Bài toán VD – VDC tính đơn điệu của hàm số – Nguyễn Công Định Toán 12
Bài toán VD – VDC tính đơn điệu của hàm số – Nguyễn Công Định Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 375 tài liệu
Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU
VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO DẠNG 1
1.1. XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU BẰNG BBT – ĐỒ THỊ
NỘI DUNG CẦN NẮM VỮNG Bài t
oán bổ trợ 1: Cho đồ thị hàm số
hoặc bảng biến thiên hàm số . Tìm nghiệm phƣơng trình . Phương pháp : I
+ Dựa vào đồ thị (hoặc BBT) của hàm số f x để tìm các nghiệm x x của phƣơng Ơ i
trình f x 0. M D Ầ
+ Khi đó phƣơng trình f u
x 0 u
x x . Giải các phƣơng trình ux x ta tìm i i Đ NH
đƣợc các nghiệm của phƣơng trình f u x 0 Ị . Đ
Nhận xét : Đôi khi chỉ tìm ra được các nghiệm gần đúng x hoặc chỉ tìm ra được số nghiệm của i G THPT
phương trình f u x 0 . N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Bài t
oán bổ trợ 2: Cho đồ thị hàm số
hoặc bảng biến thiên hàm số . Tìm nghiệm Y TRƢ phƣơng trình . GU N N Phương pháp :
+ Đặt t u x , biểu diễn p x φt . ÁO VIÊ GI
+ Biến đổi phƣơng trình f u
x p
x 0 f t φt
+ Dựa vào đồ thị (hoặc BBT) của hàm số f x để tìm các nghiệm x x từ phƣơng i
trình f x φ x.
+ Khi đó phƣơng trình f u
x p
x 0 t ux x . Giải các phƣơng trình i
u x x ta tìm đƣợc các nghiệm của phƣơng trình f u x 0 i .
Nhận xét : Bài toán bổ trợ 1 là trường hợp đặc biệt của bài toán bổ trợ 2.
Bài toán 1: Cho đồ thị hàm số
hoặc bảng biến thiên hàm số
. Xét tính đơn điệu hàm số . Phương pháp :
u 'x 0
+ Xác định y u x. f u
x . Cho y ' 0 f 'u
x 0
(Dựa vào bài toán toán bổ trợ 1 để tìm các nghiệm phƣơng trình y ' 0 ).
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 1
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
+ Lập bảng xét dấu của y .
+ Từ đó kết luận đƣợc về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y f u
x và có
thể phát triển bài toán thành tìm số cực đại, cực tiểu của hàm số.
Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số
hoặc bảng biến thiên hàm số
. Xét tính đơn điệu hàm số . Phương pháp :
u 'x 0
+ Xác định y ' u ' x f ' u
x p '
x. Cho y' 0 p x f ' u x ' u
x , u'x 0 '
(Dựa vào bài toán toán bổ trợ 2 để tìm các nghiệm phƣơng trình y ' 0 ).
+ Lập bảng xét dấu của y . I Ơ
+ Từ đó kết luận đƣợc về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và có thể phát
triển bài toán thành tìm số cực đại, cực tiểu của hàm số. M D Ầ Đ BÀI TẬP NHỊ Đ Câu 1.
Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm nhƣ sau: G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ Hàm số 3 y 3f x 2 x
3x đồng biến trên khoảng nào dƣới đây? GU N N A. 1; . B. ; 1 . C. 1; 0 . D. 0;2 . Câu 2.
Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên , có đạo hàm f x thỏa mãn ÁO VIÊ GI
Hàm số y f 1 x nghịch biến trên khoảng nào dƣới đây A. 1 ; 1 . B. 2 ;0 . C. 1 ;3 . D. 1; . Câu 3.
Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số f x nhƣ hình vẽ Hàm số 2 2 x y f x e
nghịch biến trên khoảng nào cho dƣới đây? A. 2 ;0 . B. 0; . C. ; . D. 1 ; 1 .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 2
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Câu 4.
Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm nhƣ sau Hàm số y 2
f x 2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dƣới đây? A. 4 ;2 . B. 1 ;2 . C. 2 ; 1 . D. 2; 4 . Câu 5.
Cho hàm số f x có đồ thị nhƣ hình dƣới đây I Ơ
Hàm số g x ln f x đồng biến trên khoảng nào dƣới đây? M D A. ;0 .
B. 1; . C. 1 ; 1 . D. 0; . Ầ
Đ Câu 6. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên , thỏa mãn f 1 f
3 0 và đồ thị của hàm NHỊ Đ
số y f x có dạng nhƣ hình dƣới đây. Hàm số 2 y f x
nghịch biến trên khoảng G THPT nào trong các khoảng sau? N.C.Đ NG y 4 CÔN Ờ 3 N Ễ 2 Y TRƢ f(x)=-X^3+3X^2+X-3 1 x -3 -2 -1 1 2 3 GU N -1 N -2 -3 -4 ÁO VIÊ A. 2 ;2 . B. 0; 4 . C. 2 ; 1 . D. 1;2 .
GI Câu 7. Cho y f x là hàm đa thức bậc 4, có đồ thị hàm số y f x nhƣ hình vẽ. Hàm số 2 y f 5 2x 4x
10x đồng biến trong khoảng nào trong các khoảng sau đây? y 5 3 1 O 1 2 x 5 3 3 A. 3; 4 . B. 2; . C. ;2 . D. 0; . 2 2 2 Câu 8.
Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị hàm số y f x nhƣ hình vẽ bên. Hàm số
g x f 2 x x
1 đồng biến trên khoảng
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 3
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 1 A. 0 ;1 . B. 2 ; 1 . C. 2; . D. ; 2 . 2 Câu 9.
Cho hàm số f (x) , đồ thị hàm số y f (
x) nhƣ hình vẽ dƣới đây. I Ơ M D
Hàm số y f 3 x đồng biến trên khoảng nào dƣới đây ? Ầ Đ NH A. 4;6 . B. 1;2 . C. ; 1. D. 2;3. Ị Đ Câu 10. Cho hàm số 3 2
f (x) ax bx cx d có đồ thị nhƣ hình vẽ. Hàm số 2
g(x) [ f (x)] G THPT
nghịch biến trên khoảng nào dƣới đây?N .C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N ÁO VIÊ A. ( ; 3) . B. (1;3) . C. (3; ) . D. ( 3 ;1) .
GI Câu 11. Cho hàm số y f x liên tục trên . Hàm số y f x có đồ thị nhƣ hình vẽ. Hàm số
2019 2018x g x f x 1
đồng biến trên khoảng nào dƣới đây? 2018 y 1 1 O 1 2 x 1 A. 2 ; 3 . B. 0 ; 1 . C. -1 ; 0 . D. 1 ; 2 .
Câu 12. Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm nhƣ sau:
Hàm số y f x 3
1 x 12x 2019 nghịch biến trên khoảng nào dƣới đây?
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 4
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA A. 1; . B. 1; 2 C. ;1 . D. 3;4 .
Câu 13. Cho hàm số f x có bảng xét dấu đạo hàm nhƣ hình bên dƣới
Hàm số y f 1 2x đồng biến trên khoảng 3 1 1 3 A. 0; . B. ;1 . C. 2; . D. ;3 . 2 2 2 2
Câu 14. Cho hàm số f x có bảng xét dấu đạo hàm nhƣ hình bên dƣới
và hàm số g x f 1 2x . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau I Ơ 1 A. x
là một điểm cực đại và x 0 là một điểm cực tiểu của hàm số y g x . 2 M D
y g x 2 2 Ầ B. Hàm số
có điểm cực đại và điểm cực tiểu. Đ NH C. Hàm số y
g x đạt cực tiểu tại x 0 và x 2 . Ị Đ
D. x 1 là một điểm cực đại và x 2 là một điểm cực tiểu của hàm số y g x . G
THPT Câu 15. Cho hàm số y f x. Đồ thị hàm số yN.C.Đf x đƣợc cho nhƣ hình vẽ sau NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI
Hàm số g x f 4 2x
1 đồng biến trên khoảng nào sau đây? 1 3 A. ; 1 . B. ;1 . C. 1; .
D. 2; . 2 2
Câu 16. Cho hàm số f x có bảng xét dấu đạo hàm nhƣ hình bên dƣới
Hàm số y f 1 2x đồng biến trên khoảng 3 1 1 3 A. 0; . B. ;1 . C. 2; . D. ;3 . 2 2 2 2
Câu 17. Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị nhƣ hình vẽ sau
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 5
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Hàm số y f 2
x 2x 3 nghịch biến trên khoảng nào dƣới đây ? A. ; 1 . B. 1; . C. 2 ;0 . D. 2 ; 1 .
Câu 18. Cho hàm số y f (x) liên tục trên R và có đồ thị hàm số y f (
x) nhƣ hình vẽ dƣới. I Ơ M D Ầ Đ Hàm số 2
y f (x) x 2x nghịch biến trên khoảng NHỊ A. ( 1 ;2) . B. (1;3) . C. (0;1) . D. ( ; 0). Đ 2 2 G
THPT Câu 19. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x
1 x x 2 . Hỏi hàm số N.C.Đ 2 NG
g x f x x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? CÔN Ờ N A. 1 ; 1 . B. 0; 2 . C. ; 1 . D. 2; . Ễ Y
TRƢ Câu 20. Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm nhƣ sau: GU N N ÁO VIÊ GI x 2x
Hàm số y g x f x 4 3 2 2
6x đồng biến trên khoảng nào dƣới đây? 2 3 A. 2 ; 1 . B. 1; 2 . C. 4 ; 3 . D. 6 ;5 .
Câu 21. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và có bảng biến thiên nhƣ sau:
Hàm số y f 2
x 2x nghịch biến trên khoảng nào dƣới đây ? A. ;0 . B. 0 ;1 . C. 2; . D. 1;2 .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 6
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Câu 22. Cho hàm số y f x có đồ thị của hàm số y f x đƣợc cho nhƣ hình bên. Hàm số
y f x 2 2 2
x nghịch biến trên khoảng y 3 1 1 O 2 3 4 5 x 2 A. 3 ; 2 . B. 2 ; 1 . C. 1 ; 0 . D. 0; 2 .
Câu 23. Cho f x mà đồ thị hàm số y
f x nhƣ hình bên. Hàm số 2 y f x 1 x 2x đồng biến trên khoảng I Ơ M D Ầ Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG A. 1;2 . B. 1;0 . C. 0;1 . D. 2; 1 . CÔN Ờ N
Câu 24. Cho hàm số y=f(x) có đồ thị y=f ‘(x) nhƣ hình vẽ bên. Hỏi hàm số y=f(3-2x)+2019 nghịch ỄY TRƢ
biến trên khoảng nào sau đây? GU N N ÁO VIÊ GI A. 1;2 . B. 2; . C. ;1 . D. 1 ; 1 .
Câu 25. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm nhƣ sau 1
Gọi g x 2 f 1 x 4 3 2
x x x 5 . Khẳng định nào sau đây đúng ? 4
A. Hàm số g x đống biến trên khoảng ; 2 .
B. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 1 ;0 .
C. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 0; 1 .
D. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 1; .
Câu 26. Cho hàm số f x 3 2
x 3x 5x 3 và hàm số g x có bảng biến thiên nhƣ sau
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 7
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Hàm số y g f x nghịch biến trên khoảng A. 1 ; 1 . B. 0;2 . C. 2 ;0 . D. 0;4 .
Câu 27 . Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm nhƣ sau I
Đặt g x f 2 x x 3 2 2
2 x 3x 6x . Ơ Xét các khẳng định M D
1) Hàm số g x đồng biến trên khoảng 2;3. Ầ Đ
2) Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 0 ;1 . NHỊ Đ
3) Hàm số g x đồng biến trên khoảng 4; . G THPT
Số khẳng định đúng trong các khẳng đ N ị .C nh .Đ t rên là NG A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . CÔN Ờ N
Câu 28. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và có bảng xét dấu của đạo hàm nhƣ hình vẽ ỄY TRƢ sau: GU N N ÁO VIÊ GI
Có bao nhiêu số nguyên m 0;2020 để hàm số 2 g x
f x x m nghịch biến trên khoảng 1 ;0? A. 2018. B. 2017. C. 2016. D. 2015.
Câu 29. Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm nhƣ sau 2
Hàm số y f 2x 3 1
x 8x 2019 nghịch biến trên khoảng nào dƣới đây? 3 1 A. 1; . B. ; 2 . C. 1 ; . D. 1 ;7 . 2
Câu 30. Cho hàm số y f (x) có bảng xét dấu của đạo hàm f '(x) nhƣ sau
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 8
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Hàm số 3 2
y 3 f (x 2) x 3x 9x 1 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. 2 ; 1 . B. 2; . C. 0;2 .
D. ; 2 .
Câu 31. Cho hàm số f x có bảng xét dấu đạo hàm nhƣ sau
Hàm số y f x 3 2 3
2 x 3x 9x nghịch biến trên khoảng nào dƣới đây A. 2 ; 1 . B. ; 2 . C. 0; 2 . D. 2; .
I Câu 32. Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x nhƣ hình vẽ bên. Biết f 2 0, hàm Ơ số y f 2018 1 x
đồng biến trên khoảng nào dƣới đây? M D Ầ Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ 2018 2018 2018 2018 Y TRƢ A. 3; 3 . B. 1 ;. C. ; 3 . D. 3; 0 . GU
N Câu 33. Cho hàm số f x có bảng xét dấu đạo hàm nhƣ sau: N ÁO VIÊ GI x 2x
Hàm số y g x f x 4 3 2 2
6x đồng biến trên khoảng nào dƣới đây? 2 3 A. 2 ; 1 . B. 1;2 . C. 6 ;5. D. 4 ;3 .
Câu 34. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm nhƣ hình bên. Hàm số
3 f 2x 1 f 2x y e 3
đồng biến trên khoảng nào dƣới đây.
A 1; B. ; 2 . C. 1 ;3 . D. 2 ; 1 .
Câu 35. Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f ' x nhƣ hình vẽ
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 9
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA x
Hàm số y f x 2 1
x nghịch biến trên khoảng 2 3 A. 1 ; . B. 1;3 . C. 3 ; 1 . D. 2 ;0 . 2
Câu 36. Cho hàm số y f (x) có bảng xét dấu đạo hàm nhƣ sau I Ơ
Hàm số y f 2
x 2x đồng biến trên khoảng nào dƣới đây ? M D Ầ A. (1; ) . B. ( 3 ; 2 ) . C. (0;1) . D. ( 2 ;0) . Đ NH Ị
Câu 37. Cho hàm số y
f x có đồ thị f x nhƣ hình vẽ sau Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI
Hàm số g x f 2
x 2 nghịch biến trên khoảng nào dƣới đây? A. 1;3 3 ; 4; . B. 1 . C. 0 ;1 . D. .
Câu 38. Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm nhƣ sau: x 1 1 2 5 f x 0 0 0 0
Cho hàm số y f x 3 3
3 x 12x nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. ; 1 B. 1 ;0 C. 0;2 D. 2;
Câu 39. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x 2 '
x 2x . Hàm số g x f 2 x 1 nghịch
biến trên khoảng nào sau đây? A. 1; . B. 0 ;1 . C. ; 1 . D. 1 ;0 .
Câu 40. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x trên
. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số
y f x .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 10
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Hàm số 2 g x
f x x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dƣới đây? 3 3 1 1 A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . 2 2 2 2
Câu 41. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x 3 x 2 2x , x
. Hàm số y f 2 x đồng biến trên khoảng A. 2; . B. ;2 . C. 4;2 . D. . I
Ơ Câu 42. Cho hàm số y f x nghịch biến x ;
a b . Hàm số y f 2 x đồng biến trên M D khoảng Ầ A. 2 ; b 2 a.
B. ;2 a . C. ; a b. D. 2 ; b . Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 11
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA HƢỚNG DẪN GIẢI Câu 1.
Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm nhƣ sau: Hàm số 3 y 3f x 2 x
3x đồng biến trên khoảng nào dƣới đây? A. 1; . B. ; 1 . C. 1; 0 . D. 0;2 . Câu 2.
Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên , có đạo hàm f x thỏa mãn I Ơ
Hàm số y f 1 x nghịch biến trên khoảng nào dƣới đây A. 1 ; 1 . B. 2 ;0 . C. 1 ;3 . D. 1; . M D Ầ Lời giải Đ NHỊ Chọn B Đ
y f 1 x y f 1 x . G THPT N.C.Đ 1 x 1 NG Hàm số y
f 1 x nghịch biến f 1 x 0 f 1 x 0 CÔN 1 1 x 0 Ờ N Ễ x 0 Y
. Vậy hàm số y f 1 x có nghịch biến trên khoảng 2 ;0 . TRƢ 1 x 2 GU N N Câu 3. Cho hàm số y
f x có đồ thị hàm số f x nhƣ hình vẽ ÁO VIÊ GI Hàm số 2 2 x y f x e
nghịch biến trên khoảng nào cho dƣới đây? A. 2 ;0 . B. 0; . C. ; . D. 1 ; 1 . Lời giải Chọn A 2 2 x y f x e
2 2 2 x y f x e 2 2 x f x e
f x 1, x 0
f 2x 1, x 0
Từ đồ thị ta thấy f x 1, x 0 f 2x 1, x 0 f
x 1, x 0 f
2x 1, x 0
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 12
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA x e 1, x 0 f x x e 0, x 0 Mà x
e 1, x 0
Suy ra f x x
e 0, x 0 x e 1, x 0
f x x e 0, x 0
Từ đó ta có bảng biến thiên
Vậy hàm số nghịch biến trong khoảng ;0 Câu 4.
Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm nhƣ sau I Ơ Hàm số y 2
f x 2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dƣới đây? M D Ầ 4 ;2 1 ;2 2 ; 1 2; 4 Đ A. . B. . C. . D. . NHỊ Lời giải Đ Chọn B G THPT
Xét y g x 2
f x 2019 . N.C.Đ NG CÔN Ờ x 2 N Ễ x 1 Y g x 2
f x 2019 2 f x TRƢ Ta có , g x 0 . x 2 GU N x 4 N
Dựa vào bảng xét dấu của f x , ta có bảng xét dấu của g x : ÁO VIÊ GI
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy hàm số y g x nghịch biến trên khoảng 1 ;2 . Câu 5.
Cho hàm số f x có đồ thị nhƣ hình dƣới đây
Hàm số g x ln f x đồng biến trên khoảng nào dƣới đây? A. ;0 .
B. 1; . C. 1 ; 1 . D. 0; . Lời giải
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 13
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Chọn B f x
g x ln
f x . f x
Từ đồ thị hàm số y f x ta thấy f x 0 với mọi x . Vì vậy dấu của g x là dấu
của f x . Ta có bảng biến thiên của hàm số g x
Vậy hàm số g x ln f x đồng biến trên khoảng 1; .
I Câu 6. Cho hàm số y
f x có đạo hàm trên , thỏa mãn f 1 f 3 0 và đồ thị của hàm Ơ
số y f x có dạng nhƣ hình dƣới đây. Hàm số 2 y f x
nghịch biến trên khoảng M D nào trong các khoảng sau? Ầ Đ y 4 NHỊ 3 Đ 2 G THPT f(x)=-X^3+3X^2+X-3 1 x -3 -2 -1 N.C.Đ 1 2 3 NG -1 CÔN Ờ -2 N -3 Ễ -4 Y TRƢ GU N A. 2 ;2 . B. 0; 4 . C. 2 ; 1 . D. 1;2 . N Lời giải Chọn D ÁO VIÊ GI
Từ đồ thị và giả thiết, ta có bảng biến thiên của y f x :
y f x2 2 f x. f x. 2
Ta có bảng xét dấu của y f x :
Ta đƣợc hàm số 2 y f x
nghịch biến trên 1;2 .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 14
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Câu 7. Cho y
f x là hàm đa thức bậc 4 , có đồ thị hàm số y
f x nhƣ hình vẽ. Hàm số 2 y f 5 2x 4x
10x đồng biến trong khoảng nào trong các khoảng sau đây? y 5 3 1 O 1 2 x 5 3 3 A. 3; 4 . B. 2; . C. ;2 . D. 0; . I 2 2 2 Ơ Lời giải M D Chọn B Ầ Đ
Từ đồ thị của y f x ta suy ra y f x có hai điểm cực trị A0; 1 , B 2;5 . NHỊ 3 ax Đ
Ta có f x ax x 2
2 ax 2ax , do đó y f x 2
ax b 1 . G THPT 3 N.C.Đ b 1 NG b 1 CÔN
Thay tọa độ các điểm , A B vào 1 ta đƣợc hệ: . Ờ 8a a 3 N 4a b 5 Ễ 3 Y TRƢ
Vậy f x 3 2
x 3x 1. GU N N
Đặt g x f x 2 5 2
4x 10x hàm có TXĐ .
Đạo hàm g x f
x x 3 2 2 5 2 4 5
4 4x 24x 43x 22 , ÁO VIÊ GI x 2
g x 0 4 5 x 2
Ta có bảng xét dấu của g x
Từ BBT ta chọn đáp án B. Câu 8.
Cho hàm số bậc bốn y f x có đồ thị hàm số y f x nhƣ hình vẽ bên. Hàm số
g x f 2 x x
1 đồng biến trên khoảng
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 15
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 1 A. 0 ;1 . B. 2 ; 1 . C. 2; . D. ; 2 . 2 Lời giải Chọn A
Dựa vào đồ thị ta có: f x a x x 2 1 1 với a 0
g x 2x
1 f x x
1 a 2x
1 x x x x 22 2 2 2 I Ơ
ax2x 1 x 1 x 2 1 x 22 M D Bảng biến thiên Ầ Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ
Dựa vào bảng biến thiên chọn A . GU N Câu 9.
Cho hàm số f (x) , đồ thị hàm số y f (
x) nhƣ hình vẽ dƣới đây. N ÁO VIÊ GI
Hàm số y f 3 x đồng biến trên khoảng nào dƣới đây ? A. 4;6 . B. 1 ;2 . C. ; 1 . D. 2;3. Lời giải Chọn B Ta có: x y
f 3 x f 3 x 3
f 3 x (x 3) 3 x f x f x 3 x 3 0
f 3 x 3 0 0 3 x 3 x 0
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 16
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
3 x 1L x 1
3 x 1 N x 7
3 x 4N x 2 x L x 4 3
Ta có bảng xét dấu của f 3 x :
Từ bảng xét dấu ta thây hàm số y f 3 x đồng biến trên khoảng 1 ;2. Câu 10. Cho hàm số 3 2
f (x) ax bx cx d có đồ thị nhƣ hình vẽ. Hàm số 2
g(x) [ f (x)]
nghịch biến trên khoảng nào dƣới đây? I Ơ M D Ầ Đ NHỊ Đ G THPT A. ( ; 3) . B. (1;3) . C. (3; ) . D. ( 3 ;1) . N.C.Đ NG Lời giải CÔN Ờ N Chọn B Ễ Y TRƢ
f x 0
g '(x) 2 f '(x). f (x) g '(x) 0 , ta có bảng xét dấu GU N f x 0 N ÁO VIÊ GI
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng ( ; 3 ) và (1;3) . => Chọn B.
Câu 11. Cho hàm số y f x liên tục trên . Hàm số y f x có đồ thị nhƣ hình vẽ. Hàm số
2019 2018x g x f x 1
đồng biến trên khoảng nào dƣới đây? 2018 y 1 1 O 1 2 x 1
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 17
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA A. 2 ; 3 . B. 0 ; 1 . C. -1 ; 0 . D. 1 ; 2 . Lời giải Chọn C
Ta có g x f x 1 1. x 1 1 x 0
g x 0 f x
1 1 0 f x 1 1 . x 1 2 x 3 x
Từ đó suy ra hàm số g x f x 2019 2018 1
đồng biến trên khoảng -1 ; 0 . 2018
Câu 12. Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm nhƣ sau: I Hàm số y f x 3 1 x 12x
2019 nghịch biến trên khoảng nào dƣới đây? Ơ A. 1; . B. 1; 2 C. ;1 . D. 3;4 . M D Lời giải Ầ Đ
Chọn B NHỊ
Đặt g x f x 3
1 x 12x 2019, ta có x f x 2 g' ' 1 3x 12. Đ G
Đặt t x 1 x t 1 THPT 2 N2.C .Đ g ' x
f 't 3t 6t 9
f 't 3t 6t 9 . NG CÔN Ờ x f
t t t N
Hàm số nghịch biến khi 2 g' 0 ' 3 6 9 (1). Ễ Y TRƢ
Dựa vào đồ thị của hàm f 't và parabol(P): 2 y 3t 6t 9 GU N (Hình bên) ta có: N
1 t t 1 3 t 1 3 x 11 2 x 2 1 g x ÁO VIÊ nghịch biến trên (-2;2) GI
g x nghịch biến trên (1; 2).
Câu 13. Cho hàm số f x có bảng xét dấu đạo hàm nhƣ hình bên dƣới
Hàm số y f 1 2x đồng biến trên khoảng 3 1 1 3 A. 0; . B. ;1 . C. 2; . D. ;3 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A Ta có: y 2
f 1 2x Cách 1:
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 18
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA x 2 1 2x 3 3 y 2
f 1 2x 0 f 1 2x 0 2
1 2x 1 0 x 2 1 2x 3 x 1 3
hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; 1 , 0; và 2; . 2 Cách 2:
Từ bảng xét dấu f x ta có x 2 1 2x 3 3 x 1 2x 2 2 1 1 y 2
f 1 2x 0 1
2x 0 x ( trong đó nghiệm x là nghiệm bội 2 2 1 2x 1 x 0 I 1 2x 3 Ơ x 1 M D Ầ chẵn) Đ
Bảng xét dấu y nhƣ sau : NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N 3
hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; 1 , 0; và 3; . 2 ÁO VIÊ GI
Cách 3( Trắc nghiệm ) 1 3 1 1 1 1 Ta có : y 2 f 0 , mà ;1 và 2;
nên loại đáp án B và C. 4 2 4 2 4 2 7 5 7 3 y 2 f 0 , mà ;3 nên loại đáp án D. 4 2 4 2
Câu 14. Cho hàm số f x có bảng xét dấu đạo hàm nhƣ hình bên dƣới
và hàm số g x f 1 2x . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau 1 A. x
là một điểm cực đại và x 0 là một điểm cực tiểu của hàm số y g x . 2
B. Hàm số y g x có 2 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.
C. Hàm số y g x đạt cực tiểu tại x 0 và x 2 .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 19
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
D. x 1 là một điểm cực đại và x 2 là một điểm cực tiểu của hàm số y g x . Lời giải Chọn A
Theo cách 2 của câu 34 kết luận hàm số có 2 cực đại là x 3 1 , x và 2 điểm cực tiểu 2
là x 0 , x 2 nên chỉ có đáp án A sai.
Câu 15. Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f x đƣợc cho nhƣ hình vẽ sau I Ơ
Hàm số g x f 4 2x
1 đồng biến trên khoảng nào sau đây? M D 1 3 A. ; 1 . B. ;1 . C. 1; .
D. 2; . Ầ 2 2 Đ NH Lời giải Ị Đ Chọn B G THPT
Ta có g x 3 x f 4 8 2x 1 N.C.Đ NG x 0 x 0 CÔN Ờ 3 x 0 N
g x 0 4 4 2x 1 1 x 2 . Ễ f ' 4 2x 1 0 Y TRƢ 4 4 2x 1 3 x 2 GU N
(Trong đó x 0 là nghiệm bội lẻ (bội 7)). N
Dựa vào đồ thị hàm số f x và dấu của g x , ta có BBT nhƣ sau: ÁO VIÊ GI
g x đồng biến trên 4 ; 2 và 4 0; 2 . 1
Vậy g x đồng biến trên khoảng ;1 . 2
Câu 16. Cho hàm số f x có bảng xét dấu đạo hàm nhƣ hình bên dƣới
Hàm số y f 1 2x đồng biến trên khoảng
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 20
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 3 1 1 3 A. 0; . B. ;1 . C. 2; . D. ;3 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A Ta có: y 2
f 1 2x 0 f 1 2x 0 x 2 1 2x 3 3
Từ bảng xét dấu ta có f 1 2x 0 2 1 2x 1 0 x 2 1 2x 3 x 1 3
Từ đây ta suy ra hàm số đổng biến trên khoảng 0; 2
Câu 17. Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị nhƣ hình vẽ sau I Ơ M D Ầ Đ NHỊ Đ G THPT
Hàm số y f 2
x 2x 3 nghịch biến trên khoảng nào dƣới đây ? N.C.Đ NG CÔN A. ; 1. B. 1; . C. 2;0 . D. 2; 1. Ờ N Ễ Lời giải Y TRƢ Chọn D GU N
Đặt g x f 2
x 2x 3 g x x f 2 2 1
x 2x 3 . N
Do x x x 2 2 2 3 1
2 2 và đồ thị hàm số y f x ta có: ÁO VIÊ x 1 GI x 1 0 x 1
g x 0 x 0 . f 2
x 2x 3 0 2
x 2x 3 3 x 2
Ta có bảng xét dấu g x nhƣ sau
Suy ra hàm số y f 2
x 2x 3 nghịch biến trên mỗi khoảng 2 ; 1 và 0; nên chọn D.
Câu 18. Cho hàm số y f (x) liên tục trên R và có đồ thị hàm số y f (
x) nhƣ hình vẽ dƣới.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 21
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Hàm số 2
y f (x) x 2x nghịch biến trên khoảng A. ( 1 ;2) . B. (1;3) . C. (0;1) . D. ( ; 0). Lời giải I Ơ Chọn C. Đặt 2
y g(x) f (x) x 2x . M D Ầ Ta có: 2 g (x) ( f (x) x 2x)
f (x) 2x 2 . Đ
g (x) 0 f (x) 2x 2. NHỊ Đ
Số nghiệm của phƣơng trình g (
x) 0 chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số f (x) G THPT
và đƣờng thẳng () : y 2x 2 (nhƣ nhình vẽ dƣới). N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI x 1
Dựa vào đồ thị ta thấy g x 0 x 1 x 3 Dấu của g (
x) trên khoảng ( ;
a b) đƣợc xác định nhƣ sau: Nếu trên khoảng ( ;
a b) đồ thị hàm f (
x) nằm hoàn toàn phía trên đƣờng thẳng
() : y 2x 2 thì g ( x) 0 x ( ; a b) . Nếu trên khoảng ( ;
a b) đồ thị hàm f (
x) nằm hoàn toàn phía dƣới đƣờng thẳng
() : y 2x 2 thì g ( x) 0 x ( ; a b) .
Dựa vào đồ thị ta thấy trên ( 1
;1) đồ thị hàm f (x) nằm hoàn toàn phía dƣới đƣờng
thẳng () : y 2x 2 nên g ( x) 0 x ( 1 ;1) .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 22
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Do đó hàm số 2
y f (x) x 2x nghịch biến trên ( 1 ;1) mà (0;1) ( 1 ;1) nên hàm số nghịch biến trên (0;1) .
Câu 19. Cho hàm số y f x 2 2 có đạo hàm
f x x
1 x x 2 . Hỏi hàm số 2 g x
f x x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. 1 ; 1 . B. 0; 2 . C. ; 1 . D. 2; . Lời giải Chọn C x 1 2 x 1 0
f x 0 2 x 2 1
x x 2 0 x 1 . 2
x x 2 0 x 2
Bảng xét dấu f x I Ơ 2 M D
Ta có g x 1 2x f x x . Ầ Đ 1 1 x NH x 2 Ị 2 Đ 1 2x 0 2 1 5 2
x x 1 G g x 0
1 2x f x x 0 x THPT . f 2
x x 0 2 N.C.Đ 2 x x 1 NG 1 5 2 CÔN x Ờ x x 2 N 2 Ễ Y
Bảng xét dấu g x TRƢ GU N N ÁO VIÊ 2 GI
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số g x f x x đồng biến trên khoảng ; 1 .
Câu 20. Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm nhƣ sau: x 2x
Hàm số y g x f x 4 3 2 2
6x đồng biến trên khoảng nào dƣới đây? 2 3 A. 2 ; 1 . B. 1; 2 . C. 4 ; 3 . D. 6 ;5 . Lời giải Chọn A Cách 1: Giải nhanh
Ta có: y x f 2 x 3 2 2 .
2x 2x 12x
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 23
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA + Chọn x 5 ,5 6 ; 5
y f 825 5, 5 11 30, 25 0 4
vì theo BBT 30, 25 4 f 30, 25 0 1
1f 30,25 0 nên loại bỏ đáp án D.
+ Tƣơng tự chọn x 4
,5 ta đều đƣợc y' 4
,5 0 nên loại bỏ đáp án C.
+ Chọn x 1,5 ta đều đƣợc y f 27 ' 1, 5 3 2, 25 0 4
vì theo BBT 1 2, 25 4 f 2, 25 0 3 f 2, 25 0 nên loại bỏ đáp án B. Cách 2: Tự luận
Ta có y x f 2 x 3 2
x x x x f 2 x 2 2 . 2 2 12 2
x x 6 f 2
x 0 x 1; 2 I Ơ Mặt khác: 2
x x 6 0 x 2 x 3 M D Ta có bảng xét dấu: Ầ Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ (kxđ: không xác định) GU N
y g x 2 ; 1 2; N Vậy hàm số
đồng biến trên khoảng và .
Câu 21. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và có bảng biến thiên nhƣ sau: ÁO VIÊ GI
Hàm số y f 2
x 2x nghịch biến trên khoảng nào dƣới đây ? A. ;0 . B. 0 ;1 . C. 2; . D. 1;2 . Lời giải Chọn B
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 24
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA x 1 x 1 x 0 x y
2x 2 f 2 2 0 2
x 2x 0 2
x 2x 0 x 2 f 2
x 2x 0 2
x 2x 2 x 1 3 x 1 3
Lập bảng xét dấu y I Ơ M D
Dựa vào bảng xét dấu hàm số nghịch biến trên 0 ;1 . Ầ
Đ Câu 22. Cho hàm số y f x có đồ thị của hàm số y f x đƣợc cho nhƣ hình bên. Hàm số NHỊĐ
y f x 2 2 2
x nghịch biến trên khoảng G THPT y N.C.Đ 3 NG CÔN Ờ N 1 Ễ Y TRƢ GU N 1 O 2 3 4 5 x N 2 ÁO VIÊ GI A. 3 ; 2 . B. 2 ; 1 . C. 1 ; 0 . D. 0; 2 . Lời giải Chọn C Cách 1: Giải nhanh
Ta có : y 2 f 2 x 2 . x + Chọn x 2 ,1 3 ; 2 y 2 , 1 2 f 4, 1 4, 2 0
vì theo đồ thị f 4,
1 3 2 f 4,
1 4, 2 0 .Nên đáp án A sai. + Chọn x 1 ,9 2 ; 1 y 1
,9 2 f 3,9 3,8 0
vì theo đồ thị f 3,9 3 2 f 3,9 3,8 0 .Nên đáp án B sai.
+ Chọn x 1,50;2 y1,5 2 f 0,5 3 0
vì theo đồ thị f 0,5 0 2 f 0,5 3 0 .Nên đáp án D sai.
Cách 2: Giải tự luận
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 25
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Ta có y f x 2 2 2
x y 2 x 2 f 2 x 2x
y 2 f 2 x 2x y 0 f 2 x x 0 f 2 x 2 x 2 .
Dựa vào đồ thị ta thấy đƣờng thẳng y x 2 cắt đồ thị y f x tại hai điểm có hoành I 1 x 2 Ơ
độ nguyên liên tiếp là 1
và cũng từ đồ thị ta thấy f x x 2 trên miền x 3 2 M D
2 x 3 nên f 2 x 2 x 2 trên miền 2 2 x 3 1 x 0 . Ầ Đ
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng 1 ; 0 . NHỊ Đ
Câu 23. Cho f x mà đồ thị hàm số y
f x nhƣ hình bên. Hàm số 2 y f x 1 x 2x G THPT đồng biến trên khoảng N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI A. 1;2 . B. 1;0 . C. 0;1 . D. 2; 1 . Lời giải Chọn A Ta có 2 y f x 1 x 2x Khi đó y f x 1 2x
2 . Hàm số đồng biến khi y 0 f x 1 2 x 1 0 1 Đặt t x
1 thì 1 trở thành: f t 2t 0 f t 2t .
Quan sát đồ thị hàm số y f t và y
2t trên cùng một hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 26
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Khi đó ta thấy với t
0;1 thì đồ thị hàm số y
f t luôn nằm trên đƣờng thẳng y 2t . Suy ra f t 2t 0, t 0;1 . Do đó x 1;2 thì hàm số 2 y f x 1 x 2x đồng biến. I
Ơ Câu 24. Cho hàm số y=f(x) có đồ thị y=f ‘(x) nhƣ hình vẽ bên. Hỏi hàm số y=f(3-2x)+2019 nghịch
biến trên khoảng nào sau đây? M D Ầ Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ A. 1;2 . B. 2; . C. ;1 . D. 1 ; 1 . NG CÔN Ờ Lời giải N Ễ Y Chọn A TRƢ
Đặt g x f 3 2x 2019 g x 2f3 2x . GU N N
Cách 1 : Hàm số nghịch biến khi gx 2
f3 2x 0 f3 2x 0 1 x 2 ÁO VIÊ 1 3 2x 1 1 . Chọn đáp án A GI 3 2x 4 x 2
Cách 2 : Lập bảng xét dấu 3 2x 1 x 2 gx 2f
3 2x 0 f 3 2x 0 3 2x 1 x 1 3 2x 4 1 x 2 Bảng xét dấu x 1 1 2 2 g'(x) - 0 + 0 - 0 +
Lƣu ý : cách xác đinh dấu của g’(x). Ta lấy 32;,g 3 2 .f3 2. 3 2 f 3 0
(vì theo đồ thị thì f’(-3) nằm dƣới trục Ox nên f 3 0)
Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn đáp án A.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 27
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Câu 25. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm nhƣ sau 1
Gọi g x 2 f 1 x 4 3 2
x x x 5 . Khẳng định nào sau đây đúng ? 4
A. Hàm số g x đống biến trên khoảng ; 2 .
B. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 1 ;0 .
C. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 0; 1 .
D. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 1; . Lời giải I Chọn C Ơ
Xét g x f x x x x f x x3 3 2 2 1 3 2 2 1 1 1 x M D
Đặt 1 x t , khi đó g x trở thành ht f t 3 2 t t Ầ Đ Bảng xét dấu NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N
Từ bảng xét dấu ta suy ra ht nhận giá trị dƣơng trên các khoảng 2 ; 1 và 0; 1
,nhận giá trị âm trên các khoảng 1
;0 và 1; . ÁO VIÊ GI
hàm số gx nhận giá trị dƣơng trên 2;3 và 0;
1 ,nhận giá trị âm trên 1;2 và ;0
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 0; 1 .
Câu 26. Cho hàm số f x 3 2
x 3x 5x 3 và hàm số g x có bảng biến thiên nhƣ sau
Hàm số y g f x nghịch biến trên khoảng A. 1 ; 1 . B. 0;2 . C. 2 ;0 . D. 0;4 . Lời giải Chọn A
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 28
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Ta có f x 2
3x 6x 5; f x x 2 3 1 2 0, x . y g
f x g
f x.f x. 3 2
x 3x 5x 9 0
y 0 g f x 0 6
f x 6 3 2
x 3x 5x 3 0 x 1
2x 4x 9 0 1 x 1. x 1
2x 2x 3 0
Câu 27 . Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm nhƣ sau I 2 3 2 Ơ
Đặt g x f x 2x 2 x 3x 6x. Xét các khẳng định M D Ầ
1) Hàm số g x đồng biến trên khoảng 2;3. Đ NHỊ
2) Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 0 ;1 . Đ g x 4; G
3) Hàm số đồng biến trên khoảng . THPT N.C.Đ
Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là NG CÔN Ờ A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . N Ễ Lời giải Y TRƢ Chọn B GU N 2 2 N
Ta có: g x 2x 2 f x 2x 2 3x 6x 6 . 5 13 9 13 Do g 3. f 0 vì f 0
(dựa vào bảng dấu của f x ), do đó hàm số ÁO VIÊ 2 4 4 4 GI
g x không thể đồng biến trên khoảng 2;3. Vậy mệnh đề 1) là sai. 1 5 33 5 Do g 1 . f 0 vì f 0
(dựa vào bảng dấu của f x ), do đó hàm 2 4 4 4
số g x không thể đồng biến trên khoảng 0
;1 . Vậy mệnh đề 2) là sai.
Với x 4; E , ta thấy:
x x x 2 2 f 2 2 2 1 1 10
x 2x 2 0 và 2x 2 0 nên
x f 2 2 2 .
x 2x 2 0, x 4; (a); x 1 3 Dễ thấy 2 2
3x 6x 6 0
3x 6x 6 0, x 4; (b). x 1 3
Cộng theo vế của (a) và (b) suy ra
g x x f 2 x x 2 2 2 2
2 3x 6x 6 0, x 4; .
Vậy g x đồng biến trên khoảng 4; . Do đó 3) là mệnh đề đúng.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 29
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Câu 28. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên và có bảng xét dấu của đạo hàm nhƣ hình vẽ sau:
Có bao nhiêu số nguyên m 0;2020 để hàm số 2 g x
f x x m nghịch biến trên khoảng 1 ;0? A. 2018. B. 2017. C. 2016. D. 2015. Lời giải Chọn C Hàm số 2 g x
f x x m nghịch biến trên khoảng 1 ;0
gx x f 2 2 1 .
x x m 0 x 1;0 I Ơ f 2
x x m 0 x
1;0 (do 2x 1 0 x 1 ;0 ) M D 2 2
x x m 1
m 1 x x Ầ x 1;0 x 1; 0 Đ 2 2
x x m 4
m 4 x x NHỊ 2 Đ
m 1 min h x x x h 1 2 1 ; 0 m 1 G THPT m max hx 2
x x h N.C.Đ m 4 4 0 0 1 ; 0 NG CÔN Ờ N
Kết hợp điều kiện m 0;2020 , suy ra: m 4;2020 . Ễ Y TRƢ
Vậy có 2016 giá trị m nguyên thỏa đề. GU
N Câu 29. Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm nhƣ sau N ÁO VIÊ GI 2
Hàm số y f 2x 3 1
x 8x 2019 nghịch biến trên khoảng nào dƣới đây? 3 1 A. 1; . B. ; 2 . C. 1 ; . D. 1 ;7 . 2 Lời giải Chọn C
g x f 2x 2 3 1
x 8x 2019 . 3
g x f x 2 2 2
1 2x 8 .
g x f x 2 0 ' 2 1 4 x 1 .
Hàm số f 2x
1 có bảng xét dấu nhƣ hàm số f x nên ta có:
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 30
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA x 1 5 3 1 x x
2x 1 x 4 x 2 1 1 2 2 2 1 . 2x 1 2 1 x I 2 Ơ
Bảng xét dấu của g x nhƣ sau: M D x x 1 1 1 1 Ầ 2 2 Đ NH
g x
0 0 Ị Đ G
THPT Câu 30. Cho hàm số y f (x) có bảng xét dấu của đạo hàm f '(x) nhƣ sau N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N Hàm số 3 2
y 3 f (x 2) x 3x 9x 1 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? N A. 2 ; 1 . B. 2; . C. 0;2 .
D. ; 2 . ÁO VIÊ Lời giải GI Chọn A Ta có 2
y ' 3x 6x 9 3 f '(2 x).
Hàm số y nghịch biến khi 2
y ' 0 x 2x 3 f '(2 x). Bất phƣơng trình này không
thể giải trực tiếp ta sẽ tìm điều kiện để 2
x 2x 3 0 3 x 1 2
x 2x 3 0 2 x 1 x 3 3 x 1.
f '(2 x) 0 1
2 x 5 3 x 1
Đối chiếu các đáp án chọn A.
Câu 31. Cho hàm số f x có bảng xét dấu đạo hàm nhƣ sau
Hàm số y f x 3 2 3
2 x 3x 9x nghịch biến trên khoảng nào dƣới đây
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 31
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA A. 2 ; 1 . B. ; 2 . C. 0; 2 . D. 2; . Lời giải Chọn A.
Theo đề bài: y f x 3 2
x x x f x 2 ' 3 2 3 9 3
2 3x 6x 9 .
Để hàm số nghịch biến y f x 2 0 3
2 3x 6x 9 0
f x 2
2 x 2x 3
Từ BXD f x ta có BXD của f x 2 nhƣ sau: I
Từ BXD trên, ta có hình dạng đồ thị của hàm số y f x 2 và 2
y x 2x 3 đƣợc Ơ
vẽ trên cùng hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ. M D Ầ Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N
Dựa vào đồ thị ta có hàm số nghịch biến trên 3 ; 1 .
Câu 32. Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x nhƣ hình vẽ bên. Biết f 2 0, hàm ÁO VIÊ GI số y f 2018 1 x
đồng biến trên khoảng nào dƣới đây? A. 2018 2018 3; 3 . B. 1 ;. C. 2018 ; 3 . D. 2018 3; 0 . Lời giải Chọn D
Dựa vào đƣờng thẳng hàm số y f x và f 2
0, ta có bảng biến thiên của hàm số
y f x nhƣ sau
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 32
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Ta có 2018 1 x 1 x
mà max f x f 2 0 f 2018 1 x 0 ;2
Do đó y f 2018 1 x f 2018 1 x 2017 y x f 2018 2018 1 x .
Hàm số đồng biến y 0 2017 x f 2018 2018 1 x 0 .
Trƣờng hợp 1. Với x 0 x 2018 x 1 loai
y 0 f 1 x 2018 1 2 2018 0 2018 x 3 (vì x 0 ). 2018 1 x 2 2018 x 3 I
Trƣờng hợp 2. Với x 0 Ơ y f 2018 x 2018 0 1
0 2 1 x 2 2018 1 x 3 2018 3 x 0 .
M D Câu 33. Cho hàm số f x có bảng xét dấu đạo hàm nhƣ sau: Ầ Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN x 2x Ờ
Hàm số y g x f x 4 3 2 2
6x đồng biến trên khoảng nào dƣới đây? N 2 3 Ễ Y TRƢ A. 2 ; 1 . B. 1;2 . C. 6 ;5. D. 4 ;3 . GU N Lời giải N Chọn A ÁO VIÊ Cách 1: GI
Ta có y g x xf 2 x 3 2 2
2x 2x 12x . Đặt h x 3 2
2x 2x 12x .
Bảng xét dấu h x :
Đối với dạng toán này ta thay từng phƣơng án vào để tìm ra khoảng đồng biến của g x . 2
x 1;4 f 2x 0 2xf 2x 0 Với x 2 ; 1 x 0 . h x h x 0 0 xf 2 x 3 2 2
2x 2x 12x 0 gx 0 . Vậy g x đồng biến trong khoảng 2 ; 1 .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 33
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2
x 1;4 f 2x 0 2xf 2x 0
Với x 1; 2 x 0 . h x h x 0 0 xf 2 x 3 2 2
2x 2x 12x 0 gx 0. Vậy g x nghịch biến trong khoảng 1;2.
Kết quả tƣơng tự với x 6
;5 và x 4 ;3 . Cách 2:
Ta có g x x f 2 x 2 2
x x 6 .
Bảng xét dấu của g x trên các khoảng 6 ;5, 4 ;3 , 2 ; 1 , 1; 2 I Ơ M D Ầ 2 ;1 Đ
Từ bảng xét dấu ta chọn hàm số đồng biến trên khoảng NHỊ
Câu 34. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu đạo hàm nhƣ hình bên. Hàm số Đ
3 f 2x 1 f 2x G THPT y e 3
đồng biến trên khoảng nào dƣới đây. N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N
A 1; B. ; 2 . C. 1 ;3 . D. 2 ; 1 . N Lời giải Chọn D ÁO VIÊ GI x
Từ bảng đạo hàm ta thấy f x 1 ' 0 1 x 4
3 f 2x 1 f 2x y e 3 y ' 3
. f '2 x 3 f 2 x 1 .e
f '2 x f 2 x .3 .ln 3 ' '
y f 2 x 3 f 2 x 1 f 2 x .3.e 3 .ln 3
Để hàm số đồng biến thì y ' f '2 x 3 f 2 x 1 f 2 x .3.e 3 .ln 3 0
3 f 2x 1 f 2x
f '2 x 0 (Vì 3.e 3 .ln 3 0 )
f x 2 x 1 x 3 ' 2 0 1 2 x 4 2 x 1 x 2 ; 1 .
Câu 35. Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f ' x nhƣ hình vẽ
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 34
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA x
Hàm số y f x 2 1
x nghịch biến trên khoảng 2 3 A. 1 ; . B. 1;3 . C. 3 ; 1 . D. 2 ;0 . 2 Lời giải Chọn D I x Ơ
Đặt g x f x 2 1
x . Ta có g 'x f '1 x (1 x) . 2 M D
g ' x 0 f '1 x 1 x (*) Ầ Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N 1 x 3 x 4
Dựa vào đồ thị ta có (*) 1 x 1 x 0 . ÁO VIÊ 1 x 3 x 2 GI
Bảng biến thiên của hàm số y g x : x
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y g x f x 2 1
x nghịch biến trên mỗi 2 khoảng 2
;0 và 4; .
Câu 36. Cho hàm số y f (x) có bảng xét dấu đạo hàm nhƣ sau
Hàm số y f 2
x 2x đồng biến trên khoảng nào dƣới đây ? A. (1; ) . B. ( 3 ; 2 ) . C. (0;1) . D. ( 2 ;0) .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 35
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Lời giải Chọn C
Đặt g x f 2 ( )
x 2x . Ta có g x f 2 ( )
x 2x.(2x 2) . x 1 x 1 x 0 2 x 2x 2 g ( x) 0 x 2 . 2 x 2x 0 x 1 2
x 2x 3 x 3 Bảng xét dấu g ( x) I Ơ
Dựa vào bảng xét dấu của g (
x) suy ra hàm số g x f 2 ( )
x 2x đồng biến trên (0;1) . M D y f x f x
Ầ Câu 37. Cho hàm số
có đồ thị nhƣ hình vẽ sau Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N
Hàm số g x f 2
x 2 nghịch biến trên khoảng nào dƣới đây? ÁO VIÊ 1;3 3 ; 4; GI A. . B. 1 . C. 0 ;1 . D. . Lời giải Chọn C
g x f 2
x 2 2
x f 2 2 .
x 2 x f 2 2 . x 2 . x 0 x 0 g x 2x 0 0 .
x x f x 2 2 2 1 1 2 0 2 x 2 2 x 2 f x 2 2 x 2 2
0 x 2 2 , f 2 x 2
2 0 x 2 2 2 x 2 . x 2
Bảng xét dấu của g x :
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 36
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Vậy g x nghịch biến trên khoảng 0 ;1 .
Câu 38. Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm nhƣ sau: x 1 1 2 5 f x 0 0 0 0
Cho hàm số y f x 3 3
3 x 12x nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. ; 1 B. 1 ;0 C. 0;2 D. 2; I Lời giải Ơ Chọn D M D Đặt 3
t x 3 khi đó y t 3 f t t 3 12t 3 Ta có Ầ Đ
yt f t t 2 3 3 3
12 3 f t t 1 t 5 NHỊ Đ
Dựa vào bảng biến thiên ta có t 5 thì f t 0; t 1t 5 0 nên G THPT
hàm số nghịch biến với t 5 hay x 2 . N.C.Đ 2
NG Câu 39. Cho hàm số y
f x có đạo hàm f x 2 ' x
2x . Hàm số g x f x 1 nghịch CÔN Ờ N
biến trên khoảng nào sau đây? Ễ Y TRƢ A. 1; . B. 0 ;1 . C. ; 1 . D. 1 ;0 . GU N
Lời giải N Chọn B x ÁO VIÊ
Ta có: f x 0 0 . GI x 2 x 0 x 0 x 0
Ta có: g x x f 2 2 . x
1 g x 0 . f x 2 x 1 0 x 1 2 1 0 2 x 1 2 x 3 Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên 0 ;1 .
Câu 40. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x trên
. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số
y f x .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 37
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Hàm số 2 g x
f x x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dƣới đây? 3 3 1 1 A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C I Cách 1: Ơ x
Từ đồ thị ta thấy: f x 1 0 . x 2 M D Ầ
Ta có: g x f 2
x x 2
x x f 2
x x x f 2 . 1 2 . x x ; Đ NHỊ 1 Đ x 2 G THPT 1 2x 0 g x 1 0
x x N. C1.Đ . f
x x 2 x 2 0 2 NG 2 CÔN x x 2 Ờ N Ễ Y TRƢ Bảng biến thiên GU N N ÁO VIÊ GI 1
Vậy hàm số y g x nghịch biến trên khoảng ; . 2 Cách 2:
Ta có: g x f 2
x x 2
x x f 2
x x x f 2 . 1 2 . x x .
Hàm số y g x nghịch biến trên khoảng a; b
g x 0, x
a; b và g x 0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc khoảng a; b .
Chọn x 0 ta có: g 0 1 2.0. f 0 f 0 0 .
Suy ra loại các đáp án A , B , D . Vậy chọn đáp án C . 3 2
Câu 41. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2x , x
. Hàm số y f 2 x đồng biến trên khoảng
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 38
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA A. 2; . B. ;2 . C. 4;2 . D. . Lời giải Chọn A 4 3 3 2 x 2x
+ Ta có f x x 2x suy ra f x f
xdx 3x 2 2x dx C 4 3 4 x 3 2 2 2 x
+ Suy ra y g x f 2 x C 4 3
2 x4 22 x3 3 2
+ Tính g ' x f 2 x =
C = 2 x 22 x 2 2 x x 4 3
+ Hàm số đồng biến suy ra g ' x 0 x 0. Chọn A..
Câu 42. Cho hàm số y f x nghịch biến x ;
a b . Hàm số y f 2 x đồng biến trên I Ơ khoảng
2 ;b2a ;2a ;ab 2 ;b M D A. . B. . C. . D. . Ầ Đ Lời giải NHỊ Chọn A Đ
+ Vì hàm số y f x nghịch biến x ;
a b nên f x 0; x ; a b . G THPT N.C.Đ
+ Xét y g x f 2 x có
g x f 2 x NG CÔN Ờ N
+ Hàm số y f 2 x đồng biến thì
g x 0 f 2 x 0 f 2 x 0 Ễ Y TRƢ
Suy ra a 2 x b 2 b x 2 a . Chọn A. GU N N ÁO VIÊ GI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 39
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
CHỦ ĐỀ: ĐƠN ĐIỆU
VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO DẠNG 2
BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
Kiến th ức bổ sung 1: Biện luận nghiệm bất phƣơng trình chứa tham số .
m f x x ;
a b m max f x. a;b I
m f x x ;
a b m min f x. Ơ a;b
m f x có nghiệm trên ;
a b m min f x. M D a;b Ầ
m f x có nghiệm trên ;
a b m max f x. Đ a;b NHỊ Đ
Kiến thức bổ sung 2: So sánh 2 nghiệm của tam thức với số thực G THPT N.C.Đ NG CÔN a f α Ờ x α x . 0. 1 2 N Ễ 0 Y TRƢ
x x α S 2α . 1 2 GU N N . a f α 0 0 ÁO VIÊ
α x x S 2α . 1 2 GI .af α 0
Bài toán 1: Tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu trên . Phương pháp : + Tính 2
y ' 3ax 2bx c là tam thức bậc 2 có biệt thức . a 0
+ Để hàm số đồng biến trên R 0 a a
+ Để hàm số nghịch biến trên R 0
Bài toán 2: Tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu trên . Phương pháp : + Tính 2
y ' 3ax 2bx c là tam thức bậc 2 chứa tham số m.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 40
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
+ Hàm số đồng biến trên ;
a b y ' f , x m 0 x ;
a b (hoặc hàm số nghịch biến trên ;
a b y ' f , x m 0 x ; a b ).
Cách 1: ( f ,
x m bậc nhất đối với m, hoặc f ,
x m không có nghiệm ‚chẵn‛)
+ Biến đổi bpt f , x m 0 x ;
a b g x hm x ;
a b hoặc g x hm x a;b .
+ Tìm GTLN, GTNN của y g x trên ; a b.
(Sử dụng kiến thức bổ sung 1 để kết luận tập nghiệm bất phƣơng trình).
Cách 2: (tham số m trong f ,
x m có chứa bậc 1 và bậc 2, hoặc f ,
x m có nghiệm ‚chẵn‛)
+ Tìm các nghiệm của tam thức bậc hai, lập bảng xét dấu.
+ Gọi S là tập hợp có dấu ‚thuận lợi‛. Yêu cầu bài toán xảy ra khi ;
a b S. Sau đó sử
dụng kiến thức bổ sung 2 giải quyết bài toán.
Nhận xét: Nên xét cụ thể trường hợp a 0 nếu hệ số a có chứa tham số. I Ơ
Bài toán 3: Tìm tham số m để hàm số trùng phƣơng đơn điệu trên . M D
Ầ Phương pháp : Đ NH x 0 Ị Đ + Tính 3
y ' 4ax 2b ; x y ' 0 b . 2 G x THPT 2a N.C.Đ NG
+ Lập bảng xét dấu y’, giả sử có S là tập ‚thuận lợi‛. CÔN Ờ N
+ Yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi ;
a b S. Sau đó sử dụng kiến thức bổ sung 2 giải ỄY TRƢ quyết bài toán. GU N
Nhận xét: Nên xét cụ thể trường hợp a 0 nếu hệ số a có chứa tham số. N
ÁO VIÊ Bài toán 4: Tìm tham số m để hàm số phân thức đơn điệu trên .
GI Phương pháp :
ad bc 0 ax b + Hàm số y đồng biến trên ; m n d . cx d ; m n c
ad bc 0 ax b + Hàm số y nghịch biến trên ; m n d . cx d ; m n c
Bài toán 5: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên . Phương pháp :
Đặt t u x hàm số trờ thành y f t . Trƣờng hợp này cần chú ý 3 vấn đề sau:
1. Tìm miền xác định của t u x cho chính xác.
2. Nếu t u x đồng biến trên thì f u x
và f t cùng tính chất đồng biến hoặc nghịch biến.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 41
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
3. Nếu t u x nghịch biến trên thì f u x
và f t ngƣợc tính chất, nghĩa là f u x
đồng biến thì f t nghịch biến và ngƣợc lại. BÀI TẬP 1 Câu 1.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y 2 m 2m 3 2
x mx 3x đồng biến 3 trên . m 0 m 0 A. m 0 . B. . C. .
D. 1 m 3 . m 3 m 3 mx 2 Câu 2.
Số giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số y
nghịch biến trên khoảng 2x m 1 ; là 2 A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 2 . I
Ơ Câu 3. Tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2
y x 3mx 3x 1 đồng biến trên là: M D Ầ A. m 1 ; 1 . B. m ; 1 1; . Đ NH C. m ; 1 1; . D. m 1 ; 1 . Ị Đ mx 4 G
THPT Câu 4. Cho hàm số y
(với m là tham số thực) có bảng biến thiên dƣới đây x 1 N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI
Mệnh đề nào dƣới đây đúng?
A. Với m 2 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
B. Với m 9 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
C. Với m 3 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
D. Với m 6 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f x m 1 sinx m 1 x nghịch biến trên .
A. m 1 . B. m 1. C. m 1.
D. Không tồn tại m .
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y 2x x mx 2m 1 nghịch biến trên đoạn 1 ;1 . 1 1 A. m . B. m . C. m 8 . D. m 8 . 6 6 2x 1
Câu 7. Tìm m để hàm số y
nghịch biến trên khoảng 1; ? x m
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 42
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 1 1 1 A. m .
B. m 1.
C. m 1. D. m 1. 2 2 2 3 mx Câu 8. Cho hàm số 2 y
x 2x 1 .
m Tập hợp các giá trị của m để hàm số nghịch biến 3 trên là 1 A. ; . B. 0 . C. ;0 . D. . 2 3 x Câu 9. Cho hàm số y m 2 x 2 1
m 2m x 1 với m là tham số. Có tất cả bao nhiêu 3
giá trị nguyên của m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 2;3? A. 2. B. 1. C. 3. D. Vô số.
Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc khoảng 1 000;1000 để hàm số 3
y x m 2 2 3 2
1 x 6mm
1 x 1 đồng biến trên khoảng 2; ? I Ơ A. 999 . B. 1001. C. 1998 . D. 998 . x 2
M D Câu 11. Cho hàm số y . Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên Ầ x m Đ 0; 3 . NHỊ Đ A. m 3 .
B. 0 m 2 .
C. 2 m 3 . D. m 0 . G
THPT Câu 12. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y x 6x mx 1 đồng N.C.Đ NG
biến trên khoảng 0; . CÔN Ờ N A. 3; . B. 48; . C. 36;. D. 12; . Ễ Y
TRƢ Câu 13. Cho hàm số 3
y x m 2 1 2
x 2 m x m 2 . Giá trị của tham số m để hàm số đồng GU N N b b
biến trên 0; là ;
với là phân số tối giản. Khi đó T 2a b bằng a a ÁO VIÊ A. 19. B. 14. C. 13. D. 17.
GI Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số 3 2 y (x ) m 8(x ) m 16 nghịch biến trên khoảng 1 ;2?
A. 2. B. 5. C. 4. D. 3.
Câu 15. Có bao nhiêu số nguyên m ( 2 0;20) để hàm số 3
y x 3mx 1 đơn điệu trên khoảng (1;2)? A. 37 . B. 16 . C. 35 . D. 21 .
Câu 16. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2 3
y x 3mx 3x 6m đồng
biến trên khoảng 0; là: A. ;1 . B. ;2 . C. ;0 . D.2; .
Câu 17. Tất cả giá trị của tham số thực m sao cho hàm số 3 2
y x 2mx m
1 x 1 nghịch biến trên khoảng 0;2 là 11 11
A. m 2 . B. m . C. m .
D. m 2 . 9 9
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 43
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số 4
y x m 2 2
1 x 3m 2 đồng
biến trên khoảng 2;5 . A. m 1. B. m 5. C. m 5. D. m 1.
Câu 19. Cho hàm số f x có đạo hàm trên
là f x x 1 x 3 . Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m thuộc đoạn 1
0;20 để hàm số y f 2
x 3x m đồng biến trên khoảng 0;2 ? A.18 . B.17 . C.16 . D. 20 . m 2
1 x 2mx 6m
Câu 20. Số các giá trị nguyên của tham số m 2 019;201 9 để hàm số y x 1
đồng biến trên khoảng 4; ? A. 2034 . B. 2018 . C. 2025 . D. 2021.
I Câu 21. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 2
y x m x 2 đồng biến trên Ơ ? M D A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 . Ầ 2x m
Đ Câu 22. Hàm số y
đồng biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi? 2 NH x 1 Ị Đ A. m 0 . B. m 0 . C. m 2 . D. m 2 . G THPT 2 cos x 1
Câu 23. Tất cả các giá trị của m để hàm số y N.C.Đ
đồng biến trên khoảng là NG cos x 0; m 2 CÔN Ờ N Ễ A. m 1 1. B. m 1 . C. m . D. m 1. Y 2 2 TRƢ GU
N Câu 24. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng 2019;2019 để hàm số N 3 2
y sin x 3cos x msin x 1 đồng biến trên đoạn 0; . 2 ÁO VIÊ A. 2028.
B. 2018.C. 2020 . D. 2019 .
GI Câu 25. Gọi S là tập hợp các số thực m thỏa mãn hàm số 4 3
y mx x m 2
1 x 9x 5 đồng biến trên
. Số phần tử của S là A. 3 B. 2 . C. 1. D. 0 .
Câu 26. Cho hàm số y 2m
1 x 3m 2cos x . Gọi X là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của
tham số thực m sao cho hàm số đã cho nghịch biến trên
. Tổng giá trị hai phần tử
nhỏ nhất và lớn nhất của X bằng A. 4 . B. 5 . C. 3 . D. 0 . 2 x x 1
Câu 27. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x đồng biến trên m khoảng ; 3 là 8 8 8 8 A. ; . B. 3; . C. ; . D. ; . 5 5 5 5
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 44
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Câu 28. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng 1 9;19 để hàm số
tan x 3m 3 y
đồng biến trên khoảng 0; . tan x m 4 A. 17. B. 10. C. 11. D. 9. Câu 29. Cho hàm số 3 2 y 2
sin x 3sin x 62m
1 sin x 2019. Có tất cả bao nhiêu giá trị của π 3π
tham số m thuộc khoảng 2
016;2019 để hàm số nghịch biến trên khoảng ; ? 2 2 A. 2019 . B. 2017 . C. 2021. D. 2018 .
Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số thực m để hàm số 3 2
y x 3x m
1 x 2m 3 đồng biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 1? A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 .
Câu 31. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m 1 0;10 để hàm số 2 4
y m x m 2 2 4 1 x 1 I
đồng biến trên khoảng 1; . Ơ A. 7 . B. 16 . C. 15. D. 6 .
M D Câu 32. Cho hàm số y f x liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm nhƣ sau Ầ Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x f x m đồng biến trên NG CÔN Ờ N khoảng 0 ;2 . Ễ Y TRƢ A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. GU
N Câu 33. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên . Biết hàm số y f x có đồ thị nhƣ N
hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m 5 ;
5 để hàm số g x f x m ÁO VIÊ
nghịch biến trên khoảng 1;2 . Hỏi S có bao nhiêu phần tử? GI A. 4 . B. 3 . C. 6 . D. 5 .
4m 6 x 3
Câu 34. Cho hàm số y
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng 6 x m 1
0;10 sao cho hàm số đồng biến trên khoảng 8 ;5? A. 14. B. 13. C. 12. D. 15.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 45
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 1
Câu 35. Cho hàm số f x 3 2
x ax bx c (a,b,c ) thỏa mãn f 0 f
1 f 2 . Tổng giá 6
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của c để hàm số g x f f 2
x 2 nghịch biến trên khoảng 0 ;1 là A. 1. B. 1 3. C. 3. D. 1 3. 4 3 2 x mx x
Câu 36. Cho hàm số y
mx 2019 ( m là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các 4 3 2
giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 6; . Tính
số phần tử của S biết rằng m 2020 . A. 4041 . B. 2027 . C. 2026 . D. 2015 .
Câu 37. Hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x nhƣ hình vẽ: I Ơ M D Ầ Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI
Xét hàm số g x f x 3 2
2x 4x 3m 6 5 với m là số thực. Điều kiện cần và đủ để
g x 0 , x 5; 5 là 2 2 2 2 A. m f 5 B. m f 5 . C. m f 5 . D. m f 0 . 3 3 3 3
Câu 38. Có bbao nhiêu số thực m để hàm số y 3 m m 4 2 3 2 3
x m x mx x 1 đồng biến trên
khoảng ; . A. 3 . B. 1. C. Vô số. D. 2 .
Câu 39. Có bao nhiêu gia trị nguyên của tham số m trong đoạn 2
019;2019 để hàm số y 2
ln x 2 mx 1 đồng biến trên ? A. 2019 . B. 2020 . C. 4038 . D. 1009. 1
Câu 40 Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 3
y x mx đồng biến 5 5x
trên khoảng 0; ?
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 46
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA A. 12 . B. 0 . C. 4 . D. 3 .
Câu 41. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 1 f x 2 5 3 2
m x mx 10x 2
m m 20 x đồng biến trên . Tổng giá trị của tất cả 5 3
các phần tử thuộc S bằng 3 5 1 A. . B. 2 . C. D. . 2 2 2 Câu 42. Cho hàm số 3 2 f x x 3mx 3 2m 1 x
1. Với giá trị nào của m thì f x 6x 0 với mọi x 2? 1 1 A. m .
B. m . C. m 1. D. m 0. 2 2 Câu 43. Cho hàm số 3 2 f x x 2m 1 x 2 m x
2 . Với giá trị nào của tham số m thì f x 0 với mọi x 1? I 7 5 Ơ
A. m ; B. m ; 3 4 M D 7 5 7 5 Ầ C. m ; D. m ; 1 1; . Đ 3 4 3 4 NHỊ
Câu 44. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y m x m 2 2 2019 2018 cos x Đ G THPT nghịch biến trên ? N.C.Đ 4037 NG A. m 1. B. m . C. m 1. D. m 1. CÔN Ờ 3 N Ễ
Câu 45. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng 1 0;10 để hàm số 3
y 2x 2mx 3 đồng Y TRƢ biến trên 1; ? GU N N A. 12 . B. 8 . C. 11. D. 7 .
Câu 46. Cho hàm số y f x liên tục trên và có đạo hàm f x 2
x x 2 2
x 6x m với ÁO VIÊ GI mọi x
. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn 2
019;2019 để hàm số
g x f 1 x nghịch biến trên khoảng ; 1 ? A. 2012 . B. 2009 . C. 2011. D. 2010 .
Câu 47. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x 2
x x 2 ' 2
x mx 5 với x . Số giá trị
nguyên âm của m để hàm số g x f 2
x x 2 đồng biến trên khoảng 1; là A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 7 . Câu 48. Cho hàm số 3
y f x liên tục trên
và có đạo hàm f x x x 2 1
x 4x m với
mọi x . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn 2
019;2019 để hàm số
g x f 1 x nghịch biến trên khoảng ;0 ? A. 2020 . B. 2014 . C. 2019 . D. 2016 .
Câu 49. Cho hàm số f x có bảng biến thiên của hàm số y f x nhƣ hình vẽ bên. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của tham số m 1
0;10 để hàm số y f x 3 3
1 x 3mx đồng biến trên khoảng 2 ; 1 ?
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 47
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA A. 8 . B. 6 . C. 7 . D. 5 . 4
Câu 50. Giá trị y f x có đạo hàm f x x x 2 1
x mx 9 với mọi x . Có bao nhiêu
số nguyên dƣơng m để hàm số g x f 3 x đồng biến trên khoảng 3; ? A. 6 . B. 5 . C. 7 . D. 8 .
Câu 51. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên
và bảng xét dấu của đạo hàm nhƣ hình vẽ bên. I Ơ 2 M D
Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y f x 4x
m nghịch biến trên khoảng 1; 1 ? Ầ Đ A. 3 . B. 1. C. 0 . D. 2 . NHỊ m
Câu 52. Tập các giá trị thực của tham số m để hàm số y ln(3x 1)
2 đồng biến trên khoảng Đ x G THPT 1 ; . N.C.Đ NG 2 CÔN Ờ N 7 1 4 2 Ễ A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . Y 3 3 3 9 TRƢ GU
N Câu 53. Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên ;
a b để hàm số f x x . a sin x .
b cos x đồng N biến trên . A. 5 . B. 6 . C. 4 . D. 3 . ÁO VIÊ
GI Câu 54. Cho hàm số y
f x có đạo hàm liên tục trên
và có đồ thị hàm số y f x nhƣ
hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên dƣơng của tham số m để hàm số
20 2 x y f x 1 ln
nghịch biến trên khoảng 1 ; 1 ? m 2 x A. 3 . B. 6 . C. 4 . D. 5 .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 48
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Câu 55. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên , có đồ thị f x nhƣ hình vẽ. mx x 2 2 3 4
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m 2
0;20 để hàm số g x f 4 20
đồng biến trên khoảng 0; . I Ơ A. 6 . B. 7 . C. 17 . D. 18 . M D Ầ Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 49
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA HƢỚNG DẪN GIẢI 1 Câu 1.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y 2 m 2m 3 2
x mx 3x đồng biến 3 trên . m 0 m 0 A. m 0 . B. . C. .
D. 1 m 3 . m 3 m 3 Lời giải Chọn C Ta có: y 2 m m 2 2
x 2mx 3 . m TH1: 2
m 2m 0 0 . m 2
Với m 0 , y 3 y 0, x
. Do đó, m 0 thỏa mãn hàm số đồng biến trên .
Với m 2 , y 4x 3 . Do đó, m 2 không thỏa mãn hàm số đồng biến trên . I Ơ m TH2: 2
m 2m 0 0 . m 2 M D 2 Ầ
m 2m 0 Đ
Hàm số đồng biến trên 2 2 NH m 3
m 2m 0 Ị Đ m 2 G THPT 2
m 2m 0 m 0 m N.C.Đ 3 . NG 2 m 0 CÔN
2m 6m 0 m 3 Ờ N m 0 Ễ Y TRƢ m 0 Vậy
thỏa mãn yêu cầu bài toán. GU N m 3 N mx 2 Câu 2.
Số giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số y
nghịch biến trên khoảng 2x m ÁO VIÊ 1 GI ; là 2 A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 2 . Lời giải Chọn B mx 2 m m Hàm số y có tập xác định là D ; ; 2x m 2 2 2 m 4 m Ta có: y x . 2x m , 2 2 2 m 4 0 1 2 m 2
Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 m 1 mà m 1 2 m 1 2 2 m nên m 1 ;0; 1 . Câu 3.
Tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2
y x 3mx 3x 1 đồng biến trên là:
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 50
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA A. m 1 ; 1 . B. m ; 1 1; . C. m ; 1 1; . D. m 1 ; 1 . Lời giải Chọn A 2
y 3x 6mx 3 . 3 0
Hàm số đồng biến trên
y 0 x R 2
m m 1 ; 9 9 0 1 . 3 m2 9 0 mx 4
Câu 4. Cho hàm số y
(với m là tham số thực) có bảng biến thiên dƣới đây x 1 I Ơ M D Ầ Đ
Mệnh đề nào dƣới đây đúng? NHỊ Đ
A. Với m 2 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. G THPT
B. Với m 9 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. N.C.Đ NG
C. Với m 3 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. CÔN Ờ
D. Với m 6 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. N Ễ Y Lời giải TRƢ Chọn A GU N N m 4 mx 4 Ta có: y ' . Mà lim y lim m . x 0 m 4 2 1 x x x 1 ÁO VIÊ
Từ bảng biến thiên ta có lim y 2
. Do đó: m 2 . GI x
Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f x m 1 sinx m 1 x nghịch biến trên .
A. m 1 . B. m 1. C. m 1.
D. Không tồn tại m . Lời giải Chọn C Khi m 1
: f x 0 nên không thỏa YCBT. Suy ra loại , A C . Khi m 1:
f ' x m 1 cosx + 1
Để hàm số nghịch biến trên thì f ' x 0 x
m 1 0 m 1 .
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y 2x x mx 2m 1 nghịch biến trên đoạn 1 ;1 . 1 1 A. m . B. m . C. m 8 . D. m 8 . 6 6
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 51
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Lời giải Chọn D Ta có: 2
y 6x 2x m .
Hàm số nghịch biến trên đoạn 1
;1 khi và chỉ khi y 0, x 1 ;1 . 2
6x 2x m 0, x 1 ; 1 2
6x 2x , m x 1 ; 1 .
Xét hàm g x 2
6x 2x trên đoạn 1 ;1 .
g x 12x 2 ; g x 1 0 x . 6 Bảng biến thiên: I Ơ M D Ầ Để 2 6x 2x , m x 1 ;
1 thì đồ thị của hàm g x nằm phía dƣới đƣờng thẳng y m Đ NHỊ . Đ
Từ bảng biến thiên ta có m 8 . G THPT 2x 1 N.C.Đ
Câu 7. Tìm m để hàm số y
nghịch biến trên khoảng 1; ? NG x m CÔN Ờ N 1 1 1 Ễ A. m .
B. m 1.
C. m 1. D. m 1. Y 2 2 2 TRƢ Lời giải GU N N Chọn B
Điều kiện: x m . ÁO VIÊ 2 m 1 Ta có y . GI x m2
Để hàm số nghịch biến trên khoảng 1; thì 1 y 0 2 m 1 0 m 1 . m m 1; 2 1 m 1 2 m 1 x 3 mx Câu 8. Cho hàm số 2 x y
x 2x 1 .
m Tập hợp các giá trị của m để hàm số nghịch biến 3 trên là 1 A. ; . B. 0 . C. ;0 . D. . 2 Lời giải Chọn D D 2
y ' mx 2x 2.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 52
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA TH1: m 0 Ta có: y ' 2
x 2.Hàm số nghịch biến khi y ' 0 x 1 3 mx Hàm số 2 y
x 2x 1 m nghịch biến trên 1;. 3
Vậy m 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. TH2: m 0 3 mx Hàm số 2 y
x 2x 1 m nghịch biến trên 3 2
y ' mx 2x 2 0 x . m 0 m 0
1 không có giá trị nào của m thỏa mãn.
' 1 2m 0 m 2
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. I 3 Ơ x Câu 9. Cho hàm số y m 2 x 2 1
m 2m x 1 với m là tham số. Có tất cả bao nhiêu 3 M D
giá trị nguyên của m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 2;3? Ầ Đ A. 2. B. 1. C. 3. D. Vô số. NHỊ Đ Lời giải G THPT Chọn A 3 N.C.Đ NG x 2 2
y f (x)
m 1 x m 2m x 1 CÔN Ta có : Ờ 3 N Ễ 2
y x m 2 ' 2
1 x m 2m Y TRƢ GU N x m 2
y x m 2 ' 0 2
1 x m 2m 0 N x m 2 Ta có bảng biến thiên: ÁO VIÊ GI
Dựa vào bảng biến thiên trên để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 2;3 ta có
m 2 3 m 2 tức là : 1 m 2 . Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Chọn A.
Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc khoảng 1 000;1000 để hàm số 3
y x m 2 2 3 2
1 x 6mm
1 x 1 đồng biến trên khoảng 2; ? A. 999 . B. 1001. C. 1998 . D. 998 . Lời giải Chọn B 3
y x m 2 2 3 2
1 x 6mm 1 x 1.
Tập xác định D . Hàm số có 2
y 6x 62m
1 x 6mm 1 .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 53
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2
y 0 6x 62m
1 x 6mm 1 0 . x m 2
x 2m
1 x mm 1 0 . x m 1 Ta có bảng biến thiên: x ∞ m m+1 + ∞ y' + 0 0 + + ∞ y ∞
Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên ;m và m 1; . Suy ra hàm số
đồng biến trên 2; khi 2; m 1; m 1 2 m 1. I
Mà m là số nguyên thuộc khoảng 1
000;1000 m 9 99 ; 998 ; ... ; 1 . Ơ
Có tất cả 1001 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán. M D x 2
Câu 11. Cho hàm số y Ầ x
. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên m Đ NH 0; 3 . Ị Đ A. m 3 .
B. 0 m 2 .
C. 2 m 3 . D. m 0 . G THPT N. LC ờ.Đ i giải NG CÔN Chọn D Ờ N m 2 Ễ Ta có y Y TRƢ x m2 GU N m 2 N
Hàm số đồng biến trên 0;
3 y 0 , x0; 3 , x 0; 3 x m 0 2 ÁO VIÊ m 2 m 2 0 GI Hay
m 3 m 0 . m 0; 3 m 0
Câu 12. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y x 6x mx 1 đồng
biến trên khoảng 0; . A. 3; . B. 48; . C. 36;. D. 12; . Lời giải Chọn D Ta có: 2
y 3x 12x m .
Để hàm số đồng biến trên khoảng 0; thì 2
y 3x 12x m 0 , x 0; . Suy ra 2
m 3x 12x , x 0; . Xét g x 2 3
x 12x trên 0;.
g x 6x 12 .
g x 0 6
x 12 0 x 2. Bảng biến thiên:
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 54
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA x 0 2 g x 0 12 g x 0
Do đó: max g x 12 m max g x 12 . 0; 0; Câu 13. Cho hàm số 3
y x m 2 1 2
x 2 m x m 2 . Giá trị của tham số m để hàm số đồng b b
biến trên 0; là ;
với là phân số tối giản. Khi đó T 2a b bằng a a A. 19. B. 14. C. 13. D. 17. Lời giải Chọn C I 3 2 Ơ
Xét hàm số hàm số y x 1 2m x 2 m x m 2 .
Tập xác định: D . M D 2 Ầ
Ta có: y 3x 21 2m x 2 m . Đ NH
Hàm số đồng biến trên 0; khi và chỉ khi y 0, x
0; và y 0 chỉ tại hữu Ị Đ
hạn điểm trên 0; 2
3x 21 2m x 2 m 0, x 0; G THPT 2 3x 2x 2 N.C.Đ NG m , x 0; . CÔN Ờ 4x 1 N Ễ x x Xét g x 2 3 2 2 trên 0; . Y TRƢ 4x 1 GU N x 1 2 N 12x 6x 6
Ta có g x ; g x 0 1 . 4x 2 1 x 2 ÁO VIÊ x x GI
Bảng biến thiên của hàm số g x 2 3 2 2 trên 0; . 4x 1 5
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g x , x 0; . 4 5 5
Do đó m g x, x
0; m hay m ; . 4 4
Suy ra: a 4 , b 5 nên T 2a b 13 .
Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số 3 2 y (x ) m 8(x ) m 16 nghịch biến trên khoảng 1 ;2?
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 55
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA A. 2. B. 5. C. 4. D. 3. Lời giải Chọn D Ta có: 2 2 2 2
y ' 3x 6mx 3m 16x 16m 3x (6m 16)x 3m 16 . m x m Có y ' 0 16
nên suy ra đồ thị hàm số nghịch biến trong khoảng x m 3 16 ; m m . 3
mà theo yêu cầu đề bài hàm số nghịch biến trên khoảng 1 ;2 nên 16 16 m 2 10 ( 1 ;2) ; m m 3 1 m m1;2; 3 . 3 3 m 1 I Ơ
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 15. Có bao nhiêu số nguyên m ( 2 0;20) để hàm số 3
y x 3mx 1 đơn điệu trên khoảng M D Ầ (1;2)? Đ A. 37 . B. 16 . C. 35 . D. 21 . NHỊ Đ Lời giải G THPT Chọn A N.C.Đ NG Ta có: 2 y 3x 3m . CÔN Ờ N
+ Nếu 3m 0 m 0
1 , khi đó hàm số đồng biến trên
nên hàm số đơn điệu tăng Ễ Y TRƢ
trên khoảng 1;2 .Suy ra: m 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. GU N
+ Nếu m 0 thì hàm số đồng biến trên các khoảng ;
m và m; và hàm số N
nghịch biến trên khoảng m; m . ÁO VIÊ GI
* TH1: Hàm số đơn điệu tăng trên khoảng 1;2 khi m 1 0 m 12 .
* TH 2 :Hàm số đơn điệu giảm trên khoảng 1;2 khi 2 m m 43 .
Kết hợp điều kiện
1 ,2,3 suy ra: m 1 hoặc m 4 . 2 0 m 1
Đối chiếu điều kiện: m ( 2 0;20) suy ra: 4 m 20
Do m là số nguyên nên m 1 9; 1 8;...; 1 ;0;1;4;...;1 9 ( 37 giá trị nguyên)
Câu 16. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2 3
y x 3mx 3x 6m đồng
biến trên khoảng 0; là: A. ;1 . B. ;2 . C. ;0 . D.2; . Lời giải Chọn A Ta có: 2
y ' 3x 6mx 3 .
Để hàm số đồng biến trên khoảng 0; thì y ' 0, x 0;.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 56
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Tức là: 2
y ' 3x 6mx 3 0 ; x 0; . 2 x 1 m ; x 0; 2x 2 x 1 m Min 0; 2x x
Đặt f x 2 1 . 2x 2 x 1
Ta có: f ' x
; f ' x 0 x 1 N x 1 L . 2 2x 2 x 1 Lập BBT ta thấy Min f 1 1.
0; 2x
Vậy m 1 hay m ;1 . 3 2
I Câu 17. Tất cả giá trị của tham số thực m sao cho hàm số y x 2mx m 1 x 1 nghịch biến Ơ trên khoảng 0;2 là M D 11 11
A. m 2 . B. m . C. m .
D. m 2 . Ầ 9 9 Đ NH Lời giải Ị Đ Chọn C G THPT Cách 1: N.C.Đ NG Xét phƣơng trình 2
y 3x 4mx m 1 0 . CÔN Ờ N 2 Ễ
2m2 3m 3 39 2
1 4m 3m 3 2m 0, m Y . TRƢ 4 16 GU N 2 N 2m 4m 3m 3
Vậy y 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt x , 1 3 2 ÁO VIÊ
2m 4m 3m 3 x . 2 GI 3 Bảng biến thiên: 2
2m 4m 3m 3 0 1 x 0 3
Để hàm số nghịch biến trên 1 0; 2 I : . 2 x 2 2
2m 4m 3m 3 2 2 3 m 0 m 0 2 1
4m 3m 3 2m m 0
m 0 m R . 2 2
4m 3m3 4m m 1
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 57
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA m 3 6 2m 0 m 2 3 11 2
4m 3m 3 6 2m 6 2m 0 m 11 9 2 2
4m 3m3 3624m 4m m 9 . m R Vậy I 11 11 m . m 9 9 Cách 2: 2
y 3x 4mx m 1 .
Hàm số nghịch biến trên 0;2 y 0, x 0;2 . x y 0, x
0;2 3x 4mx m 1 0, x 0;2 2 3 1 2 m , x 0;2 4x . 1 I Ơ 2 3x 1
m max f x , trong đó f x , x 0; 2 0;2 4x . 1 M D 2 Ầ 1 13 12 x Đ 2 12x 6x 4 4 4 NH
Ta có: f x 0, x 0;2 . 2 2 Ị 4x 1 4x 1 Đ G THPT
f x đồng biến trên khoảng 0;2 N.C.Đ NG 3.2 1 11 CÔN
max f (x) f 2 2 Ờ N 0;2 4.2 1 9 Ễ Y 11 TRƢ Vậy m . 9 GU N 4 2 N
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y x 2m
1 x 3m 2 đồng
biến trên khoảng 2;5 . ÁO VIÊ A. m 1. B. m C. m D. m 1. GI 5. 5. Lời giải Chọn B Hàm số 4 2
y x 2(m 1)x 3m 2 đồng biến trên khoảng (2;5)
y ' 0 với x 2;5 3
4x 4m
1 x 0 với x 2;5 x 2 4
x m 1 0 với x 2;5 2
x m 1 0 với x 2;5 2
x 1 m với x 2;5 Xét 2
g(x) x 1 g '(x) 2x 1 0 với x 2;5
min g(x) g(2) 5 m . 2; 5
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 58
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Câu 19. Cho hàm số f x có đạo hàm trên
là f x x 1 x 3 . Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m thuộc đoạn 1
0;20 để hàm số y f 2
x 3x m đồng biến trên khoảng 0;2 ? A.18 . B.17 . C.16 . D. 20 . Lời giải Chọn A Bảng biến thiên
Ta có: y x f 2 2 3
x 3x m .
Vì 2x 3 0,x 0;2 . Do đó , để hàm số y f 2
x 3x m đồng biến trên khoảng 0;2 I Ơ thì f 2
x 3x m 0, x 0;2 (*) . M D Đặt 2 t x 3x
m . Vì x 0;2 t m;10 m . Ầ Đ
(*) trở thành : f t 0, t m;10 m . NHỊ 13 m 20 Đ 10 m 3 m 13 f x 10 m 1 G
Dựa vào bảng xét dấu của ta có : THPT 1 m m 1 N.C.Đ m NG CÔN Ờ m 1 0; 9 ;..; 1 ;3;4;..;20} . N Ễ m 2
1 x 2mx 6m Y
TRƢ Câu 20. Số các giá trị nguyên của tham số m 2 019;201 9 để hàm số y x 1 GU N N
đồng biến trên khoảng 4; ? A. 2034 . B. 2018 . C. 2025 . D. 2021. ÁO VIÊ Lời giải GI Chọn D
Tập xác định: D \ 1 . 2m 1 x 2m x 1 m 2
1 x 2mx 6m m 2
1 x 2 m 1 x 4m Ta có y . 2 x 2 1 x 1
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 4; m 2
1 x 2 m 1 x 4m y . x 0, x 4 2 1 m 2
1 x 2m
1 x 4m 0, x 4 2 x x 2 2
4 m x 2x 0, x 4 . 2 x 2x m , x 4 (Do 2
x 2x 4 0 với mọi x 4) * 2 x 2x 4 x 2x 8x 8
Đặt g x 2
có g x 0, x 4. 2 x 2x 4
x 2x42 2 Bảng biến thiên:
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 59
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Từ bảng biến thiên suy ra * m 1 .
Mà m ; m 2
019;2019 m 1 ;0;...;201 9
Có 2021 giá trị của m thỏa mãn.
Câu 21. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 2
y x m x 2 đồng biến trên ? A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 . I Lời giải Ơ Chọn D 2 M D x x 2 mx y 1 m . Ầ 2 2 Đ x 2 x 2 NHỊ
Hàm số đồng biến trên
y 0, x 2
x 2 mx 0, x Đ G THPT N.C.Đ 2 0 , x 0 NG 2 CÔN Ờ x 2 m , x 0 * N x Ễ Y TRƢ 2 x 2 m , x 0 GU N x N x 2 Xét g x 2 2
có g x 0, x 0 x 2 2 ÁO VIÊ x x 2 GI 0 + + m 1
Do đó, từ * suy ra 1 m 1. m 1
Có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn là 1 ;0;1. 2x m
Câu 22. Hàm số y
đồng biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi? 2 x 1 A. m 0 . B. m 0 . C. m 2 . D. m 2 . Lời giải Chọn A
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 60
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2 mx
Ta có: y ' 0, x 0 0, x 0 x 3 2 1
2 mx 0, x 0 2 m , x 0 m 0. x Ta chọn đáp án A. 2 cos x 1
Câu 23. Tất cả các giá trị của m để hàm số y
đồng biến trên khoảng là cos x 0; m 2 A. m 1 1. B. m 1 . C. m . D. m 1. 2 2 Lời giải Chọn D t 0; 1 y cos x I
Đặt cos x t . Ta có x 0; . Vì hàm số
nghịch biến trên khoảng 2 Ơ 0;
nên yêu cầu bài toán tƣơng đƣơng với tìm tất cả các giá trị của m để hàm số M D 2 Ầ Đ 2 m 1 f t 2t 1
nghịch biến trên khoảng 0 ;1 y 0 , t 0; 1 NHỊ t m t m2 Đ G 1 THPT m 2m 1 0 2 N.C.Đ NG m 1 . CÔN m 0; m 0 Ờ 1 N m 1 Ễ Y
TRƢ Câu 24. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng 2
019;2019 để hàm số GU N N 3 2
y sin x 3cos x msin x 1 đồng biến trên đoạn 0; . 2 ÁO VIÊ A. 2028.
B. 2018.C. 2020 . D. 2019 . GI Lời giải Chọn D 3 2
y sin x 3cos x msin x 1 3 2
y sin x 3sin x msin x 4 . y 2 '
3sin x 6 sin x mcos x .
Hàm số đồng biến trên đoạn 0;
khi và chỉ khi hàm số liên tục trên 0; và hàm 2 2 π số đồng biến trên 0; 2 π π y ' 0 x 0; 2
3sin x 6sin x m 0 x 0; 2 2 π 2
3sin x 6sin x m x 0; 1 . 2 π
Đặt t sin x, x 0; t 0 ;1 . 2
Xét hàm số f t 2
3t 6t trên 0
;1 ta có bảng biến thiên sau
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 61
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Dựa vào bảng biến thiên ta có
1 xảy ra khi và chỉ khi m 0 .
Suy ra có 2019 giá trị nguyên của m thuộc khoảng 2
019;2019 thỏa mãn đề bài.
Câu 25. Gọi S là tập hợp các số thực m thỏa mãn hàm số 4 3
y mx x m 2
1 x 9x 5 đồng biến trên
. Số phần tử của S là A. 3 B. 2 . C. 1. D. 0 . Lời giải Chọn C I
Tập xác định D Ơ 3 2
y 4mx 3x 2m 1 x 9 M D
Hàm số đã cho đồng biến trên
y 0 , x
và y 0 tại hữu hạn điểm trên . Ầ Đ TH1: m 0 , 2
y 3x 2x 9 0 , x
, Suy ra m 0 thỏa mãn. NHỊ
TH2: m 0 , ta có lim y . Suy ra hàm số 4 3
y mx x m 2
1 x 9x 5 không đồng Đ x G THPT biến trên . N.C.Đ 4 3 2 NG
TH3: m 0 , ta có lim y . Suy ra hàm số y mx x m
1 x 9x 5 không đồng x CÔN Ờ N biến trên . Ễ Y TRƢ Vậy S
0 , số phần tử của S là 1. GU N N
Câu 26. Cho hàm số y 2m
1x 3m 2cos x . Gọi X là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của
tham số thực m sao cho hàm số đã cho nghịch biến trên
. Tổng giá trị hai phần tử ÁO VIÊ
nhỏ nhất và lớn nhất của X bằng GI A. 4 . B. 5 . C. 3 . D. 0 . Lời giải Chọn A
Tập xác định D
y 2m 1 3m 2sin x . Hàm số đã cho nghịch biến trên
y 0, x
2m 1 3m 2sin x 0 , x (*) 2
Nếu m thì (*) không thỏa. 3 2 m m 2 1 Nếu m 1 2 thì (*) sin x , x 1 2
1 m . 3 3m 2 3m 2 3 5 2 m m 2 Nếu m 1 2 thì (*) sin x , x 1 2 1
3 m . 3 3m 2 3m 2 3 Ta có X 3 ; 2 ; 1 . Vậy 3 1 4 .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 62
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2 x x 1
Câu 27. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x đồng biến trên m khoảng ; 3 là 8 8 8 8 A. ; . B. 3; . C. ; . D. ; . 5 5 5 5 Lời giải Chọn D 2
x 2mx m 1 Ta có y . x m2
Hàm số xác định trên khoảng ; 3 m ; 3 m 3
Khi đó để hàm số đồng biến trên khoảng ;
3 thì y 0 x ; 3 . 2
x 2mx m 1 0 x ; 3 2
x 1 m2x 1 với x ; 3 . I 2 x 1 Ơ m x ;3 . 2x với 1 2 M D x 2x 2x 2
Đặt g x 2 1 g x 0 với x ; 3 . Ầ 2x ta có 1 2x 2 1 Đ NHỊ BBT Đ G THPT x ∞ 3 N.C.Đ NG g'(x) + CÔN Ờ N Ễ 8 Y TRƢ g(x) - 5 GU N N ∞ 8
Vậy m ( Thỏa mãn điều kiện m 3 ). ÁO VIÊ 5
GI Câu 28. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng 1 9;19 để hàm số
tan x 3m 3 y
đồng biến trên khoảng 0; . tan x m 4 A. 17. B. 10. C. 11. D. 9. Lời giải Chọn A.
Đặt t tan x , khi x trong 0;
thì t tăng trong 0; 1 . 4 t 3m 3
Do đó hàm số ban đầu đồng biến trên khoảng 0; khi hàm số y 4 t m
đồng biến trên khoảng 0; 1 . t 3m 3 Xét hàm số y có: t m 2m 3 y ' t m2
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 63
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA t 3m 3 2m 3 0 3 Hàm số y
đồng biến trên khoảng 0 ;1 khi m t m m 0; 1 2 Trong khoảng 1
9;19 có 17 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán! Câu 29. Cho hàm số 3 2 y 2
sin x 3sin x 62m
1 sin x 2019. Có tất cả bao nhiêu giá trị của π 3π
tham số m thuộc khoảng 2
016;2019 để hàm số nghịch biến trên khoảng ; ? 2 2 A. 2019 . B. 2017 . C. 2021. D. 2018 . Lời giải Chọn B 2 y ' 6
sin x 6sin x 62m 1 cosx π 3π Ta có x ; : cos x 0 I 2 2 Ơ π 3π π 3π
Hàm số nghịch biến trên khoảng ; y ' 0 x ; M D 2 2 2 2 Ầ 3 Đ 2 6
sin x 6sin x 62m 1 0 x ; 1 NH 2 2 Ị Đ π 3π
Đặt t s inx, x ; t 1 ;1 G THPT 2 2 N.C.Đ NG
Điều kiện (1) trở thành tìm m thỏa mãn CÔN Ờ 2 6
t 6t 62m 1 0 t 1 ;1 N Ễ 2
2m 1 t t t 1 ;1 Y TRƢ 2 GU N
Xét hàm số nghịch biến trên khoảng f t t t,t 1; 1 . N Ta có bảng biến thiên ÁO VIÊ GI 3
Ycbt 2m 1 2 m
mà m thuộc khoảng 2
016;2019 nên có 2017 giá trị thỏa 2 mãn.
Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số thực m để hàm số 3 2
y x 3x m
1 x 2m 3 đồng biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 1? A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn C
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 64
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Ta có: 3 2
y x x m 2 3
1 x 2m 3 y 3
x 6x m 1.
Nếu 0 thì hàm số luôn nghịch biến. y '
Nếu 0 thì hàm số đồng biến trên x ; x với x , x x x là hai nghiệm của 1 2 1 2 1 2 y '
phƣơng trình y ' 0 .
Do vậy, hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi phƣơng trình
y ' 0 có hai nghiệm x , x thoả mãn x x 1. 1 2 1 2
+) 0 9 3 m 1 0 m 2 (1) y ' x x 2 1 2
+) Theo định lý Viet ta có: m 1 x x 1 2 3 2 4 m 1 5
+) x x 1 x x 4x x 1 4 1 m (2) 1 2 1 2 1 2 3 4 I 5 Ơ
Từ (1) và (2) ta có m mà m nguyên âm do đó m 1. 4
M D Câu 31. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m 1 0;10 để hàm số 2 4
y m x m 2 2 4 1 x 1 Ầ Đ
đồng biến trên khoảng 1; . NHỊ Đ A. 7 . B. 16 . C. 15. D. 6 . G THPT Lời giải N.C.Đ Chọn B NG CÔN Ờ Ta có: 2 4 2 2 3
y m x 2(4m 1)x 1 y 4m x 4(4m 1)x . N Ễ Y TRƢ
+ TH1: Nếu m 0 thì y 4x . GU N BBT: N ÁO VIÊ GI
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;) .
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (1; ) . Nhận m 0 . x 0 + TH2: Nếu m 0 thì 2 2
y 0 m x 4m 1 0 4m 1 . 2 x 1 2 m 1
* Nếu 4m 1 0 m thì phƣơng trình
1 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x 0 . 4 Ta có 2
a m 0, m
0 khi đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;) .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 65
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 1
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (1; ) . Nhận các giá trị m . 4 1 10 m Mà ta có m 1
0;10, m khi đó
4 nên có 9 giá trị của m thỏa mãn.
m 0, m 1
* Nếu 4m 1 0 m
thì y 0 có ba nghiệm phân biệt là x 0 và 4 4m 1 x . m BBT: I Ơ M D Ầ Đ NHỊ 4m 1 m 2 3 Đ
Để hàm số đồng biến trên khoảng (1; ) thì 1 . G m THPT m 2 3 N.C.Đ NG 10 m 2 3 CÔN Ờ
Kết hợp với m 1
0;10, m , ta có:
do m nguyên nên có 16 giá N
2 3 m 10 Ễ Y TRƢ
trị của m thỏa mãn. GU N N
Vậy có 16 giá trị m để hàm số đồng biến trên khoảng 1; . Bổ sung cách 2 nhƣ sau: ÁO VIÊ
Hàm số đồng biến trên 1; 2 3
y 4m x 44m 1 x 0, x
1 và y 0 có nghiệm GI
hữu hạn trên 1; . 2 2
m x 4m 1 0, x 1 (*)
+ Với m 0 : * 1 0, x
1 luôn đúng nên ta nhận m 0 . 4m 1 4m 1 m
+ Với m 0 : * 2 x , x 1 1 2 3 . 2 m 2 m m 2 3
Tổng hợp các điều kiện và trƣờng hợp ta có: m 9 , 8 ,...,0,4,5,..., 9 . Vậy có 16 giá trị m .
Câu 32. Cho hàm số y f x liên tục trên
và có bảng xét dấu đạo hàm nhƣ sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x f x m đồng biến trên khoảng 0 ;2 .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 66
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn A
Từ giả thiết suy ra hàm số y f x đồng biến trên các khoảng 1 ; 1 , 1;3 và liên tục
tại x 1 nên đồng biến trên 1 ;3.
Ta có g x f x m và x 0;2 x mm;m 2 . m
g x đồng biến trên khoảng 0 ;2 m m 1 ; 2 1;3 1 m 1. 2 m 3
Vì m nên m có 3 giá trị là m 1
;m 0;m 1.
Câu 33. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên . Biết hàm số y f x có đồ thị nhƣ
hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m 5 ;
5 để hàm số g x f x m I Ơ
nghịch biến trên khoảng 1;2 . Hỏi S có bao nhiêu phần tử? M D Ầ Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ A. 4 . B. 3 . C. 6 . D. 5 . N Ễ Lời giải Y TRƢ Chọn D GU N N
Ta có g x f x m . Vì y f x liên tục trên nên g x f x m cũng liên tục
trên . Căn cứ vào đồ thị hàm số y f x ta thấy ÁO VIÊ
x m
x m GI
g x 0 f x m 1 1 0 . 1
x m 3 1
m x 3 m
Hàm số g x f x m nghịch biến trên khoảng 1;2 2 1 m m 3 3 m 2 . 0 m 1 1 m 1
Mà m là số nguyên thuộc đoạn 5 ;
5 nên ta có S 5 ; 4 ; 3 ;0; 1 .
Vậy S có 5 phần tử.
4m 6 x 3
Câu 34. Cho hàm số y
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng 6 x m 1
0;10 sao cho hàm số đồng biến trên khoảng 8 ;5? A. 14. B. 13. C. 12. D. 15. Lời giải Chọn A
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 67
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 4 m t 3
Đặt t 6 x , t 0 khi đó ta có hàm số y f t t . m 2
m 4m 3
Ta có f t . t m2
Hàm số y 6 x nghịch biến trên khoảng ;6 nên với 8
x 5 thì 1 t 14 .
4m 6 x 3 Hàm số y
đồng biến trên khoảng 8
;5 khi và chỉ khi hàm số 6 x m
f t 4 mt 3
1; 14 f t 0,t 1; 14 t
nghịch biến trên khoảng m m 1 2 m 3
m 4m 3 0 m 3 1 m 1. m 1; 14 m 1 m 14 I m 14 Ơ
Mà m nguyên thuộc khoảng 1
0;10 nên m 9 ; 8 ; 7 ; 6 ; 5 ; 4 ; 1 ;0;4;5;6;7;8; 9 . M D
Vậy có 14 giá trị nguyên của m thoả mãn bài toán. Ầ 1
Đ Câu 35. Cho hàm số f x 3 2
x ax bx c (a,b,c ) thỏa mãn f 0 f
1 f 2 . Tổng giá NH 6 Ị Đ
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của c để hàm số g x f f 2
x 2 nghịch biến trên G THPT khoảng 0 ;1 là N.C.Đ NG CÔN Ờ A. 1. B. 1 3. C. 3. D. 1 3. N Ễ Lời giải Y TRƢ Chọn A GU N N
f 0 c 1 ÁO VIÊ Ta có : f
1 a b c . 6 GI f 4
2 4a 2b c 3 1 1 a b a
Theo giả thiết f (0) f (1) f (2) 6 2 . 4 1 4a 2b b 3 3 1 1 1
Suy ra : f x 3 2
x x x c . 6 2 3
Hàm số g x nghịch biến trên 0
;1 khi g x xf 2
x f f 2 ' 2 ' 2 ' x 2 0 , x 0; 1 . 1 1
Ta có: f ' x 2
x x f x 3 3 ' 0 1 x 1 . 2 3 3 3 2x 0 Ta thấy x 0; 1 thì . f ' 2 x 2 0 Suy ra x 0;
1 , g x f f 2 ' 0 ' x 2 0
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 68
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Xét 2
0 x 1 2 x 2 3 , vì f ' x 0 , x
2;3 nên f x đồng biến trên 2;3.
Do đó : f f 2 2
x 2 f 3 . 3 3 Suy ra 1
f 2 f 3 1 . 3 3 f 3 2 1 3 3 3 1 c . 3 3 f 3 3 1 3
Vậy min c max c 1. 4 3 2 x mx x
Câu 36. Cho hàm số y
mx 2019 ( m là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các 4 3 2
giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 6; . Tính
số phần tử của S biết rằng m 2020 . I Ơ A. 4041 . B. 2027 . C. 2026 . D. 2015 . Lời giải M D Ầ Chọn B Đ NH
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 6; khi và chỉ khi y 0, x 6; . Ị Đ 3 2 3
y x mx x m x m 2 x 1 x 0, x 6; . G THPT 3 x x N.C.Đ NG m x, x 6; 2 CÔN . Ờ x 1 N Ễ
Đặt f x x thì m f x, x
6; m min f x, x 6; . Y TRƢ m 6 . GU N N
Mà m 2020 nên m 2 020; 2019;...,
6 , có 2027 phần tử. Ta chọn B.
Câu 37. Hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x nhƣ hình vẽ: ÁO VIÊ GI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 69
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Xét hàm số g x f x 3 2
2x 4x 3m 6 5 với m là số thực. Điều kiện cần và đủ để
g x 0 , x 5; 5 là 2 2 2 2 A. m f 5 B. m f 5 . C. m f 5 . D. m f 0 . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B
Ta có g x f x 2 2 6x 4 .
g x f x 2 0 3
x 2 hx . I Ơ M D Ầ Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N
Dựa vào đồ thị rõ ràng f x h x , x 5; 5
. Suy ra g x 0, x 5; 5 . ÁO VIÊ GI
Do đó, g x đồng biến với mọi x 5; 5 . Khi đó,
g x 0 , x 5; 5 2
Max g x 0 Max g x g
5 2 f 5 3m 0 m f 5 . x 5; 5 x 5; 5 3
Câu 38. Có bbao nhiêu số thực m để hàm số y 3 m m 4 2 3 2 3
x m x mx x 1 đồng biến trên
khoảng ; . A. 3 . B. 1. C. Vô số. D. 2 . Lời giải Chọn A m 0 TH1: 3
m 3m 0 . m 3
+) Với m 0 thì hàm số đã cho trở thành y x 1, hàm số này đồng biến trên nên m 0 thỏa mãn.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 70
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
+) Với m 3 thì hàm số đã cho trở thành 3 2
y 3x 3x x 1 có 2
y 9x 2 3x 1 0 ,
với mọi x nên hàm số đồng biến trên
. Vậy m 3 thỏa mãn.
+) Với m 3 thì hàm số đã cho trở thành 3 2
y 3x 3x x 1 có 2
y 9x 2 3x 1 0 , với mọi x
nên hàm số đồng biến trên
. Vậy m 3 thỏa mãn. TH2: 3
m 3m 0 . Ta có: y 3 m m 3 2 2 4 3
x 3m x 2mx 1. Nhận thấy, với 3
m 3m 0 thì y là hàm số bậc ba nên phƣơng trình y 0 có ít nhất 1
nghiệm và y đổi dấu khi qua nghiệm đó.
Suy ra hàm số đã cho không đơn điệu trên .
Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn là 0 ; 3 và 3 .
Câu 39. Có bao nhiêu gia trị nguyên của tham số m trong đoạn 2
019;2019 để hàm số I y 2
ln x 2 mx 1 đồng biến trên ? Ơ A. 2019 . B. 2020 . C. 4038 . D. 1009. M D Lời giải Ầ Đ Chọn A NHỊ 2x Đ Ta có: y m y x 2 x
. Hàm số đồng biến trên 0, 2 G THPT 2x 2x N.C.Đ 2x m 0, x m g x , x g x 2 2 NG x 2 x . Xét hàm số 2 2 x trên . 2 CÔN Ờ N 2 4 2x Ễ g x
0 x 2 . Bảng biến thiên: 2 Y TRƢ 2x 2 GU N N ÁO VIÊ GI
Do m g x x m g x 2 , min . Vì m 2 019;201
9 nên các giá trị m thỏa 2 mãn là m 2 019; 2 018,..., 2 ;
1 . Vậy có 2019 giá trị m thỏa mãn. 1
Câu 40 Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 3
y x mx đồng biến 5 5x
trên khoảng 0; ? A. 12 . B. 0 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn C 1 Ta có 2
y 3x m , x 0; . 6 x
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 71
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Hàm số đồng biến trên khoảng 0; y 0, x 0; 1 2
m 3x , x 0; 6 x 1 Xét hàm số 2
g(x) 3x
với x (0; ) . Ta có 6 x 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 4 3x
x x x
4 x .x .x .
4 , dấu bằng xảy ra khi x 1 nên 6 6 6 x x x
Min g(x) 4 . (0;) 1 Mặt khác, ta có 2 m 3x , x
0; m Min g(x) m 4 m 4 . 6 (0; ) x
Vậy có 4 giá trị nguyên âm của m là 1; 2; 3; 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 41. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 1 1 2 5 3 2 2 I
f x m x mx 10x m m 20 x đồng biến trên . Tổng giá trị của tất cả Ơ 5 3
các phần tử thuộc S bằng M D 3 5 1 Ầ A. . B. 2 . C. D. . Đ 2 2 2 NH Lời giải Ị Đ Chọn D G THPT
Ta có f x 2 4 2
m x mx x 2 20
m m 20 . N.C.Đ NG 2 4 2 2 CÔN
Hàm số đồng biến trên
f x m x mx 20x m m 20 0, x (*). Ờ N 2 3 2 2 2 2 Ễ Ta có f
1 0 nên f x x
1 m x m x
m mxm m20 x 1g(x) Y . TRƢ
Nếu x 1 không phải là nghiệm của g(x) thì f x đổi dấu khi x đi qua 1 , suy ra GU N N
f x không đồng biến trên .
Do đó điều kiện cần để f x 0, x
là g 1 0 ÁO VIÊ GI m 2 g 2 1 0 4m 2m 20 0 5 . m 2 Với m 2
f x x 3 2
1 4x 4x 6x 14 x 2 1 2
4x 8x 14 0, x .
và f x 0 x 1
, do đó f (x) đồng biến trên . Suy ra m 2 thoả mãn. x x x Với m
f x x 3 2 5 25 25 15 65 1 2 4 4 4 4 x 2 2 1
25x 50x 65 , 0 x
. và f x 0 x 1
, do đó f (x) đồng biến trên 4 5 . Suy ra m thoả mãn. 2 5 5 1 Từ đó S 2;
, suy ra tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng 2 . 2 2 2
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 72
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Câu 42. Cho hàm số 3 2 f x x 3mx 3 2m 1 x
1. Với giá trị nào của m thì f x 6x 0 với mọi x 2? 1 1 A. m .
B. m . C. m 1. D. m 0. 2 2 Lời giải Chọn B Ta có: 2 f x 3x 6mx 3 2m 1 , x Cách 1: 2 f x 6x 0, x 2 3x 6mx 3 2m 1 6x 0, x 2 2 x 2 m 1 x 2m 1 0, x 2 0 2 m 2 0 0 2 m 2 0 1 m . I x 2 x 2 0 2m 1 0 2 1 2 Ơ x x 4 2 m 1 4 1 2 M D
Với x ; x là hai nghiệm của phƣơng trình 2 x 2 m 1 x 2m 1 0 1 2 Ầ Đ Lƣu ý: NHỊ Đặt 2 g x x 2 m 1 x 2m
1 . Ta có g x là một tam thức bậc hai có hệ số a 0 Đ G Nếu 0 thì g x 0, x g x 0, x 2 THPT N.C.Đ Nếu 0 và g x
0 có hai nghiệm x ; x sao cho x x
2 thì theo định lí dấu tam NG 1 2 1 2 CÔN Ờ
thức bậc hai ta có g x 0, x 2. N Ễ Y Cách 2. TRƢ 2 f x 6x 0, x 2 3x 6mx 3 2m 1 6x 0, x 2 GU N N 2 x 2m x 1 2x 1 0, x 2 2 x 2x 1 2 x 2x 1 ÁO VIÊ m , x 2 m
min g x với g(x) 2(x 1) 2 x 1 GI 2; 2 x 2x 3 1 Vì g x 0, x 2 nên min g x g 2 . 2 2 x 1 2; 2 1 Vậy m . 2 Câu 43. Cho hàm số 3 2 f x x 2m 1 x 2 m x
2 . Với giá trị nào của tham số m thì f x 0 với mọi x 1? 7 5
A. m ; B. m ; 3 4 7 5 7 5 C. m ; D. m ; 1 1; . 3 4 3 4 Lời giải Chọn D Ta có: 2 f x 3x 2 2m 1 x 2 , m x f
x là một tam thức bậc hai có hệ số a 0
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 73
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Nếu 0 thì f x 0, x f ' x 0, x 1. Nếu 0 và f x
0 có hai nghiệm x ; x sao cho x x 1 thì theo định lí dấu 1 2 1 2
tam thức bậc hai ta có f x 0, x 1. 0 2 4m m 5 0 0 2 4m m 5 0 f x 0, x 1 x 1 x 1 0 3m 7 0 1 2 x x 2 2m 1 3 1 2 5 1 m 4 5 5 m 1 m 1 m 4 4 . 7 7 m m 1 3 3 I Ơ m 1 M D 7 5 Ầ Vậy m ; 1 1; . Đ 3 4 NHỊ
Sai lầm của học sinh dùng cách hàm số: Đ 2 f ' x 0, x 1 3x 2x 2 m 4x 1 0, x 1 G THPT 2 3x 2x 2 N.C.Đ NG m , x 1 CÔN Ờ 4x 1 N 2 Ễ 3x 2x 2 m
min g x với g x . Y TRƢ 1; 4x 1 GU
N Câu 44. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y m x m 2 2 2019 2018 cos x N nghịch biến trên ? ÁO VIÊ 4037 A. m 1. B. m . C. m 1. D. m 1. GI 3 Lời giải Chọn A
Ta có y 2m 2019 2018 msin 2x .
Hàm số nghịch biến trên
y 2m 2019 2018 msin 2x 0, x .
2018 msin 2x 2019 2 , m x
max g(x) 2019 2m
1 , Với g(x) 2018 msin 2 x .
Trƣờng hợp 1: 2018 m 0 m 2018 thì y 2017 0, x
. Suy ra m 2018 không là giá trị cần tìm.
Trƣờng hợp 2: 2018 m 0 m 2018 .
max g(x) 2018 m .
1 2018 m 2019 2m m 1 (thỏa mãn).
Trƣờng hợp 3: 2018 m 0 m 2018 .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 74
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
max g(x) m 2018 . 4037
1 m 2018 2019 2m m (loại). 3
Kết luận: m 1 là giá trị cần tìm.
Câu 45. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng 1 0;10 để hàm số 3
y 2x 2mx 3 đồng biến trên 1; ? A. 12 . B. 8 . C. 11. D. 7 . Lời giải Chọn A
Xét hàm số: f x 3
2x 2mx 3 có: f x 2 '
6x 2m ; 12m
Đồ thị hàm số y f x 3
2x 2mx 3 đƣợc suy ra từ đồ thị hàm số y f x C bằng cách: I Ơ
- Giữ nguyên phần đồ thị C nằm trên Ox .
- Lấy đối xứng phần đồ thị C nằm dƣới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị C nằm dƣới M D Ầ Ox . Đ
+ Trƣờng hợp 1: 0 m 0 . Suy ra f x 0, x 1; . NHỊ Đ m 0 m 0 m 0 G THPT
Vậy yêu cầu bài toán . f 5 m 0 1 0 5 N .C2.Đ m 0 m NG 2 CÔN Ờ
Kết hợp với điều kiện m ;m 1 0;10 ta đƣợc N Ễ Y m 9
;8; 7; 6;5; 4;3; 2; 1;0 TRƢ
. Ta có 10 giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài GU N toán (1) N
+ Trƣờng hợp 2: 0 m 0 . Suy ra f ' x 0 có 2 nghiệm phân biệt x , x x x 1 2 1 2 Ta có bảng biến thiên: ÁO VIÊ GI m 0 m 0 2m 5
Vậy yêu cầu bài toán x x 1
1 0 0 m . 1 2 f 6 2 1 0 5 2m 0
Kết hợp với điều kiện m ;m 1
0;10 ta đƣợc m1;
2 . Ta có 2 giá trị của m thoả
mãn yêu cầu bài toán (2).
Từ (1) và (2) suy ra: có tất cả có 12 giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 75
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Câu 46. Cho hàm số y f x liên tục trên và có đạo hàm f x 2
x x 2 2
x 6x m với mọi x
. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn 2
019;2019 để hàm số
g x f 1 x nghịch biến trên khoảng ; 1 ? A. 2012 . B. 2009 . C. 2011. D. 2010 . Lời giải Chọn C
g x f x x2 x x2 1 1 1 1
61 x m
x 2 x 2 1
1 x 4x m 5 .
Hàm số g x nghịch biến trên khoảng ; 1
gx 0, x 1
, (dấu " " xảy ra tại hữu hạn điểm). Với x 1 thì x 2 1
0 và x 1 0 nên 2
x 4x m 5 0, x 1 I 2
m x x x Ơ 4 5, 1. Xét hàm số 2
y x 4x 5
;1 , ta có bảng biến thiên: M D trên khoảng Ầ Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ
Từ bảng biến thiên suy ra m 9 . N Ễ
Kết hợp với m thuộc đoạn 2
019;2019 và m nguyên nên m9;10;11;...;201 9 . Y TRƢ GU N
Vậy có 2011 số nguyên m thỏa mãn đề bài. N
Câu 47. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x 2
x x 2 ' 2
x mx 5 với x . Số giá trị
nguyên âm của m để hàm số g x f 2
x x 2 đồng biến trên khoảng 1; là ÁO VIÊ GI A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 7 . Lời giải Chọn B
Ta có g x x f 2 ' 2
1 . ' x x 2 .
Để hàm số g x đồng biến trên khoảng 1;
g x x
f 2 ' 0 1;
' x x 2 0 x 1;
x x 2 x x x x 2 2 2 2 m 2 2 2
x x 2 5 0 x 1;
x x 2 2 m 2 2
x x 2 5 0 1 x 1; . Đặt 2
t x x 2 , x 1; t 0 . 5 Khi đó 1 trở thành 2
t mt 5 0 t
0; t m 2 t 0; t Để
1 nghiệm đúng với mọi x 1; 2 nghiệm đúng với mọi t 0; . 5
Ta có h t 5
t 2 5 với t
0;. Dấu bằng xảy ra khi t t 5 . t t
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 76
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Suy ra Min ht 2 5 . t 0;
Vậy 2 nghiệm đúng với mọi t 0; m 2 5 m 2 5 .
KL: Số giá trị nguyên âm của m là 4 . Câu 48. Cho hàm số 3
y f x liên tục trên
và có đạo hàm f x x x 2 1
x 4x m với
mọi x . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn 2
019;2019 để hàm số
g x f 1 x nghịch biến trên khoảng ;0 ? A. 2020 . B. 2014 . C. 2019 . D. 2016 . Lời giải Chọn D
Ta có: g x f 1 x 3
g x 1 x . f 1 x (
x x 1 x2 1). 1 1 1
41 x m I Ơ gx 3
x x 2
1 x 2x m 3 M D x 0 Ầ
Cho g x 0 x 1 Đ NH 2 Ị x 2x m 3 0 1 Đ Phƣơng trình
1 có 4 m G THPT N.C .Đ
Trường hợp 1: Nếu 4 m 0 m 4 thì phƣơng trình 1 vô nghiệm; NG CÔN Ờ 2
x 2x m 3 0, x N ta có bảng xét dấu: Ễ Y TRƢ GU N N
Suy ra hàm số g x nghịch biến trên khoảng ;0 nên m 4 thỏa mãn ycbt. ÁO VIÊ
Trường hợp 2: Nếu m 4 thì phƣơng trình
1 có nghiệm kép x 1 . GI
Khi đó g x x x x 2 3 1 1 , ta có bảng xét dấu:
Suy ra hàm số g x nghịch biến trên khoảng ;0 nên m 4 thỏa mãn ycbt.
Trường hợp 3: Nếu m 4 thì phƣơng trình
1 có 2 nghiệm phân biệt x , x x x 1 2 1 2 b
Mà x x
2 nên tồn tại ít nhất 1 nghiệm x thuộc khoảng ;0 1 2 a 1
Khi đó g x sẽ đổi dấu khi qua điểm x nên hàm số không thể nghịch biến trên 1
khoảng ;0. Suy ra m 4 không thỏa mãn ycbt.
Kết hợp 3 trƣờng hợp ta đƣợc: m 4 .
Do m là số nguyên thuộc đoạn 2
019;2019 nên m4;5;6; ... ;201 9
Vậy có 2016 số nguyên m thỏa mãn.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 77
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Câu 49. Cho hàm số f x có bảng biến thiên của hàm số y f x nhƣ hình vẽ bên. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của tham số m 1
0;10 để hàm số y f x 3 3
1 x 3mx đồng biến trên khoảng 2 ; 1 ? A. 8 . B. 6 . C. 7 . D. 5 . Lời giải Chọn B
Để hàm số y f x 3 3
1 x 3mx đồng biến biến trên khoảng 2 ; 1 I Ơ
y 0, x 2 ; 1
f x 2 3 3
1 3x 3m 0, x 2 ; 1 M D Ầ
m f x 2 3 1 x , x 2 ; 1 (*) Đ NH 2 Ị
Đặt k x f 3x 1 , 2
h x x và g x f 3x
1 x k x h x Đ G
Ta có min h x h0 0 THPT 2 ; 1 N.C.Đ NG
Từ bảng biến thiên suy ra: min f x f 1 4 . CÔN 2; 1 Ờ N
x x Ễ
Do đó ta có: min f 3x 1 f 1 4 khi 3 1 1 0 2 ; 1 Y TRƢ
min k x k 0 4 GU N 2 ; 1 N
Do đó min g x g 0 k 0 h0 0 4 4 2 ; 1 ÁO VIÊ
Từ (*) ta có m f x 2 3 1 x , x 2 ;
1 m min g x m 4 2 ; 1 GI Mà m 1
0;10 m 9 ,..., 4
Vậy có tất cả 6 số nguyên thoả mãn. 4
Câu 50. Giá trị y f x có đạo hàm f x x x 2 1
x mx 9 với mọi x . Có bao nhiêu
số nguyên dƣơng m để hàm số g x f 3 x đồng biến trên khoảng 3; ? A. 6 . B. 5 . C. 7 . D. 8 . Lời giải Chọn A
Ta có: g x 3 x f 3 x f 3 x .
Hàm số g x f 3 x đồng biến trên khoảng 3; khi và chỉ khi
g x 0, x
3; hay f 3 x 0, x
3; .( Dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn
điểm thuộc 3; )
f x x x4 x2 3 3 2 3
m3 x 9 0, x 3;
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 78
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
x x4 x2 3 2 3
m3 x 9 0, x 3; x2 3
m3 x 9 0, x 3; x 2 9 3 m , x 3; x . 3 x 2 9 x 6x
m min h x với h x 2 9 3
hx 1 . 2 2 3; x 3 x 3 x 3
x 03;
h x 0
. Ta có bảng biến thiên: x 6 3; x 3 6
h x – 0 I
h x Ơ 6 M D m
min h x h6 6 . Ta có
m 1;2;3;4;5; 6 . Ầ 3; m 6 Đ NH Ị
Vậy có 6 số nguyên dƣơng m để hàm số g x
f 3 x đồng biến trên khoảng 3; . Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN y f x
Ờ Câu 51. Cho hàm số ( ) có đạo hàm trên
và bảng xét dấu của đạo hàm nhƣ hình vẽ NỄ bên. Y TRƢ GU N N
Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y f 2
x 4x m nghịch biến trên khoảng 1 ; 1 ? ÁO VIÊ A. 3 . B. 1. C. 0 . D. 2 . GI Lời giải Chọn A Xét hàm số 2
y f (x 4x ) m .
Ta có: y x f 2 2 4
x 4x m .
Để hàm số nghịch biến trên khoảng 1 ;
1 y x f 2 2 4
x 4x m 0, x 1; 1
(chú ý rằng 2x 4 0, x 1 ; 1 ) f 2
x 4x m 0, x 2 1;1 2
x 4x m 8, x 1;1 2 m max g(x) g( 1) 1
m g(x) x 4x 2 , x 1 1; 1 ;1 m1;2; 3 2
m h(x) x 4x 8
m min h(x) h(1) 3 1 ; 1 (do hàm số 2
y x 4x c có y 2
x 4 0, x 1 ; 1 ).
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 79
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA m
Câu 52. Tập các giá trị thực của tham số m để hàm số y ln(3x 1)
2 đồng biến trên khoảng x 1 ; . 2 7 1 4 2 A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . 3 3 3 9 Lời giải Chọn C m 1
Xét hàm số y ln(3x 1) 2 trên khoảng ; . x 2 3 m Ta có y ' . 2 3x 1 x 1 3 m 1
Hàm số đồng biến trên khoảng ; y ' 0, x ; . 2 2 3x 1 x 2 I Ơ 2 3x 1 2 3x m , x ; m max . 1 3x 2 1 1 3x M D ; 2 Ầ 2 Đ 3x 1
Xét hàm số f (x) , x ; . NHỊ 1 3x 2 Đ 1 G THPT x 0 ; 3x(2 3x) 2 N.C.Đ Ta có f (x) 0 . NG 2 (1 3x) 2 1 CÔN Ờ x ; N 3 2 Ễ Y TRƢ 1 3 2 4 4 4 Ta có f ; f
; lim f (x) max f (x) . Vậy m . GU N x 1 2 2 3 3 ; 3 3 N 2
Câu 53. Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên ;
a b để hàm số f x x . a sin x .
b cos x đồng ÁO VIÊ biến trên . GI A. 5 . B. 6 . C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn C
Để hàm số đồng biến trên R thì điều kiện là f ' x 0, x . Ta có
f ' x 1 a cos x bsin x
f ' x 0 1 a cos x bsin x 0
a cos x bsin x 1
TH1: a 0, b 0.TM a 0 TH 2 : b 0 a b 1
1 a cos x b sin x 0 cos x sin x 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b : sin; cos 2 2 2 2 a b a b
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 80
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 1 sin x 2 2 a b f x x R x 1 1 ' 0, sin , x R 1 2 2 2 2 a b a b 2 2 2 2
a b 1 a b 1 Do a, b nguyên nên ; a b 1 ;0,0; 1
Vậy theo cả hai trƣờng hợp ta có tất cả 5 bộ giá trị ; a b
Câu 54. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên
và có đồ thị hàm số y f x nhƣ
hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên dƣơng của tham số m để hàm số
20 2 x y f x 1 ln
nghịch biến trên khoảng 1 ; 1 ? m 2 x I Ơ M D Ầ Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG A. 3 . B. 6 . C. 4 . D. 5 . CÔN Ờ N Lời giải Ễ Y TRƢ Chọn D GU N 20 4 N Ta có y f x 1 . . 2 m 4 x
Hàm số nghịch biến trên khoảng 1 ;
1 khi y 0, x 1 ; 1 ÁO VIÊ 80 1 GI
f x 1 . 0, x 1 ;1 2 m 4 . x
Đặt t x 1 khi đó x 1 ;
1 suy ra t 0;2 . 80 1 80
Từ ta có f t . t
f t .3 t t 1 , t 0;2 1 . m
3 t t 0, 0;2 1 m
Dựa vào đồ thị hàm số 2
y f x thì ta có f x x 1 x 2 .
Suy ra ta có f t t 2 1 t 2 .
Xét hàm số g t t 2
1 t 23 t t 1 , t 0;2 . t 1 2 13
gt t 2 2 1 5
t 18t 13 ; gt 0 t 2 1 5
t 18t 13 0 t . 5 t 1 Bảng xét dấu
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 81
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 80
Dựa vào bảng xét dấu và từ 1 ta có
max g t 80 g 1 16 m 5 . 0;2 m m
Câu 55. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên
, có đồ thị f x nhƣ hình vẽ. I Ơ M D Ầ Đ NH mx x 2 2 3 4 Ị
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m 2
0;20 để hàm số g x f Đ 4 20 G THPT
đồng biến trên khoảng 0; . N.C.Đ NG CÔN Ờ A. 6 . B. 7 . C. 17 . D. 18 . N Ễ Lời giải Y TRƢ Chọn C GU N 2 2 3 N mx x x x 4 3
Ta có g x f . 4 4 5 ÁO VIÊ
Hàm số g x đồng biến trên 0; khi và chỉ khi g x 0, x
0; ( gx 0 GI
chỉ tại hữu hạn điểm). Điều này tƣơng đƣơng với m x x 2 3 x 4 3 3 15x x f m f x . 4 4 5 4 , 0; 2 x 4 4 3 3 x x 3 x Với x 0 thì
0 f 3. Đẳng thức xảy ra khi 3
2 x 8 x 2 . 4 4 4 x x 1 Ta có 0 , x 0 x . 2 x . Đẳng thức xảy ra khi 2 4 4x 4 3 15x x 15 1 45 Suy ra
f
. Đẳng thức xảy ra khi x 2 . 4 3 2 x 4 4 4 4 16 45 Nhƣ thế, m
. Kết hợp với m nguyên âm và m 2
0;20 thì m 1 9; 1 8; ; 3 . 16
Vậy có 17 số nguyên âm của m 2
0;20 để hàm số g x đồng biến trên 0;.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 82
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU
VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO DẠNG 3.1
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH
KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
Kiến th ức quan trọng 1: Dùng tính đơn điệu để giải phƣơng trình.
Phương pháp :
Phƣơng trình : f x c có nhiều nhất một nghiệm nếu f x đơn điệu trên toàn bộ tập xác định. I Ơ
Phƣơng trình : f x g x có nhiều nhất một nghiệm nếu hai hàm số f x, g x có
M D tính đơn điệu trái ngƣợc nhau. Ầ
Phƣơng trình : f u
x f v
x u
x vx nếu f đơn điệu trên miền xác định. Đ NHỊ Đ
Kiến th ức quan trọng 2: Dùng tính đơn điệu để giải bất phƣơng trình. G THPT N.C.Đ
Phương pháp : NG CÔN Ờ
Bất phƣơng trình : f x c f x x x nếu f x đồng biến trên toàn bộ tập xác 0 0 N Ễ Y
định và f x c f x x
x nếu f x nghịch biến trên toàn bộ tập xác định 0 TRƢ 0 GU N
Bất phƣơng trình : f x g x và số x thỏa f x g x : 0 0 0 N
+ Có nghiệm x x nếu f x đồng biến và g x nghịch biến. 0 ÁO VIÊ
+ Có nghiệm x x nếu f x nghịch biến và g x đồng biến. 0 GI
Bất phƣơng trình : f u
x f v
x u
x vx nếu f đồng biến trên miền xác
định và f u
x f v
x u
x vx nếu f nghịch biến trên miền xác định. Bài toá
n 1: Biện luận số nghiệm phƣơng trình . Phương pháp :
+ Tìm miền giá trị của hàm số f x là ; a b.
+ Phƣơng trình có nghiệm khi a hm . b Bài t
oán 2: Biện luận số nghiệm bất phƣơng trình hoặc . Phương pháp :
m f x x ;
a b m max f x. a;b
m f x x ;
a b m min f x. a;b
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 83
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
m f x có nghiệm trên ;
a b m min f x. a;b
m f x có nghiệm trên ;
a b m max f x. a;b Bài t
oán 3: Tìm tham số m để phƣơng trình có nghiệm Phương pháp :
+ Giả sử f x liên tục trên ;
a b và f a f b.
+ Phƣơng trình có nghiệm x ;
a b thì f a hm f b. BÀI TẬP Câu 1.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phƣơng trình 3 2
x 3x 9x m 0 có đúng 1 nghiệm? A. 27 m 5.
B. m 5 hoặc m 27 . I C. m 27 hoặc m 5 . D. 5 m 27 .
Ơ Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phƣơng trình 2 x 1 x m có M D nghiệm thực? Ầ Đ A. m 2 . B. m 2 . C. m 3 . D. m 3 . NHỊ Câu 3.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phƣơng trình Đ 2 2
x 4x 5 m 4x x có đúng 2 nghiệm dƣơng? G THPT
A. 1 m 3 . B. 3
m 5 . N.C.Đ
C. 5 m 3 .
D. 3 m 3 . NG CÔN
Ờ Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi nghiệm của bất phƣơng trình: N 2 2 Ễ
x 3x 2 0 cũng là nghiệm của bất phƣơng trình mx m
1 x m 1 0 ? Y TRƢ 4 4 GU N A. m 1. B. m . C. m . D. m 1. N 7 7 Câu 5.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phƣơng trình: ÁO VIÊ 2 2
log x log x 1 2m 1 0 có ít nhất một nghiệm trên đoạn 3 1 ;3 3 3 ? GI A. 1 m 3.
B. 0 m 2 .
C. 0 m 3 . D. 1 m 2 . Câu 6.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phƣơng trình 2
x mx 2 2x 1 có hai nghiệm thực? 7 3 9 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 2 Câu 7.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phƣơng trình 4 2
3 x 1 m x 1 2 x 1 có hai nghiệm thực? 1 1 1 1 A. m 1. B. 1 m . C. 2 m .
D. 0 m . 3 4 3 3 Câu 8.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phƣơng trình 2 1
(1 2x)(3 x) m 2x 5x 3 nghiệm đúng với mọi x ;3 ? 2 A. m 1. B. m 0 . C. m 1. D. m 0 . Câu 9.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phƣơng trình
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 84
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
3 1 x 3 x 2 (1 x)(3 x) m nghiệm đúng với mọi x [ 1;3] ? A. m 6 . B. m 6 .
C. m 6 2 4 .
D. m 6 2 4 .
Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phƣơng trình 2 2
3 x 6 x 18 3x x m m 1 nghiệm đúng x 3 ,6 ? A. m 1.
B. 1 m 0 .
C. 0 m 2 .
D. m 1 hoặc m 2 .
Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phƣơng trình x m
m x 2 .4 1 .2
m 1 0 nghiệm đúng x ? A. m 3 . B. m 1.
C. 1 m 4 . D. m 0 . 1
Câu 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phƣơng trình: 3
x 3mx 2 3 x nghiệm đúng x 1 ? I 2 2 3 1 3 Ơ A. m . B. m . C. m .
D. m . 3 3 2 3 2 2 2 2
M D Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m sao cho bất phƣơng trình cos x sin x cos 2 3 .3 x m có Ầ Đ nghiệm? NHỊ A. m 4 . B. m 8 . C. m 12 . D. m 16 . Đ G
Câu 14. Bất phƣơng trình 3 2 2x 3x 6x 16 4 x
2 3 có tập nghiệm là ; a b . Hỏi tổng THPT N.C.Đ
a b có giá trị là bao nhiêu? NG CÔN Ờ A. 2 . B. 4. C. 5. D. 3. N Ễ Câu 15.
x x x x x x ; a b Y Bất phƣơng trình 2 2 2 3 6 11 3 1 có tập nghiệm . Hỏi TRƢ GU N
hiệu b a có giá trị là bao nhiêu? N A. 1. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phƣơng trình: ÁO VIÊ m 2 2
1 x 1 x 2 4 2 2 GI 2 1 x 1 x 1 x có nghiệm.
A. m 2 1.
B. 2 1 m 1. C. m 1. D. m 1.
Câu 17. Tìm các giá trị của tham số m để phƣơng trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt 4 4
2x 2x 2 6 x 2 6 x , m m A. 4
2 6 2 6 m 3 2 6 B. 4
2 6 3 6 m 3 2 8 C. 4
6 2 6 m 3 2 6 D. 4
6 2 6 m 3 2 6
Câu 18: Cho hàm số 3 2 y
f x ax bx cx d với a, ,
b c, d; a 0 là các số thực, có đồ thị nhƣ hình bên.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 85
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng ( 2 019;2019) để hàm số g x f 3 2 ( )
x 3x m
nghịch trên khoảng 2; ? A. 2012 B. 2013 C. 4028 D. 4026
Câu 19: Cho hàm số f x có đồ thị nhƣ hình vẽ I Ơ M D Ầ Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N ÁO VIÊ
Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để phƣơng trình GI 3 f x 2
2 f x7 f x5 f x 1 e ln
m có nghiệm là f x A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 86
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA HƢỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Chọn C. 3 2
(1) m x 3x 9x f (x) . Bảng biến thiên của f (x) trên . 3 0 0 5
Từ đó suy ra pt có đúng 1 nghiệm khi m 27 hoặc m 5 Câu 2. Chọn B.
Đặt t x 1,t 0 . Phƣơng trình thành: 2 2
2t t 1 m m t 2t 1 I
f t t t t f Ơ Xét hàm số 2 ( ) 2 1, 0; (t) 2 t 2
Bảng biến thiên của f t : M D Ầ 0 1 Đ NHỊ 0 Đ G THPT 2 N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ
Từ đó suy ra phƣơng trình có nghiệm khi m 2 . GU N Câu 3. Chọn B N x 2 Đặt 2
t f (x)
x 4x 5 . Ta có f ( x) . f (
x) 0 x 2 2 x 4x 5 ÁO VIÊ
Xét x 0 ta có bảng biến thiên GI 0 2 0 1
Khi đó phƣơng trình đã cho trở thành 2 2
m t t 5 t t 5 m 0 (1).
Nếu phƣơng trình (1) có nghiệm t ,t thì t t 1
. (1) có nhiều nhất 1 nghiệm t 1. 1 2 1 2
Vậy phƣơng trình đã cho có đúng 2 nghiệm dƣơng khi và chỉ khi phƣơng trình (1) có
đúng 1 nghiệm t 1; 5 . Đặt 2
g(t) t t 5 . Ta đi tìm m để phƣơng trình g(t) m có
đúng 1 nghiệm t 1; 5 . Ta có g (t) 2t 1 0,t 1; 5 . Bảng biến thiên:
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 87
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Từ bảng biến thiên suy ra 3
m 5 là các giá trị cần tìm. Câu 4. Chọn C. Bất phƣơng trình 2
x 3x 2 0 1 x 2 . x 2 Bất phƣơng trình 2
mx m
1 x m 1 0 2
m(x x 1) x 2 m 2 x x 1 x 2 2 x 4x 1
Xét hàm số f (x)
với 1 x 2 . Có f ( x) 0,x [1;2] 2 x x 1 2 2 x x I ( 1) Ơ
Yêu cầu bài toán m 4
max f (x) m [1;2] 7 M D Ầ Câu 5. Chọn B. Đ NH Đặt 2 t
log x 1 . Điều kiện: t 1. 3 Ị Đ Phƣơng trình thành: 2
t t 2m 2 0 (*) . Khi 3 x 1
;3 t [1;2] G THPT 2 N.C.Đ t t 2 NG
(*) f (t)
m . Bảng biến thiên : CÔN Ờ 2 N Ễ 2 Y TRƢ GU N N 2 ÁO VIÊ 0 GI
Từ bảng biến thiên ta có : 0 m 2 Câu 6. Chọn C 1
Điều kiện: x 2 Phƣơng trình 2
x mx 2 2x 1 2
3x 4x 1 mx (*) 2 3x 4x 1
Vì x 0 không là nghiệm nên (*) m x 2 3x 4x 1 2 3x 1 1 Xét f (x) . Ta có f ( x) 0 x ; x 0 x 2 x 2 Bảng biến thiên
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 88
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 0 + + 9
Từ bảng biến thiên ta có để phƣơng trình có hai nghiệm thì m . 2 Câu 7. Chọn D.
Điều kiện : x 1 4 2 x 1 x 1 x 1 x 1 Pt 3 m 2 4 3 m 2 2 I 4 x 1 (x 1) x 1 x 1 Ơ x 1 4 t
x ta có 0 t 1 . Thay vào phƣơng trình ta đƣợc 2
m 2t 3t f (t) M D x với 1 1 Ầ Đ 1 Ta có: f (
t) 2 6t ta có: f (t) 0 t NH 3 Ị Đ Bảng biến thiên: G THPT N.C.Đ 0 1 NG CÔN Ờ N Ễ 0 Y TRƢ GU N N 0 ÁO VIÊ 1 GI
Từ bảng biến thiên ta có để phƣơng trình có hai nghiệm khi 0 m 3 Câu 8. Chọn D. 1 7 2
Đặt t (1 2x)(3 x) khi x ;3 t 0; 2 4
Thay vào bất phƣơng trình ta đƣợc 2
f (t) t t m Bảng biến thiên 0
Từ bảng biến thiên ta có : m 0 Câu 9. Chọn D.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 89
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Đặt 2 2
t 1 x 3 x t 4 2 (1 ) x (3 ) x 2 (1 ) x (3 ) x t 4
Với x [ 1;3] t [2;2 2] . Thay vào bất phƣơng trình ta đƣợc: 2 m t 3t 4 3 Xét hàm số 2
f (t) t 3t 4; f ( t) 2
t 3 ; f (t) 0 t 2 2 - 6
Từ bảng biến thiên ta có m 6 2 4 thỏa đề bài Câu 10. Chọn D. 2
Đặt t 3 x 6 x 0 2
t 3 x 6 x 9 2 3 x6 x I Ơ 2
9 t 9 2 3 x6 x 9 3 x 6 x 18 2
x x x x 1 18 3 3 6 2 t 9 M D ;t 3 ;3 2 2 Ầ Đ Xét f t 1 2 9
t t ; f t 1t 0; t 3
;3 2 max f t f 3 3 NH 2 2 3 ;3 2 Ị Đ
ycbt max f t 2 2
3 m m 1 m m 2 0 m 1 hoặc m 2 G THPT 3;3 2 N.C.Đ Câu 11. Chọn B NG CÔN Ờ Đặt 2 x t 0 thì x m
m x 2 .4 1 .2
m 1 0, đúng x N Ễ 2
m t m t m t m 2 . 4 1 . 1 0, 0 t 4t 1 4t 1, t 0 Y TRƢ g t 4t 1 GU N , m t 0 2 t 4t . 1 N 2 Ta có 4t 2t g t
nên g t nghịch biến trên 0; t 4t 0 2 2 ÁO VIÊ 1 GI
ycbt max g t g 0 1 m t 0 Câu 12. Chọn A. Bpt 3 1 2 1 2
3mx x 2, x
1 3m x
f x, x 1. 3 4 x x x
Ta có f x 4 2 4 2 4 2 2 2x 2 2x
0 suy ra f x tăng. 5 2 x x 5x 2 2 x x
Ycbt f x m x
f x f 2 3 , 1 min 1 2 3m m x 1 3 Câu 13. Chọn A. 2 2 cos x cos x 2 1 (1) 3 m . Đặt 2 t cos , x 0 t 1 3 9 t t t t 2 1 2 1 (1) trở thành 3 m
(2). Đặt f (t) 3 . 3 9 3 9
Ta có (1) có nghiệm (2) có nghiệm t [0;1] m Max f (t) m 4 t [ 0;1] Câu 14. Chọn C
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 90
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Điều kiện: 2 x 4 . Xét 3 2 f (x)
2x 3x 6x 16 4 x trên đoạn 2 ;4. 3 2 x x 1 1 Có f ( x) 0, x 2 ;4 . 3 2
2x 3x 6x 16 2 4 x
Do đó hàm số đồng biến trên 2
;4, bpt f (x) f (1) 2 3 x 1.
So với điều kiện, tập nghiệm của bpt là S [1; 4] a b 5. Câu 15. Chọn A. Điều kiện: 2 2
1 x 3 ; bpt x 1 2
x 1 3 x 2 3 x t 1 Xét 2
f (t) t 2 t với t 0 . Có f '(t) 0, t 0 . 2 2 t 2 2 t
Do đó hàm số đồng biến trên [0; ) . (1) f (x 1) f (3 x) x 1 3 x 2
So với điều kiện, bpt có tập nghiệm là S (2;3].
I Câu 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phƣơng trình: Ơ m 2 2 x x 4 2 2 1 1
2 2 1 x 1 x 1 x có nghiệm. M D Ầ
A. m 2 1.
B. 2 1 m 1. C. m 1. D. m 1. Đ NH Ị Đ Lời giải G THPT ĐK: x 1; 1 . N.C.Đ NG CÔN Ờ Đặt 2 2 t 1 x
1 x . Với x 1;
1 , ta xác định ĐK của t nhƣ sau: N Ễ Y Xét hàm số 2 2 t 1 x
1 x với x 1; 1 . TRƢ GU N Ta có: N x 2 2
1 x 1 x x x t '
, cho t ' 0 x 0 ÁO VIÊ 2 2 4 1 x 1 x 1 x GI Ta có t 1
2,t 0 0,t 1 2
Vậy với x 1;
1 thì t 0; 2 Từ 2 2 4 2
t 1 x 1 x 2 1 x 2 t . t t 2
Khi đó pt đã cho tƣơng đƣơng với: mt 2 2 2 t t 2 t 2 2 t t 2
Bài toán trở thành tìm m để phƣơng trình m t . t có nghiệm 0; 2 2 t t
Xét hàm số f t 2 2 t . t với 0; 2 2 2 t 4t
Ta có: f 't t t 2 0, 0; 2 2
Suy ra: max f t f 0 1, min f t f 2 2 1 . t 0; 2 t 0; 2
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 91
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Bây giờ yêu cầu bài toán xảy ra khi: min f t m max f t 2 1 m 1 t 0; 2 t 0; 2
Vậy với 2 1 m 1 thảo yêu cầu bài toán. Chọn B.
Câu 17. Tìm các giá trị của tham số m để phƣơng trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt 4 4
2x 2x 2 6 x 2 6 x , m m A. 4
2 6 2 6 m 3 2 6 B. 4
2 6 3 6 m 3 2 8 C. 4
6 2 6 m 3 2 6 D. 4
6 2 6 m 3 2 6 Lời giải ĐK: 0 x 6
Đặt vế trái của phƣơng trình là f x, x 0;6 . Ta có: I 1 1 1 1 Ơ f ' x 3 2x 3 4 4 6 2 2 2 6 x x x M D Ầ Đ 1 1 1 1 1 , x 0;6 NH 3 3 Ị 2 4 4 2x 6 2 6 x x x Đ G THPT Đăt: N.C.Đ NG CÔN 1 1 1 1 Ờ u x ,v(x) , x 0;6 N 3 3 4 4 2x 6 x Ễ 2x 6 x Y TRƢ
Ta thấy u 2 v2 0, x 0;6 f '2 0 . Hơn nữa u x,v x cùng dƣơng trên GU N N
khoảng (0;2) và cùng âm trên khoảng (2;6). BBT ÁO VIÊ x 0 2 6 GI f ' x || + 0 − || 3 2 6 f x 4 2 6 2 6 4 12 2 3 Vậy với 4
2 6 2 6 m 3 2 6 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Chọn A.
Câu 20: Cho hàm số 3 2 y
f x ax bx cx d với a, ,
b c, d; a 0 là các số thực, có đồ thị nhƣ hình bên.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 92
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng ( 2 019;2019) để hàm số g x f 3 2 ( )
x 3x m
nghịch trên khoảng 2; ? A. 2012 B. 2013 C. 4028 D. 4026 Lời giải: Chọn A I Ơ Ta có 2 3 g (
x) (3x 6x) f (x 3x ) m .
Với mọi x (2; ) ta có 2
3x 6x 0 nên để hàm số g x f 3 2 ( )
x 3x m nghịch biến M D Ầ Đ trên NHỊ khoảng 2; 3 2 f (
x 3x ) m 0, x (2; ) . Đ y f x G
Dựa vào đồ thị ta có hàm số
( ) nghịch biến trên các khoảng ( ;1) và (3; ) THPT N.C.Đ nên NG CÔN Ờ f (
x) 0 với x ; 1 3; . N Ễ 3 2
x 3x m 1, x (2;) Y TRƢ Do đó: 3 2 f (
x 3x ) m 0, x (2; ) 3 2
x 3x m 3, x (2;) GU N N 3 2
m x 3x 1, x (2;) 3 2
m x 3x 3, x (2;) ÁO VIÊ GI Nhận thấy 3 2
lim (x 3x 1) nên trƣờng hợp 3 2
m x 3x 1, x (2;) không x xảy ra. Trƣờng hợp: 3 2
m x 3x 3, x (2; ) . Ta có hàm số 3 2 (
h x) x 3x 3 liên tục trên 2; và 2 h ( x) 3
x 6x 0, x (2; )
nên h(x) nghịch biến trên 2; suy ra
max h(x) h(2) . Do đó 3 2
m x 3x 3, x (2; )
m max h(x) h(2) m 7 . 2; 2;
Do m nguyên thuộc khoảng ( 2
019;2019) nên m7;8;9;...;201 8 .
Vậy có 2012 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 21: Cho hàm số f x có đồ thị nhƣ hình vẽ
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 93
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để phƣơng trình I Ơ 3 f x 2
2 f x7 f x5 f x 1 e ln
m có nghiệm là f x M D Ầ Đ NH A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Ị Đ Lời giải G THPT Chọn B N.C.Đ NG
Quan sát đồ thị ta thấy 1 f x 5,x , đặt t f x giả thiết trở thành CÔN Ờ N 3 2
t t t 1 2 7 5 Ễ e ln t m . Y TRƢ t 3 2 GU N
Xét hàm: g t t 2t 7t 5, t 1; 5 N gt 2
3t 4t 7 0t 1 g
1 g t g 5 1 g t 145 . ÁO VIÊ 1 1 26
Mặt khác h t t , ht 1
0t 1;5 2 h t . 2 GI t t 5
t t t 1
Do đó hàm u t 3 2 2 7 5 e ln t
đồng biến trên đoạn 1; 5 . t 26
Suy ra: Phƣơng trình đã cho có nghiệm 145
e ln 2 m e ln . 5
Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của m là 4 .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 94
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU
VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO DẠNG 3.2
BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Câu 1.
Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên nhƣ hình vẽ dƣới. Số nghiệm của phƣơng trình 2
f (x ) 4 là: x 0 4 y’ - 0 + 0 - I y 5 Ơ 1 M D Ầ A. 4 B. 6 C. 2 D. 8 Đ NH 2 Ị Câu 2. Cho hàm số y
f (x) có đạo hàm f ' x 3 x x 1 2x , x . Hàm số Đ G g x f x 2 x
1 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dƣới đây? THPT N.C.Đ A. ;1 . B. 1 ;0 . C. 1;2 . D. 3; . NG CÔN Ờ N Câu 3.
Cho hàm số f x đồng biến trên đoạn 3 ; 1 thỏa mãn f 3
1, f 0 2 , f 1 3 . Ễ Y TRƢ
Mệnh đề nào dƣới đây đúng ? GU N A. 1 f 2 2 . B. 2 f 2 3. C. f 2 1. D. f 2 3. N Câu 4. Cho hàm số y
f x có đạo hàm f x 2
x x
1 x 4.u x với mọi x
và u x 0 2 ÁO VIÊ
với mọi x . Hàm số g x f x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau GI đây? A. 1;2 . B. 1 ; 1 . C. 2 ; 1 . D. ; 2 .
Câu 5. Cho hàm số y f x liên tục trên ( ;1
) và (1;)có bảng biến thiên nhƣ sau
Số nghiệm thực của phƣơng trình 2 f (x) 1 0 là A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Câu 6. Cho hàm số y
f x . Hàm số y f
x có đồ thị nhƣ hình vẽ sau. Bất phƣơng trình 2 1 ex f x
m nghiệm đúng với mọi x 1;1 khi và chỉ khi
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 95
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA A. m f 1 1. B. 2 m f 1 e . C. 2 m f 1 e . D. m f 1 1.
Câu 7. Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có bảng biến thiên nhƣ sau: I Ơ M D
Bất phƣơng trình ex f x
m đúng với mọi x 1; 1 khi và chỉ khi: Ầ Đ
A. m f 1 1 .
B. m f 1 e .
C. m f 1 e .
D. m f 1 1 . NH e e Ị Đ Câu 8. Cho hàm số
y f x xác định trên và có đạo hàm G THPT
f ' x 1 x2 xsin x 2 2019 . Hàm số y f 1 x nghịch biến N.C.Đ 2019x 2018 NG CÔN
trên khoảng nào dƣới đây ? Ờ N 3; 0;3 1; Ễ A. . B. . C. ;3 . D. . Y
TRƢ Câu 9. Cho hàm số f x có đạo hàm xác định và liên tục trên thoả mãn GU N N f x .
x f x x x
1 x 2 , x
. Hàm số g x .x f x đồng biến trên khoảng nào? ÁO VIÊ A. ;0 . B. 1;2 . C. 2; . D. 0; 2 .
GI Câu 10. Cho hàm số y f x có đồ thị là đƣờng cong
trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phƣơng
trình f x 2019 1 là A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
Câu 11. Cho hàm số y f x có đồ thị nhƣ hình vẽ dƣới đây
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 96
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phƣơng trình f x log m có hai nghiệm 2 phân biệt. A. m 0.
B. 0 m 1; m 16 .
C. m 1; m 16 . D. m 4.
Câu 12. Cho hàm số y f x . Hàm số y f (
x) có bảng biến thiên nhƣ hình dƣới. Bất phƣơng trình .
x f x mx 1 nghiệm đúng với mọi x 1;2019 khi x ∞ 2 3 + ∞ + ∞ 4 f'(x) ∞ 0
A. m f 1 1.
B. m f 1 1.
C. m f 1 2019 .
D. m f 1 2019 . 2019 2019 I
Ơ Câu 13. Cho hàm số y
f x . Hàm số y
f x có đồ thị nhƣ sau: M D Ầ Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG
Bất phƣơng trình f x 2
x 2x m đúng với mọi x1;2 khi và chỉ khi CÔN Ờ N m f 2 m f m f 2 1 m f Ễ A. . B. 1 1. C. . D. 1 1. Y
TRƢ Câu 14. Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có bảng biến thiên nhƣ sau: GU N N ÁO VIÊ GI Bất phƣơng trình 2 ( ) 3ex f x
m có nghiệm x 2 ;2 khi và chỉ khi:
A. m f 2 3.
B. m f 4 2 3e .
C. m f 4 2 3e .
D. m f 2 3.
Câu 15. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm nhƣ sau Bất phƣơng trình 2 x f x e
m đúng với mọi x 1 ; 1 khi và chỉ khi
A. m f 0 1 .
B. m f 1 e .
C. m f 0 1.
D. m f 1 e .
Câu 16. Có bao nhiêu số nguyên m để phƣơng trình log 2x m 2
2log x x 4x 2m 1 có 2 2
hai nghiệm thực phân biệt? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 97
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2 3 2019 x x x 1 x ...
ex khi x 0
Câu 17. Cho hàm số f x 2! 3! 2019!
. Hỏi có bao nhiêu giá trị 2 x 10x khi x 0
nguyên dƣơng và chia hết cho 5 của tham số m để bất phƣơng trình m f x 0 có nghiệm? A. 25 . B. 0 . C. 6 . D. 5 .
Câu 18. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m 2
019;2019 để bất phƣơng trình 3 m 3 x 3 m 2 x 3 m m 3 1 3 2 13 3
x 10 m m 0 đúng với mọi x 1; 3 . Số phần
tử của tập S là A. 4038. B. 2021. C. 2022. D. 2020.
Câu 19. Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f x đƣợc cho nhƣ hình vẽ bên. Hàm số
g x f 4 2x
1 đồng biến trên khoảng nào sau đây? I Ơ M D Ầ Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG 1 3 CÔN A. ; 1 . B. . C. .
D. 2; . Ờ ;1 1; N 2 2 Ễ Y 3 TRƢ 2019
Câu 20. Cho hàm số f x cos2x . Bất phƣơng trình f
x m đúng với mọi x ; 12 8 GU N N khi và chỉ khi A. 2019 m 2 . B. 2018 m . C. 2018 m 2 . D. 2019 m 2 . ÁO VIÊ 2019 3 GI
Do đó bất phƣơng trình f
x m đúng với mọi x ; khi và chỉ khi 12 8 2018 m 2 .
Câu 21. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm đến cấp hai trên
. Bảng biến thiên của hàm số 1
y f '(x) nhƣ hình vẽ. Bất phƣơng trình 2 3
m x f (x)
x nghiệm đúng với mọi 3
x 0;3 khi và chỉ khi
A. m f 0 .
B. m f 3 .
C. m f 0 .
D. m f 2 1 . 3
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 98
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phƣơng trình 2 x x
mx 2 5 12 16 2
x 2 có hai nghiệm thực phân biệt thoả mãn 2 x x 1 2 x 1 2018 2018 2019x 2019 . 11 3
A. m 2 6 ; .
B. m 2 6 ;3 3 . 3 I Ơ 11 3
C. m 2 6 ;3 3 . D. m 3 3 ; 2 6 . M D 3 Ầ Đ x 1
Câu 23. Có bao nhiêu số nguyên m để phƣơng trình 1 2 2
8 x m có 3 nghiệm thực phân NHỊ 2 Đ biệt? G THPT A. 8 . B. 9 . N.C.Đ C. 6 . D. 7 . NG 3 4 2 3 2 2 2 CÔN
Câu 24. Cho bất phƣơng trình
x x m 2x 1 x x
1 1 m . Tìm tất cả các giá trị Ờ N Ễ
thực của tham số m để bất phƣơng trình nghiệm đúng với mọi x 1 . Y TRƢ 1 m m 1 1 m m 1 GU N A. . B. . C. . D. . 2 2 N f 12x 1
Câu 25. Cho hàm số y f x . Đồ thị y f x nhƣ hình bên. Hàm số g x nghịch ÁO VIÊ 2 GI
biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. 0 ;1 . B. ;0 . C. 1 ;0 . D. 1; .
Câu 26. Cho hàm số f x liên tục trên
có đồ thị nhƣ hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
n để phƣơng trình sau có nghiệm x . f 2 16
sin x 6sin 2x 8 f nn 1
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 99
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA A. 10. B. 6. C. 4. D. 8.
Câu 27 Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị nhƣ hình vẽ dƣới đây . I Ơ M D Ầ Đ NH 3 2 Ị
f x 3 f x 4 f x 2 3 f x 2 Đ
Số nghiệm của phƣơng trình là:
3 f x 1 G THPT N.C.Đ A. 6 . B. 9 .
C. 7 . D. 8 . NG CÔN
Ờ Câu 28. Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị nhƣ hình vẽ dƣới đây. Tập hợp tất cả N Ễ
các giá trị thực của tham số m để phƣơng trình f 3 2 x x 2 3
2 m 3m có nghiệm Y TRƢ GU N
thuộc nửa khoảng 1; 3 là N ÁO VIÊ GI A. 1 ;
1 2;4 . B. 1; 2 4; . C. ;
1 2;4 . D. 1 ; 1 2;4 .
Câu 29. Cho hàm số y f x thỏa mãn f x 2 x 2 x
. Bất phƣơng trình f x m có
nghiệm thuộc khoảng 0 ;1 khi và chỉ khi
A. m f 1 .
B. m f 0 .
C. m f 0 .
D. m f 1 .
Câu 30. Cho cấp số cộng a , cấp số nhân b thoả mãn a a 0 , b b 1 và hàm số n n 2 1 2 1 f x 3
x 3x sao cho f a 2 f a và f log b 2 f log b . Tìm số nguyên 2 2 2 1 2 1
dƣơng n nhỏ nhất sao cho b 2019a n n A. 17. B. 14. C. 15. D. 16.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 100
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Câu 31. Cho bất phƣơng trình 2
m 1 x 12 1 x 16x 3m 1 x 2m 15 . Có tất cả bao nhiêu
giá trị nguyên của tham số m 9 ;
9 để bất phƣơng trình có nghiệm đúng với mọi x 1 ; 1 ? A. 4 . B. 5 . C. 8 . D. 10 .
Câu 32. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phƣơng trình m m 1 1 sin x sin x có 1
nghiệm là đoạn a;b. Khi đó giá trị của biểu thức T 4a 2 bằng b A. 4 . B. 5 . C. 3 . D. 3 .
Câu 33. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phƣơng trình f f x m 3 3 ( )
x m có
nghiệm x 1;2 biết 5 3
f (x) x 3x 4m . A. 16. B. 15. C. 17. D. 18.
I Câu 34. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phƣơng trình Ơ 4 2 4
x 1 x x 2mx 2m 0 đúng với mọi x là S ;
a b . Tính a 2 8b . M D A. 2 . B. 3. C. 6. D. 5. Ầ
a, ,b ,c d, e , a 0, b 0
Đ Câu 35. Biết rằng phƣơng trình 4 3 2
ax bx cx dx e 0 có 4 NHỊ
nghiệm thực phân biệt. Hỏi phƣơng trình sau có bao nhiêu nghiệm thực? Đ 2 3 2 2 4 3 2 G
4ax 3bx 2cx d 26ax 3bx c.ax bx cx dx e THPT 0 N.C.Đ NG A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 6 . CÔN Ờ N
Câu 36. Cho hàm số f x 3 2
x 4x x 4 có đồ thị nhƣ hình vẽ. Có tất cả bao nhiêu giá trị ỄY TRƢ
nguyên của m để phƣơng trình sau có bốn nghiệm thuộc đoạn 0;2 GU N 2 2 N
2019 f 15x 30x 16 m 15x 30x 16 m 0 ÁO VIÊ GI A. 4541. B. 4542 . C. 4543. D. 4540 .
Câu 37. Có bao nhiêu số nguyên x ( 1
00;100) thỏa mãn bất phƣơng trình 2 3 2019 2 3 2019 x x x x x x 1 x ... 1 x ... 1. 2! 3! 2019! 2! 3! 2019! A. 199 B. 0 C. 99 D. 198
Câu 38. Cho hàm số f x 3 3
7 3x 7 3x 2019x . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m
thỏa mãn điều kiện f 3 2
x x x m f 2 2 3
2x 2x 5 0, x 0 ;1 . Số phần tử của S là? A. 7 . B. 3 . C. 9 . D. 5 .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 101
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA I Ơ M D Ầ Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 102
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA HƢỚNG DẪN GIẢI Câu 1.
Cho hàm số y f (x) có bảng biến thiên nhƣ hình vẽ dƣới. Số nghiệm của phƣơng trình 2
f (x ) 4 là: x 0 4 y’ - 0 + 0 - y 5 1 A. 4 B. 6 C. 2 D. 8 Lời giải Chọn A
Ta thấy phƣơng trình f (x) 4 có 3 nghiệm phân biệt trong đó có 2 nghiệm dƣơng và I 1 nghiệm âm. Ơ Do đó phƣơng trình 2
f (x ) 4 có 4 nghiệm phân biệt.
M D Câu 2. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f x x 2 ' 3 x 1 2x , x . Hàm số Ầ Đ
g x f x 2
x 1 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dƣới đây? NHỊ Đ A. ;1 . B. 1 ;0 . C. 1;2 . D. 3; . G THPT Lời giải N.C.Đ NG Chọn C CÔN Ờ N
Ta có: g ' x f ' x 2x . Ễ Y TRƢ x 3 GU N
g ' x 0
f 'x 2x 0 x 2 3 x 1 0 x 1 . N x 1 ÁO VIÊ
Ta có bảng biến thiên của hàm g x nhƣ sau: GI
Hàm số đồng biến trên các khoảng ;
1 và 1;3 . Suy ra hàm số đồng biến trên 1;2. Câu 3.
Cho hàm số f x đồng biến trên đoạn 3 ; 1 thỏa mãn f 3
1, f 0 2 , f 1 3 .
Mệnh đề nào dƣới đây đúng ? A. 1 f 2 2 . B. 2 f 2 3. C. f 2 1. D. f 2 3. Lời giải Chọn A
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 103
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Do hàm số f x đồng biến trên đoạn 3 ; 1 và 3 2 0 nên f 3 f 2
f 01 f 2 2 . Câu 4. Cho hàm số y
f x có đạo hàm f x 2
x x
1 x 4.u x với mọi x
và u x 0
với mọi x . Hàm số 2 g x
f x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. 1;2 . B. 1 ; 1 . C. 2 ; 1 . D. ; 2 . Lời giải Chọn C 2
Ta có g x x f 2
x x 2 x 2 x 2
x u 2 ' 2 . ' 2 . 1 4 . x . x 0
Thấy g ' x 0 x 1 . I x 2 Ơ
Bảng xét dấu g ' x nhƣ sau M D Ầ Đ NH Ị Đ
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng 2; 1. G
THPT Câu 5. Cho hàm số y f x liên tục trên ( ;1
) và (1;)có bảng biến thiên nhƣ sau N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N ÁO VIÊ
Số nghiệm thực của phƣơng trình 2 f (x) 1 0 là GI A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn B.
Ta có : f x f x 1 2 ( ) 1 0 . 2
Dựa vào bảng biến thiên thấy phƣơng trình có hai nghiệm. Câu 6. Cho hàm số y
f x . Hàm số y f
x có đồ thị nhƣ hình vẽ sau. Bất phƣơng trình 2 1 ex f x
m nghiệm đúng với mọi x 1;1 khi và chỉ khi
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 104
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA A. m f 1 1. B. 2 m f 1 e . C. 2 m f 1 e . D. m f 1 1. Lời giải Chọn D 2 2 Ta có 1 ex f x
m đúng với mọi x 1;1 tƣơng đƣơng với 1 ex m f x 2 đúng với mọi x 1;1 . Xét 1 ex g x f x với x 1;1 . I 2 x x Ơ Ta có g x f 1 x 2 . x e f 1 x 2 e x . Nhận xét: M D 2 x Ầ +) Với 1 x 0 thì 1 1 x 2 nên f 1 x 0 và e x 0 suy ra g x 0 . Đ 2 NH x Ị +) Với 0 x
1 thì 0 1 x 1 nên f 1 x 0 và e x 0 suy ra g x 0 . Đ 2 x G x 0 1 x 1 e x 0 THPT +) Với thì nên f 1 x 0 và suy ra g x 0 . N.C.Đ NG Bảng biến thiên CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N ÁO VIÊ GI 2 Để 1 ex m f x
nghiệm đúng với mọi x 1;1 suy ra m f 1 1.
Câu 7. Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có bảng biến thiên nhƣ sau:
Bất phƣơng trình ex f x
m đúng với mọi x 1 ; 1 khi và chỉ khi:
A. m f 1 1 .
B. m f 1 e .
C. m f 1 e .
D. m f 1 1 . e e Lời giải Chọn D
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 105
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Theo giả thiết ta có: ex m f x
g x, x 1 ; 1 * .
Xét hàm số g x trên 1 ;
1 ta có: ex g x f x . Ta có hàm số ex y đồng biến trên khoảng 1 ; 1 nên: x 1 1 e e 0, x 1
;1 . Mà f x 0, x 1 ; 1 . e
Từ đó suy ra ex g x f x 0, x 1 ;
1 . Nghĩa là hàm số y g x nghịch biến trên khoảng 1 ; 1 ** . Từ * và
** ta có: m g m f 1 1 1 . e Câu 8. Cho hàm số
y f x xác định trên và có đạo hàm
f ' x 1 x2 xsin x 2 2019 . Hàm số y f 1 x 2019x 2018 nghịch biến
trên khoảng nào dƣới đây ? A. 3; . B. 0;3 . C. ;3 . D. 1; . I Ơ Lời giải Chọn B M D
Xét hàm số y f 1 x 2019x 2018 xác định trên . Ầ Đ
y f 1 x 2019 NH Ta có Ị Đ 1
1 x.21 xsin
1 x 2 2019 2019 G THPT
x3 x sin 1 x 2 N.C.Đ . NG CÔN Ờ
Mặt khác sin 1 x 2 0 với mọi x . N Ễ x Y TRƢ
Do đó y 0 x 3 x 0 0 . x 3 GU N N
Dấu của y là dấu của biểu thức x 3 x . Ta có bảng biến thiên. ÁO VIÊ GI
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y f 1 x 2019x 2018 nghịch biến trên khoảng 0;3 .
Câu 9. Cho hàm số f x có đạo hàm xác định và liên tục trên thoả mãn f x .
x f x x x
1 x 2 , x
. Hàm số g x .x f x đồng biến trên khoảng nào? A. ;0 . B. 1;2 . C. 2; . D. 0; 2 .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 106
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Lời giải Chọn C
Ta có: g x . x f x f
x .xf x xx 1x 2 x 0
g x 0 x 1 . x 2 Bảng biến thiên: x 0 1 2 g x 0 0 0 g x
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số g x đồng biến trên khoảng 2; .
I Câu 10. Cho hàm số y f x có đồ thị là đƣờng cong Ơ
trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phƣơng M D
trình f x 2019 1 là Ầ Đ A. 1. B. 2 . NHỊ C. 3 . D. 4 . Đ G THPT Lời giải N.C.Đ NG CÔN Ờ Chọn C N Ễ
Dựa vào đồ thị, ta có đƣờng thẳng y 1 cắt Y TRƢ
đồ thị tại ba điểm phân biệt , A B, C . GU N N Do đó
x 2019 xA ÁO VIÊ
f x 2019 1 x 2019 x B GI
x 2019 x C
x x 2019 A
x x 2019 B
x x 2019 C
Vậy số nghiệm thực của phƣơng trình f x 2019 1 là 3 .
Câu 11. Cho hàm số y f x có đồ thị nhƣ hình vẽ dƣới đây
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phƣơng trình f x log m có hai nghiệm 2 phân biệt.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 107
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA A. m 0.
B. 0 m 1; m 16 .
C. m 1; m 16 . D. m 4. Lời giải Chọn B
Số nghiệm của phƣơng trình f x log m chính là số giao điểm của đồ thị hàm số 2
y f x (hình vẽ) và đƣờng thẳng y log m. 2
Dựa vào hình vẽ ta có: phƣơng trình f x log m có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ 2 khi log m 4 m 16 2 . log m 0 0 m 1 2
Câu 12. Cho hàm số y f x . Hàm số y f (
x) có bảng biến thiên nhƣ hình dƣới. Bất phƣơng trình .
x f x mx 1 nghiệm đúng với mọi x 1;2019 khi x ∞ 2 3 + ∞ I Ơ + ∞ 4 f'(x) M D Ầ ∞ Đ 0 NHỊ
A. m f 1 1.
B. m f 1 1. Đ G THPT
C. m f 1 2019 .
D. m f 1 2019 . 2019 N.C.Đ 2019 NG
Lời giải CÔN Ờ N Chọn B Ễ Y TRƢ Ta có .
x f x mx 1nghiệm đúng với mọi x 1;2019 GU N N 1 f x
m với mọi x1;2019 . x
Xét hàm số 1 h x f x
với mọi x 1;2019 . ÁO VIÊ x GI 1
Ta có h x f x . 2 x 1
Vì f x 0 với mọi x 1;2019 (dựa vào BBT) và
0 với mọi x1;2019 nên 2 x
h x 0 với mọi x 1;2019
hx đồng biến trên khoảng 1;2019
hx h
1 với mọi x 1;2019 .
Mà h x m với mọi x 1;2019 nên m h
1 m f 1 1 .
Câu 13. Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị nhƣ sau:
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 108
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Bất phƣơng trình f x 2
x 2x m đúng với mọi x1;2 khi và chỉ khi
A. m f 2 .
B. m f 1 1.
C. m f 2 1 .
D. m f 1 1 . Lời giải Chọn A
Ta có f x 2
x 2x m, x
1;2 f x 2
x 2x m, x 1;2.
Xét hàm số g x f x 2
x 2x, x1;2
Ta có g x f x 2x 2 f x 2x 2
Vẽ đƣờng thẳng y 2x 2 I Ơ M D Ầ
Ta thấy f x 2x 2, x
1;2 do đó gx 0, x
1;2 suy ra hàm số g x nghịch Đ NH 1; 2 Ị biến trên khoảng . Đ
Vậy m g x, x
1;2 m g f 2 2
2 2 2.2 f 2 . G THPT N.C.Đ
Câu 14. Cho hàm số y
f x . Hàm số y
f x có bảng biến thiên nhƣ sau: NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N Bất phƣơng trình 2 ( ) 3ex f x
m có nghiệm x 2 ;2 khi và chỉ khi: ÁO VIÊ GI A. m f 2 3 . B. m f 4 2 3e . C. m f 4 2 3e . D. m f 2 3. Lời giải Chọn B Ta có: x2 x2 f (x) 3e
m f (x) 3e m . Đặt h x x2 f x
hx f x x2 ( ) 3e 3e . Vì x 2
;2, f x 3 và x
x x2 e 4 2; 2 2 0; 4 3 3;3e
Nên h x f x x2 e x 4 3 0,
2; 2 f (2) 3e h x f ( 2 ) 3. Vậy bất phƣơng trình 2 ( ) 3ex f x
m có nghiệm x 2 ;2 khi và chỉ khi m f 4 2 3e .
Câu 15. Cho hàm số y f x có bảng xét dấu của đạo hàm nhƣ sau Bất phƣơng trình 2 x f x e
m đúng với mọi x 1 ; 1 khi và chỉ khi
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 109
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
A. m f 0 1 .
B. m f 1 e .
C. m f 0 1.
D. m f 1 e . Lời giải Chọn C 2 Có x f x e , m x 1 ;1 2 x m g x
f x e , x 1 ;1 *
Ta có 2 2 . x g x f x
x e có nghiệm x 0 1 ; 1 và
g x 0, x 1
;0; gx 0, x 0; 1 . Bảng biến thiên: I Ơ
Do đó max g x g 0 f 0 1. M D 1 ; 1 Ầ Đ Ta đƣợc * m f 0 1. NHỊ
Câu 16. Có bao nhiêu số nguyên m để phƣơng trình log 2x m 2
2log x x 4x 2m 1 có 2 2 Đ G THPT
hai nghiệm thực phân biệt? N.C.Đ A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. NG CÔN Ờ Lời giải N Ễ Chọn C Y TRƢ x 0 GU N Điều kiện: . N
2x m 0
Với điều kiện trên, phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với phƣơng trình sau: ÁO VIÊ 2 2 log (2x )
m log x x 4x 2m 1 . 2 2 GI 2 2
log x x log 2x m 4x 2m 1. 2 2 2 2
log x x log (4x 2 )
m 4x 2m (1) . 2 2
Xét hàm số f (t) log t t trên D (0;) . 2 1
Ta có f '(t) 1 0 t
0 nên hàm số f (t) luôn đồng biến trên D . t ln 2
Suy ra phƣơng trình (1) tƣơng đƣơng với phƣơng trình: 2
x 4x 2m 2
x 4x 2m 0 (2) .
Yêu cầu bài toán tƣơng đƣơng với phƣơng trình (2) có hai nghiệm dƣơng phân biệt ' 0 4 2m 0 m 2
S 0 4 0 2 m 0. m 0 P 0 2 m 0
Vậy có duy nhất số nguyên m 1.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 110
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2 3 2019 x x x 1 x ...
ex khi x 0
Câu 17. Cho hàm số f x 2! 3! 2019!
. Hỏi có bao nhiêu giá trị 2 x 10x khi x 0
nguyên dƣơng và chia hết cho 5 của tham số m để bất phƣơng trình m f x 0 có nghiệm? A. 25 . B. 0 . C. 6 . D. 5 . Lời giải. Chọn D x x x x
+) Với x 0 : f x 2 2018 1 x ...
ex ; f x 2 2017 1 x ... ex;... 2! 2018! 2! 2017! 2019 2018 1 ex f x 0, x 0 f x 2018 f 0 0, x 0 ;<
f x 0, x
0 f x f 0 0, x 0 . I Nên * m thì m
f x 0, x 0 . Ơ
Do đó bất phƣơng trình m f x 0 vô nghiệm trên 0; , * m . M D Ầ
+) Với x 0 : Bpt: 2 2 m x 10x 0 x 10x m . Đ Ta có bảng biến thiên NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ
Bất phƣơng trình có nghiệm m 2
5 m 25 m5;10;15;20;2 5 . GU N S m 2 019;2019 N
Câu 18. Gọi là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số để bất phƣơng trình 3 m 3 x 3 m 2 x 3 m m 3 1 3 2 13 3
x 10 m m 0 đúng với mọi x 1; 3 . Số phần ÁO VIÊ
tử của tập S là GI A. 4038. B. 2021. C. 2022. D. 2020. Lời giải Chọn B 3 m 3 x 3 m 2 x 3 m m 3 1 3 2 13 3
x 10 m m 0, x 1;3 . x 3 2
x 2 m x 3 1 m x 1 , x 1; 3 . * Xét: f t 3
t t, t
, ta có f t 2
3t 1 0, t .
Hàm số f t luôn đồng biến trên . u x 2 Đặt . v m x 1
* f u f v u v x 2 m x 1 . x 2 ycbt m x x 2 5 ,
1;3 m Min m . x 1; 3 x 1 x 1 4
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 111
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 5 m 20 19;2019 m 2 019; Mà nên 4 m 2 019; 2 018;..., 1 ;0 ;1 . m m
Vậy có 2021 giá trị cần tìm.
Câu 19. Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f x đƣợc cho nhƣ hình vẽ bên. Hàm số
g x f 4 2x
1 đồng biến trên khoảng nào sau đây? I 1 3 Ơ A. ; 1. B. ;1 . C. 1; .
D. 2; . 2 2 M D Lời giải Ầ Chọn B Đ NH Ị
Ta có g x f 4 x 3 x f 4 2 1 8 2x 1 0 Đ G THPT x 0 x 0 3 x 0 N.C.Đ 4 4 NG 2x 1 1 x 2 . 4 CÔN f ' 2x Ờ 1 0 4 4 N 2x 1 3 x 2 Ễ Y TRƢ
Dựa vào đồ thị hàm số f x và dấu của g x , ta có BBT nhƣ sau: GU N N ÁO VIÊ GI
g x đồng biến trên 4 ; 2 và 4 0; 2 . 1
Vậy g x đồng biến trên khoảng ;1 . 2 2019 3
Câu 20. Cho hàm số f x cos2x . Bất phƣơng trình f
x m đúng với mọi x ; 12 8 khi và chỉ khi A. 2019 m 2 . B. 2018 m . C. 2018 m 2 . D. 2019 m 2 . Lời giải. Chọn B
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 112
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Ta có f x 2
sin 2x 2cos 2x
; f x 4
cos2x 2cos 2x 2 ;... 2 2 n 2019 2n f x cos 2x n . Do đó f x 2019 2019 2 cos 2x 2019 2 sin 2x . 2 2 3 3 1 3 x ; 2x ;
sin 2x sin , x ; 12 8 6 4 6 2 12 8 2019 f x 3 2018 2 , x ; . 12 8 2019 3
Do đó bất phƣơng trình f
x m đúng với mọi x ; khi và chỉ khi 12 8 2018 m 2 .
Câu 21. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm đến cấp hai trên
. Bảng biến thiên của hàm số 1 I y
f '(x) nhƣ hình vẽ. Bất phƣơng trình 2 3 m x f (x)
x nghiệm đúng với mọi 3 Ơ
x 0;3 khi và chỉ khi M D Ầ Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ
A. m f 0 .
B. m f 3 .
C. m f 0 .
D. m f 2 1 . Y TRƢ 3 GU N Lời giải N Chọn C 1 1 2 3 ÁO VIÊ m x f (x) x 3 2 f (x) x x m . 3 3 GI 1
Đặt g x 3 2
f (x) x x . Theo bài ra, ta có: g x m, x 0;3(*). 3 Ta có 2 2 2
g '(x) f '(x) x 2x 1 x 2x (x 1) 0, x (0;3) .
Do đó g(0) g(x) g(3), x
(0;3) . Mà: g 0 f 0; g 3 f 3.
f (0) g(x) f (3), x (0;3)
Vì vậy (*) m f (0) .
Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phƣơng trình 2 x x
mx 2 5 12 16 2
x 2 có hai nghiệm thực phân biệt thoả mãn
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 113
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2 x x 1 2 x 1 2018 2018 2019x 2019 . 11 3
A. m 2 6 ; .
B. m 2 6 ;3 3 . 3 11 3
C. m 2 6 ;3 3 . D. m 3 3 ; 2 6 . 3 Lời giải Chọn B Xét bất phƣơng trình 2x x 1 2 x 1 2018 2018 2019x 2019
(1) . Điều kiện: x 1 .
a 2x x 1 a b Đặt
a b 2(x 1) x 1 . 2 b 2 x 1
Bất phƣơng trình (1) thành: a b I
2018a 2018b 2019
0 2(2018)a 2019a 2(2018)b 2019b (2) . Ơ 2
Xét hàm số ( ) 2(2018)t f t
2019t liên tục trên . M D t Ầ f (
t) 2.2018 ln 2018 2019 0, t
nên f (t) đồng biến trên . Đ NH
Bất phƣơng trình (2) f (a) f ( )
b a b 2x x 1 2 x 1 1 x 1 . Ị Đ Với 1
x 1, ta có: G THPT 2 x x
mx 2 5 12 16 2 x 2 N.C.Đ NG CÔN 2 Ờ x x 2 2 2 2 2 N
3x 2 2x 2 mx 2 x 2 3 2 m (3) . 2 Ễ x x 2 2 Y TRƢ x 2 GU N Đặt t với x 1; 1 . 2 N x 2 2 2x 1 t 0, x 1
;1 nên hàm t đồng biến trên 1 ; 1 , suy ra t 3 . 3 ÁO VIÊ 2x 2 3 GI 1
Do hàm t đơn điệu trên 1 ;
1 nên ứng với mỗi giá trị của t ; 3 ta tìm đƣợc 3
đúng một giá trị của x 1 ; 1 và ngƣợc lại.
Viết lại phƣơng trình (3) theo ẩn t : 2 1 3t m 4 với t 3 . t 3
(3) có 2 nghiệm thực phân biệt x 1 ;
1 (4) có 2 nghiệm thực phân biệt 1 t ; 3 (*) . 3 2 1
Xét hàm số g(t) 3t liên tục trên ; 3 . t 3 2 2 2 1 g ( t) 3 . Cho 2 g (
t) 0 t t ; 3 . 2 t 3 3 3 Bảng biến thiên:
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 114
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Dựa vào bảng biến thiên, ta có (*) m 2 6 ;3 3
Vậy m 2 6 ;3 3 thoả yêu cầu bài toán. x 1
Câu 23. Có bao nhiêu số nguyên m để phƣơng trình 1 2 2
8 x m có 3 nghiệm thực phân 2 I biệt? Ơ A. 8 . B. 9 . C. 6 . D. 7 . M D Lời giải Ầ Chọn A Đ NH x 1 Ị
Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với: 1 2 m 2 8 x (*). Đ 2 G THPT Xét hàm số: N.C.Đ NG x 1 1 2 CÔN 2
8 x (x 2) Ờ x 1 g x x x x 1 ( ) 2 ln 2 ( 2) 2 N 1 2 f (x) 2 8 x
f (x) . Ễ x 1 2 x 1 1 2 h(x) 2 ln 2 x (x 2) Y TRƢ 8 2 x (x 2) 2 GU N N
(Hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 2). Ta có: x ÁO VIÊ 1 2 2 1 2 3 g (
x) 2 ln 2 1 2 ln 2 1 0, x 2 g( )
x g(2) 2 ln 2 0, x 2 (1). GI h( 1 ) ln 2 1 0 x 1 2 h ( x) 2 ln 2 1 0, x 2 và h(0).h( 1
) 0 do đó h(x) 0 h(0) 2 ln 2 0
có nghiệm duy nhất x ( 1
;0). Dùng máy tính tìm đƣợc x 0 ,797563 lƣu nghiệm 0 0
này vào biến nhớ A, ta có f x f ( ) A 6,53131. 0 Vậy ta có f (
x) 0 x x ( 1
;0). Bảng biến thiên: 0
Từ bảng biến thiên suy ra phƣơng trình có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi: 2
m f (x ) 6,53131. 0
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 115
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Do m là số nguyên nên m 1 ,0,1,2,3,4,5, 6 .
Có tất cả 8 số nguyên thoả mãn yêu cầu.
Câu 24. Cho bất phƣơng trình 3 4 2 3 2 2
x x m
x x 2 2 1 x
1 1 m . Tìm tất cả các giá trị
thực của tham số m để bất phƣơng trình nghiệm đúng với mọi x 1 . 1 A. m . B. m 1 1. C. m . D. m 1. 2 2 Lời giải Chọn D Ta có: 3 4 2 3 2 2
x x m
x x 2 2 1 x 1 1 m 4 2
x x m 3 4 2 3 2
x x m x 2 2 1 2x 1 0 4 2
x x m 3 4 2 3 2
x x m x 2 2 1 2x 1 (1) I Xét hàm số 3
f t t t , t . Ơ Có f t 2
3t 1 0, t
nên hàm số f t đồng biến trên . M D 3 4 2 3 2 3 4 2 3 2 Ầ
Bất phƣơng trình (1) có dạng f x x m f 2x 1 x x m 2x 1 Đ NH 4 2 2 4 2 Ị
x x m 2x 1 m x x 1. Đ
Xét hàm số g x 4 2
x x 1 với x1; . G THPT N.C.Đ
Bất phƣơng trình đã cho nghiệm đúng với mọi x 1 m g x , x 1. NG CÔN Ờ 3 2 N g x 4x 2x 2x 2x 1 0, x 1. Ễ Y TRƢ Bảng biến thiên: GU N N ÁO VIÊ GI
Tập giá trị của hàm số g x trên 1; là ;1 .
Vậy m g x , x 1 m 1 . f 12x 1
Câu 25. Cho hàm số y f x . Đồ thị y f x nhƣ hình bên. Hàm số g x nghịch 2
biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. 0 ;1 . B. ;0 . C. 1 ;0 . D. 1; .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 116
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA Lời giải Chọn D x
Từ đồ thị hàm số y f x ta có f x 1 0 . 1 x 2 f 12x 1 I
Xét hàm số g x . Ơ 2 f 12x f 12 x 1 1 1 M D
Ta có g x . 2
. f 1 2x.ln 2ln 2. . f 12x. Ầ 2 2 2 Đ NH x 1 Ị 1 2x 1 Đ
g x 0 f 1 2x 0 1 . 1 1 2x 2 x 0 G THPT 2 N.C.Đ NG
Vậy hàm số g x nghịch biến trên khoảng 1; . Chọn D. CÔN Ờ N
Câu 26. Cho hàm số f x liên tục trên
có đồ thị nhƣ hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của ỄY TRƢ
n để phƣơng trình sau có nghiệm x . f 2 16
sin x 6sin 2x 8 f nn 1 GU N N ÁO VIÊ GI A. 10. B. 6. C. 4. D. 8. Lời giải Chọn B
Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số f x luôn đồng biến trên , do đó f 2 x
x f nn 2 16 sin 6 sin 2 8 1 16
sin x 6sin 2x 8 nn 1 Ta xét 2 1
6sin x 6sin 2x 8 nn 1 8
1 cos 2x 6sin 2x 8 nn 1 0
8cos 2x 6sin 2x nn 1 0
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 117
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Để phƣơng trình có nghiệm x thì
n n2 n n2 2 2 2 2 2 8 6 100 1
0 n n 10 1 41 1 41 2
n n 10 n (do 2 n n 1 0, n ). 2 2
Vì n nguyên nên n 3 ; 2 ; 1 ;0;1; 2 .
Câu 27 Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị nhƣ hình vẽ dƣới đây . I 3 f x 2
3 f x 4 f x 2 Ơ
Số nghiệm của phƣơng trình
3 f x là: f x 2 3 1 M D A. 6 . B. 9 .
C. 7 . D. 8 . Ầ Đ Lời giải NHỊ Chọn B Đ G THPT
Đặt t f x đƣa phƣơng trình về hàm đặc trƣng t t t 3 3 1 1 3 1 3t 1 . N.C.Đ NG CÔN
Xét hàm đặc trƣng 3
f x x x đồng biến R nên ta đƣợc t 1 3t 1 t 0;t 1. Ờ N Ễ
Với t 0 ta có f x 0 từ đồ thị ta đƣợc số nghiệm là 3 . Y
TRƢ Với t 1 ta có f x 1 từ đồ thị ta đƣợc số nghiệm là 6 . GU N N
Vậy phƣơng trình có 9 nghiệm phân biệt.
Câu 28. Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị nhƣ hình vẽ dƣới đây. Tập hợp tất cả ÁO VIÊ
các giá trị thực của tham số m để phƣơng trình f 3 2 x x 2 3
2 m 3m có nghiệm GI
thuộc nửa khoảng 1; 3 là A. 1 ; 1 2;4 .
B. 1; 2 4; . C. ; 1 2;4 . D. 1 ; 1 2;4 . Lời giải Chọn D Đặt 3 2 2
t x 3x 2 t 3x 6x .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 118
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA x 01;3 t 0 . x 2 1;3 Ta có: t(2) 2
; t(1) 0; t(3) 2 t 2 ;2 . Khi đó f 3 2 x x 2 3
2 m 3m (1) trở thành: f t 2 m 3m (2) Phƣơng trình
1 có nghiệm thuộc 1; 3 khi phƣơng trình 2 có nghiệm t 2 ;2 . 1 m 4 2
m 3m 4 0 1 m 1 Dựa vào đồ thị ta có 2 2
m 3m 4 m 1 . 2
m 3m 2 0 2 m 4 m 2 Vậy phƣơng trình
1 có nghiệm thuộc 1; 3 khi m 1 ; 1 2;4 .
Câu 29. Cho hàm số y f x thỏa mãn f x 2 x 2 x
. Bất phƣơng trình f x m có
nghiệm thuộc khoảng 0 ;1 khi và chỉ khi I
A. m f 1 .
B. m f 0 .
C. m f 0 .
D. m f 1 . Ơ Lời giải M D Chọn D Ầ Đ f x 2
x 2 0 x
Hàm số nghịch biến trên nên f (0) f (1) NHỊ Đ Bảng biến thiên G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N
Từ bảng biến thiên ta có bất phƣơng trình f x m có nghiệm thuộc khoảng 0 ;1 m f ÁO VIÊ 1 .
GI Câu 30. Cho cấp số cộng a , cấp số nhân b thoả mãn a a 0 , b b 1 và hàm số n n 2 1 2 1 f x 3
x 3x sao cho f a 2 f a và f log b 2 f log b . Tìm số nguyên 2 2 2 1 2 1
dƣơng n nhỏ nhất sao cho b 2019a n n A. 17. B. 14. C. 15. D. 16. Lời giải Chọn D
Xét hàm số f x 3
x 3x với x [0, ) . Ta có f x 2
3x 3 0 x 1 từ đó ta suy
ra bảng biến thiên của f x trên [0, ) nhƣ sau: x 0 1 f x - 0 +
f x 0 2
Vì a 0 nên f a 2
f a f a 2 0 (1) 2 1 2 2
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 119
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Giả sử a 1, vì f x đồng biến trên [1, ) nên f a f a suy ra f a 2 f a 1 1 2 1 1
vô lý. Vậy a [0,1) do đó f a 0 (2). 1 1 f a 0 a 0 1 Từ (1) và (2) ta có: 0 f a 1 a 1 2 1
Vậy số hạng tổng quát của dãy cấp số cộng a là a n . n 1 n
Một cách tƣơng tự, đặt t log b và t log b suy ra f t 2 f t , vì 1 b b nên 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 0 t t , 1 2
theo lập luận trên ta có: t 0 log b 0 b 1 1 2 1 1 t 1 log b 1 b 2 2 2 2 2
Vậy số hạng tổng quát của dãy cấp số nhân b là 1 b 2n . n n I Do đó n 1 b 2019a 2
2019 n (*). Trong 4 đáp án n 16 là số nguyên dƣơng n n 1 Ơ nhỏ nhất thỏa (*). M D
Ầ Câu 31. Cho bất phƣơng trình 2
m 1 x 12 1 x 16x 3m 1 x 2m 15 . Có tất cả bao nhiêu Đ
giá trị nguyên của tham số m 9 ;
9 để bất phƣơng trình có nghiệm đúng với mọi NHỊ Đ x 1 ; 1 ? G THPT A. 4 . B. 5 . N.C.Đ C. 8 . D. 10 . NG Lời giải CÔN Ờ N Chọn B Ễ Y TRƢ Bpt: 2
m 1 x 12 1 x 16x 3m 1 x 2m 15 GU N 2 N
m 1 x 3 1 x 2 28x6 1 x 15 (1).
Đặt t 1 x 3 1 x với x 1 ; 1 . ÁO VIÊ 1 3 GI t 0 x 1 ;1 . 2 1 x 2 1 x
Suy ra t nghịch biến trên 1 ; 1 . Nên t
1 t t 1 3 2 t 2 . Ta có 2 2
t 8x 10 6 1 x 2 t 2 2 5
2 8x 6 1 x 15.
Khi đó (1) trở thành: mt 2
2 2t 5 với t 3 2 ; 2 . 2 2t 5 m t (vì t 3 2 ; 2
nên t 2 0 ). t (2) với 3 2 ; 2 2 t
Xét hàm số f t 2 2 5 . t trên đoạn 3 2 ; 2 2
4t t 2 2 2t 5 f t 2 2t 8t 5 . t 22 t 22
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 120
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 4 6 t (loại) 2
f t 0 4 6 t 2 (thỏa mãn) 62 93 2 2 2 4 6 f ( 3 2) 4 ,97 ; f ( 2) 1,7 ; f 8 2 6 3,1 14 2 2
(1) nghiệm đúng với mọi x 1 ;
1 (2) nghiệm đúng với mọi t 3 2 ; 2 m
f t f 62 93 2 min 3 2 4 ,97 . 3 2; 2 14 m
Kết hợp với điều kiện bài toán ta có: m 9 ;9 m 9 ;8; 7;6; 5 . I 62 93 2 Ơ m 4, 97 14 M D
Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ầ
Đ Câu 32. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phƣơng trình m m 1 1 sin x sin x có NHỊ 1 Đ
nghiệm là đoạn a;b. Khi đó giá trị của biểu thức T 4a 2 bằng b G THPT A. 4 . B. 5 . N.C.Đ C. 3 . D. 3 . NG Lời giải CÔN Ờ N Chọn A Ễ Y TRƢ Ta có 1
sin x 1 0 1 sin x 2 0 1 sin x 2, x . GU N
Đặt t 1 sin x . Ta có 0 t 2 và 2
sin x t 1. N
Khi đó phƣơng trình có dạng: 2 2
m m 1 t t 1 m 1 t m 1 t t t * . ÁO VIÊ
Xét hàm số f t 2
t t, t 0 . GI
Ta có f t 2t 1 0, t 0 . Do đó hàm số 2
f t t t luôn đồng biến trên 0; . Vì thế 2
* t m 1 t m t t 1 **
Xét hàm số g t 2
t t 1, t 0; 2 .
gt 2t 1. gt 1
0 2t 1 0 t . 2
Bảng biến thiên của hàm số g t 2
t t 1, t 0; 2
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 121
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 5
Phƣơng trình đề bài có nghiệm
** có nghiệm t 0; 2 m 1 2 . 4 5 5 Vậy m ;1 2
nên a ;b 1 2 T 4 . 4 4 I
Ơ Câu 33. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phƣơng trình f f x m 3 3 ( )
x m có M D
nghiệm x 1;2 biết 5 3 f (x) x 3x 4m . Ầ Đ A. 16. B. 15. C. 17. D. 18. NHỊ Lời giải Đ Chọn A G THPT Đặt 3 3 t
f (x) m t f (x) m . Ta đ N ƣ .C ợ .Đ c hệ phƣơng trình sau: NG 3 3 3 3 CÔN Ờ
f (t) x m
f (t) x m
f (t) t f (x) x (*) N . 3 3 Ễ
t f (x) m
f (x) t m f (x) t m Y TRƢ Vì 5 3 4 2
f (x) x 3x 4 ,
m f '(x) 5x 9x 0, x nên hàm số 3
h(x) f (x) x đồng GU N N biến trên
. Do đó: (*) x t . 1 2 Khi đó ta đƣợc: 3 5 3 5 3 5 3
f (x) x m x 3x 4m x 2x 3m g(x) x x m(**) ÁO VIÊ 3 3 GI . 1 2 Dễ thấy 5 3 g( x) x
x đồng biến trên 1;2 nên phƣơng trình (**) có nghiệm trên 3 3
đoạn 1;2 khi và chỉ khi: g(1) m g(2) 1 m 16.
Vì m thuộc số nguyên nên có 16 số thỏa mãn bài toán.
Câu 34. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phƣơng trình 4 2 4
x 1 x x 2mx 2m 0 đúng với mọi x là S ;
a b . Tính a 2 8b . A. 2 . B. 3. C. 6. D. 5. Lời giải Chọn A Xét bất phƣơng trình: 4 2 4
x 1 x x 2mx 2m 0 * * xác định khi 4
2mx 2m 0 m 4 2 x
1 0 2m 0 m 0 .
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 122
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2 1 3 4 2 2
x 1 x x 0 Xét x 0 : 2 4 * luôn đúng. 4
x 2mx 2m 0 Xét x 0 : 4 x x 1
* trở thành: 2m . 4 1 x x x 4 1 x Đặt t , t
; t 0 x 1 4 x 1 x 3 4 1 BBT I Ơ M D Ầ Đ NHỊ 2 Đ t ; 0 . 2 G THPT N.C.Đ NG
* trở thành: 2m f t với 1 f t t CÔN Ờ t N Ễ 1 2 Y
f t 1 0 , t ; 0 TRƢ 2 t 2 GU N N 2 2 1
Yêu cầu bài toán 2m Min f t 2m f 2m m . 2 2 2 4 ;0 2 ÁO VIÊ GI 1 1 Do đó m 0;
a 0,b . 4 4
Vậy a 2 8b 2 .
Câu 35. Biết rằng phƣơng trình 4 3 2
ax bx cx dx e 0 a, , b ,
c d, e , a 0, b 0 có 4
nghiệm thực phân biệt. Hỏi phƣơng trình sau có bao nhiêu nghiệm thực?
ax bx cx d2 3 2 2
ax bx c 4 3 2 4 3 2 2 6 3
. ax bx cx dx e 0 A. 0 . B. 2 . C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn A
Gọi các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x và trục hoành là x , x , x , x . 1 2 3 4
Suy ra: f x a x x x x x x x x . 1 2 3 4
f x a x x x x x x a x x x x x x 2 3 4 1 3 4
a x x x x x x a x x x x x x . 1 2 4 1 2 3
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 123
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA 2 2
Ta có: g x f
x f
x . f x f
x 0, x i i i i i . i
g x 0 không có nghiệm x . i 1 1 1 1 1
Xét x x , ta có f x f x f x 4 . . i x x x x x x x x x x 1 2 3 4 i 1 i f x 4 1 f x 4 1 . f x x x f x x x i 1 i i 1 i
f x. f x f x 2 4 1 2 hay f
x f
x. f x 0, x x . i f x 0, x 2 i x xi2 1
Vậy trong mọi trƣờng hợp phƣơng trình g x 0 đểu vô nghiệm.
Câu 36. Cho hàm số f x 3 2
x 4x x 4 có đồ thị nhƣ hình vẽ. Có tất cả bao nhiêu giá trị I
nguyên của m để phƣơng trình sau có bốn nghiệm thuộc đoạn 0;2 Ơ f 2 x x 2 2019 15 30
16 m 15x 30x 16 m 0 M D Ầ Đ NHỊ Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ N A. 4541. B. 4542 . C. 4543. D. 4540 . Ễ Y TRƢ Lời giải GU N Chọn B N ÁO VIÊ GI 15x 15
Đặt t x 2
15x 30x 16 tx
, t x 0 x 1. 2
15x 30x 16 Ta có bảng biến thiên
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 124
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Vậy 1 t x 4 và mỗi t x1;4, tồn tại hai giá trị của x 0;2 Phƣơng trình trở thành: 3 2
t t t 3 2 2019 4
4 mt m 0 2019(t 4t t 4) t 1 m 3 2
t 4t t 4 m m Hay 2
t 5t 4
(*) (vì t 1 0 ). Phƣơng trình đã cho có 4 t 1 2109 2019
nghiệm khi và chỉ khi phƣơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt t (1; 4] 9 m Xét hàm 2
g(t) t 5t 4 trên 1;4 ta đƣợc
0 4542,75 m 0 . 4 2019
Vì m Z nên có 4542 giá trị thỏa mãn.
Câu 37. Có bao nhiêu số nguyên x ( 1
00;100) thỏa mãn bất phƣơng trình 2 3 2019 2 3 2019 x x x x x x 1 x ... 1 x ... 1. 2! 3! 2019! 2! 3! 2019! I A. 199 B. 0 C. 99 D. 198 Ơ Lời giải M D Chọn D Ầ Đặt Đ NH 2 3 2019 2 3 2018 2019 Ị x x x x x x x
u(x) 1 x ...
u '(x) 1 x ... u(x) Đ 2! 3! 2019! 2! 3! 2018! 2019! G THPT 2 3 2019 2 3 2018 2019 x x x x x x x
v(x) 1 x ... v '(xN ) .C .Đ 1 x ... v(x) NG 2! 3! 2019! 2! 3! 2018! 2019! CÔN Ờ N
Và đặt f x u x.v x . Ta có Ễ Y TRƢ 2019 2019 x x f x u (
x)v(x) v '(x)u(x) u(x)
v(x) v(x) u(x) GU N 2019! 2019! N 2019 x
u(x) v(x) 2019! ÁO VIÊ 2 4 2018 GI x x x
Nhận xét: u(x) v(x) 21 0, x nên suy ra 2! 4! 2018! 2019 x Suy ra 2019
f '(x) 0
(u(x) v(x)) 0 x
0 x 0. Do đó, ta có bảng biến 2019!
thiên của hàm số y f (x) là
Từ bảng biến thiên suy ra f (x) 1 x 0 x 9 9,..., 1 ,1,...,9 9 . Có tất cả 198 số nguyên thoả mãn.
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 125
CHINH PHỤC ĐIỂM 8 – 9 – 10 KÌ THI THPT QUỐC GIA
Câu 38. Cho hàm số f x 3 3
7 3x 7 3x 2019x . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m
thỏa mãn điều kiện f 3 2
x x x m f 2 2 3
2x 2x 5 0, x 0 ;1 . Số phần tử của S là? A. 7 . B. 3 . C. 9 . D. 5 . Lời giải Chọn C Vì f x 3 3
7 3x 7 3x 2019x là hàm số lẻ và đồng biến trên nên ta có f 3 2
x x x m f 2 2 3
2x 2x 5 f 3 2
x x x m f 2 2 3
2x 2x 5 3 2 2
x 2x 3x m 2x 2x 5 3 2 2
x 2x 3x m 2x 2x 5 I 3 2 2 Ơ
x 2x 3x m 2
x 2x 5 3 2
x 4x 5x 5 m M D 3 Ầ
x x 5 m Đ NH Xét g x 3 2
x 4x 5x 5 và hx 3
x x 5trên 0
;1 có bảng biến thiên là Ị Đ G THPT N.C.Đ NG CÔN Ờ N Ễ Y TRƢ GU N N
Từ bảng biến thiên suy ra f 3 2
x x x m f 2 2 3
2x 2x 5 0, x 0 ;1 khi và chỉ ÁO VIÊ khi GI m 3 3 m 5 m 5
NGUYỄN CÔNG ĐỊNH | 126