Cac dạng bài tập môn xác suất thống kê| Đại học Kinh tế Quốc Dân

10 Education
Ôn thi Đại cương, chuyên ngành
Môn nào khó – Có TEN lo!
Ôn thi Tiếng anh, Tin học, Bằng lái xe
TỔNG HỢP CÁC DẠNG BÀI PHẦN XÁC SUẤT (CHƯƠNG 1->6)
CHƯƠNG 1: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT
DẠNG 1. Công thức trực tiếp
KIẾN THỨC CẦN NHỚ: P = m = Số kết cục thuận lợi n Không gian mẫu
* Thường dùng trong trường hợp bài toán cho SỐ LƯỢNG cụ thể. VD 1:
a) Lô hàng gồm 14 sản phẩm sản xuất trong nước và 6 sản phẩm nhập ngoại. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3 sản phẩm thì xác
suất được 2 sản phẩm trong nước và 1 sản phẩm nhập ngoại bằng bao nhiêu?
Đáp án: 𝟎, 𝟒𝟕𝟖𝟗
b) Có 5 lá thăm trong đó có 2 lá trúng thưởng. Một người bốc 2 lá, tính xác suất để người đó trúng thường? Đáp án: 0,7
VD 2: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Tính xác suất để lấy 2 sản phẩm thì
được 2 chính phẩm, theo 3 cách sau:
• Lần lượt có hoàn lại
• Lần lượt không hoàn lại • Cùng một lúc
Đáp án: 0,36; 𝟏 ; 𝟏 𝟑 𝟑
VD 3: Từ một hộp có 5 chính phẩm, 5 phế phẩm, lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Tìm số kết cục thuận lợi cho biến cố lấy
được 1 chính phẩm và 2 phế phẩm. Đáp án: 50
VD 4: Có 7 tập truyện Harry Portter được xếp vào 3 ngăn tủ (ngăn nào cũng có thể chứa cả 7 quyển). Tính xác suất để khi
xếp ngẫu nhiên 7 quyển này được xếp theo thứ tự từ 1 đến 7 trong cùng 1 ngăn tủ.
Đáp án: 𝟓. 𝟏𝟎−𝟕
DẠNG 2. Định lý Bernoulli
KIẾN THỨC CẦN NHỚ: P = pk(1 − p)n−kCkn
* Thường dùng trong trường hợp bài toán cho làm 1 công việc NHIỀU LẦN, xác suất không đổi.
TRƯỚC KHI ÁP DỤNG CÔNG THỨC CẦN CHỨNG MINH BÀI TOÁN THỎA MÃN LƯỢC ĐỒ BERNOULLI VD 5:
a) Một người đi bán hàng ở 5 nơi độc lập, và khả năng bán được hàng của mỗi nơi đều bằng 0,4. Khả năng người đó bán
được hàng ở 2 nơi bằng bao nhiêu?
Đáp án: 𝟎, 𝟑𝟒𝟓𝟔
b) Nếu khả năng khách hàng than phiền về dịch vụ là 0,15 thì xác suất trong 5 khách hàng có khách than phiền là? Đáp án: 0,5563
VD 6: Trong một trận đấu gồm 7 hiệp giữa 2 đội A và B, đội nào thắng trước 4 hiệp sẽ thắng cả trận. Giả sử XS thắng 1
hiệp của đội A là 0,75. Kết quả các hiệp đấu là độc lập
a) Tính XS để đội A thắng trận đấu Đáp án: 0,9294
b) Tính XS để phải cần đến 7 hiệp mới quyết định được thắng thua Đáp án: 0,1318
VD 7: Trong quân đội khi truyền tin người ta sử dụng ký hiệu Moóc-xơ (mật mã) với xác suất thu được mỗi lần đều là
0,6. Nếu muốn xác suất thu được thông tin lên đến 0,99 thì phải ít nhất bao nhiêu lần.
Đáp án: 6 lần
DẠNG 3. Định lý Cộng nhân
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) ( ) ( ( ) ( P(A) = 1 − P(A)
P A/B + P A/B) = P B/A + P B/A) = 1
P(AB) = P(A). P(B/A) = P(B). P(A/B) P(A. B) + P(A. B) = P(B) P(AB  ) = P(A+ B) P(AB) P(A/B) = )   P(B) P(A. B + P(A. B) = P(A) P(A + B) = P(A .B)
Đặc biệt: A, B xung khắc => P(A + B) = P(A) + P(B); P(AB) = 0; A. B = ϕ
A, B độc lập => P(A/B) = P(A); P(B/A) = P(B); P(AB) = P(A). P(B)
* Thường dùng trong trường hợp bài toán cho 2 biến cố A, B
Tutor: Trương Đức Huy Fanpage: 10 Education
Group: Nhóm XSTK anh Huy
Hotline: 08.9966.1010/ 0935.230395 10 Education
Ôn thi Đại cương, chuyên ngành
Môn nào khó – Có TEN lo!
Ôn thi Tiếng anh, Tin học, Bằng lái xe
VD 8: Cho A, B là 2 biến độc lập với P(A)=0,4 và P(B)=0,5. Tính P(A+B) Đáp án: 0,7
VD 9: Gọi A và B là 2 biến cố có lãi khi đầu tư vào dự án A và B. Cho P(A)=0,4, P(B)=0,3. P(AB)=0,1. Tính P(A/B), P(A + B), P(A .B)
Đáp án: 𝟑 ; 0,9; 0,4 𝟕
VD 10: Một sinh viên đi thi, đề thi gồm 1 câu lý thuyết và 1 câu bài tập. Đặt A là biến cố sinh viên trả lời đúng câu lý
thuyết, B là biến cố sinh viên trả lời đúng câu bài tập. Hãy biểu diễn theo A, B hai biến cố sau
a) Có câu trả lời đúng
Đáp án: Biến cố (A + B)
b) Đúng cả hai câu trong điều kiện có câu trả lời đúng
Đáp án: Biến cố (AB)/(A+B)
VD 11: Một người làm hai bài tập kế tiếp. Xác suất làm đúng bài thứ nhất là 0,6. Nếu làm đúng bài thứ nhất thì khả năng
làm đúng bài thứ hai là 0,9 nhưng nếu làm sai bài thứ nhất thì khả năng đúng bài thứ hai còn 0,3. Tính xác suất:
a) Làm đúng ít nhất một bài
b) Làm đúng chỉ 1 bài
c) Làm đúng bài 1 biết rằng làm đúng bài 2
d) Làm đúng cả hai, biết rằng có làm đúng ít nhất một bài
Đáp án: 0,72; 0,18; 𝟗 ; 0,75 𝟏𝟏
DẠNG 4. Công thức đây đủ và định lý Bayes
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Công thức đầy đủ: P(A) = P(H1). P(A/H1) + P(H2). P(A/H2) + ⋯ Định lý Bayes: P(H 1 1/A) = P(H1).P(A/H ) P(A) VD 12:
a) Một công ty bảo hiểm chia khách hàng thành 3 loại: nguy cơ thấp (tỉ lệ 25%), nguy cơ trung bình (tỉ lệ 45%), nguy cơ
cao (tỉ lệ 30%). Khả năng khách hàng thuộc các loại trên gặp rủi ro trong 1 năm tương ứng là 2%, 12%, 22%. Tính tỷ lệ
khách hàng gặp rủi ro trong số khách hàng của công ty. Đáp án: 0,125
b) Một công ty tổ chức thi tuyển nhân viên, để chọn được các ứng viên phải vượt qua 2 vòng thi, qua vòng tước mới
được thi tiếp vòng sau. Vòng 1 có 40% số người dự thi qua, vòng 2 lấy 60% của số người đã qua vòng 1. Tính tỉ lệ người
trượt ở ngay vòng 1 trong số ngưởi trượt Đáp án: 0,7895
c) Tỷ lệ thí sinh nam, nữ dự tuyển tại một công ty tương ứng là 40% và 60%. Khả năng trúng tuyển của nam và nữ tương
ứng là 0,5 và 0,7. Tính tỷ lệ nam và nữ trong số người trúng tuyển.
Đáp án: 0,3226; 0,6774
VD 13: Tỷ lệ phế phẩm của một nhà máy là 5%. Trước khi đưa ra thị trường sản phẩm phải được kiểm tra qua 1 máy tự
động. Máy có độ chính xác 95% đối với chính phẩm, 98% đối với phế phẩm. Sản phẩm được kết luận là chính phẩm thì sẽ
được đưa ra thị trường. Tính xác suất để k i
h ma ngẫu nhiên 1 sản phẩm ngoài thị trường thì mua phải phế phẩm ? Đáp án: 0,001 VD 14:
a) Xác suất để nam, nữ khi vào 1 cửa hàng mua hàng lần lượt là 0,7 và 0,4. Tính xác suất để 2 người vào cửa hàng đều
mua hàng, giả sử số khách hàng nam, nữ vào cửa hàng như nhau. Đáp án: 0,3025
b) Một hộp gồm 10 chi tiết máy trong đó có 6 chi tiết loại I và 4 chi tiết loại II. Sau 1 năm sử dụng, xác suất để các chi tiết
loại I bị hỏng là 0,1; xác suất để chi tiết loại II bị hỏng là 0,2. Lấy ngẫu nhiên 2 chi tiết ra sử dụng. Tính xác suất để sau 1
năm sử dụng cả 2 chi tiết đều bị hỏng. Đáp án: 0,0193
VD 15: Một trường đại học đặt yêu cầu chuẩn ngoại ngữ vào năm học cuối và có bảng XS như sau: Nam Nữ Tổng Đạt 0,3 0,7 Chưa đạt Tổng 0,5
Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên chưa đạt chuẩn thì đó là sinh viên nam?
Tutor: Trương Đức Huy Fanpage: 10 Education
Group: Nhóm XSTK anh Huy
Hotline: 08.9966.1010/ 0935.230395 10 Education
Ôn thi Đại cương, chuyên ngành
Môn nào khó – Có TEN lo!
Ôn thi Tiếng anh, Tin học, Bằng lái xe Đáp án: 𝟐 𝟑
DẠNG 5. Lý thuyết
- Phép thử và các loại biến cố (Trang 5 SGK)
VD 16: a) Thế nào là hai biến cố xung khắc, lấy ví dụ hai biến cố xung khắc trong kinh tế?
b) Thế nào là hai biến cố độc lập, lấy ví dụ hai biến cố xung khắc trong kinh tế?
- Định nghĩa cổ điển và định nghĩa thống kê về xác suất (Trang 7, 18 SGK)
VD 17: Muốn tính xác suất xe bus 18 đầy khách trong khung giờ cao điểm nên dùng định nghĩa cổ điển hay thống kê.
- Nguyên lý về x c
á suất lớn và xác suất nhỏ (Trang 22 SGK)
VD 18: Xác suất xảy ra một biến cố là 0,9. Xác suất đó có được coi là lớn không? Giải thích qua một ví dụ.
CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
DẠNG 1. Cho bảng phân phối xác suất
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Bảng phân phối xác suất
Kỳ vọng, trung bình: E(X) = x1p1 + x2p2 + ⋯ X x 2 2 1 X2 …
Phương sai V(X) = x1p1 + x2p2 + ⋯ − E(X)2 P p1 p2 …
Độ lệch chuẩn σ(X) = √V(X) Lưu ý: p1 + p2 + … =1
Hệ số biến thiên CV(X) = |√V(X)| . 100(%) E(X)
Mốt là giá trị X có xác suất lớn nhất
* Chú ý: Bài yêu cầu tính Độ phân tán, độ biến động, độ dao động, độ
rủi ro cũng chính là tính phương sai (hoặc độ lệch chuẩn). Nếu đơn vị
không có ^2 thì tính độ lệch chuẩn, có ^2 thì tính phương sai. Nếu
không có đơn vị thì tính 1 trong 2 đều được.
VD 19: Cho X là tiền lãi của một sản phẩm (đơn vị: nghìn đồng) X -2 3 5 8 P 0,2 0,4 0,25 ?
Tính xác suất để một sản phẩm có lãi không ít hơn 5 nghìn đồng? Tính trung bình, phương sai của tiền lãi?
Đáp án: 3,25; 9,6875
DẠNG 2. Lập bảng phân phối xác suất
KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Sử dụng các cách tính xác suất ở chương 1.
* Một số câu không yêu cầu lập bảng nhưng lại yêu cầu tính Kỳ vọng (Trung bình), Phương sai (Độ lệch chuẩn, độ phân
tán, độ biến động, độ dao động, độ rủi ro) thì ta vẫn phải lập đảng rồi chuyển về tính như Dạng 1.
VD 20: a) Một người đi làm qua 2 ngã tư có đèn tín hiệu giao thông. Xác suất gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ nhất là 0,6. Nếu ở
ngã tư thứ nhất gặp đèn đỏ thì xác suất gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ 2 là 0,8; nếu ở ngã tư thứ nhất không gặp đèn đỏ thì xác
suất gặp đèn đỏ ở ngã tư thứ 2 là 0,45. Lập bảng phân phối xác suất và tính trung bình số lần gặp đèn đỏ? Đáp án: 0,288
b) Một người có 500 triệu đồng nếu gửi vào ngân hàng thì lãi suất 10% một năm. Nếu đầu tư vào một dự án thành công
thì một năm có lãi 120 triệu, thất bại thì mất 30 triệu. Xác suất thành công của dự án tối thiểu phải bằng bao nhiêu thì
người đó mới đầu tư vào dự án.
Đáp án: 𝟖 𝟏𝟓
c) Một người chơi 2 trò chơi độc lập, với xác suất thắng ở trò thứ nhất và thứ hai lần lượt là 0,6 và 0,3. Nếu thắng mỗi trò
thị nhận được tiền thưởng 1 triệu. Tính kỳ vọng và phương sai của số t ề
i n thưởng nhận được. Đáp án: 0,9; 0,45
DẠNG 3. Cho bảng -> Lập bảng mới VD 21: Nhu cầu hàng hóa (kg) 21 22 23 24 26 P 0,1 0,2 0,3 0,25 0,15
Biết giá mua hàng về là 23 nghìn, bán ra 28 nghìn, nếu không bán được cuối ngày thanh lý 17 nghìn. Vậy nên nhập về 22 hay 23 kg.
Đáp án: Nên nhập về 23 kg
DẠNG 4. Cho hàm mật độ xác suất
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Tutor: Trương Đức Huy Fanpage: 10 Education
Group: Nhóm XSTK anh Huy
Hotline: 08.9966.1010/ 0935.230395 10 Education
Ôn thi Đại cương, chuyên ngành
Môn nào khó – Có TEN lo!
Ôn thi Tiếng anh, Tin học, Bằng lái xe
Xác suất: P = ∫ f(x)dx (Cận lấy theo câu hỏi); Nếu lấy c bà ận theo đề i thì ∫ f(x)dx = 1
Trung bình: E(X) = ∫ xf(x)dx (Cận lấy theo đề bài)
Phương sai: V(X) = ∫ x2f(x)dx − E2(X) (Cận lấy theo đề bài)
VD 22: a) Thời gian chờ xếp hàng mua hàng của khách hàng là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất như sau (đơn vị: phút) x nếu x ∈ (0;10) f(x) = {50 0 nếu x ∉ (0; 10)
Tính mức thời gian mà có 50% khách hàng phải chờ lâu hơn mức đó. Tính thời gian xếp hàng trung bình và độ phân tán.
Đáp án: 5√2; 20 ; 50 3 9
b) Thời gian để hoàn thành một giao dịch điện tử (phút) có
hàm mật độ như hình bên. Tính xác suất một giao dịch
được thực hiện trong khoảng thời gian từ 1 đến 7 phút? Đáp án: 0,5
VD 23: Ba biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất dưới
đây là lợi nhuận của 3 công ty. Nếu muốn xác suất có lợi
nhuận dương là cao hơn thì nên chọn công ty nào? Giải thích? Đáp án: B
DẠNG 5. Cho hàm phân phối xác suất (Tự đọc). Xem VD 4,5,6,7 trang 86->96 SGK
CHƯƠNG 3: MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
DẠNG 1. Quy luật chuẩn a − μ P(a < X < b) b − μ = ∅ ( σ ) − ∅( σ ) P(a < X) a − μ = 1 − ∅ (
Quy luật chuẩn σ )
𝐗~𝐍(𝛍, 𝛔𝟐) P(X < b) b − μ = ∅ ( σ )
P(|X − μ| < a) = 2∅ (a) − 1 σ
“Sai lệch so với trung bình không quá a”
1. Chuẩn hóa X~N(μ = 0, σ2 = 1)
2. Tổng của các biến phân phối chuẩn X ( 2) => X 2 1 + X2~N(2μ, 2σ )
Quy luật chuẩn đặc biệt i~N μ, σ
3. Trung bình mẫu phân phối chuẩn X~N (μX = μX, σ2X = σ2X) n
4. Tần suất mẫu phân phối chuẩn p~N (μp = p, σ2p = p.(1−p)) n
VD 24: Chi tiêu cho lương thực của hộ gia đình là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình bằng 1,2 triệu và
độ lệch chuẩn 0,3 triệu. Xác suất chi cho lương thực của hộ gia đình trong khoảng 1 triệu đến 1,5 triệu bằng bao nhiêu? Đáp án: 0,5899
VD 25: Thời gian hoàn thành công việc là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình là 120 phút. Biết rằng có
11,5% trường hợp hoàn thành công việc sau 150 phút. Hãy tính độ lệch chuẩn của thời gian hoàn thành công việc. Đáp án: 25
VD 26: Biết thiết bị điện tử có tuổi thọ phân phối chuẩn với trung bình là 2000 giờ và độ lệch chuẩn là 50 giờ. Khi chọn
ngẫu nhiên một thiết bị, thì với xác suất 0,95, tuổi thọ thiết bị đó tối thiểu bằng bao nhiêu? Đáp án: 1918
VD 27: Tuổi thọ của một loại sản phẩm sản xuất hàng loạt là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình là 1040 giờ
và độ lệch chuẩn là 80 giờ. Nếu bán được mỗi sản phẩm lãi 100 nghìn nhưng nhưng nếu trong thời gian bảo hành mà sản
phẩm bị hỏng thì phải chịu lỗ 500 nghìn đồng/sản phẩm. Muốn tiền lãi trung bình đối với sản phẩm bán ra là 40 nghìn
đồng thì nên quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu? Đáp án: 938
VD 28: Một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Xác suất để biến ngẫu nhiên đó nhận giá trị lớn hơn giá trị trung
Tutor: Trương Đức Huy Fanpage: 10 Education
Group: Nhóm XSTK anh Huy
Hotline: 08.9966.1010/ 0935.230395 10 Education
Ôn thi Đại cương, chuyên ngành
Môn nào khó – Có TEN lo!
Ôn thi Tiếng anh, Tin học, Bằng lái xe
bình là bao nhiêu, vẽ đồ thị minh họa? Đáp án: 0,5
DẠNG 2. Quy luật chuẩn đặc biệt
VD 29: (Trung bình mẫu) Thời gian thanh toán với các khách hàng trong 1 siêu thị là biến ngẫu nhiên phân phối
chuẩn với trung bình là 3,12 phút và độ lệch chuẩn là 0,4 phút.
a) Lấy ngẫu nhiên 25 khách hàng, tính xác suất để thời gian thanh toán trung bình của 25 khách hàng này ít nhất 3 phút Đáp án: 0,9332
b) Khả năng 85% thời gian thanh toán trung bình của 25 khách hàng này ít hơn bao nhiêu phút Đáp án: 3,2032
VD 30: (Tỉ lệ mẫu) 35% sản phẩm có lỗi. Lấy ngẫu nhiên 250 sản phẩm để kiểm tra.
a) Tính xác suất để tỉ lệ sản phẩm có lỗi không vượt quá 35%
b) Với xác suất 0,8 thì tần suất mẫu sẽ lớn hơn bao nhiêu %? Đáp án: 0,5; 0,3247
VD 31: (Tổng/ hiệu các biến cùng PPC) Cho chi phí 1 công ty là biến ngẫu nhiên X~N(10; 4) (triệu đồng/tháng).
Tính xác suất 1 tháng bất kỳ chi phí của tập đoàn gồm 4 công ty con như trên là trên 35 triệu đồng. (Biết chi phí tập
đoàn có thêm chi phí điều hành là 5 triệu). Đáp án: 0,9938
VD 32: (Quy luật chuẩn hóa) Xác suất để biến ngẫu nhiên chuẩn hóa lớn hơn (-1,25) là bao nhiêu? Đáp án: 0,8944
DẠNG 3. Một số quy luật khác
VD 33: Quy luật không – một
Một lô hàng có 80% chính phẩm và 20% phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tìm quy luật phân phối xác suất
và các tham số đặc trưng của số chính phẩm được lấy ra? Đáp án: 0,16 VD 34:
Điều tra ý kiến của khách hàng đối với sản phẩm của doanh nghiệp thì thấy có 60% khách hàng thích sản phẩm đó.
Tìm quy luật phân phối xác suất và các tham số đặc trưng của thái độ ưa thích của khách hàng với sản phẩm. Đáp án: 0,24
VD 35: Quy luật nhị thức
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Xác suất (P) Theo công thức Bernoulli
Trung bình, kỳ vọng (E(X) = n.p)
Phương sai (V(X) = n.p(1-p))
Mốt: np + p − 1 ≤ mốt ≤ np + p
Tỷ lệ sản phẩm của một hàng hỏng sau 1 năm sử dụng là 20%. Tìm xác suất để số sản phẩm hỏng sau 1 năm sử dụng
có khả năng xuất hiện nhiều nhất trong 100 sản phẩm của hãng. Đáp án: 0,0993
VD 36: Một nữ công nhân quản lý 12 máy dệt. Xác suất trong một ngày làm việc 1 máy cần sửa chữa là 1/3. Tìm xác suất:
- Trong 1 ngày làm việc có từ 3 đến 6 máy cần sửa chữa
- Trong 3 ngày làm việc liên tiếp có ít nhất 2 ngày có từ 3 đến 6 máy cần sửa chữa Đáp án: 0,84375 VD 37: Quy luật Poisson
Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số λ > 0.
Chứng tỏ rằng: P[(X > 1|(X ≥ 1)] = 1−e−λ−λe−λ 1−e−λ
VD 38: Tổng đài phục vụ điện thoại phục vụ 100 máy điện thoại. Xác suất trong mỗi phút mỗi máy gọi đến là 0,02.
Tìm số máy gọi đến tổng đài trung bình trong 1 phút. Xác suất để trong 1 phút nào đó có hơn 5 số máy gọi đến tổng đài. Đáp án: 2; 0,0165 VD 39: Quy luật đều
Thời gian làm bài thi môn XSTK là 90 phút. Tính xác suất để sinh viên A làm xong bài trước 60 phút. Đáp án: 𝟐 𝟑
Tutor: Trương Đức Huy Fanpage: 10 Education
Group: Nhóm XSTK anh Huy
Hotline: 08.9966.1010/ 0935.230395 10 Education
Ôn thi Đại cương, chuyên ngành
Môn nào khó – Có TEN lo!
Ôn thi Tiếng anh, Tin học, Bằng lái xe
VD 40: Một doanh nghiệp muốn thâm nhập vào thị trường mới nhưng chưa có nhiều thông tin, họ chỉ biết có thể thu
được doanh thu tối thiểu là 50 triệu và tối đa là 80 triệu. Doanh nghiệp phải đạt doanh thu tối thiểu là 60 triệu để bù
chi phí. Hỏi doanh nghiệp có nên thâm nhập thị trường này không? Vì sao? Đáp án: 𝟐 𝟑
VD 41: Quy luật Student
Cho biến U phân phối chuẩn hóa, V phân phối Khi – bình phương với số bậc tự do là 10. Tìm xác suất để T = U √V/n lớn hơn 2,228 Đáp án: 0,025 VD 42: Quy luật Fisher
Biến ngẫu nhiên phân phối Fisher với bậc tự do n1 = 19, n2 = 29. Tìm a biết P(0Đáp án: 1,763
VD 43: Đặc biệt (Quan hệ giữa nhị thức – Poisson – Chuẩn)
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Quy luật Poisson e−λλa 𝐗~𝐏(𝛌) P(X = a) = a!
1. Quy luật nhị thức có n ≥ 20 v
à p ≤ 0,1 xấp xỉ Quy luật Poisson với λ = np
Mối quan hệ giữa Nhị thức-
2. Quy luật nhị thức có n>5 và |√ p − √1−p | 1 < 0,3 Poisson-Chu p ẩn 1−p √n
xấp xỉ Quy luật Chuẩn với μ = n , p σ2 = np(1 − p)
3. Quy luật Poisson có λ > 20 xấp xỉ Quy luật Chuẩn với μ = σ2 = λ
a) Nhị thức xấp xỉ Chuẩn:
- Khả năng một khách xem phim mua bỏng ngô tại rạp chiếu là 0,25. Tính xác suất trong số 1000 khách xem phim có
trên 300 người có mua bỏng ngô. Đáp án: 0,0001
- Nếu khả năng 1 sinh viên NEU quên mang thẻ sinh viên khi vào nhà A2 là 0,2 thì với xác suất 0,95 trong 200 sinh
viên vào nhà A2 sẽ có tối thiểu bao nhiêu người quên thẻ? Đáp án: 31
b) Poisson xấp xỉ Chuẩn: Hàng ngày bình quân có 100 lượt xe đi qua trạm thu phí BOT. Tính xác suất để trong ngày
hôm nay có từ 80 đến 105 xe đi qua trạm này. Đáp án: 0,9772
CHƯƠNG 4: BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU. HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Lập bảng phân phối xác suất biên, bảng phân phối xác suất có điều kiện và các công thức
E(aX ± bY ± c) = aE(X) ± bE(Y) ± c
V(aX ± bY ± c) = V(aX ± bY) = a2V(X) + b2V(Y) ± 2abCOV(X, Y)
Hiệp phương sai COV(X, Y) = E(XY) − E(X). E(Y)
Nhận xét: >0: X, Y tương quan dương (cùng chiều), <0: X, Y tương quan âm (ngược chiều), =0: X, Y độc lập
Hệ số tương quan ρ(X, Y) = COV(X,Y) √V(X).√V(Y)
Nhận xét: >0: X, Y tương quan dương (cùng chiều), <0: X, Y tương quan âm (ngược chiều), =0: X, Y độc lập.
|ρ(X, Y)| > 0,5: tương quan chặt chẽ,|ρ(X, Y)| < 0,5: tương quan không chặt chẽ)
VD 44: Lợi nhuận (triệu đồng) sau một năm đầu tư vào 2 ngành A, B là các biến ngẫu nhiên X, Y Y / X -7 16 38 -5 0,05 0,05 0,1 16 0,14 0,2 0,16 35 0,11 0,15 0,04
a) Chia đề vốn đầu tư vào 2 ngành, tính xác suất để tổng lợi nhuận dương? Đáp án: 0,95
b) Tính trung bình lợi nhuận khi đầu tư vào ngành B biết lợi nhuận đầu tư vào ngành A là 16 triệu đồng? Đáp án: 20,5
c) Tính kỳ vọng, phương sai của tổng lợi nhuận?
Đáp án: 33,2; 392,16
Tutor: Trương Đức Huy Fanpage: 10 Education
Group: Nhóm XSTK anh Huy
Hotline: 08.9966.1010/ 0935.230395 10 Education
Ôn thi Đại cương, chuyên ngành
Môn nào khó – Có TEN lo!
Ôn thi Tiếng anh, Tin học, Bằng lái xe
d) Muốn rủi ro thấp nhất thì nên đầu tư vào mỗi ngành với tỷ lệ bao nhiêu? Đáp án: 0,409
VD 45: Một nhà đầu tư đang nghiên cứu để mua cố phiếu của 2 công ty. Lãi suất (đơn vị: %) của mỗi loại cổ phiếu tương
ứng là các biến ngẫu nhiên X và Y, X ~ N(20, 15); Y ~ N(15, 8), X và Y độc lập
a) Nếu người đó muốn hạn chế rủi ro bằng cách mua cổ phiếu của 2 công ty trên với tỉ lệ 1:2 thì kỳ vọng và mức độ rủi ro
về lãi suất là bao nhiêu?
Đáp án: 𝟓𝟎 ; 𝟒𝟕 𝟑 𝟗
b) Với phương án đầu tư theo tỉ lệ 1:2 như trên thì khả năng đạt lãi suất trên 20% là bao nhiêu? Đáp án: 0,0721
c) Tính hệ số tương quan và nhận xét? Đáp án: 0
VD 46: Doanh thu phân phối chuẩn N(140, 16). Chi phí phân phối chuẩn N(110, 25), hiệp phương sai của doanh thu và
chi phí là 15. Cho biết lợi nhuận phân phối theo quy luật nào? Đáp án: ~ N(30, 71)
VD 47: Cho 2 biến ngẫu nhiên độc lập X và Y. Biểu thức nào luôn đúng trong các biểu thức sau: A) E(2X+3Y)=E(X)+E(Y)+5 B) V(2X+3Y)=2V(X)+3V(Y) C) V(2X+3Y+4)=4V(X)+9V(Y) D) E(2X+3Y)=5E(X+Y) Đáp án: C
VD 48: Hệ số tương quan của X và Y có giá trị dương, lựa chọn điều đúng trong các mệnh đề sau:
A) X tăng là nguyên nhân khiến Y tăng
B) Với 𝑥1 > 𝑥2 thì 𝑦1 > 𝑦2
C) Với 𝑥1 > 𝑥2 thì 𝐸(𝑌|𝑥1) > 𝐸(𝑌|𝑥2)
D) X và Y có mối quan hệ hàm số tuyến tính đồng biến Đáp án: C
VD 49: Giả sử hệ số tương quan của doanh thu (Y) và giá bán (X) là 0,3. Khi giá bán bằng 4 thì doanh thu trung bình
bằng 130. Khi giá bằng 5 thì doanh thu trung bình nhiều hơn hay ít hơn 130? Đáp án: nh ề i u hơn
VD 50: Cho độ lệch chuẩn của lơi nhuận khi đầu tư vào 2 dự án A và B tương ứng là 24 và 18 (triệu). Hệ số tương quan
của lợi nhuận hai dự án là 0,5. Hãy tính độ lệch chuẩn của tổng lợi nhuận?
Đáp án: 𝟔√𝟑𝟕
CHƯƠNG 5: LUẬT SỐ LỚN
Xem 02 ví dụ trang 284
CHƯƠNG 6: CƠ SỞ LÝ THUYẾT MẪU
DẠNG 1. Tính các tham số đặc trưng mẫu Tham số Nh đặc trưng Công thức ận xét Kích
thước mẫu n = n1 + n2 + ⋯ + nk Trung x x1 +x2 ++⋯+x x + x + ⋯ + x bình mẫu = n 1. n1 2. n2 k. nk n hoặc n
Trung bình, trung vị và mốt là các tham số chủ xd
yếu đặc trung cho xu hướng trung tâm mẫu, n + 1 nhưng trung vị giá trị thứ
và mốt không san bằng, bù trừ Trung vị = { 2 nếu n lẻ
chênh lệch giữa các giá trị của mẫu, do đó nó bổ n n mẫu
TB cộn gcủa giá t ịr t ứ h
sung hoặc thay thế trung bình mẫu khi việc tính 2 và (2 + 1) nếu n chẵn
trung bình mẫu gặp khó khắn
* Lưu ý: Khi tìm trung vị dãy số phải được sắp xếp tăng dần.
Mốt mẫu x0 là giá trị có tần số/ xác suất lớn nhất Phương x 2 2 2
1 . n1 + x2 . n2 + ⋯ + xk . nk − n. x2
Bài yêu cầu tính Độ phân tán, độ biến động, độ sai mẫu s2 = n − 1
dao động, độ rủi ro cũng chính là tính phương Độ lệch
sai (hoặc độ lệch chuẩn). Nếu đơn vị không có chuẩn s = √s2
^2 thì tính độ lệch chuẩn, có ^2 thì tính phương
Tutor: Trương Đức Huy Fanpage: 10 Education
Group: Nhóm XSTK anh Huy
Hotline: 08.9966.1010/ 0935.230395 10 Education
Ôn thi Đại cương, chuyên ngành
Môn nào khó – Có TEN lo!
Ôn thi Tiếng anh, Tin học, Bằng lái xe Tham số Nh đặc trưng Công thức ận xét mẫu
sai. Nếu không có đơn vị thì tính 1 trong 2 đều được.
Hệ số biến thiên được đo bằng % và dùng để H
nhận xét về độ thuần nhất của phân phối mẫu và
ệ số biến s cv thiên m = |
qua đó đo mức độ đại diện của trung bình mẫu ẫu x| . 100(%)
cho xu hướng trung tâm của phân phối. Nếu
CV<15% thì mẫu được xem là khá thuần nhất Khoảng
biến thiên R = xmax − xmin mẫu
Khoảng tứ phân vị tuy đã nhạy cảm hơn đối với ị ằm ở ị n
số liệu mẫu so với khoảng biến thiên song nó chỉ Q1 là giá tr n v trí 4
có nhiều ý nghĩa khi so sánh hai mẫu, còn với
Khoảng tứ Q2 là trung vị
từng mẫu thì cũng không có nhiều ý nghĩa đặc phân vị Q 3n
3 là giá trị nằm ở vị trí trưng mẫu 4
* Lưu ý: Khi tìm khoảng tứ phân vị dãy số phải được sắp xếp tăng dần.
Còn được ký hiệu là Sk (Skewness)
Giá trị của hệ số bất đối xứng càng gần 0 thì
phân phối thực nghiệm của các giá trị của mẫu H
càng đối xứng qua giá trị trung bình mẫu
ệ số bất n a ố ệ ệ đối xứng ∑ (xi − x)3 i=1 n
3 < 0 => Phân ph i l ch trái (l ch âm) và trung m bìnhẫu a3 = Sk = s3
a3 > 0 => Phân phối lệch phải (lệch dương) và
trung bình>trung vị>mốt
a3 = 0 => Phân phối chuẩn (Đối xứng, hình
chuông) và trung bình=trung vị=mốt
Nếu bài cho là K (Kurtosis) thì đây gọi là hệ số
Hệ số ∑ n (xi − x)4
nhọn hiệu chỉnh = a4 - 3 i=1
nhọn mẫu a n 4 = s4
Khi mẫu gần phân phối chuẩn thì a4 ≈ 3 (hay K ≈ 0)
r < 0 => x, y tương quan âm (ngược chiều)
r > 0 => x, y tương quan dương (cùng chiều)
Hệ số ∑n
r = 0 => x, y không tương quan i= ( 1 x tương r = i − x)(yi − y) n n
|r| > 0,5 => x, y tương quan chặt chẽ quan mẫu
√∑ i= (1xi − x)2 √∑i= ( 1 yi − y)2
|r| < 0,5 => x, y tương quan không chặt
|r| = 0,5 => x, y có mức độ tương quantrung bình
* Đặc biệt: Bài yêu cầu nhận xét dựa theo đồ thị như sau:
VD51: Tính các tham số đặc trưng của mẫu sau: w = (12, 15, 19, 32, 16, 15, 8, 22) Đáp án:
Tham số đặc Cách tính Tham số Cách tính trưng đặc trưng
Tutor: Trương Đức Huy Fanpage: 10 Education
Group: Nhóm XSTK anh Huy
Hotline: 08.9966.1010/ 0935.230395 10 Education
Ôn thi Đại cương, chuyên ngành
Môn nào khó – Có TEN lo!
Ôn thi Tiếng anh, Tin học, Bằng lái xe
Tham số đặc ố trưng Cách tính Tham s đặc trưng Cách tính Hệ số s Kích thước mẫu n = 8 biến thiên cv = | = , (%) mẫu x| . 100 41 7231 12 + 15 + ⋯ + 22 Khoảng Trung bình mẫu x = biến thiên
R = xmax − xmin = 32 − 8 = 24 8 = 17,375 mẫu
Dãy số được sắp xếp lại theo thứ tự tăng
Dãy số được sắp xếp lại theo thứ tự tăng dần là: dần là: Khoảng
w = (8, 12, 15, 15, 16, 19, 22, 32) Trung vị mẫu tứ phân vị n
w = (8, 12, 15, 15, 16, 19, 22, 32)
Q1 = 12 (Là giá trị nằm ở vị trí = 2) 4 x mẫu d = 15,5
Q2 = xd = 15,5 (Là trung vị) Q 3n
3 = 19 (Là giá trị nằm ở vị trí = 6) 4 x a3 0 = 15 Hệ số bất
(12 − x)3 + (15 − x)3 + ⋯ + (22 − x)3 Mốt mẫu
[Do giá trị này xuất hiện nhiều lần nhất (2 đối xứng = lần)] mẫu ns3 = 0,7293 s2 a4
(12 − x)2 + (15 − x)2 + ⋯ + (22 − x)2 Hệ số
(12 − x)4 + (15 − x)4 + ⋯ + (22 − x)4 Phương sai mẫu = n − 1 nhọn mẫu = ns4 = 52,5536 = 2,482 Độ lệch chuẩn mẫu s = √s2 = 7,2494
VD52: Tính trung bình mẫu và phương sai mẫu của mẫu sau về giá cả hàng hóa. Giá cả (usd) 13 14 15 16 Số cửa hàng 3 5 8 4
Đáp ám: 14,65; 0,9763
VD53: Tính hệ số tương quan tuyến tính cho 2 biến (X,Y) với số liệu mẫu theo cặp sau và cho nhận xét kết quả về giá trị
hệ số tương quan này: (56, 37); (34, 26); (16, 29); (63, 59); (28, 36); (58, 40) Đáp án: 0,736
Chúc các bạn học tốt và đừng quên ghé Fanpage chúng mình tại địa chỉ: 10 Education để đánh giá 5* nhé ^^
Tutor: Trương Đức Huy Fanpage: 10 Education
Group: Nhóm XSTK anh Huy
Hotline: 08.9966.1010/ 0935.230395