Các dạng bài tập VDC bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Tài liệu gồm 17 trang, tóm tắt lý thuyết cơ bản cần nắm và hướng dẫn phương pháp giải các dạng bài tập trắc nghiệm vận dụng cao (VDC / nâng cao / khó) bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit, phù hợp với đối tượng học sinh khá – giỏi 

38 19 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

27 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
BÀI 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM
I. BẤT PHƯƠNG
TR
ÌNH MŨ
1. Bất phương trình mũ cơ bản
2. Cách giai bất phương trình mũ đơn giản
a) Đưa v
ề cùng cơ số
 
 
 
01
1
fx gx
a
f
xgx
aa
a
f
xgx


b) Đặt ẩn phụ
 
2
0
fx fx
aa


. Đặt
,0
fx
ta t
c) Phương pháp logarit hóa


()
01
log
1
log
a
a
fx
a
a
f
xb
a
f
xb
b


() ()
1
() ().log
01
() ().log
b
a
fx gx
b
a
a
fx gx
ab
a
fx gx


II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGAR
IT
1. Bất p
hương p
háp logarit cơ bản
2. C
ách giải mộ
t số bất phương trình logarit đơn giản
a) Đưa v
ề cùng cơ số
 
 
 
0
log log
1
1
aa
a
fx
a
g
x
fx gx
g
xfx


b) P
h
ương
pháp mũ hó
a
1
()
01
0()
log ( )



b
b
a
fx a
a
a
f
xa
fx b
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương đưa về cùng cơ số
1. Phương pháp
a. Bất phương trình mũ cơ bản
● Bất phương trình
() ()
() ()
() ()
1
1
01
fx gx
a
xgx
aa a
a
xgx
é
ì
>
ï
ï
ê
í
ê
ï
£
ï
ê
î
ê
£=
ê
ê
ì
ê
<<
ï
ï
ê
í
ê
ï
³
ï
ê
î
ë
( hoặc
()()()
0
10
a
afxgx
ì
>
ï
ï
í
é
ù
ï
--£
ï
ë
û
î
).
● Bất ph
ương trình
()
fx
ab<
(với
0b >
)
()
()
1
log
01
log
a
a
a
f
xb
a
f
xb
é
ì
>
ï
ï
ê
í
ê
ï
£
ï
ê
î
ê
ì
<<
ê
ï
ï
ê
í
ê
ï
³
ï
î
ë
.
● Bất ph
ương trình
()
fx
ab>
()
()
()
0
0
1
0
log
01
0
log
a
a
a
b
fx
a
b
f
xb
có nghia
a
b
f
xb
é
ì
ï
>
ï
ê
ï
ê
ï
£
í
ê
ï
ê
ï
ï
ê
ï
î
ê
ê
ì
ï
>
ê
ï
ï
ê
ï
>
í
ê
ï
ê
ï
ï
>
ê
ï
î
ê
ê
ì
ï
<<
ê
ï
ï
ê
ï
>
í
ê
ï
ê
ï
ï
<
ê
ï
î
ë
.
b. Bất phương trình logarit cơ bản
● Bất phương trình
() ()
() ()
() ()
1
0
log log
01
aa
a
f
xgx
fx gx
a
fx gx
é
ì
>
ï
ï
ê
í
ê
ï
<£
ï
ê
î
£
ê
ì
<<
ê
ï
ï
ê
í
ê
ï
³
ï
î
ë
( hoặc
()
()
( ) () ()
01
0
0
10
a
fx
gx
afxgx
ì
<¹
ï
ï
ï
ï
>
ï
ï
í
ï>
ï
ï
ï
éù
ï
--£
ï
ëû
î
).
●
Bất ph
ương trình
()
()
()
1
0
log
01
b
a
b
a
f
xa
fx b
a
fx a
é
ì
>
ï
ï
ê
í
ê
ï
<£
ï
ê
î
£
ê
ì
ê
<<
ï
ï
ê
í
ê
ï
³
ï
ê
î
ë
.
● Bất ph
ương trình
()
()
()
1
log
01
0
b
a
b
a
fx a
fx b
a
f
xa
é
ì
>
ï
ï
ê
í
ê
ï
>
ï
ê
î
³
ê
ì
ê
<<
ï
ï
ê
í
ê
ï
<£
ï
ê
î
ë
.
2. Bài tập
Bài tập 1.
Cho bất phương trình
22
77
log 2 2 1 log 6 5
x
xxxm

. Có bao nhiêu giá
trị nguyên của tham số
m để bất phương trình trên có tập ngiệm chứa khoảng

1; 3 ?
A.
35
. B.
36
. C.
34
. D.
33
.
Lời giải
Chọn C

2
22
77
65 0
log 7 2 2 log 6 5
xx m
bpt
x
xxxm


 

2
2
65
689
mx x
x
xm






1;3
1;3
max
min
mfx
mgx
, với

2
65
f
xxx
 ;
2
689
g
xxx

Xét sự biến thiên của hai hàm số
f
x và
g
x

260, 1;3fx x x

f
x
luôn nghịch biến trên khoảng
1; 3


1;3
max 1 12fx f
12 8 0, 1;3gx x x

g
x luôn đồng biến trên khoảng
1; 3


1;3
min 1 23gx g
Khi đó
12 23m
Mà
m
nên
11; 10; ...;22m
Vậy có tất cả
34
giá trị nguyên của
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập 2. Gọi
S
là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số
m
để bất phương trình
22
22
log 7 7 log 4
x
mx x m
có tập nghiệm là
. Tổng các phần tử của
S
là
A.
10
. B.
11
. C.
12
. D.
13
.
Lời giải
Chọn
C
BPT có tập nghiệm
2
22
40
77 4
mx x m
x
mx x m


,
x


2
2
401
7472
mx x m
mx x m


,
x
.
Ta có:

2
1
0
12
40
am
m
m



.
Ta có:


2
2
70
2725
47 0
am
mm
m



.
Do đó
2
25
5
m
m
m

, mà
m
nên
3; 4; 5m .
Vậy
34512S 
.
Bài tập 3.
Bất phương trình
2
2
68
log 0
41
xx
x

có tập nghiệm là
1
;;
4
Tab



. Hỏi
M
ab
bằng
A.
12
M
. B.
8M
. C.
9M
. D.
10M
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
2
2
68
log 0
41
xx
x

2
68
1
41
xx
x


2
10 9
0
41
xx
x

2
2
10 9 0
410
10 9 0
410
xx
x
xx
x




1
1
4
9
x
x

.
Nên
1
;1 9;
4
T



M
ab 1910

.
Bài tập 4. Tập nghiệm của bất phương trình
2
12
2
log log 1 1x

là:
A.
1; 5S


. B.
;5 5;S

 

.
C.
5; 5S



. D.
5; 1 1; 5S

.
Lời giải
Chọn B
* ĐKXĐ
:

2
2
2
2
log 1 0
11 ; 2 2;
10
x
xx
x



.
Bất phương trình
2
12
2
log log 1 1x


1
2
2
1
log 1 2
2
x




2
14x
2
5x
;5 5;x



.
* Kết hợp
điều kiện ta
được:
;5 5;x



.
Bài tập 5. Bất phương trình
22
ln 2 3 ln 1xxax nghiệm đúng với mọi số thực
x
khi:
A.
22 22a
. B.
022a
. C.
02a
. D.
22a
.
Lời
giải
Chọn
D
22
ln 2 3 ln 1xxax
nghiệm đúng với mọi số thực
x
2
22
10
,
23 1
xax
x
xxax



.
2
2
10
,
20
xax
x
xax



2
2
40
80
a
a


2
40a

22a
.
Bài tập 6. Bất phương trình
2
31 3 4 0
x
xx
có bao nhiêu nghiệm nguyên nhỏ hơn 6?
A.
9
. B.
5
. C.
7
. D. Vô số.
Lời giải
Chọn C
2
31 3 4 0
x
xx
2
2
310
340
310
340
x
x
xx
xx




0
41
0
41
x
x
x
x
x



1
40
x
x

.
Kết hợp điều kiện nghiệm nguyên nhỏ hơn
6
ta thấy các giá trị thỏa là
3; 2; 1; 2;3; 4;5 .
Bài tập 7.
nghiệm của bất phương trình
2
21 1
22
11
22
x
xx
xx

 

 
 
là
A.
2
1;
2




. B.
2
0;
2
.
C.
1; 0
. D.
22
1; 0;
22




.
Lời giải
Chọn D
Do
2
1
0
2
x
x
nên
2
2
21 1
2
22
2
2
2
1
1
2
1
1
11
2
22
211
1
01
2
211
xx x
x
x
xx
x
xx
x
x
xx



 

 
 





1
1
2
2
11
;;
1
1;
22
2
1; 0
1
0;
11
2
;
22
;1 0;
x
x
x
x
x
x
x
x













22
1; 0;
22
x




.
Bài tập 8. Số nghiệm nguyên của bất phương trình
2
310 2
11
33
x
xx

 
 
 
là
A.
1
. B.
0
. C.
9
. D.
11
.
Lời giải
Chọn C

2
310 2
2
2
2
2
11
310 2
33
2
5
3100
2 0 2
14
310 2
5 14
xx x
xx x
x
x
xx
xx
x
xx x
x

 

 
 








Vậy tập tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là
5; 6; 7;8; 9;10;11;12;13
.
Bài tập 9. Tìm tập nghiệm
S
của bất phương trình
22
log 2 3 log 3
mm
x
xxx

với m là tham số
thực dương khác
1
, biết
1
x
là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
A.

1
2;0 ;3
3
S



. B.

1
1; 0 ; 3
3
S



.
C.
1; 0 1; 3S  . D.
1
1; 0 ; 3
3
S



.
Lời giải
Chọn
D
Do
1
x
là nghiệm nên ta có
log 6 log 2
mm
01m
.
Bất phương trình tương đương với
22
2
233
30
x
xxx
xx


2
2
230
30
xx
xx


13
1
0;
3
x
xx

10
1
3
3
x
x


.
Vậy
1
1; 0 ; 3
3
S



.
Bài tập 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình:
22
55
1 log 1 log 4
x
mx x m

thỏa mãn
với mọi
x
.
A.
10m
. B.
10m
. C.
23m
. D.
23m
.
Lời giải
Chọn
C
Ta có:
22
55
1 log 1 log 4
x
mx x m
22
55
log 5 5 log 4
x
mx x m
 
2
2
22 2
40 1
40
55 4 5 4 50 2
mx x m
mx x m
x mxxm mxxm






Để bất phương trình đã cho thỏa mãn với mọi x
điều kiện là cả
1
và
2
đều thỏa mãn
với mọi
x . Điều kiện là

2
2
05
40 23
450
m
mm
m



.
Bài tập 11. Bất phương trình
22
ln 2 3 ln 1xxax
nghiệm đúng với mọi số thực
x
khi:
A.
22 22a
. B.
022a
. C.
02a
. D.
22a
.
Lời
giải
Chọn
D
Ta có
22
ln 2 3 ln 1xxax
nghiệm đúng với mọi số thực
x
2
22
10
23 1
xax
x
xax


x
2
2
10
20
xax
xax


x
2
2
40
80
a
a


2
40a
22a
.
Bài tập 12. Gọi
S
là tập tất cả các giá trị nguyên không dương của m để phương trình
15
5
log log 2 0xm x
có nghiệm. Tập
S
có bao nhiêu tập con?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn
D
Ta có:
15
5
log log 2 0xm x

55
20
0
log 2 log
x
xm
x
xm



2
2
x
xm
x
xm


2
2
2
x
x
m
m
x

.
Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
2
2
2
2
2
m
m
m

2
2
m
m


2m
.
Mà
m là số nguyên không dương nên
1; 0m . Suy ra
1; 0S  .
Vậy số tập con của
S
bằng
2
24
.
Chú ý:
- Các tập con của
S
là:
,
1
,
0 ,
S
.
- Một t
ập hợp có
n phần tử thì số tập con của nó là
2
n .
Bài tập 13. Tìm các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
0,02 2 0,02
log log 3 1 log
x
m
có
nghiệm với mọi
;0x 
.
A.
9.m
B.
2.m
C.
01.m
D.
1.m
Lời giải
Chọn D
0,02 2 0,02
log log 3 1 log
x
m
TXĐ:
D
ĐK tham số
m :
0m
Ta có:
0,02 2 0,02 2
log log 3 1 log log 3 1
xx
mm
Xét hàm số


2
log 3 1 , ;0
x
fx x
có


3.ln3
0, ;0
31ln2
x
x
fx

Bảng biến th
iên

f
x :
x
 0
f
+
f
1
0
Khi đó với yêu cầu bài toán thì
1.m
Bài tập 14. Nghiệm của bất phương trình
22
log 3 1 6 1 log 7 10
x
x

là
A.
369
1
49
x
. B.
369
49
x
. C.
1
x
. D.
369
49
x
.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện
1
10
3
x
.
*
Ta có
22
log 3 1 6 1 log 7 10
x
x
3 1614210
x
x

318210
x
x
3 1 64 32 10 4 10
x
xx
(Do
* )
32 10 103 7
x
x

(*)
2
1024 10 10609 49 1442
x
xx
2
49 418 369 0xx
369
1
49
x
.
Bài tập 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi
x
thuộc
:
22
66
1 log 1 log 2
x
mx x m
.
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
5
.
Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
2
20mx x m
.
Ta có
22 2 2
66 6 6
1 log 1 log 2 log 6 1 log 2
x
mx x m x mx x m




22 2
61 2 62 60xmxxmmxxm
.
Điều kiện bài toán

2
2
2 0, 1
62 60, 2
mx x m x
mxxm x


Giải

1 : Do
0m
không thỏa
1 nên

2
0
11
10
m
m
m


.
Giải

2 : Do
6m
không thỏa
2 nên:


2
2
6
6
6
25
5
12 35 0
160
7
m
m
m
m
m
mm
m
m



 

.
Suy ra
15m
.
Vậy có
4
giá trị nguyên của m .
Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
1. Phương pháp
a. Bất phương trình mũ
Tổng quát:
()
()
()
(
)
0
00 1
0
gx
gx
ta
fa a
ft
ì
ï
=>
ï
éù
=<¹
í
êú
ëû
ï
=
ï
î
.
Ta thường gặp các dạng:
●
() ()
2
.. 0
fx fx
ma na p++=
●
() ()
.. 0
fx fx
ma nb p++=
, trong đó
.1ab=
. Đặt
()
,0
fx
ta t=>
, suy ra
()
1
fx
b
t
=
.
●
()
()
()
()
22
....0
fx
fx fx
ma n ab pb++=
. Chia hai vế cho
(
)
2
f
x
b
và đặt
()
0
fx
a
t
b
æö
÷
ç
=>
÷
ç
÷
ç
èø
.
b. Bất ph
ương lo
garit
Tổng quát:
() ( )
()
()
log
log 0 0 1
0
a
a
tfx
ffx a
ft
ì
=
ï
ï
éù
=<¹
í
ëû
ï
=
ï
î
.
2. Bài tập
Bài tập 1.
Tìm số các nghiệm nguyên của bất phương trình

2
log 100
log 10
1log
4.3 9.4 13.6
x
x
x
.
A.
10
. B.
9
. C.
8
. D.
11
Lời giải
Chọn C
ĐK:
0
x
.
PT
 
2.log 10 2.log 10 log 10
4.3 9.2 13.6
x
xx


2log 10 log 10
33
4. 13. 9 0
22
xx
 

 
 
Đặt
log 10
3
0
2
x
t




thì phương trình trở thành:
2
413901
4
tt t

.
Do đó


log 10
39
11log102110
24
x
xx




Số các nghiệm nguy
ên của bất phương trình là
8
.
Bài tập 2. Xét bất phương trình
2
22
log 2 2 1 log 2 0xm x

. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để
bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng
2;
.
A.
0;m 
. B.
3
;0
4
m




. C.
3
;
4
m




. D.
;0m 
.
Lời giải
Chọn
C
Điều kiện:
0x
2
22
log 2 2 1 log 2 0xm x

2
22
1log 2 1log 20 1xm x
.
Đặt
2
logtx
.Vì
2x
nên
22
1
log log 2
2
x 
. Do đó
1
;
2
t





1
thành

2
12120tmt 
2
210tmt

2
Cách 1: Yêu cầu bài toán tương đương tìm
m
để bpt (2) có nghiệm thuộc
1
;
2




.
Xét bất phương trình (2) có:
2
'10, mm
.
2
210ft t mt có
0ac
nên (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt
12
0tt
.
Khi đó cần
2
2
113
1
224
tmm m 
.
Cách 2:

2
2
11
210 < m
22
t
tmt ft t
t




Khảo sát hà
m số

f
t
trong
0;
ta được
3
;
4
m




.
Bài tập 3. Cho bất phương trình:
91.301
xx
mm
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất
phương trình

1
nghiệm đúng
1
x
.
A.
3
.
2
m 
B.
3
.
2
m 
C.
322.m 
D.
322.m 
Lời giải
Chọn A
Đặt
3
x
t
Vì
13
x
t
Bất phương trình đã cho thành:
2
1. 0tmtm

nghiệm đúng
3t
2
1
tt
m
t

nghiệm đúng
3t
.
Xét hàm số
 

2
22
2,3,'1 0,3
1
1
g
tt t gt t
t
t
 
. Hàm số đồng biến trên
3; 
và

3
3
2
g
. Yêu cầu bài toán tương đương
33
22
mm

.
Bài tập 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
0;10m
để tập nghiệm của bất phương trình
22 2
21 4
2
log 3log 7 log 7xxmx
chứa khoảng
256;
.
A.
7
. B.
10
. C.
8
. D.
9
.
Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
22
21
2
0
log 3log 7 0
x
xx

2
22
0
log 6 log 7 0
x
xx

2
2
0
log 1
log 7
x
x
x

0
1
2
128
x
x
x
1
0
2
128
x
x
Với điều kiện t
rên bất phương trình trở thành

2
26 2
log 6log 7 log 7 *xxmx
Đặt
2
logtx
thì
8t
vì
256;x 
 
*177tt mt
. Đặt

1
7
t
ft
t
.
Yêu cầu bài toán

8;
maxmft


Xét hàm số

1
7
t
ft
t
trên khoảng
8;
Ta có


2
47
.0,8
1
7
t
f
tt
t
t


f
t luôn nghịch biến trên khoảng
8; 
Do đó

8;
max 8 3ft f


3m
.
Mà
0;10m nên
3;4;...;10m .
Vậy có
8
giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
22
log 5 1 .log 2.5 2
xx
m
có nghiệm với mọi
1
x
.
A.
6m
. B.
6m
. C.
6m
. D.
6m
.
Lời giải
Chọn
C.
Điều kiện của bất phương trình:
0x
.
Ta có
22
log 5 1 .log 2.5 2
xx
m
22
log 5 1 . 1 log 5 1
xx
m




1 .
Đặt
2
log 5 1
x
t 
, với
1
x
ta có
2t
. Khi đó
1 trở thành
2
mt t

2 .
Xét hàm số

2
f
ttt trên
2;
ta có
210ft t
,
2;t
.
Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi
2t
thì

2;
minmft

hay
6m
.
Bài tập 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình
22
33223
92.3 3
x
xm x xm x x 

có nghiệm?
1
,8
7
t
mt
t

A.
6
. B.
4
. C.
9
. D.
1
.
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện
2
30xxm
(*)
22
33223
92.3 3
x
xm x xm x x 

2
2
23
3
21
3.3 0
927
xxmx
xxmx



2
32
03 3
xxmx

2
32xxmx
2
32xxmx
.
2
22
30
20
344
xxm
x
xxmxx



2
30
2
4
xxm
x
xm



42 2mm
.
Do
m nguyên dương nên
1m
thỏa mãn (*).
Bài tập 7. Bất phương trình
2
2
2
22
log
log
2
1
log log 1
x
x
xx

có bao nhiêu nghiệm nguyên dương nhỏ hơn
10
.
A.
7
. B.
8
. C.
9
. D.
6
.
Lời
giải
Chọn
A
Điều kiện của bất phương trình là
0x
. Khi đó
2
2
2
22
log
log
2
1
log log 1
x
x
xx
22
22
log 1 2log
1
log log 1
xx
xx

Đặt
2
logtx
. Ta có
12
1
1
tt
tt



2
2
12
1
1
tt
tt



2
2
12
10
1
tt
tt



2
21
0
1
tt
tt


1
1
0
2
1
t
t
t


Trả lại ẩn ta có
2
2
2
log 1
1
0log
2
log 1
x
x
x


1
2
12
2
x
x
x

Kết hợp với điều kiện
0x
ta có
1
0
2
x
hoặc
12x
hoặc
2x
.
Khi đó bất phương trình có
7
nghiệm nguyên dương nhỏ hơn
10
.
Bài tập 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình

2
.4 1 .2 1 0
xx
mm m

nghiệm đúng
x
?
A.
3m
. B.
1m
. C.
14m

. D.
0m
.
Lời giải
Chọn
B.
Bất phương trình

.4 4 1 .2 1 0
xx
mm m

44.2114.2
x
xx
m
14.2
44.21
x
xx
m


Đặt
2
x
t
(Điều kiện
0t
). Khi đó
2
41
41
t
m
tt
. Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng
x
thì bất phương trình
2
41
41
t
m
tt
nghiệm đúng
0t
.
Đặt
 

2
22
2
41 4 2
0, 0
41
41
ttt
ft f t t
tt
tt




.
Hàm số nghịch biến trên

0; 
. Khi đó
2
41
41
t
m
tt
0t
khi và chỉ khi
01mf
Bài tập 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình
1
4210
xx
m

có nghiệm
x
.
A.
;0m 
. B.
0;m

.
C.

0;1m
. D.
;0 1;m

.
Lời giải
Chọn A
Ta có:


1
1
44
4210
21
42 1
xx
xx
x
x
mmm

.
Đặt
2, 0
x
tt
. Yêu cầu bài toán tương đương với


2
,0;
41
t
mt
t

.
Đặt


2
,0
41
t
ft t
t

,




2
2
22
21
112
.
44
11
tt t
tt
ft
tt







.

0
0
2
t
ft
t


.
Bảng biến thiên (Bố sung các đầu mũi tên trong bbt là
vào nhé)
Dựa vào bảng biến thiên có
0m
.
Bài tập 10. Xét bất phương trình
2
22
log 2 2 1 log 2 0xm x

. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để bất phương trình có nghiệm t
huộc khoảng
2;
.
A.
0;m 
. B.
3
;0
4
m




. C.
3
;
4
m




. D.
;0m 
.
Lời giải
Chọn C
+∞
-
0
0
-1
t
+∞-∞
0
-2
0
f
'(t)
f
(t)
+
-
+
Điều kiện: 0x
2
22
log 2 2 1 log 2 0xm x

2
22
1log 2 1log 20 1xm x
.
Đặt
2
logtx
.Vì
2x
nên
22
1
log log 2
2
x . Do đó
1
;
2
t





1
thành

2
12120tmt 
2
210tmt

2
Cách 1: Yêu cầu bài toán tương đương tìm
m
để bpt (2) có nghiệm thuộc
1
;
2




.
Xét bất phương trình (2) có:
2
'10, mm
.
2
210ft t mt
có
0ac
nên (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt
12
0tt
.
Khi đó cần
2
2
113
1
224
tmm m .
Cách 2:

2
2
11
210 < m
22
t
tmt ft t
t




Khảo sát hà
m số

f
t
trong
0;
ta được
3
;
4
m




.
Bài tập 11. Tìm giá trị gần đúng tổng các nghiệm của bất phương trình sau:
()
2 65 43 2
2
22 22
33
22 22 2 4
2log 2log 5 13 4 24 2 27 2 1997 2016 0
33 loglog
xx
xx xx x
xx
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
-+-+-+-+-++£
÷
ç
÷
ç
÷
÷
ç
÷
ç
èø
A.
12,3. B.
12
. C. 12,1. D. 12,2 .
Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
01
x

.
Ta có
65 43 2
24 2 27 2 1997 2016xx xx x 

22
32 3 6 4 2
1 22 26 1997 2015 0xx x x x x
,
x
.
Do đó bất phương trình đã cho tương đương với
2
2
22 22
33
22 22 2 4
2log 2log 5 13 4 0
33 loglog
xx
xx






.
Đặt
22
log
3
x
t , ta có bất phương trình
22
22524413tt tt 

22
2
2
13 13
11
22 2
tt




.
Đặt
13
;
22
ut




và

1;1vt
. Ta có
13
2
uvuv

.
Dấu bằng xảy ra khi
1
34
2
2133
12 5
t
ttt
t

5
4
22
12,06
3
x




.
Bài tập 12. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình
1
4.2320
xx
mm
 có nghiệm
thực.
A.
2m
. B.
3m
. C.
5m
. D.
1m
.
Lời giải
Chọn
D
Ta có
1
4.2320
xx
mm

2
22.2320
xx
mm

Đặt
20
x
tt
.
Ta có bất phương trình tương đương với
2
2. 3 2 0tmt m

2
3
22
t
m
t
Xét

2
3
22
t
ft
t
trên

0; 
.


2
2
246
22
tt
ft
t

;

0ft
1
3
t
t
.
Bảng biến thiên
Vậy để bất phương trình có nghiệm thực thì
1m
.
Bài tập 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
2
22
4log log 0xxm
nghiệm đúng v
ới mọi giá trị
1; 6 4x
.
A.
0m
. B.
0m
. C.
0m
. D.
0m
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
22
4log log 0xxm

2
22
log log 0xxm

.
Đặt
2
log
x
t
, khi
1; 6 4x
thì
0;6t
.
Khi đó, ta có
2
0ttm
2
*mtt
.
Xét hàm số
2
f
ttt
với
0;6t
.
Ta có
210, 0;6ft t t

.
Ta có bảng biến thiên:
Bất phương trìn
h đã cho đúng với mọi
1; 6 4x
khi và chỉ khi bất phương trình
*
đúng với
mọi
0;6t
0m.
Bài tập 14. Có bao nhiêu giá trị dương của tham số thực
m
để bất phương trình

2222
21 4
2
log log 3 log 3xxmx
có nghiệm duy nhất thuộc
32;
?
A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
0
.
Lời giải
Chọn
D
Điều kiện xác định:
2
22
0
log 2log 3 0
x
xx

1
0
2
8
x
x
.
Hàm số xác định trên
32;
.

2222
21 4
2
log log 3 log 3xxmx

22
22 2
log 2log 3 log 3xxmx

.
Đặt
2
logtx
. Khi
32x
, ta có miền giá trị của
t
là
5;
.
Bất phương trình có dạng:

2
222 2
23 1
23 3
33
tt t
tt mt m m
tt


.
Xét hàm số

1
3
t
ft
t
trên
5;
có


2
4
3
ft
t
nên hàm số nghịch biến trên
5;
.
Do
lim 1
x
ft

và
53f
nên ta có
13ft
.
Do với mỗi
t
có duy nhất một giá trị
x
nên để bất phương trình đãcho có nghiệm duy nhất thuộc
32;
khi và chỉ bất phương trình

2
m
f
t
có nghiệm duy nhất trên
5;
.
Khi đó:
2
4
33mm
. Do đó không có số nguyên dương m thỏa mãn.
Bài tập 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình
22
33223
92.3 3
x
xm x xm x x 

có nghiệm?
A.
6
. B.
4
. C.
9
. D.
1
.
Lời giải
Chọn
D
Điều kiện
2
30xxm (*)
22
33223
92.3 3
x
xm x xm x x 

2
2
23
3
21
3.3 0
927
xxmx
xxmx



2
32
03 3
xxmx

2
32xxmx
2
32xxmx

.
2
22
30
20
344
xxm
x
xxmxx



2
30
2
4
xxm
x
xm



42 2mm
.
Do
m nguyên dương nên
1m
thỏa mãn (*).
Bài tập 16.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

22
log 5 1 .log 2.5 2
xx
m
có nghiệm với mọi
1
x
.
A. 6m . B. 6m . C. 6m
. D. 6m .
Lời giải
Chọn C
Điều kiện của bất phương trình:
0x
.
Ta có

22
log 5 1 .log 2.5 2
xx
m
22
log 5 1 . 1 log 5 1
xx
m



1
.
Đặt
2
log 5 1
x
t 
, với 1
x
ta có 2t . Khi đó
1
trở thành
2
mt t

2
.
Xét hàm số

2
f
ttt
trên
2;
ta có
210ft t

,
2;t

.
Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi
2t thì

2;
minmft

hay 6m
.
Bài tập 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình

2
.4 1 .2 1 0
xx
mm m

nghiệm đúng
x
?
A.
3m
. B.
1m
. C.
14m

. D.
0m
.
Lời giải
Chọn
B
Bất phương trình

.4 4 1 .2 1 0
xx
mm m

44.2114.2
x
xx
m
14.2
44.21
x
xx
m


Đặt
2
x
t
(Điều kiện
0t
). Khi đó
2
41
41
t
m
tt
. Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng
x thì bất phương trình
2
41
41
t
m
tt
nghiệm đúng 0t
.
Đặt
 

2
22
2
41 4 2
0, 0
41
41
ttt
ft f t t
tt
tt




.
Hàm số nghịch biến trên

0; 
. Khi đó
2
41
41
t
m
tt
0t
khi và chỉ khi
01mf
Bài tập 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình
1
4210
xx
m

có nghiệm
x
.
A.
;0m 
. B.
0;m

.
C.
0;1m
. D.
;0 1;m

.
Lời giải
Chọn
A
Ta có:


1
1
44
4210
21
42 1
xx
xx
x
x
mmm

.
Đặt
2, 0
x
tt
. Yêu cầu bài toán tương đương với


2
,0;
41
t
mt
t

.
Đặt


2
,0
41
t
ft t
t

,




2
2
22
21
112
.
44
11
tt t
tt
ft
tt







.

0
0
2
t
ft
t


.
Bảng biến thiên (Bố sung các đầu mũi tên trong bbt là
vào nhé)
Dựa vào bảng biến thiên có
0m
.
Dạng 3: Phương pháp logarit hóa
1. Phương pháp
Với bất phương tình
() ()
() ()
() ()
1
.log
01
.log
a
fx gx
a
a
f
xgx b
ab
a
f
xgx b
é
ì
>
ï
ï
ê
í
ê
ï
>
ï
ê
î
>
ê
ì
<<
ê
ï
ï
ê
í
ê
ï
<
ï
î
ë
2. Bài tập
Bài tậ
p 1.
Nghiệm của bất phương trình
2
2
8 36.3
x
x
x
là
A.
32
.
4
x
x

B.
2
log 6 2
.
4
x
x

C.
42
.
1
x
x

D.
3
log 18 2
.
4
x
x

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có
44
24 4
22 2
33
8 36.3 2 3 log 2 log 3
xx x
x
xx
xx x





3
3
log 2
4
log 2 4 4 1 0
22
x
xx
xx





33
40 4
40 4
log 2 log 2 2
10 0
22
xx
xx
x
xx

















+∞
-
0
0
-1
t
+∞-∞
0
-2
0
f
'(t)
f
(t)
+
-
+
3
3
4
4
4
4
log 18
log 18 2
0
2
x
x
x
x
x
x
x



3
4
.
log 18 2
x
x

Bài tập 2. Bất phương trình
2
1
2.5 10
x
x
x
có tập nghiệm là
;;.baa Khi đó
ba
bằng
A.
2
log 5.
B.
5
2
log . C. 1. D.
2
2 log 5.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có
2
211
1
11
111
55
2.5
2.510 12.51log2.5 log1
2.5
x
xxx
x
x
xxx
xxx




 


 
55
11
1.log 2 0 1. log 2 0
11
x
xx
xx

 




55
1 . x.log 2 log 2 1
0.
1
x
x


Bảng xét dấu:
x

2
log 10
-1 1 
VT
+
0 +
Từ bảng xét dấu ta có
55
2
11
1 . x.log 2 log 2 1
0.
log 10
1
x
x
x
x




Do đó
2
2
1
log 5.
log 10
a
ba
b

Bài tập 3. Có bao nhiêu số nguyên dương m trong đoạn
2018;2018
sao cho bất phương trình sau đúng
với mọi

1;100x
:

11
log
log
10
10
10 10
x
x
m
x
.
A.
2018
. B.
4026
. C.
2013
. D.
4036
.
Lời giải
Chọn A
  
11
log
log
10
10
log 11
10 10 log 1 log log 10 log 1 11log 0
10 10
x
x
m
x
xmxxxmxx

 


2
10 log 1 log 10 log 0mx x x
.
Do
1;100 log 0;2xx
. Do đó

2
2
10log log
10 log 1 log 10 log 0 10
log 1
x
x
mx x x m
x

.
Đặt
logtx
,
0;2t
, xét hàm số

2
10
1
tt
ft
t
. Ta có:



2
2
10 2
00;2
1
tt
ft t
t


.
Do đó
 
16
020
3
fftf ft .
Để
2
10log log
10
log 1
x
x
m
x
đúng với mọi
1;100x
thì
16 8
10
315
mm.
Do đó
8
;2018
15
m



hay có
2018
số thỏa mãn.
Dạng 4: Phương pháp sử dụng tính đơn điệu
1. Phương pháp
Nếu hàm số
()
yfx=
luôn đồng biến trên
D
thì
() ()
,,
f
ufvuv uvD>>"Î
.
Nếu hàm số
()
yfx=
luôn nghịch biến trên
D
thì
() ()
,,
f
ufvuv uvD><"Î
.
2. Bài tập
Bài tậ
p 1
.
Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình
22
2 15 100 10 50 2
2 2 25 150 0
xx xx
xx
 

A.
6
. B.
4
. C.
5
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
2
215100ax x;
2
10 50bx x ta có bất phương trình:
22 0
ab
ab 22
ab
abab
(do hàm số
2
x
yx
là hàm số đồng biến trên
)
Với
ab
22
2 15 100 10 50xx xx
2
25 150 0xx

10;15x
. Vậy bất phương trình có 4 nghiệm nguyên.
Bài tập 2.Tìm số nguyên
m
nhỏ nhất để bất phương trình
232
33
log 1 2 3 log 1xx x x xm

(ẩn
x
) có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
A. 3m . B. 2m
. C. 1m
. D. 1m  .
Lời giải
Chọn B
232
33
log 1 2 3 log 1 1xx x x xm
Điều kiện
0x .

2
32
3
1
1log 23 1
xx
xxm
x





32
3
1
log 1 2 3 1xxxm
x




.
Xét

32
3
1
log 1 2 3
f
xxxx
x




, với
0x
.

2
2
1
1
66
1
1ln3
x
f
xxx
x
x





;
01
f
xx

.
Với
0;1 0xfx

; với
1; 0xfx

.
Vậy bất phương trình có ít nhất hai nghiệm
10m
 1m
. Vậy 2m .
Bài tập 3.Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình
22
2ln 10xx a xx
 
nghiệm đúng với
mọi
x
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2;3a
. B.
8;a

. C.
6;7a
. D.
6; 5a 
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
2
2
13
1
24
tx x x




suy ra
3
4
t
Bất phương trình
22
2ln 10xx a xx 
ln 1 0tat
 ln 1at t

Trường hợp 1
:
1t
khi đó
ln 1at t
luôn đúng với mọi a .
Trường hợp 2:
3
1
4
t
Ta có
313
ln 1, ;1 , ;1
4ln4
t
at t t a t
t

 



 
Xét hàm số
 
2
1
ln 1
13
0, ;1
ln ln 4
t
t
t
ft f t t
tt



do đó
13 7
,;1
3
ln 4
4ln
4
t
at a
t




Trường hợp 3
:
1t
Ta có
 
1
ln 1, 1; , 1;
ln
t
at t t a t
t

Xét hàm số
  
2
1
ln 1
1
,1;
ln ln
t
t
t
ft f t t
tt



.
Xét hàm số
g
t

2
111
ln 1 0tgt
ttt

Vậy
0gt
có tối đa một nghiệm.
Vì
12;lim
t
ggt

 
vậy
0gt
có duy nhất một nghiệm trên

1; 
Do đó
0ft
có duy nhất một nghiệm là
0
t
. Khi đó
0
0
0
1
ln
t
t
t
suy ra
00
f
tt
Bảng bi
ến thiên
Vậy

0
1
,1;
ln
t
at at
t


.
Vậy
0
7
3
4ln
4
ta

.
Vậy số thực
a thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
6;7a
.
Bài tập 4.Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số
m
để bất phương trình
22 2
sin cos cos
45 .7
x
xx
m có nghiệm
là
;
a
m
b



với
,ab
là các số nguyên dương và
a
b
tối giản. Tổng
Sab
là:
A.
13S
. B.
15S
. C.
9S
. D.
11S
.
Lời
giải
Chọn
A
Ta có:
22 2
sin cos cos
45 .7
x
xx
m
22
cos cos
15
4.
28 7
xx
m




.
Xét

22
cos cos
15
4.
28 7
xx
fx




với x
. Do
2
2
cos
cos
11
28 28
55
77
x
x






nên

45
28 7
fx
hay

6
7
fx
. Dấu đẳng thức xảy ra khi
2
cos 1
x
sin 0x
x
k
.
Vậy

6
min
7
fx
. Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
minmfx
6
7
m
hay
6
;
7
m



13S .
Bài tập 5.Với giá trị nào của tham số
m
thì bất phương trình
22 2
sin cos sin
23 .3
x
xx
m
có nghiệm?
A.
4.m
B.
4.m
C.
1.m
D.
1.m
Lời giải
Chọn A
Chia hai vế của bất phương trình cho
2
sin
30
x
, ta được
22
sin sin
21
3.
39
xx
m




Xét
hàm số
22
sin sin
21
3.
39
x
x
y
 

 
 
là hàm số nghịch biến.
Ta có:
2
0sin 1
x

nên
14y
Vậy bất phương trình có nghiệm khi
4m
. Chọn đáp án A
Bài tập 6. Tìm số nguyên m nhỏ nhất để bất phương trình
232
33
log 1 2 3 log 1xx x x xm

(ẩn
x
) có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
A.
3m
. B.
2m
. C.
1m
. D.
1m 
.
Lời giải
Chọn B
232
33
log 1 2 3 log 1 1xx x x xm
Điều kiện
0x
.

2
32
3
1
1log 23 1
xx
xxm
x





32
3
1
log 1 2 3 1xxxm
x




.
Xét

32
3
1
log 1 2 3
f
xxxx
x




, với
0x
.

2
2
1
1
66
1
1ln3
x
f
xxx
x
x





;
01
f
xx

.
Với
0;1 0xfx

; với
1; 0xfx

.
Vậy bất phương trì
nh có ít nhất hai nghiệm
10m
 1m
. Vậy 2m .
Bài tập 7. Biết tập nghiệm của bất phương trình
22
35
log 4 1 2log 5 3xx xx

là
;ab
.
Khi đó tổng
2ab
bằng
A. 3. B. 4 . C. 2 . D. 1.
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số

22
35
log 4 1 2log 5fx x x x x
.


2
22
12
21
5ln5
2414ln3
fx x
xx
xx xx








Dễ đánh giá


2
22
12
0
5ln5
2414ln3
gx
xx
xx xx


 
, x
Bảng biến thiên:
Có
013ff
và dựa vào bảng biến thiên ta có
30;1fx x
Vậy
0; 1ab
; suy ra
22ab
Bài tập 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a
a0
thỏa mãn
2017
2017
2017
11
22
22




a
a
a
.
A. 01a . B. 1 2017
a . C. 2017a . D. 02017a .
Lời giải
Chọn D
Ta có
2017
2017
2017
11
22
22




a
a
a
2017
22
2017
11
2017log 2 log 2
22
a
a
a




–
2017
22
2017
11
log 2 log 2
22
2017
a
a
a





.
Xét hàm số

 
2
22
1
log 2
log 4 1 log 4 1
2
1
x
xx
x
x
yfx
xxx





.
Ta có




2
2
41
ln 4 1
4ln4 41ln41
11
41
0
ln2 ln2
41
x
x
xxx
x
x
'
.x
..x
y
x
x














2
4ln4 4 1ln4 1
1
0
ln2
41
xx x x
x
.
y
x






,
0
x
.
Nên
yfx
là hàm giảm trên
0;
.
Do đó
2017fa f
,
0a
khi
02017
a
.
Bài tập 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
2
22
4log log 0xxm
nghiệm đúng v
ới mọi giá trị
1; 6 4x
.
A.
0m
. B.
0m
. C.
0m
. D.
0m
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
22
4log log 0xxm

2
22
log log 0xxm

.
Đặt
2
log
x
t
, khi
1; 6 4x
thì
0;6t
.
Khi đó, ta có
2
0ttm
2
*mtt
.
Xét hàm số
2
f
ttt
với
0;6t
.
Ta có
210, 0;6ft t t

.
Ta có bảng biến thiên:
Bất phương trình đã cho đúng với mọi
1; 6 4x
khi và chỉ khi bất phương trình
*
đúng với
mọi
0;6t
0m
.
Bài tập 10. Giả sử
,Sab
là tập nghiệm của bất phương trình

234 2 2
22
56 log log556
x
xxx xxx x xx
. Khi đó
ba
bằng
A.
1
2
.
B.
7
2
.
C.
5
2
.
D.
2
.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện:
2
0
60
x
xx

0
23
x
x

.
0;3D
.

234 2 2
22
56 log log556
x
xxx xxx x xx

22
22
5 6 log 1 log 5 5 6
x
xxx xxx x xx
 
2
22
15 log 6 log 5 0xxxxxxx

2
2
5log 16 0xxx xx


2
2
2
2
5log 0
16 0
5log 0
16 0
xx
I
xxx
xx
II
xxx




.
Giải hệ (I).

2
2
5log 01
16 02
xx
xxx


Giải
1
2
5log 0xx
.
Xét hàm số

2
5
log
f
xx x
x




x
gx
với
0;3x
Ta có

2
51
00;3
ln 2
gx x
x
x
 .
Lập bảng biến thiên
Vậy

2
5
log 0 0;3fx x x x
x




.
Xét bất phương trình (2):
2
61
x
xx

2
2
61
1
xx x
x

2
2350
1
xx
x

1
5
2
1
x
x
x

5
2
x.
Vậy nghiệm của hệ

I
là
5
;3
2
D


.
Hệ

II
vô nghiệm.
Vậy
5
,3
2
S


.
51
3
22
ba
.
Bài tập 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng
9;9
của tham số
m
để bất phương trình

2
3log 2log 1 1
x
mx x x x
có nghiệm thực?
A.
6
. B.
7
. C.
10
. D.
11
.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện

2
01
110
x
mx x x x



01
10
x
mx x



01
1
0
x
x
m
x


.
Bất phương trình đã cho tương đương

2
32
log log 1 1
x
mx x x x

2
32
11
x
mx x x x 

2
11
x
xmxx x x
2
11
1
1
xx x x
x
x
m
x
x
xx


.
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có
1
1221
1
xx
x
xx x
xx




.
Vì vậy
1mx x
.
Khảo sát hàm số
1
f
xx x
trên
0;1
ta được
2 1, 414fx
.
Vậy
m có thể nhận được các giá trị 2,3, 4,5,6,7,8.
| 1/27
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

BÀI 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Bất phương trình mũ cơ bản
2. Cách giai bất phương trình mũ đơn giản
a) Đưa về cùng cơ số 0   a  1   f
  x  g xf xg xaa  a   1   f
  x  g xb) Đặt ẩn phụ 2 f xf x a  a    0 . Đặt f xt a ,t  0
c) Phương pháp logarit hóa 0  a 1    f
  x  log b f ( x) a a
b  a 1   f
  x  log b a    a  1
  f (x)  g (x).logb   ( ) ( ) a f x g x ab  0  a  1  
f ( x)  g ( x).log b   a
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Bất phương pháp logarit cơ bản
2. Cách giải một số bất phương trình logarit đơn giản
a) Đưa về cùng cơ số 0  a 1    f
  x  g x log f x g x a
  loga   a 1   f
  x  g x 
b) Phương pháp mũ hóaa 1  f (x)    b a
log f (x)  b a  0a 1
 0 f (x) ba
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương đưa về cùng cơ số 1. Phương pháp
a. Bất phương trình mũ cơ bản éìïa >1 ï
êíêïf (x)£g(x) ï êî ê ìïa > 0
● Bất phương trình f(x) g(x) a £ a  êa =1 ( hoặc ïí ). ê ( ï a - )
1 é f (x)- g (x)ù £ 0 0 ì êï < a <1 ïî ë û ï
êíêïf (x)³ g(x) ï êî ë éìïa >1 ï
êíêïf (x)£log b ï ê
● Bất phương trình f(x) a <b (với a î b > 0 ) ê . ê 0 ìï < a <1 ï
êíêïf (x)³log b ï a î ë éìïa > 0 ï êïêbïí£0
êïêïïêf (x)có nghia ïî ê êìïa >1 êïï
● Bất phương trình f(x) a > b ê b ï  í > 0 ê . ï
êïïê f (x)>log b ï a î ê ê 0 ìï < a <1 êïïêbïíê>0 ï êïïê f (x)b ï a î ë
b. Bất phương trình logarit cơ bản é a ìï >1 ï
êíê0ï< f (x)£g(x) ï ê
● Bất phương trình log f x g x î £  ( hoặc a
( ) loga ( ) êê 0ìï<a<1 ï
êíêïf (x)³ g(x) ïî ë 0 ìï < a ¹1
ïïïïf (x)>0 ïí ). ïg(x)> 0
ïï(ïïa- )1éf (x)-g(x)ù£0 ïî ë û éìïa >1 ï
êíê0ï< f (x) b £ a ï ê
● Bất phương trình log f x b î £  ê . a ( ) 0 ì êï < a <1 ï
êíêïf (x) b ³ a ï êî ë éìïa >1 ï
êíêïf (x) b > a ï ê
● Bất phương trình log f x b î ³  ê . a ( ) 0 ì êï < a <1 ï
êíê0ï< f (x) b £ a ï êî ë 2. Bài tập Bài tập 1.
Cho bất phương trình log  2
x  2x  2 1  log  2
x  6x  5  m . Có bao nhiêu giá 7 7 
trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có tập ngiệm chứa khoảng 1;3 ? A. 35 . B. 36 . C. 34 . D. 33 . Lời giải Chọn C 2
x  6x  5  m  0  2
m  x  6x  5 bpt     log 7  2    2
x  2x  2  log 
 2x 6x5m     7 7  6x 8x 9 m
m  max f x  1;3  
, với f x 2
 x  6x  5 ; g x 2
 6x  8x  9 m  min g  x  1;3
Xét sự biến thiên của hai hàm số f x và g x
f  x  2
x  6  0, x
 1;3  f x luôn nghịch biến trên khoảng 1;3
 max f x  f   1  1  2 1;3
g x 12x  8  0, x
 1;3  g x luôn đồng biến trên khoảng 1;3
 min g x  g   1  23 1;3
Khi đó 12  m  23
Mà m   nên m  11  ;10; ...;2  2
Vậy có tất cả 34 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập 2. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình log  2
7x  7  log  2
mx  4x m có tập nghiệm là  . Tổng các phần tử của S là 2 2  A. 10 . B. 11. C. 12. D. 13 . Lời giải Chọn C 2
mx  4x m  0
BPT có tập nghiệm    , x    2 2
7x  7  mx  4x m 2
mx  4x m  0    1   , x    . 7  m 2
x  4x  7  m  2 a m  0 Ta có:   1    m  2 . 2
  4  m  0  1
a  7  m  0  Ta có: 2  
  m   m  .   4   7  m 7 2 5 2  0 2 m  2 Do đó 
 2  m  5 , mà m  nên m  3;4;  5 . m  5
Vậy S  3  4  5 12 . 2 x  6x  8  1 
Bài tập 3. Bất phương trình log
 0 có tập nghiệm là T  ;a   ; b  
. Hỏi M a b 2 4x 1 4    bằng A. M 12 . B. M  8 . C. M  9 . D. M  10 . Lời giải Chọn D 2 x  6x  8 2 x  6x  8 2 x 10x  9 Ta có log  0   1   0 2 4x 1 4x 1 4x 1 2
x 10x  9  0  1 4x 1  0    x 1    4 . 2
x 10x  9  0   x  9 4x 1 0  1  Nên T  ;1  9; 
  M a b 1 9 10 . 4   
Bài tập 4. Tập nghiệm của bất phương trình log log  2 x 1  1  là: 1 2  2 A. S  1;  5   . B. S   ;
  5   5;   .
C. S   5; 5   .
D. S   5;  1   1; 5. Lời giải Chọn B
log  2x 1  0 2  * ĐKXĐ: 2 
x 1 1  x  ;
  2  2;  . 2 x 1  0 1   
Bất phương trình log log  2 x 1  1   log x 1   2   2 x   1  4 2   1 2 1 2     2  2 2
x  5  x  ;   5   5;    .
* Kết hợp điều kiện ta được: x  ;
  5   5;    .
Bài tập 5. Bất phương trình  2 x     2 ln 2 3
ln x ax  
1 nghiệm đúng với mọi số thực x khi: A. 2
 2  a  2 2 . B. 0  a  2 2 .
C. 0  a  2 .
D. 2  a  2 . Lời giải Chọn D
 2x     2 ln 2 3
ln x ax  
1 nghiệm đúng với mọi số thực x 2
x ax 1  0 2
x ax 1  0   , x    .   , x    2 2
2x  3  x ax 1 2
x ax  2  0 2 a  4  0   2
a  4  0  2  a  2 . 2 a 8  0
Bài tập 6. Bất phương trình  x   2 3
1 x  3x  4  0 có bao nhiêu nghiệm nguyên nhỏ hơn 6? A. 9 . B. 5 . C. 7 . D. Vô số. Lời giải Chọn C  3x  1  0 x  0   2 
x  3x  4  0 x  4   x  1 x  1 x   2 3
1 x  3x  4  0      . 3x    1  0 x  0 4  x  0     2
x  3x  4  0  4   x  1
Kết hợp điều kiện nghiệm nguyên nhỏ hơn 6 ta thấy các giá trị thỏa là  3  ; 2;  1  ;2;3;4;  5 . 2 2 x x 1  1  1   1 x
Bài tập 7. nghiệm của bất phương trình 2 2 x   x      là  2   2   2   2  A.  1  ;  . B. 0;  . 2   2    2   2  C. 1;0 . D.  1;     0;  . 2 2     Lời giải Chọn D    1 2 x   1  2  2 x x x  1 1 2 1 1  2  1   1  x   1 Do 2 x   0 x  nên 2 2 x   x         2 2  2   2   2 
2x x 11 x  1 2 0  x  1  2 2 
2x x 11 x    1 x     1 2  x   2   1   1    x   ;    ;         1     2   2   x  1;         x    2 1;0    1   x  0;   1 1     x   ;   2       2 2  x ;    1 0;    2   2   x  1;   0;  . 2 2     2 x 3x 1  0 x2  1   1 
Bài tập 8. Số nghiệm nguyên của bất phương trình      là  3   3  A. 1. B. 0 . C. 9 . D. 11. Lời giải Chọn C 2 x 3x 1  0 x2  1   1  2 
x  3x 10  x  2      3   3  x  2   2 
x 3x 10  0 x  5    x  2  0  x  2   x x    x  2 2 x  14 3 10 2    5  x  14
Vậy tập tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là 5;6;7;8;9;10;11;12;1  3 .
Bài tập 9. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
 2x x    2 log 2 3
log 3x x với m là tham số m m
thực dương khác 1, biết x  1 là một nghiệm của bất phương trình đã cho.     A. S    1 2;0  ;3  . B. S    1 1;0  ;3  . 3    3     
C. S  1;0 1;  3 . D. S    1 1;0  ;3  . 3    Lời giải Chọn D
Do x  1 là nghiệm nên ta có log 6  log 2  0  m  1. m m 1  x  3 2 2
2x x  3  3x x 2
x  2x  3  0 
Bất phương trình tương đương với      1 2
3x x  0 2
3x x  0 x  0; x   3 1  x  0   1 .   x  3 3   Vậy S    1 1;0  ;3  . 3   
Bài tập 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình: 1 log  2 x   1  log  2
mx  4x m 5 5 
thỏa mãn với mọi x   . A. 1   m  0 . B. 1   m  0 .
C. 2  m  3.
D. 2  m  3. Lời giải Chọn C Ta có: 1 log  2 x   1  log  2
mx  4x m  log  2
5x  5  log  2
mx  4x m 5 5  5 5  2 2
mx  4x m  0
mx  4x m  0    1     2 2
5x  5  mx  4x m m  5 2
x  4x  m  5  0 2
Để bất phương trình đã cho thỏa mãn với mọi x   điều kiện là cả  
1 và 2 đều thỏa mãn 0  m  5 
với mọi x   . Điều kiện là 2 4  m  0  2  m  3 .  4   m 52  0
Bài tập 11. Bất phương trình  2 x     2 ln 2 3
ln x ax  
1 nghiệm đúng với mọi số thực x khi: A. 2
 2  a  2 2 . B. 0  a  2 2 .
C. 0  a  2 . D. 2   a  2. Lời giải Chọn D Ta có  2 x     2 ln 2 3
ln x ax  
1 nghiệm đúng với mọi số thực x 2
x ax 1  0 2
x ax 1  0   x      x    2 2
2x  3  x ax 1 2
x ax  2  0 2 a  4  0   2  a  4  0  2   a  2 . 2 a 8  0
Bài tập 12. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên không dương của m để phương trình
log x m  log 2  x  0 có nghiệm. Tập S có bao nhiêu tập con? 1   5   5 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn D Ta có: 2  x  0 
log x m  log 2  x  0  x m  0 1   5   5
log 2 x  log x m  5   5    x  2 x  2  
 x  m
 x  m .
2 x x m   2  mx   2 2  m  2  m  2
Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 2     m  2  . 2  m       m 2 m  2
Mà m là số nguyên không dương nên m 1  ; 
0 . Suy ra S  1;  0 .
Vậy số tập con của S bằng 2 2  4 . Chú ý: - Các
tập con của S là: ,   1  ,   0 , S . -
Một tập hợp có n phần tử thì số tập con của nó là 2 n .
Bài tập 13. Tìm các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log log 3x 1  log m có 0,02  2   0,02
nghiệm với mọi x  ;0   . A. m  9. B. m  2.
C. 0  m  1. D. m  1. Lời giải Chọn D log log 3x 1  log m 0,02  2   0,02 TXĐ: D  
ĐK tham số m : m  0 Ta có: log log 3x 1  log  log 3x m 1  m 0,02  2   0,02 2   3x.ln 3
Xét hàm số    log 3x f x 1 , ; x
   0 có f    0, ; x    0 2     3x     1 ln 2
Bảng biến thiên f x : x  0 f  + f 1 0
Khi đó với yêu cầu bài toán thì m  1.
Bài tập 14. Nghiệm của bất phương trình log
3x 1  6 1  log 7  10  x là 2   2   369 369 369 A. 1 x  . B. x  . C. x  1. D. x  . 49 49 49 Lời giải Chọn A 1
Điều kiện   x 10 . * 3 Ta có log
3x 1  6 1  log 7  10  x  3x 1  6 14  2 10  x 2   2  
 3x 1  8  2 10  x  3x 1 64  32 10  x  410  x (Do * ) (*)
 32 10  x 103 7x    x 2 1024 10
 10609  49x 1442x 2
 49x  418x  369  369 0  1 x  . 49
Bài tập 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc  : 1 log  2 x   1  log  2
mx  2x m . 6 6  A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Lời giải Chọn C Điều kiện: 2
mx  2x m  0. Ta có 1 log  2 x   1  log  2
mx  2x m  log 6   2 x   1   log   2
mx  2x m 6 6 6 6    2 x   2
mx x m  m   2 6 1 2
6 x  2x m  6  0 . 2
mx  2x m  0, x       1
Điều kiện bài toán  m6 
 2x  2x m 6  0, x    2 m  0  Giải  
1 : Do m  0 không thỏa   1 nên   1    m 1. 2
 1 m  0
 Giải 2 : Do m  6 không thỏa 2 nên: m  6 m  6    m  6  2    
 m   m  .   1  m 6 5 5 2 2  0
m 12m  35  0  m  7 Suy ra 1  m  5 .
Vậy có 4 giá trị nguyên của m .
Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ 1. Phương pháp
a. Bất phương trình mũ g ì (x) t ï = a > g x 0 Tổng quát: é ( ) f a ù = 0 (0 < a ¹ ) 1 ïí êë úû . ï f (t)= ï 0 î
Ta thường gặp các dạng: ● 2 f (x) f (x) . m a + . n a + p = 0 ● f (x) f (x) . m a + . n b
+ p = 0 , trong đó a.b = 1 . Đặt f (x) t = a
, t > 0 , suy ra f(x) 1 b = . t f (x) æaö ● 2 f (x) . m a + n (. . a b)f(x) 2 f (x) + . p b
= 0 . Chia hai vế cho 2 f( )x b và đặt ç ÷ ç ÷ = t > 0 ç . èb÷ø b. Bất phương logarit t ìï = log f x a ( )
Tổng quát: f log f x a ï é ù = < ¹  í . a ( ) 0 (0 ) 1 ë û ï f ï (t)= 0 î 2. Bài tập  2 log 100 x
Bài tập 1. Tìm số các nghiệm nguyên của bất phương trình log10x 1log 4.3  9.4  13.6 x . A. 10 . B. 9 . C. 8 . D. 11 Lời giải Chọn C ĐK: x  0 . 2log10 x log10 x  3   3  PT 2.log10x 2.log10x log10x  4.3  9.2 13.6  4. 13.  9  0      2   2  log10x  3  Đặt t   0  
thì phương trình trở thành:  2   2
4t 13t  9  0  1  t  . 4 log10 x  3  9 Do đó 1    1  log  
10x  2 1 x 10  2  4
Số các nghiệm nguyên của bất phương trình là 8 .
Bài tập 2. Xét bất phương trình 2
log 2x  2 m 1 log x  2  0 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để 2   2
bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng  2;   .  3   3 
A. m 0; . B. m   ;0   .
C. m   ;   .
D. m  ;0   .  4   4  Lời giải Chọn C Điều kiện: x  0 2
log 2x  2 m 1 log x  2  0 2   2
 1 log x2  2 m 1 log x  2  0 1 2   2  . 1  1 
Đặt t  log x .Vì x  2 nên log x  log 2  . Do đó t  ; 2 2 2   2  2    1 thành   t2 1  2m   1 t  2  0 2
t  2mt 1 0 2  1 
Cách 1: Yêu cầu bài toán tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc ;   .  2 
Xét bất phương trình (2) có: 2
 '  m 1  0, m   . f t 2
t  2mt 1  0 có ac  0 nên (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt t  0  t . 1 2 1 1 3 Khi đó cần 2
t m m 1   m   . 2 2 2 4 2 t 1  1  Cách 2: 2
t  2mt 1  0  f t   < m t    2t  2   3 
Khảo sát hàm số f t trong 0;  ta được m   ;   .  4 
Bài tập 3. Cho bất phương trình: 9x     1 .3x mm  0  
1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình  
1 nghiệm đúng x  1. 3 3 A. m   . B. m   .
C. m  3  2 2.
D. m  3 2 2. 2 2 Lời giải Chọn A Đặt 3x t
Vì x  1  t  3 Bất phương trình đã cho thành: 2
t  m  
1 .t m  0 nghiệm đúng t  3 2 t t
 m nghiệm đúng t  3 . t 1 2 2
Xét hàm số g t  t  2 
,t  3, g 't   1
 0,t  3. Hàm số đồng biến trên t 1 t  2 1  3 3
3; và g   3
3  . Yêu cầu bài toán tương đương m   m   . 2 2 2
Bài tập 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 0;10 để tập nghiệm của bất phương trình 2 2
log x  3log x  7  m 2
log x  7 chứa khoảng 256;  . 2 1 4  2 A. 7 . B. 10 . C. 8 . D. 9 . Lời giải Chọn C x  0  x  0 Điều kiện: 2 2
log x  3log x  7  0   2 2 1 
log x  6log x  7  0   2 2 2 x  0 x  0  1   0  x    1 log x  1       2 x  2  2  log x  7    x 128 2 x 128
Với điều kiện trên bất phương trình trở thành 2
log x  6log x  7  m log x  7 * 2 6  2   
Đặt t  log x thì t  8 vì x 256;  2   t 1 t  *  t  
1 t  7  mt  7 .   , m t
  8 Đặt f t 1  . t  7 t  7
Yêu cầu bài toán  m  max f t 8; t
Xét hàm số f t 1 
trên khoảng 8;  t  7 4 t  7
Ta có f t  .
 0,t  8  f t luôn nghịch biến trên khoảng 8; 
t  72 t 1
Do đó max f t  f 8  3  m  3 . 8;
Mà m 0;10 nên m3;4;  ...;10 .
Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log 5x 1 .log 2.5x  2  m 2   2  
có nghiệm với mọi x  1. A. m  6 . B. m  6 . C. m  6 . D. m  6 . Lời giải Chọn C.
Điều kiện của bất phương trình: x  0 .
Ta có log 5x 1 .log 2.5x  2  m  log 5x 1 . 1
  log 5x 1   m 2   2    2   2      1 . Đặt log 5x t
1 , với x  1 ta có t  2 . Khi đó   1 trở thành 2
m t t 2 . 2   Xét hàm số   2
f t t t trên 2; ta có f t  2t 1  0, t  2;.
Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi t  2 thì m  min f t hay m  6 . 2;
Bài tập 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình 2 2
x 3xm
x 3xm 2 x 2 x3 9  2.3  3 có nghiệm? A. 6 . B. 4 . C. 9 . D. 1. Lời giải Chọn D. Điều kiện 2
x  3x m  0 (*)
2 2x3xmx 2 2 2
x xm x 1
x 3xm
x 3xm 2 x 2 x3 2 9  2.3  3 3  3  .3   0 9 27 2
x 3xm x 2  0  3  3 2
x  3x m x  2  2
x  3x m x  2 . 2
x  3x m  0 2
x  3x m  0    x  2  0  x  2
 4  m  2  m  2 .  2 2
x  3x m x  4x  4   x  4  m
Do m nguyên dương nên m 1 thỏa mãn (*). x log 2 2 log x
Bài tập 7. Bất phương trình 2 2 
 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 10. log x log x 1 2 2 A. 7 . B. 8 . C. 9 . D. 6 . Lời giải Chọn A x log 2 2 log x
Điều kiện của bất phương trình là x  0 . Khi đó 2 2   1 log x log x 1 2 2 log x 1 2 log x 2 2    1 log x log x 1 2 2 t 1 2tt  2 2 1  2tt  2 2 1  2t
Đặt t  log x . Ta có  1   1  1  0 2 t t 1 t t   1 t t   1 t  1 2 2t t 1    1  0  t t t   0 1  2 t 1   1 log x  1 x  2   2 1 
Trả lại ẩn ta có  0  log x   1   x  2 2  2   x  2 log x  1   2  1
Kết hợp với điều kiện x  0 ta có 0  x  hoặc 1 x  2 hoặc x  2 . 2
Khi đó bất phương trình có 7 nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 10 .
Bài tập 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình x m
 m   x2 .4 1 .2
m 1  0 nghiệm đúng x    ? A. m  3 . B. m  1. C. 1   m  4 . D. m  0 . Lời giải Chọn B.
Bất phương trình  .4x  4   1 .2x m m
m 1  0  4x  4.2x  1 1 4.2x m 1 4.2x
m  4x 4.2x 1 4t 1
Đặt 2x t (Điều kiện t  0 ). Khi đó m
. Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng 2 t  4t 1 4t 1 x
  thì bất phương trình m  nghiệm đúng t   0 . 2 t  4t 1 2 4t 1 4t  2t
Đặt f t 
f t    0,t  0 . 2 t  4t 1
t 4t 2 2 1 4t 1
Hàm số nghịch biến trên 0;  . Khi đó m t
  0 khi và chỉ khi m f 0  1 2 t  4t 1
Bài tập 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình x 1 4   2x m   1  0 có nghiệm x    .
A. m  ;0 .
B. m  0;  .
C. m  0;  1 .
D. m  ;0  1;  . Lời giải Chọn A x 1  xx 4 4x Ta có: 1 4  m2   1  0  m   m  . 2x 1 42x   1 2 t Đặt  2x t
,t  0 . Yêu cầu bài toán tương đương với m t     . 4t   , 0;  1 2 t 2 2
1  2t t 1  t  1 t  2t
Đặt f t  
 , f t       . . t   ,t 0 4 1 4  t 2 1   4 t    2 1   f tt 0  0   . t  2 
Bảng biến thiên (Bố sung các đầu mũi tên trong bbt là  vào nhé) t -∞ -2 -1 0 +∞ f'(t) + 0 - - 0 + +∞ f(t) 0
Dựa vào bảng biến thiên có m  0 .
Bài tập 10. Xét bất phương trình 2
log 2x  2 m 1 log x  2  0 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m 2   2
để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng  2;   .  3   3 
A. m  0; . B. m   ;0   .
C. m   ;   .
D. m  ;0 .  4   4  Lời giải Chọn C
Điều kiện: x  0 2
log 2x  2 m 1 log x  2  0 2   2
 1 log x2  2 m 1 log x  2  0 1 2   2  . 1  1 
Đặt t  log x .Vì x  2 nên log x  log 2  . Do đó t  ; 2 2 2   2  2 
1 thành   t2 1  2m   1 t  2  0 2
t  2mt 1  0 2  1 
Cách 1: Yêu cầu bài toán tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc ;   .  2 
Xét bất phương trình (2) có: 2
 '  m  1  0, m   . f t 2
t  2mt 1  0 có ac  0 nên (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt t  0  t . 1 2 1 1 3 Khi đó cần 2
t m m 1   m   . 2 2 2 4 2 t 1  1  Cách 2: 2
t  2mt 1  0  f t   < m t    2t  2   3 
Khảo sát hàm số f t trong 0;  ta được m  ;   .  4 
Bài tập 11. Tìm giá trị gần đúng tổng các nghiệm của bất phương trình sau: æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ 2 22 22 2 4 ç 2log - 2log + 5 - 13 + - + 4÷÷ x - x + x - x + x + £ ç x x ( 6 5 4 3 2 24 2 27 2 1997 2016 0 2 ) 3 3 log x log x ÷ ç ÷ ç 22 22 ÷ ç ÷ è 3 3 ø A. 12,3 . B. 12 . C. 12,1. D. 12, 2 . Lời giải Chọn C
Điều kiện: 0  x 1. Ta có 6 5 4 3 2
24x  2x  27x  2x 1997x  2016
 x x 2  x  2 3 2 3 6 4 2
1  22x  26x 1997x  2015  0 , x  .
Do đó bất phương trình đã cho tương đương với    22 22 2 4  2 2log  2log  5  13    4  0  . x x 2 3 3 log x log x  22 22    3 3  22 Đặt t  log
, ta có bất phương trình x 3 2 2
2t  2t  5  2t  4t  4  13 2 2  1   3   t    1 t2 13 2 1      .  2   2  2   1 3       13
Đặt u t  ; 
 và v  1t; 
1 . Ta có u v u v  .  2 2  2 1 t  5 3 4 4  22  Dấu bằng xảy ra khi
2   2t 1 33t t   x  12,06   . 1 t 2 5  3 
Bài tập 12. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình x x 1 4 . m 2  
 3  2m  0 có nghiệm thực. A. m  2 . B. m  3 . C. m  5 . D. m  1. Lời giải Chọn D Ta có x x 1 4 . m 2  
 3  2m  0   x 2 2  2 .2x m  3  2m  0
Đặt 2x t t  0 . 2 t  3
Ta có bất phương trình tương đương với 2 t  2 .
m t  3  2m  0   m 2t  2 2 t  3
Xét f t  trên 0;  . 2t  2 2   t  1
f t  2t 4t 6 
; f t    .  0  2t  22 t   3  Bảng biến thiên
Vậy để bất phương trình có nghiệm thực thì m  1.
Bài tập 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 4log x 2  log x m  0 2 2
nghiệm đúng với mọi giá trị x  1;64 . A. m  0 . B. m  0 . C. m  0 . D. m  0 . Lời giải Chọn B
Ta có 4log x 2  log x m  0  log x  log x m  0 . 2 2 2 2 2
Đặt log x t , khi x  1;64 thì t  0;6 . 2 Khi đó, ta có 2
t t m  0 2
m  t t * . Xét hàm số   2
f t  t t với t  0;6 .
Ta có f t   2t 1  0,t 0;6 . Ta có bảng biến thiên:
Bất phương trình đã cho đúng với mọi x  1;64 khi và chỉ khi bất phương trình * đúng với
mọi t  0;6  m  0 .
Bài tập 14. Có bao nhiêu giá trị dương của tham số thực m để bất phương trình 2 2 2
log x  log x  3  m  2
log x  3 có nghiệm duy nhất thuộc 32;  ? 2 1 4  2 A. 2 . B. 1. C. 3. D. 0 . Lời giải Chọn Dx  0  1 0  x
Điều kiện xác định:    2 . 2
log x  2log x  3  0  2 2 x  8
Hàm số xác định trên 32;  . 2 2 2
log x  log x  3  m  2 log x  3 2 2
 log x  2log x  3  m log x 3 . 2 2  2  2 1 4  2
Đặt t  log x . Khi x  32 , ta có miền giá trị của t là 5;  . 2 2 t  2t  3 t 1
Bất phương trình có dạng: 2 2
t  2t  3  m t 3 2 2  m   m  . t  3 t  3 t  4 
Xét hàm số f t 1 
trên 5;  có f t 
nên hàm số nghịch biến trên 5;  t  3 t 32 .
Do lim f t 1 và f 5  3 nên ta có 1  f t  3. x
Do với mỗi t có duy nhất một giá trị x nên để bất phương trình đãcho có nghiệm duy nhất thuộc
32;  khi và chỉ bất phương trình 2
m f t có nghiệm duy nhất trên 5;  . Khi đó: 2 4
m  3  m  3 . Do đó không có số nguyên dương m thỏa mãn.
Bài tập 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình 2 2
x 3xm
x 3xm 2 x 2 x3 9  2.3  3 có nghiệm? A. 6 . B. 4 . C. 9. D. 1. Lời giải Chọn D Điều kiện 2
x  3x m  0 (*)
2 2x3xmx 2 2 2
x xm x 1
x 3xm
x 3xm 2 x 2 x3 2 9  2.3  3 3  3  .3   0 9 27 2
x 3xm x 2  0  3  3 2
x  3x m x  2 2
x  3x m x  2 . 2
x  3x m  0 2
x  3x m  0    x  2  0  x  2
 4  m  2  m  2 .  2 2
x  3x m x  4x  4   x  4  m
Do m nguyên dương nên m 1 thỏa mãn (*).
Bài tập 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log 5x 1 .log 2.5x  2  m 2   2  
có nghiệm với mọi x  1. A. m  6 . B. m  6 . C. m  6 . D. m  6 . Lời giải Chọn C
Điều kiện của bất phương trình: x  0 .
Ta có log 5x 1 .log 2.5x  2  m  log 5x 1 . 1
  log 5x 1   m 2   2    2   2      1 . Đặt log 5x t
1 , với x 1 ta có t  2. Khi đó   1 trở thành 2
m t t 2 . 2   Xét hàm số   2
f t t t trên 2;  ta có f t   2t 1  0 , t 2; .
Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi t  2 thì m  min f t hay m  6 . 2;
Bài tập 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình x m
 m   x2 .4 1 .2
m 1  0 nghiệm đúng x    ? A. m  3 . B. m  1. C. 1   m  4 . D. m  0 . Lời giải Chọn B
Bất phương trình  .4x  4   1 .2x m m
m 1  0  4x  4.2x  1 1 4.2x m 1 4.2x
m  4x 4.2x 1 4t 1
Đặt 2x t (Điều kiện t  0 ). Khi đó m
. Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng 2 t  4t 1 4t 1 x
   thì bất phương trình m  nghiệm đúng t   0 . 2 t  4t 1 2 4t 1 4t  2t
Đặt f t 
f t    0,t  0 . 2 t  4t 1
t 4t 2 2 1 4t 1
Hàm số nghịch biến trên 0;  . Khi đó m t
  0 khi và chỉ khi m f 0  1 2 t  4t 1
Bài tập 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình x 1 4   2x m   1  0 có nghiệm x    .
A. m  ;0 .
B. m  0;  .
C. m  0;  1 .
D. m  ;0  1;  . Lời giải Chọn A x 1  xx 4 4x Ta có: 1 4  m2   1  0  m   m  . 2x 1 42x   1 2 t Đặt  2x t
,t  0 . Yêu cầu bài toán tương đương với m t     . 4t   , 0;  1 2 t 2 2
1  2t t 1  t  1 t  2t
Đặt f t  
 , f t       . . t   ,t 0 4 1 4  t 2 1   4 t    2 1   f tt 0  0   . t  2 
Bảng biến thiên (Bố sung các đầu mũi tên trong bbt là  vào nhé) t -∞ -2 -1 0 +∞ f'(t) + 0 - - 0 + +∞ f(t) 0
Dựa vào bảng biến thiên có m  0 .
Dạng 3: Phương pháp logarit hóa 1. Phương pháp éìïa >1 ï
êíêïf (x)> g(x).log b ï ê Với bất phương tình ( ) ( ) a f x g x a b î >
 êê 0ìï<a<1 ï
êíêï f (x)< g(x).log b ï a î ë 2. Bài tập x
Bài tập 1. Nghiệm của bất phương trình  2 2 8  36.3 x x  là 3  x  2
 log 6  x  2 A. .  B. 2 .  x  4 x  4  4   x  2 
 log 18  x  2 C. .  D. 3 .  x  1 x  4 Hướng dẫn giải Chọn D. x x4 x4 Ta có  2x  4x  4 2 2 2 8  36.3  2  3  log 2  log 3 x x x x 3 3 x  4   
log 2  4  x   x  4 log 2 3 1  0 3   x  2  x  2  x  4  0 x  4   x  4  0 x  4     log 2 log 2  2  x 3 3  1  0    0  x 2    x  2 x  4 x  4 x  4     x  4 log 18    x  3   0
 log 18  x  2    3  x  2 x  4  . 
 log 18  x  2  3 2x
Bài tập 2. Bất phương trình x x 1
2 .5   10 có tập nghiệm là  ;  b    ;
a a. Khi đó b a bằng A. log 5. B. 2 log . C. 1. D. 2  log 5. 2 5 2 Hướng dẫn giải Chọn A. 2x 2x x x 1  x 1 x 1     x 2 .5 Ta có  x 1   x 1 x 1 x 1  x 1 2 .5 10   1  2 .5
1  log 2 .5    log 1 5 5 2.5        x   x 1 1 1 .log 2 
 0  x 1 . log 2   0 5    5  x 1  x 1 x   1 .x.log 2  log 2 1 5 5    0. x 1 Bảng xét dấu: x  log 10 -1 1  2 VT  +  0 + x   1 .x.log 2  log 2 1 1  x  1 5 5  Từ bảng xét dấu ta có  0  . x 1
  x  log 10  2 a  1 Do đó 
b a  log 5. 2 b  log 10  2
Bài tập 3. Có bao nhiêu số nguyên dương m trong đoạn 2018;2018 sao cho bất phương trình sau đúng 11 log x log x với mọi 
x  1;100 :  xm 10 10 10 10 . A. 2018 . B. 4026 . C. 2013. D. 4036 . Lời giải Chọn A 11  x x   x  10x log log m log 11 10 10  10  m   log x   1 
log x  log x 10mlog x   1 11log x  0  10  10  m x   2 10 log
1  log x 10 log x  0 .
Do x  1;100  log x 0;2 . Do đó 2 x x
10m log x   10 log log 2
1  log x 10 log x  0  10m  . log x 1 2 10t t 2 10  2t t
Đặt t  log x , t  0;2 , xét hàm số f t 
. Ta có: f t   0 t  0;2 . 2   t 1 t   1
Do đó f    f t  f     f t 16 0 2 0  . 3 2
10 log x  log x 16 8 Để 10m
đúng với mọi x  1;100 thì 10m   m  . log x 1 3 15  8  Do đó m  ; 2018 
hay có 2018 số thỏa mãn. 15   
Dạng 4: Phương pháp sử dụng tính đơn điệu 1. Phương pháp
Nếu hàm số y = f (x) luôn đồng biến trên D thì f (u)> f (v)  u >
v, "u,v Î D .
Nếu hàm số y = f (x) luôn nghịch biến trên D thì f (u)> f (v)  u <
v, "u,v Î D . 2. Bài tập
Bài tập 1.Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 2 2 2 x 15  x 10  0 x 10  x50 2 2  2
x  25x 150  0 A. 6 . B. 4 . C. 5 . D. 3 . Lời giải Chọn B Đặt 2
a  2x 15x 100 ; 2
b x 10x  50 ta có bất phương trình:
2a  2b a b  0  2a   2b a
b a b (do hàm số  2x y
x là hàm số đồng biến trên  ) Với a b 2 2
 2x 15x 100  x 10x  50 2
x  25x 150  0
x  10;15 . Vậy bất phương trình có 4 nghiệm nguyên.
Bài tập 2.Tìm số nguyên m nhỏ nhất để bất phương trình log  2 x x   3 2
1  2x  3x  log x m 1 (ẩn 3 3
x ) có ít nhất hai nghiệm phân biệt. A. m  3 . B. m  2 . C. m  1. D. m  1  . Lời giải Chọn B log  2 x x   3 2
1  2x  3x  log x m 1 1 3 3  
Điều kiện x  0 . 2  
x x 1 3 2  1 1  log  
  2x  3x m 1 3 2  log 1 x
 2x  3x m 1. 3    x  3  x   1  Xét f x 3 2  log 1 x
 2x  3x , với x  0 . 3    x  1 1 f  x 2 x 2 
 6x  6x ; f x  0  x 1.  1  1 x  ln 3    x  Với x  0; 
1  f  x  0 ; với x  1;  f  x  0 .
Vậy bất phương trình có ít nhất hai nghiệm  m 1  0  m  1. Vậy m  2 .
Bài tập 3.Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình 2
x x   a  2 2
ln x x   1  0 nghiệm đúng với
mọi x   . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  2;3 .
B. a  8;  .
C. a  6;7.
D. a  6; 5 . Lời giải Chọn C 2  1  3 3 Đặt 2
t x x 1  x     suy ra t   2  4 4 Bất phương trình 2
x x   a  2 2
ln x x  
1  0  t a ln t 1  0  a ln t t  1
Trường hợp 1: t  1 khi đó a ln t t
 1luôn đúng với mọi a . 3
Trường hợp 2:  t  1 4  3  t 1  3 
Ta có a ln t  t 1, t   ;1  a  , t   ;1      4  ln t  4  1 ln t 1 t  1 3  Xét hàm số       t f t f t    0, t   ;1 do đó 2   ln t ln t 4  t  1 3  7  a  , t   ;1  a    ln t  4 3  4ln 4
Trường hợp 3: t  1 t  1
Ta có a ln t t  1, t
 1;   a  , t  1;  ln t 1 ln t 1 t  1 Xét hàm số       t f t f t   , t   1;  . 2   ln t ln t 1 1 1
Xét hàm số g t  ln t 1  gt    0 2 t t t
Vậy g t  0 có tối đa một nghiệm. Vì g   1  2
 ; lim g t   vậy g t  0 có duy nhất một nghiệm trên 1;  t t 1
Do đó f t   0 có duy nhất một nghiệm là t . Khi đó 0 ln t
suy ra f t  t 0  0 0 t 0 0 Bảng biến thiên t  1 Vậy a  , t
 1;   a t  . 0 ln t 7  Vậy t   a  . 0 3 4ln 4
Vậy số thực a thỏa mãn yêu cầu bài toán là: a  6;7.
Bài tập 4.Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 2 2 2 sin x cos x cos 4  5  .7 x m có nghiệm  aa là m ;   với ,
a b là các số nguyên dương và tối giản. Tổng S a b là: bb A. S  13. B. S 15 . C. S  9 . D. S  11. Lời giải Chọn A 2 2 cos x cos  1   5 x  Ta có: 2 2 2 sin x cos x cos 4  5  .7 x m  4.   m     .  28   7  2 cos  1 x  1 2 2   cos x cos    1   5 x   28  28
Xét f x  4.     
với x   . Do  nên f x 4 5   hay  28   7  2 cos  5 x  5 28 7       7  7 f x 6
 . Dấu đẳng thức xảy ra khi 2
cos x  1  sin x  0  x k . 7 6 Vậy f x 6 min
 . Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m  min f x  m  hay  7  7 6  m  ;      S 13 . 7 
Bài tập 5.Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình 2 2 2 sin x cos x sin 2  3  .3 x m có nghiệm? A. m  4. B. m  4. C. m  1. D. m  1. Lời giải Chọn A
Chia hai vế của bất phương trình cho 2 sin
3 x  0 , ta được 2 2 sin x sin  2   1 x   3.  m      3   9  2 2 sin x sin  2   1 x  Xét hàm số y   3.    
là hàm số nghịch biến.  3   9  Ta có: 2
0  sin x  1 nên 1  y  4
Vậy bất phương trình có nghiệm khi m  4 . Chọn đáp án A
Bài tập 6. Tìm số nguyên m nhỏ nhất để bất phương trình log  2 x x   3 2
1  2x  3x  log x m 1 (ẩn 3 3
x ) có ít nhất hai nghiệm phân biệt. A. m  3 . B. m  2 . C. m  1. D. m  1  . Lời giải Chọn B log  2 x x   3 2
1  2x  3x  log x m 1 1 3 3  
Điều kiện x  0 . 2  
x x 1 3 2  1 1  log  
  2x  3x m 1 3 2  log 1 x
 2x  3x m 1. 3    x  3  x   1  Xét f x 3 2  log 1 x
 2x  3x , với x  0 . 3    x  1 1 f  x 2 x 2 
 6x  6x ; f x  0  x 1.  1  1 x  ln 3    x  Với x  0; 
1  f  x  0 ; với x  1;  f  x  0 .
Vậy bất phương trình có ít nhất hai nghiệm  m 1  0  m  1. Vậy m  2 .
Bài tập 7. Biết tập nghiệm của bất phương trình log  2x x  4  1 2log  2x x  5  3 là a;b. 3 5 
Khi đó tổng a  2b bằng A. 3. B. 4 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn C
Xét hàm số f x  log  2x x  4  1 2log  2x x  5 . 3 5      1 2 
f  x  2x   1   
 2 x x  4  1 x x  4 ln3  2 2 2
x x  5ln5    1 2
Dễ đánh giá g x    , x   
2 x x  4   1
x x  4 ln 3  0 2 2 2
x x  5ln 5 Bảng biến thiên: – Có
f 0  f  
1  3 và dựa vào bảng biến thiên ta có f x  3  x  0;  1
Vậy a  0;b  1 ; suy ra a  2b  2 2017  a 1   1 a
Bài tập 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a a 0 thỏa mãn 2017 2   2   . a   2017   2   2  A. 0  a 1.
B. 1 a  2017 . C. a  2017 .
D. 0  a  2017 . Lời giải Chọn D 2017  a 1   1 a Ta có 2017 2   2   a   2017   2   2   a 1   1 2017   2017log 2   alog 2  2  a  2  2017   2   2   a 1   2017 1  log 2  log 2  2  a  2  2017   2   2    . a 2017  x 1  log 2  2   log 4x 1  log 4x x x 1  2  2   2  
Xét hàm số y f x    1. x x x
 4x  1'   .x  ln        x 4x 1 1 1 4x l.n4 x x    4 1 .x 4 1ln4 1 Ta có y      0 2 2 ln2  x  ln2  x 4x   1       
1  4x l.n4x  4x   1 ln 4x   1  y  
  0 , x  0. 2 ln2  x 4x   1   
Nên y f x là hàm giảm trên 0;  .
Do đó f a  f 2017 ,a  0 khi 0  a  2017 .
Bài tập 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 4log x 2  log x m  0 2 2
nghiệm đúng với mọi giá trị x  1;64. A. m  0 . B. m  0 . C. m  0 . D. m  0 . Lời giải Chọn B
Ta có 4log x 2  log x m  0  log x  log x m  0 . 2 2 2 2 2
Đặt log x t , khi x  1;64 thì t  0;6 . 2 Khi đó, ta có 2
t t m  0 2
m  t t * . Xét hàm số   2
f t  t t với t  0;6 .
Ta có f t   2t 1  0,t 0;6 . Ta có bảng biến thiên:
Bất phương trình đã cho đúng với mọi x  1;64 khi và chỉ khi bất phương trình * đúng với
mọi t  0;6  m  0 . Bài tập 10. Giả sử
S  a,b là tập nghiệm của bất phương trình 2 3 4
5x  6x x x log x   2 x x 2
log x  5  5 6  x x . Khi đó b a bằng 2 2 1 7 5 A. . B. . C. . D. 2 . 2 2 2 Lời giải Chọn Ax  0 x  0 Điều kiện:    . D  0;3 . 2
6  x x  0  2   x  3 2 3 4
5x  6x x x log x   2 x x 2
log x  5  5 6  x x 2 2 2
 5x x 6  x x log x xx   2
1 log x  5  5 6  x x 2 2  x  
1 5  xlog x 2
 6  x x xlog x 5  0 2  2 
 5 xlog x 2
x 1 6  x x  0 2   5
  x log x  0  2  I  2
x 1 6  x x  0   . 5
  x log x  0  2  II  2
x 1 6  x x  0 Giải hệ (I). 5
  x log x  0 1  2    2
x 1 6  x x  0  2 Giải  
1 5  x log x  0 . 2  5 
Xét hàm số f x  x  log x
xg x với x 0;3 2   x  5 1
Ta có g x     0 x   0;3 . 2   x x ln 2 Lập bảng biến thiên  5 
Vậy f x  x
 log x  0x  0;3  . 2     x
  x x  x  2 2 6 1 2
2x  3x  5  0
Xét bất phương trình (2): 2
6  x x x 1     x 1 x 1 x  1   5   5  x   x  .  2  2 x 1  5 
Vậy nghiệm của hệ I  là D  ;3  . 2   
Hệ II  vô nghiệm.  5  Vậy S  ,3  . 2    5 1
b a  3   . 2 2
Bài tập 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng 9;9 của tham số m để bất phương trình x   2 3log
2log m x x  1 x 1 x  có nghiệm thực? A. 6 . B. 7 . C. 10 . D. 11. Lời giải Chọn B     0 x 1 0  x  1  0  x  1   Điều kiện      1 x . 2 m x x  
1 x 1 x  0 m x   1 x  0 m   0   x
Bất phương trình đã cho tương đương x
m xx  x x2 3 2 log log 1 1
x  m x x   x  x2 3 2 1 1  x x   2
m x x  1 x 1 x
x x  1 x 1 x x 1 xm    . 2 x x 1 x x
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có  x  1 x   1 x
x  2 x  2 1 x     .  1 x   x
Vì vậy m x  1 x .
Khảo sát hàm số f x  x  1 x trên 0; 
1 ta được f x  2 1,414 .
Vậy m có thể nhận được các giá trị 2,3, 4,5, 6, 7,8 .