Các dạng bài toán thực tế về cấp số cộng lớp 11 (có lời giải)

CÁC DẠNG BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ CẤP SỐ CỘNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng
đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d . Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
2. Cấp số cộng (u với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi: u = u + d, n  2 . n n 1 − ( ) n )
3. Nếu cấp số cộng (u có số hạng đầu u và công sai d thì số hạng tổng quát u của nó được xác n ) 1 n
định theo công thức: u = u + n −1 d . n 1 ( )
4. Cho cấp số cộng (u với công sai d . Đặt S = u + u ++ u . Khi đó n ) n 1 2 n n n u + u S = 2u + n −1 n d  = n  1 ( ) ( 1 )  . 2 2
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức:
x = 75 + 5(n − ) 1 . n
a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm 3 tuổi là bao nhiêu centimét?
b) Dãy số ( x có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát n )
triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimét?
Câu 2: Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương nhu sau:
Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng 18 triệu.
Phuơng án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu.
Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi:
a) Kí hợp đồng lao động 3 năm?
b) Kí hợp đồng lao động 10 năm?
Câu 3: Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang.
Biết rằng chiều dài các thanh ngang của cái thang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là 45 cm, 43 cm , 41 cm, ,  31 cm
a) Cái thang đó có bao nhiêu bậc?
b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt
thành mùn cưa) là không đáng kể.
Câu 4: Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự
do (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dù lần lượt là:
16; 48;80;112;144; (các quãng đường này tạo thành cấp số cộng).
a) Tỉnh công sai của cấp số cộng trên.
b) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên.
Câu 5: Ở một loài thực vật lưỡng bội, tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen là A và B
cùng quy định theo kiểu tương tác cộng gộp. Trong kiểu gene nếu cứ thêm một alen trội A hay B
thì chiều cao cây tăng thêm 5 cm . Khi trưởng thành, cây thấp nhất của loài này với kiểu gene aabb
có chiều cao 100 cm . Hỏi cây cao nhất với kiểu gene AABB có chiều cao bao nhiêu?
Câu 6: Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mối năm sử dụng, giá của
chiếc xe ô tô giảm 55 triệu đồng. Tính giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng.
Câu 7: Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở
hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với
số ghế ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến
trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?
Câu 8: Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1,2 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân
số của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố này vào năm 2030.
Câu 9: Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất (bậc thứ nhất) nằm ở độ cao 950 m so với mực
nước biển, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,5 m . Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ
12 có độ cao là bao nhiêu mét so với mực nước biển?
Câu 10: Bác Tư vào làm cho một công ty với hợp đồng về tiền lương mỗi năm như sau:
Năm thứ nhất: 240 triệu;
Từ năm thứ hai trở đi: Mỗi năm tăng thêm 12 triệu.
Tính số tiền lương một năm của bác Tư vào năm thứ 11 .
Câu 11: Một rạp hát có 20 hàng ghế. Hàng thứ nhất có 20 ghế, số ghế ở các hàng sau đều hơn số
ghế ngay trước đó một ghế. Cho biết rạp hát đã bán hết vé với giá mỗi vé là 60 nghìn đồng. Tính
tổng số tiền vé thu được của rạp hát.
Câu 12: Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau:
Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền
lương được tăng 18 triệu đồng.
Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu đồng. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền
lương được tăng 1,8 triệu đồng.
Nếu là người được tuyền dụng vào doanh nghiệp trên, em nên chọn phương án nào khi:
a) Kí hợp đồng lao động 3 năm?
b) Kí hợp đồng lao động 10 năm?
Câu 13: Chuông đồng hồ ở một toà tháp đánh số tiếng đúng bằng số giờ và cứ mỗi 30 phút không
phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông. Hỏi bắt đầu từ lúc 1 giờ đêm đến 12 giờ trưa, chuông
đồng hồ đó đã đánh tất cả bao nhiêu tiếng?
Câu 14: Các khúc gỗ được xếp như Hình 2. Lượt thứ nhất có 21 khúc, lượt thứ hai có 20 khúc,.,
lượt trên cùng có 15 khúc. Tính tổng số khúc gỗ đã được xếp. Hình 2
Câu 15: Giá của một chiếc máy photocopy lúc mới mua là 50 triệu đồng. Biết rằng giá trị của nó
sau mỗi năm sử dụng chỉ còn 75% giá trị trong năm liền trước đó. Tính giá trị còn lại của chiếc
máy photocopy đó sau mỗi năm, trong khoảng thời gian 5 năm kể từ khi mua.
Câu 16: Nếu tỉ lệ lạm phát là 3,5% mỗi năm và giá trung bình của một căn hộ chung cư mới tại
thời điểm hiện tại là 2,5 tỉ đồng thì giá trung bình của một căn họ chung cư mới sau n năm nữa
được cho bởi công thức A = 2,5(1,035)n ( tỉ đồng) n
Câu 17: Bác An gửi tiết kiệm 200 triệu đồng kì hạn 3 tháng, với lãi suất 3% một năm. Số tiền
(triệu đồng) cả vốn lẫn lãi mà bác An nhận được sau n quý (mỗi quý là 3 tháng) sẽ là n  0, 03  A = 200 1+ , n = 0,1, 2, n    4 
a) Viết ba số hạng đầu của dãy số.
b) Tìm số tiền bác An nhận được sau 2 năm.
Câu 18: Vi khuẩn E . Coli sinh sản thông qua một quá trình gọi là quá trình phân đôi. Vi khuẩn E .
Coli phân chia làm đôi cứ sau 20 phút. Giả sử tốc độ phân chia này được duy trì trong 12 giờ kể tử
khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau 12 giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn E . Coli trong
cơ thể? Giả sử có một nguồn dinh dưỡng vô hạn để vi khuẩn E . Coli duy trì tốc độ phân chia như
cũ trong 48 giờ kể từ khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thẻ. Hỏi sau 48 giờ sẽ có bao nhiêu vi
khuẩn E. Coli trong cơ thể?
Câu 19: Một công ty dược phẩm đang thử nghiệm một loại thuốc mới. Một thí nghiệm bắt đầu với 9
1, 0 10 vi khuẩn. Một liều thuốc được sử dụng sau mỗi bốn giờ có thể tiêu diệt 8 4, 0 10 vi khuẩn.
Giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn tăng lên 25% .
a) Viết hệ thức truy hồi cho số lượng vi khuẩn sống trước mỗi lần sử dụng thuốc.
b) Tìm số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm.
Câu 20: Một hội trường lớn có 35 ghế ở hàng đầu tiên, 37 ghế ở hàng thứ hai, 39 ghế ở hàng thứ
ba và cứ tiếp tục theo quy luật như vậy. Có tất cả 27 hàng ghế. Hỏi hội trường đó có bao nhiêu ghế?
Câu 21: Phải lấy tổng của bao nhiếu số hạng đầu của một cấp số cộng có số hạng đầu là 78 và
công sai là -4 để được tổng là 702 ?
Câu 22: Một bức tường trang trí có dạng hình thang, rộng 2, 4 m ở đáy và rộng 1, 2 m ở đỉnh (hình
vể bên). Các viên gạch hình vuông có kích thước 10 cm10 cm phải được đặt sao cho mỗi hàng ở
phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó. Hỏi sẽ cần bao nhiêu viên gạch
hình vuông như vậy để ốp hết bức tường đó?
Câu 23: Một cầu thang bằng gạch có tổng cộng 30 bậc. Bậc dưới cùng cần 100 viên gạch. Mỗi bậc
tiếp theo cẩn ít hơn hai viên gạch so với bậc ngay trước nó.
a) Cần bao nhiêu viên gạch cho bậc trên cùng?
b) Cần bao nhiêu viên gạch để xây cầu thang?
Câu 24: Có bao nhiêu hàng ghế trong một góc khán đài của một sân vận động, biết mỗi hàng ghế
sau có thêm 4 chỗ ngồi so với hàng ghế ngay trước nó?
Câu 25: Nếu anh Nam nhận được lời mời làm việc cho một công ty nước ngoài với mức lương
khởi điểm là 35000 đô la mỗi năm và được tăng thêm 1400 đô la lương mỗi năm, thì sẽ mất bao
nhiêu năm làm việc để tổng lương mà anh Nam nhận được là 319200 đô la?
Câu 26: Giả sử một quần thể động vật ở thời điểm ban đầu có 110000 cá thề, quần thể này có tỉ lệ
sinh là 12% năm, xuất cư là 2% /năm, tử vong là 8% / năm. Dự đoán số cá thể của quần thể đó sau hai năm.
Câu 27: Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, chuông của một chiếc đồng hồ quả lắc sẽ đánh bao nhiêu tiếng,
biết rằng nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ?
Câu 28: Bác Hưng quyết định tham gia một chương trình bơi lội để duy trì sức khoẻ. Bác bắt đầu
bằng cách bơi 10 phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm 2 phút mỗi ngày sau đó.
a) Tìm công thức truy hồi cho số phút T mà bác ấy bơi vào ngày thứ n của chương trình. n
b) Tìm sáu số hạng đầu của dã̃y số T . n
c) Tìm công thức tổng quát của dãy số (T . n )
d) Bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ bao nhiêu của chương trình?
e) Tính tổng thời gian bác Hưng bơi sau 30 ngày đầu của chương trình.
Câu 29: Dãy các số chính phương sau đây không phải là cấp số cộng 1,4,9,16,25,36,49,64,81,...
Tuy nhiên, chúng ta có thể lập một cấp số cộng liên quan bằng cách tìm hiệu của các số hạng liên tiếp của dãy số này.
a) Viết tám số hạng đầu của cấp số cộng liên quan được mô tả ở trên. Tìm công thức của số hạng
thứ n của cấp số cộng này.
b) Mô tả bằng cách nào để chúng ta có thể lập được một cấp số cộng từ dãy các số lập phương sau đây:
1,8, 27, 64,125, 216,343,512, 729,
c) Viết bảy số hạng đầu của cấp số cộng ở trong phẩn b) và tìm số hạng thứ n của nó.
Câu 30: Bác Hưng để 10 triệu đồng trong tài khoản ngân hàng. Vào cuối mỗi năm, ngân hàng trả
lãi 3% vào tài khoản của bác ấy, nhưng sau đó sẽ tính phí duy trì tài khoản hằng năm là 120 nghìn đồng.
a) Gọi A là số tiền bác Hưng đã gửi. Viết công thức tính lần lượt A , A , A . Từ đó dự đoán hệ thức 0 1 2 3
truy hồi cho số dư A (tính theo đơn vị đồng) trong tài khoản của bác Hưng vào cuối năm thứ n . n
b) Tìm số dư trong tài khoản của bác Hưng sau 4 năm.
Câu 31: Người ta trồng cây theo các hàng ngang với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng
thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây,. ở hàng thứ có cây. Biết rằng người ta trồng hết 4950 cây.
Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?