49 trang 2 lượt tải

Các Dạng Toán 9 Kết Nối Tri Thức Bài 8 Khai Căn Bậc Hai Với Phép Nhân Và Phép Chia

4

Tính diện tích hình chữ nhật và hình vuông cho trong hình dưới đây. Biết mỗi ô vuông nhỏ có độ dài cạnh là 1. Diện tích của hai hình đó có bằng nhau không? Biết rằng hình tam giác và hình chữ nhật ở hình sau có diện tích bằng nhau. Tính chiều rộng x của hình chữ nhật. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Chương 3: Căn bậc hai và căn bậc ba (KNTT) 5 tài liệu

Môn: Toán 9 2.7 K tài liệu

Sách: Kết nối tri thức

Tác giả:

Profile

Mỹ Châu

2 ngày trước
Danh sách Quiz
/49
Trang 1
KHAI CĂN BẬC HAI VỚI PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA
A. Kiến thức
1. Khai căn bậc hai với phép nhân
Với
A
,
B
là các biểu thức không âm, ta có
= A B A B
* Lưu ý: Kết quả trên có thể mở rộng cho nhiều biểu thức khoong âm, chẳng hạn:
= A B C A B C
(với
0A
;
0B
;
0C
)
2. Khai căn bậc hai
Nếu
A
,
B
là các biểu thức với
;
0B
thì
=
AA
B
B
* Chú ý: Nếu
0A
;
;
0C
thì
2 2 2
=A B C ABC
B. Các dạng bài tập
Dạng 1: Khai căn một tích
Bài 1: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một tích, hãy tính
a)
81 49
b)
25 121
c)
2 2 2
2 3 5
d)
25 1,21
e)
360 90
f)
0,16 64
g)
3
8,1 10
h)
12,1 160
Lời giải
a)
81 49 81 49 9 7 63 = = =
b)
25 121 25 121 5 11 55 = = =
c)
2 2 2 2 2 2
2 3 5 2 3 5 2 3 5 30 = = =
d)
25 1,21 25 1,21 5 1,1 5,5 = = =
e)
360 90 36 9 100 36 9 100 6 3 0 180 = = = =
f)
0,16 64 0,16 64 0,4 8 3,2 = = =
g)
3 2 2
8,1 10 8,1 10 10 81 10 9 10 90 = = = =
h)
12,1 160 121 16 121 16 11 4 44 = = = =
Bài 2: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một tích, hãy tính:
a)
2500 4,9 0,9
b)
12 250 1,2
c)
22
41 40−
d)
81 6,25 2, 25 81 −
Lời giải
a)
2500 4,9 0,9 25 49 9 5 7 3 105 = = =
b)
2
12 250 1,2 12 25 12 12 25 12 5 60 = = = =
c)
( )( )
22
41 40 41 40 41 40 81 9− = − + = =
d)
( )
81 6,25 2,25 81 81 6,25 2,25 81 4 9 2 18 − = − = = =
.
Bài 3:
a) Tính nhanh
25 49
b) Phân tích thành nhân tử
4−ab a
(với
0a
;
0b
).
Lời giải
Trang 2
a) Ta có
22
25 49 5 7 5 7 35 = = =
b) Theo giả thiết
0a
,
0b
do đó ta có:
( )
44− = −ab a a b
.
Bài 4: Tính
a.
25.144
b.
52.13
c.
45.80
d.
7. 28
Lời giải
a) Ta có:
25.144 5.12 60==
b) Ta có:
2
52.13 52.13 4.13.13 4. 13 26= = = =
c) Ta có:
2
45.80 5.9.5.16 5 . 9. 16 60= = =
d) Ta có:
22
7. 28 7.28 7.7.4 7 . 2 14= = = =
Bài 5: Tính
a.
2 50
24 . 6
33

+−



b.
3 5. 2+
c.
34
3 5 . 12
43

−+



d.
3 5. 8−
Lời giải
a) Ta có:
2 50 2 50
24 . 6 .6 .6 24.6 0
3 3 3 3

+ − = + − =



b) Ta có:
( )
2
3 5. 2 3.2 2 5 5 1 5 1+ = + = + = +
c) Ta có:
34
3 5 . 12 7
43

− + =



d) Ta có:
( )
3 5. 8 2 5 1− = −
Bài 6: Tính
a.
55.77.35
b.
11
. 2. 125.
85
c.
2 1. 2 1−+
d.
2
2 2.( 3 2) (1 2 2) 2 6− + + −
Lời giải
a) Ta có:
55.77.35 5.11.7.11.5.7 5.7.11 385= = =
b) Ta có:
1 1 1 1 2.125 25 5
. 2. 125. .2.125.
8 5 8 5 8.5 4 2
= = = =
c) Ta có:
2 1. 2 1 ( 2 1).( 2 1) 2 1 1− + = − + = − =
d) Ta có:
2
2 2.( 3 2) (1 2 2) 2 6 2 6 4 2 1 4 2 8 2 6 9− + + − = − + + + − =
Bài 7: Tính
a)
3 5 2 3 . 3 5 2 3= + + − +A
b)
4 8. 2 2 2 . 2 2 2= + + + − +B
Trang 3
c)
( )
12 3 15 4 135 3= + −C
d)
2 40 12 2 75 3 5 48= − −D
Lời giải
a) Ta có:
3 5 2 3 . 3 5 2 3= + + − +A
22
3 ( 5 2 3) 9 (5 2 3)= − + = − +
2
9 5 2 3 4 2 3 ( 3 1) 3 1= − − = − = − = −
b) Ta có:
4 8. 2 2 2 . 2 2 2= + + + − +B
22
4 4. 2. 2 ( 2 2) 4 2 2. 2 2= + − + = + −
2.(2 2)(2 2) 2.2 2 = + − = =B
c) Ta có:
2
( 12 3 15 4 135) 3 36 3 9.5 4 9 .5+ − = + −
6 9 5 36 5 6 27 5= + − = −
d) Ta có:
2 40 12 2 75 3 5 48= − −C
2 40 12 2 5 3 3 20 3 2 80 3 2 5 3 6 5 3= − − = − −
Bài 8: Tính
a)
(4 15)( 10 6) 4 15= + − −A
b)
(3 5) 3 5 (3 5) 3 5= − + + + −B
c)
2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3= + + + + + + − + +C
Lời giải
a) Ta có:
(4 15)( 10 6) 4 15= + − −A
( 10 6) 4 15. 4 15. 4 15= − + + −
( 10 6) 4 15. (4 15)(4 15)= − + + −
10 6. ( 10 6)(4 15)= − − +
10 6. 4 10 150 4 6 90= − + − −
10 6. 10 6 ( 10 6)( 10 6)= − + = − +
42==
b) Ta có:
(3 5) 3 5 (3 5) 3 5= − + + + −B
3 5. 3 5. 3 5 (3 5) 3 5= − − + + + −
(
)
3 5. 3 5 3 5 3 5 2( 3 5 3 5)= − + − + + = − + +
2( 3 5. 2 3 5. 2)= − + +
22
2( 6 2 5 6 2 5) 2( ( 5 1) ( 5 1)= − + + = − + +
Trang 4
2( 5 1 5 1) 2 10= − + + =
c) Ta có:
2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3= + + + + + + − + +C
2 3. 2 2 3 . 2 2 3 = + + + − +C
22
2 3.( 2 ( 2 3) ) 2 3. 2 3 1 = + − + = + − =C
Bài 9: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
3
8 5 10a ab b
b)
( )
2
18 2 − a
với
2a
c)
22
25ab
(với
0a
;
0b
)
Lời giải
a)
( )
2
3 2 4 2 2
8 5 10 8 5 10 400 = = a ab b a b a b
2
20= ab
b)
( ) ( ) ( )
2 2 2
18 2 2 9 2 2 9 2− = − = −a a a
( )
2 3 2 3 2 2= − = −aa
(vì
2a
)
c)
( )
2
2 2 2 2
25 5= −a b a b
( ) ( )
2
22
5 5 5= − = − = −a b a b ab
(với
0a
;
0b
)
Dạng 2: Nhân các căn bậc hai
Bài 1: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một tích, hãy tính:
a)
5 20
b)
9
2
8
Trang 5
c)
72 50
d)
12,8 0,2
e)
27 3
f)
3 75
Lời giải
a)
5 20 5 20 100 10 = = =
b)
9 9 9 3
22
8 8 4 2
= = =
c)
72 50 72 50 36 100 6 10 60 = = = =
d)
12,8 0,2 12,8 0,2 64 0,04 8 0,2 1,6 = = = =
e)
27 3 27 3 81 9 = = =
f)
22
3 75 3 75 3 5 3 5 15 = = = =
.
Bài 2: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một tích, hãy tính:
a)
1,3 10 13
b)
10 5,2 52
c)
4,9 30 12
d)
2,8 7 10
e)
40 20 4,5
f)
2 12 1
3 25 2

Lời giải
a)
1,3 10 13 1,3 10 13 13 13 13 = = =
b)
10 5,2 52 10 5,2 52 52 52 52 = = =
c)
2 2 2
4,9 30 12 4,9 30 12 7 3 2 7 3 2 42 = = = =
d)
2,8 7 10 2,8 7 10 28 7 4 7 7 2 7 14 = = = = =
e)
40 20 4,5 40 20 4,5 400 9 20 3 60 = = = =
f)
2 12 1 2 12 1 4 2
3 25 2 3 25 2 25 5
= = =
Bài 3: Thực hiện phép tính
a)
( )
5 125 5+
b)
( )
20 45 5 5+ −
c)
( )( )
12 3 27 3+−
d)
( )( )
5 3 1 5 1− + −
Lời giải
a)
( )
5 125 5 5 125 5 5 5 125 25 25 5 30+ = + = + = + =
b)
( )
20 45 5 5 100 225 25 10 15 5 20+ − = + − = + − =
c)
( )( )
12 3 27 3+−
=
324 36 81 9 18 6 9 3 18− + − = − + − =
d)
( )( )
5 3 1 5 1− + −
=
5 5 15 3 5 1 4 15 3− − + + − = − +
Bài 4: Thực hiện các phép tính
a)
( )
2
73+
b)
( )
2
82−
c)
( )( )
5 3 2 7 5 3 2 7−+
Lời giải
Trang 6
a)
( )
2
73+
=
( ) ( )
22
7 2. 7. 3 3 7 2 21 3 10 2 21+ + = + + = +
b)
( )
2
82−
( ) ( )
22
8 2. 8. 2 2 8 2 16 2 2= − + = − + =
c)
( )( )
5 3 2 7 5 3 2 7−+
( ) ( )
22
5 3 2 7 25.3 4.7 47= − = − =
Bài 5: Rút gọn biểu thức
( )
14 6 5 21+−
Lời giải
Ta có:
( )
14 6 5 21+−
( )
2 7 3 5 21= + −
( )
7 3 10 2 7.3= + −
( ) ( )
2
7 3 7 3= + −
( ) ( )
7 3 . 7 3 4= + − =
Bài 6: Rút gọn các biểu thức sau
a)
5 20aa
với
0a
b)
3 27aa
với
0a
c)
15 3aa
với
0a
d)
5 20xx
với
0x
e)
3
3 27aa
với
0a
f)
3
55ab ab
với
0a
;
0b
Lời giải
a)
5 20aa
22
5 .20 100. 100. 10. 10= = = = =a a a a a a
(vì
0a
)
b)
3 27aa
22
3 .7 81 81. 9 9= = = = =a a a a a a
(vì
0a
)
c)
15 3aa
22
15 .3 3 . .5 3 5= = =a a a a
(vì
0a
)
d)
5 20xx
( )
2
2
5 .20 100 10 10= = = =x x x x x
với
0x
e)
3
3 27aa
3 4 4
3 .27 81 81.= = =a a a a
( )
2
2 2 2
9. 9. 9= = =a a a
(vì
2
0a
với mọi số thực
a
)
f) Với
0a
;
0b
ta có:
3
55ab ab
3 2 2 4
5 .5 5 . .==ab ab a b
( )
2
2 2 2
5 5 5= = = −ab ab ab
.
Trang 7
Dạng 3: Khai căn một thương
Bài 1: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một thương, hãy tính:
a)
4
25
b)
1,69
0,25
c)
49
64
d)
27
75
e)
9
25
f)
9
1
16
Lời giải
a)
4 4 2
25 5
25
==
b)
1,69
0,25
1,69 1,3
2,6
0,5
0,25
= = =
c)
49
64
49 7
8
64
==
d)
27 9 9 3
75 25 5
25
= = =
e)
9 9 3
25 5
25
==
f)
9 25 25 5
1
16 16 4
16
===
Bài 2: Tính
a)
9
1
16
b)
12,5
0,5
c)
25
64
d)
230
2,3
Lời giải
a) Ta có:
9 25 25 5
1
16 16 4
16
===
b) Ta có:
12,5 12,5
25 5
0,5
0,5
= = =
c) Ta có:
25 25 5
64 8
64
==
Trang 8
d) Ta có:
230 230
100 10
2,3
2,3
= = =
Bài 3: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một thương, hãy tính:
a)
4 49
:
25 121
b)
22
65 52
225
−
c)
11 7
:1,44 :1,44
99
−
Lời giải
a)
4 49 4 49 2 7 22
: : :
25 121 25 121 5 11 35
= = =
b)
22
65 52 (65 52)(65 52)
225 225
− − +
=
2
13.117 13.13.9 13.3 39
225 15 15 15
= = = =
c)
11 7 11 7 144 9 144
:1,44 :1,44 : :
9 9 9 9 100 4 100

− = − =


4 144 2 12 5
::
9 100 3 10 9
= = =
Bài 4: Viết số dưới dấu căn thành một phân số thập phân rồi tính
a)
1,69
b)
6,25
Lời giải
a) Ta có
2
2
169 13
1,69
100 10
==
nên
22
2
2
13 13 13
1,69 1,3
10 10
10
= = = =
b) Ta có:
2
2
625 25
6,25
100 10
==
nên
22
2
2
25 25 25
6,25 2,5
10 10
10
= = = =
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau
a)
2
4
25
a
b)
2
4
4
a
b
với
0a
;
0b
c)
36
49
− a
với
0a
d)
( )
2
9
3−x
với
3x
e)
2
2
a
a
với
0a
f)
( )
( )
2
2
5
1
1
−
−
a
a
với
1a
.
Lời giải
a)
2 2 2
2
4 4 4.
25 5 5
25
= = =
a
a a a
b)
22
4 2 2
4
4 2 2
4
= = =
a
a a a
b b b
b
(vì
0a
)
c)
36 36 36. 6
49 7
49 49
− − − −
= = =
a a a a
Trang 9
d)
( )
( )
2
2
9 9 3 3
33
3
3
= = =
−−
−
−
xx
x
x
(vì
3x
)
e) Do
0a
nên
2
2
2 2 2
. . 2 = = =a a a
aa
a
f) Do
1a
nên ta có
( )
( )
2
2
5
1
1
−
−
a
a
2
5
( 1)( 1).
( 1)
= − +
−
aa
a
5
( 1)( 1).
1
= − +
−
aa
a
5
( 1)( 1).
( 1)
= − +
−
aa
a
5.( 1)=+a
.
Dạng 4: Chia các căn bậc hai
Bài 1: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một thương, hãy tính:
a)
8 : 2
b)
18 : 50
c)
216
6
d)
80
5
e)
24 : 3
f)
555
111
g)
80 : 5
h)
45 : 80
Lời giải
a)
8 : 2 8: 2 4 2= = =
b)
93
18 : 50 18:50
25 5
= = =
Trang 10
c)
216 216
36 6
6
6
= = =
d)
80 80
16 4
5
5
= = =
e)
2
24 : 3 24:3 2 .2 2 2= = =
f)
555 555
5
111
111
==
g)
80
80 : 5 16 4
5
= = =
h)
45 9 3
45 : 80
80 16 4
= = =
Bài 2: Tính
a)
56
10
b)
12
:1
15 3
c)
35
:
5 12
d)
( )
5
35
2 3 : 2 3
e)
54 : 2 : 3
f)
3 52
:
117
75
Lời giải
a)
5 6 5.6 30
3
10
10 10
= = =
b)
1 2 1 5 1 5 1 3 1 1
: 1 : : .
15 3 15 3 15 3 15 5 25 5
= = = = =
c)
3 5 3 5 3 12 36 6
: : .
5 12 5 12 5 5 25 5
= = = =
d)
( )
55
5
3 5 2
35
2 .3
2 3 : 2 3 2 2
2 .3
= = =
e)
54 : 2 : 3 54 : 2 : 3 27 : 3 9 3= = = =
f)
3 52 3 52 1 4 1 2 3
: : : :
117 75 117 25 9 5 3 10
75
= = = =
Bài 3: Thực hiện phép tính
a)
( )
45 125 20 : 5−+
b)
( )
2 18 3 8 6 2 : 2+−
Lời giải
a)
( )
45 125 20 : 5 9 25 4 3 5 2 0− + = − + = − + =
b)
( )
2 18 3 8 6 2 : 2 2 9 3 4 6 2.3 3.2 6 6+ − = + − = + − =
Bài 4: Rút gọn
a)
2
16 : 4ab a
với
0a
,
0b
b)
3
52 : 13aa
với
0a
c)
( )
2
2
21
50
−aa
với
1a
d)
4
3
27
ab
a
với
0a
Trang 11
e)
125
5
a
a
với
0a
f)
3
5
48
3
x
x
với
0x
Lời giải
a) Theo giải thiết
0a
,
0b
, do đó ta có
2 2 2 2
16 : 4 16 : 4 4 (2 ) 2 2= = = = = −ab a ab a b b b b
b)
3 3 2 2
52 : 13 52 :13 4 (2 ) 2 2= = = = =a a a a a a a a
(do
0a
)
c)
( )
2
2
2 2 2 2
21
2 (1 ) (1 )
50 25
50
−
−−
==
aa
a a a a
.1
( 1)
55
−
−
==
aa
aa
(do
1a
)
d)
22
4 4 4 2
()
33
27 9 3
27 9
= = = =
b
ab ab b b
a
a
e)
125 125
25 5
5
5
= = =
aa
a
a
f)
33
52
52
48 48 16 16 4 4
3
3
= = = = =
xx
x x x x
xx
(vì
0x
)
Bài 5: Tính
a)
1 16
7 : 7
77

−+



b)
36 12 5 : 6−
c)
14
3 : 3
33

−+



d)
3 5 : 2−
Lời giải
a) Ta có:
1 16 1 16 1 4
7 : 7 7 .
7 7 7
7 7 7
− + = − + =
b) Ta có:
36 12 5 : 6 6 2 5 5 1− = − = −
c) Ta có:
1 4 2
3 : 3
3 3 3

− + =



d) Ta có:
6 2 5 5 1
3 5 : 2 2. 3 5 : 2
22
−−
− = − = =
Bài 6: Tính
a)
( )
12 75 27 : 15= + +A
b)
( )
12 50 8 200 7 450 : 10= − +B
Lời giải
Trang 12
a) Ta có:
( )
12 75 27
12 75 27 : 15
15 15 15
= + + = + +A
4 9 2 3 5
5 5 5 2 5
55
5 5 5
= + + = + + = + =
b) Ta có:
( )
12 50 8 200 7 450 : 10 12 5 8 20 7 45= − + = − +B
12 5 16 5 21 5 17 5= − + =
Bài 7: Tính
a)
( )
27 12 2 6 :3 3= − +A
b)
( )
2
12 2 18 .
2
=−B
c)
1 2 1 2
: 72
1 2 1 2

−+
=−


+−

C
d)
1 1 2 2
.
3 2 3 2 1 2
−

=−

− + −

D
Lời giải
a) Cách 1:
( )
27 12 2 6
27 12 2 6 :3 3
3 3 3 3 3 3
= − + = − +A
1 27 1 12 2 6 1 1 2
.3 .2 . 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
= − + = − +
12
2
33
=+
Cách 2:
( )
27 12 2 6 : 3 3= − +A
( )
3 1 2 2
3 3 2 3 2 3. 2 1 2 2
3
3 3 3 3
+
− + +
= = =
b) Ta có:
( ) ( )
( )
2
22
12 2 18 . 12 2 18 .
2
2
= − = −B
12 18
2 6 2 9 6 6
22
= − = − = −
c) Ta có:
( ) ( )
( )( )
22
1 2 1 2
1 2 1 2
: 72 : 72
1 2 1 2
1 2 1 2
− − +

−+
= − =


+−
−+

C
2 2.2 4 2 4 2
: 72
1 2 6 3
72
−
= = = =
−
Trang 13
d) Ta có:
( )
4 2 2 1
1 1 2 2 4 2 2
. . 4 2
34
3 2 3 2 1 2 1 2 2 1
−
−−

= − = = =

−
− + − − −

D
Bài 8: Tính
a)
2 3 2 3+ − −
b)
3 5 3 5 2+ − − −
c)
6,5 12 6,5 12 2 6+ + − +
Lời giải
a) Ta có:
22
( 3 1) ( 3 1)
4 2 3 4 2 3
22
22
+−
+−
− = −
3 1 3 1
2
2
2 2 2
+−
= − = =
b) Ta có:
22
( 5 1) ( 5 1)
3 5 3 5 2 2
22
+−
+ − − − = − −
5 1 5 1
0
2
+ − +
==
c) Ta có:
6,5 12 6,5 12 2 6 4 6+ + − + =
Bài 9: Cho biểu thức
2
1
44
. 2 1
++
=
−−
x
x
A
x x x
. Tính giá trị của
A
, biết
( 10 6). 4 15= − +x
Lời giải
Ta có:
( 10 6)( 10 10)(4 15) ( 10 6)( 10 6)= − − + = − +x
1
42
2
= = =A
Vậy
1
2
=A
Dạng 5: Rút gọn, tính giá trị của biểu thức
Bài 1: Rút gọn
a)
10 15
8 12
−
=
−
A
b)
6 15
35 14
−
=
−
B
Trang 14
c)
55
10 2
+
=
+
C
d)
15 5 5 2 5
3 1 2 5 4
−−
=+
−−
D
Lời giải
a) Ta có:
10 15 5. 2 5. 3
8 12 4. 2 4. 3
−−
==
−−
A
5
2
=A
b) Ta có:
6 15 3 21
7
35 14 7
− − −
= = =
−
B
c) Ta có:
5 5 5 10
2
10 2 2
+
= = =
+
C
d) Ta có:
15 5 5 2 5 5( 3 1) 5( 5 2)
3 1 2 5 4 3 1 2( 5 2)
− − − −
= + = +
− − − −
D
5 3 5
5
22
= + =
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau
a)
6 14
2 3 28
+
=
+
B
b)
2 3 6 8 4
234
+ + + +
=
++
C
c)
3 8 2 12 20
3 18 2 27 45
−+
=
−+
D
Lời giải
a) Ta có:
6 14 2. 3 2. 7 2 1
2
2 3 28 2 3 4. 7 2
++
= = = =
++
B
b) Ta có:
2 3 6 8 4
234
+ + + +
=
++
C
2 3 4 4 6 8
21
234
+ + + + +
= = +
++
c) Ta có:
3 8 2 12 20 3.2 2 2.2 3 2 5
3 18 2 27 45 3.3 2 2.3 3 3 5
− + − +
==
− + − +
D
2(3 2 2 3 5) 2
3
3(3 2 2 3 5)
−+
==
−+
Bài 3: Rút gọn biểu thức sau:
2 15 2 10 6 3
2 5 2 10 3 6
− + −
=
− − +
A
Lời giải
Ta có:
2 15 2 10 6 3 2 5.3 2 5.2 3.2 3
2 5 2 10 3 6 2 5 2 5.2 3 3.2
− + − − + −
==
− − + − − +
A
( ) ( )
( ) ( )
2 5 3 2 3 3 2
2 5 1 2 3 1 2
− − −
=
− − −
Trang 15
32
12
−
=
−
A
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
( )
23
.0
38
−
=
tt
At
b)
( )
6
4
28
0
7
=
y
By
y
c)
( )
22
1. 1 1= − − + − C x x x x x
d)
4 2 4 2
4 . 4= + − + +D x x x x
Lời giải
a) Ta có:
( )
2
2 3 2 3
. . 0
3 8 3 8 4 2
− − − −

= = = =


t t t t t t
At
b) Ta có:
( )
6
4
28
02
7
= = −
y
B y B y
y
a) Ta có:
(
)
2
2 2 2 2
1. 1 1 1= − − + − = − − =C x x x x x x
a) Ta có:
4 2 4 2 4 2 4 2
4 . 4 ( 4 )( 4 )+ − + + = + − + +x x x x x x x x
4 2 2
( 4) ( ) 4 2= + − = =xx
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
( )
0; 0; 0
2
+
=
++
x y y x
A x y xy
x xy y
b)
( 0; 0; )
2
−
=
−+
x y y x
B x y x y
x xy y
c)
3 2 1 1
( 0; )
4
4 4 1
−−

−+
aa
aa
aa
d)
4 4 4
( 0; 4)
22
+ + −
= +
+−
a a a
D a a
aa
Lời giải
a) Ta có:
( )
( )
2
2
+
+
==
++
+
x y x y
x y y x
A
x xy y
xy
=
+
xy
A
xy
b) Ta có:
2
−
==
− + −
x y y x xy
B
x xy y x y
c) Ta có:
2
3 2 1 (2 1)(1 ) 1
4 4 1 (2 1) 2 1
− − − − −
==
− + − −
a a a a a
a a a a
Trang 16
d) Ta có:
4 4 4
22
+ + −
=+
+−
a a a
D
aa
( ) ( )( )
2
2 2 2
0
22
+ − +
= − =
+−
a a a
aa
Bài 6: Rút gọn các biểu thức sau
a)
35
5 27
xx
với
0x
b)
( )
3
6
2−xx
với
2x
Lời giải
a)
2
3 5 3 5
.
5 27 5 27 9 3 3
= = = =
x
x x x x x x
(vì
0x
)
b)
( )
3
6 6 3 3 3
2 . ( 2) . 2 ( 2)− = − = − = −x x x x x x x x
(vì
2x
)
Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau
a)
3
60
15 x
x
b)
( )
2
16 6 9−+xx
Lời giải
a) Điều kiện xác định :
0x
32
30 ( 0)
60
15 900 30
30 ( 0)
= = =
−
x neu x
x x x
x neu x
x
b)
( )
22
4( 3) 3
16 6 9 16.( 3) 4 3
4( 3) 3
−
− + = − = − =
− −
x neu x
x x x x
x neu x
Bài 8: Rút gọn biểu thức
( )
2
25 2 1= − +M x x x
với
01x
Lời giải
Ta có
( )
2 2 2
25 2 1 25 ( 1) 5 . 1= − + = − = −M x x x x x x x
Vì
0x
nên
=xx
Vì
01x
nên
1x
do đó
11− = −xx
Vậy
5 (1 )=−M x x
Bài 9: Rút gọn biểu thức
16 12
12 8
33
33
−
−
Lời giải
Ta có:
16 12 12 4
4
84
12 8
3 3 3 (3 1)
39
3 (3 1)
33
−−
= = =
−
−
.
Bài 10: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức sau với
6=x
với
( )
22
165 124
369
−
=Ax
Lời giải
Ta có:
( )
22
165 124
(165 124)(165 124)
369 363
−
+−
= =A x x
Trang 17
289.41 289 17
389 9 3
= = =x x x
Với
6=x
thì
17
.6 34
3
==A
Bài 11: Cho biểu thức
1
1
:
11
+
+
=
−−
y
x
B
yx
Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức
B
với
5=x
;
10=y
Lời giải
Điều kiện
1x
,
1y
. Khi đó ta có
1
1 ( 1)( 1) 1
:1
1
1 ( 1)( 1)
+
+ + − −
= − = =
−
− − +
y
x x x x
B
y
y x y y
Với
5=x
;
10=y
thì
5 1 4 2
10 1 9 3
−
= = =
−
B
Bài 12: Cho biểu thức
2
69
−+
=
++
x xy y
C
x xy y
với
0x
;
0y
.
Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức
C
với
25=x
;
81=y
Lời giải
( )
( )
2
2
2
6 9 3
3
−
−
−+
= = =
+ + +
+
xy
xy
x xy y
C
x xy y x y
xy
Với
25=x
;
81=y
thì
25 81
59
41
5 3.9 32 8
25 3 81
−
−
= = = =
+
+
C
Bài 13: Rút gọn các biểu thức
a)
2
24
5
=P xy
xy
với
0; 0xy
b)
( )
2
36 4
144
−
=
a
Q
với
4a
c)
(
)
33
:= + −H a b ab ab ab
d)
( )
2
2
96
3
−+
=
−
xx
E
x
với
3x
e)
( )
( )
2
=−
−
xy
F x y
xy
với
0xy
f)
( )
( )
4
2
2
1
2
2
2
−
−
=+
−
−
x
x
T
x
x
với
2x
Lời giải
a) Ta có:
( )
( )
22
2
2 4 2 2
5 5 5
0; 0 5= = = = − = −
−
xy xy
P xy x y x x
x y x y xy
b) Ta có:
( )
( )
2
6 4 4
36 4
4
4
144 12 2 2
−−
−
−
= = = =
aa
a
a
Qa
c) Ta có:
(
)
3 3 3 3
: : : := + − = + −H a b ab ab ab a b ab ab ab ab ab
22
= + − = + −a b ab a b ab
Trang 18
d) Ta có:
( )
( )
( )
( )
2
2
22
3
3
96
33
−
−+
==
−−
x
x
xx
x
x
E
( )
( )
( )
( )
2
2
22
3
3
11
33
−−

−

= = = =
−−
x
x
xx
e) Ta có:
( )
( )
( )
2
.= − = −
−
−
xy
xy
F x y x y
xy
xy
Vì
( ) ( )
( )
− = − − = − = −
−−
xy
x y x y x y F x y xy
xy
f) Ta có:
( )
( )
( )
( )
42
22
2
11
22
2 2 2
2
2
−−
−−
= + = +
− − −
−
x
xx
xx
T
x x x
x
( )
22
2 1 2
23
22
− − + + −
−
==
−−
x x x
x
xx
Bài 14: Rút gọn các biểu thức rồi tính
a)
11
:
11
−−
=
++
ab
A
ba
tại
7,25; 3,25==ab
b)
2
15 8 15 16= − +B a a
tại
3 5 8
53
15
= + =a
c)
22
( 6) 36
( 5)
55
−−
= −
−−
xx
Cx
xx
tại
4=x
d)
32
5
5 125 ( 0)
5
+
= − +
+
xx
D x x
x
tại
5=x
e)
2 2 2 2
2 1 2 1= + − − − −E a a a a
tại
5=a
Lời giải
a) Ta có:
( )
( 1)( 1) 1 5
7,25, 3,25
13
( 1)( 1)
− + −
= = = = =
−
−+
a a a
A a b
b
bb
b) Ta có:
22
88
15 8 15 16 15.( ) 8. . 15 16
15 15
= − + = − +B a a
22
8 8 16 16 4= − + = =
c) Do
5 5 0 5 5 − − = −x x x x
2 2 2
( 6) ( 36) 2 12
16
55
− + − −
= = = −
−−
x x x x
C
xx
d) Ta có:
32
05 +x x x
và
5+x
. Vậy D luôn xác định
Trang 19
3 2 2
5 . 5
5 125 5 125
55
++
= − + = − +
++
x x x x
D x x
xx
5 125 6 5 5( 0) 5= − + = − =x x x x D
e) Ta có:
2 2 2 2
2 1 2 1= + − − − −E a a a a
2 2 2 2
( 1) 2 1 1 ( 1) 2 1 1= − + − + − − − − +a a a a
2 2 2 2 2 2
( 1 1) ( 1 1) 1 1 1 1= − + − − − = − + − − −a a a a
22
( 5) 1 1 ( 5) 1 1= − + − − −
4 1 4 1 2 1 2 1 2= + − − = + − − =
.
Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức
I. Cách giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số không âm, ta có:
+)
2
+
ab
ab
, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
=ab
+)
3
3
++
abc
abc
II. Bài toán
Bài 1: Không dùng MTCT, chứng minh rằng:
5 8 6 7+ +
Lời giải
Ta có
( )
2
5 8 5 2 40 8 13 2 40+ = + + = +
( )
2
6 7 6 2 42 7 13 2 42+ = + + = +
Trang 20
Vì
13 2 40 13 2 42+ +
nên
( ) ( )
22
5 8 6 7+ +
Suy ra
( ) ( )
22
5 8 6 7+ +
Hay
5 8 6 7+ +
Bài 2: Không dùng MTCT, chứng minh rằng:
( )
3 2 2 3 1+ +
Lời giải
Ta có:
( )
2
3 2 3 4 3 4 7 4 3;+ = + = = +
( ) ( ) ( )
2
2
2. 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 8 4 3

+ = + = + + = +

Vì
7 4 3 8 4 3+ +
nên
( ) ( )
2
2
3 1 2 3 1

+ +

Suy ra
( ) ( )
2
2
3 1 2 3 1

+ +

Hay
( )
3 2 2 3 1+ +
Bài 3: Cho
0a
. Chứng minh rằng
93+ +aa
Lời giải
Ta có:
( )
2
99+ = +aa
( )
2
3 6 9+ = + +a a a
Do
0a
nên
9 9 6+ + +a a a
, do đó
( ) ( )
22
93+ +aa
hay
93+ +aa
! Chú ý: Căn bậc hai của một tổng không bằng tổng các căn bậc hai
Bài 4: Cho
, , 0abc
. Chứng minh rằng:
a)
2+a b ab
b)
+ + + +a b c ab bc ca
Lời giải
a) Vì
,0ab
ta có
( )
2
2− = + −a b a b ab
Vì
( )
2
0−ab
nên
20+ − a b ab
, suy ra
2+a b ab
!Chú ý: Bât đẳng thức
2+a b ab
với
,0ab
gọi là bất đẳng thức Côsi
b) Ta có
, , 0abc
. Áp dụng bất đẳng thức Coossi đối với hai số ta được
2
2
2
+
+
+
a b ab
b c bc
c a ca
Từ đây suy ra
+ + + +a b c ab bc ca
Bài 5: Cho
1
2
a
. Chứng minh rằng
21−aa
Lời giải
Từ bất đẳng thức Cô-si
2+a b ab
suy ra
2
+
ab
ab

Tài liệu khác của Toán 9

Preview text:

KHAI CĂN BẬC HAI VỚI PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA A. Kiến thức
1. Khai căn bậc hai với phép nhân
Với A , B là các biểu thức không âm, ta có A B = AB
* Lưu ý: Kết quả trên có thể mở rộng cho nhiều biểu thức khoong âm, chẳng hạn:
A B C = AB C (với A  0 ; B  0 ; C  0 ) 2. Khai căn bậc hai A A
Nếu A , B là các biểu thức với A  0 ; B  0 thì = B B
* Chú ý: Nếu A  0 ; B  0 ; C  0 thì 2 2 2 A B C = ABC
B. Các dạng bài tập
Dạng 1: Khai căn một tích
Bài 1: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một tích, hãy tính a) 81 49 b) 25121 c) 2 2 2 2 3 5 d) 251,21 e) 36090 f) 0,1664 g) 3 8,110 h) 12,1160 Lời giải
a) 81 49 = 81 49 = 97 = 63
b) 25121 = 25  121 = 511 = 55 c) 2 2 2 2 2 2
2 3 5 = 2  3  5 = 2 35 = 30
d) 251, 21 = 25  1, 21 = 51,1 = 5,5
e) 36090 = 369100 = 36  9  100 = 630 = 180
f) 0,1664 = 0,16  64 = 0, 48 = 3, 2 g) 3 2 2
8,110 = 8,110 10 = 8110 = 910 = 90
h) 12,1160 = 12116 = 121 16 = 11 4 = 44
Bài 2: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một tích, hãy tính: a) 2500 4,90,9 b) 12 2501, 2 c) 2 2 41 − 40 d) 816, 25 − 2, 2581 Lời giải
a) 2500 4,90,9 = 25499 = 57 3 =105 b) 2
12 2501, 2 = 12 2512 = 12  25 = 125 = 60 c) 2 2
41 − 40 = (41− 40)(41+ 40) = 81 = 9
d) 816, 25 − 2, 2581 = 81(6,25 − 2,25) = 81 4 = 92 =18. Bài 3: a) Tính nhanh 25 49
b) Phân tích thành nhân tử ab − 4 a (với a  0 ; b  0 ). Lời giải Trang 1 a) Ta có 2 2
25 49 = 5  7 = 5 7 = 35
b) Theo giả thiết a  0 , b  0 do đó ta có:
ab − 4 a = a ( b − 4) . Bài 4: Tính a. 25.144 b. 52.13 c. 45.80 d. 7. 28 Lời giải
a) Ta có: 25.144 = 5.12 = 60 b) Ta có: 2
52.13 = 52.13 = 4.13.13 = 4. 13 = 26 c) Ta có: 2
45.80 = 5.9.5.16 = 5 . 9. 16 = 60 d) Ta có: 2 2
7. 28 = 7.28 = 7.7.4 = 7 . 2 = 14 Bài 5: Tính  2 50  a.  + − 24 . 6  b. 3 + 5. 2 3 3     3 4  c.  − 3 + 5 . 12  d. 3 − 5. 8 4 3    Lời giải  2 50  2 50 a) Ta có:  + − 24 . 6 = .6 + .6 − 24.6 = 0  3 3  3 3   b) Ta có: + = + = ( + )2 3 5. 2 3.2 2 5 5 1 = 5 +1  3 4  c) Ta có:  − 3 + 5 . 12 = 7  4 3   
d) Ta có: 3− 5. 8 = 2( 5 − ) 1 Bài 6: Tính a. 55.77.35 b. 1 1 . 2. 125. 8 5 c. 2 −1. 2 +1 d. 2
2 2.( 3 − 2) + (1+ 2 2) − 2 6 Lời giải
a) Ta có: 55.77.35 = 5.11.7.11.5.7 = 5.7.11 = 385 b) Ta có: 1 1 1 1 2.125 25 5 . 2. 125. = .2.125. = = = 8 5 8 5 8.5 4 2 c) Ta có: 2 −1.
2 +1 = ( 2 −1).( 2 +1) = 2 −1 =1 d) Ta có: 2
2 2.( 3 − 2) + (1+ 2 2) − 2 6 = 2 6 − 4 2 +1+ 4 2 + 8 − 2 6 = 9 Bài 7: Tính
a) A = 3 + 5 + 2 3 . 3 − 5 + 2 3
b) B = 4 + 8. 2 + 2 + 2 . 2 − 2 + 2 Trang 2
c) C = ( 12 +3 15 − 4 135) 3 d) D = 2 40 12 − 2 75 − 3 5 48 Lời giải
a) Ta có: A = 3 + 5 + 2 3 . 3 − 5 + 2 3 2 2
= 3 − ( 5 + 2 3) = 9 − (5 + 2 3) 2
= 9 − 5 − 2 3 = 4 − 2 3 = ( 3 −1) = 3 −1 b) Ta có:
B = 4 + 8. 2 + 2 + 2 . 2 − 2 + 2 2 2
= 4 + 4. 2. 2 − ( 2 + 2 ) = 4 + 2 2. 2 − 2
B = 2.(2 + 2)(2 − 2) = 2.2 = 2 c) Ta có: 2
( 12 + 3 15 − 4 135) 3 = 36 + 3 9.5 − 4 9 .5
= 6 + 9 5 − 36 5 = 6 − 27 5
d) Ta có: C = 2 40 12 − 2 75 − 3 5 48
= 2 40 12 − 2 5 3 − 3 20 3 = 2 80 3 − 2 5 3 − 6 5 3 Bài 8: Tính
a) A = (4 + 15)( 10 − 6) 4 − 15
b) B = (3− 5) 3 + 5 + (3 + 5) 3 − 5
c) C = 2 + 3. 2 + 2 + 3 . 2 + 2 + 2 + 3 . 2 − 2 + 2 + 3 Lời giải
a) Ta có: A = (4 + 15)( 10 − 6) 4 − 15
= ( 10 − 6) 4 + 15. 4 + 15. 4 − 15
= ( 10 − 6) 4 + 15. (4 + 15)(4 − 15) = 10 − 6. ( 10 − 6)(4 + 15) =
10 − 6. 4 10 + 150 − 4 6 − 90 = 10 − 6. 10 + 6 = ( 10 − 6)( 10 + 6) = 4 = 2
b) Ta có: B = (3− 5) 3 + 5 + (3 + 5) 3 − 5
= 3− 5. 3− 5. 3+ 5 + (3+ 5) 3− 5
= 3− 5. 3+ 5 ( 3− 5 + 3+ 5 ) = 2( 3− 5 + 3+ 5) = 2( 3− 5. 2 + 3+ 5. 2) 2 2
= 2( 6 − 2 5 + 6 + 2 5 ) = 2( ( 5 −1) + ( 5 +1) Trang 3 = 2( 5 −1+ 5 +1) = 2 10
c) Ta có: C = 2 + 3. 2 + 2 + 3 . 2 + 2 + 2 + 3 . 2 − 2 + 2 + 3
C = 2 + 3. 2 + 2 + 3 . 2 − 2 + 3 2 2
C = 2 + 3.( 2 − ( 2 + 3) ) = 2 + 3. 2 − 3 =1
Bài 9: Rút gọn các biểu thức sau: a) 3
8a 5ab 10b b) ( )2
18 2 − a với a  2 c) 2 2
25a b (với a  0 ; b  0 ) Lời giải a)
a ab b =    a b =  a  (b )2 3 2 4 2 2 8 5 10 8 5 10 400 2 = 20 a b b)
( − a)2 =  ( − a)2 =   ( − a)2 18 2 2 9 2 2 9 2
= 2 3 2 − a = 3 2 (a − 2) (vì a  2 ) c) a b = a (−b)2 2 2 2 2 25 5 =
a  (−b)2 2 2 5
= 5a (−b) = 5
− ab (với a  0 ; b  0 )
Dạng 2: Nhân các căn bậc hai
Bài 1: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một tích, hãy tính: a) 5  20 b) 9 2  8 Trang 4 c) 72  50 d) 12,8  0, 2 e) 27  3 f) 3  75 Lời giải
a) 5  20 = 5 20 = 100 =10 b) 9 9 9 3 2  = 2 = = 8 8 4 2
c) 72  50 = 7250 = 36100 = 610 = 60
d) 12,8  0, 2 = 12,80, 2 = 640,04 = 80, 2 =1,6
e) 27  3 = 27 3 = 81 = 9 f) 2 2
3  75 = 3 75 = 3 5 = 35 = 15 .
Bài 2: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một tích, hãy tính: a) 1,3  10  13 b) 10  5, 2  52 c) 4,9  30  12 d) 2,8  7  10 e) 40  20  4,5 f) 2 12 1   3 25 2 Lời giải
a) 1,3  10  13 = 1,31013 = 1313 =13
b) 10  5, 2  52 = 105, 252 = 5252 = 52 c) 2 2 2
4,9  30  12 = 4,93012 = 7 3  2 = 7 3 2 = 42
d) 2,8  7  10 = 2,8710 = 287 = 477 = 27 = 14
e) 40  20  4,5 = 40 20 4,5 = 4009 = 203 = 60 f) 2 12 1 2 12 1 4 2   =   = = 3 25 2 3 25 2 25 5
Bài 3: Thực hiện phép tính a) 5 ( 125 + 5) b) ( 20 + 45 − 5) 5 c) ( 12 + 3)( 27 − 3) d) ( 5 − 3 + ) 1 ( 5 − ) 1 Lời giải
a) 5 ( 125 + 5) = 5  125 + 5  5 = 5125 + 25 = 25+5 = 30
b) ( 20 + 45 − 5) 5 = 100 + 225 − 25 =10+15−5 = 20
c) ( 12 + 3)( 27 − 3)= 324 − 36 + 81 − 9 =18−6 +9 −3 =18 d) ( 5 − 3 + ) 1 ( 5 − )
1 = 5 − 5 − 15 + 3 + 5 −1 = 4 − 15 + 3
Bài 4: Thực hiện các phép tính a) ( + )2 7 3 b) ( − )2 8 2 c) (5 3 − 2 7)(5 3 + 2 7) Lời giải Trang 5 2 2 a) ( + )2 7
3 = ( 7) + 2. 7. 3 + ( 3) = 7 + 2 21 + 3 =10 + 2 21 2 2 b) ( − )2 8 2
= ( 8) − 2. 8. 2 +( 2) = 8− 2 16 + 2 = 2 2 2
c) (5 3 − 2 7)(5 3 + 2 7) = (5 3) −(2 7) = 25.3− 4.7 = 47
Bài 5: Rút gọn biểu thức ( 14 + 6) 5− 21 Lời giải
Ta có: ( 14 + 6) 5− 21 = 2 ( 7 + 3) 5− 21 = ( 7 + 3) 10− 2 7.3 = ( + ) ( − )2 7 3 7 3
= ( 7 + 3).( 7 − 3) = 4
Bài 6: Rút gọn các biểu thức sau
a) 5a  20a với a  0
b) 3a  27a với a  0
c) 15a  3a với a  0
d) 5x  20x với x  0 e) 3
3a  27a với a  0 f) 3
5ab  5ab với a  0 ; b  0 Lời giải
a) 5a  20a 2 2
= 5a.20a = 100.a = 100. a =10. a =10a (vì a  0 ) b) 3a  27a 2 2
= 3a.7a = 81a = 81. a = 9 a = 9a (vì a  0 ) c) 15a  3a 2 2 = 15 .3
a a = 3 .a .5 = 3a 5 (vì a  0 ) d) 5x  20x = x x = x = ( x)2 2 5 .20 100 10
=10x với x  0 e) 3 3a  27a 3 4 4
= 3a .27a = 81a = 81. a = (a )2 2 2 2 9.
= 9. a = 9a (vì 2
a  0 với mọi số thực a )
f) Với a  0 ; b  0 ta có: 3 5ab  5ab 3 2 2 4
= 5ab .5ab = 5 .a .b = ( ab )2 2 2 2 5 = 5ab = 5 − ab . Trang 6
Dạng 3: Khai căn một thương
Bài 1: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một thương, hãy tính: 1,69 a) 4 b) 25 0, 25 c) 49 d) 27 64 75 e) 9 f) 9 1 25 16 Lời giải 4 4 2 1,69 1,69 1,3 a) = = b) = = = 2,6 25 25 5 0, 25 0, 25 0,5 49 7 27 9 9 3 c) 49 = = d) = = = 64 64 8 75 25 25 5 9 9 3 9 25 25 5 e) = = f) 1 = = = 25 25 5 16 16 16 4 Bài 2: Tính 12,5 a) 9 1 b) 16 0,5 230 c) 25 d) 64 2,3 Lời giải 9 25 25 5 a) Ta có: 1 = = = 16 16 16 4 12,5 12,5 b) Ta có: = = 25 = 5 0,5 0,5 25 25 5 c) Ta có: = = 64 64 8 Trang 7 230 230 d) Ta có: = = 100 =10 2,3 2,3
Bài 3: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một thương, hãy tính: 2 2 65 − 52 a) 4 49 : b) 25 121 225 c) 11 7 :1, 44 − :1, 44 9 9 Lời giải a) 4 49 4 49 2 7 22 : = : = : = 25 121 25 121 5 11 35 2 2 65 − 52 (65 − 52)(65 + 52) b) = 225 225 13.117 13.13.9 13.3 39 = = = = 2 225 15 15 15 11 7 11 7  144 9 144 c) :1, 44 − :1, 44 = − : = :   9 9  9 9  100 4 100 4 144 2 12 5 = : = : = 9 100 3 10 9
Bài 4: Viết số dưới dấu căn thành một phân số thập phân rồi tính a) 1,69 b) 6, 25 Lời giải 2 169 13 2 2 13 13 13 a) Ta có 1,69 = = nên 1,69 = = = =1,3 2 100 10 2 2 10 10 10 2 625 25 2 2 25 25 25 b) Ta có: 6, 25 = = nên 6, 25 = = = = 2,5 2 100 10 2 2 10 10 10
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau 2 4a 2 a a) b)
với a  0 ; b  0 25 4 4b − 9 c)
36a với a  0 d) với x  3 49 (x −3)2 5 e) 2 a  với a  0 f) ( 2 a − ) 1 với a  1. 2 a (a − )2 1 Lời giải 2 2 2 4a 4a 4. a 2 a a) = = = 25 25 5 5 2 2 a a a a b) = = = (vì a  0 ) 4 2 2 4 4b 4b 2b 2b 3 − 6a 3 − 6a 36. −a 6 −a c) = = = 49 49 49 7 Trang 8 d) 9 9 3 3 = = = (vì x  3 ) (x −3)2
(x −3)2 x −3 x −3 2 2 2
e) Do a  0 nên a  = . a = . a = 2 2 2 a a a 5
f) Do a  1 nên ta có ( 2 a − ) 1 (a − )2 1 5
= (a −1)(a +1). 2 (a −1) 5
= (a −1)(a +1). a −1 5
= (a −1)(a +1). (a −1) = 5.(a +1) .
Dạng 4: Chia các căn bậc hai
Bài 1: Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một thương, hãy tính: a) 8 : 2 b) 18 : 50 216 80 c) d) 6 5 555 e) 24 : 3 f) 111 g) 80 : 5 h) 45 : 80 Lời giải a) 8 : 2 = 8 : 2 = 4 = 2 b) 9 3 18 : 50 = 18 : 50 = = 25 5 Trang 9 216 216 c) = = 36 = 6 6 6 80 80 d) = = 16 = 4 5 5 e) 2 24 : 3 = 24 : 3 = 2 .2 = 2 2 555 555 f) = = 5 111 111 g) 80 80 : 5 = = 16 = 4 5 h) 45 9 3 45 : 80 = = = 80 16 4 Bài 2: Tính 5  6 a) b) 1 2 : 1 10 15 3 c) 3 5 : d) (  )5 3 5 2 3 : 2 3 5 12 3 52 e) 54 : 2 : 3 f) : 75 117 Lời giải 5  6 5.6 30 a) = = = 3 10 10 10 b) 1 2 1 5 1 5 1 3 1 1 : 1 = : = : = . = = 15 3 15 3 15 3 15 5 25 5 c) 3 5 3 5 3 12 36 6 : = : = . = = 5 12 5 12 5 5 25 5 5 5 2 .3 d) (23)5 3 5 2 : 2 3 = = 2 = 2 3 5 2 .3
e) 54 : 2 : 3 = 54 : 2 : 3 = 27 : 3 = 9 = 3 3 52 3 52 1 4 1 2 3 f) : = : = : = : = 75 117 75 117 25 9 5 3 10
Bài 3: Thực hiện phép tính a) ( 45 − 125 + 20): 5 b) (2 18 +3 8 −6 2): 2 Lời giải
a) ( 45 − 125 + 20): 5 = 9 − 25 + 4 = 3−5+ 2 = 0
b) (2 18 +3 8 −6 2): 2 = 2 9 +3 4 −6 = 2.3+3.2 −6 = 6 Bài 4: Rút gọn a) 2
16ab : 4a với a  0 , b  0 b) 3
52a : 13a với a  0 a ( − a)2 2 2 1 4 3ab c) với a  1 d) với a  0 50 27a Trang 10 125a 3 48x e) với a  0 f) với x  0 5a 5 3x Lời giải
a) Theo giải thiết a  0 , b  0 , do đó ta có 2 2 2 2
16ab : 4a = 16ab : 4a = 4b = (2b) = 2b = 2 − b b) 3 3 2 2
52a : 13a = 52a :13a = 4a = (2a) = 2a = 2a (do a  0 ) a ( − a)2 2 2 2 2 2 2 1 2a (1− a) a (1− a) c) = = 50 50 25 a . 1− a a(a −1) = = (do a  1) 5 5 4 4 4 2 2 2 3ab 3ab b (b ) b d) = = = = 27a 27a 9 9 3 125a 125a e) = = 25 = 5 5a 5a 3 3 f) 48x 48x 16 16 4 4 = = = = = (vì x  0 ) 5 2 5 2 3x 3x x x x x Bài 5: Tính  1 16  a)  − + 7  : 7  b) 36 −12 5 : 6 7 7     1 4  c)  − + 3  : 3  d) 3 − 5 : 2 3 3    Lời giải  1 16   1 16  1 4 a) Ta có:  − + 7  : 7 =  − + 7 . =  7 7   7 7  7 7    
b) Ta có: 36 −12 5 : 6 = 6 − 2 5 = 5 −1  1 4  2 c) Ta có:  − + 3  : 3 =  3 3  3   6 − 2 5 5 −1
d) Ta có: 3− 5 : 2 = 2. 3− 5 : 2 = = 2 2 Bài 6: Tính
a) A = ( 12 + 75 + 27): 15
b) B = (12 50 −8 200 + 7 450): 10 Lời giải Trang 11 a) Ta có: A = ( + + ) 12 75 27 12 75 27 : 15 = + + 15 15 15 4 9 2 3 5 = + 5 + = + 5 + = + 5 = 2 5 5 5 5 5 5
b) Ta có: B = (12 50 −8 200 + 7 450): 10 =12 5 −8 20 + 7 45 =12 5 −16 5 + 21 5 =17 5 Bài 7: Tính
a) A = ( 27 − 12 + 2 6):3 3 b) B = ( − ) 2 12 2 18 . 2 1− 2 1+ 2  c) C =  −  : 72  1 2 1 2  + −    1 1  2 − 2 d) D = − .    3 − 2 3 + 2  1− 2 Lời giải a) Cách 1: A = ( − + ) 27 12 2 6 27 12 2 6 : 3 3 = − + 3 3 3 3 3 3 1 27 1 12 2 6 1 1 2 = − + = .3− .2 + . 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 = + 2 3 3
Cách 2: A = ( 27 − 12 + 2 6):3 3 3 − + (1+2 2 3 3 2 3 2 3. 2 ) 1+2 2 = = = 3 3 3 3 3 2 2
b) Ta có: B = ( 12 − 2 18). = ( 12 − 2 18). 2 ( 2)2 12 18 = − 2 = 6 − 2 9 = 6 − 6 2 2 1− 2 1+ 2  ( − )2 −( + )2 1 2 1 2 c) Ta có: C =  −  : 72 =   + −   ( − )( + ) : 72 1 2 1 2 1 2 1 2 2 − 2.2 4 2 4 2 = : 72 = = = 1− 2 72 6 3 Trang 12 4 2   ( 2 − − − )1 1 1 2 2 4 2 2 d) Ta có: D = − . = . = = 4 2    3 − 2 3 + 2  1− 2 3 − 4 1− 2 2 −1 Bài 8: Tính a) 2 + 3 − 2 − 3 b) 3 + 5 − 3 − 5 − 2
c) 6,5 + 12 + 6,5 − 12 + 2 6 Lời giải 2 2 + − + − a) Ta có: 4 2 3 4 2 3 ( 3 1) ( 3 1) − = − 2 2 2 2 3 +1 3 −1 2 = − = = 2 2 2 2 2 2 ( 5 +1) ( 5 −1)
b) Ta có: 3+ 5 − 3− 5 − 2 = − − 2 2 2 5 +1− 5 +1 = = 0 2
c) Ta có: 6,5 + 12 + 6,5 − 12 + 2 6 = 4 6 1 4x + 4 +
Bài 9: Cho biểu thức = x A
. Tính giá trị của A , biết x = ( 10 − 6). 4 + 15 2
x. 2x − x −1 Lời giải
Ta có: x = ( 10 − 6)( 10 − 10)(4 + 15) = ( 10 − 6)( 10 + 6) 1 = 4 = 2  A = 2 Vậy 1 A = 2
Dạng 5: Rút gọn, tính giá trị của biểu thức
Bài 1: Rút gọn 10 − 15 6 − 15 a) A = b) B = 8 − 12 35 − 14 Trang 13 5 + 5 15 − 5 5 − 2 5 c) C = d) D = + 10 + 2 3 −1 2 5 − 4 Lời giải 10 − 15 5. 2 − 5. 3 a) Ta có: A = = 8 − 12 4. 2 − 4. 3 5  A = 2 6 − 15 − 3 − 21 b) Ta có: B = = = 35 − 14 7 7 5 + 5 5 10 c) Ta có: C = = = 10 + 2 2 2 15 − 5 5 − 2 5 5( 3 −1) 5( 5 − 2) d) Ta có: D = + = + 3 −1 2 5 − 4 3 −1 2( 5 − 2) 5 3 5 = 5 + = 2 2
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau 6 + 14 2 + 3 + 6 + 8 + 4 a) B = b) C = 2 3 + 28 2 + 3 + 4 3 8 − 2 12 + 20 c) D = 3 18 − 2 27 + 45 Lời giải 6 + 14 2. 3 + 2. 7 2 1 a) Ta có: B = = = = 2 3 + 28 2 3 + 4. 7 2 2 2 + 3 + 6 + 8 + 4 b) Ta có: C = 2 + 3 + 4 2 + 3 + 4 + 4 + 6 + 8 = = 2 +1 2 + 3 + 4 3 8 − 2 12 + 20 3.2 2 − 2.2 3 + 2 5 c) Ta có: D = = 3 18 − 2 27 + 45 3.3 2 − 2.3 3 + 3 5 2(3 2 − 2 3 + 5) 2 = = 3(3 2 − 2 3 + 5) 3 2 15 − 2 10 + 6 − 3
Bài 3: Rút gọn biểu thức sau: A = 2 5 − 2 10 − 3 + 6 Lời giải 2 15 − 2 10 + 6 − 3 2 5.3 − 2 5.2 + 3.2 − 3 Ta có: A = = 2 5 − 2 10 − 3 + 6 2 5 − 2 5.2 − 3 + 3.2 2 5 ( 3 − 2) − 3( 3 − 2) = 2 5 (1− 2) − 3(1− 2) Trang 14 3 − 2  A = 1− 2
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau: − a) 2t 3 = t A . (t  0) 3 8 6 28y b) B = ( y  0) 4 7 y c) 2 2
C = x − x −1. x + x −1 (x  ) 1 d) 4 2 4 2 D = x + 4 − x . x + 4 + x Lời giải 2 2 − t 3t 2 − t  3 − t t −t a) Ta có: A = . = . = =   (t  0) 3 8 3  8  4 2 6 28y b) Ta có: B =
( y  0)  B = −2y 4 7 y
a) Ta có: C = x − x −
x + x − = x − ( x − )2 2 2 2 2 1. 1 1 = 1 a) Ta có: 4 2 4 2 4 2 4 2 x + 4 − x .
x + 4 + x = ( x + 4 − x )( x + 4 + x ) 4 2 2
= (x + 4) − (x ) = 4 = 2
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau: x y + y x a) A =
(x  0; y  0;xy  0)
x + 2 xy + y x y − y x b) B =
(x  0; y  0; x y)
x − 2 xy + y 3 a − 2a −1 1 c)
(a  0;a  ) 4a − 4 a +1 4 a + 4 a + 4 4 − a d) D = +
(a  0;a  4) a + 2 a − 2 Lời giải x y ( x + + y x y y x ) a) Ta có: A = = x + xy + y ( x + y)2 2 xyA = x + y x y − y x xy b) Ta có: B = =
x − 2 xy + y x − y
3 a − 2a −1 (2 a −1)(1− a) 1− a c) Ta có: = = 2 4a − 4 a +1 (2 a −1) 2 a −1 Trang 15 a + 4 a + 4 4 − a d) Ta có: D = + a + 2 a − 2 ( a + )2 2 ( a −2)( a +2) = − = 0 a + 2 a − 2
Bài 6: Rút gọn các biểu thức sau a) 3x 5 
x với x  0 5 27 b) x (x − )3 6 2 với x  2 Lời giải 2 3x 5x 3x 5x x x x a)  = . = = = (vì x  0 ) 5 27 5 27 9 3 3 b) x (x − )3 6 6 3 3 3
2 = x . (x − 2) = x . x − 2 = x (x − 2) (vì x  2 )
Bài 7: Rút gọn các biểu thức sau a) 60 3 15x  b) ( 2
16 x − 6x + 9) x Lời giải
a) Điều kiện xác định : x  0 60 3
 0x (neu x  0) 3 2 15x
= 900x = 30 x =  x  3
− 0x (neu x  0)
4(x − 3) neu x  3 b) 16( 2 x − 6x + 9) 2
= 16.(x − 3) = 4 x − 3 =   4
− (x − 3) neu x  3
Bài 8: Rút gọn biểu thức 2
M = 25x (x − 2 x + ) 1 với 0  x  1 Lời giải Ta có 2 M =
x (x − x + ) 2 2 25 2
1 = 25x ( x −1) = 5 x . x −1
Vì x  0 nên x = x
Vì 0  x  1 nên x  1 do đó x −1 =1− x
Vậy M = 5x(1− x) 16 12 3 − 3
Bài 9: Rút gọn biểu thức 12 8 3 − 3 Lời giải 16 12 12 4 3 − 3 3 (3 −1) Ta có: 4 = = 3 = 9 . 8 4 12 8 3 − 3 3 (3 −1) ( 2 2 165 −124 )
Bài 10: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức sau với x = 6 với A =  x 369 Lời giải ( 2 2 165 −124 ) (165 +124)(165 −124) Ta có: A =  x = x 369 363 Trang 16 289.41 289 17 = x = x = x 389 9 3 Với x = 6 thì 17 A = .6 = 34 3 x +1 y +1
Bài 11: Cho biểu thức B = : y −1 x −1
Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức B với x = 5 ; y = 10 Lời giải
Điều kiện x  1, y  1. Khi đó ta có x +1 y +1 ( x +1)( x −1) x −1 B = : −1 = = y −1 x ( y −1)( y +1) y −1 −
Với x = 5 ; y = 10 thì 5 1 4 2 B = = = 10 −1 9 3
x − 2 xy + y
Bài 12: Cho biểu thức C =
với x  0 ; y  0 .
x + 6 xy + 9 y
Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức C với x = 25 ; y = 81 Lời giải 2 ( x − y)2 x − − + y x xy y C = = =
x + 6 xy + 9y ( + )2 x + 3 3 y x y 25 − 81 5 − 9 4 1
Với x = 25 ; y = 81 thì C = = = = 25 + 3 81 5 + 3.9 32 8
Bài 13: Rút gọn các biểu thức 5 (a − )2 36 4 a) 2 P = xy
với x  0; y  0 b) Q = với a  4 2 4 x y 144 2 9 − 6x + x c) H = ( 3 3
a b + ab − ab): ab d) E = với x  3 (x −3)2 xy (x − )4 2 1 x − 2
e) F = (x − y)
với x y  f) T = + với x  2 ( 0 x − y)2
(2− x)2 x − 2 Lời giải 2 2 5 xy 5 xy 5 a) Ta có: 2 P = xy
x  0; y  0 = =
x = −x = − 5 2 4 ( ) 2 2 ( ) x y x y −xy 36(a − 4)2 6 a − 4 a − 4 − b) Ta có: 4 = = = = a Q (a  4) 144 12 2 2 c) Ta có: H = ( 3 3
a b + ab − ab) 3 3
: ab = a b : ab + ab : ab − ab : ab 2 2
= a + b − ab = a + b − ab Trang 17 9 − 6x + x (3− x)2 2 d) Ta có: E = = x  3 2 2 ( ) (x −3) (x −3) −  ( x − 3) 2  (x −3)2 = = = 1 = 1 (x −3)2 (x −3)2 xy xy
e) Ta có: F = (x − y) = x − y . 2 ( ) (x − y) x − y xy
Vì x y x − y = −(x − y)  F = (x − y) ( x y) = − xy − − (x − )4 2 2 2 1 x − 2 x −1 x − 2 f) Ta có: T = + x  2 = + 2 ( ) ( ) (2− x) x − 2 2 − x x − 2 −( 2 x − x + ) 2 2 1 + x − 2 2x − 3 = = x − 2 x − 2
Bài 14: Rút gọn các biểu thức rồi tính a − b − a) 1 1 A = :
tại a = 7, 25;b = 3, 25 b +1 a +1 3 5 8 b) 2
B = 15a − 8a 15 +16 tại a = + = 5 3 15 2 2 (x − 6) x − 36 c) C = −
(x  5) tại x = 4 5 − x x − 5 3 2 x + 5x
d) D = 5x − 125 +
(x  0) tại x = 5 x + 5 e) 2 2 2 2
E = a + 2 a −1 − a − 2 a −1 tại a = 5 Lời giải ( a −1)( a +1) a −1 5 a) Ta có: A = =
= (a = 7,25,b = 3,25) ( b −1)( b +1) b −1 3 8 8 b) Ta có: 2 2
B = 15a −8a 15 +16 = 15.( ) −8. . 15 +16 15 15 2 2 = 8 − 8 +16 = 16 = 4
c) Do x  5  5 − x  0  5 − x = 5 − x 2 2 2
(x − 6) + (x − 36) 2x −12  = = x C = 16 − 5 − x 5 − x d) Ta có: 3 2
x  0  x + 5x và x + 5 . Vậy D luôn xác định Trang 18 3 2 2 x + 5x x . x + 5 D = 5x − 125 + = 5x − 125 + x + 5 x + 5
= 5x − 125 + x = 6x − 5 5(x  0)  D = 5 e) Ta có: 2 2 2 2
E = a + 2 a −1 − a − 2 a −1 2 2 2 2
= (a −1) + 2 a −1 +1 − (a −1) − 2 a −1 +1 2 2 2 2 2 2
= ( a −1 +1) − ( a −1 −1) = a −1 +1 − a −1 −1 2 2
= ( 5) −1 +1 − ( 5) −1 −1
= 4 +1 − 4 −1 = 2 +1 − 2 −1 = 2 .
Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức
I. Cách giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số không âm, ta có: a + +)
b ab , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b 2 a + b + +) c 3  abc 3 II. Bài toán
Bài 1: Không dùng MTCT, chứng minh rằng: 5 + 8  6 + 7 Lời giải Ta có ( + )2 5 8 = 5 + 2 40 + 8 = 13 + 2 40 ( + )2 6 7 = 6 + 2 42 + 7 =13+ 2 42 Trang 19 2 2
Vì 13 + 2 40  13 + 2 42 nên ( 5 + 8)  ( 6 + 7) 2 2 Suy ra ( 5 + 8)  ( 6 + 7) Hay 5 + 8  6 + 7
Bài 2: Không dùng MTCT, chứng minh rằng: 3 + 2  2 ( 3 + ) 1 Lời giải Ta có: ( + )2 3 2 = 3 + 4 3 = 4 = 7 + 4 3; 2 2  2.  ( 3+ )1 = 2  ( 3+ )1 = 2(3+2 3+ )1=8+4 3 2
Vì 7 + 4 3  8 + 4 3 nên ( 3 + ) 1   2 ( 3 +  ) 2 1  2 Suy ra ( 3 + ) 1   2 ( 3 +  ) 2 1  Hay 3 + 2  2 ( 3 + ) 1
Bài 3: Cho a  0 . Chứng minh rằng a + 9  a + 3 Lời giải Ta có: ( a + )2 9 = a + 9 ( a + )2 3 = a + 6 a + 9 2 2
Do a  0 nên a + 9  a + 9 + 6 a , do đó ( a +9)  ( a +3) hay a +9  a +3
! Chú ý: Căn bậc hai của một tổng không bằng tổng các căn bậc hai Bài 4: Cho a, ,
b c  0 . Chứng minh rằng:
a) a + b  2 ab
b) a + b + c ab + bc + ca Lời giải
a) Vì a,b  0 ta có ( a − b)2 = a +b − 2 ab
Vì ( a − b)2  0 nên a +b − 2 ab  0 , suy ra a + b  2 ab
!Chú ý: Bât đẳng thức a + b  2 ab với a,b  0 gọi là bất đẳng thức Côsi b) Ta có a, ,
b c  0 . Áp dụng bất đẳng thức Coossi đối với hai số ta được
a + b  2 ab
b + c  2 bc
c + a  2 ca
Từ đây suy ra a + b + c ab + bc + ca Bài 5: Cho 1
a  . Chứng minh rằng 2a −1  a 2 Lời giải +
Từ bất đẳng thức Cô-si a + b  2 ab suy ra  a b ab 2 Trang 20

Tài liệu liên quan: