Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/
CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1 1 2 1 Bài 1: Xét ma trận b ổ sung của hệ: A 2 0 1 3 3 1 1 4 1 1 2 1 0 2 5 1 ( H2 2 1 2 3 3 1 3 ) 0 2 5 1 1 1 2 1 0 2 5 1 (H3 2 3 ) 0 0 0 0 3 1 2 2 1
Hệ phương trình tương đương với: 2 5 1 . 2 5 1 5 1 2 2
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số và dạng nghiệm của hệ là 3 5 1 ( , x , y z) , , ) z . 2 2 1 2 1 3 12 2 5 1 11 49 Bài 2: Xét ma trận b ổ sung của hệ: A 3 6 4 13 49 1 2 2 9 33 1 2 1 3 12 0 1 1 5 25 ( 0 0 1 4 13 H 2 2 1 2 3 3 1 3 4 1 4 ) 0 0 1 6 21 1 2 1 3 12 0 1 1 5 25 (H4 3 4 ) 0 0 1 4 13 0 0 0 2 8 2 3 12 1 5 25 2
Vậy hệ phương trình tương đương với: 4 13 3 2 8 4 Trang 1
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x, , y , z t) 1 2 3 ) 4 . 3 1 3 1 Bài 3: Xét ma trận hệ s ố của hệ: A 2 1 1 1 . 7 2 8 2 3 1 3 1 0 1 3 1 ( H 3 2 2 1 2 3 3 7 1 3) 0 1 3 1 3 1 3 1 0 1 3 1 ( H3 2 3 ) 0 0 0 0 3 2 3 4 3 3 0
Hệ phương trình đã cho tương đương với: 1 2 3 4 1 3 3 0 2 3 4 3 2 3 4 2 1 3 . 3 2 3 4
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số và dạng nghiệm của hệ là
(x ,x ,x ,x ) 2 3 . 1 2 3 4 3 3 4 3 4 1 1 1 1 0 Bài 4: Xét ma trận b ổ sung của hệ: A 2 1 3 2 0 1 3 3 7 m 1 1 1 1 0 0 1 1 4 0 (H2 2 1 2 3 1 3 ) 0 4 2 8 m 1 1 1 1 0 0 1 1 4 0 (H3 2 2 3 ) 0 2 0 0 m 0 1 2 3 4
Hệ phương trình đã cho tương đương với: 4 0 2 3 4 2 2
Đến đây ta xét 2 trường hợp: m 2 và m 2. TH1: m
2. Khi đó phương trình cuối tương đương với 0 2 nên h ệ vô nghiệm. Trang 2
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ 1 3 4 2 1 2 3 4 TH2: m
2. Khi đó hệ tương đương với: 4 4 3 4 2 3 4 2 2 2 2 2 m 2 5 1 4 2 5 2 1 2 4 4 4 . 3 4 2 3 4 2 2 2 2 2
Vậy ta kết luận như sau : a) Với m
2 thì hệ phương trình vô nghiệm . b) Với m 2 thì h ệ có vô s ố nghi m ệ phụ thu c ộ m t ộ tham số. Nghi m ệ của h ệ có dạng m 2 m m
(x , x , x , x ) 4 . Không t n ồ tại m để h ệ có nghi m ệ duy nhất. 1 2 3 4 m 4 4 4 2 2 2
Bài 5: Gọi tam thức bậc hai đó là ( p x) 2 . Từ đầu bài ta có h ệ phương trình: 1 4 4 2 1 4 2 4 1 1 1 1 1 1 1 4 Xét ma trận b ổ sung của hệ: A 4 2 1 1 4 2 1 4 1 1 1 1 0 2 0 5 (H2 1 2 3 4 1 3 4 4 1 4 ) 0 2 3 3 0 6 3 0 1 1 1 1 0 2 0 5 (H3 2 3 4 3 2 4 ) 0 0 3 2 0 0 3 15 Trang 3
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ 1 1 1 1 0 2 0 5 (H4 3 4 ) 0 0 3 2 0 0 0 13 1 2 5
Vậy hệ phương trình tương đương với:
. Từ phương trình cuối ta d ễ thấy 3 2 0 0 0 13
hệ vô nghiệm, do đó không có đa thức bậc hai nào thỏa mãn đ ề bài. 2 3 2 1 1 2 3 Bài 6: Đặt X . Từ đầu bài ta có h ệ phương trình: 3 1 . 2 1 2 3 5 3 3 3 1 2 3 2 1 3 2 Xét ma trận b ổ sung của hệ: A 1 3 1 5 1 3 3 1 3 1 2
1 3 2 (đổi hàng 2 và hàng 1 cho nhau) 5 1 3 3 1 3 1 0 7 3 2 4 ( H2 2 1 2 3 5 1 3) 0 14 3 5 8 1 3 1 0 7 3 2 4 ( H3 2 2 3 ) 0 0 3 0 3 1 1 2 3
Vậy hệ phương trình tương đương với: 7 3 2 4 . D
ễ thấy để hệ có vô số 2 3 3 0 3 nghiệm thì 3 0 3. Trang 4
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ 1 2 1 Bài 7: Xét ma trận b ổ sung của hệ: A 2 7 2 1 2 3 9 4 2 1 1 2 1 0 3 1 4 ( H2 2 1 2 3 3 1 3 ) 0 3 2 2 1 2 1 0 3 1 4 (H3 2 3 ) 0 0 1 2 2 2 1
Vậy hệ phương trình tương đương với: 3 4 . D
ễ thấy để hệ có vô số nghiệm thì 1 2 2 m 1 0 1. 1 1 2 0 Bài 8: Tìm m t n ồ tại ma trận X th a ỏ mãn 2 1 1 2 . 4 1 5 2 0 1 1 2 3 Đặt X . Từ đầu bài ta có h ệ phương trình: 2 2 . 2 1 2 3 4 5 3 1 2 3 1 1 2 0 Xét ma trận b ổ sung của hệ: A 2 1 1 2 4 1 5 1 1 2 0 0 3 5 2 (H2 2 1 2 3 4 1 3 ) 0 3 8 5 1 1 2 0 0 3 5 2 ( H3 2 3 ) 0 0 3 3 Dễ thấy với m
3 thì hệ phương trình có vô s ố nghi m ệ và m 3 thì h ệ có nghi m ệ duy nhất. Vậy v i
ớ mọi giá trị của m thì h ệ luôn có nghi m ệ và luôn t n
ồ tại ma trận X thỏa mãn đ ề bài. Trang 5
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ 1 3 1
Bài 9: Xét ma trận bổ sung của hệ: A 1 2 1 3 7 1 1 3 1 0 1 2 (H2 1 2 3 3 1 3) 0 2 4 3 1 3 1 0 1 2 (H3 2 2 3) 0 0 0 2
Từ đó ta dễ thấy khi c 2 0 thì h ệ có vô s ố nghi m ệ , còn khi c 2 0 thì h ệ vô
nghiệm, không xảy ra trường hợp hệ có nghiệm duy nhất. Vậy ta kết luận :
- Để hệ phương trình có ít nh t ấ 1 nghi m ệ thì c 2 0.
- Để hệ phương trình có nhiều nhất 1 nghi m ệ thì c 2 0. 2 1 1 2 Bài 10: Xét ma trận h ệ s ố của hệ: A 1 1 2 0 2 2 6 4 2 1 1 2 2 0 0 (H2 1 2 3 2 1 3) 2 0 2 4 2 2 1 1 2 2 0 0 ( H3 2 3 ) 2 0 0 2 4 2 2 0 1 2 3 4
Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với: 2 0 2 4 2 2 4 0 3 4 2 2 0 1 2 3 4 0 2 4 2 2 0 3 4
Đến đây ta xét 3 trường hợp: 2 4 2 2 TH1: a
2. Khi đó hệ tương đương với: 1 2 3 4 1 3 4 2 2 2 4 2 4 Trang 6
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/
Nghiệm của hệ có dạng (x ,x ,x ,x ) 2 2 2 x ) . 1 2 3 4 3 4 4 3 4 2 4 TH2: a
0. Khi đó hệ tương đương với: 1 2 3 1 2 4 2 2 3 4 3 4
Nghiệm của hệ có dạng (x ,x ,x ,x ) 4 2 . 1 2 3 4 2 4 2 4 4 2 2 1 2 3 4 TH3: a 0 và a
2. Khi đó hệ tương đương với: 2 4 2 3 4 2 4 3 1 4 2 4 2 3 4
Nghiệm của hệ có dạng (x ,x ,x ,x ) 2 4 3 2 . 1 2 3 4 4 4 4 4 1 2 1 1 1 1 2 4 Bài 11: Xét ma trận h ệ số của hệ: A . 1 3 3 2 2 1 2 1 2 1 1 0 3 3 3 (H2 1 2 3 1 3 4 2 1 4) 0 1 2 3 0 5 4 2 1 2 1 1 0 3 3 3 ( 0 0 3 6 H 3 3 2 3 3 4 5 2 4 ) 0 0 3 3 21 1 2 1 1 0 3 3 3 0 0 3 6 ( H4 3 4 ) 0 0 0 3 15 2 0 1 2 3 4 3 3 3 0
Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với: 2 3 4 3 6 0 3 4 3 15 0 4 Dễ thấy khi m 3 15 0 5 thì h ệ s
ẽ chỉ có duy nhất nghi m ệ tầm thư n ờ g là ( , 0 , 0 , 0 ) 0 . Trang 7
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/
Vậy để hệ có nghiệm không ầ t m thường thì m
5. Khi đó hệ tương đương với: 2 1 2 3 4 1 4 2 3 4 2 4 2 2 3 4 3 4 Công thức nghi m
ệ của hệ khi đó là (x ,x ,x ,x ) 2 ) . 1 2 3 4 4 4 4 4 1 2 1
Bài 12: Xét ma trận hệ s ố của hệ: A 2 2 2 1 2 4 1 4 1 2 4 1 2 1 0 2 1 2 (H2 2 1 2 3 1 3) 0 2 1 5 1 2 1 0 2 1 2 ( H3 2 3 ) 0 0 0 3 2 1 0 1 2 3 4
Khi đó hệ tương đương với: 2 2 0 2 3 4 3 0 4
Vậy dễ thấy để hệ có nghiệm phụ thuộc 2 tham số thì m 3 . 3 5 6 5 6 7
Bài 13: Xét ma trận bổ sung của hệ A 3 5 7 4 2 1 1 2 1 3 4 5 1 2 1 3 4 5 3 5 7 4 2 1 (đổi ch ỗ hàng 3 và hàng 1) 3 5 6 5 6 7 1 2 1 3 4 5 0 1 4 5 10 14 (H2 3 1 2 3 3 1 3 ) 0 1 3 4 6 8 1 2 1 3 4 5 0 1 4 5 10 14 ( H3 2 3 ) 0 0 1 1 4 6 Trang 8
Anh Long Fanpage: https://www.facebook.com/chinhphuctcc/ 2 3 4 5
Khi đó hệ phương trình tương đương với: 4 5 10 14 4 6 5 2 3 4 2 20 31 4 5 10 14 6 10 4 6 4 6
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số và công thức nghiệm của hệ là (x, , y z,t,u) 2 20 31 6 10 4 6 . 1 1 3 1
Bài 14: Xét ma trận bổ sung của hệ: A 2 0 1 1 0 1 2 1 1 3 1 0 2 7 3 (H2 2 1 2) 0 1 2 1 1 3 1 0 2 7 3 ( H 2 3 2 3 ) 0 0 3 2 3 3 1 3
Hệ phương trình đã cho tương đương với: 7 6 2 7 3 . 3 3 2 3 2 3 3 7 6 2 3
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là ( , x , y ) z , ) . 3 3 3 −−− ẾT −−− Trang 9