65 trang 5 lượt tải

Bộ đề Thi Cuối Kỳ Giải Tích 1 (20191) và Đáp Án đầy đủ

10

Bộ đề Thi Cuối Kỳ Giải Tích 1 (20191) và Đáp Án đầy đủ

Môn: Digital Marketing ( UFM) 11 tài liệu

Trường: Đại học Tài Chính - Marketing 836 tài liệu

Tác giả:

Profile

Linh Đan

1 tuần trước
Danh sách Quiz
/65
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1
-
HUST
ẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
Tai liệu được chia s
1
ĐỀ CK GIẢI TÍCH 1
BỘ ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN GIẢI TÍCH 1
Dành cho sinh viên trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Biên soạn: Tài liệu HUST
DANH SÁCH ĐỀ THI
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
.............................................................................
2
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
.............................................................
4
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
.............................................................................
8
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
.............................................................................
9
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
...........................................................
10
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
...........................................................................
15
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
...........................................................................
16
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
...........................................................
17
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2)
...........................................................................
22
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)
...........................................................................
23
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)
...........................................................
24
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3)
...........................................................................
29
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
...........................................................................
30
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
...........................................................
31
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
...........................................................................
35
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
...........................................................
36
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
...........................................................................
40
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
...........................................................................
41
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
...........................................................
42
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
...........................................................................
46
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
...........................................................
47
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
...........................................................................
48
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
...........................................................
49
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
...........................................................................
53
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1
-
HUST
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
2
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
...........................................................
54
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
...........................................................................
55
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
...........................................................
56
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2)
...........................................................................
60
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)
...........................................................................
61
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)
...........................................................
62
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3)
...........................................................................
65
(TaiLieuHust, 2022)
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1
-
HUST
ẻ miễn phí tại website Tailieuhst.com
Tai liệu được chia s
2,02
2
3,04
2
3
x
2
y
2
3
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau:
1
a)
lim
ln(1 x)
x
.
x0
x
x
3
y
b)
lim
( x, y)
(0,0)
2x
6
3y
2
.
Câu 2 (1 điểm). Tính gần đúng nhờ vi phân
Câu 3 (1 điểm). Chứng minh rằng
cos x 1
A
.
x
2
,x 0
.
2
Câu 4
(
1 điểm).
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi các đường
y
x
2
3x
và
y 0
quanh trục
Oy
một vòng.
1
Câu 5 (1 điểm). Tính
1
x
2
2
dx
.
Câu 6 (1 điểm).
Hàm số
f (x)
x
3
x
có hàm ngược là
y
g(x)
. Tính
g
(2)
.
2
z
2
z 3 z
1
Câu 7 (1 điểm). Tính
P
x
2
y
2
y
y
với z .
Câu 8 (1 điểm). Không khí được bơm vào một quả bóng bay hình cầu vói tốc độ 100cm
3
/ s .
Tính tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính quả bóng bằng 50cm.
Câu 9 (1 điểm). Tính
2
0
cot x dx
.
2x
3
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1
-
HUST
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
4
2
1
1
2
2
3
3
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
1
ln
ln(1
x)
Câu 1:
L
lim
ln(1
x
)
x
x
lim
e
x
.
x
0
x
x
0
ln(1 x)
ln(1 x)
ln
x
ln
1
x
1
Xét giới hạn
K lim
lim
x0
x
x0
x
lim
ln(1 x)
1
11 0
ln(1 x)
x0
ln(1 x)
Vì
x0
x
, nên ln
1
x
1
~
x
1
.
ln(1
x
)
1
K
lim
x
(
VCB
)
lim
ln(1
x
)
x
=
lim
1
x
2
o
x
2
(Khai triển Maclaurin)
x
0
x
1
x
2
x
0
x
2
x
0
x
2
lim
2
1
x
0
x
2
2
Giới hạn đã cho bằng
x
3
y
L e
K
e
1/2
.
b)
f (x, y) ,
2x
6
3y
2
(x, y) 0.
+) Chọn
M
a,a
3
. Khi
a
0
thì
M
a,a
3
(0,0)
.
Ta có:
f
M
1
f
a, a
a
3
a
3
1
6 6
2a 3a 5
f
M
1
1
5
khi
M
1
(0, 0)
(1)
+) Chọn
M
b,b
3
. Khi
b 0
thì
M
b,b
3
(0,0)
.
Ta có:
f
M
2
f
b,b
(b)
3
b
3
1
6 6
f
M
2
1
5
khi
2(b)
M
2
(0,0)
3b 5
(2)
x
3
y
Từ (1) và (2)
f (x, y)
không cùng tiến tới một giá trị khi
(x, y)
(0, 0)
không tồn tại.
lim
( x, y)
(0,0)
2x
6
3y
2
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1
-
HUST
ẻ miễn phí tại website Tailieuhst.com
Tai liệu được chia s
x
2
y
2
3
x
2
1
0
0
3
2 3
3
x
4
Câu 2. Xét hàm số
f (x, y) x
2
y
2
3
. Ta có:
f
(x, y)
x
, f
(x, y)
y
. Chọn
x
0
2,
x 0,02
.
x y
Áp dụng công thức tính gần đúng:
y 3,
y 0,04
A
f
x x, y y
f
x , y
f
x , y
x f
x , y
y
0 0 0 0
x 0 0
y 0 0
f (2,3) f
(2,3) 0,02 f
(2,3) 0, 04 4
1
0, 02
3
0, 04 4, 04
Vậy
x y
2 4
A
4, 04
.
x
2
x
2
Câu 3. Chứng minh:
cos x 1
,
x
0
cos x
1
0,
x
0
.
2 2
x
2
Xét f (x)
cos x
1 trên [0;

).
Ta có:
2
f
(x)
sin x
x,
f
(x)
cos x
1
0,
x
0
f
(x)
đồng biến trên
[0; ) f
(x) f
(0) 0,x 0
f
(x)
đồng biến trên
[0;

)
f (x)
f (0)
0,
x
0
Từ đó ta có được điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi x = 0
Câu 4. Quay miền D là hình phẳng giới hạn bởi các
đường
y x
2
3x, y 0, x 0, x 3
quay quanh trục
Oy thì thu được vật thể có thể tích là:
V
2
3
x
x
2
3x
dx
2
x
3x
x
2
dx
(vì
x
2
3x
0,
x
[0,3]
)
=
2
3x x
dx 2 x
3
27
(đvtt)
0
4
2
Câu 5. Điều kiện:
0
2x
3
0
x
3
1
x
2
0
1
x
2
2
x
2
1
, do đó:
1
1
I
1
x
2
2
d
x
x
2
1
2
dx
2
x
3 d
x
1
d
x
1
3
ln
x
x
2
1
C
x
2
y
2
3
2,02
2
3,04
2
3
2x 3
2x 3
(2x 3)
3
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1
-
HUST
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
6
x
2
y
2
7
x
2
y
2
5
x
2
y
2
5
tan
x
cos
x
sin
x
0
0 0
0 0
0
Câu 6. Ta có:
f
(x) 3x
2
1
. Với
y 2 x
3
x 2 x
1
.
0 0 0 0
Vì
y g(x)
là hàm ngược của
f (x)
x
3
x
nên:
g
y
1
1
1
.
Vậy
g
(2)
1
.
4
0
f
x
f
(1) 4
Câu 7. Điều kiện xác định P là
y 0
.
2
z
12x
2
3y
2
Do sự đối xứng của $x, y$ trong hàm
z(x, y)
nên:
.
x
2
x
2
y
2
7
2
z
2
z 3 z 12x
2
3y
2
12 y
2
3x
2
3
3y
P
x
2
y
2
y
y
y
9
9
0,
y
0.
Câu 8. Gọi thể tích của quả bóng tại thời điểm
t(s)
là
V (t)
cm
3
.
Theo bài ra, tốc độ bơm không khí vào quả bóng là
100cm
3
/ s V
(t) 100
cm
3
/ s
.
Tại thời điểm
t
0
nào đó,
R
t
0
50(cm)
.
Ta có:
V (t)
4
(R(t))
3
. Lấy đạo hàm hai vế theo
t
, ta có:
V
(t) 4(R(t))
2
R
(t)
3
Tại
t
t , ta có: V
t
4
R
t
0
2
R
t
100
4
(50)
2
R
t
R
t
100
4
(50)
2
1
(cm / s).
100
Khi bán kính quà bóng bằng
50cm
, tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính là
1
(cm / s)
.
100
Câu 9.
/2
I
0
cot x dx
.
Xét
/2
L
(
cot x)dx
/2
sin x
cos x
/2
sin x cosx
dx
.
0 0
dx
0
x
2
y
2
5
sin x cos x
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1
-
HUST
ẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
Tai liệu được chia s
7
1t
2
2
2
1t
2
2
1t
2
2
1 t
2
cot
x
tan
x
2
1
B
Đặt
t sin x cos x dt (cos x sin x)dx
.
2 2
1
t
2
t (sin x cos x)
1
2sin x cos x
sin x cos x
.
2
Đổi cận: - Khi
x
0
thì
t
1
;
Khi x
2
thì t 1
L
dt
dt
dt
1
1 0
lim
dt lim
dt
A
(1)
A
B
1
0
0
lim ( 2 arcsin t)
A(1)
A
B
lim( 2 arcsin t)
B1
0
lim ( 2 arcsin A) lim( 2 arcsin B) 2
2
A(1)
B
1
2 2
/2
Giờ xét
cot x dx
, với
f (x) 0
liên tục trên
0, .
0
2
cos x
x0
1
x
0
1 1
sin
x
~ ~
sin
x
,
x
1/2
mà
/2
1
hội tụ (vì
1
(0,1)
/2
cot x dx
hội tụ.
0
x
1/2
dx
2
0
Đổi biến
t
x
x
t
, ta có:
2 2
/ 2
0
cot x dx
dt)
/2
0
tan t dt
/ 2
0
tan x dx.
/2
1
/2
1
cot x dx
( cot x)dx
L
.
0
2
0
2
2
1 t
2
2
cot x
x
/ 2
cot
2
t
(
0
1
0
0
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1
-
HUST
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
8
4,03
2
2,02
2
5
x
2
y
2
5
x
x
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau:
1
e
x
1
x
lim
x
0
x
b)
lim
xy
4
2
8
( x, y)(0,0)
4x 3y
Câu 2 (1 điểm). Tính gần đúng nhờ vi phân
A
.
Câu 3 (1 điểm). Chứng minh rằng
e
2
1
x
2
,
x
0
.
Câu 4 (1 điểm).
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi các đường
y
x
2
4x
và
y 0
quanh trục
Oy
một vòng.
1
Câu 5 (1 điểm). Tính
1 x
2
2
dx
.
Câu 6 (1 điểm).
Hàm số
f (x)
x
5
x
có hàm ngược là
y
g(x)
. Tính
g
(2)
.
2
z
2
z 5 z
1
Câu 7 (1 điểm). Tính
P
x
2
y
2
y
y
với z .
Câu 8 (1 điểm). Không khí được bơm vào một quả bóng bay hình cầu với tốe độ
Tính tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính quả bóng bằng
60cm
.
200 cm
3
/ s .
Câu 9 (1 diểm). Tính
2
0
tan x dx
.
Cách giải tham khảo đề số 1
4
3x
.
a)
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1
-
HUST
ẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
Tai liệu được chia s
9
3
y
2
.
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau:
a)
lim
x
x
sin x
.
2y
2
ln x
b) lim
( x, y)(1,0)
(x 1)
2
y
2
.
Câu 2 (1 điểm). Phương trình
x
3
3x
2
y
y
5
5
0
xác định hàm
ẩn
y y(x)
.
Tính
y
(1)
.
Câu 3 (1 điểm). Tính đạo hàm của hàm số
y arctan
2x
, x 1
.
1 x
2
Câu 4 (1 điểm). Tìm khai triển Maclaurin của
y ln(1 2x)
đến
x
3
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau:
y
x
.
e
x
1
a)
tan(2x)dx
.
b)

dx
0
(x 3)
x
2
x 1
Câu 7 (1 điểm). Quay đường
xoay được sinh ra.
4 quanh trục Ox một vòng. Tính diện tích mặt tròn
Câu 8 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số
z
x
3
y
3
(x
y)
2
.
3
x
2
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1
-
HUST
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
10
2 y
2
(x 1)
(x
1)
2
y
2
x1
x
1
x
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1.
lim
x
lim
1
1
1
. (dạng vô định nên ta dùng L’Hospital)
x
sin x
x
cos x cos
Vậy
lim
x
x
sin x
1
.
2y
2
ln x
b) Đặt
f (x, y)
(x 1)
2
y
2
2 y
2
ln1
+) Nếu
x 1
và
y
0
thì
f (x, y)
0
2
y
2
0 0
khi
y
0
.
(1)
+) Nếu
x
1
và
(x, y)
(1, 0)
thì:
lim
2 y
2
ln x
2 2
lim
ln x
lim
2 y
2
(x
1)
2 2
(x,y)(1,0)
(x 1) y
x 1
(x,y)(1,0)
x 1
(x,y)(1,0)
(x 1) y
x 1
Ta có:
lim
ln x
lim
ln x
VCB
x
1
lim
1
( x, y )
(1,0)
x
1
x
1
x 1
x
1
x 1
0
2 | (x
1) y | (x
1)
2
y
2
| y |
| y |
, mà
lim | y |
0
(x 1)
2
y
2
(x 1)
2
y
2
| y |
( x, y)
(1,0)
2 y
2
(x
1)
lim
( x, y )(1,0)
x1
lim
2 y
2
ln x
0
theo nguyên lý kẹp
1.0
0
(2)
lim
( x, y )
(1,0)
(x
1)
2
y
2
0
( x, y)
(1,0)
(x
1)
2
y
2
2y
2
ln x
Tù (1) và (2)
Câu 2.
lim
( x, y)(1,0)
0
(x 1)
2
y
2
+) Với
x 1
thì
1 3y y
5
5 0 y
5
3y 4 y 1 y(1) 1
.
Theo bài ra:
x
3
3x
2
y(x)
[ y(x)]
5
5
0
+) Lấy đạo hàm hai vế theo
x
, ta có:
3x
2
6xy(x)
3x
2
y
(x)
5y
(x)[ y(x)]
4
0
2 y
2
(x 1)
(x 1)
2
y
2
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1
-
HUST
ẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
Tai liệu được chia s
11
F (x, y)
y
3
Thay
x 1
, ta có:
3
6y(1)
3y
(1)
5y
(1)[ y(1)]
4
0
3
6
3y
(1)
5y
(1)
0
( do y(1)
1)
y
(1)
9
8
Vậy
y
(1)
9
8
Cách giải khác: Đặt
F(x, y) x
3
3x
2
y y
5
5
.
Ta có:
y (x)
x
3x
2
6xy
.
(*)
F
(x, y) 3x
2
5y
4
Với
x 1
thì
13y y
5
5 0 y
5
3y 4 y 1 y(1) 1
.
Thay
x
1, y
1
vào
(*),
ta có:
y
(1)
(3 6)
9
.
3 5 8
2
1 x
2
2x (2x)
2x
2
2
1 x
2
2
1 x
2
2
2
x
2
1
2
Câu 3.
y
,x 1
.
2x
2
x
4
2x
2
1
x
2
1
2
x
2
1
Vậy
y
1
1 x
2
2
,x 1
.
x
2
1
1 x
2
2
x
2
x
3
3
Câu 4. Ta có khai triển Maclaurin:
ln(1 x) x o x
.
2 3
Khi
x 0
thì
2x 0
, thay
x
bởi 2
x
, ta có khai triển Maclaurin của
y
đến cấp 3 là:
(2x)
2
(2x)
3
3 2
8
3
3
y
ln(1
2x)
2x
o
(2x)
2x
2x
x
o
x
2 3 3
Vậy khai triển cần tìm là
y 2x 2x
2
8
x
3
o
x
3
.
Câu 5.
+) Tập xác định
D
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
+) Khi
x
:
lim
y
lim
L
Hospital
lim
1
0
(Dạng vô định)
x
x

e
x
1
x

e
x
y
0
là tiệm cận ngang bên phải của đồ thị hàm số.
x
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1
-
HUST
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
12
ln
x
2
x
1
ln
A
2
A
1
13 3
3
2
x
+) Khi
x

:
x
a
lim
y
lim
e
x
1
lim
1
1
0
vì lim e
x
0
Khi
x 
không có tiệm cận
x

x
x

x
ngang.
x

0
1
x
b lim ( y ax) lim
x
x
lim
xe
x
x
lim
x
dạng
x

L'Hospital
x

e 1
x

e 1
x
1 e
lim
1
0
x
e
x
do lim e
x

x
y x là tiệm cận xiên bên trái của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, và có
tiệm cận xiên bên trái.
Câu 6.
y
0
là tiệm cận ngang bên phải,
y
là
a)
tan(2x)dx
sin(2x)
dx
1 2sin(2x)dx
1 d(cos(2x))
1
ln | cos 2x | C
cos(2x) 2 cos(2x) 2 cos(2x) 2
Vậy
tan(2x)dx
1
ln | cos 2x |
C.
2
b)

dx
lim
A
dx
0
(x 3)
x
2
x 1
A

0
(x 3)
x
2
x 1
lim
A
1
1
1
2x 1
7
1
d
x
A
0
13 x 3 26 x
2
x 1 26
1
2
3
x
4
1
ln |
x
3 | 7 2
x
2
lim
A

13 26 26
arctan
3
2
0
ln |
A
3 | 7 2
A
1 ln 3 7
lim
arctan
A

13 26 13
78 3
3
x
A
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1
-
HUST
ẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
Tai liệu được chia s
13
A
2
A
1
13 3
3
13 3
78 3
39 3
3
3
y
2
3
y
3
x
x
'
(t)
2
y
(t)
2
24 sin t cos
2
t
2
24 cos t sin
2
t
2
2
2
1
3 3
0 0
0 0
5
1 | A 1|
2
7 2 A 1 ln 3 7
lim
ln
arctan
A

26 13
78 3
1
ln1
7
ln
3 7 14
ln
3
26 2 13 13
Vậy tích phân suy rộng cần tính bằng
14
ln 3
.
39
13
Câu 7.
4
2
1
2
2
Tham số hoá đường cong:
x(t)
8cos
3
t
y(t)
8sin
3
t
(0
t
2
)
Do tính đối xứng qua trục
Ox
và trục
Oy
, diện tích vật thể cần tính bằng 2 lần diện tích vật
thể thu được, khi quay phần ứng với
0
t
2
quanh trục Ox.
Diện tícch cần tính là:
2 2
/ 2
|y(t) |
dt 4
/ 2
8sin
3
t dt
768
/ 2
sin
3
t sin
2
t cos
2
t
cos
2
t sin
2
t
dt 768
/2
sin
4
t cost dt
768
/2
sin
4
t d(cost)
768
sin
5
t
/2
768
(dvdt)
0
0
5
Vậy diện tích cần tính là
768
(dvdt).
5
Câu 8.
Tập xác định: D
Tìm điểm dừng:
x y
z
3x
2
2(x
y)
0
y
2
x
2
{
2
0
x y 0
x
3x
4
z
3y
2
2(x y) 0
3x 2x 2y 0
x y
x y
y
{
3
3x 4x 0
hàm số có 2 điểm dừng là
M
4
,
4
và
M
2
(0, 0)
.
3
x
2
2
2
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1
-
HUST
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
14
1
3 3
1
3 3
+) Ta có:
A z

6x 2, B z

2, C z

6y 2
xx xy yy
B
2
AC 4 (6x 2)(6y 2).
- Tại điểm
M
4
,
4
, ta có
32 0
và
A
6
0
z(x, y)
đạt cực tiểu tại
M (1,1),
z
z
M
64
.
- Tại điểm
M
2
(0, 0)
.
1
CT
1
27
Xét
z
z(0
x, 0
y)
f (0, 0)
(
x)
3
(
y)
3
(
x
y)
2
Khi
x y 0
ta
có:
z 0, điều này chứng tỏ
z
M
2
z
M
3
, với
M
3
(x,y)
thuộc lân cận của
M
2
hàm số không đạt cực trị tại
M
2
Vậy hàm số đạt cực trị duy nhất tại một điểm là
M
4
,
4
(cực tiểu), giá trị cực tiểu là
z
CT
z
M
1
64
.
27
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1
-
HUST
ẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
Tai liệu được chia s
15
Downloaded by Nguyen Linh (vjt19@gmail.com)
3
y
2
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau:
a)
lim
2
x
.
x
2
cos
x
2x
3
ln y
b)
lim
( x, y)(0,1)
x
2
(y 1)
2
.
Câu 2 (1điểm). Phương trình
x
4
4xy
3
3y
5
8
0
xác định hàm ẩn
y y(x)
.
Tính
y
(1)
.
Câu 3 (1điểm). Tính đạo hàm của hàm số
y arcsin
2x
, x 1
.
1 x
2
Câu 4 (1 điểm). Tìm khai triển Maclaurin của
y ln(1 3x)
đến
x
3
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau:
y
x
.
2e
x
1
a)
cot(3x)dx
.
b)

dx
0
(x
4)
x
2
x
1
Câu 7 (1 điểm). Quay đường
xoay được sinh ra.
9
quanh trục
Ox
một vòng. Tính diện tích mặt tròn
Câu 8 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số
z
x
3
y
3
(x
y)
2
.
Cách giải tham khảo đề số 3
3
x
2
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1
-
HUST
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
16
Downloaded by Nguyen Linh (vjt19@gmail.com)
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
Câu 1 (1 điểm). Tìm giới hạn
lim
2
1
.
x
0
e
2x
1
x
Câu 2 (1 điểm). Cho hàm số
xác định bởi
x
t
t
3
. Tính

.
y
f (x)
y
2t
2
3t
4
f (x), f (x)
Câu 3 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số
y
.
2
2
Câu 4 (1 điểm). Chứng minh rằng vói mọi
x 0 , ta có
ln
1
x
2 x
.
Câu 5 (1 điểm). Tìm giới hạn
1
6
2
6
n
6
.
lim
7
n

n
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau:
sin
3
xdx
a)
sin x cos x
.
b)
3
arccot 3
x dx
.
2
Câu 7 (1 điểm). Tính tích phân suy rộng

dx
.
1
x
3x
4
2
Câu 8 (1 điểm). Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn
.
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số:
x
2
( y
2)
2
1
quanh trục Ox
f (x)
x arctan 3x,
x
0
Tìm
a
và
b
để hàm số
f (x)
khả vi tại
ae
3x
b sin x,
x 0 .
x
0
3
x(x 3)
2
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1
-
HUST
ẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
Tai liệu được chia s
17
Downloaded by Nguyen Linh (vjt19@gmail.com)
Ta có công thức: Với
y y(t)
Xác định hàm y =
f (x)
x x(t)
f (x)
y
(t)
x (t)
và f (x)

y

(t)x
(t) y
(t)x

(t)
.
x
(t)
3
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
2 1
2x e
2x
1
Câu 1.
L lim
2x
lim
2x
x0
e 1 x
x
0
e
1
x
Dùng VCB:
e
2x
1
x0
~ 2x
cho mẫu số, ta có:
VCB
L
lim
x
0
2x e
2x
1
2x x
(dạng
0
)
0
L
Hospital
lim
2
2e
2
x
(dạng
0
)
L
Hospital
lim
4e
2
x
4e
0
x0
4x
0
x0
4 4
Vậy giới hạn cần tính bằng 1.
Cách giải 2: Dùng khai triển Maclaurin:
(2x)
2
2
2
x
e
2x
1
2x
2x
o x
2!
L lim
= lim
(Khai triển Maclaurin)
x
0
e
2x
1
x
x
0
2x x
lim
x
0
2x
2
o
x
2
2
x
2
lim
x
0
2
x
2
2
x
2
1.
Câu 2.
Áp dụng công thức trên ta có:
dy y
(t) 4t 12t
3
f (x)
dx
x
(t)
1 3t
2
4t.

d
2
y d
dy
d 1 d 1 4
f (x)
dx
2
dx
dx
x
(t)dt
(4t)
(4t)
4 .
Câu 3.
+) Tập xác định: D
x (t) dt
1 3t
1 3t
.
1.
2
2
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1
-
HUST
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
18
Downloaded by Nguyen Linh (vjt19@gmail.com)
3
x
2
(x 3)
4
3
4
,x 0, x 3.
+) Sự biến thiên:
x(x 3)
2
y
3
x(x 3)
2
2
(x 3)
2
2(x 3)x
x 3 2x
3
x
2
(x 3)
$
y
0
x 3 2x
0 x 1.
Lập bảng biến thiên:
Dựa vào bàng biến thiên, ta kết luận hàm số có 2 điểm cực trị:
- Hàm số đạt cực đại tại điểm
x 1, y
CD
y(1)
.
- Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
x 3, y
CT
y(3) 0
.
Câu 4. Xét hàm số
f (x)
ln(1
2
)
x
2
2 x
trên
(0, )
f (x)
ln
x
2
x
2
2
x
ln(x 2) ln x
2
(
do
2
x
x 0)
1 1 2 (x 2)x (x 2)
2
2x 4
f (x) 0,x 0.
x 2
x (x 2)
2
x(x 2)
2
x(2 x)
2
lim
f
(
x
)
lim
ln
1
2
2

x0
x
0
x
2
x
lim
f
(
x
)
2
2
ln(1
0)
0
0
lim
ln
1
x
x
x
2
x
Ta có bảng biến thiên:
3
x
2
(x 3)
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1
-
HUST
ẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
Tai liệu được chia s
19
Downloaded by Nguyen Linh (vjt19@gmail.com)
x
7
7
2
1
1
7
Từ bảng biến thiên, suy ra: f
(
x
)
0,
x
0
2
2
ln
1
x
2 x
0,x 0
2
2
ln
1
x
2 x
,x 0
(đpcm)
Câu 5.
1
6
2
6
n
6
1 1
6
2
6
n
6
1
1
6
2
6
n
6
L lim
7
lim
lim
n
n
n
n n
n
n
n
n
n
1
n
k
6
lim
n
n
k 1
n
f (x)dx,
trong đó f (x) x
6
hàm liên tục, khả tích trên [0,1].
0
0
1
x
6
dx
1
.
0
Vậy giới hạn cần tính bằng
1
.
7
Câu 6.
Giải:
sin x cos x 2 sin x
. Đặt t x x t
dx dt . Tích phân cần tính trở
4
4 4
thành:
3
1 1
3
sin
t
4
sin t
cost
I
dt
2 sin t
2
dt
2 sin t
1 sin
3
t
3sin
2
t
cos
t
3sin
t
cos
2
t
cos
3
t
1
2 2
cos
3
t
4
sin
t
d
t
4
sin
t
3sin
t
cos
t
3cos
t
sin
t
d
t
1
1
1
cos 2t
3
sin 2t
3
3
cos 2t
cos t
1
2
4
2 2
2
2 2
sin t
sin
t
d
t
1
2 cos 2t
3
sin 2t
cost
cost sin t
dt
4
2 sin t
6
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1
-
HUST
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com
20
Downloaded by Nguyen Linh (vjt19@gmail.com)
2
2
3
x
3 x
x
(
t
)
2
y
(
t
)
2
(
sin
t
)
2
(cos
t
)
2
3
2
0 0
1
2 cos 2t sin 2t
cos t
dt
1
2t
1
sin 2t
1
cos 2t ln | sin t |
C
4
sin t
2 2
Thay
t
x
4
sin
3
xdx
1
1
1
sin x
cos x 4
2x
2
2
sin
2x
2
2
cos
2x
2
ln sin
x
4
C
x
cos(2
x
)
sin(2
x
)
1
2 8 4
ln sin
x
4
C
1
b) Xét nguyên hàm
arccot 3 x dx
arccot 3 x d(x 4)
(x 4) arccot
(x 4)d(arccot 3 x)
(x 4)arccot
(x 4)
1
1
dx
1 ( 3 x )
2
2
(x
4) arccot
1
dx (x 4)arccot
2
C.
3
arccot 3 x dx [(x 4)arccot 3 x ] 1 1
2
2
2
Câu 7.
f (x)
1
x
3x
4
2
là hàm dương và liên tục trên
[1, )
.

dx
là tích phần suy rộng loại 1 với điểm bất thường 
1
x
3x
4
2
1
x
1
1
, mà

1
dx
hội tụ
(do 5 1)
x
3x
4
2
~
x
3x
4
3x
5
1
3x
5

dx
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh.
1
x
3x
4
2
Câu 8. Tham số hoá đường tròn
x
2
(y 2)
2
1:
x
cos
t
y
2
sin
t
(0
t
2
)
.
Diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn
x
2
(y 2)
2
1
quanh trục Ox là:
2
2
|
y
(
t
) |
d
t
2
|2
sin
t
| d
t
3 x
3 x
3 x
3
x
3
x
3
x
2

Tài liệu khác của Đại học Tài Chính - Marketing

Preview text:

Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
BỘ ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN GIẢI TÍCH 1 ĐỀ CK GIẢI TÍCH 1
Dành cho sinh viên trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Biên soạn: Tài liệu HUST DANH SÁCH ĐỀ THI
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 1
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 (TaiLieuHust, 2022)
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 2
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: 1 a) li 
x m ln(1 x)  x 0 x  .   x3 y b) lim . 6  ( 3 x, y) y2 (0,0) 2x
Câu 2 (1 điểm). Tính gần đúng nhờ vi phân A  2,022 3,042 3 . x2
Câu 3 (1 điểm). Chứng minh rằng cos x 1 ,x  0 . 2
Câu 4 (1 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi các đường y x2 3x
và y  0 quanh trục Oy một vòng.  1 
Câu 5 (1 điểm). Tính  
2x  3 1 x2 2 dx .  
Câu 6 (1 điểm). Hàm số f (x)  x3  x có hàm ngược là y g(x) . Tính g (2) .
2 z 2 z 3 z 1
Câu 7 (1 điểm). Tính P     với z  .
x2 y2 y yx2  y23
Câu 8 (1 điểm). Không khí được bơm vào một quả bóng bay hình cầu vói tốc độ 100cm3 / s .
Tính tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính quả bóng bằng 50cm. 
Câu 9 (1 điểm). Tính  2 cot x dx. 0
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhst.com 3
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) 1 ln ln(1 x)   
Câu 1: L  lim ln(1 x) xx     lim e x . x0  xx0  ln(1 x)    ln(1 x)  ln 1 x  ln 1  x 
Xét giới hạn K  lim    lim    x0 x x0 x
lim ln(1 x) 1 11  0   ln(1 x)
 x0  ln(1 x)  Vì  x0 x  , nên ln 1  1 1 x  ~  x  .        ln(1 x) 1
1 x2 ox2   K  lim x
(VCB)  lim ln(1 x)  x = lim 2 (Khai triển Maclaurin) x0 x x0 x2 x0 x2 1 x2 1  lim 2  x0 x2 2
 Giới hạn đã cho bằng L eK e1/2 . x3 y
b) f (x, y) 
, (x, y)  0. 2x6  3y2 +) Chọn M
1 a, a3  . Khi a  0 thì M
1 a, a3   (0, 0) .
  f a,a 1 3 Ta có: f M   a3a3 6 6  1 2a 3a 5
f M   1 khi M1  (0,0) (1) 1 5 +) Chọn M  2
b,b3 . Khi b 0 thì M b,b3  (0,0). 2
Ta có: f M    (b)3b3 1 2
f b,b 3  6 6 2(b)  3b 5
f M   1 khi M2  (0,0) (2) 2 5  x3 y
Từ (1) và (2)  f (x, y) không cùng tiến tới một giá trị khi (x, y)  (0,0) lim
( x, y)(0,0) 2x 6  3y2 không tồn tại.
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 4
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Câu 2. Xét hàm số f (x, y)  x2  y2 3 . Ta có:
f (x, y) x
, f  (x, y)  y
. Chọn x0  2, x  0,02 . xx y 2  y2  3 x2  y2  3
y  3, y  0,04 0
Áp dụng công thức tính gần đúng: A
f x  x, y  y  f x , y  f  x , y x f  x , y y 2,022  3,042  3 0 0 0 0 x 0 0 y 0 0 1 3
f (2,3)  f (2,3)0,02  f (2,3)0,04  4  0,02  0,04  4,04 x y 2 4 Vậy A  4,04 . x2 x2
Câu 3. Chứng minh: cos x 1
,x  0  cos x  1  0,x  0 . 2 2 x2
Xét f (x)  cos x
1 trên [0;). Ta có: f (x)  sin x x, f  (x)  cos x 1 0,x  0 2
f (x) đồng biến trên [0;)  f (x)  f (0)  0,x  0
f (x) đồng biến trên [0;)  f (x)  f (0)  0,x  0
Từ đó ta có được điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi x = 0
Câu 4. Quay miền D là hình phẳng giới hạn bởi các
đường y x2 3x, y  0, x  0, x  3 quay quanh trục
Oy thì thu được vật thể có thể tích là:
V  2 3 xx2 3xdx  2  x3x x2 dx (vì 0
x2  3x  0,x [0,3]) 27
= 2 3x x dx  2 x  3  (đvtt) 3  2 3 3 x4    0 4  2   0 3
Câu 5. Điều kiện: 2x  3  0  x  1 x2  0  1 x2  x2 1 , do đó: 2  1    1 
I  2x  3  1 x2 2 dx   
2x  3 x2 1 2 dx     1 1
  2x 3dx   dx
(2x  3)3  ln x x2 1 C x2 1 3
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhst.com 5
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Câu 6. Ta có: f (x)  3x21. Với y  2 x3  x  2  x 1. 0 0 0 0
Vì y g(x) là hàm ngược của f (x)  x3  x nên: g  y   1  1  1 . 0
f   0x f (1) 4 1 Vậy g (2)  . 4
Câu 7. Điều kiện xác định P là y  0 . 2 z 12x2  3y2
Do sự đối xứng của $x, y$ trong hàm z(x, y) nên:  . x2 x2  y27
2 z 2 z 3 z 12x2  3y2 12 y2  3x2 3 3y P        x2 y2 y yx2  y27 yx2  y25  9  9  0,y  0.
x2  y25 x2  y25
Câu 8. Gọi thể tích của quả bóng tại thời điểm t(s) là V(t)cm3.
Theo bài ra, tốc độ bơm không khí vào quả bóng là 100cm3 / s V(t) 100cm3 / s .
Tại thời điểm t0 nào đó, Rt0   50(cm) . Ta có: 4
V (t)   (R(t))3 . Lấy đạo hàm hai vế theo t , ta có: V (t)  4 (R(t))2  R(t) 3
Tại t t , ta có: V  t   4 
2  R t   100  4 (50)2 R t  0 0
R t0  0 0
R t   100  1 (cm/s). 0 4 (50)2 100
 Khi bán kính quà bóng bằng 50cm, tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính là 1 (cm / s) . 100  /2
Câu 9. I   cot x dx. 0 Xét  /2 L (
 cot x)dx  /2 sin x  cosx    tan x
/2sinxcosxdx. 0 0  dx cos x sin x 0   sin x cos x
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 6
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Đặt t  sin x  cos x  dt  (cos x  sin x)dx . 2 2 1 t2
t  (sin x cos x) 1 2sin x cos x  sin x cos x  . 2 
Đổi cận: - Khi x  0 thì t 1; Khi x  thì t  1 2 dt 1  0 2 1 2 L    dt   dt 1 1t2 1 1t2 0 1t2 2 0 2 B 2  lim  dt  lim  dt A(1) A B1 0 1 t 2 1 t 2 0 B
 lim ( 2 arcsin t)  lim( 2 arcsin t) A(1) A B1 0  
 lim ( 2 arcsin A)  lim( 2 arcsin B)   2   2    2 A(1) B1 2 2  /2    Giờ xét
cot x dx, với f (x)  cot x 0 liên tục trên 0, . 0  2    cos x x0 1 x0 1 1 cot x  ~ ~  , sin x sin x x1/2 x mà  /2 1
hội tụ (vì   1 (0,1)  /2 cot x dx hội tụ.  dx 0 x1/2 2  0 Đổi biến  
t   x x   t , ta có: 2 2  /2  cot 0      x dx /2 /2  cot 
  t ( dt)   tan t dt   tan x dx. 0  /2 0 0  2   /2 1 /2 1  cot x dx  
 ( tan x  cotx)dx L  . 0 2 0 2 2
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 7
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: 1  ex 1x a) lim  . x0  x  b) lim xy4 2 8
(x,y)(0,0) 4x  3y
Câu 2 (1 điểm). Tính gần đúng nhờ vi phân A  4,032  2,022 5 . 2 x x
Câu 3 (1 điểm). Chứng minh rằng e 1 x  ,x  0 . 2
Câu 4 (1 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi các đường y x2  4x
và y  0 quanh trục Oy một vòng.  1 
Câu 5 (1 điểm). Tính   
4  3x 1 x2 2 dx .  
Câu 6 (1 điểm). Hàm số f (x)  x5  x có hàm ngược là y g(x) . Tính g (2) .
2 z 2 z 5 z 1
Câu 7 (1 điểm). Tính P     với z  .
x2 y2 y yx2  y25
Câu 8 (1 điểm). Không khí được bơm vào một quả bóng bay hình cầu với tốe độ 200cm3 / s .
Tính tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính quả bóng bằng 60cm. 
Câu 9 (1 diểm). Tính  2 tan x dx. 0
Cách giải tham khảo đề số 1
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 8
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: a) lim x  . x sin x 2y2 ln x b) lim .
( x, y)(1,0) (x 1)2  y2
Câu 2 (1 điểm). Phương trình x3  3x2y y5  5  0 xác định hàm ẩn y y(x) . Tính y(1) .
Câu 3 (1 điểm). Tính đạo hàm của hàm số y  arctan  2x , x  1.   1 x2 
Câu 4 (1 điểm). Tìm khai triển Maclaurin của y  ln(1 2x) đến x3 . x
Câu 5 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số y  . ex 1
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau:
a)  tan(2x)dx . b)  dx 0 .
(x  3)x2  x 1 3 3
Câu 7 (1 điểm). Quay đường x2  y2  4 quanh trục Ox một vòng. Tính diện tích mặt tròn xoay được sinh ra.
Câu 8 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số z x3  y3  (x y)2 .
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 9
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) Câu 1. 1
lim x   lim 1 
 1. (dạng vô định nên ta dùng L’Hospital) x sin x x cos x cos
Vậy lim x   1. x sin x 2y2 ln x
b) Đặt f (x, y)  (x1)2  y2 2y2 ln1
+) Nếu x 1 và y  0 thì f (x, y) 
 0  0 khi y  0 . (1) 02  y2
+) Nếu x 1 và (x, y)  (1,0) thì: lim 2y2 ln x lim  ln x    lim 2 y2(x 1)   2 2 2 2
(x,y)(1,0) (x 1)  y x1
x(x1,y)(1,0) x 1 (x,y)(1,0) (x 1)  y x1
Ta có: lim ln x  lim ln x VCB x 1  lim  1
( x, y )(1,0) x 1 x1 x 1 x1 x 1
0  2 y2 (x 1)  2 | (x 1)y | (x 1)2  y2 | y | | y | , mà lim | y | 0 | y | (x 1)2  y2 (x 1)2  y2 (x 1)2  y2 ( x, y)(1,0)  2 y2 (x 1) lim
2 y2 (x 1)  0 theo nguyên lý kẹp  lim  0
( x, y)(1,0) (x 1)2  y2
( x, y )(1,0) (x  1)2  y2 x1 x1  lim
2y2 ln x  1.0  0 (2)
( x, y)(1,0) (x 1)2  y2 x ̀  2y2 ln x Tù (1) và (2) lim  0
(x, y)(1,0) (x 1)2  y2 Câu 2.
+) Với x 1 thì 1 3y y5  5  0  y5  3y  4  y 1 y(1) 1.
Theo bài ra: x3  3x2 y(x) [ y(x)]5  5  0
+) Lấy đạo hàm hai vế theo x , ta có: 3x2  6xy(x)  3x2y(x) 5y(x)[ y(x)]4  0
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 10
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Thay x 1, ta có:
3 6y(1) 3y(1) 5y(1)[y(1)]4  0  3 6 3y(1) 5y(1)  0 ( do y(1) 1)  y(1)  98 9 Vậy y(1)  8
Cách giải khác: Đặt F(x, y)  x3 3x2y y5 5.  F (x, y) Ta có:   y (x)  x
 3x2  6xy.(*)
F(x, y) 3x2  5y4 y
Với x 1 thì 13y y5 5  0  y5 3y  4  y 1 y(1) 1.
Thay x 1, y 1 vào (*), ta có: y(1)  (3 6)  9 . 3  5 8
21 x2   2x (2x) 2x2  2 1 x2 2 1 x2 2 2x2 1 2 Câu 3. y     ,x  1.  2x 2 x4  2x2 1
x2 12 x2 1
1 1 x2  1 x2 2 2 Vậy y  ,x  1. x2 1 x2 x3  3
Câu 4. Ta có khai triển Maclaurin: ln(1 x)  x    o x . 2 3
Khi x 0 thì 2x 0, thay x bởi 2 x , ta có khai triển Maclaurin của y đến cấp 3 là: (2x)2 (2x)3 3 2 8 3 3
y  ln(1 2x)  2x  
o(2x)   2x 2x x ox  2 3 3
Vậy khai triển cần tìm là y 8
 2x  2x2  x3  o x3  . 3 Câu 5.
+) Tập xác định D
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. +) Khi x : 1 lim y  lim LHospital x  lim  0 (Dạng vô định) x
x ex 1 x ex
y  0 là tiệm cận ngang bên phải của đồ thị hàm số.
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 11
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST +) Khi x   : x
a  lim y  lim ex 1  lim 1 1  0 vì lim ex  0  Khi x   không có tiệm cận x x x x x 0 1 x ngang.
b  lim (y ax)  lim  x x  lim xex  lim x  dạng  x   x xx x  e 1
x e 1 x 1 e  L'Hospital  lim
1  0  do lim ex  
x ex x
y x là tiệm cận xiên bên trái của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, và có y  0 là tiệm cận ngang bên phải, y là tiệm cận xiên bên trái. Câu 6.
a)tan(2x)dx  sin(2 
x)dx  1 2sin(2 
x)dx  1 d(cos(2x))  1ln|cos2x|C cos(2x) 2 cos(2x) 2 cos(2x) 2 Vậy 1
 tan(2x)dx  ln | cos 2x | C. 2 b)  dx  lim  A dx 0
(x  3)x2  x 1 A 0 (x  3)x2  x 1    1   lim A 1   1  2x 1  7  1 dx
A 0  13 x  3
26 x2  x 1 26  1 2 3    x  2       4   1  A
 ln | x  3| ln x2  x1 7 2 x  2   lim     arctan  A  13 26 26 3 3  2    0
 ln | A3| ln A2  A1 7 2A 1 ln 3 7   lim    arctan    A  13 26 13 3 3 13 78 3   
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 12
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST  1 | A 1|2 7 2A 1 ln 3 7   lim  ln  arctan    A  26 13 A 78 3  2  A 1 13 3 3    1 ln1 7  ln3 7 14 ln3      26 13 3 2 13 78 3 39 3 13 14 ln 3
Vậy tích phân suy rộng cần tính bằng  . 39 3 13  2 3  3 2 3 3 Câu 7.x2 y2  4  x y      1  2   2 
x(t)  8cos3 t
Tham số hoá đường cong:  (0  t  2 )
y(t)  8sin3 t
Do tính đối xứng qua trục Ox và trục Oy , diện tích vật thể cần tính bằng 2 lần diện tích vật
thể thu được, khi quay phần ứng với 0   t  quanh trục Ox. 2 Diện tícch cần tính là:
  2 2 /2|y(t)| x' (t)2   y(t)2 dt  4 /2 8sin3 t 24sin t cos2 t2  24cost sin2 t 2 dt 0 0
 768 /2sin3t sin2 tcos2 tcos2 t sin2 tdt  768 /2sin4t costdt 0 0  /2
 768 /2 sin4td(cost)  768 sin5 t  768 (dvdt) 0 5 0 5
Vậy diện tích cần tính là 768 (dvdt). 5 Câu 8.
Tập xác định: D  2 Tìm điểm dừng:    x  y
z  3x2  2(x y)  0 y2  x2 { 2  0 x y  0  x     3x   4
z 3y2 2(xy)  0 3x 2x2y  0  x yx y  2  y  {  3 2  
 3x  4x  0
 hàm số có 2 điểm dừng là M  4 , 4  (0,0) 1  và M .  3 3  2
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 13
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
+) Ta có: A z  6x  2, B z  2, C z  6y  2 xx xy yy
   B2  AC  4  (6x  2)(6y  2).
- Tại điểm M  4 , 4  , ta có 1 
  32  0 và A  6  0  3 3 
z(x, y) đạt cực tiểu tại M (1,1), z z M 1 CT 1   64 . 27
- Tại điểm M2(0,0).
Xét z z(0  x,0  y)  f (0,0)  (x)3  (y)3  (x  y)2
Khi x  y  0 ta có: z  0, điều này chứng tỏ zM2   zM3  , với
M (x,y)  3
thuộc lân cận của M2
hàm số không đạt cực trị tại M 2
Vậy hàm số đạt cực trị duy nhất tại một điểm là M  4 , 4  (cực tiểu), giá trị cực tiểu là 1  3 3 
z z M   64 . CT 1 27
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 14
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)
Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: a) lim 2x  .  x cos x 2 2x3 ln y b) lim . 2  ( ( x, y) y 1)2 (0,1) x
Câu 2 (1điểm). Phương trình x4  4xy3  3y5 8  0 xác định hàm ẩn y y(x) . Tính y(1) .
Câu 3 (1điểm). Tính đạo hàm của hàm số y  arcsin  2x , x 1.   1 x2 
Câu 4 (1 điểm). Tìm khai triển Maclaurin của y  ln(13x) đến x3 .
Câu 5 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số y x . 2ex 1
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau:
a) cot(3x)dx . b)  dx 0
(x  4) x2  x 1 3 3
Câu 7 (1 điểm). Quay đường x2  y2  9 quanh trục Ox một vòng. Tính diện tích mặt tròn xoay được sinh ra.
Câu 8 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số z x3  y3  (x y)2 .
Cách giải tham khảo đề số 3
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 15
Downloaded by Nguyen Linh (vjt19@gmail.com)
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)
Câu 1 (1 điểm). Tìm giới hạn lim 2  x0
e2x 1  1  x .  
Câu 2 (1 điểm). Cho hàm số
xác định bởi x t t3 . Tính   .
y f (x) 
f (x), f (x)
y  2t2  3t4
Câu 3 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số y  3 x(x 3)2 .  2  2
Câu 4 (1 điểm). Chứng minh rằng vói mọi x  0 , ta có ln1  x    2  x .
Câu 5 (1 điểm). Tìm giới hạn
16  26  n6  . lim 7  n  n
Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: sin3 xdx
a)  sinxcosx . b) 3
 arccot 3 x dx . 2
Câu 7 (1 điểm). Tính tích phân suy rộng  dx . 1 x3x4  2
Câu 8 (1 điểm). Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn x2  (y  2)2 1 quanh trục Ox .
Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số:  f (x)  x arctan 3x, x  0 
ae3x b sin x, x  0
Tìm a và b để hàm số f (x) khả vi tại x  0 .
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 16
Downloaded by Nguyen Linh (vjt19@gmail.com)
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)  2 1 
2x e2x 1
Câu 1. L  lim  2x   lim 2x
x0  e 1 x x0 e 1 x
Dùng VCB: e2x 1x0 ~ 2x cho mẫu số, ta có: VCB L 2
 lim x e2x 1 (dạng 0 ) x0 2x x 0 LHospital
 lim 2  2e2x (dạng 0 ) L Hospital
 lim 4e2x  4e0  1. x0 4x 0 x0 4 4
Vậy giới hạn cần tính bằng 1.
Cách giải 2: Dùng khai triển Maclaurin:  (2x)2 2 
2x e2x 1
2x   2x   2! o x  L  lim = lim   (Khai triển Maclaurin) x0
e2x 1 x x0 2x x
2x2  ox2   lim
 lim 2x2  1. x0 2x2 x0 2x2 Câu 2.
x x(t)
Ta có công thức: Với y y(t) Xác định hàm y = f (x)
y(t)x(t)  y(t)x(t)
f  (x)  y(t) và f  (x)  . x(t) x (t)3  
Áp dụng công thức trên ta có:  dy
y(t) 4t 12t3 f (x)     4t. dx x(t) 1 3t2  d2 y d  dy  d 1 d 1 4 f (x)   (4t)   (4t)  4  .
dx2 dx  dx   x(t)dt    x (t) dt 1 3t2 1 3t2 Câu 3.
+) Tập xác định: D  .
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 17
Downloaded by Nguyen Linh (vjt19@gmail.com)
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST +) Sự biến thiên:
x(x3)2 y 
 (x  3)2  2(x  3)x x  3 2x ,x  0, x  3. 3 3 x2(x  3) 3 x2(x 3)4
x(x 3)22 $
y  0  x 3 2x  0  x 1. 3 x2(x  3) Lập bảng biến thiên:
Dựa vào bàng biến thiên, ta kết luận hàm số có 2 điểm cực trị: 3 4
- Hàm số đạt cực đại tại điểm x 1, yCD  y(1)  .
- Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  3, y y(3)  0 CT . 2
Câu 4. Xét hàm số f (x)  ln(1 )  2 trên (0, ) x 2  x 2
f (x)  ln x  2  2  ln(x  2)  ln x  ( do x  0) x 2  x 2  x  1 1 2
(x  2)x  (x  2)2  2x 4 f (x)       0,x  0.
x  2 x (x  2)2 x(x  2)2 x(2  x)2  lim f (x) 2 2   lim ln 1           x0 x0  
x  2  x  2  lim f (x)     2   ln(1 0)  0  0 lim ln 1   x x  
x  2  x  Ta có bảng biến thiên:
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 18
Downloaded by Nguyen Linh (vjt19@gmail.com)
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
Từ bảng biến thiên, suy ra: f (x)  0,x  0   2  2 ln 1  0,x  0  x    2  x   2  2 ln1 ,x  0 (đpcm)  x    2  x Câu 5.
16  26  n6 
1 16  26  n6 1  1 6  2 6  n 6  L  lim 7   lim 
 lim          n  nn n n6
n n  n  n   n   1 n k 6  lim  
n n k1  n  1
  f (x)dx, trong đó f (x)  x6 hàm liên tục, khả tích trên [0,1]. 0 1 1 x7
  x6 dx   1 . 0 7 7 0
Vậy giới hạn cần tính bằng 1 . 7 Câu 6.
Giải: sin x  cos x  2 sin 
 x    . Đặt t x    x t
 dx  dt . Tích phân cần tính trở 4  4 4   thành:    3  1 1 3 sin t    4   sin t  cost    2 I   dt   2  dt 2 sin t 2 sin t
 1 sin3 t  3sin2 t cos t  3sin t cos2 t  cos3 t 1  2 2 cos3 t  4  sin t
dt  4 sin t 3sintcost 3cos t  sint dt   1  1 3 3 cost
 1  cos2t  sin 2t  3  cos2t  1 2  4   2 2  2  2 2  sin t sin t dt     
 1  2  cos 2t  3 sin 2t  cost  cost sin t dt 4  2 sin t   
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 19
Downloaded by Nguyen Linh (vjt19@gmail.com)
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST
 1  2  cos 2t  sin 2t  cost dt  1  2t  1 sin 2t  1 cos 2t  ln | sin t |  C 4  sin t  2 2    2 2   
Thay t x  4 sin3 xdx 1   1    1           sin cos sin x  cos x 4  2x  2 2
 2x  2  2 2x  2 ln sin x  4  C           
x  cos(2x)  sin(2x)  1 ln sin 2 8 4  x   4   C  1 b) Xét nguyên hàm
arccot 3 x dx  arccot 3 x d(x4)  (x 4)arccot 3 x (x 4)d(arccot 3 x) 1 1  (x  4)arccot 
3 x (x  4)  dx
1 ( 3 x)2 2 3 x
 (x  4) arccot 3  x  
1 dx(x4)arccot 3 x  3 x C. 2 3  x 3     3
  arccot 3 x dx [(x4)arccot 2
3 x  3 x]   1 1 2  2  2   Câu 7. 1 f (x) 
là hàm dương và liên tục trên [1,) .
x 3x4  2   dx
là tích phần suy rộng loại 1 với điểm bất thường  1 x3x4  2 1 x
1  1 , mà  1 dx hội tụ (do   5 1) 
x3x4  2 ~ x 3x4 3x5 1 3x5   dx
hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. 1 x3x4  2
Câu 8. Tham số hoá đường tròn x2  (y  2)2 1: x  cos t  (0  t  2 ) .
y  2  sin t
Diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn x2  (y  2)2 1 quanh trục Ox là:
  2 2|y(t) |  2
x (t)2   y (t)2 dt  2
(sin t)2  (cos t)2  |2sint | dt 0 0
Tai liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 20
Downloaded by Nguyen Linh (vjt19@gmail.com)

Tài liệu liên quan: