Bất đẳng thức Bunhiacopxki kèm bài tập áp dụng có đáp án
1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Giới thiệu về bất đằng thức Bunhiacopxki:
- Bất đẳng thức bunhiacopxki có tên chính xác là bất đẳng thức Cauchy - bunhiacopxki - Schwa do ba nhà
toán học độc lập phát hiện và đề xuất có nhiều ứng dụng trong các kinh vực toán học. Thường được gọi
theo tên nhà toán học người Nga Bunhiacopxki
- Bất đằng thức này rất quen thuộc và thường được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị.
Công thức của bất đẳng thức Bunhiacopxki
- Bất đẳng thứuc Bunhiacopxki có dạng cơ bản là:
( a2 + b2 ) ( c2 + d2) lớn hơn hoặc bằng ( ac + bd) 2
(a2 + b2) ( c2 + d2) (ac + bd)2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a/c = b/d
- Bất đằngt húc bunhiacopxki cho 2 bộ số:
Với hai bộ số ( a1, a2, ..., an) và ( b1, b2, ... , bn)
Ta có: ( a12 + a12 + ... + an2 ) ( b12 + b22 + .... + bn2) > hoặc = ( a1b1+ a2b2+ ... + anbn) 2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a1/ b1 = a2/b2 = .... an/ bn
với quy ước nếu một số nào đó ( i = 1, 2, 3,..., n) bằng 0 thì tương ứng bằng 0
Chứng minh bất đẳng thức bunhiacopxki dạng cơ bản:
Ta có: ( a2 + b2) ( c2 + d2) > hoặc bằng ( ac + bd) 2
tương đương: ( a2 + b2) (c2 + d2) lớn hơn hoặc bằng ( ac + bd) 2
tương đương: ( ac)22 + (bc)2 + (bd)2 lớn hơn hoặc bằng (ac)2 + 2 abcd + (bd)2
tương đương (ad)2 + (bc)2 lớn hơn hoặc bằng 2 abcd
tương đương ( ad)2- 2 abcd + (bc)2 lớn hơn hoặc bằng 0
tương đương ( ad - bc) 2 lớn hơ n hoặc bằng 0 ( luôn đúng)
Hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki
( a2 + b2) (c2 + d2) lớn hơn hoặc bằng 4 abcd
2. Bài tập về bất đẳng thức Bunhiacopxki
Câu 1: cho x, y, z là ba số dương thoả mãn 4x + 9y + 16z = 49. Chứg minh rằng:
T = 1/x + 25/y + 64/z lớn hơn hoặc bằng 49
Bất đẳng thức xảy ra khi nào? Hướng dẫn giải:
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cho sáu số:
2 căn x ; 3 căn y; 4 căn z và 1/ căn x ; 5 căn y ; 8 căn z ta được:
49T = ( 4x + 9y + 16z) ( 1/x + 25/y + 84/ z) = [ (2 căn x )2 + ( 3 căn y) 2 + ( 4 căn z) 2] [(1/căn x )2 + ( 5/ căn y) 2 + 8/căn z)2 ]
lớn hơn hoặc bằng ( 2 căn x . 1/căn x + 3 căn y. 5/ căn y + 4 căn z . 8/ căn z)2 = 49 2
Suy ra: T = 1/x + 25/y + 64/z lớn hơn hoặc bằng 49 Đẳng thức xảy ra khi 1/2x = 5/3y = 8/4z 4x + 9y + 16z = 49 Tương đương: x = 1/2 y = 5/3 z = 2
Câu 2: Cho x > 0; y> 0 và x2 + y2 nhỏ hơn hoặc bằng x + y
Chứng mình: x + 3y nhỏ hơn hoặc bằng 2 + căn 5 HƯớng dẫn giải:
x2 + y2 nhỏ hơn hoặc bằng x + y \
tương đương: ( x - 1/2) 2 + ( y - 1/2) 2 nhỏ hơn hoặc bằng 1/2
Áp dụng bất đẳng thứuc bunhiacopxki cho 2 bộ số: ( 1 ; 3) ; ( x - 1/2; y - 1/2)
Ta có: [ 1. ( 1 - 1/2) + 3 . ( y - 1/2) ]2 nhỏ hơn hoặc bằng 10 [ (x - 1/2)2 + ( y - 1/2)2 ] nhỏ hơn hoặc bằng 5
suy ra ( x + 3y - 2) 2 nhỏ hơn hoặc bằng 5
suy ra x + 3y - 2 nhỏ hơn hoặc bằng căn 5
suy ra x + 3y nhỏ hơn hoặc bằng 2 + căn 5 Đẳng thức xảy ra khi : x = 1 /2 căn 5/ 10 y = 1/2 + 3 căn5/ 10
Câu 3: Cho a, b > o thoả mãn a2 + b2 = 9
chứng minh: a / a + b + 3 nhỏ hơn hoặc bằng 3 căn 2 - 3/ 2 Hướng dẫn giải Ta có: a2 + b2 = 9
tương đương 2 ab = ( a + b) 2 - 9
tương đương 2 ab = (a + b + 3) ( a + b - 3)
tương đương 2 ab/ a + b + 3 = a + b - 3
tương đương ab / a + b + 3 = a + b / 2 - 3/2
Mà theo bất đẳng thức bunhiacopxki thì a + b nhỏ hơn hoặc bằng căn 2 . căn a2 + b2 = 3 căn 2
Nên ab/ a + b + 3 nhỏ hơn hoặc bằng 3 căn2 - 3 / 2 Đẳng thức xảy ra khi: a;b > 0
a2 + b2 = 9 tương đương a = b = 3/ căn 2 a = b
Câu 4: cho ta giác ABC thoả mãn hệ thức: a3 / br + cR + b3/aR + aR + c3/ar+ bR = 2(a + b + c)2/ 9R
Chứng minh tam giác ABC đều Hướng dẫn giải: Để đơn giản ta đặt: x = br + cR > 0 y = cr + aR > 0 z = ar + bR > 0
Vậy (1) tương đương: a3/x + b3/y = c3/z = 2(a + b + c)2 / 9R Từ (2) ta có:
ax + by +cz = (ab + bc + ca) (r + R) (3)
( ax + by + cz) (a3/x + b3/y + c3/z)
= a4 + b4 + c4 + ab(a2 y/x +b2 x/y) + bc (b2 z/y + c2 y/z) + ca (x/z + a2 z/x)
Theo bất đẳng thức tra có
( ax + by + cz) (a3/x + b3/y + c3/z) lớn hơn hoặc bằng a4 + b4 + c4 + 2 ab.ab + bc. 2bc + ca. 2ca lớn hơn hoặc bằng (a2 + b2+ c2) 2
Suy ra: ( a3/x + b3/y + c3/z) lớn hơn hoặc bằng (a2 + b2 +c2)/ (ab + bc+ ca) (r + R) theo (3) và (4)
mặt khác ta luôn có: a2 + b2 + c2 lớn hơn hoặc bằng ab + bc + ca
nên (4): a3/x + b3/y + c3/z lớn hơn hoặc bằng ( a2 + b2 + c2)2 / (a2 + b2 + c2) (r + R)
= a2 + b2 + c2/ r + R lớn hơn hoặc bằng ( a + b + c) 2 / 3( r + R)
Từ đó ta có: a3/x + b3/y + c3/z lớn hơn hoặc bằng 2 (a + b+ c)2/ 9R
SUy ra: a3/br + cR + b3/cr +aR + c3/ar + bR lớn hơn hoặc bằng 2(a + b+c) 2/ 9R
3. Bài tập tự luyện tập
Câu 1: cho a, b, c là số đo 3 cạnh tam giác , hãy chứng minh rằng:
T = a / 2b +2c -a + b/2c +2a -b + c/2a + 2b -a lớn hơn hoặc bằng 1
Câu 2: cho tam giác ABC và đường tròn nội tiếp tam giác, các tiếp tuyến của đường tròn song song với 3
cạnh của tam giác nhỏ hơn và diện tích của S1; S2; S3. Gọi S là diện tích của tam giác ABC , hãy chứng
mình rằng S1 + S2 + S3 lớn hơn hoặc bằng S/3
Câu 3: Cho tam giác ABC và 1 diểm Q nào đó ở trong tam giác. Qua Q kẻ đường thẳng song song với AB
và cắt AC ở M và cắt BC ở N. Qua điểm Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở F; cắt BC ở E. Qua
E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại P cắt AB tại R. kí hiệu S1 = dt(QMP); S2= dt(QEN); S3 =
dt(QFR) và S = dt(ABC) . Hãy chứng minh rằng:
S1 + S2 + S3 lớn hơn hoặc bằng 1/3S
Câu 4: cho elip (E) x2/16 + y2/9 =1 các điểm M , N chuyển động lần lượt trên các tia Ox; Oy sao cho MN
luôn tiếp xúc với (E), xác dịnh toạ độ của Ml N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 5: cho a, b, c là các số thực dương. Hãy chứng minh:
a/b + b/c + c/a lớn hơn hoặc bằng a+b/ b+c + b+c/a+b + 1
Câu 6: tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a/1+b-a + b/1+c-b + c/1+a-c trong đó a,b,c là các số thực
dương thoả mãn a + b + c = 1