NGUYÊN LÝ THỐNG KÊ
DẠNG BÀI TẬP 1: SỐ TƯƠNG ĐỐI
Khái niệm: Số tương đối trong thống kê là chỉ tiêu biểu hiện quan hệ so sánh giữa 2 chỉ tiêu
thống kê cùng loại nhưng khác nhau về điều kiện thời gian hay không gian; hoặc giữa 2 chỉ tiêu thống
kê khác loại nhưng có liên quan mật thiết với nhau.
Có 4 loại số tương đối, nhưng chúng ta chỉ quan tâm 2 loại: SỐ TƯƠNG ĐỐI NHIỆM VỤ KẾ
HOẠCH và SỐ TƯƠNG ĐỐI HOÀN THÀNH KẾ HOẠCH. SỐ TƯƠNG ĐỐI SỐ TƯƠNG ĐỐI NHIỆM VỤ KẾ HOẠC H HOÀN THÀNH KẾ HOẠC H 𝑡𝑛𝑘 = 𝑦𝑘ℎ 𝑡 𝑦 ℎ𝑘 = 𝑦1 0 𝑦𝑘ℎ
tnk: số tương đối nhiệm vụ kế hoạch
thk: số tương đối hoàn thành kế hoạch
ykh: mức độ kế hoạch đề ra
ykh: mức độ kế hoạch đề ra
y0: mức độ thực tế kỳ trước
y1: mức độ thực tế kỳ nghiên cứu VD1: Chỉ tiê u
Thực hiện 1998 (y0) Dự kiến 1999 (ykh) Thực tế 1999 (y1) Doanh thu 20 26 21
𝑡𝑛𝑘 = 𝑦𝑘ℎ = 26 = 1.3 = 130% (≈ 6 𝑡ỷ) 𝑦0 20
𝑡ℎ𝑘 = 𝑦1 = 21 = 0.807 = 80.7% ( 𝑔𝑖ả𝑚 19,3% ≈ 5 𝑡ỷ) → không hoàn thành kế hoạch. 𝑦𝑘ℎ 26
VD2: Tình hình sản xuất sản phẩm M của 2 Doanh nghiệp thuộc công ty Y trong 2013: Doanh nghiệp
Sản lượng thực tế (tấn)
Tỷ lệ hoàn thành kế hoạch A 16.500 95% B 10.400 X%
Biết tỷ lệ hoàn thành kế hoạch sản lượng của cả công ty Y năm 2013 là 130%. Xác định X. Giải: Doanh Sản lượng thực tế Tỷ lệ hoàn thành Kế hoạch đề ra nghiệp (tấn) (y1) kế hoạch (thk) (ykh) A 16.500 95% 17.368,42 B 10.400 X% 20.692,3 – 17.368,42 = 3323,88 16.500 + 10.400 = Y 26.900 130% 20.692,3 Áp dụng công thức: 𝑡 ℎ𝑘 = 𝑦1 → 𝑦 𝑦 𝑘ℎ = 𝑦1 𝑘ℎ 𝑡ℎ𝑘
𝑦𝑘ℎ𝐴 = 𝑦1𝐴 = 16.500 = 17.368,42; 𝑦 = 26.900 = 20.692,3 𝑡 𝑘ℎ𝑌 = 𝑦1𝑌 ℎ𝑘𝐴 95% 𝑡ℎ𝑘𝑌 130%
𝑦𝑘ℎ𝐵 = 𝑦𝑘ℎ𝑌 - 𝑦𝑘ℎ𝐴 = 20.692,3 – 17.368,42 = 3323,88
X = (𝑡𝑘ℎ𝐵) = 𝑦1𝐵 = 10.400 *100% = 312,89% 𝑦𝑘ℎ𝐵 3323.88
NGUYÊN LÝ THỐNG KÊ
DẠNG BÀI TẬP 2: SỐ TƯƠNG ĐỐI KẾT CẤU
Khái niệm: Số tương đối kết cấu là chỉ tiêu phản ánh quan hệ so sánh giữa mức độ của từng
bộ phận và mức độ của tổng thể. Số tương đối kết cấu chính là tỉ trọng của mỗi bộ phận chiếm trong tổng thể. d = 𝑦𝑏𝑝 𝑦 * 100% 𝑡𝑡
ybp: mức độ bộ phận
ytt: mức độ tổng thể
VD1: Tỉnh X trong năm 2012 tỉ trọng dân số thành thị là 36,5%, năm 2013 so với năm 2012 dân số
thành thị TĂNG 7,8% và dân số nông thôn tăng 3,4%. Xác định tỉ trọng dân số nông thôn năm 2013. Giải:
Gọi a là dân số của tỉnh X năm 2012
Tỉ trọng dân số thành thị 2012: 36,5% → Dân số của thành thị năm 2012: 36,5%a
Tỉ trọng dân số nông thôn 2012: 100% - 36,5% = 63,5% → DSNT năm 2012: 63,5%a
Tỉ trọng dân số nông thôn 2013: dnt2013 = 𝐷𝑆𝑛𝑡2013 = 𝐷𝑆𝑛𝑡2013 𝐷𝑆2013
𝐷𝑆𝑛𝑡2013+ 𝐷𝑆𝑡𝑡2013
Trong đó: 𝐷𝑆𝑡𝑡2013 = 𝐷𝑆𝑡𝑡2012 + 𝐷𝑆𝑡𝑡 𝑡ă𝑛𝑔 𝑡ℎê𝑚 2013 = 36,5%a + 7,8%*36,5%a = 39,347%a
𝐷𝑆𝑛𝑡2013 = 𝐷𝑆𝑛𝑡2012 + 𝐷𝑆𝑛𝑡 𝑡ă𝑛𝑔 𝑡ℎê𝑚 2013 = 63,5%a + 3,4%*63,5%a = 65,659%a
Vậy tỉ trọng DSNT 2013: dnt2013 = 𝐷𝑆𝑛𝑡2013 = 𝐷𝑆𝑛𝑡2013 = 65,569%𝑎 = 62,53% 𝐷𝑆2013
𝐷𝑆𝑛𝑡2013+ 𝐷𝑆𝑡𝑡2013 65,659%a + 39,347%a
Tỉ trọng DSTT 2013: dtt2013 = 100% - dnt2013 = 100% - 62,53% = 37,47%
VD2: Tỉnh X trong năm 2012 tỉ trọng dân số nam là 57,6%, năm 2013 so với năm 2012 dân số nam
GIẢM 5,3% và dân số nữ tăng 4,6%. Xác định tỉ trọng bộ phận so với tổng thể năm 2013. Giải:
Gọi a là dân số năm 2012
Tỉ trọng dân số nam 2012: 57,6% → Dân số của nam năm 2012: 57,6%a
Tỉ trọng dân số nữ 2012: 100% - 57,6% = 42,4% → Dân số của nữ năm 2012: 42,4%a
𝐷𝑆𝑛𝑎𝑚 2013 = 𝐷𝑆𝑛𝑎𝑚 2012 - 𝐷𝑆𝑛𝑎𝑚 𝑔𝑖ả𝑚 2013 = 57,6%a - 5,3%*57,6%a = 54,55%a
𝐷𝑆𝑛ữ 2013 = 𝐷𝑆𝑛ữ 2012 + 𝐷𝑆𝑛ữ 𝑡ă𝑛𝑔 𝑡ℎê𝑚 2013 = 42,4%a + 4,6%*42,4%a = 44,3504%a
Tỉ trọng dân số nam 2013: d , 𝑎
nam 2013 = 𝐷𝑆𝑛𝑎𝑚 2013 = 54 55% = 55,15% 𝐷𝑆2013 54,55%a + 44,3504%a
Tỉ trọng dân số nữ 2013: dnữ 2013 = 100% - dnam 2013 = 100% - 55,15% = 44,85%
NGUYÊN LÝ THỐNG KÊ
DẠNG BÀI TẬP 3: SỐ BÌNH QUÂN ∑ 𝑛 𝑥 𝑖=1 𝑖
Số bình quân giản đơn: 𝑥 = n ∑ 𝑛 𝑥 S 𝑖=1 𝑖∗𝑓𝑖
ố bình quân cộng gia quyền: 𝑥 = ∑ 𝑛 𝑓 𝑖=1 𝑖 VD1: Doanh nghiệp SL Công
Năng suất LĐ Mức lương tháng Giá thành đơn vị nhân (người) (kg/người) (1.000đ/người) sản phẩm (fi) (xi1) (xi2) (đồng/kg) (xi3) A 150 150 800 1.100 B 200 155 850 1.050 C 350 160 880 1.000 ∑ 𝑛 𝑥𝑖1∗𝑓𝑖 ∗150+155∗ +160∗350
a) Năng suất LĐ bình quân: 𝑥 𝑖=1 1  = = 150 200 = 156,43 (kg/người) ∑ 𝑛 𝑓 150+200+350 𝑖=1 𝑖
Vậy năng suất LĐ bình quân là 156,43 kg/người. ∑ 𝑛 𝑥
b) Mức lương trung bình: 𝑥 𝑖=1 𝑖2∗𝑓𝑖 2  =
= 800∗150+850∗200+880∗350 = 854,29 (1.000đ/người) ∑ 𝑛 𝑓𝑖 150+200+350 𝑖=1
Vậy mức lương trung bình là 854.290 đồng/người.
c) Giá thành đơn vị sản phẩm bình quân:
∑ 𝑛 𝑥𝑖1∗𝑓𝑖∗𝑥𝑖3 350 𝑥 𝑖=1 3  =
= 150∗150∗1100+155∗200∗1050+160∗
∗1000 = 1.034,7 (đồng/kg) ∑ 𝑛 𝑥 150∗150+155∗200+160∗350 𝑖=1 𝑖1∗𝑓𝑖
Vậy giá thành đơn vị sản phẩm bình quân là 1.034,7 đồng/kg.
NGUYÊN LÝ THỐNG KÊ
DẠNG BÀI TẬP 4: SỐ MODE
Số Mode (M0) là biểu hiện của tiêu thức xuất hiện nhiều lần nhất trong tổng thể hay trong một dãy số phân phối.
+ Không có khoảng cách tổ: Số Mode là lượng biến có tầng số lớn nhất .
+ Có khoảng cách tổ: Số Mode là lượng biến (xi) xuất hiện nhiều lần nhất . M0 = x0 min + d0* 𝑓0− 𝑓0−1
(𝑓0− 𝑓0−1)+(𝑓0− 𝑓0+1)
M0 là ký hiệu của Mode
x0 min: Giới hạn dưới của tổ chứa M0
d0: Khoảng cách tổ chứa M0
f0: Tần số của tổ chứa M0
f0-1: Tần số của tổ đứng trước tổ chứa M0
f0+1: Tần số của tổ đứng sau tổ chứa M0
VD1: Số liệu phân bổ các hộ gia đình trong khu phố:
Số nhân khẩu (người) (xi) Hộ GĐ (fi) 1 10 2 20 3 70 4 50 5 60 Cộng 210 Tìm Mode. Giải: fi max = 70 → M0 = 3
VD2: NSLĐ tháng của CN trong DN X như sau: NSLĐ (tấn/người) (xi)
Số CN (người) (fi - tần số) 40 - 45 10 45 - 50 20 50 - 55 25 55 - 60 30 60 - 65 15 Cộng 100
Tìm Mode về NSLĐ của CN DN X. Giải: M0 = x0 min + d0* 𝑓0− 𝑓0−1 = 55 + 5* 30−25 = 56,25 (tấn/người )
(𝑓0− 𝑓0−1)+(𝑓0− 𝑓0+1) (30−25)+(30−15)
NGUYÊN LÝ THỐNG KÊ
DẠNG BÀI TẬP 5: SỐ TRUNG VỊ
Số trung vị (Me) là lượng biến đứng ở vị trí chính giữa trong dãy số lượng biến → phân chia
dãy số lượng biến làm 2 phần và mỗi phần có số đơn vị tổng thể bằng nhau.
Me = xi ở vị trí chính giữa
Trường hợp: Không có khoảng cách tổ: ∑ 𝑓
+ Số đơn vị tổng thể lẻ, vị trí chính giữa: x 𝑖+1 i = → 𝑀 2 𝑒 = xi
+ Số đơn vị tổng thể chẵn Me là số trung bình cộng giữa 2 lượng biến của 2 đơn vị đứng giữa: 𝑥𝑛 𝑀 2 ⁄ + 𝑥𝑛 2 ⁄ +1 𝑒 = 2
VD1: Số liệu về tuổi nghề của CN trong 1 tổ sản xuất lần lượt như sau: 2, 8, 4, 10, 6, (xi) (năm). Xác
định số trung vị về tuổi nghề của công nhân trong tổ. Giải:
TH1: xi = 7, n (tổng số lượng biến xi) n = 6 là số chẵn
Sắp xếp các lượng biến xi theo tứ tự tăng dần: 2, 4, 6, 7, 8, 10 𝑥𝑛 𝑀 2 ⁄ + 𝑥𝑛 2⁄ +1 𝑒 =
= 𝑥3+ 𝑥4 = 6 +7 = 6,5 (năm) 2 2 2
TH2: nếu bỏ lượng biến 7 (năm), các lượng biến xi theo tứ tự tăng dần: 2, 4, 6, 8, 10 n = 5 là số lẻ ∑ 𝑓 Vị trí chính giữa: 𝑖+1 = 5+1 = 3 2 2 Me = x3 = 6 (năm)
VD2: Số liệu về NSLĐ của 200 CN như sau: NSLĐ (kg/người) 21 23 25 27 29 Số C N 10 40 x (80) y (50) 20
a) Biết NSLĐ bình quân cả xưởng 25,3%. Tìm x,y. b) Tìm M0, Me về NSLĐ. Giải: a)
x + y = 200 – 10 – 40 – 20 = 130 (1) ∑ 𝑛 𝑥 ∗ +23∗40+25𝑥+ 𝑦+ ∗ Năng su 𝑖=1 𝑖∗𝑓𝑖 ất LĐBQ: 𝑥 = = 21 10 27 29 20 = 25,3 (kg/người) ∑ 𝑛 𝑓 𝑖=1 𝑖 200 → 25x + 27y = 820 (2)
Từ (1) và (2) → x = 80, y = 50
b) Số Mode: tần số lớn nhất fi max là 80 → lượng biến xi là 25 M0 = xi = 25
Số trung vị Me: tổng tần số fi = 200 → chẵn: n = 200 → n/2 = 100
Khi sắp xếp dòng lượng biến xi theo thứ tự tăng dần. Hai vị trí chính giữa là n/2 và n/2 +1: vị trí thứ 100 và 101
x100 = 25, x101 = 25 → Me = (25+25)/2 = 25
VD3: Số liệu về tiền lương của 115 CN như sau: Tiền lương 14 10 16 20 12 Số C N 30 x (25) 15 y (20) 25
a) Biết tiền lương bình quân cả xưởng 14. Tìm x,y. b) Tìm M0, Me. Giải:
a) x + y = 115 – 30 – 15 – 25 = 45 (1) ∑ 𝑛 𝑥 ∗ +10𝑥 + ∗ +20𝑦+ ∗ Ti 𝑖=1 𝑖∗𝑓𝑖
ền lương bình quân: 𝑥 = = 14 30 16 15 12 25 = 14 ∑ 𝑛 𝑓 115 𝑖=1 𝑖 → 10x + 20y = 650 (2)
Từ (1) và (2) → x = 25, y = 20
b) Số Mode: tần số lớn nhất fi max là 30 → lượng biến xi là 14 M0 = xi = 14 ∑ 𝑓 115+1 Số trung vị M 𝑖+1
e: tổng tần số fi = 115 → lẻ: → vị trí chính giữa: = = 58 2 2
Me = xi ở vị trí thứ 58 là 14 Tiền lương 10 12 14 16 20 Số C N 25 25 30 15 20
NGUYÊN LÝ THỐNG KÊ
DẠNG BÀI TẬP 6: ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG THỂ Trường hợp: n < 30 Trường hợp: n ≥ 30
Phương sai 𝜎2 đã biết 𝑥 - 𝑧 𝜎 𝜎 𝛼/2 ≤ μ ≤ 𝑥 + 𝑧 √𝑛 𝛼/2 √𝑛
Phương sai 𝜎2 chưa biết
Phương sai 𝜎2 chưa biết 𝑥 - 𝑡 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 𝑛−1,𝛼/2 ≤ μ ≤ 𝑥 + 𝑡 𝑥 - 𝑧 ≤ μ ≤ 𝑥 + 𝑧 √𝑛 𝑛−1,𝛼/2 √𝑛 𝛼/2 √𝑛 𝛼/2 √𝑛
VD1: Một mẫu gồm 49 sản phẩm chọn từ một tổng thể có phân phối chuẩn với phương sai là 16.
Trọng lượng trung bình một sản phẩm mẫu là 330g. Hãy ước lượng trung bình của 1 sản phẩm với độ tin cậy 95% Giải:
Gọi μ là trọng lượng trung bình của sản phẩm.
Ta có: n = 49, 𝜎2 = 16, 𝑥 = 330, α = 5% → 𝑧𝛼/2 = 1,96
Với độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình của 1 sản phẩm: 𝑥 - 𝑧 𝜎 𝜎 𝛼/2 ≤ μ ≤ 𝑥 + 𝑧 √𝑛 𝛼/2 √𝑛
330 - 1,96 4 ≤ μ ≤ 330 + 1,96 4 √49 √49 328,88 ≤ μ ≤ 331,12
Với độ tin cậy 95%, trọng lượng tb của 1 sp được ước lượng từ 328,88 gam đến 331,12 gam.
VD2: DS của 1 NH ăn uống trong 1 ngày có phân phối chuẩn. Theo dõi DS của NH đó trong 100
ngày có số liệu như sau (đvt: triệu đồng): DS 75 80 85 90 95 Số ngà y 4 28 40 20 8
Hãy ước lượng doanh số bán ra trung bình trong 1 ngày với độ tin cậy 95%. Giải:
Ta có n = 100; 𝑥 = 85; S = 4,92 (độ lệch chuẩn đã hiệu chỉnh mẫu); α = 5% → 𝑧 = 1,96 𝛼/2
Gọi μ là DS trung bình bán ra trong 1 ngày: 𝑥 - 𝑧 𝑆 𝑆 𝛼/2 ≤ μ ≤ 𝑥 + 𝑧 √𝑛 𝛼/2 √𝑛
85 - 1,96 4,92 ≤ μ ≤ 85 + 1,96 4,92 √100 √100 84,04 ≤ μ ≤ 85,96
Với độ tin cậy 95%, DS bán ra TB 1 ngày của NH được ước lượng từ 84,04 triệu đồng đến 85,96 triệu đồng.
VD3: Từ một lô hàng, chọn ngẫu nhiên ra 16 sp để kt tuổi thọ. Kq kt cho thấy tuổi thọ tb là 365 giờ
với độ lệch chuẩn là 12 giờ. Hãy ước lượng tuổi thọ tb của 1 sp với độ tin cậy 95%. Giải:
Ta có n = 16; 𝑥 = 365 giờ, S = 12; α = 5% → 𝑡 = 2,131 𝑛−1,𝛼/2
Gọi μ là tuổi thọ tb của 1 sp: 𝑥 - 𝑡 𝑆 𝑆 𝑛−1,𝛼/2 ≤ μ ≤ 𝑥 + 𝑡 √𝑛 𝑛−1,𝛼/2 √𝑛
365 - 2,131 12 ≤ μ ≤ 365 + 2,131 12 √16 √16 358,61 ≤ μ ≤ 371,39
Với độ tin cậy 95%, tuổi thọ trung bình của 1 sản phẩm được ước lượng từ 358,61 giờ đến 371,39 giờ.
NGUYÊN LÝ THỐNG KÊ
DẠNG BÀI TẬP 7: ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ TỔNG THỂ
𝑝 – 𝑧𝛼/2√𝑝(1−𝑝) ≤ p ≤ 𝑝 + 𝑧 𝑛 𝛼/2√𝑝(1−𝑝) 𝑛
VD1: Trung tâm cai nghiện ma túy muốn đánh giá tình trạng tái nghiện của những người nghiện ma
túy nên đã tiến hành theo dõi ngẫu nhiên 200 bệnh nhân được điều trị ở trung tâm và thấy số người
tái nghiện trong vòng một năm là 22 người. Với mức ý nghĩa 5%, hãy ước lượng tỉ lệ người tái nghiện của trung tâm. Giải:
Ta có: n = 200; α = 5% → 𝑧𝛼/2 = 1,96; 𝑝 = 22/200 = 0,11
𝑝 – 𝑧𝛼/2√𝑝(1−𝑝) ≤ p ≤ 𝑝 + 𝑧 𝑛 𝛼/2√𝑝(1−𝑝) 𝑛
0,11 – 1,96√0,11(1−0,1 )
1 ≤ p ≤ 0,11 + 1,96√0,11(1−0,11) 200 200 0,06688 ≤ p ≤ 0,15312
Với mức ý nghĩa 5%, ước lượng tỉ lệ người tái nghiện của trung tâm từ 6,688% đến 15,312%.
NGUYÊN LÝ THỐNG KÊ
DẠNG BÀI TẬP 8: ĐỘ LỆCH TUYỆT ĐỐI BÌNH QUÂN
Độ lệch tuyệt đối bình quân: ∑𝑛 | 𝑖=1 𝑥 Nếu x 𝑖− 𝑥|
i không có tần số fi: 𝑑 = 𝑛 ∑𝑛 | 𝑖=1 𝑥 Nếu x 𝑖− 𝑥| 𝑓𝑖
i có tần số fi: 𝑑 = ∑𝑛 𝑓 𝑖=1 𝑖
xi : các lượng biến
𝑥 : số bình quân cộng của các lượng biến xi
fi : các tần số 𝑑
Hệ số biến thiên về độ lệch tuyệt đối bình quân: 𝑉𝑑 = 𝑥 * 100% 
VD1: Điều tra về tiền lương (triệu đồng) trong 6.000 CN, với kết quả ở bảng dưới: TL (xi) 8 10 12 14 15 18 21 25 CN (fi) 6 20 15 21 28 12 10 8
1. Tính hệ số biến thiên về độ lệch tuyệt đối bình quân của tiền lương là bao nhiêu %?
2. Với độ tin cậy 95%, tiền lương bình quân trong toàn công ty?
3. Biết độ tin cậy 90%, tỉ lệ CN có tiền lương từ 18 triệu trở lên trong toàn CT là bao nhiêu %? Giải:
1. Ta có (kết quả bấm máy tính): 𝑥 = 14,73; σ = 4,308; n = 120 𝑛
Độ lệch tuyệt đối bình quân: 𝑑 = ∑ |
𝑖=1 𝑥𝑖− 𝑥| 𝑓𝑖 ∑𝑛 𝑓 𝑖=1 𝑖
= |8−1 ,473|∗6+ |10−1 ,473|∗20+|12−14,73|∗15+|14−14,73|∗21+|15−14,73|∗28+|18−14,73|∗12+|21−14,73|∗10+|25−14,73|∗8 120 = 3,191 𝑑 3,191
Hệ số biến thiên về độ lệch tuyệt đối bình quân: 𝑉𝑑 = * 100% = 𝑥 * 100% = 21,66% 14,73
2. Với độ tin cậy 95%, tiền lương trung bình trong toàn công t : y 𝑥 - 𝑧 𝜎 𝜎 𝛼/2 ≤ μ ≤ 𝑥 + 𝑧 √𝑛 𝛼/2 √𝑛
14,73 - 1,96 4,308 ≤ μ ≤ 14,73 + 1,96 4,308 √120 √120 13,959 ≤ μ ≤ 15,50
Với độ tin cậy 95%, tiền lương trung bình trong toàn công ty được ước lượng từ 13,959 triệu
đồng đến 15,50 triệu đồng.