Các chuyên đề tổng ôn kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán – Phạm Hoàng Đăng

Tài liệu gồm 63 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Phạm Hoàng Đăng, tuyển tập các chuyên đề vận dụng – vận dụng cao (VD – VDC / nâng cao / khó) tổng ôn kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán, giúp học sinh chinh phục mức điểm 8 – 9 – 10 trong đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán.

31 16 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán

Môn: Toán

Thông tin:

63 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
LỚP TOÁN THẦY ĐĂNG
CÁC CHUYÊN ĐỀ TỔNG ÔN
KỲ THI THPT QUỐC GIA
MÔN TOÁN
MÔN TOÁN
33/8A Giải Phóng
MỤC LỤC
Chuyên đề 1 KHẢO SÁT HÀM SỐ 1
A Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Ví dụ .... .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. . 1
2 Bài tập tương tự và phát triển . .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. . 2
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
B Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Ví dụ .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. . 4
2 Bài tập tương tự và phát triển . .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. . 5
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
C Đơn điệu và cực trị của hàm số hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 Bài tập mẫu .......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. . 9
2 Bài tập tương tự và phát triển . .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. . 11
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chuyên đề 2 Phương trình mũ và lôgarít 14
A Dạng phương trình cô lập tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1 Ví dụ .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. . 14
2 Bài tập tương tự và phát triển . .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. . 14
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
B Bài toán sử dụng hàm đặc trưng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1 Ví dụ .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. . 16
2 Bài tập tương tự và phát triển . .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. . 17
Chuyên đề 3 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 20
A Tích phân hàm số cho bởi nhiều công thức.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1 Ví dụ .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. . 20
2 Bài tập tương tự và phát triển . .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. . 20
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
B Tích phân kết hợp: Đổi biến & từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1 Ví dụ .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. . 22
2 Bài tập tương tự và phát triển . .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. . 22
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
C Tích phân hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1 Ví dụ .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. . 23
2 Bài tập tương tự và phát triển . .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. . 24
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
D Diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1 Ví dụ .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. . 25
2 Bài tập tương tự và phát triển . .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. . 28
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
MỤC LỤC / Trang ii/59
Chuyên đề 4 SỐ PHỨC 32
A Xác định các thuộc tính của số phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1 Ví dụ .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. . 32
2 Bài tập tương tự và phát triển . .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. . 32
B Cực trị của biểu thức chứa mô-đun số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1 Ví dụ .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. . 33
2 Bài tập tương tự và phát triển . .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. . 35
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Chuyên đề 5 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 37
A Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1 Ví dụ .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. . 37
2 Bài tập tương tự và phát triển . .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. . 37
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
B Thể tích có chứa dữ liệu góc .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1 Ví dụ .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. . 39
2 Bài tập tương tự và phát triển . .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. . 40
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
C Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1 Ví dụ .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. . 42
2 Bài tập tương tự và phát triển . .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. . 43
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
D Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1 Ví dụ .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. . 44
2 Bài tập tương tự và phát triển . .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. . 44
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
E Góc giữa hai mặt phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1 Ví dụ .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. . 45
2 Bài tập tương tự và phát triển . .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. . 46
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
F Thể tích khối đa diện liên quan góc, khoảng cách. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1 Ví dụ .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. . 48
2 Bài tập tương tự và phát triển . .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. . 49
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
G Bài toán cực trị (thực tế) trong nón trụ cầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1 Ví dụ .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. . 51
2 Bài tập tương tự và phát triển . .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. . 53
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Chuyên đề 6 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 54
A Phương trình mặt phẳng, đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1 Ví dụ .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. . 54
2 Bài tập tương tự và phát triển . .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. . 54
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
B Cực trị hình học Oxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1 Ví dụ .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. . 57
2 Bài tập tương tự phát triển.. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. .. .. .. .. .. .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. . 58
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
CHUYÊN ĐỀ 1CHUYÊN ĐỀ 1
KHẢO SÁT HÀM SỐ
KHẢO SÁT HÀM SỐ
AA TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN K
1. VÍ DỤ
Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng K .
Nếu K = R → sử dụng ∆.
Cho f(x) = ax
2
+ bx + c (a 6= 0). Khi đó
○ f(x) ≥ 0 với mọi x ⇔
(
a > 0
∆ ≤ 0.
○ f(x) ≤ 0 với mọi x ⇔
(
a < 0
∆ ≤ 0.
Nếu K ⊂ R → cô lập m.
○ m ≥ g(x) với mọi x ∈ K ⇔ m ≥ max
K
g(x).
○ m ≤ g(x) với mọi x ∈ K ⇔ m ≥ min
K
g(x).
(Nếu max
K
g(x), min
K
g(x) tồn tại).
L Câu 1 (Câu 41 - Đề tham khảo lần 2 BGD&ĐT 2020).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y =
1
3
x
3
+ mx
2
+ 4x + 3 đồng biến trên R?
A. 5. B. 4. C. 3. D. 2.
- Lời giải.
Ta có y
0
= x
2
+ 2mx + 4.
Hàm số đồng biến trên R ⇔ y
0
≥ 0 với mọi x ⇔
(
a > 0
∆
0
≤ 0
⇔
(
1 > 0
m
2
− 4 ≤ 0
⇔ m ∈ [−2; 2].
Vậy có 5 giá trị nguyên của m thoả mãn yêu cầu bài toán.
Chọn đáp án A
L Câu 2 (Câu 36 - Đề tham khảo BGD&ĐT 2019).
Tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y = −x
3
− 6x
2
+ (4m −9)x + 4 nghịch biến trên (−∞; −1) là
A. (−∞; 0]. B.
ï
−
3
4
; +∞
ã
. C.
Å
+∞; −
3
4
ò
. D. [0; +∞).
- Lời giải.
Ta có y
0
= −3x
2
− 12x + 4m −9.
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1) khi và chỉ khi y
0
≤ 0 ∀x ∈ (−∞; −1).
1
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 2/59
Khi đó
−3x
2
− 12x + 4m −9 ≤ 0, ∀x ∈ (−∞; −1)
⇔ 4m ≤ 3x
2
+ 12x + 9, ∀x ∈ (−∞; −1)
⇔ 4m ≤ min
x∈(−∞;−1)
(3x
2
+ 12x + 9) (∗).
Đặt g(x) = 3x
2
+ 12x + 9. Khi đó g
0
(x) = 6x + 12.
Cho g
0
(x) = 0 ⇔ x = −2.
Bảng biến thiên
x
g
0
(x)
g(x)
−∞
−2 −1
−
0
+
−3−3
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
(∗) ⇔ 4m ≤ −3 ⇔ m ≤ −
3
4
.
Chọn đáp án C
L Câu 3 (Câu 40 - Đề TN THPT BGD&ĐT 2020).
Tập hợp tất cả giá trị thực của m để hàm số y =
x + 4
x + m
đồng biến trên khoảng (−∞; −7) là
A. [4; 7). B. (4; 7]. C. (4; 7) . D. (4; +∞).
- Lời giải.
Điều kiện x 6= −m.
Ta có y
0
=
m − 4
(x + m)
2
.
Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −7) khi và chỉ khi y
0
> 0 với mọi x ∈ (−∞; −7)
⇔
(
m − 4 > 0
− m /∈ (−∞; −7)
⇔
(
m > 4
− m ≥ −7
⇔
(
m > 4
m ≤ 7
⇔ m ∈ (4; 7].
Chọn đáp án B
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Cho hàm số y = −x
3
− mx
2
+ (4m + 9)x + 5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số
nghịch biến trên R?
A. 7. B. 5. C. 54. D. 6.
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = (m −1)x
3
−3(m −1)x
2
+ 3(2m −5)x + m nghịch biến trên
R.
A. m < 1. B. m ≤ 1. C. m = 1. D. −4 < m < 1.
Câu 3. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y =
x + m
x + 1
đồng biến trên từng khoảng xác định.
A. m ≤ 1. B. m > 1. C. m = 1. D. m < 1.
Câu 4. Cho hàm số y =
mx + 2
2x + m
, m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch
biến trên khoảng (0; 1). Tìm số phần tử của S.
A. 1. B. 5. C. 2. D. 3.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 3/59
Câu 5. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =
mx + 10
2x + m
nghịch biến trên khoảng (0; 2)?
A. 4. B. 5. C. 9. D. 6.
Câu 6. Số giá trị nguyên của m để hàm số f(x) =
2x − m + 3
x − m
nghịch biến trên (1; +∞) là
A. 4. B. 3. C. 2. D. vô số.
Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm số y =
x + 1
x + m
nghịch biến trên khoảng (2; +∞).
A. m ≥ 2. B. m ≤ −2. C. m = −2. D. −2 ≤ m < 1.
Câu 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = x
3
+ 3x
2
−3(m
2
−1)x + 12 đồng biến trên khoảng (1; 2)?
A. 4. B. Vô số. C. 5. D. 3.
Câu 9. Số giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (−10; 10) để hàm số y = −x
3
+ (m + 1)x
2
+ 2x − 3 đồng biến
trên khoảng (0; 2) là
A. 6. B. 7. C. 9. D. 8.
Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x
4
−2(m −1)x
2
+ m −2 đồng biến trên khoảng
(1; 3).
A. m ∈ (−∞; −5). B. m ∈ (2; +∞). C. m ∈ [−5; 2). D. m ∈ (−∞; 2].
Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ 3mx + m có độ dài khoảng nghịch biến bằng
4.
A. m = 3. B. m = 4. C. m = −3. D. m = −4.
Câu 12. Cho hàm số y =
(4 − m)
√
6 − x + 3
√
6 − x + m
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m trong khoảng (−10; 10)
sao cho hàm số đã cho đồng biến trên (−8; 5)?
A. 14. B. 13. C. 12. D. 15.
Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng (−8; 8) để hàm số y =
2 cos x + 3
2 cos x − m
đồng biến trên
0;
π
3
?
A. 9. B. 7. C. 5. D. 11.
Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = ln
x
2
− 2mx + 10
+ mx + m
2
+ 1 luôn đồng biến
trên (−∞; +∞)?
A. 3. B. 7. C. 8. D. 4.
Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số y =
m − sin x
cos
2
x
nghịch biến trên khoảng
π
6
;
π
3
?
A. 0. B. 2. C. 1. D. Vô số.
Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =
tan x − 2
tan x − m
đồng biến trên khoảng
0;
π
4
?
A. 0. B. 2. C. 1. D. Vô số.
Câu 17. Cho hàm số y =
2
√
9 − x
2
− m
√
9 − x
2
− m
, với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cá giá trị nguyên không vượt quá 2020
để hàm số đồng biến trên
Ä
0;
√
5
ä
. Tính tổng các phần tử của tập hợp S.
A. 2041205. B. 2039190. C. 2039191. D. 2041210.
BẢNG ĐÁP ÁN
1. D 2. B 3. D 4. C 5. D 6. A 7. D 8. C 9. D 10. D
11. C 12. A 13. D 14. A 15. C 16. C 17. D
BB GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM HỢP
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 4/59
1. VÍ DỤ
L Câu 1 (Câu 39 - Đề tham khảo - Bộ GD & ĐT năm 2021).
Cho hàm số f(x), đồ thị của hàm số y = f
0
(x) là đường cong như hình bên. Giá
trị lớn nhất của hàm số g(x) = f(2x) − 4x trên đoạn
ï
−
3
2
; 2
ò
bằng
A. f (0). B. f(−3) + 6. C. f(2) − 4. D. f(4) − 8.
O
x
y
−3
2
42
- Lời giải.
Ta có g
0
(x) = 2f
0
(2x) − 4, ∀x ∈
ï
−
3
2
; 2
ò
.
g
0
(x) = 0 ⇔ 2f
0
(2x) − 4 = 0
⇔ f
0
(2x) = 2
⇔
"
x = 0
x = 1.
O
x
y
−3
2
42
Ta có bảng biến thiên sau
x
g
0
(x)
g(x)
−
3
2
0 1 2
+
0
+
0
−
f(2) − 4
Từ bảng biến thiên ta được max
h
−
3
2
;2
i
g(x) = f(2) − 4.
Cách 2: Đặt t = 2x, với x ∈
ï
−
3
2
; 2
ò
thì t ∈ [−3; 4].
Hàm số trở thành h(t) = f(t) − 2, ∀t ∈ [−3; 4].
Ta có h
0
(t) = f
0
(t) − 2, h
0
(t) = 0 ⇔
"
t = 0
t = 2
, ∀t ∈ [−3; 4].
x
h
0
(t)
h(t)
−3
0 2 4
+
0
+
0
−
f(2) − 4
Từ bảng biến thiên, suy ra max
t∈[−3;4]
h(t) = h(2) = f(2) − 4.
Chọn đáp án C
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 5/59
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1.
Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị f
0
(x) như hình vẽ bên
dưới. Giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = f(2x) − 2x + 1 trên đoạn
ï
−
1
2
; 1
ò
bằng
A. f (0) − 1. B. f(1). C. f(2) − 1. D. f(−1) + 2.
O
x
y
−1
−1
1 2
1
Câu 2.
Cho hàm số f(x), đồ thị của hàm số y = f
0
(x) là đường cong như hình vẽ. Giá
trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = f(2x − 1) + 6x trên đoạn
ï
1
2
; 2
ò
bằng
A. f
Å
1
2
ã
. B. f(0) + 3. C. f(1) + 6. D. f (3) + 12.
O
y
x
−1
−3
1 2
Câu 3.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và hàm số y = f
0
(x) có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số g(x) = f
x
2
+ 1
−ln
x
2
+ 8x + 16
đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [−2; 4]
tại x = x
0
. Khi đó x
0
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
Å
1
2
; 2
ã
. B.
Å
2;
5
2
ã
. C. (−1; 0). D.
Å
−1;
1
2
ã
.
O
x
y
1 2 3
1
2
3
Câu 4.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 6/59
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R có f(5) = 12. Đồ thị của
hàm số y = f
0
(x) được cho như hình vẽ bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
g(x) = f(1 − 2x) − 2x
2
+ 2x trên đoạn [−2; 2] bằng
A. 0. B. f(−3) − 4. C. 1. D. f(1).
O
x
y
−3 2 5
−3
2
5
Câu 5.
Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có f (0) =
3
2
. Hàm số y = f
0
(x)
có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) =
4f(x + 1) + x
2
+ 2x trên đoạn [−3; 3] bằng
A. 4f(−2) + 3. B. 4f(4) + 15.
C. 5. D. 4f(3) + 8.
O
x
y
−2 4
−2
1
Câu 6.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên R. Biết rằng đồ thị hàm số y = f
0
(x)
như hình bên. Lập hàm số g(x) = f (x) − x
2
− x.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. g(−1) > g(1).
B. g(−1) = g(1).
C. g(1) = g(2).
D. g(1) > g(2).
O
x
y
−1 1 2
−1
3
5
Câu 7.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm số y = f
0
(x) như
hình vẽ. Biết rằng các điểm A(1; 0), B(−1; 0) thuộc đồ thị. Giá trị nhỏ nhất
và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [−1; 4] lần lượt là
A. f (1); f(−1). B. f(0); f(2). C. f(1); f(4). D. f (−1); f(4).
x
y
O
−1
B
1
A
4
y = f
0
(x)
Câu 8.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 7/59
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị y = f
0
(x) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành
độ a < b < c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. f(c) > f(b) > f (a). B. f(b) > f(a) > f (c).
C. f(a) > f(c) > f (b). D. f(c) > f (a) > f(b).
x
y
O
a
b
c
Câu 9.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f
0
(x) trên R và đồ thị của hàm số f
0
(x) cắt trục hoành tại
4 điểm có hoành độ theo thứ tự từ trái sang phải trên trục hoành là a, b, c, d (a < b < c < d)
như hình vẽ bên. Chọn khẳng định đúng.
A. f(c) > f(a) > f (b) > f(d). B. f(c) > f(a) > f (d) > f(b).
C. f(a) > f(b) > f (c) > f(d). D. f (a) > f(c) > f(d) > f (b).
x
y
a b c d
O
Câu 10.
Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn 0 < a < b < c < d và hàm số y = f(x). Biết hàm
số y = f
0
(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [0; d]. Khẳng định nào sau đây là khẳng
định đúng?
A. M + m = f(0) + f(c). B. M + m = f(d) + f(c).
C. M + m = f(b) + f(a). D. M + m = f(0) + f(a).
O
x
y
a b c
d
Câu 11.
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f
0
(x) cắt trục Ox tại ba
điểm có hoành độ a < b < c như hình vẽ. Xét 4 mệnh đề sau:
(1): f(c) < f(a) < f (b).
(2): f(c) > f(b) > f (a).
(3): f(a) > f(b) > f (c).
(4): f(a) > f(b).
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng?
O
x
y
a
b
c
A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 12.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 8/59
Cho hàm số y = f(x). Đồ thị của hàm số y = f
0
(x) như hình bên. Đặt h(x) =
f(x) −
x
2
2
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số y = h(x) đồng biến trên khoảng (−2; 3).
B. Hàm số y = h(x) nghịch biến trên khoảng (0; 1).
C. Hàm số y = h(x) nghịch biến trên khoảng (2; 4).
D. Hàm số y = h(x) đồng biến trên khoảng (0; 4).
x
y
2 4
2
4
O
−2
−2
Câu 13.
Cho hàm số y = f(x). Đồ thị của hàm số y = f
0
(x) như hình bên. Đặt g(x) = 2f(x) −
(x + 1)
2
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g(−3) > g(3) > g(1).
B. g(1) > g(−3) > g(3).
C. g(3) > g(−3) > g(1).
D. g(1) > g(3) > g(−3).
x
y
1 3
O
−3
−2
2
4
Câu 14. Cho hàm số y = f(x). Đồ
thị hàm số y = f
0
(x) như hình bên. Đặt g(x) = 2f (x) + x
2
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g(3) < g(−3) < g(1).
B. g(1) < g(3) < g(−3).
C. g(1) < g(−3) < g(3).
D. g(−3) < g(3) < g(1).
x
y
1 3
−3
3
O
−3
−1
Câu 15.
Cho hàm số y = f(x). Đồ thị của hàm số y = f
0
(x) như hình bên. Đặt g(x) = 2f(x)+(x+1)
2
.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g(1) < g(3) < g(−3).
B. g(1) < g(−3) < g(3).
C. g(3) = g(−3) < g(1).
D. g(3) = g(−3) > g(1).
x
y
1 3
−4
2
O
−3
−2
BẢNG ĐÁP ÁN
1. C 2. C 3. D 4. B 5. B 6. D 7. C 8. D 9. A 10. A
11. B 12. C 13. D 14. B 15. A
CC ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỢP
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 9/59
1. BÀI TẬP MẪU
L Câu 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm f
0
(x) như sau
x
f
0
(x)
−∞
−2
2
+∞
−
0
−
0
+
Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m ∈ [−5; 5] để hàm số y = f (x
2
− 2mx + m
2
+ 1) nghịch biến
trên miền
Å
0;
1
2
ã
. Tổng các phần tử của S bằng
A. −10. B. −12. C. 15. D. 14.
- Lời giải.
Ta có y = f(x
2
− 2mx + m
2
+ 1) = f ((x − m)
2
+ 1) ⇒ y
0
= 2(x − m)f
0
((x − m)
2
+ 1).
Xét y
0
= 0 ⇔
"
x − m = 0
f
0
((x − m)
2
+ 1) = 0
⇔
"
x = m
(x − m)
2
+ 1 = 2
⇔
x = m
x = m + 1
x = m − 1.
Với x = m + 2, ta có y
0
(m + 2) = 4f
0
(5) > 0.
Bảng xét dấu
x
y
0
−∞
m − 1
m
m + 1
+∞
−
0
+
0
−
0
+
Từ bảng xét dấu, hàm số nghịch biến trên
Å
0;
1
2
ã
⇒
1
2
≤ m − 1
m ≤ 0 <
1
2
≤ m + 1
⇔
m ≥
3
2
−
1
2
≤ m ≤ 0.
Do m ∈ Z và m ∈ [−5; 5] nên m ∈ {2; 3; 4; 5}.
Tổng các phần tử của m là 14.
Chọn đáp án D
L Câu 2.
Cho hàm số bậc bốn f(x) có đồ thị f
0
(x) = −2x
3
+ bx
2
+ cx + d như hình vẽ. Biết hàm
số y = f(x) − 2mx + m đạt cực trị tại điểm x = 1. Mệnh đề nào đúng?
A. m ∈ (−∞; −5). B. m ∈ [−4; 0). C. m ∈ [0; 3). D. m ∈ [3; 5).
x
y
O
4
1 2
- Lời giải.
Ta có f
00
(x) = −6x
2
+ 2bx + c và từ hình vẽ thấy đồ thị hàm số f
0
(x) đạt cực trị tại các điểm x = 1; x = 2 nên
(
f
00
(1) = 0
f
00
(2) = 0
⇔
(
2b + c = 6
4b + c = 24
⇔
(
b = 9
c = −12.
Do đồ thị hàm số f
0
(x) cắt Oy tại A(0; 4) nên d = 4.
Do đó f
0
(x) = −2x
3
+ 9x
2
− 12x + 4.
Ta có y
0
= f
0
(x) − 2m và hàm số đạt cực trị tại điểm x = 1 nên
y
0
(1) = 0 ⇔ f
0
(1) − 2m = 0 ⇔ −1 − 2m = 0 ⇔ m = −
1
2
.
Vậy m ∈ [−4; 0).
Chọn đáp án B
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 10/59
L Câu 3.
Cho hai hàm số f(x), g(x) là các hàm đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ
bên. Đặt h(x) = f(x) − g(x), số điểm cực đại của hàm số y = |h(|x|)| là
A. 5. B. 7. C. 3. D. 4.
x
y
O
g(x)
f(x)
−1 1 4
- Lời giải.
Xét h(x) = a(x + 1)(x − 1)(x − 4) = a
x
3
− 4x
2
− x + 4
, (a < 0 do nhánh phải có f(x) − g(x) < 0).
Có h
0
(x) = a
3x
2
− 8x − 1
= 0 ⇔
x
1
=
4 −
√
19
3
< 0
x
2
=
4 +
√
19
3
> 0.
Ta có
lim
x→−∞
h(x) = +∞
h(0) = 4a < 0
⇒ h(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x ∈ (−∞; 0).
Tương tự
(
h(0) = 4a < 0
h (x
2
) ≈ −8,2a > 0
⇒ h(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x ∈ (0; x
2
).
Và
h (x
2
) ≈ −8,2a > 0
lim
x→+∞
h(x) = −∞ < 0
⇒ h(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x ∈ (x
2
; +∞).
Từ đó suy ra đồ thị hàm số y = h(x) có hình dáng sau
x
y
O
Thực hiện phép biến đổi đồ thị hàm số y = |h(|x|)| có 3 điểm cực đại và 4 điểm cực tiểu.
x
y
O
Chọn đáp án C
L Câu 4.
Cho hàm số y = f
0
(x) có đồ thị như hình vẽ. Biết f(1) = 1, hỏi có bao nhiêu giá
trị nguyên dương của tham số m để hàm số y =
4f(ln x) − ln
2
x + 1 − m
nghịch
biến trên (1; e)?
A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.
x
y
O
−1
1
- Lời giải.
Đặt t = ln x, với x ∈ (1; e) ⇒ t ∈ (0; 1).
Hàm số trở thành y =
4f(t) − t
2
+ 1 − m
, ∀t ∈ (0; 1).
Xét hàm số g(t) = 4f(t) − t
2
+ 1 − m có g
0
(t) = 4f
0
(t) − 2t.
Hàm số y = |g(t)| nghịch biến trên (0; 1) nên đồ thị g(t) không nằm đồng thời về hai phía đối với Ox trên (0; 1). Ta có
hai trường hợp sau
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 11/59
t
g(t)
|g(t)|
0 1
g(0)g(0)
g(1) ≤ 0g(1) ≤ 0
|g(0)||g(0)|
|g(1)||g(1)|
t
g(t)
|g(t)|
0 1
g(0)g(0)
g(1) ≥ 0g(1) ≥ 0
|g(0)||g(0)|
|g(1)||g(1)|
TH1:
(
g(1) ≤ 0
g
0
(t) ≥ 0
, ∀t ∈ (0; 1) ⇔
g(1) ≤ 0
f
0
(t) ≥
t
2
.
Từ đồ thị f
0
(x), ta thấy f
0
(t) <
t
2
, ∀t ∈ (0; 1) nên không xét thêm trường hợp này.
TH2:
(
g(1) ≥ 0, ∀t ∈ (0; 1)
g
0
(t) ≤ 0, ∀t ∈ (0; 1)
⇔
4f(1) − m ≥ 0
f
0
(t) ≤
t
2
⇔ 4 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 4.
Do m ∈ Z
+
⇒ m ∈ {1; 2; 3; 4}.
Chọn đáp án A
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Cho hàm số f (x) = x
3
+ mx
2
+ nx − 1, với m, n là các tham số thực thoả mãn m + n > 0 và 7 + 4m + 2n < 0.
Số điểm cực trị của hàm số y = |f (|x|)| là
A. 5. B. 11. C. 7. D. 9.
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m với |m| < 10 để hàm số y =
x
3
− (m − 2)x
2
− mx − m
2
có 3 điểm cực
tiểu?
A. 9. B. 10. C. 8. D. 16.
Câu 3. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R, dấu của đạo hàm được cho bởi bảng bên dưới. Hàm số
g(x) = f
|x
2
− 1| + 1
đồng biến trên khoảng nào?
x
f
0
(x)
−∞
−2
1 2
+∞
−
0
+
0
−
0
+
A. (−1; 1). B.
Ä
−∞; −
√
2
ä
. C.
Å
−
6
5
; −1
ã
. D.
Ä
0;
√
2
ä
.
Câu 4.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất của
hàm số y = |f(sin x) − 3 sin x| với mọi x ∈ (0; π) bằng
A. 4.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
x
y
1
−1
O
1
Câu 5. Biết rằng hàm số f (x) = 2x
3
+ 3ax
2
+ 6x + 1 và g(x) = 2x
3
+ 3bx
2
+ 12x + 4 có chung ít nhất một điểm cực trị.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức |a| + |b| bằng
A. 2
√
2 + 2. B. 2
√
6. C. 3
√
2. D. 3
√
6.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 12/59
Câu 6. Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f(x) > 0, ∀x ∈ (1; 4) và f
0
(4) = 0. Hàm số f
0
(x) có bảng biến thiên như hình
bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2019; 2019] để hàm số g(x) = e
−x
2
+mx+1
f(x) đồng
biến trên khoảng (1; 4).
x
f
00
(x)
f
0
(x)
−∞
1
+∞
+
0
−
−∞−∞
44
−∞−∞
A. 2010. B. 2012. C. 2007. D. 2008.
Câu 7.
Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số
g(x) = f
Ä
|x|
3
− 3|x|
ä
là
A. 5.
B. 9.
C. 7.
D. 11.
x
y
2
−2
O
Câu 8.
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới. Có bao nhiêu số tự nhiên
m ≤ 2018 để hàm số y = f(m − x) + (m − 1)x đồng biến trên khoảng (−1; 1)?
A. 2. B. 3. C. 1. D. 2018.
x
y
O
−1
1
2
3
−3
1
Câu 9.
Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f(x). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
m để hàm số y = |f(x + 1) + m| có 5 điểm cực trị?
A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
x
y
2
−3
−6
O
Câu 10. Cho hàm số f(x) = ax
4
+bx
2
+c với a > 0, c > 2018 và a+b+c < 2018. Số cực trị của hàm số y = |f(x) − 2018|
là
A. 4. B. 6. C. 7. D. 3.
Câu 11.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 13/59
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để
đồ thị của hàm số y = f(|x| + m) có 5 điểm cực trị.
A. m < 2. B. m > 2. C. m > −2. D. m < −2.
O
x
y
−2
−1
−2
3
Câu 12. Cho hàm số f (x) = ax
4
+bx
2
+c với a > 0, c > 2017 và a+b+ c < 2017. Số cực trị của hàm số y = |f(x) − 2017|
là
A. 1. B. 3. C. 5. D. 7.
Câu 13.
Cho y = f(x) là hàm đa thức bậc 4. Biết đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ. Hàm số
y = ln |f(x)| có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 7. B. 2. C. 0. D. 4.
x
y
O
Câu 14.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của
tham số m ∈ [−100; 100] để hàm số h(x) =
f
2
(x + 2) + 4f(x + 2) + 3m
có đúng 3
điểm cực trị. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng
A. 5047. B. 5049. C. 5050. D. 5043.
x
y
O
31
Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên m ∈ (−10; 10) để hàm số y = m
2
x
4
− 2 (4m − 1) x
2
+ 1 đồng biến trên khoảng
(1; +∞)?
A. 15. B. 6. C. 7. D. 16.
Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = |3x
5
− 25x
3
+ 60x + m| có 7 điểm cực trị?
A. 42. B. 21. C. 40. D. 20.
Câu 17. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Hàm số g(x) = f
Å
e
x
−
x
2
+ 2x
2
ã
có bao nhiêu điểm
cực trị?
x
y
O
−2
1
4
A. 3. B. 7. C. 6. D. 4.
BẢNG ĐÁP ÁN
1. B 2. B 3. C 4. A 5. B 6. B 7. C 8. C 9. C 10. C
11. D 12. D 13. C 14. B 15. D 16. A 17. A
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
CHUYÊN ĐỀ 2CHUYÊN ĐỀ 2
PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARÍT
PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARÍT
AA DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CÔ LẬP THAM SỐ
1. VÍ DỤ
L Câu 1. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của c để tồn tại các số thực a > 1 và b > 1 thỏa mãn
log
9
a = log
12
b = log
16
(5b − a) − log
16
c?
A. 6. B. 5. C. 3. D. 4.
- Lời giải.
Đặt log
9
a = log
12
b = log
16
(5b − a) − log
16
c = log
16
5b − a
c
= t. Do a > 1, b > 1 nên t > 0. Suy ra
a = 9
t
b = 12
t
5b − a
c
= 16
t
⇒
5 · 12
t
− 9
t
c
= 16
t
⇒ 5 · 12
t
− 9
t
= c · 16
t
⇒ c = 5 ·
Å
3
4
ã
t
−
Å
3
4
ã
2t
.
Đặt x =
Å
3
4
ã
t
. Do t > 0 nên 0 <
Å
3
4
ã
t
<
Å
3
4
ã
0
hay x ∈ (0; 1).
Khi đó c = 5x − x
2
với x ∈ (0; 1) (*).
Xét hàm số f(x) = 5x − x
2
với x ∈ (0; 1).
Đạo hàm f
0
(x) = 5 − 2x, f
0
(x) = 0 ⇔ 5 − 2x = 0 ⇔ x =
5
2
/∈ (0; 1).
Bảng biến thiên
x
f
0
(x)
f(x)
0 1
+
00
44
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình (∗) có nghiệm thuộc (0; 1) khi 0 < c < 4. Mà c nguyên dương nên c ∈ {1; 2; 3}.
Chọn đáp án C
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số thực m để phương trình
16
x
− 2 · 12
x
+ (m − 2) · 9
x
= 0
có nghiệm dương?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
14
Chuyên đề 2. Phương trình mũ và lôgarít / Trang 15/59
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [−18; 0] để phương trình
(x − 2) log
4
(x + m) = x − 1
có đúng một nghiệm dương?
A. 18. B. 19. C. 17. D. 16.
Câu 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [−8; 10] để phương trình
ln [(m + 1)x] = 2 ln(x + 2)
có nghiệm duy nhất?
A. 2. B. 8. C. 7. D. 12.
Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [−20; 20] để phương trình
log
2
(x
2
− 3x + 2m) = log
2
(x + m)
có nghiệm?
A. 25. B. 9. C. 24. D. 10.
Câu 5. Có bao nhiêu số nguyên a ∈ [−2021; 2021] sao cho tồn tại duy nhất số thực x thỏa mãn log
√
3
(x + 3) =
log
3
(ax)?
A. 2020. B. 2021. C. 2022. D. 2023.
Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ (−10; 10) để phương trình
log
2
(x
2
− 2x + 4) = log
5
(x
2
− 2x + m)
có hai nnghiệm phân biệt?
A. 3. B. 4. C. 6. D. 0.
Câu 7. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m ∈ (−10; 10) sao cho phương trình log
6
(2020x + m) =
log
4
(1010x) có đúng 2 nghiệm phân biệt?
A. 13. B. 3. C. 2. D. 12.
Câu 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
log
5
(mx)
log
5
(x + 1)
= 2 có nghiệm duy nhất?
A. 1. B. 3. C. Vô số. D. 2.
Câu 9 (Đề thử nghiệm năm 2017). Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình 6
x
+(3−m)2
x
−m = 0
có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
A. [3; 4]. B. [2; 4]. C. (2; 4). D. (3; 4).
Câu 10 (Đề tham khảo năm 2017). Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong [−2017; 2017] để phương trình log(mx) =
2 log(x + 1) có nghiệm duy nhất?
A. 2017. B. 4014. C. 2018. D. 4015.
Câu 11 (Đề tham khảo năm 2018). Cho phương trình 16
x
−2.12
x
+(m−2)9
x
= 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương
của tham số m để phương trình có nghiệm dương?
A. 1. B. 2. C. 4. D. 3.
Câu 12. Cho phương trình log
6
(2018x + m) = log
4
(1009x). Tìm số các giá trị nguyên nhỏ hơn 2018 của tham số m để
phương trình có nghiệm.
A. 2018. B. 2017. C. 2019. D. 2020.
Câu 13. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [−50; 50] sao cho phương trình log
√
2
mx − 6x
2
−2 log
2
−14x
2
+ 29x − 2
=
0 có nghiệm duy nhất?
A. 16. B. 14. C. 13. D. 15.
Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình e
3x
− 2e
2x+ln 3
+ e
x+ln 9
+ m = 0 có 3 nghiệm phân biệt
thuộc khoảng (−ln 2; +∞)?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 2. Phương trình mũ và lôgarít / Trang 16/59
Câu 15. Tập các giá trị của m để phương trình 4 ·
Ä
√
5 + 2
ä
x
+
Ä
√
5 − 2
ä
x
− m + 3 = 0 có đúng hai nghiệm âm phân
biệt là
A. (−∞; −1) ∪ (7; +∞). B. (7; 8). C. (−∞; 3). D. (7; 9).
Câu 16. Cho phương trình log
2
(5
x
− 1) · log
4
(2 · 5
x
− 2) = m. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình có
nghiệm thuộc đoạn [1; 2]?
A. 8. B. 7. C. 10. D. 9.
BẢNG ĐÁP ÁN
1. B 2. D 3. B 4. A 5. C 6. D 7. D 8. C 9. C 10. C
11. B 12. A 13. C 14. A 15. B 16. C
BB BÀI TOÁN SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG
1. VÍ DỤ
L Câu 1. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 1 ≤ y ≤ 2020 và 2
x−1
= log
4
(x + 2y) + y?
A. 11. B. 10. C. 6. D. 5.
- Lời giải.
Điều kiện x + 2y > 0. Phương trình đã cho tương đương với
2
x
= log
2
(x + 2y) + 2y
⇔ 2
x
+ log
2
2
x
= (x + 2y) + log
2
(x + 2y)
Xét hàm số f(t) = t + log
2
t với t ∈ (0; +∞), ta có f
0
(t) = 1 +
1
t ln 2
> 0, ∀t > 0.
Do đó f(2
x
) = f(x + 2y) ⇔ 2
x
= x + 2y ⇔ 2y = 2
x
− x.
Ta có 1 ≤ y ≤ 2020 ⇔ 2 ≤ 2y < 4040 ⇒ 2 ≤ 2
x
− x ≤ 4040.
Do x nguyên nên x ∈ {2; 3; . . . ; 11}.
Do y ∈ Z suy ra x
.
.
. 2 suy ra x ∈ {2; 4; 6; 8; 10}. Vậy có 5 cặp (x; y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nhận xét. Dấu hiệu nhận dạng cơ bản của việc sử dụng phương pháp đánh giá (f(u), f(v) hoặc bất đẳng thức,
...) là trong bài toán chứa hai hàm khác loại. Nếu chứa đồng thời mũ và lôgarit thì có thể sử dụng công thức
f(x) = a
log
a
f(x)
hoặc đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II hoặc gần đối xứng.
Chọn đáp án D
L Câu 2. Có bao nhiêu số nguyên a với a ≥ 2 sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn
a
log x
+ 2
log a
= x − 2.
A. 8. B. 9. C. 1. D. Vô số.
- Lời giải.
Điều kiện x > 2.
Nhận xét rằng a
log x
= x
log a
.
Ta có
a
log x
+ 2
log a
= x − 2 ⇔
x
log a
+ 2
log a
+
x
log a
+ 2
= x
log a
+ x.
Xét hàm số f(t) = t
log a
+ t trên (2; +∞).
f
0
(t) = log a · t
log a−1
+ 1 > 0, ∀t > 2 và a ≥ 2.
Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên khoảng (2; +∞).
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 2. Phương trình mũ và lôgarít / Trang 17/59
Khi đó f
x
log a
+ 2
= f(x) ⇔ x
log a
+ 2 = x ⇔ x
log a
= x − 2 ⇔ log a =
log(x − 2)
log x
.
Mà
(
log(x − 2) < log x, ∀x > 2
log x > 0, ∀x > 2
nên
log(x − 2)
log x
< 1, ∀x > 2.
Do đó log a < 1 ⇔ a < 10.
Đồng thời do a ∈ Z và a ≥ 2 nên a ∈ {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.
Vậy có 8 giá trị nguyên của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn đáp án C
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 0 < y < 2020 và 3
x
+ 3x − 6 = 9y + log
3
y
3
?
A. 9. B. 8. C. 7. D. 2019.
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để tồn tại cặp số dương (x; y) thỏa mãn đồng thời
log
2
y
x
= 1−y
và log
2
3
x
2
y + y − 1
− 8(m + 2) · log
3
(2x − xy) + 5m
2
+ 16 = 0?
A. 9. B. 8. C. 16. D. 17.
Câu 3. Cho phương trình log
3
2x
2
− x + m
x
2
+ 1
= x
2
+x+4−m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [−2018; 2018]
để phương trình có hai nghiệm trái dấu?
A. 2022. B. 2021. C. 2016. D. 2015.
Câu 4. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m sao cho phương trình 8
x
+ 3x · 4
x
+
3x
2
+ 1
· 2
x
=
m
3
− 1
x
3
+ (m − 1)x có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 10)?
A. 101. B. 100. C. 102. D. 103.
Câu 5. Cho hệ thức log
3
4
x
+ 2
x+1
y + 4y
2
−log
3
2
x+1
y
=
2
x
(4y − 2
x
)
4y
2
vói 1 ≤ y ≤ 2020. Có tất cà bao nhiêu cặp số
nguyên (x; y) thỏa mãn hệ thức trên?
A. 9. B. 10. C. 11. D. 12.
Câu 6. Cho phương trình 3
x
+ m = log
3
(x − m) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ (−15; 15) để
phương trình đã cho có nghiệm?
A. 16. B. 9. C. 14. D. 15.
Câu 7. Cho phương trình 7
x
+ m = log
7
(x − m) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ (−25; 25) để
phương trình đã cho có nghiệm?
A. 9. B. 25. C. 24. D. 26.
Câu 8. Cho phương trình 2
x
+ m = log
2
(x − m) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ (−18; 18) để
phương trình đã cho có nghiệm?
A. 9. B. 19. C. 17. D. 18.
Câu 9. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãm log
5
Å
4a + 2b + 5
a + b
ã
= a + 3b − 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T = a
2
+ b
2
.
A.
5
2
. B.
1
2
. C.
3
2
. D. 1.
Câu 10. Xét x, y là các số thực dương thỏa mãn log
2
Å
x + 4y
x + y
ã
= 2x−4y+1. Giá trị nhỏ nhất của P =
2x
4
− 2x
2
y
2
+ 6x
2
(x + y)
3
bằng
A.
25
9
. B. 4. C.
9
4
. D.
16
9
.
Câu 11. Có bao nhiêu số nguyên a (a > 2) sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn
2a
x
log
2
a
+ 1
log
2
a
= x − 2.
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 2. Phương trình mũ và lôgarít / Trang 18/59
Câu 12. Có bao nhiêu số nguyên a (a > 2) sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn
a
ln x
+ 3
ln x
= x − 3.
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 13. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của số thực y nhỏ hơn 10 sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn
p
y +
√
y + e
x
=
e
x
?
A. 9. B. 8. C. 10. D. 7.
Câu 14. Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn
ln[y + 3 sin x + ln(y + 4 sin x)] = sin x.
A. 6. B. 10. C. 5. D. 9.
Câu 15. Có tất cả bao nhiêu số nguyên y sao cho có đúng 2 số thực x ∈ (0; 10) thỏa mãn:
8
x
+ 3x · 4
x
+
3x
2
+ 1
· 2
x
=
y
3
− 1
x
3
+ (y − 1)x
A. 101. B. 100. C. 102. D. 103.
Câu 16. Gọi a > 1 là số thực sao cho tồn tại duy nhất số thực x thỏa mãn a
x
= log
a
x. Mệnh đề nào đúng ?
A. a ∈ (1,2; 1,3). B. a ∈ (1,3; 1,4). C. a ∈ (1,4; 1,5). D. a ∈ (1,5; 1,6).
Câu 17. Phương trình 2
x+
3
√
m−3x
+ x(x −3)
2
·2
x
= (8 −m) ·2
x
+ 4 có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m ∈ (a; b). Khi
đó b
2
− a
2
bằng?
A. 48. B. 36. C. 64. D. 72.
Câu 18. Giả sử a, b là các số thực sao cho x
3
+ y
3
= a · 10
3x
+ b · 10
2x
đúng với mọi các số thực dương x, y, z thỏa mãn
log(x + y) = z và log
x
2
+ y
2
= z + 1. Giá trị của a + b bằng
A.
31
2
. B.
29
2
. C. −
31
2
. D. −
25
2
.
Câu 19. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log
2
(4x + 16) + x − 3y − 8
y
= −2. Gọi (x
0
; y
0
) là cặp (x; y) khi biểu thức
P = x
2
+ 3x + 1 + 8
y
đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của x
3
0
+ 3y
0
bằng?
A. 9. B. 7. C. −7. D. −9.
Câu 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m đề tồn tại cặp số (x; y) thỏa mãn đồng thời e
2x+y+1
−e
3x+2y
=
x + y − 1 và log
2
2
(2x + y − 1) − (m + 4) log
2
x + m
2
+ 4 = 0 ?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 21. Cho phương trình log
2
2x
2
− 4x + 4
= 2
y
2
+ y
2
−x
2
+ 2x −1. Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x; y) và
0 < x < 100 thỏa mãn phương trình đã cho?
A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
Câu 22. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn 0 < x ≤ 2020 và (x + 1) · 3
x
= y · 27
y
?
A. 2020. B. 673. C. 672. D. 2019.
Câu 23. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn đồng thời các điều kiện 0 ≤ x ≤ 2020, 1 ≤ y ≤ 2020 và
4
x+1
+ log
2
(y + 3) = 16 · 2
y
+ log
2
(2x + 1) ?
A. 2019. B. 2020. C. 1010. D. 1011.
Câu 24. Có tất cả bao nhiêu bộ ba số thực (x, y, z) thỏa mãn đồng thời các điều kiện
2
3
√
x
2
· 4
3
√
y
2
· 16
3
√
z
2
= 128 và
xy
2
+ z
4
2
= 4 +
xy
2
− z
4
2
A. 3. B. 4. C. 1. D. 2.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 2. Phương trình mũ và lôgarít / Trang 19/59
Câu 25. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2020; 2020] để phương trình log
2020
x
2
− 3x
2
=
log
√
2020
(x + m) có đúng hai nghiệm phân biệt ?
A. 4035. B. 2023. C. 2022. D. 4036.
Câu 26. Gọi S là tập hợp tất cà các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−20; 20] để phương trình log
2021
x
2
+ 3x
2
=
log
√
2021
(x − m) có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng
A. −203. B. −206. C. 3. D. 6.
Câu 27. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của y ∈ (−10; 10) để tồn tại 2 số thực x thỏa mãn
log
3
x
2
− 2x + 4
= log
5
x
2
− 2x + y
A. 4. B. 3. C. 6. D. 9.
Câu 28. Có bao nhiêu giá trị của y ∈ (0; 2020) để tồn tại số thực x thỏa mãn
4
x
+ 4 = 2
x+2
· cos(x + y)?
A. 324. B. 322. C. 320. D. 321.
Câu 29. Với giá trị nào của y thì tồn tại đúng 1 số thực x thỏa mãn 9
x
+ 9 = 3
x
y cos(πx) ?
A. y = 3. B. y = −6. C. y = −3. D. y = 6.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
CHUYÊN ĐỀ 3CHUYÊN ĐỀ 3
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
AA TÍCH PHÂN HÀM SỐ CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC
1. VÍ DỤ
L Câu 1 (Câu 41 - Đề minh họa lần 1 BGD 2020 - 2021).
Cho hàm số f(x) =
(
x
2
− 1 khi x ≥ 2
x
2
− 2x + 3 khi x < 2
. Tích phân
π
2
Z
0
f(2 sin x + 1) cos x dx bằng
A.
23
3
. B.
23
6
. C.
17
6
. D.
17
3
.
- Lời giải.
Phân tích.
1) Đây là dạng toán tìm giá trị của tích phân của hàm số.
2) HƯỚNG GIẢI:
B1: Dựa vào biểu thức bên trong dấu tích phân, ta sử dụng phương pháp đổi biến số để xử lý bài toán.
B2: Sử dụng tính chất
b
Z
a
f(x) dx =
c
Z
a
f(x) dx +
b
Z
c
f(x) dx, ∀c ∈ (a; b).
B3: Lựa chọn hàm f(x) thích hợp để tính giá trị tích phân.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Xét I =
π
2
Z
0
f(2 sin x + 1) cos x dx.
Đặt t = 2 sin x + 1 ⇒
1
2
dt = cos x dx.
Đổi cận:
x = 0 ⇒ t = 1
x =
π
2
⇒ t = 3.
Khi đó I =
1
2
3
Z
1
f(t) dt =
1
2
3
Z
1
f(x) dx =
1
2
2
Z
1
x
2
− 2x + 3
dx +
3
Z
2
x
2
− 1
dx
=
23
6
.
Chọn đáp án B
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Cho hàm số f(x) =
(
2x − 1 khi x ≤ 0
x
2
+ 4x − 2 khi x > 0
. Tích phân
π
Z
0
sin 2xf (cos x) dx bằng
20
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 21/59
A.
9
2
. B. −
9
2
. C. −
7
6
. D.
7
6
.
Câu 2. Cho hàm số f (x) =
(
x
2
− 4x − 1 khi x ≥ 5
2x − 6 khi x < 5
. Tích phân
ln 2
Z
0
f (3e
x
+ 1) e
x
dx bằng
A.
77
3
. B.
77
9
. C.
68
3
. D.
77
6
.
Câu 3. Cho hàm số f (x) =
x
2
+ 3x khi x ≥ 1
5 − x khi x < 1
.
Tích phân I = 2
π
2
Z
0
cos xf (sin x) dx + 3
1
Z
0
f(3 − 2x) dx bằng
A. 40. B. 60. C.
32
3
. D.
71
6
.
Câu 4. Cho hàm số f(x) =
e
x
+ m khi x ≥ 0
2x
√
3 + x
2
khi x < 0
liên tục trên R. Biết
1
Z
−1
f(x) dx = ae + b
√
3 + c với a, b, c ∈ Q,
tổng a + b + 3c bằng
A. −10. B. −12. C. −17. D. −19.
Câu 5. Cho hàm số f(x) =
ax
2
+ bx + 1 khi x ≥ 0
ax − b − 1 khi x < 0
có đạo hàm trên R với a, b là các tham số thực. Khi đó
−1
Z
−3
f(x) dx bằng
A.
82
3
. B. −
22
3
. C. −14. D. 10.
Câu 6. Cho hàm số f (x) =
2x − 1 khi x ≥ 1
x
2
khi x < 1
. Tính tích phân
13
Z
1
f
Ä
√
x + 3 − 2
ä
dx.
A. −
231
5
. B.
97
6
. C.
16
3
. D.
113
3
.
Câu 7. Cho hàm số f(x) =
2x − 4 khi x ≥ 2
4 − 2x khi x < 2
. Tính tích phân
π
2
Z
−
π
4
f
3 − 4 cos
2
x
sin 2x dx.
A.
2
3
. B.
1
2
. C.
21
4
. D.
5
12
.
Câu 8. Cho hàm số f (x) =
x
4
+ 2x
2
− 1 khi x < 1
3 − x
2
khi x ≥ 1
. Tính tích phân
e
4
Z
1
f
Ä
√
4 − ln x
ä
1
x
dx.
A.
16
3
. B. 17. C.
11
6
. D.
6
11
.
Câu 9. Cho hàm số f (x) =
2x
2
− 1 khi x < 0
x − 1 khi 0 ≤ x ≤ 2
5 − 2x khi x > 2
. Tính tích phân
x
4
Z
−
π
4
f(2 − 7 tan x)
1
cos
2
x
dx.
A.
201
77
. B.
34
103
. C.
155
7
. D.
109
21
.
Câu 10. Cho hàm số f (x) =
x
2
− x khi x ≥ 0
x khi x < 0
.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 22/59
Tính I = 2
π
2
Z
0
cos xf (sin x) dx + 2
2
Z
0
f(3 − 2x) dx.
A. I =
7
3
. B. I =
8
3
. C. I = 3. D. I =
11
3
.
BẢNG ĐÁP ÁN
1. A 2. B 3. A 4. B 5. D 6. B 7. A 8. C 9. D 10. D
BB TÍCH PHÂN KẾT HỢP: ĐỔI BIẾN & TỪNG PHẦN
1. VÍ DỤ
L Câu 1. Cho
π
2
Z
0
cos x
sin
2
x − 5 sin x + 6
dx = a ln
4
c
+ b, với a, c > 0. Giá trị a + b + c bằng
A. 0. B. 1. C. 3. D. 4.
- Lời giải.
• I =
π
2
Z
0
cos x
sin
2
x − 5 sin x + 6
dx.
• Đặt sin x = t ⇒ cos x dx = dt.
• Đổi cận
x =
π
2
x = 0
⇒
(
t = 1
t = 0.
• Suy ra I =
1
Z
0
1
t
2
− 5t + 6
dt =
1
Z
0
1
(t − 3)(t − 2)
dt =
1
Z
0
Å
1
t − 3
−
1
t − 2
ã
dt
= (ln |t − 3| − ln |t − 2|)
1
0
= ln 4 − ln 3 = 1 · ln
4
3
+ 0.
• Do đó a = 1; b = 0; c = 3 suy ra a + b + c = 4.
Chọn đáp án D
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Biết
π
2
Z
0
sin x
cos 2x + 3 cos x + 2
dx = a ln 3 + b ln 2 với a, b ∈ Q. Khi đó a
3
+ 2ab − 3b
2
bằng
A. 26. B. −6. C. 3. D. −4.
Câu 2. Nếu
ln 6
Z
ln 3
1
e
x
+ 2e
−x
− 3
dx = 3 ln a − ln b (với a, b ∈ N
∗
) thì ab bằng
A. 20. B. −10. C. 15. D. 10.
Câu 3. Cho hàm số y = f(x) có f(0) = 1 và f
0
(x) = tan
3
x + tan x, ∀x ∈ R. Nếu
π
4
Z
0
f(x) dx =
a + π
b
thì b −a bằng
A. 0. B. 12. C. −4. D. 4.
Câu 4. Cho hàm số y = f(x) có f(1) =
1
2
và f
0
(x) =
x
(x + 1)
2
, ∀x > −1. Biết
2
Z
1
f(x) dx = a ln
b
c
− d với a; b; c; d ∈ N
∗
và phân số
b
c
tối giản. Khi đó a + b + c + d bằng
A. 8. B. 5. C. 6. D. 10.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 23/59
Câu 5. Cho hàm số y = f (x) có f(3) = 4 và f
0
(x) =
x
(x − 2)
2
, ∀x > 2. Biết
5
Z
3
f(x) dx = a + b ln 3 với a; b là các số hữu
tỉ. Khi đó a − 4b
2
bằng
A. 10. B. −6. C. 6. D. −10.
Câu 6. Biết I =
π
2
Z
0
x sin x + cos x + 2x
sin x + 2
dx =
π
2
a
+ ln
b
c
với a, b, c là các số nguyên dương và
b
c
là phân số tối giản. Tính
P = abc.
A. P = 24. B. P = 13. C. P = 48. D. P = 96.
Câu 7. Biết I =
e
Z
1
ln x
x(ln x + 2)
2
dx = ln a + b với a > 0, b ∈ R. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 2ab = −1. B. 2ab = 1. C. −b + ln
3
2a
= −
1
3
. D. −b + ln
3
2a
=
1
3
.
Câu 8. Biết
e
Z
1
(x + 1) ln x + 2
1 + x ln x
dx = a · e + b · ln
Å
e + 1
e
ã
, trong đó a; b là các số nguyên. Khi đó tỉ số
a
b
là
A.
1
2
. B. 1. C. 3. D. 2.
Câu 9. Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f
0
(x) = (x + 1)e
x
và f (0) = 0. Khi đó
ln 3
Z
ln 2
f(x) dx = a ln 3 + b ln 2 + c. Tính a + b + c.
A. a + b + c = 2. B. a + b + c = 3. C. a + b + c = 1. D. a + b + c = 0.
Câu 10. Cho hàm số f(x) có f
π
4
= ln
√
2 và f
0
(x) =
cos x − sin x
sin x + cos x
. Biết
π
4
Z
0
cos
x +
π
4
f(x) dx =
a
√
2 ln
√
2 + b
√
2 + c
2
; với a, b, c là các số nguyên. Khi đó a + b + c bằng
A. 2. B. 0. C. −1. D. 1.
BẢNG ĐÁP ÁN
1. D 2. D 3. D 4. D 5. C 6. C 7. A 8. B 9. D 10. B
CC TÍCH PHÂN HÀM ẨN
1. VÍ DỤ
Lấy nguyên hàm (khi cho f(x
0
) = k) hoặc lấy tích phân hai vế với cận thích hợp.
L Câu 1. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa 3f (x) + xf
0
(x) = x
2020
.
Khi đó
1
Z
0
f(x)dx bằng
A.
1
2021 · 2023
. B. 1. C. 2021. D.
1
2021 · 2020
.
- Lời giải.
Ta có: 3f(x) + xf
0
(x) = x
2020
⇔ 3x
2
f(x) + x
3
f
0
(x) = x
2022
⇔
x
3
f(x)
0
= x
2022
(∗)
⇔
1
Z
0
x
3
f(x)
0
dx =
1
Z
0
x
2022
dx ⇔ x
3
f(x)
1
0
=
x
2023
2023
1
0
⇔ f (1) =
1
2023
.
Từ (∗), lấy nguyên hàm hai vế, ta được
Z
x
3
f(x)
0
dx =
Z
x
2022
dx ⇔ x
3
f(x) =
x
2023
2023
+ C.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 24/59
Mà f(1) =
1
2023
⇒ C = 0 ⇒ f (x) =
x
2020
2023
.
⇒
Z
1
0
f(x)dx =
Z
1
0
x
2020
2023
dx =
x
2021
2021 · 2023
1
0
=
1
2021 · 2023
.
Chọn đáp án A
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Cho f(x) liên tục trên đoạn [1; 4] thỏa mãn f (x) −
ln x
x
=
f(2
√
x − 1)
√
x
. Khi đó
4
Z
3
f(x)dx bằng
A. 3 + 2 ln
2
2. B. 2 ln
2
2. C. ln
2
2. D. 2 ln 2.
Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục trên (0; +∞) và thỏa mãn f
x
2
+ 1
+
f(
√
x)
4x
√
x
=
2x + 1
2x
ln(x + 1). Biết
17
Z
1
f(x)dx =
a ln 5 − 2 ln b + c, với a, b, c ∈ R. Giá trị của a + b + 2c bằng
A.
29
2
. B. 5. C. 7. D. 37.
Câu 3. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa xf
x
3
+f
x
2
− 1
= e
x
2
, ∀x ∈ R. Khi đó
0
Z
−1
f(x)dx bằng
A.
1
2
. B. 3e. C. 3(1 − e). D. 3(e − 1).
Câu 4. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f(e
x
+1)+f(x)+f
0
(x) = x, ∀x ∈ R và f (0) = 2f (ln 2)−1.
Khi đó
3
Z
2
f(x)dx bằng
A.
1
2
ln 2 − 1. B. 2 ln 2. C. −
2
3
. D. 2 ln 2 − 2.
Câu 5. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f (x
3
+x+2) = x
2
+x−1, ∀x ∈ R. Giá trị của
4
Z
−8
x
2
f
0
(x)dx
thuộc khoảng nào sau đây?
A. (−20; −10). B. (20; 25). C. (10; 20). D. (−25; −20).
Câu 6. Cho hàm số f (x) có đạo hàm không âm trên đoạn [0; 1] thỏa
(f(x))
4
· (f
0
(x))
2
· (x
2
+ 1) = 1 + (f(x))
3
và f(x) > 0, ∀x ∈ [0; 1]. Biết f(0) = 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 2 < f(1) <
5
2
. B.
5
2
< f (1) < 3. C.
3
2
< f (1) < 2. D. 3 < f(1) <
7
2
.
Câu 7. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f (0) = 1,
1
Z
0
[f
0
(x)]
2
dx =
1
30
,
1
Z
0
(2x −1)f(x)dx =
−
1
30
. Tính
1
Z
0
f(x)dx.
A.
1
30
. B.
11
30
. C.
11
12
. D.
11
4
.
Câu 8. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn
16
Z
1
f(
√
x)
x
dx =
π
2
Z
π
4
cot x · f
sin
2
x
dx = 1.
Tích phân
1
Z
1
8
f(4x)
x
dx bằng
A.
5
2
. B. 2. C.
3
2
. D. 4.
Câu 9. Cho hàm số y = f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên (0; +∞) và thỏa mãn f(1) = 1, biểu thức f
0
(x) =
f(x)
√
3x + 1, với mọi x > 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 25/59
A. 2 < f(5) < 3. B. 4 < f(5) < 5. C. 1 < f(5) < 2. D. 3 < f(5) < 4.
Câu 10. Cho hàm số y = f(x) có f
0
(x) liên tục trên nửa khoảng [0; +∞) thỏa mãn 3f(x) + f
0
(x) =
√
1 + e
−2x
. Khi
đó:
A. e
3
f(1) − f(0) =
1
√
e
2
+ 1
−
1
2
. B. e
3
f(1) − f(0) =
1
2
√
e
2
+ 1
−
1
4
.
C. e
3
f(1) − f(0) =
e
2
+ 1
√
e
2
+ 1 −
√
8
3
. D. e
3
f(1) − f(0) =
e
2
+ 1
√
e
2
+ 1 −
√
8.
Câu 11. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn 3f(x) + xf
0
(x) = x
2018
, với mọi x ∈ [0; 1]. Tính
I =
1
Z
0
f(x)dx.
A. I =
1
2018 · 2021
. B. I =
1
2019 · 2020
. C. I =
1
2019 · 2021
. D. I =
1
2018 · 2019
.
Câu 12. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R thỏa (x + 2)f (x) + (x + 1)f
0
(x) = e
x
và f(0) =
1
2
. Tính f(2).
A. f (2) =
e
3
. B. f(2) =
e
6
. C. f(2) =
e
2
3
. D. f (2) =
e
2
6
.
Câu 13. Cho hàm số f (x) thỏa mãn
1
Z
0
(x + 1)f
0
(x) dx = 10 và 2f(1) − f(0) = 2. Tính I =
1
Z
0
f(x) dx.
A. I = 1. B. I = 8. C. I = −12. D. I = −8.
Câu 14. Cho các hàm số f (x) và g(x) liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn f
0
(0) ·f
0
(2) 6= 0 và g(x) ·f
0
(x) = x(x −2)e
x
.
Tính I =
2
Z
0
f(x) · g
0
(x)dx.
A. I = −4. B. I = e − 2. C. I = 4. D. I = 2 − e.
Câu 15. Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ (0; +∞) đồng thời thỏa mãn điều kiện
f(x) = x (sin x + f
0
(x)) + cos x và
3π
2
Z
π
2
f(x) sin x dx = −4.
Khi đó, f(π) nằm trong khoảng nào?
A. (11; 12). B. (5; 6). C. (6; 7). D. (12; 13).
BẢNG ĐÁP ÁN
1. B 2. C 3. D 4. D 5. D 6. B 7. C 8. A 9. D 10. C
11. C 12. D 13. D 14. C 15. B
DD DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
1. VÍ DỤ
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 26/59
L Câu 1. Cho y = f(x) xác định trên [−3; 3] có đồ thị như hình vẽ. Biết
S
1
, S
2
, S
3
có diện tích lần lượt là 3, 1 và 3 . Khi đó
1
Z
−1
(1 − x)f
0
(3x) dx
bằng
A.
1
2
. B. −
5
9
. C. −5. D. 7.
x
y
O
−3 3
S
1
S
3
S
2
y = f (x)
- Lời giải.
Đặt: t = 3x ⇒ dt = 3 dx ⇒
dt
3
= dx.
Đổi cận:
Với x = −1 thì t = −3;
Với x = 1 thì t = 3.
Khi đó, ta có
1
Z
−1
(1 − x)f
0
(3x) dx =
3
Z
−3
Å
1 −
t
3
ã
·
1
3
f
0
(t) dt =
1
9
3
Z
−3
(1 − x)f
0
(x) dx.
Đặt:
u = 1 − x ⇒ du = −dx;
dv = f
0
(x) dxchọnv = f (x).
Khi đó, ta có
1
9
3
Z
−3
(1 − x)f
0
(x) dx =
1
9
(1 − x)f(x)|
3
−3
+
3
Z
−3
f(x) dx
=
1
9
−2 f (3)
|{z}
0
−4 f (−3)
| {z }
0
+
3
Z
−3
f(x) dx
=
1
9
3
Z
−3
f(x) dx =
1
9
(−S
1
+ S
2
− S
3
) =
1
9
(−3 + 1 − 3) = −
5
9
.
Chọn đáp án B
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 27/59
L Câu 2. (Đề thi THPT QG năm 2018 – Mã đề 102 Câu 36) Cho hai
hàm số f (x) = ax
3
+bx
2
+cx−2 và g(x) = dx
2
+ex+2(a, b, c, d, e ∈
R). Biết rằng đồ thị của hàm số y = f(x) và y = g(x) cắt nhau
tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −2; −1; 1 (tham khảo hình ve).
Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
A.
37
6
. B.
13
2
. C.
9
2
. D.
37
12
.
x
y
O
−1 1
−2
- Lời giải.
Ta có: f(x) − g(x) = a(x + 2)(x + 1)(x − 1) = ax
3
+ 2ax
2
− ax − 2a (1)
Mà f(x) − g(x) = ax
3
+ (b − d)x
2
+ (c − e)x − 4 (2)
Từ (1), (2) so sánh hệ số tự do, suy ra: −2a = −4 ⇔ a = 2
Khi đó ta có f(x) − g(x) = 2x
3
+ 4x
2
− 2x − 4.
Do đó S =
1
Z
−2
|f(x) − g(x)|dx =
1
Z
−2
2x
3
+ 4x
2
− 2x − 4
dx =
37
6
.
Chọn đáp án A
L Câu 3. Cho đồ thị hàm số trùng phương (C) : y = f(x) như hình vẽ và
S
1
, S
2
là diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên. Biết
S
1
S
2
=
k
1
k
2
là
một phân số tối giản. Khi đó k
2
1
+ k
2
2
bằng
A. 103. B. 274. C. 113. D. 289.
x
y
O
1 2 3
1
S
1
S
2
- Lời giải.
x
y
O
−1 1
1
S
1
S
2
Tịnh tiến đồ thị (C) : y = f (x) theo vectơ
#»
v = (−2; 0), ta được đồ thị g(x) = ax
4
+ bx
2
+ c.
Ta có: g(x) = a(x − 1)
2
(x + 1)
2
= a(x
2
− 1)
2
và A(0; 1) ∈ g(x) ⇒ a = 1.
⇒ g(x) = (x
2
− 1)
2
= x
4
− 2x
2
+ 1.
⇒ S
2
=
0
Z
−1
x
4
− 2x
2
+ 1
˚
dx =
8
15
.
Diện tích hình vuông: S = S
1
+ S
2
= 1 ⇒ S
1
= 1 − S
2
=
7
15
.
⇒
S
1
S
2
=
k
1
k
2
=
7
8
⇒ k
2
1
+ k
2
2
= 113.
Chọn đáp án C
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 28/59
L Câu 4. Cho Parabol (P ) : y = x
2
và điểm A(0; 1). Một đường thẳng đi qua A
cắt (P ) tại hai điểm B, C sao cho AC = 2AB như hình vẽ bên. Thể tích của khối
tròn xoay được tạo thành khi quay phần gạch chéo quanh trục hoành gần với giá
trị nào nhất sau đây ?
A. 13, 3. B. 8. C. 7, 3. D. 11.
x
y
O
- Lời giải.
x
y
O
x
B
x
C
Gọi B(b; b
2
), C(c; c
2
) ∈ (P ). Ta có: AC = 2AB ⇒
BA
BC
=
1
3
⇒
|b|
|b| + |c|
=
1
3
.
Mà b < 0, c > 0 ⇒
−b
−b + c
=
1
3
⇒ c = −2b.
⇒ B(b; b
2
), C(−2b; 4b
2
) ⇒
(
AB =
p
b
4
− b
2
+ 1
AC =
p
16b
4
− 4b
2
+ 1
.
Mà AC = 2AB ⇒ 16b
4
− 4b
2
+ 1 = 4(b
4
− b
2
+ 1) ⇔ b = ±
1
√
2
⇒ b = −
1
√
2
.
⇒ B
Å
−
1
√
2
;
1
2
ã
, C
Ä
√
2; 2
ä
. Do đó đường thẳng BC qua A(0; 1), C
Ä
√
2; 2
ä
⇒ BC : y =
√
2
2
x + 1.
Thể tích cần tìm là: V =
√
2
Z
−
√
2
2
Ç
√
2
2
x + 1
å
2
−
x
2
2
˚
dx ≈ 7, 997.
Chọn đáp án B
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [−1; 2] có đồ thị như hình vẽ.
Biết S
1
, S
2
có diện tích lần lượt là 2 và 6 . Tích phân
1
Z
−
1
2
(x+1)f
0
(2x) dx bằng
A. 1. B. −1. C. 4. D. −4.
x
y
O
−1
2
S
1
S
2
y = f (x)
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 29/59
Câu 2. Người ta dự định trồng hoa Lan Ý để trang trí vào phần
tô đậm (như hình vẽ). Biết rằng phần tô đậm là diện tích hình
phẳng giới hạn bởi hai đồ thị f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx +
3
4
và g(x) =
dx
2
+ ex −
3
4
vói a, b, c, d, e ∈ R. Biết rằng hai đồ thị đó cắt nhau
tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng −2; 1; 3 và chi phí trồng hoa
là 960000 đồng /1m
2
và đơn vị trên các trục được tính là 1 mét. Số
tiền cần để trồng hoa là
A. 5060000 đồng. B. 6500000 đồng.
C. 8400000 đồng. D. 10000000 đồng.
x
y
O
1 3
−2
Câu 3. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Biết hàm
số f(x) đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x
2
thỏa mãn x
2
= x
1
+ 4 và f(x
1
) + f(x
2
) = 0. Gọi S
1
và S
2
là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tỉ số
S
1
S
2
bằng
A.
5
3
. B.
3
5
. C. 1. D.
3
4
.
x
y
O
x
1
x
2
S
2
S
1
Câu 4. Cho parabol y = x
2
có đồ thị như hình vẽ, diện tích S
2
= 2S
1
. Gọi V
1
, V
2
là thể tích
hình phẳng S
1
, S
2
quay quanh trục hoành. Tỉ số
V
2
V
1
bằng
A. 2
3
√
4. B. 3
4
√
2. C. 2. D. 4.
x
y
O
a b
S
1
S
2
Câu 5.
Cho hai hàm số f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx − 1 và g(x) = dx
2
+ ex +
1
2
(a, b, c, d, e ∈ R).
Biết rằng đồ thị của hàm số y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ
lần lượt −3; −1; 2 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có
diện tích bằng
A.
253
12
. B.
125
12
. C.
253
48
. D.
125
48
.
x
−3 −1 2
y
O
Câu 6.
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R có đồ thị (C) cắt trục Ox tại 3 điểm có hoành
độ lần lượt là a, b, c(a < b < c). Biết phần hình phẳng nằm phía trên trục Ox giới hạn
bởi đồ thị (C) và trục Ox có diện tích là S
1
=
7
10
, phần hình phẳng nằm phía dưới
trục Ox giới hạn bởi đồ thị (C) và trục Ox có diện tích là S
2
= 2 (như hình vẽ). Tính
I =
c
Z
a
f(x) dx.
O
x
y
a
b
c
S
1
S
2
A. I = −
13
10
. B. I =
13
10
. C. I =
27
10
. D. I = −
27
10
.
Câu 7.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 30/59
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [−3; 3]. Biết rằng diện tích hình
phẳng S
1
, S
2
giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = −x −1 lần lượt
là M, m. Tính tích phân
3
Z
−3
f(x) dx.
A. 6 + m − M. B. 6 − m − M. C. M − m + 6. D. m − M − 6.
x
y
1 3
−3
−4
2
−2
0
−1
−6
S
1
S
2
Câu 8.
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x
2
, y = 0, x = 0,
x = 4. Đường thẳng y = k (0 < k < 16)) chia hình (H) thành hai
phần có diện tích S
1
, S
2
(hình vẽ). Tìm k để S
1
= S
2
.
A. k = 8. B. k = 4. C. k = 5. D. k = 3.
y
x
O
x = 4
y = k
S
1
S
2
y = x
2
Câu 9. Cho hàm số y = x
4
− 4x
2
+ m có đồ thị (C
m
). Giả sử (C
m
) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho hình
phẳng giới hạn bởi (C
m
) với trục hoành có diện tích phần phía trên trục hoành bằng diện tích phần phía dưới trục hoành.
Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?
A. m ∈ (−1; 1). B. m ∈ (2; 3). C. m ∈ (3; 5). D. m ∈ (5; +∞).
Câu 10.
Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f
0
(x) có đồ thị như hình bên.
Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số
y = f
0
(x) trên đoạn [−2; 1] và [1; 4] lần lượt bằng 9 và 12. Cho f(1) = 3.
Giá trị của biểu thức f(−2) + f(4) bằng
A. 21. B. 9. C. 3. D. 2.
x
y
O
1 4
−2
Câu 11. Gọi S là diện tích hình phẳng giói hạn bởi đồ thị của hàm số (P ): y = x
2
−4x + 3 và các tiếp tuyến kẻ từ điểm
A
Å
3
2
; −3
ã
đến đồ thị (P ). Giá trị của S bằng
A. 9. B.
9
8
. C.
9
4
. D.
9
2
.
Câu 12. Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn 28cm, trục nhỏ 25cm. Biết cứ 1000cm
3
dưa
hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20.000đ. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh
tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể.
A. 183.000đ. B. 180.000đ. C. 185.000đ . D. 190.000đ.
Câu 13.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 31/59
Cho đồ thị (C) : y = f(x) =
√
x. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C),
đường thẳng x = 9, Ox. Cho điểm M thuộc (C), A(9; 0). Gọi V
1
là thể
tích khối tròn xoay khi quay (H) quanh Ox, V
2
là thể tích khối tròn xoay
khi cho tam giác AOM quay quanh Ox. Biết V
1
= 2V
2
. Tính diện tích
S phần hình phẳng giới hạn bởi (C), OM (hình vẽ không thể hiện chính
xác điểm M).
x
y
O
M
A
A. S = 3. B. S =
27
√
3
16
. C. S =
3
√
3
2
. D. S =
4
3
.
Câu 14.
Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các
đường thẳng và đường cong parabol (được tô màu đen trong hình bên) quanh trục Ox.
A.
61π
15
. B.
88π
5
. C.
8π
5
. D.
424π
15
.
x
y
−2
1
5
3
O
2
4
BẢNG ĐÁP ÁN
1. A 2. A 3. B 4. A 5. C 6. A 7. D 8. B 9. B 10. C
11. C 12. A 13. B 14. B
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
CHUYÊN ĐỀ 4CHUYÊN ĐỀ 4
SỐ PHỨC
SỐ PHỨC
AA XÁC ĐỊNH CÁC THUỘC TÍNH CỦA SỐ PHỨC
1. VÍ DỤ
L Câu 1 (Đề THAM KHẢO BDG 2020-2021).
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z| =
√
2 và (z + 2i)(¯z − 2) là số thuần ảo?
A. 1. B. 0. C. 2. D. 4.
- Lời giải.
Giả sử z = x + yi(x, y ∈ R) thì ¯z = x − yi và
(z + 2i)(¯z − 2) = [x + (y + 2)i][(x − 2) − yi]
= [x(x − 2) + y(y + 2)] + [(x − 2)(y + 2) − xy]i
= (x
2
− 2x + y
2
+ 2y) + (2x − 2y − 4)i.
Theo đề ta có
(
|z| =
√
2
(z + 2i)(¯z − 2) là số thuần ảo
⇔
(
x
2
+ y
2
= 2
x
2
− 2x + y
2
+ 2y = 0
⇔
(
x
2
+ y
2
= 2
x − y = 1
⇔
x =
1
2
−
√
3
2
y = −
1
2
−
√
3
2
x =
1
2
+
√
3
2
y =
√
3
2
−
1
2
.
Vậy có 2 số phức thỏa đề bài.
Chọn đáp án C
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z
3
+ 2i|z|
2
= 0.
A. 4. B. 3. C. 2. D. 6.
Câu 2. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn |z − 3| = |z − 1| và (z + 2)(¯z − i) là số thực. Tính a + b.
A. −2. B. 0. C. 2. D. 4.
Câu 3. Tìm số phức z thỏa mãn
2 − iz
2 + i
−
z + 2i
1 − 2i
= 2¯z và |z| > 1. Khi đó a
2
+ b
2
− ab bằng
A. −5. B. −1. C. 5. D. 1.
Câu 4. Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) thỏa mãn 2z¯z − (5 + 7i)|z|
2
= (17 + i)¯z. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu
diễn của số phức z khác gốc tọa độ là
A. N (−1; 2). B. P (2; −1). C. Q(−2; 1). D. M(1; −2).
32
Chuyên đề 4. SỐ PHỨC / Trang 33/59
Câu 5. Gọi S là tổng các giá trị thực của m để phương trình 9z
2
+ 6z + 1 − m = 0 có nghiệm phức thỏa mãn |z| = 1.
Giá trị của S bằng
A. 20. B. 12. C. 14. D. 8.
Câu 6. Cho số phức z 6= 0 thỏa mãn
iz − (3i + 1)z
1 + i
= |z|
2
. Số phức w =
26iz
9
có môđun bằng
A. 9. B.
√
26. C.
√
6. D. 5.
Câu 7. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn điều kiện
z
2
+ 4
= 2 |z|. Đặt P = 8(b
2
− a
2
) − 12. Khẳng định nào
dưới đây đúng?
A. P = (|z| − 2)
2
. B. P =
Ä
|z|
2
− 4
ä
2
. C. P = (|z| − 4)
2
. D. P =
Ä
|z|
2
− 2
ä
2
.
Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn |2z − 1| = |z + 1 + i| và điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ thuộc đường tròn
có tâm I(1; 1), bán kính R =
√
5. Khi đó tích môđun của tất cả các số phức z thỏa mãn các yêu cầu trên là
A.
√
5. B. 3. C. 3
√
5. D. 1.
Câu 9. Cho ba số phức z
1
, z
2
, z
3
phân biệt thỏa mãn |z
1
| = |z
2
| = |z
3
| = 3 và z
1
+ z
2
= z
3
. Biết z
1
, z
2
, z
3
lần lượt được
biểu diễn bởi các điểm A, B, C trên mặt phẳng phức. Tính góc
’
ACB.
A. 150
◦
. B. 90
◦
. C. 120
◦
. D. 45
◦
.
Câu 10. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: |z − z − 2i| = |z + z − 6| và |z − 6 − 2i| = 2
√
2.
A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.
Câu 11. Cho a, b, c là các số thực sao cho phương trình z
3
+ az
2
+ bz + c = 0 có ba nghiệm phức lần lượt là z
1
= ω + 3i,
z
2
= ω + 9i, z
3
= 2ω − 4, trong đó ω là một số phức nào đó. Tính giá trị của P = |a + b + c|.
A. P = 84. B. P = 36. C. P = 136. D. P = 208.
Câu 12. Cho số phức z thoả mãn z − 4 = (1 + i)|z| − (4 + 3z)i. Môđun của số phức z bằng
A. 2. B. 1. C. 16. D. 4.
Câu 13. Cho A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z
0
, z
1
khác 0 và thỏa mãn đẳng thức z
2
0
+z
2
1
= z
0
z
1
.
Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì (O là gốc tọa độ)? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.
A. Đều. B. Cân tại O. C. Vuông tại O. D. Vuông cân tại O.
Câu 14. Trên hệ tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn số phức z có mô-đun lớn nhất thỏa mãn |z + 4 − 3i| = 5. Tọa độ
điểm M là
A. M (−6; 8). B. M (8; −6). C. M (8; 6). D. M (−8; 6).
Câu 15. Cho số phức z thỏa mãn |z −3 −4i| =
√
5. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P = |z + 2|
2
− |z − i|
2
. Môđun của số phức w = M + mi là
A. |w| = 3
√
137. B. |w| =
√
1258. C. |w| = 2
√
309. D. |w| = 2
√
314.
Câu 16. Xét số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn |z −4 −3i| = |z −2 + i|. Tính P = a
2
+ b
2
khi |z + 1 −3i|+ |z −1 + i|
đạt giá trị nhỏ nhất.
A.
293
9
. B.
449
32
. C.
481
32
. D.
137
9
.
Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Gọi M
max
là giá trị lớn nhất và M
min
là giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M =
z
2
+ z + 1
+
z
3
+ 1
. Tính P = M
max
+ M
min
.
A. P = 8. B. P = 5. C. P = 7. D. P = 6.
1. A 2. B 4. A 5. B 6. B 7. D 8. A 9. C
10. D 11. C 12. A 13. A 14. D 15. B 16. B 17. D
BB CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA MÔ-ĐUN SỐ PHỨC
1. VÍ DỤ
L Câu 1. Xét các số phức z = x + yi (x, y ∈ R) thỏa mãn |z − 3 − 4i| =
√
5. Giá trị lớn nhất của biểu thức
P = |z + 2|
2
− |z − i|
2
bằng
A. 32. B. 33. C. 13. D. 12.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 4. SỐ PHỨC / Trang 34/59
- Lời giải.
Gọi M là điểm biểu diễn của z = x + yi thỏa mãn |z − 3 − 4i| =
√
5 nên M ∈ (C) có tâm I(3; 4) và bán kính R =
√
5.
Ta có P = |z + 2|
2
− |z − i|
2
= (x + 2)
2
+ y
2
−
x
2
+ (y − 1)
2
⇔ 4x + 2y + 3 − P = 0.
Gọi đường thẳng ∆: 4x + 2y + 3 − P = 0. Để tồn tại số phức z thì
d(I, ∆) ≤ R ⇔
|4 · 3 + 2 · 4 + 3 − P |
√
4
2
+ 2
2
≤
√
5 ⇔ |P − 23| ≤ 10 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33.
Suy ra max P = 33.
Chọn đáp án C
L Câu 2. Xét các số phức z
1
, z
2
thỏa |z
1
−4| = 1 và |iz
2
−2| = 1. Giá trị lớn nhất của |z
1
+ 2z
2
−6i| bằng
A. 2
√
2 − 2. B. 4 −
√
2. C. 4
√
2 + 9. D. 4
√
2 + 3.
- Lời giải.
Đặt z
3
= −2z
2
, ta có
|z
1
+ 2z
2
− 6i| = |z
1
− (−2z
2
) + (−6i)| = |z
1
− z
3
+ (−6i)| ≤ |z
1
− z
3
| + | − 6i| = MN + 6.
Trong đó M, N lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z
1
, z
3
.
Vì |z
1
− 4| = 1 nên M ∈ (C
1
) có tâm I
1
(4; 0) và bán kính R
1
= 1.
Vì
|iz
2
− 2| = 1 ⇔
i ·
−1
2
· z
3
− 2
= 1 ⇔
−
1
2
i
· |z
3
− 4i| = 1 ⇔ |z
3
− 4i| = 2
nên N ∈ (C
2
) có tâm I
2
(0; 4) và bán kính R
2
= 2.
x
y
O
1
1
M
N
I
1
I
2
Khi đó
|z
1
+ 2z
2
− 6i| ≤ MN + 6 ≤ I
1
I
2
+ R
1
+ R
2
+ 6 = 4
√
2 + 9.
Vậy max |z
1
+ 2z
2
− 6i| = 4
√
2 + 9.
Chọn đáp án C
L Câu 3. Xét hai số phức z
1
, z
2
thỏa mãn |z
1
| = 2, |z
2
| = 3 và |z
1
− z
2
| = 4. Giá trị lớn nhất của biểu thức
|2z
1
− 3z
2
+ 4 − 3i| bằng
A.
√
97 − 5. B.
√
115 + 5. C. 5 +
√
97. D. 5 +
√
43.
- Lời giải.
Gọi M, N là điểm biểu diễn của số phức z
1
, z
2
, ta có
|z
1
| =
# »
OM
= OM = 2, |z
2
| =
# »
ON
= ON = 3 và |z
1
− z
2
| =
# »
OM −
# »
ON
= MN = 4.
Lại có
|2z
1
− 3z
2
+ 4 − 3i| = |(2z
1
− 3z
2
) + (4 − 3i)| ≤ |2z
1
− 3z
2
| + |4 − 3i| = |2z
1
− 3z
2
| + 5.
Mặt khác
4
2
= MN
2
=
Ä
# »
OM −
# »
ON
ä
2
= OM
2
+ ON
2
− 2
# »
OM ·
# »
ON
= 2
2
+ 3
2
− 2
# »
OM ·
# »
ON
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 4. SỐ PHỨC / Trang 35/59
Suy ra
# »
OM ·
# »
ON = −
3
2
.
Do đó
|2z
1
− 3z
2
|
2
=
Ä
2
# »
OM −3
# »
ON
ä
2
= 4OM
2
+ 9ON
2
− 12
# »
OM ·
# »
ON = 4 · 4 + 9 · 9 − 12 ·
Å
−
3
2
ã
= 115.
Suy ra |2z
1
− 3z
2
| =
√
115.
Vậy max |2z
1
− 3z
2
+ 4 − 3i| =
√
115 + 5.
Chọn đáp án B
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Cho hai số phức z
1
, z
2
thỏa mãn |z
1
−2 + 4i| = 1 và |z
2
+ 2 − 3i| = |z
2
−3 + 2i|. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
|z
1
− z
2
| bằng
A. 2
√
3 − 1. B. 2
√
3 + 1. C. 3
√
2 − 1. D. 3
√
2 + 1.
Câu 2. Xét các số phức z
1
, z
2
thỏa |z
1
− 5 + 3i| = 3 và |iz
2
+ 4 + 2i| = 2. Giá trị lớn nhất của |3iz
1
+ 2z
2
| bằng
A.
√
554 + 5. B.
√
578 + 13. C.
√
578 + 5. D.
√
554 + 13.
Câu 3. Xét hai số phức z
1
, z
2
thỏa mãn |z
1
| = 13, |z
2
| = 15 và |z
1
− z
2
| = 24. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
|z
1
− 3z
2
+ 3 − 4i| bằng
A. 2
√
685 + 5. B. 2
√
685 − 5. C. 5 +
√
13. D. 5 + 3
√
13.
Câu 4. Cho z
1
, z
2
là các số phức thỏa mãn |z
1
− 3 + 2i| = |z
2
− 3 + 2i| = 2 và |z
1
− z
2
| = 2
√
3. Gọi m, n lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z
1
+ z
2
− 3 − 5i|. Khi đó m + 2n bằng
A. 3
√
10 − 2. B. 6 −
√
10. C. 6 −
√
34. D. 3
√
34 − 2.
Câu 5. Cho hai số phức z
1
, z
2
thỏa mãn |z
1
− 2 + 3i| = 2 và |z
2
− 1 − i|+ |z
2
− 4 − i| = 3. Giá trị nhỏ nhất của |z
1
− z
2
|
bằng
A. 2. B.
√
13 + 2. C.
√
13 + 1. D.
√
13 − 1.
Câu 6. Cho hai số phức z
1
, z
2
thỏa mãn 2 |¯z
1
+ i| = |¯z
1
− z
1
− 2i| và |z
2
− i − 10| = 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
|z
1
− z
2
| bằng
A.
√
10 + 1. B. 3
√
5 − 1. C.
p
√
101 − 1. D.
p
√
101 + 1.
Câu 7. Cho số phức z thoả mãn điều kiện |z − 2 − i| = 2
√
2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P = |z + 3 − 2i| + |z − 3 + 4i|. Giá trị M + m bằng
A. 16
√
2. B. 11
√
2. C. 2
√
26 + 8
√
2. D. 2
√
26 + 6
√
2.
Câu 8. Giả sử z
1
, z
2
là hai trong số các số phức z thỏa mãn |z − i| = 2. Nếu |z
1
− z
2
| = 3 thì giá trị lớn nhất của
|z
1
+ 2z
2
| bằng
A. 3
√
2 − 3. B. 3 + 3
√
2. C.
√
2 + 1. D.
√
2 − 1.
Câu 9. Cho hai số phức z
1
, z
2
thoả mãn |z
1
+ 2 − i| + |z
1
− 4 − 7i| = 6
√
2 và |iz
2
− 1 + 2i| = 1. Giá trị nhỏ nhất của
biểu thức |z
1
+ z
2
| bằng
A.
√
2 − 1. B.
√
2 + 1. C. 2
√
2 + 1. D. 2
√
2 − 1.
Câu 10. Cho ba số phức z
1
, z
2
, z
3
thỏa mãn |z
1
+ 1 − 4i| = 2, |z
2
− 4 − 6i| = 1 và |z
3
− 1| = |z
3
− 2 + i|. Giá trị nhỏ
nhất của |z
3
− z
1
| + |z
3
− z
2
| bằng
A.
√
14
2
+ 2. B.
√
29 − 3. C.
√
14
2
+ 2
√
2. D.
√
85 − 3.
Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn |z − 2| = |z − 2i|. Tìm số phức z biết
z +
3
2
− 5i
đạt giá trị nhỏ nhất.
A. z =
…
331
8
. B. z = 1 + i. C. z =
7
4
+
7
4
i. D. z = −
3
2
+ 5i.
Câu 12. Cho số phức z thỏa mãn |z − 2 + 3i| + |z + 2 + i| = 4
√
5. Tính giá trị lớn nhất của P = |z − 4 + 4i|.
A. max P = 4
√
5. B. max P = 7
√
5. C. max P = 5
√
5. D. max P = 6
√
5.
Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn |z − 1 + 3i| + |z + 2 − i| = 8. Giá trị nhỏ nhất m của |2z + 1 + 2i| là
A. m = 4. B. m = 9. C. m = 8. D. m =
√
39.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 4. SỐ PHỨC / Trang 36/59
Câu 14. Cho hai số phức z
1
, z
2
thỏa mãn |z
1
− 3i + 5| = 2 và |iz
2
− 1 + 2i| = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
T = |2iz
1
+ 3z
2
|.
A.
√
313 + 16. B.
√
313. C.
√
313 + 8. D.
√
313 + 2
√
5.
Câu 15. Cho số phức z thỏa mãn |z − 2 − 2i| = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z − 1 − i|+ |z − 5 − 2i|.
A. 1 +
√
10. B. 4. C.
√
17. D. 5.
Câu 16. Cho z
1
, z
2
là các số phức thỏa mãn |z
1
− 1 − 2i| = |z
2
− 1 − 2i| = 2 và |z
1
− z
2
| = 3. Gọi m, n lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z
1
+ z
2
− 3 − i|. Khi đó m + n bằng
A.
√
10 +
√
7. B.
√
10 −
√
7. C. 2
√
7. D. 2
√
10.
Câu 17. Cho hai số phức z
1
, z
2
thỏa mãn |z
1
+ 5| = 5 và |z
2
+ 1 − 3i| = |z
2
− 3 − 6i|. Giá trị nhỏ nhất của |z
1
− z
2
|
bằng
A.
5
2
. B.
7
2
. C.
1
2
. D.
3
2
.
Câu 18. Cho hai số phức z
1
, z
2
thỏa mãn |z
1
+ 1 + i| = 2 và |z
2
− 2 + i| + |z
2
− 3 − 3i| =
√
17. Giá trị nhỏ nhất của
|z
1
− z
2
| bằng
A. 0. B.
√
17. C. 1. D.
√
17
2
.
Câu 19. Cho hai số phức z
1
, z
2
thỏa mãn |z
1
+ 1 + i| = 2 và |z
2
− 2 + i| + |z
2
− 3 − 3i| =
√
17. Giá trị nhỏ nhất của
|z
1
+ z
2
| bằng
A. 0. B.
√
17. C. 1. D.
√
17
2
.
Câu 20. Giả sử z
1
, z
2
là hai trong số các số phức z thỏa mãn |z − i| = 2. Nếu |z
1
− z
2
| = 3 thì giá trị lớn nhất của
|z
1
+ 2z
2
| bằng
A.
√
37
4
− 1. B.
√
37
4
+ 1. C.
√
37
4
. D.
√
37.
BẢNG ĐÁP ÁN
1. C 2. D 3. B 4. D 5. A 6. B 7. A 8. B 9. A 10. B
11. C 12. A 13. D 14. A 15. C 16. D 17. A 18. C 19. A 20. A
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
CHUYÊN ĐỀ 5CHUYÊN ĐỀ 5
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
AA GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1. VÍ DỤ
L Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy,
AB = 2a,
’
BAC = 60
◦
và SA = a
√
2. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng
A. 30
◦
. B. 45
◦
. C. 60
◦
. D. 90
◦
.
- Lời giải.
Ta có: SB ∩ (SAC) = S. (1)
Dựng BH ⊥ AC ⇒ BH ⊥ (SAC) tại H. (2)
Từ (1) và (2) ⇒ HS là hình chiếu của SB lên (SAC).
⇒ (SB, (SAC)) = (SB, SH) =
’
BSH = α. Mà tan α =
BH
SH
. (∗)
Suy ra AH =
√
AB
2
− BH
2
=
»
(2a)
2
− (a
√
3)
2
= a.
Trong 4SAH có: sin 60
◦
=
BH
AB
⇒ BH = 2a ·
√
3
2
= a
√
3.
Với BH = a
√
3, SH = a
√
3 thế vào (∗) ⇒ tan α = 1 ⇒ α = 45
◦
.
S
A
B
C
H
a
√
2
2a
60
◦
α
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1.
Cho chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, tam giác ABC vuông tại B (tham khảo hình vẽ
bên). Biết SA = AB = BC. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng
A. 30
◦
. B. 45
◦
. C. 60
◦
. D. 90
◦
.
S
A
B
C
Câu 2.
37
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 38/59
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a
√
2, AD = a, SA vuông góc
với đáy và SA = a (tham khảo hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB)
bằng
A. 90
◦
. B. 60
◦
. C. 45
◦
. D. 30
◦
.
S
A
B C
D
Câu 3.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SA = a
√
6 (tham khảo hình vẽ bên). Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và
mặt phẳng (SAC). Khi đó sin α bằng
A.
1
√
14
. B.
√
2
2
. C.
√
3
2
. D.
1
5
.
S
A
B C
D
Câu 4.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC (tham khảo hình vẽ bên). Gọi α là góc giữa
đường thẳng BM và mặt phẳng (ABC). Khi đó cos α bằng
A.
√
7
14
. B. 0, 2. C. 0, 5. D.
√
21
7
.
S
A
B
C
M
Câu 5.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là điểm trên
đoạn SD sao cho SM = 2M D (tham khảo hình vẽ bên). Gọi α là góc giữa đường thẳng
BM và mặt phẳng (ABCD). Khi đó tan α bằng
A.
1
3
. B. 1. C.
√
3. D.
1
5
.
S
A
B C
D
M
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a
√
3. Kẻ
AP ⊥ SB, AQ ⊥ SD lần lượt tại P và Q. Gọi M là trung điểm của SD. Tính giá trị cos ϕ với ϕ là góc giữa CM và
(AP Q).
A. cos ϕ =
1
√
10
. B. cos ϕ =
3
√
10
. C. cos ϕ =
5
3
√
3
. D. cos ϕ =
2
√
6
.
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và hình chiếu vuông góc của S lên
mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của AB. Tính giá trị sin ϕ với ϕ là góc giữa SD và (SBC).
A. sin ϕ =
√
3
2
. B. sin ϕ =
√
6
2
. C. sin ϕ =
√
3
4
. D. sin ϕ =
√
6
4
.
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và hình chiếu vuông góc của S lên
mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Tính giá trị sin ϕ với
ϕ là góc giữa SN và mặt phẳng (SCM ).
A. sin ϕ =
√
3
2
. B. sin ϕ =
√
3
5
. C. sin ϕ =
3
2
. D. sin ϕ =
3
5
.
Câu 9.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 39/59
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB =
AA
0
= a. Tính tang của góc giữa đường thẳng BC
0
và mặt phẳng (ABB
0
A
0
).
A.
√
2
2
. B.
√
6
3
. C.
√
2. D.
√
3
3
.
A C
B
A
0
B
0
C
0
Câu 10. Cho hình vuông ABCD, H là trung điểm của AB, K là trung điểm của AD. Trên đường thẳng vuông góc với
(ABCD) tại H lấy điểm S khác H. Tính góc giữa CK với mặt phẳng (SDH).
A. 30
◦
. B. 45
◦
. C. 60
◦
. D. 90
◦
.
Câu 11. Cho hình thoi ABCD có
’
BAD = 60
◦
, AB = 2a. Gọi H là trung điểm AB. Trên đường thẳng d vuông góc với
mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S thay đổi khác H. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM =
1
4
BC. Tính
theo a độ dài của SH để góc giữa SC và (SAD) có số đo lớn nhất.
A. SH =
4
…
21
4
a. B. SH =
3
…
21
4
a. C. SH =
4
…
21
5
a. D. SH =
4
…
21
2
a.
Câu 12. Cho tứ diện ABCD có AC = AD = a
√
2, BC = BD = a, khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACD) bằng
a
√
3
3
và thể tích tứ diện ABCD bằng
a
3
√
15
27
. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) bằng
A. 90
◦
. B. 45
◦
. C. 30
◦
. D. 60
◦
.
Câu 13. Cho tứ diện ABCD có
’
ABC =
’
BCD =
’
CDA = 90
◦
, BC = CD = a, AD = a
√
2. Góc giữa hai mặt phẳng
(ABC) và (ACD) bằng
A. 60
◦
. B. 30
◦
. C. 45
◦
. D. 90
◦
.
Câu 14. Tứ diện ABCD có BC = 3, CD = 4,
’
ABC =
’
BCD =
’
ADC = 90
◦
, (AD, BC) = 60
◦
. Cosin của góc giữa hai
mặt phẳng (ABC) và (ACD) bằng
A.
√
43
86
. B.
4
√
43
43
. C.
√
43
43
. D.
2
√
43
43
.
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, SA = BC và
’
BAC = 120
◦
. Hình chiếu vuông góc của A
lên các cạnh SB và SC lần lượt là M và N . Tang của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AMN) bằng
A.
√
3
3
. B.
√
3. C.
2
√
3
3
. D. 3.
BẢNG ĐÁP ÁN
1. A 2. C 3. A 4. D 5. D 6. A 7. D 8. D 9. A 10. D
11. A 12. B 13. A 14. D 15. C
BB THỂ TÍCH CÓ CHỨA DỮ LIỆU GÓC
1. VÍ DỤ
L Câu 1 (Câu 43 - Đề minh họa lần 1, BGD 2020 - 2021).
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 40/59
Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) là 45
◦
(tham khảo
hình vẽ bên). Thể tích khối chóp bằng S.ABC bằng
A.
a
3
8
. B.
3a
3
8
. C.
√
3a
3
12
. D.
a
3
4
.
A C
B
S
- Lời giải.
Gọi M trung điểm của cạnh BC và H là hình chiếu của A lên SM, khi đó AH ⊥
(SBC) ⇒
¤
(SA, (SBC)) =
’
ASH =
’
ASM = 45
◦
⇒ 4SAM vuông cân tại A ⇒ SA = AM =
a
√
3
2
.
Do đó V
S.ABC
=
1
3
SA · S
4ABC
=
1
3
·
a
√
3
2
·
a
2
√
3
4
=
a
3
8
.
A C
B
S
M
H
Chọn đáp án A
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a,
AD = a. Hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABCD) là trung
điểm H của AB, SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 45
◦
(tham khảo hình
vẽ bên). Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
A.
2a
3
3
. B.
2
√
2a
3
3
. C.
a
3
3
. D.
√
3a
3
2
.
A
CB
D
S
H
Câu 2.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 41/59
Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng 30
◦
(tham
khảo hình vẽ bên). Thể tích khối chóp bằng S.ABC bằng
A.
√
6a
3
3
. B.
2
√
3a
3
3
. C.
2
√
6a
3
3
. D. 2
√
6a
3
.
A C
B
S
Câu 3.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = 2a, cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBC)
bằng 60
◦
(tham khảo hình vẽ bên). Thể tích khối chóp bằng S.ABC bằng
A.
2
√
6a
3
9
. B.
√
6a
3
. C.
√
6a
3
6
. D.
2
√
2a
3
3
.
A C
B
S
Câu 4.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông
góc với đáy, SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30
◦
(tham khảo hình
vẽ bên). Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
A.
2a
3
3
. B.
√
2a
3
3
. C.
√
6a
3
3
. D.
√
2a
3
.
A
CB
D
S
Câu 5.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,
’
BAD = 60
◦
. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Hình chiếu
của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABCD) là trung điểm H của
BI, SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 45
◦
(tham khảo hình
vẽ bên). Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
A.
√
39a
3
24
. B.
√
39a
3
12
. C.
√
39a
3
8
. D.
√
39a
3
48
.
A
CB
D
S
I
H
Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B, tam giác SAC vuông
tại C. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 60
◦
. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
A.
a
3
√
3
8
. B.
a
3
√
3
4
. C.
a
3
√
3
6
. D.
a
3
√
3
12
.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 42/59
Câu 7. Cho khối chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang cân. AB = 2a; BC = CD = DA = a. Góc
giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 45
◦
. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
A.
3a
3
4
. B. a
3
√
2. C.
a
3
√
2
2
. D. a
3
√
3.
Câu 8. Cho khối chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA vuông góc với với mặt phẳng (ABCD).
Góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (SAD) bằng 30
◦
. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Tính thể tích
khối chóp S.CDN M theo a.
A.
a
3
3
. B.
5a
3
√
2
16
. C.
a
3
√
2
6
. D.
5a
3
√
2
48
.
Câu 9. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC = a,
’
ACB = 60
◦
. Đường thẳng
BC
0
tạo với mặt phẳng (A
0
C
0
CA) góc 30
◦
. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
A. 2
√
3a
3
. B. a
3
√
6. C.
a
3
√
3
2
. D.
a
3
√
3
3
.
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC), góc giữa
hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) là 60
◦
, SB = a
√
2,
’
BSC = 45
◦
. Thể tích khối chóp S.ABC theo a là
A. V =
a
3
√
2
15
. B. V = 2
√
3a
3
. C. V = 2
√
2a
3
. D. V =
2a
3
√
3
15
.
Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AB = 2a, AC = a và SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60
◦
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A.
a
3
√
6
4
. B.
a
3
√
2
2
. C.
a
3
√
2
6
. D.
a
3
√
6
12
.
Câu 12. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có đáy là hình chữ nhật, AB = a, A
0
A = A
0
B = A
0
D = 2a. Biết khoảng cách
từ điểm B
0
đến mặt phẳng (A
0
BD) bằng
√
3a
2
. Thể tích của khối hộp đã cho bằng
A.
a
3
2
. B.
a
3
2
. C. a
3
. D. 3a
3
.
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Các mặt bên (SAB), (SAC) lần lượt tạo với đáy các góc
bằng 60
◦
và 30
◦
. Biết hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) nằm trên đoạn BC. Thể tích khối chóp S.ABC
bằng
A.
a
3
√
3
16
. B.
a
3
√
3
32
. C.
a
3
32
. D.
a
3
16
.
Câu 14. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc
60
◦
. Mặt phẳng (P ) chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Thể tích khối
chóp S.ABMN là
A.
a
3
√
3
2
. B.
a
3
√
3
4
. C.
a
3
√
3
3
. D. a
3
√
3.
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC có các cạnh AB =
15; BC = 14; CA = 13. Góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) bằng 60
◦
. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng
A. V
S.ABC
= 112
√
3. B. V
S.ABC
= 336. C. V
S.ABC
=
98
√
3
3
. D. V
S.ABC
= 336
√
3.
BẢNG ĐÁP ÁN
1. B 2. C 3. A 4. B 5. A 6. D 7. A 8. D 9. B 10. D
11. C 12. D 13. D 14. A 15. A
C
C KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG
1. VÍ DỤ
L Câu 1 (Câu 44 - Đề thi TN THPT năm 2020 - mã đề 102).
Cho lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và AA
0
= 2a. Gọi M là trung điểm của CC
0
.
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (A
0
BC) bằng
A.
a
√
5
5
. B.
2a
√
5
5
. C.
2a
√
57
19
. D.
a
√
57
19
.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 43/59
- Lời giải.
Trong (AA
0
C
0
C), gọi N = AM ∩ A
0
C.
Gọi I, H lần lượt là hình chiếu của A lên BC và A
0
I.
Ta có MC k AA
0
nên
NM
NA
=
MC
AA
0
=
1
2
.
Ta có
MA ∩ (A
0
BC) = N
⇒
d(M, (A
0
BC))
d(A, (A
0
BC))
=
NM
NA
=
1
2
⇒ d(M, (A
0
BC)) =
1
2
d(A, (A
0
BC)).
Ta có
(
BC ⊥ AI
BC ⊥ AA
0
⇒ BC ⊥ (A
0
AI) ⇒ BC ⊥ AH.
Ta có
(
AH ⊥ BC
AH ⊥ A
0
I
⇒ AH ⊥ (A
0
BC) ⇒ d(A, (A
0
BC)) = AH.
Xét tam giác A
0
AI, ta có AH =
AA
0
· AI
√
AA
02
+ AI
2
=
2a
√
57
19
.
Vậy d(M, (A
0
BC)) =
1
2
AH =
a
√
57
19
.
A
B
C
A
0
B
0
C
0
M
N
I
H
Chọn đáp án D
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1.
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3a, điểm H thuộc cạnh AC với HC = a, dựng
đoạn thẳng SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) với SH = 2a (tham khảo hình vẽ).
Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng
A.
3a
7
. B.
3
√
21a
7
. C.
√
21a
7
. D. 3a.
A
B
C
S
H
Câu 2.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Cho biết SA = 2a, AB = a, AD = 2a
và SA ⊥ (ABCD). Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách
từ điểm M đến mặt phẳng (SBD) bằng
A.
a
√
6
6
. B.
a
√
3
2
. C.
a
√
6
3
. D.
a
√
3
4
.
A
B
C
S
D
M
Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm đáy, cho cạnh đáy và chiều cao cùng bằng a. Gọi G là trọng
tâm tam giác SAD. Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC).
A.
4a
√
5
15
. B.
a
√
5
5
. C.
a
√
6
6
. D.
a
√
6
3
.
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của
đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, SD =
4a
3
. Tính khoảng cách từ B đến mặt
phẳng (SCD).
A.
2a
√
21
21
. B.
a
√
21
7
. C. a. D. a
√
3.
Câu 5. Cho hình hộp ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Hình chiếu vuông góc của A
0
lên mặt phẳng (ABCD) trùng với O. Biết tam giác A
0
AC vuông cân tại A
0
. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 44/59
(BCC
0
B
0
).
A. a. B.
a
2
. C.
a
√
6
3
. D.
a
√
6
6
.
BẢNG ĐÁP ÁN
1. B 2. A 3. A 4. B 5. C
DD KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
1. VÍ DỤ
L Câu 1 (Câu 3 - Đề minh họa lần 1 BGD 2020 - 2021).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA =
√
2a. Gọi M là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SM bằng
A.
√
10a
5
. B.
a
2
. C.
√
2a
3
. D.
√
2a
2
.
- Lời giải.
Qua M dựng M N k AC ⇒ N là trung điểm của AB.
Vì AC k (SM N ) nên
d(AC, SM ) = d(AC, (SM N)) = d(A, (SMN)) = AH
với AH ⊥ (SMN )
Mà SA = a
√
2, AM = M N =
1
2
AC =
1
2
AB =
1
2
a.
Trong tam giác vuông SAN vuông tại A có AH là chiều cao nên
1
AH
2
=
1
SA
2
+
1
AN
2
⇒ AH =
SA.AN
√
SA
2
+ AN
2
=
a
√
2
3
.
A
B
C
S
M
N
H
Chọn đáp án C
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA =
√
3a. Gọi M là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SM bằng
A.
√
2a
2
. B.
a
√
39
13
. C.
a
2
. D.
√
21a
7
.
Câu 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A
0
B
0
C
0
có AB = a, AA
0
= 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB
0
và
A
0
C bằng
A.
a
√
3
2
. B.
2
√
5a
5
. C. a
√
5. D.
2
√
17a
17
.
Câu 3. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, BC = 2a. Cạnh bên SA = 2a vuông góc với mặt đáy.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD bằng
A.
a
3
. B.
√
6a
2
. C.
a
2
. D.
2a
3
.
Câu 4. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, BC = 2a. Cạnh bên SA = a vuông góc với mặt đáy.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng
A.
a
3
. B.
√
6a
2
. C.
a
2
. D.
2a
3
.
Câu 5. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA k (ABCD) và SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
SC và BD bằng
A.
a
√
6
6
. B.
√
6a. C. a
√
3. D. a.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 45/59
Câu 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có AA
1
= 2a, AD = 4a. Gọi M là trung điểm của của AD. đáy là
hình vuông cạnh a, SA k (ABCD) và SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD bằng
A. 3a. B. 2
√
2a. C. a
√
2. D. 2a.
Câu 7 (THPT Quốc Gia năm 2015). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA ⊥
(ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45
◦
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC.
A.
a
√
10
5
. B.
a
√
5
10
. C.
a
√
2
5
. D.
a
√
5
5
.
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, 4SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc
với mặt phẳng đáy. Biết SA = a và cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc bằng 30
◦
Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng AB và SC theo a.
A.
2
√
17a
17
. B.
√
17a
17
. C. 2
√
17a. D.
√
17a.
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD =
a
√
17
2
. Hình chiếu vuông góc H của S trên
(ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung điểm của đoạn AD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK
và SD theo a.
A.
2a
5
. B.
√
3a
5
. C.
√
3a
2
. D.
2
√
3a
5
.
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD) và AB = a, AD = a
√
3, góc giữa hai
mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 60
◦
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a.
A.
a
2
. B.
√
3a
5
. C.
3a
4
. D.
√
3a
5
.
Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại
đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo
a.
A.
a
√
3
7
. B.
√
21a
7
. C.
√
7a
7
. D.
√
2a
7
.
BẢNG ĐÁP ÁN
1. B 2. D 3. D 4. D 5. A 6. B 7. A 8. A 9. B 10. C
11. B
EE GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
1. VÍ DỤ
L Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A và AB = a
√
2. Biết SA ⊥ (ABC) và SA = a.
Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
A. 30
◦
. B. 45
◦
. C. 60
◦
. D. 90
◦
.
- Lời giải.
Gọi M là trung điểm của BC ⇒ AM ⊥ BC, SM ⊥ BC.
Ta có
(SBC) ∩ (ABC) = BC
BC ⊥ AM ⊂ (ABC) ⇒ ((SBC), (ABC)) = (AM, SM ) =
’
SMA
BC ⊥ SM ⊂ (SBC)
.
Mà AM =
1
2
BC =
1
2
…
Ä
a
√
2
ä
2
+
Ä
a
√
2
ä
2
= a = SA.
Suy ra tam giác AAM vuông cân tại S ⇒
’
SMA = 45
◦
.
A C
B
S
M
Chọn đáp án B
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 46/59
L Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, cạnh bên SA, vuông góc với
mặt phằng đáy và SA = a
√
2. Cho biết AB = 2AD = 2DC = 2a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBA) và (SBC)
bằng
A. arccos
Å
1
4
ã
. B. 30
◦
. C. 45
◦
. D. 60
◦
.
- Lời giải.
Dựng CH ⊥ AB, (CH cẳt hai mặt và vuông với giao tuyến SB ) và HK ⊥
SB.
Ta có
(SAB) ∩ (SBC) = SB
SB ⊥ HK ⊂ (SAB)
SB ⊥ CK ⊂ (SBC)
⇒ ((SAB), (SBC)) = (HK, CK) =
÷
HCK.
Mà 4HKB v 4SAB ⇔
HK
SA
=
HB
SB
⇔ HK =
HB · SA
SB
=
a · a
√
2
…
Ä
a
√
2
ä
2
+ (2a)
2
=
a
√
3
3
.
Do đó tan
÷
HKC =
CH
HK
= a :
a
√
3
3
=
√
3 ⇒
÷
HKC = 60
◦
.
D
A
B
S
C
H
K
Chọn đáp án D
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật thỏa mãn AD =
√
3
2
AB. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình bên). Góc giữa hai mặt phẳng
(SAB) và (SCD) bằng
A. 30
◦
. B. 45
◦
. C. 60
◦
. D. 90
◦
.
B
A
C
D
S
Câu 2.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy
(ABCD). Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ). Côsin của góc giữa hai
mặt phẳng (SMD) và (ABCD) bằng
A.
2
√
5
5
. B.
2
3
. C.
√
5
5
. D.
3
√
10
.
B
A
C
D
S
M
Câu 3.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 47/59
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SB = BC = 2a
√
2,
’
BSC = 45
◦
,
’
BSA = α (tham
khảo hình vẽ). Giá trị của sin α để góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 45
◦
là
A.
√
3
3
. B.
√
14
7
. C.
√
3
6
. D.
√
14
14
.
A
B
C
S
Câu 4.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD
vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho
biết AB = a, SA = 2SD, mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy một
góc 60
◦
. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
A.
5a
3
2
. B. 5a
3
. C.
15a
3
2
. D.
3a
3
2
.
B
A
C
D
S
Câu 5.
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng
(A
0
BC) tạo với đáy góc 30
◦
và tam giác A
0
BC có diện tích bằng 8 (tham
khảo hình vẽ). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. 8
√
3. B. 16
√
3. C. 64
√
3. D. 2
√
3.
A
B
C
A
0
B
0
C
0
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O, biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Cho
AB = a; SB = a; SO =
a
√
6
3
. Số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) bằng
A. 90
◦
. B. 45
◦
. C. 60
◦
. D. 30
◦
.
Câu 7. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A
0
B
0
C
0
có cạnh đáy bằng a. Trên các tia AA
0
, BB
0
, CC
0
lần lượt lấy A
1
, B
1
, C
1
cách mặt phẳng đáy (ABC) một khoảng lần lượt là
a
2
, a,
3a
2
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A
1
B
1
C
1
).
A. 60
◦
. B. 90
◦
. C. 45
◦
. D. 30
◦
.
Câu 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có AA
0
= a, AD =
√
3a. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC
0
D
0
) và
(ABCD) bằng
A. 30
◦
. B. 45
◦
. C. 90
◦
. D. 60
◦
.
Câu 9. Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a,
CD = 2x. Tính giá trị của x để hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc nhau.
A. x =
a
√
3
3
. B. x =
a
√
2
3
. C. x =
a
3
. D. x =
a
2
.
Câu 10. Cho hình lập phương ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A
0
B
0
C
0
D
0
và M là điểm thuộc
đoạn thằng OI sao cho MO = 2MI. Khi đó cô-sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (M C
0
D
0
) và (MAB) bằng
A.
6
√
85
85
. B.
6
√
13
65
. C.
17
√
13
65
. D.
7
√
85
85
.
BẢNG ĐÁP ÁN
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 48/59
1. B 2. B 3. A 4. A 5. A 6. A 7. C 8. A 9. A 10. D
FF THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN LIÊN QUAN GÓC, KHOẢNG CÁCH
Hướng 1. Đề cho cách đều hoặc góc bằng nhau −→ Chân chiều cao ≡ tâm ngoại tiếp đa giác đáy.
Hướng 2. Đề cho góc giữa hai mặt vuông −→ Dựng thêm hình để đưa về bài toán quen sách giáo khoa.
Hướng 3. Đề bài cho chân chiều cao, nhưng tính toán thông qua khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt.
1. VÍ DỤ
L Câu 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,
’
ACB = 30
◦
và
SA = SB = SD với D là trung điểm của BC. Cạnh bên SA hợp với đáy một góc 45
◦
. Thể tích của khối chóp
S.ABC bằng
A.
a
3
12
. B.
a
3
6
. C.
a
3
4
. D.
a
3
2
.
- Lời giải.
Ta có tan 30
◦
=
√
3
3
=
AB
AC
=
a
AC
⇒ BC = 2a.
⇒ S
ABC
=
1
2
· AB · AC =
1
2
· a · a
√
3 =
a
2
√
3
2
.
Do AB = BD = AD = a nên ∆ABD đều
⇒ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABD là trọng tâm G.
Ta có SA = SB = SD ⇒ SG ⊥ (ABD) hay SG ⊥ (ABC).
A
B
C
D
M
G
S
30
◦
Khi đó (SA, (ABC)) = (SA, AG) =
’
SAG = 45
◦
⇒ SG = AG =
2
3
AM =
2
3
·
a
√
3
2
=
a
√
3
3
.
Vậy V
S.ABC
=
1
3
· S
ABC
· SG =
1
3
·
a
2
√
3
2
·
a
√
3
3
=
a
3
6
.
Chọn đáp án B
L Câu 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = 2a,
’
SAB =
’
SCB = 90
◦
, góc
giữa đường thẳng AB và (SBC) bằng 30
◦
. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng
A.
4a
3
√
3
9
. B.
4a
3
√
3
3
. C.
2a
3
√
3
9
. D.
2a
3
√
3
3
.
- Lời giải.
Dựng SD ⊥ (ABC) ⇒ SD ⊥ (ABCD) tại D ⇒ ABCD là hình vuông.
Ta có AB k CD
⇒ (AB, (SBC)) = (CD, (SBC)) = (HC, CD)
=
’
SCD = 30
◦
.
Ta có tan 30
◦
=
SD
2a
⇒ SD =
2a
√
3
3
.
V
S.ABC
=
1
3
· S
ABC
· SD =
1
6
· 2a · 2a ·
2a
√
3
3
=
4a
3
√
3
9
.
A
B
C
D
S
H
30
◦
Chọn đáp án A
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 49/59
L Câu 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy. Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Biết rằng khoảng cách từ I đến (SBC) bằng
√
3
2
,
thể tích khối chóp S.ABC có giá trị nhỏ nhất bằng
A. 9. B.
9
2
. C. 3. D.
3
2
.
- Lời giải.
Dựng hình và xác định tâm I mặt cầu như hình vẽ.
Ta có d[A, (SBC)] =
GA
GI
· d[I, (SBC)] =
√
3
2
·
2
1
=
√
3.
Đặt SA = x > 0, AB = y > 0, AC = z > 0.
Khi đó
1
d
2
[A, (SBC)]
=
1
x
2
+
1
y
2
+
1
z
2
⇒
1
x
2
+
1
y
2
+
1
z
2
=
1
3
.
d
A
B
C
S
M
N
I
G
Ta có
1
3
=
1
x
2
+
1
y
2
+
1
z
2
Cauchy
≥ 3
3
1
x
2
y
2
z
2
⇒
1
x
2
y
2
z
2
≤
1
9
3
⇒ xyz ≥ 27 ⇒ V
S.ABC
=
xyz
6
≥
9
2
.
Vậy min V
S.ABC
=
9
2
.
Chọn đáp án B
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a,
’
ACB = 60
◦
.
Cạnh bên SB tạo với đáy một góc 30
◦
. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
A.
a
3
√
3
6
. B.
a
3
6
. C.
a
3
√
3
12
. D.
a
3
√
3
4
.
Câu 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, gọi M là trung điểm AC và AB = a
√
3, AC = 2a.
Các đường thẳng SA, SB, SM cùng tạo với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 60
◦
. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
A. a
3
. B.
a
3
3
. C. 3a
2
. D.
4a
3
3
.
Câu 3. Cho khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
có đáy là tam giác đều, cạnh a, điểm A
0
cách đều các điểm A, B, C và cạnh bên
AA
0
tạo với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 60
◦
. Thể tích khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
bằng
A.
√
3a
3
4
. B.
a
3
2
. C.
√
3a
3
12
. D.
a
3
√
6
4
.
Câu 4. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với
’
BAC = 120
◦
và AB = a, Cạnh
bên SA hợp với mặt phẳng đáy. Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Biết rằng khoảng cách từ I đến
(SBC) bằng
a
√
6
4
. Khi đó thể tích khối chóp S.ABC bằng
A.
√
6
24
a
3
. B.
√
6
8
a
3
. C.
√
6
4
a
3
. D.
√
6
12
a
3
.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 50/59
Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Biết rằng khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC) bằng
a
√
3
18
. Khi đó thể
tích khối chóp S.ABC bằng
A.
3
√
3a
3
20
. B.
3
√
5a
3
20
. C.
√
3a
3
20
. D.
√
5a
3
20
.
Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 4a. Biết SA vuông góc với mặt đáy (ABC) và
SA = 6
√
3a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, SC. Gọi điểm K sao cho AK là đường kính của
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Thể tích khối tứ diện KMN P bằng
A.
13a
3
2
. B. 8a
3
. C. 7a
3
. D.
19a
3
2
.
Câu 7. Cho khối chóp S.ABC có AB ⊥ BC, BC ⊥ SC, SC ⊥ SA, BC = a, SC =
√
15a và góc giữa AB, SC bằng 30
o
.
Thể tích khối chóp S.ABC bằng
A.
5a
3
2
. B.
5
√
3a
3
2
. C.
5a
3
6
. D.
5
√
3a
3
6
.
Câu 8. Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông cân tại đỉnh C và BD = 12. Tam giác ABC vuông tại đỉnh B,
tam giác ADC vuông tại đỉnh D. Biết góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng 45
o
. Thể tích khối tứ diện
ABCD bằng
A. 72
√
2. B. 48
√
2. C. 54
√
2. D. 36
√
2.
Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B, tam giác SAC vuông
tại C. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 60
o
. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
A.
√
3a
3
8
. B.
√
3a
3
12
. C.
√
3a
3
6
. D.
√
3a
3
4
.
Câu 10. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, (a > 0). Biết hai mặt bên (SAB),
(SAC) cùng tạo với đáy một góc 60
◦
, mặt bên (SBC) tạo với đáy một góc 30
◦
và hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên
mặt đáy là H thuộc miền trong tam giác ABC. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V =
a
3
√
3
48
. B. V =
a
3
√
3
56
. C. V =
3a
3
√
3
32
. D. V =
a
3
√
3
40
.
Câu 11.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác ABC là tam giác
đều cạnh a. Các mặt (SAB), (SAC), (SBC) lần lượt tạo với đáy
các góc lần lượt là 30
◦
, 45
◦
, 60
◦
. Tính thể tích V của khối chóp
S.ABC, biết rằng hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng
(ABC) nằm trong tam giác ABC.
A. V =
a
3
√
3
8
Ä
4 +
√
3
ä
. B. V =
a
3
√
3
2
Ä
4 +
√
3
ä
.
C. V =
a
3
√
3
4
Ä
4 +
√
3
ä
. D. V =
a
3
√
3
4 +
√
3
.
S
A C
H
B
N
I
M
Câu 12. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD = BC = 3, AC = BD = 4, AB = CD = 2
√
3. Tính thể tích khối tứ diện
ABCD.
A.
√
2740
12
. B.
√
2474
12
. C.
√
2047
12
. D.
√
2470
12
.
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Các góc
’
SAB,
’
SCB vuông, M là trung điểm SA.
Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (MBC) bằng
6a
√
21
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 51/59
A.
8a
3
√
39
3
. B.
10a
3
√
3
9
. C.
4a
3
√
13
3
. D. 2a
3
√
3.
Câu 14. Cho hình lăng trụ đều ABC.A
0
B
0
C
0
. Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABC
0
) bằng a, góc giữa hai
mặt phẳng (ABC
0
) và (BCC
0
B
0
) bằng α với cos α =
1
2
√
3
. Thể tích khối lăng trụ ABC.A
0
B
0
C
0
bằng
A. 3a
3
√
2
8
. B. 3a
3
√
2
2
. C. a
3
√
2
8
. D. 3a
3
√
2
4
.
Câu 15. Cho lăng trụ ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
với đáy ABCD là hình thoi, AC = 2a,
’
BAD = 120
◦
. Hình chiếu vuông góc của
điểm B trên mặt phẳng (A
0
B
0
C
0
D
0
) là trung điểm cạnh A
0
B
0
, góc giữa mặt phẳng (AC
0
D
0
) và mặt đáy lăng trụ bằng
60
◦
. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD.A
0
B
0
C
0
D
0
.
A. 2
√
3a
3
. B. 3
√
3a
3
. C.
√
3a
3
. D. 6
√
3a
3
.
Câu 16. Khối tứ diện OABC có OA = OB = OC = a,
’
AOB = 60
◦
,
’
AOC = 120
◦
,
’
BOC = 90
◦
. Khi đó, tính thể tích tứ
diện OABC.
A.
a
3
12
. B.
a
3
6
. C.
a
3
√
3
12
. D.
a
3
√
2
12
.
Câu 17. Tứ diện OABC có OA = OB = OC = 1 và OA ⊥ OB. Tìm góc giữa OC và (OAB) để tứ diện có thể tích là
1
12
.
A. 30
◦
. B. 45
◦
. C. 60
◦
. D. 90
◦
.
Câu 18. Xét tứ diện ABCD có các cạnh AB = BC = CD = DA = 1 và AC, BD thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích
tứ diện ABCD bằng
A.
2
√
3
27
. B.
4
√
3
27
. C.
2
√
3
9
. D.
4
√
3
9
.
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu của S lên mặt đáy trùng với trọng
tâm tam giác ABD. Cạnh bên SD tạo với đáy một góc 60
◦
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A.
a
3
√
15
3
. B.
a
3
√
15
27
. C.
a
3
√
15
9
. D.
a
3
3
.
BẢNG ĐÁP ÁN
1. B 2. A 3. A 4. A 5. D 6. B 7. D 8. A 9. B 10. D
11. A 12. D 13. B 14. B 15. D 16. D 17. A 18. A 19. C
GG BÀI TOÁN CỰC TRỊ (THỰC TẾ) TRONG NÓN TRỤ CẦU
1. VÍ DỤ
L Câu 1. Một hình trụ có thể tích 16 cm
3
. Khi đó, bán kính R bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hình
trụ nhỏ nhất?
A. R = 1,6 cm. B. R =
16
π
cm. C. R = 2 cm. D. R = π cm.
- Lời giải.
Thể tích của khối trụ là V = πR
2
h = 16π ⇒ h =
16
R
2
.
Diện tích toàn phần của hình trụ là
S
tp
= 2πRh + 2πR
2
= 2π
Å
R
2
+
16
R
ã
= 2π
Å
R
2
+
8
R
+
8
R
ã
≥ 2π · 3 ·
3
…
R
2
·
8
R
·
8
R
= 24π.
Suy ra S
tp max
= 24π và dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi R
2
=
8
R
⇔ R = 2.
Chọn đáp án C
L Câu 2 (Câu 30 - Đề thi THPT QG năm 2018 - Mã đề 103).
Ông A dự định sử dụng hết 5 m
2
kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hộp chữ nhật không nắp, chiều dài
gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 52/59
A. 1,01 m
3
. B. 0,96 m
3
. C. 1,33 m
3
. D. 1,51 m
3
.
- Lời giải.
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng và chiều cao của bể cá. Khi đó,
V = 2x
2
y.
Theo đề, diện tích toàn phần không nắp bằng 5, tức có
5 = 2xy + 2 · 2xy + 2x
2
= 3xy + 2x
2
≥ 3
3
»
18(x
2
y)
2
Suy ra 125 ≥ 27 · 18(x
2
y)
2
⇔ 2x
2
y = V ≤
5
√
30
27
≈ 1,0143.
A
B
D
A
0
B
0
C
D
0
C
0
y
x
2x
Chọn đáp án A
L Câu 3. Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng R (cho trước), tính thể tích
V của khối chóp có thể tích lớn nhất?
A.
64R
3
81
. B.
64R
3
27
. C.
16R
3
27
. D.
16R
3
81
.
- Lời giải.
Xét mặt cắt dọc đi qua đỉnh S và chứa đường chéo AC của hình chóp đều S.ABCD.
Đặt IO = x ⇒ chiều cao chóp SO = R + x ⇒ OC =
√
R
2
− x
2
.
Do đó, AC = 2
√
R
2
− x
2
⇒ AB =
√
2
√
R
2
− x
2
.
Thể tích khối chóp V =
1
3
· 2 ·
R
2
− x
2
(R + x)
=
1
3
· (2R − 2x)(R + x)(R + x)
≤
1
3
·
[(2R − 2x) + (R + x) + (R + x)]
3
27
=
64R
3
81
.
A C
S
I
O
R
R
x
Suy ra V
max
=
64R
3
81
khi 2R − 2x = R + x ⇔ x =
R
3
và h =
4R
3
.
Chọn đáp án A
Nhận xét. Các khối nón, khối chóp tứ giác đều, khối chóp tam giác đều nội tiếp mặt cầu có điểm chung là thể tích
của chúng lớn nhất khi mặt đáy cách tâm I của mặt cầu một khoảng x =
R
3
. Khi đó, chiều cao của khối nón, khối
chóp tứ giác đều, khối chóp tam giác đều là h =
4R
3
.
L Câu 4.
Ông Bình làm lan can ban công ngôi nhà của mình bằng một tấm kính
cường lực. Tấm kính đó là một phần của mặt xung quanh của hình trụ
như hình bên. Biết giá tiền của 1 m
2
kính như trên là 1 500 000 đồng. Hỏi
số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) mà ông Bình mua tấm kính trên là bao
nhiêu?
4,45m
150
◦
1,35m
A. 23 591 000 đồng. B. 36 173 000 đồng. C. 9 437 000 đồng. D. 4 718 000 đồng.
- Lời giải.
Gọi r là bán kính đáy của hình trụ. Ta có 4,45 = 2r sin 150
◦
⇒ r = 4,45 m. Như vậy, góc ở tâm của cung bằng 60
◦
nên
độ dài cung bằng
1
6
chu vi đường tròn hay ` =
πr
3
.
Tấm kính cần mua có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật có một cạnh là 1,35 m và cạnh còn lại là ` nên số tiền để
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 53/59
mua tấm kính là
1 500 000 ×
1,35 × π × 4,45
3
≈ 9 437 000 đồng.
Chọn đáp án C
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có thể tích bằng
256π
3
, thể tích V của khối chóp có thể
tích lớn nhất khi cạnh đáy bằng
A. 4. B.
16
3
. C. 6. D. 5.
Câu 2. Trong tất cả hình chóp tam giác đều nội tiếp mặt cầu bán kính bằng 6, thể tích lớn nhất của khối chóp bằng
A. 32
√
3. B. 64
√
3. C. 72
√
3. D. 81
√
3.
Câu 3. Cho khối cầu tâm O bán kính bằng 6. Mặt phẳng (P ) cách điểm O một khoảng x cắt khối cầu theo một hình
tròn (C). Một khối nón có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy là hình tròn (C). Biết khối nón có thể tích lớn nhất, khi đó giá trị
của x bằng
A. x = 2. B. x = 1. C. x = 3
√
2. D. x = 6
√
2.
Câu 4. Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là 2π m
3
. Hỏi bán kính đáy
R và chiều cao h của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất?
A. R = 2 m và h =
1
2
m. B. R = 4 m và h =
1
5
m. C. R =
1
2
m và h = 8 m. D. R = 1 m và h = 2 m.
Câu 5. Cho hình trụ có tính chất: thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu
vi là 12 cm. Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ bằng
A. 8π cm
3
. B. 16π cm
3
. C. 32π cm
3
. D. 64π cm
3
.
BẢNG ĐÁP ÁN
1. B 2. B 3. A 4. D 5. A
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
CHUYÊN ĐỀ 6CHUYÊN ĐỀ 6
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
AA PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG
1. VÍ DỤ
L Câu 1 (Câu 45 - Đề tham khảo - Bộ GD & ĐT năm học 2020 - 2021).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ): 2x + 2y − z − 3 = 0 và hai đường thẳng d
1
:
x − 1
2
=
y
1
=
z + 1
−2
,
d
2
:
x − 2
1
=
y
2
=
z + 1
−1
. Đường thẳng vuông góc với (P ), đồng thời cắt cả d
1
và d
2
có phương trình là
A.
x − 3
2
=
y − 2
2
=
z + 2
−1
. B.
x − 2
3
=
y − 2
2
=
z + 1
−2
.
C.
x − 1
2
=
y
−2
=
z + 1
−1
. D.
x − 2
2
=
y + 1
2
=
z − 2
−1
.
- Lời giải.
Gọi M = d ∩ d
1
, N = d ∩ d
2
.
Khi đó M(1 + 2t; t; −1 − 2t) ∈ d
1
, N(2 + s; 2s; −1 − s) ∈ d
2
.
⇒
# »
MN = (s − 2t + 1; 2s − t; −s + 2t) và
#»
n
(P )
= (2; 2; −1).
Vì MN vuông góc với (P ) nên ta có
# »
MN cùng phương với
#»
n
(P )
.
Suy ra
s − 2t + 1
2
=
2s − t
2
=
−s + 2t
−1
⇔
(
s − 2t + 1 = 2s − t
− 2s + t = −2s + 4t
⇔
(
s = 1
t = 0
⇒
(
M(1; 0; −1)
N(3; 2; −2).
P
#»
n
(P )
∆
N
d
2
M
d
1
Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua điểm N(3; 2; −2) và có một véc-tơ chỉ phương
#»
u =
#»
n
(P )
= (2; 2; −1) là
x − 3
2
=
y − 2
2
=
z + 2
−1
.
Chọn đáp án A
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng d
1
:
x = 4 + t
y = −4 − t
z = 6 + 2t
, d
2
:
x − 5
2
=
y − 11
4
=
z − 5
2
. Đường thẳng d đi
qua A(5; −3; 5) cắt d
1
, d
2
lần lượt ở B, C. Tỷ số
AB
AC
bằng
A. 3. B. 1. C.
1
2
. D.
1
3
.
Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ): 3x + 3y + 5z + 1 = 0 và phương trình hai đường thẳng d
1
:
x − 1
2
=
y + 3
4
=
z
3
, d
2
:
x
1
=
y − 2
1
=
z + 4
3
. Đường thẳng vuông góc với (P ) đồng thời cắt d
1
và d
2
tại A và B. Độ dài AB
bằng
A. 2
√
43. B.
√
43. C. 2
√
13. D.
√
13.
54
Chuyên đề 6. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN / Trang 55/59
Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho điểm A (2; 1; 3) và đường thẳng d:
x + 1
1
=
y − 1
−2
=
z − 2
2
. Đường thẳng đi qua A,
vuông góc với d và cắt trục Oy có phương trình là
A.
x = 2t
y = −3 + 4t
z = 3t
. B.
x = 2 + 2t
y = 1 + t
z = 3 + 3t
. C.
x = 2 + 2t
y = 1 + 3t
z = 3 + 2t
. D.
x = 2t
y = −3 + 3t
z = 2t
.
Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho điểm M (0; 2; 0) và đường thẳng d :
x = 4 + 3t
y = 2 + t
z = −1 + t
. Đường thẳng đi qua M, cắt và
vuông góc với d có phương trình là
A.
x
−1
=
y − 2
1
=
z
2
. B.
x − 1
1
=
y
−1
=
z
−2
. C.
x − 1
1
=
y − 1
1
=
z
2
. D.
x
−1
=
y
1
=
z − 1
2
.
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x − 3
1
=
y − 3
3
=
z
2
, mặt phẳng (P): x + y −z + 3 = 0
và điểm A (1; 2; −1). Đường thẳng ∆ đi qua A, song song với mặt phẳng (P ) và cắt d có phương trình là
A.
x = 1 + t
y = 2 + 2t
z = −1 + t
. B.
x = 1 − t
y = 2 − 2t
z = −1 + t
. C.
x = 1 + t
y = 2 − 2t
z = −1 − t
. D.
x = 1 + t
y = 2 − 2t
z = −1 + t
.
Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho 3 đường thẳng d
1
:
x = 3 + t
y = 3 + 2t
z = −2 − t
; d
2
:
x − 5
3
=
y + 1
−2
=
z − 2
−1
và d
3
:
x − 1
1
=
y − 2
2
=
z − 1
3
. Đường thẳng d song song với d
3
, cắt d
1
và d
2
có phương trình là
A.
x − 1
1
=
y + 1
2
=
z
3
. B.
x − 2
1
=
y − 3
2
=
z − 1
3
. C.
x − 3
1
=
y − 3
2
=
z + 2
3
. D.
x − 1
3
=
y + 1
2
=
z
1
.
Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau d
1
:
x − 3
1
=
y + 1
−1
=
z − 4
1
và d
2
:
x − 2
2
=
y − 4
−1
=
z + 3
4
. Viết phương trình đường vuông góc chung của d
1
và d
2
.
A.
x − 7
3
=
y − 3
2
=
z + 9
−1
. B.
x − 3
3
=
y − 1
2
=
z − 1
−1
. C.
x − 1
3
=
y − 1
2
=
z − 2
−1
. D.
x + 7
3
=
y + 3
2
=
z − 9
−1
.
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :
x
1
=
y + 1
2
=
z − 1
1
và mặt phẳng (P ) : x−2y−z+3 =
0. Đường thẳng nằm trong (P ) đồng thời cắt và vuông góc với ∆ có phương trình là
A.
x = 1
y = 1 − t
z = 2 + 2t
. B.
x = −3
y = −t
z = 2t
. C.
x = 1 + t
y = 1 − 2t
z = 2 + 3t
. D.
x = 1 + 2t
y = 1 − t
z = 2
.
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d
1
:
x + 1
2
=
y − 1
−1
=
z − 1
1
; d
2
:
x − 1
1
=
y − 2
1
=
z + 1
2
và mặt phẳng (P ) : x − y − 2z + 3 = 0. Biết đường thẳng ∆ nằm trong (P ) và cắt cả hai đường thẳng d
1
, d
2
. Viết
phương trình đường thẳng ∆.
A. ∆:
x − 2
1
=
y − 3
3
=
z − 1
1
. B. ∆:
x − 1
1
=
y
3
=
z − 2
−1
.
C. ∆:
x − 1
−1
=
y
3
=
z − 2
1
. D. ∆ :
x − 2
1
=
y − 3
−3
=
z − 1
1
.
Câu 10. Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2; −1; 3), vuông góc với đường thẳng
d
1
:
x
4
=
y − 5
−1
=
z + 2
−1
và cắt đường thẳng d
2
:
x − 1
2
=
y + 1
3
=
z − 1
4
là
A.
x − 2
1
=
y + 1
2
=
z − 3
2
. B.
x − 2
1
=
y + 1
−2
=
z − 3
−2
. C.
x + 2
1
=
y − 1
2
=
z + 3
2
. D.
x − 2
1
=
y + 1
2
=
z + 3
2
.
Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; −1; 2), mặt phẳng (P ) : x + y − 2z + 5 = 0 và đường thẳng d :
x + 1
2
=
y
1
=
z − 2
1
. Phương trình đường thẳng ∆ cắt d và (P ) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN
có dạng
A.
x + 1
−1
=
y − 1
3
=
z + 2
2
. B.
x − 1
2
=
y + 1
3
=
z − 2
2
.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 6. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN / Trang 56/59
C.
x − 1
2
=
y + 1
−3
=
z − 2
2
. D.
x − 1
2
=
y + 1
3
=
z − 2
−1
.
Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x −2y + 3z −4 = 0 và hai đường thẳng d
1
:
x − 1
1
=
y
−1
=
z + 1
2
,
d
2
:
x − 1
2
=
y − 3
1
=
z + 1
1
. Mặt phẳng (α) song song với (P ) và cắt d
1
, d
2
theo thứ tự tại M, N sao cho M N =
√
3.
Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (α)?
A. A(1; 2; 3). B. B(0; 1; −3). C. C(0; −1; 3). D. D(0; 1; 3).
Câu 13. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d
1
:
x − 1
1
=
y + 1
1
=
z − 3
−2
và đường thẳng d
2
:
x = 1 + 3t
y = −4
z = 4 + t
.
Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; −1) và cắt d
1
tại M, cắt d
2
tại N. Khi đó AM
2
+ AN
2
bằng
A. 81. B. 100. C. 90. D. 85.
Câu 14. Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d nằm trong (P ): x + y + z − 3 = 0, đồng thời d cắt
d
1
:
x − 6
2
=
y + 10
−7
=
z − 5
3
và vuông góc với d
2
:
x + 1
1
=
y + 2
3
=
z − 3
9
là
A.
x = 4 + 3t
y = −3 + 4t
z = 2 + t
. B.
x = 4 + 62t
y = −3 − 22t
z = 2 − 25t
. C.
x = −4 + 2t
y = 3 − 4t
z = −2 + t
. D.
x = 4 + 3t
y = −3 − 4t
z = 2 + t
.
Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; 2) và đường thẳng d :
x − 1
1
=
y
1
=
z + 1
2
. Viết phương trình đường
thẳng ∆ đi qua A, vuông góc và cắt d.
A.
x − 1
1
=
y
1
=
z − 2
1
. B.
x − 1
1
=
y
1
=
z − 2
−1
. C.
x − 1
2
=
y
2
=
z − 2
1
. D.
x − 1
1
=
y
−3
=
z − 2
1
.
Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ): x−y+3z = 0 và hai đường thẳng d
1
:
x = 1 − t
y = t
z = 4t
, d
2
:
x = 2 − u
y = 4 + 2u
z = 4
.
Đường thẳng vuông góc với (P ), đồng thời cắt cả d
1
và d
2
có phương trình là
A.
x − 2
1
=
y + 2
−1
=
z + 8
3
. B.
x − 2
−1
=
y + 2
1
=
z + 8
3
. C.
x − 2
−1
=
y + 2
−1
=
z + 8
3
. D.
x − 7
−1
=
y + 6
−1
=
z − 4
3
.
Câu 17. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1; −1; 4), đồng thời d song song với
mặt phẳng (P ) : x + 2y − 2z − 15 = 0 và d cắt đường thẳng ∆:
x + 1
−3
=
y − 1
4
=
z
5
.
A.
x − 1
2
=
y + 1
−3
=
z − 4
−7
. B.
x + 1
4
=
y − 1
−1
=
z + 4
−1
. C.
x − 1
4
=
y + 1
−5
=
z − 4
−3
. D.
x − 1
2
=
y + 1
3
=
z − 4
−7
.
Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d
1
:
x − 6
1
=
y − 4
−4
=
z − 4
1
và
d
2
:
x − 2
1
=
y − 2
2
=
z
−2
. Viết phương trình đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d
1
và
d
2
.
A.
x − 4
8
=
y − 3
1
=
z − 2
−4
. B.
x − 4
9
=
y − 3
2
=
z − 2
−1
. C.
x − 4
2
=
y − 3
1
=
z − 2
2
. D.
x − 4
2
=
y − 3
3
=
z − 2
4
.
Câu 19. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ): 2x − y + z − 10 = 0, điểm A(1; 3; 2) và đường thẳng d :
x + 2
2
=
y − 1
1
=
z − 1
−1
. Tìm phương trình đường thẳng ∆ cắt (P ) và d lần lượt tại hai điểm M, N sao cho A là trung điểm của
đoạn MN.
A.
x + 6
7
=
y + 1
4
=
z − 3
−1
. B.
x − 6
7
=
y − 1
4
=
z + 3
−1
. C.
x − 6
7
=
y − 1
−4
=
z + 3
−1
. D.
x + 6
7
=
y + 1
−4
=
z − 3
−1
.
BẢNG ĐÁP ÁN
1. C 2. A 3. A 4. A 5. C 6. A 7. C 8. A 9. B 10. A
11. B 12. B 13. C 14. D 15. B 16. A 17. C 18. C 19. A
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 6. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN / Trang 57/59
BB CỰC TRỊ HÌNH HỌC OXY Z
TÂM TỈ CỰ - TÂM TỈ CỰ DI ĐỘNG
Cho trước ba điểm A, B, C.
1. Tìm toạ độ điểm I thoả α ·
# »
IA + β ·
# »
IB + γ ·
# »
IC =
#»
0 ⇒
x
I
=
α · x
A
+ β · x
B
+ γ · x
C
α + β + γ
y
I
=
α · y
A
+ β · y
B
+ γ · y
C
α + β + γ
(1)
z
I
=
α · z
A
+ β · z
B
+ γ · z
C
α + β + γ
.
2. Luôn có
α ·
# »
MA + β ·
# »
MB + γ ·
# »
MC
=
(α + β + γ) ·
# »
MI
= (α + β + γ) · MI (2)
α · MA
2
+ β · MB
2
+ γ · MC
2
= (α + β + γ) · MI
2
+ α · IA
2
+ β · IB
2
+ γ · IC
2
| {z }
const
(3)
1. VÍ DỤ
L Câu 1. (Đề tham khảo - Bộ GD-ĐT năm 2019 - câu 41)
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −2; 4), B(−3; 3; 1) và mặt phẳng (P ): 2x − y + 2z − 8 = 0. Xét điểm
M là điểm thay đổi thuộc (P ), giá trị nhỏ nhất của 2MA
2
+ 3M B
2
bằng
A. 135. B. 105. C. 108. D. 145.
- Lời giải.
Tìm điểm I thoả 2
# »
IA + 3
# »
IB =
#»
0 ⇒ I(−1; 1; 1).
Ta có T = 2MA
2
+ 3M B
2
= 5MI
2
+ 2IA
2
+ 3IB
2
= 5MI
2
+ 90.
Khi đó T
min
⇔ M I
min
⇔ M là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (P ).
Ta có M = MI ∩ (P ) thoả
2x − y + 2z − 8 = 0
x = −1 + 2t
y = 1 − t
z = 1 + 2t
⇒ t = 1.
Suy ra M(1; 0; 3) ⇒ M I
2
= 9 ⇒ T
min
= 135.
Chọn đáp án A
L Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x − 2)
2
+ (y − 1)
2
+ (z − 10)
2
= 10, điểm M bất kì nằm
trên mặt phẳng (P ): 2x + 2y − z − 26 = 0. Gọi A, B là hai điểm nằm trên mặt cầu (S) sao cho AB = 6. Giá trị
nhỏ nhất của
5
# »
MA + 13
# »
MB
bằng
A. 108. B. 145. C. 150. D. 210.
- Lời giải.
Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 10) và bán kính R =
√
10.
Gọi K là điểm thoả mãn 5
# »
KA + 13
# »
KB =
#»
0 ⇔ 5
# »
KA = −13
# »
KB.
⇒ K thuộc đoạn AB và
(
5KA = 13KB
KA + KB = 6
⇒ KB =
5
3
, KA =
13
3
.
Gọi H là trung điểm của đoạn AB ⇒ IH ⊥ AB ⇒ HK =
4
3
⇒ IK =
5
3
.
Suy ra
5
# »
MA + 13
# »
MB
min
= 18 · MK
min
= 18 · (d(I, (P )) − IK) = 150.
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 6. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN / Trang 58/59
I
K
M
P
A
B
H
K
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−1; 1; 1), B(1; 1; 2), C(−2; 1; 1) và đường thẳng d:
x − 1
1
=
y − 1
2
=
z
1
.
Gọi M(a; b; c) ∈ d sao cho biểu thức 2MA
2
+ 3M B
2
− 4M C
2
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a + b + c bằng
A. 2. B. 10. C. 18. D. 0.
Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(5; 8; −11), B(3; 5; −4), C(2; 1; −6) và mặt cầu (S): (x −4)
2
+ (y −2)
2
+
(z + 1)
2
= 9. Gọi M(x
M
; y
M
; z
M
) là điểm trên mặt cầu (S) sao cho biểu thức
# »
MA −
# »
MB −
# »
MC
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giá trị của x
M
+ y
M
bằng
A. 4. B. 0. C. −2. D. 2.
Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x−2)
2
+(y−1)
2
+(z−10)
2
= 90 , mặt phẳng (P ): 2x+2y−z−26 = 0
và điểm M nằm trên mặt phẳng (P ). Hai điểm A, B nằm trên mặt cầu (S) sao cho AB = 18. Giá trị nhỏ nhất của
5MA
2
+ 13M B
2
là
A. 2970. B. 5220. C. 1620. D. 1195.
Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x −1)
2
+(y +2)
2
+(z −2)
2
= 7 và mặt phẳng (P ): x+ 2y −2z −8 = 0.
Lấy hai điểm A, B ∈ (S) sao cho AB = 4 và điểm M ∈ (P ). Giá trị nhỏ nhất của M A
2
+ 3M B
2
bằng
A. 128 − 40
√
3. B. 46. C. 48. D. 122 − 40
√
3.
Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x −3)
2
+ (y −2)
2
+ (z + 1)
2
= 4 và mặt phẳng (P ): 4x −3z + 10 = 0.
Xét hai điểm M , N di động trên (S) sao cho MN = 2. Lấy điểm A nằm trên (P). Giá trị nhỏ nhất của Q = AM
2
+ AN
2
bằng
A. 58 − 10
√
3. B. 56 − 20
√
3. C. 58 − 20
√
3. D. 30 − 10
√
3.
Câu 6. Cho z
1
, z
2
là hai trong số các số phức z thỏa mãn |z − 3 + 5i| = 5 và |z
1
− z
2
| = 6. Giá trị lớn nhất của biểu
thức |z
1
+ z
2
| bằng
A. 16 + 2
√
34. B. 8 + 2
√
34. C. 8 +
√
34. D. 10 + 2
√
34.
Câu 7. Giả sử z
1
, z
2
là hai trong số các số phức z thỏa mãn (z + i)(z + 3i) là số thuần ảo. Biết rằng |z
1
− z
2
| = 3, giá
trị lớn nhất của biểu thức |z
1
+ 2z
2
| bằng
A. 3
√
2 − 3. B. 3 + 3
√
2. C.
√
2 + 1. D.
√
2 − 1.
Câu 8. Giả sử z
1
, z
2
là hai trong số các số phức z thỏa mãn (z − 6)(8 + zi) là số thực. Nếu |z
1
− z
2
| = 4 thì giá trị nhỏ
nhất của biểu thức |z
1
+ 3z
2
| bằng
A. 5 −
√
21. B. 20 − 4
√
21. C. 20 − 4
√
22. D. 5 −
√
22.
Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + y + z − 1 = 0, đường thẳng (d) :
x − 15
1
=
y − 22
2
=
z − 37
2
và mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
−8x −6y + 4z + 4 = 0. Một đường thẳng (∆) thay đổi cắt mặt cầu (S) tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 8. Gọi A
0
, B
0
là hai điểm lần lượt thuộc mặt phẳng (P ) sao cho AA
0
, BB
0
cùng
song song với (d). Giá trị lớn nhất của biểu thức AA
0
+ BB
0
là
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 6. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN / Trang 59/59
A.
12 + 9
√
3
5
. B.
16 + 60
√
3
9
. C.
24 + 18
√
3
5
. D.
8 + 30
√
3
9
.
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; −2; 1), B(5; 0; −1), C(3; 1; 2) và mặt phẳng (Q): 3x +
y − z + 3 = 0. Gọi M(a; b; c) là điểm thuộc mặt phẳng (Q) thỏa mãn MA
2
+ M B
2
+ 2M C
2
nhỏ nhất. Tính tổng
a + b + 5c.
A. 11. B. 9. C. 15. D. 14.
Câu 11. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm N(0; 3; 0) và mặt cầu (S) tâm I(1; −2; 1) bán kính R = 3, biết
M (x
0
; y
0
; z
0
) ∈ (S) sao cho A = 2x
0
− y
0
+ 2z
0
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó độ dài MN là
A. 3. B. 3
√
3. C. 3
√
2. D.
√
3.
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; −3) và mặt phẳng (P ) : 2x + 2y − z + 9 = 0. Đường
thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (Q) : 3x + 4y −4z + 5 = 0 cắt mặt phẳng (P ) tại B. Điểm M nằm trong mặt
phẳng (P ) sao cho M luôn nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông và độ dài MB lớn nhất. Tính độ dài MB.
A. M B =
√
5. B. M B =
√
5
2
. C. MB =
√
41
2
. D. M B =
√
41.
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 1 − 1), B(−1; 2; 0), C(3; −1; −2). Giả sử M(a; b; c)
thuộc mặt cầu (S): (x − 1)
2
+ y
2
+ (z + 1)
2
= 861 sao cho P = 2MA
2
− 7MB
2
+ 4MC
2
đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị
|a| + |b| + |c| bằng
A. 49. B. 51. C. 55. D. 47.
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ): x+y+z−1 = 0 và hai điểm A(1; −3; 0), B(5; −1; −2).
Điểm M(a; b; c) nằm trên (P ) và |MA − MB| lớn nhất. Giá trị tích a · b · c bằng
A. 1. B. 12. C. 24. D. −24.
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(15; −1; 4), B(7; 6; 3), C(6; −3; 6), D(8; 14; −1) và M(a; b; c) thuộc
mặt cầu (S) : x
2
+y
2
+z
2
−2x+ 4y −6z −11 = 0. Tính giá trị của biểu thức P = a+b+ c khi MA
2
+MB
2
+MC
2
+MD
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
A. 9. B. −5. C. 16. D. 2.
Câu 16. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 1), B(3; 0; −1), C(0; 21; −19) và mặt cầu
(S) : (x−1)
2
+(y−1)
2
+(z−1)
2
= 1. Gọi M (a; b; c) là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho biểu thức T = 3MA
2
+2MB
2
+MC
2
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S = a + b + c.
A. S = 0. B. S =
14
5
. C. S = 12. D. S =
12
5
.
Câu 17. Cho z
1
, z
2
là hai số phức thỏa mãn hệ thức
z −3 −4i
= 2 và
z
1
−z
2
= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
z
1
2
−
z
2
2
.
A. −10. B. −5. C. −6 − 2
√
5. D. −4 − 3
√
5.
Câu 18. Kí hiệu A là tập hợp các số phức z đồng thời thỏa mãn hai điều kiện |z −1| =
√
34 và |z + 1 + mi| = |z + m + 2i|
(trong đó m ∈ R). Gọi z
1
, z
2
là hai số phức thuộc tập hợp A sao cho |z
1
− z
2
| là lớn nhất. Khi đó hãy tính giá trị của
|z
1
+ z
2
|.
A. |z
1
+ z
2
| = 10. B. |z
1
+ z
2
| = 2. C. |z
1
+ z
2
| =
√
2. D. |z
1
+ z
2
| =
√
130.
Câu 19. Giả sử z
1
, z
2
là hai trong số các số phức z thỏa mãn
iz +
√
2 − i
= 1 và |z
1
− z
2
| = 2. Giá trị lớn nhất của
|z
1
| + |z
2
| bằng
A. 4. B. 3
√
2. C. 3. D. 2
√
3.
BẢNG ĐÁP ÁN
1. B 2. D 3. C 4. C 5. A 6. B 7. B 8. C 9. C 10. B
11. C 12. A 13. B 14. C 15. A 16. B 17. A 18. B 19. A
p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
| 1/63
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

LỚP TOÁN THẦY ĐĂNG
CÁC CHUYÊN ĐỀ TỔNG ÔN
KỲ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN 33/8A Giải Phóng MỤC LỤC Chuyên đề 1 KHẢO SÁT HÀM SỐ 1 A
Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2
Bài tập tương tự và phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 B
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2
Bài tập tương tự và phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 C
Đơn điệu và cực trị của hàm số hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1
Bài tập mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2
Bài tập tương tự và phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chuyên đề 2
Phương trình mũ và lôgarít 14 A
Dạng phương trình cô lập tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2
Bài tập tương tự và phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 B
Bài toán sử dụng hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2
Bài tập tương tự và phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chuyên đề 3 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN 20 A
Tích phân hàm số cho bởi nhiều công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2
Bài tập tương tự và phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 B
Tích phân kết hợp: Đổi biến & từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2
Bài tập tương tự và phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 C
Tích phân hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2
Bài tập tương tự và phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 D
Diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2
Bài tập tương tự và phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 MỤC LỤC / Trang ii/59 Chuyên đề 4 SỐ PHỨC 32 A
Xác định các thuộc tính của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2
Bài tập tương tự và phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 B
Cực trị của biểu thức chứa mô-đun số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2
Bài tập tương tự và phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Chuyên đề 5 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 37 A
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2
Bài tập tương tự và phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 B
Thể tích có chứa dữ liệu góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2
Bài tập tương tự và phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 C
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2
Bài tập tương tự và phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 D
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2
Bài tập tương tự và phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 E
Góc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2
Bài tập tương tự và phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 F
Thể tích khối đa diện liên quan góc, khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2
Bài tập tương tự và phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 G
Bài toán cực trị (thực tế) trong nón trụ cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2
Bài tập tương tự và phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Chuyên đề 6
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 54 A
Phương trình mặt phẳng, đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2
Bài tập tương tự và phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 B
Cực trị hình học Oxyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1
Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2
Bài tập tương tự phát triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Bảng đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011 CHUYÊN ĐỀ 1 KHẢO SÁT HÀM SỐ KHẢO SÁT HÀM SỐ
A TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN K 1. VÍ DỤ
Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng K .
Nếu K = R → sử dụng ∆.
Cho f (x) = ax2 + bx + c (a 6= 0). Khi đó (a > 0
○ f (x) ≥ 0 với mọi x ⇔ ∆ ≤ 0. (a < 0
○ f (x) ≤ 0 với mọi x ⇔ ∆ ≤ 0.
Nếu K ⊂ R → cô lập m.
○ m ≥ g(x) với mọi x ∈ K ⇔ m ≥ max g(x). K
○ m ≤ g(x) với mọi x ∈ K ⇔ m ≥ min g(x). K
(Nếu max g(x), min g(x) tồn tại). K K
L Câu 1 (Câu 41 - Đề tham khảo lần 2 BGD&ĐT 2020). 1
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y =
x3 + mx2 + 4x + 3 đồng biến trên R? 3 A. 5. B. 4. C. 3. D. 2. - Lời giải. Ta có y0 = x2 + 2mx + 4. (a > 0 (1 > 0
Hàm số đồng biến trên R ⇔ y0 ≥ 0 với mọi x ⇔ ⇔ ⇔ m ∈ [−2; 2]. ∆0 ≤ 0 m2 − 4 ≤ 0
Vậy có 5 giá trị nguyên của m thoả mãn yêu cầu bài toán. Chọn đáp án A
L Câu 2 (Câu 36 - Đề tham khảo BGD&ĐT 2019).
Tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y = −x3 − 6x2 + (4m − 9)x + 4 nghịch biến trên (−∞; −1) là ï 3 ã Å 3 ò A. (−∞; 0]. B. − ; +∞ . C. +∞; − . D. [0; +∞). 4 4 - Lời giải.
Ta có y0 = −3x2 − 12x + 4m − 9.
Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1) khi và chỉ khi y0 ≤ 0 ∀x ∈ (−∞; −1). 1
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 2/59 Khi đó
−3x2 − 12x + 4m − 9 ≤ 0, ∀x ∈ (−∞; −1) ⇔
4m ≤ 3x2 + 12x + 9, ∀x ∈ (−∞; −1) ⇔ 4m ≤ min (3x2 + 12x + 9) (∗). x∈(−∞;−1)
Đặt g(x) = 3x2 + 12x + 9. Khi đó g0(x) = 6x + 12. Cho g0(x) = 0 ⇔ x = −2. Bảng biến thiên x −∞ −2 −1 g0(x) − 0 + g(x) −3
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 3
(∗) ⇔ 4m ≤ −3 ⇔ m ≤ − . 4 Chọn đáp án C
L Câu 3 (Câu 40 - Đề TN THPT BGD&ĐT 2020). x + 4
Tập hợp tất cả giá trị thực của m để hàm số y =
đồng biến trên khoảng (−∞; −7) là x + m A. [4; 7). B. (4; 7]. C. (4; 7) . D. (4; +∞). - Lời giải. Điều kiện x 6= −m. m − 4 Ta có y0 = . (x + m)2
Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −7) khi và chỉ khi y0 > 0 với mọi x ∈ (−∞; −7) (m − 4 > 0 (m > 4 (m > 4 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ m ∈ (4; 7]. − m / ∈ (−∞; −7) − m ≥ −7 m ≤ 7 Chọn đáp án B
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Cho hàm số y = −x3 − mx2 + (4m + 9)x + 5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên R? A. 7. B. 5. C. 54. D. 6.
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = (m − 1)x3 − 3(m − 1)x2 + 3(2m − 5)x + m nghịch biến trên R. A. m < 1. B. m ≤ 1. C. m = 1. D. −4 < m < 1. x + m
Câu 3. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y =
đồng biến trên từng khoảng xác định. x + 1 A. m ≤ 1. B. m > 1. C. m = 1. D. m < 1. mx + 2
Câu 4. Cho hàm số y =
, m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch 2x + m
biến trên khoảng (0; 1). Tìm số phần tử của S. A. 1. B. 5. C. 2. D. 3. p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 3/59 mx + 10
Câu 5. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =
nghịch biến trên khoảng (0; 2)? 2x + m A. 4. B. 5. C. 9. D. 6. 2x − m + 3
Câu 6. Số giá trị nguyên của m để hàm số f (x) =
nghịch biến trên (1; +∞) là x − m A. 4. B. 3. C. 2. D. vô số. x + 1
Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm số y =
nghịch biến trên khoảng (2; +∞). x + m A. m ≥ 2. B. m ≤ −2. C. m = −2. D. −2 ≤ m < 1.
Câu 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = x3 + 3x2 − 3(m2 − 1)x + 12 đồng biến trên khoảng (1; 2)? A. 4. B. Vô số. C. 5. D. 3.
Câu 9. Số giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (−10; 10) để hàm số y = −x3 + (m + 1)x2 + 2x − 3 đồng biến trên khoảng (0; 2) là A. 6. B. 7. C. 9. D. 8.
Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x4 − 2(m − 1)x2 + m − 2 đồng biến trên khoảng (1; 3).
A. m ∈ (−∞; −5). B. m ∈ (2; +∞). C. m ∈ [−5; 2). D. m ∈ (−∞; 2].
Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 + 3mx + m có độ dài khoảng nghịch biến bằng 4. A. m = 3. B. m = 4. C. m = −3. D. m = −4. √ (4 − m) 6 − x + 3
Câu 12. Cho hàm số y = √
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m trong khoảng (−10; 10) 6 − x + m
sao cho hàm số đã cho đồng biến trên (−8; 5)? A. 14. B. 13. C. 12. D. 15. 2 cos x + 3 π
Câu 13. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng (−8; 8) để hàm số y = đồng biến trên 0; ? 2 cos x − m 3 A. 9. B. 7. C. 5. D. 11.
Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = ln x2 − 2mx + 10 + mx + m2 + 1 luôn đồng biến trên (−∞; +∞)? A. 3. B. 7. C. 8. D. 4. m − sin x
Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số y = nghịch biến trên khoảng cos2 x π π ; ? 6 3 A. 0. B. 2. C. 1. D. Vô số. tan x − 2 π
Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = đồng biến trên khoảng 0; ? tan x − m 4 A. 0. B. 2. C. 1. D. Vô số. √ 2 9 − x2 − m
Câu 17. Cho hàm số y = √
, với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cá giá trị nguyên không vượt quá 2020 9 − x2 − m √ Ä ä
để hàm số đồng biến trên 0;
5 . Tính tổng các phần tử của tập hợp S. A. 2041205. B. 2039190. C. 2039191. D. 2041210. BẢNG ĐÁP ÁN 1. D 2. B 3. D 4. C 5. D 6. A 7. D 8. C 9. D 10. D 11. C 12. A 13. D 14. A 15. C 16. C 17. D
B GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM HỢP p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 4/59 1. VÍ DỤ
L Câu 1 (Câu 39 - Đề tham khảo - Bộ GD & ĐT năm 2021).
Cho hàm số f (x), đồ thị của hàm số y = f 0(x) là đường cong như hình bên. Giá y ï 3 ò
trị lớn nhất của hàm số g(x) = f (2x) − 4x trên đoạn − ; 2 bằng 2 A. f (0). B. f (−3) + 6. C. f (2) − 4. D. f (4) − 8. 2 −3 O x 2 4 - Lời giải. ï 3 ò
Ta có g0(x) = 2f 0(2x) − 4, ∀x ∈ − ; 2 . y 2 g0(x) = 0 ⇔ 2f 0(2x) − 4 = 0 ⇔ f 0(2x) = 2 "x = 0 ⇔ x = 1. 2 −3 O x 2 4
Ta có bảng biến thiên sau 3 x − 0 1 2 2 g0(x) + 0 + 0 − f (2) − 4 g(x)
Từ bảng biến thiên ta được max g(x) = f (2) − 4. h 3 i − ;2 2 ï 3 ò
Cách 2: Đặt t = 2x, với x ∈ − ; 2 thì t ∈ [−3; 4]. 2
Hàm số trở thành h(t) = f (t) − 2, ∀t ∈ [−3; 4]. "t = 0
Ta có h0(t) = f 0(t) − 2, h0(t) = 0 ⇔ , ∀t ∈ [−3; 4]. t = 2 x −3 0 2 4 h0(t) + 0 + 0 − f (2) − 4 h(t)
Từ bảng biến thiên, suy ra max h(t) = h(2) = f (2) − 4. t∈[−3;4] Chọn đáp án C p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 5/59
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu 1.
Cho hàm số f (x) xác định trên R và có đồ thị f 0(x) như hình vẽ bên y
dưới. Giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = f (2x) − 2x + 1 trên đoạn ï 1 ò − ; 1 bằng 2 A. f (0) − 1. B. f (1). C. f (2) − 1. D. f (−1) + 2. 1 −1 O x 1 2 −1 Câu 2.
Cho hàm số f (x), đồ thị của hàm số y = f 0(x) là đường cong như hình vẽ. Giá y ï 1 ò
trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = f (2x − 1) + 6x trên đoạn ; 2 bằng 2 −1 O 1 2 x Å 1 ã A. f . B. f (0) + 3. C. f (1) + 6. D. f (3) + 12. 2 −3 Câu 3.
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R và hàm số y = f 0(x) có đồ thị như hình vẽ. y x Hàm số g(x) = f
+ 1 − ln x2 + 8x + 16 đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [−2; 4] 2 tại x = x 3
0. Khi đó x0 thuộc khoảng nào sau đây? Å 1 ã Å 5 ã Å 1 ã A. ; 2 . B. 2; . C. (−1; 0). D. −1; . 2 2 2 2 1 O x 1 2 3 Câu 4. p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 6/59
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R có f (5) = 12. Đồ thị của y
hàm số y = f 0(x) được cho như hình vẽ bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 5
g(x) = f (1 − 2x) − 2x2 + 2x trên đoạn [−2; 2] bằng A. 0. B. f (−3) − 4. C. 1. D. f (1). 2 −3 O x 2 5 −3 Câu 5. 3
Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có f (0) = . Hàm số y = f 0(x) y 2
có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) =
4f (x + 1) + x2 + 2x trên đoạn [−3; 3] bằng 1 A. 4f (−2) + 3. B. 4f (4) + 15. C. 5. D. 4f (3) + 8. −2 O x 4 −2 Câu 6.
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm và liên tục trên R. Biết rằng đồ thị hàm số y = f 0(x) y
như hình bên. Lập hàm số g(x) = f (x) − x2 − x. 5
Mệnh đề nào sau đây đúng? A. g(−1) > g(1). B. g(−1) = g(1). 3 C. g(1) = g(2). D. g(1) > g(2). O x −1 1 2 −1 Câu 7.
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm số y = f 0(x) như y
hình vẽ. Biết rằng các điểm A(1; 0), B(−1; 0) thuộc đồ thị. Giá trị nhỏ nhất y = f 0(x)
và giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên đoạn [−1; 4] lần lượt là A. f (1); f (−1). B. f (0); f (2). C. f (1); f (4). D. f (−1); f (4). B A x −1 O 1 4 Câu 8. p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 7/59
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị y = f 0(x) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành y
độ a < b < c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. f (c) > f (b) > f (a).
B. f (b) > f (a) > f (c).
C. f (a) > f (c) > f (b).
D. f (c) > f (a) > f (b). O a x b c Câu 9.
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0(x) trên R và đồ thị của hàm số f 0(x) cắt trục hoành tại y
4 điểm có hoành độ theo thứ tự từ trái sang phải trên trục hoành là a, b, c, d (a < b < c < d)
như hình vẽ bên. Chọn khẳng định đúng.
A. f (c) > f (a) > f (b) > f (d).
B. f (c) > f (a) > f (d) > f (b).
C. f (a) > f (b) > f (c) > f (d).
D. f (a) > f (c) > f (d) > f (b). a b c d x O Câu 10.
Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn 0 < a < b < c < d và hàm số y = f (x). Biết hàm y
số y = f 0(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [0; d]. Khẳng định nào sau đây là khẳng a b c định đúng? O x d
A. M + m = f (0) + f (c).
B. M + m = f (d) + f (c).
C. M + m = f (b) + f (a).
D. M + m = f (0) + f (a). Câu 11.
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị hàm số y = f 0(x) cắt trục Ox tại ba y
điểm có hoành độ a < b < c như hình vẽ. Xét 4 mệnh đề sau:
(1): f (c) < f (a) < f (b).
(2): f (c) > f (b) > f (a).
(3): f (a) > f (b) > f (c). (4): f (a) > f (b). O a x b c
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 4. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 12. p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 8/59
Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f 0(x) như hình bên. Đặt h(x) = y x2 f (x) −
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2
A. Hàm số y = h(x) đồng biến trên khoảng (−2; 3).
B. Hàm số y = h(x) nghịch biến trên khoảng (0; 1). 4
C. Hàm số y = h(x) nghịch biến trên khoảng (2; 4).
D. Hàm số y = h(x) đồng biến trên khoảng (0; 4). 2 x −2 O 2 4 −2 Câu 13.
Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f 0(x) như hình bên. Đặt g(x) = 2f (x) − y
(x + 1)2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g(−3) > g(3) > g(1). 4
B. g(1) > g(−3) > g(3).
C. g(3) > g(−3) > g(1). 2
D. g(1) > g(3) > g(−3). −3 x O 1 3 −2 y Câu 14. Cho hàm số y = f (x). Đồ
thị hàm số y = f 0(x) như hình bên. Đặt g(x) = 2f (x) + x2. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3
A. g(3) < g(−3) < g(1). O 1 3
B. g(1) < g(3) < g(−3). x −3 −1
C. g(1) < g(−3) < g(3).
D. g(−3) < g(3) < g(1). −3 Câu 15.
Cho hàm số y = f (x). Đồ thị của hàm số y = f 0(x) như hình bên. Đặt g(x) = 2f (x) + (x + 1)2. y
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. g(1) < g(3) < g(−3). 2 − B. 3 g(1) < g(−3) < g(3). 1 3 x O
C. g(3) = g(−3) < g(1). −2
D. g(3) = g(−3) > g(1). −4 BẢNG ĐÁP ÁN 1. C 2. C 3. D 4. B 5. B 6. D 7. C 8. D 9. A 10. A 11. B 12. C 13. D 14. B 15. A
C ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỢP p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 9/59 1. BÀI TẬP MẪU
L Câu 1. Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm f 0(x) như sau x −∞ −2 2 +∞ f 0(x) − 0 − 0 +
Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m ∈ [−5; 5] để hàm số y = f (x2 − 2mx + m2 + 1) nghịch biến Å 1 ã trên miền 0;
. Tổng các phần tử của S bằng 2 A. −10. B. −12. C. 15. D. 14. - Lời giải.
Ta có y = f (x2 − 2mx + m2 + 1) = f ((x − m)2 + 1) ⇒ y0 = 2(x − m)f 0((x − m)2 + 1). x = m "x − m = 0 "x = m Xét y0 = 0 ⇔ ⇔ ⇔  x = m + 1 f 0((x − m)2 + 1) = 0 (x − m)2 + 1 = 2  x = m − 1.
Với x = m + 2, ta có y0(m + 2) = 4f 0(5) > 0. Bảng xét dấu x −∞ m − 1 m m + 1 +∞ y0 − 0 + 0 − 0 +  1  3 ≤ Å m − 1 m ≥ 1 ã 2 2
Từ bảng xét dấu, hàm số nghịch biến trên 0; ⇒  ⇔  2  1  1 m ≤ 0 < ≤ m + 1 − ≤ m ≤ 0. 2 2
Do m ∈ Z và m ∈ [−5; 5] nên m ∈ {2; 3; 4; 5}.
Tổng các phần tử của m là 14. Chọn đáp án D L Câu 2.
Cho hàm số bậc bốn f (x) có đồ thị f 0(x) = −2x3 + bx2 + cx + d như hình vẽ. Biết hàm y
số y = f (x) − 2mx + m đạt cực trị tại điểm x = 1. Mệnh đề nào đúng? 4
A. m ∈ (−∞; −5). B. m ∈ [−4; 0). C. m ∈ [0; 3). D. m ∈ [3; 5). 1 2 x O - Lời giải.
Ta có f 00(x) = −6x2 + 2bx + c và từ hình vẽ thấy đồ thị hàm số f 0(x) đạt cực trị tại các điểm x = 1; x = 2 nên (f00(1) = 0 (2b + c = 6 (b = 9 ⇔ ⇔ f 00(2) = 0 4b + c = 24 c = −12.
Do đồ thị hàm số f 0(x) cắt Oy tại A(0; 4) nên d = 4.
Do đó f 0(x) = −2x3 + 9x2 − 12x + 4.
Ta có y0 = f 0(x) − 2m và hàm số đạt cực trị tại điểm x = 1 nên 1
y0(1) = 0 ⇔ f 0(1) − 2m = 0 ⇔ −1 − 2m = 0 ⇔ m = − . 2 Vậy m ∈ [−4; 0). Chọn đáp án B p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 10/59 L Câu 3.
Cho hai hàm số f (x), g(x) là các hàm đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ y g(x)
bên. Đặt h(x) = f (x) − g(x), số điểm cực đại của hàm số y = |h(|x|)| là A. 5. B. 7. C. 3. D. 4. x −1 O 1 4 f (x) - Lời giải.
Xét h(x) = a(x + 1)(x − 1)(x − 4) = a x3 − 4x2 − x + 4, (a < 0 do nhánh phải có f (x) − g(x) < 0). √  4 − 19 x1 = < 0 3
Có h0(x) = a 3x2 − 8x − 1 = 0 ⇔   √  4 + 19 x2 = > 0. 3  lim h(x) = +∞  Ta có x→−∞
⇒ h(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x ∈ (−∞; 0). h(0) = 4a < 0 (h(0) = 4a < 0 Tương tự
⇒ h(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x ∈ (0; x2). h (x2) ≈ −8,2a > 0 h (x  2) ≈ −8,2a > 0 Và
⇒ h(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x ∈ (x2; +∞). lim h(x) = −∞ < 0  x→+∞
Từ đó suy ra đồ thị hàm số y = h(x) có hình dáng sau y x O
Thực hiện phép biến đổi đồ thị hàm số y = |h(|x|)| có 3 điểm cực đại và 4 điểm cực tiểu. y x O Chọn đáp án C L Câu 4.
Cho hàm số y = f 0(x) có đồ thị như hình vẽ. Biết f (1) = 1, hỏi có bao nhiêu giá y
trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = 4f (ln x) − ln2 x + 1 − m nghịch biến trên (1; e)? 1 A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. x −1 O - Lời giải.
Đặt t = ln x, với x ∈ (1; e) ⇒ t ∈ (0; 1).
Hàm số trở thành y = 4f (t) − t2 + 1 − m , ∀t ∈ (0; 1).
Xét hàm số g(t) = 4f (t) − t2 + 1 − m có g0(t) = 4f 0(t) − 2t.
Hàm số y = |g(t)| nghịch biến trên (0; 1) nên đồ thị g(t) không nằm đồng thời về hai phía đối với Ox trên (0; 1). Ta có hai trường hợp sau p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 11/59 t 0 1 t 0 1 g(1) ≤ 0 g(0) g(t) g(t) g(0) g(1) ≥ 0 |g(0)| (0) |g | (0)| (0) |g(t)| |g(t)| |g | (1)| (1) |g | (1)|  (g(1) ≤ 0 g(1) ≤ 0  TH1: , ∀t ∈ (0; 1) ⇔ t g0(t) ≥ 0 f 0(t) ≥ . 2 t
Từ đồ thị f 0(x), ta thấy f 0(t) <
, ∀t ∈ (0; 1) nên không xét thêm trường hợp này. 2  (g(1) ≥ 0, ∀t ∈ (0; 1) 4f (1) − m ≥ 0  TH2: ⇔ t ⇔ 4 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 4. g0(t) ≤ 0, ∀t ∈ (0; 1) f 0(t) ≤ 2 Do m ∈ + Z ⇒ m ∈ {1; 2; 3; 4}. Chọn đáp án A
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Cho hàm số f (x) = x3 + mx2 + nx − 1, với m, n là các tham số thực thoả mãn m + n > 0 và 7 + 4m + 2n < 0.
Số điểm cực trị của hàm số y = |f (|x|)| là A. 5. B. 11. C. 7. D. 9.
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m với |m| < 10 để hàm số y = x3 − (m − 2)x2 − mx − m2 có 3 điểm cực tiểu? A. 9. B. 10. C. 8. D. 16.
Câu 3. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R, dấu của đạo hàm được cho bởi bảng bên dưới. Hàm số
g(x) = f |x2 − 1| + 1 đồng biến trên khoảng nào? x −∞ −2 1 2 +∞ f 0(x) − 0 + 0 − 0 + √ Å ã √ Ä ä 6 Ä ä A. (−1; 1). B. −∞; − 2 . C. − ; −1 . D. 0; 2 . 5 Câu 4.
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất của y
hàm số y = |f (sin x) − 3 sin x| với mọi x ∈ (0; π) bằng A. 4. B. 1. C. 2. 1 D. 3. 1 O x −1
Câu 5. Biết rằng hàm số f (x) = 2x3 + 3ax2 + 6x + 1 và g(x) = 2x3 + 3bx2 + 12x + 4 có chung ít nhất một điểm cực trị.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức |a| + |b| bằng √ √ √ √ A. 2 2 + 2. B. 2 6. C. 3 2. D. 3 6. p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 12/59
Câu 6. Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x) > 0, ∀x ∈ (1; 4) và f 0(4) = 0. Hàm số f 0(x) có bảng biến thiên như hình
bên dưới. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2019; 2019] để hàm số g(x) = e−x2+mx+1f (x) đồng biến trên khoảng (1; 4). x −∞ 1 +∞ f 00(x) + 0 − 4 f 0(x) −∞ −∞ A. 2010. B. 2012. C. 2007. D. 2008. Câu 7.
Cho hàm số bậc bốn y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số y Ä ä g(x) = f |x|3 − 3|x| là A. 5. B. 9. C. 7. −2 2 x D. O 11. Câu 8.
Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị như hình vẽ dưới. Có bao nhiêu số tự nhiên y
m ≤ 2018 để hàm số y = f (m − x) + (m − 1)x đồng biến trên khoảng (−1; 1)? 1 A. 2. B. 3. C. 1. D. 2018. −1 2 x O 1 3 −3 Câu 9.
Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f (x). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số y
m để hàm số y = |f (x + 1) + m| có 5 điểm cực trị? 2 A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. O x −3 −6
Câu 10. Cho hàm số f (x) = ax4 + bx2 + c với a > 0, c > 2018 và a + b + c < 2018. Số cực trị của hàm số y = |f (x) − 2018| là A. 4. B. 6. C. 7. D. 3. Câu 11. p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 1. KHẢO SÁT HÀM SỐ / Trang 13/59
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để y
đồ thị của hàm số y = f (|x| + m) có 5 điểm cực trị. 3 A. m < 2. B. m > 2. C. m > −2. D. m < −2. O x −2 − −1
Câu 12. Cho hàm số f (x) = ax4 + bx2 + c với a > 0, c > 2017 và a + b + c < 2017. Số cực trị của hàm số y = |f (x) − 2017| là A. 1. B. 3. C. 5. D. 7. Câu 13.
Cho y = f (x) là hàm đa thức bậc 4. Biết đồ thị hàm số y = f (x) như hình vẽ. Hàm số y
y = ln |f (x)| có bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 7. B. 2. C. 0. D. 4. x O Câu 14.
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của y
tham số m ∈ [−100; 100] để hàm số h(x) = f 2(x + 2) + 4f (x + 2) + 3m có đúng 3
điểm cực trị. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng A. 5047. B. 5049. C. 5050. D. 5043. O 1 3 x
Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên m ∈ (−10; 10) để hàm số y = m2x4 − 2 (4m − 1) x2 + 1 đồng biến trên khoảng (1; +∞)? A. 15. B. 6. C. 7. D. 16.
Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = |3x5 − 25x3 + 60x + m| có 7 điểm cực trị? A. 42. B. 21. C. 40. D. 20. Å x2 + 2x ã
Câu 17. Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Hàm số g(x) = f ex − có bao nhiêu điểm 2 cực trị? y −2 4 x O 1 A. 3. B. 7. C. 6. D. 4. BẢNG ĐÁP ÁN 1. B 2. B 3. C 4. A 5. B 6. B 7. C 8. C 9. C 10. C 11. D 12. D 13. C 14. B 15. D 16. A 17. A p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011 CHUYÊN ĐỀ 2
PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARÍT
PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARÍT
A DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CÔ LẬP THAM SỐ 1. VÍ DỤ
L Câu 1. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của c để tồn tại các số thực a > 1 và b > 1 thỏa mãn log a = log b = log (5b − a) − log c? 9 12 16 16 A. 6. B. 5. C. 3. D. 4. - Lời giải. 5b − a Đặt log a = log b = log (5b − a) − log c = log
= t. Do a > 1, b > 1 nên t > 0. Suy ra 9 12 16 16 16 c a = 9t     Å ãt Å ã2t b = 12t 5 · 12t − 9t 3 3 ⇒
= 16t ⇒ 5 · 12t − 9t = c · 16t ⇒ c = 5 · − . c 4 4   5b − a   = 16t c Å 3 ãt Å 3 ãt Å 3 ã0 Đặt x = . Do t > 0 nên 0 < < hay x ∈ (0; 1). 4 4 4
Khi đó c = 5x − x2 với x ∈ (0; 1) (*).
Xét hàm số f (x) = 5x − x2 với x ∈ (0; 1). 5
Đạo hàm f 0(x) = 5 − 2x, f 0(x) = 0 ⇔ 5 − 2x = 0 ⇔ x = / ∈ (0; 1). 2 Bảng biến thiên x 0 1 f 0(x) + 4 f (x) 0
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình (∗) có nghiệm thuộc (0; 1) khi 0 < c < 4. Mà c nguyên dương nên c ∈ {1; 2; 3}. Chọn đáp án C
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số thực m để phương trình
16x − 2 · 12x + (m − 2) · 9x = 0 có nghiệm dương? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 14
Chuyên đề 2. Phương trình mũ và lôgarít / Trang 15/59
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [−18; 0] để phương trình
(x − 2) log (x + m) = x − 1 4
có đúng một nghiệm dương? A. 18. B. 19. C. 17. D. 16.
Câu 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [−8; 10] để phương trình ln [(m + 1)x] = 2 ln(x + 2) có nghiệm duy nhất? A. 2. B. 8. C. 7. D. 12.
Câu 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [−20; 20] để phương trình
log (x2 − 3x + 2m) = log (x + m) 2 2 có nghiệm? A. 25. B. 9. C. 24. D. 10.
Câu 5. Có bao nhiêu số nguyên a ∈ [−2021; 2021] sao cho tồn tại duy nhất số thực x thỏa mãn log√ (x + 3) = 3 log (ax)? 3 A. 2020. B. 2021. C. 2022. D. 2023.
Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ (−10; 10) để phương trình
log (x2 − 2x + 4) = log (x2 − 2x + m) 2 5
có hai nnghiệm phân biệt? A. 3. B. 4. C. 6. D. 0.
Câu 7. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m ∈ (−10; 10) sao cho phương trình log (2020x + m) = 6
log (1010x) có đúng 2 nghiệm phân biệt? 4 A. 13. B. 3. C. 2. D. 12. log (mx)
Câu 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 5 = 2 có nghiệm duy nhất? log (x + 1) 5 A. 1. B. 3. C. Vô số. D. 2.
Câu 9 (Đề thử nghiệm năm 2017). Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình 6x +(3−m)2x −m = 0
có nghiệm thuộc khoảng (0; 1). A. [3; 4]. B. [2; 4]. C. (2; 4). D. (3; 4).
Câu 10 (Đề tham khảo năm 2017). Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong [−2017; 2017] để phương trình log(mx) =
2 log(x + 1) có nghiệm duy nhất? A. 2017. B. 4014. C. 2018. D. 4015.
Câu 11 (Đề tham khảo năm 2018). Cho phương trình 16x − 2.12x + (m − 2)9x = 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương
của tham số m để phương trình có nghiệm dương? A. 1. B. 2. C. 4. D. 3.
Câu 12. Cho phương trình log (2018x + m) = log (1009x). Tìm số các giá trị nguyên nhỏ hơn 2018 của tham số m để 6 4 phương trình có nghiệm. A. 2018. B. 2017. C. 2019. D. 2020.
Câu 13. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [−50; 50] sao cho phương trình log√ mx − 6x2−2 log −14x2 + 29x − 2 = 2 2 0 có nghiệm duy nhất? A. 16. B. 14. C. 13. D. 15.
Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình e3x − 2e2x+ln 3 + ex+ln 9 + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt
thuộc khoảng (− ln 2; +∞)? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 2. Phương trình mũ và lôgarít / Trang 16/59 √ √ Ä äx Ä äx
Câu 15. Tập các giá trị của m để phương trình 4 · 5 + 2 + 5 − 2
− m + 3 = 0 có đúng hai nghiệm âm phân biệt là
A. (−∞; −1) ∪ (7; +∞). B. (7; 8). C. (−∞; 3). D. (7; 9).
Câu 16. Cho phương trình log (5x − 1) · log (2 · 5x − 2) = m. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình có 2 4
nghiệm thuộc đoạn [1; 2]? A. 8. B. 7. C. 10. D. 9. BẢNG ĐÁP ÁN 1. B 2. D 3. B 4. A 5. C 6. D 7. D 8. C 9. C 10. C 11. B 12. A 13. C 14. A 15. B 16. C
B BÀI TOÁN SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG 1. VÍ DỤ
L Câu 1. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 1 ≤ y ≤ 2020 và 2x−1 = log (x + 2y) + y? 4 A. 11. B. 10. C. 6. D. 5. - Lời giải.
Điều kiện x + 2y > 0. Phương trình đã cho tương đương với 2x = log (x + 2y) + 2y 2 ⇔
2x + log 2x = (x + 2y) + log (x + 2y) 2 2 1
Xét hàm số f (t) = t + log t với t ∈ (0; +∞), ta có f 0(t) = 1 + > 0, ∀t > 0. 2 t ln 2
Do đó f (2x) = f (x + 2y) ⇔ 2x = x + 2y ⇔ 2y = 2x − x.
Ta có 1 ≤ y ≤ 2020 ⇔ 2 ≤ 2y < 4040 ⇒ 2 ≤ 2x − x ≤ 4040.
Do x nguyên nên x ∈ {2; 3; . . . ; 11}. . Do y ∈ .
Z suy ra x . 2 suy ra x ∈ {2; 4; 6; 8; 10}. Vậy có 5 cặp (x; y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nhận xét. Dấu hiệu nhận dạng cơ bản của việc sử dụng phương pháp đánh giá (f (u), f (v) hoặc bất đẳng thức,
...) là trong bài toán chứa hai hàm khác loại. Nếu chứa đồng thời mũ và lôgarit thì có thể sử dụng công thức f (x) = alog f(x) a
hoặc đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II hoặc gần đối xứng. Chọn đáp án D
L Câu 2. Có bao nhiêu số nguyên a với a ≥ 2 sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn alog x + 2log a = x − 2. A. 8. B. 9. C. 1. D. Vô số. - Lời giải. Điều kiện x > 2.
Nhận xét rằng alog x = xlog a.
Ta có alog x + 2log a = x − 2 ⇔ xlog a + 2log a + xlog a + 2 = xlog a + x.
Xét hàm số f (t) = tlog a + t trên (2; +∞).
f 0(t) = log a · tlog a−1 + 1 > 0, ∀t > 2 và a ≥ 2.
Suy ra hàm số f (t) đồng biến trên khoảng (2; +∞). p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 2. Phương trình mũ và lôgarít / Trang 17/59 log(x − 2)
Khi đó f xlog a + 2 = f (x) ⇔ xlog a + 2 = x ⇔ xlog a = x − 2 ⇔ log a = . log x
( log(x − 2) < log x, ∀x > 2 log(x − 2) Mà nên < 1, ∀x > 2. log x > 0, ∀x > 2 log x
Do đó log a < 1 ⇔ a < 10.
Đồng thời do a ∈ Z và a ≥ 2 nên a ∈ {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.
Vậy có 8 giá trị nguyên của a thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn đáp án C
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 0 < y < 2020 và 3x + 3x − 6 = 9y + log y3? 3 A. 9. B. 8. C. 7. D. 2019. log y
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để tồn tại cặp số dương (x; y) thỏa mãn đồng thời 2 = 1 − y x
và log2 x2y + y − 1 − 8(m + 2) · log (2x − xy) + 5m2 + 16 = 0? 3 3 A. 9. B. 8. C. 16. D. 17. 2x2 − x + m
Câu 3. Cho phương trình log
= x2 + x + 4 − m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [−2018; 2018] 3 x2 + 1
để phương trình có hai nghiệm trái dấu? A. 2022. B. 2021. C. 2016. D. 2015.
Câu 4. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m sao cho phương trình 8x + 3x · 4x + 3x2 + 1 · 2x =
m3 − 1 x3 + (m − 1)x có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 10)? A. 101. B. 100. C. 102. D. 103. 2x (4y − 2x)
Câu 5. Cho hệ thức log 4x + 2x+1y + 4y2 − log 2x+1y =
vói 1 ≤ y ≤ 2020. Có tất cà bao nhiêu cặp số 3 3 4y2
nguyên (x; y) thỏa mãn hệ thức trên? A. 9. B. 10. C. 11. D. 12.
Câu 6. Cho phương trình 3x + m = log (x − m) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ (−15; 15) để 3
phương trình đã cho có nghiệm? A. 16. B. 9. C. 14. D. 15.
Câu 7. Cho phương trình 7x + m = log (x − m) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ (−25; 25) để 7
phương trình đã cho có nghiệm? A. 9. B. 25. C. 24. D. 26.
Câu 8. Cho phương trình 2x + m = log (x − m) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ (−18; 18) để 2
phương trình đã cho có nghiệm? A. 9. B. 19. C. 17. D. 18. Å 4a + 2b + 5 ã
Câu 9. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãm log
= a + 3b − 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 a + b T = a2 + b2. 5 1 3 A. . B. . C. . D. 1. 2 2 2 Å x + 4y ã 2x4 − 2x2y2 + 6x2
Câu 10. Xét x, y là các số thực dương thỏa mãn log
= 2x−4y+1. Giá trị nhỏ nhất của P = 2 x + y (x + y)3 bằng 25 9 16 A. . B. 4. C. . D. . 9 4 9
Câu 11. Có bao nhiêu số nguyên a (a > 2) sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn a 2a xlog a 2 + 1log2 = x − 2. A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 2. Phương trình mũ và lôgarít / Trang 18/59
Câu 12. Có bao nhiêu số nguyên a (a > 2) sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn aln x + 3ln x = x − 3. A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. √
Câu 13. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của số thực y nhỏ hơn 10 sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn py + y + ex = ex? A. 9. B. 8. C. 10. D. 7.
Câu 14. Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn
ln[y + 3 sin x + ln(y + 4 sin x)] = sin x. A. 6. B. 10. C. 5. D. 9.
Câu 15. Có tất cả bao nhiêu số nguyên y sao cho có đúng 2 số thực x ∈ (0; 10) thỏa mãn:
8x + 3x · 4x + 3x2 + 1 · 2x = y3 − 1 x3 + (y − 1)x A. 101. B. 100. C. 102. D. 103.
Câu 16. Gọi a > 1 là số thực sao cho tồn tại duy nhất số thực x thỏa mãn ax = log x. Mệnh đề nào đúng ? a A. a ∈ (1,2; 1,3). B. a ∈ (1,3; 1,4). C. a ∈ (1,4; 1,5). D. a ∈ (1,5; 1,6). √
Câu 17. Phương trình 2x+ 3 m−3x + x(x − 3)2 · 2x = (8 − m) · 2x + 4 có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m ∈ (a; b). Khi đó b2 − a2 bằng? A. 48. B. 36. C. 64. D. 72.
Câu 18. Giả sử a, b là các số thực sao cho x3 + y3 = a · 103x + b · 102x đúng với mọi các số thực dương x, y, z thỏa mãn
log(x + y) = z và log x2 + y2 = z + 1. Giá trị của a + b bằng 31 29 31 25 A. . B. . C. − . D. − . 2 2 2 2
Câu 19. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log (4x + 16) + x − 3y − 8y = −2. Gọi (x 2
0; y0) là cặp (x; y) khi biểu thức
P = x2 + 3x + 1 + 8y đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của x3 + 3y 0 0 bằng? A. 9. B. 7. C. −7. D. −9.
Câu 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m đề tồn tại cặp số (x; y) thỏa mãn đồng thời e2x+y+1 − e3x+2y =
x + y − 1 và log2(2x + y − 1) − (m + 4) log x + m2 + 4 = 0 ? 2 2 A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 21. Cho phương trình log
2x2 − 4x + 4 = 2y2 + y2 − x2 + 2x − 1. Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x; y) và 2
0 < x < 100 thỏa mãn phương trình đã cho? A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
Câu 22. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn 0 < x ≤ 2020 và (x + 1) · 3x = y · 27y ? A. 2020. B. 673. C. 672. D. 2019.
Câu 23. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn đồng thời các điều kiện 0 ≤ x ≤ 2020, 1 ≤ y ≤ 2020 và
4x+1 + log (y + 3) = 16 · 2y + log (2x + 1) ? 2 2 A. 2019. B. 2020. C. 1010. D. 1011.
Câu 24. Có tất cả bao nhiêu bộ ba số thực (x, y, z) thỏa mãn đồng thời các điều kiện √ √ √ 3 3 3 2 x2 · 4
y2 · 16 z2 = 128 và xy2 + z42 = 4 + xy2 − z42 A. 3. B. 4. C. 1. D. 2. p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 2. Phương trình mũ và lôgarít / Trang 19/59
Câu 25. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−2020; 2020] để phương trình log x2 − 3x2 = 2020 log√
(x + m) có đúng hai nghiệm phân biệt ? 2020 A. 4035. B. 2023. C. 2022. D. 4036.
Câu 26. Gọi S là tập hợp tất cà các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [−20; 20] để phương trình log x2 + 3x2 = 2021 log√
(x − m) có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng 2021 A. −203. B. −206. C. 3. D. 6.
Câu 27. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của y ∈ (−10; 10) để tồn tại 2 số thực x thỏa mãn log x2 − 2x + 4 = log x2 − 2x + y 3 5 A. 4. B. 3. C. 6. D. 9.
Câu 28. Có bao nhiêu giá trị của y ∈ (0; 2020) để tồn tại số thực x thỏa mãn 4x + 4 = 2x+2 · cos(x + y)? A. 324. B. 322. C. 320. D. 321.
Câu 29. Với giá trị nào của y thì tồn tại đúng 1 số thực x thỏa mãn 9x + 9 = 3xy cos(πx) ? A. y = 3. B. y = −6. C. y = −3. D. y = 6. p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011 CHUYÊN ĐỀ 3
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
A TÍCH PHÂN HÀM SỐ CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC 1. VÍ DỤ
L Câu 1 (Câu 41 - Đề minh họa lần 1 BGD 2020 - 2021). π ( 2 x2 − 1 khi x ≥ 2 Z Cho hàm số f (x) = . Tích phân
f (2 sin x + 1) cos x dx bằng x2 − 2x + 3 khi x < 2 0 23 23 17 17 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 3 - Lời giải. Phân tích.
1) Đây là dạng toán tìm giá trị của tích phân của hàm số. 2) HƯỚNG GIẢI:
B1: Dựa vào biểu thức bên trong dấu tích phân, ta sử dụng phương pháp đổi biến số để xử lý bài toán. b c b Z Z Z B2: Sử dụng tính chất f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx, ∀c ∈ (a; b). a a c
B3: Lựa chọn hàm f (x) thích hợp để tính giá trị tích phân.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: π 2 Z Xét I = f (2 sin x + 1) cos x dx. 0 1 Đặt t = 2 sin x + 1 ⇒ dt = cos x dx. 2 x = 0 ⇒ t = 1  Đổi cận: π x = ⇒ t = 3. 2 3 3  2 3  1 Z 1 Z 1 Z Z 23 Khi đó I = f (t) dt = f (x) dx =  x2 − 2x + 3 dx + x2 − 1 dx = . 2 2 2 6 1 1 1 2 Chọn đáp án B
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN ( π 2x − 1 khi x ≤ 0 Z
Câu 1. Cho hàm số f (x) = . Tích phân sin 2xf (cos x) dx bằng x2 + 4x − 2 khi x > 0 0 20
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 21/59 9 9 7 7 A. . B. − . C. − . D. . 2 2 6 6 ( ln 2 x2 − 4x − 1 khi x ≥ 5 Z
Câu 2. Cho hàm số f (x) = . Tích phân f (3ex + 1) ex dx bằng 2x − 6 khi x < 5 0 77 77 68 77 A. . B. . C. . D. . 3 9 3 6    x2 + 3x khi x ≥ 1
Câu 3. Cho hàm số f (x) = .   5 − x khi x < 1 π 2 1 Z Z Tích phân I = 2 cos xf (sin x) dx + 3 f (3 − 2x) dx bằng 0 0 32 71 A. 40. B. 60. C. . D. . 3 6  1  Z  ex + m khi x ≥ 0 √
Câu 4. Cho hàm số f (x) = √ liên tục trên R. Biết
f (x) dx = ae + b 3 + c với a, b, c ∈ Q,   2x 3 + x2 khi x < 0 −1 tổng a + b + 3c bằng A. −10. B. −12. C. −17. D. −19.    ax2 + bx + 1 khi x ≥ 0
Câu 5. Cho hàm số f (x) =
có đạo hàm trên R với a, b là các tham số thực. Khi đó   ax − b − 1 khi x < 0 −1 Z f (x) dx bằng −3 82 22 A. . B. − . C. −14. D. 10. 3 3  13  Z  2x − 1 khi x ≥ 1 √ Ä ä
Câu 6. Cho hàm số f (x) = . Tính tích phân f x + 3 − 2 dx.   x2 khi x < 1 1 231 97 16 113 A. − . B. . C. . D. . 5 6 3 3 π  2  Z  2x − 4 khi x ≥ 2
Câu 7. Cho hàm số f (x) = . Tính tích phân f 3 − 4 cos2 x sin 2x dx.   4 − 2x khi x < 2 π − 4 2 1 21 5 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 12  e4  Z  x4 + 2x2 − 1 khi x < 1 √ Ä ä 1
Câu 8. Cho hàm số f (x) = . Tính tích phân f 4 − ln x dx. x   3 − x2 khi x ≥ 1 1 16 11 6 A. . B. 17. C. . D. . 3 6 11   x  2x2 − 1 khi x < 0   4  Z  1
Câu 9. Cho hàm số f (x) = x − 1
khi 0 ≤ x ≤ 2 . Tính tích phân f (2 − 7 tan x) dx. cos2 x   π   −  4  5 − 2x khi x > 2 201 34 155 109 A. . B. . C. . D. . 77 103 7 21    x2 − x khi x ≥ 0
Câu 10. Cho hàm số f (x) = .   x khi x < 0 p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 22/59 π 2 2 Z Z Tính I = 2 cos xf (sin x) dx + 2 f (3 − 2x) dx. 0 0 7 8 11 A. I = . B. I = . C. I = 3. D. I = . 3 3 3 BẢNG ĐÁP ÁN 1. A 2. B 3. A 4. B 5. D 6. B 7. A 8. C 9. D 10. D
B TÍCH PHÂN KẾT HỢP: ĐỔI BIẾN & TỪNG PHẦN 1. VÍ DỤ π 2 Z cos x 4 L Câu 1. Cho dx = a ln
+ b, với a, c > 0. Giá trị a + b + c bằng sin2 x − 5 sin x + 6 c 0 A. 0. B. 1. C. 3. D. 4. - Lời giải. π 2 Z cos x • I = dx. sin2 x − 5 sin x + 6 0
• Đặt sin x = t ⇒ cos x dx = dt.  π x = (  t = 1 • Đổi cận 2 ⇒ x = 0 t = 0. 1 1 1 Z 1 Z 1 Z Å 1 1 ã • Suy ra I = dt = dt = − dt t2 − 5t + 6 (t − 3)(t − 2) t − 3 t − 2 0 0 0 1 4
= (ln |t − 3| − ln |t − 2|) = ln 4 − ln 3 = 1 · ln + 0. 3 0
• Do đó a = 1; b = 0; c = 3 suy ra a + b + c = 4. Chọn đáp án D
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN π 2 Z sin x Câu 1. Biết
dx = a ln 3 + b ln 2 với a, b ∈ Q. Khi đó a3 + 2ab − 3b2 bằng cos 2x + 3 cos x + 2 0 A. 26. B. −6. C. 3. D. −4. ln 6 Z 1 Câu 2. Nếu
dx = 3 ln a − ln b (với a, b ∈ ∗ N ) thì ab bằng ex + 2e−x − 3 ln 3 A. 20. B. −10. C. 15. D. 10. π 4 Z a + π
Câu 3. Cho hàm số y = f (x) có f (0) = 1 và f 0(x) = tan3 x + tan x, ∀x ∈ R. Nếu f (x) dx = thì b − a bằng b 0 A. 0. B. 12. C. −4. D. 4. 2 1 x Z b
Câu 4. Cho hàm số y = f (x) có f (1) = và f 0(x) = , ∀x > −1. Biết f (x) dx = a ln − d với a; b; c; d ∈ ∗ N 2 (x + 1)2 c 1 b và phân số
tối giản. Khi đó a + b + c + d bằng c A. 8. B. 5. C. 6. D. 10. p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 23/59 5 x Z
Câu 5. Cho hàm số y = f (x) có f (3) = 4 và f 0(x) = , ∀x > 2. Biết
f (x) dx = a + b ln 3 với a; b là các số hữu (x − 2)2 3
tỉ. Khi đó a − 4b2 bằng A. 10. B. −6. C. 6. D. −10. π 2 Z x sin x + cos x + 2x π2 b b Câu 6. Biết I = dx = + ln
với a, b, c là các số nguyên dương và
là phân số tối giản. Tính sin x + 2 a c c 0 P = abc. A. P = 24. B. P = 13. C. P = 48. D. P = 96. e Z ln x Câu 7. Biết I =
dx = ln a + b với a > 0, b ∈ R. Khẳng định nào sau đây đúng? x(ln x + 2)2 1 3 1 3 1 A. 2ab = −1. B. 2ab = 1. C. −b + ln = − . D. −b + ln = . 2a 3 2a 3 e Z (x + 1) ln x + 2 Å e + 1 ã a Câu 8. Biết dx = a · e + b · ln
, trong đó a; b là các số nguyên. Khi đó tỉ số là 1 + x ln x e b 1 1 A. . B. 1. C. 3. D. 2. 2 Câu 9. Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f 0(x) = (x + 1)ex và f (0) = 0. Khi đó ln 3 Z
f (x) dx = a ln 3 + b ln 2 + c. Tính a + b + c. ln 2 A. a + b + c = 2. B. a + b + c = 3. C. a + b + c = 1. D. a + b + c = 0. π √ cos x − sin x Câu 10. Cho hàm số f (x) có f = ln 2 và f 0(x) = . Biết 4 sin x + cos x π 4 √ √ √ Z π a 2 ln 2 + b 2 + c cos x + f (x) dx =
; với a, b, c là các số nguyên. Khi đó a + b + c bằng 4 2 0 A. 2. B. 0. C. −1. D. 1. BẢNG ĐÁP ÁN 1. D 2. D 3. D 4. D 5. C 6. C 7. A 8. B 9. D 10. B C TÍCH PHÂN HÀM ẨN 1. VÍ DỤ
Lấy nguyên hàm (khi cho f (x0) = k) hoặc lấy tích phân hai vế với cận thích hợp.
L Câu 1. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên [0; 1] thỏa 3f (x) + xf 0(x) = x2020. 1 Z Khi đó f (x)dx bằng 0 1 1 A. . B. 1. C. 2021. D. . 2021 · 2023 2021 · 2020 - Lời giải.
Ta có: 3f (x) + xf 0(x) = x2020 ⇔ 3x2f (x) + x3f 0(x) = x2022 ⇔ x3f (x)0 = x2022 (∗) 1 1 1 1 Z Z x2023 1 ⇔ x3f (x)0 dx = x2022dx ⇔ x3f (x) = ⇔ f (1) = . 2023 2023 0 0 0 0 Z Z x2023
Từ (∗), lấy nguyên hàm hai vế, ta được x3f (x)0 dx = x2022dx ⇔ x3f (x) = + C. 2023 p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 24/59 1 x2020 Mà f (1) = ⇒ C = 0 ⇒ f (x) = . 2023 2023 1 Z 1 Z 1 x2020 x2021 1 ⇒ f (x)dx = dx = = . 0 0 2023 2021 · 2023 2021 · 2023 0 Chọn đáp án A
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN √ 4 ln x f (2 x − 1) Z
Câu 1. Cho f (x) liên tục trên đoạn [1; 4] thỏa mãn f (x) − = √ . Khi đó f (x)dx bằng x x 3 A. 3 + 2 ln2 2. B. 2 ln2 2. C. ln2 2. D. 2 ln 2. √ 17 f ( x) 2x + 1 Z
Câu 2. Cho hàm số f (x) liên tục trên (0; +∞) và thỏa mãn f x2 + 1 + √ = ln(x + 1). Biết f (x)dx = 4x x 2x 1
a ln 5 − 2 ln b + c, với a, b, c ∈ R. Giá trị của a + b + 2c bằng 29 A. . B. 5. C. 7. D. 37. 2 0 Z
Câu 3. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa xf x3+f x2 − 1 = ex2, ∀x ∈ R. Khi đó f (x)dx bằng −1 1 A. . B. 3e. C. 3(1 − e). D. 3(e − 1). 2
Câu 4. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f(ex +1)+f(x)+f0(x) = x, ∀x ∈ R và f(0) = 2f (ln 2)−1. 3 Z Khi đó f (x)dx bằng 2 1 2 A. ln 2 − 1. B. 2 ln 2. C. − . D. 2 ln 2 − 2. 2 3 4 Z
Câu 5. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f(x3 +x+2) = x2 +x−1, ∀x ∈ R. Giá trị của x2f 0(x)dx −8
thuộc khoảng nào sau đây? A. (−20; −10). B. (20; 25). C. (10; 20). D. (−25; −20).
Câu 6. Cho hàm số f (x) có đạo hàm không âm trên đoạn [0; 1] thỏa
(f (x))4 · (f 0(x))2 · (x2 + 1) = 1 + (f (x))3 và f (x) > 0, ∀x ∈ [0; 1]. Biết f (0) = 2. Khẳng định nào sau đây là đúng? 5 5 3 7 A. 2 < f (1) < . B. < f (1) < 3. C. < f (1) < 2. D. 3 < f (1) < . 2 2 2 2 1 1 Z 1 Z
Câu 7. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f (0) = 1, [f 0(x)]2dx = , (2x − 1)f (x)dx = 30 0 0 1 1 Z − . Tính f (x)dx. 30 0 1 11 11 11 A. . B. . C. . D. . 30 30 12 4 π 16 √ 2 Z f ( x) Z
Câu 8. Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn dx = cot x · f sin2 x dx = 1. x 1 π 4 1 Z f (4x) Tích phân dx bằng x 1 8 5 3 A. . B. 2. C. . D. 4. 2 2
Câu 9. Cho hàm số y = f (x) liên tục, nhận giá trị dương trên (0; +∞) và thỏa mãn f (1) = 1, biểu thức f 0(x) = √
f (x) 3x + 1, với mọi x > 0. Khẳng định nào sau đây là đúng? p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 25/59 A. 2 < f (5) < 3. B. 4 < f (5) < 5. C. 1 < f (5) < 2. D. 3 < f (5) < 4. √
Câu 10. Cho hàm số y = f (x) có f 0(x) liên tục trên nửa khoảng [0; +∞) thỏa mãn 3f (x) + f 0(x) = 1 + e−2x. Khi đó: 1 1 1 1
A. e3f (1) − f (0) = √ − .
B. e3f (1) − f (0) = √ − . e2 + 1 2 2 e2 + 1 4 √ √ e2 + 1 e2 + 1 − 8 √ √ C. e3f (1) − f (0) = .
D. e3f (1) − f (0) = e2 + 1 e2 + 1 − 8. 3
Câu 11. Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn 3f (x) + xf 0(x) = x2018, với mọi x ∈ [0; 1]. Tính 1 Z I = f (x)dx. 0 1 1 1 1 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2018 · 2021 2019 · 2020 2019 · 2021 2018 · 2019 1
Câu 12. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R thỏa (x + 2)f(x) + (x + 1)f0(x) = ex và f(0) = . Tính f(2). 2 e e e2 e2 A. f (2) = . B. f (2) = . C. f (2) = . D. f (2) = . 3 6 3 6 1 1 Z Z
Câu 13. Cho hàm số f (x) thỏa mãn
(x + 1)f 0(x) dx = 10 và 2f (1) − f (0) = 2. Tính I = f (x) dx. 0 0 A. I = 1. B. I = 8. C. I = −12. D. I = −8.
Câu 14. Cho các hàm số f (x) và g(x) liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn f0(0) · f0(2) 6= 0 và g(x) · f0(x) = x(x − 2)ex. 2 Z Tính I = f (x) · g0(x)dx. 0 A. I = −4. B. I = e − 2. C. I = 4. D. I = 2 − e.
Câu 15. Cho hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm tại mọi x ∈ (0; +∞) đồng thời thỏa mãn điều kiện 3π 2 Z
f (x) = x (sin x + f 0(x)) + cos x và f (x) sin x dx = −4. π 2
Khi đó, f (π) nằm trong khoảng nào? A. (11; 12). B. (5; 6). C. (6; 7). D. (12; 13). BẢNG ĐÁP ÁN 1. B 2. C 3. D 4. D 5. D 6. B 7. C 8. A 9. D 10. C 11. C 12. D 13. D 14. C 15. B
D DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY 1. VÍ DỤ p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 26/59
L Câu 1. Cho y = f (x) xác định trên [−3; 3] có đồ thị như hình vẽ. Biết y 1 Z S y = f (x)
1, S2, S3 có diện tích lần lượt là 3, 1 và 3 . Khi đó (1 − x)f 0(3x) dx −1 S bằng 2 1 5 x O A. . B. − . C. −5. D. 7. −3 3 2 9 S1 S3 - Lời giải. dt
Đặt: t = 3x ⇒ dt = 3 dx ⇒ = dx. 3 Đổi cận: Với x = −1 thì t = −3; Với x = 1 thì t = 3. Khi đó, ta có 1 3 3 Z Z Å t ã 1 1 Z (1 − x)f 0(3x) dx = 1 − · f 0(t) dt = (1 − x)f 0(x) dx. 3 3 9 −1 −3 −3 Đặt: u = 1 − x ⇒ du = − dx;
dv = f 0(x) dxchọnv = f (x). Khi đó, ta có 3  3   3  1 Z 1 Z 1 Z (1 − x)f 0(x) dx = (1 − x)f (x)|3 + f (x) dx = −2 f (3) −4 f (−3) + f (x) dx 9 9 −3 9 |{z} | {z } −3 −3 0 0 −3 3 1 Z 1 1 5 = f (x) dx = (−S1 + S2 − S3) = (−3 + 1 − 3) = − . 9 9 9 9 −3 Chọn đáp án B p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 27/59
L Câu 2. (Đề thi THPT QG năm 2018 – Mã đề 102 Câu 36) Cho hai y
hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx − 2 và g(x) = dx2 + ex + 2(a, b, c, d, e ∈
R). Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g(x) cắt nhau
tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −2; −1; 1 (tham khảo hình ve).
Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng 37 13 9 37 A. . B. . C. . D. . 6 2 2 12 −2 O x −1 1 - Lời giải.
Ta có: f (x) − g(x) = a(x + 2)(x + 1)(x − 1) = ax3 + 2ax2 − ax − 2a (1)
Mà f (x) − g(x) = ax3 + (b − d)x2 + (c − e)x − 4 (2)
Từ (1), (2) so sánh hệ số tự do, suy ra: −2a = −4 ⇔ a = 2
Khi đó ta có f (x) − g(x) = 2x3 + 4x2 − 2x − 4. 1 1 Z Z 37 Do đó S = |f (x) − g(x)| dx = 2x3 + 4x2 − 2x − 4 dx = . 6 −2 −2 Chọn đáp án A
L Câu 3. Cho đồ thị hàm số trùng phương (C) : y = f (x) như hình vẽ và y S1 k1
S1, S2 là diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên. Biết = là S2 k2
một phân số tối giản. Khi đó k2 + k2 bằng 1 2 1 A. 103. B. 274. C. 113. D. 289. S1 S2 x O 1 2 3 - Lời giải. y 1 S1 S2 x O −1 1 #»
Tịnh tiến đồ thị (C) : y = f (x) theo vectơ v = (−2; 0), ta được đồ thị g(x) = ax4 + bx2 + c.
Ta có: g(x) = a(x − 1)2(x + 1)2 = a(x2 − 1)2 và A(0; 1) ∈ g(x) ⇒ a = 1.
⇒ g(x) = (x2 − 1)2 = x4 − 2x2 + 1. 0 Z 8 ⇒ S ˚ 2 = x4 − 2x2 + 1 dx = . 15 −1 7
Diện tích hình vuông: S = S1 + S2 = 1 ⇒ S1 = 1 − S2 = . 15 S k 7 ⇒ 1 1 = = ⇒ k2 + k2 = 113. S 1 2 2 k2 8 Chọn đáp án C p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 28/59
L Câu 4. Cho Parabol (P ) : y = x2 và điểm A(0; 1). Một đường thẳng đi qua A y
cắt (P ) tại hai điểm B, C sao cho AC = 2AB như hình vẽ bên. Thể tích của khối C
tròn xoay được tạo thành khi quay phần gạch chéo quanh trục hoành gần với giá A trị nào nhất sau đây ? A. 13, 3. B. 8. C. 7, 3. D. 11. B x O - Lời giải. y C A B xB xC x O BA 1 |b| 1
Gọi B(b; b2), C(c; c2) ∈ (P ). Ta có: AC = 2AB ⇒ = ⇒ = . BC 3 |b| + |c| 3 −b 1 Mà b < 0, c > 0 ⇒ = ⇒ c = −2b. −b + c 3 ( p AB = b4 − b2 + 1
⇒ B(b; b2), C(−2b; 4b2) ⇒ . p AC = 16b4 − 4b2 + 1 1 1
Mà AC = 2AB ⇒ 16b4 − 4b2 + 1 = 4(b4 − b2 + 1) ⇔ b = ± √ ⇒ b = − √ . 2 2 √ Å 1 1 ã √ √ Ä ä Ä ä 2 ⇒ B − √ ; , C
2; 2 . Do đó đường thẳng BC qua A(0; 1), C 2; 2 ⇒ BC : y = x + 1. 2 2 2 √2 √ Z Ç å2 2
Thể tích cần tìm là: V = x + 1 − x22 ˚ dx ≈ 7, 997. 2 √ − 2 2 Chọn đáp án B
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [−1; 2] có đồ thị như hình vẽ. y 1 Z
Biết S1, S2 có diện tích lần lượt là 2 và 6 . Tích phân (x+1)f 0(2x) dx bằng − 1 S 2 2 A. 1. B. −1. C. 4. D. −4. −1 2 x O S1 y = f (x) p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 29/59
Câu 2. Người ta dự định trồng hoa Lan Ý để trang trí vào phần y
tô đậm (như hình vẽ). Biết rằng phần tô đậm là diện tích hình 3
phẳng giới hạn bởi hai đồ thị f (x) = ax3 + bx2 + cx + và g(x) = 4 3 dx2 + ex −
vói a, b, c, d, e ∈ R. Biết rằng hai đồ thị đó cắt nhau 4
tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng −2; 1; 3 và chi phí trồng hoa
là 960000 đồng /1m2 và đơn vị trên các trục được tính là 1 mét. Số 1 3
tiền cần để trồng hoa là x O −2 A. 5060000 đồng. B. 6500000 đồng. C. 8400000 đồng. D. 10000000 đồng.
Câu 3. Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Biết hàm y
số f (x) đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 thỏa mãn x2 = x1 + 4 và f (x1) + f (x2) = 0. Gọi S1 S S 1 1
và S2 là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tỉ số bằng S S2 2 x2 5 3 3 A. . B. . C. 1. D. . x O x1 3 5 4
Câu 4. Cho parabol y = x2 có đồ thị như hình vẽ, diện tích S2 = 2S1. Gọi V1, V2 là thể tích y V2
hình phẳng S1, S2 quay quanh trục hoành. Tỉ số bằng V1 √ √ A. 2 3 4. B. 3 4 2. C. 2. D. 4. S2 a S1 b x O Câu 5. 1
Cho hai hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx − 1 và g(x) = dx2 + ex + (a, b, c, d, e ∈ R). y 2
Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g(x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ
lần lượt −3; −1; 2 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng 253 125 253 125 A. . B. . C. . D. . 12 12 48 48 x −3 −1 O 2 Câu 6.
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R có đồ thị (C) cắt trục Ox tại 3 điểm có hoành y
độ lần lượt là a, b, c(a < b < c). Biết phần hình phẳng nằm phía trên trục Ox giới hạn 7
bởi đồ thị (C) và trục Ox có diện tích là S1 =
, phần hình phẳng nằm phía dưới 10
trục Ox giới hạn bởi đồ thị (C) và trục Ox có diện tích là S S1 O 2 = 2 (như hình vẽ). Tính c a x Z b c S2 I = f (x) dx. a 13 13 27 27 A. I = − . B. I = . C. I = . D. I = − . 10 10 10 10 Câu 7. p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 30/59
Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên đoạn [−3; 3]. Biết rằng diện tích hình y
phẳng S1, S2 giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) với đường thẳng y = −x − 1 lần lượt 3 Z 2 là M , m. Tính tích phân f (x) dx. −3 −1 1 3 A. 6 + m − M . B. 6 − m − M . C. M − m + 6. D. m − M − 6. −3 x 0 −2 S S 2 1 −4 −6 Câu 8.
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x2, y = 0, x = 0, y y = x2
x = 4. Đường thẳng y = k (0 < k < 16)) chia hình (H) thành hai
phần có diện tích S1, S2 (hình vẽ). Tìm k để S1 = S2. A. k = 8. B. k = 4. C. k = 5. D. k = 3. S1 y = k S2 x O x = 4
Câu 9. Cho hàm số y = x4 − 4x2 + m có đồ thị (Cm). Giả sử (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho hình
phẳng giới hạn bởi (Cm) với trục hoành có diện tích phần phía trên trục hoành bằng diện tích phần phía dưới trục hoành.
Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây? A. m ∈ (−1; 1). B. m ∈ (2; 3). C. m ∈ (3; 5). D. m ∈ (5; +∞). Câu 10.
Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f 0(x) có đồ thị như hình bên. y
Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị hàm số
y = f 0(x) trên đoạn [−2; 1] và [1; 4] lần lượt bằng 9 và 12. Cho f (1) = 3.
Giá trị của biểu thức f (−2) + f (4) bằng O 1 4 A. 21. B. 9. C. 3. D. 2. −2 x
Câu 11. Gọi S là diện tích hình phẳng giói hạn bởi đồ thị của hàm số (P ) : y = x2 − 4x + 3 và các tiếp tuyến kẻ từ điểm Å 3 ã A ; −3
đến đồ thị (P ). Giá trị của S bằng 2 9 9 9 A. 9. B. . C. . D. . 8 4 2
Câu 12. Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn 28cm, trục nhỏ 25cm. Biết cứ 1000cm3 dưa
hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20.000đ. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh
tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể. A. 183.000đ. B. 180.000đ. C. 185.000đ . D. 190.000đ. Câu 13. p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN / Trang 31/59 √
Cho đồ thị (C) : y = f (x) =
x. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), y
đường thẳng x = 9, Ox. Cho điểm M thuộc (C), A(9; 0). Gọi V1 là thể
tích khối tròn xoay khi quay (H) quanh Ox, V2 là thể tích khối tròn xoay M
khi cho tam giác AOM quay quanh Ox. Biết V1 = 2V2. Tính diện tích
S phần hình phẳng giới hạn bởi (C), OM (hình vẽ không thể hiện chính O A xác điểm M). x √ √ 27 3 3 3 4 A. S = 3. B. S = . C. S = . D. S = . 16 2 3 Câu 14.
Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các y
đường thẳng và đường cong parabol (được tô màu đen trong hình bên) quanh trục Ox. 61π 88π 8π 424π 4 A. . B. . C. . D. . 15 5 5 15 2 5 −2 O 1 3 x BẢNG ĐÁP ÁN 1. A 2. A 3. B 4. A 5. C 6. A 7. D 8. B 9. B 10. C 11. C 12. A 13. B 14. B p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011 CHUYÊN ĐỀ 4 SỐ PHỨC SỐ PHỨC
A XÁC ĐỊNH CÁC THUỘC TÍNH CỦA SỐ PHỨC 1. VÍ DỤ
L Câu 1 (Đề THAM KHẢO BDG 2020-2021). √
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z| = 2 và (z + 2i)(¯
z − 2) là số thuần ảo? A. 1. B. 0. C. 2. D. 4. - Lời giải.
Giả sử z = x + yi(x, y ∈ R) thì ¯ z = x − yi và (z + 2i)(¯ z − 2) =
[x + (y + 2)i][(x − 2) − yi] =
[x(x − 2) + y(y + 2)] + [(x − 2)(y + 2) − xy]i =
(x2 − 2x + y2 + 2y) + (2x − 2y − 4)i. Theo đề ta có √ (|z| = 2 (x2 + y2 = 2 ⇔ (z + 2i)(¯ z − 2) là số thuần ảo x2 − 2x + y2 + 2y = 0 √   1 3  x = −   2 2√    1 3 (  x2 + y2 = 2  y = − −  ⇔ ⇔ 2 2  √   x − y = 1  1 3   x = +   2 2  √   3 1  y = − . 2 2
Vậy có 2 số phức thỏa đề bài. Chọn đáp án C
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z3 + 2i|z|2 = 0. A. 4. B. 3. C. 2. D. 6.
Câu 2. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn |z − 3| = |z − 1| và (z + 2)(¯
z − i) là số thực. Tính a + b. A. −2. B. 0. C. 2. D. 4. 2 − iz z + 2i
Câu 3. Tìm số phức z thỏa mãn − = 2¯
z và |z| > 1. Khi đó a2 + b2 − ab bằng 2 + i 1 − 2i A. −5. B. −1. C. 5. D. 1.
Câu 4. Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R) thỏa mãn 2z¯
z − (5 + 7i)|z|2 = (17 + i)¯
z. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu
diễn của số phức z khác gốc tọa độ là A. N (−1; 2). B. P (2; −1). C. Q(−2; 1). D. M (1; −2). 32 Chuyên đề 4. SỐ PHỨC / Trang 33/59
Câu 5. Gọi S là tổng các giá trị thực của m để phương trình 9z2 + 6z + 1 − m = 0 có nghiệm phức thỏa mãn |z| = 1. Giá trị của S bằng A. 20. B. 12. C. 14. D. 8. iz − (3i + 1)z 26iz
Câu 6. Cho số phức z 6= 0 thỏa mãn = |z|2. Số phức w = có môđun bằng 1 + i 9 √ √ A. 9. B. 26. C. 6. D. 5.
Câu 7. Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn điều kiện z2 + 4 = 2 |z|. Đặt P = 8(b2 − a2) − 12. Khẳng định nào dưới đây đúng? Ä ä2 Ä ä2 A. P = (|z| − 2)2. B. P = |z|2 − 4 . C. P = (|z| − 4)2. D. P = |z|2 − 2 .
Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn |2z − 1| = |z + 1 + i| và điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ thuộc đường tròn √
có tâm I(1; 1), bán kính R =
5. Khi đó tích môđun của tất cả các số phức z thỏa mãn các yêu cầu trên là √ √ A. 5. B. 3. C. 3 5. D. 1.
Câu 9. Cho ba số phức z1, z2, z3 phân biệt thỏa mãn |z1| = |z2| = |z3| = 3 và z1 + z2 = z3. Biết z1, z2, z3 lần lượt được
biểu diễn bởi các điểm A, B, C trên mặt phẳng phức. Tính góc ’ ACB. A. 150◦. B. 90◦. C. 120◦. D. 45◦. √
Câu 10. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: |z − z − 2i| = |z + z − 6| và |z − 6 − 2i| = 2 2. A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.
Câu 11. Cho a, b, c là các số thực sao cho phương trình z3 + az2 + bz + c = 0 có ba nghiệm phức lần lượt là z1 = ω + 3i,
z2 = ω + 9i, z3 = 2ω − 4, trong đó ω là một số phức nào đó. Tính giá trị của P = |a + b + c|. A. P = 84. B. P = 36. C. P = 136. D. P = 208.
Câu 12. Cho số phức z thoả mãn z − 4 = (1 + i)|z| − (4 + 3z)i. Môđun của số phức z bằng A. 2. B. 1. C. 16. D. 4.
Câu 13. Cho A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z0, z1 khác 0 và thỏa mãn đẳng thức z2 +z2 = z 0 1 0z1.
Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì (O là gốc tọa độ)? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất. A. Đều. B. Cân tại O. C. Vuông tại O. D. Vuông cân tại O.
Câu 14. Trên hệ tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn số phức z có mô-đun lớn nhất thỏa mãn |z + 4 − 3i| = 5. Tọa độ điểm M là A. M (−6; 8). B. M (8; −6). C. M (8; 6). D. M (−8; 6). √
Câu 15. Cho số phức z thỏa mãn |z − 3 − 4i| =
5. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P = |z + 2|2 − |z − i|2. Môđun của số phức w = M + mi là √ √ √ √ A. |w| = 3 137. B. |w| = 1258. C. |w| = 2 309. D. |w| = 2 314.
Câu 16. Xét số phức z = a + bi (a, b ∈ R) thỏa mãn |z − 4 − 3i| = |z − 2 + i|. Tính P = a2 + b2 khi |z + 1 − 3i| + |z − 1 + i|
đạt giá trị nhỏ nhất. 293 449 481 137 A. . B. . C. . D. . 9 32 32 9
Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Gọi Mmax là giá trị lớn nhất và Mmin là giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M = z2 + z + 1 + z3 + 1. Tính P = Mmax + Mmin. A. P = 8. B. P = 5. C. P = 7. D. P = 6. 1. A 2. B 4. A 5. B 6. B 7. D 8. A 9. C 10. D 11. C 12. A 13. A 14. D 15. B 16. B 17. D
B CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA MÔ-ĐUN SỐ PHỨC 1. VÍ DỤ √
L Câu 1. Xét các số phức z = x + yi (x, y ∈ R) thỏa mãn |z − 3 − 4i| =
5. Giá trị lớn nhất của biểu thức
P = |z + 2|2 − |z − i|2 bằng A. 32. B. 33. C. 13. D. 12. p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011 Chuyên đề 4. SỐ PHỨC / Trang 34/59 - Lời giải. √ √
Gọi M là điểm biểu diễn của z = x + yi thỏa mãn |z − 3 − 4i| =
5 nên M ∈ (C) có tâm I(3; 4) và bán kính R = 5.
Ta có P = |z + 2|2 − |z − i|2 = (x + 2)2 + y2 − x2 + (y − 1)2 ⇔ 4x + 2y + 3 − P = 0.
Gọi đường thẳng ∆ : 4x + 2y + 3 − P = 0. Để tồn tại số phức z thì |4 · 3 + 2 · 4 + 3 − P | √ d(I, ∆) ≤ R ⇔ √ ≤
5 ⇔ |P − 23| ≤ 10 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33. 42 + 22 Suy ra max P = 33. Chọn đáp án C
L Câu 2. Xét các số phức z1, z2 thỏa |z1 − 4| = 1 và |iz2 − 2| = 1. Giá trị lớn nhất của |z1 + 2z2 − 6i| bằng √ √ √ √ A. 2 2 − 2. B. 4 − 2. C. 4 2 + 9. D. 4 2 + 3. - Lời giải. Đặt z3 = −2z2, ta có
|z1 + 2z2 − 6i| = |z1 − (−2z2) + (−6i)| = |z1 − z3 + (−6i)| ≤ |z1 − z3| + | − 6i| = M N + 6.
Trong đó M , N lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z1, z3.
Vì |z1 − 4| = 1 nên M ∈ (C1) có tâm I1(4; 0) và bán kính R1 = 1. Vì −1 1 |iz 2 − 2| = 1 ⇔ i ·
· z3 − 2 = 1 ⇔ − i · |z3 − 4i| = 1 ⇔ |z3 − 4i| = 2 2 2
nên N ∈ (C2) có tâm I2(0; 4) và bán kính R2 = 2. y N I2 1 O 1 I x 1 M Khi đó √
|z1 + 2z2 − 6i| ≤ M N + 6 ≤ I1I2 + R1 + R2 + 6 = 4 2 + 9. √
Vậy max |z1 + 2z2 − 6i| = 4 2 + 9. Chọn đáp án C
L Câu 3. Xét hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1| = 2, |z2| = 3 và |z1 − z2| = 4. Giá trị lớn nhất của biểu thức
|2z1 − 3z2 + 4 − 3i| bằng √ √ √ √ A. 97 − 5. B. 115 + 5. C. 5 + 97. D. 5 + 43. - Lời giải.
Gọi M , N là điểm biểu diễn của số phức z1, z2, ta có # » # » # » # » |z 1| = OM
= OM = 2, |z2| = ON = ON = 3 và |z1 − z2| = OM − ON = M N = 4. Lại có
|2z1 − 3z2 + 4 − 3i| = |(2z1 − 3z2) + (4 − 3i)| ≤ |2z1 − 3z2| + |4 − 3i| = |2z1 − 3z2| + 5. Mặt khác Ä # » # »ä2 # » # » 42 = M N 2 = OM − ON = OM 2 + ON 2 − 2OM · ON # » # » = 22 + 32 − 2OM · ON p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011 Chuyên đề 4. SỐ PHỨC / Trang 35/59 # » # » 3 Suy ra OM · ON = − . 2 Do đó Å ã Ä # » # »ä2 # » # » 3 |2z1 − 3z2|2 = 2OM − 3ON
= 4OM 2 + 9ON 2 − 12OM · ON = 4 · 4 + 9 · 9 − 12 · − = 115. 2 √ Suy ra |2z1 − 3z2| = 115. √
Vậy max |2z1 − 3z2 + 4 − 3i| = 115 + 5. Chọn đáp án B
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1 − 2 + 4i| = 1 và |z2 + 2 − 3i| = |z2 − 3 + 2i|. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức |z1 − z2| bằng √ √ √ √ A. 2 3 − 1. B. 2 3 + 1. C. 3 2 − 1. D. 3 2 + 1.
Câu 2. Xét các số phức z1, z2 thỏa |z1 − 5 + 3i| = 3 và |iz2 + 4 + 2i| = 2. Giá trị lớn nhất của |3iz1 + 2z2| bằng √ √ √ √ A. 554 + 5. B. 578 + 13. C. 578 + 5. D. 554 + 13.
Câu 3. Xét hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1| = 13, |z2| = 15 và |z1 − z2| = 24. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức |z1 − 3z2 + 3 − 4i| bằng √ √ √ √ A. 2 685 + 5. B. 2 685 − 5. C. 5 + 13. D. 5 + 3 13. √
Câu 4. Cho z1, z2 là các số phức thỏa mãn |z1 − 3 + 2i| = |z2 − 3 + 2i| = 2 và |z1 − z2| = 2 3. Gọi m, n lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z1 + z2 − 3 − 5i|. Khi đó m + 2n bằng √ √ √ √ A. 3 10 − 2. B. 6 − 10. C. 6 − 34. D. 3 34 − 2.
Câu 5. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1 − 2 + 3i| = 2 và |z2 − 1 − i| + |z2 − 4 − i| = 3. Giá trị nhỏ nhất của |z1 − z2| bằng √ √ √ A. 2. B. 13 + 2. C. 13 + 1. D. 13 − 1.
Câu 6. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn 2 |¯ z1 + i| = |¯
z1 − z1 − 2i| và |z2 − i − 10| = 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức |z1 − z2| bằng √ √ √ √ p p A. 10 + 1. B. 3 5 − 1. C. 101 − 1. D. 101 + 1. √
Câu 7. Cho số phức z thoả mãn điều kiện |z − 2 − i| = 2 2. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P = |z + 3 − 2i| + |z − 3 + 4i|. Giá trị M + m bằng √ √ √ √ √ √ A. 16 2. B. 11 2. C. 2 26 + 8 2. D. 2 26 + 6 2.
Câu 8. Giả sử z1, z2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn |z − i| = 2. Nếu |z1 − z2| = 3 thì giá trị lớn nhất của |z1 + 2z2| bằng √ √ √ √ A. 3 2 − 3. B. 3 + 3 2. C. 2 + 1. D. 2 − 1. √
Câu 9. Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn |z1 + 2 − i| + |z1 − 4 − 7i| = 6 2 và |iz2 − 1 + 2i| = 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức |z1 + z2| bằng √ √ √ √ A. 2 − 1. B. 2 + 1. C. 2 2 + 1. D. 2 2 − 1.
Câu 10. Cho ba số phức z1, z2, z3 thỏa mãn |z1 + 1 − 4i| = 2, |z2 − 4 − 6i| = 1 và |z3 − 1| = |z3 − 2 + i|. Giá trị nhỏ
nhất của |z3 − z1| + |z3 − z2| bằng √ √ √ √ √ A. 14 + 2. B. 29 − 3. C. 14 + 2 2. D. 85 − 3. 2 2 3
Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn |z − 2| = |z − 2i|. Tìm số phức z biết z +
− 5i đạt giá trị nhỏ nhất. 2 … 331 7 7 3 A. z = . B. z = 1 + i. C. z = + i. D. z = − + 5i. 8 4 4 2 √
Câu 12. Cho số phức z thỏa mãn |z − 2 + 3i| + |z + 2 + i| = 4 5. Tính giá trị lớn nhất của P = |z − 4 + 4i|. √ √ √ √ A. max P = 4 5. B. max P = 7 5. C. max P = 5 5. D. max P = 6 5.
Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn |z − 1 + 3i| + |z + 2 − i| = 8. Giá trị nhỏ nhất m của |2z + 1 + 2i| là √ A. m = 4. B. m = 9. C. m = 8. D. m = 39. p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011 Chuyên đề 4. SỐ PHỨC / Trang 36/59
Câu 14. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1 − 3i + 5| = 2 và |iz2 − 1 + 2i| = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = |2iz1 + 3z2|. √ √ √ √ √ A. 313 + 16. B. 313. C. 313 + 8. D. 313 + 2 5.
Câu 15. Cho số phức z thỏa mãn |z − 2 − 2i| = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z − 1 − i| + |z − 5 − 2i|. √ √ A. 1 + 10. B. 4. C. 17. D. 5.
Câu 16. Cho z1, z2 là các số phức thỏa mãn |z1 − 1 − 2i| = |z2 − 1 − 2i| = 2 và |z1 − z2| = 3. Gọi m, n lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z1 + z2 − 3 − i|. Khi đó m + n bằng √ √ √ √ √ √ A. 10 + 7. B. 10 − 7. C. 2 7. D. 2 10.
Câu 17. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1 + 5| = 5 và |z2 + 1 − 3i| = |z2 − 3 − 6i|. Giá trị nhỏ nhất của |z1 − z2| bằng 5 7 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 √
Câu 18. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1 + 1 + i| = 2 và |z2 − 2 + i| + |z2 − 3 − 3i| =
17. Giá trị nhỏ nhất của |z1 − z2| bằng √ √ 17 A. 0. B. 17. C. 1. D. . 2 √
Câu 19. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1 + 1 + i| = 2 và |z2 − 2 + i| + |z2 − 3 − 3i| =
17. Giá trị nhỏ nhất của |z1 + z2| bằng √ √ 17 A. 0. B. 17. C. 1. D. . 2
Câu 20. Giả sử z1, z2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn |z − i| = 2. Nếu |z1 − z2| = 3 thì giá trị lớn nhất của |z1 + 2z2| bằng √ √ √ 37 37 37 √ A. − 1. B. + 1. C. . D. 37. 4 4 4 BẢNG ĐÁP ÁN 1. C 2. D 3. B 4. D 5. A 6. B 7. A 8. B 9. A 10. B 11. C 12. A 13. D 14. A 15. C 16. D 17. A 18. C 19. A 20. A p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011 CHUYÊN ĐỀ 5 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
A GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1. VÍ DỤ
L Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, √ AB = 2a, ’
BAC = 60◦ và SA = a 2. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng A. 30◦. B. 45◦. C. 60◦. D. 90◦. - Lời giải. Ta có: SB ∩ (SAC) = S. (1) S
Dựng BH ⊥ AC ⇒ BH ⊥ (SAC) tại H. (2)
Từ (1) và (2) ⇒ HS là hình chiếu của SB lên (SAC). BH α
⇒ (SB, (SAC)) = (SB, SH) = ’ BSH = α. Mà tan α = . (∗) √ SH √ a 2 » √ Suy ra AH = AB2 − BH2 = (2a)2 − (a 3)2 = a. √ BH 3 √ Trong 4SAH có: sin 60◦ = ⇒ BH = 2a · = a 3. √ √ AB 2 H
Với BH = a 3, SH = a 3 thế vào (∗) ⇒ tan α = 1 ⇒ α = 45◦. A C 60◦ 2a B
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu 1.
Cho chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, tam giác ABC vuông tại B (tham khảo hình vẽ S
bên). Biết SA = AB = BC. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng A. 30◦. B. 45◦. C. 60◦. D. 90◦. A C B Câu 2. 37
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 38/59 √
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a 2, AD = a, SA vuông góc S
với đáy và SA = a (tham khảo hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng A. 90◦. B. 60◦. C. 45◦. D. 30◦. D A B C Câu 3.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng √ S
(ABCD) và SA = a 6 (tham khảo hình vẽ bên). Gọi α là góc giữa đường thẳng SB và
mặt phẳng (SAC). Khi đó sin α bằng √ √ 1 2 3 1 A. √ . B. . C. . D. . 14 2 2 5 D A B C Câu 4.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt S
đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC (tham khảo hình vẽ bên). Gọi α là góc giữa
đường thẳng BM và mặt phẳng (ABC). Khi đó cos α bằng √ √ M 7 21 A. . B. 0, 2. C. 0, 5. D. . 14 7 A C B Câu 5.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là điểm trên S
đoạn SD sao cho SM = 2M D (tham khảo hình vẽ bên). Gọi α là góc giữa đường thẳng
BM và mặt phẳng (ABCD). Khi đó tan α bằng 1 √ 1 M A. . B. 1. C. 3. D. . 3 5 A D B C √
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3. Kẻ
AP ⊥ SB, AQ ⊥ SD lần lượt tại P và Q. Gọi M là trung điểm của SD. Tính giá trị cos ϕ với ϕ là góc giữa CM và (AP Q). 1 3 5 2 A. cos ϕ = √ . B. cos ϕ = √ . C. cos ϕ = √ . D. cos ϕ = √ . 10 10 3 3 6
Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và hình chiếu vuông góc của S lên
mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của AB. Tính giá trị sin ϕ với ϕ là góc giữa SD và (SBC). √ √ √ √ 3 6 3 6 A. sin ϕ = . B. sin ϕ = . C. sin ϕ = . D. sin ϕ = . 2 2 4 4
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và hình chiếu vuông góc của S lên
mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của AB. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Tính giá trị sin ϕ với
ϕ là góc giữa SN và mặt phẳng (SCM ). √ √ 3 3 3 3 A. sin ϕ = . B. sin ϕ = . C. sin ϕ = . D. sin ϕ = . 2 5 2 5 Câu 9. p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 39/59
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = A0 C0
AA0 = a. Tính tang của góc giữa đường thẳng BC0 và mặt phẳng (ABB0A0). √ √ √ 2 6 √ 3 A. . B. . C. 2. D. . 2 3 3 B0 A C B
Câu 10. Cho hình vuông ABCD, H là trung điểm của AB, K là trung điểm của AD. Trên đường thẳng vuông góc với
(ABCD) tại H lấy điểm S khác H. Tính góc giữa CK với mặt phẳng (SDH). A. 30◦. B. 45◦. C. 60◦. D. 90◦. ◦
Câu 11. Cho hình thoi ABCD có ’
BAD = 60 , AB = 2a. Gọi H là trung điểm AB. Trên đường thẳng d vuông góc với 1
mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S thay đổi khác H. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM = BC. Tính 4
theo a độ dài của SH để góc giữa SC và (SAD) có số đo lớn nhất. … 21 … 21 … 21 … 21 A. SH = 4 a. B. SH = 3 a. C. SH = 4 a. D. SH = 4 a. 4 4 5 2 √
Câu 12. Cho tứ diện ABCD có AC = AD = a 2, BC = BD = a, khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACD) bằng √ √ a 3 a3 15
và thể tích tứ diện ABCD bằng
. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) bằng 3 27 A. 90◦. B. 45◦. C. 30◦. D. 60◦. √
Câu 13. Cho tứ diện ABCD có ’ ABC = ’ BCD = ’
CDA = 90◦, BC = CD = a, AD = a 2. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACD) bằng A. 60◦. B. 30◦. C. 45◦. D. 90◦.
Câu 14. Tứ diện ABCD có BC = 3, CD = 4, ’ ABC = ’ BCD = ’
ADC = 90◦, (AD, BC) = 60◦. Cosin của góc giữa hai
mặt phẳng (ABC) và (ACD) bằng √ √ √ √ 43 4 43 43 2 43 A. . B. . C. . D. . 86 43 43 43
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, SA = BC và ’
BAC = 120◦. Hình chiếu vuông góc của A
lên các cạnh SB và SC lần lượt là M và N . Tang của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AM N ) bằng √ √ 3 √ 2 3 A. . B. 3. C. . D. 3. 3 3 BẢNG ĐÁP ÁN 1. A 2. C 3. A 4. D 5. D 6. A 7. D 8. D 9. A 10. D 11. A 12. B 13. A 14. D 15. C
B THỂ TÍCH CÓ CHỨA DỮ LIỆU GÓC 1. VÍ DỤ
L Câu 1 (Câu 43 - Đề minh họa lần 1, BGD 2020 - 2021). p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 40/59
Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông S
góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) là 45◦ (tham khảo
hình vẽ bên). Thể tích khối chóp bằng S.ABC bằng √ a3 3a3 3a3 a3 A. . B. . C. . D. . 8 8 12 4 A C B - Lời giải.
Gọi M trung điểm của cạnh BC và H là hình chiếu của A lên SM , khi đó AH ⊥ S (SBC) ⇒ (¤ SA, (SBC)) = ’ ASH = ’ ASM = 45◦√ a 3
⇒ 4SAM vuông cân tại A ⇒ SA = AM = . √ 2 √ 1 1 a 3 a2 3 a3 Do đó VS.ABC = SA · S4ABC = · · = . H 3 3 2 4 8 A C M B Chọn đáp án A
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu 1.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a, S
AD = a. Hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABCD) là trung
điểm H của AB, SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 45◦ (tham khảo hình
vẽ bên). Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng √ √ 2a3 2 2a3 a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 2 A D H B C Câu 2. p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 41/59
Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc S
với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng 30◦ (tham
khảo hình vẽ bên). Thể tích khối chóp bằng S.ABC bằng √ √ √ 6a3 2 3a3 2 6a3 √ A. . B. . C. . D. 2 6a3. 3 3 3 A C B Câu 3.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = 2a, cạnh bên S
SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBC)
bằng 60◦ (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích khối chóp bằng S.ABC bằng √ √ √ 2 6a3 √ 6a3 2 2a3 A. . B. 6a3. C. . D. . 9 6 3 A C B Câu 4.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông S
góc với đáy, SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30◦ (tham khảo hình
vẽ bên). Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng √ √ 2a3 2a3 6a3 √ A. . B. . C. . D. 2a3. 3 3 3 A D B C Câu 5.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, S ’
BAD = 60◦. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Hình chiếu
của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABCD) là trung điểm H của
BI, SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 45◦ (tham khảo hình
vẽ bên). Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng √ √ √ √ 39a3 39a3 39a3 39a3 A. . B. . C. . D. . 24 12 8 48 A D I H B C
Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B, tam giác SAC vuông
tại C. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 60◦. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. √ √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 8 4 6 12 p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 42/59
Câu 7. Cho khối chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thang cân. AB = 2a; BC = CD = DA = a. Góc
giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 45◦. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. √ 3a3 √ a3 2 √ A. . B. a3 2. C. . D. a3 3. 4 2
Câu 8. Cho khối chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA vuông góc với với mặt phẳng (ABCD).
Góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (SAD) bằng 30◦. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Tính thể tích khối chóp S.CDN M theo a. √ √ √ a3 5a3 2 a3 2 5a3 2 A. . B. . C. . D. . 3 16 6 48
Câu 9. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC = a, ’ ACB = 60◦. Đường thẳng
BC0 tạo với mặt phẳng (A0C0CA) góc 30◦. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. √ √ √ √ a3 3 a3 3 A. 2 3a3. B. a3 6. C. . D. . 2 3
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC), góc giữa √
hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) là 60◦, SB = a 2, ’
BSC = 45◦. Thể tích khối chóp S.ABC theo a là √ √ a3 2 √ √ 2a3 3 A. V = . B. V = 2 3a3. C. V = 2 2a3. D. V = . 15 15
Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AB = 2a, AC = a và SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60◦. Tính thể tích khối chóp S.ABC. √ √ √ √ a3 6 a3 2 a3 2 a3 6 A. . B. . C. . D. . 4 2 6 12
Câu 12. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có đáy là hình chữ nhật, AB = a, A0A = A0B = A0D = 2a. Biết khoảng cách √3a
từ điểm B0 đến mặt phẳng (A0BD) bằng
. Thể tích của khối hộp đã cho bằng 2 a3 a3 A. . B. . C. a3. D. 3a3. 2 2
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Các mặt bên (SAB), (SAC) lần lượt tạo với đáy các góc
bằng 60◦ và 30◦. Biết hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) nằm trên đoạn BC. Thể tích khối chóp S.ABC bằng √ √ a3 3 a3 3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 16 32 32 16
Câu 14. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc
60◦. Mặt phẳng (P ) chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M và N . Thể tích khối chóp S.ABM N là √ √ √ a3 3 a3 3 a3 3 √ A. . B. . C. . D. a3 3. 2 4 3
Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC có các cạnh AB =
15; BC = 14; CA = 13. Góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) bằng 60◦. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng √ √ 98 3 √ A. VS.ABC = 112 3. B. VS.ABC = 336. C. VS.ABC = . D. VS.ABC = 336 3. 3 BẢNG ĐÁP ÁN 1. B 2. C 3. A 4. B 5. A 6. D 7. A 8. D 9. B 10. D 11. C 12. D 13. D 14. A 15. A
C KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG 1. VÍ DỤ
L Câu 1 (Câu 44 - Đề thi TN THPT năm 2020 - mã đề 102).
Cho lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và AA0 = 2a. Gọi M là trung điểm của CC0.
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (A0BC) bằng √ √ √ √ a 5 2a 5 2a 57 a 57 A. . B. . C. . D. . 5 5 19 19 p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 43/59 - Lời giải.
Trong (AA0C0C), gọi N = AM ∩ A0C. A0 C0
Gọi I, H lần lượt là hình chiếu của A lên BC và A0I. N M M C 1 Ta có M C k AA0 nên = = . B0 N A AA0 2 Ta có M A ∩ (A0BC) = N M d(M, (A0BC)) N M 1 H ⇒ = = N d(A, (A0BC)) N A 2 1 ⇒ d(M, (A0BC)) = d(A, (A0BC)). 2 (BC ⊥ AI A C Ta có
⇒ BC ⊥ (A0AI) ⇒ BC ⊥ AH. BC ⊥ AA0 I (AH ⊥ BC Ta có
⇒ AH ⊥ (A0BC) ⇒ d(A, (A0BC)) = AH. B AH ⊥ A0I √ AA0 · AI 2a 57
Xét tam giác A0AI, ta có AH = √ = . AA02 + AI2 19 √ 1 a 57 Vậy d(M, (A0BC)) = AH = . 2 19 Chọn đáp án D
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu 1.
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3a, điểm H thuộc cạnh AC với HC = a, dựng S
đoạn thẳng SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) với SH = 2a (tham khảo hình vẽ).
Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng √ √ 3a 3 21a 21a A. . B. . C. . D. 3a. 7 7 7 H A C B Câu 2.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Cho biết SA = 2a, AB = a, AD = 2a S
và SA ⊥ (ABCD). Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách
từ điểm M đến mặt phẳng (SBD) bằng √ √ √ √ a 6 a 3 a 6 a 3 A. . B. . C. . D. . 6 2 3 4 A D B M C
Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm đáy, cho cạnh đáy và chiều cao cùng bằng a. Gọi G là trọng
tâm tam giác SAD. Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC). √ √ √ √ 4a 5 a 5 a 6 a 6 A. . B. . C. . D. . 15 5 6 3
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Tam giác ABC đều, hình chiếu vuông góc H của 4a
đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, SD =
. Tính khoảng cách từ B đến mặt 3 phẳng (SCD). √ √ 2a 21 a 21 √ A. . B. . C. a. D. a 3. 21 7
Câu 5. Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Hình chiếu vuông góc của A0
lên mặt phẳng (ABCD) trùng với O. Biết tam giác A0AC vuông cân tại A0. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 44/59 (BCC0B0). √ √ a a 6 a 6 A. a. B. . C. . D. . 2 3 6 BẢNG ĐÁP ÁN 1. B 2. A 3. A 4. B 5. C
D KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 1. VÍ DỤ
L Câu 1 (Câu 3 - Đề minh họa lần 1 BGD 2020 - 2021).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và √ SA =
2a. Gọi M là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SM bằng √ √ √ 10a a 2a 2a A. . B. . C. . D. . 5 2 3 2 - Lời giải.
Qua M dựng M N k AC ⇒ N là trung điểm của AB. S Vì AC k (SM N ) nên
d(AC, SM ) = d(AC, (SM N )) = d(A, (SM N )) = AH với AH ⊥ (SM N ) √ 1 1 1 Mà SA = a 2, AM = M N = AC = AB = a. 2 2 2
Trong tam giác vuông SAN vuông tại A có AH là chiều cao nên √ H 1 1 1 SA.AN a 2 = + ⇒ AH = √ = . A C AH2 SA2 AN 2 SA2 + AN 2 3 M N B Chọn đáp án C
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và √ SA =
3a. Gọi M là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SM bằng √ √ √ 2a a 39 a 21a A. . B. . C. . D. . 2 13 2 7
Câu 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có AB = a, AA0 = 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB0 và A0C bằng √ √ √ a 3 2 5a √ 2 17a A. . B. . C. a 5. D. . 2 5 17
Câu 3. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, BC = 2a. Cạnh bên SA = 2a vuông góc với mặt đáy.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD bằng √ a 6a a 2a A. . B. . C. . D. . 3 2 2 3
Câu 4. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, BC = 2a. Cạnh bên SA = a vuông góc với mặt đáy.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng √ a 6a a 2a A. . B. . C. . D. . 3 2 2 3
Câu 5. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA k (ABCD) và SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD bằng √ a 6 √ √ A. . B. 6a. C. a 3. D. a. 6 p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 45/59
Câu 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AA1 = 2a, AD = 4a. Gọi M là trung điểm của của AD. đáy là
hình vuông cạnh a, SA k (ABCD) và SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD bằng √ √ A. 3a. B. 2 2a. C. a 2. D. 2a.
Câu 7 (THPT Quốc Gia năm 2015). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA ⊥
(ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45◦. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC. √ √ √ √ a 10 a 5 a 2 a 5 A. . B. . C. . D. . 5 10 5 5
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, 4SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc
với mặt phẳng đáy. Biết SA = a và cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc bằng 30◦ Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng AB và SC theo a. √ √ 2 17a 17a √ √ A. . B. . C. 2 17a. D. 17a. 17 17 √ a 17
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD =
. Hình chiếu vuông góc H của S trên 2
(ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung điểm của đoạn AD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD theo a. √ √ √ 2a 3a 3a 2 3a A. . B. . C. . D. . 5 5 2 5 √
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD) và AB = a, AD = a 3, góc giữa hai
mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 60◦. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a. √ √ a 3a 3a 3a A. . B. . C. . D. . 2 5 4 5
Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại
đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a. √ √ √ √ a 3 21a 7a 2a A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 BẢNG ĐÁP ÁN 1. B 2. D 3. D 4. D 5. A 6. B 7. A 8. A 9. B 10. C 11. B
E GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 1. VÍ DỤ √
L Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A và AB = a 2. Biết SA ⊥ (ABC) và SA = a.
Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng A. 30◦. B. 45◦. C. 60◦. D. 90◦. - Lời giải.
Gọi M là trung điểm của BC ⇒ AM ⊥ BC, SM ⊥ BC. S (SBC) ∩ (ABC) = BC    Ta có
BC ⊥ AM ⊂ (ABC) ⇒ ((SBC), (ABC)) = (AM, SM ) = . ’ SM A   BC ⊥ SM ⊂ (SBC) 1 1 … √ √ Ä ä2 Ä ä2 Mà AM = BC = a 2 + a 2 = a = SA. 2 2
Suy ra tam giác AAM vuông cân tại S ⇒ ’ SM A = 45◦. A C M B Chọn đáp án B p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 46/59
L Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, cạnh bên SA, vuông góc với √
mặt phằng đáy và SA = a 2. Cho biết AB = 2AD = 2DC = 2a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBA) và (SBC) bằng Å 1 ã A. arccos . B. 30◦. C. 45◦. D. 60◦. 4 - Lời giải.
Dựng CH ⊥ AB, (CH cẳt hai mặt và vuông với giao tuyến SB ) và HK ⊥ S SB. (SAB) ∩ (SBC) = SB    Ta có SB ⊥ HK ⊂ (SAB)   SB ⊥ CK ⊂ (SBC) K
⇒ ((SAB), (SBC)) = (HK, CK) = ÷ HCK. HK HB Mà 4HKB v 4SAB ⇔ = SA S √ B √ HB · SA a · a 2 a 3 ⇔ HK = = = . A H B SB … √ 3 Ä ä2 a 2 + (2a)2 √ CH a 3 √ Do đó tan ÷ HKC = = a : = 3 ⇒ ÷ HKC = 60◦. HK 3 D C Chọn đáp án D
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu 1.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật thỏa mãn AD = √ S
3 AB. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc 2
với mặt phẳng (ABCD) (tham khảo hình bên). Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng A. 30◦. B. 45◦. C. 60◦. D. 90◦. A D B C Câu 2.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy S
(ABCD). Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ). Côsin của góc giữa hai
mặt phẳng (SM D) và (ABCD) bằng √ √ 2 5 2 5 3 A. . B. . C. . D. √ . 5 3 5 10 A D B M C Câu 3. p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 47/59 √
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SB = BC = 2a 2, ’ BSC = 45◦, ’ BSA = α (tham S
khảo hình vẽ). Giá trị của sin α để góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 45◦ là √ √ √ √ 3 14 3 14 A. . B. . C. . D. . 3 7 6 14 A C B Câu 4.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD S
vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho
biết AB = a, SA = 2SD, mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy một
góc 60◦. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng 5a3 15a3 3a3 A. . B. 5a3. C. . D. . 2 2 2 A D B C Câu 5.
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng A0 C0
(A0BC) tạo với đáy góc 30◦ và tam giác A0BC có diện tích bằng 8 (tham
khảo hình vẽ). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng √ √ √ √ B0 A. 8 3. B. 16 3. C. 64 3. D. 2 3. A C B
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O, biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Cho √ a 6 AB = a; SB = a; SO =
. Số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) bằng 3 A. 90◦. B. 45◦. C. 60◦. D. 30◦.
Câu 7. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A0B0C0 có cạnh đáy bằng a. Trên các tia AA0, BB0, CC0 lần lượt lấy A1, B1, C1 a 3a
cách mặt phẳng đáy (ABC) một khoảng lần lượt là , a,
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A1B1C1). 2 2 A. 60◦. B. 90◦. C. 45◦. D. 30◦. √
Câu 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AA0 = a, AD =
3a. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC0D0) và (ABCD) bằng A. 30◦. B. 45◦. C. 90◦. D. 60◦.
Câu 9. Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a,
CD = 2x. Tính giá trị của x để hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc nhau. √ √ a 3 a 2 a a A. x = . B. x = . C. x = . D. x = . 3 3 3 2
Câu 10. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A0B0C0D0 và M là điểm thuộc
đoạn thằng OI sao cho M O = 2M I. Khi đó cô-sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (M C0D0) và (M AB) bằng √ √ √ √ 6 85 6 13 17 13 7 85 A. . B. . C. . D. . 85 65 65 85 BẢNG ĐÁP ÁN p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 48/59 1. B 2. B 3. A 4. A 5. A 6. A 7. C 8. A 9. A 10. D
F THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN LIÊN QUAN GÓC, KHOẢNG CÁCH
Hướng 1. Đề cho cách đều hoặc góc bằng nhau −→ Chân chiều cao ≡ tâm ngoại tiếp đa giác đáy.
Hướng 2. Đề cho góc giữa hai mặt vuông −→ Dựng thêm hình để đưa về bài toán quen sách giáo khoa.
Hướng 3. Đề bài cho chân chiều cao, nhưng tính toán thông qua khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt. 1. VÍ DỤ
L Câu 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, ’ ACB = 30◦ và
SA = SB = SD với D là trung điểm của BC. Cạnh bên SA hợp với đáy một góc 45◦. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 12 6 4 2 - Lời giải. √3 AB a Ta có tan 30◦ = = = ⇒ BC = 2a. S 3 AC AC √ 1 1 √ a2 3 ⇒ SABC = · AB · AC = · a · a 3 = . 2 2 2
Do AB = BD = AD = a nên ∆ABD đều
⇒ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABD là trọng tâm G. A C 30◦
Ta có SA = SB = SD ⇒ SG ⊥ (ABD) hay SG ⊥ (ABC). G D M B √ √ 2 2 a 3 a 3
Khi đó (SA, (ABC)) = (SA, AG) = ’ SAG = 45◦ ⇒ SG = AG = AM = · = . √ √ 3 3 2 3 1 1 a2 3 a 3 a3 Vậy VS.ABC = · SABC · SG = · · = . 3 3 2 3 6 Chọn đáp án B
L Câu 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = 2a, ’ SAB = ’ SCB = 90◦, góc
giữa đường thẳng AB và (SBC) bằng 30◦. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng √ √ √ √ 4a3 3 4a3 3 2a3 3 2a3 3 A. . B. . C. . D. . 9 3 9 3 - Lời giải.
Dựng SD ⊥ (ABC) ⇒ SD ⊥ (ABCD) tại D ⇒ ABCD là hình vuông. S Ta có AB k CD
⇒ (AB, (SBC)) = (CD, (SBC)) = (HC, CD) = ’ SCD = 30◦. √ SD 2a 3 Ta có tan 30◦ = ⇒ SD = . H 2a 3 √ √ 1 1 2a 3 4a3 3 VS.ABC = · SABC · SD = · 2a · 2a · = . A 3 6 3 9 D 30◦ C B Chọn đáp án A p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 49/59
L Câu 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh bên SA vuông góc với mặt √3
phẳng đáy. Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Biết rằng khoảng cách từ I đến (SBC) bằng , 2
thể tích khối chóp S.ABC có giá trị nhỏ nhất bằng 9 3 A. 9. B. . C. 3. D. . 2 2 - Lời giải.
Dựng hình và xác định tâm I mặt cầu như hình vẽ. √ d GA 3 2 √ Ta có d[A, (SBC)] = · d[I, (SBC)] = · = 3. GI 2 1
Đặt SA = x > 0, AB = y > 0, AC = z > 0. 1 1 1 1 Khi đó = + + S d2[A, (SBC)] x2 y2 z2 1 1 1 1 ⇒ + + = . x2 y2 z2 3 N I G A C M B 1 1 1 1 Cauchy 1 1 1 xyz 9 Ta có = + + ≥ 3 3 ⇒ ≤ ⇒ xyz ≥ 27 ⇒ VS.ABC = ≥ . 3 x2 y2 z2 x2y2z2 x2y2z2 93 6 2 9 Vậy min VS.ABC = . 2 Chọn đáp án B
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, ’ ACB = 60◦.
Cạnh bên SB tạo với đáy một góc 30◦. Thể tích khối chóp S.ABC bằng √ √ √ a3 3 a3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 6 6 12 4 √
Câu 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, gọi M là trung điểm AC và AB = a 3, AC = 2a.
Các đường thẳng SA, SB, SM cùng tạo với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 60◦. Thể tích khối chóp S.ABC bằng a3 4a3 A. a3. B. . C. 3a2. D. . 3 3
Câu 3. Cho khối lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác đều, cạnh a, điểm A0 cách đều các điểm A, B, C và cạnh bên
AA0 tạo với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 60◦. Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 bằng √ √ √ 3a3 a3 3a3 a3 6 A. . B. . C. . D. . 4 2 12 4
Câu 4. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với ’
BAC = 120◦ và AB = a, Cạnh
bên SA hợp với mặt phẳng đáy. Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Biết rằng khoảng cách từ I đến √ a 6 (SBC) bằng
. Khi đó thể tích khối chóp S.ABC bằng 4 √ √ √ √ 6 6 6 6 A. a3. B. a3. C. a3. D. a3. 24 8 4 12 p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 50/59
Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi I √ a 3
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Biết rằng khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC) bằng . Khi đó thể 18
tích khối chóp S.ABC bằng √ √ √ √ 3 3a3 3 5a3 3a3 5a3 A. . B. . C. . D. . 20 20 20 20
Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 4a. Biết SA vuông góc với mặt đáy (ABC) và √
SA = 6 3a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, SC. Gọi điểm K sao cho AK là đường kính của
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Thể tích khối tứ diện KM N P bằng 13a3 19a3 A. . B. 8a3. C. 7a3. D. . 2 2 √
Câu 7. Cho khối chóp S.ABC có AB ⊥ BC, BC ⊥ SC, SC ⊥ SA, BC = a, SC =
15a và góc giữa AB, SC bằng 30o.
Thể tích khối chóp S.ABC bằng √ √ 5a3 5 3a3 5a3 5 3a3 A. . B. . C. . D. . 2 2 6 6
Câu 8. Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông cân tại đỉnh C và BD = 12. Tam giác ABC vuông tại đỉnh B,
tam giác ADC vuông tại đỉnh D. Biết góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng 45o. Thể tích khối tứ diện ABCD bằng √ √ √ √ A. 72 2. B. 48 2. C. 54 2. D. 36 2.
Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SBA vuông tại B, tam giác SAC vuông
tại C. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 60o. Thể tích khối chóp S.ABC bằng √ √ √ √ 3a3 3a3 3a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 8 12 6 4
Câu 10. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, (a > 0). Biết hai mặt bên (SAB),
(SAC) cùng tạo với đáy một góc 60◦, mặt bên (SBC) tạo với đáy một góc 30◦ và hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên
mặt đáy là H thuộc miền trong tam giác ABC. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. √ √ √ √ a3 3 a3 3 3a3 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 48 56 32 40 Câu 11.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác ABC là tam giác S
đều cạnh a. Các mặt (SAB), (SAC), (SBC) lần lượt tạo với đáy
các góc lần lượt là 30◦, 45◦, 60◦. Tính thể tích V của khối chóp
S.ABC, biết rằng hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng
(ABC) nằm trong tam giác ABC. √ √ a3 3 a3 3 A. V = √ . B. V = √ . Ä ä Ä ä 8 4 + 3 2 4 + 3 √ √ a3 3 a3 3 C. V = √ . D. V = √ . Ä ä 4 4 + 3 4 + 3 I A C H M N B √
Câu 12. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD = BC = 3, AC = BD = 4, AB = CD = 2 3. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.√ √ √ √ 2740 2474 2047 2470 A. . B. . C. . D. . 12 12 12 12
Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Các góc ’ SAB, ’
SCB vuông, M là trung điểm SA. 6a
Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (M BC) bằng √
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC. 21 p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 51/59 √ √ √ 8a3 39 10a3 3 4a3 13 √ A. . B. . C. . D. 2a3 3. 3 9 3
Câu 14. Cho hình lăng trụ đều ABC.A0B0C0. Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABC0) bằng a, góc giữa hai 1
mặt phẳng (ABC0) và (BCC0B0) bằng α với cos α =
√ . Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 bằng 2 3 √ √ √ √ 2 2 2 2 A. 3a3 . B. 3a3 . C. a3 . D. 3a3 . 8 2 8 4
Câu 15. Cho lăng trụ ABCD.A0B0C0D0 với đáy ABCD là hình thoi, AC = 2a, ’
BAD = 120◦. Hình chiếu vuông góc của
điểm B trên mặt phẳng (A0B0C0D0) là trung điểm cạnh A0B0, góc giữa mặt phẳng (AC0D0) và mặt đáy lăng trụ bằng
60◦. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD.A0B0C0D0. √ √ √ √ A. 2 3a3. B. 3 3a3. C. 3a3. D. 6 3a3.
Câu 16. Khối tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, ’ AOB = 60◦, ’ AOC = 120◦, ’
BOC = 90◦. Khi đó, tính thể tích tứ diện OABC. √ √ a3 a3 a3 3 a3 2 A. . B. . C. . D. . 12 6 12 12
Câu 17. Tứ diện OABC có OA = OB = OC = 1 và OA ⊥ OB. Tìm góc giữa OC và (OAB) để tứ diện có thể tích là 1 . 12 A. 30◦. B. 45◦. C. 60◦. D. 90◦.
Câu 18. Xét tứ diện ABCD có các cạnh AB = BC = CD = DA = 1 và AC, BD thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABCD bằng √ √ √ √ 2 3 4 3 2 3 4 3 A. . B. . C. . D. . 27 27 9 9
Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu của S lên mặt đáy trùng với trọng
tâm tam giác ABD. Cạnh bên SD tạo với đáy một góc 60◦. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. √ √ √ a3 15 a3 15 a3 15 a3 A. . B. . C. . D. . 3 27 9 3 BẢNG ĐÁP ÁN 1. B 2. A 3. A 4. A 5. D 6. B 7. D 8. A 9. B 10. D 11. A 12. D 13. B 14. B 15. D 16. D 17. A 18. A 19. C
G BÀI TOÁN CỰC TRỊ (THỰC TẾ) TRONG NÓN TRỤ CẦU 1. VÍ DỤ
L Câu 1. Một hình trụ có thể tích 16 cm3. Khi đó, bán kính R bằng bao nhiêu để diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất? 16 A. R = 1,6 cm. B. R = cm. C. R = 2 cm. D. R = π cm. π - Lời giải. 16
Thể tích của khối trụ là V = πR2h = 16π ⇒ h = . R2
Diện tích toàn phần của hình trụ là Å 16 ã Å 8 8 ã … 8 8 Stp = 2πRh + 2πR2 = 2π R2 + = 2π R2 + + ≥ 2π · 3 · 3 R2 · · = 24π. R R R R R 8
Suy ra Stp max = 24π và dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi R2 = ⇔ R = 2. R Chọn đáp án C
L Câu 2 (Câu 30 - Đề thi THPT QG năm 2018 - Mã đề 103).
Ông A dự định sử dụng hết 5 m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hộp chữ nhật không nắp, chiều dài
gấp đôi chiều rộng. Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu? p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 52/59 A. 1,01 m3. B. 0,96 m3. C. 1,33 m3. D. 1,51 m3. - Lời giải.
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng và chiều cao của bể cá. Khi đó, A0 D0 V = 2x2y. B0 C0
Theo đề, diện tích toàn phần không nắp bằng 5, tức có y A 2x D » x
5 = 2xy + 2 · 2xy + 2x2 = 3xy + 2x2 ≥ 3 3 18(x2y)2 √ B C 5 30
Suy ra 125 ≥ 27 · 18(x2y)2 ⇔ 2x2y = V ≤ ≈ 1,0143. 27 Chọn đáp án A
L Câu 3. Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng R (cho trước), tính thể tích
V của khối chóp có thể tích lớn nhất? 64R3 64R3 16R3 16R3 A. . B. . C. . D. . 81 27 27 81 - Lời giải.
Xét mặt cắt dọc đi qua đỉnh S và chứa đường chéo AC của hình chóp đều S.ABCD. S √
Đặt IO = x ⇒ chiều cao chóp SO = R + x ⇒ OC = R2 − x2. √ √ √
Do đó, AC = 2 R2 − x2 ⇒ AB = 2 R2 − x2. 1 R Thể tích khối chóp V = · 2 · R2 − x2 (R + x) 3 1 I = · (2R − 2x)(R + x)(R + x) R 3 x 1
[(2R − 2x) + (R + x) + (R + x)]3 ≤ · A O C 3 27 64R3 = . 81 64R3 R 4R Suy ra Vmax = khi 2R − 2x = R + x ⇔ x = và h = . 81 3 3 Chọn đáp án A
Nhận xét. Các khối nón, khối chóp tứ giác đều, khối chóp tam giác đều nội tiếp mặt cầu có điểm chung là thể tích R
của chúng lớn nhất khi mặt đáy cách tâm I của mặt cầu một khoảng x =
. Khi đó, chiều cao của khối nón, khối 3 4R
chóp tứ giác đều, khối chóp tam giác đều là h = . 3 L Câu 4.
Ông Bình làm lan can ban công ngôi nhà của mình bằng một tấm kính 4,45m
cường lực. Tấm kính đó là một phần của mặt xung quanh của hình trụ 150◦
như hình bên. Biết giá tiền của 1 m2 kính như trên là 1 500 000 đồng. Hỏi 1,35m
số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) mà ông Bình mua tấm kính trên là bao nhiêu? A. 23 591 000 đồng. B. 36 173 000 đồng. C. 9 437 000 đồng. D. 4 718 000 đồng. - Lời giải.
Gọi r là bán kính đáy của hình trụ. Ta có 4,45 = 2r sin 150◦ ⇒ r = 4,45 m. Như vậy, góc ở tâm của cung bằng 60◦ nên 1 πr độ dài cung bằng chu vi đường tròn hay ` = . 6 3
Tấm kính cần mua có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật có một cạnh là 1,35 m và cạnh còn lại là ` nên số tiền để p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 5. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN / Trang 53/59 mua tấm kính là 1,35 × π × 4,45 1 500 000 × ≈ 9 437 000 đồng. 3 Chọn đáp án C
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN 256π
Câu 1. Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có thể tích bằng
, thể tích V của khối chóp có thể 3
tích lớn nhất khi cạnh đáy bằng 16 A. 4. B. . C. 6. D. 5. 3
Câu 2. Trong tất cả hình chóp tam giác đều nội tiếp mặt cầu bán kính bằng 6, thể tích lớn nhất của khối chóp bằng √ √ √ √ A. 32 3. B. 64 3. C. 72 3. D. 81 3.
Câu 3. Cho khối cầu tâm O bán kính bằng 6. Mặt phẳng (P ) cách điểm O một khoảng x cắt khối cầu theo một hình
tròn (C). Một khối nón có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy là hình tròn (C). Biết khối nón có thể tích lớn nhất, khi đó giá trị của x bằng √ √ A. x = 2. B. x = 1. C. x = 3 2. D. x = 6 2.
Câu 4. Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là 2π m3. Hỏi bán kính đáy
R và chiều cao h của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất? 1 1 1 A. R = 2 m và h = m. B. R = 4 m và h = m. C. R = m và h = 8 m. D. R = 1 m và h = 2 m. 2 5 2
Câu 5. Cho hình trụ có tính chất: thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ nhật có chu
vi là 12 cm. Giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ bằng A. 8π cm3. B. 16π cm3. C. 32π cm3. D. 64π cm3. BẢNG ĐÁP ÁN 1. B 2. B 3. A 4. D 5. A p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011 CHUYÊN ĐỀ 6
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG 1. VÍ DỤ
L Câu 1 (Câu 45 - Đề tham khảo - Bộ GD & ĐT năm học 2020 - 2021). x − 1 y z + 1
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x + 2y − z − 3 = 0 và hai đường thẳng d1 : = = , 2 1 −2 x − 2 y z + 1 d2 : = =
. Đường thẳng vuông góc với (P ), đồng thời cắt cả d1 và d2 có phương trình là 1 2 −1 x − 3 y − 2 z + 2 x − 2 y − 2 z + 1 A. = = . B. = = . 2 2 −1 3 2 −2 x − 1 y z + 1 x − 2 y + 1 z − 2 C. = = . D. = = . 2 −2 −1 2 2 −1 - Lời giải. Gọi M = d ∩ d #» 1, N = d ∩ d2. n ∆ (P ) d2
Khi đó M (1 + 2t; t; −1 − 2t) ∈ d1, N (2 + s; 2s; −1 − s) ∈ d2. N # » ⇒ #»
M N = (s − 2t + 1; 2s − t; −s + 2t) và n (P ) = (2; 2; −1). # » #» d1
Vì M N vuông góc với (P ) nên ta có M N cùng phương với n M (P ). s − 2t + 1 2s − t −s + 2t P Suy ra = = 2 2 −1 (s − 2t + 1 = 2s − t (s = 1 (M(1; 0; −1) ⇔ ⇔ ⇒ − 2s + t = −2s + 4t t = 0 N (3; 2; −2). #» #» x − 3 y − 2
Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua điểm N (3; 2; −2) và có một véc-tơ chỉ phương u = n (P ) = (2; 2; −1) là = = 2 2 z + 2 . −1 Chọn đáp án A
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN x = 4 + t    x − 5 y − 11 z − 5
Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng d1 : y = −4 − t , d2 : = = . Đường thẳng d đi 2 4 2   z = 6 + 2t AB
qua A(5; −3; 5) cắt d1, d2 lần lượt ở B, C. Tỷ số bằng AC 1 1 A. 3. B. 1. C. . D. . 2 3 x − 1
Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 3x + 3y + 5z + 1 = 0 và phương trình hai đường thẳng d1 : = 2 y + 3 z x y − 2 z + 4 = , d2 : = =
. Đường thẳng vuông góc với (P ) đồng thời cắt d1 và d2 tại A và B. Độ dài AB 4 3 1 1 3 bằng √ √ √ √ A. 2 43. B. 43. C. 2 13. D. 13. 54
Chuyên đề 6. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN / Trang 55/59 x + 1 y − 1 z − 2
Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho điểm A (2; 1; 3) và đường thẳng d : = = . Đường thẳng đi qua A, 1 −2 2
vuông góc với d và cắt trục Oy có phương trình là     x = 2t x = 2 + 2t x = 2 + 2t x = 2t             A. y = −3 + 4t . B. y = 1 + t . C. y = 1 + 3t . D. y = −3 + 3t .         z = 3t z = 3 + 3t z = 3 + 2t z = 2t x = 4 + 3t   
Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho điểm M (0; 2; 0) và đường thẳng d :
y = 2 + t . Đường thẳng đi qua M , cắt và   z = −1 + t
vuông góc với d có phương trình là x y − 2 z x − 1 y z x − 1 y − 1 z x y z − 1 A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . −1 1 2 1 −1 −2 1 1 2 −1 1 2 x − 3 y − 3 z
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : = =
, mặt phẳng (P ) : x + y − z + 3 = 0 1 3 2
và điểm A (1; 2; −1). Đường thẳng ∆ đi qua A, song song với mặt phẳng (P ) và cắt d có phương trình là     x = 1 + t x = 1 − t x = 1 + t x = 1 + t             A. y = 2 + 2t . B. y = 2 − 2t . C. y = 2 − 2t . D. y = 2 − 2t .         z = −1 + t z = −1 + t z = −1 − t z = −1 + t x = 3 + t    x − 5 y + 1 z − 2 x − 1
Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho 3 đường thẳng d1 : y = 3 + 2t ; d2 : = = và d3 : = 3 −2 −1 1   z = −2 − t y − 2 z − 1 =
. Đường thẳng d song song với d3, cắt d1 và d2 có phương trình là 2 3 x − 1 y + 1 z x − 2 y − 3 z − 1 x − 3 y − 3 z + 2 x − 1 y + 1 z A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 x − 3 y + 1 z − 4 x − 2 y − 4
Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau d1 : = = và d2 : = = 1 −1 1 2 −1
z + 3 . Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2. 4 x − 7 y − 3 z + 9 x − 3 y − 1 z − 1 x − 1 y − 1 z − 2 x + 7 y + 3 z − 9 A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 3 2 −1 3 2 −1 3 2 −1 3 2 −1 x y + 1 z − 1
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : = =
và mặt phẳng (P ) : x−2y −z +3 = 1 2 1
0. Đường thẳng nằm trong (P ) đồng thời cắt và vuông góc với ∆ có phương trình là     x = 1 x = −3 x = 1 + t x = 1 + 2t             A. y = 1 − t . B. y = −t . C. y = 1 − 2t . D. y = 1 − t .         z = 2 + 2t z = 2t z = 2 + 3t z = 2 x + 1 y − 1 z − 1 x − 1 y − 2
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = ; d2 : = = 2 −1 1 1 1
z + 1 và mặt phẳng (P): x − y − 2z + 3 = 0. Biết đường thẳng ∆ nằm trong (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2. Viết 2
phương trình đường thẳng ∆. x − 2 y − 3 z − 1 x − 1 y z − 2 A. ∆ : = = . B. ∆ : = = . 1 3 1 1 3 −1 x − 1 y z − 2 x − 2 y − 3 z − 1 C. ∆ : = = . D. ∆ : = = . −1 3 1 1 −3 1
Câu 10. Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2; −1; 3), vuông góc với đường thẳng x y − 5 z + 2 x − 1 y + 1 z − 1 d1 : = =
và cắt đường thẳng d2 : = = là 4 −1 −1 2 3 4 x − 2 y + 1 z − 3 x − 2 y + 1 z − 3 x + 2 y − 1 z + 3 x − 2 y + 1 z + 3 A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 1 2 2 1 −2 −2 1 2 2 1 2 2 x + 1
Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; −1; 2), mặt phẳng (P ) : x + y − 2z + 5 = 0 và đường thẳng d : = 2 y z − 2 =
. Phương trình đường thẳng ∆ cắt d và (P ) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng M N 1 1 có dạng x + 1 y − 1 z + 2 x − 1 y + 1 z − 2 A. = = . B. = = . −1 3 2 2 3 2 p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 6. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN / Trang 56/59 x − 1 y + 1 z − 2 x − 1 y + 1 z − 2 C. = = . D. = = . 2 −3 2 2 3 −1 x − 1 y z + 1
Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 3z − 4 = 0 và hai đường thẳng d1 : = = , 1 −1 2 x − 1 y − 3 z + 1 √ d2 : = =
. Mặt phẳng (α) song song với (P ) và cắt d1, d2 theo thứ tự tại M , N sao cho M N = 3. 2 1 1
Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (α)? A. A(1; 2; 3). B. B(0; 1; −3). C. C(0; −1; 3). D. D(0; 1; 3). x = 1 + 3t  x − 1 y + 1 z − 3  
Câu 13. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = và đường thẳng d2 : y = −4 . 1 1 −2   z = 4 + t
Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; −1) và cắt d1 tại M , cắt d2 tại N . Khi đó AM 2 + AN 2 bằng A. 81. B. 100. C. 90. D. 85.
Câu 14. Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d nằm trong (P ) : x + y + z − 3 = 0, đồng thời d cắt x − 6 y + 10 z − 5 x + 1 y + 2 z − 3 d1 : = = và vuông góc với d2 : = = là 2 −7 3 1 3 9     x = 4 + 3t x = 4 + 62t x = −4 + 2t x = 4 + 3t             A. y = −3 + 4t . B. y = −3 − 22t . C. y = 3 − 4t . D. y = −3 − 4t .         z = 2 + t z = 2 − 25t z = −2 + t z = 2 + t x − 1 y z + 1
Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; 2) và đường thẳng d : = =
. Viết phương trình đường 1 1 2
thẳng ∆ đi qua A, vuông góc và cắt d. x − 1 y z − 2 x − 1 y z − 2 x − 1 y z − 2 x − 1 y z − 2 A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 1 1 1 1 1 −1 2 2 1 1 −3 1   x = 1 − t x = 2 − u      
Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x−y+3z = 0 và hai đường thẳng d1 : y = t , d2 : y = 4 + 2u .     z = 4t z = 4
Đường thẳng vuông góc với (P ), đồng thời cắt cả d1 và d2 có phương trình là x − 2 y + 2 z + 8 x − 2 y + 2 z + 8 x − 2 y + 2 z + 8 x − 7 y + 6 z − 4 A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 1 −1 3 −1 1 3 −1 −1 3 −1 −1 3
Câu 17. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1; −1; 4), đồng thời d song song với x + 1 y − 1 z
mặt phẳng (P ) : x + 2y − 2z − 15 = 0 và d cắt đường thẳng ∆ : = = . −3 4 5 x − 1 y + 1 z − 4 x + 1 y − 1 z + 4 x − 1 y + 1 z − 4 x − 1 y + 1 z − 4 A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 2 −3 −7 4 −1 −1 4 −5 −3 2 3 −7 x − 6 y − 4 z − 4 Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = = và 1 −4 1 x − 2 y − 2 z d2 : = =
. Viết phương trình đường thẳng ∆ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và 1 2 −2 d2. x − 4 y − 3 z − 2 x − 4 y − 3 z − 2 x − 4 y − 3 z − 2 x − 4 y − 3 z − 2 A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 8 1 −4 9 2 −1 2 1 2 2 3 4 x + 2
Câu 19. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x − y + z − 10 = 0, điểm A(1; 3; 2) và đường thẳng d : = 2 y − 1 z − 1 =
. Tìm phương trình đường thẳng ∆ cắt (P ) và d lần lượt tại hai điểm M, N sao cho A là trung điểm của 1 −1 đoạn M N . x + 6 y + 1 z − 3 x − 6 y − 1 z + 3 x − 6 y − 1 z + 3 x + 6 y + 1 z − 3 A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 7 4 −1 7 4 −1 7 −4 −1 7 −4 −1 BẢNG ĐÁP ÁN 1. C 2. A 3. A 4. A 5. C 6. A 7. C 8. A 9. B 10. A 11. B 12. B 13. C 14. D 15. B 16. A 17. C 18. C 19. A p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 6. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN / Trang 57/59
B CỰC TRỊ HÌNH HỌC OXY Z
TÂM TỈ CỰ - TÂM TỈ CỰ DI ĐỘNG
Cho trước ba điểm A, B, C.  α · xA + β · xB + γ · xC xI =   α + β + γ  # » # » # » #»    α · yA + β · yB + γ · yC
1. Tìm toạ độ điểm I thoả α · IA + β · IB + γ · IC = 0 ⇒ yI = (1) α + β + γ     α · z  A + β · zB + γ · zC z .  I = α + β + γ  # » # » # » # »
α · M A + β · M B + γ · M C = (α + β + γ) · M I = (α + β + γ) · M I (2)    2. Luôn có
α · M A2 + β · M B2 + γ · M C2 = (α + β + γ) · M I2 + α · IA2 + β · IB2 + γ · IC2 (3)    | {z } const 1. VÍ DỤ
L Câu 1. (Đề tham khảo - Bộ GD-ĐT năm 2019 - câu 41)
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −2; 4), B(−3; 3; 1) và mặt phẳng (P ) : 2x − y + 2z − 8 = 0. Xét điểm
M là điểm thay đổi thuộc (P ), giá trị nhỏ nhất của 2M A2 + 3M B2 bằng A. 135. B. 105. C. 108. D. 145. - Lời giải. # » # » #»
Tìm điểm I thoả 2IA + 3IB = 0 ⇒ I(−1; 1; 1).
Ta có T = 2M A2 + 3M B2 = 5M I2 + 2IA2 + 3IB2 = 5M I2 + 90.
Khi đó Tmin ⇔ M Imin ⇔ M là hình chiếu của điểm I trên mặt phẳng (P ). 2x − y + 2z − 8 = 0      x = −1 + 2t Ta có M = M I ∩ (P ) thoả ⇒ t = 1. y = 1 − t     z = 1 + 2t
Suy ra M (1; 0; 3) ⇒ M I2 = 9 ⇒ Tmin = 135. Chọn đáp án A
L Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 10)2 = 10, điểm M bất kì nằm
trên mặt phẳng (P ) : 2x + 2y − z − 26 = 0. Gọi A, B là hai điểm nằm trên mặt cầu (S) sao cho AB = 6. Giá trị # » # »
nhỏ nhất của 5M A + 13M B bằng A. 108. B. 145. C. 150. D. 210. - Lời giải. √
Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 10) và bán kính R = 10. # » # » #» # » # »
Gọi K là điểm thoả mãn 5KA + 13KB = 0 ⇔ 5KA = −13KB. (5KA = 13KB 5 13 ⇒ K thuộc đoạn AB và ⇒ KB = , KA = . KA + KB = 6 3 3 4 5
Gọi H là trung điểm của đoạn AB ⇒ IH ⊥ AB ⇒ HK = ⇒ IK = . 3 3 # » # » Suy ra 5M A + 13M B
= 18 · M Kmin = 18 · (d(I, (P )) − IK) = 150. min p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 6. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN / Trang 58/59 M P K I A H K B
2. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ PHÁT TRIỂN x − 1 y − 1 z
Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−1; 1; 1), B(1; 1; 2), C(−2; 1; 1) và đường thẳng d : = = . 1 2 1
Gọi M (a; b; c) ∈ d sao cho biểu thức 2M A2 + 3M B2 − 4M C2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a + b + c bằng A. 2. B. 10. C. 18. D. 0.
Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(5; 8; −11), B(3; 5; −4), C(2; 1; −6) và mặt cầu (S) : (x − 4)2 + (y − 2)2 + # » # » # » (z + 1)2 = 9. Gọi M (x
M ; yM ; zM ) là điểm trên mặt cầu (S) sao cho biểu thức
M A − M B − M C đạt giá trị nhỏ nhất.
Giá trị của xM + yM bằng A. 4. B. 0. C. −2. D. 2.
Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x−2)2 +(y −1)2 +(z −10)2 = 90 , mặt phẳng (P ) : 2x+2y −z −26 = 0
và điểm M nằm trên mặt phẳng (P ). Hai điểm A, B nằm trên mặt cầu (S) sao cho AB = 18. Giá trị nhỏ nhất của 5M A2 + 13M B2 là A. 2970. B. 5220. C. 1620. D. 1195.
Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 2)2 = 7 và mặt phẳng (P ) : x + 2y − 2z − 8 = 0.
Lấy hai điểm A, B ∈ (S) sao cho AB = 4 và điểm M ∈ (P ). Giá trị nhỏ nhất của M A2 + 3M B2 bằng √ √ A. 128 − 40 3. B. 46. C. 48. D. 122 − 40 3.
Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 3)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 4 và mặt phẳng (P ) : 4x − 3z + 10 = 0.
Xét hai điểm M , N di động trên (S) sao cho M N = 2. Lấy điểm A nằm trên (P ). Giá trị nhỏ nhất của Q = AM 2 + AN 2 bằng √ √ √ √ A. 58 − 10 3. B. 56 − 20 3. C. 58 − 20 3. D. 30 − 10 3.
Câu 6. Cho z1, z2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn |z − 3 + 5i| = 5 và |z1 − z2| = 6. Giá trị lớn nhất của biểu thức |z1 + z2| bằng √ √ √ √ A. 16 + 2 34. B. 8 + 2 34. C. 8 + 34. D. 10 + 2 34.
Câu 7. Giả sử z1, z2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn (z + i)(z + 3i) là số thuần ảo. Biết rằng |z1 − z2| = 3, giá
trị lớn nhất của biểu thức |z1 + 2z2| bằng √ √ √ √ A. 3 2 − 3. B. 3 + 3 2. C. 2 + 1. D. 2 − 1.
Câu 8. Giả sử z1, z2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn (z − 6)(8 + zi) là số thực. Nếu |z1 − z2| = 4 thì giá trị nhỏ
nhất của biểu thức |z1 + 3z2| bằng √ √ √ √ A. 5 − 21. B. 20 − 4 21. C. 20 − 4 22. D. 5 − 22. x − 15
Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x + y + z − 1 = 0, đường thẳng (d) : = 1 y − 22 z − 37 =
và mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 − 8x − 6y + 4z + 4 = 0. Một đường thẳng (∆) thay đổi cắt mặt cầu (S) tại 2 2
hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 8. Gọi A0, B0 là hai điểm lần lượt thuộc mặt phẳng (P ) sao cho AA0, BB0 cùng
song song với (d). Giá trị lớn nhất của biểu thức AA0 + BB0 là p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Chuyên đề 6. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN / Trang 59/59 √ √ √ √ 12 + 9 3 16 + 60 3 24 + 18 3 8 + 30 3 A. . B. . C. . D. . 5 9 5 9
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; −2; 1), B(5; 0; −1), C(3; 1; 2) và mặt phẳng (Q) : 3x +
y − z + 3 = 0. Gọi M (a; b; c) là điểm thuộc mặt phẳng (Q) thỏa mãn M A2 + M B2 + 2M C2 nhỏ nhất. Tính tổng a + b + 5c. A. 11. B. 9. C. 15. D. 14.
Câu 11. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm N (0; 3; 0) và mặt cầu (S) tâm I(1; −2; 1) bán kính R = 3, biết
M (x0; y0; z0) ∈ (S) sao cho A = 2x0 − y0 + 2z0 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó độ dài M N là √ √ √ A. 3. B. 3 3. C. 3 2. D. 3.
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; −3) và mặt phẳng (P ) : 2x + 2y − z + 9 = 0. Đường
thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (Q) : 3x + 4y − 4z + 5 = 0 cắt mặt phẳng (P ) tại B. Điểm M nằm trong mặt
phẳng (P ) sao cho M luôn nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông và độ dài M B lớn nhất. Tính độ dài M B. √ √ √ 5 41 √ A. M B = 5. B. M B = . C. M B = . D. M B = 41. 2 2
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 1 − 1), B(−1; 2; 0), C(3; −1; −2). Giả sử M (a; b; c)
thuộc mặt cầu (S) : (x − 1)2 + y2 + (z + 1)2 = 861 sao cho P = 2M A2 − 7M B2 + 4M C2 đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị |a| + |b| + |c| bằng A. 49. B. 51. C. 55. D. 47.
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x+y+z −1 = 0 và hai điểm A(1; −3; 0), B(5; −1; −2).
Điểm M (a; b; c) nằm trên (P ) và |M A − M B| lớn nhất. Giá trị tích a · b · c bằng A. 1. B. 12. C. 24. D. −24.
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(15; −1; 4), B(7; 6; 3), C(6; −3; 6), D(8; 14; −1) và M (a; b; c) thuộc
mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 6z − 11 = 0. Tính giá trị của biểu thức P = a + b + c khi M A2 + M B2 + M C2 + M D2
đạt giá trị nhỏ nhất. A. 9. B. −5. C. 16. D. 2.
Câu 16. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 1), B(3; 0; −1), C(0; 21; −19) và mặt cầu
(S) : (x−1)2 +(y−1)2 +(z−1)2 = 1. Gọi M (a; b; c) là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho biểu thức T = 3M A2 +2M B2 +M C2
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S = a + b + c. 14 12 A. S = 0. B. S = . C. S = 12. D. S = . 5 5 Câu 17. Cho z
1, z2 là hai số phức thỏa mãn hệ thức z − 3 − 4i = 2 và
z1 − z2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 P = z1 − z2 . √ √ A. −10. B. −5. C. −6 − 2 5. D. −4 − 3 5. √
Câu 18. Kí hiệu A là tập hợp các số phức z đồng thời thỏa mãn hai điều kiện |z − 1| =
34 và |z + 1 + mi| = |z + m + 2i|
(trong đó m ∈ R). Gọi z1, z2 là hai số phức thuộc tập hợp A sao cho |z1 − z2| là lớn nhất. Khi đó hãy tính giá trị của |z1 + z2|. √ √ A. |z1 + z2| = 10. B. |z1 + z2| = 2. C. |z1 + z2| = 2. D. |z1 + z2| = 130. √ Câu 19. Giả sử z
1, z2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn iz +
2 − i = 1 và |z1 − z2| = 2. Giá trị lớn nhất của |z1| + |z2| bằng √ √ A. 4. B. 3 2. C. 3. D. 2 3. BẢNG ĐÁP ÁN 1. B 2. D 3. C 4. C 5. A 6. B 7. B 8. C 9. C 10. B 11. C 12. A 13. B 14. C 15. A 16. B 17. A 18. B 19. A p Lớp Toán Thầy Đăng Ô 0377.085.011
Document Outline

  • KHẢO SÁT HÀM SỐ
    • Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên K
      • Ví dụ
      • Bài tập tương tự và phát triển
        • Bảng đáp án
    • Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm hợp
      • Ví dụ
      • Bài tập tương tự và phát triển
        • Bảng đáp án
    • Đơn điệu và cực trị của hàm số hợp
      • Bài tập mẫu
      • Bài tập tương tự và phát triển
        • Bảng đáp án
  • Phương trình mũ và lôgarít
    • Dạng phương trình cô lập tham số
      • Ví dụ
      • Bài tập tương tự và phát triển
        • Bảng đáp án
    • Bài toán sử dụng hàm đặc trưng
      • Ví dụ
      • Bài tập tương tự và phát triển
  • NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
    • Tích phân hàm số cho bởi nhiều công thức
      • Ví dụ
      • Bài tập tương tự và phát triển
        • Bảng đáp án
    • Tích phân kết hợp: Đổi biến & từng phần
      • Ví dụ
      • Bài tập tương tự và phát triển
        • Bảng đáp án
    • Tích phân hàm ẩn
      • Ví dụ
      • Bài tập tương tự và phát triển
        • Bảng đáp án
    • Diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay
      • Ví dụ
      • Bài tập tương tự và phát triển
        • Bảng đáp án
  • SỐ PHỨC
    • Xác định các thuộc tính của số phức
      • Ví dụ
      • Bài tập tương tự và phát triển
    • Cực trị của biểu thức chứa mô-đun số phức
      • Ví dụ
      • Bài tập tương tự và phát triển
        • Bảng đáp án
  • HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
    • Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
      • Ví dụ
      • Bài tập tương tự và phát triển
        • Bảng đáp án
    • Thể tích có chứa dữ liệu góc
      • Ví dụ
      • Bài tập tương tự và phát triển
        • Bảng đáp án
    • Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
      • Ví dụ
      • Bài tập tương tự và phát triển
        • Bảng đáp án
    • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
      • Ví dụ
      • Bài tập tương tự và phát triển
        • Bảng đáp án
    • Góc giữa hai mặt phẳng
      • Ví dụ
      • Bài tập tương tự và phát triển
        • Bảng đáp án
    • Thể tích khối đa diện liên quan góc, khoảng cách
      • Ví dụ
      • Bài tập tương tự và phát triển
        • Bảng đáp án
    • Bài toán cực trị (thực tế) trong nón trụ cầu
      • Ví dụ
      • Bài tập tương tự và phát triển
        • Bảng đáp án
  • PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
    • Phương trình mặt phẳng, đường thẳng
      • Ví dụ
      • Bài tập tương tự và phát triển
        • Bảng đáp án
    • Cực trị hình học Oxyz
      • Ví dụ
      • Bài tập tương tự phát triển
        • Bảng đáp án