Các dạng bài tập VDC mặt nón, hình nón và khối nón Toán 12

Tài liệu gồm 25 trang, tóm tắt lý thuyết cơ bản cần nắm và hướng dẫn phương pháp giải các dạng bài tập trắc nghiệm vận dụng cao (VDC / nâng cao / khó) mặt nón, hình nón và khối nón.Mời các bạn đón xem.

CHƯƠNG 2: MT NÓN, MT TR, MT CU
BÀI
1: MT NÓN
A.
LÍ THU
YT TR
NG TÂM
MT NÓN TRÒN XOAY
Trong mt phng
P
. Cho hai đường thng Δ
ct nhau ti O và to thành góc
vi
090
. Khi quay mt phng

P
xung quanh
Δ thì đường thng
sinh ra mt mt tròn xoay
đỉnh O gi là mt nón tròn xoay (hay đơn gin là
mt nón). Khi đó:
Đường thng Δ gi là trc ca mt nón.
Đường thng
được gi là đường sinh ca mt
nón.
Góc
2 gi là góc đỉnh ca mt nón.
Nhn xét:
Nếu M là mt đim tùy ý ca mt nón

N khác vi đim O thì đường thng OM
đường sinh ca mt nón đó.
HÌNH NÓN TRÒN XOAY
Cho
OIM
vuông ti I quay quanh cnh góc
vuông
OI thì đường gp khúc OMI to thành mt
hình, gi là hình nón tròn xoay (gi tt là hình
nón).
Khi đó:
Đưng thng OI gi là trc, Ođỉnh, OI gi là
đường cao và
OM gi là đường sinh ca hình nón.
Hình tròn tâm I, bán kính rIM đáy ca hình
nón.
Chú ý: Nếu ct mt nón

N bi hai mt
phng song song
P
Q
vi
P
qua O và vuông góc vi thì phn mt
nón
N gii hn bi hai mt phng
P
Q và hình tròn giao tuyến ca
Q
và mt nón
N
là hình nón.
KHI NÓN TRÒN XOAY
Phn không gian được gii hn bi mt hình nón
tròn xoay k c hình đó ta gi là khi nón tròn
xoay hay ngn gn là khi nón.
Các khái nim tương t như hình nón.
Xét khi nón có hình biu din là hình bên thì ta có
nhn xét:
- Nếu mp

P
cha OI thì thiết din ca mp
P
và khi nón là
mt hình tam giác cân ti
O.
- N
ếu m
p
P
vuông góc vi OI (không cha O)
thì thiết din ca mp
P
và khi nón (nếu có) là
mt hình tròn. Hình tròn thiết din này có din tích
ln nht khi mp
P
đi qua I.
CÔNG THC CN NH
Hình nón có chiu cao là
h, bán kính đáy rđộ
dài đường sinh là
thì có:
- Din tích xung quanh:
xq
Sr
.
- Din tích
đáy (
hình tròn):
2
ht
Sr .
- Din tích toàn phn:
2
tp
Srr
.
- Th tích khi nón:
2
11
.
33
ht
VSh rh
 .
Chú ý: V hình biu din hình nón hay
khi nón ta thường v như hình bên.
SƠ ĐỒ H THNG HÓA
MT NÓN
Trong mt phng
P
. Cho hai đường thng Δ
ct nhau ti O và to thành góc
. Khi quay
mt phng

P
xung quanh Δ thì đường thng
sinh ra
mt mt tròn xoay đỉnh O gi là mt nón
tròn xoay.
MT NÓN TRÒN XOAY
Cho OMI vuông ti I quay quanh cnh góc
vuông OI thì đường gp khúc OMI to thành
mt hình, gi là hình nón tròn xoay.
HÌNH NÓN TRÒN XOAY
Phn không gian được gii hn bi mt hình
nón tròn xoay k c hình đó ta gi là khi
nón tròn xoay hay ngn gn là khi nón.
KHI NÓN TRÒN XOAY
CÁC CÔNG THC
Din tích xung quanh
xq
Sr
Din tích đáy
2
ht
Sr
Din tích toàn phn
2
tp
Srr
Th tích
2
11
.
33
ht
VSh rh
B. CÁC DNG BÀI TP
Dng 1: Tính din tích xung quanh, din tích toàn phn, độ dài đường sinh, chiu cao,
bán kính đáy, thiết din ca hình nón
1. Phương pháp gii
Nm vng các công thc v din tích xung
quanh, din tích toàn phn, din tích đáy
.
Biết s
dng
các kết qu ca phn kiến thc
quan h song song, quan h vuông góc, các
h thc lượng trong tam giác… để áp dng
vào tính toán.
Ví d: Tính din tích xung quanh ca khi nón
có thiết din qua trc là tam giác vuông cân
din tích bng 2?
A. 22S
. B. 4S .
C.
2S
. D. 42S .
Hướng dn gii
Tam giác OAB vuông
cân din tích bng 2
2
1
2
2
OA
2OA OB
22
22 22AB 
2
2
AB
hR
Suy ra
.2.2 22
xq
S
.
Chn A.
2. Bài tp
Bài t
p 1:
Ct mt hình nón bi mt mt phng qua trc ta được thiết
din là
tam giác đều cnh 2a. Tính din tích toàn phn ca hình nón đ
ó.
A.
2
6 a . B.
2
24 a . C.
2
3 a
. D.
2
12 a
.
Hướng dn gii
Chn C
Ta có
23
3, 2 ,
2
a
ha a ra .
Din tí
ch toàn phn ca hình nón là
222
..2 . 3
tp
Srraaa a  .
Bài tp 2: Cho hình nón có đường sinh bng đường kính đáy, din tích
đáy ca hình nón bng 9
. Độ dài đường cao ca hình nón bng
Lưu ý:
Din tích tam giác
đều cnh x là:
2
3
4
x
S
độ dài chiu cao là:
3
2
x
h
.
bài toán này
2
x
a
.
A. 33. B. 3. C.
93
2
.
D.
3
3
.
Hướng dn gii
Chn A
Gi ,,rh ln lượt là bán kính đường tròn đáy,
đường sinh, chiu cao ca hình nón đã cho.
Theo gi thiết ta có
2
9
2
r
r

nên
3
6
r
.
Li có
22
hr do đó 36 9 3 3h .
Bài tp 3: Thiết din qua trc ca mt hình nón là tam giác vuông
cnh góc vuông bng 1. Mt phng
qua đỉnh S ca hình nón đó ct
đường tròn đáy ti
M, N. Tính din tích tam giác SMN, biết góc gia
đáy hình nón bng
60.
A.
1
3
. B.
1
2
.
C.
2
3
.
D.
3
2
.
Hướng dn gii
Chn C
Gi O là tâm đường tròn đáy, H là trung đim
ca
MN.
Ta có
MN là giao tuyến ca đường tròn đáy
mt phng
, li có ,OH MN SH MN.
Do đó góc gia
đáy hình nón là
60SHO .
Vì thiết din qua trc ca mt hình nón là tam giác vuông có cnh góc
vuông bng 1
2
2
SO
.
Xét
SOH vuông ti O
6
sin 60
sin 60 3
SO SO
SH
SH

.
Khi đó
2
22 2
623
221
33
MN SN SH





.
Vy din tích tam giác SMN
116232
...
22333
SMN
SSHMN

.
Bài tp 4: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, AB là hai đim thuc
Lưu ý: Tam giác SMN là tam
giác cân ti S và
1SM SN.
đường tr
òn đáy sao cho khong cách t O đến mt phng
SAB bng
3
3
a
30SAO ,
60SAB . Độ dài đường sinh ca hình nón theo a
bng
A. 2a . B. 3a . C. 23a . D. 5a .
Hướng dn gii
Chn A
Gi I là trung đim ca AB, dng OH SI
.
Ta có
3
3
a
OH
.
Do
60SAB  nên tam giác SAB đều.
Suy ra
SA SB AB.
Mt khác
1
30 .sin 30
2
SAO SO SA SA
.3
.cos30
2
SA
OA SA
.
Xét tam giác
SOI ta có
2
222222
2
2
1111 1 1 1
1
31
2
22
OH OS OI OS OA AI
SA
SA
SA










22
16 3
6.62
3
a
SA OH a
OH SA

.
Bài tp 5: Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O bán kính bng
2
ađộ dài đường sinh bng 5a . Mt phng
P
qua đỉnh S ct hình
nón theo thiết din là mt tam giác có chu vi bng
21 5 a . Khong
cách
d t O đến mt phng
P
A.
3
3
a
d
. B.
2
a
d .
C.
3
7
a
d .
D.
3
2
a
d .
Hướng dn gii
Chn D
Gi s thiết din là tam giác SAB, khi đó ta có
Lưu ý:
Ta có: OH SI (1)

AB OI
A
BSOI
AB SI

A
BOH
(2)
T (1) và (2) suy ra:
OH SAB , do đó
;dO SAB OH
.
Có th đặt SA x
.
Do:
222
111
OH OE OS

21 5SA SB AB a
55 215aaAB a
2
A
Ba
.
Gi E là trung đim AB, ta có
A
BSE
, mt khác
A
BSO
nên

A
BSOE
.
K
OH SE
ti H, (
HSE
).
Ta thy
OH AB
OH SOE OH SAB
.
Vy khong cách t S đến
P
OH (hay
;dO P OH ).
22 22
1
,2, 4 3
2
EB AB a OB R a OE OB EB a a a
.
22 22
54SO SB OB a a a,
22 22
..33
2
3
OS OE a a a
OH
OS OE a a


.
Vy
3
2
a
d
.
Bài tp 6:
Cho hình nón tròn xoay nm gia hai mt phng song song
P
Q
như hình v. K đường cao
SO ca hình nón và gi I là trung đim
ca SO. Ly
,,
M
PN QMN a
đi qua I ct mt nón ti EF đồng
thi to vi SO mt góc
. Biết góc
gia đường cao và đưng sinh ca hình nón bng 45. Độ dài đon EF
A.
2
E
Fa
. B. tan 2
2
a
EF
.
C.
tan 2EF a
. D.
2tan2EF a

.
Hướng dn gii
Chn B.
22
.OS OE
OH
OS OE

Lưu ý:
SFI SEI SFE
SSS

 (*)
1
..sin45
2
SFI
SSFSI

1
..sin45
2
SEI
SSESI

1
..sin90
2
SFE
SSFSE

Xét tam
giác NIO
.cos cos , .sin sin
22
aa
OI NI NO NI
Xét tam giác SEF vuông ti S
45 90 135SEF ESM SME   
.

1tan
.tan .tan 135 .
tan 1
SF SE SEF SE SE

.
SIđội đường phân giác trong góc
FSE nên

tan 135
.
2. cos 2
2 1 tan 135
SE
SE SF a
SI
SE SF




1tan
1cos
tan 1
sin
1tan
21 tan
22
tan 1
a
a
SE









Do đó

sin
tan 2
cos 135 1 tan cos sin 2
cos
SE SE a a
EF
SEF


.
Bài tp 7: Cho hình chóp đều S.ABC có cnh đáy bng a, góc gia mt
bên và mt đáy bng
60. Tính din tích xung quanh
x
q
S ca hình nón
đỉnh S, có đáy là đường tròn ngoi tiếp tam giác ABC.
A.
2
3
3
xq
a
S
.
B.
2
10
8
xq
a
S
.
C.
2
7
4
xq
a
S
.
D.
2
7
6
xq
a
S
.
Hướng dn gii
Chn D.
Gi O là tâm ca tam gc ABC, khi đó
SO ABC .
Hình nón đỉnh S, có đáy là đường tròn ngoi tiếp tam giác ABCđường
sinh là SA, bán kính đường tròn đáy là OA.
Gi H là trung đim ca BC thì


;60SBC ABC SHO.
Tam giác ABC đều và O là tâm ca tam
giác đều nên
1133
.
3326
aa
OH AH ;
23
33
a
OA AH
.
Thay vào (*) ta được
.
2
SE SF
SI
SE SF
.
Tam
giác SOH vuông ti O và có
60SHO
nên
3
.tan60 . 3
62
aa
SO OH.
Tam giác SOA vuông ti O nên
22
22
321
49 6
aaa
SA SO OA
.
Din tích xung quanh hình nón là
2
321 7
.. . .
36 6
xq
aa a
SrOASA
  
.
Dng 2: Tính th tích khi nón, bài toán cc tr
1. Phương pháp
Nhìn vào công thc tính th tích khi nón
2
11
.
33
nht
VSh rh
ta thy cn xác định chiu cao và din
tích đáy (bán kính đáy) ca khi nón. Đối
vi bài toán cc tr ta thường tính toán
đưa đại lượng cn tìm cc tr ph thuc
vào mt biến sau đó dùng đánh giá (s
dng bt đẳng thc, kho sát hàm s…)
để tìm ra kết qu.
Ví d: Cho hình nón có góc đỉnh bng
60
, din
tích xung quanh bng
2
6 a
. Th tích V ca khi
nón đã cho là
A.
3
32
4
a
V
.
B.
3
2
4
a
V
.
C.
3
3Va
. D.
3
Va
.
Hướng dn gii
Chn C
Th tích
22
11
..
33
VRhOASO  .
Ta có
60 30ASB ASO

1
tan30 3
3
OA
SO OA
SO
 .
Li có
22 2
.. . 6
xq
S R OA SA OA OA SO a

222 22
3626OA OA OA a OA a
23
1
3 3 .3 .3 3
3
OA a SO a V a a a  .
2. Bài tp
Bài t
p 1: Cho tam giác ABC
2
45 , 30 ,
2
ABC ACB AB  .
Quay tam giác ABC xung quanh cnh BC ta được khi tròn xoay có th
tích V bng
A.

31 3
2
V

B.
13
24
V

C.
13
8
V

D.
13
3
V

Hướng dn gii
Chn B
Ta có
sin30 sin 45 sin105
A
BAC BC


1
513
2sin
12 2
AC
BC


.
Gi
H là chân đường cao k t đỉnh A.
Ta có
1
. . .sin105
2
AH BC AB AC AH
.
Suy ra th tích khi tròn xoay cn tìm là
22 2
111
...
333
V AHBH AHCH AHBC 
13
24

.
Bài tp 2: Cho t din đều ABCD có cnh bng a. Hình nón
N
đỉnh
Ađường tròn đáy là đường tròn ngoi tiếp tam giác BCD. Th
tích
V ca khi nón
N
A.
3
3
27
a
V
B.
3
6
27
a
V
C.
3
6
9
a
V
D.
3
6
27
a
V
Hướng dn gii
Chn D.
Gi O là tâm ca tam gc đều BCD.
Ta có ,
A
OhOCr
23 3
.
32 3
aa
r
.
Lưu ý:
V chính là tng
th tích ca hai khi
nón: Khi nón có chiu
cao BH đường sinh AB
và khi nón có chiu
cao CH và đường sinh
AC.
Suy ra
2
22 2
32
3
3
aa
har a





.
Vy th tích khi nón là
23
2
11 26
.
333 27
3
aa a
Vrh
 
.
Bài tp 3: Cho hình nón
N
có góc đỉnh bng 60. Mt phng qua
trc ca

N ct
N theo mt thiết din là tam giác có bán kính đường
tròn ngoi tiếp bng 2. Th tích khi nón
N
A. 33V . B. 43V . C. 3V
. D. 6V
.
Hướng dn gii
Chn C
Tam giác SAB đều vì có SA SB
60ASB . Tâm đường tròn ngoi tiếp ca
SAB là trng tâm tam giác. Bán kính
đường tròn ngoi tiếp tam giác
SAB
2
23
3
rSO SO
.
3
.sin60 2 3
sin 60
3
2
SO
SO SA SA
.
Vy bán kính đường tròn ca khi nón là
23
3
22
AB
R 
.
Vy th tích khi nón là
2
1
3.33
3
V  .
Bài tp 4: Cho hình t din ABCD
A
D ABC , ABC là tam giác
vuông ti
B. Biết
,3,3BC a AB a AD a

. Quay các tam giác ABC
ABD (bao gm c đim bên trong hai tam giác) xung quanh đường
thng
AB ta được hai khi tròn xoay. Th tích phn chung ca hai khi
tròn xoay đó bng:
A.
3
33
16
a
. B.
3
83
3
a
. C.
3
53
16
a
. D.
3
43
16
a
Hướng dn gii
Chn A.
Kh
i quay tam giác
ABD quanh AB ta được khi nón đỉnh Bđường cao
BA, đáyđường tròn bán kính 3AE
cm. Gi ,IACBEIH AB
,
ti
H.
Phn chung ca 2 khi nón khi quay tam giác
ABC và tam giác ABD
quanh
AB là 2 khi nón đỉnh Ađỉnh Bđáyđường tròn bán kính
IH.
Ta có
IBC đồng dng vi
1
3
3
IC BC
IEA IA IC
IA AE

.
Mt khác
333
444
A
HIH AI a
IH // BC IH BC
A
BBCAC

.
Gi
12
;V V ln lượt là th tích ca khi nón đỉnh ABđáy là hình
tròn tâm
H.
22
12
11
.; .
33
VIHAH VIHBH 
23
2
12
933
...3
3 3 16 16
aa
VVV V IHAB V a V

  
.
Bài tp 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Hình nón có đỉnh S và có
đường tròn đáy là đường tròn ni tiếp tam giác
ABC gi là hình nón ni
tiếp hình chóp
S.ABC, hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường
tròn ngoi tiếp tam giác
ABC gi là hình nón ngoi tiếp hình chóp S.ABC.
T s th tích ca hình nón ni tiếp và hình nón ngoi tiếp hình chóp đã
cho bng
A.
1
2
.
B.
1
3
.
C.
2
3
.
D.
1
4
.
Hướng dn gii
Chn D.
Hai hình nón có cùng chiu cao nên t s th
tích bng t s din tích mt đáy. Vì tam giác
ABC đều nên bán kính đường tròn ngoi tiếp
bng
2
3
đường cao ca tam giác, bán kính đường tròn ni tiếp bng
1
3
đường cao ca tam giác.
Suy ra
11
22
11
24
VSr
RVS

.
Bài tp 6: Cho mt đồng h cát gm 2 hình nón chung đỉnh ghép li,
trong đó đường sinh bt k ca hình nón to vi đáy mt góc
60 như
hình bên dưới. Biết rng chiu cao ca đồng h là 30cm và tng th tích
ca đồng h

3
1000 cm . Hi nếu cho đầy lượng cát vào phn trên thì
khi chy hết xung dưới, khi đó t l th tích lượng cát chiếm ch và th
tích phn dưới là bao nhiêu?
A.
1
33
.
B.
1
8
.
C.
1
27
.
D.
1
64
.
Hướng dn gii
Chn B.
Gi bán kính ca hình nón ln và nón nh ln lượt là
,
x
y x y .
Suy ra chiu cao ca hình nón ln và nón nh ln lượt là
3, 3
x
y .
Theo gi thiết, ta có
22
3330
11
. 3 . 3 1000
33
xy
xx yy


33
10 3
20 3 10 3
,
33
1000 3
xy
x y
xy



.
Do hai hình nón đồng dng nên t s cn tính bng
3
1
8
y
x



.
Bài tp 7: Trong tt c các hình nón có độ dài đường sinh bng
. Hình
nón có th tích ln nht bng
A.
3
3
9
. B.
3
23
9
. C.
3
3
27
. D.
3
23
27
.
Hướng dn gii
Chn D.
Gi
0hh
là chiu cao hình nón, suy ra
bán kính
22
rh .
Suy ra th tích khi nón là


223
11 1
33 3
Vrh hh fh
   .
Xét hàm

23
f
hhh trên

0; .


22
3
30
3
h
fh h
h khong thoa man


Lp bng biến th
iên ta được
Ta thy

3
2
max
333
fh f





.
Vy
3
max
23
27
V
. Du “=” xy ra
3
h

.
Bài tp 8: Trong các hình nón cùng có din tích toàn phn bng S. Hình
nón có th tích ln nht khi ( ,r
ln lượt là bán kính đáy và đường sinh
ca hình nón)
A. 3r . B. 22r . C.
r
. D.
2r
.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có
2
2
Sr
Sr r
r


 .
Th tích
Lưu ý: điu kin ca


2
2
22222 2 24
22
11 1 1
2
33 3 3
Sr
Vrhr r r r SSrr
r

  
.
Lp bng biến thiên cho hàm
24
2
f
rSr r
 trên
0;
, ta thy
hàm s đạt giá tr ln nht ti
3
4
S
rr
.
Bài tp 9: Cho hình nón đỉnh Sđáyđường tròn tâm O. Thiết din
qua trc hình nón là mt tam giác cân vi cnh đáy bng a và có din tích
2
a
. Gi A, B là hai đim bt k trên đường tròn
O
. Th tích khi
chóp S.OAB đạt giá tr ln nht bng
A.
3
2
a
.
B.
3
6
a
.
C.
3
12
a
.
D.
3
2
12
a
.
Hướng dn gii
Chn C.
Tam
giác cân SCD, có
2
11
..2
22
SCD
SCDSOaaSOSOa

.
Khi chóp S.OAB có chiu cao
2SO a
không đổi nên để th tích ln
nht khi và ch khi din tích tam giác OAB ln nht.
2
11
..sin .sin
22
OAB
S OA OB AOB r AOB
 (vi r là bán kính đường
tròn mt đáy hình nón). Do đó để
OAB
S
ln nht khi
sin 1AOB
. Khi đó
3
max
12
a
V
.
Bài tp 10: Cho hình nón
1
N
đỉnh S, chiu cao h. Mt hình nón

2
N đỉnh là tâm ca đáy

1
N và có đáy là mt thiết din song song
vi đáy ca
2
N
như hình v.
biến khi kho sát hàm.
Khi nón
2
N
có th tích ln nht khi chiu cao x bng
A.
2
h
.
B.
3
h
.
C.
2
3
h
.
D.
3
3
h
.
Hướng dn gii
Chn B.
Xét mt ct qua trc hình nón và kí hiu như hình v. Vi O, I ln lượt là
tâm đáy ca hình nón
12
,NN
; R, r ln lượt là các bán kính ca hai
đường tròn đáy ca
12
,NN.
Ta có
R
hx
SI r h x r
r
SO R h R h

.
Th tích khi nón
2
N



2
2
2
2
2
2
22
11
.
33 3
N
Rhx
R
Vrx xxhx
hh
 
.
Xét hàm

2
322
2
f
xxhx x hxhx trên
0; h . Ta có
 
22
34 ; 0
3
x
h
fx x hxh fx
h
x


.
Lp bng biến thiên ta
Vy

f
x đạt giá tr ln nht trên khong
0; h ti
3
h
x
.
Bài tp 11: Xét các hình nón có đường sinh vi độ dài đều bng 10cm.
Chiu cao ca hình nón có th tích ln nht là
A. 53cm. B. 10 3 cm. C.
53
3
cm.
D.
10 3
3
cm.
Hướng dn gii
Chn D.
Xét hình nón có chiu cao là x cm và bán
kính đáy là y cm (x, y dương).
Ta có
22 2 2 2
10 100
x
yyx , ta có
điu kin

,0;10x y .
Th tích khi nón là

22
11
100
33
Vrh xx 
.
Xét hàm s
23
100 100 , 0;10fx x x x x x ;
 
2
10 3
100 3 ; 0
3
fx x fx x

 .
Bng biến thiên
Ta thy V ln nht k
hi

f
x ln nht ti
10 3
3
x
cm.
Bài tp 12: Gi s đồ th hàm s
24 22
12 1ym x mxm
 có 3
đim cc trA, B, C
A
BC
x
xx. Khi quay tam giác ABC quanh
cnh AC ta được mt khi tròn xoay. Giá tr ca m để th tích ca khi
tròn xoay đó ln nht thuc khong nào trong các khong dưới đây?
A.
4;6
.
B.
2; 4
.
C.
2;0
.
D.
0; 2
.
Hướng dn gii
Chn B.
23 22
4144 1ymxmxxmxm



.


22
2
0
04 1 0
0
1
x
yxmxm
m
xm
m

 


.
Vi
0m thì đồ th hàm s có 3 đim cc tr (vi
A
BC
x
xx
) là

2
22
22
;1;0;1
11
mm
Am Bm
mm






;
2
2
22
;1
11
mm
Cm
mm






.
Quay
A
BC
quanh AC thì được khi tròn xoay có th tích là

2
29
22
5
22
2
12 2 2
2. . .
33 3 1 13
1
mm m
VrhBIIC
mm
m

  



.
Xét hàm


9
5
2
1
m
fm
m
.
Ta có



82
6
2
9
;030
1
mm
fm fm m m
m


.
Ta có bng biến thiên
Vy t
h
ch cn tìm ln nht khi
3m .
Bài tp 13: Cho tam giác ABC vuông ti A, có 6AB
cm, 3AC
cm.
Gi M đim di động trên cnh BC sao cho MH vuông góc vi AB ti H.
Cho tam giác AHM quay quanh cnh AH to nên mt hình nón, th tích
ln nht ca hình nón được to thành là
A.
3
.
B.
4
3
.
C.
8
3
. D. 4
.
Hướng dn gii
Chn C.
Đặt
,0 6AH x cm x
.
Khi đó
6
B
Hxcm .
Xét tam giác BHM vuông ti H.
Ta có
tan
HM
HBM
BH

.tan 6 .tanHM BH HBM x HBM .
31
tan tan
62
AC
HBM ABC
A
B

.
Do đó

1
6.
2
HM x .
Th tích ca khi nón to thành khi tam giác AHM quay quanh cnh AH


2
232
11
.. .. 6 12 36
33412
VAHHM x x x x x

 (1).
Xét hàm s
32
12 36
f
xx x x vi 06x
, ta có
 
22
2
3 24 36; 0 3 24 36 0
6
x
fx x x fx x x
x


.
Bng biến thiên ca hàm s
32
12 36
f
xx x x vi 06x
T
(1) và bng
biến thiên ta có th
tích ln nht ca khi nón to thành là
8
.32
12 3
V

.
Bài tp 14: Cho hình lp phương
.
A
BCDABCD

có th tích bng 1.
Gi
N là mt hình nón có tâm
đường tròn đáy trùng vi tâm ca
hình vuông ABCD, đồ
ng thi các đim
,,,
A
BCD

nm trên các đưng
sinh ca hình nón như hình v. Thch khi nón
N có giá tr nh nht
bng
A.
2
3
.
B.
3
4
.
C.
9
8
. D.
9
16
.
Hướng dn gii
Chn C.
Xét
phn mt ct qua trc hình nónđi qua mt phng
A
ACC
, kí
hiu như hình v. Vi I, H ln lượt là tâm ca hình vuông ABCD,
A
BCD

đỉnh
A
nm trên đường sinh EF ca hình nón.
Hình lp phương có th tích bng 1 nên
2
1,
2
AA HI A H

 .
Đặt
0EH x x. Khi đó, ta có
221
12 2
EH A H x x
FI r
EI FI x FI x




.
Th tích khi nón
N



3
2
2
2
1
111
1
36 6
N
x
x
VrEI x
xx





.
Xét hàm s


3
2
1x
fx
x
trên
0; 
. Ta có


2
3
21xx
fx
x

.
Lp bng biến thiên
Ta được


0;
27
min
4
fx

ti
2x
. Suy ra

9
min
8
N
V
.
Bài tp 15: Mt hình nón đỉnh S bán kính đáy 3
R
a , góc đỉnh là
120. Mt phng qua đỉnh hình nón ct hình nón theo thiết din là mt
tam giác. Din tích ln nht ca tam giác đó bng
A.
2
3a . B.
2
2a
. C.
2
3
2
a
.
D.
2
23a .
Hướng dn gii
Chn B.
Gi s SAM là thiết din to bi mt phng và hình nón.
Gi

023AM x x a
.
Gi H là trung đim ca AM
OH AM AM SOH AM SH 
.
2
sin 60
120 60
tan 60
AO
SA a
ASB ASO
AO
SO a


.
22
22 2 22 2
34
44
x
x
OH OA AH a SH OH SO a
.
2
2
11
.4
224
SAM
x
SAMSHxa
.
Ta có
22 22
2
22
22
1162
4022
24
44 84
44
xx ax
Sa Sxa
xx
aa









.
2
max
2Sa.
Bài tp 16: Cho mt cu

S
bán kính R. Hình nón
N
thay đổi có
đỉnh và đường tròn đáy thuc mt cu
S . Th tích ln nht ca khi
nón

N
A.
3
32
81
R
. B.
3
32
81
R
. C.
3
32
27
R
. D.
3
32
27
R
.
Hướng dn gii
Chn A.
Ta có th tích khi nón đỉnh S ln hơn
hoc bng th tích khi nón đỉnh
S
. Do
đó ch cn xét khi nón đỉnh S có bán
kính đường tròn đáyrđường cao
SI h vi hR . Th tích khi nón
được to nên bi
N

2
11
..
33
C
VhS hr

2
2
1
..
3
hR hR




32
1
2
3
hhR

.
Xét hàm s
32
2
f
hhhR
vi
;2hRR
.
Ta có
2
34
f
hhhR
 .
2
0340 0fh h hR h
 
(loi) hoc
4
3
R
h
.
Bng biến thiên
Chú ý: Sau khi tính
được

32
1
2
3
VhhR

ta
có th làm như sau:

32
1
2
3
VhhR


2
1
2
3
hRh


.4 2
6
hh R h

3
42
63
hh R h



3
32
81
R
.
Đẳng thc xy ra khi và
ch khi
4
42
3
R
hRhh

.
Ta có

3
32
max
27
f
hR ti
4
3
R
h .
Vy th tích khi nón được to nên bi
N
có giá tr ln nht là
33
132 32
327 81
VRR
 khi
4
3
R
h .
Dng 3 Bài toán thc tế v hình nón, khi nón
Bài tp 1: Người th gia công ca mt cơ s cht lượng cao X ct mt miếng tôn hình tròn vi
bán kính 60 cm thành ba miếng hình qut bng nhau. Sau đó người th y qun và hàn ba
miếng tôn đó để được ba cái phu hình nón. Hi th tích V ca mi cái phu đó bng bao
nhiêu?
A.
16000 2
3
V
lít. B.
16 2
3
V
lít. C.
16000 2
3
V
lít. D.
160 2
3
V
lít
Hướng dn gii
Chn B.
Đổi 60 cm = 6 dm.
Đường sinh ca hình nón to thành là 6
dm.
Chu vi đường tròn ban đầu là
212CR
.
Gi r là bán kính đường tròn đáy ca hình nón to thành.
Chu vi đường tròn đáy ca hình nón to thành là
2.6
24
3
r

(dm)
4
2
2
r

(dm).
Đường cao ca khi nón to thành là
22 22
62 42hr .
Th tích ca mi phu là

22 3
11 162
2.4 2
33 3
Vrh dm
 
16 2
3
(lít).
Bài tp 2: Hai chiếc ly đựng cht lng ging ht nhau, mi chiếc có phn
cha cht lng là
mt khi nón có chiu cao 2dm (mô t như hình v).
Ban đầu chiếc ly th nht cha đầy cht lng, chiếc ly th hai để rng.
Người ta chuyn cht lng t ly th nht sang ly th hai sao cho độ cao
ca ct cht lng trong ly th nht còn 1dm. Tính chiu cao h ca ct cht
lng trong ly th hai sau khi chuyn (độ cao ca ct cht lng tính t đỉnh
ca khi nón đến mt cht lng – lượng cht lng coi như không hao ht
khi chuyn. Tính gn đúng h vi sai s không quá 0,01dm).
A. 1, 73h dm. B. 1, 89h dm. C. 1, 91h
dm. D. 1, 41h
dm.
Hướng dn gii
Chn C.
Có chiu cao hình nón khi đựng đầy
nước ly th nht
2
A
H
.
Chiu cao phn nước ly th nht sau
khi đổ sang ly th hai 1
A
D .
Chiu cao phn nước ly th hai sau
khi đổ sang ly th hai
A
Fh .
Theo Ta-lét ta có
1
,
22
R
AD R AF h
RAH R AH

 
suy ra ,
22
R
Rh
R R


.
Th tích phn nước ban đầu ly th nht
2
2VR
.
Th tích phn nước ly th hai
23
2
1
4
R
h
VRh


.
Th tích phn nước còn li ly th nht
2
2
4
R
V
.
23 2 3
2
3
12
1
2271,91
44 44
Rh R h
VVV R h


.
Bài tp 2: Mt b nước ln ca khu công nghip có phn cha nước là
mt khi nón đỉnh S phía dưới (hình v), đường sinh
27SA
mét. Có
mt ln lúc b cha đầy nước, người ta phát hin nước trong b không đạt
yêu cu v v sinh nên lãnh đạo khu công nghip cho thoát hết nước để
làm v sinh b cha. Công nhân cho thoát nước ba ln qua mt l đỉnh
S. Ln th nht khi m
c nước ti đim M thuc SA thì dng, ln th hai
khi mc nước ti đim N thu
c SA thì
dng, ln th ba mi thoát hết
nước. Biết rng lượng nước mi ln thoát bng nhau. Tính độ dài đon
MN.
A.

3
27 2 1
m.
B.
3
3
99 4 1 m.
C.
3
3
99 2 1 m.
D.
3
3
93 2 1 m.
Hướng dn gii
Chn C.
Ta gi
12
,,V V V
ln lượt là th tích khi nón có đường sinh là SN, SM,
SA.
Do
SEM
đồng dng vi
SOA
nên ta có
SM SE EM
SA SO OA
 .
Li có
2
33
3
2
2
1
..
22
3
13122
1
3327
..
3
EM SE
V
SA SM
SM
VSM
OA SA
 

 
 
Tương t
33
3
1
1
6561
327
VSN SN
SN
VSA
 

 
 
.
Vy
33
13122 6561MN SM SN .
| 1/25

Preview text:

CHƯƠNG 2: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU BÀI 1: MẶT NÓN
A. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM MẶT NÓN TRÒN XOAY
Trong mặt phẳng P . Cho hai đường thẳng Δ là
 cắt nhau tại O và tạo thành góc  với
0    90 . Khi quay mặt phẳng P xung quanh
Δ thì đường thẳng  sinh ra một mặt tròn xoay
đỉnh O gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản là mặt nón). Khi đó:
 Đường thẳng Δ gọi là trục của mặt nón.
 Đường thẳng  được gọi là đường sinh của mặt nón.
 Góc 2 gọi là góc ở đỉnh của mặt nón.
Nhận xét: Nếu M là một điểm tùy ý của mặt nón
N  khác với điểm O thì đường thẳng OM
đường sinh của mặt nón đó. HÌNH NÓN TRÒN XOAY
Cho OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc
vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một
hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón). Khi đó:
 Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là Chú ý: Nếu cắt mặt nón N bởi hai mặt
đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.
phẳng song song PQ với P
 Hình tròn tâm I, bán kính r IM là đáy của hình qua O và vuông góc với thì phần mặt nón.
nón N giới hạn bởi hai mặt phẳng P
Q và hình tròn giao tuyến của Q
và mặt nón N là hình nón. KHỐI NÓN TRÒN XOAY
Phần không gian được giới hạn bởi một hình nón
tròn xoay kể cả hình đó ta gọi là khối nón tròn
xoay hay ngắn gọn là khối nón.
Các khái niệm tương tự như hình nón.
Xét khối nón có hình biểu diễn là hình bên thì ta có Chú ý: Vẽ hình biểu diễn hình nón hay nhận xét:
khối nón ta thường vẽ như hình bên.
- Nếu mp P chứa OI thì thiết diện của mp P
và khối nón là một hình tam giác cân tại O.
- Nếu mp P vuông góc với OI (không chứa O)
thì thiết diện của mp P và khối nón (nếu có) là
một hình tròn. Hình tròn thiết diện này có diện tích
lớn nhất khi mp P đi qua I.
CÔNG THỨC CẦN NHỚ
Hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và độ
dài đường sinh là  thì có:
- Diện tích xung quanh: S r   . xq
- Diện tích đáy (hình tròn): 2 S r  . ht - Diện tích toàn phần: 2 S r    r  . tp 1 1 - Thể tích khối nón: 2
V S .h rh . 3 ht 3
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA MẶT NÓN MẶT NÓN TRÒN XOAY
Trong mặt phẳng P . Cho hai đường thẳng Δ và
 cắt nhau tại O và tạo thành góc  . Khi quay
mặt phẳng P xung quanh Δ thì đường thẳng 
sinh ra một mặt tròn xoay đỉnh O gọi là mặt nón tròn xoay. HÌNH NÓN TRÒN XOAY
Cho OMI vuông tại I quay quanh cạnh góc
vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành
một hình, gọi là hình nón tròn xoay. KHỐI NÓN TRÒN XOAY
Phần không gian được giới hạn bởi một hình
nón tròn xoay kể cả hình đó ta gọi là khối
nón tròn xoay hay ngắn gọn là khối nón. CÁC CÔNG THỨC Diện tích xung quanh S r   xq Diện tích đáy 2 S rht Diện tích toàn phần 2 S r    rtp Thể tích 1 1 2
V S .h rh 3 ht 3
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, độ dài đường sinh, chiều cao,
bán kính đáy, thiết diện của hình nón

1. Phương pháp giải
Nắm vững các công thức về diện tích xung Ví dụ: Tính diện tích xung quanh của khối nón
quanh, diện tích toàn phần, diện tích đáy. có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân
Biết sử dụng các kết quả của phần kiến thức diện tích bằng 2?
quan hệ song song, quan hệ vuông góc, các
A. S  2 2 . B. S  4 .
hệ thức lượng trong tam giác… để áp dụng C. S  2 .
D. S  4 2 . vào tính toán.
Hướng dẫn giải Tam giác OAB vuông cân diện tích bằng 2 1 2  OA  2 2
OA OB  2 2 2 AB  2  2  2 2 ABh R   2 2 Suy ra S  .  2.2  2 2 . xq Chọn A. 2. Bài tập
Bài tập 1: Cắt một hình nón bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết
diện là tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích toàn phần của hình nón đó. A. 2 6 a  . B. 2 24 a  . C. 2 3 a  . D. 2 12 a  .
Lưu ý: Diện tích tam giác
Hướng dẫn giải 2 x 3
đều cạnh x là: S Chọn C 4 2a 3
độ dài chiều cao là: Ta có h   a 3,  
2a, r a . 2 x 3 h .
Diện tích toàn phần của hình nón là 2 2 2 2 S r    r   .  . a 2a  .  a  3 a  .
Ở bài toán này x  2a . tp
Bài tập 2: Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy, diện tích
đáy của hình nón bằng 9 . Độ dài đường cao của hình nón bằng 9 3 3 A. 3 3 . B. 3 . C. . D. . 2 3
Hướng dẫn giải Chọn A Gọi r, ,
h lần lượt là bán kính đường tròn đáy,
đường sinh, chiều cao của hình nón đã cho. 2  r   9 r  3 Theo giả thiết ta có  nên  .   2r   6 Lại có 2 2
h    r do đó h  36  9  3 3 .
Bài tập 3: Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vuông có
cạnh góc vuông bằng 1. Mặt phẳng  qua đỉnh S của hình nón đó cắt
đường tròn đáy tại M, N. Tính diện tích tam giác SMN, biết góc giữa 
và đáy hình nón bằng 60 . 1 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 2
Hướng dẫn giải Chọn C
Gọi O là tâm đường tròn đáy, H là trung điểm
Lưu ý: Tam giác SMN là tam của MN. giác cân tại S và
Ta có MN là giao tuyến của đường tròn đáy và
SM SN  1.
mặt phẳng  , lại có OH MN, SH MN .
Do đó góc giữa  và đáy hình nón là  SHO  60 .
Vì thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác vuông có cạnh góc 2
vuông bằng 1  SO  . 2 SO SO 6
Xét SOH vuông tại O có sin 60   SH   . SH sin 60 3 2  6  2 3 Khi đó 2 2 2
MN  2 SN SH  2 1      . 3  3   1 1 6 2 3 2
Vậy diện tích tam giác SMNSSH.MN  . .  . SMN 2 2 3 3 3
Bài tập 4: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, AB là hai điểm thuộc
đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB bằng a 3 và  SAO  30 , 
SAB  60 . Độ dài đường sinh của hình nón theo a 3 bằng A. a 2 . B. a 3 . C. 2a 3 . D. a 5 .
Hướng dẫn giải Chọn A
Gọi I là trung điểm của AB, dựng OH SI . a 3 Ta có OH  . 3 Do 
SAB  60 nên tam giác SAB đều. Lưu ý:
Suy ra SA SB AB .
Ta có: OH SI (1) Mặt khác AB OI
AB  SOI  1
SAO  30  SO  .
SA sin 30  SA AB SI 2
AB OH (2) . SA 3 và OA  . SA cos30  .
Từ (1) và (2) suy ra: 2
OH  SAB, do đó
Xét tam giác SOI ta có 1 1 1 1 1 1 1 d  ;
O SAB  OH .       2 2 2 2 2 2 2 2 OH OS OI OS OA AI  1  2 SASA 3   1   
Có thể đặt SA x .  2    SA    2    2  1 6 a 3  
SA OH 6  . 6  a 2 . 2 2 OH SA 3
Bài tập 5: Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O bán kính bằng
2a và độ dài đường sinh bằng a 5 . Mặt phẳng P qua đỉnh S cắt hình
nón theo thiết diện là một tam giác có chu vi bằng 21 5a . Khoảng
cách d từ O đến mặt phẳng P là a 3 a A. d  .
B. d  . C. 3 2 a 3 a 3 d  . D. d  . 7 2
Hướng dẫn giải 1 1 1 Do:   Chọn D 2 2 2 OH OE OS
Giả sử thiết diện là tam giác SAB, khi đó ta có
SA SB AB  21 5a OS.OEOH  2 2 OS OE
a 5  a 5  AB  21 5a
AB  2a .
Gọi E là trung điểm AB, ta có AB SE , mặt khác AB SO nên
AB  SOE .
Kẻ OH SE tại H, ( H SE ).
Ta thấy OH AB OH  SOE  OH  SAB .
Vậy khoảng cách từ S đến P là OH (hay d  ;
O P  OH ). 1 2 2 2 2
EB AB a,OB R  2a,OE OB EB  4a a a 3 . 2 2 2 2 2
SO SB OB  5a  4a a , OS.OE . a a 3 a 3 OH    . 2 2 2 2 OS OE a  3a 2 a 3 Vậy d  . 2
Bài tập 6: Cho hình nón tròn xoay nằm giữa hai mặt phẳng song song
P và Q như hình vẽ. Kẻ đường cao
SO của hình nón và gọi I là trung điểm
của SO. Lấy M P, N Q, MN a
và đi qua I cắt mặt nón tại EF đồng
thời tạo với SO một góc  . Biết góc
giữa đường cao và đường sinh của hình nón bằng 45 . Độ dài đoạn EFa
A. EF  2a .
B. EF   tan 2 . 2
C. EF  a tan 2 . D. EF  2  a tan 2 .
Hướng dẫn giải Lưu ý:
Chọn B. SSS (*) SFI SEI SFE 1 S
SF.SI.sin 45 SFI 2 1 S
SE.SI.sin 45 SEI 2 1 S
SF.SE.sin 90 SFE 2 a a
Thay vào (*) ta được
Xét tam giác NIOOI NI.cos  cos ,
NO NI.sin   sin  2 2 SE.SF SI  2 .
Xét tam giác SEF vuông tại SSE SF   
SEF ESM SME  45  90    135   .    SF SE SEF SE   1 tan .tan .tan 135  SE. . tan  1
SI là độ dài đường phân giác trong góc  FSE nên SE.SF a
SE tan 135  SI  2.  cos  2 SE SF 2 1 tan 135   1 tan a 1 cos   tan 1    a sin   SE   1 tan  2 1 tan 2 2 tan1 Do đó SE SE a sin  a EF      tan 2 .  cos SEF
cos 135  1 tan  cos  sin  2
Bài tập 7: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt
bên và mặt đáy bằng 60 . Tính diện tích xung quanh S của hình nón xq
đỉnh S, có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2 a  3 2 a  10 A. S  . B. S  . xq 3 xq 8 2 a  7 2 a  7 C. S  . D. S  . xq 4 xq 6
Hướng dẫn giải Chọn D.
Gọi O là tâm của tam giác ABC, khi đó SO   ABC .
Hình nón đỉnh S, có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường
sinh là SA, bán kính đường tròn đáy là OA.
Gọi H là trung điểm của BC thì
SBC ABC   ;  SHO  60 .
Tam giác ABC đều và O là tâm của tam giác đều nên 1 1 a 3 a 3 OH AH  .  ; 3 3 2 6 2 a 3 OA AH  . 3 3
Tam giác SOH vuông tại O và có  SHO  60 nên a 3 a
SO OH.tan 60  . 3  . 6 2 2 2 a 3a a 21
Tam giác SOA vuông tại O nên 2 2
SA SO OA    . 4 9 6
Diện tích xung quanh hình nón là 2 a 3 a 21 a  7 S r    .  O . A SA  .  .  . xq 3 6 6
Dạng 2: Tính thể tích khối nón, bài toán cực trị 1. Phương pháp
Ví dụ: Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60 , diện tích xung quanh bằng 2 6 a
 . Thể tích V của khối nón đã cho là 3 3 a  2 3 a  2 A. V  . B. V  . 4 4 C. 3 V  3 a  . D. 3 V a  .
Hướng dẫn giải
Nhìn vào công thức tính thể tích khối nón Chọn C 1 1 2
V S .h rh n 3 ht 3
ta thấy cần xác định chiều cao và diện
tích đáy (bán kính đáy) của khối nón. Đối
với bài toán cực trị ta thường tính toán
đưa đại lượng cần tìm cực trị phụ thuộc 1 1 Thể tích 2 2 V Rh  .  OA .SO .
vào một biến sau đó dùng đánh giá (sử 3 3
dụng bất đẳng thức, khảo sát hàm số…) Ta có  
ASB  60  ASO  30 để tìm ra kết quả. OA 1  tan 30  
SO OA 3 . SO 3 Lại có 2 2 2 S R    .  . OA SA   .
OA OA SO  6 axq 2 2 2 2 2
OA OA  3OA  6a  2OA  6a 1 2 3
OA a 3  SO  3a V  .3
a .3a  3 a  . 3 2. Bài tập
Bài tập 1: Cho tam giác ABC có   2 ABC  45 ,  ACB  30 ,  AB  . 2
Quay tam giác ABC xung quanh cạnh BC ta được khối tròn xoay có thể tích V bằng  3 1 3 1 3 A. V B. V  2 24 1 3 1 3 C. V D. V  8 3
Hướng dẫn giải
Lưu ý: V chính là tổng Chọn B
thể tích của hai khối AB AC BC Ta có   sin 30 sin 45 sin105
nón: Khối nón có chiều AC  1
cao BH đường sinh AB    5 1 3 .
và khối nón có chiều BC  2 sin   12 2
cao CH và đường sinh
Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A. AC. 1
Ta có AH.BC A .
B AC.sin105  AH  . 2
Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là 1 1 1 1 3 2 2 2 V AH .BH AH .CH AH .BC  . 3 3 3 24
Bài tập 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Hình nón  N  có
đỉnh A và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Thể
tích V của khối nón  N  là 3  3a 3 6a 3  6a 3  6a A. V B. V C. V D. V  27 27 9 27
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi O là tâm của tam giác đều BCD.
Ta có AO h,OC r 2 a 3 a 3  r  .  . 3 2 3 Suy ra 2  a 3  2a 2 2 2
h a r a      . 3  3   2 3 1 1 a a 2  6a
Vậy thể tích khối nón là 2 V rh   .  . 3 3 3 3 27
Bài tập 3: Cho hình nón  N  có góc ở đỉnh bằng 60 . Mặt phẳng qua
trục của  N  cắt  N  theo một thiết diện là tam giác có bán kính đường
tròn ngoại tiếp bằng 2. Thể tích khối nón  N  là
A. V  3 3 . B. V  4 3 . C. V  3 . D. V  6 .
Hướng dẫn giải Chọn C
Tam giác SAB đều vì có SA SB và 
ASB  60 . Tâm đường tròn ngoại tiếp của SAB
là trọng tâm tam giác. Bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB là 2
r SO  2  SO  3. 3 SO 3 Mà SO  .s
SA in 60  SA    2 3 . sin 60 3 2 AB 2 3
Vậy bán kính đường tròn của khối nón là R    3 . 2 2
Vậy thể tích khối nón là V   2 1 3 .3  3 . 3
Bài tập 4: Cho hình tứ diện ABCDAD   ABC , ABC là tam giác
vuông tại B. Biết BC a, AB a 3, AD  3a . Quay các tam giác ABC
ABD (bao gồm cả điểm bên trong hai tam giác) xung quanh đường
thẳng AB ta được hai khối tròn xoay. Thể tích phần chung của hai khối tròn xoay đó bằng: 3 3 3 a  3 8 3 a  3 5 3 a  3 4 3 aA. . B. . C. . D. 16 3 16 16
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Khi quay tam giác ABD quanh AB ta được khối nón đỉnh B có đường cao
BA, đáy là đường tròn bán kính AE  3cm. Gọi ,
I AC BE IH AB , tại H.
Phần chung của 2 khối nón khi quay tam giác ABC và tam giác ABD
quanh AB là 2 khối nón đỉnh A và đỉnh B có đáy là đường tròn bán kính IH. IC BC 1 Ta có IBC
đồng dạng với IEA   
  IA  3IC . IA AE 3 AH IH AI 3 3 3a
Mặt khác IH // BC   
  IH BC  . AB BC AC 4 4 4
Gọi V ; V lần lượt là thể tích của khối nón đỉnh AB có đáy là hình 1 2 tròn tâm H. 1 1 2 2 V IH
.AH; V IH .BH 1 2 3 3 2 3   9a 3a 3 2
V V V V IH .AB V  . .a 3  V   . 1 2 3 3 16 16
Bài tập 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Hình nón có đỉnh S và có
đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC gọi là hình nón nội
tiếp hình chóp S.ABC, hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC gọi là hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Tỉ số thể tích của hình nón nội tiếp và hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng 1 1 2 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 4
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Hai hình nón có cùng chiều cao nên tỉ số thể
tích bằng tỉ số diện tích mặt đáy. Vì tam giác
ABC đều nên bán kính đường tròn ngoại tiếp 2 1 bằng
đường cao của tam giác, bán kính đường tròn nội tiếp bằng 3 3
đường cao của tam giác. r 1 V S 1 Suy ra 1 1     . R 2 V S 4 2 2
Bài tập 6: Cho một đồng hồ cát gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép lại,
trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc 60 như
hình bên dưới. Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng thể tích của đồng hồ là  3
1000 cm . Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì
khi chảy hết xuống dưới, khi đó tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể
tích phần dưới là bao nhiêu? 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 8 27 64
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi bán kính của hình nón lớn và nón nhỏ lần lượt là x, y x y .
Suy ra chiều cao của hình nón lớn và nón nhỏ lần lượt là x 3, y 3 .
x 3  y 3  30 
Theo giả thiết, ta có 1 1 2 2  x  .x 3  y  .y 3 1000 3 3
x y 10 3 20 3 10 3    x , y  . 3 3
x y 1000 3 3 3 3  y  1
Do hai hình nón đồng dạng nên tỉ số cần tính bằng    .  x  8
Bài tập 7: Trong tất cả các hình nón có độ dài đường sinh bằng  . Hình
nón có thể tích lớn nhất bằng 3  3 3 2 3 3  3 3 2 3 A. . B. . C. . D. . 9 9 27 27
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi h 0  h   là chiều cao hình nón, suy ra bán kính 2 2
r    h .
Suy ra thể tích khối nón là 1 1 1 2 V rh   2 3
h h   f  h . 3 3 3 Xét hàm   2 3
f h   h h trên 0; .   h   f h 2 2 3
   3h  0    h   khong thoa man  3
Lập bảng biến thiên ta được 3    2
Ta thấy max f h  f    .  3  3 3 3 2 3 Vậy V  
. Dấu “=” xảy ra  h   . max 27 3
Bài tập 8: Trong các hình nón cùng có diện tích toàn phần bằng S. Hình
nón có thể tích lớn nhất khi ( r,  lần lượt là bán kính đáy và đường sinh của hình nón) A.   3r .
B.   2 2r . C.   r . D.   2r .
Hướng dẫn giải
Chọn A. 2 S r  Ta có 2 S r    r     . r  Thể tích
Lưu ý: điều kiện của
biến khi khảo sát hàm. 1 1 1
S r 2 2 1 2 2 2 2 2 2 V rh r    r r   r S  2 4 Sr  2 r  . 2 2  3 3 3  r 3
Lập bảng biến thiên cho hàm f r 2 4  Sr  2 r
 trên 0;, ta thấy S
hàm số đạt giá trị lớn nhất tại r     3r . 4
Bài tập 9: Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O. Thiết diện
qua trục hình nón là một tam giác cân với cạnh đáy bằng a và có diện tích là 2
a . Gọi A, B là hai điểm bất kỳ trên đường tròn O . Thể tích khối
chóp S.OAB đạt giá trị lớn nhất bằng 3 a 3 a 3 a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 6 12 12
Hướng dẫn giải
Chọn C. 1 1
Tam giác cân SCD, có 2 SC . D SO a  .
a SO SO  2a . SCD 2 2
Khối chóp S.OAB có chiều cao SO  2a không đổi nên để thể tích lớn
nhất khi và chỉ khi diện tích tam giác OAB lớn nhất. 1 1 Mà  2  S  . OA .
OB sin AOB r .sin AOB (với r là bán kính đường OAB 2 2
tròn mặt đáy hình nón). Do đó để S lớn nhất khi  sin AOB  1. Khi đó OAB  3 a V  . max 12
Bài tập 10: Cho hình nón  N có đỉnh S, chiều cao h. Một hình nón 1 
N có đỉnh là tâm của đáy N và có đáy là một thiết diện song song 1  2 
với đáy của  N như hình vẽ. 2 
Khối nón  N có thể tích lớn nhất khi chiều cao x bằng 2  h h 2h h 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 3
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Xét mặt cắt qua trục hình nón và kí hiệu như hình vẽ. Với O, I lần lượt là
tâm đáy của hình nón  N , N ; R, r lần lượt là các bán kính của hai 1   2 
đường tròn đáy của  N , N . 1   2  SI r h x r
R h x Ta có     r  . SO R h R h
Thể tích khối nón  N là 2  1
1 R h x2 2 2 RVrx   x  .x h x . N 2 2  2 2  2 3 3 h 3h
Xét hàm f x  xh x2 3 2 2
x  2hx h x trên 0;h . Ta có x h f  x 2 2
 3x  4hx h ; f x  0   h  . x   3
Lập bảng biến thiên ta có h
Vậy f x đạt giá trị lớn nhất trên khoảng 0;h tại x  . 3
Bài tập 11: Xét các hình nón có đường sinh với độ dài đều bằng 10cm.
Chiều cao của hình nón có thể tích lớn nhất là 5 3 10 3 A. 5 3 cm. B. 10 3 cm. C. cm. D. cm. 3 3
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Xét hình nón có chiều cao là x cm và bán
kính đáy là y cm (x, y dương). Ta có 2 2 2 2 2
x y  10  y  100  x , ta có
điều kiện x, y 0;10 . Thể tích khối nón là 1 1 2 V rh   2
100  x x . 3 3
Xét hàm số f x   2  x  3 100
x  100x x , x 0;10 ; f  x 10 3 2
100  3x ; f x  0  x  . 3 Bảng biến thiên 10 3
Ta thấy V lớn nhất khi f x lớn nhất tại x  cm. 3
Bài tập 12: Giả sử đồ thị hàm số y   2 m   4 2 2
1 x  2mx m 1 có 3
điểm cực trị là A, B, Cx x x . Khi quay tam giác ABC quanh A B C
cạnh AC ta được một khối tròn xoay. Giá trị của m để thể tích của khối
tròn xoay đó lớn nhất thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. 4;6 . B. 2;4 . C.  2;  0 . D. 0;2 .
Hướng dẫn giải
Chọn B. y   2 m   3
x mx x  2 m   2 4 1 4 4
1 x m . x  0
y  0  4x  2 m   2 1 x m  0       m  . x   m  0 2    m 1
Với m  0 thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (với x x x ) là A B C 2  m m  2 A      ; m 1 ; B    2 0; m 1 ; 2 2  m 1 m 1   2  m m  2 C  ;   m 1 . 2 2  m 1 m 1     
Quay ABC quanh AC thì được khối tròn xoay có thể tích là 2 2 9 1 2 2  mm 2 m 2 2 V  2. rh B
I .IC    .   . 2 2 3 3 3  m 1 m 1 3  2 m  5 1 9 m
Xét hàm f m   . m  5 2 1 8 m  2 9  m
Ta có f m 
; f m  0  m  3 m  0 . 6      2 m   1 Ta có bảng biến thiên
Vậy thể tích cần tìm lớn nhất khi m  3 .
Bài tập 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB  6 cm, AC  3 cm.
Gọi M điểm di động trên cạnh BC sao cho MH vuông góc với AB tại H.
Cho tam giác AHM quay quanh cạnh AH tạo nên một hình nón, thể tích
lớn nhất của hình nón được tạo thành là  4 8 A. . B. . C. . D. 4 . 3 3 3
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Đặt AH x cm, 0 x   6 .
Khi đó BH  6  x cm .
Xét tam giác BHM vuông tại H. HM Ta có  tan HBM BH   HM BH
HBM    x  .tan 6 .tan HBM . AC Mà   3 1
tan HBM  tan ABC    . AB 6 2
Do đó HM    x 1 6 . . 2
Thể tích của khối nón tạo thành khi tam giác AHM quay quanh cạnh AH 1  1  là V AH. .  HM  . . x 6  x2 2   3 2
x 12x  36x (1). 3 3 4 12
Xét hàm số f x 3 2
x 12x  36x với 0  x  6 , ta có   f  xx 2 2
 3x  24x  36 ; f x 2
 0  3x  24x  36  0   . x  6
Bảng biến thiên của hàm số f x 3 2
x 12x  36x với 0  x  6
Từ (1) và bảng biến thiên ta có thể
tích lớn nhất của khối nón tạo thành là  8 V  .32  . 12 3
Bài tập 14: Cho hình lập phương ABC . D AB CD
  có thể tích bằng 1.
Gọi  N  là một hình nón có tâm
đường tròn đáy trùng với tâm của
hình vuông ABCD, đồng thời các điểm A , B ,C , D nằm trên các đường
sinh của hình nón như hình vẽ. Thể tích khối nón  N  có giá trị nhỏ nhất bằng 2 3 9 9 A. . B. . C. . D. . 3 4 8 16
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Xét phần mặt cắt qua trục hình nón và đi qua mặt phẳng  AAC C   , kí
hiệu như hình vẽ. Với I, H lần lượt là tâm của hình vuông ABCD, AB CD
  và đỉnh A nằm trên đường sinh EF của hình nón. 2
Hình lập phương có thể tích bằng 1 nên AA  HI  1, AH  . 2
Đặt EH x x  0 . Khi đó, ta có EH AH x 2 2  x 1     FI   r   . EI FI x 1 2FI 2  x
Thể tích khối nón  N  là 2 1 1  x 1  x 1 2 VrEI   x   . N      3   1 2 3 6  x  6 x x 1 x  2 x 1
Xét hàm số f x  3 
trên 0; . Ta có f  x   2  . 2 x 3 x Lập bảng biến thiên 27 9
Ta được min f x 
tại x  2 . Suy ra minV  .  N  0; 4 8
Bài tập 15: Một hình nón đỉnh S bán kính đáy R a 3 , góc ở đỉnh là
120 . Mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện là một
tam giác. Diện tích lớn nhất của tam giác đó bằng 3 A. 2 3a . B. 2 2a . C. 2 a . D. 2 2 3a . 2
Hướng dẫn giải Chọn B. Giả sử SAM
là thiết diện tạo bởi mặt phẳng và hình nón.
Gọi AM x 0  x  2a 3.
Gọi H là trung điểm của AM
OH AM AM  SOH   AM SH .  AO SA   2a   Vì   sin 60
ASB  120  ASO  60   . AOSO   a  tan 60 2 2 x x 2 2 2 2 2 2
OH OA AH  3a
SH OH SO  4a  . 4 4 2 1 1 x 2 S
AM.SH x 4a  . SAM 2 2 4 Ta có    2 2  2 2 1 x x 16a  2x 2
S   4a    
S  0  x  2a 2 . 2 2 2  4  2 x 2 x  4 4a   8 4a   4  4 2  S  2a . max
Bài tập 16: Cho mặt cầu S  bán kính R. Hình nón  N  thay đổi có
đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu S  . Thể tích lớn nhất của khối nón  N  là 3 32 R  3 32R 3 32 R  3 32R A. . B. . C. . D. . 81 81 27 27
Hướng dẫn giải
Chú ý: Sau khi tính Chọn A. được
Ta có thể tích khối nón đỉnh S lớn hơn 1
hoặc bằng thể tích khối nón đỉnh S . Do V   3 2
h  2h R ta 3
đó chỉ cần xét khối nón đỉnh S có bán
có thể làm như sau:
kính đường tròn đáy là r và đường cao 1 3 2
SI h với h R . Thể tích khối nón
V  h  2h R 3 được tạo nên bởi N  là 1 2  h
 2R h 1 1 3 2
V hS  h r C  . . 3 3   .
h h4R  2h 1 6  . .
h  R  h R2 2  3   3
  h h  4R  2h     1 6  3    3 2
h  2h R. 3
Xét hàm số f h 3 2
 h  2h R với h R;2R. 3 32 R   . 81
Ta có f h 2  3  h  4hR .
Đẳng thức xảy ra khi và 4R f h 2  0  3
h  4hR  0  h  0 (loại) hoặc h  . chỉ khi 3 4R Bảng biến thiên
h  4R  2h h . 3 32 4R
Ta có max f h 3  R tại h  . 27 3
Vậy thể tích khối nón được tạo nên bởi  N  có giá trị lớn nhất là 1 32 32 4R 3 3 V   R R  khi h  . 3 27 81 3
Dạng 3 Bài toán thực tế về hình nón, khối nón
Bài tập 1: Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miếng tôn hình tròn với
bán kính 60 cm thành ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó người thợ ấy quấn và hàn ba
miếng tôn đó để được ba cái phễu hình nón. Hỏi thể tích V của mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu? 16000 2 16 2 16000 2 160 2 A. V  lít. B. V  lít. C. V  lít. D. V  lít 3 3 3 3
Hướng dẫn giải
Chọn B. Đổi 60 cm = 6 dm.
Đường sinh của hình nón tạo thành là   6 dm.
Chu vi đường tròn ban đầu là C  2 R   12 .
Gọi r là bán kính đường tròn đáy của hình nón tạo thành. 2 .  6 4
Chu vi đường tròn đáy của hình nón tạo thành là 2 r    4 (dm)  r   2 (dm). 3 2
Đường cao của khối nón tạo thành là 2 2 2 2
h    r  6  2  4 2 . 1 1 16 2 16 2
Thể tích của mỗi phễu là 2 2 V rh  2 .4 2   3 dm   (lít). 3 3 3 3
Bài tập 2: Hai chiếc ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, mỗi chiếc có phần
chứa chất lỏng là một khối nón có chiều cao 2dm (mô tả như hình vẽ).
Ban đầu chiếc ly thứ nhất chứa đầy chất lỏng, chiếc ly thứ hai để rỗng.
Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ nhất sang ly thứ hai sao cho độ cao
của cột chất lỏng trong ly thứ nhất còn 1dm. Tính chiều cao h của cột chất
lỏng trong ly thứ hai sau khi chuyển (độ cao của cột chất lỏng tính từ đỉnh
của khối nón đến mặt chất lỏng – lượng chất lỏng coi như không hao hụt
khi chuyển. Tính gần đúng h với sai số không quá 0,01dm). A. 1,
h  73dm. B. 1,
h  89 dm. C. 1,
h  91dm. D. 1, h  41dm.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Có chiều cao hình nón khi đựng đầy
nước ở ly thứ nhất AH  2 .
Chiều cao phần nước ở ly thứ nhất sau
khi đổ sang ly thứ hai AD  1.
Chiều cao phần nước ở ly thứ hai sau
khi đổ sang ly thứ hai AF h . Theo Ta-lét ta có RAD 1 RAF h   R Rh ,   suy ra R  , R  . R AH 2 R AH 2 2 2
Thể tích phần nước ban đầu ở ly thứ nhất 2 V  2 R  . 2 3 Rh
Thể tích phần nước ở ly thứ hai 2 V R   h  . 1 4 2 R
Thể tích phần nước còn lại ở ly thứ nhất V  . 2 4 2 3 2 3 Rh Rh 1 Mà 2 3
V V V    2 R  
  2  h  7  1,91. 1 2 4 4 4 4
Bài tập 2: Một bể nước lớn của khu công nghiệp có phần chứa nước là
một khối nón đỉnh S phía dưới (hình vẽ), đường sinh SA  27 mét. Có
một lần lúc bể chứa đầy nước, người ta phát hiện nước trong bể không đạt
yêu cầu về vệ sinh nên lãnh đạo khu công nghiệp cho thoát hết nước để
làm vệ sinh bể chứa. Công nhân cho thoát nước ba lần qua một lỗ ở đỉnh
S. Lần thứ nhất khi mực nước tới điểm M thuộc SA thì dừng, lần thứ hai
khi mực nước tới điểm N thuộc SA thì dừng, lần thứ ba mới thoát hết
nước. Biết rằng lượng nước mỗi lần thoát bằng nhau. Tính độ dài đoạn MN. A. 3 27 2   1 m. B. 3 9 9  3 4   1 m. C. 3 9 9  3 2   1 m. D. 3 9 3  3 2   1 m.
Hướng dẫn giải Chọn C.
Ta gọi V , V , V lần lượt là thể tích khối nón có đường sinh là SN, SM, 1 2 SA. SM SE EM Do SEM
đồng dạng với SOA  nên ta có   . SA SO OA 1 2 .  EM .SE 3 3 V 2  SA  2  SM  Lại có 2 3 3       SM  13122     V 1 2 3  SM  3  27 .OA .SA   3 3 3 VSN  1  SN  Tương tự 1 3     SN  6561     . VSA  3  27  Vậy 3 3
MN SM SN  13122  6561 .