Bài toán về góc trong không gian

Tài liệu gồm 56 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề bài toán về góc trong không gian

108 54 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

56 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
CHỦ ĐỀ 5: BÀI TOÁN VỀ GÓC
Vấn đề 1: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
1. Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian cho 2 đường thẳng a, b bất kỳ.
Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng
a
′
,
b
′
lần lượt song song
với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa 2
đường thẳng
a
′
và
b
′
không thay đổi.
Do đó ta có định nghĩa:
Định nghĩa: Góc giữa 2 đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng
a
′
và
b
′
cùng đi
qua một điểm và lần lượt song song với a và b.
2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng
Để xác định góc giữa 2 đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi
vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
Nếu
u
là vecto chỉ phương của đường thẳng a và
v
là vecto chỉ phương của đường thẳng b và
( )
u;v = α

thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng
α
nếu
0 90≤α≤ °
và bằng
nếu
90 180°<α≤ °
. Nếu 2
đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng
0°
. Góc giữa 2 đường thẳng là
góc có số đo
0 90≤α≤ °
.
3. Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng
Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian chúng ta cần nhớ các công thức sau:
■ Định lý hàm số cosin trong tam giác ABC:
222
AB AC BC
cos BAC
2.AB.AC
+−
=
Tương tự ta có:
222
BA BC AC
cos ABC
2.BA.B C
+−
=
và
222
CA CB AB
cos ACB
2.CA.CB
+−
=
Chú ý:
( )
222
1
AB.AC AB.AC cos BAC AB AC BC
2
= = +−
 
■ Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tính góc giữa hai vectơ
AB

và
CD

dựa vào công thức
(
)
( )
AB.CD
AB.CD
cos AB; CD cos AB; CD
AB . CD AB . CD
=⇒=
 
 
 
   
từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a,
( )
SA ABC⊥
và
SA a 3=
. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AB và SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AN và CM.
Lời giải
Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra
a
AM CE
2
= =
.
Khi đó
(
)
( )
AE / /CM AE; CM AN; AE .⇒==ϕ
Mặt khác
22
SC SA AC 2a= +=⇒
độ dài đường trung tuyến AN là
SC a 3
AN a.AE CM .
22
= = = =
Do
ABC∆
đều nên
CM AM⊥⇒
AMCE là hình chữ nhật.
Khi đó
CE AE⊥
mà
( )
CE SA CE SAE CE SE.⊥⇒⊥ ⇒⊥
SEC∆
vuông tại E có đường trung tuyến
1
EN SC a.
2
= =
Ta có:
222
AN AE NE 3 3
cos NAE 0 cos .
2.AN.AE 4 4
+−
= = > ⇒ ϕ=
Cách 2: Ta có:
( )
11
AN AS AC ;CM AM AC AB AC.
22
= + = −= −
       
Khi đó
( )
22
22
1 1 1 1 1 a 3a
AN.CM AS AC AB AC AB.AC AC a cos 60 .
2 2 4 2 4 28
−

= + − = − = °− =


       
Lại có:
2
3a
8
SC a 3 3
AN a;CM cos .
22 4
a3
a.
2
−
= = = ⇒ ϕ= =
Bình luận: Dựa vào hai cách làm trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ
để tính góc giữa hai đường thẳng giúp bài toán trở nên dễ ràng hơn rất nhiều!.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có
SA SB SC AB a;AC a 2
= = = = =
và
BC a 3=
. Tính cosin góc giữa
hai đường thẳng SC và AB.
Lời giải
Cách 1: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và AC. Khi đó
( )
( )
MP / /SC
SC;AB MP;MN .
N / /AB
⇒=
Ta có:
AB a SC a
MN ;MP .
22 22
= = = =
Mặt khác
SAC∆
vuông tại S
AC a 2
SP .
22
⇒= =
22 2
22
BA BC AC 3 a 6
BP a BP .
2 42 2
+
= − = ⇒=
Suy ra
22 22
2
PS PB SB 3a a 3
PN NP .
2 44 2
+
= − = ⇒=
Khi đó
( )
2 22
MN MP NP 1
cos NMP NMP 120 SC;AB 60 .
2. M N.MP 2
+−
= =− ⇒ = °⇒ϕ= = °
Cách 2: Ta có:
(
)
AB SB SA AB.SC SB SA .SC SB.SC SA.SC
=−⇒ = − = −
           
( )
( )
2
22 2 22 2
11 a
SB SC AC SA SC AB .
22 2
= +− − +− =−
Suy ra
( ) ( )
2
a
2
1
cos SC; AB SC; AB 60 .
a.a 2
−
==⇒=°
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có
1 2 1 21 2
AB x ,CD x ; AC y , BD y , BC z , AD z
= = = = = =
. Tính góc giữa hai
đường thẳng BC và AD.
Lời giải
Ta có:
(
)
BC.DA BC DC CD CB.CD CB.CD = += −
        
( )
( )
( )
222 222 2222
111
CB CD BD CB CA AB AB CD BD CA .
222
= +− − +− = +−−
Khi đó
(
)
2222
1 21 2
12
BC.DA
xxyy
cos BC; DA .
BC.DA 2z z
++−
= =
 
Đặc biệt: Nếu
AB CD x; AC BD y= = = =
và
BC AD z= =
ta đặt
( )
( )
( )
BC; AD
AB; CD
AC; BD
α=
β=
γ=
thì ta có:
22
2 2 22
2 22
yz
xy zz
cos ;cos ;cos .
z xy
−
−−
α= β= γ=
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh 2a,
( )
SA ABCD⊥
và
SB a 5=
. Gọi
M là trung điểm của AB và N là trung điểm của BC. Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng SM và DN .
Lời giải
■ Cách 1: Do
( )
SA ABCD .⊥
Ta có:
22
SA SB AB a= −=
. Gọi E là trung điểm của AD và I là trung
điểm của AE. Dễ thấy BNDE là hình bình hành và MI là đường trung bình
trong tam giác ABE. Khi đó
DN/ /BE/ /MI.
Tacó:
AE a
AM a; AI .
22
= = =
Mặt khác:
2
2 2 2 22
5a
SM SA AM 2a ;SI .
4
=+= =
2
22
5a
MI AI AM
4
=+=
. Do vậy
2 22
SM MI SI 10
cosSMI cos(SM;DN).
2.SM.MI 5
+−
= = =
■ Cách 2: Ta có:
(
)
SM.DN SM. SN SD SM.SN SM.SD = −= −
        
( ) ( )
22 2 22 2
1
SM SN MN SM
1
2
SD MD
2
= −+− +−
Mặt khác:
2 2 2 2 2 22 2222
AC
SN SA AN SA AB BN 6a ,MN a 2,SD 5a ,MD 5a .
2
=+ =++= == = =
Do đó
( )
2
2
2
2a
2a 10
SM.DN 2a cos SM;DN .
SM.DN 5
a 2.a 5
=⇒===
 
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có
(
)
AB a;AD a 2, SA ABCD = = ⊥
và
SA=2a.
a) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng BC và SD.
b) Gọi I là trung điểm của CD. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AI.
Lời giải
a) Do
BC / /AD (SD; BC) (SD; AD) SDA⇒==
SAD∆
vuông tại A
22
AD AD 1
cosSDA .
SD
3
AD SA
⇒== =
+
b) Gọi M, K lần lượt là trung điểm của AB và SA thì MK là đường trung bình
trong tam giác SAB.
Khi đó
MK / /SB
, mặt khác
MC / /AI.
Suy ra
(SB; AI) (MK;CM).=
Ta có:
22
SB SA AB a 5
MK
22 2
+
= = =
;
22
3a
MC MB BC
2
= +=
;
22
KC KA AC 2a.= +=
Khi đó
( )
22 2
KM MC KC 1 1
cosKMC cos SB;AI .
2.KM.MC
35 35
+ −
= =−⇒ =
Cách khác: Ta có:
( )
SB.AI SB. SI SA SB.SI SB.SA= −= −
      
( ) ( )
22 2 2 2 2
11
SB SI IB SB SA AB
22
= +− − + −
Do
2
222 2 22 22
25a 3a
SB 5a ;SI SA AD DI ;AI AD DI IB.
42
= = + += = +==
Suy ra
( )
2
2
a
SB.AI
a1
2
SB.AI cos SB;AI .
3a
2 SB.AI
35
a 5.
2
=⇒===
 
 
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,
ABC 60= °
. Tam giác SAB cân tại S và thuộc
mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng SC tạo với đáy một góc
30°
. Tính cosin góc giữa
a) SD và BC.
b) DH và SC, với H là chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy (ABCD).
Lời giải
a) Do
ABBCa= =
,
ABC 60 ABC= °⇒∆
đều cạnh a.
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB cân tại S nên
SH AB.
⊥
Mặt khác
(
) ( )
( ) ( )
( )
SAB ABCD
SH ABC .
AB SAB ABCD
⊥
⇒⊥
= ∩
ABC∆
đều nên
( )
(
)
a3
CH , SC; ABC SCH 30
2
= = = °
Ta có:
a
SH HC tan 30 .
2
= °=
Do
22
a7
ABC 60 BAD 120 HD AH AD 2AH.ADcos120 .
2
= °⇒ = °⇒ = + − °=
Suy ra
22
a2
SA SH HA
2
= +=
,
22
SD SH HD a 2= +=
.
Mặt khác
(
)
( )
AD / /BC BC;SD AD;SD ⇒=
,
2 22
DS DA SA 5 2
cosSDA .
2.DS.DA 8
+−
= =
Do vậy
( )
52
cos BC;SD .
8
=
b) Ta có
( )
SC.DH SC. SH SD SC.SH SC.SD = −= −
        
( ) ( )
2
222 222
1 1 3a
SH SC HC SC SD CD
22 4
= +− − +− =−
Mặt khác:
( )
2
22
3a
SC; DH
37
4
SC SH HC a cos SC;DH .
SC.DH 14
a7
a.
2
= +=⇒ = = =
 
Cách khác: Gọi I là trung điểm của CD
DH / /BI
a7
DH BI
2
⇒
= =
, gọi M là trung điểm của SD
MI/ / SC
SC a
MI
22
⇒
= =
. Lại có:
BD a 3=
;
22
a2
SB SH HB .
2
= +=
Do đó
2 2 2 2 22 2
2
BD BS SD 5a MI IB MB 3 17
BM cos MIB .
2 4 4 2.IM.IB 14
+ +−
= −=⇒ = =
Suy ra
( )
3 17
cos DH;SC .
14
=
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có
AD 2AB 2CD 2a
= = =
và
( )
SA ABCD⊥
. Biết rằng SC tạo với đáy một góc
60°
. Tính cosin góc giữa:
a) BC và SD.
b) AI và SD với I là trung điểm của CD.
Lời giải
a) Ta có:
22
AC AB BC a 2.= +=
Do
( ) ( )
(
)
SA ABCD SC; ABC SCA 60 . ⊥⇒ ==°
Khi đó
SA AC tan 60 a 6.= °=
Do
( )
( )
AD / /BC BC;SD AD;SD .⇒=
Mặt khác
22
AD AD
cosADS
SD
SA AD
= =
+
( )
22
2a 10
c
5
.
6a 4a
os BC;SD
= = =
+
b) Gọi E là trung điểm của
AD AE DE BC a⇒===⇒
ABCE là hình vuông cạnh a.
Do
1
CE AD ACD
2
= ⇒∆
vuông tại C.
Ta có:
22
a2
CD CE ED a 2 ID .
2
= + = ⇒=
Lại có:
( )
( ) ( )
222 22 2
11
AI.SD SI SA .SD SI.SD SA.SD SI SD DI SA SD AD
22
=− = − = +− − +−
      
Trong đó
22
2 22 2 22
5a 17a
AI AC CI SI SA AI .
22
= += ⇒= + =
Do đó
( )
22
2
3a 3a 3
AI.SD 3a cos AI;SD .
AI.SD 5
a 10
=⇒===
 
Cách khác: Gọi M là trung điểm của SC
MI / /SD
a 10 SC
, AI ,AM a 2.
SD a 10
22
MI
22
⇒===
= =
Khi đó
22 2
IM IA AM 3
MIA .
2.IM.IA 5
+−
= =
Ví dụ 8: Cho hình lăng trụ
ABC.A B C
′′′
có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của điểm
A
′
xuống mặt
đáy (ABC) trung với trung điểm của BC. Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc
60°
.
a) Tính tan góc tạo bởi
BC
′′
và
AC
′
.
b) Cosin góc tạo bởi
CC
′
và AB.
Lời giải
a) Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có:
( )
( )
BC/ / B C B C ;A C BC;A C A CH.
′′ ′′ ′ ′ ′
⇒==
Mặt khác
( )
( )
(
)
A H ABC AA ; ABC AA H 60 .
′ ′′
⊥⇒ ==°
a 3 3a
AH A H AH tan 60 .
22
′
= ⇒ = °=
Xét tam giác vuông
A HC
′
ta có:
AH
tan A CH 3.
HC
′
′
= =
Vậy
( )
BC ;A C 3.
′′
=
b) Do
( )
( )
CC / /AA CC ; AB AA ; AB
′′ ′ ′
⇒=
Ta có:
22
A A AH HA a 3.
′
= +=
22 2
22
a 10 AA AB A B 3
AB AH HB cosAAB .
2 2.AA .AB 4
′′
+−
′′ ′
= += ⇒ = =
′
Vậy
( )
3
cos CC ; AB .
4
′
=
Vấn đề 2: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
■ Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và
mặt phẳng (P) bằng
90°
(hình 1).
Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu
a
′
của nó trên (P)
được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) (hình 2).
Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá
90°
.
■ Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Cách tìm hình chiếu
a
′
của a trên mặt phẳng (P) ta có thể làm như
sau:
Tìm giao điểm
( )
M a P.= ∩
Tìm một điểm A tùy ý trên đường thẳng a
( )
AM≠
và xác định hình
chiếu vuông góc H của A trên mặt phẳng (P). Khi đó,
a
′
là đường
thẳng đi qua hai điểm A và M. Ta có:
(
)
( )
a; P AMH.β= =
Xét tam giác vuông AMH ta có:
( )
( )
HM
cos
AM
AH
tan
MH
d A; P
AH
sin
AM AM
β=
β=
β= =
(trong đó
( )
( )
d A; P
là khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng (P)).
Dạng 1: Góc giữa cạnh bên và mặt đáy
Tìm góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC).
Như vậy HA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC).
Vậy
( )
(
)
( )
SA;H
SA; A HBC
A SA .==
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, có
AB a; BC a 3= =
. Biết
( )
SA ABC⊥
, SB tạo với đáy một góc
60°
và M là trung điểm của BC.
a) Tính cosin góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).
b) Tính cosin góc giữa SM và mặt phẳng (ABC).
Lời giải
a) Do
( )
( )
(
)
SA ABC SB; ABC SBA 60 .⊥⇒ ==°
Do đó
SA ABtanSBA a tan 60 a 3.= = °=
Ta có:
(
)
(
)
22
AC AB BC 2a; SC; ABC SCA.= += =
Khi đó:
2 2 22
AC AC 2a 2
cosSCA .
SC
7
SA AC 3a 4a
= = = =
++
b) Do
( ) (
)
( )
SA ABC SM; ABC SMA .⊥⇒ ==ϕ
Ta có:
2
2 22
a3 a7
AM AB BM a .
22

= +=+ =



Khi đó
22
AM AM 133
cos .
SM 19
SA AM
ϕ= = =
+
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có
AB 2 a; AD a= =
. Tam giác (SAB) đều và thuộc
mặt phẳng vuông góc với đáy.
a) Tính góc giữa SB, SC và mặt phẳng (ABCD).
b) Gọi I là trung điểm của BC. Tính tan góc giữa SI và mặt phẳng (ABCD).
Lời giải
a) Gọi H là trung điểm của AB ta có:
SH AB⊥
Mặt khác
( )
( )
( ) ( )
(
)
SAB ABCD
SH ABCD .
AB SAB ABCD
⊥
⇒⊥
= ∩
Tam giác SAB đều cạnh 2a nên
SH a 3,=
22
HC HB BC a 2.= +=
Do
(
) ( )
(
)
SH ABCD SB; ABCD SBH 60
⊥⇒ ==°
( )
(
)
SC; ABCD SCH=
và
SH 3
tan SCH .
HC 2
= =
b) Ta có:
2
22 2
a a5
HI HB BI a .
22

= +=+ =


Mặt khác
( )
(
)
SI; ABCD SIH=
và
SH a 5 2 15
SIH a 3 : .
SI 2 5
= = =
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là nửa lục giác đều cạnh a,
AD 2 a=
. Biết
( )
SA ABCD⊥
và
đường thẳng SB tạo với đáy một góc
45 .°
a) Tính cosin góc tạo bởi các cạnh SC, SD và mặt đáy (ABCD).
b) Gọi I là trung điểm của CD, tính tan góc tạo bởi SI và mặt phẳng (ABCD).
Lời giải
a) Gọi O là trung điểm của AD
⇒
OABC là hình thoi cạnh a
1
CO a AD ACD
2
⇒ = = ⇒∆
vuông tại C.
Do
( ) ( )
( )
SA ABCD SB; ABCD SBA 45 .⊥⇒ ==°
Do đó
SA AB tan 45 a.= °=
(
)
( )
22
AC AD CD a 3 cos SC; ABC cosSCA= −=⇒ =
2 2 22
AC AC a 3 3
.
SC 2
SA AC a 3a
= = = =
++
( )
(
)
22
AD 2
cos SD; ABCD cosSDA .
5
SA AD
= = =
+
b) Ta có:
2
22 2
a a 13
AI AC CI 3a .
22

= += + =


Do đó
( )
( )
SA 2
tan SI; ABCD tan SIA .
AI
13
= = =
Dạng 2: Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao
Tìm góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng (SHA) với
( ) ( )
SHA ABH .⊥
Dựng
BK AH
⊥
, có
( )
BK SH BK SHA .⊥⇒ ⊥
Suy ra K là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (SAH).
Vậy
( )
( )
( )
SB; SAH SB;SK BSK.= =
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có
( )
AB a, AD a 3,SA ABCD .= = ⊥
Biết SC tạo với đáy một góc
60°
. Tính cosin góc tạo bởi:
a) SC và mặt phẳng (SAB); SC và mặt phẳng (SAD).
b) SD và mặt phẳng (SAC).
Lời giải
Do
( ) ( )
( )
SA ABCD SC; ABCD SCA 60 .⊥⇒ ==°
Lại có:
22
AC AB AD 2a SA AC tan 60 2a 3.
= + = ⇒ = °=
Khi đó
22
22
22
SB SA AB a 13
SD SA AD a 15
SC SA AC 4a.
= +=
= +=
= +=
Do
( ) ( )
( )
CB SA
CB SAB SC; SAB CSB.
CB AB
⊥
⇒⊥ ⇒ =
⊥
Mặt khác
SB 13
cosCSB .
SC 4
= =
Tương tự
(
)
( )
( )
CD SAD SC; SAD CSD⊥⇒ =
và
SD 15
cosSCD .
SC 4
= =
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a,
( )
BD a 3,SA ABCD .= ⊥
Biết SC tạo với đáy một góc
60°
. Tính tan góc tạo bởi:
a) SC và mặt phẳng (SAB).
b) SD và mặt phẳng (SAC).
Lời giải
a) Ta có:
AC BD⊥
tại O. Khi đó
OA OC,OB OD.= =
Xét tam giác vuông OAB ta có:
OB 3
sin OAB
AB 2
= =
OAB 60 ABC⇒ = °⇒∆
đều cạnh a.
Mặt khác
( ) ( )
( )
SA ABCD SC; ABCD SCA 60 .⊥⇒ ==°
Suy ra
SA AC tan 60 a 3.= °=
Dựng
( ) (
)
( )
CH AB CH SAB SC; SAB CSH.⊥⇒⊥ ⇒ =
Do
ABC∆
đều cạnh a nên H là trung điểm của AB.
Ta có:
a 3 CH
CH tan CSH
2 SH
=⇒=
trong đó
22
a 13
SH SA AH .
2
= +=
Do đó
3 39
tan CSH .
13
13
= =
b) Ta có:
( )
(
)
DO AC
SD; SAC DSO
DO SA
⊥
⇒=
⊥
và
OD
tan DSO .
SO
=
Trong đó
22
a 3 a 13 39
OD ;SO SA OA tan DSO .
2 2 13
= = += ⇒ =
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt
đáy là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
HB 2HA= −
 
. Biết
AB 3,AD 6= =
và
SH 2=
. Tính tan góc tạo bởi:
a) SA và mặt phẳng (SHD).
b) SB và mặt phẳng (SHC).
Lời giải
a) Ta có:
22
22
SA SH AH 5
AH 1, HB 2
SB SH HB 2 2
= +=
= = ⇒
= +=
Dựng
( ) ( )
( )
AE DH AE SHD SA; SHD =ASE⊥⇒⊥ ⇒
Mặt khác
22
AH.AD 6
AE
37
AH AD
= =
+
Suy ra
AE 6
tan .
SA
185
ASE = =
b) Dựng
( )
BF HC BF SHC .⊥ ⇒⊥
Khi đó
( )
( )
SB; SHC BSF=
,
22
BH.BC 3 10
BF .
5
BH BC
= =
+
Ta có:
(
)
(
)
BF 3 5
tan SB; SHC tan BSF .
SB 10
= = =
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ
ABCD.A B C D
′′′′
có đáy ABCD là hình chữ nhật có
AB 2a, AD 2a 3= =
, hình
chiếu vuông góc của
A
′
lên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD, biết cạnh bên
AA
′
tạo với đáy một góc
60°
. Tính cosin góc tạo với
AC
′
và mặt phẳng
( )
A BD .
′
Lời giải
Ta có:
22
AC AB BC 4a OA 2a OC.= + =⇒==
Do
( ) ( )
( )
A O ABCD A O; ABCD A AO 60 .
′ ′′
⊥⇒ ==°
A O OA tan 60 2a 3
′
⇒ = °=
Dựng
(
)
CH BD CH A BD
′
⊥⇒⊥
( )
( )
AC; ABD CAH.
′′ ′
⇒=
Ta có:
22
BC.CD
CH a 3.
BC CD
= =
+
2 2 22
A C OA OC 12a 4a 4a.
′′
= + = +=
Suy ra
2 2 22
A H A C HC 16a 3a 13
cosCA H .
AC AC 4a 4
′′
−−
′
= = = =
′′
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng
ABC.A B C
′′′
có đáy là tam giác đều cạnh a. Tính góc tạo bởi
AC
′
và mặt
phẳng
(
)
ABB A
′′
biết
a2
AA .
2
′
=
Lời giải
Dựng
a3
CH AB CH .
2
⊥⇒=
Do
( ) ( )
( )
CH AB
CH ABB A A C; ABB A CA H.
CH AA
⊥
′′ ′ ′′ ′
⇒⊥ ⇒ =
′
⊥
Lại có:
2
2
22
a a a3
A H AA AH .
22 4

′′
= +=+ =


Do đó
CH
tanCA H 1 CA H 45 .
AH
′′
==⇒=°
′
Vậy
( )
( )
AC; ABBA CAH 45 .
′ ′′ ′
= = °
Dạng 3: Góc giữa đường cao và mặt bên
Tìm góc giữa đường cao SH và mặt phẳng (SAB).
Dựng
HE AB, HF SE.
⊥⊥
Ta có:
( )
AB SH AB SHE AB HF.⊥⇒⊥ ⇒⊥
Mặt khác
( )
HF SE HF SAB F⊥⇒⊥ ⇒
là hình chiếu vuông góc của H
trên mặt phẳng (SAB).
Vậy
( )
(
)
SH;SAB HF;SF HSF.= =
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Cạnh bên
SA a 3=
và vuông góc
với đáy. Tính góc giữa SA và mặt phẳng (SBC).
Lời giải
Từ A kẻ AK vuông góc với BC tại K.
Ta có :
SA BC⊥
và
( )
AK BC BC SAK .⊥⇒⊥
Kẻ
AH SK,H SK⊥∈
. Mà
BC AH.⊥
Suy ra
(
) ( )
( )
AH SBC SA; SBC ASH ASK.⊥⇒ ==
Tam giác SAK vuông tại A, có
SAAKa3.= =
⇒
tam giác SAK vuông cân tại A nên
ASK 45 .= °
Vậy
( )
( )
SA; SBC 45 .= °
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có
AB a, AD 2a,SA 2a
= = =
và
(
)
SA ABCD⊥
.
Tính tan góc giữa SA và các mặt phẳng (SBC), (SBD) và (SCD).
Lời giải
Do
(
)
BC AB
BC SAB .
BC SA
⊥
⇒⊥
⊥
Dựng
( )
AM SB AM SBC⊥⇒ ⊥ ⇒
M là hình chiếu vuông góc của A
trên (SBC).
Khi đó:
( )
( )
SA; SBC ASM ASB .= = = α
Do đó
AB 1
tan .
SA 2
α= =
Tương tự ta có:
( )
( )
SA; SCD ASD= = β
và
AD
tan 1.
SA
β= =
Dựng
AE BD, AF SE⊥⊥
ta có:
( )
BD AE
BD SAE BD AF.
BD SA
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
Mặt khác
( ) ( )
( )
AF SE AF SBD SA; SBD ASF ASE.⊥⇒⊥ ⇒ = =
Khi đó
AE
tan ASE
SA
=
, trong đó
22
AB.AD 2a AE 1
AE tan ASE .
SA
55
AB AD
= =⇒==
+
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có
AD 2AB 2CD 2a= = =
và
( )
SA ABCD⊥
. Biết rằng SC tạo với đáy một góc
60°
. Tính tan góc giữa SA và các mặt phẳng (SBC),
(SCD) và (SBD).
Lời giải
Ta có:
22
AC AB BC a 2= +=
Do
( ) ( )
( )
SA ABCD SC; ABCD SCA 60 .⊥⇒ ==°
Suy ra
SA AC tan 60 a 6.= °=
Dựng
AM SB⊥
có
BC SA
BC AM.
BC AB
⊥
⇒⊥
⊥
Do đó
( )
AM SBC⊥⇒
M là hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC).
Suy ra
( )
(
)
SA; SBC ASM ASB.
= =
Ta có:
AB a 1
tan ASB .
SA
a6 6
= = =
Gọi I là trung điểm của AD
⇒
ABCI là hình vuông cạnh a
AD
CI a ACD
2
⇒ = = ⇒∆
vuông tại C. Khi
đó
( )
CD SA
CD SAC .
CD AC
⊥
⇒⊥
⊥
Dựng
( )
( )
AN SC SA; SCD ASN ASC.⊥⇒ = =
Ta có:
AC a 2 1
tan ASC .
SA
a6 3
= = =
Dựng
( )
( )
AE BD
SA; SBD ASF ASE.
AF SE
⊥
⇒==
⊥
Mặt khác
22
AB.AD 2a AE 30
AE tan ASE .
SA 15
5
AB AD
= =⇒==
+
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là nửa lục giác đều cạnh a,
AD 2a=
. Biết
( )
SA ABCD⊥
và
đường thẳng SB tạo với đáy một góc 60°.
a) Tính tan góc tạo bởi SA và (SBC).
b) Tính góc tạo bởi SA và (SCD).
Lời giải
a) Gọi O là trung điểm của AD
⇒
OABC là hình thoi cạnh a
1
CO a AD ACD
2
⇒ = = ⇒∆
vuông tại C.
Do
( ) ( )
( )
SA ABCD SB; ABCD SBA 60 .⊥⇒ ==°
SA AB tan 60 a 3⇒ = °=
,
22
AC AD CD a 3.= −=
Dựng
AE BC⊥
,
( )
( )
AF SE SA; SBC ASF ASE.⊥⇒ = =
Do
ABE 120 ABE 60 .= °⇒ = °
Mặt khác
a3
AE ABsin ABE ABsin 60 .
2
= = °=
Suy ra
( )
( )
AE 1
tan SA; SBC tan ASE .
SA 2
= = =
b) Do
( )
CD SA
CD SAC .
CD AC
⊥
⇒⊥
⊥
Dựng
( )
AK SC AK SCD⊥⇒ ⊥
Khi đó
(
)
(
)
SA; SCD ASK ASC .= = = ϕ
Ta có:
AC a 3
tan 1 45 .
SA
a3
ϕ= = = ⇒ϕ= °
Vậy
( )
( )
SA; SCD 45 .= °
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ
ABC.A B C
′′′
có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của
B
′
lên
mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB, đường cao
3a
BH
4
′
=
. Tính cosin góc giữa đường
thẳng
BH
′
và mặt phẳng
( )
BCC B
′′
.
Lời giải
Dựng
HE BC,HF B E
′
⊥⊥
ta có:
BC B H
BC HE
′
⊥
⊥
suy ra
( )
( )
( )
BC HF HF B BCC B H; BCC B
′ ′ ′ ′′
⊥⇒⊥ ⇒
HB F HB E.
′′
= =
Ta có:
a a3
HE HBsin HBE sin 60
24
= = °=
Do đó
22
BH BH 3
cos HB E .
BE 2
B H HE
′′
′
= = =
′
′
+
Dạng 4: Góc giữa cạnh bên và mặt bên
Tính góc giữa cạnh bên SC và mặt phẳng (SAB). Đặt
( )
( )
( )
SC; SAB 0 90 .=ϕ °≤ϕ≤ °
Ta có công thức:
( )
( )
d C; SAB
sin .
SC
ϕ=
Từ đó suy ra các giá trị
cos
ϕ
hoặc
tan ϕ
nếu đề bài yêu cầu.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có
AD 2a, AB a 2
= =
. Tam giác SAD
cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng SB tạo với đáy một góc
30°
. Tính sin góc
tạo bởi:
a) SA và mặt phẳng (SBC).
b) SD và mặt phẳng (SAC).
Lời giải
Gọi H là trung điểm của AD ta có:
SH AD⊥
Lại có:
( )
( ) ( )
SAD ABCD SH ABCD .⊥ ⇒⊥
Ta có:
22
HA a;HB HA AB a 3= = +=
Do
( ) ( )
( )
SH ABCD SB; ABCD SBH 30
⊥⇒ ==°
Suy ra
SH HB tan 30 a.= °=
a) Do
( )
AD / /BC AD / / SBC .⇒
Do vậy
( )
( )
(
)
( )
d A; SBC d H; SBC .=
Dựng
HE BC
HF SE
⊥
⊥
tacó:
BC HF⊥
từ đó suy ra
(
)
HF SBC⊥
(
)
( )
( )
( )
d H; SBC HF d A; SBC .
⇒==
Ta có:
22
SA SH SA a 2 SD.= +==
Mặt khác:
( )
( )
( )
( )
222
d A; SBC
1 1 1 a6 3
HF sin SA; SBC .
HF SH HE 3 SA 3
= + ⇒= ⇒ = =
b) Dựng
(
)
HN AC AC SHN⊥⇒⊥
, dựng
( )
HI SN HI SAC⊥ ⇒⊥
Do
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
( )
d D; SAC
DA
2 d D; SAC 2d H; SAC 2HI
HA
d H; SAC
==⇒= =
Dựng
(
)
( )
22
2a 2 a HN.SH a
DM AC DM HN HI d D; SAC a.
2
63
HN SH
⊥ ⇒ = ⇒ = ⇒= =⇒ =
+
Ta có:
( )
(
)
( )
( )
d D; SAC
a1
sin SD; SAC .
SD
a2 2
= = =
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có
AB a 3;AD a= =
, tam giác SBD là
tam giác vuông cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sin góc tạo bởi SA
và mặt phẳng (SBC).
Lời giải
Gọi O là trung điểm của BD ta có:
SO BC⊥
mặt khác
( ) (
) ( )
SBD ABC SO ABC
⊥ ⇒⊥
Ta có:
22
1
BD AB AD 2a SO BD a.
2
= + =⇒= =
Dựng
( )
OE BC,OF SE OF SBC .⊥ ⊥⇒⊥
( )
( )
( )
( )
d D; SBC 2d O; SBC 2HF= =
Ta có:
1 a3
HE AB
22
= =
22
SH.OE 3 a 21
OF a
77
SH OE
⇒= = =
+
Suy ra
( )
( )
2a 21
d A; SBC .
7
=
Mặt khác
22
SA SO OA a 2.= +=
Do đó
(
)
( )
( )
( )
d A; SBC
42
sin SA; SBC .
SA 7
= =
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ
ABC.A B C
′′′
có đáy là tam giác vuông tại A với
AB a;AC a 3= =
, hình chiếu
vuông góc của
A
′
lên mặt đáy trùng với trung điểm H của BC. Biết
AH a 2
′
=
. Tính cosin góc tạo bởi
AB
′
với mặt phẳng
(
)
ACC A
′′
.
Lời giải
Dựng
HE AC
⊥
và
HF A E
′
⊥
Ta có:
( )
AC A H
AC HF HF AA C .
AC HE
′
⊥
′
⇒⊥⇒⊥
⊥
Khi đó
( )
( )
d H; A AC HF.
′
=
Lại có
BC 2HC=
nên
(
)
( )
(
)
( )
d B; AA C 2d H; AA C .
′′
=
Mặt khác ME là đường trung bình trong tam giác ABC
nên
AB a
ME .
22
= =
Khi đó:
22
HE.A M a 2
HF
3
HE A M
′
= =
′
+
Suy ra
( )
( )
22
2a 2
d B; AA C ; BC AB AC 2a.
3
′
= = +=
Lại có
22
AB AH HB a 3.
′′
= +=
Suy ra
( )
( )
( )
( )
2
d B; A AC
2 6 57
sin A B; A AC sin cos 1 sin .
BA 9 9
′
′′
= ϕ= = ⇒ ϕ= − ϕ=
′
Vấn đề 3: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
■ Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng
đó.
■ Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng
Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (P); (Q).
Lấy
( )
A mp Q∈
, dựng
(
)
AB mp P
⊥
( )
( )
B P.∈
Vẽ BH vuông góc với d thì AH vuông góc d.
Vậy
AHB = α
( )
0 90<α< °
là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
■ Định lý: Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (P) và
S
′
là diện tích hình chiếu
H
′
của H
trên mặt phẳng
( )
P
′
thì
S Scos
′
= ϕ
, trong đó
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng (P) và
( )
P
′
.
Dạng 1: Góc giữa mặt bên và mặt đáy
Phương pháp giải:
Tính góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng đáy (ABC).
Dựng đường cao
( )
SH ABC
⊥
, dựng
HE AB.⊥
Khi đó
( ) ( )
( )
( )
AB SEH SAB ; ABC SEH.⊥⇒ =
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có
( )
SA ABCD⊥
, đáy là hình chữ nhật ABCD với
AB a;AD a 3.
= =
Biết rằng mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc
60 .°
a) Tính cosin góc tạo bởi mặt phẳng (SBC) và mặt đáy (ABCD).
b) Tính tan góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt đáy (ABCD).
Lời giải
a) Do
( )
CD SA
CD SDA
CD D
⊥
⇒⊥
⊥
do đó góc giữa mặt phẳng (SCD) và đáy là
SDA 60= °
Suy ra
SA AD tan 60 3a.= °=
Do
( ) (
) ( )
(
)
BC SA
BC SBA SBC ; ABC SBA
BC AB
⊥
⇒⊥ ⇒ =
⊥
Mặt khác
2 2 22
AB AB a 1
cosSBA .
SB
10
SA AB 9a a
= = = =
++
Vậy
( ) ( )
( )
1
cos SBC ; ABC .
10
=
b) Dựng
( )
( ) ( )
( )
AH BD BD SHA ABD ; ABC SHA⊥⇒⊥ ⇒ =
Lại có:
22
AB.AD a 3
AH .
2
AB AD
= =
+
Suy ra
( ) ( )
( )
SA
tan SBD ; ABCD tan SHA 2 3.
AH
= = =
Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B có
AB a 3;BC a= =
, tam giác SAC
là tam giác cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết đường thẳng SB tạo với đáy một góc
60°
.
Tính góc
( ) ( )
( )
SBC ; ABC .
Lời giải
Gọi H là trung điểm của AC, do tam giác SAC cân nên ta có:
SH AC.⊥
Mặt khác
( ) ( )
SAC ABCD⊥
nên
( )
SH ABC .⊥
Khi đó:
( )
( )
SB; ABC SBH 60 .= = °
Ta có:
22
1
AC AB BC 2a BH AC a.
2
= + =⇒= =
Khi đó:
SH a tan 60 a 3.= °=
Dựng
( )
HK BC BC SHK .⊥⇒⊥
( ) ( )
( )
SKH SBC ; ABC⇒=
, trong đó ta có:
AB a 3
HK ;
22
= =
1
SH a 3 cosSKH .
5
=⇒=
Vậy
( ) ( )
( )
SBC ; ABC = ϕ
với
1
cos .
5
ϕ=
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có
AB 2a=
và góc
BAD 120= °
. Hình chiếu
vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với giao điểm I của hai đường chéo và
a
SI
2
=
. Tính
góc tạo bởi mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD).
Lời giải
Gọi
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD). Gọi H
là hình chiếu vuông góc của I trên AB.
Ta có:
( )
AB HI
AB SHI .
AB SI
⊥
⇒⊥
⊥
Do đó
( )
SH;IH SHI.ϕ= =
Do
BAD 120 BAI 60 ABC= °⇒ = °⇒∆
đều cạnh 2a nên
a3
IA a IH IA sin IAB IA sin 60 .
2
= ⇒ = = °=
Do đó
SI 1
tan 30 .
IH
3
ϕ= = ⇒ϕ= °
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có
AD 2a
=
và
ABBCa= =
. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng (SBC) tạo với đáy
(ABCD) một góc 60°. Tính tan góc tạo bởi mặt phẳng (SCD) và (SBD) với mặt phẳng (ABCD).
Lời giải
Ta có:
(
)
BC AB
BC SBA .
BC SA
⊥
⇒⊥
⊥
Khi đó:
( ) ( )
( )
SBC ; ABCD SBA 60= = °
SA ABtan 60 a 3.⇒ = °=
Gọi I là trung điểm của AD
⇒
ABCI là hình vuông cạnh a
1
CI a AD ACD
2
⇒ = = ⇒∆
vuông tại C.
Ta có:
( )
CD AC
CD SCA .
CD SA
⊥
⇒⊥
⊥
Do đó
( ) ( )
( )
( )
SCD ; ABCD SC;AC SCA= =
và
22
SA a 3 3 6
tan SCA .
AC 2 2
AB BC
= = = =
+
Dựng
AE BD⊥
, lại có
( ) ( ) ( )
( )
BD SA BD SEA SBD ; ABCD SEA.⊥⇒ ⊥ ⇒ =
Ta có:
22
AB.AD 2a SA 15
AE tan SEA .
AE 2
5
AB AD
= =⇒==
+
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ
ABC.A B C
′′′
có đáy là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của
A
′
lên
mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng
AC
′
và mặt đáy (ABC) bằng
60°
.
Tính cosin góc giữa mặt phẳng
( )
A AC
′
và mặt đáy (ABC).
Lời giải
Gọi H là trung điểm cạnh AB ta có:
( )
A H ABC
′
⊥
Do đó
A CH 60 .
′
= °
Lại có:
CH ACsin 60 a 3= °=
A H CH tan 60 3a.
′
⇒ = °=
Dựng
HK AC⊥
ta có
( )
A H AC A HK AC.
′′
⊥⇒ ⊥
Khi đó:
a3
HK HAsin 60 .
2
= °=
Ta có:
22
HK 1
cosA KH 0.
13
HK A H
′
= = >
′
+
Do vậy
( ) ( )
( )
1
cos A AC ; ABC .
13
′
=
Dạng 2: Góc giữa hai mặt bên
Phương pháp giải:
Tính góc giữa hai mặt bên (SAC) và (SBC).
Cách 1: Tính góc giữa 2 đường thẳng a và b lần lượt vuông góc với
mặt phẳng (SAC) và (SBC).
Cách 2: Dựng đường cao
( )
SH ABC .⊥
Lấy điểm M bất kỳ thuộc AC, dựng
MN HC.
⊥
Lại có:
( )
MN SH MN SHC MN SC.⊥⇒⊥ ⇒⊥
Dựng
( )
MK SC SC MKN⊥⇒⊥
( ) ( )
( )
( )
SAC ; SBC MK,KN .⇒=
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vuông tại B có
AB a, BC a 3= =
. Biết
a6
SA
2
=
, tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
Lời giải
Dựng
(
)
BH AC BH SAC BH SC.⊥⇒⊥ ⇒⊥
Dựng
( )
BH SC HKB SC⊥⇒ ⊥
( ) ( )
( )
SBC ; SAC HKB.⇒=
Ta có:
22 22
a2
SA SB AB ;AC AB BC 2a.
2
= −= = −=
Khi đó
22
HK SA SA 1 a
sin KCH HK .
HC SC 3 3
SA AC
= == =⇒=
+
Mặt khác:
BA.BC a 3 BH
BH tan HKB 3
AC 2 HK
==⇒==
HKB 60 .
⇒=°
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng
60°
.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có
ABC 60= °
,
( )
SA ABC⊥
và
SA a=
. Tính cosin góc giữa:
a) (SBC) và (SCD).
b) (SBC) và (SCD).
Lời giải
a) Nhận xét
ABC
∆
là tam giác đều cạnh a vì
ABBCa
= =
và
ABC 60= °
. Gọi O là tâm của hình thoi ABCD.
Ta có:
(
)
BD AC
BD SAC BD SC.
BD SA
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
Dựng
( )
BE SC SC BED .⊥⇒⊥
Mặt khác:
SA AC a SAC
= = ⇒∆
vuông cân tại A suy ra
ECO 45= °
. Khi đó
a2
OE OCsin 45 .
4
= °=
Lại có:
a 3 OB
OB tan BEO 6.
2 OE
=⇒==
Do
BED 2BEO=
sử dụng công thức lượng giác hoặc máy tính CASIO ta tính được
5
cos BED
7
−
=
.
Cách khác: Ta có:
222
22
14 EB ED BD 5
BE DE OE OB cos BED .
4 2.EB.ED 7
+− −
== +=⇒ = =
Suy ra
(
)
( )
( )
5
SBC ; SCD .
7
=
b) Dựng
CM AD⊥
ta có:
( )
CM AD
CM SAD CM SD.
CM SA
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
Dựng
( )
CK SD SD MKC .⊥⇒⊥
Tam giác ACD đều cạnh a nên
a3
CM
2
=
. Do
SA AD a SAD= = ⇒∆
vuông cân tại A suy ra
SDM 45= °
. Do đó
a2
MK MDsin 45 .
4
= °=
Suy ra
CM 1
tan MKC 6 cos MKC .
MK
7
==⇒=
Vậy
( )
( )
( )
1
cos SCD ; SAD .
7
=
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh a với
AD 2a=
, biết rằng
( )
SA ABCD⊥
và mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc
45°
. Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SCD) và
(SBC).
Lời giải
Do
AD 2a
=
nên tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường
kính
AD 2a=
Ta có:
(
)
AC CD
CD SAC
CD SA
⊥
⇒⊥
⊥
Suy ra
( ) ( )
( )
SCD ; ABCD SCA 45= = °
22
SA AC 4a a a 3⇒ = = −=
Dựng
( )
AE SC AE SCD⊥⇒ ⊥
Dựng
( )
AH BC
AF SBC
AF SH
⊥
⇒⊥
⊥
, góc giữa 2 mặt phẳng (SCD) và (SBC) là góc giữa AE và AF.
Tacó:
22
SA.AC a 6
AE
2
SA AC
= =
+
;
a3
AH ACsin 30 .
2
= °=
Suy ra
22
SA.AH a 3
AF
5
SA AH
= =
+
, do
(
)
AF SBC AF FE⊥ ⇒⊥
. Do đó
AF 10
cos FAE .
AE 5
= =
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB a;AD a 3= =
, cạnh bên
( )
SA ABCD⊥
. Biết mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy một góc
60°
. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (SCD).
Lời giải
Do
( )
SA ABCD⊥
và
( )
BC AB BC SBA⊥⇒⊥
Do đó
( ) ( )
( )
SBC ; ABC SBA 60 ;AC 2a= =°=
SA ABsin 60 a 3.⇒ = °=
Dựng
DE AC⊥
( )
E BC∈
tại I, mặt khác
( )
DE SA DE SAC DE SC⊥⇒⊥ ⇒⊥
. Dựng
IH SC⊥
( )
SC EHD⇒⊥
. Ta có:
DI DCsin ICD=
trong đó
tan ICD 3 ICD 60 .=⇒=°
Suy ra
2
a 3 DC 2a
DI a sin 60 ;DE .
2 DI
3
= °= = =
a3 a SA 3 a3
IE DE DI CI EI.DI ;sin ICH IH ICsin IHC
6 2 SC
7 27
⇒= −= ⇒= = = = ⇒= =
Suy ra
22
2a a 42
EH EI IH ;ED .
7
21
= += =
Do đó
( ) ( )
( )
2 22
EH HD ED 2 2
cos EHD 0 cos SBC ; SCD .
2.EH.HD 4 4
+− −
= = <⇒ =
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết
( )
SA ABCD⊥
, tính độ dài
đoạn thẳng SA để góc giữa mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng
60°
.
Lời giải
Ta có:
( )
BD AC
BD SAC BD SC.
BD SA
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
Kẻ
( )
BI SC SC BID .
⊥⇒⊥
Vậy
( ) ( )
( )
( )
SBC ; SCD BI; ID 60 .= = °
Dễ thấy
OI SC
.
1
BIO BID
2
⊥
=
■ Trường hợp 1:
BID 60 BIO 30 .= °⇒ = °
Ta có:
BO a 6 a 2
tan BIO tan 30 OI OC
IO 2 2
= = °⇒ = > =
(vô lý).
(OI là cạnh góc vuông, OC là cạnh huyền của tam giác vuông OIC).
■ Trường hợp 2:
BID 120 BIO 60 .= °⇒ = °
Ta có:
BO a 6
tan BIO tan 60 OI .
IO 6
= = °⇒ =
Mặt khác:
OI 3 1
sin ICO tan ICO SA AC tan ICO a.
OC 3
2
= =⇒ =⇒= =
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh a với
AB 2a=
, biết rằng
( )
SA ABCD⊥
và
SA a 3=
. Tính tan góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD).
Lời giải
Do ABCD là nửa lục giác đều cạnh a với
AB 2a= ⇒
ABCD nội tiếp đường
tròn đường kính AB. Do đó
ABD 90 .= °
Gọi
( ) ( )
I AB CD SI SAB SCD .= ∩ ⇒= ∩
Do
( )
AI BD
BD SAI BD SI.
BD SA
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
Dựng
( )
BK SI SI BKD .⊥⇒⊥
Khi đó
( ) ( )
( )
( )
SAB ; SCD BK; KD BKD.= =
Do
( )
BD SAI BD BK KBD⊥ ⇒ ⊥ ⇒∆
vuông tại B có
22
BD AD AB a 3.= −=
Do
BC / /AD
1
BC AD
2
⇒
=
BC là đường trung bình trong tam giác
AID AB BI⇒=
và
AI 2a
=
( )
22
1 1 SA.AI a 21 BD
BK d A;SI . tan BKD 7.
2 2 7 BK
SA AI
⇒= = = ⇒ = =
+
Dạng 3: Sử dụng định lý hình chiếu để tính góc giữa hai mặt phẳng
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a,
( )
SA ABC⊥
. Trên cạnh SA lấy điểm M sao
cho diện tích tam giác MBC bằng
2
a3
2
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBC) và (ABC).
Lời giải
Ta có:
2
ABC
a3
S
4
=
. Gọi
( ) ( )
( )
MBC ; ABC
ϕ=
Do
ABC∆
là hình chiếu của tam giác MBC trên mặt phẳng (ABC) do đó
2
ABC
2
MBC
a3
S
1
4
cos 60 .
S2
a3
2
ϕ= = = ⇒ϕ= °
Ví dụ 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a,
( )
SA ABCD⊥
. Gọi N là trung điểm của
SA, mặt phẳng (NCD) cắt khối chóp theo một thiết diện có diện tích
2
S 2a 3
=
. Tính góc giữa mặt phẳng
(NDC) và mặt phẳng (ABCD).
Lời giải
Đặt
( )
( )
( )
NCD ; ABCD .ϕ=
Do
( )
CD / /AB NCD⇒
cắt (SAB) theo thiết diện
NM / /AB ⇒
MN là
đường trung bình của tam giác SAB.
Khi đó thiết diện là tứ giác MNDC.
Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (ABCD) thì
H là trung điểm của AB và
2
ABCD
a 2a
S .2a 3a .
2
+
= =
Do tứ giác HADC là hình chiếu của tứ giác MNDC trên
mặt phẳng (ABCD)
2
AHCD
2
NMCD
S
3a 3
cos .
S2
2a 3
⇒ ϕ= = =
Do đó
30 .ϕ= °
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng
ABC.A B C
′′′
có đáy ABC là tam giác cân với
AB AC a
= =
,
BAC 120= °
,
cạnh bên
BB a
′
=
, gọi I là trung điểm của
CC
′
. Chứng minh rằng tam giác
AB I
′
vuông tại A và tính cosin
góc giữa hai mặt phẳng
(
)
AB I
′
và (ABC).
Lời giải
Ta có:
22
BC B C AB AC 2AB.ACcos BAC a 3.
′′
== +− =
Mặt khác
22
22
22
AB AB BB a 2
a5
AI AC CI .
2
a 13
BI BC CI
2
′′
= +=
= +=
′ ′′ ′
= +=
Do
2
22
13a
AB AI B I B AI
4
′′ ′
+ = = ⇒∆
vuông tại A.
Ta có:
2
AB I
1 a 10
S AB .AI .
24
′
′
= =
( ) ( )
(
)
2
ABC
ABC
AB I
S
1 a 3 30
S AB.ACsin BAC cos AB I ; ABC .
2 4 S 10
′
′
==⇒==
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng
ABCD.A B C D
′′′′
có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao
AA 6a
′
=
.
Trên
CC
′
lấy điểm M, trên
DD
′
lấy điểm N sao cho
CM 2MC
=
và
DN 2ND
′
=
. Tính cosin góc giữa 2
mặt phẳng
( )
B MN
′
và (ABCD).
Lời giải
Gọi
(
) ( )
( )
B MN ; ABCD .
′
ϕ=
Ta có:
2
BCD
a
S ;D N 2a;C M 4a
2
′′
= = =
Lại có:
22
BD a 2 BN BD DN a 6
′′ ′ ′′ ′
=⇒= + =
22
BM BC CM a 17,
′ ′′ ′
= +=
(
)
2
2
MN a 2a a 5.=+=
Theo công thức Herong
(
)( )( )
S ppapbpc= −−−
Ta tính được:
BMN
21
S.
2
=
Do
BCD∆
là hình chiếu của
B MN
′
∆
trên mặt phẳng (ABCD) nên
BCD
B MN
S
1
cos .
S
21
′
ϕ= =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA 3a
=
vuông góc với mặt
phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của cạnh SD (tham khảo hình vẽ bên). Côsin góc
giữa hai đường thẳng AM và SC bằng
A.
5
.
5
B.
25
.
5
C.
3
.
5
D.
4
.
5
Câu 2: Cho hình lập phương
ABCD.A B C D
′′′′
cạnh a. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của AC và
BC
′′
(tham khảo hình vẽ bên). Côsin góc giữa hai
đường thẳng MN và
BD
′′
bằng
A.
10
.
5
B.
10
.
10
C.
5
.
10
D.
10
.
20
Câu 3: Cho tứ diện ABCD có
3
AC AD
2
=
,
CAB DAB 60= = °
,
CD AD
=
. Gọi
ϕ
là góc giữa hai đường
thẳng AB và CD. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
3
cos .
4
ϕ=
B.
60 .ϕ= °
C.
30 .ϕ= °
D.
1
cos .
4
ϕ=
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3. Cạnh SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và thể tích khối chóp S.ABCD bằng
93
. Gọi M là trung điểm của cạnh SB. Côsin của góc giữa
hai đường thẳng AM và CD bằng
A.
1
.
2
B.
3
.
2
C.
1
.
2
D.
1
.
3
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3. Cạnh
SA 3 3
=
và vuông góc
với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của cạnh SB. Côsin của góc giữa hai đường thẳng AM và SD bằng
A.
1
.
4
B.
1
.
3
C.
3
.
4
D.
2
.
3
Câu 6: Cho hình
ABC.A B C
′′′
có đáy ABC là tam giác vuông tại A với
AB 3, AC 3 3= =
. Hình chiếu
vuông góc của
A
′
trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC. Đường thẳng
AA
′
tạo với mặt
phẳng (ABC) một góc bằng
45°
. Côsin cùa góc giữa hai đường thẳng
BB
′
và
AC
′
bằng
A.
2
.
4
B.
2
.
5
C.
1
.
3
D.
1
.
4
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh
SA a 2=
và vuông góc với mặt
phẳng đáy. Trên cạnh SB lấy điểm M sao cho
SM 2BM=
. Côsin của góc giữa hai đường AM và CD bằng
A.
2
.
3
B.
6
.
3
C.
1
.
6
D.
2
.
6
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy, cạnh
SA a=
,
SB a 2=
. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Côsin của góc giữa
hai đường thẳng SO và CD bằng
A.
2
.
3
B.
2
.
33
C.
2
.
4
D.
2
.
6
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh
SA a 2
=
và vuông góc với mặt
phẳng đáy. Lấy hai điểm M, N sao cho
SM MB=
 
,
SN 2DN=
 
. Côsin của góc giữa hai đường MN và SC
bằng
A.
37
.
28
B.
7
.
14
C.
721
.
28
D.
3 21
.
14
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a, M là trung điểm cạnh AB, hình
chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là giao điểm của AC và DM. Biết tam giác SAD
vuông tại S. Cosin góc giữa DM và SC là:
A.
1
.
35
B.
2
.
35
C.
1
.
5
D.
2
.
5
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt
đáy trùng với trọng tâm G của tam giác ABD , mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc
60°
. Cosin góc giữa hai
đường thẳng SA và BG là:
A.
1
.
70
B.
97
.
162
C.
1
.
27
D.
1
.
47
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
2a,SA a,SB 3= =
và (SAB) vuông
góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Cosin của góc giữa 2 đường thẳng SM
và DN là:
A.
2
.
5
−
B.
2
.
5
C.
1
.
5
−
D.
1
.
5
GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,
( )
SA ABCD⊥
. Góc giữa SB và (SAD) là góc
nào trong các phương án dưới đây?
A.
BSA.
B.
SBA.
C.
BSD.
D.
SBD.
Câu 14: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau
đây đúng?
A. Góc giữa CD và (ABD) là góc
CDB
. B. Góc giữa AC và (BCD) là góc
ACB
.
C. Góc giữa CD và (ABC) là góc
DBC
. D. Góc giữa AC và (ABD) là góc
CAB
.
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O,
( )
SA ABCD⊥
. Góc giữa SA và (SBD) là
A.
SAB.
B.
ASB.
C.
ASO.
D.
ASD.
Câu 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)
trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Số đo của góc giữa SA và (ABC)
là
A.
60 .°
B.
75 .°
C.
45 .°
D.
30 .°
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,
( )
SA ABCD⊥
. Góc giữa SC và (SAB) là góc
nào dưới đây?
A.
CSA.
B.
CSB.
C.
SCA.
D.
SCB.
Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của
S trên (ABC). Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
B. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
C. H là trọng tâm tam giác ABC.
D. H là trực tâm tam giác ABC.
Câu 19: Cho hình chóp tam giác đều, các cạnh bên có độ dài bằng a và tạo với đáy một góc
60 .°
Tính chu
vi đáy P của hình chóp đó.
A.
P 3a.=
B.
3a
P.
2
=
C.
3a 3
P.
2
=
D.
P 3a 3.=
Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
( )
SA ABCD⊥
và
SA a 6=
. Gọi
α
là góc giữa SC và (ABCD). Tính
cosα
.
A.
3
cos .
2
α=
B.
3
cos .
3
α=
C.
2
cos .
2
α=
D.
1
cos .
2
α=
Câu 21: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông với cạnh huyền
BC a=
. Hình chiếu vuông
góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết
SB a=
. Số đo của góc giữa SA và (ABC) là
A.
30 .°
B.
45 .°
C.
60 .°
D.
75 .°
Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao
SH vuông góc với (ABCD). Gọi
α
là góc giữa BD và (SAD). Tính
sin α
.
A.
3
sin .
2
α=
B.
1
sin .
2
α=
C.
10
sin .
4
α=
D.
6
sin .
4
α=
Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và
( )
SA ABCD⊥
. Gọi I, J, K lần lượt là
trung điểm của AB, BC và SB. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa BD và (SAC) là
90 .°
B. Góc giữa BD và (SAB) là
DBA.
C. Góc giữa BD và (IJK) là
60 .°
D. Góc giữa BD và (SAD) là
BDA.
Câu 24: Cho hình chóp S.ABC có
(
)
SA ABC⊥
và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực
tâm các tam giác ABC và SBC. Số đo góc giữa HK và (SBC) là
A.
60 .°
B.
90 .°
C.
45 .°
D.
120 .°
Câu 25: Cho hình lập phương
ABCD.A B C D
′′′′
. Gọi
α
là góc giữa
AC
′
và (ABCD). Tính tan
α
.
A.
tan 1.α=
B.
1
tan .
2
α=
C.
2
tan .
3
α=
D.
1
tan .
3
α=
Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng
đáy,
SA a=
. Gọi
α
là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB). Khi đó,
tan α
nhận giá trị nào trong
các giá trị sau?
A.
tan 2.
α=
B.
tan 3.α=
C.
1
tan .
2
α=
D.
tan 1.
α=
Câu 27: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC. Biết
AB a
=
,
góc giữa MN và mặt phẳng đáy bằng
45°
. Tính SO.
A.
a 10
SO .
2
=
B.
a5
SO .
4
=
C.
a 10
SO .
4
=
D.
a5
SO .
2
=
Câu 28: Cho hình chóp S.ABC có
(
)
SA ABC
⊥
, tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực
tâm tam giác ABC và SBC. Tính số đo góc
α
giữa SC và (BHK).
A.
30 .α= °
B.
45 .α= °
C.
60 .α= °
D.
90 .
α= °
Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và hình chiếu vuông góc
của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD.
Tính giá trị
sin ϕ
của góc giữa SN và mặt phẳng (SCM).
A.
3
sin .
2
ϕ=
B.
3
sin .
5
ϕ=
C.
3
sin .
2
ϕ=
D.
3
sin .
5
ϕ=
Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và hình chiếu vuông góc
của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của AB. Tính giá trị
sin ϕ
của góc giữa SD và (SBC).
A.
3
sin .
2
ϕ=
B.
6
sin .
2
ϕ=
C.
3
sin .
4
ϕ=
D.
6
sin .
4
ϕ=
Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA a 3=
. Kẻ
AP SB⊥
,
AQ SD⊥
lần lượt tại P và Q. Gọi M là trung điểm của SD. Tính giá trị
cos
ϕ
của
góc giữa CM và (APQ).
A.
1
cos .
10
ϕ=
B.
3
cos .
10
ϕ=
C.
5
cos .
33
ϕ=
D.
2
cos .
6
ϕ=
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẢNG
Câu 32: Cho hai mặt phẳng cắt nhau
(
)
α
và
( )
β
, biết rằng có các đường thẳng thỏa mãn
( )
1
d ⊥α
,
( )
2
d ⊥β
,
( )
3
d // α
,
( )
4
d // β
. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A. Góc giữa
(
)
α
và
( )
β
là góc giữa
3
d
và
4
d
B. Góc giữa
( )
α
và
( )
β
là góc giữa
1
d
và
2
d
C. Góc giữa
( )
α
và
( )
β
là góc giữa
1
d
và
4
d
D. Góc giữa
( )
α
và
( )
β
là góc giữa
2
d
và
4
d
Câu 33: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC).
Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng góc nào dưới đây?
A.
CSA
B.
SBA
C.
SCA
D.
ASB
Câu 34: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a, cạnh bên
vuông góc
với mặt phẳng đáy (ABC). Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
A.
45°
B.
49 6
′
°
C.
40 53
′
°
D.
62 14
′
°
Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,
AC 2a
=
. Biết rằng cạnh bên
SA a=
vuông
góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).
A.
60°
B.
30°
C.
45°
D.
90°
Câu 36: Cho tam giác ABC không nằm trong mặt phẳng (P), giả sử góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng
(ABC) là
ϕ
,
90ϕ≠ °
. Gọi
A
′
,
B
′
,
C
′
lần lượt là hình chiếu vuông góc của ba điểm A, B, C lên mặt phẳng
(P). Khi đó, hệ thức nào sau đây là đúng?
A.
ABC A B C
S S .cos
′′′
= ϕ
B.
A B C ABC
S S .cos
′′′
= ϕ
C.
A B C ABC
S S .sin
′′′
= ϕ
D.
ABC A B C
S S .sin
′′′
= ϕ
Câu 37: Cho hình chóp S.ABC có
( )
SA ABC⊥
. Gọi
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC). Khẳng
định nào sau đây đúng?
A.
ABC SBC
S S .cos= ϕ
B.
ABC SBC
S S .sin
= ϕ
C.
ABC SAB
S S .cos= ϕ
D.
ABC SAC
S S .cos= ϕ
Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O,
( )
SA ABCD⊥
. Góc giữa hai mặt phẳng
(SBD) và (ABCD) là
A.
AOS
B.
ADS
C.
ABS
D.
BSO
Câu 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông,
( )
SA ABCD⊥
, gọi I, J lần lượt là trung điểm cạnh
AB, CD. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng góc giữa hai đường thẳng nào?
A. SA và SD B. SB và SC C. SB và SD D. SI và SJ
Câu 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông,
( )
SA ABCD⊥
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB)
và (SAD).
A.
30°
B.
60°
C.
90°
D.
45°
Câu 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
( )
SA ABCD⊥
và
SA a 3
=
. Tính góc giữa
hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
A.
30°
B.
60°
C.
90°
D.
45°
Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông,
( )
SA ABCD⊥
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD)
và (SAD).
A.
90°
B.
45°
C.
60°
D.
30°
Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O,
( )
SA ABCD⊥
. Gọi H là hình chiếu vuông
góc của O lên cạnh SC . Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng góc giữa hai đường thẳng nào sau
đây?
A. SB và SD B. BH và CH C. CH và DH D. BH và DH
Câu 44: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a. Tính tan
của góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp.
A.
22
B.
2
2
C.
2
D.
3
Câu 45: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính tang của góc giữa mặt bên và mặt phẳng
đáy của chóp.
A.
3
2
B.
2
2
C.
2
D.
3
Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
(ABCD). Biết rằng
AC 2a=
và
SA a 6=
. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD).
A.
60°
B.
50 46
′
°
C.
39 13
′
°
D.
30°
Câu 47: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh là 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy (ABCD). Biết rằng
BD 2a=
và
SA a 6=
. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).
A.
60°
B.
30°
C.
47 25
′
°
D.
90°
Câu 48: Cho hình lập phương
ABCD.A B C D
′′′′
, tính góc
ϕ
tạo bởi mặt phẳng
( )
A BD
′
với mặt phẳng
( )
ABCD .
′′′′
A.
54 44
′
ϕ≈ °
B.
60ϕ= °
C.
45ϕ= °
D.
35 15
′
ϕ≈ °
Câu 49: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng
a3
. Cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy (ABC). Tính góc
ϕ
tạo bởi mặt phẳng (SAB) và (SAC).
A.
30ϕ= °
B.
53 24
′
ϕ≈ °
C.
60ϕ= °
D.
64 27
′
ϕ≈ °
Câu 50: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, có cạnh bằng a và
ABC 60= °
. Cạnh bên
a6
SC
2
=
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Xác định độ lớn của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
A.
60°
B.
45°
C.
90°
D.
30°
Câu 51: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng hai lần cạnh đáy. Tính góc
ϕ
giữa mặt bên
và mặt đáy của hình chóp.
A.
75 2
′
ϕ≈ °
B.
73 53
′
ϕ≈ °
C.
75 31
′
ϕ≈ °
D.
72 14
′
ϕ≈ °
Câu 52: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hình chiếu của đỉnh S xuống mặt phẳng
(ABCD) trùng với trung điểm M của cạnh AB. Giả sử rằng tam giác SAB là tam giác đều, hãy tính góc
ϕ
tạo bởi mặt phẳng (SCD) với mặt phẳng (ABCD).
A.
45ϕ= °
B.
49 6
′
ϕ≈ °
C.
40 53
′
ϕ≈ °
D.
60ϕ= °
Câu 53: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có mặt bên tạo với đáy một góc bằng
30°
, biết rằng diện tích
xung quanh của hình chóp là
2
90cm
thì diện tích đáy của hình chóp gần bằng với giá trị nào dưới đây nhất?
A.
2
77cm
B.
2
72cm
C.
2
75cm
D.
2
78cm
Câu 54: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của SC. Tính
góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (SAC).
A.
60°
B.
45°
C.
90°
D.
30°
Câu 55: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật.
AB a=
,
AD 2a=
. Cạnh bên SA vuông góc
với đáy (ABCD),
SA 2a
=
. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).
A.
5
B.
2
5
C.
5
2
D.
1
5
Câu 56: Cho hình lăng trụ đứng
ABC.A B C
′′′
có đáy là tam giác vuông cân,
AB BC 2a= =
,
AB 4a
′
=
. Tính
góc
ϕ
tạo bởi hai mặt phẳng
( )
A BC
′
và
( )
ABC .
′′′
A.
30ϕ= °
B.
45ϕ= °
C.
53 35
′
ϕ≈ °
D.
60ϕ= °
Câu 57: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính độ lớn góc
ϕ
tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng
(ABC).
A.
60ϕ= °
B.
54 23
′
ϕ≈ °
C.
45ϕ= °
D.
63 26
′
ϕ≈ °
Câu 58: Cho hình lập phương
ABCD.A B C D
′′′′
có cạnh bằng a và M là trung điểm của
AA
′
. Góc giữa hai
mặt phẳng (ABCD) và (MBD) gần bằng góc nào dưới đây nhất?
A.
35°
B.
42
°
C.
50°
D.
60
°
Câu 59: Cho hình chóp S.ABCD có dường cao
SA a=
, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với
AB 2a=
,
AD DC a= =
. Tang góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng.
A. 1 B.
1
2
C.
1
3
D.
3
Câu 60: Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA, đáy là hình chữ nhật ABCD có
AB a 3
=
,
AD a=
. Độ
lớn góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng
A.
90
°
B.
60°
C.
45°
D.
30°
Câu 61: Cho hình chóp S.ABCD có đường cao
SA 3a=
, đáy là hình chữ nhật ABCD có
AB a 3=
,
AD a=
. Độ lớn góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (DBC) bằng
A.
90
°
B.
60°
C.
45
°
D.
30°
Câu 62: Cho tứ diện A.BCD có
BC a 2
=
,
a6
AD
2
=
và các cạnh còn lại bằng a. Độ lớn góc giữa hai mặt
phẳng (ABC) và (DBC) bằng
A.
90°
B.
60°
C.
45°
D.
30°
Câu 63: Cho hình chóp S.ABCD có đường cao
SA 3a=
, đáy là hình chữ nhật ABCD có
AB a 3=
,
AD a=
. Tang của góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABD) bằng
A.
1
3
B.
3
C.
23
D.
2
Câu 64: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
ϕ
(
)
0 90°<ϕ< °
. Tính tang của góc
α
giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo
ϕ
.
A.
tan tanα= ϕ
B.
tan 2 tanα= ϕ
C.
tan 3 tanα= ϕ
D.
1
tan tan
2
α= ϕ
Câu 65: Cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A B C D
′′′′
có
AA 4AB 2AD
′
= =
. Tính sin của góc tạo bởi hai mặt
phẳng
( )
A BD
′
với mặt phẳng (ABCD).
A.
25
B.
2 105
21
C.
21
21
D.
5
Câu 66: Một miếng bìa hình chữ nhật có chiều rộng là 30cm, chiều dài là 40cm, người ta gấp cạnh dài của
hình chữ nhật thành bốn phần bằng nhau và dán lại để tạo thành một hình hộp đứng
ABCD.A B C D
′′′′
. Tính
góc
ϕ
tạo bởi mặt chéo
(
)
ABC D
′′
và (ABCD).
A.
56 18
′
ϕ≈ °
B.
36 52
′
ϕ≈ °
C.
76 44
′
ϕ≈ °
D.
71 33
′
ϕ≈ °
Câu 67: Cho hình chóp S.ABC có
SA SB SC= =
,
ASB 120
= °
,
BSC 90= °
,
CSA 60= °
. Độ lớn góc giữa
hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng
A.
90°
B.
120°
C.
45°
D.
30°
Câu 68: Cho hình chóp S.ABC có
SA SB SC
= =
,
ASB 120= °
,
BSC 90= °
,
CSA 60= °
. Tan của góc giữa
hai mặt phẳng (ABC) và (SAC) bằng
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
2
D. 1
Câu 69: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a,
( )
SA ABCD⊥
và
SA x=
. Xác định
x để hai mặt phẳng (SCD) và (SBC) tạo với nhau một góc
60°
.
A. a B.
a3
C.
a2
D.
a
2
Câu 70: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a,
( )
SA ABCD⊥
và
SA x=
. Hai điểm
M và N thay đổi trên hai cạnh CB và CD, đặt
CM x=
,
CN y
=
. Xác định hệ thức liên hệ giữa x và y để
hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc
45°
.
A.
(
)
2
2a xy 2a x y+= +
B.
( )
2
2a xy a x y+= +
C.
( )
2
a xy 2a x y+= +
D.
(
)
2
a xy a x y+= +
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Gọi N là trung điểm của CD
MN / /SC.⇒
Do đó
( )
( )
AM;SC AM;MN AMN= =
Tam giác SAD vuông tại A, có
SD 2a
AM a.
22
= = =
Tam giác ADN vuông tại D, có
22
a5
AN AD ND .
2
= +=
Tam giác SAC vuông tại A, có
a5
SC a 5 MN .
2
=⇒=
2 22 2
AM MN AN a 5
cos AMN
2.AM.MN 5
a5
2a.
2
+−
⇒= ==
. Chọn A.
Câu 2: Gọi E là trung điểm của
( )
( )
C D NE / /B D MN; B D MN; NE MNE.
′′ ′′ ′′
→ ⇒ = =
Dễ thấy
1 a2
NE B D
22
′′
= =
; Gọi O là tâm hình vuông
( )
ABCD MO ABCD
′′′′ ′′′′
⇒⊥
Suy ra tam giác MNO vuông tại O, có
2
2 22
a a5
MN MO NO a .
22

= +=+ =


Tam giác MNE có
a5
MN ME
2
= =
,
a2
NE
2
=
22 2
MN NE ME 10
cos MNE .
2.MN.NE 10
+−
⇒= =
Chọn B.
Câu 3: Ta có
(
)
AB.CD AB.CD
cos AB; CD
AB.CD
AB . CD
= =
   
 
Mặt khác
( )
AB.CD AB AD AC AB.AD AB.AC= −= −
        
( )
( )
AB . AD cos AB.AD AB . AC .cos AB.AC= −
       
AB.AD.cos 60 AB.AC.cos 60= °− °
1 3 11 1
AB.AD. AB. AD. AB.AD AB.CD.
2 2 24 4
= − =−=−
Do đó
( )
1
AB.CD
1
4
cos AB; CD .
AB.CD 4
−
= =
Chọn D.
Câu 4:
( )
( )
CD / /AB AM; CD AM; AB MAB MBA⇒===
( )
AB
cos AM;CD cos MBA .
SB
⇒==
Theo bài
2
S.ABCD ABCD
11
V SA.S SA.3 9 3 SA 3 3
33
= = = ⇒=
( )
22
AB 1
SB SA AB 6 cos AM; CD .
SB 2
⇒= + =⇒ = =
Chọn A.
Câu 5: Ta có
(
)
1
AM AS AB
2
= +
  
và
SD AD AS= −
  
( )
(
)
2
1 1 27
AM.SD AS AB AD AS SA .
2 22
⇒ = + −=− =−
     
22
11
AM SB SA AB 3
22
== +=
;
22
SD SA AD 6= +=
( )
AM.SD
3
cos AM;SD .
AM.SD 4
⇒==
 
Chọn C.
Câu 6: Gọi H là trung điểm của cạnh BC
( )
A H ABC
′
⇒⊥
( )
( )
( )
AA ; ABC A AH 45
′′
⇒==°
HAA
′
⇒∆
vuông cân tại H
HA AH.
′
⇒=
Cạnh
22
BC
BC AB AC 6 HA AH 3.
2
′
= + =⇒===
Ta có:
22
AA AH 2 3 2
AC AH HC 3 2
′
= =
′′
= +=
( )
( )
cos BB ; A C cos AA ; A C cos AA C
′′ ′′ ′
⇒==
2 22
AA AC AC 1
.
2AA.AC 4
′′
+−
= =
′′
Chọn D.
Câu 7: Ta có
( )
( )
CD / /AB AM; CD AM; AB MAB⇒==
( )
22 2
AM AB BM
cos AM; CD cos MAB .
2AM.AB
+−
⇒==
Cạnh
22
11 a
BM SB SA AB .
33
3
== +=
Ta có
(
)
SM 2MB AM AS 2 AB AM= ⇒ −= −
     
2 2 22
3AM AS 2AB 9AM AS 4AB 6a⇒ =+⇒ =+ =
  
(
)
a6 6
AM cos AM; CD .
33
⇒= ⇒ =
Chọn B.
Câu 8: Cạnh
22
AB SA AB a 3.= +=
Kẻ
SH AB
⊥
( )
( )
H AB SH ABCD .∈ ⇒⊥
Cạnh
2
SA a 1
AH AH AB.
AB 3
3
= =⇒=
+)
11
SO HO HS AO AH HS AC AB HS
23
= −= − −= − −
        
( )
1 1 11
AB AD AB HS AB AD HS.
2 3 62
= + − −= + −
      
+)
22
11
CD AB SO.CD AB a .
62
=−⇒ =− =−
   
+)
22
2
1 1 AB AD
SO AB AD HS SO HS.
6 2 36 4
= + −⇒ = + +
   
+)
( )
2 22
SO.CD
1 11 2 2 2
SH a SO a cos SO;CD .
SH SA SB 3 3 SO.CD 6
= + ⇒= ⇒= ⇒ = =
 
Chọn D.
Câu 9: Ta có
SC AC AS AB AD AS.=−=+ −
     
+)
12
MN SN SM SB SD
23
=−= −
    
( ) ( )
1 2 121
AB AS AD AS AB AD AS
2 3 236
= −− −= − −
      
2 22 2
131 1
SC.MN AB AD SA a .
226 2
⇒ =−−=−
 
+)
2 2 22
SC SA AC 2a 2a 2a.= + = +=
+)
121
MN AB AD AS
236
=−+
   
( )
222 2
MN.SC
1 4 1 a7 37
MN AB AD SA MN cos MN;SC .
4 9 36 3 MN.SC 28
⇒ = + + ⇒= ⇒ = =
 
Chọn A.
Câu 10: Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có H là trọng tâm của tam giác ABD.
+) Đặt
SH x=
ta có:
AC
AC 3a 2 AH a 2
3
= ⇒==
+)
2
22 2
3a 3a 5
DM AD AM 9a
22

= +=+ =


+)
2
DH DM a 5
3
= =
suy ra
22 2
SA h 2a= +
,
22 2
SD h 5a
= +
,
22
AD 9a=
+) Do đó ta có:
22 2
SA SD AD h a+ = ⇒=
Ta dựng
HK / /SC
khi đó:
( )
( )
DM;SC DH; HK=
+) Ta có:
2 2 22
SC SH HC a 8a 3a HK a, DH a 5,
= + =+=⇒= =
Mặt khác:
2
22 2
2a 3 22
DK SD SK 6a a
33

= += + =



Do đó
( )
222
DH HK DK 2 2
cos DHK cos DM;SC .
2.DH.DK
35 35
+− −
= =⇒=
Chọn B.
Câu 11: Dựng
GE / /AD CE 2ED.⇒=
Khi đó
GE CD⊥
Mặt khác
SG CD SEG 60⊥⇒ =°
;
2 2a
GE AD
33
= =
Suy ra
2a 3
SG GE tan 60 h
3
= °= =
+) Trong mp(SAC) dựng
GK / / SA
+)
2
2
22
4a a 2 a 14
SA SG GA
33 3

= += + =



2 2a 14
GK SA
39
⇒= =
;
2
2
2 a a5
BG a .
3 43
= +=
Nhận xét
22
BO AC
BO OK BK BO OK
BO SG
⊥
⇒⊥⇒= +
⊥
+)
22
22
4a 8a 2a 5 2 4a 5 a 2
SC SG GC CK SC , OC
39 3 3 9 2
= + = + = ⇒= = =
+)
222 2 2 2
GC 2 97 89
cosSCG OK OC CK 2OC.CK cos GCK a BK a
SC 5 162 81
==⇒ =+− = ⇒=
+) Do đó
( )
222
GB GK BK 1
cos KGB cos SA; BG .
2GBGK
70
+−
= = =
Chọn A.
Câu 12: Kẻ
ME ND
, với
E AD∈
( )
( )
ND SMN SM; ND SME⇒ ⇒=
222 22
a5
ME AE AM ME AE AM .
2
= + ⇒= + =
Do
22 2
SA SB AB SAB+ = ⇒∆
vuông tại S
AB 2a
SM a.
22
⇒===
Kẻ
(
)
SH AB SH ABCD SH AD⊥⇒⊥ ⇒⊥
mà
AB AD.⊥
( )
22
a5
AD SAB SA AD SE SA AE
2
⇒ ⊥ ⇒⊥ ⇒= + =
+) Xét
SME∆
với
a5
ME
2
=
,
a5
SE
2
=
,
SM a=
, ta có
2 22 2
SM ME SE a 1
cosSME .
2.SM.ME
a5 5
2.a.
2
+−
= = =
Chọn D.
Câu 13: Ta có:
( )
SA ABCD SA AB
⊥ ⇒⊥
Mặt khác
( )
AB AD AB SAD .⊥⇒⊥
Do đó góc giữa SB và (SAD) là góc
BSA
. Chọn B.
Câu 14: Do
( )
AC AB
AC ABD .
AC AD
⊥
⇒⊥
⊥
Khi đó góc giữa CD và (ABD) là góc
CDA.
Tương tự
( )
AD ABC⊥⇒
góc giữa CD và (ABC) là
DCA.
( )
AC ABC
⊥⇒
góc giữa AC và (ABD) là góc
CAB 90 .= °
Khẳng định B sai (kẻ
( )
AH BCD⊥⇒
góc giữa AC và (BCD) là góc
ACH.
Chọn D.
Câu 15: Ta có ABCD là hình thoi nên:
AO BD⊥
Mặt khác
( )
SA ABCD SA BD⊥ ⇒⊥
Do đó
(
)
BD SOA .⊥
Dựng
(
)
AH SO
AH SO AH SBD
AH BD
⊥
⊥⇒ ⇒ ⊥
⊥
Khi đó góc giữa SA và (SBD) là
ASH ASO.=
Chọn C.
Câu 16: Do các tam giác ABC đều và SBC đều nên
SH BC⊥
;
AH BC⊥
và
a3
SH AH .
2
= =
Do
( )
SH ABC
⊥⇒
góc giữa SA và (ABC) là
SAH.
Mà
SH
tan SAH 1 SAH 45 .
AH
==⇒=°
Chọn C.
Câu 17: Do
( )
SA ABCD SA BC.⊥ ⇒⊥
Mặt khác ABCD là hình chữ nhật nên
BC AB⊥
Suy ra
(
)
BC SAB
⊥⇒
góc giữa SC và (SAB) là
CSB
.
Chọn B.
Câu 18: Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC).
Theo giả thiết ta có:
SAH ABH SCH= =
Khi đó
SAH SBH SCH HA HB HC.
∆ =∆ =∆ ⇒==
Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chọn B.
Câu 19: Gọi S.ABC là hình chóp tam giác đều thì hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC và cũng là trọng tâm tam giác ABC
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm của AC.
Khi đó
2 2 AB 3 AB 3
BH AM . .
3 32 3
= = =
Lại có:
a AB 3 a
SBH 60 BH SBcos 60
2 32
= °⇒ = °= ⇒ =
a3
AB
2
⇒= ⇒
chu vi đáy P của hình chóp đó là
3a 3
P 3AB
2
= =
. Chọn C.
Câu 20:
( ) ( )
(
)
SA ABCD SC; ABCD SCA.⊥⇒ =
Do ABCD là hình vuông cạnh a
AC a 2.⇒=
Tam giác SAC vuông tại S nên
22
SC SA AC 2a 2.= +=
Khi đó
AC 1
cos
SC 2
α= =
. Chọn D.
Câu 21: Gọi H là trung điểm của BC thì
( )
SH ABC
⊥
và
BC a
AH
22
= =
.
Lại có:
22
a a3
HB SH SB HB .
22
=⇒= − =
Góc giữa SA và (ABC) là
SAH
,
SH
tan SAH 3.
HA
= =
Do đó
SAH 60= °
. Chọn C.
Câu 22: Do SAB là tam giác đều nên H là trung điểm cạnh AB. Ta có:
SH AD
⊥
mà ABCD là hình vuông nên
( )
AD AB AD SBA .⊥⇒⊥
Trong tam giác đều SAB dựng đường cao BK
⇒
K là trung điểm của
SA.
Lại có:
( )
AD BK BK SAD BDK.
⊥ ⇒ ⊥ ⇒α=
Đặt
a3
AB a BD a 2; BK
2
=⇒= =
Do đó
BK a 3 6
sin : a 2
BD 2 4
α= = =
. Chọn D.
Câu 23: Do
( )
BD AC
BD SAC .
BD SA
⊥
⇒⊥
⊥
Do đó góc giữa BD và (SAC) là
90°
.
Mặt khác
IK / /SA
KJ / / SC
(tính chất đường trung bình)
Suy ra
( ) ( ) (
)
IJK / / SAC BD IJK .⇒⊥
Vậy góc giữa BD và (IJK) là
60°⇒
C sai. Chọn C.
Câu 24: Ta có
(
)
BC SA
BC SAH
BC AH
⊥
⇒⊥
⊥
Tương tự
(
)
BC SA
BC SAK
BC SK
⊥
⇒⊥ ⇒
⊥
4 điểm S, A, H, K đồng phẳng.
Lại có:
( )
BH SA
BH SAC BH SC.
BH AC
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
Khi đó
( )
BH SC
SC BHK SC HK.
BK SC
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
Mặt khác
( )
HK BC HK SBC⊥⇒ ⊥ ⇒
Số đo góc giữa HK và (SBC) là
90°
. Chọn B.
Câu 25: Do
( )
CC ABCD
′
⊥⇒
góc giữa
AC
′
và (ABCD) là góc
CC 1
C AC tan
AC
2
′
′
⇒ α= =
. Chọn B.
Câu 26: Do
( )
SA ABCD SA BC.⊥ ⇒⊥
Mặt khác ABCD là hình chữ nhật nên
BC AB⊥
Suy ra
( )
BC SAB⊥⇒
góc giữa SC và (SAB) là
CSB.
α=
.
Khi đó
22
BC BC a 1
tan
SB
a2 2
SA AB
α= = = =
+
. Chọn C.
Câu 27: Gọi O là tâm hình vuông ABCD thì
( )
SO ABCD .⊥
Gọi H là trung điểm của OC.
Do M, H lần lượt là trung điểm của SA, OC
⇒
MH là đường trung
bình trong
SAO MH / /SO∆⇒
( )
MH ABCD MNH 45⇒⊥ ⇒ =°
Lại có:
a2 3 3a2 a
AC HC AC ; CN .
2 48 2
= ⇒= = =
Do đó:
22
a 10
HN HC CN 2CH.CN.cos 45 .
8
= + − °=
MHN
∆
vuông cân tại H
a 10
HM HN .
8
⇒==
a 10
SO 2MH
4
⇒= =
. Chọn C.
Câu 28: Ta có
( )
BC SA
BC SAH
BC AH
⊥
⇒⊥
⊥
Tương tự
( )
BC SA
BC SAK
BC SK
⊥
⇒⊥ ⇒
⊥
4 điểm S, A, H, K đồng phẳng.
Lại có:
(
)
BH SA
BH SAC BH SC.
BH AC
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
Khi đó
(
)
BH SC
SC BHK 90 .
BK SC
⊥
⇒ ⊥ ⇒α= °
⊥
Chọn D.
Câu 29: Ta có
( )
SM ABCD .⊥
Dựng
NK MC⊥
Khi đó
( )
NK SM
NK SMC
NK CM
⊥
⇒⊥
⊥
Lại có:
a3 1 a2
SM ; MN BD
2 22
= = =
22
a5
SN SM MN .
2
⇒= + =
Mặt khác
22 2
ABCD
a5
CM BM CB ;S a .
2
= += =
22 2
AMN BMC DNC NMC ABCD AMN MBC NCD
1 a a 3a
S AM.AN ;S S S S S S S .
28 4 8
= = ==⇒ = −−−=
Khi đó
NMC
2S
3 5 NK 3
NK sin
CM 10 SN 5
= = ⇒ ϕ= =
. Chọn D.
Câu 30: Gọi H là trung điểm
( )
AB SH ABCD .⇒⊥
Khi đó
( )
BC SH
BC SAB .
BC AB
⊥
⇒⊥
⊥
Dựng
( )
AK SB AK SBC⊥⇒ ⊥
Do
( )
AD / /BC AD / / SBC⇒
(
)
( )
( )
( )
a3
d D; SBC d A; SBC AK .
2
⇒===
22 222
SD SH HD SH AH AD a 2.= += ++=
Khi đó
(
)
( )
( )
(
)
d D; SBC
6
sin SD; SAB
SD 4
= =
. Chọn D.
Câu 31: Ta có
BC SA
BC AP.
BC AB
⊥
⇒⊥
⊥
Lại có:
( )
AP SB AP SBC AP SC.⊥⇒⊥ ⇒⊥
Tương tự
( )
AQ SC SC APQ⊥⇒⊥
. Dựng
AN SC⊥
Gọi
(
)
( )
(
)
I CM NQ CN APQ ; CM; APQ CIN.=∩⇒⊥ =
Ta có
2 22
SC CM SM
cos NCI
2.SC.CM
+−
=
Trong đó
SC a 5;SM a.= =
222
SC CD SD 3 10
CM a 2 cos NCI
2 4 10
+
= −=⇒ =
2
1
sin NCI 1 cos NCI cos CIN cos
10
⇒=− ===ϕ
. Chọn A.
Câu 32: Do
(
)
1
d
⊥α
,
( ) (
) ( )
(
)
( )
2 12
d ; d ;d⊥β⇒ α β =
. Chọn B.
Câu 33: Ta có
( )
SA ABC SA BC⊥ ⇒⊥
Mặt khác
( )
( ) (
)
BC SBA
BC AB
BC SBC ABC
⊥
⊥⇒ ⇒
⊥∩
góc giữa mặt phẳng
(SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng góc
SBA
. Chọn B.
Câu 34: Dựng
AK BC⊥
, do tam giác ABC đều nên
AB 3
AK a 3.
2
= =
Lại có:
( )
( ) ( )
BC SKA
SA BC
AK BC
BC SBC ABC
⊥
⊥
⇒⇒

⊥
⊥∩
góc tạo bởi hai mặt phẳng
(SBC) và (ABC) là góc
SKA
Mặt khác
SA 2
tan SKA SKA 49,6
AK
3
==⇒ ≈°
. Chọn B.
Câu 35: ABCD là hình thoi nên
AC BD⊥
tại O
Do
(
)
( )
( ) (
)
BD SOA
SA ABCD BD SA
BD SBD ABC
⊥
⊥ ⇒ ⊥⇒
= ∩
Suy ra
( )
( )
(
)
SA a
SBD ; ABCD SOA tanSOA 1
AO a
=⇒===
Vậy
(
) (
)
( )
SBD ; ABCD SOA 45
= = °
. Chọn C.
Câu 36: Ta có công thức:
S Scos
′
= ϕ
Trong đó
ϕ
là góc giữa mặt phẳng (P) và (ABC)
Do đó:
A B C ABC
S S cos
′′′
= ϕ
. Chọn B.
Câu 37: Do
( )
SA ABC ABC⊥ ⇒∆
là hình chiếu của
SBC∆
trên mặt phẳng
(ABC). Mặt khác
(
) ( )
(
)
SBC ; ABC .
ϕ=
Ta có công thức:
ABC SBC
S S .cos= ϕ
. Chọn A.
Câu 38: ABCD là hình vuông nên
AC BD⊥
tại O
Lại có
( ) ( )
SA ABCD BD SA BD SOA⊥ ⇒⊥⇒⊥
Do đó
(
) ( )
( )
SBD ; ABCD SOA=
. Chọn A.
Câu 39: Gọi
(
) ( )
d SAB SCD= ∩
Do
AB//CD d//AB//CD⇒
Ta có:
( )
SA ABCD SA AB⊥ ⇒⊥
Lại có:
( )
AD AB AB SAD⊥⇒⊥
Vì
( )
d / /AB d SAD⇒⊥ ⇒
góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
bằng góc giữa SA và SD. Chọn A.
Câu 40:
( )
SA ABCD SA AB⊥ ⇒⊥
Lại có:
( ) ( ) ( )
AB AD AB SAD SAB SAD⊥⇒⊥ ⇒ ⊥
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) bằng
90°
. Chọn C.
Câu 41:
( )
SA ABCD SA CD⊥ ⇒⊥
Mặt khác
( )
CD AD CD SDA⊥⇒⊥
Mà
( ) ( ) ( ) ( )
( )
CD SCD ABCD SCD ; ABCD SDA=∩⇒ =
Lại có:
SA
tanSDA 3 SAD 60
AD
==⇒=°
. Chọn B.
Câu 42:
( )
SA ABCD SA CD⊥ ⇒⊥
Mặt khác
(
) (
)
(
)
CD AD CD SDA SCD SAD
⊥⇒⊥ ⇒ ⊥
⇒
góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD) bằng
90°
.
Chọn A.
Câu 43: ABCD là hình vuông nên
BD AC⊥
Mặt khác
( )
SA ABCD SA BD⊥ ⇒⊥
Do đó
( )
BD SAC BD SC⊥ ⇒⊥
Lại có:
( )
OH SC SC BHD⊥⇒⊥
Mà
( ) ( )
SC SBC SCD=∩⇒
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng
góc giữa BH và DH. Chọn D.
Câu 44: Ta có
( ) ( )
( )
SBC ; ABCD SMO= = ϕ
, trong đó
SBC∆
đều nên
a3
SM
2
=
Lại có:
a3 AM a3
AM OM
2 36
= ⇒= =
22
SO SM OM
tan 2 2
OM OM
−
⇒ ϕ= = =
. Chọn A.
Câu 45: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD
( )
SO ABCD SO CD⇒⊥ ⇒⊥
Dựng
( )
OK CD CD SKO⊥⇒⊥ ⇒
góc giữa mặt bên (SCD) và mặt
phẳng đáy của chóp bằng
SKO
SCD∆
đều cạnh a
a 3 AD a
SK ;OK
2 22
⇒= = =
Do đó
22
SO SK OK
tan SKO 2
OK OK
−
= = =
. Chọn C.
Câu 46: Tam giác ABC vuông cân tại B nên
AC AB 2=
Suy ra
AB a 2=
Mặt khác
( )
SA ABCD SA BC⊥ ⇒⊥
mà
AB BC
⊥
Do đó
( ) ( ) ( )
(
)
BC SBA SBC ; ABC SBA⊥⇒ =
Lại có:
SA a 6
tan SBA 3 SBA 60
AB
a2
===⇒=°
. Chọn A.
Câu 47:
( )
( ) ( )
( ) (
)
(
)
SA BAD
SAB ; SAD BAD
SA SAB SAD
⊥
⇒=
= ∩
Do
AB AD BD 2a ABD= = = ⇒∆
đều nên
BAD 60= °
Vậy
( ) ( )
(
)
SAB ; SAD 60= °
. Chọn A.
Câu 48: Do
( ) ( )
ABCD / / A B C D
′′′′
Do đó
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
A BD ; A B C A BD ; ABC
′ ′′′ ′
= = ϕ
Gọi O là tâm hình vuông
ABCD AO BD⇒⊥
Mặt khác
( )
BD AA BD A AO
′′
⊥ ⇒⊥
Do đó
A OA
′
ϕ=
Đặt
AA a
AB a
a2
OA
2
′
=
= ⇒
=
suy ra
AA a
tan
OA
a2
2
′
ϕ= =
tan 2 54 44
′
⇒ ϕ= ⇒ϕ≈ °
. Chọn A.
Câu 49:
( ) ( ) (
)
( )
SA CAB SAC ; SAB CAB⊥⇒ =
Do tam giác ABC đều nên
CAB 60= °
. Chọn C.
Câu 50: Do ABCD là hình thoi nên
AC BD⊥
Mặt khác
(
)
SC ABCD SC BD⊥ ⇒⊥
Do đó
(
)
(
)
( )
BD SAC SBD SAC .
⊥⇒⊥
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) bằng
90°
. Chọn C.
Câu 51: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD
( )
SO ABCD SO CD⇒⊥ ⇒⊥
Dựng
( )
OK CD CD SKO⊥⇒⊥ ⇒
góc giữa mặt bên (SCD) và mặt phẳng
đáy của chóp bằng
SKO = ϕ
Đặt
AB AD a SC 2a= =⇒=
Ta có:
AD a a
OK ;CK
22 2
= = =
22
a 15
SK SC CK .
2
⇒= − =
Khi đó
OK 1
cos 75 2
SK
15
′
ϕ= = ⇒ϕ≈ °
. Chọn A.
Câu 52: Dựng
MK CD⊥
, do
( )
SM ABCD SM CD⊥ ⇒⊥
Khi đó ta có:
( ) ( )
( )
CD SCD ABCD
CD SKM
= ∩
⊥
( )
( )
(
)
SCD ; ABCD SKM
⇒==ϕ
Do
SAB∆
đều nên
a3
SM , MK AD a
2
= = =
AM 3
tan 40 53
MK 2
′
⇒ ϕ= = ⇒ϕ≈ °
. Chọn C.
Câu 53: Ta có
OBC SBC
OAB SAB
OAC SAC
S S cos
S S cos
S S cos
= ϕ
= ϕ
= ϕ
với
30ϕ= °
là góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy.
Do đó diện tích đáy bằng
x
đ
2
q
S S .cos 90.cos 30 78cm .= ϕ= °≈
Chọn D.
Câu 54: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD
(
)
SO ABCD SO BD.⇒⊥ ⇒⊥
Mặt khác
( )
( )
(
)
BD AC BD SAC MBD SAC⊥⇒⊥ ⇒ ⊥
nên góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (SAC) bằng
90
°
. Chọn C.
Câu 55: Ta có
( ) ( )
BD SBD ABCD= ∩
Dựng
AH BD⊥
, mặt khác
( )
SA ABCD SA BD⊥ ⇒⊥
Do đó
( )
( )
( )
(
)
BD SHA SBD ; ABCD SHA⊥⇒ =
Lại có:
22
AB.AD 2a SA
AH tan SHA 5.
AH
5
AB AD
= =⇒==
+
Chọn A.
Câu 56: Ta có
( ) ( )
ABC / / A B C
′′′
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
A BC ; A B C A BC ; ABC
′ ′′′ ′
⇒=
Lại có
AB BC⊥
mà
( )
AA BC BC A AB
′′
⊥ → ⊥
Khi đó
( ) ( )
(
)
( )
A BC ; ABC A B; AB A BA
′ ′′
= =
Tam giác
A AB
′
vuông tại A, có
AB 1
cos A BA A BA 60
AB 2
′′
==⇒=°
′
Vậy
60ϕ= °
. Chọn D.
Câu 57: Gọi H là trung điểm AB
(
)
SH AB SH ABC⇒⊥⇒⊥
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, BM
Ta có
AM BC
⊥
mà
HN / /AM HN BC⇒⊥
Lại có
( ) ( ) ( )
(
)
SH BC BC SHN SBC ; ABC SNH⊥⇒⊥ ⇒ =
Tam giác SHN vuông tại H, có
SH AM a3a3
tanSNH SH : : 2 SNH 63 26
HN 2 2 4
′
= = = =⇒ ≈°
Vậy
63 26
′
ϕ≈ °
. Chọn D.
Câu 58: Gọi O là tâm hình vuông ABCD
Ta có
MA BD⊥
;
( )
AC BD BD MAO⊥⇒⊥
Khi đó
( ) ( )
(
)
(
)
MBD ; ABCD MO;OA MOA= =
Tam giác MAO vuông tại A, có
MA AA 2
tan MOA MOA 35 15
OA AC 2
′
′
= = = ⇒ ≈°
. Chọn A.
Câu 59: Gọi M là trung điểm AB
⇒
ADCM là hình vuông
Khi đó
AC a 2=
;
AM AB⊥
và
AB 2a AC BC=⇒⊥
Mà
( ) ( ) ( )
(
)
SA BC BC SAC SBC ; ABCD SCA⊥⇒⊥ ⇒ =
Tam giác SAC vuông tại S, có
SA 2
tan SCA .
AC 2
= =
Vậy
( ) ( )
( )
2
tan SBC ; ABCD
2
=
. Chọn B.
Câu 60: Ta có SA là đường cao
( )
SA ABC⇒⊥
Lại có
( ) ( )
SAB SAC SA;∩=
(
) ( )
( ) ( )
SAB ABC AB
SAC ABC AC
∩=
∩=
Suy ra
( ) ( )
(
)
( )
SAB ; SAC AB; AC BAC= =
Tam giác ABC vuông tại B, có
BC 1
tan BAC
AB
3
= =
( ) ( )
(
)
BAC 30 SAB ; SAC 30⇒ = ° → = °
. Chọn D.
Câu 61: Ta có
SA BC
⊥
mà
( )
AB BC BC SAB⊥⇒⊥
Lại có
( ) ( )
SBC ABCD BC∩=
;
( ) (
)
( ) ( )
SBC SAB SB
ABCD SAB AB
∩=
∩=
Suy ra
( ) ( )
( )
(
)
SBC ; ABCD SB; AB SBA= =
Tam giác SAB vuông tại A, có
SA
tan SBA 3
AB
= =
( ) ( )
(
)
SBA 60 SBC ; ABCD 60⇒ = ° → = °
. Chọn B.
Câu 62: Gọi M là trung điểm của BC
ABC∆
cân tại
A AM BC
→ ⊥
(1)
BCD
∆
cân tại
D DM BC → ⊥
(2)
Từ (1), (2) suy ra
( ) ( ) ( )
(
)
BC ADM ABC ; BCD AMD⊥⇒ =
Tam giác ABM vuông tại M
22
a2
AM AB BM
2
⇒= − =
Tam giác BDM vuông tại M
22
a2
DM BD BM
2
⇒= − =
Xét tam giác ADM có
a2
AM DM
2
= =
;
a6
AD
2
=
Suy ra
2 22
AM DM AD 1
cos AMD AMD 120 .
2.AM.DM 2
+−
= =−⇒ = °
Vậy
(
) (
)
(
)
ABC ; BCD 180 120 60= °− °= °
. Chọn B.
Câu 63: Kẻ
AH BD⊥
( )
H BD
∈
mà
( )
SA BD BD SAH⊥⇒⊥
Ta có
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
(
)
SAH SBD SH
SBD ; ABCD SHA
SAH ABCD AH
∩=
⇒=
∩=
Tam giác ABD vuông tại A, có
22
AB.AD a 3
AH
2
AB AD
= =
+
Tam giác SAH vuông tại A, có
SA
tan SHA 2 3
AH
= =
. Chọn C.
Câu 64: Chọn
60
ϕ= °
. Gọi O là tâm hình vuông ABCD
( ) ( )
(
)
( )
SO ABCD SA; ABCD SA; AO SAO 60⇒⊥ ⇒ = = =°
Tam giác SAO vuông tại O, có
SO a 6
tanSAO SO
OA 2
= ⇒=
Gọi M là trung điểm
( )
AB AB SMO → ⊥
Suy ra
( ) ( )
(
)
( )
SAB ; ABCD SM;OM SMO= = = α
Tam giác SMO vuông tại O, có
SO
tan SMO 6
OM
= =
tan 2 tan
⇒ α= ϕ
. Chọn B.
Câu 65: Chọn
AB 1
AA 4AB 2AD 4 AA 4;
AD 2
=
′′
= = =⇒=
=
Kẻ
AH BD
⊥
( )
H BD∈
mà
( )
AA BD BD A AH
′′
⊥⇒⊥
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
(
)
( )
( )
AAH ABD AH
A BD ; ABCD A AH
A AH ABCD AH
′ ′′
∩=
′′
⇒=
′
∩=
Tam giác ABD vuông tại A, có
22
AB.AD 2 5
AH
5
AB AD
= =
+
Tam giác
A AH
′
vuông tại A, có
AA
tan SHA 2 5
AH
′
= =
. Chọn A.
Câu 66: Gấp miếng bìa ta được hình hộp chữ nhật
ABCD.A B C D
′′′′
Theo giả thiết, ta có
AA 30
′
=
, ABCD là hình vuông cạnh 10
Ta có
AD AB⊥
;
( )
AA AB AB ADD A
′ ′′
⊥⇒⊥
(
)
( )
(
)
( )
ABC D ; ABCD D A; AD D AD
′′ ′ ′
⇒==
Tam giác
D AD
′
vuông tại D, có
DD
tan D AD 3
AD
′
′
= =
Suy ra
D AD arctan 3 71 33
′′
= = °
. Vậy
71 33
′
ϕ≈ °
. Chọn D.
Câu 67: Đặt
SA SB SC a= = =
Tam giác SAB có
ASB 120 AB 3= ° → =
Tam giác SBC có
BSC 90 BC 2= ° → =
Tam giác SCA có
CSA 60 AC 1= ° → =
Suy ra
22 2
AC BC AB ABC
+ = ⇒∆
vuông tại C
Do đó, hình chiếu H của S trên (ABC) là trung điểm AB
Gọi M là trung điểm BC
HM / /AC HM BC⇒ ⇒⊥
Mà
( )
( ) ( )
(
)
SH BC BC SHM SBC ; ABC SMH⊥⇒⊥ ⇒ =
Tam giác SHM vuông tại H, có
SH
tan SMH 1
HM
= =
Vậy
(
) ( )
(
)
SMH 45 SBC ; ABC 45= ° → = °
. Chọn C.
Câu 68: Đặt
SA SB SC a= = =
Tam giác SAB có
ASB 120 AB 3= ° → =
Tam giác SBC có
BSC 90 BC 2= ° → =
Tam giác SCA có
CSA 60 AC 1= ° → =
Suy ra
22 2
AC BC AB ABC
+ = ⇒∆
vuông tại C
Do đó, hình chiếu H của S trên (ABC) là trung điểm AB
Gọi M là trung điểm AC
HM / /BC HM AC⇒ ⇒⊥
Mà
( ) ( ) ( )
(
)
SH AC AC SHM SAC ; ABC SMH⊥⇒⊥ ⇒ =
Tam giác SHM vuông tại H, có
SH 1
tan SMH
HM
2
= =
Vậy
( ) ( )
(
)
1
tan SBC ; ABC
2
=
. Chọn A.
Câu 69: Kẻ
OH SC⊥
( )
H SC∈
mà
( )
BD SC SC HBD⊥⇒⊥
Ta có
( )
(
)
HBD SCD HD
∩=
;
( )
( )
HBD SBC HB
∩=
Suy ra
(
) ( )
(
)
( )
60
SBC ; SCD BH; DH BHD
180 60 120
°
= = =
°− °= °
TH1.
BHD 60= °
mà
BH DH HBD= ⇒∆
đều
BH a 2⇒=
Tam giác SAB vuông tại
2 2 2 22
A SB SA AB x a
→ = + = +
Tam giác SBC vuông tại
222
1 11
B
BH SB BC
⇒=+
(
)
2
22 2
1 11
xa a
a2
⇔ = + →
+
vô nghiệm (loại).
TH2.
BHD 120= °
mà
a6
BH DH BH a 2 : 3
3
=⇒= =
Tam giác SAB vuông tại
2 2 2 22
A SB SA AB x a → = + = +
Tam giác SBC vuông tại
( )
2
2 2 2 22 2
1 11 1 1 1
B xa
BH SB BC x a a
a6
⇒ = + ⇔ = + ⇒=
+
. Chọn A.
Câu 70:
( ) ( ) ( )
(
)
SA AMN SAM ; SAN MAN 45⊥⇒ ==°
Lại có
BAM MAN NAD 90 BAM NAD 45++=°⇒+=°
Khi đó
( )
tan BAM tan NAD
tan 45 tan BAM NAD
1 tan BAM. tan NAD
+
°= + =
−
BM ND
axay ax ay
AB AD
1 1.
BM ND
aa a a
1.
AB AD
+
−− − −
⇔= ⇔− = +
−
( )(
) ( ) ( )
22
a a x a y a 2a x y 2a xy 2a x y⇔−− −= −−⇔ += +
Chọn A.
| 1/56
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHỦ ĐỀ 5: BÀI TOÁN VỀ GÓC
Vấn đề 1: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
1. Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian cho 2 đường thẳng a, b bất kỳ.
Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng a′, b′ lần lượt song song
với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa 2
đường thẳng a′ và b′ không thay đổi.
Do đó ta có định nghĩa:
Định nghĩa: Góc giữa 2 đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng a′ và b′ cùng đi
qua một điểm và lần lượt song song với a và b.
2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng
Để xác định góc giữa 2 đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi
vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.    
Nếu u là vecto chỉ phương của đường thẳng a và v là vecto chỉ phương của đường thẳng b và (u;v) = α
thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng α nếu 0 ≤ α ≤ 90° và bằng 180° − α nếu 90° < α ≤180° . Nếu 2
đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°. Góc giữa 2 đường thẳng là
góc có số đo 0 ≤ α ≤ 90°.
3. Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng
Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian chúng ta cần nhớ các công thức sau:
■ Định lý hàm số cosin trong tam giác ABC:  2 2 2 AB + AC − BC cos BAC = 2.AB.AC Tương tự ta có:  2 2 2 BA + BC − AC cos ABC + − = và  2 2 2 CA CB AB cos ACB = 2.BA.BC 2.CA.CB   Chú ý: =  1 AB.AC AB.ACcos BAC = ( 2 2 2 AB + AC − BC ) 2  
■ Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tính góc giữa hai vectơ AB và CD dựa vào công thức     ( ) AB.CD AB.CD
cos AB;CD =   ⇒ cos(AB;CD) =   từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD. AB . CD AB . CD
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA = a 3 . Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AB và SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AN và CM. Lời giải
Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra a AM = CE = . 2 Khi đó ⇒  AE / /CM (AE;CM)=  (AN;AE)= .ϕ Mặt khác 2 2
SC = SA + AC = 2a ⇒ độ dài đường trung tuyến AN là SC a 3 AN = = a.AE = CM = . 2 2 Do AB ∆
C đều nên CM ⊥ AM ⇒ AMCE là hình chữ nhật.
Khi đó CE ⊥ AE mà CE ⊥ SA ⇒ CE ⊥ (SAE) ⇒ CE ⊥ SE. S
∆ EC vuông tại E có đường trung tuyến 1 EN = SC = a. 2 Ta có:  2 2 2 AN + AE − NE 3 3 cos NAE = = > 0 ⇒ cosϕ = . 2.AN.AE 4 4 
       Cách 2: Ta có: 1 = ( + ) 1 AN
AS AC ;CM = AM − AC = AB − AC. 2 2         Khi đó 1 = ( + ) 2 2  1  1 1 2 1 2 a 3a AN.CM AS AC
AB − AC = AB.AC − AC = a cos60 − ° − =   . 2  2  4 2 4 2 8 2 3a − SC a 3 8 Lại có: 3 AN = = a;CM = ⇒ cosϕ = = . 2 2 a 3 4 a. 2
Bình luận: Dựa vào hai cách làm trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ
để tính góc giữa hai đường thẳng giúp bài toán trở nên dễ ràng hơn rất nhiều!.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = a;AC = a 2 và BC = a 3 . Tính cosin góc giữa
hai đường thẳng SC và AB. Lời giải
Cách 1: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và AC. Khi đó MP / /SC  ⇒  (SC;AB)=  (MP;MN). N / /AB Ta có: AB a SC a MN = = ;MP = = . 2 2 2 2 Mặt khác S ∆ AC vuông tại S AC a 2 ⇒ SP = = . 2 2 2 2 2 2 BA + BC AC 3 2 a 6 BP = − = a ⇒ BP = . 2 4 2 2 2 2 2 2 Suy ra 2 PS + PB SB 3a a 3 PN = − = ⇒ NP = . 2 4 4 2 2 2 2 Khi đó  MN + MP − NP 1 = = − ⇒  = ° ⇒ ϕ =  cos NMP NMP 120 (SC;AB)=60 .° 2.M N.MP 2
    
      
Cách 2: Ta có: AB = SB −SA ⇒ AB.SC = (SB−SA).SC = SB.SC−SA.SC 1 = ( + − ) 1 − ( + − ) 2 2 2 2 2 2 2 a SB SC AC SA SC AB = − . 2 2 2 2 −a 2 Suy ra ( ) 1 cos SC;AB = = ⇒ (SC;AB) = 60 .° a.a 2
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB = x ,CD = x ;AC = y ,BD = y ,BC = z ,AD = z . Tính góc giữa hai 1 2 1 2 1 2 đường thẳng BC và AD. Lời giải  
  
    Ta có: BC.DA = BC (DC+CD) = CB.CD−CB.CD 1 = ( 2 2 2 + − ) 1 − ( 2 2 2 + − ) 1 CB CD BD CB CA AB = ( 2 2 2 2 AB + CD − BD − CA ). 2 2 2   BC.DA 2 2 2 2 Khi đó cos(BC;DA) x + x + y − y 1 2 1 2 = = . BC.DA 2z z 1 2 α =  (BC;AD) 
Đặc biệt: Nếu AB = CD = x;AC = BD = y và BC = AD = z ta đặt β  =  (AB;CD) thì ta có:  γ =   (AC;BD) 2 2 2 2 2 2 x − y y − z z − z cosα = ;cosβ = ;cos γ = . 2 2 2 z x y
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh 2a, SA ⊥ (ABCD) và SB = a 5 . Gọi
M là trung điểm của AB và N là trung điểm của BC. Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng SM và DN . Lời giải
■ Cách 1: Do SA ⊥ (ABCD). Ta có: 2 2
SA = SB − AB = a . Gọi E là trung điểm của AD và I là trung
điểm của AE. Dễ thấy BNDE là hình bình hành và MI là đường trung bình
trong tam giác ABE. Khi đó DN / /BE / /MI. Tacó: AE a AM = a;AI = = . 2 2 2 Mặt khác: 2 2 2 2 2 5a SM = SA + AM = 2a ;SI = . 4 2 2 2 2 2 2 5a MI + − = AI + AM = . Do vậy  SM MI SI 10 = = =  cosSMI cos(SM;DN). 4 2.SM.MI 5  
      
■ Cách 2: Ta có: SM.DN = SM .(SN −SD) = SM.SN − SM .SD 1 = ( 2 2 2 SM + SN − MN ) 1 − ( 2 2 2 SM + SD − MD ) 2 2 Mặt khác: 2 2 2 2 2 2 2 AC 2 2 2 2
SN = SA + AN = SA + AB + BN = 6a ,MN = = a 2,SD = 5a ,MD = 5a . 2 2 2   2a Do đó 2 = ⇒ ( ) 2a 10 SM.DN 2a cos SM;DN = = = . SM.DN a 2.a 5 5
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a;AD = a 2, S A ⊥ (ABCD) và SA=2a.
a) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng BC và SD.
b) Gọi I là trung điểm của CD. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SB và AI. Lời giải a) Do ⇒  =  =  BC / /AD (SD;BC) (SD;AD) SDA S ∆ AD vuông tại A ⇒  AD AD 1 cosSDA = = = . 2 2 SD AD + SA 3
b) Gọi M, K lần lượt là trung điểm của AB và SA thì MK là đường trung bình trong tam giác SAB.
Khi đó MK / /SB , mặt khác MC / /AI. Suy ra  =  (SB;AI) (MK;CM). 2 2 Ta có: SB SA + AB a 5 MK = = = ; 2 2 3a MC = MB + BC = ; 2 2 KC = KA + AC = 2a. 2 2 2 2 2 2 2 Khi đó  KM + MC − KC 1 = = − ⇒  ( ) 1 cosKMC cos SB;AI = . 2.KM.MC 3 5 3 5
    
   
Cách khác: Ta có:SB.AI = SB.(SI−SA) = SB.SI−SB.SA 1 = ( 2 2 2 + − ) 1 SB SI IB − ( 2 2 2 SB + SA − AB ) 2 2 2 Do 2 2 2 2 2 2 25a 2 2 3a SB = 5a ;SI = SA + AD + DI = ;AI = AD + DI = = IB. 4 2 2   a 2   SB.AI Suy ra a SB.AI = ⇒ cos(SB;AI) 2 1 = = = . 2 SB.AI 3a 3 5 a 5. 2
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, 
ABC = 60° . Tam giác SAB cân tại S và thuộc
mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng SC tạo với đáy một góc 30° . Tính cosin góc giữa a) SD và BC.
b) DH và SC, với H là chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy (ABCD). Lời giải a) Do AB = BC = a ,  ABC = 60° ⇒ AB ∆ C đều cạnh a.
Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB cân tại S nên SH ⊥ AB. (  SAB) ⊥ (ABCD) Mặt khác  ⇒ SH ⊥ (ABC)  =  ( )∩( ) . AB SAB ABCD AB ∆ C đều nên a 3 CH = , SC;(ABC)  ( )=  SCH = 30° 2 Ta có: a SH = HC tan 30° = . 2 Do  = ° ⇒  2 2 a 7 ABC 60
BAD =120° ⇒ HD = AH + AD − 2AH.ADcos120° = . 2 Suy ra 2 2 a 2 SA = SH + HA = , 2 2 SD = SH + HD = a 2 . 2 Mặt khác + − ⇒  AD / /BC (BC;SD)=  (AD;SD),  2 2 2 DS DA SA 5 2 cosSDA = = . 2.DS.DA 8 Do vậy  ( ) 5 2 cos BC;SD = . 8
    
   
b) Ta có SC.DH = SC.(SH −SD) = SC.SH −SC.SD 1 = ( + − ) 1 − ( + − ) 2 2 2 2 2 2 2 3a SH SC HC SC SD CD = − 2 2 4 2   3a SC;DH Mặt khác: 2 2
SC = SH + HC = a ⇒ cos(SC;DH) 4 3 7 = = = . SC.DH a 7 14 a. 2 DH / /BI
Cách khác: Gọi I là trung điểm của CD  ⇒ 
a 7 , gọi M là trung điểm của SD DH = BI =  2 MI/ / SC  ⇒  SC a . Lại có: BD = a 3 ; 2 2 a 2 SB = SH + HB = . MI = =  2  2 2 2 2 2 2 2 2 2 Do đó 2 BD + BS SD 5a = − = ⇒  MI + IB − MB 3 17 BM cos MIB = = . 2 4 4 2.IM.IB 14 Suy ra  ( ) 3 17 cos DH;SC = . 14
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có AD = 2AB = 2CD = 2a và
SA ⊥ (ABCD) . Biết rằng SC tạo với đáy một góc 60°. Tính cosin góc giữa: a) BC và SD.
b) AI và SD với I là trung điểm của CD. Lời giải a) Ta có: 2 2 AC = AB + BC = a 2. Do ⊥ ( ) ⇒ ( )  ( )=  SA ABCD SC; ABC SCA = 60 .°
Khi đó SA = AC tan 60° = a 6. Do ⇒  AD / /BC (BC;SD)=  (AD;SD). Mặt khác  AD AD cos ADS = = 2 2 SD SA + AD 2a 10 = = = co ( s BC;SD) . 2 2 6a + 4a 5
b) Gọi E là trung điểm của AD ⇒ AE = DE = BC = a ⇒ ABCE là hình vuông cạnh a. Do 1 CE = AD ⇒ AC ∆ D vuông tại C. 2 Ta có: 2 2 a 2 CD = CE + ED = a 2 ⇒ ID = . 2  
       Lại có: = ( − ) 1 = − = ( 2 2 2 + − ) 1 AI.SD SI SA .SD SI.SD SA.SD SI SD DI − ( 2 2 2 SA +SD − AD ) 2 2 2 2 Trong đó 2 2 2 5a 2 2 2 17a AI = AC + CI = ⇒ SI = SA + AI = . 2 2 2 2   Do đó 2 = ⇒ ( ) 3a 3a 3 AI.SD 3a cos AI;SD = = = . AI.SD a 10 5 MI / /SD
Cách khác: Gọi M là trung điểm của SC  a 10 SC ⇒  ,AI = ,AM = = a 2. SD a 10 MI = = 2 2  2 2 Khi đó  2 2 2 IM + IA − AM 3 MIA = = . 2.IM.IA 5
Ví dụ 8: Cho hình lăng trụ ABC.A B ′ C
′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của điểm A′ xuống mặt
đáy (ABC) trung với trung điểm của BC. Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60°.
a) Tính tan góc tạo bởi B C ′ ′ và A C ′ .
b) Cosin góc tạo bởi CC′ và AB. Lời giải
a) Gọi H là trung điểm của BC. Ta có: ′ ′ ⇒  ( ′ ′ ′ )=  ( ′ ) =  BC/ / B C B C ;A C BC;A C A CH ′ . Mặt khác ′ ⊥ ( ) ⇒ ′ ( )  ( )=  A H ABC AA ; ABC AA H ′ = 60 .° a 3 3a AH = ⇒ A H ′ = AH tan 60° = . 2 2 ′ Xét tam giác vuông A HC ′ ta có:  A H tan A C ′ H = = 3. HC Vậy  (BC;′AC′)=3. b) Do ′ ′ ⇒ ( ′ )  = ( ′ )  CC / /AA CC ;AB AA ;AB Ta có: 2 2 A A ′ = AH + HA = a 3. ′ = ′ + = ⇒  2 2 2 ′ + − ′ 2 2 a 10 AA AB A B 3 A B A H HB cos A A ′ B = = . 2 2.AA .A ′ B 4 Vậy ( ′ ) 3 cos CC ;AB = . 4
Vấn đề 2: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
■ Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và
mặt phẳng (P) bằng 90° (hình 1).
Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a′ của nó trên (P)
được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) (hình 2).
Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 90° . ■ Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Cách tìm hình chiếu a′ của a trên mặt phẳng (P) ta có thể làm như sau:
Tìm giao điểm M = a ∩(P).
Tìm một điểm A tùy ý trên đường thẳng a (A ≠ M) và xác định hình
chiếu vuông góc H của A trên mặt phẳng (P). Khi đó, a′ là đường
thẳng đi qua hai điểm A và M. Ta có: β = ( ( ))  =  a; P AMH.  HM cosβ = AM 
Xét tam giác vuông AMH ta có:  AH tan β =
(trong đó d(A;(P)) là khoảng cách từ điểm A MH   AH d(A;(P)) si  nβ = =  AM AM đến mặt phẳng (P)).
Dạng 1: Góc giữa cạnh bên và mặt đáy
Tìm góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC).
Như vậy HA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC). Vậy SA;(ABC)  ( )=( A)  =  SA;H S H A .
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, có AB = a;BC = a 3 . Biết
SA ⊥ (ABC) , SB tạo với đáy một góc 60° và M là trung điểm của BC.
a) Tính cosin góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).
b) Tính cosin góc giữa SM và mặt phẳng (ABC). Lời giải a) Do ⊥ ( ) ⇒ ( )  ( )=  SA ABC SB; ABC SBA = 60 .° Do đó = 
SA ABtanSBA = a tan 60° = a 3. Ta có: 2 2 AC = AB + BC = 2a;(SC;(ABC))  =  SCA. Khi đó:  AC AC 2a 2 cosSCA = = = = . 2 2 2 2 SC SA + AC 3a + 4a 7 b) Do ⊥ ( ) ⇒ ( ( ))  =  SA ABC SM; ABC SMA = . ϕ 2   Ta có: 2 2 2 a 3 a 7 AM = AB + BM = a +   = .  2  2   Khi đó AM AM 133 cosϕ = = = . 2 2 SM SA + AM 19
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB = 2a;AD = a . Tam giác (SAB) đều và thuộc
mặt phẳng vuông góc với đáy.
a) Tính góc giữa SB, SC và mặt phẳng (ABCD).
b) Gọi I là trung điểm của BC. Tính tan góc giữa SI và mặt phẳng (ABCD). Lời giải
a) Gọi H là trung điểm của AB ta có: SH ⊥ AB (  SAB) ⊥ (ABCD) Mặt khác  ⇒ SH ⊥ (ABCD)  =  ( )∩( ) . AB SAB ABCD
Tam giác SAB đều cạnh 2a nên SH = a 3, 2 2 HC = HB + BC = a 2. Do ⊥ ( ) ⇒ ( )  ( )=  SH ABCD SB; ABCD SBH = 60° ( )  ( )=  SC; ABCD SCH và  SH 3 tanSCH = = . HC 2 2 b) Ta có: 2 2 2  a  a 5 HI = HB + BI = a + =   .  2  2 Mặt khác ( )  ( )=  SI; ABCD SIH và  SH a 5 2 15 SIH = = a 3 : = . SI 2 5
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là nửa lục giác đều cạnh a, AD = 2a . Biết SA ⊥ (ABCD) và
đường thẳng SB tạo với đáy một góc 45 .°
a) Tính cosin góc tạo bởi các cạnh SC, SD và mặt đáy (ABCD).
b) Gọi I là trung điểm của CD, tính tan góc tạo bởi SI và mặt phẳng (ABCD). Lời giải
a) Gọi O là trung điểm của AD ⇒ OABC là hình thoi cạnh a 1 ⇒ CO = a = AD ⇒ AC ∆ D vuông tại C. 2 Do ⊥ ( ) ⇒ ( ( ))  =  SA ABCD SB; ABCD SBA = 45 .° Do đó SA = ABtan 45° = a. 2 2
AC = AD − CD = a 3 ⇒ cos(SC;(ABC))  =  cosSCA AC AC a 3 3 = = = = . 2 2 2 2 SC SA + AC a + 3a 2 ( )  ( )=  AD 2 cos SD; ABCD cosSDA = = . 2 2 SA + AD 5 2 b) Ta có: 2 2 2  a  a 13 AI = AC + CI = 3a + =   .  2  2 Do đó ( ( ))  =  SA 2 tan SI; ABCD tanSIA = = . AI 13
Dạng 2: Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao
Tìm góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng (SHA) với (SHA) ⊥ (ABH).
Dựng BK ⊥ AH , có BK ⊥ SH ⇒ BK ⊥ (SHA).
Suy ra K là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (SAH). Vậy ( ( ))  = ( )  =  SB; SAH SB;SK BSK.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a,AD = a 3,SA ⊥ (ABCD).
Biết SC tạo với đáy một góc 60°. Tính cosin góc tạo bởi:
a) SC và mặt phẳng (SAB); SC và mặt phẳng (SAD).
b) SD và mặt phẳng (SAC). Lời giải Do ⊥ ( ) ⇒ ( ( ))  =  SA ABCD SC; ABCD SCA = 60 .° Lại có: 2 2
AC = AB + AD = 2a ⇒ SA = AC tan 60° = 2a 3.  2 2 SB = SA + AB = a 13  Khi đó  2 2 SD  = SA + AD = a 15  2 2 SC = SA + AC =  4a.  CB ⊥ SA Do 
⇒ CB ⊥ (SAB) ⇒ (SC;(SAB))  =  CSB. CB ⊥ AB Mặt khác  SB 13 cosCSB = = . SC 4 Tương tự ⊥ ( ) ⇒ ( ( ))  =  CD SAD SC; SAD CSD và  SD 15 cosSCD = = . SC 4
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, BD = a 3,SA ⊥ (ABCD).
Biết SC tạo với đáy một góc 60°. Tính tan góc tạo bởi:
a) SC và mặt phẳng (SAB).
b) SD và mặt phẳng (SAC). Lời giải
a) Ta có: AC ⊥ BD tại O. Khi đó OA = OC,OB = OD.
Xét tam giác vuông OAB ta có:  OB 3 sin OAB = = AB 2 ⇒  OAB = 60° ⇒ AB ∆ C đều cạnh a. Mặt khác ⊥ ( ) ⇒ ( ( ))  =  SA ABCD SC; ABCD SCA = 60 .°
Suy ra SA = AC tan 60° = a 3. Dựng ⊥ ⇒ ⊥ ( ) ⇒ ( ( ))  =  CH AB CH SAB SC; SAB CSH. Do AB ∆
C đều cạnh a nên H là trung điểm của AB. Ta có: a 3 = ⇒  CH CH tan CSH = trong đó 2 2 a 13 SH = SA + AH = . 2 SH 2 Do đó  3 39 tan CSH = = . 13 13 DO ⊥ AC b) Ta có:  ⇒ SD;(SAC)  ( )=  DSO và  OD tan DSO = . DO ⊥ SA SO Trong đó a 3 2 2 a 13 = = + = ⇒  39 OD ;SO SA OA tan DSO = . 2 2 13
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt  
đáy là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HB = 2
− HA . Biết AB = 3,AD = 6 và SH = 2 . Tính tan góc tạo bởi:
a) SA và mặt phẳng (SHD).
b) SB và mặt phẳng (SHC). Lời giải  2 2 SA  = SH + AH = 5
a) Ta có: AH =1,HB = 2 ⇒  2 2 SB  = SH + HB = 2 2 Dựng ⊥ ⇒ ⊥ ( ) ⇒ ( ( ))   AE DH AE SHD SA; SHD =ASE Mặt khác AH.AD 6 AE = = 2 2 AH + AD 37 Suy ra  AE 6 tan ASE = = . SA 185
b) Dựng BF ⊥ HC ⇒ BF ⊥ (SHC). Khi đó ( ( )) = SB; SHC BSF , BH.BC 3 10 BF = = . 2 2 BH + BC 5 Ta có: ( ( ))  =  BF 3 5 tan SB; SHC tan BSF = = . SB 10
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABCD.A B ′ C ′ D
′ ′ có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a,AD = 2a 3 , hình
chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD, biết cạnh bên
AA′ tạo với đáy một góc 60°. Tính cosin góc tạo với A C ′ và mặt phẳng (A BD ′ ). Lời giải Ta có: 2 2
AC = AB + BC = 4a ⇒ OA = 2a = OC. Do ′ ⊥ ( ) ⇒ ( ′ ( ))  =  A O ABCD A O; ABCD A AO ′ = 60 .° ⇒ A O ′ = OA tan 60° = 2a 3
Dựng CH ⊥ BD ⇒ CH ⊥ (A BD ′ ) ⇒ ( ′ ( ′ ))  =  A C; A BD CA H ′ . Ta có: BC.CD CH = = a 3. 2 2 BC + CD 2 2 2 2 A C
′ = OA′ + OC = 12a + 4a = 4a. ′ ′ Suy ra  2 2 2 2 A H A C − HC 16a − 3a 13 cosCA H ′ = = = = . A C ′ A C ′ 4a 4
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B ′ C
′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Tính góc tạo bởi A C ′ và mặt phẳng (ABB A ′ ′) biết a 2 AA′ = . 2 Lời giải Dựng a 3 CH ⊥ AB ⇒ CH = . 2 CH ⊥ AB Do  ⇒ CH ⊥ (ABB A ′ ′) ⇒ (A C ′ ;(ABB A ′ ′))  =  CA H. ′ CH ⊥ AA′ 2 2 Lại có: 2 2 a  a  a 3 A H ′ = AA′ + AH = + =   . 2  2  4 Do đó  CH ′ = = ⇒  tan CA H 1 CA H ′ = 45 .° A H ′ Vậy ( ′ ( ′ ′))  =  A C; ABB A CA H ′ = 45 .°
Dạng 3: Góc giữa đường cao và mặt bên
Tìm góc giữa đường cao SH và mặt phẳng (SAB). Dựng HE ⊥ AB,HF ⊥ SE.
Ta có: AB ⊥ SH ⇒ AB ⊥ (SHE) ⇒ AB ⊥ HF.
Mặt khác HF ⊥ SE ⇒ HF ⊥ (SAB) ⇒ F là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (SAB). Vậy ( )  = ( )  =  SH;SAB HF;SF HSF.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Cạnh bên SA = a 3 và vuông góc
với đáy. Tính góc giữa SA và mặt phẳng (SBC). Lời giải
Từ A kẻ AK vuông góc với BC tại K.
Ta có : SA ⊥ BC và AK ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAK).
Kẻ AH ⊥ SK,H ∈SK . Mà BC ⊥ AH. Suy ra ⊥ ( ) ⇒ ( ( ))  =  =  AH SBC SA; SBC ASH ASK.
Tam giác SAK vuông tại A, có SA = AK = a 3.
⇒ tam giác SAK vuông cân tại A nên ASK = 45 .° Vậy ( ( ))  SA; SBC = 45 .°
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a,AD = 2a,SA = 2a và SA ⊥ (ABCD) .
Tính tan góc giữa SA và các mặt phẳng (SBC), (SBD) và (SCD). Lời giải BC ⊥ AB Do  ⇒ BC ⊥ (SAB). BC ⊥ SA
Dựng AM ⊥ SB ⇒ AM ⊥ (SBC) ⇒ M là hình chiếu vuông góc của A trên (SBC). Khi đó: ( ( ))  =  =  SA; SBC ASM ASB = . α Do đó AB 1 tan α = = . SA 2 Tương tự ta có: ( ( ))  =  SA; SCD ASD = β và AD tanβ = = 1. SA BD ⊥ AE
Dựng AE ⊥ BD,AF ⊥ SE ta có: 
⇒ BD ⊥ (SAE) ⇒ BD ⊥ AF. BD ⊥ SA Mặt khác ⊥ ⇒ ⊥ ( ) ⇒ ( ( ))  =  =  AF SE AF SBD SA; SBD ASF ASE. Khi đó  AE tan ASE = , trong đó AB.AD 2a = = ⇒  AE 1 AE tan ASE = = . SA 2 2 AB + AD 5 SA 5
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có AD = 2AB = 2CD = 2a và
SA ⊥ (ABCD) . Biết rằng SC tạo với đáy một góc 60°. Tính tan góc giữa SA và các mặt phẳng (SBC), (SCD) và (SBD). Lời giải Ta có: 2 2 AC = AB + BC = a 2 Do ⊥ ( ) ⇒ ( ( ))  =  SA ABCD SC; ABCD SCA = 60 .°
Suy ra SA = AC tan 60° = a 6. BC ⊥ SA Dựng AM ⊥ SB có  ⇒ BC ⊥ AM. BC ⊥ AB
Do đó AM ⊥ (SBC) ⇒ M là hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC). Suy ra ( ( ))  =  =  SA; SBC ASM ASB. Ta có:  AB a 1 tan ASB = = = . SA a 6 6
Gọi I là trung điểm của AD ⇒ ABCI là hình vuông cạnh a AD ⇒ CI = = a ⇒ A ∆ CD vuông tại C. Khi 2 CD ⊥ SA đó  ⇒ CD ⊥ (SAC). CD ⊥ AC Dựng ⊥ ⇒ ( ( ))  =  =  AN SC SA; SCD ASN ASC. Ta có:  AC a 2 1 tan ASC = = = . SA a 6 3 AE ⊥ BD Dựng  ⇒ (SA;(SBD))  =  =  ASF ASE. AF ⊥ SE Mặt khác AB.AD 2a = = ⇒  AE 30 AE tan ASE = = . 2 2 AB + AD 5 SA 15
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là nửa lục giác đều cạnh a, AD = 2a . Biết SA ⊥ (ABCD) và
đường thẳng SB tạo với đáy một góc 60°.
a) Tính tan góc tạo bởi SA và (SBC).
b) Tính góc tạo bởi SA và (SCD). Lời giải
a) Gọi O là trung điểm của AD ⇒ OABC là hình thoi cạnh a 1 ⇒ CO = a = AD ⇒ AC ∆ D vuông tại C. 2 Do ⊥ ( ) ⇒ ( ( ))  =  SA ABCD SB; ABCD SBA = 60 .° ⇒ SA = ABtan 60° = a 3 , 2 2 AC = AD − CD = a 3. Dựng AE ⊥ BC , ⊥ ⇒ ( ( ))  =  =  AF SE SA; SBC ASF ASE. Do  = ° ⇒  ABE 120 ABE = 60 .° Mặt khác =  a 3 AE ABsin ABE = ABsin 60° = . 2 Suy ra ( ( ))  =  AE 1 tan SA; SBC tan ASE = = . SA 2 CD ⊥ SA b) Do 
⇒ CD ⊥ (SAC). Dựng AK ⊥ SC ⇒ AK ⊥ (SCD) CD ⊥ AC Khi đó ( ( ))  =  =  SA; SCD ASK ASC = . ϕ Ta có: AC a 3 tan ϕ = = = 1⇒ ϕ = 45 .° Vậy ( ( ))  SA; SCD = 45 .° SA a 3
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ ABC.A B ′ C
′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của B′ lên
mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB, đường cao 3a B H ′ =
. Tính cosin góc giữa đường 4 thẳng B H ′ và mặt phẳng (BCC B ′ ′) . Lời giải BC ⊥ B H ′ Dựng HE ⊥ BC,HF ⊥ B E ′ ta có:  suy ra BC ⊥ HE ⊥ ⇒ ⊥ ( ′ ′) ⇒ ( ′ ( ′ ′))  BC HF HF B BCC B H; BCC B =  ′ =  HB F HB E ′ . Ta có: =  a a 3 HE HBsin HBE = sin 60° = 2 4 ′ ′ Do đó  B H B H 3 cos HB E ′ = = = . ′ 2 2 B E B H ′ + HE 2
Dạng 4: Góc giữa cạnh bên và mặt bên
Tính góc giữa cạnh bên SC và mặt phẳng (SAB). Đặt (SC;(SAB))
 = ϕ(0° ≤ ϕ ≤ 90°). d(C;(SAB)) Ta có công thức: sin ϕ = . SC
Từ đó suy ra các giá trị cosϕ hoặc tan ϕ nếu đề bài yêu cầu.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AD = 2a,AB = a 2 . Tam giác SAD
cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng SB tạo với đáy một góc 30° . Tính sin góc tạo bởi:
a) SA và mặt phẳng (SBC).
b) SD và mặt phẳng (SAC). Lời giải
Gọi H là trung điểm của AD ta có: SH ⊥ AD
Lại có: (SAD) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD). Ta có: 2 2 HA = a;HB = HA + AB = a 3 Do ⊥ ( ) ⇒ ( ( ))  =  SH ABCD SB; ABCD SBH = 30° Suy ra SH = HBtan 30° = a.
a) Do AD / /BC ⇒ AD / / (SBC).
Do vậy d(A;(SBC)) = d(H;(SBC)). HE ⊥ BC Dựng 
tacó: BC ⊥ HF từ đó suy ra HF ⊥ (SBC) HF ⊥ SE
⇒ d(H;(SBC)) = HF = d(A;(SBC)). Ta có: 2 2 SA = SH + SA = a 2 = SD. 1 1 1 a 6 d(A; SBC ) Mặt khác: 3 = + ⇒ HF = ⇒ sin SA; SBC = = . 2 2 2 ( ( ))  ( ) HF SH HE 3 SA 3
b) Dựng HN ⊥ AC ⇒ AC ⊥ (SHN) , dựng HI ⊥ SN ⇒ HI ⊥ (SAC) DA d(D;(SAC)) Do = 2 = ( ⇒ d(D; SAC ) = 2d(H; SAC ) ( )) ( ) ( ) = 2HI HA d H; SAC Dựng 2a 2 a HN.SH a DM ⊥ AC ⇒ DM = ⇒ HN = ⇒ HI = = ⇒ d(D;(SAC)) = a. 2 2 6 3 HN + SH 2 d(D; SAC ) Ta có: ( ( ))  ( ) a 1 sin SD; SAC = = = . SD a 2 2
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = a 3;AD = a , tam giác SBD là
tam giác vuông cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sin góc tạo bởi SA và mặt phẳng (SBC). Lời giải
Gọi O là trung điểm của BD ta có: SO ⊥ BC mặt khác
(SBD) ⊥ (ABC) ⇒ SO ⊥ (ABC) Ta có: 2 2 1
BD = AB + AD = 2a ⇒ SO = BD = a. 2
Dựng OE ⊥ BC,OF ⊥ SE ⇒ OF ⊥ (SBC).
d(D;(SBC)) = 2d(O;(SBC)) = 2HF Ta có: 1 a 3 HE = AB = 2 2 SH.OE 3 a 21 ⇒ OF = = a = 2 2 SH + OE 7 7 Suy ra ( ( )) 2a 21 d A; SBC = . Mặt khác 2 2 SA = SO + OA = a 2. 7 d(A; SBC ) Do đó ( ( ))  ( ) 42 sin SA; SBC = = . SA 7
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ABC.A B ′ C
′ ′ có đáy là tam giác vuông tại A với AB = a;AC = a 3 , hình chiếu
vuông góc của A′ lên mặt đáy trùng với trung điểm H của BC. Biết A H
′ = a 2 . Tính cosin góc tạo bởi A B ′ với mặt phẳng (ACC A ′ ′) . Lời giải
Dựng HE ⊥ AC và HF ⊥ A E ′ AC ⊥ A H ′ Ta có:  ⇒ AC ⊥ HF ⇒ HF ⊥ (AA C ′ ). AC ⊥ HE Khi đó d(H;(A A ′ C)) = HF.
Lại có BC = 2HC nên d(B;(AA C ′ )) = 2d(H;(AA C ′ )).
Mặt khác ME là đường trung bình trong tam giác ABC ′ nên AB a ME = = . Khi đó: HE.A M a 2 HF = = 2 2 2 2 HE + A M ′ 3 Suy ra d(B;(AA C ′ )) 2a 2 2 2 = ;BC = AB + AC = 2a. 3 Lại có 2 2 A B ′ = A H ′ + HB = a 3. d(B; A A ′ C ) Suy ra ( ′ ( ′ ))  ( ) 2 6 2 57 sin A B; A AC = sin ϕ = = ⇒ cosϕ = 1− sin ϕ = . BA′ 9 9
Vấn đề 3: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
■ Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
■ Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng
Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (P); (Q).
Lấy A ∈mp(Q) , dựng AB ⊥ mp(P) (B∈(P)).
Vẽ BH vuông góc với d thì AH vuông góc d. Vậy 
AHB = α (0 < α < 90°) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
■ Định lý: Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (P) và S′ là diện tích hình chiếu H′ của H
trên mặt phẳng (P′) thì S′ = Scosϕ , trong đó ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P′).
Dạng 1: Góc giữa mặt bên và mặt đáy Phương pháp giải:
Tính góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng đáy (ABC).
Dựng đường cao SH ⊥ (ABC) , dựng HE ⊥ AB. Khi đó ⊥ ( ) ⇒ (( ) ( ))  =  AB SEH SAB ; ABC SEH.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) , đáy là hình chữ nhật ABCD với AB = a;AD = a 3.
Biết rằng mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc 60 .°
a) Tính cosin góc tạo bởi mặt phẳng (SBC) và mặt đáy (ABCD).
b) Tính tan góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt đáy (ABCD). Lời giải CD ⊥ SA a) Do 
⇒ CD ⊥ (SDA) do đó góc giữa mặt phẳng (SCD) và đáy là  SDA = 60° CD ⊥ D Suy ra SA = AD tan 60° = 3a. BC ⊥ SA Do 
⇒ BC ⊥ (SBA) ⇒ ((SBC);(ABC))  =  SBA BC ⊥ AB Mặt khác  AB AB a 1 cosSBA = = = = . 2 2 2 2 SB SA + AB 9a + a 10 Vậy (( ) ( ))  1 cos SBC ; ABC = . 10 b) Dựng ⊥ ⇒ ⊥ ( ) ⇒ (( ) ( ))  =  AH BD BD SHA ABD ; ABC SHA Lại có: AB.AD a 3 AH = = . 2 2 AB + AD 2 Suy ra (( ) ( ))  =  SA tan SBD ; ABCD tanSHA = = 2 3. AH
Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a 3;BC = a , tam giác SAC
là tam giác cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết đường thẳng SB tạo với đáy một góc 60°. Tính góc (( ) ( ))  SBC ; ABC . Lời giải
Gọi H là trung điểm của AC, do tam giác SAC cân nên ta có:
SH ⊥ AC. Mặt khác (SAC) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABC). Khi đó: ( ( ))  =  SB; ABC SBH = 60 .° Ta có: 2 2 1
AC = AB + BC = 2a ⇒ BH = AC = a. 2
Khi đó: SH = a tan 60° = a 3.
Dựng HK ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SHK). ⇒  = (( ) ( ))  SKH
SBC ; ABC , trong đó ta có: AB a 3 HK = = ; 2 2 = ⇒  1 SH a 3 cosSKH = . 5 Vậy (( ) ( ))  SBC ; ABC = ϕ với 1 cosϕ = . 5
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có AB = 2a và góc  BAD =120°. Hình chiếu
vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với giao điểm I của hai đường chéo và a SI = . Tính 2
góc tạo bởi mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD). Lời giải
Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD). Gọi H
là hình chiếu vuông góc của I trên AB. AB ⊥ HI Ta có:  ⇒ AB ⊥ (SHI). AB ⊥ SI Do đó ϕ = ( )  =  SH;IH SHI. Do  = ° ⇒  BAD 120 BAI = 60° ⇒ AB ∆ C đều cạnh 2a nên = ⇒ =  a 3 IA a IH IAsin IAB = IAsin 60° = . 2 Do đó SI 1 tan ϕ = = ⇒ ϕ = 30 .° IH 3
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AD = 2a và
AB = BC = a . Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng (SBC) tạo với đáy
(ABCD) một góc 60°. Tính tan góc tạo bởi mặt phẳng (SCD) và (SBD) với mặt phẳng (ABCD). Lời giải BC ⊥ AB Ta có:  ⇒ BC ⊥ (SBA). BC ⊥ SA Khi đó: (( ) ( ))  =  SBC ; ABCD SBA = 60° ⇒ SA = ABtan 60° = a 3.
Gọi I là trung điểm của AD ⇒ ABCI là hình vuông cạnh a 1 ⇒ CI = a = AD ⇒ AC ∆ D vuông tại C. 2 CD ⊥ AC Ta có:  ⇒ CD ⊥ (SCA). CD ⊥ SA Do đó (( ) ( ))  = ( )  =  SCD ; ABCD SC;AC SCA và  SA a 3 3 6 tanSCA = = = = . 2 2 AC AB + BC 2 2 Dựng AE ⊥ BD , lại có ⊥ ⇒ ⊥ ( ) ⇒ (( ) ( ))  =  BD SA BD SEA SBD ; ABCD SEA. Ta có: AB.AD 2a = = ⇒  SA 15 AE tanSEA = = . 2 2 AB + AD 5 AE 2
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ ABC.A B ′ C
′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của A′ lên
mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A C
′ và mặt đáy (ABC) bằng 60°.
Tính cosin góc giữa mặt phẳng (A AC ′ ) và mặt đáy (ABC). Lời giải
Gọi H là trung điểm cạnh AB ta có: A H ′ ⊥ (ABC) Do đó  A C
′ H = 60 .° Lại có: CH = ACsin 60° = a 3 ⇒ A H ′ = CH tan 60° = 3a. Dựng HK ⊥ AC ta có A H ′ ⊥ AC ⇒ (A H ′ K) ⊥ AC. Khi đó: a 3 HK = HAsin 60° = . 2 Ta có:  HK 1 cos A K ′ H = = > 0. 2 2 HK + A H ′ 13 Do vậy (( ′ ) ( ))  1 cos A AC ; ABC = . 13
Dạng 2: Góc giữa hai mặt bên Phương pháp giải:
Tính góc giữa hai mặt bên (SAC) và (SBC).
Cách 1: Tính góc giữa 2 đường thẳng a và b lần lượt vuông góc với
mặt phẳng (SAC) và (SBC).
Cách 2: Dựng đường cao SH ⊥ (ABC).
Lấy điểm M bất kỳ thuộc AC, dựng MN ⊥ HC.
Lại có: MN ⊥ SH ⇒ MN ⊥ (SHC) ⇒ MN ⊥ SC.
Dựng MK ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (MKN) ⇒ (( ) ( ))  = ( )  SAC ; SBC MK,KN .
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vuông tại B có AB = a,BC = a 3 . Biết a 6 SA =
, tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). 2 Lời giải
Dựng BH ⊥ AC ⇒ BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ SC.
Dựng BH ⊥ SC ⇒ (HKB) ⊥ SC ⇒ (( ) ( ))  =  SBC ; SAC HKB. Ta có: 2 2 a 2 2 2 SA = SB − AB = ;AC = AB − BC = 2a. 2 Khi đó  HK SA SA 1 a sin KCH = = = = ⇒ HK = . 2 2 HC SC SA + AC 3 3 Mặt khác: BA.BC a 3 = = ⇒  BH BH tan HKB = = 3 AC 2 HK ⇒ 
HKB = 60 .° Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 60°.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có  ABC = 60° , SA ⊥ (ABC) và
SA = a . Tính cosin góc giữa: a) (SBC) và (SCD). b) (SBC) và (SCD). Lời giải a) Nhận xét AB ∆
C là tam giác đều cạnh a vì AB = BC = a và 
ABC = 60° . Gọi O là tâm của hình thoi ABCD. BD ⊥ AC Ta có: 
⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC. BD ⊥ SA
Dựng BE ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (BED). Mặt khác: SA = AC = a ⇒ S
∆ AC vuông cân tại A suy ra  ECO = 45° . Khi đó a 2 OE = OCsin 45° = . 4 Lại có: a 3 = ⇒  OB OB tan BEO = = 6. 2 OE Do  − = 
BED 2BEO sử dụng công thức lượng giác hoặc máy tính CASIO ta tính được  5 cos BED = . 7 Cách khác: Ta có:  2 2 2 2 2 14 EB + ED − BD 5 BE DE OE OB cos BED − = = + = ⇒ = = . 4 2.EB.ED 7 Suy ra (( ) ( ))  5 SBC ; SCD = . 7 CM ⊥ AD
b) Dựng CM ⊥ AD ta có: 
⇒ CM ⊥ (SAD) ⇒ CM ⊥ SD. CM ⊥ SA
Dựng CK ⊥ SD ⇒ SD ⊥ (MKC).
Tam giác ACD đều cạnh a nên a 3 CM = . Do SA = AD = a ⇒ S
∆ AD vuông cân tại A suy ra 2  SDM = 45°. Do đó a 2 MK = MDsin 45° = . 4 Suy ra  CM = = ⇒  1 tan MKC 6 cos MKC = . MK 7 Vậy (( ) ( ))  1 cos SCD ; SAD = . 7
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh a với AD = 2a , biết rằng
SA ⊥ (ABCD) và mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc 45°. Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SCD) và (SBC). Lời giải
Do AD = 2a nên tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a AC ⊥ CD Ta có:  ⇒ CD ⊥ (SAC) CD ⊥ SA Suy ra (( ) ( ))  =  SCD ; ABCD SCA = 45° 2 2 ⇒ SA = AC = 4a − a = a 3
Dựng AE ⊥ SC ⇒ AE ⊥ (SCD) AH ⊥ BC Dựng 
⇒ AF ⊥ (SBC) , góc giữa 2 mặt phẳng (SCD) và (SBC) là góc giữa AE và AF. AF ⊥ SH Tacó: SA.AC a 6 AE = = ; a 3 AH = ACsin 30° = . 2 2 SA + AC 2 2 Suy ra SA.AH a 3 AF = =
, do AF ⊥ (SBC) ⇒ AF ⊥ FE . Do đó  AF 10 cos FAE = = . 2 2 SA + AH 5 AE 5
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a;AD = a 3 , cạnh bên
SA ⊥ (ABCD) . Biết mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy một góc 60°. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD). Lời giải
Do SA ⊥ (ABCD) và BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SBA) Do đó (( ) ( ))  =  SBC ; ABC SBA = 60 ;°AC = 2a ⇒ SA = ABsin 60° = a 3. Dựng DE ⊥ AC (E∈BC) tại I, mặt khác
DE ⊥ SA ⇒ DE ⊥ (SAC) ⇒ DE ⊥ SC . Dựng IH ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (EHD). Ta có: =  DI DCsin ICD trong đó  = ⇒  tan ICD 3 ICD = 60 .° 2 Suy ra a 3 DC 2a DI = a sin 60° = ;DE = = . 2 DI 3 a 3 a ⇒ = − = ⇒ = =  SA 3 = = ⇒ =  a 3 IE DE DI CI EI.DI ;sin ICH IH ICsin IHC = 6 2 SC 7 2 7 Suy ra 2 2 2a a 42 EH = EI + IH = ;ED = . 21 7 2 2 2 Do đó  EH + HD − ED − 2 = = < ⇒ (( ) ( ))  2 cos EHD 0 cos SBC ; SCD = . 2.EH.HD 4 4
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết SA ⊥ (ABCD) , tính độ dài
đoạn thẳng SA để góc giữa mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 60°. Lời giải BD ⊥ AC Ta có: 
⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC. BD ⊥ SA
Kẻ BI ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (BID). Vậy (( ) ( ))  = ( )  SBC ; SCD BI;ID = 60 .° OI ⊥ SC Dễ thấy  1 =  . BIO BID  2
■ Trường hợp 1:  = ° ⇒  BID 60 BIO = 30 .° Ta có:  BO a 6 a 2 tan BIO = = tan 30° ⇒ OI = > OC = (vô lý). IO 2 2
(OI là cạnh góc vuông, OC là cạnh huyền của tam giác vuông OIC).
■ Trường hợp 2:  = ° ⇒  BID 120 BIO = 60 .° Ta có:  BO a 6 tan BIO = = tan 60° ⇒ OI = . IO 6 Mặt khác:  OI 3 = = ⇒  1 = ⇒ =  sin ICO tan ICO SA AC tan ICO = a. OC 3 2
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh a với AB = 2a , biết rằng
SA ⊥ (ABCD) và SA = a 3 . Tính tan góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD). Lời giải
Do ABCD là nửa lục giác đều cạnh a với AB = 2a ⇒ ABCD nội tiếp đường
tròn đường kính AB. Do đó  ABD = 90 .°
Gọi I = AB∩ CD ⇒ SI = (SAB) ∩(SCD). AI ⊥ BD Do 
⇒ BD ⊥ (SAI) ⇒ BD ⊥ SI. BD ⊥ SA
Dựng BK ⊥ SI ⇒ SI ⊥ (BKD). Khi đó (( ) ( ))  = ( )  =  SAB ; SCD BK;KD BKD.
Do BD ⊥ (SAI) ⇒ BD ⊥ BK ⇒ K ∆ BD vuông tại B có 2 2 BD = AD − AB = a 3. BC / /AD Do  1
⇒ BC là đường trung bình trong tam giác AID ⇒ AB = BI và AI = 2a BC =  AD  2 1 ⇒ = ( ) 1 SA.AI a 21 = = ⇒  BD BK d A;SI . tan BKD = = 7. 2 2 2 2 SA + AI 7 BK
Dạng 3: Sử dụng định lý hình chiếu để tính góc giữa hai mặt phẳng
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) . Trên cạnh SA lấy điểm M sao 2
cho diện tích tam giác MBC bằng a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBC) và (ABC). 2 Lời giải 2 Ta có: a 3 S = . Gọi ϕ = (( ) ( ))  MBC ; ABC ABC 4 Do AB ∆
C là hình chiếu của tam giác MBC trên mặt phẳng (ABC) do đó 2 a 3 S 4 1 ABC cosϕ = = = ⇒ ϕ = 60 .° 2 S a 3 2 MBC 2
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA ⊥ (ABCD) . Gọi N là trung điểm của
SA, mặt phẳng (NCD) cắt khối chóp theo một thiết diện có diện tích 2
S = 2a 3 . Tính góc giữa mặt phẳng
(NDC) và mặt phẳng (ABCD). Lời giải Đặt ϕ = (( ) ( ))  NCD ; ABCD .
Do CD / /AB ⇒ (NCD) cắt (SAB) theo thiết diện NM / /AB ⇒ MN là
đường trung bình của tam giác SAB.
Khi đó thiết diện là tứ giác MNDC.
Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (ABCD) thì
H là trung điểm của AB và a + 2a 2 S = .2a = 3a . ABCD 2
Do tứ giác HADC là hình chiếu của tứ giác MNDC trên 2 mặt phẳng (ABCD) S 3a 3 AHCD ⇒ cosϕ = = = . 2 S 2a 3 2 NMCD Do đó ϕ = 30 .°
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B ′ C
′ ′ có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a ,  BAC =120°,
cạnh bên BB′ = a , gọi I là trung điểm của CC′. Chứng minh rằng tam giác AB I′ vuông tại A và tính cosin
góc giữa hai mặt phẳng (AB I′) và (ABC). Lời giải Ta có: 2 2 = ′ ′ = + −  BC B C AB AC 2AB.ACcos BAC = a 3.  2 2 AB′ = AB + BB′ = a 2  Mặt khác  2 2 a 5 AI = AC + CI = . 2   2 2 a 13 B I′ = B C ′ ′ + C I′ =  2 2 Do 2 2 13a AB′ + AI = B I′ = ⇒ B ∆ AI ′ vuông tại A. 4 2 Ta có: 1 a 10 S = ′ = ′ AB .AI . AB I 2 4 1 =  2 a 3 S AB.ACsin BAC = ⇒ cos((AB I′);(ABC))  S 30 ABC = = . ABC 2 4 S ′ 10 AB I
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A B ′ C ′ D
′ ′ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao AA′ = 6a .
Trên CC′ lấy điểm M, trên DD′ lấy điểm N sao cho CM = 2MC và DN = 2ND′ . Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (B MN ′ ) và (ABCD). Lời giải Gọi ϕ = (( ′ ) ( ))  B MN ; ABCD . 2 Ta có: a S = ;D N ′ = 2a;C M ′ = 4a BCD 2 Lại có: 2 2 B D ′ ′ = a 2 ⇒ B N ′ = B D ′ ′ + D N ′ = a 6 2 2 B M ′ = B C ′ ′ + C M ′ = a 17, 2 MN = a + (2a)2 = a 5.
Theo công thức Herong S = p(p − a)(p − b)(p − c) Ta tính được: 21 S = . BMN 2 Do BC S ∆ D là hình chiếu của B ∆ MN ′
trên mặt phẳng (ABCD) nên 1 BCD cosϕ = = . SBMN ′ 21
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = 3a vuông góc với mặt
phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của cạnh SD (tham khảo hình vẽ bên). Côsin góc
giữa hai đường thẳng AM và SC bằng A. 5 . B. 2 5 . 5 5 C. 3. D. 4 . 5 5
Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A B ′ C ′ D
′ ′ cạnh a. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của AC và B C
′ ′ (tham khảo hình vẽ bên). Côsin góc giữa hai đường thẳng MN và B D ′ ′ bằng A. 10 . B. 10 . 5 10 C. 5 . D. 10 . 10 20
Câu 3: Cho tứ diện ABCD có 3 AC = AD ,  = 
CAB DAB = 60°, CD = AD . Gọi ϕ là góc giữa hai đường 2
thẳng AB và CD. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. 3 cosϕ = . B. ϕ = 60 .° C. ϕ = 30 .° D. 1 cosϕ = . 4 4
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3. Cạnh SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và thể tích khối chóp S.ABCD bằng 9 3 . Gọi M là trung điểm của cạnh SB. Côsin của góc giữa
hai đường thẳng AM và CD bằng A. 1 . B. 3 . C. 1 . D. 1. 2 2 2 3
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3. Cạnh SA = 3 3 và vuông góc
với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của cạnh SB. Côsin của góc giữa hai đường thẳng AM và SD bằng A. 1 . B. 1. C. 3 . D. 2 . 4 3 4 3
Câu 6: Cho hình ABC.A B ′ C
′ ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3,AC = 3 3 . Hình chiếu
vuông góc của A′ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC. Đường thẳng AA′ tạo với mặt
phẳng (ABC) một góc bằng 45°. Côsin cùa góc giữa hai đường thẳng BB′ và A C ′ bằng A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 1 . 4 5 3 4
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA = a 2 và vuông góc với mặt
phẳng đáy. Trên cạnh SB lấy điểm M sao cho SM = 2BM . Côsin của góc giữa hai đường AM và CD bằng A. 2 . B. 6 . C. 1 . D. 2 . 3 3 6 6
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy, cạnh SA = a , SB = a 2 . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Côsin của góc giữa
hai đường thẳng SO và CD bằng A. 2. B. 2 . C. 2 . D. 2 . 3 3 3 4 6
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA = a 2 và vuông góc với mặt
   
phẳng đáy. Lấy hai điểm M, N sao cho SM = MB , SN = 2DN . Côsin của góc giữa hai đường MN và SC bằng A. 3 7 . B. 7 . C. 721 . D. 3 21 . 28 14 28 14
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a, M là trung điểm cạnh AB, hình
chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là giao điểm của AC và DM. Biết tam giác SAD
vuông tại S. Cosin góc giữa DM và SC là: A. 1 . B. 2 . C. 1 . D. 2 . 3 5 3 5 5 5
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt
đáy trùng với trọng tâm G của tam giác ABD , mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60°. Cosin góc giữa hai
đường thẳng SA và BG là: A. 1 . B. 97 . C. 1 . D. 1 . 70 162 2 7 4 7
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,SA = a,SB = 3 và (SAB) vuông
góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Cosin của góc giữa 2 đường thẳng SM và DN là: A. 2 − . B. 2 . C. 1 − . D. 1 . 5 5 5 5
GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD) . Góc giữa SB và (SAD) là góc
nào trong các phương án dưới đây? A.  BSA. B.  SBA. C.  BSD. D.  SBD.
Câu 14: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Góc giữa CD và (ABD) là góc  CDB .
B. Góc giữa AC và (BCD) là góc  ACB .
C. Góc giữa CD và (ABC) là góc  DBC .
D. Góc giữa AC và (ABD) là góc  CAB .
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, SA ⊥ (ABCD) . Góc giữa SA và (SBD) là A.  SAB. B.  ASB. C.  ASO. D.  ASD.
Câu 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)
trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Số đo của góc giữa SA và (ABC) là A. 60 .° B. 75 .° C. 45 .° D. 30 .°
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD) . Góc giữa SC và (SAB) là góc nào dưới đây? A.  CSA. B.  CSB. C.  SCA. D.  SCB.
Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của
S trên (ABC). Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
B. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
C. H là trọng tâm tam giác ABC.
D. H là trực tâm tam giác ABC.
Câu 19: Cho hình chóp tam giác đều, các cạnh bên có độ dài bằng a và tạo với đáy một góc 60 .° Tính chu
vi đáy P của hình chóp đó. A. P = 3a. B. 3a P = . C. 3a 3 P = . D. P = 3a 3. 2 2
Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a 6 . Gọi α
là góc giữa SC và (ABCD). Tính cosα . A. 3 cosα = . B. 3 cosα = . C. 2 cosα = . D. 1 cosα = . 2 3 2 2
Câu 21: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông với cạnh huyền BC = a . Hình chiếu vuông
góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a . Số đo của góc giữa SA và (ABC) là A. 30 .° B. 45 .° C. 60 .° D. 75 .°
Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao
SH vuông góc với (ABCD). Gọi α là góc giữa BD và (SAD). Tính sin α . A. 3 sin α = . B. 1 sin α = . C. 10 sin α = . D. 6 sin α = . 2 2 4 4
Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD) . Gọi I, J, K lần lượt là
trung điểm của AB, BC và SB. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa BD và (SAC) là 90 .°
B. Góc giữa BD và (SAB) là  DBA.
C. Góc giữa BD và (IJK) là 60 .°
D. Góc giữa BD và (SAD) là  BDA.
Câu 24: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực
tâm các tam giác ABC và SBC. Số đo góc giữa HK và (SBC) là A. 60 .° B. 90 .° C. 45 .° D. 120 .°
Câu 25: Cho hình lập phương ABCD.A B ′ C ′ D
′ ′ . Gọi α là góc giữa AC′ và (ABCD). Tính tan α . A. tan α =1. B. 1 tan α = . C. 2 tan α = . D. 1 tan α = . 2 3 3
Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng
đáy, SA = a . Gọi α là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB). Khi đó, tan α nhận giá trị nào trong các giá trị sau? A. tan α = 2. B. tan α = 3. C. 1 tan α = . D. tan α =1. 2
Câu 27: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC. Biết AB = a ,
góc giữa MN và mặt phẳng đáy bằng 45°. Tính SO. A. a 10 SO = . B. a 5 SO = . C. a 10 SO = . D. a 5 SO = . 2 4 4 2
Câu 28: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) , tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực
tâm tam giác ABC và SBC. Tính số đo góc α giữa SC và (BHK). A. α = 30 .° B. α = 45 .° C. α = 60 .° D. α = 90 .°
Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và hình chiếu vuông góc
của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD.
Tính giá trị sin ϕ của góc giữa SN và mặt phẳng (SCM). A. 3 sin ϕ = . B. 3 sin ϕ = . C. 3 sin ϕ = . D. 3 sin ϕ = . 2 5 2 5
Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và hình chiếu vuông góc
của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của AB. Tính giá trị sin ϕ của góc giữa SD và (SBC). A. 3 sin ϕ = . B. 6 sin ϕ = . C. 3 sin ϕ = . D. 6 sin ϕ = . 2 2 4 4
Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA = a 3 . Kẻ AP ⊥ SB, AQ ⊥ SD lần lượt tại P và Q. Gọi M là trung điểm của SD. Tính giá trị cosϕ của góc giữa CM và (APQ). A. 1 cosϕ = . B. 3 cosϕ = . C. 5 cosϕ = . D. 2 cosϕ = . 10 10 3 3 6
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẢNG
Câu 32: Cho hai mặt phẳng cắt nhau (α) và (β) , biết rằng có các đường thẳng thỏa mãn d ⊥ α , 1 ( )
d ⊥ β , d / / α , d / / β . Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? 4 ( ) 3 ( ) 2 ( )
A. Góc giữa (α) và (β) là góc giữa d và d
B. Góc giữa (α) và (β) là góc giữa d và d 3 4 1 2
C. Góc giữa (α) và (β) là góc giữa d và d
D. Góc giữa (α) và (β) là góc giữa d và d 1 4 2 4
Câu 33: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC).
Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng góc nào dưới đây? A.  CSA B.  SBA C.  SCA D.  ASB
Câu 34: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a, cạnh bên SA = 2a vuông góc
với mặt phẳng đáy (ABC). Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). A. 45° B. 49 6 ° ′ C. 40 53 ° ′ D. 62 14 ° ′
Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC = 2a . Biết rằng cạnh bên SA = a vuông
góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). A. 60° B. 30° C. 45° D. 90°
Câu 36: Cho tam giác ABC không nằm trong mặt phẳng (P), giả sử góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng
(ABC) là ϕ , ϕ ≠ 90°. Gọi A′, B′, C′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của ba điểm A, B, C lên mặt phẳng
(P). Khi đó, hệ thức nào sau đây là đúng? A. S = S ϕ B. S = ϕ C. S = ϕ D. S = S ϕ ′ ′ ′.sin ′ ′ ′ S .sin ′ ′ ′ S .cos ′ ′ ′.cos ABC A B C A B C ABC A B C ABC ABC A B C
Câu 37: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) . Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC). Khẳng
định nào sau đây đúng? A. S = S .cosϕ B. S = S .sin ϕ C. S = S .cosϕ D. S = S .cosϕ ABC SBC ABC SBC ABC SAB ABC SAC
Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD) . Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là A.  AOS B.  ADS C.  ABS D.  BSO
Câu 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD) , gọi I, J lần lượt là trung điểm cạnh
AB, CD. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng góc giữa hai đường thẳng nào? A. SA và SD B. SB và SC C. SB và SD D. SI và SJ
Câu 40: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD) . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD). A. 30° B. 60° C. 90° D. 45°
Câu 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a 3 . Tính góc giữa
hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD). A. 30° B. 60° C. 90° D. 45°
Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD) . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD). A. 90° B. 45° C. 60° D. 30°
Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD) . Gọi H là hình chiếu vuông
góc của O lên cạnh SC . Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng góc giữa hai đường thẳng nào sau đây? A. SB và SD B. BH và CH C. CH và DH D. BH và DH
Câu 44: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a. Tính tan
của góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp. A. 2 2 B. 2 2 C. 2 D. 3
Câu 45: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính tang của góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy của chóp. A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 2 2
Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
(ABCD). Biết rằng AC = 2a và SA = a 6 . Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD). A. 60° B. 50 46 ° ′ C. 39 13 ° ′ D. 30°
Câu 47: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh là 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy (ABCD). Biết rằng BD = 2a và SA = a 6 . Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SAD). A. 60° B. 30° C. 47 25 ° ′ D. 90°
Câu 48: Cho hình lập phương ABCD.A B ′ C ′ D
′ ′ , tính góc ϕ tạo bởi mặt phẳng (A BD ′ ) với mặt phẳng (A B ′ C ′ D ′ ′). A. ϕ ≈ 54 44 ° ′ B. ϕ = 60° C. ϕ = 45° D. ϕ ≈ 35 15 ° ′
Câu 49: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a 3 . Cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy (ABC). Tính góc ϕ tạo bởi mặt phẳng (SAB) và (SAC). A. ϕ = 30° B. ϕ ≈ 53 24 ° ′ C. ϕ = 60° D. ϕ ≈ 64 27 ° ′
Câu 50: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, có cạnh bằng a và  ABC = 60° . Cạnh bên a 6 SC =
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Xác định độ lớn của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). 2 A. 60° B. 45° C. 90° D. 30°
Câu 51: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng hai lần cạnh đáy. Tính góc ϕ giữa mặt bên
và mặt đáy của hình chóp. A. ϕ ≈ 75 2 ° ′ B. ϕ ≈ 73 53 ° ′ C. ϕ ≈ 75 31 ° ′ D. ϕ ≈ 72 14 ° ′
Câu 52: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hình chiếu của đỉnh S xuống mặt phẳng
(ABCD) trùng với trung điểm M của cạnh AB. Giả sử rằng tam giác SAB là tam giác đều, hãy tính góc ϕ
tạo bởi mặt phẳng (SCD) với mặt phẳng (ABCD). A. ϕ = 45° B. ϕ ≈ 49 6 ° ′ C. ϕ ≈ 40 53 ° ′ D. ϕ = 60°
Câu 53: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có mặt bên tạo với đáy một góc bằng 30° , biết rằng diện tích
xung quanh của hình chóp là 2
90cm thì diện tích đáy của hình chóp gần bằng với giá trị nào dưới đây nhất? A. 2 77cm B. 2 72cm C. 2 75cm D. 2 78cm
Câu 54: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của SC. Tính
góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (SAC). A. 60° B. 45° C. 90° D. 30°
Câu 55: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a , AD = 2a . Cạnh bên SA vuông góc
với đáy (ABCD), SA = 2a . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). A. 5 B. 2 C. 5 D. 1 5 2 5
Câu 56: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B ′ C
′ ′ có đáy là tam giác vuông cân, AB = BC = 2a , AB′ = 4a . Tính
góc ϕ tạo bởi hai mặt phẳng (A BC ′ ) và (A B ′ C ′ ′). A. ϕ = 30° B. ϕ = 45° C. ϕ ≈ 53 35 ° ′ D. ϕ = 60°
Câu 57: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính độ lớn góc ϕ tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC). A. ϕ = 60° B. ϕ ≈ 54 23 ° ′ C. ϕ = 45° D. ϕ ≈ 63 26 ° ′
Câu 58: Cho hình lập phương ABCD.A B ′ C ′ D
′ ′ có cạnh bằng a và M là trung điểm của AA′ . Góc giữa hai
mặt phẳng (ABCD) và (MBD) gần bằng góc nào dưới đây nhất? A. 35° B. 42° C. 50° D. 60°
Câu 59: Cho hình chóp S.ABCD có dường cao SA = a , đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với
AB = 2a , AD = DC = a . Tang góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng. A. 1 B. 1 C. 1 D. 3 2 3
Câu 60: Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA, đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = a 3 , AD = a . Độ
lớn góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
Câu 61: Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA = 3a , đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = a 3 ,
AD = a . Độ lớn góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (DBC) bằng A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
Câu 62: Cho tứ diện A.BCD có BC = a 2 , a 6 AD =
và các cạnh còn lại bằng a. Độ lớn góc giữa hai mặt 2
phẳng (ABC) và (DBC) bằng A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
Câu 63: Cho hình chóp S.ABCD có đường cao SA = 3a , đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = a 3 ,
AD = a . Tang của góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABD) bằng A. 1 B. 3 C. 2 3 D. 2 3
Câu 64: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ϕ
(0° < ϕ < 90°). Tính tang của góc α giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo ϕ . A. tan α = tan ϕ B. tan α = 2 tan ϕ C. tan α = 3 tan ϕ D. 1 tan α = tan ϕ 2
Câu 65: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B ′ C ′ D
′ ′ có AA′ = 4AB = 2AD . Tính sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (A BD ′ ) với mặt phẳng (ABCD). A. 2 5 B. 2 105 C. 21 D. 5 21 21
Câu 66: Một miếng bìa hình chữ nhật có chiều rộng là 30cm, chiều dài là 40cm, người ta gấp cạnh dài của
hình chữ nhật thành bốn phần bằng nhau và dán lại để tạo thành một hình hộp đứng ABCD.A B ′ C ′ D ′ ′ . Tính
góc ϕ tạo bởi mặt chéo (ABC D ′ ′) và (ABCD). A. ϕ ≈ 56 18 ° ′ B. ϕ ≈ 36 52 ° ′ C. ϕ ≈ 76 44 ° ′ D. ϕ ≈ 71 33 ° ′
Câu 67: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC ,  ASB =120°,  BSC = 90° , 
CSA = 60° . Độ lớn góc giữa
hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng A. 90° B. 120° C. 45° D. 30°
Câu 68: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC ,  ASB =120°,  BSC = 90° , 
CSA = 60° . Tan của góc giữa
hai mặt phẳng (ABC) và (SAC) bằng A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 2 3 2
Câu 69: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = x . Xác định
x để hai mặt phẳng (SCD) và (SBC) tạo với nhau một góc 60°. A. a B. a 3 C. a 2 D. a 2
Câu 70: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = x . Hai điểm
M và N thay đổi trên hai cạnh CB và CD, đặt CM = x , CN = y . Xác định hệ thức liên hệ giữa x và y để
hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc 45°. A. 2
2a + xy = 2a (x + y) B. 2
2a + xy = a (x + y) C. 2
a + xy = 2a (x + y) D. 2 a + xy = a (x + y)
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Gọi N là trung điểm của CD ⇒ MN / /SC. Do đó ( )  = ( )  =  AM;SC AM;MN AMN
Tam giác SAD vuông tại A, có SD 2a AM = = = a. 2 2
Tam giác ADN vuông tại D, có 2 2 a 5 AN = AD + ND = . 2
Tam giác SAC vuông tại A, có a 5 SC = a 5 ⇒ MN = . 2 ⇒  2 2 2 2 AM + MN − AN a 5 cos AMN = = = . Chọn A. 2.AM.MN a 5 5 2a. 2
Câu 2: Gọi E là trung điểm của ′ ′  → ′ ′ ⇒ ( ′ ′)  = ( )  =  C D NE / /B D MN;B D MN; NE MNE. Dễ thấy 1 a 2 NE = B D ′ ′ =
; Gọi O là tâm hình vuông A B ′ C ′ D ′ ′ ⇒ MO ⊥ (A B ′ C ′ D ′ ′) 2 2 2
Suy ra tam giác MNO vuông tại O, có 2 2 2  a  a 5 MN = MO + NO = a + =   .  2  2 Tam giác MNE có a 5 MN = ME = , a 2 NE = 2 2 ⇒  2 2 2 MN + NE − ME 10 cos MNE = = . Chọn B. 2.MN.NE 10     Câu 3: Ta có ( )  AB.CD AB.CD
cos AB;CD =   = AB . CD AB.CD
    
   
Mặt khác AB.CD = AB(AD − AC) = AB.AD −AB.AC        
= AB . AD cos(AB.AD)− AB . AC .cos(AB.AC)
= AB.AD.cos60° − AB.AC.cos60° 1 3 1 1 1
= AB.AD. − AB. AD. = − AB.AD = − AB.CD. 2 2 2 4 4 1 − AB.CD Do đó cos(AB;CD)  4 1 = = . Chọn D. AB.CD 4 Câu 4: ⇒ ( )  = ( )  =  =  CD / /AB AM;CD AM;AB MAB MBA ⇒ ( )  =  AB cos AM;CD cos MBA = . SB Theo bài 1 1 2 V = SA.S = SA.3 = 9 3 ⇒ SA = 3 3 S.ABCD ABCD 3 3 2 2 ⇒ = + = ⇒ ( )  AB 1 SB SA AB 6 cos AM;CD = = . SB 2 Chọn A.   
   Câu 5: Ta có 1
AM = (AS+ AB) và SD = AD − AS 2
  1     ⇒ = ( + )( − ) 1 2 27 AM.SD AS AB AD AS = − SA = − . 2 2 2 1 1 2 2 AM = SB = SA + AB = 3 ; 2 2 SD = SA + AD = 6 2 2   ⇒ ( )  AM.SD 3 cos AM;SD = = . Chọn C. AM.SD 4
Câu 6: Gọi H là trung điểm của cạnh BC ⇒ A H ′ ⊥ (ABC) ⇒ ( ′ ( )))  =  AA ; ABC A AH ′ = 45° ⇒ H
∆ AA′ vuông cân tại H ⇒ HA′ = AH. Cạnh 2 2 BC
BC = AB + AC = 6 ⇒ HA′ = AH = = 3. 2 AA′ = AH 2 = 3 2 Ta có:  2 2 A C ′ = A H ′ + HC = 3 2 ⇒ ( ′ ′ )  = ( ′ ′ )  =  cos BB ;A C cos AA ;A C cos AA C ′ 2 2 2 A A ′ + A C ′ − AC 1 = = . Chọn D. 2A A ′ .A C ′ 4 Câu 7: Ta có ⇒ ( )  = ( )  =  CD / /AB AM;CD AM;AB MAB ⇒ ( )  =  2 2 2 AM + AB − BM cos AM;CD cos MAB = . 2AM.AB Cạnh 1 1 2 2 a BM = SB = SA + AB = . 3 3 3      
Ta có SM = 2MB ⇒ AM − AS = 2(AB− AM)    2 2 2 2
⇒ 3AM = AS + 2AB ⇒ 9AM = AS + 4AB = 6a a 6 ⇒ = ⇒ ( )  6 AM cos AM;CD = . Chọn B. 3 3 Câu 8: Cạnh 2 2 AB = SA + AB = a 3.
Kẻ SH ⊥ AB (H∈AB) ⇒ SH ⊥ (ABCD). 2 Cạnh SA a 1 AH = = ⇒ AH = AB. AB 3 3
         +) 1 1
SO = HO − HS = AO − AH − HS = AC − AB − HS 2 3 1        = ( + ) 1 1 1
AB AD − AB − HS = AB + AD − HS. 2 3 6 2     +) 1 2 1 2
CD = −AB ⇒ SO.CD = − AB = − a . 6 2 2 2      +) 1 1 2 AB AD SO = AB + AD − HS ⇒ SO = + + HS. 6 2 36 4   SO.CD +) 1 1 1 2 2 = + ⇒ = ⇒ = ⇒ ( )  2 SH a SO a cos SO;CD = = . Chọn D. 2 2 2 SH SA SB 3 3 SO.CD 6
     
Câu 9: Ta có SC = AC − AS = AB + AD − AS.
     +) 1 2 MN = SN −SM = SB − SD 2 3 1        = ( − ) 2 − ( − ) 1 2 1 AB AS AD AS = AB − AD − AS 2 3 2 3 6   1 2 3 2 1 2 1 2
⇒ SC.MN = AB − AD − SA = − a . 2 2 6 2 +) 2 2 2 2 SC = SA + AC = 2a + 2a = 2a.     +) 1 2 1 MN = AB − AD + AS 2 3 6   MN.SC 2 1 2 4 2 1 2 a 7 ⇒ = + + ⇒ = ⇒ ( )  3 7 MN AB AD SA MN cos MN;SC = = . Chọn A. 4 9 36 3 MN.SC 28
Câu 10: Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có H là trọng tâm của tam giác ABD. +) Đặt SH = x ta có: AC AC = 3a 2 ⇒ AH = = a 2 3 2 +) 2 2 2  3a  3a 5 DM = AD + AM = 9a + =  2    2 +) 2 DH = DM = a 5 suy ra 2 2 2 SA = h + 2a , 3 2 2 2 SD = h + 5a , 2 2 AD = 9a +) Do đó ta có: 2 2 2 SA + SD = AD ⇒ h = a Ta dựng HK / /SC khi đó: ( )  = ( )  DM;SC DH;HK +) Ta có: 2 2 2 2
SC = SH + HC = a + 8a = 3a ⇒ HK = a,DH = a 5, 2   Mặt khác: 2 2 2 2a 3 22 DK = SD + SK = 6a +   = a  3  3   2 2 2 Do đó  DH + HK − DK 2 − = = ⇒ ( )  2 cos DHK cos DM;SC = . Chọn B. 2.DH.DK 3 5 3 5
Câu 11: Dựng GE / /AD ⇒ CE = 2ED. Khi đó GE ⊥ CD Mặt khác ⊥ ⇒  SG CD SEG = 60°; 2 2a GE = AD = 3 3 Suy ra 2a 3 SG = GE tan 60° = = h 3
+) Trong mp(SAC) dựng GK / /SA 2 2   +) 2 2 4a a 2 a 14 SA = SG + GA = +   = 3  3  3   2 2a 14 2 ⇒ GK = SA = ; 2 2 a a 5 BG = a + = . 3 9 3 4 3 BO ⊥ AC Nhận xét 2 2 
⇒ BO ⊥ OK ⇒ BK = BO + OK BO ⊥ SG 2 2 +) 2 2 4a 8a 2a 5 2 4a 5 a 2 SC = SG + GC = + = ⇒ CK = SC = ,OC = 3 9 3 3 9 2 +)  GC 2 2 2 2 = = ⇒ = + −  97 2 2 89 2 cosSCG OK OC CK 2OC.CK cosGCK = a ⇒ BK = a SC 5 162 81 2 2 2 +) Do đó  GB + GK − BK 1 cos KGB = =
= cos(SA;BG). Chọn A. 2GBGK 70
Câu 12: Kẻ ME  ND , với E ∈AD ⇒ ( ) ⇒ ( )  =  ND SMN SM; ND SME 2 2 2 2 2 a 5
ME = AE + AM ⇒ ME = AE + AM = . 2 Do 2 2 2 SA + SB = AB ⇒ SA ∆ B vuông tại S AB 2a ⇒ SM = = = a. 2 2
Kẻ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ AD mà AB ⊥ AD. ⇒ ⊥ ( ) 2 2 a 5 AD
SAB ⇒ SA ⊥ AD ⇒ SE = SA + AE = 2 +) Xét S ∆ ME với a 5 ME = , a 5 SE = , SM = a , ta có 2 2  2 2 2 2 SM + ME −SE a 1 cosSME = = = . Chọn D. 2.SM.ME a 5 5 2.a. 2
Câu 13: Ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB
Mặt khác AB ⊥ AD ⇒ AB ⊥ (SAD).
Do đó góc giữa SB và (SAD) là góc  BSA . Chọn B. AC ⊥ AB Câu 14: Do  ⇒ AC ⊥ (ABD). AC ⊥ AD
Khi đó góc giữa CD và (ABD) là góc  CDA.
Tương tự AD ⊥ (ABC) ⇒ góc giữa CD và (ABC) là  DCA.
AC ⊥ (ABC) ⇒ góc giữa AC và (ABD) là góc  CAB = 90 .°
Khẳng định B sai (kẻ AH ⊥ (BCD) ⇒ góc giữa AC và (BCD) là góc  ACH. Chọn D.
Câu 15: Ta có ABCD là hình thoi nên: AO ⊥ BD
Mặt khác SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD Do đó BD ⊥ (SOA). AH ⊥ SO Dựng AH ⊥ SO ⇒  ⇒ AH ⊥ (SBD) AH ⊥ BD
Khi đó góc giữa SA và (SBD) là  =  ASH ASO. Chọn C.
Câu 16: Do các tam giác ABC đều và SBC đều nên SH ⊥ BC ; AH ⊥ BC và a 3 SH = AH = . 2
Do SH ⊥ (ABC) ⇒ góc giữa SA và (ABC) là  SAH. Mà  SH = = ⇒  tanSAH
1 SAH = 45 .° Chọn C. AH
Câu 17: Do SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC.
Mặt khác ABCD là hình chữ nhật nên BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) ⇒ góc giữa SC và (SAB) là  CSB. Chọn B.
Câu 18: Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC).
Theo giả thiết ta có:  =  =  SAH ABH SCH Khi đó S ∆ AH = S ∆ BH = S ∆ CH ⇒ HA = HB = HC.
Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chọn B.
Câu 19: Gọi S.ABC là hình chóp tam giác đều thì hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC và cũng là trọng tâm tam giác ABC
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm của AC. Khi đó 2 2 AB 3 AB 3 BH = AM = . = . 3 3 2 3 Lại có:  a AB 3 a
SBH = 60° ⇒ BH = SBcos60° = ⇒ = 2 3 2 a 3 ⇒ AB =
⇒ chu vi đáy P của hình chóp đó là 2 3a 3 P = 3AB = . Chọn C. 2 Câu 20: ⊥ ( ) ⇒ ( ( ))  =  SA ABCD SC; ABCD SCA.
Do ABCD là hình vuông cạnh a ⇒ AC = a 2.
Tam giác SAC vuông tại S nên 2 2 SC = SA + AC = 2a 2. Khi đó AC 1 cosα = = . Chọn D. SC 2
Câu 21: Gọi H là trung điểm của BC thì SH ⊥ (ABC) và BC a AH = = . 2 2 Lại có: a 2 2 a 3 HB = ⇒ SH = SB − HB = . 2 2
Góc giữa SA và (ABC) là  SAH ,  SH tanSAH = = 3. HA Do đó  SAH = 60° . Chọn C.
Câu 22: Do SAB là tam giác đều nên H là trung điểm cạnh AB. Ta có:
SH ⊥ AD mà ABCD là hình vuông nên AD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ (SBA).
Trong tam giác đều SAB dựng đường cao BK ⇒ K là trung điểm của SA. Lại có: ⊥ ⇒ ⊥ ( ) ⇒ α =  AD BK BK SAD BDK. Đặt a 3 AB = a ⇒ BD = a 2;BK = 2 Do đó BK a 3 6 sin α = = : a 2 = . Chọn D. BD 2 4 BD ⊥ AC Câu 23: Do  ⇒ BD ⊥ (SAC). BD ⊥ SA
Do đó góc giữa BD và (SAC) là 90° . IK / /SA Mặt khác 
(tính chất đường trung bình) KJ / / SC
Suy ra (IJK) / / (SAC) ⇒ BD ⊥ (IJK).
Vậy góc giữa BD và (IJK) là 60° ⇒ C sai. Chọn C. BC ⊥ SA Câu 24: Ta có  ⇒ BC ⊥ (SAH) BC ⊥ AH BC ⊥ SA Tương tự 
⇒ BC ⊥ (SAK) ⇒ 4 điểm S, A, H, K đồng phẳng. BC ⊥ SK BH ⊥ SA Lại có: 
⇒ BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ SC. BH ⊥ AC BH ⊥ SC Khi đó 
⇒ SC ⊥ (BHK) ⇒ SC ⊥ HK. BK ⊥ SC
Mặt khác HK ⊥ BC ⇒ HK ⊥ (SBC) ⇒ Số đo góc giữa HK và (SBC) là 90° . Chọn B.
Câu 25: Do CC′ ⊥ (ABCD) ⇒ góc giữa A C ′ và (ABCD) là góc  CC′ 1 C AC ′ ⇒ tan α = = . Chọn B. AC 2
Câu 26: Do SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC.
Mặt khác ABCD là hình chữ nhật nên BC ⊥ AB
Suy ra BC ⊥ (SAB) ⇒ góc giữa SC và (SAB) là α =  CSB.. Khi đó BC BC a 1 tan α = = = = . Chọn C. 2 2 SB SA + AB a 2 2
Câu 27: Gọi O là tâm hình vuông ABCD thì SO ⊥ (ABCD).
Gọi H là trung điểm của OC.
Do M, H lần lượt là trung điểm của SA, OC ⇒ MH là đường trung bình trong SA ∆ O ⇒ MH / /SO ⇒ ⊥ ( ) ⇒  MH ABCD MNH = 45° Lại có: a 2 3 3a 2 a AC = ⇒ HC = AC = ;CN = . 2 4 8 2 Do đó: 2 2 a 10
HN = HC + CN − 2CH.CN.cos 45° = . 8 M ∆ HN vuông cân tại H a 10 ⇒ HM = HN = . 8 a 10 ⇒ SO = 2MH = . Chọn C. 4 BC ⊥ SA Câu 28: Ta có  ⇒ BC ⊥ (SAH) BC ⊥ AH BC ⊥ SA Tương tự 
⇒ BC ⊥ (SAK) ⇒ 4 điểm S, A, H, K đồng phẳng. BC ⊥ SK BH ⊥ SA Lại có: 
⇒ BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ SC. BH ⊥ AC BH ⊥ SC Khi đó 
⇒ SC ⊥ (BHK) ⇒ α = 90 .° Chọn D. BK ⊥ SC
Câu 29: Ta có SM ⊥ (ABCD). Dựng NK ⊥ MC NK ⊥ SM Khi đó  ⇒ NK ⊥ (SMC) NK ⊥ CM Lại có: a 3 1 a 2 SM = ;MN = BD = 2 2 2 2 2 a 5 ⇒ SN = SM + MN = . 2 Mặt khác 2 2 a 5 2 CM = BM + CB = ;S = a . ABCD 2 2 2 2 1 a a 3a S = AM.AN = ;S = S = ⇒ S = S −S −S −S = . AMN BMC DNC NMC ABCD AMN MBC NCD 2 8 4 8 Khi đó 2S 3 5 NK 3 NMC NK = = ⇒ sin ϕ = = . Chọn D. CM 10 SN 5
Câu 30: Gọi H là trung điểm AB ⇒ SH ⊥ (ABCD). BC ⊥ SH Khi đó  ⇒ BC ⊥ (SAB). BC ⊥ AB
Dựng AK ⊥ SB ⇒ AK ⊥ (SBC) Do AD / /BC ⇒ AD / / (SBC) ⇒ ( ( )) = ( ( )) a 3 d D; SBC d A; SBC = AK = . 2 2 2 2 2 2
SD = SH + HD = SH + AH + AD = a 2. d(D; SBC ) Khi đó ( ( ))  ( ) 6 sin SD; SAB = = . Chọn D. SD 4 BC ⊥ SA Câu 31: Ta có  ⇒ BC ⊥ AP. BC ⊥ AB
Lại có: AP ⊥ SB ⇒ AP ⊥ (SBC) ⇒ AP ⊥ SC.
Tương tự AQ ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (APQ) . Dựng AN ⊥ SC Gọi = ∩ ⇒ ⊥ ( ) ( ( ))  =  I CM NQ CN APQ ; CM; APQ CIN. Ta có  2 2 2 SC + CM −SM cos NCI = 2.SC.CM Trong đó SC = a 5;SM = a. 2 2 2 SC + CD SD = − = ⇒  3 10 CM a 2 cos NCI = 2 4 10 ⇒  2 = −  1 = =  sin NCI 1 cos NCI
cosCIN = cosϕ . Chọn A. 10
Câu 32: Do d ⊥ α , d ⊥ β ⇒ α ; β = d ;d . Chọn B. 2 ( ) ( ) ( )  ( )  ( 1 2) 1 ( )
Câu 33: Ta có SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC BC ⊥ (SBA) Mặt khác BC ⊥ AB ⇒  ⇒ góc giữa mặt phẳng BC ⊥  (SBC)∩(ABC)
(SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng góc  SBA . Chọn B.
Câu 34: Dựng AK ⊥ BC , do tam giác ABC đều nên AB 3 AK = = a 3. 2 S  A ⊥ BC BC ⊥ (SKA) Lại có:  ⇒ 
⇒ góc tạo bởi hai mặt phẳng AK ⊥ BC BC ⊥  (SBC)∩(ABC) (SBC) và (ABC) là góc  SKA Mặt khác  SA 2 = = ⇒  tanSKA
SKA ≈ 49,6° . Chọn B. AK 3
Câu 35: ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD tại O BD ⊥ (SOA)
Do SA ⊥ (ABCD) ⇒ BD ⊥ SA ⇒  BD =  (SBD)∩(ABC) Suy ra (( ) ( ))  =  ⇒  SA a SBD ; ABCD SOA tanSOA = = = 1 AO a Vậy (( ) ( ))  =  SBD ; ABCD SOA = 45°. Chọn C.
Câu 36: Ta có công thức: S′ = Scosϕ
Trong đó ϕ là góc giữa mặt phẳng (P) và (ABC) Do đó: S = ϕ. Chọn B. ′ ′ ′ S cos A B C ABC
Câu 37: Do SA ⊥ (ABC) ⇒ AB ∆ C là hình chiếu của S ∆ BC trên mặt phẳng
(ABC). Mặt khác ϕ = (SBC);(ABC)  ( ). Ta có công thức: S = S .cosϕ . Chọn A. ABC SBC
Câu 38: ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD tại O
Lại có SA ⊥ (ABCD) ⇒ BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SOA) Do đó (( ) ( ))  =  SBD ; ABCD SOA . Chọn A.
Câu 39: Gọi d = (SAB) ∩(SCD) Do AB / /CD ⇒ d / /AB / /CD
Ta có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB
Lại có: AD ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SAD)
Vì d / /AB ⇒ d ⊥ (SAD) ⇒ góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
bằng góc giữa SA và SD. Chọn A.
Câu 40: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB
Lại có: AB ⊥ AD ⇒ AB ⊥ (SAD) ⇒ (SAB) ⊥ (SAD)
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) bằng 90° . Chọn C.
Câu 41: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD
Mặt khác CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SDA) Mà = ( )∩( ) ⇒ (( ) ( ))  =  CD SCD ABCD SCD ; ABCD SDA Lại có:  SA = = ⇒  tanSDA 3 SAD = 60° . Chọn B. AD
Câu 42: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD
Mặt khác CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SDA) ⇒ (SCD) ⊥ (SAD)
⇒ góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD) bằng 90° . Chọn A.
Câu 43: ABCD là hình vuông nên BD ⊥ AC
Mặt khác SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD
Do đó BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC
Lại có: OH ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (BHD)
Mà SC = (SBC) ∩(SCD) ⇒ góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng
góc giữa BH và DH. Chọn D. Câu 44: Ta có (( ) ( ))  =  SBC ; ABCD SMO = ϕ , trong đó S ∆ BC đều nên a 3 SM = 2 Lại có: a 3 AM a 3 AM = ⇒ OM = = 2 3 6 2 2 SO SM − OM ⇒ tan ϕ = = = 2 2 . Chọn A. OM OM
Câu 45: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD
⇒ SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ CD
Dựng OK ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (SKO) ⇒ góc giữa mặt bên (SCD) và mặt
phẳng đáy của chóp bằng  SKO S ∆ CD đều cạnh a a 3 AD a ⇒ SK = ;OK = = 2 2 2 Do đó  2 2 SO SK − OK tanSKO = = = 2 . Chọn C. OK OK
Câu 46: Tam giác ABC vuông cân tại B nên AC = AB 2 Suy ra AB = a 2
Mặt khác SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC mà AB ⊥ BC Do đó ⊥ ( ) ⇒ ( ) ( )  ( )=  BC SBA SBC ; ABC SBA Lại có:  SA a 6 = = = ⇒  tanSBA 3 SBA = 60° . Chọn A. AB a 2 S  A ⊥ (BAD) Câu 47:  ⇒ (SAB);(SAD)  ( )=   =  ( )∩( ) BAD SA SAB SAD Do AB = AD = BD = 2a ⇒ AB ∆ D đều nên  BAD = 60° Vậy (( ) ( )) 
SAB ; SAD = 60°. Chọn A.
Câu 48: Do (ABCD) / / (A B ′ C ′ D ′ ′) Do đó (A BD ′ );(A B ′ C ′ ′)  ( )= (ABD ′ );(ABC)  ( )=ϕ
Gọi O là tâm hình vuông ABCD ⇒ AO ⊥ BD
Mặt khác BD ⊥ AA′ ⇒ BD ⊥ (A AO ′ ) Do đó ϕ =  A OA ′ AA′ = a ′ Đặt AB a  = ⇒  a 2 suy ra AA a tan ϕ = = OA = OA a 2  2 2
⇒ tan ϕ = 2 ⇒ ϕ ≈ 54 44 ° ′ . Chọn A. Câu 49: ⊥ ( ) ⇒ (( ) ( ))  =  SA CAB SAC ; SAB CAB
Do tam giác ABC đều nên  CAB = 60°. Chọn C.
Câu 50: Do ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD
Mặt khác SC ⊥ (ABCD) ⇒ SC ⊥ BD
Do đó BD ⊥ (SAC) ⇒ (SBD) ⊥ (SAC).
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) bằng 90° . Chọn C.
Câu 51: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD
⇒ SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ CD
Dựng OK ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (SKO) ⇒ góc giữa mặt bên (SCD) và mặt phẳng đáy của chóp bằng  SKO = ϕ
Đặt AB = AD = a ⇒ SC = 2a Ta có: AD a a OK = = ;CK = 2 2 2 2 2 a 15 ⇒ SK = SC − CK = . 2 Khi đó OK 1 cosϕ = = ⇒ ϕ ≈ 75 2 ° ′ . Chọn A. SK 15
Câu 52: Dựng MK ⊥ CD , do SM ⊥ (ABCD) ⇒ SM ⊥ CD CD = (SCD)∩(ABCD) Khi đó ta có:  CD ⊥  (SKM) ⇒ ( ) ( )  ( )=  SCD ; ABCD SKM = ϕ Do S ∆ AB đều nên a 3 SM = ,MK = AD = a 2 AM 3 ⇒ tan ϕ = = ⇒ ϕ ≈ 40 53 ° ′. Chọn C. MK 2 S  = S cosϕ OBC SBC Câu 53: Ta có S  
= S cosϕ với ϕ = 30° là góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy. OAB SAB S  = S cosϕ  OAC SAC
Do đó diện tích đáy bằng 2
S = S .cosϕ = 90.cos30° ≈ 78cm . đ xq Chọn D.
Câu 54: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD
⇒ SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BD.
Mặt khác BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ (MBD) ⊥ (SAC)
nên góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (SAC) bằng 90° . Chọn C.
Câu 55: Ta có BD = (SBD) ∩(ABCD)
Dựng AH ⊥ BD , mặt khác SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BD Do đó ⊥ ( ) ⇒ ( ) ( )  ( )=  BD SHA SBD ; ABCD SHA Lại có: AB.AD 2a = = ⇒  SA AH tanSHA = = 5. 2 2 AB + AD 5 AH Chọn A.
Câu 56: Ta có (ABC) / / (A B ′ C ′ ′) ⇒ (A BC ′ );(A B ′ C ′ ′)  ( )= (ABC ′ );(ABC)  ( )
Lại có AB ⊥ BC mà AA′ ⊥ BC  → BC ⊥ (A AB ′ ) Khi đó ( ′ ) ( )  ( )=( ′ )  =  A BC ; ABC A B;AB A BA ′ Tam giác A AB ′ vuông tại A, có  AB 1 ′ = = ⇒  cos A BA A BA ′ = 60° A B ′ 2
Vậy ϕ = 60°. Chọn D.
Câu 57: Gọi H là trung điểm AB⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ (ABC)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, BM
Ta có AM ⊥ BC mà HN / /AM ⇒ HN ⊥ BC Lại có ⊥ ⇒ ⊥ ( ) ⇒ ( ) ( )  ( )=  SH BC BC SHN SBC ; ABC SNH
Tam giác SHN vuông tại H, có  SH AM a 3 a 3 = = = = ⇒  tanSNH SH : : 2 SNH ≈ 63 2 ° 6′ HN 2 2 4 Vậy ϕ ≈ 63 26 ° ′ . Chọn D.
Câu 58: Gọi O là tâm hình vuông ABCD
Ta có MA ⊥ BD; AC ⊥ BD ⇒ BD ⊥ (MAO) Khi đó ( ) ( )  ( )=( )  =  MBD ; ABCD MO;OA MOA
Tam giác MAO vuông tại A, có  MA AA′ 2 = = = ⇒  tan MOA MOA ≈ 35 1 ° 5′. Chọn A. OA AC 2
Câu 59: Gọi M là trung điểm AB ⇒ ADCM là hình vuông
Khi đó AC = a 2 ; AM ⊥ AB và AB = 2a ⇒ AC ⊥ BC Mà ⊥ ⇒ ⊥ ( ) ⇒ ( ) ( )  ( )=  SA BC BC SAC SBC ; ABCD SCA
Tam giác SAC vuông tại S, có  SA 2 tanSCA = = . AC 2 Vậy (( ) ( ))  2 tan SBC ; ABCD = . Chọn B. 2
Câu 60: Ta có SA là đường cao ⇒ SA ⊥ (ABC) (  SAB)∩(ABC) = AB
Lại có (SAB) ∩(SAC) = SA; (  SAC  )∩(ABC) = AC Suy ra ( ) ( )  ( )=( )  =  SAB ; SAC AB;AC BAC
Tam giác ABC vuông tại B, có  BC 1 tan BAC = = AB 3 ⇒  BAC = 30°  → (SAB);(SAC)  ( )=30°. Chọn D.
Câu 61: Ta có SA ⊥ BC mà AB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAB) (  SBC)∩(SAB) = SB
Lại có (SBC) ∩(ABCD) = BC ; (  ABCD  )∩(SAB) = AB Suy ra (( ) ( ))  = ( )  =  SBC ; ABCD SB;AB SBA
Tam giác SAB vuông tại A, có  SA tanSBA = = 3 AB ⇒  SBA = 60°  → (SBC);(ABCD)  ( )=60°. Chọn B.
Câu 62: Gọi M là trung điểm của BC  AB ∆ C cân tại A  → AM ⊥ BC (1)  BC ∆ D cân tại D  → DM ⊥ BC (2) Từ (1), (2) suy ra ⊥ ( ) ⇒ ( ) ( )  ( )=  BC ADM ABC ; BCD AMD Tam giác ABM vuông tại M 2 2 a 2 ⇒ AM = AB − BM = 2 Tam giác BDM vuông tại M 2 2 a 2 ⇒ DM = BD − BM = 2 Xét tam giác ADM có a 2 AM = DM = ; a 6 AD = 2 2 2 2 2 Suy ra  AM + DM − AD 1 = = − ⇒  cos AMD AMD =120 .° 2.AM.DM 2 Vậy (ABC);(BCD)  (
)=180°−120°=60°. Chọn B.
Câu 63: Kẻ AH ⊥ BD (H∈BD) mà SA ⊥ BD ⇒ BD ⊥ (SAH) (  SAH)∩(SBD) = SH Ta có  ⇒ (SBD);(ABCD)  ( )=  (  )∩( ) SHA SAH ABCD = AH
Tam giác ABD vuông tại A, có AB.AD a 3 AH = = 2 2 AB + AD 2
Tam giác SAH vuông tại A, có  SA tanSHA = = 2 3 . Chọn C. AH
Câu 64: Chọn ϕ = 60°. Gọi O là tâm hình vuông ABCD ⇒ ⊥ ( ) ⇒ ( )  ( )=( )  =  SO ABCD SA; ABCD SA;AO SAO = 60°
Tam giác SAO vuông tại O, có  SO a 6 tanSAO = ⇒ SO = OA 2
Gọi M là trung điểm AB  →AB ⊥ (SMO) Suy ra ( ) ( )  ( )=( )  =  SAB ; ABCD SM;OM SMO = α
Tam giác SMO vuông tại O, có  SO tanSMO = = 6 OM
⇒ tan α = 2 tan ϕ . Chọn B. AB =1
Câu 65: Chọn AA′ = 4AB = 2AD = 4 ⇒ AA′ = 4; AD = 2
Kẻ AH ⊥ BD (H∈BD) mà AA′ ⊥ BD ⇒ BD ⊥ (A AH ′ ) (  A A ′ H) ∩(A B ′ D) = A H ′ Ta có  ⇒ ((A B ′ D);(ABCD))  =  ′ ( ′  )∩( ) A AH A AH ABCD = AH
Tam giác ABD vuông tại A, có AB.AD 2 5 AH = = 2 2 AB + AD 5 ′ Tam giác A AH ′ vuông tại A, có  A A tanSHA = = 2 5 . Chọn A. AH
Câu 66: Gấp miếng bìa ta được hình hộp chữ nhật ABCD.A B ′ C ′ D ′ ′
Theo giả thiết, ta có AA′ = 30, ABCD là hình vuông cạnh 10
Ta có AD ⊥ AB ; AA′ ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (ADD A ′ ′) ⇒ ( ′ ′) ( )  ( )=( ′ )  =  ABC D ; ABCD D A;AD D AD ′ ′ Tam giác D AD ′ vuông tại D, có  DD tan D AD ′ = = 3 AD Suy ra  D A ′ D = arctan 3 = 71 3 ° 3′. Vậy ϕ ≈ 71 33 ° ′. Chọn D.
Câu 67: Đặt SA = SB = SC = a  Tam giác SAB có  ASB =120°  →AB = 3  Tam giác SBC có  BSC = 90°  →BC = 2  Tam giác SCA có  CSA = 60°  →AC =1 Suy ra 2 2 2 AC + BC = AB ⇒ AB ∆ C vuông tại C
Do đó, hình chiếu H của S trên (ABC) là trung điểm AB
Gọi M là trung điểm BC ⇒ HM / /AC ⇒ HM ⊥ BC Mà ⊥ ⇒ ⊥ ( ) ⇒ ( ) ( )  ( )=  SH BC BC SHM SBC ; ABC SMH
Tam giác SHM vuông tại H, có  SH tanSMH = = 1 HM Vậy  = °  →(( ) ( ))  SMH 45
SBC ; ABC = 45° . Chọn C.
Câu 68: Đặt SA = SB = SC = a  Tam giác SAB có  ASB =120°  → AB = 3  Tam giác SBC có  BSC = 90°  →BC = 2  Tam giác SCA có  CSA = 60°  →AC =1 Suy ra 2 2 2 AC + BC = AB ⇒ AB ∆ C vuông tại C
Do đó, hình chiếu H của S trên (ABC) là trung điểm AB
Gọi M là trung điểm AC ⇒ HM / /BC ⇒ HM ⊥ AC Mà ⊥ ⇒ ⊥ ( ) ⇒ ( ) ( )  ( )=  SH AC AC SHM SAC ; ABC SMH
Tam giác SHM vuông tại H, có  SH 1 tanSMH = = HM 2 Vậy ( ) ( )  ( ) 1 tan SBC ; ABC = . Chọn A. 2
Câu 69: Kẻ OH ⊥ SC (H∈SC) mà BD ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (HBD)
Ta có (HBD) ∩(SCD) = HD ; (HBD) ∩(SBC) = HB  ° Suy ra ( ) ( )  ( )=( )  =  60 SBC ; SCD BH;DH BHD = 180   ° − 60° =120°  TH1.  BHD = 60° mà BH = DH ⇒ H ∆ BD đều ⇒ BH = a 2 Tam giác SAB vuông tại 2 2 2 2 2 A  →SB = SA + AB = x + a Tam giác SBC vuông tại 1 1 1 B ⇒ = + 2 2 2 BH SB BC 1 1 1 ⇔ ( ) = +  → vô nghiệm (loại). 2 2 2 2 x + a a a 2  TH2.  BHD =120° mà a 6 BH = DH ⇒ BH = a 2 : 3 = 3 Tam giác SAB vuông tại 2 2 2 2 2 A  →SB = SA + AB = x + a Tam giác SBC vuông tại 1 1 1 1 1 1 B ⇒ = + ⇔ = + ⇒ x = a . Chọn A. 2 2 2 BH SB BC ( )2 2 2 2 x + a a a 6 Câu 70: ⊥ ( ) ⇒ ( ) ( )  ( )=  SA AMN SAM ; SAN MAN = 45°
Lại có  +  +  = ° ⇒  +  BAM MAN NAD 90 BAM NAD = 45° Khi đó ° =  +  ( )  +  tan BAM tan NAD tan 45 tan BAM NAD = −   1 tan BAM.tan NAD BM ND + AB AD
a − x a − y a − x a − y ⇔ 1 = ⇔ 1− . BM ND = + a a a a 1− . AB AD 2 ⇔
− ( − )( − ) = ( − − ) 2 a a x a y
a 2a x y ⇔ 2a + xy = 2a (x + y) Chọn A.
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1