51 trang 4 lượt tải

Các Dạng Toán 9 Kết Nối Tri Thức Bài 7 Căn Bậc Hai Và Căn Thức Bậc Hai

8

Một hình vuông có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật mà chiều dài gấp 9 lần chiều rộng và nửa chu vi là 30(m). Diện tích của hình vuông này là số nào? Để chuẩn bị trồng cây trên vỉa hè, người ta để lại những ô đất hình tròn có diện tích khoảng 2 2m . Em hãy ước lượng (với độ chính xác 0,005) đường kính của các ô  đất đó khoảng bao nhiêu mét? Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Chương 3: Căn bậc hai và căn bậc ba (KNTT) 5 tài liệu

Môn: Toán 9 2.7 K tài liệu

Sách: Kết nối tri thức

Tác giả:

Profile

Mỹ Châu

2 ngày trước
Danh sách Quiz
/51
Trang 1
CĂN BẬC HAI VÀ CĂN THỨC BẬC HAI
A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
1. Căn bậc hai: Căn bậc hai của số thực không âm
a
là số thực
x
sao cho
2
=xa
* Nhận xét:
+ Số âm không có căn bậc hai
+ Số
0
có một căn bậc hai duy nhất là 0.
+ Số dương
a
có đúng căn bậc hai đối nhau là
a
(căn bậc hai số học của
a
) và
− a
.
* Tính căn bậc hai của một số
0a
, chỉ cần tính
a
. Có thể dễ dàng làm điều này bằng cách sử
dụng MTCT.
* Tính chất:
với mọi số thực
a
.
* Với hai số
a
và
b
không âm ta có:
+ Nếu
ab
thì
ab
+ Nếu
ab
thì
ab
.
2. Căn thức bậc hai
*
A
xác định khi
A
lây giá trị không âm và ta thường viết là
0A
.
Ta nói
0A
là điều kiện xác định (hay điều kiện có nghĩa của
A
).
* Tương tự như căn bậc hai của một số thực không âm, với
A
là một biểu thức, ta cũng có:
+ Với
0A
ta có
0A
;
( )
2
=AA
+
2
=AA
B. Các dạng bài tập
Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số
Bài 1: Tính
a)
81
b)
16
c)
1,21−
d)
0,01−
e)
0,81
f)
9
25
g)
4
25
h)
1
4
−
Lời giải
a) Vì
2
9 81=
nên
81 9=
b) Vì
2
4 16=
nên
16 4=
c) Vì
2
1,1 1,21=
nên
1,21 1,1− = −
d) Vì
( )
2
0,1 0,01=
nên
0,01 0,1− = −
e) Vì
2
0,9 0,81=
nên
0,81 0,9=
f) Vì
2
39
5 25

=


nên
93
25 5
=
g) Vì
2
24
5 25

=


nên
42
25 5
=
Trang 2
h) Vì
2
11
24

=


nên
11
42
− = −
.
Bài 2: Tìm căn bậc hai của
a)
121
b)
144
c)
64
d)
9
16
e)
0,25
f)
4
9
g)
1,44
h)
2
2
5
−



Lời giải
a) Ta có
121 11=
nên
121
có căn bậc hai là
11
và
11−
b) Ta có
144 12=
nên
144
có căn bậc hai là
12
và
12−
c) Ta có
64 8=
nên
64
có căn bậc hai là
8
và
8−
d) Ta có
93
16 4
=
nên
9
16
có căn bậc hai là
3
4
và
3
4
−
e) Ta có
0,25 0,5=
nên
0,25
có căn bậc hai là
11
và
11−
f) Ta có
42
93
=
nên
4
9
có căn bậc hai là
2
3
và
2
3
−
g) Ta có
1,44 1,2=
nên
1,44
có căn bậc hai là
1,2
và
1,2−
h) Ta có
2
22
55

−=


nên
2
2
5

−


có căn bậc hai là
2
5
và
2
5
−
Bài 3: Tìm căn bậc hai số học của các số sau
a) 12 b) 121 c)
4
9
d) 0,09 e)
40
1
81
f)
0
Lời giải
a) 12 có căn bậc hai số học là:
12
b) 121 có căn bậc hai số học là:
121
c)
4
9
có căn bậc hai số học là:
4
9
d) 0,09 có căn bậc hai số học là: 0,3
e)
40
1
81
có căn bậc hai số học là:
11
9
f) 0 có căn bậc hai số học là 0
Bài 4: Tìm căn bậc hai số học của các số sau
a) 64 b) -81
c)
9
16
d) 0,04
Lời giải
a) 64 có căn bậc hai số học là: 8 b) -81 không có căn bậc hai số học
Trang 3
c)
9
16
có căn bậc hai số học là:
3
4
d) 0,04 có căn bậc hai số học là: 0,2
Bài 5: Tìm căn bậc hai của:
256
;
0,04
;
121
36
;
11
;
1,6
;
0,09−
Lời giải
+ Căn bậc hai của
256
là
16
+ Căn bậc hai của
0,04
là
0,2
+ Căn bậc hai của
121
36
là
11
36
+ Căn bậc hai của
11
là
11
+ Căn bậc hai của
1,6
là
1,6
+ Do
0,09 0−
nên
0,09−
không có căn bậc hai.
Bài 6: Tính giá trị của biểu thức:
0,09 7 0,36 3 2,25= + − A
Lời giải
Ta có:
0,09 7 0,36 3 2,25= + − A
0,3 7 0,6 3 1,5= + −
0,3 4,2 4,5= + −
0=
.
Bài 7: Giá trị của biểu thức sau là số vô tỷ hay hữu tỷ:
99
1 18
16 16

−



Lời giải
Ta có:
9 9 25 9
1 18 18
16 16 16 16
− = −
53
18 9 3
44

= − = =


Vậy giá trị của biểu thức đã cho là một số hữu tỷ, hơn nữa còn là một số tự nhiên.
Trang 4
Dạng 2: Tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa căn. Tính giá trị của biểu thức
I. Phương pháp giải
+)
A
có nghĩa khi
0A
+)
1
A
có nghĩa khi
0A
+)
0+ + A B A B
có nghĩa khi
0+AB
+)
1
A
có nghĩa khi
0A
+)
−AB
có nghĩa khi
0−AB
+)
2
1
A
có nghĩa khi
0A
+)
1
−AB
có nghĩa khi
0
0
−
A
AB
+)
1
+AB
có nghĩa khi
0
0
+
A
AB
+)
. . 0A B A B
có nghĩa khi
0
0
0
0

A
B
A
B
+)
A
B
có nghĩa
0
0
0
0

A
B
A
B
+)
1
.AB
có nghĩa
0
0
0
0
0


A
B
AB
A
B
+)
2
( 0) − x n n x n n
Trang 5
+)
2
( 0)
−
xn
x n n
xn
II. Bài toán
Bài 1: Tìm điều kiện xác định của mỗi căn thức sau:
a)
52− x
b)
2
1
44−+xx
c)
2
25− x
d)
2
1
100−x
Lời giải
a) Điều kiện xác định của căn thức là
5 2 0−x
hay
5
2
x
b) Điều kiện xác định của căn thức là
( )
2
20−x
hay
2x
c) Điều kiện xác định của căn thức là
2
25 0−x
2
25x
5x
55− x
d) Điều kiện xác định của căn thức là
2
100 0−x
2
100x
10x
10x
hoặc
10−x
Bài 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của
x
để biểu thức
42= + + −M x x
xác định?
Lời giải
M
xác định khi
40
20
+
−
x
x
hay
4
2
−
x
x
Vì
x
nên
4; 3; 2; 1;0;1;2 − − − −x
Vậy có 7 giá trị nguyên của
x
để biểu thức
42= + + −M x x
có nghĩa.
Bài 3: Xét căn thức
21+x
a) Tìm điều kiện xác định của căn thức
b) Tính giá trị của căn thức đã cho tại
0=x
và
4=x
Lời giải
a) Điều kiện xác định của căn thức là
2 1 0+x
hay
1
2
−x
b) Tại
0=x
(thỏa mãn điều kiện) căn thức có giá trị là
2 0 1 1 + =
Tại
4=x
(thỏa mãn điều kiện) căn thức có giá trị là
2 4 1 3 + =
Bài 4: Cho biểu thức
52=−Ax
a) Với giá trị nào của
x
thì biểu thức
A
xác định
b) Tính giá trị của biểu thức
A
khi
2=−x
và khi
3=x
Lời giải
Trang 6
a) Biểu thức
A
xác định khi
5 2 0−x
hay
25x
hay
5
2
x
b) Khi
2=−x
, ta có
( )
5 2 2 9 3= − − = =A
Ta thấy
5
3
2
=x
nên
A
không xác định tại
3=x
.
Bài 5: Với giá trị nào của
x
thì biểu thức
36=+Ax
xác định? Tính giá trị của
A
khi
5=x
(kết
quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Lời giải
Biểu thức
36=+Ax
xác định khi
3 6 0+x
hay
2−x
Với
5=x
ta có
3 5 6 21 4,58= + = A
.
Bài 6: Tìm
x
để các căn thức sau có nghĩa
a.
3− x
b.
2 10−x
c.
34−−x
d.
3 15+x
e.
1
5
2
+x
f.
2
89−−xx
Lời giải
a) Ta có:
3− x
có nghĩa
0x
b) Ta có:
2 10−x
có nghĩa
2 10 0 5 − xx
c) Ta có:
34−−x
có nghĩa
4
3 4 0
3
−
− − xx
d) Ta có:
3 15+x
có nghĩa
3 15 0 5 + −xx
e) Ta có:
1
5
2
+x
có nghĩa
11
50
2 10
−
+ xx
f) Ta có:
2
89−−xx
có nghĩa
( )( )
2
9
8 9 0 1 9 0
1
− − + −
−
x
x x x x
x
Chú ý: Với
a
là số dương, ta có:
22
22

−
−
xa
xa
xa
x a a x a
Bài 7: Với giá trị nào của
x
thì mỗi biểu thức sau có nghĩa
a.
( 2)+xx
b.
2
5 3 8−−xx
c.
2
2 4 5++xx
d.
2
4 − x
e.
2
21− + −xx
Lời giải
a) Ta có:
( 2)+xx
có nghĩa khi
2
( 2) 0
0
−
+
x
xx
x
x
-2
0
x
-
│
-
0
+
2+x
-
0
+
│
+
( )
2+xx
+
-
+
Trang 7
b) Ta có:
2
5 3 8−−xx
có nghĩa khi
2
1
5 3 8 0 ( 1)(5 8) 0
8
5
−
− − + −
x
x x x x
x
c) Ta có:
2
2 4 5++xx
có nghĩa khi
22
2 4 5 0 2( 1) 3 0+ + + + x x x
.
Vậy biểu thức luôn có nghĩa
d) Ta có:
2
4 − x
có nghĩa khi
22
4 0 4 2 2− − x x x
e) Ta có:
2
21− + −xx
có nghĩa khi
2
( 1) 0 1 0 1− + − = =x x x
Bài 8: Với giá trị nào của
x
thì mỗi biểu thức sau có nghĩa:
a.
4
23+x
b.
2
1
−
+x
c.
1
32− x
d.
2
2
x
e.
2
2
+−
−
x
x
x
f.
2
2
+−
+
x
x
x
g.
2
2
4
+−
−
x
x
x
h.
3
3+ + −xx
x
Lời giải
a) Ta có:
4
23+x
có nghĩa
43
0 2 3 0
2 3 2
−
+
+
xx
x
b) Ta có:
2
1
−
+x
có nghĩa
2
0 1 0 1
1
−
+ −
+
xx
x
c) Ta có:
1
32− x
có nghĩa
13
0 3 2 0
3 2 2
−
−
xx
x
d) Ta có:
2
2
x
có nghĩa
2
00 xx
e) Ta có:
2
2
+−
−
x
x
x
có nghĩa
2 0 2
2
2 0 2
−


−

xx
x
xx
f) Ta có:
2
2
+−
+
x
x
x
có nghĩa
2 0 2
2
2 0 2
−


+ = −

xx
x
xx
g) Ta có:
2
2
4
+−
−
x
x
x
có nghĩa
2
2
2

x
x
x
k) Ta có:
3
3+ + −xx
x
có nghĩa
2
3
3
0
30
0
+
+




−
x
x
x
x
x
x
(vô lý).
Vậy không có giá trị nào của x làm biểu thức có nghĩa.
Trang 8
Dạng 3: Tính toán, rút gọn biểu thức dạng
2
A
I. Phương pháp giải
Vận dụng hằng đẳng thức
2
nÕu 0
nÕu 0
==
−
AA
AA
AA
II. Bài toán
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
2
6
b)
( )
2
5−
c)
2
16
d)
( )
2
12
e)
( )
2
0,36−
f)
( ) ( )
22
5 1,21+−
g)
( )
2
33−+
h)
( )
( )
2
2
99− + −
Lời giải
a)
2
6 6 6==
b)
( )
2
5 5 5− = =
c)
2
16 16 16==
d)
( )
2
12 12=
e)
( )
2
0,36 0,36−=
f)
( ) ( )
22
5 1,21 5 1,21 6,21+ − = + =
g)
( )
2
3 3 3 3 6− + = + =
h)
( )
( )
2
2
9 9 9 9 9 9 18− + − = + − = + =
Bài 2: Tính
a.
9=A
b.
4
49
=B
c.
2
( 8)= − −C
d.
2
3
4

=−



D
Lời giải
Trang 9
a) Ta có:
93= =AA
b) Ta có:
42
49 7
= =BB
c) Ta có:
2
( 8) 64 8= − − = − = −C C C
d) Ta có:
2
33
44

= − =



DD
Bài 3: Tính
a.
121=A
b.
121
169
=B
c.
2
( 2)=−C
d.
2
3
5
−

=


D
Lời giải
a)
121 11= =AA
b)
121 11
169 13
= =BB
c)
( )
2
22= − =CC
d)
2
33
55
−

= =


DD
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau
a)
( )
2
12−
b)
( )
2
5−a
với
3a
c)
6
a
với
0a
Lời giải
a)
( )
2
1 2 1 2 2 1− = − = −
(vì
1 2 0−
)
b)
( )
2
5 5 5− = − = −a a a
(vì
50−a
với
3a
)
c)
( )
2
6 3 3 3
= = = −a a a a
(vì
3
0a
với
0a
).
Bài 5: Không sử dụng MTCT, tính:
a)
( ) ( )
22
16 8 0,16+ + −
b)
( )
2
5 5 1−−
c)
( )
2
1 2 1 2− + +
d)
3 2 2 6 4 2− − −
Lời giải
a)
( ) ( )
22
2
16 8 0,16 4 8 0,16 4 8 0,16 12,16+ + − = + + = + + =
b)
( )
2
5 5 1 5 5 1 5 5 1 1− − = − − = − + =
c)
( ) ( )
2
1 2 1 2 1 2 1 2 2− + + = − + + =
d)
( ) ( )
22
3 2 2 6 4 2 2 1 2 2− − − = − − −
Trang 10
( )
2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 3= − − − = − − − = −
.
Bài 6: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
4 2 3=+A
b)
8 2 15=−B
c)
9 4 5−
Lời giải
a)
( )
2
4 2 3 3 2 3 1 1 3 1 3 1= + = + + = + = +A
b)
( )
2
8 2 15 5 2 5 3 3 5 3 5 3= − = − + = − = −B
c)
( )
2
9 4 5 5 2 2 5 4 5 2 5 2− = − + = − = −
Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức sau
a.
0,5 0,04 5 0,36=+A
b.
25 9
45
16 25
−−
= − + −
−
B
c)
21
81 16
32
=−C
d.
1 4 2 25
2 9 5 16
=−D
Lời giải
a)
0,5 0,04 5 0,36 0,5.0,2 5.0,6 3,1= + = + =A A A
b)
25 9 5 3
4 5 4. 5. 2
16 25 4 5
−−
= − + − = − + = −
−
B B B
c)
2 1 2 1
81 16 .9 .4 6 2 4
3 2 3 2
= − = − = − =C C C C
d)
1 4 2 25 1 2 2 5 1 1 1
..
2 9 5 16 2 3 5 4 3 2 6
−
= − = − = − =D D C C
Bài 8: Thực hiện phép tính
a.
22
54−
b.
22
26 24−
c.
22
85 84−
Lời giải
a) Ta có:
22
5 4 (5 4)(5 4) 9 3− = − + = =
b) Ta có:
22
26 24 100 10− = =
c) Ta có:
22
85 84 169 13− = =
Bài 9: Tính giá trị của các biểu thức sau
a.
49 25 4 0,25= + +A
b.
( 169 121 81): 0,49= − −B
c.
99
1 .18
16 16

=−



C
d.
1 4 2 25
2 9 5 16
=−D
Trang 11
Lời giải
a) Ta có:
49 25 4 0,25 7 5 4.0,5 14= + + = + + =A
b) Ta có:
( )
B 169 121 81 : 0,49 (13 11 9) :0,7 10= − − = − − = −
c) Ta có: C =
9 9 25 3 1
1 .18 .18 .18 9 3
16 16 16 4 2
− = − = = =
d) Ta có:
1 4 2 25 1 2 2 5 1 1 1
..
2 9 5 16 2 3 5 4 3 2 6
−
= − = − = − =D
Bài 10: Tính giá trị của các biểu thức sau
a.
49
144. . 0,01
64
−
=−A
b.
( )
( )
2
0,25 15 2,25 : 169= − − +B
c.
( )
( )
2
0,04 1,2 121 81= − − +C
d.
( ) ( )
22
22
75: 3 4 3 5 3= + − − − −D
Lời giải
a) Ta có:
49
144. . 0,01
64
−
=−A
( )
2
2
2
7
12 . . 0,1 1,05
8

==


b) Ta có:
( )
( )
2
0,25 15 2,25 : 169= − − +B
( ) ( )
( )
22
22
0,5 15 1,5 : 13 1= − + = −
c) Ta có:
( )
( )
2
0,04 1,2 121 81= − − +C
90=C
d) Ta có:
( ) ( )
22
22
75: 3 4 3 5 3= + − − − −D
3=D
Bài 11: Tính giá trị của các biểu thức sau
a.
6 4 2 22 12 2− + −
b.
2
( 3 2) 2−+
c.
2
3 5 (1 5)−−
d.
17 12 2 9 4 2− + +
e.
6 2 5 6 2 5+ + −
f.
3 2 2 6 4 2+ + −
g.
24 8 5 9 4 5+ + −
h.
41 12 5 41 12 5− − +
Lời giải
a) Ta có:
22
6 4 2 22 12 2 (2 2) (3 2 2) 2 2− + − = − + − =
b) Ta có:
2
( 3 2) 2 3 2 2 3− + = − + =
Trang 12
c) Ta có:
2
3 5 (1 5) 3 5 1 5 3 5 1 5 3 5 ( 5 1) 2 5 1− − = − − = − − = − − = +
d) Ta có:
22
17 12 2 9 4 2 (3 2 2) (2 2 1) 4− + + = − + + =
e) Ta có:
22
6 2 5 6 2 5 ( 5 1) ( 5 1) 2 5+ + − = + + − =
f) Ta có:
22
3 2 2 6 4 2 ( 2 1) (2 2) 3+ + − = + + − =
g) Ta có:
2
24 8 5 9 4 5 4(6 2 5) ( 5 2)+ + − = + + −
2 5 1 5 2 3 5= + + − =
h) Ta có:
( ) ( )
22
41 12 5 41 12 5 6 5 6 5 2 5− − + = − − + = −
Bài 12: Thực hiện các phép tính sau
a)
( )
3 2 . 5 2 6= − +A
b)
22
4 2 3 4 2 3
3 1 1 3
−+
=−
−+
B
c)
5 9 29 12 5= − − −C
d)
13 30 2 9 4 2= + + +D
Lời giải
a) Ta có:
( ) ( )( )
3 2 . 5 2 6 3 2 3 2 1= − + = − + =A
b) Ta có:
2 2 2 2
22
4 2 3 4 2 3 ( 3 1) ( 3 1)
3 1 1 3 3 1 3 1
− + − +
= − = −
− + − −
B
( ) ( )
3 1 3 1 4 3= − − + = −
c) Ta có:
5 9 29 12 5 5 9 20 12 5 9= − − − = − − − +C
2
5 9 (2 5 3)= − − +
d) Ta có:
2
13 30 2 9 4 2 13 30 2 (2 2 1)+ + + = + + +
13 30 2 (2 2 1) 13 30 3 2 2= + + + = + +
2
13 30 ( 2 1) 13 30( 2 1)= + + = + +
2
(5 3 2) 5 3 2= + = +
43 30 2 25 2.5.3 2 18= + = + +
Bài 13: Rút gọn các biểu thức sau
a)
( )
2
4 15 15= − +A
b)
( ) ( )
22
2 3 1 3= − + −B
c)
49 12 5 49 12 5= − − +C
Trang 13
d)
29 12 5 29 12 5= + − −D
Lời giải
a) Ta có:
( ) ( )
2
4 15 15 4 15 15 4 4 15= − + = − + = A
b) Ta có:
( ) ( )
22
2 3 1 3 2 3 1 3 1= − + − = − + + =B
c) Ta có:
( ) ( )
22
49 12 5 49 12 5 2 3 5 2 3 5 4= − − + = − − + =CC
d) Ta có:
( ) ( )
22
29 12 5 29 12 5 3 2 5 3 2 5 6= + − − = + − − =DD
Bài 14: Chứng minh rằng
a)
( )
2
11 6 2 3 2+ = +
b)
11 6 2 11 6 2 6+ + − =
c)
( )
2
8 2 7 7 1− = −
d)
8 2 7 8 2 7 2− − + = −
Lời giải
a) Ta có:
( )
2
11 6 2 9 2.3 2 2 3 2= + = + + = + = VT VP
đpcm
b) Ta có:
11 6 2 11 6 2 2 3 2 3 6= + + − = + + − = = VT VP
đpcm
c) Ta có:
( )
2
8 2 7 7 2 7 1 7 1− = − + = −
đpcm
d) Ta có:
( ) ( )
22
8 2 7 8 2 7 7 1 7 1 2= − − + = − − + = − =VT VP
(đpcm).
Trang 14
Dạng 4: Rút gọn các biểu thức chứa biến
I. Cách giải:
Sử dụng hằng đẳng thức:
( )
( )
2
,0
,0
==
−
AA
AA
AA
II. Bài toán
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau
a)
2
64 2 ( 0)= + A a a a
b)
2
5 25 25 ( 0)= − B a a a
c)
42
16 6+aa
(với
a
bất kỳ)
d)
63
3 9 6−aa
(với
a
bất kỳ )
Lời giải
a) Ta có:
2
64 2 ( 0) 8 2 10 10+ = + = =a a a a a a A a
b) Ta có:
2
5 25 25 ( 0) 5. 5 25 50 50− = − = − = −a a a a a a B a
c) Ta có:
4 2 2 2 2 2
16 6 4 6 10 10+ = + = =a a a a a C a
(với a bất kỳ )
d) Ta có:
6 3 3 3
3 9 6 3 3 6− = −a a a a
(với a bất kỳ )
+)
3 3 3 3 3
0 3. 3 6 3.( 3 ) 6 15 − = − − = −a a a a a a
+)
3 3 3 3 3
0 3. 3 6 9 6 3 − = − =a a a a a a
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau
a)
( )( )
( )
6 9 3
4 0 ; 9
9
+ + −
= −
−
x x x
A x x x
x
b)
2
9 12 4 2
3 2 3
+ + −

=

+

xx
Bx
x
Lời giải
a) Ta có:
( ) ( )
( )( )
( )
( )
2
33
4 3 1 0 9
33
+−
= − = −
−+
xx
A x A x x
xx
b) Ta có:
2
2
1
32
3
9 12 4
3 2 3 2
2
1
3
−


+
++
= = =
++
−

−


x
x
xx
B
xx
x
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau
Trang 15
a)
46
=+A x x
b)
2
1
4
= − +B x x
Lời giải
a) Ta có
4 6 2 3 2 3
= + = + = +A x x x x x x
+
2 3 2 3
+ = +x x x x
nếu
0x
+
2 3 2 3
+ = −x x x x
nếu
0x
b) Ta có
2
2
1 1 1
4 2 2

= − + = − = −


B x x x x
+ Nếu
1
2
x
thì
1
2
=−Ax
+ Nếu
1
2
x
thì
1
2
=−Ax
.
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau
a)
2
12= − +A x x
với
2x
b)
( )
2
1=−Bx
với
0x
Lời giải
a) Ta có
( )
2
2
1 2 1 1= − + = − = −A x x x x
Do giả thiết
2x
suy ra
10−x
nên
( )
1 1 1− = − − = −x x x
Vì vậy
( )
2
2
1 2 1 1− + = − = −x x x x
với
2x
b) Từ giả thiết
0x
suy ra
10−x
.
Do đó
( )
2
11− = −xx
.
Bài 5:
a) Rút gọn biểu thức
6
xx
(
0x
)
b) Rút gọn và tính giá trị biểu thức
2
4 4 1+ − +x x x
tại
2,5=−x
Lời giải
a) Ta có:
( ) ( )
2
6 3 3 3 4
= = = − = −x x x x x x x x x
(vì
0x
)
b) Ta có:
2
4 4 1+ − +x x x
( )
2
21= + −xx
21= + −xx
Thay
2,5=−x
vào ta có
5 13
2,5 2 2,5 1 4
22
+ − = + =
Bài 6: Cho biểu thức
2
3 10 25= − − +P x x x
a) Rút gọn biểu thức
P
b) Tính giá trị của
P
khi
2=x
Lời giải
Trang 16
a)
( )
2
2
3 10 25 3 5 3 5= − − + = − − = − −P x x x x x x x
+ Nếu
5x
thì
( )
3 5 2 5= − − = +P x x x
+ Nếu
5x
thì
( )
3 5 4 5= + − = −P x x x
b) Khi
25=x
thì giá trị của
P
là
4 2 5 3= − =P
Bài 7: Cho biểu thức
2
2 2 1= − + +Q x x x
a) Rút gọn biểu thức
Q
b) Tính giá trị của
x
khi
7=Q
Lời giải
a)
( )
2
2
2 2 1 2 1 2 1= − + + = − + = − +Q x x x x x x x
+ Nếu
1−x
thì
( )
2 1 1= − + = −Q x x x
+ Nếu
1−x
thì
( )
2 1 3 1= + + = +Q x x x
b) Ta phải xét hai trường hợp
+
7 1 7= − =Qx
hay
8=x
(thỏa mãn
1−x
)
+
7 3 1 7= + =Qx
hay
2=x
(không thỏa mãn
1−x
)
Vậy
7=Q
khi
8=x
.
Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
21+−xx
b)
2 2 1+ − +xx
Lời giải
a)
2 1 1 2 1 1+ − = − + − +x x x x
( )
2
1 1 1 1= − + = − +xx
(điều kiện
1x
)
b)
2 2 1 1 2 1 1+ − + = + − + +x x x x
( )
2
1 1 1 1= + − = + −xx
(điều kiện
1−x
)
+ Nếu
0x
thì
1 1 1 1+ − = + −xx
+ Nếu
0x
thì
1 1 1 1+ − = − +xx
.
Bài 9: Rút gọn các biểu thức sau
a)
2 1 2 1(1 2)= + − + − − A a a a a a
b)
2
4 4 4( 2)= − − + B x x x x
c)
2
44
( 2)
2
++
=
+
xx
Cx
x
d)
2
10 25
21
5
−+
= − −
−
xx
Dx
x
e)
( 6 9)( 3)
4 (0 9)
9
+ + −
= −
−
x x x
E x x
x
Lời giải
Trang 17
a) Ta có:
2 1 2 1(1 2)= + − + − − A a a a a a
1 1 1 1= − + + − −aa
Với
1 2 1 1 0; 1 1 0 − + − − a a a
, ta được:
1 1 1 1 1 1 1 1 2= − + + − − = − + − − + =A a a a a
b) Ta có:
2
4 4 4( 2) 4 2 4 ( 2) 3 2= − − + = − − = − − = +B x x x x x x x x x
c) Ta có:
2
2
44
( 2)
22
+
++
= =
++
x
xx
Cx
xx
- Nếu
2−x
thì
1=−A
- Nếu
2−x
thì
1=A
d) Ta có:
2
5
10 25
2 1 2 1
55
−
−+
= − − = − −
−−
x
xx
D x x
xx
với
5x
+) Nếu
5 0 5 2 1 1 2− = − + =x x A x x
+) Nếu
5 2 2 = −x A x
e) Ta có:
( )( )
( )
6 9 3
4 0 9
9
+ + −
= −
−
x x x
E x x
x
( )( )
6 9 3
4
9
+ + −
= −
−
x x x
Ex
x
( ) ( )
( )( )
( )
( )
2
33
4 3 1 0 9
33
+−
= − = −
−+
xx
x x x
xx
Bài 10: Cho biểu thức:
2 2 2 2
2 1 2 1= + − − − −A x x x x
a. Với giá trị nào của
x
thì
A
có nghĩa
b. Tính
A
nếu
2x
Lời giải
a) Ta có:
2 2 2 2
2 1 2 1= + − − − −A x x x x
2 2 2 2
( 1 1) ( 1 1)= − + − − −xx
22
1 1 1 1= − + + − −xx
A
có nghĩa
22
1
1 0 1
1
−
−
x
xx
x
b) Ta có:
2 2 2 2
2 2 1 1 1 1 1 1 0 − − − − x x x x x
2 2 2
1 1 1 1 2 1 = − + + − − = −A x x x
Bài 11: Cho ba số dương
,,x y z
thỏa mãn
1++=xy yz zx
.
Tính
2 2 2 2 2 2
2 2 2
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
111
+ + + + + +
= + +
+++
y z z x x y
A x y z
x y z
Lời giải
Ta có:
22
1 ( ) ( )( )+ = + + + = + +y xy yz zx y x y y z
;
Trang 18
2
1 ( )( )+ = + +z y z z x
;
2
1 ( )( )+ = + +x x z x y
( ) ( ) ( ) 2( ) 2 = + + + + + = + + =A x y z y z x z x y xy yz zx
Vậy
2=A
.
Dạng 4: Bài toán so sánh, bài toán tìm
x
I. Phương pháp giải
Chú ý một số cách biến đổi tương đương liên quan đến căn thức bậc hai
1)
2
0
=
=
B
AB
AB
( )
( )
2
2 2 2 2
1
1 0 1
0
11
1 ( 1) 1 2 1
1
−

=
− = −
− = − − = − +

=
x
xx
x KTM
xx
x x x x x
x TM
2)
2
= =A B A B
3)
0 ( 0)
=
=
A hayB
AB
AB
4)
22
= = = A B A B A B
5)
22
= = A B A B
Ví dụ:
22
0 1( )
1
( 1)
1
1
2
=
−=
− =
− = −
=
vn
xx
xx
xx
x
(thỏa mãn)
7)
0
=
=
=−
B
AB
AB
AB
Ví dụ:
( )
( )
2
0
20
1
1
11
2
22
2
2
42
1
1
2
6
2
=
+=
+ + = + =


−

=
+ = −
x
x
x TM
xx
x x x x x
x KTM
xx
8)
=
=
=−
AB
AB
AB
Ví dụ:
3 1 3 1
3 1 3
3 1 3 1
+ = + =

+ = +

+ = − − = −

x x x
xx
x x x
9)
0
0
0
=
+ =
=
A
AB
B
Trang 19
Ví dụ:
2
5
5 25 0 5
5
5
= −
+ + − = = −
=
=−
x
x x x
x
x
10)
0
0
0
=
+ =
=
A
AB
B
II. Bài toán
Bài 1: Không sử dụng MTCT, hãy so sánh:
a)
3
và
5
b)
3
với
10
c)
8
và
65
Lời giải
a) Ta có
35
nên
35
b) Ta có
10 9
nên
10 9
c) Ta có
64 65
nên
64 65
hay
8 65
Bài 2: Không sử dụng MTCT, hãy so sánh
15 1−
và
10
Lời giải
Ta có
15 1 16 1 4 1 3− − = − =
và
10 9 3=
Nên
15 1 10−
Bài 3: Với
0a
thì số nào lớn hơn trong hai số
−a
và
2− a
Lời giải
Ta có
12− −
nên
2− −aa
(vì
0a
).
Do đó
2− −aa
.
Bài 4: Tìm
x
biết
a)
2
3 0,75=x
b)
2 3 12=x
c)
1
5 10
2
x
Lời giải
a) Ta có
2
3 0,75=x
, suy ra
2
0,25=x
Do đó
0,25 0,5= = x
b) Điều kiện:
0x
Ta có
2 3 12=x
36=x
4 36=x
12=x
(thỏa mãn điều kiện)
c) Điều kiện:
0x
Ta có
1
5 10
2
x
5 20x
5 400x
80x
Vậy
0 80x
.
Trang 20
Bài 5: Tìm
x
biết
a)
2
16
9
=x
b)
2
4 2 3=−x
c)
( )
2
1
1
9
−=x
d)
2
1 6 2 6+ = −x
Lời giải
a) Ta có
2
16
9
=x
2
2
4
3

=


x
4
3
=x
hoặc
4
3
=−x
Vậy
44
;
33

−


x
b) Ta có
2
4 2 3=−x
( )
2
2
31=−x
31=−x
hoặc
13=−x
Vậy
3 1;1 3 − −x
c) Ta có
( )
2
1
1
9
−=x
( )
2
2
1
1
3

−=


x
1
1
3
−=x
hoặc
1
1
3
− = −x
4
3
=x
hoặc
2
3
=x
Vậy
42
;
33



x
d) Ta có
2
1 6 2 6+ = −x
2
5 2 6=−x
( )
2
2
32=−x
32=−x
hoặc
23=−x
Vậy
3 2; 2 3 − −x
Bài 6: Tìm x không âm biết
a)
2
9 16 0−=x
b)
2
4 13=x
c)
21
20
3
+
− + =
x
d)
1
23
3
+=x
e)
2 1 3 0+ + =x
f)
2
4 13 3− + =xx
Lời giải

Tài liệu khác của Toán 9

Preview text:

CĂN BẬC HAI VÀ CĂN THỨC BẬC HAI
A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
1. Căn bậc hai: Căn bậc hai của số thực không âm a là số thực x sao cho 2 x = a * Nhận xét:
+ Số âm không có căn bậc hai
+ Số 0 có một căn bậc hai duy nhất là 0.
+ Số dương a có đúng căn bậc hai đối nhau là a (căn bậc hai số học của a ) và − a .
* Tính căn bậc hai của một số a  0 , chỉ cần tính a . Có thể dễ dàng làm điều này bằng cách sử dụng MTCT. * Tính chất: 2
a = a với mọi số thực a .
* Với hai số a và b không âm ta có:
+ Nếu a b thì a b
+ Nếu a b thì a b . 2. Căn thức bậc hai
* A xác định khi A lây giá trị không âm và ta thường viết là A  0 .
Ta nói A  0 là điều kiện xác định (hay điều kiện có nghĩa của A ).
* Tương tự như căn bậc hai của một số thực không âm, với A là một biểu thức, ta cũng có:
+ Với A  0 ta có A  0; ( A)2 = A + 2 A = A
B. Các dạng bài tập
Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số Bài 1: Tính a) 81 b) 16 c) − 1, 21 d) − 0,01 e) 0,81 f) 9 25 g) 4 h) 1 − 25 4 Lời giải a) Vì 2 9 = 81 nên 81 = 9 b) Vì 2 4 = 16 nên 16 = 4 c) Vì 2 1,1 = 1, 21 nên − 1, 21 = 1 − ,1 d) Vì ( )2 0,1 = 0,01 nên − 0,01 = 0 − ,1 e) Vì 2 0,9 = 0,81 nên 0,81 = 0,9 2  3  9 f) Vì =   nên 9 3 =  5  25 25 5 2  2  4 g) Vì =   nên 4 2 =  5  25 25 5 Trang 1 2  1  1 h) Vì =   nên 1 1 − = − .  2  4 4 2
Bài 2: Tìm căn bậc hai của a) 121 b) 144 c) 64 d) 9 e) 0, 25 f) 4 16 9 2  2 − g)  1, 44 h)    5  Lời giải
a) Ta có 121 =11 nên 121 có căn bậc hai là 11 và −11
b) Ta có 144 = 12 nên 144 có căn bậc hai là 12 và −12
c) Ta có 64 = 8 nên 64 có căn bậc hai là 8 và 8 − d) Ta có 9 3
= nên 9 có căn bậc hai là 3 và 3 − 16 4 16 4 4
e) Ta có 0, 25 = 0,5 nên 0, 25 có căn bậc hai là 11 và −11 f) Ta có 4 2
= nên 4 có căn bậc hai là 2 và 2 − 9 3 9 3 3
g) Ta có 1, 44 =1, 2 nên 1, 44 có căn bậc hai là 1, 2 và −1, 2 2  2  2 2  2 h) Ta có − =    nên − 
 có căn bậc hai là 2 và 2 −  5  5  5  5 5
Bài 3: Tìm căn bậc hai số học của các số sau a) 12 b) 121 c) 4 9 d) 0,09 e) 40 1 f) 0 81 Lời giải
a) 12 có căn bậc hai số học là: 12
b) 121 có căn bậc hai số học là: 121
c) 4 có căn bậc hai số học là: 4 9 9
d) 0,09 có căn bậc hai số học là: 0,3 e) 40 1
có căn bậc hai số học là: 11 81 9
f) 0 có căn bậc hai số học là 0
Bài 4: Tìm căn bậc hai số học của các số sau a) 64 b) -81 c) 9 d) 0,04 16 Lời giải
a) 64 có căn bậc hai số học là: 8
b) -81 không có căn bậc hai số học Trang 2
c) 9 có căn bậc hai số học là: 3
d) 0,04 có căn bậc hai số học là: 0,2 16 4
Bài 5: Tìm căn bậc hai của: 256 ; 0,04 ; 121 ; 11; 1,6 ; −0,09 36 Lời giải
+ Căn bậc hai của 256 là 16
+ Căn bậc hai của 0,04 là 0, 2
+ Căn bậc hai của 121 là 11  36 36
+ Căn bậc hai của 11 là  11
+ Căn bậc hai của 1,6 là  1,6 + Do 0
− ,09  0 nên −0,09 không có căn bậc hai.
Bài 6: Tính giá trị của biểu thức: A = 0,09 + 7  0,36 − 3 2, 25 Lời giải
Ta có: A = 0,09 + 7  0,36 − 3 2, 25 = 0,3 + 7 0,6 − 31,5 = 0,3 + 4, 2 − 4,5 = 0 .  
Bài 7: Giá trị của biểu thức sau là số vô tỷ hay hữu tỷ: 9 9  1 − 18  16 16    Lời giải  9 9   25 9  Ta có:  1 − 18 =  − 18  16 16   16 16       5 3  = − 18 = 9 = 3    4 4 
Vậy giá trị của biểu thức đã cho là một số hữu tỷ, hơn nữa còn là một số tự nhiên. Trang 3
Dạng 2: Tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa căn. Tính giá trị của biểu thức I. Phương pháp giải
+) A có nghĩa khi A  0
+) 1 có nghĩa khi A  0 A
+) A + B A + B  0 có nghĩa khi A + B  0
+) 1 có nghĩa khi A  0 A
+) A − B có nghĩa khi A − B  0
+) 1 có nghĩa khi A  0 2 AA  0  +) 1 có nghĩa khi   A − B
 A − B  0 A  0  +) 1 có nghĩa khi   A + B
 A + B  0 A  0  B  0 +) . A B  .
A B  0 có nghĩa khi   A  0  B  0 A  0  B  0 +) A có nghĩa  B A  0  B  0 A  0  B  0
+) 1 có nghĩa AB  0  . A B A  0  B  0 +) 2
x n  − n x n(n  0) Trang 4x n +) 2 x n   (n  0)
x  − n II. Bài toán
Bài 1: Tìm điều kiện xác định của mỗi căn thức sau: a) 1 5 − 2x b) 2 x − 4x + 4 c) 2 1 25 − x d) 2 x −100 Lời giải
a) Điều kiện xác định của căn thức là 5 − 2x  0 hay 5 x  2
b) Điều kiện xác định của căn thức là ( x − )2 2  0 hay x  2
c) Điều kiện xác định của căn thức là 2 25 − x  0 2 x  25 x  5 5 −  x  5
d) Điều kiện xác định của căn thức là 2 x −100  0 2 x  100 x  10
x  10 hoặc x  −10
Bài 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức M = x + 4 + 2 − x xác định? Lời giải x + 4  0 x  4 − M xác định khi  hay  2 − x  0 x  2
Vì x  nên x  4 − ; 3 − ; 2 − ; 1 − ;0;1;  2
Vậy có 7 giá trị nguyên của x để biểu thức M = x + 4 + 2 − x có nghĩa.
Bài 3: Xét căn thức 2x +1
a) Tìm điều kiện xác định của căn thức
b) Tính giá trị của căn thức đã cho tại x = 0 và x = 4 Lời giải
a) Điều kiện xác định của căn thức là 2x +1  0 hay 1 x  − 2
b) Tại x = 0 (thỏa mãn điều kiện) căn thức có giá trị là 20 +1 = 1
Tại x = 4 (thỏa mãn điều kiện) căn thức có giá trị là 2 4 +1 = 3
Bài 4: Cho biểu thức A = 5 − 2x
a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A xác định
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = −2 và khi x = 3 Lời giải Trang 5
a) Biểu thức A xác định khi 5 − 2x  0 hay 2x  5 hay 5 x  2
b) Khi x = −2, ta có A = 5 − 2( 2 − ) = 9 = 3 Ta thấy 5
x = 3  nên A không xác định tại x = 3 . 2
Bài 5: Với giá trị nào của x thì biểu thức A = 3x + 6 xác định? Tính giá trị của A khi x = 5 (kết
quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Lời giải
Biểu thức A = 3x + 6 xác định khi 3x + 6  0 hay x  −2
Với x = 5 ta có A = 35 + 6 = 21  4,58 .
Bài 6: Tìm x để các căn thức sau có nghĩa a. −3x b. 2x −10 c. 3 − x − 4 d. 3x +15 e. 1 5x + f. 2 x − 8x − 9 2 Lời giải
a) Ta có: −3x có nghĩa  x  0
b) Ta có: 2x −10 có nghĩa  2x −10  0  x  5 − c) Ta có: 3 − x − 4 có nghĩa 4  3
− x − 4  0  x  3
d) Ta có: 3x +15 có nghĩa  3x +15  0  x  −5 − e) Ta có: 1 5x + có nghĩa 1 1
 5x +  0  x  2 2 10 x  9 f) Ta có: 2
x − 8x − 9 có nghĩa 2
x −8x − 9  0  (x + )
1 (x − 9)  0   x  1 −  x a 2 2 x a Chú ý: Với 
a là số dương, ta có:  x  −a  2 2
x a  −a x a
Bài 7: Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa a. x(x + 2) b. 2 5x − 3x − 8 c. 2 2x + 4x + 5 d. 2 4 − x e. 2
−x + 2x −1 Lời giải x  2 −
a) Ta có: x(x + 2) có nghĩa khi x(x + 2)  0   x  0 x -2 0 x - │ - 0 + x + 2 - 0 + │ + x ( x + 2) + - + Trang 6x  1 − b) Ta có: 2
5x − 3x − 8 có nghĩa khi 2 5x 3x 8 0 (x 1)(5x 8) 0  − −   + −   8 x   5 c) Ta có: 2
2x + 4x + 5 có nghĩa khi 2 2
2x + 4x + 5  0  2(x +1) + 3  0 .
Vậy biểu thức luôn có nghĩa d) Ta có: 2
4 − x có nghĩa khi 2 2
4 − x  0  x  4  2 −  x  2 e) Ta có: 2
−x + 2x −1 có nghĩa khi 2
−(x +1)  0  x −1 = 0  x = 1
Bài 8: Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa: − a. 4 b. 2 2x + 3 x +1 c. 1 2 3 − 2x d. 2 x e. x + x x − 2 f. + x − 2 x − 2 x + 2 g. x + 3 x − 2 h. x + + 3 − x 2 x − 4 x Lời giải − a) Ta có: 4 có nghĩa 4 3 
 0  2x + 3  0  x  2x + 3 2x + 3 2 − − b) Ta có: 2 có nghĩa 2 
 0  x +1 0  x  1 − x +1 x +1 c) Ta có: 1 có nghĩa 1 3 
 0  3− 2x  0  x  3 − 2x 3x − 2 2 d) Ta có: 2 có nghĩa 2
x  0  x  0 2 xx − 2  0 x  2
e) Ta có: x + x − 2 có nghĩa      x  2 x − 2 x − 2  0 x  2 x − 2  0 x  2
f) Ta có: x + x − 2 có nghĩa      x  2 x + 2 x + 2  0 x = 2 − x  2
g) Ta có: x + x − 2 có nghĩa    x  2 2 x − 4 x  2  2  3  x + 3 x +  0  k) Ta có: 3 x + + 3
− x có nghĩa   x   x (vô lý). x  3 − x  0 x  0
Vậy không có giá trị nào của x làm biểu thức có nghĩa. Trang 7
Dạng 3: Tính toán, rút gọn biểu thức dạng 2 A
I. Phương pháp giải
AnÕu A  0
Vận dụng hằng đẳng thức 2 A = A = 
−AnÕu A  0 II. Bài toán
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) 2 6 b) (− )2 5 c) 2 16 d) ( )2 12 2 2 e) (− )2 0,36 f) ( 5) +(− 1,21) 2 g) (− )2 3 + 3 h) (− ) + (− )2 9 9 Lời giải a) 2 6 = 6 = 6 b) (− )2 5 = 5 = 5 c) 2 16 = 16 = 16 d) ( )2 12 = 12 2 2 e) (− )2 0,36 = 0,36
f) ( 5) +(− 1,21) = 5+1,21= 6,21 2 g) (− )2 3 + 3 = 3 + 3 = 6 h) (− ) + (− )2 9 9 = 9 + 9 − = 9 + 9 =18 Bài 2: Tính a. A = 9 b. 4 B = 49 2  3  c. 2 C = − ( 8 − ) d. D =  −   4    Lời giải Trang 8
a) Ta có: A = 9  A = 3 b) Ta có: 4 2 B =  B = 49 7 c) Ta có: 2 C = − ( 8
− )  C = − 64  C = 8 − 2  3  3 d) Ta có: D =  −   D =  4  4   Bài 3: Tính a. A = 121 b. 121 B = 169 2  3 − c. 2  C = (− 2) d. D =    5  Lời giải
a) A = 121  A = 11 b) 121 11 B =  B = 169 13 2  3 −  3 c) C = (− )2 2  C = 2 d) D =  D =    5  5
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau a) ( − )2 1 2 b) (a − )2 5 với a  3 c) 6
a với a  0 Lời giải a) ( − )2 1 2
= 1− 2 = 2 −1 (vì 1− 2  0 ) b) (a − )2 5
= a − 5 = a − 5 (vì a − 5  0 với a  3) c) a (a )2 6 3 3 3 =
= a = −a (vì 3
a  0 với a  0 ).
Bài 5: Không sử dụng MTCT, tính: 2 2 a) 16 + ( 8) +(− 0,16) b) − ( − )2 5 5 1 c) − + ( + )2 1 2 1 2 d) 3 − 2 2 − 6 − 4 2 Lời giải 2 2 a) + ( ) +(− ) 2 16 8
0,16 = 4 + 8 + 0,16 = 4 + 8 + 0,16 =12,16 b) − ( − )2 5
5 1 = 5 − 5 −1 = 5 − 5 +1 = 1 2
c) 1− 2 + (1+ 2) =1− 2 +(1+ 2) = 2 2 2
d) 3− 2 2 − 6 − 4 2 = ( 2 − ) 1 − (2 − 2) Trang 9
= 2 −1 − 2 − 2 = 2 −1− (2− 2) = 2 2 −3.
Bài 6: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) A = 4 + 2 3 b) B = 8 − 2 15 c) 9 − 4 5 Lời giải a) A = + = +  + = ( + )2 4 2 3 3 2 3 1 1 3 1 = 3 +1 b) B = − = −  + = ( − )2 8 2 15 5 2 5 3 3 5 3 = 5 − 3 c) − = −   + = ( − )2 9 4 5 5 2 2 5 4 5 2 = 5 − 2
Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức sau − −
a. A = 0,5 0,04 + 5 0,36 b. 25 9 B = 4 − + 5 − 1 − 6 25 c) 2 1 C = 81 − 16 d. 1 4 2 25 D = − 3 2 2 9 5 16 Lời giải
a) A = 0,5 0,04 + 5 0,36  A = 0,5.0, 2 + 5.0,6  A = 3,1 − − b) 25 9 5 3 B = 4 − + 5 −  B = 4 − . + 5.  B = 2 − 1 − 6 25 4 5 c) 2 1 2 1 C = 81 −
16  C = .9 − .4  C = 6 − 2  C = 4 3 2 3 2 − d) 1 4 2 25 1 2 2 5 1 1 1 D = −
D = . − .  C = −  C = 2 9 5 16 2 3 5 4 3 2 6
Bài 8: Thực hiện phép tính a. 2 2 5 − 4 b. 2 2 26 − 24 c. 2 2 85 − 84 Lời giải a) Ta có: 2 2
5 − 4 = (5 − 4)(5 + 4) = 9 = 3 b) Ta có: 2 2 26 − 24 = 100 = 10 c) Ta có: 2 2 85 − 84 = 169 = 13
Bài 9: Tính giá trị của các biểu thức sau
a. A = 49 + 25 + 4 0, 25
b. B = ( 169 − 121 − 81) : 0, 49  9 9  c. C =  1 − .18  16 16    d. 1 4 2 25 D = − 2 9 5 16 Trang 10 Lời giải
a) Ta có: A = 49 + 25 + 4 0, 25 = 7 + 5 + 4.0,5 =14
b) Ta có: B = ( 169 − 121− 81): 0,49 = (13−11−9):0,7 = 1 − 0     c) Ta có: C = 9 9 25 3 1  1 − .18 =  − .18 = .18 = 9 = 3  16 16   16 4  2     − d) Ta có: 1 4 2 25 1 2 2 5 1 1 1 D = − = . − . = − = 2 9 5 16 2 3 5 4 3 2 6
Bài 10: Tính giá trị của các biểu thức sau − a. 49 A = 144. − . 0,01 64 b. B = ( − (− )2 0, 25 15 + 2, 25): 169 c. C = ( − (− )2 0,04 1, 2 + 121) 81 d. D = + (− )2 − (− )2 2 2 75 : 3 4 3 5 − 3 Lời giải − a) Ta có: 49 A = 144. − . 0,01 64 2  7  = 12 . .   (0, )2 2 1 =1,05  8  b) Ta có: B = ( − (− )2 0, 25 15 + 2, 25): 169 = ( ( )2 − + ( )2 2 ) 2 0,5 15 1,5 : 13 = 1 − c) Ta có: C = ( − (− )2 0,04 1, 2 + 121) 81  C = 90 d) Ta có: D = + (− )2 − (− )2 2 2 75 : 3 4 3 5 − 3  D = 3
Bài 11: Tính giá trị của các biểu thức sau a. 6 − 4 2 + 22 −12 2 b. 2 ( 3 − 2) + 2 c. 2 3 5 − (1− 5) d. 17 −12 2 + 9 + 4 2 e. 6 + 2 5 + 6 − 2 5 f. 3 + 2 2 + 6 − 4 2
g. 24 + 8 5 + 9 − 4 5 h. 41−12 5 − 41+12 5 Lời giải a) Ta có: 2 2
6 − 4 2 + 22 −12 2 = (2 − 2) + (3 2 − 2) = 2 2 b) Ta có: 2
( 3 − 2) + 2 = 3 − 2 + 2 = 3 Trang 11 c) Ta có: 2
3 5 − (1− 5) = 3 5 − 1− 5 = 3 5 − 1− 5 = 3 5 − ( 5 −1) = 2 5 +1 d) Ta có: 2 2
17 −12 2 + 9 + 4 2 = (3 − 2 2) + (2 2 +1) = 4 e) Ta có: 2 2
6 + 2 5 + 6 − 2 5 = ( 5 +1) + ( 5 −1) = 2 5 f) Ta có: 2 2
3 + 2 2 + 6 − 4 2 = ( 2 +1) + (2 − 2) = 3 g) Ta có: 2
24 + 8 5 + 9 − 4 5 = 4(6 + 2 5) + ( 5 − 2)
= 2 5 +1 + 5 − 2 = 3 5 2 2
h) Ta có: 41−12 5 − 41+12 5 = (6− 5) − (6+ 5) = 2 − 5
Bài 12: Thực hiện các phép tính sau
a) A = ( 3 − 2). 5+ 2 6 2 2
 4 − 2 3   4 + 2 3  b) B =   −    3 1   1 3  − +     c) C = 5 − 9 − 29 −12 5
d) D = 13+ 30 2 + 9 + 4 2 Lời giải
a) Ta có: A = ( 3 − 2). 5+ 2 6 = ( 3 − 2)( 3 + 2) =1 2 2 2 2 2 2
 4 − 2 3   4 + 2 3 
( 3 −1)  ( 3 +1)  b) Ta có: B =   −   =   −    3 1   1 3  − + 3 −1 3 −1         = ( 3 − ) 1 − ( 3 + ) 1 = 4 − 3 c) Ta có: C = 5 − 9 − 29 −12 5 = 5 − 9 − 20 −12 5 + 9 2 = 5 − 9 − (2 5 + 3) d) Ta có: 2
13 + 30 2 + 9 + 4 2 = 13 + 30 2 + (2 2 +1)
= 13+ 30 2 + (2 2 +1) = 13+ 30 3+ 2 2 2
= 13+ 30 ( 2 +1) = 13+ 30( 2 +1) 2 = (5 + 3 2) = 5 + 3 2
= 43 + 30 2 = 25 + 2.5.3 2 +18
Bài 13: Rút gọn các biểu thức sau a) A = ( − )2 4 15 + 15 2 2
b) B = (2− 3) + (1− 3)
c) C = 49 −12 5 − 49 +12 5 Trang 12
d) D = 29 +12 5 − 29 −12 5 Lời giải 2
a) Ta có: A = (4− 15) + 15 = 4− 15 + 15 = 4(4  15) 2 2
b) Ta có: B = (2− 3) + (1− 3) = 2− 3 + 1+ 3 =1 2 2
c) Ta có: C = 49 −12 5 − 49 +12 5 = (2−3 5) − (2+3 5)  C = 4 2 2
d) Ta có: D = 29 +12 5 − 29 −12 5 = (3+ 2 5) − (3− 2 5)  D = 6
Bài 14: Chứng minh rằng a) + = ( + )2 11 6 2 3 2 b) 11+ 6 2 + 11− 6 2 = 6 c) − = ( − )2 8 2 7 7 1 d) 8 − 2 7 − 8 + 2 7 = 2 − Lời giải a) Ta có: VT = + = + + = ( + )2 11 6 2 9 2.3 2 2 3 2 = VP  đpcm
b) Ta có: VT = 11+ 6 2 + 11− 6 2 = 2 + 3 + 2 − 3 = 6 = VP  đpcm c) Ta có: − = − + = ( − ) 2 8 2 7 7 2 7 1 7 1  đpcm 2 2
d) Ta có: VT = 8 − 2 7 − 8 + 2 7 = ( 7 − ) 1 − ( 7 + ) 1 = 2 − = VP (đpcm). Trang 13
Dạng 4: Rút gọn các biểu thức chứa biến I. Cách giải:  , A ( A  0)
Sử dụng hằng đẳng thức: 2 A = A =  − ,  A ( A  0) II. Bài toán
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau a) 2
A = 64a + 2a(a  0) b) 2
B = 5 25a − 25a(a  0) c) 4 2
16a + 6a (với a bất kỳ) d) 6 3
3 9a − 6a (với a bất kỳ ) Lời giải a) Ta có: 2
64a + 2a(a  0) = 8a + 2a = 10a A = 10a b) Ta có: 2
5 25a − 25a(a  0) = 5. 5a − 25a = 5 − 0a B = 5 − 0a c) Ta có: 4 2 2 2 2 2
16a + 6a = 4a + 6a = 10a C = 10a (với a bất kỳ ) d) Ta có: 6 3 3 3
3 9a − 6a = 3 3a − 6a (với a bất kỳ ) +) 3 3 3 3 3
a  0  3. 3a − 6a = 3.( 3
− a ) − 6a = 1 − 5a +) 3 3 3 3 3
a  0  3. 3a − 6a = 9a − 6a = 3a
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau
(x+6 x +9)( x −3) a) A = 4 x − (0  ;xx  9) x − 9 2 9x +12x + 4  2 − b)  B = x    3x + 2  3  Lời giải ( x + )2 3 ( x −3)
a) Ta có: A = 4 x − (  A = x −  x x − 3)( x + 3) 3( )1(0 9)   2 −  1 x     2 9x +12x + 4 3x + 2   3  b) Ta có: B = = =  3x + 2 3x + 2   2 −  1 − x      3 
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau Trang 14 a) 4 6 1
A = x + x b) 2
B = x − x + 4 Lời giải a) Ta có 4 6 2 3 2 3
A = x + x = x + x = x + x + 2 3 2 3
x + x = x + x nếu x  0 + 2 3 2 3
x + x = x − x nếu x  0 2 b) Ta có 1  1  1 2
B = x − x + = x − = x −   4  2  2 + Nếu 1 x  thì 1 A = x − 2 2 + Nếu 1 x  thì 1 A = − x . 2 2
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau a) 2
A = 1− 2x + x với x  2
b) B = ( − x )2 1 với x  0 Lời giải a) Ta có A =
− x + x = ( − x)2 2 1 2 1 = 1− x
Do giả thiết x  2 suy ra 1− x  0 nên 1− x = −(1− x) = x −1 Vì vậy
− x + x = ( − x)2 2 1 2 1
= x −1 với x  2
b) Từ giả thiết x  0 suy ra 1− x  0 . Do đó ( − x)2 1 =1− x . Bài 5: a) Rút gọn biểu thức 6
x x ( x  0 )
b) Rút gọn và tính giá trị biểu thức 2
x + 4x − 4x +1 tại x = −2,5 Lời giải a) Ta có: x x x (x )2 6 3 3 x x x ( 3 x ) 4 = = =  −
= −x (vì x  0 ) b) Ta có: 2
x + 4x − 4x +1 = x + ( x − )2 2 1 = x + 2x −1
Thay x = −2,5 vào ta có 5 13 2,5 + 2 2,5 −1 = + 4 = 2 2
Bài 6: Cho biểu thức 2
P = 3x − x −10x + 25
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P khi x = 2 Lời giải Trang 15
a) P = x − x − x +
= x − (x − )2 2 3 10 25 3
5 = 3x − x − 5
+ Nếu x  5 thì P = 3x − (x − 5) = 2x + 5
+ Nếu x  5 thì P = 3x + (x − 5) = 4x − 5
b) Khi x = 2  5 thì giá trị của P là P = 4 2 − 5 = 3
Bài 7: Cho biểu thức 2
Q = 2x − x + 2x +1
a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tính giá trị của x khi Q = 7 Lời giải
a) Q = x − x + x + = x − (x + )2 2 2 2 1 2 1 = 2x − x +1
+ Nếu x  −1 thì Q = 2x − (x + ) 1 = x −1
+ Nếu x  −1 thì Q = 2x + (x + ) 1 = 3x +1
b) Ta phải xét hai trường hợp
+ Q = 7  x −1 = 7 hay x = 8 (thỏa mãn x  −1)
+ Q = 7  3x +1 = 7 hay x = 2 (không thỏa mãn x  −1)
Vậy Q = 7 khi x = 8 .
Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau: a) x + 2 x −1
b) x + 2 − 2 x +1 Lời giải
a) x + 2 x −1 = x −1+ 2 x −1 +1 = ( x − + )2
1 1 = x −1 +1 (điều kiện x  1)
b) x + 2 − 2 x +1 = x +1− 2 x +1 +1 = ( x + − )2 1 1 =
x +1 −1 (điều kiện x  −1)
+ Nếu x  0 thì x +1 −1 = x +1 −1
+ Nếu x  0 thì x +1 −1 =1− x +1.
Bài 9: Rút gọn các biểu thức sau
a) A = a + 2 a −1 + a − 2 a −1(1 a  2) b) 2
B = 4x − x − 4x + 4(x  2) 2 x + x + c) 4 4 C = (x  2) x + 2 2 x − x + d) 10 25 D = 2x −1− x − 5
(x + 6 x + 9)( x − 3) e) E = 4 x − (0  x  9) x − 9 Lời giải Trang 16
a) Ta có: A = a + 2 a −1 + a − 2 a −1(1 a  2)
= a −1 +1 + a −1 −1
Với 1  a  2  a −1 +1  0; a −1 −1 0 , ta được:
A = a −1 +1 + a −1 −1 = a −1 +1− a −1 +1 = 2 b) Ta có: 2
B = 4x − x − 4x + 4(x  2) = 4x − x − 2 = 4x − (x − 2) = 3x + 2 2 x + 4x + 4 x + 2 c) Ta có: C = (x  2) = x + 2 x + 2
- Nếu x  −2 thì A = −1
- Nếu x  −2 thì A = 1 2 x −10x + 25 x − 5
d) Ta có: D = 2x −1− = 2x −1− với x  5 x − 5 x − 5
+) Nếu x − 5  0  x  5  A = 2x −1+1 = 2x
+) Nếu x  5  A = 2x − 2
(x+6 x +9)( x −3)
e) Ta có: E = 4 x − (0  x  9) x − 9
(x+6 x +9)( x −3)  E = 4 x − x − 9 ( x + )2 3 ( x −3) = 4 x − ( = x −  x
x − 3)( x + 3) 3( )1(0 9)
Bài 10: Cho biểu thức: 2 2 2 2
A = x + 2 x −1 − x − 2 x −1
a. Với giá trị nào của x thì A có nghĩa
b. Tính A nếu x  2 Lời giải a) Ta có: 2 2 2 2
A = x + 2 x −1 − x − 2 x −1 2 2 2 2
= ( x −1 +1) − ( x −1 −1) 2 2
= x −1 +1 + x −1 −1 x  1 − A có nghĩa 2 2
x −1 0  x 1   x 1 b) Ta có: 2 2 2 2
x  2  x  2  x −1  1 x −1  1 x −1 −1  0 2 2 2
A = x −1 +1+ x −1 −1 = 2 x −1
Bài 11: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 1. 2 2 2 2 2 2 (1+ y )(1+ z ) (1+ z )(1+ x ) (1+ x )(1+ y ) Tính A = x + y + z 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z Lời giải Ta có: 2 2
1+ y = (xy + yz + zx) + y = (x + y)( y + z) ; Trang 17 2
1+ z = ( y + z)(z + x) ; 2
1+ x = (x + z)(x + y)
A = x(y + z) + y(z + x) + z(x + y) = 2(xy + yz + zx) = 2 Vậy A = 2 .
Dạng 4: Bài toán so sánh, bài toán tìm x I. Phương pháp giải
Chú ý một số cách biến đổi tương đương liên quan đến căn thức bậc hai B  0 1) A = B   2 A = Bx 1 x −1 0 x 1  2
1− x = x −1      x = 0  (KTM ) 2 2 2 2 1
 − x = (x −1) 1
 − x = x − 2x +1  x =1  (TM ) 2) 2
A = B A = B
A  0 (hayB  0) 3) A = B   A = B 4) 2 2
A = B A = B A = B 5) 2 2
A = B A = B 0 = 1(vn) x −1 = x Ví dụ: 2 2 (x 1)  − = x    1 (thỏa mãn) x −1 = −xx =  2 B  0 
7) A = B  A = B  A = −B 2x  0 x  0    1  1 1 1  x + = x  2 2 x = (TM )
Ví dụ: x + x + = 2x x + = 2x    2    2 4 2    1  1 −   x + = 2  − xx = (KTM )   2   6 A = B 8) A = B   A = −B 3x +1 = x + 3 x =1
Ví dụ: 3x +1 = x + 3    3x 1 x 3  + = − − x = 1 − A = 0
9) A + B = 0   B = 0 Trang 18 x = 5 −  Ví dụ: 2 x 5 x 25 0  + + −
=  x = 5  x = 5 −  x = 5 − A = 0
10) A + B = 0   B = 0 II. Bài toán
Bài 1: Không sử dụng MTCT, hãy so sánh: a) 3 và 5 b) 3 với 10 c) 8 và 65 Lời giải
a) Ta có 3  5 nên 3  5
b) Ta có 10  9 nên 10  9
c) Ta có 64  65 nên 64  65 hay 8  65
Bài 2: Không sử dụng MTCT, hãy so sánh 15 −1 và 10 Lời giải
Ta có 15 −1  16 −1 = 4 −1 = 3 và 10  9 = 3 Nên 15 −1  10
Bài 3: Với a  0 thì số nào lớn hơn trong hai số −a và −2a Lời giải
Ta có −1  −2 nên −a  2
− a (vì a  0 ).
Do đó −a  −2a .
Bài 4: Tìm x biết a) 2 3x = 0, 75 b) 2 3x =12 c) 1 5x 10 2 Lời giải a) Ta có 2 3x = 0, 75 , suy ra 2 x = 0, 25
Do đó x =  0, 25 = 0  ,5
b) Điều kiện: x  0 Ta có 2 3x =12 3x = 6 4x = 36
x = 12 (thỏa mãn điều kiện)
c) Điều kiện: x  0 Ta có 1 5x 10 2 5x  20 5x  400 x  80 Vậy 0  x  80 . Trang 19
Bài 5: Tìm x biết a) 16 2 x = b) 2 x = 4 − 2 3 9 c) (x − )2 1 1 = d) 2 x +1 = 6 − 2 6 9 Lời giải a) Ta có 16 2 x = 9 2  4 2  x =    3  4 x = hoặc 4 x = − 3 3 Vậy 4 4 x   ;−  3 3 b) Ta có 2 x = 4 − 2 3 x = ( − )2 2 3 1
x = 3 −1 hoặc x = 1− 3
Vậy x  3 −1;1− 3 c) Ta có (x − )2 1 1 = 9 2 (x )2  1 −1 =    3  1 x −1 = hoặc 1 x −1 = − 3 3 4 x = hoặc 2 x = 3 3 Vậy 4 2 x   ;  3 3 d) Ta có 2 x +1 = 6 − 2 6 2 x = 5 − 2 6 x = ( − )2 2 3 2
x = 3 − 2 hoặc x = 2 − 3
Vậy x  3 − 2; 2 −  3
Bài 6: Tìm x không âm biết a) 2 9x −16 = 0 b) 2 4x = 13 2x +1 c) − + 2 = 0 d) 1 2x + = 3 3 3 e) 2x +1 + 3 = 0 f) 2
x − 4x +13 = 3 Lời giải Trang 20

Tài liệu liên quan: