Bộ đề thi cuối ký Xác suất thống kê | Đại học Bách Khoa Hà Nội

Bộ đề thi cuối ký Xác suất thống kê | Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu được biên soạn giúp các bạn tham khảo, củng cố kiến thức, ôn tập và đạt kết quả cao kết thúc học phần. Mời các bạn đọc đón xem!

41 21 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Xác suất thống kê

Trường: Đại học Bách Khoa Hà Nội

Thông tin:

46 trang 1 tháng trước

Tác giả:

Profile Thùy Dương
HANOI UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
GIẢI ĐỀ CUỐI KỲ XSTK MI2020
[20171-20201]
Tác giả:
Made by Team XSTK
Tài liệu tham khảo:
• Giáo trình XSTK - Tống Đình Quỳ
• Bài giảng XSTK - Nguyễn Thị Thu Thủy
Hà Nội, 31 tháng 5 năm 2021
Mục lục
Đề 20171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Đề 20172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Đề 20173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Đề 20181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Đề 20182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Đề 20183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Đề 20191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Đề 20192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Đề 20193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Đề 20201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Đề 1
ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20171
Mã học phần: MI2020
Câu 1. Xác suất làm việc của một hệ thống trong khoảng thời gian xác định nào đó được gọi là xác
suất tin cậy (XSTC) của hệ thống đó.
a) Tính XSTC của một mạng gồm 2 linh kiện mắc nối tiếp cùng có XSTC là 0,95.
b) Mắc song song với mạng trên một mạng dự phòng gồm 2 linh kiện mắc nối tiếp cùng có XSTC là
0,94. Tính XSTC của mạng mới đó.
Câu 2. Một lô hàng gồm 16 sản phẩm loại A và 12 sản phẩm loại B. Chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm.
a) Tính xác suất để trong 3 sản phẩm đó có ít nhất 2 sản phẩm loại A.
b) Chọn tiếp ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm trong số sản phẩm còn lại. Tính xác suất để trong số 3 sản
phẩm được chọn lần hai có ít nhất 1 sản phẩm loại A.
Câu 3. Theo điều tra của một hãng bảo hiểm ô tô tỷ lệ xe bị tai nạn trong năm là 0,15. Trong số xe bị
tai nạn có: 80% được bồi thường tai nạn bằng 20% giá trị xe, 12% được bồi thường bằng 60% giá trị
xe và 8% được bồi thường bằng 100% giá trị xe.
a) Hỏi trung bình phải bồi thường tai nạn bằng bao nhiêu cho một xe có giá trị 600 triệu đồng?
b) Đối với chiếc xe trên phải quy định phí bảo hiểm là bao nhiêu để hãng không bị lỗ?
(Chỉ kể chi phí bồi thường, không kể các chi phí khác).
Câu 4. Thống kê ở một vùng trong 500 xe ô tô đăng ký có 68 xe thể thao. Với độ tin cậy 95% hãy
xác định khoảng tin cậy đối xứng cho tỷ lệ xe thể thao ở vùng đó. Theo anh (chị) có cách nào để nâng
cao độ chính xác của khoảng tin cậy cho tỷ lệ trên?
Câu 5. Đo thời gian phản ứng (giây) đối với hai loại thuốc kích thích của 8 người tham gia thí nghiệm
(giả sử thời gian phản ứng đối với mỗi loại thuốc được coi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn), ta
có bộ số liệu cặp:
Thuốc 3,1 1,5 2,9 2,6 1,7 2,3 3,8 2,4
Thuốc 4,1 2,2 3,5 1,8 2,7 2,5 3,4 3,2
Với mức ý nghĩa α = 5%, có thể cho rằng thời gian phản ứng trung bình đối với 2 loại thuốc là như
nhau hay không?
Chúc các bạn qua môn! 1
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Giải đề cuối kì 20171
Câu 1. Gọi A
i
= {Linh kiện i hoạt động tốt}, i = 1,2
a) Gọi A ={Mạng làm việc tốt}
⇒ P A( ) = A A
1 2
⇒ P A A A( ) = P(
1
A P A
2
) = (
1
)P(
2
) = 0 95 0, . , 95 = 0,9025 (do tính độc lập)
b)
* Gọi B ={Mạng dự phòng hoạt động tốt}
B
i
= {Linh kiện i của mạng dự phòng hoạt động tốt}, i = 1,2
⇒ P(B) = B B
1 2
⇒ P P B(B) = P(B B
1 2
) = P(B
1
) (
2
) = 0,94.0,94 883= 0,
* Gọi C = {Mạng mới làm việc tốt}
⇒C = A + B
⇒ P(C) = P P P B P P A B P(A + B) = (A)+ ( ) − (AB) = ( ) + P( ) − (A P B) ( )
= 0, 9025 + 0 9025,8836 −0, .0,8836 = 0,9887
Câu 2.
Xét phép thử ngẫu nhiên chọn ra 3 sản phẩm
Số kết cục đồng khả năng là: n = C
3
28
= 3276 cách
a) Gọi A
i
={Trong 3 sản phẩm có ít nhất 2 sản phẩm loại A}
Số kết cục thuận lợi cho A là: m = C
2
16
.12 +C
3
16
= 2000 cách
⇒
P A( ) =
2000
3276
=
500
819
= 0 1605,
b) Gọi B
i
= {Trong 3 sản phẩm lần đầu lấy ra có i sản phẩm loại B}, i = 0 3,1, 2,
Hệ {B
i
} tạo thành hệ đầy đủ với:
P B
(
0
) =
C
3
16
C
3
28
=
20
117
; P B(
1
) =
C
2
16
.12
C
3
28
=
40
91
; P(B
2
) =
16.C
2
12
C
3
28
=
88
273
; P(B
3
) =
C
3
12
C
3
28
=
55
819
Gọi B = {Trong 3 sản phẩm lần 2 có ít nhất 1 sản phẩm loại A}
⇒ B = {Trong 3 sản phẩm lần 2 có 0 sản phẩm loại A}
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
P(B P B B B B P B P B) = P(B
0
) ( |
0
) + P(B
1
)P( |
1
) + (
2
)P(B|B
2
) + (
3
)P(B|B
3
)
trong đó:
P P
(B
0
) (B B|
0
) =
C
3
12
C
3
25
=
11
115
; P B(
1
) (P B B|
1
) =
C
3
11
C
3
25
=
33
460
;
P B
(
2
)P(B B|
2
) =
C
3
10
C
3
25
=
6
115
; P B(
3
) (P B B|
3
) =
C
3
9
C
3
25
=
21
575
.
Chúc các bạn qua môn! 2
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
⇒
P B( ) =
20
117
.
11
115
+
40
91
.
33
460
+
88
273
.
6
115
+
55
819
.
21
575
= 0, 0672
⇒ P B( ) = 1 −P(B) = 1 −0, 0672 = 0, 9328
Câu 3:
a) Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ chi phí bồi thường cho chiếc xe 600 triệu. X = {120 360 600, , }
P(X = 120 0 8) = ,
P(X = 360 0 12) = ,
P(X = 600 0 08) = ,
Ta có bảng phân phối xác suất:
X 120 360 600
P 0,8 0,12 0,08
⇒ E(X ) = 120.0,8 + 360.0, 12 + 600.0, 08 = 187 2,
Vậy trung bình phải bồi thường tai nạn cho một xe có giá trị 600 triệu đồng là 187,2 triệu đồng.
b) Gọi x là phí bảo hiểm. Để không lỗ thì:
x x−0,15.E(X ) ≥ 0 ⇔ −0 15 187, . , 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 28,08 triệu đồng
Câu 4:
Gọi p là tỷ lệ xe thể thao ở vùng đó. Kiểm tra điều kiện:
n f = 500.0,136 = 68 > 5; n(1 − f ) = 500.864 = 432 > 5.
- Chọn thống kê:
Z =
f − p
p
f f(1 − )
√
n.Z ∼ N(0,1)
- Khoảng tin vậy đối xứng của xác suất là:p
f −u
1−
α
2
r
f f(1 − )
n
; f + u
1−
α
2
r
f ( )1 − f
n
!
trong đó u
1−
α
2
= u
0,975
= 1, 96 được tra từ bảng phân phối chuẩn tắc.
- Với
n = 500; m = 68; f =
m
n
= 0, 136 suy ra khoảng tin cậy đối xứng của là:p
0,136 −1,96.
r
0 136 0 136, (1 − , )
500
; 0,136 + 1,96.
r
0 136 0 136, (1 − , )
500
!
= (0, 1060; 0 1660, )
- Vậy với mức ý nghĩa 5% tỷ lệ xe thể thao ở vùng đó từ 10, 6% đến 16 6%,
Để nâng cao độ chính xác của khoảng tin cậy cho tỷ lệ trên cần tăng cỡ mẫu hoặc giảm độ tin cậy
(hoặc đồng thời cả hai).
Câu 5:
Gọi X, Y lần lượt là thời gian phản ứng (giây) đối với hai loại thuốc kích thích, Ta có:
Chúc các bạn qua môn! 3
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
X
∼ N(µ
1
;σ
2
2
); Y ∼ N(µ
2
;σ
2
2
)
n
1
= n
2
= 8
Đặt Z = X - Y, thiết lập hiệu :z
i
= x
i
−y
i
, i = 1 8,2,...,
X 3,1 1,5 2,9 2,6 1,7 2,3 3,8 2,4
P 4,1 2,2 3,5 1,8 2,7 2,5 3,4 3,2
Z -1,0 -0,7 -0,6 0,8 -1,0 -0,2 0,4 -0,8
- Đặt giả thuyết H
0
: µ = µ
0
; đối thuyết H
1
: µ 6= µ
0
với .µ
0
= 0
- Chọn tiêu chuẩn kiểm định:
T =
Z −µ
0
S
√
n nếu H
0
đúng. T ∼ (n −1)
- Với
α = 0 05, , tra bảng phân phối Student ta được t
n−1
1
−
α
2
=
t
7
0
,975
= 2 365, . Miền bác bỏ giả thuyết H
0
là:
W
α
=
− −∞; t
n−1
1
−
α
2
∪
t
n−1
1
−
α
2
;
+∞
= (−∞; −2, 365 365;) ∪(2, +∞)
- Từ số liệu đầu bài, tính toán ta được: n = 8; z s= −0,3875; = 0,6686 với µ
0
= 0 suy ra giá trị
quan sát là:
t
qs
=
z −µ
0
s
√
n =
−0,3875 0−
0
,6686
√
8 = −1,6393
- Vì t
qs
= −1,6393 /∈W
qs
nên chưa có cơ sở bác bỏ giả thuyết H
0
, nghĩa là với số liệu này có thể cho
rằng thời gian phản ứng trung bình đối với 2 loại thuốc là như nhau hay với mức ý nghĩa 5%
Chúc các bạn qua môn! 4
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Đề 1
ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20172
Mã học phần: MI2020
Câu 1. Một hộp có n áo trắng và 2n áo xanh. Chia ngẫu nhiên các áo thành n nhóm (mỗi nhóm 3 áo).
a) Tính xác suất để trong mỗi nhóm đều có áo trắng.
b) Áp dụng có n = 5.
Câu 2. Một xí nghiệp có 4 chiếc máy tiện với xác suất bị sự cố trong ngày của mỗi máy tương ứng là
0,01; 0,05; 0,1 và 0,1.
a) Trong một ngày nào đó theo dõi một máy. Tính xác suất để máy đó bị sự cố.
b) Khi theo dõi 2 máy thì có đúng 1 máy bị sự cố. Tính xác suất chiếc máy bị sự cố đó là máy thứ nhất.
Câu 3. Xét một phần tư hình tròn tâm O bán kính bằng(0;0) a, kí hiệu OAB, với tọa độ tương ứng là
A(a;0) và B .(0;a)
a) Trên đoạn OA lấy ngẫu nhiên một điểm C. Tìm phân phối xác suất của độ dài đoạn OC.
b) Dựng một đường đi qua C, vuông góc với OA và cắt cung tròn tại điểm D. Tính kỳ vọng và phương
sai của độ dài đoạn CD.
Câu 4. Tiến hành 120 phép đo như nhau, độc lập, thì thấy sự kiện A xuất hiện 42 lần.
a) Xác định khoảng tin cậy đối xứng 99% cho tỷ lệ xuất hiện A.
b) Tính xác suất để sai số ước lượng của tỷ lệ trên bé hơn 10% tần suất mẫu.
Câu 5. Cân 150 con vịt người ta thu được bộ số liệu sau:
Khối lượng 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00
Số lượng 2 6 24 35 39 24 14 6
Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng khối lượng trung bình của lứa vịt trên lớn hơn 2 kg được không?
Chúc các bạn qua môn! 5
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Giải đề cuối kì 20172
Câu 1.
Xét phép thử chia ngẫu nhiên các áo thành n nhóm (mỗi nhóm 3 áo).
Tổng số kết cục đồng khả năng là: n = C
3
3
n
.C
3
3
n−3
...C
3
3
a) Gọi A= {Trong mỗi nhóm đều có áo trắng}
Số kết cục thuận lợi cho A là:
m
= n.C
2
2
n
.(n −1).C
2
2
n−2
... .1 C
2
2
⇒
P A( ) =
m
n
=
n.C
2
2
n
.(n −1).C
2
2
n−2
... .1 C
2
2
C
3
3
n
.C
3
3
n−3
...C
3
3
=
n
.
(2n)!
2! 2 2
( n − )!
.(n −1).
(2 2 !n − )
2! 2
( n −4)!
...1.
2!
2!
(3n)!
3! 3 3
( n − )!
.
(3 3 !n − )
3!
(3n −6)!
...
3!
3!
=
n n! 2.( )!
(
2!)
n
(3n)!
(
3!)
n
=
3
n
.
n!(2 !n)
( )
3n !
=
3
n
C
n
3n
b) Với
n = 5: P(A) =
3
5
C
5
15
=
81
1001
Câu 2.
a) Gọi A
i
= {Máy theo dõi là máy i}, i = 1,2 4,3,
Hệ {A
i
} tạo thành hệ đầy đủ với:
P A P A
(
1
) = (
2
) = P(A
3
) = P(A
4
) =
1
4
Gọi H = {Máy bị sự cố}
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
P P A P A P A P A(H) = P A(
1
) (H|
1
) + (
2
)P A P A(H|
2
) + (
3
) (H|
3
) + (
4
)P A(H|
4
)
trong đó:
P A P(H|A
1
) = 0 01, ; P(H|
2
) = 0,05; P(H|A
3
) = 0,1; (H|A
4
) = 0,1.
⇒
P(H) =
1
4
.0,01 +
1
4
.0,05 +
1
4
.0,1 +
1
4
.0,1 =
13
200
= 0, 065
b) Hệ {A A A A A
1 2
,A A
1
A
3
,
1 ,
A
2
A
3
,
2 4
,A A
3 4
} tạo thành hệ đầy đủ với:
P A A
(
1
A P A A P A A P A
2
) = (
1 3
) = P A A P A A(
1 4
) = (
2 3
) = (
2 4
) = (
3 4
) =
1
6
Chúc các bạn qua môn! 6
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Gọi K = {Có đúng 1 máy bị sự cố khi theo dõi 2 máy}
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
P A A A A P A A P P(K) = P(
1 2
)P(k|
1 2
) + (A A
1 3
)P(k|
1 3
) + P A A(
1 4
) (k|A A P A A
1 4
) + (
2 3
) (k|A A
2 3
) +
P A A A A P A A A A(
2 4
)P(k|
2 4
) + (
3 4
)P(k|
3 4
)
trong đó:
P A A(K|
1 2
) = 0,01 0 99 0 0 059.0,95 + , . ,05 = ,
P A A(K|
1 3
) = 0,01 0 99 0 108.0,90 + , . ,1 = 0,
P A A(K|
1 4
) = 0,01 0 99 0 108.0,90 + , . ,1 = 0,
P A A(K|
2 3
) = 0,05 95 0 14.0 0,9 + , .0, 1 = ,
P(K|A A
2 4
) = 0 05 0 95 0 14, . , 9 + 0, .0, 1 = ,
P A(K|
3
A
4
) = 0 0 0 18,1.0, 9 + ,9.0,1 = ,
⇒ P(K) = 0,1225
Gọi C = {Trong 2 máy thì máy bị sự cố là máy thứ nhất}
⇒CK = {Có đúng máy thứ nhất bị sự cố khi theo dõi 2 máy}
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
P(CK P A A) = (
1 2
)P(CK P|A A
1 2
) + P(A A
1 3
) (CK A A|
1 3
) + P(A A
1 4
)P(CK A|
1
A
4
) +
P A A(
2 3
)P(CK A A|
2 3
) + P(A
2
A
4
)P(CK A P A A|
2
A
4
) + (
3 4
)P(CK|A
3
A
4
)
trong đó:
P(CK)|A A
1 2
) = 0 01 0 0 0095, . , 95 = ,
P(CK)|A A
1 3
) = 0 01 0 0 009, . , 90 = ,
P(CK)|A A
1 4
) = 0 01 0 0 009, . , 90 = ,
P(CK)|A A
2 3
) = 0
P(CK)|A A
2 4
) = 0
P(CK)|A A
3 4
) = 0
⇒
P(CK) =
11
2400
Xác suất cần tính là:
P(C|K) =
P(CK)
P
(K)
=
11
2400
0
,1225
= 0, 0374
Câu 3.
a) Gọi X là độ dài đoạn OC thì X là biến ngẫu nhiên có phân phối đều, X ∼U[0,a], Hàm mật độ xác
suất của X:
f
X
(x) =
1
a
, x ∈ [ ]0,a
0, x /∈ [ ]0,a
Chúc các bạn qua môn! 7
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
b) Gọi Y là độ dài đoạn CD thì Y là biến ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện:
Y
=
(
√
a
2
−x
2
, x ∈ [ ]0,a
0, x /∈ [ ]0,a
Kì vọng của Y: E(Y) =
+∞
Z
−∞
Y f
X
(x)dx =
a
Z
0
1
a
p
a
2
−x
2
dx
Đặt x = asin cost ⇒ dx = a tdt
E(Y ) =
π
2
Z
0
1
a
.a
2
.cos
2
tdt a=
π
2
Z
0
1 + cos 2t
2
dt = a
t
2
+
sin2t
4
π
2
0
=
aπ
4
Có: E(Y
2
) =
+∞
Z
−∞
Y
2
f
X
(x)dx =
a
Z
0
1
a
(a
2
−x
2
)dx =
1
a
.
a
2
x −
x
3
3
a
0
=
2a
2
3
⇒
V (Y ) = E(Y
2
) −E(Y
2
) =
2a
2
3
−
a
2
π
2
16
=
2
3
−
π
2
16
a
2
Câu 4.
a) Gọi p là tỷ lệ cây cà phê có thu hoạch thấp.
f =
42
120
= 0 35, . Kiểm tra điều kiện:
n f = 42 > 5; n(1 − f ) = 78 5>
- Chọn thống kê
Z =
f − p
p
f (1 − p)
√
n.Z ∼ N(0,1)
- Khoảng tin vậy đối xứng của xác suất là:p
f −u
1−
α
2
r
f ( )1 − f
n
; f + u
1−
α
2
r
f f(1 − )
n
!
trong đó α = 0 01, ; u
1−
α
2
= u
0,995
= 2, 575 được tra từ bảng phân phối chuẩn.
- Với n = 120; m = 42; f = 0, 35 suy ra khoảng tin cậy đối xứng của p là:
0 2,35 − , 575.
r
0 35 0 65, . ,
120
; 0,35 + 2,575.
r
0 35 0 65, . ,
120
!
= (0, 2379; 0 4621, )
Vậy với độ tin cậy 95%, tỷ lệ cây cà phê có thu hoạch thấp từ 23,79% đến 46,21%
b) Xác suất cần tính là:
P(|p − p| < ε) = 2φ
ε
c
σ
p
trong đó:
Chúc các bạn qua môn! 8
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
ε
= 0 1, .0, 35 = 0,035;
c
σ
p
=
r
0 0,35. ,65
120
= 0, 0435
⇒ P(|p − p| < ε) = 2φ(0 8046 602, ) = 0,
Câu 5.
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ khối lượng trung bình của lứa vịt trên. E(X) = µ
- Đặt giả thuyết H
0
: µ = µ
0
. Đối thuyết H
1
: µ > µ
0
với µ
0
= 2
- Chọn tiêu chuẩn kiểm định:
U =
X −µ
0
s
√
n nếu H
0
đúng. U ∼ N(0, 1)
- Với α = 0,05 tra bảng phân phối chuẩn tắc có u
1−α
= u
0,95
= 1, 65. Miền bác bỏ H
0
là:
W
s
= (u
1−α
;+ + )∞) = (1 65;, ∞
- Từ số liệu đã cho, có: µ
0
= =2; n 150; x = 2,185; s = 0,3781 suy ra giá trị quan sát:
u
qs
=
x −µ
0
s
√
n =
2,185 2−
0
,3781
√
150 = 5,9925
- Vì u W
qs
∈
s
nên bác bỏ H
0
, chấp nhận H
1
, nghĩa là có thể cho rằng khối lượng trung bình của lứa vịt
trên lớn hơn 2kg với mức ý nghĩa 5%.
Chúc các bạn qua môn! 9
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Đề 1
ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20173
Mã học phần: MI2020
Câu 1. Một lô hàng có 15 sản phẩm gồm 6 loại A, 5 loại B và 4 loại C. Chọn ngẫu nhiên (không hoàn
lại) ra 4 sản phẩm.
a) Tính xác suất trong 4 sản phẩm đươc chọn có đúng 2 sản phẩm loại B.
b) Biết trong 4 sản phẩm được chọn có đúng 2 sản phẩm loại A. Tính xác suất để trong 4 sản phẩm
đó có đúng 1 sản phẩm loại C.
Câu 2. Một nhóm học sinh có 5 loại giỏi, 4 khá và 2 trung bình. Chọn ngẫu nhiên ra một nhóm gồm
2 học sinh.
a) Tính giá trị trung bình của số học sinh giỏi trong nhóm đó.
b) Biết trong nhóm 2 học sinh có ít nhất 1 loại khá. Tính xác suất để trong nhóm đó có đúng 1 học
sinh giỏi.
Câu 3. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ (phân phối Rayleigh)
f
(x) =
(
A.e
−x
2
4
x ≥ 0
0 x < 0
a) Tìm hằng số A.
b) Tính các đặc trưng định vị: E(X) và mod(X).
Câu 4. Số liệu dưới đây cho tỷ lệ phần trăm một hóa chất trong 11 mẫu một loại xi măng:
Tỷ lệ (%) 6 15 8 8 6 9 17 18 4 8 10
Với độ tin cậy 95% hãy tìm ước lượng khoảng cho tỷ lệ phần trăm trung bình của loại hóa chất trên
(giả sử tỷ lệ đó là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn).
Câu 5. Một mẫ gồm n = 64 sản phẩm có 4 sản phẩm lỗi. Có đủ bằng chứng để chấp nhận giá thuyết
"p > 5%" được không?
Cho mức ý nghĩa α = 5%, p ký hiệu tỷ lệ sản phẩm lỗi.
Chúc các bạn qua môn! 10
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Giải đề cuối kỳ 20173
Câu 1.
Xét phép thử chọn ngẫu nhiên (không hoàn lại) ra 4 sản phẩm.
Số kết cục đồng khả năng là: n = C
4
15
= 1365 cách
a) Gọi B ={Trong 4 sản phẩm được chọn có đúng 2 sản phẩm loại B}
Số kết cục thuận lợi cho B là: m = C
2
5
.C
2
10
= 450 cách
⇒
P(B) =
m
n
=
450
1365
=
30
91
b) Gọi A ={Trong 4 sản phẩm được chọn có đúng 2 sản phẩm loại A}
Số kết cục thuận lợi cho A là: p = C
2
6
.C
2
9
= 540 cách
⇒
P A( ) =
p
n
=
540
1365
=
36
91
Gọi H ={Trong 4 sản phẩm đó có đúng 1 sản phẩm loại C}
Xác suất cần tính là:
P A
(H| ) =
P AH( )
P A( )
trong đó:
P
(AH) =
C
2
6
.C
1
4
.C
1
5
C
4
15
=
20
91
⇒
P(H|A) =
P AH( )
P A
( )
=
20
91
36
91
=
5
9
Câu 2.
a) Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số học sinh giỏi trong số 2 người được chọn.
Gọi A
i
={Trong 2 người được chọn có i học sinh giỏi}, ={0,1,2}i
P P A
(X = 0) = (
0
) =
C
2
6
C
2
11
=
3
11
P P A
(X = 1) = (
1
) =
5.6
C
2
11
=
6
11
P P A
(X = 2) = (
2
) =
C
2
5
C
2
11
=
2
11
Chúc các bạn qua môn! 11
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Ta có bảng phân phối xác suất:
X 0 1 2
P 3/11 6/11 2/11
⇒
E(X) = 0.
3
11
+ 1.
6
11
+ 2.
2
11
=
10
11
b) Gọi H ={Trong 2 người được chọn có ít nhất 1 học sinh khá}
Xác suất cần tính là:
P A
(
1
|H) =
P A(
1
H)
P(H)
trong đó:
P A
(
1
H) =
5.4
C
2
11
=
4
11
P
(H) = 1−P(H) = 1 −
C
2
7
C
2
11
=
34
35
⇒
P A(
1
|H) =
P(A
1
H)
P
(H)
=
4
11
34
35
=
10
17
Câu 3.
a) Vì f (x) là hàm mật độ xác suất nên:
f (x) ≥ 0 ∀x ( )1
Z
+∞
−∞
f (x)dx = 1 ( )2
(1)
⇔ A.e
−x
2
4
≥ ≥0 ⇔ A 0
(2):
Đặt
g(x) =
1
√
2
√
2π
e
−
x
2
2 2
(
√
)
2
là hàm mật độ xác suất của BNN X có phân phối chuẩn.
X
∼ N(0; (
√
2) )
2
⇒
Z
+∞
−∞
g
(x)dx =
Z
+∞
−∞
1
√
2
√
2π
e
−
x
2
2 2
(
√
)
2
dx =
Z
+∞
−∞
1
2
√
π
e
−x
2
4
dx = 1
Có:
Z
+∞
−∞
f
(x)dx =
Z
+∞
0
A
.e
−x
2
4
dx =
Z
+∞
0
A
.2
√
π.
1
2
√
π
e
−x
2
4
dx = A
√
π 2.
Z
+∞
0
1
2
√
π
e
−x
2
4
dx
Do
1
2
√
π
e
−x
2
4
là hàm chẵn nên:
2
Z
+∞
0
1
2
√
π
e
−x
2
4
dx =
Z
+∞
−∞
1
2
√
π
e
−x
2
4
dx
Chúc các bạn qua môn! 12
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
⇒
Z
+∞
−∞
f
(x)dx =
Z
+∞
0
1
2
√
π
e
−x
2
4
dx = A
√
π
Z
+∞
−∞
1
2
√
π
e
−x
2
4
dx = A
√
π
⇒
Z
+∞
−∞
f
(x)dx = 1 ⇔ A
√
π = 1 ⇔ A =
1
√
π
(TM)
Vậy:
f
(x) =
1
√
π
e
−x
2
4
, x ≥ 0
0, trái lại
b)
E(X) =
Z
+∞
−∞
x f
(x)dx =
Z
+∞
0
1
√
π
xxe
−x
2
4
dx =
Z
+∞
0
−2
√
π
−x
2
e
−x
2
4
dx =
−2
√
π
Z
+∞
0
d
(e
−x
2
4
) =
2
√
π
Hàm mật độ xác suất có:
f
′
(x) =
−x
2
√
π
e
−x
2
4
, x ≥ 0
0, trái lại
đổi dấu sang âm khi đi qua x = 0, do đó đạt cực đại tại điểm này, nên modX = 0
Câu 4. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ tỷ lệ phần trăm một hóa chất trong các mẫu xi măng.
X
∼ N(µ; σ
2
) (.E X) = µ
- Chọn thống kê
T =
X −µ
s
√
n. Vì n = 11 < 30 nên T có phân phối Student với n −1 bậc tự do
- Sử dụng khoảng tin cậy đối xứng cho E(X ) = µ
x −t
n−1
1
−
α
2
.
s
√
n
; x + t
n−1
1
−
α
2
.
s
√
n
trong đó
t
n−1
1
−
α
2
=
t
10
0
,975
= 2, 228 được xác định từ bảng phân phối Student.
- Tính toán ta được: x = 9,9091;s = 4 6788;, n = 11. Khoảng tin cậy đối xứng là:
9,9091 −2,228
4,6788
√
11
;9 2 228,9091 + ,
4,6788
√
11
= (6, 77; 13 05, )
- Vậy với độ tin cậy 95%, tỷ lệ phần trăm trung bình một hóa chất trong các mẫu xi măng từ 6 77%,
đến .13 05%,
Chúc các bạn qua môn! 13
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Câu 5.
Gọi p là tỷ lệ sản phẩm lỗi
- Đặt giả thuyết H
0
: p = p
0
. Đối thuyết H
1
: p > p
0
với p
0
= 0, 05
- Chọn tiêu chuẩn kiểm định:
U =
f − p
0
p
p
0
(1 − p
0
)
√
n nếu H
0
đúng. U ∼ N( )0; 1
- Với α = 0 05, ,u
1−α
= u
0,95
= 1, 645 tra từ bảng phân phối chuẩn tắc. Miền bác bỏ H
0
là:
W
s
= (u
1−α
;+ + )∞) = (1,645; ∞
- Từ số liệu đề bài, ta có:
n = 64;m = 4 ⇒ f =
m
n
=
4
64
= 0, 0625 suy ra giá trị quan sát:
u
qs
=
f − p
0
p
p
0
(1 − p
0
)
√
n =
0,0625 −0,05
p
0 05 05, (1 −0, )
√
64 = 0,4588
- Vì u
qs
/∈W
s
nên chưa đủ cơ sở bác bỏ giả thuyết H
0
, nghĩa là có đủ bằng chứng để chấp nhận giả
thuyết " ".p > 5%
Chúc các bạn qua môn! 14
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Đề 1
ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20181
Mã học phần: MI2020
Câu 1. Ở một địa phương đàn ông chiếm 55% dân số. Theo thống kê tỷ lệ đàn ông bị bạch tạng là
0,4%, còn tỷ lệ trên của đàn bà là 0,32%.
a) Tìm tỷ lệ người bị bệnh bạch tạng ở địa phương đó.
b) Gặp ngẫu nhiên một người bị bạch tạng, tính xác suất đó là đàn ông.
Câu 2. Một máy đếm người vào một siêu thị có tỷ lệ đếm sót là 0,018. Giả sử trong vòng 1 giờ nào
đó có 500 khách vào siêu thị.
a) Tính kỳ vọng và phương sai của số người được máy đếm trong số 500 người nói trên.
b) Tính xác suất để máy này đếm sót từ 6 đến 10 người trong số 500 người đó.
Câu 3. Một linh kiện điện tử có thời gian hoạt động X là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với hàm
mật độ của
X là: f (x) = λ .e
−λ .x
,x > 0.
a) Xác định phân phối xác suất cho thời gian hoạt động của một mạng gồm 2 linh kiện loại trên mắc
song song.
b) Tính kỳ vọng và phương sai của thời gian hoạt động của mạng đó.
Câu 4. Ở một trung tâm giống cây trồng, theo dõi 3070 cây cà phê thì có 1135 cây cho thu hoạch
thấp.
a) Với độ tin cậy 95% hãy xác định khoảng tin cậy cho tỷ lệ cây cà phê có thu hoạch thấp.
b) Tần suất cà phê có thu hoạch thấp có là ước lượng không chệch của tỷ lệ cây cho thu hoạch thấp
không? Tại sao?
Câu 5. Theo dõi thời gian bắt đầu có tác dụng của một loại thuốc trên một nhóm bệnh nhân trước và
sau khi mổ dạ dày, ta thu được bộ số liệu (giả sử thời gian trên có phân phối chuẩn):
Bệnh nhân 1 2 3 4 5 6 7 8
Trước mổ 44 51 52 55 66 68 70 71
Sau mổ 52 64 60 74 55 67 75 65
Hỏi thời gian tác dụng của thuốc trước và sau mổ có khác nhau không với mức ý nghĩa 1%?
Phụ lục: trích Bảng hàm phân phối chuẩn
x 1,282 1,645 1,96 2 2,576 3
Φ(x) 0,90 0,95 0,975 0,9772 0,995 0,9987
Hàm Laplace φ(x) = Φ(x) - 0,5.
Chúc các bạn qua môn! 15
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Giải đề cuối kỳ 20181
Câu 1.
Gọi A
1
={Gặp được đàn ông}; A
2
={Gặp được đàn bà}
Hệ A
1
; A
2
tạo thành hệ đầy đủ với:
P A(
1
) = 0,55; P(A
2
) = 0 45,
a) Gọi A ={Gặp được người bị bạch tạng}
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
P A P A A( ) = P(A
1
) ( |
1
) + P(A
2
)P(A|A
2
)
trong đó:
P A A( |
1
) = 0,4; P(A|A
2
) = 0,32
⇒ P A( ) = 0,55 0 45 0 0 364.0,4 + , . ,32 = ,
b) Xác suất cần tính là:
P A
(
1
|A) =
P A A(
1
)
P A
( )
=
P A(
1
)P(A|A
1
)
P A
( )
=
0 55 0 4, . ,
0
,364
= 0 6044,
Câu 2.
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số người do máy đếm được. X ∼B p(n; ) với n = 500; p = 0 982,
a) ngườiE(X) = np = 500 0. , 982 = 491
V (X) = np(1 − p) = 500 0.0,982 = ,018 838= 8,
b) Sự kiện Máy này đếm sót từ 6 đến 10 người trong số 500 người tương đương với máy đếm được
490 đến 494người trong số 500 người đó.
Xác suất cần tính là:
P(490 ≤ X ≤ 494) =
494
∑
k=490
C
k
500
.0,982
k
.0,018
500−k
=
0 5936,
Câu 3.
a) Gọi X
1
, X
2
lần lượt là biến ngẫu nhiên chỉ thời gian hoạt động của 2 linh kiện trong mạch.
Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ thời gian hoạt động của mạng lắp song song. Khi đó ta có:
Y = max X(
1
, X
2
) > 0
Chúc các bạn qua môn! 16
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Có:
F
Y
(y P) = (Y < y) = P(X y X
1
< ;
2
< y P X) = (
1
< y)P(X
2
< y) (do tính độc lập)
=
Z
y
−∞
f
X
(x)dx
2
=
Z
y
−∞
λ
e
−λ x
dx
2
= (
1 −e
−λ y
)
2
Vậy ta có hàm phân phối xác suất:
F
Y
(y) =
(
(1 −e
−λ y
)
2
, y > 0
0, trái lại
b) Từ hàm phân phối xác suất, ta có hàm mật độ:
f
Y
(y) =
(
2λ e
−λ y
(1 −e
−λ y
), y > 0
0, trái lại
Có: Hàm Gamma:
Γ(z) =
Z
+∞
0
x
z−1
e
−x
dx
E
(Y ) =
Z
+∞
−∞
y f
Y
(y)dy =
Z
+∞
0
2
λ ye
−λ y
dy −
Z
+∞
0
2
λ ye
−2λ y
dy =
2
λ
Γ(2) −
1
2
λ
Γ(2) =
3
2λ
E
(Y
2
) =
Z
+∞
−∞
y
2
f y
Y
( )dy =
Z
+∞
0
2
λ y
2
e
−λ y
dy −
Z
+∞
0
2
λ y
2
e
−2λ y
dy =
2
λ
2
Γ(3)−
1
4
λ
2
Γ(3) =
7
2
λ
2
⇒
V (Y ) = E(Y
2
) −[E(Y )]
2
=
7
2
λ
2
−
9
4
λ
2
=
5
4
λ
2
Câu 4.
a) Gọi
p là tỷ lệ cây cà phê có thu hoạch thấp. f =
1135
3070
= 0 3697, . Kiểm tra điều kiện:
n f = 1135; n(1 − f ) = 1935 5>
- Chọn thống kê
Z =
f − p
p
f (1 − f )
√
n. Z ∼ N(0;1)
- Khoảng tin cậy đối xứng của xác suất là:p
( f −u
1−
α
2
r
f f(1 − )
n
; f + u
1−
α
2
r
f f(1 − )
n
)
trong đó α = 0,05, u
1−
α
2
= u
0,975
= 1, 96 được tra từ bảng phân phối chuẩn.
- Với n = 3070 1135, m = , f = 0, 3697 suy ra khoảng tin cậy đối xứng của là:p
0 96,3697 −1, .
r
0 3697 0 6303, . ,
3070
; 0,3697 +1,96.
r
0 3697 6303, .0,
3070
= (0, 3526; 0 3868, )
Vậy với độ tin cậy 95% tỷ lệ cây cà phê có thu hoạch thấp từ 35,26% đến 38 68%,
b) Có:
f =
m
n
mà m ∼ B(n; p)
⇒
E( f ) =
E( )m
n
= p nên f là ước lượng không chệch của .p
Chúc các bạn qua môn! 17
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Câu 5.
Gọi X , Y lần lượt là thời gian bắt đầu có tác dụng của một loại thuốc trước và sau khi mổ dạ dày.
Ta có: X ∼ N(µ
1
;σ
2
1
); Y ∼ N(µ
2
;σ
2
2
).n
1
= n
2
= 8
Đặt Z = X −Y , thiết lập hiệu :z x y
i
=
i
−
i
, i = 1, 2,...,8
X 44 51 52 55 66 68 70 71
Y 52 64 60 74 55 67 75 65
Z -8 -13 -8 -19 11 1 -5 6
- Đặt giả thuyết H
0
: µ = µ
0
; đối thuyết H
1
: µ 6= µ
0
với .µ
0
= 0
- Chọn tiêu chuẩn kiểm định:
T =
Z −µ
0
s
√
n nếu H
0
đúng. T ∼ T (n −1)
- Với
α = 0, 01 Tra bảng phân phối Student ta được t
n−1
1
−
α
2
=
t
7
0
,995
= 3, 499. Miền bác bỏ giả thuyết H
0
là:
W
α
=
−∞; −t
n−1
1
−
α
2
∪
t
n−1
1
−
α
2
;
+∞
= (−∞; −3 499, ) ∪(3, 499; +∞)
- Từ số liệu đầu bài, tính toán ta được: n = 8; z s= −4,375; = 9, 913 với µ
0
= 0 suy ra giá trị quan sát:
t
qs
=
z −µ
0
s
√
n =
−4,375 0−
9
,913
√
8 = −1 2483,
- Vì t
qs
= −1, 2483 /∈W
qs
nên chưa có cơ sở bác bỏ giả thuyết H
0
, nghĩa là số liệu này có thể cho rằng
thời gian tác dụng của thuốc trước và sau mổ là như nhau với mức ý nghĩa .1%
Chúc các bạn qua môn! 18
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Đề 1
ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20182
Mã học phần: MI2020
Câu 1. Cho 3 sự kiện A, B, C độc lập từng đôi (2 sự kiện bất kỳ luôn độc lập với nhau) thỏa mãn:
P A P B( ) = ( ) = P(C) = p và P(ABC) = 0.
a) Tính P(A B. .C), P(A B. .C).
b) Tìm giá trị lớn nhất có thể có.p
Câu 2. Một nhà máy có hai phân xưởng cùng sản xuất bóng đèn. Số bóng đèn do phân xưởng 2 sản
xuất gấp 2 lần số bóng đèn do phân xưởng 1 sản xuất. Tỷ lệ phế phẩm của 2 phân xưởng tương ứng là
0,005 và 0,008. Lấy ngẫu nhiên 1 bóng đèn của nhà máy để kiểm tra thì thấy là phế phẩm. Tính xác
suất bóng đèn đó do phân xưởng 2 sản xuất.
Câu 3. Có hai lô hàng I và II, mỗi lô chứa rất nhiều sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm loại A có trong hai lô
I và II lần lượt là 70% và 80%. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản phẩm.
a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A lấy từ lô I lớn hơn số sản phẩm loại A lấy từ lô II.
b) Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 4 sản phẩm được lấy ra. Tìm kỳ vọng và phương sai của X.
Câu 4. Khảo sát trọng lượng X(kg) của 200 con lợn xuất chuồng ta được bảng số liệu sau:
X(kg) [85-95) [95-105) [105-115) [115-125) [125-135) [135-145)
Số lợn 10 30 45 80 30 5
Với độ tin cậy 90% hãy ước lượng khoảng cho trọng lượng trung bình của đàn lợn xuất chuồng.
Câu 5. Với số liệu ở câu 4 và mức ý nghĩa 5%, liệu có thể khẳng định rằng tỷ lệ lợn xuất chuồng có
trọng lượng thấp hơn 115kg là ít hơn 50% hay không?
Phụ lục: trích Bảng phân phối chuẩn
x 1,282 1,645 1,96 2 2,576 3
Φ(x) 0,90 0,95 0,975 0,9772 0,995 0,9987
Hàm Laplace .φ(x) = Φ(x) −0, 5
Chúc các bạn qua môn! 19
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Giải đề cuối kì 20182
Câu 1:
a,
•
P AB( C) = P(AB P ABC AB P B p) − ( ) = P( ) = P(A). ( ) =
2
• P(A B C) = 1 −P(A +B +C)
= 1 −[P(A) + ) +P(B P(C) −P(AB) −P(AC BC P ABC) −P( ) + ( )]
=
1 −3p + 3p
2
b,
•
P(AB C) = P(A P) − (ABC P ABC ABC) − ( ) −P( ) = p −2p
2
Vậy:
• P ABC( ) = 0
•
P AB( C) = P(ABC ABC) = P( ) = p
2
•
P(AB C) = P(ABC) = P(A BC) = p−2p
2
•
P(A B C) = 1 −3p + 3p
2
Điều kiện: Các xác suất thuộc [0;1]
⇔
0
≤ p
2
≤ 1
0
≤ p −2p
2
≤ 1
0
≤ 1 −3 3p − p
2
≤ 1
⇔
0 ≤ p ≤
1
2
⇒ p
max
=
1
2
Câu 2:
Gọi H = {Sản phẩm đó là phế phẩm}
Gọi A
i
= {Sản phẩm đó do phân xưởng i sản xuất}, i = {1, 2}
Hệ {A
i
} tạo thành hệ đầy đủ với:
(
2P A P A(
1
) = (
2
)
P A
(
1
) + P A(
2
) = 1
⇔
P A
(
1
) =
1
3
P A
(
2
) =
2
3
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
P P A A(H) = (
1
)P A(H|
1
) + P(
2
)P A(H|
2
)
với: P A(H|
1
) = 0,005; P(H|A
2
) = 0,008
⇒
P(H) =
1
3
.0,005 +
2
3
.0,008 = 0,007
Xác suất cần tính là:
P A
(
2
|H) =
P A(
2
H)
P
(H)
=
P A(
2
)P(H|A
2
)
P
(H)
=
2
3
.0,008
0
,007
=
16
21
Chúc các bạn qua môn! 20
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Câu 3:
Gọi X
1
,X
2
lần lượt là số sản phẩm loại A được lấy từ lô hàng I và II. X
1 2
∼ B( )2;0, 7 ; X ∼ B(2; 0,8)
a, Xác suất cần tính là:
P X(
1
> X
2
) = P(X
1
= 1, X
2
= 0) +P(X
1
= 2, X
2
= 0) +P(X
1
= 2, X
2
= 1)
= P(X
1
= 1)P X(
2
= 0) +P(X
1
= 2)P(X
2
= 0) +P X(
1
= 2) (P X
2
= 1) (Do tính độc lập)
=
C
1
2
.0,7
1
.0,3
1
.C
0
2
.0,8
0
.0,2
2
+C
2
2
.0,7
2
.0,3
0
.C
0
2
.0,8
0
.0,2
2
+C
2
2
.0,7
2
.0,3
0
.C
0
2
.0,8
1
.0,2
1
= 0, 1932
b, X là số sản phẩm loại A có trong 4 sản phẩm được lấy ra. ⇒ X = X
1
+ X
2
Do tính độc lập nên:
• E E(X) = (X
1
+ X
2
) = E(X
1
) + E(X
2
) = 2 0 2 0 3. , 7 + . , 8 =
• V (X) = V (X
1
+ X
2
) = V (X
1 2
) +V (X ) = 2 0 0 74. , 7.0 2,3 + .0, 8.0,2 = ,
Câu 4:
- Gọi X là trọng lượng lợn trong trại nuôi. X ∼ N(µ,σ
2
) (; E X) = µ
- Chọn thống kê:
U =
X −µ
s
√
n. Vì n = 200 > 30 nên thống kê U ∼ N(0; 1)
- Khoảng tin cậy đối xứng cho E(X ) = µ là:
x −u
1−
α
2
.
s
1
√
n
1
; x + u
1−
α
2
.
s
1
√
n
1
trong đó, α = 0,1; u
1−
α
2
= u
0,95
= 1, 645 được tra từ bảng phân phối chuẩn tắc.
- Tính toán ta được: x = = =115,25; s
1
11,4276; n
1
200. Khoảng tin cậy đối xứng:
115 1 645,25 − , .
11 4276,
√
200
; 115,25 +1 645, .
11 4276,
√
200
= (113 5792,9208; 116, )
- Với độ tin cậy 90%, trọng lượng trung bình của đàn lợn xuất chuồng từ 113,9208 đến 116,5792 kg.
Câu 5:
- Gọi p là tỷ lệ lợn xuất chuồng có trọng lượng thấp hơn 115kg.
- Đặt giả thuyết H
0
: p = p
0
. Đối thuyết H
1
: p < p
0
với p
0
= 0, 5.
- Chọn tiêu chuẩn kiểm định:
U =
f − p
0
p
p
0
(1 − p
0
)
√
n nếu H
0
đúng. Vì n p.
0
= n(1 − p
0
) = 200.0,5 =
100 khá lớn nên U ∼ N(0;1)
- Với α = =0,05; u
1−α
u
0,95
= 1, 645 tra từ bảng phân phối chuẩn tắc. Miền bác bỏ H
0
là:
W
s
= (∞; −u
1−α
) = (∞; −1, 645)
- Từ số liệu đề bài ta có:
n = 200; m = 85 ⇒ f =
m
n
=
85
200
= 0, 425 suy ra giá trị quan sát:
u
qs
=
f − p
0
p
p
0
(1 − p
0
)
√
n =
0 0,425 − , 5
0 0 5
,5(1 − , )
√
200 = −2,21
- Vì u
qs
∈W
s
nên bác bỏ giá thuyết H
0
, nghĩa là có thể khẳng định rằng tỷ lệ lợn xuất chuồng có trọng
lượng thấp hơn 115kg là ít hơn 50% với mức ý nghĩa 5
Chúc các bạn qua môn! 21
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Đề 1
ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20183
Mã học phần: MI2020
Câu 1. Có một nhóm 4 sinh viên, mỗi người có một chiếc mũ giống hệt nhau để trên giá. Khi ra khỏi
phòng, mỗi người lấy ngẫu nhiên một chiếc mũ để đội. Tính xác suất để:
a) Sinh viên thứ nhất và sinh viên thứ ba lấy đúng mũ của mình.
b) Có ít nhất một sinh viên lấy đúng mũ của mình.
Câu 2. Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm loại I và 3 sản phẩm loại II. Tiền lãi
khi bán được mỗi sản phẩm loại I là 50 nghìn đồng, mỗi sản phẩm loại II là 20 nghìn đồng.
a) Ngày thứ nhất lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng ra 3 sản phẩm và đã bán hết cả 3 sản phẩm đó. Tìm kỳ
vọng của số lãi thu được.
b) Ngày thứ hai lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng ra 2 sản phẩm. Tính xác suất để thu được 100 nghìn đồng
tiền lãi khi bán 2 sản phẩm này.
Câu 3. Cho biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (X .Y ) có hàm mật độ xác suất là:
f
X,Y
(x,y) =
(
k
2
x
2
, nếu −1 ≤ ≤x 1,0 ≤ y ≤ x
2
,
0, nếu trái lại.
a) Tìm
k. b) Tính P
Y ≤
1
4
Câu 4. Một công ty dự định mở một siêu thị tại khu dân cư A. Để đánh giá khả năng mua hàng của
khách hàng tại khu vực này, người ta đã điều tra ngẫu nhiên thu nhập trong một tháng của 100 gia
đình và thu được bảng số liệu sau:
Thu nhập (triệu đồng) 34,0 34,5 35,0 35,5 36,0 36,5 37,0 37,5
Số gia đình 5 10 15 20 29 10 6 5
a) Theo bộ phận tiếp thị thì chỉ nên mở siêu thị tại A nếu thu nhập trung bình của các gia đình phải
lớn hơn 35,5 triệu đồng/tháng. Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết có nên mở siêu thị tại khu dân
cư A hay không?
b) Tìm khoảng tin cậy cho tỷ lệ các gia đình có thu nhập ≥ 35,5 triệu đồng/tháng với độ tin cậy 95%.
Câu 5. Điều tra ngẫu nhiên thu nhập của 100 hộ gia đình ở khu dân cư B thấy thu nhập bình quân là
35,8 triệu đồng/tháng và độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh là 1,1055 triệu đồng. Với mức ý nghĩa 5%, có
thể kết luận thu nhập bình quân ở khu dân cư B cao hơn ở khu dân cư A (với số liệu câu 4) hay không?
Phụ lục: trích Bảng phân phối chuẩn
x 1,000 1,585 1,645 1,960 2,377 2,575
Φ(x) 0,8413 0,9429 0,9500 0,9750 0,9933 0,9950
Chúc các bạn qua môn! 22
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Giải đề cuối kì 20183
Câu 1:
a, Xét phép thử mỗi người lấy ngẫu nhiên một chiếc mũ để đội.
• Số kết cục đồng khả năng là: n = 4! = 24 cách
• Gọi A = {Sinh viên thứ nhất và thứ ba lấy đúng mũ của mình}
• Số kết cục thuận lợi cho A là: m = 1. .1 2.1 = 2 cách
⇒
P A( ) =
m
n
=
2
24
=
1
12
b, Gọi B = {Có ít nhất một sinh viên lấy đúng mũ của mình}
Gọi A
i
= {Sinh viên thứ i lấy đúng mũ của mình}, i = {1,2,3,4}
Xác suất cần tính là:
P B A A( ) = P A(
1
+
2
+ A
3
+
4
)
=
4
∑
i=1
P A P A A P A(
i
) −P(A
1
A P
2
) − (A A
1 3
) − (
1 4
) − (A
2 3
) −P(A A P
2 4
) − (A A
3 4
)
+ P( (A A A
1 2 3
) + )+ ) +P(A
1
A A
2 4
P(A A A
1 3 4
P(A A A
2 3 4
) −P A
1
A A
2 3
A
4
)
Trong đó:
•
P A(
1
) = P(A
2
) = P(A
3
) = P(A
4
) =
1
4
•
P(A
1
A
2
) = P(A
1
A
3
) = P(A
1
A
4
) = P(A
2
A
3
) = P(A
2
A
4
) = P(A
3
A
4
) =
1 1 2 1. . .
24
=
1
12
•
P(A
1
A
2
A
3
) = P(A
1
A
2
A
4
) = P(A
1
A
3
A
4
) = P(A
2
A
3
A
4
) =
1. . .1 1 1
24
=
1
24
•
P(A
1
A
2
A
3
A
4
) =
1 1 1. . .1
24
=
1
24
⇒
P B( ) = 4.
1
4
−6.
1
12
+ 4.
1
24
−
1
24
=
5
8
Câu 2:
a, Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số tiền lãi thu được. X = {60, 90, 120, 150}
Gọi A
i
= {Trong ngày đầu bán được i sản phẩm loại I}, i = {0, 1, 2, 3}
•
P P A(X = 60) = (
0
) =
C
3
3
C
3
10
=
1
120
•
P P A(X = 90) = (
1
) =
7.C
2
3
C
3
10
=
7
40
•
P(X = 120) = P(A
2
) =
C
2
7
.3
C
3
10
=
21
40
•
P(X = 150) = P(A
3
) =
C
3
7
C
3
10
=
7
24
Chúc các bạn qua môn! 23
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Ta có bảng phân phối xác suất:
X 60 90 120 150
P 1/120 7/40 21/40 7/24
⇒
E(X) = 60.
1
120
+ 120.
21
40
+ 150.
7
24
= 123
b, Gọi A = {Ngày thứ hai thu được 100 nghìn đồng tiền lãi khi bán 2 sản phẩm}
Hệ {A
i
} tạo thành hệ đầy đủ.
P A P A A P A P P P A A( ) = P A(
0
) ( |
0
) + (
1
)P A A( |
1
) + (A
2
)P A A( |
2
) + (A
3
) ( |
3
)
=
1
120
.
C
2
7
C
2
7
+
7
40
.
C
2
6
C
2
7
+
21
40
.
C
2
5
C
2
7
+
7
24
.
C
2
4
C
2
7
=
7
15
= 0 4667,
Câu 3:
a, Ta giải hệ phương trình:
k
2
.x
2
≥ 0, với
(
−1 ≤ x ≤ 1
0
≤ ≤y x
2
∞
Z
−∞
∞
Z
−∞
k
2
.x
2
dx dy = 1
⇒
k ≥ 0
1
Z
−1
dx
x
2
Z
0
k
2
.x
2
dy = 1
⇒ k = 5 (Thoả mãn)
⇒
f
X,Y
(x,y) =
5
2
.x
2
, với
(
−1 ≤ ≤x 1
0
≤ y ≤ x
2
0, trái lại
b, Ký hiệu D là miền trên đó f
X,Y
(x,y) 6= 0
D
= {(x,y) ∈ R
2
|−1 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ x
2
}
⇒
P
Y ≤
1
4
=
ZZ
D
∩
(
y≤
1
4
)
f
X,Y
(x,y) = 2.
1
2
Z
0
dx
x
2
Z
0
5
2
.x
2
dy + 2.
1
Z
1
2
dx
1
4
Z
0
5
2
.x
2
dy
= 2.
1
2
Z
0
5
2
.x
4
dx + 2.
1
Z
1
2
5
8
.x
2
dx
= 0, 3958
Chúc các bạn qua môn! 24
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Câu 4:
a, Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ thu nhập trong một tháng của các hộ gia đình tại A. E(X ) = µ
1
- Đặt giả thuyết H
0
: µ µ
1
=
0
. Đối thuyết H
1
: µ
1
> µ
0
với µ
0
= 35 5,
- Chọn tiêu chuẩn kiểm định:
U =
X −µ
0
s
√
n nếu H
0
đúng. U ∼ N( )0; 1
- Với α = 0,05 tra bảng phân phối chuẩn tắc, có u
1−α
= u
0,95
= 1, 65. Miền bác bỏ H
0
là:
W
s
= (u
1−α
; +∞) = (1, 65; + )∞
- Từ số liệu đã cho, có: µ
0
= 35, 5; n
1
= 100; x s
1
= 35, 685;
1
= 0, 8547 suy ra giá trị quan sát:
u
qs
=
x
1
= µ
0
s
1
√
n
1
=
35 35 5,685 − ,
0
,8547
√
100 = 2 1645,
- Vì u W
qs
∈
s
nên bác bỏ H
0
, chấp nhận H
1
, nghĩa là có nên mở siêu thị tại khu dân cư A với mức ý
nghĩa 5%.
b, Gọi p là tỷ lệ các gia đình có thu nhập ≥ 35,5 triệu đồng/tháng ở khu A. Kiểm tra điều kiện:
n n
1
f = 100.0,7 = 70 > 5;
1
(1 − f ) = 100 0. ,3 = 30 5>
- Chọn thống kê:
Z =
f − p
p
f (1 − f )
√
n. Z ∼ N(0;1)
- Khoảng tin cậy đối xứng của xác suất p là:
f −u
1−
α
2
r
f ( )1 − f
n
; f + u
1−
α
2
r
f (1 − f )
n
!
trong đó u
1−
α
2
= u
0,975
= 1, 96 được tra từ bảng phân phối chuẩn tắc.
- Với
n
1
= 100; m = 70; f =
m
n
1
= 0, 7 suy ra khoảng tin cậy đối xứng của p là:
0,7 −1,96.
r
0 7, 7(1 −0, )
100
; 0, ,7 + 1 96.
r
0,7 7(1 −0, )
100
!
= (0, 6102; 0, 7898)
- Vậy với mức ý nghĩa 5%, tỷ lệ các gia đình có thu nhập ≥ 35,5 triệu đồng/tháng ở khu A từ 61,02%
đến 78,98%
Chúc các bạn qua môn! 25
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Câu 5:
- Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ thu nhập trong một tháng của các hộ gia đình tại B. E(Y ) = µ
2
.
Giả sử σ
2
1
= σ
2
2
- Đặt giả thuyết H
0
: µ
1
= µ
2
. Đối thuyết H
1
: µ
1
< µ
2
- Chọn tiêu chuẩn kiểm định:
U =
X −Y
s
s
2
1
n
1
+
s
2
2
n
2
nếu giả thuyết H
0
đúng. U ∼ N( )0; 1
- Với α = =0,05 tra bảng phân phối chuẩn tắc được u
1−α
= u
0,95
1,645. Miền bác bỏ H
0
là:
W
s
= (−∞; −u
1−α
) = (− −∞; 1 645, )
- Từ số liệu đã cho, có: n s
1
= 100; n
2
= 100; x = 35,685; s
1
= 0, 8547; y = 35,8;
2
= 1, 1055
⇒
u
qs
=
x −y
s
s
2
1
n
1
+
s
2
2
n
2
=
35 35 8,685 − ,
r
0,8547
2
100
+
1,1055
2
100
= −0 8230,
- Vì u
qs
/∈W
s
nên chưa có cơ sở bác bỏ H
0
, nghĩa là chưa thể kết luận thu nhập bình quân ở khu dân
cư B cao hơn ở khu dân cư A với mức ý nghĩa 5%.
Chúc các bạn qua môn! 26
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Đề 1
ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20191
Mã học phần: MI2020
Câu 1. Có ba hộp I, II, III đựng bóng đèn. Hộp I có 8 bóng đèn màu đỏ, 2 bóng đèn màu xanh; hộp
II có 7 bóng đèn màu đỏ, 3 bóng đèn màu xanh; hộp III có 6 bóng đèn màu đỏ, 4 bóng đèn màu xanh.
a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bóng đèn. Tính xác suất để được 3 bóng cùng màu.
b) Lấy ngẫu nhiên ra một hộp rồi từ đó lấy ngẫu nhiên ra 3 bóng đèn thì được 2 bóng màu đỏ, 1 bóng
màu xanh. Tính xác suất để các bóng đèn này được lấy từ hộp I.
Câu 2.
Cho hàm mật độ xác suất f
X
(x) =
3e
−3x
, nếu x ≥ 0
0
, nếu x < 0
của biến ngẫu nhiên liên tục X và
định nghĩa Y = [X] là số nguyên lớn nhất không vượt quá X (nghĩa là [x] = 0 nếu 0 ≤ x < 1, [x] = 1
nếu ...).1 ≤ x < 2
a) Tính P(Y = 0) b) Tính E(Y )
Câu 3. Cho U và V là hai biến ngẫu nhiên liên tục, độc lập với nhau và có cùng phân phối đều trên
[10;30].
a) Tìm hàm mật độ xác suất đồng thời f
U,V
(u,v) của biến ngẫu nhiên hai chiều (U,V ).
b) Tính P(|U −V |< 10)
Câu 4. Để điều tra doanh thu của các gia đình kinh doanh loại mặt hàng A tại địa phương , người taB
khảo sát 100 gia đình kinh doanh loại mặt hàng này trong một tháng của năm 2019 thu được bảng số
liệu:
Doanh thu (triệu VNĐ) 25 30 35 40 45 50 55 60 65
Số gia đình 4 9 17 25 20 10 8 4 3
a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng doanh thu trung bình/tháng của các gia đình kinh doanh loại
mặt hàng A tại địa phương .B
b) Một tài liệu thống kê cho biết doanh thu trung bình/tháng của các gia đình kinh doanh loại mặt
hàng A tại địa phương B là 40 triệu VND. Hãy cho kết luận về tài liệu nói trên với mức ý nghĩa
5%.
Câu 5. Điều tra doanh thu của 200 gia đình kinh doanh loại mặt hàng , người ta tínhA ở địa phương C
được doanh thu trung bình/tháng là 43 triệu VNĐ và độ lệch tiêu chuẩn của mẫu hiệu chỉnh là 8,912
triệu VNĐ. Doanh thu trung bình loại mặt hàng (với số liệu ở câu 4) có nhưA ở địa phương C và B
nhau hay không? Hãy kết luận với mức ý nghĩa 1%.
Phụ lục: trích Bảng phân phối chuẩn
x 1,000 1,585 1,645 1,960 2,377 2,575
Φ(x) 0,8413 0,9429 0,9500 0,9750 0,9933 0,9950
Chúc các bạn qua môn! 27
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Giải đề cuối kì 20191
Câu 1:
a, Xét phép thử lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bóng đèn.
Tổng số kết cục đồng khả năng là: n = 10 10. .10 = 1000 cách.
Gọi A = {Lấy được 3 bóng cùng màu}.
Số kết cục thuận lợi cho A là: m = 8 7. .6 + 2.3.4 = 360 cách
⇒
P(A) =
m
n
=
360
1000
= 0, 36
b, Gọi A
i
= {Số bóng lấy ra được lấy từ hộp i}, .i = 1 2, ,3
Hệ {A
i
} tạo thành hệ đầy đủ với:
P
(A A
1
) = P(
2
) = P(A
3
) =
1
3
Gọi B = {Lấy ra được 2 bóng màu đỏ, 1 bóng màu xanh}
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
P P P P(B) = P(A
1
) ( B|A
1
) + (A A
2
)P (B|
2
) + (A A
3
)P (B|
3
)
với:
P
(B|A
1
) =
C
2
8
.2
C
3
10
=
7
15
P( B|A
2
) =
C
2
7
.3
C
3
10
=
21
40
P( B|A
3
) =
C
2
6
.4
C
3
10
=
1
2
P
(B) =
1
3
.
7
15
+
1
3
.
21
40
+
1
3
.
1
2
= 0, 4972
Xác suất cần tính là:
P
(A
1
|B) =
P( )A
1
B
P
(B)
=
P(A
1
)P (B|A
1
)
P
(B)
=
1
3
.
7
15
0
,4972
= 0, 3129
Câu 2:
a, Y = 0 xảy ra khi 0 ≤ X < 1
P(Y = 0) = P (0 ≤ X < 1) =
1
Z
0
3 0
.e
−3x
dx = 1 −e
−3
= ,9502
b, Ta có:
P(Y = y) = P (y ≤ X < y + 1) =
y+1
Z
y
3 1
.e
−3x
dx =
1 −e
−3
e
−3y
, y = 0, , 2 ...
⇒
E (Y ) =
1 −e
−3
∞
∑
y=0
ye
−3y
Có:
∞
∑
y=0
kx
k−1
=
∞
∑
y
=0
x
k
′
=
∞
∑
y=0
x
k
!
′
=
∞
∑
y=0
x
k
−1
!
′
=
1
1
−x
−1
′
=
x
1
−x
′
=
1
(
1 −x)
2
Chúc các bạn qua môn! 28
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
⇒
E (Y ) =
1 −e
−3
∞
∑
y=0
ye e
−3y
=
1 −
−3
∞
∑
y=1
ye e
−3y
= e
−3
1 −
−3
∞
∑
y=1
ye
−3 1(y− )
=
e
−3
1 −e
−3
.
1
( )
1 −e
−3
2
=
1
e
3
−1
= 0 0524,
Câu 3:
a, Vì U và V là hai biến ngẫu nhiên liên tục, có phân phối đều trên nên:[10;30]
f
U
(u) =
(
1
20
,u ∈ [10; 30]
0,trailai
f
V
(v) =
(
1
20
,u ∈ [10; 30]
0,trailai
Mặt khác vì U và V độc lập nên:
f
U,V
(u,v) =
(
1
400
,(u, v) ∈ [10;30]
0,trailai
2
b,
P
(|U −V | < 10) =
ZZ
D∩S
U,V
f
U,V
( (u,v) dudv,D =
u,v) ∈R
2
: |u −v| < 10
Sử dụng tính chất của tích phân hai lớp ta được:
P
(|U −V | < 10) =
1
400
.
20
2
−10
2
=
3
4
= 0, 75
Câu 4:
a, Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ doanh thu của các gia đình kinh doanh loại mặt hàng A tại địa
phương B.
X ∼ N
µ
1
,σ
2
1
. E (X) = µ
1
.
•
Chọn thống kê U =
X −µ
S
√
n. Vì n = 100 > 30 nên U ∼N ( )0,1
• Sử dụng khoảng tin cậy đối xứng cho E (X ) = µ
1
:
x −u
1−
α
2
.
s
1
√
n
;x + u
1−
α
2
.
s
1
√
n
Trong đó u
1−
α
2
= u
0,975
= 1, 96 được xác định từ bảng phân phối chuẩn tắc.
• Từ số liệu vừa tính toán ta có khoảng tin cậy đối xứng là:
42 96,4 −1, .
9,2245
√
100
;42 1 96,4 + , .
9,2245
√
100
= (40 5920; 44 2080, , )
Vậy với độ tin cậy 95%, doanh thu trung bình của các hộ gia đình từ 40,5920 đến 44,2080.
Chúc các bạn qua môn! 29
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
b,
• Đặt giả thuyết H
0
: µ = µ
0
; đối thuyết H
1
: µ 6= µ
0
với µ
0
= 40
•
Chọn tiêu chuẩn kiểm định U =
X −µ
0
s
√
n nếu H
0
đúng.U ∼ N ( )0; 1
• Với α = 0, 05, tra bảng phân phối chuẩn tắc ta có u
1−
α
2
= u
0,975
= 1,96, miền bác bỏ giả
thuyết là:H
0
W
α
=
− −∞; u
1−
α
2
∪
u
1−
α
2
; ;+∞
= (−∞ −1 96 1 96;, ) ∪( , +∞)
• Từ số liệu đầu bài, tính toán ta được:n
1
= 100; x = 42,4; s
1
= 9, 2245 với µ
0
= 40:
u
qs
=
x −µ
0
s
√
n =
42,4 −40
9
,2245
.
√
100 = 2 6018,
Vì u
qs
∈ W
s
nên bác bỏ giả thuyết H
0
nghĩa là tài liệu kia không đúng với mức ý nghĩa 5%. Câu 5:
Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ doanh thu của các gia đình kinh doanh loại mặt hàng A tại địa phương
C.
Y ∼ N
µ
2
,σ
2
2
. E (Y ) = µ
2
• Đặt giả thuyết H
0
: µ = µ
0
; đối thuyết H
1
: µ 6= µ
0
•
Chọn tiêu chuẩn kiểm định U =
X −Y
s
s
2
1
n
1
+
s
2
2
n
2
nếu H
0
đúng. U ∼ N (0;1)
• Với α = 0, 01, tra bảng phân phối chuẩn tắc ta có u
1−
α
2
= u
0,995
= 2,58, miền bác bỏ giả
thuyết là:H
0
W
α
=
− −∞; u
1−
α
2
∪
u
1−
α
2
; ;+∞
= (−∞ −2 58 2 58;, ) ∪( , +∞)
• Từ số liệu đầu bài, tính toán ta được:n
1
= 100; x = 42 9 2245,4, y = 43 s
1
= , , s
2
= 8,912 với
µ
0
= 40:
u
qs
=
x −y
s
s
2
1
n
1
+
s
2
2
n
2
=
42,4 −43
r
9,2245
2
100
+
8,912
2
100
= −0, 5371
Vì u
qs
/∈ W
s
nên chưa có cơ sở bác bỏ H
0
, nghĩa là có thể kết luận doanh thu trung bình loạimặt hàng
A ở địa phương C và B là như nhau.
Chúc các bạn qua môn! 30
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Đề 1
ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20192
Mã học phần: MI2020
Câu 1. Cho biết xác suất để một sinh viên mượn một cuốn sách Kỹ thuật ở thư viện là 0,8; còn xác
suất mượn một cuốn sách Văn học là 0,2. Một ngày có 5 sinh viên đến mượn sách tại thư viện, mỗi
người mượn 2 cuốn sách.
a) Tính xác suất để trong 5 người đó có đúng 2 người, mỗi người mượn một cuốn sách Kỹ thuật và
một cuốn sách Văn học.
b) Biết trong 5 người có ít nhất 2 người, mỗi người mượn 2 cuốn sách Kỹ thuật. Tính xác suất để
trong 5 người đó có đúng 2 người, mỗi người mượn 1 cuốn sách Kỹ thuật và 1 cuốn sách Văn học.
Câu 2. Có hai nhóm sinh viên. Nhóm I có 5 sinh viên nam và 3 sinh viên nữ; nhóm II có 4 sinh viên
nam và 2 sinh viên nữ. Từ nhóm I chọn ngẫu nhiên ra 2 sinh viên, từ nhóm II chọn ra 1 sinh viên.
a) Hỏi trung bình chọn được bao nhiêu sinh viên nữ trong 3 sinh viên được chọn.
b) Biết trong 3 sinh viên được chọn có ít nhất 1 sinh viên nữ. Tính xác suất để trong 3 sinh viên đó
có đúng 1 sinh viên nam.
Câu 3. Thời gian hoạt động X
i
,i = 1,2,3 của linh kiện điện tử I, II, II là các biến ngẫu nhiên độc lập,
tuân theo luật phân phối mũ với hàm mật độ xác suất tương ứng là
f
X
(x) = λ e
−λ
i
x
, x > 0,λ
i
> 0.
a) Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên chỉ thời gian hoạt động của một hệ thống gồm 3
linh kiện trên mắc nối tiếp.
b) Tìm kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên chỉ thời gian hoạt động của hệ thống đó.
Câu 4. Đo độ xa X (đơn vị đo là mm) từ điểm trúng bia đến tâm bia của 16 lần bắn ta thu được số
liệu sau:
2,10 1,95 2,07 2,03 1,91 2,08 1,98 2,10
2,06 1,92 1,95 2,11 2,00 1,96 2,08 1,91
a) Hãy ước lượng độ xa trung bình với độ tin cậy 95%. Giả sử độ xa X là biến ngẫu nhiên có phân
phối chuẩn.
b) Tính xác suất để độ xa X lớn hơn 2mm.
Câu 5. Số lượng người mắc bệnh sốt xuất huyết ở địa phương là 15 người trên một mẫu 200 người;A
số lượng này ở địa phương B là 20 người trên một mẫu 250 người. Hỏi tỷ lệ mắc bệnh sốt xuất huyết
ở 2 địa phương trên có được coi là như nhau hay không? Hãy kết luận với mức ý nghĩa α = 0,05.
Phụ lục: trích các bảng số
Phân vị chuẩn
Φ(x) Phân vị Student P(X < t
(n)
α
) = α
x 0,178 1,165 1,645
n
α
0,950 0,975 0,995
Φ(x) 0,5695 0,8780 0,9500 8 1,860 2,306 3,355
x 1,960 2,377 2,575 14 1,761 2,145 2,977
Φ(x) 0,9750 0,9933 0,9950 15 1,753 2,131 2,947
Chúc các bạn qua môn! 31
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Giải đề cuối kì 20192
Câu 1:
Xác suất để một người mượn một cuốn sách Kỹ thuật và một cuốn sách Văn học:
p = 2 0. , 2 0. , 8 = 0,32
a, Gọi A = {Trong 5 người đó có đúng 2 người, mỗi người mượn một cuốn sách Kỹ thuật và một
cuốn sách Văn học}
Bài toán thoả lược đồ Bernoulli với: n = 5; p = 0, 32; 68q = 1 −p = 0,
⇒ P (A P) =
5
(2) = C
2
5
.0 32,
2
.0,68
3
= 0, 3220
b, Gọi B = {Trong 5 người có ít nhất 2 người, mỗi người mượn 2 cuốn sách Kỹ thuật}
Bài toán thoả lược đồ Bernoulli với: n = 5; p = 0,8
2
= 0, 64; q = 1 − p = 0,36; k
1
= 2; 5k
2
=
⇒P(B) = P
5
(2;5) =C
2
5
.0 64,
2
.0,36
3
+C
3
5
.0,64
3
.0 36,
2
+C
4
5
.0,64
4
.0,36
1
+C
5
5
.0 64,
5
.0,36
0
= 0,9402
Xác suất cần tính là:
P( A|B) =
P(AB)
P(B)
Trong đó: AB = { Trong 5 người đó có đúng 2 người, mỗi người mượn một cuốn sách Kỹ thuật và một
cuốn sách Văn học, ít nhất 2 người, mỗi người mượn 2 cuốn sách Kỹ thuật}
• Trường hợp 1: 2 người, mỗi người mượn một cuốn sách Kỹ thuật và một cuốn sách Văn học;
2 người, mỗi người mượn 2 cuốn sách Kỹ thuật; 1 người mượn 2 cuốn Văn học.
P
T H
1
= C
2
5
.0 32,
2
.C
2
3
0 64,
2
.C
1
1
.0,04 = 0 0503,
• Trường hợp 2: 2 người, mỗi người mượn một cuốn sách Kỹ thuật và một cuốn sách Văn học;
3 người, mỗi người mượn 2 cuốn sách Kỹ thuật.
P
T H
2
= C
2
5
.0 32,
2
.C
3
3
0 64,
3
= 0 2684,
⇒ P (AB) = 0,0503 + 0 0 3187,2684 = ,
⇒
P( A|B) =
P( )AB
P
(B)
=
0 3187,
0
,9402
= 0, 3390
Câu 2:
a, Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số sinh viên nữ được chọn .X = {0 2,1, , 3}
Gọi A
i
= {Chọn được i sinh viên nữ từ nhóm I}.
Gọi B
i
= {Chọn được i sinh viên nữ từ nhóm II}.
P
(X = 0) = P P P(A
0
B
0
) = (A
0
). (B
0
) =
C
2
5
C
2
8
.
C
1
4
C
1
6
=
5
21
P P P
(X = 1) = P P(A
1
B A B
0
+
0 1
) = (A
1
). (B
0
) + (A
0
1).P (B
1
) =
5 3.
C
2
8
.
C
1
4
C
1
6
+
C
2
5
C
2
8
.
C
1
2
C
1
6
=
10
21
P P P
(X = 2) = P P(A
2
B A B
0
+
1 1
) = (A
2
). (B
0
) + (A
1
).P (B
1
) =
C
2
3
C
2
8
.
C
1
4
C
1
6
+
5 3.
C
2
8
.
C
1
2
C
1
6
=
1
4
P
(X = 3) = P P P(A
2
B
1
) = (A
2
). (B
1
) =
C
2
3
C
2
8
.
C
1
2
C
1
6
=
1
28
Chúc các bạn qua môn! 32
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Ta có bảng phân phối xác suất:
X 0 1 2 3
Y
5
21
10
21
1
4
1
2
⇒
E (X) = 0.
5
21
+ 1.
10
21
+ 2.
1
4
+ 3.
1
28
=
13
12
Vậy trung bình có
13
12
sinh viên nữ được chọn trong số 3 sinh viên.
b, Gọi A = {Trong 3 sinh viên được chọn có ít nhất 1 sinh viên nữ}.
⇒
P(A) = 1 −P
A
= 1 −P(X = 0) = 1 −
5
21
=
16
21
Gọi B = {Trong 3 sinh viên đó có đúng 1 sinh viên nam}.
⇒
P(B) = P (X = 2) =
1
4
Xác suất cần tính là:
⇒
P( B|A) =
P(AB)
P
(A)
=
P(B)
P
(A)
=
1
4
16
21
=
21
64
Câu 3:
a, Gọi X
1
,X
2
,X
3
lần lượt là biến ngẫu nhiên chỉ thời gian hoạt động của 3 linh kiện trong mạch.
Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ thời gian hoạt động của mạng lắp nối tiếp. Ta có:
Y = min(X X
1
,
2
) > 0
F
Y
(y) = P(Y < y) = 1 −P (Y > y X X) = 1 −P(
1
> y) P (
2
> y X) P (
3
> y)
=
1 −
+∞
Z
y
f
X
1
(x)dx
+∞
Z
y
f
X
2
(x)dx
+∞
Z
y
f
X
3
(x)dx
= 1 −e
−(λ
1
+λ
2
+λ
3
)y
Vậy:
F
Y
(y) =
(
1 −e
−(λ
1
+ +λ
2
λ
3
)y
,y > 0
0, trailai
b, Từ hàm phân phối, ta tìm được hàm mật độ xác suất:
f y
Y
( ) =
(λ
1
+ λ
2
+ λ
3
)e
−(λ
1
+λ
2
+λ
3
)y
,y > 0
0, trailai
• Cách 1: Dễ thấy Y là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ. Y ∼ Exp (λ
1
+ λ
2
+ λ
3
)
Suy ra:
E
(Y ) =
1
λ
1
+ λ λ
2
+
3
V
(Y ) =
1
(
λ
1
+ λ
2
+ λ
3
)
2
Chúc các bạn qua môn! 33
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
• Cách 2: Ta có hàm Gamma: Γ (y) =
+∞
R
0
x
y−1
e
−x
dx
E (Y ) =
+∞
R
−∞
yf
Y
(y)dy =
+∞
R
0
y
(λ
1
+ λ
2
+ λ
3
)e
−(λ
1
+λ
2
+λ
3
)y
dy
=
1
λ λ
1
+ λ
2
+
3
.
Γ (2) =
1
λ λ
1
+ λ
2
+
3
E
Y
2
=
+∞
R
−∞
y
2
f
Y
(y)dy =
+∞
R
0
y
2
(λ
1
+ λ
2
+ λ
3
)e
−(λ
1
+λ
2
+λ
3
)y
dy
=
1
(
λ
1
+ λ
2
+ λ
3
)
2
.Γ (3) =
2
(
λ
1
+ λ
2
+ λ
3
)
2
⇒
V (Y ) = E
Y
2
−[E (Y )]
2
=
2
(
λ
1
+ λ
2
+ λ
3
)
2
−
1
(
λ
1
+ λ
2
+ λ
3
)
2
=
1
(
λ
1
+ λ
2
+ λ
3
)
2
Câu 4:
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ độ xa từ điểm trúng bia đến tâm bia.
X ∼ N
µ,σ
2
,E (X ) = µ
Ta tính toán được: n = 16; x = 2,0131; 0735s = 0,
a,
•
Chọn thống kê T =
X −µ
S
√
n. Vì n = 16 < 30 nên T có phân phối Student với n −1 bậc tự do.
• Sử dụng khoảng tin cậy đối xứng cho E (X ) = µ:
x −t
n−1
1
−
α
2
.
s
√
n
;x +t
n−1
1
−
α
2
.
s
√
n
Trong đó
t
n−1
1
−
α
2
=
t
1
0 975
,
5 = 2,131 được xác định từ bảng phân phối Student.
• Từ số liệu vừa tính toán ta có khoảng tin cậy đối xứng là:
2,0131 −2,131.
0,
0735
√
16
;2 131,0131 +2, .
0 0735,
√
16
= (1 9739; 2 0522, , )
Vậy với độ tin cậy 95%, tuổi thọ trung bình của ắc quy của công ty A từ 1,9739 đến 2,0522.
b, x là ước lượng không chệch của µ và s là ước lượng không chệch của .σ
Xác suất cần tính là:
P P
(X > 2) = (2 < X < +∞) = 0,5 −φ
2 −x
s
= 0, 5 −φ
2 −2 0131,
0
,0735
= 0, 5 −φ (−0 0 0,178) = ,5 5+ φ (0 0,178) = , + Φ (0 178, ) − ,5 = Φ(0 178 0 5695, ) = ,
Câu 5:
Gọi p
1
, p
2
lần lượt là tỷ lệ người mắc bệnh sốt xuất huyết ở địa phương A và B.
• Đặt giả thuyết H
0 1
: p = p
2
; đối thuyết H
1
: p
1
6= p
2
•
Chọn tiêu chuẩn kiểm định Z =
f
1
− f
2
s
f
1 − f
1
n
1
+
1
n
2
nếu H
0
đúng. U ∼ N( )0,1
Chúc các bạn qua môn! 34
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
• Với α = 0, 05, tra bảng phân phối chuẩn tắc ta có z
1−
α
2
= z
0,975
= 1, 96, miền bác bỏ giả thuyết
H
0
là:
W
α
=
−∞;−z
1−
α
2
∪
z
1−
α
2
;+ + )∞
= (− −∞; 1,96) ∪(1 96;, ∞
• Theo bài ra
n n m
1
= 200,
2
= 250, m
1
= 15,
2
= 20, f
1
=
15
200
=
3
40
, f
2
=
20
250
=
2
25
f
=
n
1
f
1
+ n
2
f
2
n
1
+ n
2
=
15 + 20
450
=
7
90
⇒
z
qs
=
f
1
− f
2
s
f
1 − f
1
n
1
+
1
n
2
= −0, 1968
Vì z
qs
∈ W
s
nên bác bỏ H
0
nghĩa là không thể chấp nhận tỷ lệ mắc sốt xuất huyết ở hai địa phương là
như nhau với mức ý nghĩa 5%.
Chúc các bạn qua môn! 35
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Đề 1
ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20193
Mã học phần: MI2020
Câu 1. Từ kinh nghiệm quá khứ biết rằng có 20% khách đến cửa hàng có quyết định mua ô tô. Tìm
xác suất để số khách hàng mua xe không vượt quá 2 nếu trong một lần:
a) có 5 khách hàng đến cửa hàng.
b) có 5 khách hàng đến cửa hàng và biết có không quá 4 người mua xe.
Câu 2. Một phân xưởng có hai lô hàng: lô I có 9 chính phẩm và 2 phế phẩm; lô II có 8 chính phẩm
và 1 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô I chuyển sang lô II.
a) Tính xác suất để trong lô II có đúng 2 phế phẩm.
b) Tìm số phế phẩm trung bình của lô II.
Câu 3. Cho thời gian làm việc (hoạt động) T của một con chíp máy tính tuân theo luật phân phối mũ
với hàm mật độ có dạng
f (x) =
1
λ
e
−
x
λ
,x > 0,E(T ) = 800 giờ.
a) Tìm tham số λ và hàm phân phối xác suất của .T
b) Tìm tỷ lệ các con chíp có thời gian hoạt động lớn hơn 1600 giờ.
Câu 4. Một nhà bán lẻ kiểm tra tuổi thọ (đơn vị tháng) của 10 ắc quy ô tô của công ty A và thu được
bộ số liệu là: 27,6 28,7 34,7 29,0 22,9 29,6 29,4 30,3 36,5 34,7
a) Tìm ước lượng không chệch của độ lệch chuẩn của tuổi thọ trên.
b) Với độ tin cậy 95%, xác định khoảng tin cậy cho tuổi thọ trung bình của loại ắc quy đó, biết tuổi
thọ trên là biến ngẫu tuân theo luật phân phối chuẩn.
Câu 5. Cho một nhóm sinh viên gồm 11 người thi tiếng Anh trong hai vòng thi, kết quả như sau:
Sinh viên 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Lần 1 45 64 86 96 40 57 73 32 28 89 66
Lần 2 56 68 84 97 36 60 70 39 27 92 75
a) Có thể cho rằng kết quả hai vòng thi là giống nhau, biết rằng điểm thi tuân theo luật phân phối
chuẩn (α = 0,05)?
b) Có thể kết luận vòng thi 2 cho kết quả tốt hơn (α = 0 01, )?
Phụ lục: trích các bảng số
Phân vị chuẩn Phân vị StudentΦ(x) P(X < p) = t(n; p)
x 1,000 1,645 1,880
n
p
0,95 0,975 0,99
Φ(x) 0,8413 0,950 0,970 9 1,833 2,262 2,821
x 1,960 2,326 2,575 10 1,812 2,228 2,764
Φ(x) 0,975 0,990 0,995 11 1,796 2,201 2,718
20 1,725 2,086 2,528
21 1,721 2,080 2,518
Chúc các bạn qua môn! 36
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Giải đề cuối kì 20193
Câu 1:
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số khách đến mua ô tô. X ∼ B n p( , )
a)Gọi A ={Số khách mua xe không vượt quá 2 nếu trong một lần có 5 khách đến cửa hàng}.
⇒ P (A) = P (X ≤ 2 0 1) = P(X = ) +P(X = ) +P(X = 2)
=
C
0
5
.0,2
0
.( )1 −0, 2
5
+C
1
5
.0,2
1
.(1 −0, 2)
4
+C
2
5
.0,2
2
.( )1 −0, 2
3
= 0 9421,
b) Gọi B ={Số khách mua xe không vượt quá 4 nếu trong một lần có 5 khách đến cửa hàng }.
⇒
P(B) = P (X ≤ 4) = 1 −P (X > 4) = 1 −P(X = 5) = 1 −C
5
5
.0,2
5
.( )1 −0, 2
0
= 0, 9997
⇒
Xác suất cần tính là: P (A|B) =
P(AB)
P
(B)
=
P(A)
P
(B)
=
0,9421
0
,9997
= 0 9424,
Câu 2:
Gọi A
i
= {Trong 2 sản phẩm lấy được từ lô I có i chính phẩm}, .i = 0 2,1,
Hệ {A
i
} tạo thành một hệ đầy đủ với:
P A
(
0
) =
C
2
2
C
2
11
=
1
55
, P A(
1
) =
2.9
C
2
11
=
18
55
, P A(
2
) =
C
2
9
C
2
11
=
36
55
a) Gọi A = {Trong lô II có đúng 2 phế phẩm}.
⇒
P(A) = P (A
1
) =
18
55
b) Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số phế phẩm của lô II. .X = 1 3,2,
P P
(X = 1) = (A
2
) =
36
55
P P
(X = 2) = (A
1
) =
18
55
P P
(X = 3) = (A
0
) =
1
55
Ta có bảng:
X 1 2 3
P
36
55
18
55
1
55
⇒
E (X) = 1.
36
55
+ 2.
18
55
+ 3.
1
55
=
15
11
= 1 3636,
Vậy trung bình có 1,3636 phế phẩm trong lô II.
Câu 3:
a, T là biến ngẫu nhiên liên tục tuân theo phân phối mũ với:
f
(x) =
1
λ
.e
−x
λ
, x > 0
Có:
E (T ) = 800 mà E (T ) =
1
1
λ
= λ ⇒ λ = 800
⇒
f (x) =
1
800
.e
−x
800
, x > 0
Chúc các bạn qua môn! 37
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Với :x > 0
F (x) =
x
Z
−∞
f (t)dt =
x
Z
0
f (t)dt =
x
Z
0
1
800
.e
−t
800
dt = − e
−t
800
x
0
= 1 −e
−x
800
Với x ≤ 0: F (x) = 0
⇒
F (x) =
1 −e
−x
800
, x > 0
0, x ≤ 0
b, Gọi A = {Các con chíp có thời gian hoạt động lớn hơn 1600 giờ}
⇒
P(A) = P (T > 1600) = 1 − −P(T ≤ 1600) = 1
1 −e
−1600
800
=
0 1353,
Câu 4:
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ tuổi thọ của ắc quy ô tô của công ty A.
X ∼ N
µ,σ
2
,E (X ) = µ
Ta tính toán được: n = 10; x = 30 4 0103, 34; s = ,
a, Ước lượng không chệch của độ lệch chuẩn của tuổi thọ trên là: s = 4 0103, .
b,
•
Chọn thống kê T =
X −µ
S
√
n. Vì n = 10 < 30 nên T có phân phối Student với n −1 bậc tự do.
• Sử dụng khoảng tin cậy đối xứng cho E (X ) = µ:
x −t
n−1
1
−
α
2
.
s
√
n
;x +t
n−1
1
−
α
2
.
s
√
n
Trong đó
t
n−1
1
−
α
2
=
t
9
0
,975
= 2, 262 được xác định từ bảng phân phối Student.
• Từ số liệu vừa tính toán ta có khoảng tin cậy đối xứng là:
30 262,34 −2, .
4,0103
√
10
;30 262,34 + 2, .
4,0103
√
10
= (27 4714; 33 2086, , )
Vậy với độ tin cậy 95%, tuổi thọ trung bình của ắc quy của công ty A từ 27,4714 đến 33,2086.
Câu 5:
Gọi X, Y lần lượt là kết quả thi của người thi tiếng Anh trong vòng thi thứ nhất, thứ hai. Ta có:
X
∼ N
µ
1
,σ
2
1
; Y ∼ N
µ
2
,σ
2
2
; n
1
= n
2
= 11
Đặt Z = X −Y , thiết lập hiệu z x y
i
=
i
−
i
, i = 1,2,...11 :
X 45 64 86 96 40 57 73 32 28 89 66
Y 56 68 84 97 36 60 70 39 27 92 75
Z − − − − − − −11 4 2 1 4 3 3 7 1 3 6
a,
• Đặt giả thuyết H
0
: µ = µ
0
; đối thuyết H
1
: µ 6= µ
0
với µ
0
•
Chọn tiêu chuẩn kiểm địnhT =
z −µ
0
S
√
n nếu H
0
đúng. T ∼ T (n −1)
Chúc các bạn qua môn! 38
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
•
Với α = 0,05, tra bảng phân phối Student ta có t
n−1
1
−
α
2
=
t
10
0
,975
= 2 228, , miền bác bỏ giả thuyết
H
0
là:
W
α
=
−∞;t
n−1
1
−
α
2
∪
t
n−1
1
−
α
2
;
+∞
= (−∞; −2, 228 228;) ∪(2, + )∞
• Từ số liệu đầu bài, tính toán ta được:n = 11; z = −2,5455; s = 4,9470 với µ
0
= 0:
t
qs
=
z −µ
0
s
√
n =
−2,5455 0−
4
,9470
.
√
11 = −1,7066
Vì t
qs
= −1,7066 /∈ W
qs
nên chưa có cơ sở bác bỏ giả thuyết H
0
, nghĩa là với số liệu này có thể cho
rằng kết quả hai vòng thi là giống nhau với mức ý nghĩa 5%.
b,
• Đặt giả thuyết H
0
: µ = µ
0
; đối thuyết H
1
: µ < µ
0
với µ
0
•
Chọn tiêu chuẩn kiểm địnhT =
z −µ
0
S
√
n nếu H
0
đúng. T ∼ T (n −1)
•
Với α = 0,05, tra bảng phân phối Student ta có t
n−1
1
−α
= t
10
0
,99
= 2,764, miền bác bỏ giả thuyết
H
0
là:
W
α
=
−∞;t
n−1
1
−α
= (− −∞; 2,764)
Vì t
qs
= −1,7066 /∈ W
qs
nên bác bỏ giả thuyết H
1
, nghĩa là chưa thể kết luận vòng thi 2 cho kết quả
tốt hơn với mức ý nghĩa 5%
Chúc các bạn qua môn! 39
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Đề 2
ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20201
Mã học phần: MI2020
Câu 1. Điểm thi của 100 sinh viên (thi độc lập nhau) được cho ở bảng dưới:
Điểm 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5
Số sinh viên 2 4 12 21 28 20 9 4
Lấy ngẫu nhiên điểm thi của 6 sinh viên để khảo sát. Tính xác suất trong 6 điểm thi đó:
a) Có hai điểm thi cao hơn 5,5 và một điểm thi thấp hơn 4,0.
b) Có cả điểm 6 và điểm 6,5.
Câu 2. Một lô hàng với số lượng sản phẩm lớn có ba loại 1, 2 và 3 chiếm tỷ lệ tương ứng là 50%,
20% và 30%. Lấy nhiên 6 sản phẩm để kiểm tra và gọi X và Y tương ứng chỉ số sản phẩm loại 1 và
loại 2 có trong 6 sản phẩm được lấy ra.
a) Tính trung bình của Z = X +Y b) Tính phương sai và mốt của .Y
Câu 3. Cho biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (U,V ) có hàm mật độ xác suất là:
f
(u,v) =
ku
2
v, nếu 0 ≤ u ≤ 1,0 ≤ v ≤ 1,
0, nếu trái lại.
a) Tìm hằng số
k. b) Tính P
max(U,V ) ≤
2
3
.
Câu 4. Để kiểm tra trọng lượng loại sản phẩm S do nhà máy Q sản xuất trong quý IV năm 2020,
người ta cần thử 100 sản phẩm loại này thu được bảng số liệu:
Trọng lượng (gam) 5 - 6 6 - 7 7 - 8 8 - 9 9 - 10 10 - 11 11 - 12 12 - 13
Số sản phẩm 5 10 15 20 29 10 6 5
a) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng trọng lượng trung bình của loại sản phẩm S do nhà máy sảnQ
xuất tại thời điểm kiểm tra.
b) Nếu yêu cầu sai số của ước lượng ở ý a) là 0,24 thì cần phải cân thêm bao nhiêu sản phẩm nữa?
Câu 5. Một công ty có hai phân xưởng I và II sản xuất cùng loại sản phẩm. Kiểm tra ngẫu nhiên 1000
sản phẩm do phân xưởng I sản xuất thấy 35 sản phẩm loại B; kiểm tra 900 sản phẩm do phân xưởng
II sản xuất thấy 20 sản phẩm loại B. Có thể xem tỷ lệ sản phẩm loại B do phân xưởng I sản xuất cao
hơn tỷ lệ sản phẩm loại B do phân xưởng II sản xuất hay không với mức ý nghĩa 1%?
Phụ lục: trích các bảng số
Phân vị chuẩn
Φ(x) Phân vị Student P(X < t
( )n
α
) = p
x 1,645 1,960 2,330 2,575
n
p
0,950 0,990 0,995
Φ(x) 0,9500 0,9750 0,9900 0,9950 15 1,753 2,602 2,947
Chúc các bạn qua môn! 40
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Giải đề cuối kì 20201
Câu 1:
Xét phép thử chọn ngẫu nhiên 6 sinh viên để khảo sát.
Số kết cục đồng khả năng là: n = C
6
100
cách.
a,
Gọi A = {Có hai điểm thi cao hơn 5,5 và một điểm thi thấp hơn 4,0}
Số kết cục thuận lợi cho A là: m = C
2
13
.C
1
6
.C
3
81
⇒
P(A) =
m
n
=
C
2
13
.C
1
6
.C
3
81
C
6
100
= 0.0335
b,
Gọi B = {Có cả điểm 6 và điểm 6,5}
Gọi C = {Không có điểm 6}
Gọi D = {Không có điểm 6,5}
⇒
B = C.D ⇒ P P(B) =
C.D
= P
C + D
= 1 −P(C + D) = 1 −P (C) −P(D) + P (DC)
Số kết cục thuận lợi cho C là: c = C
6
91
⇒ P (C) =
c
n
=
C
6
91
C
6
100
Số kết cục thuận lợi cho D là: d = C
6
96
⇒ P (D) =
d
n
=
C
6
96
C
6
100
Số kết cục thuận lợi cho CD là: e = C
6
96
⇒ P (CD) =
e
n
=
C
6
87
C
6
100
⇒
P(B) = 1 −
C
6
91
C
6
100
−
C
6
96
C
6
100
+
C
6
87
C
6
100
= 0, 0868
Câu 2:
a, Gọi T là biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm loại 3 trong 6 sản phẩm được lấy ra. T ∼ B (n p, ) với
n p= 6; = 0 3,
⇒ X +Y + T = 6
⇒ E (X +Y ) = E (6 − −T ) = 6 −E (T ) = 6 np = 6−6 0. , 3 = 4 2,
b, Y ∼ B (n p, ) với n = 6; p = 0 2,
⇒V (Y) = npq = 6. .0, 2 0,8 = 0 96,
Theo bài ra ta có: np −q = 6.0 0 0,2 − , 8 = , 4 /∈ Z
Vậy số sản phẩm loại 2 có khả năng nhất trong 6 sản phẩm là: .y
0
= [np −q] + 1 = 1
Vậy modY = y
0
= 1. Câu 3:
a, Ta giải hệ phương trình
ku
2
v ≥ 0,
0 ≤ u ≤ 1
0 ≤ ≤v 1
+∞
Z
−∞
+∞
Z
−∞
ku v
2
dudv = 1
⇔
k ≥ 0
k
1
Z
0
u du
2
1
Z
0
vdv
= 1
⇔
(
k ≥ 0
k
6
= 1
⇔ k = 6(T M)
Chúc các bạn qua môn! 41
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Vậy:
f
(u,v) =
6u
2
v, 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1
0, trai lai
b,
P
max(U,V ) ≤
2
3
= P
U ≤
2
3
,V ≤
2
3
=
2
3
Z
0
2
3
Z
0
6
u
2
vdudv 6=
2
3
Z
0
u du
2
2
3
Z
0
vdv
= 6.
8
81
.
2
9
= 0, 1317
Câu 4:
a, Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ trọng lượng loại sản phẩm S do nhà máy Q sản xuất trong quý IV
năm 2020.
X ∼ N
µ,σ
2
,E (X ) = µ
•
Chọn thống kê U =
X −µ
S
√
n. Vì n = 100 > 30 nên U ∼N ( )0,1
• Sử dụng khoảng tin cậy đối xứng cho :E (X) = µ
x −u
1−
α
2
.
s
√
n
;x + u
1−
α
2
.
s
√
n
Trong đó u
1−
α
2
= u
0,975
= 1, 96 được xác định từ bảng phân phối chuẩn tắc.
• Từ số liệu vừa tính toán ta có khoảng tin cậy đối xứng là:
8 1,87 − , 96.
1,7095
√
100
;8 96,87 + 1, .
1 7095,
√
100
= (8 5349; 9 2051, , )
Vậy với độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình của loại sản phẩm S do nhà máy Q sản xuất tại thời
điểm kiểm tra từ 8,5349g đến 9,2051g. b, Sai số của ước lượng là
ε = u
1−
α
2
.
s
1
√
n
⇒
n =
u
1−
α
2
2
.s
2
ε
2
≥
1, ,96
2
.1 7095
2
0 24
,
2
= 194 9,
Vậy nếu yêu cầu sai số của ước lượng ở ý a) là 0,24 thì cần phải cân thêm 195 – 100 = 95 sản phẩm
nữa. Câu 5:
Gọi p p
1
,
2
lần lượt là tỷ lệ sản phẩm loại B do phân xưởng I và II sản xuất.
• Đặt giả thuyết H
0 1
: p = p
2
; đối thuyết H
1 1
: p > p
2
•
Chọn tiêu chuẩn kiểm định Z =
f
1
− f
2
s
f
1 − f
1
n
1
+
1
n
2
nếu H
0
đúng. U ∼ N( )0,1
• Với α = 0 05, , tra bảng phân phối chuẩn tắc ta có z
1−α
= =z
0,95
1,645, miền bác bỏ giả thuyết
H
0
là:
W
α
= (z
1−α
;+∞) = (1,645;+ )∞
Chúc các bạn qua môn! 42
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
• Theo bài ra
n
1
= = =1000,n
2
900,m
1
= 35, m
2
20, f
1
=
35
1000
=
7
200
, f
2
=
20
900
=
1
45
f
=
n
1
f
1
+ n
2
f
2
n
1
+ n
2
=
35 + 20
1900
=
11
380
⇒
z
qs
=
f
1
− f
2
r
f
1 − f
1
n
1
+
1
n
2
= 1 6587,
Vì z
qs
∈ W
s
nên bác bỏ H
0
nghĩa là có thể xem tỷ lệ sản phẩm loại B do phân xưởng I sản xuất cao
hơn tỷ lệ sản phẩm loại B do phân xưởng II sản xuất với mức ý nghĩa 5%.
Chúc các bạn qua môn! 43
| 1/46
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

HANOI UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
GIẢI ĐỀ CUỐI KỲ XSTK MI2020 [20171-20201] Tác giả:
Tài liệu tham khảo: Made by Team XSTK
• Giáo trình XSTK - Tống Đình Quỳ
• Bài giảng XSTK - Nguyễn Thị Thu Thủy
Hà Nội, 31 tháng 5 năm 2021 Mục lục
Đề 20171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Đề 20172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Đề 20173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Đề 20181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Đề 20182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Đề 20183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Đề 20191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Đề 20192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Đề 20193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Đề 20201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Đề 1
ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20171
Mã học phần: MI2020
Câu 1. Xác suất làm việc của một hệ thống trong khoảng thời gian xác định nào đó được gọi là xác
suất tin cậy (XSTC) của hệ thống đó.
a) Tính XSTC của một mạng gồm 2 linh kiện mắc nối tiếp cùng có XSTC là 0,95.
b) Mắc song song với mạng trên một mạng dự phòng gồm 2 linh kiện mắc nối tiếp cùng có XSTC là
0,94. Tính XSTC của mạng mới đó.
Câu 2. Một lô hàng gồm 16 sản phẩm loại A và 12 sản phẩm loại B. Chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm.
a) Tính xác suất để trong 3 sản phẩm đó có ít nhất 2 sản phẩm loại A.
b) Chọn tiếp ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm trong số sản phẩm còn lại. Tính xác suất để trong số 3 sản
phẩm được chọn lần hai có ít nhất 1 sản phẩm loại A.
Câu 3. Theo điều tra của một hãng bảo hiểm ô tô tỷ lệ xe bị tai nạn trong năm là 0,15. Trong số xe bị
tai nạn có: 80% được bồi thường tai nạn bằng 20% giá trị xe, 12% được bồi thường bằng 60% giá trị
xe và 8% được bồi thường bằng 100% giá trị xe.
a) Hỏi trung bình phải bồi thường tai nạn bằng bao nhiêu cho một xe có giá trị 600 triệu đồng?
b) Đối với chiếc xe trên phải quy định phí bảo hiểm là bao nhiêu để hãng không bị lỗ?
(Chỉ kể chi phí bồi thường, không kể các chi phí khác).
Câu 4. Thống kê ở một vùng trong 500 xe ô tô đăng ký có 68 xe thể thao. Với độ tin cậy 95% hãy
xác định khoảng tin cậy đối xứng cho tỷ lệ xe thể thao ở vùng đó. Theo anh (chị) có cách nào để nâng
cao độ chính xác của khoảng tin cậy cho tỷ lệ trên?
Câu 5. Đo thời gian phản ứng (giây) đối với hai loại thuốc kích thích của 8 người tham gia thí nghiệm
(giả sử thời gian phản ứng đối với mỗi loại thuốc được coi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn), ta có bộ số liệu cặp: Thuốc 3,1 1,5 2,9 2,6 1,7 2,3 3,8 2,4 Thuốc 4,1 2,2 3,5 1,8 2,7 2,5 3,4 3,2
Với mức ý nghĩa α = 5%, có thể cho rằng thời gian phản ứng trung bình đối với 2 loại thuốc là như nhau hay không?
Chúc các bạn qua môn! 1
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Giải đề cuối kì 20171
Câu 1. Gọi Ai = {Linh kiện i hoạt động tốt}, i = 1,2
a) Gọi A ={Mạng làm việc tốt}
⇒ P(A) = A1A2
⇒ P(A) = P(A1A2) = P(A1)P(A2) = 0,95.0,95 = 0,9025 (do tính độc lập) b)
* Gọi B ={Mạng dự phòng hoạt động tốt}
Bi = {Linh kiện i của mạng dự phòng hoạt động tốt}, i = 1, 2
⇒ P(B) = B1B2
⇒ P(B) = P(B1B2) = P(B1)P(B2) = 0,94.0,94 = 0,883
* Gọi C = {Mạng mới làm việc tốt} ⇒ C = A + B
⇒ P(C) = P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) = P(A) + P(B) − P(A)P(B)
= 0, 9025 + 0, 8836 − 0,9025.0,8836 = 0,9887 Câu 2.
Xét phép thử ngẫu nhiên chọn ra 3 sản phẩm
Số kết cục đồng khả năng là: n = C3 = 3276 cách 28
a) Gọi Ai={Trong 3 sản phẩm có ít nhất 2 sản phẩm loại A}
Số kết cục thuận lợi cho A là: m = C2 .12 +C3 = 2000 cách 16 16 2000 500 ⇒ P(A) = = = 0, 1605 3276 819
b) Gọi Bi = {Trong 3 sản phẩm lần đầu lấy ra có i sản phẩm loại B}, i = 0,1,2,3
Hệ {Bi} tạo thành hệ đầy đủ với: C3 20 C2 .12 40 16.C2 88 C3 55 P(B 16 16 12 12 0) = = ; P(B1) = = ; P(B2) = = ; P(B3) = = C3 117 C3 91 C3 273 C3 819 28 28 28 28
Gọi B = {Trong 3 sản phẩm lần 2 có ít nhất 1 sản phẩm loại A}
⇒ B = {Trong 3 sản phẩm lần 2 có 0 sản phẩm loại A}
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
P(B) = P(B0)P(B|B0) + P(B1)P(B|B1) + P(B2)P(B|B2) + P(B3)P(B|B3) trong đó: C3 11 C3 33 P(B 12 11 ;
0)P(B|B0) = = ;
P(B1)P(B|B1) = = C3 115 460 25 C325 C3 6 C3 21 P(B 10 9
2)P(B|B2) = = ;
P(B3)P(B|B3) = = . C3 115 C3 575 25 25
Chúc các bạn qua môn! 2
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê 20 11 40 33 88 6 55 21 ⇒ P(B) = . + . + . + . = 0, 0672 117 115 91 460 273 115 819 575
⇒ P(B) = 1 − P(B) = 1 − 0,0672 = 0,9328 Câu 3:
a) Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ chi phí bồi thường cho chiếc xe 600 triệu. X = {120,360,600}
P(X = 120) = 0, 8
P(X = 360) = 0, 12
P(X = 600) = 0, 08
Ta có bảng phân phối xác suất: X 120 360 600 P 0,8 0,12 0,08
⇒ E(X) = 120.0,8 + 360.0,12 + 600.0,08 = 187,2
Vậy trung bình phải bồi thường tai nạn cho một xe có giá trị 600 triệu đồng là 187,2 triệu đồng.
b) Gọi x là phí bảo hiểm. Để không lỗ thì:
x − 0, 15.E(X) ≥ 0 ⇔ x − 0, 15.187, 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 28, 08 triệu đồng Câu 4:
Gọi p là tỷ lệ xe thể thao ở vùng đó. Kiểm tra điều kiện:
n f = 500.0, 136 = 68 > 5; n(1 − f ) = 500.864 = 432 > 5. f √ - Chọn thống kê: − p Z = p
n.Z ∼ N(0, 1) f (1 − f )
- Khoảng tin vậy đối xứng của xác suất p là: r r ! f (1 − f ) f (1 − f ) f − u α ; f + u α 1− 1 2 n − 2 n
trong đó u α = u 1−
0,975 = 1, 96 được tra từ bảng phân phối chuẩn tắc. 2 m
- Với n = 500; m = 68; f =
= 0, 136 suy ra khoảng tin cậy đối xứng của p là: n r r ! 0, 136(1 − 0, 136) 0, 136(1 − 0, 136) 0, 136 − 1, 96. ; 0, 136 + 1, 96. = (0, 1060;0, 1660) 500 500
- Vậy với mức ý nghĩa 5% tỷ lệ xe thể thao ở vùng đó từ 10,6% đến 16,6%
Để nâng cao độ chính xác của khoảng tin cậy cho tỷ lệ trên cần tăng cỡ mẫu hoặc giảm độ tin cậy
(hoặc đồng thời cả hai). Câu 5:
Gọi X, Y lần lượt là thời gian phản ứng (giây) đối với hai loại thuốc kích thích, Ta có:
Chúc các bạn qua môn! 3
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
X ∼ N(µ1; σ 2); Y ) 2 ∼ N(µ2;σ22 n1 = n2 = 8
Đặt Z = X - Y, thiết lập hiệu zi = xi − yi, i = 1,2,...,8: X 3,1 1,5 2,9 2,6 1,7 2,3 3,8 2,4 P 4,1 2,2 3,5 1,8 2,7 2,5 3,4 3,2 Z
-1,0 -0,7 -0,6 0,8 -1,0 -0,2 0,4 -0,8
- Đặt giả thuyết H0 : µ = µ0;
đối thuyết H1 : µ 6= µ0 với µ0 = 0. Z
- Chọn tiêu chuẩn kiểm định: − µ0√ T =
n nếu H0 đúng. T ∼ (n − 1) S
- Với α = 0,05, tra bảng phân phối Student ta được tn−1α = t7
= 2, 365. Miền bác bỏ giả thuyết H0 1− 0,975 2 là:    
Wα = −∞; −tn−1α
∪ tn−1α ;+∞ = (−∞;−2,365) ∪ (2,365;+∞) 1− 1 2 − 2
- Từ số liệu đầu bài, tính toán ta được: n = 8; z = −0,3875; s = 0,6686 với µ0 = 0 suy ra giá trị quan sát là: z − µ0 √ −0,3875 − 0√ tqs = n = 8 = −1, 6393 s 0, 6686
- Vì tqs = −1,6393 /∈ Wqs nên chưa có cơ sở bác bỏ giả thuyết H0, nghĩa là với số liệu này có thể cho
rằng thời gian phản ứng trung bình đối với 2 loại thuốc là như nhau hay với mức ý nghĩa 5%
Chúc các bạn qua môn! 4
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Đề 1
ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20172
Mã học phần: MI2020
Câu 1. Một hộp có n áo trắng và 2n áo xanh. Chia ngẫu nhiên các áo thành n nhóm (mỗi nhóm 3 áo).
a) Tính xác suất để trong mỗi nhóm đều có áo trắng.
b) Áp dụng có n = 5.
Câu 2. Một xí nghiệp có 4 chiếc máy tiện với xác suất bị sự cố trong ngày của mỗi máy tương ứng là 0,01; 0,05; 0,1 và 0,1.
a) Trong một ngày nào đó theo dõi một máy. Tính xác suất để máy đó bị sự cố.
b) Khi theo dõi 2 máy thì có đúng 1 máy bị sự cố. Tính xác suất chiếc máy bị sự cố đó là máy thứ nhất.
Câu 3. Xét một phần tư hình tròn tâm O(0;0) bán kính bằng a, kí hiệu OAB, với tọa độ tương ứng là
A(a;0) và B(0;a).
a) Trên đoạn OA lấy ngẫu nhiên một điểm C. Tìm phân phối xác suất của độ dài đoạn OC.
b) Dựng một đường đi qua C, vuông góc với OA và cắt cung tròn tại điểm D. Tính kỳ vọng và phương
sai của độ dài đoạn CD.
Câu 4. Tiến hành 120 phép đo như nhau, độc lập, thì thấy sự kiện A xuất hiện 42 lần.
a) Xác định khoảng tin cậy đối xứng 99% cho tỷ lệ xuất hiện A.
b) Tính xác suất để sai số ước lượng của tỷ lệ trên bé hơn 10% tần suất mẫu.
Câu 5. Cân 150 con vịt người ta thu được bộ số liệu sau:
Khối lượng 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 Số lượng 2 6 24 35 39 24 14 6
Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng khối lượng trung bình của lứa vịt trên lớn hơn 2 kg được không?
Chúc các bạn qua môn! 5
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Giải đề cuối kì 20172 Câu 1.
Xét phép thử chia ngẫu nhiên các áo thành n nhóm (mỗi nhóm 3 áo).
Tổng số kết cục đồng khả năng là: n = C3 .C3 ...C3 3n 3n−3 3
a) Gọi A= {Trong mỗi nhóm đều có áo trắng}
Số kết cục thuận lợi cho A là:
m = n.C2 .(n ...1.C2 2n − 1).C22n−2 2 (2n)! (2n − 2)! 2! n. .(n − 1). ...1. m
n.C2 .(n − 1).C2 ...1.C2 2!(2n − 2)! 2!(2n 2! ⇒ − 4)! P(A) = = 2n 2n−2 2 = n C3 .C3 ...C3 (3n)! (3n − 3)! 3! 3n 3n−3 3 . ...
3!(3n − 3)! 3!(3n − 6)! 3! n!.(2n)! (2!)n n!(2n)! 3n = = 3n. = (3n)! (3n)! Cn3n (3!)n 35 81 b) Với n = 5: P(A) = = C5 1001 15 Câu 2.
a) Gọi Ai = {Máy theo dõi là máy i}, i = 1, 2, 3, 4
Hệ {Ai} tạo thành hệ đầy đủ với: 1
P(A1) = P(A2) = P(A3) = P(A4) = 4
Gọi H = {Máy bị sự cố}
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
P(H) = P(A1)P(H|A1) + P(A2)P(H|A2) + P(A3)P(H|A3) + P(A4)P(H|A4) trong đó:
P(H|A1) = 0, 01;
P(H|A2) = 0, 05;
P(H|A3) = 0, 1;
P(H|A4) = 0, 1. 1 1 1 1 13
⇒ P(H) = .0,01 + .0,05 + .0,1 + .0,1 = = 0, 065 4 4 4 4 200
b) Hệ {A1A2,A1A3,A1A,A2A3,A2A4,A3A4} tạo thành hệ đầy đủ với: 1
P(A1A2) = P(A1A3) = P(A1A4) = P(A2A3) = P(A2A4) = P(A3A4) = 6
Chúc các bạn qua môn! 6
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Gọi K = {Có đúng 1 máy bị sự cố khi theo dõi 2 máy}
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
P(K) = P(A1A2)P(k|A1A2) + P(A1A3)P(k|A1A3) + P(A1A4)P(k|A1A4) + P(A2A3)P(k|A2A3) +
P(A2A4)P(k|A2A4) + P(A3A4)P(k|A3A4) trong đó:
P(K|A1A2) = 0, 01.0, 95 + 0, 99.0, 05 = 0, 059
P(K|A1A3) = 0, 01.0, 90 + 0, 99.0, 1 = 0, 108
P(K|A1A4) = 0, 01.0, 90 + 0, 99.0, 1 = 0, 108
P(K|A2A3) = 0, 05.0, 9 + 0, 95.0, 1 = 0, 14
P(K|A2A4) = 0, 05.0, 9 + 0, 95.0, 1 = 0, 14
P(K|A3A4) = 0, 1.0, 9 + 0, 9.0, 1 = 0, 18
⇒ P(K) = 0,1225
Gọi C = {Trong 2 máy thì máy bị sự cố là máy thứ nhất}
⇒ CK = {Có đúng máy thứ nhất bị sự cố khi theo dõi 2 máy}
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
P(CK) = P(A1A2)P(CK|A1A2) + P(A1A3)P(CK|A1A3) + P(A1A4)P(CK|A1A4) +
P(A2A3)P(CK|A2A3) + P(A2A4)P(CK|A2A4) + P(A3A4)P(CK|A3A4) trong đó:
P(CK)|A1A2) = 0, 01.0, 95 = 0, 0095
P(CK)|A1A3) = 0, 01.0, 90 = 0, 009
P(CK)|A1A4) = 0, 01.0, 90 = 0, 009
P(CK)|A2A3) = 0
P(CK)|A2A4) = 0
P(CK)|A3A4) = 0 11 ⇒ P(CK) = 2400 11 P(CK)
Xác suất cần tính là: P(C|K) = = 2400 = 0, 0374 P(K) 0, 1225 Câu 3.
a) Gọi X là độ dài đoạn OC thì X là biến ngẫu nhiên có phân phối đều, X ∼ U[0,a], Hàm mật độ xác suất của X: 
 1, x ∈ [0,a] fX (x) = a
 0, x /∈ [0,a]
Chúc các bạn qua môn! 7
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
b) Gọi Y là độ dài đoạn CD thì Y là biến ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện:
( √a2−x2, x ∈ [0,a] Y = 0, x / ∈ [0,a] +∞ Z a Z 1p
Kì vọng của Y: E(Y ) =
Y fX (x)dx =
a2 − x2dx a −∞ 0
Đặt x = asint ⇒ dx = acostdt π π π 2 Z 2 Z   1 1 + cos 2t t sin 2t  2 aπ E(Y ) =
.a2. cos2 tdt = a dt = a +  = a 2 2 4  4 0 0 0 +∞ Z a Z  a 1 1 x3  2a2 Có:  E(Y 2) =
Y 2 fX (x)dx =
(a2 − x2)dx = . a2x −  = a a 3  3 −∞ 0 0   2a2 a2π2 2 π2
⇒ V (Y ) = E(Y 2) − E(Y 2) = − = − a2 3 16 3 16 Câu 4. 42
a) Gọi p là tỷ lệ cây cà phê có thu hoạch thấp. f =
= 0, 35. Kiểm tra điều kiện: 120 n f = 42 > 5;
n(1 − f ) = 78 > 5 f √ - Chọn thống kê − p Z = p
n.Z ∼ N(0, 1) f (1 − p)
- Khoảng tin vậy đối xứng của xác suất p là: r r ! f (1 − f ) f (1 − f ) f − u α ; f + u α 1− 1 2 n − 2 n
trong đó α = 0,01; u α = u 1−
0,995 = 2, 575 được tra từ bảng phân phối chuẩn. 2
- Với n = 120; m = 42; f = 0,35 suy ra khoảng tin cậy đối xứng của p là: r r ! 0, 35.0, 65 0, 35.0, 65 0, 35 − 2, 575. ; 0, 35 + 2, 575. = (0, 2379;0, 4621) 120 120
Vậy với độ tin cậy 95%, tỷ lệ cây cà phê có thu hoạch thấp từ 23,79% đến 46,21%   ε
b) Xác suất cần tính là: P(|p − p| < ε) = 2φ c σp trong đó:
Chúc các bạn qua môn! 8
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê r0,35.0,65 ε = 0, 1.0, 35 = 0, 035; c σp = = 0, 0435 120
⇒ P(|p − p| < ε) = 2φ(0,8046) = 0,602 Câu 5.
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ khối lượng trung bình của lứa vịt trên. E(X) = µ
- Đặt giả thuyết H0 : µ = µ0. Đối thuyết H1 : µ > µ0 với µ0 = 2 X
- Chọn tiêu chuẩn kiểm định: − µ √ U = 0 n nếu H s
0 đúng. U ∼ N(0, 1)
- Với α = 0,05 tra bảng phân phối chuẩn tắc có u1−α = u0,95 = 1,65. Miền bác bỏ H0 là:
Ws = (u1−α;+∞) = (1,65;+∞)
- Từ số liệu đã cho, có: µ0 = 2; n = 150; x = 2,185; s = 0,3781 suy ra giá trị quan sát: x − µ √ 2, 185 − 2√ u 0 qs = n = 150 = 5, 9925 s 0, 3781
- Vì uqs ∈ Ws nên bác bỏ H0, chấp nhận H1, nghĩa là có thể cho rằng khối lượng trung bình của lứa vịt
trên lớn hơn 2kg với mức ý nghĩa 5%.
Chúc các bạn qua môn! 9
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Đề 1
ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20173
Mã học phần: MI2020
Câu 1. Một lô hàng có 15 sản phẩm gồm 6 loại A, 5 loại B và 4 loại C. Chọn ngẫu nhiên (không hoàn lại) ra 4 sản phẩm.
a) Tính xác suất trong 4 sản phẩm đươc chọn có đúng 2 sản phẩm loại B.
b) Biết trong 4 sản phẩm được chọn có đúng 2 sản phẩm loại A. Tính xác suất để trong 4 sản phẩm
đó có đúng 1 sản phẩm loại C.
Câu 2. Một nhóm học sinh có 5 loại giỏi, 4 khá và 2 trung bình. Chọn ngẫu nhiên ra một nhóm gồm 2 học sinh.
a) Tính giá trị trung bình của số học sinh giỏi trong nhóm đó.
b) Biết trong nhóm 2 học sinh có ít nhất 1 loại khá. Tính xác suất để trong nhóm đó có đúng 1 học sinh giỏi.
Câu 3. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ (phân phối Rayleigh) ( −x2 f (x) = A.e 4 x ≥ 0 0 x < 0 a) Tìm hằng số A.
b) Tính các đặc trưng định vị: E(X) và mod(X).
Câu 4. Số liệu dưới đây cho tỷ lệ phần trăm một hóa chất trong 11 mẫu một loại xi măng:
Tỷ lệ (%) 6 15 8 8 6 9 17 18 4 8 10
Với độ tin cậy 95% hãy tìm ước lượng khoảng cho tỷ lệ phần trăm trung bình của loại hóa chất trên
(giả sử tỷ lệ đó là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn).
Câu 5. Một mẫ gồm n = 64 sản phẩm có 4 sản phẩm lỗi. Có đủ bằng chứng để chấp nhận giá thuyết
"p > 5%" được không?
Cho mức ý nghĩa α = 5%, p ký hiệu tỷ lệ sản phẩm lỗi.
Chúc các bạn qua môn! 10
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Giải đề cuối kỳ 20173 Câu 1.
Xét phép thử chọn ngẫu nhiên (không hoàn lại) ra 4 sản phẩm.
Số kết cục đồng khả năng là: n = C4 = 1365 cách 15
a) Gọi B ={Trong 4 sản phẩm được chọn có đúng 2 sản phẩm loại B}
Số kết cục thuận lợi cho B là: m = C2.C2 = 450 cách 5 10 m 450 30 ⇒ P(B) = = = n 1365 91
b) Gọi A ={Trong 4 sản phẩm được chọn có đúng 2 sản phẩm loại A}
Số kết cục thuận lợi cho A là: p = C2.C2= 540 cách 6 9 p 540 36 ⇒ P(A) = = = n 1365 91
Gọi H ={Trong 4 sản phẩm đó có đúng 1 sản phẩm loại C} Xác suất cần tính là: P(AH)
P(H|A) = P(A) trong đó: C2.C1.C1 20 P(AH) = 6 4 5 = C4 91 15 P(AH) 20 5
⇒ P(H|A) = = 91 = P(A) 36 9 91 Câu 2.
a) Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số học sinh giỏi trong số 2 người được chọn.
Gọi Ai ={Trong 2 người được chọn có i học sinh giỏi}, i={0,1,2} C2 3
P(X = 0) = P(A 6 0) = = C2 11 11 5.6 6
P(X = 1) = P(A1) = = C2 11 11 C2 2
P(X = 2) = P(A 5 2) = = C2 11 11
Chúc các bạn qua môn! 11
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Ta có bảng phân phối xác suất: X 0 1 2 P 3/11 6/11 2/11 3 6 2 10 ⇒ E(X) = 0. + 1. + 2. = 11 11 11 11
b) Gọi H ={Trong 2 người được chọn có ít nhất 1 học sinh khá} Xác suất cần tính là: P(A P(A 1H ) 1|H) = P(H) trong đó: 5.4 4 P(A1H) = = C2 11 11 C2 34
P(H) = 1 − P(H) = 1 − 7 = C2 35 11 P(A 4 10 ⇒ 1H ) P(A 11 1|H) = = = P(H) 34 17 35 Câu 3.
a) Vì f (x) là hàm mật độ xác suất nên:  
f (x) ≥ 0 ∀x (1) Z +∞  
f (x)dx = 1 (2) −∞ −x2
(1) ⇔ A.e 4 ≥ 0 ⇔ A ≥ 0 (2): 1 x2 √ Đặt − g(x) = √ √
e 2( 2)2 là hàm mật độ xác suất của BNN X có phân phối chuẩn. 2 2π √ X ∼ N(0;( 2)2) Z +∞ Z +∞ x2 Z 1 − √ +∞ 1 −x2 ⇒ g(x)dx = √ √ e 2( 2)2 dx = √ e 4 dx = 1 −∞ −∞ 2 2π −∞ 2 π Z +∞ Z +∞ − Z Z x2 +∞ √ 1 −x2 √ +∞ 1 −x2 Có: f (x)dx =
A.e 4 dx =
A.2 π. √ e 4 dx = A π 2. √ e 4 dx −∞ 0 0 2 π 0 2 π 1 −x2
Do √ e 4 là hàm chẵn nên: 2 π Z +∞ Z 1 −x2 +∞ 1 −x2 2 √ e 4 dx = √ e 4 dx 0 2 π −∞ 2 π
Chúc các bạn qua môn! 12
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Z +∞ Z +∞ Z 1 −x2 √ +∞ 1 −x2 √ ⇒ f (x)dx =
√ e 4 dx = A π
√ e 4 dx = A π −∞ 0 2 π −∞ 2 π Z +∞ √ 1 ⇒
f (x)dx = 1 ⇔ A π = 1 ⇔ A = √ (TM) −∞ π Vậy:   1 −x2
√ e 4 , x ≥ 0 f (x) = π 0, trái lại Z +∞ Z +∞ Z Z 1 −x2 +∞ −2 −x2 −2 +∞ −x2 2 b) −x E(X ) =
x f (x)dx = √ xxe 4 dx = √ e 4 dx = √ d(e 4 ) = √ −∞ 0 π 0 π 2 π 0 π
Hàm mật độ xác suất có:   −x −x2
√ e 4 , x ≥ 0 f ′(x) = 2 π  0, trái lại
đổi dấu sang âm khi đi qua x = 0, do đó đạt cực đại tại điểm này, nên modX = 0
Câu 4. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ tỷ lệ phần trăm một hóa chất trong các mẫu xi măng.
X ∼ N(µ; σ 2).E(X) = µ X √ - Chọn thống kê − µ T =
n. Vì n = 11 < 30 nên T có phân phối Student với n − 1 bậc tự do s
- Sử dụng khoảng tin cậy đối xứng cho E(X) = µ   s s
x − tn−1α .√ ; x + tn−1α .√ 1− 1 2 n − 2 n
trong đó tn−1α = t10 = 2,228 được xác định từ bảng phân phối Student. 1− 0,975 2
- Tính toán ta được: x = 9,9091;s = 4,6788;n = 11. Khoảng tin cậy đối xứng là:   4, 6788 4, 6788 9, 9091 − 2, 228 √ ; 9, 9091 + 2, 228 √ = (6, 77;13, 05) 11 11
- Vậy với độ tin cậy 95%, tỷ lệ phần trăm trung bình một hóa chất trong các mẫu xi măng từ 6,77% đến 13,05%.
Chúc các bạn qua môn! 13
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Câu 5.
Gọi p là tỷ lệ sản phẩm lỗi
- Đặt giả thuyết H0 : p = p0. Đối thuyết H1 : p > p0 với p0 = 0,05 f √
- Chọn tiêu chuẩn kiểm định: − p U = 0 p
n nếu H0 đúng. U ∼ N(0;1) p0(1 − p0)
- Với α = 0,05,u1−α = u0,95 = 1,645 tra từ bảng phân phối chuẩn tắc. Miền bác bỏ H0 là:
Ws = (u1−α;+∞) = (1,645;+∞) m 4
- Từ số liệu đề bài, ta có: n = 64;m = 4 ⇒ f = =
= 0, 0625 suy ra giá trị quan sát: n 64 f − p0 √ 0, 0625 − 0, 05 √ uqs = p n = p 64 = 0, 4588 p0(1 − p0) 0, 05(1 − 0, 05) - Vì uqs /
∈ Ws nên chưa đủ cơ sở bác bỏ giả thuyết H0, nghĩa là có đủ bằng chứng để chấp nhận giả thuyết "p > 5%".
Chúc các bạn qua môn! 14
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Đề 1
ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20181
Mã học phần: MI2020
Câu 1. Ở một địa phương đàn ông chiếm 55% dân số. Theo thống kê tỷ lệ đàn ông bị bạch tạng là
0,4%, còn tỷ lệ trên của đàn bà là 0,32%.
a) Tìm tỷ lệ người bị bệnh bạch tạng ở địa phương đó.
b) Gặp ngẫu nhiên một người bị bạch tạng, tính xác suất đó là đàn ông.
Câu 2. Một máy đếm người vào một siêu thị có tỷ lệ đếm sót là 0,018. Giả sử trong vòng 1 giờ nào
đó có 500 khách vào siêu thị.
a) Tính kỳ vọng và phương sai của số người được máy đếm trong số 500 người nói trên.
b) Tính xác suất để máy này đếm sót từ 6 đến 10 người trong số 500 người đó.
Câu 3. Một linh kiện điện tử có thời gian hoạt động X là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với hàm
mật độ của X là: f (x) = λ .e−λ.x,x > 0.
a) Xác định phân phối xác suất cho thời gian hoạt động của một mạng gồm 2 linh kiện loại trên mắc song song.
b) Tính kỳ vọng và phương sai của thời gian hoạt động của mạng đó.
Câu 4. Ở một trung tâm giống cây trồng, theo dõi 3070 cây cà phê thì có 1135 cây cho thu hoạch thấp.
a) Với độ tin cậy 95% hãy xác định khoảng tin cậy cho tỷ lệ cây cà phê có thu hoạch thấp.
b) Tần suất cà phê có thu hoạch thấp có là ước lượng không chệch của tỷ lệ cây cho thu hoạch thấp không? Tại sao?
Câu 5. Theo dõi thời gian bắt đầu có tác dụng của một loại thuốc trên một nhóm bệnh nhân trước và
sau khi mổ dạ dày, ta thu được bộ số liệu (giả sử thời gian trên có phân phối chuẩn): Bệnh nhân 1 2 3 4 5 6 7 8 Trước mổ 44 51 52 55 66 68 70 71 Sau mổ 52 64 60 74 55 67 75 65
Hỏi thời gian tác dụng của thuốc trước và sau mổ có khác nhau không với mức ý nghĩa 1%?
Phụ lục: trích Bảng hàm phân phối chuẩn x 1,282 1,645 1,96 2 2,576 3 Φ(x) 0,90 0,95 0,975 0,9772 0,995 0,9987
Hàm Laplace φ (x) = Φ(x) - 0,5.
Chúc các bạn qua môn! 15
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Giải đề cuối kỳ 20181 Câu 1.
Gọi A1 ={Gặp được đàn ông}; A2 ={Gặp được đàn bà}
Hệ A1; A2 tạo thành hệ đầy đủ với:
P(A1) = 0, 55; P(A2) = 0, 45
a) Gọi A ={Gặp được người bị bạch tạng}
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
P(A) = P(A1)P(A|A1) + P(A2)P(A|A2) trong đó:
P(A|A1) = 0, 4; P(A|A2) = 0, 32
⇒ P(A) = 0,55.0,4 + 0,45.0,32 = 0,364
b) Xác suất cần tính là: P(A1A)
P(A1)P(A|A1) 0, 55.0, 4 P(A1|A) = = = = 0, 6044 P(A) P(A) 0, 364 Câu 2.
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số người do máy đếm được. X ∼ B(n; p) với n = 500; p = 0,982
a) E(X) = np = 500.0,982 = 491 người
V (X ) = np(1 − p) = 500.0, 982 = 0, 018 = 8, 838
b) Sự kiện Máy này đếm sót từ 6 đến 10 người trong số 500 người tương đương với máy đếm được
490 đến 494người trong số 500 người đó. Xác suất cần tính là: 494
P(490 ≤ X ≤ 494) = ∑ Ck . ,
500 0, 982k.0, 018500−k = 0 5936 k=490 Câu 3.
a) Gọi X1, X2 lần lượt là biến ngẫu nhiên chỉ thời gian hoạt động của 2 linh kiện trong mạch.
Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ thời gian hoạt động của mạng lắp song song. Khi đó ta có:
Y = max(X1, X2) > 0
Chúc các bạn qua môn! 16
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Có:
FY (y) = P(Y < y) = P(X1 < y; X2 < y) = P(X1 < y)P(X2 < y) (do tính độc lập) Z    y 2 Z y 2 = fX (x)dx = λ e−λxdx
= (1 − e−λy)2 −∞ −∞
Vậy ta có hàm phân phối xác suất:
( (1−e−λy)2, y > 0 FY (y) = 0, trái lại
b) Từ hàm phân phối xác suất, ta có hàm mật độ:
( 2λe−λy (1−e−λy), y > 0 fY (y) = 0, trái lại Z +∞
Có: Hàm Gamma: Γ(z) =
xz−1e−xdx 0 Z +∞ Z +∞ Z +∞ 2 1 3 E(Y ) =
y fY (y)dy =
2λ ye−λ ydy −
2λ ye−2λ ydy = Γ(2) − Γ(2) = −∞ 0 0 λ 2λ 2λ Z +∞ Z +∞ Z +∞ 2 1 7 E(Y 2) =
y2 fY (y)dy =
2λ y2e−λ ydy −
2λ y2e−2λ ydy = Γ(3) − Γ(3) = −∞ 0 0 λ 2 4λ 2 2λ 2 7 9 5
⇒ V (Y ) = E(Y 2) − [E(Y )]2 = − = 2λ 2 4λ 2 4λ 2 Câu 4. 1135
a) Gọi p là tỷ lệ cây cà phê có thu hoạch thấp. f =
= 0, 3697. Kiểm tra điều kiện: 3070
n f = 1135; n(1 − f ) = 1935 > 5 f √ - Chọn thống kê − p Z = p
n. Z ∼ N(0;1) f (1 − f )
- Khoảng tin cậy đối xứng của xác suất p là: r r f (1 − f ) f (1 − f ) ( f − u α ; f + u α ) 1− 1 2 n − 2 n
trong đó α = 0,05, u α = u 1−
0,975 = 1, 96 được tra từ bảng phân phối chuẩn. 2
- Với n = 3070, m = 1135, f = 0,3697 suy ra khoảng tin cậy đối xứng của p là:  r r  0, 3697.0, 6303 0, 3697.0, 6303 0, 3697 − 1, 96. ; 0, 3697 + 1, 96. = (0, 3526;0, 3868) 3070 3070
Vậy với độ tin cậy 95% tỷ lệ cây cà phê có thu hoạch thấp từ 35,26% đến 38,68% m b) Có: f =
mà m ∼ B(n; p) n E(m) ⇒ E( f ) =
= p nên f là ước lượng không chệch của p. n
Chúc các bạn qua môn! 17
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Câu 5.
Gọi X, Y lần lượt là thời gian bắt đầu có tác dụng của một loại thuốc trước và sau khi mổ dạ dày.
Ta có: X ∼ N(µ1;σ2); Y ).n 1 ∼ N(µ2;σ22 1 = n2 = 8
Đặt Z = X −Y, thiết lập hiệu zi = xi − yi, i = 1,2,...,8: X 44 51 52 55 66 68 70 71 Y 52 64 60 74 55 67 75 65 Z -8 -13 -8 -19 11 1 -5 6
- Đặt giả thuyết H0: µ = µ0; đối thuyết H1: µ 6= µ0 với µ0 = 0. Z √
- Chọn tiêu chuẩn kiểm định: − µ T = 0 n nếu H s
0 đúng. T ∼ T (n − 1)
- Với α = 0,01 Tra bảng phân phối Student ta được tn−1α = t7
= 3, 499. Miền bác bỏ giả thuyết H0 1− 0,995 2 là:     Wα =
− ∞; −tn−1α ∪ tn−1α ; +∞ = (−∞; −3,499) ∪ (3,499; +∞) 1− 1− 2 2
- Từ số liệu đầu bài, tính toán ta được: n = 8; z = −4,375; s = 9,913 với µ0 = 0 suy ra giá trị quan sát: z − µ √ −4,375 − 0√ t 0 qs = n = 8 = −1, 2483 s 9, 913
- Vì tqs = −1,2483 /∈ Wqs nên chưa có cơ sở bác bỏ giả thuyết H , nghĩa là số liệu này có thể cho rằng 0
thời gian tác dụng của thuốc trước và sau mổ là như nhau với mức ý nghĩa 1%.
Chúc các bạn qua môn! 18
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Đề 1
ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20182
Mã học phần: MI2020
Câu 1. Cho 3 sự kiện A, B, C độc lập từng đôi (2 sự kiện bất kỳ luôn độc lập với nhau) thỏa mãn:
P(A) = P(B) = P(C) = p và P(ABC) = 0.
a) Tính P(A.B.C), P(A.B.C).
b) Tìm giá trị p lớn nhất có thể có.
Câu 2. Một nhà máy có hai phân xưởng cùng sản xuất bóng đèn. Số bóng đèn do phân xưởng 2 sản
xuất gấp 2 lần số bóng đèn do phân xưởng 1 sản xuất. Tỷ lệ phế phẩm của 2 phân xưởng tương ứng là
0,005 và 0,008. Lấy ngẫu nhiên 1 bóng đèn của nhà máy để kiểm tra thì thấy là phế phẩm. Tính xác
suất bóng đèn đó do phân xưởng 2 sản xuất.
Câu 3. Có hai lô hàng I và II, mỗi lô chứa rất nhiều sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm loại A có trong hai lô
I và II lần lượt là 70% và 80%. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản phẩm.
a) Tính xác suất để số sản phẩm loại A lấy từ lô I lớn hơn số sản phẩm loại A lấy từ lô II.
b) Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 4 sản phẩm được lấy ra. Tìm kỳ vọng và phương sai của X.
Câu 4. Khảo sát trọng lượng X(kg) của 200 con lợn xuất chuồng ta được bảng số liệu sau: X(kg)
[85-95) [95-105) [105-115) [115-125) [125-135) [135-145) Số lợn 10 30 45 80 30 5
Với độ tin cậy 90% hãy ước lượng khoảng cho trọng lượng trung bình của đàn lợn xuất chuồng.
Câu 5. Với số liệu ở câu 4 và mức ý nghĩa 5%, liệu có thể khẳng định rằng tỷ lệ lợn xuất chuồng có
trọng lượng thấp hơn 115kg là ít hơn 50% hay không?
Phụ lục: trích Bảng phân phối chuẩn x 1,282 1,645 1,96 2 2,576 3 Φ(x) 0,90 0,95 0,975 0,9772 0,995 0,9987
Hàm Laplace φ (x) = Φ(x) − 0,5.
Chúc các bạn qua môn! 19
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Giải đề cuối kì 20182 Câu 1: a,
• P(ABC) = P(AB) − P(ABC) = P(AB) = P(A).P(B) = p2
• P(A B C) = 1 − P(A + B +C)
= 1 − [P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC)] = 1 − 3p + 3p2 b,
• P(AB C) = P(A) − P(ABC) − P(ABC) − P(ABC) = p − 2p2 Vậy: • P(ABC) = 0
• P(ABC) = P(ABC) = P(ABC) = p2
• P(AB C) = P(ABC) = P(A BC) = p − 2p2
• P(A B C) = 1 − 3p + 3p2   0 ≤ p2 ≤ 1  1
Điều kiện: Các xác suất thuộc [0;1] 1
⇔ 0 ≤ p − 2p2 ≤ 1 ⇔ 0 ⇒ p  ≤ p ≤ max =  2 2
0 ≤ 1 − 3p − 3p2 ≤ 1 Câu 2:
Gọi H = {Sản phẩm đó là phế phẩm}
Gọi Ai = {Sản phẩm đó do phân xưởng i sản xuất}, i = {1, 2}
Hệ {Ai} tạo thành hệ đầy đủ với:  (  1 2P(A P AP(A 1) = ( 2) 1) = ⇔ 3 P(A  2 1) + P(A2) = 1  P(A2) = 3
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
P(H) = P(A1)P(H|A1) + P(A2)P(H|A2)
với: P(H|A1) = 0,005; P(H|A2) = 0,008 1 2
⇒ P(H) = .0,005 + .0,008 = 0,007 3 3 Xác suất cần tính là: 2 P(A P(A .0, 008
2)P(H |A2) 16 P(A 2H ) 3 2|H) = = = = P(H) P(H) 0, 007 21
Chúc các bạn qua môn! 20
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Câu 3:
Gọi X1,X2 lần lượt là số sản phẩm loại A được lấy từ lô hàng I và II. X1 ∼ B(2;0,7); X2 ∼ B(2;0,8)
a, Xác suất cần tính là:
P(X1 > X2) = P(X1 = 1, X2 = 0) + P(X1 = 2, X2 = 0) + P(X1 = 2, X2 = 1)
= P(X1 = 1)P(X2 = 0) + P(X1 = 2)P(X2 = 0) + P(X1 = 2)P(X2 = 1) (Do tính độc lập) = C1. .0, 80.0, 22 +C2 . .0, 80.0, 22 +C2. .0, 81.0, 21 2 0, 71.0, 31.C0 2 2 0, 72.0, 30.C0 2 2 0, 72.0, 30.C0 2 = 0, 1932
b, X là số sản phẩm loại A có trong 4 sản phẩm được lấy ra. ⇒ X = X1 + X2 Do tính độc lập nên:
• E(X ) = E(X1 + X2) = E(X1) + E(X2) = 2.0,7 + 2.0,8 = 3
• V (X ) = V (X1 + X2) = V (X1) +V (X2) = 2.0, 7.0, 3 + 2.0, 8.0, 2 = 0, 74 Câu 4:
- Gọi X là trọng lượng lợn trong trại nuôi. X ∼ N(µ,σ2); E(X) = µ X √ - Chọn thống kê: − µ U =
n. Vì n = 200 > 30 nên thống kê U ∼ N(0; 1) s
- Khoảng tin cậy đối xứng cho E(X) = µ là:   s s x − u 1 1 1− α . √ ; x + u1 .√ 2 n − α 1 2 n1 trong đó, α = 0,1; u = u 1− α
0,95 = 1, 645 được tra từ bảng phân phối chuẩn tắc. 2
- Tính toán ta được: x = 115,25; s1 = 11,4276; n1 = 200. Khoảng tin cậy đối xứng:   11, 4276 11, 4276 115, 25 − 1, 645. √ ; 115, 25 + 1, 645. √ = (113, 9208; 116, 5792) 200 200
- Với độ tin cậy 90%, trọng lượng trung bình của đàn lợn xuất chuồng từ 113,9208 đến 116,5792 kg. Câu 5:
- Gọi p là tỷ lệ lợn xuất chuồng có trọng lượng thấp hơn 115kg.
- Đặt giả thuyết H0 : p = p0. Đối thuyết H1 : p < p0 với p0 = 0,5. f √
- Chọn tiêu chuẩn kiểm định: − p0 U = p
n nếu H0 đúng. Vì n.p0 = n(1 − p0) = 200.0,5 = p0(1 − p0)
100 khá lớn nên U ∼ N(0;1) - Với α = 0,05; u1 = −α
u0,95 = 1, 645 tra từ bảng phân phối chuẩn tắc. Miền bác bỏ H0 là:
Ws = (∞; −u1−α) = (∞; −1,645) m 85
- Từ số liệu đề bài ta có: n = 200; m = 85 ⇒ f = =
= 0, 425 suy ra giá trị quan sát: n 200 f − p √ 0 √ 0, 425 − 0, 5 uqs = p n = 200 = −2, 21 p 0, 5(1 − 0, 5) 0(1 − p0)
- Vì uqs ∈ Ws nên bác bỏ giá thuyết H0, nghĩa là có thể khẳng định rằng tỷ lệ lợn xuất chuồng có trọng
lượng thấp hơn 115kg là ít hơn 50% với mức ý nghĩa 5
Chúc các bạn qua môn! 21
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Đề 1
ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20183
Mã học phần: MI2020
Câu 1. Có một nhóm 4 sinh viên, mỗi người có một chiếc mũ giống hệt nhau để trên giá. Khi ra khỏi
phòng, mỗi người lấy ngẫu nhiên một chiếc mũ để đội. Tính xác suất để:
a) Sinh viên thứ nhất và sinh viên thứ ba lấy đúng mũ của mình.
b) Có ít nhất một sinh viên lấy đúng mũ của mình.
Câu 2. Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm loại I và 3 sản phẩm loại II. Tiền lãi
khi bán được mỗi sản phẩm loại I là 50 nghìn đồng, mỗi sản phẩm loại II là 20 nghìn đồng.
a) Ngày thứ nhất lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng ra 3 sản phẩm và đã bán hết cả 3 sản phẩm đó. Tìm kỳ
vọng của số lãi thu được.
b) Ngày thứ hai lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng ra 2 sản phẩm. Tính xác suất để thu được 100 nghìn đồng
tiền lãi khi bán 2 sản phẩm này.
Câu 3. Cho biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (X.Y) có hàm mật độ xác suất là:
( kx2, nếu−1≤x≤1,0≤y≤x2,
fX,Y (x, y) = 2 0, nếu trái lại.   1 a) Tìm k. b) Tính P Y ≤ 4
Câu 4. Một công ty dự định mở một siêu thị tại khu dân cư A. Để đánh giá khả năng mua hàng của
khách hàng tại khu vực này, người ta đã điều tra ngẫu nhiên thu nhập trong một tháng của 100 gia
đình và thu được bảng số liệu sau:
Thu nhập (triệu đồng) 34,0 34,5 35,0 35,5 36,0 36,5 37,0 37,5 Số gia đình 5 10 15 20 29 10 6 5
a) Theo bộ phận tiếp thị thì chỉ nên mở siêu thị tại A nếu thu nhập trung bình của các gia đình phải
lớn hơn 35,5 triệu đồng/tháng. Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết có nên mở siêu thị tại khu dân cư A hay không?
b) Tìm khoảng tin cậy cho tỷ lệ các gia đình có thu nhập ≥ 35,5 triệu đồng/tháng với độ tin cậy 95%.
Câu 5. Điều tra ngẫu nhiên thu nhập của 100 hộ gia đình ở khu dân cư B thấy thu nhập bình quân là
35,8 triệu đồng/tháng và độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh là 1,1055 triệu đồng. Với mức ý nghĩa 5%, có
thể kết luận thu nhập bình quân ở khu dân cư B cao hơn ở khu dân cư A (với số liệu câu 4) hay không?
Phụ lục: trích Bảng phân phối chuẩn x 1,000 1,585 1,645 1,960 2,377 2,575 Φ(x)
0,8413 0,9429 0,9500 0,9750 0,9933 0,9950
Chúc các bạn qua môn! 22
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Giải đề cuối kì 20183 Câu 1:
a, Xét phép thử mỗi người lấy ngẫu nhiên một chiếc mũ để đội.
• Số kết cục đồng khả năng là: n = 4! = 24 cách
• Gọi A = {Sinh viên thứ nhất và thứ ba lấy đúng mũ của mình}
• Số kết cục thuận lợi cho A là: m = 1.1.2.1 = 2 cách m 2 1 ⇒ P(A) = = = n 24 12
b, Gọi B = {Có ít nhất một sinh viên lấy đúng mũ của mình}
Gọi Ai = {Sinh viên thứ i lấy đúng mũ của mình}, i = {1,2,3,4} Xác suất cần tính là:
P(B) = P(A1 + A2 + A3 + A4) 4
= ∑ P(Ai) − P(A1A2) − P(A1A3) − P(A1A4) − P(A2A3) − P(A2A4) − P(A3A4) i=1
+ P(A1A2A3) + P(A1A2A4) + P(A1A3A4) + P(A2A3A4) − P(A1A2A3A4) Trong đó: 1
• P(A1) = P(A2) = P(A3) = P(A4) = 4 1.1.2.1 1
• P(A1A2) = P(A1A3) = P(A1A4) = P(A2A3) = P(A2A4) = P(A3A4) = = 24 12 1.1.1.1 1
• P(A1A2A3) = P(A1A2A4) = P(A1A3A4) = P(A2A3A4) = = 24 24 1.1.1.1 1
• P(A1A2A3A4) = = 24 24 1 1 1 1 5
⇒ P(B) = 4. − 6. + 4. − = 4 12 24 24 8 Câu 2:
a, Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số tiền lãi thu được. X = {60, 90, 120, 150}
Gọi Ai = {Trong ngày đầu bán được i sản phẩm loại I}, i = {0, 1, 2, 3} C3 1
• P(X = 60) = P(A 3 0) = = C3 120 10 7.C2 7
• P(X = 90) = P(A 3 1) = = C3 40 10 C2.3 21
• P(X = 120) = P(A 7 2) = = C3 40 10 C3 7
• P(X = 150) = P(A 7 3) = = C3 24 10
Chúc các bạn qua môn! 23
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Ta có bảng phân phối xác suất: X 60 90 120 150 P 1/120 7/40 21/40 7/24 1 21 7 ⇒ E(X) = 60. + 120. + 150. = 123 120 40 24
b, Gọi A = {Ngày thứ hai thu được 100 nghìn đồng tiền lãi khi bán 2 sản phẩm}
Hệ {Ai} tạo thành hệ đầy đủ.
P(A) = P(A0)P(A|A0) + P(A1)P(A|A1) + P(A2)P(A|A2) + P(A3)P(A|A3) 1 C2 7 C2 21 C2 7 C2 = . 7 + . 6 + . 5 + . 4 120 C2 40 C2 40 C2 24 C2 7 7 7 7 7 = 15 = 0, 4667 Câu 3:
a, Ta giải hệ phương trình:  (    k −1 ≤ x ≤ 1    .x2 k ≥ 0  ≥ 0, với  2  0 ≤ y ≤ x2  1 Z x2 Z ∞ ∞ ⇒ k ⇒ k = 5 (Thoả mãn)  Z Z   kdx .x2 dy = 1    .x2 dx dy = 1   2 2 −1 0 −∞ −∞  (   5 −1 ≤ x ≤ 1 .x2, với
⇒ fX,Y (x,y) = 2 0  ≤ y ≤ x2 0, trái lại
b, Ký hiệu D là miền trên đó fX,Y (x,y) 6= 0
D = {(x, y) ∈ R2| − 1 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ x2}   1 1 ZZ 2 Z x2 Z 1 Z 4 Z 1 5 5 ⇒ P Y ≤ =
fX,Y (x, y) = 2. dx .x2 dy + 2. dx .x2 dy 4 2 2 D∩(y≤ 1 ) 0 0 1 0 4 2 1 2 Z 1 Z 5 5 = 2. .x4 dx + 2. .x2 dx 2 8 0 1 2 = 0, 3958
Chúc các bạn qua môn! 24
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Câu 4:
a, Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ thu nhập trong một tháng của các hộ gia đình tại A. E(X) = µ1
- Đặt giả thuyết H0 : µ1 = µ0. Đối thuyết H1 : µ1 > µ0 với µ0 = 35,5 X
- Chọn tiêu chuẩn kiểm định: − µ √ U = 0 n nếu H 0; 1 s
0 đúng. U ∼ N( )
- Với α = 0,05 tra bảng phân phối chuẩn tắc, có u1−α = u0,95 = 1,65. Miền bác bỏ H0 là:
Ws = (u1−α; +∞) = (1,65; +∞)
- Từ số liệu đã cho, có: µ0 = 35,5; n1 = 100; x1 = 35,685; s1 = 0,8547 suy ra giá trị quan sát: x √ 1 = µ √ 35, 685 − 35, 5 u 0 qs = n 100 = 2, 1645 s 1 = 1 0, 8547
- Vì uqs ∈ Ws nên bác bỏ H , chấp nhận 0
H1, nghĩa là có nên mở siêu thị tại khu dân cư A với mức ý nghĩa 5%.
b, Gọi p là tỷ lệ các gia đình có thu nhập ≥ 35,5 triệu đồng/tháng ở khu A. Kiểm tra điều kiện:
n1 f = 100.0, 7 = 70 > 5; n1(1 − f ) = 100.0, 3 = 30 > 5 f - Chọn thống kê: − p √ Z = p
n. Z ∼ N(0;1) f (1 − f )
- Khoảng tin cậy đối xứng của xác suất p là: r r ! f (1 − f ) f (1 − f ) f − u1−α ; f + u 2 n 1− α2 n trong đó u = u 1− α
0,975 = 1, 96 được tra từ bảng phân phối chuẩn tắc. 2 m
- Với n1 = 100; m = 70; f =
= 0, 7 suy ra khoảng tin cậy đối xứng của p là: n1 r r ! 0, 7(1 − 0, 7) 0, 7(1 − 0, 7) 0, 7 − 1, 96. ; 0, 7 + 1, 96. = (0, 6102; 0, 7898) 100 100
- Vậy với mức ý nghĩa 5%, tỷ lệ các gia đình có thu nhập ≥ 35,5 triệu đồng/tháng ở khu A từ 61,02% đến 78,98%
Chúc các bạn qua môn! 25
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Câu 5:
- Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ thu nhập trong một tháng của các hộ gia đình tại B. E(Y ) = µ2. Giả sử σ2 = σ2 1 2
- Đặt giả thuyết H0 : µ1 = µ2. Đối thuyết H1 : µ1 < µ2 X
- Chọn tiêu chuẩn kiểm định: −Y U = s
nếu giả thuyết H0 đúng. U ∼ N(0;1) s21 s2 + 2 n1 n2
- Với α = 0,05 tra bảng phân phối chuẩn tắc được u1 = −α = u0,95
1, 645. Miền bác bỏ H0 là:
Ws = (−∞; −u1−α) = (−∞; −1,645)
- Từ số liệu đã cho, có: n1 = 100; n2 = 100; x = 35,685; s1 = 0,8547; y = 35,8; s2 = 1,1055 x − y 35, 685 − 35, 8 ⇒ uqs = s = r = −0,8230 s2 0, 85472 1, 10552 1 s2 + 2 + n 100 100 1 n2 - Vì uqs /
∈ Ws nên chưa có cơ sở bác bỏ H , nghĩa là chưa thể kết luận thu nhập bình quân ở khu dân 0
cư B cao hơn ở khu dân cư A với mức ý nghĩa 5%.
Chúc các bạn qua môn! 26
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Đề 1
ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20191
Mã học phần: MI2020
Câu 1. Có ba hộp I, II, III đựng bóng đèn. Hộp I có 8 bóng đèn màu đỏ, 2 bóng đèn màu xanh; hộp
II có 7 bóng đèn màu đỏ, 3 bóng đèn màu xanh; hộp III có 6 bóng đèn màu đỏ, 4 bóng đèn màu xanh.
a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bóng đèn. Tính xác suất để được 3 bóng cùng màu.
b) Lấy ngẫu nhiên ra một hộp rồi từ đó lấy ngẫu nhiên ra 3 bóng đèn thì được 2 bóng màu đỏ, 1 bóng
màu xanh. Tính xác suất để các bóng đèn này được lấy từ hộp I. 
Câu 2. Cho hàm mật độ xác suất
3e−3x, nếu x ≥ 0 fX (x) =
của biến ngẫu nhiên liên tục X và 0, nếu x < 0
định nghĩa Y = [X] là số nguyên lớn nhất không vượt quá X (nghĩa là [x] = 0 nếu 0 ≤ x < 1, [x] = 1
nếu 1 ≤ x < 2...).
a) Tính P(Y = 0) b) Tính E(Y )
Câu 3. Cho U và V là hai biến ngẫu nhiên liên tục, độc lập với nhau và có cùng phân phối đều trên [10;30].
a) Tìm hàm mật độ xác suất đồng thời fU,V (u,v) của biến ngẫu nhiên hai chiều (U,V ).
b) Tính P (|U −V| < 10)
Câu 4. Để điều tra doanh thu của các gia đình kinh doanh loại mặt hàng A tại địa phương B, người ta
khảo sát 100 gia đình kinh doanh loại mặt hàng này trong một tháng của năm 2019 thu được bảng số liệu:
Doanh thu (triệu VNĐ) 25 30 35 40 45 50 55 60 65 Số gia đình 4 9 17 25 20 10 8 4 3
a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng doanh thu trung bình/tháng của các gia đình kinh doanh loại
mặt hàng A tại địa phương B.
b) Một tài liệu thống kê cho biết doanh thu trung bình/tháng của các gia đình kinh doanh loại mặt
hàng A tại địa phương B là 40 triệu VND. Hãy cho kết luận về tài liệu nói trên với mức ý nghĩa 5%.
Câu 5. Điều tra doanh thu của 200 gia đình kinh doanh loại mặt hàng A ở địa phương C, người ta tính
được doanh thu trung bình/tháng là 43 triệu VNĐ và độ lệch tiêu chuẩn của mẫu hiệu chỉnh là 8,912
triệu VNĐ. Doanh thu trung bình loại mặt hàng A ở địa phương C và B (với số liệu ở câu 4) có như
nhau hay không? Hãy kết luận với mức ý nghĩa 1%.
Phụ lục: trích Bảng phân phối chuẩn x 1,000 1,585 1,645 1,960 2,377 2,575 Φ(x)
0,8413 0,9429 0,9500 0,9750 0,9933 0,9950
Chúc các bạn qua môn! 27
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Giải đề cuối kì 20191 Câu 1:
a, Xét phép thử lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một bóng đèn.
Tổng số kết cục đồng khả năng là: n = 10.10.10 = 1000 cách.
Gọi A = {Lấy được 3 bóng cùng màu}.
Số kết cục thuận lợi cho A là: m = 8.7.6 + 2.3.4 = 360 cách m 360 ⇒ P(A) = = = 0, 36 n 1000
b, Gọi Ai = {Số bóng lấy ra được lấy từ hộp i}, i = 1,2,3.
Hệ {Ai} tạo thành hệ đầy đủ với: 1 P (A A
1) = P ( 2) = P (A3) = 3
Gọi B = {Lấy ra được 2 bóng màu đỏ, 1 bóng màu xanh}
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
P (B) = P (A1) P (B| A1) + P (A2) P (B| A2) + P (A3) P (B| A3) với: C2.2 7 C2.3 21 C2.4 1 P ( B| A 8 7 6 1) = =
P ( B| A2) = =
P ( B| A3) = = C3 15 C3 40 C3 2 10 10 10 1 7 1 21 1 1 P (B) = . + . + . = 0, 4972 3 15 3 40 3 2 Xác suất cần tính là: 1 7 P (A . 1B)
P (A1) P (B| A1) P ( A 3 15 1| B) = = = = 0, 3129 P (B) P (B) 0, 4972 Câu 2:
a, Y = 0 xảy ra khi 0 ≤ X < 1 1 Z
P (Y = 0) = P (0 ≤ X < 1) =
3.e−3xdx = 1 − e−3 = 0, 9502 0 b, Ta có: y+1 Z  
P (Y = y) = P (y ≤ X < y + 1) =
3.e−3xdx = 1 − e−3 e−3y, y = 0, 1, 2 . . . y   ∞
⇒ E (Y ) = 1 − e−3 ∑ ye−3y y=0 Có: !′ !′ ∞ ∞       ′ ∞ ∞ 1 ′ x ′ 1
∑ kxk−1 = ∑ xk = ∑ xk = ∑ xk − 1 = − 1 = = 1 1 y=0 y=0 y=0 y=0 − x − x (1 − x)2
Chúc các bạn qua môn! 28
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê   ∞   ∞   ∞
⇒ E (Y ) = 1 − e−3 ∑ ye−3y = 1 − e−3 ∑ ye−3y = e−3 1 − e−3 ∑ ye−3(y−1) y=0 y=1 y=1   1 1
= e−3 1 − e−3 . = = 0, 0524 (1 − e−3)2 e3 − 1 Câu 3:
a, Vì U và V là hai biến ngẫu nhiên liên tục, có phân phối đều trên [10;30] nên: ( 1 ( 1 , u , u f ∈ [10;30] ∈ [10;30] U (u) = 20 fV (v) = 20 0,trai lai 0,trai lai
Mặt khác vì U và V độc lập nên: ( 1 2 , (u, v) f ∈ [10;30]
U,V (u, v) = 400 0,trai lai b, ZZ  
P (|U −V | < 10) =
fU,V (u, v) dudv, D = (u, v) ∈ R2 : |u − v| < 10 D∩SU,V
Sử dụng tính chất của tích phân hai lớp ta được: 1   3
P (|U −V | < 10) = . 202 − 102 = = 0,75 400 4 Câu 4:
a, Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ doanh thu của các gia đình kinh doanh loại mặt hàng A tại địa  
phương B. X ∼ N µ1,σ2 . E (X) = µ 1 1. X − µ√
• Chọn thống kê U =
n. Vì n = 100 > 30 nên U ∼ N (0, 1) S
• Sử dụng khoảng tin cậy đối xứng cho E (X ) = µ1:   s s x − u 1 1
1− α . √ ; x + u . 1 √ 2 n − α2 n Trong đó u = u 1− α
0,975 = 1, 96 được xác định từ bảng phân phối chuẩn tắc. 2
• Từ số liệu vừa tính toán ta có khoảng tin cậy đối xứng là:   9, 2245 9, 2245 42, 4 − 1, 96. √ ; 42, 4 + 1, 96. √ = (40, 5920;44, 2080) 100 100
Vậy với độ tin cậy 95%, doanh thu trung bình của các hộ gia đình từ 40,5920 đến 44,2080.
Chúc các bạn qua môn! 29
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê b, • Đặt giả thuyết
H0 : µ = µ0; đối thuyết H1 : µ 6= µ0 với µ0 = 40 X − µ0√
• Chọn tiêu chuẩn kiểm định U = n nếu H 0; 1 s
0 đúng.U ∼ N ( )
• Với α = 0, 05, tra bảng phân phối chuẩn tắc ta có
u1−α = u0,975 = 1,96, miền bác bỏ giả 2 thuyết H0 là:    
Wα = −∞; −u1−α ∪ u1
; +∞ = (−∞; −1, 96) ∪ (1, 96;+∞) 2 − α2
• Từ số liệu đầu bài, tính toán ta được:n1 = 100; x = 42, 4; s1 = 9, 2245 với µ0 = 40: x − µ √ 42, 4 − 40 √ u 0 qs = n = . 100 = 2, 6018 s 9, 2245
Vì uqs ∈ Ws nên bác bỏ giả thuyết H0 nghĩa là tài liệu kia không đúng với mức ý nghĩa 5%. Câu 5:
Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ doanh thu của các gia đình kinh doanh loại mặt hàng A tại địa phương  
C.Y ∼ N µ2,σ2 . E (Y) = µ 2 2 • Đặt giả thuyết
H0 : µ = µ0; đối thuyết H1 : µ 6= µ0 X −Y
• Chọn tiêu chuẩn kiểm định U = s
nếu H0 đúng. U ∼ N (0;1) s21 s2 + 2 n1 n2
• Với α = 0, 01, tra bảng phân phối chuẩn tắc ta có u = u 1− α
0,995 = 2, 58, miền bác bỏ giả 2 thuyết H0 là:    
Wα = −∞; −u1−α ∪ u1
; +∞ = (−∞; −2, 58) ∪ (2, 58;+∞) 2 − α2
• Từ số liệu đầu bài, tính toán ta được:n1 = 100; x = 42, 4, y = 43 s1 = 9, 2245, s2 = 8, 912 với µ0 = 40: x − y 42, 4 − 43 uqs = s = r = −0,5371 s2 s2 9, 22452 8, 9122 1 + 2 + n 100 100 1 n2 Vì uqs /
∈ Ws nên chưa có cơ sở bác bỏ H0, nghĩa là có thể kết luận doanh thu trung bình loạimặt hàng
A ở địa phương C và B là như nhau.
Chúc các bạn qua môn! 30
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Đề 1
ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20192
Mã học phần: MI2020
Câu 1. Cho biết xác suất để một sinh viên mượn một cuốn sách Kỹ thuật ở thư viện là 0,8; còn xác
suất mượn một cuốn sách Văn học là 0,2. Một ngày có 5 sinh viên đến mượn sách tại thư viện, mỗi
người mượn 2 cuốn sách.
a) Tính xác suất để trong 5 người đó có đúng 2 người, mỗi người mượn một cuốn sách Kỹ thuật và một cuốn sách Văn học.
b) Biết trong 5 người có ít nhất 2 người, mỗi người mượn 2 cuốn sách Kỹ thuật. Tính xác suất để
trong 5 người đó có đúng 2 người, mỗi người mượn 1 cuốn sách Kỹ thuật và 1 cuốn sách Văn học.
Câu 2. Có hai nhóm sinh viên. Nhóm I có 5 sinh viên nam và 3 sinh viên nữ; nhóm II có 4 sinh viên
nam và 2 sinh viên nữ. Từ nhóm I chọn ngẫu nhiên ra 2 sinh viên, từ nhóm II chọn ra 1 sinh viên.
a) Hỏi trung bình chọn được bao nhiêu sinh viên nữ trong 3 sinh viên được chọn.
b) Biết trong 3 sinh viên được chọn có ít nhất 1 sinh viên nữ. Tính xác suất để trong 3 sinh viên đó có đúng 1 sinh viên nam.
Câu 3. Thời gian hoạt động Xi,i = 1,2,3 của linh kiện điện tử I, II, II là các biến ngẫu nhiên độc lập,
tuân theo luật phân phối mũ với hàm mật độ xác suất tương ứng là fX(x) = λ e−λix, x > 0,λi > 0.
a) Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên chỉ thời gian hoạt động của một hệ thống gồm 3
linh kiện trên mắc nối tiếp.
b) Tìm kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên chỉ thời gian hoạt động của hệ thống đó.
Câu 4. Đo độ xa X (đơn vị đo là mm) từ điểm trúng bia đến tâm bia của 16 lần bắn ta thu được số liệu sau:
2,10 1,95 2,07 2,03 1,91 2,08 1,98 2,10
2,06 1,92 1,95 2,11 2,00 1,96 2,08 1,91
a) Hãy ước lượng độ xa trung bình với độ tin cậy 95%. Giả sử độ xa X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
b) Tính xác suất để độ xa X lớn hơn 2mm.
Câu 5. Số lượng người mắc bệnh sốt xuất huyết ở địa phương A là 15 người trên một mẫu 200 người;
số lượng này ở địa phương B là 20 người trên một mẫu 250 người. Hỏi tỷ lệ mắc bệnh sốt xuất huyết
ở 2 địa phương trên có được coi là như nhau hay không? Hãy kết luận với mức ý nghĩa α = 0,05.
Phụ lục: trích các bảng số Phân vị chuẩn Φ( (n) x)
Phân vị Student P(X < tα ) = α α x 0,178 1,165 1,645 0,950 0,975 0,995 n Φ(x) 0,5695 0,8780 0,9500 8 1,860 2,306 3,355 x 1,960 2,377 2,575 14 1,761 2,145 2,977 Φ(x) 0,9750 0,9933 0,9950 15 1,753 2,131 2,947
Chúc các bạn qua môn! 31
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Giải đề cuối kì 20192 Câu 1:
Xác suất để một người mượn một cuốn sách Kỹ thuật và một cuốn sách Văn học: p = 2.0, 2.0, 8 = 0, 32
a, Gọi A = {Trong 5 người đó có đúng 2 người, mỗi người mượn một cuốn sách Kỹ thuật và một cuốn sách Văn học}
Bài toán thoả lược đồ Bernoulli với: n = 5; p = 0,32;q = 1 − p = 0,68
⇒ P(A) = P5 (2) = C2 . , 2. 5 0 32 0, 683 = 0, 3220
b, Gọi B = {Trong 5 người có ít nhất 2 người, mỗi người mượn 2 cuốn sách Kỹ thuật}
Bài toán thoả lược đồ Bernoulli với: n = 5; p = 0,82 = 0,64; q = 1 − p = 0,36; k1 = 2; k2 = 5
⇒ P(B) = P 2 5 5 (2; 5) = C2 . , 2. .0, 643.0, 36 +C4. .0, 64 .0, 360 = 0, 9402 5 0 64 0, 363 +C3 5 5 0, 644.0, 361 +C5 5 P (AB)
Xác suất cần tính là: P (A|B) = P(B)
Trong đó: AB = { Trong 5 người đó có đúng 2 người, mỗi người mượn một cuốn sách Kỹ thuật và một
cuốn sách Văn học, ít nhất 2 người, mỗi người mượn 2 cuốn sách Kỹ thuật} • Trường hợp 1:
2 người, mỗi người mượn một cuốn sách Kỹ thuật và một cuốn sách Văn học;
2 người, mỗi người mượn 2 cuốn sách Kỹ thuật; 1 người mượn 2 cuốn Văn học. PTH1 = C2 . , 2. , 2.C1 5 0 32 C2 3 0 64 . , 1 0, 04 = 0 0503 • Trường hợp 2:
2 người, mỗi người mượn một cuốn sách Kỹ thuật và một cuốn sách Văn học;
3 người, mỗi người mượn 2 cuốn sách Kỹ thuật. PT H2 = C2 . , 2. , 3 = , 5 0 32 C3 3 0 64 0 2684
⇒ P(AB) = 0,0503 + 0,2684 = 0,3187 P (AB) 0, 3187
⇒ P(A|B) = = = 0, 3390 P (B) 0, 9402 Câu 2:
a, Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số sinh viên nữ được chọn .X = {0,1,2,3}
Gọi Ai = {Chọn được i sinh viên nữ từ nhóm I}.
Gọi Bi = {Chọn được i sinh viên nữ từ nhóm II}. C2 C1 5
P (X = 0) = P (A 5 4
0B0) = P (A0) .P (B0) = . = C2 C1 21 8 6 5.3 C1 C2 C1 10
P (X = 1) = P (A P P P 4 5 2 1B A B 0 + 0 1) =
(A1) . (B0) + (A01) .P (B1) = . + . = C2 C1 C2 C1 21 8 6 8 6 C2 C1 5.3 C1 1
P (X = 2) = P (A 3 4 2
2B0 + A1B1) = P (A2) .P (B0) + P (A1) .P (B1) = . + . = C2 C1 C2 C1 4 8 6 8 6 C2 C1 1
P (X = 3) = P (A 3 2
2B1) = P (A2) .P (B1) = . = C2 C1 28 8 6
Chúc các bạn qua môn! 32
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê X 0 1 2 3
Ta có bảng phân phối xác suất: 5 10 1 1 Y 21 21 4 2 5 10 1 1 13 ⇒ E (X) = 0. + 1. + 2. + 3. = 21 21 4 28 12 13 Vậy trung bình có
sinh viên nữ được chọn trong số 3 sinh viên. 12
b, Gọi A = {Trong 3 sinh viên được chọn có ít nhất 1 sinh viên nữ}.   5 16
⇒ P(A) = 1 − P A = 1 − P(X = 0) = 1 − = 21 21
Gọi B = {Trong 3 sinh viên đó có đúng 1 sinh viên nam}. 1
⇒ P(B) = P(X = 2) = 4 Xác suất cần tính là: 1 P (AB) P (B) 21
⇒ P(B|A) = = = 4 = P (A) P (A) 16 64 21 Câu 3:
a, Gọi X1,X2,X3 lần lượt là biến ngẫu nhiên chỉ thời gian hoạt động của 3 linh kiện trong mạch.
Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ thời gian hoạt động của mạng lắp nối tiếp. Ta có:
Y = min (X1, X2) > 0
FY (y) = P (Y < y) = 1 − P (Y > y) = 1 − P (X1 > y) P (X2 > y) P (X3 > y)       +∞ Z +∞ Z +∞ Z = 1 −
fX (x) dx  f (x) dx f
(x) dx = 1 − e−(λ1+λ2+λ3)y 1 X2 X3 y y y Vậy:
(1−e−(λ1+λ2+λ3)y,y > 0 FY (y) = 0, trai lai
b, Từ hàm phân phối, ta tìm được hàm mật độ xác suất:  (λ f
1 + λ2 + λ3) e−(λ1+λ2+λ3)y, y > 0 Y (y) = 0, trai lai
• Cách 1: Dễ thấy Y là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ.
Y ∼ Exp (λ1 + λ2 + λ3) Suy ra: 1 1 E (Y ) = V (Y ) = λ1 + λ2 + λ3 (λ1 + λ2 + λ3)2
Chúc các bạn qua môn! 33
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê +∞ R
• Cách 2: Ta có hàm Gamma: Γ (y) =
xy−1e−xdx 0 +∞ R +∞ R E (Y ) =
yfY (y)dy =
y (λ1 + λ2 + λ3) e−(λ1+λ2+λ3)ydy −∞ 0 1 1 = .Γ (2) = λ1 + λ2 + λ3 λ1 + λ2 + λ3   +∞ R +∞ R E Y 2 =
y2fY (y)dy =
y2 (λ1 + λ2 + λ3) e−(λ1+λ2+λ3)ydy −∞ 0 1 2 = .Γ (3) = (λ1 + λ2 + λ3)2 (λ1 + λ2 + λ3)2   2 1 1
⇒ V (Y ) = E Y 2 − [E (Y )]2 = − = (λ1 + λ2 + λ3)2 (λ1 + λ2 + λ3)2 (λ1 + λ2 + λ3)2 Câu 4:  
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ độ xa từ điểm trúng bia đến tâm bia. X ∼ N µ,σ2 ,E (X) = µ
Ta tính toán được: n = 16; x = 2,0131; s = 0,0735 a, X − µ√
• Chọn thống kê T =
n. Vì n = 16 < 30 nên T có phân phối Student với n − 1 bậc tự do. S
• Sử dụng khoảng tin cậy đối xứng cho E (X ) = µ:   s s
x − tn−1 . √ ;x + tn−1 . √ 1− α 1− α 2 n 2 n
Trong đó tn−1 = t1 1− α 0,
5 = 2, 131 được xác định từ bảng phân phối Student. 975 2
• Từ số liệu vừa tính toán ta có khoảng tin cậy đối xứng là:   0, 0735 0, 0735 2, 0131 − 2, 131. √ ; 2, 0131 + 2, 131. √ = (1, 9739;2, 0522) 16 16
Vậy với độ tin cậy 95%, tuổi thọ trung bình của ắc quy của công ty A từ 1,9739 đến 2,0522.
b, x là ước lượng không chệch của µ và s là ước lượng không chệch của σ. Xác suất cần tính là:     2 − x 2 − 2, 0131
P (X > 2) = P (2 < X < +∞) = 0, 5 − φ = 0, 5 − φ s 0, 0735
= 0, 5 − φ (−0,178) = 0,5 + φ (0,178) = 0,5 + Φ(0,178) − 0,5 = Φ(0,178) = 0,5695 Câu 5:
Gọi p1, p2 lần lượt là tỷ lệ người mắc bệnh sốt xuất huyết ở địa phương A và B. • Đặt giả thuyết
H0 : p1 = p2; đối thuyết H1 : p1 6= p2 f1 − f2
• Chọn tiêu chuẩn kiểm định Z = s 
 nếu H0 đúng. U ∼ N(0,1)   1 1 f 1 − f + n1 n2
Chúc các bạn qua môn! 34
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
• Với α = 0, 05, tra bảng phân phối chuẩn tắc ta có z = z 1− α
0,975 = 1, 96, miền bác bỏ giả thuyết 2 H0 là:     Wα = −∞; −z ∞ ∞ ∞ 1− α ∪ z1 ; + = (− ;−1,96) ∪ (1,96;+ ) 2 − α2 • Theo bài ra 15 3 20 2 n n m
1 = 200, 2 = 250, m1 = 15, 2 = 20, f1 = = , f2 = = 200 40 250 25
n1 f1 + n2 f2 15 + 20 7 f = = = n1 + n2 450 90 f ⇒ 1 − f z 2 qs = s     = −0,1968 1 1 f 1 − f + n1 n2
Vì zqs ∈ Ws nên bác bỏ H0 nghĩa là không thể chấp nhận tỷ lệ mắc sốt xuất huyết ở hai địa phương là
như nhau với mức ý nghĩa 5%.
Chúc các bạn qua môn! 35
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Đề 1
ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20193
Mã học phần: MI2020
Câu 1. Từ kinh nghiệm quá khứ biết rằng có 20% khách đến cửa hàng có quyết định mua ô tô. Tìm
xác suất để số khách hàng mua xe không vượt quá 2 nếu trong một lần:
a) có 5 khách hàng đến cửa hàng.
b) có 5 khách hàng đến cửa hàng và biết có không quá 4 người mua xe.
Câu 2. Một phân xưởng có hai lô hàng: lô I có 9 chính phẩm và 2 phế phẩm; lô II có 8 chính phẩm
và 1 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô I chuyển sang lô II.
a) Tính xác suất để trong lô II có đúng 2 phế phẩm.
b) Tìm số phế phẩm trung bình của lô II.
Câu 3. Cho thời gian làm việc (hoạt động) T của một con chíp máy tính tuân theo luật phân phối mũ
với hàm mật độ có dạng f (x) = 1 e− xλ ,x > 0,E(T ) = 800 giờ. λ
a) Tìm tham số λ và hàm phân phối xác suất của T .
b) Tìm tỷ lệ các con chíp có thời gian hoạt động lớn hơn 1600 giờ.
Câu 4. Một nhà bán lẻ kiểm tra tuổi thọ (đơn vị tháng) của 10 ắc quy ô tô của công ty A và thu được bộ số liệu là:
27,6 28,7 34,7 29,0 22,9 29,6 29,4 30,3 36,5 34,7
a) Tìm ước lượng không chệch của độ lệch chuẩn của tuổi thọ trên.
b) Với độ tin cậy 95%, xác định khoảng tin cậy cho tuổi thọ trung bình của loại ắc quy đó, biết tuổi
thọ trên là biến ngẫu tuân theo luật phân phối chuẩn.
Câu 5. Cho một nhóm sinh viên gồm 11 người thi tiếng Anh trong hai vòng thi, kết quả như sau: Sinh viên 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Lần 1
45 64 86 96 40 57 73 32 28 89 66 Lần 2
56 68 84 97 36 60 70 39 27 92 75
a) Có thể cho rằng kết quả hai vòng thi là giống nhau, biết rằng điểm thi tuân theo luật phân phối chuẩn (α = 0,05)?
b) Có thể kết luận vòng thi 2 cho kết quả tốt hơn (α = 0,01)?
Phụ lục: trích các bảng số
Phân vị chuẩn Φ(x)
Phân vị Student P(X < p) = t(n; p) p x 1,000 1,645 1,880 0,95 0,975 0,99 n Φ(x) 0,8413 0,950 0,970 9 1,833 2,262 2,821 x 1,960 2,326 2,575 10 1,812 2,228 2,764 Φ(x) 0,975 0,990 0,995 11 1,796 2,201 2,718 20 1,725 2,086 2,528 21 1,721 2,080 2,518
Chúc các bạn qua môn! 36
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Giải đề cuối kì 20193 Câu 1:
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số khách đến mua ô tô. X ∼ B(n, p)
a)Gọi A ={Số khách mua xe không vượt quá 2 nếu trong một lần có 5 khách đến cửa hàng}.
⇒ P(A) = P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
= C0.0, 20.(1 − 0,2)5 +C1.0,21.(1 .0, 22.(1 − 0,2)3 = 0,9421 5 5 − 0,2)4 +C25
b) Gọi B ={Số khách mua xe không vượt quá 4 nếu trong một lần có 5 khách đến cửa hàng }.
⇒ P(B) = P(X ≤ 4) = 1 − P(X > 4) = 1 − P(X = 5) = 1 −C5 0
5 .0, 25.(1 − 0, 2) = 0, 9997 P (AB) P (A) 0, 9421
⇒Xác suất cần tính là: P(A|B) = = = = 0, 9424 P (B) P (B) 0, 9997 Câu 2:
Gọi Ai = {Trong 2 sản phẩm lấy được từ lô I có i chính phẩm},i = 0,1,2.
Hệ {Ai} tạo thành một hệ đầy đủ với: C2 1 2.9 18 C2 36 P(A 2 9 0) = = , P(A1) = = , P(A2) = = C2 55 C2 55 C2 55 11 11 11
a) Gọi A = {Trong lô II có đúng 2 phế phẩm}. 18
⇒ P(A) = P(A1) = 55
b) Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số phế phẩm của lô II.X = 1,2,3. 36
P (X = 1) = P (A2) = 55 18
P (X = 2) = P (A1) = 55 1
P (X = 3) = P (A0) = 55 Ta có bảng: X 1 2 3 36 18 1 P 55 55 55 36 18 1 15 ⇒ E (X) = 1. + 2. + 3. = = 1, 3636 55 55 55 11
Vậy trung bình có 1,3636 phế phẩm trong lô II. Câu 3:
a, T là biến ngẫu nhiên liên tục tuân theo phân phối mũ với: 1 −x f (x) = .e λ , x > 0 λ
Có: E (T ) = 800 mà E (T ) = 1 = λ 1 ⇒ λ = 800 λ 1 −x ⇒ f (x) = .e 800 , x > 0 800
Chúc các bạn qua môn! 37
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Với x > 0: x Z x Z x Z  1 −t −t x −x F (x) = f (t)dt = f (t)dt =
.e 800 dt = − e800  = 1 − e 800 800 0 −∞ 0 0
Với x ≤ 0: F (x) = 0  −x 1 800 , x > 0 ⇒ − e F (x) = 0, x ≤ 0
b, Gọi A = {Các con chíp có thời gian hoạt động lớn hơn 1600 giờ}   −1600
⇒ P(A) = P(T > 1600) = 1 − P(T ≤ 1600) = 1 − 1 − e 800 = 0, 1353 Câu 4:  
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ tuổi thọ của ắc quy ô tô của công ty A. X ∼ N µ,σ2 ,E (X) = µ
Ta tính toán được: n = 10; x = 30,34; s = 4,0103
a, Ước lượng không chệch của độ lệch chuẩn của tuổi thọ trên là: s = 4,0103. b, X − µ√
• Chọn thống kê T =
n. Vì n = 10 < 30 nên T có phân phối Student với n − 1 bậc tự do. S
• Sử dụng khoảng tin cậy đối xứng cho E (X ) = µ:   s s
x − tn−1 . √ ;x + tn−1 . √ 1− α 1− α 2 n 2 n
Trong đó tn−1 = t9
= 2, 262 được xác định từ bảng phân phối Student. 1− α 0,975 2
• Từ số liệu vừa tính toán ta có khoảng tin cậy đối xứng là:   4, 0103 4, 0103 30, 34 − 2, 262. √ ; 30, 34 + 2, 262. √ = (27, 4714;33, 2086) 10 10
Vậy với độ tin cậy 95%, tuổi thọ trung bình của ắc quy của công ty A từ 27,4714 đến 33,2086. Câu 5:
Gọi X, Y lần lượt là kết quả thi của người thi tiếng Anh trong vòng thi thứ nhất, thứ hai. Ta có:     X ∼ N µ1, σ2 µ ; n 1 ; Y ∼ N 2, σ 2 2 1 = n2 = 11
Đặt Z = X −Y, thiết lập hiệu zi = xi − yi, i = 1,2,...11 : X 45 64 86 96 40 57 73 32 28 89 66 Y 56 68 84 97 36 60 70 39 27 92 75 Z −11 −4 2 −1 4 −3 3 −7 1 −3 −6 a, • Đặt giả thuyết
H0 : µ = µ0; đối thuyết H1 : µ 6= µ0 với µ0 z − µ √
• Chọn tiêu chuẩn kiểm địnhT = 0 n nếu H S 0 đúng.
T ∼ T (n − 1)
Chúc các bạn qua môn! 38
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
• Với α = 0, 05, tra bảng phân phối Student ta có tn−1 = t10
= 2, 228, miền bác bỏ giả thuyết 1− α 0,975 2 H0 là:    
Wα = −∞;tn−1 ∪ tn−1 ; +∞ = (−∞; −2, 228) ∪ (2, 228;+∞) 1− α2 1− α2
• Từ số liệu đầu bài, tính toán ta được:n = 11; z = −2, 5455; s = 4, 9470 với µ0 = 0: z − µ √ −2,5455 − 0 √ t 0 qs = n = . 11 = −1,7066 s 4, 9470
Vì tqs = −1,7066 /∈ Wqs nên chưa có cơ sở bác bỏ giả thuyết H0, nghĩa là với số liệu này có thể cho
rằng kết quả hai vòng thi là giống nhau với mức ý nghĩa 5%. b, • Đặt giả thuyết
H0 : µ = µ0; đối thuyết H1 : µ < µ0 với µ0 z − µ √
• Chọn tiêu chuẩn kiểm địnhT = 0 n nếu H S 0 đúng.
T ∼ T (n − 1)
• Với α = 0, 05, tra bảng phân phối Student ta có tn−1 = t10 = 2, 764, miền bác bỏ giả thuyết 1−α 0,99 H0 là:  
Wα = −∞;tn−1 = ( ∞; 2, 764) 1−α − −
Vì tqs = −1,7066 /∈ Wqs nên bác bỏ giả thuyết H1, nghĩa là chưa thể kết luận vòng thi 2 cho kết quả
tốt hơn với mức ý nghĩa 5%
Chúc các bạn qua môn! 39
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Đề 2
ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20201
Mã học phần: MI2020
Câu 1. Điểm thi của 100 sinh viên (thi độc lập nhau) được cho ở bảng dưới: Điểm
3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 Số sinh viên 2 4 12 21 28 20 9 4
Lấy ngẫu nhiên điểm thi của 6 sinh viên để khảo sát. Tính xác suất trong 6 điểm thi đó:
a) Có hai điểm thi cao hơn 5,5 và một điểm thi thấp hơn 4,0.
b) Có cả điểm 6 và điểm 6,5.
Câu 2. Một lô hàng với số lượng sản phẩm lớn có ba loại 1, 2 và 3 chiếm tỷ lệ tương ứng là 50%,
20% và 30%. Lấy nhiên 6 sản phẩm để kiểm tra và gọi X và Y tương ứng chỉ số sản phẩm loại 1 và
loại 2 có trong 6 sản phẩm được lấy ra.
a) Tính trung bình của Z = X +Y
b) Tính phương sai và mốt của Y .
Câu 3. Cho biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (U,V) có hàm mật độ xác suất là:
ku2v, nếu 0 ≤ u ≤ 1,0 ≤ v ≤ 1,
f (u, v) = 0, nếu trái lại.   2 a) Tìm hằng số k.
b) Tính P max(U,V ) ≤ . 3
Câu 4. Để kiểm tra trọng lượng loại sản phẩm S do nhà máy Q sản xuất trong quý IV năm 2020,
người ta cần thử 100 sản phẩm loại này thu được bảng số liệu:
Trọng lượng (gam) 5 - 6 6 - 7 7 - 8 8 - 9 9 - 10 10 - 11 11 - 12 12 - 13 Số sản phẩm 5 10 15 20 29 10 6 5
a) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng trọng lượng trung bình của loại sản phẩm S do nhà máy Q sản
xuất tại thời điểm kiểm tra.
b) Nếu yêu cầu sai số của ước lượng ở ý a) là 0,24 thì cần phải cân thêm bao nhiêu sản phẩm nữa?
Câu 5. Một công ty có hai phân xưởng I và II sản xuất cùng loại sản phẩm. Kiểm tra ngẫu nhiên 1000
sản phẩm do phân xưởng I sản xuất thấy 35 sản phẩm loại B; kiểm tra 900 sản phẩm do phân xưởng
II sản xuất thấy 20 sản phẩm loại B. Có thể xem tỷ lệ sản phẩm loại B do phân xưởng I sản xuất cao
hơn tỷ lệ sản phẩm loại B do phân xưởng II sản xuất hay không với mức ý nghĩa 1%?
Phụ lục: trích các bảng số Phân vị chuẩn Φ( (n) x)
Phân vị Student P(X < tα ) = p p x 1,645 1,960 2,330 2,575 0,950 0,990 0,995 n Φ(x) 0,9500 0,9750 0,9900 0,9950 15 1,753 2,602 2,947
Chúc các bạn qua môn! 40
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê
Giải đề cuối kì 20201 Câu 1:
Xét phép thử chọn ngẫu nhiên 6 sinh viên để khảo sát.
Số kết cục đồng khả năng là: n = C6 cách. 100 a,
Gọi A = {Có hai điểm thi cao hơn 5,5 và một điểm thi thấp hơn 4,0}
Số kết cục thuận lợi cho A là: m = C2 .C1 .C3 13 6 81 m C2 .C1.C3 ⇒ P(A) = = 13 6 81 = 0.0335 n C6 100 b,
Gọi B = {Có cả điểm 6 và điểm 6,5}
Gọi C = {Không có điểm 6}
Gọi D = {Không có điểm 6,5}    
⇒ B = C.D ⇒ P(B) = P C.D = P C + D = 1 − P(C + D) = 1 − P(C) − P(D) + P(DC) c C6
Số kết cục thuận lợi cho C là: c = C6 91 91 ⇒ P(C) = = n C6100 d C6
Số kết cục thuận lợi cho D là: d = C6 = 96 96
⇒ P(D) = n C6100 e C6
Số kết cục thuận lợi cho CD là: e = C6 = 87 96
⇒ P(CD) = n C6100 C6 C6 C6
⇒ P(B) = 1 − 91 − 96 + 87 = 0,0868 C6 C6 C6 100 100 100 Câu 2:
a, Gọi T là biến ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm loại 3 trong 6 sản phẩm được lấy ra. T ∼ B(n, p) với n = 6; p = 0, 3
⇒ X +Y + T = 6
⇒ E (X +Y ) = E (6 − T ) = 6 − E (T ) = 6 − np = 6 − 6.0,3 = 4,2
b, Y ∼ B(n, p) với n = 6; p = 0,2
⇒ V (Y ) = npq = 6.0,2.0,8 = 0,96
Theo bài ra ta có: np − q = 6.0,2 − 0,8 = 0,4 /∈ Z
Vậy số sản phẩm loại 2 có khả năng nhất trong 6 sản phẩm là:y0 = [np − q] + 1 = 1.
Vậy modY = y0 = 1. Câu 3:
a, Ta giải hệ phương trình      0  ≤ u ≤ 1  ku2v ≥ 0,  k ≥ 0  ( 0 ≤ v ≤ 1   1 Z 1 Z k ≥ 0 +∞ Z +∞ Z ⇔ k ⇔ k = 6(T M)  2 ⇔  k u du vdv = 1 = 1  2   ku vdudv = 1   6  0 0 −∞−∞
Chúc các bạn qua môn! 41
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Vậy:
 6u2v,0 ≤ u ≤ 1,0 ≤ v ≤ 1
f (u, v) = 0, trai lai b,    
P max (U,V ) ≤ 2 = P U ,V ≤ 2 3 ≤ 23 3 2 2 2 2 3 Z 3 Z 3 Z 3 Z 8 2 = 6u2vdudv = 6 u2du vdv = 6. . = 0, 1317 81 9 0 0 0 0 Câu 4: a,
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ trọng lượng loại sản phẩm S do nhà máy Q sản xuất trong quý IV  
năm 2020. X ∼ N µ,σ2 ,E (X) = µ X − µ√
• Chọn thống kê U =
n. Vì n = 100 > 30 nên U ∼ N (0, 1) S
• Sử dụng khoảng tin cậy đối xứng cho E (X ) = µ:   s s
x − u1−α . √ ;x + u1−α. √ 2 n 2 n Trong đó u = u 1− α
0,975 = 1, 96 được xác định từ bảng phân phối chuẩn tắc. 2
• Từ số liệu vừa tính toán ta có khoảng tin cậy đối xứng là:   1, 7095 1, 7095 8, 87 − 1, 96. √ ; 8, 87 + 1, 96. √ = (8, 5349;9, 2051) 100 100
Vậy với độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình của loại sản phẩm S do nhà máy Q sản xuất tại thời
điểm kiểm tra từ 8,5349g đến 9,2051g. b,
Sai số của ước lượng là s ε = 1 u1−α . √ 2 n  2 u1−α .s2 1, 962.1, 70952 ⇒ n = 2 ≥ = 194, 9 ε2 0, 242
Vậy nếu yêu cầu sai số của ước lượng ở ý a) là 0,24 thì cần phải cân thêm 195 – 100 = 95 sản phẩm nữa. Câu 5:
Gọi p1, p2 lần lượt là tỷ lệ sản phẩm loại B do phân xưởng I và II sản xuất. • Đặt giả thuyết
H0 : p1 = p2; đối thuyết H1 : p1 > p2 f1 − f2
• Chọn tiêu chuẩn kiểm định Z = s 
 nếu H0 đúng. U ∼ N(0,1)   1 1 f 1 − f + n1 n2
• Với α = 0, 05, tra bảng phân phối chuẩn tắc ta có z1−α = z0,95 = 1,645, miền bác bỏ giả thuyết H0 là:
Wα = (z1−α;+∞) = (1,645;+∞)
Chúc các bạn qua môn! 42
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê • Theo bài ra 35 7 20 1
n1 = 1000, n2 = 900, m1 = 35, m2 = 20, f1 = = , f2 = = 1000 200 900 45
n1 f1 + n2 f2 35 + 20 11 f = = = n1 + n2 1900 380 f ⇒ 1 − f z 2 qs = r ,    = 1 6587 f 1 − f 1 + 1 n1 n2
Vì zqs ∈ Ws nên bác bỏ H0 nghĩa là có thể xem tỷ lệ sản phẩm loại B do phân xưởng I sản xuất cao
hơn tỷ lệ sản phẩm loại B do phân xưởng II sản xuất với mức ý nghĩa 5%.
Chúc các bạn qua môn! 43