Các bài toán vận dụng cao dãy số – Nguyễn Minh Tuấn, Nguyễn Nhật Linh
Giới thiệu đến bạn đọc chuyên đề CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ do các tác giả Nguyễn Minh Tuấn và Nguyễn Nhật Linh (thành viên trong nhóm Chinh Phục Olympic Toán)
Chủ đề: Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân (KNTT)
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
` CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN Các bài toán VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ HAPPY NEW YEAR 2019 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC LỜI GIỚI THIỆU
Nhân dịp năm mới 2019 thay mặt nhóm quản trị viên Tạp chí và tƣ liệu toán học ,
lời đầu tiên xin gửi tới các bạn đọc , các thầy cô theo dõi fanpage một lời chúc sức
khỏe, mong rằng sang năm mới các thầy cô sẽ đạt đƣợc nhiều thành công hơn
trong công việc, các bạn học sinh sẽ thực hiện ƣớc mơ nguyện vọng vào các
trƣờng Đại học của mình. Chuyên đề “CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ”
đƣợc 2 thành viên trong nhóm Chinh Phục Olympic Toán sƣu tầm và biên soạn với
mục đích chào xuân năm mới cũng nhƣ là một món quà với các bạn theo dõi page
trong suốt 1 năm vừa qua và đồng thời ủng hộ bọn mình phát triển tới nay, xin
gửi lời cảm ơn tới tất cả mọi ngƣời. Nhƣ các bạn đã biết, trƣớc kia thì dãy số tuy
không phải là một phần quan trọng trong kì thi THPT Quốc Gia, kì thi đại học
nhƣng trong 2 năm gần đây vấn đề này đã đƣợc các trƣờng kết nối với các mảng
khác nhƣ hàm số, mũ – logarit, tích phân... và cũng gây ra không ít những bỡ
ngỡ, những sự lúng túng cho các bạn lần đầu gặp những bài nhƣ thế. Vì vậy trong
chủ đề này, chúng mình và các bạn sẽ cùng tìm hiểu các bài toán liên quan tới
chúng, hy vọng phần nào sẽ giúp mọi ngƣời có kinh nghiệm và hƣớng giải quyết
khi gặp các bài toán nhƣ thế này. Để hoàn thành đƣợc chuyên đề này bọn mình
cũng đã sƣu tầm và tham khảo, đồng thời cũng nhận đƣợc sự giúp đỡ của các
thầy cô, xin gửi lời cảm ơn tới
NHÓM STRONG TEAM TOÁN VD – VDC.
ANH PHẠM MINH TUẤN – ADMIN NHÓM PI
CÁC THÀNH VIÊN TRONG NHÓM CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN
Mặc dù chuyên đề đƣợc biên soạn cẩn thận tuy nhiên sẽ không thể tránh khỏi
những thiếu sót, mọi ý kiến thắc mắc vui lòng gửi về 1 trong 2 địa chỉ sau NGUYỄN MINH TUẤN
Sinh viên K14 – Đại học FPT Email: tuangenk@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/tuankhmt.fpt NGUYỄN NHẬT LINH Chuyên Thái Bình
Email: linhnhatnhatlinhnguyen@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/profile.php?id=100009880805520
MỘT LẦN NỮA, XIN GỬI LỜI CẢM ƠN MỌI NGƢỜI ĐÃ THEO DÕI FANPAGE TRONG
SUỐT THỜI GIAN QUA, HY VỌNG CÁC BẠN SẼ TIẾP TỤC ỦNG HỘ BỌN MÌNH PHÁT TRIỂN HƠN NỮA THANK YOU! HAPPY NEW YEAR!
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ
Nguyễn Minh Tuấn – Nguyễn Nhật Linh
CÂU CHUYỆN MỞ ĐẦU
Trước khi cùng nhau đi vào tìm hiểu các bài toán dãy số của chuyên đề này, bọn mình
muốn gửi tới các bạn một bài viết rất hay về nhà bác học Newton để phần nào làm giảm
bớt độ nhạt nhẽo của chuyên đề, bài viết mang tên “ 10 phát minh nổi tiếng của Newton”
Mời các bạn cùng thưởng thức!
Nhắc tới nhà phát minh vĩ đại Isaac Newton, chắc chắn ai cũng nghĩ tới câu chuyện "quả
táo rơi vào đầu" đã làm nên thuyết vạn vật hấp dẫn. Không chỉ vậy, ông còn sở hữu nhiều
phát minh vĩ đại giúp thay đổi thế giới: ba định luật chuyển động, vi phân, tích phân, giả thuật kim...
Tại nhà thờ Westminster Abbey, một
dòng chữ bằng tiếng Latin đã được khắc
lên trên bia mộ của Newton "Hic
depositum est, quod mortale fult Isaac
Newtoni" với ý nghĩa là "Một con người đã
từng tồn tại và trang hoàng cho sự phát triển
của nhân loại". Lời ca tụng trên không hề
quá mức đối với những di sản mà thiên
tài Newton đã để lại cho loài người.
Cùng điểm lại 10 phát minh quan trọng
và nổi tiếng nhưng cũng hết sức thú vị
Của Isaac Newton trong suốt sự nghiệp sáng tạo của ông mà có thể chúng ta ít khi chú ý đến.
I. Ý TƯỞNG CỦA NEWTON KHẨU PHÁO BẮN VÀO QUỸ ĐẠO.
Đối với một số ý kiến xuyên tạc sẽ cho rằng làm sao một người đàn ông đang ngáy ngủ và
một quả táo vô tình rơi xuống lại làm nên một phát minh vĩ đại đến như vậy? Kết quả của
quá trình "chờ sung rụng" chăng? Không hề, điều đó chỉ đến với một bộ óc thiên tài luôn
suy nghĩ về các quy luật vật lý mà cụ thể là lực hấp dẫn. Không chỉ dừng lại ở trọng lực
mà Newton còn đưa ra nhiều ý tưởng khác đi trước thời đại. Trong định luật hấp dẫn phổ
quát, Newton đã diễn tả đến một ngọn núi khổng lồ mà đỉnh của nó là khoảng trên bầu
khí quyển của Trái Đất, trên đỉnh có đặt một khẩu pháo vô cùng lớn có thể bắn một viên
đạn theo chiều ngang ra ngoài không gian.
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 1
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ
Ý tưởng của Newton khẩu pháo bắn vào quỹ đạo
Newton không hề có ý định tạo ra một loại siêu vũ khí nhằm bắn những kẻ xâm lược
ngoài hành tinh! Khẩu pháo của ông là một ý tưởng thí nghiệm nhằm giải thích làm thế
nào để đưa một vật thể vào một quỹ đạo quay quanh Trái Đất.
Nếu lực hấp dẫn tác động lên quá pháo, nó sẽ bay theo đường tùy thuộc vào vận tốc ban
đầu của nó . Tốc độ thấp, nó chỉ đơn giản là sẽ rơi trở lại trên Trái đất. Nếu tốc độ là tốc độ
quỹ đạo, nó sẽ đi lòng vòng xung quanh Trái đất theo một quỹ đạo tròn cố định giống như
mặt trăng. Tốc độ cao hơn so với vận tốc quỹ đạo, nhưng không đủ lớn để rời khỏi trái đất
hoàn toàn (thấp hơn vận tốc thoát) nó sẽ tiếp tục xoay quanh Trái đất dọc theo một quỹ
đạo hình elip. Tốc độ rất cao, nó thực sự sẽ rời khỏi quỹ đạo và bay ra ngoài vũ trụ.
Thí nghiệm trên đã được trình bày trong Principia Mathematica vào năm 1687, theo đó, tất
cả mọi hạt đều gây ra một lực hấp dẫn và bị hấp dẫn bởi những vật thể khác. Lực tương
tác này phụ thuộc vào trọng lượng và khoảng cách của hạt hay vật thể đó. Quy tắc này chi
phối tất cả các hiện tượng từ mưa rơi cho đến quỹ đạo của các hành tinh. Đây chính là tác
phẩm nổi tiếng với nhiều đóng góp quan trọng cho vật lý học cổ điển và cung cấp cơ sở lý
thuyết cho du hành không gian cũng như sự phát triển của tên lửa sau này. Sau đó,
Einstein cùng các nhà vật lý thế kỷ 16, 17 đã tiếp tục củng cố học thuyết của Newton để
cho chúng ta những hiểu biết về lực hấp dẫn như ngày nay.
II. CÁNH CỬA DÀNH CHO CHÓ MÈO.
Không chỉ có tầm nhìn mang tính vĩ mô như khẩu pháo không gian và phát hiện ra mối
liên hệ giữa vạn vật trong vũ trụ, Newton cũng dùng trí tuệ tuyệt vời của mình để giải
quyết những vấn đề thường thức trong đời sống hàng ngày. Điển hình là phương pháp
2 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
giúp các mèo không cần cào cấu vào cánh cửa nhờ vào tạo ra một lối đi dành riêng cho chúng.
Như chúng ta đã biết, Newton
không kết hôn và cũng có ít
các mối quan hệ bạn bè, đổi lại
ông chọn mèo và chó làm bầu
bạn trong căn phòng của của
mình. Hiện nay, có nhiều giả
thuyết và lập luận cho rằng
ông dành nhiều mối quan tâm
đến những "người bạn" bé nhỏ
của mình. Một số sử gia
đương đại cho rằng Newton là
một người rất yêu động vật.
Một số còn chỉ ra rằng ông đặt tên cho một con chó của mình là Diamond (kim cương). Dù
vậy, một số nhà sử học vẫn nghi ngờ về giả thuyết trên.
Một câu chuyện kể rằng trong quá trình nghiên cứu của Newton tại Đại học Cambridge,
các thí nghiệm của ông liên tục bị gián đoạn bởi một con mèo của ông luôn cào vào cánh
cửa phòng thí nghiệm gây ra những âm thanh phiều toái. Để giải quyết vấn đề, ông đã
mời một thợ mộc tại Cambridge để khoét 2 cái lỗ trên cửa ra vào phòng thí nghiệm: 1 lỗ
lớn dành cho mèo mẹ và 1 lỗ nhỏ dành cho mèo con!
Dù câu chuyện trên là đúng hay sai thì theo các ghi chép đương thời sau khi Newton qua
đời thì có một sự thật hiển nhiên rằng người ta đã tìm thấy 1 cánh cửa với 2 cái lỗ tương
ứng với kích thước của mèo mẹ và mèo con. Cho tới ngày nay vẫn còn nhiều tranh cãi
xung quanh câu chuyện trên. Tuy nhiên, nhiều ý kiến vẫn cho rằng chính Newton mới là
tác giả của cánh cửa dành cho chó mèo vẫn còn được sử dụng ngày nay.
III. BA ĐỊNH LUẬT CHUYỂN ĐỘNG CỦA NEWTON.
Trong khi các sử gia vẫn còn tranh cãi về những cánh cửa dành cho thú cưng có phải là
của Newton hay không thì không một ai có thể phủ nhận đóng góp của Newton cho hiểu
biết của con người trong vật lý học ngày nay. Tầm quan trọng tương đương với việc phát
hiện ra định luật vạn vật hấp dẫn, 3 định luật về chuyển động được Newton giới thiệu vào
năm 1687 trong tác phẩm Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các nguyên lý
toán học trong triết học tự nhiên). 3 định luật của ông đã đặt nền móng vững chắc cho sự
phát triển của cơ học cổ điển (còn gọi là cơ học Newton) trong thời gian sau này.
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 3
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ
3 định luật của ông được miêu tả ngắn gọn như sau:
1. Nếu một vật không chịu tác dụng
của lực nào hoặc chịu tác dụng của các lực
có hợp lực bằng không thì nó giữ nguyên
trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.
2. Gia tốc của 1 vật cùng hướng với
lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỷ
lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch
với khối lượng của vật.
Ba định luật chuyển động của Newton
3. Trong mọi trường hợp, khi vật A tác dụng lên vật B một lực, thì vật B cũng tác
dụng lại vật A một lực. Hai lực này có cùng giá, cùng độ lớn nhưng ngược chiều.
Ngày nay, chúng ta có thể dễ dàng phát
biểu và hiểu về 3 định luật nổi tiếng trên.
Tuy nhiên, các học giả trong lịch sử đã phải
vật lộn với những khái niệm cơ bản về
chuyển động trong suốt nhiều thế kỷ. Nhà
triết học Hy Lạp Aristotle từng nghĩ rằng sở
dĩ khói có thể bay lên trên không là vì khói
chứa nhiều không khí. Trước đó, các học giả
khác lại nghĩ rằng khói bay lên trời để tụ
hợp cùng với những đám khói "bạn bè" của
chúng. Nhà triết học Pháp René Descartes
đã từng nghĩ tới những lý thuyết về chuyển
động tương tự như Newton nhưng cuối
cùng, ông vẫn cho rằng Thiên Chúa mới
chính là động lực của các chuyển động.
Bìa quyển sách Philosophiae Naturalis Principia 3 định luật Newton như một vẻ đẹp đến từ
Mathematica (Các nguyên lý toán học trong
sự tối giản trong khoa học. Dù đơn giản
triết học tự nhiên) xuất bản năm 1687
như thế, nhưng đây chính là căn cứ để các
nhà khoa học có thể hiểu được tất cả mọi thứ chuyển động từ của các hạt electron cho tới
chuyển động xoắn ốc của cả thiên hà.
IV. HÒN ĐÁ PHÙ THỦY CỦA “ NHÀ GIẢ KIM THUẬT “ NEWTON.
4 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Trong một bức vẽ về một nhà giả kim thuật, chúng ta thấy các biểu tượng hành tinh diễn
tả các kim loại trong một quyển sách đang mở ra dưới sàn nhà. Đây được cho là các biểu
tượng mà Newton đã sử dụng trong các ghi chép của ông.
Newton đã cống hiến rất nhiều cho
nhân loại với những khám phá khoa
học của ông. Bên cạnh đó, người ta
cũng nhắc đến ông như 1 trong những
nhà giả kim học lỗi lạc nhất: huyền
thoại giả kim thuật với hòn đá phù
thủy. Các văn bản ghi chép lại còn được
lưu trữ đến ngày nay đã có nhiều mô tả
khác nhau về hòn đá này: từ khả năng
tạo nên người từ đá cho tới khả năng
chuyển hóa từ chì thành vàng. Thậm
chí, những người bấy giờ còn cho rằng
Hòn đá phù thủ của “nhà giả kim thuật” Newton
hòn đá của ông có thể chữa bệnh hoặc có thể biến một con bò không đầu thành một bầy ong
Có lẽ các bạn sẽ thắc mắc tại sao một biểu tượng của khoa học lại trở thành một nhà giả
kim thuật? Để trả lời câu hỏi đó, hãy nghĩ đến bối cảnh bấy giờ, cuộc cách mạng khoa học
chỉ mới đạt được động cơ hơi nước vào những năm 1600. Các nhà giả kim thuật bấy giờ
vẫn còn tồn tại cùng với những thủ thuật lỗi thời của họ cùng với các học thuyết và triết
học huyền bí nhằm mê hoặc một số người. Dù vậy, các ghi chép giả kim thuật vẫn được
cho là những thí nghiệm hóa học.
Bút tích còn lưu lại của Newton về nghiên cứu giả kim
Tuy nhiên, những ghi chép trong suốt 30 năm làm thí nghiệm của Newton đã tiết lộ rằng
ông cũng hy vọng về một cái gì đó hơn là những phản ứng hóa học bình thường, thậm chí
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 5
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ
là hứa hẹn về việc biến các nguyên tố khác thành vàng. Theo sử gia William Newman, ông
cho rằng Newton muốn tìm kiếm những "quyền lực siêu hạn trong tự nhiên."
Đây chính là những căn cứ cho lập luận rằng Newton cũng đã có những nghiên cứu và để
lại ghi chép về giả kim mà người đương thời gọi là "hòn đá phù thủy." Các ghi chép cho
thấy ông đã tìm cách tạo nên những loại nguyên tố bí ẩn lúc bấy giờ. Trên thực tế, Newton
đã có những nỗ lực nhằm tạo ra một loại hợp kim đồng màu tím. Dù vậy, nghiên cứu của ông đã thất bại.
Đây có thể không phải là một sáng chế của Newton, nhưng nó cũng cho chúng ta một cái
nhìn về những suy nghĩ cũng như thời gian mà ông dành cho các nghiên cứu khoa học.
Vào năm 2005, nhà sử học Newman cũng đã tạo nên một "hòn đá phù thủy" dựa trên các
ghi chép 300 năm trước của Newton và dĩ nhiên, không có sự chuyển hóa tạo thành vàng xảy ra.
V. CHA ĐẺ CỦA CÁC PHÉP TÍNH VI PHÂN.
Nếu bạn đã hoặc đang đau đầu với môn toán học mà đặc biệt là tích phân và vi phân đã
cày nát bộ não của bạn, bạn có thể đổ một phần lỗi cho Newton! Trên thực tế, hệ thống
toán học chính là một công cụ để chúng ra có thể tìm hiểu được mọi thứ trong vũ trụ này.
Giống như nhiều nhà khoa học cùng thời, Newton cũng đã nhận thấy rằng các lý thuyết
đại số và hình học trước đó không đủ cho yêu cầu nghiên cứu khoa học của ông. Hệ thống
toán học đương thời không đủ để phục vụ ông.
Bút tích của Newton còn lưu giữ đến ngày nay
Các nhà toán học lúc bấy giờ có thể tính toán được vận tốc của một con tàu nhưng họ vẫn
không thể tính toán được mối liên hệ với gia tốc của nó cũng như tỷ lệ của lực tác động.
6 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Họ vẫn chưa thể tính toán được góc bắn là bao nhiêu để viên đạn pháo bay đi xa nhất. Các
nhà toán học đương thời vẫn cần một phương pháp để tính toán các hàm có nhiều biến.
Một sự kiện đã xảy đến trong quá trình nghiên cứu của Newton, một đợt bùng phát bệnh
dịch hạch đã khiến hàng loạt người chết trên khắp các đường phố tại Cambridge. Tất cả
các cửa hàng đều đóng cửa và dĩ nhiên, Newton cũng phải hạn chế đi ra ngoài. Đó là
khoảng thời gian 18 tháng nghiên cứu của Newton để rồi ông xây dựng nên một mô hình
toán học và đặt tên là "khoa học của sự liên tục".
Ngày nay, chúng ta biết đó chính là các phép tính vi-tích phân. Một công cụ quan trọng
trong vật lý, kinh tế học và các môn khoa học xác suất. Vào những năm 1960, chính các
hàm số vi-tích phân này đã cung cấp công cụ cho phép các kỹ sư phi thuyền Apollp có thể
tính toán được các số liệu trong sứ mạng đặt chân lên Mặt Trăng.
Dĩ nhiên, một mình Newton không tạo nên phép toán mà chúng ta sử dụng ngày nay.
Ngoài Newton, nhà toán học người Đức Gottfried Leibniz (1646-1716) cũng đã độc lập
phát triển mô hình phép tính vi - tích phân trong cùng thời gian với Newton. Dù vậy,
chúng ta vẫn phải công nhận tầm quan trọng của Newton trong sự phát triển toán học
hiện đại với các đóng góp không nhỏ của ông.
VI. SINH SỰ VỚI CẦU VỒNG.
Cầu vồng? Cầu vồng là gì? Bạn nghĩ rằng Newton để yên cho những bí mật bên trong cầu vồng? Không hề!
Thiên tài của chúng ta đã
quyết tâm giải mã những
điều ẩn chứa bên trong hiện tượng thiên nhiên này. Vào năm 1704, ông
đã viết một quyển sách
Thí nghiệm của Newton
về vấn đề khúc xạ ánh sáng với tiêu đề "Opticks". Quyển sách đã góp một phần không
nhỏ trong việc thay đổi cách nghĩ của chúng ta về ánh sáng và màu sắc.
Các nhà khoa học bấy giờ đều biết rằng cầu vồng được hình thành khi ánh sáng bị khúc xạ
và phản xạ trong những hạt nước mưa trong không khí. Dù vậy, họ vẫn chưa thể lý giải rõ
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 7
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ
ràng được tại sao cầu vồng lại chứa nhiều màu sắc như vậy. Khi Newton bắt đầu nghiên
cứu tại Cambridge, các lý thuyết phổ biến trước đó vẫn cho rằng các hạt nước bằng cách
nào đó đã nhuộm nhiều màu sắc khác nhau lên tia sáng Mặt Trời.
Bằng cách sử dụng một lăng kính và một chiếc đèn, Newton đã thực hiện thí nghiệm bằng
cách cho ánh sáng chiếu qua lăng kính. Và kết quả như tất cả chúng ra đều biết, ánh sáng
bị tách ra thành các màu như cầu vồng.
VII. KÍNH VIỄN VỌNG PHẢN XẠ.
Newton được sinh ra trong thời kỳ mà sự hiện diện của kính viễn vọng vẫn còn khá mờ
nhạt. Mặc dù vậy, các nhà khoa học đã có thể chế tạo nên các mô hình sử dụng một tập
hợp các thấu kính thủy tinh để phóng to hình ảnh. Trong thí nghiệm với các màu sắc của
Newton, ông đã biết được các màu sắc khác nhau sẽ khúc xạ với các góc độ khác nhau, từ
đó tạo nên một hình ảnh lờ mờ cho người xem.
Để cải tiến chất lượng hình ảnh,
Newton đã đề xuất sử dụng
một gương khúc xạthay cho các
thấu kính khúc xạ trước đó. Một
tấm gương lớn sẽ bắt lấy hình
ảnh, sau đó một gương nhỏ hơn
sẽ phản xạ hình ảnh bắt được tới
mắt của người ngắm. Phương
pháp này không chỉ tạo nên
hình ảnh rõ ràng hơn mà con
cho phép tạo nên một kính viễn
vọng với kích thước nhỏ hơn.
Một số ý kiến cho rằng, nhà toán
Một bản sao của chiếc kính viễn vọng phản xạ do Newton học người Scotland James
chế tạo và đã trình bày trước Hội đồng hoàng gia vào năm
Gregory là người đầu tiên đề 1672
xuất ý tưởng chế tạo kính viễn vọng phản xạ vào năm 1663 dù mô hình này vẫn chưa thể
hoạt động hoàn chỉnh. Tuy nhiên, dựa trên các ghi chép còn lưu trữ lại, các nhà sử học cho
rằng Newton mới là người đầu tiên có thể chế tạo một chiếc kính viễn vọng phản xạ dựa
trên lý thuyết do ông đề xuất.
Trên thực tế, Newton đã tự mài các tấm gương, lắp ráp một mẫu thử nghiệm và trình bày
nó với Hội đồng hoàng gia vào năm 1672. Đó chỉ đơn thuần là 1 thiết bị dài 15 cm, có khả
8 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
năng loại bỏ sự khúc xạ và có độ phóng đại lên tới 40 lần. Đến ngày nay, gần như tất cả
các đài thiên văn học đều sử dụng các biến thể của thiết kế ban đầu nói trên của Newton.
VIII. ĐỒNG XU HOÀN HẢO.
Vào những cuối những năm 1600, hệ thống tài chính tại Anh lâm vào tình trạng khủng
hoảng nghiêm trọng. Bấy giờ, toàn bộ hệ thống tiền tệ trong cả nước Anh đều sử dụng
các đồng xu bạc và dĩ nhiên, bản thân bạc có giá trị cao hơn so với giá trị định danh được
in trên mỗi đồng xu. Lúc đó nảy sinh ra một vấn đề, có người sẽ cắt xén bớt hàm lượng
bạc và thêm vào các kim loại khác trong quá trình nấu và đúc tiền. Lượng bạc cắt xén
được sẽ bị "chảy máu" sang Pháp thông qua đường biên giới để bán được giá cao hơn.
Những đồng 2 pound tại Anh với các khía 2 xung quanh cạnh
Thậm chí, bấy giờ còn là cuộc khủng hoảng của việc tranh giành nhau nhận thầu đúc tiền.
Do đó, lòng tin của người dân vào hệ thống tài chính suy giảm nghiêm trọng. Đồng thời,
các tổ chức tội phạm làm tiền giả cũng mặc sức lan tràn do đã không còn một đồng tiền
chuẩn đáng tin tưởng nào đang lưu thông. Mặt khác, sự gian lận cũng diễn ra ngay trong
quá trình đúc tiền. Sau khi đúc mỗi mẻ tiền xu, người ta sẽ cân mỗi đồng xu lấy ra và xem
nó lệch so với tiêu chuẩn là bao nhiêu. Nếu giá trị bạc dư ra lớn hơn so với giá trị in trên
nó, những kẻ đầu cơ sẽ mua chúng, nấu chảy ra và tiếp tục bán lại cho chính xưởng đúc tiền để kiếm lời.
Trước tình hình đó, vào năm 1696, chính phủ Anh đã kêu gọi Newton giúp tìm ra giải
pháp tìm ra giải pháp chống nạn sao chép và cắt xén đồng xu bạc. Newton đã có một bước
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 9
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ
đi hết sức táo bạo là thu hồi toàn bộ tiền xu trên khắp đất nước, tiến hành nấu lại và đúc
theo một thiết kế mới của ông. Bước đi này đã khiến cho toàn bộ nước Anh không có tiền
trong lưu thông trong suốt 1 năm.
Bấy giờ, Newton đã làm việc cật lực trong suốt 18 giờ mỗi ngày để rồi cuối cùng, thiết kế
tiền xu mới cũng được ra đời. Những đồng tiền mới được đúc ra với chất lượng bạc cao
hơn, đồng thời rìa mỗi đồng xu đều được khía các cạnh theo một công thức đặc biệt. Nếu
không có các cỗ máy khía cạnh chuyên dụng thì sẽ không thể nào tạo ra được các đồng xu
mang đặc trưng như do Hoàng gia đúc ra.
IX. SỰ MẤT NHIỆT.
Trong các nghiên cứu của mình, Newton cũng đã dành nhiều thời gian để tìm hiểu khía
cạnh vật lý của hiện tượng lạnh đi của các chất. Vào cuối những năm 1700, ông đã tiến
hành các thí nghiệm với quả cầu sắt nung đỏ. Ông đã lưu ý trong các ghi chép rằng có sự
khác biệt giữa nhiệt độ của quả bóng sắt và không khí xung quanh. Cụ thể, nhiệt độ chênh
lệch lên tới 10 độ C. Và ông cũng nhận ra rằng tốc độ mất nhiệt tỷ lệ thuận với sự khác biệt về nhiệt độ.
Từ đó, Newton hình thành nên định luật về trạng thái làm mát. Theo đó, tốc độ mất nhiệt
của cơ thể tỷ lệ thuận với sự khác biệt về nhiệt độ giữa môi trường xung quanh so với
nhiệt độ cơ thể. Sau này, nhà hóa học người Pháp Piere Dulong và nhà vật lý Alexis Prtot
đã hoàn thiện định luật trên vào năm 1817 dựa trên nền tảng từ nghiên cứu của Newton.
Nguyên tắc của Newton đã đặt nền móng cho nhiều nghiên cứu khác của vật lý hiện đại
từ lò phản ứng hạt nhân an toàn cho tới việc thám hiểm không gian.
X. DỰ ĐOÁN CỦA NEWTON VỀ NGÀY TẬN THẾ.
Ngày tận thế luôn là nỗi ám ảnh của con người. Dù vậy, Newton không phải là dạng
người có thể dễ dàng chấp nhận nỗi sợ hãi về ngày tận thế qua những câu chuyện hay
những truyền thuyết. Bản thân Newton là một người thực tế và luôn tìm cách kiểm định,
đưa ra các quan điểm của mình trong quá trình nghiên cứu Kinh Thánh.
Trong quá trình nghiên cứu, Newton đã không đặt nặng khía cạnh Thần học mà dùng các
kiến thức của mình nhằm cố lý giải vấn đề. Theo các ghi chép cách đây 300 năm còn được
lưu trữ đến ngày nay cho thấy Newton đã nghiên cứu Book of Daniel. Để phục vụ nghiên
cứu, ông đã tự học tiếng Do Thái, tập trung nghiên cứu triết học Do Thái bí truyền.
10 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Hình vẽ 4 loài thú dữ xuất hiện vào ngày tận thế mô tả trong Book of Daniel
Qua nghiên cứu, ông dự đoán ngày tận cùng của thế giới là vào năm 2060 hoặc có thể là
sau đó nhưng không thể sớm hơn. Dù sao đi nữa, đó vẫn là những gì mà ông tuyên bố với
mọi người vào thế kỷ 18. Dĩ nhiên, ngày nay, các nhà khoa học đã có một lời giải đáp hoặc
dự đoán tốt hơn cho hiện tượng tận thế nói chung. Qua đó, chúng ta phần nào hiểu được
thêm về quan điểm của 1 nhà khoa học vào thế kỷ 18 về ngày tàn của nhân loại.
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 11
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ A. ĐỀ BÀI. Câu 1. Cho hàm số 3
y x 2009x có đồ thị là C . M C 1 là điểm trên có hoành độ x 1 C M C M M C 1
. Tiếp tuyến của tại 1 cắt
tại điểm 2 khác 1, tiếp tuyến của tại M C M M C M C M 2 cắt
tại điểm 3 khác 2 , <, tiếp tuyến của tại n1 cắt tại n khác M n 4; 5;... x y M x y n ; n1 , gọi
n là tọa độ điểm
n . Tìm n để: 2013 2009 n n 2 0 .
A. n 685
B. n 679
C. n 672 D. n 675
Câu 2. Một hình vuông ABCD có cạnh 50
AB 2 , diện tích S A B 1 . Nối 4 trung điểm 1 , 1 , C D A B C D 1 ,
1 theo thứ tự của 4 cạnh AB , BC , CD , DA ta được hình vuông thứ hai là 1 1 1 1 có diện tích S A B C D S
2 . Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba 2 2 2 2 có diện tích 3 và cứ
tiếp tục như thế, ta được diện tích S ,S ,...
S S S S ... S 4 5 Tính 1 2 3 100 A. 101 S 2 2 B. 101 S 2 1 C. 100 S 2 2. D. 100 S 2 1
Câu 3. Khối tứ diện ABCD có thể tích V , khối tứ diện A B C D V 1 1 1 1 có thể tích 1 , các đỉnh A B C D 1 , 1 , 1 ,
1 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD , CDA , DAB , ABC . Khối tứ diện A B C D V A B C D 2 2 2 2 có thể tích 2 , các đỉnh 2 , 2 , 2 ,
2 lần lượt là trọng tâm các tam giác B C D C D A D A B A B C A B C D 1 1 1 , 1 1 1 , 1 1 1 ,
1 1 1 . Cứ tiếp tục như thế ta được khối tứ diện n n n n có thể tích V A B C D B C D n , các đỉnh n , n , n ,
n lần lượt là trọng tâm các tam giác n1 n1 n1 , C D A D A B A B C
S V V ... V n1 n1 n1 , n1 n1 n1 ,
n1 n1 n1 . Tính 1 2 2018 . 2018 3 1V 2019 27 1V 2018 27 1V 2019 3 1V A. S B. S C. S D. S 2018 2.3 2019 26.27 2018 26.27 2019 2.3
Câu 4. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi
là tam giác trung bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác
A B C , A B C , A B C ,... A B C 1 1 1 2 2 2 3 3 3
sao cho 1 1 1 là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số
nguyên dương n 2 , tam giác A B C A B C n n
n là tam giác trung bình của tam giác
n1 n1 n1 .
Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu Sn tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác A B C
S S S ... S n ... n n n . Tính tổng 1 2 ? 15 9 A. S . S S . S 4 B. 4 . C. 2 D. 5 .
Câu 5. Cho dãy số u
u cos 2n 1
n có số hạng tổng quát n
. Tổng 2018 số hạng đầu 6
tiên của dãy số un bằng bao nhiêu? 3 3 1 A. 0 B. C. D. 2 2 2
12 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN u 3 1
Câu 6. Cho dãy số u * u n n 2 1 ,
n thỏa mãn u . n1 1 2 1un Khi đó u
a b 3, a,b S a b 2019
. Tính tổng .
A. S 3
B. S 4
C. S 9 D. S 2
Câu 7. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b,c theo thứ tự lập thành một cấp số A C x x cộng. Biết tan
tan với x, y và tối giản. Tính giá trị của x y . 2 2 y y A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 u 11
Câu 8. Cho dãy số u u n xác định 1 . Tính giá trị của ? u
u n n 2018 n 10 n 1 9 , 1 1 A. 2018 u 10 u 2018 u 2018 u 10 2018 2018 B. 2018 2018 C. 2018 D. 2018 2018 1 u u u u u
Câu 9. Cho dãy số (u u ; u n n 1 2 S n ... n n , 1 n ) thỏa mãn 1 1 . Đặt 3 . 2 u 1 1 2 3 n n 2019
Tìm giá trị nhỏ nhất của n để S n ? 2020 A. 2019 B. 2020 C. 2018 D. 2021 u 2 0 2018
Câu 10. Cho dãy u 2u 1 S u n : u n . Tìm phần nguyên của i . n1 u 2 i1 n A. 2020 B. 2017 C. 2019 D. 2018 . u 2019 1
Câu 11. Cho dãy số un được xác định bởi: 2019 . u
u u u ... u n , 1 1 2 3 1 n n n
Tính giá trị của biểu thức 2 2019
A 2.u 2 u ... 2 .u 1 2 2019 . A. 2019 3 B. 2019 C. 3 D. 2 x 2 1
Câu 12. Cho dãy số x x n x n 2 1 3 *
n xác định bởi 1 1 n ,n 2 x n 3x n n 2 2018 8144648 8144648 8144648 A. B. C. D. 2019 12105 12107 12103
Câu 13. Cho dãy số u u 1, u au n a n n 1, 1
n thỏa mãn 2 1 1 , 1 . Biết rằng lim 2 2 2
u u ... u 2n b T ab 1 2 n
. Giá trị của biểu thức ? A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 13
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 2 u
Câu 14. Cho dãy số (u u u n n n , * . 1
n ) được xác định bởi 1 và Tính 3
22n 1u 1 n
tổng 2019 số hạng đầu tiên của dãy số đó ? 4036 4035 4038 4038 A. B. C. D. 4035 4034 4037 4039 u 1 1
Câu 15. Cho dãy số u n
n xác định như sau: , với 1,2,3,... 2020 2019 u u u u n n 2018 1 n n 2019 2019 2019 2019 u u u u Tính 1 2 3 lim ... n .
u 2018 u 2018 u 2018 u n 2018 2 3 4 1 4 3 2 1 A. . B. . C. . D. . 2019 2019 2019 2019
Câu 16. Xét dãy số nguyên x 34, x 334, x 3334, , x n 33...34 1 2 3
(có n số 3). Hỏi có bao
nhiêu chữ số 3 trong số 3 9x2018 ? A. 6054 B. 6055 C. 6056 D. 6057 un 1
Câu 17. Cho dãy số u u 1 u
n xác định bởi 1 và n1 với n nguyên dương. n1 2018 2019
Tính giới hạn A lim u n x 2019 2018 A. B. 2018 C. D. 0 2018 2019 un 1
Câu 18. Cho dãy số (u u 1 u n ) xác định bởi 1 và n1 với n nguyên dương. n1 2018 2019
Tính giới hạn A lim u u u 1 2 n x 2018 2017 2017 2019 A. B. C. D. 2019 2019 2018 2017 x 1 n 1 1
Câu 19. Cho dãy số (x * ;n y n n ) có . Đặt . x x x x x i x 2 1 2 3 1 n 1 n n
n n 1 i a a Biết lim y M a;b n với
là phân số tối giản và a, b nguyên dương. Khi đó tọa độ b b
nằm trên đường tròn nào? 2 2
A. x 1 y 22 4
B. x 1 y 12 4 2
C. x 1 y 12 10 D. x 2 2 1 y 10 3 u 1
Câu 20. Cho dãy số u 16
n xác định bởi
u 9u 4 1 3u 4, n n1 n n
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn 8 u 10 . n A. 9. B. 10. C. 12. D. 13.
14 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 21. Xét các cấp số nhân có 2n 1 số hạng dương ( n là số nguyên dương) thỏa tổng tất
cả các số hạng của nó bằng 400 và tổng tất cả các nghịch đảo của các số hạng của nó bằng
4 . Giá trị lớn nhất của n là? A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 u 2018 0 u
Câu 22. Cho dãy số (u u 2019 n
n ) được xác định bởi 1 . Hãy tính lim . 3n u u u n n 4 n 3 n ; 1 1 1 1 1 A. B. 2 3 C. 2018 3 D. 2019 3 n 3
Câu 23. Cho dãy số u u 1; u u n u n 2 n ,
n xác định bởi * 1 1 . Hỏi 2 n 3n 2 2018
thuộc khoảng nào sau đây? A. 2015 2016 2 ; 2 B. 2016 2017 2 ; 2 C. 2017 2018 2 ; 2 D. 2018 2019 2 ; 2 2 u 1 3 u u un
Câu 24. Cho dãy số u L lim n xác định . Tính 1 2 2 n 2 n u nu 2 2 2 n n n ; * 1 n 3 1 3 3 A. L B. L
C. L 1 D. L 2 4 2 2019 (3x n 1)
Câu 25. Cho dãy số x được xác định bởi: x 1; x
x với n là số n 1 n1 2019 n 3x 1 3x 1 3x 1 3x n 1 1
2018 2 2018 3 2018 2018
nguyên dương. Đặt u n ... . Tính 3x 1 3x 1 3x 1 3x n 1 2 3 4 1 lim un 2019 2019 673 673 A. B. C. D. 4 3 3 4 u 2019 1
Câu 26. Cho dãy số thực un tăng xác định bởi 2
u 2018u 2020u n n n n 1 0, 1 1 1 1 1 1 Đặt S S n ... . Tính lim
u 2019 u 2019 u 2019 n 1 2 n 1 1 A. 2018 B. C. 2019 D. 2018 2019 u 1 1
Câu 27. Cho dãy số: u u n n1 u
, n 2 . Tìm lim un . n 1 5n.un1
A. k 1616
B. k 808
C. k 404 D. k 1212
u 1, u 3 1 2 u
Câu 28. Cho dãy số u lim n
n được xác định . Tính * u
u u n 2 n n n 2 n n 1, 2 1
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 15
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 1 1 1 A. 1 B. C. D. 6 3 2 u 4 1
Câu 29. Cho dãy số (u 2 u .
n ) xác định như sau: Giả sử giới hạn n * u u n n n , 1 2018 u u u a a 1 2 lim
... n * a,b
và tối giản. Tính a 3 .b u u u b b 2 3 n1 A. 1012 B. 1021 C. 1015 D. 1018 2 x
Câu 30. Cho dãy số x x ; x n n n , 1,2....
n được xác định như sau 1 1 3 22n 1 x 1 n
Hỏi tổng của 2018 số hạng đầu tiên là bao nhiêu? 4035 2017 2018 4036 A. B. C. D. 4036 2018 2019 4037
u 1;u 2
Câu 31. Cho dãy số u
S 1 2 ... 2017 u u n 1 2 . Tổng u
u u n 2018 2019 n 2 n n 1; 2 1 1
có giá trị bằng bao nhiêu? A. 2039190 B. 2035153 C. 2037171 D. 2033136 4 u 1
Câu 32. Cho dãy số u 3 ,n 1 u
n xác định bởi . Tìm lim n .
n 22 u n 1 2 u u n u n n n1 n1 3 A. lim u u lim u u n 2 B. lim n 4 C. n D. lim n 3 4 2n 5n
Câu 33. Cho dãy u u n với n
. Giả sử ta có tổng sau 2n 5n 100 a c 1 1 1 1 S .... b
u 1 u 1 u 1 u 1 b a 1 2 3 100
Trong đó a, b c là các số nguyên dương và a, b là hai số dương nguyên tố cùng nhau . Khi
đó S a c ? A. 151 B. 153 C. 152 D. 154 u 9 1
Câu 34. Cho dãy số un được xác định bởi . 1 1 1 u u n n n n n n n 3.2 2.3 , 2;3.... 1
Tính giá trị của u2018 ? A. 2018 2018 2018 u 3.2 2.3 u 9 3.2 2.3 2018 B. 2018 2018 2018 2018 C. 2018 2017 2017 u 3.2 2.3 u 3.2 3 2018 D. 2018 2018 2018 2018 .
16 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN a 2008 1
Câu 35. Cho dãy số thực a ; a ;...; a 1 2
n được xác định bởi . Tính 2
a a ... a n .a ,n n n 1 1 2
giá trị của a2008 . 1 2 1 2 A. B. C. D. 2009 2007 2007 2009 u 1 1
Câu 36. Cho dãy số u n
n xác định bởi 1 . Có bao nhiêu số nguyên * u u n n n , 1 2 1999
dương n sao cho u n . 1000 A. 11 B. 10 C. 15 D. Vô số 1
Câu 37. Cho dãy số x x
n xác định bởi 1 . Biết rằng 4
x 4x 9x ... n 12 x 1 2 3 n1 x n n , 2,3.... 2 n n 1 Tính 2
lim 30n 12n 2018xn 15 15 A. 15 B. 30 C. D. 4 2 u 2 1
Câu 38. Cho dãy số un được xác định bởi công thức . Tìm 2 2019u u u n n n 2018 n, 1 1 u u u
giới hạn của dãy số S S n
n xác định bởi công thức 1 2 n . u 1 u 1 u n 1 2 3 1 2018 A. lim S S lim S S n 2018
B. lim n 2019 C. n D. lim n 1 2019 u
Câu 39. Cho dãy số u u 1, u n n n , 1, 2, 3,...
n được xác định bởi: 1 1 u 1 n
2018u 1 u 1 ... u n 1 1 2 Tính lim . 2019n 2018 A. lim S S lim S S n 2018
B. lim n 2019 C. n D. lim n 1 2019
Câu 40. Cho các số a , a , a , a , a 0 1 2 3 4 5
lập thành cấp số cộng với công sai d và
b ,b ,b ,b ,b 0 a b a b 1 2 3 4 5
lập thành cấp số nhân với công bội q . Biết rằng 1 1 và 5 5 . Hỏi
có bao nhiêu khẳng định luôn đúng trong các khẳng định sau? i) a b a b a b d q 2 2 ii) 3 3 iii) 4 4 iv) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3n 1
Câu 41. Cho dãy số u u 1 3 u
u n n n * n n 2 3 1 n biết : 1 , 1 . Giá trị nhỏ n nhất của n để 3 2018 u n .3 n n là bao nhiêu?
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 17
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ
A. n 2019
B. n 2018
C. n 2017 D. n 2020
Câu 42. Cho dãy số không âm u * , n n
được xác định bởi công thức sau u 1 2 1
m, n ,m n 2 2 u u u 2 2 u 1 1 2m1 2n1 m n m n 2
Khi đó tổng của 2019 số hạng đầu tiên của dãy khi viết dưới dạng thập phân có chữ số ở
hàng đơn vị bằng bao nhiêu? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 43. Cho dãy số x x 2019, x x x n n n n 1, 1, 2, 3,...
n được xác định bởi 2 1 1 . Với 1 1 1
mỗi số nguyên dương n , đặt y y n 2019 ... . Khi đó lim bằng? x x x n 1 2 n 2018 2019 A. B. C. 2018 D. 2019 2019 2018 u 2020 1
Câu 44. Cho dãy số (un) được xác định bởi 2 . 4n 16
nu n n u n n 2 6 5 , 1 1 n 4n Gọi k lim
.u thì k có giá trị là? 2 n n
A. k 1616
B. k 808
C. k 404 D. k 1212 u 1 1
Câu 45. Cho dãy u 2
n được xác định bởi 1 u , đặt n 1 1 u n n n ; 2, un1
S u u ... u n 1 2
n . Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau? n1 1 A. u S n 1 1
n là dãy bị chặn. B. 4 2 C. u S n n n là dãy giảm D. , n . u 1 1
Câu 46. Cho dãy số u 2 n 1 un 2 n n thỏa mãn 1 * u n n n n n 1 , . 2 2 1
Tìm giới hạn của dãy số s
s n u n với 3 * n n , n .
A. lim s lim s 0 n B. n
C. lim sn 1 D. s 1 lim n . . 2 2
u u u n 4 n 4 n 0 1
Câu 47. Cho các dãy u * n u n thỏa: 1
. Khi đó có thể nhận tất cả u 1 2018 2 bao nhiêu giá trị?
18 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN A. 2017 2 B. 2018 2 C. 2019 2 D. 2018 2 1 . 2
Câu 48 . Cho dãy số u u 1 u
u a n n , n thỏa mãn: 1 ; 2 * 1 . 3 n Biết rằng lim 2 2 2
u u ... u 2n b T ab 1 2 n
. Giá trị của biểu thức là? A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
Câu 49. Cho 2 dãy cấp số cộng u u u u d v v v v n ; ;... n ; ;... 1 2 n có công sai 1 và 1 2 n có công sai
d2 . Gọi tổng của n số hạng đầu của mỗi cấp số theo thứ tự là u
S u u ... u 7n
T v v ... v 14n n n 27 n n 1 1 2 và 1 2
. Tính tỉ số của 11 v11 5 4 9 5 A. B. C. D. 3 3 4 4
Câu 50. Cho dãy số a a 5, a q a n n . n 3
n xác định bởi 1 1 với mọi 1 , trong đó q là
hằng số, q 0 , q 1 . Biết công thức số hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng n1 n1 1 q a q n . . Tính 2 ? 1 q A. 13 B. 9 C. 11 D. 16
Câu 51. Cho cấp số nhân u , u , u ,.., u u i n 1 2 3 n ; trong đó i 0, 1, 2,..., . Biết rằng 1 1 1 1 1
S u u u ... u T ...
P u .u .u ....u n 2019 n n 2018 1 2 3 , và . u u u u 1 2 3 n 100 1 2 3 n
Hỏi số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn P là? A. 9295 B. 9296 C. 18592 D. 18591 4
Câu 52. Gọi q là công bội của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng 16 , đồng 9
thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng . Hỏi
q thuộc khoảng nào sau đây?
A. q 3; 4
B. q 1; 2
C. q 2; 3
D. q 0;1 n
Câu 53. Cho dãy số u u n n như sau: n ,
1 , 2 ,... Tính giới hạn của tổng 2 4 1 n n
lim u u ... u 1 2 n . x 1 1 1 A. D. 4 B. 1. C. 2 3 x 10 khi x 2018
Câu 54. Cho hàm số f x
. Tính giá trị f 1 f 2018 .
f f x 11 khi x 2018 A. 1999 B. 2009 C. 4018 D. 4036
Câu 55. Cho dãy u 2u 1 u u 2 25.2 15.2
5.2u 15.2u 4 0 u u n n 8. n thỏa mãn 5 1 5 5 1 và 1
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 19
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ
Giá trị nhỏ nhất của n để u n 2019. A. 512. B. 258. C. 511. D. 257.
Câu 56. Cho một cấp số cộng : u , u , u , u
u u u u 6 1 2 3 4 thỏa 1 4 2 3
. Tìm tập xác định D của
hàm f x x u x u x u x u 9 1 2 3 4
A. D ;6
B. D 6; C. D D. D 6 ;6 2 2 2 1 1 n 1
Câu 57. Biết tổng 2 S n 2 2 ... 2
. Giá trị nhỏ nhất của n để 2 2 2 2n 99 3 2n4n S n n , * 4n A. 41 B. 40 C. 51 D. 50
Câu 58. Cho dãy (x x 5, x
x n n n 2, 1 n ) thỏa mãn 2 1 1 . Tính giá trị của 1 1 1 M lim ........ x x x x x ...x 1 1 2 1 2 n 5 21 5 21 3 31 3 15 A. M B. M C. M D. M 2 2 3 3 1
Câu 59. Cho hàm số y f x ln 1 . Biết rằng : 2 x
f 2 f 3 ... f 2018 ln a ln b ln c ln d
trong đó a, c, d là các số nguyên tố và a b c d . Tính P a b c d A. 1986 B. 1698 C. 1689 D. 1989
Câu 60. Cho dãy số u
log u 2 log u 2 log u 2 log u u u n 2 n thỏa mãn 1 1 10 10 và 1 n với
mọi n 1 . Giá trị nhỏ nhất để 100 u 5 n bằng A. 247 B. 248 C. 229 D. 290
Câu 61. Cho dãy số u
ln u ln u ln u 1 u u n u n n .e 1 n thỏa mãn 2 6 8 4 và 1 . Tìm 1 A. e B. 2 e C. 3 e D. 4 e
Câu 62. Cho dãy số u u u 4u 4 e 5 e e e u u u n n n 3 n thỏa mãn 18 18 1 1 và 1 với mọi 1 .
Giá trị lớn nhất của n để log u n ln 2018 3 bằng? A. 1419 B. 1418 C. 1420 D. 1417 a a 3
Câu 63. Cho dãy số a a 1
5 n n 1 n n thỏa mãn 1 và 1 , với mọi 1 . Tìm số 3n 2
nguyên dương n 1 nhỏ nhất để an là một số nguyên. A. n 123 B. n 41 C. n 39 D. n 49
20 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 2 9 u 9 u 1 u 9 u 1 u 2 1
4e 2e 4e e u e 3
Câu 64. Cho dãy số un thỏa mãn
. Giá trị nhỏ nhất của * u
u n n n 3, 1 số n để u n 1 ? A. 725 B. 682 C. 681 D. 754
Câu 65. Cho dãy số u u 1
n có số hạng đầu tiên 1
thỏa mãn đẳng thức sau : 2 log 5u 2 log 7u 2 2 log 5 log 7 u u n n 7 2 1 2 1 2 2 và 1 n với mọi
1 . Giá trị nhỏ nhất của n để u n 1111111 bằng? A. 11 B. 8 C. 9 D. 10
Câu 66. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn 0; 2018 sao cho ba số x1 1 a 5
5 x ; ; 25x 25
x theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng? 2 A. 2008 B. 2006 C. 2018 D. 2007 u u 8
Câu 67. Cho dãy số u 2 1 3 2 2 u u n 2 n thỏa mãn 1 2 và với 1 1 n 2 log u 4u 4 3 3 1 4
mọi n 1 . Giá trị nhỏ nhất của n để S u u ... u 100 5 n 1 2 n bằng A. 230 B. 231 C. 233 D. 234
Câu 68. Cho dãy số u
log 2u 63 2 log u 8n n n 8 n thỏa mãn 3 5 4 , * . u .S n n 148
Đặt S u u ... u n 1 2
n . Tìm số nguyên dương lớn nhất n thỏa mãn 2 . u .S 75 2n n A. 18 B. 17 C. 16 D. 19 1 1 1 m 2 2 x x
Câu 69. Cho hàm số f x 1 e
. Biết 1. 2. 3... 2017 en f f f f
m, n với
m là phân số tối giản. Tính 2
P m n . n A. 2018 B. 2018 C. 1 D. 1
Câu 70. Cho cấp số cộng un có tất cả các số hạng đều dương thoả mãn điều kiện
u u ... u
4 u u ... u 1 2 2018 1 2
1009 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2
P log u log u log u 3 2 3 5 3 14 . A. 3 B. 1 C. 2 D. 4
Câu 71. Cho cấp số cộng a b a a 0 b b 1
n , cấp số nhân n thỏa mãn 2 1 và 2 1 ; và hàm số f x 3
x 3x sao cho f a 2 f a
f log b 2 f log b 2 1 và 2 2 2 1. Số nguyên
dương n nhỏ nhất và lớn hơn 1 sao cho b a n 2018 n là
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 21
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ A. 16 B. 15 C. 17 D. 18
Câu 72. Cho cấp số nhân b b b 1
f x x x n thỏa mãn 2 1 và hàm số 3 3 sao cho
f log b 2 f log b b 2 2
2 1. Giá trị nhỏ nhất của n để 100 5 n bằng A. 234 B. 229 C. 333 D. 292 2 1 1 4 2 u 7 6 1 u 6
log u u u e e 3 1 1 3 1 4 8
Câu 73. Cho dãy số u 3 n thỏa mãn 3 n 4 * u u n n n , 1 2 2
n 3n 2 n 2018 3 1 2
Giá trị lớn nhất của số n để u n n 1 A. 3472 B. 3245 C. 3665 D. 3453
f 1. f 3...f 2n 1
Câu 74. Cho f n n n 2 2 *
1 1 n N . Đặt u n .
f 2. f 4... f 2n 10239
Tìm số n nguyên dương nhỏ nhất sao cho u log u u
n thỏa mãn điều kiện 2 n n . 1024 A. n 23 B. n 29 C. n 21 D. n 33
Câu 75. Cho biểu thức A log 2017 log2016 log 2015 log ... lo g 3 log 2 ...
Biểu thức A có giá trị thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. log 2017;log 2018
B. log 2019;log 2020
C. log 2018;log 2019
D. log 2020;log 2021
Câu 76. Cho dãy số u 2 2
u ln 2n 1 ln n n 1 ,n 1
n xác định bởi n . Tìm số
nguyên n lớn nhất sao cho u u 2 a n n
. Biết kí hiệu phần nguyên của số a là số tự 3
nhiên nhỏ nhất không vượt quá a. A. 37 B. 36 C. 38 D. 40
Câu 77. Cho dãy số u u u n 2
n có tất cả số hạng đều dương thỏa mãn 1 n và đồng thời 2 2 2 2 4
u u . . u u u n u n n n 1 , 1 1 2 1 2
. Số tự nhiên n nhỏ nhất để 100 5 là? 3 n A. 232 B. 233 C. 234 D. 235
Câu 78. Cho dãy số u 2 2
ln u u 10 ln 2u 6u n thỏa mãn 1 2 1 2 và đồng thời u
u u n u n n 2 n 1, 1 2 1
. Giá trị nhỏ nhất của n để n 5050 A. 100 B. 99 C. 101 D. 102
22 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 391 1 39 log u log u 2 2 1 40 4 4
Câu 79. Cho dãy số un thỏa mãn 2 n 1u . n 1 2 n * u n n n n n 1 , 2 2 1 100 2 5 n 1
Giá trị nhỏ nhất của n để u n . 100 5 3 n n A. 235 B. 255 C. 233 D. 241 4
Câu 80. Gọi q là công bội của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng 16 , đồng 9
thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng . Hỏi
q thuộc khoảng nào sau đây?
A. q 3; 4
B. q 1; 2
C. q 2; 3
D. q 0;1 I Câu 81. Cho 2 I sin n xdx n n
với n nguyên dương. Tính 2 lim . 0 In A. 1 B. 1 C. 2 D. 1 n I
Câu 82. Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu 2 I x x x n n 2 1 d . Tính 1 lim . n I 0 n A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
x 12n 2 2x 1 2 1 2x 1 I Câu 83. Đặt I dx n lim . n n Tính n n n x 1 . 2 1 x 1 1 0 2 2 I n1 1 3 A. 1 B. 2 C. 1 D. 2 n x n x
Câu 84. Ta đặt F x dx F n lim F 2 n 1 0 n . Biết . Tính . n1 x n n A. 1 B. C. 1 D. 1 enx
Câu 85. Cho tích phân I x n n d với . 1 ex 0
Đặt u 1.I I 2 I I 3 I I ... n I I n u L n 1 2 2 3 3 4
n n1 . Biết lim n . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. L 1 ;0 B. L 2 ; 1
C. L 0;1
D. L 1; 2
Câu 86. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương n thỏa mãn tích phân 2 2 2 3 1 1 2 3 4 ... 2 n n x x x nx dx 0 A. 1 B. 2 C. 0 D. 3
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 23
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ
Câu 87. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện 1
f 2018x 2017 2018f x ,x 2 . Tính tích phân f x dx ? 0 4 5 7 8
A. f 1 2
B. f 1 2
C. f 1 2
D. f 1 2 3 3 3 3
Câu 88. Cho I tan xd n x n
I I 2 I I ... I I I n với . Khi đó 0 1 2 3 8 9 10 bằng? 9 tan xr tanxr1 9 10 tan xr tanxr1 10 A. C B. C C. C D. C r r r r r1 r 1 1 r1 r 1 1 6 2 U U
Câu 89. Cho dãy số xác định bởi 1 4 , *
n 1,n N . S= lim n có giá trị là ? n 2 U U n 2. n 1 1 1 1 A. 1 B. C. 0 D. 2 4 1 U 1 2
Câu 90. Cho dãy số U ,n 1 n xác định bởi 2 U n U n n n 1 2 U n1 n 1 1 1 1 Khi đó S lim
thuộc khoảng nào sau đây? U U U U 1 2 3 n
A. 3; 1
B. 1; 2
C. 1; 2 D. 1; 1
Câu 91. Trong dịp hội trại hè 2017, bạn Anh thả một quả bóng cao su từ độ cao 6 m so
với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần
rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng quãng
đường quả bóng đã bay (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa) khoảng ? A. 44 m B. 45m C. 42 m D. 43m
Câu 92. Có hai cơ sở khoan giếng A và B. Cơ sở A giá mét khoan đầu tiên là 8000 (đồng)
và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 (đồng) so với giá của mét
khoan ngay trước đó. Cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 6000 (đồng) và kể từ mét
khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước
đó. Một công ty giống cây trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần lượt là 20 m
và 25 m để phục vụ sản xuất. Giả thiết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ
sở là như nhau. Công ty ấy nên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi phí nhất? A. luôn chọn A. B. luôn chọn B.
C. giếng 20 m chọn A còn giếng 25 m chọn B.
D. giếng 20 m chọn B còn giếng 25 m chọn B.
24 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 93. Cho cấp số cộng u u 1
n có các số hạng đều dương, số hạng đầu 1 và tổng của
100 số hạng đầu tiên bằng 14950 . Tính giá trị của tổng sau? 1 1 1 S ... u u u u u u u u u u u u 2 1 1 2 3 2 2 3 2018 2017 2017 2018 1 1 1 A. 1 B. 1 3 C. 2018 D. 1 6052 6052
Câu 94. Giá trị của tổng 4 44 444 ... 44...4 (tổng đó có 2018 số hạng) bằng? 40 2019 A. 2018 10 1 2018. 4 10 10 9 B. 2018 . 9 9 2019 4 10 10 4 2018 C. 2018. D. 10 1. 9 9 9
Câu 95. Cho dãy số u u u n log u log u 8 11 n n 6 n thỏa mãn 1 , 2 và 2 5 . Đặt 2 9
S u u ... u S n 1 2
n . Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn n 20172018 . A. 2587 B. 2590 C. 2593 D. 2584
Câu 96. Cho hai cấp số cộng a a 4 a 7 a b b 1 b 6 b n : 1 ; 2
;...; 100 và n : 1 ; 2 ;...; 100 . Hỏi có
bao nhiêu số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên? A. 32 B. 20 C. 33 D. 53
Câu 97. Cho tam giác ABC cân tại A . Biết rằng độ dài cạnh BC , trung tuyến AM và độ
dài cạnh AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có công bội q . Tìm công bội q của cấp số nhân đó? 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 A. q B. q C. q D. q 2 2 2 2 cos 2017 x
Câu 98. Cho hàm số f x 2
x 3x 2
và dãy số un được xác định bởi công thức
tổng quát u log f 1 log f 2 f n n
log Tìm tổng tất cả các giá trị của n thỏa mãn điều kiện 2018 u 1 n A. 21 B. 18 C. 3 D. 2018 2019
u u u u 2 2018 n 4n n n a b Câu 99. Biết rằng 4 4 L lim
Trong đó un xác định
u u u u c 2 2018 n 2n 2 n 2 n bởi u 0; u u n b S a b c n n 4 3 1 1
và a b c , , là các số nguyên dương và 2019 . Tính A. 1 B. 0 C. 2017 D. 2018
Câu 100. Cho ba số dương a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị lớn nhất của 2 a 8bc 3 biểu thức P
có dạng x y x, y Hỏi x y bằng bao nhiêu?
2a c2 1 A. 9 B. 11 C. 13 D. 7
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 25
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ
Câu 101. Cho các số hạng dương a, b, c là số hạng thứ m, n, p của một cấp số cộng và một
cấp số nhân. Tính giá trị của biểu thức log bc ca a b a b c 2 A. 0 B. 2 C. 1 D. 4
Câu 102. Cho a b c
và cot a, cot b, cot c Tạo thành cấp số cộng. Giá trị của cot . a cot c 2 bằng? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
26 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN B. LỜI GIẢI. Câu 1. Cho hàm số 3
y x 2009x có đồ thị là C . M C 1 là điểm trên có hoành độ x 1 C M C M M C 1
. Tiếp tuyến của tại 1 cắt
tại điểm 2 khác 1, tiếp tuyến của tại M C M M C M C M 2 cắt
tại điểm 3 khác 2 , <, tiếp tuyến của tại n1 cắt tại n khác M n 4; 5;... x y M x y n ; n1 , gọi
n là tọa độ điểm
n . Tìm n để: 2013 2009 n n 2 0 .
A. n 685
B. n 679
C. n 672 D. n 675 Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của C và tiếp tuyến là 3
x 2009x 2
3x 2009x x 3
x 2009x 1 1 1 1 1 .
Phương trình 1 có một nghiệm kép x 1 x 1 và một nghiệm 2 . Ta có 1 3
x 3x 2 0 .
2x x 0 1 2
Áp dụng định lí Viét cho phương trình bậc ba, ta có 2
x 2x x 3 x 2 x 1 1 2 2 1 . 2 x .x 2 1 2
Suy ra x 1 x 2 x 4 x 1 , 2 , 3 , <, 1 2 n n . Ta có: 2013
2009x y 2 3 2013
2009x x 2009x 2 n n n 0 n n 0 3n3 2013 2 2
3n 3 2013 n 672 . Chọn ý C.
Câu 2. Một hình vuông ABCD có cạnh 50
AB 2 , diện tích S A B 1 . Nối 4 trung điểm 1 , 1 , C D A B C D 1 ,
1 theo thứ tự của 4 cạnh AB , BC , CD , DA ta được hình vuông thứ hai là 1 1 1 1 có diện tích S A B C D S
2 . Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba 2 2 2 2 có diện tích 3 và cứ
tiếp tục như thế, ta được diện tích S ,S ,...
S S S S ... S 4 5 Tính 1 2 3 100 A. 101 S 2 2 B. 101 S 2 1 C. 100 S 2 2. D. 100 S 2 1 Lời giải Dễ thấy 100 99 98
S 2 ;S 2 ;S 2 ;;S 2 1 2 3 100 1
Như vậy S ,S ,S ,...,S q 1 2 3
100 là cấp số nhân với công bội . 2 100 1 2 . 1 100 2 Khi đó ta có 100 99 98 101
S S S ... S 2 2 2 ... 2 2 2 1 2 100 1 1 2 Chọn ý B.
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 27
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ
Câu 3. Khối tứ diện ABCD có thể tích V , khối tứ diện A B C D V 1 1 1 1 có thể tích 1 , các đỉnh A B C D 1 , 1 , 1 ,
1 lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD , CDA , DAB , ABC . Khối tứ diện A B C D V A B C D 2 2 2 2 có thể tích 2 , các đỉnh 2 , 2 , 2 ,
2 lần lượt là trọng tâm các tam giác B C D C D A D A B A B C A B C D 1 1 1 , 1 1 1 , 1 1 1 ,
1 1 1 . Cứ tiếp tục như thế ta được khối tứ diện n n n n có thể tích V A B C D B C D n , các đỉnh n , n , n ,
n lần lượt là trọng tâm các tam giác n1 n1 n1 , C D A D A B A B C
S V V ... V n1 n1 n1 , n1 n1 n1 ,
n1 n1 n1 . Tính 1 2 2018 . 2018 3 1V 2019 27 1V 2018 27 1V 2019 3 1V A. S B. S C. S D. S 2018 2.3 2019 26.27 2018 26.27 2019 2.3 Lời giải A C1 D B 1 1 B D A1 C 1
Ta có B C D // BCD
dA , B C D d D , BCD d A, BCD 1 1 1 1 1 1 1 1 nên . 3 1 1 Lại có B C D BCD k S S 1 1 1
với tỉ số đồng dạng nên . 3 1 B C1 1 D 9 BCD 1 1 1 1 1 1 Do đó V V V V V V V V V V 1 . Tương tự ta có , , <, . 27 2 1 2 27 27 3 2 3 27 27 2018 2018 27 1 1 1 1 1 2018 2018 27 1V 1 S ... V 27 . V . 2 2018 27 27 27 27 1 2018 1 26.27 27
Câu 4. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi
là tam giác trung bình của tam giác ABC .Ta xây dựng dãy các tam giác
A B C , A B C , A B C ,... A B C 1 1 1 2 2 2 3 3 3
sao cho 1 1 1 là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số
nguyên dương n 2 , tam giác A B C A B C n n
n là tam giác trung bình của tam giác
n1 n1 n1 .
Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu Sn tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác A B C
S S S ... S n ... n n n . Tính tổng 1 2 ? 15 9 A. S . S S . S 4 B. 4 . C. 2 D. 5 . Lời giải
28 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Vì dãy các tam giác A B C , A B C , A B C ,... 1 1 1 2 2 2 3 3 3
là các tam giác đều nên bán kính đường 3
tròn ngoại tiếp các tam giác bằng cạnh . 3
Với n 1 thì tam giác đều A B C
1 1 1 có cạnh bằng 3 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác 2 3 3 A B C R 3. S 3. 1 1 1 có bán kính 1 . 3 1 3 3
Với n 2 thì tam giác đều A B C 2 2 2 có cạnh bằng
nên đường tròn ngoại tiếp tam giác 2 2 1 3 1 3 A B C R 3. . S 3. . 2 2 2 có bán kính 2 . 2 3 2 2 3 3
Với n 3 thì tam giác đều A B C 3 3 3 có cạnh bằng
nên đường tròn ngoại tiếp tam giác 4 2 1 3 1 3 A B C R 3. . S 3. . 2 2 2 có bán kính 3 . 4 3 3 4 3 n1 1
Như vậy tam giác đều A B C 3. n n n có cạnh bằng
nên đường tròn ngoại tiếp tam giác 2 n1 2 1 3 n1 1 3 A B C R S n 3. . n 3. . n n n có bán kính . 2 3 2 3
Khi đó ta được dãy S S S 1 ,
2 , ... n ... là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 1 u S 3 q 1 1 và công bội . 4 u
Do đó tổng S S S ... S 1 4 n ... 1 2 . 1 q
Câu 5. Cho dãy số u
u cos 2n 1
n có số hạng tổng quát n
. Tổng 2018 số hạng đầu 6
tiên của dãy số un bằng bao nhiêu? 3 3 1 A. 0 B. C. D. 2 2 2 Lời giải Ta có u n n n u n n cos 2 11 cos 2 1 2 cos 2 1 6 , * . 6 6 6 n
u u u ... u u 1 7 13 2011 2017
u u u ... u u 2 8 14 2012 2018
u u u ... u 3 9 15 2013
u u u ... u 4 10 16 2014
u u u ... u 5 11 17 2015
u u u ... u 6 12 18 2016
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 29
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ
u u ... u u u ... u ... u u ... u . 1 2 6 7 8 12 2011 2012 2016 S
u u ... u u u ... u ... u u ... u u u 2018 1 2 6 7 8 12 2011 2012 2016 2017 2018
336.u u ... u u u 1 2 6 1 2 3 3 3 3 3 3 336. 0 0 0 . 2 2 2 2 2 2 u 3 1
Câu 6. Cho dãy số u * u n n 2 1 ,
n thỏa mãn u . n1 1 2 1un Khi đó u
a b 3, a,b S a b 2019
. Tính tổng .
A. S 3
B. S 4
C. S 9 D. S 2 Lời giải 2 tan Ta có 8 2 1 tan tan
2 tan 1 0 tan 2 1 vì tan 0 4 2 8 8 8 1 tan 8 8 tan tan u 2 1 Do đó 3 8 u 1 1 tan 2 2 1 u 3 8 1 1 tan tan 3 8 tan tan u 2 1 3 8 8 u 1 2 tan 2. 3 2 1u 3 8 2 1 tan tan 3 8 8
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được u n n n * tan 1 , 3 8 Do đó u tan 2018. 2 3 S 3 2019 . 3 8
Câu 7. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b,c theo thứ tự lập thành một cấp số A C x x cộng. Biết tan
tan với x, y và tối giản. Tính giá trị của x y . 2 2 y y A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 Lời giải Theo giả thiết ta có A C A C B B
a c 2b sin A sinC 2 sin B 2 sin .cos 4sin .cos 2 2 2 2 A C A C A C A C 2 sin .cos 4sin .cos 2 2 2 2 A C A C A C A C A c A C cos 2 cos
cos cos sin sin 2 cos cos 2 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
30 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN A C A C A C A C 1
3sin sin cos cos 3tan tan 1 tan tan 2 2 2 2 2 2 2 2 3 .
Do đó x y 1 3 4 . u 11
Câu 8. Cho dãy số u u n xác định 1 . Tính giá trị của ? u
u n n 2018 n 10 n 1 9 , 1 1 A. 2018 u 10 u 2018 u 2018 u 10 2018 2018 B. 2018 2018 C. 2018 D. 2018 2018 Lời giải Cách 1.
u 11 10 1 1 Ta nhận thấy 2
u 10u 1 9 10.11 8 102 10 2 2 1 3
u 10u 1 18 10.102 17 1003 10 3 3 2 Nên dự đoán u n n 10n
Chứng minh bằng quy nạp. Ta có u 11 10 1
n k u k k 1 . Giả sử đúng với 1 k 10 khi đó u u k
k k k k k k 10. 1 9. 10. k 10 1 1 9 10 1 1 . Vậy u n u 10 2018 n 10n nên 2018 2018 .
Cách 2. Ta có u
u n u n u n n 10 n 1 9 n 1 10 1 1
n
Đặt v u n v u n
v u 1 10 n n n n 1 1 1 và 1 1 v 10 Ta có dãy số 1 , v q v 10
n là một cấp số nhân có công bội 10 và . v v n 1 n 10 n , 1 1
Ta có công thức tổng quát n1 n1 v v q v u n u n n n 10.10 10n n 10n n 10n 1 Do đó 2018 u 10 2018 2018 1 u u u u u
Câu 9. Cho dãy số (u u ; u n n 1 2 S n ... n n , 1 n ) thỏa mãn 1 1 . Đặt 3 . 2 u 1 1 2 3 n n 2019
Tìm giá trị nhỏ nhất của n để S n ? 2020 A. 2019 B. 2020 C. 2018 D. 2021 Lời giải
Từ hệ thức truy hồi ta có u 0, n n 1 . u 1 1 n 1 1 Ta có u 2 d n 1 1 . Do đó là cấp số cộng có và công sai 1 , u 1 u u u u n n1 n n 1 1 Từ đó suy ra
2 n 1 n 1 ,n 1 . un 1 un 1 1 1 Do đó u n n , 1 . n 1 n
nn 1 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có S n ... 1 . 1 2 2 3 3 4 n n 1 n 1
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 31
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 2019 1 2019 Khi đó S n n n 1 2019 . Do đó 2020 . 2020 n 1 2020 u 2 0 2018
Câu 10. Cho dãy u u S u n : 2 1 u n . Tìm phần nguyên của i . n1 u 2 i1 n A. 2020 B. 2017 C. 2019 D. 2018 . Lời giải u n 1 1 3 Ta có u n 1 1 1 . u 2 u u n n 1 1 1 n 1 n1 3 1 2 Đặt a a a
a a u n n 1 n 3 n 1 n 1 0 và . u 1 1 n1 2 3 1 n 2018 2018 2018 1 2 1
S u S i 2018 2 2018 2018 i 2019 1 i i i 1 1 3 1 3 i1 3
Phần nguyên của S . bằng 2018 . u 2019 1
Câu 11. Cho dãy số un được xác định bởi: 2019 . u
u u u ... u n , 1 1 2 3 1 n n n
Tính giá trị của biểu thức 2 2019
A 2.u 2 u ... 2 .u 1 2 2019 . A. 2019 3 B. 2019 C. 3 D. 2 Lời giải 1 n n k 1 ! 1 1! 1 Ta có đẳng thức sau k1 C C n . k 1
k 1 k!.n k .
! n 1 k 1! n
n 1 k 1 . 1 ! n 1 1 k 1 Suy ra S k1 k1 C .u C .2019 C 2018 1 2019 2019 k 1 2019
Từ giả thiết ta có nu 20
19u u u ... u u n n 2019 1 2 3 2 n1 n 2020 n 1u u n u u u n 2019 n 2020 1 1 n1 n n1 . n 2018 1 1 1 1 2 u u C u C .2019 C 2 1 2018 1 2018 2019 2 2 2 2017.2018 1 2 3 u u C .u C 2 1 2018 1 2019 2.3 3 2016.2017.2018 1 3 4 u
C u C 3 2018 1 2019 2.3.4 4 ... 1 2018 2019 u C u C 2019 2018 1 2019 2019 1 2 2 3 3 4 4 2019 2019 S 2.C 2 C 2 C 2 C ... 2 C 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2 1 1 2 .
32 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN x 2 1
Câu 12. Cho dãy số x x n x n 2 1 3 *
n xác định bởi 1 1 n ,n 2 x n 3x n n 2 2018 8144648 8144648 8144648 A. B. C. D. 2019 12105 12107 12103 Lời giải xn x n x n x x x n 2 1 3 12 2 Ta có 1 n n n1 1 n n x 2 n1 2 x n 3x n 3x n 12 2 n 3x x 1 3 n n n n n 2 n x y n n 1 1 Đặt dãy số y n y y 2 n , * n 3 và 2 1 n 1 3y y y 1 n n1 n 1 Đặt u ,n * u u n n n 3 1 yn 1 Suy ra u u d
n là cấp số cộng với 1 và công sai 3 2 2 2n * 8144648 1 x n x n , 2018
u n 5 1 3 3n 6n 5 12103 n 2 2
Câu 13. Cho dãy số u u 1, u au n a n n 1, 1
n thỏa mãn 2 1 1 , 1 . Biết rằng lim 2 2 2
u u ... u 2n b T ab 1 2 n
. Giá trị của biểu thức ? A. 1 B. 2 C. 1 D. 2 Lời giải 1 1 Theo giả thiết ta có 2 2 2 2 u
au u a u n 1 1 n n1 1 a n 1 a 1 Đặt 2 v u v av v q a n n n 1
n là cấp số nhân với công bội 1 n a n 1 n n a n a 1 Suy ra 1 2 1 1 2 1 v v a u a a u a n . . 1 1 1 a a 1 n a 1 1 a 2 a 1 u 1 a 1 1 a 2 a 1 u . a a n 1 Ta có 2 2 2 2 a 1 1 a
u u ... u a a n n 1 ... . 1 2 1 a 1 1 ............................. a 2 n1 a 1 u a . n a 1 1 a a n 2 2 2 1 1 a u u ... u n n . . 1 2 1 a a 1 1 a
Thực hiện phép đồng nhất ta được
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 33
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 1 a 1 2 2 1 a 1 n T n 1 1 a 1 a b b 2 lim . lim 2
a 1 1 a 1 1 2 2 u
Câu 14. Cho dãy số (u u u n n n , * . 1
n ) được xác định bởi 1 và Tính 3
22n 1u 1 n
tổng 2019 số hạng đầu tiên của dãy số đó ? 4036 4035 4038 4038 A. B. C. D. 4035 4034 4037 4039 Lời giải Theo giả thiết ta có 1 1 1 1 4n 2
4n 1 2 4n 2
4.1 2 4.2 2 ... 4n 2 u u u u n1 n n1 1 2 3 2 4 8 3 2 2 2 4 n n n n u 2 2 n1 2
4n 8n 3 2n 12n 3 2 1 1 u n
2n 12n 1 2n 1 2n 1 1 1 1 1 1 1
Từ đó suy ra S u u .... u n n 1 ... 1 1 2 3 3 5
2n 1 2n 1 2n 1 1 4038 S 1 . 2019 2.2019 1 4039 u 1 1
Câu 15. Cho dãy số u n
n xác định như sau: , với 1, 2, 3,... 2020 2019 u u u u n n 2018 1 n n 2019 2019 2019 2019 u u u u Tính 1 2 3 lim ... n .
u 2018 u 2018 u 2018 u n 2018 2 3 4 1 4 3 2 1 A. . B. . C. . D. . 2019 2019 2019 2019 Lời giải
Ta dễ ràng thấy rằng u n n 1 với mọi 1,2,3,... Xét 2020 2019 u u u u n u n n n 2018 n 0 1 với mọi
1,2,3,... , nên dãy n tăng. Giả sử dãy u u u a
n bị chặn trên, khi đó n có giới hạn. Giả sử lim n 1 . Từ hệ thức 2020 2019 u u u u n n 2018 1 n
n chuyển qua giới hạn có 2020 2019 a a 2018a
a a 0 a 20 18 - Điều này vô lý Vậy, dãy u u
n không bị chặn trên. Suy ra lim n . Ta có
34 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 2019 2019 u u u u u k k k 2018 k k 1 1 1 . u u u u u u u k 2018 k 2018 k 2018 k 2018 k 2018 k 2018 k 2018 1 1 1 1 2019 2019 2019 2019 u u u un 1 1 1 2 3 ...
u 2018 u 2018 u 2018 u u u n 2018 2018 n 2018 2 3 4 1 1 1 2019 2019 2019 2019 u u u u n 1 1 Vậy 1 2 3 lim ... lim
u 2018 u 2018 u 2018 u u u n 2018 2018 n 2018 2 3 4 1 1 1 1 1 . u 2018 2019 1
Câu 16. Xét dãy số nguyên x 34, x 334, x 3334, , x n 33...34 1 2 3
(có n số 3). Hỏi có bao
nhiêu chữ số 3 trong số 3 9x2018 ? A. 6054 B. 6055 C. 6056 D. 6057 Lời giải
Ta đặt u 3x u n n 2 . Khi đó 1 10 n n 10n 2 10n 2 n 3 3 1 1 3 3 10 1 2n2 n1 x x n 9 n 2.10 4.10 3 3 3 3 Lại có
3n3 3n2 3n1 10 1 10 1 10 10 10 1 3n3 10 1 3 3n2 3n1 10 10 10 1 3 3 x n 3n2 3n1 2n2 n1 9 3 10 10 10 1 2.10 4.10 3 Để ý rằng 3n2 3n1 10 10
10 1 111...111 (có 3n +2 số 1) 2n2 2.10
2000...00 (có 2n +2 số 0) và n1 4.10
400...00 (có n+1 số 0) 3 9x n 33...33533...33733...336
(trước 5 có n số 3, giữa 5 và 7 có n số 3, giữa 7 và 6 có n số 3) 3
9xn có 3n số 3. un 1
Câu 17. Cho dãy số u u 1 u
n xác định bởi 1 và n1 với n nguyên dương. n1 2018 2019
Tính giới hạn A lim u n x 2019 2018 A. B. 2018 C. D. 0 2018 2019 Lời giải n1 un 1 n n 2018 Do 1 u u u n 2018 . n n 2018 1 1 1 2018 2019 n 2019 n1 2018
Đặt v 2018n u v 2018 v v n n ta được 1 và n1 n với n nguyên dương. 2019
Suy ra v (v v v v
v v v n n n ) ( n n ) ( ) 1 1 2 2 1 1
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 35
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 2018 n n k 1 2018 2018 2019 2018 2018 k 2019 2019 2018 1 1 2019 2018 n vn 2018 2018 n 1 2018 n 2018 2 u n 2 n n 2 n 1 2019 2018 2018 2019 2018 2019 1 2018 n Vì * u 0,n lim u u n lim 2 n 0 lim n 0 n mà 1 x x 2018 2019 x un 1
Câu 18. Cho dãy số (u u 1 u n ) xác định bởi 1 và n1 với n nguyên dương. n1 2018 2019
Tính giới hạn A lim u u u 1 2 n x 2018 2017 2017 2019 A. B. C. D. 2019 2019 2018 2017 Lời giải n1 un 1 n n 2018 Do 1 u u u n 2018 . n n 2018 1 1 1 2018 2019 n 2019 n1 2018
Đặt v 2018n u v 2018 v v n n ta được 1 và n1 n với n nguyên dương. 2019
Suy ra v v v v v
v v v n n n1
n1 n2 2 1 1 2018 n n k 1 2018 2018 2019 2018 2018 k 2019 2019 2018 1 1 2019 2018 n vn 2018 2018 n 1 2018 n 20182 u n 2 n n 2 n 1 2019 2018 2018 2019 2018 2019 n n 1 2018 k n 1 n 1 Do đó u k 2 k 4036 2018 k 1 k k1 k1 2018 2019 k1 2018 k1 2019
Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn ta được 1 1 A lim 2018 2019 4036 2019
u u u n 4036 2018 1 1 2 x 1 1 2017 2017 1 1 2018 2019
36 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN x 1 n 1 1
Câu 19. Cho dãy số (x * ;n y n n ) có . Đặt . x x x x x i x 2 1 2 3 1 n 1 n n
n n 1 i a a Biết lim y M a;b n với
là phân số tối giản và a, b nguyên dương. Khi đó tọa độ b b
nằm trên đường tròn nào? 2 2
A. x 1 y 22 4
B. x 1 y 12 4 2
C. x 1 y 12 10 D. x 2 2 1 y 10 Lời giải Từ giả thiết x x x x x x x x x n
n 3 n n 3 n 2 1 n 3 n 12 2 2 2 2 n 3 n 1 1 Lại có x
x x x x n n n n
2 n 1 n 12 2 * 0; 1 . Suy ra x x
n là một dãy số tăng. Giả sử n là dãy bị chặn trên 2
lim x a a 3a 1 a a x n 1 . Vô lý. Vậy lim n . Mặt khác 2 x
x x x x x n 1 n 3 n 2 n 1 n 1 n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .
x 2x 1 x x x x
x 2 x 1 x n n n 1 n n n 1 1 2 n n n 1 1 1 1 1 1 Vậy y 1
lim y M 2;1 n . 2 x n 2 n 1 1 3 u 1
Câu 20. Cho dãy số u 16
n xác định bởi
u 9u 4 1 3u 4, n n1 n n
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn 8 u 10 . n A. 9. B. 10. C. 12. D. 13. Lời giải Đặt dãy số x 1 3u , n n n 2 x Ta có x 2 1 x u n u n 1 3 n , n n 0 và n 3 2 2 x x n 1 n 1
Thay vào giả thiết ta được 1 9 4x x x n 3 n 2 1 2 2 n 4 3 3 Suy ra x x n . x x n 3 n 3 n 2 1 Giả sử 1 n thì 1. 9 Xét dãy y y x y
y x 1 ,
n xác định bởi n n
1 . Khi đó n là cấp số nhân với 1 1 công 4 2 9 n1 .3 1 1 9 n 9 n 4 bội q 3 1 1 y x u n .3 n .3 1 4 4 n 3 2 9 n 9 Có 8 1 8 u n1 8 .3 1 3.10 1 n 10 .3 1 3.10 1 4 4
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 37
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ n 8 4 log 3.10 1 1 . 1 n 9,14. 3 9
Vậy n nhỏ nhất bằng 10
Câu 21. Xét các cấp số nhân có 2n 1 số hạng dương ( n là số nguyên dương) thỏa tổng tất
cả các số hạng của nó bằng 400 và tổng tất cả các nghịch đảo của các số hạng của nó bằng
4 . Giá trị lớn nhất của n là? A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 Lời giải a a a a
Đặt các số hạng của cấp số nhân là n1 , ,
,..., , a, aq,..., aq , n
aq với a, q là các n n1 n2 q q q q số dương. a a n1 n 1 1 n1
... a ... aq aq 400 a q q n n n ... 1 ... n n 400 1 1 q q q q Ta có n n 1 q q 1 1 1 1 n n1 1 1 ... ... 4 n n q q n n 1 ... 1 ... 4 a a a aq aq 1 a q q 1 1 n1 n 1 n 1 n1 1 a
... 1 ... q q q q q n n 400 ... 1 40 n n * 1 1 q q q q q 2 a 100 a 10
Muốn tồn tại cấp số nhân thì điều kiện cần và đủ là phương trình * phải có nghiệm 1 n 1 n 1
dương. Xét hàm số f x 1 x x
... x 1 liên tục trên D 0; . n n1 x x x
Theo bất đẳng thức AM – GM ta có f x 1 n 1 n1 1 x x
... x 1 2 2 ... 2 1 2n 1 n n1 x x x
Dấu bằng xảy ra khi x 1 . Mặt khác lim f x , lim f x x0 x
Suy ra tập giá trị của hàm số f trên D là 2n 1; .
Phương trình * có nghiệm dương khi và chỉ khi 40 2n 1 n 19, 5 .
Vậy giá trị lớn nhất của n là 19 . u 2018 0 u
Câu 22. Cho dãy số (u u 2019 n
n ) được xác định bởi 1 . Hãy tính lim . 3n u u u n n 4 n 3 n ; 1 1 1 1 1 A. B. 2 3 C. 2018 3 D. 2019 3 Lời giải Ta có u u u
u u u u n 4 n 3 n n n 3 1 1 1 n n1 .
38 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN v 1
Đặt v u u n v n n n n1 ta có 1 . Suy ra 1 3 ; 1. v 3v n n n n ; 2 1
Ta được u u u u u
u u u n n n1
n1 n2 2 1 1 n n n1 n 2 3 1 3 1
3 3 3 2019 2018 2018 3 1 2 u n 3n 1 2018 1 Suy ra lim lim n n n . 3 2.3 3 2 n 3
Câu 23. Cho dãy số u u 1; u u n u n 2 n ,
n xác định bởi * 1 1 . Hỏi 2 n 3n 2 2018
thuộc khoảng nào sau đây? A. 2015 2016 2 ; 2 B. 2016 2017 2 ; 2 C. 2017 2018 2 ; 2 D. 2018 2019 2 ; 2 Lời giải n 3 1 2 1 1 Ta có u u u u u u n 2 n n 2 n n 2 1
n 1n 2 1 1 n 2 n 1 n 2 n n 1 1 1 1
v u
Đặt v u n n n , * , suy ra 1 1 2 2 n 1
v v n n 2 n , * 1 1 Do đó dãy số v q v
n là cấp số nhân có công bội 2 và 1 . 2 1 n n 1 Suy ra 1 2 * n2 * v n u n n .2 2 , 2 , . 2 n n 1 1 Vậy 2016 u 2 2016 2017 2 ; 2 2018 . 2019 2 u 1 3 u u un
Câu 24. Cho dãy số u L lim n xác định . Tính 1 2 2 n 2 n u nun n 2 2 2 n ; * 1 n 3 1 3 3 A. L B. L
C. L 1 D. L 2 4 2 Lời giải 2nu Ta có u n n n n u n n
n u n n 1 2 3 n 2 1 2 n ; * 1 1 n 3
Đặt v nn 1n u v v 4; v v n n 2 n ; * n
2 n ta được dãy n thỏa mãn 1 1 nên dãy n1 2 v n n v u
n là một cấp số nhân có công thức 1 1 n 4.2 2 . Vậy n
nn 1n 2 un 2 1 1 1 1 1 1 . 2n
nn 1n 2 nn 1 n 1n 2 n n 1
n 1 n 2 u u un 1 1 1 1 1 2 L lim n lim 2 n 2 2 2 n
2 n 1 n 2 2
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 39
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 2019 (3x n 1)
Câu 25. Cho dãy số x được xác định bởi: x 1; x
x với n là số n 1 n1 2019 n 3x 1 3x 1 3x 1 3x n 1 1
2018 2 2018 3 2018 2018
nguyên dương. Đặt u n ... . Tính 3x 1 3x 1 3x 1 3x n 1 2 3 4 1 lim un 2019 2019 673 673 A. B. C. D. 4 3 3 4 Lời giải 2019 (3x 1) Ta có x x n n1 n , n 1 2019 1 1 3x x x n n 3 n 12018 1 3x x x x x n 1 3 n 1 3 n 1 3 n 1 673 3 n 1 1 1 1 n 3x i 1 2018 n 1 1 1 1 u n 673 673 i x x x x x i i 1 3 1 3 i 1 3 i 1 3 1 3 n 1 1 1 1 1 1 3x n 12019 Mặt khác: x x x n n 0 1 n
nên dãy n là dãy số tăng 1 . 2019 Nếu x x
n bị chặn thì lim n tồn tại hữu hạn. 2019 (a 1)
Giả sử lim x a a 1 a a n và - Điều này vô lý 2019 Suy ra x x
n không bị chặn trên hay lim n . 1 673 673 Do đó lim
0 . Suy ra lim u . 3x n n 3x 1 4 n 1 1 1 u 2019 1
Câu 26. Cho dãy số thực un tăng xác định bởi 2
u 2018u 2020u n n n n 1 0, 1 1 1 1 1 1 Đặt S S n ... . Tính lim
u 2019 u 2019 u 2019 n 1 2 n 1 1 A. 2018 B. C. 2019 D. 2018 2019 Lời giải Do u u n
n là dãy tăng nên n 2018, 1 . 2
u 2018u 1 Ta có 2
u 2018u 2020u u n n n n n 1 0 1 n1 2020 2
u 2018u 2019 u n n
2020 u u u n 1 n 1 n 2019 n 1 1 1 2020 2020 1 1 1 1 *
u 1u 2019 u
u 2019 u 1 u n n n 1 n n n 1 1 1
Thay n bởi 1, 2, 3,..., n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra
40 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 1 1 1 1 1 1 1 S n ...
u 2019 u 2019
u 2019 u 1 u u n n 1 2018 n 1 1 2 1 1 1
Do un là dãy số tăng nên có hai trường hợp xảy ra. Dãy u u u x x
n bị chặn trên suy ra tồn tại lim n . Giả sử lim n thì 2018 . Chuyển
qua giới hạn hệ thức (1) khi n ta có 2 2
x 2018x 2020x 1 0 x 2x 1 0 x 1 - Điều này vô lý Dãy u u
n không bị chặn trên, do n tăng và không bị chặn trên nên u u n 1 lim lim n 1 lim 0 1 u n 1 1 1 1 1 Do vậy, lim S n lim 2018 u n 1 2018 1 u 1 1
Câu 27. Cho dãy số: u u n n1 u
, n 2 . Tìm lim un . n 1 5n.un1
A. k 1616
B. k 808
C. k 404 D. k 1212 Lời giải un 1 1
Từ hệ thức truy hồi ta có 1 u n 5n . 1 5 .nu u u n1 n n1 1 Đặt dãy số v
v v n v v n n n 5 n n 5 n u 1 1 n
v v v v v
v v v n n n n n ... 1 1 2 2 1 1 n n1 2 5 n 21 1 v u n 5 5 ... 5 1 .5 n limu n 0 . 4 4 5 n 21 .5 4 4
u 1, u 3 1 2 u
Câu 28. Cho dãy số u lim n
n được xác định . Tính * u
u u n 2 n n n 2 n n 1, 2 1 1 1 1 A. 1 B. C. D. 6 3 2 Lời giải Ta có u u
u u n n n n n 1, 1, 2,... 2 1 1 u u
u u u u u u n u u n n n 2 n n n n 1 n n 2 ... 2 1 1 1 2 1 2 1
Do đó u u u u u u
u u n n n n n n n ... 1 ... 2 1 1 1 2 2 1 nn 1 u n n n 1 1 u n n 1 2 ... lim lim 2 2 2 n n n 2n 2
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 41
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ u 4 1
Câu 29. Cho dãy số (u 2 u .
n ) xác định như sau: Giả sử giới hạn n * u u n n n , 1 2018 u u u a a 1 2 lim
... n * a,b
và tối giản. Tính a 3 .b u u u b b 2 3 n1 A. 1012 B. 1021 C. 1015 D. 1018 Lời giải
Từ cách xác định dãy số suy ra (un ) là dãy số tăng, nên tồn tại giới hạn hữu hạn hoặc vô hạn.
Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn l lim u l n Khi đó 4. 2 u 2 l Từ n * u u n l l l 0 n n , 1
lấy giới hạn hai vế ta có (mâu thuẫn). 2018 2018 Vậy lim u . n 2 u u 2018u u n n n1 n 1 1
Từ công thức truy hồi ta có 2018 u u u u u u u n1 n n1 n n1 n n1 u u u n 1 1 1 1 1009 1 2 lim lim 2018 lim 2018 u u u u u u n n 4 n 2 2 3 1 1
Vậy a 3b 1015. 2 x
Câu 30. Cho dãy số x x ; x n n n , 1,2....
n được xác định như sau 1 1 3 22n 1 x 1 n
Hỏi tổng của 2018 số hạng đầu tiên là bao nhiêu? 4035 2017 2018 4036 A. B. C. D. 4036 2018 2019 4037 Lời giải
Dễ thấy x 0, n n
1, 2,.... Nên theo giả thiết ta có 1 1 1 x n n n 2 2 1 , * 1 . 2 2n 1 1 x x n1 n xn 2 Đặt u u 3; u
n u n n n 4 2 1 n , * 1 1 xn u
u n n n n 8 4, 1, 2,.... 1
u u n u n n n n 8 1 4 n 8 1 2 2.4 1 2
..... u 8 n 1 n 2 .... 2 1 .4 n 1
2n 12n 1 2 2 1 1 Do đó x n n u n n n n n , 1,2.... 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 4036
x x ...... x .... 1 2 2018 1 3 3 5 4035 4037 4037
42 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
u 1;u 2
Câu 31. Cho dãy số u
S 1 2 ... 2017 u u n 1 2 . Tổng u
u u n 2018 2019 n 2 n n 1; 2 1 1
có giá trị bằng bao nhiêu? A. 2039190 B. 2035153 C. 2037171 D. 2033136 Lời giải u 1 1 u 2 2
u 2u u 1
Cách 1. Từ công thức truy hồi suy ra 3 2 1
u 2u u 1 4 3 2 .... u u u n 2 n n 1 1 2
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được u u u
n u u n * n n 2 1 1 1 n n1 u 1 1 u u 1 2 1 u u 2
Từ đề bài và * ta lại suy ra 3 2 u u 3 4 3 .... u u n n n 1 1
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được n n
u n 1 1 1 1 2 3 ... 1 1 2 n n n 2 2 2 1
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là u n
2n n2,n 1 2 1 u 2
2018 2018 2 2035154 2018 2 1 u 2
2019 2019 2 2037172 2019 2
S 1 2 ... 2017 u u
1 2 ... 2017 2035154 2037172 2018 2019 2018.2019
1 2 ... 2017 2018 2037171 2 Cách 2. Ta có u
u u n u u u u n n 2 n n 1; 2 n n n n 1; 2 * 1 1 1 1 Đặt v u u n
v u u 1 n n n , 2 1 và 1 2 1
Khi đó * v v n v 1 d n n 1, 2 1 là cấp số cộng có 1 công sai 1
v 1 n 1.1 n,n n 1
S 1 2 ... 2017 u u
1 2 ... 2017 u u
1 2 ... 2017 v 2018 2019 2019 2018 2018 2018.2019
1 2 ... 2017 2018 2037171 2
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 43
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 4 u 1
Câu 32. Cho dãy số u 3 ,n 1 u
n xác định bởi . Tìm lim n .
n 22 u n 1 2 u u n u n n n1 n1 3 A. lim u u lim u u n 2 B. lim n 4 C. n D. lim n 3 4 Lời giải n 22 2 n Dễ thấy * u 0,n n 1 n . Từ giả thiết ta có u u n1 n 1 1 Với mỗi * n , đặt v v 1 n ta có và u 4 1 n 2 2 1 1 n n 2 v n v
n n v n v v v n n 1 22 2 2 1 n1 n n1 4 4
n 22 n 2 2 2 2 2 2
n 1 n 2 n 3 3 2 1 4 4 v ... v v n 1
n 1 n n 1 5 4 3 n 12 1 n n 12 2 2 n lim v n 0 . 1 1 1 1 1 1 Ta có lim v u n lim
lim 0 lim lim n 4 . u u u n 4 n 4 n 4 2n 5n
Câu 33. Cho dãy u u n với n
. Giả sử ta có tổng sau 2n 5n 100 a c 1 1 1 1 S .... b
u 1 u 1 u 1 u 1 b a 1 2 3 100
Trong đó a, b c là các số nguyên dương và a, b là hai số dương nguyên tố cùng nhau . Khi
đó S a c ? A. 151 B. 153 C. 152 D. 154 Lời giải 2 5 2 .5 1 2 5 1 2 n n n n n n Ta có u n 1 1 1 n n n n n 2 5 2 5 u n 1 2 .5 2 5 1 2 100 1 1 1 1 1 2 2 2 S 100
u 1 u 1 u 1 u 1 2 5 5 5 1 2 3 100 100 100 2 2 1 100 151 1 2 5 1 2 2 5 100 100 1 2 5 2 2 3 5 3 1 5
Từ đó suy ra a 2, b=5, c=151 nên : a c 153.
44 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN u 9 1
Câu 34. Cho dãy số un được xác định bởi . 1 1 1 u u n n n n n n n 3.2 2.3 , 2; 3.... 1
Tính giá trị của u2018 ? A. 2018 2018 2018 u 3.2 2.3 u 9 3.2 2.3 2018 B. 2018 2018 2018 2018 C. 2018 2017 2017 u 3.2 2.3 u 3.2 3 2018 D. 2018 2018 2018 2018 . Lời giải n n1 n1 n1 u u n n 3.2 2.3 1 n1 n2 n2 n2 u u n n 3.2 2.3 1 2 n2 n3 n3 n3 u u n n 3.2 2.3 Ta có 2 3 n 1
u u 3. n 1 2 n1
2 2 ... 2 2. 1 2 n1 3 3 ... 3 1 . . . . 3 2 2 2
u u 3.2 2.3 3 2 2 1 1 1
u u 3.2 2.3 2 1 n1 n1 1 2 1 3 9 3.2. 2.3. 3.2n 3n 1 2 1 3 Vậy 2018 2018 2018 u 3.2 3 2018 . a 2008 1
Câu 35. Cho dãy số thực a ; a ;...; a 1 2
n được xác định bởi . Tính 2
a a ... a n .a ,n n n 1 1 2
giá trị của a2008 . 1 2 1 2 A. B. C. D. 2009 2007 2007 2009 Lời giải
Ta có a a ... a n a n 12 1 2 1 n1 .
Do đó a a ... a a a ... a a n a a n n n 12 1 2 1 2 1 n1 n . n 1
Ta có phương trình n 12 2 a
a n a a a n1 n n n n1 . n 1
n 1 n 2 n 3 2 1 2a Suy ra 1 a a n . . ... . . 1 . n 1 n n 1 4 3 nn 1 2.2008 2
Cho n 2008 ta được a 2008 . 2008.2009 2009 u 1 1
Câu 36. Cho dãy số u n
n xác định bởi 1 . Có bao nhiêu số nguyên * u u n n n , 1 2 1999
dương n sao cho u n . 1000 A. 11 B. 10 C. 15 D. Vô số Lời giải
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 45
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ u 1 1 1 u u 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 n 1 1 Ta có 2
u u u n 1 ... 2 n 1 n 2 3 2 2 1 n1 2 2 2 2 1 2 2 1 ............ 2 n1 1 u u n n1 2 Theo giả thiết ta có 1999 1 1999 1 1 1 u n n n 2 1 log 10 n n 11 1 1 1 1000 2 1000 2 1000 1000 2
Suy ra có 10 số nguyên dương n thỏa mãn đề bài. 1
Câu 37. Cho dãy số x x
n xác định bởi 1 . Biết rằng 4
x 4x 9x ... n 12 x 1 2 3 n1 x n n , 2,3.... 2 n n 1 Tính 2
lim 30n 12n 2018xn 15 15 A. 15 B. 30 C. D. 4 2 Lời giải
x 4x 9x ... n 12 2 x n x 2 2 1 2 3 n1 n
n n 1x n x Ta có x x n n n1 n 12 n n1 n 12 n 3 2 x n x n n x
x n 12 2 x n x n1 . n 2 n1 n n 2 1 1 n n1 n 1
n x n 2 2 1 1 x
x x x n n ... 4 1. 1 2 1 4 n 2 4n n n 2 n n 2 30 12 2018 15 3 1009 15 lim 30 12 2018 x n lim lim 2 2 4n 2 n 2 n 2 u 2 1
Câu 38. Cho dãy số un được xác định bởi công thức . Tìm 2 2019u u u n n n 2018 n , 1 1 u u u
giới hạn của dãy số S S n
n xác định bởi công thức 1 2 n . u 1 u 1 u n 1 2 3 1 2018 A. lim S S lim S S n 2018
B. lim n 2019 C. n D. lim n 1 2019 Lời giải
46 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Trước tiên ta có hai nhận xét sau 2 u 1 u u u n n n 2018 n 2019, 1 1 1
u 2,n
u u n n 1 nên 2 1, 1 n n . u u u Theo giả thiết ta có 2 2019u u u u
u u u n n n n n 2018 n 2019 n n n n 1 1 1 1 2019 u 1 n u u u u n n n n 1 1 1 2019 2019 u u u u u u n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 S n 2019 u 1 u n 1 1 1 . 1 Để tính lim
, ta chứng minh mệnh đề * : 2019u n n n 4036 , 1 bằng quy nạp. u 1 n 1 1
Từ 2019u 4 4036 4040 4037 * n 2
suy ra mệnh đề đúng khi 1 . Giả sử 2019u k k k 4036 , 1 1 . Khi đó 2 2019u u u u u u k k k 2018 k k 1 2018 k 1 2019 k 1 4036 2 1 1 1 1 1 .
Suy ra * đúng khi n k 1 . Hay 2019u n n n 4036 , 1 1 . 1 2019 Do đó 2019 u n n 1 2019 1 . u n n 1 2019 1 2019 1 Ta lại có lim 0 nên lim 0 . n 2019 u n 1 1 1 1 Vậy lim S n 2019 lim 2019 . u 1 u n 1 1 1 u
Câu 39. Cho dãy số u u 1, u n n n , 1, 2, 3,...
n được xác định bởi: 1 1 u 1 n
2018u 1 u 1 ... u n 1 1 2 Tính lim . 2019n 2018 A. lim S S lim S S n 2018
B. lim n 2019 C. n D. lim n 1 2019 Lời giải un 1 1 1
Do u 0 u 0,n u u n n 1 n * 1 . Ta có 1 , 1, 2,... u 1 n u u n n n1 n 1 1 1 2 3 n 1
u 1 u 1 ... u 1 1 1 ... 1 . ... n n 1 1 2
1 2 n 1 2 n 1 20181 2018 u 1 u 1 ... u n n 1 2018 1 1 2 n 2018 lim lim lim 2019n 2019n 2019 2019
2018u 1 u 1 ... u n 1 1 2 2018 Vậy lim . 2019n 2019
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 47
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ
Câu 40. Cho các số a , a , a , a , a 0 1 2 3 4 5
lập thành cấp số cộng với công sai d và
b ,b ,b ,b ,b 0 a b a b 1 2 3 4 5
lập thành cấp số nhân với công bội q . Biết rằng 1 1 và 5 5 . Hỏi
có bao nhiêu khẳng định luôn đúng trong các khẳng định sau? i) a b a b a b d q 2 2 ii) 3 3 iii) 4 4 iv) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải a 3a 3
Đặt a b x, a b y
a a 4d
a a d a x y . 1 1 5 5 , mà 5 1 và 2 1 nên 4 1 2 4 4 3
Tương tự ta tính được x y a x y a . 3 và 2 4 4
Lập luận tương tự với CSN, ta cũng có 3 3 4 4
b x y ,b xy ,b xy 2 3 4 .
Theo bất đẳng thức AM – GM ta có x y 3x y x 3 3y 3 4 4 a
xy b , a
x y b ,a xy b 3 3 2 2 4 4 2 4 4
Do đó, cả i), ii) và iii) đều đúng. Tuy nhiên, điều kiện iv) không luôn đúng, chẳng hạn khi
x y thì d 0 nhưng q 1. 3n 1
Câu 41. Cho dãy số u u 1 3 u
u n n n * n n 2 3 1 n biết : 1 , 1 . Giá trị nhỏ n nhất của n để 3 2018 u n .3 n n là bao nhiêu?
A. n 2019
B. n 2018
C. n 2017 D. n 2020 Lời giải
Biến đổi giả thiết ta có 3n 1 u u u u n n n n 1 1 u
u n n
n n n n n n 2 3 1 3 2 2 1 1 3 1 2 3 2 2 n n 1 n n 1 n u Đặt n 2 S n S S n n 3 n , * n .Ta có n 1 Dãy số S q S 2 n1 * S n N n 2.3 ,
n là cấp số nhân với công bội 3 và 1 u Theo bài ra, 3 2018 n 2 2018 n1 2018 n2019 1
u n n n n .3 3 2.3 3 3 n 2 1 1 n 2019 log n log 2019 2018,369... 3 3 2 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của n là n 2019 .
48 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 42. Cho dãy số không âm u * , n n
được xác định bởi công thức sau u 1 2 1
m, n ,m n 2 2 u u u 2 2 u 1 1 2m1 2n1 m n m n 2
Khi đó tổng của 2019 số hạng đầu tiên của dãy khi viết dưới dạng thập phân có chữ số ở
hàng đơn vị bằng bao nhiêu? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải 1
Cho n m ta có 2 2 u u u u u 1 m 2 2 m m 0 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 Cho n 0 ta có 2 2 u u u u u u u u m m 2 2 m 2 2 m 4 m m 2 m 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 u u u u 2. 2 2. 1 Vì u 1 2 2 u u u u
u u 9 3 2 1 1 2 1 1 2 2 4 1 2 1 2 2 nên 3 2.1 1 1 1 2 . u u u u 4 4 2 2 4. 2 5 2.2 1 2 1 3 Ta chứng minh u n n 3 n , 1
Thật vậy, với n 0, n 1, n 2, n 3 thì 3 đúng.
Giả sử 5 đúng đến n k, k , k 3 , tức là u k u k k1 và k 1 . Khi đó 2 2 1 u u u u u k k 2 2 k 1 2 4 k 4 1 1 1 1 2 1 3 1 2 2 u
k k
k k k k 2 2 12 2 1 12 2 2 2 2 u k k 1 2
Vậy tổng của 2019 số hạng đầu tiên của dãy là S
0 1 2 ... 2018 2037171 2019 .
Do đó chữ số ở hàng đơn vị là 1.
Câu 43. Cho dãy số x x 2019, x x x n n n n 1, 1, 2, 3,...
n được xác định bởi 2 1 1 . Với 1 1 1
mỗi số nguyên dương n , đặt y y n 2019 ... . Khi đó lim bằng? x x x n 1 2 n 2018 2019 A. B. C. 2018 D. 2019 2019 2018 Lời giải Ta có x
x x x x x x n x n n n
2 n 1 n 12 2 0 n n , 1. 1 1
Do đó n tăng. Giả sử dãy x
lim x lim x A n n 2019
n có giới hạn hữu hạn bằng A 1 . Chuyển qua
giới hạn hai vế phương trình 2 x x x
A A A A n 1 1 n n ta được 2 1 1 2019 vô lý. Vậy lim x n . 1 1 1 1 1 1 1 Ta có x x x . n 1 n n 1 1 x x x x x x x 1 x n n n 1 n 1 1 1 1 n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 Do đó y n 2019 ... 2019 2019 x x x x x x n 1 n 1 2018 n 1 1 2 1 1 1
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 49
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 1 2019
Từ lim x lim lim y n . n 0 . Vậy x 2018 n u 2020 1
Câu 44. Cho dãy số (un) được xác định bởi 2 . 4n 16
nu n n u n n 2 6 5 , 1 1 n 4n Gọi k lim
.u thì k có giá trị là? 2 n n
A. k 1616
B. k 808
C. k 404 D. k 1212 Lời giải 2 Ta có 2
4n 16nu n n u 4 2
n 4nu n n u n 1 4 1 1 n 2 6 5 1 n n
1 n 12 4n 1 u u n 1 1 u u n n . n . 1 2 4 n 4n
n 12 4n 1 2 4 n 4n un 1 Đặt dãy số v v v n 2 n1 n 4n 4 n 1 v q
n là cấp số nhân có công bội và số hạng đầu 4 u 1 n1 n1 1 1 1 v
.2020 404 v u n n n 404. n 404. 2 4 1 5 5 4 4 n1 4n 1 2 n n 4 4 k lim .404. 2
n 4n lim .4.404 lim 1 .1616 1616 2 n 4 2 n n u 1 1
Câu 45. Cho dãy u 2
n được xác định bởi 1 u , đặt n 1 1 u n n n ; 2, un1
S u u ... u n 1 2
n . Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau? n1 1 A. u S n 1 1
n là dãy bị chặn. B. 4 2 C. u S n n n là dãy giảm D. , n . Lời giải 2 1 tan 1 1 o c s 4
Cách 1. Ta có 4
u 1 tan ; u tan 1 2 . 4 2.4 tan sin 4 4
Từ đây ta dự đoán u tan , nN n . n 1 1 2 .4
Thật vậy, giả sử u tan ,k k 1, khi đó k1 2 .4
50 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 2 1 tan 1 c k 1 os 1 k1 2 .4 2 .4 u k tan 1 . 2k.4 tan sin k1 k1 2 .4 2 .4
Theo nguyên lý quy nạp suy ra công thức 1 đúng. Vì 0
0 u nên un là dãy bị chặn. n n 1 1 2 .4 4
Vì tan x là hàm số đồng biến trên 0;
suy ra un là dãy giảm. 4
Ta có S u u ... u nu n n n . 1 2 1 1
Xét hàm f (x) tan x x; x 0; , có 2 f (x)
1 tan x 0,x 0; . 4 2 cos x 4
tan x x,x 0;
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 0 . Do đó 4 n1 1 S n 1 1 1 n 2 1 2.4 2 .4 2 .4 4 2 Cách 2. 2 1 u n 1 u
Từ giả thiết suy ra u 0, n 1 n1 u u n . Ta có n n1 . 2 un1 1 u n 1 1 Suy ra u u n S n n 0;1 ,
n giảm (C đúng) và hay A đúng. Và khi đó n tức D đúng. Vậy chọn B. u 1 1
Câu 46. Cho dãy số u 2 n 1 un 2 n n thỏa mãn 1 * u n n n n n 1 , . 2 2 1
Tìm giới hạn của dãy số s
s n u n với 3 * n n , n .
A. lim s lim s 0 n B. n
C. lim sn 1 D. s 1 lim n . . 2 Lời giải 2 2 2 Ta có 2
n n 2
n n 2 n 2 n 2 1 1 1 2 1 1
n 1 n 1 1
Theo giả thiết ta có 2 n 1 2 un n n 1 2 2 n u nu n u n n 2 1 2 n n 2 n n 1 1 1
n 1n12 2 1 nu n u n u nu n 1 2 1 1 1 2 1 n 1 n n 1 1 2 2 1 2
n 1 n 1 1 n1 2 1 2 n 1
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 51
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 1 1 Đặt * v nu n 1 * v v n v n n , n n ,
. Khi đó trở thành 1
n là một cấp 2 n 1 2 1 1 1 n1 1 1 n
số nhân với công bội q
, v u v v n . 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 3 2 n n u 3
s n u n n . n 3
n n 2nn 3
n n 2n Ta có 3 n 1 lim lim 1 ; 3 n n 1 1 2 n
Với mọi số nguyên dương n 3 , ta có 3 3 n n n n n n n 0 1 2 3 0 1 2 3 5 6 5 6
2 C C C C C C C C C n n n n ... n n n n n 2 2 6 6 3 n n 5n 6
Mặt khác 2 vẫn đúng mới n 1; 2 . Do vậy nên * 2 , n . 6 6 2 2 2 2 2 n n 6n * 6 n n n ,n ; lim lim 0 lim 0. n n 3 3 2 2 n 5n 6 n 5n 6 5 6 2n 1 2 3 n n 3 2 n n Vậy lim s n lim n 1. 3
n n 2 2
u u u n 4 n 4 n 0 1
Câu 47. Cho các dãy u * n u n thỏa: 1
. Khi đó có thể nhận tất cả u 1 2018 2 bao nhiêu giá trị? A. 2017 2 B. 2018 2 C. 2019 2 D. 2018 2 1 . Lời giải
Xét hàm số: f x 2
4x 4x với x 0;1 ta có f x0;1 1 Mặt khác u f u 0;1 u
0;1 ... u 0;1 2018 2017 2017 1 2
Ta chứng minh bằng quy nạp 0 u n 1 .
Theo trên có u 0; 1 ; u 0; 1 u u f u k k 0;1 k 0;1 1
2 . Giả sử khi đó do 1 nên có điều chứng minh. Vì 0 u 1 u sin 1 nên tồn tại số 0; sao cho 2 2 1
Khi đó u 4u 1 u 2 4sin 2 1 sin sin 2 2 2 1 1
Theo nguyên lý quy nạp ta có 2 un n 1 sin 2
52 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 1 1 1 1 1 Theo giả thiết ta có 2 u sin 2017 2 cos 2018 2 2018 2 2 2 2 2 cos 2018 2 0 k k 2019 2018 2 2 1 1 Vì 2017 0; nên 0 k k 2 2019 2018 2 2 2 2 2 2 Vậy 2017 k {0;1; 2;...; 2 1} Do đó có 2017 2 giá trị u k 2017 k 0;1; 2;; 2 1 1 với thỏa yêu cầu. 2019 2018 2 2 2
Câu 48 . Cho dãy số u u 1 u
u a n n , n thỏa mãn: 1 ; 2 * 1 . 3 n Biết rằng lim 2 2 2
u u ... u 2n b T ab 1 2 n
. Giá trị của biểu thức là? A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 Lời giải 2 2
Biến đổi giả thiết ta có 2 2 u
u a u a u a n n n 3 2 3 1 1 n 3 3 2 Đặt 2
v u 3a v v 1 3a q n n
thì n là cấp số nhân với 1 và công bội . 3 n1 n1 2 2 Do đó v a u v a a a n 13 2 n n 3 1 3 3 . 3 3 2 n 1 n 2 2 2 3 2
u u ... u n a n na a n a n 2 1 3
2 3 3 1 3 1 3 2 1 2 2 . 3 1 3
Mặt khác ta lại có lim 2 2 2
u u ... u 2n b 1 2 n n 2 a a a 2
lim 3 1 3 1 n3a 2 3 2 0 b , 3 b a 3 3 1 3 b 3
Vậy T ab 2 .
Câu 49. Cho 2 dãy cấp số cộng u u u u d v v v v n ; ;... n ; ;... 1 2 n có công sai 1 và 1 2 n có công sai
d2 . Gọi tổng của n số hạng đầu của mỗi cấp số theo thứ tự là u
S u u ... u 7n
T v v ... v 14n n n 27 n n 1 1 2 và 1 2
. Tính tỉ số của 11 v11 5 4 9 5 A. B. C. D. 3 3 4 4 Lời giải
n 2u n 1 d
n 2v n 1 d 1 1 Từ giả thiết, ta có 1 S 2 T n và 2 n 2
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 53
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ S
2u n 1 d n n 1 1 7 1 1 T v n d n n 2 1 4 27 1 2 . u u 10d 2u 20d 11 1 1 1 1 2 v v 10d 2v 20d 11 1 2 1 2 u 148 4
So sách (1) và (2) bằng cách đồng nhất 11
n 1 20 n 21 v 111 3 11
Câu 50. Cho dãy số a a 5, a q a n n . n 3
n xác định bởi 1 1 với mọi 1 , trong đó q là
hằng số, q 0 , q 1 . Biết công thức số hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng n1 n1 1 q a q n . . Tính 2 ? 1 q A. 13 B. 9 C. 11 D. 16 Lời giải 3 Ta có a
k q a k k kq 3 k n1 n 1 q
Đặt v a k 2 v q v q v n q v n . n . n ... . n n 1 1 1 n n n 3 Khi đó 1 1 v q v q a k q n . . 1 .5 1 1 1 q n1 n 3 n 3 3 q Vậy 1 1 n1 1
a v k q k q q n n .5 .5 5. 3. . 1 q 1 q 1 q 1 q
Do đó 5; 3 2 5 2.3 11 .
Câu 51. Cho cấp số nhân u , u , u ,.., u u i n 1 2 3 n ; trong đó i 0, 1, 2,..., . Biết rằng 1 1 1 1 1
S u u u ... u T ...
P u .u .u ....u n 2019 n n 2018 1 2 3 , và . u u u u 1 2 3 n 100 1 2 3 n
Hỏi số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn P là? A. 9295 B. 9296 C. 18592 D. 18591 Lời giải n u q 1 1
Ta có S u u u u 1 n ... n 2018 1 2 3 q 1 1 1 1 1 1 nq Và T 2 n ... 2019 n1 u u u u u q q n 1 1 2 3 1 Tn n 2018
Từ 1 và 2 suy ra 2 1 u q 1 S 2019 n n n n1 n 2 n n n 2018
Ta có Q u u u u u u q u q u q u q u q n . . .... n . . . 2 . .... 1 . 2 1 2 2 1 2 3 1 1 1 1 1 1 2019
54 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN n 2 2018 1 1 Theo đề n 2 log 18591,1 n 18592 2018 min 2019 100 100 2019 4
Câu 52. Gọi q là công bội của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng 16 , đồng 9
thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng . Hỏi
q thuộc khoảng nào sau đây?
A. q 3; 4
B. q 1; 2
C. q 2; 3
D. q 0;1 Lời giải
Gọi : u , u , u v 1 2
3 là 3 số hạng đầu tiên của cấp số nhân , với công bội q . Gọi n là cấp số
cộng tương ứng với công sai là d . Theo giả thiết ta có : 4 2 4
u u u 16
u u q u q 1 2 3 16 1 1 1 1 9 9 u v 1 1
u q u 3d 2 1 1
u v v 3 d 2 2 4 1
u q u 7d 3 1 1
u v v 7d 3 8 1
Khử d từ (2) và (3) ta được : u 2
3q 7q 4 0 4 1 . q 1 4 Do (1) nên : u 0 4 q q 1 4 . Theo định nghĩa thì 1 , do vậy q 3 3 n
Câu 53. Cho dãy số u u n n như sau: n ,
1 , 2 ,... Tính giới hạn của tổng 2 4 1 n n
lim u u ... u 1 2 n . x 1 1 1 A. D. 4 B. 1. C. 2 3 Lời giải n n 1 1 1 Ta có u n
1 n 2 n
2n n1 2 2 2 n n 1 2 2
2 n n 1 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ta có u u ... u n 1 ... 1 2 2 2 2 3 3 7 7 13 13 21 n n 1 n n 1 1 2 1 1 1 n 1 n 1 n 1 1
lim u u ... u n lim 1 2 . 2 2 2
n n 1 2 n n 1 2 1 1 2 1 2 n n x 10 khi x 2018
Câu 54. Cho hàm số f x
. Tính giá trị f 1 f 2018 .
f f x 11 khi x 2018 A. 1999 B. 2009 C. 4018 D. 4036 Lời giải Ta có
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 55
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ
f 2018 f f 2018 11 f f 2029 2019 10 2009
f 2017 f f 2017 11 f f 2028 f 2018 2009 ...
f 2009 f f 2009 11 f f 2020 f 2010 2009
f 2008 f f 2008 11 f f 2019 f 2009 2009
f 2007 f f 2007 11 f f 2018 f 2009 2009 ...
f 1 f f 1 11 f f 12 2009
Do đó ta có f 2018 f 2018 ... f 1 2009 f 1 f 2018 4018
Câu 55. Cho dãy u 2u 1 u u 2 25.2 15.2
5.2u 15.2u 4 0 u u n n 8. n thỏa mãn 5 1 5 5 1 và 1
Giá trị nhỏ nhất của n để u n 2019. A. 512. B. 258. C. 511. D. 257. Lời giải Từ u u u
d 8 u u 8 n 1 u u n 32 n n 8. 1
n là CSC công sai 1 5 1
Thay vào giả thiết ta được: u u 2 32 1 32 2 5.2 3 2 5.2 3 1 2 4 0 u 1 33 1 33
Có dạng phương trình bậc 2 suy ra: 32 5.2 3 1 2 u log 1 2 4 4 32 5.2 3 u u u 8n 1 2019 1 2019 n 1 257,63 n n 258 1 min 8
Câu 56. Cho một cấp số cộng : u , u , u , u
u u u u 6 1 2 3 4 thỏa 1 4 2 3
. Tìm tập xác định D của
hàm f x x u x u x u x u 9 1 2 3 4
A. D ;6
B. D 6; C. D D. D 6 ;6 Lời giải
Theo tính chất của cấp số cộng , ta có : u u u u 1 4 2 3
Do đó x u x u x u x u 2
x u u 2
x u u x u u x u u * 1 2 3 4 1 4 1 4 2 3 2 3 Đặt 2
t x u u 2
x x u u x 1 4 2 3 , khi đó :
* f t t u u t u u 2
9 t u u u u t u u u u 9 1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 2 2
Với : u u u u
4u u u u 36 u u u u t 36 1 4 1 3 1 2 3 4 1 4 2 3 .
Rõ ràng u u u u 6 f t t f x t 0 0, 1 4 2 3
có nghĩa với mọi x
56 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 2 2 2 1 1 n 1
Câu 57. Biết tổng 2 S n 2 2 ... 2
. Giá trị nhỏ nhất của n để 2 2 2 2n 99 3 2n4n S n n , * 4n A. 41 B. 40 C. 51 D. 50 Lời giải 1 1 n 1 Ta có 2 4 2 S 2 2 n 2 2 ... 2 2 2 4 2 2 2 2 n 2 4 2 n 1 1 1 2 2 .. 2 2n .. 2 4 2 2 2 2 n n q 1
Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân : S u n 1 : q 1 1 n n 1 4 1 1 n n 4 4 1 1 4 1 S n n n 4. 2 . 2 3 4 1 3.4n 1 4 Theo đề bài ta có:
4n 1 n1 4 1 99 3 2n4n 2n n n n n
4n 1 n1 4 1 100 3 39,124... 40 min 3.4 4
Câu 58. Cho dãy (x x 5, x
x n n n 2, 1 n ) thỏa mãn 2 1 1 . Tính giá trị của 1 1 1 M lim ........ x x x x x ...x 1 1 2 1 2 n 5 21 5 21 3 31 3 15 A. M B. M C. M D. M 2 2 3 3 Lời giải
Đầu tiên dễ thấy x n 2 2 Ta có 2 x x
x x x x x x x n 2n 2 2 2 n 4 n 2n
4 ... . .... n 2 4 1 1 1 2 1 x x n 4 n 4 1 1 x x x x x x x x x n 21 lim lim 21 21 . .... . .... . .... x x x n n . .... 1 2 2 1 2 n2 1 2 1 2 2 x x x n n 2 n 2 1 1 1 Lại có 1
... x 2 ........ 1 x x ...x x x x x x x x x x x x x x x n ... n ... n ... n ... 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 n 1 1 1 1 x n1 ........ x 1 x x x x x ...x x x x n 2 ... 1 1 2 1 2 1 2 n 1 1 1 1 x n 5 21 1 lim ........ 5 lim x x x x x ...x x x x n 2 ... n 2 1 1 2 1 2 1 2
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 57
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 1
Câu 59. Cho hàm số y f x ln 1 . Biết rằng : 2 x
f 2 f 3 ... f 2018 ln a ln b ln c ln d
trong đó a, c, d là các số nguyên tố và a b c d . Tính P a b c d A. 1986 B. 1698 C. 1689 D. 1989 Lời giải 2 x 1 Ta có y ln
ln x 1 ln x 1 2 ln x 2 x Khi đó:
f 2 ln 1 ln 3 2 ln 2
f 3 ln 2 ln 4 2 ln 3
f 4 ln 3 ln 5 2 ln 4 ..........
f 2017 ln 2016 ln 2018 2 ln 2017
f 2018 ln 2017 ln 2019 2 ln 2018
f 2 f 3 f 4 ... f 2017 f 2018
ln 2 ln 2018 ln 2019 ln 3 ln 4 ln 673 ln 1019
Câu 60. Cho dãy số u
log u 2 log u 2 log u 2 log u u u n 2 n thỏa mãn 1 1 10 10 và 1 n với
mọi n 1 . Giá trị nhỏ nhất để 100 u 5 n bằng A. 247 B. 248 C. 229 D. 290 Lời giải Vì u u u q n 2 1
n nên dễ thấy dãy số n là cấp số nhân có công bội 2 . Ta có 9 9
u u .q 2 .u
log u 2 log u 2 log u 2 log u 10 1 1 . Xét 1 1 10 10
log u 2 log 9
2 .u 2 log u 2log 9 2 .u 0 1 1 1 1
log u 18log 2 2 log u 2 log u 18log 2 2 log u 0 1 1 1 1
log u 18log 2 2 log u 18log 2 0 1 1
Đặt 2 log u 18 log 2 t t 0 1
. Phương trình trên trở thành t 1 2 2
t 2 t 0 t t 2 0 t 2 L 5
Với t 1 2 log u 18log 2 1 2 log u 18log 2 1 u 1 1 1 17 2 5
Trong trường hợp này ta có: n1 100 n18 99 u n n .2 5 2 5 99log 5 18 17 2 2 Mà * n
nên giá trị nhỏ nhất trong trường hợp này là n 248 .
58 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN Chọn ý B.
Câu 61. Cho dãy số u
ln u ln u ln u 1 u u n u n n .e 1 n thỏa mãn 2 6 8 4 và 1 . Tìm 1 A. e B. 2 e C. 3 e D. 4 e Lời giải
Từ giả thiết suy ra dãy số u u n
n là cấp số nhân với công bội e và n 0 1 . Ta có 5 7 3
u u .e ;u u .e ;u u .e 6 1 8 1 4 1 . Do đó ta có: 2 2
ln u ln u ln u 1 ln 5 u .e ln 7 u .e ln 3 u .e 1 6 8 4 1 1 1
ln u 52 ln u 7 ln u 3 1 ln u 2 8 ln u 16 0 1 1 1 1 1 4 ln u 4 u e 1 1 Chọn ý D.
Câu 62. Cho dãy số u u u 4u 4 e 5 e e e u u u n n n 3 n thỏa mãn 18 18 1 1 và 1 với mọi 1 .
Giá trị lớn nhất của n để log u n ln 2018 3 bằng? A. 1419 B. 1418 C. 1420 D. 1417 Lời giải Ta có u u n u d n n 3 1 với mọi
1 nên n là cấp số cộng có công sai 3 1 u 8 1 u 8 4 1 u 4 1 u 1 u 8 4 1 u 4 1 u 1 u 8 e 5 e e e 5 e e e e 1 Đặt 18 u 4 1 e e u t
t 0 Phương trình 1 trở thành
5 t t t 5 t 0 t t 5 0 t 0 t 0 Với t 0 ta có 18 u 4 1
e e u u 4u u 51 4u u 17 18 1 1 1 1
Vậy u u n 1 d 17 n 1 3 3n n 14 1 ln 2018 3 14 Khi đó ta được ln 2018 ln 2018
log u ln 2018 u 3 3n 14 3 n n n 1419,98 3 3
Vậy giá trị lớn nhất của n là 1419 . Chọn ý A. a a 3
Câu 63. Cho dãy số a a 1
5 n n 1 n n thỏa mãn 1 và 1 , với mọi 1 . Tìm số 3n 2
nguyên dương n 1 nhỏ nhất để an là một số nguyên. A. n 123 B. n 41 C. n 39 D. n 49 Lời giải n a a n a a 3 3 5 3 5
Từ giả thiết ta có n1 5 n 1 n1 5 n a a n n log 3n 2 3n 2 1 5 3n 2 Từ đó suy ra
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 59
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 3n 2 3n 1 3n 2 a a a n n log n log log 1 5 2 5 5 3n 1 3n 4 3n 1 ... 8 11 3n 1 3n 2 a log log ... log log 1 5 5 5 5 5 8 3n 4 3n 1
8 11 3n 1 3n 2 3n 2 1 log . ... . 1 log log 3n 2 5 5 5 5 8
3n 4 3n 1 5
Do đó a log 3n n
a log 3n 2 log 5 a n 1 n 2 5 . Vì 1 nên 5 5
, đồng thời dễ thấy n 5 na 2
là dãy tăng. Lại có a n n n log 3 2 5 . 3
Lần lượt thử các giá trị a a n
2; 3; 4;... ta có n 3 là giá trị nguyên, lớn hơn 1, nhỏ nhất, cho
giá trị tương ứng n 41 . Vậy n 41 . Chọn ý B. 2 9 u 9 u 1 u 9 u 1 u 2 1
4e 2e 4e e u e 3
Câu 64. Cho dãy số un thỏa mãn
. Giá trị nhỏ nhất của * u
u n n n 3, 1 số n để u n 1 ? A. 725 B. 682 C. 681 D. 754 Lời giải
Từ giả thiết ta suy ra u
d 3 u u 24
n là CSC có công sai 9 1 .
Biến đổi giả thiết tương đương 2 9 u 9 u 1 u 9 u 1 u 2 1 4e 2e 4e e u e 3 2 1 u 48 1 u 24 2 1 u 24 1 u 2 1 4e 2e 4e e u e 3 0 24 2e 1 2 2 1 u e 24 2e 1 2 1u e 3 0 u 24 2e 1 2 1 13 1 13 1 e u ln 1 2 2 24 2e 1
Ta có u u 3 n 1 2018 n 681 n n 682 1 Chọn ý B.
Câu 65. Cho dãy số u u 1
n có số hạng đầu tiên 1
thỏa mãn đẳng thức sau : 2 log 5u 2 log 7u 2 2 log 5 log 7 u u n n 7 2 1 2 1 2 2 và 1 n với mọi
1 . Giá trị nhỏ nhất của n để u n 1111111 bằng? A. 11 B. 8 C. 9 D. 10 Lời giải Vì u u u q n 7 1
n nên dễ thấy dãy số n là cấp số nhân có công bội 7 .
Biến đổi giả thiết tương đương
60 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 2 log 5u 2 log 7u 2 2 log 5 log 7 2 1 2 1 2 2
log 5 log u 2 log 7 log u 2 2 2 log 5 log 7 2 2 1 2 2 1 2 2 2
2 log 5.log u 2 log u 2 log 7.log u 0 2 2 1 2 1 2 2 1 log u 0 u 1 L 2 1 1 1 u 1
2 log 5 2 log u 2 log 7 0 log 35u 0 35 2 2 1 2 2 1 1 Ta có 1 u u .7 n u n1 .7 1111111 n1 7 35.1111111 n 1 . n 1111111 35
n log 35.1111111 1 n 7 . Mà *
nên giá trị nhỏ nhất trong trương hợp này là n 10 . Chọn ý D.
Câu 66. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn 0; 2018 sao cho ba số x1 1 a 5
5 x ; ; 25x 25
x theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng? 2 A. 2008 B. 2006 C. 2018 D. 2007 Lời giải a Ba số x1 1 5 5 x ; ; 25x 25
x , theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi 2 x1 1 5
5 x 25x 25 x a x1 1 2 5
5 x 2 25x 25 x 12 . x1 1 5 5 x
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 0 .
25x 25x
Như vậy nếu xét a 0; 2018 thì ta nhận a 12; 2018 . Có 2007 số a thoả đề. Chọn ý D. u u 8
Câu 67. Cho dãy số u 2 1 3 2 2 u u n 2 n thỏa mãn 1 2 và với 1 1 n 2 log u 4u 4 3 3 1 4
mọi n 1 . Giá trị nhỏ nhất của n để S u u ... u 100 5 n 1 2 n bằng A. 230 B. 231 C. 233 D. 234 Lời giải
Theo giả thiết ta có u u u q n 2 1
n nên n là một cấp số nhân với công bội 2 . Suy ra 1 u u .2 n n n n 1 với mọi * , 2 . Ta lại có : 2u u 8 u 8 8 1 1 3 2 2 2 1 2.4 1 1 1 u 2 4 1 log u 4u 4 2 log u u 4 3 3 1 4 3 3 3 4 u 8 8 8 Mà 1 2.4 8 và 8 1 4u 1 2 2 log u u 4 1 3 3 3 4 log u 1 3 3 3 2
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 61
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ u 8 1 2.4 8 1 4u 1
Nên phương trình 1 tương đương 8 u 1 8 2 1 2 log u u 4 3 3 3 4 1 2n 2n 1
Khi đó S u u ... u u n 1 2 n 1 1 2 2 n 2n 1 Do đó, 100 S 5 2 1 100 5 log 100 n 233 n 2 5 2 Chọn ý D.
Câu 68. Cho dãy số u
log 2u 63 2 log u 8n n n 8 n thỏa mãn 3 5 4 , * . u .S n n 148
Đặt S u u ... u n 1 2
n . Tìm số nguyên dương lớn nhất n thỏa mãn 2 . u .S 75 2n n A. 18 B. 17 C. 16 D. 19 Lời giải Ta có * n
, log 2u 63 2 log u 8n
log 2u 63 log u 8n n 8 3 5 2 n 8 3 5 4 .
2u 63 3t
2u 63 3t
Đặt t log 2u 63 5
1 3t 2.2t t 2 3 5 5 u 8n 8 2t u 32 2t n 5 u 8n 2
S u u ... u n n n 4 n 4 1 2 u S n n n . 8 4 2 .16 n 148 Do đó 2 n 19 . u S n n n . n 16 4 2 .4 75 2 Chọn ý A. 1 1 1 m 2 2 x x
Câu 69. Cho hàm số f x 1 e
. Biết 1. 2. 3... 2017 e n f f f f
m, n với
m là phân số tối giản. Tính 2
P m n . n A. 2018 B. 2018 C. 1 D. 1 Lời giải
Biến đổi giả thiết ta có 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 f x 2 x x12 e x x1 xx1 e 1 1 e x x x x 1 e x x x x1 e x x1 e.e . Do đó ta được: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 f 1 2 1 e.e ; f 2 3 2 e.e ; f 3 4 3 e.e ;<; f 2016 2017 2016 e.e ; f 2017 2018 2017 e.e . 1 2017 2 2018 1 1 2017
f 1. f 2. f 3... f 2017 2017 2018 e .e 2018 e 2018 e 2
m 2018 1 , n 2018 . Vậy P 1 . Chọn ý D.
62 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 70. Cho cấp số cộng un có tất cả các số hạng đều dương thoả mãn điều kiện
u u ... u
4 u u ... u 1 2 2018 1 2
1009 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2
P log u log u log u 3 2 3 5 3 14 . A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 Lời giải 2018 1009 Ta có S 2u 2017d S 2u 1008d 2018 1 , 1009 1 . 2 2
Theo giả thiết, ta có u u ... u
4 u u ... u 1 2 2018 1 2 1009 2018 1009
2u 2017d 4.
2u 1008d 2 2017 2 2 1008 d u d u d u 1 1 1 1 2 2 1 2 d 3d 5d
Dãy số un : , , , ... 2 2 2 3d 9d 27d Ta có 2 2 2
P log u log u log u 2 2 2 log log log 3 2 3 5 3 14 3 3 3 2 2 2 2 2 2 d d d 1 log 2 log 3 log 3 3 3 . 2 2 2 d 2 2 2 Đặt log x 2
P 1 x 2 x 3 x 3x 12x 14 2 3 thì 2 2
Dấu bằng xảy ra khi x 2
d . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2. 9
Câu 71. Cho cấp số cộng a b a a 0 b b 1
n , cấp số nhân n thỏa mãn 2 1 và 2 1 ; và hàm số f x 3
x 3x sao cho f a 2 f a
f log b 2 f log b 2 1 và 2 2 2 1. Số nguyên
dương n nhỏ nhất và lớn hơn 1 sao cho b a n 2018 n là A. 16 B. 15 C. 17 D. 18 Lời giải
Hàm số f x 3
x 3x có bảng biến thiên như sau x 1 1 y ' 0 0 y 2 2
f a 2 f a
f a f a 2 1 2 1 Theo giả thiết a a 0 a a 0 2 1 2 1
0 a a 1 Từ đó suy ra 1 2
, hơn nữa f x 2 0x 0 . Ta xét các trường hợp 0 a 1 a 1 2
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 63
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ
f a 2 0 f a 2 a 2 2 1
Nếu 0 a a 1 2 1 2 thì . f a 0 f a 0 a 0 1 1 1
f a 2 0 2
Nếu 0 a 1 a 1 2 thì
điều này là không thể.
f a 0 1
Do đó chỉ xảy ra trường hợp a 0; a 1 1 2 .
Từ đó suy ra a n 1n b b 1
log b log b 0 n 1 . Tương tự vì 2 1 nên 2 2 2 1 , suy ra log b 1 b 1 2 2 2 n1 b n n 2 1. log a 0 b 1 2 1 1
Xét hàm số 2x g x
2018x trên nữa khoảng 0;, ta có bảng biến thiên 2018 x log2 ln 2 g'x 0 g x 1 2018 g log2 ln 2 2018 g log 0 2 ln 2 2018 log 11 2 ln 2
Ta có g12 20120
nên số nguyên dương nhỏ nhất n thỏa g n 1 0 g 13 18042 g14 11868
g15 2498 0
là n 1 15 n 16 . Chọn ý A.
Câu 72. Cho cấp số nhân b b b 1
f x x x n thỏa mãn 2 1 và hàm số 3 3 sao cho
f log b 2 f log b b 2 2
2 1. Giá trị nhỏ nhất của n để 100 5 n bằng A. 234 B. 229 C. 333 D. 292 Lời giải
Xét hàm số f x 3 x 3x . Có f x 2
3x 3, f x 0 x 1 .
Ta có bảng biến thiên sau
64 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN x 1 1 y ' 0 0 y 2 2
Mặt khác, ta có b b 1
a log b log b b 0
a a b b 1 1 2 . Đặt 2 2 2 1 . Ta có: 3 3 3 2 3 .
Nếu b 1 a b 1 3 3
a 3a b 3b 1 vô nghiệm. 2 Nếu 0 b 1 3
2 b 3b 0 3
a 3a 2 0 a 1 a 2 0. 0 b 2 1
Suy ra a 1 b 0 . Khi đó 1 n1 100 b 2
5 n 1 100log 5 n 234 . 1 b n 2 2 2 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của n là 234 . Chọn ý A. 2 1 1 4 2 u 7 6 1 u 6
log u u u e e 3 1 1 3 1 4 8
Câu 73. Cho dãy số u 3 n thỏa mãn 3 n 4 * u u n n n , 1 2 2
n 3n 2 n 2018 3 1 2
Giá trị lớn nhất của số n để u n n 1 A. 3472 B. 3245 C. 3665 D. 3453 Lời giải 3 3 2 3 3 3
Biến đổi giả thiết ta có u u u u n1 n n1 2 n 1 n 2
n 2 2 n n 1 3 3 3
Đặt v u v v v q n n n1 n
n là CSN với công bội . n 1 2 2 n1 n1 n1 3 3 3 3 3 3 Khi đó v v u u u n 1 1 n 1 2 2 2 n 1 2 2 33 9 13 3 Ta có u u ,u u 3 1 2
1 , thay vào giả thiết ta được 8 4 4 2 log 2 u 2u 4 u u e e 3 1 1 1 6 6 1 6 1 6 3
Theo bất đẳng thức AM – GM ta có 66 1 u 6 1 u 6 66 1 u 6 1 u 6 e e 3 2 e .e 3 1 2
Mặt khác ta cũng có log 2
u 2u 4 log u 1 3 1 1 1 1 1 1 3 3 n1 3 1 3
Do đó VT VP , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u 1 u 1 n n 1 2 2
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 65
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ n 2018 n1 3 1 3 n 2018 3 1 2 3 1 2 Để u n n 3453 n 1 n 1 2 2 n 1 Chọn ý D.
f 1. f 3... f 2n 1
Câu 74. Cho f n n n 2 2 *
1 1 n N . Đặt u n .
f 2. f 4... f 2n 10239
Tìm số n nguyên dương nhỏ nhất sao cho u log u u
n thỏa mãn điều kiện 2 n n . 1024 A. n 23 B. n 29 C. n 21 D. n 33
THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam lần 1 năm học 2017 – 2018 Lời giải
Từ giả thiết ta có f n n n 2 2
1 1 n n 2 2 1 1 1 .
1 12 13 14 1...2n12 2 2 2 2 2 1 4n 1 Khi đó ta có u n
2 13 14 15 1...4n 1 2n 12 2 2 2 2 2 1 2 1 2n 12 1 2 2n 2n 1 10239 1 10239
Theo đề bài ta có log u u log 2
2n 2n 1 0 2 2 n n . 1024 2 2n 2n 1 1024 1 10239
Xét hàm số g n log 2
2n 2n 1 n 2 với 1 . 2 2n 2n 1 1024 4n 2 4n 2
Ta có gn
0 với n 1 g n nghịch biến. 2
2n 2n 1ln 2 2
2n 2n 12 1 2047 1 10239 Mà g 0 2
nên log 2n 2n 1 0 2 2 2 2n 2n 1 1024 1 2047 n
. Do n nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn nên n 23 2 Chọn ý A.
Câu 75. Cho biểu thức A log 2017 log 2016 log 2015 log ... log 3 log 2...
Biểu thức A có giá trị thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. log 2017;log 2018
B. log 2019; log 2020
C. log 2018;log 2019
D. log 2020;log 2021 Lời giải
Đặt A log 2017 log2016 log2015 log... log 3 log
2 .. . A n A n n n1 Ta có
66 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
0 log 2 1 0 A 1 2
0 log 3 A log 3 A log 4 1 3 2 ...
0 log 9 A log 9 A log 10 1 9 8
1 log 10 A log 10 A log 11 2 10 9
1 log 12 A log 11 A log 13 2 11 10 ...
2 log 999 A log 997 A log 1000 3 997 996
3 log 1000 A log 998 A log 1001 4 998 997
3 log 1002 A log 999 A log 1003 4 999 998 ...
3 log 2020 A log 2017 A log 2021 4 2017 2016 Vậy A log 2020;log 2021 2017
Câu 76. Cho dãy số u 2 2
u ln 2n 1 ln n n 1 ,n 1
n xác định bởi n . Tìm số
nguyên n lớn nhất sao cho u u 2 a n n
. Biết kí hiệu phần nguyên của số a là số tự 3
nhiên nhỏ nhất không vượt quá a. A. 37 B. 36 C. 38 D. 40 Lời giải 2 2n 1 Ta có u u n ln 0;ln 2 n 0 2 n n 1 n n u u u e n n n 2 2 2 2 2 1 2 2 1 3 2 n ln 37.462 2 2 3 3
n n 1 3 n n 1 Chọn ý A.
Câu 77. Cho dãy số u u u n 2
n có tất cả số hạng đều dương thỏa mãn 1 n và đồng thời 2 2 2 2 4
u u ... u u u n u n n n 1 , 1 1 2 1 2
. Số tự nhiên n nhỏ nhất để 100 5 là? 3 n A. 232 B. 233 C. 234 D. 235 Lời giải Ta có n 1 u u u u n n n 2 n n 2 1
1 , đẳng thức đúng với mọi 1 nên đúng với 1 nên 2 2 4 2 2 4
u u u 1 u 4u 4u 1 1 2 3 1 1 1 3 3 2 4 4 1
u 2u 1 u 1 u 1 1 1 1 3 3 3 n1 2 Do đó 100 n1 100 u n n 5 2
3.5 log 3 100log 5 233 2 2 . 3 Chọn ý C.
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 67
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ
Câu 78. Cho dãy số u 2 2
ln u u 10 ln 2u 6u n thỏa mãn 1 2 1 2 và đồng thời u
u u n u n n 2 n 1, 1 2 1
. Giá trị nhỏ nhất của n để n 5050 A. 100 B. 99 C. 101 D. 102 Lời giải
Biến đổi giả thiết ta có u ln 1 2 2
u u 10 ln 2u 6u u 1 u 3 0 1 2 1 2 1 2 2 2 1 u 3 2 Mặt khác ta có u
u u u u u u n n 2 n 1 n n n n 1 2 1 2 1 1 . Đặt v u u v v v d n n n n n 1 1 1
n là CSC có công sai 1 u u 2 2 1 u u 3 n n n 1 3 2
Khi đó v n u u n u u i n 1 n n n 1 1 1 ................... i 2 2 u u n n n1 nn 1 Vậy để u 5050 n 100 n 5050 2 Chọn ý C. 391 1 39 log u log u 2 2 1 40 4 4
Câu 79. Cho dãy số un thỏa mãn 2 n 1u . n 1 2 n * u n n n n n 1 , 2 2 1 100 2 5 n 1
Giá trị nhỏ nhất của n để u n . 100 5 3 n n A. 235 B. 255 C. 233 D. 241 Lời giải 2 2 2 Ta có 2
n n 2
n n 2 n 2 n 2 1 1 1 2 1 1
n 1 n 1 1
Biến đổi giả thiết tương đương 2n n
n 12 2 2 2 n 1 nu n u n u n 2 1 1 n 2 1 1 n
n 1 n 12 1
1 n 1 n12 2 2 1 nu n u n u nu n 1 2 1 1 1 2 1 n 1 1 2 2 n 1 n n n 1 1 1 n 12 2 1 2 n 1 1 1 1
Đặt v nu v v v q n n là CSN có công bội 2 n1 n n n 1 2 2 n1 n1 1 1 1 1 1 1 Từ đó suy ra v v u u u n 1 1 n 3 n1 1 2 2 2 n n 2 n 2
68 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 1 1 Thay u u 2
1 vào giả thiết ta được 40 4 1 39 1 39 1 1 log u log u
2 u 1 u 1 1 1 3 4 4 4 4 n
n n 2nn 100 2 5 n 1 Để u n n n 100log 5 233 100 5 3 n n 2 Chọn ý C. 4
Câu 80. Gọi q là công bội của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng 16 , đồng 9
thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng . Hỏi
q thuộc khoảng nào sau đây?
A. q 3; 4
B. q 1; 2
C. q 2; 3
D. q 0;1 Lời giải
Gọi : u , u , u v 1 2
3 là 3 số hạng đầu tiên của cấp số nhân , với công bội q . Gọi n là cấp số
cộng tương ứng với công sai là d . Theo giả thiết ta có : 4 2 4
u u u 16
u u q u q 1 2 3 16 1 1 1 1 9 9 u v 1 1
u q u 3d 2 1 1
u v v 3 d 2 2 4 1
u q u 7d 3 1 1
u v v 7d 3 8 1
Khử d từ (2) và (3) ta được : u 2
3q 7q 4 0 4 1 . q 1 4 Do (1) nên : u 0 4 q q 1 4 . Theo định nghĩa thì 1 , do vậy q 3 3 I Câu 81. Cho 2 I sin n xdx n n
với n nguyên dương. Tính 2 lim . 0 In A. 1 B. 1 C. 2 D. Lời giải Xét n2 n1 2 2 I xdx x xdx n sin sin .sin 2 0 0 n1 u sin x
du n 1sinn x.cosxdx Đặt dv sin xdx v cos x n1 2 2 I x x x n n x xdx n cos .sin cos . 1 sin .cos 2 0 0 I n n x xdx n n x x dx n 0 1 2 sin .cos 1 sin . 2 2 2 1 sin 2 0 0 I n n xdx n n xdx n I n I n 1 sin 1 2 2 2 sin 1 . n 1 . 2 n2 0 0
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 69
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ I n n 1 n 2.I n I 2 n 1 . 2 n I n 2 n I n n 1 2 lim lim 1. I n 2 n Chọn ý B. 1 n I
Câu 82. Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu 2 I x x x n n 2 1 d . Tính 1 lim . n I 0 n A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 Lời giải
Cách 1. Tự luận d u dx 1 u x n n1 Xét 2 I x x x 2 1 x n 2 1 d . Đặt . v x 2 d 1 n x dx v 0 2 n 1 x n 1 x 1 1 2 1 1 I x x x x n 1 n1 1 n 1 d 1 1 2 2 n n d 1 2 1 2 n 1 0 0 0 1 1 1 1 n n 1 I x x x I x x x x x n 1 d 1 d 1 1 1 2 2 2 n n 1 1 1 2 2 d 1 2n 2 2n 2 0 0 0 1 I n I n 2 1 I
n I I 1 n1 lim 1 n 2 1 1 . 2n 2 n n1 I 2n 5 n I n n
Cách 2. Trắc nghiệm Ta thấy 2 0
1 x 1 với mọi x 0;1 , nên 1 I x x x x x x x x x x I n n n n 1 1 d 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 d 2 1 d 1 n , 0 0 0 I I
Suy ra n1 1 , nên n1 lim
1. Dựa vào các đáp án, ta chọn A. I I n n Chọn ý A.
x 12n 2 2x 1 2 1 2x 1 I Câu 83. Đặt I dx n lim . n n Tính n n n x 1 . 2 1 x 1 1 0 2 2 I n1 1 3 A. 1 B. C. 1 D. 2 2 Lời giải
2x 1 x 12 2 2 1 2x 1 1
Ta có bước biến đổi sau I . . n n dx n 2 x 1 x x x 2 2 2 0 2 1 1 1
70 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
2x 1 x 12 2 2 x 1 2 1 1 2x 1 2 xdx n . dx n . 2 x 1 2x 2 2 0 0 x 1 1 2x 12 2 2x 1 2xdx
Đến lúc này ta sẽ đổi biến. Đặt u du 2 x 1 2x 1 3 n 2 1 n1 3 3 1 n u n n 3 n 2 2 I udu n u du n . 1 1 1 n 1 n 1 2 n 1 n1 n 3 . n 1 n 1 2 I I n lim n 1 n2 I I n1 n n n 1 1 3 1 . 1 n 2 2 Chọn ý A. n x n x
Câu 84. Ta đặt F x dx F n lim F 2 n 1 0 n . Biết . Tính . n1 x n n A. 1 B. C. 1 D. Lời giải n 1 1 n x n n 1 n n 1 1 n1 x x x x Ta có F x dx dx dx n n n 1 1 n x x x 1 1 n dx du Đặt u 1 du dx n1 n n x x x 1 n n1 n n u u F x G u du C n n 1 . 1 n 1 n n 1 n n1 F x n 1 n C F n C n n 1 0 0 n . 1 . Mà 2 n1 1 n x n lim 2
n 1 n n1 1 F n 1 n lim 1 F n 1
lim n 2 n 2 1 . Có 2 n1 1 n 2 1 n 2 n n 1 lim 1 n n Chọn ý D.
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 71
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 1 enx
Câu 85. Cho tích phân I x n n d với . 1 ex 0
Đặt u 1.I I 2 I I 3 I I ... n I I n u L n 1 2 2 3 3 4
n n1 . Biết lim n . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. L 1 ;0 B. L 2 ; 1
C. L 0;1
D. L 1; 2 Lời giải Với n
, biến đổi giả thiết ta có 1 n1 e x 1 enx.ex 1 1 nx 1 nx e I x dx e dx dx e dx I n d 1 nx 1 ex 1 ex 1 ex n 0 0 0 0 0 1 1 I e x I I n d I n n 1 e 1 nx n n 1 n 0 Do đó u 1 2 3 1 e 1 e 1 e ... 1 e n n 1 2 3 un e e e ... e n n 1 Ta thấy u u e q
n là tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân lùi vô hạn với 1 1 và , e 1 e 1 nên lim u L L 1 ;0 n 1 . 1 e 1 e Chọn ý A.
Câu 86. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương n thỏa mãn tích phân 2 2 2 3 1 1 2 3 4 ... 2 n n x x x nx dx 0 A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 Lời giải
Biến đổi giả thiết ta có: 2 2 2 3 1 1 2 3 4 ... d 2 n n x x x nx x ... n x n x x x x x 2 2 2 3 4 2 0 0 2 2 3 4
2 2 2 2 2 ... 2n n 2 2 n1 2 1 2 2 ... 2 n 1 n 2 n 2
2 1 n 1 2 n 2 0 .
Thử với các giá trị n 1; 2; 3; 4 đều không thỏa mãn.
Với n , n 5 ta chứng minh n 2
2 n 2 1 . Dễ thấy n 5 thì 1 đúng.
Giả sử 1 đúng với n k với k , k 5 . Khi đó k 2 2 k 2 .
Khi đó: k1 2 k 2 2 2 2
2 k k 2 2 k k k 2 2 2 1 2 1 2 .
Do đó 1 đúng với n k 1 . Theo nguyên lý quy nạp thì 1 đúng.
Vậy không tồn tại số nguyên n . Chọn ý C.
72 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 87. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện 1
f 2018x 2017 2018 f x ,x 2 . Tính tích phân f x dx ? 0 4 5 7 8
A. f 1 2
B. f 1 2
C. f 1 2
D. f 1 2 3 3 3 3 Lời giải
Xét biểu thức f 2018x 2017 2018 f x . Lấy đạo hàm 2 vế ta được
2018 f '2018x 2017 2018 f 'x x 2017 2018 1 2 2018
x 2018 1
Thay x bởi 2018x 2017 , ta được f 'x f ' f ' 2 2018 2018
Thay đến n lần và bằng quy nạp ta chứng minh được n f x
x 2018 1 x 1 ' f ' f n ' 1 2018 2018n 2018n
Khi n f 'x f ' 1
f x f ' 1
x C * Thay x 1 f 1
2018 f 1 f 1 0 Thay x 1
* : f 1
f ' 1
C 0 f ' 1 C 1 2 7 2
Vậy f x f ' 1
x 1
f x dx f 1 0 3 Chọn ý C.
Câu 88. Cho I tan xd n x n
I I 2 I I ... I I I n với . Khi đó 0 1 2 3 8 9 10 bằng? 9 tan xr tanxr1 9 10 tan xr tanxr1 10 A. C B. C C. C D. C r r r r r1 r 1 1 r1 r 1 1 Lời giải
Biến đổi tích phân ban đầu ta có n1 2 2 1 tan x I tan . x tan d x x n 2 tan . n x 1dx I C n 2 cos x n2 n 1 n1 2 tan x tan . x tan x dx n I I I C n2 n n2 . n 1
Khi đó I I 2 I I ... I I I
I I I I ... I I I I 0 1 2 3 8 9 10 = 10 8 9 7 3 1 2 0 9 8 2 tan x tan x tan 9 x tan x ....
tan x C r C . 9 8 2 r1 r
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 73
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 6 2 U U
Câu 89. Cho dãy số xác định bởi 1 4 , *
n 1,n N . S= lim n có giá trị là ? n 2 U U n 2. n 1 1 1 1 A. 1 B. C. 0 D. 2 4 Lời giải
Đây là một bài toán lượng giác hoá quen thuộc, với ý tưởng gợi mở từ công thức biến đổi hạ bậc 2
cos 2 x 2 cos x 1 6 2 U cos 1 4 12 2 2
U 2.U 1 2.cos 1 cos 2. Nhận thấy 2 1 12 12 .... n 2 1 U U n 2. n 1 cos 2 1 12 n 1 cos 2 U 1 U n 1 Lại có 12 0
và lim 0 lim n 0 n n n n n 1 U 1 2
Câu 90. Cho dãy số U ,n 1 n xác định bởi 2 U n U n n n 1 2 U n1 n 1 1 1 1 Khi đó S lim
thuộc khoảng nào sau đây? U U U U 1 2 3 n
A. 3; 1
B. 1; 2
C. 1; 2 D. 1; 1 Lời giải
Đây là một bài toán khá khó. Với những dạng toán nhưng này, hướng biến đổi nằm ở câu 1
hỏi, tức là ta phải tìm cách đưa dãy về dạng Uk
Để có được điều này, hướng giải quyết cơ bản và ưu tiên là thêm vào 2 vế f x sao cho
khi chia Uk xuống mẫu, ta được một dãy có khả năng triệt tiêu 2 U k U k k 1 k 2 2 2 2
U kU k k U kU Cụ thể, ta thấy U k k k k k k 1 1 k k k
Thêm vào 2 vế k 1 ( có thể nói là chuyển k 1 sang trái , nhưng mình dùng từ theo
đúng phương pháp trên vì phương pháp này còn áp dụng vào nhiều dạng toán) , ta được:
74 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN 2 U kU k k k 1 1 1 U k k 1 1 k U k U kU U k U k 1 2 1 k k k k 1 1 1 U U k U k k k k 1 1 1 1 1
U U 1 U 2 1 1 2 1 1 1
Áp dụng vào dãy số U U 2 U 3 2 2 3 .... 1 1 1
U U n U n n n n 1 1
Cộng vế với vế ta được 1 1 1 1 1 1 1 2 U U U U U 1 U n 1 U n 1 1 2 3 n 1 n 1 n 1
Lại có U k k
3 - Chứng minh qua quy nạp 1 1 U n
U n n 3 1 n 1 2 n 2 0 1 U n n n 1 2 2 1 1 1 1 Mà lim 0 lim 0 2 2 S 2 2n 2 U n U n n 1 1 n 1 1
Câu 91. Trong dịp hội trại hè 2017, bạn Anh thả một quả bóng cao su từ độ cao 6 m so
với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần
rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng quãng
đường quả bóng đã bay (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa) khoảng ? A. 44 m B. 45m C. 42 m D. 43m Lời giải
Ta có quãng đường bóng bay bằng tổng quảng đường bóng nảy lên và quãng đường bóng rơi xuống. 3
Vì mỗi lần bóng nảy lên bằng
lần nảy trước nên ta có tổng quãng đường bóng nảy lên 4 2 3 3 3 3 3 n là S 6. 6. 6. ... 6. ... 1 4 4 4 4 3 9 3
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u 6. q 1 và công bội . 4 2 4 9 Suy ra 2 S 18 1 3 . 1 4
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 75
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ
Tổng quãng đường bóng rơi xuống bằng khoảng cách độ cao ban đầu và tổng quãng 2 3 3 3 n
đường bóng nảy lên nên là S 6 6. 6. ... 6. ... 2 4 4 4 3
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u 6 q 1 và công bội . 4 6 Suy ra S 24 2 3 . 1 4
Vậy tổng quãng đường bóng bay là S S S 18 24 42 1 2 .
Câu 92. Có hai cơ sở khoan giếng A và B. Cơ sở A giá mét khoan đầu tiên là 8000 (đồng)
và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 (đồng) so với giá của mét
khoan ngay trước đó. Cơ sở B: Giá của mét khoan đầu tiên là 6000 (đồng) và kể từ mét
khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước
đó. Một công ty giống cây trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần lượt là 20 m
và 25 m để phục vụ sản xuất. Giả thiết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ
sở là như nhau. Công ty ấy nên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi phí nhất? A. luôn chọn A. B. luôn chọn B.
C. giếng 20 m chọn A còn giếng 25 m chọn B.
D. giếng 20 m chọn B còn giếng 25 m chọn B. Lời giải
Cơ sở A giá mét khoan đầu tiên là 8000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi
mét sau tăng thêm 500 (đồng) so với giá của mét khoan ngay trước đó. Do đó theo tổng
của một cấp số cộng ta có: 20
+ Nếu đào giếng 20 m hết số tiền là: S
2.8000 20 1 500 255000 20 (đồng). 2 25
+ Nếu đào giếng 25 m hết số tiền là: S
2.8000 25 1 500 350000 25 (đồng). 2
Cơ sở B giá của mét khoan đầu tiên là 6000 (đồng) và kể từ mét khoan thứ hai, giá của
mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước đó. Do đó theo tổng của
một cấp số nhân ta có: 1 1,0720
+ Nếu đào giếng 20 m hết số tiền là: S 6000 245973 20 (đồng). 1 1,07 1 1,0725
+ Nếu đào giếng 25 m hết số tiền là: S 6000 379494 25 (đồng). 1 1,07
Ta thấy S S S S m m 20 20 , 25 25 nên giếng 20
chọn B còn giếng 25 chọn A.
76 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 93. Cho cấp số cộng u u 1
n có các số hạng đều dương, số hạng đầu 1 và tổng của
100 số hạng đầu tiên bằng 14950 . Tính giá trị của tổng sau? 1 1 1 S ... u u u u u u u u u u u u 2 1 1 2 3 2 2 3 2018 2017 2017 2018 1 1 1 A. 1 B. 1 3 C. 2018 D. 1 6052 6052 Lời giải
Gọi d là công sai của cấp số cộng. Khi đó 100.99 S 100u
d 100 4950d 14950 d 3 100 1 . 2 Do đó u
u 2017d 6052 2018 1 . 1 1 1 u u k k 1 1 1 Ta có . . . u u u u u u u u d u u d u u k k k k k . k . k k k . 1 1 1 1 1 k1 k k1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S . . ... . d u u d u u d u u 1 2 2 3 2017 2018 1 1 1 1 1 . 1 d u u 3 6052 1 2018
Câu 94. Giá trị của tổng 4 44 444 ... 44...4 (tổng đó có 2018 số hạng) bằng? 40 2019 A. 2018 10 1 2018. 4 10 10 9 B. 2018 . 9 9 2019 4 10 10 4 2018 C. 2018. D. 10 1. 9 9 9 Lời giải
Cách 1. Đặt S 4 44 444 ... 44...4 (tổng đó có 2018 số hạng). Ta có
9 S 999999...99...9 2 3 2018 10 1 10 1 10 1 ... 10 1 4 9 S 2 3 2018
10 10 10 ... 10
2018 A2018. 4 Với 2 3 2018
A 10 10 10 ... 10
là tổng 2018 số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu 2018 1 q 2018 1 10 2019 10 10 u 10 q A u 10 1 , công bội 10 nên ta có 1 . 1 q 9 9 2019 9 10 10 2019 4 10 10 Do đó S 2018 S 2018 . 4 9 9 9 u 4 1 u 4
Cách 2. Xét dãy số có 1 4 4 u u u u n 10 4 n n 10 1 1 9 n 9
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 77
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 40 4 v Đặt 1 v u v n n n 9
là cấp số nhân. 9 v v n 10 1 n 4 v 4 2018.4
Ta có S u u ....... u
v v ... v
v v ... v n 1 2 2018 1 2 2018 1 2 2018 9 9 9 9 1 n q 1 10 40 40. 2018 2018 10 1 Trong đó S v v . . 2018 1 1 q 1 10 9 81 40 4 4 10 10 Vậy tổng là S 10 1 2019 2018 .2018 2018. 81 9 9 9
Câu 95. Cho dãy số u u u n log u log u 8 11 n n 6 n thỏa mãn 1 , 2 và 2 5 . Đặt 2 9
S u u ... u S n 1 2
n . Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn n 20172018 . A. 2587 B. 2590 C. 2593 D. 2584 Lời giải Ta có dãy số u d
n là cấp số cộng có công sai 6 . log u log
u 8 11 log u u 8 11 * u 0 2 5 với . 2 9 2 5 9 5
Mặt khác u u 4d u 24
u u 8d u 48 5 1 1 và 9 1 1 .
u 8 u 32 Thay vào * ta được 1 5 . Suy ra u 8 . u 8 8 u 6 4 1 1 5 n S u n d n n n 20172018 2 1 2
20172018 3 5 20172018 0 1 . 2
Vậy số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn S n n 20172018 là 2593 .
Câu 96. Cho hai cấp số cộng a a 4 a 7 a b b 1 b 6 b n : 1 ; 2
;...; 100 và n : 1 ; 2 ;...; 100 . Hỏi có
bao nhiêu số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên? A. 32 B. 20 C. 33 D. 53 Lời giải Cấp số cộng a a 4 a 7 a
a 4 n 1 3 3n n 1 n : 1 ; 2
;...; 100 có số hạng tổng quát: . Cấp số cộng b b 1 b 6 b
b 1 m 1 5 5m m 4 n : 1 ; 2
;...; 100 có số hạng tổng quát: .
Các số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên thỏa mãn hệ
3n 1 5m 4
3n 5m 1 1 n 100 1 n 100 1 m 100 1 m 100
Vì 3n 5m 1 nên n 5 và m 1 3 với m 1 0
Ta lại có n 100 3n 300 5m 1 300 m 61.
Có m 1 3 m 3t 1 , t
* . Vì 1 m 61 1 3t 1 61 0 t 20 .
Vì t * t 1; 2; 3;...; 20 .
Vậy có 20 số hạng có mặt đồng thời ở hai dãy số trên.
78 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 97. Cho tam giác ABC cân tại A . Biết rằng độ dài cạnh BC , trung tuyến AM và độ
dài cạnh AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có công bội q . Tìm công bội q của cấp số nhân đó? 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 A. q B. q C. q D. q 2 2 2 2 Lời giải
2 AB AC BC 2 2 2 2 Ta có AM 1 . 4
Do ba cạnh BC , AM , AB lập thành cấp số nhân nên ta có: 2
BC.AB AM 2 2 2 AB AC 2 2 BC
Thay 2 vào 1 ta được BC.AB 2 2 4AB 4A .
B BC BC 0 4 AB 1 2 2 AB AB 4 4 1 BC 2 0 BC BC AB 1 2 loai BC 2 AB 1 2 1 2 2 2 2 q . BC 2 2 2 cos 2017 x
Câu 98. Cho hàm số f x 2
x 3x 2
và dãy số un được xác định bởi công thức
tổng quát u log f 1 log f 2 f n n
log Tìm tổng tất cả các giá trị của n thỏa mãn điều kiện 2018 u 1 n A. 21 B. 18 C. 3 D. 2018 Lời giải n n Ta có u f k k k k k chan k le n
log cos2017 log
1log 2 k1 k1
Trường hợp 1: n 2p khi đó ta có khai triển u p p p p n
log3log 4log2 1log2 1log2 log3log2 log2 1
Như vậy u log p 2018 u
1 p 9 n n 18 n 1
Trường hợp 2: n 2p 1 khi đó ta có khai triển u p p p p n
log3log 4log2 1log2 1log2log3log2 2log2 3
Như vậy u log 4p 2018 u
1 p 1 n n 3 n 6
Tổng các giá trị của n thỏa mãn điều kiện 2018 u 1 n là 21.
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 79
CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO DÃY SỐ 2019
u u u u 2 2018 n 4n n n a b Câu 99. Biết rằng 4 4 L lim
Trong đó un xác định
u u u u c 2 2018 n 2n 2 n 2 n bởi u 0; u u n b S a b c n n 4 3 1 1
và a b c , , là các số nguyên dương và 2019 . Tính A. 1 B. 0 C. 2017 D. 2018 Lời giải Ta có 2 u u
n u n n n n 4 1 n 2 3 1 Ta xét S 2 2018
n, 4n, 4 n, .4 n ,S 2 2018
n, 2n, 2 n,2 n 1 2 k 3 Có 2 u k k k k k k
2 3 2 2. 2 2
2k k 3 2k 2019 k 3 4 1 2n 2 2019 k S
2k k 3 2 k 3 2 1 Vậy 1 L lim k 3 n 2019 3 2 2 1 2 k S
2k k 3 2 k 2
Câu 100. Cho ba số dương a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị lớn nhất của 2 a 8bc 3 biểu thức P
có dạng x y x, y Hỏi x y bằng bao nhiêu?
2a c2 1 A. 9 B. 11 C. 13 D. 7 Lời giải 2 2 Ta có 2
a c b a b c a b c 2 2 2 2 2 2 2
a 8bc 4b 4bc c a 8bc 2b c 2b c 3 t 3 P
10 t 2b c 2b c2 2 1 t 1 1
Dấu bằng xảy ra khi 2b c
x y 11 3
Câu 101. Cho các số hạng dương a, b, c là số hạng thứ m, n, p của một cấp số cộng và một
cấp số nhân. Tính giá trị của biểu thức log bc ca a b a b c 2 A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 Lời giải
Ta có a, b, c là số hạng thứu m, n, p của một cấp số cộng và một cấp số nhân nên
a u m 1 n1 d a q
a b m n d 1 1 b u n n 1 1 d a q
b c n p d 1 1 p c u p 1 1 d a q
c a p m d 1 1 n p d m n d log b c ca a b P a b c log m1 a q p a q 1 0 0 log a q 0 2 2 1 1 2 1
80 | Chinh phục olympic toán
Điều ta biết là giọt nước, điều ta chưa biết là đại dương - Newton
TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MÔN TOÁN
Câu 102. Cho a b c
và cot a, cot b, cot c Tạo thành cấp số cộng. Giá trị của cot . a cot c 2 bằng? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải Ta có a b
a b c a b a b cot cot 1 1 cot cot c tanc 2 2 2 cot a cot b cot c a b
a b c a b a b cot cot 1 1 cot cot c tanc 2 2 2 cot a cot b cot c
cot acot b cot c cot a cot b cot c
Mặt khác cot a cot c 2 cot b cot a cot b cot c 3 cot b cot a cot c 3
Ta có a c 2b sin A sin C 2 sin B A C A C B B A C A C 2 sin cos 4sin cos 4sin cos 2 2 2 2 2 2 A C A C A C A C A C A C cos 2 cos
cos cos sin sin 2 cos cos 2 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A C A C A C A C 1
3sin sin cos cos 3tan tan 1 tan tan 2 2 2 2 2 2 2 2 3
Tinh hoa của toán học nằm ở tự do của nó – Georg Cantor
Chinh phục olympic toán | 81 LỜI KẾT
Vậy là ta đã đi đến những trang cuối cùng của tuyển tập này với hơn 100 bài toán
đa dạng chắc hẳn đã mang tới cho bạn đọc một cái nhìn khác và mới lạ hơn về
chủ đề dãy số này. Các bạn thấy đó với hình thức thi trắc nghiệm như thế này sẽ
xuất hiện rất nhiều các dạng toán mới lạ mà nó liên kết nhiều mảng kiến thức với
nhau yêu cầu chúng ta cần phải tìm hiểu kỹ, sâu và rộng thì mới có thể giải quyết
được chúng. Hy vọng qua ebook này các bạn đã học thêm được nhiều điều và rút
ra được kinh nghiệm cho bản thân trong việc giải quyết các dạng toán mà bọn
mình đưa ra và nhiều dạng toán có liên quan khác. Sau đây bọn mình sẽ giới
thiệu cho các bạn một số tài liệu và sách tham khảo, trang web có thể giúp ích
được cho các bạn trong quá trình học tập.
1. Chuyên khảo dãy số - Nguyễn Tài Chung
2. Trắc nghiệm nâng cao chuyên đề dãy số - Đặng Việt Đông
3. Đi tìm công thức tổng quát của dãy số – Trần Duy Sơn
4. Các dạng toán phương pháp quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp
số nhân – Trần Quốc Nghĩa
5. Dãy số và giới hạn của dãy số – Nguyễn Tất Thu
6. Bài tập trắc nghiệm xác định số hạng thứ n của dãy số – Nguyễn Chiến
7. Tài liệu dãy số – cấp số dành cho học sinh khối chuyên – Lê Quang Ánh 8. Website toanmath.com
9. Website lovetoan.wordpress.com
Blog Chinh Phục Olympic Toán
https://lovetoan.wordpress.com/ Email: tuangenk@gmail.com
Blog chuyên chia sẻ tài liệu ôn học sinh giỏi môn toán
với rất nhiều tài liệu chất và thư viện tài liệu được xây dựng rất đồ sộ
Ngoài ấn phẩm các bạn đang đọc thì các bạn có thể tìm hiểu thêm một số ấn
phẩm khác được đăng miễn phí trên blog sau - Tham khảo thêm -
Tài liệu được chia sẻ miễn phí
Bên cạnh blog của chúng tôi các bạn có thể theo dõi
trang fanpage: Tạp chí và tư liệu toán học – Đây là một
trang chúng tôi đăng free các tài liệu liên quan tới toán
VDC, VD, Ôn Olympic, HSG… Cảm ơn mọi người