BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng
………………………………………………………………………………………… VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
1) Tìm giới hạn nếu tồn tại hoặc chỉ ra rằng giới hạn đó không tồn tạị của các hàm 2 2 a) x − y lim ; 2 2 x→0 x + y y→0 Lời giải. 2 2 2 Đặ x (1 − k ) (1 − k )
t y = kx (k ≠ 0) khi x → 0  y → 0  lim = 2 2 2 x→0 x (1 − k ) (1 + k ) 2 2 x − y
nhận giá trị khác nhau với những k khác nhau không tồn tại lim . 2 2 x 0 → x + y y 0 → 2 2 x − sin y b) lim ; 2 2 x 0 → x + 2y y→0 Lời giải.
Đặt y = kx (k ≠ 0) khi x → 0  y → 0 2 2 sin kx 1 − k 2 2 2 2 x − sin y (kx) 1− k  lim = lim = nhận 2 2 2 2 x 0 → x 0 x + 2y → (1+ 2k ) (1+ 2k ) y→0 2 2 x −sin y
giá trị khác nhau với những k khác nhau  không tồn tại lim 2 2 x→0 x + 2y y→0 2 x cos y c) lim ; 2 2 x→0 2x + y y→0 Lời giải. 1
BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng
………………………………………………………………………………………… Đặt 2 x cos y 1 1
y = kx (k ≠ 0) khi x → 0  y → 0  lim = lim cos kx = 2 2 2 2 x 0 → 2x + y 2 + k x 0 → 2 + k y 0 → 2
nhận giá trị khác nhau với những k khác nhau không tồn tại x cos y lim . 2 2 x 0 → 2x + y y 0 → 2 d) x sin y lim ; 2 2 x→0 x + y y→0 Lời giải. 2 2 x sin y x sin y 2 x sin y 0 ≤ ≤
= sin y →0 khi (x, y) → (0,0)  lim = 0 2 2 2 x + y x 2 2 x 0 → x + y y→ 0 x + 2y e) lim ; 2 x 1 → (x − 1) + y y 1 → Lời giải. x + 2y x + 2y lim = 3 vì hàm số f (x, y) = liên tục tại (1,1) . 2 x 1 2 → (x − 1) + y (x −1) + y y 1 → 2 3 x y + x f) lim ; 2 2 x 0 → x + sin y y 0 → Lời giải. Ta có 2 2 2 sin y = y + o(y ) khi y → 0 2 3 2 3 2 3 x y+ x x y+ x x y+ x  0 ≤ = ≤
= x + y → 0 khi (x, y) → (0,0) 2 2 2 2 2 2 x +sin y x + y + o(y ) x 2 3 x y +x  lim = 0 2 2 x→0 x + sin y y→0 2
BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng
………………………………………………………………………………………… 2 2 x + y h) lim x→0 2 2 x + y + 4 − 2 y→0 Lời giải. 2 2 2 2 2 2 x + y (x + y )( x + y + 4 + 2) lim = lim = 4 2 2 x 0 → 2 2 x 0 x + y + 4 − 2 → x + y y→0 y→0
2) Xác định tập lớn nhất trên đó hàm số liên tục: a) x + y u = 3 3 x + y Lời giải. x + y u =
hàm số xác định trên 2 −{(x + y = 0}, 3 3 x + y
nên liên tục trên đó.Vậy tập xác định lớn nhất trên đó hàm số liên tục là tập 2 −{(x + y = 0} 4 2  x khi y≥ x b) f (x, y) =  2 2  y khi y < x Lời giải. hàm số liên tục 2 x ∀ , y : y ≠ x và 4 2
lim f (x, y) = lim f (x, y) = x = f (x, x ),nên 2 2 y→x + y→x − f (x, y) liên tục trên 2
y = x  hàm số liên tục trên 2 .
3) Xét sự liên tục của các hàm số f(x,y)    10 1 1 exp x sin cos  khi xy ≠0 a) 10 10 f (x, y) =   x y  tại (0,0);(1,0);(0,1)   1 khi x = y = 0 Lời giải. 3
BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng
…………………………………………………………………………………………   +) 10 1 1 lim exp x sin cos  =1 vì 10 10 x→0  x y  y→0 10 1 1 10 0 ≤ x sin cos ≤ x → 0 khi x →0, y →0 10 10 x y
 Hàm số liên tục tại O(0,0) .   1 +) không tồn tại 10 1 1 lim exp x sin cos
 vì không tồn tại lim cos hàm 10 10 x 10 →1  x y  y→ 0 y y→0
số không liên tục tại O(1,0) .   +) 10 1 1 1 lim exp x sin cos  = cos1 ≠ f (0,1) vì 10 lim x sin =1 và 10 10 x 10 →0  x y  x 0 → x y 1 → y 1 → 1 lim cos = cos1 10 x 0 → y y 1 →
 hàm số không liên t ục tại O(0,1) . 1  x cos y  (1+ x) b) e khi x ≠ 0 f (x, y) =  tại O(0,0) .  e khi x = 0 Lời giải. 1 1 1  cos y Vì x cos y (1+ x)  x lim e lim (1 x)  = +
= e  hàm số liên tục tại O(0,0) . x 0 → x 0 →   y 0 → y 0 →   cos x   c) xy f (x, y) = (1 + sin xy) khi xy ≠ 0 tại O(0,0) .  e khi x = y = 0 Lời giải. 4
BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng
………………………………………………………………………………………… cos x sin xy cos x 1   xy Vì xy  sin xy lim (1 sin xy) lim (1 sin xy)  + = + = e x→0 x→0   y→0 y→0  
 Hàm số liên tục tại O(0,0) . 2 2  x − y 2 2 sin khi x + y ≠ 0 d) 2 2 f (x, y) =  x + y tại O(0,0) .  2 2 0 khi x + y = 0 Lời giải. Đặt 2 2 2 2 x − y 1− k 1− k
y = kx (k ≠ 0) khi x → 0  y → 0  lim sin = lim sin = sin 2 2 2 2 x 0 → x + y x 0 → 1+ k 1+ k y 0 →
nhận các giá trị khác nhau khi cho k những giá trị khác nhau
 Hàm số không liên tục tại O(0,0) .  2 2 1 2 2 (x + y )sin khi x + y ≠ 0  e) 2 2 f (x, y) =  x + y tại O(0,0)  2 2  0 khi x + y = 0 Lời giải. 1 vì  2 2 2 2 0 ≤ (x + y )sin
≤ x + y → 0 khi (x, y) → (0,0) 2 2 x + y  1   2 2 lim (x + y )sin
 = 0  Hàm số liên tục tại O(0,0) . 2 2 x→0 x + y  y→0 4) 1 Hàm số f (x, y) = sin
liên tục đều trong hình tròn 2 2 x + y <1 ? 2 2 1 − x − y Lời giải. 5
BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng
………………………………………………………………………………………… 1 1 Chọn 0< ε với dãy và 0 < 1 (x n,yn),xn = yn = − 2 nπ 1 1 (x n ′ , y n′), xn′ = yn′ = − 2 2nπ
Thỏa mãn (x , y ),(x′ , y′ )∈{ 2 2 và n n n n x + y < } 1   2 2 2 1 1 1 1 ( n x − n x′ ) + ( n y − n y′ ) = 2( n x − n x′ ) = 2  − − −  2 2n  π 2 nπ  2 1 2 1 1 nπ 1 = < = × < → 0 khi n → ∞ 2nπ 1 1 1 1 2nπ nπ − 1 nπ nπ − 1 nπ −1 − + − 2 2nπ 2 nπ 2nπ nπ f ( n x , n y ) − f ( n x′ , n y′ ) = sin − sin nπ = 1 > 0
ε  f (x, y) không liên tục đều trong 2 hình tròn 2 2 x + y <1
5) Tìm các đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau và mô tả chúng như hệ số góc: a) 4 2 2 3 u = x − 2x y + 3xy Lời giải. 4 2 2 3 3 2 3 u = x − 2x y + 3xy  u và 2 2 x ′ = 4x − 4xy + 3y u y′ = 4 − x y +9xy Đối vớ i 3 2 3 u cho
khi cho x những giá trị khác x′ = 4x − 4xy + 3y y = 0 y = co n s t
nhau,ứng với mỗi x thì giá trị 3 2 3 u
tương ứng thu đượ c là hệ x′ = 4x − 4xy + 3y 4 2 2 3 u = x − 2x y + 3xy
số góc của tiếp tuyến của đường cong  tại (x, y0) y = y0
tương tự cho trường hợp 2 2 u y ′ = 4 − x y + 9xy 6
BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng
………………………………………………………………………………………… b) x − y u = x + y Lời giải. x − y 2y −2x u =  ux′ = ;u y′ = 2 2 x + y (x + y) (x + y) 2y Đối với u cho
khi cho x những giá trị khác nhau,ứng x ′ = y = y = co n s t 2 0 (x + y) 2y
với mỗi x ≠ y thì giá trị 0 u x′ =
tương ứng thu được là hệ số góc của tiếp 2 (x + y)  x − y u =
tuyến của đường cong  x + y tại (x, y0)  y = y0
tương tự cho trường hợp 2 − x u y′ = 2 (x + y) c) 3 3 u = x ln(x + y ) ; Lời giải. 3 3x 2 3xy 3 3 3 3
u = x ln(x + y )  u x′ = ln(x + y ) + và u′ = . 3 3 y x + y 3 3 x + y 3 Đố 3x i vớ i 3 3 ux′ = ln(x + y ) +
cho y = y = co n s t khi cho x nh ững giá trị 3 3 0 x + y 3 3x
khác nhau,ứng với mỗi x ≠ y − 3 3 0 thì giá trị ux ′ = ln(x + y ) + tương ứng 3 3 x + y
thu được là hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong 3 3 u = xln(x + y )  y = y0 tạ i (x, y0) 7
BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng
………………………………………………………………………………………… 2 3xy
tương tự cho trường hợp u y′ = . 3 3 x + y d) 3/ y u = xe ; Lời giải. 3x 3/ y 3/ y u = xe  u và 3/ y x′ = e u y′ = − e 2 y Đối vớ i 3/ y u
khi cho x những giá trị khác nhau,ứng x′ = e cho y = 0 y = co n s t ≠ 0 với mỗi thì giá trị 3/ y x u′ = e
tương ứng thu được là hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong 3/ y u = u = xe  y = y0 ≠ 0 tạ i (x, y0 ) 3x
tương tự cho trường hợp 3/ y u y′ = − e . 2 y e) 2 3 u = xy z + ln z ; Lời giải. 1 2 3 2 3 3 2 2
u = xy z + ln z  ux′ = y z ; uy′ = 2xyz ; uz′ = 3xy z + z f) u(x, y.z.t) = xz tan(yt) Lời giải.
 u′ = z tan(yt);u′ = xzt( 2
1 + tan (yt));u′ = x tan(yt);u′ = xzy( 2 x y z t 1+ tan (yt))
6) Tìm các đạo hàm riêng của hàm u và tính chúng tại các điểm chỉ ra
a) u = sin(xyln z) tại M(1,0,1) ; Lời giải. 8
BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng
………………………………………………………………………………………… xy
u =sin(xyln z) u x′ = yln zcos(xyln z); u y′ =x ln zcos(xyln z); uz′ = cos(xyln z) z u
x′ (1,0,1) = uy′ (1,0,1) = z u′ (1,0,1) = 0 b) 3 3 u = xy z tại M(1,2,0) Lời giải. 3 3 3 3 2 3 3 2 u =xy z  u x
′ = y z ; u y′ =3xy z ; u z′ =3xy z  u
x′ (1,2,0) = uy′ (1, 2,0) = uz′ (1, 2,0) = 0
7) Giả sử các hàm f và g khả vi, đặt 2 2 z = yf (x − y ) và 2 2 u = y + g(x − y ) z′ z′ z Chứng minh rằng x y + = và yu′ + xu′ = x 2 x y x y y Lời giải. +) 2 2 2 2 2 2 2 2 2
z = yf (x − y ) zx′ = 2xyf′(x − y );zy′ = f(x − y )− 2y f ′(x − y ) 2 2 2 2 z′ z′ x y 2 2 f (x − y ) 2 2 f (x − y ) z + = 2yf (′x − y ) + − 2yf (′x − y ) = = đpcm. 2 x y y y y +) 2 2 2 2 2 2
u = y + g(x − y )  u x′ = 2xg (′x − y );uy′ = 1− 2yg (′x − y ) 2 2 2 2
yux′ + xuy′ = x ⇔ 2xyg′(x − y ) + x − 2xyg (′x − y ) = x đpcm. 8) ∂z z Tìm ∂ ; của 2 2
z = x +2xy +3y với x = s + t ; y = st tại s = 1;t = 0 . s ∂ t ∂ Lời giải. x(1,0) =1; y(1,0) = 0 z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y ∂ = + = (2x + 2y) + (2x + 6y)t (s,t) (1,0) ∂s x ∂ ∂s y ∂ s = ∂ (s,t)=(1,0)
= 2(t + s + ts) + (2s + 2t + 6ts)t = 2 (s,t) =(1,0) 9
BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng
………………………………………………………………………………………… z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y ∂ = + = (2x + 2y) + (2x + 6y)s = 4 (s,t) (1,0) s ∂ x ∂ t ∂ y ∂ t = ∂ (s,t) ( = 1,0) 9) Tìm z đượ
x′ ;zy′ trong đó hàm số z = z(x, y) c xác định : a) 2 2 2 x + y + z = 4xyz ; Lời giải. Đặt 2 2 2
F(x, y,z) = x + y + z − 4xyz F′ (x, y,z) x F′ (x, y, z) x − 2yz y −2xz z x′(x,y) = − = − và y zy′ (x,y) = − = − z F′(x, y, z) z −2xy z F′(x, y,z) z − 2xy b) xz = ln(x + y + z). Lời giải.
Đặt F(x, y,z)= xz− ln(x+ y+ z) 1 1 1  x F′ = z − ; y F′ = − ; z F′ = x − x + y + z x + y + z x + y + z F′ z(x + y + z) − 1 F′  x và y 1 x z′ (x, y) = − = − zy′ (x, y) = − = z F′ x(x + y + z) −1 z F′ x(x + y + z) −1
10) S ử dụng quy tắc đạo hàm hàm ẩn để tìm a)Với x z
z = z(x, y) được xác định = ln + 1 .Tìm 2 dz(1,1);d z(1,1) z y Lời giải. z x 1 1 x + z
Đặt F(x, y,z) = ln +1 −  F′ = − ;F′ = − ;F′ = nhận th ấy z(1,1) = 1 y z x y z 2 z y z 2 x F′ z F′ z 1 z x x′ = − = và zy′ = − =  dz(1,1) = (dx + dy) z F′ z + x z F′ y(z + x) 2 (z + x)z (z + x)z′ − zz′ xz′ x ′ − z(1 + z x′) xz x′ − z z ; y y y  x′x ′ = z′ 2 = 2 xy = = (z + x) (z + x) 2 2 (z + x) (z + x) 10
BT GIẢI TÍCH II - Nguyễn Văn Hồng
………………………………………………………………………………………… 2
2zz y′y(z + x) − z (z + x + yzy′) 1 1 z  , y′y ′ =
z ′ (1,1) = − = z ′ (1,1) z′ (1,1) = 2 2 y (z yy xx xy + x) 8 8 1 1  2 d z(1,1) = − ( 2 2 dx − 2dxdy + dy ) 2 = − (dx − dy) 8 8  x   z   x  y  z  zdx − xdz ydz − zdy
hoặc d  = dln + 1 ⇔ d  = d  ⇔ = 2  z   y   z  z  y  z zy 2
⇔ (zy + yx)dz = zydx + z dy đã cắt 2  zydx + z dy 1 dz(1,1) = = (dx + dy) zy + xy 2 (x,y,z) ( = 1,1,1) Từ 2
(zy + yx)dz = zydx + z dy ta có [ + ] = ( 2 d (zy yx)dz d zydx +z dy) 2 2
⇔ ydz + zdzdy + xdydz + ydxdz + (zy + xy)d z = ydzdx + zdxdy + 2zdzdy 2 2
⇔ ydz − zdzdy + xdydz + (zy + xy)d z = zdxdy 1
Với z(1,1) =1 và dz(1,1) = (dx + dy) ta được 2 2 2 2 (dx + dy) 2 2 (dx + dy) (dx − dy)  + 2d z = dxdy  2d z = − + dxdy = − 4 4 4 2 2 (dx − dy)  d z = − 8
b)Với z = z(x, y)đượ c xác định x / z z − ye = 0 .Tìm dz(0,1) Lời giải. Đặt x / z F(x, y,z) = z − ye x / z 2 x / z F F zye ′ ′ z e  x y x z′ = − = ; zy′ = − = và 2 x / z 2 x / z z F′ z xye z F′ + z + xye
z(0,1) =1  dz(0,1) = dx + dy 11