Bất phương trình mũ không chứa tham số

Tài liệu gồm 24 trang, được biên soạn bởi quý thầy, cô giáo Nhóm Toán VDC & HSG THPT, hướng dẫn phương pháp giải bài toán Bất phương trình mũ không chứa tham số; đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Toán 12 phần Giải tích chương 2.

Môn:

Toán 11 3.2 K tài liệu

Thông tin:
24 trang 1 năm trước

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Bất phương trình mũ không chứa tham số

Tài liệu gồm 24 trang, được biên soạn bởi quý thầy, cô giáo Nhóm Toán VDC & HSG THPT, hướng dẫn phương pháp giải bài toán Bất phương trình mũ không chứa tham số; đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Toán 12 phần Giải tích chương 2.

45 23 lượt tải Tải xuống
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN Đ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 1
GII BPT MŨ BNG PHƯƠNG PHÁP HÀM S - ĐÁNH GIÁ
(KHÔNG CHA THAM S)
PHƯƠNG PHÁP
Nhc li kiến thc cũ :
Đạo hàm :
( )
. .ln
uu
a ua a
=
Nếu hàm s
f
đồng biến trên khong
D
thì
(
) (
)
,:xy D f x f y x y > ⇔>
Nếu hàm s
f
nghch biến trên khong
D
thì
( ) ( )
,:xy D f x f y x y > ⇔<
c 1 : Đặt điều kin ca bpt (nếu có)
c 2 : Các phương pháp giải
Phương pháp 1 : Dùng tính đơn điệu ca hàm s
Phương pháp 2 : Dùng phương pháp đ th hàm s
Phương pháp 3 : Đánh giá
Câu 1. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca
x
tha mãn bất phương trình
( )
2
25 2 2021
3 25 .4 1
xx
x
−+
+−
A.
. B.
11
. C.
8
. D.
9
.
Li gii
Chn B
Xét bất phương trình
( )
( )
2
25 2 2021
3 25 .4 1 1
xx
x
−+
+−
Ta có:
2021
4 0,
x
x
+
> ∀∈
TH1: Xét
2
25 0 5xx =⇔=±
ta có
( )
1 11VT =
(Đúng) nên bpt
( )
1
có nghim
5x = ±
TH2: Xét
2
5
25 0
5
x
x
x
<−
>⇔
>
Ta có
( )
( )
2
25 0
2 2021
3 31
11
25 .4 0
x
x
VT
x
+
>=
⇒>
−>
nên bpt
( )
1
vô nghim.
TH3: Xét
2
25 0 5 5xx < ⇔− < <
Ta có
(
)
( )
2
25 0
2 2021
3 31
11
25 .4 0
x
x
VT
x
+
<=
⇒<
−<
nên bpt
( )
1
có nghim
55x−< <
Vy nghim của bpt đã cho là
[ ]
5; 5x ∈−
.
x
nguyên nên
{ }
5;4;3;2;1;0x ±±±±±
11
giá tr
Câu 2. Gii bất phương trình
1
6 3 10
21
x
xx
+
>
ta được tp nghim
( )
;S ab=
. Tính giá tr ca biu thc
10 3P ba
=
A.
5P =
. B.
4P =
. C.
2P =
. D.
0
P =
.
Li gii
Chn A
Điu kin
( )
1
0; *
2
xx≠≠
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Trang 2 TÀI LIU ÔN THI THPT QUC GIA
Với điều kin
( )
*
, ta có:
(
)
( )
11
1
11
00
1
10 2 6
63 3
6 3 10
21 21
21
00
2
10 2 6
63 3
21 21
xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
++
+
++
> >





−> <

−
−−

>⇔

<<





−< >


−−


Gi
( )
C
( )
H
theo th t là đ th của hàm số
( )
1
3
x
y gx
+
= =
( )
26
21
x
y fx
x
= =
Dựa vào đồ th, ta có: h bpt
( )
1
có nghim
1
0
2
x<<
; h bpt
( )
2
vô nghim.
Vy tp nghim của bpt đã cho là
1
0;
2
S

=


suy ra
1
0;
2
ab= =
nên
10 3 5P ba= −=
.
Câu 3. Tp nghim ca bất phương trình
1
2 21
0
21
x
x
x
−+
A.
[ ]
0;1
. B.
(
]
0;1
. C.
(
]
1; 0
. D.
(
]
0; 2
.
Li gii
Chn B
Điu kin:
2 10 0
x
x−≠
.
Xét hàm số
( )
1
2
2 21 21
2
x
x
fx x x
= += ++
( )
2.ln 2
20
2
x
fx
=−− <
,
x
.
Do đó hàm số này nghịch biến trên
.
Vy
( ) ( )
1
2 2 10 1 1 1 0
x
x fx f x x
+> > < >
tc là
( )
fx
cùng du vi
1 x
.
Xét hàm số
( )
21
x
gx=
( )
2 .ln 2 0
x
gx
= >
,
x
. Do đó hàm số này đồng biến trên
.
Vy
(
)
2 10 0 0
x
gx x>⇔ >⇔>
tc là
( )
gx
cùng du vi x.
Suy ra bất phương trình đã cho tương đương với
1
00 1
x
x
x
≥⇔<≤
.
Vy tp nghim ca BPT là
(
]
0;1S =
.
Câu 4. Bất phương trình
22 2
sin cos sin
2 3 4.3
xx x
+≥
có bao nhiêu nghim nguyên trên
[ ]
2021 ;2022
ππ
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN Đ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 3
A.
4043
. B.
2021
. C.
4044
. D.
2022
.
Li gii
Chn C
Đặt
( )
2
sin 0 1t xt
= ≤≤
thay vào bất phương trình đã cho ta có
1
2 3 4.3
tt t
+≥
3
2 4.3
3
tt
t
⇔+
21
6 3 4.9 3 4
39
tt
tt

+≥ +


(1).
Xét hàm số
(
)
21
3 , 0 1
39
tt
ft t

= + ≤≤


. Có
( )
[ ]
2 211
.ln 3 ln 0, t 0;1
3 399
tt
ft

= + < ∀∈


.
Suy ra hàm số
(
)
ft
nghch biến trên
[ ]
0;1
.
Do đó luôn có
( ) ( )
0ft f
hay
21
34
39
tt

+≤


(2).
T (1) và (2) suy ra:
( )
2
21
3 4 0 sin 0
39
tt
t x xk k
π

+ = ⇔= = =


Do
( )
2021 2022 2021 2022 2021 2022
x k kk
π π ππ π
−≤ −≤
Suy ra
{ }
2021; 2020;...; 2021;2022k ∈−
, có tt c
4044
giá tr
k
Vy bất phương trình có tt c
4044
nghim nguyên.
Câu 5. Cho hàm số
( )
( )
2
1
2 22
x xx
fx
+−
=
. Gi
S
tng các giá tr
x
nguyên dương thỏa mãn bt
phương trình
( )
228
22 0
9
fx f
x

++


. Tính
S
?
A.
36S
=
. B.
45S =
. C.
30
. D.
8
.
Chn A
Xét hàm số
( )
22
11
22
xx xx
fx
++ +−
=
có tập xác định
D =
nên
xx ⇒− 
.
Ta có :
( )
(
)
22
11
22
xx xx
f x fx
+− ++
−= =
nên hàm số đã cho là hàm số l.
Mt khác
( )
22
11
22
2 .ln 2. 1 2 .ln 2 1
11
xx xx
xx
fx
xx
++ +−
 
= +−
 
++
 
( )
22
22
11
22
11
2 ln 2 2 .ln 2 0
11
xx xx
xx xx
fx
xx
++ +−
 
++ +−
=+>
 
 
++
 
( Vì
22 2
1 10x xx x x+> = >
)
Do đó hàm số
( )
fx
đồng biến trên
.
T đó suy ra
( )
228
22 0
9
fx f
x

++


( )
228
22
9
fx f
x

+ ≤−


( )
228
22
9
fx f
x

+≤


2
10
228 13 30
22 0
39
99
x
xx
x
x
xx
≤−
++
+ ≤−
−≤ <
−−
Vậy các số nguyên dương thỏa mãn bất phương trình là
{ }
1; 2; 3; 4;5; 6; 7;8 1 2 ... 8 36xS
=+++=
.
Câu 6. Có bao nhiêu cp số nguyên
( )
;xy
tha mãn bất phương trình
( ) ( )
22
22
5223
2 .2 3
x xy y
xy xy
++
+ +−
?
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Trang 4 TÀI LIU ÔN THI THPT QUC GIA
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Li gii
Chn D
T
( ) ( )
22
22
5223
2 .2 3
x xy y
xy xy
++
+ +−
( )
( ) ( )
( ) ( )
22
22
23
2 .2 3 0
xy xy
xy xy
+ +−
+ + −≤
Đặt
( )
( )
2
2
2
33
a xy
b xy
= +
= ≥−
.
Khi đó bất phương trình
( )
có dng:
( )
.2 0 .2 0 .2 .2
2
ab a a b
b
b
ab a a b
+−
+≤⇔ + ≤⇔
.
00ab ⇒−
nên ta xét các trưng hợp sau đây:
TH1: Nếu
( )
0
0 .2 .2
22 0
ab
ab
ab
ab a b
>−
>− >
>≥
không tho mãn bất phương trình.
TH2: Nếu
( )
0
0 .2 .2
02 2
ab
ab
ab
ab a b
≤−
≤−
<≤
tho mãn bất phương trình.
Vy bất phương trình
(
)
.2 .2
ab
ab
≤−
0a b ab ≤− +
Suy ra
( ) ( ) (
) ( )
22 22
2 30 2 3
xy xy xy xy+ +− + +−
.
Vi gi thiết
,
xy Z
nên
(
)
2
2xy
+
( )
2
xy
ch có th xảy ra các trường hợp sau:
Vy có tt c 3 cp
(
)
;xy
tho mãn.
Câu 7. Có bao nhiêu số nguyên trong đoạn
[ ]
0; 2021
tha mãn bất phương
trình :
( )
( )
2
2 62 2 34
3 2 3 4 .2021 6 2 .2021
xx x
xx x xx
−+
−≤ + +
A.
2016
. B.
2017
. C.
2020
. D.
2021
.
Li gii
Chn B
Đặt
2
62ax x=−+
,
34bx=
.
Bất phương trình có dạng :
.2021 .2021
ab
abb a+≤ +
( ) ( )
( )
. 1 2021 . 2021 1 1
ba
ab⇔−
TH1:
0a =
hoc
0b =
thì nghiệm đúng bất phương trình đã cho.
Bất phương trình đã cho tương với
2
37
6 20
4
3 40
3
x
xx
x
x
= ±
+=
−=
=
.
TH2: Nếu
( ) ( )
0 2021 1 0
VT 1 0 ; VP 1 0
0
1 2021 0
a
b
a
b
> −>
⇒< >

>
−<
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN Đ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 5
Khi đó bất phương trình luôn đúng.
Vy bất phương trình tương đương với
2
37
6 20
37
37
3 40
4
3
x
xx
x
x
x
x
>+
+>
<−
>+

−>
>
.
TH3: Nếu
( )
( )
0 2021 1 0
VT 1 0 ; VP 1 0
0
1 2021 0
a
b
a
b
< −<
⇒< >

<
−>
Khi đó bất phương trình luôn đúng.
Vy bất phương trình tương đương với
2
37 37
6 20
4
37
4
3
3 40
3
x
xx
x
x
x
<<+
+<
⇔− <<

−<
<
.
TH4: Nếu
( ) ( )
0 2021 1 0
VT 1 0 ; VP 1 0
0
1 2021 0
a
b
a
b
> −>
⇒> <

<
−>
.
Trưng hợp này bất phương trình vô nghiệm.
TH5: Nếu
(
) ( )
0 2021 1 0
VT 1 0 ; VP 1 0
0
1 2021 0
a
b
a
b
< −<
⇒> <

>
−<
Trưng hợp này bất phương trình vô nghiệm.
T các trưng hp trên, bất phương trình đã cho tp nghim
)
4
3 7; 3 7;
3
S

= + +∞


Các s nguyên tha mãn bất phương trình là
{ }
1;6;7;...;2020; 2021x
.
Vy bất phương trình có 2017 nghiệm nguyên trong đoạn
[ ]
0; 2021
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN Đ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 1
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐC TRƯNG
(KHÔNG CHA THAM S)
PHƯƠNG PHÁP
c 1 : Biến đổi bất phương trình về dạng
(
) (
) (
) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
; ; 1
fa fb fa fb fa fb fa fb< >≤≥
.
c 2 : Xét hàm s
( )
y fx=
, chứng minh hàm số luôn đồng biến, hoc luôn nghch biến
c 3 : Do hàm s
( )
y fx=
luôn đng biến, hoc luôn nghch biến suy ra
( ) ( )
fa fb a b< ⇔<
hoc
( ) ( )
fa fb a< ⇔>
Câu 1. S nghim nguyên ca bất phương trình sau là:
22
2 15 100 10 50 2
2 2 25 150 0
xx xx
xx
−+ +−
+− + <
A.
4
. B.
6.
C.
3
. D.
5
.
Lời giải
Chn A
Ta có
22
2 15 100 10 50 2
2 2 25 150 0
xx xx
xx
−+ +−
+− + <
( )
22
2 15 100 10 50 2 2
2 2 2 15 100 10 50 0
xx xx
xx xx
−+ +−
+−+−+−<
.
Đặt
2
2 15 100ax x
=−+
,
2
10 50bx x=+−
.
Khi đó bất phương trình trở thành:
22 0
ab
ab +−<
22
ab
ab
>−
( )
1
.
Xét hàm s
( )
2
t
ft t=−−
( )
2 ln 2 1 0
t
ft
= −<
vi
t
∀∈
.
Suy ra
( )
ft
nghch biến trên
.
Bất phương trình
(
) (
) (
)
22
1 2 15 100 10 50fa fb a b x x x x
> <⇔ + < +
2
25 150 0 10 15xx x + <⇔ <<
.
x
nên
{ }
11;12;13;14
x
.
Vy bất phương trình có
4
nghim nguyên.
Câu 2. Cho bất phương trình
( )
2
8
2 13
2
xx
x
x xx
+
+≤ + +
. S nghim
nguyên dương của bất phương trình đã cho là
A.
0
. B.
3
C.
1
. D.
2
.
Lời giải
Chn C
Tập xác định
(
] [
)
; 1 0;D = −∞ +
.
Ta có:
( )
22
32
8
2 13 2 2 3
2
xx xx x
x
x xx x x x
+ +−
+≤ + + +≤ ++
( )
2
23
2 23 1
xx x
xx x
+−
+ + +−
.
Xét hàm s
( )
2
t
ft t= +
, có
( )
2 .ln 2 1 0,
t
ft t
= + > ∀∈
.
Vy hàm s
( )
ft
đồng biến trên
.
( )
(
)
( )
22
1 33fxx f x xx x + + ≤−
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Trang 2 TÀI LIU ÔN THI THPT QUC GIA
(
)
2
2
33
1
00
9
11
0
7
9
3
7
xx
x
xx
xx
x
xx x
x
≤≤
≤−
≥≥

⇔⇔


≤− ≤−
≤≤



+≤
.
Do
x
nguyên dương, do đó
{ }
1x
.
Vy bất phương trình đã cho có 1 nghiệm nguyên dương.
Câu 3. Tp nghim ca bất phương trình
( )
33
3 5 33 5 0
x x xx
−+ >
A.
( )
;0−∞
. B.
(
]
;0−∞
. C.
( )
0; +∞
. D.
[
)
0; +∞
.
Lời giải
Chn A
Bất phương trình đã cho tương đương với
( ) ( )
33
3 3.3 5 3.5 3 5
x xx x x x
ff+ >+ >
.
Xét hàm s
( )
3
3ft t t= +
trên khoảng
(
)
0;
+∞
, ta có:
( )
2
3 3 0, 0ft t t
= + > ∀>
.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
( )
0; +∞
.
Do đó từ
( ) ( )
35
xx
ff>
ta có
5
35 1 0
3
x
xx
x

> <⇔ <


.
(*) Th các giá tr chọn được đáp án.
Ta có:
( )
33
3 5 33 5
x x xx
VT =−+
Th vi
0x =
được
0
VT =
0x⇒=
không thỏa mãn bất phương trình. Do đó loại B và D.
Th vi
1x =
được
104VT =
1x⇒=
không thỏa mãn bất phương trình. Do đó loại C.
Vy còn lại đáp án đúng là A.
Câu 4. Có bao nhiêu s nguyên
(
)
2021;2022x
∈−
tha mãn bất phương trình
6432 2
22222 30
x x x xx+
+ −<
A.
2021
. B.
2020
. C.
2022
. D.
2019
.
Lời giải
Chn A
Bất phương trình đã cho tương đương với
( ) ( ) ( ) ( )
32
32 2 2 2 2
2 3.2 3.2 1 2 2.2 1 3. 2 1 2 2 3.2
x xx xx x x x x
+ + +− + + + + > +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 32
22 2 2
21 21 3.21 2 2 3.2 21 2
x x x xx x x x
ff+ + + +> + +>
.
Xét hàm s
( )
32
3ft t t t=−+
trên khoảng
( )
0; +∞
, ta có:
( )
2
3 2 3 0, 0ft t t t
= + > ∀>
.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
( )
0; +∞
.
Do đó từ
( ) ( )
2 22
15 15
21 2 212 2 210 2
22
x x x x xx x
ff
−+
+ > +> −< < <
2
15
log 0,69
2
x

+
⇔<



.
( )
2021;2022x ∈−
x
nên ta có
{ }
2020; 2019;...;0x ∈−
.
Vy có
2021
s nguyên
x
tha mãn ycbt.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN Đ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 3
Câu 5. Tp nghim ca bất phương trình
2
2
42
5 5 20
55
xx
xx
+ −>
A.
5
0 log 2x<<
. B.
5
0 log 2x≤≤
. C.
5
log 2
0
x
x
>
<
. D.
5
log 2
0
x
x
.
Lời giải
Chn C
Bất phương trình đã cho tương đương với
( )
2
2
22 2
5 5 33 5 3
55 5
xx x
xx x
ff
 
+ +> +>
 
 
.
Xét hàm s
( )
2
ft t t
=
trên khoảng
( )
2 2;+∞
, ta có:
( )
2 1 0, 2 2ft t t
= > ∀>
.
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
( )
2 2;
+∞
.
Do đó từ
(
)
2
5
0
51
22
5 3 5 3 5 3.5 2 0
log 2
55
52
x
x x xx
xx
x
x
ff
x
<
<

+ > + >⇔ +>

>
>

.
(*) Cách 2: Đề xut bi GVPB2
Bất phương trình đã cho tương đương với
2
22
5 5 60
55
xx
xx

+ + −>


2
5
0
51
2
5 3 5 3.5 2 0
log 2
5
52
x
x xx
x
x
x
x
<
<
+ >⇔ +>
>
>
.
Câu 6. Phương trình
2
2 82 1 2
2021 2021 2 8 1
xx
xx
−+ +
= −−
có nghim duy nht
xa b
= +
vi
,
ab
. Tính
.ba
A.
9
. B.
11
. C.
11
. D.
9
.
Lời giải
Chn C
Điều kiện:
2
2
2 80
2
x
x
x
≤−
−≥
.
( )
22
2 82 1 2 2 82 2 1
2021 2021 2 8 1 2021 2 8 2 2021 1 1
xx x x
xx x x
−+ + −+ +
= −− + −+= ++
Xét hàm s
( )
2021
t
ft t= +
.
( )
2021 ln 2021 1 0,
t
ft t
= + > ∀⇒
hàm s đồng biến trên
.
Khi đó
( )
(
)
( )
2
1 2 82 1f x fx −+ = +
2
22
1
2 8 2 1 1 10
2 8 21
x
xx x
x xx
+ = + =−+
−= +
.
Do đó
1, 10 11.a b ba= = ⇒−=
Câu 7. Tìm s nghim của phương trình
22
sin cos
cos 2
xx
x
ππ
−=
trong khoảng
( )
0;10 .
π
A.
19
. B.
15
. C.
20
. D.
17
.
Lời giải
Chn C
22 22 2 2
sin cos sin cos 2 2 sin 2 cos 2
cos 2 cos sin sin cos
xx xx x x
x xx x x
ππ ππ π π
= ⇔−= ⇔+ =+
.
Xét hàm s
( )
t
ft t
π
= +
( )
ln 1 0,
t
ft t R
ππ
= + > ∀∈
hàm s đồng biến trên
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Trang 4 TÀI LIU ÔN THI THPT QUC GIA
Khi đó
( )
( ) ( )
2 2 22
1 sin cos sin cos cos 2 0
42
k
f xf x x x x x
ππ
= = =⇒= +
Kết hp vi
( )
0;10x
π
suy ra
1 39
0 10
42 2 2
k
k
ππ
π
< + < ⇔− < <
.
{ }
0;1; 2;...;19kk⇒∈
. Vậy phương trình có 20 nghiệm.
Câu 8. Có bao nhiêu cp s nguyên
( )
;xy
tha mãn
0 2021y≤≤
2
12
2021 2021 1
xy
xy
+
+ = +−
.
A.
45
. B.
89
. C.
11
. D.
20
.
Lời giải
Chn B
( )
22
12 12
2021 2021 1 2021 1 2021 1
xy x y
xy x y
++
+ = + −⇔ + += +
.
Xét hàm s
( )
2021
t
ft t
= +
.Có
( )
2021 ln 2021 1 0,
t
ft t
= + > ∀⇒
hàm s đồng biến trên
.
Khi đó
(
)
(
)
( )
2
11
fx fy
+=
2
1yx⇔= +
Ta có vi
x
nguyên thì
y
nguyên.
2
0 2021 0 1 2021 44 44.yx x≤⇒+≤⇒
Vy có
89
b
( )
;xy
nguyên tha mãn.
Câu 9. Tìm s nghim nguyên ca bất phương trình
2
32
2 22 3
xx x
xx
+−
+ −+
.
A.
5
. B.
6
. C.
7
. D.
8
.
Lời giải
Chn A
Ta có
( )
22
32 2 3
2 2 2 32 2 3 1
xx x xx x
x x xx x
+− +
+≤−+ ++≤+
.
Xét hàm s
( )
2,
t
f t tt
=+∈
, có
( )
2 .ln 2 1 0,
t
ft t
= + > ∀∈
.
Vy hàm s
( )
ft
đồng biến trên
.
Ta có
( )
( )
( )
22
1 3 3 31fxx f x xx x x + +≤−⇔
.
Vậy có 5 giá trị nguyên ca
x
thỏa mãn ycbt.
Câu 10. Tng tt c các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 6 của bất phương trình:
27 8 3.4 2.3 5.2 3 0
xxxxx
−+−−
A.
15
. B.
12
. C.
13
. D.
19
.
Lời giải
Chn A
Ta có
( ) ( )
27 8 3.4 2.3 5.2 3 0 27 2.3 8 3.4 3.2 1 2 2 1
xxxxx xxxxx x
+−−+++++ +
( ) ( ) ( )
( )
33
3 2.3 2 1 2 2 1 1
x xx x
+ ++ +
.
Xét hàm s
( )
3
2ft t t= +
trên
ta có
( )
2
3 2 0, ft t t
= + > ∀∈
. Vy hàm s
( )
3
2ft t t= +
đồng biến trên
.
( )
( ) ( )
( )
21
1 3 21 3 21 1 2
33
xx
x x xx
ff

+ +⇔ +


.
Xét hàm s
( )
21
33
xx
gx

= +


( )
2 21 1
.ln .ln 0,
3 33 3
xx
gx x
 
= + < ∀∈
 
 
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN Đ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 5
Vy hàm s
( )
21
33
xx
gx

= +


nghch biến trên
.
( )
(
) ( )
2 11
gx g x
⇔≥
Vy tp hp các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 6 của bất phương trình
{
}
1, 2, 3, 4, 5
.
Tng tt c các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 6 của bt phương trình:
1234515++++=
.
Câu 11. Tìm s nghiệm nguyên dương của bất phương trình sau:
( )
2
1
2
3
1
3 5 3 13 6
5
x
x
x x xx

+≥


.
A.
2022
. B.
1
. C.
2
. D.
2021
.
Lời giải
Chn C
Theo đề ra ta có
x
0x >
.
Bất phương trình
( )
2
1
2
3
1
3 5 3 13 6
5
x
x
x x xx

+≥


( )
2
1
2
3
1 3 61
5
53
x
x
xx
x
−−

−≥


( )
2
1
3
11
52
53
x
x
x
x

−−


1
2
3
1
5 52
3
x
x
x
x
+ +−
( )
.
Xét hàm s
( )
5
t
gt t= +
(
)
5 ln 5 1 0
t
gt
= +>
,
t
nên hàm s
( )
gt
đồng biến trên
.
( )
∗⇔
( )
1
2
3
g gx
x

≥−


1
2
3
x
x
≥−
2
3 23 3 23
3 6 10
33
xx x
−+
−≤
Theo đề ra ta có
x
0x >
nên
{ }
1; 2x
tc 2 nghiệm nguyên dương từ bpt trên
Câu 12. Tìm s nghim nguyên thuc
[
]
2021;2022
ca bất phương trình
3
21 2 3 2
3
2022 2022 2 1 6 15 11 0
xx
x xx x
−−
+ −+ +
A.
2024
. B.
2023
. C.
2021
. D.
2022
.
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết ta có bất phương trình tương đương với:
3
21 2 3 2
3
2022 2022 2 1 6 15 11 0
xx
x xx x
−−
+ −+ +
3
21 2 3 2
3
2022 2 1 2 1 2022 6 13 10
xx
x x xx x
−−
+ −+ + +
( )
( ) ( )
3
3
3
21 2
33
2022 2 1 2 1 2022 2 2 1
xx
x x xx
−−
+ + −≤ + +
.
Xét hàm số
( ) ( )
32
2022 2022 .ln 2022 3 1 0,
tt
ft t t f t t t
= + +⇒ = + +>
( )
ft
hàm đồng
biến trên
. T (1) ta có
( )
( )
3
21 2fx f x−≤
3
2 12xx −≤
23
2 1 8 12 6x xxx −≤ +
32
6 14 9 0xx x + −≤
( )
( )
2
1 590 1x xx x
+ ≤⇔
x
nguyên và
[ ]
2021;2022x ∈−
2021 1x
⇒−
nên có
2023
giá trị nguyên ca
x
.
Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
[ ]
2021;2021m ∈−
để mọi
nghiệm của bất phương trình
( ) ( ) ( )
22
32
2 23 4 23
5 5 2 3 2 1
x xx xx
x xx
+− + + +− + +
+−
đều là
nghiệm của bất phương trình
( ) ( )
2
2 2 4 0 2x m xm +≤
.
A.
2019
. B.
2020
. C.
2021
. D.
2018
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Trang 6 TÀI LIU ÔN THI THPT QUC GIA
Lời giải
Chọn A
( ) ( ) ( )
22
32
2 23 4 23
5 5 2 3 2 1
x xx xx
x xx
+− + + +− + +
+−
.
Điều kiện
13x−≤
.
( )
22
2 23 4 23
1 5 5 3 6 0
x xx xx
x
+− + + +− + +
+ −≤
(
)
(
)
( )
22
22
2 23 4 23
32 2 3 34 2 3
5 5+ *
22
x xx xx
x xx xx
+− + + +− + +
+− + + +− + +
⇔+
.
Xét hàm s
( )
( )
33
5 , 5.ln5 0,
22
tt
ft tt f t t
= + = + > ∀∈
.
Hàm s đồng biến trên
.
( )
(
)
(
)
22
* 2 23 4 23fx xx f xx +− + + +− + +
22
2 234 23 1 2x xx xx x +− + ++− + +
.
Theo yêu cầu bài toán thì
( )
[ ]
2
2 2 4 0, 1; 2x m xm x + ∈−
[ ]
[ ]
22
1;2
24 24
, 1; 2 m a x
22
x
xx xx
m xm
xx
∈−

++ ++
∈−

++

.
Đặt
( )
2
24
2
xx
gx
x
++
=
+
. Ta có
( )
( )
[ ]
[
]
2
2
0 1; 2
4
0
4 1; 2
2
x
xx
gx
x
x
= ∈−
+
= =
= ∉−
+
.
( ) ( ) ( )
1 3; 0 2; 2 3g gg−= = =
, suy ra
[ ]
2
1;2
24
max 3
2
x
xx
x
∈−

++
=

+

.
3m⇒≥
, vì
[ ]
2021;2021 3 2021mm∈−
. Vy có
2019
giá trị nguyên ca tham s
m
.
Câu 14. bao nhiêu cặp nghiệm nguyên
( )
;
xy
thỏa mãn bất phương trình
( )
22
2
10 8 2 4 2 2
3 .3 4 2
x xy y
x y x xy y
−+
≤− +
?
A.
8
. B.
6
. C.
5
. D.
9
.
Lời giải
Chọn D
T
( )
22
2
10 8 2 4 2 2
3 .3 4 2
x xy y
x y x xy y
−+
≤− +
(
)
( ) ( )
( )
22
22
34
3 .3 4
xy xy
xy xy
−+−−
≤−
(*).
Đặt
( )
( )
2
2
30
44
a xy
b xy
=−≥
= ≥−
khi đó (*) đưa về:
( )
.3 .3 .3
ab a b
a ba b
+−
≤−
.
00ab ⇒−
.Xét hàm s
(
)
[
)
.3 , 0;
t
ft t t= +∞
( )
[
)
3 .3.ln3 0, 0;
tt
ft t t
= + > +∞
Suy ra
( ) ( )
0fa f b a b a b ≤− +
.
Suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
22 22
3 40 3 4
xy xy xy xy−+−−−+
.
Vi gi thiết
,xy
là các s nguyên nên
( )
2
3xy
và
( )
2
xy
đều nguyên nên chỉ thể xảy ra
các trường hợp sau:
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN Đ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 7
Vậy có tất cả
9
cặp nghiệm thỏa mãn.
Câu 15. Tính tng các nghiệm nguyên dương của bất phương trình sau
2
12 2
5 2 4 6 25
xx
xx
++
+ −≤
A.
6
. B.
5
. C.
3
. D.
7
.
Chn A
Ta có
( )
( ) ( )
22
1 2 2 1 2 2( 2)
524625 5215 42 *
x xx x
xx x x
+ ++ +
+ −≤ + + + +
.
Xét hàm s
( )
52
t
ft t= +
.
TXĐ:
D =
.
( )
5 ln 5 2 0
t
ft
= +>
vi
t∀∈
(
)
ft
là hàm s đồng biến trên
( )
;−∞ +
.
( )
( )
( )
( )
2
* 1 22fx f x +≤ +
( )
2
12 2xx
+≤ +
2
2 30xx −≤
13x⇔−
.
x
nên
{ 1;0;1; 2;3}x ∈−
.
Vy tng các nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho bằng 6.
Câu 16. Hãy xác đnh s nghim nguyên âm ca bất phương trình sau:
2
3 7 10 2
9.3 3 2 8 30
xx x
xx
−− +
+ −≤
A.
2
. B.
3
. C.
6
. D.
9
.
Lời giải
Chn A
Ta có
( )
( )
22
3 7 10 2 3 5 2 10
9.3 3 2 8 30 3 2 3 5 3 2 10
xx x xx x
xx xx x
−− + −− +
+ + −≤ + +
( )
*
.
Xét hàm s
( )
32
t
ft t= +
.
TXĐ
D =
.
( )
3 ln 3 2 0,
t
ft t
= + > ∀∈
.
( )
ft
là hàm s đồng biến trên
.
(
)
*
( )
( )
22
3 5 10 3 5 10 2 19 2 19fx x fx x x x x−− + −−+⇔ +
.
{ }
2; 1;0;...;5;6x ∈−
.
S nghim nguyên âm ca bất phương trình đã cho là 2.
Câu 17. Tích ca nghim nguyên âm ln nht và nghiệm nguyên dương nhỏ nht ca bất phương trình
2
12 2
4 2 4 6 16
xx
xx
++
+ −>
bng bao nhiêu?
A.
8
. B.
3
. C.
3
. D.
2
.
Lời giải
Chn A
Ta có
22
1 2 2 1 2 24
4 2 4 6 16 4 2( 1) 4 2(2 4) (1)
x xx x
xx x x
+ ++ +
+ −> + + > + +
.
3xy
0
0
1
0
1
1
1
1
1
2
0
2
0
xy
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
2
0
2
x
0
1
2
1
2
1
2
1
2
0
0
1
1
1
1
1
1
y
0
3
2
1
2
3
2
1
2
1
1
2
2
1
3
1
3
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Trang 8 TÀI LIU ÔN THI THPT QUC GIA
Xét hàm s
() 4 2
t
ft t
= +
.
TXĐ
D =
.
( )
4.ln420,
t
ft t
= + > ∀∈
( )
ft
đồng biến trên
.
( )
( )
2
(1) 1 2 4fx f x +> +
2
12 4xx +> +
2
2 30xx −>
1
3
x
x
<−
>
.
Do đó nghim nguyên âm ln nht là
2
và nghiệm nguyên dương nhỏ nht là
4
. Tích ca
chúng bằng
8
.
Câu 18. Gi
S
là tp hp tt c các giá tr nguyên ca
x
tha mãn bất phương trình
2
52
52 2
2021 2021 5 2 5 2
xx
x
xx x
−+
+
+ +≤ +
. Tng các phn t ca
S
bng
A.
55
. B.
5
. C.
6
. D.
25
.
Lời giải
Chn A
Ta có
2
52
52 2
2021 2021 5 2 5 2
xx
x
xx x
−+
+
+ +≤ +
2
52
2 52
2021 5 2 2021 5 2
xx
x
xx x
−+
+
+ +≤ + +
(1).
Xét hàm s
(
) ( )
2021 2021 .ln 2021 1 0,
tt
ft t f t t
= + = + > ∀∈
.
( )
ft
là hàm đồng biến trên
.
T (1) ta có
( )
( )
22
52 52 5252fxx fx xx x−+ +⇔ −++
2
2
5 20
5252
52 52
x
xx x
xx x
+≥
+≤ +
+ ≥−
2
2
2
5
10 0
40
x
xx
x
≥−
−≤
+≥
[ ]
[ ]
2
5
0;10
0;10
x
x
x
≥−
⇔∈
.
22
22
2
5 20
5
2
5 2 5 2 10 0 0 10
5
0 10
5 2 5 2 40
x
x
x
xx x x x x
x
xx x x
≥−
+≥
≥−

⇔−++⇔−


≤≤
+≥ +≥
.
Yêu cu ca bài toán
x
{ }
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10S⇒=
.
Vy tng các phn t ca
S
bng
01234567891055++++++++++ =
.
Câu 19. Gi
S
là tp hp tt c các giá tr nguyên ca
x
tha mãn bất phương trình
2
1 3 10 1 2
2 2 2 3 10 2 4
xx x
xx x
+ −−
+ −−<
. S phn t ca
S
bng
A.
9
. B.
5
. C.
4
. D.
15
.
Lời giải
Chn A
Ta có
2
1 3 10 1 2
2 2 2 3 10 2 4
xx x
xx x
+ −−
+ −−<
2
3 10 2 2
2 3 10 2 2
xx x
xx x
−−
+ < +−
(1).
Xét hàm s
( )
2
t
ft t= +
( )
2 ln 2 1 0
t
ft
= +<
vi
t∀∈
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN Đ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 9
Suy ra
( )
ft
đồng biến trên
.
Bất phương trình
(
)
1
(
)
( )
22
3 10 2 3 10 2fxx fx xx x −− < −−<
( )
2
2
2
3 10 0
20
3 10 2
xx
x
xx x
−≥
−>
−<
2
5
2
14
x
x
x
x
≤−
⇔>
<
5 14x⇔≤<
x
nên
{
}
5;6;7;8;9;10;11;12;13
S =
.Vy s phn t ca
S
bng
9
.
Câu 20. Biết rng bất phương trình
3
2
64
32
4 3 2 24 32
xx
x
xx x
−−
−+<
tp nghim là
( )
33
;
S ab c d= ++
, vi
,,,abcd
. Tính giá trị ca biu thc
4
T abcd=
.
A.
75
T =
. B.
80T =
. C.
81T =
. D.
82T =
.
Lời giải
Chn C
Ta có
( )
32 2
4 3 43x x xx
−=
.
Bất phương trình đã cho xác định vi mi
3
4
x
.
Với điều kiện xác định trên, bất phương trình đã cho tương đương với
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
3
2
2
2
2
2
24 16
64
4 12
44
9 24 16 3 4
43 43
44 44
34 34
432 8 43 2 2
34 34
43 2 2 43 2 2 .
x
xx
x
x
x
xx x
xx
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
+
−−
++ +

−−


++
 
−⋅ −⋅
 
 
++
 
−⋅ −⋅

<


<
<
<
Xét hàm s
( )
( )
2
4
2
t
ft t=
, vi
0t
.
Ta có
( )
( ) ( )
22
2
44
1
2 2 ln 2 0, 0
2
tt
ft t t
= + > ∀≥
nên
( )
ft
là hàm s đồng biến trên
( )
0; +∞
.
Do đó
( )
( )
( )
( )
2
34
43
44
2
2
32
3 2 33 2
3
3
3 33
3
34 34
43 2 2 43
3 4 9 24 16 3
4 3 4 3 do
4
4 12 24 16 0
2 6 12 8 0 3 6 12 8
2
3 2 3 2 1 3 9.
31
x
x
x
xx
x fx f
xx
x xx
xx x
xx
xx x
x x x xx x x
x x xx x x
+



++
 
−⋅ <
 
 
+ ++

< −<


−<
−< < + + +
< + <+⇔ <+ +
<
<
Kết hp với điều kiện xác định, phương trình đã cho có nghiệm
33
3
;1 3 9
4
S

= ++

.
Suy ra
3
, 1, 3, 9
4
a bc d= = = =
. Do đó
4 81T abcd= =
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Trang 10 TÀI LIU ÔN THI THPT QUC GIA
Câu 21. Bất phương trình
(
)
32
2
16 48 36
1 2 3 .2
xx x
x
xx x
−+ +
+≤
có tp nghim
;S ab c d

= +

vi
,,,abcd
1
c
. Tính giá trị ca biu thc
S abcd
=+++
.
A.
17
. B.
16
. C.
15
. D.
18
.
Lời giải
Chn A
Điều kiện:
1
x
≥−
0
x
. Ta có:
( )
( )
( )
( )
32
2
2
2
2
2
16 48 36
16 48 36
46
(*)
1 2 3 .2
2 1 4 6 .2
2 1.2 4 6 .2
xx x
x
xx
x
x
x
x
x
xx x
xx x
xx x
−+ +
−+
+≤
+≤
+≤−
.
TH-1:
0x >
: để bất phương trình (*) có nghim thì
2
4 60
3
x x >>⇔
.
Khi đó:
( )
2
2
46
1
46
(*) 1.2 .2
x
x
x
x
x
x


+


⇔+


.
Xét hàm s
( )
2
.2
t
ft t=
vi
0
t >
.
Ta có
( )
22
2
2 2 2 ln 2 0, 0
tt
ft t t
= + > ∀>
.
Vy
( )
ft
là hàm đồng biến trên
(
)
0; +∞
, t bất phương trình ta có
( )
46 46
11
xx
fx f x
xx
−−

+ +≤


( )
( )
(
)
22
32 2
1 4 6 1 16 48 36
6
5
62
1 48 36 0 3 12 12 0
3 626
xx x x x x x
x
xx x xxx
x
+≤ + +
≤−
+ ≤⇔ + ≤⇔
≤+
.
Kết hp với điều kiện
3
2
x >
suy ra TH-1 có nghim là:
3 662x≤+
.
TH-2:
10x−≤ <
:
( )
2
2
46
1
46
(*) 1.2 .2
x
x
x
x
x
x


+


⇔+

( )
46 46
11
xx
fx f x
xx
−−

+ +≥


( )
2
22
2
16 48 36
1 1 16 48 36
xx
x xx x x
x
−+
+≥ + +
( )
( )
32 2
62 3
15 48 36 0 3 12 12
62
6
6
0
x
xx x xxx
x
≤≤
+ ≥⇔ + ≤⇔
≥+
.
Kết hp với điều kiện
10x−≤ <
suy ra TH-2 vô nghiệm.
Vy tp nghim ca bất phương trình là
3;6 2 6S

= +

.
Suy ra
3, 2, 6a c bd= = = =
. Do đó
17abcd+++ =
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN Đ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 11
Câu 22. bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham s
m
nh hơn 2018 để phương trình
2
22
xx
mm
+ +>
có nghim thc?
A.
2017
. B.
2018
. C.
2016
. D.
2015
.
Lời giải
Chn A
(
)
22
22 2 222(1)
xx x xxx
mm m m
+ +> + + +> +
Ta có
2 0, 2 0.
xx
m
+≥ >
Xét hàm đặc trưng
(
)
2
ft t t
= +
trên
[
)
0; +∞
.
(
)
[
)
2 1 0, 0;ft t t
= + +∞
()ft
đồng biến trên khoảng
[
)
0; +∞
do đó
(
)
(
)
(1) 2 2 2 2
x x xx
fm f m + > +>
2
22
xx
m⇔>
. Đặt
2 , 0
x
aa= >
. Ta có
(
)
2
m ga a a
⇔> =
.
Bất phương trình đã cho có nghiệm
1
4
m >−
m
nguyên dương nhỏ hơn 2018 nên
{
}
1;2;3; ; 2017m
∈…
. Vậy có 2017 giá trị
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 23. Có bao nhiêu s nguyên
x
sao cho tn ti s thực dương
y
tha mãn
22
2 2.2
x y yx+−
<
?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chn B
Ta có:
22 22
1 22 2 2
2 2.2 2 2 1 1 (*)
x y yx x y yx
xyyx yy xx
+ + −+
<< + +⇔ < < −+
.
Yêu cu bài toán
22
; 0
1 13
2 22
xy
xy
∈>

+ +−


<

( )
22
; 0
131 131
*
222 222
xy
xy x
∈>
 
−+ <<+ −+
 
 
.
Nhn xét:
16 16
;
22
xx
−− −+
≤≤
suy ra
1x =
hoc
0x =
Thay vào thy có tn ti s thc
0y >
.
Vy có 2 s nguyên
x
thỏa mãn để phương trình (*) có nghiệm thc
0y >
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN Đ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 1
GIẢI BPT MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐT N PH KHÔNG HOÀN TOÀN
(KHÔNG CHA THAM S)
PHƯƠNG PHÁP
Đặt
()ux
Ta=
vi
0T >
.
Bất phương trình biến đi v dạng
( )
( )
2
0AT g x T h x+ +>
hoc
( ) ( )
2
0AT g x T h x+ +<
c 1 : Gii phương trình
( ) ( )
2
0AT g x T h x+ +=
c 2 : Lập bảng xét dấu ca
( ) ( )
2
AT g x T h x++
c 3 : T bảng kết lun.
Câu 1. Tp nghim ca bất phương trình
( ) ( )
9 2 5 .3 9 2 1 0
xx
xx + + +≥
A.
[ ] [
)
0;1 2; +∞
. B.
(
] [
)
;1 2;−∞ +
.
C.
[ ]
1; 2
. D.
(
] [
)
; 0 2;−∞ +
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
3
x
t=
,
0t >
bất phương trình trở thành
( ) ( ) ( )
2
2 5. 92 1 0 *t xt x + + +≥
.
Xét phương trình:
( ) ( )
2
2 5 92 1 0t xt x + + +=
( )
1
.
Ta có
(
) ( )
( )
22
2
5 9 2 1 8 16 4
x x xx x
=+ +=−+=−
.
Do đó phương trình
( )
1
luôn có nghim
21
9
tx
t
= +
=
.
Khi đó
( )
*
tr thành
( )( )
( )
3 9 3 2 1 0 **
xx
x −≥
.
Xét các phương trình
39 2
x
x=⇔=
( )
1
3 2 1 3 2 10
xx
xx= +⇔ −=
( )
2
.
Đặt
( )
321
x
fx x
=−−
là hàm s liên tc trên
; ta có
( )
2
3 ln 3 2 ( ) 3 ln 3 0,
xx
fx fx x
′′
= = > ∀∈
.
Suy ra phương trình
( )
2
có tối đa hai nghiệm phân bit.
Li có
( ) ( )
0 10ff
= =
. Vậy phương trình
(
)
2
có đúng hai nghiệm phân bit
0x =
,
1x =
.
Bng xét du
Tp nghim ca bt phương trình đã cho là:
[ ] [
)
0;1 2;S = +∞
.
Câu 2. Tp nghim ca bất phương trình
( )
25 4 6 .5 20 5 0
xx
xx + + +≤
A.
[ ]
0;1
. B.
[
)
1; +∞
. C.
(
]
;0−∞
. D.
(
]
;1−∞
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
5
x
t=
,
0t >
, bất phương trình trở thành
( ) ( )
2
4 6 . 20 5 0 *t xtx + + +≤
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Trang 2 TÀI LIU ÔN THI THPT QUC GIA
Xét phương trình:
( )
2
4 6 . 20 5 0t xtx + + +=
( )
1
.
Ta có
( )
( )
( )
22
2
4 6 4 20 5 16 32 16 16 1
x x xx x
∆= + + = + =
.
Do đó phương trình
( )
1
luôn có nghim
41
5
tx
t
= +
=
.
Khi đó
( )
*
tr thành
( )
( )
( )
5 5 5 4 1 0 **
xx
x −≤
.
Xét các phương trình
55 1
x
x
=⇔=
( )
1
5 4 1 5 4 10
xx
xx= +⇔ −=
( )
2
.
Đặt
( )
541
x
fx x=−−
là hàm s liên tc trên
; ta có
( )
2
5 ln 5 4 ( ) 5 ln 5 0,
xx
fx fx x
′′
= = > ∀∈
.
Suy ra phương trình
( )
2
có tối đa hai nghiệm phân bit.
Li có
( ) ( )
0 10
ff= =
nên phương trình
5 4 10
x
x −=
có đúng hai nghiệm phân bit
0x =
,
1x =
.
Bng xét du
Tp nghim ca bt phương trình đã cho là:
(
]
;0S = −∞
.
Câu 3. Cho bất phương trình
( )
22
2 .2 2 3 2 *
xx x
xx x
+
+ +>
có tp nghim là
( ) ( )
;;S ab c= +∞
tính
2T a bc=+−
.
A.
2
4
log
3
. B.
2
2
log
3
. C.
2
8
log
3
. D.
2
log 3
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
2 22
2 .2 2 3 2 2 4 .2 3 3 0
xx x x x
xx x x x
+
+ +> + + +>
. Đặt
2
x
t =
,
0t >
.
Bất phương trình đã cho trở thành
( ) ( )
2
4 3 10txt x+ + +>
.
Xét phương trình:
( ) ( )
2
4 3 10txt x+ + +=
(
)
2
.
Ta có
( ) ( )
( )
22
2
4 12 1 4 4 2x x xx x∆= + + = + =
nên phương trình
(
)
2
luôn có nghim.
12 1
3
23
x
x
tx x
t
=+=+
=
=
.
+)
2
2 3 log 3
x
x=⇔=
.
+) Xét hàm s
( )
21
x
fx x= −−
, liên tc trên
.
Ta có
( ) ( )
2
2 ln 2 1 2 ln 2 0,
xx
fx f x x
′′
= = > ∀∈
.
Suy ra phương trình
(
)
0fx=
, có không quá 2 nghim trên
.
Mt khác
( ) ( )
0 10ff= =
nên phương trình
( )
0fx=
có đúng hai nghiệm
0x =
,
1x =
.
Vậy phương trình
( )
2
có 3 nghim là
0x =
,
1x =
2
log 3x =
.
Bng xét du VT ca bất phương trình đã là:
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN Đ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 3
Tp nghim ca bất phương trình
( )
*
( ) ( )
2
0;1 log 3;S = +∞
.
Vy
2
4
2 log
3
T a bc=+ −=
.
Câu 4. Cho bất phương trình
( )
3.4 7 9 .2 14 6 0
xx
xx + + +≥
( )
1
. S nghim nguyên thuc
( )
2022; 2022
ca bất phương trình
( )
1
A.
1011.
B.
2022.
C.
4042.
D.
2021.
Lời giải
Chọn D
Đặt
2
x
t=
,
0t >
.
(
)
1
tr thành
( )
2
3 79 1460t xtx + + +≥
.
Xét phương trình:
( )
2
3 79 1460
t xtx + + +=
( )
2
.
Ta có
( ) (
) ( )
22
2
7 9 12 14 6 49 42 9 7 3x x xx x
∆= + + = + =
nên phương trình
( )
2
luôn có
nghim.
7
7
21
1
3
3
2
22
x
x
x
tx
t
= +
= +
=
=
.
+)
22 1
x
x=⇔=
.
+) Xét hàm s
( )
7
21
3
x
fx x=−−
, liên tc trên
.
Ta có
( ) ( )
2
7
2 ln 2 '' 2 ln 2 0,
3
xx
fx f x x
= = > ∀∈
.
phương trình
( )
0fx=
, có không quá 2 nghiệm trên
.
Mt khác
( ) ( )
0 30ff= =
.
Suy ra phương trình
( )
0fx=
có đúng hai nghiệm
0x =
,
3x
=
.
Vậy phương trình
( )
2
có 3 nghim là
0x =
,
1x =
3x =
.
Bng xét du VT ca BPT
( )
1
đã cho là:
Ta đưc tp nghim ca bt phương trình
( )
1
là:
[ ] [
)
0;1 3;T = +∞
.
S nghim nguyên thuc
( )
2022; 2022
ca BPT
( )
1
2021
.
Câu 5. Cho bất phương trình
( )
22
21 0
xx
e x exx + + +≥
( )
1
. S nghim nguyên thuc
[ ]
20; 20
ca
bất phương trình
( )
1
-
-
+
+
log
2
3
0
0
0
+
1
0
-
VT
(
*
)
x
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Trang 4 TÀI LIU ÔN THI THPT QUC GIA
A.
41.
B.
40.
C.
20.
D.
19.
Lời giải
Chọn A
Đặt
x
et=
,
0t >
. Khi đó Bất phương trình (1) tr thành:
( )
22
21 0t x tx x + + +≥
Xét tam thc bc hai
( ) ( )
22
, 21f tx t x t x x
= + ++
.
Ta có
(
)
( )
2
2
21 4 1x xx
∆= + + =
.
( )
,0
1
tx
f tx
tx
=
=
= +
. Vy
( )
1
,0
tx
f tx
tx
≥+
≥⇔
hay
1
x
x
ex
ex
≥+
.
Xét hàm s
( )
1
x
gx e x= −−
, liên tc trên
. Ta có:
( )
10 0
x
fx e x
= −= =
Bng biến thiên:
Da vào bng biến thiên ta thấy:
1 1 0,
xx
ex ex x + ∀∈
.
Vy tp nghim ca bất phương trình
( )
1
là
T =
nên s nghim nguyên thuc
[ ]
20; 20
ca
bất phương trình
( )
1
41
.
Câu 6. Cho hàm s
( ) ( )
2
3
f x fx
y
=
liên tc trên
và có đồ th như hình v
Bất phương trình
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
22 2
9 2 .3 18 10.3 9 *
f x fx f x fx f x fx
xx
−−
+≥
có tp nghim là:
[ ] [
)
;;S ab c= +∞
. Tính
abc
++
.
2
9
y
x
O
1
3
1
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN Đ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 5
A.
3
. B.
2
. C.
4
. D.
5
.
Lời giải
Chọn A
Đặt
( )
(
)
2
3
f x fx
t
=
,
0t
>
. Bất phương trình đã cho trở thành:
( ) ( )
2
2 5 92 1 0t xt x + + +≥
.
Xét phương trình:
(
) (
)
2
2 5 92 1 0
t xt x
+ + +=
( )
**
.
Ta có
(
) ( )
(
)
22
2
5 9 2 1 8 16 4
x x xx x
=+ +=−+=−
nên phương trình
( )
**
luôn có nghim.
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
3 2 11
21
9
3 92
f x fx
f x fx
x
tx
t
= +
= +
=
=
.
+ Nghim ca
( )
2
là hoành độ giao điểm ca đ th m s
( ) ( )
2
3
f x fx
y
=
đường thng có
phương trình
9y =
.
Da vào đồ th
( ) ( )
2
3 92
f x fx
x
=⇔=
.
+) Nghim ca
( )
1
hoành độ giao điểm ca đ th m s
( ) ( )
2
3
f x fx
y
=
đường thng
21yx
= +
.
Da vào đồ th
( ) (
)
2
0
3 21
1
f x fx
x
x
x
=
= +⇔
=
.
Khi đó
( )
*
tr thành
( ) (
)
( )
( ) (
)
( )
22
3 93 2 1 0
f x fx f x fx
x
−−
−≥
.
Bng xét du
Tp nghim ca bất phương trình
( )
*
[ ] [
)
0;1 2;S = +∞
.
2
9
y
x
O
1
3
1
3
f
2
(
x
)
-f
(
x
)
- 2
x
-1
+
0
0
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
0
0
0
0
+
2
1
0
-
VT
(
*
)
3
f
2
(
x
)
-f
(
x
)
-
9
x
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Trang 6 TÀI LIU ÔN THI THPT QUC GIA
Vy
3abc
++=
.
Câu 7. S nghim nguyên thuộc đoạn
[ ]
20; 20
ca bất phương trình sau:
(
)
(
)
4 2 31 2 2 2 2
2 18.2 8 2 3 85 .2 9 4 2 3 2 2 8 2 3 0
xx x x
xx xx xx
++
+ +−+ +−+ + +−
A.
36
. B.
38
. C.
18
. D.
17
.
Lời giải
Chọn A
Điu kiện:
2
3
2 30
1
x
xx
x
≤−
+ −≥
.
Biến đổi bt phương trình đã cho về dạng:
( )
(
)
( )
2
21 2 21 2
2 9.2 4 2 3 2 2 9.2 8 2 3 0
xx xx
xx xx
++
+ +−+ + +−
.
Đặt
21
2 9.2
xx
t
+
=
ta có:
(
)
22 2
4 232 8 230t xx t xx+ +−+ + +−
(
)
(
) (
)
2
4 2 3 2 0*t xx t⇔+ + +
.
+ TH1: Nếu
20 3x
≥≥
.
Khi đó
21 1
2 9.2 2 (2 9) 0 2 0
x x xx
tt
++
= = >⇒+>
2
4 2 30
t xx+ + −>
. Suy ra
( )
*
luôn
đúng. Vy trưc mt ta được
18
nghim nguyên tha mãn bài toán.
+ TH2: Nếu
1x =
, suy ra
10t =
thay vào
( )
*
ta có
( )
10 10 2 0 80 0
+ ≥⇔
luôn đúng
nên
1x =
là nghim ca bất phương trình ban đầu.
+ TH3: Vi
2x =
suy ra
4t =
thay vào
( )
*
ta có
8 85 0
−≥
vô lý nên
2x =
không là
nghim ca bất phương trình đã cho.
+ TH4: Với
20 4x ≤−
ta có:
( )
[ ]
2
( ) 2 3 2 2 0 , 20; 4hx x x h x x x
= + = + < ∈−
thì
[ ]
(
)
[ ]
2
20; 4
min ( ) 4 5 4 2 3 4 5 , 20; 4hx h x x x
−−
= = + ∈−
.
Mt khác
( )
[ ]
21
2 9.2 2 4.2 9 ln 2 0, 20; 4
x x xx
tt x
+
= = < ∈−
.
Suy ra
[ ]
( )
20; 4
71
min 4
128
tt
−−
=−=
.
Do đó
2
71
4 2 3 45 0
128
t xx
+ + −≥ >
71 185
22 0
128 128
t +>− = >
nên
( )
*
đúng.
D thy
3x =
không là nghim.
Suy ra có
17
nghim nguyên tha mãn.
Vy bất phương trình có
18 1 17 36++ =
nghim nguyên tha mãn yêu cầu đề bài.
Câu 8. Cho hàm số
()y fx=
liên tục trên
có đồ thị như hình vẽ.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN Đ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 7
Tp nghim ca bất phương trình
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 .24 1 0*
xx
x fx x fx−+ + ++
A.
(
] [
)
; 0 2; −∞ +∞
. B.
[ ]
0 ; 1
. C.
(
] [
)
; 1 2; −∞ +∞
. D.
[
]
1; 2
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
2
x
t =
,
0t >
.
Bất phương trình đã cho trở thành:
( )
( )
( )
( )
2
1. 1 0t x fx t x fx−+ + ++
.
Xét phương trình:
( )
(
)
( ) ( )
2
1. 1 0t x fx t x fx−+ + ++ =
( )
( ) ( )
( )
21
1
2 12
x
x
fx
t fx
tx
x
=
=
⇔⇔
= +
= +
.
+ Nghim ca
( )
1
là hoành độ giao điểm ca đ thm s
2
x
y =
đồ th
( )
y fx=
.
Da vào đồ th
( )
1
0
2
1
2
x
x
x
fx
x
x
=
=
=
=
=
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Trang 8 TÀI LIU ÔN THI THPT QUC GIA
+) Xét hàm s
( )
21
x
gx x= −−
, liên tc trên
.
Ta có
( ) (
)
2
2 ln 2 1 2 ln 2 0,
xx
gx g x x
′′
= = > ∀∈
.
Suy ra phương trình
( )
0gx=
, có không quá 2 nghim trên
.
Mt khác
(
) ( )
0 10gg= =
nên phương trình
( )
0gx=
có đúng hai nghiệm
0x =
,
1
x =
.
Khi đó
(
)
*
tr thành
( )
( )
( )
2 12 0
xx
x fx−−
.
Bng xét du
Tp nghim ca bất phương trình
( )
*
[ ]
1;2S =
.
_______________ TOANMATH.com _______________
+
0
+
+
0
0
0
- 1
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
0
0
0
0
0
0
+
2
1
0
-
VT
(
*
)
2
x
-
f
(
x
)
2
x
-
x
-1
x
| 1/24

Preview text:

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
GIẢI BPT MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ - ĐÁNH GIÁ
(KHÔNG CHỨA THAM SỐ) PHƯƠNG PHÁP
Nhắc lại kiến thức cũ :
Đạo hàm : ( u )′ = . u a
ua .ln a
Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng D thì x
∀ , y D : f (x) > f ( y) ⇔ x > y
Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng D thì x
∀ , y D : f (x) > f ( y) ⇔ x < y
Bước 1 : Đặt điều kiện của bpt (nếu có)
Bước 2 : Các phương pháp giải
Phương pháp 1 : Dùng tính đơn điệu của hàm số
Phương pháp 2 : Dùng phương pháp đồ thị hàm số
Phương pháp 3 : Đánh giá
Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình 2x−25 + ( 2 x − ) x+2021 3 25 .4 ≤1 A. 10. B. 11. C. 8 . D. 9. Lời giải Chọn B
Xét bất phương trình 2x−25 + ( 2 x − ) x+2021 3 25 .4 ≤ 1( ) 1 Ta có: x+2021 4 > 0, x ∀ ∈  TH1: Xét 2
x − 25 = 0 ⇔ x = 5 ± ta có VT ( ) 1 =1≤1 (Đúng) nên bpt ( ) 1 có nghiệm x = 5 ± x < 5 − TH2: Xét 2 x − 25 > 0 ⇔  x > 5 2 x −25 0 3  > 3 =1 Ta có (
VT 1 >1 nên bpt ( ) 1 vô nghiệm. 2 x − 25  ) ( ) x+2021 .4 >  0 TH3: Xét 2 x − 25 < 0 ⇔ 5 − < x < 5 2 x −25 0 3  < 3 =1 Ta có (
VT 1 <1 nên bpt ( ) 1 có nghiệm 5 − < x < 5 2 x − 25  ) ( ) x+2021 .4 <  0
Vậy nghiệm của bpt đã cho là x ∈[ 5; − 5].
x nguyên nên x ∈{ 5 ± ; 4 ± ; 3 ± ; 2 ± ; 1 ± ; } 0 có 11 giá trị x 1 + Câu 2.
Giải bất phương trình 6 3 10 >
ta được tập nghiệm S = ( ;
a b) . Tính giá trị của biểu thức x 2x −1
P =10b − 3a
A. P = 5.
B. P = 4 .
C. P = 2 . D. P = 0 . Lời giải Chọn A Điều kiện 1
x ≠ 0; x ≠ (*) 2
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 1
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC x > 0 x > 0    x+ 10xx+ 2x − 6 ( ) 1 1 1  − >  < + 6 3 3 x 1  −  −  Với điều kiện (  − *) , ta có: 6 3 10 2x 1 2x 1 > ⇔ ⇔ x 2x 1 x 0  − < x < 0       x+ 10xx+ 2x − 6 (2) 1 1 6 − 3 <  3 >  2x 1  −  2x −1 − Gọi ( x
C) và (H ) theo thứ tự là đồ thị của hàm số ( ) 1 3x y g x + = =
y = f (x) 2 6 = 2x −1
Dựa vào đồ thị, ta có: hệ bpt ( ) 1 có nghiệm 1
0 < x < ; hệ bpt (2) vô nghiệm. 2
Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là 1 S 0;  =  suy ra 1
a = 0;b = nên P =10b − 3a = 5. 2    2 1−x Câu 3. − +
Tập nghiệm của bất phương trình 2 2x 1 ≥ 0 là 2x −1 A. [0; ] 1 . B. (0; ] 1 . C. ( 1; − 0]. D. (0;2]. Lời giải Chọn B
Điều kiện: 2x −1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 .
Xét hàm số f (x) 1−x 2 = 2 − 2x +1 = 2 − x +1+ có f ′(x) 2.ln 2 = 2 − − < 0 , x ∀ . 2x 2x
Do đó hàm số này nghịch biến trên  . Vậy 1
2 −x − 2x +1 > 0 ⇔ f (x) > f ( )
1 ⇔ x <1 ⇔ 1− x > 0 tức là f (x) cùng dấu với 1− x . Xét hàm số ( ) 2x g x = −1 có ′( ) = 2x g x .ln 2 > 0 , x
∀ . Do đó hàm số này đồng biến trên  .
Vậy 2x −1 > 0 ⇔ g (x) > 0 ⇔ x > 0 tức là g (x) cùng dấu với x. −
Suy ra bất phương trình đã cho tương đương với 1 x ≥ 0 ⇔ 0 < x ≤1. x
Vậy tập nghiệm của BPT là S = (0; ] 1 .
Câu 4. Bất phương trình 2 2 2 sin x cos x sin 2 3 4.3 x + ≥
có bao nhiêu nghiệm nguyên trên [ 2021 − π;2022π ]. Trang 2
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC A. 4043. B. 2021. C. 4044 . D. 2022 . Lời giải Chọn C Đặt 2
t = sin x (0 ≤ t ≤ )
1 thay vào bất phương trình đã cho ta có t t t 1
2 + 3 −t ≥ 4.3t t 3 ⇔ 2 + ≥ 4.3t t t  2   1 6 3 4.9 3  ⇔ + ≥ ⇔ + ≥     4 (1). 3t  3   9  t t t t
Xét hàm số f (t)  2   1 3  = + , 0 ≤ t ≤  2  2  1  1    
1. Có f ′(t) = .ln + 3 ln < 0, t ∀ ∈     [0; ]1.  3   9   3  3  9  9
Suy ra hàm số f (t) nghịch biến trên [0; ] 1 . t t
Do đó luôn có f (t) ≤ f (0) hay  2   1 3  + ≤     4 (2).  3   9  t t
Từ (1) và (2) suy ra:  2   1  2 + 3
= 4 ⇔ t = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈     )  3   9  Do 2021 −
π ≤ x ≤ 2022π ⇒ 2021 −
π ≤ kπ ≤ 2022π ⇔ 2021 −
k ≤ 2022(k ∈) Suy ra k ∈{ 2021 − ; 2020 − ;...;2021; }
2022 , có tất cả 4044 giá trị k
Vậy bất phương trình có tất cả 4044 nghiệm nguyên.
Câu 5. Cho hàm số ( ) 2 x 1 2 (2x 2 x f x + − = −
). Gọi S là tổng các giá trị xnguyên dương thỏa mãn bất
phương trình f (x )  228 22 f  + + ≤   0 . Tính S ?  x − 9 
A. S = 36 .
B. S = 45 . C. 30. D. 8 . Chọn A Xét hàm số ( ) 2 2 x 1 x x 1 2 2 x f x + + + − = −
có tập xác định D =  nên x
∀ ∈  ⇒ −x∈ . Ta có : (− ) 2 2 x 1 + −x x 1 = 2 − 2 + +x f x
= − f (x) nên hàm số đã cho là hàm số lẻ.     Mặt khác ′( ) 2 + + x 2 x 1 x x 1 = 2 .ln 2. +1 − 2 + −x.ln 2 x f x  −1 2 2  x +1   x +1   2   2  + + + − ′( ) 2 x + +x x 1 x 2 1 x 1 + −x x 1 = 2  ln 2 + 2 x f x  .ln 2 > 0  2   2 x 1 x 1  + +     ( Vì 2 2 2
x +1 > x = x x +1 ± x > 0)
Do đó hàm số f (x) đồng biến trên  .
Từ đó suy ra f (x )  228 22 f  + + ≤     
 0 ⇔ f ( x + ) 228 22 ≤ − f   ⇔ f ( x + ) 228 22 ≤ f    x − 9   x − 9   9 − x  2 228 x +13x + 30 x ≤ 10 − ⇔ x + 22 ≤ − ⇔ ≤ 0 ⇔ x − 9 x − 9   3 − ≤ x < 9
Vậy các số nguyên dương thỏa mãn bất phương trình là x ∈{1;2;3;4;5;6;7; }
8 ⇒ S =1+ 2 +. .+ 8 = 36 .
Câu 6. Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ;
x y) thỏa mãn bất phương trình ( x + y) 2 2 2
5x +2xy+2 y −3 2 .2
+ (x y)2 ≤ 3 ?
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 3
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3. Lời giải Chọn D
Từ ( x + y) 2 2 2
5x +2xy+2 y −3 2 .2
+ (x y)2 ≤ 3 ⇔ ( x + y) (2x+y)2+(xy)2 2 −3 2 .2
+ (x y)2 − 3 ≤ 0 (∗) a = (2x +  y)2 Đặt  . b  = 
(x y)2 −3 ≥ 3 −
Khi đó bất phương trình ( + b ∗) có dạng: .2a b a b 0 .2a a 0 .2a a b − + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ − . b ( ).2 b 2
a ≥ 0 ⇒ b
− ≥ 0 nên ta xét các trường hợp sau đây: a > b − ≥ 0
TH1: Nếu a > b − ≥ 0 ⇒  ⇒ .2a a > ( b
− ).2−b không thoả mãn bất phương trình.
2a > 2−b ≥ 0 0 ≤ a b
TH2: Nếu 0 ≤ a b − ⇒  ⇒ .2a a ≤ ( b
− ).2−b thoả mãn bất phương trình.
0 < 2a ≤ 2−b
Vậy bất phương trình .2a ( ).2 b a b − ≤ − ⇔ a b
− ⇔ a + b ≤ 0
Suy ra ( x + y)2 + (x y)2 − ≤ ⇔ ( x + y)2 + (x y)2 2 3 0 2 ≤ 3.
Với giả thiết x, y Z nên ( + )2 2x y và ( − )2
x y chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:
Vậy có tất cả 3 cặp ( ; x y) thoả mãn.
Câu 7. Có bao nhiêu số nguyên trong đoạn [0; ]
2021 thỏa mãn bất phương
trình : x x − ≤ ( x − ) 2 2 x −6x+2 + ( 2 x x + ) 3x−4 3 2 3 4 .2021 6 2 .2021 A. 2016 . B. 2017 . C. 2020 . D. 2021. Lời giải Chọn B Đặt 2
a = x − 6x + 2 , b = 3x − 4 .
Bất phương trình có dạng :
+ ≤ .2021a + .2021b a b b a
⇔ .(1− 2021b ) ≤ .(2021a a b − ) 1 ( ) 1
TH1: a = 0 hoặc b = 0 thì nghiệm đúng bất phương trình đã cho.  2 x = 3± 7
x − 6x + 2 = 0
Bất phương trình đã cho tương với   ⇔  4 . 3x − 4 = 0 x =  3 a > 0 2021a −1> 0 TH2: Nếu  ⇒  ⇒ VT( ) 1 < 0 ; VP( ) 1 > 0 . b  > 0 1  − 2021b < 0 Trang 4
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Khi đó bất phương trình luôn đúng. x > 3+ 7  2 x 6x 2 0   − + >
Vậy bất phương trình tương đương với   ⇔ x < 3 − 7  ⇔ x > 3+ 7 . 3  x − 4 > 0  4 x >  3 a < 0 2021a −1< 0 TH3: Nếu  ⇒  ⇒ VT( ) 1 < 0 ; VP( ) 1 > 0 b  < 0 1  − 2021b > 0
Khi đó bất phương trình luôn đúng.
Vậy bất phương trình tương đương với  2 3− 7 < x < 3+ 7
x − 6x + 2 < 0  4  ⇔  ⇔ 3− 7 4 < x < . 3  x − 4 < 0 x < 3  3 a > 0 2021a −1> 0 TH4: Nếu  ⇒  ⇒ VT( ) 1 > 0 ; VP( ) 1 < 0 . b  < 0 1  − 2021b > 0
Trường hợp này bất phương trình vô nghiệm. a < 0 2021a −1< 0 TH5: Nếu  ⇒  ⇒ VT( ) 1 > 0 ; VP( ) 1 < 0 b  > 0 1  − 2021b < 0
Trường hợp này bất phương trình vô nghiệm.
Từ các trường hợp trên, bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 4 S  = 3− 7;  ∪ 3+ 7;+∞    )  3
Các số nguyên thỏa mãn bất phương trình là x ∈{1;6;7;...;2020; } 2021 .
Vậy bất phương trình có 2017 nghiệm nguyên trong đoạn [0; ] 2021 .
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 5
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶC TRƯNG
(KHÔNG CHỨA THAM SỐ) PHƯƠNG PHÁP
Bước 1 : Biến đổi bất phương trình về dạng
f (a) < f (b) ( f (a) > f (b); f (a) ≤ f (b); f (a) ≥ f (b)) ( ) 1 .
Bước 2 : Xét hàm số y = f (x) , chứng minh hàm số luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến
Bước 3 : Do hàm số y = f (x) luôn đồng biến, hoặc luôn nghịch biến suy ra
f (a) < f (b) ⇔ a < b hoặc f (a) < f (b) ⇔ a >
Câu 1.
Số nghiệm nguyên của bất phương trình sau là: 2 2 2x 15 − x 100 + x 10 + x−50 2 2 − 2
+ x − 25x +150 < 0 là A. 4 . B. 6. C. 3. D. 5. Lời giải Chọn A Ta có 2 2 2x 15 − x 100 + x 10 + x−50 2 2 − 2
+ x − 25x +150 < 0 2 2 2x 15 − x 100 + x 10 + x−50 2 ⇔ − + x x + − ( 2 2 2 2
15 100 x +10x − 50) < 0. Đặt 2
a = 2x −15x +100, 2
b = x +10x − 50 .
Khi đó bất phương trình trở thành: 2a − 2b + a b < 0 ⇔ 2a − − > 2b a − − b ( ) 1 . Xét hàm số ( ) = 2t f t
− − t có ′( ) = 2t f t
− ln 2 −1< 0 với t ∀ ∈  .
Suy ra f (t) nghịch biến trên  .
Bất phương trình ( ) ⇔ f (a) > f (b) 2 2 1
a < b ⇔ 2x −15x +100 < x +10x − 50 2
x − 25x +150 < 0 ⇔ 10 < x <15 .
x ∈ nên x∈{11;12;13; } 14 .
Vậy bất phương trình có 4 nghiệm nguyên.
Câu 2. Cho bất phương trình 2 x +x 8 2 + x
x x + + . Số nghiệm x ( )1 3 2
nguyên dương của bất phương trình đã cho là A. 0 . B. 3 C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn C
Tập xác định D = (−∞;− ] 1 ∪[0;+ ∞) . Ta có: 2 x +x 8 2 x x x + x − + ≤ − + + ⇔ + ≤ − x + x + x ( ) 2 x x 3 x 2 1 3 2 2 3 2 2 x +x 2 3 ⇔ 2 + + ≤ 2 −x x x + 3− x ( ) 1 . Xét hàm số ( ) = 2t f t
+ t , có ′( ) = 2t f t .ln 2 +1 > 0, t ∀ ∈  .
Vậy hàm số f (t) đồng biến trên  .( ) ⇔ f ( 2x + x) ≤ f ( − x) 2 1 3
x + x ≤ 3− x
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 1
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC  x ≤ 3 x ≤ 3   x ≤ 1 x ≥ 0 x ≥ 0 −  ⇔  ⇔   ⇔  9 . x ≤ 1 − x ≤ 1 − 0 ≤ x ≤  7  2 x x  ( x)2  + ≤ − 9 3 x ≤  7
Do x nguyên dương, do đó x ∈{ } 1 .
Vậy bất phương trình đã cho có 1 nghiệm nguyên dương.
Câu 3. Tập nghiệm của bất phương trình 3x 3 3
5 x 3(3x 5x − + − ) > 0 là A. ( ;0 −∞ ). B. ( ;0 −∞ ] . C. (0;+∞). D. [0;+∞) . Lời giải Chọn A
Bất phương trình đã cho tương đương với 3x x 3
3 + 3.3 > 5 x + 3.5x ⇔ (3x ) > (5x f f ).
Xét hàm số f (t) 3
= t + 3t trên khoảng (0;+∞), ta có: f ′(t) 2
= 3t + 3 > 0, t ∀ > 0 .
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞). x
Do đó từ (3x ) > (5x f f ) ta có x x 5 3 5  > ⇔ <1 ⇔ x <   0 .  3 
(*) Thử các giá trị là chọn được đáp án. Ta có: 3x 3 3
5 x 3(3x 5x VT = − + − )
Thử với x = 0 được VT = 0 ⇒ x = 0 không thỏa mãn bất phương trình. Do đó loại B và D.
Thử với x =1 được VT = 104 −
x =1 không thỏa mãn bất phương trình. Do đó loại C.
Vậy còn lại đáp án đúng là A.
Câu 4. Có bao nhiêu số nguyên x ∈( 2021 −
;2022) thỏa mãn bất phương trình 6x 4x 3x 2x x+2
2 − 2 − 2 + 2 − 2 − 3 < 0 A. 2021. B. 2020 . C. 2022 . D. 2019 . Lời giải Chọn A
Bất phương trình đã cho tương đương với x x x ( x x
) ( x ) ( x)3 ( x)2 3 2 2 2 2 2 2 3.2 3.2 1 2 2.2 1 3. 2 1 2 2 3.2 x + + + − + + + + > − +
⇔ ( x + )3 −( x + )2 + ( x + ) > ( x )3 −( x )2 2 2 2x + ⇔ ( x + ) > ( 2 2 1 2 1 3. 2 1 2 2 3.2 2 1 2 x f f ).
Xét hàm số f (t) 3 2
= t t + 3t trên khoảng (0;+∞), ta có: f ′(t) 2
= 3t − 2t + 3 > 0, 0 t ∀ > .
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞). − +
Do đó từ f ( x + ) > f ( 2x ) x 2x 2x x 1 5 x 1 5 2 1 2
⇔ 2 +1 > 2 ⇔ 2 − 2 −1< 0 ⇔ < 2 < 2 2 1+ 5  ⇔ x < log   ≈ 0,69 . 2  2    Mà x ∈( 2021 −
;2022) và x∈ nên ta có x∈{ 2020 − ; 2019 − ;...; } 0 .
Vậy có 2021 số nguyên x thỏa mãn ycbt. Trang 2
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình 4 2x 2 + 5 −
− 5x − 2 > 0 là 2 5 x 5xx > log 2 x ≥ log 2
A. 0 < x < log 2 .
B. 0 ≤ x ≤ log 2 . C. 5 . D. 5 . 5 5   x < 0 x ≤ 0 Lời giải Chọn C
Bất phương trình đã cho tương đương với 2  2 x   2 x  2  2 5 5 3 3 f 5x  + − + > − ⇔ + >       f . x x x (3)  5   5   5  Xét hàm số ( ) 2
f t = t t trên khoảng (2 2;+∞) , ta có: f ′(t) = 2t −1> 0, t ∀ > 2 2 .
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (2 2;+∞) .  2   < x < x 2 5x 1 0 Do đó từ f +  5 >  f ⇔ + > ⇔ − + > ⇔  ⇔ . x (3) x 2 5 3 5 x 3.5x 2 0  5  5x 5x > 2  x > log 2 5
(*) Cách 2: Đề xuất bởi GVPB2 2
Bất phương trình đã cho tương đương với  2 x   2 5 5x  + − + − 6 >     0  5x   5x  2 5x <1 x < 0 x 2 ⇔
+ 5 > 3 ⇔ 5 x − 3.5x + 2 > 0 ⇔  ⇔ . 5x 5x > 2  x > log 2 5
Câu 6. Phương trình 2 2x −8+2 x 1 + 2 2021
− 2021 = x − 2x −8 −1 có nghiệm duy nhất x = a + b với
a,b∈ . Tính b − . a A. 9. B. 11 − . C. 11. D. 9 − . Lời giải Chọn C x ≤ 2 − Điều kiện: 2 2x −8 ≥ 0 ⇔  . x ≥ 2 2 2 2x −8+2 x 1 + 2 2x −8+2 2 x 1 2021 2021 x 2x 8 1 2021 2x 8 2 2021 + − = − − − ⇔ + − + = + x +1 ( ) 1
Xét hàm số ( ) = 2021t f t
+ t . Có ′( ) = 2021t f t ln 2021+1 > 0, t
∀ ⇒ hàm số đồng biến trên .  Khi đó ( ) ⇔ f ( 2 1
2x −8 + 2) = f (x + )1 x ≥1 2
⇔ 2x −8 + 2 = x +1 ⇔  ⇔ x = 1 − + 10 . 2 2
2x − 8 = x − 2x +1 Do đó a = 1 − , 10
b = ⇒ b a =11.
Câu 7. Tìm số nghiệm của phương trình 2 2 sin x cos x π −π
= cos 2x trong khoảng (0;10π ). A. 19. B. 15. C. 20 . D. 17. Lời giải Chọn C 2 2 2 2 2 2 sin x cos x sin x cos x 2 2 sin x 2 cos x 2 π −π = cos 2x ⇔ π −π
= cos x − sin x ⇔ π + sin x = π + cos x . Xét hàm số ( ) t
f t = π + t có ′( ) t
f t = π lnπ +1 > 0, t
∀ ∈ R ⇒ hàm số đồng biến trên . 
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 3
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC π π Khi đó ( ) ⇔ ( 2 ) = ( 2 ) 2 2 1 sin cos ⇔ sin = cos ⇒ cos 2 = 0 k f x f x x x xx = + 4 2 π π Kết hợp với k x ∈(0;10π ) suy ra 1 39 0 < +
<10π ⇔ − < k < . 4 2 2 2
k ∈ ⇒ k ∈{0;1;2;...; }
19 . Vậy phương trình có 20 nghiệm.
Câu 8. Có bao nhiêu cặp số nguyên ( ;
x y) thỏa mãn 0 ≤ y ≤ 2021 và 2 x 1 + 2 2021 + = 2021y x + y −1. A. 45 . B. 89 . C. 11. D. 20 . Lời giải Chọn B 2 2 x 1 + 2 y x 1 + 2 2021 + = 2021 + −1 ⇔ 2021 + +1 = 2021y x y x + y ( ) 1 .
Xét hàm số ( ) = 2021t f t
+ t .Có ′( ) = 2021t f t ln 2021+1 > 0, t
∀ ⇒ hàm số đồng biến trên .  Khi đó ( ) ⇔ f ( 2 1 x + ) 1 = f ( y) 2 ⇔ y = x +1
Ta có với x nguyên thì y nguyên. Mà 2
0 ≤ y ≤ 2021⇒ 0 ≤ x +1≤ 2021⇒ 44 − ≤ x ≤ 44. Vậy có 89 bộ ( ;
x y) nguyên thỏa mãn.
Câu 9. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 2x+x 3−x 2 2
+ 2x ≤ 2 − x + 3. A. 5. B. 6 . C. 7 . D. 8 . Lời giải Chọn A Ta có 2 2 x +x 3−x 2 x +x 2 3 2 + 2 ≤ 2 − + 3 ⇔ 2 + + ≤ 2 −x x x x x + 3− x ( ) 1 . Xét hàm số ( ) = 2t f t
+ t, t ∈  , có ′( ) = 2t f t .ln 2 +1 > 0, t ∀ ∈  .
Vậy hàm số f (t) đồng biến trên  . Ta có ( ) ⇔ f ( 2
x + x) ≤ f ( − x) 2 1 3
x + x ≤ 3− x ⇔ 3 − ≤ x ≤1.
Vậy có 5 giá trị nguyên của x thỏa mãn ycbt.
Câu 10. Tổng tất cả các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 6 của bất phương trình:
27x 8x 3.4x 2.3x 5.2x − − + − − 3 ≥ 0 là A. 15. B. 12. C. 13. D. 19. Lời giải Chọn A
Ta có 27x 8x 3.4x 2.3x 5.2x 3 0
27x 2.3x (8x 3.4x 3.2x ) 1 2(2x − − + − − ≥ ⇔ + ≥ + + + + + ) 1 ( x)3 x ( x )3 3 2.3 2 1 2(2x ⇔ + ≥ + + + ) 1 ( ) 1 .
Xét hàm số f (t) 3
= t + 2t trên  ta có f ′(t) 2
= 3t + 2 > 0, t
∀ ∈  . Vậy hàm số f (t) 3
= t + 2t đồng biến trên  . x x Mà ( )
f ( x ) f ( x ) x x  2   1 1 3 2 1 3 2 1  ⇔ ≥ + ⇔ ≥ + ⇔ + ≤     1 (2) .  3   3  x x x x
Xét hàm số g (x)  2   1  = +          có g′(x) 2 2 1 1 =   .ln +     .ln <   0, x ∀ ∈  . 3   3       3   3   3   3  Trang 4
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC x x
Vậy hàm số g (x)  2   1  = +  nghịch biến trên  . 3   3     
Mà (2) ⇔ g (x) ≤ g ( ) 1 ⇔ x ≥1
Vậy tập hợp các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 6 của bất phương trình là {1, 2, 3, 4, } 5 .
Tổng tất cả các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 6 của bất phương trình: 1+ 2 + 3+ 4 + 5 =15.
Câu 11. Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình sau: −x 3x( 3 5)1 2 x  1  2 − 3x +1≥ 3x −   6x .  5  A. 2022 . B. 1. C. 2 . D. 2021. Lời giải Chọn C
Theo đề ra ta có x ∈ và x > 0 . 1 −x
Bất phương trình 3x( 3 5) 2 x  1  2 − 3x +1≥ 3x −   6x  5  1 −x 2   − − 1 −x 1 ⇔ ( 3 ) 2 x x 1 x  1  1 x 1 3 6 1 5 − ≥  ⇔ ( 3 5) 2 − ≥   x − 2 − ⇔ 3x x−2 5 +
≥ 5 + x − 2 (∗) . 5    3x  5  3x 3x Xét hàm số ( ) = 5t g t
+ t có ′( ) = 5t g t
ln 5 +1 > 0 , t ∈  nên hàm số g (t) đồng biến trên  . ( 1 − + ∗) ⇔  1 g  ≥ g(x−   2) ⇔ ≥ x − 2 2 3 2 3 3 2 3
⇔ 3x − 6x −1≤ 0 ⇔ ≤ x ≤  3x  3x 3 3
Theo đề ra ta có x ∈ và x > 0 nên x∈{1; }
2 tức 2 nghiệm nguyên dương từ bpt trên
Câu 12. Tìm số nghiệm nguyên thuộc [ 2021 −
;2022] của bất phương trình 3 2x 1 − 2−x 3 3 2 2022
− 2022 + 2x −1 + x − 6x +15x −11≤ 0 A. 2024 . B. 2023. C. 2021. D. 2022 . Lời giải Chọn B
Từ giả thiết ta có bất phương trình tương đương với: 3 2x 1 − 2−x 3 3 2 2022
− 2022 + 2x −1 + x − 6x +15x −11≤ 0 3 2x 1 − 3 2−x 3 2 ⇔ 2022
+ 2x −1+ 2x −1 ≤ 2022 − x + 6x −13x +10 3 2x 1 ⇔ 2022 − + ( 3 2 −1)3 3 2 + 2 −1 ≤ 2022 −x x x
+ (2 − x)3 + 2 − x ( ) 1 .
Xét hàm số f (t) t 3 =
+ t + t f ′(t) t 2 2022
= 2022 .ln 2022 + 3t +1 > 0, t
∀ ⇒ f (t) là hàm đồng
biến trên  . Từ (1) ta có f ( 3 2x −1) ≤ f (2− x) 3
⇔ 2x −1 ≤ 2 − x 2 3
⇔ 2x −1≤ 8 −12x + 6x x 3 2
x − 6x +14x − 9 ≤ 0 ⇔ (x − )( 2
1 x − 5x + 9) ≤ 0 ⇔ x ≤1
x nguyên và x ∈[ 2021 − ;2022] ⇒ 2021 −
x ≤1 nên có 2023 giá trị nguyên của x .
Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈[ 2021 − ; ] 2021 để mọi
nghiệm của bất phương trình 2 2
2x+ −x +2x+3 4+ −x +2x+3 5 − 5
+ (x − 2)3 ≤ x(x − 3)2 − ( ) 2 1 đều là
nghiệm của bất phương trình 2
x − (m − 2) x − 2m + 4 ≤ ( 0 2) . A. 2019 . B. 2020 . C. 2021. D. 2018 .
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 5
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC Lời giải Chọn A 2 2
2x+ −x +2x+3 4+ −x +2x+3 5 − 5
+ (x − 2)3 ≤ x(x − 3)2 − ( ) 2 1 . Điều kiện 1 − ≤ x ≤ 3. ( ) 2 2
2x+ −x +2x+3 4+ −x +2x+3 1 ⇔ 5 − 5 + 3x − 6 ≤ 0 2 2
3 2x + −x + 2x + 3
3 4 + −x + 2x + 3 2
2x+ −x +2x+3 ( ) 2 4+ −x +2x+3 ( ) ⇔ 5 + ≤ 5 + (*). 2 2
Xét hàm số f (t) t 3
= + t t ∈ ⇒ f ′(t) t 3 5 , = 5 .ln 5 + > 0, t ∀ ∈  . 2 2
⇒ Hàm số đồng biến trên  . ( ) ⇔ f ( 2
x + −x + x + ) ≤ f ( 2 * 2 2 3
4 + −x + 2x + 3) 2 2
⇔ 2x + −x + 2x + 3 ≤ 4 + −x + 2x + 3 ⇔ 1 − ≤ x ≤ 2 .
Theo yêu cầu bài toán thì 2
x − (m − 2) x − 2m + 4 ≤ 0, x ∀ ∈[ 1; − 2] 2 x + 2x + 4  + +  ⇔ m x ∀ ∈[− ] 2 x 2x 4 , 1;2 ⇒ m ≥ max   . + x [ ∈ 1; − 2] x 2  x + 2  2 + + 2 x + 4xx = 0∈[ 1; − 2]
Đặt g (x) x 2x 4 =
. Ta có g′(x) = = 0 ⇔  . x + 2 (x + 2)2 x = 4 − ∉  [ 1; − 2] 2  + +  g ( x 2x 4 − ) 1 = 3 g ( ; 0) = 2 g ( ; 2) = 3, suy ra max   = 3. x [ ∈ 1; − 2]  x + 2 
m ≥ 3 , vì m∈[ 2021 − ; ]
2021 ⇒ 3 ≤ m ≤ 2021. Vậy có 2019 giá trị nguyên của tham số m .
Câu 14. Có bao nhiêu cặp nghiệm nguyên ( ;
x y) thỏa mãn bất phương trình ( x y) 2 2 2
10x −8xy+2 y −4 2 2 3 .3
≤ 4 − x + 2xy y ? A. 8 . B. 6 . C. 5. D. 9. Lời giải Chọn D
Từ ( x y) 2 2 2
10x −8xy+2 y −4 2 2 3 .3
≤ 4 − x + 2xy y ⇔ ( x y) (3xy)2+(xy)2 2 −4 3 .3
≤ 4 − (x y)2 (*).
a = (3x y)2 ≥  0 Đặt 
khi đó (*) đưa về: .3a+b ≤ − ⇔ .3a ≤ (− ).3−b a b a b . b  = 
(x y)2 − 4 ≥ 4 −
a ≥ 0 ⇒ b
− ≥ 0 .Xét hàm số ( ) = .3t f t
t , t ∈[0;+∞) có ′( ) = 3t + .3t f t
t .ln 3 > 0, t ∀ ∈[ 0;+∞)
Suy ra f (a) ≤ f ( b
− ) ⇔ a b
− ⇔ a + b ≤ 0 .
Suy ra ( x y)2 + (x y)2 − ≤ ⇔ ( x y)2 + (x y)2 3 4 0 3 ≤ 4 .
Với giả thiết x, y là các số nguyên nên ( − )2 3x y và ( − )2
x y đều nguyên nên chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau: Trang 6
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC 3x y 0 0 1 0 1 − 1 1 − 1 − 1 2 0 2 − 0 x y 0 1 0 1 − 0 1 1 − 1 1 − 0 2 0 2 − x 0 1 − 1 1 1 − 0 0 1 1 − 1 − 1 1 − 1 2 2 2 2 y 0 3 − 1 3 1 − 1 3 − 1 − 3 1 − 1 2 − 2 2 2 2 2
Vậy có tất cả 9 cặp nghiệm thỏa mãn.
Câu 15. Tính tổng các nghiệm nguyên dương của bất phương trình sau 2 x 1 + 2 x+2 5
+ 2x − 4x − 6 ≤ 25 A. 6 . B. 5. C. 3. D. 7 . Chọn A Ta có 2 2 x 1 + 2 x+2 x 1 + x x + − ≤ ⇔ + ( 2 x + ) 2(x+2) 5 2 4 6 25 5 2 1 ≤ 5 + 4(x + 2) (*) . Xét hàm số ( ) = 5t f t + 2t . TXĐ: D =  . ′( ) = 5t f t ln 5 + 2 > 0 với t
∀ ∈  ⇒ f (t) là hàm số đồng biến trên (−∞;+ ∞). ( ) ⇔ f ( 2 * x + )
1 ≤ f (2(x + 2)) 2
x +1≤ 2(x + 2) 2
x − 2x − 3 ≤ 0 ⇔ 1 − ≤ x ≤ 3.
x ∈ nên x∈{−1;0;1;2;3}.
Vậy tổng các nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho bằng 6.
Câu 16. Hãy xác định số nghiệm nguyên âm của bất phương trình sau: 2 x −3x−7 x 10 + 2 9.3 − 3
+ 2x −8x ≤ 30 A. 2 . B. 3. C. 6 . D. 9. Lời giải Chọn A Ta có 2 2 x −3x−7 x 10 + 2 x −3x−5 x x ( 2x x ) x 10 9.3 3 2 8 30 3 2 3 5 3 + − + − ≤ ⇔ + − − ≤ + 2(x +10) (*) . Xét hàm số ( ) = 3t f t + 2t . TXĐ D =  . ′( ) = 3t f t
ln 3+ 2 > 0,∀t ∈  .⇒ f (t) là hàm số đồng biến trên  .
(*) ⇔ f ( 2x x − ) ≤ f (x + ) 2 3 5
10 ⇒ x − 3x − 5 ≤ x +10 ⇔ 2 − 19 ≤ x ≤ 2 + 19 . ⇒ x ∈{ 2 − ;−1;0;...;5; } 6 .
Số nghiệm nguyên âm của bất phương trình đã cho là 2.
Câu 17. Tích của nghiệm nguyên âm lớn nhất và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình 2 x 1 + 2 x+2 4
+ 2x − 4x − 6 >16 bằng bao nhiêu? A. 8 − . B. 3 − . C. 3. D. 2 . Lời giải Chọn A Ta có 2 2 x 1 + 2 x+2 x 1 + 2 2x+4 4
+ 2x − 4x − 6 >16 ⇔ 4 + 2(x +1) > 4 + 2(2x + 4) (1) .
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 7
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC Xét hàm số ( ) = 4t f t + 2t . TXĐ D =  . ′( ) = 4t f t
.ln 4 + 2> 0,∀t ∈  ⇒ f (t) đồng biến trên  . x < 1 − ⇔ f ( 2 (1) x + )
1 > f (2x + 4) 2
x +1 > 2x + 4 2
x − 2x − 3 > 0 ⇔  . x > 3
Do đó nghiệm nguyên âm lớn nhất là 2
− và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất là 4 . Tích của chúng bằng 8 − .
Câu 18. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình 2 x −5x+2 5x+2 2 2021 − 2021
+ x − 5x + 2 ≤ 5x + 2. Tổng các phần tử của S bằng A. 55. B. 5. C. 6 . D. 25 . Lời giải Chọn A Ta có 2 x −5x+2 5x+2 2 2021 − 2021
+ x − 5x + 2 ≤ 5x + 2 2 x −5x+2 2 5x+2 ⇔ 2021
+ x − 5x + 2 ≤ 2021 + 5x + 2 (1).
Xét hàm số ( ) = 2021t + ⇒ ′( ) = 2021t f t t f t .ln 2021+1 > 0, t ∀ ∈  .
f (t) là hàm đồng biến trên  .
Từ (1) ta có f ( 2x x + ) ≤ f ( x + ) 2 5 2 5
2 ⇔ x − 5x + 2 ≤ 5x + 2 5  2  x + 2 ≥ 0 x ≥ −   2   5 x ≥ − 2
⇔ x −5x + 2 ≤ 5x + 2 ⇔  ⇔  5 ⇔ x ∈[0;10] 2 . 
x −10x ≤ 0 2  x∈  [0;10]
x − 5x + 2 ≥ 5 − x − 2  2 x + 4 ≥ 0  2 5  + 2 ≥ 0 x x ≥ −  5  2   x ≥ − 2 2
⇔ x −5x + 2 ≤ 5x + 2 ⇔ x −10x ≤ 0 ⇔  5 ⇔ 0 ≤ x ≤10 .  2  2
x x + ≥ − x x  + ≥ 0 ≤ x ≤ 10 5 2 5 2 4 0  
Yêu cầu của bài toán x ∈ ⇒ S = {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;1 } 0 .
Vậy tổng các phần tử của S bằng 0 +1+ 2 + 3+ 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 = 55 .
Câu 19. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình 2 1+ x −3x 10 − x 1 − 2 2
− 2 + 2 x − 3x −10 < 2x − 4 . Số phần tử của S bằng A. 9. B. 5. C. 4 . D. 15. Lời giải Chọn A Ta có 2 1+ x −3x 10 − x 1 − 2 2
− 2 + 2 x − 3x −10 < 2x − 4 2 x −3x 10 − 2 x−2 ⇔ 2
+ x − 3x −10 < 2 + x − 2 (1). Xét hàm số ( ) = 2t f t
+ t có ′( ) = 2t f t ln 2 +1< 0 với t ∀ ∈  . Trang 8
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Suy ra f (t) đồng biến trên  . Bất phương trình ( )
1 ⇔ f ( 2x x − ) < f (x − ) 2 3 10
2 ⇔ x − 3x −10 < x − 2 x ≤ 2 −  2
x − 3x −10 ≥ 0  x ≥ 5  ⇔  x − 2 > 0
⇔ x > 2 ⇔ 5 ≤ x <14  2 
x − 3x −10 < <  (x − 2)2 x 14  
x ∈ nên S = {5;6;7;8;9;10;11;12; }
13 .Vậy số phần tử của S bằng 9. 3 x −6x−4
Câu 20. Biết rằng bất phương trình 2 3 2 4 − 3 ⋅2 x x x
< 24x + 32 có tập nghiệm là S = ( 3 3
a;b + c + d ), với a,b,c,d ∈. Tính giá trị của biểu thức T = 4abcd . A. T = 75 . B. T = 80 . C. T = 81. D. T = 82 . Lời giải Chọn C Ta có 3 2 2
4x − 3x = x (4x − 3) .
Bất phương trình đã cho xác định với mọi 3 x ≥ . 4
Với điều kiện xác định trên, bất phương trình đã cho tương đương với 3 x −6x−4 24x 16 +  + 4x− 12   + 2 3x 4 xx x − ⋅ < ⇔ x − ⋅   (4 ) 2x <(4 ) 3 4 4 3 2 8 4 3 2 2 xx      2 2 + +  +  − − ⇔ x − ⋅( x x x x  + x   + 4 ) 3x 4 < (4 )9 24 16 3 4 4 3 4 3 2 xxx − ⋅   (4 ) 3 4 4 3 2 2 4 3 2 <  ( 4 2) x    .  x   x t
Xét hàm số f (t) = t ( ) 2 4 2 , với t ≥ 0 . 2 2 t t
Ta có f ′(t) = ( 4 2) 1 2
+ t ( 4 2) ln 2 > 0, 0 t
∀ ≥ nên f (t) là hàm số đồng biến trên (0;+∞). 2 Do đó 2  +  − x − ⋅( ) x  3x + 4  < ( ) 3x 4 4 3  + 4 4      x xf ( x − ) 3 4 4 3 2 2 4 3 <   f xx      2 3x + 4 9x + 24x +16  3 4x 3 4x 3 do x  ⇔ − < ⇔ − < ≥ 2 x x 4    3 2
⇔ 4x −12x − 24x −16 < 0 3 2 3 3 2
⇔ 2x − 6x −12x −8 < 0 ⇔ 3x < x + 6x +12x + 8 3
⇔ 3x < (x + 2)3 3 2 3 3
⇔ 3x < x + 2 ⇔ x < ⇔ x <1+ 3 + 9. 3 3 −1
Kết hợp với điều kiện xác định, phương trình đã cho có nghiệm 3 3 3 S  ;1 3 9  = + +  . 4   Suy ra 3 a = , b =1, c = 3,
d = 9 . Do đó T = 4abcd = 81. 4
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 9
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC 3 2 − x 16 + x −48x+36
Câu 21. Bất phương trình +1 ≤ (2 − 3) 2 .2 x x x x
có tập nghiệm S = a;b + c d    với
a,b,c,d ∈ và c ≠1. Tính giá trị của biểu thức S = a + b + c + d . A. 17 . B. 16. C. 15. D. 18. Lời giải Chọn A Điều kiện: x ≥ 1
− và x ≠ 0 . Ta có: 3 2 − x 16 + x −48x+36
x x +1 ≤ (2x −3) 2 .2 x 2
16x −48x+36−x
⇔ 2x x +1 ≤ (4x − 6) 2 .2 x . (4x−6)2
⇔ 2x x +1.2x ≤ (4x − 6) 2 .2 x (*)
▸ TH-1: x > 0 : để bất phương trình (*) có nghiệm thì 4 − 6 > 0 3 xx > . 2 2 2  4x−6  Khi đó: ( x 1+)  4x − 6 (*) x 1.2  ⇔ + ≤  .2 x  .  x  Xét hàm số ( ) 2 = .2t f t t với t > 0 . Ta có ′( ) 2 2 t 2 = 2 + 2 ⋅2t f t t ⋅ln 2 > 0, t ∀ > 0.
Vậy f (t) là hàm đồng biến trên (0;+∞), từ bất phương trình ta có f ( x + )  4x − 6  4x − 6 1 ≤ f ⇔  x +1 ≤   x x 2
x x +1 ≤ 4x − 6 ⇔ x (x + ) 2
1 ≤16x − 48x + 36 x ≤ 6 − 2 6 . 3 2 ⇔ x − 5
1 x + 48x − 36 ≤ 0 ⇔ (x − 3)( 2
x −12x +12) ≤ 0 ⇔ 3≤ x≤6+2 6
Kết hợp với điều kiện 3
x > suy ra TH-1 có nghiệm là: 3 ≤ x ≤ 6 + 2 6 . 2 2 2  4x−6  x+  4x − 6 ▸ TH-2: 1 − ≤ x < 0 : ( 1) (*) x 1.2  ⇔ + ≥  .2 x   x  ⇔ f ( x + )  4x − 6  4x − 6 1 ≥ f ⇔  x +1 ≥   x x 2 16x − 48x + 36 2 ⇔ x +1≥ ⇔ x (x + ) 2
1 ≥16x − 48x + 36 2 x
6 − 2 6 ≤ x ≤ 3 3 2
x −15x + 48x − 36 ≥ 0 ⇔ (x − 3)( 2
x −12x +12) ≤ 0 ⇔  . x ≥ 6 + 2 6
Kết hợp với điều kiện 1
− ≤ x < 0 suy ra TH-2 vô nghiệm.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = 3;6 + 2 6   . Suy ra a = 3, c = 2,
b = d = 6. Do đó a + b + c + d =17 . Trang 10
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Câu 22. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m nhỏ hơn 2018 để phương trình x 2 + + 2 > 2 x m m có nghiệm thực? A. 2017 . B. 2018 . C. 2016 . D. 2015 . Lời giải Chọn A x 2x + + > ⇔ ( x + ) x 2 2 2 2 +
+ 2 > 2 x + 2x m m m m (1) Ta có 2x 0, 2x m + ≥
> 0. Xét hàm đặc trưng ( ) 2
f t = t + t trên [0;+∞) .
f ′(t) = 2t +1≥ 0, t ∀ ∈[ 0;+∞)
f (t) đồng biến trên khoảng [0;+∞) do đó (1) ⇔ ( + 2x ) > (2x ) ⇔ + 2x > 2x f m f m 2
⇔ > 2 x − 2x m . Đặt = 2x a ,
a > 0 . Ta có ⇔ > ( ) 2
m g a = a a .
Bất phương trình đã cho có nghiệm 1
m > − mà m nguyên dương nhỏ hơn 2018 nên 4 m∈{1;2;3; ; … }
2017 . Vậy có 2017 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 23. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực dương y thỏa mãn 2 2
2x +y < 2.2yx ? A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Lời giải Chọn B Ta có: 2 2 2 2 x + y yx x + y yx 1 + 2 2 2 2 2 < 2.2 ⇔ 2 < 2
x + y < y x +1 ⇔ y y < −x x +1 (*) . Yêu cầu bài toán x ∈ ; 0  y > x ∈ ; 0  y >   2 2 ⇔  1   1  3 2 2 ⇔ 1 3  1  1 3  1  .  x + +   y −  <  − −  x + <  y < + −  x +  ( *)   2   2  2 2 2  2  2 2  2  − − − + Nhận xét: 1 6 1 6 x ∈ ;  ≤ x ≤ suy ra x = 1 − hoặc x = 0 2 2
Thay vào thấy có tồn tại số thực y > 0.
Vậy có 2 số nguyên x thỏa mãn để phương trình (*) có nghiệm thực y > 0.
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 11
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
GIẢI BPT MŨ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN
(KHÔNG CHỨA THAM SỐ) PHƯƠNG PHÁP Đặt u(x)
T = a với T > 0 .
Bất phương trình biến đổi về dạng 2
AT + g (x)T + h(x) > 0 hoặc 2
AT + g (x)T + h(x) < 0
Bước 1 : Giải phương trình 2
AT + g (x)T + h(x) = 0
Bước 2 : Lập bảng xét dấu của 2
AT + g (x)T + h(x)
Bước 3 : Từ bảng kết luận.
Câu 1.
Tập nghiệm của bất phương trình 9x − 2( + 5).3x x + 9(2x + ) 1 ≥ 0 là A. [0; ] 1 ∪[2;+ ∞) . B. ( ; −∞ ] 1 ∪[2;+ ∞) . C. [1;2]. D. ( ;
−∞ 0]∪[2;+ ∞) . Lời giải Chọn A
Đặt 3x = t , t > 0 bất phương trình trở thành 2t − 2(x + 5).t + 9(2x + ) 1 ≥ 0 (*) .
Xét phương trình: 2t − 2(x + 5)t + 9(2x + ) 1 = 0 ( ) 1 .
Ta có ∆′ = (x + )2 − ( x + ) 2 5 9 2
1 = x −8x +16 = (x − 4)2 . t = 2x +1 Do đó phương trình ( ) 1 luôn có nghiệm  . t = 9
Khi đó (*) trở thành (3x −9)(3x − 2x − ) 1 ≥ 0 (**) .
Xét các phương trình 3x = 9 ⇔ x = 2 ( )
1 và 3x = 2 +1 ⇔ 3x x − 2x −1 = 0 (2) . Đặt ( ) = 3x f x
− 2x −1 là hàm số liên tục trên  ; ta có f ′(x) x x 2 = 3 ln 3− 2 ⇒ f (
′′ x) = 3 ln 3 > 0, x ∀ ∈  .
Suy ra phương trình (2) có tối đa hai nghiệm phân biệt.
Lại có f (0) = f ( )
1 = 0. Vậy phương trình (2) có đúng hai nghiệm phân biệt x = 0 , x =1. Bảng xét dấu
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = [0; ] 1 ∪[2;+ ∞) .
Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình 25x − (4 + 6).5x x
+ 20x + 5 ≤ 0 là A. [0; ] 1 . B. [1;+ ∞) . C. ( ;0 −∞ ] . D. ( ] ;1 −∞ . Lời giải Chọn C
Đặt 5x = t , t > 0, bất phương trình trở thành 2t − (4x + 6).t + 20x + 5 ≤ 0 (*) .
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 1
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Xét phương trình: 2t − (4x + 6).t + 20x + 5 = 0 ( ) 1 .
Ta có ∆′ = ( x + )2 − ( x + ) 2 4 6 4 20
5 =16x − 32x +16 =16(x − )2 1 . t = 4x +1 Do đó phương trình ( ) 1 luôn có nghiệm  . t = 5
Khi đó (*) trở thành (5x −5)(5x − 4x − ) 1 ≤ 0 (**) .
Xét các phương trình 5x = 5 ⇔ x =1 ( )
1 và 5x = 4 +1 ⇔ 5x x − 4x −1 = 0 (2) . Đặt ( ) = 5x f x
− 4x −1 là hàm số liên tục trên  ; ta có f ′(x) x x 2 = 5 ln 5 − 4 ⇒ f (
′′ x) = 5 ln 5 > 0, x ∀ ∈  .
Suy ra phương trình (2) có tối đa hai nghiệm phân biệt.
Lại có f (0) = f ( )
1 = 0 nên phương trình 5x − 4x −1 = 0 có đúng hai nghiệm phân biệt x = 0 , x =1. Bảng xét dấu
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = ( ; −∞ 0].
Câu 3. Cho bất phương trình 2x x x+2 2 − .2
x + 2x + 3 > 2 − x (*) có tập nghiệm là S = (a;b) ∪( ; c +∞) tính
T = a + 2b c . A. 4 log . B. 2 log . C. 8 log . D. log 3. 2 3 2 3 2 3 2 Lời giải Chọn A Ta có 2x x x+2 2
2 − .2 + 2 + 3 > 2 − ⇔ 2 x − ( + 4).2x x x x x
+ 3x + 3 > 0 . Đặt 2x t = , t > 0.
Bất phương trình đã cho trở thành 2
t − (x + 4)t + 3(x + ) 1 > 0. Xét phương trình: 2
t − (x + 4)t + 3(x + ) 1 = 0 (2) .
Ta có ∆ = (x + )2 − (x + ) 2 4 12
1 = x − 4x + 4 = (x − 2)2 nên phương trình (2) luôn có nghiệm. t = x +1 2x = x +1 ⇔  . t = 3  2x = 3
+) 2x = 3 ⇔ x = log 3 . 2
+) Xét hàm số ( ) = 2x f x
x −1, liên tục trên  . Ta có f ′(x) x =
− ⇒ f ′′(x) x 2 2 ln 2 1 = 2 ln 2 > 0, x ∀ ∈  .
Suy ra phương trình f (x) = 0 , có không quá 2 nghiệm trên  .
Mặt khác f (0) = f ( )
1 = 0 nên phương trình f (x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 0 , x =1.
Vậy phương trình (2) có 3 nghiệm là x = 0 , x =1 và x = log 3. 2
Bảng xét dấu VT của bất phương trình đã là: Trang 2
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC x - ∞ 0 1 log23 + ∞ VT(*) - 0 + 0 - 0 +
Tập nghiệm của bất phương trình (*) là S = (0; ) 1 ∪(log 3;+∞ . 2 ) Vậy 4
T = a + 2b c = log . 2 3
Câu 4. Cho bất phương trình 3.4x − (7 + 9).2x x +14x + 6 ≥ 0 ( )
1 . Số nghiệm nguyên thuộc ( 2022 −
;2022) của bất phương trình ( ) 1 là A. 1011. B. 2022. C. 4042. D. 2021. Lời giải Chọn D
Đặt 2x = t , t > 0. ( ) 1 trở thành 2
3t − (7x + 9)t +14x + 6 ≥ 0 . Xét phương trình: 2
3t − (7x + 9)t +14x + 6 = 0 (2) .
Ta có ∆ = ( x + )2 − ( x + ) 2 7 9 12 14
6 = 49x − 42x + 9 = (7x − 3)2 nên phương trình (2) luôn có nghiệm.  7  x 7 t = x +1 2 = x +1  3  ⇔ 3 .   t = 2 2x = 2
+) 2x = 2 ⇔ x =1.
+) Xét hàm số f (x) x 7
= 2 − x −1, liên tục trên  . 3 Ta có f ′(x) x 7
= 2 ln 2 − ⇒ f ' (x) x 2 = 2 ln 2 > 0, x ∀ ∈  . 3
⇒ phương trình f (x) = 0 , có không quá 2 nghiệm trên  .
Mặt khác f (0) = f (3) = 0 .
Suy ra phương trình f (x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 0 , x = 3.
Vậy phương trình (2) có 3 nghiệm là x = 0 , x =1 và x = 3.
Bảng xét dấu VT của BPT ( ) 1 đã cho là:
Ta được tập nghiệm của bất phương trình ( )
1 là: T =[0; ]1∪[3;+∞).
Số nghiệm nguyên thuộc ( 2022 − ;2022) của BPT ( ) 1 là 2021.
Câu 5. Cho bất phương trình 2x
e − ( x + ) x 2
2 1 e + x + x ≥ 0 ( )
1 . Số nghiệm nguyên thuộc [ 20 − ;20] của bất phương trình ( ) 1 là
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 3
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC A. 41. B. 40. C. 20. D. 19. Lời giải Chọn A Đặt x
e = t , t > 0. Khi đó Bất phương trình (1) trở thành: 2 t − ( x + ) 2 2
1 t + x + x ≥ 0
Xét tam thức bậc hai f (t x) 2 = t − ( x + ) 2 ,
2 1 t + x + x .
Ta có ∆ = ( x + )2 − ( 2 2 1 4 x + x) =1. x ( t = xt x + e x +1
f t , x) = 0 ⇔  . Vậy f (t x) 1 , ≥ 0 ⇔  hay  . t = x +1 t x xe x Xét hàm số ( ) x
g x = e x −1, liên tục trên  . Ta có: ′( ) x
f x = e −1 = 0 ⇔ x = 0 Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: x ≥ +1 x e x
e x −1≥ 0, x ∀ ∈  .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình ( )
1 là T =  nên số nghiệm nguyên thuộc [ 20 − ;20] của bất phương trình ( ) 1 là 41. Câu 6. Cho hàm số 2 ( ) ( ) 3f x f x y − =
liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ y 9 3 1 O 1 2 x
Bất phương trình 2f(x)− f (x) 2
f (x)− f (x) 2
f (x)− f (x) 9 − 2 .3 x +18x ≥10.3
− 9 (*) có tập nghiệm là:
S = [a;b]∪[c;+ ∞). Tính a + b + c . Trang 4
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC A. 3. B. 2 . C. 4 . D. 5. Lời giải Chọn A Đặt 2 ( ) ( ) 3f x f x t − =
, t > 0. Bất phương trình đã cho trở thành: 2t − 2(x + 5)t + 9(2x + ) 1 ≥ 0 .
Xét phương trình: 2t − 2(x + 5)t + 9(2x + ) 1 = 0 (**) .
Ta có ∆′ = (x + )2 − ( x + ) 2 5 9 2
1 = x −8x +16 = (x − 4)2 nên phương trình (**) luôn có nghiệm. 2
f (x)− f (x) t = 2x +1 3 = 2x +1 ( ) 1 ⇔   . 2  =
f (x)− f (x) t 9 3 = 9  (2) y 9 3 1 O 1 2 x
+ Nghiệm của (2) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 2 ( ) ( ) 3f x f x y − = và đường thẳng có phương trình y = 9.
Dựa vào đồ thị có 2f(x)− f (x) 3 = 9 ⇔ x = 2. +) Nghiệm của ( )
1 là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 2 ( ) ( ) 3f x f x y − = và đường thẳng y = 2x +1.  = − x f x f x 0
Dựa vào đồ thị có 2( ) ( ) 3 = 2x +1 ⇔  . x =1 Khi đó (*) trở thành 2
f (x)− f (x) (3
− 9) 2f(x)−f(x) (3 − 2x − )1 ≥ 0. Bảng xét dấu x - ∞ 0 1 2 + ∞
3f 2(x)-f (x)- 9 - - - 0 +
3f 2(x)-f (x)- 2x-1 + 0 - 0 + + VT(*) - 0 + 0 - 0 +
Tập nghiệm của bất phương trình (*) là S = [0; ] 1 ∪[2;+∞).
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 5
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Vậy a + b + c = 3.
Câu 7. Số nghiệm nguyên thuộc đoạn [ 20
− ;20] của bất phương trình sau: 4x+2 3x 1 + − + ( 2
x + x − + ) 2x − ( 2
x + x − + ) x 2 2 18.2 8 2 3 85 .2 9 4 2
3 2 2 + 8 x + 2x − 3 ≥ 0 là A. 36. B. 38. C. 18. D. 17 . Lời giải Chọn A x ≤ 3 − Điều kiện: 2
x + 2x − 3 ≥ 0 ⇔  . x ≥ 1
Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng: ( x+ x − )2 2 1 + ( 2 + − + )( 2x 1+ x x x − ) 2 2 9.2 4 2 3 2 2
9.2 + 8 x + 2x − 3 ≥ 0 . Đặt 2x 1 2 9.2x t + = − ta có: 2 t + ( 2 x + x − + ) 2 4 2
3 2 t + 8 x + 2x − 3 ≥ 0 ⇔ ( 2
t + 4 x + 2x − 3)(t + 2) ≥ 0 (*).
+ TH1: Nếu 20 ≥ x ≥ 3 . Khi đó 2x 1 + x x x 1 t 2 9.2 2 (2 + = − =
− 9) > 0 ⇒ t + 2 > 0 và 2
t + 4 x + 2x − 3 > 0. Suy ra (*) luôn
đúng. Vậy trước mắt ta có được 18 nghiệm nguyên thỏa mãn bài toán.
+ TH2: Nếu x =1, suy ra t = 10 − thay vào (*) ta có 10 − ( 10
− + 2) ≥ 0 ⇔ 80 ≥ 0 luôn đúng
nên x =1 là nghiệm của bất phương trình ban đầu.
+ TH3: Với x = 2 suy ra t = 4
− thay vào (*) ta có 8 −8 5 ≥ 0 vô lý nên x = 2 không là
nghiệm của bất phương trình đã cho. + TH4: Với 20 − ≤ x ≤ 4 − ta có: 2
h(x) = x + 2x − 3 ⇒ h′(x) = 2x + 2 < 0, x ∀ ∈[ 2 − 0; 4 − ] thì
min h(x) = h( 4 − ) 2
= 5 ⇒ 4 x + 2x − 3 ≥ 4 5 , x ∀ ∈[ 2 − 0; 4 − ] . [ 20 − ; 4 − ] Mặt khác 2x 1
= 2 + − 9.2x ⇒ ′ = 2x (4.2x t t − 9)ln 2 < 0, x ∀ ∈[ 20 − ; 4 − ] . Suy ra t = t (− ) 71 − min 4 = . [ 20 − ; 4 − ] 128 Do đó 2 71
t + 4 x + 2x − 3 ≥ 4 5 − > 0 và 71 185 t + 2 > 2 − = > 0 nên (*) đúng. 128 128 128 Dễ thấy x = 3 − không là nghiệm.
Suy ra có 17 nghiệm nguyên thỏa mãn.
Vậy bất phương trình có 18 +1+17 = 36 nghiệm nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 8. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ. Trang 6
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
Tập nghiệm của bất phương trình 4x − ( + ( ) + ) 1 .2x x f x + (x + )
1 f (x) ≥ 0 (*) là A. ( ;
−∞ 0]∪[2; +∞) . B. [0; ] 1 . C. ( ; −∞ − ] 1 ∪[2; +∞) . D. [ 1; − 2]. Lời giải Chọn D Đặt 2x t = , t > 0.
Bất phương trình đã cho trở thành: 2
t − (x + f (x) + ) 1 .t + (x + ) 1 f (x) ≥ 0 .
t = f (x)
2x = f (x) ( ) 1 Xét phương trình: 2
t − (x + f (x) + ) 1 .t + (x + )
1 f (x) = 0 ⇔  ⇔  . t = x +1 2x = x +1  (2) + Nghiệm của ( )
1 là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 2x
y = và đồ thị y = f (x) . x = 1 − x = 0
Dựa vào đồ thị có 2x = f (x) ⇔  . x =1  x = 2
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 7
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT- VD_VDC
+) Xét hàm số ( ) = 2x g x
x −1, liên tục trên  . Ta có g′(x) x =
− ⇒ g′′(x) x 2 2 ln 2 1 = 2 ln 2 > 0, x ∀ ∈  .
Suy ra phương trình g (x) = 0 , có không quá 2 nghiệm trên  .
Mặt khác g (0) = g ( )
1 = 0 nên phương trình g (x) = 0 có đúng hai nghiệm x = 0 , x =1.
Khi đó (*) trở thành (2x − − ) 1 (2x x
f (x)) ≥ 0. Bảng xét dấu x - ∞ - 1 0 1 2 + ∞ 2x- f (x) - 0 + 0 - 0 + 0 - 2x- x-1 + + 0 - 0 + + VT(*) - 0 + 0 + 0 + 0 -
Tập nghiệm của bất phương trình (*) là S = [ 1; − 2].
_______________ TOANMATH.com _______________ Trang 8
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Document Outline

  • Đợt-10-Dạng-1-Giải-bpt-mũ-bằng-phương-pháp-hàm-số-đánh-giá-không-chứa-tham-số-PB3
  • Đợt-10-Dạng-2-Giải-bpt-mũ-bằng-phương-pháp-hàm-đặc-trưng-không-chứa-tham-số-PB3
  • Đợt-10-Dạng-3-Giải-bpt-mũ-bằng-phương-pháp-đặt-ẩn-phụ-không-hoàn-toàn-(không-chứa-tham-số)-PB3