18 trang 26 lượt tải

CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ TÍCH PHÂN - CÁC KỸ NĂNG CẦN THIẾT

52

CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ TÍCH PHÂN - CÁC KỸ NĂNG CẦN THIẾT

Môn: Kinh tế lượng (BMA2023) 12 tài liệu

Trường: Trường Đại học Kinh Tế - Luật, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh 1.4 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Linh Đan

1 tháng trước
Tải xuống Chia sẻ Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/18
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIRE
FULL KIẾN THỨC + KỸ NĂNG CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN.
2.
ku
ku
(k là hằng số)
1.
u v – w
u
v
– w
Tính chất của đạo hàm
CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Đạo hàm của hàm số sơ cấp
k
' 0
(k là hằng số)
(x
a
) '
a.x
a– 1
1
'
1
x
=
x
2
x
'
=
1
2 x
sinx
'
cosx
cosx
' –sinx
tan x
'
1
tan
2
x 1
cos
2
x
cot x
'
1'
cot
2
x 1
sin
2
x
e
x
'
e
x
a
x
' a
x
.lna (a là hằng số)
ln | x |
'
1
x
log | x |
'
1
a
x.ln a
u
'
u'v
uv'
1
'
1
3.
u.v
u
v
uv
4.
v
v
2
;
v
v
2
Công thức tính đạo hàm nhanh của hàm hữu tỉ :
Dạng : y =
ax
2
bx c
a' x
2
b' x
c'
y’ =
(ab'
a' b)x
2
2(ac'
a' c)x
(bc'
b' c)
(a' x
2
b' x c')
2
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC - TEAM EMPIRE
3
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾ
N THỨC
Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản
Dạng : y =
ax
2
bx c
dx
e
y’ =
ad.x
2
2ae.x (be dc)
(dx e)
2
Dạng : y =
ax b
cx d
y’ =
ad
cb
(cx d )
2
NGUYÊN HÀM
u là hàm số theo biến
x, tức là
u
u(x)
*Trường hợp đặc biệt
u ax b, a 0
*Nguyên hàm của các hàm số đơn giản
1.
dx x C
du u C
2.
k.dx k.x C
, k là
hằng số
k.du k.u C
3.
1
x
dx
x
C , 1
1
u
du
u
1
C
1
(ax b)
.dx
1
.
(ax b)
1
C
a
1
1
4.
x
dx ln x C
1
du ln u C
u
1 1
ln ax b C
(ax b)
dx
a
1 1
5.
2
dx
x
C
x
1
dx
1
C
u
2
u
1
6.
x
dx 2 x C
1
du 2 u C
u
1
du
1
.2 ax b C
ax b
a
*Nguyên hàm của hàm số mũ
7.
e
x
dx e
x
C
e
u
du e
u
C
e
axb
dx
1
e
axb
C
a
8.
e
x
dx e
x
C
e
u
du e
u
C
9.
a
x
dx
a
x
C, 0 a 1
ln a
u
a
u
du
a
C
ln a
a
mxn
dx
1
.
a
mxn
C, m
0
m ln a
*Nguyên hàm của hàm số lượng giác
10.
cos x.dx sin x
C
cosu.du sin u
C
cos(ax b)dx
1
sin(ax b) C
a
11.
sin x.dx cos x C
sin u.du cos u
C
sin(ax b)dx
1
cos(ax b) C
a
12.
1
dx tan x C
cos
2
x
1
du tan u C
cos
2
u
1
dx
1
tan(ax b) C
cos
2
(ax b)
a
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIRE
2
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
13.
1
dx cot x C
sin
2
x
1
du cot u C
sin
2
u
1
dx
1
cot g(ax b) C
sin
2
(ax b)
a
Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt
*Trường hợp đặc biệt
u ax b
Ví dụ
1
1.
cos kx.dx
k
sin kx C
cos 2x.dx
1
sin 2x C,(k
2)
2
1
2.
sin kx.dx
k
cos kx C
sin 2x.dx
1
cos 2x C
2
3.
e
kx
dx
1
e
kx
C
k
e
2x
dx
1
e
2x
C
2
1 (ax b)
1
4.
(ax b) .dx
a
.
1
C
(2x 1)
2
.dx
1
.
(2x 1)
21
C
1
2x 1)
3
C
2 2 1 6
.(
1 1
ln ax b C
5.
(ax b)
dx
a
1 1
ln 3x 1 C
3x 1
dx
3
1 1
6.
ax b
du
a
.2 ax b C
1 1
.2 3x 5 C
2
3x 5 C
3x 5
du
3 3
7.
e
axb
dx
1
e
axb
C
a
e
2x1
dx
1
e
2x1
C
2
mxn
1 a
mxn
8.
a du
m
.
ln a
C, m 0
5
2x1
dx
1
.
5
2x1
C
2 ln5
1
9.
cos(ax b)dx
a
sin(ax b) C
cos(2x 1)dx
1
sin(2x 1) C
2
1
10.
sin(ax b)dx
a
cos(ax b) C
sin(3x 1)dx
1
cos(3x 1) C
3
1 1
11.
2
dx tan(ax b) C
cos (ax b)
a
1 1
tan(2x 1) C
cos
2
(2x 1)
dx
2
12.
1
dx
1
cot(ax b) C
sin
2
(ax b)
a
1
dx
1
cot(3x 1) C
sin
2
(3x 1)
3
*Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc
tính bằng phương pháp đổi biến số đặt u ax b du .?.dx dx .?.du
HÀNG LOẠT DẠNG ĐẶC BIỆT CÁC EM NHỚ ĐƯỢC THÌ TUYỆT VỜI ÔNG MẶT
TRỜI
1.
udv
uv
vdu
1
2.
u
du
u
C, 1
1
3.
du
ln u
C
u
4.
e
u
du e
u
C
u
a
u
5.
a du
ln a
C
6.
sin udu cos u C
7.
cos udu
sin u
C
8.
tan udu
ln cos u
C
9.
cot udu
ln cos u
C
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC - TEAM EMPIRE
3
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾ
N THỨC
a
2
u
2
a bu
3
a bu
a
bu
u
u
u
a
2
10.
du
arcsin
u
C
11.
du
1
arctan
u
C
12.
du
1 ln
u
a
C
a
a
2
u
2
a a
a
2
u
2
2a u
a
13.
du 1
2 2
ln
u a
C
14.
u
2
a
2
du
u
u
2
a
2
a
2
ln
u
u
2
a
2
C
u a 2a u a
2 2
15.
u
2
a
2
du
u
u
2
a
2
a ln
a
u
2
a
2
C
u
16.
u
2
a
2
du u
2
a
2
2
a ln a
u
2
a
2
C
17.
du
ln
u
u
2
a
2
C
u u
du 1 u
2
a
2
a
u
2
a
2
18.
ln C
u u
2
a
2
a u
19.
u
2
du
u
u
2
a
2
a
2
ln
u
u
2
a
2
C
20.
du
u
2
a
2
C
u
2
a
2
2 2
2
u
2
a
2
a
2
u
du u
2 2
u
2 2
a
2
u
21.
u
2
a
2
3
a
2
C
u
2
a
2
22.
a
u du
2
a u
arcsin
C
2 a
23.
u
2
du u
2 2
a
2
u
u a
4
u
24.
a
2
u
2
2
a u
arcsin
C
2 a
u
2
a
2
u
2
du
2u
2
a
2
a
2
u
2
arcsin C
8 8 a
du 1 a
a
2
u
2
26.
du
1
a
2
u
2
C
25.
u a
2
u
2
ln C
a u
2
a
2
u
2
a
2
u
2 2
u
2 2
a
2
2 2
u
2
a
2
a
27.
u a du
u a ln u u a C
28.
du
u
2
a
2
a cos
C
2 2
u
u
2
a
2
u
2
a
2
2
2
30.
du
ln u
u
2
a
2
C
29.
u
2
du
ln u
u
u a C
u
2
a
2
u
2
du u
2 2
a
2
2 2
du u
2
a
2
31.
u
2
a
2
2
u a
ln y
2
u a C
31.
2 2 2
C
a
2
u
u u a
du u udu 1
32.
2 2
34.
u
2
a
2
a
2
C
u
2
a
2
33.
a
bu
b
2
a
bu
a ln a
bu
C
35.
du
1
ln
a bu
C
u
2
du
1
2
2
a
a
bu
a u
a bu 2b
3
a bu
4a
a bu
2a ln a bu
C
36.
du
1
b
ln
a bu
C
37.
udu
a
1
ln a bu C
u
2
a bu
au a
2
u
a bu
2
b
2
a bu
b
2
du
1
1
ln
a bu
C
u
2
du 1
a
2
38.
u
a bu
2
a
a
bu
a
2
u
39.
a
bu
2
b
3
a bu
a bu
2a ln a bu
40.
u a budu
15b
2
bu 2a
C
41.
udu
2
bu
2a
C
3b
2
42.
u
2
du
2
15b
2
3b
2
u
2
4abu
C
43.
sin
2
udu
1
u
sin 2u
C
2
a bu
a bu
u
3
8a
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIRE
2
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
A. Phương pháp biến đổi số thuận t v
x
Tính tích phân
I
f xdx
g
v x
v
'
xdx
b
b
a a
Bước 1: Đặt
t
v
x
,
v
x
có đạo hàm liên tục và đổi cận
44.
cos
2
udu
1
u sin 2u
C
2
45.
tan
2
udu tan u u C
46.
cot
2
udu
cot u
u
C
47.
sin
3
udu
1
2 sin
2
u
cos u C
3
48.
cos
3
udu
1
2 cos
2
u
sin u C
3
49.
tan
3
udu
1
tan
2
u ln cos u C
2
50.
cot
3
udu
1
cot
2
u
ln sin u
C
2
n
1
n1
n 1
n2
51.
sin udu
n
sin u cos u
n
sin udu
n
1
n1
n 1
n2
52.
cos udu
n
cos u.sin u
n
cos udu
53.
tan
n
udu
1
tan
n
1
u
tan
n
2
udu
n
1
Cụ thể với n lẻ thì tách, còn n chẵn thì hạ bậc
n
1
n1 n2
sin
a b
u sin
a b
u
55.
sin au.sin budu
2
a b
2
a b
C
54.
cot udu
n
1
cot u
cot udu
56.
sin au.cos budu
cos
a b
u
cos
a b
u
C
2
a
b
2
a
b
57.
u sin udu
sin u
u cos u
C
58.
u cos udu cos u u sin u C
59.
u
n
sin udu u
n
cos u n
u
n
1
cos udu C
60.
u
n
cos udu
u
n
sin u
n
u
n
1
sin udu
61.
a.sin ax b.cosax
e
bx
cos ax.e
bx
dx
C
a
2
b
2
bsin au a cosau
e
bu
62.
sin au.e
bu
du C
a
2
b
2
63.
ln
au
du
u ln
au
u
C
ln
au
du
1
2
65.
ln
au b
du
u
b
ln
au b
u C, a 0
a
64.
u
2
ln
au
C
66.
ln
u
2
a
2
du u ln
u
2
a
2
2a.arctan
u
2u C
a
67.
ln
u
2
a
2
du
u ln
u
2
a
2
a.ln
u a
2u
C
u
a
68.
bu 1
2
1
2
b
2
u ln
au b
du
2a
4
u
2
u
a
2
ln
au b
C
69.
e
au
du
1
e
au
C
a
70.
ue
u
du
u 1
e
u
C
au
u 1
au
71.
u.e du
a
a
2
e C
n au
u
n
e
au
n
n1 au
72.
u .e du
a
a
u .e du
C
73.
u.e
au
2
du
1
e
au
2
C
2a
I - PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC - TEAM EMPIRE
3
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾ
N THỨC
dx
2
sin ax b
1
u cot ax b du
dx
đặt
2
sin ax b
1
I f cot ax b
b b b
Bước 2: Biểu thị f
x
dx theo t và dt: f
x
dx g
t
dt
v
b
Bước 3: Tính
I
v
a
g
t
dt
Nếu phân tích được như trên ta áp dụng trực tiếp
I
f xdx
g
v x
v
'
xdx
g
vx
d(vx)
a a a
B. Phương pháp biến đổi số nghịch x u
t
Bước 1: Đặt x u t , t
;
sao cho u t có đạo hàm liên tục trên đoạn
;
, f
u t
được xác định trên đoạn
;
và u
a;u
b
Bước 2: Biểu thị
f
x
dx
theo t và dt:
f
x
dx
g
t
dt
Bước 3: Tính I
g
t
dt
C. Phương pháp biến đổi số
u
x
g
x,t
1 1
Dạng 1:
I
f
ln x
x
dx
đặt u ln x du
x
dx
1 1 1
Dạng 2:
I
f
ln
ln x
x ln x
dx
đặt u ln x du dx hoặc u ln
ln x
du dx
x x ln x
Dạng 3:
I
f
e
x
e
x
dx
đặt
u
e
x
du
e
x
dx
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng a.e
x
b ta có thể giải theo hướng đặt
t a.e
x
b
Dạng 4:
Dạng 5:
b
I
f
sin x
.cos xdx
a
đặt
u sin x du cos xdx
a.sin 2x b.sinx
Để tính tích phân dạng
c
d.cosx
dx
ta đổi biến bằng cách đặt t
c
d.cosx
Dạng 6:
Dạng 7:
I
f
tan
ax b
1
cos
2
ax b
dx đặt u tan
ax b
du
1
cos
2
ax b
dx
1
Hoặc: I
f
tan ax b
1 tan
2
ax b
dx đặt u tan
ax b
du
cos
2
ax b
dx
Dạng 8:
Hoặc: I
f
cot
ax
b
1
cot
2
ax
b
dx
đặt
u cot
ax b
du
1
sin
2
ax b
dx
du sin 2xdx
du sin 2xdx
2
cos x
sin
2
x
I
f
cos x
.sin x dx đặt u cos x du sin dx
sin 2xdx
cos x
2
sin
2
x
f
đặt u
b
a
I
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIRE
2
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
b
b
t
;
khi đó
dx
a
costdt
và
2
2
b
a
2
b
2
x
2
a cos t
hoặc
t
a
2
b
2
x
2
- Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng: b
2
x a
2
hay
1
b
2
x a
2
ta đặt: x
a
b sin t
- Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng:
x
a bx
ta đặt: x
a
sin
2
t
ta đặt:
x
a
sin t
với
1
a
2
b
2
x
- Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng:
a
2
b
2
x
hay
a
2
u
2
x
1
dx
,
a
0
hoặc:
I
Tương tự: Đặt
u
x
a sin t
Dạng 11 : Môt số dạng khác:
a
2
u
2
x
dx
,
a
0
Tính I
Đặt x a sin t dx a cos t , với t
2
;
2
(Biến đổi để đưa căn bậc hai về dạng A
2
tức là a
2
a
2
sin
2
x a
2
cos x a cos x
Đổi cận:
x
x
t
'
;
2
2
t
;
'
2
.
2
Chú ý: vì t ; , ; cost 0
'
'
2 2
2 2
I
a
2
x
2
.dx I
a
2
a
2
sin
2
t.a costdt a
2
cos
2
tdt
'
'
'
'
Đến đây ta hạ bậc tính bình thường
Hoặc: I
1
'
a cos t
'
a x
2
dx
2
'
a a sin t
2 2 2
dt
dt
'
TỔNG QUÁT:
Dạng 9:
I
f
sin x cos x

sin x cos x
dx
đặt
u
sin x
cos x
du
sin x
cos x
dx
Dạng 10:
1
Hoặc:
I
.dx
a
2
x
2
,
a 0
Dạng 12:
Đặt
x a tan t
Tính I
a
2
x
2
.dx ,
a 0
I
a
2
x
2
.dx
,
a
0
hoặc
I
1
dx
a
2
x
2
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC - TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾ
N THỨC
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
3 x
1 x
Dạng 13:
1
3 x
Ví dụ : Tính tích phân sau: I
0
1
x
dx
.
Giải:
2
x 3 4 8tdt
Đặt
t
t
x
1
x
1
dx
t
2
1 (t
2
1)
2
u
3
3
Đặt x
2
a
2
t
0
t
2
a
2
dx
t
2
a
2
a 3
a 3
0
t
2
a
2
t
2
dt
a 3
t
2
a
2
a
2
dt
a 3
I
0
tdt
t
2
a
2
dx
8t
2
dt
x
x
2
a
2
a
2
dt
0
t
2
a
2
Dạng 15 :
có thể đặt x tan t với t
;
a
b
u
a
2 2
b x
2
n
1
với n =1;2;3; …thì ta
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng
f x
4
1
Đặt t tan u, u
;
dt (tan u 1)du
2
Đổi cận:
t 1
3
t
3
3
x 0
x
1
t
3
t 1
Khi đó:
I
(t
2
1)
2
8
(t
2
1)
2
.
1
dx
dt
xdx
x
2
a
2
dt
tdt
đặt u x
n
1
du
n 1
x
n
dx
t
2
dt
3
4
4
4u
2sin 2u
3
2
.
4
2
2a
3
Dạng 16: Tính tích phân: I
f
x
n
1
x
n
dx
2 2
Đổi cận:
Chú ý:
Phân tích
I
1 x
dx
, rồi đặt
t
1
x
sẽ tính nhanh hơn.
1
3
x
0
Dạng 14:
I
x a
b x
dx
Ví dụ: Tính tích phân sau: I
x
2
a
2
.dx ,
a 0
a
2
(tan u
1)
2 2
tan u
1
4
3
8
sin udu
4
(1
cos 2u)du
2
3
tan
2
udu
8
2
4
3
tan
2
u
tan
2
u
1
du
I
8
I
a x
a x
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIRE
8
- Thực chất cũng là phương pháp biến đổi số nhưng ta tách một cách khôn khéo đế đặt
- Thông thường có một số dạng sau đây:
a. I
f
x
n
1
x
n
dx đặt t x
n
1
dt n 1x
n
dx
1
Ví dụ 1: (ĐH Kiến Trúc – 1997) Tính tích phân sau:
I
x 1
x dx
0
HD:
5
3
6
1
168
Đặt:
t
1
x
dt
3x dx
dx
3
2
dt
3x
2
I
1
1
1
1
1
t
7
3
0
t
6
1
t
dt
3
0
t
t dt
6 7
3
7 8
168
t
8
1
1
Ví dụ 2: (ĐH TK2 - A2003) Tính tích phân:
I
x
3
1
x
2
dx
0
Cách 1: Đặt
t
1
x
2
I
t
2
(1
t
2
)dt
t
3
1
1 1
1
0
3 5
t
5
0
2
15
Cách 2: Đặt t 1 x
2
Cách 3: Đặt
t
x
2
Cách 4: Đặt
x
cost
I
sin
2
t cos
3
tdt
2
0
1
Cách 4.1. Đặt sin t u costdt du I
u
2
(1 u
2
)du
0
Cách 4.2. I
sin
2
t(1 sin
2
t)d (sint) .
0
2
9
KĨ THUẬT NHÂN
KĨ THUẬT TÁCH THÀNH TÍCH
Dạng 17:
Dạng 18:
1
2
2
1
2
1
cos 4t 1
2
1
2
Cách 4.3.
I
4
sin 2t costdt
4
2
cos tdt
8
cos tdt
8
cos 4t costdt
0 0 0 0
1
1
1
1
3
1
1
Cách 5: I
(1 x
2
1) 1 x
2
d(1 x
2
)
2
0
(1 x
2
)
2
d(1 x
2
)
2
0
1
x
2
d (1
x
2
)
0
Tính tích phân:
I
f
ax
b
dx
đặt
u
ax
b
du
adx
2 x
x
Tính tích phân : I
f
x
1
dx đặt u x du
1
dx
2
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC - TEAM EMPIRE
11
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾ
N THỨC
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
x 1 x
3
1
Ví dụ 2: Tính tích phân sau:
I
x
3
0
x
x 1
dx
2
Đổi cận:
x
2
x 1
t 2
t 3
Khi đó:
2
I
dx
1
x 1 x
1
x
3
2
3
x
2
dx
1 x
2
3
dt
1
3
1 1
3
3 t 1 3 t 1 t 1
2
2
2
dt
1
ln t 1 ln t 1
3
3
2
1
ln
t 1
3
1
ln
1
ln
2 1
1
ln
2 1
1
ln
1
3
t 1
2
3
2
2 1
3
2
2
1
3
2
1
2
Giải:
1
I
x
3
dx
0
x x
2
1
1
x
3
x
2
1
x
1
x
3
x
2
1
x
1
0 x
2
1
x x
2
1
x

dx
dx x x 1 x dx
0
x
2
1 x
2
3 2
4
0
x
3
x
2
1dx
x
4
dx
x
2
x
2
1.xdx
1 1
1
0
0
0
x
5
1
5 0
1
x
2
x
2
1.xdx
0
––_––,
J
1
5
Đặt:
t
x
2
1
dt
2xdx
Đổi cận:
x
1
2
x 0
t 1
t
Khi đó:
J
t 1
1
5
2
t. dt
t
2
t
2
dt
t
2
dt
t
2
dt
1
1
2
3
1
1
2 3
1
2 1
1
5
2
2
3
2
2
2
1
2
1
2
1
5 1 3 1
t
2
t
2
3
2
2
1
2
2
1
4 2
2 2
2
2 2
2
5 5 3 3 5
3 15 15 15
2
Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I
dx
1
x 1 x
3
Giải:
2
dx
Ta có:
2
x
2
dx
1 1
Đặt:
t
t
2
1
x
3
2tdt
3x
2
dx
x
2
dx
2tdt
3
KĨ THUẬT CHIA
- Thực chất cũng là phương pháp biến đổi số hay phương pháp phân tích:
x
3
1
x
3
1 x
3
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIRE
10
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
1
Ví dụ : Tính tích phân sau:
I
1
x
8
dx
x
3
0
4
0
5
0
0 0 1
x
0 0 1
x
0 0
4
KĨ THUẬT BIẾN ĐỔI TỬ SỐ CHỨA ĐẠO HÀM Ở MẪU SỐ
1

1
1
1
- Một số dạng:
I
f
x
x

1
∓
x
2
dx
đặt
t
x
x
dt
1
∓
x
2
dx

1 5
2
Ví dụ: (ĐHTN – 2001) Tính tích phân sau:
I
1
x
4
x
2
1
dx
4
x
2
1
Giải:
1 5 1 5
1
1
1 5
1
1
2
x
2
1
2
2
2
x
2
Ta có:
dx
x
dx
dx
x
4
x
2
1
1
x
2
1
1
2
1 1 1
x
2
x
1
1
1
Đặt:
t
x
x
dt
1
x
2
dx
x 1
t 0
Đổi cận:
1
x
2
1
dt
t
1
Khi đó: I
1
t
2
Đặt: t tan u dt
1 tan
2
u
du
t
0
u
0
Đổi cận:
t 1
u
4
1
dt
4
1
tan
2
u
4
Khi đó: I
1 t
2
1 tan
2
u
du
du u
4
.
4
0 0 0
0
Giải:
1
x
3
1
x
3
Ta có:
1
x
8
dx
2
dx
4 3
1
2
Đặt: x
tan t x dx
1 tan
t
dt
với
t
;
.
x 0
4
t
0
2 2
Đổi cận:
x
1
t
4
1
x
3
1
x
3
1
4
1 tan
2
t
1
4
1
Khi đó:
I
1
x
8
dx
4
2
dx
4
1
tan
2
t
dt
4
dt
4
t
16
.
x
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC - TEAM EMPIRE
11
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾ
N THỨC
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I
0
2
dx
sin x
cosx
sin x
HD:
Phân tích: I
1
7x
1
99
dx
0
2x 1
1
7x 1
100
1
2
d
9
0
2x
1
2x
1
1
1
7x
1
99
7x
1
1
sin
t
9 100
2x
1
0 900
2
100
1
1
Giải:
Đặt:
x
t
dx
dt
. Đổi cận:
x
0
t
2
x
2
t
0
2
Khi đó:
I
0
2
cost
cost
2
dx
2
2
2
sin
t
cos
t
dt
2
0
101
dt
0
cos x
cos x
sin x
dx
2
2
sin t
Vậy I I 2I
0
Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I
sin
3
x cos
3
x
dx
2x 1
cos x
cos x
dx dx
0
2
x
2
0
I
2
4
sin x
sin x
sin
3
x
0
KĨ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN LIÊN KẾT
Ví dụ: Tính tích phân sau:
I
0
1
7x 1
99
2x 1
KĨ THUẬT CHỒNG NHỊ THỨC
Giải:
x 0
t
Đăt x t dx dt . Đổi cận:
2
2 x
Khi đó:
2
t 0
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIRE
14
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
sin
3
t
0
2
2
cos
3
t
2
cos
3
x
I
dt
cos
3
t
sin
3
t
dt
cos
3
x
sin
3
x
dx
sin
3
t
cos
3
t
0 0
2
2
2
Nếu hàm số
T
f
x
liên tục,xác định , tuần hoàn trên
R
và có chu kì
T
, thì ta luôn có :
T
2
f
x
dx
f
x
dx
0
T
2
II-TÍCH PHẦN HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI, MAX – MIN
2.
Chứng minh rằng nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn a,a thì :
I
f xdx 0
a
3.
Cho a 0 và f x là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R .
Ta có :
e
1
x
0
1
1
2e
0
0
f x
a
1.Ta luôn có :
x
m
1 x
n
dx
x
n
1 x
m
dx
2
a 1
2
5.Cho hàm số f x liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T .
4.Cho hàm số f x liên tục trên 0,1. Ta luôn có :
a
Ta luôn có : f xdx
f xdx
x. f sin xdx
2
f sin xdx
dx
f x dx
0 0

T
aT
MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ
0
0
0
2
2
sin
3
x cos
3
x
Vậy I I 2I
sin
3
x cos
3
x
dx
dx x
2
2
I
4
1
0
0
e
x
1
e
x
Ví dụ 3: Tính tích phân sau:
I
e
x
e
x
dx
và
J
e
x
e
x
dx
0
ln e
x
e
x
ln
e
e
1
ln 2
ln
và J
1 ln
2e
2
e
2
1
1
Từ đó suy ra: I
1 ln
e
2
1
2e
0
1
e
x
e
x
dx
0
e
x
e
x
1
1
d
e
x
e
x
1
e
x
e
x
I
J
0
Giải:
1
Ta có
I
J
dx
1
0
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC - TEAM EMPIRE
13
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾ
N THỨC
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
t
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIRE
b
Muốn tính I
a
b
f xdx
ta đi xét dấu
f
x
trên đoạn
a,b
, khử trị tuyệt đối
Muốn tính
I
max
f
x
,
g
x
dx
a
b
ta đi xét dấu
f x gx trên đoạn a,b
Muốn tính I
minf x, gxdx ta đi xét dấu
a
f
x
g
x
trên đoạn
a,b
Hoặc ta đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài ( áp dụng cho từng khoảng nghiệm)
IV- NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ VÔ TỈ
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel
Dạng 1:
R
x, ax
2
bx
c
dx
ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ.
a 0
2ax
b
2
ax
2
bx
c
1
0
4a
R
x,
ax
2
bx
c
dx
S
t,
t
2axb

1
t
2
dt
Tới đây , đặt
t
tan u
.
a
0
2ax
b
2
Dạng 2:
ax
2
bx
c
1
0
4a
Rx,
ax
2
bx c dx
S
t,
t
2axb

1t
2
dt Tới đây , đặt t sin u .
a 0
2ax
b
2
Dạng 3:
0
ax
2
bx
c
4a
1
R
x,
ax
2
bx
c
dx
S
t,
t
2axb
t
2
1 dt
Tới đây, đặt
t
1
.
sin u
Dạng 4 (dạng đặc biệt) :
x
dx
ax
2
bx
c
t
1
x
dt
t
2
t
Một số cách đặt thường gặp :
S
x,
S
x,
a
2
x
2
dx
a
2
x
2
dx
đặt
đặt
x a.cos t
x
a.tan t
0 t
t
S
x,
x
2
a
2
dx
đặt
x
a
cost
2 2
k
2
xt
; c 0
S
x,
ax
2
bx
c
dx
đặt
t
x
x
0
;
ax
0
bx
0
c
0
a.x t
; a 0
ax
2
bx c
ax
2
bx c
c
ax
2
bx
c
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIRE
16
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
15
Câu 1: Một nguyên hàm
(x
2)sin 3xdx
bằng
(x a) cos 3x 1
b
sin 3x
2017
thì tổng S= ab +c
c
A. S = 14 B. S = 15 C. S = 3 D.S = 10.
V-TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Cho hai hàm số
u
và
v
có đạo hàm liên tục trên đoạn
a, b
, thì ta có :
b
udv
uv
vdu
b
a
a
b
a
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt
u
ln x
hay
u
log
a
x
.
*ưu tiên 2 : Đặt
u
??
mà có thể hạ bậc.
* - KỸ THUẬT TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN THEO SƠ ĐỒ.
Giải
Sơ đồ giải
NHẤT LỐC, NHÌ ĐA, TAM LƯỢNG, TỨ MŨ".
Nhớ “
ax b
S
x,
m
cx
d
đặt
t
; ad cb 0
Đạo hàm
Nguyên hàm
x-2
(+)
sin3x
1
(-)
cos3x
3
0
sin 3x
9
ax
b
m
cx
d
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC - TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾ
N THỨC
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
D. a + b = 4c.
C. a + b = c.
khẳng định nào sau đây đúng.
A. a + b = 2c. B. a + b = 3c.
b
2 b
a
a
15
dx ln c, Với a,b,c N * và là phân số tối giản,
4 x
4 x
1
Câu 3 : Biết I = I x.ln
0
n 2
Câu 2 : Biết
x
2
e
x
dx (x
2
mx n)e
x
C. Giá trị mn là
A.6 B.4 C.0
D.-4
Theo sơ đồ ta có
a 2
I (x 2)
cos3x
sin 3x
C
3 S ab c 15(B)
3 9
c
9
Giải
Ta có sơ đồ
Đạo hàm
Nguyên Hàm
x
2
(+)
2x (-)
2 (+)
0
e
x
e
x
e
x
e
x
Vây
I
x
2
e
x
2xe
x
2e
x
C
(x
2
2x
2)e
x
(x
2
mx
n)e
x
C
m 2
mn 4(D)
Giải
Ta có sơ đồ
Đạo hàm
Nguyên Hàm
ln
4 x
(+)
4
x
8
x
2
16
( - )
x
x
2
16
2
( kỹ thuật thêm bớt trong từng
phần)
x
2
16 4 x
1
15 3
a 3
Vậy ta có I
2
ln
4 x
4x
0
2
ln
5
4
b 5 a b 2c (C)
c
4
Với hàm logarit ta đạo hàm đến khi nào mà tích của cột trái và cột phải tính được nguyên
hàm thì dừng.
2
Câu 4 : Biết I
(x
2
x) ln xdx ln 2 với a,b, cZ
*
và tối giản. Tính S = ab + c
a
b
b
1
3
A.806.
B.559.
c
C.1445.
c
C.1994
b
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIRE
16
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
17
a be
c
2x
2
Câu 5: Cho
I
e .sin 3xdx
Ta có I
3
2
ln x
9
4
1
3
ln 2
36
b 55 S ab c 806 ( A)
x
3
x
2
x
3
x
2
2
14
55
a
14
c
36
Giải .
Ta có sơ đồ
Vậy
I
2
sin 3x
e
2 x
3e
2 x
3
cos3x
2
4
e
9
2
2x
0
.sin 3xdx
0
––_––,
I
I
13
2
4
e
2x
sin 3x
3e
2 x
4
cos3x
2
0
3 2e
13
a
3
b 2 (A)
c 13
Với dạng bài có hai hàm tuần hoàn, ta đạo hàm ( hoặc nguyên hàm) đến khi nào hàm
lượng giác quay về ban đầu thì dừng
VI - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Chọn đáp án đúng
0
A.
c
a
b
8
B.
c
a
b
9
C.
c
a
b
12
D.
c
a
b
7
.
Giải.
Ta có sơ đồ
Đạo hàm
Nguyên Hàm
lnx (+)
1
x
(-)
x
2
x
x
3
x
2
3 2
Đạo hàm
Nguyên Hàm
sin 3x
(+)
3cos 3x ( - )
9sin 3x
(+)
e
2 x
e
2 x
2
e
2 x
4
a. Công thức tính diện tích :
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC - TEAM EMPIRE
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾ
N THỨC
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
a
b. Công thức tính thể tích :
Cho hàm số
y
f (x)
liên tục trên đoạn
a;b
. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y f (x) , trục Ox ( y 0 ) và hai đường thẳng x a , x b quay xung quanh trục Ox
tạo thành một khối tròn xoay có thể tích là: V
f (x)
2
dx .
a
c. Thể tích vật thể.
d. Bài toán vật lí.
e. Tính tổng.
f. Tính độ dài dây cung.
b
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIRE
Cho hàm số
y f (x)
liên tục trên đoạn
a;b
. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hàm số y f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b là:
b
S
a
f (x) dx .
Cho hai hàm số y f (x) và y g(x) liên tục trên đoạn
a;b
. Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f (x) , y g(x) và hai đường thẳng x a , x b là:
b
S
f (x) g(x) dx .

Tài liệu khác của Trường Đại học Kinh Tế - Luật, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

Preview text:

LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIRE
NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
FULL KIẾN THỨC + KỸ NĂNG CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN.
CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Đạo hàm của hàm số sơ cấp
Đạo hàm của hàm hợp u = u(x)
k'  0 (k là hằng số)
kx'  k (k là hằng số) (xa ) '  a.xa– 1 (ua ) '  a.ua– 1.u '  1 ' 1  1 ' u'   =      x x2 u 2 u      x' = 1   u'  u' 2 x 2 u sinx'  cosx sinu'  u '.cosu cosx'  –sinx cosu'  – u'sin u  u '
tan x '  1  tan2 x 1 tan u '   u 'tan2 u 1 cos2 x cos2 u cot x' 1'    cot2 x 1
cot u'   u '  u 'cot2 u 1 sin2 x sin2 u ex '  ex eu'  u'.eu
ax ' ax.lna (a là hằng số)
au ' u’au.lna (a là hằng số)  1 u ' ln | x |'  ln | u |'  x u log | x |' 1 u '  log | u |'  a x.ln a a u.ln a
Tính chất của đạo hàm
1. u v – w  u  v – w
2. ku  ku (k là hằng số)   u '
u'v uv'  1 ' 1
3. u.v  uv uv 4.    ;     v v2 v v2    
 Công thức tính đạo hàm nhanh của hàm hữu tỉ :
ax2  bx c  Dạng : y =
 y’ = (ab'a' b)x2  2(ac'a' c)x  (bc'b' c)
a' x2  b' x c'
(a' x2  b' x c')2
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC - TEAM EMPIRE
 Dạng : y = ax2  bx c
 y’ = ad.x2  2ae.x  (be dc) dx e (dx e)2
 Dạng : y = ax b
 y’ = ad cb cx d (cx d)2 NGUYÊN HÀM
Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản
u là hàm số theo biến
*Trường hợp đặc biệt
x, tức là u u(x)
u ax b,a  0
*Nguyên hàm của các hàm số đơn giản
1. dx x C
du u C
2. k.dx k.x C , k là
k.du k.u C hằng số 3.  1
udu u1 C
(axb).dx  1.(axb)1 C
xdx xC ,  1  1 a  1  1 1
4. dx  ln x C  1
1 ln axb C x
 1 du  ln u C u dx  (ax b) a 1 1 1
5.  2 dx   C
dx   1  C x x u2 u 1 6.
dx  2 x C x
 1 du  2 u C
 1 du  1.2 axb C u ax b a
*Nguyên hàm của hàm số mũ
7. exdx ex C
eudu eu C
eaxbdx  1 eaxb C a
8. exdx  ex C
eudu  eu C 9. u
audu a C
amxndx  1 .amxn C,m  0
axdx ax C,0  a 1 ln a m ln a ln a
*Nguyên hàm của hàm số lượng giác
10. cos x.dx  sin x C
cosu.du  sinu C
cos(ax b)dx  1 sin(ax b)C a 11.
sinu.du  cosu C sin(axb)dx   1 cos(axb)C
sin x.dx  cos x C a 12.
 1 du  tanu C  1
dx  1 tan(ax b)  C
 1 dx  tan xC cos2 u cos2(ax b) a cos2 x
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾ N THỨC 3
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIRE 13.
 1 du  cotu C  1
dx   1 cot g(ax b)  C
 1 dx  cot x C sin2 u sin2(ax b) a sin2 x
Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt
*Trường hợp đặc biệt u ax b Ví dụ 1
1. coskx.dx  sin kx C k
cos2x.dx  1sin2x C,(k  2) 2 1
2. sinkx.dx   coskx C k
sin2x.dx   1 cos2x C 2
3. ekxdx  1 ekx C
e2xdx  1 e2x C k 2 
1 (ax b)1 1
4. (ax b) .dx  .  C
(2x 1)2.dx  1.(2x 1)21 C  2x 1)3 C a  1 .( 1 1 2 2 1 6
ln ax b C 5. dx   1 1 ln 3x1 C (ax b) a dx  3x 1 3 1 1 2 6.
du  .2 ax b C  1
1.2 3x5 C  3x5 C ax b a du  3x  5 3 3
7. eaxbdx  1 eaxb C
e2x1dx  1e2x1C a 2 mxn 1 amxn 8. a du  .  C, m  0 m ln a
52x1dx  1.52x1 C 2 ln5 1
9. cos(ax b)dx  sin(ax b)  C a
cos(2x 1)dx  1 sin(2x 1) C 2 1
10. sin(ax b)dx   cos(ax b) C a
sin(3x 1)dx  1cos(3x 1)C 3 1 1 11.   1
1 tan(2x1)C 2
dx  tan(ax b)  C cos (ax b) a dx  cos2(2x 1) 2 12.  1
dx  1 cot(3x 1)  C  1
dx   1 cot(ax b)  C sin2(3x 1) 3 sin2(ax b) a
*Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc
tính bằng phương pháp đổi biến số đặt u ax b du  .?.dx dx  .?.du
HÀNG LOẠT DẠNG ĐẶC BIỆT CÁC EM NHỚ ĐƯỢC THÌ TUYỆT VỜI ÔNG MẶT TRỜI1
1. udv  uv   vdu
2.  udu  u  C,   1
3.  du  ln u  C  1 u 4. eudu  eu  C u au 5. a du   C
6. sin udu  cos u  C ln a
7. cosudu  sin u  C
8.  tan udu  ln cosu C
9.  cot udu  ln cosu  C 2
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
du LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC du- TEA1M EMPIRE 10.  arcsin u  C 11.  arctan u  C 12. du  1 ln u a C   a2  u2 a a2  u2 a a  a2 u2 2a ua 13.  du 1  ln u  a  C
14.  u2  a2du  u u2  a2  a2 lnu  u2  a2  C 2 2 u  a 2a u  a 2 2 16.
15.  u2  a2 du  u
u2  a2  a ln a  u2  a2  C u u2  a2 du u2  a2     a ln a  u2  a2  C 2 17. u u
 du  lnu  u2  a2  C  du 1 u2  a2  a u2  a2 18.   ln  C u u2  a2 a u u a2 19.  u2du 
u2  a2  lnu  u2  a2  C 20. du   u2  a2 C  u2  a2 2 2  u2 u2 a2 a2u du u 2 2 u 2 2 a2 u  C 21.   a  u  arcsin  C u2 a23 a2 u2  a2
22.  a  u du  2 2 a 23. u2du u 2 2 a2 u u a4 u 24.    a2  u2 2 a  u  2 arcsin  a C
u2 a2  u2du  2u2 a2 a2 u2  arcsin C 8 8 a 1 du 1 a  a2  u2 26. du   a2  u2  C 25.    ln  C  a u u u a2  u2 2 a2  u2 a2u 2 2 u 2 2 a2 2 2 u2  a2 a 27.  u  a du  u  a  ln u  u  a  C 28.  du  u2  a2  a cos  C 2 2 u u du u2  a2  u2  a2 2 2 30.  ln u  u2  a2  C 29.  du   ln u   u2 u  a  C u u2  a2 u2du u 2 2 a2 2 2 du u2  a2 31.   u2  a2 2 u  a  ln y  2 u  a  C 31.    a2u C 2 2 2 u u  a du u udu 1 32.     C   33.  
a  bu  a ln a  bu   C u2  a2  u2  a2 a2 u2  a2 a  bu b2 34. 35. 1  2 a a  bu a u 2   du  1 ln a  bu C u2du  
a  bu  4aa  bu  2a ln a  bu a  bu 2b3    C b a 36. du   1  ln a  bu  C 37. udu   1 ln a  bu  C   u2 a  bu au a2 u
a  bu2 b2 a  bu b2  du  1  1 ln a  bu  C 39.  u2du 1  a2  38.    2a ln a  bu  ua  bu2 aa  bu a2 u
a  bu2 b3 a  bu  a  bu 2 40. u a  budu 
bu  2a a  bu3  C 2 41. bu  2a a  bu C 15b2  udu  a  bu 3b2 1 42.  u2du  2 2 8a  3 3b2u2   4abu  C 43. a  bu
sin2 udu  u sin2u C a  bu 15b 2
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾ N THỨC 3
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIRE 44. cos 1
2 udu  u  sin 2u  C
45.  tan2 udu  tan u  u  C 2
46. cot2 udu  cot u  u  C
47. sin3 udu   12 sin2 ucosu  C 3 48. cos 1 1
3 udu  2  cos2 usin u  C
49.  tan3 udu  tan2 u  ln cosu  C 3 2 n 1 n1 n 1 n2 50. cot 1
3 udu   cot2 u  ln sin u  C 2
51. sin udu   sin ucosu  sin udu n n n 1 n1 n 1 n2
52. cos udu  cos u.sin u  cos udu
53.  tann udu  1 tann1 u   tann2 udu n n n 1
Cụ thể với n lẻ thì tách, còn n chẵn thì hạ bậc n 1 n1 n2
sin a  bu sin a  bu 54. cot udu  cot u  cot udu
55. sin au.sin budu  n 1
2a  b  2a  b  C
cosa  b u cosa  b u
56. sin au.cosbudu     C
57. usin udu  sin u  ucosu  C 2a  b 2a  b
58. u cosudu  cosu  usin u  C
59.  un sin udu  un cosu  n un1 cosudu  C
60. un cosudu  un sin u  nun1 sin udu 61.  a.sin ax  b.cosaxebx cos ax.ebxdx   C a2  b2 bsin au  a cosauebu 62. sin au.ebudu   C
63. lnaudu  ulnauu  C a2  b2 ln audu 1 2 65. 64.  lnau  C
lnau  bdu  u  b lnau  bu C,a  0   u 2 a   
66. lnu2  a2du  ulnu2 a2  2a.arctan u 2u C 67. a
lnu2 a2du ulnu2 a2a.ln ua 2uC u  a 68.
69. eaudu  1 eau  C  bu 1 2 1  2 b2  a u ln au  bdu   u  2a 4
2 u  a2 ln au  b  C  
70. ueudu  u 1eu  C au  u 1  au
71. u.e du    a a2 e  C   n au uneau n n1 au 1 72. u .e du    u .e du  C
73. u.eau2du   eau2  C a a 2a
I - PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
A. Phương pháp biến đổi số thuận t vxb b
Tính tích phân I   f xdx   gvxv' xdx a a
Bước 1: Đặt t vx ,vx có đạo hàm liên tục và đổi cận 2
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC - TEAM EMPIRE
Bước 2: Biểu thị f xdx theo t và dt: f xdx g tdt vb
Bước 3: Tính I   g tdt va
Nếu phân tích được như trên ta áp dụng trực tiếp b b b
I   f xdx   gvxv' xdx   gvxd(vx) a a a
B. Phương pháp biến đổi số nghịch x u t
Bước 1: Đặt x u t,t ;  sao cho u t có đạo hàm liên tục trên đoạn ; , f ut
được xác định trên đoạn ;  và u   a;u   b
Bước 2: Biểu thị f xdx theo t và dt: f xdx g tdt
Bước 3: Tính I   gtdt
C. Phương pháp biến đổi số u x  g x,t  1 1
Dạng 1: I   f ln xdx đặt u  ln x du dx x x  1 1 1
Dạng 2: I   f lnln x
dx đặt u  ln x du dx hoặc u  ln ln x  du dx xln xx xln x
Dạng 3: I   f ex exdx đặt u ex du exdx
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng
a.ex b ta có thể giải theo hướng đặt
t a.ex b
Dạng 4: I   f cos x.sin x dx đặt u  cos x du  sindxb
Dạng 5: I   f sin x.cosxdx đặt u  sin x du  cos xdx a
a.sin 2x b.sinx
Để tính tích phân dạng 
dx ta đổi biến bằng cách đặt t c d.cosx
c d.cosx b sin2 x  sin2 x
du  sin 2xdx
Dạng 6: I   f 
 sin 2xdx đặt u    2 2  a cos x c   os x
du  sin 2xdx  1 1
Dạng 7: I   f tanax b cos2 ax bdx đặt u  tanax b  du  cos2 ax bdx   1
Hoặc: I   f tanax b1 tan2 ax bdx đặt u  tanax b  du  cos2 ax bdx   1 1
Dạng 8: I   f cot ax b
dx đặt u  cot ax b  du   dx 2 2
sin ax b sin ax b    1
Hoặc: I   f cotax b1 cot2 ax bdx đặt u  cotax b  du   sin2 ax bdx
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾ N THỨC 3
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIRE
Dạng 9: I   f sin x  cos xsin x  cos xdx đặt u  sin x  cos x du  sin x  cos xdx  
Dạng 10: Tính I   a2  x2 .dx , a  0   1
Hoặc: I   .dx , a  0  a2  x2
Đặt x asin t dx a cost , với t        ;  2 2 
(Biến đổi để đưa căn bậc hai về dạng
A2 tức là a2  a2 sin2 x a2 cos x a cos x   
t   '   ;  x     2  2 Đổi cận:    . x       
t   '   ;   2 2 
Chú ý: vì t     
;   ',  '    
 ;   cost  0  2 2   2 2    '  '
I   a2  x2 .dx I   a2  a2 sin2 t.acostdt a2  cos2 tdt  ' '
Đến đây ta hạ bậc tính bình thường  1 ' Hoặc: a cost ' I   dx dt  2   dt 2 2 2 2  a x  '
a a sin t  ' TỔNG QUÁT:   1
a2  u2 xdx , a  0 dx , Tính a  0 I  
hoặc: I    
a2  u2 x
Tương tự: Đặt u x  asint
Dạng 11 : Môt số dạng khác: 1
- Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng:
a2  b2 x hay
ta đặt: x a sin t với
a2  b2 x b  
t   ;  khi đó dx a costdt và 
a2  b2 x2  a cost hoặc t a2  b2 x2  2 2  b 1
- Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng: a
b2 x a2 hay ta đặt: x
b2 x a2 bsin t
- Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng: xa bx ta đặt: x a sin2 t b   Dạng 12: 1
I   a2  x2 .dx , a  0 hoặc I   dx   a2  x2
Đặt x a tan t 2
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC - TEAM EMPIRE
Dạng 13: I a x a x 1 3  x
Ví dụ : Tính tích phân sau: I   dx . 1 x 0 Giải: 3  x 2 x  3 4 8tdt Đặt t   t   x  1  dx  1 x x 1 t2 1 (t2 1)2 x  0 t  3 Đổi cận:    x  1 t  1 1 8t2dt 3 t2dt Khi đó: I    8  . (t2 1)2 (t2 1)2 3 1
Đặt t  tan u, u     
  ;   dt  (tan 2 u  1)du  2 2  u   t  1 Đổi cận:    4  t  3   u   3    
3 tan2 u tan2 u 1du 3 3 3 tan2 udu 2  I  8   8  2  8 2 2
sin udu  4(1 cos2u)du  (tan u 1)  tan u  1   4 4 4 4  3
 4u  2sin 2u      3  2 . 3 4 Chú ý: 1 3  x Phân tích I  
dx , rồi đặt t  1 x sẽ tính nhanh hơn. 0 1 x
Dạng 14: I   x ab xdx  2a
Ví dụ: Tính tích phân sau: I   x2  a2 .dx, a  0 a Đặt x x
2  a2  t
dx dt xdx x2  a2 dt tdt x2  a2 a 3 a 3 a 3 tdt t2dt
a 3 t2  a2  a2dt a2dtdx   I     
t2  a2dx    t2  a2 0 t2  a2 0 t2  a2 0 0 t2  a2 1
Dạng 15 : Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng f x   với n =1;2;3; …thì ta a2 2  b x2 n
có thể đặt x a tan t với t        ; b   2 2  
Dạng 16: Tính tích phân: I
đặt u xn1  du
f xn1xndx
n 1 xndx
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾ N THỨC
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIRE
Dạng 17: Tính tích phân : I   f x  1 dx đặt u x du  1 dx x 2 x
Dạng 18: Tính tích phân: I   f ax bdx đặt u ax b du adx
KĨ THUẬT TÁCH THÀNH TÍCH
- Thực chất cũng là phương pháp biến đổi số nhưng ta tách một cách khôn khéo đế đặt
- Thông thường có một số dạng sau đây:
a. I   f xn1xndx đặt t xn1  dt  n 1xndx  1
Ví dụ 1: (ĐH Kiến Trúc – 1997) Tính tích phân sau: I   x5 1 x3 6 1 dx  168 0 HD: Đặt: t dt
 1 x3  dt  3x 2 
dx dx  3x2 1 1 1 1 I 6 7 1  t7 t8  1  t t dt
3 t6 1 tdt   3 3     0 0  7 8  168 1
Ví dụ 2: (ĐH TK2 - A2003) Tính tích phân: I   x3 1 x2 dx 0
Cách 1: Đặt t  1 x2 1 1 2 I  1 1
 t2(1 t2 )dt  
t3  t5   15 0  3 5  0
Cách 2: Đặt t  1 x2
Cách 3: Đặt t x2  2
Cách 4: Đặt x  cost I  sin2t cos3tdt 0 1
Cách 4.1. Đặt sin t u costdt du I  u2(1 u2)du 0  2
Cách 4.2. I   sin2t(1 sin2t)d(sint) . 0     1 2 1 2 1 cos 4t 1 2 1 2 2
Cách 4.3. I  sin 2t costdt  
costdt  costdt    cos4tcostdt 4 4 2 8 8 0 0 0 0 1 1 1 1 3 1 1 Cách 5: I
(1 x2 1) 1 x2 d(1 x2 ) 
(1 x2 )2 d(1 x2 )   2 2
2  1 x2 d(1 x2 ) 0 0 0 KĨ THUẬT NHÂN 8 9
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC - TEAM EMPIRE 2 dx
Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I  1 x 1 x3
Giải: 2 dx 2 x2dx Ta có:    x3 1 x 1  x3 1 1 x3 2tdt Đặt:t
t2  1 x3  2tdt  3x2dx x2dx  1 x3 3 x  1 Đổi cận: t  2   x   2 t3 Khi đó: 2 2 x2dx 2 3 dt 1 3 I   dx  1 1          dt 3  3 3
3 t2 1 3 2 t 1 t 1 1 x 1  x 1 x 1 x  2 1
 ln t 1  ln t 1 3   1 ln t 1  3  1 ln 1  ln 2 1  1 ln 2 1  1ln 1 3
2  3 t 1  2 3  2
2 1 3 2 2 1 3  2 12 1 x3
Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I   dx 2 0 x x 1 Giải: 1 x3 1
x3  x2 1  x
1 x3  x2 1  x 1 I   dx     0 x x2 1
0  x2 1  x x2 1  xdx  
dx x x 1  x dx 0
x2 1 x2   3 2 4 0 1 1 1 x5 1 1 1
  x3 x2 1dx   x4dx   x2 x2 1.xdx  5 0   x2 x2 1.xdx  5 0 0 0 0 ––_––, J
Đặt: t x2 1  dt  2xdx
Đổi cận: x  0 t  1   x   1   t 2 Khi đó: 2 1 1 2  3 1  1 2 3 1 2 1 1 5 2 2 3 2
J  t 1 t. dt  t2 t2 dt  t 2dt  t2dt t2  t 2 2 2 2 5 1 3 1 1 1   2 1 1 5 3
 22  1  22  1  4 2  2 2  2  2 2  2 5 5 3 3 5 3 15 15 15 KĨ THUẬT CHIA
- Thực chất cũng là phương pháp biến đổi số hay phương pháp phân tích:
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾ N THỨC 11
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIRE   1  1  1  1 
- Một số dạng: I   f x   dt
x 1∓ x2 dx đặt t x x 1∓ x2 dx       1 5 2
Ví dụ: (ĐHTN – 2001) Tính tích phân sau: I x2 1    dx x4  x2 1 4 1 Giải: 1 1 5 1 5 1 1 5 1 1  2 x2 1 2 2 2  x2  Ta có: dx x dx     dx
x4  x2 1  x2 1 1  1 2 1 1 1 x2  x   1  x  1  1 
Đặt: t x   dt x 1  x2 dx  x  1  t  0 Đổi cận:  1 5   x  t  1  2 1 dt
Khi đó: I  1 t2 0
Đặt: t  tan u dt  1 tan2 udut  0 u  0  Đổi cận:     t  1  u   4   1 dt 4 1 tan2 u 4   Khi đó: I    
du   du u 4  . 1  t2 1  tan2 u 4 0 0 0 0
KĨ THUẬT BIẾN ĐỔI TỬ SỐ CHỨA ĐẠO HÀM Ở MẪU SỐ 1 x3
Ví dụ : Tính tích phân sau: I   dx 1 x8 0 Giải: 1 x3 1 x3 Ta có:  dx   dx 1  x8 4 2 0 0 1  x 4 3 1 2    
Đặt: x  tan t x dx  1 tan tdt với t   ; . 4  2 2  x  0 t  0  Đổi cận:   x   1 t    4   1  x3 1 x3 1 4 1 tan2 t 1 4 1  Khi đó: I   dx   dx  
dt   dt t 4  . 1  x8 4 4 1 tan2 t 4 4 16 0 0 1  x 2 0 0 0 10
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC - TEAM EMPIRE
KĨ THUẬT CHỒNG NHỊ THỨC 1 7
Ví dụ: Tính tích phân sau: x 199 I   dx 101  0 2x  1 HD:
1 1  7x 199  7x 1 
Phân tích: I  1  7x 199 dx    d     0  2x  1  2x 12  9 0  2x 1  2x  1 1 1  7x 1100 1 1     9 100    2x 1 0 900 2100 1
KĨ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN LIÊN KẾT  2 sin x
Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I   dx 0 sin x cosx Giải:   x  0   t  
Đặt: x   t dx  dt . Đổi cận:     2 2 x  2 t  0 Khi đó: sin   t    0    2  2 cost 2 cos x I   dt   dt   dx  0 cost  sin t 0 cos x  sin x 2 sin    
t   cos    t   2    2      2 sin x  cos x 2  
Vậy I I  2I   dx dx  
x 2   I  sin x  2 4 0 cos x 0 0  2 sin3 x
Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I   dx
0 sin3 x cos3 x Giải:  x  0 t     Đăt x  
2 t dx  dt . Đổi cận:  x     2  2 t  0 Khi đó:
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾ N THỨC 11
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIRE sin3    t    0  2  2 cos3 t 2 cos3 xdx I          dt  
cos3 t  sin3 t dt   cos3 x  sin3 x
 sin3   t   cos3   t  0 0 2  2   2     2 2
sin3 x  cos3 x  
Vậy I I  2I  
dx   dx x 2   I
sin3 x  cos3 x 2 4 0 0 0 1 1 ex ex
Ví dụ 3: Tính tích phân sau: I   dx và J   dx
ex ex
ex ex 0 0 Giải: 1
Ta có I J  dx 1 0 1 1
ex ex
d ex ex  1 e2 1  I J   dx
ln ex ex
 lne e1  ln 2  ln
ex ex
ex ex 0 2e 0 0 1  e2 1 1  2e
Từ đó suy ra: I  1 ln
 và J  1 ln 2  2e  2  e2 1
MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ 1 1
1.Ta luôn có : xm1 xndx   xn1 xmdx 0 0
2.Chứng minh rằng nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn  a,athì : a
I   f xdx  0 a
3.Cho a  0 và f xlà hàm chẵn , liên tục và xác định trên R .f x  Ta có :  dx f xdx xa 1  0
4.Cho hàm số f xliên tục trên 0,1. Ta luôn có :    
x. f sin xdx   f sin xdx 2 0 0
5.Cho hàm số f xliên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T . aT T Ta luôn có :
f xdx  
f xdx a 0
Nếu hàm số f xliên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn có : T T 2
f xdx   f xdx 0 T2
II-TÍCH PHẦN HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI, MAX – MIN 14
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com) LUYỆN THI ĐÁNH LUG Y IỆÁ N N T Ă HN I G Đ L Á Ự N C H -GT I E Á AM NĂ E NM G PI L R Ự E C- TEAM EMPIRE b
Muốn tính I   f xdx ta đi xét dấu f x trên đoạn a,b, khử trị tuyệt đối a b
Muốn tính I  maxf x, gxdx ta đi xét dấu f x gx trên đoạn a,ba b
Muốn tính I  minf x, gxdx ta đi xét dấu f x gx trên đoạn a,ba
Hoặc ta đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài ( áp dụng cho từng khoảng nghiệm)
IV- NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ VÔ TỈ
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel
Dạng 1: Rx, ax2  bx cdx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ. a  0   
 2ax b 2  
ax2  bx c  1      0
4a      
Rx, ax2 bxcdx   St, 1t2 dt Tới đây , đặt t  tanu .
t 2axb  a  0   
 2ax b 2  Dạng 2:
ax2  bx c  1      0
4a      
Rx, ax2 bxcdx St, 1t2dtTới đây , đặt t sinu .
t 2axb  a  0
  2ax b 2  Dạng 3:
ax2  bx c    1   0
4a      1
Rx, ax2 bxcdx  St, t2 1dt Tới đây, đặt t  . sinu
t 2axbdx
Dạng 4 (dạng đặc biệt) :   dt  
x    ax2  bx ct
t2  t   1 x 
Một số cách đặt thường gặp :
Sx, a2 x2 dx
đặt x a.cost 0  t    Sx,  
a2  x2 dx
đặt x a.tan t   t  2 2 t
Sx, x2  a2 dx đặt x a   k cost 2   xt  ; c  0
ax2  bx c c
Sx, ax2  bx cdx đặt  ax2  bx c tx x0 ; ax0  bx0  c  0
ax2  bx c    a.x t ; a  0
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾ N THỨC 13
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIREax b
Sx,mcx ax bd đặt t m
; ad cb  0   cx d
V-TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn a,b, thì ta có : b b
udv  uvb vdua a a
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u  ln x hay u  loga x .
*ưu tiên 2 : Đặt u  ?? mà có thể hạ bậc.
Nhớ “NHẤT LỐC, NHÌ ĐA, TAM LƯỢNG, TỨ MŨ".
* - KỸ THUẬT TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN THEO SƠ ĐỒ.
(x a) cos 3x 1
Câu 1: Một nguyên hàm (x  2)sin3xdx
 sin 3x  2017 thì tổng S= ab +c b c bằng A. S = 14 B. S = 15 C. S = 3 D.S = 10. Giải Sơ đồ giải Đạo hàm Nguyên hàm x-2 (+) sin3x 1 (-)  cos3x 3 0  sin 3x 9 16
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC 15
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC - TEAM EMPIREa  2
Theo sơ đồ ta có I   (x  2) cos3x  sin 3x C    3  S ab c 15(B) b 3 9  c  9
Câu 2 : Biết x2exdx (x2  mx n)ex C. Giá trị mn là A.6 B.4 C.0 D.-4 Giải Ta có sơ đồ Đạo hàm Nguyên Hàm x2 (+) ex 2x (-) ex 2 (+) ex 0 ex
I x2ex  2xex  2ex C  (x2  2x  2)ex  (x2  mx n)ex C Vây m  2  
mn   4(D) n   2 1  4  x  15 a a
Câu 3 : Biết I = I  x.ln  dx  
ln  c, Với a,b,c N * và
là phân số tối giản, 0  4  x  2 b b
khẳng định nào sau đây đúng. A. a + b = 2c. B. a + b = 3c. C. a + b = c. D. a + b = 4c. Giải Ta có sơ đồ Đạo hàm Nguyên Hàm ln 4  x (+) x 4  x 8 ( - ) x2 16 x2 16
( kỹ thuật thêm bớt trong từng 2 phần)  x2 16 4  x  1 15 3 a  3  Vậy ta có I  ln  4x   ln  4 2 4
b  5  a b  2c (C)  x  0 2 5    c  4
Với hàm logarit ta đạo hàm đến khi nào mà tích của cột trái và cột phải tính được nguyên hàm thì dừng. 2 a b b
Câu 4 : Biết I  (x2  x)ln xdx ln2 với a,b,cZ* và tối giản. Tính S = ab + c 3 c c 1 A.806. B.559. C.1445. C.1994
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾ N THỨC
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIRE Giải. Ta có sơ đồ Đạo hàm Nguyên Hàm lnx (+) x2  x 1 x3 (-)x2 x 3 2 a  14 
Ta có I x3 x2 
x3 x2  2 14 55      ln 2   3 2 ln x 
b  55  S ab c  806(A)    9 4   1 3 36  c   36  2  2x a be
Câu 5: Cho I  e .sin3xdxChọn đáp án đúng c 0
A. c a b 8
B. c a b 9
C. c a b 12
D. c a b  7 . Giải . Ta có sơ đồ Đạo hàm Nguyên Hàm sin 3x (+) e2x 3cos 3x ( - ) e2x 2 9sin 3x (+) e2x 4    3e2x  9 2 Vậy I e2x  sin 3x
cos3x  2  e2x.sin 3xdx  2 3  4 0 0––_––, I 4  a  3 e2x  3e2x  3 2e  I  cos3x
 b  2  (A) 13  sin 3x   2   2 4  0 13 c   13
Với dạng bài có hai hàm tuần hoàn, ta đạo hàm ( hoặc nguyên hàm) đến khi nào hàm
lượng giác quay về ban đầu thì dừng
VI - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
a. Công thức tính diện tích : 16
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾN THỨC 17
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com) LUYỆN THI ĐÁNH LUG Y IỆÁ N N T Ă HN I G Đ L Á Ự N C H -GTIE Á AM NĂ E NM G PI L R Ự E C- TEAM EMPIRE
 Cho hàm số y f (x) liên tục trên đoạn a;b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hàm số y f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b là: b
S   f (x)dx . a
 Cho hai hàm số y f (x) và y g(x) liên tục trên đoạn a;b . Diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f (x) , y g(x) và hai đường thẳng x a , x b là: b
S   f (x)  g(x)dx . a
b. Công thức tính thể tích :
 Cho hàm số y f (x) liên tục trên đoạn a;b . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y f (x) , trục Ox ( y  0) và hai đường thẳng x a , x b quay xung quanh trục Ox b
tạo thành một khối tròn xoay có thể tích là: V    f (x)2 dx . a c. Thể tích vật thể. d. Bài toán vật lí. e. Tính tổng.
f. Tính độ dài dây cung.
CHINH PHỤC MỌI MIỀN KIẾ N THỨC
Downloaded by Nguyen Linh (vjt5@gmail.com)
Document Outline

  • NGUYÊN HÀM
    • 10.
    • 34.
    • 36.
    • 38.
    • Dạng 2:
    • Dạng 3:
    • Dạng 4:
    • Dạng 6:
    • Dạng 8:
    • Dạng 9:
    • Dạng 10:
    • Dạng 12:
    • Dạng 13:
    • Giải:
    • Dạng 17:
    • Giải:
    • -Thực chất cũng là phương pháp biến đổi số hay phươ
    • Giải:
    • Giải:
    • Giải:
    • Nếu hàm số
    • LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIRE
    • LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC- TEAM EMPIRE

Tài liệu liên quan: