42;56;72; } 90 .
Khi đó 3n +1∈{37;61;91;127;169;217; } 271 .
Nhận thấy chỉ có số 56 là số chính phương. Vậy n = 56 .
Bài 21: Chứng minh rằng 4n 4n 4n 4 2012 2013 2014 2015 n A = + + +
không phải là số chính phương với
mọi số nguyên dương n .
(Đề thi vào lớp 10 chuyên trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh 2015 - 2016) Lời giải Ta có 4n ∀ ∈ 2012 4, n * 4 2014 n 4, n ∀ ∈ * 4n ( 4 2013 2013 n = − ) 1 +1 chia cho 4 dư 1 4n ( 4 2015 2015 n = − ) 1 +1chia cho 4 dư 1 Do đó 4n 4n 4n 4 2012 2013 2014 2015 n A = + + + chia cho 4 dư 2
Ta có A2 nhưng A không chia hết cho 2
2 , mà 2 là số nguyên tố nên A không là số chính phương.
Vậy A không là số chính phương.
Bài 22: Chứng minh rằng 5
n +1999n + 2017(n∈) không phải là số chính phương.
(Trích đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi 2017 - 2018) Lời giải
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 14 Ta có 5
A = n +1999n + 2017 5
= n − n + 2000n + 2015 + 2
A = n(n −1)(n +1)(n − 2)(n + 2) + 5n(n −1)(n + 2) + 2000n + 2015 + 2 Ta thấy
n(n −1)(n +1)(n − 2)(n + 2) 5
5n(n −1)(n + 2)5 2000.n 5 2015 5
Nên A chia 5 dư 2 , mà không có số chính phương nào chia 5dư 2 . Vậy 5
n +1999n + 2017(n∈) không là số chính phương.
Bài 23: Chứng minh rằng tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương.
(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Nguyễn Huy Tưởng năm học 2004-2005) Lời giải
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là a,a +1,a + 2,a + 3(a ∈ *)
Ta xét S = a + (a +1) + (a + 2) + (a + 3) = 4a + 6
Vì 4a2 và 62 nên S2
Mặt khác 4a4 và 6 không chia hết cho 4 nên S không chia hết cho 4 .
Vậy S chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên S không là số chính phương.
Bài 24: Cho B =1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 +...+ n(n −1)(n − 2) với n∈*. Chứng minh rằng B không là số chính phương.
(Trích đề thi HSG Bắc Ninh 2018-2019) Lời giải Ta có
4B =1.2.3.4 + 2.3.4.(5 −1) + 3.4.5.(6 − 2) +...+ n(n −1)(n − 2).[(n + 3) − (n −1)]
4B = n(n + ) 1 (n + 2)(n + 3) 4 3 2
= n + 6n +11n + 6n
Ta có: n + n + n + n < n + n + n + n + = (n + n + )2 4 3 2 4 3 2 2 6 11 6 6 11 6 1 3 1
n + n + n + n > n + n + n = (n + n)2 4 3 2 4 3 2 2 6 11 6 6 9 3
Suy ra (n + n)2 < n + n + n + n < (n + n + )2 2 4 3 2 2 3 6 11 6 3 1
Vậy B không là số chính phương.
Bài 25: Chứng tỏ tổng sau không là số chính phương S = abc + bca + cab không là số chính phương.
(Trích đề thi Olympic lớp 6 THCS Cầu Giấy năm học 2011-2012) Lời giải
Ta có: S = abc +bca + cab =111a +111b +111c
= 111(a + b + c) = 3.37.(a + b + c)
Để S là số chính phương thì 2
a + b + c = 3.37.k (k ∈)
Điều này vô lí vì a + b + c ≤ 27 < 37
Vậy S không là số chính phương. Bài 26: Cho 2 3 80 M = 5 + 5 + 5 +...+ 5
a) Chứng minh M chia hết cho 6 .
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 15
b) Chứng minh M không là số chính phương.
(Trích đề thi HSG lớp 6 Đa Phúc 2010-2011) Lời giải a) Ta có: 2 3 80 M = 5 + 5 + 5 +...+ 5 2 3 80 M = 5 + 5 + 5 +...+ 5 M = ( 2 + ) + ( 3 4 + ) + + ( 79 80 5 5 5 5 ... 5 + 5 ) 3 M = + + ( + ) 79
5.(1 5) 5 . 1 5 +...+ 5 .(1+ 5) M = ( 3 79 6. 5 + 5 +...+ 5 ) ⇒ M 6 b) Ta có: 55 2 5 5 3 5 5 ... 80 5 5 2 3 80
⇒ M = 5 + 5 + 5 +...+ 5 5 Mặt khác: 5không chia hết cho 25 2 5 25 3 5 25 ... 80 5 25 2 3 80
⇒ M = 5 + 5 + 5 +...+ 5 không chia hết cho 25 .
Ta có M 5 nhưng M không chia hết cho 2
5 nên M không là số chính phương. Bài 27: Cho E = ( 2 2021
125. 1+ 6 + 6 +...+ 6 ) Chứng minh E + 25 là một số chính phương.
(Trích đề thi Olympic lớp 6 Nghĩa Đô 2010-2011) Lời giải n 1 + 0 Ta có: 0 1 2 n a − a + + + + = a a a ... a a −1 Nên 2022 2 2021 6 −1 1+ 6 + 6 +...+ 6 = 5 2022 6 −1 ⇒ E + 25 = 125.
+ 25 = 25.(6 − )1 + 25 = 25.6 = 5 .(6 )2 = (5.6 )2 2022 2022 2 1011 1011 5
Nên E + 25 là số chính phương. Bài 28: Cho 2012 2011 2010 2009 A =10 +10 +10 +10 + 8
a) Chứng minh A chia hết cho 24 .
b) Chứng minh A không là số chính phương. (Trích đề thi HSG lớp 6 huyện Anh Sơn 2011-2012) Lời giải
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 16 a) Ta có: 2012 2011 2010 2009 A =10 +10 +10 +10 + 8 3 A = ( 2009 2008 2007 2006 10 . 10 +10 +10 +10 ) +8 A = ( 2009 2008 2007 2006 8.125. 10 +10 +10 +10 ) +8 A = ( 2009 2008 2007 2006 8. 125. 10 +10 +10 +10 )+1 ⇒ A8 Ta lại có 2012 2011 2010 2009 10 ,10 ,10 ,10
có tổng các chữ số bằng 1 nên khi chia 2012 2011 2010 2009 10 ,10 ,10 ,10 cho 3 đều dư 1. Ta có 8 chia 3 dư 2 .
Vậy A chia 3 có số dư là dư của phép chia (1+1+1+1+ 2) ⇒ A3
Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố nguyên cùng nhau, A3, A8 nên A24 b) Ta có 2012 2011 2010 2009 10 ,10 ,10 ,10
có chữ số tận cùng là 0 nên: 2012 2011 2010 2009 A =10 +10 +10 +10
+ 8 có chữ số tận cùng là 8
Vậy A không là số chính phương vì số chính phương có tận cùng là 1; 4; 5; 6; 9
Bài 29: Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số: 3; 6; 6; 8
(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Sơn Đông 2011-2012) Lời giải
Gọi số chính phương phải tìm là 2 n
- Vì số chính phương không có chữ số tận cùng là3; 8 do đó phải có tận cùng là6 .
- Số có tận cùng bằng 86 thì chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không là số chính phương. ⇒ 2
n có tận cùng là36.
Vậy số chính phương đó là 8836 (với 2 8836 = 94 ).
Bài 30: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 135thì ta được một số chính phương?
(Trích đề thi HSG lớp 6 THCS Sơn Đông 2013-2014) Lời giải
Gọi số phải tìm là n ( n∈, 10 < n < 99 ) Ta có: 2
135.n = a (a ∈) hay 3 2 ⇒ 3 .5.n = a
Vì số chính phương chỉ có các thừa số nguyên tố với mũ chẵn nên 2
⇒ n = 3.5.k (k ∈) +) Với k =1 2 ⇒ n = 3.5.1 =15 +) Với k = 2 2 ⇒ n = 3.5.2 = 60 +) Với k ≥ 3 2
⇒ n ≥ 3.5.3 ≥135 (loại vì n có nhiều hơn hai chữ số)
Vậy số cần tìm là 15; 60 .
Bài 31: Cho tổng S =1+ 3+ 5 +...+ 2009 + 2011. Chứng tỏ S là một số chính phương.
(Trích đề HSG toán 6 THCS Hồng Hà năm 2013 - 2014) Lời giải + − + + Ta có: S 2011 1 2011 1 2011 1 2011 1 =1+ 3+ 5 +...+ 2009 + 2011 2 = +1 = = 1006 2 2 2 2
Vậy S là một số chính phương.
Bài 32: Chứng minh rằng với n
∀ ∈ thì 3n + 4 không là số chính phương.
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 17 Lời giải: - Với 0 suy ra : 3n n =
+ 4 = 5 không là số chính phương. - Với 1 suy ra : 3n n =
+ 4 = 7 không là số chính phương. - Với n ≥ 2 .
Giả sử là số chính phương. n 2
Suy ra: 3 + 4 = m (m∈,m > 3) . 2 4 3n m − = . ( − 2)( + 2) = 3n m m .
m − 2 = 3k Suy ra: . (k,q∈ ;
k + q = n) m + 2 = 3q Suy ra:
( + 2)−( + 2) = 3q −3k m m 4 3q 3k = − (*) . 4 / 3 Ta thấy (
là điều mâu thuẫn với nhau so với đẳng thức (*) . 3q − 3k )3
Vậy 3n + 4 không là số chính phương với mọi số tự nhiên n .
Bài 33: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì 2
n + 2 không là số chính phương. Lời giải: Giả sử 2
n + 2 là số chính phương. Khi đó đặt 2 2 n + 2 = m ( * m∈ ). 2 2 m − n = 2 ( ) 1 .
(m + n).(m − n) = 2 ( ) 1 .
Như vậy, trong hai số m + n và m − n phải có ít nhất một số chẵn (2) .
Mặt khác m + n + m − n = 2m chẵn.
Suy ra hai số m + n và m − n cùng tính chẵn lẻ (3) .
Từ (1) và (2) suy ra m + n và m − n là hai số chẵn. (
m + n)2 Suy ra: ( m + n )2
Suy ra: (m + n).(m − n) 4 ( 2 2
Suy ra : m − n )4 mà 2/ 4 , so sánh điều này với (1) , ta thấy đây là điều vô lý.
Vậy với mọi số nguyên dương n thì 2
n + 2 không là số chính phương.
Bài 34: Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 18 Lời giải:
Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp lần lượt là n , n +1, n + 2 , n + 3 và n + 4 ( * n∈ )
Đặt S = n(n + )
1 (n + 2)(n + 3) ( * n∈ )
Ta đi chứng minh S không là số chính phương. Giả sử 2 S = m > 0 ( * m∈ ) (1)
n(n + )(n + )(n + ) 2 Suy ra: 1 2 3 = m .
( 2n + n)( 2n + n+ ) 2 3 3 2 = m . Đặt 2
n + 3n = a ( * a ∈ N ) . a(a + ) 2 Suy ra : 2 = m . 2 2
a + 2a = m . 2 2
a + 2a +1 = m +1. (a + )2 2 1 = m +1.
(a +1+ m)(a +1− m) =1 a +1− m =1 Suy ra: a +1+ m = 1 Suy ra : m = 0 (2)
Ta thấy (2) mâu thuẫn với (1)
Vậy S không là số chính phương hay tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương.
Bài 35: Chứng minh rằng với tổng của abc + bca + cab không là số chính phương. Lời giải:
Đặt S = abc + bca + cab =111(a + b + c) = 3.37(a + b + c) ( *
a,b,c ∈ ;a,b,c ≤ 9) .
Giả sử S là số chính phương . Suy ra: S37 . 2 Suy ra:S37 .
Suy ra: (a + b + c)37.
Mà (a + b + c) ≤ 37 . Đây là điều vô lý.
Vậy S không là số chính phương.
Bài 36: Chứng minh rằng với n lẻ và n +
∀ ∈ thì 7n + 24 không là số chính phương. Lời giải:
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 19 Đặt n 2 7 + 24 = a ( * a ∈ ) .
Khi n lẻ: Đặt n = 2k +1. 2 1 + 2 1 + = + = + = ( 2 )k n k k k 2 Suy ra : 7 24 7 24 7 .7 24
7 .7 + 24 = 49 .7 + 24 = a . Có 49 chia 4 dư 1 : 49k suy ra
chia 4 dư 1 ; 7.49k chia 4 dư 3 2
suy ra : a hia 4 dư 3 (vô lý).
Vậy với n lẻ và n∈*thì 7n + 24 không là số chính phương.
Bài 37: Chứng minh rằng nếu số tự nhiên abc là số nguyên tố thì 2
b − 4ac không là số chính phương. Lời giải: Giả sử 2
b − 4ac là số chính phương 2 m (m∈) . Xét a abc = a(
a + b + c) = ( a + b)2 −( 2
b − ac) = ( a + b)2 2 4 . 4 100 10 20 4 20
− m = (20a + b + m)(20a + b − m) .
Tồn tại một trong hai thừa số 20a + b + m , 20a + b − m chia hết cho số nguyên tố.
Điều này không xảy ra vì cả hai thừa số trên đều nhỏ hơn abc .
Thật vậy, do m < b (vì 2 2 m − b = 4 − ac < 0 ).
Nên 20a + b − m ≤ 20a + b + m <100a +10b + c = abc .
Vậy nếu số tự nhiên abc là số nguyên tố thì 2
b − 4ac không là số chính phương.
Bài 38: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 thì 2n −1 không là số chính phương. Lời giải: Với 2 suy ra : 2n n =
−1 = 3 không là số chính phương. Với n > 2 :
Giả sử 2n −1 là số chính phương.
Mà 2n −1 là số lẻ nên n − = ( k + )2 2 1 2 1 n 2
suy ra : 2 −1= 4k + 4k +1. n 2
suy ra: 2 = 4k + 4k + 2 (*) .
Vì n ≥ 2 nên 2n 4 (1) Mà 2
4k + 4k = 4k (k + ) 1 4 . Nên 2
4k + 4k + 2 / 4 (2)
So sánh (1) và (2) với (*) , ta thấy mâu thuẫn với nhau.
Vậy với mọi số tự nhiên n ≥ 2 thì 2n −1 không là số chính phương.
Bài 39: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥1 thì 4 3 2
A = n + 2n + 2n + 2n +1 không là số chính phương. Lời giải: Với n ≥1:
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024
TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 20
Giả sử A là số chính phương. Suy ra: 2 A = k suy ra: 4 3 2 2
n + 2n + 2n + 2n +1 = k . 2 2 2 2
Suy ra : n (n + 2n +1) + (n + 2n +1)= k . 2 2 2 2
Suy ra : n (n +1) + (n +1) = k 2 2 2
suy ra : (n +1)(n +1) = k . 2
Suy ra : (n +1) là số chính phương với mọi n ≥1 (vô lí).
Vậy với mọi số tự nhiên n ≥1 thì 4 3 2
A = n + 2n + 2n + 2n +1 không là số chính phương.
Bài 40: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì 3
B = n − n + 2 không là số chính phương. Lời giải: Với n = 0 thì 3
B = n − n + 2 = 2 không là số chính phương.
Giả sử với mọi số tự nhiên n ≥1, B là số chính phương. 2
Suy ra : B = k suy ra : . 3 2
n − n + 2 = k ( * k ∈ ) 2 2
n(n −1) + 2= k . 2
n(n −1)(n +1) + 2 = k (*)
Mà n(n −1)(n +1)3 2
n(n −1)(n +1) + 2 = k chia 3 dư 2
Nên (*) mâu thuẫn hay vô lý hay không xảy ra.
Vậy với mọi số tự nhiên thì 3
B = n − n + 2 không là số chính phương.
Bài 41: Tìm số tự nhiên n ≥1 sao cho tổng 1!+ 2!+ 3!+…+ n! là một số chính phương.
Trích đề HSG huyện Phúc Yên năm 2009 -2010 Lời giải Với n =1 thì 2
1!=1 =1 là số chính phương.
Với n = 2 thì 1!+ 2!= 3 không là số chính phương. Với n = 3 thì 2
1!+ 2!+ 3!=1+1.2 +1.2.3 = 9 = 3 là số chính phương.
Với n ≥ 4 ta có 1!+ 2!+ 3!+ 4!=1+1.2 +1.2.3+1.2.3.4 = 33 còn 5!;6!;…;n! đều tận cùng bởi 0 do đó
1!+ 2!+ 3!+…n ! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương.
Vậy có 2 số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n =1;n = 3.
Bài 42: Tìm số nguyên dương n sao cho A = (n + )( 2
3 4n +14n + 7) là số một chính phương.
Trích đề HSG huyện Thái Bình năm 2014 -2015 Lời giải Ta có: 2 4n +14n + 7 2
= 4n +12n + 2n + 6 +1
= 4n(n + 3) + 2(n + 3)
= (n + 3)(4n + 2) +1