Các dạng bài tập về phương trình đường thẳng và cách giải dễ hiểu

Các dạng bài tập về phương trình đường thẳng
và cách giải dễ hiểu A. Lí thuyết tổng hợp
1. Các vectơ của đường thẳng:
+) Vectơ chỉ phương: Vectơ
được gọi là vectơ chỉ
phương của đường thẳng nếu khác 0 và
giá của song song hoặc trùng với .
+) +) Vectơ pháp tuyến: Vectơ được gọi là vectơ
chỉ phương của đường thẳng nếu khác 0
và vuông góc với vectơ chỉ phương của .
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ
chỉ phương hoặc một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
- Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương, vô số vectơ pháp tuyến.
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng:
+) Định nghĩa: Phương trình : ax + by + c = 0 ( + khác 0) là phương trình tổng quát của đường thẳng nhận
(a;b) làm vectơ pháp tuyến. +) Các dạng đặc biệt: : ax + c = 0 , a khác 0 =>
song song với Oy hoặc trùng với Oy khi a = 1 và c = 0. : ay + c = 0 , a khác 0 =>
song song với Ox hoặc trùng với Ox khi a = 1 và c = 0. : ax + by = 0 , + khác 0 =>
đi qua gốc tọa độ O(0; 0)
3. Phương trình tham số của đường thẳng: +) Định nghĩa: Hệ với +
khác 0 là phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) và nhận vectơ
(a;b) làm vectơ chỉ phương, với t là tham số. +) Chú ý:
Với mỗi t thuộc R thay vào phương trình tham số ta được một điểm M (x; y) thuộc
Một đường thẳng có vô số phương trình tham số. Phương trình chính tắc: với (a.b khác 0) là
phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(x0;y0) và nhận vectơ
(a;b) làm vectơ chỉ phương
Phương trình đoạn chắn: Đường thẳng
cắt hai trục Ox và Oy lần lượt
tại hai điểm A (a; 0), B (0; b) với a.b#0 có phương trình đoạn chắn là 4. Hệ số góc:
Phương trình đường thẳng
đi qua điểm M(x0;y0) có hệ số góc k thỏa mãn: y - y0 = k(x - x0) + Nếu có vectơ chỉ phương ( u1; u2) vưới
u1 khác o thì hệ số góc của là k = u2 : u1 + Nếu có hệ số góc k thì có vecto chỉ phương ( 1;k)
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
+) Xét hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là nghiệm của hệ phương trình: (1)
Ta có các trường hợp sau:
TH1: Hệ (1) có duy nhất một nghiệm (x0;y0) Phương trình đường thẳng và
cách giải bài tập hay, chi tiết tại M(x0;y0)
TH2: Hệ (1) có vô số nghiệm => d1 trùng với d2
TH3: Hệ (1) vô nghiệm => d1//d2
+) Chú ý: Với a2, b2, c2 #0 ta có: <=> d1 // d2 <=> <=>
B. Các dạng bài tập về phương trình đường thẳng và cách giải dễ hiểu
Dạng 1: Cách viết các dạng phương trình đường thẳng Phương pháp giải:
a) Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng + Tìm vectơ pháp tuyến (a;b) của đường thẳng
+ Tìm một điểm M(x0;y0) thuộc
+ Viết phương trình theo công thức: a(x - x0) + b(y - y0) = 0
+ Biến đổi thành dạng ax + by + c = 0 Nếu đường thẳng
song song với đường thẳng 2 : ax + by +
c = 0 thì Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiếtcó
phương trình tổng quát ax + by + c’ = 0, c ≠ c’. Nếu đường thẳng
vuông góc với đường thẳng 2 : ax + by +
c = 0 thì Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập hay, chi tiết có
phương trình tổng quát -bx + ay + c’ = 0, c ≠ c’.
b) Cách viết phương trình tham số của đường thẳng + Tìm vectơ chỉ phương ( u1; u2) của đường thẳng
+ Tìm một điểm M(x0;y0) thuộc + Viết phương trình tham số: Nếu có hệ số góc k thì có vectơ chỉ phương ( 1; k) Nếu có vecto pháp tuyến (a;b) thì có vecto chỉ phương = (-b;a) hoặc = (b;a) và ngược lại
c, Cách viết phương trình chính tắc của đường thẳng . (chỉ áp dụng khi có vectơ chỉ phương = (a;b) với a.b khác 0 + Tìm vectơ chỉ phương (a;b) (a.b khác 0) của đường thẳng
+ Tìm một điểm M(x0;y0) thuộc
+ viết Phương trình chính tắc:
d) Cách viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng (chỉ áp dụng
khi đường thẳng cắt hai trục Ox, Oy) + Tìm hai giao điểm của
với trục Ox, Oy lần lượt là A(a; 0), B(0; b)
+ Viết phương trình đoạn chắn với a.b khác 0 Ví dụ minh họa:
Cho đường thẳng d đi qua hai điểm M(5; 8) và N(3; 1). Viết phương trình
tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d. Lời giải: Vì M(5; 8) và N(3; 1) thuộc đường thẳng d nên ta có
là à vectơ chỉ phương của đường thẳng d, có
= (3 – 5; 1 – 8) = (-2; -7)
Chọn điểm N(3; 1) thuộc đường thẳng d ta có phương trình tham số của đường thẳng d:
Chọn điểm M(5; 8) thuộc đường thẳng d ta có phương trình chính tắc của đường thẳng d:
Dạng 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Phương pháp giải:
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Phương pháp giải:
Áp dụng lí thuyết về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là nghiệm của hệ phương trình: (1)
Với a2, b2, c2 khác 0 ta có: <=> d1 // d2 <=> <=> Ví dụ minh họa:
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:
a) d1: 4x - 10y + 1 = 0 và d2 : x + y + 2 = 0.
b) d3: 12x - 6y + 10 = 0 và d4 : 2x - y + 5 = 0.
c) d5: 8x + 10y - 12 = 0 và d6 : 4x + 5y - 6 = 0. Lời giải:
a) Xét hai đường thẳng d1: 4x - 10y + 1 = 0 và d2 : x + y + 2 = 0 có: 4 khác - 10 nên d1 và d2 cắt nhau
b, Xét hai đường thẳng d3: 12x - 6y + 10 = 0 và d4 : 2x - y + 5 = 0 có và
=> d3 và d4 song song với nhau
c) Xét hai đường thẳng d5: 8x + 10y - 12 = 0 và d6 : 4x + 5y - 6 = 0 có: => d5 và d6 trùng nhau.
Dạng 3: Tính góc giữa hai đường thẳng Phương pháp giải:
Áp dụng lí thuyết về góc giữa hai đường thẳng:
- Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 có vectơ pháp tuyến
và d2: a2x + b2y + c2 = 0 có vectơ pháp tuyến với khác 0 và khác 0 , góc
giữa hai đường thẳng được kí hiệu là (d1,d2), (d1,d2) luôn nhỏ hơn hoặc
bằng 90 độ. Đặt alpha = (d1; d1) ta có:
Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Phương pháp giải:
Áp dụng lí thuyết về khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Trong
mặt phẳng Oxy, đường thẳng
có phương trình ax + by + c = 0 và
điểm M(x0;y0) . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng được kí hiệu là d (M, ). tính bằng công thức:
C. Bài tập vận dụng liên quan
Bài 1: Cho tam giác ABC có đỉnh C (-2; -4) và trọng tâm G(0;4) . Hãy viết
phương trình đường thẳng AB biết rằng M (2;2) là trung điểm của cạnh BC Bài 2: Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số:
a) Viết phương trình tổng quát của Δ;
b) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M (2;3) và song song với Δ;
c) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng l đi qua điểm N (4;2) và vuông góc với Δ.
Bải 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x - y = 0 và d2:
2x + y -1 = 0.Tính diện tích của hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc d1, đinh
C thuộc d1 và các điểm B, D nằm trên trục hoành.
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, biết các đường
thẳng AB, BC, CD, DA tương ứng đi qua M(10;3), N(7;-2), P (-3;4), Q (4;-7).
Phương trình đường thẳng AB là?
Document Outline

• Các dạng bài tập về phương trình đường thẳng và cá
  • A. Lí thuyết tổng hợp
    • 1. Các vectơ của đường thẳng:
    • 2. Phương trình tổng quát của đường thẳng:
    • 3. Phương trình tham số của đường thẳng:
    • 4. Hệ số góc:
    • 5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
  • B. Các dạng bài tập về phương trình đường thẳng và
    • Dạng 1: Cách viết các dạng phương trình đường thẳn
    • Dạng 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
    • Dạng 3: Tính góc giữa hai đường thẳng
    • Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳn
  • C. Bài tập vận dụng liên quan