Biến đổi và tính giá trị biểu thức mũ – lôgarit, biểu diễn lôgarit qua các lôgarit cơ số khác nhau

Tài liệu gồm 14 trang, được biên soạn bởi quý thầy, cô giáo Nhóm Toán VDC & HSG THPT, hướng dẫn phương pháp giải bài toán biến đổi và tính giá trị biểu thức mũ – lôgarit, biểu diễn lôgarit qua các lôgarit cơ số khác nhau

22 11 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

14 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 1
BIẾN ĐỔI & TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC MŨ - LÔGARIT
BIỂU DIỄN LÔGARIT QUA CÁC LÔGARIT CƠ SỐ KHÁC NHAU
PHƯƠNG PHÁP
Muốn rút gọn các biểu thức chứa logarit ta cần sử dụng các quy tắc tính logarit và đổi cơ số của logarit.
Ngoài ra, ta còn cần sử dụng các công thức lũy thừa đã học.
0
1, 0 .
a a
1
a a
1
a
a
a
a
a
.a b a
. .
a b a b
, 0
a
a
b
b
b
*
,a a
a a

log
a
a b b
log 1 0, 0 1
a
a
log 1, 0 1
a
a a
log , 0 1
a
a a
1
log , 0 1
a
a a
.
log .log , , 0, 1
a a
b b a b a
.
1
log .log
a
a
b b
log .log
a
a
b b
log log log , , 0, 1
a a a
b c bc b c a
.
log log log , , 0, 1
a a a
b
b c b c a
c
.
1
log
log
a
b
b
a
,
, 0, 1
a b a
.
Câu 1. Cho
, ,
a b c
là các số thực dương thỏa mãn
3 7
11
log 7 log 11 log 25
27, 49, 11
a b c
. Giá trị của biểu
thức
2 2 2
3 7
11
log 7 log 11
log 25
T a b c
bằng
A.
467
. B.
469
. C.
468
. D.
465
.
Lời giải
Chọn B
Có
11
3 7 11
3 7
3 7
11
log 25
log 7 log 11
log 25
log 7 log 11
log 7 log 11 log 25
27 49 11 .
T a b c
Áp dụng
log
a
b
a b
, ta được
3
3
3
7
7
7
11
11
11
3
log 7
log 7
log 7
3 3
2
log 11
log 11
log 11
2 2
log 25
1 1
1
log 25
log 25
2 2
2
27 3 3 7 343
49 7 7 11 121
11 11 11 25 25 5
Vậy
343 121 5 469
T
.
Câu 2. Cho
, ,
a b c
là các số thực khác
0
thỏa mãn
4 25 10
a b c
. Tính
.
c c
T
a b
A.
1
10
T B.
1
2
T
C.
2
T
D.
7
T
Lời giải
Chọn C
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC
Trang 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Giả sử
4
25
10
log
4 25 10 log .
log
a b c
a t
t b t
c t
Do
, ,
a b c
là các số thực khác
0
nên
0, 1
t t
.
Ta có
10 10
10 10
4 25
log log log 4 log 25
log 4 log 25
log log log 10 log 10
t t
t t
t t
c c
T
a b t t
10 10
log 4.25 log 100 2.
Câu 3. Cho các số thực dương
, ,
x y z
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi số thực
dương
1
a
thì
3
log , log , log
a
a a
x y z
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị biểu thức
3 7 2020
x y z
P
y z x
bằng
A.
2029
. B.
2030
. C.
2031
. D.
2033
.
Lời giải
Chọn B
Theo giả thiết ta có
3
2
2
2
3 4
3 4
0.
log log 2log
log . log
a
a a
a a
xz y
xz y
xz y
x y z
x z y
x z y
xz y
3 7 2020
3 7 2020 2030.
x y z
P
y z x
Câu 4. Cho
2
log 3
x
,
2
log 337
y
. Từ đó hãy tính giá trị của biểu thức
1 2 3 2021
ln ln ln ... ln
2 3 4 2022
ln1348
P
theo
,
x y
.
A.
1
2
x y
P
y
. B.
1
2
x y
P
y
. C.
2
x y
P
y
. D.
1
2
x y
P
y
.
Lời giải
Chọn A
1 2 3 2021
1 2 3 2021
ln ln ln ... ln
ln ln ln ... ln
2 3 4 2022
2 3 4 2022
ln1348 ln1348
P
2
2 2 2 2
2
2
2 2 2
2
1
ln
log 2.3.337
log 2022 log 2 log 3 log 337
ln 2022 1
2022
.
ln1348 ln1348 log 1348 log 2 log 337 2
log 2 .337
x y
y
Câu 5. Cho
,
a b
là hai số thực dương thỏa mãn:
log 1011
b
và
2 2
log 4log 4log .log
a b a b
. Giá
trị của biểu thức
2
3033 log log
2021 log 9
a b
L
a b
bằng
A.
5
2
L
. B.
3
L
. C.
3
4
L
. D.
3
2
L
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2 2
log 4log 4log .log
a b a b
2 2
log 4log 4log .log 0
a b a b
2
2
log 2log 0 log 2log .
a b a b a b
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 3
Vậy
2
2 2 2
3033 log log 3033 log log
2021 log 9 2021 log 9
a b b b
L
a b b b
3. 1011 log
3033 3log 3
.
2022 2log 2. 1011 log 2
b
b
b b
Câu 6. Cho
, ,
x y m
là ba số thực dương khác
1
và
x y
thỏa mãn
2 2
3 1 1
log
4 log log
m
x y
x y
m m
.
Khi đó biểu thức
2 2
2
4
( )
x xy y
P
x y
có giá trị bằng:
A.
25
8
P . B.
25
100
P . C.
59
50
P . D.
59
5
P .
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2 2
3 1 1
log
4 log log
m
x y
x y
m m
3
log log log
4
m m m
x y
x y
2
3 4 3 16
x y xy x y xy
2 2
10 9 0 9 0
x xy y x y x y
9
x y
do
x y
Như vậy:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
4 81 36 118 59
.
( ) (9 ) 100 50
x xy y y y y y
P
x y y y y
Câu 7. Cho hai số thực dương
a
,
b
thỏa mãn
2 3 6
2 log 3 log log
a b a b
. Tính giá trị của
1 1
a b
.
A.
2
. B.
108
. C.
216
. D.
324
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
2
log
a x
,
3
log
b y
. Ta có
2 , 3
x y
a b
và
2 3 1
x y y x
;
2
6
log 2 6 36.6
x x
a b x a b
.
Khi đó
1
1 1 36.6 36.6 108.6
108
. 2 .3 2 .3 2 .3
x x x
x y x x x x
a b
a b a b
.
Câu 8. Cho
27
log 5
a
,
3
log 7
b
,
2
log 3
c
. Tính
6
log 35
theo
a
,
b
,
c
.
A.
3
1
a b c
c
. B.
3
1
a b c
b
. C.
3
1
a b c
a
. D.
3
1
b a c
c
.
Lời giải
Chọn C
Theo giả thiết ta có
27 3 3
1
log 5 log 5 log 5 3
3
a a a
.
Ta lại có
2 2 3
log 5 log 3 log 5 3
ac
và
2 2 3
log 7 log 3 log 7
bc
.
Vậy
2 2 2
6
2 2 2
3
log 35 log 5 log 7 3
log 35
log 6 log 2 log 3 1 1
a b c
ac bc
c c
.
Câu 9. Cho
, , 0; , 1
a b c a b
. Tình
2
log ( ).log ( ) log ( )
a b a
A b bc c
A.
log
a
c
. B.
1
. C.
log
a
b
. D.
log
a
bc
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC
Trang 4 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
2
log ( ).log ( ) log ( )
a b a
A b bc c
.
1
2log . log log
2
a b a
b bc c
log . log log log
a b b a
b b c c
.
log . 1 log log
a b a
b c c
log log .log log
a a b a
b b c c
.
log log log log
a a a a
b c c b
.
Câu 10. Cho
x
,
y
và
z
là các số thực lớn hơn
1
và gọi
w
là số thực dương sao cho
2
log 15
x
w
,
log 20
z
w
và
log 15
xyz
w
. Tính
log
y
w
.
A.
60
. B.
60
. C.
1
60
. D.
1
60
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2
log 15 log 30
x
x
w w
1
log
30
w
x .
log 20
z
w
1
log
20
w
z
.
Lại do
log 15
xyz
w
1
15
log
w
xyz
.
1
log log log
15
w w w
x y z
1 1 1
log
30 20 15
w
y
1
log
60
w
y
log 60
y
w
.
Câu 11. Cho
9 4
log 5 , log 7
a b
và
2
log 3
c
. Biết
24
log 175 .
mb nac
pc q
với
, , ,m n p q
và
q
là số
nguyên tố. Tính
.
A mnpq
A.
24
. B.
42
. C.
12
. D.
8
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
9 3
log 5 log 5 2 .
a a
4 2
log 7 log 7 2 .
c b
2
log 3
c
2 2 3
log 5 log 3.log 5 2
ac
Khi đó
2
24
2
log 175
log 175
log 24
2
2
3
2
log 7.5
log 2 .3
2
2 2
3
2 2
log 7 log 5
log 2 log 3
2 2
2
log 7 2log 5
3 log 3
2 4
3
b ac
c
.
Suy ra
2
4
.
1
3
m
n
p
q
Do đó
. . . 2.4.1.3 24.
A m n p q
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 5
Câu 12. Cho
2
log 3
a
,
3
log 5
b
và
11
log 15
c
. Biết
66
log 120
mc nac pabc
a c ab ac
với
, ,m n p
.
Tính
.
T m n p
A.
5
T
. B.
3
T
. C.
1
T
. D.
7
T
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2 2 3
log 5 log 3.log 5 .
a b
.
2 2 15 2 2 2
11 11
1 1
log 11 log 15.log 11 log (3.5) . (log 3 log 5). .
log 15 log 15
a ab
c
Do đó
3
2
2 2 2
66
2 2 2 2
log 2 .3.5
log 120 3 log 3 log 5
log 120
log 66 log 2.3.11 1 log 3 log 11
.
3 3
.
1
a ab c ac abc
a ab
a c ab ac
a
c
Suy ra:
3
1 .
1
m
n
p
Vậy
5.
T
Câu 13. Cho
27 3 2
log 5 ,log 7 ,log 3
a b c
, nếu biểu diễn
6
log 35
xa yb c
m nc
thì giá trị của biểu thức
2 2 2
3
P x y m n
bằng bao nhiêu?
A. .
7
P
.. B.
8
P
. C.
0
P
. D.
2
P
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
6 6 6
log 35 log 5 log 7
5 5 7 7
1 1
1
log 2 log 3 log 2 log 3
Từ giả thiết:
27
log 5
a
;
2
log 3
c
3
log 5 3
a
2 2 3
log 5 log 3.log 5 3
ac
,
2 2 3
log 7 log 3.log 7
bc
.
Do đó,
6
1 1
1 log 35
1 1 1 1
3 3
ac a bc b
3
3
1 1 1
a b c
ac bc
c c c
.
3; 1; 1; 1
x y m n
.
Vậy
2 2 2
3 8
P x y m n
.
Câu 14. Cho các số thực
,
a b
thỏa mãn
1
a b
và
1 1
2021
log log
a b
b a
. Tìm giá trị của tham số
thực
m
để giá trị biểu thức
2022
log log
ab ab
m m
P
b a
.
A.
2017
m . B.
2022
2017
m
. C.
2020
m . D. Đáp án khác.
Lời giải
Chọn B
Do
1 log 0
a
a b b
,
log 0
b
a
,
log log
b a
a b
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC
Trang 6 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Ta có:
1 1
2021 log log 2021
log log
a b
b a
b a
a b
Do đó,
2022 log 1 1 log 2022 log log 2022 *
b a b a
P m a m b m a b
Mặt khác
2 2
log log log log 4
b a b a
a b a b
2021 4 2017 log log 2017
b a
a b
Do vậy,
2022 2022 2017
*
2017
2017
m
Câu 15. Gọi
a
là số thực sao cho 3 số
3
log 2021
a
,
9
log 2021
a
,
81
log 2021
a
theo thứ tự lập thành
một cấp số nhân. Tìm công bội
q
của cấp số nhân đó.
A.
1
2
q
. B.
2
q
. C.
3
q
. D.
1
3
q
.
Lời giải
Chọn A
Do 3 số
3 9 81
log 2021; log 2021; log 2021
a a a
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên
công bội
q
của cấp số nhân là:
9
3
log 2021
log 2021
a
q
a
81
9
log 2021
log 2021
a
a
81 9
9 3
log 2021 log 2021
log 2021 log 2021
3
3
1
log 2021
1
4
1
2
log 2021
2
.
Câu 16. Biết rằng
b
là số nguyên thỏa mãn
2
2
2 2
3
3
log log 4 4 8
b a a a
a
a a
b b
. Số giá trị thực của
a
là
A.
3
. B.
2
. C.
5
. D.
4
.
Lời giải
Chọn D
Điều kiện :
3
0
b
a
b
.
Từ giả thiết, ta có:
2
2
2 2
3
3
log log 4 4 8
b a a a
a
a a
b b
2
2
2 2
3
3
log log 4 4 8
b a a a
a
a a
b b
2 2
2 2
3 3
log log 4 2 2
a a
a a a a
b b
2 2
2 2
3 3
log log 2 2
a a
a a a a
b b
.
Nếu tồn tại cặp
;
a b
thỏa mãn đề bài thì
3
0
a
b
.
Xét hàm số
2
log
y f t t t
, là hàm số xác định và đồng biến trên
0 :

1
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 7
Do đó
1
2
3
2
a
f f a a
b
.
2 2
3
2 1 2 3 0
a
a a ba b a b
b
Phương trình
2
1 2 3 0 2
ba b a b có nghiệm khi
2
1 4 2 3 0
b b b
2
7 2 14 7 2 14
7 14 1 0
7 7
b b b
.
Vì
, 0
b b
nên
2; 1
b
.
Nếu
2
b
thay vào
2
ta có:
1
1;
2
a
.
Nếu
1
b
thay vào
2
ta có:
1 2; 1 2
a
.
Vậy có 4 giá trị
a
thỏa mãn bài toán.
Câu 17. Biết rằng
,
a b
là hai số thực dương và thỏa mãn đẳng thức
1 2 1 3 4 3 1 2 3 2
2021 2021 . 2021 2021 4.2021
a b a b a b a b a b
. Tìm giá trị của biểu thức
3 3
2021
a b
T
.
A.
2022
2021
T
. B.
2
2021
T
. C.
1
2021
T
. D.
4
2021
T
.
Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết :
1 2 1 3 4 3 1 2 3 2
2021 2021 . 2021 2021 4.2021
a b a b a b a b a b
4 5 4 4 6 4 2 3 2
2021 2021 2021 1 4.2021
a b a b b a b
2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2
2021 2021 2021 2021 4
a b a b b a a b
1
.
Áp dụng bất đẳng thức (AM_GM) ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0
2021 2021 2 2021 .2021 2 2021 2
a b b a a b b a
2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2
2021 2021 2 2021 .2021 2
a b a b a b a b
Suy ra
2 2 4 2 3 4 2 2 2 3
2021 2021 2021 2021 4
a b a b b a a b
Đẳng thức
1
xảy ra khi:
2 2 2 2 2 2
2 3 2 2 3 2
2021 2021 2 2 2 2 2 2 1
1; 0
2 3 2 2 3 2 2 3 2
2021 2021
a b b a
a b a b
a b b a a b
a b
a b a b a b
.
Vậy
3 3
1
2021 2021
a b
T
.
Câu 18. Cho các số thực dương
x
,
y
thỏa mãn
log log log log 100
x y x y và
log
x
,
log
y
,
log
x
,
log
y
là các số nguyên dương. Khi đó kết quả
xy
bằng
A.
164
10
. B.
100
10
. C.
200
10
. D.
144
10
.
Lời giải
Chọn A
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC
Trang 8 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Đặt
log
log
a x
b y
2
2
log
log
x a
y b
2
2
10
10
a
b
x
y
2 2
10
a b
xy
.
Ta có :
2
2
2
2
log log 10
2
log log 10
2
a
b
a
x
b
y
thỏa điều kiện
2
2
a
và
2
2
b
là các số nguyên dương .
Vậy
2
a
và
2
b
là các số chẵn dương . Do đó
a
và
b
là các số chẵn dương .
Ta có :
log log log log 100
x y x y
2 2
log 10 log 10 100
a b
a b
2 2
100
2
a b
a b
2 2
2 2 200 0
a a b b
.(*)
Ta coi
là phương trình bậc 2, ẩn là
a
và tham số
b
.
Do đó
có
2
201 2
b b
Để
có nghiệm
0
1 202 1
b
(Do
b
nguyên dương).
Như vậy
1;2;3;...;13
b
Mà
b
là các số chẵn dương nên
2;4;6;8;10;12
b .
Vì
a
là số chẵn , dương với
2;4;6;8;10;12
b , thay vào phương trình (*) ta có
8
10
b
a
hoặc
10
8
b
a
.
Vậy
2 2
164
10 10
a b
xy
.
Câu 19. Cho các số thực
, ,
x y z
thỏa mãn
2 1 3 1 4 1 15
x y z
và
2 3 1
3 4 1 4 2 1 30
3 3 3 3
x y
y z z x
. Giá trị của
. .
x y z
bằng
A.
288
. B.
864
. C.
1152
. D.
576
.
Lời giải
Chọn D
Điều kiện
1 1 1
; ; .
2 3 4
x y z
Ta có:
2
2
15 2 1 3 1 4 1 3. 2 1 3 1 4 1 3. 2 3 4 3
x y z x y z x y z
Suy ra
2
15
2 3 4 3 72
3
x y z
.
Mặt khác, từ giả thiết và chứng minh trên, ta có
3
2 3 1 2 3 1
30 3 4 1 4 2 1 3 4 1 4 2 1
3 3 3 3 3 3 .3 .3
x y x y
y z z x y z z x
3
2 3 1
3 3
3 4 1 4 2 1 2 3 4 15 72 15 30
3. 3 3 3 3. 3 3
x y
y z z x x y z
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 9
Dấu “=” xảy ra khi
2 3 1
3 4 1 4 2 1
2 1 3 1 4 1
12
3 3 3 8
2 3 4 72 6
x y
y z z x
x y z
x
y
x y z z
.
Ta được
. . 12.8.6 576
x y z
.
Câu 20. Giả sử
a
,
b
là các số thực sao cho
3 3 3 2
.10 .10
z z
x y a b
đúng với mọi số thực dương
x
,
y
,
z
thoả mãn
log
x y z
và
2 2
log 1
x y z
. Giá trị của
a b
bằng
A.
29
2
.
B.
31
2
. C.
31
2
. D.
25
2
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
3 3 2 2
x y x y x y xy x y
và
2
2 2
1
2
xy x y x y
Từ giả thiết, ta có:
3 3 1 2 1
2 2 1
10
1
10 .10 10 10 .10
2
10
z
z z z z z
z
x y
x y
x y
.
Vì
3 3 3 2
.10 .10
z z
x y a b
đúng với mọi số thực dương
x
,
y
,
z
nên
1 2 1 3z 2z
1
10 .10 10 10 .10 .10 .10
2
z z z z z
a b
,
z
2z 1 3z 2z 1 3z 2z
1 1
10 .10 .10 .10 .10 ,
2 2
a b z
3z 2z
1
.10 15 .10 0,
2
a b z
1
0
2
15 0
a
b
1
2
15
a
b
29
.
2
a b
Câu 21. Cho hàm số
2
3
1 109
( ) log
2 4
f x x x x
. Tính
1 2 2020
...
2021 2021 2021
T f f f
.
A.
4042
.
B.
4040. C.
3030
. D.
6060
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2
2
3 3
1 109 109 1
(1 ) log 1 1 1 log
2 4 4 2
f x x x x x x x
2 2
3 3
1 109 109 1
1 log log
2 4 4 2
f x f x x x x x x x
2 2
3
1 109 109 1
log
2 4 4 2
x x x x x x
3
log 27 3
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC
Trang 10 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
1 2 2020
...
2021 2021 2021
T f f f
1 2020 2 2019 1010 1011
...
2021 2021 2021 2021 2021 2021
f f f f f f
3 3 ... 3 3.1010 3030.
Câu 22. Biết rằng
1
2
2 log 14 2 1
x
x
y y
trong đó
0
x
. Tính giá trị của biểu thức
2 2
1
P x y xy
.
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
1
1 1
2 . 2 2 4
x
x
x x
x x
1
Lại có:
14 2 1 14 1 1 3 1
y y y y y
.
Đặt
1 0
t y
.
Xét hàm số
3
3 14
f t t t
trên
0;

, ta có
0;
max 1 16
t
f t f

14 2 1 16
y y
2
log 14 2 1 4
y y
2
Từ
1
và
2
ta có:
1
2
2 log 14 2 1
x
x
y y
1
2
0
x
P
y
.
Câu 23. Tìm số nguyên dương
n
thỏa mãn
2
2 2018
1
2
log 2017
1
log 2017 log 2017 log 2017
2 2
n
a
a a
i
a
i
i
, với
0 1
a
.
A.
2016
n
. B.
2017
n
. C.
2018
n
. D.
2019
n
.
Lời giải
Chọn C
Gọi vế trái và vế phải của hệ thức đề bài cho lần lượt là
A
và
B
.
Ta có
2 2
2
1 2
log 2017 log 2017
2 2
n
a
n n
a
n
.
Do đó
2 4 6 2
2 4 8 2
log 2017 log 2017 log 2017 log 2017 ... log 2017
2 2 2 2
n
a a a a a
n
A
2 4 6 2
2 4 8 2
1 ... log 2017
2 2 2 2
n
a
n
.
Ta có : Dãy số
2 4 6 2
2 4 8 2
1; ; ; ;...;
2 2 2 2
n
n
lập thành một cấp số nhân với công bội
2
2 1
2 2
q
1
1
1
2 4 6 2
1
1
2 4 8 2 1 1
2
1 ... . 1. 2
1
2 2 2 2 1 2
1
2
n
n n
n n
q
u
q
.
Như vậy:
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 11
1
2 log 2017
2
a
n
A
2
2018 2018
log 2017
1
log 2017 2log 2017 log 2017
2 2
a
a a a
B
Từ đó
2018
1 1
2 2 2018
2 2
n
n .
Câu 24. Cho
0
x
. Biết biểu thức
2
2
1
1 1 3 3
4
1
1 1 3 3
4
x x
x x
a
A
b
, với
a
b
là phân số tối giản. Tính giá
trị của
S a b
.
A.
2.3
x
. B.
2.3
x
. C.
2
. D.
2
3
x
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
1 3 3 1 3 2 3 3 2 3 3 3
4 4 4 4
x x x x x x x x
1
3 3
2
x x
Suy ra
2
2
1
1
1 1 3 3
1 3 3
3 3 2
4
2
1
3 3 2
1
1 3 3
1 1 3 3
2
4
x x
x x
x x
x x
x x
x x
A
2
2
2
2
3 1
3 2.3 1 3 1
3 2.3 1 3 1
3 1
x
x x x
x x x
x
(Vì
0
x
nên
3 1 0
x
).
Vậy
2.3
x
S a b
.
Câu 25. Cho
,
a b
là các số thực và hàm số
2021 2
( ) log 1 sin .cos 2020 7.
f x a x x b x x
Biết rằng
ln2021
2020 12
f
. Tính
ln 2020
2021P f
.
A.
4.
P
B.
2.
P
C.
2.
P
D.
10.
P
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số
2021 2
7 log 1 sin .cos 2020
g x f x a x x b x x
Do
2
1 0
x x x x
nên hàm số
g x
có tập xác định
D
.
Ta có:
x D x D
và
2
2021
log 1 sin .cos 2020.
g x a x x b x x
2021 2
log 1 sin .cos 2020
g x a x x b x x
2021
2
1
log sin .cos 2020
1
g x a b x x
x x
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC
Trang 12 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
2021 2
log 1 sin .cos 2020
g x a x x b x x
g x g x
. Vậy hàm số
g x
là hàm số lẻ.
Lại có:
ln 2021 ln 2020
2020 2021
ln2021 ln2020
2020 2021g g
ln 2021 ln 2020
2020 7 2021 7
f f
ln 2020
12 7 2021 7
f
ln 2020
2021 2
f
.
Câu 26. Cho hàm số
2
1
log 1f x
x
. Cho biểu thức
S
có dạng
2 3 ... 2020
S f f f . Biết rằng tổng
S
được viết dưới dạng
log
a
b
với
a
b
là phân
số tối giản và
, 0
a b
. Khi đó giá trị của
b a
bằng
A.
2020
B.
2019
C.
2018
D.
4040
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2
2 2
1 1
log 1 log log 1 log 1 2log
x
f x f x x x x
x x
Suy ra ta có:
2 log3
3 log 4 2log3
4 log3 log5 2lo
0
g 4
5 log 4 log6 2log5
....
2019 log 2018
l
log1 2
2log 2019
2020 og 2
0
0
log 2
log 2
log 2020
log 2021 2lo 2
1 29 g
f
f
f
f
f
f
Suy ra
2021
log1 2log 2 log 2 log 2020 log 2021 2log 2020 log
4040
S
Như vậy suy ra
2021
4040 2021 2019
4040
a
b a
b
Câu 27. Cho
2 2
1 1
1
1
e
x
x
f x
. Biết rằng
1 . 2 . 3 ... 2017 e
m
n
f f f f
với
m
,
n
là các số tự nhiên
và
m
n
tối giản. Tính
2
m n
.
A.
2
1
m n
. B.
2
1
m n
. C.
2
2018
m n
. D.
2
2018
m n
.
Lời giải
Chọn A
2
2 2
2
2 2
2 2 2
2
2 2
1
1 1
1 1
1
1 1 1
x x
x x x x
x
x x x x x
.
2 2
1 1
1 1
1
1
1
e e
x x
x
x
x x
f x
,
0
x
.
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 13
Xét dãy số
k
u
:
1 1
1 1 1
1 1
1 1 1
k
k k
u
k k k k k k
,
*
k
.
Ta có
1
1 1
1
1 2
u
,
2
1 1
1
2 3
u
,
3
1 1
1
3 4
u
, …,
2017
1 1
1
2017 2018
u
.
1 2 3 2017
...
1 . 2 . 3 ... 2017 e
u u u u
f f f f
.
2
1 2 3 2017
1 1 2018 1
... 2017
1 2018 2018
m
u u u u
n
.
Vậy
2
1
m n
.
Câu 28. Cho dãy số
11 11 11
2
log 2.log 3....log 1
2
n
n
n
u
với số tự nhiên
1
n
. Số hạng nhỏ nhất của dãy số có
giá trị là
m
. Hỏi có bao nhiêu số hạng của dãy số cùng đạt giá trị là
m
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
8
.
Lời giải
Chọn B
Xét ba số hạng liên tiếp sau đây:
11 11 11 11 11 11 11 11 11
1 1
2 2 2
log 2.log 3....log log 2.log 3....log 1 log 2.lo
g 3....log 2
; ; ;
2 2 2
n n n
n n n
n n n
u u u
Để số hạng
n
u
nhỏ nhất thì
11 11 11 11 11 11
1
2 2
11 11 11 11 11 11
1
2 2
log 2.log 3....log log 2.log 3....log 1
;
2 2
log 2.log 3....log 1 log 2.log 3....log 2
;
2 2
n n
n n
n n
n n
n n
u u
n n
u u
11
2
11
4 4
11 11
2
log 1
1
log 1 4
2
11 2 11 1
log 2 log 2 4
1
2
n
n
n
n n
Suy ra có hai giá trị nguyên dương của
n
thỏa mãn, ứng với hai số hạng của dãy số cùng đạt
giá trị nhỏ nhất, tương ứng là
4
4
11 1
11 2
n
n
Câu 29. Lần lượt gọi
, , ,
a b c d
là các số nguyên dương thỏa mãn
3
log
2
a
b
và
5
log
4
c
d
; Khi
9
a c
thì
b d
bằng
A.
80
. B.
93
. C.
50
. D.
97
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
3
2 3
2
5 4 5
4
3
log
2
5
log
4
a
c
b
b a b a
c d
d
c d
Đặt
2 3 6
4 5 20
b a m m k
c d n n l
với
, , ,
m n k l Z
2
3
2 3 6
4 5 20
4
5
a k
b k
b a k
c d l
c l
d l
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC
Trang 14 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Suy ra
2 4
3 5
9 (*)
(**)
a c k l
b d k l
. Từ
2 2
(*) 9
k l k l
Do
2 2
, , , ,
m n k l Z k l k l Z
Do
2
0
k l
nên suy ra
2
2 2
2 2
0
;
k l
k l k l
k l k l
Suy ra phương trình
2
2 2
2
2
5
1 5
(*) 9
4
2
9
0
k
k l k
k l k l
l
l
k l
l
Từ đó suy ra
3 5 3 5
(**) 5 2 93
b d k l
Câu 30. Chọn hai số
,
a b
đôi một khác nhau bất kì trong tập hợp sau đây
2 3 25
2;2 ;2 ;...;2
A
. Tính xác
suất để
log
a
b
là 1 số nguyên
A.
31
300
. B.
7
60
. C.
37
300
. D.
11
100
.
Lời giải
Chọn A
Cách 1:
Ta có:
2 3 25
2;2 ;2 ;...;2
A
suy ra
A
có 25 phần tử
Do
log
a
b
là 1 số nguyên nên suy ra
b a
Như vậy
a
có 25 cách chọn và
b
có 24 cách chọn tức
25.24 600
n cách
Đặt
2
2
m
n
a
b
. Suy ra
2
log 2
log 2
log log 2 ;log
log 2
log 2
m
n
n
a a
m
n n n
b b Z Z
m m m
Khi
1
m
thì
n
có 24 cách chọn
Khi
2
m
thì
n
có 11 cách chọn
Khi
3
m
thì
n
có 7 cách chọn
Khi
4
m
thì
n
có 5 cách chọn
Khi
5
m
thì
n
có 4 cách chọn
Khi
6
m
thì
n
có 3 cách chọn
Khi
7
m
thì
n
có 2 cách chọn
Khi
8
m
thì
n
có 2 cách chọn
Khi
9
m
thì
n
có 1 cách chọn
Khi
10
m
thì
n
có 1 cách chọn
Khi
11
m
thì
n
có 1 cách chọn
Khi
12
m
thì
n
có 1 cách chọn
Như vậy tổng biến cố thỏa mãn đề bài là:
24 11 7 5 4 3 2 2 1 1 1 1 62
n A
cách
Như vậy xác suất cần tìm là
62 31
25.24 300
n A
P
n
.
_______________ TOANMATH.com _______________
| 1/14
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC
BIẾN ĐỔI & TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC MŨ - LÔGARIT
BIỂU DIỄN LÔGARIT QUA CÁC LÔGARIT CƠ SỐ KHÁC NHAU PHƯƠNG PHÁP
Muốn rút gọn các biểu thức chứa logarit ta cần sử dụng các quy tắc tính logarit và đổi cơ số của logarit.
Ngoài ra, ta còn cần sử dụng các công thức lũy thừa đã học.  0 a  1,a  0.
 log 1  0,0  a   1 a   1 a  a
 log a  1,0  a   1 a
 log a  ,  a  a 0  1    1 a  a 1   log     a ,0 a 1 a a      a  a
 . log b  .log b,a,b  0, a   1 . a a
 a .b  a  1 log   b .log b a a 
 a .b  . a b       log  b .log b a  a a    a   ,     b 0 b  b 
 log b  log c  log bc, b, c  0,a   1 . a a a    b  a  a    * ,      log b  log c  log ,  , b c  0, a    1 . a a a  c    a  a    1 log b  , a,b  0,a   1 . a  log a
a  b    log b b a
Câu 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn log37 log711 lo 1 g 1 25 a  27, b  49, c
 11 . Giá trị của biểu thức 2 2 2 log3 7 log7 11 lo 1 g 1 25 T  a  b  c bằng A. 467 . B. 469 . C. 468 . D. 465 . Lời giải Chọn B log 7 log 11 log 25 log 25 Có T   7 a  3  log 11 b  7  log 25 c
 11 27log37 49log711 log3 7 11   11 11 . 27log 7    33log37 3 3   log37 3  3  7  343  log 11 log 11 2 Áp dụng log 7 2 log 11 2 a b a  b , ta được   49 7  7    7 7  11 121     11 lo 1 g 1 25 1 1 1 lo 1 g 1 25  11    lo 1g125 2 11 2 2  25  25  5   
Vậy T  343121 5  469 . c c
Câu 2. Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn 4a 25b 10c   . Tính T   . a b 1 1 A. T  B. T  C. T  2 D. T  7 10 2 Lời giải Chọn C
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 1
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC a  log t 4 
Giả sử 4a  25b  10c  t   b  log t . Do a, b, c là các số thực khác 0 nên t  0, t  1. 25 c  log t  10 c c log t log t log 4 log 25 Ta có 10 10 t t T        log 4  log 25 10 10 a b log t log t log 10 log 10 4 25 t t
 log 4.25  log 100  2. 10   10
Câu 3. Cho các số thực dương x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi số thực
dương a  1 thì log x, log
y, log z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị biểu thức 3 a a a 3x 7y 2020z P    bằng y z x A. 2029 . B. 2030 . C. 2031. D. 2033. Lời giải Chọn B Theo giả thiết ta có 2 2 2 xz  y xz  y  xz  y       x  y  z  0. 3 4 3 4 log x  log z  2 log y   a log . x z log y       3 xz y a a a   a 3x 7 y 2020z  P   
 3  7  2020  2030. y z x Câu 4. Cho x  log 3,
y  log 337 . Từ đó hãy tính giá trị của biểu thức 2 2 1 2 3 2021
ln  ln  ln ... ln 2 3 4 2022 P  theo x, y . ln1348 1 x  y 1 x  y x  y 1 x  y A. P  . B. P  . C. P  . D. P   . 2  y 2 y 2y 2  y Lời giải Chọn A 1 2 3 2021  1 2 3 2021 
ln  ln  ln ... ln  ln   ln  ln  ... ln  2 3 4 2022  2 3 4 2022 P    ln1348 ln1348 1 ln ln 2022 log 2022 log 2.3.337 log 2  log 3  log 337 1 2022  x  y 2 2         . ln1348 ln1348 log 1348 log 2 .337 log 2  log 337 2  y 2  2 2  2 2 2 2 2 2 Câu 5.
Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn: log b  1011 và 2 2 log a  4log b  4log . a log b . Giá 3033  log a  log b
trị của biểu thức L  bằng 2021 log  2 a  9b  5 3 3 A. L   . B. L  3. C. L  . D. L  . 2 4 2 Lời giải Chọn D Ta có 2 2 log a  4 log b  4 log . a log b 2 2
 log a  4log b  4log . a log b  0   a  b2 2 log 2log
 0  log a  2log b  a  b . Trang 2
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC 2 3033  log a  log b 3033  log b  log b 3033  3log b 3.1011 log b 3 Vậy L      . 2021 log  2 a  9b  2021 log 2 2
b  9b  2022  2logb 2.1011 log b 2 x  3y 1 1 Câu 6.
Cho x, y, m là ba số thực dương khác 1 và x  y thỏa mãn log   . m 2 2 4 log m log m x y 2 2 x  4xy  y Khi đó biểu thức P  có giá trị bằng: 2 (x  y) 25 25 59 59 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 8 100 50 5 Lời giải Chọn C x  3y 1 1 x  y Ta có: log   3  log  log x  log y m 2 2 4 log m log m m 4 m m x y  x  y  xy   x  y2 3 4 3  16xy 2 2
 x 10xy  9y  0   x  y x 9y  0
 x  9 y do x  y 2 2 2 2 2 2 x  4xy  y 81y  36y  y 118y 59 Như vậy: P     . 2 2 2 (x  y) (9y  y) 100y 50
Câu 7. Cho hai số thực dương a , b thỏa mãn 2  log a  3  log b  log a  b . Tính giá trị của 2 3 6   1 1  . a b A. 2 . B. 108 . C. 216 . D. 324 . Lời giải Chọn B
Đặt log a  x , log b  y . Ta có  2x,  3y a b
và 2  x  3  y  y  x 1; 2 3 log   2 2 6 x 36.6x a b x a b         . 6 1 1 a  b 36.6x 36.6x 108.6x Khi đó      108 . x y x x 1 a b . a b 2 .3 2 .3  2 .x3x
Câu 8. Cho log 5  a , log 7  b , log 3  c . Tính log 35 theo a , b , c . 27 3 2 6 3a bc 3a bc 3a bc 3b  ac A. . B. . C. . D. . 1 c 1 b 1 a 1 c Lời giải Chọn C 1
Theo giả thiết ta có log 5  a  log 5  a  log 5  3a . 27 3 3 3
Ta lại có log 5  log 3 log 5  3ac và log 7  log 3log 7  bc . 2 2 3 2 2 3 log 35 log 5  log 7 3ac  bc 3a  b c 2 2 2   Vậy log 35     . 6 log 6 log 2  log 3 1 c 1 c 2 2 2
Câu 9. Cho a,b,c  0; a,b  1 . Tình 2
A  log (b ).log ( bc )  log (c) a b a A. log c . B. 1. C. log b . D. log bc . a a a Lời giải Chọn C Ta có
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 3
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC 2
A  log (b ).log ( bc )  log (c) . a b a 1  2log . b log bc  c  log .
b log b  log c  log c . a b b a   a b   loga   2  log .
b 1 log c  log c  log b  log . b log c  log c . a b a a a b a
 log b  log c  log c  log b . a a a a
Câu 10. Cho x , y và z là các số thực lớn hơn 1 và gọi w là số thực dương sao cho log w  15 , 2 x
log w  20 và log w  15 . Tính log w . z xyz y 1 1 A. 6  0. B. 60 . C. . D.  . 60 60 Lời giải Chọn A 1
Ta có log w  15  log w  30  log x  . 2 x x w 30 log w  1 20  log z  . z w 20 Lại do 1 log w  15  15. xyz log  xyz w 1
 log x  log y  log z  1 1 1    log y  1  log y    log w  6  0 . w w w 15 30 20 w 15 w 60 y mb  nac
Câu 11. Cho log 5  a, log 7  b và log 3  c . Biết log 175 
. với m, n, p, q   và q là số 9 4 2 24 pc  q
nguyên tố. Tính A  mnp . q A. 24 . B. 42 . C. 12 . D. 8 . Lời giải Chọn A Ta có log 5  a  log 5  2 . a 9 3 log 7  c  log 7  2 . b 4 2 log 3  c 2 log 5  log 3.log 5  2ac 2 2 3 log 175 log  2 7.5 2 2
 log 7log 5 log 7 2log 5 2b4ac Khi đó 2 log 175   2 2  2 2   . 24 log 24 log  3 2 .3 3 log 2  log 3 3  log 3 c  3 2  2 2 2 2 m  2  n  4 Suy ra  . Do đó A  . m . n . p q  2.4.1.3  24. p  1  q  3 Trang 4
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC mc  nac  pabc
Câu 12. Cho a  log 3, b  log 5 và c  log 15 . Biết log 120  với m, n, p   . 2 3 11 66 a  c  ab  ac Tính T  m  n  . p A. T  5 . B. T  3. C. T  1. D. T  7 . Lời giải Chọn A
Ta có log 5  log 3.log 5  . a b . 2 2 3 1 1 a  ab
log 11  log 15.log 11  log (3.5) .  (log 3  log 5).  . 2 2 15  2  2 2 log 15 log 15 c 11 11 log 120 log  3 2 .3.5 2 3  log 3  log 5 2  Do đó 2 2 log 120    . 66 log 66 log 2.3.11 1 log 3  log 11 2 2   2 2 m  3 3  a  ab 3c  ac  abc   
. Suy ra: n  1 . Vậy T  5. a  ab 1 a  c  ab  ac  a    c p 1  xa  ybc
Câu 13. Cho log 5  a,log 7  ,
b log 3  c , nếu biểu diễn log 35 
thì giá trị của biểu thức 27 3 2 6 m  nc 2 2 2
P  x  y  3m  n bằng bao nhiêu? A. . P  7 .. B. P  8 . C. P  0 . D. P  2 . Lời giải Chọn B 1 1
Ta có log 35  log 5  log 7     1 6 6 6
log 2  log 3 log 2  log 3 5 5 7 7
Từ giả thiết: log 5  a ; log 3  c 27 2
 log 5  3a  log 5  log 3.log 5  3ac , log 7  log 3.log 7  bc . 3 2 2 3 2 2 3 1 1 3ac bc 3a bc Do đó,   1  log 35      . 6 1 1 1 1   1 c 1 c 1 c 3ac 3a bc b
 x  3; y  1; m  1; n  1. Vậy 2 2 2
P  x  y  3m  n  8 . 1 1
Câu 14. Cho các số thực a,b thỏa mãn a  b  1 và 
 2021 . Tìm giá trị của tham số log b log a a b m m
thực m để giá trị biểu thức P    2022 . log b log a ab ab 2022 A. m  2017 . B. m  . C. m  2020 . D. Đáp án khác. 2017 Lời giải Chọn B
Do a  b  1 log b  0 , log a  0 , log a  log b . a b b a
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 5
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC 1 1 Ta có: 
 2021  log b  log a  2021 log a log a b b b a
Do đó, P  2022  mlog a  
1  m1 log b  2022  mlog a  log b  2022* b a b a  Mặt khác  a  b2   a  b2 log log log log
 4  2021 4  2017  log a  log b  2017 b a b a b a Do vậy,   2022 2022 2017 *  m   2017 2017
Câu 15. Gọi a là số thực sao cho 3 số a  log 2021, a  log 2021, a  log 2021 theo thứ tự lập thành 3 9 81
một cấp số nhân. Tìm công bội q của cấp số nhân đó. 1 1 A. q  . B. q  2 . C. q  3 . D. q  . 2 3 Lời giải Chọn A
Do 3 số a  log 2021; a  log 2021; a  log 2021 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên 3 9 81
công bội q của cấp số nhân là: 1  a  log 2021 a  log 2021 log 2021 log 2021 log 2021 3 1 9 q  81  81 9   4  . a  log 2021 a  log 2021 log 2021 log 2021 1 2 3 9 9 3  log 2021 3 2 Câu 16. Biết rằng b là số nguyên thỏa mãn  a  3 b   2 a  a   3 a log   log    2
4a  4a  8 . Số giá trị thực của a là 2 2   b  b A. 3 . B. 2 . C. 5 . D. 4 . Lời giải Chọn D b    Điều kiện : a  3 .  0  b  a  3 b   2 a  a   3 a
Từ giả thiết, ta có: log   log    2 4a  4a  8 2 2   b  b 2  a  3 b a  a   a   log  log    3 2 4a  4a  8  2 2     b  b  a  3  a  3  log  log 4     2 a  a  2 2   2a  a  2 2 b    b  a  3  a  3  log   log    2a a  2 2  a  a  2 . 2 2  b  b a  3
Nếu tồn tại cặp a;b thỏa mãn đề bài thì  0 . b
Xét hàm số y  f t   log t  t , là hàm số xác định và đồng biến trên 0 :    1 . 2 Trang 6
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC  a  3  Do đó   1  f  f    2a  a 2.  b  a  3 2 2 
 a  a  2  ba  b   1 a  2b  3  0 b Phương trình 2 ba  b  
1 a  2b  3  0 2 có nghiệm khi   b  2 1  4b 2b  3  0 7  2 14 7  2 14 2  7b 14b 1  0   b  . 7 7
Vì b  ,b  0 nên b 2;  1 .  1  Nếu b  2
 thay vào 2 ta có: a  1  ; .  2  Nếu b  1
 thay vào 2 ta có: a 1 2;1 2.
Vậy có 4 giá trị a thỏa mãn bài toán. Câu 17. Biết rằng a,b là hai số thực dương và thỏa mãn đẳng thức  ab 1  a2b 1     3a4b3 1ab   2a3b2 2021 2021 . 2021 2021  4.2021
. Tìm giá trị của biểu thức 3 3 a  b T  . 2021 2022 2 1 4 A. T  . B. T  . C. T  . D. T  . 2021 2021 2021 2021 Lời giải Chọn C Từ giả thiết :  ab 1  a2b 1     3a4b3 1ab   2a3b2 2021 2021 . 2021 2021  4.2021 4a5b4 4a6b4 b 2a3b2  2021  2021  2021 1  4.2021 2a2b2 2a3b2 2  b2a2 2a3b2  2021  2021  2021  2021  4   1 .
Áp dụng bất đẳng thức (AM_GM) ta có: 2a2b2 2  b2a2 2a2b2 2b2a2 0 2021  2021  2 2021 .2021  2 2021  2 2a3b2 2a3b2 2a3b2 2a3b2 2021  2021  2 2021 .2021  2 Suy ra 2a2b4 2a3b4 2b2a 2  a3 2021  2021  2021  2021 b  4 Đẳng thức   1 xảy ra khi: 2a2b2 2b2a2 2021  2021 2a  2b  2  2  b  2a  2 a  b 1       a 1;b  0 . 2a3b2 2a3b2 2021  2021
2a  3b  2  2a  3b  2 2a  3b  2 3 3 a  b 1 Vậy T   . 2021 2021
Câu 18. Cho các số thực dương x , y thỏa mãn log x  log y  log x  log y  100 và log x ,
log y , log x , log y là các số nguyên dương. Khi đó kết quả xy bằng A. 164 10 . B. 100 10 . C. 200 10 . D. 144 10 . Lời giải Chọn A
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 7
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC  2 a  log x 2 log x  a x 10a Đặt       2 2 10a b xy   . b   log y 2 2  log y  b y 10b 2  2 a log x  log 10a   2 a 2 b Ta có : 2  thỏa điều kiện và
là các số nguyên dương . 2 2 b  2 2 log y  log 10b   2 Vậy 2 a và 2
b là các số chẵn dương . Do đó a và b là các số chẵn dương .
Ta có : log x  log y  log x  log y  100  2 2   log 10a  log 10b a b  100 2 2   a b a  b   100 2  a  a   2 2
b  2b  200  0 .(*) 2
Ta coi  là phương trình bậc 2, ẩn là a và tham số b . Do đó  có 2   201 b  2b
Để  có nghiệm  
  0  1 b  202 1 (Do b nguyên dương).
Như vậy b 1;2;3;...;1  3
Mà b là các số chẵn dương nên b 2;4;6;8;10;1  2 . b  8
Vì a là số chẵn , dương với b 2;4;6;8;10;1 
2 , thay vào phương trình (*) ta có  hoặc a  10 b 10  . a  8 Vậy 2 2 a b 164 xy  10  10 . Câu 19. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn
2x 1  3y 1  4z 1  15 và 2x 3 y 1  3 y 4z 1  4 z 2 x 1  30 3  3  3  3 . Giá trị của . x . y z bằng A. 288 . B. 864 . C. 1152 . D. 576 . Lời giải Chọn D 1  1  1  Điều kiện x  ; y  ; z  . 2 3 4 2 Ta có: 2
15   2x 1 3y 1 4z 1  3.2x 13y 1 4z  
1  3.2x  3y  4z  3 2 15 Suy ra 2x  3y  4z   3  72 . 3
Mặt khác, từ giả thiết và chứng minh trên, ta có 30 2 x 3 y 1  3 y 4z 1  4 z 2 x 1  3 2 x 3 y 1  3 y 4 z 1  4 z 2 x 1 3 3 3 3 3 3 .3 .3      3 2 x 3 y 1  3 y 4z 1  4 z 2 x 1  3 2 x3 y4 z 1  5 3 72 1  5 30  3. 3  3 3  3. 3  3 Trang 8
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC
 2x 1  3y 1  4z 1 x 12   Dấu “=” xảy ra khi 2x 3 y 1  3 y 4z 1  4z 2 x 1 3   3  3   y  8 . 2x 3y 4z 72     z  6   Ta được . x y.z  12.8.6  576 .
Câu 20. Giả sử a , b là các số thực sao cho 3 3 3z 2   .10  .10 z x y a b
đúng với mọi số thực dương x , y ,
z thoả mãn log  x  y  z và  2 2
log x  y   z 1. Giá trị của a  b bằng 29 31 31 25 A. .  . C. . D.  . 2 B. 2 2 2 Lời giải Chọn A 1 Ta có: 3 3      2 2 x y
x y x  y   xy x  y và xy  x  y2   2 2 x  y  2   Từ giả thiết, ta có: x  y 10z z z 1 3 3 1   x  y  10 .10    . z  2z z 1 10 10 .10z 2 2 1  x  y 10 2 Vì 3 3 3z 2   .10  .10 z x y a b
đúng với mọi số thực dương x , y , z nên z z 1 1 10 .10  2z z 1 10 10     z 3z 2z .10  . a 10  . b 10 , z 2  1 1 2z 1 3z 2z 1  3z 2z  10  .10  .10  . a 10  . b 10 , z  2 2  1  3z  a  .10  b 15 2z .10  0, z     2   1  1 a   0 a    29  2   2  a  b  . 2 b
 15  0 b 15  1 109  Câu 21. Cho hàm số 2
f (x)  log  x   x  x  . Tính 3   2 4     1   2   2020  T  f  f  ... f       .  2021  2021  2021  A. 4042 . B. 4040. C. 3030 . D. 6060 . Lời giải Chọn C  1 109   109  1 
Ta có: f (1 x)  log 1 x   1 x2  1 x 2    log  x  x   x  3 3      2 4 4 2            f  x  f 1 x 1 109 109 1 2 2
 log  x   x  x    log  x  x   x  3 3      2 4 4 2        1 109  109  1  2 2
 log  x   x  x   x  x   x       log 27  3 3 2 4 4 2   3    
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 9
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC  1   2   2020  T  f  f  ... f        2021  2021  2021    1   2020    2   2019   1010   1011   f  f  f  f ... f  f                 2021 2021   2021 2021   2021 2021             
 3 3... 3  3.1010  3030. 1 x
Câu 22. Biết rằng 2 x  log 1  4  y  2 y 1
x  . Tính giá trị của biểu thức 2     trong đó 0 2 2 P  x  y  xy 1. A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B 1 1 1 x Ta có:   2 .  2  2 x x x  4 1 x x
Lại có: 14   y  2 y 1 14   y   1 y 1  3 y 1 . Đặt t  y 1  0 . Xét hàm số f t  3  t
  3t 14 trên 0; , ta có max f t  f   1  16 t   0;
 14   y  2 y 1 16  log 1
 4  y  2 y 1  4 2 2       1 x x 1 Từ  
1 và 2 ta có: 2 x  log 1
 4  y  2 y 1    P  2 . 2     y  0
Câu 23. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn n 1 log 2017 2 log 2017   log   , với 0  a  1. i 2017 log 2017 a a 2i 2 a 2018 a i 1  2 2 A. n  2016 . B. n  2017 . C. n  2018 . D. n  2019 . Lời giải Chọn C
Gọi vế trái và vế phải của hệ thức đề bài cho lần lượt là A và B . 1 2n Ta có log  n 2017 log 2017 . 2n 2 2 2 a 2 n a 2 4 8 2n Do đó A  log 2017  log 2017  log 2017  log 2017  ... log 2017 a 2 a 4 a 6 a 2 2 2 2 2 n a  2 4 8 2n   1     ... log 2017 . 2 4 6 2   2 2 2 2 n a  2 4 8 2n 2 1 Ta có : Dãy số 1; ; ; ;...;
lập thành một cấp số nhân với công bội q   2 4 6 2 2 2 2 2 n 2 2 2 n 1  1   1 n n 1 2 4 8 2 1 q      2  1 1   ...  u .  1.  2  . 2 4 6 2n 1 2 2 2 2 1 q 1 2n 1 2 Như vậy: Trang 10
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC  1  A  2  log 2017    2n a  log 2017 1 2 B  log 2017 a   2log 2017  log 2017 a 2018 a 2018 2 2 a 1 1 Từ đó  2   2   n  2018. n 2018 2 2 1 1
  1 3x 3x 2 a a
Câu 24. Cho x  0 . Biết biểu thức 4 A 
 , với là phân số tối giản. Tính giá 1 b b 1 1 3x  3x 2 4 trị của S  a  b . A. 2.3x . B. 2.3x . C. 2 . D. 2 3 x . Lời giải Chọn A 1 2 x x 1 x  x 1 x  x 1 2
Ta có 1 3 3   1  2 2 3  2  3    2 2 3  2  3   3x 3x 4 4 4 4 1  3x  3x  2 1     x  x  2 1 1 1 3 3 1 3x  3x  4 3x  3x  2 Suy ra 2 A    1         x  x 2 1 1 3x  3 1 1 3 3 x x x  3 3 2 4 2 3  2.3 1 3x x x  2 2 1 3x 1   
(Vì x  0 nên 3x 1  0 ). 2 3 x  2.3x 1   2 3x x 1 3 1 Vậy    2.3x S a b .
Câu 25. Cho a,b là các số thực và hàm số 2021 f x  a  2 ( ) log
x 1  x  bsin .xcos2020x  7. Biết rằng f  ln 2021 2020  12. Tính P  f  ln 2020 2  021 . A. P  4. B. P  2. C. P  2  . D. P 10. Lời giải Chọn B
Xét hàm số g x  f  x 2021   a  2 7 log
x 1  x bsin .xcos2020x Do 2
x 1  x  x  x  0 nên hàm số g  x có tập xác định D   . Ta có: x
  D  x D và g x  a  x2 2021 log
1  xbsinx.cos2020.x  g x 2021  a  2 log
x 1  x bsin .xcos2020x    g x 1 2021  a log    bsin . x cos 2020x 2  x 1  x 
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 11
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC  g x 2021  a  2 log
x 1  xbsin .xcos2020x
 g x  g x . Vậy hàm số g x là hàm số lẻ. Lại có: ln 2021 ln 2020 2020  2021  g  ln 2021   g  ln 2020 2020 2  021   f  ln 2021      f ln 2020   ln 2020 2020 7 2  021
7 127   f 2021 7  f  ln 2020 2  021   2.  1 
Câu 26. Cho hàm số f  x  log 1 
. Cho biểu thức S có dạng 2   x   a  a
S  f 2  f 3 ... f 2020. Biết rằng tổng S được viết dưới dạng log   với là phân  b  b
số tối giản và a,b  0 . Khi đó giá trị của b  a bằng A. 2020 B. 2019 C. 2018 D. 4040 Lời giải Chọn B 2  1   x 1
Ta có: f  x  log 1  f x  log   
  log x 1  log x 1  2log x 2   2      x   x  Suy ra ta có:
f 2  log1 log 3  2log 2
f 3  log 2  log 4  2log 3
f 4  log 3  log 5  2log 4
f 5  log 4  log 6  2log 5 ....
f 2019  log 2018  log 2020  2log 2019
f 2020  log 2019  log 2021 2log 2020  2021 
Suy ra S  log1 2log 2  log 2  log 2020  log 2021 2 log 2020  log    4040  a  2021 Như vậy suy ra 
 b  a  4040  2021  2019 b   4040 1 1 1  m 2 2 Câu 27. Cho      1  e x x f x . Biết rằng  
1 . 2. 3... 2017 e n f f f f 
với m , n là các số tự nhiên m và tối giản. Tính 2 m  n . n A. 2 m  n  1. B. 2 m  n  1. C. 2 m  n  2018 . D. 2 m  n  2018 . Lời giải Chọn A 2 1 1 x  x   1   x   2 1  x x  x 2 2 2 2 1 1   . 2 x  x  2 2 1 x  x  2 2 1 x  x  2 1 1 1 x x  1 1 1    f  x 2 x x 2 1 x x  1  e  e , x   0. Trang 12
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC k k   1 1 1 1 1 Xét dãy số u : u  1  1  , k    * . k  k k k   1 k k   1 k k 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ta có u  1  , u  1  , u  1  , …, u 1  . 1 1 2 2 2 3 3 3 4 2017 2017 2018
 1. 2. 3... 2017 1 2 3 ... 2017 eu u u u f f f f      . 2 1 1 2018 1 m u  u  u  ... u  2017     . 1 2 3 2017 1 2018 2018 n Vậy 2 m  n  1. log 2.log 3....log n 1 11 11 11   Câu 28. Cho dãy số u 
với số tự nhiên n 1. Số hạng nhỏ nhất của dãy số có n 2 2 n
giá trị là m . Hỏi có bao nhiêu số hạng của dãy số cùng đạt giá trị là m A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 8 . Lời giải Chọn B
Xét ba số hạng liên tiếp sau đây: log 2.log 3....log n log 2.log 3....log n 1 log 2.log 3....log n  2 11 11 11   11 11 11   11 11 11   u  ;u  ;u  ; n 1  2n n 2n n 1  2 2 2 2 n
Để số hạng u nhỏ nhất thì n  log 2.log 3....log n log 2.log 3....log n 1 11 11 11   11 11 11   u    u  ; n 1  2n n 2  2 2 n  log 2.log 3....log n 1 log 2.log 3....log n  2  11 11 11   11 11 11   u   u  ; n 2n n 1  2  2 2 n log n 1 11    1 2 log n 1  4  2  11   4 4    
 11  2  n  11 1 log n  2  log n  2  4 11    11  1  2  2
Suy ra có hai giá trị nguyên dương của n thỏa mãn, ứng với hai số hạng của dãy số cùng đạt 4 n  11 1
giá trị nhỏ nhất, tương ứng là  4 n  11  2 3 5
Câu 29. Lần lượt gọi a,b,c, d là các số nguyên dương thỏa mãn log b  và log d  ; Khi a  c  9 a 2 c 4 thì b  d bằng A. 80 . B. 93 . C. 50 . D. 97 . Lời giải Chọn B  3 3 log b   2 3  a 2  b  a b  a Ta có: 2      5 4 5 5   c  d  4 log d c c  d  4 2 a  k  2 3 6 b   a  m m  k 2 3 6 3 b   a  k b  k Đặt    với , m , n k,l Z       4 5 20 c  d  n n  l 4 5 20 4 c  d  l c  l  5 d  l
CHUYÊN ĐỀ VDC&HSG 12 NĂM 2021-2022 Trang 13
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT MŨ - LOGARIT- VD_VDC 2 4
a  c  k  l  9 (*) Suy ra  . Từ   2 k  l  2 (*) k  l   9 3 5 b  d  k  l (**) Do m n k l Z     2 k  l   2 , , , , k  l  Z 2 k l  0 Do 2 k  l  0 nên suy ra 2 2  ; k  l  k  l 2 2 k  l  k  l k  5 k  l 1  k  5
Suy ra phương trình (*)  k l k  l  2 2 2 2  9     l   4   2 k  l  9  l   2 l   0 Từ đó suy ra 3 5 3 5
(**)  b  d  k  l  5  2  93
Câu 30. Chọn hai số a,b đôi một khác nhau bất kì trong tập hợp sau đây A   2 3 25
2; 2 ; 2 ;...; 2 . Tính xác
suất để log b là 1 số nguyên a 31 7 37 11 A. . B. . C. . D. . 300 60 300 100 Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có: A   2 3 25
2; 2 ; 2 ;...; 2  suy ra A có 25 phần tử
Do log b là 1 số nguyên nên suy ra b  a a
Như vậy a có 25 cách chọn và b có 24 cách chọn tức n   25.24  600 cách a  2m log 2n n n n n log 2 Đặt  . Suy ra log b  log    b  Z   Z m 2 ;log a 2     b  a   2n log 2m  mlog 2 m m
Khi m 1 thì n có 24 cách chọn
Khi m  2 thì n có 11 cách chọn
Khi m  3 thì n có 7 cách chọn
Khi m  4 thì n có 5 cách chọn
Khi m  5 thì n có 4 cách chọn
Khi m  6 thì n có 3 cách chọn
Khi m  7 thì n có 2 cách chọn
Khi m  8 thì n có 2 cách chọn
Khi m  9 thì n có 1 cách chọn
Khi m 10 thì n có 1 cách chọn
Khi m 11 thì n có 1 cách chọn
Khi m 12 thì n có 1 cách chọn
Như vậy tổng biến cố thỏa mãn đề bài là:
n  A  24 11 7  5  4  3 2  2 1111  62 cách n A 62 31
Như vậy xác suất cần tìm là P    . n 25.24 300
_______________ TOANMATH.com _______________ Trang 14
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA