Các dạng toán quan hệ vuông góc trong không gian – Lê Duy Hiền

Tài liệu gồm 38 trang phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán quan hệ vuông góc trrong không gian, tài liệu do thầy Lê Duy Hiền biên soạn.

 

61 31 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 7: Quan hệ vuông góc trong không gian (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

38 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
1
MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU ...................................................................................................................................... 2
I. Lời nói đầu................................................................................................................................. 2
II. Cơ sở lý thuyết ........................................................................................................................ 2
2.1. Các định nghĩa ................................................................................................................... 2
2.2. Các định lý thường được sử dụng .................................................................................. 4
B. NỘI DUNG................................................................................................................................... 5
I. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với
đường thẳng, mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng............................................................. 5
1.1. Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.................................. 5
1.2. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc...................................................... 7
1.3. Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.......................................................... 9
II. Các dạng toán về góc ........................................................................................................... 14
2.1. Dạng 1: Góc giữa hai đường thẳng............................................................................. 14
2.2. Dạng 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ........................................................... 17
2.3. Dạng 3: Góc giữa hai mặt phẳng.................................................................................. 18
III. Các dạng toán về khoảng cách ....................................................................................... 22
3.1.Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng .............................................. 22
3.2.Dạng 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau .......................................... 28
C. KẾT LUẬN ................................................................................................................................ 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................................... 38
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
2
A. MỞ ĐẦU
I. Lời nói đầu
Trong môn toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ một vai trò, vị trí
hết sức quan trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học
không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới:
cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư
duy sáng tạo cho học sinh.
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 11 rất e ngại học môn
hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếu tính thực tế. Chính vì thế mà
có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn
khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập hình học không
gian.
Hình học không gian là một phần rất quan trọng trong nội dung thi đại học của Bộ
giáo dục, nếu học sinh không nắm kỹ bài thì các em sẽ gặp nhiều lúng túng khi làm hai câu
trong về hình học không gian trong đề thi đại học.
Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm
nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như
học tập của học sinh ngày được nâng lên. Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều
học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này
nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo
gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất
lượng giảng dạy nói chung và môn hình học không gian nói riêng.
Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức, tổng hợp các phương pháp
thành một chuyên đề: “Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian ”
II. Cơ sở lý thuyết
2.1. Các định nghĩa
+) Định nghĩa 1: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng
bằng 90
0
.
0
( , ) 90a b a b
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
3
+) Định nghĩa 2: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc
với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
( ) ( ):a b a b

+) Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng
90
0
.
0
( ) ( ) (( ),( )) 90
.
+) Định nghĩa 4: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng
đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.
+) Định nghĩa 5:
. Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và
mặt phẳng (α) bằng 90
0
.
. Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của
nó trên mặt phẳng (α) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α).
+) Định nghĩa 6: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc
với hai mặt phẳng đó.
+) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) là
khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt
phẳng (α) (trên đường thẳng ∆).
+) Định nghĩa 8: Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a là
khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (α).
+) Định nghĩa 9: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm
bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
+) Định nghĩa 10: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng đó.
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
4
2.2. Các định lý thường được sử dụng
Định lý 1:
, ( ) ( )
,
ab
a b P d P
d a d b

Định lý 2:
()
()
()
aP
d P d a
aP

Định lý 3: +
()
' ( )
'/ /
dP
dP
dd

+
( ) / /( )
()
()
PQ
dQ
dP

+
Định lý 4:
()
( ) ( )
()
dP
PQ
dQ

Định lý 5:
( ) ( )
( ) ( )
()
()
PQ
PQ
dQ
dP
d


Định lý 6:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
PQ
P R R
QR
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
5
B. NỘI DUNG
I. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc
với đường thẳng, mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng.
1.1. Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1.1.1. Phương pháp: Ta thường vận dụng định lý 1 để chứng minh. Hoặc sử dụng định lý 3,
định lý 5, định lý 6 trong một số trường hợp đặc biệt
1.1.2. Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giácvvuông tại C,
()SA ABC
a) Chứng minh rằng:
()BC SAC
b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh rằng:
()AE SBC
c) Gọi mp(P) đi qua AE và vuông góc với (SAB), cắt SB tại D. Chứng minh rằng:
()SB P
d) Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng:
()AF SAB
Giải: a) Ta có:
( ) (1)BC AC gt
Mặt khác, vì
()
(2)
()
SA ABC
SA BC
BC ABC

Từ (1) và (2) suy ra:
()BC SAB
b) Ta có:
(3) (gt)AE SC
Theo a)
( ) (4)BC SAB AE BC
Từ (3) và (4) suy ra:
()AE SBC
F
C
S
B
A
E
D
H
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
6
c) Ta thấy:
( ) ( )P ADE
Theo b)
( ) (5)AE SBC BC AE
Trong mp(ADE) kẻ
,EH AD H AD
. Vì
( ) ( )
( ) ( ) ( ) (6)
ADE SAB
ADE SAB AD EH SAB SB EH
EH AD
Từ (5) và (6) suy ra:
()SB ADE
hay
()SB P
d) Từ
()
(7)
()
SA ABC
AF SA
AF ABC

Theo c)
( ) (8)SB ADE AF SB
. Từ (7) và (8) suy ra:
()AF SAB
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều,
( ) ( )SAB ABCD
. Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng:
()FC SID
Giải: Ta có:
( ) ( ) ( )
()
(1)
SI AB
SAB ABCD SI ABCD
SI SAB
SI CF

Mặt khác, xét hai tam giác vuông ADI và
DFC có: AI=DF, AD=DC. Do đó,
AID DFC
từ đó ta có:
11
0
2 2 1 2
0
12
0
90
90
90
IF
D C F D
ID
FHD


Hay
(2)CF ID
H
F
I
D
S
A
C
B
2
2
1
1
H
I
F
D
B
A
C
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
7
Từ (1) và (2) suy ra:
()FC SID
1.2. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
1.2.1. Phương pháp: Ta thường sử dụng định lý 2 hoặc là các cách chứng minh vuông góc
có trong hình học phẳng
1.2.2. Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
()SA ABCD
, AD=2a,
AB=BC=a. Chứng minh rằng:
tam giác SCD vuông
Giải: Ta có:
()
(1)
()
SA ABCD
SA CD
CD ABCD

+ Gọi I là trung điểm của AD. Tứ
giác ABCI là hình vuông. Do đó,
0
45ACI
(*). Mặt khác,
C ID
là tam giác vuông cân tại I nên:
0
45BCI
(*).
Từ (*) và (**) suy ra:
0
90ACD
hay
AC CD
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
()CD SAC CD SC
hay ∆SCD vuông tại C
Ví dụ 2: (B-2007) Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. CMR:
MN BD
Giải: Gọi I, P lần lượt là trung điểm của AB
và SA, O là giao điểm của AC và BD.
Ta có:
//
(1)
IN AC
BD IN
AC BD

P
I
O
N
M
E
D
C
B
A
S
D
I
B
C
A
S
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
8
Mặt khác,
//
/ / (*)
//
IM BE
IM PO
BE PO
Mà
(**)PO BD
(vì: BPD là tam giác cân tại P và O là trung điểm của BD)
Từ (*) và (**) ta có:
(2)BD IM
Từ (1) và (2) ta có:
()BD IMN BD MN
Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 2:
+ Chọn mp(IMN) với I là trung điểm của AB ( vì
BD AC
nên chọn mp chứa MN và
vuông góc với BD là mp(IMN))
+ Sử dụng các giả thiết trung điểm để chứng minh song song.
+ Sử dụng định lý:
//ab
bc
ac

Ví dụ 3: (A-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD đều,
( ) ( )SAD ABCD
. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và CD. Chứng minh
rằng:
AM BP
Giải: Gọi I là giao diểm của AN và BP, H
là trung điểm của AD, K là giao điểm của
AN và BH.
Xét hai tam giác vuông ABN và BCP có:
AB=BC, BN=CP. Suy ra,
ABN BCP
,BAN CBP ANB BPC
mà
00
90 90BAN ANB CBP ANB
hay
AN BP
(1)
Vì ∆SAD đều nên:
( ) ( ) (*)
()
SH AD
SAD ABCD SH BP
BP ABCD
.
K
H
I
P
M
N
B
S
A
D
C
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
9
Mặt khác, tứ giác ABNH là hình chử nhật nên K là trung điểm của HB hay
/ / (**)MK SH
Từ (*) và (**) suy ra:
(2)BP MH
Từ (1), (2) suy ra:
()BP AMN BP AM
1.3. Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
1.3.1. Phương pháp: Sử dụng định lý 3
1.3.2.Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD
là hình thoi , SA=SC. Chứng minh rằng:
( ) ( )SBD ABCD
Giải:+ Ta có:
AC BD
(1) (giả thiết)
+ Mặt khác,
SO AC
(2) (SAC là tam giác
cân tại A và O là trung điểm của AC nên SO
là đường cao của tam giác)
+ Từ (1) và (2) suy ra:
()AC SBD
mà
()AC ABCD
nên
( ) ( )SBD ABCD
Ví dụ 2: (B-2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a,
2AD a
,
()SA ABCD
. Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM.
Chứng minh rằng:
( ) ( )SAC SMB
Giải:
+ Ta có:
( ) (1)SA ABCD SA BM
.
+ Xét tam giác vuông ABM có:
tan 2
AB
AMB
AM

. Xét tam giác vuông
O
C
B
A
D
S
I
M
D
S
A
C
B
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
10
ACD có:
1
tan
2
CD
CAD
AD

. Ta có:
0
0
cot cot(180 ( ))
cot( ) 0
90
AIM AMB CAD
AMB CAD
AIM

Hay
(2)BM AC
.
+ Từ (1) và (2) suy ra:
()BM SAC
mà
()BM SAC
nên
( ) ( )SAC SMB
1.4. Bài tập:
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm
của BC, D là điểm đối xứng với A qua I,
6
( ),
2
a
SD ABC SD
. Chứng minh rằng:
a)
( ) ( )SBC SAD
b)
( ) ( )SAB SAC
Bài tập 2: Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình vuoâng taâm O. SA (ABCD). Goïi H, I,
K laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân SB, SC, SD.
a) CMR: BC (SAB), CD (SAD), BD (SAC).
b) CMR: AH, AK cuøng vuoâng goùc vôùi SC. Töø ñoù suy ra 3 ñöôøng thaúng AH, AI, AK
cuøng naèm trong moät maët phaúng.
c) CMR: HK (SAC). Töø ñoù suy ra HK AI.
Bài tập 3: Cho töù dieän SABC coù tam giaùc ABC vuoâng taïi B; SA (ABC).
a) Chöùng minh: BC (SAB).
b) Goïi AH laø ñöôøng cao cuûa SAB. Chöùng minh: AH SC.
Bài tập 4: Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình thoi taâm O. Bieát: SA = SC, SB =
SD.
a) Chöùng minh: SO (ABCD).
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
11
b) Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh BA, BC. CMR: IJ (SBD).
Bài tập 5: Cho töù dieän ABCD coù ABC vaø DBC laø 2 tam giaùc ñeàu. Goïi I laø trung ñieåm
cuûa BC.
a) Chöùng minh: BC (AID).
b) Veõ ñöôøng cao AH cuûa AID. Chöùng minh: AH (BCD).
Bài tập 6: Cho töù dieän OABC coù OA, OB, OC ñoâi moät vuoâng goùc vôùi nhau. Goïi H laø hình
chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm O treân mp(ABC). Chöùng minh raèng:
a) BC (OAH).
b) H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc ABC.
c)
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
.
d) Caùc goùc cuûa tam giaùc ABC ñeàu nhoïn.
Bài tập 7: Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a. Maët beân SAB laø tam
giaùc ñeàu; SAD laø tam giaùc vuoâng caân ñænh S. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø
CD.
a) Tính caùc caïnh cuûa SIJ vaø chöùng minh raèng SI (SCD), SJ (SAB).
b) Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa S treân IJ. CMR: SH AC.
c) Goïi M laø moät ñieåm thuoäc ñöôøng thaúng CD sao cho: BM SA. Tính AM theo a.
Bài tập 8: Cho hình choùp SABCD coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a, maët beân SAB laø tam giaùc
ñeàu vaø SC = a
2
. Goïi H vaø K laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø AD.
a) CMR: SH (ABCD).
b) Chöùng minh: AC SK vaø CK SD.
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
12
Bài tập 9: Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình chöõ nhaät coù AB = a, BC = a
3
, maët
beân SBC vuoâng taïi B, maët beân SCD vuoâng taïi D coù SD = a
5
.
a) Chöùng minh: SA (ABCD) vaø tính SA.
b) Ñöôøng thaúng qua A vaø vuoâng goùc vôùi AC, caét caùc ñöôøng thaúng CB, CD laàn löôït
taïi I, J. Goïi H laø hình chieáu cuûa A treân SC. Haõy xaùc ñònh caùc giao ñieåm K, L cuûa SB,
SD vôùi mp(HIJ). CMR: AK (SBC), AL (SCD).
c) Tính dieän tích töù giaùc AKHL.
Bài tập 10: Goïi I laø 1 ñieåm baát kì ôû trong ñöôøng troøn (O;R). CD laø daây cung cuûa (O) qua
I. Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng chöùa ñöôøng troøn (O) taïi I ta laáy ñieåm S vôùi
OS = R. Goïi E laø ñieåm ñoái taâm cuûa D treân ñöôøng troøn (O). Chöùng minh raèng:
a) Tam giaùc SDE vuoâng taïi S.
b) SD CE.
c) Tam giaùc SCD vuoâng.
Bài tập 11: Cho MAB vuoâng taïi M ôû trong maët phaúng (P). Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc
vôùi (P) taïi A ta laáy 2 ñieåm C, D ôû hai beân ñieåm A. Goïi C laø hình chieáu cuûa C treân MD,
H laø giao ñieåm cuûa AM vaø CC.
a) Chöùng minh: CC (MBD).
b) Goïi K laø hình chieáu cuûa H treân AB. CMR: K laø tröïc taâm cuûa BCD.
Bài tập 12: Cho tam giaùc ñeàu ABC, caïnh a. Goïi D laø ñieåm ñoái xöùng vôùi A qua BC. Treân
ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôi mp(ABC) taïi D laáy ñieåm S sao cho SD = a
6
. Chöùng minh
hai maët phaúng (SAB) vaø (SAC) vuoâng goùc vôùi nhau.
Bài tập 13: Cho hình töù dieän ABCD coù hai maët (ABC) vaø (ABD) cuøng vuoâng goùc vôùi ñaùy
(DBC). Veõ caùc ñöôøng cao BE, DF cuûa BCD, ñöôøng cao DK cuûa ACD.
a) Chöùng minh: AB (BCD).
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
13
b) Chöùng minh 2 maët phaúng (ABE) vaø (DFK) cuøng vuoâng goùc vôùi mp(ADC).
c) Goïi O vaø H laàn löôït laø tröïc taâm cuûa 2 tam giaùc BCD vaø ADC. CMR: OH
(ADC).
Bài tập 14: Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng, SA (ABCD).
a) Chöùng minh (SAC) (SBD).
b) Goïi BE, DF laø hai ñöôøng cao cuûa SBD. CMR: (ACF) (SBC), (AEF) (SAC).
Bài tập 15: Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA (ABCD).
Goïi M, N laø 2 ñieåm laàn löôït ôû treân 2 caïnh BC, DC sao cho BM =
2
a
, DN =
3
4
a
. Chöùng
minh 2 maët phaúng (SAM) vaø (SMN) vuoâng goùc vôùi nhau.
Bài tập 16: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A. Veõ BB vaø CC cuøng vuoâng goùc vôùi
mp(ABC).
a) Chöùng minh (ABB) (ACC).
b) Goïi AH, AK laø caùc ñöôøng cao cuûa ABC vaø ABC. Chöùng minh 2 maët phaúng
(BCCB) vaø (ABC) cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng (AHK).
Bài tập 17: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù AB = c, AC = b. Goïi (P) laø maët phaúng qua
BC vaø vuoâng goùc vôùi mp(ABC); S laø 1 ñieåm di ñoäng treân (P) sao cho SABC laø hình choùp
coù 2 maët beân SAB, SAC hôïp vôùi ñaùy ABC hai goùc coù soá ño laàn löôït laø vaø
2
. Goïi
H, I, J laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa S treân BC, AB, AC..
a) Chöùng minh raèng: SH
2
= HI.HJ.
b) Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa SH vaø khi ñoù haõy tìm giaù trò cuûa .
Bài tập 18: Cho hình töù dieän ABCD coù AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y. Tìm
heä thöùc lieân heä giöõa a, b, x, y ñeå:
a) Maët phaúng (ABC) (BCD).
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
14
D
B
C
A
S
b) Maët phaúng (ABC) (ACD).
Bài tập 19: Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA (ABCD) ; M
vaø N laø hai ñieåm naèm treân caùc caïnh BC, CD. Ñaët BM = x, DN = y.
a) Chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai maët phaúng (SAM) vaø (SMN) vuoâng
goùc vôùi nhau laø MN (SAM). Töø ñoù suy ra heä thöùc lieân heä giöõa x vaø y.
b) Chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå goùc giöõa hai maët phaúng (SAM) vaø
(SAN) coù soá ño baèng 30
0
laø a(x + y) +
3
xy = a
2
3
.
Bài tập 20: Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi taâm I caïnh a vaø coù goùc A
baèng 60
0
, caïnh SC =
6
2
a
vaø SC (ABCD).
a) Chöùng minh (SBD) (SAC).
b) Trong tam giaùc SCA keû IK SA taïi K. Tính ñoä daøi IK.
c) Chöùng minh
0
90BKD
vaø töø ñoù suy ra (SAB) (SAD).
II. Các dạng toán về góc
2.1. Dạng 1: Góc giữa hai đường thẳng
2.1.1. Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau
Cách 1: (a,b)=(a’,b’) trong đó a’, b’ là hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song với a
và b. Tức là, chọn ra hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song với a và b
Cách 2: (a,b)=(a,b’) trong đó b’ là
đường thẳng cắt đường thẳng a và song
song với b. Tức là chọn trên a (hoặc b)
một điểm A rồi từ đó chọn một đường
thẳng qua A và song song với b (hoặc a)
*) Chú ý: Các định lý hay sử dụng
2.1.2. Các ví dụ mẫu:
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
15
2a
2a
a
3
I
N
M
B
D
C
A
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,
3,SA a SA BC
. Tính góc
giữa hai đường thẳng SD và BC?
Giải: Ta có: BC//AD và
0
//
90
BC AD
SAD
SA BC

. Do đó,
( , ) ( , )SD BC SD AD SDA
.
Xét tam giác vSAD vuông tại A ta có:
0
tan 3 60
SA
SDA SDA
AD
Vậy góc giữa hai đường thẳng SD và BC bằng 60
0
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB=CD=2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và
AD,
3MN a
. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD?
Giải: Gọi I là trung điểm của BD. Ta có:
//
( , ) ( , )
//
IN AC
AB CD IM IN
IM CD

.
Xét tam giác IMN có:
,3IM IN a MN a
. Do đó,
22
2
0
2 3 1
cos
22
120
aa
MIN
a
MIN

Vậy:
0 0 0
( , ) 180 120 60AB CD 
Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 2:
+ Việc tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD thông qua góc giữa hai đường thẳng IM và
IN nhờ vào giả thiết
3MN a
+ Một số em đồng nhất
( , )IM IN MIN
là chưa chính xác mà
0
( , )
180
MIN
IM IN
MIN
.
Đến đây ta có thể giải quết theo hai hướng:
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
16
- Chứng minh góc
0
90MIN
- Tính ra cụ thể góc
MIN
rồi sau đó dựa vào giá trị của góc
MIN
để kết luận về giá trị của
góc giữa hai đường thẳng AB và CD
Ví dụ 3: (A-2008) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là
tam giác vuông tại A,
,3AB a AC a
. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) là
trung điểm của BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’?
Giải: Gọi H là trung điểm của BC
Ta có:
'/ / '
( ', ' ')
' '/ /
( ', )
AA BB
AA B C
B C BD
BB BD

Hay,
cos( ', ' ') cos( ', )
cos '
AA B C BB BD
HBB

Xét tam giác A’B’H có
0
' 90 , ' 'A A B a
,
22
2
2
''
'3
2
A H AA AH
BC
AA a



,
22
' ' ' ' 2HB A H A B a
.
Do đó,
2 2 2
' ' 1
cos '
2. . ' 4
BH BB HB
HBB
BH BB


Vậy
1
cos( ', ' ') cos '
4
AA B C HBB
Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 3:
+ Áp dụng cách 1 để giải bài toán này
I
H
C'
B'
C
B
A
A'
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
17
+ Điểm mấu chốt của bài toán này là tìm ra được độ dài của HB’ thông qua nhận xét A’H
vuông góc với mp(A’B’C’)
2.2. Dạng 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
2.2.1.Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)
+ Tìm
()I d P
+ Tìm A thuộc d kẻ AH vuông góc với (P)
+
( ,( ))d P AIH
2.2.2.Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
( ) ( )SAB ABCD
,
H là trung điểm của AB, SH=HC, SA=AB. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
(ABCD)
Giải: + Ta có:
1
,
22
a
AH AB
SA AB a
,
22
5
2
a
SH HC BH BC
.
Vì
2
2 2 2
5
4
a
SA AH AH
nên tam
giác SAH vuông tại A hay
SA AB
mà
( ) ( )SAB ABCD
. Do đó,
()SA ABCD
và AC là hình chiếu
vuông góc của SC lên mp(ABCD).
+ Ta có:
( ,( ))SC ABCD SCA
,
2
tan
2
SA
SCA
AC

. Vậy góc giữa đường thẳng SC và
mặt phẳng (ABCD) là góc có tang bằng
2
2
.
a
H
D
B
C
A
S
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
18
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt
phẳng đáy,
6SA a
. Tính sin của góc giữa:
a) SC và (SAB)
b) AC và (SBC)
Giải:
a) Ta có:
(gt)BC AB
và
SA BC
(vì
()SA ABCD
)
()BC SAB
do
đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC
trên mp(SAB)
( ,( ))SC SAB BSC
.
Ta có:
22
sin( ,( )) sin
2
4
SC SAB BSC
BC a
SC
SA AC
.
b) + Trong mp(SAB) kẻ
(H SB)AH SB
. Theo a)
()BC SAB AH BC
nên
()AH SBC
hay CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mp(SBC)
( ,( ))AC SBC ACH
.
+ Xét tam giác vuông SAB có:
2 2 2 2
1 1 1 7 6
.
67
AH a
AH AB SA a
+ Vậy
21
sin( ,( )) sin
7
AH
AC SBC ACH
AC
2.3. Dạng 3: Góc giữa hai mặt phẳng
2.3.1.Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q)
+ Tìm giao tuyến
( ) ( )PQ
+ Trong (P) tìm a vuông góc với ∆, trong (Q) tìm b vuông góc với ∆ và a,b cắt nhau tại I
+ ((P),(Q))=(a,b)
D
B
C
A
S
H
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
19
Chú ý: Trong một số trường hợp nếu chỉ yêu cầu tính góc giữa hai mặt phẳng thì chúng ta
có thể áp dụng công thức hình chiếu để tính.
Công thức hình chiếu: Gọi hình (H) có diện tích S; hình (H’) là hình chiếu của (H) trên mặt
phẳng (α) có diện tích S’; φ là góc giữa mặt phẳng chứa (H) và mp(α). Lúc đó, ta có công
thức sau:
' .cosSS
2.3.2. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
Tính số đo của góc giữa (BA’C) và (DA’C)
Giải: + Kẻ
' , (H A'C)BH A C
(1)
+ Mặt khác, ta có:
(gt)BD AC
,
' ( ) ' AA ABCD AA BD
( ') 'BD ACA BD A C
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
' ( ) 'A C BDH A C DH
. Do đó,
(( ' ),( ' )) ( , )BA C DA C HB HD
.
+ Xét tam giác vuông BCA’ có:
2 2 2 2
1 1 1 3
'2
22
..
33
BH BC BA a
BH a DH a
+ Ta có:
22
0
2
21
cos 120
22
BH BD
BHD BHD
BH
. Vậy
0
(( ' ),( ' )) 60BA C DA C
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng
ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân
AB=AC=a,
0
120BAC
, BB’=a, I là
C'
B'
D'
C
A'
A
D
B
H
I
B'
A'
B
A
C
C'
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
20
trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và (AB’I).
Giải: + Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt phẳng
(ABC). Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I). Theo công thức hình chiếu ta có:
'
cos
ABC
AB I
S
S
.
+ Ta có:
2
0
13
. . .sin120
24
ABC
a
S AB AC
.
22
5
,
2
a
AI AC CI
22
' ' 2,AB AB BB a
22
13
' ' ' ' .
2
a
IB B C IC
Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên
2
'
1 10
. '.
24
AB I
a
S AB AI
.
Vậy
'
3
cos
10
ABC
AB I
S
S

2.4. Bài tập
Bài tập 1: (B-2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a,
, 3,( ) ( ).SA a SB a SAB ABCD
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính
cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN?
Bài tập 2: Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
23
3
a
. Tính góc
giữa SA và mp(ABC)
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC,
()SA ABC
a) Xác định góc giữa (ABC) và (SBC)
b) Giả sử tam giác ABC vuông tại B xác định góc giữa hai mp (ABC) và (SBC)
Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA=SB=SC=SD=a. Tính cosin của góc giữa (SAB) và (SAD).
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
21
Bài tập 5: Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, taâm O; SO
(ABCD). Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh SA vaø BC. Bieát
0
( ,( )) 60MN ABCD
.
a) Tính MN vaø SO.
b) Tính goùc giöõa MN vaø (SBD).
Bài tập 6: Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a; SA (ABCD) vaø
SA = a
6
. Tính goùc giöõa:
a) SC vaø (ABCD) b) SC vaø (SAB) c) SB vaø (SAC) d) AC vaø (SBC)
Bài tập 7: Cho laêng truï ABC.ABC, coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a, AA (ABC).
Ñöôøng cheùo BC cuûa maët beân BCCB hôïp vôùi (ABBA) goùc 30
0
.
a) Tính AA.
b) Goïi N laø trung ñieåm cuûa caïnh BB. Tính goùc giöõa MN vaø (BAC).
Bài tập 8: Cho laêng truï ABC.ABC, coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng caân taïi A; AA
(ABC). Ñoaïn noái trung ñieåm M cuûa AB vaø trung ñieåm N cuûa BC coù ñoä daøi baèng a, MN
hôïp vôùi ñaùy goùc vaø maët beân BCCB goùc .
a) Tính caùc caïnh ñaùy vaø caïnh beân cuûa laêng truï theo a vaø .
b) Chöùng minh raèng: cos =
2
sin.
Bài tập 9: Cho hình choùp SABC, coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng caân vôùi BA = BC = a;
SA (ABC) vaø SA = a. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø AC.
a) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SAC) vaø (SBC).
b) Tính goùc giöõa 2 maët phaúng (SEF) vaø (SBC).
Bài tập 10: Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø nöûa luïc giaùc ñeàu noäi tieáp ñöôøng
troøn ñöôøng kính AB = 2a; SA (ABCD) vaø SA = a
3
.
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
22
a) Tính goùc giöõa 2 maët phaúng (SAD) vaø (SBC).
b) Tính goùc giöõa 2 maët phaúng (SBC) vaø (SCD).
Bài tập 11: Cho hình vuoâng ABCD caïnh a, SA (ABCD) vaø SA = a
3
. Tính goùc giöõa
caùc caëp maët phaúng sau:
a) (SBC) vaø (ABC) b) (SBD) vaø (ABD) c) (SAB) vaø (SCD)
Bài tập 12: Cho hình thoi ABCD caïnh a, taâm O, OB =
3
3
a
; SA (ABCD) vaø SO =
6
3
a
.
a) Chöùng minh
ASC
vuoâng.
b) Chöùng minh hai maët phaúng (SAB) vaø (SAD) vuoâng goùc.
c) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SBC) vaø (ABC).
III. Các dạng toán về khoảng cách
3.1.Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
3.1.1. Cách xác định khoảng cách từ điểm M đến mp(P)
Cách 1:
+ Tìm mp(Q) chứa M và vuông góc với mp(P) theo giao tuyến ∆
+ Từ M hạ MH vuông góc với ∆ (
H 
)
+ MH = d(M,(P))
Cách 2:
+ Kẻ ∆//(P). Ta có: d(M,(P))= d(∆,(P))
+ Chọn
N 
. Lúc đó,
d M, P d( ,(P))=d , PN
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
23
Cách 3:
+ Nếu
()MN P I
. Ta có:
d M, P
d , P
MI
N NI
+ Tính
d , PN
và
MI
NI
+
d M, P .d , P
MI
N
NI
Chú ý: Điểm N ở đây ta phải chọn sao cho tìm khoảng cách từ N đến mặt phẳng (P) dễ hơn
tìm khoảng cách từ M đến mp(P).
3.1.2. Các ví dụ mẫu
*) Ví dụ cho cách 1:
Ví dụ 1: Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc
α. Tính
( ,( ))d A SBC
theo a và α.
Giải: + Gọi I là trung điểm của BC.
+ Ta có:
()
SI BC
BC SAI
AI BC

và
SIA
+ Kẻ
(H SI)AH SI
mà
( ) ( )SI SAI SBC
nên
()AH SBC
. Do đó,
( ,( ))d A SBC AH
+ Mặt khác, xét tam giác vuông AHI có:
3
.sin .sin
2
a
AH AI


Vậy,
3
( ,( )) .sin
2
a
d A SBC AH

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là
hình vuông cạnh a,
()SA ABCD
, SA=2a,
O
D
C
B
A
S
H
K
I
A
B
C
S
H
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
24
a) Tính
( ,( ))d A SBC
b) Tính
( ,( ))d A SBD
Giải: a) Kẻ
(H SB) (1)AH SB
Ta có:
( ) (*)SA ABCD SA BC
và
(gt) (**)AB BC
. Từ (*) và (**) suy ra:
( ) BC AH (2)BC SAB
.
Từ (1) và (2) ta có:
()AH SBC
hay
( ,( ))d A SBC AH
+ Mặt khác, xét tam giác vuông SAB có:
2 2 2 2
1 1 1 5 2
4
5
a
AH
AH AB SA a
.
Vậy,
2
( ,( ))
5
a
d A SBC
b) Gọi
O AC BD
Kẻ
(K SO) (1)AK SB
Ta có:
( ) (*)SA ABCD SA BD
và
(gt) (**)AC BD
. Từ (*) và (**) suy ra:
( ) BC AK (2)BD SAC
.
Từ (1) và (2) ta có:
()AK SBD
hay
( ,( ))d A SBD AK
+ Mặt khác, xét tam giác vuông SAO có:
2 2 2 2
1 1 1 9 2
43
a
AK
AK AO SA a
.
Vậy,
2
( ,( ))
3
a
d A SBD
.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD
là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều,
( ) ( )SAB ABCD
. Gọi I, F lần lượt là trung
điểm của AB và AD. Tính
( ,( ))d I SFC
Giải: Gọi
K FC ID
K
F
I
C
S
B
A
D
H
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
25
+ Kẻ
(H K) (1)IH SK
+ Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
()
()
SAB ABCD
SAB ABCD AB
SI ABCD
SI SAB
SI AB


(*)SI FC
+ Mặt khác, Xét hai tam giác vuông AID và DFC có: AI=DF, AD=DC. Suy ra,
AID DFC
,AID DFC ADI DCF
mà
00
90 90AID ADI DFC ADI
hay
FC ID
(**)
+ Từ (*) và (**) ta có:
()FC SID IH FC
(2). Từ (1) và (2) suy ra:
()IH SFC
hay
( ,( ))d I SFC IH
+ Ta có:
2 2 2 2
3 5 1 1 1 5 5
,,
2 2 5
35
10
a a a
SI ID DK
DK DC DF a
a
IK ID DK
Do đó,
2 2 2 2
1 1 1 32 3 2
98
a
IH
IH SI IK a
. Vậy,
32
( ,( ))
8
a
d I SFC
*) Ví dụ cho cách 2:
Ví dụ 1: (B-2011) Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, ABCD là hình chữ nhật,
,3AB a AD a
. Hình chiếu
vuông góc của A’ trên (ABCD)
trùng với giao điểm của AC và
BD. Tính
( ',( ' ))d B A BD
Giải: + Gọi O là giao điểm của
AC và BD.
Vì B’C//A’D nên B’C//(A’BD).
Do đó,
C'
B'
D'
O
C
B
D
A
A'
H
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
26
J
I
M
B
S
D
A
C
H
( ',( ' )) ( ' ,( ' )) ( ,( ' ))d B A BD d B C A BD d C A BD
+ Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ
, (H BD) (1)CH BD
. Mặt khác,
' ( )
' (2)
A O ABCD
A O CH

Từ (1) và (2) suy ra:
( ' ) ( ',( ' ))CH A BD d B A BD CH
+ Xét tam giác vuông BCD có:
2 2 2 2
1 1 1 4 3
34
a
CH
CH BC CD a
.
Vậy:
3
( ',( ' ))
4
a
d B A BD CH
Ví dụ 2: (A-2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
0
30ABC
,
SBC
là tam giác đều cạnh a,
( ) ( )SBC ABC
. Tính
( ,( ))d C SAB
Giải: + Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình
chữ nhật ABDC. Gọi M, I, J lần lượt là
trung điểm của BC, CD và AB. Lúc đó,
CD//(SAB) hay
( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))d C SAB d CD SAB d I SAB
+ Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ
, (H SJ) (1)IH SJ
Mặt khác, ta có:
()
( ) (2)
IJ AB
SM ABC AB SM
AB SIJ AB IH
Từ (1) và (2) suy ra:
()IH SAB
hay
( ,( ))d C SAB IH
+ Xét tam giác SIJ có:
1 1 .
..
22
SIJ
SM IJ
S IH SJ SM IJ IH
SJ
. Với:
0
.sin30
2
a
IJ AC BC
,
3
2
a
SM
,
22
13
4
a
SJ SM MJ
.
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
27
E
B
M
A
D
C
S
H
Do đó:
. 39
13
SM IJ a
IH
SJ

. Vậy
39
( ,( ))
13
a
d C SAB
*) Ví dụ cho cách 3:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=a,
CD=2a,
()SD ABCD
, SD=a.
a) Tính
( ,( ))d D SBC
b) Tính
( ,( ))d A SBC
Giải: Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC.
a) Trong mặt phẳng (SBD) kẻ
, (H SB) (1)DH SB
.
+ Vì
1
2
BM AD CD
Tam giác BCD
vuông tại B hay
(*)BC BD
. Mặt khác, vì
( ) (**)SD ABCD SD BC
. Từ (*)
và (**) ta có:
( ) (2)BC SBD BC DH
. Từ (1) và
(2) suy ra:
()DH SBC
hay
( ,( ))d D SBC DH
+ Xét tam giác vuông SBD có:
2 2 2 2
1 1 1 3 2 3
23
a
DH
DH SD BD a
.
Vậy,
23
( ,( ))
3
a
d D SBC
b) Ta có:
( ,( )) 1 1 3
( ,( )) ( ,( ))
( ,( )) 2 2 3
d A SBC AE AB a
d A SBC d d SBC
d D SBC DE CD
.
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
28
M
B
C
A
S
N
H
Vậy,
Ví dụ 3: (D-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a,
BC=4a,
0
( ) ( ), 2 3, 30SBC ABC SB a SBC
. Tính
( ,( ))d B SAC
Giải: + Trong mặt phẳng (SBC) kẻ
(M BC)SM BC
; trong mặt phẳng (ABC) kẻ
(N C)MN AC A
; trong mặt phẳng (SMN) kẻ
(N )MH SN SN
. Suy ra,
( ) ( ,( ))MH SAC d M SAC MH
+ Ta có:
0
.sin30 3SM SB a
,
0
.cos30 3BM SB a CM a
,
.3
5
AB CM a
MN
AC

. Xét tam giác vuông
SMN có:
2 2 2 2
1 1 1 28 3
9
28
3
( ,( ))
28
a
MH
MH SM MN a
a
d M SAC

+ Mặt khác, ta có:
( ,( ))
4
( ,( ))
6
( ,( )) 4. ( ,( ))
7
d B SAC BC
d M SAC MC
a
d B SAC d M SAC

Vậy
6
( ,( ))
7
a
d B SAC
.
3.2.Dạng 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
3.2.1. Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’
Cách 1:
+ Xác định đường thẳng vuông góc chung của d và d’
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
29
+ Tính độ dài đoạn vuông góc chung.
Cách 2:
+Tìm mp(P) chứa d’ và song song với d
+ Khi đó
( , ') ( ,( )) ( ,( ))d d d d d P d A P
với A là một điểm bất kỳ thuộc d
Chú ý: mp(P) có thể có sẵn hoặc chúng ta phải dựng (Cách dựng: qua một điểm
'Bd
dựng đường thẳng
∆
song song với d, lúc đó mp(P)
≡
(d’,
∆
)).
3.2.2. Các ví dụ mẫu
*) Ví dụ cho cách 1
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB=a, tất cả các
cạnh còn lại bằng 3a. Tính
( , )d AB CD
Giải:
+ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của CD và AB.
+ Vì ACD và ACD là các tam giác đều nên:
, ( ) (1)CD AI CD BI CD AIB CD IJ
Mặt khác,
ACD ACD
nên tam giác AIB
cân tại I. Do đó,
(2)IJ AB
+ Từ (1), (2) suy ra: IJ là đường vuông góc
chung của AB và CD.
+ Ta có:
2
2
22
3 3 26
2 2 2
a a a
IJ AI AJ






.
Vậy
26
( , )
2
a
d AB CD
Ví dụ 2: (A_2010) Cho hình chóp S.ABCD
có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M,
J
I
B
C
D
A
H
M
N
C
S
D
A
B
K
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
30
N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM,
( ), 3SH ABCD SH a
. Tính
( , )d DM SC
Giải: + Trong mp(SCH) kẻ
(1), (K SC)HK SC
.
+ Mặt khác,
()
(*)
()
SH ABCD
SH DM
DM ABCD

Xét hai tam giác vuông AMD và DNC có AM=DN, AD=DC
AMD DNC
. Từ đó ta
có:
00
0
90 90
90
AMD DNC
ADM DCN DNC ADM NHD
AMD ADM

hay
(**)DM CN
.
Từ (*), (**) suy ra:
( ) (2)DM SCH DM HK
.
Từ (1), (2) suy ra: HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC.
+ Ta có:
HCD DCN
22
22
23
3
CD a a
HC
CN
CD DN
.
Xét tam giác vuông SHC ta có:
2 2 2 2
1 1 1 5 15
5
3
a
HK
HK HC HS a
Vậy
15
( , )
5
a
d DM SC HK
*) Ví dụ cho cách 2
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’,
đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
2
'
2
a
AA
.
Tính
( , ')d AB CB
Giải: + Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB
và A’B’.
J
I
C'
B'
A
B
C
A'
H
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
31
+ Ta có:
/ /( ' ') ( , ') ( ,( ' '))
( ,( ' '))
AB CA B d AB CB d AB CA B
d I CA B
+ Trong mp(CIJ) kẻ
(1), (H CJ)IH CJ
Ta có:
' ' ( )A B IJ
(vì ABC. A’B’C’ là hình lăng trụ đứng) và
''IC A B
(vì ∆ABC là tam
giác đều) nên
' ' ( ) ' ' (2)A B CIJ IH A B
.
Từ (1), (2) suy ra:
( ' ')IH CA B
hay
( , ')d AB CB IH
+ Xét tam giác vuông CIJ có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 2 10 30
10
33
a
IH
IH IC IJ a a a
Vậy
30
( , ')
10
a
d AB CB IH
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
bằng
2a
. Tính
( , )d AD SB
Giải: + Vì
AD / / SBC ( , ) ( ,( ))d AD SB d AB SBC
+ Gọi O là giao điểm của AC và BD. I, J
lần lượt là trung điểm của AD và BC.
+ Trong mp(SIJ) kẻ
,( ) (1)IH SJ H SJ
.
Theo giả thiết ta có:
()
()
//
(2)
SO ABCD SO BC
BC SIJ
IJ AB IJ BC
IH BC



Từ (1), (2) suy ra:
()IH SBC
hay
( , )d AD SB IH
+ Xét tam giác SIJ có:
1 1 .
..
22
SIJ
SO IJ
S IH SJ SO IJ IH
SJ
. Với: IJ=a,
2 2 2 2
3 . 7
.,
24
a
SO SA AO a SJ SB BJ
. Suy ra:
. 2 21
.
7
SO IJ a
IH
SJ

J
I
O
B
S
A
D
C
H
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
32
Vậy
2 21
( , )
7
a
d AD SB IH
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD là tam
giác đều, (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính
( , )d SA BD
Giải: + Qua A kẻ đường thẳng d song
song với BD. Gọi O là giao điểm của
AC và BD; I, M lần lượt là trung
điểm của AD và OD; N là giao điểm
của d và IM.
+ Ta có:
( , ) (( , ), )
( ,( , ))
d SA BD d SA d BD
d M SA d

+ Trong mp(SMN) kẻ
(1), (H SN)MH SN
Theo giả thiết:
( ) (*)
( ) ( )
SI AD
SI ABCD SI d
SAD ABCD
Mặt khác ta có:
//
(**)
//
d BD
BD AO d MN
AO MN
. Từ (*), (**) suy ra:
( ) (2)d SMN d MH
. Từ (1), (2)
suy ra:
( , )MH SA d
.
+ Xét tam giác SMN có:
1 1 .
..
22
SMN
SI MN
S MH SN SI MN MH
SN
với
22
3 2 10
,,
2 2 4
a a a
SI MN AO SN SI IN
. Do đó,
. 15
5
SI MN a
MH
SN

. Vậy
15
( , )
5
a
d SA BD
Ví dụ 4: (A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC
là tam giác vuông tai B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng
N
M
I
O
C
S
D
A
B
H
J
I
N
M
S
C
B
A
H
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
33
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt
phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
bằng 60
0
. Tính
( , )d AB SN
Giải: + Gọi I là trung điểm của BC.
Do MN//BC nên N là trung điểm của AC. Do đó, IN//AB hay
( , ) ( ,( ))d AB SN d AB SNI
.
+ Trong mp(ABC) kẻ
,( ) (*)AJ IN J IN
Trong mp(SAJ) kẻ
,( ) (1)AH SJ H SJ
+ Theo giải thiết ta có:
( ) ( )
( ) (**)
( ) ( )
SAB ABC
SA ABC SA IN
SAC ABC
Từ (*), (**) ta có:
( ) (2)IN SAJ IN AH
. Từ (1), (2) ta có:
( ) ( , )AH SIN d AB SN AH
.
+ Ta có:
00
(( ),( )) 60 .tan60 2 3SBC ABC SBA SA AB a
;
AJ BI a
.
+ Xét tam giác vuông SAJ có:
2 2 2 2
1 1 1 13 12
.
13
12
AH a
AH SA AJ a
.
Vậy
. 156
( , )
13
a
d AB SN AH
3.3. Bài tập
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD, SA=a, các cạnh còn lại bằng
3
2
a
. Chứng minh:
SA SC
. Tính
( ,( ))d S ABCD
Bài tập 2: (D-2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại
B, AB=a, AA’=2a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính
( ,( ))d A IBC
Bài tập 3: Cho hình chóp SABC,
0
3 , ( ), 2 , 120SA a SA ABC AB a ABC
. Tính
( ,( ))d A SBC
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
34
Bài tập 4: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ,
0
90ABC BAD
, BA=BC=a, AD=2a,
()SA ABCD
,
2SA a
. Gọi H là hình chiếu
của A trên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính
( ,( ))d H SCD
Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a,
0
60BCD
đường cao SO=a. Tính
( , )d AD SB
Bài tập 6: (D-2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông
cân tại B, BA=BC=a,
'2AA a
. Gọi M là trung điểm của BC. Tính
( , ' )d AM B C
Bài tập 7: (B-2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a, E là điểm đối xứng với D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AE và BC. Chứng minh rằng:
MN BD
. Tính
( , )d MN AC
Bài tập 8: Cho hình töù dieän OABC, trong ñoù OA, OB, OC = a. Goïi I laø trung ñieåm cuûa
BC. Haõy döïng vaø tính ñoä daøi ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa caùc caëp ñöôøng thaúng:
a) OA vaø BC. b) AI vaø OC.
Bài tập 9: Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng taâm O, caïnh a, SA
(ABCD) vaø SA = a. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng:
a) SC vaø BD. b) AC vaø SD.
Bài tập 10: Cho töù dieän SABC coù SA (ABC). Goïi H, K laàn löôït laø tröïc taâm cuûa caùc tam
giaùc ABC vaø SBC.
a) Chöùng minh ba ñöôøng thaúng AH, SK, Bc ñoàng qui.
b) Chöùng minh SC (BHK), HK (SBC).
c) Xaùc ñònh ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa BC vaø SA.
Bài tập 11: a) Cho töù dieän ABCD. Chöùng minh raèng neáu AC = BD, AD = BC thì döôøng
vuoâng goùc chung cuûa AB vaø CD laø ñöôøng noái caùc trung ñieåm I, K cuûa hai caïnh AB vaø
CD .
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
35
b) Chöùng minh raèng neáu ñöôøng thaúng noái caùc trung ñieåm I, K cuûa hai caïnh AB vaø
CD cuûa töù dieän ABCD laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa AB vaø CD thì AC = BD, AD
= BC.
Bài tập 12: Cho hình vuoâng ABCD caïnh baèng a, I laø trung ñieåm cuûa AB. Döïng IS
(ABCD) vaø IS =
3
2
a
. Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh BC, SD, SB. Haõy
döïng vaø tính ñoä daøi ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa caùc caëp ñöôøng thaúng:
a) NP vaø AC b) MN vaø AP.
Bài tập 13: Cho hình choùp SABCD, coù SA (ABCD) vaø SA = a
6
, ñaùy ABCD laø nöûa
luïc giaùc ñeàu noäi tieáp trong ñöôøng troøn ñöôøng kinh AD = 2a.
a) Tính caùc khoaûng caùch töø A vaø B ñeán maët phaúng (SCD).
b) Tính khoaûng caùch töø ñöôøng thaúng AD ñeán maët phaúng (SBC).
c) Tính dieän tích cuûa thieát dieän cuûa hình choùp SABCD vôùi maët phaúng (P) song song
vôùi mp(SAD) vaø caùch (SAD) moät khoaûng baèng
3
4
a
.
Bài tập 14: Cho hình laêng truï ABC.ABC coù AA (ABC) vaø AA = a, ñaùy ABC laø tam
giaùc vuoâng taïi A coù BC = 2a, AB = a
3
.
a) Tính khoaûng caùch töø AA ñeán maët phaúng (BCCB).
b) Tính khoaûng caùch töø A ñeán (ABC).
c) Chöùng minh raèng AB (ACCA) vaø tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng
(ABC).
Bài tập 15: Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA (ABCD)
vaø SA = 2a.
a) Tính khoaûng caùch töø A ñeán mp(SBC), töø C ñeán mp(SBD).
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
36
b) M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø AD. Chöùng minh raèng MN song song vôùi
(SBD) vaø tính khoaûng caùch töø MN ñeán (SBD).
c) Maët phaúng (P) qua BC caét caùc caïnh SA, SD theo thöù töï taïi E, F. Cho bieát AD
caùch (P) moät khoaûng laø
2
2
a
, tính khoaûng caùch töø S ñeán maët phaúng (P) vaø dieän tích
töù giaùc BCFE.
Bài tập 16: Cho hai tia cheùo nhau Ax, By hôïp vôùi nhau goùc 60
0
, nhaän AB = a laøm ñoaïn
vuoâng goùc chung. Treân By laáy ñieåm C vôùi BC = a. Goïi D laø hình chieáu cuûa C treân Ax.
a) Tính AD vaø khoaûng caùch töø C ñeán mp(ABD).
b) Tính khoaûng caùch giöõa AC vaø BD.
Bài tập 17: Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a vaø
0
60BAD
. Goïi
O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD. Ñöôøng thaúng SO (ABCD) vaø SO =
3
4
a
. Goïi E laø trung
ñieåm cuûa BC, F laø trung ñieåm cuûa BE.
a) Chöùng minh (SOF) (SBC).
b) Tính caùc khoaûng caùch töø O vaø A ñeán (SBC).
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
37
C. KẾT LUẬN
Qua đề tài này, một lần nữa chúng ta có thể khẳng định về tầm quan trọng của hình học
không gian đối với Toán học nói chung và Toán học phổ thông nói riêng. Việc tiếp thu tốt
phần này đòi hỏi người học có tính tưởng tượng phong phú, ngoài ra giáo viên cần trang bị
cho các em một lớp các dạng toán và cách giải tương ứng.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân được đúc kết trong quá trình giảng dạy, sẽ
có nhiều thiếu sót mong quý thầy cô đóng góp ý kiến để cho đề tài được hoàn thiện và đi
vào áp dụng.
Xin chân thành cảm ơn!
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
38
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Anh Trường (2013), Tài liệu tổng ôn tập hình học không gian. Nhà xuất bản đại
học quốc gia hà nội.
2. Trần Văn Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ, Cao Quang Đức (2001), Phân loại và phương
pháp giải toán hình học không gian. Nhà xuất bản đại học quốc gian Thành phố Hồ Chí
Minh.
3. diendantoanhoc.net
Đồng hới, ngày 09 tháng 05 năm 2014
Người viết sáng kiến kinh nghiệm:
Lê Duy Hiền
Ý KIẾN VÀ XẾP LOẠI CỦA TỔ TOÁN:
Ý KIẾN VÀ XẾP LOẠI CỦA HĐKH NHÀ TRƯỜNG:
| 1/38
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU ...................................................................................................................................... 2
I. Lời nói đầu................................................................................................................................. 2
II. Cơ sở lý thuyết ........................................................................................................................ 2
2.1. Các định nghĩa ................................................................................................................... 2
2.2. Các định lý thường được sử dụng .................................................................................. 4
B. NỘI DUNG................................................................................................................................... 5
I. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với
đường thẳng, mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng............................................................. 5
1.1. Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.................................. 5
1.2. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc ...................................................... 7
1.3. Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳ ng vuông góc.......................................................... 9
II. Các dạng toán về góc ........................................................................................................... 14
2.1. Dạng 1: Góc giữa hai đường thẳng............................................................................. 14
2.2. Dạng 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ........................................................... 17
2.3. Dạng 3: Góc giữa hai mặt phẳ ng.................................................................................. 18
III. Các dạng toán về khoảng cách ....................................................................................... 22
3.1.Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng .............................................. 22
3.2.Dạng 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau .......................................... 28
C. KẾT LUẬN ................................................................................................................................ 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................................... 38 1
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian A. MỞ ĐẦU I. Lời nói đầu
Trong môn toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ một vai trò, vị trí
hết sức quan trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học
không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới:
cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư
duy sáng tạo cho học sinh.
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 11 rất e ngại học môn
hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếu tính thực tế. Chính vì thế mà
có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn
khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian.
Hình học không gian là một phần rất quan trọng trong nội dung thi đại học của Bộ
giáo dục, nếu học sinh không nắm kỹ bài thì các em sẽ gặp nhiều lúng túng khi làm hai câu
trong về hình học không gian trong đề thi đại học.
Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm
nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như
học tập của học sinh ngày được nâng lên. Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều
học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này
nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo
gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất
lượng giảng dạy nói chung và môn hình học không gian nói riêng.
Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức, tổng hợp các phương pháp
thành một chuyên đề: “Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian ”
II. Cơ sở lý thuyết
2.1. Các định nghĩa
+) Định nghĩa 1: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. 0 a b  ( , a ) b  90 2
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
+) Định nghĩa 2: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc
với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. a  ( )  b
  () : a b
+) Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. 0
( )  ( )  ((),( ))  90 .
+) Định nghĩa 4: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng
đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.
+) Định nghĩa 5:
. Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và
mặt phẳng (α) bằng 900.
. Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của
nó trên mặt phẳng (α) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α).
+) Định nghĩa 6: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
+) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) là
khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt
phẳng (α) (trên đường thẳng ∆).
+) Định nghĩa 8: Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a là
khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (α).
+) Định nghĩa 9: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm
bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
+) Định nghĩa 10: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng đó. 3
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
2.2. Các định lý thường được sử dụng a b  
Định lý 1: a,b  (P)   d  (P) 
d a, d ba  (P)  
Định lý 2: d  (P)   d a a   (P) d  (P)
Định lý 3: +
  d '  (P) d '/ /d  (P) / /(Q) +
  d  (Q) d  (P)  d / /(P)  +
  d '  d d '  (P) d  (P)  Định lý 4:
  (P)  (Q) d  (Q) (P)  (Q)  
(P)  (Q)   Định lý 5:
  d  (Q) d  (P)  d   
(P)  (Q)   
Định lý 6: (P)  (R)     (R)  (Q)  (R)  4
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian B. NỘI DUNG
I. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc
với đường thẳng, mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng.
1.1. Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
1.1.1. Phương pháp: Ta thường vận dụng định lý 1 để chứng minh. Hoặc sử dụng định lý 3,
định lý 5, định lý 6 trong một số trường hợp đặc biệt
1.1.2. Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giácvvuông tại C, SA  (ABC)
a) Chứng minh rằng: BC  (SAC)
b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh rằng: AE  (SBC)
c) Gọi mp(P) đi qua AE và vuông góc với (SAB), cắt SB tại D. Chứng minh rằng: SB  (P)
d) Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: AF  (SAB) S
Giải: a) Ta có: BC AC (gt) (1) D Mặt khác, vì
SA  ( ABC) 
  SA BC (2) H BC  ( ABC) E A B BC SAB Từ (1) và (2) suy ra: ( )
b) Ta có: AE SC (3) (gt) C
Theo a) BC  (SAB)  AE BC (4)
Từ (3) và (4) suy ra: AE  (SBC) F 5
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
c) Ta thấy: (P)  ( ADE)
Theo b) AE  (SBC)  BC AE (5)
Trong mp(ADE) kẻ EH A ,
D H AD . Vì ( ADE)  (SAB)  
( ADE)  (SAB)  AD  EH  (SAB)  SB EH (6)  EH AD
Từ (5) và (6) suy ra: SB  ( ADE) hay SB  (P)
SA  ( ABC)  d) Từ
  AF SA (7) AF  ( ABC)
Theo c) SB  ( ADE)  AF SB (8) . Từ (7) và (8) suy ra: AF  (SAB)
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều,
(SAB)  ( ABCD) . Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng: FC  (SID) Giải: Ta có: S SI AB  
(SAB)  ( ABCD)  SI  (ABCD)  SI  (SAB) 
SI CF (1) F D A
Mặt khác, xét hai tam giác vuông ADI và H
DFC có: AI=DF, AD=DC. Do đó,  I
AID  DFC từ đó ta có: I FB 1 1  C  0 D C
  F D  90 F 2 2 1 2 A D  0 1 2 I D  90 1 2  0  FHD  90 H 1 I
Hay CF ID (2) 2 6 B C
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
Từ (1) và (2) suy ra: FC  (SID)
1.2. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
1.2.1. Phương pháp: Ta thường sử dụng định lý 2 hoặc là các cách chứng minh vuông góc có trong hình học phẳng
1.2.2. Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
SA  ( ABCD) , AD=2a, AB=BC=a. Chứng minh rằng: S tam giác SCD vuông Giải: Ta có:
SA  ( ABCD) 
  SA CD(1)
CD  ( ABCD) I D A
+ Gọi I là trung điểm của AD. Tứ
giác ABCI là hình vuông. Do đó, 0
ACI  45 (*). Mặt khác, CID B C
là tam giác vuông cân tại I nên: 0 BCI  45 (*). Từ (*) và (**) suy ra: 0
ACD  90 hay AC CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: CD  (SAC)  CD SC hay ∆SCD vuông tại C
Ví dụ 2: (B-2007) Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. CMR: MN BD E S
Giải: Gọi I, P lần lượt là trung điểm của AB
và SA, O là giao điểm của AC và BD. P M IN / / AC  Ta có:
  BD IN(1) AC BDA D I O 7 B N C
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian IM / / BE  Mặt khác,
  IM / /PO(*) BE / / PO
Mà PO BD(**) (vì: BPD là tam giác cân tại P và O là trung điểm của BD)
Từ (*) và (**) ta có: BD IM (2)
Từ (1) và (2) ta có: BD  (IMN )  BD MN
Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 2:
+ Chọn mp(IMN) với I là trung điểm của AB ( vì BD AC nên chọn mp chứa MN và
vuông góc với BD là mp(IMN))
+ Sử dụng các giả thiết trung điểm để chứng minh song song. a / /b + Sử dụng định lý:
  b c a c
Ví dụ 3: (A-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD đều,
(SAD)  ( ABCD) . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và CD. Chứng minh
rằng: AM BP S
Giải: Gọi I là giao diểm của AN và BP, H
là trung điểm của AD, K là giao điểm của AN và BH. M
Xét hai tam giác vuông ABN và BCP có: AB=BC, BN=CP. Suy ra, A B K
ABN  BCP
BAN CBP, ANB BPC mà H I N 0 0
BAN ANB  90  CBP ANB  90 D P C
hay AN BP (1) SH AD  
Vì ∆SAD đều nên: (SAD)  ( ABCD)  SH BP(*) .  BP  ( ABCD)  8
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
Mặt khác, tứ giác ABNH là hình chử nhật nên K là trung điểm của HB hay MK / /SH (**)
Từ (*) và (**) suy ra: BP MH (2)
Từ (1), (2) suy ra: BP  ( AMN )  BP AM
1.3. Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
1.3.1. Phương pháp: Sử dụng định lý 3
1.3.2.Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD S
là hình thoi , SA=SC. Chứng minh rằng:
(SBD)  ( ABCD)
Giải:+ Ta có: AC BD (1) (giả thiết) D C
+ Mặt khác, SO AC (2) (SAC là tam giác
cân tại A và O là trung điểm của AC nên SO
là đường cao của tam giác) O A B
+ Từ (1) và (2) suy ra: AC  (SBD) mà
AC  ( ABCD) nên (SBD)  ( ABCD)
Ví dụ 2: (B-2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a,
AD a 2 , SA  ( ABCD) . Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM.
Chứng minh rằng: (SAC)  (SMB) S Giải:
+ Ta có: SA  ( ABCD)  SA BM (1) .
+ Xét tam giác vuông ABM có: AB tan AMB   2 . Xét tam giác vuông AM A M D I B C 9
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian 0
cot AIM  cot(180  ( AMB CAD))  CD 1 ACD có: tan CAD  
. Ta có:  cot(AMB CAD)  0 AD 2 0  AIM  90
Hay BM AC (2) .
+ Từ (1) và (2) suy ra: BM  (SAC) mà BM  (SAC) nên (SAC)  (SMB) 1.4. Bài tập:
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm a 6
của BC, D là điểm đối xứng với A qua I, SD  ( ABC), SD  . Chứng minh rằng: 2
a) (SBC)  (SAD)
b) (SAB)  (SAC)
Bài tập 2: Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình vuoâng taâm O. SA  (ABCD). Goïi H, I,
K laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân SB, SC, SD.
a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC).
b) CMR: AH, AK cuøng vuoâng goùc vôùi SC. Töø ñoù suy ra 3 ñöôøng thaúng AH, AI, AK
cuøng naèm trong moät maët phaúng.
c) CMR: HK  (SAC). Töø ñoù suy ra HK  AI.
Bài tập 3: Cho töù dieän SABC coù tam giaùc ABC vuoâng taïi B; SA  (ABC).
a) Chöùng minh: BC  (SAB).
b) Goïi AH laø ñöôøng cao cuûa SAB. Chöùng minh: AH  SC.
Bài tập 4: Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình thoi taâm O. Bieát: SA = SC, SB = SD.
a) Chöùng minh: SO  (ABCD). 10
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
b) Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh BA, BC. CMR: IJ  (SBD).
Bài tập 5: Cho töù dieän ABCD coù ABC vaø DBC laø 2 tam giaùc ñeàu. Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC.
a) Chöùng minh: BC  (AID).
b) Veõ ñöôøng cao AH cuûa AID. Chöùng minh: AH  (BCD).
Bài tập 6: Cho töù dieän OABC coù OA, OB, OC ñoâi moät vuoâng goùc vôùi nhau. Goïi H laø hình
chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm O treân mp(ABC). Chöùng minh raèng: a) BC  (OAH).
b) H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc ABC. c) 1 1 1 1    . 2 2 2 2 OH OA OB OC
d) Caùc goùc cuûa tam giaùc ABC ñeàu nhoïn.
Bài tập 7: Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a. Maët beân SAB laø tam
giaùc ñeàu; SAD laø tam giaùc vuoâng caân ñænh S. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD.
a) Tính caùc caïnh cuûa SIJ vaø chöùng minh raèng SI  (SCD), SJ  (SAB).
b) Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa S treân IJ. CMR: SH  AC.
c) Goïi M laø moät ñieåm thuoäc ñöôøng thaúng CD sao cho: BM  SA. Tính AM theo a.
Bài tập 8: Cho hình choùp SABCD coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a, maët beân SAB laø tam giaùc
ñeàu vaø SC = a 2 . Goïi H vaø K laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø AD. a) CMR: SH  (ABCD).
b) Chöùng minh: AC  SK vaø CK  SD. 11
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
Bài tập 9: Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình chöõ nhaät coù AB = a, BC = a 3 , maët
beân SBC vuoâng taïi B, maët beân SCD vuoâng taïi D coù SD = a 5 .
a) Chöùng minh: SA  (ABCD) vaø tính SA.
b) Ñöôøng thaúng qua A vaø vuoâng goùc vôùi AC, caét caùc ñöôøng thaúng CB, CD laàn löôït
taïi I, J. Goïi H laø hình chieáu cuûa A treân SC. Haõy xaùc ñònh caùc giao ñieåm K, L cuûa SB,
SD vôùi mp(HIJ). CMR: AK  (SBC), AL  (SCD).
c) Tính dieän tích töù giaùc AKHL.
Bài tập 10: Goïi I laø 1 ñieåm baát kì ôû trong ñöôøng troøn (O;R). CD laø daây cung cuûa (O) qua
I. Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng chöùa ñöôøng troøn (O) taïi I ta laáy ñieåm S vôùi
OS = R. Goïi E laø ñieåm ñoái taâm cuûa D treân ñöôøng troøn (O). Chöùng minh raèng:
a) Tam giaùc SDE vuoâng taïi S. b) SD  CE. c) Tam giaùc SCD vuoâng.
Bài tập 11: Cho MAB vuoâng taïi M ôû trong maët phaúng (P). Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc
vôùi (P) taïi A ta laáy 2 ñieåm C, D ôû hai beân ñieåm A. Goïi C laø hình chieáu cuûa C treân MD,
H laø giao ñieåm cuûa AM vaø CC.
a) Chöùng minh: CC  (MBD).
b) Goïi K laø hình chieáu cuûa H treân AB. CMR: K laø tröïc taâm cuûa BCD.
Bài tập 12: Cho tam giaùc ñeàu ABC, caïnh a. Goïi D laø ñieåm ñoái xöùng vôùi A qu a BC. Treân
ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôi mp(ABC) taïi D laáy ñieåm S sao cho SD = a 6 . Chöùng minh
hai maët phaúng (SAB) vaø (SAC) vuoâng goùc vôùi nhau.
Bài tập 13: Cho hình töù dieän ABCD coù hai maët (ABC) vaø (ABD) cuøng vuoâng goùc vôùi ñaùy
(DBC). Veõ caùc ñöôøng cao BE, DF cuûa BCD, ñöôøng cao DK cuûa ACD.
a) Chöùng minh: AB  (BCD). 12
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
b) Chöùng minh 2 maët phaúng (ABE) vaø (DFK) cuøng vuoâng goùc vôùi mp(ADC).
c) Goïi O vaø H laàn löôït laø tröïc taâm cuûa 2 tam giaùc BCD vaø ADC. CMR: OH  (ADC).
Bài tập 14: Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng, SA  (ABCD).
a) Chöùng minh (SAC)  (SBD).
b) Goïi BE, DF laø hai ñöôøng cao cuûa SBD. CMR: (ACF)  (SBC), (AEF)  (SAC).
Bài tập 15: Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA  (ABCD).
Goïi M, N laø 2 ñieåm laàn löôït ôû treân 2 caïnh BC, DC sao cho BM = a , DN = 3a . Chöùng 2 4
minh 2 maët phaúng (SAM) vaø (SMN) vuoâng goùc vôùi nhau.
Bài tập 16: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A. Veõ BB vaø CC cuøng vuoâng goùc vôùi mp(ABC).
a) Chöùng minh (ABB)  (ACC).
b) Goïi AH, AK laø caùc ñöôøng cao cuûa ABC vaø ABC. Chöùng minh 2 maët phaúng
(BCCB) vaø (ABC) cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng (AHK).
Bài tập 17: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù AB = c, AC = b. Goïi (P) laø maët phaúng qua
BC vaø vuoâng goùc vôùi mp(ABC); S laø 1 ñieåm di ñoäng treân (P) sao cho SABC laø hình choùp
coù 2 maët beân SAB, SAC hôïp vôùi ñaùy ABC hai goùc coù soá ño laàn löôït laø  vaø   . Goïi 2
H, I, J laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa S treân BC, AB, AC.
a) Chöùng minh raèng: SH2 = HI.HJ.
b) Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa SH vaø khi ñoù haõy tìm giaù trò cuûa .
Bài tập 18: Cho hình töù dieän ABCD coù AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y. Tìm
heä thöùc lieân heä giöõa a, b, x, y ñeå:
a) Maët phaúng (ABC)  (BCD). 13
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
b) Maët phaúng (ABC)  (ACD).
Bài tập 19: Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA  (ABCD) ; M
vaø N laø hai ñieåm naèm treân caùc caïnh BC, CD. Ñaët BM = x, DN = y.
a) Chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå hai maët phaúng (SAM) vaø (SMN) vuoâng
goùc vôùi nhau laø MN  (SAM). Töø ñoù suy ra heä thöùc lieân heä giöõa x vaø y.
b) Chöùng minh raèng ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå goùc giöõa hai maët phaúng (SAM) vaø
(SAN) coù soá ño baèng 300 laø a(x + y) + 3 xy = a2 3 .
Bài tập 20: Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi taâm I caïnh a vaø coù goùc A
baèng 600, caïnh SC = a 6 vaø SC  (ABCD). 2
a) Chöùng minh (SBD)  (SAC).
b) Trong tam giaùc SCA keû IK  SA taïi K. Tính ñoä daøi IK. c) Chöùng minh 0
BKD  90 vaø töø ñoù suy ra (SAB)  (SAD).
II. Các dạng toán về góc
2.1. Dạng 1: Góc giữa hai đường thẳng
2.1.1. Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau
Cách 1: (a,b)=(a’,b’) trong đó a’, b’ là hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song với a
và b. Tức là, chọn ra hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song với a và b
Cách 2: (a,b)=(a,b’) trong đó b’ là
đường thẳng cắt đường thẳng a và song S
song với b. Tức là chọn trên a (hoặc b)
một điểm A rồi từ đó chọn một đường
thẳng qua A và song song với b (hoặc a)
*) Chú ý: Các định lý hay sử dụng D
2.1.2. Các ví dụ mẫu: A 14 B C
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA a 3,SA BC . Tính góc
giữa hai đường thẳng SD và BC? BC / / AD
Giải: Ta có: BC//AD và 0
  SAD  90 . Do đó, SA BC  (S , D BC)  (S , D AD)  SDA. SA
Xét tam giác vSAD vuông tại A ta có: 0 tan SDA   3  SDA  60 AD
Vậy góc giữa hai đường thẳng SD và BC bằng 600
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB=CD=2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và
AD, MN a 3 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD?
Giải: Gọi I là trung điểm của BD. Ta có: A IN / / AC
  (AB,CD)  (IM , IN) . IM / /CD2a Xét tam giác IMN có: N IM IN  ,
a MN a 3 . Do đó, 2 2 2a  3a 1 a 3 cos MIN    2 2a 2 D 0 BMIN 120 I 2a Vậy: 0 0 0 ( A , B C ) D 180 120  60 M
Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 2: C
+ Việc tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD thông qua góc giữa hai đường thẳng IM và
IN nhờ vào giả thiết MN a 3 MIN
+ Một số em đồng nhất (IM , IN )  MIN là chưa chính xác mà (IM , IN )   . 0 180   MIN
Đến đây ta có thể giải quết theo hai hướng: 15
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian - Chứng minh góc 0 MIN  90
- Tính ra cụ thể góc MIN rồi sau đó dựa vào giá trị của góc MIN để kết luận về giá trị của
góc giữa hai đường thẳng AB và CD
Ví dụ 3: (A-2008) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là
tam giác vuông tại A, AB  ,
a AC a 3 . Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) là
trung điểm của BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’?
Giải: Gọi H là trung điểm của BC Ta có: A' C' AA'/ / BB ' 
  (AA', B'C ') 
B 'C '/ / BD  I (BB ', BD) Hay, B'
cos( AA', B 'C ')  cos(BB ', BD)  A C  cos HBB' H Xét tam giác A’B’H có 0 B
A'  90 , A' B '  a , 2 2 A' H AA'  AH  2  HB A H A Ba BC  , 2 2 ' ' ' ' 2 . 2  AA'   a 3    2  2 2 2
BH BB '  HB ' 1 Do đó, cos HBB '   2.BH.BB ' 4 1
Vậy cos( AA', B 'C ')  cos HBB '  4
Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 3:
+ Áp dụng cách 1 để giải bài toán này 16
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
+ Điểm mấu chốt của bài toán này là tìm ra được độ dài của HB’ thông qua nhận xét A’H
vuông góc với mp(A’B’C’)
2.2. Dạng 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
2.2.1.Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)
+ Tìm I d  (P)
+ Tìm A thuộc d kẻ AH vuông góc với (P)
+ (d,(P))  AIH
2.2.2.Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB)  (ABCD) ,
H là trung điểm của AB, SH=HC, SA=AB. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) S 1 a
Giải: + Ta có: AH AB  , 2 2
SA AB a , a 5 2 2 SH HC BH BC  . 2 A D 2 5a Vì 2 2 2 SA AH   AH nên tam 4 giác SAH vuông tạ H
i A hay SA AB mà
(SAB)  ( ABCD) . Do đó, B a C
SA  ( ABCD) và AC là hình chiếu
vuông góc của SC lên mp(ABCD). SA 2
+ Ta có: (SC,(ABCD))  SCA, tan SCA  
. Vậy góc giữa đường thẳng SC và AC 2 2
mặt phẳng (ABCD) là góc có tang bằng . 2 17
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, SA a 6 . Tính sin của góc giữa: a) SC và (SAB) b) AC và (SBC) Giải: S
a) Ta có: BC AB (gt) và SA BC (vì
SA  ( ABCD) )  BC  (SAB) do
đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC
trên mp(SAB)  (SC,(SAB))  BSC . Ta có:
 sin(SC,(SAB))  sin BSC H A D BC a 2 .    2 2 SC  4 SA AC b) + Trong mp(SAB) kẻ
AH SB (H SB) . Theo a) B C
BC  (SAB)  AH BC nên
AH  (SBC) hay CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mp(SBC)
 (AC,(SBC))  ACH . 1 1 1 7 6
+ Xét tam giác vuông SAB có:     AH  . a 2 2 2 2 AH AB SA 6a 7 AH 21
+ Vậy sin( AC,(SBC))  sin ACH   AC 7
2.3. Dạng 3: Góc giữa hai mặt phẳng
2.3.1.Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q)
+ Tìm giao tuyến (P)  (Q)  
+ Trong (P) tìm a vuông góc với ∆, trong (Q) tìm b vuông góc với ∆ và a,b cắt nhau tại I + ((P),(Q))=(a,b) 18
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
Chú ý: Trong một số trường hợp nếu chỉ yêu cầu tính góc giữa hai mặt phẳng thì chúng ta
có thể áp dụng công thức hình chiếu để tính.
Công thức hình chiếu: Gọi hình (H) có diện tích S; hình (H’) là hình chiếu của (H) trên mặt
phẳng (α) có diện tích S’; φ là góc giữa mặt phẳng chứa (H) và mp(α). Lúc đó, ta có công
thức sau: S '  S.cos
2.3.2. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
Tính số đo của góc giữa (BA’C) và (DA’C) B' C'
Giải: + Kẻ BH A'C, (H  A'C) (1)
+ Mặt khác, ta có: BD AC (gt) , A' D'
AA'  ( ABCD)  AA'  BD
BD  (ACA')  BD A'C (2) H Từ (1) và (2) suy ra:
A'C  (BDH )  A'C DH . Do đó, B C
((BA'C),(DA'C))  (H , B HD) .
+ Xét tam giác vuông BCA’ có: A D 1 1 1 3    2 2 2 2 BH BC BA' 2a 2 2  BH  . aDH  . a 3 3 + Ta có: 2 2 2BH BD 1 C' B' 0 cos BHD     BHD 120 2 2BH 2 . Vậy 0
((BA'C),(DA'C))  60 A'
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng I
ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân AB=AC=a, 0
BAC  120 , BB’=a, I là B C 19 A
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và (AB’I).
Giải: + Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt phẳng
(ABC). Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I). Theo công thức hình chiếu ta có: S cos ABC   . SAB'I 2 1 a 3 + Ta có: 0 S  . . AB AC.sin120  . ABC 2 4 a 5 a 13 2 2 AI AC CI  , 2 2 AB ' 
AB BB'  a 2, 2 2 IB ' 
B 'C '  IC '  . 2 2 2 1 a 10
Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên S  .AB'.AI  . AB ' I 2 4 S 3 Vậy cos ABC    S 10 AB ' I 2.4. Bài tập
Bài tập 1: (B-2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a,
SA a, SB a 3,(SAB)  ( ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính
cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN? 2a 3
Bài tập 2: Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng . Tính góc 3 giữa SA và mp(ABC)
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC, SA  (ABC)
a) Xác định góc giữa (ABC) và (SBC)
b) Giả sử tam giác ABC vuông tại B xác định góc giữa hai mp (ABC) và (SBC)
Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA=SB=SC=SD=a. Tính cosin của góc giữa (SAB) và (SAD). 20
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
Bài tập 5: Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, taâm O; SO 
(ABCD). Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh SA vaø BC. Bieát 0
(MN,(ABCD))  60 . a) Tính MN vaø SO.
b) Tính goùc giöõa MN vaø (SBD).
Bài tập 6: Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a; SA  (ABCD) vaø
SA = a 6 . Tính goùc giöõa: a) SC vaø (ABCD)
b) SC vaø (SAB) c) SB vaø (SAC) d) AC vaø (SBC)
Bài tập 7: Cho laêng truï ABC.ABC, coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a, AA  (ABC).
Ñöôøng cheùo BC cuûa maët beân BCCB hôïp vôùi (ABBA) goùc 300. a) Tính AA.
b) Goïi N laø trung ñieåm cuûa caïnh BB. Tính goùc giöõa MN vaø (BAC).
Bài tập 8: Cho laêng truï ABC.ABC, coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng caân taïi A; AA 
(ABC). Ñoaïn noái trung ñieåm M cuûa AB vaø trung ñieåm N cuûa BC coù ñoä daøi baèng a, MN
hôïp vôùi ñaùy goùc  vaø maët beân BCCB goùc .
a) Tính caùc caïnh ñaùy vaø caïnh beân cuûa laêng truï theo a vaø .
b) Chöùng minh raèng: cos = 2 sin.
Bài tập 9: Cho hình choùp SABC, coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng caân vôùi BA = BC = a;
SA  (ABC) vaø SA = a. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø AC.
a) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SAC) vaø (SBC).
b) Tính goùc giöõa 2 maët phaúng (SEF) vaø (SBC).
Bài tập 10: Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø nöûa luïc giaùc ñeàu noäi tieáp ñöôøng
troøn ñöôøng kính AB = 2a; SA  (ABCD) vaø SA = a 3 . 21
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
a) Tính goùc giöõa 2 maët phaúng (SAD) vaø (SBC).
b) Tính goùc giöõa 2 maët phaúng (SBC) vaø (SCD).
Bài tập 11: Cho hình vuoâng ABCD caïnh a, SA  (ABCD) vaø SA = a 3 . Tính goùc giöõa
caùc caëp maët phaúng sau:
a) (SBC) vaø (ABC) b) (SBD) vaø (ABD) c) (SAB) vaø (SCD) a
Bài tập 12: Cho hình thoi ABCD caïnh a, taâm O, OB = 3 ; SA  (ABCD) vaø SO = 3 a 6 . 3
a) Chöùng minh ASC vuoâng.
b) Chöùng minh hai maët phaúng (SAB) vaø (SAD) vuoâng goùc.
c) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SBC) vaø (ABC).
III. Các dạng toán về khoảng cách
3.1.Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
3.1.1. Cách xác định khoảng cách từ điểm M đến mp(P) Cách 1:
+ Tìm mp(Q) chứa M và vuông góc với mp(P) theo giao tuyến ∆
+ Từ M hạ MH vuông góc với ∆ ( H  ) + MH = d(M,(P)) Cách 2:
+ Kẻ ∆//(P). Ta có: d(M,(P))= d(∆,(P))
+ Chọn N   . Lúc đó, d M,P  d( ,
 (P))=dN,P 22
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian Cách 3: d M,P MI
+ Nếu MN  (P)  I . Ta có:  d  N,P NI MI
+ Tính dN,P và NI MI + d M,P  .d  N,P NI
Chú ý: Điểm N ở đây ta phải chọn sao cho tìm khoảng cách từ N đến mặt phẳng (P) dễ hơn
tìm khoảng cách từ M đến mp(P).
3.1.2. Các ví dụ mẫu
*) Ví dụ cho cách 1:
Ví dụ 1: Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc α. Tính d ( ,
A (SBC)) theo a và α.
Giải: + Gọi I là trung điểm của BC. S SI BC  + Ta có:
  BC  (SAI) và SIA   AI BC
+ Kẻ AH SI (H SI) mà SI  (SAI )  (SBC) H
nên AH  (SBC). Do đó, d( ,
A (SBC))  AH C
+ Mặt khác, xét tam giác vuông AHI có: A I a 3
AH AI.sin  .sin S 2 B a 3 Vậy, d ( ,
A (SBC))  AH  .sin 2
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là H K
hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) , SA=2a, D A O 23 B C
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian a) Tính d( , A (SBC)) b) Tính d( , A (SBD))
Giải: a) Kẻ AH SB (H SB) (1)
Ta có: SA  (ABCD)  SA BC (*) và AB BC (gt) (**) . Từ (*) và (**) suy ra:
BC  (SAB)  BC  AH (2) .
Từ (1) và (2) ta có: AH  (SBC) hay d ( ,
A (SBC))  AH 1 1 1 5 2a
+ Mặt khác, xét tam giác vuông SAB có:     AH  . 2 2 2 2 AH AB SA 4a 5 2a Vậy, d ( , A (SBC))  5
b) Gọi O AC BD
Kẻ AK SB (K SO) (1)
Ta có: SA  (ABCD)  SA BD (*) và AC BD (gt) (**) . Từ (*) và (**) suy ra:
BD  (SAC)  BC  AK (2) .
Từ (1) và (2) ta có: AK  (SBD) hay d ( ,
A (SBD))  AK 1 1 1 9 2a
+ Mặt khác, xét tam giác vuông SAO có:     AK  . 2 2 2 2 AK AO SA 4a 3 2a Vậy, d ( , A (SBD))  . 3 S
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD
là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều,
(SAB)  ( ABCD) . Gọi I, F lần lượt là trung
điểm của AB và AD. Tính d (I ,(SFC)) B C
Giải: Gọi K FC ID H I K 24 A F D
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
+ Kẻ IH SK (H  K) (1)
(SAB)  ( ABCD)  
(SAB)  ( ABCD)  AB + Ta có:
  SI  (ABCD) SI  (SAB)  SI AB 
SI FC (*)
+ Mặt khác, Xét hai tam giác vuông AID và DFC có: AI=DF, AD=DC. Suy ra,
AID  DFC AID DFC, ADI DCF mà 0 0
AID ADI  90  DFC ADI  90 hay FC ID (**)
+ Từ (*) và (**) ta có: FC  (SID)  IH FC (2). Từ (1) và (2) suy ra: IH  (SFC)
hay d (I ,(SFC))  IH a 3 a 5 1 1 1 5 a 5 SI  , ID  ,     DK  2 2 2 2 2 2 DK DC DF a 5 + Ta có: 3a 5
IK ID DK  10 1 1 1 32 3a 2 3a 2 Do đó,     IH
. Vậy, d (I ,(SFC))  2 2 2 2 IH SI IK 9a 8 8
*) Ví dụ cho cách 2:
Ví dụ 1: (B-2011) Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, ABCD là hình chữ nhật, AB  ,
a AD a 3 . Hình chiếu
vuông góc của A’ trên (ABCD) B' C'
trùng với giao điểm của AC và
BD. Tính d(B',(A' BD)) A' D'
Giải: + Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Vì B’C//A’D nên B’C//(A’BD). Do đó, B C O 25 H A D
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
d (B ',( A' BD))  d (B 'C,( A' BD))  d (C,(A' BD)) + Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ
A'O  ( ABCD) CH B ,
D (H  BD) (1). Mặt khác,  A'O CH (2)
Từ (1) và (2) suy ra: CH  ( A' BD)  d (B ',( A' BD))  CH 1 1 1 4 a 3
+ Xét tam giác vuông BCD có:     CH  . 2 2 2 2 CH BC CD 3a 4 a 3
Vậy: d (B ',( A' BD))  CH  4
Ví dụ 2: (A-2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, 0 ABC  30 , SBC
là tam giác đều cạnh a, (SBC)  ( ABC) . Tính d (C,(SAB)) S
Giải: + Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình
chữ nhật ABDC. Gọi M, I, J lần lượt là
trung điểm của BC, CD và AB. Lúc đó, CD//(SAB) hay
d (C,(SAB))  d (C ,
D (SAB))  d (I ,(SAB))
+ Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ D H
IH SJ , (H SJ) (1) I Mặt khác, ta có: B IJ ABC M
SM  ( ABC)  AB SM J
AB  (SIJ )  AB IH (2) A
Từ (1) và (2) suy ra: IH  (SAB) hay
d (C,(SAB))  IH 1 1 SM .IJ
+ Xét tam giác SIJ có: S
IH.SJ SM.IJ IH  . Với: SIJ 2 2 SJ a a 3 a 13 0
IJ AC BC.sin 30  2 2 , SM  , SJ SM MJ  . 2 2 4 26
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian SM .IJ a 39 a 39 Do đó: IH  
. Vậy d (C,(SAB))  SJ 13 13
*) Ví dụ cho cách 3:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=a,
CD=2a, SD  ( ABCD) , SD=a.
a) Tính d(D,(SBC)) b) Tính d ( , A (SBC))
Giải: Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC.
a) Trong mặt phẳng (SBD) kẻ DH SB, (H SB) (1) . S 1
+ Vì BM AD CD Tam giác BCD 2 H
vuông tại B hay BC BD (*) . Mặt khác, vì
SD  ( ABCD)  SD BC (**) . Từ (*) và (**) ta có: M D C
BC  (SBD)  BC DH (2) . Từ (1) và
(2) suy ra: DH  (SBC) hay d ( ,
D (SBC))  DH A B
+ Xét tam giác vuông SBD có: 1 1 1 3 2a 3     DH  2 2 2 2 DH SD BD 2a 3 E . 2a 3
Vậy, d (D,(SBC))  3 d ( , A (SBC)) AE AB 1 1 a 3 b) Ta có:     d( , A (SBC)) 
d (d,(SBC))  .
d (D,(SBC)) DE CD 2 2 3 27
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian a 3 Vậy, d ( , A (SBC))  3
Ví dụ 3: (D-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a, 0
(SBC)  ( ABC), SB  2a 3, SBC  30 . Tính d (B,(SAC))
Giải: + Trong mặt phẳng (SBC) kẻ SM BC (M  BC) ; trong mặt phẳng (ABC) kẻ
MN AC (N  C
A ) ; trong mặt phẳng (SMN) kẻ MH SN (N  SN ) . Suy ra,
MH  (SAC)  d (M ,(SAC))  MH + Ta có: 0 SM S .
B sin 30  a 3 , S 0 BM S .
B cos30  3a CM a , . AB CM 3a MN   . Xét tam giác vuông AC 5 SMN có: 1 1 1 28 3a     MH  2 2 2 2 MH SM MN 9a 28 H C B 3a M
d(M ,(SAC))  N 28 + Mặt khác, ta có:
d (B,(SAC)) BC   4
d (M ,(SAC)) MC 6a
d(B,(SAC))  4.d(M ,(SAC))  A 7 6a
Vậy d (B, (SAC))  . 7
3.2.Dạng 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
3.2.1. Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’ Cách 1:
+ Xác định đường thẳng vuông góc chung của d và d’ 28
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
+ Tính độ dài đoạn vuông góc chung. Cách 2:
+Tìm mp(P) chứa d’ và song song với d
+ Khi đó d(d,d ')  d(d,(P))  d( ,
A (P)) với A là một điểm bất kỳ thuộc d
Chú ý: mp(P) có thể có sẵn hoặc chúng ta phải dựng (Cách dựng: qua một điểm
B d ' dựng đường thẳng ∆ song song với d, lúc đó mp(P)≡(d’,∆)).
3.2.2. Các ví dụ mẫu
*) Ví dụ cho cách 1
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB=a, tất cả các A
cạnh còn lại bằng 3a. Tính d ( AB,CD) Giải: J
+ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của CD và AB.
+ Vì ACD và ACD là các tam giác đều nên: D
CD AI,CD BI CD  (AI )
B CD IJ (1) Mặt khác, ACD A
CD nên tam giác AIB B
cân tại I. Do đó, IJ AB (2) I
+ Từ (1), (2) suy ra: IJ là đường vuông góc chung của AB và CD. C + Ta có: S 2 2   2 2 3a 3  a a 26 IJ AI AJ        2    2  2 . K a 26
Vậy d ( AB,CD)  2 D C
Ví dụ 2: (A_2010) Cho hình chóp S.ABCD
có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N H 29 A M B
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM,
SH  ( ABCD), SH a 3 . Tính d (DM , SC)
Giải: + Trong mp(SCH) kẻ HK SC(1), (K SC) .
SH  ( ABCD)  + Mặt khác,
  SH DM (*)
DM  ( ABCD)
Xét hai tam giác vuông AMD và DNC có AM=DN, AD=DC  AMD DNC . Từ đó ta AMD DNC   có: 0 0 ADM DCN
  DNC ADM  90  NHD  90 hay DM CN (**).  0
AMD ADM  90 
Từ (*), (**) suy ra: DM  (SCH)  DM HK (2) .
Từ (1), (2) suy ra: HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC. 2 2 + Ta có: CD a 2a 3 HCD D
CN HC    . CN 2 2 3 CD DN
Xét tam giác vuông SHC ta có: 1 1 1 5 a 15     HK  2 2 2 2 HK HC HS 3a 5 a 15
Vậy d (DM , SC)  HK  5
*) Ví dụ cho cách 2
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, A C a 2
đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA'  . 2 I
Tính d (AB,CB ') B
Giải: + Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và A’B’. H C' A' J 30 B'
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
AB / /(CA' B ')  d ( AB,CB ')  d ( AB,(CA' B '))  + Ta có:  + Trong mp(CIJ) kẻ
d (I ,(CA' B '))
IH CJ (1), (H CJ)
Ta có: A'B'  (IJ) (vì ABC. A’B’C’ là hình lăng trụ đứng) và IC A'B' (vì ∆ABC là tam
giác đều) nên A'B'  (CIJ)  IH A'B' (2) .
Từ (1), (2) suy ra: IH  (CA' B') hay d ( AB,CB ')  IH
+ Xét tam giác vuông CIJ có: 1 1 1 4 2 10 a 30       IH  2 2 2 2 2 2 IH IC IJ 3a a 3a 10 a 30
Vậy d ( AB,CB ')  IH  10
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
bằng a 2 . Tính d ( A , D SB) S Giải: + Vì
AD / / SBC  d(AD, SB)  d(AB,(SBC))
+ Gọi O là giao điểm của AC và BD. I, J H
lần lượt là trung điểm của AD và BC. A B + Trong mp(SIJ) kẻ
IH SJ ,(H SJ ) (1) . I O J Theo giả thiết ta có: D C
SO  ( ABCD)  SO BC
  BC  (SIJ )
IJ / / AB IJ BC
IH BC (2)
Từ (1), (2) suy ra: IH  (SBC) hay d ( AD, SB)  IH 1 1 S . O IJ
+ Xét tam giác SIJ có: S
IH.SJ S .   SIJ O IJ IH . Với: IJ=a, 2 2 SJ 2 2 3 2 2 . a 7 . SO IJ 2a 21 SO SA AO  . a , SJ SB BJ  . Suy ra: IH   . 2 4 SJ 7 31
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian 2a 21
Vậy d ( AD, SB)  IH  7
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD là tam
giác đều, (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính d (S , A BD)
Giải: + Qua A kẻ đường thẳng d song S
song với BD. Gọi O là giao điểm của
AC và BD; I, M lần lượt là trung
điểm của AD và OD; N là giao điểm của d và IM. H D C + Ta có: d (S ,
A BD)  d ((S , A d ), BD)  M I O
d(M ,(S , A d )) N A B + Trong mp(SMN) kẻ
MH SN (1), (H SN) SI AD  Theo giả thiết:
  SI  (ABCD)  SI d (*) Mặt khác ta có:
(SAD)  ( ABCD) d / / BD  
BD AO   d MN (**) . Từ (*), (**) suy ra: d  (SMN)  d MH (2) . Từ (1), (2)  AO / /MN
suy ra: MH  (S , A d) . 1 1 SI.MN
+ Xét tam giác SMN có: S
MH.SN SI.   SMN MN MH với 2 2 SN a 3 a 2 2 2 a 10 SI  , MN AO  , SN SI IN  2 2 4 S SI.MN a 15 . Do đó, MH   . Vậy SN 5 a 15 d (S , A BD)  H 5 J
Ví dụ 4: (A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC A
là tam giác vuông tai B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng N C M I 32 B
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt
phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
bằng 600. Tính d ( A , B SN )
Giải: + Gọi I là trung điểm của BC.
Do MN//BC nên N là trung điểm của AC. Do đó, IN//AB hay d(A ,
B SN)  d(A , B (SNI )) .
+ Trong mp(ABC) kẻ AJ IN,(J IN) (*)
Trong mp(SAJ) kẻ AH SJ,(H SJ ) (1)
(SAB)  ( ABC)  + Theo giải thiết ta có:
  SA  (ABC)  SA IN (**)
(SAC)  ( ABC)
Từ (*), (**) ta có: IN  (SAJ )  IN AH (2) . Từ (1), (2) ta có:
AH  (SIN)  d(A , B SN)  AH . + Ta có: 0 0
((SBC),( ABC))  SBA  60  SA A .
B tan 60  2a 3 ; AJ BI a .
+ Xét tam giác vuông SAJ có: 1 1 1 13 12     AH  . a . 2 2 2 2 AH SA AJ 12a 13 . a 156
Vậy d ( AB, SN )  AH  13 3.3. Bài tập a 3
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD, SA=a, các cạnh còn lại bằng . Chứng minh: 2
SA SC . Tính d (S,( ABCD))
Bài tập 2: (D-2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại
B, AB=a, AA’=2a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính d ( , A (IBC))
Bài tập 3: Cho hình chóp SABC, 0 SA  3 ,
a SA  ( ABC), AB  2 , a ABC 120 . Tính d ( , A (SBC)) 33
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
Bài tập 4: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , 0
ABC BAD  90 , BA=BC=a, AD=2a, SA  ( ABCD) , SA a 2 . Gọi H là hình chiếu
của A trên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính d (H ,(SCD))
Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, 0
BCD  60 đường cao SO=a. Tính d ( A , D SB)
Bài tập 6: (D-2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông
cân tại B, BA=BC=a, AA'  a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính d(AM , B'C)
Bài tập 7: (B-2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
a, E là điểm đối xứng với D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AE và BC. Chứng minh rằng: MN BD . Tính d (MN, AC)
Bài tập 8: Cho hình töù dieän OABC, trong ñoù OA, OB, OC = a. Goïi I laø trung ñieåm cuûa
BC. Haõy döïng vaø tính ñoä daøi ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa caùc caëp ñöôøng thaúng: a) OA vaø BC. b) AI vaø OC.
Bài tập 9: Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng taâm O, caïnh a, SA 
(ABCD) vaø SA = a. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng: a) SC vaø BD. b) AC vaø SD.
Bài tập 10: Cho töù dieän SABC coù SA  (ABC). Goïi H, K laàn löôït laø tröïc taâm cuûa caùc tam giaùc ABC vaø SBC.
a) Chöùng minh ba ñöôøng thaúng AH, SK, Bc ñoàng qui.
b) Chöùng minh SC  (BHK), HK  (SBC).
c) Xaùc ñònh ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa BC vaø SA.
Bài tập 11: a) Cho töù dieän ABCD. Chöùng minh raèng neáu AC = BD, AD = BC thì döôøng
vuoâng goùc chung cuûa AB vaø CD laø ñöôøng noái caùc trung ñieåm I, K cuûa hai caïnh AB vaø CD . 34
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
b) Chöùng minh raèng neáu ñöôøng thaúng noái caùc trung ñieåm I, K cuûa hai caïnh AB vaø
CD cuûa töù dieän ABCD laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa AB vaø CD thì AC = BD, AD = BC.
Bài tập 12: Cho hình vuoâng ABCD caïnh baèng a, I laø trung ñieåm cuûa AB. Döïng IS 
(ABCD) vaø IS = a 3 . Goïi M, N, P laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh BC, SD, SB. Haõy 2
döïng vaø tính ñoä daøi ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa caùc caëp ñöôøng thaúng: a) NP vaø AC b) MN vaø AP.
Bài tập 13: Cho hình choùp SABCD, coù SA  (ABCD) vaø SA = a 6 , ñaùy ABCD laø nöûa
luïc giaùc ñeàu noäi tieáp trong ñöôøng troøn ñöôøng kinh AD = 2a.
a) Tính caùc khoaûng caùch töø A vaø B ñeán maët phaúng (SCD).
b) Tính khoaûng caùch töø ñöôøng thaúng AD ñeán maët phaúng (SBC).
c) Tính dieän tích cuûa thieát dieän cuûa hình choùp SABCD vôùi maët phaúng (P) song song
vôùi mp(SAD) vaø caùch (SAD) moät khoaûng baèng a 3 . 4
Bài tập 14: Cho hình laêng truï ABC.ABC coù AA  (ABC) vaø AA = a, ñaùy ABC laø tam
giaùc vuoâng taïi A coù BC = 2a, AB = a 3 .
a) Tính khoaûng caùch töø AA ñeán maët phaúng (BCCB).
b) Tính khoaûng caùch töø A ñeán (ABC).
c) Chöùng minh raèng AB  (ACCA) vaø tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (ABC).
Bài tập 15: Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA  (ABCD) vaø SA = 2a.
a) Tính khoaûng caùch töø A ñeán mp(SBC), töø C ñeán mp(SBD). 35
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
b) M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø AD. Chöùng minh raèng MN song song vôùi
(SBD) vaø tính khoaûng caùch töø MN ñeán (SBD).
c) Maët phaúng (P) qua BC caét caùc caïnh SA, SD theo thöù töï taïi E, F. Cho bieát AD
caùch (P) moät khoaûng laø a 2 , tính khoaûng caùch töø S ñeán maët phaúng (P) vaø dieän tích 2 töù giaùc BCFE.
Bài tập 16: Cho hai tia cheùo nhau Ax, By hôïp vôùi nhau goùc 600, nhaän AB = a laøm ñoaïn
vuoâng goùc chung. Treân By laáy ñieåm C vôùi BC = a. Goïi D laø hình chieáu cuûa C treân Ax.
a) Tính AD vaø khoaûng caùch töø C ñeán mp(ABD).
b) Tính khoaûng caùch giöõa AC vaø BD.
Bài tập 17: Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a vaø 0 BAD  60 . Goïi
O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD. Ñöôøng thaúng SO  (ABCD) vaø SO = 3a . Goïi E laø trung 4
ñieåm cuûa BC, F laø trung ñieåm cuûa BE.
a) Chöùng minh (SOF)  (SBC).
b) Tính caùc khoaûng caùch töø O vaø A ñeán (SBC). 36
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian C. KẾT LUẬN
Qua đề tài này, một lần nữa chúng ta có thể khẳng định về tầm quan trọng của hình học
không gian đối với Toán học nói chung và Toán học phổ thông nói riêng. Việc tiếp thu tốt
phần này đòi hỏi người học có tính tưởng tượng phong phú, ngoài ra giáo viên cần trang bị
cho các em một lớp các dạng toán và cách giải tương ứng.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân được đúc kết trong quá trình giảng dạy, sẽ
có nhiều thiếu sót mong quý thầy cô đóng góp ý kiến để cho đề tài được hoàn thiện và đi vào áp dụng.
Xin chân thành cảm ơn! 37
Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Anh Trường (2013), Tài liệu tổng ôn tập hình học không gian. Nhà xuất bản đại học quốc gia hà nội.
2. Trần Văn Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ, Cao Quang Đức (2001), Phân loại và phương
pháp giải toán hình học không gian. Nhà xuất bản đại học quốc gian Thành phố Hồ Chí Minh. 3. diendantoanhoc.net
Đồng hới, ngày 09 tháng 05 năm 2014
Người viết sáng kiến kinh nghiệm: Lê Duy Hiền
Ý KIẾN VÀ XẾP LOẠI CỦA TỔ TOÁN:
Ý KIẾN VÀ XẾP LOẠI CỦA HĐKH NHÀ TRƯỜNG: 38