Các dạng bài tập về hàm số liên tục

Các dạng bài tập về hàm số liên tục được soạn dưới dạng file PDF gồm 4 trang giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Trang 1
CÁC DNG TOÁN VHÀM SLIÊN TỤC
Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm
1. Phương pháp
Ta cần phải nắm vững định nghĩa:
Cho hàm số xác định trên khoảng Hàm s gọi liên tục ti nếu
2. Các ví dụ
d1: Cho với Phi bsung thêm giá trị bằng bao nhiêu thì hàm
số liên tục tại
d2: Cho hàm số Giá trcủa a đ liên tục ti bao
nhiêu?
Ví dụ 3: Cho hàm số Tìm b để liên tục tại
Ví dụ 4: Cho hàm số Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại
Ví dụ 5: Tìm số a để hàm số sau liên tục tại điểm
;
Ví dụ 6: Cho hàm số Tìm giá trị của m để liên tục tại .
Ví dụ 7: Cho hàm số Tìm giá trị của a để liên tục tại .
Dạng 2. Hàm số liên tục trên tập xác định
1. Phương pháp
Để chứng minh hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn ta dùng các định nghĩa về hàm số
liên tục trên khoảng, đoạn và các nhận xét để suy ra kết luận.
Khi nói xét tính liên tục của hàm số (mà không nói rõ gì hơn) thì ta hiểu phải xét tính liên tục trên
tập xác định của nó.
( )
yfx=
K
0
x K.Î
( )
yfx=
0
x
00
xx
0
xx xx
oo
lim f( x) f( x ) lim f(x) lim f(x) f(x ).
-+
®
®®
=Û = =
( )
x2 2x
fx
x
+- -
=
x0.¹
( )
f0
( )
2
a x ˘i x 1 va¯ a
fx .
3 ˘i x 1
ì
ï
Î
=
í
=
ï
î
!
( )
fx
x1=
( )
2
3
x1
˘i x 3 va¯ x 2
fx .
xx6
b 3 ˘i x 3 va¯ b
ì
+
ï
¹¹-
=
í
-+
ï
+=Î
î
!
( )
fx
x3.=
( )
a 2 khi x 2
fx .
sin khi x 2
x
ì
-<
ï
=
í
p
³
ï
î
x2.=
0
x.
( )
3
3x 2 2
ne·u x 2
fx
x2
ax 2 ne·u x 2
ì
+-
ï
>
=
í
-
ï
+£
î
0
x 2.=
( )
x2
˘i 5 x 4
x5
f x mx 2 ˘i x 4 .
x
˘i x 4
3
ì
-
-<<
ï
+
ï
ï
=+ =
í
ï
ï
>
ï
î
( )
fx
x4=
( )
2
2
2
x83
ne·u x 1
x4x3
fx .
1
cos x a x ne·u x 1
6
ì
+-
ï
<
ï
-+
=
í
ï
p+ - ³
ï
î
( )
fx
x1=
( )
yfx=
Trang 2
Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số không liên tục
tại các điểm nào
Hàm s được gọi liên tục trên một khoảng nếu liên tục ti mọi điểm thuộc khoảng
đó.
Hàm s được gọi liên tục trên đoạn nếu liên tục trên
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :
a) b)
Ví dụ 2. Tìm các giá trị của để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:
a) b)
Dạng 3. Số nghiệm của phương trình trên một khoảng
1. Phương pháp
Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm
- Tìm hai số a và b sao cho
- Hàm số liên tục trên đoạn
- Phương trình có ít nhất một nghiệm
Chứng minh phương trình có ít nhất k nghiệm
- Tìm k cặp số sao cho các khoảng rời nhau
- Phương trình có ít nhất một nghiệm
Khi phương trình có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho :
- không còn chứa tham số hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi.
- Hoc còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Ví dụ 2: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
a)
b)
( )
yfx=
( )
yfx=
a,b
éù
ëû
( )
a,b
xa xb
lim f(x) f(a), lim f(x) f .(b)
+-
®®
==
( )
2
4
2
2
4 2
x
khi x
fx
x
khi x
ì
-
¹-
ï
=
+
í
ï
-=-
î
( )
2
2
2
2
22 2
x
khi x
fx
x
khi x
ì
-
¹
ï
=
-
í
ï
=
î
m
( )
2
2
2
2
2
xx
khi x
fx
x
m khi x
ì
--
¹-
ï
=
-
í
ï
=-
î
( )
2
1
2 1
1 1
xx khix
fx khix
mx khi x
ì
+<
ï
==
í
ï
+>
î
( )
fx 0=
( ) ( )
fa.fb 0<
( )
fx
a; b
éù
ëû
( )
fx 0=
( )
0
xa;bÎ
( )
fx 0=
ii
a,b
( )
ii
a;b
ii
f(a )f(b ) 0, i 1,...,k<=
( )
fx 0=
( )
iii
xa;b.Î
( )
fx 0=
( ) ( )
fa, fb
( ) ( )
fa, fb
( )( )
mx 1 x 2 2x 1 0.-+++=
( )
( )
3
22
11 30mx xx-++--=
cos cos 2 0xm x+=
Trang 3
c)
Ví dụ 3. Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a) b)
Ví dụ 4. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) b)
Ví dụ 5. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với
.
( )
2 cos 2 2sin 5 1mx x-= +
3
310xx-+=
3
261 3xx+-=
5
330xx-+=
43 2
310xx xx+- ++=
2
0ax bx c++=
1
0;
3
x
éù
Î
êú
ëû
0a ¹
2 6 19 0ab c++ =
| 1/3

Preview text:

CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm 1. Phương pháp
Ta cần phải nắm vững định nghĩa:
Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng K và x ÎK. Hàm số y = f (x)gọi là liên tục tại x nếu 0 0
lim f(x) = f(x ) Û lim f(x) = lim f(x) = f(x ). 0 0 x®x0 x®x- x®x+ o o 2. Các ví dụ + - - Ví dụ 1: Cho ( ) x 2 2 x f x =
với x ¹ 0. Phải bổ sung thêm giá trị f (0) bằng bao nhiêu thì hàm x số liên tục tại x = 0? ì
Ví dụ 2: Cho hàm số ( ) 2
ïa - x vÙ˘i x ¹ 1 va¯ a Î f x = ! í
. Giá trị của a để f (x) liên tục tại x =1 là bao 3 ïî vÙ˘i x = 1 nhiêu? ì 2 x +1 ï
Ví dụ 3: Cho hàm số ( ) vÙ˘i x ¹ 3 va¯ x ¹ 2 - f x = 3 í
. Tìm b để f (x) liên tục tại x = 3. x - x + 6 ï îb + 3 vÙ˘i x = 3 va¯ b Î ! ìa - 2 khi x < 2
Ví dụ 4: Cho hàm số ï f (x) = í p
. Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 2. sin khi x ³ 2 ïî x
Ví dụ 5: Tìm số a để hàm số sau liên tục tại điểm x . 0 3 ì 3x + 2 - 2 ( ) ï ne·u x > 2 f x = í ; x = 2. x - 2 ï 0 îax + 2 ne·u x £ 2
ì x - 2 vÙ˘i -5< x < 4 ï x + 5 ï
Ví dụ 6: Cho hàm số ï f (x) = ímx + 2 vÙ˘i x = 4
. Tìm giá trị của m để f (x) liên tục tại x = 4 . ï x ï vÙ˘i x > 4 ïî 3 ì 2 x + 8 - 3 ï ne·u x < 1
Ví dụ 7: Cho hàm số ï f (x) 2 = x - 4x + 3 í
. Tìm giá trị của a để f (x) liên tục tại x =1. ï1 2 cos x p + a - x ne·u x ³1 ïî6
Dạng 2. Hàm số liên tục trên tập xác định 1. Phương pháp
• Để chứng minh hàm số y = f (x) liên tục trên một khoảng, đoạn ta dùng các định nghĩa về hàm số
liên tục trên khoảng, đoạn và các nhận xét để suy ra kết luận.
• Khi nói xét tính liên tục của hàm số (mà không nói rõ gì hơn) thì ta hiểu phải xét tính liên tục trên tập xác định của nó. Trang 1
• Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số không liên tục tại các điểm nào
• Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. y = f (x) é ù • Hàm số
được gọi là liên tục trên đoạn a,b ë û (a,b) nếu nó liên tục trên và
lim f(x) = f(a), lim f(x) = f(b . ) x a+ x b- ® ® 2. Các ví dụ
Ví dụ 1.
Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng : 2 ì x - 4 2 ì x - 2 ï khi x ¹ 2 - ï khi x ¹ 2
a) f ( x) = í x + 2
b) f (x) = í x - 2 ïî 4 - khi x = 2 - ï î2 2 khi x = 2
Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng: 2 2 ì x - x - 2
ìx + x khi x <1 ï khi x ¹ 2 - ï
a) f ( x) = í x - 2
b) f ( x) = í2 khi x =1
ïîm khi x = -2
ïmx +1 khi x >1 î
Dạng 3. Số nghiệm của phương trình trên một khoảng 1. Phương pháp
• Chứng minh phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm
- Tìm hai số a và b sao cho f (a).f (b) < 0
- Hàm số f (x) liên tục trên đoạn éa;bù ë û
- Phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm x Î a;b 0 ( )
• Chứng minh phương trình f (x) = 0có ít nhất k nghiệm
- Tìm k cặp số a ,b sao cho các khoảng (a ;b i i ) rời nhau và i i f(a )f(b ) < 0, i =1,...,k i i
- Phương trình f (x) = 0có ít nhất một nghiệm x Î a ;b . i ( i i)
• Khi phương trình f (x) = 0có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho :
- f (a), f (b) không còn chứa tham số hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi.
- Hoặc f (a), f (b)còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm. 2. Các ví dụ
Ví dụ 1:
Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m(x - ) 1 (x + 2) + 2x +1= 0.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
a) ( - m )(x + )3 2 2 1
1 + x - x - 3 = 0
b) cos x + m cos 2x = 0 Trang 2
c) m(2cos x - 2) = 2sin5x + 1
Ví dụ 3. Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: a) 3 x - 3x +1 = 0 b) 3 2x + 6 1- x = 3
Ví dụ 4. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: a) 5 x - 3x + 3 = 0 b) 4 3 2
x + x - 3x + x +1 = 0 é ù
Ví dụ 5. Chứng minh rằng phương trình 2
ax + bx + c = 1
0 luôn có nghiệm x Î 0; với a ¹ 0 và ê 3ú ë û
2a + 6b +19c = 0 . Trang 3