Bất phương trình lôgarit chứa tham số

Tài liệu gồm 20 trang, được biên soạn bởi quý thầy, cô giáo Nhóm Toán VDC & HSG THPT, hướng dẫn phương pháp giải bài toán Bất phương trình lôgarit chứa tham số; đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Toán 12 phần Giải tích chương 2.

Môn:

Toán 11 3.3 K tài liệu

Thông tin:
20 trang 1 năm trước
Tác giả:
K
Kim Oanh
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Bất phương trình lôgarit chứa tham số

Tài liệu gồm 20 trang, được biên soạn bởi quý thầy, cô giáo Nhóm Toán VDC & HSG THPT, hướng dẫn phương pháp giải bài toán Bất phương trình lôgarit chứa tham số; đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Toán 12 phần Giải tích chương 2.

59 30 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT) 188 tài liệu

Môn: Toán 11 3.3 K tài liệu

Thông tin:

20 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 1
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CHỨA THAM SỐ
Bài toán. Tìm
m
để bất phương trình
f x m
( , ) 0
hoặc
f x m
( , ) 0
có nghiệm trên
D
?
PHƯƠNG PHÁP
Bước 1. Tách tham số
m
ra khỏi
và đưa BPT về dạng
( ) ( )
A m f x
hoặc
( ) ( )
A m f x
.
Bước 2. Khảo sát sự biến thiên và dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số
m
để bất phương trình có nghiệm.
Lưu ý: Cho hàm số
y f x
xác định và liên tục trên
D
.
Trong trường hợp tồn tại
max ( )
x
f x
D
và
min ( )
x
f x
D
thì ta có:
Bất phương trình
( ) ( )
A m f x
có nghiệm trên
( ) max ( )
x
A m f x
D
D
.
Bất phương trình
( ) ( )
A m f x
có nghiệm trên
( ) min ( )
x
A m f x
D
D
.
Bất phương trình
( ) ( )
A m f x
nghiệm đúng
( ) min ( )
x
x A m f x
D
D
.
Bất phương trình
( ) ( )
A m f x
nghiệm đúng
( ) max ( )
x
x A m f x
D
D
.
Nếu
2
( ) 0
f x ax bx c a
thì
0
( ) 0,
0
a
f x x
.
0
( ) 0,
0
a
f x x
.
Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để bất phương trình
2 2
2 2
log (7 7) log ( 4 )
x mx x m
nghiệm đúng với mọi giá trị thực của
x
?
A.
7
. B.
3
. C. Vô số. D.
4
.
Lời giải
Chọn B
Yêu cầu bài toán được thỏa mãn
2
2 2
4 0,
7 7 4 ,
mx x m x
x mx x m x
2
2
4 0,
7 4 7 0,
f x mx x m x
g x m x x m x
.
Ta thấy
0
m
;
7
m
không thỏa mãn điều kiện đề bài.
Với
0
m
và
7
m
. Khi đó ta có:
2
0
4 0
m
m
0
2
2
m
m
m
2
m
. (1)
2
7 0
4 7 0
m
m
2
7
14 45 0
m
m m
7
5
9
m
m
m
5
m
.
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
2 5
m
. Do
m
nên
3;4;5
m
.
Câu 2. Tìm
m
để bất phương trình
2
2 2
log 2 2( 1)log 2 0
x m x
có nghiệm
( 2; ).
x

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Trang 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
A.
(0; )
m
. B.
3
;0
4
m
. C.
3
;
4
m

. D.
( ;0)
m

.
Lời giải
Chọn C
Ta có
2
2 2
log 2 2( 1)log 2 0
x m x
2
2 2
1 log 2( 1)log 2 0
x m x
.
Đặt
2
log
t x
. Do
1
( 2; ) ;
2
x t
 
.
Khi đó
trở thành
2
1 2( 1) 2 0
t m t
2
1 2
1
2
t
m
t
2
1
2
t
f t m
t
(1).
Xét hàm
1
2 2
t
f t
t
liên tục trên
1
;
2

.
Ta có
2
1
;
2
1 1 1 1 3
0, ; min
2 2 2 2 4
f t t f t f
t


.
Khi đó (1) đúng với mọi
1
;
2
t

khi
1
;
2
min
f t m

3
4
m
.
Câu 3. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc
100;100
của tham số
m
để bất phương trình
0,02 2 0,02
log log 3 1 log
x
m
nghiệm đúng với mọi
x
thuộc khoảng
;0

?
A.
99
. B.
98
. C.
100
. D.
101
.
Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
2
log 3 1 0
0
0
x
m
m
.
Ta có
0,02 2 0,02 2
log log 3 1 log log 3 1
x x
m m
.
Xét hàm số
2
log 3 1
x
f x
. Ta có
3 .ln3
' 0
3 1 .ln 2
x
x
f x x
.
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.
Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình nghiệm đúng với mọi
x
thuộc
;0

khi
1.
m
Do
m
nguyên và thuộc đoạn
100;100
nên
1;2;3;4;.....;100
m
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 3
Câu 4. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
m
để bất phương trình
2 3
2 8
log 2 4 log 1
x m x
có nghiệm đúng với mọi
x
thuộc
16;

?
A.
2
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải
Chọn C
Điều kiện xác định:
2 2
2 2 2
0 0
log 2 4 0 log 2log 3 0
x x
x x x
2
2
0
1
0
log 1
8
2
log 3
x
x
x
x
x
.
Ta có :
2 3
2 8
log 2 4 log 1
x m x
2
2 2 2
log 2log 3 log 1 *
x x m x
.
Do
16;x

nên
2 2
log 4 log 1 0
x x
Suy ra
2
2 2
2
log 2log 3
*
log 1
x x
m
x
.
Đặt
2
log
t x
. Do
16;x

nên
4;t

.
Bất phương trình
*
trở thành
2
2 3
4;
1
t t
m t
t

.
Xét hàm
2
2 3
1
t t
f t
t
với
4;t

.
Ta có
2
2
2 2
' 0, 4;
2 3. 1
t
f t t
t t t

.
Suy ra hàm số
f t
nghịch biến trên khoảng
4;

.
Bảng biến thiên của hàm
f t
như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi
x
thuộc
16;

khi
1
m
. Do
*
1
m m
.
Câu 5. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc
10;10
của tham số
m
để bất phương trình
4 4
3 4 2 log 2
x
x x m
có nghiệm?
A.
8
. B.
5
. C.
6
. D.
7
.
Chọn A
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Trang 4 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Điều kiện xác định:
0
4
0 4
4 4 1
4 4 0
x
x
x
x
x
.
Ta thấy
0 4
x
0 4 4 2 4 4 4
x x
. Suy ra
4 4
log 2 0
x
.
Khi đó bất phương trình
4 4
4 4
3 4
3 4 2 log 2
2.log 2
x
x
x x
x x m m
2
1
3 4 .log 4 4
2
m x x x
.
Xét hàm
2
1
3 4 .log 4 4
2
f x x x x
liên tục trên
0;4
.
Ta có
2
1 3 1 1 1
' .log 4 4 3 4 . 0 0;4
2 2
2 2 4
2 4 . 4 4 .ln2
f x x x x x
x x
x x
.
Suy ra hàm số
y f x
đồng biến trên
0;4
.
Để bất phương trình đã cho có nghiệm thì
1
m
.
Do
m
nguyên và thuộc khoảng
10;10
nên
2;3;...;9
m
.
Vậy có 8 giá trị
m
nguyên cần tìm là :
2;3;...;9
m
.
Câu 6. Cho bất phương trình
2 2
7 7
log 2 2 1 log 6 5
x x x x m
. Có bao nhiêu giá trị nguyên
của tham số
m
để bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng
1;3
?
A.
35
. B.
33
. C.
33
. D.
36
.
Lời giải
Chọn D
2
2 2
7 7
6 5 0
log 7 2 2 log 6 5
x x m
Bpt
x x x x m
2
2
6 5
6 8 9
m x x
x x m
.
Xét hàm
2
6 5
f x x x
liên tục trên đoạn
1;3
.
Ta có
2 6 0, 1;3
f x x x
f x
nghịch biến trên đoạn
1;3
1;3
max 1 12
f x f
.
Xét hàm
2
6 8 9
g x x x
liên tục trên đoạn
1;3
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 5
Ta có
12 8 0, 1;3g x x x
g x
đồng biến trên khoảng
1;3
1;3
min 1 23g x g
.
Yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi
2
2
6 5
6 8 9
m x x
x x m
với mọi
1;3x
1;3
1;3
max
min
m f x
m g x
.
Khi đó ta có
12 23m
. Mà
m
nên
12; 11; 10; ...;22;23m
.
Vậy có tất cả
36
giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 7. Tìm tấtt cả các giá trị của tham số
m
để bất phương trình
2
2 1
4
4log 2log 0x x m
có
nghiệm với mọi
x
thuộc khoảng
0;1
.
A.
1
0;
4
m
. B.
1
;
4
m

. C.
;0m  . D.
1
;
4

.
Lời giải
Chọn D
Điều kiện:
0x
.
Ta có
2
2 1
4
4log 2log 0x x m
2
2 2
log log 0x x m .
Đặt
2
logt x
, do
0;1x
;0t 
.
Bất phương trình trở thành
2
0t t m
2
m t t
.
Xét hàm
2
f t t t với
;0t 
.
Ta có
2 1f t t
,
1
0
2
f t t
.
Bảng biến thiên của hàm
2
f t t t
như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ycbt được thỏa mãn
1
4
m .
Câu 8. Có bao nhiêu số nguyên m sao cho bất phương trình
2 2
ln 5 ln 1 ln 4x mx x m
có tập
nghiệm là
?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn A
Ta thấy
2
1 0,x x
.
Ta có
2 2 2 2
ln5 ln 1 ln 4 ln 5 5 ln 4x mx x m x mx x m
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Trang 6 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
2 2
2
5 5 4
4 0
x mx x m
mx x m
2 2
2
5 5 4 1
1 4
x x m x
m x x
2
2
2
5 4 5
1
4
1
x x
m f x
x
x
m g x
x
.
Hàm số
f x
có bảng biến thiên như sau:
Hàm số
g x
có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên suy ra bất phương trình có tập nghiệm là
khi
2 3
m
.
Vậy có
1
giá trị nguyên của
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 9. Số giá trị nguyên của m để bất phương trình
2 2
3 3
1 log 1 log 2
x mx x m
có nghiệm
đúng với mọi số thực x là
A.
1
. B.
2
. C.
4
. D.
6
.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện xác định:
2
2 0
mx x m
.
Ta có:
2 2 2 2
3 3 3 3
1 log 1 log 2 log 3 1 log 2
x mx x m x mx x m
2 2 2
3 1 2 3 2 3 0.
x mx x m m x x m
Ta thấy
0
m
;
3
m
không thỏa mãn điều kiện đề bài.
Với
0
m
và
3
m
. Khi đó:
Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
thì
2
2
2 0
3 2 3 0
mx x m x
m x x m x
2
2
0
0
3 0
3
1 2
1 0
1; 1
2; 4
1 3 0
m
m
m
m
m
m
m m
m m
m
.
Mà m
nên
2
m
.
Câu 10. Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
m
thuộc
2021;2021
sao cho bất
phương trình
3 2 2
3 3
1 log 3 log 3 1
x x x m x
nghiệm đúng với mọi
x
trên đoạn
0;3
. Tính số phần tử của tập hợp
S
.
A.
2020
. B.
2018
. C.
2022
. D.
4040
.
Lời giải
Chọn B
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 7
Ta thấy
2
3 1 0,x x
.
Ta có:
3 2 2
3 3
1 log 3 log 3 1 ; 0;3
x x x m x x
3 2 2
3 3
log 3 3 9 3 log 3 1 ; 0;3
x x x m x x
3 2 2
3 3 9 3 3 1; 0;3
x x x m x x
3
3 3 9 1; 0;3
m x x x
.
Xét hàm số:
3
3 9 1
f x x x
trên
0;3
.
Ta có:
2
9 9
f x x
,
0
f x
1 0;3
1 0;3
x
x
.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có:
7
3 7
3
m m
.
Mà m
và
2021;2021
m
nên
{3; 4; ; 2020}
m
.
Câu 11. Gọi
S
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
m
thuộc
2021;2021
sao cho bất
phương trình
2
2 2
3log 2 12log 1 0
x x m
nghiệm đúng với mọi
x
trên khoảng
2;

. Tính
số phần tử của tập hợp
S
.
A.
2018
. B.
2020
. C.
2022
. D.
4040
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2
2 2
3log 2 12log 1 0
x x m
2
2 2 2
3 log 2log 1 12log 1 0
x x x m
2
2 2
3log 6 log 2 0
x x m
*
.
Đặt: log
x t
2
, với
1
2; ;
2
x t
 
.
Khi đó bất phương trình (*) trở thành
2
3 6 2 0
t t m
2
3 6 2
m t t
.
Xét hàm số
2
1
3 6 2, ;
2
f t t t t
.
Ta có:
6 6
f t t
;
0 6 6 0 1
f t t t
.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy
1
m
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Trang 8 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Mà m
và
2021;2021
m
nên
2020; 2019;...; 1
m
.
Câu 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để bất phương trình
2 2
log (5 1).log (2.5 2)
x x
m
có nghiệm
1
x
.
A. m
. B.
6
m
. C.
6
m
. D.
6
m
.
Lời giải
Chọn A
Với
1
x
thì
5 1 0; 2.5 2 0
x x
.
Ta có
2 2
log (5 1).log (2.5 2)
x x
m
2 2
log (5 1).log (2.5 2) m
x x
2 2
log (5 1). 1 log (5 1) m
x x
.
Đặt
2
log 5 1
x
t
do
1
x
2;t

.
BPT trở thành:
2
(1 )
t t m t t m
.
Đặt
2
( )
f t t t
ta có
( ) 2 1 0
f t t
với
2;t
nên hàm số
y f t
đồng biến và
liên tục trên
2;

. Suy ra
6;f t

khi
2;t

.
Do đó để để bất phương trình
2 2
log (5 1).log (2.5 2) m
x x
có nghiệm thỏa mãn
1
x
thì
m
Câu 13. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số
m
sao cho khoảng
2;3
thuộc tập nghiệm của bất
phương trình
2 2
5 5
log 1 log 4 1
x x x m
là
A.
13
. B.
12
. C. 12. D. 13.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
2
2
2
2
2
4
4 ( )
1
(1)
5
4 4 5 ( )
4 0
x x m
m x x f x
x
m x x g x
x x m
.
Hệ trên thỏa mãn
2;3
x
2;3
2;3
( ) 12
12 13
( ) 13
m Max f x
m
m Min g x
.
Câu 14 . Có bao nhiêu số nguyên dương
m
trong đoạn
2018;2018
sao cho bất phương trình
11
log
log
10
10
10 10
x
x
m
x
đúng với mọi
1;100
x
?
A. 2022. B. 2021. C. 2020. D. 2018.
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện
0
x
.
Ta có
11
log
log
10
10
log
11
10 10 log 1 log
10 10
x
x
m
x
x m x x
2
log 10 log 1 11log 0 10 log 1 log 10log 0
x m x x m x x x
.
Vì
1;100
x
nên
log 0; 2
x
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 9
Do đó
2
2
10log log
10 log 1 log 10log 0 10
log 1
x x
m x x x m
x
.
Đặt
log
t x
,
0; 2
t
.
Xét hàm số
2
10
1
t t
f t
t
liên tục trên đoạn
0;2
.
Ta có
2
2
10 2
0, 0; 2
1
t t
f t t
t
Hàm số
f t
đồng biến trên
0;2
.
Suy ra
0;2
16
max ( ) 2
3
f t f
.
Để bất phương trình
2
10log log
10
log 1
x x
m
x
đúng với mọi
1;100
x
thì
16 8
10
3 15
m m .
Do đó
8
; 2018
15
m
hay có
2018
số thỏa mãn.
Câu 15 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để bất phương trình
3
1 1
2 2
log 1 log
x x x m
có nghiệm.
A.
2
m
. B. m
.
C.
2
m
. D. Không tồn tại
m
.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện
3
1
0
x
x x m
.
Bất Phương trình đã cho
3 3 3
1 1
2 2
log 1 log 1 1 .
x x x m x x x m x m
Đặt
3
1
f x x
, ta có
2
3 , 0 0 1;f x x f x x

.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài toán được thỏa mãn
m
.
Câu 16. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số
m
để bất phương trình
2 2
2 2
log 2 log 2
x mx m x
nghiệm đúng với mọi
x
?
A.
2
. B.
4
. C.
3
. D.
1
.
Lời giải
Chọn D
Ta thấy
2
2 0x x
.
Do đó bất phương trình
2 2 2 2
2 2
log 2 log 2 2 2 0
x mx m x x mx m x mx m
.
Bất phương trình
2 2
2 2
log 2 log 2
x mx m x
nghiệm đúng với mọi
x
khi và chỉ
khi
0 0
mx m x m
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Trang 10 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Câu 16. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của
2021;2022
m
để bất phương trình
2 2
3 3 1
3
log 3 log 1 2log 2 2 0
x x x m
có nghiệm với mọi
x
thuộc đoạn
3
1; 3
?
A.
2021
. B.
2022
. C.
4043
. D.
4042
.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện
0
x
. Ta có
2 2
3 3 1
3
log 3 log 1 2log 2 2 0
x x x m
2
2
3 3 3
1 log log 1 2log 2 2 0
x x x m
2
2
3 3
log log 1 2 1 0
x x m
.
Đặt
2
3
log 1 1
t x
, ta được bất phương trình
2 2
2 2 0 2 2 *
t t m t t m .
Ta có
3
1; 3
x
3
0 log 3
x
2
3
1 log 1 2 1;2
t x t
.
Xét hàm
2
f t t t
, với
1; 2
t . Ta có
2 1 0, 1;2
f t t t
.
Suy ra hàm số
f t
là hàm đồng biến và liên tục trên đoạn
1; 2
.
Ta thấy
1 2
f
và
2 6
f
.
Bất phương trình
2 2
f t m
có nghiệm với
1; 2
t
2 2 2 6 2 2 2
f m m m
.
Do
, 2021;2022
m m
nên
2,...,2022
m
. Vậy có 2021 giá trị nguyên của
m
thỏa
mãn yêu cầu bài toán.
Câu 18. Cho hàm số
2
2
2 3 7 4 3 ln 1
x x
f x x x
. Tìm các giá trị của tham số
m
để bất phương trình
2
3 2 2 2 0
f x m f x x
nghiệm đúng với mọi giá trị
x
.
A.
3
2
m
. B.
1 3
2 2
m
. C.
1
2
m
. D.
m
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2 2
1 1 0
x x x x
nên tập xác định của hàm số đã cho là
D
.
Với
x R
, ta có
2 2
2
2 3 2 3 ln 1
x x
f x x x
2 2
2
2 3 2 3 ln 1
x x
f x x x
2 2
2
2 3 2 3 ln 1
x x
x x f x
f x
là hàm số lẻ.
Lại có
2 2
2
1
2. 2 3 ln 2 3 2. 2 3 ln 2 3 0,
1
x x
f x x
x
Hàm số
f x
nghịch biến trên
.
Ta có
2 2
3 2 2 2 0 2 2 2 3
f x m f x x f x x f x m
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 11
2 2
2 2 2 3 2 2 1
x x x m x m x x
2
2
2 4 1
2 1
m x x
m x
,
x
.
Do
2 2
max( 4 1) 3, min( 1) 1
x x x
nên ta có
3
2
1
2
m
m
.
Vậy không có giá trị nào của tham số
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 19. Biết rằng
a
là số thực dương sao cho bất phương trình
2 5
5 2
log 3 log 6 9 0
x x x x
a
nghiệm đúng với mọi x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
12;14
a
. B.
10;12
a
. C.
14;16
a
. D.
16;18
a
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2 5 2 5 2 5
5 2
log 3 log 6 9 0 log 3 log 6 9
x x x x x x x x
a a
3 6 9
x x x x
a
18 6 9 3 18
x x x x x x
a
18 3 2 1 9 2 1
x x x x x x
a
18 3 2 1 3 1
x x x x x
a
*
.
Ta thấy
2 1 3 1 0,
x x
x
3 2 1 3 1 0,
x x x
x
.
Do đó,
*
đúng với mọi mọi x
18 0,
x x
a x
1,
18
x
a
x
1 18 16;18
18
a
a
.
Câu 20. Cho hàm số
2
log 1 2 2
f x x x x
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
thuộc
10;10
để bất phương trình
2
2 4 6 0
f x m f x x
nghiệm đúng với mọi
x
thuộc
1;1
?
A.
8
. B.
4
. C.
11
. D.
3
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
2
1 2 2 1 1 1 1 1 0,x x x x x x x x
Hàm số
2
log 1 2 2
f x x x x
xác định trên
.
Ta có
2
2
1
2 log 1 1 1 log
1 1 1
f x x x f x
x x
2
2 2
1
1
1 1
1
0,
1 1 1 ln10 1 1 ln10
x
x
f x x
x x x
hàm số
f x
đồng
biến trên
.
Ta có:
2 2
2 4 6 0 2 4 6
f x m f x x f x m f x x
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Trang 12 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
2 2
2 4 8 2 4 8
f x m f x x x m x x
2 2
2 2
2 2 4 8 2 6 8
2 2 4 8 2 2 8
x m x x m x x
x m x x m x x
Xét các hàm số
2
6 8
u x x x
và
2
2 8
v x x x
trên
1;1
ta có bảng biến thiên
Dựa vào BBT ta thấy để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi
x
thuộc
1;1
thì
15
2
11
2
m
m
. Do
m
nguyên và
10;10
m
nên có
8
giá trị
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 21. Cho hàm số
2
2
1
1
x x
f x
x
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để bất phương trình
2
4
5
4
2 log
f x f x
f x m
f x
có nghiệm
0;x

.
A.
9
8
m
. B.
1
2
m
. C.
9
8
m
. D.
1
2
m
.
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số
2
2
1
1
x x
f x
x
trên khoảng
0;

.
Ta có
2
2
2
1
1
x
f x
x
;
2
1
0 1 0
1 0;
x
f x x
x
Bảng biến thiên
Dựa vào BBT ta thấy
3
1 , 0;
2
f x x

.
Xét hàm số
2
4
5
4
2 log
f x f x
g x f x
f x
trên
0;

Do
1
f x
nên hàm số
g x
xác định trên khoảng
0;

.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 13
Ta có
2
2
4
4
1
. 2 4 .2 .ln 2
4
ln5
f x f x
f x
g x f x f x f x
f x
f x
2
4
3
2
2 2.2 .ln 2
4 ln5
f x f x
f x
g x f x f x
f x f x
.
Do
3
1
2
f x
nên
0 0 1
g x f x x
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào BBT ta thấy để bất phương trình đã cho có nghiệm
0;x

thì
9
8
m
.
Câu 22. Cho các bất phương trình
2 2
2 4
log 4 2 log 4 8
x x m x x m
1
và
3 1 0
x x
2
. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của
m
thỏa mãn mọi nghiệm của
bất phương trình
2
đều là nghiệm của bất phương trình
1
.
A.
254
. B.
255
. C.
256
. D.
257
.
Lời giải
Chọn B
Bất phương trình
3
2
3 0
1
1 0
x
x
x
.
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình
2
là:
1;3
S
.
Do đó mọi nghiệm của bất phương trình
2
đều là nghiệm của bất phương trình
1
khi và chỉ
khi bất phương trình
1
có nghiệm đúng với mọi
1;3
x
.
Điều kiện:
2
2
2
4
4 0
4 1
log 4 0
x x m
x x m
x x m
2
4 1
m x x
thỏa mãn
1;3
x
.
Khi đó
1;3
max
m f x
với
2
4 1
f x x x
.
Xét hàm số
2
4 1
f x x x
trên đoạn
1;3
2 4 0
f x x
2
x
.
Bảng biến thiên:
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Trang 14 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Dựa vào bảng biến thiên ta có
1;3
max 5
m f x m
. (3)
Ta có
2 2
2 4
log 4 2 log 4 8
x x m x x m
2 2
2 2
1 1
log 4 2 log 4 8
2 2
x x m x x m
.
Đặt
2
2
1
log 4
2
t x x m
,
0
t
.
Bất phương trình trở thành:
2
2 8 0 4;2 0;2
t t t t
.
Với
2
t
ta có
2
2
1
log 4 4
2
x x m
2
4 256
m x x
với mọi
1;3
x
.
1;3
min
m g x
với
2
4 256
g x x x
.
Xét hàm số
2
4 256
g x x x với
1;3
x .
' 2 4 0 2
g x x x
.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên:
1;3
min 259
m g x m
. (4)
Từ
3
,
4
ta có
5;259
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy có tất cả
255
giá trị nguyên của
m
thỏa mãn mọi nghiệm của bất phương trình
2
đều là
nghiệm của bất phương trình
1
.
Câu 23. Cho bất phương trình
2
2
2
2 2
2 .log 4 6 4 log 2 2
x m
x
x x x m
với
m
là tham số thực.
Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị nguyên của
m
để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi
0;2
x
là đoạn
;
a b
. Khi đó
2 2
a b
bằng:
A.
4
. B.
8
. C.
16
. D.
0
.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện: x
.
Ta có
2
2
2
2 2
2 .log 4 6 4 log 2 2
x m
x
x x x m
2
2
22
2 2
2 .log 2 2 2 log 2 2 1
x mx
x x m
Xét hàm số
2
2 .log 2
t
y t
với
0
t
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 15
Hàm số
2
2 .log 2
t
y t
xác định và liên tục trên
0;
.
Ta có
2
2
2 .log 2 .ln 2 0, 0
2 ln 2
t
t
y t t
t
.
Vậy hàm số
2
2 .log 2
t
y t
đồng biến trên
0;
.
Khi đó
2 2
1 2 2 2 2
f x f x m x x m
2 2
2 2 2
x x m x
2
2
2 6 4
, 0;2
2 2 4
m x x
x
m x x
2
0;2
2
0;2
2 min 6 4
2 max 2 4
m x x
m x x
2 4
2 2
2 4
m
m
m
.
Vậy tập hợp tất cả các giá trị nguyên của
m
để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi
0;2
x
là đoạn
2 2
2;2 2; 2 8
a b a b
.
Câu 24. Cho
,
a b
là các số nguyên dương nhỏ hơn
2022
. Biết rằng với mỗi giá trị của
b
luôn có ít nhất
1000
giá trị của
a
thỏa mãn
2
1
2 2 .log 4 1
a b b a b
a
b
. Số giá trị
b
là
A.
1021
. B.
1022
. C.
1020
. D.
1023
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
1, 2
c a c
, khi đó
2
1
2 2 .log 4 1 2 2 .log 2 2 , 1
a b b a b c c b b
a c
b b
.
+)
1
b
, không thỏa mãn
1
.
+)
2
2 2 15
2 , 2
log 4
c c
b
c
.
)
2
c
, không thỏa mãn
2
.
)
3
c
, hàm
2
2
2 .ln 2.ln 1 .2 .ln 2.ln 2
2 2
, 0
log
.ln 2 log
c c c
c c
c
c c c c
f c f c
c
c c
.
Suy ra
15
3 , 3 2 2021
4
f c f c a
. Do đó
2
b
thỏa mãn.
+)
3
b
,
2 2 2 2
1 , 3
ln ln
c c b b
c b
.
Hàm số
2
2 2
log
t t
f t
t
đồng biến với mọi
3
t
và
2
c
không thỏa mãn
3
nên
3
c
.
Do đó
3
3 , 3 3 2021 3 1022
2021 1 1000
b
c b b b a b
b
.
Vậy
2 1022
b
.
Câu 25. Có bao nhiêu số nguyên
2022;2022
m
sao cho thỏa mãn bất
phương trình
ln 1 ln
1 1
x x m
x x x x
,
0, 1
x x
?
A. 2. B. 1. C. Vô số. D. 0.
Lời giải
Chọn C
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Trang 16 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Bất phương trình đã cho tương đương với
2
2 ln
1
1
x x
m
x
,
0, 1
x x
. (1)
Xét hàm số
2
2 ln
( )
1
x x
f x
x
,
0, 1
x x
.
Ta có
2
2
2 2
2 2 2 2 2
1
2 ln
1
2[( 1)ln 1]
( )
( 1) ( 1)( 1)
x
x
x
x x x
f x
x x x
.
Xét hàm số
2
2
1
( ) ln
1
x
g x x
x
,
0
x
.
Ta có
2 2
2 2
( 1)
( ) 0
( 1)
x
g x
x x
,
0
x
,
1
x
;
( ) 0 1
g x x
.
Suy ra
( ) (1) 0
g x g
khi
1
x
và
( ) (1) 0
g x g
khi
1
x
.
Do đó ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra
(1) 1 1 0
m m
.
Vậy có vô số giá trị nguyên của tham số
m
thỏa mãn.
Câu 26. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số
m
để bất phương trình
2 2
2 ln 1 0
x
x e mx x e
đúng với
x
?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn A
Bất phương trình đã cho tương đương với:
2 2
2 ln 1 0
x
f x x e mx x e
. Nhận thấy nhanh rằng:
0 0
f
Suy ra hàm số trên thỏa mãn
0 0
0 0
f x f x R
f
hàm số đạt cực tiểu tại
0
x
Xét
2
2
2 2
x
x
f x x e m
x e
có
0 2 0 2
f m m
Thử lại với
2
m
thì
2 2
2 2 ln 1
x
f x x e x x e
2 2
2 1
2 2 2 2 1 2 1 0 0
x x
x
f x x e x e x
x e x e
Đến đây ta nhận thấy
0 0
f x f
nên suy ra
2
m
thỏa nên có đúng 1 giá trị
m
Câu 27. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số
m
để bất phương trình
2 2 2 2 2
2 3
4 4 log 2 1 log 1 0
m m x mx m m x
có nghiệm thực
x
?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
6
.
Lời giải
Chọn B
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 17
Bất phương trình đã cho tương đương với:
2 2
2 2
2 3
0
0
0
2 log 1 log 1 0
m x m m x


Ta nhận thấy:
2 2
2 2
2 3
2 log 1 log 1 0
m x m m x
nên suy ra bất phương trình trên
chỉ có nghiệm khi xảy ra dấu bằng, tức là:
2 2
2
2 2
2 2
2 3
2 2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2 log 1 0
2 log 1 log 1 0
log 1 0
2 0
2 0
2 2
log 1 0
0
0
0 0
0
0
0 0
0
log 1 0
m x m
m x m m x
m x
m
m
m m
x m
x m x
x m
m m
m
m
x x
x
x
Suy ra có 2 giá trị thực
m
thỏa mãn bài toán
Câu 28. Gọi
S
là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số
m
để bất phương trình
2
ln 4 3 log
x x m
có đúng 3 nghiệm nguyên, vậy tổng phần tử của
S
là
A.
108
. B.
5
. C.Vô số D.
89
.
Lời giải
Chọn B
Bất phương trình đã cho tương đương với:
2 2
ln 4 3 log ln 4 3 log
x x m f x x x m
Xét hàm số
2 2
1
ln 4 3 ; 4 3 0
3
x
f x x x x x
x
Ta có:
2
1 1
2
3 3
22
2
2
2
lim lim ln 4 3 ln 0
lim lim ln 4 3 ln 0
2 4 4 34 3
0 2
4 3
4 3
x x
x x
f x x x
f x x x
x x xx x
f x x
x x
x x


Từ đó ta có bảng biến thiên như sau:
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Trang 18 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Nhận thấy ngay 3 nghiệm nguyên thỏa mãn bài toán đó là:
0;2;4
x
. Lưu ý rằng hai nghiệm
nguyên
1; 3
x x
bị vi phạm điều kiện nên không được tính
Suy ra
4 log 5 ln3 log ln8 13 120
m Z
f m f m m

Như vậy có tất cả
120 13 1 108
giá trị nguyên
m
thỏa mãn bài toán.
Câu 29. Có tất cả bao nhiêu bộ số nguyên
; ; ;
a b c d
với
, , , 3;3
a b c d thỏa
mãn điều kiện bất phương trình
2 3
4 3 2
ln 1
2 3
x x
x ax bx cx dx
nghiệm đúng với
1;x

?
A.
43
B.
71
C.
37
D.
47
Lời giải
Chọn B
Ta để ý rằng 2 đồ thị
2 3
ln 1
2 3
x x
f x x
và
4 3 2
g x ax bx cx dx
cùng đi qua
gốc tọa độ. Do đó ta xét tiếp tuyến tại gốc tọa độ của
y f x
. Ta có
0 1; 0 0
f f
nên
tiếp
tuyến là
y x
.
TABLE ta có
2 3
ln 1 0
2 3
x x
x x
1;x

.
Do vậy đồ thị
2 3
ln 1
2 3
x x
f x x
luôn đứng dưới đường thẳng
y x
và tiếp xúc nhau
tại
O
.
Xét phương trình hoành độ giao điểm
4 3 2
1 0
ax bx cx d x
có nghiệm kép
0
x
nên
1
d
.
Đồ thị
4 3 2
g x ax bx cx dx
luôn đứng trên đường thẳng
y x
và tiếp xúc nhau tại
O
thì điều kiện cần và đủ là
2
0 1;ax bx c x

do đó
0
a
.
Trường hợp 1:
0
0 1;
a
bx c x

0
0
0
a
b
b c
. Có 10 bộ:
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 19
Trường hợp 2:
2
0
4
a
b ac
. Có tất cả 60 bộ:
Trường hợp 3:
2
0
4
a
b ac
khi đó
1 2
0 1;a x x x x x 
khi
1 2
1x x
.
Do đó
1 2
1 2
2
2
2
1 0
1 1 0
b
b a
x x
b a
a
c b
a c b
x x
a a
.
Có duy nhất 1 bộ thỏa mãn
1
3
2
a
b
c
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Trang 20 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Kết luận: Có tất cả 71 bộ số cần tìm.
Câu 30. Cho hàm số
f x
liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ.
Với điều kiện nào của tham số
m
thì bất phương trình
2
2019
5 2
1 28
1 .log 0
125 5
2020
f x m
x
f x
nghiệm đúng với mọi
4;5
x
?
A.
10
m
. B.
10
m
. C.
10
m
. D.
10
m
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2
2
4 4, 4;5
28 7
, 4;5
27 28 28
125 5 5
, 4;5
5 125 5 5
f x x
x
f x x
x
x

.
2
2019
28
log 0, 4;5
125 5
x
f x x
(*).
Từ (*) ta có:
2
2019
5 2
1 28
1 .log 0, 4;5
125 5
2020
f x m
x
f x x
5 2
1
1 0, 4;5
2020
f x m
x
5 2
1
1, 4;5
2020
f x m
x
5 2 0, 4;5
f x m x
2
, 4;5
5
m
f x x
2
4 10
5
m m
.
_______________ TOANMATH.com _______________
| 1/20

Tài liệu khác của Toán 11

Preview text:

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CHỨA THAM SỐ
Bài toán. Tìm m để bất phương trình f (x,m)  0 hoặc f (x,m)  0 có nghiệm trên D ? PHƯƠNG PHÁP
Bước 1. Tách tham số m ra khỏi x và đưa BPT về dạng (
A m)  f (x) hoặc A(m)  f (x) .
Bước 2. Khảo sát sự biến thiên và dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m
để bất phương trình có nghiệm.
Lưu ý: Cho hàm số y  f  x xác định và liên tục trên D .
Trong trường hợp tồn tại max f (x) và min f (x) thì ta có: xD xD  Bất phương trình (
A m)  f (x) có nghiệm trên D  ( A m)  max f (x) . xD  Bất phương trình (
A m)  f (x) có nghiệm trên D  ( A m)  min f (x) . xD  Bất phương trình (
A m)  f (x) nghiệm đúng x  D  ( A m)  min f (x) . xD  Bất phương trình (
A m)  f (x) nghiệm đúng x  D  ( A m)  max f (x) . xD Nếu 2
f (x)  ax  bx  c a  0 thì a  0
f (x)  0, x     .   0 a  0
f (x)  0, x     .   0
Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình 2 2
log (7x  7)  log (mx  4x  m) nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x ? 2 2 A. 7 . B. 3 . C. Vô số. D. 4 . Lời giải Chọn B 2 mx  4x  m  0, x   
Yêu cầu bài toán được thỏa mãn   2 2
7x  7  mx  4x  , m x     f x 2  mx  4x  m  0, x         . g
  x  7  m 2 x  4x  7  m  0, x    
Ta thấy m  0; m  7 không thỏa mãn điều kiện đề bài.
Với m  0 và m  7 . Khi đó ta có: m  0 m  0    
 m  2  m  2 . (1) 2   4  m  0  m  2 m  7     7 m 0 m  7       
 m  5  m  5. (2)   4  2  7  m2  0 m 14m  45  0  m  9
Từ (1) và (2) suy ra 2  m  5 . Do m   nên m 3;4;  5 .
Câu 2. Tìm m để bất phương trình 2
log 2x  2(m 1) log x  2  0 có nghiệm x  ( 2; ). 2 2
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 1 NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC  3   3  A. m  (0; ) . B. m   ;0   . C. m   ;    . D. m  (;0) .  4   4  Lời giải Chọn C Ta có 2
log 2x  2(m 1) log x  2  0  1 log x  2(m 1) log x  2  0 .  2 2 2 2 2  1 
Đặt t  log x . Do x  ( 2; )  t  ;  . 2    2 
Khi đó  trở thành   t2 1  2(m 1)t  2  0  t2 1  2 2   t 1 1  m  f t   m (1). 2t 2t t 1  Xét hàm f t 1   liên tục trên ;  . 2 2t   2  1 1  1   1  3 Ta có f t    0, t   ;   min f t  f   . 2       1 2 2t  2   ;  2  4    2   1 
Khi đó (1) đúng với mọi t  ;  
 khi min f t   m  3 m   .  2  1  ; 4   2 
Câu 3. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc  1
 00;100 của tham số mđể bất phương trình log log 3x 1  log
m nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng  ;  0 ? 0,02  2   0,02 A. 99. B. 98. C. 100 . D. 101. Lời giải Chọn C log 3x 1  0 2   Điều kiện:   m  0. m  0 Ta có log log 3x 1  log  log 3x m 1  m . 0,02  2   0,02 2   3x.ln 3 Xét hàm số   log 3x f x  1 . Ta có f 'x   0 x    . 2   3x  1.ln2
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.
Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc  ;  0 khi m  1.
Do m nguyên và thuộc đoạn  1
 00;100 nên m1;2;3;4;.....;10  0 . Trang 2
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Câu 4. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình 2 log 2x  4  m 3
log x 1 có nghiệm đúng với mọi x thuộc 16;? 2 8  A. 2 . B. 3. C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn C x  0 x  0
Điều kiện xác định:    2 2 log 2x  4  0 log x  2log x  3  0  2  2 2 x  0  1  0  x   log x 1    . 2 8  log x  3  x  2 2 Ta có : 2 log 2x  4  m 3 log x 1 2
 log x  2log x  3  m log x 1 * . 2 2  2    2 8 
Do x 16; nên log x  4  log x 1  0 2 2 2 log x  2log x  3 Suy ra * 2 2   m . log x 1 2
Đặt t  log x . Do x 16; nên t 4; . 2 2 t  2t  3 Bất phương trình   * trở thành  m t  4;. t 1 2 t  2t  3 Xét hàm f t  với t 4; . t 1 2  2t Ta có f 't   0, t  4;. t  2t  3.t  2 2 1
Suy ra hàm số f t nghịch biến trên khoảng 4; .
Bảng biến thiên của hàm f t như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x thuộc
16; khi m 1. Do * m  m 1. Câu 5.
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc  1
 0;10 của tham số m để bất phương trình 3 x  x  4  2mlog 2 có nghiệm? 4 4x A. 8 . B. 5. C. 6 . D. 7 . Chọn A
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 3 NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC x  0 x  4 
Điều kiện xác định:   0  x  4 . 4  4  x  1   4  4  x  0
Ta thấy 0  x  4  0  4  x  4  2  4  4  x  4 . Suy ra log 2  0 . 4 4x
Khi đó bất phương trình 3 x  x  4 3 x  x  4  2mlog 2  m  4 4x 2.log 2 4 4x 1
 m  3 x  x  4.log 4  4  x . 2   2 1
Xét hàm f  x  3 x  x  4.log 4  4  x liên tục trên 0;4. 2   2 Ta có   f   1 3 1 1 1 ' x  
.log 4 4x  3 x  x4 . 0 x   0;4   . 2     22 x 2 x4 2 2 4x .4 4x   .ln2
Suy ra hàm số y  f  x đồng biến trên 0;4.
Để bất phương trình đã cho có nghiệm thì m  1.
Do m nguyên và thuộc khoảng  1
 0;10 nên m2;3;...;  9 .
Vậy có 8 giá trị m nguyên cần tìm là : m 2;3;...;  9 .
Câu 6. Cho bất phương trình log  2
x  2x  2 1  log  2
x  6x  5  m . Có bao nhiêu giá trị nguyên 7 7 
của tham số m để bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng 1;3 ? A. 35 . B. 33. C. 33 . D. 36 . Lời giải Chọn D 2 x  6x  5  m  0  2 m  x  6x 5 Bpt     . log 7 2    2 x  2x  2  log   2x 6x5  m 6x 8x  9  m 7 7  Xét hàm f  x 2
 x  6x  5 liên tục trên đoạn 1;  3 . Ta có f  x  2  x  6  0, x
 1;3  f x nghịch biến trên đoạn 1;  3
 max f x  f   1  1  2 . 1; 3 Xét hàm g  x 2
 6x  8x  9 liên tục trên đoạn 1;  3 . Trang 4
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Ta có g x 12x  8  0, x
 1;3  g  x đồng biến trên khoảng 1;  3
 min g x  g   1  23 . 1; 3 2  m  max f x m  x  6x  5  1;3
Yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi 
với mọi x 1;3   . 2 6x  8x  9  m m  min g  x  1; 3
Khi đó ta có 12  m  23. Mà m   nên m 1  2; 1  1;10; ...;22;2  3 .
Vậy có tất cả 36 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 7. Tìm tấtt cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 2 4log x  2log x  m  0 có 2 1 4
nghiệm với mọi x thuộc khoảng 0;  1 .  1   1  1  A. m  0;  . B. m   ;   . C. m   ;  0. D. ;   . 4    4     4  Lời giải Chọn D Điều kiện: x  0 . Ta có 2 4log
x  2log x  m  0  log x  log x  m  0 . 2 2 2 1 2 4
Đặt t  log x , do x 0;  1  t  ;  0. 2
Bất phương trình trở thành 2 t  t  m  0 2  m  t   t . Xét hàm   2
f t  t  t với t  ;  0 . Ta có f t  2  t 1, f t 1  0  t   . 2
Bảng biến thiên của hàm   2 f t  t  t như sau: 1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ycbt được thỏa mãn  m  . 4
Câu 8. Có bao nhiêu số nguyên m sao cho bất phương trình   2 x     2 ln 5 ln 1
ln mx  4x  m có tập nghiệm là  ? A.1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn A Ta thấy 2 x 1  0, x    . Ta có   2 x     2 mx  x  m   2 x     2 ln5 ln 1 ln 4 ln 5 5 ln mx  4x  m
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 5 NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC 2  5x  4x  5 2 2 2 2  m   f  x 5
 x  5  mx  4x  m 5x  5  4x  m x   1 2      x 1   . 2 mx  4x  m  0 m 4x   2 x   1  4x m    g x  2  x 1
Hàm số f  x có bảng biến thiên như sau:
Hàm số g  x có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên suy ra bất phương trình có tập nghiệm là  khi 2  m  3.
Vậy có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 9. Số giá trị nguyên của m để bất phương trình 1 log  2 x   1  log  2 mx  2x  m có nghiệm 3 3 
đúng với mọi số thực x là A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 6 . Lời giải Chọn A Điều kiện xác định: 2 mx  2x  m  0 . Ta có: 1 log  2 x   1  log  2
mx  2x  m  log 3 2 x   1  log  2 mx  2x  m 3 3 3 3    2 x   2
 mx  x  m    m 2 3 1 2 3 x  2x  3  m  0.
Ta thấy m  0; m  3 không thỏa mãn điều kiện đề bài.
Với m  0 và m  3. Khi đó: 2
mx  2x  m  0 x
Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x   thì   3 m 
 2x  2x 3 m  0 x    m  0 m  0 3  m  0   m  3      1 m  2 . 2 1 m  0 m  1;m  1   1    3 m2  0 m  2;m  4 Mà m nên m  2 .
Câu 10. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc  2  021;202  1 sao cho bất phương trình 1 log  3 2
x  x  3x  m  log  2
3x 1 nghiệm đúng với mọi x trên đoạn 0;  3 3 3 
. Tính số phần tử của tập hợp S . A. 2020 . B. 2018 . C. 2022 . D. 4040 . Lời giải Chọn B Trang 6
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC Ta thấy 2 3x 1  0, x    . Ta có: 1 log  3 2
x  x  3x  m  log  2 3x 1 ; x  0;3 3 3     log  3 2
3x  3x  9x  3m  log  2 3x 1 ; x   0;3 3 3    3 2 2
 3x  3x  9x  3m  3x 1; x  0;  3 3  3m  3  x  9x 1; x  0;  3 . Xét hàm số: f  x 3  3
 x  9x 1 trên 0;  3 .  x 10;3 Ta có: f  x 2  9
 x  9 , f x  0   . x  1    0;3 Bảng biến thiên: 7
Từ bảng biến thiên ta có: 3m  7  m  . 3 Mà m và m 2  021;202  1 nên m {3; 4;;2020}.
Câu 11. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc  2  021;202  1 sao cho bất phương trình 2
3log 2x 12log x 1 m  0 nghiệm đúng với mọi x trên khoảng  2; . Tính 2 2
số phần tử của tập hợp S . A. 2018 . B. 2020 . C. 2022 . D. 4040 . Lời giải Chọn B Ta có: 2
3log 2x 12log x 1 m  0  3 2
log x  2 log x 1 12 log x 1 m  0 2 2  2 2 2 2
 3log x  6log x  2  m  0 * . 2 2  
Đặt: log x  t , với x   1 2;  t  ;  . 2    2 
Khi đó bất phương trình (*) trở thành 2 3t  6t  2  m  0 2  m  3t  6t  2 .  1  Xét hàm số f t 2  3t  6t  2, t   ;   .  2 
Ta có: f t  6t  6; f t  0  6t  6  0  t  1. Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy m  1  .
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 7 NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC Mà m và m 2  021;202  1 nên m 2  020; 2019;...;  1 .
Câu 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log (5x 1).log (2.5x  2)  m 2 2 có nghiệm x  1. A. m   . B. m  6. C. m  6 . D. m  6 . Lời giải Chọn A
Với x  1 thì 5x 1 0; 2.5x    2  0.
Ta có log (5x 1).log (2.5x  2)  m 2 2 log (5x 1).log (2.5x    2)  m 2 2
 log (5x 1). 1 log (5x  1)  m 2  2  . Đặt log 5x t 
1 do x  1  t 2;. 2   BPT trở thành: 2
t(1 t)  m  t  t  m . Đặt 2
f (t)  t  t ta có f (t)  2t 1 0 với t
 2; nên hàm số y  f t đồng biến và
liên tục trên 2; . Suy ra f t6; khi t 2; .
Do đó để để bất phương trình log (5x 1).log (2.5x 
 2)  m có nghiệm thỏa mãn x  1 2 2 thì m  
Câu 13. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho khoảng 2;3 thuộc tập nghiệm của bất phương trình log  2 x   1  log  2 x  4x  m 1 là 5 5  A. 1  3. B. 1  2. C. 12. D. 13. Lời giải Chọn D. 2  x  4x  m 2 2 x 1 
m  x  4x  f (x) Ta có (1)   5   . 2       2 m 4x 4x 5 g(x) x  4x  m  0 m  Max f (x)  12  2;3 Hệ trên thỏa mãn x  2;3    12  m  13 . m  Min g(x)  13  2;3
Câu 14 . Có bao nhiêu số nguyên dương m trong đoạn 2018;2018 
 sao cho bất phương trình  x logx 11 m x 10 10  log 10 10
đúng với mọi x 1;100 ? A. 2022. B. 2021. C. 2020. D. 2018. Lời giải Chọn D. Điều kiện x  0 . log x 11 m log x log x 11 Ta có 10x    10  10 10  m  log x  1  log x  10  10   x  m x    x   m x    2 log 10 log 1 11log 0 10 log 1 log x  10log x  0 .
Vì x 1;100 nên logx0;2 . Trang 8
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC 2 x x Do đó m x     2 10log log 10 log
1 log x 10log x  0  10m  . log x  1
Đặt t  log x , t 0;2 . 2 10t t Xét hàm số f t  
liên tục trên đoạn 0;2 . t  1   10  2t  2 t Ta có f t   0, t  0;2
Hàm số f t đồng biến trên 0;2 . 2    t 1 16
Suy ra max f (t)  f 2  . 0;2 3 x  2 10log log x 16 8
Để bất phương trình 10m 
đúng với mọi x 1;100 thì 10m   m  . log x  1 3 15  8 
Do đó m   ;2018 hay có 2018 số thỏa mãn. 15 
Câu 15 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log x  1  log  3x  xm 1 1  2 2 có nghiệm. A. m  2 . B. m   . C. m  2 . D. Không tồn tại m . Lời giải Chọn B x 1 Điều kiện  . 3 x   xm  0 
Bất Phương trình đã cho  log x  1  log  3x  xm 3 3
 x1 x  xm  x 1 . m 1 1 2 2 Đặt f  x 3
 x 1, ta có f x 2
 3x , f x 0  x  01;   . Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài toán được thỏa mãn  m   .
Câu 16. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để bất phương trình log  2
x  mx  m  2  log  2
x  2 nghiệm đúng với mọi x   ? 2 2  A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn D Ta thấy 2 x  2  0 x  . Do đó bất phương trình log  2
x  mx  m  2  log  2 x  2 2 2
 x  mx  m  2  x  2  mx  m  0 . 2 2
Bất phương trình log  2
x  mx  m  2  log  2
x  2 nghiệm đúng với mọi x   khi và chỉ 2 2  khi mx  m  0 x     m  0 .
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 9 NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Câu 16. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m 2  021;202  2 để bất phương trình 2 2
log 3x  log x 1  2log x  2m  2  0 có nghiệm với mọi x   3 3 1 thuộc đoạn 3 1; 3   ? 3 A. 2021. B. 2022 . C. 4043. D. 4042 . Lời giải Chọn A
Điều kiện x  0 . Ta có 2 2
log 3x  log x 1  2log x  2m  2  0 3 3 1 3  1 log x2 2
 log x 1  2log x  2m  2  0 3 3 3  log x2 2
 log x 1  2m 1  0 . 3 3 Đặt 2
t  log x 1  1, ta được bất phương trình 2 2
t  t  2m  2  0  t  t  2m  2 *. 3 Ta có 3 x  1  ; 3  2 
  0  log x  3  1  t  log x 1  2  t  1;2 . 3   3 Xét hàm   2
f t  t  t , với t 1; 2. Ta có f t  2t 1  0, t  1;2 .
Suy ra hàm số f t là hàm đồng biến và liên tục trên đoạn 1; 2. Ta thấy f   1  2 và f 2  6.
Bất phương trình f t  2m  2 có nghiệm với t  1; 2
 f 2  2m  2  6  2m  2  m  2. Do m ,  m 2  021;202  2 nên m2,...,202 
2 . Vậy có 2021 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 x x
Câu 18. Cho hàm số f  x           2 2 3 7 4 3 ln
x 1  x. Tìm các giá trị của tham số m
để bất phương trình f   x  m   f  2 3 2
x  2x  2  0 nghiệm đúng với mọi giá trị x   . 3 1 3 1 A. m  . B.  m  . C. m  . D. m   . 2 2 2 2 Lời giải Chọn D Ta có 2 2
x 1  x  x 1  x  0 nên tập xác định của hàm số đã cho là D   .  2x 2 x
Với x  R , ta có f  x           2 2 3 2 3 ln x  x 1
      2x   2x f x   2 2 3 2 3 ln x 1  x  2 x 2 x       2 2 3 2 3 ln x x 1           f  x  
 f x là hàm số lẻ. 2 x 2 x 1 Lại có f  x  2
 .2  3 ln2 3  2.2  3 ln2 3   0, x    2 x 1
 Hàm số f x nghịch biến trên  .
Ta có f   x  m   f  2
x  x     f  2 3 2 2 2 0
x  2x  2  f 2 x  m  3 Trang 10
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC 2 2m  x  4x 1 2 2
 x  2x  2  2 x  m  3  2 x  m  x  2x 1   , x   . 2 2m  x 1  3 m   Do 2 2
max(x  4x 1)  3, min(x 1)  1 nên ta có 2  .   1 m   2
Vậy không có giá trị nào của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 19. Biết rằng a là số thực dương sao cho bất phương trình log 3x  x  log 6x  9x a  0 2 5   52
nghiệm đúng với mọi x . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a 12;14 . B. a 10;12 . C. a 14;16 . D. a 16;1  8 . Lời giải Chọn D Ta có log 3x  x  log 6x  9x  0  log 3x  x  log 6x  9x a a 2 5   52 2 5   2 5    3x  x  6x  9x a x 
18x  6x  9x  3x 18x a x  18x  3x 2x   1  9x 2x a   1 x  18x  3x  2x   1 3x a   1 * . Ta thấy 2x   1 3x  
1  0,x    3x 2x   1 3x   1  0, x    . x  a 
Do đó, * đúng với mọi mọi x x x  a 18  0, x     1,x     18  a 
 1  a  1816;18. 18
Câu 20. Cho hàm số f  x   2
log x 1 x  2x  2 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc  1
 0;10 để bất phương trình f  x  m   f  2 2
x  4x  6  0 nghiệm đúng với mọi x thuộc  1  ;  1 ? A. 8 . B. 4 . C. 11. D. 3 . Lời giải Chọn A
Ta có x   x  x   x   x  2 2 1 2 2 1
1 1  x 1 x 1  0, x   Hàm số f  x   2
log x 1 x  2x  2  xác định trên  .     1 Ta có f 2 x log1 x 1 x2 1 log           f x      x  2 1 1  x 1   x 1 1 x 2  f  x 1 1 1  
 0,x   hàm số f x đồng  x 1 x 2 1 1ln10   x 2 1 1       ln10     biến trên  .
Ta có: f  x  m   f  2
x  x     f  x  m    f  2 2 4 6 0 2 x  4x  6
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 11 NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
 f  x  m   f  2 x  x   2 2 4
8  2 x  m  x  4x  8 2 2
2x  2m  x  4x  8 2m  x  6x  8     2 2 2x
  2m  x  4x 8 2m   x  2x  8 Xét các hàm số u  x 2
 x  6x 8 và vx 2  x  2x  8 trên  1  ;  1 ta có bảng biến thiên
Dựa vào BBT ta thấy để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x thuộc  1  ;  1 thì  15 m    2  . Do m nguyên và m  1
 0;10 nên có 8 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 11 m   2 2 x  x 1
Câu 21. Cho hàm số f  x 
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 x 1   2 f  x4 f x 4 2  log  f x 
  m có nghiệm x 0; . 5    f  x 9 1 9 1 A. m  . B. m  . C. m  . D. m  . 8 2 8 2 Lời giải Chọn C 2 x  x 1 Xét hàm số f  x 
trên khoảng 0;. 2 x 1 2 x 1 x  1 Ta có f  x  2  
; f  x  0  x 1  0   x  2 2 1 x  1  0;   Bảng biến thiên 3
Dựa vào BBT ta thấy 1  f x  ,x 0; . 2   2 f x  f x 4 Xét hàm số g  x   4    2  log  f x   trên 0; 5    f x   
Do f  x 1 nên hàm số g  x xác định trên khoảng 0;. Trang 12
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC  4   1  2 2   f x 
Ta có g x  f  x.2 f  x f  x 4 f  x  4.2 .ln 2  f   x        f x 4     f  x ln 5         
 gx  f  x  f x 2  f x f  x 2 4 f x    2 2.2 .ln 2    .    3
f  x  4 f  xln 5   Do  f  x 3 1
 nên g x  0  f  x  0  x 1 2 Ta có bảng biến thiên 9
Dựa vào BBT ta thấy để bất phương trình đã cho có nghiệm x 0; thì m  . 8
Câu 22. Cho các bất phương trình 2 log x  4x  m  2 log  2 x  4x  m  8   1 và 2 4 
3 x  x 1  0 2 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thỏa mãn mọi nghiệm của
bất phương trình 2 đều là nghiệm của bất phương trình   1 . A. 254 . B. 255 . C. 256 . D. 257 . Lời giải Chọn B 3   x  0
Bất phương trình 2    1  x  3 . x 1 0
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình 2 là: S  1;  3 .
Do đó mọi nghiệm của bất phương trình 2 đều là nghiệm của bất phương trình   1 khi và chỉ
khi bất phương trình  
1 có nghiệm đúng với mọi x 1;  3 . 2 x  4x  m  0  Điều kiện:   x  x  m  2
 m  x  4x 1 thỏa mãn x  1;  3 . log  x 4xm 2 4 1 2  0 4
Khi đó m  max f  x với f  x 2  x  4x 1. 1; 3 Xét hàm số f  x 2
 x  4x 1 trên đoạn 1;  3 f x  2
 x  4  0  x  2. Bảng biến thiên:
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 13 NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Dựa vào bảng biến thiên ta có m  max f  x  m  5. (3) 1; 3 Ta có 2 log x  4x  m  2 log  2 x  4x  m  8 2 4  1  log  1 2 x  4x  m  2 log  2 x  4x  m  8 . 2 2  2 2 1 Đặt t  log  2 x  4x  m , t  0 . 2  2
Bất phương trình trở thành: 2
t  2t  8  0  t  4  ;2  t 0;2. 1 Với t  2 ta có log  2 x  4x  m  4 2
 m  x  4x  256 với mọi x 1;  3 . 2  2
 m  min g  x với g x 2  x  4x  256 . 1; 3 Xét hàm số g  x 2
 x  4x  256 với x1;  3 . g ' x  2
 x  4  0  x  2 . Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên: m  min g  x  m  259 . (4) 1; 3
Từ 3 , 4 ta có m 5;259 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy có tất cả 255 giá trị nguyên của m thỏa mãn mọi nghiệm của bất phương trình 2 đều là
nghiệm của bất phương trình   1 . 2
Câu 23. Cho bất phương trình x2 2 .log  2
x  4x  6  4 xm log 2 x  m  2 với m là tham số thực. 2  2  
Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi
x 0;2 là đoạn  ; a b . Khi đó 2 2 a  b bằng: A. 4 . B. 8 . C. 16. D. 0 . Lời giải Chọn B Điều kiện: x  . 2 Ta có x2 2 .log  2
x  4x  6  4 xm log 2 x  m  2 2  2   x22 2 2 xm      2 .log x 2 2  2 log 2 x  m  2 1 2   2       Xét hàm số  2t y .log t  2 với t  0. 2   Trang 14
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC Hàm số  2t y
.log t  2 xác định và liên tục trên 0;  . 2   t 2t
Ta có y  2 .log t  2 .ln 2   0, t   0 . 2   t  2ln 2 Vậy hàm số  2t y
.log t  2 đồng biến trên 0;  . 2  
Khi đó    f x  2   f  x  m   x  2 1 2 2 2  2 x  m
 x  2  x  m  x  2 2 2 2
2m  min  2x  6x  4 2 2m  x  6x  4 2m  4   0;2  , x  0;2      2   m  2 . 2 2m  x  2x  4 2m  max  2 x  2x  4 2m  4   0;2
Vậy tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi
x 0;2 là đoạn   2 2 2; 2  a  2
 ;b  2  a  b  8.
Câu 24. Cho a,b là các số nguyên dương nhỏ hơn 2022 . Biết rằng với mỗi giá trị của b luôn có ít nhất
1000 giá trị của a thỏa mãn  ab2 2  2ba .log
b  4b 1. Số giá trị b là a 1  A. 1021. B. 1022 . C. 1020 . D. 1023 . Lời giải Chọn A
Đặt c  a 1,c  2 , khi đó  ab2 2  2ba .log
b  4b 1  2c  2c .log b  2b  2b, 1 . a 1    c  
+) b  1, không thỏa mãn   1 . 2c  2c 15 +) b  2   ,2 . log c 4 2
) c  2 , không thỏa mãn 2 . 2c  2c 2c . c ln 2.ln c 1  . c 2c.ln 2.ln c  2c
) c  3 , hàm f c  , f c     0 . log c . c ln 2log c c 2 2
Suy ra f c  f   15 3 
, c  3 2  a  2021. Do đó b  2 thỏa mãn. 4 2c  2c 2b  2b +) b  3 ,   1   ,3 . ln c ln b 2t  2t Hàm số f t 
đồng biến với mọi t  3 và c  2 không thỏa mãn 3 nên c  3 . log t 2 b  
Do đó    c  b b   3 3 ,
3  3  b  a  2021    3  b  1022. 2021 b 1 1000 Vậy 2  b  1022 .
Câu 25. Có bao nhiêu số nguyên m  2
 022;2022 sao cho thỏa mãn bất ln x 1 ln x m phương trình    , x  0, x  1 ? x 1 x x 1 x A. 2. B. 1. C. Vô số. D. 0. Lời giải Chọn C
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 15 NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC 2  x ln x
Bất phương trình đã cho tương đương với
 m 1, x  0, x  1 . (1) 2 x 1 2x ln x Xét hàm số f (x)  , x  0, x  1. 2 x 1 2  x 1 2 ln x    2 2 2 2[(x 1) ln x  x 1] x  1 Ta có f (x)     . 2 2 2 2 2 (x 1) (x 1)(x 1) 2 x 1
Xét hàm số g(x)  ln x  , x  0 . 2 x 1 2 2 (x 1) Ta có g (  x) 
 0 , x  0 , x  1; g (x)  0  x  1. 2 2 x(x 1)
Suy ra g(x)  g(1)  0 khi x 1 và g(x)  g(1)  0 khi x  1.
Do đó ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra (1)  m 1  1  m  0 .
Vậy có vô số giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Câu 26. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 x x  e  mx   2 2
ln x  e 1  0 đúng với x   ? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn A
Bất phương trình đã cho tương đương với:   2 x
f x  x  e  mx   2 2
ln x  e 1 0 . Nhận thấy nhanh rằng: f 0  0
 f x  f 0  0 x   R
Suy ra hàm số trên thỏa mãn 
 hàm số đạt cực tiểu tại x  0  f  0  0 2x
Xét f  x  2x  2 x e  m 
có f 0  2  m  0  m  2 2 x  e
Thử lại với m  2 thì   2 x
f x  x  e  x   2 2 2 ln x  e 1    f  x x x 2 1  2x  2e  2   2x 1  2 x e 1  0  x  0 2  2    x  e  x  e 
Đến đây ta nhận thấy f  x  f 0  0 nên suy ra m  2 thỏa nên có đúng 1 giá trị m
Câu 27. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình  2 m  4m  4log  2 2 x  2mx  m   2 1  m log  2
x 1  0 có nghiệm thực x ? 2 3  A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 6 . Lời giải Chọn B Trang 16
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Bất phương trình đã cho tương đương với:
 m  22 log  x  m2   2 1  m log  2 x 1  0 2 3       0 0 0
Ta nhận thấy: m  22 log  x  m2   2 1  m log  2
x 1  0 nên suy ra bất phương trình trên 2 3 
chỉ có nghiệm khi xảy ra dấu bằng, tức là: 2
 m  2 log x  m 1  0 2 2  2 2  2 2 
m  2 log x  m 1  m log x 1  0  2    3        2 m log   2x 1  0 3  m 22  0  
m  22  0 m  2 m  2  log 
 xm2  10    x  m2      2 0 x m x 0         2 2     m  0 m  0 m 0 m 0         x   x  log   2 0 0 x 1 0 x 0 3 
Suy ra có 2 giá trị thực m thỏa mãn bài toán
Câu 28. Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình 2
ln x  4x  3  log m có đúng 3 nghiệm nguyên, vậy tổng phần tử của S là A. 108 . B. 5 . C.Vô số D. 89 . Lời giải Chọn B
Bất phương trình đã cho tương đương với: 2 x  x   m  f  x 2 ln 4 3 log
 ln x  4x  3  log m x  1 Xét hàm số f  x 2 2
 ln x  4x  3 ; x  4x  3  0   x  3   lim f x  lim 2
ln x  4x  3   ln0    x 1  x 1  
Ta có: lim f  x  lim 2
ln x  4x  3   ln0   x3 x3   2 x  4x  3
2x  4 2x  4x 3  f x    0  x  2 2 2  2 x  4x  3 x  4x  3 
Từ đó ta có bảng biến thiên như sau:
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 17 NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Nhận thấy ngay 3 nghiệm nguyên thỏa mãn bài toán đó là: x  0; 2;4 . Lưu ý rằng hai nghiệm
nguyên x  1; x  3 bị vi phạm điều kiện nên không được tính Suy ra 4 log 5 ln3 log ln8 m Z f m f m        1  3  m 120
Như vậy có tất cả 120 13 1  108 giá trị nguyên m thỏa mãn bài toán.
Câu 29. Có tất cả bao nhiêu bộ số nguyên  ; a ; b ; c d  với a, , b c,d  3  ;  3 thỏa 2 3 x x
mãn điều kiện bất phương trình  x   4 3 2 ln 1  
 ax  bx  cx  dx nghiệm đúng với 2 3 x   1  ;? A. 43 B. 71 C. 37 D. 47 Lời giải Chọn B 2 3 x x
Ta để ý rằng 2 đồ thị f  x  ln  x   1   và   4 3 2
g x  ax  bx  cx  dx cùng đi qua 2 3
gốc tọa độ. Do đó ta xét tiếp tuyến tại gốc tọa độ của y  f  x . Ta có f 0 1; f 0  0 nên tiếp tuyến là y  x . 2 3 x x TABLE ta có ln  x   1    x  0 x   1  ;. 2 3 2 3 x x
Do vậy đồ thị f  x  ln  x   1  
luôn đứng dưới đường thẳng y  x và tiếp xúc nhau 2 3 tại O .
Xét phương trình hoành độ giao điểm 4 3 2
ax  bx  cx  d  
1 x  0 có nghiệm kép x  0 nên d 1 . Đồ thị   4 3 2
g x  ax  bx  cx  dx luôn đứng trên đường thẳng y  x và tiếp xúc nhau tại O
thì điều kiện cần và đủ là 2 ax  bx  c  0 x   1
 ; do đó a  0 . a  0 a   0  Trường hợp 1:   b   0 . Có 10 bộ: bx  c  0 x     1  ; b  c  0  Trang 18
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC a  0 Trường hợp 2:  . Có tất cả 60 bộ: 2 b  4ac a  0 Trường hợp 3: 
khi đó a  x  x x  x  0 x   1  ; khi x  x  1  . 1   2    2 1 2 b  4ac  b b   2      2 a x x  b   2a Do đó 1 2  a   c b   .   1  0      a  c  b x 1 x 1 0  1  2  a a a  1 
Có duy nhất 1 bộ thỏa mãn b   3 . c  2 
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 19 NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Kết luận: Có tất cả 71 bộ số cần tìm.
Câu 30. Cho hàm số f  x liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Với điều kiện nào của tham số m thì bất phương trình 2  1   x 28  1 .log    f x  
  0 nghiệm đúng với mọi x  4  ;5 ? 5 2 2019      2020 f x m   125 5  A. m  1  0 . B. m  1  0 . C. m  10 . D. m  10 . Lời giải Chọn A  4   f x  4, x   4  ;5 2   x 28  7 Ta có: 2   f x      , x x   4  ;5 27 28 28 .      , x   4  ;5  125 5  5  5 125 5 5 2  x 28   log  f x     0, x   4;5 (*). 2019      125 5  2  1   x 28  Từ (*) ta có: 1 .log    f x     0, x   4  ;5 5 2 2019        2020 f x m   125 5  1   1 1 0, x   4  ;5  1, x   4  ;5 5 2   5 2     2020 f x m   2020 f x m  2m 5 f  x  2m  0, x   4  ;5  f  x  , x   4  2
;5  m  4  m  1  0 . 5 5
_______________ TOANMATH.com _______________ Trang 20
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA