Các công thức về hình chóp đều
Chuyên đề: Các công thức về hình chóp đều A. Lý thuyết
1. Công thức diện tích của hình chóp đều
a) Diện tích xung quanh của hình chóp đều
Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:
Sxq = p.d (p: nửa chu vi đáy, d: trung đoạn)
b) Diện tích toàn phần của hình chóp
Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy:
Stp = Sxq + S (S: diện tích đáy)
2. Công thức thể tích của hình chóp đều
Thể tích của hình chóp bằng một phần ba của diện tích đáy nhân với chiều cao:
V = 1/3S.h (S: diện tích đáy, h: chiều cao) 3. Ví dụ áp dụng
Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh đáy là 8cm, chiều cao 10cm.
+ Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp.
+ Tính thể tích của hình chóp. Hướng dẫn:
Ta có ABCD là hình vuông, khi đó nửa chu vi bằng:
+ BD = AC = √ (82 + 82) = 8√ 2 cm ⇒ AO = BO = CO = DO = 4√ 2 cm Do đó:
+ Diện tích xung quanh của hình chóp đều là Sxq = p.d = p.OB = 16.4√ 2 = 64√ 2 cm2
+ Diện tích toàn phần của hình chóp đều là
Stp = Sxq + SABCD = 64√ 2 + 82 = 64 + 64√ 2 cm2
+ Thể tích của hình chóp đều là V = 1/3S.h = 1/3.SABCD.SO = 1/3.82.10 = 640/3cm3
B. Trắc nghiệm & Tự luận
I. Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3cm, chiều cao
của hình chóp là h = 2cm. Thể tích của hình chóp đã cho là? A. 6cm3 B. 18 cm3 C. 12 cm3 D. 9 cm3
Áp dụng công thức thể tích của hình chóp ta có:
V = 1/3h.SABCD = 1/3.2.32 = 6 cm3 Chọn đáp án A.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm,BC = 5cm.
Biết thể tích của hình chóp S.ABCD bằng 36 cm3. Tính độ dài đường cao của hình chóp?
A. 6 cm B. 8 cm C. 5,4 cm D. 7,2 cm
Áp dụng công thức thể tích của hình chóp ta có: V = 1/3.h.SABCD Chọn đáp án C.
Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4cm, các mặt
bên là tam giác cân có độ dài cạnh bên là 6cm. Diện tích xung quanh của hình chóp đã cho là? A. 32 cm2 B. 32√ 2 cm2 C. 16√ 2 cm2 D. 16 cm2
Chu vi của đáy ABCD là 2(4 + 4) = 16 cm
Gọi d là độ dài trung đoạn của hình chóp
Ta có: d = √ (62 - 22) = 4√ 2 cm
Áp dụng công thức diện tích xung quanh của hình chóp: Sxq = p.d
⇒ Sxq = 8.4√ 2 = 32√ 2 cm2 Chọn đáp án B.
Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 4cm, chiều cao của hình chóp là 6cm.
Tính thể tích của hình chóp là? A. 8 cm3 B. 8√3 cm3 C. 9 cm3 D. 16√3 cm3 Chọn đáp án B
Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều cạnh 5cm và độ dài trung đoạn là 6cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp? A. 40cm2 B. 36cm2 C. 45cm2 D. 50cm2 Lời giải: Chọn đáp án C
Bài 6: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh bên là 13cm và đáy là hình vuông
cạnh 10cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp? A. 100cm2 B. 120cm2 C. 150cm2 D. 240cm2 Chọn đáp án D
II. Bài tập tự luận
Bài 1: Một hình chóp đều có độ dài cạnh bên là 25cm, đáy là hình vuông ABCD có cạnh
bằng 30cm. Tính diện tích toàn phần của hình chóp. Hướng dẫn:
Gọi M là trung điểm của BC thì SM là đường cao của mặt bên SBC (vì tam giác SBC cân tại S)
Áp dụng công thức: Stp = Sxq + Sd Ta có: (với p = 60cm)
Áp dụng định lí Py – ta – go vào tam giác SCM vuông tại M
SC2 = CM2 + SM2 ⇒ 252 = 152 + SM2 ⇔ SM2 = 202 ⇔ SM = 20cm
Do đó: Sxq = 60.20 = 1200 cm2 ⇒ Stp = 1200 + 900 = 2100 cm2
Bài 2: Tính diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a. Hướng dẫn:
Xét hình chóp S.ABC có AB = AC = BC = a và SH = 2a.
Gọi M là trung điểm của BC thì AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, vừa là
đường phân giác của tam giác đều ABC nên AM ⊥ BC và HM = 1/3AM.
Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông ABM vuông tại M ta được:
AB2 = BM2 + AM2 ⇒ a2 = ( a/2 )2 + AM2 Do đó HM = (a√3) /6.
Áp dụng định lí Py – ta – go vào tam giác vuông SHM vuông tại H, ta có:
SM2 = HM2 + SH2 ⇒ SM2 = ( (a√3) /6 )2 + ( 2a )2