Các dạng toán nâng cao lớp 7 có đáp án mới nhất năm 2024
1. Dạng 1: Tìm tổng của dãy số mà các số hạng cách đều
Bài 1: Tính B = 1 + 2 + 3 +...+ 98 + 99 Hướng dẫn giải Cách giải 1: B = 1 + 2 + 3 +...+ 98 + 99
= 1 + (2 + 3 + 4 +...+98 + 99
Số số hạng trong ngoặc = (99 - 2) : 1 + 1 = 98 (số hạng), nếu chia thành các cặp, ta có 49 cặp nên tổng đó là:
(2+99) +(3+98) +...+(50+51) = 49.101= 4949 Khi đó B = 1 + 4949 = 4950 Cách giải 2:
B = 1 + 2 + 3 +....+97 + 98 + 99
+ B = 99 + 98 + 97 +...+ 3 + 2 + 1 2B = 100 + 100 + ....+100
=> 2B = 100.99 => B = 50.99 = 4950 Cách giải 3:
Số số hạng trong dãy = (99 - 1) : 1 +1 = 99 (số hạng) Trong đó:  99 là số hạng cuối  1 là số hạng đầu
 1 là đơn vị khoảng cách giữa các số hạng trong dãy
Tổng các số hạng trong dãy = (99 + 1) . 99 : 2 = 4950 Trong đó:  99 là số hạng cuối  1 là số hạng đầu
 99 là số số hạng trong dãy
Ta có công thức tổng quát tính tổng số hạng trong dãy như sau:
Bước 1: Tìm số số hạng trong dãy = (số hạng cuối - số hạng đầu) : đơn vị khoảng cách + 1
Bước 2: Tổng số hạng trong dãy = (Số hạng cuối + số hạng đầu) . Số số hạng trong dãy : 2 Các bài tập tương tự
Bài 2: Tính A = 1 + 3 + 5 +..+ 997 + 999 Đáp án: 250000
Bài 3: Tính C = 2 + 4 + 6 +...+ 96 + 98. Đáp số: 2450
Bài 4: Tính D = 10 + 12 + ... 994 + 996 + 998 Đáp số: 249480
2. Dạng 2: Tìm tổng của dãy số mà các số hạng không cách đều
Bài 1: Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+n. (n+1) Hướng dẫn giải Cách giải 1:
Ta thấy rằng mỗi số hạng trong dãu số trên đều là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, khi đó:
Gọi a1 = 1.2 → 3a1 = 1.2.3 → 3a1 = 1.2.3 - 0.1.2 Tương tự:
a2 = 2.3 → 3a2 = 2.3.3 → 3a2 = 2.3.4 - 1.2.3
a3 = 3.4 → 3a3 = 3.3.4 → 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4 ...
a(n - 1) = (n - 1).n → 3a(n - 1) = 3(n - 1)n → 3a(n - 1) = (n - 1).n.(n + 1) - (n - 2).(n - 1).n
an = n.(n - 1) → 3an = 3n(n + 1) → 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được:
3(a1 + a2 + a3 +...+ an) = n(n + 1)(n + 2) Cách giải 2: Ta có:
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + ... + n(n + 1).3
3A = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + ... + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)]
3A = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + ...+ n(n + 1)(n + 2) - (n -1)n(n + 1) 3A = n(n + 1)(n + 2)
Từ cách giải trên, rút ra công thức tổng quát cho dạng bài tính tổng của dãy số mà các số hạng không cách đều:
k(k + 1)( k + 2) - (k -1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3;... Các bài tập tương tự
Bài 2: Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + (n - 1)n(n + 1) Đáp án:
Bài 3: Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + ...+ n(n + 3) Đáp án:
Bài 4: Tính D = 12 + 22 + 32 + ... + n2 Đáp án:
3. Dạng 3: Toán hình
Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE.
Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
a. Tam giác ABE bằng tam giác ADC b. Góc BMC bằng 120°
Bài 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. Ở miền ngoài của tam giác ABC vẽ các
tam giác vuông cân ABE và tam giác ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng
vuông góc với AH (M, N thuộc AH).
a. Chứng minh rằng: EM + HC = NH
b. Chứng minh rằng: EN // FM
Bài 3: Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P,Q sao
cho chhu vi của DAPQ = 2. Chứng minh rằng: góc PCQ = 45°
Bài 4: Cho tam giác vuông ABC có cạnh AB = AC, tia phân giác của các góc B và C cắt AC và
AB lần lượt tại E và D.
a. Chứng minh rằng: BE = CD; AD = AE
b. Gọi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC tại M, chứng minh rằng MAC là tam giác vuông cân.
c. Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường này cắt BC lần lượt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC
Bài 5: Cho đoạn thẳng MN = 4 cm, điểm O nằm giữa hai điểm M và N. Trên cùng một nửa mặt
phẳng bờ MN vẽ tam giác cân đỉnh ) là OMA và OMB sao cho góc ở đỉnh O bằng 45°. Tìm vị trí
của O để AB min. Tính độ dài nhỏ nhất đó.
Bài 6: Cho tam giác ABC. qua A vẽ đường thăng xy // BC. Tiwf điểm M trên cạnh BC vẽ các
đường thẳng song song với AB, Ac chúng cắt xy theo thứ tự tại D và E. Chứng minh rằng:
a. Tam giác ABC = tam giác MDE
b. Ba đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E
sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng kinh rằng: a. DM = EN
b. Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm của I của đoạn MN
c. Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
Bài 8: Cho tam giác ABC có góc B và góc C là góc nhọn. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC.
a. Chứng minh rằng: BE = CD
b. Gọi M là trung điểm của BE, N là trung điểm của CB. Chứng minh rằng M, A, N thẳng hàng.
c. Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C trên tia
Ax. chứng minh rằng BH + CK nhỏ hơn hoặc bằng BC.
Bài 9: Cho tam giác ABC, dựng tam giác đều MAB, NBC, PAC thuộc miền ngoài của tam giác
ABC. Chứng minh rằng MC = NA = PB và góc tạo bởi hai đường thẳng ấy bằng 60°, ba đường
thẳng MC, NA, PB đồng quy.
Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AH, BK. CL cắt nhau tại I. Gọi D, E, F lần lượt
là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của IA, IB, IC. Chứng minh
rằng PD, QE, RF đồng quy. Gọi J là điểm đồng quy, chứng minh I là trung điểm của mỗi đường.
Bài 11: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD tại K. chứng minh AK + CE = BE.
4. Một số dạng bài tập nâng cao khác
Bài 1: Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n +1 chữ số 1, c là số gồm n chữ số 6. Chứng
minh rằng a + b + c + 8 là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho ab + 4 là số chính phương.
bài 3: Cho hai số tự nhiên a và b (với điều kiện a < b). Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu bằng
7, mỗi phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b.
Bài 4: Tìm n biết rằng n3 - n2 + 2n + 7 chia hết cho n2 + 1.
Bài 5: Tìm số tự nhiên n để 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5