Các dạng bài tập dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Tài liệu gồm 30 trang, được biên soạn bởi quý thầy, cô giáo giảng dạy bộ môn Toán học tại trường THPT Marie Curie, quận 3, thành phố Hồ Chí Minh

53 27 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN

Chuyên đề 3:

DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN

VẤN ĐỀ 1

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC



A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

BÀI TOÁN

Chứng minh mệnh đề

 

đúng với mọi n là số tự nhiên và

np

. (

*pN

)

Thực hiện 3 bước sau

 Bước 1. Chứng minh mệnh đề

 

đúng với

np

(Bằng cách thế

np

vào mệnh đề

 

và thường nhận thấy ngay sự đúng đắn của nó.)

 Bước 2. Giả sử mệnh đề

 

đúng với

nk

(

kp

(Nghĩa là thế

nk

vào mệnh đề

 

và giả sử mệnh đề

 

này là đúng)

 Bước 3. Chứng minh mệnh đề

 

đúng với

1nk

(Nghĩa là thế

1nk

vào mệnh đề

 

và dựa vào giả thiết

 

đúng để chứng minh

mệnh đề

 

1Pk

là đúng)

Khi đó ta kết luận được mệnh đề

 

đúng với mọi

là số tự nhiên và

np

Ghi chú

..................................................................................................................................................................

B. BÀI TOÁN MẪU

Chứng minh n  Z

nn

chia hết cho 3.

Bài giải

Nhắc lại:

 

1;2;3;4;...Z





là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn hay bằng 1 và còn được kí hiệu

Xét mệnh đề

 

với nội dung: “

nn

chia hết cho 3 đúng với mọi n là số tự nhiên và n 

1”.

Chứng minh

 

đúng như sau:

Trường THPT MARIE CURIE

 Bước 1. Trước hết, chứng minh mệnh đề

 

đúng với n = 1.

Thế n = 1 vào biểu thức

nn

ta được

– 1 –1 0.nn

Rõ ràng số 0 chia hết cho 3.

Như vậy mệnh đề

 

đúng với n = 1.

Vấn đề

 

có đúng với n = 2, n = 3, n = 4, ... không?

Muốn vậy, phải thế từng giá trị n = 2, n = 3, n = 4, ... vào biểu thức

nn

và điều này là không

tưởng! Cho nên ta làm tiếp bước thứ 2 như sau.

 Bước 2. Giả sử mệnh đề

 

đúng với n = k (k > 1).

Nghĩa là giả sử biểu thức

 

–P k k k

chia hết cho 3.

Nói lại cho rõ ở bước này: Thế lần lượt n = 2, n = 3, n = 4,... đến n = k vào biểu thức n

– n và giả

sử các biểu thức được thế đó đều chia hết cho 3.

 Bước 3. Bây giờ chứng minh mệnh đề

 

cũng đúng với

1nk

Thế

1nk

vào biểu thức

nn

ta được:

     

1 1 – 1P k k k   

và dựa vào giả thiết:

“

 

–P k k k

chia hết cho 3” để chứng minh “

 

1Pk

cũng chia hết cho 3” .

Ta có:

     

 

3 2 3 2

1 1 – 1 3 3 1 – 1 3 2 .P k k k k k k k k k k           

Biến đổi biểu thức

 

1 3 2P k k k k   

sao cho xuất hiện

 

–P k k k

bằng cách biến đổi:

 

     

3 2 3 2 3 2

1 3 2 – 3 3 – 3P k k k k k k k k k k k k         

Theo giả thiết của bước 2 thì

 

–kk

chia hết cho 3, đồng thời dễ dàng thấy

 

3 kk

cũng

chia hết cho 3 nên

 

1Pk

chia hết cho 3.

Như vậy: “ Nếu

 

đúng với n = k thì suy ra

 

đúng với n = k + 1” (*)

Ở bước 1 ta có

 

đúng với n = 1 nên từ (*) suy ra

 

đúng với n = 1 + 1 = 2

Bây giờ ta đã có

 

đúng với n = 2 và cũng từ (*) suy ra

 

đúng với n = 2 + 1 = 3

Bây giờ ta đã có

 

đúng với n = 3 và cũng từ (*) suy ra

 

đúng với n = 3 + 1 = 4.

....................................

Với cách lập luận tuần tự như trên ta kết luận được

 

đúng n  Z

Tên gọi

 Ba bước chứng minh trên là tinh thần của “Nguyên lí quy nạp” với tên gọi: Bước 1 là bước

cơ sở, Bước 2 là giả thiết quy nạp và Bước 3 là bước quy nạp.

 Cách chứng minh trên gọi là cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

C. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Chứng minh:

 



    

1 2 3 ... (*)

với mọi



Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Ví dụ 2. Chứng minh

: 11n Z n n



  

chia hết cho 6.

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Ví dụ 3. Chứng minh

 

2 2 2

2 ( 1)(2 1)

: 2 4 6 ... 2

n n n

n Z n





      

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Trường THPT MARIE CURIE

D. BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1. Cho





. Chứng minh:

a/.

2 2 2 2

( 1)(2 1)

1 2 3 ... (*)



    

n n n

. b/.

 

1 3 5 ... 2 –1nn    

Bài 2. Chứng minh:

a/.





35n n n

chia hết cho 3.

b/.





4 15 –1

n

chia hết cho 9.

c/.





13 –1

chia hết cho 6.

VẤN ĐỀ 2

DÃY SỐ



BÀI TOÁN

Cho hàm số

 

1u n n

, với n là số nguyên dương.

Tính các giá trị

         

1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,u u u u u

...,

     

, 1 , 2 ,u n u n u n

... của hàm số đã

cho.

Bài giải

Thế tuần tự

1, 2, 3,...n n n  

vào biểu thức

 

1u n n

ta có:

         

1 2, 2 5, 3 10, 4 17, 5 26 ,...,

1, 1 1 1, 2 2 1,...

u u u u u

u n n u n n u n n

    

         

Các giá trị cần tính của bài toán theo thứ tự là:

   

2; 5; 10; 17; 26;...; 1; 1 1; 2 1n n n    

; ... (*)

TÊN GỌI VÀ KÍ HIỆU

(*) là hình thức liệt kê liên tiếp các số theo một quy tắc nào đó. (Cụ thể ở đây là quy tắc

 

1u n n

Hàm số

 

gọi là một dãy số và kí hiệu là

 

 Nói cách khác: Dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương.

Các giá trị

       

1 , 2 , 3 , ..., ,...u u u u n

được kí hiệu là

1 2 3

, , , ..., , ...

u u u u

và gọi là số

hạng thứ 1, thứ 2, thứ 3, ...., thứ n , .... (kể từ trái qua phải).

còn gọi là số hạng tổng quát

của dãy số

 

 Nói cách khác: Các số hạng

1 2 3

, , , ...u u u

được xác định bằng cách thế

1, 2, 3, ...n n n  

tuần tự vào số hạng tổng quát

Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN

 Lưu ý: Phân biệt hai khái niệm: Dãy số và số hạng tổng quát của dãy số, trong đó kí hiệu

dãy số “có dấu ngoặc” và kí hiệu số hạng tổng quát “không có dấu ngoặc” .

Ví dụ: Các dãy số

     

n n n

u x a

có số hạng tổng quát lần lượt là

, , .

n n n

u x a

DẠNG 1.

XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG CỦA MỘT DÃY SỐ

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Các số hạng

1 2 3 4

, , , , ...u u u u

của dãy số

 

được xác định bằng cách thế

1n 

2n 

3n 

4n 

, ... tuần tự vào số hạng tổng quát

B. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho dãy số

 

với số hạng tổng quát







1. Tìm 4 số hạng đầu tiên của dãy số

 

2. Số

105

là số hạng thứ mấy của dãy số

 

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Ví dụ 2. Cho dãy số

 

biết

1a 

và







. Tính

.A a a

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1. Cho





. Chứng minh:

a/.

( 1)

1 2 3 ...



    

. b/.

 

1 3 5 ... 2 –1nn    

Trường THPT MARIE CURIE

Bài 2. Cho dãy số (xn ) biết số hạng tổng quát





1/. Tính M = x1 + x3 + x5.

2/. Số

101

là số hạng thứ mấy của dãy đã cho?

Bài 3. Tìm 4 số hạng đầu tiên của các dãy số

 

biết số hạng tổng quát:

1/.







2/.







3/.

( 1) 4

u 

4/.

1 ( 1)





5/.

sin cos





Bài 4. Cho dãy số (xn ) biết x1 = 3 và





, n  2. Tính

M x x

Bài 5. Cho dãy số (an ) xác định bởi a1 = – 1 và an+1 = an + 3, n  2. Tìm số hạng thứ 3 và 5 của

các dãy số (an).

Bài 6. Cho dãy số

 

biết u1 = 1, u2 = – 2 và un = un – 1 – 2un – 2, n  3. Tìm x biết x thỏa

phương trình

 

3 4 1 2

0x u u x u u    

DẠNG 2

DÃY SỐ TĂNG , DÃY SỐ GIẢM

BÀI TOÁN 1

Cho dãy số

 

được xác định bởi un = 2n + 1. Liệt kê các số hạng của dãy số

 

Bài giải

Thế tuần tự n = 1, n = 2, n = 3, .... vào số hạng tổng quát un = 2n + 1 ta được:

u1 = 3, u2 = 5, u3 = 7, u4 = 9, u5 = 11, ....

BÀI TOÁN 2

Cho dãy số (an) được xác định bởi an =

. Liệt kê các số hạng của dãy số (an).

Bài giải

Thế tuần tự n = 1, n = 2, n = 3 , ... vào số hạng tổng quát an =

ta được:

a1 = 1, a2 =

a3 =

, a4 =

, a5 =

, ...

BÀI TOÁN 3

Cho dãy số (xn) được xác định bởi xn = n

– 6n

. Liệt kê các số hạng của dãy số (xn).

Bài giải

Thế tuần tự n = 1, n = 2, n = 3 , .... vào số hạng tổng quát n

– 6n

ta được:

x1 = –5, x2 = – 16, x3 = –27, x4 = –32, x5 = –25, ....

Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN

Nhận xét và Tên gọi

 Bài toán 1. Nhận thấy:

1 2 3 4 5 1

... ...

u u u u u u u



       

Ta gọi

 

là một dãy số tăng.

 Bài toán 2. Nhận thấy:

1 2 3 4 5 1

... ...

a a a a a a a



       

Ta gọi (an) là một dãy số giảm.

 Bài toán 3. Nhận thấy:

3 4 5

x x x

Ta gọi (xn) là một dãy số không tăng và không giảm.

Định nghĩa.

 Dãy số

 

được gọi là dãy số tăng nếu

1 nn





, n  N*.

 Dãy số

 

được gọi là dãy số giảm nếu

1nn





, n  N*.

 Dãy số tăng và dãy số giảm gọi chung là dãy số đơn điệu

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Cách 1. Với nN*, tính hiệu số:

–



Nếu

– 0





thì

 

là dãy số tăng.

Nếu

– 0





thì

 

là dãy số giảm.

Cách 2. Nếu

u 

, nN* thì tính thương số



Nếu



> 1 thì

 

là dãy số tăng.

Nếu



< 1 thì

 

là dãy số giảm.

 Xét tính tăng, giảm hay xét tính đơn điệu của dãy số là xem dãy số đó tăng hay giảm hay

không tăng, không giảm.

 Chứng minh dãy số

 

không tăng, không giảm, ta chỉ cần tính cụ thể 3 số hạng nào

đó của dãy số để kết luận. (Xem bài toán 3 ở trên)

Ghi chú

..................................................................................................................................................................

Trường THPT MARIE CURIE

B. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Xét tính tăng, giảm của dãy số

 

có số hạng tổng quát là







Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của dãy số

 

, với

u n n  

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Ví dụ 3. Xét tính tăng, giảm của dãy số

 

có

u 

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Ví dụ 4. Xét tính tăng, giảm của dãy số

 

với

 

–1 . 2 1

u 

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN

100

C. BÀI TẬP CƠ BẢN

Xét tính tăng, giảm của dãy số

 

với:

1/.



2/.

u n n

3/.

u n n  

4/.





5/.

3 sin

u n n

6/.

 















 













 













10)







11)

 

    



1 1 1 1

...

1.2 2.3 3.4 . 1

12)

 

    



   

222

2 2 2

1 3 5 ... 2 1

2 4 6 ... 2

Trường THPT MARIE CURIE

101

DẠNG 2

DÃY SỐ BỊ CHẶN

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Cho dãy số

 

 Nếu tồn tại một số thực M sao cho un ≤ M, n  N* thì

 

gọi là dãy số bị chặn trên.

 Nếu tồn tại một số thực m sao cho un



m, n  N* thì

 

gọi là dãy số bị chặn dưới.

 Nếu tồn tại hai số thực m và M sao cho m ≤ un ≤ M, n  N* thì (un) gọi là dãy số bị chặn.

 Xét tính bị chặn của một dãy số là xem dãy số đó có chặn trên, hay chặn dưới, hay bị chặn

không?

B. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Xét tính bị chặn của dãy số

 

với





Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Ví dụ 2. Xét tính bị chặn của dãy số

 

với







Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Ví dụ 3. Xét tính bị chặn của dãy số

 

với

sin





Lời giải

Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN

102

.......................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN

Xét tính bị chặn của dãy số

 

với:

1/.



2/.







3/.

cos



  



CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Nội dung

Lời giải

Câu 1: Cho

 

1 1 1

... , 1,2,3...

1.2 2.3

     



Kết quả nào

sau đây đúng?





. B.









. D.







Câu 2: Cho

   

1 1 1

... , 1,2,3...

1.3 3.5

2 1 . 2 1

     



Kết

quả nào sau đây đúng?







. B.









. D.







Câu 3: Cho

1.1! 2.2! 3.3!... 2007.2007!S    

. Kết quả nào sau

đây đúng?

2.2007!S 

. B.

2008! 1S 

2008!.S 

2008! 1.S 

Câu 4: Cho dãy số

 

với

6, 5

u u u



  

. Khi đó,

bằng

5 1.n

 

5 1 .n

5 1.



n

Câu 5: Cho dãy số

 

với





. Khi đó,



bằng

n

. C.

5.5 .

n

Trường THPT MARIE CURIE

103

Câu 6: Cho dãy số

 

với



  









1,2,3...n

Khi

đó,



bằng

 

2 1 3



  







 

2 1 3



  



























Câu 7: Cho dãy số

 

với

, 1,2,3...



  



Khi đó

 

là dãy số

A. tăng. B. giảm.

C. không tăng. D. không giảm.

Câu 8: Cho dãy số

 

với

, 1,2,3...



  



Khi đó

 

là dãy số

A. bị chặn trên và không bị chặn dưới.

B. bị chặn dưới và không bị chặn trên.

C. bị chặn trên và bị chặn dưới.

D. không bị chặn trên và không bị chặn dưới.

Câu 9: Cho dãy số

 

với

 

u 

Khi đó

 

là dãy số

A. tăng.

B. giảm.

C. bị chặn trên và bị chặn dưới.

D. không bị chặn trên và không bị chặn dưới.

Câu 10: Cho dãy số

 

với

 

1 .5 .





Khi đó

 

là dãy

số

A. bị chặn trên và không bị chặn dưới.

B. bị chặn dưới và không bị chặn trên.

C. bị chặn trên và bị chặn dưới.

D. không bị chặn trên và không bị chặn dưới.

Câu 11: Cho dãy số

 

với











Khi đó

 

là dãy số

A. tăng. B. giảm.

C. bị chặn trên . D. bị chặn trên dưới.

Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN

104

VẤN ĐỀ 3

CẤP SỐ CỘNG



BÀI TOÁN

Liệt kê các số hạng của dãy số

 

với

un

Bài giải

Ta có:

 

1 2 3 4 5 1

6, 8, 10, 12, 14, .... , 2 4, 2 1 4 2 6

u u u u u u n u n n



           

Nhận xét và tên gọi

 Nhận thấy:

2 1 3 2 4 3 5 4 1

2, 2, 2, 2, ...., 2

u u u u u u u u u u



         

 Nghĩa là số hạng đứng sau bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với hằng số 2.

 Ta gọi dãy số

 

như trên là một cấp số cộng, hằng số 2 gọi là công sai.

Định nghĩa.

 Dãy số

 

(hữu hạn hoặc vô hạn) gọi là cấp số cộng nếu có tính chất

u u d





* nN

(Với

là hằng số).

 Kí hiệu: đặt trước một dãy số để chỉ rằng nó là một cấp số cộng.

Ví dụ:

1 2 3

, , , .... ,

u u u u

hay

 

 Hằng số

gọi là công sai.

 Nếu hằng số

0d 

thì cấp số cộng là một dãy số không đổi.

Ghi chú

.......................................................................................................................................................................

DẠNG 1.

XÉT DÃY SỐ (un) CÓ LÀ MỘT CẤP SỐ CỘNG KHÔNG?

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Cách 1. Tính hiệu số

–



Nếu

–



bằng hằng số thì

 

là một cấp số cộng.

Nếu

–



phụ thuộc vào

thì

 

không là một cấp số cộng.

 Cách 2. Tính tổng số

1 –1nn



Trường THPT MARIE CURIE

105

Nếu

1 –1nn



bằng 2un thì

 

là một cấp số cộng.

Nếu

1 –1nn



không bằng 2un thì

 

không là một cấp số cộng.

 Cách 3. Cách khác tốt hơn để chứng minh

 

không là một cấp số cộng.

Tính cụ thể 3 số hạng liên tiếp, ví dụ tính

1 2 3

, , .u u u

Nếu

2 1 3 2

– – u u u u

thì

 

không là một cấp số cộng.

Nếu

1 3 2

2u u u

thì

 

không là một cấp số cộng.

Chú ý.

Ba số

,,a b c

là một cấp số cộng khi và chỉ khi

2a c b



 

là một cấp số cộng khi và chỉ khi

n n n

u u u





2n

Ghi chú

.......................................................................................................................................................................

B. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Trong các dãy số

 

dãy nào là cấp số cộng?

1/.

u 

2/.

( 1) 3

un  

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Ví dụ 2. Trong các dãy số

 

dãy nào là cấp số cộng?

1/.





2/.







Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN

106

.......................................................................................................................................................................

Ví dụ 3. Tìm

để 3 số

1 2 3

10– , 2 3, 5 – 4 u x u x u x   

là một cấp số cộng.

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

DẠNG 2.

TÌM SỐ HẠNG THỨ k VÀ CÔNG SAI d

CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Tìm số hạng đầu

và công sai

của cấp số cộng

 

bằng công thức:

 

–1

u u n d

 Tìm số hạng thứ

bằng công thức:

 

–1

u u k d

Ghi chú

.......................................................................................................................................................................

B. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho cấp số cộng

 

biết

1 3 5

u u u

   







1/. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng

 

2/. Tìm số hạng thứ 100 của cấp số cộng

 

Trường THPT MARIE CURIE

107

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Ví dụ 2. Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng

 

biết

2 6 4

8 7 4

u u u

    







Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Ví dụ 3. Tìm một cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng số hạng đầu và số hạng thứ 3 là 28 và

tổng số hạng thứ 3 và số hạng cuối là 40.

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Ví dụ 4. Cho một cấp số cộng có 18 số hạng, số hạng cuối là – 11 và công sai là –1. Tìm số

hạng đầu.

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN

108

C. BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1 Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng

 

biết:

1/.

. 75











2/.













3/.

2 3 4 5

. 52

u u u u





   



4/.

7 15

4 12

1170

  











Bài 2 Cho một cấp số cộng có số hạng đầu là 8, số hạng cuối là – 55 và công sai là – 7. Cấp số

cộng này có bao nhiêu số hạng.

Bài 3 Cho một cấp số cộng có số hạng thứ 6 là – 5 và công sai là 3. Số hạng nào có giá trị là 7?

DẠNG 3.

TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Tổng

số hạng đầu của cấp số cộng

 

được cho bởi công thức

 

2 ( 1)

n u n d

n u u

   







Ghi chú

.......................................................................................................................................................................

B. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng

 

biết

5 10 0











Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Ví dụ 2. Chu vi của một đa giác là 158 cm , số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số

cộng với công sai bằng 3 cm. Biết cạnh lớn nhất là 44 cm, tìm số cạnh của đa giác đó.

Trường THPT MARIE CURIE

109

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1 Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng

 

biết











Bài 2 Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng

 

biết

5 3 .

S n n

Bài 3 Cho cấp số cộng

 

biết

2 3 5

u u u

   







. Tính

Bài 4 Cho cấp số cộng – 9; – 6; – 3; ... có tổng là 66. Tìm số hạng cuối cùng của cấp số cộng

đó.

Bài 5 Tính tổng

2 2 2 2 2 2 2 2

100 99 98 97 96 95 ... 2 1S         

Bài 6 Một tam giác có 3 góc lập thành một cấp số cộng. Góc nhỏ nhất là 20

. Tìm 3 góc của

tam giác đó.

Bài 7 Một tứ giác lồi có 4 góc lập thành một cấp số cộng, góc lớn nhất là 126

. Tìm 4 góc của

tứ giác lồi đó.

Bài 8 Một tam giác vuông có 3 góc lập thành một cấp số cộng. Tìm 3 góc của tam giác đó.

Bài 9 Một tam giác có 3 cạnh lập thành một cấp số cộng. Tính 3 cạnh của tam giác đó, biết

chu vi của nó bằng 24 cm.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Nội dung

Lời giải

Câu 1: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là

4; 1; 6; x

Khi đó giá trị của

bằng

10.

11.

Câu 2: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là

7; ;11;xy

Khi đó giá trị của

và

là

1; 21.xy

2; 20.xy

3; 19.xy

4; 18.xy

Câu 3: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là

5;9;13;17;...

Khi đó

bằng

5 1.n

5 1.n

4 1.n

4 1.n

Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN

110

Câu 4: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là

4;7;10;13;...

Gọi

là tổng của

số hạng đầu tiên của dãy số cộng đó

 

1n 

Khi đó

bằng

3 1.n







  





  





Câu 5: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp

số cộng?

7 3 .

un

7 3 .

u 



7.3 .

u 

Câu 6: Gọi

 

1 2 3 4 5 ... 2 1 2 , 1, .S n n n n           

Khi

đó giá trị của

bằng

1.

.n

Câu 7: Một cấp số cộng có 13 số hạng, số hạng đầu là 2 và tổng

của 13 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng 260. Khi đó, giá trị

của

bằng

40.

38.

36.

20.

Câu 8: Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng

đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và số hạng

thứ tư bằng 14. Khi đó, công sai của cấp số cộng đã cho có giá trị

bằng

Câu 9: Một cấp số cộng có 7 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng

đầu và số hạng cuối bằng 30, còn tổng của số hạng thứ ba và số

hạng thứ sáu bằng 35. Khi đó, số hạng thứ bảy của cấp số cộng

đó có giá trị bằng

25.

30.

35.

40.

Câu 10: Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số

hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười hai bằng 23. Khi đó, công

sai của cấp số cộng đã cho bằng

Trường THPT MARIE CURIE

111

Câu 11: Một cấp số cộng có 15 số hạng. Biết rằng tổng của 15 số

hạng đó băng 225, và số hạng thứ mười lăm bằng 29. Khi đó, số

hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho bằng

Câu 12: Một cấp số cộng có 10 số hạng. Biết rằng tổng của 10 số

hạng đó bằng 175, và công sai

3.d 

Khi đó, số hạng đầu tiên của

cấp số cộng đã cho bằng

Câu 13: Cho một cấp số cộng có 20 số hạng. Đẳng thức nào sau

đây là sai?

1 20 2 19

.u u u u  

1 20 5 16

.u u u u  

1 20 8 13

.u u u u  

1 20 9 11

u u u u  

Câu 14: Trong một cấp số cộng có

số hạng

 

55nk

. Đẳng

thức nào sau đây là sai?

1 2 1

u u u u



  

1 5 4

u u u u



  

1 55 55

u u u u



  

n k n k

u u u u



  

VẤN ĐỀ 4

CẤP SỐ NHÂN



BÀI TOÁN

Liệt kê các số hạng của dãy số

 

với

u 

Bài giải

Ta có:

u 

, ...,

u 





Nhận xét và tên gọi

 Nhận thấy:

uu

, ... ,





 Nghĩa là số hạng đứng sau bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với hằng số

 Ta gọi dãy số

 

ở trên là một cấp số nhân, hằng số

gọi là công bội.

Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN

112

Định nghĩa.

 Dãy số

 

(hữu hạn hoặc vô hạn) gọi là cấp số nhân nếu có tính chất

u u q





*nN

. (Với

là hằng số).

 Kí hiệu: đặt trước một dãy số để chỉ rằng nó là một cấp số nhân.

Ví dụ:

1 2 3

, , , .... ,

u u u u

hay

 

 Hằng số

gọi là công bội.

 Nếu hằng số

0q 

hay

1q 

thì cấp số nhân là một dãy số không đổi.

Ghi chú

.......................................................................................................................................................................

DẠNG 1.

XÉT DÃY SỐ (un) CÓ LÀ MỘT CẤP SỐ NHÂN KHÔNG?

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Tính tỉ số



Nếu



bằng hằng số thì (un) là một cấp số nhân.

Nếu



phụ thuộc vào n thì (un) không là một cấp số nhân.

 Cách khác để chứng minh (un) không là một cấp số nhân.

Tính cụ thể 3 số hạng liên tiếp, ví dụ tính

1 2 3

, , .u u u

Nếu

1 3 2

u u u

thì

 

không là một cấp số nhân.

 Chú ý.

 Ba số

,,a b c

là một cấp số nhân khi và chỉ khi

.a c b



 

là một cấp số nhân khi và chỉ khi

n n n

u u u





2n

Ghi chú

.......................................................................................................................................................................

Trường THPT MARIE CURIE

113

B. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Trong các dãy số

 

, dãy nào là cấp số nhân?

1/.





2/.

un

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Ví dụ 2. Tìm

để 3 số

1 2 3

2– , 2 , 3 u x u x u x   

là một cấp số nhân.

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Ví dụ 3. Tìm 2 số

,ab

biết

1, , ab

là cấp số nhân và

1, 8, ab

là cấp số cộng.

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1 Trong các dãy số

 

, dãy nào là cấp số nhân?

1/.





2/.







Bài 2 Tìm 2 số

và

biết

6 , 5 2 , 8x y x y x y  

là cấp số cộng và

–1, 2, –3x y x y

là cấp

số nhân.

DẠNG 2.

Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN

114

TÌM SỐ HẠNG THỨ k VÀ CÔNG BỘI q

CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Tìm số hạng đầu

và công bội

của cấp số nhân

 

bằng công thức

–1

u u q

 Tìm số hạng thứ

bằng công thức

–1

u u q

Ghi chú

.......................................................................................................................................................................

B. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho cấp số nhân

 

biết











1/. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân

 

2/. Tìm số hạng thứ 8 của cấp số nhân

 

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Ví dụ 2. Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân

 

biết

144











Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Trường THPT MARIE CURIE

115

Ví dụ 3. Cho một cấp số nhân có 5 số hạng biết 2 số hạng đầu là số dương, tích số hạng

đầu và số hạng thứ 3 là, tích số hạng thứ 3 và số hạng cuối là

. Tìm cấp số nhân này.

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1 Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân

 

biết:

1/.

2 5 4

3 6 5

u u u

   



  



2/.

240

  







Bài 2 Tìm 5 số lập thành một cấp số nhân có công bội bằng

số thứ nhất và tổng 2 số đầu là

24.

Bài 3 Tìm 3 số lập thành một cấp số nhân có tổng là 63 và tích là 1728.

DẠNG 3.

TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Tổng

số hạng đầu của cấp số nhân

 

được cho bởi công thức







( 1)q 



:Vd

Tính tổng

   

1 1 1 1

...

2 4 8

Ghi chú

.......................................................................................................................................................................

Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN

116

B. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho một cấp số nhân

 

gồm 6 số hạng biết

2 4 5

3 5 6

132

u u u

   



   



. Tính tổng các

số hạng của cấp số nhân này.

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Ví dụ 2. Viết 5 số xen giữa hai số 1 và 729 để được một cấp số nhân có 7 số hạng. Tính tổng

các số hạng của cấp số nhân này.

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Ví dụ 3. Một tứ giác lồi có các góc lập thành một cấp số nhân. Tính số đo góc nhỏ nhất của

tứ giác đó, biết góc nhỏ nhất bằng

góc lớn nhất.

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

Trường THPT MARIE CURIE

117

Ví dụ 4. Bốn góc

, , ,A B C D

theo thứ tự của một tứ giác lồi

ABCD

lập thành một cấp số

nhân, góc

gấp 4 lần góc

. Tìm 4 góc đó.

Lời giải

.......................................................................................................................................................................

C. BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1 Viết 6 số xen giữa hai số –2 và 256 để được một cấp số nhân có 8 số hạng. Tính tổng

các số hạng của cấp số nhân này.

Bài 2 Cho một cấp số nhân

 

gồm 5 số hạng biết









. Tính tổng các số hạng của cấp

số nhân này.

Bài 3 Cho một cấp số nhân

 

gồm 7 số hạng biết

1 3 5

325

u u u



  







. Tính tổng các số hạng

của cấp số nhân này.

Bài 4 Cho một cấp số nhân gồm 4 số hạng biết tổng của số hạng đầu và cuối là 27, tích của

hai số hạng còn lại là 72. Tính tổng các số hạng của cấp số nhân này.

Bài 5 Bốn góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số nhân, góc lớn nhất gấp 8 lần góc nhỏ

nhất. Tìm 4 góc đó.

Bài 6 Tìm một cấp số nhân có 6 số hạng, biết tổng 5 số hạng đầu là 31 và tổng 5 số hạng sau

là 62.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Nội dung

Lời giải

Câu 1: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là

Khi đó giá

trị của

bằng

14.

32.

64.

68.

Câu 2: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là

;12; ;192.xy

Khi đó, giá trị của

và

là

1; 144.xy

2; 72.xy

3; 48.xy

4; 36.xy

Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN

118

Câu 3: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là

3;9;27;81;...

Khi đó

bằng

n

n

3 3 .



Câu 4: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là

1;4;16;64;...

Gọi

là tổng của

số hạng đầu tiên của dãy số

cộng đó

 

1n 

. Khi đó, giá trị của

bằng

n





















4. .











Câu 5: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp

số nhân?

7 3 .

un

7 3 .

u 



7.3 .

u 

Câu 6: Cho

   

2 4 8 16 32 ... 2 2 ,



          

*.n

Khi đó giá trị của

bằng

2.n

 

2 1 2





 















Câu 7: Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu là 2 và số

hạng thứ sáu bằng 486. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

3.

2.

Câu 8: Một cấp số nhân có 4 số hạng, số hạng đầu là 3 và số

hạng thứ tư là 192. Tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng

390.

255.

256.

256.

Câu 9: Cho một cấp số nhân có 15 số hạng. Đẳng thức nào sau

đây là sai?

1 15 2 14

. . .u u u u

1 15 5 11

. . .u u u u

1 15 6 9

. . .u u u u

1 15 12 4

. . .u u u u

Câu 10: Cho một cấp số nhân có

số hạng

 

55 .nk

Đẳng

thức nào sau đây là sai?

1 2 1

. . .

u u u u





1 5 4

. . .

u u u u





1 55 55

. . .

u u u u





. . .

n k n k

u u u u





Trường THPT MARIE CURIE

119

Câu 11: Một tam giác có các góc lập thành một cấp số nhân với

công bội

2.q 

Khi đó số đo các góc của tam giác ấy tương ứng

bằng

000

30 ;60 ;90

; ; .

5 5 5



; ; .

6 6 6



; ; .

7 7 7



Câu 12: Một tam giác

ABC

có độ dài ba cạnh là

,,a b c

lập thành

một cấp số cộng (các số hạng được lấy theo thứ tự đó) thì

sin ,sin ,sinCAB

theo thứ tự lập thành cấp số cộng .

cos ,cos ,cosA B C

theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

tan ,tan ,tanA B C

theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

cot ,cot ,cotA B C

theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Câu 13: Một cửa hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với

giá 100 (đơn vị nghìn đồng). Sau đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng

A lên

10%

. Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng

giá mặt hàng đó lên

10%

. Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng

sau hai lần tăng giá là bao nhiêu?

120.

121.

122.

200.

Câu 14: Một người đem 100.000.000 đồng đi gửi tiết kiệm với kì

hạn 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là

0,7%

số tiền người đó có. Hỏi

sau khi hết kì hạn người đó được lĩnh về bao nhiêu tiền?

 

10 . 0,07

(đồng). B.

 

10 . 0,07

(đồng).

 

10 . 1,07

(đồng). D.

 

10 . 1,07

(đồng).

Câu 15: Cho cấp số nhân có 10 số hạng với công bội

0q 

và

0.u 

Đẳng thức nào sau đây là đúng?

..u u q

.q .uu

..u u q

Câu 16: Cho cấp số nhân

 

với công bội

0q 

và

0.u 

Với

1,km

đẳng thức nào dưới đây là đúng?

u u q

u u q





.q .





Câu 17: Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng

thứ sáu bằng 64, thì số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể

tính theo công thức nào dưới đây?





u 

. C.





un

Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN

120

Câu 18: Một cấp số nhân có ba số hạng là

,,a b c

(theo thứ tự đó),

trong đó các số hạng đều khác 0 và công bội

0.q 

Khi đó, đẳng

thức nào dưới đây là đúng?



1 1 2

a b c



Câu 19: Một chiếc đồng hồ đánh chuông, số tiếng chuông được

đánh bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi

một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông, nếu nó chỉ

đánh chuông vào giờ (mỗi ngày 24 tiếng)?

A. 78. B. 156.

C. 300. D. 48.

Câu 20: Một tứ giác có các góc tạo thành một cấp số nhân có

công bội

3.q 

Khi đó số đo của các góc của tứ diện đó là

3 9 27

; ; ; .

20 20 20 20

   

3 9 27

; ; ; .

40 40 40 40

   

0 0 0 0

30 ;60 ;90 ;180 .

3 9 18

; ; ; .

15 15 15 15

   

Câu 21: Cho dãy số

 

với

u 

Tính



3 3.





3.3 .





3 1.





 

3 1 .





Câu 22: Cho cấp số cộng

 

:2, , 6, .

u a b

Tích

bằng?

. B.

. D.

Câu 23: Trong các dãy số sau đây dãy số nào là cấp số nhân?

A. Dãy số

2

, …,

2

, …

B. Dãy số

 

, xác định bởi công thức

u 

với

n

C. Dãy số

 

, xác định bởi hệ:

 

2 : 2

u u n n











   





D. Dãy số các số tự nhiên

, ….

Câu 24: Cho một cấp số cộng có

2u 

4u 

. Hỏi

bằng bao

nhiêu?

6u 

. B.

1u 

. C.

5u 

. D.

1u 

Trường THPT MARIE CURIE

121

Câu 25: Cho cấp số nhân

,12, ,192.xy

Tìm

và

3, 48xy

hoặc

4, 36.xy

3, 48xy   

hoặc

2, 72.xy

3, 48xy

hoặc

3, 48.xy   

3, 48xy  

hoặc

3, 48.xy  

Câu 26: Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số

nhân?

A. Dãy số

 

với

7 3 .

un

B. Dãy số

 

với

7 3 .

v 

C. Dãy số

 

với

7.3 .

w 

D. Dãy số

 

với



Câu 27: Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn

dãy số là cấp số nhân.

















































Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/30

| | Tải xuống

Preview text:

Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN Chuyên đề 3:
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN VẤN ĐỀ 1
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN
Chứng minh mệnh đề P n đúng với mọi n là số tự nhiên và n  p . ( p N * )
Thực hiện 3 bước sau
 Bước 1. Chứng minh mệnh đề P n đúng với n  p .
(Bằng cách thế n  p vào mệnh đề P n và thường nhận thấy ngay sự đúng đắn của nó.)
 Bước 2. Giả sử mệnh đề P n đúng với n  k ( k  p ).
(Nghĩa là thế n  k vào mệnh đề P n và giả sử mệnh đề Pk này là đúng)
 Bước 3. Chứng minh mệnh đề P n đúng với n  k 1.
(Nghĩa là thế n  k 1 vào mệnh đề P n và dựa vào giả thiết Pk đúng để chứng minh
mệnh đề P k   1 là đúng)
Khi đó ta kết luận được mệnh đề P n đúng với mọi n là số tự nhiên và n  p . Ghi chú
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................. B. BÀI TOÁN MẪU
Chứng minh n  Z+: 3
n  n chia hết cho 3. Bài giải
Nhắc lại: Z  1; 2; 3; 4;.. 
. là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn hay bằng 1 và còn được kí hiệu * N
Xét mệnh đề P n với nội dung: “ 3
n  n chia hết cho 3 đúng với mọi n là số tự nhiên và n  1”.
Chứng minh P n đúng như sau: 92 Trường THPT MARIE CURIE
 Bước 1. Trước hết, chứng minh mệnh đề P n đúng với n = 1.
Thế n = 1 vào biểu thức 3
n  n ta được 3 3
n – n  1 – 1  0. Rõ ràng số 0 chia hết cho 3.
Như vậy mệnh đề P n đúng với n = 1.
Vấn đề P n có đúng với n = 2, n = 3, n = 4, ... không?
Muốn vậy, phải thế từng giá trị n = 2, n = 3, n = 4, ... vào biểu thức 3
n  n và điều này là không
tưởng! Cho nên ta làm tiếp bước thứ 2 như sau.
 Bước 2. Giả sử mệnh đề P n đúng với n = k (k > 1).
Nghĩa là giả sử biểu thức Pk 3
 k – k chia hết cho 3.
Nói lại cho rõ ở bước này: Thế lần lượt n = 2, n = 3, n = 4,... đến n = k vào biểu thức n3 – n và giả
sử các biểu thức được thế đó đều chia hết cho 3.
 Bước 3. Bây giờ chứng minh mệnh đề P n cũng đúng với n  k 1. 3
Thế n  k 1 vào biểu thức 3
n  n ta được: P k  1  k  1 – k  1 và dựa vào giả thiết: “ Pk 3
 k – k chia hết cho 3” để chứng minh “ Pk   1 cũng chia hết cho 3” . 3
Ta có: P k   k   k     3 2
k  k  k   k   3 2 1 1 – 1 3 3 1 –
1  k  3k  2 . k
Biến đổi biểu thức Pk   3 2
1  k  3k  2k sao cho xuất hiện Pk 3
 k – k bằng cách biến đổi: P k   3 2
 k  k  k   3 k k 2
 k  k   3 k k    2 1 3 2 – 3 3 – 3 k  k 
Theo giả thiết của bước 2 thì  3
k – k  chia hết cho 3, đồng thời dễ dàng thấy  2
3 k  k cũng
chia hết cho 3 nên P k   1 chia hết cho 3.
Như vậy: “ Nếu P n đúng với n = k thì suy ra P n đúng với n = k + 1” (*)
Ở bước 1 ta có P n đúng với n = 1 nên từ (*) suy ra P n đúng với n = 1 + 1 = 2
Bây giờ ta đã có P n đúng với n = 2 và cũng từ (*) suy ra P n đúng với n = 2 + 1 = 3
Bây giờ ta đã có P n đúng với n = 3 và cũng từ (*) suy ra P n đúng với n = 3 + 1 = 4.
....................................
Với cách lập luận tuần tự như trên ta kết luận được P n đúng n  Z+. Tên gọi
 Ba bước chứng minh trên là tinh thần của “Nguyên lí quy nạp” với tên gọi: Bước 1 là bước
cơ sở, Bước 2 là giả thiết quy nạp và Bước 3 là bước quy nạp.
 Cách chứng minh trên gọi là cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp. C. VÍ DỤ nn  
Ví dụ 1. Chứng minh:     n  1 1 2 3 ... (*) với mọi  * n 2 93
Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
Ví dụ 2. Chứng minh  3 n
 Z : n 11n chia hết cho 6. Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... 2  2 (
n n  1)(2n  1)
Ví dụ 3. Chứng minh 2 2 2 n
 Z : 2  4  6  .. .  2n  . 3 Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... 94 Trường THPT MARIE CURIE
D. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1. Cho n Z   . Chứng minh:   a/. 2 2 2 2 ( 1)(2 1) 1  2  3  ...   n n n n
(*) . b/.      n  2 1 3 5 ... 2 – 1  n . 6 Bài 2. Chứng minh: a/. n Z   : 3 2
n  3n  5n chia hết cho 3. b/. n Z   : 4n  15
n – 1 chia hết cho 9. c/. n Z  
: 13n – 1 chia hết cho 6. VẤN ĐỀ 2 DÃY SỐ  BÀI TOÁN
Cho hàm số un 2
 n 1, với n là số nguyên dương.
Tính các giá trị u 
1 , u2 , u3 , u4 , u5 , ..., un , un  
1 , un  2 ,... của hàm số đã cho. Bài giải
Thế tuần tự n  1, n  2, n  3,... vào biểu thức un 2  n 1 ta có:
u1  2, u2  5, u3  10, u4  17 , u5  26 ,...,
un  n  1, un  1  n  12  1, un  2  n  22 2  1,...
Các giá trị cần tính của bài toán theo thứ tự là: 2 2 2
2; 5; 10; 17; 26;...; n  1; n  1  1; n  2  1 ; ... (*)
TÊN GỌI VÀ KÍ HIỆU
(*) là hình thức liệt kê liên tiếp các số theo một quy tắc nào đó. (Cụ thể ở đây là quy tắc un 2  n 1).
Hàm số un gọi là một dãy số và kí hiệu là u . n
 Nói cách khác: Dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương.
Các giá trị u 
1 , u2 , u3 , ..., un ,... được kí hiệu là u , u , u , ..., u , ... và gọi là số 1 2 3 n
hạng thứ 1, thứ 2, thứ 3, ...., thứ n , .... (kể từ trái qua phải). u còn gọi là số hạng tổng quát n
của dãy số u . n
 Nói cách khác: Các số hạng u , u , u , ... được xác định bằng cách thế 1 2 3
n  1, n  2, n  3, ... tuần tự vào số hạng tổng quát u . n 95
Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN
 Lưu ý: Phân biệt hai khái niệm: Dãy số và số hạng tổng quát của dãy số, trong đó kí hiệu
dãy số “có dấu ngoặc” và kí hiệu số hạng tổng quát “không có dấu ngoặc” .
Ví dụ: Các dãy số u x
a có số hạng tổng quát lần lượt là u , x , a .
n  ,  n  ,  n  n n n DẠNG 1.
XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG CỦA MỘT DÃY SỐ
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Các số hạng u , u , u , u , ... của dãy số u được xác định bằng cách thế n  1, n  2 , n  1 2 3 4
n  3 , n  4 , ... tuần tự vào số hạng tổng quát u . n B. VÍ DỤ 2n  1
Ví dụ 1. Cho dãy số u với số hạng tổng quát u  . n  n n  2
1. Tìm 4 số hạng đầu tiên của dãy số u . n  105 2. Số
là số hạng thứ mấy của dãy số u ? n  54 Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... 1
Ví dụ 2. Cho dãy số a biết a  1 và a 
A  a  a . n  0 n a  . Tính 2 3 5 n1 Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1. Cho n Z   . Chứng minh: ( n n  1)
a/. 1 2  3  ...  n 
. b/.      n  2 1 3 5 ... 2 – 1  n . 2 96 Trường THPT MARIE CURIE 2n
Bài 2. Cho dãy số (xn ) biết số hạng tổng quát x  . n 2 n  1
1/. Tính M = x1 + x3 + x5. 50 2/. Số
là số hạng thứ mấy của dãy đã cho? 101
Bài 3. Tìm 4 số hạng đầu tiên của các dãy số u biết số hạng tổng quát: n  1  n 2n  1 1/. u  2/. u  3/. u  ( 1  )n 4n n 2 n n n n  1 2  1 1  ( 1  )n n n 4/. u  5/. 2 2 u  sin  cos . n n n 4 3
Bài 4. Cho dãy số (xn ) biết x1 = 3 và 2 x
 1 x , n  2. Tính 2 2
M  x  x . n1 n 2 4
Bài 5. Cho dãy số (an ) xác định bởi a1 = – 1 và an+1 = an + 3, n  2. Tìm số hạng thứ 3 và 5 của các dãy số (an).
Bài 6. Cho dãy số u biết u1 = 1, u2 = – 2 và un = un – 1 – 2un – 2, n  3. Tìm x biết x thỏa n  phương trình 2
x  u  u x  u u  0 . 3 4  1 2 DẠNG 2
DÃY SỐ TĂNG , DÃY SỐ GIẢM BÀI TOÁN 1
Cho dãy số u được xác định bởi un = 2n + 1. Liệt kê các số hạng của dãy số u . n  n  Bài giải
Thế tuần tự n = 1, n = 2, n = 3, .... vào số hạng tổng quát un = 2n + 1 ta được:
u1 = 3, u2 = 5, u3 = 7, u4 = 9, u5 = 11, .... BÀI TOÁN 2 1
Cho dãy số (an) được xác định bởi an = . Liệt kê các số hạng của dãy số (an). n Bài giải 1
Thế tuần tự n = 1, n = 2, n = 3 , ... vào số hạng tổng quát an = ta được: n 1 1 1 1
a1 = 1, a2 = a3 = , a4 = , a5 = , ... 2 3 4 5 BÀI TOÁN 3
Cho dãy số (xn) được xác định bởi xn = n3 – 6n2. Liệt kê các số hạng của dãy số (xn). Bài giải
Thế tuần tự n = 1, n = 2, n = 3 , .... vào số hạng tổng quát n3 – 6n2 ta được:
x1 = –5, x2 = – 16, x3 = –27, x4 = –32, x5 = –25, .... 97
Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN
Nhận xét và Tên gọi
 Bài toán 1. Nhận thấy: u  u  u  u  u  ...  u  u  ... 1 2 3 4 5 k k  1
Ta gọi u là một dãy số tăng. n 
 Bài toán 2. Nhận thấy: a  a  a  a  a  ...  a  a  ... 1 2 3 4 5 k k  1
Ta gọi (an) là một dãy số giảm.
 Bài toán 3. Nhận thấy: x  x  x 3 4 5
Ta gọi (xn) là một dãy số không tăng và không giảm. Định nghĩa.
 Dãy số u được gọi là dãy số tăng nếu u  u , n  N*. n  n n  1
 Dãy số u được gọi là dãy số giảm nếu u  u , n  N*. n  n n  1
 Dãy số tăng và dãy số giảm gọi chung là dãy số đơn điệu
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Cách 1. Với nN*, tính hiệu số: u  – u n 1 n Nếu u   – u
0 thì u là dãy số tăng. n  n 1 n Nếu u   – u
0 thì u là dãy số giảm. n  n 1 n u
Cách 2. Nếu u  0 , nN* thì tính thương số n1 n un u
Nếu n1 > 1 thì u là dãy số tăng. n  un u
Nếu n1 < 1 thì u là dãy số giảm. n  un
 Xét tính tăng, giảm hay xét tính đơn điệu của dãy số là xem dãy số đó tăng hay giảm hay không tăng, không giảm.
 Chứng minh dãy số u không tăng, không giảm, ta chỉ cần tính cụ thể 3 số hạng nào n 
đó của dãy số để kết luận. (Xem bài toán 3 ở trên) Ghi chú
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................. 98 Trường THPT MARIE CURIE B. VÍ DỤ n  2
Ví dụ 1. Xét tính tăng, giảm của dãy số u có số hạng tổng quát là u  . n  n n  1 Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của dãy số u , với u  n  2  2 n . n  n Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... n
Ví dụ 3. Xét tính tăng, giảm của dãy số u có u  . n  n 3n Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... n
Ví dụ 4. Xét tính tăng, giảm của dãy số u với u   . n – 1 .2n 1 n  Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... 99
Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN
C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Xét tính tăng, giảm của dãy số u với: n  4 1/. u   5 2/. 3
u  n  2n 3/. u  n  1  n n n n n n  1 n    n 4/. u  5/. 2
u  3n  sin n 6/. u     n   2 3 1 n 3n n n   1  n u  1 7/ u  8/  n n  2 n 5n u  2u   n n 1 1 u  3 3n 1 9)  n n  2 10) u  u  4u   n 3n  7 n n 1 1 1 1 1 1 11) u     ... n 1.2 2.3 3.4 . n n   1
1  3  5  ...  2n  12 2 2 2 12) u  n
2  4  6  ...  2n2 2 2 2 100 Trường THPT MARIE CURIE DẠNG 2 DÃY SỐ BỊ CHẶN
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cho dãy số u n 
 Nếu tồn tại một số thực M sao cho un ≤ M, n  N* thì u gọi là dãy số bị chặn trên. n 
 Nếu tồn tại một số thực m sao cho un  m, n  N* thì u gọi là dãy số bị chặn dưới. n 
 Nếu tồn tại hai số thực m và M sao cho m ≤ un ≤ M, n  N* thì (un) gọi là dãy số bị chặn.
 Xét tính bị chặn của một dãy số là xem dãy số đó có chặn trên, hay chặn dưới, hay bị chặn không? B. VÍ DỤ 3
Ví dụ 1. Xét tính bị chặn của dãy số u với u  . n  n n  1 Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... 2n  6
Ví dụ 2. Xét tính bị chặn của dãy số u với u  . n  n n  1 Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... 1
Ví dụ 3. Xét tính bị chặn của dãy số u với u   sinn. n  n 2 n  1 Lời giải 101
Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Xét tính bị chặn của dãy số u với: n  4 n  4 5 n  2 1/. u   5 2/. u  3/. u    cosn n n n n  2 n 2 n  1 n  1
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Nội dung Lời giải 1 1 1
Câu 1: Cho S    ... n   Kết quả nào n nn   , 1, 2, 3... 1.2 2.3 1 sau đây đúng? n  1 n A. S  . B. S  . n n n n  1 n  1 n  2 C. S  . D. S  . n n  2 n n  3 1 1 1
Câu 2: Cho S    ... n   Kết n
 n   n  , 1, 2, 3... 1.3 3.5 2 1 . 2 1 quả nào sau đây đúng? n  1 n A. S  . B. S  . n 2n  1 n 2n  1 n  1 n  2 C. S  . D. S  . n 2n  3 n 2n  5 Câu 3:
Cho S  1.1! 2.2! 3.3!...  2007.2007!. Kết quả nào sau đây đúng?
A. S  2.2007!.
B. S  2008!1. C. S  2008!.
D. S  2008!1.
Câu 4: Cho dãy số u  , với u  6,u  u  5 . Khi đó, u bằng n 1 n n 1  n A. 5n 1. B. 5n   1 . C. 5n  1. D. 1 5n .
Câu 5: Cho dãy số u  , với 1
u  5n . Khi đó, u n n n bằng 1 n1 5 A. n1 5 . B. 5n . C. n1 5.5 . D. . 5 102 Trường THPT MARIE CURIE 2n3  n  1 
Câu 6: Cho dãy số u  , với u    , n   1,2,3...Khi n n  n  1  đó, un bằng 1 2n  1 3  2n  1 3 n  1   n 1  A.   . B.   .  n  1   n  1  2n3  2n5 n   n  C.   . D.   .  n  2   n  2  2n  1
Câu 7: Cho dãy số u  , với u  , n   1,2,3...Khi đó n n 2n  5 u là dãy số n  A. tăng. B. giảm. C. không tăng. D. không giảm. 3n  1
Câu 8: Cho dãy số u  , với u  , n   1,2,3...Khi đó n n 3n  7 u là dãy số n 
A. bị chặn trên và không bị chặn dưới.
B. bị chặn dưới và không bị chặn trên.
C. bị chặn trên và bị chặn dưới.
D. không bị chặn trên và không bị chặn dưới. n
Câu 9: Cho dãy số u  , với u  
Khi đó u là dãy số n  n  1 . n A. tăng. B. giảm.
C. bị chặn trên và bị chặn dưới.
D. không bị chặn trên và không bị chặn dưới. n
Câu 10: Cho dãy số u  , với u   
Khi đó u là dãy n  n   2n 5 1 .5 . n số
A. bị chặn trên và không bị chặn dưới.
B. bị chặn dưới và không bị chặn trên.
C. bị chặn trên và bị chặn dưới.
D. không bị chặn trên và không bị chặn dưới. 2n3  1 
Câu 11: Cho dãy số u  , với u   
. Khi đó u là dãy số n  n n  5  A. tăng. B. giảm. C. bị chặn trên .
D. bị chặn trên dưới. 103
Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN VẤN ĐỀ 3 CẤP SỐ CỘNG  BÀI TOÁN
Liệt kê các số hạng của dãy số u với u  2n  4 . n  n Bài giải
Ta có: u  6, u  8, u  10, u  12, u  14, ... .,u  2n  4, u
 2 n1  4  2n 6 . 1 2 3 4 5 n n 1   
Nhận xét và tên gọi
 Nhận thấy: u  u  2, u  u  2, u  u  2, u  u  2, ....,u  u  2 2 1 3 2 4 3 5 4 n 1  n
 Nghĩa là số hạng đứng sau bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với hằng số 2.
 Ta gọi dãy số u như trên là một cấp số cộng, hằng số 2 gọi là công sai. n  Định nghĩa.
 Dãy số u (hữu hạn hoặc vô hạn) gọi là cấp số cộng nếu có tính chất u  u  d, n  n 1  n n
 N * (Với d là hằng số).
 Kí hiệu: đặt trước một dãy số để chỉ rằng nó là một cấp số cộng.
Ví dụ: u , u , u , ... .,u hay u n  1 2 3 n
 Hằng số d gọi là công sai.
 Nếu hằng số d  0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi. Ghi chú
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... DẠNG 1.
XÉT DÃY SỐ (un) CÓ LÀ MỘT CẤP SỐ CỘNG KHÔNG?
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Cách 1. Tính hiệu số u – u n 1 n Nếu u – u
u là một cấp số cộng. n
bằng hằng số thì  n  1 n Nếu u – u
u không là một cấp số cộng. n
phụ thuộc vào n thì  n  1 n
 Cách 2. Tính tổng số u  u . n1 n–1 104 Trường THPT MARIE CURIE Nếu u  u bằng 2u
u là một cấp số cộng. n1 n–1 n thì  n  Nếu u  u không bằng 2u
u không là một cấp số cộng. n1 n–1 n thì  n 
 Cách 3. Cách khác tốt hơn để chứng minh u không là một cấp số cộng. n 
Tính cụ thể 3 số hạng liên tiếp, ví dụ tính u , u , u . 1 2 3
Nếu u – u  u – u thì u không là một cấp số cộng. n  2 1 3 2
Nếu u  u  2u thì u không là một cấp số cộng. n  1 3 2 Chú ý.
Ba số a, b, c là một cấp số cộng khi và chỉ khi a  c  2b .
 u là một cấp số cộng khi và chỉ khi u u  2u , n   2. n  n 1  n 1  n Ghi chú
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... B. VÍ DỤ
Ví dụ 1. Trong các dãy số u dãy nào là cấp số cộng? n  n 1/. u  1 2/. u  ( 1  )n  3n n 2 n Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
Ví dụ 2. Trong các dãy số u dãy nào là cấp số cộng? n  7  3n n  1 1/. u  2/. u  n 2 n 2n  1 Lời giải
....................................................................................................................................................................... 105
Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
Ví dụ 3. Tìm x để 3 số u  10 – x, 2
u  2x  3, u  5 – 4x là một cấp số cộng. 1 2 3 Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... DẠNG 2.
TÌM SỐ HẠNG THỨ k VÀ CÔNG SAI d
CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Tìm số hạng đầu u và công sai d của cấp số cộng u bằng công thức: n  1
u  u  n – 1 d n 1  
 Tìm số hạng thứ k bằng công thức: u  u  k – 1 d k 1   Ghi chú
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... B. VÍ DỤ u
  u  u  10
Ví dụ 1. Cho cấp số cộng u biết 1 3 5  . n  u  u  17  1 6
1/. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng u . n 
2/. Tìm số hạng thứ 100 của cấp số cộng u . n  106 Trường THPT MARIE CURIE Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... u
  u  u  7
Ví dụ 2. Tìm số hạng thứ 10 của cấp số cộng u biết 2 6 4  . n 
u  2u  2u  8 7 4 Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
Ví dụ 3. Tìm một cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng số hạng đầu và số hạng thứ 3 là 28 và
tổng số hạng thứ 3 và số hạng cuối là 40. Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
Ví dụ 4. Cho một cấp số cộng có 18 số hạng, số hạng cuối là – 11 và công sai là –1. Tìm số hạng đầu. Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... 107
Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN
C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1 Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng u biết: n  u   u  8 u   8 u  .u  52 u   u  60 1/. 7 3  2/. 6  3/. 2 5  4/. 7 15  u .u   75 2 2 u    u  16
u  u  u  u  34 2 2 u    u  1170 2 7  4 2 2 3 4 5 4 12
Bài 2 Cho một cấp số cộng có số hạng đầu là 8, số hạng cuối là – 55 và công sai là – 7. Cấp số
cộng này có bao nhiêu số hạng.
Bài 3 Cho một cấp số cộng có số hạng thứ 6 là – 5 và công sai là 3. Số hạng nào có giá trị là 7? DẠNG 3.
TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng u được cho bởi công thức n 
nu  u
n 2u  (n  1)d 1 n    1 S   n 2 2 Ghi chú
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... B. VÍ DỤ
5u  10u  0
Ví dụ 1. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng u biết 1 5  . n  S   14 4 Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
Ví dụ 2. Chu vi của một đa giác là 158 cm , số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số
cộng với công sai bằng 3 cm. Biết cạnh lớn nhất là 44 cm, tìm số cạnh của đa giác đó. 108 Trường THPT MARIE CURIE Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP CƠ BẢN S   18
Bài 1 Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng u biết 4  . n  S  45  6
Bài 2 Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng u biết 2 S  5n  3 . n n  n u
  u  u  10
Bài 3 Cho cấp số cộng u biết 2 3 5  . Tính S . n  u  u  17  7 1 6
Bài 4 Cho cấp số cộng – 9; – 6; – 3; ... có tổng là 66. Tìm số hạng cuối cùng của cấp số cộng đó. Bài 5 Tính tổng 2 2 2 2 2 2 2 2
S  100  99  98  97  96  95  ...  2 1 .
Bài 6 Một tam giác có 3 góc lập thành một cấp số cộng. Góc nhỏ nhất là 200. Tìm 3 góc của tam giác đó.
Bài 7 Một tứ giác lồi có 4 góc lập thành một cấp số cộng, góc lớn nhất là 1260. Tìm 4 góc của tứ giác lồi đó.
Bài 8 Một tam giác vuông có 3 góc lập thành một cấp số cộng. Tìm 3 góc của tam giác đó.
Bài 9 Một tam giác có 3 cạnh lập thành một cấp số cộng. Tính 3 cạnh của tam giác đó, biết
chu vi của nó bằng 24 cm.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Nội dung Lời giải
Câu 1: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 4  ; 1; 6; x .
Khi đó giá trị của x bằng A. 7. B. 10. C. 11. D. 12 .
Câu 2: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 7  ; ; x 11; y .
Khi đó giá trị của x và y là
A. x  1; y  21.
B. x  2; y  20.
C. x  3; y 19.
D. x  4; y  18.
Câu 3: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 5; 9;13;17;... Khi đó u bằng n A. 5n 1. B. 5n 1. C. 4n 1. D. 4n 1. 109
Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN
Câu 4: Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là 4;7;10;13;...
Gọi S là tổng của n số hạng đầu tiên của dãy số cộng đó n   1 . n Khi đó S bằng n  3n  A. 3n 1. B.  . . n  2   3n  1  3n  2  C.  . . n D.  . . n  2   2  Câu 5:
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
A. u  7  3 . n
B. u  7  3 . n n n 7 C. u  . D. u  7.3 . n n 3n n
Câu 6: Gọi S  1 2  3  4  5  ...  2n  1  2 , n n   1,n . Khi
đó giá trị của S bằng A. 0. B. 1.  C. . n D.  . n Câu 7:
Một cấp số cộng có 13 số hạng, số hạng đầu là 2 và tổng
của 13 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng 260. Khi đó, giá trị của u bằng 13 A. 40. B. 38. C. 36. D. 20. Câu 8:
Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng
đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và số hạng
thứ tư bằng 14. Khi đó, công sai của cấp số cộng đã cho có giá trị bằng A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Câu 9:
Một cấp số cộng có 7 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng
đầu và số hạng cuối bằng 30, còn tổng của số hạng thứ ba và số
hạng thứ sáu bằng 35. Khi đó, số hạng thứ bảy của cấp số cộng đó có giá trị bằng A. 25. B. 30. C. 35. D. 40. Câu 10:
Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số
hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười hai bằng 23. Khi đó, công
sai của cấp số cộng đã cho bằng A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 110 Trường THPT MARIE CURIE Câu 11:
Một cấp số cộng có 15 số hạng. Biết rằng tổng của 15 số
hạng đó băng 225, và số hạng thứ mười lăm bằng 29. Khi đó, số
hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho bằng A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. Câu 12:
Một cấp số cộng có 10 số hạng. Biết rằng tổng của 10 số
hạng đó bằng 175, và công sai d  3. Khi đó, số hạng đầu tiên của
cấp số cộng đã cho bằng A. 0. B. 2. C. 4. D. 6 . Câu 13:
Cho một cấp số cộng có 20 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. u  u  u  u .
B. u  u  u  u . 1 20 2 19 1 20 5 16
C. u  u  u  u .
D. u  u  u  u . 1 20 8 13 1 20 9 11
Câu 14: Trong một cấp số cộng có n số hạng n  k  55 . Đẳng
thức nào sau đây là sai?
A. u  u  u  u .
B. u  u  u  u . 1 n 2 n 1  1 n 5 n4
C. u  u  u  u .
D. u  u  u  u . 1 n 55 n55 1 n k nk 1  VẤN ĐỀ 4 CẤP SỐ NHÂN  BÀI TOÁN 1
Liệt kê các số hạng của dãy số u với u  . n  n 2n Bài giải 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: u  , u  , u  , u  , u  , ..., u  , u  1 2 2 4 3 8 4 16 5 25 n  2n n 1 n1 2
Nhận xét và tên gọi 1 1 1 1 1
 Nhận thấy: u  u , u  u , u  u , u  u , ... , u  u . 2 1 2 3 2 2 4 3 2 5 4 2 n1 2 n 1
 Nghĩa là số hạng đứng sau bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với hằng số . 2 1
 Ta gọi dãy số u ở trên là một cấp số nhân, hằng số gọi là công bội. n  2 111
Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa.
 Dãy số u (hữu hạn hoặc vô hạn) gọi là cấp số nhân nếu có tính chất u  u . q , n  n1 n n
 N * . (Với q là hằng số).  Kí hiệu:
đặt trước một dãy số để chỉ rằng nó là một cấp số nhân.
Ví dụ: u , u , u , ... .,u hay u . n  1 2 3 n
 Hằng số q gọi là công bội.
 Nếu hằng số q  0 hay q  1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi. Ghi chú
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... DẠNG 1.
XÉT DÃY SỐ (un) CÓ LÀ MỘT CẤP SỐ NHÂN KHÔNG?
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI u
 Tính tỉ số n1 un u
Nếu n1 bằng hằng số thì (un) là một cấp số nhân. un u
Nếu n1 phụ thuộc vào n thì (un) không là một cấp số nhân. un
 Cách khác để chứng minh (un) không là một cấp số nhân.
Tính cụ thể 3 số hạng liên tiếp, ví dụ tính u , u , u . 1 2 3 Nếu 2
u u  u thì u không là một cấp số nhân. n  1 3 2  Chú ý.
 Ba số a, b, c là một cấp số nhân khi và chỉ khi 2 . a c  b .
 u là một cấp số nhân khi và chỉ khi 2 u .u  u , n   2. n  n 1  n1 n Ghi chú
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... 112 Trường THPT MARIE CURIE B. VÍ DỤ
Ví dụ 1. Trong các dãy số u , dãy nào là cấp số nhân? n  1/. 1
u  3n 2/. u  3n  5 n n Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
Ví dụ 2. Tìm x để 3 số u  2 – x, u  2x, u  3  x là một cấp số nhân. 1 2 3 Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
Ví dụ 3. Tìm 2 số a, b biết 1, a, b là cấp số nhân và 1, a  8, b là cấp số cộng. Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1 Trong các dãy số u , dãy nào là cấp số nhân? n  n  1 1/. 2 3
u  2 n 2/. u  n n n  1
Bài 2 Tìm 2 số x và y biết x  6y, 5x  2y, 8x  y là cấp số cộng và x – 1, y  2, x – 3y là cấp số nhân. DẠNG 2. 113
Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN
TÌM SỐ HẠNG THỨ k VÀ CÔNG BỘI q
CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Tìm số hạng đầu u và công bội q của cấp số nhân u bằng công thức –1
u  u . n q . n  1 n 1
 Tìm số hạng thứ k bằng công thức –1
u  u . k q . k 1 Ghi chú
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... B. VÍ DỤ u   u  25
Ví dụ 1. Cho cấp số nhân u biết 4 2  . n  u  u  50  3 1
1/. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân u . n 
2/. Tìm số hạng thứ 8 của cấp số nhân u . n  Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... u   u  72
Ví dụ 2. Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân u biết 4 2  . n  u  u  144  5 3 Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... 114 Trường THPT MARIE CURIE
Ví dụ 3. Cho một cấp số nhân có 5 số hạng biết 2 số hạng đầu là số dương, tích số hạng 1
đầu và số hạng thứ 3 là, tích số hạng thứ 3 và số hạng cuối là . Tìm cấp số nhân này. 16 Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1 Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân u biết: n  u
  u  u  10 u   u  90 1/. 2 5 4  2/. 3 5 
u  u  u  20  u  u  240 3 6 5  2 6 1
Bài 2 Tìm 5 số lập thành một cấp số nhân có công bội bằng
số thứ nhất và tổng 2 số đầu là 4 24.
Bài 3 Tìm 3 số lập thành một cấp số nhân có tổng là 63 và tích là 1728. DẠNG 3.
TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1 n  q
 Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân u được cho bởi công thức S  .u (q  1) n  n 1 1  q 1 1 1 1
 Vd : Tính tổng    ...  10 2 4 8 2 Ghi chú
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... 115
Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN B. VÍ DỤ u
  u  u  66
Ví dụ 1. Cho một cấp số nhân u gồm 6 số hạng biết 2 4 5  . Tính tổng các n 
u  u  u  132   3 5 6
số hạng của cấp số nhân này. Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
Ví dụ 2. Viết 5 số xen giữa hai số 1 và 729 để được một cấp số nhân có 7 số hạng. Tính tổng
các số hạng của cấp số nhân này. Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
Ví dụ 3. Một tứ giác lồi có các góc lập thành một cấp số nhân. Tính số đo góc nhỏ nhất của 1
tứ giác đó, biết góc nhỏ nhất bằng góc lớn nhất. 9 Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................... 116 Trường THPT MARIE CURIE
Ví dụ 4. Bốn góc A, B, C, D theo thứ tự của một tứ giác lồi ABCD lập thành một cấp số
nhân, góc C gấp 4 lần góc A . Tìm 4 góc đó. Lời giải
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1 Viết 6 số xen giữa hai số –2 và 256 để được một cấp số nhân có 8 số hạng. Tính tổng
các số hạng của cấp số nhân này. u   3
Bài 2 Cho một cấp số nhân u gồm 5 số hạng biết 3 
. Tính tổng các số hạng của cấp n  u  27  5 số nhân này. u
  u  u  65
Bài 3 Cho một cấp số nhân u gồm 7 số hạng biết 1 3 5 
. Tính tổng các số hạng n  u  u   325 1 7 của cấp số nhân này.
Bài 4 Cho một cấp số nhân gồm 4 số hạng biết tổng của số hạng đầu và cuối là 27, tích của
hai số hạng còn lại là 72. Tính tổng các số hạng của cấp số nhân này.
Bài 5 Bốn góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số nhân, góc lớn nhất gấp 8 lần góc nhỏ nhất. Tìm 4 góc đó.
Bài 6 Tìm một cấp số nhân có 6 số hạng, biết tổng 5 số hạng đầu là 31 và tổng 5 số hạng sau là 62.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Nội dung Lời giải 5
Câu 1: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là Khi đó giá 4 trị của x bằng A. 14. B. 32. C. 64. D. 68.
Câu 2: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là ; x 12; y;192.
Khi đó, giá trị của x và y là
A. x  1; y  144.
B. x  2; y  72.
C. x  3; y  48.
D. x  4; y  36. 117
Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN Câu 3:
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là
3; 9; 27; 81;... Khi đó u bằng n A. n1 3 . B. 3 . n C. n1 3 . D. 3 3 . n  Câu 4:
Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là
1; 4;16; 64;...Gọi S là tổng của n số hạng đầu tiên của dãy số n
cộng đó n  
1 . Khi đó, giá trị của S bằng n n1  1 4  A. n1 4 . B.  . . n  2  4n  1 4n  1 C.  . D. 4. . 4   1  4   1  Câu 5:
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân? 7
A. u  7  3 . n
B. u  7  3 .
n C. u  D. u  7.3 . n n n n 3n n n1 n
Câu 6: Cho S  2
  4  8  16  32  ...   2     2   , n   *.
Khi đó giá trị của S bằng A. 2 . n B. 2 . n 2 1 2n    n  1  2    C. . D. 2   . 1  2  1  2      Câu 7:
Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu là 2 và số
hạng thứ sáu bằng 486. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng A. 3. B. 3.  C. 2. D. 2.  Câu 8:
Một cấp số nhân có 4 số hạng, số hạng đầu là 3 và số
hạng thứ tư là 192. Tổng các số hạng của cấp số nhân đó bằng A. 390. B. 255. C. 256. D. 256.  Câu 9:
Cho một cấp số nhân có 15 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. u .u  u .u .
B. u .u  u .u . 1 15 2 14 1 15 5 11
C. u .u  u .u .
D. u .u  u .u . 1 15 6 9 1 15 12 4
Câu 10: Cho một cấp số nhân có n số hạng n  k  55. Đẳng
thức nào sau đây là sai?
A. u .u  u .u .
B. u .u  u .u . 1 n 2 n1 1 n 5 n4
C. u .u  u .u .
D. u .u  u .u . 1 n 55 n55 1 n k nk1 118 Trường THPT MARIE CURIE Câu 11:
Một tam giác có các góc lập thành một cấp số nhân với
công bội q  2. Khi đó số đo các góc của tam giác ấy tương ứng bằng  2 4 A. 0 0 0 30 ; 60 ; 90 B. ; ; . 5 5 5  2 4  2 4 C. ; ; . D. ; ; . 6 6 6 7 7 7
Câu 12: Một tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c lập thành
một cấp số cộng (các số hạng được lấy theo thứ tự đó) thì A. sin , A sin ,
B sinC theo thứ tự lập thành cấp số cộng . B. cos A,cos ,
B cosC theo thứ tự lập thành cấp số cộng. C. tan A,tan ,
B tanC theo thứ tự lập thành cấp số cộng. D. cot , A cot ,
B cotC theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Câu 13:
Một cửa hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với
giá 100 (đơn vị nghìn đồng). Sau đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng
A lên 10%. Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng
giá mặt hàng đó lên 10%. Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng
sau hai lần tăng giá là bao nhiêu? A. 120. B. 121. C. 122. D. 200. Câu 14:
Một người đem 100.000.000 đồng đi gửi tiết kiệm với kì
hạn 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là 0,7% số tiền người đó có. Hỏi
sau khi hết kì hạn người đó được lĩnh về bao nhiêu tiền? A.  5 8 10 . 0,07 (đồng). B.  6 8 10 . 0,07 (đồng). C.  5 8 10 . 1,07 (đồng). D.  6 8 10 . 1,07 (đồng).
Câu 15: Cho cấp số nhân có 10 số hạng với công bội q  0 và
u  0. Đẳng thức nào sau đây là đúng? 1 A. 3
u  u .q . B. 4
u  u .q . C. 5
u  u .q . D. 6
u  u .q . 7 4 7 4 7 4 7 4
Câu 16: Cho cấp số nhân u với công bội q  0 và u  0. Với n  1 1  k  ,
m đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A. u  u . k q .
B. u  u . m q . m k m k C. u u . m k q   .
D. u  u .qmk . m k m k Câu 17:
Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng
thứ sáu bằng 64, thì số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể
tính theo công thức nào dưới đây? A. n1 u  2 .
B. u  2n . C. n1 u  2 . D. u  2 . n n n n n 119
Chuyên đề 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN
Câu 18: Một cấp số nhân có ba số hạng là a,b,c (theo thứ tự đó),
trong đó các số hạng đều khác 0 và công bội q  0. Khi đó, đẳng
thức nào dưới đây là đúng? 1 1 1 1 A.  . B.  . 2 a bc 2 b ac 1 1 1 1 2 C.  . D.   . 2 c ba a b c Câu 19:
Một chiếc đồng hồ đánh chuông, số tiếng chuông được
đánh bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi
một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông, nếu nó chỉ
đánh chuông vào giờ (mỗi ngày 24 tiếng)? A. 78. B. 156. C. 300. D. 48. Câu 20:
Một tứ giác có các góc tạo thành một cấp số nhân có
công bội q  3. Khi đó số đo của các góc của tứ diện đó là  3 9 27  3 9 27 A. ; ; ; . B. ; ; ; . 20 20 20 20 40 40 40 40  3 9 18 C. 0 0 0 0 30 ; 60 ; 90 ;180 . D. ; ; ; . 15 15 15 15
Câu 21: Cho dãy số u với u  3 . n Tính u ? n  n n 1  A. u  3n 3. B. u  3.3 .n n 1  n 1  C. u  3n 1. D. u  3 n 1 . n 1    n 1 
Câu 22: Cho cấp số cộng u  : 2, , a 6, .
b Tích ab bằng? n A. 32 . B. 40 . C. 12 . D. 22 .
Câu 23: Trong các dãy số sau đây dãy số nào là cấp số nhân? A. Dãy số 2  , 2 , 2  , 2 , …, 2  , 2 , 2  , 2 , …
B. Dãy số u , xác định bởi công thức u  3n 1 với n  n * n  .
C. Dãy số u , xác định bởi hệ: n  u  1  1  . u  u  2       * n : n 2 n n 1 
D. Dãy số các số tự nhiên 1, 2 , 3 , …. Câu 24:
Cho một cấp số cộng có u  2 , u  4 . Hỏi u bằng bao 4 2 1 nhiêu?
A. u  6 . B. u  1. C. u  5 . D. u  1  . 1 1 1 1 120 Trường THPT MARIE CURIE Câu 25:
Cho cấp số nhân x,12, y,192. Tìm x và . y
A. x  3, y  48 hoặc x  4, y  36. B. x  3  , y  4
 8 hoặc x  2, y  72.
C. x  3, y  48 hoặc x  3  , y  4  8.
D. x  3, y  48 hoặc x  3  , y  48. Câu 26:
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
A. Dãy số u , với u  7  3 . n n n
B. Dãy số v , với v  7  3 . n n n
C. Dãy số w , với w  7.3n. n n
D. Dãy số t , với 7 t  . n n 3n Câu 27:
Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn
dãy số là cấp số nhân. u   2 u   1 1 A.  . B. 1  . 2 u  u  u  3u  n 1  n n 1  n u   3  u   3 1 C. 1  . D.  . u  u 1  u  2 .nu n 1  n  n 1 n 121

Các dạng bài tập dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân Toán 11 KNTTVCS – Phan Nhật Linh

Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 7: Cấp số nhân - Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài 6: Cấp số cộng - Kết Nối Tri Thức

Toán 11 Bài tập cuối chương II - Kết Nối Tri Thức